Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>
. Затем в новом окне сверху справа - СТРЕЛКА ВНИЗ 
. Для чтения - просто листай колесиком страницы вверх и вниз.
\| I
ФГОС||
Т. М. Мищенко
Рабочая
тетрадь
по геометрии
К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы»
учени_________класса_______
школы
класс
Учебно-методический комплект
Т. М. Мищенко
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии
К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение)
7
класс
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА • 2016
УДК 373:514 ББК 22.151я72 М71
Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Мищенко Т. М.
М71 Рабочая тетрадь по геометрии: 7 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». ФГОС (к новому учебнику) / Т. М. Мищенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2016. — 93, [3] с. (Серия «Учебно-методический комплект»)
ISBN 978-5-377-09553-8
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения).
Рабочая тетрадь для 7-го класса к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» рекомендуется для организации учебной деятельности учащихся на уроках и дома.
Предлагаемые в рабочей тетради задания удовлетворяют требованиям, предъявляемым ФГОС, как к обязательному уровню, так и повышенному уровню сложности. Форма заданий соответствует форме заданий Основного государственного экзамена (ОГЭ).
Использование рабочей тетради в учебном процессе позволит осуществить, во-первых, достижение каждым учеником уровня обязательной геометрической подготовки, и, во-вторых, сформировать у учащихся умение применять полученные знания как в стандартных ситуациях, так и в несколько отличных от обязательного уровня.
Использование рабочей тетради позволяет сэкономить время учителя как при подготовке к уроку, так и на самом уроке и выполнить большее число заданий с записью в тетради. А у школьников будет хороший конспект по курсу 7-го класса, который, несомненно, поможет лучшему усвоению свойств плоских фигур, методов решения задач. Кроме того, рабочая тетрадь будет полезна и родителям, которые смогут следить за уровнем теоретических знаний своего ребенка и его умением решать задачи.
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях.
УДК 373:514 ББК 22.151я72
Подписано в печать 17.12.2015. Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 3,03. Уел. печ. л. 7,8. Тираж 10 000 экз. Заказ № 5506/15.
ISBN 978-5-377-09553-8
Мищенко Т. М., 2016 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2016
Содержание
Глава I. Начальные геометрические сведения ................4
§1. Прямая и отрезок...................................4
§2. Луч и угол.........................................9
§3. Сравнение отрезков и углов....................... 12
§4. Измерение отрезков............................... 13
§5. Измерение углов...................................21
§6. Перпендикулярные прямые...........................27
Глава II. Треугольники....................................37
§1. Первый признак равенства треугольников............37
§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника........41
§3. Второй и третий признаки равенства треугольников.... 54
§4. Задачи на построение............................. 59
Глава III. Параллельные прямые............................65
§1. Признаки параллельности прямых....................65
§2. Аксиома параллельных прямых...................... 66
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 71
§1. Сумма углов треугольника......................... 71
§2. Соотношение между сторонами и углами треугольника... 77
§3. Прямоугольный треугольник.........................83
§4. Построение треугольника по трем элементам.........89
Глава I. Начальные геометрические сведения
§1. Прямая U отрезок
По рисунку ответьте на вопросы:
1. На каких прямых лежит точка А?
O^Явe^н: Точка А лежит на прямых тип.
2. Лежит ли точка В на прямой k?
Otn£efn: Точка В лежит на прямой к.
Внимательно прочитайте ответы на вопросы задачи № 1 и по образцу ответьте на вопросы задач № 2-4.
Т 2
По рисунку ответьте на вопросы:
1. На каких прямых лежит точка А?
Otn£etfi: Точка А лежит на прямых
2. Лежит ли точка В на прямой п? Точка В
т
.Е
В
D
G
По рисунку ответьте на вопросы:
1. Через какие точки проходит прямая т?
Otn£efH: Прямая т проходит через точки
2. Какие точки лежат на прямой п?
Ofn£efH: На прямой п___________________
По рисунку ответьте на вопросы:
1. Через какие точки проходит прямая g?
GtfieefH: Прямая g проходит через точки
2. Какие точки лежат на прямой /?
Otft£e^i: На прямой f лежат точки_______
3. На каких прямых лежит точка D? O/ggag : Точка D лежит на прямых_
Проведите прямую q. Отметьте точку D, лежащую на прямой q. Проведите прямую /, проходящую через точку П. Отметьте на прямой f точку П, не лежащую на прямой q. Через точку Н проведите прямую е, пересекающую прямую q. Обозначьте точку пересечения прямых enq буквойF.
В*
Через точки А и В проведите прямую.
1. Всегда ли можно провести прямую?
Прямую можно провести_____
2. Сколько прямых можно провести через точки А и В?
GtfieeifL : Через точки А и В можно провести
Я
►TS
з;
>
я
S
о
м
W
со
о
ж
Сколько прямых можно провести через две точки? Gtfi€effi: Через любые две точки можно _____________________
8
в
Обозначьте прямую АВ какой-либо строчной латинской буквой.
Прямо-Я________________________
Обозначьте прямую k двумя прописными латинскими буквами.
GtHJeeffi: Прямая___________________________
10
11
Обозначьте прямую двумя способами. GtHJeetH: Прямая__________________
или
Точка А принадлежит прямой СВ. Различны ли прямые АВ и СВ? (сделайте
рисунок к задаче.)
Решение
По условию задачи точка А принадлежит прямой СВ. Значит, прямые АВ и СВ проходят через две общие точки А и С, а через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые АВ и СВ не могут быть различными.
Gtfi£effi: АВ и СВ — разное обозначение одной прямой.
Внимательно посмотрите решение задачи № 11. Решение задачи № 12 аналогично.
12..........................................................
Точки А и В принадлежат прямой q. Различны ли прямые АВ и ql (Сделайте рисунок к задаче).
Утешение
По условию задачи прямые_____________
проходят через две __________________,
а через _____________________________
Значит, прямые
и
различными.
13
Различные прямые / и е пересекаются в точке G. Прямая / проходит через точку Б. Проходит ли прямая е через точку Б? (Сделайте рисунок к задаче.)
Тешенме
1-й способ.
Если бы прямая е проходила через точку Б, то через точки G и В проходили бы две прямые и
А через
точки можно провести __________. По условию
задачи прямые f и е — различные. Значит, прямая____________не проходит через точку
2-й способ.
Так как две различные прямые либо имеют одну общую точку, либо не имеют ни одной, а прямые fue имеют общую точку G, значит, прямая е не проходит через точку Б.
(JOn
н»
П
м
>
S
о
•н
W
W
о
ж
Внимательно посмотрите решение задач № 11-13. Решите задачу №14 самостоятельно.
14.......................................................
Одна из двух пересекающихся прямых проходит через точку В, принадлежащую другой прямой. Различны ли точка В и точка пересечения данных прямых?
^Решение
Otfieefft:
Сформулируйте определение отрезка и его концов. Часть прямой,________________________________
называется отрезком.
15................
концами отрезка.
Назовите все отрезки, изображенные на рисунке, у которых один конец находится в точке F.
OtHJeetfi:
16
По рисунку ответьте на вопросы:
1. На каких отрезках лежит точка .А? OffiJeetfi: Точка А лежит на отрезках
2. Какие точки лежат на отрезке СЫ
На отрезке CL лежат точки
3. Лежит ли точка Е на отрезке CL?
0/^etfi: Точка Е лежит на отрезке CL, так
как она лежит между точками ___________
и
4. Лежит ли точка Е на отрезке АР?
Точка Е_______________
между точками__________________
, так как она и
§2. Ауч u угол
Сформулируйте определение луча:
Точка
называется лучом. Точка называется
17
к N L
18
19
20
к
в
N L
луча.
Назовите все лучи, изображенные на ри-М сунке, с началом в точке N.
Лучи
Обозначьте луч АВ какой-либо строчной латинской буквой. Какая точка является начальной для данного луча?
Луч___________________________
с начальной точкой
Обозначьте луч k прописными латинскими буквами. Какая точка является начальной для данного луча?
Луч___________________________
с начальной точкой
По рисунку назовите пары лучей с началом в точках N и L у которые являются продолже-
М
нием друг друга. Ofti£e/H.: Лучи:
Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определение угла и связанные с ним понятия.
осп
го
t=i
«<
•-а
О
Угол — это геометрическая фигура.
Лучи называются________________
а точка —
угла,
угла.
Угол называется развернутым, если
Если луч делит данный угол на два угла, то
21
Начертите три неразвернутых угла и обозначьте каждый из них одним
22
Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все развернутые углы и запишите их номера в ответе.
0/п€е^н:
10
23
24
Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых? (Сделайте рисунок.)
Ойгве^п: При пересечении двух прямых образуется _______________________________
неразвернутых угла.
По рисунку ответьте на вопросы:
1. Какие точки лежат во внутренней области угла?
Offt£efH: Во внутренней области угла лежат точки
2. Какие точки лежат во внешней области угла?
Ofn£efH : Во внешней области угла лежат точки
3. Какие точки лежат на сторонах угла?
: На сторонах угла лежат точки _____
25.........................................
1. Какие углы делит луч т?
OfHJeetfL: Луч т делит углы: _______
2. Какие лучи делят угол kq на два угла?
0/^е/н : Каждый из лучей_______и____
делит угол kq на два угла.
иоп
го
2
S
•-1
о
is
11
§3. сравнение отрезков и углов
Объясните, какие две геометрические фигуры называются равными.
Две геометрические фигуры называются равными, __________
27
Какие из приведенных на рисунке пар фигур равны?
28...
Сравните данные на рисунке отрезки с отрезком АВ и запишите результаты сравнения, используя знаки =, > и <.
Of^etn:___________________________________________________
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение середины отрезка.
Серединой отрезка называется _______
12
29
В'
т
Сравните данные на рисунке углы с углом АВС и запишите результаты сравнения, используя знаки =, > и <.
Огн€е*н:___________________________________________________
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение биссектрисы угла.
Биссектрисой угла называется _______
§4. Измерение отрезков
Сформулируйте свойства измерения отрезков:
Длина отрезка выражается ________________
Равные отрезки имеют ____________________
Если точка делит отрезок на два, то
30............................
числом.
Найдите ошибку в записи длин отрезков: а) АВ = 37 см; б) CD = -7 см; в) EF = 3 см;
г) GH = 9 см; д)ДQ = -13cм; е) NM = -4 см;
ж) F17 = 21 см; з)КЬ = 1см; и) LM = 8 см.
Ошибка допуш,ена в записи длин отрезков___
так как длина отрезка _____________________________
осп
4N
S
со
S
м
•ю
м
S
S
т
о
•н
tri
со
ж
О
со
13
31...............................................
Найдите среди данных отрезков равные:
АЗ = 3 см; CD = 5 см; EF = 3 см;
GH = 6 см; KN = 9 см; LM = 7 см;
RQ = 3 см; SP = 6 см; ZV = 2 см.
32..............................................
Найдите среди данных отрезков равные:
АВ = 13см; CD = 5 см; EF = Scm;
GH = 6 см; KN = 9 см; LM = 7 см;
Q/?=11cm; SP = 8cm; ZF=12cm.
Ofn£effi: ____
33
в
\
' I ' I ' 1 ‘ I ' I ' I ' I ' I
3456789 10
По рисунку определите длину отрезка АВ. Offieeffi: АВ = см.
34
Е
D
На рисунке FE = 8 см, ED = 5 см. Найдите длину отрезка FD.
^Решение
FD =
см.
14
35
R
На рисунке SR = 8 см, TR = 5 см. Найдите длину отрезка ST.
^Решение
OtReerii: ST =
36...........
CM.
На рисунке DE = 10 см, CD = 7 см. Определите длину отрезка СЕ.
Решение
OiRReiR: СЕ =
37..........
СМ.
Точка В лежит на прямой AF между точками А и F. Известно, что АВ = 3 см, BF = 7 см. Определите длину отрезка AF (Сделайте рисунок к задаче.)
Дано: Б G AF; АВ = 3 см, BF = 7 см. Найти: AF.
Утешение
иоп
S
Ы
м
м
к
X
m
о
►в
W
ы
ж
о
ю
0/л^е/н: AF =
см.
15
38..................................................
Точка В лежит на прямой AF между точками А и F. Известно, что АВ = 3 см, AF = 7 см. Определите длину отрезка BF. (запишите условие задачи и сделайте рисунок.)
Дано: ___________________________
Найти:
Решение
Ofn£etn: BF =
см.
39
R
Сколькими способами можно отложить отрезок ЯР, равный 2 см, на прямой пот точки Я?
0/^е/и:
способами.
40
G
т
Сколькими способами можно отложить отрезок GP, равный 2 см, на луче т с началом в точке G?
OtHJeetfi: ____________________________
16
41....................................................
На прямой от точки А отложены отрезки АВ = 13 см и АС = 8 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача? (сделайте рисунок и запишите решение.)
Дано: АВ = 13 см: АС = 8 см.
Найти: ВС.
Тешение
Otneetfi: ВС =
см.
42
На луче от его начальной точки А отложены отрезки АВ = 13 см и АС = 8 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача?
(Сделайте рисунок и запишите решение.)
Дано: АВ = 13 см; АС = 8 см.
Найти: ВС.
Решение
con
W
S
м
м
«
м
о
HI
*Tt
м
U9
»
О
ю
Ofn£efti: ВС =
см.
На примере следующей задачи покажем, как надо правильно оформлять решение задачи по геометрии.
17
43..........................
Точка Е принадлежит отрезку FD. FE = 7 см, ED = 4 см.
Найдите длину отрезка FD, если
/Г
Е
D
Дано: Ее FD; FE = 7 см, ED = 4 см.
Найти: FD.
Так мы рассуждаем при решении задачи
Так как точка Е принадлежит отрезку FD, то она разбивает его на два отрезка FE и ED. Значит, по свойству измерения отрезков (если точка делит отрезок на два, то длина отрезка равна сумме длин этих двух отрезков ):
FD = FE + ED.
Подставив значения длин отрезков ED = 4 сми FE = 7 см, данные в условии задачи, получим: FD = 7 см-^4 см = 11 см.
Так мы записываем решение задачи в тетради
Тешеяие
Е е FD, значит:
FD = FE + ED (по свойству измерения отрезков )
FD = 7 см-\-4 см = 11 см. OfH^e/н: FD = 11 см.
J
Внимательно посмотрите решение задачи №43. Решите задачи № 44 и № 45 самостоятельно. Записывать рассуждения, которые мы делаем по ходу решения задачи, не надо. В решениях задач № 46, 47 заполните пропуски.
18
44..........................................................
Точка К принадлежит отрезку LM, равному 23 см. Найдите длины отрезков KL и jfiTM, если отрезок KL на 5 см короче отрезка КМ (сделайте
рисунок и запишите условие и решение.)
Дано: ________________________________
Найти:
J^euteHue
45.................................................
Точка Q принадлежит отрезку РД, равному 21 см. Найдите отрезки QP и QP, если длины отрезков QP и QR относятся как 4:3. (Сделайте рисунок.)
Дано: Q Е PR; PR = 21 см; PQ : QR = 4:3. Найти: PQ и QR.
Тешенме
ксп
S
со
S
m
►та
м
»
S
м
о
|Н
м
со
«
о
ш
Offi£efH: PQ =
сж; QP =
слг.
19
46*
(Задача 39 из учебника, §1). На отрезке DG, длина которого равна а, отмечена точка В. Найдите расстояние между серединами отрезков DB иВС.
§1).
47*
Отрезок, равный 45 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 17 см. Найдите длину среднего отрезка.
20
§5. Измерение углов
Сформулируйте определение градусной меры угла. Градусной мерой угла называется ___________
«г
кл
S
00
S
tn
•V
w
X
X
w
I
о
ta
21
48
С помощью транспортира определите на рисунке величину угла, обозначьте угол и запишите его градусную меру.
49
в
С помощью транспортира найдите градусную меру углов треугольников и запишите её.
Otn£efH: В ААВС: ABAC =______; ZACB =______; ZABC =_______
;AGDF =_______
В ADFG: ZDFG =
; ZFGD =
Сформулируйте свойства измерения углов: Градусная мера угла является_________
числом.
Равные углы имеют Меньший угол имеет
Развернутый угол равен____
Если луч делит угол на два угла, то
, а неразвернутыи угол
50
Найдите среди данных углов равные: ZABC = 30°; ZDEF = 23°;
ZKNL = 29°; ZLOM = 29°;
ZSPi? = 46°; ZZVy=21°;
OtH£efH:
ZGHQ = 36°; ZQRT = 23°; ZDSG = 30°.
22
51
Найдите среди данных углов равные: ZABC = 30°; ZDEF = 23°;
ZKNL = 29°; ZLOM = 9°;
ZSPR = 46°; ZZVY = 21°;
ZGHQ = 36°; ZQi?T= 15°; ZDSG = Sr.
52
На рисунке ZABC = 17°, а ZCBD = 31' Найдите величину угла АВЛ. (Решите устно.)
0/л^е/н: ZABD =
53
54
\А На рисунке ZABD = 63°, а ZCBD = 15°. Найдите величину угла АВС. (Решите устно.)
.С OfH€etn: ZABC =
D
Луч с делит угол аЬ, равный 85°. Найдите углы ас и сЬ, если угол сЬ в четыре раза больше угла ас. (Внесите обозначения на чертеж и запишите решение.)
Дано: Zab — 85°;
Луче проходит между сторонами Zab;
Zeb = 4Zac.
Найти: Zac и Zcb.
^Решение
ООП
U1
S
ш
S
м
тз
m
Я
Я
W
«<
3
о
ю
0/^е/н: Zac =
; Zcb =
23
55.............................................................
Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного: а) 40°5 б) 84°5 в) 92°J г) 76°? (Решите устно.)
Offiee^: а )_____
J6)
J в).
56
Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: а) 17°; б) 53°; в) 29°; г) 41°. (Решитеустно.)
0*нве/н: а )__________; б)__________; в )__________; г )__________
Теперь, после изучения свойств измерения отрезков и углов, заметим, что эти свойства аналогичны, что хорошо видно из приведенной ниже таблицы.
В
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
АВ>0
В
D
К
М
Равные отрезки имеют равные длины.
Меньший отрезок имеет меньшую длину.
АС В
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля.
ZAOB = k°> О или Zab = k°>0.
Развернутый угол равен 180°.
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. АВ=АС + СВ
А ~ D ~ L
Равные углы имеют равные градусные меры. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
ZAOB = ZAOC + ZCOB Zab = Zac + Zcb
Решение задач № 57* и № 58* будет проще, если перед их решением посмотреть решение задач № 46* и № 47*, поскольку и решения этих задач также аналогичны.
24
57* ...................................................
Луч k проходит между сторонами угла gh, градусная мера которого равна 2а. Найдите градусную меру угла, образованного биссектрисами углов gk и kh. (Сделайте чертеж, запишите условие и решите задачу.)
Дано: ____________________________
Найти:
Решение
О/пветн:
58*
Лучи kvLt проходят между сторонами угла gh, градусная мера которого равна 70°. Угол, образованный биссектрисами углов gk и thy равен 47°. Найдите градусную меру угла kt. (дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.)
Дано: _____________________________
Найти:
Решение
и»
№
is:
СаЗ
S
W
>TJ
W
»
S
w
«<
5
о
u
Отн€е/н:
25
59......................................................
Заполните пропуски в тексте и сделайте соответствующие рисунки.
(Г
1. Угол, равный 90°, называется
углом.
= 90°. Z
2. Угол, меньший 90°, называется
углом.
< 90°. Z
3. Угол, больший 90°, называется
углом.
>90°.
J
60
Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все острые углы и за-пишите их номера в ответе.
Ofn€effi:
61
Среди углов, изображенных па рисунке, найдите все прямые углы и запишите их номера в ответе.
OifiSafi:
62
Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все тупые углы и запишите их номера в ответе.
26
§6. Перпендикулярные прямые
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние смежных углов.
Два угла называются смежными
63
64
Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все смежные углы и запишите номера этих рисунков в ответе.
Otfi€etH:
Начертите угол, смежный с углом CGD. Сколько таких углов можно построить?
GtH€effi:
U0O
сл
а
W
►d
а
м
а
3=1
а
5
а
а
hd
а
Е
м
а
•d
а
3
Е
Свойство смежных углов: "Сумма смежных углов равна 18 0°".
27
65...................................................
(63 учебника). Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Дано: zAFK = zBGN, zAFC смежный с zAFK, zBGD смежный с zBGN. Доказать: zAFC = zBGD.
Доказательство Пусть zAFK = zBGN = a. zAFC = 180°- a; zBGD = 180°- a (no теореме о смежных углах).
Значит, zAFC = zBGD.
Что и требовалось доказать.
Внимательно посмотрите доказательство утверждения задачи №65. Аналогично докажите утверждение задачи №66.
66
(60 учебника). Докажите, что угол, смежный с прямым, — прямой.
Дано: ___________________________
Доказать:
Доказательство
Из решения задачи №66 можно сделать два вывода:
1. “Если один из смежных углов — острый, то другой угол —
2. “Если один из смежных углов — тупой, то другой угол —
доказательства которых аналогичны доказательству задачи
№66.
28
67........................................................
Углы DAB и DAF — смежные. Угол DAB равен 57°. Чему равен zDAF?
Дан о : zDAB и zDAF — смежные. zDAB = 57°.
Найти: zDAF.
^Решение
По теореме о смежных углах zDAB + zDAF = 180°.
Отсюда zDAF =180°- zDAB = 180° - 57° = 123°.
O/fT^e/н: zDAF = 123°.
Внимательно посмотрите решение задачи №67. Решите задачи №68 и №69 самостоятельно.
68
Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите больший
угол. (Внесите обозначения на чертеж, запишите условие и решите задачу.)
Дано: ___________________________________
Найти:
Решение
йог»
Н
м
а
м
я
3=)
S
ж
я
Е
tn
а
*гз
я
зи
Е
м
OlfieetH.
29
69...............................................................
Один из смежных углов на 100° меньше другого. Найдите меньший угол.
(Внесите обозначения на чертеж, запишите условие и решение задачи.)
Дано: __________________________________
Найти:
^Решение
OfHJeetH.
70
Могут ли быть смежными прямой и острый углы?
Дан о : za — прямой; z р — острый.
Определить: zawzp — смежные углы?
Доказательство:
Если бы zau были смежными углами, то по теореме о смежных углах za + z 3 = 180°. Но по условию задачи za = 90^ а Z р < 90°, отсюда za + zp < 180°. Значит, za и z^ не могут быть смежными углами.
Доказательство утверждения задачи № 71 аналогично доказательству задачи № 70. Внимательно посмотрите решение задачи № 70 и решите задачу № 71.
30
71............................
Могут ли быть смежными прямой и тупой углы?
Дан о : za — прямой; z р — тупой. Определить: zauzp — смежные углы?
Доказательство
za w z р ________________
быть смежными углами.
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние вертикальных углов.
Два угла называются вертикальными
72
Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все вертикальные углы и запишите номера этих рисунков в ответе.
(<0П
04
а
м
•м
W
№
5
►TJ
К
Е
W
а
а
Е
Е
м
31
73
74
Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых? (Сделайте рисунок.) Otfi£etH: При пересечении двух прямых обра-зцются
пары вертикальных углов.
Начертите угол, вертикальный углу kh. Сколько таких углов можно построить?
Offieetfi: Z и Z. являются вертикальными углами.
75
Угол равен 147°. Найдите углы и (Запишите условие и решите задачу.)
Дано: ________________________________
J^eiuetiue
=.
Свойство вертикальных углов: " Вертикальные углы равны"
32
76
Угол DAF равен 27°. Чему равен Z.GAE1 (р ешите
устно.)
Z.GAE =
77
Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 20^ Найдите остальные углы. (Решите устно.)
0»н£е/н:
78
Разность двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 36°. Найдите эти углы, (ответобоснуйте.)
Дано: za — ^ Р = 36°.
Найти: zai/zp.
Тешение
Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные углы. Углы za п z р не могут быть вертикальными, так как по условию они не равны: их разность равна 36°. Значит, za п z р — смежные углы.
По теореме о смежных углах za -Н z р = 180°, а по условию задачи za - Z р = 36°:
fza-zp = 36° . za = 36°-bzp;36°-Hzp -fzp =180°;2z^ =144°; \Za + zp = /S6° ^ HP У
Z p = 72°;
za = 36° + z p = 36° -b 72°, za = 108°.
Otn€eifi: za = 108° n z p = 72°.
Внимательно посмотрите решение задачи № 78. Решите задачи с № 65 по № 68 из учебника (§6) самостоятельно.
(АГ)
»
W
«
3=1
S
I
S
Е
м
Я
м
S
tr*
m
33
79...................................................
Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, — прямой. Найдите остальные углы. (Решите устно.)
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение перпендикулярных прямых.
Две прямые называются перпендикулярны-
ми.
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство двух прямых, перпендикулярных третьей.
В учебнике при доказательстве этого утверждения используют метод, в котором сначала предполагается обратное тому, что требуется доказать, а затем в результате доказательных рас-суждений, опирающихся на свойство "через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну", приходят к противоречию. Этот метод довольно часто применяется в геометрии при решении задач и доказательстве теорем. Следующую задачу № 80 решим этим методом. Попробуйте применить этот метод при решении задач № 81 и № 82 самостоятельно.
34
80
Сумма двух углов равна 148°. Докажите, что эти углы не могут быть смежными.
Г
К
Дано: za + zp= 148°.
Определить: zawzp — смежные углы?
Доказательство:
1) Предположим, что za w z р — смежные углы.
2) По теореме о смежных углах za + z р = 180°, а по условию задачи za+ = 148°.
3) Приходим к противоречию. Значит, za w z р не являются смежными углами.
J
81
Сумма двух углов равна 64°. Докажите, что эти углы не могут быть смежными.
Дано: ___________________________________________
Найти:
Доказательство
000
?'
а
т
а
м
а
3=1
а
I
а
а
м
m
а
*гз
X
tr
w
35
82.................................................
Разность двух углов равна 78°. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными.
Дано:______________________________________________
Найти: ___________________________
Доказательство
36
Глава II. Треугольники
§1. Первый признак равенства треугольников
Сделайте необходимые рисунки и опишите понятие треугольника, элементов треугольника, понятие равенства треугольников; сформулируйте определение периметра треугольника
Полученная геометрическая фигура называется треугольником.
____________________________называются сторонами треугольника.
____________________________называются вершинами треугольника.
Периметром треугольника называется
Я
W
W
Е
s<
я
ю
Я
ы
«
ж
5
W
м
я
о
•-3
W
>
►н
ж
m
•-1
о
ж
ж
я
я
ж
о
ж
Два треугольника называются равными, если
Если два треугольника равны, то
В равных треугольниках против
и обратно
Ъ1
83
Ai
Сг
Даны равные треугольники АВС и в которых ВС = В^С^;
CA = CjA^;AB=A^Bj.
Запишите соответственно равные углы.
OttieaR: zABC = z.
84..............
; /lBCA = z
; zCAB = z
Треугольники DFG и PQR равны. Известно,
что Z.DFG = zPQR; zFGD = zQRP; DF = 7 cm, DG = 14 CM. Чему равны соответствующие стороны треугольника PQR1 (сделайте рисунок, отметьте равные элементы.)
Gfn£etfi:
см;
см.
Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
38
85
Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера в ответе.
86...
Отрезок AD — биссектриса zBAC^ на сторонах угла отложены равные отрезки АВ и АС. Докажите равенство треугольников BAD и CAD.
/Г
Дан о : AD — биссектриса zBAC; АВ=АС.
Доказать: ABAD = ACAD.
Теишше
Рассмотрим ABAD и ACAD:
АВ = АС по условию;
zBAD = zDAC, так как AD — биссектриса;
AD — общая сторона.
Следовательно, ABAD = ACAD по двум сторонам и углу между
ними.
J
При решении следующей задачи так же, как и при решении задачи №86, используется первый признак равенства треугольников. Внимательно просмотрите запись решения задачи №86 и запишите решение следующей задачи аналогично.
а
т
►d
Е
»
id
•пб
S
ш
S
>
Ж
5
U
W
S
о
•н
>
•н
•V
п
о
ж
ж
S
S
ж
о
ж
39
87
В треугольниках BAD и CDA стороны BD и АС, а также углы ADB и ВАС — равны. Докажите равенство треугольников ВАВ и СВА.
Дано: ВВ = АС; zABB = zBAC.
Доказать: ABBA = АСАВ.
Утешение
Рассмотрим АВАВ и АСАВ:
88
Докажите, что если на данном рисунке АВ = AD и луч АС является биссектрисой угла ВАВ, то АС К В = АСКВ.
Дан о : АС — биссектриса zBAB;
АВ = АВ, точка К s АС.
Доказать: АВКС = АСКВ.
^Решение
Рассмотрим ABAC и ABAC. АВ =АВ по условию;
zBAK = zBAK, так как АС является биссектрисой zBAB;
АС — общая. Следовательно, ABAC = ABAC по двум сторонам и углу между ними.
Рассмотрим АСКВ и АСКВ: ВС = ВС, так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны; zBCK = zBCK, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы; СК — общая сторона. Следовательно,
АСКВ = АСКВ по двум сторонам и углу между ними.
40
89....................................................
В треугольнике АВС отрезок BD соединяет вершину В с точкой D, принадлежащей стороне АС. Докажите, что если АВ = СВ и BD является
биссектрисой /АВС , то BD А. АС.
Дано: ___________________________
В ________________________________
Доказать: _______________________
PetueHue
§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определение перпендикуляра к прямой и теорему о перпендикуляре к прямой.
Перпендикуляром к прямой называется _
Основанием перпендикуляра называется Из точки, не лежащей на прямой,______
'ит
ы
«
m
»
>
Е
tn
S
о
Г5
W
*TJ
г>
W
Е
о
о
н
Е
►н
Id
tri
<
о
tr
s
41
90...................................................
Равные отрезки BF и CG перпендикулярны прямой AD. Известно, что отрезки AF и GD равны. Докажите, что AABF = ADCG.
Дано: __________________________
Доказать:
Решение
Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определе ния медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Медианой треугольника называется
Биссектрисой треугольника называется
Высотой треугольника называется
42
91...........................................................
Среди треугольников, изображенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены высоты, и запишите их номера в ответе.
92
Среди треугольников, изображенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены медианы, и запишите их номера в ответе.
Otfieeffi:
93
Среди треугольников, изображенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены биссектрисы, и запишите их номера в ответе.
___________________________________________________
В задачах № 94-96 выберите правильный ответ и обведите соответствующую ему букву в предлагаемых ответах.
ГЧ5
X
W
>
к
•щ
т
К
о
о
tfS
5S
•н
S
г>
сг
6Г>
п
о
►н
н
м
•<
о
;=t
s
s
ж
>
43
94
95
96
В треугольнике ABD отрезок AF является медианой. Сравните длины отрезков BF и FD.
^ a)BF> FD;6)BF < FD; e)BF^ FD.
В треугольнике ABC отрезок BD является высотой. Определите взаимное расположение прямых BD и АС.
0»пве*н: а) BD перпендикулярна АС; б) BD параллельна АС; в ) BD и АС пересекаются под острым углом.
В треугольнике ABD отрезок BG является биссектрисой. Сравните градусную меру углов АВС и GBD.
OtfWetfi: а) zABG > zGBD;
б) zABG=zGBD;
в) zABG < zGBD.
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определения равнобедренного треугольника.
Треугольник называется равнобедренным.
97
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 9 см, а основание — 5 см. Вычислите периметр треугольника. (Решите устно.)
ОмеаЯ: _______
44
98.........................................................
В равнобедренном треугольнике основание равно 7 см, а периметр равен 17 см. Вычислите боковую сторону треугольника. (Решите устно.)
99
в равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 7 см, а периметр равен 17см. Вычислите основание треугольника. (Решите устно.)
0»п1ве/н:______________________________________________________
100
В равностороннем треугольнике сторона равна 7 см. Вычислите периметр треугольника. (Решите устно.)
101
в равных треугольниках DEA и FEE (см. рис.): Z.D = zF. Докажите, что АЛЕВ — равнобедренный.
/Г
V
Дано: ADEA = AFEB; zD = zF. \
Доказать: ААЕВ — равнобедренный.
Тешенме
ЕА = ЕВ, так как в равных треугольниках DEA и FEB против равных углов: zD = zF лежат равные стороны.
Значит, ААЕВ — равнобедренный по определению.
Внимательно посмотрите решение задачи № 101 и решите задачу № 102 аналогично.
го
X
W
>
W
S
о
г>
W
Ж
HI
ж
S
о
ж
1—1
is:
S3
п
о
сг
н
т»
W
•н
о
ж
1Г
п
ж
>
45
102
Треугольники KOL и NOM равны, причем zL = zN. Докажите, что АКОМ — равнобедренный.
L Дано: _____________________________
Доказать:
Решение
В задаче № 103 даны формулировка и доказательство первого признака равенства треугольников для равнобедренных треугольников.
103.......................................................
Первый признак равенства равнобедренных треугольников: Если боковая сторона и угол при вершине, противолежапдей основанию, одного равнобедренного треугольника равны боковой стороне и углу при вершине, противолежащей основанию, другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дан о : ААВС — равнобедренный;
AAjBjCj — равнобедренный;
АВ =А^В^; zABC = zA^Bf^.
Доказать: ААВС = АА^В^С^.
Доказательство:
АВ = ВС, так как по условию ААВС — равнобедренный;
А^В^ = В^Су так как по условию AAfi^C^ — равнобедренный;
ВС = В^С^, так как по условию АВ = А^В^; Рассмотрим ААВС и АА^В^Су АВ = по условию; zABC = zA^B^C^ по условию;
ВС = В^С^ по доказанному выше. Следовательно, ААВС = АА^В^С^ по двум сторонам и углу между ними.
Сг
V
46
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.
104
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол ВАС равен 67°. Определите ZBCA. (Решите устно.)
OffieefH: zBCA =
Используя свойство углов и определение равнобедренного треугольника, а также свойства смежных и вертикальных углов, решите самостоятельно задачи № 106-108.
105
Треугольник RST — равнобедренный: ST = SR. Определите zl, если z2 = 106°.
Г
S
Дано: ARST — равнобедренный; z2 = 106°,
Найти: zl.
J^eiueHue
zSTR и zSTP ( z2) — смежные, значит, zSTR -Ь z2= 180° по теореме о смежных углах.
Отсюда zSTR = 180°- zSTP, z2 = 180°- 106° = 74°.
zSTR и zl равны no свойству углов равнобедренного треугольника.
Значит, zSRT = 74°. *
0*fi£etH: zl = 74°.
J
го
s
w
»
>
IS
w
S
n
n
w
5*5
s
n
z
s
td
cr
о
о
•н
E
н
tr)
о
tr
»
S
>
47
106
Треугольник DGH — равнобедренный: GD = GH. Определите z2, если zl = 63°.
107
G
Дано:
Найти
Теишше
В равнобедренном треугольнике FBG FG — основание. Докажите, что zBFA = ZBGD.
В
Дано:
Доказать:
J^euieHue
48
108......................................................
На сторонах угла Q отложены равные отрезки QR и QP. Через точки R и Р проведена прямая. Докажите, что za = z р .
Дано:
Q
Доказать:
Тешенме
109
(116 из учебника). Докажите, что в равностороннем треугольнике все
углы равны. (Внесите обозначения на чертеж.)
Дано: __________________________________
Доказать:
Решение
ЗБ
W
>
S
W
X
п
п
m
Ж
•н
*TJ
X
п
г:
X
ш
г
п
о
и
г;
ж
3
•S
О
ж
ж
ш
X
ж
49
110
(115 из учебника). В треугольнике АВС: AD = BD = DC, zA = 53°, zC = 37°. Найдите zABC.
fT
Дано: AD = BD = DC; zA = 53°, zC = 37°.
Найти: zABC.
PeuteHue
zBAD = zABD, так как AD = BD; zBCD = zDBC, так как BD = DC; zABC = zABD + zCBD, так как луч BD проходит внутри угла АВС; zABC = 53° + 37° = Ж.
OinjeetfL: zABC = Ж.
J
^ 111
В треугольнике АВС: zABC = 90°, AD = BD = DC, zBAD = 64°. Найдите zDCB.
Дано: AD = BD = DC; zABC = Ж, zBAD = 64°.
A^---h
Найти: zDCB.
Тешение
zDCB =
50
112.................................................................
(109 ИЗ учебника). Отрезок BD — медиана равнобедренного треугольника АВС, проведенная к основанию. Найдите её длину, если периметр треугольника АВС равен 50 см, а периметр AABD равен 30 см. (сделайтечертеж.)
Дано: ААВС — равнобедренный;
BD — медиана ААВС; = 50 см;
= 30 СМ.
Найти: BD.
PetueHue
Otfieeffi: BD =
см.
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство бис сектрисы, медианы и высоты равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике биссектриса
В равнобедренном треугольнике медиана
В равнобедренном треугольнике высота
r\J
s
м
»
s
>
S
6г*
СУ
Г»
п
м
1-3
S
о
Е
z
о
о
HI
tr
HI
*TJ
w
—1
о
er
»
S
Ж
>
51
113
Отрезок ВК — биссектриса равнобедренного треугольника АВС, проведенная к основанию АС. Найдите AJiT, если АС = 46 см. (Решите устно.)
0/^е/н:АК =
см.
114
в равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса AD к основанию СВ. Докажите равенство треугольников BDK и CDK, где К — произвольная точка отрезка AD.
Дан о ; ААВС — равнобедренный треугольник, ВС — основание; AD — биссектриса; К G AD.
Доказать: ABDK = ACDK.
Доказательство:
Рассмотрим AKDB и AKDC: zBDA = zCDA, так как биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой;
BD = CD, так как биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой; KD — общая сторона. Следовательно, ABDK = ACDK по двум сторонам и углу между ними.
115
Отрезок АК — высота равнобедренного треугольника ВАС, проведенная к основанию ВС. Найдите zBAK и zBKA, если zBAC = 46°.
(Решите устно.)
zBAK =_________; zBKA =_________.
52
116...........................................................
Отрезок DA — медиана равнобедренного треугольника ВВС, проведенная к основанию СВ. Найдите углы AADC, если zBDC = 120°,
ZDBC = 30°. (Отметьте на чертеже равные элементы, запишите условие.)
Дано: ________________________________
Найти: zDCA; zADC; zCAD.
Решение
0/п€еЙ1: zDCA = zCAD =
; zADC =
117
в равнобедренном треугольнике АВС проведена медиана AD к основанию СВ. Докажите равенство треугольников ABjRT иАСК, где К — произвольная точка отрезка AD.
Дано: ААВС — равнобедренный треугольник, R ВС — основание; AD — медиана; К е AD.
Доказать: ААВК = ААСК.
Доказательство:
Рассмотрим ААВК и ААСК:_________
го
S
m
»
>
tr
»
S
о
о.
W
«
Hi
S
X
Ы
ir*
HH
n
О
•H
tri
•<
о
:=!
XT
X
s
ж
>
53
Второй U третий признаки равенства треугольников
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте второй признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам.
^ 118
Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера в ответе.
G
OtfieeiH:
54
119
В равнобедренном треугольнике АВС отрезки AD и CF — биссектрисы углов при основании САВ и АС В соответственно. Докажите равенство треугольников AZ)C и CFA. (Отметьте на рисунке равные элементы треугольников.)
В
Дан о : AD — биссектриса /:САВ;
CF — биссектриса zACB.
Доказать: AADC = ACFA.
Доказательство: zCAB = zACB, так как ААВС — равнобедренный. zCAD = zFAJD, так как AD — биссектриса zCAB; zACF = zDCF, так как CF — биссектриса zACD; zCAD = zFAlD = zACF = zDCF, так как zCAB = zACB; отсюда zCAD = zACF. Рассмотрим AADC и ACFA: zCAD = zACF no доказанному выше; zCAB = zACB no условию; AC — обитая сторона. Следовательно, AADC = ACFA no стороне и прилежащим к ней
углам.
V
120
Докажите равенство треугольников ВАС и DCA, если zCAB = zACD,
zCAD = zACB. (Отметьте на рисунке равные элементы треугольников, данные в условии, и решите задачу.)
Дано: zCAB = zACD; zCAD = zACB. Доказать: ABAC = ADCA.
C Доказательство
ra
S
w
a
>
ж
a
?
n
tn
a
r>
>
fll
«<
о
;=i
tr
a
s
ж
о
u
55
121
Отрезок GE — биссектриса zFGD, zLEG = zKEG. Докажите равенство треугольников LEG и KEG. (отметьте на чертеже равные элементы, запишите условие и решите задачу.)
Дано: ___________________________
Доказать: ___________
Доказательство
В задаче №103 были даны формулировка и доказательство первого признака равенства треугольников для равнобедренных треугольников. В задаче №122 дана формулировка второго признака равенства треугольников для равнобедренных треугольников. Докажите второй признак равенства равнобедренных треугольников.
122
(134 учебника). Второй признак равенства равнобедренных треугольников: Если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
D D
' Дан о : ААВС — равнобедренный;
АС — основание; дЛ^В^С^ —равнобедренный; основание; АС = А^С^;
С А
А,с,
^ВСА = zBjCjA,.
Cj Доказать: ААВС = АА^В^С^. Доказательство
56
Следовательно, ААВС = AA^B^C^ по
Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте третий при знак равенства треугольников по трем сторонам.
123
Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера в ответе.
124.......................................................
(136 учебника). По рисунку докажите равенство треугольников ВАС и ВАС, если АВ —AD, ВС = DC.
Г
л
Дано: АВ = AD, ВС = DC.
Доказать: ABAC = ABAC. J^eiueHMe
Рассмотрим ABAC и ABAC. АВ = AD — по
условию; ВС = ВС — по условию; АС — общая сторона. Следовательно, ABAC = ABAC по трем сторонам.
rs
►и
»
ё
S
S
ш
W
S
Г)
•н
>
W
•1
о
i=l
tr
s
s
я
о
ш
57
125
Стороны АВ и ВС треугольника ВАС равны соответственно сторонам CD и DA треугольника £>СА. Определите градусную меру zABC, если
Z.CDA = 127°. (Отметьте на рисунке равные элементы треугольников, данные в условии задачи.)
Дано: AB = CDuBC = DA; zCDA = 127°. Найти: zABC.
Тешение
OtfLeeffi.
126
Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка О так, что АС = ВО = СО. Докажите, что ААОВ — АВОС = ЛАОС. (Дополните чертеж.)
Дано: ______________________________
Доказать:
Доказательство
В задачах №103 и №122 были даны формулировки и доказательства первого и второго признаков равенства треугольников для равнобедренных треугольников. Теперь переформулируем третий признак равенства треугольников для равнобедренных треугольников (задача №127). Докажите его самостоятельно.
58
127
Третий признак равенства равнобедренных треугольников: Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ____________________________
Доказать:
Доказательство
Са
128
(№ 135 учебника). Сформулируйте признак равенства треугольников для равносторонних треугольников:
§4. Задачи на построение
Сформулируйте определение окружности.
ип
>
3=)
S
S
X
>
X
о
Г5
Н
*ТЗ
О
W
X
X
м
59
129
130
1. Обозначьте центры окружностей.
2. В одной из окружностей нарисуйте радиус и несколько хорд.
3. В другой окружности нарисуйте диаметр и несколько хорд.
4. Укажите несколько дуг одной из окружностей.
Otfieein: U______; U_______,• U_______.
Дана окружность с центром в точке О. По рисунку определите вид АВОА. (Решите устно.)
АВОА является
131 .......................................................
Дана окружность с центром в точке О. По рисунку определите вид АВОА, если хорда АВ равна радиусу. (Решите устно.)
^ Ofn£effi: tsBOA является_____________
132 .......................................................
Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера в ответе.
60
133
Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром в точке О. Докажите, что ADOA = АСОВ.
Дан о : АВ и CD — диаметры окружности; О — центр окружности.
Доказать: ADOA = АСОВ.
Доказательство
АО = ОВ= СО = OD — как_______
zDOA = zCOB — как
окружности.
Значит, ADOA = АСОВ по
признаку равенства треугольников.
134
Две окружности с центрами О и Oj пересекаются в точках А и В. Докажите, что АОАО^ = АОВО^. (дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.)
Дано: _____________________________
Доказать:
Доказательство
con
4N
СО
>
S
S
>
н
о
о
*-3
►TJ
о
еп
S
S
m
61
135
Докажите, что общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров. (Дополните чертеж по ходу решения задачи.)
Г
Дано: АиВ — точки пересечения двух окружностей; OOj — линия центров.
Доказать: АВ 1ОО^. Доказательство
ААОВ и ААО^В —равнобедренные с обидим основанием АВ,
так как_____=______и______=______, как
________________________окружностей.
AOAOj = АОВО^ в силу утверждения задачи №134.
Поэтому zAOC = zBOC, а zAO^C = zBO^C.
Значит, ОС и О^С — биссектрисы zAOB и zAO^B соответственно. В равнобедренных треугольниках биссектриса угла при вершине
является__________, отсюда ОС LAB и О^С________АВ.
По теореме о единственности перпендикуляра, проведенного
АВ L ОО^.
J
136
Даны две концентрические окружности. АС и BD — диаметры этих окружностей. Докажите, что ААВО = ACDO. (отметьте по ходу решения задачи на чертеже равные элементы.)
Дан о : АС и BD — диаметры, О — центр.
Доказать: ААВО = ACDO.
62
Доказательство
137
Постройте с помощью циркуля и линейки угол, равный данному.
Г
Дано:
Построить
угол,
равный za.
Построение:
Описание построения:
Построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла А. Пусть В иС — точки пересечения этой окружности со сторонами угла (рис. 1). Радиусом АС проведем окружность с центром в точке А^ — начальной точке луча I и точку пересечения луча и окружности обозначим (рис. 2). Радиусом ВС (рис. 3) проведем окружность с центром в точке С^ и точку пересечения двух окружностей обозначим В^ (рис. 4). Проведем лучА^В^, получили zB^A^C^, равный данному. Равенство углов следует из равенства треугольников АВС иА^В^С^.
^
ьоп
ё
S
>
t=)
о
о
н
о
W
и
S
м
63
138......................................................
Сделайте по рисунку описание построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки, по аналогии с описанием построения угла, равного данному.
" 139
Сделайте по рисунку описание построения с помощью циркуля и линейки прямой, перпендикулярной данной, по аналогии с описанием построения угла, равного данному.
Дано: Построение (задача 1):
Сел Построить пря- -Я' Ю
мую, перпендаку- С п А( С \В п А{ \В п А\ С\Вп
лярную прямой п. Л ) \ } ^ }
проходящую через 1) 2) 3) 4)
точку С.
Описание построения:
64
Глава III. Параллельные прямые
§1. Признаки параллельности прямых
Сформулируйте определение параллельных прямых.
Сформулируйте определение параллельных отрезков.
140
1. Назовите угол, который образует с углом САВ пару односторонних углов.
GtHJeetfi:________________________________
2. Назовите угол, который образует с углом САВ пару накрест лежащих углов.
OtfieefH: ________________________________
3. Назовите угол, который образует с углом САВ пару соответственных углов.
0^нве*н:
Сформулируйте признаки параллельности прямых:
1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы , то прямые параллельны.
2. Если при пересечении __________________________________
соответственные углы _______________
то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних
углов равна ________________________________________________
то прямые __________________________________________________
Я
тз
S
U}
>
Ж
S
а
>
а
м
а
tT<
ffi
о
Г»
•ч
ж
а
ж
65
141
142
Дано: zl = z2, zS ^z4. Определите пару параллельных прямых. (Решите задачу устно.)
Otn£etH:
Дано: zl + z2 = 180°, z3 > z4. Определите пару параллельных прямых. (Решите задачу устно.)
G/fieetfi:
143
Дано: zl = z4, z2 + z3 180°, z3 > z4. Определите пару параллельных прямых.
^ (Решите задачу устно.)
Ofiiieeffi:
§2. Аксиома паралделъиых прямых
Сформулируйте аксиому параллельных прямых;
В учебном пособии приведены два следствия из аксиомы па^ раллельных прямых.
66
Следствием из данной аксиомы или теоремы называют такое утверждение, которое доказывается со ссылкой только на данную аксиому или теорему.
Посмотрите задачи № 65 и № 66, они являются следствиями из теоремы о смежных углах.
Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух_
то
2. Если две прямые
то
Второе следствие является еще одним признаком параллельности прямых.
144
Дано: AD || FG, ВС || ЕН и FG || ЕН, ^ Определите ещё одну пару параллельных
прямых. (Решите устно.)
O0iee*fi:
Теоремы:
"Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны" и
"Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны"
являются обратными теоремами.
В доказательстве теоремы о накрест лежащих углах при параллельных прямых и секущей используется метод от противного,
ion
го
>
ж
rj
S
о
з:
>
а
>
ж
Ьа
м
Ж
ж
а
tr*
Я
а
ж
ж
IS
ж
67
Этот метод уже применялся нами при доказательстве единственности перпендикуляра к прямой и свойства двух прямых, перпендикулярных третьей, а также при решении задач № 81 и № 82. Сформулируйте еще две теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, которые являются обратными соответствующим признакам параллельности прямых.
145
Сформулируйте утверждение, обратное следующему: **Если один из смежных углов — острый, то другой — тупои*\
146
Дано: d II /II Л; zl = 24°. Чему равны z2 и
Z3? (Решите устно.)
Otfieeffi: z2 =
147
На рисунке DK || GC. Найдите градусную меру угла, который образует с углом АВС, равным 58°:
1. пару односторонних углов.
OtHieeifi: Z =
2. пару накрест лежащих углов.
0*нве*н: Z________=
3. пару соответственных углов.
Z =
68
148.................................................
Найдите градусную меру углов: DAB^ АВС у BCD и CDA, если zABF = 29°, а AD || БС и АВ Ц DC.
Дано: ___________________
Найти:
J^eiueHue
Offi£efH: zDAB = zBCD =
zABC =. ; zCDA =
149
Равные отрезки KL и NM лежат на параллельных прямых, КМ — секущая. Докажите, что AKLM = AMNK. (отметьте на чертеже равные элементы и решите задачу.)
Дано: KL\\NM,KL = NM.
Доказать: AKLM = AMNK.
Доказательство
иоп
to
>
3S
О
S
о
>
а
>
9
а
м
а
tr
S
сг
м
X
а
а
з;
Е
X
69
150
(187 из учебника). В треугольниках ADB и AFB: AD = ЛВ, AF = FC. Докажите, что DB || FC. (отметьте на чертеже равные элементы.)
Дано: AD = DB,AF = FC.
Доказать: DB || FC.
Доказательство
70
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
§1. Сумма углов треугольника
Выполните необходимый рисунок и сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
151 ...................................................
в треугольнике один из углов равен 29°, другой 91°. Найдите его третий угол.
Ofn£efH:_________________________________________________
152 ...................................................... г
о
Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? 35
0/п€е/н: ^
--------------------------------------------------- чс
153 ...................................................... S
Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
Otn€etH: §
—— —— хг
№
154 ...................................................... I
В равностороннем треугольнике АВС проведена высота ВО. Найдите углы треугольника АВХ).
aADB =__________; aDAB =________; aABD =_____
71
155
S
Ш
в
о
»
н«
о
о
и
<
п
<
5
156
DF — высота прямоугольного треугольника
ADB (zZ) — прямой). Укажите соответственно равные углы в треугольниках ADF и АОБ.
Gf^etn: zADB =__________;
/.DAB =________;
zABD =
Медиана BD треугольника ABC отсекает от него равносторонний треугольник DAB, Определите углы ACDB.
0»п£егн: zCBD =______;
zBDC =_______;
zBCD =
157 ...............................................
Может ли равносторонний треугольник быть прямоугольным?
В
Дано: АС = СВ = АВ. Определить: Может ли zACB = Ж?
^Решение
Так как ААСВ — равносторонний, а в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, то zACB = zCBA = zBAC.
По теореме о сумме углов треугольника:
zACB + zCBA + zBAC = 180°, Предположим, что zACB = 90°,
Тогда по предположению zACB + zCBA + zBAC = 270°.
Получили противоречие. Значит, zACB не может быть равен 90°.
Oin£effi: zACB ф 90°.
J
Решение задачи №158 аналогично решению задачи №157 решите ее самостоятельно.
72
158...........................................
Может ли равносторонний треугольник быть тупоугольным?
Дано: ___________________
Определить: Может ли zACB > 90°?
Решение
В ходе решения задачи №159 полезно использовать результа^ ты решения задачи №154.
159
в
В равностороннем треугольнике АВС проведены высоты AD и BF, которые пересекаются в точке Q.
а) Найдите углы треугольника AQF.
GffieefH: zQAF =________;
zQFA =__________;
zAQF =_________.
б) Найдите углы треугольника AQB. Ойг£е»Я.: ZQAB =________; zQBA =
иоп
h-»
п
g
§
о
ю
н
►d
о
:=(
tr*
»
zAQB —
73
Выполните необходимый рисунок и сформулируйте определение внешнего угла треугольника и теорему о внешнем угле треугольника.
«л
К
м
в
о
я
e-t
о
о
CJ
.Л
160
Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.
Offi£effi: _______
161
Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника.
OfH£etfi: ______________________
162
Найдите внешний угол при основании прямоугольного равнобедренного треугольника.
74
В ходе решения задачи №163 полезно использовать результат, полученный при решении задачи №101.
163
в равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) на основании отложены равные отрезки AD = CF. Определите углы треугольника DBF, если zBFC= 110° (см. №101).
Дано: _________________________
В _______________________________
Найти:
Теюеиме
164
Ofn£etfi:
Могут ли у треугольника быть два внешних угла при разных вершинах — прямыми?
Г
к
J^euteHue
Нет, не могут, так как в этом случае в данном треугольнике было бы два прямых угла, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.
Л
165
Могут ли у треугольника быть два внешних угла — острыми?
^Решение
JJ
о
I
о
*-3
м
«<
•п
о
tr
S
S
75
166...............................................
(№ 232 из учебника). Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше внутреннего не смежного с ним угла, то треугольник — равнобедренный.
Доказательство
U4
В
о
»
н
о
о
<
л
<
5
167
АС — диаметр окружности с центром в точке О. Определите углы АВОС, если zAOB = 124°.
(Решите устно.)
АСОВ =________;
аОВС =________;
аОСВ =
168
Радиус окружности с центром в точке О равен 7 см, ZBAO = 60°. Найдите хорду АВ. (Решите
устно.)
: АВ = _____________см.
76
§2. Соотношения меЯсду сторонами U углами треугольника
Выполните необходимый рисунок и сформулируйте теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника состоит из двух теорем: прямой и обратной.
169 ......................................................
Стороны треугольника равны 8 см, 9 см и 12 см. Определите, какой угол треугольника — наибольший, какой — наименьший.
Otfieeifi: Наибольший угол лежит против стороны, равной _см.
Наименьший угол лежит против стороны, равной_____________см.
170 ......................................................
Стороны треугольника равны 8 см и 6 см. Определите, может ли угол, противолежаш;ий стороне, равной 6 см, быть тупым.
Угол, противолежаш^ий стороне, равной 6 см, ________
потому, что ________________________________________________
171 ......................................................
Углы треугольника равны 40° и 80°. Определите, против какого угла треугольника лежит большая сторона.
Gtn^etn.: Большая сторона лежит против угла, равного _______,
так как
о
о
я
>
я
Я
я
>
я
Я
•н
м
о
я
я
77
X
ш
В
о
Я
о
о
CJ
<
п
<
5
172 .......................................................
Углы треугольника равны 40“ и 60“. Определите, против какого угла треугольника лежит большая сторона.
OffieetH: Большая сторона лежит против угла, равного ________,
так как _____________________________________________________
173 .......................................................
Определите, что больше, боковая сторона или основание равнобедренного треугольника, если один из его углов — тупой.
____________________________________________________
больше, так как _____________________________________________
174
В равнобедренном треугольнике один из углов тупой, одна из сторон равна 15 см, а другая 10 см. Чему равно основание равнобедренного треугольника?
0^н€е»н: Основание равнобедренного треугольника равно___
см.
так как
175
В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что если ВС > АВ, то zBDC — тупой.
Дано: ____________________________
Доказать:
^Решение
78
Выполните необходимые рисунки и сформулируйте следствия из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника.
В прямоугольном треугольнике
Если два угла треугольника
Во втором следствии сформулирован признак равнобедренно го треугольника.
Свойство углов равнобедренного треугольника и признак рав нобедренного треугольника являются обратными теоремами.
176
Стороны FG и BG треугольника FBG равны и углы BFG и ВАС треугольников BFG И ВАС равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Дано: _____________________________
Доказать:
J^eidieHue
>
►н
m
*<
О
ег*
S
S
«
>
79
177
Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи № 107.
Дано:
В
Доказать:
Доказательство
«1
S
S
ы
В
о
Л
н
о
о
и
S
S
S
<
S
>
S
S
н
О
и
сг
S
S
»
>
J
81
181
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 11 см, другая 4 см. Найдите третью сторону, (внесите обозначения на чертеж.)
Дано: ___________________________
Найти:
^Решение
S
X
ш
В
о
X
м
о
о
>
N-4
<
182
Две окружности равных радиусов с центрами в точках О и пересекаются в точках А и В. Одна сторона треугольника АОО^ равна 13 см, другая 6 см. Определите расстояние между центрами окружностей.
Дано: _____________________________
Найти:
TeuieHue
Ойьве^н.
82
§3. Прямоугольный треугольник
Сформулируйте свойства прямоугольного треугольника.
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30'^
равен __________________________________________________
и обратно:
3.
183
Найдите угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. (Внесите обозначения на чертеж.)
Дано: ___________________________
Найти:
J^etueHue
OtHjeefH:
184
в равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12 см, а угол при вершине, противолежащей основанию — 120°. Найдите высоту треугольника.
Дано: ____________________________
Найти:
Тешеиме
ш
а
а
S
о
о
а
1Г
а
К
»
HI
м
•<
HJ
о
а
о-
а
а
ж
G/n£etH:
83
185
В прямоугольном треугольнике АВС {ZC — прямой) проведена высота CD. Найдите длины отрезков AD и BD, если гипотенуза равна 12 см, а ZCAB = 30°.
А Дано: ____________________________
Найти:
Теше/ше
в
т
»
м
В
о
»
ь-
о
о
С_'
<
(Q
<
Е
0tH6etfi:
186
в прямоугольном треугольнике АВС (zC — прямой) проведена высота CD. Докажите, что если zBAC = 30°, то АВ : BD = 4:1.
А Дано: ____________________________
Доказать:
Тешение
В
84
187*.................................................
Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины, (внесите обозначения на чертеж.)
Дано: ____________________________
Доказать:
Доказательство
188
Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера в ответе.
D
Otn£effi:
В задачах № 103, 122 и 127 были даны формулировки признаков равенства треугольников для равнобедренных треугольников, в которых учитывались их свойства. Теперь переформулируем признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников (задачи № 189-192). Все они доказаны в учебнике, но попробуйте доказать их самостоятельно.
ЬОО
ы
»
о
•<
•-1
о
tr
»
tr
s<
•-3
*ri
м
й
о
tr
«
Ж
85
189
Докажите, что если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: _____________________________
Доказать:
Доказательство
В,
»
ы
В
о
»
н
о
о
и
<
CQ
<
5
190
Докажите, что если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ______________________________
Доказать:
Доказательство
В,
86
191
Докажите, что если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны.
Дано: ___________________________
В С,
Доказать:
Доказательство
192
Докажите, что, если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны.
Дано: _____________________________
Доказать:
Доказательство
By
Утверждение, сформулированное в задаче № 193, может быть доказано с опорой на утверждение, данное в задаче № 191. В задаче № 194 доказательство проводится с использованием признака равенства прямоугольных треугольников.
«у»
ы
я
►d
о
»<
О
tr
Я
Е
HI
м
»<
HI
о
я
tr*
я
я
Ж
87
193...................................................
Докажите равенство двух равнобедренных треугольников по углу при основании и высоте, проведенной к основанию, (внесите обозначения на чертеж.)
Дано: ___________________________
Доказать:
Доказательство
»
ш
а
о
S
f-*
о
о
CJ
194
Докажите равенство двух равнобедренных треугольников по боковой стороне и высоте, проведенной к основанию. (Внесите обозначения на чертеж.)
Дано: ____________________________
Доказать:
Доказательство
<
PQ
<
5
Сформулируйте признак равенства прямоугольных треуголь ников по гипотенузе и катету.
88
§4. Построение треугольника по трем элементам
Сформулируйте, как соотносятся длины перпендикуляра и наклонной и дайте определение расстояния от точки до прямой.
Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, наклонной,_________________________________
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.
195
Внутри треугольника АВС отмечена точка М. Докажите, что сумма расстояний от точки М до прямых, на которых лежат стороны треугольника, меньше суммы расстояний от нее до вершин треугольника. (По условию
задачи дополните чертеж.)
Дано: ______________________________
В ___________________________________
Доказать: __________________________
Доказательство
Сформулируйте свойство параллельных прямых
Все точки каждой из двух параллельных прямых
иоп
П
О
rs
н
о
м
S
S
rt
•ч
W
о
ВТ
»
X
ж
>
а
о
|Н
м
X
ш
ж
м
X
т
Ш
•н
89
Из доказательства этой теоремы следует способ построения прямой, параллельной данной, все точки которой лежат на заданном расстоянии.
Сформ-улируйте определение расстояния между параллельными прямыми:
ш
в
о
»
о
о
<
п
<
Е
196
1. С помощью циркуля и линейки через данную точку М проведите прямую bj параллельную данной прямой а.
2. Докажите параллельность прямых СМ и а. (сделайте необходимый рисунок.)
г
Дано:
Прямая а; М€ а
Построить прямую, параллельную данной прямой а и проходящую через точку М.
1 .
Построение:
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке М так, чтобы она пересекла прямую а в точке А. Теперь проведем окружность того же радиуса с центром в точке А и ее точку пересечения с прямой а обозначим через В. Из точки А радиусом, равным ВМ, проведем окружность и точку пересечения двух окружностей обозначим С. Проведем прямую СМ.
90
197
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними, (выполните построение по описанию.)
иоп
fs
а
о
о
HI
О
W
S
S
м
н
W
О
ir
»
s
я
>
я
о
*-а
м
ш
Я
w
з:
т
X
3
На луче с начальной точкой А построим угол, равный данному углу а. На сторонах построенного угла от его вершины отложим отрезки АС и АВ, равные а и Ь соответственно. Соединим точки В и С. Полученный треугольник АВС является искомым в силу первого признака равенства треугольников.
91
198
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам, (выполните построение по описанию.)
О
о
и
<
<
5
На луче I с начальной точкой А построим угол, равный данному углу а. От точки А отложим отрезок АС, равный а. На луче СА с начальной точкой С построим угол, равный данному углу р.
Если а + р < 180°, то стороны углов, не лежащие на луче I, пересекаются в точке В. Тогда полученный треугольник АВС является искомым в силу второго признака равенства треугольников.
Если а + р > 180°, то стороны углов, не лежащие на луче I, не пересекаются и задача решения не имеет.
92
199
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трем сторонам. (Выполните построение и сделайте его описание.)
Дано: Построение:
ь
а
с
Построить
треугольник.
Построение:
Если с <а + Ь,
Если с>а + Ь,
ООП
а
о
о
н
о
W
»
w
•н
т»
tn
о
а
«г
а
S
а
о
•н
Т»
М
з:
а
м
S
W
а
S
93
Учебное издание
Мищенко Татьяна Михайловна
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ
7 класс
К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы»
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16678 от 20.05.2015 г.
Главный редактор //. Д. Лаппо Редактор И. М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Технический редактор Л. В. Павлова Корректоры И. Д. Барийская, Г. Б. Абудеева Дизайн обложки Л. В. Демьянова Компьютерная верстка А. С. Федотова
107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz
E-mail: по общим вопросам: [email protected];
по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 8(495)641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брощюры, литература учебная
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», 170546, Тверская область. Промышленная зона Боровлево-1, комплекс № ЗА, www.pareto-print.ru.
По Bonpocaivi реализации обращаться по тел.: 8(495)641-00-30 (многоканальный).