ФГОС||
Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова
Рабочая
тетрадь
по алгебре
К учебнику А.Г. Мордковича и др, «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях»
учени_класса_
школы
класс
Учебно-методический комплект_
Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова
Рабочая тетрадь по АЛГЕБРЕ
к учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях»
7
класс
Рекомендовано
Российской Академией Образования
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА* 2013
УДК 373:512 ББК 22.14
К52
Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Изображение учебника «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях: учеб, для обшсобразоват. учреждений / А.Г. Мордковича и др. — М.: Мнемозина» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве илиостративного материала (ст. 1274 п. I части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Ключникова, Е.М.
К52 Рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях»/Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова. — М.: Издаггельство«Экзамен», 2013. — 144 с. (Серия «Учебно-методический комплеет»)
ISBN 978-5-377-05270-8
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения).
Рабочая тетрадь является необходимым дополнением к школьному учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В2-Х частя х»(издагельство«Мнемозина»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников.
Авторами предложены разнообразные упражнения по всем темам, изложенным в учебнике, в том числе: задания для закрепления изученного материала, задачи повышенной сложности, занимательные и развивающие задачи.
Выпатнение теоретических и практических заданий рабочей тетради позволит каждому ученику лучше освоить материал учебника и применить полученные знания на практике.
В тетради имеются образцы для выполнения заданий. Нумерация и название пунктов рабочей тетради соответствуют нумерации и названию пунктов учебника.
Тетрадь предназначена для работы с учащимися общеобразовательных учреждений.
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях.
УДК 373:512
_______________________________________________________________________________ББК 22.14
Учебное издание
Ключникова Елена Михайловна Комиссарова Ирина Владимировна
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО АЛГЕБРЕ
к учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях»
7 класс
Издательство нЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51.Н 16054 от 28.02.2012 г.
Главный редактор 7727. Лаппо. Редактор Я..W. Бокова. Корректор Я.С. Садовникова Дизайн обложки М.Н. Ершова. Компьютерная верстка ДИ. Ярош
Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 4.5.
Уел. печ. л. 11,7. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3541/12.
105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1. wMTv.examen.biz. E-mail: по общим вопросам:
[email protected]; по вопросам реализации:
[email protected] тел Уфакс 641-00-30 (многоканатьнын)
Общероссийский ктассификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Приит», г. Тверь, www.pareto-prim.ru
ISB.N 978-5-377-05270-8
О Ключникова Е.М., Комиссарова И.В., 2013 © Издательство кЭКЗАМЕН», 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Математический язык. Математическая модель........5
§ 1. Числовые и алгебраические выражения...................5
§ 2. Что такое математический язык.........................8
§ 3. Что такое математическая модель.......................9
§ 4. Линейное уравнение с одной переменной................. 12
§ 5. Координатная прямая.................................. 16
Глава 2. Линейная функция................................. 19
§ 6. Координатная плоскость............................... 19
§ 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график...23
§ 8. Линейная функция и ее график..........................25
§ 9. Линейная функция у = kx...............................30
§ 10. Взаимное расположение графиков линейных функций......35
Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными... 38
§11. Основные понятия......................................38
§ 12. Метод подстановки....................................43
§ 13. Метод алгебраического сложения.......................47
§ 14. Системы двух линейных уравнений с двумя
переменными, как математические модели реальных ситуаций...52
Глава 4. Степень с натуральным показателем и ее свойства...57
§ 15. Что такое степень с натуральным показателем.......... 57
§ 16. Таблицы основных степеней............................59
§ 17. Свойства степени с натуральным показателем...........62
§ 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями... 64 § 19. Степень с нулевым показателем........................67
Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами... 69
§ 20. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена.........69
§ 21. Сложение и вычитание одночленов...................... 71
§ 22. Умножение одночленов. Возведение одночленов
в натуральную степень......................................75
§ 23. Деление одночлена на одночлен........................78
>
g
гп
X
S
m
Глава 6. Многочлены.
Арифметические операции над многочленами...................82
§ 24. Многочлены. Основные понятия.........................82
§ 25. Сложение и вычитание многочленов.....................85
§ 26. Умножение многочлена на одночлен.....................88
§ 27. Умножение многочлена на многочлен....................92
§ 28. Формулы сокращенного умножения.......................98
§ 29. Деление многочлена на одночлен.......................102
Глава 7. Разложение многочленов на множители...............106
§ 30. Что такое разложение на множители и зачем оно нужно?.106
§ 31. Вынесение общего множителя за скобки................109
§ 32. Способ группировки..................................112
§ 33. Разложение многочленов на множители с помощью
формул сокращенного умножения.............................114
§ 34. Разложение многочленов на множители с помощью
комбинации различных приемов..............................117
§ 35. Сокращение алгебраических дробей....................121
§ 36. Тождества...........................................125
Глава 8. Функция у = 129
§ 37. Функция у = jc^ и ее график..........................129
§ 38. Графическое решение уравнений.......................133
§ 39. Что означает в математике запись у = /(х)............142
Глава 1. математический ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
§1. ЧИСЛОВЫЕ
7 И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Продолжите предложение:
1) Запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий,
называют _____________________________________________________.
2) Запись, составленную из букв латинского алфавита, чисел и знаков
арифметических действий, называют_____________________________.
3) Число, которое получается в результате упрощения числового выражения, называют_______________________________________________.
4) Буквы, входящие в состав алгебраического выражения, называются
5) Если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое
выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называются________________________________________________.
6) Если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные переменные называются
О Найдите значения арифметических выражений:
а) 0,012+ 0,08 =
«ч 3 ^1
б) — + 5—= 14 2
д)0,24 : 1,5 =
е)2:1- = 7 ■
в) 0,57-0,057 = .
г)2—-1—= 15 20
ж) 0,54- 2,5 =
ч 5 Л1 з)— 1— = 18 15
X
о
о
ш
21
m
s;
>
”1
гп
СП
?
S
X
m
о
т;
S
m
ш
сг
5
m
X
X
X
Выполните действия:
а)5--1-3 3
12^:5-^-3
2 6
б) 8,5 + 1,5 • (0,8 : 0,16 - 0,16 • 0,5) ^ ^ 1
в)
4--1--3 V 2 2 ,
г) (14,6 - 6,8 - 5,8) • 0,05 : 0,1 =
Найдите значение выражения, выбрав удобный порядок действий:
а) 5,64+ 2,7+ 2,36+ 4,3=____ ______________________________
б)3-+5- + 4-+6- = 5 4 5 4'
О Найдите значение алгебраического выражения при данных значениях переменных:
1) при X = 0,5; у = 3
а) л: - у2________
б) х-2у___________
в) (х-уГ_
г) {х -у)-2
2) при а = 0,5; 5 = 4
а) 2а - 5 ________
б) а^~ Ь ____________
в) а - 25 ___________
г) о - 5^____________
О При
каких значениях переменных выражения не имеют смысла:
а)
б)
в)
2а
а-1 “ х + у 2у-3 45 +л Зп
г)
Д)
е)
о-Зт 5т-15 55-Z
l-k 84с+ d 7-d ■
Составьте выражения по условию задачи:
1) Купили 2 кг конфет по цене а руб. за 1 кг и 3 кг конфет по цене 5 руб. за 1 кг. Сколько заплатили за покупку? Какова цена 1 кг смеси конфет? Решите задачу при а = 80 и 5 = 95.
Решение:
1) 2 • а = 2а (руб.) — стоимость 2-х кг конфет.
2) 3 • ft = 3& (руб.) —__
3) 2a + 3b (руб.) — стоимость
4) (руб.) — цена______
5) ^_______________
смеси.
6).
стоимость всей покупки, цена 1 кг смеси.
Ответ:
2) У Маши есть несколько двухрублевых монет и а пятирублевых монет — всего на сумму 24 рубля. Сколько двухрублевых монет у Маши? Какие значения может принимать число а?
Решение:
Ответ:
О Подберите такие значения переменной а, при которых значение
выражения ■
а + 1
а) положительно __ _________________
б) отрицательно ___________________________________________
в) равно нулю __________ __________________________________
г) не существует___________________________________________.
О Запишите недостающие переменные в следующих предложениях:
а) Двигаясь со скоростью а км/ч, автомобиль за k часов проехал_км.
б) Двигаясь с часов, пароход проплыл d км со скоростью км/ч;
в) Часы стоили р рублей. После снижения цены на 15% их цена составляет рублей.
г) После покупки Ь книг по с рублей, у школьника осталось а рублей. До покупки книг у него было рублей.
«п
О
:□
О
ю
Е
гп
m
ш
?
s;
X
m
О
m
ш
о;
Т]
m
т.
20
1^^^ Заполните таблицу:
а) Площадь прямоугольника 36 см^. Длина сторон этого прямоугольника о см и Ь см.
Ь (см) 2 4 6 9 12
а (см)
б) Пешеход, велосипедист и мотоциклист находятся в пути 2 ч каждый. Пройденное расстояние S км, скорость V км/ч.
пешеход велосипедист мотоциклист
V (км/ч) 6 15 60
S (км)
§ 2. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
^1^ Запишите
утверждение на математическом языке:
- Ж-/ а) число а при делении на число Ь в частном дает 8________
б) число с при делении на число а дает в частном 5, а в остатке 2 I двигаясь со скоростью а км/ч, автомобиль за k часов прошел
' г) удвоенная сумма 4 и m составляет 18___________________
км;
д) отношение полуразности kviCK сумме квадратов end равно 24
ю Используя математические термины запишите выражения: I а)а2-Ьб2
б) (Зх - у) (Зх + у)________________________________________
в) __________________________________________________
2 2 X -у
г) JC® - J/®
д)
k + m
е) (5х-2уГ_
ж) (22 + Зх)^
О Запишите в виде математической формулы утверждение: а) пройденное расстояние S равно произведению скорости V на время t
б) стоимость покупки S равна произведению цены единицы товара с на
количество единиц товара п________________;
в) периметр квадрата Р со стороной, равной а, равен____________;
г) если площадь прямоугольника равна S, а одна сторона равна а, то
вторая сторона равна________________;
д) если пройденное расстояние равно S, а скорость V, то время, затраченное на движение, равно________________.
Продолжите предложение на математическом языке:
а) Периметр прямоугольника равен___________________
б) Цена товара равна ____________________
в) Время движения равно____________________________
г) Площадь квадрата равна__________________________
«О)
X
3
51
S
гп
^ §3. что ТАКОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Продолжите предложения:
1) Алгебра описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде ____________________________________моделей.
2) Математические модели бывают_____________,________________,
m
5
S
X
m
о
S
I
о-
т Заполните таблицу:
№ п/п Реальная ситуация Математическая модель
1. Яблок в 2 раза больше, чем груш
2. Столов на 3 меньше, чем стульев
3. а-Ь = 5;а- 5 = Ь; а = Ь + 5
4. а = —; Ь = 2а 2
5. х+1=у-2
О Установите соответствие между реальной ситуацией и математической моделью:
Реальная ситуация Математическая модель
1. В 3 пакетах п коробок, в каждой из которых т карандашей А. S = 10/п -1- 8(т - 1)
2. Прямоугольник длиной а м и шириной Ь м разделили по длине на с равных частей. Найти площадь каждой части. Б. 6 = а + 6;а = &- б
3. Два комбайна убирали пшеницу с поля. 1-й убирал 10 га в день, а 2-й — 8 га в день. Первый работал т дней, а второй — на один день меньше. Нашти площадь поля. с
А(а) В(6) 4. •-I-H 1 1 ♦ -> X r.S = 65t + 53(t - 2)
N(n) М(лг) К(А) 5. • • •—> X Д. п < m < А:
6. Машина t ч ехала со скоростью 65 км/ч, а со скоростью 53 км/ч на 2 ч меньше. Какое расстояние проехала машина? Е. Зпт
1 2 3 4 5 6
Е
10
о Постройте графическую модель ситуации: а) за 5 дней цена на нефть выросла с 85$ за баррель до 92$, а затем в течение 5 дней упала до 87$ за баррель;
б) на координатной прямой точка А расположена на 5 единиц правее точки В;
-1 I I I II I II I II->
X
в) на координатной прямой точка С расположена в середине отрезка АВ;
-1 I I I I I I I I I II->
X
г) точки П и £ находятся на равном расстоянии от точки iV(4).
—I I I I I I М I I м—>
Составьте математическую модель данной ситуации:
а) Пешеход прошел S км между пунктами А и В за 5 часов. Скорость его
движения выражается формулой V =___________км/ч.
б) Катер прошел 30 км по течению реки и вернулся обратно. Скорость
течения реки 2 км/ч, скорость катера в стоячей воде х км/ч. Время движения катера по течению _____________ ч, а против течения
___________ч.
в) Два токаря должны изготовить по 40 деталей. Первый может сделать
эту работу за х часов, а второй затратит на 3 часа больше. Производительность первого__________дет/час, а второго ___ дет/час.
Запишите три этапа решения задач:
I этап.
II этап.
III этап.
4»>
СлО
О
5>
о
гп
S
5
гп
S
X
ГП
о
ё
m
п
сг
11
, + s § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Продолжите предложения:
1) Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение
вида
, гдеаиЬ
2) Уравнения вида 4л: = 15, 6г - 7 = О, —х +24 = 0 называются_.
2
3) Корнем линейного уравнения называются такие значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в_____________.
4) Алгоритм решения уравнения ах + Ь = сх + d:
Найдите корень уравнения:
а) 2л: = 251 Решение:
2л: = 251
251
д: =---
2
л: = 125,5 Ответ: 125,5
б) 4л: = -70 Решение:
в)-5л: = 163 Решение:
Ответ:____
г) 8,3л: = о Решение:
д) о • X = 17 Решение:
Ответ:____
е) 5х = 0,2 Решение:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
12
Найдите корень уравнения:
а) 2х - 5 = 27 Решение:
2л-5 = 27 2л = 27 + 5 2л = 32
2
л= 16 Ответ: 16
л = -
б) -3 + 4у Решение:
= -5
Ответ:
в) 2л - 1 = 4л + 3 Решение:
Ответ:
г) 10 + 14л = 15 - Зл Решение:
Ответ:
О Используя алгоритм, решите уравнения: а) 7л - 5 = 5л + 7 в) -Зл = л + 4
Решение: Решение:
Ответ:
Ответ:
СО>
и
S.
X
m
х<
X
о
m
•<
5
ш
X
m
X
X
гп
о
g
X
о
х<
Z1
m
TJ
m
s
m
X
X
о
x<
13
б) 3 - X = 2л: - 3 Решение:
г)х + 3 = 3 + х Решение:
Ответ:
Ответ:
на общий числовой множитель:
а) 4(х - 1) = 8(2 - X)
Решение:
4(х-1) = 8(2-х) 1:4
X - 1 = 2(2 - X)
X - 1 = 4 - 2х X + 2х = 4 + 1 Зх = 5 5
X = —
3
Ответ: 1—.
3
б) -6(2х - 5) = 9(х + 1) Решение:
Ответ:
[ьно разделив обе части уравнения в) 6(х-3) = 3(15-х) Решение:
Ответ г) 0, Реш
2(х - 8) = 0,4(х - 3) ение:
Ответ:
14
о Решите уравнение, умножив обе его части на общий знаменатель всех входящих в это уравнение дробей:
а)1(х + 5) = -^(л: + 3)
О Z
Решение:
i(o: + 5) = i(;c + 3) |-6
|•6•(ж + 5) = i■6•(д: + 3)
2(х + 5) = 3(х + 3)
2лг + 10 = Зл: + 9
2л: - Зл: = 9 - 10
-л: = -1
-1 х = —
-1
л: = 1
Ответ: 1.
б)0,7(л:-3) = 0,5(л: + 1) Решение:
B)i(5-x) = -i(x-5) 4 3
Решение:
Ответ:
г) 0,2(л: - 2) = 0,5(д: - 5) Решение:
I i
-1-^-
Ответ:
Ответ:
to>
X
m
S:
X
О
m
•<
>
ш
X
m
X
X
m
О
§
X
о
х<
■п
m
■о
m
S
ш
X
X
о
х<
15
§ 5. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ
Продолжите предложения:
1) Прямая I, на которой выбрана начальная точка О, масштаб и поло жительное направление, называется ___ ________ _________
или
2) Начальную точку называют
, масштаб —
3) Каждому числу соответствует______
на коорди-
натной прямой и наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует ______________________.
2 ^ 5
Изобразите на координатной прямой числа: 3; 2,5; -6; —; -4—; ^ ^ 3 6
-3,8.
4-+
н—>
о ^
Укажите координаты точек, отмеченных на координатной пря-
мой:
BE D
А н---•-
О 1
Ответ:
0 2 11
Какое из чисел 5; -7; ; 6,5; 18—; -21— расположено левее всех
на координатной прямой? Ответ: _______________.
3 7
2 11
Какое из чисел 5;-7; —; 6,5; правее
всех на координатной прямой?
Ответ:
16
Укажите номера рисунков, на которых числа на координатной прямой изображены неправильно:
1)---•--------•----> 4)---•--------•---->
-2
1
5
1^
7
2)
3)
-3
-4
-5
• >
2 ^
5) -
6) .
О
2 ^ -•--->
Ответ:
-1^
3
5
Заполните таблицу числовых промежутков:
Геометрическая модель Обозначение Название числового промежутка Аналитическая модель
fV//////////////V (а; -1-оо) х> а
а X
луч х>а
X
(-оо; Ь) X <Ь
X
■W х<Ь
X
а Ь X а<х <Ъ
[а; Ь] отрезок
[а; Ь)
X
полуинтервал а<х<Ь
X
ил
Ut
X
о
О
5
s:
X
X
X
тз
X
S
о Изобразите на координатной прямой множества точек, координаты которых удовлетворяют указанным условиям:
а) л: > -3
б) X < -1
в) 1 < X < 2
X
->
X
->
17
г) 1 < л: < 2
д) О < л: < 1
е) К л: < 3
X
->
X
Данную геометрическую модель задайте аналитически:
_2 д. —
-2 5 X
-5
а) -
б) -
в) -
г) -
Д)
_2 3 д;
С) ////////////////^ у
3 X
-2 X
Изобразите на координатной прямой множества точек, удовлетворяющих данным условиям:
а) |х| > 1
б) |х| < 2
в) |х| > 2
г) |х| < 3
-1
1 X -------->
X
->
X
Даны числа: -2; -1; 0; 3; 5; 7; -9; 18; 4. Укажите те из них, которые принадлежат:
а) отрезку [3; 5]_______________________
б) лучу (-21; 6] _________
в) интервалу (-17; 10)__________________
г) полуинтервалу [-7; 5) _________
18
Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 6. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Запишите названия:
0(0; 0) -Ось Ох — ось Ось Оу — ось
О Заполните таблицу:
Точка Абсцисса точки Ордината точки Координатный угол
А(5; 6) 5 6 I
В( ;7) 2
С( ; ) 4 -3
7)(-3; ) 5
и»
а>
X
О
О
S
s
X
5;
X
X
X
о
о
ж
о
о
19
о Изобразите на координатной плоскости точки: АН; 2)
■А-----1----1-
С(4,5; -3)
5
4 •
3-2-
Н-Ч---1-1--1-1--!-►
-5-4-3-2-ljX 1 2 3 4 5 -2--3-
-4 ..
-5
О Заполните таблицу:
Изображение
-I,
I X -*■
Запись на математическом языке
х = а
20
I
§ 6. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ
U к
т
1 к4-.
1 i
1 1 ! Г
> ф е 1 V ч® f #г
1 ! --L. га
1 ^ 1 i ! 1 .со. 1 1 1 — -- — . J
о
II
О
II
о Запишите координаты точек, которые принадлежат данным координатным углам:
О Опишите на математическом языке: а) прямую параллельную оси абсцисс и проходящую через точку А(-3; 2)
б) прямую перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через точку В(4; -1)______ ______________.
Постройте прямые, проходящие через точки:
22
+ -; § 7. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 7 С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК
О Продолжите
предложения:
1) Уравнение вида ах + Ьу + c = Q — это линейное уравнение
2) Решением уравнения ах + &г/ + с = О называется___
Для графиков линейных уравнений ах + Ъу + с = Q заполните таб-
лицу:
Коэффициенты уравнения Вид графика Решение
а 6 с уравнения
а = 0 6 = 0 с = 0 Вся координатная плоскость Любая пара чисел (х; у)
а = 0 6=0 СФ^
а = 0 6;л0 с 0
а^О 1 6=0 c?t0
а^О Ь^О СФ^
(0>
><
а
Z
гп
X
S
m
о
13
Щ
20
Z3
m
тз
m
3
m
X
X
сг
S
X
S
m
3
i
X
Подчеркните линейные уравнения с двумя переменными:
5х - 7i/ -I-1 = 0; у - & = 4; а -I- 2Ы- с = 0; -{х-у) + 2х^ -4 = 0;
2
m-n + — = 0;2(z + y) = 4z- 1.
5
О Заполните таблицу значений для линейного уравнения с двумя переменными 2х -f у - 1 = 0
Т X 1 0 2 -3 1
.1 L -10 9 -11
23
б)-Зх-у + 4 = 0 (3;8) (0;4) (7;-1) (5;-11) (4; 0) (1; 1) (-2; 10)
На координатной плоскости постройте графики уравнений:
а) 2дс + Зг/ - 4 = о
б) -X - 2у + 3 = О
24
Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 2лг - I/ = 3 и -2х - у = 3.
Решение:
Построим графики уравнений в одной координатной плоскости.
2х~ у = 3
X
у
-2x-y = -3
f X
у
О Заполните таблицу:
i Л . 'y
4 о
— о ■ n ! 1 1
Z '
1 ’ 0 i л:
5- 4- 2-3 1 1 ; ! 4 £ I’l
1 0 1
a о 1
- - 'o ’ Л :
4 '
№ n/n Уравнение Решение уравнения Коэс эфициенты
a b c
1. ax + 5y - 40 = 0 (3;2) 5 -40
2. 6x + by - 35 = 0 (-5;-13) 6 -35
3. 8x + 3y - c = 0 (0;0) 8 3
Решение:
1.
3.
§ 8. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
О Продолжите предложения:
1) Уравнение вида у = kx + т называется___
2) Значения у называются__________________
3) Переменная х называется________________
4) Переменная у называется________________
5) Графиком линейной функции является_____
03
is
s:
X
m
X
>
e
•<
X
xz
s:
X
X
m
m
?
e
X
t;
25
Заполните таблицу и постройте график линейной функции:
&) у - -X + А
6)у-2х + 1
Постройте графики функций и определите, чему равно значение функции при заданном значении аргумента:
а)у = х+1
-I—г
I—I I > I
тг
у ;
----------1
I х: I
i
U i
I •
' I
i i
Ответ:
X 0 3 -2 4
у
6)y = -3x - 3
Ответ:
X -1 2 -3 5
У
26
Постройте графики функций и определите, чему равно значение аргумента при заданном значении функции:
а) г/ = 4л: - б
б) у = 0,4л: + 2
Ответ:
Ответ:
X
у 0 3 2 -1
X
У 3 -1 0 -2
Координаты точек связаны указанным соотношением. Для каждого случая заполните таблицу и постройте график:
а)у = х-2
б)у + х = 3
ия
X
гп
s<
X
§
I
SZ
X
X
X
m
m
-I
е
X
Вывод: Графиком линейного уравнения является
27
Постройте график линейной функции у=-2х + 3 и заполнргге таблицу:
X
у
Координаты точки пересечения с осью абсцисс ( ;0)
Координаты точки пересечения с осью ординат (0; )
Возрастает или убывает функция функция
При х = 5 У =
При у = 3 х =
Постройте график линейной функции, отметьте на оси те значения аргумента, для которых выполняется условие у > 0. В ответ запишите соответствующий промежуток.
а) г/ = 2х + 3
б) у = -Zx -f 1
X
у
5 ‘У
Л — —
4 л
«5 ' п
0 X
- 4- р- 2-] : ! Р 1 5
— гА О
D ' О
' л 1
г4 ’ ...1
1 .J
Ответ: [1,5; -I-qo).
Ответ:
28
о Постройте график линейной функции, отметьте на оси те значения аргумента, для которых выполняется условие у < 0. В ответ запишите соответствующий промежуток.
&)у = -х-1
6)у = 3х +2
X
у
— ; i 5 1
Л .
— -- 4 о 1 —
о ’ л , г 1
Z '
0 X
M 4- J- 5 1 ^ < d
1 о 1
л о г ; -i-1 .. .J
и ' л
4 ' Г
и ' IT.
Ответ: [-1; Ч-оо).
Ответ:
О Постройте график линейной функции у = -2х + 2, выделите ту его часть, которая соответствует заданному промежутку на оси абсцисс. Решение: у = -2х + 2
X 0 1
У 2 0
и/!
OQ
s
X
m
X
0
ч:
X
sz
s
X
tn
m
—1
5
e
X
5C
29
§ 9. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ у = to
Продолжите предложение:
1) Графиком линейной функции y = kx является
2) Коэффициент к у функции у = кх называется _
3) Угол, который прямая у = кх образует с положительным направлением оси Ох, зависит от____________. Если fe > О, то этот угол
_____________, если А: < О, то угол_______.
4) Прямая, служащая графиком линейной функции у = кх + т прямой, служащей графиком линейной функции у = кх.
5) График функции у = Зх + 4 получается при сдвиге_________на
______________единицы масштаба прямой у = Зх.
6) График функции у = -5х - 2 получается при сдвиге__________
на______________единиц масштаба прямой у = -5х.
___ Подчеркните те функции, графики которых проходят через нача-
' ло координат:
2 1
у = -2х-, у = -; у = -х; у = 2х-1.
X 2
Заполните таблицы и постройте графики функций:
&)у = Ьх
в)у = -4х
■■ - —1
1 I ' -
: . О
. о 1 1
г 7 \ ч
1 1 i [ 1 ^ — X
— ! f 5 -4-3- И,. L J 4 5 ^ ■ 1 • :
-^•1 —а- ■— 4
.... 1
i i .
30
«‘'"Г
Т)у = --х 4
о Заполните таблицу, если у их связаны соотношением у = -Зх.
X 0 8 -2 5 1 1 3 4 4 3
у 3 -1 6 1 2 -9 12 -15 0
и»
и>
Постройте график функции по двум точкам.
X
m
X
I
X
X
с.
X
X
II ж-
X
31
На рисунках показаны графики функций у = kx.
2)
'■ —1 1 1 n -[- у-л
в ' . 1 i t
4 ■ о ■ ■ ■ t ""t' * 1 ; 1 1
и о 1
1 1 1
лк 1 ■ 0 д:
“л J- Т1 - i 1 « 1 - 5
п •
'2S 2) • \ [ 1 . . . : _ i ■ J
О л
4 1
5 1 _._L
Выпишите номера графиков функций, для которых:
а) А>0: ____________________________________
б) А:<0: ___________________________________
Проходит ли график функции у = Ьх через точки:
А(3; 15) Ответ:
В(-4; 20) Ответ:
1)(0; 5) Ответ: £(0; 0)_ Ответ:
С(2; 10) Ответ:
32
Задайте формулой у = kx функции, графики которых показаны на рисунках:
а)
Решение:
График проходит через точку А(1; 1). Подставим координаты этой точки в уравнение у = kx : 1 = k • 1, k = 1.
Ответ: у = х.
б)
Решение:
ia
S
X
гп
X
>
в
*<
X
Е
S
X
ч
II
5”
Ответ:
33
в)
Решение:
Ответ:
О Постройте график функции у = 0,5х. С помощью графика:
а) определите значения аргумента, при которых г/ > О_____
б) определите значения аргумента, при которых г/ < О_____
в) определите значения функции г/, если х е [-4; 4] _____
г) определите значения функции у, если х е (0; 6) _______
График функции у = kx проходит через точку М -4; — |. Найдите коэффициент к. V 4,
Решение:
Ответ:
34
§ 10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ГРАФИКОВ линейных функции
Заполните таблицу:
Линейные функции Алгебраическое условие Геометрическое условие
у = k^x + y = k^x + Aj = k^; mj Прямые у = k^x + и у = k^X + /Tlj
= К' — Прямые у = k^x + иу = h^x + совпадают
— Прямые у = к^х + /Mj и у = к^х + пересекаются
Распределите данные функции у = 7х-4пу=7х + 3;у = Юл: + 8 и у = 5х+^; у = 2х и у = -^х + Ъ; у = -0,7л:+-^ и у =-0,7х - 8 по колонкам
^ м Л
в соответствии с условиями: Графики пересекаются
Графики параллельны
О Пересекаются ли графики данных функций: а) у = -бл: + 9 и у = 2л: - 7?
Ответ:
в) у = 0,2л: - 9 и у = —л: + 1?
5
Ответ:
б) у = -0,5л: + 2 и у = 2,5л: - 10? Ответ:
г) у = -Зл: и у = -Зл: + 3,6? Ответ:
«й
р
оэ
ы
>
S
X
о
m
?
0
§
1
m
■X
X
m
i
I
О
Ш
e
X
35
Постройте в одной системе координат графики функций:
а) г/ = -а: + 6; у = -JC - 1,5; у = -х\ у = -X + г
б) у = 2х + 4; у = 2л; - 3; у = 2х~\ у = 2х + 0,5
Г : i ' ■' ■ , . . .5. ! i ;4- : 3 • i • 2 ■ У j _
1 1 1 1 ! , X
1 1 Р J I . 1 ? ? 4 5 i
j -2- • -:--п—:
.... 1
• -5- • i :■ ;
У ' ^
. ... - -4-. i i 1 ■ !
, g_, ■ i j -г- i !
- -j- 1 , 1 1 Л1
-5-4-3r:R-J^, . i Z 9 4 5 1 ' T i '
-3. " - --Hi- ; 1
. , . . • - * •
т Укажите ординату точки пересечения графика линейной функции с осью Оу:
^ а) у = 0,2л: 4-Зу = ______________
б) у = -5л: - 4у =______________
г) у = Зд: 4- 5у =
ч 1 1
в)у= — х + —у =
/у 7
д) у = -л:-0,5у = ,
4
е) у =-7х-Ь 8у =.
Укажите такой коэффициент к, чтобы графики функций были параллельны:
а) у = Ал: 4 3 и у = 5л: - 4, /е = в) у = 4л: 4 1,5 и у = Ал: - 2, А =
б)у = -^х-7иу = Ал: + ^, А =
г) у = Ал: и у = 2л: + 18, А =
Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 5л:-4иу = 4л:-3.
Решение:
Ответ: (
36
о Проходят ли графики данных функций через указанные точки:
а)у = 2х + 3, А(0; 3) Решение:
в) у = -X + 5, С(0; -5) Решение:
Ответ:
Ответ:
6)у = -х-4,В(2;-3) Решение:
г)1/ = -Зх-2,П(1;-5) Решение:
Ответ:
Ответ:
С0О
ф
U
>
s:
S
X
о
m
?
о
Z3
о
О
m
X
S
m
5
в
X
X
0
ф
1
X
ж
х:
X
37
Глава 3. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
О Продолжите
предложения:
1
1) Если даны два линейных уравнения с двумя переменными хтл у а^х +
+ feji/ + Cj = О и а^х ->г Ь^у + = VI поставлена задача найти такие пары
чисел (д;; у), которые одновременно удовлетворяют одному и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют ______.
2) Пара чисел (х; у) называется __ __________________________.
Гх + 1/ = 4
Является ли решением системы уравнений < пара чисел
[2х-у = 2
а)х = 3,1/= 1 Решение:
б)х = 2, у = 2 Решение:
Ответ:
Ответ:
О Выясните, сколько решений имеет система: fllx + 10i/ = 120
а) ,
[6х + 1/ = 18
Решение:
Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Выразим из каждого уравнения переменную у через х:
10г/ = 120-11х 1/ = 18-6х,
120 11
У =-------X
10 10
j/ = -6x + 18.
Получим систему:
\у = -1,1х + 12 [t/ = -6x + 18.
38
Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны, значит прямые пересекаются, то есть система имеет единственное решение.
Ответ: 1.
Ау-х = \2 Zy + x = -2 Решение:
б)
Ответ:
а)
Покажите, почему системы уравнений не имеют решений:
5л: + 2у = -18 15jc-t-6z/ = -36 Решение:
Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Выразим из каждого уравнения переменную у через х:
[2y = -lS-bx |бу = -36-15х.
Получим систему:
18 5
у =-------X
2 2
36 15
у =--------X.
6 6
\у~-2,Ьх-9
. Угловые коэффициенты прямых, яв-
[j/ = -2,5x-6
ляющихся графиками этих функций, равны vi с^, значит, прямые
параллельны, то есть система не имеет решении. 3jc-4i/ = 16 6х-8у = -8 Решение:
б)
«л
О
О
X
о
ш
X
Е
m
X
О
X
н
X
X
Ответ:
39
Заполните таблицу, подобрав такие значения k, при которых выполняются заданные условия:
Система уравнений Значение k, при котором система
не имеет решений имеет единственное решение имеет бесконечное множество решений
(у = Зх-5 ^^[y = kx + 4 3 5 нет
[i/ = l,5x + A •
О Постройте заданные прямые в одной системе координат и укажите в ответе координаты точек их пересечения:
а)2х-у = 4иу = 6
б)х + у = 4их = 2
X
У
: 1 П
А .
4 о 1
i и ' о 1 —■ —
ZS ' л .
1 ' 0 X
У - 4- р-! 1. J 5
ц 1*1 я
а о
-- -- и ' А 1 f ■■ t
!
г 1 • i ! -■■■1 - i - .
Ответ:
о Решите графически систему линейных уравнений:
а)
\х-у = 1 [x + 3i/ = 9
Решение:
Построим графики уравнений в одной системе координат. Зх-у = 1
X 0 2
у -1 1
х + Зу = 9
X 0 3
У 3 2
Координаты точки пересечения графиков — решение системы. Ответ:( ;___)
б)
у = х-1
у=х+3 3
Решение:
Построим графики уравнений в одной системе координат. у = х-1
X
У
у = —х + 3 ^ 3
Координаты точки пересечения графиков — решение системы. Ответ:( ;____)
I i 5- 'г/ i . -Y
4t 3 ■ — i
1 £, ' i
J г i X '
J 4- i- 1 i M 0 : - f
ir о
с
! О ' A
. Ч ' ■5 ■ —
О Какие из пар чисел (-3; 4), (-2; -6), (-4; 3) являются решением систем уравнений:
1х = у-7 Решение:_______________________________________
^^|зх + 4у = 0
да
О
О
X
О
ш
X
о; m => О X X —» X X
41
Решение:
О Определите координаты точки пересечения прямых, и запишите уравнения, задающие эти прямые. В ответе укажите соответствующую систему:
а)
Решение:
Точка пересечения имеет координаты (
Уравнения, задающие прямые:_________
Ответ:__________________
б)
«Я
IV .
И
r i
] O'
i Л
i b
i
1
T
1
V
, L 0 г
л -« - n 4 f| • ! 1 Г\ 1 1 b 1
^ 2
1 Л
1 g
It
42
Решение:
Точка пересечения имеет координаты (
Уравнения, задающие прямые:________
Ответ: ____ ____
и
§ 12. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Из линейного уравнения выразите:
а) у через х: Ах-Ъу=\2,
. 12 4 4 ^
Решение: 4х - Зг/ = 12, У~~~^—У =
б) X через у:
Решение:
Выразите: а) у через х из уравнения 6л: - у = 12, Решение:
б) X через у из уравнения Юл: + 7у = О Решение:
а)'
Решите систему уравнений методом подстановки:
\у = х-1,
\Ьх + 2у = 16 Решение:
|у = л:-1, |у = л:-1, Гу = х-1, Гу = х-1,
|5х + 2у = 16, [5х + 2(х-1) = 16, [5х + 2х-2 = 16, [7х = 18,
К)
S
m
н
О
ы
=]
о
га
О
X
о
ш
ж
43
18 , Г
у = х-1. у=—-1.
18 ■ ( *
х = —, 18
7
1 7
[Зх-2г/-11 = 0 Решение:
У = 1-, У
х = 2~. 7
Ответ:
Найдите решение системы уравнений и сделайте проверку: Sx + 4y = 0,
2х + 3у = 1 Решение:
а)
Проверка:
Ответ:
б)
5х-г6у = -20, 9x+2i/ = 25 Решение:
44
Проверка:
Ответ:
Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений: а) 7дг + 4г/ = 23 и 8х - Юг/ = 19 Решение:
[7jc + 4i/ = 23, J4i/ = 23-7jc, |8ж-10г/ = 19 [8д:-10г/ = 19
23 7
8л:-Юг/= 19
7 23
и = —х +—, ^4 4
/
8л:-10
—л:+-
23
= 19
Ответ: ________________.
б) 11л: - 6г/ = 2 и -8х + 5г/ = 3 Решение:
w>
«А
Ответ:
ta
О.
о
ш
45
Решите систему уравнений способом подстановки. Выполните проверку, поставив полученное решение в каждое из уравнений:
3m-2n = 5, т + 2п = \Ъ Решение:
а)
Ответ:
б)
[ п + ЗЬ — 2,
2а + ЗЬ = 7 Решение:
I > J \ Л
I ’J f , f ^
Проверка:
\ -J г . г
. .
f f Л _____ _____ __
f
Проверка: f _ л
Ответ:
46
а)
Решите систему уравнений:
~(х + у) = 2,
О
-(х-у) = 1
:^ + у) = 2 |-5, :(х-у) = 1 1-2
х + у = 10, {у = \а-х, {у = 10-х, х-у = 2 1л:-(10-х) = 2 |х-10 + х = 2
Решение 1 5 1 2
|i/ = 10-jf, {у = 10-х, ji/ = 10-6, ji/ = 4, [2jc = 12 |jc = 6 |дс = 6 [д: = 6.
Ответ: (6; 4).
0,3(д; + г/) = 22,2,
0,4(x-i/) = 6,4 Решение:
б)
Ответ:
§ 13. МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ■г СЛОЖЕНИЯ
Вставьте пропуиценные слова в описание метода алгебраического сложения при решении систем линейных уравнений:
1) Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали числами;
(0>
S
гп
н
о
m
Ш
?
S
X
гп
о
О
“1
О
S
о
m
X
S
!S3
47
2) Сложить почленно
и
3) Решить получившееся уравнение с
4) Найти соответствующее значение
части уравнении системы;
_____________ переменной;
________ переменной.
Умножьте одно из уравнений системы или каждое из них на какое-либо число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных:
12*+3!/ = 18
Решение:
{х-у = 1, W-y = l |-3, (Зх-3у = 21,
[2х + Зг/ = 18 [2л: + 31/ = 18 |2л:-)-Зг/ = 18
1а+6 = 2,
(50+26 = 3 Решение:
|а-(-& = 2,
5а + 2& = 3
\а + Ь = 2 |-5а + 2Ь = 3
в)
р-3д = 5, Зр + 2^ = 4 Решение:
\р-Зд = Ъ, |р-3д = 5 I [Зр + 2? = 4 1зр + 2д = 4
Решите способом алгебраического сложения систему уравнений. Выполните устно проверку, подставив полученное решение в каждое из уравнений:
х + у = Ь,
х + у = Ъ, х-у = 7 2х = 12 х = 6
48
Подставим найденное значение переменной х в первое уравнение и найдем значение переменной у:
6 +у = 5, у = 5-6, у = -1.
Ответ: (6; -1).
2п + т = 5,
2п-т = 11 Решение:
б)
Ответ:
Продолжите решение систем уравнений методом алгебраического сложения:
а)
|2а-нЗЬ = 0,
7а-26 = -25 Решение:
|2а + 36 = 0 [2, |7а-26 = -25 \-с
Ответ:
б)
\2х + Ъу = -\,
4а+ 66 = 0, 21а-66 = -25
2х + Ъу = -2 Решение:
\2х + Ъу = -1 |(-3), |3x + 5i/ = -2 1-2
-6л: - 9у = 3, 6x + 10i/ = -4
(01 1
Р
S
m >
§
S
m t
5 -5
1 I
О ^ 34 :
О .*
3 ;
о
о
S
m ' X
X ’ X
Ответ:
49
Составьте уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через указанные точки: а) М(5; 5)iV(-10;-19)
Репхение:
Так как график уравнения у^кх + Ь проходит через заданные точки, то одновременно выполняются равенства 5 = й • 5 + 6 и -19 = к • (-10) -I- Ь. Значит можно составить и решить систему уравнений, чтобы найти значения коэффициентов k\ib.
\Ъ = Ък + Ъ,
-19 = -10ft + 6
\Ь = Ък + Ь |-2, \-19 = -10к + Ь
{10 = 10к + 2Ь,
\-19 = -10к + Ь^
-9 = ЗЬ Ь = -3
Подставим найденное значение Ь в первое уравнение системы: 5 = 5А-1-(-3),
5 = 5к-3,
-5fe = -3-5,
-5к = - 8,
.-А
-5
й = 1,6
Составим уравнение прямой при к = 1,6 и Ь= -3: у = 1,6д: - 3. Ответ: у = 1,6дг - 3. б) P(4;1)hQ(3; -5)
Решение:
Ответ:
50
Задайте формулой линейную функцию у = кх + Ь, график которой изображен на рисунке:
а)
Решение:
Линейная функция задается формулой__________________________.
График функции проходит через точки с координатами (_;____) и
(___; ____). Подставим эти координаты в уравнение линейной функ-
ции у = кх + Ь, получим систему уравнений, которую решим для нахождения коэффициентов киЬ:-'
Ответ:
б)
<л>
W
S
m
н
§
>
~|
m
ш
I
X
m
о
ж
о
d
о
о
m
X
s:
51
Решение;
Линейная функция задается формулой _ ________•
График функции проходит через точки с координатами (__;___) и
(_; __), Подставим эти координаты в уравнение линейной функции
у = kx + Ь, получим систему уравнений, которую решим для нахожде-
ния коэффициентов k
и Ь: ■
Ответ:
1
§ 14. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ,
КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ
Запишите с помощью систем уравнений следующие ситуации: Сумма двух чисел равна 17. Одно число на 7 меньше другого.
Решение;
Пусть X — I число, а г/ — II число. По условию задачи сумма двух чисел равна 17, значит составим уравнение____________. I число на 7
меньше II числа, значит составим второе уравнение_____________.
Так как условия выполняются одновременно, то получим систему урав-
нении:
2) В классе 26 учеников. Девочек на 3 меньше, чем мальчиков. Решение:
52
Ответ
J-
3) Периметр прямоугольника равен 400 м. Его длина в 3 раза больше ширины.
Решение:
Ответ
J
Решите задачи:
1) У мальчика было 14 монет по пять и десять рублей, всего на сумму 115 рублей. Сколько монет каждого достоинства было у мальчика?
Решение:
Пусть X — количество пятирублевых монет, а у — количество десятирублевых монет. По условию задачи общее количество монет 14, значит х + у = 14. Общая сумма пятирублевыми монетами 5х рублей, а десятирублевыми монетами 10у рублей. По условию задачи всего у мальчика было 115 рублей, значит 5х + lOi/ =115. Математическая ситуация данной ситуации — система двух уравнений:
\х + у = Ы,
[5x + 10y = 115.
Решим систему методом алгебраического сложения:
и + у = 14,
|5х + 10г/ = 115.
(-5х-5у = -70, |5х + 10у = 115 5у = 45,
У =----- .
\х + у = Ы |-(-5), [5jc-(-10i/ = 115.
<а>
S
2|
m
S
S
X
m
о
ж
S
m
S
g
s
TJ
г
z
O’
>5
о
>
д:
53
монет, по 10 рублей было
монет.
Ответ: по 5 рублей было
2) Поезд прошел первый перегон за 2 ч, а второй за 3 часа. Всего за это время он прошел 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если она на втором перегоне была на 10 км/ч больше, чем на первом.
Решение:
V, км/ч t,4 S, км
I перегон X 2
II перегон У 3
380 км
1
По условию задачи Pj, на 10 км/ч больше, чем V^. Составим и решим си-
(й: I-----------------’
стему уравнении:
Ответ:
54
3) Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить каждая бригада по плану?
Решение:
По плану, деталей Всего, деталей По факту, деталей Всего, деталей
I бригада X 1 680 1,2х 1 680-1-118
II бригада У 1Д5г/
«л
5
m
S
S
X
m
о
X
s:
m
3
g
m
:з
s;
■D
0"
X
x
X
о
X
g
jr
s
s<
Ответ:
4) Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см.
Решение:
Пусть боковая сторона треугольника л: см, а основание у см.
Периметр равнобедренного треугольника равен Р = 2х + у.
55
По условию задачи Р = 4Z см, значит получим уравнение_________.
Так как основание треугольника на 7 см больше боковой стороны, то составим уравнение: у = х + 7.
В
НИИ
й:1-
I-
.L
-
г ;
. .t
— -t г - t
r
1^
^ '""С
Ответ:
56
Глава 4. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
ffXlL-
, + 5 § 15. ЧТО ТАКОЕ СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
О Впишите пропущенные слова в определениях и высказываниях:
1) Степенью числа а с натуральным показателем , боль-
шим 1, называется произведение_________________
из которых равен а: а" = а а-.., а, п > 1;
п->множнтелей
2) Степенью числа а с показателем 1 называется,
3) Возвести число в степень — это значит _____
4) Выражение а" называется ____________
множителей, каждый
5) Число а в выражении а" называется______________
6) Число п в выражении а" называется______________
7) _______—это натуральный показатель степени;
8) Положительное число в четной степени___________
9) Отрицательное число в четной степени __________
10) Отрицательное число в нечетной степени
Не выполняя действий, определите знак числа:
а) (-6)»<0;
б) (-1)2» >0;
в) (-6,5)2“
е) (-2)1“-(-3)".
ж) (-4)2® • 8^__
0;
0;
0;
г)
д)
li
V Зу
^4^
V ' /
^ 0; 0;
з) (_1)15.(_7)8.57 ____0;
и) (-2)‘^*(-3)»-2»_ 0;
X
3
Ж
о
m
о
м
m
3
гп
X
сг
о
1
0"
X
г
S
3
о
S
m
S
57
Запишите в виде степени или произведения степеней:
а) 2-2-2-2-2_______________ __________________________
б) (-3)-(-3)-(-3)-(-3)________________________________
в) (-4) • (-4) • (-4) • (-7) • (-7) • (-7) • (-7) = (-4)» • (-7)^; 1
г) -
^ г ^ Г
sj . 3, . 3,
6 6-6 =
Упростите выражение:
а) а-а-а-а-а-а= ___________
б) (X + у)(х + у){х + у)= _
Вычислите:
а) 7 + 4^ = ____
б) 5=*-15=______
в) 14^ + 6 = ___
в) т-т'т-т-т-2-2-2-2'2'2 =
T)hk...k =
32 ра;}а
г) 12^: 2=_ Д)(5-3)2 = е) 82 - 52 =
Заполните таблицу:
Степень Основание^'^'-^.^ 2 3 4 п к-1
2 22 22
а а"
Ф + с) (6 + с)"
Представьте в виде степени с данным основанием а:
а) а = 2 числа: 2 = 2‘; 8 = ; 32 9 128 = 9
б) а = 0,1 числа: 0,1 = ; 0,001 = ; 0,000001= ;
в) а = -— числа: 1 _ 1 > ^ л 9 1 9
2 4 64 32
г) а = -3 числа: 81 = -27 = ; 9 =
О Найдите:
а) сумму квадратов чисел 0,3 и -0,7.
б) квадрат суммы чисел 6,4 и -4, 9 _
58
в) квадрат разности чисел 1,3 и 0,5
г) квадрат разности чисел -1,8 и -0,5 Запишите в виде степени числа:
а) 1000000 =
б) 32 =_____
в) 64 =
; г)125 = _
Соедините стрелками равные выражения:
(2,5-1,8)2
(-56)2
(-728,5)2
(21-53,5)'*
-562
-728,5*
(-53,5 + 21)"
(-1,8+ 2,5)2
Найдите значения степеней:
а) 20* =________;
б) 9* =_________;
г)-(-3)"=,
Д)(-2)2=„.
в)(-3)" =
, + 5 § 16. ТАБЛИЦЫ ОСНОВНЫХ < СТЕПЕНЕЙ
О Заполните таблицу:
Показатель ^"^■^.^епени Основание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3 81
5 25
7
шА.
а>
01
J=
Г
О
О
X
о
ш
X
х
X
о
н
m
э
m
X
m
59
о Дополните предложения:
1" = 1, для___________________
О" = О для____________________
(-1)" = 1, если п —_____
(-1)" = -1, если п —____
(-1)"*=___________________ -
(-1)2***=_____________________
а)
Вставьте пропущенные числа:
5=_1;
б) (-2)--=-32;
в) _____*=-0,216;
О Сравните
выражения с нулем:
&)Ь* ______0;
б) а* + ft* . _0;
в) -5(л:+ 1)_______0;
Вычислите:
а) 7 • 2® = 7 • 25 = 175;
'5'’
6)9
г)1-
Д)
Y
у
64
._*= 0,0001;
г).
(п + т) Д) -Z* _
0;
0;
г) -6*-(-12) =
Д) -5 • 2» =__
.)i9.j|=.
О Найдите значения выражения:
а) 8х* при JC = -1
Решение: 8 • (-1)* = 8 • (-1) = -8; при д: = -2
Решение:_______________________
е) -2*-15=.
60
при л: = о
Решение: при JC = 3 Решение:
Заполните таблицы:
X N4 Х2 -Х2 (-Х)2
9 -81
-6 36
О Вычислите:
а) -52 + (-3)2 = -25 + 9 = -16;
б) -72 + (-2)2 =____________
X Х2 -Х2 (-Х)2
4
-3 27
в) (-1)2-(-4)2 =__
г) 3-22-(-1)2-32 =
Соедините отрезками верные соотношения:
<0
(-5)2+(-7)2
>0
4 + (7-х)2
>0
(Х + у)2
<0
Найдите значение переменной и выполните проверку:
а) л:2 = 25
л: = 5 и X = -5
б) х2 = 27 х = 3
в) 2x2 = 32
г) 2x2 = 250
Проверка: 52 = 25
(-5)2 = 25 Проверка: 32 = 27
Проверка:
Проверка:
■А
§
jr
г
о
о
X
о
03
X
2!
X
о
н
т
=3
m
X
m
х<
61
§ 17. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Впишите пропущенные слова в правила действий со степенями:
1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней ___ _______ . __________________ _ ___•
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя
степени делимого ____________ показатель степени делителя.
3) При возведении степени в степень показатели степеней _
О Дополните равенства: а)а"-а* =______________ б)а":о* =
в) (а")* =
О Представьте в виде степени выражения:
а) o’ ■ а*® =___________________ д) -X® • = -х“
б) а**: а®=_____________________ е) (х®)^: (х^)"* = ______
в) 5*-52=_______________________ж) 74 7®=_________________
г) I/® • =______________________ з) р* :q^= ______________
Вычислите значения выражений и сравните их:
а) 3^+ 4^и 5^
Решение: 3^+ 4^= 9 + 16 = 25;
5=“=25
Ответ: 3^+4^= 5^.
б) -2* и (-2)'*
Решение:
Ответ:_____________
в) 102-62и(10-6)2
Решение:
62
Ответ: _____
г) 72+32и102
Решение:
Ответ:
О
Замените частное степеней степенью с тем же основанием:
а)-^ = т® :т^ = =т^;
т
«4г=_____________
(.43
в)-
О Найдите значение выражения: ^8 ¥
5*
->25 -
б) ,55
в)
>2012
>2011
О Упростите выражение:
а) • (х**: JC®) = ________
б) : (x***: д:®) =________
Заполните пропуски такими выражениями, чтобы выполнялось равенство:
а) ( _)" = а>«; в)(_______)" = а®";
б) ( = а®; г) (______)® = а"".
О Представьте в виде степени с основанием Ь:
Ф)1]-----------------
Упростите выражения: а) 0,5х^уг • 4ху^г* = 0,5 ■ 4- х^ • х • у • у^' z • z'^ =
-к
О
S
s<
0 н
5
m
=1
m
1 5 О X
O’
X
O’
о
ы
5
5
m
S
63
б)
4,.5
32х^у
в) -9л: • (-4л:*) =_
г) Бас* ■
д)
-cV
V о
-2а^с*
-10а®с"
- + § 18. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
СТЕПЕНЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Впишите недостающие слова в предложения:
1) Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточ-
но перемножить неизменным.
оставить
2) Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно _________________ одно основание на другое,
_________________оставить неизменным.
3) Чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый____________________и их перемножить.
О Дополните
равенства:
а) а"Ь" =
а
б) —= Ь'‘
Возведите в степень:
а) (ху)^ = х*у*;
б) (abcf =
в) (-5л:)* = (-5)* • л:*= -125л:*;
_Ь ^ 0;
в) (аЬУ
г)
Ь^О.
у
г) (За)* =
д) (-0,2хг/)* ‘
е) (-2ах)* =
64
о Вычислите:
а) 5* 2* = (5- 2У= 10"= 10000;
б) 253-43 =_________________
в) 0,2» • 5» =
г)
2V Г5^'
J» = -27i/»; .)" = 16с".
Ф Впишите недостающие показатели степени:
а)гг--у" = г/'^;
г) —
у
6,1 £
в) (аЬ)— = а—б"*;
Ф Возведите в квадрат выражения:
а) Зс»
Решение: (Зс®)» = 3» • (с®)» = 9 • с» »= 9c^“
б) 2л»
Решение:______ ____________________
в) -аЬ*
Решение:
\yj
д) {2т)— = 16/л—;
е) (Юг)— = ЮООг—.
т)—тп^
4
Решение:, д)0,2c»d Решение:
Вычислите рациональным способом:
8 \8
б)0,2»-5» = _
в) (0,3)» - 10» = 2». 4®
г)
Запишите пропущенные выражения, чтобы равенства стали верными:
а) (__)» = 8л»; в) (_
б) (__» = 81а»; г) L
it
(0>
00
<
S
X
I
m
X
X
m
X
ь
m
S3
m
X
X
m
о
н
m
X
m
X
m
8®
65
Решите уравнения и выполните проверку: а) 5д:*=40
Решение: 5х®= 40 40
Ответ:
г) 4х^= 128 ешение:
Проверка: 5 • (2)®= 40
5-8=40 40 = 40
Проверка: 9 • 3^ = 729 и 9 • (-ЗУ = 729
9-81=729 9-81=729
729=729 729 = 729
Проверка:
Проверка:
Ответ:
66
Вычислите:
а) 0,25"*’• 4""-
\40
140 1 д42
4« ____442 ^ i 4
442-40
НО
НО
= 4" =16;
6)2
100
чЮЗ
•"ГГ
г)
(3®)^-27 (3®)^-3^
8Г
(з^Г
+ §19. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Запишите определение степени с нулевым показателем:
Приведите примеры:
а) 5,3“= 1
б) =1;
в) _ .
г) _
= 1; = 1;
Найдите значение выражения:
а) 5д:“ при х= 7,8 Решение: 5 • 7,8“= 5-1 = 5
б) -2,5г/“ при у = -27^
О
Решение:
в) ЮОх'*!/® при х = 2,у=-8
Решение:__________________________
г) при 5 = 21, d = -3
Решение:_______________
О Вычислите: . 4®-9“
а)—:^ =------
27«9" (3‘Г(3"Г
З^-З!” 3^1
лЛ
ю
О
Н
m
3
m
X
(Г
о
X
т
о
Z
X
3
О
;*!
>
м
а
ГГ)
S
67
Заполните пропуски:
а) (5лг2®) = 1;
б) (4аЬс) = 1;
Выполните действия:
o’
в)
d
= 1;
г> (бх + 1/) = 1.
а)
а
22
б) Ъ^-Ь*: =
Найдите значение выражения:
a)l5T+8°=J + l = >j:____ 6)fiT-4« = .
Замените пропуски такими выражениями, чтобы равенство стало верным:
а) (а • :__________= 1; б) (а*)^: _________= а“;
Найдите такие значения х, чтобы выполнялись равенства:
“>UJ
Решение:
б) 4х= -
U,
Решение:
в)
Решение:
г) -27л;* = Решение:
2 (1]
— X = -
UJ UJ
v27
68
Глава 5. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
^ ^ § 20. ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА.
СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА
•'
Закончите предложения:
1) Алгебраическое выражение, которое представляет собой произведе-
ние чисел и переменных, возведенных в степень с натуральным показателем, называется ____________________________________________
2) Одночлен, у которого числовой множитель записан на первом месте
а каждая переменная в соответствующей степени содержится один раз называется____________________________________________________
3) Числовой множитель многочлена, записанного в стандартном виде
называется____________________________________________________
О Является ли одночленом выражение:
а) 7,8д:^ + у в)®"’*' 5
Ответ: нет Ответ: Ответ:
б) -5,4а^Ь г) -с е)р + 9
Ответ: да Ответ: Ответ:
Подчеркните одночлены, записанные в стандартном виде:
а) Ьх^у в) 5г/(-7х^) д) Аху • 5x^2
б) —а^Ьа^ 3 г) 21а^Ъс^ е)-—c?V 8
Приведите одночлен к стандартному виду:
&)1х^у~ху^ =7 —х-у у^ =—х^у*',___________
14 14 ^ ^ 2
б) аЬ ■ (15а) • =________________________
69
в) -5abW • 2(ab) =
—ft m n 2
r) 2m^n
\
О Представьте в виде одночлена стандартного вида: а) =____________________ в) 12оЬс • Аа^Ь^с^ —
e)|ivi =.
О Запишите одночлен в виде куба одночлена:
а) 27л:®г/® = в) 125c®^^^® =
б) =_______________________г) =
Выпишите числовые коэффициенты одночленов, предварительно записав их в стандартном виде:
Одночлен Числовой коэффициент
4-3 3 3 -4^ 3
б)аЬс•(5а)•(-35)•(-4с) =
в)-4о^п(--к^о^пЛ = V 8 J
г) {-5xyf =
Заполните таблицу, вычислив значение одночлена:
70
о Заполните таблицу:
0,3a a
0
2
-0,6
-1
5jc^ X
20
80
3
125
1 2" У
1
5
10
21
, + S § 21. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ■V ОДНОЧЛЕНОВ
О Дополните определение:
Два одночлена, составленные из одних и тех же переменных, каж-
дая из которых входит в
одночлена в оди-
наковой степени (т.е. с равными показателями степени), называются ___________________ одночленами.
Подчеркните подобные одночлены:
а) 5х^у; 7п^т; Snm^; 7,8х^у,
О
б) 24аЬс^; ^аЬ^с; 0,7а^Ьс; ЗаЬ^с; 5,8аЬ^с.
О Выполните действия: а) 5х^ + Зх^ =________
б) 0,7у» + 0,Зг/« =
в) -^г +—г =
4 8 ------
г) -0,7d^ + 0,03^“ =
д) -0,6с® - 0,04с® =_
e)21,8Jfe"-17,9fe^ =
Заполните таблицу, выписав числовой коэффициент, который получится при сложении одночленов:
Алгебраическая сумма одночленов Алгебраическая сумма коэффициентов Коэффи- циент
а) Аху^ - 7ху^+ (-0,8) • 5ху^ 4 - 7 + (-0,8) • 5 = =4-7-4 -7
<01
N>
IS
X
s
m
X
DD
z
X
X
I
X
m
ё
X
0
1
71
Алгебраическая сумма одночленов Алгебраическая сумма коэффициентов Коэффи- циент
б) Za^b + 8а • ЪаЬ - 6а^ • 0,5Ь
в)-cd^---c-2d^ +5-—cd-5d^ 2 4 3 25
г) 0,25галг^-0,5ra 0,lm^+n-4oi —m 2
Выполните действия с подобными одночленами:
&)6ab^+l8ab^= . _ . ......
б) -ху--ху= ---------
в) 5рд^ ~^pq^ =______________________!!____
О Упростите
выражения:
X X
а)(аб)аЬ-4а^& й+—а&^а = о-а & Ь-4а^ b b +—a a b^ =
= aV-4aV+-aV=fl-4+i^
a^b^ =-2—a^b^;
■f-
6) 3{mnk)-mk+—m^k nk-5k^ n m^ = 3
в) (6pq) ■ q^ - 0,8q • (-5pq^) + pq^
При каких значениях числовых коэффициентов равенство будет верным? Впишите эти коэффициенты:
а) 21ху+
б) —аЬ’‘~ 2
_ ху = 28ху;
аЬ^ =4—аЬ^; 2
в) -0,7c^d2 -
г) -—кп +
4
= -7,8сЧ^; кп = 0,75ftn.
72
о Выполните сложение одночленов и вычислите их значение при заданных значениях переменных:
а) Ъху - Зху при X = 0,5; у = 0,3 Решение:
Ъху - Зху = 2ху. 2 • 0,5 • 0,3 = 0,3.
Ответ: 0,3.
б) 7х^ - 3,5х^ при х = 4 Решение:
Ответ:
в) 0,5ху^ - ху^ при X = 2; у = 3. Решение:
Ответ:
г)-х^у^--х^у^ при л: = 3; у = 4.
3^3^
Решение:
Ответ:
Запишите на математическом языке:
1) Сумма одночленов 7xy^z и Idxy^z Решение: 7xy^z -Ь Ibxy^z = 22xy^z.
2) Разность суммы одночленов 5аЬ и 18аЬ и разности одночленов 8аЬ и 4аЬ
Решение: _________________________________________________
3) Сумму разности одночленов 4ху и -5ху и суммы одночленов -14ху и 21ху
Решение:_____________________________________________________
4) Разность сумм одночленов 16cd^ и 4cd^ и одночленов 8cd^ и 7cd^ Решение:
«и
ю
«.к
О
ь
0 3^ гп
1 S m
S
го
tr
X
s:
■X
s:
m
g
X
О
X
ГЗ
m
X
о
го
73
S X ZT t ш с: О ш X X о ш 3" S t— ш S е X а. < 2 X ш с; т О X or о Найдите значение переменной а) Зх + 5х = 15 Решение: Зх + 5х = 15 8х = 15 15 X = — 8 8 7 Ответ: 1— 8 б) 1,4г/+ 1,б1/ = 9 Решение:
to
«Г
С t
1 j [
в) 5,62 - 2,6z = 12 Решение:
Ответ:
г)-7,Зх-2,7л: = -100 Решение:
Ответ:
Ответ:
Ф Решите уравнение:
а) -Зл: + 2х-7х + 9х = 3 Решение:
-Зх + 2л: - 7л: + 9л: = 3 (-3 + 2 - 7 + 9)л: = 3 л: = 3
в) 2л: - 4л: + 5л: - 8л: = 5,5 Решение:
Ответ: 3.
Ответ:
74
б) 2,5х - 3,5х + 4х = -2 Решение:
Ответ:
г) -1,ох - 4,5х = 2,4 Решение:
Ответ:
, + s § 22. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. < ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ
О Выполните умножение одночленов:
а) 1,5х • 8х = 1,5 • 8 • X • X = 12 • х’"^* = 12х^;
б) -а^ • 4а* = ___________________________________________;
г)—al2ai»^ =
3 ------------------------------------------------
Представьте в виде одночлена стандартного вида:
а) (4ас*)® • (0,5а*с)* = 4* • а® • (с*)* • 0,5* • (а*)* • с* = 64а*с® • 0,25а®с* =
= 64 • 0,25 • а*а®а®с* = 16а®с®;
6)^xV -(-9х^) =
в) -(-Х^у*)* • (бх^у)* =
г) (-10а*Ь*)® • (-0,2аЬ*)® ^
ю
К)
I
X
g
m
X
§
со
Ё
m
I
X
m
ш
о
X
гп
X
tr
75
о Можно, ли представить в виде квадрата одночлена следующие выражения?
а)
Решение: = 9^x\y^Y = (9ху^у.
Ответ: можно.
б) -100х^1/8
Решение: Так как квадрат одночлена всегда неотрицательное число, то представить данный одночлен в виде квадрата нельзя.
Ответ: нельзя.
в)-5х®1/®
Решение:
Ответ:
f
—х^у^ 5 ^
г) -(-Зху)« • 271/в =
Решение:_________
Ответ: __________
Упростите выражение:
а) • Ът*п^ = -0,6 • 5 • т^т* • = -37п®л®;
б) • 2п}ат? =________________________________
в) тп • тп • тп =______________________________
г) 0,1ft • 0,2ft • 0,5ft®n^ =_
Возведите в степень одночлен:
а) {-ЪхуЧУ =
б)|
Упростите выражение:
а) (-Зд:1/)2 • (5x1/2)® = _____
б) (4х)'‘• (-2x2)® = __________
в) |1а’*5| =_
г) (7р®п2)2
76
Выполните действия:
а) возведите одночлен ЗаЬ в куб
Решение: (ЗаЬ)^ = = 27а®Ь®;
б) возведите одночлен 16km в квадрат
Решение: _______;
в) найдите произведение квадрата одночлена 5ху^ и куба одночлена 2x^jf
Решение: ;
г) найдите квадрат произведения одночленов 5пт и 2n^mk
Решение:
О Представьте в вид одночлена стандартного вида:
а) {IQa^yf • {ЗауУ =______________________________
б) (-ЗлV)" • (-х^уУ =
д:^=-
Решите уравнение:
а) (5хУ = 25 Решение:
(5хУ = 25 25х^ = 25
25 х^= 1
х= 1кх = -1
Ответ: 1; -Д.
б) (4л:)* = 512 Решение:
в) (Зж*)* = 144 Решение:
Ответ:
г) (2л:*)* = 64 Решение:
Ответ:
Ответ:
77
I® Заполните пропуски:
а) (_X—i/z—f =^\х*у—г®; в)(__х—=16лс^®1/—г—;
б) (_X—у—г—=125a;®i/V®; г) {Ъх^у—z—) =25х'*г/®г®.
^ § 23. ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА
к НА ОДНОЧЛЕН
о Впишите пропущенные слова:
При делении одночлена на одночлен
1) В делителе_______переменных, которых нет в делимом;
2) Если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причем в
делимом она возводится в степень п, в делителе в степень k, то число k не должно быть_______числа п;
3) Коэффициенты делимого могут быть , коэффициенты
^ делителя должны быть________от нуля;
4) Задача, которая не имеет решения, называется_.
Выполните действия:
а) Ъх^у^: 0,5x1/ = (5 : 0,5) • (х^: х) • ; у) = Юху;
б) 27а®Ь®: Safe =_____________________________
в) 54с*^р^® : 2e^‘’p^° = _____________________
О Подчеркните некорректно поставленные задания:
Ibx^y’’: 18х^р; 21a^fec: 5ad; 64х'’р*: 12ху;
(15-3)p'V®:4pV‘; : (0,1 - 10 • 0,01)r®s'*.
Выполните деление одночленов:
а) 15a"fe^: За^ =_____________________
б) xV : 8хр^ =________________________
в)| --ху
-тУ
78
о Упростите выражения:
а) (5 • : {2abf = 20V&3: = (8000 : 4) • (а« : а^) • (6®: Ь^) = 2000а^6;
б) (Зт^п)"*: (2mn)® =____________________________________________;
в) {2p*qy : (pqf =-----------------------------------------------;
г) 77r®s": {Irsf =_______________________________________________.
О Выполните корректно поставленные задания:
а) сумму одночленов Ъх^у и 21х^у разделить на одночлен 13ху Решение: (5х^у + 21х^у): 13ху = 26х^у: 13ху = (26 :13) • (х^ :х)-(у:у) = 2х;
б) произведение одночленов 4аЬ® и За^й^ умножить на частное одночленов 36а®6*^ и За‘*й®
Решение:
в) произведение одночленов 5,5п^т и бпт^ разделить на разность одночленов 1277Ш и (Зт) • 0,4п Решение:
^SJ
.13
m
э
пгт
X
S
m
О
1-J
X
О
X
т
X
>
X
>
о
а
X
о
г.
"л
m
X
г) разность одночленов 21х^у^г и (9х^) • Згу^ разделить на произведение одночленов Зху и Зх^у^
Решение:
79
а)
б)
в)
Упростите выражения:
(Sx^yf 5"xV^625xV 25х^у 2Ъх^у 25х^у
'баУУ
^ ЗаЬ^ J
(-2nWf
3 ------
(-Зто^л)
О Заполните пропуски, чтобы получилось верное равенство: а) 48p^q^z':____p^q---------® = 4jr
7 2
-gV;
б) 8а‘^____
в) ____7П“
-л®А— :7
в
— к* = 8т^
5 ь12
О Впишите недостающий одночлен, чтобы получилось верное равенство:
а) 25xVг^° : 5x^y^z^ = ________
б) 18a«fe*
в) ________
; ■ -.'Ci-;..!'
г) 36,6pV
|8л9 .
____________ = 6a*b^;
: 17 n^m*k = Зп^т^к^;
__________ =6,lpV-
Решите уравнение и выполните проверку:
ч 18JC*
Решение:
Проверка:
= 27
-■1чМ
-V
18х^
6х®
Зх=" = 27
3
х^ =
^2 I
■Br
X = 3 и X = -3
Ответ: 3; -3.
2Ъ(х^)"
б)
4а:" Решение:
= 7
Проверка:
■ + - - f -
-К-
Ответ:
i I ' i !
ут : I
:
в)1«4 = в4
(2х)‘
Решение:
Проверка:
Ответ:
П ’ i i
. . L...
; . i ]
,
I Ij
I I
ип
ts)
за
S
m
X
s
m
§
X
О
X
■=i
m
X
>
X
J>
g
X
о
X
a>
m
X
81
Глава в. МНОГОЧЛЕНЫ.
Арифметические операции
НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
§ 24. МНОГОЧЛЕНЫ. ОСНОВНЫЕ понятия
Допишите предложения, чтобы получились верные высказывания:
1) Сумму одночленов называют___________________________________.
2) Слагаемые (одночлены), из которых состоит многочлен, называются
3) Многочлен, в котором два слагаемых, называется
4) Многочлен, в котором три слагаемых, называется
5) Сложение подобных одночленов в многочлене называется
6) Многочлен, все члены которого записаны в стандартном виде и при
ведены подобные члены, записан в ________________
7) Многочлены также называются ________________________
О Подчеркните выражение, которое не является многочленом:
31а^ + 11аЬ',—+5‘,———ху\5аЬ + сФ, S — y.
3 У
О Представьте многочлен в стандартном виде:
2 2 а.)3х^х~5ху +—ху^х^у = 3х^ -5ху+—х^у^;
б) -2а • оЬ + Юаа» - 7Ь^Ь^ =__________________________________
в) За • 5Ь - 8а + 7fc = __________________
г) Заа» - 15аЬ - 12bbb == ________ _ _____
Упростите данный многочлен, выполнив приведение подобных слагаемых:
а) —2а + ЗЬ + 8а + 7& = —2а + 36 + 8а + 76 = 6а + 106;
82
б) - Ьху + 1ху - Юл:^ + у^ —
в) 2хху - ЗаЬ • - Ах'^у - 2,5а • 2&* =
7
г) За*аЬ - 2 дс1/ ■ 2у - 5д: • j/^ +—а* • Заб:
О Приведите подобные члены и запишите их по убыванию степени переменной:
а) 858 + 175-36®-85-36 + 5 = 8^+ 116-352-86-36 +5 = 55^ + 66 +5;
б) 5а® + За - 7 - 5а® - За® + 7а - 11 =____________________
в) - л:® - jc + JC® + 1 - дс® + X® + X - 1 =
г) /п® + то® + /п - т'‘ - т® + /п - 3 + 2то‘‘ =
О Упростите выражение и найдите его значение:
а) -X - Зг/ - 4 + 2у при х = -15; I/ = -4
Решение: -х - За - 4 + 2у = -х - За - 4 + 2у = -х - а - 4 -(-15) - (-4) -4 = 15 + 4-4 = 15.
Ответ: 15.
б) 2pq - 2р-р + 2q прир - -3, q = -l
Решение:_________________________________________
Ответ:
в) Заи® + и®и® - 2ыи® + и®о - при и = 1, а = -1
Решение:_______________________________________
Ответ:________________.
г) то'* - Зто®н + то®«® - то®п - 4топ® при то = -1, ге = 2
Решение: __
Ответ:
ип
N)
S
з:
О
3
X
m
X
г
о
о
X
о
ш
X
Е
m
X
О
X
X
н
х
X
83
Приведите подобные члены многочлена:
а) - 7ху - 5у^ - 4д:^ - 20ху - 5х^ + 2у^ + 7ху + Зу^ =
= 8^2 - 7ху - - 4x2 _ 20ху - 5х^ + 2ц- + 7ху + 3j^ = -х^ - 20ху;
б) 27a2ftc + 23аЬ»с - 25а&с2 - ПаЬс^ - 34а^Ьс + ЫаЬ^с = _________
в) 32а*Ьс - 23а&*с - 37аЬс^ - ЗЪаЬ^с + З&аЬс^ - ЗЗа^Ъс -
Приведите подобные члены многочлена и вычислите при заданных значениях xw. у:
а) р{х; у) = 2х^ + Зху - у^ + 7у^ - 2ух -Ь 5у^ - 9х^ - ху + 12у^ при х = -1 и
У = -1
Решение:
• v.Vs ••
I
I
I
%
-U- .
Ответ: ________________.
б)р(х; у) = х"* -f- 2у2 - 5х^у - Зх* ~ух^ -Ь у^ при х = 2, у = 1 Решение:
■1 - —
. i,. .
.-i
Ответ:
f' 84
о Впишите такой член, чтобы получившийся многочлен не содержал буквы Ь:
а) 86 + 13 - 5fe - 37 - 116 + 35 +___
Решение:
86+ 13-56-37-116 + 35 +____________=
_________= -86 + 13 +__________
= 86 + 13-56-37-116 + 35 +______________ _______________________
-86 + 13 + 86 = 13
б) 8Ь^х - 5x® + Зх - + 5 - 10х +_______________________________
Решение:________________________________________________________
Ответ: _______________.
B)2i/2-56t/ + 62 + 7y2+36y-562 + 9y2 + 26j/+ __
Решение:________________________________________________________
Ответ:________________.
О Подчеркните те значения многочленов, которые положительны при всех входящих в них буквах одной чертой, отрицательны — волнистой линией:
+ х'* + 5; -х^- 4х'* - 7; + 6^ + 1;
-п^-- п*-13; (а + 6)^+15; -(а+ 6)^-10;
-(х^ + у^ + х^у^) - 1;
§ 25. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Продолжите предложения:
1) Результатом сложения и вычитания многочленов является_
2) Чтобы записать алгебраическую сумму многочленов надо. и подобные члены.
3) Если перед скобкой стоит знгпс ♦+», то при раскрытии скобок надо
знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках _______ ________,
если же стоит знак «-», то все знаки перед слагаемыми в скобках надо
К)
(Я
О
Ь
О
%
X
S
гп
S
а
сг
2.
X
X
X
гл
S
X
о
m
X
О
со
85
Запишите выражение, противоположное данному:
Данное выражение Противоположное выражение
а) 2д; - у 4- 5 -(2л: - р + 5) = -2л: + у + 5
б) 5х^ - Зу2 - 4
в) -бх^у + 32у + 7
г) -(а^Ь - аЬ^ + аЬ)
Заполните пропуски:
а) (2а - Sb) +______________= 0;
б) (7а2 - 12о + 4) - ( ) = 0;
в) ( ____________ ) + (~4а + 3&) = 0;
г) (_____________) + (-За2-2а + 1) = 0;
О Найдите рДлс) + Р2(х), если:
а) р^(х) = ~(5,2х - у), pj^x) = 3,2лг - 4«/
Решение:
Pj(x) + р^(х) = -(5,2л: -у) + (3,2л: - iy) = -5,2л: + у + 3,2л: - 4у = -2х - Зу; ^ б) р^{х) = -Зл:^ + бд: - 1, p^ix) = -2х^ + Зд: - 1
Решение: ___ ________________________________
- . 9
в) р,(де) = -(5л:^ - 10х + 12), p^ix) = Зл:^ + Юдс - 7
Решение: __________
Решите уравнение: а)(2л:- 1) + (-х + 5) = 2 Решение:
(2л: - 1) + (-Х + 5) = 2 2дс - 1 -л: + 5 = 2, х=2-5+1 х = -2
в) (43 - 12л:) - (-7л: + 33) Решение:
-2
Ответ: -2.
Ответ:
86
б) (-Зл: + 1) + (7 - 2дг) = 16 Решение:
г) (2л: - 10) - (Зд: - 4) = 6 Решение:
Ответ:
Ответ:
^0^ Запишите сумму и разность многочленов в стандартном виде:
а) 17т^ - Зтп^ + /п® + 5 и -15т^ + Zm* - т^-Ъ Решение:
(17лг^ - Zm* + + 5) + (-15/п^ + Зт'* - - 5) =
= 17т^ - Zm* + /п® + 5 - 1Ът’ + Zm* - m® - 5 = 2ni'',
(Пт’ - Zm* + m® + 5) - (-15m" + 3m“ - m® - 5) =
= 17m" - Зт"* + m® + 5 + 15m" - 3m‘‘ + m® + 5 = 32m" - бт"* + 2m® + 10;
б) 8a® + Za^b - 5afe® + 5® и 18a® - 3a®6 - 5a&® + 26®
Решение:
в) Злг - 5у - 8d и 5u - llx + I/ Решение:
из»
о
:з
0
гп
X
S
m
S
00
X
X
X
"Ц
>
1 X гп
£
X
о
“1
о
X
:э
m
X
О
ш
87
о Упростите выражение:
а) (2л: - 1 ly) - (5л: + 12у) + (Зл: - 1 Ту) = 2^ - 11й - 5д: - 12й + Зл - Ш =-40i/;
б) (3&2 + 25) + (2ft2 - 3ft-4) - (-fc2 + 19) =
в) (о - 5 + с) + (а - с) - (а - 5 - с) =
1о Найдите алгебраическую сумму многочленов: а) (7х - 19у) - (18у - Зх) + (6х - 16у) =_______
б) (X® - 2x2 - X - 7) - (-Зх - 2x2 + х2 + 5) ^ О Заполните таблицу:
р Я Р + Я р-Я
5х + 1 х + 2 6х + 3 4х -1
Х2 + 1/2 4x2 ^ 2у2 - 1
3a2ft - 4а&2 -5о25 + 7а&2
8п2 + 3/п2 -18л2-9т2
§ 26. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН
I
I 5'
Запишите распределительный закон умножения: (а + Ь)с =_____________________________________
Впишите пропущенные слова в правило:
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно, многочлена умножить на дения___________________.
и полученные произве-
< ■
'г 88
о Выполните умножение:
а) а{х + у) = ах + ау,
б) -у(а + Ь)= ___________
в) k{a + с - 3) =_
г) -х{-а -у+ 2)
О Упростите выражение:
а) 2х(х + 1) - 4х(2 - х) = 2х^ + 2^ - 8^ + 4х^ = 6х^ - 6х;
б) (д: - 3) - 3(х - 5) =____________________________
в)15(8д:-1)-8(15д: + 4)^
г) 2у(2д; - Зу) - Зу{Ъу - Зх) =
О Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) (а'' - + а^Ъ - аЬ^)а^Ъ = а"* • а^Ь - а^Ь • а^Ь + а^Ь • а^Ь - аЬ'^ • а^Ъ ■■
= а!^Ь - + а'^Ь^ - a^Ъ'^',
б) -Зс2(2с^ - с» - 8с + 10) = ..... .... __......................
в) (4лг^ - 1т - 1) • (-Ът^) =
Щ
О Упростите выражение и найдите его значение:
а) с(2а - 2с) + а(3с - а) - 2(с^ + а) при а = 0,1 иЬ = 0,7 Решение:
с(2а - 2с) + а(3с - а) - 2(с^ + а) = 2ас - 2с^ + Зас - а^- 2с^ - 2а ■■ = 5ас - -4с^ - 2а
5 • (-0,1) • 0,7 - (-0,1)2 _ 2(-0,1) = -0,35 - 0,01 4- 0,2 = -0,16;
б) р^(р^ + 5р - 1) - Зр(р2 + 5р2 -р) + 2р' + 10р2 - 2р2 при Р = 3^
О
Решение:
т-г
T-t_-r
.... -4 ■ I -1 ■
.. J.
N)
№
< I S i
I -
о
5^ ,
m ~i
SC
m
S
X
о
-1
0
X
Ь
m
1 >
X
>
0
13
1 О X
ь
m
X
89
в) 2х(х + у)~ у(2х -у)- у(у + 1) при х = -0,3 и у = -0,4 Решение:
Впишите пропущенный многочлен и устно сделайте проверку:
а)-5а-( _ ___________) = 10о2-15а;
б) -4ху^ • (_
в) Зх • (
г) За^& • (
J = -8х'^у + 20ху^;
) = бх^у^ + 15х; _) = 9а^Ь-ба%^.
Решите уравнение:
а) 3(1 - 2х) - 5(3 - X) - 6(3х - 4) = 88 Решение:
3(1 - 2х) - 5(3 - х) - 6(3х - 4) = 88 3 - 6х - 15 + 5х - 18х + 24 = 88 -19х + 12 = 88 -19х = 88-12 - 19х = 76 76
X =---
-19
X = -4
в) 7 + 3(-х - 3(х + 5)) = 5(7 - 2х) + х Решение:
Ответ: -4.
Ответ:
90
б) х(2х + 3) - 5(jc^ - Зх) = Зх(7 - д;) Решение;
I
t I ■ ■ t -
,, i-
Ответ:
,-4- 4--
I I----------
г) 2у + 1/(3 - (у + 1)) = у(2 -у)+ 12 Решение:
-----------1
- ( -1 - -1 -------
- + -t
-г - I-
i- r-
Ответ:
Найдите корни уравнения:
a)2i4J. = l
Решение:
2а: + 1 5
2х + 1
= 1
= 1 -5
(2jc + 1)-5
= 15
2х + 1 = 5 2х ■= 5 - 1 2х = 4 х = 2
Ответ: 2.
в)
11-Зх 1
4 2
Решение:
t-t-
Ч-i-
».__д-----
Ответ:
ю
pi
<
S
X
о
пт
X
X
m
S
X
о
3
X
Xi
m
X
>
X
>
в
X
о
X
:э
m
X
91
б)
7х-3 5х + 1
6 2 Решение:
г)
2х-1 6-х
—\' -1 f-- - 4.-^1
■ } "t Н- г
— - + — . ^
6 8 Решение:
i- 4-
j I
-t- • --r
---f.
■r
( t----
Г'
-t-'t
..Li
;:LLLi .r::
Ответ:
Ответ:
Запишите с помощью уравнений предложения:
а) значение суммы двучленов 2х + 8 и Злг - 7 равно 15 Решение: (2х + 8) + (Здг - 7) = 15;
б) значение двучлена 5л: - 4 в 2 раза больше значения двучлена Зл: - 2
Решение: . _ . ;
в) значение двучлена 0,5л: -11 равно удвоенному значению двучлена л: +18
- л '
Решение:______________________________________________________;
г) значение двучлена 2л: + 3, увеличенное в 3 раза, равно половине зна-чения двучлена 8х — 4
Решение: ______:______
§ 27. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Заполните пропуски, чтобы получилось правило умножения многочлена на многочлен:
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить_
член одного многочлена поочередно на_____член другого
многочлена и полученное произведение_________.
92
Полученный многочлен надо привести к
виду.
Если умножается многочлен с п членами и многочлен с т членами, то в произведении должно быть_____________________членов.
Выполните
умножение:
а) (х + 4){у -5) = ху-5х + 4у- 20;
б) (х-8)(6-у) =_______________
в) (-10 - х)(у + 3) =_________
г) (-2 - у){х - 9) =__________
Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) (х^ + X - 1)(х^ - X + = X* + х^ - х^ - х^ - х^ + X + х^ + X - 1
= х*-х^ + 2х-1;
б) (2т^ + Зт + 1)(-2т^ + Зт - 1) =_____
в) (4-у + у^-у^)(1-у) =
г) (х + 5)(х - 2)(х2 - Зх - 10) =
«о>
■Ч
О Заполните пропуски, чтобы выполнялось равенство: а)(1/+1К________-3) = у2-_________-3;
б) (х - 5)(х +
-х-20.
%
m
S
X
О
5
о Упростите выражение:
а) ху(х + у)~ (х^ + у^)(2х - у) = ху ■ х + ху • у - (х^ ■ 2х + у^ ■ 2х + х^ • (-у) + + у^ • (-у)) = х^у + ху^ - (2х^ + 2ху^ - х^у - у^) = х^у + xi/^ - 2х® - 2хг/^ + х^у +
+ у^ = 2х^у - XJ/2 - 2х® + у®;
б) (8а + ЗЬ){За - 86) - (За + 86)(8а - 36) =_______________________
93
в) (р + Зс)с - (Зс + р)(с -р) =
_У_ При а = 0,9 найдите значение выражения:
а) (2а^ - 4а - 1)(3а + 1) - (Зо^ + а - 5)(2а - 4) Решение:
Ответ:________________.
б) (5а2-8о-1)(2а + 1) + (1 Решение:
10а)(а^ - а - 3)
Ответ:
Решите уравнение: = (2х - 1)(х + 1) Решение:
2x2 = (2jc-1)(x + 1)
2x2 = 2х^~х + 2х~1 2х^ = -2х^ - X = - 1 -х = -1
Х=1
в) (Зх - 5)(х + 2) = 3x2 Решение:
Ответ: 1.
Ответ:
\
94
б) (Юл + 14)л - (5л - 1)(2л + 3) = 4 г) (6л + 2)л - (2л - 1)(3л + 2) = 3 Решение: Решение:
1 ■
1 ;
1 1
.. .
г i 1 ' 1
1
i
ь - г ч '
: i
Ответ:
Ответ:
Запишите степень многочлена в виде произведения, выполните действия и запишите многочлен в стандартном виде:
а) (л + yf = (л + г/)(л + у) = + ух + ху + + 2ху + у^;
б) (х-уГ=______________ „ _________________
в) (4а - bf =
г) (Зга + 2гаг)^
О Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:
а) Надо застелить ковром пол в комнате, ширина которой на 1 м меньше ее длины. Если купить ковер, длина и ширина которого на 50 см меньше длины и ширины комнаты, то он будет на 25500 руб. дешевле, чем ковер, покрывающий весь пол. Найдите длину и ширину комнаты, если известно, что 1 м^ ковра стоит 6000 руб.
to
■Ы
'<
3
X
о
*
гп
X
s:
m
S
X
О
~1
О
X
!Э
ГП
X
>
X
>
3
X
о
О
m
X
95
Решение:
I этап. Составление математической модели.
Комната
Уменьшенный ковер
(х -1) м
X м
((х-1)-0,5)м
(х - 0,5) м
на всю комнату: (х(х -1)) м^
Srojp, уменьшенного: ((У-0,5)(х-1,5)) м"
Стоимость: 6000(х(х -1)) руб.
Стоимость:
6000((х - 0,5Хх -1,5)) руб.
По условию задачи уменьшенный ковер стоит на 25500 руб. меньше ковра на всю комнату. Составим уравнение:
6000(х(х - 1)) = 6000((х - 0,5)(х - 1,5)) + 25500
II этап. Работа с математической моделью.
Решим полученное уравнение:
6000(х(х - 1)) = б000((х - 0,5)(х - 1,5)) + 25500 |: 100
б0(х(х - 1)) = 60((х - 0,5)(х - 1,5)) + 255
60(х2 - X) = 60(х2 - 1,5х - 0,5х + 0,75) + 255
бОх^ - бОх = бОх^ - 120х + 45 + 255
бОх^ - бОх - бОх^ + 120х = 45 + 255
бОх = 300
300
х =---
60
X = 5
III этап. Ответ на вопрос задачи.
Длина комнаты 5 м, значит ширина комнаты 5 - 1 = 4 м.
Ответ: 5 м, 4 м.
б) Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то его площадь увеличится на 50 см. Найдите длину и ширину данного прямоугольника.
Решение:
I этап. Составление математической модели.
96
II этап. Работа с математической моделью.
III этап. Ответ на вопрос задачи.
Ответ:
в) Произведение двух последовательных натуральных чисел равно квадрату предыдущего им натурального числа, увеличенного на 5. Найдите эти три числа.
Решение:
I этап. Составление математической модели.
ил
N>
X
i
m
X
s
m
Z
X
0
3
X
m
1 > X > Z
m
X
97 ;
II этап. Работа с математической моделью.
III этап. Ответ на вопрос задачи.
Ответ:
^ § 28. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
■5г УМНОЖЕНИЯ
О Допишите формулы сокращенного умножения:
(а + bf =_______________________________
{а-ЬГ=__________________________________
(а + Ь)(а -Ь) =_________________________
-Ъ^ -__________________________________
а® + =
О Выполните преобразования по соответствующей формуле:
а) (у + 4)^ = + 2 • у • 4 + 4^ = j/^ + 8у + 16;
б) (х-7)2= _______________________________________________
в) (2х - Зу)2 = __________________________________________
г) (-Зс + а)^ = __________________________________________
98
о Выполните умножение с использованием формулы (а - Ь){а + Ь)
=
а) (а + 2)(а - 2) = - 2^ = - 4;
б) (3-1/)(3 + 1/) =____________________________________________________
в) (а + 2&)(а - 2Ь) =
г) (х + 7)(7 - л) = (7 + д:)(7 - л:)
д) (4Ь + 1)(1 - 46) =__________________________________________________
О Заполните таблицу:
Первое выражение Второе выражение Квадрат суммы выражений Квадрат разности выражений Разность квадратов выражений
5а 26
0,3х ( 1 Y 0,3х+-г/ V ' /
1 —с 6 U 6 j
4х^ - 25у^
(х" +
Заполните таблицу:
Первое выраже- ние Второе выраже- ние Многочлен, равный квадрату суммы Многочлен, равный разности квадратов Многочлен, равный квадрату разности
2х Зу 4х^ + 12x1/ + 9у^ 4х^ - 9у^ 4х^ - 12x1/ + 9у^
7а Ь 7
4п 0,2т
6^ 2с
Зл
<а>
ы
Р
е
о
т»
S
о
о
ж
5
£
m
X
X
0
5
ч
г
X
1
m
X
X
X
99
о Упростите выражение:
а) (а - ЗЬУ + (За + ЬУ = а^ - баЬ + 9Ь^ + 9а^ + баЬ + Ь^ = 10а^ + 106^;
б) (X + 2!/У -(X- 2уГ =________________________________________
в) (2х - ЗуУ + {2х + 3yf
Примените формулы сокращенного умножения для упрощения выражений:
а) (За + р)(р - За)-р^ = (р + За)(р - За) =р^ _ да^-р2 = -Qa^;
б) 25а=* - (с - 5а)(с + 5а) =___________________________________
в) (а + 2Ь){а + 2Ь)-(а-ЬУ =
О Представьте в виде произведения многочленов:
"Н а) 81 - б4х^у^ = 9^ - {8хуУ = (9 - 8л:у)(9 + 8ху);
б) а^п - 1 = - 1^ = (а" - 1)(а'‘ + 1);
в) - у*" =____________________________________________
г) 144а^с2х^-225
д) 25р^--4г9^ =_
125
О Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:
а) 9п^ + 12ат + 4oi^ = (Зп)^ + 2 • Зл • 2т + (2тУ = (Зл + 2тУ',
б) 4 - 20с + 25с2 =_______________________________________
в) + 2аЬ + 1 =_________________________________________
г) а"* - 2а^5 + =_________________________________________
Преобразуйте
в трехчлен квадрат суммы и разности:
а) (а^ + bf = (а^У + 2 ■ а^Ь + = а* + 2а^Ь + Ь^-,
б)
/<
—а—Ь 3 2
VO £. J
в) (р - 5?2)2 =
100
о Соедините
каждое выражение с соответствующим названием:
(х-уГ
Сумма квадратов выражений
х^-у^
+ {2ЬУ
Квадрат суммы выражений
(о + 2bf
(9 - cY
Разность квадратов выражений
9'^ + с^
(5а - 66)2
Квадрат разности выражений
(76)2 -(С2)2
(ас)2 + (За)2
(0,36 + 1)2
О Заполните пропуски, чтобы равенство было верным:
а) а2 - 2а6 + ____ = (а - 6)2;
б) 4^2+ +62 = (2л:______6)2;
в) n2fe2 + 4nk +__________= (____________)2;
г) V+. 4
- +Ь2 = (___)2
Упростите выражения, используя формулы сокращенного умножения:
а) (За - 5)(9а2 + 15а + 25) =___________________________________________;
б) (0,1л: + г/)(0,01л:2 - 0,1ху + у^) = ________________________________;
1 1 Y 1 , * 1 2 1 2^
о о АО
X у + — х у +—х‘ 16 8 4
в) —ху---X
'.4 ^ 2 А
г) | 2п+—m II -пт+—т^
101
о Выведите формулы и впишите их в рамку: а) куб суммы:
(а + bf = (а + Ь){а + Ь){а + &) = (а + Ь)\а + Ь)=_
б) куб разности: {а-ЬГ=__________
О Используя формулы куба суммы и куба разности, представьте в виде многочлена степень двучлена:
а) (2х - yf = (2л:)® - 3 • {2xfy + 3 • 2л: • у® - г/® =___________________
б)(1 + 3/п)® =
в) (4 - а)® =
Выполните действия:
а) 4л:(3л: + 6) - (Зд: - 5)(3х + 5) = 12л:® + 24л: - (9л:® - 25) = = 12л:® + 24л: - 9л:® + 25 = Зл:® + 24л: + 25;
б) (л - 4)® - (4 - л)(4 + л) =_________________________
в) {Аху - уУ + 2(л: ~yf = .
, + s: § 29. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА ^ НА ОДНОЧЛЕН
Дополните предложение:
Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо________
____________на_____________и полученные результаты.
многочлена
102
о Подчеркните корректно заданные задачи:
(-За^ + 2аЬ): За; {Ъх^у^ - 1п): 2,Ъх^; (а® + 2а^ + За): 21Ь;
(4п2+15т<):8; I -^р"9 + 0,6р"дЧ:рд; (17x^z«+18Л®): xV.
Выполните деление:
а) (7х^у* + \Аху^ ):х1/ = 7—•^ + 14--^ = 7ху^ +Ыу^\ ^ ’ X у X у
6)fiaV + 0,25aVj:ia^&^=.
в) (5т^ - п^): п —__
г) (4х^ - 2ху): ху =_
О Заполните таблицу:
Делимое Делитель Частное
25a*ft + 15aft* + 5aft ab 25a + 15ft + 5
4x*j/ 8х*у + 2x1/* + 1
18raV + 24nV + 30nV 3p* + 4rt*p + 5n'*p*
2ab 0,la*ft*-0,5aft^-0,3
4xy* - 8y* + 2zy^ 0,5y
Найдите значение выражения:
а) (-86^ + 16ft*): (-8ft*) при ft = -1
Решение: (-Sft'* +16ft®): (-8ft® ) = -^~+i^~ = ft-2ft®
(-l)-2(-l)* = -l-2 = -3.
Ответ: -3.
6) (ft" - 5ft»+ ft«- 3ft*): ft* при ft = 2 Решение:
^ ^ 16 ^ -8 ft®
СО»
:э
m
X
s
m
S
0
3
й
гп
X
>
X
>
1
о
X
13
m
X
Ответ:
103
в) (18р“ - 9р^ + 18р^ - 9р): (-9р) при р = 1 Решение:
г Т"' I ]
I
I
Ответ:
Найдите частное и запишите его в виде многочлена стандартного
вида:
а) (а®Ь - 0*6 + о‘‘6* - а^Ь*): а^Ь Решение:
б) (15jc^ - 5л:* - 5ол:* + 5о*л:): 5л: Решение:
а)
б)
Выполните деление: -7хЧ14х^-21л: 21х
-7х -7х -7х -7х
-8л:*у* +20x1/^
= х^ -2л:+ 3;
-4л:р*
в)
9л:® -6л:®р + 15л: Зх
104
ф Установите соответствие между многочленом и одночленом, на который он делится:
1) 2х^у* -I- 8ху® А) 2ху*
2)
3) 4xV - 9ху^
4) + 17n*m*
Б) п^т’’ В)ху^
Г) 9п^т^
1) 2) 3) 4)
О Запишите делитель, если известны делимое и частное:
а) (а -I- & - с):______= с-а-Ь;
Решение:
л
б) (4л: -I- 8г/ -I- 2г) Решение:
= 2г + Ау + х;
в) (21р^ -I- - 14р)
Решение:
, = Зр + - 2;
г) (б9-^ - 12q‘' + 18?") :. Решение:
= -3<7» + 6g2 - 9q.
Ш1
to
о
ь
m
Гз
m
X
X
m
г
X
о
5
X
i3
гп
X
>
X
>
о
13
X
о
X
S3
гп
X
.J_____L
105
Глава 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
. - § 30. ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО?
Продолжите предложения:
1) Представление многочлена в виде произведения более простых мно-
гочленов называется
2) Разложение на множители используется для решения. для_______________числовых и буквенных выражений.
в) -Зл:(л: -t- 5) = 0 Решение:
Найдите корни уравнения:
а) (X + 3)(л: - 5) = о Решение:
(х + 3)(x - 5) = о ж -f 3 = о или д: - 5 = о д: = -3 х = 5
Ответ: 3; -5.
б) (г - 4)(22+ 1) = о
Решение:
Ответ:_____________
г) 1/(2 - у){5 -2у) = 0 Решение:
Ответ:
Ответ:
106
Среди чисел -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 найдите корни уравнения:
а) х(х + 4)(5 - л:) = о в) (г - 4)(2г + 6)г = О
Ответ: 0; -4; 5. Ответ:__________________________.
б) (у + 2){у - S)(y + 1) = О г) (5л: + 10)(х - 5)(7х - 14) = О
Ответ:________________________. Ответ: _______________________________.
Представьте многочлен в виде произведения одночлена на многочлен:
а) ak + ас-3а = a{k + с - 3); в) -86'* + 166® =______________
б) -7л:»-21л:* = _______________ г) 12i/*® + 24j/*“= _______________
О Разложите многочлен на множители:
а) л:^ - 81 = л:» - 9» = (л: - 9)(л: + 9);
б) 4у* - 16л:» =____________________________________________________;
в) 8а» - 276® =_____________________________________________________;
г) 125л:» - 8i/« =__________________________________________________.
Решите уравнение: а) X» + 2л: = о Решение:
X» + 2х = о х(х + 2) = о X = о или X + 2 = о х = -2
Ответ: 0; -2. б) Зх» - 9х = о Решение:
в) 2л:* - блг» = О Решение:
4- -
- ' Г - - - -*
Ответ:______
г) Z® - 92» = О Решение:
..Г
J___L
Ответ:
иап
ы
о
О
О
гп
?
ы
о
m
X
X
m
X
>
z
X
S
Ответ:
107
т Найдите корни уравнения, предварительно разложив многочлен на множители:
а) 1 - = о
Решение:
1 - г/2 = о а-у)а+у) = о 1 - г/ = о или 1 + I/ = О у=1 у = -1
Ответ: 1; -1. б) - 5д: = О Решение:
Ответ:
—-f-
в) 2л:^ - 12л: + 18 = 0 Решение:
Ответ:,
г) 4г/ - у® = о Решение:
t • —
1-
- J
- +
-■]
.1 L
Ответ:
О Найдите
значение выражения:
а) 252 _ 242 = (25 - 24)(25 + 24) = 1 • 49 = 49;
б) 2052 - 1052 =___________________________
в)|8+
V 2у
г)
2 (
11- — 10-
1 V 1 V
108
Разложите многочлен на множители, используя формулы сокращенного умножения:
а) а* -I- 2а^Ь + Ь‘^ = + 2- • Ь + + bY‘,
б) 9а^ + баЬ + Ь'^ =___________________________________________;
в) 1 - 2ху + =________________________________________________;
г) —X -2х у +—у =______________________________________________.
25
16'
, + s §31. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО ТГ МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
Продолжите предложения:
1) Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее
можно вынести за скобки в степени, равной _____________,
т.е. выбирают __ ____ из имеющихся показателей.
2) Если многочлен можно представить виде произведения одночлена и многочлена, то многочлен разложен на множители с помощью
за скобки.
Вынесите общий множитель за скобки:
а) Зр -1- 2рс = р(3 -I- 2с); в) -Зтп + п =
б) 2аЬ - 5Ь= ________________ ; г)-ху -у =
О Вынесите общий множитель за скобки и устно проверьте правильность своих действий:
а) ах + ау + az = а(х + у + z);
б) 15х + XZ - 2ху —_________________________________________;
в) -баЬ - 1бах + 25ау =_______________________________
О Проверьте, верно ли выполнено разложение на множители: а) 5х®2 - 15x^2^ = 5ж^2(д: - З2)
Проверка: 5x^z(x - З2) = 5x^z • х - 5x^z • 3z = 5x^z - 15x^2^.
Ответ: верно.
109
б) -4aV + 4a2ft2 = -4a^b\a + b)
Проверка: ______________________
Ответ: _________________ .
в) -u®u® - = - u®u®(u + v)
Проверка: ______________________
Ответ: _________________ .
г) 14c^d« + 24c®d® = lc4\2d + 3c®)
Проверка: ______________________
Ответ:
Найдите значение выражения рациональным способом:
а) 3 • 99 + 3 = 3 • (99 + 1) = 3 • 100 = 300;
б) 7 • 68 + 7 • 32 =.
в) 13 123+ 13-23 =_
Вынесите общий множитель за скобки:
а) 4a®c®d^ + 2a®c'*d - 6o®c®d^ = 2aVd(2a®d® + ас® - 3cd®);
б) 15x®c‘*i/® - 12x^c'^y'^ - 18л:с®г/ =_____________
в) -бЗаЬ^сЧ + 9а6’‘с®- 27a®6®cd® =
Докажите, что
а) 9® + 9® делится на 10;
Решение: 9® + 9® = 9® • (9 + 1) = 9® • 10. Если один из множителей делится на 10, то и все произведение делится на 10.
б) 7® + 7’’ делится на 50 Решение:
в) 5'‘ + 5® + 5® делится на 31 Решение:
г) 3^ - 3® + 3* делится на 11 Решение:
110
на множители:
О Разложите:
а) S(t + 2) - tit + 2) = (f + 2)(3 - ty,
б) ab(b - 3) + аЦЬ - 3) ^ ______
в) с(с - d) + did - с)= ________
г) 2ix - 4) + с(4 - х) - а(х - 4) ^
д) (х + 22)(х - 3) + (х + 2zy =
О Решите уравнение:
а) х^ + Их = О Решение: х‘= + 11х = 0 х(х+ 11) = 0 X = О или X + 11 = О х = -11
в) х(х - 1) + 2(х - 1) = О Решение:
Ответ: 0; -11. б) 0,4х^ + 0,6х = о Решение:
Ответ:________________
г) х(х + 5) - 4(х + 5) = о Решение:
Ответ:
Ответ:
Разложите на множители, вынеся общий множитель за скобки:
а) (2а - ЬХЗа + И) + (5а - 11X6 - 2а) = (2а - 6)(3а + И) - (5а - 11)(2а - Ь) -= (2а - 6)(3а + И - 5а + И) = (2а - 6)(22 - 2а);
Uf>
(*>
го
го
з:
гп
0 m
1
s;
m
0
01
В
m
1
О
S
X
о
S
4 m 3i 33 ы >
о
ж
о
Го;
Х
5 ■
111
б) (5m - 3)(/i + 1) - (2га + 3)(3 - 5m) =
в) (2p + 4)(a - x)-(j} + 3)(x - a) =
§ 32. СПОСОБ ГРУППИРОВКИ
Разложите многочлен на множители способом группировки:
а) 2ал: + ЗЬу + бау + Ьх = (2ах + Ьх) + (ЗЬу + бау) = х(2а + 5) + Зу(Ь + 2а) = = (5 + 2а)(л: + Зу);
б) ау - 12Ьх + Зах - 4Ьу =_________________________________________
в) Зс + Зс^ - а - ас =
г) а'^Ь'^ + аЬ + аЬс + с =
Представьте многочлен в виде произведения двучленов:
а) х'"~'-х'" + х-1 = х'"-х-х'” + х-1= ex'" • X - X”) + (х - 1) = = х"Чх - 1) + (jc - 1) = (х - 1)(х'" + 1);
б) - у - 1 + у"-* =_____________________________________
в) ах + Ьх + сх + ау ^ by + су —
г) аЬ - а^Ь + а^Ь^ - с + аЬс - а^Ь'^с =
Разложите на множители:
а) -бг + 5d(x - бг) + л: = od{x - бг) + (д: - 6z) = {х- 6z){5d + 1);
б) Зс(2а + 56) + 2а + 56 =_______________________________
112
в) а + Ь{а + 2с) + 2с =
г) 2х - z{2x -у)-у =
О Заключите два последних слагаемых в скобки, поставив перед ними знак «-», и вынесите общий множитель за скобки:
а) с(а + 2с) - а - 2с = с(а + 2с) - (а + 2с) = (а + 2с)(с - 1);
б) х{а - 36) + 36 - а =_______________________ __________________
в) а{2х + Зу) -2х- 2у =
г) а(2г - 5х) + 5х- 2г =
Разложите на множители:
а) х^у - х^у^ + 5гу - 5гх = (х*у - х^у^) + (Ьгу - 5гх) = х^у(х - у) + Ъг{у - дг) = = х^у{х -у)- 5г(х -у) = (х- у)(х^у - 5г);
б) а'дг' - + 2® - ах2^ =_________ __________________________________
в) X® - X® + аЬх - с^х + а6 - с® =
г) а® - а*х - а6 + X® - ах® + 6х =
Вычислите рациональным способом: а) 2,7 • 6,2 - 9,3 • 1,2 + 6,2 • 9,3 - 1,2 • 2,7 =
б) 1,25 • 14,9 + 0,75 • 1,1 + 14,9 • 0,75 + 1,1 • 1,25 =
Заполните пропуски таким образом, чтобы многочлен можно было разложить на множители способом группировки:
а) об - ас - 56 +_= (а6 - ас) - (56 - 5с) = а(6 - с) - 5(6 - с) = (6 - сХа - 5);
J*
Са> л
(О *
^ I
=1 J
О
о ч’
0 i
01 I
if
it
§;
113^
6)xy-xz-y _
в) fed - ad + 3
г) 2fe - 2c + fe
О Разложите многочлен на множители:
а) х^ + Зх + 2 = х^ + X + 2х + 2 == (х^ + х) + (2х + 2) = х(х + 1) + 2(х + 1) = = (л: +1)(л: + 2);
б) - 5х + 6 = _____________________________________________________
в) - 8х + 15 =
Разложите на множители:
а) с^ + 4с - 5 = с^ + 5с - с - 5 == (с^ + 5с) - (с + 5) = с(с + 5) - (с + 5) = = (с + 5)(с- 5);
б) с^ - 4cfe + 3fe^ =_________________________________________
в) 2х^ - 5ху + Зу^ =
г) + 7гу - 8у'^ = _
§ 33. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Заполните таблицу:
Формулы сокращенного умножения
Разность Разность Сумма Квадрат Квадрат
квадратов кубов кубов суммы разности
а
Ь
114
о Закончите формулу:
+ 2аЬ + Ь^ = - 2аЬ + Ь^ =
дЗ _ ^3 = _____
+ Ь^ =
Представьте выражение в виде квадрата выражения:
а) 81х^у* = 9'^х^(у^)^ = (9ху^)^; в) а® =_____________
б) Зба^ = _______________________ ; г) 4с^ =________________
О Подчеркните выражения, которые можно разложить на множители, применив формулу разности квадратов:
- 4; 100 - 16 + Ь^; xV - 1; а" “ 2,5; - 46.
О Разложите
на множители:
1 2 2 2 2 2 ¥1 1
—XZ -а = —хг -а = -xz-a —xz+a
9 1з j U Аз J
б) - 16 = __
в) 100-9б2 =
г) сЧ^ - 81л:2 =.
д) —-9Ь^с^ =
25
Представьте в виде куба выражения:
а) 125л:®у«2‘" = ЪЧ\уУ{г^У = (5xy4^f; г) 27d» = ^
б) 8а® = _______________________ ; д) 64х® = _
в) с® =_________________________ ; е) 125а®6® =
Разложите на множители, применив формулы сокращенного умножения:
а) ЮООу» - 0,001и® = (10у®)® - (0,1и®)® = (lOu® - 0,1ы)((10р®)® +
-(- 10о • 0,1и -I- (0,1и®)®) = (10у® - 0,1и)(100и® + uv + 0,01u®);
б) 2® - о® =___________________________________________________________;
в) дг®
^3 1
8
«71
W
5
Ы
О
m
X
S
гп
о
3
о
3
о
в
V
5
§
TJ
S
§
115
г) 8а* + 125x® ^
д) а® + с* =_
О Разложите многочлен на множители по формуле - &^ = (а - ЬХо + Ь):
а) (2а + 7ЬУ - (За - 5bf =________________________________________
___ 9
б) 144aVar* - 225 = ______________________________________________
в)(х + 1/-а^-(х-!/-аУ = ,
г) (х + уУ -(у- хУ =
Разложите многочлен на множители по формулам а® - Ь® и а® + Ь® а) (га + 3)» - (га - 3)» =_________________________________
6)(:c + i/)®-(x-y)® =
в) (а - 5)* + (а + ЬУ =
г) (гаг - 1У + {т + 1)® =
I . ; ^ ^ Докажите, что
V а) 38® + 37® делится на 75
' * 0
Решение:_________
б) 99® - 74® делится на 25 Решение:
Запишите в виде произведения многочлен:
а) -8л:® - у® = -(8л:® + у®) - ((2л:)® + i/®) = -{2л: + у)(4х^ ~ 2ху + у®);
б) -64ra* + 27rai*®=____________________________________________
116
. с: § 34. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ •г НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ
О Представьте в виде многочлена, содержащего полный квадрат двучлена:
а) + 2ху - 2ху = х^ + 2ху + у^~ 2ху =
= (х'^ + 2ху + г/2) - 2ху = (х + yf - 2ху;
б) х^ + у^ = х^ + у^ + 2ху - 2ху = х^- 2ху + у^ + 2ху = (х^ - 2ху + у^) + 2ху =
в) 9а2 + 1бб2 =
г) 25у* + 4z^ =
Разложите на линейные множители:
а) Зх^ - 75а^ = 3(х^ - 25а^) = 3(х - 5а)(х + 5а);
б) ах^ - 4а =_____________________________
в) 18с - 2р^с =___________________________
г) -2ау^ + 2а® =__________________________
д) 5х® - 5а®х =___________________________
Представьте в виде произведения:
а) 25х®(х® - 1) - 10х(х® - 1) + х® - 1 = (х® - 1)(25х® - 10х + 1) ^ = (X® - 1)(5х - 1)® = (X - 1)(х + 1К5х - 1)®;
б) х®(х - 1) + 4х(х - 1) + (х - 1) =_____________________
tat
о
т;
О
S
ОТ
S
X
>
х=
X
X
X
от
X
X
"О
X
от
S
о
ю
117
в) 9х^у - 12х^у'^ + 4ху^ = ______
г) 9а^(а^ - Ь^) + 12аЬ(а^ - Ь'^) + 4Ь'\а^ -Ы) =
Разложите многочлен на множители:
а) 5с» + Юс» - 5cd» - lOd» = (5с» + Юс») - (5cd» + lOd») = 5с»(с + 2) -
- 5d»(c + 2) = (с + 2)(5с» - 5d») = (с + 2) • 5(с» - d») = 5(с + 2)(с - d)(c + d);
б) 4а - 4 - а» + а» =_______________________________________________
в) 3/е» + 3/г» - ЗА =
Разложите на множители:
а) 5у» - у» + 5у» - г/ = (5г/‘‘ - у») + (5у» - у) = у»(5у - 1) + у(5у - 1) = = (5у - 1)(у» + у) = (5у - 1) • у(у» + 1) = у(5у - 1)(у» + 1);
б) 1 - 4а - Ь» + 4аЬ» = _________________________________________
в) 2а - Ь» + 2аЬ -Ь =
Разложите на множители:
а) 4 - а» - 2а(4 - а») - а»(а» - 4) = (4 - а») — 2а(4 - а») + а»(4 - а») = = (4 - а»)(1 - 2а + а») = (2 - а)(2 + а)(1 - а)»;
б) 8а» - 5» + 4а» + 2а6 + 6» =______________________________
B)ia®-3 = i(a»-27) = 9 9
г) -с + с’' = с(с® - 1) =
Докажите, что а) (а + 1)» - (а + 1) = а(а + 1)(а + 2) Доказательство: ________________
118
б) (а - If - 4(а - 1) = (а - 1)(а + 1)(а - 3) Доказательство:
О Представьте в виде произведения:
а) а« + = (a^f + (b^^f = (а^ + b^)((a^f - + (b^f) = (а^ + &2)(q4 _ ^2^2 + ^,4).
б) д:® + 1 = _________
в) д:» - г/* = - (y*f = ___
г) а^-Ь^ =
Заполните пропуски, чтобы выполнялось равенство: а) (д: - 1) •_____________= д:^ - 4д: + 3
Решение: Для того, что бы найти необходимый множитель разложим многочлен в правой части равенства на множители:
- 4д: + 3 = д:^ - д: - Зд: + 3 =
б) (х^ - 4х + 3) • Решение:
в) (х + 1) • Решение:
г) (х2 + Зх + 2) Решение:
= х^ - Зх^ - X + 3
х^ + Зх + 2
хЗ 4д-2 _|_ 5^ + 2
ж
о
3
сл
s;
X
>
j=
X
X
5
со
ia
X
X
X
g;
X
X
тз
X
гп
'3
о
СИ
119
Найдите:
I значение выражения:
а) (2о - 6)^ - (2а + при о = 1—. Ь = 0,7 Решение:
(2о - bf - (2а + ЬУ = (2а-Ь- (2а + Ь))(2а -Ь + (2а + Ь)) = = (2а -Ь-2а- Ь)(2а -Ь + 2а + Ь) = (-26)(4а) = -8аЬ
-81-0,7 = -8—• —= -8 7 7 10
б) (За + bf - (За - ЬУ при а = 3^, Ь = -0,3
О
Решение:
О Решите уравнение: а) Зд:(л:- 1) + (л:2- 1) = 0 Решение:
Зх(х- 1) + (х2-1) = 0 Зх(х - 1) + (д: - l)(x + 1) = о (х - 1)(3х + X + 1) = о (X- 1)(4х + 1) = 0 X - 1 = о или 4х + 1 = о
х = 1 4х = -1
1
х =---
4
Ответ: 1; .
б) 2(1/2-1)-(1-1/2) = о
Решение:
I ^---------------
+ I .
в) х(2х + 1) = (2х + 1)2 Решение:
Ответ:
г) 5(9 -х2) = х(х - 3) Решение:
Ответ:
Ответ:
120
о Найдите корни уравнения: а) {х - S)(x^ + 4) = О Решение:
Ответ:
б) (л: + 1)2 - 4 Решение:
Ответ:
в) х'^ - 4x2 -I- 4х = О Решение:
Ответ:____
г) X® + х2 - . Решение:
1 = 0
+ S § 35. СОКРАЩЕНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
Продолжите предложения:
1) Отношение двух многочленов называется_
2) В записи многочлен____называется______
а многочлен —
алгебраической дроби.
121
3) Можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно
числитель и знаменатель дроби на ____•
Для этого числитель и знаменатель дроби надо __________________.
Приведите примеры алгебраических дробей:
Сократите дробь: ох-Зх + З-о _ {ах-3х)+{3-а) _ х(а-3)-(а-3) _ (а-3)(дг-1) _ х-1
б)
-За ху-х+у-1 ху + 2у-х-2
а(а-З)
а(а-З)
а(а-З)
в)
ас-2Ьс + 2Ь-а -4аЬ + 4Ь^
г)
X +4х+3 х^ +2х + 1
Вычислите:
/57^-38^ (57-38)(57 + 38) 19-95 19
а) -.^2-^= -----= —= 3.8;
б)
в)
г)
22"-3“* (22-3)-(22+3) 19 25 5
83"+2 83 17-fl7"
100 "-------------------
37"-23"
47"-13" ~---------------------
45"+2 45 13-fl3"
58 "-----------
Сократите дробь и найдите ее значение при заданных значениях переменных: ах + Ьх + а + Ь
а)
ау + Ьу + а+Ь
при а = -2,14; 6 = 3,11;л: = 0,7;у = -2,7.
122
Решение:
ах + Ъх + а + Ь _ (ал: + 6х)+(а+6) _ x(a+&)+(a + 6) _ (а+&)(х+1) _ х + 1 ау + Ьу + а+Ь [ау + Ьу) + [а + Ь) у[а+Ь)+[а+Ь) (a + fe)(i/ + l) у + 1
0,7+1 1,7
-2,7 + 1 "-1,7
= -1
а + Ь + а^ -Ь^ ,
---Z--= 1.75; Ь= 1,76
а-Ь + а -2аЬ+Ь
Решение:
в) (^-Ь + ах-Ьх jjpjj д ^ 5Д7. ^ 7Д5. ^ = 1 д. = _3 3
а-Ъ + ау-Ьу Решение:
t •
.-.-4
I : i
- ' - j !.
t - - 1
1....
^ — _.ц_
I *
i
‘ -1
-
Найдите значение выражения: а) если л: - 5, у = 2
„ х^-Ъх'^у х^{х-Ьу) со
Решение:----5—— = —^— ---- = х-Ъу. По условию х - о, у = 2.
X X
Ответ: 2.
5х-15ху
0 2 ^X - 3, у = 2 9у -бху + х
ил
W
у»
о
о
ж
5
Е
m
X
X
гп
от
5
S
X
от
о
ж
X
X
]Э
тз
о
от
m
X*
123
N3
о\
СО
«с
«С
со
'С
+
I
to
с
I
о
+
II
S3
+
(1
I
о
й
I
ф
й 9
я
со V й ро ►3
S
►3
ф
й
•о
о
о»
сг
J
о
н
ш
ф
ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
1
п
i ■■ ■ 1 .. . —
I • I ■
1 ' t
ф
Е Ф » to
X 1
ф to
• • н
^9 1
1 to
Н
05
чг
+
н
«с
N
I
Й
К
«
ф
о
и
н
ч;
N>
О
нЗ
п
Ф
-3
ф
В
ф
»
S
Ф
I I
- t » § 36. ТОЖДЕСТВА
Продолжите предложения:
1) Равенства, верные при любых допустимых значениях входящих в их
состав переменных, называются ___________________________
2) Левую и правую части тождества называют __________________
________________выражениями.
3) Всякую замену одного выражения другими, тождественно равных
ему, называют _____________________________________выражения.
Найдите допустимые значения переменных входящих в дробь: 5-Ь
а)
а-4
Решение: Так как а - 4^0, а ^ 4, то допустимые значения кроме 4;
X
Решение: ______________
все числа.
в)^
у+г
Решение:
г)
4-Ь
(Ь-3){Ь-в) Решение:
О Докажите тождество: а) (х - у){х ■¥у)-(а-х + у)(а -х-у)- а(2х - а) = О Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества:
(х - у){х + у)-(а-х + у){а -х-у)- а(2х -а) = х^-у^~
со
3
m
о
н
- ((а - х) + у)((а - х)-у)~ 2ах + а^ = х^-у^
((а - х)^ - у^) - 2ах + а^ =
125
б) (р + х)(р - х)-(р - х + с)(р + л: - с) - с(с - 2х) = О Доказательство:
Докажите тождество, используя формулы сокращенного умножения:
а) (х^ + + д:) = хДд: +1)^
Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества
(х* + + х) = д:® + д:® + л® + X'* = д:® + 2х® + х*
Преобразуем правую часть тождества х‘'(х + 1)^ = х‘*(х^ + 2х + 1) = X® + 2х® + х'*
Левая и правая части тождество равны, значит тождество верно.
б) (х + а)(х + Ь) = х^ + (а + Ь)х + аЬ Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества ______________________________
Преобразуем правую часть тождества
в) + уЧу^ - у) = уЧу^+ 1)(у -1) Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества
Преобразуем правую часть тождества
Докажите тождество:
а) 4(2х - у)^ = (4х - 2уУ
126
Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества
4(2х - уУ = 4(4х^ - 4ху + = 16л:^ - 16x1/ + 4у^
Преобразуем правую часть тождества
(4х - 2уУ = (4х)^ - 2 • 4х • 2у + (2у)^ = 16х^ - 16хг/ + 4у^
Левая и правая части тождество равны, значит тождество верно,
б) 2(2х-у)2 = 0,5(4х-2у)‘'
Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества __________________________
Преобразуем правую часть тождества
в) 25(х - 2у)^ = (5х - Юу)^ Доказательство;
Преобразуем левую часть тождества
Преобразуем правую часть тождества
Проверьте, тождественны ли равны выражения: а) {2п + 2У - (2пУ и 2(2п + (2п + 2))
Решение:
Преобразуем каждое выражение:
3
m
о
н
б) (2п + 2f - (2nf и (2/г + (2п + 2)) Решение:
Преобразуем каждое выражение:
127
\ш Докажите, что
а) (Зх + yf - (Зх - yf = (Зху + l)^ - {Зху - 1)^
Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества, разложив многочлен на множители как разность квадратов:
(Зх -I- у)^ - (Зх - уУ = ((Зх + у)~ (Зх - у))((3х + у) + (Зх - у)) =
= (Зх у - Зх + 1/)(Зх + у + Зх - у) = 2у • 6х = 12ху
Преобразуем правую часть тождества, разложив многочлен на множители как разность квадратов:
{Зху + 1У - (Зху - 1Г = ((Зху + 1) - (Зху - 1))((3хг/ +1) + (Зху - 1)) =
= {Зху -Ь 1 - Зху -Ь 1)(3х1/ + 1 -Ь Зху - 1) = 2 • бху = 12ху
Левая и правая части тождество равны, значит тождество верно.
б) (2а - Ь){2а + Ь) + {Ь- с){Ь + с) -)- (с - 2а)(с -I- 2а) = О Доказательство:
; в) (а - Ь)(а + Ь){{а - bf + (а + ЬУ) = 2(а^ - Ь*) Доказательство:
128
Глава 8. ФУНКЦИЯ У = X*
' § 37. ФУНКЦИЯ у = X* И ЕЕ ГРАФИК
Вставьте в предложения пропущенные слова:
1) В линейном уравнении вида у = kx + тх — независимая переменная
( ), у —_______________переменная.
2) Математическая модель, имеющая вид равенства, в левой части ко-
торого находится переменная г/, а в правой — какое-то выражение, содержащее X, называется_________________________________.
3) Графиком функции у = х^ является____________________.
4) Ось Оу является__________________________
параболы.
5) Ось симметрии «разделяет» параболу на 2 части, которые называются
О Заполните таблицу, зная, что у = х^
X 1 0,5 i 2,5 t ■ ' 1 9 или -9 0 ! 15 -4 -3,4
У 1 4 81 1 2,25 225 ;
Постройте график функции у = х^ио данным таблицы
X -3 -2 -14 0 ;
i )
«л
.
% ^ X ' ж ;
i •
X
ч:
п : ■■
X :
m
m
I [
в
129
Запишите значения функции у = х^, если известны значения аргумента х:
а) х = -1,7 у = (-1,7)2=_______________ ________________________;
б) дс = -0,4 у =__________ ;
в) лг = 2,3 ________
/■•■в
Найдите значения аргумента х, если известны значения функции у = х^:
а) у = 1, 1 = л;2, д: = 1 или х = -1
б) у = 0,04, 0,04 = jf2, JC =______
в) у = 900,_____________, X =______
г) у = 169,_____________, X =______
или X = -
_ или х = -_ или X = -
Постройте график функции у = -х*, предварительно заполнив таблицу, учитывая, что ось Оу является осью симметрии графика:
X -3 -2 -1 0
у
0' 'У X
5 ■4 3 2 _ 1 2 8 } -4- —1— ! _5__
Г| , Т , '
с 1
л i : ; 1 . . 1 :
щ ■ t 1 ' 1 1 _ ; ! i....
1 1 о • ‘ 1 : —■
и i i , .
8- — ! 1 1 I — 1 ■ 1 f - ' • : 1 1 • ;
—
л I i :
"J и ■ L. . г - 1 ^ !
Принадлежит ли графику функции у = х^ точка: а)А(0,2;0,04)
Решение. Если точка А(0,2; 0,04) принадлежит графику, то х = 0,2, у = 0,04. Подставим эти значения в функцию у = х^: 0,04 = (0,2)^, 0,04 = = 0,04. Равенство верное, значит, точка А(0,2; 0,04) принадлежит графику функции у = х2.
Ответ: принадлежит.
130
б) В(-1,6; -256) Решение:
Ответ:_____
B)cf-5;JL^
I, 4 16 Решение:
Ответ:______
r)D(10; 100)
Решение:
Ответ:
Используя график функции у = х^, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном числовом промежутке:
а) [-2;1]
Решение: По графику определим наибольшее и наименьшее значения функции: у =0,1/ , = 4
^ ^наим ’ ^наиб
б) (-2;1]
Решение: По графику определим наибольшее и наименьшее значения функции: у^^^^ = о, у^^ = не существует
в) (-3;2)
Решение: _______________________________________________________
г) (-1;4]
Решение:________________________________________________________
Д)[-3;-1]
Решение:
CJ
X
с
S
X
и
\
X
m
m
—1
е
X
ж
131
Используя график функции у = -х^, заполните таблицу:
-.^.„„Промежуток по Ох Значение у [-3; 2] (-1;4) (0; 3] [-2; 1) [2; 4]
У НАИМ -9
|(яев$ 0
Постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:
Ответ:А(-2;4), В(2; 4).
б)у = д:^иу = д:-1-2
Ответ: ), М( ).
д,)у = -х^иу = -х-2
1 5. 4 ■ 3 2 1 0 \У X
б- 4- -2- —О . .1 2 3 4 5
К 1
о
Ответ: С( ), В( ).
Ответ: N( ), Р(_____).
132
Ответ: Е( ),F( ).
Ответ: Q( _ ), R(___).
, + г; § 38. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ зг УРАВНЕНИЙ
О Продолжите предложения:
1) Графиком функции у = Ь является прямая _
2) Графиком функции y = kx является прямая
3) Графиком функции y = kx + b является прямая
4) Графиком функций у = х^иу = -х^ является_
О Дополните алгоритм графического решения уравнений:
1) ввести в рассмотрение две функции (из уравнений);
2) построить в одной системе координат графики этих функций;
3) найти точки пересечения графиков;
4) найти______________точек пересечения — это и есть______
р»
-I
5
в
S
X
m
о
О
m
"U
m
Е
m
X
s
m
<
ш
X
m
X
X
уравнения.
133
Найдите координаты точек пересечения графиков; а)г/ = л:-Зи1/ = 2л: + 4
X 0 3
у -3 0
Ответ: А(-7; -10). б)г/ = Зх + 1и1/ = -2х + 6
X
У
-5 -4-1-2-1
h
Ответ:
15-..
Гц-г-т-рт-^
4 •• -+3-
тГ
4..
-5 ■ -
X
У
X 0 -2
У 4 0
v)y = -x:^viy = A
Н—I—I—I—(-^
2 3 4 5
Ответ:
134
в) I/ = и г/ =
X
у
X
у
.5-.:^ i
Ь-
Н—h
-&:=|4г:к=Ц^
~Г1"'
: О
-+&-
|-
1— I
4
.i_L
j j. 8_ii
I
-J
^ I
ill
^ . .4-4
4-^
Ответ:
Решите графически уравнение: а) = 9
Построим графики функций у = х^иу = 9в одной системе координат. Графиком функции у = является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком г/ = 9 является прямая.
Графики пересекаются в точках с абсциссами х = -3 и д: = 3.
«я
OQ
5S
е
S
X
m
о
ж
0 гп тз m
I—
сг
m
X
S
m
■<
ш
X
m
1
s:
S'
Ответ: 3; -3.
135
Ответ:
Ответ:
Решите графически уравнение: а) = -д: + 6 Решение:
Построим графики функций у = х^ и у = -X + 6 в одной системе координат. Графиком функции у = х^ является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком у = -х + 6 является прямая.
х_
у
т
J_____^_________
X
у
Графики пересекаются в точках с абсциссами дс = -3 и дс = 2.
Ответ: 2; - 3.
. 136
б) -л:2 = Зх + 2 Решение:
в) -х^ = X - 2 Решение:
Построим графики функций у = -х'^ и у = Зх + 2 в одной системе координат. Графиком функции у = -х^ является парабола, ветви
которой направлены___________.
Графиком у = дх + 2 является прямая.
X
у
Графики пересекаются в точках с абсциссами х =__________и
х =_________.
Ответ:
X
у
X
у
00
5
в
S
X
m
о
т;
О
гп
■D
m
Е
m
X
S
m
ш
X
m
X
X
х<
Ответ:
137
о Решите графически
уравнение:
Решение: 5х®
= 25х-20,х^0
X
5x2 = 25х ^2 ~
201:5
х^ = 5х - 4, X * о
Рассмотрим графики функций у = х^иу = 5х-4в одной системе координат. Графиком функции у = х2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком у = 5х - 4 является прямая.
X
у
X
у
в) 2x2= Юх-Н 12
Решение:
X
у
X
у
Графики пересекаются в точках с абсциссами х =4 и х = 1.
Ответ: 4;1.
Ответ:
138
Решение;
_2х*+8х^ д:^0
X
^2
х^[2х + 8)
^ 3 »
X
х^ = 2х + 8
Рассмотрим графики функций у = х^ и у = 2х + 8 в одной системе координат.
X
у
X
у *
Графики пересекаются в точках с абсциссами х ■ Ответ:
и X =
«л
W
о»
i
в
S
X
гп
о
ж
0 гп -о m Е m
X
X
m
*<
5
ш
1
гп
X
X
х>
139
Используя графический способ решения уравнений, определите число корней уравнений:
а) = 2х + 4 г) = О
Решение:
Построим графики функций у = х^ и I/ = 2д; + 4 в одной системе координат. Графиком функции у = х^ является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком у = 2х + 4 является прямая.
Решение:
д:
Л-
Графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня.
Ответ: 2. Ответ:
140
б)-х-3 = х^ 2
Решение:
X
у
X
у
Ответ:
в) -х^ = —JC + 4
Решение:
X
у
X
у
i 5 . у
А .
о
о о
пг* i
±
-Ь -^-з-2-i 2
I ’ *1Г о . —
I \ 4*1 *
!
I L 1 j
-I—н
4 5
I
X
m
о
S
m
tf
m
Е
rn
X
s
m
m
X
X
Ответ:
141
, + s; § 39. ЧТО ОЗНАЧАЕТ к В МАТЕМАТИКЕ ЗАПИСЬ у = f(x)
Продолжите предложение:
1) Запись у = f{x) означает на математическом языке______
у от X, то есть связь между переменными хиу.
2) Запись f(a) означает ____________ функции в точке х = а.
3) Функция, заданная____________ формулами на____________
промежутках, называется кусочными функциями.
4) Описание свойств функции у = f(x) по ее графику называется графика.
5) Значения, которые может принимать независимая переменная х, называется_________________ функции.
6) Если функция не имеет точек разрыва, ее называют____________.
Дана функция f(x) = -2,3х. Найдите:
а) /(0) = -2,3 -0 = 0; 6)f(x + 5) = -2,3(х -1- 5) = -2,3х - 11,5;
/(-1) =-2,3 •(-!)= __________; Пх^)=___________________________;
/(-2,5)=_____________________; /(-х)= .
/(1) =_______________________;
Я5) =________________________.
Функция f(x) задана формулой f(x) = х^. Найдите:
а)/(-1) = (-1)^ = 1;
/(0) = 0^=________
/(-3)=____________
1
/
/(0,7) = б) /(а) = /(а^)= _
в)/(6)= _ /(6)-1 = /(&=» +2) =
fib^) + 2 =
r)f(-x)-f(-x'^) =
142
ЯЗа) =______________________
Я-4а) =_____________________
f{3a + 1) =_________________
О Дана функция у = f{x), где f{x) = Вычислите:
а) Я-3) =___________________
б) ЯО) =_____________________
в) Я2) =____________________
О Постройте график функции f л: + 1, если -3<х<2 1-2ДС + 7, если 2
8.
г)Я8)=___________
Д)ЯЮ) =
3)f(x) =
-х
если х<2 6, если 2<лг<8
! .5. 4- 3- ■ ■ ;2- ..... 1 1 1 1 1 0 i 1 1 ]
-5-4-3-2-1 1 1 1 1 1 2 8 А 5
’ .1.0 . ! 1
; 1 ■ riJ . 1 |... : _з. ! , А , 1
.... ^ , 1 1ч
- ь 1 1 ^
X
JL.
Найдите: Найдите:
а)А-1) = -1 + 1=0; а)Я-5) =
б) Я-3) = ; б) Я-1) =
в) ЯО) = ; в) ДО) =
г)ЯЗ) = ; г) f(2) =
Д) Я2,5) = : Д)Я4) =
е)Я6) =
ю>
со
со
о
0 W
1
>
m
н
ш
S
m
S
S
ж
m
ы
>
ZJ
S
о
от
ч
II
л
X
143
2)
f{x) =
, если -2<х<1 X, если 1<х<4 4, есл и X > 4
X
у
Найдите:
а) Д-2) =.
б) Д-1) = .
в) ДО) = _
г) Д1)=_ Д)ДЗ) = _
1 е)Д7)=_
= 2^4
5
Ф
3
2
1 +
■Т
* - t - - - - -
i 1 • X t
Тм
5
144