ФГОС^
Е.М. Ключникова, И. В. Комиссарова
Рабочая
тетрадь
по алгебре
К учебнику А. Г. Мордковича <Алгебра. 8 класс»
Учебно-методический комплект
Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова
Рабочая тетрадь по АЛГЕБРЕ
Часть 2
К учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра.8 класс»
(М.: Мнемозина)
8
класс
Рекомендовано
Российской Академией Образования
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА • 2013
УДК 373:512
ББК 22.14я72 К52
Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Изображения учебных изданий «Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — М.: Мнемозина» и «Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордко-вича. — М. : Мнемозина» приведены на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Ключникова, Е.М.
К52 Рабочая тетрадь по алгебре: часть 2: 8 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 8 класс» / Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова. — М. : Издательство «Экзамен», 2013. — 112 с. (Серия «Учебно-методический комплект»)
ISBN 978-5-377-05898-4
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения).
Рабочая тетрадь является необходимым дополнением к школьному учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 8 класс» (издательство «Мнемозина»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников.
Авторами предложены разнообразные упражнения по всем темам, изложенным в учебнике, в том числе: задания для закрепления изученного материала, задачи повышенной сложности, занимательные и развивающие задачи.
Выполнение теоретических и практических заданий рабочей тетради позволит каждо.му ученику лучше освоить материал учебника и применить полученные знания на практике.
В тетради имеются образцы для выполнения заданий. Нумерация и название пунктов рабочей тетради соответствуют нумерации и названию пунктов учебника.
Тетрадь предназначена для работы с учаши.мися общеобразовательных учреждений.
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях.
УДК 373:512
__________________________________________________________________________ББК22.14я72
Учебное издание
Ключникова Елена Михайловна, Комиссарова Ирина Владимировна
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО АЛГЕБРЕ
Часть 2
К учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 8 класс»
8 класс
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16054 от 28.02.2012 г.
Главный редактор У7.Д Лаппо. Редактор И.М. Бокова Художественный редактор Л.В. Демьянова. Технический редактор 77. Д. Пав.пова Корректор77.7/. Иванова. Дизайн обложки А.А. Коз.пова. Компьютерная верстка Е.Ю. Лысова
Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная.
Уч.-изд. л. 5,3. Уел. печ. л. 9,1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 7464/12.
107045, Москва, Луков пер., д. 8, www.examen.biz
E-mail: по общим вопросам:
[email protected]; по вопросам реализации:
[email protected] тел./факс 641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор про.зукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru
ISBN 978-5-377-05898-4 © Ключникова Е.М., Комиссарова И.В., 2013
© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3. Квадратичная функция. Функция У = ^
§ 20. Как построить график функции у = f{x) + m,
если известен график функции у = f{x)....................4
§ 21. Как построить график функции у = f{x + I) Л- т,
если известен график функции у = f{x)....................9
§ 22. Функция у = ах^ Л- Ъх с, ее свойства и график........ 16
§ 23. Графическое решение квадратных уравнений..............23
Глава 4. Квадратные уравнения
§ 24. Основные понятия......................................35
§ 25. Формулы корней квадратного уравнения..................42
§ 26. Рациональные уравнения................................49
§ 27. Рациональные уравнения как математические
модели реальных ситуаций...............................57
§ 28. Еще одна формула корней квадратного уравнения.........65
§ 29. Теорема Виета.........................................70
§ 30. Иррациональные уравнения..............................76
Глава 5. Неравенства
§ 31. Свойства числовых неравенств..........................81
§ 32. Исследование функции на монотонность..................86
§ 33. Решение линейных неравенств...........................94
§ 34. Решение квадратных неравенств........................100
§ 35. Приближенные значения действительных чисел...........105
§ 36. Стандартный вид положительного числа.................110
.-i-i
Глава 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ^
<о
S
iz
+ ^ § 20. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК
' ФУНКЦИИ y=f{x) + т,
ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = Дх)
О Дополните предложение:
1) Чтобы построить график функции у = f(x) + т, где т — положительное число, нужно график у = f{x) функции сдвинуть на _
единиц __ ________________ _________ _____ _______________.
2) Чтобы построить график функции у = f{x) - т, где т — положительное число, нужно график функции у = f{x) сдвинуть на _
единиц __ _______________.
О Соотнесите действие, выполненное с графиком функции, и формулу, описывающую новую функцию:
1) Парабола сдвинута на 2 единицы вверх
2) Гипербола сдвинута на 4 единицы вниз
3) График функции сдвинут на 3 единицы вниз
4) График функции сдвинут на 1 единицу вверх
A) у = 4х + I Б) у = |л:| - 3
B) у = х^ + 2
Г) у = - - 4
' X
Ответ:
1) 2) 3) 4)
а)
б)
- -Л-
- Я-
о - 9-
2 - -1. -1
_{ 1-4 \ 0 4 J 2 4 5 X
N 1
\ -
—о
—4
1
Ответ:
Ответ:
в)
г)
Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке:
|ig
и
!?н’
кш
-VW f
к>
о
1
ас
з?
I
X
ж
и
S
S
ч:
II
"л
X
Ответ:
Ответ:
Я
Постройте график функции: ■ - а) г/ = Syfx - 2
гп pr у
0 -A
о
1 I о о
1
-5 -4 i-i й 3 4 S
i -1 -2 -3 -4 u !
— — — - f-
в) I/ - - + 3
<п
r У 1
4
О
о о
. j Z _ 1
1 1 1 1 1 ^— 1 __
i-j [6 -1 -2 о [ й s i 6 X
! ^ 1 ‘ : 1
г ■■ i— .
—■ о -4 i —
-J
О Используя график функции 12
у = — 2^ заполните таблицу:
б) у = 4х^ - 4
X 12 1 24
У 4 6 5
Решите графически уравнение:
а) + 2 = X + 2
Постройте график функции у = -х^ + 4.
Используя график функции: а) заполните таблицу:
б) х^ + 2 = у/х + 2
i (Г
о А
Г 3 о
i
; 1
[-i 4 i i 4 £ л
— -1 ' о-
-2 ' о.
—о ' 4
— ' г
О _] _
Ответ:
— i К
0 к4' 3 о
" 1 1
-5 *-< 4 П 4
-1 -2 -3 -4 -5 L_
L
л: 0 2
У 3 0 -5
"iiKi?'...,
и
S
ч
II
б) выделите тот числовой промежуток, для которого у > 0;
в) найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3; 2].
Ответ: и ,= , у =
^ ТТЯИП ---------- ' няим .
ч*
о Дана функция у = f{x)y где f{x)
|л:|, если л: < 1 —, еслих>1
X
1) Найдите:
/(-2) = ____
/(0) =______
Я1) =_______
/(3) =______
2) Постройте график функции
У = fix)
3) Перечислите свойства функции:
1 1 i ГГ ^У 1 1
О л
о
о о
_ -1
1
-£ г-\ i г ^ п р ) ^
-1 ' о
-2 1 ^
'1
0 ^L
РО
л
I О Решите графически систему уравнений:
б) \у = -х^ + 4, у = X-V 2.
1 ^У
о А
ft О
о о
Z
1
[-4 4 i-i i-J L0 i г i 4 £ *х
-1
-2 о
о ' л
ft ' г
—О . 1_
Ответ: (0; 1).
Ответ:
в)
у = - 1,
у = -х^‘ 4- 1.
i к
О Л
О
О о
1
1
4 [0 < < ( X
-1
—2 ' о.
о ' 4
' г,
О 1
Ответ:
Ответ:
f
§21. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ y=f[x+I) + m, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f{x)
О Дополните предложение:
X =
и у
системы координат точку (
2) К новой системе координат привязать график функции
с
О 4
О
о о
1
1
-5 *-4 L0 1 [ i 4 £
“1
—z ' я
о La
1 к
1 J
ч' •• ■
5
-;<Г
5.-
1) Чтобы построить график функции у = f(x + I) + т, надо перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) прямые
, то есть выбрать в качестве начала новой ________;________).
т
vr
г. *я. i»b
«.Г*-»
О Заполните таблицу:
Действие с графиком функции у = f{x) Формула новой функции
2 Гипербола У ~ ~ сдвинута на 2 единицы влево и на 3 единицы вверх
График функции у = у[х сдвинут на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх
У = г(х- 3)2 - 1
У = 2х + 4^ -2
у = —yjx — 2+1
Обведите график заданной функции: а) у = 2х^
б)у = 2{х - 2)2 - 2
в) ^ = 2{х + 2)2 + 2
10
о Установите соответствие между графиком и формулой, которой задана функция:
1)
2)
3)
4)
5)
A) у = yfx
Б)у = у!х-2 + 2
B) У = ^х-\-2 - 2 Г) У = ^х-2 - 2 Л)у = у1х + 2 + 2
Ответ:
1) 2) 3) 4) 5)
WSS:
11
о Напишите формулу функции, изображенной на рисунке: ! а) б)
<
а
- ci-
т э А
гг / q.- О
1 / О - 9-
■ 1‘
_j 4V 2- ю -1 -2 < 2 В ^ 1 S л
-4 -5 LJ
Ответ:
в)
Ответ:
г)
-1 О
ii/
\ у '
\ /
\ /
\
\ /
1 2 з\ 4 А S ( 3 г в Эл
/
Ответ:
О Используя график функции, опишите ее свойства:
Свойства функции:
1) Область определения: D(y) =________________
12
2) Нули функции: у = О при X =___
3) Знакопостоянство функции:
у > О при X е _____________
у < О при X G _____________
4) Функция возрастает на числовом
промежутке ___________________,
функция убывает на числовом промежутке ___________________ .
5) = -------при ^ = ------
и = пои X =
^наим. ------- ---------------
i У
5
4
3
2
1
-5 L-2 1-2 1 _■ [0 2 4 5 л:
-1 -2 -3
-4 -5
6) Функция непрерывна в области определения (или функция имеет
точки разрыва х =_________).
7) Область значений функции: Е(у) =____________________.
б) I/ = (л: + 4)2 - 4 Свойства функции:
1) Область определения: D{y) =________________
2) Нули функции: у = О при X = __
3) Знакопостоянство функции:
у > О при X е______________
у < О при X е ______________
4) Функция возрастает на числовом промежутке ______
i У
■5 А
4
"3
2
1
-5 -4 t-S 1-2 [ _• [О 2 с 4 5
-1 -2 -3 А .
-4 -5
функция убывает на числовом
промежутке__________________
5) !/,„» =------при д: =----
при X =
и =
^ найм ----
6) Функция непрерывна в области определения (или функция имеет
точки разрыва х = ___________).
7) Область значений функции: Е(у) =________________________.
«о»
м
?
0
S
X
0
*<
X
ж
с
X
X
ч
я
ч
♦
о
♦
э
13
s
V? "Ж
в) у — yjx + 2 3
Свойства функции:
1) Область определения:
D{y)=_________________
2) Нули функции:
у = О при X =_________
3) Знакопостоянство функции:
у > О при X G______________
у < О при X е______________
4) Функция возрастает на
числовом промежутке _______
функция убывает на числовом промежутке 5) и . = пои X = . и =
' ^НЯИП. ' ^ ~ ^ *7 НАИМ-
при X
6) функция непрерывна в области определения (или функция имеет
точки разрыва х =__________).
7) Область значений функции: Е(у) =_____________________.
т)у = \х- Ъ\-2 Свойства функции:
1) Область определения: D{y)=_________________
2) Нули функции: I/ = О при X =__
3) Знакопостоянство функции:
^ > О при X G______________
^ < О при X G ______________
4) Функция возрастает на
числовом промежутке _______
функция убывает на числовом
промежутке________________
5) =-------- при ж =---
У.
при X
6) функция непрерывна в области определения (или функция имеет
точки разрыва х =__________).
7) Область значений функции: Е{у) =____________________.
14
о Укажите наибольшее и наименьшее значение функции:
a) г/ = (л: - 3)^ + 4 Решение:
Графиком функции z/ = (х - 3)^ + 4 является парабола с вершиной в точке (3; 4), ветви ее направлены вверх, значит, = 4, а не сущ;ествует.
b) у = -{х + 3)2-5 Решение:
в) ^ = |лг + б| - 2 Решение:
т) у = -yjx + 7 - б Решение:
О Постройте график функции у = /(х).
где
Кх) = (
5
если X < -1
(х - 2)2 + 4, если -1 < X < 4
^ yjx — 4» если X > 4
1) Найдите значения функции при заданных значениях аргумента: -1; 0; 1; 2; 5; 7;
Ответ: ______________________
i i!/
"5
4
3
I 2
^ i
-5 ► -4 [-г 1-5 ) -■ [О 4 J £ 4 £
I -1 I 1
-2
-3
-4
-5
ю
шЛ.
k
I
Ж
е
X
ч
и
3
15
2) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает указанные значения: 0; -3; -4.
Ответ: ____________________________________________________________
^ § 22. ФУНКЦИЯ у = ах2 + Ьх + с,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Дополните предложение:
1) Многочлен у = ах^ Ъх + с называется ______
ах^ называется______________, коэффициент а —
2) Функция у = ах^ + Ьх + с называется ___
функцией.
3) Графиком квадратичной функции у = ___
является ___
4) Осью параболы служит прямая х =
5) Абсцисса х^ вершины параболы вычисляется по формуле
6) Ордината у^ вершины параболы вычисляется по формуле
7) Ветви параболы у =_______________направлены_______
если а > о и направлены Заполните таблицу:
если а < 0.
у = ах^ + Ъх + с а Ъ с Направление ветвей параболы
у = -Зл:^ + 4л: - 2
У = 2 3 -6
у = 4л:^ -2 1
У = -Зле -5 7
У= -1 -9 2
16
о Для данной функции напишите уравнение оси параболы и координаты вершины параболы:
а.) у = - Юл: + б
Решение: Составим уравнение оси параболы х = —— для данной
2а
функции: X = ~ ~ параболы л: = 1, значит,
абсцисса вершины параболы = 1. Найдем ординату вершины параболы - IOjCq + 6:
Уо = 5 ■ 12 - 10 • 1 + 6 = 5 - 10 + б = 1.
Ответ: уравнение оси параболы л: = 1, ОД1; 1) — вершина параболы.
6) у = Зх^ + бл: - 4 Решение:
Ответ:
в) у = 2х^ - 8л: + 1 Решение:
Ответ:
О Постройте график функции у = -х^ -I- 4л: + 5.
Решение: Координаты вершины
4
параболы: Xq = —
= — = 2' 2(-1) 2
1/о = -22-+-4-2Ч-5 = -4-Ь8 + 5 = ОД2; 9) — вершина параболы, л: = 2 — ось симметрии параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как а < 0.
5
е
те;
17
Используя график, найдите:
а) значения функции при х = 1; 4; -1.
Ответ:_____________________________________
б) Значения х, при которых у = в; 0.
Ответ:
в) Нули функции; у = О при ____
г) Промежутки знакопостоянства функции;
^ > О при __________________ у < О при
д) Промежутки возрастания и убывания функции;
е) Значения х, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения.
IS4K
10 Постройте график функции и найдите координаты точек пересечения параболы с осями координат:
СП
§
а) I/ = х^ - 7х + 12
^0= ------------
Уо--------------
Ветви параболы направлены
б) у = -4х^ - 4х + 15
^0=---------------
Уо=---------------
Ветви параболы направлены
I ' ' * 1
5 - А i 1
4 !
о '
2
1
[-i i-i 1-] L0 г i £ л:
-1 1
-Z о- —
-О ^ i
i 1 i
I 1 !
Ответ:
Ответ:
18
о Не выполняя построение графика, найдите значения л:, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение, и само это значение:
а.) у = -4х^ + 4л: + 3 Решение:
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, значит, функция принимает наибольшее значение, которое равно ординате вершины параболы.
=
2 • (-4) 2
%=-4-|| +4-| + 3 = -4-i + 2 + 3 = -l + 5 = 4
У»..»='/Ы = 4-
Ответ: у - = 4 при х =
б) У = Зх^ - 6х + 2 Решение:
Ответ:
в) у = -5х^ + 20х - 4 Решение:
Ответ:
19
о Определите,
сколько решении имеет система:
1
5 л
4
О - о
Z
1
-5 -4 1-5 [_• [о < £ 4 £
-1 1
-2
-а -4 -5
б)
I/ = -(л: + 2)2 - 3, у = 2х - 10.
^У
0 i
4 о
о О
1
-5 -< 1 _• [о 5 £ ! 4
-1 -2 -3
-5 L_
Ответ:
Ответ:
i ^У
0
4 _ о
о о
1
-5 »Н [-i • [о i i i 4 £
-1 -2 -3 -4 -5
г)
у = - 4х + 5,
у = -х^ + 4х.
1 1*/
~о л
4 о
о о
1
-5 -4 1-^ 1_- [о £ 4 5
-1 -2 -3 4
-5
Ответ:
Ответ:
20
о Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х^‘ - Ах
а) на луче (-оо; 3];
Решение:
Построим график функции у = 2х^ - Ах,
Ветви параболы направлены вверх,
^0 =
Уо =
Ось симметрии параболы х =____________
У наиб
(-оо; 3
У
^ найм
(-оо;3]
5 - А
4
6
2
1
_р t-4 4 )- [0 i 1 \ 5 А i л
-1 1
-2 1
-3 1 А
4 1
-5 1
б) на отрезке [-1; 1]; Решение:
в) на луче [0; +оо); Решение:
^У
5
4
3
2
1
_р 1 2-] L0 ( 2 А р Л
-1 1
-2 1
-3 1
—4 1
-О 1
i ^У
5
4
3
2
1
_е J-2-] lo ( 2 3 4 £ ) ос
-1 1
-2 1
-3 1
—4 1
-5'
О
Ш
О
О
н
?
s
>
0
SE
X
21
г) на интервале (-1; 2]. Решение:
О Принадлежит ли графику функции г/ = - 13jc + 40 точка:
<»»
<
с;
а) А(-15; -460) Решение:
Ответ:
б) Б(4; 4) Решение:
Ответ:
в) С(-2; 70) Решение:
22
Ответ: ________________
Известно, что график функции у = Л- рх + q проходит через точки В(-3; -5) и Д(4; -8). Найдите коэффициенты р и д.
Решение:
Так как график функции у = х^ рх + q проходит через точки В и R, то можно подставить их координаты в формулу функции. Составим систему уравнений и найдем р тл q:
1 -5 = 9 - 3p + 9, ( -8 = 16 + 4p + g
Ответ: р
; q =
+ ^ § 23. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
' i-' КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дополните предложение:
Квадратным называется уравнение вида __________
где а, Ь, с — любые числа, которые называются _
г
е
S
X
гп
о
0 m
13
m
Е
m
X
X
m
1
I
X
g;
X
<
13
>
Ш
X
m
X
X
x«
23
со
<
Ш
<
С
О Решите уравнение графическим способом:
а) - 9 = О Решение:
- 9 = О, = 9.
Построим в одной системе координат графики функций у = х^ и у = 9.
Абсциссы точек пересечения будут решением исходного уравнения.
Ответ: 3; -3.
б) Sx^ - 27 = О Решение:
i i 1 п
iU Т • Q - I
О /
- ( А /
о гг /
О - А - I
1 4 о /
О 2- /
/
1 1 У
-5 -4-3 -2 1 _■ L0 [ i I J 3 X
Ответ:
i 1 П
1U о
У -О-
о
- (
о с
о _ А .
4 о
о О
1
-5 -4 -3 -2 L0 4 \ 2 4 1 3 X
в) -4х^ + 16 = О Решение:
Ответ:
i
1U п
у
о
О . к -
о
4
о о
1
-5-4 -3 -2 L0 < J 2 4 3 л:
24
о Решите уравнение графическим способом и сделайте проверку: а) Зх^ - 12х = О
Решение:
Зx^ - 12х = 0 3(х^ - 4х) = О х^ - 4х = О
Построим в одной системе координат графики функций у = х^ и у = 4х.
X
у
Абсциссы точек пересечения будут решением исходного уравнения.
Проверка:
Подставим найденные абсциссы в данное уравнение:
X = О
3 02 _ 12-0 = о 0 = 0
X = 4
3.42 - 12-4 = о 3 16 - 48 = о 0 = 0
Ответ: 0; 4.
6) х^ - Зх = о Решение:
X
у
e, ^y
Ш
ш
m
z
s
25
ГЛАВА 3.
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИ?!. Ф
О
в
ш
<Т)
н
я
о
а
ф
й
но
'С
hd и
(D
В
ф
к
S
Ф со
+
to
Н
tsd
+
со
н
со
1 Т 1 _
1
^ 1
,4-1 1 J_, j
- с - - ^ О i
1 0 N ~ 1 ^ Э |-‘ О Н-* ts S 0 0 4^ C FX
's:
— —
|Гк
СЛ-
о
н
ю
ф
н
я
13
о
а
ф
13
?;
р
X
у
Графики не имеют точек пересечения, значит, уравнение -Ь 4jc + 5 = О не имеет корней.
б) 2х^ + X + 2 = О Решение:
X
у
в) -2х^ - л: - 3 = О Решение:
X
у
О Докажите графически, что уравнение не имеет корней:
а) + 4л: + 5 = О Решение: л:^ + 4л: + 5 = О х‘^ = -4х - 5
Построим в одной системе координат графики функций у = х^ VL у = -4л: - 5
27
способом:
а) - 2л: + 1 = О Решение:
л:^ - 2л: + 1 = О, (л: - 1)^ = О л:-1 = 0, л:=1
Ответ:
X
2 _
2л: + 1 = О, л:^ = 2л: - 1
1/ = х^иу = х-1
л:
б)^х^ -^х = 0 4 2
Решение:
, ii/
" 5
4
3
2
1
4-1 3-i 2-] Ю 1 2 3 ^ 1 ) л
-1 1
-2 ' о-
1
—4 1
-5‘ 1
в) л:^ - 4л: + 4 = О Решение:
Ответ:
Ответ:
л:
1/
i ■ I ^ :
' 5 1
4* ,
3’
”72'
-5- 4-1 3- 2-10 1 2 3 ^ 4 ) л
-1 1 i ^
-2 1 '
,-з
1 -4 1
. “5
л:
У
-б-4-3-2-1 о -1
5
4
3f
2
1
Г»
-4
I
-5
1 2 3 4 5 л
2Г
г) 2х^ + Зл: = О Решение:
Ответ:
I/
"5 4
4
о
1
-5 -4 -S 1-2 1о 2 S 5 X
-1 -2 -3
4 -5
X
у
Выясните, сколько корней имеет квадратное уравнение:
а) - 6л: + 9 = -3
Решение:
л:2 - 6л: + 9 = -3, (л: - 3)^ = -3.
Построим в одной системе координат графики функций
г/ = (л: - 3)2 и I/ = -3.
Графики не имеют точек пересечения, значит, уравнение
л;2 - 6л: + 9 = -3 не имеет корней.
Ответ: нет корней,
б) 2л:2 - 8л: + 8 = 4
Решение:
Ответ:
У
"О А
4 о
О О
■1
-5 -4 [-а 1-^ 2 а 4 5 *х
-1 -2
о ' 4
' г,
О 1
т
29
в) - Юл: + 25 = О Решение:
Ответ:
<
с:
При каких значениях т уравнение имеет один корень?
а) + тх + 9 = 0
Решение: х^' + тх + 9 = 0 х^ + тх + 3^ = о л;2 + 2л:-3 + 32 = 0
{X + 3)2 = о
График функции у = {х + 3)^ — парабола у = х^ смепденная, на 3 единицы влево, значит, уравнение х^ + тх + 9 = 0 имеет один корень в случае, когда m = 6.
При т = -Q уравнение тоже будет иметь один корень. Проверьте этот факт:
Ответ: при т = 6, т = -6.
30
Ь) + Ах + т = о Решение;
i^y
-5-4-3-2-1 О
-1
I
-2
I
-3
I
-4
-5
Ответ:
2 3 4 5 ДС
в) х^ - 2тх + 16 = О Решение:
i ^У
5 А
4
3
~2
1
-5 -4 1-3 1 _< 1-] L0 й 1 3 4 Г с с
-1 1
-2 ' о-
-3 1 А
—4 1
-5
Ответ:
О При каких значениях р уравнение имеет два корня? а) 2х^ + Ах = р Решение:
2х^- + Ах = р
Построим графики функций у = 2х^ + Ах Vi. у = р.
График функции у = 2л:^ + Ах — парабола с вершиной в точке с координатами: х^ = __________,
Уо =--------•
Г-у
?
е
S
X
m
о
О
m
■о
гп
Е
m
X
X
гп
ж
X
к
X
X
5
ш
X
гп
X
X
х^
31
Ветви параболы направлены____________
График функции у = р — прямая, параллельная оси Ох.
При р > -2 эта прямая будет пересекать параболу в двух точках, значит, уравнение будет иметь два корня.
Ответ: при р > -2.
6) + 2х - р = О
Решение:
в) -х^ + 4 = р Решение:
<
1
5
4
1 3
2
! i
-£ 1-5 \-2~] L0 1 г 5 4 £
-1
-2
-3
-4‘
-5
i
5
4
3
2
i
-S >-4 [~Ь 1-] lo i 1 5 4
-1 1
-2 1
-3
—4 1
-5 1
Ответ:
Ответ:
32
о Решите графически уравнение: а) - 6л: + 5 = О Решение:
б) Зл: + 9 +х^ = О Решение:
i 1
5
4
3
Z
1
4 1-] L0 L 2 1 : £
-1 1
1 “2 1
-3 А
4 1
-5‘ 1
/
5 L- А .
4
о
2
1
-5 4 1-] L0 < 1 i 4 £ л:
-1 1
-2 1 1
—О 1 А
4 1
-О 1
Ответ:
Ответ:
— — 1 =
в) X - X
Решение:
1= О
Ответ:
:
1 0 4
4 о
о о
■ 1
-Ё i-4-г i-i 1-1 [о L i i 4 Ё
! -1 ' о
-2 ' Q. 1
—О 1 !
' г
1
33
Найдите корни уравнения, используя графический способ решения:
а) -х^ + 7л: - 10 = О Решение:
б) л:^ + 4л: + 3 = о Решение:
1
О 4
4
о - о
Z
1
-t }-4 t г-] L0 4 г 1 в ^ t ) л
-1 1
-2 1
—о 1
4 1
—о 1
i
5 А
4
о
2
1
_р В-1 В-] L0 1 2 J 4 р ) л
-1 1
-2‘ ' о.
-3 t 4
4 1
-5 ^
<
Е
Ответ:
Ответ:
щ
34
Глава 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
' § 24. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
О Дополните предложение:
1) Уравнение вида ax^^ + Ъх + с = О называется _
числа а, Ь, с — ___________, причем а __________
2) Коэффициенты называются: а —___
Ь —__________________________, с —
3) Квадратное уравнение называется _
если его старший коэффициент______
4) Квадратное уравнение называется
если его старший коэффициент отличен от
Если а ^ О, Ь Ф О, с ^ О, то
полное квадратное уравнение
л
Если а Ф О, Ь ^ О, с = О, то
неполное квадратное уравнение
Если а Ф О, Ь = О, с ^ Of то
неполное квадратное уравнение
Если а ^ Оу Ь = О, с = О, то
неполное квадратное уравнение
5) Корнем квадратного уравнения называется всякое значение Ху при котором квадратный трехчлен ах^ + Ьх + с______________________________ .
О Выпишите номера уравнений, которые являются квадратными:
1) 5л;2 - 7х + 10 = О 3) -1 + 6л: - 2л;2 = о
2) ^ - 2л: + 8 = о 4) Зл:^ - 2л:2 + 6 = о
л:
Ответ:
W
и
о
О
X
о
ш
X
сг
m
3
о
X
30
-f
S
3D
35
i
Заполните таблицу:
Уравнение Коэффи- циенты Уравнение Уравнение
Полное Не- полное Приве- денное Неприве- денное
5л:^ - 2л: + 16 = 0 5 -2 16 -ь +
1 3 -8
3 - 6л;2 = 0
7 0 4
6 0
1 -9
2 0 0
Установите соответствие между уравнением и его названием:
1) Приведенное неполное квадратное уравнение
2) Неприведенное неполное квадратное
уравнение
3) Приведенное полное квадратное уравнение
4) Неприведенное полное квадратное уравнение
A) Зл:2 + 7д: - 8 = О
B) + 2х = О В) 4x^-6 = О
Т) х^ - Зх + 4 = 0
Ответ:
1) 2) 3) 4)
О Выполните действия, чтобы коэффициенты квадратного уравнения были целыми числами:
ш
-^36
а) 0,1х^ + Ох - 0,7 = о Решение:
Чтобы коэффициенты квадратного уравнения стали целыми числами, умножим правую и левую части уравнения на 10:
0,1л:2 + Qx- 0,7 = 0|10 х^ + 60л: -7 = 0
з'’*1
Решение:
6)±х^ +^х-- = 0 3 2 4
в) 0,4л:^ + 4 л: + I = О о о
Решение:
-4--
Решите неполные квадратные уравнения:
а.) - X = 0 б) 5л:2 - 3 = 0
Решение: Решение:
х^ - X = 0 5л:2 - 3 = 0
х(х - 1) = 0 (4bxf - фг = 0
X = 0 или л: - 1 = 0 г — 1 фх - S)iSx + 7з) = 0
«Д/ д. Ответ: 0; 1. yfEx - >/3 == 0 или Sx + S =
Sx = л/З Sx = s
7з Vi5 X = л: = — V5 5
Vl5
Ответ:
. Vl5. n/15
^7
в) 6х^ - 6х = О Решение:
г) Зх^ -4 = 0 Решение:
Ответ:
О Найдите корни уравнения:
а) 4х^ = о
Решение:
Ответ:
в) 2 = 7jc2 + 2 Решение:
«ГГ —4-
Ответ:
1 1 1 i -- ^ i i
—i ^ 1 1 1 i ' 1 1
V-f
Ответ:
б) 4х^ - Их = х^ - Их + 9х Решение:
Ответ:
г) Зх^ = -2х Решение:
^
Ответ:
38,
о Решите неполное квадратное уравнение:
а)|.»-| = 0
Решение:
б) 10х^ - 12,1 = О Решение:
!"-!=« 1-6
4д:2 - 9 = О
(2х - 3)(2х + 3) = О
2jc - 3 = О или
2л: = 3
л: = 1,5
2л: + 3 = О 2л: = -3 X = -1,5
Ответ: 1,5; -1,5.
Ответ:
в) 3(л:2 - 2) = 2(л:2 - 3) Решение:
г) 3^2 _ 5 ^ Q
5 3
Решение:
Ответ:
Ответ:
О Найдите корни
неполного квадратного уравнения:
а) -7и = О
Решение:
5и^ -7и = О
5и{и - Z) = О 5
5и = О или и = О
б) 7х^ - 1,4л: = О Решение:
и-1 = 0 5
1^ и= 1,4
Ответ: 0; 1,4.
Ответ:
i ! 1 j
1^ ,
1 1 ' :
1 : , 1 i
j j i ! 1 !
‘ 1 1
^ 1
1
i 1 i 1
■ 1 1 1 1
i
^ Г i L
1 1 1
1 1
3^
U/i
N>
О
о
X
0
ш
1
£
m
л
о
X
X
-I
X
X
в) 4,2q = 0,2g^ Решение:
г) г(3 - г) = г(7 + г) Решение:
t- ‘ i-t-
Ответ:
Ответ:
Решите квадратное уравнение, разложив левую часть уравнения на множители:
а) 2^ - 5г + 4 = О
Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:
2^ - 52 + 4 = 2^ - 42 - 2 + 4 = (2^ - 42) - (2 - 4) = z(z ~ 4) - (2 - 4) = = (2 - 4)(2 - 1)
Решим уравнение: 2^ - 52 + 4 = О, (z - 4)(z - 1) = О
2-4 = 0 или 2-1 = 0 2 = 4 2=1
Ответ: 4; 1.
б) г/2 + 7у - 8 = О Решение:
i ! ___^ , I I :
I I ' ! ' ‘
—г I
S Ответ:
40
в) - р - 6 = о Решение:
' I .. L ... ^
‘ ■ i I ■ ^ ^ ‘ 11 ■ 1 --
! '
* I I !
i i . ’ i :
Ответ:
О При каком значении k один из корней уравнения:
а) - kx = О равен 1;
Решение:
Если X = 1, то 3 • 1^ - /г • 1 = О, 3-^ = 0, k = S.
Ответ: при k = S.
б) Зх^ + 4х + ^ = о равен 2;
Решение:
Ответ:
в) + 6х + k = о равен -4; Решение:
СОО
ю
о
О
X
о
ш
X
0“
гп
Z3
о
X
X
•ч
Ответ:
41
+ ^ § 25. ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ
КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
О Дополните предложение:
1) Дискриминантом квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = О называется выражение ______________________. Дискриминант квадратного
уравнения показывает_________________________имеет уравнение.
2) Если D > О, то квадратное уравнение имеет
3) Если Z) = О, то квадратное уравнение имеет ________________.
4) Если Z) < О, то квадратное уравнение ______________________.
О Заполните
пропуски:
.'v""
'и'
■* ^S.'^
!:V
О Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите число корней этого уравнения:
а) 4jc2 + 5jc + 7 = О Решение:
D = b^ - 4ас, Z) = 52 - 4-4-7 = 25 - 112 = -87.
D < О, значит, уравнение не имеет корней.
42
б) 8л:2 - Зл: - 4 = о Решение:
в) -Зх^ + X - 5 = О Решение:
г) 4 - 2х^ - X = О Решение:
д) 5 - 6jc + = О
Решение:
Приведите уравнение к виду ах^ + Ьх + с = О и найдите дискриминант:
а) 4х^ - 2х + 6 = 7 + 2х Решение:
4х^ - 2х + 6 = 7 + 2х 4х^ -2л:+ 5- 7-2л: = 0 4л:2 - 4jc - 2 = О I : 2 2л:2 - 2л: - 1 = О
D = (-2)2 - 4 • 2 • (-1) = 4 + 8 = 12
г:
iC*
•О
хя
в
О
TS
ж 1
о
т
3^^
> *
^ O'
? К :-7' flit W-
S *' ^
43
б) Ix^ - бл: - 3 = + 5jc + 1
Решение:
в) (д: - 3)(2jc + 4) = -10 Решение:
-1—-1-
0 Решите квадратное уравнение: а) 5jc^ + 8д: - 4 = о
1 Решение: 5д:^ + 8л: - 4 = 0
D = W - 4ас, D = - ^ Ь- (-4) = 64 + 80 = 144.
X =
-Ь±у[р
2а
Ответ: 0,4; —2.
б) д:^ - 9л: + 20 = о Решение:
X, =
=
_ -8 + ^/I44 _-8 + 12 _ 4 _
= ^ = 0,4
2-5 10 10
-8 - Vlii ^ -8 -12 ^ -20 ^
2-5 10 10
в) 4д:^ - 7д: - 2 = о Решение:
-2
Ответ:
Ответ:
44
При каком значении параметра р уравнение имеет один корень:
а) + рх + 16 = О
Решение: Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0.
D = b^ - 4ас, П = - 4.1.16 = р2 _ 64
- 64 = О, (р - 8)(р + 8) = О
р - 8 = О или р + 8 = О
р = 8 р = -8
Ответ: при р = 8, р = -8 уравнение имеет один корень.
б) х^ + 2рх + Зр = О Решение:
О Найдите корни уравнения: а) {х - 2)2 = Зл: - 8 Решение:
■ •—- -г
Ответ:
в) - рл: + 9 = О Решение:
Ответ:
б) (х - 2)(х + 2) = 7х- Ы Решение:
___L
L
Ответ:
ift'
»п‘, i
45
в) (X - 3)2 - 16 = (1 - 2xY Решение:
г)
х^ — X 2х — 4
3 5
Решение:
Ответ:
каких значениях переменной:
а) значение многочлена 2^ - 12г + 35 равно 0;
: Решение: 2^ - 12г + 35 = 0 I D = (-12)2 - 4.1- 35 = 144 - 140 = 4
_ -(-12) +V4 _ 12 + 2 _ 14
_ -(-12)-Vi _ 12-2 _ 10 21 ” 2 “ 2 “
Ответ: при 2 = 7, 2 = 5.
2
б) трехчлен 2 + у - — равен двучлену 2у^ - Зу; 2
Решение:
t 4- --I
46
Ответ:
в) значения двучленов \,Ъу^ + 0,5 и Sy - 2,5z/^ равны; Решение:
Ответ:
О Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 330.
Решение:
/ этап
Пусть п — первое число, тогда /г + 7 — второе число. Так как произведение этих чисел равно 330, то составим уравнение: п(п + 7) = 330.
47
II этап
Решим полученное уравнение: п{п + 7) = 330 п^+1п- 330 = о
III этап
Ответ:
Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника 26 дм.
Решение:
/ этап
Пусть стороны прямоугольника а и &, а d — диагональ. По условию задачи Ь — а = 14, Ь = а + 14, d = 26. По теореме Пифагора ^2 = д2 ^2^ Получим математическую модель данной реальной ситуации: 26^ = + (а + 14)^.
II этап
Решим полученное уравнение:
!_..........................................1,
48
Ill этап
Ответ:
+ ^ § 26. РАЦИОНАЛЬНЫЕ
■г'" УРАВНЕНИЯ
уравнением. Для его решения вводят новую переменную
решают уравнение относительно новой переменной ____
а затем возвращаются к переменной__________.
5) Метод введения новой переменной еще называют методом
<.Л;
Дополните предложение:
1) Алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и
возведения в целую степень, называется_________________________
выражением с одной переменной.
со»
ю
<п
2) Если г(х) — рациональное выражение, то уравнение г(л:) = О называется _________ уравнением.
>
Лшт
о
X
3) Корень уравнения, который обращает знаменатель рационального уравнения в нуль, называется
корнем и в ответ его _____ ________________________
4) Уравнение вида + Ьх^ + с = О называется ______________
от
X
tr
m
<
5
ш
X
m
X
s
X
49
0^
О Решите
уравнение:
Sx — , 2х^ - X
Решение:
Зх - х^ , 2х^ - X
+
= X -6
2 б
9л: - Зл:^ + 2л:^ - л: - бл: = О -л:2 + 2л: = О I • (-1) л:2 - 2л: = О л:(л: - 2) = О
Ответ:
б)
Зх + 1 7л: - л:^ х^ —1
4 10
Решение:
:———'—~ Ь—I—i—г-^
Ответ:
Ш:
в)
л:^ — 2л: 4л: — 3
2л: - 1 1 — 2л:
Решение:
1 П 'Г
i ; i :
i ! 4 ^^ I 1
г)
2^ — 5 _ 3^ + 21
i/ + 5 2у-1
Решение:
50
Кы
Ответ:
Ответ:
О Найдите корни уравнения: 2 32
а)
X
X — 4 JC Ч- 4 Решение:
X
(х+4
)(х-4
jc' -16
32
X -4 х + 4 х -16
х(х + 4)-2(х-4)-г2_ (х - 4){х + 4)
х^ + 4дс: — 2а: + 8 — 32 _ q {х - 4){х + 4)
х^ +2х — 24 (х — 4)(л: + 4)
= 0
(х^ + 2д: - 24 = о X 4 X ^ -4
[JC = 4 — посторонний корень
X = -6
Ответ: -6.
б)
Зле + 1 ^ 5 _ бле — 2
ле ле - 2 х^ -2х
Решение:
L-
J____U
J—к
h
Ответ:
N)
Ф
?
SZ
2К "-^
0
1 -
||
сг
m
I'
uu
о
н
а
ft)
н
ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ft)
Б
(Т>
к
О)
— . - f
— 1 - j ] h ;
1 ; . I
г г 1 i ‘ ; i ' I
— i'^i 1 l i I ' j - n -
- ; — ■ -'4
in- t -j I i I I ' I -i-
i
i i — i
.!_1 _ ! !
_ . .
1 - -t 1 1 1 I _j.... - i ! ^ ■ I -1
; - ' -1--I i ;
- r ^ j 1 j ” 1- i I I I
i J I ._. J
1- - 1 ________j
”1-----г
•тз
ф
В
ф
а
S
Ф
со
н
+
со
н
+
^э H
+ I
H
to I
I to
H to
U-.
I— -
н
I
<м
+
н
Si
н
(М
— — Е-> II — — f' - г
Qi 1
т Si
н о VO _L.
§ 26. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
со
U-
Ен
О
PQ
Ен
О
+
СО
II
=Si
Н
ю
II
Si
1 1
Ен
О)
П
Н
О
щ
о Решите дробно-рациональное уравнение:
ч 1 1
а)-------г +
х-1 х^-1 8
Решение:
б) —I-----— Н--— = О
X дс + 5 д: - 3
Решение:
J__________L
J____L
Ответ:
в) —-—I ----1—-— = о
Решение:
^54^
Ответ:
О Решите уравнение методом введения новой переменной: а) + 41и^ +5 = 0 Решение:
9и^ + 41^2 + 5 = 0
Пусть X = 1/2, тогда уравнение примет вид: 9^2 + 41л: + 5 = 0. Решим уравнение относительно новой переменной:
9jc2 + 41л: + 5 = 0
П = 412-4-9-5= ______
=
^2 =
Вернемся к старой переменной и решим уравнения: и = х^
Ответ:
б) (д:2 + хУ - 8(х‘^ + л:) + 12 = о Решение:
Ответ:
<09
ГО
О)
г
JZ
I.Q
z
O'
z
O’
m
5
Ш
z
m
z
z
z
'55
в) 16у^ - 24у^ + 9 = 0 Решение:
Ответ: ___
г) yfu+ и = 6 Решение:
Ответ:
При
каком значении переменной:
а) сумма дроби ^ | и дроби, обратной данной, равна 2,5?
Решение:
56
1—f-
Ответ:
\ У
б) сумма дробей — и---^ равна их произведению?
Решение:
Ответ:
§ 27. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ
О Опишите этапы решения задач:
/ этап __________________________
II этап______________________ ___
III этап
На I этапе производится перевод условия задачи с обыденного языка на ____ ______________________•
На II этапе происходит решение
На III этапе анализируются полученные на II этапе результаты и записывается ____ _______
го
г
>
m
S
>
X
m
о
S
m
S
g
m
s
■D
m
§
cr
X
X
X
о
X
>
J=
X
X*
57
о Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:
1) Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель
на 21, то дробь уменьшится на —. Найдите эту дробь.
4
Решение:
/ этап
Пусть X — числитель искомой дроби, тогда х + 4 — ее знаменатель.
Искомая дробь имеет вид
X
X + 4
. При увеличении числителя на 2 по-
лучим числитель новой дроби л: + 2, а знаменатель новой дроби будет
л: + 4 + 21 = л:-1-25. Получим дробь ^ ^ . По условию задачи новая
х-\-2Ъ
дробь
X 2
х^2Ъ
меньше исходной
X
X + 4
на —,
значит, получим уравне-
X
ние: ^ ^ ^ + — =
х-\-2Ъ 4 X-]- 4
II этап
Решим полученное уравнение:
III этап
Ответ:
58
2) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если прибавить к числителю 3, а к знаменателю 18, то полученная дробь будет на 1 меньше исходной. Найдите исходную дробь.
Решение:
/ этап
II этап
Решим полученное уравнение:
III этап
Ответ:
3) Длина земельного участка прямоугольной формы на 20 м больше его ширины, а площадь равна 800 м^. Найдите длину и ширину участка.
Решение:
/ этап
Пусть хм — ширина участка, тогда его длина (х + 20) м. По условию задачи площадь участка равна 800 м^, то есть х {х + 20) = 800.
59
II этап
Решим полученное уравнение:
1^
1 1 1 1 1 ! i :
1
1 ; 1 .1
j
' 1 ! ' ?
1 1 1 ! 1 , , 1 .
1 i ! ^ ^ ^ '
Я III этап
Ответ:
5) Расстояние между пристанями равно 112 км. Двигаясь по течению реки, катер прошел это расстояние на 1 час быстрее, чем на обратном пути. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
Решение:
/ этап
Пусть собственная скорость катера V ^ = х км/ч.
•' гг совет '
S, км V, км/ч t, ч
По течению 112 X + 1 112 JC + 1
Против течения 112 X - 1 112 X — 1
Связь
На 1 ч <
112 112
Составим уравнение: ----±±±- — \
Х — \ X -{-1
II этап
Решим полученное уравнение:
60
Ill этап
Ответ:
6) На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 ч раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был двигаться поезд по расписанию?
Решение:
I этап
S, км Vy км/ч ty ч
По расписанию 300 300
X X
По факту 300 л: + 10 300 л: +10
Связь
На 1 ч >
Составим уравнение: ________
II этап
Решим полученное уравнение:
1 ^ ^ ^ г 1 j
I 1
1
■ 1 '
мм:! I [. J 1
Ill этап
Ответ:
7) Велосипедист выехал из города в поселок, который находится на расстоянии 24 км, возвратился другой дорогой, длина которой 30 км. Несмотря на то что на обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч, на обратный путь он затратил на 6 мин больше, чем на путь из города в поселок. С какой скоростью возвраш;ался велосипедист?
Решение:
I этап
а 6 1
60 10
S, км F, км/ч t, ч Связь
Из города в поселок
Из поселка в город X
Составим уравнение:_________
II этап
Решим полученное уравнение:
— 1 i ' 1 1 1 . L
1
; 1
-
62
j__L_l
III этап
Ответ:
9) Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 тонн стали с 30%-ным содержанием никеля?
Решение:
I этап
5% никеля
+
40% никеля
= О
30% никеля
140 т стали
II этап
Решим полученное уравнение:
III этап
Ответ:
X т стали (140 - х) т стали
5% от л: — это 0,05а: т никеля в I сорте стали; 40% от (140 - л:) т — это 0,4 • (140 - лс) т никеля во II сорте стали; 30% от 140 т — это 0,3 ■ 140 т никеля в конечном сорте стали. По условию задачи получим уравнение: 0,05л: + 0,4(140 — л:) = 0,3-140.
ю
•ч
г
>
m
■S
X
m
о
S
m
"2
О
13
m
S
■о
m
>
0"
I
X
о
S
■
л
S
63
10) Усовершенствованный станок-автомат изготавливает в час на 40 деталей больше, чем станок старой модели и поэтому для изготовления 2400 деталей на новом станке нужно на 10 ч меньше, чем на старом. Найдите производительность усовершенствованного станка.
Решение:
/ этап
Производительность, деталей в час Количество деталей Время работы, ч
Старый станок д: - 40 2400 2400 jc — 40
Новый станок X 2400 2400 X
Связь
На 10 ч <
Составим уравнение:
II этап
Решим полученное уравнение:
III этап
Ответ:
11) Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на б дней меньше, чем другому?
64
Решение: / этап
Составим уравнение: II этап
Решим полученное уравнение:
III этап
Ответ:
•V ^ § 28. ЕЩЕ ОДНА ФОРМУЛА
КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Время выполнения работы по отдельности Часть работы, выполненная за 1 день Часть работы, выполненная за 4 дня Связь частей
I комбайн 1
II комбайн
Дополните предложение:
Корни квадратного уравнения ах^ + 2kx + с = О можно вычислить по < формуле _________________ _____ ______________ _______ _______
I
Корни квадратного уравнения х^ + 2kx + с = О вычисляются по фор- ^ муле ___ _____ ____________________ ______ _______ ________• 5
65
Решите уравнение: а) -х^ + 6jc - 8 = О Решение:
-х^ + 6х-8 = 0\- (-1) - 6л: + 8 = О
2 _
2-Зл: + 8 = 0
X
X = -k ± — ас
X = -(-3) ± V(-3)^ -1-8
= 3±n/9-8 = 3±1 х^ = 4, х^ = 2
Ответ:
б) 2^ -62-7 = О
! I
в) х^ - Юл: + 21 = О
Ответ:
Ответ:
г) л:^ + 12л: + 20 = О
Ответ:
О Найдите корни уравнения, используя наиболее рациональную формулу корней квадратного уравнения:
а) - 2у + 2 = о
б) 02 + 42 + 1 = о
Ответ:
в) 1х^ + бл: + 1 = О
Ответ:
г) - 2у - 1 = о
Ответ:
Ответ:
^“4
О Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то найдите § их рациональным способом. ^
а) + 6п + 1 = О б) + 8л: - 13 = О 5
Ответ:
Ответ:
О
*0
X
m
X
Ю
(О
н
гп
О
-D
m
г
>
ш
m
71
в) - л: - 20 = о Решение:
Ответ: ___________
г) + Зд: - 28 = о Решение:
Ответ:
i’l?
О Найдите второй корень уравнения, если дан один из корней уравнения:
а) д:^ - 21jc 4- 54 = о, д: = 3
^ Решение:
По теореме Виета д:^ • дГз = 54, значит, 3 • ДГ2 = 54, д:2 = —, = 18.
Ответ: 18. ^
б) 9д:2 - 20д: - 21 = 0, = 2
Решение:
Ответ:
в) + 17х - 38 = о, = 2 Решение:
Ответ:
72
ф Запишите квадратное уравнение + рх + q = 0^ корни которого равны:
а) 2 и 5 Решение:
По теореме Виета х^ + х^ = ~р, х^-х^ = q. Подставим корни уравнения
в эти равенства, чтобы найти коэффициенты квадратного уравнения:
-р = 2 + 5
Р = -7,
gr = 2-5 = 10
Ответ: х^ - 7х + 10 = 0.
б) -1 и 3 Решение:
Ответ:
в) 0,4 и 2-2
Решение:
Ответ:
О Составьте квадратное уравнение по его корням:
а) = 1 + 7б; ^2 = 1 - ^/6 *
Решение:
Ответ:
б) х^ = -^/7; х^ = yfi Решение:
Ответ:
NJ
р
н
m
О
тз
m
>
ш
s;
гл
73
в) х^ = у[2\ Х^ = ^
Решение:
Ответ:
а) Один из корней уравнения + pjc + 35 = О равен 7. Найдите второй корень уравнения и коэффициент р.
Решение:
Ответ:
б) Один из корней уравнения x^-4x + q = 0 равен 2. Найдите второй корень уравнения и коэффициент q.
Решение:
Ответ:
Не решая уравнения х^ + 7х - 11 = О, найдите значение выражения, если х^ и х^ корни этого уравнения:
а) jcf + х1 Решение:
Ответ:
74
б) (Xj -
Решение:
Ответ:
JC, Хо
в)—+ — Х2 х^
Решение:
Ответ:
г) xf + х1 Решение:
Ответ:
|Ш1
т
75
§ 30. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дополните предложение:
1) Если в уравнении переменная содержится под знаком корня, то
уравнение называется_________________________________.
2) Метод решения уравнения, при котором обе части иррационального уравнения возводятся в квадрат, называется________.
3) При решении методом возведения в квадрат иррациональных уравнений возможно появление_________________________
корней, которые надо отсеять, выполнив проверку.
4) Два уравнения называются равносильными, если они _
______________корни или если они оба_______
корней.
О Заполните таблицу:
Равносильные преобразования Неравносильные преобразования
1) 1^
2) 2^
Могут появиться посторонние корни!
Решите уравнение:
а) yJSx + 4 — 8 Зле + 4 = 64 Зд: = 64 - 4 Зд: = 60, д: = 20 Ответ: 20.
б) л/2 - 5д: = 4
76
в) >Jx + 8 —2 = 0
Ответ:
О Найдите корни уравнения: а) у1х^ - X -19 = 1
[
!
! i
Проверка:
— ^ 1 i :
^
- 1 1
Ответ:
Ответ:
г) 75л:+ 4 -7 = 0
'
1
Ответ:
б)^ = 4
\1х^ + Зл: -12
Проверка: -
1
— -
Ответ:
■
77
в) yj4* 14лг -|- 33 — 3 — О
г) у1х^ + 20л: + 61 -5 = 0
t , >
Проверка:
Проверка:
Ответ:
Ответ:
О Решите уравнение:
а) J-
х-3
X
х-3
Ответ:
б)
+ 2х _
JC + 4 V л: + 4
Ответ:
в) . М
X
г) /10 = V X
78
Ответ:
Ответ:
О Решите уравнение, используя метод введения новой переменной: а) 2jc - 1 - 10у12х 1 - 39 = О б) 3(3л: + 2) - lyJSx 4- 2 + 3 = 0
Введем новую переменную у ^ 2х - 1, у > о тогда 1/2 - Юг/ - 39 = о у = 13 или у = -3 — посторонний корень
^2х-1 = 13 2д: - 1 = 169 2х = 170 д: = 85 Ответ: 85.
Ответ:
в) -(5д: - 1) + yj5x-l + 3 = 0
г) 2(4д: + 7) - 2^4д: - 7 + 0,5 = 0
1 i 1 i -f
1 ! i
1 + 1 !
1 1 1 1 ’ 1 i._ .
1 1 ‘
Ответ:
Ответ:
С0»
О
S
*0
5
с
S
О
X
>
S3
or
X
сг
V- гп
г-5,
со
' Х'^ т
Хч
1х'
fXI
79
оо
о
ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
О
ч
U
ф
н
р
о
ч
U
ф
н
о\
N)
-f
00
Глава 5. НЕРАВЕНСТВА
+ _ § 31. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ
' НЕРАВЕНСТВ
О Дополните предложения:
1) свойства числовых неравенств:
• Если a>bvib> Су но а с.
• Если а > Ь, то а + с Ь + с.
• Если обе части неравенства умножить на одно и тоже положительное число, то знак неравенства _______________________.
Если а > Ь и /тг > О, то am Ьт.
• Если обе части неравенства умножить на одно и тоже отрицательное число, то знак неравенства _______________________.
Если а > Ь и т < Оу то am Ьт.
• Если a>bnc>dy то а + с Ь + d.
• Если а, by Су d — положительные числа и а > 6, с > d, то ас bd.
• Если а и Ь — неотрицательные числа и а > Ь, то а" Ь”, где п е N.
2) Неравенства вида а > Ь, с > d (или а < by с < d) называются неравенствами __________________________________________ смысла.
Неравенства вида а > by с < d (или а < by с > d) называются неравенствами смысла.
чисел а VI Ь.
3) Число ®_±_^ называется
2
4) Число yfab называется _
чисел а VI Ь.
Неравенство Коши имеет вид
О Сравните числа х и уу если: а) X - у = 0,04 Решение:
X - у = 0,04 > о, значит, х > у.
С9>
со
•А
О
ш
о
S'
о
н
§
X
S
о
О
03
2:
X
X
m
5
03
ш
X
о
н
03
81
6) X - у = -0,01 I Решение:
в) 2{х - у) = -0,5 Решение:
Решение:
Заполните пропуски знаками так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:
а) 21
8
б) 0,4
2,125 в) -1 4
_1
3
г) -1 -0,14
4
О Сравните
значения выражении:
а) 32,16 : 1,6 и 6,7 : 1
3
Решение:
Ответ:
б) -1,24-7,5 и 12:(-1,5) Решение:
Ответ:
82
в) 0,2 • (-0,3) • 0,5 и 0,26:(-13) Решение:
Ответ:
г)1+1_1и2 (-3,5)
3 4 2 7
Решение:
Ответ:
О Известно, что а > Ь. Сравните значения выражений: а) -2а и -2Ь
б) -—а и -—Ь 2 2
Решение: а> Ь \ -(-2)
Решение:
-2а < -2Ь
Ответ:
в)а4-би6 + 6 Решение:
г)5-а и5-Ь
Решение:
Ответ:
Ответ:
£9»
ib;5
—I
5
X
S
О
t3
О
ш
г
■ н
fax
fein
Fig*
ш
f’ac
ч
ш
83
о Известно, что а > Ъ. Расположите в порядке возрастания числа: а + 2; Ь - 8; а + 11; Ь; Ь - 6; а.
Ответ:
щ
* ,5
О Докажите неравенство: а) (х - 3)^ > х{х - 6) Доказательство:
(х - 3)^ > х(х - 6)
(л: - 3)^ - х{х - 6) > О
X
2 -t
6jc + 9 - + 6л: > О
9 > О — верное неравенство
в) л:^ + 1 > 2(3л: - 4) Доказательство:
б) (л: + 5)^ > л:(л: + 10) Доказательство:
г) х^+ 5 > 10(л: - 2) Доказательство:
Известно, что а > Ь > 0. Заполните пропуски знаком > или <, чтобы получилось верное неравенство:
а) 12а ___10Ь в) -15а_____-14Ь
б) ба ____Ь г) -За —2Ь
Известно, что 3 < а< 4. Оцените значение выражения:
а) 5а
Решение: 3 < а < 4 | • 5
3-5 < а-5 <4-5 15 < 5а < 20
б) -а Решение:
в) а + 2 Решение:
г) 5 - а Решение:
д) 0,2а + 3 Решение:
Известно, что 1,4 < л < 1,5. Оцените значение выражения:
а) V2 + 1 б) 2 -л/2
Решение:
Решение:
в) n/2 - 1 Решение:
г) -1 -л/2 Решение:
О Известно, что а>0,Ь>0,с<0,с?<0. Заполните пропуски
ш
се»
са
й
г
q
g.
о
1) аЪ _ _• 0 6^ bed 0 m s:
2) ас 0 7) А 0 к .
cd
3) cd 0 8) abcd_ 0 |§»:
4) а 0 abd 0 I m IX -/a
Ъ с |Q
5) аЪ с 0 0
85
Ч’
+ _ § 32. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
НА монотонность
о Дополните предложение:
1) Функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X,
если из неравенства < х^, где х^ е X и х^ е X, следует неравенство f(x^)_f(x^).
2) Функция у = f(x) называется убывающей на промежутке X, если
из неравенства х < х^, где х. g X и х„ е X, следует неравенство f(Xj)_f(x^).
О Установите соответствие между графиком функции и утверждением:
3)
86
A) функция, возрастающая на промежутке (-оо; +оо)
Б) функция, возрастающая на (-оо; 0) и на (0; +оо)
B) функция возрастает на (-оо; 0] и убывает на [0; +оо) Г) функция, убывающая на промежутке (-оо; 2]
Ответ:
1) 2) 3) 4)
Ф Укажите характер монотонности функции, график которой изображен на рисунке:
а)
Функция возрастает на [0; +оо) и функция убывает на (-оо; 0]
О
?
X
X
m
В
<
X
ж
i=
X
X
X
>
31
о
X
о
н
о
X
X
о
о
н
(Г
87
iO Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке:
а)
- Г5Г
5 У = fix)
I /
О У
Z i J
1 ! ) !
_р 1-3-2-] 0 L 2 3 4 5 л
1 -1 1 1 i \
-2 \ !. 1
б)
- Г5Г
0 А
Я
2
у = fix)y -|
Г/Т 1
_р 1-3-2-] 0 2 ; ) л
-1 ' о-
-2
в)
i Я ^У 1
О 7 г
л
о ' 1 '
5 1 у = fix]
4 . о i Г}
1 /! / f
_р t-: г-] 0 ( г 3 ^ 5 X
-1
Т2 i
о Исследуйте функцию на монотонность:
а) у = Зл: - 1 Решение:
Пусть < х^, тогда Зл:^ < Зх^
Зх^ - 1 < ЗлГ2 - 1 У1 < Уг
88
Так как из неравенства следует неравенство < i/g, то функ-
ция у = Зх - 1 является возрастающей.
б) у = -8х + 1 Решение:
----------(- г -
--г-—+---,---т-
в) !/ = -
X
Решение:
СО
М
О
5
г) у = Зх^ Решение:
X
S
m
§
X
ж
с
X
X
X
>
г
о
X
О
н
о
X
X
о
о
89
____ д)у = -Зл:^
Щ$М Решение:
п
<
ш ►“ е л
X
ш
ш
X 1
ю < f|f <С ’ *f| С[ Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность: а.) у = \х- 1\
шЯ
i
5 А
1 4
1 ^^ о
2
1
-S t-5 J-2-] L0 4 1 с < £ X
-1 1
1 1 -2 1
—О ' А
4 1
-5 1
б) у = у[х+ 2
90
гш*;’'^^’ «^т ft- > ^
КУЗ-ТиЧк,'-'.
ti^^M
.
1Ш&* 132. ИССЛ6Д0ВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ
§ь.
- i- i »- "'l?
05
iX
40
“00
им
=ft
1. 0 с 0 с 41 г н о гН см с 1 1 _ 0 1 _ f i. 0 1
'|
см^ 1
со 1
1
ю 1
1 IH
ю
“СО
“СМ
ai
ii 0 f с 0 с М т н о гн с 1 N С 1 0 т 1 f 0 1
'|
см 1
"СО" 1
1
U0 1
СО
I
н
5ft
+
:Э5
О
VI
н
VI о
со
I
S
ч
о
<и
+
н
А
н
S
ч
0 <и
(N
+
Н
1
О)
[^н
;э5
«
S
пт
я:
«
>v
-&
as
И
(Й
t=[
О
ф
н S
« " " П N
<я ^ II II
Щ со гН ^ ^
I I о Tf
2) Постройте график функции
3) Перечислите свойства функции:
—^—
■ 5
4
3
2
1 i
_| i-, 3-: 2- Ю 1 2 3 4 б
-1 1 1
-2 1
“3^ 1
—4 1
Г 5'
ii^ Дана функция у = f{x), где f{x) =
-(л: + 2f + 5, если - 4 < л: < О,
Vi+T, если О < д: < 3.
1) Найдите:
/(-4) = ___
/(-2) = ___
/(0) = ____
т =________
2) Постройте график функции
3) Перечислите свойства функции:
5
4
3
2 1
1 1
_j ) 4-, Р"1 2- Ю 1 2 3 ^ i
-1 1 1
,-3 '
г*
-5 1
^ 92
Постройте график функции, которая:
а) убывает на [-3; 2] б) возрастает на [-4; 5]
I к у
э А
О
1 1 О О
1
-5-4-3 1-2 lb 2 а ; 4 5 X
I ' -1 -2
1 i 1 о '4
ft ' г,
! t ]_
1 1 i С У
D 4 1
ft О
о О
1
-5 -4 1-а >-2 ‘ |ь 2 а 4 5 ^
-1 '-2
—о '4
ft
О 1
в) убывает на [3; 7] и возрастает на [-1; 3]
■ п — i гг У
э л
ft о
о о
i 1
1-5 -4 t-a 1-2 lb 2 а ; 4 5 X
г -1 -2
о '4
ft ' -=i
э
г) убывает на [-4; 1] и возрастает на [1; 4]
У □Г
О 4
ft О
о о J
1
-5 -4 1-2 ■ lb 2 а 4 X
-1 ^2
о '4
э 1
93
+ ^ §33. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
НЕРАВЕНСТВ
10 Дополните
предложение:
1) Решением неравенства с переменной называются такие значения
переменной, при которых неравенство с переменной обраш;ается в
______ неравенство.
2) Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с___________________________________________ знаком,
________________________________________ при этом знак неравенства.
3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и
то же число, не изменив
при этом знак неравенства.
4) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и
то же ____________________________________ число, изменив при этом
знак неравенства на______________________________________________.
VJ^r Линейными неравенствами называются неравенства, сводящиеся к
ё-г: ВИДУ ____________________________________________________________ .
6) Неравенства f{x) < g{x) и г(х) < 8(л:) называются_____________,
______________________________если они имеют одинаковые решения
(или оба не имеют решения).
7) Решением неравенства ах > Ь является х
—, если а > О и а
X —, если а < 0.
а
О Проведите равносильные преобразования, которые приведут данное неравенство к виду ах > Ь:
а) Зл: - 4 < л: + 8 б) 6л: < 8х + б
Зл: - л: < 8 + 4 2л: < 12
94^
в) 5л - 6 - < ж + 4 —
г)(л + 2)2 - 3 < 2 + (л - 1)“
О Решите неравенство 2л: — 7 > 8. Решение:
Подчеркните числа, которые являются решением этого неравенства: 7; 7,5; 8; 8,5.
О Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
а) 5л: < 25 б) 6л: < 29
25
л: < 5 Ответ: 5.
Ответ:
в) -X > 15
г) -2л: > 14
0OJ
со
со
■D
m
Е
m
X
S
m
ta
х
X
m
X
г
X
X
m
5
ш
m
X
о
н
ш
Ответ:
Ответ:
95
о Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) 17 + л: > 37
д:>37-17 _________
л: > 20
20
X
б) 0,6 - 2jc < о
в) 1 + 6jc < 7
т ” ■;
X
X
г) 3 - 2л: < 8
д) 6л: + 1 > о
L -
Решите неравенство: а) 2(лс + 3) < 3 - л:
б) 1Ах - 3 > 2(0,5л: - 2,6)
Ответ:
Ответ:
96
в) 3(л: - 2) > X - 12
г) 1,8л: + 6 < 3(0,7л: - 0,1)
-►
X
X
Ответ:
Ответ:
■ЭШ При каких значениях переменной а дробь ^^ является пра-
а -1
вильнои?
Решение:
Ответ:
О При каких значениях переменной Ь дробь
За-5
а — 1
— неправильная?
Решение:
Ответ:
-
(л: + 4)(д: - 4)
Ответ:
X
в) 3(х + 1) - 2(2 - л:) > -11
X
Ответ:
г) (х + 3)(х -3)<{х + ЗУ
X
Ответ:
X
Ответ:
Найдите
решение неравенства:
_ 2y-J.
- 1 > О I • 4
а) у - > 1
^ 4
2у-1
1,5
У
4у — 2у+1-4>0 2у - 3 > О,
2у>3
у
^ 2
Ответ: у > 1,5 или [1,5; +оо).
98
б)
4-1/ _
5i/ > О
У
у
Ответ:
Ответ:
О При каких значениях переменной сумма дробей ^—i отрицательна?
и
2-1
не-
Решение:
Ответ:
О Найдите область определения функции:
а) I/ = 7-3(л: + 1)
Решение:
-3(х + 1) > О л: + 1< О
л: < -1 Ответ: D{y) = (-сю; -1].
:(-3)
-1
т
и>»
ы
тз
m
Е
m
X
SIk
m
ь
х
X
m
X
£
X
X
m
5
ш
гп
X
о
ш
99
б)
2х — 8
Решение:
в) 7-5(5 - 2х) Решение:
Ответ:
X
X
Ответ:
§ 34. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
О Дополните предложение:
1) Квадратным неравенством называется неравенство вида
, где а Ф 0.
'j-’ '^1
■0У'
2) Если дискриминант D квадратного трехчлена ax^ + bx + с меньше
нуля и при этом а > О, то неравенство ах^ + Ьх + с > О выполняется при _____________________________________________ переменной х.
3) Если дискриминант D квадратного трехчлена ах^ + Ьх + с меньше
нуля и при этом а < О, то неравенство ах^ + Ьх + с < О выполняется при______________________________________________переменной х.
100
о Используя схематический график квадратичной функции, решите неравенство:
а) - 7л; + 6 > О Решение:
Найдем корни квадратного трехчлена - 7х + 6.
х^ - 7х + 6 = О X = 6 или X = 1
Построим схематично график функции у = х^-7х + 6 и отметим промежутки, удовлетворяюш;ие неравенству л:^-7л: + 6>0.
Ответ: (-оо; 1], [6; + оо).
б) - 5;с - 50 < О Решение:
X
Ответ:
в) + 6л: + 8 > о Решение:
г) л:^ - Зл: - 40 < о Решение:
X
X
Ответ:
Ответ:
iOi
■Ok
■о
m
Е
m
X
X
m
7s
J3
I
X
к
X
X
m
5
Ш
m
X
о
Ш
101
ш
О Установите соответствие между неравенством и графической ил-
■i.
люстрацией решения:
1) л:^ - л: - 12 < 0 А)
2) л:^ - л: - 12 > 0 -5 1 X
3) л:2 - 5л: + 6 < 0 Б)
4) л:^ + 4л: - 5 > 0 2 3 X
В) ^^
-3 4 X
Г)
-3 4 X
Ответ:
1) 2) 3) 4)
О Отметьте множество решений неравенства на координатной прямой:
^ ^ а) Зд;2 + 2л: - 1 > О Решение:
б) л:^ + 4 > О Решение:
X
Ответ:
Ответ:
102
ш
о
При каких значениях х имеет смысл выражение:
-1
а) yJSx^ + Юл: — 8 Решение:
Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:
Зх^ + Юл: - 8 > О
у1бх^ — 16х Решение:
X
Ответ:
Ответ:
в)
Решение:
г) (Зл:^ -Ь 5л: — 2) Решение:
-J V
X
«о»
•О
m
Е
m
X
X
т
3
2
>
■н
X
сг
X
X
гп
2
ш
m
X
о
н
ш
Ответ:
Ответ:
103
> ;W^f
ж
О Решите методом интервалов неравенство: а) 12 > 17х - 6x2 Решение:
12 > 17х - 6x2
6x2- 17д. + 12 > О
Найдем корни квадратного трехчлена
6x2- 17^ + 12 = о
+
3
+
1 X
^2
х = 3
или
X = ^
2 3
Отметим на координатной прямой корни квадратного трехчлена и выберем промежутки, на которых он принимает положительные значения. Ответ:
б) 0,5x2 - 12 < о Решение:
в) 20x2 < 4 Решение:
Ответ:
Ответ:
Решите неравенство методом интервалов:
б) (X + 3)(х - 4) < о
' Vfe* а) (х - 0,5) |х -I > 0
.'■Ж ж ; ftgUgi
- --Д 104 ► X Ответ:
X
Ответ:
в) (л: + l,5)(jc - 2,5) < О
г) (х + 6)(л: + 8) > О
I ч- -U
X
X
Ответ:
Ответ:
, ^ § 35. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
к
О Дополните предложение:
1) Модуль разности между точным значением величины л: и ее приближенным значением а называется ______________________________
и обозначается _______________ _________ .
2) Правило округления: если первая отбрасываемая цифра меньше 5,
то нужно брать приближение _ >
если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то нужно брать приближение _____________________________________________.
3) Если а — приближенное значение числа л: и |л: - а| < /г, то говорят,
что абсолютная погрешность приближения не превосходит h или что число_______равно числу____ с точностью до ____________________.
О Сложите числа а и 6 с точностью до h:
а) а = 3,471826; Ъ = 1,5407; h = 0,01
Решение: а + & = 3,471826 + 1,5407 = 5,012526 * 5,01
б) а = 0,034159; Ь = 1,517862; h = 0,0001 Решение:
m
X
X
о*
m
U
■ X . > X .. m X X X
Зз
m
х<
q
Ш
S
н
гп
S3
хг
X"
0*
><
X
S
о
m
:э
105
щшш
ШШ в) а = n/2; 6 = 75; л = 0,1
Si
Решение:
О Найдите разность чисел а и Ь с точностью до h:
а) а = Ь = Mi; h = о,01
905 Решение:
743
а = Mi « 0,47403...; Ь = Mi « 0,294751...
905 743
- Mi 0,47403... - 0,294751... « 0,179278.
905 743
0,18
Й б) а = Vl3; b = yfS; h = 0,0001 Решение:
в) а = i; Ь = Mii—; h = 0,001
32100
Решение:
106
о Найдите приближенное значение числа а по недостатку и по избытку с точностью до 0,01:
а) а = —
56
Решение:
а = М = 0,6964285...
56
По недостатку: а = — » 0,69 По избытку: = ^ « 0,70
56 56
б) а = V?
Решение:
По недостатку:
в) а = —
83
Решение:
По недостатку:
По избытку:
По избытку:
0:&
Подчеркните одной чертой приближения числа 3,1257964 по не- ^
достатку, двумя чертами — по избытку: ^
3,125; 3,13; 3,1257; 3,12580; 3,125797; 3,1; 3,126. ~
О Приближенное значение числа х равно а. Найдите абсолютную 5 погрешность приближения Л, если: J
а.) X = 2,85; а = 2,9
Решение: h = \х - а\, h = |2,85 - 2,9| = |-0,05| = 0,05
б) X = 6,748; а = 6,7 Решение:
в) д: = 9,653; а = 9,7 Решение:
20
1э
m
о
н
ш
S
HI
m
:з
O'
X
O’
S<
X
s
о
m
23
107
ф Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите ее с точностью до h:
а) а = —; h = 0,1
б
Решение: а = — = 0,83333... « 0,8 6
б) а = А; Л = 0,01
15
ЕМ Решение:
в) а = 1-^; h = 0,001 11
Решение:
о Упростите выражение и вычислите его значение до сотых:
а) л/27 + ^ + л/25 -3 = Зл/З + 5л/3 = 8ч/3 =
= 8 1,73305... = 13,85640 * 13,86
б) 2л/5 + 4-=
I
^ г ’
' ! ^ г
! I I I !
в) (л/з + Sf =
I I ■ I I
—
I
i ^
о Оцените погрешность приближенного равенства:
а) А :«0,692 13
Решение: — = 0,692307692...
13
г h = |А- 0,6921 = 10,692307692 - 0,692| = 0,000307692... = 0,0003 13
108
7 13
Решение:
0,06
B)V3+i=l,9
6
Решение:
Ш
■4
^ I i I
; ‘
: : I L
: J I -
!
i I
г f i
ЫШ4
^jv-
3
■о
s
Составьте десятичные приближения к данному числу с недостатком и с избытком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001:
а)А =
13
Приближения по недостатку: Приближения по избытку:
i'
m i
X
X
г:
m
U).
£ X I m * X
s
X
la
m
X
6)2 = 3
Приближения no недостатку: Приближения по избытку:
cr
X
г
X
X
s
о
s
109
§ 36. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
О Дополните определение:
Стандартным видом положительного числа а называется его представление в виде ___________________________________ , где 1 < < 10,
т —
, число т называется
О Представьте в виде степени числа 10 выражение:
а) 100 -10-" = 102-10-" = 102-" = 10-2;
б) 102-10" =
в) 1000 : 10-'2 =
Г i ..
Запишите число в стандартном виде:
' ' J а) 52000000 = 52000000 = 5,2 -10^;
-И'-.’’ '
' б) 675000000 =
в) 0,00281 =
г) 40,44 = ___________________________
д) 0,0000015 =
Заполните таблицу:
Число Число в стандартном виде Порядок числа
1024000 1,024-10" т = 6
21,56 т =
0,85 т =
5,08-10-^ т =
0,042-102 т =
2,82-10-" т =
Выразите: а) 3,8 -102 т в граммах Решение:
3,8 -102 (т) = 3,8 -102 - 102(кг) = 3,8 -10" • 102 -102 (г) = 3,8 -10» (г)
110
б) 1,7-10 ^ км в сантиметрах Решение:
в) 8,62 • 10 ^ кг в тоннах Решение:
г) 5,24 • 10^ см в метрах Решение:
О Выполните действия и запишите ответ в стандартном виде:
а) (2,8 • 10") • (2,5 • Ю = 2,8 • 2,5 • 10" • = 7 • 10"-^= 7 • 10*2
б) (5,7-10"): (3,8 10-2) = __
в) (1,5 10-2) (9,2 10-^) =
г) (1,56 10-2): (2,6 10-") = _
Сравните числа: а) 1,78 -10" и 2,1-10"
Решение: 1,78 -10" - 2,1 -10" = 10"(1,78 - 2,1) = -0,32 -10" < 0 Ответ: 1,78 -10" < 2,1-10".
б) 3,9 -10-2 и 6,5 -10-2 Решение:
Ответ:
в) 8,3 -10^ и 1,4 -10" Решение:
Ответ:
О Найдите значение выражения:
а) 4,1 -10-2 + 7^9.10-3 = _______
б) 5,2-10^ + 2,8 10" =
О)
р
*9
Hi
X
g»
т
О т |ш
„X
10ш
р
111
о Заполните таблицу:
Ш
Порядок числа а Число Ь Порядок числа Ь
-12 100а
-15 0,001а
-11 а* 10^®
а
-14 Ю-20
Масса Земли 5,98 • 10^^ кг, а масса Марса 6,4 • 10^^ кг. Что больше: масса Земли или масса Марса и во сколько раз. Ответ округлите до десятых.
Решение:
5,98 • 10^^: 6,4 • =____________________________________________
Ответ: масса Земли в ______________________________ массы Марса.
Масса Юпитера 1,90 • 10^^ кг, а масса Венеры 4,87 • 10^^ кг. Масса какой планеты меньше и во сколько раз? Ответ округлите до единиц.
Решение:
Ответ:
112