Рабочая тетрадь по алгебре 8 класс Мордкович Ключникова Комиссарова часть 2

ФГОС^ Е.М. Ключникова, И. В. Комиссарова Рабочая тетрадь по алгебре К учебнику А. Г. Мордковича <Алгебра. 8 класс» Учебно-методический комплект Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова Рабочая тетрадь по АЛГЕБРЕ Часть 2 К учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра.8 класс» (М.: Мнемозина) 8 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2013 УДК 373:512 ББК 22.14я72 К52 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображения учебных изданий «Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — М.: Мнемозина» и «Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордко-вича. — М. : Мнемозина» приведены на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Ключникова, Е.М. К52 Рабочая тетрадь по алгебре: часть 2: 8 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 8 класс» / Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова. — М. : Издательство «Экзамен», 2013. — 112 с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-05898-4 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Рабочая тетрадь является необходимым дополнением к школьному учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 8 класс» (издательство «Мнемозина»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Авторами предложены разнообразные упражнения по всем темам, изложенным в учебнике, в том числе: задания для закрепления изученного материала, задачи повышенной сложности, занимательные и развивающие задачи. Выполнение теоретических и практических заданий рабочей тетради позволит каждо.му ученику лучше освоить материал учебника и применить полученные знания на практике. В тетради имеются образцы для выполнения заданий. Нумерация и название пунктов рабочей тетради соответствуют нумерации и названию пунктов учебника. Тетрадь предназначена для работы с учаши.мися общеобразовательных учреждений. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:512 __________________________________________________________________________ББК22.14я72 Учебное издание Ключникова Елена Михайловна, Комиссарова Ирина Владимировна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО АЛГЕБРЕ Часть 2 К учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 8 класс» 8 класс Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16054 от 28.02.2012 г. Главный редактор У7.Д Лаппо. Редактор И.М. Бокова Художественный редактор Л.В. Демьянова. Технический редактор 77. Д. Пав.пова Корректор77.7/. Иванова. Дизайн обложки А.А. Коз.пова. Компьютерная верстка Е.Ю. Лысова Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 5,3. Уел. печ. л. 9,1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 7464/12. 107045, Москва, Луков пер., д. 8, www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор про.зукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru ISBN 978-5-377-05898-4 © Ключникова Е.М., Комиссарова И.В., 2013 © Издательство «ЭКЗАМЕН», 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 3. Квадратичная функция. Функция У = ^ § 20. Как построить график функции у = f{x) + m, если известен график функции у = f{x)....................4 § 21. Как построить график функции у = f{x + I) Л- т, если известен график функции у = f{x)....................9 § 22. Функция у = ах^ Л- Ъх с, ее свойства и график........ 16 § 23. Графическое решение квадратных уравнений..............23 Глава 4. Квадратные уравнения § 24. Основные понятия......................................35 § 25. Формулы корней квадратного уравнения..................42 § 26. Рациональные уравнения................................49 § 27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций...............................57 § 28. Еще одна формула корней квадратного уравнения.........65 § 29. Теорема Виета.........................................70 § 30. Иррациональные уравнения..............................76 Глава 5. Неравенства § 31. Свойства числовых неравенств..........................81 § 32. Исследование функции на монотонность..................86 § 33. Решение линейных неравенств...........................94 § 34. Решение квадратных неравенств........................100 § 35. Приближенные значения действительных чисел...........105 § 36. Стандартный вид положительного числа.................110 .-i-i Глава 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ^ <о S iz + ^ § 20. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ' ФУНКЦИИ y=f{x) + т, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = Дх) О Дополните предложение: 1) Чтобы построить график функции у = f(x) + т, где т — положительное число, нужно график у = f{x) функции сдвинуть на _ единиц __ ________________ _________ _____ _______________. 2) Чтобы построить график функции у = f{x) - т, где т — положительное число, нужно график функции у = f{x) сдвинуть на _ единиц __ _______________. О Соотнесите действие, выполненное с графиком функции, и формулу, описывающую новую функцию: 1) Парабола сдвинута на 2 единицы вверх 2) Гипербола сдвинута на 4 единицы вниз 3) График функции сдвинут на 3 единицы вниз 4) График функции сдвинут на 1 единицу вверх A) у = 4х + I Б) у = |л:| - 3 B) у = х^ + 2 Г) у = - - 4 ' X Ответ: 1) 2) 3) 4) а) б) - -Л- - Я- о - 9- 2 - -1. -1 _{ 1-4 \ 0 4 J 2 4 5 X N 1 \ - —о —4 1 Ответ: Ответ: в) г) Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке: |ig и !?н’ кш -VW f к> о 1 ас з? I X ж и S S ч: II "л X Ответ: Ответ: Я Постройте график функции: ■ - а) г/ = Syfx - 2 гп pr у 0 -A о 1 I о о 1 -5 -4 i-i й 3 4 S i -1 -2 -3 -4 u ! — — — - f- в) I/ - - + 3 <п r У 1 4 О о о . j Z _ 1 1 1 1 1 1 ^— 1 __ i-j [6 -1 -2 о [ й s i 6 X ! ^ 1 ‘ : 1 г ■■ i— . —■ о -4 i — -J О Используя график функции 12 у = — 2^ заполните таблицу: б) у = 4х^ - 4 X 12 1 24 У 4 6 5 Решите графически уравнение: а) + 2 = X + 2 Постройте график функции у = -х^ + 4. Используя график функции: а) заполните таблицу: б) х^ + 2 = у/х + 2 i (Г о А Г 3 о i ; 1 [-i 4 i i 4 £ л — -1 ' о- -2 ' о. —о ' 4 — ' г О _] _ Ответ: — i К 0 к4' 3 о " 1 1 -5 *-< 4 П 4 -1 -2 -3 -4 -5 L_ L л: 0 2 У 3 0 -5 "iiKi?'..., и S ч II б) выделите тот числовой промежуток, для которого у > 0; в) найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3; 2]. Ответ: и ,= , у = ^ ТТЯИП ---------- ' няим . ч* о Дана функция у = f{x)y где f{x) |л:|, если л: < 1 —, еслих>1 X 1) Найдите: /(-2) = ____ /(0) =______ Я1) =_______ /(3) =______ 2) Постройте график функции У = fix) 3) Перечислите свойства функции: 1 1 i ГГ ^У 1 1 О л о о о _ -1 1 -£ г-\ i г ^ п р ) ^ -1 ' о -2 1 ^ '1 0 ^L РО л I О Решите графически систему уравнений: б) \у = -х^ + 4, у = X-V 2. 1 ^У о А ft О о о Z 1 [-4 4 i-i i-J L0 i г i 4 £ *х -1 -2 о о ' л ft ' г —О . 1_ Ответ: (0; 1). Ответ: в) у = - 1, у = -х^‘ 4- 1. i к О Л О О о 1 1 4 [0 < < ( X -1 —2 ' о. о ' 4 ' г, О 1 Ответ: Ответ: f §21. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ y=f[x+I) + m, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f{x) О Дополните предложение: X = и у системы координат точку ( 2) К новой системе координат привязать график функции с О 4 О о о 1 1 -5 *-4 L0 1 [ i 4 £ “1 —z ' я о La 1 к 1 J ч' •• ■ 5 -;<Г 5.- 1) Чтобы построить график функции у = f(x + I) + т, надо перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) прямые , то есть выбрать в качестве начала новой ________;________). т vr г. *я. i»b «.Г*-» О Заполните таблицу: Действие с графиком функции у = f{x) Формула новой функции 2 Гипербола У ~ ~ сдвинута на 2 единицы влево и на 3 единицы вверх График функции у = у[х сдвинут на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх У = г(х- 3)2 - 1 У = 2х + 4^ -2 у = —yjx — 2+1 Обведите график заданной функции: а) у = 2х^ б)у = 2{х - 2)2 - 2 в) ^ = 2{х + 2)2 + 2 10 о Установите соответствие между графиком и формулой, которой задана функция: 1) 2) 3) 4) 5) A) у = yfx Б)у = у!х-2 + 2 B) У = ^х-\-2 - 2 Г) У = ^х-2 - 2 Л)у = у1х + 2 + 2 Ответ: 1) 2) 3) 4) 5) WSS: 11 о Напишите формулу функции, изображенной на рисунке: ! а) б) < а - ci- т э А гг / q.- О 1 / О - 9- ■ 1‘ _j 4V 2- ю -1 -2 < 2 В ^ 1 S л -4 -5 LJ Ответ: в) Ответ: г) -1 О ii/ \ у ' \ / \ / \ \ / 1 2 з\ 4 А S ( 3 г в Эл / Ответ: О Используя график функции, опишите ее свойства: Свойства функции: 1) Область определения: D(y) =________________ 12 2) Нули функции: у = О при X =___ 3) Знакопостоянство функции: у > О при X е _____________ у < О при X G _____________ 4) Функция возрастает на числовом промежутке ___________________, функция убывает на числовом промежутке ___________________ . 5) = -------при ^ = ------ и = пои X = ^наим. ------- --------------- i У 5 4 3 2 1 -5 L-2 1-2 1 _■ [0 2 4 5 л: -1 -2 -3 -4 -5 6) Функция непрерывна в области определения (или функция имеет точки разрыва х =_________). 7) Область значений функции: Е(у) =____________________. б) I/ = (л: + 4)2 - 4 Свойства функции: 1) Область определения: D{y) =________________ 2) Нули функции: у = О при X = __ 3) Знакопостоянство функции: у > О при X е______________ у < О при X е ______________ 4) Функция возрастает на числовом промежутке ______ i У ■5 А 4 "3 2 1 -5 -4 t-S 1-2 [ _• [О 2 с 4 5 -1 -2 -3 А . -4 -5 функция убывает на числовом промежутке__________________ 5) !/,„» =------при д: =---- при X = и = ^ найм ---- 6) Функция непрерывна в области определения (или функция имеет точки разрыва х = ___________). 7) Область значений функции: Е(у) =________________________. «о» м ? 0 S X 0 *< X ж с X X ч я ч ♦ о ♦ э 13 s V? "Ж в) у — yjx + 2 3 Свойства функции: 1) Область определения: D{y)=_________________ 2) Нули функции: у = О при X =_________ 3) Знакопостоянство функции: у > О при X G______________ у < О при X е______________ 4) Функция возрастает на числовом промежутке _______ функция убывает на числовом промежутке 5) и . = пои X = . и = ' ^НЯИП. ' ^ ~ ^ *7 НАИМ- при X 6) функция непрерывна в области определения (или функция имеет точки разрыва х =__________). 7) Область значений функции: Е(у) =_____________________. т)у = \х- Ъ\-2 Свойства функции: 1) Область определения: D{y)=_________________ 2) Нули функции: I/ = О при X =__ 3) Знакопостоянство функции: ^ > О при X G______________ ^ < О при X G ______________ 4) Функция возрастает на числовом промежутке _______ функция убывает на числовом промежутке________________ 5) =-------- при ж =--- У. при X 6) функция непрерывна в области определения (или функция имеет точки разрыва х =__________). 7) Область значений функции: Е{у) =____________________. 14 о Укажите наибольшее и наименьшее значение функции: a) г/ = (л: - 3)^ + 4 Решение: Графиком функции z/ = (х - 3)^ + 4 является парабола с вершиной в точке (3; 4), ветви ее направлены вверх, значит, = 4, а не сущ;ествует. b) у = -{х + 3)2-5 Решение: в) ^ = |лг + б| - 2 Решение: т) у = -yjx + 7 - б Решение: О Постройте график функции у = /(х). где Кх) = ( 5 если X < -1 (х - 2)2 + 4, если -1 < X < 4 ^ yjx — 4» если X > 4 1) Найдите значения функции при заданных значениях аргумента: -1; 0; 1; 2; 5; 7; Ответ: ______________________ i i!/ "5 4 3 I 2 ^ i -5 ► -4 [-г 1-5 ) -■ [О 4 J £ 4 £ I -1 I 1 -2 -3 -4 -5 ю шЛ. k I Ж е X ч и 3 15 2) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает указанные значения: 0; -3; -4. Ответ: ____________________________________________________________ ^ § 22. ФУНКЦИЯ у = ах2 + Ьх + с, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК Дополните предложение: 1) Многочлен у = ах^ Ъх + с называется ______ ах^ называется______________, коэффициент а — 2) Функция у = ах^ + Ьх + с называется ___ функцией. 3) Графиком квадратичной функции у = ___ является ___ 4) Осью параболы служит прямая х = 5) Абсцисса х^ вершины параболы вычисляется по формуле 6) Ордината у^ вершины параболы вычисляется по формуле 7) Ветви параболы у =_______________направлены_______ если а > о и направлены Заполните таблицу: если а < 0. у = ах^ + Ъх + с а Ъ с Направление ветвей параболы у = -Зл:^ + 4л: - 2 У = 2 3 -6 у = 4л:^ -2 1 У = -Зле -5 7 У= -1 -9 2 16 о Для данной функции напишите уравнение оси параболы и координаты вершины параболы: а.) у = - Юл: + б Решение: Составим уравнение оси параболы х = —— для данной 2а функции: X = ~ ~ параболы л: = 1, значит, абсцисса вершины параболы = 1. Найдем ординату вершины параболы - IOjCq + 6: Уо = 5 ■ 12 - 10 • 1 + 6 = 5 - 10 + б = 1. Ответ: уравнение оси параболы л: = 1, ОД1; 1) — вершина параболы. 6) у = Зх^ + бл: - 4 Решение: Ответ: в) у = 2х^ - 8л: + 1 Решение: Ответ: О Постройте график функции у = -х^ -I- 4л: + 5. Решение: Координаты вершины 4 параболы: Xq = — = — = 2' 2(-1) 2 1/о = -22-+-4-2Ч-5 = -4-Ь8 + 5 = ОД2; 9) — вершина параболы, л: = 2 — ось симметрии параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как а < 0. 5 е те; 17 Используя график, найдите: а) значения функции при х = 1; 4; -1. Ответ:_____________________________________ б) Значения х, при которых у = в; 0. Ответ: в) Нули функции; у = О при ____ г) Промежутки знакопостоянства функции; ^ > О при __________________ у < О при д) Промежутки возрастания и убывания функции; е) Значения х, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения. IS4K 10 Постройте график функции и найдите координаты точек пересечения параболы с осями координат: СП § а) I/ = х^ - 7х + 12 ^0= ------------ Уо-------------- Ветви параболы направлены б) у = -4х^ - 4х + 15 ^0=--------------- Уо=--------------- Ветви параболы направлены I ' ' * 1 5 - А i 1 4 ! о ' 2 1 [-i i-i 1-] L0 г i £ л: -1 1 -Z о- — -О ^ i i 1 i I 1 ! Ответ: Ответ: 18 о Не выполняя построение графика, найдите значения л:, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение, и само это значение: а.) у = -4х^ + 4л: + 3 Решение: Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, значит, функция принимает наибольшее значение, которое равно ординате вершины параболы. = 2 • (-4) 2 %=-4-|| +4-| + 3 = -4-i + 2 + 3 = -l + 5 = 4 У»..»='/Ы = 4- Ответ: у - = 4 при х = б) У = Зх^ - 6х + 2 Решение: Ответ: в) у = -5х^ + 20х - 4 Решение: Ответ: 19 о Определите, сколько решении имеет система: 1 5 л 4 О - о Z 1 -5 -4 1-5 [_• [о < £ 4 £ -1 1 -2 -а -4 -5 б) I/ = -(л: + 2)2 - 3, у = 2х - 10. ^У 0 i 4 о о О 1 -5 -< 1 _• [о 5 £ ! 4 -1 -2 -3 -5 L_ Ответ: Ответ: i ^У 0 4 _ о о о 1 -5 »Н [-i • [о i i i 4 £ -1 -2 -3 -4 -5 г) у = - 4х + 5, у = -х^ + 4х. 1 1*/ ~о л 4 о о о 1 -5 -4 1-^ 1_- [о £ 4 5 -1 -2 -3 4 -5 Ответ: Ответ: 20 о Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х^‘ - Ах а) на луче (-оо; 3]; Решение: Построим график функции у = 2х^ - Ах, Ветви параболы направлены вверх, ^0 = Уо = Ось симметрии параболы х =____________ У наиб (-оо; 3 У ^ найм (-оо;3] 5 - А 4 6 2 1 _р t-4 4 )- [0 i 1 \ 5 А i л -1 1 -2 1 -3 1 А 4 1 -5 1 б) на отрезке [-1; 1]; Решение: в) на луче [0; +оо); Решение: ^У 5 4 3 2 1 _р 1 2-] L0 ( 2 А р Л -1 1 -2 1 -3 1 —4 1 -О 1 i ^У 5 4 3 2 1 _е J-2-] lo ( 2 3 4 £ ) ос -1 1 -2 1 -3 1 —4 1 -5' О Ш О О н ? s > 0 SE X 21 г) на интервале (-1; 2]. Решение: О Принадлежит ли графику функции г/ = - 13jc + 40 точка: <»» < с; а) А(-15; -460) Решение: Ответ: б) Б(4; 4) Решение: Ответ: в) С(-2; 70) Решение: 22 Ответ: ________________ Известно, что график функции у = Л- рх + q проходит через точки В(-3; -5) и Д(4; -8). Найдите коэффициенты р и д. Решение: Так как график функции у = х^ рх + q проходит через точки В и R, то можно подставить их координаты в формулу функции. Составим систему уравнений и найдем р тл q: 1 -5 = 9 - 3p + 9, ( -8 = 16 + 4p + g Ответ: р ; q = + ^ § 23. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ' i-' КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Дополните предложение: Квадратным называется уравнение вида __________ где а, Ь, с — любые числа, которые называются _ г е S X гп о 0 m 13 m Е m X X m 1 I X g; X < 13 > Ш X m X X x« 23 со < Ш < С О Решите уравнение графическим способом: а) - 9 = О Решение: - 9 = О, = 9. Построим в одной системе координат графики функций у = х^ и у = 9. Абсциссы точек пересечения будут решением исходного уравнения. Ответ: 3; -3. б) Sx^ - 27 = О Решение: i i 1 п iU Т • Q - I О / - ( А / о гг / О - А - I 1 4 о / О 2- / / 1 1 У -5 -4-3 -2 1 _■ L0 [ i I J 3 X Ответ: i 1 П 1U о У -О- о - ( о с о _ А . 4 о о О 1 -5 -4 -3 -2 L0 4 \ 2 4 1 3 X в) -4х^ + 16 = О Решение: Ответ: i 1U п у о О . к - о 4 о о 1 -5-4 -3 -2 L0 < J 2 4 3 л: 24 о Решите уравнение графическим способом и сделайте проверку: а) Зх^ - 12х = О Решение: Зx^ - 12х = 0 3(х^ - 4х) = О х^ - 4х = О Построим в одной системе координат графики функций у = х^ и у = 4х. X у Абсциссы точек пересечения будут решением исходного уравнения. Проверка: Подставим найденные абсциссы в данное уравнение: X = О 3 02 _ 12-0 = о 0 = 0 X = 4 3.42 - 12-4 = о 3 16 - 48 = о 0 = 0 Ответ: 0; 4. 6) х^ - Зх = о Решение: X у e, ^y Ш ш m z s 25 ГЛАВА 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИ?!. Ф О в ш <Т) н я о а ф й но 'С hd и (D В ф к S Ф со + to Н tsd + со н со 1 Т 1 _ 1 ^ 1 ,4-1 1 J_, j - с - - ^ О i 1 0 N ~ 1 ^ Э |-‘ О Н-* ts S 0 0 4^ C FX 's: — — |Гк СЛ- о н ю ф н я 13 о а ф 13 ?; р X у Графики не имеют точек пересечения, значит, уравнение -Ь 4jc + 5 = О не имеет корней. б) 2х^ + X + 2 = О Решение: X у в) -2х^ - л: - 3 = О Решение: X у О Докажите графически, что уравнение не имеет корней: а) + 4л: + 5 = О Решение: л:^ + 4л: + 5 = О х‘^ = -4х - 5 Построим в одной системе координат графики функций у = х^ VL у = -4л: - 5 27 способом: а) - 2л: + 1 = О Решение: л:^ - 2л: + 1 = О, (л: - 1)^ = О л:-1 = 0, л:=1 Ответ: X 2 _ 2л: + 1 = О, л:^ = 2л: - 1 1/ = х^иу = х-1 л: б)^х^ -^х = 0 4 2 Решение: , ii/ " 5 4 3 2 1 4-1 3-i 2-] Ю 1 2 3 ^ 1 ) л -1 1 -2 ' о- 1 —4 1 -5‘ 1 в) л:^ - 4л: + 4 = О Решение: Ответ: Ответ: л: 1/ i ■ I ^ : ' 5 1 4* , 3’ ”72' -5- 4-1 3- 2-10 1 2 3 ^ 4 ) л -1 1 i ^ -2 1 ' ,-з 1 -4 1 . “5 л: У -б-4-3-2-1 о -1 5 4 3f 2 1 Г» -4 I -5 1 2 3 4 5 л 2Г г) 2х^ + Зл: = О Решение: Ответ: I/ "5 4 4 о 1 -5 -4 -S 1-2 1о 2 S 5 X -1 -2 -3 4 -5 X у Выясните, сколько корней имеет квадратное уравнение: а) - 6л: + 9 = -3 Решение: л:2 - 6л: + 9 = -3, (л: - 3)^ = -3. Построим в одной системе координат графики функций г/ = (л: - 3)2 и I/ = -3. Графики не имеют точек пересечения, значит, уравнение л;2 - 6л: + 9 = -3 не имеет корней. Ответ: нет корней, б) 2л:2 - 8л: + 8 = 4 Решение: Ответ: У "О А 4 о О О ■1 -5 -4 [-а 1-^ 2 а 4 5 *х -1 -2 о ' 4 ' г, О 1 т 29 в) - Юл: + 25 = О Решение: Ответ: < с: При каких значениях т уравнение имеет один корень? а) + тх + 9 = 0 Решение: х^' + тх + 9 = 0 х^ + тх + 3^ = о л;2 + 2л:-3 + 32 = 0 {X + 3)2 = о График функции у = {х + 3)^ — парабола у = х^ смепденная, на 3 единицы влево, значит, уравнение х^ + тх + 9 = 0 имеет один корень в случае, когда m = 6. При т = -Q уравнение тоже будет иметь один корень. Проверьте этот факт: Ответ: при т = 6, т = -6. 30 Ь) + Ах + т = о Решение; i^y -5-4-3-2-1 О -1 I -2 I -3 I -4 -5 Ответ: 2 3 4 5 ДС в) х^ - 2тх + 16 = О Решение: i ^У 5 А 4 3 ~2 1 -5 -4 1-3 1 _< 1-] L0 й 1 3 4 Г с с -1 1 -2 ' о- -3 1 А —4 1 -5 Ответ: О При каких значениях р уравнение имеет два корня? а) 2х^ + Ах = р Решение: 2х^- + Ах = р Построим графики функций у = 2х^ + Ах Vi. у = р. График функции у = 2л:^ + Ах — парабола с вершиной в точке с координатами: х^ = __________, Уо =--------• Г-у ? е S X m о О m ■о гп Е m X X гп ж X к X X 5 ш X гп X X х^ 31 Ветви параболы направлены____________ График функции у = р — прямая, параллельная оси Ох. При р > -2 эта прямая будет пересекать параболу в двух точках, значит, уравнение будет иметь два корня. Ответ: при р > -2. 6) + 2х - р = О Решение: в) -х^ + 4 = р Решение: < 1 5 4 1 3 2 ! i -£ 1-5 \-2~] L0 1 г 5 4 £ -1 -2 -3 -4‘ -5 i 5 4 3 2 i -S >-4 [~Ь 1-] lo i 1 5 4 -1 1 -2 1 -3 —4 1 -5 1 Ответ: Ответ: 32 о Решите графически уравнение: а) - 6л: + 5 = О Решение: б) Зл: + 9 +х^ = О Решение: i 1 5 4 3 Z 1 4 1-] L0 L 2 1 : £ -1 1 1 “2 1 -3 А 4 1 -5‘ 1 / 5 L- А . 4 о 2 1 -5 4 1-] L0 < 1 i 4 £ л: -1 1 -2 1 1 —О 1 А 4 1 -О 1 Ответ: Ответ: — — 1 = в) X - X Решение: 1= О Ответ: : 1 0 4 4 о о о ■ 1 -Ё i-4-г i-i 1-1 [о L i i 4 Ё ! -1 ' о -2 ' Q. 1 —О 1 ! ' г 1 33 Найдите корни уравнения, используя графический способ решения: а) -х^ + 7л: - 10 = О Решение: б) л:^ + 4л: + 3 = о Решение: 1 О 4 4 о - о Z 1 -t }-4 t г-] L0 4 г 1 в ^ t ) л -1 1 -2 1 —о 1 4 1 —о 1 i 5 А 4 о 2 1 _р В-1 В-] L0 1 2 J 4 р ) л -1 1 -2‘ ' о. -3 t 4 4 1 -5 ^ < Е Ответ: Ответ: щ 34 Глава 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' § 24. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О Дополните предложение: 1) Уравнение вида ax^^ + Ъх + с = О называется _ числа а, Ь, с — ___________, причем а __________ 2) Коэффициенты называются: а —___ Ь —__________________________, с — 3) Квадратное уравнение называется _ если его старший коэффициент______ 4) Квадратное уравнение называется если его старший коэффициент отличен от Если а ^ О, Ь Ф О, с ^ О, то полное квадратное уравнение л Если а Ф О, Ь ^ О, с = О, то неполное квадратное уравнение Если а Ф О, Ь = О, с ^ Of то неполное квадратное уравнение Если а ^ Оу Ь = О, с = О, то неполное квадратное уравнение 5) Корнем квадратного уравнения называется всякое значение Ху при котором квадратный трехчлен ах^ + Ьх + с______________________________ . О Выпишите номера уравнений, которые являются квадратными: 1) 5л;2 - 7х + 10 = О 3) -1 + 6л: - 2л;2 = о 2) ^ - 2л: + 8 = о 4) Зл:^ - 2л:2 + 6 = о л: Ответ: W и о О X о ш X сг m 3 о X 30 -f S 3D 35 i Заполните таблицу: Уравнение Коэффи- циенты Уравнение Уравнение Полное Не- полное Приве- денное Неприве- денное 5л:^ - 2л: + 16 = 0 5 -2 16 -ь + 1 3 -8 3 - 6л;2 = 0 7 0 4 6 0 1 -9 2 0 0 Установите соответствие между уравнением и его названием: 1) Приведенное неполное квадратное уравнение 2) Неприведенное неполное квадратное уравнение 3) Приведенное полное квадратное уравнение 4) Неприведенное полное квадратное уравнение A) Зл:2 + 7д: - 8 = О B) + 2х = О В) 4x^-6 = О Т) х^ - Зх + 4 = 0 Ответ: 1) 2) 3) 4) О Выполните действия, чтобы коэффициенты квадратного уравнения были целыми числами: ш -^36 а) 0,1х^ + Ох - 0,7 = о Решение: Чтобы коэффициенты квадратного уравнения стали целыми числами, умножим правую и левую части уравнения на 10: 0,1л:2 + Qx- 0,7 = 0|10 х^ + 60л: -7 = 0 з'’*1 Решение: 6)±х^ +^х-- = 0 3 2 4 в) 0,4л:^ + 4 л: + I = О о о Решение: -4-- Решите неполные квадратные уравнения: а.) - X = 0 б) 5л:2 - 3 = 0 Решение: Решение: х^ - X = 0 5л:2 - 3 = 0 х(х - 1) = 0 (4bxf - фг = 0 X = 0 или л: - 1 = 0 г — 1 фх - S)iSx + 7з) = 0 «Д/ д. Ответ: 0; 1. yfEx - >/3 == 0 или Sx + S = Sx = л/З Sx = s 7з Vi5 X = л: = — V5 5 Vl5 Ответ: . Vl5. n/15 ^7 в) 6х^ - 6х = О Решение: г) Зх^ -4 = 0 Решение: Ответ: О Найдите корни уравнения: а) 4х^ = о Решение: Ответ: в) 2 = 7jc2 + 2 Решение: «ГГ —4- Ответ: 1 1 1 i -- ^ i i —i ^ 1 1 1 i ' 1 1 V-f Ответ: б) 4х^ - Их = х^ - Их + 9х Решение: Ответ: г) Зх^ = -2х Решение: ^ Ответ: 38, о Решите неполное квадратное уравнение: а)|.»-| = 0 Решение: б) 10х^ - 12,1 = О Решение: !"-!=« 1-6 4д:2 - 9 = О (2х - 3)(2х + 3) = О 2jc - 3 = О или 2л: = 3 л: = 1,5 2л: + 3 = О 2л: = -3 X = -1,5 Ответ: 1,5; -1,5. Ответ: в) 3(л:2 - 2) = 2(л:2 - 3) Решение: г) 3^2 _ 5 ^ Q 5 3 Решение: Ответ: Ответ: О Найдите корни неполного квадратного уравнения: а) -7и = О Решение: 5и^ -7и = О 5и{и - Z) = О 5 5и = О или и = О б) 7х^ - 1,4л: = О Решение: и-1 = 0 5 1^ и= 1,4 Ответ: 0; 1,4. Ответ: i ! 1 j 1^ , 1 1 ' : 1 : , 1 i j j i ! 1 ! ‘ 1 1 ^ 1 1 i 1 i 1 ■ 1 1 1 1 i ^ Г i L 1 1 1 1 1 3^ U/i N> О о X 0 ш 1 £ m л о X X -I X X в) 4,2q = 0,2g^ Решение: г) г(3 - г) = г(7 + г) Решение: t- ‘ i-t- Ответ: Ответ: Решите квадратное уравнение, разложив левую часть уравнения на множители: а) 2^ - 5г + 4 = О Решение: Разложим левую часть уравнения на множители: 2^ - 52 + 4 = 2^ - 42 - 2 + 4 = (2^ - 42) - (2 - 4) = z(z ~ 4) - (2 - 4) = = (2 - 4)(2 - 1) Решим уравнение: 2^ - 52 + 4 = О, (z - 4)(z - 1) = О 2-4 = 0 или 2-1 = 0 2 = 4 2=1 Ответ: 4; 1. б) г/2 + 7у - 8 = О Решение: i ! ___^ , I I : I I ' ! ' ‘ —г I S Ответ: 40 в) - р - 6 = о Решение: ' I .. L ... ^ ‘ ■ i I ■ ^ ^ ‘ 11 ■ 1 -- ! ' * I I ! i i . ’ i : Ответ: О При каком значении k один из корней уравнения: а) - kx = О равен 1; Решение: Если X = 1, то 3 • 1^ - /г • 1 = О, 3-^ = 0, k = S. Ответ: при k = S. б) Зх^ + 4х + ^ = о равен 2; Решение: Ответ: в) + 6х + k = о равен -4; Решение: СОО ю о О X о ш X 0“ гп Z3 о X X •ч Ответ: 41 + ^ § 25. ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ О Дополните предложение: 1) Дискриминантом квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = О называется выражение ______________________. Дискриминант квадратного уравнения показывает_________________________имеет уравнение. 2) Если D > О, то квадратное уравнение имеет 3) Если Z) = О, то квадратное уравнение имеет ________________. 4) Если Z) < О, то квадратное уравнение ______________________. О Заполните пропуски: .'v"" 'и' ■* ^S.'^ !:V О Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите число корней этого уравнения: а) 4jc2 + 5jc + 7 = О Решение: D = b^ - 4ас, Z) = 52 - 4-4-7 = 25 - 112 = -87. D < О, значит, уравнение не имеет корней. 42 б) 8л:2 - Зл: - 4 = о Решение: в) -Зх^ + X - 5 = О Решение: г) 4 - 2х^ - X = О Решение: д) 5 - 6jc + = О Решение: Приведите уравнение к виду ах^ + Ьх + с = О и найдите дискриминант: а) 4х^ - 2х + 6 = 7 + 2х Решение: 4х^ - 2х + 6 = 7 + 2х 4х^ -2л:+ 5- 7-2л: = 0 4л:2 - 4jc - 2 = О I : 2 2л:2 - 2л: - 1 = О D = (-2)2 - 4 • 2 • (-1) = 4 + 8 = 12 г: iC* •О хя в О TS ж 1 о т 3^^ > * ^ O' ? К :-7' flit W- S *' ^ 43 б) Ix^ - бл: - 3 = + 5jc + 1 Решение: в) (д: - 3)(2jc + 4) = -10 Решение: -1—-1- 0 Решите квадратное уравнение: а) 5jc^ + 8д: - 4 = о 1 Решение: 5д:^ + 8л: - 4 = 0 D = W - 4ас, D = - ^ Ь- (-4) = 64 + 80 = 144. X = -Ь±у[р 2а Ответ: 0,4; —2. б) д:^ - 9л: + 20 = о Решение: X, = = _ -8 + ^/I44 _-8 + 12 _ 4 _ = ^ = 0,4 2-5 10 10 -8 - Vlii ^ -8 -12 ^ -20 ^ 2-5 10 10 в) 4д:^ - 7д: - 2 = о Решение: -2 Ответ: Ответ: 44 При каком значении параметра р уравнение имеет один корень: а) + рх + 16 = О Решение: Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0. D = b^ - 4ас, П = - 4.1.16 = р2 _ 64 - 64 = О, (р - 8)(р + 8) = О р - 8 = О или р + 8 = О р = 8 р = -8 Ответ: при р = 8, р = -8 уравнение имеет один корень. б) х^ + 2рх + Зр = О Решение: О Найдите корни уравнения: а) {х - 2)2 = Зл: - 8 Решение: ■ •—- -г Ответ: в) - рл: + 9 = О Решение: Ответ: б) (х - 2)(х + 2) = 7х- Ы Решение: ___L L Ответ: ift' »п‘, i 45 в) (X - 3)2 - 16 = (1 - 2xY Решение: г) х^ — X 2х — 4 3 5 Решение: Ответ: каких значениях переменной: а) значение многочлена 2^ - 12г + 35 равно 0; : Решение: 2^ - 12г + 35 = 0 I D = (-12)2 - 4.1- 35 = 144 - 140 = 4 _ -(-12) +V4 _ 12 + 2 _ 14 _ -(-12)-Vi _ 12-2 _ 10 21 ” 2 “ 2 “ Ответ: при 2 = 7, 2 = 5. 2 б) трехчлен 2 + у - — равен двучлену 2у^ - Зу; 2 Решение: t 4- --I 46 Ответ: в) значения двучленов \,Ъу^ + 0,5 и Sy - 2,5z/^ равны; Решение: Ответ: О Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 330. Решение: / этап Пусть п — первое число, тогда /г + 7 — второе число. Так как произведение этих чисел равно 330, то составим уравнение: п(п + 7) = 330. 47 II этап Решим полученное уравнение: п{п + 7) = 330 п^+1п- 330 = о III этап Ответ: Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника 26 дм. Решение: / этап Пусть стороны прямоугольника а и &, а d — диагональ. По условию задачи Ь — а = 14, Ь = а + 14, d = 26. По теореме Пифагора ^2 = д2 ^2^ Получим математическую модель данной реальной ситуации: 26^ = + (а + 14)^. II этап Решим полученное уравнение: !_..........................................1, 48 Ill этап Ответ: + ^ § 26. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ■г'" УРАВНЕНИЯ уравнением. Для его решения вводят новую переменную решают уравнение относительно новой переменной ____ а затем возвращаются к переменной__________. 5) Метод введения новой переменной еще называют методом <.Л; Дополните предложение: 1) Алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень, называется_________________________ выражением с одной переменной. со» ю <п 2) Если г(х) — рациональное выражение, то уравнение г(л:) = О называется _________ уравнением. > Лшт о X 3) Корень уравнения, который обращает знаменатель рационального уравнения в нуль, называется корнем и в ответ его _____ ________________________ 4) Уравнение вида + Ьх^ + с = О называется ______________ от X tr m < 5 ш X m X s X 49 0^ О Решите уравнение: Sx — , 2х^ - X Решение: Зх - х^ , 2х^ - X + = X -6 2 б 9л: - Зл:^ + 2л:^ - л: - бл: = О -л:2 + 2л: = О I • (-1) л:2 - 2л: = О л:(л: - 2) = О Ответ: б) Зх + 1 7л: - л:^ х^ —1 4 10 Решение: :———'—~ Ь—I—i—г-^ Ответ: Ш: в) л:^ — 2л: 4л: — 3 2л: - 1 1 — 2л: Решение: 1 П 'Г i ; i : i ! 4 ^^ I 1 г) 2^ — 5 _ 3^ + 21 i/ + 5 2у-1 Решение: 50 Кы Ответ: Ответ: О Найдите корни уравнения: 2 32 а) X X — 4 JC Ч- 4 Решение: X (х+4 )(х-4 jc' -16 32 X -4 х + 4 х -16 х(х + 4)-2(х-4)-г2_ (х - 4){х + 4) х^ + 4дс: — 2а: + 8 — 32 _ q {х - 4){х + 4) х^ +2х — 24 (х — 4)(л: + 4) = 0 (х^ + 2д: - 24 = о X 4 X ^ -4 [JC = 4 — посторонний корень X = -6 Ответ: -6. б) Зле + 1 ^ 5 _ бле — 2 ле ле - 2 х^ -2х Решение: L- J____U J—к h Ответ: N) Ф ? SZ 2К "-^ 0 1 - || сг m I' uu о н а ft) н ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ft) Б (Т> к О) — . - f — 1 - j ] h ; 1 ; . I г г 1 i ‘ ; i ' I — i'^i 1 l i I ' j - n - - ; — ■ -'4 in- t -j I i I I ' I -i- i i i — i .!_1 _ ! ! _ . . 1 - -t 1 1 1 I _j.... - i ! ^ ■ I -1 ; - ' -1--I i ; - r ^ j 1 j ” 1- i I I I i J I ._. J 1- - 1 ________j ”1-----г •тз ф В ф а S Ф со н + со н + ^э H + I H to I I to H to U-. I— - н I <м + н Si н (М — — Е-> II — — f' - г Qi 1 т Si н о VO _L. § 26. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ со U- Ен О PQ Ен О + СО II =Si Н ю II Si 1 1 Ен О) П Н О щ о Решите дробно-рациональное уравнение: ч 1 1 а)-------г + х-1 х^-1 8 Решение: б) —I-----— Н--— = О X дс + 5 д: - 3 Решение: J__________L J____L Ответ: в) —-—I ----1—-— = о Решение: ^54^ Ответ: О Решите уравнение методом введения новой переменной: а) + 41и^ +5 = 0 Решение: 9и^ + 41^2 + 5 = 0 Пусть X = 1/2, тогда уравнение примет вид: 9^2 + 41л: + 5 = 0. Решим уравнение относительно новой переменной: 9jc2 + 41л: + 5 = 0 П = 412-4-9-5= ______ = ^2 = Вернемся к старой переменной и решим уравнения: и = х^ Ответ: б) (д:2 + хУ - 8(х‘^ + л:) + 12 = о Решение: Ответ: <09 ГО О) г JZ I.Q z O' z O’ m 5 Ш z m z z z '55 в) 16у^ - 24у^ + 9 = 0 Решение: Ответ: ___ г) yfu+ и = 6 Решение: Ответ: При каком значении переменной: а) сумма дроби ^ | и дроби, обратной данной, равна 2,5? Решение: 56 1—f- Ответ: \ У б) сумма дробей — и---^ равна их произведению? Решение: Ответ: § 27. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ О Опишите этапы решения задач: / этап __________________________ II этап______________________ ___ III этап На I этапе производится перевод условия задачи с обыденного языка на ____ ______________________• На II этапе происходит решение На III этапе анализируются полученные на II этапе результаты и записывается ____ _______ го г > m S > X m о S m S g m s ■D m § cr X X X о X > J= X X* 57 о Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования: 1) Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшится на —. Найдите эту дробь. 4 Решение: / этап Пусть X — числитель искомой дроби, тогда х + 4 — ее знаменатель. Искомая дробь имеет вид X X + 4 . При увеличении числителя на 2 по- лучим числитель новой дроби л: + 2, а знаменатель новой дроби будет л: + 4 + 21 = л:-1-25. Получим дробь ^ ^ . По условию задачи новая х-\-2Ъ дробь X 2 х^2Ъ меньше исходной X X + 4 на —, значит, получим уравне- X ние: ^ ^ ^ + — = х-\-2Ъ 4 X-]- 4 II этап Решим полученное уравнение: III этап Ответ: 58 2) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если прибавить к числителю 3, а к знаменателю 18, то полученная дробь будет на 1 меньше исходной. Найдите исходную дробь. Решение: / этап II этап Решим полученное уравнение: III этап Ответ: 3) Длина земельного участка прямоугольной формы на 20 м больше его ширины, а площадь равна 800 м^. Найдите длину и ширину участка. Решение: / этап Пусть хм — ширина участка, тогда его длина (х + 20) м. По условию задачи площадь участка равна 800 м^, то есть х {х + 20) = 800. 59 II этап Решим полученное уравнение: 1^ 1 1 1 1 1 ! i : 1 1 ; 1 .1 j ' 1 ! ' ? 1 1 1 ! 1 , , 1 . 1 i ! ^ ^ ^ ' Я III этап Ответ: 5) Расстояние между пристанями равно 112 км. Двигаясь по течению реки, катер прошел это расстояние на 1 час быстрее, чем на обратном пути. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Решение: / этап Пусть собственная скорость катера V ^ = х км/ч. •' гг совет ' S, км V, км/ч t, ч По течению 112 X + 1 112 JC + 1 Против течения 112 X - 1 112 X — 1 Связь На 1 ч < 112 112 Составим уравнение: ----±±±- — \ Х — \ X -{-1 II этап Решим полученное уравнение: 60 Ill этап Ответ: 6) На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 ч раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был двигаться поезд по расписанию? Решение: I этап S, км Vy км/ч ty ч По расписанию 300 300 X X По факту 300 л: + 10 300 л: +10 Связь На 1 ч > Составим уравнение: ________ II этап Решим полученное уравнение: 1 ^ ^ ^ г 1 j I 1 1 ■ 1 ' мм:! I [. J 1 Ill этап Ответ: 7) Велосипедист выехал из города в поселок, который находится на расстоянии 24 км, возвратился другой дорогой, длина которой 30 км. Несмотря на то что на обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч, на обратный путь он затратил на 6 мин больше, чем на путь из города в поселок. С какой скоростью возвраш;ался велосипедист? Решение: I этап а 6 1 60 10 S, км F, км/ч t, ч Связь Из города в поселок Из поселка в город X Составим уравнение:_________ II этап Решим полученное уравнение: — 1 i ' 1 1 1 . L 1 ; 1 - 62 j__L_l III этап Ответ: 9) Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 тонн стали с 30%-ным содержанием никеля? Решение: I этап 5% никеля + 40% никеля = О 30% никеля 140 т стали II этап Решим полученное уравнение: III этап Ответ: X т стали (140 - х) т стали 5% от л: — это 0,05а: т никеля в I сорте стали; 40% от (140 - л:) т — это 0,4 • (140 - лс) т никеля во II сорте стали; 30% от 140 т — это 0,3 ■ 140 т никеля в конечном сорте стали. По условию задачи получим уравнение: 0,05л: + 0,4(140 — л:) = 0,3-140. ю •ч г > m ■S X m о S m "2 О 13 m S ■о m > 0" I X о S ■ л S 63 10) Усовершенствованный станок-автомат изготавливает в час на 40 деталей больше, чем станок старой модели и поэтому для изготовления 2400 деталей на новом станке нужно на 10 ч меньше, чем на старом. Найдите производительность усовершенствованного станка. Решение: / этап Производительность, деталей в час Количество деталей Время работы, ч Старый станок д: - 40 2400 2400 jc — 40 Новый станок X 2400 2400 X Связь На 10 ч < Составим уравнение: II этап Решим полученное уравнение: III этап Ответ: 11) Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на б дней меньше, чем другому? 64 Решение: / этап Составим уравнение: II этап Решим полученное уравнение: III этап Ответ: •V ^ § 28. ЕЩЕ ОДНА ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Время выполнения работы по отдельности Часть работы, выполненная за 1 день Часть работы, выполненная за 4 дня Связь частей I комбайн 1 II комбайн Дополните предложение: Корни квадратного уравнения ах^ + 2kx + с = О можно вычислить по < формуле _________________ _____ ______________ _______ _______ I Корни квадратного уравнения х^ + 2kx + с = О вычисляются по фор- ^ муле ___ _____ ____________________ ______ _______ ________• 5 65 Решите уравнение: а) -х^ + 6jc - 8 = О Решение: -х^ + 6х-8 = 0\- (-1) - 6л: + 8 = О 2 _ 2-Зл: + 8 = 0 X X = -k ± — ас X = -(-3) ± V(-3)^ -1-8 = 3±n/9-8 = 3±1 х^ = 4, х^ = 2 Ответ: б) 2^ -62-7 = О ! I в) х^ - Юл: + 21 = О Ответ: Ответ: г) л:^ + 12л: + 20 = О Ответ: О Найдите корни уравнения, используя наиболее рациональную формулу корней квадратного уравнения: а) - 2у + 2 = о б) 02 + 42 + 1 = о Ответ: в) 1х^ + бл: + 1 = О Ответ: г) - 2у - 1 = о Ответ: Ответ: ^“4 О Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то найдите § их рациональным способом. ^ а) + 6п + 1 = О б) + 8л: - 13 = О 5 Ответ: Ответ: О *0 X m X Ю (О н гп О -D m г > ш m 71 в) - л: - 20 = о Решение: Ответ: ___________ г) + Зд: - 28 = о Решение: Ответ: i’l? О Найдите второй корень уравнения, если дан один из корней уравнения: а) д:^ - 21jc 4- 54 = о, д: = 3 ^ Решение: По теореме Виета д:^ • дГз = 54, значит, 3 • ДГ2 = 54, д:2 = —, = 18. Ответ: 18. ^ б) 9д:2 - 20д: - 21 = 0, = 2 Решение: Ответ: в) + 17х - 38 = о, = 2 Решение: Ответ: 72 ф Запишите квадратное уравнение + рх + q = 0^ корни которого равны: а) 2 и 5 Решение: По теореме Виета х^ + х^ = ~р, х^-х^ = q. Подставим корни уравнения в эти равенства, чтобы найти коэффициенты квадратного уравнения: -р = 2 + 5 Р = -7, gr = 2-5 = 10 Ответ: х^ - 7х + 10 = 0. б) -1 и 3 Решение: Ответ: в) 0,4 и 2-2 Решение: Ответ: О Составьте квадратное уравнение по его корням: а) = 1 + 7б; ^2 = 1 - ^/6 * Решение: Ответ: б) х^ = -^/7; х^ = yfi Решение: Ответ: NJ р н m О тз m > ш s; гл 73 в) х^ = у[2\ Х^ = ^ Решение: Ответ: а) Один из корней уравнения + pjc + 35 = О равен 7. Найдите второй корень уравнения и коэффициент р. Решение: Ответ: б) Один из корней уравнения x^-4x + q = 0 равен 2. Найдите второй корень уравнения и коэффициент q. Решение: Ответ: Не решая уравнения х^ + 7х - 11 = О, найдите значение выражения, если х^ и х^ корни этого уравнения: а) jcf + х1 Решение: Ответ: 74 б) (Xj - Решение: Ответ: JC, Хо в)—+ — Х2 х^ Решение: Ответ: г) xf + х1 Решение: Ответ: |Ш1 т 75 § 30. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дополните предложение: 1) Если в уравнении переменная содержится под знаком корня, то уравнение называется_________________________________. 2) Метод решения уравнения, при котором обе части иррационального уравнения возводятся в квадрат, называется________. 3) При решении методом возведения в квадрат иррациональных уравнений возможно появление_________________________ корней, которые надо отсеять, выполнив проверку. 4) Два уравнения называются равносильными, если они _ ______________корни или если они оба_______ корней. О Заполните таблицу: Равносильные преобразования Неравносильные преобразования 1) 1^ 2) 2^ Могут появиться посторонние корни! Решите уравнение: а) yJSx + 4 — 8 Зле + 4 = 64 Зд: = 64 - 4 Зд: = 60, д: = 20 Ответ: 20. б) л/2 - 5д: = 4 76 в) >Jx + 8 —2 = 0 Ответ: О Найдите корни уравнения: а) у1х^ - X -19 = 1 [ ! ! i Проверка: — ^ 1 i : ^ - 1 1 Ответ: Ответ: г) 75л:+ 4 -7 = 0 ' 1 Ответ: б)^ = 4 \1х^ + Зл: -12 Проверка: - 1 — - Ответ: ■ 77 в) yj4* 14лг -|- 33 — 3 — О г) у1х^ + 20л: + 61 -5 = 0 t , > Проверка: Проверка: Ответ: Ответ: О Решите уравнение: а) J- х-3 X х-3 Ответ: б) + 2х _ JC + 4 V л: + 4 Ответ: в) . М X г) /10 = V X 78 Ответ: Ответ: О Решите уравнение, используя метод введения новой переменной: а) 2jc - 1 - 10у12х 1 - 39 = О б) 3(3л: + 2) - lyJSx 4- 2 + 3 = 0 Введем новую переменную у ^ 2х - 1, у > о тогда 1/2 - Юг/ - 39 = о у = 13 или у = -3 — посторонний корень ^2х-1 = 13 2д: - 1 = 169 2х = 170 д: = 85 Ответ: 85. Ответ: в) -(5д: - 1) + yj5x-l + 3 = 0 г) 2(4д: + 7) - 2^4д: - 7 + 0,5 = 0 1 i 1 i -f 1 ! i 1 + 1 ! 1 1 1 1 ’ 1 i._ . 1 1 ‘ Ответ: Ответ: С0» О S *0 5 с S О X > S3 or X сг V- гп г-5, со ' Х'^ т Хч 1х' fXI 79 оо о ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ О ч U ф н р о ч U ф н о\ N) -f 00 Глава 5. НЕРАВЕНСТВА + _ § 31. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ' НЕРАВЕНСТВ О Дополните предложения: 1) свойства числовых неравенств: • Если a>bvib> Су но а с. • Если а > Ь, то а + с Ь + с. • Если обе части неравенства умножить на одно и тоже положительное число, то знак неравенства _______________________. Если а > Ь и /тг > О, то am Ьт. • Если обе части неравенства умножить на одно и тоже отрицательное число, то знак неравенства _______________________. Если а > Ь и т < Оу то am Ьт. • Если a>bnc>dy то а + с Ь + d. • Если а, by Су d — положительные числа и а > 6, с > d, то ас bd. • Если а и Ь — неотрицательные числа и а > Ь, то а" Ь”, где п е N. 2) Неравенства вида а > Ь, с > d (или а < by с < d) называются неравенствами __________________________________________ смысла. Неравенства вида а > by с < d (или а < by с > d) называются неравенствами смысла. чисел а VI Ь. 3) Число ®_±_^ называется 2 4) Число yfab называется _ чисел а VI Ь. Неравенство Коши имеет вид О Сравните числа х и уу если: а) X - у = 0,04 Решение: X - у = 0,04 > о, значит, х > у. С9> со •А О ш о S' о н § X S о О 03 2: X X m 5 03 ш X о н 03 81 6) X - у = -0,01 I Решение: в) 2{х - у) = -0,5 Решение: Решение: Заполните пропуски знаками так, чтобы получилось верное равенство или неравенство: а) 21 8 б) 0,4 2,125 в) -1 4 _1 3 г) -1 -0,14 4 О Сравните значения выражении: а) 32,16 : 1,6 и 6,7 : 1 3 Решение: Ответ: б) -1,24-7,5 и 12:(-1,5) Решение: Ответ: 82 в) 0,2 • (-0,3) • 0,5 и 0,26:(-13) Решение: Ответ: г)1+1_1и2 (-3,5) 3 4 2 7 Решение: Ответ: О Известно, что а > Ь. Сравните значения выражений: а) -2а и -2Ь б) -—а и -—Ь 2 2 Решение: а> Ь \ -(-2) Решение: -2а < -2Ь Ответ: в)а4-би6 + 6 Решение: г)5-а и5-Ь Решение: Ответ: Ответ: £9» ib;5 —I 5 X S О t3 О ш г ■ н fax fein Fig* ш f’ac ч ш 83 о Известно, что а > Ъ. Расположите в порядке возрастания числа: а + 2; Ь - 8; а + 11; Ь; Ь - 6; а. Ответ: щ * ,5 О Докажите неравенство: а) (х - 3)^ > х{х - 6) Доказательство: (х - 3)^ > х(х - 6) (л: - 3)^ - х{х - 6) > О X 2 -t 6jc + 9 - + 6л: > О 9 > О — верное неравенство в) л:^ + 1 > 2(3л: - 4) Доказательство: б) (л: + 5)^ > л:(л: + 10) Доказательство: г) х^+ 5 > 10(л: - 2) Доказательство: Известно, что а > Ь > 0. Заполните пропуски знаком > или <, чтобы получилось верное неравенство: а) 12а ___10Ь в) -15а_____-14Ь б) ба ____Ь г) -За —2Ь Известно, что 3 < а< 4. Оцените значение выражения: а) 5а Решение: 3 < а < 4 | • 5 3-5 < а-5 <4-5 15 < 5а < 20 б) -а Решение: в) а + 2 Решение: г) 5 - а Решение: д) 0,2а + 3 Решение: Известно, что 1,4 < л < 1,5. Оцените значение выражения: а) V2 + 1 б) 2 -л/2 Решение: Решение: в) n/2 - 1 Решение: г) -1 -л/2 Решение: О Известно, что а>0,Ь>0,с<0,с?<0. Заполните пропуски ш се» са й г q g. о 1) аЪ _ _• 0 6^ bed 0 m s: 2) ас 0 7) А 0 к . cd 3) cd 0 8) abcd_ 0 |§»: 4) а 0 abd 0 I m IX -/a Ъ с |Q 5) аЪ с 0 0 85 Ч’ + _ § 32. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА монотонность о Дополните предложение: 1) Функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X, если из неравенства < х^, где х^ е X и х^ е X, следует неравенство f(x^)_f(x^). 2) Функция у = f(x) называется убывающей на промежутке X, если из неравенства х < х^, где х. g X и х„ е X, следует неравенство f(Xj)_f(x^). О Установите соответствие между графиком функции и утверждением: 3) 86 A) функция, возрастающая на промежутке (-оо; +оо) Б) функция, возрастающая на (-оо; 0) и на (0; +оо) B) функция возрастает на (-оо; 0] и убывает на [0; +оо) Г) функция, убывающая на промежутке (-оо; 2] Ответ: 1) 2) 3) 4) Ф Укажите характер монотонности функции, график которой изображен на рисунке: а) Функция возрастает на [0; +оо) и функция убывает на (-оо; 0] О ? X X m В < X ж i= X X X > 31 о X о н о X X о о н (Г 87 iO Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке: а) - Г5Г 5 У = fix) I / О У Z i J 1 ! ) ! _р 1-3-2-] 0 L 2 3 4 5 л 1 -1 1 1 i \ -2 \ !. 1 б) - Г5Г 0 А Я 2 у = fix)y -| Г/Т 1 _р 1-3-2-] 0 2 ; ) л -1 ' о- -2 в) i Я ^У 1 О 7 г л о ' 1 ' 5 1 у = fix] 4 . о i Г} 1 /! / f _р t-: г-] 0 ( г 3 ^ 5 X -1 Т2 i о Исследуйте функцию на монотонность: а) у = Зл: - 1 Решение: Пусть < х^, тогда Зл:^ < Зх^ Зх^ - 1 < ЗлГ2 - 1 У1 < Уг 88 Так как из неравенства следует неравенство < i/g, то функ- ция у = Зх - 1 является возрастающей. б) у = -8х + 1 Решение: ----------(- г - --г-—+---,---т- в) !/ = - X Решение: СО М О 5 г) у = Зх^ Решение: X S m § X ж с X X X > г о X О н о X X о о 89 ____ д)у = -Зл:^ Щ$М Решение: п < ш ►“ е л X ш ш X 1 ю < f|f <С ’ *f| С[ Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность: а.) у = \х- 1\ шЯ i 5 А 1 4 1 ^^ о 2 1 -S t-5 J-2-] L0 4 1 с < £ X -1 1 1 1 -2 1 —О ' А 4 1 -5 1 б) у = у[х+ 2 90 гш*;’'^^’ «^т ft- > ^ КУЗ-ТиЧк,'-'. ti^^M . 1Ш&* 132. ИССЛ6Д0ВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ §ь. - i- i »- "'l? 05 iX 40 “00 им =ft 1. 0 с 0 с 41 г н о гН см с 1 1 _ 0 1 _ f i. 0 1 '| см^ 1 со 1 1 ю 1 1 IH ю “СО “СМ ai ii 0 f с 0 с М т н о гн с 1 N С 1 0 т 1 f 0 1 '| см 1 "СО" 1 1 U0 1 СО I н 5ft + :Э5 О VI н VI о со I S ч о <и + н А н S ч 0 <и (N + Н 1 О) [^н ;э5 « S пт я: « >v -& as И (Й t=[ О ф н S « " " П N <я ^ II II Щ со гН ^ ^ I I о Tf 2) Постройте график функции 3) Перечислите свойства функции: —^— ■ 5 4 3 2 1 i _| i-, 3-: 2- Ю 1 2 3 4 б -1 1 1 -2 1 “3^ 1 —4 1 Г 5' ii^ Дана функция у = f{x), где f{x) = -(л: + 2f + 5, если - 4 < л: < О, Vi+T, если О < д: < 3. 1) Найдите: /(-4) = ___ /(-2) = ___ /(0) = ____ т =________ 2) Постройте график функции 3) Перечислите свойства функции: 5 4 3 2 1 1 1 _j ) 4-, Р"1 2- Ю 1 2 3 ^ i -1 1 1 ,-3 ' г* -5 1 ^ 92 Постройте график функции, которая: а) убывает на [-3; 2] б) возрастает на [-4; 5] I к у э А О 1 1 О О 1 -5-4-3 1-2 lb 2 а ; 4 5 X I ' -1 -2 1 i 1 о '4 ft ' г, ! t ]_ 1 1 i С У D 4 1 ft О о О 1 -5 -4 1-а >-2 ‘ |ь 2 а 4 5 ^ -1 '-2 —о '4 ft О 1 в) убывает на [3; 7] и возрастает на [-1; 3] ■ п — i гг У э л ft о о о i 1 1-5 -4 t-a 1-2 lb 2 а ; 4 5 X г -1 -2 о '4 ft ' -=i э г) убывает на [-4; 1] и возрастает на [1; 4] У □Г О 4 ft О о о J 1 -5 -4 1-2 ■ lb 2 а 4 X -1 ^2 о '4 э 1 93 + ^ §33. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 10 Дополните предложение: 1) Решением неравенства с переменной называются такие значения переменной, при которых неравенство с переменной обраш;ается в ______ неравенство. 2) Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с___________________________________________ знаком, ________________________________________ при этом знак неравенства. 3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не изменив при этом знак неравенства. 4) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же ____________________________________ число, изменив при этом знак неравенства на______________________________________________. VJ^r Линейными неравенствами называются неравенства, сводящиеся к ё-г: ВИДУ ____________________________________________________________ . 6) Неравенства f{x) < g{x) и г(х) < 8(л:) называются_____________, ______________________________если они имеют одинаковые решения (или оба не имеют решения). 7) Решением неравенства ах > Ь является х —, если а > О и а X —, если а < 0. а О Проведите равносильные преобразования, которые приведут данное неравенство к виду ах > Ь: а) Зл: - 4 < л: + 8 б) 6л: < 8х + б Зл: - л: < 8 + 4 2л: < 12 94^ в) 5л - 6 - < ж + 4 — г)(л + 2)2 - 3 < 2 + (л - 1)“ О Решите неравенство 2л: — 7 > 8. Решение: Подчеркните числа, которые являются решением этого неравенства: 7; 7,5; 8; 8,5. О Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству: а) 5л: < 25 б) 6л: < 29 25 л: < 5 Ответ: 5. Ответ: в) -X > 15 г) -2л: > 14 0OJ со со ■D m Е m X S m ta х X m X г X X m 5 ш m X о н ш Ответ: Ответ: 95 о Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) 17 + л: > 37 д:>37-17 _________ л: > 20 20 X б) 0,6 - 2jc < о в) 1 + 6jc < 7 т ” ■; X X г) 3 - 2л: < 8 д) 6л: + 1 > о L - Решите неравенство: а) 2(лс + 3) < 3 - л: б) 1Ах - 3 > 2(0,5л: - 2,6) Ответ: Ответ: 96 в) 3(л: - 2) > X - 12 г) 1,8л: + 6 < 3(0,7л: - 0,1) -► X X Ответ: Ответ: ■ЭШ При каких значениях переменной а дробь ^^ является пра- а -1 вильнои? Решение: Ответ: О При каких значениях переменной Ь дробь За-5 а — 1 — неправильная? Решение: Ответ: - (л: + 4)(д: - 4) Ответ: X в) 3(х + 1) - 2(2 - л:) > -11 X Ответ: г) (х + 3)(х -3)<{х + ЗУ X Ответ: X Ответ: Найдите решение неравенства: _ 2y-J. - 1 > О I • 4 а) у - > 1 ^ 4 2у-1 1,5 У 4у — 2у+1-4>0 2у - 3 > О, 2у>3 у ^ 2 Ответ: у > 1,5 или [1,5; +оо). 98 б) 4-1/ _ 5i/ > О У у Ответ: Ответ: О При каких значениях переменной сумма дробей ^—i отрицательна? и 2-1 не- Решение: Ответ: О Найдите область определения функции: а) I/ = 7-3(л: + 1) Решение: -3(х + 1) > О л: + 1< О л: < -1 Ответ: D{y) = (-сю; -1]. :(-3) -1 т и>» ы тз m Е m X SIk m ь х X m X £ X X m 5 ш гп X о ш 99 б) 2х — 8 Решение: в) 7-5(5 - 2х) Решение: Ответ: X X Ответ: § 34. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ О Дополните предложение: 1) Квадратным неравенством называется неравенство вида , где а Ф 0. 'j-’ '^1 ■0У' 2) Если дискриминант D квадратного трехчлена ax^ + bx + с меньше нуля и при этом а > О, то неравенство ах^ + Ьх + с > О выполняется при _____________________________________________ переменной х. 3) Если дискриминант D квадратного трехчлена ах^ + Ьх + с меньше нуля и при этом а < О, то неравенство ах^ + Ьх + с < О выполняется при______________________________________________переменной х. 100 о Используя схематический график квадратичной функции, решите неравенство: а) - 7л; + 6 > О Решение: Найдем корни квадратного трехчлена - 7х + 6. х^ - 7х + 6 = О X = 6 или X = 1 Построим схематично график функции у = х^-7х + 6 и отметим промежутки, удовлетворяюш;ие неравенству л:^-7л: + 6>0. Ответ: (-оо; 1], [6; + оо). б) - 5;с - 50 < О Решение: X Ответ: в) + 6л: + 8 > о Решение: г) л:^ - Зл: - 40 < о Решение: X X Ответ: Ответ: iOi ■Ok ■о m Е m X X m 7s J3 I X к X X m 5 Ш m X о Ш 101 ш О Установите соответствие между неравенством и графической ил- ■i. люстрацией решения: 1) л:^ - л: - 12 < 0 А) 2) л:^ - л: - 12 > 0 -5 1 X 3) л:2 - 5л: + 6 < 0 Б) 4) л:^ + 4л: - 5 > 0 2 3 X В) ^^ -3 4 X Г) -3 4 X Ответ: 1) 2) 3) 4) О Отметьте множество решений неравенства на координатной прямой: ^ ^ а) Зд;2 + 2л: - 1 > О Решение: б) л:^ + 4 > О Решение: X Ответ: Ответ: 102 ш о При каких значениях х имеет смысл выражение: -1 а) yJSx^ + Юл: — 8 Решение: Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство: Зх^ + Юл: - 8 > О у1бх^ — 16х Решение: X Ответ: Ответ: в) Решение: г) (Зл:^ -Ь 5л: — 2) Решение: -J V X «о» •О m Е m X X т 3 2 > ■н X сг X X гп 2 ш m X о н ш Ответ: Ответ: 103 > ;W^f ж О Решите методом интервалов неравенство: а) 12 > 17х - 6x2 Решение: 12 > 17х - 6x2 6x2- 17д. + 12 > О Найдем корни квадратного трехчлена 6x2- 17^ + 12 = о + 3 + 1 X ^2 х = 3 или X = ^ 2 3 Отметим на координатной прямой корни квадратного трехчлена и выберем промежутки, на которых он принимает положительные значения. Ответ: б) 0,5x2 - 12 < о Решение: в) 20x2 < 4 Решение: Ответ: Ответ: Решите неравенство методом интервалов: б) (X + 3)(х - 4) < о ' Vfe* а) (х - 0,5) |х -I > 0 .'■Ж ж ; ftgUgi - --Д 104 ► X Ответ: X Ответ: в) (л: + l,5)(jc - 2,5) < О г) (х + 6)(л: + 8) > О I ч- -U X X Ответ: Ответ: , ^ § 35. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ к О Дополните предложение: 1) Модуль разности между точным значением величины л: и ее приближенным значением а называется ______________________________ и обозначается _______________ _________ . 2) Правило округления: если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно брать приближение _ > если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то нужно брать приближение _____________________________________________. 3) Если а — приближенное значение числа л: и |л: - а| < /г, то говорят, что абсолютная погрешность приближения не превосходит h или что число_______равно числу____ с точностью до ____________________. О Сложите числа а и 6 с точностью до h: а) а = 3,471826; Ъ = 1,5407; h = 0,01 Решение: а + & = 3,471826 + 1,5407 = 5,012526 * 5,01 б) а = 0,034159; Ь = 1,517862; h = 0,0001 Решение: m X X о* m U ■ X . > X .. m X X X Зз m х< q Ш S н гп S3 хг X" 0* >< X S о m :э 105 щшш ШШ в) а = n/2; 6 = 75; л = 0,1 Si Решение: О Найдите разность чисел а и Ь с точностью до h: а) а = Ь = Mi; h = о,01 905 Решение: 743 а = Mi « 0,47403...; Ь = Mi « 0,294751... 905 743 - Mi 0,47403... - 0,294751... « 0,179278. 905 743 0,18 Й б) а = Vl3; b = yfS; h = 0,0001 Решение: в) а = i; Ь = Mii—; h = 0,001 32100 Решение: 106 о Найдите приближенное значение числа а по недостатку и по избытку с точностью до 0,01: а) а = — 56 Решение: а = М = 0,6964285... 56 По недостатку: а = — » 0,69 По избытку: = ^ « 0,70 56 56 б) а = V? Решение: По недостатку: в) а = — 83 Решение: По недостатку: По избытку: По избытку: 0:& Подчеркните одной чертой приближения числа 3,1257964 по не- ^ достатку, двумя чертами — по избытку: ^ 3,125; 3,13; 3,1257; 3,12580; 3,125797; 3,1; 3,126. ~ О Приближенное значение числа х равно а. Найдите абсолютную 5 погрешность приближения Л, если: J а.) X = 2,85; а = 2,9 Решение: h = \х - а\, h = |2,85 - 2,9| = |-0,05| = 0,05 б) X = 6,748; а = 6,7 Решение: в) д: = 9,653; а = 9,7 Решение: 20 1э m о н ш S HI m :з O' X O’ S< X s о m 23 107 ф Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите ее с точностью до h: а) а = —; h = 0,1 б Решение: а = — = 0,83333... « 0,8 6 б) а = А; Л = 0,01 15 ЕМ Решение: в) а = 1-^; h = 0,001 11 Решение: о Упростите выражение и вычислите его значение до сотых: а) л/27 + ^ + л/25 -3 = Зл/З + 5л/3 = 8ч/3 = = 8 1,73305... = 13,85640 * 13,86 б) 2л/5 + 4-= I ^ г ’ ' ! ^ г ! I I I ! в) (л/з + Sf = I I ■ I I — I i ^ о Оцените погрешность приближенного равенства: а) А :«0,692 13 Решение: — = 0,692307692... 13 г h = |А- 0,6921 = 10,692307692 - 0,692| = 0,000307692... = 0,0003 13 108 7 13 Решение: 0,06 B)V3+i=l,9 6 Решение: Ш ■4 ^ I i I ; ‘ : : I L : J I - ! i I г f i ЫШ4 ^jv- 3 ■о s Составьте десятичные приближения к данному числу с недостатком и с избытком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001: а)А = 13 Приближения по недостатку: Приближения по избытку: i' m i X X г: m U). £ X I m * X s X la m X 6)2 = 3 Приближения no недостатку: Приближения по избытку: cr X г X X s о s 109 § 36. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА О Дополните определение: Стандартным видом положительного числа а называется его представление в виде ___________________________________ , где 1 < < 10, т — , число т называется О Представьте в виде степени числа 10 выражение: а) 100 -10-" = 102-10-" = 102-" = 10-2; б) 102-10" = в) 1000 : 10-'2 = Г i .. Запишите число в стандартном виде: ' ' J а) 52000000 = 52000000 = 5,2 -10^; -И'-.’’ ' ' б) 675000000 = в) 0,00281 = г) 40,44 = ___________________________ д) 0,0000015 = Заполните таблицу: Число Число в стандартном виде Порядок числа 1024000 1,024-10" т = 6 21,56 т = 0,85 т = 5,08-10-^ т = 0,042-102 т = 2,82-10-" т = Выразите: а) 3,8 -102 т в граммах Решение: 3,8 -102 (т) = 3,8 -102 - 102(кг) = 3,8 -10" • 102 -102 (г) = 3,8 -10» (г) 110 б) 1,7-10 ^ км в сантиметрах Решение: в) 8,62 • 10 ^ кг в тоннах Решение: г) 5,24 • 10^ см в метрах Решение: О Выполните действия и запишите ответ в стандартном виде: а) (2,8 • 10") • (2,5 • Ю = 2,8 • 2,5 • 10" • = 7 • 10"-^= 7 • 10*2 б) (5,7-10"): (3,8 10-2) = __ в) (1,5 10-2) (9,2 10-^) = г) (1,56 10-2): (2,6 10-") = _ Сравните числа: а) 1,78 -10" и 2,1-10" Решение: 1,78 -10" - 2,1 -10" = 10"(1,78 - 2,1) = -0,32 -10" < 0 Ответ: 1,78 -10" < 2,1-10". б) 3,9 -10-2 и 6,5 -10-2 Решение: Ответ: в) 8,3 -10^ и 1,4 -10" Решение: Ответ: О Найдите значение выражения: а) 4,1 -10-2 + 7^9.10-3 = _______ б) 5,2-10^ + 2,8 10" = О) р *9 Hi X g» т О т |ш „X 10ш р 111 о Заполните таблицу: Ш Порядок числа а Число Ь Порядок числа Ь -12 100а -15 0,001а -11 а* 10^® а -14 Ю-20 Масса Земли 5,98 • 10^^ кг, а масса Марса 6,4 • 10^^ кг. Что больше: масса Земли или масса Марса и во сколько раз. Ответ округлите до десятых. Решение: 5,98 • 10^^: 6,4 • =____________________________________________ Ответ: масса Земли в ______________________________ массы Марса. Масса Юпитера 1,90 • 10^^ кг, а масса Венеры 4,87 • 10^^ кг. Масса какой планеты меньше и во сколько раз? Ответ округлите до единиц. Решение: Ответ: 112