Учебник Математика Наглядная геометрия 5-6 класс Шарыгин Ерганжиева

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Математика Наглядная геометрия 5-6 класс Шарыгин Ерганжиева - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
И.Ф. Шарыгин Л.Н.Ерганжиева Математика Наглядная геометрия Ю1ассы Ш “ Э II I э N \ Л X S |\ \ щ \ i / / / f ^ X ШХа. \ \ \ J ~<х, о г врофа И.Ф. Шарыгин Л.Н.Ерганжиева Математика Наглядная геометрия 5*6 классы Учебник Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 2-е издание, стереотипное Москва врофа 2015 373.167.1:514 22.151я721 Ш26 Шарыгин, И. Ф. J Математика : Наглядная геометрия. 5—6 кл. ; учебник / И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. — 2-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2015. — 189, [3] с. : ил. ISBN 978-5-358-15038-6 Содержание учебника направлено на развитие геометрической интуиции, пространственного воображения, изобразительных навыков учащихся. Включение в учебник интересных задач, исторических сведений, примеров влияния геометрии на архитектуру и искусство, а также головоломок, лабиринтов, орнаментов и др. способствует развитию интереса к изучению геометрии. Этому же способствуют стиль изложения и художественное оформление учебника. Учебник может быть использован с любым систематическим курсом математики для 5—6 классов основного общего образования. УДК 373.167.1:514 ___________________________________________________ББК 22.151я721 Учебное издание Шарыгин Игорь Федорович, Ерганжиева Лариса Николаевна МАТЕМАТИКА НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5—6 классы Учебник Зав. редакцией Е. Н. Тихонова. Ответственный редактор Т. С. Зельдман Редактор Л. В. Туркестанская. Оформление А. В. Кузнецов Макет М. Г. Мицкевич. Художественный редактор М. Г. Мицкевич Компьютерная верстка и графика О. И. Колотова Технический редактор В. Ф. Козлова. Корректор Н. С. Соболева Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16602. б + Подписано к печати 06.04.15. Формат 70 к 100 Бумага офсетная. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная. Уел. печ. л. 15,48. Тираж 6000 экз. Заказ № 6843. ООО «ДРОФА». 127254, Москва, Огородный проезд, д. 5, стр. 2. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127254, Москва, а/я 19. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127254, Москва, Огородный проезд, д. 5, стр. 2. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Сайт ООО «ДРОФА»: www.drofa.ru Электронная почта: sales@drofa.ru Тел.: 8-800-200-05-50 (звонок по России бесплатный) Отаечатанос электронных носителей издательства. ОАО "Тверской полиграфический коыбинат". 170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5. Теле<1юн; (4822) 44-52-03, 44-50 34, Телефон/факс (4822)44-42-15 Ноте page ■ www.tverpk.ru Электронная почта (E-mail) - sele8<§Hverpk.ru Глядя на мир, нельзя не удивляться. Козьма Прутков Дорогой читатель! Книга, которую вы только что открыли, не учебник. Во всяком случае, она не похожа на обычный учебник. Эта книга введет вас в мир геометрии. Впрочем, это не совсем так. На самом деле этот мир окружает вас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг (прямоугольник окна, загадочный узор снежинки, дома-параллелепипеды, капля воды, велосипедная шина, узел на веревке, линия, по которой движется брошенный камень), так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Мы хотели бы, чтобы эта книга помогла вам идти по миру геометрии с широко открытыми глазами, научила внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вешей, смотреть и думать, думать и делать выводы. Прежде всего эту книгу надо не просто читать, но и понимать, перечитывая трудные места, внимательно рассматривать рисунки. Надо постоянно решать задачи. Не отчаивайтесь, если задача кажется трудной, не удается чертеж. Не торопитесь заглянуть в ответ, подумайте еше немного, попытайтесь сделать еше несколько рисунков. Если все-таки что-то не получается — загляните в ответ. Разберитесь в приведенном там решении. И мы уверены: прекрасный мир геометрии постепенно пойдет вам навстречу, начнет открывать свои тайны, и вы полюбите геометрию на всю жизнь. 4/ Первые шаги в геометрии «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг — геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале XX в., очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта книга. Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Древнегреческий философ Платон, проводивщий беседы со своими учениками в роще Академа (Академ — древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин), откуда и пощло название «академия», одним из девизов своей щколы провозгласил: «Не знающие геометрии не допускаются!» Было это примерно 2400 лет назад. Из геометрии выщла наука, которая называется математикой. На занятиях по наглядной геометрии, где вы встретитесь с интересными головоломками и занимательными задачами, бумажными человечками и геометрическими играми, ващими постоянными спутниками будут наблюдение и опыт. Усидчивость и аккуратность при выполнении заданий помогут вам в достижении цели. Они так же важны, как и смекалка и находчивость при решении задач. и Рис. I Рис. 2 Первые шаги в геометрии 5 В ходе занятий часто будут встречаться задания начертить какую-либо фигуру, измерить какие-либо величины. Все необходимое для выполнения этих заданий вы видите на рисунке 1. Это линейка, циркуль и транспортир, т. е. измерительные и чертежные инструменты. С помощью линейки можно: — проводить прямые линии; — измерять отрезки; — строить отрезки заданной длины. Линейку без делений мы назовем математической линейкоц. С ее помощью можно лищь проводить прямые линии. Циркуль позволяет: — строить окружности; — сравнивать отрезки по величине (рис. 2); — откладывать на прямой отрезки заданной длины. Транспортир (рис. 3) используют для измерения и построения углов. Шкала транспортира представляет полуокружность, разделенную на 180 частей. Одна часть называется ГРАДУСОМ. Шкала транспортира содержит 180° (знак ° заменяет слово «градусов»). В градусах измеряют углы и дуги окружностей. Будьте внимательны! На транспортире две щкалы! Если сторона угла совпадает с правой половиной основания транспортира, то используют внутреннюю щкалу, а если с левой половиной, то внещнюю! Мы начнем с нескольких за! Эта стрелочка покажет самое \ Дач, внещне очень различ-j важное, что нужно запомнить. J ных, но все они так или иначе ....----.................. относятся к геометрии. Итак, в дорогу! Счастливого пути! 1. Сложите щесть спичек так, чтобы образовалось четыре треугольника (сторона каждого треугольника должна быть равной длине спички). 2. Разрежьте квадрат на четыре равные части разными способами; на пять равных частей. I 6 I Пространство и размерность 3. Можно ли нарисовать открытый конверт (рис. 4), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя более одного раза никакой линии? А закрытый (рис. 5)? 4. Как разрезать фигуру, показанную на рисунке 6, на две одинаковые части? 5. Арбуз разрезали на четыре части и съели. Получилось пять корок. Может ли такое быть? 6. Как вырезать из целого листа бумаги фигуру, изображенную на рисунке 7? (Приклеивать части нельзя.) 7 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 7. Четыре страны имеют форму треугольников. Как расположены страны одна относительно другой, если у каждой из них есть общие границы с тремя другими? Нарисуйте. 8. Деревянный куб покрасили снаружи краской, каждое его ребро разделили на пять равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в пять раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось маленьких кубиков? У скольких кубиков окрашены три грани? две грани? только одна грань? Сколько осталось неокрашенных кубиков? Пространство и размерность Однажды известный математик пытался объяснить своему знакомому поэту, что такое пространство. Тот долго его слушал, а в конце заметил: «Это все не так. Я знаю, что пространство голубое и по нему летают птицы!» К сожалению, математики смотрят на пространство более прозаично. Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Это то пространство, которое окружает нас. Посмотрим вокруг. z s> Пространство и размерность ( 7 ^ Мы живем в мире трех измерений. Что это значит? Представим, что перед нами стоит дом (рис. 8) и мы хотим описать его, т. е. объяснить, какой он. Мы говорим: «Этот дом длиной в три подъезда, шириной в два окна, высотой в шесть этажей». В обшем, этого вполне достаточно, чтобы представить дом. Нам понадобилось задать три величины — длину, ширину и высоту. Эти три измерения мы используем ежедневно, говоря об окружаюших нас предметах: высота дерева, длина дороги, ширина тротуара... Все предметы (тела) в окружаюшем нас мире имеют три измерения, хотя далеко не у всех можно указать длину, ширину, высоту. Как называется геометрическое тело, полностью описываемое тремя измерениями — длиной, шириной и высотой? Это ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. Вернее, прямоугольный параллелепипед. Все его грани являются прямоугольниками. Многие предметы имеют форму параллелепипеда. Это, например, яшик, кирпич, брус. Параллелепипед можно считать символом нашего пространства. Правда, когда мы говорим «длина, ширина и высота», то имеем в виду измерения параллелепипеда, расположенного конкретным образом на земле (или на столе). Высотой в этом случае мы называем измерение, направленное вертикально вверх от земли. Если мы не знаем, как расположен параллелепипед, то говорить о длине, ширине и высоте было бы не совсем верно. Лучше просто — три измерения. А теперь представим, что высота исчезла. Весь мир стал плоским, как лист бумаги, остались только ДВА ИЗМЕРЕНИЯ — длина и ширина. Математики говорят, что плоскость является ДВУХМЕРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ. Какие геометрические фигуры могут «жить» в этом мире? Это, например, квадрат, отрезок, круг. А что еше? Вообразите себя плоским. Вокруг вас живут треугольники, окружности, квадраты, отрезки и другие плоские фигуры. Расскажите, как вам & О п а U 1^1 □ D 1 1 [ 1 1 ' □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 1.:] I [П (IJ 1 j'7: 1 ' ' Рис. 3 8 Пространство и размерность + длина + ширина + высота ЭТО представляется, какими вы их видите? А что происходит, если они движутся, поворачиваются? Что вы увидите, если плоскость, в которой вы находитесь, пересечет шар, движущийся сквозь плоскость, как сквозь стену? Продолжим мысленные эксперименты. Уберем теперь и ширину. Останется ОДНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО с одним измерением — ДЛИНОЙ. Этот мир полностью лежит на прямой; жители его — отрезки, лучи, точки. Какими они видят друг друга? В удивительном мире геометрии существует и фигура, которая не имеет измерений — длины, ширины, высоты. Вы догадались, что это? Конечно, это ТОЧКА. Схема, приведенная выше, показывает, как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических фигур. Разделите пополам тетрадный лист вертикальной чертой, слева напишите названия тех фигур {или начертите их), которые можно поместить в плоскости, а справа те, которые нельзя. Сможете ли вы указать по 10 фигур в каждой колонке? С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Была разработана научная теория перспективы, позволяющая «обмануть» зрение. Картина венгерского художника Виктора Вазарели «Изучение перспективы» — прекрасный тому пример (рис. 9). На ней видно, как линии, уходящие вглубь, сходятся в одной точке, а фигура, находящаяся дальше от нас, изображается в виде фигуры меньших размеров. С по- Пространство и размерность 9 Рис. 9. В. Вазарели. Изучение перспективы ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦•♦♦•♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ Рис. 10 10 Пространство и размерность Рис. 11 i " - - у б) Рис. 12 нятием перспективы вы подробнее познакомитесь на уроках рисования. ПЕРСПЕКТИВА — не единственное средство изображения трехмерного пространства на плоскости. Рассмотрите, как Вазарели с помощью изгибов линий удалось передать вмятины, выпуклости, капли на плоском листе бумаги (рис. 10, 11). Придумайте и нарисуйте свою картинку с кажущимися выпуклостями и вмятинами на листе бумаги. В геометрии для облегчения восприятия пространства договорились изображать линии, скрытые от взора наблюдателя, пунктирными. Например, куб принято изображать так, как на рисунке 12, а. Если же мы нарисуем его без пунктирных линий (рис. 12, б), то Рис. 13 Пространство и размерность 11 МОЖНО усомниться, что это куб. Может, это просто набор сложенных определенным образом треугольников и четырехугольников? Даже если мы и видим куб, то всякий раз иначе видим, какая грань впереди, а какая сзади. Пирамиду изобразим так, как на рисунке 13, а. А вот на рисунке 13, 5 изображен четырехугольник, противоположные вершины которого соединены отрезками. Эти отрезки называются ДИАГОНАЛЯМИ. Пунктирная линия на рисунке 13, а делает этот рисунок объемным и позволяет отличать изображение пирамиды от четырехугольника с диагоналями. Научитесь изображать на клетчатой бумаге куб и пирамиду. 1. Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить в два раза больший квадрат? Сколько одинаковых кубиков надо для составления в два раза большего куба? 2. Треугольник можно разделить на четыре равных треугольника. Как? Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка, проведя разрезы через середины ребер, то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой? 3. Если известно, сколько у многоугольника вершин, то сразу можно сказать, сколько у него сторон. Их столько же. Например, у пятиугольника пять вершин и пять сторон. Для многогранников (объемных тел) это не так. Как известно, у параллелепипеда восемь вершин и шесть граней. Придумайте какой-нибудь многогранник, у которого также восемь вершин, но число граней не равно шести. Сколько таких многогранников вы можете придумать? 4. Изобразите многогранник, у которого пять вершин и пять граней. А теперь — многогранник, у которого пять вершин и шесть граней. 5. На какое самое большое число частей можно разрезать блин тремя разрезами? Сколько частей может получиться при трех разрезах каравая? 12 Простейшие геометрические фигуры 4/ Простейшие геометрические фигуры Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей, так и сложные геометрические фигуры составляются из простейших геометрических фигур. О них вы узнаете из этого раздела. Здесь также будут рассмотрены наиболее часто используемые геометрические инструменты — линейка, циркуль, транспортир. Итак, простейшие фигуры и их обозначения. М N а А В О О м А В Точка А. Прямая а. Ее еще можно назвать прямой MN. Отрезок А В — это часть прямой между двумя точками А и В (из прямой как бы вырезали кусочек). Точки А и В — концы отрезка АВ. Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала луча (похоже на луч фонарика, точка О — как лампочка фонарика). Точка О — начало луча. Угол АОВ — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки. Точка О — общее начало лучей ОА и ОВ, точка О — вершина угла. В обозначении угла вершина всегда ставится в середине: угол АОВ. Лучи ОА и ОВ — стороны угла. Начертите в тетради точку, прямую, отрезок, луч и угол. Обозначьте их. На рисунке 14 изображены три прямые и точки на них. Найдите три отрезка, три луча, три угла. Запишите их. Сколько различных лучей вы можете назвать? Простейшие геометрические фигуры 13 В начальных классах вы научились измерять отрезки. А как измерить угол? Приложите транспортир к углу (рис. 15) так, чтобы: а) вершина угла совпала с черточкой — серединой основания транспортира; б) одна сторона угла совпала с основанием транспортира, соответствующим 0°. Вторая сторона угла указывает на шкале угол в градусах. Среди всех углов выделяется ПРЯМОЙ угол (рис. 16, б). Прямой угол содержит 90°. По отношению к нему остальные углы делятся на две группы: ОСТРЫЕ углы (меньше 90°, рис. 16, а) и ТУПЫЕ углы (больше 90°, рис. 16, в). Угол, равный 180°, называется РАЗВЕРНУТЫМ (рис. 17). Измерьте углы в четырехугольнике А ВСD (рис. 18). а) Рис. 16 в) А В Рис. 17 14l Простейшие геометрические фигуры 1. Проведите через одну точку три прямые. Сколько при этом образовалось углов (рассматриваются углы с вершиной в точке пересечения прямых)? 2. Начертите при помощи транспортира углы, равные 10°, 20°, 30°,170°, причем так, чтобы одна сторона у всех углов была общей. 3. Постарайтесь при помощи одной линейки (на глазок) построить углы, равные 30°, 45°, 80°, 90°, 120°. А теперь измерьте транспортиром построенные углы. На сколько вы ошиблись? 4. На плоскости даны две пересекающиеся прямые. Один из углов между ними равен 28°. Сделайте чертеж. Измерьте остальные углы. Что получится, если угол между прямыми равен 33°? Проведенные измерения и наблюдения приведут вас к следующему выводу: ^ При пересечении двух прямых образуются две пары равных i углов. Это — пары вертикальных углов. Стороны одного из них | являются продолжением сторон другого угла. ■ ^ Вертикальные углы не имеют обищх сторон. У них общая вершина. С D Рис. 19 О В На рисунке 19 есть также пары углов с общей стороной. Это, например, углы АОС и DOC. Сторона ОС у них общая, а стороны ОА и OD составляют развернутый угол. Такие два угла называются СМЕЖНЫМИ. Подумайте, чему равна сумма смежных углов. 5. Изобразите четырехугольник, у которого три угла прямые. Как вы думаете, будет ли и четвертый угол прямым? Простейшие геометрические фигуры 15 6. Нарисуйте квадрат и проведите его диагональ. Как вы думаете, какие углы образует диагональ со сторонами квадрата? Проверьте свою интуицию измерением. Можете ли вы объяснить, почему угол именно такой? А если взять квадрат других размеров — больше или меньше, — изменится ли угол между сторонами квадрата? Вырежьте из бумаги квадрат и сложите его вдвое по диагонали. Что вы заметили? 7. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах в 9 ч, 10 ч, 6 ч, 5 ч, 11 ч 30 мин? 8. На угол в 10° смотрят через увеличительное стекло с десятикратным увеличением. Чему равен угол, наблюдаемый сквозь стекло? В задании 6 вы складывали квадрат по диагонали. Половинки квадрата (треугольники) совпали, т. е. диагональ квадрата разделила его на две равные части. И угол квадрата разделился пополам. Диагональ квадрата является БИССЕКТРИСОЙ угла. Биссектриса угла — это луч, выходяший из его вершины и делящий угол на два равных. 9. Начертите на листе бумаги любой угол и вырежьте его по сторонам, оставив бумагу между сторонами угла неразрезанной. Как вы думаете, можно ли без карандаша и линейки построить биссектрису этого угла? Как это сделать? Для всякого ли угла можно построить биссектрису? 10. Начертите в тетради угол, равный 60°. Какой угол образует биссектриса этого угла с его сторонами? Проведите ее. 11. Начертите в тетради какой-нибудь угол, проведите в нем на глаз биссектрису и проверьте измерением. Потренируйтесь таким образом в развитии глазомера. 12. На плоскости проведены три луча ОА, ОВ, ОС. Чему может равняться угол АОС, если: а) Z АОВ = 70°, Z вое = 50°; б) Z АОВ = 102°, Z ВОС = 84°? 16 Конструирование из Т 4/ Конструирование из Т Смена деятельности — лучший отдых. Задания этого раздела позволят вам отвлечься от измерений и построений и поиграть. Рис. 20 iZTD Рис. 21 Посмотрите на фигуру, изображенную на рисунке 20. Как ее назвать? Это не квадрат, не прямоугольник... Как описать эту фигуру человеку, который ее не видит? Можно сделать так: это буква Н с двумя перекладинами, лежащая на боку. Придумайте и запишите в тетрадь еще два описания этой фигуры человеку, который не видит ее, чтобы он понял, что нарисовано. А теперь попробуйте описать фигуру, изображенную на рисунке 21. Она похожа на букву Т. Так и будем ее называть — буква Т. 1. Составьте конструкцию из трех-четырех букв Т и, не показывая ее соседу по парте, словесно опищите. Ваша задача — описать фигуру так, чтобы ваш приятель смог ее нарисовать. Если получилось, поменяйтесь ролями: теперь он объясняет, а вы рисуете. 2. На фигуры кто-то вылил белую краску (рис. 22). Известно, что фигуры состоят из букв Т. Восстановите их вид. 3. Составьте из букв Т большую композицию. Это может быть орнамент или какой-нибудь рисунок. а) Рис. 23 Куб и его свойства \ 1~7 | а) б) Рис. 24 4. Можно ли куб завернуть в букву Т в один слой? Если да, то нарисуйте эту букву. Укажите ее размеры, если ребро куба равно 1 см. 5. Имеется кусок клетчатой бумаги размером 10 х 10 клеток. Вырежьте из нее как можно больше букв Т такой формы, как на рисунке 23. 6. Разрежьте фигуры (рис. 24, а, б) на буквы Т такой же формы, как в задании 5. Куб и его свойства Пожалуй, трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики — любимая игра малышей. Кажется, что мы о кубе знаем все. Но так ли это ? Что вы можете о нем рассказать, какие его свойства вам известны ? Куб является представителем большого семейства многогранников. С некоторыми из многогранников вы уже встречались. Это пирамида, прямоугольный параллелепипед. Знакомство с другими, например октаэдром, додекаэдром, ожидает вас впереди. Многогранники при всем различии имеют ряд общих свойств. Например, поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников, которые называются ГРАНЯМИ МНОГОГРАННИКА. Два соседних 18 Куб и его свойства першнна Рис. 25 Рис. 26 грань ребро плоских многоугольника имеют общую сторону — РЕБРО МНОГОГРАННИКА. Концы ребер являются ВЕРШИНАМИ МНОГОГРАННИКА. Рассмотрите изображение куба на рисунке 25, перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов куба. Запомните и в дальнейшем используйте эти термины! Решение следующих задач и выполнение заданий позволит вам обнаружить некоторые свойства куба. 1. Возьмите в руки кубик из любого материала. Лучше, если он будет не очень маленьким. Ваша цель — исследовать его, т. е. обнаружить путем измерения, наблюдения, подсчета как можно больше свойств куба. Обнаруженные свойства запишите в тетрадь. Обсудите в классе полученные результаты. Дополните, если это понадобится, свой список свойств куба теми свойствами, которые заметили ваши одноклассники. (Как склеить куб, сказано в задании 2.) 2. Перечертите на клетчатую бумагу фигуру (рис. 26) и вырежьте ее (сторона каждого квадрата 4 см). Сверните из нее куб, склейте его. Вырезанная фигура называется РАЗВЕРТКОЙ КУБА. Подумайте, почему она так названа. Из чего она состоит? Придумайте еще несколько разверток куба и начертите их в тетради. 3. Из фигур, изображенных на рисунке 27, выберите те, которые являются развертками куба, и перенесите их в тетрадь. Объясните, почему вы выбрали именно их. Рис. 27 Куб и его свойства [19 В н Б ‘ I □ ■ Ш л Г ■ п Рис. 28 Рис. 29 / / / а) б) т «) Рис. 30 4. Условимся боковые грани куба обозначать буквой Б, верхнюю — В, нижнюю — Н. Расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными (рис. 28). 5. Дана развертка куба (рис. 29). Какие из кубиков на рисунке 30, а—в можно из нее склеить? Выберите кубик и обоснуйте выбор. 6. На развертке куба (рис. 31) пронумерованы его грани. Запишите парами номера противоположных граней (противоположные грани не имеют общих ребер): 1,_ , 2,_ , 3,_ . Запишите грани, которые соседствуют с гранью 6. Перечертив развертку на бумагу, обозначив грани и вырезав ее, проверьте себя. 7. На видимых гранях куба (рис. 32, а) проставлены числа 1, 2, 3. А на развертках (рис. 32, б, в) — два из названных чисел или одно. Расставьте на развертках куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7. 8. Пунктирными линиями обозначены невидимые ребра куба (рис. 33). Обведите ребра куба, которые лежат ближе к вам, красным цветом, а дальние — синим. Какие ребра ведут вглубь? Обведите их зеленым. 2 1 4 3 6 5 а) 1 б) в) Рис. 31 Рис. 32 20 Куб и его свойства слева снизу справа сверху справа снизу Рис. 33 Рис. 34 На этот куб мы смотрели справа сверху. На рисунке 34 проведите сплошные линии (видимые ребра) так, чтобы куб был «виден»: а) слева снизу; б) справа сверху; в) справа снизу. 9. Отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба (наиболее удаленные друг от друга), называется ДИАГОНАЛЬЮ КУБА (рис. 35). Как измерить диагональ непустого куба, пользуясь только линейкой и карандашом, если есть: а) еще два таких же куба; б) один такой куб? 10. Рассмотрите рисунок 36. Что за странный куб изображен на нем? Что в нем необычного? 11. Сколько кубиков вы видите на рисунке 37? 12. Имеется полоска бумаги размером 1 х7. Как из нее сложить единичный кубик (т. е. куб с ребром 1)? 13. Представьте, что куб стоит на одной своей вершине и освещен прямо сверху. Какая в этом случае получается тень от куба? 14. Имеется куб со стороной 3 см. Сколько надо сделать распилов, чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см? 15. В противоположных (наиболее удаленных друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха (рис. 38). Каким кратчайшим путем паук может доползти до мухи? Объясните ответ. >л . * -Ч\- Рис. .35 - f *1 : К' Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38 Куб и его свойства |21! % Рисунок к заданию 11 относится к НЕОДНОЗНА ИНЫМ ФИ- • ГУРАМ. Рассмотрите картинки, изображенные на рисунке 39. ' Сколько разных объяснений вы найдете для каждой из них ? > Э. Боринг. Леди и старуха С какой стороны мы смотрим на этот каркасный куб? 22 Задачи на разрезание и складывание фигур Задачи на разрезание и складывание фигур «Семь раз отмерь, один раз отрежь!» Эта пословица предостерегает вас от поспешности в решении задан. Заданную фигуру, которая для облегчения работы часто разделена на равные клеточки, надо разрезать на две или несколько одинаковых частей. Если эти части можно наложить одну на другую так, что они совпадут {при этом разрешается переворачивать их наизнанку), то задача решена верно. а) б) Рис. 40 1. На рисунке 40, а показан способ разрезания квадрата со стороной в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части. Найдите пять других способов. Сколько существует способов разрезания квадрата на две равные части линиями, идущими по сторонам маленьких квадратиков? 2. Эта задача посложнее, так как фигура на рисунке 40, б, которую также нужно разрезать на две равные части, не такая простая. 3. Над разрезанием этих фигурок (рис. 41) на две равные части подумайте на досуге. Это очень хороший и полезный отдых, гораздо лучще сидения перед телевизором. Замечание. Разрезать можно не только по сторонам, но и по диагоналям клеточек. 7 7 7 7 ГГ ■\ 7 N 7 7 \ 7 1\ Рис. 41 Задачи на разрезание и складывание фигур |23 А теперь мы предлагаем вам не задачу, а игру. И называется она ПЕНТАМИНО. Эта игра была придумана в 50-х годах XX в. американским математиком С. Голомбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики. Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причем квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами. Составьте из пяти квадратов все 12 фигур пентамино. Сравните свои результаты с рисунком 42. Изготовьте из картона набор пентамино со стороной квадратика, равной 2 см. Уложите все 12 фигур пентамино в прямоугольник 6 х 10. Сколько разных вариантов вы можете предложить? Фигурки пентамино можно переворачивать. Перемешайте фигуры пентамино на столе, чтобы они лежали произвольно, а затем сложите прямоугольник 6 х 10, не переворачивая ни одной фигурки. Постройте два прямоугольника 5x6. На рисунке 43, а фигурки пентамино, похожие на Т, уложены на плоскости без промежутков (говорят, что из них составлен паркет). Из каких еще фигурок пентамино можно составить паркет ? Нарисуйте на клетчатой бумаге эти паркеты. Рис. 42 24i Треугольник б) Рис. 43 В пентамино можно играть и вдвоем. Двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках поля 8x8. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного пентамино. Если же все фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним. Шахматную доску 8x8 полностью нельзя покрыть пентамино, останется четыре свободные клетки. Если вырезать в середине квадрат 2x2, то оставшиеся клетки покрываются двенадцатью фигурками пентамино. На рисунке 43, б изображено покрытие, предложенное Голомбом. Найдите еше хотя бы один вариант подобного покрытия квадрата 8 X 8 с вырезанной серединой. _л 1 1 г — Треугольник Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике^, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты ?! А ведь знакомый всем нам с детства треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного. Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство МНОГОУГОЛЬНИКОВ. Присмотритесь к слову «многоугольник» и скажите, из каких частей оно состоит. Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл. Слово «многоугольник» указывает на то, что у всех фигур из этого семейства много углов. ' Бермудский треугольник находится в Атлантическом океане между Бер мудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида. Треугольник 25 а) Рис. 45 а) б) Рис. 46 Но для характеристики фигуры этого еще недостаточно. Например, у фигуры, изображенной на рисунке 44, тоже много углов, но она не является многоугольником. Определяя многоугольник, мы говорим, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга. Подставьте в слове «многоугольник» вместо части «много» конкретное число, например 5. Вы получите пятиугольник (рис. 45, а, б). Или 6. Тогда — шестиугольник (рис. 46, а, б). Заметьте, что сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками. Внимательно рассмотрите рисунки 45 и 46. Чем отличаются многоугольники на рисунках 45, а и 46, а от многоугольников на рисунках 45, б и 46. 6? Каким НАИМЕНЬШИМ числом можно заменить «много» в слове «многоугольник» ? Самым простым многоугольником является треугольник. Но простым — еще не значит неинтересным. Посмотрим, что преподнесет нам знакомство с треугольниками. На рисунке 47 изображен треугольник АВС и указаны основные его элементы. Вершины треугольника, а также соответствующие углы принято обозначать большими латинскими буквами А, В, Сили К, L, М w т. д., а весь треугольник обозначают так: Л А ВС или А KLM (по буквам вершин). Все большое семейство треугольников можно разделить на группы по числу равных сторон: И Равных сторон нет — разносторонний треугольник-. две равные стороны — равнобедренный треугольник (равные стороны называются боковыми); все стороны равны — равносторонний, или правильный, треугольник. \ Ь 261 Треугольник Треугольники можно разделить на группы в зависимости от углов: ~ Все углы острые — остроугольный треугольник-, есть прямой угол — прямоугольный треугольник-, есть тупой угол — тупоугольный треугольник. В Н Р R На рисунке 48 найдите равнобедренные, правильные, разносторонние, остроугольные, прямоугольные, тупоугольные треугольники. Запишите их. Попадают ли какие-либо из них в две группы сразу? В разделе 6 мы составляли из некоторых фигурок пентамино паркеты. А можно ли одинаковыми треугольниками покрыть плоскость без промежутков? Вырежьте из бумаги несколько одинаковых треугольников и проверьте свое предположение о возможности такого покрытия. Подумайте, зависит ли результат от вида треугольников. Посмотрите внимательно на получившиеся паркеты. Какой вывод о сумме углов треугольника вы можете сделать ? 1. Измерьте с помощью транспортира углы треугольников на рисунке 48 и результаты внесите в таблицу, в последнем столбце которой запишите сумму углов. а) Какое число должно было бы стоять в последнем столбце, если бы все измерения были сделаны абсолютно точно? б) Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами? в) Существует ли треугольник, все углы которого больше 70°? г) Существует ли треугольник, все углы которого меньше 50°? 2. Начертите в тетради: а) равнобедренный остроугольный треугольник; б) равнобедренный прямоугольный треугольник; в) равнобедренный тупоугольный треугольник. Треугольник 27 Рис. 49 ребро грань Рис. 50 3. Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми сторонами? А с большими? 4. На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками, соединяющими какую-либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника? А если взять произвольный «-угольник? Треугольники, соединяясь друг с другом, могут образовывать другие фигуры. Например, шесть правильных треугольников, имеющих общую вершину, образуют правильный шестиугольник (рис. 49). Шестиугольник, как и сам треугольник, плоская фигура. Если же к стороне одного правильного треугольника, лежащего на столе, приставить еще три таких треугольника так, чтобы одна вершина оказалась общей, то получится объемное геометрическое тело — ПИРАМИДА (рис. 50). Слово «пирамида» происходит от древнеегипетского слова «пурама» (так пирамиды называли древние египтяне). Современные египтяне называют пирамиды словом «хирам», которое тоже происходит от этого древнеегипетского слова. Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от того, на какой многоугольник опираются треугольники (в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании пирамиды). Треугольная пирамида имеет еще одно название — ТЕТРАЭДР, т. е. четырехгранник («тетра» — четыре, «эдр» — грань). вершина % Возьмите в руки или представьте по рисунку 50 треугольную пирамиду, исследуйте ее так, как вы исследовали когда-то куб. Результаты исследований запишите в тетрадь. Подумайте, что является разверткой тетраэдра, нарисуйте ее. Сделайте модель тетраэдра из бумаги. Будьте аккуратны при вычерчивании развертки. 28 Треугольник задняя грань — белая нижняя грань 5. Дан тетраэдр, грани которого окрашены в серый, оранжевый, розовый и белый цвета (рис. 51). Тетраэдр начинают перекатывать, как показано на рисунке, причем он оставляет след такого же цвета, что и грань, касающаяся бумаги. Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой грани, то какого цвета будет последний след? Постарайтесь догадаться без модели. Если трудно догадаться, то модель вам поможет. 6. Тетраэдр (см. рис. 51), перекатываясь с грани на грань, возвращается в свое исходное положение. Если сначала нижняя грань была оранжевой, то какой она будет после возвращения? Зависит ли результат от пути? Пирамида — «жесткое» геометрическое тело, т. е. его нельзя изменить, не сломав. Этим свойством «жесткости» обладают все ИЗВЕСТНЫЕ вам многогранники. Лишь совсем недавно американский геометр Кон-нели сумел построить «хитрый» многогранник, который этим свойством не обладает, а может изменять свою форму так, что каждая его грань остается неизменной. Это очень сложный многогранник. Некоторое представление о нем дает рисунок 52. Существует интересная геометрическая игрушка, которая состоит из треугольников и меняется, выворачиваясь наизнанку. Это игрушка ФЛЕКСАГОН (от английского слова to flex, что означает «складываться, гнуться»). Другими словами, флексагон — гнущийся многоугольник. Флексагон обладает удиви- Рис. 52 Треугольник 29 ~ тельной способностью внезапно менять свою форму и цвет. На рисунке 53 показано постепенное изменение флексатона. Конечно, по этому рисунку никак нельзя понять ни что такое флексатон, ни как происходит удивительное превращение. Чтобы в этом разобраться, надо изтотовить эту ит-рушку. А для этото надо сделать ето развертку. Она состоит из десяти правильных треутольников, расположенных так, как на рисунке 54. Пусть сторона каж-дото треутольника равна 3 см. Изтотовьте такую полоску и раскрасьте. Вырежьте полоску и переверните ее так, чтобы верхний край оказался внизу, а нижний вверху. Оборотную сторону раскрасьте также в соответствии с рисунком. Перегните полоску по сторонам треугольников и сложите, как показано на рисунке 55. Оставшийся треугольник подогните вниз, склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности. лицевая сторона /УУУ\ оборошая crofXHia VVVVV^' Рис. 54 Рис. 35 30 Треугольник и флексагон готов. Одна сторона у него оранжевая, другая серая. Превратим его в розовый флексагон. Для этого сначала надо поставить его на стол так, чтобы он опирался на три нижние точки. Эти вершины слегка отгибаем вниз. Затем осторожно соединяем их, и флексагон вывернется наизнанку. Теперь он имеет розовую сторону. Если верхние точки флексатона развести в стороны, то он будет готов к новому превращению. Еще раз посмотрим на рисунок 53. Так ли изменяется ващ флексагон? Аккуратность и точность при вычерчивании разверток геометрических тел — 80% успеха в изготовлении моделей! Добиться этого нам поможет умение пользоваться чертежными инструментами и знание способов построения треугольников. Треугольник, как правило, определяется тремя своими элементами. Хотя, конечно, не любые три элемента однозначно определяют треугольник. Рассмотрим три основные задачи на построение треугольников, если заданы: а) две стороны и угол между ними; б) сторона и два прилежащих к ней угла; в) три стороны. Каждая из этих задач рещается достаточно просто. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними Пусть в треугольнике ЛВС известны две стороны АВ = 5 си W АС = 3 см и угол между ними ВАС, равный 50°. По этим данным и построим треугольник АВС. 1. Строим угол, равный 50° (используем транспортир и линейку). Верщину угла обозначим буквой А (рис. 56, а). Рис. 56 Треугольник ЗЭ 2. На сторонах угла (рис. 56, б) отложим отрезки .45 = 5 см и АС = 3 см (используем линейку с делениями). 3. Проведем отрезок СВ (при помощи линейки) (рис. 56, в). Нужный треугольник построен. Заметим, что, какими бы мы ни задали две стороны треугольника, существует единственный треугольник с такими сторонами и углом. а) А ч— Построение треугольника по стороне и двум углам Пусть в треугольнике ЛВС сторона А В равна 6 см, Z ВАС = 70°, Z АВС = 40°. Постройте треугольник по этим данным. Рисунок 57 иллюстрирует процесс построения искомого треугольника. Запищите себе в тетрадь этапы построения. Какие инструменты использовались? Возникает вопрос: всегда ли возможны требуемые построения? Прежде чем ответить на него, попробуйте рещить задачу на построение треугольника по следующим данным: сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны 85° и 100°. Можно сделать вывод: по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник, но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными. Позднее вы узнаете, что соответствующее построение возможно, если сумма заданных углов меньще 180°. В 6 см Рис. 57 32 Треугольник Построение треугольника по трем сторонам Постройте треугольник со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. Рисунок 58 иллюстрирует решение этой задачи. Как видите, на сей раз нам для построения потребовался циркуль. Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках, мы можем выбрать любую из них, поскольку получающиеся треугольники равны. И здесь вновь возникает вопрос: любые ли три отрезка могут быть сторонами треугольника? Прежде чем ответить на него, решим еще две задачи. Можно ли построить треугольник, стороны которого являются отрезками длиной: а) 7 см, 4 см, 2 см; б) 9 см, 5 см, 4 см? Нетрудно понять, что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника, если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них. Если во всех рассмотренных выше случаях по трем заданным элементам можно построить треугольник, то этот треугольник единственный. Другими словами, если у двух треугольников равны три соответствующих элемента (две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих к ней угла; три стороны), то такие треугольники равны. Однако так бывает не всегда. Рассмотрим, например, задачу о построении треугольника по двум сторонам и углу, но не между данными сторонами. «) А 1 см в ■ Треугольник 33 Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен 40°, сторона АВ равна 4 см. Рассмотрим три случая: а) ВС = 2 см; б) ВС = 3,5 см; в) ВС = 5 см. Рисунок 59, а, б, в иллюстрирует каждый из трех случаев. Как видим, в случае а) задача не имеет решений; б) — существуют два треугольника, удовлетворяющих условию задачи {/\АВС и ^АВС{)\ в случае в) такой треугольник один. Задачи на построение, наверное, одни из самых древних математических задач. По их поводу у математиков существует целый ряд договоренностей и ограничений. По этим договоренностям стороны треугольника, например, задаются в виде отрезков, а не числами, определяющими их длину; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла. При построении же разрешается пользоваться лишь математической линейкой (т. е. односторонней линейкой без делений) и циркулем. Транспортир, как и линейка с делениями, не входит в число традиционно разрешенных инструментов. Если мы теперь вернемся к задаче построения треугольника по трем сторонам, то исходными данными для построения будут являться три данных отрезка. Само построение будет почти таким же. Задачами на построение циркулем и линейкой вы будете специально заниматься в дальнейшем. Треугольник — плоская фигура. Он изображается без искажений, если, конечно, по заданным величинам можно построить треугольник. 34 Правильные многогранники Рис. 60 Сложнее обстоит дело с пространственными объектами. Плоский рисунок может обманывать, изображая невозможное. Вы уже встречались с изображением невозможного куба (см. рис. 36). Мы предлагаем еще один невозможный объект — ТРЕУГОЛЬНИК ПЕНРОУЗА (рис. 60). Закройте одну из вершин этого треугольника, и станет ясно, что одна из его сторон направлена к нам, а другая — от нас, т. е. они не могут соединиться в пространстве. Придумайте и нарисуйте свой невозможный объект. Правильные многогранники Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «...я сделал тетраэдр, додекаэдр и еш,е два эдра, для которых не знаю правильного названия». Эти слова знаменовали рождение в пока ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла. Думается, что и вас, и ваших родных увлечет изготовление моделей геометрических тел. Эти страницы книги — для работы дома. Приближается Новый год — самый веселый и красивый праздник. Кроме традиционных елочных украшений (хлопушек и фонариков) вы можете изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных многогранников, сделанные из цветной бумаги. Рассмотрите рисунок 61, на котором изображены правильные многогранники — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их форма — образец совершенства! Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Рис. 61 Правильные многогранники 33 Вы можете заметить ряд интересных особенностей, благодаря которым они и получили свое название. Так, у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер, а соседние грани сходятся под равными углами. Подсчитаем число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку. Многогранник В Г Р В + Г-Р Тетраэдр 4 4 6 2 В последней колонке для всех многогранников получи.1СЯ один и тот же результат: В Г — Р = 2. Самое удивительное в этой формуле, что она верна не только для правильных, но и для ВСЕХ многогранников! Ради интереса можете проверить это для нескольких наугад взятых многогранников. Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707—1783), поэтому формула названа его именем: ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его своим соотечественником. У правильных многогранников есть еще одна особенность. Оказывается, первый из них (тетраэдр) стоит немного особняком: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получим тетраэдр. Зато четыре оставшихся многогранника разбиваются на две пары. Центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра — куб. То же происходит с парой додекаэдр — икосаэдр. Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов. И если вы потрудитесь над их изучением и изготовлением, то наверняка они Правильные многогранники доставят вам радость и удовольствие, а возможно, принесут удачу в новом году! На рисунке 62, а—д даны развертки этих елочных игрушек. При изготовлении моделей не забудьте в нужных местах сделать клапаны для склеивания! Есть еще один способ изготовления моделей многогранников, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги. Без применения клея модель приобретает жесткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги. На рисунке 63, а показано, как можно сплести тетраэдр из двух полосок, состоящих из четырех треугольников. Согните и разогните каждую из полосок по пунктирным линиям, чтобы образовались сгибы — «овраги». Наложите цветную полоску на белую. Сложите из белой тетраэдр так, чтобы цветной треугольник оказался внутри него, затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в ш,ель между двумя белыми треугольниками. Правильные многогранники ZxZV g б) Рис. 63 На рисунке 63, б дан один из способов плетения куба из трех полосок, разделенных на пять квадратов. /. Вырежьте три такие полоски (белую, черную, красную). 2. Сложите белую полоску. 3. Оберните ее черной полоской. 4. Получим куб, у которого передняя и задняя грани белые, а остальные — черные. 5. Третью полоску (красную) пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками, согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской. Если полоски разного цвета, то у получающегося куба противоположные грани одинакового цвета. Показанный на этом рисунке способ интересен тем, что любые две полоски не зацеплены одна с другой, а все три зацеплены. Существует другой способ плетения куба из таких же полосок. При этом каждые две полоски оказываются зацепленными, а одинаково окращен-ными будут пары соседних граней. Попробуйте найти этот второй способ плетения куба самостоятельно. 38 Геометрические головоломки Г еометрические головоломки Хорошее воображение — это качество, необходимое в равной мере и математику, и поэту. Великий французский просветитель Вольтер как-то сказал: «В голове у Архимеда было гораздо больше воображения, чем в голове у Гомера». 1. На рисунке 64 изображена часть крепостной стены. Один из камней стены имеет столь причудливую форму, что если вытащить его из стены и положить иначе, то стена станет ровной. Изобразите этот камень. 2. Отец, у которого было четыре сына, имел квадратное поле. Четверть поля (рис. 65) он оставил себе. Остальную часть обещал отдать сыновьям, если те сумеют разделить поле между собой на равные по площади и по форме части. Как сыновьям выполнить это? Занимательных задач на разрезание квадрата — множество. Если разрезать квадрат, как показано на рисунке 66, то получится популярная китайская головоломка ТАНГРАМ, которую в Китае называют «чи чао ту», т. е. умственная головоломка из семи частей. Название «танграм» возникло в Европе, вероятнее всего, от слова «тань» (что означает «китаец») и корня «грамма» (в переводе с греческого «буква»). 3. Изготовьте головоломку сами: переведите на плотную бумагу квадрат, разделенный на семь частей (рис. 66), ч Рис. 64 Рис. 65 Рис. 67 Геометрические головоломки || 39| ХА- Рис. 66 и разрежьте его. Головоломка состоит в том, чтобы, используя все семь частей, сложить фигурки, приведенные на том же рисунке 66. Может, вам удастся придумать и свои картинки? Как ни странно, обе фигурки, изображенные на рисунке 67, составлены из всех кусочков танграма. Каким образом фигурка справа приобрела ногу? Геометрия танграма В танграме среди его семи фигур уже имеются треугольники трех разных размеров. Но можно сложить еще один треугольник, используя четыре фигуры: один большой треугольник, два маленьких и квадрат (рис. 68). 40 Геометрические головоломки Рис. 69 5. Сложите такой же треугольник, используя: а) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм; б) один большой треугольник, один треугольник средний и два маленьких. 6. Можно ли составить треугольник, используя только две фигуры танграма? три? пять? шесть? все семь фигур? 7. Очевидно, что из всех семи фигур составляется квадрат. Можно ли составить квадрат из двух фигур? из трех? 8. Из каких различных фигур танграма можно составить прямоугольники? Какие еще многоугольники можно составить? Стомахион («приводящая в ярость») Игра стомахион была известна еще до нашей эры. Создателем ее считали Архимеда. В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись «Книга Архимеда о разбиении фигуры стомахиона на 14 частей, находящихся в рациональных отношениях». У % Рис. 70 Измерение длины 41 Позже датский историк математики Гейберг подтвердил, что создателем игры является Архимед. Сделайте игру стомахион: возьмите прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой, и выполните в нем построения, как на рисунке 69. Разрезав прямоугольник по сплошным линиям, составьте фигурки курицы, мельницы и петуха (рис. 70), а также какие-нибудь свои фигурки. Измерение длины «Измерь самого себя — и ты станешь настоящим геометром!» — воскликнул средневековый философ Марсилио Си-чино. Конечно, измерить самого себя и стать настоящим Геометром, настоящим Поэтом, Садовником и вообще Настоящим очень трудно. Не всякому удается сделать это за всю .жизнь, но если говорить о чем-то более простом, то с уверенностью можно сказать, что ка.ждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось что-либо измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, время бега и многое другое. И все же давайте подумаем над вопросом: «Что значит — измерить какую-то величину?» Любые измерения производят в каких-то единицах: длину измеряют в единицах длины, вес — в единицах веса, время — в единицах времени и т. д. За свою историю человечество придумало огромное количество всевозможных единиц, причем каждый народ имел свои. Как известно, герои одного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. Для обитателей тропического леса, в котором живет попугай, эта единица не хуже других. Но длина в попугаях ничего не скажет жителям тайги, да и для соседних джунглей, где живут попугаи другой породы, придется переводить своих попугаев в чужих. Эта история из мультфильма не такая уж нелепая. Правители разных стран любили устанавливать свои 42 Измерение длины меры, часто связанные с собственной персоной. Например, английский король Генрих! ввел в качестве единицы длины ЯРД — расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки. Более демократична по происхождению другая английская единица длины — ФУТ, что по-английски означает «ступня». 16 англичан выстраивались в цепочку таким образом, что каждый следующий касался концами пальцев своих ног пяток предыдущего. Одна шестнадцатая такой цепочки и составляла 1 фут. Можно сказать, что английский фут — это длина ступни среднего англичанина. На Руси в старину мерами длины были ПЯДЬ, ШАГ, ЛОКОТЬ. Большие расстояния измерялись ПОЛЕТОМ СТРЕЛЫ. Несколько позже появились АРШИН, САЖЕНЬ, ВЕРСТА и др. С развитием ремесел и торговли появилась потребность в международных единицах, определяемых через что-то более постоянное, чем, например, длина ступни. Так появился МЕТР. Первоначально в 1791 г. метр был определен как одна сорокамиллионная часть (40 000 000) Парижского меридиана. Был изготовлен эталон метра — металлический брус из сплава платины и иридия. На него нанесены два штриха, расстояние между которыми и составляет 1 метр. Этот эталон хранится в Международном бюро мер и весов в Севре, недалеко от Парижа. После введения метра одни страны сразу приняли его, другие же, славящиеся приверженностью традициям, не спешили отказываться от своих единиц (и до сих пор Англия, США и некоторые другие страны измеряют длины в дюймах, футах, ярдах, милях). Поэтому для международного общения потребовалось научиться переводить национальные меры в международные и обратно. С этой целью некоторую неизменную величину, например Парижский меридиан, надо было измерить в тех и других единицах. Таким образом выяснилось, какую часть метра (или сколько метров) составляет та или иная мера длины (например, английский фут оказался равен 0,3048 м). 1 фут Эталон метра Измерение длины 43 Вернемся к вопросу, заданному в начале раздела: «Что значит измерить?» Коротко можно ответить так: «Измерить — значит сравнить с эталоном». Измерим длину отрезка прямой линии в заданных единицах (измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача). Берем единицу длины, например метр, и откладываем его на нашем отрезке до тех пор, пока остаток не станет меньше него. Получившееся число целых единиц запишем. Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть единицы. Получившееся целое число от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому. Таким образом последовательно получают десятые, сотые... доли единицы. Теоретически этот процесс может продолжаться бесконечно долго, но на практике он быстро закончится. Продолжать измерения станет либо практически невозможно, либо бессмысленно. Чем на меньшие доли мы раздробили метр, тем больше точность измерения. Точность измерения зависит, во-первых, от измерительного инструмента: если мы измеряем длину садового участка метром без делений, то получим эту величину с точностью до 1 метра. Например, длина участка — около 50 м. Если длину мерить рулеткой, самое мелкое деление которой 1 см, то длина участка будет измерена с точностью до 1 см (например, длина участка около 49 м 68 см). Каждый раз, измеряя на практике длину чего-либо, мы должны выбирать некоторую РАЗУМНУЮ точность измерения: ведь нет необходимости знать длину участка в миллиметрах или расстояние от Земли до Солнца в метрах. Точность измерения определяется также свойствами измеряемого объекта. Кусок ткани, например, может растягиваться, да и край у него не всегда четко обозначен. Итак, измеряя на практике различные величины, мы всегда получаем приближенные значения, но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным. Математики же в своих рассуждениях исходят из того, что отрезки (и другие величины) имеют точную длину (точное значение). 44 Измерение длины и оперируют этими точными числами. Так же в дальнейшем будем действовать и мы. Вот одна простая задача. 1. Некий путешественник оказался среди жителей малоизвестного племени. Их язык ему понятен, но единиц измерения он не знает. Для больших расстояний местные жители пользуются единицей, которую называют ЯЛИМ. Путешественник измерил в километрах расстояние между двумя деревнями. Оно оказалось равным 10,8 км. Местные жители определяют это расстояние в 8,1 ялима. Сколько километров надо пройти путешественнику, чтобы добраться до ближайшей реки, если жители говорят, что это расстояние составляет 3,6 ялима? В связи с этой задачей полезно сформулировать одно очень простое, но очень важное утверждение. Отношение длин двух отрезков есть число, которое не зави- ■ ' сит от единицы измерения. Оно называется ОТНОШЕНИЕМ ОТРЕЗКОВ. Чтобы завершить наш разговор о единицах измерения, расскажем о старинных русских мерах длины и некоторых иностранных. ВЕРШОК — верх указательного пальца, точнее, два 1 верхних сустава этого пальца, равен ^ пяди. ПЯДЬ — расстояние между концами большого и указательного пальцев, растянутых в плоскости, рав- 1 с на д аршина. Ее еше называли «четверть». АРШИН — примерно расстояние от плеча до конца вытянутой руки взрослого человека. 1 аршин равен 0,711 м. САЖЕНЬ равна 3 аршинам. КОСАЯ САЖЕНЬ равна 2,48 м. МАХОВАЯ САЖЕНЬ равна 1,76 м. ВЕРСТА — старинная русская мера пути, равная 500 саженям. Все это старинные русские меры длины. Приведем еще некоторые меры длины, которыми пользовались (а некоторые пользуются и сейчас) в разных странах. Измерение длины 45 1 дюйм СТАДИЙ — мера длины многих древних народов. Величина стадия различна, например, ВАВИЛОНСКИЙ СТАДИЙ — около 195 м, АТТИЧЕСКИЙ СТАДИЙ — около 185 м. По-гречески стадий и стадион пишутся одинаково. ЛИ — единица длины, издавна существовавшая в странах Дальнего Востока. Сказать что-либо определенное об этой единице трудно, поскольку ее величина в разных странах меняется от долей миллиметра до 500 м. ЛЬЁ (лье) — старинная единица длины во Франции. СУХОПУТНОЕ ЛЬЕ СОСТАВЛЯЕТ 4,444 км, МОРСКОЕ ЛЬЕ равно 5,556 км. МИЛЯ — происходит от латинского слова, означающего «тысяча шагов». Эта единица ранее была распространена во многих странах, а сегодня используется главным образом в морском деле, МИЛЯ МОРСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ равна 1,852 км. МОРСКАЯ МИЛЯ В ВЕЛИКОБРИТАНИИ немного больше — 1,8532 км. Кроме того, в Великобритании и США есть еще УСТАВНАЯ СУХОПУТНАЯ МИЛЯ, равная 1,609 км. ФУТ — равен 0,3048 м. КАБЕЛЬТОВ — морской мили. 1 ДЮЙМ — английская мера длины, равная Фута, или 2,54 см. Стоит заметить, что в старину на Руси использовались не только исконные русские меры, но и пришедшие с Запада. Такой единицей был ДЮЙМ, а также связанные с ним ЛИНИЯ и ТОЧКА. По поводу ТОЧКИ в словаре Даля сказано, что это «малейшая доля протяженья». И поясняется: в дюйме 10 ЛИНИЙ, в линии — 10 ТОЧЕК. Еще несколько английских мер длины: МИЛ (не путайте с милей) — тысячная доля дюйма. ЯРД — равен 3 футам. 2. Запишите все известные, а вернее, перечисленные выше единицы длины в порядке возрастания. 46 Измерение площади и объема 3. Известно старинное пожелание морякам: «Семь футов под килем». А сколько это будет аршин, метров? Вспомните еще пословицы и поговорки, в которых фигурируют меры длины. Приведите примеры из литературы. Задача измерения длин кривых линий, конечно, труднее практически и сложнее теоретически, чем измерение отрезков прямых. Но мы ее решение сводим к измерению отрезков. Первый способ. Выкладываем нитку или веревку по форме измеряемой кривой, а затем вытягиваем ее в отрезок и измеряем. Так можно измерять длину окружности, обхват дерева и др. Второй способ. Разбиваем измеряемую кривую на небольшие участки, каждый из которых можно считать отрезком. Измеряем каждый отрезок и складываем результаты измерений. По существу, именно так мы и поступаем, когда измеряем шагами длину дороги. 4. Приведите примеры кривых, длину которых удобно измерять одним из этих способов. 11/ Измерение площади ""v,,/ и объема «...Потом Мэри Поппинс поставила градусник себе самой, подержала его одно мгновение и вытащила. «Полное совершенство во всех отношениях», — прочитала она, и самодовольная улыбка заиграла на ее лице...» Трудно сказать, в каких единицах Мэри Поппинс измерила свое совершенство, поэтому мы поговорим о более простом и привычном, а именно об измерении площадей и объемов. Что же можно взять в качестве единицы площади или объема? Очевидно, что исходить нужно из уже имеющихся единиц длины. Далеко не сразу человек додумался до квадратных и кубических единиц. Что это такое? 1 CM 1 см^ / "71 / 1 CM^ Рис. 71 Измерение площади и объема 1'47 Возьмем квадрат со стороной 1 м. Его площадь будем считать равной одному квадратному метру (м^). А площадь квадрата со стороной 1 см равна 1 квадратному сантиметру (рис. 71). В 1 м^ укладывается 100 х 100 = 10 000 см^, а в 1 см^ будет 10 X 10 = 100 мм^. Нетрудно найти площадь фигуры, составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других. А как быть, если фигура произвольна? Возьмем лист клетчатой бумаги и нарисуем на нем какую-нибудь фигуру (рис. 72). Как мы видим, ровно 16 целых клеток содержится внутри фигуры. А самое меньщее число клеток, покрывающих фигуру, равно 40. Таким образом, площадь фигуры больще 16 клеток, но меньще 40. Если считать, что одна клетка есть квадратный сантиметр, то площадь больще 16 см^. Величина 16 см^ есть площадь фигуры, измеренная с недостатком. Правда, к сожалению, ощибка равна не 1 см^, а существенно больще. Площадь фигуры с избытком равна 40 см^. Самое лучщее в данной ситуации, если мы в качестве значения площади возьмем полусумму измерений с недостатком и избытком. Получим приближенное значение площади 2 ~ 28 см^. Ощибка при этом будет меньще, чем 28 - 16 = 40 - 28 = 12 см^. Объясните, почему ощибка меньще указанной величины. Как поступить, чтобы найти площадь фигуры точнее? Для этого надо дробить квадратную единицу. В 1 см^ укладывается 10 х 10 = 100 мм^. Будем продолжать заполнять площадь фигуры квадратными миллиметрами до тех пор, пока это возможно. Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине, мы вычислим площадь фигуры с недостатком, но уже точнее. Продолжая покрывать фигуру квадратными миллиметрами, мы Рис. 72 найдем ее площадь с избытком. № '.V V ''1 **■ S 48 Измерение площади и объема Затем вновь возьмем полусумму полученных значений. Продолжая этот процесс, можно определить площадь еще точнее. Так же можно поступить и с пространственной фигурой. В качестве единицы объема можно выбрать куб с ребром, равным соответствующей линейной единице. Получим 1 кубическую единицу — метр, сантиметр, арщин, фут и т. д. Поскольку в 1 м^ 100 X 100 X 100 = 1 000 000 см^, то 1 м^ в миллион раз больще, чем 1 см^. 1. Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре, квадратных арщинов в квадратной версте, квадратных дюймов в одном квадратном ярде, квадратных километров в одной квадратной миле, кубических сантиметров в одном кубическом километре, кубических вершков в одной кубической сажени, кубических футов в одном кубическом арщине? А теперь вновь зададим вопрос: «Почему?» Почему для получения единиц площадей и объемов мы использовали квадрат и куб? Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром, взяв за единицу треугольник, у которого все стороны равны 1 см? Или даже круглым сантиметром? Что касается круглого сантиметра, то здесь неудобство сразу бросается в глаза: непересекающимися кругами нельзя заполнить плоскость. Зато треугольниками можно. В связи с этим рещите задачу. 2. Каждая из сторон треугольника равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь? В общем, для измерения площадей треугольные сантиметры вполне подходят. Они ничем не хуже квадратных сантиметров. Но если мы таким же образом введем для измерения объемов пирамидальные единицы, т. е. будем использовать треугольные пирамиды, все ребра которых равны соответствующей единице длины, то столкнемся с больщими трудностями. Оказывается, такими пирамидами нельзя заполнить пространство, и вообще, с измерениями в пространстве Измерение площади и объема 49 все обстоит гораздо сложнее, чем на плоскости. Вот один пример в виде задачи. 3. Треугольник, каждая из сторон которого 2 см, легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями, делящими ее ребра пополам? Все ли части являются пирамидами? При решении практических задач на измерение объема не обязательно разбивать пространство на кубические единицы, а затем мельчить на меньшие кубики. Можно поступить следующим образом. Изготовим сосуд в виде единичного куба и заполним его какой-нибудь жидкостью, например водой. Тогда получившееся КОЛИЧЕСТВО воды (разумеется, при той же температуре) и будет соответствовать объему одной кубической единицы. Теперь, разливая это количество воды в различные по форме сосуды, мы будем получать единичные объемы различной формы. Именно так во многих практических ситуациях человек и поступает. Как известно, 1 л соответствует объему 1 дм^. Большинство бутылок, выпускаемых в нашей стране, вмещает объемы | л или ^ л. С их помощью нетрудно измерить объемы самых разных сосудов с точностью, достаточной в хозяйстве. Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем, хотя здесь также, разрезая квадрат на части и перекладывая эти части, можно получать фигуры единичной площади и различной конфигурации. Кроме длин, площадей и объемов в геометрии надо еще уметь измерять углы. Единица измерения угла, как мы знаем, — градус. Градус можно определить следующим образом. Возьмем произвольную окружность с центром О (рис. 73). Разделим ее на 360 равных частей — дуг. Если мы соединим центр окружности (точку О) с точками деле- Измерение площади и объема ния, ТО получим 360 равных углов, каждый из которых равен 1°. Дуги окружности также измеряются в градусах. Каждая из получившихся дуг равна 1°. Разделив каждый градус на 60 равных частей, получим более мелкую единицу угла — минуту. Минуты обозначают значком '. Одна шестидесятая часть минуты — секунда. Обозначается двумя штрихами ". Запись 78°16'25" читается так: 78 градусов 16 минут 25 секунд. Как видим. I Дольные единицы углов называют, как и едини- ■ I цы времени. \ В жизни человеку приходится измерять множество других различных величин: время, массу, скорость, громкость звука, силу света и многое другое. Не так уж редки ситуации, когда мы с помощью единицы одного вида измеряем не соответствующую ей величину. Например, говоря о расстоянии между двумя городами, мы указываем время, в течение которого можно доехать из одного города до другого. И это гораздо удобнее, чем указывать расстояние. При помощи песочных часов время измеряется в единицах объема — объема пересыпавшегося песка. Попытайтесь привести другие примеры такого рода. Во многих случаях, чтобы измерить какую-то величину, приходится проявлять большую изобретательность. Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного шара, площадь океана и многое другое. А это необходимо знать человеку. Помните, в разделе 5 была дана задача об измерении диагонали куба? А вот еще подобная задача. 4. Предложите способ, с помощью которого на практике можно измерить: толщину бумажного листа, объем булыжника, вместимость чайной ложки (ее объем). Придумайте свои задачи на измерение каких-то величин, требующие изобретательности. Вычисление длины, площади и объема 61 J2/ Вычисление длины, площади и объема В книге П. Л. Трэверс «Мэри Поппинс» в одном из эпизодов Кошка задает вопросы Королю. «Первый вопрос: «Высоко ли до неба ?» Король удовлетворенно хмыкнул. Это был вопрос как раз в его вкусе, и он улыбнулся с видом превосходства. — Ну, конечно, — начал он, — это понятие относительное, если мы будем измерять высоту от уровня моря — результат будет один. Если с вершины горы — другой. И приняв все это в расчет, а также определив широту и долготу, учитывая данные метеорологии, психологии, геологии, топологии и болтологии, а также астрономии и физиологии, статистики, лингвистики, беллетристики и мистики, мы можем...» К сожалению, мы вынуждены прервать цитату. Желающие могут прочесть книгу и узнать, чем закончился этот разговор. Как ни странно, но Король прав. Задача измерения весьма трудная, и одной изобретательности недостаточно. Надо многое знать — законы природы, свойства фигур, математические формулы. Так, например, зная, что звук в воздухе распространяется со скоростью 330 м/с (за 1 с проходит 330 м), а свет практически мгновенно, мы без труда определим, на каком расстоянии примерно идет гроза, есди измерим интервал времени между ударом молнии и последующим раскатом грома. В разделе 11 мы рещили несколько практических задач на измерение величин. А как быть, если требуется измерить высоту дерева, щирину реки или объем больщого камня, который трудно поднять даже нескольким силачам? Прежде чем ответить на этот вопрос, рещим следующие задачи. 1. Увеличьте ломаную на рисунке 74, в 2 раза так, чтобы ее форма не изменилась. Нарисуйте какую-нибудь ломаную для соседа по парте. Пусть он удвоит ее длину, сохранив прежнюю форму. На рисунке 74, б 52 Вычисление длины, площади и объема ; / ! 1 р г - Рис. 75 изображена линия, состоящая из отрезков прямых и дуг окружности. Как удвоить эту линию? 2. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 2^ раза? Как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 2^ раза? 3. Ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится его объем? Если каждое ребро пирамиды увеличить в 3 раза, то во сколько раз возрастет ее объем? 4. Покажите, что площадь квадрата на рисунке 75 равна 13 клеткам. 5. Начертите на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого равна 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20, 25, 26 клеткам. 6. Какая часть площади фигур, изображенных на рисунке 76, закращена? у 1Нк у У \ у \ Рис. 76 Вычисление длины, площади и объема 53 Рис. 77 Рис. 78 / 1^’ i К с 1 Рис. 79 7. На рисунке 77 изображена фигура площадью 2 см^. Нарисуйте еще две фигуры площадью 2 см^. Нарисуйте несколько фигур площадью 3 см^. 8. Найдите площади каждой части танграма, если сторона клетки на рисунке 66 равна 1. 9. Покажите, что треугольник и прямоугольник на рисунке 78 имеют одинаковые площади. 10. Через точку внутри квадрата проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток (рис. 79). Докажите, что сумма площадей закращенных частей равна сумме площадей незакращенных частей. 11. Противоположные стороны щестиугольника, изображенного на рисунке 80, равны. Взяв три верщины щестиугольника через одну, получим треугольник. Покажите, что площадь этого треугольника равна половине площади щестиугольника. Рнс. 80 ! V \ д \ V \ V /■ 1 54 Вычисление длины, площади и объема 12. Изображенные на рисунке 81 тела составлены из кубиков с ребром в 1 см. Подсчитайте объемы тел. При решении большинства предыдущих задач мы опирались на некоторые свойства фигур. Эти свойства справедливы не только для квадратов, треугольников, кубов. Они являются общими свойствами произвольных фигур. Сформулируем их. Каждая плоская фигура или пространственное тело имеет форму и размеры. Равные фигуры — это фигуры, равные по размерам и имеющие одинаковую форму. Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части, то эти фигуры будут иметь равные площади. Такие фигуры называют РАВНОСОСТАВЛЕННЫМИ. Фигуры, имеющие равные площади, называют РАВНОВЕЛИКИМИ. Плоские равновеликие многоугольники также являются равносоставленными. Иными словами. Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью. Объемные тела, составленные из одинаковых частей, имеют одинаковый объем. В отличие от многоугольников, два многогранника, имеющие одинаковый объем, не всегда можно разделить на одинаковые части. Если, не меняя формы плоской фигуры, увеличить ее размеры в п раз, то ее площадь увеличится в п х п раз. Если, не меняя формы тела, увеличить его размеры в п раз, то его объем увеличится в п х п х п раз. Вычисление длины, площади и объема Щ Используя эти свойства, можно предложить практический способ вычисления размеров больших предметов. Основная идея — постараться каким-то образом изготовить уменьшенную копию той фигуры, параметры которой надо измерить. Вот небольшая история о том, как отец одного школьника сумел измерить высоту дерева при помо-ши... лужи. Однажды сын проходил с отцом по двору. Недавно прошел дождь, и во дворе было много небольших луж. Посреди двора росло большое дерево. Сын спросил отца: «Чему равна высота этого дерева?» На этот вопрос отец ответил: «Давай не будем гадать, а вычислим его высоту. Я знаю свой рост — 180 см. Мне надо знать, на какой высоте расположены глаза. Думаю, мы не сильно ошибемся, если будем считать это расстояние равным 170 см. Мой шаг равен 90 см... А впрочем, это не важно. Сейчас я встану так, чтобы я мог видеть в этой луже отражение вершины дерева. Теперь подсчитаем, сколько шагов от меня до лужи. Получилось три шага. Так, а чему равно расстояние от лужи до дерева? ...30 шагов. Значит, высота дерева равна...» 13. Сделайте картинку, иллюстрируюшую ситуацию, описанную в рассказе, и ответьте на вопрос, чему равна высота дерева. При решении задач на нахождение тех или иных величин большую пользу могут принести формулы, позволяюшие выразить искомые величины через другие, известные или легко находимые. Простейшие из них — формулы для вычисления плошади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. / Если а и h — длины сторон прямоугольника {в каких-то единицах), то его площадь равна а х Ь квадратных единиц. Если а, Ь и с — длина, высота и ширина прямоугольного параллелепипеда, то его объем равен а х Ь х с кубических единиц. ш [Зб] Окружность Рис. 82 Рис. 83 14. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 82. 15. Нарисуйте овальную линию той же длины, что и на рисунке 83, но ограничивающую фигуру площадью на 1 см^ больще. Окружность В одном из своих стихотворений поэт Павел Коган сказал: «Я с детства не любил овал, я с детства угол рисовал...» На это ему возразил другой поэт, Наум Коржавин: «Меня, наверно. Бог не звал и вкусом не снабдил утонченным. Я с детства полюбил овал за то, что он такой законченный». Но все же не стоит противопоставлять друг другу угол и овал, треугольник и окружность. Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные: треугольник и окружность. Эти фигуры известны нам всем с раннего детства. Любой первоклассник без труда найдет слова, объясняющие, что такое треугольник. Возможно, он скажет что-то вроде: «Возьмем три точки. Если их соединить отрезками, то получится треугольник». Конечно, назвать это описание математически точным определением треугольника нельзя. Но суть выражена достаточно ясно. Следует отметить, что математики очень любят давать определения всем встречающимся в их науке по- Окружность 57 нятиям, даже самым общеизвестным, таким, как треугольник. Существуют правила, которым должно удовлетворять определение. Так, если мы скажем, что «треугольник — это многоугольник, у которого три стороны и три верщины», это значит, что мы свели понятие «треугольник» к более щирокому понятию «многоугольник». А это, в свою очередь, означает, что понятие «многоугольник» должно быть определено раньще. Оказывается, дать определение даже самым общеизвестным понятиям не так просто, как это может показаться на первый взгляд. Попробуйте поиграть в определения и определить такие понятия, как стул, щкола, веселье, бег, отдых, обед и т. д., и вы убедитесь в этом. Но вернемся к окружности. Известный математик Гротендик, вспоминая свои щкольные годы, заметил, что увлекся математикой после того, когда узнал определение окружности. Он понимал, что такое треугольник. в смысле высказывания нащего первоклассника. Но никак не мог понять, что такое окружность. Ведь эта линия в каждой точке загибается! Что же такое окружность? Оказывается, эта линия определяется совсем иначе, чем треугольник и вообще многоугольник. Окружность — это линия, состоящая иэ всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности. Н На рисунке 84 изображена окружность, отмечен ее центр — точка О, проведены два отрезка: ОС viAB. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius — «спица в колесе»). Отрезок АВ Окружнист ь соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это ДИАМЕТР окружности (в переводе с греческого — «поперечник»). Сколько можно провести в окружности радиусов и диамет - i ров ? Как связаны между собой радиус и диаметр одной окруж- ^ ности ? I Окружность — удивительно гармоничная фигура, древние греки считали ее самой совершенной. Совершенство окружности — в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от центра. Именно поэтому I ^ ■ Окружность — единственная кривая, которая может > I «скользить сама по себе», вращаясь вокруг центра. , Основное свойство окружности дает ответ на вопросы, почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми, а не квадратными или, например, треугольными. Подумайте и вы над этими вопросами. Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться. Ведь даже ацтеки, жившие в Мексике, почти до XVI в. не знали колеса. Окружность обладает еше одним интересным свойством. Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо, положив полученное кольцо на плоскость, сделаем из него разные фигуры: квадрат, треугольник, окружность и т. д. (рис. 85). Рис. 85 Площадь, ограниченная окружностью (т. е. площадь круга), — наибольшая среди полученных таким образом площадей. Окружность — это замкнутая кривая линия. Она имеет длину. Круг — плоская фигура, его характеризует ПЛОЩАДЬ. к Окружность С площадью круга связана одна из самых знаменитых задач древности — ЗАДАЧА О КВАДРАТУРЕ КРУГА. Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Поиски квадратуры круга продолжались четыре тысячелетия! Лищь в 1882 г. немецкий математик Ф. Линдеман доказал, что с помощью циркуля и линейки эта задача неразрещима. Как нарисовать окружность? Известно, что для изображения окружности служит циркуль. Гораздо труднее нарисовать окружность от руки. Попробуйте сделать это сами. Не правда ли, получается какой-то овал, лищь отдаленно напоминающий окружность? Конечно, опытные, тренированные люди весьма ловко одним росчерком изображают окружность. Рассказывают, что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки мог столь точно нарисовать окружность, что последующая проверка при помощи циркуля не показывала никаких отклонений. Посоревнуйтесь с друзьями, кто из вас лучше изобразит окружность без циркуля. ^ При вычерчивании окружности на клетчатой бумаге стоит запомнить одно правило, позволяющ,ее сделать нужное изображение от руки. Правда, речь идет об изображении окружности определенного размера. Правило это записывается в виде трех пар чисел: 3—1, 1—1, 1—3. Рис. 86 ч S \ Действовать по этому правилу нужно так. Возьмем пересечение линий (узел) клетчатой бумаги (рис. 86). Отступив на три клетки вправо и на одну вниз, поставим вторую точку. Отступая от второй точки по одной клетке вправо и вниз, находим третью точку. Четвертая 60 Окружность точка находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от третьей точки. -------------------------------- Соединив плавной линией по- I Скольким клеткам равен i лученные точки, мы весьма по- I радиус такой окружности ? j хоже изобразим четверть ок- -------- ружности. Много интересных задач связано с окружностью и кругом. Вот несколько таких задач: 1. Почему канализационные люки делают круглыми, а не квадратными? 2. Возьмите прямоугольный листок бумаги, который можно накрыть кругом. Перегните листок (рис. 87). Можно ли теперь накрыть его тем же кругом? 3. Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных. 4. Существует ли кольцо, изображенное на рисунке 88, в действительности, или на рисунке допущена ощибка? \ + \ \ < \ ' V ' V V Рис. 87 Рис. 88 Окружность 6! 5. На какие части надо разрезать квадрат, чтобы сложить из них фигуры, изображенные на рисунке 89? Бумага в клеточку облегчит решение. 6. На столе один пятак лежит неподвижно, а другой катится вокруг первого, касаясь его. Сколько раз он обернется вокруг своего центра, прежде чем вернется в исходное положение? 7. Вокруг небольшого курортного городка расположены три круглых не соединяющихся между собой озера: большое, средних размеров и маленькое. Отдыхающие, в каком бы направлении ни отправлялись на загородную прогулку, двигаясь по прямой, обязательно приходили к одному из озер. Может ли такое быть? Как расположены городок и озера? 8. На что пойдет больше краски: на окрашивание квадрата или этого необычного кольца (рис. 90)? Окружность как совершенная геометрическая форма всегда привлекала к себе внимание художников, архитекторов. В неповторимом архитектурном облике Санкт-Петербурга восторг и удивление вызывает «чугунное кружево» — садовые ограды, перила мостов и набережных, балконные решетки, фонари. Четко просматриваемое на фоне фасадов зданий летом, в изморози зимой, оно придает особое А Z^ |ч / 7 V \ 1 Г \ л J- } ч V Рис. 90 Рис. 91. Ворота Таврического дворца. С.-Петербург Окружност ь Рис. 92. К. Росси. Арка Главного штаба. С.-Петербург очарование городу. На рисунке 91 дан эскиз ворот Таврического дворца, созданного в конце XVIII в. архитектором Ф. И. Волковым. Особую воздушность придают воротам окружности, сплетенные в орнамент. Торжественность и устремленность ввысь — такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок, представляющих дуги окружностей (рис. 92). Окружности и дуги являются основными элементами готических храмов средневековья (рис. 93). Архитектура православных церквей включает в себя как обязательные элементы купола, арки, округлые своды, что зрительно увеличивает пространство, создает эффект полета, легкости (рис. 94). В создании орнаментов с окружностями часто используются приемы деления окружности на равные части. Рис. 93. Витраж собора св. Витта Прага I Окружность Рис. 94. Архангельский собор. Москва Деление окружности на части Представим, что радиус окружности — это часовая стрелка на круглом циферблате часов. Отметим, что начальное положение — 12 ч. В 3 ч угол между радиусом и его начальным положением равен 90°, в 6 ч — 180°, а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение, описав угол 360°. Проведем в окружности три радиуса так, чтобы углы между ними были равны 360°: 3 = 120°. Эти радиусы разделят окружность на три равные части — дуги по 120°. Соединив последовательно точки деления отрезками, получим треугольник, вписанный в окружность. Вообще, вписанньим в окружность называется любой треугольник, все вершины которого лежат на этой окружности. 64 Окружность На рисунке 95 показано, как вписать в окружность равносторонний треугольник. Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние (правильные) пятиугольник, шестиугольник и восьмиугольник. Затем соедините вершины так, чтобы получить пяти-, шести- и восьмиконечную звезду. Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность, называется правильным. Как построить правильный шестиугольник? Например, так. Возьмем шесть правильных равных между собой треугольников и расположим их рядом так, чтобы у них была общая вершина. Вместе они составят правильный шестиугольник. Общую верщину треугольников будем считать центром окружности с радиусом, равным стороне треугольника. Остальные верщины треугольников окажутся на окружности, т. е. .■ Правильный шестиугольник вписан в окружность, и все стороны равны радиусу этой окружности. Зная это, можно вписывать в окружность правильные щестиугольники и треугольники без транспортира, по всем классическим правилам, пользуясь только циркулем и линейкой. Для этого достаточно циркулем, нс мс1\лл р'дстиора., ралдепнтъ окр'ужностъ на равные части, а затем точки деления соединить последовательно или через одну. Окружность 65 9. Первая слева из трех изображенных на рисунке 96 фигур есть «инь и янь» — знаменитый китайский символ равновесия темных и светлых сил в природе. Оказывается, проведя лишь одну линию, фигуру можно разделить на две равные части, причем на равные части будет разделена каждая из частей — черная и белая. Найдите эту линию. Поскольку задача достаточно трудная, сделаем подсказку: нужная линия имеет ту же форму, что и граница, разделяющая черную и белую части. Две другие фигуры на этом рисунке составлены из различных окружностей. Попробуйте понять, как это сделано, и перерисовать фигуры. 10. Хозяйка, приведя козу на пастбище, вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого, натянула между колышками веревку с кольцом так, что кольцо может скользить от колышка к колышку, а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу. Нарисуйте фигуру, состоящую из точек, до которых может добраться коза. 11. На берегу глубокого озера круглой формы диаметром 100 м вбит колышек А, в середине озера расположен остров, а в его центре вбит колышек В (рис. 97). У человека, который не умеет плавать, есть веревка. Ее длина немного больше 100 м. Каким образом, используя веревку и колышки, он может перебраться на остров? 12. В плоскости расположены 17 шестеренок — первая зацеплена со второй, вторая — с третьей... последняя — с первой. Может ли эта система вращаться? Рис. 96 Рис. 97 |~6б] Геометрический тренинг Рис. ад 13. Тяжелая платформа лежит на круглых бревнах. Задний конец платформы расположен в 5 м от последнего бревна. Платформу катят по бревнам. На сколько метров передвинется передняя часть платформы, когда задняя поравняется с последним бревном? 14. Васин дом расположен на берегу реки, с одной стороны которой лес, а с другой — поле. Вася знает, что по лесу он может передвигаться со скоростью 3 км/ч, а по полю — со скоростью 4 км/ч. Он взял карту этой местности (рис. 98; масштаб карты 1: 100 000, что означает уменьшение всех настояших размеров в 100 000 раз) и решил отметить на этой карте все точки, до которых он может дойти за 1 ч. Помогите Васе сделать это. Считайте речку очень узкой и не учитывайте время на переход по мосту. Г еометрический тренинг В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Эти умения, которые вместе можно назвать «геометрическим зрением», необходимо постоянно тренировать и развивать. 1. На отрезке /1 взяты точки Kw М (рис. 99, а). Сколько получили разных отрезков? На первый взгляд кажется, что их три: А К, КМ v\ МВ. Но если вниматель- А к М в а) А К М В С Геометрический тренинг [6Т В ОС б) Рис. 99 М Р D Рис. 100 Рис. 101 НО рассмотреть этот рисунок, то можно найти еще три отрезка: AM, КВ v\AB. Сколько отрезков изображено на рисунке 99, 61 2. Прямоугольник А BCD (рис. 100) разделен на части прямыми км и ОР. Сколько получилось разных прямоугольников? Четыре? Нет! Найдите на этом рисунке девять прямоугольников. 3. Сколько четырехугольников на рисунке 101? 4. Сколько треугольников на рисунке 102? 5. Найдите 27 треугольников в фигуре на рисунке 103. 6. Найдите 47 треугольников в фигуре на рисунке 104. 7. Найдите звезду на рисунке 105. Л Рис. 105 68 Геометрический тренинг • • ■ • • • • • Рис. 106 Рис. 107 Рис. 108 8. Сколько различных квадратов с вершинами в данных точках можно начертить на рисунке 106? 9. Сколько различных равносторонних треугольников с вершинами в данных точках можно начертить на рисунке 107? 10. Рисунок 108 иллюстрирует доказательство того, что площадь параллелограмма равна площади некоторого прямоугольника. Постарайтесь сформулировать утверждение, которое следует из рисунка 108. 11. Орнамент состоит из частей, изображенных на рисунке 109. Некоторые части окрашены в оранжевый и черный цвета. Используя тот факт, что если радиус одного круга в два раза больше радиуса другого круга, то площадь первого в четыре раза больше площади второго, покажите, что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски. 12. Рисунок ПО, а, 6 иллюстрирует одну из древнейших теорем геометрии — теорему Пифагора. Внимательно рассмотрите эти рисунки. Обратите внимание на треугольники и квадраты. Сравните площади заштрихованных квадратов. Что вы заметили? Может, вы сумеете сами «открыть» эту великую теорему? Топологические опыты Т опологические опыты ТОПОЛОГИЯ является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии. Чтобы получить некоторое представление о топологии, рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями, полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и Ъси в ширину. Склейте два кольца: одно простое и одно перекрученное • , {рис. 111). Перекрученное кольцо получите так, как показано на рисунке. I Представьте муравья, находящегося на поверхности простого ■ кольца. Удастся ли муравью попасть на обратную, изнаночную сторону кольца, не переползая через край? Конечно же нет!А ес- ■ ли муравей ползет по перекрученному кольцу? Попробуйте про- ^ вести непрерывную линию по одной из сторон перекрученного коль- ■ ца {будем считать, что это путь муравья). Что вы получили? | Этот опыт провел в середине прошлого века немецкий астроном и геометр Август Мёбиус. Он обнаружил, что на перекрученном кольце линия прошла по обеим сторонам, хотя его карандаш не отрывался от бумаги. Оказывается, у перекрученного кольца (впоследствии его назвали листом МЁБИУСА) имеется только одна сторона! Позже математики открыли еше целый ряд односторонних поверхностей. Но эта, самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание не только ученых, но и художников (рис. 112). П А П А И С Рис. 111 7в Топологические опыты Рис. 112. М. Эшер. Лист Мёбиуса Опыты, которые мы предлагаем вам провести с листом Мёбиуса и подобными ему кольцами, продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств. Несколько перекручиваний Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль (рис. 113). Что получилось? Разрежьте перекрученное на пол-оборота кольцо (лист Мёбиуса) вдоль. Продолжайте перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один. Разрежьте вдоль. Результаты запишите в таблицу. Число полуоборотов Результат разрезания Свойства Рисунок 0 2 кольца длина окружности кольца та же, но кольцо в 2 раза уже §§ 1 1 кольцо кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности в 2 раза больше, и кольцо уже исходного О 2 ... Рис. 114 Топологические опыты [ 711 Несколько разрезов Склеите лист Мёбиуса шириной 5 см. Что получится, если разрезать его вдоль, отступив от края сначала на 1 см, затем на 2 см, на 3 см, на 4 см {рис. 114)? Несколько лент Рис. 115 Приготовьте два кольца: одно простое и одно перекрученное. Склейте их, как показано на рисунке 115, а затем оба разрежьте вдоль. Каков ре- Солдатик-перевертыш Рис. 116 Вырежьте из бумаги солдатика (рис. 116) и отправьте его вдоль пунктира, идущего по середине листа Мёбиуса. В каком виде солдатик вернется к месту старта ? Лист Мёбиуса — один из объектов топологии. Интересно, что с точки зрения топологии гайка, макаронина и кружка — одинаковые объекты. Их роднит то, что каждый из них имеет одно и только одно отверстие. Если бы мы из пластилиновой гайки, не разрывая и не склеивая пластилин, захотели вылепить макаронину или кружку, то нам бы это удалось. А вот кастрюльку с двумя ручками уже не вылепить (в ней две дырки-ручки). Придумайте еще несколько предметов, одинаковых с гайкой с точки зрения топологии. Перечислите несколько «топологических родственников» шара. Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. Представьте, что они сделаны из мягкой проволоки. Какие из букв можно преоб- зультат разрезания l Топологические опыты разевать одну в другую, если не разрывать проволоку в местах соединений и не склеивать концы? Проволоку можно только гнуть и растягивать! К топологическим относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. В подобных задачах требуется начертить какую-либо фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии. Испытайте свои силы в вычерчивании одним росчерком фигур, изображенных на рисунке 117. Какие-то из этих фигур вам удалось вычертить почти сразу, решение других пришло через некоторое время, а третьи вообш,е не рисуются. Почему так происходит?Давайте разберемся вместе. 6 7 8 9 Рис. 117 Начертите связную сеть кривых, как на ри-\ сунке 118. Рис. 119 Сеть таких кривых называют ГРАФОМ (от греческого слова grapho — «пишу»). Условимся точки, в которых соединяются кривые, называть УЗЛАМИ. На нашем графе пять узлов, причем три из них четные (первый, второй и третий — в них соединяется четное число линий), а два нечетные (четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий). Эту фигуру можно начертить одним росчерком. А вот домик с дверью (рис. 119) — уже иная фигура. Она содержит девять узлов, пять из которых четные, а четыре — нечетные. I ^ Если в фигуре (на графе) число нечетных узлов больше двух, \ I то ее нельзя нарисовать одним росчерком! ' Топологические опыты Покажем это на примере одной известной задачи — задачи «о кенигсбергских мостах», которая положила начало ЗАДАЧАМ НА ВЫЧЕРЧИВАНИЕ ФИГУР ОДНИМ РОСЧЕРКОМ. Город Кенигсберг был расположен на берегах и двух островах реки Преголь. Различные части города были соединены семью мостами (рис. 120). Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку пути? Долго бы спорили жители города, если бы через Кенигсберг не проезжал Леонард Эйлер. Он заинтересовался спором и... разрешил его. Возможно, он рассуждал примерно так. К восточному острову (рис. 121) ведут три моста. Если прогулка начинается вне восточного острова, то, поскольку по каждому из трех мостов надо пройти один раз, кончаться она должна на этом острове. (Это можно сравнить с выключением настольной лампы. Будем поочередно включать и выключать настольную лампу, вставляя вилку в розетку и вынимая ее. Если вначале вилка была вынута (света нет), то после трех таких операций вилка окажется в розетке и свет будет включен.) К западному острову (рис. 122) ведут пять , мостов, а 5, как и 3, — число не- “ четное. Отсюда следует, что если прогулка начинается вне западного острова, то заканчивается она на западном острове. Но и на южный, и на северный берег также ведут по три моста, и к ним применимо то же рассуждение. Итак, каждый из d С 74 Топологические опыты четырех участков суши, обозначенных буквами А, В, С ]л D, должен быть либо началом, либо концом прогулки. Но это невозможно. План города для решения этой задачи можно изобразить графом (рис. 123). На этом графе четыре узла (они соответствуют берегам С и ^ и островам AwD) и семь кривых, которые обозначают мосты а, Ь, с, d, e,f g. Если бы существовал искомый маршрут, то эту сеть кривых можно было бы вычертить одним росчерком. Таким образом, задача об обходе мостов оказалась равносильной задаче о рисовании одним росчерком. А решение задачи о мостах доказывает, что изображенную фигуру нельзя нарисовать одним росчерком. Так же обосновывается наше правило для любой фигуры. 1. Река разделяет город на четыре части, соединенные шестью мостами (рис. 124). Один турист решил обойти все мосты, побывав на каждом из них только один раз. Как это можно сделать, если не требовать обязательного возвращения в тот же район города, из которого начался обход? 2. Добавьте на рисунке 124 еще один мост так, чтобы можно было соверщить переход через все мосты, побывав на каждом по одному разу, и вернуться в ту же часть города, откуда началось путешествие. 3. Оса забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли оса последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру? Подпрыгивать и перелетать с места на место она не может. 4. Начертите фигуры (рис. 125) одним росчерком (пронумеруйте отрезки в той последовательности, в какой вы их проходили). Рис. 123 Рис. 124 Задачи со спичками Рис. 125 13 : : 14 : : 15 = : 16 II И 12 || || 11 : : 10 9 И \\ 5 : И : 6 : 1 i : 7 : : 8 II 11 ii 4 = || = 3 2 - = 1 Рис. 126 5. На рисунке 126 изображен план подземного лабиринта (подвала из 16 комнат, соединенных дверьми). Можно ли, начиная с комнаты 1, обойти комнаты так, чтобы пройти через все двери всех комнат только один раз? В какой комнате закончится такой обход? Указание. Замените комнаты точками, а двери — дугами и постройте соответствующий граф. 6. На рисунке 127 изображен план подвала из десяти комнат. Можно ли пройти через все двери всех комнат, запирая каждый раз ту дверь, через которую вы проходите? С какой комнаты надо начинать движение? 7. Докажите, что число нечетных узлов графа всегда четно. Задачи со спичками Занимательные задачи со спичками хорошо известны и взрослым, и детям. Для их решения нужны только смекалка, способность предвидеть результат и, пожалуй, хорошее воображение. Надеемся, что вы обладаете этими качествами. В работе над задачами можно использовать спички, счетные палочки или просто рисунок на бумаге. 1. Расположите 12 спичек так, чтобы получилось пять квадратов. А теперь — чтобы получилось шесть квадратов. Задачи со спичками 2. Из спичек сложена фигура, состоящая из девяти равных треугольников (рис. 128). Уберите пять спичек так, чтобы осталось пять треугольников. Как это сделать? 3. Возьмите ту же фигуру (см. рис. 128) и переложите шесть спичек так, чтобы получилась фигура, состоящая из шести равных четырехугольников. 4. Из спичек сложена фигура (рис. 129): а) уберите четыре спички так, чтобы осталось пять квадратов; б) уберите восемь спичек так, чтобы осталось два квадрата; в) уберите шесть спичек так, чтобы осталось три квадрата. 5. Из спичек сложена фигура, состоящая из шести равносторонних треугольников (рис. 130). Переложите четыре спички так, чтобы получилось три равносторонних треугольника. 6. Расположите шесть спичек так, чтобы каждая спичка касалась всех остальных спичек. 7. Из десяти спичек выложите три квадрата. Уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один квадрат и два ромба. 8. Расположите три спички на столе так, чтобы их головки не касались ни стола, ни друг друга. 9. Восемь спичек уложите так, чтобы образовались один восьмиугольник, два квадрата и восемь треугольников — все в одной фигуре! £1 АА /У\/\ \/У Рис. 128 Рис. 129 Рис. 130 Рис. 131 Зашифрованная переписка 10. Переложите три спички так, чтобы рыбка (рис. 131) поплыла в противоположную сторону. 11. Дано 12 спичек. Примем каждую из них за единицу длины. Требуется выложить из 12 спичек фигуру, которая охватывала бы площадь в три квадратные единицы. Найдите несколько вариантов. 12. Переложите две спички так, чтобы корова смотрела в противоположную сторону (рис. 132). 13. Придумайте несколько задач со спичками и предложите решить их своим друзьям. 17/ Зашифрованная переписка Играли ли вы когда-нибудь в разведчиков? В этой игре разведчик вынужден вести переписку со своими товарищами так, чтобы никто из посторонних не смог прочитать написанного. Для этого используют шифровки. Об одном из способов шифровки текста вы сейчас узнаете. Способ решетки Из плотной бумаги вы-ре.жьте квадрат, разделите его на 64 квадратика и про- \ режьте окошечки {рис. 133). ' Рис. 133 Как пользоваться этой решеткой? Пусть необходимо передать следующее сообщение: «Наступление планируется 16 сентября пять утра. Внимание левому флангу. РВС». 7i I Зашифрованная переписка a) б) Н А Т С У п Е Л Н И Е л П А Н И П Н л А Я Е с Р У Т Е В Т Ь т О У м П У С У л Т ф я Р Е Л 1 А А 6 н Н С В И Г Е Е н Н У П и Т М Я р Л А Б в А С А н р Н И я Е И Рис. 134 Наложив решетку на листок бумаги, пишут сообшение в окошечках решетки. Сначала помешается всего 16 букв: наступление плани... Как они расположены, см. на рисунке 134, а. Затем поворачивают решетку против часовой стрелки на 90°. Все написанные буквы закрыты, в новые окошечки продолжают вписывать текст. Еше два поворота, и текст вписан. Если остаются неиспользованные клетки, их заполняют буквами а, б, в... и т. д. (чтобы не было пробелов). Полностью письмо принимает вид, показанный на рисунке 134, б. Его ни за что не прочесть человеку, не имеюшему шифровального квадрата. А читают так же (накладывая квадрат и поворачивая его против часовой стрелки на 90°). После четвертого поворота текст становится ясен адресату. Из объяснений понятно, что Способ шифровки основан на повороте квадрата вокруг его центра. ПОВОРОТ — геометрическое преобразование фигур, при котором свойства фигур не меняются, может измениться лишь положение фигуры, так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на угол поворота. Квадрат при повороте на 90° вокруг его центра совместится сам с собой. Каждая же точка внутри квадрата при четырех поворотах на 90° занимает четыре разных положения. «Окошечки» решетки займут в процессе поворота четыре различных положения. Чтобы все клеточки М-клеточного квадрата были заполнены буквами, должно быть 64 : 4 = 16 окошечек. Чтобы составить свою решетку, нужно разбить 64-клеточный квадрат на четыре области. В первой расставить числа от 1 до 16 в обычном порядке. Вторая область получается из первой поворотом по часо- Задачи, головоломки, игры 1 2 3 4 13 9 5 1 5 6 7 8 14 10 6 2 9 10 11 12 15 11 7 3 13 14 15 16 16 12 8 4 4 8 12 16 16 15 14 13 3 7 11 15 12 11 10 9 2 6 10 14 8 7 6 5 1 5 9 13 4 3 2 1 Рис. 135 вой стрелке на 90°. Повернув еще на 90°, получим заполнение третьей области, при последнем повороте получается заполнение четвертой области (рис. 135). Затем выбирают для окошечек любые 16 клеток, заботясь лишь о том, чтобы в их числе не было клеток с одинаковыми номерами. Итак, решетка готова, можно приступать к шифровке! На 64-клеточном поле можно составить более 4 млрд разных секретных решеток! Объясним этот факт или, как говорят математики, докажем его. Клетку № 1 можно взять в качестве окошка в четырех местах. В каждом случае можно присоединить клетку № 2, взяв ее также в четырех местах. Следовательно, два окошка можно наметить 4x4, т. е. 16 способами. Три окошка — 4x4x4 = 64 способами. Рассуждая таким образом, устанавливаем, что 16 окошек можно набрать 4х4х4х...х4 раз (произведение 16 четверок). Число это превышает 4 миллиарда. Если полагать расчет преувеличенным в несколько раз (так как неудобно пользоваться решетками с примыкающими друг к другу окошками, и эти случаи надо исключить), то все же остается несколько сотен миллионов различных решеток. Попробуй-ка отыскать ту, которая требуется! Задачи, головоломки, игры Великий итальянский ученый Галилео Галилей однажды сказал: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». 1. Расставьте 12 стульев в комнате так, чтобы: а) в двух рядах было по четыре стула, а в одном шесть; L 80 Рис. 136 Задачи, головоломки, игры б) у каждой из четырех стен было по четыре стула; в) два стула стояли посередине комнаты, а остальные — вдоль четырех стен поровну. 2. Расставьте десять стульев так, чтобы у каждой стены комнаты стояло по три стула. 3. В доску вбито 20 гвоздиков (рис. 136). Расстояние между соседними равно 1 см. Натяните нитку длиной 19 см от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики. 4. Как выглядит шнуровка туфель (рис. 137) изнутри? Ответ неоднозначен. 5. Рис. 137 а) При решении этой головоломки не разрешается делать какие-либо рисунки и манипулировать объектами. У нас есть 10 квадратных карточек со сторонами 10, 9, 8, 7, ..., 1. Карточки, стороны которых четны, — черного цвета, а остальные — белого. Выложим на стол самую большую карточку, т. е. черную, со стороной 10. Затем на нее положим карточку со стороной 9, но не по центру, а как показано на рисунке 138, а (в левом верхнем углу). На нее (в левый нижний угол) положим черную карточку со стороной 8 (рис. 138, б). Потом на нее кладем следующую по размеру карточку (в правый нижний угол). Продолжаем далее этот процесс, причем положения карточек закручиваются внутрь против часовой стрелки. Какой черно-белый рисунок получится после того, как мы выложим последнюю карточку? Дайте полное описание этого рисунка. Можно проверить себя, вырезав десять таких квадратов или нарисовать их в тетради. 6. Дана дощечка с тремя отверстиями: квадратным, круглым и треугольным (рис. 139). Придумайте пробку такой формы, чтобы ею можно было заткнуть каждое из этих отверстий. б) Рис. 138 Задачи, головоломки, игры t к*- # f г Рис. 140 Рис. 141 Рис. 142 7. Присмотритесь к следующим пятнам на рисунке 140. Что нарисовано на этой картине? 8. Очень сложная замкнутая линия ограничивает на плоскости некоторую область. На чертеже отмечены две точки. Каким образом можно быстро определить, где (внутри или вне этой области) лежит каждая из точек (рис. 141)? 9. Расставьте 24 стула так, чтобы они стояли в шесть рядов по пять стульев в каждом ряду. 10. Сколькими способами можно прочитать слово «шалаш», двигаясь по прямым, кривым и ломаным дорожкам (рис. 142)? 11. Из семи многоугольников, входящих в танграм, сложите фигуры, показанные на рисунке 143. 12. Участок с четырьмя колодцами, имеющий форму правильного треугольника (рис. 144), надо разделить на такие участки, чтобы они были одинаковы по форме. Рис. 14,3 Рис. 144 Рис. 145 [S2; Задачи, головоломки, игры равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу. Как это сделать? • • • 13. Как четырьмя прямыми линиями, не отрывая каран- даша от бумаги, перечеркнуть девять точек, располо-" ' женных на рисунке 145? ■ ■ • 14. Изображенную на рисунке 146 фигуру разделите на шесть частей двумя прямыми. 15. Дан прямоугольник, ширина которого в два раза меньше длины. Разрежьте этот многоугольник: а) на две части так, чтобы из них можно было составить прямоугольный треугольник; б) на две части так, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник; в) на три части так, чтобы из них можно было составить квадрат. 16. Разрежьте каждую из фигур, изображенных на рисунке 147, на четыре равные части. 17. Вырежьте из плотной бумаги (картона) круг диаметром 6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие диаметром 4 см. Как вы думаете, можно ли ваш круг, не сминая его, протащить через проделанное в бумаге отверстие? 18. Детали 1—7 вдвинуты в футляр (рис. 148) сверху. Каждая из них вдвигалась строго по вертикали. В какой последовательности производилась укладка? 19. Для того чтобы сделать трубочку, мы отрываем полоску от газеты. При этом один край остается ровным, а другой будет рваным. Затем мы начинаем скручивать полоску с одного из углов. Допустим, мы хотим спрятать рваный край. С какого угла нужно начинать? Рис. 147 Рис. 148 Задачи, головоломки, игры Рис. 149 Рис. 150 Попробуйте, не пользуясь бумагой, ответить на вопрос: к какому из указанных на рисунке 149 результатов приведет способ а? способ б? 20. Возьмите набор геометрических тел (куб, шар, пирамида, конус, цилиндр и др.). Эти предметы расположены на столе так, чтобы, глядя на них из некоторой точки, можно было догадаться, как выглядит эта группа предметов с противоположной стороны (т. е. не должно быть предметов, полностью скрытых от наблюдателя). Учащиеся становятся попарно лицом друг к другу, и один из них вслух описывает, как видит эту композицию его товарищ с противоположной стороны. Третий ученик, видя предметы, контролирует и оценивает ответ. Затем отвечает второй ученик. Выигрывает тот, кто подробнее и без ошибок смог описать расположение предметов. Устное описание можно заменить рисованием. 21. Уберите на рисунке 106 несколько точек так, чтобы из оставшихся никакие четыре не являлись вершинами квадрата. Постарайтесь достичь этого, убрав как можно меньше точек. 22. Уберите несколько точек на рисунке 107 так, чтобы из оставшихся никакие три не являлись вершинами равностороннего треугольника. Постарайтесь достичь этого, убрав как можно меньше точек. 23. Концы веревки завязаны в виде петель (рис. 150). Эти петли одеваются на левую и правую руку. Как завязать на веревке узел, не снимая петель с рук? Рис Рис. 152 М ◄— Задачи, головоломки, игры 24. Рисунок 151 служит иллюстрацией к известной басне Крылова. Какая это басня и какая строка ее здесь проиллюстрирована? 25. Рисунок 152 служит иллюстрацией к сказке Милна «Винни-Пух и все, все, все». Что здесь изображено? 26. Ученики одной из московских школ совершили автобусную экскурсию в г. Волоколамск. Вернувшись с экскурсии, один из школьников нарисовал картинку (рис. 153). Куда на этой картинке едет автобус — в Москву или Волоколамск? 27. На рисунке 154 изображены некоторые геометрические тела. Возможно, точка зрения не очень привычна. Какие тела, если на них посмотреть с соответствующей стороны, могут выглядеть, как на рисунке? Какие из рисунков могут соответствовать одному и тому же телу? 28. На квадратном участке расположены три дома (рис. 155), а в ограде сделаны три калитки. От каждой калитки проложена до-^ рожка к домику с тем же но-—^ мером, причем эти дорожки не пересекаются. Как проходят дорожки? Рис. 153 29. ИГРА СО СПИЧКАМИ. На стол, вокруг которого сидят участники, кладут по одной коробке спичек на каждого участника. f) ж) Ч. у X Рис. 154 Рис. 155 Задачи, головоломки, игры Рис. 158 30. На середину стола кладутся последовательно фигуры (рис. 156). Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур, затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички, образующие первую фигуру так, чтобы получилась вторая фигура, затем третья... Выигрывает тот, кто перемещение спичек закончит быстрее, получив при этом последнюю фигуру. На рисунке 157 изображены девять квадратов. Найдите сторону двух квадратов, отмеченных знаком вопроса, если сторона маленького черного квадрата равна 1. 31. На горизонтальной прямой расположен квадрат, в котором отмечена точка А (рис. 158). Представьте себе, что квадрат начинает перекатываться вдоль прямой. Изобразите траекторию, описываемую точкой А. (Предварительно перерисуйте в тетрадь рисунок 158.) 32. Можно ли «переплести» каран-дащи так, как показано на рисунке 159? 86 Задачи, головоломки, игры а Hi Рис. 161 33. Рисунок 160 иллюстрирует еще одно наглядное доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180°. Внимательно рассмотрите рисунок и предложите по нему свое объяснение этого важнейшего свойства треугольников. 34. На рисунке 161 изображены три домика, погреб, колодец и навес. Проведите от каждого домика по одной тропинке к погребу, колодцу и навесу так, чтобы ни одна из этих девяти тропинок не пересекалась с другой (или докажите, что это невозможно). 35. Одиннадцать кружочков расположены на плоскости так, как показано на рисунке 162. Можно ли раскрасить их тремя различными красками так, чтобы никакие два соседних (касающихся друг друга) кружочка не были одного цвета? Ответ обоснуйте. 36. Посетив Исторический музей, Витя решил нарисовать саблю и ножны. Вот что у него получилось (рис. 163). Все ли верно в его рисунке, нет ли ошибки? Рис. 163 Фигурки из кубиков и их частей 87 & Фигурки из кубиков и их частей Изображение пространственного тела на плоскости — дело непростое. Ведь надо нарисовать его, чтобы ясно было, как оно выглядит со всех сторон. Для облегчения этой задачи изобрели МЕТОД ТРЕХ ПРОЕКЦИЙ. Этим методом пользуются чертежники, инженеры, рабочие для изображения и изготовления различных деталей. L в чем состоит метод трех проекций? Мы смотрим на тело с трех сторон: спереди, сверху и слева. Затем делаем три чертежа, изображающих увиденное. Пусть, например, из куска дерева вырезана замысловатая деталь (рис. 164, а). Чтобы токарь выточил ее, мы дадим ему не сам рисунок, а именно три проекции этой детали: вид спереди (рис. 164, б), сверху (рис. 164, в) и слева (рис. 164, г). Рабочий внимательно рассмотрит эти проекции и поймет, какой должна быть деталь. Надо обладать хорошим пространственным воображением, чтобы суметь представить себе тело по его трем проекциям. Выполните несколько заданий, способствующих развитию пространственного мышления. 1. Определите, один и тот же объект изображен на рисунке 165, а—ж или нет? Постарайтесь объяснить, что значит ОДИНАКОВЫЕ (равные) объекты, а что значит РАЗНЫЕ. Что общего у всех фигур, изображенных на рисунке 165? О л) Рис. 164 88 Фигурки из кубиков и их частей г) а) общий вид б) вид спереди в) вид сверху г) вид слева Рис. 166 Г) ж) Рис. 165 2. По поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия, сделанная из толстой проволоки (рис. 166, а). Глядя на куб спереди, сверху и слева, мы видим, как располагается эта проволока, и можем изобразить три ее проекции. Вид спереди похож на букву Г, вид сверху — на Ч без половины вертикальной палочки, а вид слева — на стилизованную латинскую S (рис. 166, б, в, г). Рассмотрите ломаные и кривые линии на рисунке 167 и начертите в каждом случае три проекции (вид спереди, сверху и слева). 3. Обратное задание: даны проекции ломаных спереди, сверху и слева (рис. 168). Тонким карандашом нарисуйте куб, а на его поверхности проволоку, из которой сделаны эти ломаные (общий вид — как на рисунке 166, а). 4. На рисунке 169 (1—8; А—3) показаны восемь кубов, разрезанных на две части. Первые части этих кубов Фигурки из кубиков и их частей 89 а) \ \ \ г N 1 ! V N в) / м г) N \ \ д) е) \i_____^ Рис. 167 а) б) в) вид спереди вид сверху вид слева Рис. 168 \ \ в \ X 1Ш 90 Фигурки из кубиков и их частей представлены на позициях 1—8, вторые — на позициях А—3. Для каждой из частей 1—8 найдите ее пару среди А—3. 5. Мальчик построил из кубиков здание. На рисунке 170 показано, как это здание выглядит спереди и слева. Какое наименьшее и наибольшее число кубиков потребуется для постройки? 6. Известно, что через три точки, не лежашие на одной прямой, можно провести одну плоскость. На рисунке Рис. 170 Рис. 171 а) Образец решения вид снизу ш вид справа вид спереди вид слева И т вид сверху Рис. 172 Параллельность и перпендикулярность 91 171 дано изображение куба, на поверхности которого указаны три точки. Постройте фигуру (сечение), по которой плоскость, проходящая через указанные точки, пересечет куб. Задача 6 похожа на разрезание хлеба: ножом мы тоже проводим некоторые плоскости и получаем в разрезе фигуры сечения. 7. Как провести плоскость, чтобы получить квадратное сечение куба? 8. Какой формы получится сечение куба, если плоскость провести по диагонали, т. е. через четыре противоположные вершины? Объясните ответ. 9. Какие многоугольники могут получиться при пересечении куба плоскостью? Если ответить на этот вопрос трудно, проведите эксперимент: вылепите из пластилина кубик и, выбирая различные направления, разрежьте его на две части ножом. 10. Изобразите три тела, вырезанных из кубика (рис. 172, б, в, г), девятью способами, как на образце. 11. Сколько различных тел можно построить, соединяя два соседних кубика только по граням: а) из трех кубиков? б) из четырех кубиков? 20/ Параллельность и перпендикулярность Параллельные и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека: особенности их взаимного расположения используют в строительстве, технике, искусстве. Теория параллельных занимает одно из центральных мест в науке «геометрия». Именно свойства параллельных прямых определяют основные свойства изучаемого нами пространства. Рассматривая основные геометрические фигуры, среди всех углов мы выделили прямой угол, равный 90°. Сейчас мы опять вернемся к нему. Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за вершину 92 Параллельность и перпендикулярность I ^ (рис. 173). Мы получили две прямые, пересекающиеся О под прямым углом. 90° D___ в • Две прямые, пересекающиеся под прямым уг- ■ I лом (90°), называются ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ. \ Рис. 173 Перпендикулярные прямые обладают интересными свойствами. /. Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее. 2. Если точку взять на самой прямой, то через эту точку проходит бесконечное число прямых, перпендикулярных данной прямой. Если начертить прямую в тетради, то одна из прямых, перпендикулярных ей, будет лежать в плоскости тетради, а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке. Они будут находиться в пространстве (вне плоскости листа); это похоже на дорожный столб, стоящий на перекрестке дорог: столб перпендикулярен каждой дороге (рис. 174). I 3. Две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей' , прямой, не могут пересечься одна с другой (рис. 175). , Рис. 174 Если бы они пересеклись, например, в точке С, то мы получили бы треугольник АВС, у которого два прямых угла, что невозможно (см. раздел 7). На плоскости такого не может быть. А вот на сфере перпендикуляры ведут себя иначе. Вспомните экватор и меридианы. Они перпендикулярны друг к другу, но все меридианы пересекаются в одной точке — на ПОЛЮСЕ. Но вернемся к плоскости. Итак, свойство 3 говорит о том, что на плоскости существуют непересекающиеся прямые. I Две прямые на плоскости называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, j I если они не пересекаются. , к Параллельность и перпендикулярность 93 а) 90° -Л а) А В б) Рис. 177 Используя линейку и чертежный угольник, можно без труда вычерчивать параллельные прямые (рис. 176). Передвигая, как показано на рисунке, треугольник вдоль неподвижной линейки, получаем множество параллельных между собой прямых. На рисунке 176, в прямые т Vi п параллельны. Этот факт записывается так: т || п. (Читаем: т параллельна п.) Выбор именно такого знака достаточно понятен, не так ли? У обычного чертежного угольника один угол прямой. В этом случае с его помощью можно проводить прямые, перпендикулярные данной прямой (рис. 177). т Или, как говорят, опускать на данную прямую перпендикуляры или восставлять к ней перпендикуляры. То, что прямые т и п перпендикулярны, записывается так: т L п. С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. Предлагаемые ниже способы построения интересны и тем, что число проводимых при построении линий будет наименьщим из возможных. Проведение параллельных прямых Пусть проведена прямая / и дана точка А вне этой прямой (рис. 178, а). 1. Проведем через точку А любую окружность, пересекающую прямую / (рис. 178, б). П 94 Параллельность и перпендикулярность 2. Рис. 178 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В, измерим циркулем отрезок А В и проведем окружность радиусом, равным А В, с 3. центром в точке точка /Ij. В,. Появится Прямая, проходящая через точки /4 и Ai, параллельна прямой /. \! В I т Рис. 180 Проведение перпендикуляра к прямой Пусть проведена прямая / и дана точка А вне этой прямой. Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с центрами на прямой / (рис. 179). Вторая точка пересечения этих окружностей (точка /1]) и даст нам вторую точку на перпендикуляре. Подумайте, как провести перпендикуляр (с помощью циркуля и линейки), если точка А лежит на прямой /. Следует запомнить еще одно важное свойство перпендикуляра. Рис. 179 Если А — точка на прямой I, а В — точка пересечения перпендикулярных прямых I и т (рис. 180), то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой т. Итак, если мы хотим из точки А по кратчайшему пути попасть на прямую т, то двигаться надо по перпендикуляру к прямой т. Мы все время говорили: «параллельные прямые», «перпендикулярные прямые». Понятно, что на практике мы имеем дело не с прямыми, а лишь с их частями — отрезками, лежащими на этих прямых. Отрезки, Параллельность и перпендикулярность 95 С А А В Рис. 181 лежащие на параллельных прямых, также называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, а на перпендикулярных — ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ. Среди ребер куба можно указать пары параллельных и перпендикулярных ребер. На рисунке 181 изображен куб ABCDA^B^CiD^. Три четверки его ребер параллельны между собой. Вот одна из них: АВ || DC || А^В^ || Z>iC,. Назовите еще две четверки параллельных между собой ребер С куба. Ребро АА^ перпендикулярно ребрам АВ, А^В^, AD и /4]/),. Угол между ребром АА^ и каждым из этих ребер равен 90°. Назовите ребра, перпендикулярные: а) ребру CCj; б) ребру DC. Ребра АА^ и ВВ^ куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани; в этой же плоскости лежат и ребра А^В^ wAB. Через ребра АА^ и CCj также можно провести плоскость — АА^С^С (диагональное сечение куба). А вот пара ребер АА^ и D^C^ особенная. Не существует плоскости, которая бы проходила через оба эти отрезка (а также через прямые АА^ и D^C^). Такие отрезки и прямые называются СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ. Какую бы плоскость мы ни провели через АА^, обязательно прямая £>iCi либо пересечет ее в какой-либо одной точке, либо не пересечет никогда. Найдите еще несколько пар скрещивающихся ребер куба ABCDA^B^C^D^. 1. Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больще примеров параллельных и перпендикулярных прямых, встречающихся в окружающем нас мире. (Можно провести конкурс в классе или дома. Участники поочередно называют примеры таких прямых. Игра заканчивается, как только в течение минуты никто не может придумать новый пример. Побеждает тот, чей пример был последним.) 2. Найдите на рисунке 181 какие-либо отрезки с концами в верщинах куба (не являющиеся его ребрами), такие, чтобы они были: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) скрещивающимися. 96 Параллелограммы 3. Пользуясь линейкой, транспортиром и чертежным угольником, найдите на рисунке 182 пары параллельных и перпендикулярных прямых. 4. На рисунке 183 изображены две параллельные прямые, пересекаемые третьей прямой. Известно, что угол 7 равен 52°. Чему равны остальные углы? Параллелограммы Параллелограмм — это красивое и звучное слово, напоминающее нам о единицах веса, на самом деле никакого отношения к ним не имеет. Проведем две пары параллельных прямых, как на рисунке 184. Рассмотрим образовавшийся при этом четырехугольник А BCD. Его стороны попарно параллельны: А В || CD, ВС || AD. Такой четырехугольник называется ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ. На рисунке 185 изображены разные параллелограммы. Да, да, не удивляйтесь, и ромб, и прямоугольник, и квадрат — тоже параллелограммы. Только это параллелограммы с некоторыми дополнительными свойствами. 77) Рис. 184 г опо Рис. 185 ] в J ! Рис. 186 Г D Параллелограммы 97 Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. А действительно ли прямоугольник является параллелограммом? Верно ли, что А В || CD и ВС || AD (рис. 186)? Вспомним свойство трех перпендикулярных прямых (с. 92). Оно говорит о том, что два перпендикуляра к одной прямой, расположенные в одной плоскости, параллельны между собой. В прямоугольнике А BCD АВ AD }л CD LAD. Значит, А В || CD. Но углы А ^ В тоже прямые, т. е. ВС L АВ w AD LAB. Значит, и ВС || А D. Получилось, что у прямоугольника стороны попарно параллельны. Следовательно, прямоугольник является параллелограммом. Квадрат — очень интересный четырехугольник. Ему можно дать несколько определений. 1. У квадрата, как и у ромба, все стороны равны. Только еще все углы прямые. Значит, квадрат — это ромб с прямыми углами. 2. У квадрата, как и у прямоугольника, все углы прямые. Только еще все стороны равны. Значит, квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. 3. У квадрата, как и у параллелограмма, стороны попарно параллельны. Только еще все они равны и все углы прямые. Значит, квадрат — это параллелограмм с прямыми углами, все стороны которого равны. У квадрата есть еще целый ряд интересных свойств. Так, например, если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади, то следует выбрать этот участок в виде квадрата. Параллелограммы Лучше изучить параллельные и перпендикулярные прямые и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги. Опыты с листом бумаги Отметьте на листе две точки Л и В, а затем сложите « лист так, чтобы А и В совпали. Как расположены друг относи- , тельно друга линия сгиба и прямая АВ? Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару перпендикулярных прямых. Из листа бумаги произвольной формы сложите и затем вырежьте прямоугольник. Покажите в нем параллельные и перпендикулярные стороны. Сверните прямоугольник так, чтобы получился квадрат. Вырежьте этот квадрат и исследуйте его. Линия сгиба, проходящая через две противоположные вершины квадрата, называется ДИАГОНАЛЬЮ КВАДРАТА. Получите перегибанием две диагонали. Какие свойства вы можете отметить, используя только перегибы и наложения бумаги ? Запишите эти свойства. Если их отыскание вызовет затруднение, помочь может следующий план исследования: 1. Сравните диагонали по длине. 2. Как диагонали расположены одна относительно другой? 3. В каком отношении диагонали делятся точкой пересечения? 4. На какие фигуры делит квадрат каждая диагональ? 5. Какого вида эти фигуры? 6. Сравните их между собой. Перегните квадрат пополам так, чтобы совпали две про- i тивоположные стороны. Через какую точку проходит линия \ сгиба? Как линия сгиба расположена относительно сторон квадрата ? На какие фигуры она делит квадрат ? г Параллелограммы \ 99 Учитель дал ребятам задание вырезать из цветной бумаги квадрат. Вася, вырезая квадрат, проверил его так: он сравнил длины сторон. Все четыре стороны оказались равными, и Вася решил, что справился с заданием. Надежна ли такая проверка? Алеша проверил работу иначе: он измерил не стороны, а диагонали. Диагонали были равны, и Алеша посчитал квадрат вырезанным правильно. Верно ли это? Лена, вырезав квадрат, сравнила все четыре отрезка, на которые диагонали разделили одна другую. Они оказались равными. По мнению Лены, это доказывало, что вырезанный четырехугольник — квадрат. А по-вашему? Как удостовериться, что вырезанная фигура — квадрат? Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник, стороны которого 6 см и 10 см, т. е. одна больше другой тоже примерно в 1,6 раза. Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется прямоугольник, одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой. Этот процесс можно продолжать и дальше. На прямоугольники, в которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6 : 1, обратили внимание очень давно. Посмотрите на изображение храма Парфенон в Афинах (рис. 187). Даже сейчас это одно из самых Рис. 187 in Параллелограммы Рис. 188 красивых сооружений мира. Этот храм построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник (рис. 188), то окажется, что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза. Такой прямоугольник назвали ЗОЛОТЫМ ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ. Говорят, что его стороны образуют ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ. Математики дают точное определение золотому сечению. Золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Число 1,6 лишь приближенно (с точностью до 0,1) представляет величину золотого сечения. У Рис. 189 Если отрезок разделен на две части так, что меньшая имеет длину х, а большая — длину у (рис. 189), то в случае золотого сечения ^ ^ ^ ^. Интересно, что / Рис. 190 АС : {АС + СВ) СВ : АС В правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий, составляюш^их эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения {рис. 190). Рис. 191 Параллелограммы 101 На рисунке 191 изображена раковина: точка С делит отрезок А В приблизительно в золотом отношении. Видели ли вы когда-нибудь предметы, имеющие форму золотого прямоугольника ? Постройте золотой прямоугольник с помощью циркуля и линейки по указаниям, данным на рисунке 192. В Начнем с квадрата. Разделим его на два равных прямоугольника Проведем диагональ одного из них Циркулем проведем дугу окружности радиусом/4 Д с центром в точке А Продолжим основание до пересечения с дугой. Проведем боковую сторону под прямым углом и закончим построение золотого прямоугольника Рис. 192 102 Координаты, координаты, координаты... 22/ Координаты, координаты, координаты... «...Но интересно, на какой же я широте и долготе?» — продолжала Алиса. Сказать по правде, она понятия не имела о том, что такое широта и долгота, но ей очень нравились эти слова. Они звучали так важно и красиво!» Географическая карта (будь то карта мира, одной страны или города) покрыта сетью тонких линий. Это параллели и меридианы (рис. 193). Горизонтальные линии — это ПАРАЛЛЕЛИ. Они показывают географическую ШИРОТУ в градусах (удаление (в градусах) данной точки от экватора). Экватору на карте мира соответствует горизонтальная линия, делящая карту пополам. Все точки экватора имеют нулевую широту. Северному полюсу соответствует значение 90° северной широты, а Южному — 90° южной широты. Москва находится севернее экватора примерно на широте 56° (говорят: 56° северной широты). Но для определения местонахождения Москвы этого недостаточно. Нужна вторая координата — ДОЛГОТА. , ^. Г'1 ' Эквато 1 У 1' г и - ; 5 cjli: Рис. 193 Координаты, координаты, координаты... 101 Вертикальные линии на карте — это МЕРИДИАНЫ. Среди них выбран начальный, нулевой, меридиан. Этот меридиан проходит через Гринвичскую обсерваторию в Англии, и поэтому его называют ГРИНВИЧСКИМ МЕРИДИАНОМ. Ему соответствует нулевая долгота. Все точки справа (восточнее) от него имеют восточную долготу. Она изменяется от 0° до 180°. В частности, Москве соответствует точка, равная 38° восточной долготы. Понятно, что точкам слева от начального меридиана соответствуют значения западной долготы. Меридианы и параллели образуют на поверхности земного шара координатную сетку. Указывая широту и долготу точки, мы указываем ее координаты, т. е. положение точки на карте. Выберем, например, две пары точек на карте, расстояния между которыми равны, но точки расположены в разных местах карты (близко к экватору и далеко от него). Этим парам точек будут соответствовать пары точек на поверхности земного шара, находящиеся на разном расстоянии одна от другой. Часть суши в нижней части карты, соответствующая Антарктиде, несоизмеримо велика. Создается впечатление, что Антарктида больше Европы, Азии и Африки, вместе взятых. Это, конечно, не так. Причины этого вы, возможно, уже поняли. Все дело в том, что земля круглая и изобразить ее поверхность на плоскости без искажений просто невозможно. (Хотя для карт города или района эти искажения незначительны и ими можно пренебречь.) На поверхности земного шара (или на его модели — глобусе) параллелям соответствуют окружности, параллельные экватору, радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора, стягиваясь к нулю у полюсов, в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности, проходящие через полюсы. Изменению широты на 1° на всех меридианах соответствует один и тот же путь (одна и та же дуга). Изменению долготы на 1° на разных параллелях соответствуют разные пути. Большой — у экватора, маленький — у полюсов. 104 Координаты, координаты, координаты... Что касается координат на плоскости, то, наверное, все ребята так или иначе с ними знакомы. Кто умеет играть в шахматы, знает, что вертикальные полосы обозначаются буквами, а горизонтальные — цифрами. В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное «имя», складываюшееся из двух координат — буквы и числа, обозначаюших столбец и строку, на пересечении которых эта клетка находится. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Игра «Морской бой» Каждый игравший в «Морской бой» знает, что клетки доски в этой игре обозначаются парой — буква и число. Поиграем в эту игру и мы, но обозначать клетки будем парой чисел. При этом первое число — номер столбца, а второе — номер строки. Так, клетка, отмеченная на рисунке 194, обозначается парой (5; 3). Напомним ПРАВИЛА ИГРЫ (но можно вносить изменения). 1. Каждый из двух играюших размещает на доске свои корабли: один линкор (полоска из четырех клеток), два авианосца (полоска из трех клеток), три крейсера (две клетки рядом) и четыре катера (одна клетка). При этом корабли не должны соприкасаться даже углами. 2. Каждый по очереди производит по серии выстрелов до первого промаха. После каждого выстрела соперник сообшает одно из трех: ранил (значит, выстрел попал в корабль, но часть клеток корабля еше цела), убил (поражена последняя клетка раненого корабля), промах. Выигрывает тот, кто первым поразит все корабли вражеской флотилии. Возможны и варианты правил. Так, иногда добавляют несколько мин в виде единичных клеток (например, 5 мин). Попадание в мину наказывается пропуском очередного хода. 23456789 10 Рис. 194 1 10 9 К 7 6 5 4 3 2 I 1 2 3 Координаты, координаты, координаты... т Раз уж речь зашла об игре «Морской бой», то попробуйте решить несколько задач, связанных с этой игрой. Представьте, что игра в «Морской бой» пришла к позиции, изображенной на рисунке 195. На этой позиции показан результат ваших предыдущих действий: отмечены «убитые» корабли соперника, а также все сделанные вами выстрелы. Сейчас ваш ход. Допустим, сопернику достаточно сделать один очевидный выстрел и уничтожить вашу флотилию. Так что промахиваться нельзя. Сможете ли вы произвести серию точных выстрелов и выиграть в этой игре? • • • • • • • X • • • • X • • • • X • • • V • • X X • • 4 5 6 7 Рис. 195 8 9 10 2. Можно ли на пустой доске для «Морского боя» разместить 25 катеров? 26 катеров? Почему? При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для «Морского боя» в четыре цвета так, что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет, затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет, следующая трехклеточная диагональ — в третий цвет, затем цвет четвертый, потом вновь первый и т. д. Сколько получилось клеток каждого цвета? 3. На доске находится один линкор. Какое наименьшее число выстрелов надо сделать, чтобы хотя бы один раз наверняка попасть в него? 4. Можно ли разрезать всю доску на линкоры? Но мы немного отвлеклись и забыли про координаты. Вернемся к ним, а для этого, как ни странно, попробуйте вспомнить и написать день рождения своей мамы. Что означает это число? На самом деле это тоже координата. Координата времени. За точку отсчета берется начало нашей эры, которая началась с года под номером 1. (Известно ли вам, что нулевого года не было?) Правда, нет четкой единицы измерения, так как год не имеет постоянного 1 lUI Координаты, координаты, координаты... числа суток. В обычном году 365 дней, в високосном — 366 дней. (Високосные годы имеют номера, делящиеся на 4. Например, 1992 год — високосный. Исключение составляют годы, кратные 100. Если номер года делится на 100, но не делится на 400, то год не является високосным. Если же делится на 400, то год високосный. Так, 1900 год не был високосным, а 2000 год был високосным годом.) Но это не беда. Мы легко любую дату можем перевести, скажем, в сутки (подсчитать число суток от начала первого года до этой даты) или даже в часы, если мы знаем дату и время события. Течение времени удобно отображать на прямой. Для этого на ней надо выбрать точку 0, направление возрастания времени и масштаб — отрезок, соответствующий единице времени; это может быть час, неделя, 1000 дней и т. д. Теперь каждому моменту времени соответствует точка на этой прямой, о 1 Прямая, на которой заданы точка 0 и точка 1, назы- —'----'—► вается КООРДИНАТНОЙ ОСЬЮ или просто ОСЬЮ (рис. 196). Вы без труда можете найти вокруг себя различные примеры, иллюстрирующие прямые с заданными на них координатами. Это железные дороги (у нас в стране у большинства железных дорог точкой отсчета является Москва), улицы городов и т. д. А теперь перейдем к плоскости. Координаты на плоскости можно задавать различными способами. Но у всех этих способов есть одно общее свойство: Рис. 196 Координаты точки плоскости — это пара чисел, из которых одно число является первым и указывается первым, а другое соответственно вторым. Математики такую пару называют УПОРЯДОЧЕННОЙ. Наиболее распространенным способом задания координат на плоскости, после чего она становится КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ, является следующий. На плоскости выбирают две перпендикулярные прямые — оси координат. Точка пересечения этих прямых является НАЧАЛОМ КООРДИНАТ. Единичные Координаты, координаты, координаты... 105 отрезки на каждой оси выбираются равными по длине (рис. 197). Одну из этих осей, обычно горизонтальную, называют осью X, а вторую — осью у. Такую координатную систему называют ДЕКАРТОВОЙ (по имени великого французского математика Рене Декарта, работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования — МЕТОДУ КООРДИНАТ). Теперь каждая точка плоскости обозначается парой чисел. Точка Л/на рисунке 197 имеет координаты 5 и 2, что записывается так: М (5; 2). Ее нельзя путать с точкой N (2; 5). Игра «Остров Сокровищ» На острове Сокровищ была пещера, в которой капитан Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ган. Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо — описание пути, ведущего к кладу, и места, где он спрятан. Поскольку старый пират получил в свое время неплохое образование, он решил для своих целей воспользоваться методом координат. Он взял карту острова, нарисовал на ней оси координат, выбрал единицу. В общем, сделал все как положено (рис. 198). В качестве главных ориентиров он указал координаты четырех дубов: (3;5), (-2; 7), (-3; 4), (3;-1). Клад находился в точке пересечения прямых, соединяющих первый и третий, второй и четвертый дубы. 1И Координаты, координаты, координаты... % Начертите на клетчатой бумаге оси координат {за единицу можно выбрать расстояние в две клетки). Построите точки, соответствующие местонахождению дубов, и определите координаты пещеры с сокровищами. А теперь начните заполнять карту острова Сокровищ. Нанесите на карту различные объекты {колодец, наблюдательную вышку, склад, пальмовую рощу и т. д.), опишите их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте. Пусть он восстановит вашу карту, а вы в свою очередь восстановите его карту. Сравните карты в классе. Чья получилась интереснее? Для тренировки выполните следующие задания. 5. Даны координаты точек. Верно отметив на координатной плоскости и соединив последовательно эти точки, вы получите рисунок. Рисунок не получится, если вы ошибетесь. 1. Рисунок первый: (5; 1), (4;-2), (4; 0), (2;-1), (1,5;-0,5), (2;1), (1;0), (1; 1), (-3; 1), (1; 2), (1,5; 3), (5; 7), (5; 1), (1,5; 3), (2; 2). Последнюю точку не соединяйте ни с какой другой. 2. Рисунок второй: (0; 2), (0; 0), (1; 3), (2; 3), (3; 2), (3;0), (1;-1), (2;-1), (1;-3), (0;-1), (-1;-3), (-2;-1), (-1; -1), (-3; 0), (-3; 2), (-2; 3), (-1; 3), (0; 0). 6. Как известно, сокровища Флинта были спрятаны на разных островах. При этом для шифровки места клада неоднократно использовался метод координат. На рисунке 199 изображена карта острова, на которой видны два ориентира (два больших камня). Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой, но они знают, что камни на этой карте имели координаты А (2; 1), В (8; 2), а координаты клада (6; 6). Найдите на карте место клада. Есть и другие способы задания координат на плоскости. Расскажем об одном, хотя и реже используемом, но достаточно Океан л Координаты, координаты, координаты... ЮР полезном и практически, и теоретически. Речь пойдет о «полярных координатах». На плоскости указывается точка О, которая будет называться ПОЛЮСОМ, выходящий из этой точки луч — ПОЛЯРНАЯ ОСЬ, на котором отмечена точка, находящаяся на расстоянии 1 от 0. Кроме того, задается направление вращения вокруг о, например, против часовой стрелки (рис. 200). Таким образом. О 1 Рис. 200 _ , Каждая точка плоскости задается двумя по-■ лярными координатами: углом и расстоянием. Штшшшшшшшшштшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшш Расстояние показывает, как далеко точка находится от полюса, а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения, когда она пройдет через нужную точку. Полному повороту соответствует угол 360°, и полярный угол изменяется от о до 360°. На рисунке 201 отмечены точки (0°; 3), (45°; 2), (90°; 1), (135°; 4). 7. Изобразите в полярных координатах точки (60°; 1,5), (150°; 3), (180°;.!), (270°; 5), (330°; 2). Если вы ходили в поход, то знакомы с таким понятием, как АЗИМУТ. Оказывается, туристы обычно пользуются в походах полярными координатами, а азимут — это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки, где находится турист (рис. 202). 8. Изобразите в полярных координатах точки: а) А (10°; 2), В (130°; 2), С (250°; 2); б) К (20°; 3), /.(110°; 3), Л/(200°; 3), А (290°; 3). Определите вид треугольника/1 и четырехугольника KLMN. Рис. 201 но Оригами Заканчивая наш разговор о координатах, «выйдем в пространство». Чтобы получить декартову систему координат в пространстве, надо к двум осям X и у добавить еще одну ось z, перпендикулярную им, с тем же началом в точке О (рис. 203). Теперь каждой точке пространства соответствуют три координаты, тройка чисел х, у, Z- Именно в этом и состоит характерное свойство ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА. 9. В качестве упражнения изобразите на одном чертеже шесть точек с координатами: О (0; 0; 0), А (1; 0; 0), Я(0;1;0), С(0;0;1), D(1;1;0), Чтобы чертеж получился более наглядным, свяжите систему координат с кубом, у которого ребро равно 1. Оригами Умеете ли вы делать из бумаги кораблик, самолетик или какие-либо другие фигурки? Наверняка умеете. Школьники увлекаются их изготовлением, сами не зная того, что занимаются древним японским искусством ОРИГАМИ. Оригами — складывание фигурок из бумаги. Все фигурки складываются из прямоугольных листов бумаги (одного или двух), без помощи ножниц или клея (клей применяют разве что для склеивания половинок фигур, составленных из двух листов). Оригами распространилось по всему свету. Во многих странах есть клубы оригамистов, членами которых являются люди самых разных профессий и возрастов. На рисунке 204 изображены фигурки-оригами: ворон, чайник, стоящий аист и попугай в полете. Придумывание их — настоящее искусство! Мы же начнем с более простых фигурок — прыгающей лягушки, кузнечика, зайчика, сороки и фона- Оригами 111 А С • • В Рис. 204 рика. Вооружившись цветной бумагой, карандашом, линейкой и ножницами, приступайте к работе. Порядок изготовления показан на схемах. Внимательно изучите условные обозначения, а полученные промежуточные результаты каждый раз сверяйте с рисунком. Будьте усидчивы и аккуратны, и у вас появятся замечательные игрушки. Успеха вам! Условные обозначения на чертежах: линии, по которым надо согнуть лист ребром внутрь (как полураскрытая книга) линия сгиба, по которой надо согнуть лист ребром наружу (как крыша дома) линии предыдущих сгибов направление сгиба согнуть и разогнуть разъединить слои бумаги точки В свести в точку С Рис. 205. Прыгающая лягуи1ка нажать и отпустить Ill Оригами перевернуть Рис. 206. Кузнечик вырезать два одинаковых квадрата вложить части одна в другую .V это же сделать с другой стороны Рис. 207. Фонарик Оригами 113 12 7 Рис. 2Ш. Сорока сворачивается, как шаг 3 у лягушки Рис. 209. Зайчик |Ц| Замечательные кривые Замечательные кривые В этом параграфе вы узнаете о некоторых поистине замечательных кривых, населяюш,их удивительный мир геометрии. Эллипс Возьмите плотный лист бумаги, прикрепите к нему в двух J точках нитку и натяните карандашом эту нитку. Нарисуйте ■ линию, двигая карандаш и натягивая нитку (рис. 210). - Эта линия называется ЭЛЛИПСОМ. Все точки эллипса, как видно из построения, обладают одним свойством: ^ Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости (эти точки называются ФОКУСАМИ эллипса) постоянна. На самом деле эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Сол н-це находится в одном из фокусов. У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самые неожиданные применения. Так, если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в другом фокусе. Окружность — частный случай эллипса, она получается, если фокусы эллипса совпадают. м Замечательные кривые Гипербола Для этой кривой мы не можем предложить, как в предыдущем случае, достаточно простой «гиперболический циркуль», позволяющий вычерчивать гиперболу и одновременно показывающий ее основное свойство. Поэтому начнем с указания основного свойства, задающего гиперболу. А-/, \ фокусы Рис. 211 В /4Л/, - М^В = ВМ^ м^л гипербола — это линия, для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов гиперболы) есть величина постоянная (рис. 211). Гипербола состоит из двух частей (двух отдельных ветвей). Все точки одной ветви ближе к одному фокусу (соответствующим образом берется и разность расстояний), а другой ветви к другому. ЛГ' F Рис. 212 Парабола Возьмем на плоскости прямую / и точку F (рис. 212). Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости, которые равноудалены от точки F и от прямой /. (Это значит, что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра, опущенного из М на прямую /.) Такие точки М описывают замечательную кривую, которая называется ПАРАБОЛОЙ. Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например, камень, брощенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу. Все только что рассмотренные линии (эллипс, гипербола и парабола) объединяются общим свойством. Каждая из них может быть получена при пересечении конуса плоскостью. Поэтому их называют КОНИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ (рис. 213). Ill Замечательные кривые Конус Что такое КОНУС, надеемся, вы представляете. Весь конус состоит из двух частей (пол), имеющих общую верщину. Из листа бумаги можно свернуть одну часть. Математики определяют конус следующим образом. Возьмем окружность и точку над ее центром. Эта точка — верщина конуса. Проводя прямые, соединяющие всевозможные точки окружности с верщи-ной, получим коническую поверхность. Конус можно пересечь плоскостью по окружности. Если плоскость сечения наклонять, то получим эллипс (плоскость 1 на рисунке 213). Увеличивая наклон плоскости, получаем все более вытянутые эллипсы. В конце концов эллипс превратится в параболу. При этом мы по-прежнему сечением задеваем лищь одну «полу» конуса (плоскость 2). Наклоняя плоскость дальще, мы пересекаем и вторую «полу». Появятся две ветви, парабола перейдет в гиперболу (плоскость 3). Рис. 213 Рис. 214 Спираль Архимеда Пусть по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муравей. Проползая вперед, он одновременно смещается в сторону вращения диска. Таким образом, путь муравья представляет кривую (рис. 214). Она называется СПИРАЛЬЮ АРХИМЕДА (в переводе с латыни спираль означает «изгиб», «извив»). Синусоида Сделайте из плотной бумаги, свернув ее несколько раз, трубочку. Разрежьте эту трубочку наклонно. Если трубочку не разворачивать, то в сечении будет эллипс. Какую линию образует разрез, если развернуть одну из частей трубочки? Перерисуйте эту линию на лист бумаги (рис. 215). Рис. 215 Получится одна из замечательных кривых, называемая СИНУСОИДОЙ. Замечательные кривые I17i Кардиоида Вырежьте два одинаковых картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметь- , те на его краю точку А, наиболее удаленную от центра первого • круга (рис. 216, а). Прокатите без скольжения подвижный круг ' по неподвижному и понаблюдайте, какую линию опишет точка i А. Начертите эту линию. \ Это КАРДИОИДА (рис. 216, б). Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово «кардио» означает «сердце»). Циклоида Представьте, что по прямой линии без скольжения катит- J ся круг. Проследите за траекторией, которую опишет при , этом точка А, взятая на окружности этого круга (рис. 217, а). | Начертите получившуюся кривую. , «) Она называется ЦИКЛОИДОЙ (рис. 217, б). Циклоида обладает многими замечательными свойствами. Вот одно из них. Давно математики пытались решить такую задачу: какой формы должен быть гладкий желоб, соединяющий две точки А w В {А выше, чем В), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время? Можно подумать, что Q .©г: \ ^ _ _v_ _ б) в «) Рис. 217 колесо .*) Замечательные кривые желоб должен быть прямолинейным. Но это не так. Может быть, желоб следует выгнуть по дуге окружности, как думал великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже XVI—XVII вв.? Нет, Галилей ошибался. Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил, что желоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз (рис. 217, в). В связи с циклоидами расскажем об одном интересном парадоксе (слово «парадокс» означает неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям). Допустим, что пассажирский поезд едет из Москвы в Киев. Оказывается, в каждый момент времени в этом поезде, более того, в каждом вагоне есть точки, движущиеся в обратном направлении. Вы можете удивляться, но это так. Все дело в устройстве железнодорожных колес. Если смотреть вдоль рельсов, то можно увидеть выступ на колесе (рис. 217, г), который опускается ниже рельса. Роль этого выступа очень велика, он не позволяет колесам сойти с рельсов. Так вот, самая нижняя часть колеса, находящаяся ниже его опорной точки, движется в направлении, обратном движению всего колеса. Если выбрать крайнюю точку колеса, то линия, описываемая ею, будет выглядеть, как на рисунке 217, д. Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель. Г ипоциклоиды б) Рис. 218 Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см, 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги, вложите в этот вырез первый из трех кружков, чтобы он касался края, и отметьте на окружности маленького круга точку (рис. 218, а). Проследите за тем, какую линию опишет отмеченная точка, когда кружок покатится по окружности выреза , без скольжения. Проделайте то же самое со вторым и третьим кругами. , Кривые Дракона 119 Получившиеся линии — ГИПОЦИКЛОИДЫ (рис. 218, б). Во что превратится гипоциклоида, если радиус меньшего круга равен 6 см, а большего — 12 см? Как выглядит гипоциклоида для кругов с радиусом 8 см, 9 см и 10 см? 25/ Кривые Дракона В этом разделе мы познакомим вас с одним интересным семейством линий, одна из которых нарисована ниже. Она заключена внутри дракона и своими изгибами обрисовывает его контур. Люди, видевшие драконов, подтверждают, что они выглядят именно так {рис. 219). Как получаются такие линии ? Рис. 219 1139 Кривые Дракона % Возьмите длинную полоску бумаги, левый конец которой пометьте точкой. Сверните ее пополам, чтобы точка оказалась закрытой, а потом еще пополам {всякий раз правый конец накладываем на левый). Разверните ее теперь так, чтобы линии сгибов отчетливо выделялись, и положите на стол. Точка должна быть слева. У вас получилась полоса (рис. 220). Изгибы идут в следующем порядке: вниз — вниз — вверх. Или, вводя обозначения Н — вниз, В — вверх, это запишется так: Н Н В. Сложите полоску три раза пополам. Получится такая полоса (рис. 221). Изгибы теперь идут так: Н Н В Н Н В В. Сложите самостоятельно полоску четыре и пять раз и запишите, как будут чередоваться изгибы. У вас должны получиться следующие цепочки букв: при четырех сгибах ННВННВВНННВВНВВ при пяти сгибах: ННВННВВНННВВНВВНННВННВВВННВВНВВ Рис. 220 Рис. 221 Вы получили коды ДЛЯ РИСОВАНИЯ КРИВЫХ ДРАКОНА. Внимательно посмотрите на них и найдете некоторые закономерности. Например: ' ^ • /) Число изгибов нечетное, причем если на каком-то шаге \ их было к, то на следующем будет 2К +1; сначала 2 х 1 + 1 = 3 ■ изгиба, затем 2 х 3 + 1 = 7, потом 2 х 7 + 1 = 15 м /и. /) = 2(л: + у). Но угол AM В равен х + у. Значит, в самом деле угол АОВ в два раза больще угла AM В. Рассмотрите самостоятельно случай, когда точка О расположена вне треугольника AM В (но М \\ О — с одной стороны от А В). Теперь понятно, почему при перемещении точки М по дуге окружности угол AM В остается постоянным? 3. На рисунке 287 А BCD — квадрат. Чему равны углы AMC,AMD, ВМС] 4. На рисунке 288 АВС — правильный треугольник. Чему равен угол AM В'] 5. Чему равен угол А DC, если угол АВС равен 40° (рис. 289)? 6. На окружности радиусом 1 взяты три точки А, В, С так, чтобы угол АСВ был равен 30°. Найдите длину отрезка /Ifi. М В В Рис. 287 Рис. 288 151 Задачи, головоломки, игры В 7. В треугольнике ЛВС отрезки /4/4, и ВВ^ перпендикулярны сторонам ВС и АС (рис. 290). Докажите равенство углов HA^B^w НС By 8. Через некоторую точку плоскости проведены три прямые, образующие между собой углы по 60°. Возьмем любую точку плоскости и опустим на эти три прямые перпендикуляры. Основания этих перпендикуляров служат вершинами правильного треугольника. Почему? Задачи, головоломки, игры Много прекрасных плодов растет в саду под названием «Геометрия». Каждый может найти для себя задачу и интересную, и посильную. Но все же: «В задачах тех ищи удачи, где получить рискуешь сдачи». 1. Сколько граней у шестигранного карандаша? 2. Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой, и поручили соединить их в одну цепь. Кузнец решил раскрыть четыре кольца и снова их заковать. Нельзя ли выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец? 3. Дан бумажный круг. Перегибанием бумаги найдите его центр. 4. Сделайте в тетрадном листке разрез так, чтобы в образовавшуюся дыру мог пролезть человек. 5. ДЕСЯТЬ БАШЕН. В древности один правитель желал построить десять башен, соединенных между собой стенами. Стены должны тянуться пятью прямыми линиями, с четырьмя башнями на каждой линии. Приглашенный строитель представил план (рис. 291), но правитель остался недоволен им: ведь при таком рас- Задачи, головоломки, игры 863 Рис. 241 Рнс. 292 положении можно извне подойти к любой башне. А правителю хотелось, чтобы если не все, то хоть одна или две башни были зашишены стеной от вторжения извне. Строитель возразил, что нельзя удовлетворить этому условию, но правитель настаивал на своем. Долго строитель ломал голову над задачей и наконец решил ее. Попробуйте и вы найти несколько решений этой проблемы. 6. ПЛОДОВЫЙ САД. В саду росло 49 деревьев (рис. 292). Садовник решил расчистить сад от лишних деревьев для цветников. Позвав работника, он дал ему такое распоряжение: «Оставь только пять рядов деревьев, по четыре дерева в каждом. Остальные сруби и возьми себе на дрова за работу». Когда вырубка закончилась, , садовник вышел посмотреть на работу. К его огорче- ’ нию, сад был почти опустошен: вместо 20 деревьев . работник оставил всего только 10, срубив 39 деревьев. ’ — Почему ты вырубил так много? Ведь тебе сказа- но было оставить 20 деревьев! — распекал садовник работника. — Нет, не сказано: «20». Сказано было оставить 5 рядов по 4 дерева в каждом. Я так и сделал. Как ухитрился он вырубить 39 деревьев и все-таки выполнить указание? 7. Всмотритесь внимательно в узор (рис. 293). Постарайтесь запомнить его хорошенько. А теперь нарисуйте этот узор по памяти. 8. Кусок бумаги имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна четырем, а другая — девяти единицам длины. Разрежьте этот прямоугольник на две равные части так, чтобы, сложив их определенным образом, получить квадрат. 9. Произвольный треугольник разрежьте на три части так, чтобы можно было сложить прямоугольник. 10. Какое наибольшее число различных сторон может быть в шестиугольнике, имеющем ось симметрии? 11. Разрежьте правильную шестиконечную звезду на четыре части так, чтобы из них можно было составить параллелограмм. 151 Задачи, головоломки, игры ___ 12. Четвертые части квадрата и правильного треугольника отрезаны, как показано на рисунке 294. Каждую из оставшихся частей этих фигур разделить на четыре равные части. 13. Дано игровое поле 4 х 4 и 16 квадратов с геометрическими фигурами, имеющими ось (одну или несколько) симметрии (рис. 295). Разместить квадраты в клетках поля так, чтобы ни по горизонтали, ни по вертикали не встречались фигуры, имеющие одинаковое чис-Рис. 294 ло осей симметрии. ♦ % л — Г' \ у • □ А Ш У ✓ □ X V .л Рис. 296 Рис. 295 14. Игра-конкурс букв и слов: а) назовите буквы, имеющие одну, две оси симметрии; б) составьте слова, имеющие ось симметрии (горизонтальную или вертикальную), например, ТОПОТ, СОН. 15. Разделите лунный серп (рис. 296) двумя прямыми линиями на шесть частей. 16. Нарисуйте одним росчерком фигуры, изображенные на рисунке 297, а, б. 17. Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать, чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать части куба как угодно. 18. Какой из восьми рисунков маляр накатал на стену изображенным на рисунке 298 валиком? Задачи, головоломки, игры 4- 4^ 1 2 > 4 3 Рис. 299 5 6 7 8 Рис. 298 19. Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд. Чему равна длина ряда? 20. Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так, чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не совпадали. 21. Из 12 спичек сложены четыре квадрата (рис. 299). Сторона равна одной спичке, а) Переложите четыре спички так, чтобы получилось три квадрата, б) Переложите три спички так, чтобы получилось три квадрата, в) Переложите спички, чтобы получилось шесть квадратов. 22. Три спички расположены так, как показано на рисунке 300. Добавьте еще только одну спичку так, чтобы концы спичек образовали квадрат. 23. Разрежьте правильный шестиугольник на девять одинаковых частей разными способами. 24. У мастера есть лист жести размером 22 X 15 дм^. Мастер хочет вырезать из него как можно больше прямоугольных заготовок размером 3x5 дм^. Помогите ему. Рис. 300 151 Задачи, головоломки, игры V > , • J . . “J Л № _ ФФЭ I 2 3 8S Рис. 301 Рис. 302 а) 25. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке 301. 26. В математических рукописях XVIII в. можно встретить утверждение, что фигуры с равными периметрами ограничивают равные площади. Верно ли это? Приведите примеры. 27. Развертка какого куба дана на рисунке 302? 28. Определите, из каких разверток можно сложить параллелепипед (рис. 303). 29. Десять точек расположены так, как показано на рисунке 304. Сколько правильных треугольников можно построить, считая эти точки верщинами треугольников? Какое наименьщее количество точек надо отбросить, чтобы не осталось ни одного правильного треугольника? 30. На книжной полке стоит трехтомник. Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома (по прямой линии). Какой путь он проделал? Толщиной обложки пренебречь. 31. Можно ли костящками домино (каждая кость из двух клеток) выложить доску 8x8 клеток с двумя вы- .V. б) в) Рис. 303 г) • • Рис. 304 Задачи, головоломки, игры 1Я резанными противоположными угловыми клетками (рис. 305)? 32. Может ли быть треугольник с очень большими сторонами и очень маленькой площадью? Приведите пример. 33. Какие фигуры могут получиться при пересечении двух треугольников? А при пересечении двух четырехугольников? Возможно ли, чтобы при пересечении двух четырехугольников образовалось два четырехугольника? А три четырехугольника? 34. В скольких точках прямая может пересекать контур треугольника? четырехугольника? пятиугольника и т. д.? 35. Равны ли два угла треугольника, если они имеют по три равных угла и по две равные стороны? 36. Как посадить девять деревьев в десять рядов по три дерева в каждом ряду? 37. На сколько частей можно разбить плоскость двумя прямыми? тремя прямыми? четырьмя прямыми? На сколько частей разбивают плоскость прямые, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, если прямых: а) четыре; б) пять; в) шесть? 38. Для двух кубиков сделали по три развертки и перемешали их (рис. 306, а—ё). Найдите развертки каждого кубика. 39. Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух сторон посередине прямая линия. Из этой ленты склеили лист Мёбиуса. Какой путь проползет мура- • — ■ б) п а*1х XI в) 1 и* - JX • Рис. 305 ё) Рис. 306 е) Задачи, головоломки, игры вей вдоль отмеченной линии, пока не вернется в исходную точку? 40. На плоскости нарисована окружность. С помощью чертежного угольника найдите ее центр. 41. Расставьте на плоскости шесть точек таким образом, что если соединить первую точку со второй, вторую с третьей и т. д., а шестую вновь с первой, то каждый из шести отрезков ровно один раз пересекается с каким-либо другим отрезком. 42. На бумаге нарисована замкнутая линия (рис. 307). Перерисуйте эту линию в тетрадь. А теперь попробуйте другим цветом провести какую-нибудь замкнутую линию, не проходящую через точки самопересечения уже проведенной линии и не самопересекающуюся на этой линии. Постарайтесь провести линию так, чтобы число точек пересечения линий разного цвета было бы нечетным. Как вы думаете, возможно ли это? 43. Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 308)? 44. На рисунке 309, а—в изображены части некоторых орнаментов. Внимательно рассмотрите их и, обнаружив закономерность в их построении, дорисуйте. 45. Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки: одну на расстоянии 1 см от одного края, а вторую на расстоянии 2 см от другого (рис. 310, а), то с помощью этой линейки, сдвигая ее определенным образом, мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см и 6 см. С помощью линейки на рисунке 310, б можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь 7 в / 7 А / / а) С Рис. б) I 1 Задачи, головоломки, игры 1^^ «) Рис. 309 *>) в этом. Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения целочисленных отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри, отличную от уже рассмотренной. 46. Докажите, что в прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 30°, наибольшая сторона в два раза больше наименьшей. 47. Замостите плоскость одинаковыми «скобками», изображенными на рисунке Ъ\\, а, б. 48. Ученик нарисовал на доске треугольник и отметил середины его сторон. Затем треугольник стерли, но отмеченные точки остались. Нельзя ли восстановить треугольник? Т" 1 т* 4 а) Е 9 11 □ в) Рис. 310 б) Рис. 311 161 Задачи, головоломки, игры 49. Как разрезать треугольник на два равнобедренных треугольника, если его углы равны: а) 20°, 40°, 120°; б) 20°, 60°, 100°? 50. Разрежьте на наименьшее число равнобедренных треугольников треугольник с углами: а) 10°, 70°, 100°; б) 50°, 60°, 70°. 51. Даны две параллельные прямые и точка А между ними. Как построить окружность, касающуюся данных прямых и проходящую через данную точку? 52. Разрежьте правильный треугольник на: а) три одинаковые трапеции (трапеция — это четырехугольник, у которого есть одна пара параллельных сторон); б) три одинаковых пятиугольника. 53. Через точку на диагонали прямоугольника провели прямые, параллельные его сторонам (рис. 312). У какого прямоугольника, А или Б, больше площадь? 54. Докажите, что меньший из квадратов (рис. 313) имеет площадь в четыре раза меньшую, чем больший. 55. На рисунке 314 изображен план городского сквера. В центре находится бассейн. В точках А и Б — вход и выход из сквера. Отрезки прямых — дорожки. Сколькими способами можно пройти из А в Б, если двигаться можно лишь вверх или вправо (можно идти по границе сквера и кромке бассейна)? 56. Разрежьте квадрат 13 х 13 на пять прямоугольников так, чтобы все десять чисел, выражающих стороны прямоугольников, были бы различными целыми числами. 57. Рассмотрим куб 3x3x3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди и сзади, справа и слева, сверху и снизу) мы видим квадрат 3x3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать, Б Рис. 312 Рис. 314 Задачи, головоломки, игры 16)< чтобы СО всех сторон был виден квадрат 3 х 3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась? 58. На рисунках 315 и 316 проиллюстрирован парадокс. Квадрат 8x8 разрезан на части, из которых составлен прямоугольник 13 X 5. Постарайтесь объяснить, в чем здесь дело. 59. Если вы считаете, что в математике, в геометрии в частности, все уже известно, то очень и очень ошибаетесь. В ней великое множество нерешенных задач. Некоторые из них остаются нерешенными столетиями. Так, лишь в 1976 г. с помощью современных компьютеров математиками В. Хикеном и К. Аппелем была разрешена знаменитая проблема четырех красок. Они доказали, что любую географическую карту можно окрасить в четыре цвета так, что страны, имеющие общую границу, будут окрашены в разные цвета. Правда, в 1975 г. (за год до этого) в апрельском номере американского журнала «В мире науки» была приведена карта, которую, как утверждал ее составитель, нельзя окрасить нужным образом в четыре цвета. Покажите, что это всего лишь первоапрельская шутка: раскрасьте эту карту (рис. 317) из 100 стран в четыре цвета так, чтобы соседние страны были окрашены в разные цвета. Рис. 315 I I I I I I I 1111 I I I I I I I ______I IL 1111 I____________I I . I . I ^ i i Г I I I I I I I 1111 Рис. 316 Рис. 317 Подсказки, ответы, решения <5) в) Рис. 318 1. Первые шаги в геометрии \ Z 1. Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе, образуя треугольник, а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства. 2. Рисунок 318, а, б, в. 3. Не отрывая карандаша от бумаги, можно нарисовать открытый конверт: начинать надо с нижнего уголка. А почему нельзя нарисовать закрытый конверт, не отрывая карандаша от бумаги, вы узнаете из раздела 15. 4. Рисунок 319. 5. Если постараться, то можно из арбуза вырезать кусок в виде столбика, идущего сквозь весь арбуз. У этого куска будут две корки, соединяемые арбузной мякотью. Оставшуюся часть арбуза можно разрезать на «нормальные» куски. 6. Рисунок 320. Закрашенную часть после разрезания по пунктирным линиям перевернуть «наизнанку». 7. Рисунок 321. 8. Всего после распиливания получилось 5x5x5 = 125 кубиков (рис. 322). По три окрашенных грани может быть только у угловых кубиков; их 8 штук. По две окрашенных грани у кубиков, расположенных вдоль ребер исходного куба: по три на каждом ребре. Всего ребер 12, значит, 3 X 12 = 36 кубиков. Только одна закрашенная грань у тех кубиков, которые лежат «на поверхности», исключая кубики, прилегающие к ребрам, т. е по девять штук на каждой грани. Граней шесть, таким образом, кубиков с одной окрашенной гранью 6 х 9 = 54. Неокрашенных кубиков осталось 27. Рис. 319 Рис. 320 а) б) Рис. 323 Подсказки, ответы, решения 165 2. Пространство и размерность 1. Если считать, что в два раза больший квадрат — это квадрат, сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата, то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата. А кубиков — восемь (рис. 323, а, б). 2. Рисунок 324. Надо соединить отрезками середины сторон треугольника. у 3. Пример многогранника, у которого восемь вершин и восемь граней, — пирамида, в основании которой лежит семиугольник (рис. 325). 4. Рисунок 326, а, б. 5. Блин можно разрезать на семь частей (рис. 327, а); в отличие от блина каравай не плоский и его сначала можно разрезать горизонтально, а потом вертикально (рис. 327, б). Таким образом, каравай можно разрезать на восемь частей. а) б) 3. Простейшие геометрические фигуры 1. Если считать только углы не больше 180°, то образуется 12 углов. 6. Если сложить квадрат вдвое по диагонали, то половинки его совпадут; треугольники, на которые делится квадрат своей диагональю, равны. Угол квадрата (90°) также складывается пополам; значит, между диагональю квадрата и его сторонами образуются углы по 90° : 2 = 45°. I6i Подсказки, ответы, решения 7. Углы не превосходят 180°, поэтому получаем 90°, 60°, 180°, 150°, 165°. 8. Угол не изменится. 4. Конструирование из Т 2. Рисунок 328, а, б. 4. Рисунок 329. Буква Т составлена из шести квадратов со стороной 1 см. «) Рис. 328 Рис. 329 5. Куб и его свойства А 3. Развертками куба на рисунке 27 являются 1, 2, 4, 6—9. 5. Из данной развертки можно склеить куб а. 9. а) Кубы расположить так, как на рисунке 330. При этом образуется выемка в форме такого же куба. Поэтому, приложив линейку от точки А до точки В, можно измерить его диагональ. б) Так как куб один, то полый куб, как в случае а), можно получить, если отметить на листе бумаги положение куба (обведя основание), а затем сдвинув его. 12. Расчертив полоску на семь квадратов, перегните второй и шестой квадраты по диагонали, а затем уже сворачивайте полоску в куб. 13. Тень — шестиугольник. Убедитесь в этом экспериментально. 14. Шесть распилов. Подсказки, ответы, решения 161 15. В решении этой задачи поможет развертка куба. Сделайте ее и отметьте точками местонахождение паука и мухи. Кратчайшее расстояние укажет прямая, соединяющая эти точки. Интересно, что кратчайший путь от паука к мухе можно выбрать шестью разными способами. Каждый из них проходит через середину одного ребра куба, соединяющего свободные верщины. 6. Задачи на разрезание и складывание фигур Рис. 331 1. Рисунок 331. 2. Рисунок 332. 3. Рисунок 333. Рис. 332 / — ^/1 Рис. 333 / И Ж / Рис. 334 7. Треугольник в 1. Геометрическая теория утверждает, что сумма углов треугольника равна 180°. Конечно, в результате измерения во всех случаях сумма углов вряд ли будет равной 180°. Но достаточно близкой к 180° она должна быть. 3. Если взять один треугольник с большим основанием, а другой — с очень маленьким, то можно С (рис. 334). 168 Подсказки, ответы, решения 5. Пронумеруем вершины тетраэдра числами 1, 2, 3, 4. После каждого перекатывания появляется вершина с номером, которого не было на предыдушем треугольнике. 9. Геометрические головоломки 1. Рисунок 335. 2. Рисунок 336. 3. Рисунок 337. 4. Похожие фигурки на рисунке 67 просто составлены по-разному из всех кусочков танграма. 6. Составить треугольник из шести фигур нельзя. 10. Измерение длины 1. Так как 8,1 ялима составляют 10,8 км, то 1 ялим равен 10,8 : 8,1 = = ^ км. Чтобы перевести расстояние из ялимов в километры, надо соот- 4 ветствуюшее число умножить на ^ • 4 В нашем случае 3,6 х ^ = 4,8 км. Рис. 336 Рис. 337 Подсказки, ответы, решения 161 11 . Измерение площади и объема 1. 1 км2 = 1 000 000 000 000 мм2; 1 кв. верста = 2 250 000 кв. аршин; 1 кв. ярд = 9 кв. футов = 1296 кв. дюймов; 1 кв. миля = 3,43 км2; 1 кмЗ = 1 000 000 000 000 000 см3; 1 куб. сажень = 48 х 48 х 48 куб. вершков = = 110 592 куб. вершка; 1 аршин = 2 ^ фута; 1 куб. аршин = 12,7 куб. фута. 2. Треугольник со сторонами 7 см (рис. 338) «выложен» треугольными сантиметрами. Подсчитайте их число. 3. Рис. 339. Пирамида разделится на пять частей: четыре треугольные пирамиды и «внутренность» (многогранник с шестью вершинами, двенадцатью ребрами и восемью гранями) — октаэдр. 4. Чтобы измерить толщину бумажного листа, можно поступить следующим образом. Измерим толщину стопки бумаги, подсчитаем число листов в стопке и разделим первое число на второе. Можно предложить следующий способ измерения объема булыжника. Возьмем полное ведро воды, погрузим в нее булыжник: из ведра выльется вода, объем которой равен объему булыжника. Достанем из ведра булыжник и с помощью известной нам емкости (стакан, бутылка и др.) дольем ведро доверху. Рис. 338 Рис. 339 12 . Вычисление длины, площади и объема 2. Площади плоских фигур при увеличении их сторон в п раз увеличиваются в « х я раз. 3. Объемы тел при увеличении их ребер в п раз увеличиваются в п X п X п раз. 4. Площадь всего белого квадрата равна 25 клеткам. От квадрата отрезаны четыре равных треугольника, площади ко- 171 Подсказки, ответы, решения I —-1U 20- 16 25 т 17 18 26 -1- Рис. 341 Рис. 340 торых в сумме составляют 12 клеток. Значит, площадь заштрихованного квадрата равна 25 - 12 = 13 клеткам. 5. Рисунок 340. 9. Рисунок 341. 10. Сложите из закрашенных и незакрашенных частей одинаковые фигуры. 11. Сложите из трех «внешних» треугольников один треугольник, равный «внутреннему». 14. Разделите фигуры на прямоугольники, найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите. 15. Надо разрезать фигуру на четыре части и затем переложить их так, чтобы внутри образовался квадрат площадью 1 см^ (рис. 342). 13 . Окружность Рис. 343 1. Сравните сторону квадрата с его диагональю. Квадратная крышка может провалиться в люк, чего никогда не случится с круглой крышкой. 2. Перегните круг вместе с листком. 3. Рисунок 343. 5 9 Подсказки, ответы, решения 171 3 Рис. 344 5 м *5 V ^ /./ 10 м V В Рис.345 5. Рисунок 344. 6. Катящийся пятак сделает два оборота. Проверьте это на опыте. 7. Проведите три луча из одной точки (городка) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся углы. 8. Разрезав «кольцо» и сложив из него квадрат, увидим, что краски пойдет одинаковое количество (площади этих фигур равны). 10. Рисунок 345. 11. Привязав веревку к колышку на берегу, надо обойти озерцо. Веревка зацепится за колышек на островке, и по возвращении человека в исходную точку станет в два раза короче (как раз от Ajyo B)vi окажется натянутой между кольями. Остальное — дело ловкости человека. 12. Мысленно проследите, какие шестеренки вращаются по часовой стрелке, а какие — против. Если какая-то шестеренка вращается в одну сторону, то соседние — в другую. Система может вращаться лишь в том случае, если число шестеренок четное. В нашем же случае их 17. 13. В решении задачи вам поможет эксперимент. Возьмите две линейки и круглый карандаш. Одна линейка — платформа, карандаш — бревно. Вторая линейка нужна для измерения пути. Линейку положите на карандаш так, чтобы ее конец был в 5 см от карандаша, и двигайте «платформу». Вы можете убедиться, что, когда карандаш поравняется с концом линейки, линейка пройдет путь 10 см. А значит, наша платформа передвинется на 10 м. 172 Подсказки, ответы, решения Рис. 346 14. Если бы Вася был, например, в поле и его скорость была 4 км/ч, то за 1 ч Вася мог бы отойти от начальной точки на 4 км. Направление движения он может выбирать сам, какое захочет. Поэтому точки, которых он может достичь за час, расположены на окружности с радиусом 4 км и центром в том месте, где Вася находится в начале пути. Решение задачи см. на рисунке 346. 14 . Геометрический тренинг Рис. 347 1. 3. 4. 8. 9. 11. 12. 10 отрезков. 8 четырехугольников. 13 треугольников. 20 квадратов. 12 равносторонних треугольников. Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга (рис. 347), так как радиус маленького круга в два раза меньше радиуса большого круга. Введем обозначения, как на рисунке, и составим уравнение: 2а + 2х = 2а + X + у. Из этого уравнения видно, что площади частей jc и равны. На рисунке ПО, а большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами, равными меньшим сторонам треугольника. А на рисунке \\0, б этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со стороной, равной большей стороне треугольника. Значит, сумма площадей двух маленьких квадратиков (рис. ПО, а) равна площади квадрата на рисунке ПО, б. Именно это и утверждает теорема Пифагора. Подсказки, ответы, решения 173 15 . Топологические опыты 1. На рисунке 348 изображен граф, соответствующий условию задачи. Обход надо начинать с D или В. 2. Постройте еще один мост, соединяющий BwD. 3. Ребра куба представляют собой пространственный граф. Подсчитайте в нем количество нечетных узлов, и вы сможете ответить на вопрос. 4. Рисунок 349, а, б. D В Рис. 348 а) Рис. 349 13 14 15 16 12 11 ) 10 9 5 6 7 8 4 3 2 Рис. 350 5. Рисунок 350. Обход закончен в комнате 5. 6. Нарисуйте соответствующий граф и движение начните из нечетного узла. 7. Поставьте в каждой верщине графа число, равное количеству выходящих из него путей. Если мы сложим все эти числа, то получим четное число, так как каждый путь, соединяющий две верщины, считается дважды. Отсюда следует, что число нечетных верщин всегда четно. 16 . Задачи со спичками 4V Рис. 351 \: 7 \/ 1. Рисунок 351. 2. Рисунок 352. 3. Рисунок 353. Рис. 353 I7J Подсказки, ответы, решения О = ri'c -'J :LU. U. = О и J= I И II s ^______________?*с Л = /с Рис. 354 «) 4. Рисунок 354, а, б, в. 5. Рисунок 355. 6. Рисунок 356. 7. Рисунок 357. 4U. Рис. 356 Рис. 357 Рис. 358 / Рис. 359 Рис. 36() 8. Рисунок 358. 9. Рисунок 359. 10. Рисунок 360. 11. Два варианта: рисунок 361, <3, 6. 12. Рисунок 362. V__/ /Y7\ Рис. 362 18 . Задачи, головоломки, игры 1. Рисунок 363, а, б, в. 2. Рисунок 364. 3. Рисунок 365. Подсказки, ответы, решения ш • • а) б) Рис. 363 1 • « t • • Рис. 365 2 • • z\ Z7^ в) Рис. 364 6. Рисунок 366. 8. Подсказка: если нужно попасть во двор, ограниченный забором, то, перемахнув через забор один раз, ты окажешься внутри двора, а дважды — вне этого двора. 9. Рисунок 367. 10. 72 способами. 11. Рисунок 368. 12. Рисунок 369. 13. Рисунок 370. 14. Рисунок 371. » Z \ Рис. 367 7 X о Рис. 368 Рис. 369 Рис. 370 17в Подсказки, ответы, решения 15. Рисунок 372, а, б, в. 16. Рисунок 373. 17. Круг диаметром 6 см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см, если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны, слегка деформируя (сминая) бумагу. 18. Последовательность укладки: 2; 7; 5; 6; 1; 3; 4. 19. Способ а) приведет к третьему результату, способ б) — ко второму. а) б) в) 21. Один из вариантов показан на рисунке 374. 22. Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных равносторонних треугольников тройками чисел: (1; 2; 3), (2; 3; 5), (2; 4; 5) и т. д. А затем вычеркивайте точки и треугольники, содержашие эти точки, по их номерам. 23. Порядок действий: 1) правой рукой делаем перекрещенную петлю посередине веревки и держим ее; 2) левую руку вдеваем в петлю, как бы завязывая узел так, чтобы «браслет» на левой руке оказался внутри петли; 3) пропускаем петлю под «браслетом» и вытягиваем ее из-под него; 4) левую руку вынимаем из этой петли, отпускаем веревку и растягиваем ее. Получаем V3e.i. • • • • Рис. 372 Рис. 373 Рис. 374 Подсказки, ответы, решения 177 24. Басня И. А. Крылова «Ворона и Лисица»; «Ворона каркнула во все воронье горло». 25. Винни-Пух на дереве. Вид спереди. 26. Поскольку на рисунке не видны автобусные двери (они находятся на невидимой для нас стороне автобуса), автобус едет влево, т. е. в Москву. 27. а) Куб; б) конус; в) пирамида; г) параллелепипед; д) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида; е) усеченная пирамида; ж) четырехугольная пирамида. 28. Рисунок 375. 30. 4 и 15. 33. После обхода контура спичка повернута на 180°. 34. Если соединить левый и правый домики с колодцем, навесом и погребом, то средний домик окажется в одной из трех образовавшихся областей (рис. 376). Это значит, что из среднего домика невозможно без пересечения «границы» области попасть либо к навесу (если домик в первой области), либо к погребу (если домик во второй области), либо к колодцу. 35. Условно замените краски числами 1, 2, 3 и начните нумеровать кружочки (с любого), соблюдая условие задачи (два соседних кружка не должны быть одинаково занумерованы). Что получается? 36. Сабля не сможет войти в ножны. К • М 2 П 3 Рис. 375 Рис. 376 171 Подсказки, ответы, решения 19. Фигурки из кубиков и их частей 1. в пунктах в,д,е — один и тот же объект; а, б, г, ж — разные. 2. Рисунок 377. 3. Рисунок 378. 4. 1 В, 2 А, 3 Г, 4 Ж, 5 Е, 6 Б, 7 3, 8 Д. 6. Рисунок 379. 7. Плоскость должна проходить параллельно грани куба. 8. В сечении получается прямоугольник, две стороны которого равны ребрам куба, а две другие — диагоналям граней (рис. 380). Вил спереди Вил сверху Вия слева Рис. 377 \ / :\ \ X \ / / » 1 1 1 < к к \ ^ к — ч а) б) Рис. 378 в) Рис. 379 Рис. 380 10. Рисунок 381. Подсказки, ответы, решения ш вил сншу НИЛ CMH’iy вид справа вид спереди вид спева вид справа вид спереди вид слева вил сверху <5) ш вил снизу вид справа вид спереди вид слева Рис. 381 Ill Подсказки, ответы, решения а) 0 4 5 Ь 1 Рис. 382 11. Из трех кубиков можно построить в соответствии с условием задачи две различные фигуры (рис. 382, а), а из четырех — семь (рис. 382, б). 20 . Параллельность и перпендикулярность 4. Углы 1, 4, 5, 7 равны; углы 2, 3, 6, 8 равны. 22. Координаты, координаты, координаты... у о тг У\ /1 2. На доске Шх 10 может разместиться 25 катеров: игровое поле можно разбить на квадраты 2x2, которых будет ровно 25, и в каждом из них по катеру. Но в каждом квадрате 2x2 только один катер, иначе у него будут «соседи», значит, 26 катеров на поле 10 х 10 уже не поместятся. 3. 26 выстрелов. 4. Доску разрезать на линкоры нельзя: при указанной окраске в четыре цвета различных по цвету квадратов получается неодинаковое число. 5. На рисунках должны получиться Буратино и бабочка. 6. Начертим на кальке вспомогательные оси координат (рис. 383). В этой системе отметим точки Д, (2; 1) и Д| (8; 2) и соединим их отрезком. На карте также проведем отрезок А В. Наложим кальку на карту так, чтобы точки А и A^ совпали и отрезок А^В^ «пошел» по А В. Найдем, во сколько раз отрезок А В больше отрезка A^B^ и, увеличив единичный отре- В: В Рис. 383 1 г о D В > Рис. 384 Подсказки, ответы, решения 181 зок во столько же раз, отодвинем вспомогательные оси. Получаем нужную систему координат хОу и находим место клада по координатам (6; 6) в новой системе. 8. Треугольник АВС — правильный, четырехугольник KLMN — квадрат. 9. Рисунок 384; С (0; 0; 1); О (0; 0; 0); 0). 26 . Лабиринты 7. Рисунок 385. Рис. 385 97 . Геометрия клетчатой бумаги 2. Достройте отрезок до прямоугольного треугольника и затем поверните его, как в задаче 1. 3. Три раза нужно выполнить построение перпендикуляра к отрезку, как в задаче 2, б). 4. Возьмите две точки на прямой CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках. А затем — такой же треугольник с вершиной в точке А. 182 Подсказки, ответы, решения 5. Равнобедренный треугольник можно сложить пополам так, чтобы половинки совместились. Эти половинки будут прямоугольными треугольниками. 7. Нужно описать около треугольника прямоугольник, т. е. начертить такой прямоугольник, чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах, а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге. Затем считаем количество клеток в прямоугольнике и отбрасываем лишние. 29. Симметрия 1. Угол равен 90°. 2. Пусть тип — оси симметрии. Отражаясь от оси я, ось т перейдет в некоторую прямую т^, тоже являюшуюся осью симметрии и пересекаюшуюся с п под углом 15°. Так, отражаясь друг от друга, прямые тип вернутся в исходное положение. Между соседними осями симметрии углы по 15°. Значит, осей симметрии всего 180°: 15° = 12. Наименьшее число вершин равно числу осей, т. е. 12. 31 .Орнаменты 1. Два равных треугольника, положенных рядом определенным образом (рис. 386), составляют параллелограмм. А параллелограммами можно замостить плоскость. 2. Один из примеров — на рисунке 387. 32 . Симметрия помогает решать задачи 2. Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра, то она симметрична и относительно диаметра MN, перпендикулярного прямым АА^ и ВВ]", точка А симметрична А^, точка В симметрична В^. Значит, все точки дуги АВ симметричны точкам дуги А^В^, т. е. дуги АВи А^В^ равны (рис. 388). Рис. 386 А/ Подсказки, ответы, решения 183 Рис. 389 3. Проведем прямую ОА. На ней лежит диаметр, относительно которого окружность симметрична. Касательная А В симметрична касательной АС. Точки В и С окружности симметричны. Значит, и отрезки АВ vi АС симметричны, а следовательно, равны (рис. 389). 4. Точки В VI С симметричны относительно диаметра, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярного ему. Аналогично и точки А н В. Таким образом, построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам А В и ВС, мы получим точку их пересечения. Это центр окружности, так как через нее проходят оба диаметра (рис. 390). 5. Надо построить точки А^ и А2, симметричные точке А относительно сторон угла. Прямая А\А2 пересечет стороны угла в искомых точках М н N. Объясните это (рис. 391). 33 . Одно важное свойство окружности 2. Строим окружность с центром О вне нашей прямой, проходящей через А. Через В (вторую точку пересечения этой окружности с прямой /) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой / (рис. 392). 3. Z АМС = 90°, AAMD = 45°, Z ВМС = 135°. А.ААМВ = 120°. Ъ. А ADC= 140°. 6. Угол АОВ в 2 раза больше угла АСВ. Значит, угол АОВ = 60°. Треугольник АОВ — равнобедренный, один из углов равен 60°. Значит, все углы по 60°. А из этого следует, что этот треугольник является равносторонним, ДД = АО = 1 (рис. 393). II» Подсказки, ответы, решения В 7. Как мы знаем, окружность с диаметром СН проходит через и В этой окружности углы НА^В^ и НСВ^ опираются на одну дугу. Следовательно, они равны (рис. 394). 8. Пусть все три прямые проходят через точку Р,аМ — некоторая точка плоскости. А, В, С — основания перпендикуляров, опущенных из М на данные прямые. Все пять точек {Р, М, А, В, С) лежат на одной окружности с диаметром РМ. Значит, угол АВС равен углу А PC, так как эти углы опираются на одну дугу окружности, т. е. угол АВС = = 60°. Точно так же покажем, что остальные углы треугольника АВС равны 60° (рис. 395). 34 . Задачи, головоломки, игры 1. 8 граней, если карандаш не заточен. 2. Можно раскрыть три звена одной цепи, а потом этими звеньями соединить четыре оставшихся куска. 3. Если перегнуть круг так, чтобы половинки совпали, то линия сгиба пройдет через центр. Проделав эту операцию дважды, найдем центр круга. 4. Если в листе сделать разрез, как на рисунке 396 (сплошная линия), то после этого лист можно растянуть наподобие длинной ленты. Сделав в этой ленте разрез посередине (пунктирная линия), получим достаточно большое отверстие. 5. На рисунке 397 показано, как можно защитить одну и две башни. • • 1 1 1 1 1 1 F ' ■ 1 1 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ - — =■, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 'с ...... 1 1 1 1 - - - - - ' 1 у - - • • > -J т Рис. 396 Ь 4 Рис. 397 Подсказки, ответы, решения 185 Рис. 398 Рис. 399 \ I А Рис. 401 Рис. 403 6. Рисунок 398. Оставить надо деревья, отмеченные крестиком. 8. Рисунок 399. Получится квадрат со стороной 6 единиц. 9. Рисунок 400. 10. Рисунок 401. 11. Рисунок 402. 12. Рисунок 403. 15. Рисунок 404. 16. Рисунок 405, <2, б. 17. После каждого разреза число частей может возрасти не больше чем в два раза. Сначала был один куб. После первого разреза он распадается на две части, после второго — не более чем на четыре. Затем число частей может быть 8, 16, 32 и 64. Значит, число разрезов не может быть меньше 6. Приведите способ, с помощью которого куб можно разрезать на 64 части за шесть разрезов. 18. Первый рисунок. 19. 10 км. 20. Рисунок 406. 21. а) Рисунок 407, а; б) рисунок 407, б\ в) сложите из спичек куб. 22. Рисунок 408. Рис. 408 Ill Подсказки, ответы, решения 23. Рисунок 409. 25. 22 клетки. 27. Развертка куба 5. 28. а) и в). 29. 15 правильных треугольников. Можно убрать четыре точки (рис. 410). 30. Первая страница первого тома и последняя страница третьего тома примыкают ко второму тому. Так что путь червяка равен толщине второго тома, т. е. составляет 3,5 см. * 31. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке в черный и • • белый цвета. Если бы доска была полной, то черных и бе- I • • лых клеток было по 32. На данной доске (если левый ниж- ний угол черный) черных 32 клетки, а белых 30. Но каждая * * * кость домино закрывает одну черную и одну белую клетку. Рис. 410 Так что данную доску покрыть фишками нельзя. 32. Чтобы получить такой треугольник, надо взять стороны такими, чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей стороны. 33. На рисунке 411 показано, как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника, три четырехугольника и даже четыре четырехугольника. 35. Не обязательно. Возьмем, например, два треугольника: стороны первого 27, 36, 48, а второго 36, 48, 64. Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каж- 3 дои стороны в д раза, то треугольники имеют равные углы. 36. Рисунок 412. 37. Три прямые разбивают плоскость на семь частей (прямые не параллельны и не проходят через одну точку); см. рисунок 413. Проведем четвертую прямую. Она пересечется Рис. 412 б) [Т -г- 4 Подсказки, ответы, решения 18| с тремя предыдущими в трех точках. Эти точки разобьют четвертую прямую на четыре куска. Соответственно добавятся и четыре куска плоскости. Четыре прямые разобьют плоскость на 7-1-4=11 частей. Добавим пятую прямую. На ней образуется пять кусков и добавится пять кусков плоскости. Таким образом, пять прямых разобьют плоскость на 7 -t- 4 -Ь 5 = 16 частей. Для шести прямых число частей составит 16 -I- 6 = 22. 38. а, в, е\ б, г, д. 39. 120 см. 40. Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности, то прямая, соединяюшая точки пересечения его сторон с окружностью, проходит через ее центр. Две такие прямые определят центр. 41. Рисунок 414. 42. На каждой «петле» таких точек будет четное число, а значит, и всего точек пересечения четное число. 43. а) 60°, рис. 415, а; б) 120°, рисунок 415, б. 45. Рисунок 416, а, б. 46. Из двух таких треугольников можно составить правильный треугольник (рис. 417). 47. Вымашиваем сначала полоску (рис. 418), а затем всю плоскость. 48. Через каждую из трех точек надо провести прямую, параллельную прямой, проходяшей через две дру- Рис. 416 ™е точки. Рис. 415 10 а) 1 1, 1 __г л 1 пл Рис. 418 б) лги 2 18i Подсказки, ответы, решения 49. Рисунок 419, а, б. первый способ б) Рис. 419 50. а) Рисунок 420; б) возьмем центр окружности, проходящей через вершины треугольника, и соединим его с вершинами. Треугольник будет разделен на три равнобедренных треугольника. 51. Постройте любую окружность, касающуюся прямых, проведите через точку А прямую, параллельную данным. Она пересечет построенную окружность в точках В и С. Передвиньте центр построенной окружности на АВил\л АС (рис. 421). Рис. 420 Рис. 421 52. а) Рисунок 422, а; б) рисунок 422, б. 53. Прямоугольники А и Б имеют равные площади. Это следует из того, что диагональ делит прямоугольник на равные треугольники. Значит, суммарная площадь А, В и Г равна площади Б, В и Г (рис. 423). 54. Рисунок 424. 55. Будем последовательно двигаться из А и ставить в каждом узле число, равное количеству способов, какими можно попасть в этот узел. Тогда число в каждом следующем узле равно сумме чисел предшествующих узлов (тех, из которых попадаем в этот узел за один переход). В результате в точке Б получим число 100. Столькими способами можно попасть из А в Б (рис. 425). 56. Рисунок 426. 8 22 29 50 2 7 1 2 I U 7 14 ^ . 2 I 21 21 14 1111 Рис. 425 Б 100 50 29 22 8 Подсказки, ответы, решения 189 10 Рис. 426 57. Нижний слой остается заполненным, а второй и третий слои, как на рисунках 427, а. Вид системы кубиков в этих случаях, как на рисунке 427, 6. 58. На втором рисунке диагональ на самом деле представляет очень узкий четырехугольник площадью 1. Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и треугольник, то соответствующие стороны не лежат на одной прямой. 59. Рисунок 428. Числа 1, 2, 3, 4 — номера цветов. 7 7 7 4 7 3 2 9 Z 1 8 7 Оглавление 1. Первые шаги в геометрии 4 2. Пространство и размерность 6 3. Простейшие геометрические фигуры 12 4. Конструирование из Т 16 5. Куб и его свойства 17 6. Задачи на разрезание и складывание фигур 22 7. Треугольник 24 8. Правильные многогранники 34 9. Геометрические головоломки 38 10. Измерение длины 41 11. Измерение плошади и объема 46 12. Вычисление длины, плошади и объема 51 13. Окружность 56 14. Геометрический тренинг 66 15. Топологические опыты 69 16. Задачи со спичками 75 17. Зашифрованная переписка 77 18. Задачи, головоломки, игры 79 19. Фигурки из кубиков и их частей 87 20. Параллельность и перпендикулярность 91 21. Параллелограммы 96 22. Координаты, координаты, координаты... 102 23. Оригами 110 24. Замечательные кривые 114 25. Кривые Дракона 119 26. Лабиринты 123 27. Геометрия клетчатой бумаги 126 28. Зеркальное отражение 129 29. Симметрия 131 30. Бордюры 137 31. Орнаменты 142 32. Симметрия помогает решать задачи 148 33. Одно важное свойство окружности 151 34. Задачи, головоломки, игры 154 Подсказки, ответы, решения 164 врофа iSBN'i/'H S зьн J5038-6 / II;i « 1 •, о I 8 6 К учебнику разработано электронное приложение