Сборник задач Алгебра 9 класс Шестаков Высоцкий Звавич

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Сборник задач Алгебра 9 класс Шестаков Высоцкий Звавич - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
Учебное издание С. А. Шестаков, И. Р. Высоцкий, Л. И. Звавич Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы 9 класс Под редакцией С. А. Шестакова Редакция «Образовательные проекты» Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.003857.05.06 от 05.05.2006 г. ООО «Издательство Астрель» 129085, Москва, пр-д Ольминского, д. За ООО «Издательство АСТ» 170002, РФ, г. Тверь, пр-т Чайковского, д. 27/32 Наши электронные адреса; www.ast.ru E-mail: astpub@aha.ru ОАО «Владимирская книжная типография» 600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7, Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов По вопросам приобретения книг обращаться по адресу: 129085, Москва, Звездный бульвар, дом 21, 7 этаж Отдел реализации учебной литературы «Издательской группы АСТ» Справки по телефону; (495) 615-53-10, факс 232-17-04 с. А. Шестаков, И. Р. Высоцкий, Л. И. Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО АЛГЕБРЕ ЗА КУРС ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 9 класс Под редакцией С. А. Шестакова 2-е издание, исправленное Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия по алгебре для учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений Ш ACT • Астрель Москва • 2008 УДК 373:512 ББК22.14я72 Ш51 Рецензенты: Т. П. Григорьева, доцент кафедры теории и методики обучения математике Нижегородского педагогического университета; Л. Г. Ершова, учитель математики Нижегородской гуманитарной художественной школы им. М. В. Ломоносова; Л. А. Жигулев, зав. кабинетом математики Санкт-Петербургской академии постдипломного педагогического образования Сборник разработан при методической поддержке Московского института открытого образования и Московского центра непрерывного математического образования (научный руководитель проекта — зав. кафедрой математики МИОО, к. ф.-м. н. И. В. Ященко) Разработка оригинал-макета осуществлена с использованием оригинальных технологий учебно-издательского центра «Интерактивная линия» Шестаков, С. А. Ш51 Сборник задач для подготовки и проведения письменно- го экзамена по алгебре за курс основной школы : 9-й кл. / С. А. Шестаков, И. Р. Высоцкий, Л. И. Звавич; под ред. С. А. Шестакова. — 2-е изд., испр. — М.; ACT: Астрель, 2008.— 255, [1] с. ISBN 978-5-17-033617-3 (ООО «Издательство АСТ») ISBN 978-5-271-12877-6 (ООО «Издательство Астрель») Сборник предназначен для подготовки и проведения итоговой аттестагщи по математике выпускников основной школы. Он может быть использован в учебном процессе, для организации итогового повторения курса алгебры 7-9, тематического и рубежного контроля. В качестве приложения в сборник включены задачи по геометрии. Все задачи классифицированны по содержатель-ным'линиям и дифференцированы по четырем уровням сложности. УДК 373:512 ВБК 22.14я72 Подписано в печать 04.05.2007. Формат бОхОО'Дв. Уел. печ. л. 16,0. Доп. тираж 15 000 экз. Заказ № 4967. ISBN 978-5-17-033617-3 (ООО «Издательство АСТ») ISBN 978-5-271-12877-6 (ООО «Издательство Астрель») © ООО «Издательство Астрель», 2004 © Интерактивная линия, 2004 ПРЕДИСЛОВИЕ О назначении сборника Сборник предназначен для подготовки и проведения итоговой аттестации по математике выпускников основной школы. Структура и содержание сборника учитывают традиции российского математического образования и реалии современного образовательного процесса. Сборник позволяет проводить независящую от учебника, по которому ведется преподавание, диагностику знаний учащихся с эффективным выявлением проблемных зон, выстраивать индивидуальные образовательные траектории, продуктивно реализовывать уровневую дифференциацию. Сборник может быть использован в учебном процессе, для организации итогового повторения курса алгебры 7-9, тематического и рубежного контроля. Он составлен с учетом развития профильного образования и предпрофиль-ной подготовки в основной школе и обеспечивает подготовку к продолжению образования в старшей школе в соответствии с выбранным профилем. О структуре сборника В сборнике - девять глав; “Числовые выражения”, “Буквенные выражения”, “Уравнения”, “Неравенства”, “Системы уравнений”, “Системы неравенств”, “Функции и графики”, “Текстовые задачи”, “Прогрессии”. В первых восьми главах - по 3 параграфа, в последней - один параграф. В качестве приложений в сборник включены главы “Задачи по геометрии” (Приложение 1) и “Задачи по теории вероятностей и статистике” (Приложение 2), а также примерные варианты экзаменационных работ по алгебре (Приложение 3). Задачи по теории вероятностей и статистике и задачи по геометрии не предназначены для включения в варианты экзаменационных работ в настоящее время. Задания дифференцированы по уровням А, В, С и D в порядке возрастания сложности. В каждом параграфе - 80 задач (сгруппированных по две): 20 задач уровня А, 20 задач уровня В, 20 задач уровня С, 20 задач уровня D. Исключение составляет приложение 1 - глава “Задачи по геометрии”, в параграфах которой содержится Предисловие по 30 задач каждого уровня (120 задач в параграфе). Наличие этой главы в сборнике придает ему определенную универсальность как единому сборнику экзаменационных материалов по математике для выпускников основной школы и позволяет использовать его, в частности, для подготовки и проведения устного экзамена по геометрии. Первый параграф каждой из глав 1-6 посвящен целым числам или целым алгебраическим выражениям, второй параграф - дробным числам или алгебраическим дробям, третий параграф - квадратным' корням или иррациональным выражениям. Это позволяет организовать отбор задач для экзаменационных работ как по содержательным (главы), так и по функциональным (параграфы) линиям. Информация о типе и уровне задачи содержится в ее номере. Например, задача 3.2.С08 - это восьмая по счету задача уровня С параграфа 2 главы 3, т.е. задача по теме “Рациональные уравнения”. Такая структура позволяет, с одной стороны, сделать требования, предъявляемые к аттестации, прозрачными и понятными и, с другой стороны, организовать обобщающее итоговое повторение, систематизацию и итоговый контроль знаний учащихся - как тематический, так и комплексный (в том числе с учетом уровневой дифференциации). О структуре экзаменационных работ по алгебре и критериях их оценки Экзаменационная работа по алгебре для учащихся общеобразовательных классов компонуется из 10 задач глав 1-9. Каждая экзаменационная работа состоит из б задач уровня А, 2 задач уровня В и 2 задач уровня С, причем семь из восьми задач уровней А и В выбираются по одной в каждой из глав 1-7, а еще одна задача - либо в главе 8 “Текстовые задачи”, либо в главе 9 “Прогрессии”. Задания 9-10 (задачи уровня С) выбираются в двух из тех шести глав, в которых были выбраны задания уровня А. Как уже отмечалось, сборник составлен с учетом развития профильного образования и предпрофильной подготовки в основной школе. Он предусматривает, в частности, возможность проведения итоговой аттестации в классах с углубленным изучением математики. Работа по алгебре для учащихся Предисловие классов с углубленным изучением математики включает 10 задач: б задач уровня В, 2 задачи уровня С и 2 задачи уровня D. Для каждой экзаменационной работы семь из восьми задач уровней В и С выбираются по одной в каждой из глав 1-7, а еще одна задача - либо в главе 8 “Текстовые задачи”, либо в главе 9 “Прогрессии”. Задания 9-10 (задачи уровня D) выбираются в двух из тех шести глав, в которых были выбраны задания уровня В. Задания по темам “Системы иррациональных уравнений” (§3 главы 5), “Иррациональные неравенства и системы иррациональных неравенств” (§3 главы 4 и §3 главы б) в варианты экзаменационных работ для общеобразовательных классов не включаются. Оценка “3” ставится, если верно решено не менее 5 задач, оценка “4” - если верно решено не менее 7 задач, оценка “5” -если верно решено не менее 9 задач. Таким образом, для получения оценки “3” в общеобразовательном классе достаточно решить только задания уровня А, для получения оценки “4” необходимо наряду с заданиями уровня А решить хотя бы одну задачу более высокого уровня сложности, а получение оценки “5” невозможно без решения хотя бы одной задачи уровня С. О заданиях сборника Задания сборника составлены в соответствии с действующими учебниками и нормативными документами. При их составлении учитывался опыт и результаты международных исследований (“TIMSS”, “PISA”), проводимых в нашей стране (в частности, особое внимание уделено задачам практического и экономического характера, чтению и построению графиков, задачам, связанным с выдвижением и проверкой гипотез, т.е. тем разделам, по которым результаты российских школьников традиционно сравнительно невысоки). Всего в сборнике - 2440 задач, сгруппированных по две под одним номером. При отборе заданий и отнесении каждого из них к тому или иному уровню сложности авторы руководствовались следующими принципами. Задания уровня А (уровень “тройки”) предназначены для проверки достижения школьниками уровня стандартов и соответствуют обязательному минимуму содержания основного 6____________________ Предисловие общего образования по предмету. Задания этого уровня предполагают однократное или двукратное применение не более двух основных формул или свойств. Так, из формул сокращенного умножения достаточно знать только формулы квадрата суммы (разности) и разности квадратов. Задания уровня В (уровень “четверки”) схожи с заданиями уровня А, но номенклатура формул несколько расширена (в частности, включены задачи на применение формул сокращенного умножения для третьих степеней) и на одно-два увеличено число действий. Задания уровня С (уровень “пятерки”) предполагают проверку более глубокого и полного усвоения учащимися основных разделов программы. По уровню технических сложностей эти задания отличаются от заданий уровня В незначительно, но для их выполнения требуется более высокая степень владения материалом, понимания и осмысленности действий по сравнению с заданиями уровня В. Обратим внимание на то, что хотя в сборник и включены параграфы с уравнениями и неравенствами, содержащими переменную под знаком корня, задачи этих параграфов не предполагают знакомства учащихся с методами решения иррзг циональных уравнений и неравенств: они составлены так, что для решения любой из этих задач достаточно знания свойств числовых неравенств, а также определения и свойств квадратного корня. Подчеркнем и то, что для решения целых и рациональных неравенств уровней А, В и С знание метода интервалов не обязательно. Задания уровня D предназначены для более полного обеспечения потребностей Цредпрофильной подготовки и в экзаменационные материалы для общеобразовательных классов включаться не будут. Эти задания предполагают знакомство учащихся с методами и идеями, необходимыми для дальнейшего успешного углубленного изучения математики. Отметим, что вычислительные сложности в большинстве задач минимизированы (за исключением нескольких задач на преобразование выражений, проверяющих именно умение выполнять преобразования). В сборник не включались задания с многоходовым решением, предполагающим неоднократное использование одной и той же формулы или дублирование нескольких однотипных Предисловие преобразований, поскольку если какое-то из них выполнено верно, а в другом допущена ошибка, сделать однозначный вывод об овладении тем или иным навыком невозможно. Вместе с тем, даже среди заданий уровня А есть несколько элементарных задач, решение которых требует рассмотрения двух случаев или выбора правильного ответа посредством последовательного исключения неправильных. Наличие таких задач обусловлено общим концептуальным подходом, требующим на уровне функциональной грамотности умения в простейших случаях анализировать, интерпретировать и систематизировать информацию, делать выводы и принимать решения. Такой подход призван способствовать возвращению математике ее важнейшей образовательной функции, заключающейся в развитии универсальных (общих) способностей, которые могут применяться учащимися в различных областях знаний и сферах деятельности. Сборник является частью учебно-методического комплекса, включающего комплект из шести рабочих тетрадей (“Числовые и буквенные выражения”, “Уравнения и системы уравнений”, “Неравенства и системы неравенств”, “Функции и графики”, “Текстовые задачи. Прогрессии”, “Планиметрия”), книгу для учителя и электронное учебное пособие, разработанные по оригинальным технологиям учебно-издательского центра “Интерактивная линия”. Издание осуществлено при методической поддержке кафедры математики Московского института открытого образования и Московского центра непрерывного математического образования (научный руководитель проекта - зав. кафедрой математики МИОО, к.ф.-м.н. И.В. Ященко). Авторы будут признательны за конструктивную критику, которая может способствовать совершенствованию сборника и комплекса в целом. В этой связи нельзя не поблагодарить рецензентов секции математики Федерального экспертного совета - доцента кафедры теории и методики обучения математике Нижегородского государственного педагогического университета Т.П. Григорьеву, зав. кафедрой теории и методики обучения математике в школе Московского городского педагогического университета, доцента Л. О. Денищеву, учителя математики Нижегородской гуманитарной художественной школы им. М.В. Ломоносова Л. Г. Ершову, зав. кабинетом математики Предисловие Санкт-Петербургской Академии постдипломного педагогического образования Л. А. Жигулева, многие замечания и пожелания которых были учтены при окончательной доработке книги. Авторы особо признательны декану математического факультета Нижегородского государственного педагогического университета, профессору, д.п.н. Е. Н. Перевощиковой, внимательно и неравнодушно прочитавшей рукопись и сделавшей ряд ценных замечаний и предложений по отдельным задачам и улучшению сборника в целом. В заключение - слова благодарности методистам и педагогическому активу города Москвы, чье деятельное и заинтересованное участие в немалой степени способствовало формированию структуры и содержания сборника. Это -Н.П. Адамская, А. В. Алферов, А. А. Арбузова, Г. А. Асрян, Т. П. Афанасьева, Т. Ф. Бабакина, С. Б. Бархатова, Н. Б. Бес-пятова, К. В. Бохонова, Г. И. Герасимова, А. А. Горбачевская, Н. В. Гришкова, И. С. Гущина, Л. А. Дрогунова, Т. Н. Епифанова, Т. Н. Забелло, Р. Ж. Изместьева, М. М. Калика, В. Н. Карпов, Н. Г. Кованая, В. В. Козлова, И. В. Колчи-на, И. В. Комисарова, Е. И. Константинова, Т. В. Кочеткова, Н.В. Красильникова, О.М. Ларцева, О. В. Лебедева, Н.Е. Ле-винтова, М. А. Леонова, И. В. Малышева, М. В. Мартьянова, Л. И. Медведь, О.Ю. Морозова, Д. Б. Невидимый, Л. С. Петухова, Б.П. Писарев, Т. К. Полева, Л. Л. Равская, А.Р. Рязанов-ский, С.М. Саакян, Л.Г. Савина, Е. А. Савко, Т.Б. Сальникова, Г.В. Самойлик, Н.В. Сафонова, П.В. Семенов, Н.Л. Сергеева, В.А. Синица, А.В. Солопова, Л.А. Солуковцева, Н.В. Сто-енко, Т. В. Симкина, Г. А. Тикунова, М. Г. Трошина, С. В. Ту-масова, Е. Н. Устинова, Л. В. Федотова, Т. М. Филиппычева, Е. В. Хлебнова, Н. В. Хренова, А. В. Цибульник, М. А. Черняева, В. И. Чика, О. А. Шадрикова, Л. М. Шестопалова, Л. Н. Шмелева, С. П. Шорина, И. И. Юдина, Е. В. Юрченко, Р.И. Якушина. Особая благодарность - тем, кто принимал непосредственное участие в создании всего комплекса: Е. С. Епифановой, В.Е. Зайцеву, С. С. Крылову, М. А. Левинской, С. О. Прилуц-кому, В. А. Прядко, С. В. Станченко, В. В. Тимохину, Э.Е. Фо-миновой, П. С. Шестакову. Авторы ГЛАВА ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ §1. Действия с целыми числами Уровень А 1.1. А01 Найдите значение выражения; а) 564 • 645 - 563 ■ 645 + 563355; б) 598 ■ 985 - 597 • 985 + 597015. 1.1. А02 Найдите значение выражения: а) (735 + 728)^ - 4 • 735 • 728; б) (744 + 740f - 4 • 744 • 740. 1.1. А03 Найдите значение выражения: а) (306 - 694)^ + 4 • 306 • 694; б) (414 - 586f + 4 ■ 414 • 586. 1.1. А04 Найдите значение выражения: а) (162^ - 1612): 323; б) (1332 - 1322) ; 265. 1.1. А05 Найдите значение выражения: а) 584 + 5832 _ 5342 4. 533. б) 675 + 6742 _ 0752 ^ 074 1.1. А06 а) Запишите выражение 7^2.2*2 g виде квадрата сте- пени с целым показателем. б) Запишите выражение 3^2.552 g виде квадрата степени с целым показателем. 1.1. А07 Сравните: а) 477 ■ 960 - 822 и 477 • 960 - 945; б) 950 • 462 - 286 и 950 • 462 - 491. 1.1. А08 Сравните; а) 6^® и 3629; б) 299 и 4. 49 1.1. А09 а) Делится ли 34^^ 4- 34^® на 35? б) Делится ли 522 -f 594 на 26? 1.1. А10 а) Делится ли 42^ -Ь 422 + 42® на 21? б) Делится ли 8^9 4- 8^^ 4- 8^® на 73? 10 Глава 1. Числовые выражения Уровень В 1.1. В01 Найдите значение выражения; а) 53792 _ 5373.533Q. 5^ ■ 9550 - 95512. 1.1. В02 Найдите значение выражения: а) 480^ - 4802 - 480 • 479 - 4792 - 479^; б) 4942 - 4942 - 494 • 493 - 4932 - 4932. 1.1. В03 Найдите значение выражения: а) (5-102 + 9-102 + 7-10 + 2)(5 -102 + 9-10 + 7) -597-5970; б) (7-102 + 5-102 + 9-10 + 2)(7-102 + 5 -10 + 9) - 759 -7590. 1.1. В04 Сравните: а) 2^^ и 3®®; б) 2®® и 3®^ 1.1. В05 Расположите в порядке убывания числа: а) 3143.492®, 63^2^ 3143.771. б) 4127.2532^ 8064^ 4127.56З 1.1. В06 Сравните: а) 573 - 575 - 578 - 576 и 574 - 572 - 577 - 579; б) 597 - 599 - 602 • 600 и 598 - 596 - 601 - 603. 1.1. В07 Найдите последнюю цифру произведения: а) 262 - 263 - 264 - 266 - 267; б) 204 - 206 - 207 - 208 - 209. 1.1. В08 Не вычисляя произведение, проверьте, равны ли: а) 827 - 278 - 782 и 179786491; б) 743 - 437 - 374 и 121434433. 1.1. В09 а) Сравните произведения 688 - 690 и 689 - 687, не вы- числяя их значений. б) Сравните произведения 685 - 687 и 686 - 684, не вычисляя их значений. 1.1. В10 а) Ровно одно из чисел 3326, 3307, 3325, 3321 явля- ется простым. Какое это число? б) Ровно одно из чисел 2966, 2969, 2965, 2961 является простым. Какое это число? Уровень С 1.1. С01 а) Найдите х, если = 13889 -13891 + 1 и ж < 0. б) Найдите ж, если ж^ = 59919 - 59921 + 1 и ж > 0. 1.1. С02 а) Найдите ж, если х® == 301® — 3 ■ 301^ + 902. б) Найдите ж, если ж® = 201® — 3 - 201^ + 602. § 1. Действия с целыми числами 11 1.1. СОЗ а) Найдите последнюю цифру числа 749^®. б) Найдите последнюю цифру числа 754“^®. 1.1. С04 а) Найдите последнюю цифру числа 463®®. б) Найдите последнюю цифру числа 687®®. 1.1. С05 Не вычисляя произведение, сравните; а) 87 • 88 • 89 и 891384; б) 95 • 96 • 97 и 974640. 1.1. С06 Не вычисляя произведение, проверьте, равны ли: а) 752 ■ 753 • 754 и 426957014; б) 771 • 772 • 773 и 460098866. 1.1. СОТ Не вычисляя произведение, проверьте равенство: а) 529 • 169 • 961 = 299 • 403 • 713; б) 121 • 841 • 361 = 319 • 551 • 209. 1.1. С08 а) Найдите остаток от деления натурального числа на 3, если известно, что остаток от деления этого числа на 9 равен 5. б) Найдите остаток от деления натурального числа на 4, если известно, что остаток от деления этого числа на 8 равен 7. 1.1. С09 Найдите значение выражения: а) 1354 ■ 352 - 355 • 353j + |354 • 356 - 355 • 353|; б) |265 • 263 - 266 • 264| + 1265 • 267 - 266 • 264|. 1.1. С10 а) Найдите число о, если 2а® = 321® + 321® + 321 • 320 + 320® + 320®. б) Найдите число а, если 2а® = 417® + 417® + 417 • 416 + 416® + 416®. Уровень D 1.1.D01 а) Найдите последнюю цифру числа 872^^®. б) Найдите последнюю цифру числа 278®“. 1.1.D02 Сравните: а) 633®'" и 632^° б) 436®“ и 437®' 1.1.D03 а) Существует ли натуральное число, остаток от деления которого на 8 равен 7, а остаток от деления на 4 равен 1? 12 Глава 1. Числовые выражения б) Существует ли натуральное число, остаток от деления которого на 9 равен 7, а остаток от деления на 3 равен 2? 1.1. D04 а) Найдите наименьшее натуральное число, боль- шее 2, остатки от деления которого на 3 и 23 равны 2. б) Найдите наименьшее натуральное число, большее б, остатки от деления которого на 7 и 19 равны 6. 1.1. D05 а) Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 19 и 11 равны соответственно 16 и 8. б) Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 17 и 13 равны соответственно 15 и 11. 1.1. D06 а) Найдите натуральное число а, если из трех следу- ющих утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) последней цифрой числа является 1; 2) последней цифрой числа a‘^‘^ является 2; 3) а —одно из чисел 639 или 936. б) Найдите число о, если из трех следующих утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) последней цифрой числа является 1; 2) последней цифрой числа а’’’^ является 2; 3) о —одно из чисел 945 или 549. 1.1. D07 а) Найдите натуральное число о, если из трех следу- ющих утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) остаток от деления числа а на число 13 равен 9; 2) остаток от деления числа а на число 13 равен 10; 3) а —одно из чисел 61 или 63. б) Найдите натуральное число а, если из трех следующих утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) остаток от деления числа а на число 12 равен 8; 2) остаток от деления числа а на число 12 равен 9; 3) а —одно из чисел 56 или 58. 1.1. D08 а) Найдите натуральное число а, если известно, что из следующих утверждений истинны только два: 1) число а делится на 46; 2) остаток от деления числа а на число 23 равен 3; 3) а —одно из чисел 92, 93, 94. S 2. Действия с дробями 13 б) Найдите натуральное число о, если известно, что из следующих утверждений истинны только два: 1) число о делится на 22; 2) остаток от деления числа а на число 11 равен 4; 3) а —одно из чисел 44, 46, 47. 1.1. D09 Найдите натуральные числа ж и у, если известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно — ложно: а) 1) 4ж -t- 9у = 135; б) 1) Ъх + 8у = 120; 2) 9х + Ау = 135; 2) 8х -I- 5у = 120; 3) бж -Н Ну = 240. 3) 7ж -Ь 10у = 195. 1.1. D10 Найдите натуральные числа а и Ь, если известно, что из четырех следующих утверждений три истинны, а одно — ложно: а) 1) о делится на 11Ь; 2) lib делится на о; 3) 27а + 7Ь = 305; 4) 110-1-476 = 672. §2. Действия с дробями Уровень А 1.2. А01 а) Запишите выражение в виде степени числа 3. б) Запишите выражение в виде степени числа 3. 1.2. А02 а) Запишите выражение в виде степени числа 2. б) Запишите выражение в виде степени числа 2. 1.2. А03 а) Запишите выражение в виде степени числа 10. б) Запишите выражение в виде степени числа 10. б) 1) а делится на 56; 2) 56 делится на а; 3) 15а + 136 = 343; 4) 19а -I- 236 = 944. 27- 1.95 16° -3-® 9-® •27'* 12° .3-6 (2«) ^•128-° 2-43 (2°) °.64-“ 242 10- ’’ ■ 100° 10° • юо-’' 10- »•100° 10° ■ 100-° 14 Глава 1. Числовые выражения 1.2. А04 Найдите значение выражения: . 3^ - 0,363^ 5" - 0,275^ 3,363 ’ 5,275 ■ 1.2. А05 Найдите значение выражения: а) 9,4 • 10-^ : 10"^ : Ю^; б) 3,6 • IQ-^ : 10'® : Ю^. 1.2. А06 Сравните: а) 56,78 ■ 10® и 5,687 • 10^; б) 4,567 ■ 10® и 45,76 • 10®. 1.2. А07 Сравните: а) 3,456-10-® и 345,6-10-^; б) 259,8-10-® и 2,598-10-®. 1.2. А08 Верно ли равенство: а) (0,69 - 5,01) : 10,8 = (0,008 + 0,242) - (-1,6); б) (0,79 - 1,81) : 10,2 = (0,031 + 0,219) - (-0,4)? 1.2. А09 Верно ли равенство: ,5 7' а) 3 '9 ^ / 3 ад 25 V 5 10 • 3-' или в а) 2,097 - 79,02 20,97-7,902’ р., 3,654-45,63 0,3654-4,563' 1.2.В02 а) Запишите выражение (0,24)^ 6 в виде степени числа б) Запишите выражение (0,65) 13 в виде степени числа щ. 25 -6 -7 1.2. А10 а) Какая из точек числовой оси—Н | ^ ) или В | ^ ) — расположена ближе к точке С (1)? б) Какая из точек числовой оси—Л расположена ближе к точке С (1)? Уровень В 1.2. В01 Найдите значение выражения: §2. Действия с дробями 15 1.2. В03 а) Запишите выражение 27® • 169® : (5®)^ в виде куба степени с натуральным показателем, б) Запишите выражение 16® • 121^® : (5^®)^ в виде куба степени с натуральным показателем. 1.2. В04 Восстановите пропущенный показатель степени в равенстве: а) 31--3_1!!^з,ы. б) = 38“^® 2 11 29 11 29 2 5 ' 19 ■ 37 ^ 37 ' 5 19’ 2 11 23 11 23 2 7 ' ' 17 ' 37 “ 37 ' 7 17’ 31- 38- 1.2. В05 Найдите значение выражения: а) 9,1 (0,1: (0,0001 :100)); б) 2,3 (0,001 : (0,1 :10000)). 1.2. В06 Сравните: а) (3 • 10-®)^ и 0,000027; б) (11 • 10~^f и 0,000121. не находя их значений, б) Сравните произведен не находя их значений. 1.2. В08 Сравните: ч 577 5ТО 696 “ 695’ 1.2. В09 а) Сравните произведен не находя их значений, б) Сравните произведен не находя их значений. 1.2. В10 Не вычисляя произведение, проверьте равны ли: а) 0,9477 • 0,774 и 0,7335199; б) 0,8368 • 0,863 и 0,7221585. Уровень С 1.2. С01 Не вычисляя произведение, проверьте, равны ли: 772 773’ Ш и 170 172 175 173 ■ 174 272 274 277 ^ 275 ' ■ 276 а) 1 1 155 ■ 156 157 “ 3896260 1 Г ' 17fi * 1 175 176 177 “ 5551600' 1 19 14 23 1.2.С02 а) Верно ли равенство г» 19 16 25 1 , б) Верно ли равенство 2Й ' 625 ' ЗбТ = 7бШ' 16 Глава 1. Числовые выражения 1.2. С03 Не вычисляя сумму, проверьте, равны ли: а) 0,7182 + 0,8712 + 0,1872 и 1,309135; б) 0,7642 ^ 0,4762 -Ь 0,6472 и 1,228882. 1.2. С04 Не вычисляя произведение, сравните: а) 0,3916 • 0,619 и 0,2824004; б) 0,4257 • 0,752 и 0,2701264. 1.2.С05 Сравните: ч 928 929 '' 927 928’ 509 508 б) и 510 509' 1.2.С06 Сравните: а) 7-®^2 JJ 50-476. б) 6 -530 И 37 -265 1.2.С07 Не ВЫЧИСЛЯЯ произведение, сравните: 111 1 382 ■ 383 ■ 384 “ 1 1 1 а) б) 26481504’ 1 497 498 499 63205494' 1.2.С08 а) Какая из точек —или —числовой оси расположена дальше от точки б) Какая из точек—А или Б — числовой оси расположена дальше от точки 861 862 862 863 852 853 853 854 1.2. С09 а) Запишите выражение двух дробей, б) Запишите выражение двух дробей. 1.2. С10 Расположите в порядке возрастания числа: Ш. Ш Ш. fT4 Ш. 158 159 26Г 259 “ 260’ 269’ 267 268' Уровень D в виде разности в виде разности 1.2.D01 Найдите значение выражения: а) 0,2982 -f 3 • 0,298 • 0,702 + 0,702^; б) 0,3572 ^ 3.0,357.0,643 + 0,6432. § 2. Действия с дробями 17 1.2. D02 Найдите значение выражения: а) 0,6132 - 0,6132 0^ 013 . о, 387 _ q, 387^ + 0,3872; б) 0,4532 - 0,4532 + 0,453 • 0,547 - 0,5472 + 0,5472. 1.2. D03 Сравните: а) 0,1232 ^ 0,1242 ^ 0,1252 и 0,002856; б) 0,1312 ^ 0,1322 ^ 0,1332 0,002976. 1.2. D04 Сравните: а) 0,1952 + 0,1962 + 0,1972 и 0,0025684; б) 0,1892 + 0,1882 ^ 0,1872 и 0,0025234. 1.2. D05 Сравните: 0,943 0,349 а) и 0,349 + б) 0,943 + Q 34Q 0,651 0,943 + 0,349 + Q 0,156 0,156 + 0,651 + 0 100 0,651 + 1 0,156 + 0,651 1.2.D06 Сравните: а) [Ш') б) 604.2 753.2 0,579 -9 и 0,0138 0,0579 75,32 10 1.2. D07 Сравните: а) (0,349 ■ 0,049 • 0,009)'* и (0,0349 • 0,0049 • 0,9)®; б) (0,169 • 0,069 • 0,009)® и (0,0169 • 0,0069 • 0,9)^ 1.2. D08 Сравните: 372 ^ 373 ^ 374 ^ 375 37’ б)^- + _2_ + ^ + _4_и-1 482 ^ 483 ^ 484 ^ 485 “ 48' 1.2.D09 а) Верно ли равенство 3,9175 • 91,753 • 175,39 • 7539,1 = 3917,5 • 917,53 • 17,539 • 7,5391? б) Верно ли равенство 6284,3 • 284,36 • 84,362 • 4,3628 = 6,2843 • 28,436 • 843,62 • 4362,8? 18 Глава 1. Числовые выражения 1.2. D10 а) Найдите число а, если известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно— ложно; 1) последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа а}‘^ равна 6; 2) последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа равна 4; 3) а —одно из чисел 0,746; 0,475; 0,761. б) найдите число о, если известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа а}'^ равна 5; 2) последняя отличная от нуля цифра десятичной записи числа равна 4; 3) а —одно из чисел 0,645; 0,461; 0,656. §3. Действия с корнями Уровень А 1.3. А01 а) Между какими последовательными натуральными числами заключено число v/l68? б) Между какими последовательными натуральными числами заключено число V1707 1.3. А02 Найдите значение выражения: б) V582 _ 422. а) V652 - 562; 1.3.А03 Найдите значение выражения: а) (13^^^ б) (Ил/З)' 65 ’ 33 • 1.3. А04 Найдите значение выражения: а) (ч/7-б) (6-^^/7); б) (\/5 - 4) (4-Ь \/5). 1.3. А05 Внесите множитель под знак корня; Ъ б) -vM. а) —6 1.3.А06 Внесите множитель под знак корня: 13- "\/1- “) 3,/Й; 1.3.А07 Сократите дробь: а)^; 72^7 б) s/m 40\/7‘ ^ 3- Действия с корнями 19 1.3.А08 а) Представьте —р= в виде дроби с целым знаменате- лем. Vn б) Представьте —р= в виде дроби с целым знаменате-vl9 лем. 1.3. А09 Сравните: /Ш [т_ 13 V 11 1.3. АЮ Сравните: а) Vl08 - \/92 и л/972 - %/4б; б) л/Ш - и v/sra - \/44. Уровень В 1.3. В01 Найдите значение выражения: ___ а) -Ь ^24 - у/Ш-, б) ч/бЗ Ч- %/28 - VvfE. 1.3. В02 Найдите значение выражения: а) 6\/2- (V8- (v^- \/1б2)); б) 3v^- (v^- (\/^-\/8)). 1.3. В03 Найдите значение выражения: а) \/У70 - у/б\/у/ТО + ч/б; б) \/л/2б - v^\/\/26 -I- VI5. 1.3. В04 Найдате значение выражения: а) У^+У^-ЗУТТ. 21У7 УТ47-Ьл/бЗ-7УЗ- 33 Уз 1.3. В05 Упростите: а) 7-182 4-4-322-8-502; б) 8-1472+7-752 -6-12^ 1.3. В06 Упростите: + 11 + \ 1~ — i- \/ ^19 3^; 19' й\ yii S • увтз уда ' 20 Глава 1. Числовые выражения 1.3.В08 Упростите: а) ^-3 \/T5-3v^’ 1.3.В09 Сравните: б) ^/2- 2 v/ii-2v/7' 1 , 1 . 1 1 , 1 , 1 119 ■ 125 ' 137 “ уш v/M ' У137’ 1 , 1 , 1 „ W 10К Т 1QO * ЛЛП ^ 125 " 133 ' 145 " ' уш ^/i45■ 1.3. В10 а) Представьте выражение лым знаменателем, б) Представьте выражение лым знаменателем. Уровень С 1.3. С01 Упростите: а) v^67 - 16^3; 1.3. С02 Сократитедробь: 17 + 2\/30. 37 9 + ч/7 29 8-л/б в виде дроби с це- в виде дроби с це- а) б) \/б9 - 16^5. 16 + 2\/39 \/l5 +V2’ б) б) б) ^/Tз + ^/з■ 26-2у^ v/^- Уз' 5л/5 + Зу^ У5 + \/5 ■ 1.3. С03 Сократите дробь: X 16-2У39. ’ УТз-Уз’ 1.3. С04 Сократите дробь: X 23у^ + 2У2 ’ v^+Уг ’ 1.3. С05 Найдите значение выражения: а) \/У55 • У2^ • yeot; б) л/У39 • УП7 • У507. 1.3. С06 Сравните: а) 52 + ?2 и 2б2; б) бг + 115 и 375. 1.3. С07 Найдите значение выражения: а) >/83 + 18У2 - б) л/54 - 14У5 + Уб. 1.3. С08 Сравните: а) ут;б - У8Д + УМ и б) У8,1 — у6,4 + У 1,6 и . § 3- Действия с корнями 21 1.3. С09 Сравните: а) У152 • 155 - 132 и л/154 • 151 - 134; б) У216 • 222 - 187 и х/221 • 215 - 189. 1.3. С10 Не вычисляя произведение, проверьте, равны ли: а) У9651 • 6519 • 5196 и 575757; б) У7651 • 6517 • 5176 и 518022. Уровень D 1.3. D01 Найдите значение выражения: а) %/1Эу/19 + 4/342^ 19 + \/342 + л/342V19 - \/342 + б) УЙч/23 + у/Шу/23 + УбОб + У50623 - УбОб + УбОб. 1.3. D02 Найдите значение выражения: ___ х38У38 + 37у^ /д 2У^ _ I 34yn + 33V^ rrr^ , 2УЗЗ 13 36’ 18l. 1.3. D03 Найдите значение выражения: а) (1,953^ - 3 • 1,953 • о, 953 - 0,953^)2; б) (1,842^ - 3 • 1,842 • о,842 - 0,842^)^ 1.3. D04 Найдите все пары (т; п) целых чисел тип, для ко- торых: а) m -Ь (З -Ь У2) п = ЗУ2; б) (2 -Ь Уз) т — п — 2УЗ. 1.3. D05 Найдите все пары (а; Ь) целых чисел а и 6, для кото- рых: а) (а ЗЬ)УЗ = (о Ч- 5 -Ь 2)У7; б) {а + Ь + 4)У5 = (Зо - 6)У2. 1.3. D06 Сравните: а) УТЭЧ-УГбиУГзч-УЙ;; б) УТ7-ь УТб и УГз-Ь УШ. 1.3. D07 Сравните: а) У56802 - 56422 „ У56422 - 56042; б) У56762 - 56382 и У56382 - 56002. 22 Глава 1. Числовые выражения 1.3. D08 Сравните: а) 0,815 • 0,015 • 0,005 и v/0,0815 • 0,0015 • 0,5; б) 0,826 • 0,026 - 0,006 и V0,0826 • 0,0026 • 0,6. 1.3. D09 Сравните: V687 • 689 - \/б92 -690 и V688 • 686 - \/691 ■ 693; л/865 • 867 - \/864 • 862 и V866 • 864 - V863 ■ 865. 1.3. D10 а) Найдите натуральное число Ь, если известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) '/Ь заключен между числами 10 и 11; 2) у/Ь больше 12; 3) 6 —одно из чисел 80 или 120. б) Найдите натуральное число Ь, если известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно : 1) у/Ь заключен между числами 28 и 29; 2) у/Ь больше 30; 3) 5 —одно из чисел 728 или 840. 2 ГЛАВА БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ §1. Действия с многочленами Уровень А 2.1.А01 Вынесите за скобки общий множитель: б) а) х^^у^^ — х^^у^^; 2.1.А02 Вынесите за скобки общий множитель; а) х~^у^° + б) 2.1. А03 Вынесите за скобки общий множитель: а) 10x'^y^z^^ — б) — x^^y^^z^. 2.1. А04 Разложите на множители: а) 1бау + 3 (ж + у) + 16аж; б) 25ау — 2 (ж + у) + 25аж. 2.1.А05 Разложите на множители; а) 7ж — 32z (ж — у) — 7у; б) 11ж + 12z (ж — у) — 11у. 2.1. А06 Разложите на множители: а) 6а + 13жЬ — 66 — 13жа; б) 5о + 14ж6 — 56 — 14жа. 2.1. А07 Представьте в виде произведения двух двучленов выражение; а) 4жу + 3 + 4ж + Зу; б) 2жу + 3 + бж + у. 2.1. А08 Представьте в виде произведения двух двучленов выражение: а) ж^ + 21yz + 7xz + Зжу; б) ж^ + 42yz + бжг + 7жу. 2.1. А09 Упростите: а) (7р + 2qf + (7р - 2qf; б) (4р - 5qf + (4р + 5qf. 2.1. А10 Упростите: а) (3d + 5с)^ - (3d - 5c)^; б) (d + 6c)^ - (d - бc)^ Уровень В 2.1. В01 Разложите на множители: а) ж^ — 8ж + 7; 2.1. В02 Разложите на множители: а) 2т^ + 5т + 3; б) ж^ + 8ж + 12. б) 4т^ + 9т + 5. 24 Глава 2. Буквенные выражения 2.1. ВОЗ Разложите на множители: а) —5т — + 4; б) х — ЬОт^ + 2. 2.1. В04 Разложите на множители: а) 12ат + 11бу + 5(х — у) — 12ау — llbx; б) Юах + 13% — 7{х — у) — Юау — 13Ьх. 2.1. В05 Разложите на множители: а) X® — 5х^ + 6х®; б) х® + 9х® + 20х^. 2.1. В06 а) Найдите р(а), если р{а — 3) = 8а + И. б) Найдите р(Ь), если р{Ь — 5) = 76 + 12. 2.1. В07 а) Найдите значение выражения 2xi + 3xiX2 + 2хз, если xi и Х2 —два различных корня уравнения x^ + 5х + 2 = 0. б) Найдите значение выражения Зхг + 2xiX2 + 3x2, если Х\ и Х2 —два различных корня уравнения х^ — Зх — 5 = 0. 2.1. В08 а) Найдите значение выражения Xj (4x2 4" 3) + Х2 (4xi + 3), если х\ и Х2—два различных корня уравнения х^ + 5х — 1 = 0. б) Найдите значение выражения Xi (3x2 + 2) + Х2 (3xi + 2), если Xi и Х2 —два различных корня уравнения х^ — Зх 4-1 = 0. 2.1. В09 а) Найдите значение выражения 1ба^ — 24а6 4- 96^ — 4а 4- 36, Зг. если а = ^6. б) Найдите значение выражения 9а2 + ЗОаб + 2562 + + 56, если а = — ^6. 2.1. В10 а) Даны два многочлена ■А (у) = Зу2 + 4у - 1 и В (у) = 4у - 5. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение А{у) ■ В (у). б) Даны два многочлена -А (у) = 5у2 - 4у 4- 3 и В (у) = Зу 4- 4. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение А (у) • В (у). i 1. Действия с многочленами 25 Уровень С 2.1.С01 Разложите на множители; а) 3x2 _ 212,-у — 4у2; б) 6у2 + Иху — 2x2. 46-1 2.1. С02 а) Найдите значение выражения 25fl2 — 40а6 + 1662 4- 5а — 46, если а= ^ . б) Найдите значение выражения 9а2 + 12а6 -f 4б2 + 9а + 66, если а = ■ 2.1. С03 а) Найдите все пары чисел х и у, для каждой из кото- рых значение выражения (х + у)^ — 10х 4- 4у — 2ху 4- 29 равно нулю. б) Найдите все пары чисел х и у, для каждой из которых значение выражения (х — у)^ 4- 2х 4- 4у 4- 2ху 4- 5 равно нулю. 2.1. С04 а) Может ли выражение 9х^ — 48х® 4- 64x2 принимать отрицательные значения? Найдите значение этого вы- о2 ражения при х = 2^. б) Может ли выражение 25х‘* — 90х® 4- 81x2 принимать отрицательные значения? Найдите значение этого вы-.4 ражения при х = 1 ^. 2.1. С05 а) Существуют ли значения х и у, при которых значе- ние выражения —17x2 4- 56ху — 49у2 положительно? б) Существуют ли значения х и у, при которых значение выражения —25x2 4- Юху — 9у2 положительно? 2.1. С06 Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: а) (х2 4- 5х — 4) ; б) (х2 - Зх -f 2) . 2.1.С07 а) Найдите значение выражения хД -f 3xiX2 4-если Xi и Х2 —два различных корня уравнения X 4х - 2 = 0. б) Найдите значение выражения хД — 4xiX2 4- Х22, если Xi и Х2 — два различных корня уравнения х2 — 6х — 3 = 0. 26 Глава 2. Буквенные выражения 2.1. С08 а) Значение выражения ах + by при х~4,у = 6 равно 72. Найдите значение этого выражения при х = ^, у = ^. б) Значение выражения ах — by при х = 3,у = 8 равно 48. Найдите значение этого выражения при т = i, у = 2.1. С09 а) Представьте трехчлен — бlг^;^ + 25 в виде про- изведения многочленов первой степени, б) Представьте трехчлен 25ги‘* — 89гг^ -f 64 в виде произведения многочленов первой степени. 2.1. С10 а) Найдите наибольшее значение выражения Ч- 4ху — 5y^, если 2х — у = 1. б) Найдите наибольшее значение выражения х^ — 4а;у + у^, если х — у = 3. Уровень D 2.1. D01 а) Найдите наименьшее значение выражения {х-2у + 1)^ + (х + 2у - 3)^ -t- 5. При каких значениях х и у это значение достигается? б) Найдите наибольшее значение выражения 7 - (2х - у - l)^ - (х -Ь у - 2f. При каких значениях х и у это значение достигается? 2.1. D02 Разложите на множители; а) 3uv -Ь 4u — би — 12; б) — 2uv 2.1. D03 а) Найдите значение выражения 1 2и — бп — 15. + ^и + 4uv -t- 8г) -Ь 4v^, если и = -^х — 1,г; 1 5 6^ 2’ б) Найдите значение выражения 9и^ — 9u + 24uv — 12v + 16v^, если и=—|х-|- |,г» = |х— 2.1.D04 а) Не выполняя умножения многочленов р (х) = 3 -f 2х — 4х^ и q (х) = 2х^ -Ь Зх^ — 4х — 17, найдите сумму всех коэффициентов произведения р(х) -q(x). б) Не выполняя умножения многочленов р (х) = 3 — 2х Ч- Зх^ и q (х) = х^ Ч- Зх^ — 4х — 16, найдите сумму всех коэффициентов произведения р(х) -q(x). § 1. Действия с многочленами 27 2.1. D05 а) Значение выражения ах^ + Ьу'^ + cz'^ при х = 5, у = —3, Z — —2 равно 16. Найдите значение данного 25 15 5 выражения при x=-^,y = —-^,z = —^. б) Значение выражения ах^ + Ьу“^ + cz^ при х = 4, у = —3, Z = 2 равно 4. Найдите значение данного вы- 15 ражения при х = 10, у = z = 5. 2.1. D06 а) Найдите наибольшее значение у, при котором зна- чение выражения х^ -f- 4ху + 11у^ Ч- 8х Ч- 44у равно —37. б) Найдите наибольшее значение у, при котором значение выражения х^ Ч- 4ху Ч- 7у^ — 8х — 28у равно —25. 2.1. D07 а) Найдите значение выражения 7х — 11у Ч- 9z, если X Ч- Зу Ч- 3z = 6, 2х — 2у Ч- 3z = —1. б) Найдите значение выражения 7х Ч- Юу — -г, если X — 2у — 2 = 5, Зх Ч- 2у — 2 = —6. 2.1. D08 а) Найдите значение выражения —6х Ч- 9у Ч- 2z, если X — Зу = 1, Зх — 22 = —6. б) Найдите значение выражения —4х + у — 2z, если 2х — у = 6, хЧ-2 = —3. 2.1. D09 а) Найдите многочлен Р(х), если из следующих трех утверждений два истинны, а одно—ложно: 1) Р (2 + ч/2) = Р (3 Ч- V3) = Р (V3 - 2); 2) Р (х)- многочлен второй степени; 3) Р (х) - один из многочленов 2х Ч-1 или Зх^ Ч-4х — 5. б) Найдите многочлен Р(х), если из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) Р(2-ч/2)=Р(3-ч/3) = Р(у^Ч-2); 2) Р (х) — многочлен второй степени; 3) Р (х) — один из многочленов 5х Ч- 4 или 2х^ Ч- х — 1. 2.1. D10 а) Найдите многочлен Р (х), если из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) р (-4) = -12; Р (-8) = -24; 2) Р (х) — многочлен первой степени; 3) Р (х) — один из многочленов Зх или х^ Ч- 15х Ч- 32. 28 Глава 2. Буквенные выражения б) Найдите многочлен Р{х), если из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) Р(1) = -5;Р(2) = -10; 2) Р (х) — многочлен первой степени; 3) Р (х) — один из многочленов —5х или х^ — 8х + 2. §2. Действия с алгебраическими дробями Уровень А 2.2.А01 Сократите дробь: 6х ’ 2.2. А02 Сократите дробь: ч 14х — 14у 8х-8у ’ 2.2. А03 Сократите дробь: а) б) б) + 2х 7х 8х — 8у бх — 6г/' 15x*y^z° 5x^y^z* Qx'^yz'^ 2.2.А04 Сократите дробь: 49х^ — 36^ а) 6у + 7х ’ 2.2. А05 Сократите дробь: 25а^~ 166^ ’ {Ab-baf ' 2.2. А06 Сократите дробь: 24x^° - 2^у'^ _ а) — 10х‘ 2.2. А07 Сократите дробь: ' 15хг — 15ху’ 2.2. А08 Упростите: а) 25у‘“2^ 7х> by’^z* б) б) б) б) б) 64х^ — 25у^ 5у + 8х 9а" - 496^ (76 + За)^ ■ 18х*" - 18у'® 12у‘« - 12х*" ■ 6у — 6г 16x2 — 16ху‘ х’’ 2\y’’z'' 7y^z^ 5х* 2.2.А09 Выразите переменную Ь из формулы: а) 5 = 5а — 36 б) 5 = 4а + 36 7/1 ’ 3h 2.2.А10 Найдите при р^О значение выражения: „^ 9х , 16у - 9х ’ 8у + 8у ’ й! ^ 4- ^У-^^ ^ Зу Зу • § 2. Действия с алгебраическими дробями 29 Уровень В 2.2. В01 Сократите дробь: Ч . х'®у + ху®^ ’ 2.2. В02 Сократите дробь: ч 20х"^у^" - 13х"°у*® 20х1"-13ух>« ’ 2.2. В03 Сократите дробь : , х^ - 125у" X - 5у ’ 2.2. В04 Сократите дробь: ч X® — 64у" 4у - X ’ 2.2. В05 Сократите дробь: ч 27х^ + 8у^ 9х" — бху + 4у" ’ 2.2. В06 Упростите: ч бу‘*х^ _ Збу^х"*, 32“ ■ 212® ’ 2.2. В07 Упростите: а) (7ж - у) • 49^2^; 2.2. В08 Упростите: \ Зх — 8___________ X —у— 2 2 + у- х’ 2.2. В00 Упростите: ч 4х _ 2х - 7у. 7у + 2х 2х + 7у’ IL .2 _ X — 4у ч х"°у"° + х®у“® ' х*®у + ху"® ^ч 23х"“у® - 5х"®у® 23х'® — 5yx^“ б) 21бх® - у® бх — у 27х® - у® у — Зх ■ ,ч 8х® + 125у® 4х" — Юху + 25у ,,,, 5у®х 25у®х" 32® ■ 122® ■ ,2 • б) (2х + у)-4^^^. 61 2д^ - 21 _ 5х - 7у ' х-у-3 3 + у- х‘ б) Зх _ Их + 14у 7у + 4х 4х + 7у ' 2.2. В10 Упростите: а) (4х" - 25y^) (^2х + 5у 2х-5у) ’ б) (9x^-16y^) Уровень С 2.2. С01 Упростите: ч /3xV)® ^ч /4ху“\® / 252“\^ \ 52® ) V9x"y®/ ’ V 52® / \1бху®/ 30 Глава 2. Буквенные выражетг^^ 2.2. С02 Упростите; б) (2х - Зу) : (25+^ - 3JIT^ 2.2. С03 Упростите: а) (25х^у — 40ху^ + 1бу^) х + у + — 5ху + 6у^ х-у 6х^ + ху — у б) (4х^у — 28ху^ + 49у^) 25х^у — 16у^ ’ 3 2.2.С04 Упростите: а) 4х^ — у^ + 14у — 49 4х^у — 49у® ’ Збх^ - - 12у-36 2х - у + 7 2.2. С05 Сократите дробь: 10у^ + 9у-9. ’ 6у^ + Пу + 3’ 2.2. С06 Сократите дробь: а) 2х^ + ху — 6у^, Зу — 2х б) б) б) 6х + у + 6 9у^ - 6у - 8 6у^ — 5у — 4' Зу^ + 2ху — 8х^ 4х-3у 2.2.С07 а) Найдите значение выражения если значе- 7а + 5Ь о ние выражения —’— равно 8. «с\ тт - “ За + 56 б) Найдите значение выражения —^—, если значе- 5а + 36 д ние выражения —^— равно 6. 2.2. С08 а) Значение выражения —— при х = 2, у = 5 равно 14. Найдите значение этого выражения при х = 4, у = 10. б) Значение выражения — при х = 3, у = 4 равно 5. Найдите значение этого выражения при х = 9, у = 12. 2.2. С09 а) Найдите все значения, которые может принимать выражение ^, если а ^ 0 и 2а^ + ЗаЬ — 206^ = 0. б) Найдите все значения, которые может принимать выражение если Ь^О и 46^ — 13а6 + За^ = 0. 2.2.С10 Найдите значение выражения если ч 10х* - 13ху + Зу* , б) 9х^ - 8ху - Зу^ 2х^ - Зу^ = 2. S 2- Действия с алгебраическими дробями 31 Уровень D 2.2.D01 а) Найдите значение выражения + 4г, если Z + - = —3. Z б) Найдите значение выражения -2. 3 64 если 2 4 2 2.2. D02 а) Найдите все целые значения п, при каждом из ко- 12п + 70 торых значение выражения является целым числом. б) Найдите все целые значения п, при каждом из ко- 15п + 58 торых значение выражения ^ д- является целым числом. 2.2. D03 а) Найдите значение выражения ^2 ^2аЬ если а и 6—два различных корня уравнения + 5х — 4 = 0. б) Найдите значение выражения ^2 52 > если а и Ь — два различных корня уравнения + Зж — 5 = 0. 2.2. D04 а) Найдите значение выражения если 7х - у 6х + 5у ^ ^ б) Найдите значение выражения если Ъх -Ъу Зж + 5у „ 2.2. D05 а) Найдите значение выражения 4дЗ _ 3 ’ если а — корень многочлена Р (ж) = ж^ — 6ж — 2. б) Найдите значение выражения 4дЗ _ ifa "и ’ если а —корень многочлена Р (ж) = ж^ — 4ж — 2. 2.2. D06 а) Найдите значение выражения 2^ i 2,(Х "Г *г если а —корень уравнения Зж® — ж^ — 21ж — 5 = 0. тт л 2а® 7а® -Ь 3 б) Найдите значение выражения 3^2 _|-~5q ^4'’ если а —корень уравнения 2ж® — 5ж^ — 20ж — 13 = 0. 32 Глава 2. Буквенные выражения 2.2.D07 а) На какие натуральные числа можно сократить дробь 14п + 15 если известно, что она сократима 19гг + 20’ и п — натуральное число? б) На какие натуральные числа можно сократить дробь 13п +14 если известно, что она сократима 2.2.D08 20п + 21 ■ и п — натуральное число? а) Найдите наибольшее значение выражения __________12___________ (Зх - yf + {х + у - if + 4 При каких значениях х и у это значение достигается? б) Найдите наибольшее значение выражения __________18___________ (2х -yf + {х-у+ lf + б' При каких значениях х и у это значение достигается? 2.2.D09 а) Найдите наибольшее значение выражения + (х — 2/ + 3)^ + 3 |х + ?/ — 5| + 2 При каких значениях хну оно достигается? б) Найдите наибольшее значение выражения 3 8 {х -у + 2У + |х + 2/ - 6| + 4 ■ При каких значениях хну оно достигается? 2.2.D10 а) Известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) наименьшее значение выражения А равно 17; 2) наибольшее значение выражения А равно 9; 3) Л —одно из выражений 23-------Щ-5--- или 5 + 16 (х- 12^ + 4 (х- 12)‘‘ + 4 Какое утверждение является ложным? б) Известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно — ложно: 1) наименьшее значение выражения А равно 6; 2) наибольшее значение выражения А равно 0; 3) И — одно из выражений 11------^-5-- или —3 + ----^ (х -2)^ + 3 (х - + 3 Какое утверждение является ложным? ij 3- Действия с иррациональными выражениями 33 §3. Действия с иррациональными выражениями Уровень А 2.3. А01 Упростите: ■. а\/^ ’ л/5^’ 2.3. А02 Упростите: а)-^; 2.3. А03 Упростите: V91ab 2.3. А04 Упростите: у/ТШ. а) 2.3. А05 Упростите: ч х-49 . V^-7’ 2.3. А06 Упростите: „ч 225 -х 2.3. А07 Упростите: ч \/(х + 1)(у4-5) vm ’ 2.3. А08 Упростите: а) 4/490^-36. v/7Hr=^ ’ а\/21 б) б) ^4^ ■ б) б) 12-у/^- б) б) ^/й ■ ЬуДз у/42аЬ Vl4a \/l5ab V—5а х-25 у/х + 5' X — 144 \/(х - 3) (у - 4) \/х — 3 У25а=» - 16 \/5а — 4 ' у/х X 2.3. А09 Упростите: ч 8v/S - 3 , Ъу/х 2.3. А10 Упростите: а) \у/х + Зч/у)^ - 6,уху; б) (2ч/ж - yjyf + 4у/щ. Уровень В 2.3.В01 а) Выразите переменную и из формулы г: = ^2ц/jy ■ б) Выразите переменную v из формулы z = 2.4967 34 Глава 2. Буквенные выражени 2.3. В02 Упростите: а) 36a^-256. ба + 5л/б ’ 2.3. В03 Упростите: у'(И-З) (у+ 5) а.) ~ ' , ^ V-3- X 2.3.В04 Упростите: а) ^160=^ - 81. \/9 — 4а 2.3.В05 Упростите: б) б) б) а) 36 + ж 6-/=5’ б) 2.3.В06 Упростите: а) ж+ 121 v/=i + ll’ б) 2.3.В07 Упростите; а) ж + у (ж — 11)^, если ж < 11: б) ж — ’У(12 — ж)^, если ж >12. 2.3.В08 Упростите: а) 34^/ж — ж\/34 -у/ж — л/Й ’ б) 2.3.В09 Упростите: а) ж + б-у/ж - 16 , ^ v/i + 8 ^ ’ б) 2.3.В10 Упростите: а) ж — 1 ж — 25 . ■у/ж - 1 ■у/ж - 5’ б) 49а^ - 166 7а + 4\/б у/(а: + 5) (у+ 4) 5 — X у/64а^ — 9 \/3 — 8а 64 4- а: 8-л/=¥’ о: +169 л/=^+ 13' 4бу^ — Тл/46 \/х — \/46 x-bs/x~l , ^ v^+l ж — 16 ж — 9 v/ж - 4 v/* ~ 3’ Уровень С 2.3.С01 Упростите: 100 ж-25’ V^+б) б) ~ еиствия с иррациональными выражениями 1^, Дейсп 2 З.С02 Упростите: 6)(9o:-y):(^ + 5^)-3vS. 2.3. С03 Упростите: У Зу/х^ - aj-y/2Sy _ ,4v^+^ 2.3. С04 Упростите: ______ а) У(2 -х)^ + /(6 - ж)^, если 3 ^ ж ^ 5; б) (4 — ж)^ — (10 — ж)^, если 5 < ж ^ 9. 2.3. С05 Упростите: а) 2 - 35 б) Збж — 12у/ж + 1 6\/ж — 1 ’ ж — 9_________6 ж — 6у/ж + 9 у/ж — 3' 2.3.С06 Упростите: а) (5а + 2\/15а6 + 66) (5а — 2\/15а6 + 66); б) (2а - + 76) (2а + 2а/^ + 76). 2.3. С07 а) Найдите у/6 + 30, если у/б — 30 = 2; б) Найдите у/6 + 28, если у/6 — 28 = 5. (■Ус + Ь+ \/с — Ь'\ 2.3. С08 а) Найдите значение выражения ----2-----^ если 6 и с—соответственно длины катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, периметр которого равен 5. б) Найдите значение выражения (\/с-6+у/с + 6) + 6, если 6 и с—соответственно длины катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, периметр которого равен 11. 36 Глава 2. Буквенные выражена 2.3. С09 Найдите наименьшее значение выражения; а) \/ж2 + 9 + + 81; б) +16 + \/у^ + 25. 2.3. С10 а) Найдите наибольшее значение выражения 12 - х/х‘^+у‘^ + 121. б) Найдите наименьшее значение выражения у/х'-^ + у‘^ + 144 - 13. Уровень D 2.3. D01 Упростите: f_£Viz±_ _ . Л _ 1 V ^\х-3\/х + 2 y/x-lJ'\ yfx-\)' Ъу[х \ /1 и • V3 3\/х + 2 / ху/х + 1 2 ■ + 1 + Уу/х 2.3.D02 Упростите: \4Vt + ^ ' 4у/х-у/у 61 ( \ ’ \Зу/Б-^/у Зу/^ + ,/у) ) \/х — 2 16х - у У у/ху^ + 16у/х^у' 9а; - у кЗу/х - ^ 3y/x + ^J у/х^+9у/^' 2.3. D03 а) Упростите у/х + 2 — 2у/х + 1 — у/х + 1, если х ^ 0; б) Упростите у/х — 4 — л/х — 3 - 2л/х — 4, если х ^ 5. 2.3. D04 а) Значение выражения у/ах — by + cz при х = 2, у = —5, 2 = 4 равно 2. Найдите значение этого вы- ражения при X = 18, у = —45, 2 = 36. б) Значение выражения у/ах + by — cz при х = 7, у = б, 2 = —4 равно 5. Найдите значение этого выражения при X = 28, у = 24, 2 = —16. 2.3. D05 а) Найдите значение выражения За - 2f)_ За -f 26 _ 8 - если 2а —ЗЬ’ 2а + ЗЬ б) Найдите значение выражения ЗЬ 2а + 36 ^ 2а ■ если 3 5' а — 26 ’ а + 2Ь 2.3.D06 а) Найдите наименьшее значение выражения 1 + 2у/х^^^'у~+Т + Зу/х - 4у + 3. При каких значениях х и у оно достигается? S3- Действия с иррациональными выражениями 37 б) Найдите наибольшее значение выражения 3 — 2у/х + у — 1 — i/4x + у — 3. При каких значениях х и у оно достигается? 2.3. D07 а) Найдите наименьшее значение выражения v/x^ — бху + 9у2 + 4 + |х + 2у — 10|. При каких значениях х и у оно достигается? б) Найдите наименьшее значение выражения \/4х^ — 4ху + у^ + 9 + |2х + у — 8|. При каких значениях х и у оно достигается? 2.3. D08 а) Сравните число х с числом 17, если (у ~ 3) \1у1Гз = 16) (у-3). б) Сравните число у с числом 15, если (х - 5) 14 - у = -\/(14-у) (5-х). 2.3. D09 а) Какая из двух точек —j4 (\/а^ — Зб) или В (\/а^ + Зб) - числовой оси расположена ближе к точке С (а), если а > б? б)Какая из двух точек— А [у/а^ — 25) или В [у/а^ + 25) ■ числовой оси расположена ближе к точке С (а), если а > 5? 2.3. D10 а) Сравните число х с числом 4, если из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно; 1) х < 3; 2) у/{х-3) (х-22) = v/T=^V22-x; 3) х > 22. б) Сравните число х с числом 5, если из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) х < 4; 2) -^(х — 4) (х — 13) = а/4 — ху/\Ъ — х; 3) х > 13. 3 ГЛАВА УРАВНЕНИЯ §1. Целые алгебраические уравнения Уровень А 3.1.А01 Решите уравнение: б) дТ 4д. 3.1.А02 Решите уравнение: а) 9 + 4т = Ют — 9; б) 8 + 5т = 9т — 8. 3.1.А03 Решите уравнение: а) 2т^ — 7т = 0; б) 5т^ — Зт = 0. 3.1.А04 Решите уравнение: Зт^ + 5т + 2 5т^ + 2т + 3 N 3 - 5 с;\ 4т* + 7т + 3 7т^ + Зт + 4 о; 4 - 7 • 3.1.А05 Решите уравнение: а) 64,25т2 - = 0; б) 7,54т2 -^=0. 3.1.А06 Решите уравнение: а) Зт^ + T\/l7 = 0; б) llт^ + т\/Ю = 0. 3.1.А07 Решите уравнение: а) т^ - Зт - 4 = 0; б) т^ — 5т — 6 = 0. 3.1.А08 Решите уравнение: а) т^ — Ют + 25 = 0; б) т^ — 14т + 49 5= 0. 3.1.А09 Решите уравнение: а) 21т^ — 4т — 1 = 0; б) 24т^ - 2т - 1 = 0. 3.1.А10 Решите уравнение: а) (т — 3)^ = 16; б) (т - 4)^ - 9. ; 1. Целые алгебраические уравнения 39 Уровень В 3.1. В01 Решите уравнение; а) 27т2 - 6\/3 -х + 1=0; б) Зх^ + 2л/51 • т + 17 = 0. 3.1. В02 Решите уравнение: 4 3’ (т + ч/б)‘ , i_v/6t а; ---г----Н 6)fei^ + 3 1 - ч/Зт 5 4‘ 3.1.ВОЗ Решите уравнение; 15 — 9х _ 3 ~ X _ 4х I т — 3 б) 5 8 — 5а; 2 2-а; с; ' Q ’ а: 4(х-2) 3 5 3 2 3.1. В04 Решите уравнение; а) хл/2 + T\/l8 + 4ч/2 = xV^ + \/8; б) xV2 + ху/72 + ЗУ2 = тч/Ш + ч/^. 3.1. В05 Решите уравнение: а) (Зт — 2) (т — 1) = 4 (т — 1)^; б) (2т-l)(т-2) = 5(т-2)^ б) (Зт2 - 2т)^ = (2т)^ 3.1. В06 Решите уравнение: а) (4т^ — Зт)^ = (Зт)^; 3.1. В07 Решите уравнение: а) (5т - 2f + (5т + 2f = 2 (5т - 3)^; б) (7т - 3)^ + (7т + 3)^ = 2 (7т - 4)1 3.1. В08 Решите уравнение: а) (т - 0,5)2 ^ + 0,04)2; б) {х + 0,06)2 ^ _ q,2)2. 3.1. В09 Решите уравнение: а) 4т^ + Зт2 — 1 = 0; 3.1. В10 Решите уравнение: а) 1x2 _ ;|^о| _ 0. Уровень С 3.1. С01 Решите уравнение: а) |5т — 4| = (8 — 5т|; б) Эт" + 8т2 - 1 = 0. б) 1т2 - 171 = 8. б) |7т + 5| = |3 - 7т|. 40 Глава 3. Уравпенхш 3.1.С02 Решите уравнение: а) + 10ж + 16)^ + (ж^ + 11ж + 24)^ = 0; + 6ж - 72f + (ж2 + 15ж + 36)^ = 0. б) (ж^ б) (5ж + 4)^ = (Зж)®. 3.1. С03 Решите уравнение; а) (ж^ + 27ж — 57)^ = (ж^ — Зж + 1)^; б) (ж2 - 12ж + 20)^ = (ж2 + 2ж - 12)^ 3.1. С04 Решите уравнение; а) (Зж + 7)^ = (2ж)^ 3.1. С05 Решите уравнение; а) (ж - 2)^ + (ж - 4)^ = 2 (ж - 3)^ б) (ж - 3f + (ж - 5f = 2 (ж - 4)\ 3.1. С06 Решите уравнение: а) (ж + 2)^ = ж^ — Зж — 1; б) (ж — 2)^ = ж^ + 2ж — 4. 3.1. С07 Найдите все пары (ж; у) чисел ж и у, для которых; а) (Зж + г/ — 4)'-^ + (х + у — 2)^ = 0; б) (ж — 2у 4-1)^ + (2ж + у — 3)^ = 0. 3.1. С08 Решите уравнение: а) |5ж^ — Зж — 2| = —5ж^ + Зж + 2; б) |4ж^ — ж — 3| = —4ж^ + ж + 3. 3.1. С09 Решите уравнение: а) (ж — 4) (ж — 3)^ = (ж — 3) (ж — 4)^; б) (ж 4- 4) (ж + 5)^ = (ж 4- 5) (ж 4- 4)^. 3.1. С10 Решите уравнение: а) (ж^ — ж)^ — 14(ж^ — ж) 4- 24 = 0; б) (ж^ 4- ж)^ — 8(ж^ 4- ж) 4-12 = 0. Уровень D 3.1. D01 Решите уравнение: а) (2ж - 3)’^ 4- (2ж - 1)^“* = 0; б) (2ж + 5)^® + (2ж +3)^ = 0. 3.1.D02 Решите уравнение: а) 2ж^ - ж2(ж + 2) - (ж + 2)2 = 0; б) Зж'‘ 4- 2ж2(ж -- 2) — (ж — 2)2 = 0. §2- Дробно-рациональные уравнения 41 3.1. D03 Решите уравнение; а) |2ж — 1| + [Зж + 2| = 6; б) \2х + 5| — [Зж — 11 = 5. 3.1. D04 Решите уравнение; а) (ж2 — 4ж — 12)2 _ 42)2 _ 2^3.2 _ 4^(з;2 — 36); б) (ж2 — 2ж — 15)2 + (ж2 + 2ж — 15)2 = 2(ж2 — 9)(ж2 — 25). 3.1. D05 Решите уравнение: а) |5ж2 - 7ж + 31 = 2ж - 1; б) (8ж2 - 10ж + 3| = 2 - ж. 3.1. D06 Решите уравнение: а) |ж2 — 4j + |ж2 — 9| = 2ж2 — 13; б) |ж2 - 1| + (ж2 — 16j = 2ж2 - 17. 3.1. D07 Найдите все пары (ж; у) чисел ж и у, для которых: а) |ж2 — 7у + 6| + (ж + 2у — 3)2 = 0; б) |ж2 - 5у + 4j + (ж - Зу 4- 2)2 = 0. 3.1. D08 Найдите все пары (ж; у) целых чисел ж и у, для кото- рых: а) 4ж 4- бжу — 9у = 11; б) Зж 4- бжу — 10у = 12. 3.1. D09 Найдите все пары (ж; у) целых чисел ж и у, для кото- рых: а) (2ж - у)2 + 27(3ж - у)2 = 25; б) (2ж 4- у)2 4- 18(ж 4- у)2 = 16. 3.1. D10 Найдите все пары (ж; у) целых чисел ж и у, для кото- рых; а) 3(ж - 1)2 + 4(у -Ь 2)2 = 7; б) 2(ж-3)2 + 3(у-2)2 = 5. §2. Дробно-рациональные уравнения Уровень А 3.2. А01 Решите уравнение: 1 67 3 7г 7 2: f-x 5 53 2 9z 9 2 3.2.А02 Решите уравнение: 4у 4- 20 ~ б) ^ = 0 4у4-12 3.2.А03 Решите уравнение; ч 2ж 4- 5 с б) =4 2ж4-3 3. 42 Глава 3. Уравнени 3.2.А04 а) Найдите все значения х, при каждом из которых равны значения выражений у и —^ . б) Найдите все значения ж, при каждом из которых равны значения выражений 50 и 60 3.2.А05 Решите уравнение; а) 7х + 12 0; 3.2.А06 Решите уравнение: а^ —5_-4. 2х + 3 “ 7’ X — 2 а: — 3' а;^ + бт + 8 _ р. '' а:+ 4 б) За;+ 2 3.2.А07 Решите уравнение: а; — 4 а) а; + 4 = 5; б) 1^ = 4. 3.2.А08 Решите уравнение; б) ^ ^ = 16. ^ X ох 3.2.А09 а) Какие из чисел 2; 3; 4 являются корнями уравне- (х - 2) (х - 4) ния -7—5—-=--^ = о 2х^ - 7х + 6 б) Какие из чисел —4; —3; —2 являются корнями урав-(х + 2) (х + 3) _ нения 2х^ + 5х — 3 3.2.А10 Решите уравнение: -’1 ~ 2) _ „ ^^4 "б, Уровень В . (х + 4) (х + 1) _ „ х" - 1 ~ 3.2.В01 Решите уравнение: 1 а! Д^ + 3 _ 6 , х + 2~ х^ х + 2’ 3.2.В02 Решите уравнение: а)^ + |-2-0; б) ^±4 = 4 _7_ ' X — 3 X X — 3' б) 4-Т-5 3.2.В03 Решите уравнение: а) ^ + Л = 1; б)а±1-4 = 1. ’ У у §2- Дробно-рациональные уравнения 43 З.З.В04 Решите уравнение: а) 30 X — 5 X X б) 7х 18 х-2' 3.2.В05 а) Найдите все значения переменной Ь, для каждого из которых равны значения выражений 66 + 5 и 6-5 6-2 ** 36 + 2’ б) Найдите все значения переменной 6, для каждого из которых равны значения выражений 56 + 4 6-2 3.2. В06 Решите уравнение: х»+2х-3=“’ 3.2. В07 Решите уравнение: > х^ - 5х + 4 3.2. В08 Решите уравнение: ч 2у-Ъ __ у+ 6. ’ У У+ 4’ 3.2. В09 Решите уравнение: 6-4 36 + 2' а\ Х^ + Зх + 2 _ _ 4х + 3 - pry х^ + 2х - 15 _ о ^ х^ + х-12 а) = 0,05х -1. 17х^ + 27 3.2.В10 Решите уравнение: o') — 1 _ у___1_. х + 2 “ 2х’ Уровень С б) б) 5у + 2 _ 4у + 13 У Зх^ + 32 2х - 1 б) У + 4 = 0,2ж"Ч 3.2.С01 Решите уравнение: а)-^+ 2 X (х + 7) ^ X + 7 2; б) + 3 = 3. 3.2.С02 Решите уравнение: а) + _i_ - 24_ S-3^y + 3 у^-9 ; б) X (х + 1) X + 1 у + 1 1 _ __4 у + 2 у-2 у^-4' 3.2.С03 Найдите больший корень уравнения: NO 3 19 «ч 1 _ 22 а) 8*-^===“-^, б) 44 Глава 3. Уравнени 3.2.С04 а) Найдите все значения переменной х, при каждом из 1 которых значение выражения j больше значения 45 г выражения q на 5. б) Найдите все значения переменной х, при каждом из 1 которых значение выражения 12 о выражения + 4 X + 1 меньше значения 3.2.С05 а) Найдите все значения переменной, при каждом из 2-5г которых значение разности чению выражения ——---------- Z 4* bz -|- о б) Найдите все значения переменной, при каждом из 42 + 1 ■^^2 зна- 5г - 14 52+1 которых значение разности чению выражения 22-22-8' 3.2.С06 а) Найдите все значения z, при каждом из которых сумма дробей и вдвое больше их произ- ведения. б) Найдите все значения г, при каждом из которых сумма дробей и вдвое больше их произ- ведения. 3.2.С07 Решите уравнение: а) х2 + 27 х2 + 7 = 0; б) х2 + 75 13 = 0. 3.2.С08 Решите уравнение: а) - 11 ■ + 15 = 0; б) + 3.4£+-Z -2 = 0. \ 2/ / X 3.2.С09 Решите уравнение: \ Зх + 2 2х + 3_______ Г). 2х + 3 ^ Зх + 2 ~ ’ 4х - 3 , Зх - 4 о Зх - 4 4х - 3 ~ §2- Дробно-рациональные уравнения 45 3.2.С10 Решите уравнение; а) 2Р{х - 4) + ЗР(х - 3) = 2Р(-4), если P{i) — б) 2Р{х + 4) + Р{х + 3) = 4Р(7), если P{t) = Уровень D 3.2.D01 Решите уравнение: N 5 1 а) ___________________4х + 4. + 2х + 4 х^ х^ - 8 ’ 4 _ __1_____6х + 9 х2+3х + 9“х-3 хЗ-27’ 3.2.D02 Решите уравнение; 2 12 —г ------» б) а) 1 + 1 б) х^ 1 Ж 3.2.D03 Решите уравнение; N I X + 2 = 2; б) + X + 6 X* — 6 3.2.D04 Решите уравнение; 6 , 6 а) б) (5 - z)^ (■г + bf 13 25’ 15 + 15 34 (4-z)^ ' (z + 4)'" 3.2.D05 Решите уравнение: - 16' 9x^-4 f^x-2Y , 73х + 2у _ „ ^Ч4х + 3; ■^V4x-3; ~^16x^-9’ .4 (2x-2,Y , (2x + zY _ о 4x^ - 9 V3a; + 4y + V3a:-4/ 9x^ - 16' 3-5x3 3.2. D06 Решите уравнение: a)^^=2x-7; 6) ^ 3.2. D07 Найдите меньший корень уравнения: Зх — 5. а) х2 - X = 14 - б) х^ - 5х = 30 - 144 х^ — 5х ’ 3.2.D08 Решите уравнение: ^)Щ±1+ 5 _ 12 X —3 х + 4 X —3 х + 4 X® + х^ — 12х + 12’ б)^+ ^ X + 3 X — 4 7 +EJ1I-1- 11 х + 3 X —4 X® — х^ — 12х + 11 ’ 46 Глава 3. Уравнен 3.2.D09 Решите уравнение; + 2х + 1 За; + х + 1 х^ + 2х + 1 б) — 4а; + 2 Зх 2х + 2 х^ + 2х + 2 1. 3.2.D10 Решите уравнение: '' |х^ + 10х| 25 ^5х’ б) 25 |х^ + 5x1 = 1 + X §3. Иррациональные уравнения Уровень А а) 3; З.З.А09 Решите уравнение: Зх а) \ З.З.А01 Решите уравнение: а) \/—Зх = 2; б) л/2х = 3. З.З.А02 Решите уравнение: а) = 3; 6)fi=2- З.З.АОЗ Решите уравнение; а) у/х — 5 = 4; б) -\/х — 4 = 5. З.З.А04 Решите уравнение: а) \/4 — X = 5; б) V5 — X = 4. З.З.А05 Решите уравнение; а) \/Зх — 4 = 5; б) -4 = 3. З.З.АОв Решите уравнение: а) v^6x + 5 = 7; б) -\/7х + 6 = 5. З.З.А07 Решите уравнение; а) 1/8 — Зх = 4; б) у/9-2х = 6. З.З.АОв Решите уравнение: 6) J^ = 2. 6) ,/§ = 4. $3- Иррациональные уравнения 47 3.3. А10 Решите уравнение: Уровень В 3.3. В01 Решите уравнение: 3.3. В02 Решите уравнение: а) 1 х + 2 4’ 3.3. ВОЗ Решите уравнение: ч / 11 1 V 10-х 6’ 3.3. В04 Решите уравнение: а) X — 3 = 0,8; X + 6 З.З.В05 Решите уравнение: а) 3 — X = 3; X + 7 3.3. В06 Решите уравнение: 3.3. В07 Решите уравнение: X + 20 + 5 = 4; 3.3. ВОЗ Решите уравнение: 3.3. В09 Решите уравнение: а) \/бх^ — 7х + 2 = 1; 3.3. В10 Решите уравнение: б) б) б) б) ,/М = 2. X — 3 = 3. X + 7 5' 13 1 12-х 3' б) = б) 1/^=4- б) = 6)VW=2- б) б) V3x2 + 2х - 1 = 2. а) л/бх - 3x2 + 13 = 2; б) у/Ш - 4х^ + 21 = 1. 48 Глава 3. Уравненш Уровень С 3.3. С01 Решите уравнение; а) у/Зх — 2 = 4х — 3; 3.3. С02 Решите уравнение: = х + 2- б) i/2x — 1 = Зж — 2. а) б) X — 1 ■■ X 3.3. СОЗ Решите уравнение: а) — 9)\/ж + 2 = 0; 3.3. С04 Решите уравнение: 3.3. С05 Решите уравнение: а) \/х — 5 = л/ж^ — 25; 3.3. С06 Решите уравнение: а) (ж + 6)\/2з^—9 = 3(ж + 6); б) (ж + 4)х/Зж^^^ = 2(ж + 4). 3.3. С07 Решите уравнение: V4x^ - 9 с - о, б) (ж2 -16)\/F+3 = 0. '=)^ = 'ЛГ+2. б) л/ж — 3 = \/ж2 9. а) л/3 — 2ж б) х/9ж^-4 _ ^ >/2 - Зж З.З.С08 Решите уравнение; а) jv/3x + 4- 1| = 3; б) |V4x-3 - 1| = 2. 3.3.С09 Решите уравнение: а) \/х^ + Зж + 2 + \/ж^ — 4 = 0; б) \/ж^ + 4ж + 3 + \/ж^ — 9 = 0. б) ж — 6у^ = 7. 3.3. С10 Решите уравнение: а) ж — 5 л/ж =; 6 Уровень D 3.3. D01 Решите уравнение^____________ а) (4ж^ — 4ж — 3)л/4ж^~^^П^жТ^ = 0; б) (9ж^ + 6ж — 3)\/9ж^ + 18ж + 5 = 0. 3.3. D02 Решите уравнение:_____ а) ж^ + ж — 2\/ж^ + ж + 4 = 4; б) ж^ 4- ж — 2у/х^ + ж + 5 = 10. 8 3. Иррациональные уравнения 49 3.3.D03 а) Найдите все общие корни уравнений — ж = \/ж^~+^ и 2\/ж^ + 9 = ж^ + ж. б) Найдите все общие корни уравнений 3\/ж^ + б = ж® — 8ж и ж^ — 4ж = \/ж^ + 6. 3.3.D04 Решите уравнение:_______ а) б) 2ж- 1 ж + 1 ж-2 2ж + 1 + 9 + 16 ж + 1 2ж-1 = 6; 2Ж+ 1 = 8. 3.3. D05 Решите уравнение: а) л/Зх + ~4 — \/4х — 7 = 1; б) \/4ж — 11 — %/Зж + 1 = —1- 3.3. D06 Решите уравнение: а) \/бж — 5 = |ж| — 13ж — 2| + 1; б) \/2х — 3 = (ж( — [Зж — 4[ + 1. 3.3. D07 Решите уравнение:_______ а) х{2х + I) + 2xJ+ 1 = Q-, б) ж(3ж + 4) + 4х^+ 4 : 3.3.D08 Решите уравнение: а)-^^Л=^ + 0. б) \/ж^ — 4ж + 5 2 + 4ж + 29 1 7 5’ ^ 5 2' \/ж2 — 6х 4-10 \/х^ — 6ж 4-13 3.3. D09 Найдите все пары (ж; у) чисел ж и у, для которых: а) у/ж^ - у 4-1 4- у/ж + Зу ^ = 0; б) у/ж^~4-у^^4- у/ж — 4у 4- 2 = 0. 3.3. D10 Найдите все пары (ж; у) чисел ж и у, для которых: а) 7(ж - 2у + 1)2 4-1 + у/(3ж - у - 2)2 + 25 = 6; б) у/(2ж - у - 1“)2 4-9 4- у/(ж - Зу + 2)2 4-16 = 7. 4 ГЛАВА НЕРАВЕНСТВА §1. Целые алгебраические неравенства Уровень А 4.1. А01 Решите неравенство: а) 5х — 7 ^ 7т — 5; б) Зх — 8 ^ 8х — 3. 4.1. А02 Решите неравенство: а) 3(2х - 3) - 2(3х - 2) ^ 1 - 4х; б) 4(3х - 4) - 3(4х - 3) ^ 1 - 5х. 4.1. А03 Решите неравенство: а) (2 -x){Vb-V7)> 0; б) (1 - х) (\/3 - л/б) > 0. 4.1. А04 Решите неравенство: б) (v/5 - \/7) X < v/5 + \/7‘ 4.1. А05 Решите неравенство; а) (2х - 3) (5х + 2) ^ (2х - 3) (5х - 2); б) (Зх — 1) (4х + 3) ^ (Зх — 1) (4х — 3). 4.1. А06 Найдите наибольшее целое решение неравенства а) 5х — 6 < 2 (3 — х) — Зх; б) Зх + 4 < —5 (3 + х) — х. 4Л.А07 Решите неравенство: а) ii^>3x + l; 4.1.А08 Решите неравенство; N X а) 2 3 — X ^ X + 12 15 4.1.А09 Решите неравенство; 9 5’ б) >2х+ 1 I + 3 X + 2 ^ 4х + 5 15 2 3' а) (х + 7) < (х — 3) ; б) (х — 6)^ ^ (х — 4)^. 4.1.А10 а) Найдите все значения п, при каждом из которых сумма чисел 4 + 10п 4 (3 - п) положительна. 9 " 3 б) Найдите все значения п, при каждом из которых 10 + 17п 5 (2 - п) сумма чисел ” 16 отрицательна. § 1, Целые алгебраические неравенства 51 Уровень В 4.1. В01 Решите неравенство: а) 5ж^ + Зх < 0; 4.1. В02 Решите неравенство: а) 36x2 - 25 ^ 0; 4.1. В03 Решите неравенство: а)9>|; б) Зх^ — 8х < 0. б) 49x2 - 16 > 0. 4.1. В04 Решите неравенство: ч 3x2 4д. aj 4 5 . 4.1. В05 Решите неравенство: a)^ 0. б) 5x2 9д. _ 2 < 0. б) (5х — 4)2 > (4х - 5)2. 4.1.В09 Решите неравенство: а) х2(х2 + 9) < 9(х2 + 9); б) х2(х2 + 4) ^ 4(х2 + 4). б) (х - 6) (х 4- 2) ^ 0. 4.1. В10 Решите неравенство: а) (х - 2) (х - 1)^ > 0; Уровень С 4.1. С01 Решите неравенство: а) (х + 3)2 + (х - 5)2 > 2(х - 1)2; б) (х + 5)2 4- (х - 3)2 ^ 2(х 4 1)2. 4.1. С02 Решите неравенство: а) (х2 — 6х 4 5)(х 4- 3)2 ^ 0; б) (х2 — 5х 4- 4)(х 4 2)2 ^ 0. 4.1. СОЗ Решите неравенство: а) 9х* > 4®2; б) 9®* l®®"* 52 Глава 4. Неравенства 4.1.С04 Решите неравенство: а) (а:^ + 4а: + 3)(а: — 2) < {х^ - 2х - 3)(х + 3); б) (х^ — Зт + 2){х — 3) < (х^ — 5х + б)(х — 4). Решите неравенство: а) (5х — 2)(3х^ — X — 4)^ ^ (4х + l)(3x^ — х — 4)^; б) (4х — 1)(2х^ — X — 3)^ ^ (Зх + 4)(2х^ — х — 3)^. 4.1. С05 Решите неравенство: а) (х^ + 10х + 16)^ > (х^ + 10х + 26)^; б) (х2 + 12х + 15)2 > (3.2 ^ 12х + 25)2. 4.1. С06 Решите неравенство: а) (х2 — 3)(2х2 — Зх + 1) < (х2 — 7)(2х2 — Зх + 1); б) (х2 — 5)(4х2 — X — 5) < (х2 — 3)(4х2 — X — 5). 4.1. С07 Решите неравенство: а) (5х — 2) (3x2 __ б) (4х — 1)(2х2 — X 4.1. С08 Решите неравенство: а) (2х — 3)(х2 — X — 2) ^ (2х — 3)(10х2 + Их + 2); б) (Зх — 1)(х2 + X — 2) ^ (Зх — 1)(9х2 + 7х — 1). 4.1. С09 Решите неравенство: а) (4x2 — 9) (3x2 _ 5д. _ ^ ^4^.2 _ д^(2х2 — 5х — 8); б) (25x2 - 4) (3x2 _ 2х - 5) ^ (25x2 - 4) (2x2 _ 2х - 5). 4.1. С10 Решите неравенство: а) х^ + 15x2 ^ 225(х + 15); б) х^ — 14x2 ^ 190(3; _ 14) Уровень D 4.1. D01 Решите неравенство: а) Збх^ + 35x2 _ 1 ^ 0; 4.1. D02 Решите неравенство: а) (3x2 1)'‘ > (2х б) (3x2 _ 7з; + 2)“ ^ (2х 4.1. D03 Решите неравенство: а) (9х‘‘ — 9х — 10)^ ^ (8х^ — 9х — 9)®; б) (8х'‘ - 8х + 7)2 ^ (7х'‘ - 8х + 23)2. 4.1. D04 Решите неравенство: а) (Зх - 4)« > (4х - 3)®; б) (2х - 3)® > (Зх - 2)®. 4.1. D05 Решите неравенство: а) (2х — 3)® < (3 — 2х)2; б) (Зх — 4)® < (4 — Зх)®. б) 49х^ + 48x2 -1^0. 1х ■Зх + 3)'*; - 5х +10)^ §2. Дробно-рациональные неравенства 53 4.1. D06 Решите неравенство: а) |3х2 — Их + 6| (6x2 _ 3^ ^ Q. б) |4х2 - 12х + 5| (5x2 _ 12х + 4) ^ 0. 4.1. D07 Решите неравенство: а) (х2 — 4х)2 + 2(х2 — 4х) — 35 < 0; б) (х2 + Зх)2 + 2(х2 + Зх) - 24 < 0. 4.1. D08 Решите неравенство: а) (х2 + 6х + И)(х2 + 6х + 13) ^ 8; б) (х2 — 8х + 18) (х2 — 8х + 19) < 6. 4.1. D09 Найдите все пары (х; у) чисел х и у, для которых: а) (х2 - 4х + 7)(у2 + 2у + Ю) ^ 27; б) (х2 - 2х + 9)(у2 -I- 4у + 7) ^ 24. 4.1. D10 Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у, для кото- рых: а) 7(х - 5)2 4- 5{у - 7)2 ^ 6; б) 9(х - 11)2 4. щу _ 9)2 ^ 10. §2. Дробно-рациональные неравенства Уровень А 4.2. А01 Решите неравенство: а) Зх -I- 2 ^0; б) 2х + 3 ^0. 4.2. А02 Решите неравенство: 2х - 1 ^ 4х^ + 3 ^ 4.2. А03 Решите неравенство: х2 + 5 ^ х2 + 5’ 4.2. А04 Решите неравенство: а) 7x^ + 1 о- 4.2. А05 Решите неравенство: 4х^ . 7 ^ \ Зх 2 ^ г\ б) Зх х^ -Ь 4 х^ -Н 4' а) 4х -Ь 3 ^ 4х -Ь 3 4.2.А06 Решите неравенство: 2^3. F.T - . 5x2 9 5х-4 5х-4‘ 4 . 5 3x4-4 Зх-1-4 • 54 Глава 4. Неравенства 4.2. А07 Решите неравенство: а! ^ < 4 . > За;-2 ^ 2-Зж’ 4.2. А08 Решите неравенство: ..‘У i л ч а) + 4 ^ - 4х — 1 4а; — 1 ’ 4.2. А09 Решите неравенство: ч 2х-7 х-2 . > 3x^+2 ^ 3x^ + 2’ 4.2. А10 Решите неравенство: „ч, 2х — 9 ^ 2х — 3 ^ 5х + 4 5х + 4’ Уровень В 4.2. В01 Решите неравенство: 4x^-9 ^ 4.2. В02 Решите неравенство: 9х^ - 1 ^ г, 4.2. В03 Решите неравенство: 4.3 а) х^ 16 ^ 16 - X .2 ’ 4.2. В04 Решите неравенство 4.2. В05 Решите |1еравенство^ а) 49х^ - 36 ^ 49x2 - 36 ’ 36x2 _ 49 ^ 36^.2 _ 49 4.2. В06 Решите неравенство: а) ^ < 5 . х(х — 3) х(3 — х) ’ 4.2. В07 Решите неравенство: а) ;2 — X — 6 2x2 + 9 ^0; б) б) б) б) б) б) б) б) б) б) б) 2 ^ 3 4х — 3 3 — 4х ■ х2 + 3 ^ 2 4х + 5 ^ 4х + 5' 7х — 3 X — 3 2x2+3 2x2 + 3' Зх — 5 ^ Зх + 2 6х + 5 ^ 6х + 5 ■ 9x2-4 4x2 _ I 4x2 + 5 <0. >0. 5 . 2 х2 - 81 ^ 81 - х2 ■ 4x2 + 13 16 — Х2 4x2 ^0. < 5 ^ 4 х(х — 2) х(2 — х)' х2 + х- 12 3x2 + 5 <0. 4.2.В08 Решите неравенство: а! 2 3 х2 — 2х — 24 х2 — 2х — 24 ’ 3 _ 4 б)з х2 - Зх - 18 ^ х2 - Зх - 18' § 2. Дробно-рациональные неравенства 55 4.2.В09 Решите неравенство; а) ^ 2^-8 5x2 4.12 ^ 5x2 12> 4.2. В10 Решите неравенство: (4х-з/ х2 . > 7x2 + 3 ^7x2 + 3’ Уровень С 4.2. С01 Решите неравенство: ч 2x2 Зх + 7 4.2. С02 Решите неравенство; а) (£±il!<0- х2-9 ^ ’ 4.2. С03 Решите неравенство: (х - 3)2 ^ 4.2. С04 Решите неравенство: ч 4х . 5 16x2 _ 25 16x2 _ 25 > 4.2. С05 Решите неравенство: ч Зх — 2 ^ Зх — 2 4x2 + 9 ^ 4x2 + 5’ 4.2. С06 Решите неравенство: а) 4 < 1 4х X - 4 ’ 4.2. С07 Решите неравенство; Ч 1 ^ х2 — 5. 2-х^ х-2’ 4.2. С08 Решите неравенство; ч X® — 3x2 _ 10д. 4.2. С09 Решите неравенство: ч X® — 9x2 20х ^ ----F^4----- 4.2. С10 Решите неравенство: а) 1 1 б) б) х2 - 21 . 9 — X 4x2 11 ^ 4а;2 _|_ 11 • х2 ^ (Зх - 2)2 3x2 + 7 3^2 4_ 7 х-7 х + 8’ б) б) б) б) б) б) б) б) б) б) 3x2 2х + 5 (х + 7)2 х2 — 36 25-х2 (х — 4)2 ^0. <0. >0. Зх ^ 4 9x2-16 9x2-16" 4х — 3 ^ 4х — 3 3x2 + 8 3x2 + 5" 6 < 1 х2 - 6х X - 6 " 2 ^ х2 - 11 3 — X X — 3 - 4x2 _ 12д. х2 — 4х — 12 ^0. X® - 8x2 4_ 15д. ^ ^ X - 3 ^ 1 1 X — 8 X + 7" 56 Глава 4. Неравенства Уровень D 4.2.D01 Решите неравенство; — 4х^ — 25х + 100 ^0; б) ^^-Зд^;-16х + 48 3 — X 4.2.D02 Решите неравенство: {х^ — ЗхУ ^ {х'^ — Зх + 4)^ _ а) б) 9x^ + 2 (х^ + 2х)^ 8x2 + 3 9x2 + 2 (х2 + 2х — 6)2 8x2 4.2.D03 Решите неравенство: а) 4х + 3 ^ х2 - 4х + 3 2x2 + 5 3x2 --N х2 - Зх + 2 ^ ’ 3x2 + 7 Зх + 2 4x2 ф J 4.2. D04 Решите неравенство: ч X — 2 ^ X — 5 х + 7 ^ х + 4’ 4.2. D05 Решите неравенство: 6) 3 ^ х-4 X + 6 X + 5 ■ Зх + 4 ^2 9x2 _ 4x2-9 4.2.D06 Решите неравенство; а) ^ б) (4х + 5)2 4 4х + 5 16 (Зх + 4)2 Зх + 4 4.2.D07 Решите неравенство: + 8 < 0; + 15>0. а! 3 4 ^ х2 + 8х + 17 х2 + 8х + 18 б) + ^5; >6. х2 + 10х + 27 ' х2 + 10х + 26 4.2.D08 Найдите все пары (х; у) чисел хну, для которых: „2 . -I- . с ^ 2 а) + 4х + 6 ^ б) х^ — 6х + 11 < 1/2 — бу + 10’ 4 2/2 + 4у + 6 ■ ij3. Иррациональные неравенства 57 4.2.D09 Найдите все пары (х; у) целых чисел хну, для которых: 1 , 2 а) б) 2(х + 5)2 ^ 5(2/-3)2 + 1 5(х + 2)2 2(2/-4) ^ 1,1. 4.2.D10 Найдите все пары (х; у) целых чисел хну, для которых: а) 1 9(х - 7)2 + 7(2/ - 9)2 б) __________1_________>1. 7(х — 5)2 + 5(2/ — 7)2 ^ 6 §3. Иррациональные неравенства Уровень А 4.3. А01 Решите неравенство: а) 3\/2х — 9 > 0; 4.3. А02 Решите неравенство: а) \/5х + 8 ^ 0; 4.3. А03 Решите неравенство: а) (х^ + 8)\/х + 8 > 0; 4.3. А04 Решите неравенство: а) Vl2x2 + 11 12 - Их ^0; 4.3. А05 Решите неравенство: а) , ^ ^ , ; у/Зх — 5 у/Зх — 5 4.3. А06 Решите неравенство: ’ \/2х2 + 11 ^ V2x2 + 11 4.3. А07 Решите неравенство: 2х-5 5-2х’ 4.3.А08 Решите неравенство: а)^^>0; ’ V7x2 4. 5 б) 7УЗх - 8 > 0. б) V8x + 5^0. б) (х^ + %)у/х + 6 > 0. б) б) б) 16 — 15х 5 у/4х - 7 ^ yj4x - 7' 4х ^ 9 у/Зх^ТТо'' V3x2TTo' \/5х2 + 9 ^ 2 Зх-7 7-Зх' б) < 0. ^ V4x2 + 3 58 Глава 4. Неравенства 4.3.А09 Решите неравенство: 2а;-5 \/13а;2 + 12 \/13а;2 + 12’ 4.3.А10 Решите неравенство: а) 4 у/2х^ + 1 v/2a;2 + 1 ’ 4.3.В01 Решите неравенство: 5 Уровень В Ре а) v/16x2 - 25 >0; 4.3.В02 Решите неравенство: ^ Ах^ — 9 ^ п а) .......-= < 0; ' л/13х2 + 11 б) б) б) б) 4.3.В03 Решите неравенство: а) (Збт2 - 49)У36а;2 + 49 ^ 0; б) (25а;2 - Зб)\^5ж2Т^ ^ 0. 4.3. В04 Решите неравенство: 16 - a;** 4.3. В05 Решите неравенство: ^253:2 - 4 v/25x2 - 4 4.3. В06 Решите неравенство: а) 4х^ \/4х^ + 9 ^ 9\/4ж2 + 9; б) 9х^'\/9х'^ + 4 ^ 4v^9x2 + 4. 4.3. В07 Решите неравенство: а) — X — 30 6x^ + 7 ^0; 4.3.В08 Решите неравенство: а) 12х + 7 ^ 2х - 3 \/11х2 + 10 Vllx2 + 10‘ 3 ^ 2х \/4х^ + 3 ^ \/4х^ + 3 >0. ^/36x2 - 9 9х^ — 4 \/14х2 + 11 >0. б) ; б) у/14х^ + 3 49-х^ 4х^ >0. ^/l6з >- \/16х^ б) х^ + X — 42 5х^ + 6 >0. < б) Vx^ + Зх — 18 \/х^ + Зх — 18 ’ 2^7 < \/х^ + 5х — 24 у/х^ + 5х — 24 4.3.В09 Решите неравенство: 10х б) х^ + 20 12х v/15x2 + 11 v'15x2 + 11’ ^ >/14x2 + 17 V14x2 +17' §3. Иррациональные неравенства 59 4.3. В10 Решите неравенство: (х - ЗУ ^ (2х-5)\ ' лДх^ТА ^ х/3х2 +4’ Уровень С 4.3. С01 Решите неравенство: а) (Зх — 4)\/4х — 3 ^ 0; gN (Д - 4)^ ^ (Зх - 8)^ \/5х^ + 6 ^ \/5х^ + 6 б) (Зх — 5)\/5х — 3 ^ 0. 4.3.С02 Решите неравенство: а)||^г>0; б) 1/4 — X 2 — Зх ^0. 4.3. С03 Решите неравенство: V4x + 3 4.3. С04 Решите неравенство: ч 5\/х ^ 2 4х-3 3-4х’ g'\ 53/ 4 г\ б) ■ ^ 0. б) ® Зх — 2 2 — Зх ■ 4.3. С05 Решите неравенство: , 2y/i 11 ■ ' х(х — 2) х(2 — х) ’ 4.3. С06 Решите неравенство: , /7(х -ту V 5 - 6х ^ 4.3. С07 Решите неравенство: „ч 16х - X® ^ г,, ct) —. I — ^ о, ^ v/x2 - 16 4.3. С08 Решите неравенство: ч \/12 - X — х^ , „ а) 4.3. С09 Решите неравенство: ч \/х + 7 ^ у/х + 7. X + 5 X — 5’ 6) < 13 х(х — 4) х(4 — х)' б) .49^ -^ 0. б) у/х2 - 49 \/6 — X — : X — 1 ^0. \/х + 9 / \/х + 9 х-6 ^ х + 6' 4.3.С10 Решите неравенство: ч 2 у/х^ -16. ''З-х^ х-3 ’ б) —^ ^ ^^^2-х^ х-2 • 60 Глава 4. Неравенств> Уровень D 4.3.D01 Решите неравенство: Ч 2«»-Зх-2 «О' б) 4.3.D02 Решите неравенство; Vl5-2x-x^^"’ б) 4.3.D03 Решите неравенство: — 23х + 7 ^ Q За:^ - 8а; - 3 ' 5х^ — 16а; + 3 у/15 + 2х — х^ ^0. б) (3x2 + 5^ _ 12)v/16-x2 ^ 0. 4.3. D04 Решите неравенство: а) 10х - 29\/х + 10 < 0; б) 12х - 25v/x + 12 < 0. 4.3. D05 Решите неравенство; а)-.==4^> 3 л/х — 5 + 3 \/х — 5 + 4 ; б) > 4.3.D06 Решите неравенство: a)3x + 2Vi-3^^:^; б) 2х + 3у^-4< у/х -4 + 2 л/х -4 + 3 9х - 4 4.3.D07 Решите неравенство: а) X + 3 + V-3x - 2 ^ б) X + 4 + у/—2х — 3 ^ V2-3X ’ у/4х^ - 9 \/3 — 2х 4.3.D08 Решите неравенство: ч 7 , 6 а) б) \/х2 - 8х + 17 ч/х^ - 8х + 52 9 10 ^8; >5. ч/х^ + 6х -Ь 18 \/х^ + 6х + 34 4.3. D09 Найдите все пары (х; у) чисел х и у, для которых: а) \/х^ — 6х + 13 • \/у2 + 10у + 34 ^ 6; б) Ух2 + 8х + 20 ■ \/у2 — 6у + 34 ^ 10. 4.3. D10 Найдите все пары (х;у) целых чисел х и у, для кото- рых; а) 5уЗх - 2у - 4 -Ь Зу/2х + Зу - 7 < 2; б) 4-^/Зх — 2у -f 1 + lsJ2x — Зу -f 4 ^ 3. ГЛАВА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ §1. Системы целых алгебраических уравнений Уровень А 5.1.А01 Решите систему уравнений: а) 5х + у = —2, 7х — у = —10; б) Зх 4- у = 13, 4х — у = 15. 5.1.А02 Решите систему уравнений: а) 4х — Зу = —4, 4х - у = 3; б) Зх + у = 3, Зх + 4у = —2. 5.1.А03 Решите систему уравнений: а) 8х + Зу = —3, 4х + Зу = -6; б) 9х + 2у = 23, Зх 4 2у = 13. 5.1.А04 Решите систему уравнений: а) Зх — 5у = 3, 2у — Зх = 1; б) 7х — 2у = 2, 5у — 7х = 3. 5.1.А05 Решите систему уравнений: а) 15х — 4у = 14, 5х 4 4у = —6; б) 4х - Зу = 9, 2х 4 Зу = —18. 5.1.А06 Решите систему уравнений: а) Зх — 2у = 4, Зх — 5у = —8; б) 5х 4 2у = 24, 5х — у = 18. 5.1.А07 Решите систему уравнений: а) 5х — Зу = 7, 7х 4 у = -И; б) 4х 4 Зу = -5, 5х 4 у = —9. 62 Глава 5. Системы уравнени 5.1.А08 Решите систему уравнений: '2х + 5у = 5, а) х-3у = 1; 5.1.А09 Решите систему уравнений: 10у — х = —21, а) Зх + 5у = -7; 5.1.А10 Решите систему уравнений: "7(х-Зу) = -11, а) ж - 4у = -2; б) б) б) Уровень В 5.1.В01 Решите систему уравнений: а) < 3 2 о 2Х-3У--8, 1 -х+ оУ = 5; 5.1.В02 Решите систему уравнений: Зх + 5у = 29, а) 5х + 2у = 23; 5.1.В03 Решите систему уравнений: а) < о , 22 2ж + у = у, Зх + 2у- 34. 5.1.В04 Решите систему уравнений: 'x2 + 5y = (x-2f -20, а) б) 4х + у = -8; 'x^ + 3y = {x + lf + 12, Зх — 5у = —2, —X + 4у = —3. 15у + ж = 29, 2х — Зу = —8. 6 (ж + 4у) = 19, ж + Зу = 1. б) 1 3 о ^х-^у = 3, -ж + iy = 4. б) 4ж + 5у = 21, Зж — 4у = 8. б) 7ж-у = 4ж + Зу = 107 5 ’ 54 ■ 5 • 2ж — 5у = —17. 5.1.В05 Решите систему уравнений: (ж + 2)^ + (у - 1)^ = ж^ + у^ + 1, 6у + ж = 25; (ж + 2)^ + (у - 4)^ = ж^ + у^ + 4, 7у + ж = 23. а) б) ; 1. Системы целых алгебраических уравнений 63 5.1.В06 Решите систему уравнений: (ж + 2yf - (Зж + yf = 8, у - 2ж = 4; (2ж - yf - (ж + 3yf = -9, Зж + 2у = —1. а) б) 5.1.В07 Решите систему уравнений: (ж - 2) (у + 3) = О, а) Зж — 2у = 6; б) (ж + 3) (у - 4) = О, 4ж — Зу = —12. 5.1.В08 Решите систему уравнений: (ж - Зу) (ж + 4) = О, а) ж - 5у = 1; б) (ж + 4у) (ж - 3) = О, ж + Зу = 1. 5.1.В09 Решите систему уравнений: 4 (ж + Зу) + 2 (ж - у) = 28, 2 (у - ж) + ж + Зу = 2; 2 (ж + у) + 3 (2ж — Зу) = -30, 4 (Зу — 2ж) + ж + у = 40. а) б) 5.1.В10 Решите систему уравнений: Г Зж2 - у = 7, М 5у - Зж2 = -23; |5ж2-4у = 17, ' I бу - 5ж2 = -23. Уровень С 5.1.С01 Решите систему уравнений: . jхуЩ + уу/Ъ =-11, ^MxV^-yv/5 = -10; 5.1.С02 Решите систему уравнений: '4ж2-49у2 = 10(2ж-7у), ж + у = 45; 9ж^ — б4у^ = 5(3ж + 8у), ж — у = 55. а) б) ж\/^ + У\/2 = -6, жл/ТЪ - у\/2-18. 64 Глава 5. Системы ypaeuenui 5.1.С03 Решите систему уравнений: \ {х - 2yf = 11{х - 2у), М 2х + у = 50; ’ 5.1.С04 Решите систему уравнений: 5.1.С05 Решите систему уравнений: — 1бу^ + X + 4у = о, а) Зх — 4у = 16; 5.1.С06 Решите систему уравнений: 5.1.С07 Решите систему уравнений: 6х + 5у = 44, а) ху = 16; 5.1.С08 Решите систему уравнений: 4|х| + Зу = 8, а) 4х-у = 1; 5.1.С09 Решите систему уравнений: f Зх^ — 4у + Зху — 4х = О, |^3х-2у = 6; \ 5х^ — 2у — 5ху + 2х = О, I 5х + Зу = 1. а) б) 5.1.СЮ Решите систему уравнений: X® — 64у^ = —56, а) 4у - X = 2; Уровень D (Зх - у)2 = 9(3х - у), X + Зу = 40. I (х - 5у) (х2 - 36) = О, Мх-у = 4; (х + Зу) (х^ - 4) = О, X + у = —2. б) x^ — 9y^ + X — Зу = О, 4х + Зу = 10. 2х + !,= -5, X + ху — X — 11у = 55; X + 2у = 7, х^ — ху + X + 43у = 56. б) Зх + 4у = 35, ху = 25. б) 3 |х| + 2у = 2, Зх — у = 4. б) хЗ -8?/--91, 2у — X = 7. 5.1.D01 Решите систему уравнений: (2х - ЗуУ + 7(2х - Зу)2 = 8, а) 2х + Зу = 5; g 1. Системы целых алгебраических уравнений 65 б) (Зх - 5у)'‘ + 6(3х — 5у)^ = 7, Зх + 5у = 11. 5.1.D02 Решите систему уравнений: 5.1. D03 Решите систему уравнений: , Г 2х^ + ху = 10, ''I 2у^ + Эху = 20; 5.1. D04 Решите систему уравнений: - Зу| - |у| = -3, б) а) 2|х-3у| + у = 3; б) д.З _ уЗ _ gg^ х-у = 2. Зх^ + ху = 30, Зy^ + 19ху = 60. |х-2у|-|у| = -12, 5 |х - 2у| + у = 12. 5.1.D05 Решите систему уравнений: . Г х^ + 5ху + 6у2 = о, . 1 |х + 2у| + |х + 3у| = 12; X 2ху - Зу^ = О, 5.1.D06 Решите систему уравнений: |х + у1 = 1, а) (х^ - у2) (х - у) = -4; б) |х + у| + |х-3у| = 16. ]х - у| = 2, (х^ - у^) (х + у) = 50. 5.1. D07 Решите систему уравнений: , / (4х - 5)2 + (4у - 5)2 = 2(4х - 5)(4у - 5), I х2 + у2 = 72; .. Г (Зх + 2)2 + (Зу + 2)2 = 2(3х + 2)(3у + 2), ^ ^ х2 + у2 = 98. 5.1. D08 Решите систему уравнений: , Г х2 - 6х(у + 1) - 27(у + 1)2 = О, ■'I (х - 9у - 9)2 + (х + Зу + 3)2 = 36; х2 + 5х(у - 1) - 24(у - 1)2 = О, б) (х Ч- 8у — 8)2 + (х — Зу + 3)2 = 25. 5.1.D09 Решите систему уравнений: + у^ — 8х — 2у = —17, Зг — X + 5у = —8; + у2 + 2х - 2у = -2, 2z + X + у = -6. 3-4967 ' а) б) 66 Глава 5. Системы уравненъ 5.1.D10 Решите систему уравнений: . Г {х -^zf + \у -7z\ = 0, I X + у + 2 = 44; (х — AzY + \у — 6z\ = О, X + у + Z = 33. б) §2. Системы рациональных уравнений Уровень А 5.2.А01 (к 1 Решите систему уравнений; Г 5 а) < 2х + у ’ б) 2х + у 2х-у = 7; —-— = 1 4х + у ’ Ах — у — 13. 5.2. А02 Решите систему уравнений: а) < Зх - у ~ б) [ 0,2х-у = -2,4; 5.2. А03 Решите систему уравнений: ( Зх - 2у _ _ а) < 2х + Зу ’ б) [ 2х-3у = 5; 5.2. А04 Решите систему уравнений: ( X + 3 _ Г) а) { у + 3 б) [ х + у = 9; 5.2. А05 Решите систему уравнений: Г 4 _ 5 а)<х + 5 у + 4’ б) [ 4х + 5у = 1; 5.2. А06 Решите систему уравнений; f 1 = 1 а)<х-7 у — 5’ б) [ 5х + 7у = 58; 5.2. А07 Решите систему уравнений; Г 11^13 а) < X у ’ б) I X - у = -2; о-^— = -0,5, 2х — у ’ ’ 0,3х — у = —4,9. 2х — Зу = 5, Зх + 2у Зх — 2у = 5. X -f- 2 = 3, У + 2 X + у = 8. X + 4 у + 3’ Зх + 4у = 1. 1 1 X — 9 у — 3 ’ 4х + 9у = 50. ^ Системы рациональных уравнений 67 л 2.А08 Решите систему уравнений: f 1 ^ 1 а) < Зх + 4 Зу + 4 ’ б) I 4х-3у = 2; 5.2.А09 Решите систему уравнений: ^ ~У. — 49 х + у ’ б) X — у = 49; а) 5.2.А10 Решите систему уравнений: Г 6х _ у а) < 5х + у “ ’ б) I 5х + у = 6; 1 4х + 5 4у + 5 ’ 5х — 4у = 3. х + у :47, X - у X + у = 47. 8х = 9 7х + у 7х + у = 8. Уровень В 5.2.В01 Решите систему уравнений: _И_ = 1 8х + 9у ’ g) —-— = 1-Зх + 4у ’ а) < а) < 7х + 2 _ то. 2у + 7"^'^’ 5.2.В03 Решите систему уравнений: 5х + 6 6х + 5 а) Ъу+ 6 6у + 5 ’ 5 _ 1 . X 6 — у’ 12х + — = 13, У 13а; _ ^ 12; У 5.2.В02 Решите систему уравнений: f 2х+ 7 _ г 7у + 2- б) б) 5.2.В04 Решите систему уравнений: ' i + 5 = i3, a)U_L.. X у ’ S.2.B05 Решите систему уравнений: а) { б) 19 9х + 10у 9 = 1, 4х + 5у = 1. Зх + 5 5у + 3 5х + 3 Зу + 5 = -10, = 14. 4х + 5 _ 5х + 4 4у + 5 ~ 5у + 4 ’ 4 1 к X 5 - у’ ^ + ^ = 19, X у 6-5 = 7 < X у 13х + у = 14, 14х - ~ = 13. 68 Глава 5. Системы уравнень 5.2. В06 Решите систему уравнений: f Зх + 2у ^ 25 а) < Зх — 2у Зж + 2з/ ’ б) [ Зх + 2у = 5; 5.2. В07 Решите систему уравнений: Г 17 19 а) < ж — 17 2/ — 19’ б) [ 19ж + 17у = 38; 5.2. В08 Решите систему уравнений: Г 5 - Зж 5 - Зу а) < V. ж Зж — 4 3j/ — 4 ’ У + ^ _ с. 3-0, б) 5.2.В09 Решите систему уравнений: а) ---------= 14 13ж + Uy ’ 13ж + 14у = 14; б) 5.2.В10 Решите систему уравнений: ■ (ж + 12)(г/ + 13) = о, а) < 13ж + 12у I у+ 13 = 24; Уровень С 5.2.С01 Решите систему уравнений: 5ж + 4у _ 6) 4ж - Ъу 4ж + 5у 1 '4’ 5.2. С02 Решите систему уравнений: Г (ж-5)(у-3) = 0, а) < Зж + у + 12 _ , б) i ж - у + 8 ~ ’ 5.2. С03 Решите систему уравнений: ( (ж - 7)(у - 6) „ а) < у-5 ’ б) [ у2 + бж + у = 72; 5.2.С04 Решите систему уравнений: - - 18^ = у X ж + Зу = 9; . j ^ - 18^ = 3, .4 а) { у X ' б) 49 2ж — Зу 2ж + Зу ~ 2ж — Зу ’ 2ж — Зу = 7. 13 15 ж-13 у-15’ 15ж + 13у = 30. 7-5ж ^ 7-5у 5ж — 6 5у — 6 ’ ЬЦ = 7. Ж — 5 ___Е.____= 12 11ж + 12у 11ж + 12у = 12. (х + 11)(у + 12) = 0, б) < 12ж + 11у I у+ 12 = 22. 4ж + Зу 4ж — Зу Зж - 4у Зж + 4у -17, 1 'З' (ж + 3)(у-4) = 0, 2у — ж + 5 ж + у + 7 = 3. О, (ж - 6)(у - 5) у - 4 у^ + 5ж + у = 50. - - 16^ =6, У ^ X + 2?/ = 10. ^2. Системы рациональных уравнений 69 5.2.С05 Решите систему уравнений: а) < x^ + ^ = 26, ж2 - — = 23; У б) а:2 + ^ = 37, У з;2 _ 12 _ 34_ 5.2.С06 Решите систему уравнений: а) < У = 32, + 32у2 32у X 33; б) = 33, 2 33у2 ЗЗу ^ X 34. 5.2.С07 Решите систему уравнений: а) « ж + 5 -5, + ^ ж + 5 б) -^ = -6 ж + 6 ■Ц^ + —— = 7 У ^ ж + 6 '• 5.2.С08 Решите систему уравнений: а) < + - = -у, 5ж + ^ = 2; У б) 6ж + - = -у, бж + ^ = -2. У 5.2.С09 Решите систему уравнений: Г 4ж2 = 9у2, 1 2ж + Зу + 1 _ 2ж - Зу + 1, [ у ~ ж ’ Г 9ж^ = 4у2, J Зж + 2у + 1 _ Зж - 2у + 1 i у ~ ж ■ 5.2.С10 Решите систему уравнений: ( Зж = 4у, ' 1 + тЛ! = 4; Ж у - 2 Г 5ж = 4у, 6) 1+5 =6. L ж у - 4 Уровень D 5.2.D01 Решите систему уравнений: 24ж + — = у, ill б)<( 24у + ^=х; 35ж + ^ = у, 35у + ^=ж. 70 Глава 5. Системы уравнени 5.2.D02 Решите систему уравнений: ( — 7ху + 12у^ = о, а) 12 1 _ оп. б) — + i = 20; X у 5.2.D03 Решите систему уравнений; а) < X , 2у _ _ 2у - 3 2х- 3 " ’ б)< Зж 2у _ ■1; 2у — 3 2х — 3 5.2.D04 Решите систему уравнений: 1 f (т-3)2 + (у- 3)2 = а) х2 + 5у2 + Зх — 1 L 4у2 + Зх + 11 — 1 " (т - 4)2 + (у - 4)2 = б) х2 Ч- бу2 + 2х — 1 L 5у2 + 2х + 17 х^ — 9ху + Ыу^ = О, 1 У М + 1 = 24. X + Ау Ау -Ъ 4т — 5 5т_______4^ Ау — 5 4т — 5 -5, -1. 5.2.D05 Решите систему уравнений: {ху _ ху 5т - 4 Ау — Ъ' 5т + 4у = -9; {ху _ ху 4т+ 3 32/+ 4’ 4т + Зу = 7. 5.2.D06 Решите систему уравнений: X _ у а) < 1- 1 - 6 т + 5 " У + б ^ 5т-у = ту + 5; б) 5.2.D07 Решите систему уравнений: 8 ________________________,2 -и т + у-8 5.2.D08 Решите систему уравнений: Г 2 . 3 ^Г + 2, _____У_ 1- 1_____2_ . _______ X + 4 у + 5 4т — у = ту + 4. 6 а) { (2х - Зг)2 + 1 (Зу - 4z)^ + 1 2т + Зу + 4z = 66; 3 , 4 { б) ^ (Зх - АгУ + 1 (4у — ЪгУ + 1 Зт + 4у + 5т = 168. 1x2 _ 7a;j + 2 X + 16у _ у X + у - 6 ~ = 5, = 7, = + 3, Системы иррациональных уравнений 71 5.2.D09 Найдите все пары (т; у) целых чисел т и у, являющиеся решениями системы уравнений: 7у-34 а) ^ у - 5 ’ т2 + у2 = 52; 6у-23 б) ^ у-4 ’ \ т2 + у2 = 34. 5.2.D10 Найдите все пары (т; у) целых чисел хну, являющиеся решениями системы уравнений: / У = Зх + а) ^ у ' Зх -f 1 ’ \ х2 = у- 1; б) у = 4х — х^ = у -f-1. 4х — 1 ’ §3. Системы иррациональных уравнений Уровень А 5.3.А01 Решите систему уравнений: а) s/x + y - 3 — О, у/х - у -1 = 0; 5.3.А02 Решите систему уравнений: б) а) < 6) { х + у = 17; 5.3. А03 Решите систему уравнений: X Г у/х-у = 2, \х + у = 8; 5.3. А04 Решите систему уравнений: Ух Ч-у - 4 = 0, Ух - у - 2 = 0. = 3, X Ч- у = 10. - Г ух - у = 3, \ хЧ-у = 11. а) уЗх -Н 4у = о, уЗх - 4у = 12; б) У2х Ч- Зу = О, ^/2оГ7^~Зу = 6. 5.3.А05 Решите систему уравнений: 1х-7 а) < = 1, у-6 X Ч-у = 11; б) X — 9 = 1, 5.3.А06 Решите систему уравнений: . Г уЗх - у - 1 = 1, \ Ух - 2у Ч- 5 = 2; у - 5 хЧ-у = 12. Г Ух - Зу Ч- 3 = 1, I у2х- у=ГЗ - 2. 72 Глава 5. Системы уравнень 5.3.А07 Решите систему уравнений: f - j-- - 1 а) < v^4x + 5у ’ ( 4х — 5у = —9; б) < у/Зх + 4у ( Зх — 4у = —7. 5.3.А08 Решите систему уравнений: 1х- у а) 7 х + у = 2, б) 7 = 4; X - 2/ 9 х + у 9 = 3, = 5. 5.3.А09 Решите систему уравнений: а) < 5х б) < 5х + Зу = 30; 2х 2х + 7у = 28. 5.3.А10 Решите систему уравнений: l2y — Зх а) ■ ' = 3, б) X + у = 14; 2у — 5х = 5, X + у = 16. Уровень В 5.3.В01 Решите систему уравнений: f (х -2),^ = 0, \ х + у = 4; 5.3.В02 Решите систему уравнений: ' (х-25)(у-28) = 0, а) у + 5-v/x = 25; б) 5.3.В03 Решите систему уравнений: .ГЗх-2^ = 4, ^^\3х + 2у^ = 8; 5.3. В04 Решите систему уравнений: . Г 2у^+7у = 9, \ 2v^ + 3y = 5; 5.3. В05 Решите систему уравнений: ' (v/x-3)(y- л/х + 5у — 8; б) (х - 4)Vy -6 = 0, X + у = 8. (х - 1б)(у - 19) = 0, у + 4л/х = 16. 2х - 3у^ = 3, 2х + Зу^ = 9. 3-у/х + 4у = 7, 3-v/x + 2у = 5. J (\/^-3)(у-6) = 0, .Г (Vi-4)(y-5) = 0, aj S л;: ^ г;,, _ й. \ ^ + 2у = 6. ;3- Системы иррациональных уравнений 73 5.3.В06 Решите систему уравнений: ' 4v/x-7^=:-3, 4v^ + 7v^=ll; а) 5.3.В07 Решите систему уравнений: 2фс = у-А, а) A^/x = у + 2; б) 5.3.В08 Решите систему уравнений: , _ бх а) = 1, 2у + 3 б) + 5у + 25 = (х + 5)^; 5.3.В09 Решите систему уравнений: „ч / \/5х^ + 9у + 16 = 5, .. ^ ч/4х^ + 9у + 16 = 5; 8s/x-3y/y = 5, 8л/х 4- Зу/у = И. Зч/х = у-5, 5л/х = у + 3. 7х 1, Зу + 4 х^ + 7у + 49 = (х + 7)^. 5.3.В10 Решите систему уравнений: Г у/х + у = 8, а) < \/х + у _ б) у/4х2 + 7у + 2 = 4, у/Зх'-' + 7у + 2 = 4. \/ж + у = 6, Ух + у _ 2 Уровень С 5.3.С01 Решите систему уравнений: ' \/S- у/У = 4, а) Ре а) Ре а) X - у = 32; 5.3.С02 Решите систему уравнений: ж-у = 76, \/х + = 38; б) 5.3.С03 Решите систему уравнений: ' у/гу=11, X + у = 122; 5.3. С04 Решите систему уравнений: ч Г s/х^Л-у^ = УГ7, ^ 1 ху = 4; 5.3. С05 Решите систему уравнений: а) б) %/х - у/у = 2, X — у = 36. X - у == 72, \/ж + у/у = 36. = 10, X + у — 101. у/х2 + у2 = 2\/5, ху = 8. г 5х + Зу == 10у/5х + Зу, ^ч Г \ 5х - Зу = 20; ^ \ 4х + 5у = 8у/4х + 5у, 4х — 5у = 16. 74 Глава 5. Системы уравнени 5.3.С06 Решите систему уравнений: , Г ,/{7x ~Ayy = 2S, g. \ 7х + Ау = 14; б) 5.3. С07 Решите систему уравнений: / |5а; + 7у| = |у| + 20, \ ^5х + 7у = 5; 5.3. С08 Решите систему уравнений: ч Г |у"Зж-2?/-8| = 10, g. Зх + 2у = 12; { { У(6т - 7у)2 = 42, 6ж + 7у = 18. |3ж + 8у| = \у\ + 33, ^уЗх + 8у = 6. \./Ш^-б\^13, 4х + 7у = 39. 5.3.С09 Решите систему уравнений: ' = 5Vx + 28, а) I 2/ = 9\/х — 28; б) 5.3.С10 Решите систему уравнений: ' у = 12^/х, а) { ^ 144т - 7у - 18 = 0; Уровень D 5.3.D01 Решите систему уравнений: ? + 6 = 5л/|, б) Г у = 3\/х + 20, [ у = 7у/х — 20. у = И^/ж, 121т + у — 20 = 0. а) S у V 2/ т + у = 40; 5.3.D02 Решите систему уравнений: б) 2 + 14 = 9д/-, У \ У т + у = 50. а) б) т + 2у — 2Ал/х + 2у + 144 = 0, X — 2у~ 44; Г 2т + у - 22у^ ^ 2т — у = —21. - 22V2T + у + 121 = о. 5.3.D03 Решите систему уравнений: ^ Х + У = 37- 5.3.D04 Решите систему уравнений: б) 2 = 15 У у ^ т + у = 26. + 2, , Г Зт — у — 18^/Зт — у + 81 = О, \ Зт + у - 6-v/3t + у + 9 = 0; б) т — 4у — 8-v/a: — Ay + 16 = О, т + 4у — 16л/т + 4у + 64 = 0. ^3- Системы иррациональных уравнений 75 5.3. D05 Решите систему уравнений: а) ( \/| = 1- \ ЗхЧ-+ 6 = 0; fx 2 б) I V у "" 5’ 5т + + 4у + 10 = 0. 5.3. D06 Решите систему уравнений; а)/+=-'^. б) т^ + = 29; 5.3.D07 Решите систему уравнений: а:1/| = -чЛ5, х‘‘ +у'^ = 34. а) б) Ут - 5 + уу + 4~ = 8, (т - 5)х/у + 4 + (у + 4)у^ - 5 : 96; ут + 3 + л/у — б = 9, (т + 3)у/у - 6 + (у - б)УтТЗ = 72. 5.3.D08 Решите систему уравнений: т + ^/ту + 2у = -92, а) X У - 10 = 0; б)<^ 2т + ^/ху + у = -121, - - 7аД-8 = 0. 5.3.D09 Решите систему уравнений: а) { б) |2т — 5z\ + у/Зу — 4г = О, 2т + Зу + г = 10; |4т — 7z\ + у/2у — 3z = О, 4т + 2у + 2 = И. 5.3.D10 Решите систему уравнений: а) ^(х - 2у)2 + 4+^(z- 11у)2 + 121 = 13, т + у + Z = 14; б) V(t + Зу)2 + 9 + ^/(Г^12yУTШ = 15, Т + у + 2 = 10. 6 ГЛАВА СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ §1. Системы целых алгебраических неравенств Уровень А 6.1.А01 Решите систему неравенств: б){ 5х Ч- 8 < 8ж + 5, 2, Зх < 46. 6.1. А02 Решите систему неравенств: Г 5(4х + 3) — 4(5х + 3) > Зх, ^ 2 ^3 , г I 3^ ^ 2^ Г 3(2х + 5) — 2(3х + 5) > 5х, I |х<|х + 9. 6.1. А03 Решите систему неравенств: 6.1. А04 Решите систему неравенств: а) < { ' 2х + 5 ^ 5х + 5 X + 2 < 2 X + 5 б) —0,6х ^2,4 2,4х < 0,6. Зх + 2 ^ 2х + 3 2 х + 2 < 3 X + 3 6.1.А05 Решите систему неравенств: (х + б)^ < (х + 4)^, а) 6х + 13 > 5х — 7; б) 6.1.А06 Решите систему неравенств: |х < 0,бх + 16, (х + 5)^ < (х + 3)^, 5х + 12 > 4х - 9. 10 ^х < 0,3х + 91, о, 9х > —0,63. а) ^ [ 0,7х > —0,56; 6.1. А07 Решите двойное неравенство: а) 2х — 3 ^ 5х — 2 ^ 3 — 2х; б) Зх — 4 < 7х — 2 ^ 4 — Зх. 6.1. А08 Решите двойное неравенство: а) 6х — 5 ^ 6 — 5х ^ 5 — 6х; б) 5х — 4 ^ 5 — 4х ^ 4 — 5х. 6.1. А09 Решите двойное неравенство: а) 1,7х - 2,6 < о, 7х — о, 6 < 2,7х - 1,6; б) 2, Зх - 3,4 < 1, Зх - 1,4 < 3, Зх - 2,4. ; 1. Системы целых алгебраических неравенств 77 g.l.AlO Решите двойное неравенство: а) 2 < 3 — < 4; б) 3 < 4 - JX < 5. Уровень В 6.1. В01 Решите систему неравенств: (3 - 2х) (ч/б - 3) > О, .Л (4 - Зх) (v/3 - 2) > О, ’ \ 0,3х<3; ’ X 0,4х<4. 6.1. В02 Решите систему неравенств: а) ( i хЛ25> (х + 5)2; б) 1 [ х^ + 36 > (х + 6)^. 6.1. В03 Решите систему неравенств: , Г 7(3х + 2) - 3(7х + 2) > 2х, >■)[ (i - 4)(1 + 8) < 01 ,, Г 7(5i + 4)-5(7x + 4)>4i, (х-2)(х + 4)<0. 6.1. В04 Решите двойное неравенство: а) (4х + 3)^ < 16х^ < (4х - 3)^; б) (2х + 7)^ < 4х^ < (2х — 7)^. 6.1. В05 Решите двойное неравенство: а) Зх^ — 4х + 3 ^ Зх^ — 5х + 5 ^ 2х^ — Зх + 4; б) 5x^ — 6х — 1 ^ 5х^ — 7х + 2 < 4х^ — Зх — 2. 6.1. В06 Решите двойное неравенство: а) —9 < 7 — x^ < 8; б) -8< 17-х2 < 18. 6.1. В07 Решите систему неравенств: Л + 8 ^ о, ( -0,3х > 2,4; 6.1. В08 Решите систему неравенств: ' Зх2-14х + 8<0, б) { 5х + 2 > 2х + 5; 6.1.В09 Решите систему неравенств: Л (х + 2) л (х - 6)2 ^ 40, ^ х^ ^ 4х; { х^ + 7х + 6 ^ о, -о, 7х ^ 4,2. 4x^ — Их + 6 < о, 4х + 3 > Зх + 4. 78 Глава 6. Системы неравенст б) { {х + 3)^ + (ж — 5)^ > 34, ^ 2ж. 6.1. В10 Решите двойное неравенство: а) 9ж^ — 2 < (Зж + 2)^ < 9ж^ + 2; б) 4ж^ - 3 < (2ж + 3)2 < 4ж2 + 3. Уровень С 6.1. С01 Решите систему неравенств: ' (ж-7)(ж2 -49)>0, а) (ж - 9)(ж2 — 81) ^ 0; б) { (ж — 6)(ж2 — 36) > о, (ж - 10)(ж2 - 100) <0. 6.1. С02 Решите двойное неравенство: а) Зж^ — 2ж — б < 2ж2 — 2ж + 3 ^ Зж^ — 2ж — 1; б) 4ж2 — 5ж — 14 ^ Зж2 — 5ж + 2 < 4ж^ — 5ж — 7. 6.1. С03 Решите систему неравенств: . / 2ж2(4ж-3) ^7(3-4ж), \ 3(2ж - 7) ^ 4ж2(7 - 2ж); Зж2(7ж-2)^4(2-7ж), 2(3ж - 4) < 7ж2(4 - Зж). б) 6.1.С04 Решите систему неравенств; . Г (ж + 4)2(ж + 2)2 ^ (ж + 4)2(ж + 2)2, ж2 < 15; б) (ж + 5)2(ж + 3)2 ^ (ж + 5)2(ж + 3)2, ж2 < 24. 6.1.С05 Решите систему неравенств: .Г (ж2 — 64) (ж — 6) < (ж2 — 36) (ж — 8), \ о, 6ж > 4,2; (ж2 — 81)(ж + 5) > (ж2 — 25)(ж + 9), 0,4ж > —2,4. б) 6.1. С06 Решите систему неравенств; . / (Зж2 - 11)2 ^ (Зж2 - 13)2, \ (ж+ 7)2^ (ж-7)2; / (2ж2 - 7)2 ^ (2ж2 - 9)2, \ (ж+ 8)2^ (ж-8)2. 6.1. С07 Решите систему неравенств; ч Г ж2(5ж2 + 4) > 4ж2, [ 1= - 8* - 20 < Oi 2(4ж2 + 5) > 5ж2, 2 + Юж - 24 < 0. ^ 1. Системы целых алгебраических неравенств 79 0.1.СО8 Решите систему неравенств: ч г Зж(4ж - 7)2 < 2(4х - 7)2, \ 4ж(3ж - 2)2 ^ 7(3ж - 2)2; ч / 8ж(2х - 9)2 ^ 3(2ж - 9)2, I 2х(8х - 3)2 > 9(8ж - 3)2. 6.1. С09 а) Решите систему неравенств: I (2ж-5)2^(5х-2)2, \ (2х + 5)2 ^ (5х + 2)2; 6.1. СЮ Решите систему неравенств: Г (х2-4х + 3)2^0, ч х2 + х2 > 35; Уровень D 6.1.D01 Решите систему неравенств: ч / 25х^ + 21x2 ~ 4 > О, .4 ^ х2(9х + 11) < 11x2- ' (Зх - 4)2 ^ (4х - 3)2, (Зх + 4)2 ^ (4ж + 3)2. (х2 — Зх — 4)2 ^ о, х2 + х2 > 47. 1бж^ + 7x2 - 9 > о, х2(7х + 8) < 8x2. 6.1. D02 Решите двойное неравенство: а) (5x2 _ 4д. _ ^ ^5^2 _ 4д, _|_ 3^2 ^ ^Здч2 4. 4д. _|_ 2)2. б) (4x2 — 2х — 3)2 < (4x2 _2х + 5)2 < (4x2 + 2ж + 1)2. 6.1. D03 а) Наибольшее из чисел т, п обозначается max (m; n). Если числа равны, то max (m; та) = m = n. Найдите все значения х, при каждом из которых тах(6х — 5; х2 + 3) < 7. б) Наименьшее из чисел тип обозначается min (гта; та). Если числа равны, то min (таг; п) = т = п. Найдите все значения х, при каждом из которых min(3x + 2;х2 + 7) > 11. 6.1.D04 Решите систему неравенств: Г (2х + 3)«>(3х + 2)б, Г (Зх-4)б: ^ [ 2х® < 3x2; j I 4д.З ^ 5^2 6.1.D05 Решите систему неравенств; , Г (5x2 _ 12х + 4)2 + (2x2 _ g^2 ^ 0^ X® — 2х^ — х2 + 5 ^ 0; > (4х - 3)^ б) (5x2 _ 17^ ^ 6)2 ^ (Зд.2 _ ^ < о, X® — Зх'* — х2 4-10 ^ 0. 80 Глава 6. Системы неравенстпб 6.1.D06 Решите систему неравенств: '•2-121|(16-т2)^0, "2 + 15х + 44 ^ 0; а) 7 б) |х^ - 144| (9 - х2) ^ о, х^ + 15х + 36 ^ 0. 6.1.D07 Решите систему неравенств: , Г (Зх - ^ (4х - 3)^ . 1 9x2 _ 28х + 19 > 0; (2х - 3)® < (Зх - 2)®, 4x2 - 15х + 11^0. 6.1. D08 Решите систему неравенств: . / 2(2х + 3)4 ^ (2х + 3)2 + (2х + 3)2, \ х2 + Зх + 2 ^ 0; . / 2(3х + 7)4 > (Зх + 7)2 + (Зх + 7)2, ' у х2 + 5х + 6 ^ 0. 6.1. D09 а) Сравните каждое из чисел т,пи кс числом 3, если (тп — 3)(п — 3) < О, {т — 3)(к — 3) > О, (т — 3)(п — 3)(А: — 3) < 0. б) Сравните каждое из чисел х, у и z с числом 5, если (х — 5) (у — 5) > О, (х — 5) (г — 5) > О, (х — 5)(у — 5)(z — 5) < 0. 6.1. D10 а) Сравните число а с числом 7, если (о2 - 5а + б)(а2 - 11а + 28) > О, (а2 - 6а + 8)(а2 - На + 24) < 0. б) Сравните число а с числом —5, если (а2 + 5а + 4)(а2 + 7а + 10) > О, (а2 + 10а + 24)(а2 + За + 2) < 0. §2. Системы дробно-рациональных неравенств Уровень А 6.2.А01 Решите систему неравенств: а) I 4х + 5 ^ б) I Зх — 8 < 0; Зх + 7 ^ 2х - 5 < 0. 6.2.А02 Решите систему неравенств: Г — 5 ^ Q а) 5x2 + 9 ’ б) [ 4х — 1 > 2х + 3; Зх — 2 <0, 9x2 + 5 Зх — 2 > 2х — 7. j 2. Системы дробно-рациональных неравенств 81 6.2.А03 Решите систему неравенств: 3 =^5’ 4 - 5х 4 — Зх >0, >3 ^ 5- 6.2.А04 Решите систему неравенств: Г И а) <0, -0,1: <0, 5 6«t/ о, 2х - о, 1 > О, Зх - 0,2; 5 б) < 3-8х I 0,3х-0,2>0,4х-0,3. 6.2.А05 Решите систему неравенств: Г 8 . 5 а) < 5х + 4 5х + 4 ’ б) 5х + 4 < 4х + 5; > 6х + 5 6х + 5 ’ бх + 5 < 5х + 6. 6.2.А06 Решите систему неравенств: б) ^х + ^х > —13; 7х-6 7х-6’ |х + ^х > —25. 6.2.А07 Решите систему неравенств: Г 5 . 3 а) < Зх - 5 < Зх-5’ 0,4х^0,3; < б) { 2х-7 " 2х-7’ I 0,бх > 0, 5. 6.2.А08 Решите систему неравенств: 15 17 -Hill: «) <5; 12 ^ 19 1 — 4х 1 — 4х ’ 3 + 4х ^ г ___ <5. 6.2.А09 Решите систему неравенств: Т^^О, а) <( б) 2-5х <0; 3 — X 3 3 -4х >0, <0. 6.2.А10 Решите систему неравенств: Зх — 5 ^ Зх — 2 a)v4x-5 4х-5’ g) Зх ^ 2х’ 4х — 7 ^ 4х — 3 Зх-2 ^ Зх-2’ А< А 4х Зх 82 Глава 6. Системы неравенств Уровень В 6.2. В01 Решите систему неравенств: f —>0 а) 16^2 - 9 ^ ’ б) [ 4х — 3 < 0 ; 6.2. В02 Решите систему неравенств: 25 - Зба;^ ^ ^ >0; 6.2.В03 Решите систему неравенств: а) < 7 ^ бх'^ 6а;-7 ^ 7-6х’ 4х^ < + 9 Ах'^ + 9 ’ 6.2.В04 Решите систему неравенств: а) 2х^ + 11 ^ 2х^ + Их б) 6.2.В05 Решите систему неравенств: Г ____5___>_12_______ а) < 25x^- 144 25x2-144’ [ 1,2х > 0,5; Г 6 . И б) 36x2 _ 121 > зба;2 - 121 ’ 1,1ж>0,6. б) 11x2 + 2 11x2 + 2 ’ о, 2х — о, б < 0,6х — 0,2; 3x2 ^ 1Q Зд2 + 10х 10x2 + 3 10x2 + 3 ’ 0,4х — 0,7 < 0,7х — 0,4. 19 4x2 - 25 2х — 5 < 0. >0, 16 - 9x2 2x2 + 5 4 — Зх ^0, >0. 10 > 9x2 9х- 10 10-9х’ 9x2 ^ 1Q < 9x2 + 16 9x2 + 16’ 6.2. В06 Решите систему неравенств: Г . -L .-.< .3 _ а) < х(4 — х) х(х — 4) ’ б) [ 5х > X + 5; 6.2. В07 Решите систему неравенств: Х2 — 6Х ^ р, 6x2 + 5 > а) < 5 — X >0; б) < х(3 — х) х(х — 3) ’ 4х > X + 4. х2 — 8х 8x2 + 7 5 ^0, >0. §2. Системы дробно-рациональных неравенств 83 6.2.В08 Решите систему неравенств: ( ____1 ^ 12 а) б) х2 — X — 12 12х > 0,12; 3 < С2-Х-12’ < 10 Зх - 10 х2 - Зх - 10’ 10х > 0,1. 6.2.В09 Решите систему неравенств; а) х2 + 40 ^ X + 40 х2 + 4 4 х2 + 4’ б) >0; Зх-2 6.2.В10 Решите систему неравенств: а) (х + 4)2 ^ (х + 5)2 5x2 ^ 4 "" 5д;2 -j- 4 ’ б) 0,9х > —8,1; х2 + 50 ^ X + 50 х2 + 5 5 4х-3 х2 + 5 ’ >0. (х + 6)2 ^ (х + 7)2 7x2 + 6 ^ 7x2 + 6’ о, 13х > —1,69. Уровень С 6.2.С01 Решите двойное неравенство; 1-1 1 / б) ^ 1 / 1 /1. 7 ^ т _ 0-г t; ’ 3-2х 6.2.С02 Решите двойное неравенство; 4 6,4 5 ^_< 1 2-Зх ^ 8- а) - ' X X + 2 7 < < X — 4 3 х + 2 6 х + 4 X — 3 х + 4 < < 6.2.С03 Решите систему неравенств: Г 5x2 а) < 6 + Их ’ б) I 17х + ^ 0; X — 4 2 X — 3 4x2 х + 2’ 6 X + 4‘ 6.2.С04 Решите систему неравенств: ^ 1^>0 16 -Х2 5х — х^ ^ 0; а) б) 6.2.С05 Решите систему неравенств; 17 . 1 а) ь > 17х-х^ ^ 17-х’ 2 - 19х < 0; { 9 + 13х ^ 22х + х^ ^ 0. - б)' > Q 25-х2 ’ 6х — х^ ^ 0. И б) < 11х-х2 11-х’ 2 - 13х < 0. 84 Глава 6. Системы неравенств 6.2.С06 Решите систему неравенств; а) X — 4 хЧ- 8’ 1 >-1- б) ж + б 6.2.С07 Решите систему неравенств; 1 а) Зж^ - 2а: ^ 5’ <1; б) Зж"* - 2ж 6.2.С08 Решите систему неравенств; Г 3 ^1 а) ж^ — Зж X < 4; б) 6.2.С09 Решите систему неравенств; Г 2 ^ 3 а) < . ж ^ 4; б) 1 1 ж — 6 1 ж + 7 1 > ж + 9’ 1 х-Т >1 4ж^ — Зж 7 ’ < 1. 4ж^ — Зж 2 1 ж^ - 2ж ж - 2 ’ ж < 3. 3 > |о;| — 6 |х| + 10’ 6^5 |ж| + 9 |ж| + 10’ 6.2.D05 Решите систему неравенств: > ж| +10 |ж| + 11’ а) < б) < < 7ж’' + 6 бж^ 4- 5 ’ бж"* -7 < ж^(121ж^ — 16) ж^(16 — 121ж^) ’ 9ж’"4-8 8ж^4-7’ 7ж^ -9 < ж^(36ж^ — 81) ж^(81 — Збж^) ’ 6.2.D0e Найдите все пары (ж; у) целых чисел ж и у, являющиеся решениями системы: а) б) 1 > I 5(ж - 2)* 4- 6{y — 4)^ 7’ 1__________> 1. 8(ж - 3)" 4-7(у - 5)2 ^ 9’ 1 > 1 4(ж- 1)2 4-5(у-3)2 ^ 6’ \ 7(ж - 2)2 4-6(у - 4)2 8 6.2.D07 а) Наибольшее из чисел т, п обозначается max (m; п). Если числа равны, то max (m; п) = т = п. Найдите все значения ж, при каждом из которых б) Наибольшее из чисел т, п обозначается max {т;п). Если числа равны, то max (m; n) = m = n. Найдите все значения ж, при каждом из которых <б. \ж2 — 6ж ж — 16/ п1ах 86 Глава 6. Системы неравенств 6.2.D08 а) Наименьшее из чисел тип обозначается min (m; n). Если числа равны, то min {т; п) = т = п. Найдите все значения х, при каждом из которых тш + 9т/ >0. Vt"' — 49 ’ +! б) Наименьшее из чисел тип обозначается min(m; п). Если числа равны, то min (m; п) = т = п. Найдите все значения х, при каждом из которых mm Лт^ — 36’ + 8xJ ^ 6.2.D09 а) Сравните число т с числом —9, если 1 ... 1 (то — 7)(то 4- 8)(то 1 1) (то — 2)(то 4- 9)(то — 1) б)( Сравните число 1 т (то 4- 6)(то — 5)(то 4-1 2) (то 4- 3)(то — 8)(то 4- 2) <0; <0. с чи >0; >0. т (ш — 7)(т 4- 8)(т — 2) <0; __________±-----------> о- (т + 6)(ш — 5)(т + 3) ’ 6.2.D10 а) Сравните дроби ^ и если ^ > 0; к-т т кт 4 5 X у б) Сравните дроби - и -, если-- < 0; X У X ^>0; ^<0. у Ху §3. Системы иррациональных неравенств Уровень А 6.3.А01 Решите систему неравенств: Г (5X-2)V§^>0, Л '' \ (2т - 5)ч/5т2 + 2 >0; ’{ (7т - 3)V3t2 + 7 > о, (Зт - 7)\/7т2 + 3 > 0. 6.3.А02 Решите систему неравенств: 6т + 5 Q а)^ ''Fj? ' 6)^ 5т + 6 \/ба;2 -f 6 >0; 4т + 3 \/4т2 + 3 Зт 4- 4 к \/Зт2 4- 4 <0, >0. § 3. Системы иррациональных неравенств 87 6.3.А03 Решите систему неравенств; . Г т%/3х2 + 7 < (2т — 1)\/Зт2 + 7, 0,7т - 0,5 < О, Зт + О, 7; .Л т\/2тМЛ< (3t -2)v/2t2T9, Л О,' , 6т — 0,7 < 0,2т + 0,9. 6.3. А04 Решите систему неравенств: Г ч/13т2 + 17 ^ ^ а) ^ 13-17т б) [ Зт 4- 7 > 7т 4- 3; 6.3. А05 Решите систему неравенств: ' <-_L_ v/7^’ fT. 7 ^ 4 ^ V7t 4- 4 ^ x/7t4-4’ a) 6.3.A06 Решите систему неравенств; 4t 9 a) < 6.3.A07 Решите систему неравенств: а) х/бтЛТг 17т-6 Зт 2т , с. Т < Т 17 6- 17т’ ------< ------, •ЛтЛЭ у/4х^ 4- 9 9т ^ 4 . v/9t2 4- 4 ^ х/ЭтМ^’ б){ \/11т2 4-15 ^ 11 - 15т ^ 2т 4- 9 > 9т 4- 2. 3 . 8 V^8 — Зт V8 — Зт’ 8 ^ 3 \/8т 4- 3 у/8х + 3 2т ^ 5 ^ V2t2 +5’ 5т ^ 2 л/5т2 + 2 л/5тЛ2‘ ЛтЛ12 ^_1^ 12т-5 5- 12т’ 4т ^ Зт .у 3 < 4 4- /. 6.3. А08 Решите систему неравенств: Г 7т^ 4- т — 5 ^ 7т^ а) { V/7T2 + 5 х/Т^ЛЗ’ б) [ 2,7т 4- 7,9 > 2,5; 6.3. А09 Решите систему неравенств; (Зт - 8)\/8т2 + 3 < О, а) < Зт 4- 8 х/3т2 4- 8 >0; б) 6.3.А10 Решите двойное неравенство: \ п ^ 5т- 4 ^ 4т4-5 а) О < -7======= < 4т^ 4- т — 7 ^ 4т^ х/4т2 4- 7 х/4Л+7’ 2,4т 4- 9,9 > 2,7. \/16т2 4- 25 х/16т2 4-25’ б)0< + х/9тЛТб х/9тЛ1б‘ (4т - 7) УТ^Л4 < О, 4т 4- 7 х/4тЛ7 >0. 88 Глава 6. Системы неравенств Уровень В 6.3.В01 Решите двойное неравенство:________ _________________ а) {х — 2)а/х2 + 5 < (Зж — 4)-v/x2 + 5 < (2х — + 5; б) (х — 3)\/х‘^ + Q < (Зж — 5)\/ж2 + 6 < (2ж — 3)\/х^~+Ъ. 6.3.В02 Решите систему неравенств; { Збж^ - 49 ^ Г 25ж" - 64 а) < + 85 ’ б) + 89 1 6ж-7<0; 1 5ж-8<0 <0, 6.3.В03 Решите систему неравенств: Г (144 - ж^)\/ж2 + 12 ^ о, Э-) S ж — 6 ^ 1. Г (196 — ж^)\/ж^ + 14 ^ о, «1. 6.3.В04 Решите систему неравенств: Г 3V^M^ ^ 2уж5Тб а) -( 2ж - 7 2ж - 7 ’ б) 2ж-7 ^ 2ж-7 ’ 4ж^ < 49; 6.3.В05 Решите систему неравенств: бч/ж^Тб ^ 4х/жЧ^ Зж-8 Зж-8 ’ 9ж^ < 64. 1 ' 13ж2 7 а) V169x^ - 49 ч/169ж^ -49’ 1 1^ 1,3ж>0,7; 1 ^ 12ж2 5 б) ч^144ж2 - 25 \/144жа -25’ 1 [ 1,2ж>0,5. 6.3.В06 Решите систему неравенств; / 9xV25x2 + 9 < 25^25ж2 + 9, 16ж^\/9ж^ + 16 < 9ч/9ж^~+Тб, 5\/5ж^ + 3 > Зжч/бж^ + 3; ^ ^ 3\/3ж^ + 4 > 4ж\/3ж^ + 4. 6.3.В07 Решите систему неравенств: { ж^ - 8ж + 15 ^ ( ж^ - 7ж + 10 ®") S ч/Зж^ + 5 ’ б) I (а: - 1)2 > (ж - 5)2; <0, ч/2ж= + 5 (ж - 1)2 > (ж - 3)2. § 3. Системы иррациональных неравенств 89 6.3.В08 Решите систему неравенств; 5 ^ 14 а) < < \/14 — 5х — \/14 — 5х Х< А. 2ж 7х' < 28 йч ч/28 - Зж - ж2 ч/28 - Зж - ж^ ’ М А<± , 4ж 7ж 6.3.В09 Решите систему неравенств: 15ж > ж^ + 56 а) л/х^~+ 56 ч/ж2 + 56 ’ g) ж — 8 , ж — 7 8 < 6.3.В10 Решите систему неравенств; Г (2^ ~ ■> ~ а) ч/ж2 + 12 ^ ч/ж2 + 12’ б) I ж2 < 36; 15ж > ж2 + 54 ^/x^ + 54 ч/жМТм’ ж — 9 ^ ж — 6 чАмАо ^ ч/ж^ТТо’ ж2 < 25. Уровень С 6.3.С01 Решите систему неравенств : б) а) (ж - 2)V?=A ^ О, (ж — 3)ч/4 - ж ^ 0; 6.3.С02 Решите систему неравенств: ч/жТ8 а) < ж — 5 ^0, У^а^ + 8 . ж+ 4 6.3.СОЗ Решите систему неравенств: а) (4ж2 - 9)ч/3^=^ > О, (4ж + 9)ч/3-2ж^0; б) (16ж2 -25)ч/5-4ж^0, (16ж + 25)\/5-4ж^0. б) б) 6.3.С04 Решите систему неравенств: ч Г (ж2 — 5ж + 4)ч/4 — ж ^ О, (3 - ж) |ж - 4| < 0; (ж2 — 4ж"'+ 3) ч/З — ж ^ О, (2 — ж) |ж — 31 ^ 0. (ж - 1)ч/5 - ж ^ О, (ж — 4) ч/б — ж ^ 0. ч/ж +14 ж — 8 ч/ж+ 14 ж + 7 ^0, ^0. 90 Глава 6. Системы неравенств 7х{Ах — 7)y/S < 4ж(7 — 4х), 4х <2,8. 6.3. С05 Решите систему неравенств: . Г 5х(3аг — 5)-\/х < Зх(5 — Зх) \ 0,3х< 1,5; {I: 6.3. С06 Решите двойное неравенство: а) 5ж\/35 — X ^ 2\/35 — х ^ 7x^35 —~х; б) 4xyJ44 — X ^ 7\/44 — х < 11х\/44 — х. 6.3. С07 Решите двойное неравенство: ч Зх — 2 ^ 2х + 5 ^ 5х — 7 . \/х — 5 л/т — 5 ^ %/х — 5’ fi'i 4х — 3 ^ Зх + 7 ^ 7х — 9 ’ ^ ^ v^TTy- 6.3. С08 Решите систему неравенств: Г Ух+ 6 а) < X — 5 ’ б) I ^ 36; 6.3.С09 Решите систему неравенств: а) \/х + 17 ^ Ух + 17 х-12 х + 12 ’ б) х^ + 17х ^ 0; 6.3.С10 Решите систему неравенств: а) б) 18 ^ \/196 — х^ 4 — ic ж 4 ^ 1,4х + 1,8 < 1,8х — 1,4; 20 < у/225 - х2 5 — X X — 5 ’ 1,5х + 2 < 2х — 1,5. Ух~+~7 X — 6 х2 < 49. ^0, \/х + 15 ^ Ух + 15 х-11 ^ х+11 ’ х^ + 15х ^ 0. Уровень D 6.3. D01 Решите двойное неравенство : а) 30 < X — 21-у/х + 110 < 42; б) 12 < X — 20v^ + 96 < 32. 6.3. D02 Решите систему неравенств: ( \/l8 — Зх — х^ а) < X + 4 ’ б) ‘ [ 4х ^ х^ - 12; у/28 - Зх - х" X + 5 4х < х^ — 21. ^0, § 3. Системы иррациональных неравенств 91 6.3.D03 Решите систему неравенств: 2х^ — 15х + 7 ^ Q а) б) л/14 + 5х — 5\/х + 2 + 6 ^ X + 2 + 7 П 10 ’ Зх^ — 19х + 6 ^ р, у/18 + Зх - х~7 ^ ’_____ 7 \/х -f- 3 -Ь 8 ^ 8v^X + 3 + 9 15 14 6.3.D04 Решите систему неравенств: (х2 + 2х - 35)уШЗ^ ^ (х^ + X — 30)v^x + 12 ^ 0; (х2 + 4х - 32)ч/121 - х2 < о, (х^ + Зх - 28)v/x + ll ^ 0. 6.3.D05 Решите систему неравенств: 10 ^ 13 < а) б) )/х + 13 + 13 ' у/х + 10 + 10’ X + 18 + ^=7^ > 11 у^х + 12 + 12 < У9 12 X + 16 + V —X — 8 > л/х-|~11~1~11 ■у/х^ — 64 ys- X 6.3.D06 Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у, являющиеся решениями системы: f \/5х — 6у — 4 ^ 0,564, \ V6T-5y-74 0,657; у/4х — Зу — 6 ^ 0,436, ^Зт-4у- 14 0,341. 6.3.D07 а) Наименьшее из чисел тип обозначается min (m; п). Если числа равны, то min (m; п) = т = п. Найдите все значения х, при каждом из которых min (Иу/х — 3; 11 — 3^/x) > 0. б) Наименьшее из чисел тип обозначается min (тп; п). Если числа равны, то min (m; п) = т = п. Найдите все значения х, при каждом из которых min (12-у/х - 5; 12 - 5-у/х) > 0. 92 Глава 6. Системы неравенств 6.3. D08 а) Наибольшее из чисел т, п обозначается max (m; n). Если числа равны, то max (m; п)~т — п. Найдите все значения х, при каждом из которых тах(а; — 10\/ж; х - Ыфс + 24) < 0. б) Наибольшее из чисел т, п обозначается max (m; n). Если числа равны, то max (m; п) = т — п. Найдите все значения т, при каждом из которых тах(ж — 8у/х; х — 1А.у/х + 33) < 0. 6.3. D09 а) Сравните у/т и 13, если {у/т - 7){\/т - 9){л/т - 15) > 0; {у/т — 7){у/т - 9){у/тп - 17) > 0; (л/т — 13)(v^ — 15)(\/m — 17) < 0. б) Сравните у/т и 7, если (у/т - 3){у/т - 5)(v^ - 9) < 0; (у/т - 3){у/т - 5){у/т - 11) > 0; {у/т - 7){у/т - 9){у/гп - И) < 0. 6.3. D10 а) Между какими двумя последовательными нату- ральными числами заключено число у/а, если {у/а - 3) {у/а - 5) {у/а - 6) > 0; {у/а - 4) {у/а - 5) {у/а - 6) < 0? б) Между какими двумя последовательными натуральными числами заключено число у/а, если (v^ - 7) (v^ - 9) (v^ - 10) > 0; {у/Е - 8) (^ - 9) {у/Е - 10) < о? 7 ГЛАВА ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ §1. Чтение графиков Уровень А 7.1.А01 а) По графику квадратичной функции г/ = /(х), изображенному на рисунке 1, найдите: 1) значения х, при которых значение у равно 6; 2) наименьшее значение /(х). б) По графику квадратичной функции у = f{x), изображенному на рисунке 2, найдите: 1) значения х, при которых значение у равно 6; 2) наименьшее значение f{x). 7.1.А02 а) По графику квадратичной функции у = f{x), изображенному на рисунке 3, найдите: 1) значение у при х = —2; 2) значения х, при которых значение у равно 0. б) По графику квадратичной функции у = f(x), изображенному на рисунке 4, найдите: 1) значение у при х = 2; 2) значения х, при которых значение у равно 0. 94 Глава 7. Функции и графики 7.1.А03 а) По графику функции y = f{x), изображенному на рисунке 5, найдите; 1) значение у при ж = 6; 2) значение х, при котором значение у равно 2. б) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 6, найдите; 1) значение у при ж = 7; 2) значение ж, при котором значение у равно 3. 7.1.А04 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 7, найдите; 1) наибольшее значение у; 2) значения ж, при которых значение у равно 4. б) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 8, найдите; 1) наибольшее значение у; 2) значения ж, при которых значение у равно 3. § 1. Чтение графиков 95 7.1.А05 а) По графику функции y~f{x), изображенному на рисунке 9, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно 0; 2) промежутки возрастания функции /(ж). б) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 10, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно 0; 2) промежутки убывания функции /(ж). Рис. 9 Рис. 10 7.1.А06 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 11, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции. б) По графику функции у = / (ж), изображенному на рисунке 12, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции. 96 Глава 7. Функции и графит Рис. 11 Рис. 12 7.1.А07 а) По графику функции у — f{x), изображенному на рисунке 13, найдите: 1) значения х, при которых значение у равно 0; 2) наибольшее значение /(ж). б) По графику функции у = f(x), изображенному на рисунке 14, найдите: 1) значения х, при которых значение у равно 0; 2) наименьшее значение /(ж). Рис. 13 Рис. 14 ^1. Чтение графиков 97 7.1.А08 а) По графику функции y = f{x), изображенному на рисунке 15, найдите; 1) значения х, при которых значение у равно 1; 2) промежутки возрастания функции /(ж). б) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 16, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно —1; 2) промежутки возрастания функции /(ж). 7.1.А09 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 17, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно 1; 2) промежутки убывания /(ж). б) По графику функции y = f{x), изображенному на рисунке 18, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно 1; 2) промежутки возрастания /(ж). 4-4967 98 Глава 7. Функции и график 7.1.А10 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 19, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно 2; 2) все значения ж, при которых О ^ у ^ 2. б) По графику функции у = /(а:), изображенному на рисунке 20, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно —2; 2) все значения х, при которых —2 ^ у ^ 0. -4 -З-2-l-^J к 1 2 3 4 5^ М М 1 0 \ \ \ X. i 1 О у л ■ • ^ i / -3 i 1 i i / -4 -i "Г } { \ \ . / г - :-5- I i ? ^ ^ Рис. 20 Уровень В 7.1.В01 а) По графику квадратичной функции у = /(ж), изображенному на рисунке 21, найдите: 1) значение у при ж = 4; 2) значения ж, при которых у = — 2; 3) наименьшее значение функции; 4) промежутки возрастания и убывания функции. б) По графику квадратичной функции у = /(ж), изображенному на рисунке 22, найдите: 1) значение у при ж = — 4; 2) значения ж, при которых у = 2; 3) наибольшее значение функции; 4) промежутки возрастания и убывания функции. Рис. 21 Рис. 22 7.1.В02 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 23, найдите; 1) значения ж, при которых значение у равно нулю; 2) промежутки возрастания функции; 3) значения ж, при которых у > 0; 4) наименьшее значение функции при ж < 0. б) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 24, найдите: 1) значения ж, при которых значение у равно нулю; 2) промежутки возрастания функции; 3) значения ж, при которых у > 0; 4) наибольшее значение функции при ж > 0. 100 Глава 7. Функции и графщ 7.1.В03 а) По графику функции y = f{x), изображенному на рисунке 25, найдите; 1) значения х, при которых значение у равно нулю 2) промежутки убывания функции; 3) значения х, при которых у > 0; 4) наибольшее значение функции при ж < 0. Рис. 25 б) По графику функции у = /(х), изображенному на рисунке 26, найдите: 1) значения х, при которых значение у равно нулю; 2) промежутки убывания функции; 3) значения х, при которых у > 0; 4) наименьшее значение функции при ж > 0. Рис. 26 7.1.В04 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 27, найдите: 1) область определения функции; 2) значения ж, при которых значение у равно 0; 3) наибольшее значение /(ж); 4) промежутки возрастания /(ж). 1^ 1, Чтение графиков 101 б) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 28, найдите: 1) область определения функции; 2) значения ж, при которых значение у равно 0; 3) наименьшее значение /(ж); 4) промежутки убывания /(ж). Рис. 27 7.1.В05 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 29, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) значения ж, при которых значение у равно —3; 4) промежутки возрастания и убывания /(ж). 102 Глава 7. Функции и график б) По графику функции у = f{x), изображенному на рисунке 30, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) значения х, при которых значение у равно 3; 4) промежутки возрастания и убывания fix). Рис. 30 7.1.В06 а) По графику функции y = f{x), изображенному на рисунке 31, найдите: 1) область определения функции; 2) значения х, при которых значение у равно 4; 3) значение у при т = 3; 4) все значения х, при которых у < 4. Рис. 31 §1. Чтение графиков 103 б) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 32, найдите: 1) область определения функции; 2) значения х, при которых значение у равно 6; 3) значение у при ж = 4; 4) все значения х, при которых у <6. Рис. 32 7.1.В07 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 33, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) значения ж, при которых значение у равно 0; 4) все значения ж, при которых у <0. б) По графику функции у = f{x), изображенному на рисунке 34, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) значения ж, при которых значение у равно 0; 4) все значения ж, при которых у>0. 104 Глава 7. Функции и графин 7.1.В08 а) По графику функции y = f{x), изображенному на рисунке 35, найдите; 1) наименьшее значение функции; 2) наибольшее значение функции; 3) значения х, при которых значение у равно 0; 4) промежутки убывания функции. б) По графику функции у = f{x), изображенному на рисунке 36, найдите: 1) наименьшее значение функции; 2) наибольшее значение функции; 3) значения х, при которых значение у равно 0; 4) промежутки возрастания функции. 1^1, Чтение графиков 105 f.l.B09 а) По графику функции у — 1{х), изображенному на рисунке 37, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) значения х, при которых значение у равно —1; 4) промежутки возрастания функции. б) По графику функции у = f{x), изображенному на рисунке 38, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) значения х, при которых значение у равно 1; 4) промежутки убывания функции. Рис. 37 7.1.В10 а) 1 ноября компания, производящая компьютеры, объявила об эмиссии (выпуске) акций компании. 3 ноября предприниматель приобрел 60 акций этой компании. На графике, изображенном на рисунке 39, представлено изменение курса акций (по оси абсцисс откладываются числа ноября, считая от дня эмиссии, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). 13 ноября предприниматель продал все свои акции. Прибыль или убыток принесла ему эта сделка? Сколько рублей получил или потерял предприниматель в результате этой сделки? б) 1 декабря компания, производящая аудиотехнику, объявила об эмиссии (выпуске) акций компании. 5 декабря предприниматель приобрел 90 акций этой компании. На графике, изображенном на рисунке 40, представлено изменение курса акций (по оси абсцисс откладываются числа декабря, считая от дня 106 Глава У. Функции и графики эмиссии, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). 17 декабря предприниматель продал все свои акции. Прибыль или убыток принесла ему эта сделка? Сколько рублей получил или потерял предприниматель в результате этой сделки? Уровень С 7.1.С01 а) По графику функции у = /(ж), изображенному на рисунке 41, найдите; 1) значение у при ж = 4; 2) промежутки возрастания функции; 3) значения с, при которых прямая у = с имеет с графиком функции не более трех общих точек. ^1. Чтение графиков 107 б) По графику функции у = f(x), изображенному на рисунке 42, найдите: 1) значение у при ж = — 1; 2) промежутки возрастания функции; 3) значения с, при которых прямая у — с имеет с графиком функции не менее двух общих точек. 7.1.С02 а) По графику функции у — /(ж), изображенному на рисунке 43, найдите: 1) значение у при ж = 5; 2) наибольшее значение у при ж € [4; 10]; 3) значения с, при которых прямая у = с имеет с графиком функции не более двух общих точек. 108 Глава У. Функции и графику б) По графику функции y = f{x), изображенному на рисунке 44, найдите; 1) значение у при х = —7; 2) наименьшее значение у при х € [—13; —10]; 3) значения с, при которых прямая ?/ = с имеет с графиком функции не менее трех общих точек. 7.1.СОЗ а) Функция у = f{x) задана графиком, изображенным на рисунке 45. 1) Найдите корни уравнения /(ж) = — 3. 2) Найдите число корней уравнения f(x) = с в зависимости от с. Рис. 45 si. Чтение графиков 109 б) Функция у — /(х) задана графиком, изображенным на рисунке 46. 1) Найдите корни уравнения /(х) = 3. 2) Найдите число корней уравнения /(х) = с в зависимости от с. Рис. 46 7.1.С04 а) Квадратичная функция у = ах^ + Ьх-\- с задана графиком, изображенным на рисунке 47. Определите знаки коэффициентов а, 6 и с. б) Квадратичная функция у = ох^ + Ьх + с задана графиком, изображенным на рисунке 48. Определите знаки коэффициентов а, Ь и с. 7.1.С05 а) Рыбак отправился на озеро, где провел некоторое время, после чего вернулся домой. На рисунке 49 изображен график его движения (по горизонтальной оси откладывается время t в часах, по вертикальной — расстояние s от дома в километрах). no Глава 7. Функе,гш и графищ Р1снользуя график, ответьте на вопросы; 1) Сколько времени рыбак провел на о;зере? 2) На каком расс;тоянии от дома находится озеро? 3) Когда скорость рыбака бы.ла бол1>ше: на пути от* дома к озеру или от о:зера к дому? Рис. 49 б) Рыбак отправился на озеро, где провел - некоторое время, пос,ле чего вернулся домой. На рисунке 50 изображен график его движения (по горизонтальной оси отк.ладывается время t в часах, по вертикальной—расстояние S от дома в километрах). Используя график, ответьте на вопросы; 1) Сколько времени рыбак провел на озере? 2) На каком расстоянии от дома находится озеро? 3) Когда скорость рь!бака бы.ла больше; на пути от дома к озеру или от озера к дому? ij). Чтение графиков 111 7,1.С06 а) Турист собрался в поход. В походе он сделал два привала и после второго привала вернулся на ту{)баз,у. На рисунке 51 изображен грасфпс движения туриста (по го[)изонтальной оси отк.ладывж'тся время t в часах, по вертикальной— расстояши: ,? от турбазы в километрах). Используя грас|)ик, ответьте на вопросы: 1) Сколько времени турис:т потратил па П1)ивалы? 2) С какой скоростыо (в км/ч) он шел от первого до второго привала? 3) Какова средняя скорость xypticra за все время движения (время на привалы не учитывать)? t,4 Рис. 51 б) Турист собрался в поход. В походе он сделал два привала и после второго привала вер)1улся на турбазу. На рисунке 52 изображен 1"рафик движения туриста (по горизонтальной оси откладывается BpeMjr t в часах, по вертикальной — расстояние s от турбазы в километрах). Используя график, ответьте на вопросы: 1) Сколько времени турист потрати.л на привалы? 2) С какой скоростыо (в км/ч) он шел от первого до второго привала? 3) Какова средняя скорость туриста за все время движения (время иа привалы не учитывать)? 112 Глава 7. Функции и графики 7.1.С07 а) Муравей поднялся вверх по стволу де]>ева, сделав одну остановку для отдыха, и спусти.пся вниз. График, изображенный на рисунке 53, показывает, как менялас.ь высота s, на которой находился муравей, в зависнмости от времени t (по вертикальной оси откладывается высота в метрах, по горизонтальной— вре.мя в минутах). Испо.яьзуя график, ответьте на вопросы: 1) Находясь на какой высоте, му])авей }5еи!ил от-дохнут1>‘.'’ 2) Сколько в{)емени он отдыхсгл? 3) На какую .максимальную высоту он поднялся? 4) С какой скоростью он спускался с дерева? ^ J.. ^ImeHue графтков 113 б) Муравей поднялся вверх по с'гволу дерева, сх1елав одн\' остановку для отдыха., и спустился вниз. Г{)а-фик, и.'юбражснный на рисунке' 54, показывает, как меня.пась высота s, на которой находился муравей, в заиисимостн от време1!И t (по вс'рл'нкалыюп оси откладывается пысо'га в мет])ах. по горизоил'апьнон у время в минутах). Используя гра(})пк, ол’ветчд'е па иопросы; 1) Находясь на какой высоте, муравей решил от-;10хнут1>? 2) Cko.;ibko времени он отдыхал? 3) На какую макенмальную вчлеюту он поднялся? 4) С какой скоростью он спускался с дерева? Рис. 54 7.1.С08 а) 1 феврш1Я брокер куни.и 50 акций некоторой компании. На графике, изображенном на рисунке 55, пред-стшшепо изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа февраля, считая от дня покупки, 110 оси ординат — стоимост!.. одной акции в рублях). 3 февраля брокер продал 20 акций, а оставшиеся акции он продал 17 (J)eвpaля. Найдите убыток, кото-р1яй принесла брокеру .эта сделка, б) 1 марта 6i)OKep купил 90 акций некоторой компании. На графике, изображенном на рисунке 56, пред-стаглеио изменение ку])са этих акций (по оси абсцисс откладываются чис.ла марта, считая от дня покупки, по оси ординал' - стоимость одной акции в рублях). 5 марта брокер продал 10 акций, а оставшиеся акции 114 Глава 7. Функции и графики он продал 15 марта. Найдите убыток, который принесла брокеру эта сделка. 7.1.С09 а) б февраля два брокера купили по 100 акций некоторой компании каждый. На графике, изображенном на рисунке 57, представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа февраля, считая от дня покупки, по оси ординат—стоимость одной акции в рублях). 14 февраля первый брокер продал 80 акций, а второй —45 акций. Оставшиеся акции брокеры продали 24 февраля. Какой из брокеров — первый или второй — получил большую прибыль? На сколько рублей его прибыль оказалась больше прибыли другого брокера? б) 7 марта два брокера купили по 80 акций некоторой компании каждый. На графике, изображенном на рисунке 58, представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа марта, считая от дня покупки, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). 11 марта первый брокер продал 20 акций, а второй —25 акций. Оставшиеся акции брокеры продали 30 марта. Какому из брокеров — первому или второму — сделка принесла меньший убыток? На сколько рублей его убыток оказался меньше убытка другого брокера? ; 1, Чтение графиков 115 7.1.С10 а) На графике, изображенном на рисунке 59, представлено изменение курса акций компании сотовой связи (по оси абсцисс откладываются числа августа, а по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Иван и Леонид приобрели акции компании 3 августа. Иван купил 50 акций и продал их 17 августа, а Леонид купил 30 акций и продал их 23 августа. Кто из них получил больший доход? На сколько рублей его доход выше, чем доход другого? 116 Глава У. Функции и график)^ б) На графике, изображенном на рисунке 60, пред, ставлено изменение курса акций компании телекоммуникационной связи (по оси абсцисс откладываются числа мая, а по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Борис и Андрей приобрели акции компа-^ НИИ 5 мая. Борис купил 50 акций и продал их 19 мая, а Андрей купил 10 акций и продал их 25 мая. Кто из них получил больший доход? На сколько рублей ercjl доход выше, чем доход другого? Уровень D 7.1.D01 а) Квадратичная функция задана графиком, изображенным на рисунке 61. 1) Задайте эту функцию формулой. 2) Найдите значение функции при х = —2. §1, Чтение графиков 117 б) Квадратичная функция задана графиком, изображенным на рисунке 62. 1) Задайте эту функцию формулой. 2) Найдите значение функции при ж = — 7. Рис. 62 7.1.D02 а) График функции, изображенный на рисунке 63, является полуокружностью. Задайте функцию формулой. б) График функции, изображенный на рисунке 64, является полуокружностью. Задайте функцию формулой. 7.1.D03 а) На рисунке 65 изображен график функции у = \ах^ + Ьхс\. Найдите а,Ь,с п значение функции при ж = 0. б) На рисунке 66 изображен график функции у = 4- Ь\х\ + с. Найдите а,Ь,с и значение функции при ж = 0. 7.1.D04 а) Функция у = аж + Ь задана графиком, изображенным на рисунке 67. Найдите у(3), если известно, что а и Ь - целые числа. б) Функция у = ах + Ь задана графиком, изображен-: ным на рисунке 68. Найдите у(3), если известно, что о и 6 - целые числа. Рис. 67 Рис. 68 7.1.D05 а) Функция у ~ + рх + q задана графиком, изобра- женным на рисунке 69. Найдите нули функции, если известно, что р и q - целые числа, б) Функция y = x‘^ + px + q задана графиком, изображенным на рисунке 70. Найдите нули функции, если известно, что р н q - целые числа. ; 1. Чтение графиков 119 7.1.D06 а) Функция у задана графиком, изображен- ным на рисунке 71. Найдите у(1), если известно, что а и Ь - целые числа. б) Функция у = задана графиком, изображен- ным на рисунке 72. Найдите у(—1), если известно, что а и Ь - целые числа. 7.1.D07 а) 1 сентября предприниматель приобрел акции шоколадной фабрики. На графике, изображенном на рисунке 73, представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа сентября, считая от дня покупки, по оси ординат—стоимость одной акции в рублях). Однако купленные акции не оправдали ожиданий, и 9 сентября предприниматель продал 20% этих акций, а 15 сентября продал остальные. Сколько процентов убытка принесла предпринимателю эта биржевая операция? 120 Глава 1. Функции и графики б) 1 октября предприниматель приобрел акции чаеразвесочной фабрики. На графике, изображенном на рисунке 74, представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа, считая от дня покупки, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Однако купленные акции не оправдали ожиданий, и 5 октября предприниматель продал 10% этих акций, а 17 октября продал остальные. Сколько процентов убытка принесла предпринимателю эта биржевая операция? 7.1.D08 а) 1 июн'д брокер приобрел акции алюминиевого комбината. На графике, изображенном на рисунке 75, представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа июня, считая от дня покупки, по оси ординат ■— стоимость одной акции в рублях). 5 июня брокер продал 60% этих акций, а 13 июня продал остальные. Сколько процентов прибыли принесла брокеру эта биржевая операция? б) 1 июля брокер приобрел акции деревообрабатывающего комбината. На графике, изображенном на рисунке 76, представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа июля, считая от дня покупки, по оси ординат—стоимость одной акции в рублях). 9 июля брокер продал 40% этих акций, а 13 июля продал остальные. Сколько процентов прибыли принесла брокеру эта биржевая операция? Ij 1. Чтение графиков 121 7.1.D09 а) На графике, изображенном на рисунке 77, представлено изменение курса акций ОАО “АБВ” (по оси абсцисс откладываются числа июля, а по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Какой наибольший доход могла бы принести одна акция за июль? Рис. 77 122 Глава 7. Функции и графики б) На графике, изображенном на рисунке 78, представлено изменение курса акций ОАО “ЭЮЯ” (по оси абсцисс откладываются числа августа, а по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Какой наибольший доход могла бы принести одна акция за август” ставлено изменение курса акций торгово-промышленной группы (по оси абсцисс откладываются числа августа, а по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Два бизнесмена купили по 30 акций этой! группы 3 августа. 15 августа первый бизнесмен продал второму все свои акции по биржевому курсу. Второй бизнесмен продал все имеющиеся у него акции 27 августа. Какой убыток понес первый бизнесмен и какой доход получил второй от совершенной биржевой операции? i 2. Построение графиков 123 б) На графике, изображенном на рисунке 80, представлено изменение курса акций торгово-промышленной группы (по оси абсцисс откладываются числа апреля, а по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Два бизнесмена купили по 50 акций этой группы 7 апреля. 17 апреля первый бизнесмен продал второму все свои акции по биржевому курсу. Второй бизнесмен продал все имеющиеся у него акции 23 апреля. Найдите доход каждого бизнесмена от совершенной биржевой операции. §2. Построение графиков Уровень А 7.2. А01 а) Постройте график функции у = 7х — Ь и найдите, при каких значениях х значения у не меньше —40. б) Постройте график функции у = 6х — 7 и найдите, при каких значениях х значения у не больше —49. 7.2. А02 а) Постройте график функции у = —Зх — 1 и найдите, при каких значениях х значения у не больше 2. б) Постройте график функции у = —5х — 4 и найдите, при каких значениях х значения у не меньше 16. у 7.2. АОЗ а) Постройте график функции у = — -Н 7 и найдите, при каких значениях х значения у больше —7. О б) Постройте график функции у = — ^х — 3 и найдите, О при каких значениях х значения у меньше 3. 124 Глава 7. Функции и графики 7.2.А04 а) Постройте график функции у = — 4 и найдите, при каких значениях х значения у меньше 4. б) Постройте график функции у — ^х + & и найдите, при каких значениях х значения у больше —6. 7.2.А05 Постройте график функции: а) у = х'^ + 4х; 6) у = х^ 6х. 7.2.А06 а) Постройте график функции у = х^ + 6х + 5. Напи-j шите уравнение прямой, относительно которой сим-' метричен график этой функции. , б) Постройте график функции у = х'^ — 4х — 5. Напи-| шите уравнение прямой, относительно которой сим-| метричен график этой функции. j 7.2.А07 Постройте график функции: а) у = (2х + 1) б) у = (2х - 3) i 7.2.А08 а) Постройте график функции у = — 2х — 3. В сколь-.! ких точках прямая у = —4 пересекает этот график? ' б) Постройте график функции у =; + 4х + 3. В сколь-’, ких точках прямая у = — 1 пересекает этот график? ' 7.2.А09 а) Постройте график функции у = Найдите координаты середины отрезка, соединяющего две точки.] этого графика с абсциссами 6 и —6. О б) Постройте график функции у = -■ Найдите координаты середины отрезка, соединяющего две точки этого графика с абсциссами 8 и —8. 7.2.А10 а) Постройте график функции у = —. Найдите координаты середины отрезка, соединяющего две точки этого графика с абсциссами 3 и —3. 2 б) Постройте график функции у = —. Найдите координаты середины отрезка, соединяющего две точки; этого графика с абсциссами 2 и —2. § 2. Построение графиков 125 Уровень В 7.2. В01 а) График линейной функции проходит через точ- ки А (—3; 0) и 5 (0; —1). Постройте график и задайте функцию формулой. б) График линейной функции проходит через точки А (3; 0) и П (0; — 1). Постройте график и задайте функцию формулой. 7.2. В02 а) График линейной функции проходит через точки А (3; 1) и П (2; —2). Постройте график и задайте функцию формулой. б) График линейной функции проходит через точки А(2;—1)иП(1;3). Постройте график и задайте функцию формулой. 7.2. В03 а) График линейной функции проходит через точку v4(9;—18) и точку пересечения прямых у = х — 7 и у = 8х. Задайте функцию формулой и постройте график функции. б) График линейной функции проходит через точку А (—6; 12) и точку пересечения прямых у = —Зх и у = X + 12. Задайте функцию формулой и постройте график функции. 7.2.В04 а) Постройте график функции у = 25 X + Ъ и найдите, при каких значениях х значения у больше —13. б) Постройте график функции у — ^ X + 7 и найдите, при каких значениях х значения у больше —15. 3^^ X 20 7.2.В05 а) Постройте график функции у =----------?— X — о дите, при каких значениях х значения у не меньше | х^ — X — 2 и наи-9 б) Постройте график функции у = х-2 и найди-3 те, при каких значениях х значения у не меньше к 7.2.В06 а) Найдите к и постройте график функции У= если известно, что он проходит через точку (—1; —2). к б) Найдите к и постройте график функции У—--, если известно, что он проходит через точку (—2; 1). 126 Глава 7. Функции и графики 7.2.В07 а) Найдите р и постройте график функции у = — +рт + 3, если известно, что он проходит через точку (2; —5). б) Найдите р и постройте график функции у = + рх — Ъ, если известно, что он проходит че- рез точку (—2; 5). 7.2. В08 а) Постройте графики функций 2/=^ иу = 6 — хи най- дите абсциссы общих точек построенных графиков, б) Постройте графики функций у —— - иу=:х-4и найдите абсциссы общих точек построенных графиков. 7.2. В09 Определите графически, сколько решений имеет си- стема уравнений: У + За/х = 0, (y-3i/x = 0, а) у + = 3; б) у + х"^ = 2. 7.2.В10 Определите графически, сколько решений имеет система уравнений: а) ху = -3, y = -2s/x\ б) ху = 2, у = 3^/х. Уровень С 7.2. С01 а) График квадратичной функции проходит через точки А(4;0), Н(б;0) и ^(б;-!). Задайте функцию формулой и постройте ее график, б) График квадратичной функции проходит через точки А (-3; 0), В (-1; 0) и С (-2; -1). Задайте функцию формулой и постройте ее график. 7.2. С02 а) Постройте график функции у = 6 • . На- пишите уравнения всех прямых, параллельных оси абсцисс, которые не имеют общих точек с данным графиком. б) Постройте график функции у = 3 • ^ зд.2 • На- пишите уравнения всех прямых, параллельных осй| абсцисс, которые не имеют общих точек с данным rpar j фиком. i 2. Построение графиков 127 7.2.С03 а) Постройте график функции у = При каких значениях т прямая у - [х + 4) + Зх + 2) X + 1 т пересекает график данной функции в единственной точке? б) Постройте график функции у= ——^ При каких значениях т прямая у = т пересекает график данной функции в единственной точке? 7.2.С04 Постройте график функции: (х -I- 5) (х^ -I- 4х — 12) а) у-- х^ -f Их + 30 б) у = (х — 4) (х^ — 9х -h 18) х^ — Юх + 24 7.2.С05 а) Изобразите множество всех точек (х;у) координатной плоскости Оху, для каждой из которых х^ + у^ — 25 X — 4 = 0. б) Изобразите множество всех точек (х; у) координатной плоскости Оху, для каждой из которых 25-х^ У+ 3 = 0. 7.2. С06 а) Изобразите множество всех точек (х;у) координат- /-> - ху + 4 ^ НОИ плоскости Оху, для каждой из которых ——— = (J. X -Г У б) Изобразите множество всех точек (х; у) координат- Q — ной плоскости Оху, для каждой из которых —=0. 7.2. С07 а) Изобразите множество всех точек (х; у) коор- динатной плоскости Оху, для каждой из которых + у — I X -t- 2 = 0. б) Изобразите множество всех точек (х;у) координатной плоскости Оху, для каждой из которых у-х^ + 4 ^ Q 7.2.С08 а) Постройте график функции у = — 2х^ . При ка- X — 2 ких значениях с прямая у = с пересекает построенный график в единственной точке? 2х^ -f X® б) Постройте график функции у = При ка- X -Ь 2 ких значениях с прямая у— с пересекает построенный график в единственной точке? 128 Глава 7. Функцгш и графику 4(х 2) 7.2. С09 а) Постройте график функции у = — ' ких значениях I прямая у = I яе имеет с построенным графиком ни одной общей точки? б(х — 3) б) Постройте график функции у= ———При кгц СС ких значениях I прямая у = I яе имеет с построенные^ графиком ни одной общей точки? 7.2. С10 а) Постройте график функции _ Г х'^ — 4х + 6, если X ^ 1, ^ Зх, еслих<1. При каких значениях т прямая у = т пересекает построенный график в двух точках? б) Постройте график функции У — ^, если X ^ — 1, ^ 2 — X, если X > —1. i При каких значениях т прямая у — т пересекает пен’ строенный график в двух точках? * Уровень D 7.2.D01 а) Постройте график функции (х’^ + 7х + 6) (х^ + 6х -Ь 8) У = + 5х + 4 При каких значениях т прямая у = т пересекает график данной функции в единственной точке? б) Постройте график функции (х^ — Зх -f 2) (х^ — 7х + 12) I у_ х2 - 4х + 3 ■ ^ При каких значениях т прямая у = т пересекает rpa-j фик данной функции в единственной точке? : 7.2.D02 а) Постройте график функции у — \х^ — 6х + 5| и най-; дите, при каких значениях с прямая у = с пересекает; построенный график ровно в трех точках, б) Постройте график функции у = |x^ + 4х 3| и най-j дите, при каких значениях с прямая у — с пересекает| построенный график ровно в трех точках. b 2. Построение графиков 129 7.2. D03 а) Постройте график функции у = — 2 |х| — 3 и най- дите ’1ИСЛО решений уравнения — 2 |х| — 3 = А; в зависимости от к. б) Постройте график функции у — х^ + 4|х| — 5и найдите число решений уравнения х’^-Ь4|х| — 5 = А;в зависимости от к. 7.2. D04 а) Постройте график функции у = |х^ -f 2 |х| — 15|. Ка- кое наибольшее число общих с графиком точек может иметь прямая, паралельная оси абсцисс? б) Постройте график функции у= |х^ — 4 |х| — 12|. Какое наибольшее число общих с графиком точек может иметь прямая, паралельная оси абсцисс? 7.2. D05 а) Наибольшее из чисел т, п обозначается max (m; n). Если числа равны, то max (тп; п) = т = п. Постройте график функции у = max (х — 2; —х^); б) Наименьшее из чисел тип обозначается min (m; n). Если числа равны, то min (m; п) = т = п. Постройте график функции у = min (—5х — 4; х^) 7.2.D06 а) Наименьшее из чисел т, п и к обозначается min (т; 71;/с). Если числа равны, то 1пт.{гп\п\к)— т = п = к. Постройте график функции у = min (х -Ь 2; х^; —2х). б) Наибольшее из чисел т, п и к обозначается max (m;n; А:). Если числа равны, то max {т; п; к) = т = п — к. Постройте график функции у = тах(4х — 5; -X ,2. -х). 7.2.D07 а) Изобразите множество всех точек (х; у) координатной плоскости Оху, для каждой из которых - 4х 4- — 5 Зх -1- 2у = 0. б) Изобразите множество всех точек (х; у) координатной плоскости Оху, для каждой из которых -6у + + 5 _ 2у — Зх 0. 5-4967 130 Глава 7. Функции и графики 7.2.D08 а) Постройте график функции Г у = 2 — \х\, если |ж| ^ —2, I у = — 4, если |х| < —2. При каких значениях с прямая у = с пересекает построенный график ровно в двух точках? б) Постройте график функции :| — 3, если |ж| ^ —3, у=\х у = 9 X если т < —3. При каких значениях с прямая у — с пересекает построенный график ровно в двух точках? 7.2. D09 а) Постройте график функции у = \/6х — При ка- ких значениях с прямая у = с пересекает построенный график в единственной точке? б) Постройте график функции у = — \/4хП^^. При каких значениях с прямая у = с пересекает построенный график в единственной точке? 0^ I 2 7.2. D10 а) Постройте график функции у —-----. При каких X — — X значениях с прямая у = с не имеет с построенным графиком ни одной общей точки? б) Постройте график функции у = X — 3 х-9 X . При каких значениях с прямая у = с пересекает построенный график в единственной точке? §3. Исследование функций Уровень А 7.3. А01 Найдите наименьшее значение функции; а) у = х^ — 4х — 5; б) у = х^ -Ь 6х — 7. 7.3. А02 Найдите наибольшее значение функции; У = 7 — бх — х^; б) у = 3 — 2х — х^. 7.3. АОЗ Найдите наименьшее значение функции; а) у = 2х^ — 4х -Ь 7; б) у — Зх^ Ч- 6х Ч-1. §3. Исследование функций 131 7.3. А04 Найдите наибольшее значение функции: а) у = —5х^ — 10х — 7; б) у = —4х^ + 8х + 3. 7.3. А05 Найдите промежуток убывания функции: а) у = — Зх + 2; б) у = х^ — 5х + 4. 7.3. А06 Найдите промежуток убывания функции; а) у = —4 + 7х — Зх^; б) У = 7 — Зх — 4x^. 7.3. А07 Найдите промежуток возрастания функции: а) у = 2х^ + 5х + 3; б) у = Зх^ — 5х + 2. 7.3. А08 Найдите промежуток возрастания функции: а) у = 4 — X — Зх^; б) у = 5 — X — 4х^. 5 7.3. А09 а) Какая из функций у = —5х или у = — - возрастает при X > О? б) Какая из функций у = 4х или у = - убывает при X <0? 2 7.3. АЮ а) Какая из функций у = 2x^ или у = - убывает при х>0? Q б) Какая из функций у = —Зх^ или у = при X > о? Уровень В возрастает 7.3. В01 а) Какие из функций у = 2х^, У = 2 — х убы- вают при X > о? б) Какие из функций у = — Зх^, У = -■, у = хЧ-3 убывают при X < о? 'J 7.3. В02 а) Какие из функций у = 7х^, У = у — 7 — х воз- растают при X < о? б) Какие из функций у = —5х^, У = ~, у = 5 — х возрастают при X < о? 132 Глава 1. Функции и графики 7.3. В03 а) Найдите промежуток, на котором убывают обе функции у = (х + 4)^ и у = б) Найдите промежуток, на котором убывают обе функции у =-(х - 7)^ и у = X 7.3. В04 а) Найдите промежуток, на котором возрастают обе?: 8 функции у =-(x + 8)^ и у =;; б) Найдите промежуток, на котором возрастают обе* функции у = (х - 3)^ и у = - : 7.3. В05 а) Найдите наименьшее значение функции t у = 5\/х^ + 4. б) Найдите наибольшее значение функции у = —2\/х^ + 9. 7.3. В06 а) Найдите наибольшее значение функции у = \/16 — 5х^. б) Найдите наименьшее значение функции у = —л/25 — Зх^. 7.3. В07 а) Найдите наименьшее значение функции у = 3 + 2^Jx. б) Найдите наибольшее значение функции у = 2 — 3\/х. 7.3. В08 а) Найдите наибольшее значение функции ^ 8 б) Найдите наименьшее значение функции =: 6 ^ ^ Vx^Tq' 7.3. В09 а) Найдите наименьшее значение функции 12 ^ + 3' б) Найдите наибольшее значение функции 10 У = + 2' ^'5. Исследование функций 133 7.3.В10 а) Найдите наибольшее значение функции У = 5 + 3 , д- + 6 б) Найдите наименьшее значение функции 4 у = 3 +4' Уровень С 7.3. С01 а) Какая из функций у = 2х + 3, у = + 10х + 16 или у = — - не является возрастающей при х > —5? б) Какая из функций у = 2 — Зх, у = х^ — 4х — 7 или у = - не является убывающей при х < 2? 7.3. С02 а) Найдите промежутки убывания функции _ Г 2х, если X ^ 1, ^ ~ 1 х^ — 4х + 5, если х > 1. б) Найдите промежутки возрастания функции _ J —Зх, если X ^ 2, У ~ у —а;2 _|_ 0Д. _ ][4^ если х > 2. 7.3. С03 а) Можно ли через точки (2; 8), (—8; —32), (6; 24) про- вести параболу у = ах^ -f Ух -f с? б) Можно ли через точки (—9; 3), (12; —4), (—3; 1) провести параболу у = ax^ -Ь Ух -f с? 7.3. С04 а) Найдите наибольшее значение функции _х'^ + 7 У~ х^ + 6' б) Найдите наименьшее значение функции -Ь 4 У = х^ -f 5' 7.3.С05 а) Функция у = /(х) возрастает на всей числовой прямой, причем /(2) = 5. Найдите все значения х, при которых /(х) > 5. б) Функция у = у(х) убывает на всей числовой прямой, причем у(5) = 2. Найдите все значения х, при которых у(х) < 2. 134 Глава 7. Функции и графи1^^1 7.3. С06 а) Функция у = f{x) возрастает на всей числовой прямой, а функция у = д{х) убывает на всей числовой прямой, причем /(7) = д[1). Найдите все значения ж, при которых /(ж) < д{х). б) Функция у = р{х) возрастает на всей числовой прямой, а функция у — г(х) убывает на всей числовой прямой, причем р(—4) = т(—4). Найдите все значения х, при которых р{х) > г(х). 7.3. С07 а) Найдите наименьшее значение функции у — л/ж^ + 36 + + 49. При каких значениях х оно достигается? б) Найдите наименьшее значение функции у — \/ж^ + 4 + л/х'^ + 64. . При каких значениях х оно достигается? 7.3. С08 а) Найдите наибольшее значение функции у = 7 — \/Зж2"нр4ж'^^. При каких значениях х оно достигается? б) Найдите наименьшее значение функции у = 6 + \/4ж2 — 4ж — 3. При каких значениях х оно достигается? 7.3. С09 а) Найдите координаты точек прямой у = —5х — 24, равноудаленных от осей координат, б) Найдите координаты точек прямой у = 6х — 35, равноудаленных от осей координат. 7.3. С10 а) Найдите наибольшее значение функции у — 5 — 4\х^ — 7х + 6\. При каких значениях х оно достигается? б) Найдите наименьшее значение функции у = 6 + 5 — 4ж + З]. При каких значениях х оно достигается? §3. Исследование функций 135 Уровень D 7.3. D01 а) Парабола у—ах'^+Ьх+с проходит через точки (—3; 33); (1; —3); (0; —6). Найдите а, 6, с и множество значений функции у. б) Парабола у=ах‘^+Ьх+с проходит через точки (—3;23); (1;3); (О;—1). Найдите а, Ь, с и множество значений функции у. 7.3. D02 а) Функция у ~ f{x) возрастает на всей числовой пря- мой, а функция у = д{х) убывает на всей числовой прямой, причем /(—3) = 2, у(—3) = —4. Найдите все значения х, при которых д{х) — f{x) > —б. б) Функция у = f{x) возрастает на всей числовой прямой, а функция у ~ д{х) убывает на всей числовой прямой, причем /(4) = —3, у(4) = 5. Найдите все значения ж, при которых /(ж) — д{х) < —8. 7.3. D03 а) Найдите промежутки возрастания функции у = 7ж — |ж| — 5 ]ж — 2|. б) Найдите промежутки убывания функции у = |х| -Ь 4 |ж -f 2| — 6ж. 7.3. D04 а) Найдите наибольшее значение функции у = 2\/х Ч- 2 — X — 1. б) Найдите наименьшее значение функции у = ж -f 2 — 4%/ж — 3. 7.3. D05 а) Найдите наибольшее значение функции у = х/ж^"+Тб9 — \/ж^ -Ь 16. При каких значениях ж оно достигается? б) Найдите наибольшее значение функции у = %/ж^ 4- 225 — у/х"^ + 16. При каких значениях ж оно достигается? 7.3. D06 а) Найдите наименьшее значение функции 5ж^ + 10ж -f 14 У = -f 2ж -I- 4 При каких значениях ж оно достигается? б) Найдите наибольшее значение функции ^ Зж^ - 6ж 4- 23 ^ ж^ — 2ж 4- 5 ' При каких значениях ж оно достигается? 136 Глава 7. Функции и графики 7.3. D07 Найдите наименьшее значение функции: а) у = %/2а;2 — 7х + 3 + + 2а; — 15; б) у — — 4х + 5 + а/2х^ — 8х + 17.. 7.3. D08 а) Найдите наименьшее значение функции у — \/х^ — 2х — 8 + \/Зх2 + 12х + 28. При каких значениях х оно достигается? б) Найдите наименьшее значение функции 7.3.D09 у = \/2х^ + 12х + 27 + ч/х^ — 2х — 15. При каких значениях х оно достигается? а) Найдите множество значений функции: с-ч 4х'^ — X . Зх^ + 2х. У- 4х - 3 ’ 7.3.D10 а) Найдите координаты всех тех точек гиперболы у = ^, расстояние от каждой из которых до оси абсцисс в 25 раз больше расстояния до оси ординат, б) Найдите координаты всех тех точек гиперболы у= расстояние от каждой из которых до оси абсцисс в 16 раз больше расстояния до оси ординат. ГЛАВА ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ §1. Задачи на движение и работу Уровень А 8.1. А01 а) Из двух городов, расстояние между которыми рав- но 363 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 57 км/ч и 64 км/ч? б) Из двух городов, расстояние между которыми равно 108 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 15 км/ч и 12 км/ч? 8.1. А02 а) Города А, В vl С соединены прямолинейным шос- се, причем город В расположен между городами А и С. Из города А в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 23 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и В равно 92 км? б) Города А, В и С соединены прямолинейным шоссе, причем город В расположен между городами А и С. Из города А в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 17 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и В равно 102 км? 8.1. А03 а) Половину времени, затраченного на дорогу, автомо- биль ехал со скоростью 52 км/ч, а вторую половину времени —со скоростью 62 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути, б) Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 48 км/ч, а вторую половину времени —со скоростью 68 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. 138 Глава 8. Текстовые задачи 8.1. А04 а) Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую —со скоростью 63 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. б) Первую половину трассы автомобиль проехал со ; скоростью 46 км/ч, а вторую —со скоростью 69 км/ч.; Найдите среднюю скорость автомобиля на протяже-,) НИИ всего пути. 8.1. А05 а) Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на самолете со скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. ; б) Путешественник переплыл океан на яхте со средней j скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на самолете со скоростью 630 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. 8.1. А06 а) Расстояние от Л до Н первый автомобиль проез- 2 жает в 1^ раза быстрее второго автомобиля. Найдите скорости автомобилей, если известно, что скорость первого на 18 км/ч больше скорости второго, б) Расстояние от А до В первый автомобиль проезжа-2 ет в 1^ раза медленнее второго автомобиля. Найди- , те скорости автомобилей, если известно, что скорость •; первого на 22 км/ч меньше скорости второго. ; 8.1. А07 а) Один мастер может выполнить заказ за 28 ч, а дру- гой— за 21 ч. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? б) Один мастер может выпо.лнить заказ за 9 ч, а другой—за 18 ч. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? 8.1. А08 а) Первая труба наполняет бак объемом 820 литров, а вторая труба —бак объемом 790 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 3 л воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает каждая труба, если баки были наполнены за одно и то же время? ji. Задачи на движение и работу 139 б) Первая труба наполняет бак объемом 790 литров, а вторая труба —бак объемом 750 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает каждая труба, если баки были наполнены за одно и то же время? 8.1. А09 а) Олег отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ники- та—на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Олег закончил позже Никиты на 10 минут. Сколько вопросов содержит тест? б) Сергей отвечает за час на 10 вопросов теста, а Иван — на 12. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Сергей закончил позже Ивана на 30 минут. Сколько вопросов содержит тест? 8.1. А10 а) Каждый из двух рабочих одинаковой квалифика- ции может выполнить заказ за 8 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ? б) Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 12 часов. Через 4 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ? Уровень В 8.1.В01 а) Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой —со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча? 140 Глава 8. Текстовые задачи, б) Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до лесной поляны, находящейся в 4 км от места отправления. Один идет со скоростью 3,3 км/ч, а другой —со скоростью 5,5 км/ч. Дойдя до поляны, второй с той же скоростью возвраща-. ется обратно. На каком расстоянии от точки отправ-j ления произойдет их встреча? 8.1.В02 а) Моторная лодка прошла против течения 8 км и вер- j нулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин! меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. б) Моторная лодка прошла против течения 21 км i и вернулась обратно, затратив на обратный путь; на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, , если скорость течения равна 2 км/ч. 8.1.В03 а) Теплоход, скорость которого в неподвижной воде j равна 16 км/ч, проходит по течению реки и после сто- j янки возвращается в исходный пункт. Найдите рас- ■ стояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 10 часов после отплытия из него. б) Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 12 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, i а в исходный пункт теплоход возвращается через 16 ' часов после отплытия из него. 8.1.В04 а) Дорога между пунктами Ая В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из Л в 15 за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч? si. Задачи на движение и работу 141 б) Дорога между пунктами Ая В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 16 км. Пешеход прошел путь из Л в В за 6 часов. Время его движения на спуске составило 2 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 2 км/ч? 8.1. В05 а) Из пункта Л круговой трассы, длина которой равна 80 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого автомобилиста равна 92 км/ч, скорость второго автомобилиста равна 68 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг? б) Из пункта Л круговой трассы, длина которой равна 57 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого автомобилиста равна 81 км/ч, скорость второго автомобилиста равна 63 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг? 8.1. В06 а) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 с. Найдите длину поезда. б) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 24 с. Найдите длину поезда. 8.1. В07 а) Беллетрист хочет набрать на компьютере рукопись объемом 480 страниц. Если он будет набирать на 8 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать беллетрист? б) Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик? 8.1. В08 а) В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 л воды за 4 мин, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 7 мин. Сколько времени эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 99 л воды? 142 Глава 8. Текстовые задачи б) В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 л воды за 2 мин, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 мин. Сколько времени эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 л воды? 8.1. В09 а) Саша и Стас вскапывают грядку за 10 минут, а один Стас - за 15 минут. За сколько минут вскапывает грядку один Саша? б) Даша и Вита пропалывают грядку за 12 минут, а одна Вита - за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша? 8.1. В10 а) Карлсон съедает банку варенья за 10 минут, фрекен Бок—за 12 минут, а Малыш —за 15 минут. За сколько минут они съедят банку варенья втроем? б) Винни-Пух съедает горшочек меда за 6 минут. Пятачок — за 20 минут, а ослик Иа — за 30 минут. За сколько минут они съедят горшочек меда втроем? Уровень С 8.1. С01 а) Из пункта А в пункт В, отстоящий от пункта А на 27 км, отправился пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 минут после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 3 км/ч. Найдите расстояние от пункта В до места их встречи, б) Из пункта А в пункт В, отстоящий от пункта А на 11 км, отправился пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 15 минут после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 6 км/ч. Найдите расстояние от пункта В до места их встречи. 8.1. С02 а) Из пункта А в пункт В по течению реки отпра- вились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включенным мотором, ее скорость была на 5 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно. § 1. Задачи на движение и работу 143 б) Из пункта А в пункт В по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Последнюю ^ часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включенным мотором, ее скорость была на 7 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно. 8.1. СОЗ а) Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 ч пути вынужден был сделать остановку на 10 мин. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из Л в В. б) Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 32 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 1 ч пути вынужден был сделать остановку на 12 мин. После этого он продолжил путь в Л, увеличив скорость на 4 км/ч, и в результате затратил иа обратный путь столько же времени, сколько на путь из Л в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из Л в В. 8.1. С04 а) Расстояние между пристанями Л и В равно 70 км. Отчалив от пристани Л в 7.00 утра, теплоход проплыл с постоянной скоростью до пристани В. После четырехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в Л в тот же день в 23.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. б) Расстояние между пристанями Л и В равно 45 км. Отчалив от пристани Л в 8.00 утра, теплоход проплыл с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился 144 Глава 8. Текстовые задачи в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 19.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной вод,е, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 8.1. С05 а) Иван и Алексей договорились встретиться в lV-ске. Они едут к N-CKy разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнает, что тот находится в 350 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 70 км/ч. Иван в момент звонка находится в 399 км от TV-ска и еще должен по дороге сделать 15-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в ЛТ-ск одновременно с Алексеем? б) Сергей и Володя договорились встретиться в N-ске. Они едут к А'-ску разными дорогами. Сергей звонит Володе и узнает, что тот находится в 150 км от TV-ска и едет с постоянной скоростью 50 км/ч. Сергей в момент звонка находится в 192 км от TV-ска и еще должен по дороге сделать 20-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Сергей, чтобы прибыть в TV-CK одновременно с Володей? 8.1. С06 а) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 0,4 мин. Найдите длину поезда, б) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 300 метрам, за 0,5 мин. Найдите длину поезда. 8.1. С07 а) Ходики показывают 9 часов. Какое время будут показывать ходики, когда минутная стрелка догонит часовую стрелку в третий раз? б) Ходики показывают 4 часа. Какое время будут показывать ходики, когда минутная стрелка догонит часовую стрелку в восьмой раз? 8.1. С08 а) Расстояние между пристанями А и В равно 18 км. Из Л в В по течению реки отправился плот, а через 30 мин за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в Л. К этому времени плот прошёл 9 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 50 м/мин. Задачи на движение и работу 145 б) Расстояние между пристанями А и В равно 14 км. Из Л в В по течению реки отправился плот, а через 44 мин за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в Л. К этому времени плот прошёл 7 км. Найди']'е скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 50 м/мин. 8.1. С09 а) Игорь и Паша могут покрасить забор за 3 часа. Пата и Володя могут покрасить этот же забор за 6 часов, а Володя и Игорь ~ за 4 часа. За какое время мальчики покрасят забор, работая втроем? б) Маша и Настя могут вымыть окно за 20 минут. Настя и .Лена могут вымыть это же окно за 15 минут, а Маша и Лена - за 12 минут. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем? 8.1. СЮ а) Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых летних домика. В первой бригаде было 7 рабочих, а во второй -13 рабочих. Через 8 дней после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады, в результате чего оба домика были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе? б) Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квапификации, одновременно начали строить два одинаковых летних домика. В первой бригаде было 8 рабочих, а во второй —14 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 10 рабочих из второй бригады, в резуиьтате чего оба домика были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе? Уровень D 8.1. D01 а) Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном направлении. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1 км до промежуточного финиша, ему сообхцили, что второй бегун миновал промежуточный финиш 5 минут назад. 146 Глава 8. Текстовые шданй Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что; скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго, б) Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном направлении. Спустя 1 чао, когда одному из них оставалось бежать 1,5 км до про»,; межуточного финиша, ему сообщили, что второй бе4 Гун миновал промежуточный финиш 5 минут назад| Найдите скорость каждого бегуна, если известно, чтш скорость первого на 3 км/ч меньше скорости второга! 8.1.D02 а) Если велосипедист увеличит скорость на 5 км/ч, тщ получит выигрыш во времени 12 минут при прохожде! НИИ некоторого пути. Если же он уменьшит CKopocTil на 8 км/ч, то потеряет 40 минут на том же пути. Нам дите скорость велосипедиста и длину пути. | б) Если велосипедист увеличит скорость на 9 км/ч, тш получит выигрыш во времени 27 минут при прохожде4 НИИ некоторого пути. Если же он уменьшит скорость! на 5 км/ч, то потеряет 29 минут на том же пути. Най-'| дите скорость велосипедиста и длину пути. 8.1.D03 а) Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч вы-;1 ехал первый автомобиль. Через некоторое время nof| тому же маршруту с постоянной скоростью отправил-' ся второй автомобиль. После остановки на 20 минут, в пункте В второй автомобиль поехал с той же ско- ’ ростью назад и через 48 км встретил первый авто- ? мобиль. В момент прибытия в В первого автомобиля второй автомобиль был в 120 км от В. Найдите расстояние от А до места первой встречи автомобилей,, если расстояние между пунктами Avi В равно 480 км. б) Из пункта А в пункт В с постоянной скоростью выехал первый автомобиль. Через некоторое время по тому же маршруту со скоростью 100 км/ч отправился второй автомобиль. Обогнав первый автомобиль через 150 км, второй автомобиль остановился на 1 час в В, затем поехал с той же скоростью назад и был на расстоянии 200 км от .S в момент прибытия в В первого автомобиля. Найдите расстояние от В до места второй встречи автомобилей, если расстояние между А я В равно 600 км. сд Задачи на движение и работу 147 g.l.D04 а) Велосипедист движется по пути АВ^ состоящем из ровных участков, спусков и подъёмов. На ровной дороге скорость велосипедиста равна 10 км/ч, на подъёмах—8 км/ч и на спусках —16 км/ч. На дорогу из А в В велосипедист тратит 6 часов, а на обратный путь из В в Л — 5 часов 30 минут. Известно, что ровная часть пути составляет 20 км. Найдите общую длину подъёмов и спусков на пути из Л в В. б) Велосипедист движется по пути ЛВ, состоящем из ровных участков, спусков и подъёмов. На ровной дороге скорость велосипедиста равна 15 км/ч, на подъёмах—6 км/ч и на спусках —18 км/ч. На дорогу из Л в В велосипедист тратит 6 часов, а на обратный путь из В в Л —11 часов 20 минут. Известно, что ровная часть пути составляет 30 км. Найдите общую длину подъёмов и спусков на пути из Л в В. 8.1. D05 а) Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 20 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 60 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору? б) Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору? 8.1. D06 а) Два бегуна одновременно стартуют из двух диа- метральрю противоположных точек Л и В круговой дорожки стадиона. Они бегут в противоположных направлениях и встречаются в первый раз в точке М, находящейся в 50 метрах от В, во второй раз —в точке С, находящейся в 42 метрах от Л. Найдите длину дорожки стадиона. б) Два бегуна одновременно стартуют из двух диаметрально противоположных точек Л и В круговой дорожки стадиона. Они бегут в противоположных направлениях и встречаются в первый раз в точке М, находящейся в 70 метрах от В, во второй раз —в точке С, находящейся в 48 метрах от Л. Найдите длину дорожки стадиона. 148 Глава 8. Текстовые за(?ач* 8.1.D07 а) Два насоса разной производительности наполняв! ют резервуары объемом 432 л каждый. Насосы была включены одновременно, и спустя некоторое время воды в двух резервуарах оказалось 432 л. Через 6 ми-, нут после этого первый насос заполнил свой резерву-, ар, а второй насос закончил работу на 18 минут позже,-Сколько литров воды в минуту перекачивает каждый насос? Какой объем воды накачал бы первый нач сос за то время, которое требуется обоим насосам для заполнения одного резервуара при совместноя! работе? б) Два насоса разной производительности наполня-| ют резервуары объемом 504 л каждый. Насосы былн( включены одновременно, и спустя некоторое время воды в двух резервуарах оказалось 504 л. Через, 7 минут после этого первый насос заполнил свой резервуар, а второй насос закончил работу на 21 минут}^ позже. Сколько литров воды в минуту перекачивает каждый насос? Какой объем воды накачал бы первый насос за то время, которое требуется обоим насосам для заполнения одного резервуара при совместной работе? 8.1.D08 а) Три трактора разной производительности вспахивают два поля разной площади. Третий трактор вспахивает второе поле на 5 часов быстрее, чем первый вспахивает первое поле, но на 2 часа медленнее, чем второй вспахивает первое поле. Первый и второй; тракторы, работая совместно, вспахивают первое поле на 11 часов быстрее, чем третий вспахивает второе поле. За сколько часов третий трактор вспахивает второе поле? б) Три трактора разной производительности вспахивают два поля разной площади. Третий трактор вспахивает второе поле на 4 часа быстрее, чем первый вспахивает первое поле, но на 3 часа медленнее, чем второй вспахивает первое поле. Первый и второй тракторы, работая совместно, вспахивают первое поле на 12 часов быстрее, чем третий вспахивает второе поле. За сколько часов третий трактор вспахивает второе поле? s g. Задачи на проценты, части, доли 149 8.1. D09 а) Трава на всем лугу растет одинаково густо и быст- ро. 70 коров съедают всю траву за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. За сколько дней съедят всю траву 20 коров? б) Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. 50 коров съедают всю траву за 36 дней, а 80 коров—за 20 дней. Стадо коров съело всю траву на лугу за 100 дней. Сколько коров было в стаде? 8.1. D10 а) Три мастера разной квалификации должны изго- товить некоторое количество деталей. Один второй мастер мог бы выполнить работу на несколько часов быстрее, чем первый, а третий —на столько же часов быстрее, чем второй. Первый и второй мастера вместе выполнили бы работу за 216 часов, а первый и третий вместе —за 135 часов. Сколько часов потребуется одному первому мастеру, чтобы выполнить всю работу? б) Три мастера разной квалификации должны изготовить некоторое количество деталей. Один второй мастер мог бы выполнить работу на несколько часов быстрее, чем первый, а третий —на столько же часов быстрее, чем второй. Первый и второй мастера вместе выполнили бы работу за 384 часа, а первый и третий вместе —за 240 часов. Сколько часов потребуется одному первому мастеру, чтобы выполнить всю работу? §2. Задачи на проценты, части, доли Уровень А 8.2. А01 а) Цена на товар была повышена на 24% и составила 372 рубля. Сколько стоил товар до повышения цены? б) Цена на товар была снижена на 17% и составила 249 рублей. Сколько стоил товар до снижения цены? 8.2. А02 а) Стоимость покупки с учетом двухпроцентной скид- ки по дисконтной карте составила 1470 рублей. Сколько бы пришлось заплатить за покупку при отстут-ствии дисконтной карты? б) Стоимость покупки с учетом трехпроцентной скидки по дисконтной карте составила 1940 рублей. Сколько бы пришлось заплатить за покупку при отстут-ствии дисконтной карты? 150 Глава 8. Текстовые задачи 8.2. А03 а) До снижения цен товар стоил 300 рублей, а после снижения цен стал стоить 273 рубля. На сколько процентов была снижена цена товара? б) До снижения цен товар стоил 400 рублей, а после снижения цен стал стоить 352 рубля. На сколько процентов была снижена цена товара? 8.2. А04 а) До повышения цен товар стоил 600 рублей, а после повышения цен стал стоить 678 рублей. На сколько1 процентов была повышена цена товара? б) До повышения цен товар стоил 500 рублей, а после; повышения цен стал стоить 545 рублей. На сколько процентов была повышена цена товара? 8.2. А05 а) Стоимость акций снизилась на 60%. Во сколько раз : подешевели акции? б) Стоимость акций снизилась на 84%. Во сколько раз подешевели акции? 8.2. А06 а) Стоимость акций выросла на 117%. Во сколько раз подорожали акции? б) Стоимость акций выросла на 152%. Во сколько раз подорожали акции? 8.2. А07 а) Прортзводство некоторого товара увеличилось в 37 раз. На сколько процентов выросло производство? б) Производство некоторого товара увеличилось в 96 раз. На сколько процентов выросло производство? 8.2. А08 а) Себестоимость изделия снизилась в 8 раз. На сколь- ко процентов снизилась себестоимость? б) Себестоимость изделия снизилась в 16 раз. Насколько процентов снизилась себестоимость? 8.2. А09 а) В сосуд, содержагций 13 литров 18%-го водного рас- твора некоторого вещества, добавили пять литров воды. Найдите концентрацию получившегося раствора, б) В сосуд, содержащий 11 литров 17%-го водного раствора некоторого вещества, добавили шесть литров воды. Найдите концентрацию получившегося раствора. 8.2. А10 а) Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. S 2- Задачи на проценты, части, доли 151 б) Смешали некоторое количество 14%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 18%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. Уровень В 8.2. В01 а) В июне завод выпустил 400 приборов. В августе производство снизилось на 10%, а в сентябре —еще на 10%. Сколько приборов выпустил завод в сентябре? б) В марте на фабрике изготовили 500 ковров. В апреле производство выросло на 20%, а в мае — еще на 20%. Сколько ковров изготовили на фабрике в мае? 8.2. В02 а) В январе товар стоил 30000 рублей. В марте цену на товар подняли на 4%, а в июле снизили на 4%. Сколько стоил товар в июле? б) В феврале товар стоил 20000 рублей. В мае цену на товар подняли на 6%, а в августе снизили на б%. Сколько стоил товар в августе? 8.2. В03 а) На птицеферме «Курочка Ряба» восьми тонн кор- ма курам хватает на 20 дней. На птицеферме «Серая Шейка» такого же запаса уткам хватает на 60 дней. На сколько дней хватило бы восьми тонн этого корма всем птицам вместе, если бы птицефермы объединились? б) На птицеферме «Курочка Ряба» пяти тонн корма курам хватает на 30 дней. На птицеферме «Серая Шейка» такого же запаса уткам хватает на 150 дней. На сколько дней хватило бы пяти тонн этого корма всем птицам вместе, если бы птицефермы объединились? 8.2. В04 а) Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 45%. На сколько процентов вырос бы общий доход семьи, если бы вдвое увеличилась зарплата мужа? б) Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 60%. На сколько процентов вырос бы общий доход семьи, если бы вдвое увеличилась зарплата жены? 152 Глава 8. Текстовые задача %■ 8.2. В05 а) Смешали семь литров 16%-го раствора некоторо-;:, го вещества с тремя литрами 6%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося:!| раствора. б) Смешали восемь литров 9%-го раствора некоторс го вещества с двумя литрами 4%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. 8.2. В06 а) В городском квартале проживало 5000 человек. Че рез год в результате строительства новых домов число жителей выросло на 20%, а еще через год —на 30%| Сколько человек стало проживать в квартале? б) В городском квартале проживало 3000 человек. Че-| рез год в результате строительства новых домов число жителей выросло на 10%, а еще через год —на 20%| Сколько человек стало проживать в квартале? 8.2. В07 а) Численность волков в двух заповедниках состав-J ляла 210 особей. Через год обнаружили, что в перво заповеднике численность волков возросла на 10%,| а во втором — на 30%. В результате общая числен-| ность волков в двух заповедниках составила 251.|| Сколько волков было в каждом из заповедников пер- ' воначально? ; б) Численность волков в двух заповедниках состав-; ляла 230 особей. Через год обнаружили, что в первом | заповеднике численность волков возросла на 10%,; а во втором — на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 263. Сколько волков было в каждом из заповедников первоначально? 8.2.В08 а) Банковский вклад в мае увеличился на 10%, а в июне уменьщился на 10%, после чего на счету оказалось 10890 рублей. Найдите сумму вклада на конец апреля. б) Банковский вклад в марте увеличился на 20%, а в мае уменьщился на 20%, после чего на счету оказалось 6720 рублей. Найдите сумму вклада на конец февраля. ^2. Задачи на процелтш, части, доли 153 8.2. В09 а) Настя, Лена, Вита и Маша купили лотерейный би- лет за 20 рублей. При этом Настя заплатила 4 рубля 10 копеек, Лена—1 рубль 80 копеек, Вита—2рубля 20 копеек, а оставшуюся сумму внесла Маша. При этом девочки договорились, что выигрыш делят между собой пропорционально внесенному вкладу. На билет выпал выигрыш 2000 рублей. Какая сумма из выигрыша причитается Маше? б) Игорь, Володя, Сережа и Паша купили лотерейный билет за 10 рублей. При этом Игорь заплатил 2 рубля 10 копеек, Володя — 1 рубль 10 копеек, Сережа — 3 рубля 10 копеек, а оставшуюся сумму внес Паша. При этом мальчики договорились, что выигрыш делят между собой пропорционально внесенному вкладу. На билет выпал выигрыш 500 рублей. Какая сумма из выигрыша причитается Паше? 8.2. В10 а) В красной коробке было 30 красных шаров, а в синей коробке —30 синих шаров. 7 красных шаров переложили в синюю коробку, после чего шары в ней перемешали, а затем не глядя переложили 7 шаров в красную коробку. Чего в результате оказалось больше: синих шаров в красной коробке или красных шаров в синей коробке? б) В зеленой коробке было 40 зеленых шаров, а в желтой коробке —40 желтых шаров. 9 зеленых шаров переложили в желтую коробку, после чего шары в ней перемешали, а затем не глядя переложили 9 шаров в зеленую коробку. Чего в результате оказалось больше: желтых шаров в зеленой коробке или зеленых шаров в желтой коробке? Уровень С 8.2.С01 а) Семья состоит из трех человек: отца, матери и сына. Если бы зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 30%. Если бы стипендия сына увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 6%. Сколько процентов дохода семьи составляет зарплата отца? б) Семья состоит из трех человек: отца, матери и дочери. Если бы стипендия дочери увеличилась вдвое. 154 Глава 8. Текстовые sadantt общий доход семьи вырос бы на 8%. Если бы зарплата' отца увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бц на 120%. Сколько процентов дохода се.мьи составляет, зарплата матери? * 8.2. С02 а) Имеется две смеси, каждая из которых состоит иэ| веществ И и 5. В первой смеси отношение масс ве ществ А и В равно 5:1, а во второй смеси — 9:: Сколько килограммов вещества В содержится в пер! вой смеси, если её масса составляет 102 кг? Сколькш килограммов веществ А к В содержится в смеси, приЦ готовленной из 102 кг первой смеси и 176 кг второ| смеси? б) Имеется две смеси, каждая из которых состоит и| веществ А и В. В первой смеси отношение масс ве ществ А и В равно 2 : 5, а во второй смеси — 1 :: Сколько килограммов вещества В содержится в пер вой смеси, если её масса составляет 147 кг? Скольк! килограммов веществ А я В содержится в смеси, nps готовленной из 147 кг первой смеси и 64 кг второ! смеси? 8.2. С03 а) Имеется две смеси, каждая из которых состоит веществ Ая В. В первой смеси вещество А составлй'Ц ет 47%, а во второй смеси —8%. Сколько килограммов вещества В содержится в первой смеси, если её мае*! са составляет 29 кг? Сколько килограммов веществ и В содержится в смеси, приготовленной из 29 кг пер4| вой смеси и 28 кг второй смеси? б) Имеется две смеси, каждая из которых состоит из| веществ А я В. В первой смеси вещество А состав-| ляет 12%, а во второй смеси — 79%. Сколько кило-;|' граммов вещества В содержится в первой смеси, ес-; ли её масса составляет 48 кг? Сколько килограммов! веществ А я В содержится в смеси, приготовленной! из 48 кг первой смеси и 22 кг второй смеси? 8.2.С04 а) Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, со-/ держащий 46% кислоты. Если же смешать равные,' массы этих растворов, то получится раствор, содер-; жащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислотьп) содержится в каждом растворе? §2- Задачи на проценты, части, доли 155 б) Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 12 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе? 8.2. С05 а) Свежий виноград содержит 80% влаги, а сушёный виноград (изюм) —5%. Сколько требуется свежего винограда для приготовления 1 кг изюма? б) Свежий виноград содержит 75% влаги, а сушёный виноград (изюм) —6%. Сколько требуется свежего винограда для приготовления 4 кг изюма? 8.2. С06 а) Во время загородной поездки автомобиль на каж- дые 100 км пути расходует на 2 л бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу и 110 км по загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 30 л бензина. Найдите расход бензина в городе (среднее число литров на 100 км пробега), б) Во время загородной поездки автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 5 л бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу и 190 км по загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 37 л бензина. Найдите расход бензина в городе (среднее число литров на 100 км пробега). 8.2. С07 а) В первой кастрюле был один литр кофе, а во второй кастрюле — один литр молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13 л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13 л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке? б) В первой кастрюле был один литр кофе, а во второй кастрюле — один литр молока. Из первой кастрюли во вторую перелили 0,51 л кофе и хорошо размешали. После этого из второй кастрюли в первую перелили 0,51 л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке? 156 Глава 8. Текстовые задаем 8.2. С08 а) Затраты иа производство одного микропроцессор; составляют 68 евроцентов. Испытания успешно npi ходят только 2% продукции, а остальное идет в бра; Компания, производяш,ая процессоры, вынуждены включать все затраты в себестоимость исправны процессоров, поступивших в продажу. Найдите с0 бестоимость (в евро) одного исправного процессора Найдите цену одного микропроцессора, учитыва! что компания должна получить от его продажи 25^ прибыли (1 евро равен 100 евроцентам), б) Затраты на производство одного микропроцессор составляют 75 евроцентов. Испытания успешно пре ходят только 5% продукции, а остальное идет в 6paJ Компания, производящая процессоры, вынужден включать все затраты в себестоимость исправн; процессоров, поступивших в продажу. Найдите о бестоимость (в евро) одного исправного процессор; Найдите цену одного микропроцессора, учитыва; что компания должна получить от его продажи 10' прибыли (1 евро равен 100 евроцентам). 8.2. С09 а) В прошлом году предприятие заплатило иекотс рый налог, ставка которого была равна 21%. Сумм<| налога составила 6300 рублей. В этом 1юду ставка на лога снизилась и стала равна 4%. Какую сумму налог предприятие должно заплатить в этом году, если сум*| ма, облагаемая налогом, увеличилась в 1,3 раза? б) В прошлом году предприятие заплатило некотс рый налог, ставка которого была равна 18%. Сумма налога составила 5400 рублей. В этом году ставка нг|г| лога снизилась и стала равна 5%. Какую сумму налог»| предприятие должно заплатить в этом году, если сум^!, ма, облагаемая налогом, увеличилась в 1,4 раза? 8.2. С10 а) Митя, Антон, Гоша и Борис купили лотерейный билет за 20 рублей. Митя заплатил 24% стоимости билета, Антон— 3 рубля 70 копеек, Гоша —0,21 стоимости билета, а оставшуюся сумму внес Борис. Мальчики договорились, что выигрыш делят между собой пропорционально внесенному вкладу. На билет выпал выигрыш 1000 рублей. Какая сумма причитается Борису? i}2- Задачи на проценты, части, доли 157 б) Паша, Володя, Сергей и Иван купили лотерейный билет за 20 рублей. Паша заплатил 28% стоимости билета, Володя —4 рубля 90 копеек, Сергей —0,07 стоимости билета, а оставшуюся сумму внес Иван. Мальчики договорились, что выигрыш делят между собой пропорционально внесенному вкладу. На билет выпал выигрыш 2000 рублей. Какая сумма причитается Ивану? Уровень D 8.2. D01 а) В магазине два отдела: бакалеи и гастрономии. Ес- ли бы дневная выручка отдела гастрономии сократилась вдвое, дневная выручка магазина уменьшилась бы на 34%. На сколько процентов увеличилась бы дневная выручка магазина, если дневная выручка отдела бакалеи выросла бы втрое? б) В магазине два отдела; трикотажа и обуви. Если бы дневная выручка отдела трикотажа увеличилась втрое, дневная выручка магазина выросла бы на 76%. На сколько процентов уменьшилась бы дневная выручка магазина, если дневная выручка отдела обуви сократилась бы вдвое? 8.2. D02 а) Банк предоставляет ипотечный кредит (кредит на покупку квартиры под залог квартиры) сроком на 10 лет под 19% годовых. Это означает, что ежегодно заемщик возвращает 19% от непогашенной суммы кредита и ^ суммы кредита. Так, в первый год заемщик выплачивает ^ суммы кредита и 19% от всей суммы кредита, во второй год заемщик выплачивает ^ суммы кредита и 19% от ^ суммы кредита и т.д. Во сколько раз сумма, которую должен выплатить банку заемщик, больше суммы заема, если согласно договору досрочное погашение кредита невозможно? б) Банк предоставляет ипотечный кредит (кредит на покупку квартиры под залог квартиры) сроком на 20 лет под 12% годовых. Это означает, что ежегодно заемщик возвращает 12% от непогашенной суммы кредита и ^ суммы кредита. Так, в первый год за- 158 Глава 8. Текстовые aada'i емщик выплачивает ^ суммы кредита и 12% от все# суммы кредита, во второй год заемщик выплачиваем: 1 100/19 ^ суммы кредита и lz7o от ^ суммы кредита и Во сколько раз сумма, которую должен выплатит банку заемщик, больше суммы заема, если согласн| договору досрочное погашение кредита невозможно| 8.2. D03 а) В бак помещается 30 кг бензина или 36 кг моторнс} го масла. Для приготовления горючей смеси этот ба заполнили смесью бензина с маслом, причем так, чм стоимость израсходованного бензина оказалась ра ной стоимости израсходованного масла. Масса полД чившейся в баке смеси составила 31 кг, а стоимость 500 рублей. Сколько стоит 1 кг бензина? б) В бочку помещается 40 кг скипидара или 45 растительного масла. Для приготовления олифы эт бочку заполнили смесью масла со скипидаром, прв чем так, что стоимость израсходованного масла оказд лась равной стоимости израсходованного скипидара Масса получившейся в бочке смеси составила 44 кг, стоимость-320 рублей. Сколько стоит 1 кг скипидара! 8.2. D04 а) Процент числа учеников девятого класса, принящ ших участие в олимпиаде по математике, заключе» в пределах от 96,8% до 97,2%. Найдите наименьш^ возможное число учеников этого класса. .1 б) Процент числа школьников, получивших nHTepKjjl' на экзамене по математике, заключен в пределах ОТ 1,7% до 2,3%. Найдите наименьшее возможное числй школьников, сдававших экзамен по математике. 8.2. D05 а) Бригада, состоящая из одного рабочего 1-го раз:^ ряда, четырех рабочих 2-го разряда и пяти рабочих 3-го разряда, выполняет заказ за 4 дня. Бригада, со-, стоящая из четырех рабочих 1-го разряда и одного рабочего 2-го разряда, выполняет тот же заказ за 12 дней. За сколько дней выполнит этот же заказ бригЗг да, состоящая из одного рабочего 1-го разряда, одногр рабочего 2-го разряда и одного рабочего 3-го разряда? б) Бригада, состоящая из шести рабочих 1-го разряда, пяти рабочих 2-го разряда и четырех рабочих 3-гО ^2. Задачи на проценты, части, доли 159 разряда, выполняет заказ за 5 дней. Бригада, состоящая из одного рабочего 2-го разряда и двух рабочих 3-го разряда, выполняет тот же заказ за 20 дней. За сколько дней выполнит этот же заказ бригада, состоящая из одного рабочего 1-го разряда, одного рабочего 2-го разряда и одного рабочего 3-го разряда? 8.2. D06 а) Во время загородной поездки автомобиль расходу- ет в l| раза меньше бензина, чем в городе при том же пробеге. Водитель выехал с полным баком, про-2 ехал g пути по городу, а оставшуюся часть пути — по загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 17 л бензина. Сколько бензина израсходовал бы автомобиль, если бы весь его путь пролегал по шоссе? б) Во время загородной поездки автомобиль расходует в l| раза меньше бензина, чем в городе при том же пробеге. Водитель выехал с полным баком, проехал 0,4 пути по городу, а оставшуюся часть пути — по загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 39 л бензина. Сколько бензина израсходовал бы автомобиль, если бы весь его путь пролегал по шоссе? 8.2. D07 а) Водитель знает, что зимой его автомобиль на каж- дые 100 км пробега расходует на один литр бензина больше, чем летом. Какое расстояние зимой проедет водитель, израсходовав ^ бака, если летом он может проехать 672 км, израсходовав один полный бак? Емкость бака равна 56 л. б) Водитель знает, что зимой его автомобиль на каждые 100 км пробега расходует на один литр бензина больше, чем летом. Какое расстояние зимой проедет водитель, израсходовав | бака, если летом он может проехать 840 км, израсходовав один полный бак? Емкость бака равна 70 л. 8.2. D08 а) Канистра содержит 31 л кислоты. Из нее отлива- ют три литра кислоты и доливают три литра воды. Такую операцию повторяют п раз. Сколько кислоты останется в канистре? 160 Глава 8. Текстовые задацщ б) Канистра содержит 13 л кислоты. Из нее отлива|-ют два литра кислоты и доливают два литра водьл^ Такую операцию повто1)яют п раз. Сколько кислотм останется в канист'ре? 8.2.D09 а) Каждый из двух сплавов состоит из веществ и В. Первый сплав содержит 20% вещества А, а вт(^ рой —40% вещества В. Некоторое количество первог^ сплава и вдвое меньшее по массе количество второг* сплава сплавили с пятью килограммами чистого Bij щества А и тремя килограммами чистого вещества . В результате процентное содержание вещества А новом сплаве стало больше процентного содержани| вещества В во втором сплаве на 10%. Найдите масс1 нового сплава. б) Каждый из двух сплавов состоит из венщств А и Первый сплав содержит 30% вещества А, а второй-40% вещества В. Некоторое количество первого сплг| ва и втрое меньшее по массе количество второго спл| ва сплавили с четырьмя килограммами чистого вещ^ ства А и двумя килограммами чистого вещества В результате процентное содержание вещ(ютва А новом сплаве стало больше процентного содержаний вещества В во втором сплаве на 10%. Найдите масс| нового сплава. 8.2.D10 а) Смешав 30%-ый и 20%-ый растворы кислоты добавив четыре килограмма чистой воды, получи ли 10%-ый раствор кислоты. Если бы вместо четь рех килограммов воды добавили четыре килограь ма 70%-го раствора той же кислоты, то получи! ли бы 50%-й раствор кислоты. Сколько килограмм мов 30%-го и сколько килограммов 20%-го растворов было смешано? б) Смешав 50%-ый и 40%-ый растворы кислоты и до^ бавив три килограмма чистой воды, по.лучили 30%-ы1| раствор кислоты. Если бы вместо трех килограммом' воды добавили три килограмма 90%-го раствора тощ же кислоты, то получили бы 60%-ый раствор кис| лоты. Сколько килограммов 50%-го и сколько кило! граммов 40%-го растворов было смешано? §3. Задачи на свойства целых чисел 161 §3. Задачи на свойства целых чисел Уровень 8.3.А01 а) Можно ли 295 тюльпанов подарить 37 дамам так, чтобы у каждой дамы оказалось одно и то же число тюльпанов? б) Можно ли 273 хризантемы подарить 39 дамам так, чтобы у каждой дамы оказалось одно и то же число хризантем? 8.3. А02 а) Масса одного телевизора равна 12 кг. Может ли общая масса всех таких телевизоров, находящихся на складе, быть равной 378 кг? б) Масса одной стиральной машины равна 18 кг. Может ли общая масса всех таких стиральных машин, находящихся на складе, быть равной 384 кг? 8.3. А03 а) Есть 800 теннисных мячей. Какое наименьшее чис- ло мячей нужно добавить, чтобы мячи можно было распределить поровну между 73 теннисистами? б) Есть 850 теннисных мячей. Какое наименьшее число мячей нужно добавить, чтобы мячи можно было распределить поровну между 78 теннисистами? 8.3. А04 а) Баночка йогурта стоит 5 рублей 72 копейки. Какое наибольшее число таких баночек можно купить на 40 рублей? б) Баночка йогурта стоит 7 рублей 16 копеек. Какое наибольшее число таких баночек можно купить на 50 рублей? 8.3. А05 а) В одном контейнере можно разместить 9 одинако- вых коробок. Какое наименьшее число контейнеров потребуется для того, чтобы разместить 97 таких коробок? б) В одном контейнере можно разместить 11 одинаковых коробок. Какое наименьшее число контейнеров потребуется для того, чтобы разместить 69 таких коробок? 8.3. А06 а) Теплоход рассчитан на 800 пассажиров и 55 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров 6-4967 и всех членов команды.'^ 162 Глава 8. Текстовые 3a8a\J 6) Теплоход рассчитан на 800 пассажиров и 65 члено/*' команды. Каждая спасательная шлюпка может bmi стить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпо] должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходи^З мости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? 8.3. А07 а) На свой день рождения Маша купила 15 конфет и шоколадных медалей. Какое наибольшее количеств! гостей Маша может пригласить к себе, чтобы и koi| феты и медали можно было разделить поровну межд всеми, включая ее саму? ! б) На свой день рождения Мила купила 20 пирожко! и 28 пирожных. Какое наибольшее количество гост© Мила может пригласить к себе, чтобы и пирожки i пирожные можно было разделить поровну между вс^ ми, включая ее саму? '{ 8.3. А08 а) Люба пригласила гостей и хочет купить столька конфет, чтобы их можно было раздать поровну всем| включая ее саму. Но Люба не знает, сколько чело* век придет: 2, 3 или 6. Какое наименьшее количеств(]| конфет должно быть у Любы, чтобы она смогла осу"^ ществить свой план в любом случае? б) Катя пригласила гостей и хочет купить столько пирожных, чтобы их можно было раздать поровну всем; включая ее саму. Но Катя не знает, сколько гостей придет; 3, 4 или 8. Какое наименьшее количество пирожных должно быть у Кати, чтобы она смогла осуг' ществить свой план в любом случае? j 8.3. А09 а) Найдите стоимость одного карандаша, если извест* но, что среди трех следующих утверждений есть верное: 1) за три таких карандаша заплатили 7 рублей 25' копеек; 2) за три таких карандаша заплатили 7 рублей 26 копеек; 3) за три таких карандаша заплатили 7 рублей 27 копеек. б) Найдите стоимость одной шариковой ручки, есл^ известно, что среди трех следующих утверждений! есть верное: 1) за четыре таких ручки заплатили 91 рублей 26 копеек; 2) за четыре таких ручки запла* тили 9 рублей 27 копеек; 3) за четыре таких ручкй заплатили 9 рублей 28 копеек. ^3. Задачи на свойства целых чисел 163 8.3. А10 а) Найдите стоимость одного фломастера, если из- вестно, что среди трех следующих утверждений есть верное; 1) за три таких фломастера заплатили 11 рублей 33 копейки; 2) за пять таких фломастеров заплатили 15 рублей 68 копеек; 3) за семь таких фломастеров заплатили 21 рубль 56 копеек, б) Найдите стоимость одного ластика, если известно, что среди трех следующих утверждений есть верное: 1) за четыре таких ластика заплатили 10 рублей 22 копейки; 2) за шесть таких ластиков заплатили 12 рублей 78 копеек; 3) за восемь таких ластиков заплатили 16 рублей 52 копейки. Уровень В 8.3. В01 а) Если сложить возраст отца и возраст сына, то полу- чится 52. Через 8 лет отношение возраста отца к возрасту сына будет равно 3. Сколько лет отцу и сколько сыну в настоящий момент? б) Если сложить возраст отца и возраст сына, то получится 30. Через 7 лет отношение возраста отца к возрасту сына будет равно 3. Сколько лет отцу и сколько сыну в настоящий момент? 8.3. В02 а) На складе есть мешки с мукой и мешки с сахаром. Масса одного мешка с мукой равна 9 кг, а масса одного мешка с сахаром равна 18 кг. Может ли общая масса всех мешков, находящихся на складе, быть равной 2004 кг? а) На складе есть коробки с гречкой и коробки с рисом. Масса коробки с гречкой равна 4 кг, а масса коробки с рисом равна 8 кг. Может ли общая масса всех коробок, находящихся на складе, быть равной 2006 кг? 8.3. В03 а) Длины сторон прямоугольника (в сантиметрах) вы- ражаются целыми числами. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 38 см^, а периметр больше 50 сантиметров. б) Длины сторон прямоугольника (в сантиметрах) выражаются целыми числами. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 34 см^, а периметр меньше 60 сантиметров. 164 Глава 8. Текстовые задачи 8.3. В04 а) Найдите стоимость одной шоколадки, если Варя говорит, что за шесть таких шоколадок она заплатила 49 рублей 92 копейки, Тоня говорит, что за пять таких шоколадок она заплатила 41 рубль 55 копеек, Света говорит, что за четыре таких шоколадки она заплатила 33 рубля 28 копеек, и известно, что две из трех девочек ошибаются. б) Найдите стоимость одной булочки, если Петя говорит, что за три таких булочки он заплатил 20 рублей 67 копеек, Вася говорит, что за пять таких булочек он заплатил 33 рубля 95 копеек, Гоша говорит, что за семь таких булочек он заплатил 47 рублей 53 копейки, и известно, что двое из трех мальчиков ошибаются. 8.3. В05 а) Найдите стоимость одного воздушного шарика, есг ли Маша говорит, что за пять таких шариков она1 заплатила 22 рубля 45 копеек, Даша говорит, что за; шесть таких шариков она заплатила 26 рублей 88 копеек, Глаша говорит, что за семь таких шариков она заплатила 31 рубль 43 копейки, и известно, что одна из девочек ошибается. б) Найдите стоимость одной тетрадки, если Виталик говорит, что за четыре таких тетрадки он заплатил 21 рубль 16 копеек, Ваня говорит, что за шесть таких тетрадок он заплатил 31 рубль 68 копеек, Витя говорит, что за восемь таких тетрадок он заплатил 42 рубля 24 копейки, и известно, что один из мальчиков ошибается. 8.3. В06 а) 93 кг крупы требуется пересыпать в коробки вме- стимостью 3 кг, 6 кг и 12 кг так, чтобы в коробках не оставалось пустого места. Какое наименьшее число коробок потребуется для этого? б) 94 кг крупы требуется пересыпать в коробки вместимостью 2 кг, 4 кг и 8 кг так, чтобы в коробках не оставалось пустого места. Какое наименьшее число коробок потребуется для этого? 8.3. В07 а) 350 одинаковых стержней стоят дороже 854 рублей, но дешевле 861 рубля. Найдите стоимость одного такого стержня. §3. Задачи на свойства целых чисел 165 б) 150 одинаковых фломастеров стоят дороже 783 рублей, но дешевле 786 рублей. Найдите стоимость одного такого фломастера. 8.3. В08 а) Найдите наименьшее трехзначное число, сумма цифр которого равна 22. б) Найдите наибольшее трехзначное число, сумма цифр которого равна 23. 8.3. В09 а) Можно ли 345 л молока разлить по двухлитро- вым, четырехлитровым и восьмилитровым бидонам так, чтобы в бидонах не оставалось пустого места? б) Можно ли 542 л бензина разлить по трехлитровым, шестилитровым и девятилитровым канистрам так, чтобы в канистрах не оставалось пустого места? 8.3. В10 а) Найдите периметр треугольника, если длины двух его сторон равны 1 см и 6 см, а длина третьей стороны (в сантиметрах) выражается целым числом, б) Найдите периметр треугольника, если длины двух его сторон равны 7 см и 1 см, а длина третьей стороны (в сантиметрах) выражается целым числом. Уровень С 8.3. С01 а) Нина задумала четырёхзначное число, сумма цифр которого равна 14. Известно, что это число не изменится, если записать его теми же цифрами, но в обратном порядке, и что число, образованное первыми двумя его цифрами, на 27 больше числа, образованного двумя последними его цифрами. Какое число задумала Нина? б) Лида задумала четырёхзначное число, сумма цифр которого равна 18. Известно, что это число не изменится, если записать его теми же цифрами, но в обратном порядке, и что число, образованное первыми двумя его цифрами, на 9 больше числа, образованного двумя последними его цифрами. Какое число задумала Лида? 8.3. С02 а) Число диагоналей выпуклого многоугольника в 5 раз больше числа его сторон. Сколько сторон у многоугольника? 166 Глава 8. Текстовые задачи б) Число сторон выпуклого многоугольника в 7 раз меньше числа его диагоналей. Сколько сторон у многоугольника? 8.3. С03 а) На странице во всех строках одно и то же число букв. Если увеличить число строк и число букв в строке на 7, то число букв на странице увеличится на 476. На сколько уменьшится число букв на странице, если уменьшить число строк и число букв в строке на 4? б) На странице во всех строках одно и то же число букв. Если увеличить число строк и число букв в строке на 7, то число букв на странице увеличится на 455. На сколько уменьшится число букв на странице, если уменьшить число строк и число букв в строке на 5? ; 8.3. С04 а) Сын младше отца в 6 раз, а через год он станет младше отца в 5 раз. Через сколько лет сын будет' младше отца в 3 раза? б) Отец старше сына в 9 раз, а через год он станет старше сына в 7 раз. Через сколько лет отец будет старше сына в 5 раз? 8.3. С05 а) В каждом из двух ящиков лежит 15 шаров. Число синих шаров в обоих ящиках равно 8, остальные шары — красные. Сколько красных шаров лежит в каждом ящике, если в первом ящике на каждый синий шар приходится в 2 раза меньше красных шаров, чем во втором? б) В каждом из двух ящиков лежит 40 кубиков. Число желтых кубиков в обоих ящиках равно 14, остальные кубики — зеленые. Сколько зеленых кубиков лежит в каждом ящике, если в первом ящике на каждый желтый кубик приходится в 3 раза меньше зеленых кубиков, чем во втором? 8.3. С06 а) Виталий задумал двузначное число. Цифра десят- ков этого числа на 5 больше цифры единиц. Если разделить задуманное число на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 11. Найдите задуманное число. б) Валентин задумал двузначное число. Цифра десятков этого числа на 1 больше цифры единиц. Если разделить задуманное число на произведение его цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найдите задуманное число. §3. Задачи на свойства целых чисел 167 8.3. С07 а) Может ли разность данного трехзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, что и данное, но в обратном порядке, быть равной 198? б) Может ли разность данного трехзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, что и данное, но в обратном порядке, быть равной 270? 8.3. С08 а) Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. Мо- жет ли разность оказаться равной 189? б) Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли разность оказаться равной 180? 8.3. С09 а) Прямоугольный участок выложен квадратными плитками. Если длину и ширину участка увеличить на 7 плиток, то общее число плиток станет в 3,5 раза больше числа плиток, которые будут лежать вдоль периметра участка. Сколько всего плиток на участке? б) Прямоугольный участок выложен квадратными плитками. Если длину и ширину участка увеличить на 11 плиток, то общее число плиток станет в 5,5 раза больше числа плиток, которые будут лежать вдоль периметра участка. Сколько всего плиток на участке? 8.3. С10 а) 60 одинаковых ластиков стоят 110 рублей с копей- ками. Найдите стоимость одного такого ластика, б) 90 одинаковых ластиков стоят 321 рубль с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика. Уровень D 8.3. D01 а) Ваня написал натуральное число, десятичная за- пись которого состоит из 31 цифры. Витя нашел сумму цифр этого числа. Затем он снова вычислил сумму цифр и поступал так до тех пор, пока не получилось число 1. Найдите остаток от деления на 9 написанного Ваней числа. б) Ира написала натуральное число, десятичная запись которого состоит из 31 цифры. Зоя нашла сумму цифр этого числа. Затем она снова вычислила сумму цифр и поступала так до тех пор, пока не получилось число 2. Найдите остаток от деления на 3 написанного Ирой числа. 168 Глава 8. Текстовые задачи 8.3. D02 а) Квартал застроен четырехэтажными и шестиэтаж- ными домами, причем шестиэтажных домов меньше, чем четырехэтажных. Если число шестиэтажных домов увеличить вдвое, то число всех домов окажется больше 60. Если увеличить вдвое число четырехэтажных домов, то число всех домов окажется меньше 63. Найдите количество четырехэтажных и шестиэтажных домов в квартале. б) Квартал застроен шестнадцатиэтажными и одиннадцатиэтажными домами, причем одиннадцатиэтажных домов меньше, чем шестнадцатиэтажных. Если число одиннадцатиэтажных домов увеличить вдвое, то число всех домов окажется больше 33. Если увеличить вдвое число шестнадцатиэтажных домов, то число всех домов окажется меньше 36. Найдите количество шестнадцатиэтажных и одиннадцатиэтажных домов в квартале. 8.3. D03 а) В комнате находятся 17 человек. Может ли каждый из них быть знаком ровно с пятью другими? б) В комнате находятся 15 человек. Может ли каждый из них быть знаком ровно с семью другими? 8.3. D04 а) На шахматном турнире каждый из участников дол- жен был сыграть ровно одну партию с каждым из прочих, но два участника выбыли из турнира, сыграв только по 4 партии. Поэтому число партий, сыгранных в турнире, оказалось равным 62. Сколько всего было участников турнира? Состоялась ли игра между выбывшими участниками? б) На шахматном турнире каждый из участников должен был сыграть ровно одну партию с каждым из прочих, но два участника выбыли из турнира, сыграв только по 3 партии. Поэтому число партий, сыгранных в турнире, оказалось равным 110. Сколько всего было участников турнира? Состоялась ли игра между выбывшими участниками? 8.3.D05 а) Человеку, родившемуся в XX веке, в 1958 году исполнилось столько лет, какова сумма двух последних цифр его года рождения. В каком году он родился? § 3. Задачи на свойства целых чисел 169 б) Человеку, родившемуся в XX веке, в 1972 году исполнилось столько лет, какова сумма двух последних цифр его года рождения. В каком году он родился? 8.3. D06 а) Если построить солдат по 15 человек в шеренге, то последняя шеренга окажется неполной. Если же построить их по 14 человек в шеренге, то все шеренги окажутся полными, но их число будет больше на 1. Если же построить тех же солдат в шеренги по 9 в каждой, то последняя шеренга опять будет неполной, а число шеренг увеличится еще на 9. Сколько всего солдат? б) Если построить солдат по 11 человек в шеренге, то последняя шеренга окажется неполной. Если же построить их по 10 человек в шеренге, то все шеренги окажутся полными, но их число будет больше на 2. Если же построить тех же солдат в шеренги по 7 в каждой, то последняя шеренга опять будет неполной, а число шеренг увеличится еще на 10. Сколько всего солдат? 8.3. D07 а) Мастер делает за один час целое число деталей, большее 18, а ученик —на 10 деталей меньше. Мастер выполняет заказ за целое число часов, а три ученика вместе—на два часа быстрее. Из какого числа деталей состоит заказ? б) Мастер делает за один час целое число деталей, большее 5, а ученик — на 2 детали меньше. Мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе — на час быстрее. Из какого числа деталей состоит заказ? 8.3. D08 а) На станцию привезли некоторое количество кон- тейнеров. В каждом контейнере находилось одно и то же число телевизоров (большее 1). Телевизоры перегрузили в вагоны. Получилось 13 полных вагонов и еще один вагон, в котором всего 5 телевизоров. Через несколько дней привезли такие же контейнеры. Телевизоры снова перегрузили в вагоны. На этот раз получилось б вагонов, причем в последнем до полного вагона не хватало одного телевизора. Сколько телевизоров вмещает один контейнер? 170 Глава 8. Текстовые задачи б) На станцию привезли некоторое количество контейнеров. В каждом контейнере находилось одно и то же число телевизоров (большее 1). Телевизоры перегрузили в вагоны. Получилось 12 полных вагонов и еще один вагон, в котором всего 5 телевизоров. Через несколько дней привезли такие же контейнеры. Телевизоры снова перегрузили в вагоны. На этот раз получилось 5 вагонов, причем в последнем до полного вагона не хватало одного телевизора. Сколько телевизоров вмещает один контейнер? 8.3. D09 а) Маша задумала трехзначное число. Сумма цифр этого числа равна 7, а сумма квадратов цифр равна 27. Если из задуманного числа вычесть 396, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке. Какое число задумала Маша? б) Паша задумал трехзначное число. Сумма цифр этого числа равна 8, а сумма квадратов цифр равна 24. Если из задуманного числа вычесть 198, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке. Какое число задумал Паша? 8.3. D10 а) На складе находятся музыкальные центры двух ти- пов. Музыкальный центр первого типа весит 12 кг, второго типа—15 кг. Музыкальный центр первого типа стоит 8000 рублей, музыкальный центр второго типа-12000 рублей. Общий вес музыкальных центров равен 321 кг. Найдите минимальную и максимальную возможные суммарные стоимости находящихся на складе музыкальных центров, б) На складе находятся музыкальные центры двух типов. Музыкальный центр первого типа весит 15 кг, второго типа—18 кг. Музыкальный центр первого типа стоит 6000 рублей, музыкальный центр второго типа — 8000 рублей. Общий вес музыкальных центров равен 279 кг. Найдите минимальную и максимальную возможные суммарные стоимости находящихся на складе музыкальных центров. 9 ГЛАВА ПРОГРЕССИИ Уровень А 9.1. А01 а) Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен —21, а двенадцатый равен 1. б) Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен —37, а двадцатый равен 1. 9.1. А02 а) Найдите седьмой член арифметической прогрес- сии, разность которой равна ее восьмому члену, б) Найдите девятый член арифметической прогрессии, разность которой равна ее десятому члену. 9.1. А03 а) Найдите сумму первых восьми членов арифмети- ческой прогрессии, первый член которой равен —12, а второй равен —9. б) Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, первый член которой равен —16, а второй равен —12. 9.1. А04 а) Найдите двенадцатый член арифметической про- грессии, если ее одиннадцатый член равен 15, а десятый член равен 34. б) Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии, если ее восемнадцатый член равен 25, а девятнадцатый член равен 39. 9.1. А05 а) Сумма седьмого и двенадцатого членов арифмети- ческой прогрессии меньше суммы ее шестого и одиннадцатого членов на 8. Найдите разность прогрессии, б) Сумма шестого и десятого членов арифметической прогрессии меньше суммы ее третьего и восьмого членов на 15. Найдите разность прогрессии. 9.1. А06 а) Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12, а одиннадцатый член равен 4. б) Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее восьмой член равен 24, а седьмой член равен 8. 172 Глава 9. Прогрессии 9.1. А07 а) Найдите сумму первых пяти членов геометриче- ской прогрессии, знаменатель которой равен 3, а третий член равен 36. б) Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 2, а четвертый член равен 64. 9.1. А08 а) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен ее восьмому члену, б) Найдите тринадцатый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен ее четырнадцатому члену. 9.1. А09 а) Пятый член геометрической прогрессии в 5 раз больше ее первого члена. Во сколько раз тринадцатый член этой прогрессии больше ее пятого члена? б) Четвертый член геометрической прогрессии в 4 раза больше ее первого члена. Во сколько раз десятый член этой прогрессии больше ее четвертого члена? 9.1. А10 а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее тридцать четвертый член равен 35, а тридцать пятый член равен 36. б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее сорок третий член равен 44, а сорок четвертый член равен 45. Уровень В 9.1. В01 а) Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 7. Какие из чисел 28, 55, 9150 являются членами этой прогрессии? б) Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 3. Какие из чисел 27, 68, 4276 являются членами этой прогрессии? 9.1. В02 а) В арифметической прогрессии седьмой член ра- вен —40, а семнадцатый равен —50. Найдите разность этой арифметической прогрессии, б) В арифметической прогрессии восьмой член равен —22, а двадцатый равен —58. Найдите разность этой арифметической прогрессии. 173 9.1. В03 а) В арифметической прогрессии второй член равен 4, а двадцать восьмой равен 56. Найдите разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов, б) В арифметической прогрессии второй член равен 10, а тридцать второй равен 130. Найдите разность этой прогрессии и сумму 32 первых ее членов. 9.1. В04 а) В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов, б) В арифметической прогрессии второй член равен 11, а разность равна 30. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов. 9.1. В05 а) В арифметической прогрессии второй член равен 7, а сумма 22 первых членов равна 2035. Найдите первый член и разность этой прогрессии, б) В арифметической прогрессии второй член равен 3, а сумма 18 первых членов равна 1539. Найдите первый член и разность этой прогрессии. 9.1. В06 а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой отношение десятого члена к восьмому в 5 раз больше отношения одиннадцатого члена к десятому, б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой отношение седьмого члена к шестому в 7 раз меньше отношения шестого члена к четвертому. 9.1. В07 а) Существует ли геометрическая прогрессия, в кото- рой восьмой член равен 12, а двенадцатый член равен —8? б) Существует ли геометрическая прогрессия, в которой третий член равен 9, а девятый член равен —3? 9.1. В08 а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее тридцать пятый член в 16 раз меньше ее тридцать седьмого члена. б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее пятьдесят первый член в 36 раз меньше ее пятьдесят третьего члена. 9.1. В09 а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее восемнадцатый член в 27 раз больше ее двадцать первого члена. 174 Глава 9. Прогрессии б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее десятый член в 8 раз больше ее тринадцатого члена. 9.1. В10 а) Отношение суммы третьего и восьмого членов гео- метрической прогрессии к сумме второго и седьмого ее членов равно 13. Найдите знаменатель прогрессии, б) Отношение суммы шестого и одиннадцатого членов геометрической прогрессии к сумме пятого и десятого ее членов равно 7. Найдите знаменатель прогрессии. Уровень С 9.1. С01 а) В арифметической прогрессии семнадцатый член равен 94, сорок первый равен —2, а сумма первых п членов прогрессии равна нулю. Найдите п. б) В арифметической прогрессии девятнадцатый член равен —35, тридцать седьмой равен 1, а сумма первых п членов прогрессии равна нулю. Найдите п. 9.1. С02 а) Найдите все значения х, при которых числа —бт^, т -Ы и 14 + 4т^ являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке), б) Найдите все’значения х, при которых числа 4т^, 5ж 4-10 и 12 — являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке). 9.1. СОЗ а) В арифметической прогрессии второй член ра- вен 10, разность равна 3, а сумма первых п членов прогрессии равна 282. Найдите п. б) В арифметической прогрессии второй член равен 5, разность равна 3, а сумма первых п членов прогрессии равна 222. Найдите п. 9.1. С04 а) Дана арифметическая прогрессия {а„}. Найдите ai + аи -Ь Пх4 + «24; если + П2о = 26. б) Дана арифметическая прогрессия {а„}. Найдите Пх -f оц + Пх2 4- Пгг, если 4- Ого = 24. 9.1. С05 а) Найдите сумму всех членов арифметической про- грессии 2; 6; ... с седьмого по тринадцатый включительно. б) Найдите сумму всех членов арифметической прогрессии 8; 6; ... с шестого по двенадцатый включительно. 175 9.1. С06 а) Найдите разность четырнадцатого и одиннадцато- го членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 28, а произведение третьего и двадцать второго членов этой прогрессии равно 75. б) Найдите разность восьмого и шестого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение второго и двенадцатого членов этой прогрессии равно 28. 9.1. С07 а) Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60. б) Найдите седьмой и четырнадцатый члены геометрической прогрессии, если их сумма равна 21, а произведение десятого и одиннадцатого членов этой прогрессии равно 98. 9.1. С08 а) Найдите ж, если известно, что числа ж — 3, у/Ех, ж -|-16 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке), б) Найдите ж, если известно, что числа ж — 2, л/бЖ) ж 4- 5 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке). 9.1. С09 а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность ее шестнадцатого и тринадцатого членов в 12 раз больше суммы двенадцатого, тринадцатого и четырнадцатого членов. б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность ее тридцатого и двадцать седьмого членов в 30 раз больше суммы двадцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов. 9.1. С10 а) Если одиннадцатый член геометрической прогрес- сии увеличить в 8 раз и сложить с тринадцатым членом, то получится число, в 6 раз большее ее двенадцатого члена. Найдите знаменатель прогрессии, б) Если тринадцатый член геометрической прогрессии увеличить в 12 раз и сложить с пятнадцатым членом, то получится число, в 7 раз большее ее четырнадцатого члена. Найдите знаменатель прогрессии. 176 Глава 9. Прогрессии Уровень D 9.1. D01 а) Дана арифметическая прогрессия {а„}. Найдите —, если — = 2. «17 «8 б) Дана арифметическая прогрессия {а„}. Найдите —, если — = 4. «15 ад 9.1. D02 а) Могут ли числа 0; 4vTT; 55 быть членами одной арифметической прогрессии? б) Могут ли числа 0; 3\/3; 18 быть членами одной арифметической прогрессии? 9.1. D03 а) Между' первым и вторым членами арифметической прогрессии, разность которой равна 42, поместили 5 чисел так, что эти 7 чисел стали последовательными членами новой арифметической прогрессии. Найдите разность этой новой прогрессии, б) Между первым и вторым членами арифметической прогрессии, разность которой равна 36, поместили 11 чисел так, что эти 13 чисел стали последовательными членами новой арифметической прогрессии. Найдите разность этой новой прогрессии. 9.1. D04 а) Дана арифметическая прогрессия {а„}. Найдите сумму первых 120 ее членов, если «20 + «30 + «47 “Ь «55 + «66 + «74 + «91 + «101 = 756. б) Дана арифметическая прогрессия {а„}. Найдите сумму первых 106 ее членов, если «10 + «39 + «47 + «48 + «59 + «60 + «68 + «97 = 336. 9.1. D05 а) Найдите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных. б) Найдите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 28, а произведение второго и восьмого членов является наименьшим из возможных. 9.1. D06 а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой к 82 сумме первых двух членов равно 177 б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой к 26 сумме первых двух членов равно 9.1. D07 а) Найдите первый член и знаменатель геометриче- ской прогрессии, в которой сумма квадрата девятого члена и восемнадцатого члена в 13 раз больше семнадцатого члена, а разность квадрата седьмого члена и четырнадцатого 'шена в 7 раз больше тринадцатого члена. б) Найдите первый член и знаменатель геомет рической прогрессии, в которой сумма квадрата седьмого члена и четырнадцатого члена в 18 раз больше тринадцатого члена, а разность квадрата девятого члена и восемнадцатого члена в 8 раз больше семнадцатого члена. 9.1. D08 а) Найдите произведение двенадцатого, семнадцато- го, двадцать второго и двадцать седьмого членов геометрической прогрессии, если известно, что произведение десятого и двадцать девятого ее членов равно 22. б) Найдите произведение одиннадцатого, двадцатого, двадцать девятого и тридцать восьмого членов гео- дение восемнадцатого и тридцать первого ее членов равно 29. 9.1. D09 а) Сумма четырнадцатого и второго членов геомет- рической прогрессии равна 16, а сумма их квадратов равна 200. Найдите восьмой член прогрессии, б) Сумма одиннадцатого и третьего членов геометрической прогрессии равна 14, а сумма их квадратов равна 130. Найдите седьмой член прогрессии. 9.1. D10 а) Разность пятого и третьего членов геометрической прогрессии равна 4, а разность седьмого и пятого членов равна 12. Найдите разность девятого и седьмого членов этой прогрессии. б) Разность седьмого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 3, а разность десятого и седьмого членов равна 6. Найдите разность тринадцатого и десятого членов этой прогрессии. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ §1. Отрезки, углы, треугольники Уровень А 10.1. А01 а) Могут ли точки Л, £? и С быть вершинами тре- угольника, если АВ = 34 см, АС — 15 см, ВС — 19 см? б) Могут ли точки А, В я С быть вершинами треугольника, если АВ = 19 см, АС — 40 см, ВС = 22 см? 10.1. А02 а) Угол между прямыми аиЬ равен 17°, а угол между прямыми а и с равен 33°. Найдите угол между прямыми Ь и с. б) Угол между прямыми а и 6 равен 16°, а угол между прямыми а и с равен 31°. Найдите угол между прямыми Ь и с. 10.1. А03 а) Даны два смежных угла. Биссектриса первого из них образует угол 24° с общей стороной этих углов. Найдите величину второго из данных смежных углов, б) Даны два смежных угла, один из которых равен 36°. Найдите угол между биссектрисой второго из данных углов и их общей стороной. 10Л.А04 а) Найдите угол В треугольника АВС, если АВ = ВС, а внешний угол при вершине С равен 124°. б) Найдите внешний угол при вершине А треугольника АВС, если АС = ВС, а угол АС В равен 48°. 10.1. А05 а) Найдите периметр равностороннего треугольника, если его средняя линия равна 7 см. б) Найдите среднюю линию равностороннего треугольника, если его периметр равен 12 см. 10Л.А06 а) В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 37°. Найдите больший из углов, на которые высота, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол, б) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из которых равен 58°. Найдите меньший угол данного треугольника. 10Л.А07 а) Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает стороны АС и ВС в точках М я N соответственно. Найдите АС, если СМ = 14 см, CN = 18 см, ВС = 27 см. § 1 ■ Отрезки, углы, треугольники 179 б) Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите ВМ, если АВ = 24 см, BN — 21 см, ВС = 28 см. 10.1. А08 а) Прямые, содержащие отрезки АВ и DC, параллель- ны, а отрезки АС я BD пересекаются в точке О. Найдите АО, если СО — 36 см, DC = 30 см, АВ = 25 см. б) Прямые, содержащие отрезки AD и ВС, параллельны, а отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Найдите ВС, если AD — 32 см, DO = 20 см, ВО=15 см. 10.1. А09 а) На стороне АС треугольника АВС взята точка М, причем AM : МС = ^ : 5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВМ равна 48 см^. б) На стороне АС треугольника АВС взята точка М, причем AM: МС —2:7. Найдите площадь треугольника МВС, если площадь треугольника АВС равна 72 см^. 10.1. А10 а) Найдите высоту равнобедренного треугольника, ес- ли его боковая сторона равна 30 см, а основание равно 36 см. б) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его высота равна 30 см, а основание равно 32 см. 10.1. А11 а) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 16 см, а гипотенуза равна 34 см. б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 28 см, а гипотенуза равна 35 см. 10.1. А12 а) Найдите площадь треугольника, если высота, про- веденная к одной из его сторон, равна 25 см, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 11 см. б) Найдите площадь треугольника, если высота, проведенная к одной из его сторон, равна 21 см, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 13 см. 180 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.1. А13 а) В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС = 28 см, а синус угла А равен Найдите АВ. б) В треугольнике АВС угол А равен 90°, АС= 15 см, С а косинус угла С равен Найдите ВС. 10.1. А14 а) Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если гипотенуза равна 54 см. б) Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 32 см. 10.1. А15 а) В прямоугольном треугольнике, один из острых уг- лов которого равен 30°, меньший катет равен 27 см. Найдите гипотенузу. б) В прямоугольном треугольнике, один из острых углов которого равен 60°, гипотенуза равна 48 см. Найдите меньший катет. Уровень 10.1.В01 В а) Точка С принадлежит отрезку АВ, причем АС : СВ = 5 :14. Точка D принадлежит отрезку СВ, причем CD : DB = 3:4. Найдите отношение AD:DB. б) Точка С принадлежит отрезку АВ, причем АС : СВ = 10:7. Точка D принадлежит отрезку АС, причем AD : DC = 2:3. Найдите отношение AD: DB. 10.1. В02 а) В треугольнике АВС углы А и В равны соответ- ственно 48° и 76°. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины С. б) В треугольнике АВС углы В и С равны соответственно 64° и 24°. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины А. 10.1 .ВОЗ а) Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 14 см, DC = 42 см, АС = 56 см. б) Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке N. Найдите BN, если АВ = 17 см, DC = 51 см, BD = 64 см. 10.1. В04 а) Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К ш М соответственно. Найдите КМ, если В К : КА = 2 :Ь, АС = 21 см. § 1. Отрезки, углы, треугольники 181 б) Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ ш ВС ь точках К и М соответственно. Найдите АС, если В К \ КА = 8Л, КМ = 18 см. 10.1. В05 а) Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны А В и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 18 см, АС = 54 см, NC = 32 см. б) Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны А В и ВС в точках М и N соответственно. Найдите ВС, если MN = 13 см, АС = 52 см, NC = 36 см. 10.1. В06 а) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что угол BMN равен углу ВС А. Найдите MN, если АС = 48 см, АВ = 42 см, BN = 28 см. . б) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М п N так, что угол BMN равен углу В С А. Найдите BN, если MN = 27 см, АВ = 52 см, АС = 36 см. 10.1. В07 а) Средняя линия MN треугольника АВС отсекает от него треугольник MBN, площадь которого равна 32 см^. Найдите площадь треугольника АВС. б) Средняя линия MN треугольника АВС отсекает от него треугольник MCN. Найдите площадь треугольника MCN, если площадь треугольника АВС равна 76 см^. 10.1. В08 а) Найдите длину медианы ВМ треугольника АВС, если известны координаты вершин треугольника: Л(2;5), 5(0;0), С(4;3). б) Найдите длину медианы СР треугольника АВС, если известны координаты вершин треугольника: Л(-3;-2), 5(-6;2),С(0;0). 10.1. В09 а) Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны со- ответственно 32 см и 24 см, а высота, проведенная к стороне ВС, равна 16 см. Найдите высоту, проведенную к стороне АВ. 182 Приложение 1. Задачи по геометрии б) Высоты треугольника АВС, проведенные к сторонам АВ и АС, равны соответственно 9 см и 12 см. Найдите АС, если АВ = 24 см. 10.1. В10 а) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе, б) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 30 см и 50 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. 10.1. В11 а) Точка Н. является основанием высоты, прове- денной из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 6 см, АС = 24 см. б) Точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите ВН, если АН = 28 см, СН = 7 см. 10.1. В12 а) Докажите, что треугольник является прямоуголь- ным, и найдите тангенс меньшего из его углов, если , стороны треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см. б) Докажите, что треугольник является прямоугольным, и найдите синус меньшего из его углов, если стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см. 10.1. В13 а) На продолжении отрезка АВ за точку В выбрана точка М так, что АВ: ВМ = 5:3. Найдите координаты точки М, если известны координаты точек А и В: Л(-2;3), Н(3;8). б) Точка М делит отрезок АВ в отношении AM : МВ = 8 : А. Найдите координаты точки М, если известны координаты точек А я В: Л(4;3), 5(11; 10). 10.1. В14 а) Углы А VL В треугольника АВС равны соответ- ственно 45° и 120°. Найдите АС, если ВС = 12\/б см. б) Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 135° и 30°. Найдите АС, если АВ = 21\/2 см. 10.1. В15 а) Найдите косинус меньшего из углов треугольника со сторонами 10 см, 12 см и 14 см. б) Найдите косинус большего из углов треугольника со сторонами 12 см, 14 см и 16 см. § 1. Отрезки, углы, треугольники 183 Уровень С 10.1. С01 а) Точка М выбрана на боковой стороне АС равно- бедренного треугольника АВС так, что AM = 3 см. Найдите ВМ, если АВ = АС = 9 см, ВС = 6 см. б) Точка М выбрана на боковой стороне АС равнобедренного треугольника АВС так, что AM = 4 см. Найдите ВМ, если АВ = АС = 16 см, ВС = 8 см. 10.1. С02 а) Гипотенуза ВС прямоугольного треугольника АВС равна 25 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины С, если АС = 7 см. б) Гипотенуза ВС прямоугольного треугольника АВС равна 24 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины В, если АВ = 3 см. 10.1. С03 а) Точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины В прямоугольного треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите периметр треугольника АВС, если АН = 6 см, ВС = 4 см. б) Точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины В прямоугольного треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите периметр треугольника АВС, если СН = 8 см, АВ = 3 см. 10.1. С04 а) Катеты АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС равны соответственно 7 см и 10 см. Точка М лежит внутри угла АВС. Расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см, а до прямой ВС равно 4 см. Где расположена точка М — внутри треугольника АВС, на гипотенузе АС или вне треугольника? б) Катеты АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС равны соответственно б см и 13 см. Точка М лежит внутри угла АВС. Расстояние от точки М до прямой ВС равно 3 см, а до прямой АВ равно 6 см. Где расположена точка М — внутри треугольника АВС, на гипотенузе АС или вне треугольника? 10.1. С05 а) Медианы треугольника АВС, проведенные из вер- шин В и С, пересекаются под прямым углом. Найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины А, если ВС = 42 см. 184 Приложение 1. Задачи по геометрии б) Медианы треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, пересекаются под прямым углом. Найдите ВС, если длина медианы треугольника, проведенной из вершины А, равна 36 см. 10.1. С06 а) Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пере- секаются в точке М, а прямые, содержащие высоты треугольника, проведенные из тех же вершин, пересекаются в точке Р. Найдите угол ВАС, если угол В PC на 21° больше угла ВМС. б) Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке К, а прямые, содержащие высоты треугольника, проведенные из тех же вершин, пере-секаются в точке Н. Найдите угол АС В, если угол АН В на 18° меньше угла АКВ. 10.1. С07 а) Биссектриса угла А треугольника АВС делит ме- диану, проведенную из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С? б) Биссектриса угла В треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины С, в отношении 7:2, считая от вершины С. В каком отношении, считая от вершины А, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины А? 10.1. С08 а) Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС рав- ны соответственно 16 см, 17 см и 22 см. Где расположено основание высоты треугольника, проведенной из вершины А: на стороне ВС, на ее продолжении за точку В или на ее продолжении за точку С? б) Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны соответственно 18 см, 19 см и 26 см. Где расположено основание высоты треугольника, проведенной из вершины В: на стороне АС, на ее продолжении за точку А или на ее продолжении за точку С? 10.1. С09 а) Точка Р выбрана на стороне АС треугольника АВС так, что углы СВР и САВ равны. Найдите отношение площади треугольнка СВР к площади треугольника АВР, если АС : ВС = 5:4. |1. Отрезки, углы, треугольники 185 б) Точка Р выбрана на стороне АС треугольника АВС так, что углы СВР и САВ равны. Найдите отношение АР : PC, если АС : ВС = 6:5. 10.1. СЮ а) Прямая пересекает стороны АВ и АС треуголь- ника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырехугольника МСВР, если АР : РВ = 5:4, AM :МС = 3:5. б) Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырехугольника МСВР, если АР : РВ = 2:5, AM : МС = 1:4. 10.1. С11 а) Точка М лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка К делит отрезок ВМ в отношении В К: КМ = 7:5. Найдите площадь четырехугольника АВС К, если площадь треугольника АКС равна 48 cм^. б) Точка М лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка К делит отрезок ВМ в отношении ВК : КМ = 4:: 9. Найдите площадь четырехугольника АВСК, если площадь треугольника АВС равна 39 см^. 10.1. С12 а) На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М, К и Р так, что AM : МВ = 2:1, ВК: КС = г:2,СР:РА = гЛ. Найдите площадь треугольника МРК, если площадь треугольника АВС равна 90 см^. б) На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М, К и Р так, что АМ:МВ = 1:2, ВК:КС = 2:3,СР:РА = 1:3. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МРК равна 60 cм^. 10.1. С13 а) Вершины К и Р треугольников АКВ и АРВ ле- жат по одну сторону от прямой АВ. Прямая РК пересекает прямую АВ в точке М. Найдите, в каком отношении, считая от точки М, точка К делит отрезок РМ, если площадь треугольника АКВ относится к площади треугольника АРВ как 2 : 5. 186 Приложение 1. Задачи по геометрии б) Вершины К VI Р треугольников АКБ и АР В лежат по одну сторону от прямой АВ. Прямая РК пересекает прямую АВ в точке М. Найдите, в каком отношении, считая от точки М, точка К делит отрезок РМ, если площадь треугольника АКВ относится к площади треугольника АР В как 3:4. 10.1. С14 а) Найдите площадь треугольника АВС, если извест- ны координаты его вершин: Л(—3;—2), Р(—1;—7), С'(5;-2). б) Найдите площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А(—2;—3), Р(4;2), С'(-2;5). 10.1. С15 а) Точка М делит гипотенузу АС прямоугольного треугольника АВС в отношении AM : МС = 2:3. Найдите разложение вектора ВМ по векторам В А и ВС и длину вектора ВМ, если АВ —10 см, СВ = 5 см. б) Точка М делит гипотенузу АС прямоугольного треугольника АВС в отношении AM : МС = 3:Ь. Найдите разложение вектора ВМ по векторам В А и ВС и длину вектора ВМ, если АВ —16 см, СВ = 8 см. Уровень D 10.1. D01 а) Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена прямая, пересекающая сторону АВ. Расстояния от вершин Л и В до этой прямой равны соответственно 1 см и 7 см. Найдите длину стороны треугольника АВС. б) Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена прямая, пересекающая продолжение стороны АВ за точку А. Расстояния от вершин А и В до этой прямой равны соответственно 2 см и 5 см. Найдите длину стороны треугольника АВС. 10.1. D02 а) Биссектриса угла С равнобедренного треугольни- ка АВС пересекает боковую сторону АВ в точке D. Площади треугольников ACD и BCD равны соответственно 4 см^ и 2,5 см^. Найдите длину основания АС треугольника АВС. § 1. Отрезки, углы, треугольники 187 б) Биссектриса угла С равнобедренного треугольника АВС пересекает боковую сторону АВ в точке D. Площади треугольников ACD и BCD равны соответственно 12 см^ и 6,5 cм^. Найдите длину основания АС треугольника АВС. 10.1. D03 а) Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС равны соответственно 32 см и 8 см. Точка М лежит внутри угла АС В. Расстояния от точки М до прямых АС и ВС равны соответственно 3 см и 20 см. В каком отношении, считая от вершины А, прямая СМ делит гипотенузу треугольника? б) Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС равны соответственно 24 см и 6 см. Точка Af лежит внутри угла АС В. Расстояния от точки М до прямых АС VI ВС равны соответственно 5 см и 4 см. В каком отношении, считая от вершины А, прямая СМ делит гипотенузу треугольника? 10.1. D04 а) Биссектриса прямого угла А прямоугольного тре- угольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 4 ; 3, считая от вершины В. Найдите площадь треугольника, если ВС = 2^/13 см. б) Биссектриса острого угла В прямоугольного треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины острого угла С, в отношении 8 : 3, считая от вершины С. Найдите площадь треугольника, если АС = 2уЛ см. 10.1. D05 а) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, а длина медианы, проведенной из вершины В, равна 5 см. б) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 10 см, ВС = 24 см, а длина медианы, проведенной из вершины В, равна 13 см. 10.1. D06 а) Точка пересечения биссектрис треугольника АВС делит биссектрису угла ВАС в отношении 4:1, считая от вершины А. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 7 см. б) Точка пересечения биссектрис треугольника АВС делит биссектрису угла ВАС в отношении 5:2, считая от вершины А. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 8 см. 188 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.1. D07 а) Стороны АВ и АС треугольника АВС равны соот- ветственно 6 см и Зл/5 см. Найдите площадь треугольника, если биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 3:2, считая от вершины В. б) Стороны АВ VI ВС треугольника АВС равны соответственно 8 см и 4\/Т5 см. Найдите площадь треугольника, если биссектриса угла В делит высоту, проведенную из вершины А, в отношении 4:1, считая от вершины А. 10.1. D08 а) Расстояния от вершин В я С треугольника АВС до прямой, содержащей бисектрису угла ВАС, равны соответственно 4 см и 3 см. Найдите длины сторон АВ и АС, если ВС = 14 см. б) Расстояния от вершин В я С треугольника АВС до прямой, содержащей бисектрису угла ВАС, равны соответственно 5 см и 4 см. Найдите длины сторон АВ и АС, если ВС = 18 см. 10.1. D09 а) Точки К я Р являются основаниями высот ост- роугольного треугольника АВС, проведенных из вершин Ая В соответственно, точка М—середина стороны АВ. Найдите периметр треугольника МКР, если 3 косинус угла АС В равен j, АВ = 16 см. б) Точки К я Р являются основаниями высот остроугольного треугольника АВС, проведенных из вершин Ая В соответственно, точка М—середина стороны АВ. Найдите периметр треугольника МКР, если косинус угла АС В равен |, АВ 20 см. 10.1.D10 а) Высоты АР и ВМ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Найдите площадь четырехугольника МСРН, если ВМ : АР = 8:7, а площади треугольников АМН я ВРН равны соответственно 3 cм^ и 12 см^. б) Высоты АР я ВМ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Найдите площадь четырехугольника М С PH, если ВМ : АР = 3 : 2, а площади треугольников АМН я ВРН равны соответственно 4 см^ и 16 см^. § 1. Отрезки, углы, треугольники 189 10.1. D11 а) На продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С выбрана точка Ai, на продолжении стороны АС за точку А — точка Bi, на продолжении стороны АВ за точку В — точка Ci. Найдите отногпение площади треугольника AiBiCi к площади треугольника АВС, если АуС:СВ = В^А: АС = CiB.ВА = 2:8. б) На продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С выбрана точка Ai, на продолжении стороны АС за точку Л —точка Bi, на продолжении стороны АВ за точку В — точка Ci. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника AiBiCi, если AiC:CB = BiA:AC = CiB:BA = 3:2. 10.1. D12 а) На стороне АС треугольника АВС выбрана точ- ка Bi, а на стороне АВ — точка Сх так, что АВх : ВхС = 3 :А, АСх :СхВ = Ь:2. Найдите, в каком отношении, считая от вершин треугольника, точка пересечения отрезков ВВх и ССх делит каждый из этих отрезков. б) На стороне АС треугольника АВС выбрана точка Вх, а на стороне АВ — точка Сх так, что АВх '• ВхС = 2:3, АСх '• С\В = 5:4. Найдите, в каком отношении, считая от вершин треугольника, точка пересечения отрезков ВВх и ССх делит каждый из этих отрезков. 10.1. D13 а) На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М, К я Р так, что AM : МВ = 4:1, ВК : КС = 3:1, СР:РА = 2Л. Отрезки МК я ВР пересекаются в точке О. Найдите отношения МО : ОК я ВО : ОР. б) На сторонах АВ, ВС я АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М, К я Р так, что AM : МВ = 1:4, ВК: КС = 1:2, СР:РА = 1:3. Отрезки МК я ВР пересекаются в точке О. Найдите отношения МО : О К я ВО : ОР. 10.1. D14 а) Найдите координаты точки, симметричной точке Л(10; 10) относительно прямой у = б) Найдите координаты точки, симметричной точке Л(10; 10) относительно прямой у = 2х. 190 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.1. D15 а) Найдите точку оси ординат, сумма расстояний от которой до точек Л(4;3) и J5(6;—4) минимальна, б) Найдите точку оси абсцисс, сумма расстояний от которой до точек Л(—3;2) и Н(2;6) минимальна. §2. Многоугольники Уровень А 10.2. А01 а) Один из углов параллелограмма равен 41°. Найди- те остальные его углы. б) Один из углов параллелограмма равен 141°. Найдите остальные его углы. 10.2. А02 а) Один из углов параллелограмма на 12° больше дру- гого угла. Найдите эти углы. б) Один из углов параллелограмма на 14° меньше другого угла. Найдите эти углы. 10.2. АОЗ а) Периметр параллелограмма равен 72 см, а одна из его сторон равна 4 см. Найдите длины остальных сторон параллелограмма. б) Периметр параллелограмма равен 80 см, а одна из его сторон равна 8 см. Найдите длины остальных сторон параллелограмма. 10.2. А04 а) Сторона параллелограмма равна 12 см, а расстоя- ние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой стороны равно 4 см. Найдите площадь параллелограмма. б) Сторона параллелограмма равна 14 см, а расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой стороны равно 3 см. Найдите площадь параллелограмма. 10.2. А05 а) Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 7°. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали прямоугольника, б) Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 13°. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали прямоугольника. 10.2. А06 а) Расстояния от точки пересечения диагоналей пря- моугольника до двух его сторон равны б см и 9 см. Найдите площадь прямоугольника. §2. Многоугольники 191 б) Расстояния от точки пересечения диагоналей прямоугольника до двух его сторон равны 8 см и 11 см. Найдите площадь прямоугольника. 10.2. А07 а) Периметр ромба на 36 см больше его стороны. Най- дите сторону ромба. б) Сторона ромба на 24 см меньше его периметра. Найдите сторону ромба. 10.2. А08 а) Найдите сторону ромба, если его диагонали рав- ны 12 см и 16 см. б) Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. 10.2. А09 а) Угол между высотами ромба, проведенными из вер- шины тупого угла, равен 23°. Найдите углы ромба, б) Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен 32°. Найдите углы ромба. 10.2. А10 а) Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 288 см^. б) Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 14 см. 10.2. А11 а) Одно из оснований трапеции равно 17 см, а средняя линия равна 10 см. Найдите другое основание трапеции. б) Одно из оснований трапеции равно 14 см, а средняя линия равна 11 см. Найдите другое основание трапеции. 10.2. А12 а) Найдите высоту трапеции, если площадь трапеции равна 28 cм^, а сумма длин оснований равна 14 см. б) Найдите высоту трапеции, если площадь трапеции равна 32 cм^, а сумма длин оснований равна 16 см. 10.2. А13 а) Концы отрезка АВ лежат по одну сторону от пря- мой I. Расстояние от точки А до прямой I равно 24 см, а расстояние от точки В до прямой / равно 62 см. Найдите расстояние от середины отрезка А В до прямой /. б) Концы отрезка АВ лежат по одну сторону от прямой I. Расстояние от точки А до прямой I равно 34 см, а расстояние от точки В до прямой I равно 46 см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой I. 192 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.2. А14 а) Один из углов семиугольника равен 11°. Найдите- сумму остальных его углов. б) Один из углов девятиугольника равен 14°. Найдите сумму остальных его углов. 10.2. А15 а) Найдите число сторон правильного многоугольни- ка, каждый из углов которого равен 162°. б) Найдите число сторон правильного многоугольника, каждый из углов которого равен 165°. Уровень В 10.2. В01 а) Стороны параллелограмма равны 10 см и 24 см, а одна из диагоналей равна 26 см. Найдите длину другой диагонали. б) Стороны параллелограмма равны 15 см и 20 см, а. одна из диагоналей равна 25 см. Найдите длину дру-, гой диагонали. 10.2. В02 а) Биссектриса угла А параллелограмма А В CD пе- ресекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 7 см, С К = 12 см. б) Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 6 см, СК = 14 см. 10.2. В03 а) Биссектрисы углов Ан D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите АВ, если ВС = 44 см. б) Биссектрисы углов Аи D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите ВС, если АВ = 24 см. 10.2. В04 а) Диагонали параллелограмма равны 20 см и 22 см. Может ли одна из его сторон быть равной 21 см? б) Диагонали параллелограмма равны 24 см и 26 см. Может ли одна из его сторон быть равной 25 см? 10.2. В05 а) На стороне АВ параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника MCD равна 38 см^. б) На стороне AD параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь треугольника МСВ, если площадь параллелограмма равна 42 см^. § 2. Многоугольники 193 10.2. В06 а) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15 см, а одна из диагоналей ромба равна 60 см. Найдите углы ромба, б) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 20 см, а одна из диагоналей ромба равна 80 см. Найдите углы ромба. 10.2. В07 а) Высота АП ромба ABCD делит сторону CD на от- резки DH = 8 см и СН = 2 см. Найдите высоту ромба, б) Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 6 см и СН = 4 см. Найдите высоту ромба. 10.2. В08 а) Расстояние от вершины квадрата до середины сто- роны, не содержащей эту вершину, равно 3 см. Найдите плошадь квадрата. б) Расстояние от вершины квадрата до середины стороны, не содержащей эту вершину, равно 4 см. Найдите площадь квадрата. 10.2. В09 а) Найдите углы равнобедренной трапеции, если сум- ма двух из них равна 102°. б) Найдите углы равнобедренной трапеции, если сумма двух из них равна 52°. 10.2. В10 а) Одно из оснований трапеции в 17 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз оно меньше другого основания трапеции? б) Одно из оснований трапеции в 16 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз оно меньше другого основания трапеции? 10.2. В11 а) Основания трапеции равны 16 см и 20 см, а одна из диагоналей равна 18 см. Найдите длины отрезков, на которые точка пересечения диагоналей трапеции делит эту диагональ. б) Основания трапеции равны 12 см и 18 см, а одна из диагоналей равна 20 см. Найдите длины отрезков, на которые точка пересечения диагоналей трапеции делит эту диагональ. 10.2. В12 а) Основания трапеции равны 12 см и 18 см. Найди- те длины отрезков, на которые диагонали трапеции делят ее среднюю линию. 7-4967 194 Приложение 1. Задачи по геометрии б) Основания трапеции равны 10 см и 16 см. Найдите длины отрезков, на которые диагонали трапеции делят ее среднюю линию. 10.2. В13 а) Концы отрезка АВ лежат по разные стороны от прямой I. Расстояние от точки А до прямой I равно 12 см, а расстояние от точки В до прямой I равно 36 см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой I. б) Концы отрезка АВ лежат по разные стороны от прямой I. Расстояние от точки А до прямой I равно 24 см, а расстояние от точки В до прямой I равно 30 см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ\ до прямой I. 10.2. В14 а) Биссектрисы углов А и В при боковой стороне ABf трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите! АВ, если AF — 24 см, BF = 10 см. j б) Биссектрисы углов Аи В при боковой стороне АВ1 трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите! АВ, если AF = 24 см, BF = 18 см. I 10.2. В15 а) Расстояния от середины стороны AD выпуклого! четырехугольника ABCD до середин сторон АВ vi СЩ равны соответственно 6 см и 12 см. Найдите длины ; диагоналей четырехугольника ABCD. б) Расстояния от середины стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD до середин сторон АВ п CD равны соответственно 8 см и 14 см. Найдите длины диагоналей четырехугольника ABCD. Уровень С 10.2.С01 а) Биссектрисы углов пересекаются в точке лограмма, если ВС = до стороны А В равно б) Биссектрисы углов пересекаются в точке лограмма, если АВ — до стороны ВС равно Аи В параллелограмма ABCD К. Найдите площадь паралле-11 см, а расстояние от точки К 5 см. В иС параллелограмма ABCD К. Найдите площадь паралле-9 см, а расстояние от точки К 7 см. 10.2.С02 а) Внутри параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь параллелограмма, если сумма площадей треугольников АВМ и MCD равна 46 см^. §2. Многоугольники 195 б) Внутри параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь параллелограмма, если сумма площадей треугольников ВМС и AMD равна 42 см^. 10.2. С03 а) Точка М лежит на стороне АВ параллелограмма ABCD и делит эту сторону в отношении AM : МВ = = 3:4. Отрезки DM и АС пересекаются в точке F. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника AFD равна 63 см^. б) Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD и делит эту сторону в отношении ВМ :МС — = 2:5. Отрезки DM и АС пересекаются в точке F. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника CFD равна 56 см^. 10.2. С04 а) Точка М является серединой боковой стороны АВ трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника MCD равна 28 см^. б) Точка М является серединой боковой стороны А В трапеции ABCD. Найдите площадь треугольника MCD, если площадь трапеции равна 26 см^. 10.2. С05 а) Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42 см, ВС = 14 см, CF : = 4 : 3. б) Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 56 см, ВС = 28 см, CF :DF = 5 : 2. 10.2. С06 а) Диагонали трапеции равны 10 см и 24 см, а осно- вания равны 7 см и 19 см. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали трапеции, б) Боковые стороны трапеции равны 15 см и 20 см, а основания равны 6 см и 31 см. Найдите угол между прямыми, содержащими боковые стороны трапеции. 10.2. С07 а) Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, ес- ли углы АВС и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 36 см. б) Найдите боковую сто^^ону CD трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 120° и 45°, а АВ = 24 см. 7* 196 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.2.С08 а) Биссектриса угла А прямоугольника ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площади треугольника АВК к площади трапеции AKCD, если АВ : AD = 3:5. б) Биссектриса угла А прямоугольника А В CD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площади трапеции А К CD к площади треугольника АВК, если AD : АВ = 7:4. 10.2. С09 а) Высота ромба, проведенная из вершины тупого уг- ла, делит ромб на треугольник и трапецию, площади которых равны соответственно 30 см^ и 70 см^. Найдите высоту ромба. б) Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит ромб на треугольник и трапецию, площади которых равны соответственно 40 см^ и 60 см^. Найдите высоту ромба. 10.2. С10 а) Найдите площадь четырехугольника ABCD, ес- ли известны координаты его вершин: А{—2- —2), Б(-2;5), б7(2;7), £)(6;-2). б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известны координаты его вершин: А(—3;1), В(—3;9), С(2;12), 77(9;1). 10.2. С11 а) Точка Ci симметрична вершине С выпуклого четы- рехугольника ABCD относительно середины стороны AD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если площадь четырехугольника АВСС\ равна 37 см^. б) Точка Bi симметрична вершине В выпуклого четырехугольника ABCD относительно середины стороны AD. Найдите площадь четырехугольника BCDBi, если площадь четырехугольника ABCD равна 31 см^. 10.2. С12 а) Найдите косинус угла D выпуклого четырехуголь- 5 ника ABCD, если косинус угла В равен тт, АВ — 6, BC = i,CD^b.AD^i )■ Р 6' ' б) Найдите косинус угла С выпуклого четырехуголь- 2 ника ABCD, если косинус угла А равен АВ = 2, ВС ^3, CD = 7, ЛБ» = 6. §2. Многоугольники 197 10.2. С13 а) Сумма длин трех любых сторон четырехугольника равна 48 см. Найдите периметр четырехугольника, б) Сумма длин трех любых сторон четырехугольника равна 72 см. Найдите периметр четырехугольника. 10.2. С14 а) Сумма длин двух любых сторон пятиугольника равна 6 см. Найдите периметр пятиугольника, б) Сумма длин двух любых сторон семиугольника равна 4 см. Найдите периметр семиугольника. 10.2. С15 а) Найдите величины углов пятнадцатиугольника, если известно, что сумма двух любых его углов одинакова. б) Найдите величины углов двенадцатиугольника, если известно, что сумма двух любых его углов одинакова. Уровень D 10.2. D01 а) Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны АВ н CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 33 см, ВС = 11 см, а площадь трапеции AEFD относится к площади трапеции EFCB как 27:5. б) Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 24 см, ВС = 8 см, а площадь трапеции AEFD относится к площади трапеции EFCB как 21: И. 10.2. D02 а) Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 12 см, ВС = 24 см. б) Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трале-ции и пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 10 см, ВС = 15 см. 10.2. D03 а) Основания AD и ВС трапеции ABCD равны со- ответственно 9 см и 3 см, АВ — 2 см. Найдите длину диагонали BD, если длина диагонали АС равна 4 см. 198 Приложение 1. Задачи по геометрии б) Основания AD и ВС трапеции ABCD равны соответственно 8 см и 4 см, CD = 3 см. Найдите длину диагонали А С, если длина диагонали BD равна 2 см. 10.2. D04 а) Биссектриса угла А трапеции ABCD пересекает бо- ковую сторону CD в точке К. Найдите АВ, если AD = 12 см, BC = 8cM,CK:KD = 3: 4. б) Биссектриса угла D трапеции ABCD пересекает боковую сторону АВ в точке К. Найдите CD, если AD = 14 см, ВС = 5см, АК:КВ = 2: 7. 10.2. D05 а) Середина К боковой стороны CD трапеции ABCD является основанием перпендикуляра к этой сто* роне, проведенного из вершины А. Найдите расстояние от середины стороны АВ рр> прямой CD, если АК = 24 см, а площадь треугольника ВСК в б раз меньше площади треугольника ADK. б) Середина К боковой стороны CD трапеции ABCD является основанием перпендикуляра к этой стороне, проведенного из вершины А. Найдите расстояние от середины стороны А В до прямой CD, если АК = 18 см, а площадь треугольника ВСК в 9 раз меньше площади треугольника ADK. 10.2. D06 а) Углы при одном из оснований трапеции рав- ны 19° и 71°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 12 см и 10 см. Найдите основания трапеции, б) Углы при одном из оснований трапеции равны 17° и 73°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 см и 8 см. Найдите основания трапеции. 10.2. D07 а) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 см и 4 см, а средняя линия равна 2,5 см. б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 5 см и 12 см, а средняя линия равна 6,5 см. 10.2. D08 а) Расстояния от некоторой точки до трех вершин че- тырехугольника равны 1 см, 6 см и 11 см. Может ли этот четырехугольник быть квадратом? §2. Многоугольники 199 б) Расстояния от некоторой точки до трех вершин четырехугольника равны 2 см, 9 см и 18 см. Может ли этот четырехугольник быть квадратом? 10.2. D09 а) Найдите площадь четырехугольника, если его диа- гонали равны, а длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника, равны 12 см и 16 см. б) Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали равны, а длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника, равны 10 см и 18 см. 10.2. D10 а) Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна 19 см^. Точки Ci и С2 симметричны точке С относительно середин отрезков АВ и AD соответственно. Найдите площадь четырехугольника C1BDC2. б) Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, если точки С\ и Сг симметричны точке С относительно середин отрезков АВ и AD соответственно, а площадь четырехугольника C1BDC2 равна 38 см^. 10.2. D11 а) Длины сторон ВС и AD выпуклого четырехуголь- ника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Найдите длину отрезка, концами которого являются середины диагоналей АС и BD, если углы BCD и ADC четырехугольника ABCD равны соответственно 123° и 147°. б) Длины сторон АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD равны соответственно 10 см и 24 см. Найдите длину отрезка, концами которого являются середины диагоналей АС и BD, если углы АВС и BCD четырехугольника ABCD равны соответственно 33° и 57°. 10.2. D12 а) Середина М стороны AD выпуклого четырехуголь- ника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 4 см, а углы В и С четырехугольника равны соответственно 128° и 112°. б) Середина М стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 6 см, а углы В и С четырехугольника равны соответственно 116° и 124°. 200 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.2. D13 а) Середина диагонали BD выпуклого четырехуголь- ника А В CD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 8 см. Найдите площадь четырехугольника, если АС — 20 см. б) Середина диагонали АС выпуклого четырехугольника ABCD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 9 см. Найдите площадь четырехугольника, если BD = 30 см. 10.2. D14 а) Точки М п К являются соответственно, серединами сторон А В и AD выпуклого четырехугольника А В CD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если площадь четырехугольника АМСК равна 6 см^. б) Точки М Vi К являются соответственно серединами сторон ВС и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Найдите площадь четырехугольника АМСК, если площадь четырехугольника ABCD равна 8 см^. 10.2. D15 а) Точки F, М и К являются соответственно сере- динами сторон AD, АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если FM = 6л/3 см, KF = 10 см, а угол MFK равен 120°. б) Точки F, М а К являются соответственно серединами сторон AD, А В и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если FM = 8-\/2 см, KF = 12 см, а угол MFK равен 135°. §3. Окружности Уровень А 10.3. А01 а) Длина окружности равна 16тг см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью. б) Длина окружности равна 14тг см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью. 10.3. А02 а) Сравните площадь круга, радиус которого ра- вен 8 см, и площадь прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см. б) Сравните площадь круга, радиус которого равен 6 см, и площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 18 см. § 3. Окружности 201 10.3. А03 а) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М. Найдите МА, если МВ = 8 см, МС = 6 см, MD = 4 см. б) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М. Найдите МА, если МВ = 3 см, МС — 4 см, MD = 9 см. 10.3. А04 а) Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В viC. Найдите угол ВАС, если угол вое равен 147°. б) Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен 47°. 10.3. А05 а) Точки Аи В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 5: 7. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. б) Точки Аи В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 3 : 5. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ю.З.АОв а) Радиус окружности равен 15 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды, длина которой равна 18 см. б) Расстояние от центра окружности, радиус которой равен 20 см, до ее хорды равно 16 см. Найдите длину хорды. 10.3. А07 а) Отрезок АВ является хордой окружности с цен- тром О. Найдите угол между прямой АВ и касательной к окружности, проходящей через точку А, если угол АО В равен 28°. б) Отрезок АВ является хордой окружности с центром О. Найдите угол АО В, если угол между прямой АВ и касательной к окружности, проходящей через точку А, равен 37°. Ю.З.АОв а) Отрезки АВ и ВС являются соответственно диаметром и хордой окружности с центром О. Найдите угол АОС, если угол ОС В равен 39°. б) Отрезки АВ и ВС являются соответственно диаметром и хордой окружности с центром О. Найдите угол ОС В, если угол АОС равен 46°. 202 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.3. А09 а) Окружность, вписанная в треугольник АВС, каса- ется сторон АВ, ВС и АС в точках М, К я Р соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если АР = 4 см, ВМ = 6 см, СК = 3 см. б) Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС я АС в точках М, К я Р соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если AM = 5 см, ВК = 2 см, СР = 4 см. 10.3. А10 а) Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если синус одного из углов треугольника равен |, а противолежащий этому углу катет равен 15 см. б) Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если косинус одного 4 из углов треугольника равен д, а прилежащии к этому углу катет равен 16 см. 10.3. А11 а) Найдите радиус окружности, вписанной в тре- угольник, если один из углов треугольника равен 120°, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно 18 см. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из углов треугольника равен 90°, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно 26 см. 10.3. А12 а) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если одна из сторон треугольника равна 20 см, а расстояние от центра окружности до этой стороны равно 24 см. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если одна из сторон треугольника равна 24 см, а расстояние от центра окружности до этой стороны равно 5 см. 10.3. А13 а) Найдите радиус окружности, описанной около рав- ностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 42 см. б) Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 36 см. §3. Окружности 203 10.3. А14 а) В квадрат вписана окружность. Найдите радиус окружности, если диагональ квадрата равна 12у/2 см. б) Около квадрата описана окружность. Найдите радиус окружности, если сторона квадрата равна 8у/2 см. 10.3. А15 а) Найдите радиус окружности, описанной около пра- вильного шестиугольника, если радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, равен 18 см. б) Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, если радиус окружности, описанной около этого шестиугольника, равен 12 см. Уровень В 10.3. В01 а) Одна из сторон треугольника равна 24 см. Может ли радиус окружности, описанной около этого треугольника, быть равным 11 см? б) Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 17 см. Может ли какая-либо из сторон этого треугольника быть равной 35 см? 10.3. В02 а) Отрезки АВ и CD являются хордами окружно- сти. Найдите длину хорды CD, если АВ ~ 10 см, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 см и 5 см. б) Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АВ = 12 см, CD = 16 см, а расстояние от центра окружности до хорды АВ равно 8 см. 10.3. В03 а) Отрезки АВ и ВС являются хордами окружности с центром О. Найдите угол АС В, если угол АВО равен 42°. б) Отрезки АВ я ВС являются хордами окружности с центром О. Найдите угол АС В, если угол АВО равен 36°. 10.3. В04 а) В окружность вписан четырехугольник ABCD. Найдите угол ACD, если углы BAD и ADB равны соответственно 73° и 37°. б) В окружность вписан четырехугольник А В CD. Найдите угол BAD, если углы ACD я ADB равны соответственно 64° и 46°. 204 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.3. В05 а) Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А, величина которого равна 40°, в точках В и С. Найдите углы треугольника ВОС. б) Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В я С. Найдите углы треугольника АВС, если угол ВОС равен 50°. 10.3. В06 а) На окружности последовательно отмечены восемь точек Ах,А2,Аз, ... ,v4s, делящие окружность на равные дуги. Найдите величину угла АхА-^Аз. б) На окружности последовательно отмечены девять точек Ах,А2,Аз, ... ,Ад, делящие окружность на равные дуги. Найдите величину угла Л2А9Л5. 10.3. В07 а) Концы пересекающихся хорд АВ и CD делят длину окружности в отношении AC-.CB-BD:DA = 2:Z-.b:lO. Найдите величину угла между прямыми АВ и CD. б) Концы пересекающихся хорд АВ и CD делят длину окружности в отношении АС : СВ : BD : DA = 3 :5 :2:А. Найдите величину угла между прямыми АВ я CD. 10.3. В08 а) На окружности последовательно отмечены точки А, В, С я D, которые делят длину окружности в отношении АВ: ВС: CD: DA = 3:4:5:6. Найдите величину угла между прямыми АВ я CD. б) На окружности последовательно отмечены точки А, В, С я D, которые делят длину окружности в отношении АВ :BC.CD: DA = 6; 5:4; 3. Найдите величину угла между прямыми АВ и CD. 10.3. В09 а) Отрезки АВ я АС являются хордами окружности с центром О. Найдите угол ВАС, если известно, что он является острым и что углы АВО и АСО равны соответственно 23° и 32°. б) Отрезки АВ я АС являются хордами окружности с центром О. Найдите угол ВОС, если известно, что он меньше развернутого и что углы АВО и АСО равны соответственно 17° и 71°. 10.3. В10 а) Вершина А выпуклого четырехугольника ABCD является центром окружности, проходящей через точки Н, С и D. Найдите угол BAD, если углы АВС я ADC равны соответственно 54° и 43°. §3. Окружности 205 б) Вершина А выпуклого четырехугольника А В CD является центром окружности, проходящей через точки .0, С и D. Найдите угол BAD, если углы АВС и ADC равны соответственно 67° и 78°. 10.3. В11 а) Биссектриса угла А треугольника АВС пересека- ет описанную около этого треугольника окружность в точке М. Найдите ВМ, если СМ = 14 см. б) Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке М. Найдите СМ, если ВМ = 12 см. 10.3. В12 а) Радиус окружности, описанной около равнобедрен- ного треугольника, равен 5 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите площадь треугольника. б) Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 10 см, а основание треугольника равно 12 см. Найдите площадь треугольника. 10.3. В13 а) Найдите площадь прямоугольной трапеции, боко- вые стороны которой равны 10 см и 16 см, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, б) Найдите площадь прямоугольной трапеции, боковые стороны которой равны 12 см и 18 см, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность. 10.3. В14 а) В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 5 см. б) Около параллелограмма, одна из диагоналей которого равна 7 см, описана окружность. Найдите вторую диагональ параллелограмма. 10.3. В15 а) В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 16 см, вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции. б) Около трапеции, один из углов которой равен 37°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. Уровень С 10.3. С01 а) Углы В и С треугольника АВС равны соответ- ственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 8 см. 206 Приложение 1. Задачи по геометрии б) Углы А ш В треугольника АВС равны соответственно 63° и 87°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 12 см. 10.3. С02 а) Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD рав- ны соответственно 8 см и 12 см. Окружность с центром в вершине А и радиусом АВ, делит прямоугольник на две части. Плош;адь какой из этих частей больше—той, что лежит вне окружности, или той, что лежит внутри окружности? б) Стороны АВ п ВС прямоугольника А В CD равны соответственно 7 см и 14 см. Окружность с центром в вершине А и радиусом АВ, делит прямоугольник на две части. Площадь какой из этих частей больше—той, что лежит вне окружности, или той, что лежит внутри окружности? 10.3. С03 а) Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся, как 6:7:23. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 12 см. б) Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся, как 4:9:11. Найдите меньшую из сторон треугольника, если радиус окружности равен 14 см. 10.3. С04 а) В прямоугольный треугольник вписана окруж- ность. Точка касания вписанной окружности с одним из катетов делит этот катет на отрезки 8 см и 7 см. Найдите диаметр описанной окружности треугольника. б) В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания вписанной окружности с одним из катетов делит этот катет на отрезки 6 см и 5 см. Найдите диаметр описанной окружности треугольника. 10.3. С05 а) Окружность, вписанная в треугольник АВС, ка- сается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 56°, 57° и 67°. б) Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника МКР, если углы треугольника АВС равны 46°, 58° и 76°. §3. Окружности 207 Ю.З.СОв а) Точки А(1; 2), В(5; 3) и £>(1;18) являются тремя вершинами трапеции ABCD с основаниями AD и ВС. Известно, что около трапеции можно описать окружность. Найдите площадь трапеции, б) Точки Л(3;2), В{4;7) и 67(16; 7) являются тремя вершинами трапеции ABCD с основаниями AD и ВС. Известно, что около трапеции можно описать окружность. Найдите площадь трапеции. 10.3. С07 а) Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника АВС, если известны координаты вершин треугольника: Л(3;—5), 5(28;—5), С(19;7). б) Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника АВС, если известны координаты вершин треугольника: j4(5;—3), 5(5;22), С(17;13). Ю.З.СОв а) Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла 5 прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если ВН = 14 см. б) Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла 5 прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р я К соответственно. Найдите ВН, если РК = 12 см. 10.3. С09 а) Точка М делит сторону АС треугольника АВС в отношении AM: МС = 5:8. Окружность с диаметром ВМ проходит через середину стороны ВС. Найдите АС, если ВМ = 4 см. б) Точка М делит сторону АС треугольника АВС в отношении AM: МС = 7:9. Окружность с диаметром ВМ проходит через середину стороны ВС. Найдите ВМ, если АС = 8 см. 10.3. С10 а) Окружность с центром на стороне АС треугольни- ка АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке 5. Найдите диаметр окружности, если АВ = 9 см, АС — 12 см. б) Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке 5. Найдите АС, если диаметр окружности равен 10 см, >15 = 16 см. 208 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.3. С11 а) Окружность пересекает стороны АВ и АС тре- угольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 6 см, а сторона АС в 1,5 раза больше стороны ВС. б) Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К я Р соответственно и проходит через вершины В я С. Найдите длину отрезка /ГР, если АР — 5 см, а сторона ВС в 2,5 раза меньше стороны АВ. 10.3. С12 а) Окружность радиуса 2 см, центр О которой ле- жит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС., касается его катетов. Найдите площадь треугольника АВС., если О А = -\/5 см. б) Окружность радиуса 3 см, центр О которой лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС, касается его катетов. Найдите площадь треугольника АВС, если О В = \/l0 см. 10.3. С13 а) Медианы AM я BE треугольника АВС пересе- каются в точке О. Найдите длину третьей медианы треугольника, если AM = BE = 7 см, а точки О, М, Е я С лежат на одной окружности, б) Медианы AM я BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите длину третьей медианы треугольника, если AM = BE, АВ — 8\/3 см, а точки О, М, Е я С лежат на одной окружности. 10.3. С14 а) Радиус окружности, описанной около треугольни- ка АВС, равен 7 см, а ее центром является точка О. Центрами окружностей, описанных около треугольников АОВ, вое я СОА являются точки Oi, О2 и О3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник О1О2О3. б) Центром окружности, описанной около треугольника АВС, является точка О. Центрами окружностей, описанных около треугольников АОВ, ВОС я СОА являются точки Oi, О2 и О3. Радиус окружности, вписанной в треугольник О1О2О3, равен 5 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС. ;3. Окружности 209 10.3. С15 а) В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Найдите величину угла при вершине А четырехугольника, если углы DBC и CDB равны соответственно 53° и 64°. б) В выпуклом четырехугольнике ABCD углы DBC и ВАС равны. Найдите величину угла при вершине D четырехугольника, если углы ВАС и ВС А равны соответственно 42° и 37°. Уровень D 10.3. D01 а) В треугольнике АВС биссектриса угла А делит вы- соту, проведенную из вершины В, в отношении 5 :4, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если НС = 12 см. б) Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13 см, ВС = 24 см. Найдите, в каком отношении, считая от вершины В, биссектриса угла А делит высоту, проведенную из этой вершины. 10.3. D02 а) Окружность проходит через вершины А я С тре- угольника АВС и пересекает стороны АВ и ВС в точках К я Р соответственно. Найдите радиус окружности, если угол АВС равен 81°, АС = 6 см, а угол АКС в 10 раз больше угла КАР. б) Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает стороны АВ я ВС в точках К я Р соответственно. Отрезки АР и КС пересекаются в точке F. Найдите радиус окружности, если угол АВС равен 58°, угол АКС меньше угла AFC на 32°, АС = 8 см. 10.3. D03 а) Точка D является основанием высоты, проведен- ной из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке D я радиусом DA пересекает стороны А5 и АС в точках Р я М соответственно. Найдите АС, если АВ = 9 см, АР = 8 см, AM = 6 см. б) Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины тупого угла В треугольника АВС к стороне АС. Окружность с центром в точке D я радиусом В В пересекает стороны В А я ВС в точках Р и М соответственно. Найдите ВА, если ВС = 12 см, ВР = 6 см, ВМ = 10 см. 210 Приложение 1. Задачи по геометрии 10.3. D04 а) В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны Л В на 7\/3 см меньше полу периметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон Л В и АС. б) В треугольнике ЛВС угол С равен 60°, а длина стороны Л С на 4^/3 см меньще полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон Л В и АС. 10.3. D05 а) В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 4 см, угол С равен 15°. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой CD. Найдите площадь параллелограмма, б) В параллелограмме А В CD длина диагонали АС равна 6 см, угол В равен 75°. Окружность, описанная около треугольника А CD, касается прямой ВС. Найдите площадь параллелограмма. 10.3. D06 а) В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соот- ветственно 36 см и 12 см, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки Л и В и касающейся прямой CD, если АВ = 10 см. б) В трапеции ABCD основания AD \i ВС равны соответственно 50 см и 30 см, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки С и С и касающейся прямой Л В, если CD = 16 см. 10.3. D07 а) Вершины четырехугольника ABCD разбивают опи- санную около него окружность на дуги АВ, ВС, CD, DA, длины которых относятся как 6:17:6:7 соответственно. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если АС = 8 см. б) Вершины четырехугольника ABCD разбивают описанную около него окружность на дуги АВ, ВС, CD, DA, длины которых относятся как 3:10:3:8 соответственно. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BD = 10 см. 10.3. D08 а) Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите длину медианы, проведенной к стороне ВС, если угол ВАС равен 47°, угол ВМС равен 133°, ВС = 4л/3 см. § 3. Окружности 211 б) Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ВС, если медиана, проведенная к стороне ВС, равна 3\/3 см, а углы ВАС и ВМС равны соответственно 54° и 126°. 10.3. D09 а) В треугольнике АВС сторона АВ на 4 см больше стороны ВС. Медиана BE делит треугольник АВС на два треугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания окружностей с медианой BE. б) В треугольнике АВС сторона АВ на 6 см меньше стороны ВС. Медиана BE делит треугольник АВС на два треугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания окружностей с медианой BE. 10.3. D10 а) Окружность радиуса 12 см касается внешним обра- зом второй окружности в точке С. Прямая, проходящая через точку С, пересекает первую окружность в точке А, а вторую окружность —в точке В. Найдите радиус второй окружности, если АС = 6 см, ВС = 7 см. б) Окружность радиуса 8 см касается внешним образом второй окружности радиуса 10 см в точке С. Прямая, проходящая через точку С, пересекает первую окружность в точке А, а вторую окружность —в точке В. Найдите ВС, если АС = 4 см. 10.3. D11 а) Окружность радиуса 4 см касается внешним обра- зом второй окружности в точке В. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку В, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке А. Найдите радиус второй окружности, если АВ = 6 см. б) Окружность радиуса 8 см касается внешним образом окружности радиуса 18 см в точке В. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку В, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке А. Найдите длину отрезка АВ. 10.3. D12 а) Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 5 см и 15 см, вписаны в угол с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС. 212 Приложение 1. Задачи по геометрии б) Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 4 см и 12 см, вписаны в угол с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС. 10.3. D13 а) Две окружности касаются Д1^уг друга внешним об- разом и касаются третьей окружности, радиус которой равен 14 см, внутренним образом, причем центры всех трех окружностей не лежат на одной прямой. Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей. б) Две окружности касаются друг друга внешним образом и касаются третьей окружности, радиус которой равен 11 см, внутренним образом, причем центры всех трех окружностей не лежат на одной прямой. Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей. 10.3. D14 а) Три окружности, радиусы которых равны 2 см, 3 см и 10 см, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трех окружностей. б) Три окружности, радиусы которых равны 4 см, 8 см и 12 см, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трех окружностей. 10.3. D15 а) Две окружности, радиусы которых равны 36 см и 49 см, касаются внешним образом друг друга и касаются некоторой прямой. Найдите радиус меньшей из окружностей, касающейся двух данных окружностей и этой прямой. б) Две окружности, радиусы которых равны 25 см и 64 см, касаются внешним образом друг друга и касаются некоторой прямой. Найдите радиус большей из окружностей, касающейся двух данных окружностей и этой прямой. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ЗАДАЧИ по ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКЕ Уровень А 11.1. А01 а) Гарантийной срок нового телевизора 1 год. Ве- роятность отказа телевизора в течение этого срока равна 0,0059. Завод изготовил и продал 6000 таких телевизоров. Найдите приближенное число рекламаций (сообщений о неисправностях), которые поступят в гарантийный отдел завода. Результат округлите до целых. б) Гарантийный срок нового телевизора 1 год. Вероятность отказа телевизора в течение этого срока равна 0,0118. Завод изготовил и продал 7000 таких телевизоров. Найдите приближенное число рекламаций (сообщений о неисправностях), которые поступят в гарантийный отдел завода. Результат округлите до целых. 11.1. А02 а) Из ящика, где хранятся 15 синих и 11 красных ка- рандашей, продавец не глядя вынимает 1 карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш окажется синего цвета? б) Из ящика, где хранятся 19 синих и 15 красных карандашей, продавец не глядя вынимает 1 карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш окажется синего цвета? 11.1. А03а) Найдите моду, медиану и среднее арифметическое выборки 15,9; 14,1; 27; 14,1; 14,4; 29,3; 14,1; 32,5; 26; 35. б) Найдите моду, медиану и среднее арифметическое выборки 43,9; 44,5; 32; 44,5; 44,8; 31,3; 44,5; 25,1; 34,6; 22,9. 11.1. А04 а) В среднем из 5000 куриных яиц в инкубаторе появ- ляется 4957 здоровых цыплят. Найдите вероятность появления на свет здорового цыпленка, б) В среднем из 5000 куриных яиц в инкубаторе появляется 4959 здоровых цыплят. Найдите вероятность появления на свет здорового цыпленка. 214 Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 11.1.А05 а) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены сведения о продажах билетов за июнь прошлого года. Считая, что факторы, влияющие на продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июне этого года первый покупатель приобретет билет в Бельгию. Результат округлите до сотых? Страна Число проданных билетов Тунис 197 Бельгия 321 Греция 207 Финляндия 352 Южная Корея 112 б) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены сведения о продажах билетов за июнь прошлого года. Считая, что факторы, влияющие на продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июне этого года первый покупатель приобретет билет в Грецию. Результат округлите до сотых. Страна Число проданных билетов Тунис 276 Бельгия 221 Греция 217 Финляндия 367 Южная Корея 107 11.1.А06 а) В страховой компании застраховано от ущерба 2500 автомобилей. За год в различных дорожно-транспортных происшествиях ущерб был причинен 29 застрахованным автомашинам. Найдите относительную частоту повреждения автомобилей в результате ДТП. б) В страховой компании застраховано от ущерба 1600 автомобилей. За год в различных дорожно-транспортных происшествиях ущерб был причинен 37 застрахованным автомашинам. Найдите относительную частоту повреждения автомобилей в результате ДТП. Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 215 11.1. А07 а) Все изготовленные на заводе микропроцессоры проходят проверку. Из партии в 1000 штук исправных процессоров оказалось 57. Найдите относительную частоту изготовления неисправных процессоров, б) Все изготовленные на заводе микропроцессоры проходят проверку. Из партии в 1000 штук исправных процессоров оказалось 47. Найдите относительную частоту изготовления неисправных процессоров. 11.1. А08 а) Выборка 130; 141; 151; 142; 129; 144; 129; 147; 145; 150 содержит сведения о росте (в сантиметрах) каждого из 10 обследованных школьников. Найдите моду, медиану и размах ряда. б) Выборка 168; 159; 148; 154; 169; 156; 169; 150; 151; 147 содержит сведения о росте (в сантиметрах) каждого из 10 обследованных школьников. Найдите моду, медиану и размах ряда. 11.1. А09 а) Частота рождения кролика-альбиноса в процен- тах составляет 1%. За год в питомнике появилось на свет 1400 кроликов. Сколько примерно среди них было альбиносов? б) Частота рождения кролика-альбиноса в процентах составляет 1%. За год в питомнике появилось на свет 400 кроликов. Сколько примерно среди них было альбиносов? 11.1. А10 а) Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоеме и получает следующий ряд значений: 12,8; 13,1; 12,7; 13,2; 12,7; 13,3; 12,6; 12,9; 12,7; 13; 12,7. Найдите моду, медиану и размах этого ряда, б) Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоеме и получает следующий ряд значений: 14,6; 15,2; 14,7; 15,1; 14,7; 15; 14,8; 15,3; 14,7; 14,6; 14,7. Найдите моду, медиану и размах этого ряда. Уровень В 11.1. В01 а) Мила складывала в шкатулку только двухрубле- вые монеты. Однажды Даша взяла из шкатулки 15 двухрублевых монет и взамен положила туда 30 монет по одному рублю. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую монету стала равна Сколько монет было в шкатулке? 216 Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике б) Мила складывала в шкатулку только двухрублевые монеты. Однажды Даша взяла из шкатулки 7 двухрублевых монет и взамен положила туда 14 монет по одному рублю. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую монету стала рав-31 на Сколько монет было в шкатулке? 11.1. В02 а) Выпускники экономического факультета устрои- лись на работу в три различных компании: 19 человек работают в банке “Вера”, 28 —в фирме “Надежда” и 37 —в банке “Софья”. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник работает в банке, б) Выпускники экономического факультета устроились на работу в три различных компании: 35 человек работают в банке “Ниф-Ниф”, 27 — в фирме “Наф-Наф” и 46 — в банке “Нуф-Нуф”. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник работает в банке. 11.1. В03 а) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены сведения о продажах билетов за июль прошлого года. Считая, что факторы, влияющие на продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июле этого года первый покупатель приобретет билет в европейское государство. Результат округлите до сотых. Страна Число проданных билетов Египет 356 Италия 206 Испания 180 Франция 320 Япония 123 б) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены сведения о продажах билетов за июль прошлого года. Считая, что факторы, влияющие на продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июле этого года первый покупатель приобретет билет в европейское Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 217 государство. Результат округлите до сотых. Страна Число проданных билетов Египет 171 Италия 248 Испания 248 Франция 420 Япония 122 11.1. В04 а) Мишень представляет собой три круга (один внут- ри другого), радиусы которых равны 1, 7 и 8 см. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький круг. б) Мишень представляет собой три круга (один внутри другого), радиусы которых равны 4, 5 и 7 см. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький круг. 11.1. В05 а) Путь в Комарове последовательно проходит через Мухино, Пчелкино и Шмелевое. По расписанию за день с вокзала отправляется 12 электричек до Мухино, 5 —до Пчелкино, 9—до Шмелевого и 1—до Комарове. Все электрички движутся со всеми остановками, а других электричек нет. Дачник успел на отходящую электричку, но не успел посмотреть, до какой станции она идет. Считая, что отправление каждой из указанных электричек равновероятно, найдите вероятность того, что дачник сможет доехать в этой электричке до Пчелкино. б) Путь в Осетрово последовательно проходит через ЕЦукино, Ершово и Леш,иное. По расписанию за день с вокзала отправляется 6 электричек до Щукино, 2 — до Ершово, 4 —до Лещиного и 3 —до Осетрово. Все электрички движутся со всеми остановками, а других электричек нет. Дачник успел на отходящую электричку, но не успел посмотреть, до какой станции она идет. Считая, что отправление каждой из указанных электричек равновероятно, найдите вероятность того, что дачник сможет доехать в этой электричке до Ершово. 218 Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 11.1.В0в а) Стрелок делает выстрел не целясь и попадает в квадратный лист бумаги со стороной 12 см, на котором нарисована мишень, состоящая из двух кругов. Известно, что радиусы кругов, равны 1 и 6 см. Найдите вероятность события “стрелок попал в малый круг или не попал в большой”. б) Стрелок делает выстрел не целясь и попадает в квадратный лист бумаги со стороной 10 см, на котором нарисована мишень, состоящая из двух кругов. Известно, что радиусы кругов равны 1 и 3 см. Найдите вероятность события “стрелок попал в малый круг или не попал в большой”. 11.1.В07 а) Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. В этом прямоугольнике были выбраны случайным образом 2700 различных точек. Найдите наиболее вероятное число точек, принадлежащих ромбу. б) Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. В этом прямоугольнике были выбраны случайным образом 5300 различных точек. Найдите наиболее вероятное число точек, принадлежащих ромбу. 11.1.В08 а) Вероятность ошибочного ной станции равна 0,0012. число сделанных за сутки них оказались ошибочными, сотен. б) Вероятность ошибочного ной станции равна 0,0005. число сделанных за сутки них оказались ошибочными, сотен. соединения на телефон-Найдите приближенное соединений, если 47 из Результат округлите до соединения на телефон-Найдите приближенное соединений, если 49 из Результат округлите до 11.1.В09 а) В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2489 мальчиков. Найдите относительную частоту рождения девочек, б) В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев оказалось 1077 мальчиков. Найдите относительную частоту рождения девочек. Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 219 11.1. В10 а) Чтобы определить численность птиц в популяции, ученые-орнитологи выловили 125 птиц и окольцевали их. Через несколько дней ученые снова выловили 75 птиц и среди йИх нашли 2 окольцованных. Чему равна приближенная численность популяции? Результат округлите до десятков. б) Чтобы опр'ёделить численность птиц в популяции, ученые-орнитологи выловили 100 птиц и окольцевали их. Через несколько дней ученые снова выловили 125 птиц и среди них нашли 7 окольцованных. Чему равна приближенная численность популяции? Результат округлите до десятков. Уровень С 11.1. С01 а) Фигура задана на координатной плоскости следую- щими условиями: |а;| ^ 7; |?/| ^ 4. Центр круга радиуса 1 принадлежит этой фигуре. Найдите вероятность того, что весь круг содержится в данной фигуре, б) Фигура задана на координатной плоскости следующими условиями: |т| ^ 6; \у\^ 5. Центр круга радиуса 3 принадлежит этой фигуре. Найдите вероятность того, что весь круг содержится в данной фигуре. 11.1. С02 а) Из отрезка [0; 1] наугад выбирается два числа хшу. Найдите вероятность того, что у ^ 0,2т. б) Из отрезка [0; 1] наугад выбирается два числа хшу. Найдите вероятность того, что у ^ 0,6т. 11.1. С03 а) Эксперимент состоит в подбрасывании игрального кубика, грани которого помечены числами от 1 до 6. Вероятности выпадения всех граней одинаковы. Найдите вероятность того, что при двух бросаниях сумма выпавших очков будет равна 4. б) Эксперимент состоит в подбрасывании игрального кубика, грани которого помечены числами от 1 до 6. Вероятности выпадения всех граней одинаковы. Найдите вероятность того, что при двух бросаниях сумма выпавших очков будет равна 5. 11.1. С04 а) В Миргороде всего 17 улиц. При этом 8 из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. 220 Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два регулировщика движения встали на два различных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице. б) В Миргороде всего 15 улиц. При этом 5 из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два регулировщика движения встали на два различных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице. 11.1. С05 а) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность выбросить одну из граней с 1,3 или 4 очками равна а вероятность выбросить одну из 2 граней с 2 или 5 очками равна ^. Найдите вероятность того, что за два бросания на кубике выпадет сумма 12 очков. б) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность выбросить одну из граней с 1,3 или 4 очками равна а вероятность выбросить одну из 2 граней с 2 или 5 очками равна ^. Найдите вероятность того, что за два бросания на кубике выпадет сумма 12 очков. 11.1. С06 а) Олег складывал в коробочку только двухрублевые монеты. Однажды Гоша взял из коробочки 5 двухрублевых монет и взамен положил туда 10 монет по одному рублю каждая. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую монету оказалось в 3 раза больше, чем рублевую. Сколько монет было в шкатулке? б) Ваня складывал в коробочку только двухрублевые монеты. Однажды Миша взял из коробочки 17 двухрублевых монет и взамен положил туда 34 монеты по одному рублю каждая. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую монету оказалось в 2 раза больше, чем рублевую. Сколько монет было в шкатулке? Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 221 11.1. С07 Из отрезка [0; 1] наугад выбирается два числа х и у. Найдите вероятность того, что: а) у ^ 4х. б) у ^ 5,6ж. 11.1. С08 а) На 8 карточках из 12 написана буква “м”, на осталь- ных - буква “а”. Четыре карточки наугад выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “мама”? б) На 6 карточках из 16 написана буква “а”, на остальных - буква “п”. Четыре карточки наугад выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “папа”? 11.1. С09 а) В течение четверти оценки Никиты распределились следующим образом: двоек-5, троек-2, четверок-4 и пятерок-4. Учитель предложил на выбор три способа выведения четвертной оценки. Первый способ: четвертная оценка равна среднему арифметическому полученных оценок с последующим округлением до целых при необходимости. Второй способ: четвертная оценка равна моде ряда полученных оценок. Третий способ: четвертная оценка равна медиане всего ряда полученных оценок с округлением до целых при необходимости. Какой из способов является наиболее выгодным и какой - наименее выгодным для Никиты? б) В течение четверти оценки Олега распределились следующим образом: двоек-2, троек-3, четверок-0 и пятерок— 4. Учитель предложил на выбор три способа выведения четвертной оценки. Первый способ: четвертная оценка равна среднему арифметическому полученных оценок с последующим округлением до целых при необходимости. Второй способ: четвертная оценка равна моде ряда полученных оценок. Третий способ: четвертная оценка равна медиане всего ряда полученных оценок с округлением до целых при необходимости. Какой из способов является наиболее выгодным и какой - наименее выгодным для Олега? 222 Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 11.1.С10 а) Лесникам нужно определить число деревьев на участке леса площадью 200 га. Для этого они выбрали несколько делянок и подсчитали число деревьев на каждой. В таблице приведены результаты подсчетов. Найдите приближенное число деревьев на всем участке. Сколько на этом участке лиственных деревьев? Площадь делянки (га) Число хвойных деревьев Число лиственных деревьев 0,01 25 16 0,01 35 18 0,02 20 27 0,06 26 30 б) Лесникам нужно определить число деревьев на участке леса площадью 200 га. Для этого они выбрали несколько делянок и подсчитали число деревьев на каждой. В таблице приведены результаты подсчетов. Найдите приближенное число деревьев на всем участке. Сколько на этом участке лиственных деревьев? Площадь Число хвойных Число лиственных делянки (га) деревьев деревьев 0,03 24 14 0,02 23 10 0,03 17 35 0,02 28 27 Уровень D 11.1. D01 а) Даны 4 отрезка. Их длины равны 16 см, 10 см, 3 см и 12 см. Какова вероятность того, что из трех случайно выбранных отрезков можно составить треугольник? б) Даны 4 отрезка. Их длины равны 27 см, 15 см, 7 см и 18 см. Какова вероятность того, что из трех случайно выбранных отрезков можно составить треугольник? 11.1. D02 а) Вероятность того, что автобус подойдет к остановке на протяжении 30 минут, равна i. Найдите вероят- ность того, что автобус подойдет в течение часа, б) Вероятность того, что автобус подойдет к остановке 3 на протяжении 20 минут, равна Найдите вероятность того, что автобус подойдет в течение часа. Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 223 11.1. D03 а) В правом кармане у Мальвины лежит 3 синих и 7 красных леденцов, а в левом — 2 синих и 8 красных. Чтобы угостить Буратино, Мальвина достала из одного кармана два леденца, которые оказались разных цветов. Найдите вероятность того, что Мальвина достала леденцы из правого кармана, б) В правом кармане у Мальвины лежит 8 синих и 5 красных леденцов, а в левом — 9 синих и 6 красных. Чтобы угостить Буратино, Мальвина достала из одного кармана два леденца, которые оказались разных цветов. Найдите вероятность того, что Мальвина достала леденцы из правого кармана. 11.1. D04 а) Буратино посадил в центре прямоугольного лист- ка бумаги размером 18 см на 27 см круглую кляксу. Через минуту он посадил вторую такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листке. Найдите вероятность того, что вторая клякса не соприкасается с первой, если радиус каждой кляксы равен 0,5 см. б) Буратино посадил в центре прямоугольного листка бумаги размером 18 см на 27 см круглую кляксу. Через минуту он посадил вторую такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листке. Найдите вероятность того, что вторая клякса не соприкасается с первой, если радиус каждой кляксы равен 0,4 см. 11.1. D05 а) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность выбросить одну из граней с 1,3 или 4 очками равна а вероятность выбросить одну из граней с 2 или б очками равна Найдите вероятность того, что за два бросания на кубике выпадет сумма 11 очков. б) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность выбросить одну из граней с 1,3 или 4 очками равна |, а вероятность выбросить одну из граней с 2 или б очками равна Найдите вероятность того, что за два бросания на кубике выпадет сумма 11 очков. 224 Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 11.1. D06 а) В прошлом году инженерно-экономический фа- культет выпустил 37 инженеров, 48 экономистов и 29 инженеров-экономистов. Однажды выпускник прошлого года, специальность которого “Инженер-экономист”, встретил своего однокурсника. Найдите вероятность того, что этот однокурсник изучал инженерное дело. б) В прошлом году инженерно-экономический факультет выпустил 47 инженеров, 46 экономистов и 17 инженеров-экономистов. Однажды выпускник прошлого года, специальность которого “Инженер-экономист”, встретил своего однокурсника. Найдите вероятность того, что этот однокурсник изучал инженерное дело. 11.1. D07 а) В некотором клубе —19 членов, причем 9 из них блондины, а остальные—-брюнеты. Гуляя по городу, один из блондинов, состояш;их в клубе, встретил по очереди двух других членов клуба. Найдите вероятность того, что первый встреченный был блондином, а второй — брюнетом. б) В некотором клубе —23 члена, причем 17 из них блондины, а остальные — брюнеты. Гуляя по городу, один из блондинов, состояш,их в клубе, встретил по очереди двух других членов клуба. Найдите вероятность того, что первый встреченный был блондином, а второй —брюнетом. 11.1. D08 а) Чтобы найти площадь неправильной плоской фи- гуры, с нее сняли бумажную копию в масштабе 1:10. Затем копию наклеили на квадратный лист картона со стороной 1 м и подвергли этот лист равномерному и неприцельному обстрелу дробью. Подсчитав число попаданий, обнаружили 960 отверстий в листе; из них 640 отверстий оказалось внутри копии фигуры. Найдите приближенно площадь данной фигуры. Результат округлите до сотых. б) Чтобы найти площадь неправильной плоской фигуры, с нее сняли бумажную копию в масштабе 1:20. Затем копию наклеили на квадратный лист картона со стороной 1 м и подвергли этот лист равномерному Приложение 2. Задачи по теории вероятностей и статистике 225 И неприцельному обстрелу дробью. Подсчитав число попаданий, обнаружили 1210 отверстий в листе; из них 570 отверстий оказалось внутри копии фигуры. Найдите приближенно площадь данной фигуры. Результат округлите до сотых. 11.1. D09 а) Мальчик записал в блокноте некоторую выборку из б чисел, но неаккуратно вырвал листок, и в результате последнее число оказалось утрачено. Сохранились первые числа: —3; 2; 4,5;—2; 2,5. Восстановите утраченное число, если известно, что медиана выборки равна 1. б) Мальчик записал в блокноте некоторую выборку из 6 чисел, но неаккуратно вырвал листок, и в результате последнее число оказалось утрачено. Сохранились первые числа: 1;-1; —4; 1,5; —6. Восстановите утраченное число, если известно, что медиана выборки равна —2. 11.1. D10 а) Школьник обнаружил, что число оценок, которые он получил по математике за год, равно 20. При этом в дневнике записаны следующие оценки: пятерок— 10, двоек, троек и четверок по 3. Одна оценка не записана. Когда школьник спросил об этой оценке у учителя, тот сказал только, что среднее арифметическое ряда оценок—целое число. Какая оценка не записана у ученика в дневнике? б) Школьник обнаружил, что число оценок, которые он получил по математике за год, равно 32. При этом в дневнике записаны следующие оценки: пятерок— 16, двоек, троек и четверок по 5. Одна оценка не записана. Когда школьник спросил об этой оценке у учителя, тот сказал только, что среднее арифметическое ряда оценок—целое число. Какая оценка не записана у ученика в дневнике? 8-4967 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ Экзаменационные работы по алгебре для общеобразовательных классов Экзаменационная работа 1 Вариант 1 1. Найдите значение выражения \/б52 — 56^. 2. Сократите дробь _ з 2 4 3. Решите уравнение + 5ж + 2 _ 5х^ + 2х + 3 3 “ 5 • 4. Решите неравенство 3(2ж - 3) - 2(3ж - 2) < 1 - 4а:. 5. Решите систему уравнений Г 1 1 X — 7 у — 5’ 5а: + 7у = 58. 6. Решите систему неравенств {х + 6)^ <{х + 4)^, бж + 13 > 5а: — 7. { 7. По графику квадратичной функции у = f{x), изображенному на рисунке, найдите: 1) значение у при а: = 4; 2) значения х, при которых у = —2; 3) наименьшее значение функции; 4) промежутки возрастания и убывания функции. Общеобразовательные классы 227 8. В январе товар стоил 30000 рублей. В марте цену на товар подняли на 4%, а в июле снизили на 4%. Сколько стоил товар в июле? 9. Найдите наименьшее значение выражения \/ж^ -Ь 9 + \/у2 -I- 81. 10. Решите неравенство --- ^ X - 7 X + 8 ■ Вариант 2 1. Найдите значение выражения i/58^ — 42^. 2. Сократите дробь Q^iy'^r- 3. Решите уравнение 4х^ + 7х + 3 ■ 7х^ + 3х + 4 4. Решите неравенство 4(3х - 4) - 3(4ж - 3) ^ 1 - 5ж. 5. Решите систему уравнений Г 1 1 X — 9 у — 3’ 4ж -Ь 9у = 50. 228 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ 6. 7. Решите систему неравенств (х + 5)^ < (ж + 3)^, 5ж + 12 > 4ж — 9. { По графику функции у = f(x), изображенному на рисунке, найдите: 1) значение у при х — —4; 2) значения ж, при которых у = 2; 3) наибольшее значение функции; 4) промежутки возрастания и убывания функции. 8. В феврале товар стоил 20000 рублей. В мае цену на товар подняли на 6%, а в августе снизили на 6%. Сколько стоил товар в августе? 9. Найдите наименьшее значение выражения л/т^ТТб + + 25. 1 . 1 10. Решите неравенство 8 а: + 7' Общеобразовательные классы 229 Экзаменационная работа 2 Вариант 1 1. Вынесите за скобки общий множитель 2. Решите уравнение ^ = 5. 3. Сравните \/308 — \/92 и \/972 — \/46- {^х I у — ~~2 7 — 10 5. По графику квадратичной функции у = f{x), изображенному на рисунке, найдите: 1) значения х, при которых значение у равно 6; 2) наименьшее значение f{x). 6. 7. 8. 9. Решите систему неравенств Г Ч- 9х + 8 ^ о, \ -0,3ж^2,4. Отношение суммы третьего и восьмого членов геометрической прогрессии к сумме второго и седьмого ее членов равно 13. Найдите знаменатель прогрессии. __2х^ ■ Постройте график функции у =--------. При каких значениях с прямая у = с пересекает построенный график в единственной точке? f (х — 2у)^ = 11(х — 2у), 10. Решите систему уравнений < „ _ I 2iX ~т у — oU. 230_____Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ Вариант 2 Вынесите за скобки общий множитель д» 1 Q Решите уравнение -о = 4. X О Сравните \/б68 — \/Ш и \/878 — \/44. /Зх + у = 13, Решите систему уравнений < ^ 1 4ж — у = 15. По графику квадратичной функции у — /(ж), изображенному на рисунке, найдите; 1) значения х, при которых значение у равно 6; 2) наименьшее значение f{x). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. „ / + 7т + б ^ о. Решите систему неравенств < _q > 4 2 Отношение суммы шестого и одиннадцатого членов геометрической прогрессии к сумме пятого и десятого ее членов равно 7. Найдите знаменатель прогрессии. Постройте график функции у =------. При каких X “Г л значениях с прямая у— с пересекает построенный график в единственной точке? 10. Решите систему уравнений (Зж - yf = 9(3ж - у), ж -Ь Зу = 40. Общеобразовательные классы 231 Экзаменационная работа 3 Вариант 1 1. Решите неравенство 5ж — 7 ^ 7ж — 5. 2. Сравните 56,78 • 10® и 5,687 ■ 10^. а; — 49 3. Упростите 4. 5. 6. 7. 8. Решите уравнение у'-25 = 0. 4у + 20 Решите систему уравнений 14ж - Зу = -4, 1 4ж — у = 3. 3 Постройте график функции У = ~~- Найдите координаты середины отрезка, соединяющего две точки этого графика с абсциссами 3 и —3. Беллетрист хочет набрать на компьютере рукопись объемом 480 страниц. Если он будет набирать на 8 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать беллетрист? Решите систему неравенств Г 14 16ж^ - 9 4ж - 3 < 0. >0, 9. Решите неравенство < — 5 х-2 • 10. Рыбак отправился на озеро, где провел некоторое время, после чего вернулся домой. На рисунке изображен график его движения (по горизонтальной оси откладывается время t в часах; по вертикальной — расстояние S от дома в километрах). Используя график, ответьте на вопросы: 1) Сколько времени рыбак провел на озере? 232 Приложение 3. Пргшерные варианты экзаменационных работ 2) На каком расстоянии от дома находится озеро? 3) Когда скорость рыбака была больше: на пути от дома к озерз^ или от озера к дому? 1. 2. 4. 5. Решите неравенство Зх — 8 ^ 8ж — 3. Сравните 4,567 • 10'-* и 45,76 • 10^ 25 3. Упростите \/i - 5' Решите уравнение 0. 7. 4t/+12 Решите систему уравнений Гзх + 2/ = 3, |^3х + Ау = -2. 2 Постройте график функции у = Найдите координаты середины отрезка, соединяющего две точки этого графика с абсциссами 2 и —2. Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик? Общеобразовательные классы 233 Решите систему неравенств Г 19 4x2 _ 25 > 2х - 5 < 0. 9. Решите неравенство 3-.Т < 11 X — 3 10. Рыбак отправился на озеро, где провел некоторое время, после чего вернулся домой. На рисунке изображен график его движения (по го])изонтальной оси отк.ла-дывается время t в часах; по вертнка.,чьной — расстояние S от дома в километрах). Испо.)1ьзуя г’рафик, ответьте на вопросы: 1) Сколько времени рыбак провел на озере? 2) На каком расстоянии от дома находится озеро'.^ 3) Когда скорость рыбака была больше: па пути от дома к озеру и,ли от озера к дому? 234 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ 1. 2. 3. Экзаменационная работа 4 Вариант 1 Решите уравнение |а; = з|. Решите неравенство ^ ^ О- Между какими последовательными натуральными числами заключено число ^1б8? 4. Сократите дробь 24x^° - 24у^ lOt/^ 10а;1 5. Найдите наименьшее значение функции у = — Ах — 5. 6. 7. 8. 9. 10. Решите систему неравенств 15 3 — 5х 2 + Зх > 17 3-5х’ <5. Смешали семь литров 16%-го раствора некоторого вещества с тремя литрами 6%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. Решите систему Г Зх^ - у = 7, |5у-3х2 = -23. Найдите \/Ь+30, если л/Ь - 30 = 2. На графике представлено изменение курса акций компании сотовой связи (по оси абсцисс откладываются числа августа, а по оси ординат—стоимость одной акции в рублях). Иван и Леонид приобрели акции компании 3 августа. Иван купил 50 акций и продал их 17 августа, а Леонид купил 30 акций и продал их 23 августа. Кто из них получил больший доход? На сколько рублей его доход выше, чем ,цоход другого? Общеобразовательные классы 235 Вариант 2 1. Решите уравнение |х = 4|. 2. Решите неравенство ^ 0. 3. Между какими последовательными натуральными числами заключено число ^170? 4. Сократите дробь 18x12 _ 18у18 12у1«- 12x12- 5. Найдите наименьшее значение функции у = -I- бх — 7. 6. Решите систему неравенств 12 ^ 19 1 — 4х 3 + 4х > 1 -4х’ <5. 7. Смешали восемь литров 9%-го раствора некоторого веш,ества с двумя литрами 4%-го раствора этого же вещества, Найдите концентрацию получившегося рас-■Гйора. 236 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ 8. Решите систему уравнений f 5x^ — 4у 17, 6у — = —23. 9. 10. Найдите \/Ь + 28, если \/Ь — 28 = 5. На графике представлено изменение курса акций компании телекоммуникационной связи (по оси абсцисс откладываются числа мая, а по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Борис и Андрей приобрели акции компании 5 мая. Борис купил 50 акций и продал их 19 мая, а Андрей купил 10 акций и продал их 25 мая. Кто из них получил больший доход? На сколько рублей его доход выше, чем доход другого? Общеобразовательные классы 237 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Экзаменационная работа 5 Вариант 1 Найдите значение выражения (162^ — 161^): 323. avT7 Упростите 17v/5’ Баночка йогурта стоит 5 рублей 72 копейки. Какое наибольшее число таких баночек можно купить на 40 рублей? Решите уравнение - — = 15. X Ах Решите систему неравенств / 4а I 1’ 4т + 9 ^ 9ж + 4, 7т < 51. Постройте график функции у = — 2х — 3. В сколь- ких точках прямая у = —А пересекает этот график? Решите неравенство >0. 4т^ — 9 Решите систему уравнений Г т^ -f 5у = (т — 2)^ — 20, |4т-|-2/ = -8. Квадратичная функция у = ат^ -f Ьт -f- с задана графиком. Определите знаки коэффициентов а, 6 и с. 10. Найдите разность четырнадцатого и одиннадцатого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 28, а произведение третьего и двадцать второго членов этой прогрессии равно 75. 238 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ Вариант 2 1. Найдите значение выражения (133^ — 132^); 265. аУп 2. Упростите 3. 4. 5. 6. 7. 8. llVa' Баночка йогурта стоит 7 рублей 16 копеек. Какое наибольшее число таких баночек можно купить на 50 рублей? Решите уравнение - — = 16. ^ Г 5т -f 8 < 8х -1- 5, Решите систему неравенств < 2 Зж < 46 Постройте график функции у = + 4х + 3. В сколь- ких точках прямая у = —1 пересекает этот график? Решите неравенство q^.2^_ < 0- Решите систему уравнений (х'^ + 3у = {х + 1)^ + 12, I 2т-5?/= -17. 9. Квадратичная функция у = ах^ + Ьх + с задана графиком. Определите знаки коэффициентов а, 6 и с. 10. Найдите разность восьмого и шестого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение второго и двенадцатого членов этой про* в^еееии равно !28. Классы с углубленным изучением математики 239 Экзаменационные работы по алгебре для классов с углубленным изучением математики Экзаменационная работа 1 Вариант 1 1. 2. 3. 4. Сравните произведения 688 • 690 и 689 • 687, не вычисляя их значений. Упростите y/jx -Ь 3) (у -Ь 5) 3 — X Решите систему уравнений п2 { = 14 13х -f Ыу ^ ’ 13ж -f 14у = 14. Решите двойное неравенство Зх^ — 4т -f 3 ^ 2т^ — Зт -I- 4 ^ 4т^ — 5т -Ь 5. 5, Решите уравнение _____х_ _ 30 X — 5 5-х~х — 5' 6. Решите неравенство (т^ — 6т -Ь 5)(т + 3)^ < 0. 7. Турист собрался в поход. В походе он сделал два привала и после второго привала вернулся на турбазу. На рисунке изображен график движения туриста (по горизонтальной оси откладывается время в часах; по вертикальной — расстояние от турбазы в километрах). Используя график, ответьте на вопросы: 1) Сколько времени турист потратил на привалы? 2) С какой скоростью (в км/ч) он шел от первого до второго привала? 3) Какова средняя скорость туриста за все время движения (время на привалы не учитывать)? 240 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ 8. Сын младше отца в 6 раз, а чех)ез год он станет младше отца в 5 раз. Через сколько лет сын будет младше отца в 3 х^аза? 9. Решите неравенство {2х — 3)“ < (3 — 2хУ. 10. Найдите все пары (а; Ъ) целых чисе.л а и Ь, для кото-Хзых (а 4- ЗЬ) = (а -Ь Ь -f 2)\/l. Вариант 2 1. С])авните нхзоизведения 685 • 687 н 686 • 684, не вычис-■ляя их значений. о лг л/(.т + 5) (т/ + 4) 2. Упростите -------pz::— --. ч/-5-х 3. Решите систему ух^авнений [ ____12 [ 11x4-12^ = 12. 4. Решите двойное неравенство Ъх^ — 6х — 1 ^ 4х'^ — Зх — 2 ^ 6х^ — 1х 4- 2. Классы с углубленным изучением математики 241 5. Решите уравнение 7.г- 18 X - 2 2 - т X - 2 • 6. Решите нех^авенство (;г2 - 5х + 4) (а- + 2)'-^ ^ 0. 7. Турист собхзался в поход. В походе он сделал два привала и после втохзого привала вех.)ну.лся на тухэбазу. На рисунке изображен график движения туриста (по горизонтальной оси отк.ладывается вхлемя в пасах; по вехугикальной -хласстояние от тухлбазы i? кнлометхлах). Используя грас})ик, ответьте на вопросы: 1) Сколько вхлсмени тухлист нотрати.л на пхливалы? 2) С какой скоростью (в км/ч) он шел от первого до второго пхаивала? 3) Какова схледняя скорость туриста за все вхлемя движения (вх)емя на нхитвапы не упитывать)? 8. Отец стахлне сына в 9 х?аз, а пех>ез год он станет слахлше сына в 7 хлаз. ^1ерез сколько лет отец будет стахнне сына, в 5 х>аз? 9. Решите нехлавенство (З.т — 4)*' < (4 — З.т)'^. 10. Найдите все пары (а; Ь) целых чисел а и Ь, для которых (а + Ь + 4)\/5 = (За - 6)\/2. 242 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ Экзаменационная работа 2 Вариант 1 1. Разложите на множители 2m^ + 5т + 3. 2. Решите уравнение — X — 12 х^ — 5х + 4 = 0. 3. Упростите ^Г1-фг1 + т- 1Г 4. Решите систему уравнений Ux + 2f + (у - 1)^ = х^ + у^ + 1, |^6у + ж = 25. 5. Решите неравенство ^ —о- 7х о Тх о 6. Определите графически, сколько решений имеет си- {xii —__3 „ ’ у = -2у/х. 7. Решите систему неравенств { 8. Найдите х, если известно, что числа ж — 3, \/5ж, ж -Ь16 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке). 9. График функции, изображенный на рисунке, является полуокружностью. Задайте функцию формулой. (ж^ — 4ж -f 3)^ ^ о, х^ +х^ > 35. 10. Сравните Классы с углубленным изучением математики 243 Вариант 2 1. Разложите на множители 4т^ + 9т + 5. 2. Решите уравнение + 2ж — 15 + X — 12 = 0. 3. Упростите — А/2^ + 19 Y 19 4. Решите систему уравнений I (ж + 2)^ + (у - 4)^ = ж^ + у^ + 4, I 7у + ж = 23. 5. Решите неравенство ^ «5СС 'Т" • ОХ “г ( 6. Определите графически, сколько решений имеет си- жу = 2, стема уравнений у = 3v^. Решите систему неравенств (ж^ — Зж — 4)^ ^ о, ж^ + ж^ > 47. { 8. Найдите ж, если известно, что числа ж — 2, ж + 5 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке). 9. График функции, изображенный на рисунке, является полуокружностью. Задайте функцию формулой. 244 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ Экзаменационная работа 3 Вариант 1 1. Решите уравнение (ж-0,5)2 = (ж+ 0,04)2. 2. Сравните (3 • 10“2)^ и 0,000027. 3. Упростите ж + если ж < 11. 2 4. Какие из функций у = 2х^, у = —, у = 2 — х убывают при ж > о? 5. В арифметической прогрессии седьмой член равен —40, а семнадцатый равен —50. Найдите разность этой арифметической прогрессии. 6. Решите систему неравенств { (ж + 4)2 (ж + 5)2 5ж2 + 4 ^ 5ж2 + 4 ’ о, 9ж > —8,1. 7. Решите систему уравнений / --Н 1 У У ж + 3у = 9. --18^ = 3, У X 8. Решите неравенство (Зж2 - 4ж + 1)^ ^ (2ж2 - Зж + 3)^ 9, 1 июня брокер приобрел акции алюминиевого комби- ната. На графике представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа июня, считая от дня покупки, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). 5 июня брокер продал 60% этих акций, а 13 июня —продал остальные. Сколько процентов прибыли принесла брокеру эта биржевая операция? Классы с углубленным изучением математики 245 10. Банк предоставляет ипотечный кредит (кредит на покупку квартиры под залог квартиры) сроком на 10 лет под 19% годовых. Это означает, что ежегодно заемщик возвращает 19% от непогашенной суммы кредита и ^ суммы кредита. Так, в первый год заемщик выплачивает ^ суммы кредита и 19% от всей суммы кредита, во второй год заемщик выплачивает ^ суммы кредита и 19% от ^ суммы кредита и т.д. Во сколько раз сумма, которую должен выплатить банку заемщик, больше суммы заема, если согласно договору досрочное погашение кредита невозможно? 246_____Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ Вариант 2 1. Решите уравнение (ж + 0,06)2 = (т-0,2)2. 2. Сравните (И • 10-^)^ и 0,000121. 3. Упростите X — ^(12 — ж)^, если ж > 12. О 4. Какие из функций у = —Зх^, У — -^ у = ж + 3 убывают при ж < о? 5. В арифметической прогрессии восьмой член равен —22, а двадцатый равен —58. Найдите разность этой арифметической прогрессии. 6. Решите систему неравенств Г (ж + 6)2 (ж-1-7)2 < 7ж2-Ь6 7ж2 + 6’ [ 0,13ж > -1,69. Решите систему уравнений / - -К < У [ ж -f 2у = 10. - - 16^ = 6, У ж 9. Решите неравенство (Зж2 - 7ж -Ь 2)^ ^ (2ж2 - 5ж + 10)^ 1 июля брокер приобрел акции деревообрабатывающего комбината. На графике представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа июля, считая от дня покупки, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). 9 июля брокер продал 40% этих акций, а 13 июля —продал остальные. Сколько процентов прибыли принесла брокеру эта биржевая операция? Классы с углубленным изучением математики 247 10. Банк предоставляет ипотечный кредит (кредит на покупку квартиры под залог квартиры) сроком на 20 лет под 12% годовых. Это означает, что ежегодно заемщик возвращает 12% от непогашенной суммы кредита и суммы кредита. Так, в первый год заемщик 20 выплачивает ^ суммы кредита и 12% от всей сум- мы кредита, во второй год заемщик выплачивает ^ суммы кредита и 12% от суммы кредита и т.д. Во сколько раз сумма, которую должен выплатить банку заемщик, больше суммы заема, если согласно договору досрочное погашение кредита невозможно? 248 Приложение 3. Примерные варианты, экзаменационных работ Экзаменационная работа 4 Вариант 1 1. Упростите 5. 7278-У4;2 2. Сократите дробь 3. Решите уравнение + Зx^ — 1 = 0. 4. Решите неравенство 6 < х{х — 3) х{3 — х)' 1 февраля брокер купил 50 акций некоторой компании. На графике представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа февраля, считая от дня покупки, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). 3 февраля брокер продал 20 акций, а оставшиеся акции —он продал 17 февраля. Найдите убыток, который принесла брокеру эта сделка. 6. Решите систему уравнений Г {х + 12){у + Щ 1 ^^^5^ = 24. L У + 13 Классы с углубленным изучением математики 249 Из пункта А в пункт В, отстоящий от пункта А на 27 км, отправился пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 минут после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 3 км/ч. Найдите расстояние от пункта В до места их встречи. 8. Решите систему неравенств ( {х — 5)''^ 16 5х ■ ^0, х^ > 0. 9. Найдите натуральное число а, если из трех следующих утверждений два верны, а одно —нет: 1) остаток от деления числа а на число 13 равен 9; 2) остаток от деления числа а на число 13 равен 10; 3) а —одно из чисел 61 или 63. 10. Найдите наименьшее значение функции у = — бх -Ь 8 -Ь \/х2 -Ь Зх — 15. Вариант 2 1. Упростите У0Л4 2. Сократите дробь 3. Решите уравнение 9х“* -I- 8х^ — 1 = 0. 4. Решите неравенство л > х{х — 2) х(2 — х)' 1 марта брокер купил 90 акций некоторой компании. На графике представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа марта, считая от дня покупки, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). 5 марта брокер продал 10 акций, а оставшиеся акции — он продал 15 марта. Найдите убыток, который принесла брокеру эта сделка. 250 Приложение S. Примерные варианты экзаменационных работ 6. 7. 8. 9. Решите систему уравнений Г (х + 11)(у + 12)=0, < 12х + Пу _ I у+12 Из пункта А в пункт В, отстоящий от пункта А на И км, отправился пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 15 минут после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 6 км/ч. Найдите расстояние от пункта В до места их встречи. Решите систему неравенств Г (ж-6)2 ^0, 10. { 25 - т2 [ бж — ^ 0. Найдите натуральное число а, если из трех следующих утверждений два верны, а одно —нет: 1) остаток от деления числа а на число 12 равен 8; 2) остаток от деления числа а на число 12 равен 9; 3) а —одно из чисел 56 или 58. Найдите наименьшее значение функции у = + \/2х^ — 8ж + 17. Классы с углубленным изучением математики 251 Экзаменационная работа 5 Вариант 1 1. Решите уравнение 21х'^ — 4х — 1 = 0. 2. Решите неравенство (Зх — 7)^ ^ (7х — 3)^. 3. Найдите значение выражения 16а^ — 24аЬ + — 4а + 36, если а = ^6. 4. Не вычисляя произведение, проверьте равенство 0,9477 • 0,774 = 0,7335199. 5. Решите систему уравнений f(x + 2yf - (Зх + у)^ = 8, I у — 2х = 4. 6. Найдите наибольшее значение функции у = 8 \/х2 + 4 7. Решите систему неравенств -Ц< ' х + 8’ 1 1 X + 6 X — 5' 8. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе? 9. Известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно: 1) наименьшее значение выражения А равно 17; 2) наибольшее значение выражения А равно 9; 3) Л —одно из выражений 16 , 16 23 (х-12)"+4 или 5 + (х-12)'+4 Какое утверждение является ложным? 252 Приложение 3. Примерные варианты экзаменационных работ 10. Функция у = ах + Ь задана графиком. Найдите у(3), если известно, что а я Ь - целые числа. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Вариант 2 Решите уравнение 24х^ — 2т — 1 = 0. Решите неравенство (5х — 4)^ ^ (4т — 5)^. Найдите значение выражения 9а^ + ЗОаб + 256^ + За + 56, если а = — |б. Не вычисляя произведение, проверьте равенство 0,8368-0,863 = 0,7221585. Решите систему уравнений f (2т - у)^ - (т + 3yf = -9, |зт + 2у = -1. Найдите наименьшее значение функции у = — Решите систему неравенств < 1 т - 6 1 т + 7 < 1 \/х^ + 9 > т -f 9’ 1 X Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 12 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе? Справочные материалы 253 9. Известно, что из следующих трех утверждений два истинны, а одно —ложно; 1) наименьшее значение выражения А равно 6; 2) наибольшее значение выражения А равно 0; 3) И —одно из выражений 9 о , 9 И - (т-2)" + 3 или —3 + (ж-2)^ + 3' Какое утверждение является ложным? 10. Функция у = ах + Ь задана графиком. Найдите у(3), если известно, что а и 6 - целые числа. СПРАВОЧНЫЕ М.АТЕРИАЛЫ Таблица квадратов двузначных натуральных чисел Единицы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 д е с я т к и ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 9 § 1. Действия с целыми числами................... 9 §2. Действия с дробями.......................... 13 §3. Действия с корнями ......................... 18 ГЛАВА 2. БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 23 §1. Действия с многочленами..................... 23 §2. Действия с алгебраическими дробями.......... 28 § 3. Действия с иррациональными выражениями ... 33 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ 38 § 1. Целые алгебраические уравнения............. 38 §2. Дробно-рациональные уравнения............... 41 §3. Иррациональные уравнения.................... 46 ГЛАВА 4. НЕРАВЕНСТВА 50 §1. Целые алгебраические неравенства............ 50 §2. Дробно-рациональные неравенства............. 53 §3. Иррациональные неравенства . . ^............ 57 ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 61 § 1. Системы целых алгебраических уравнений .... 61 §2. Системы рациональных уравнений.............. 66 §3. Системы иррациональных уравнений ........... 71 ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ 76 §1. Системы целых алгебраических неравенств .... 76 §2. Системы дробно-рациональных неравенств .... 80 §3. Системы иррациональных неравенств........... 86 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 93 §1. Чтение графиков............................. 93 §2. Построение графиков.........................123 §3. Исследование функций........................130 ГЛАВА 8. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ 137 §1. Задачи на движение и работу.................137 §2. Задачи на проценты, части, доли ............149 §3. Задачи на свойства целых чисел..............161 ГЛАВА 9. ПРОГРЕССИИ 171 ОГЛАВЛЕНИЕ 255 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ 178 §1. Отрезки, углы, треугольники...........178 §2. Многоугольники........................190 §3. Окружности............................200 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКЕ 213 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ 226 Экзаменационные работы по алгебре для общеобразовательных классов...........226 Экзаменационные работы по алгебре для классов с углубленным изучением математики . . 239 СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ 253