Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс Мордкович Ключникова Комиссарова

ФГОС|| Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова Рабочая тетрадь по алгебре К учебнику А.Г. Мордковича и др, «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях» учени_класса_ школы класс Учебно-методический комплект_ Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова Рабочая тетрадь по АЛГЕБРЕ к учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях» 7 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА* 2013 УДК 373:512 ББК 22.14 К52 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебника «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях: учеб, для обшсобразоват. учреждений / А.Г. Мордковича и др. — М.: Мнемозина» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве илиостративного материала (ст. 1274 п. I части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Ключникова, Е.М. К52 Рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях»/Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова. — М.: Издаггельство«Экзамен», 2013. — 144 с. (Серия «Учебно-методический комплеет») ISBN 978-5-377-05270-8 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Рабочая тетрадь является необходимым дополнением к школьному учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В2-Х частя х»(издагельство«Мнемозина»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Авторами предложены разнообразные упражнения по всем темам, изложенным в учебнике, в том числе: задания для закрепления изученного материала, задачи повышенной сложности, занимательные и развивающие задачи. Выпатнение теоретических и практических заданий рабочей тетради позволит каждому ученику лучше освоить материал учебника и применить полученные знания на практике. В тетради имеются образцы для выполнения заданий. Нумерация и название пунктов рабочей тетради соответствуют нумерации и названию пунктов учебника. Тетрадь предназначена для работы с учащимися общеобразовательных учреждений. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:512 _______________________________________________________________________________ББК 22.14 Учебное издание Ключникова Елена Михайловна Комиссарова Ирина Владимировна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО АЛГЕБРЕ к учебнику А.Г. Мордковича и др. «Алгебра. 7 класс. В 2-х частях» 7 класс Издательство нЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51.Н 16054 от 28.02.2012 г. Главный редактор 7727. Лаппо. Редактор Я..W. Бокова. Корректор Я.С. Садовникова Дизайн обложки М.Н. Ершова. Компьютерная верстка ДИ. Ярош Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 4.5. Уел. печ. л. 11,7. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3541/12. 105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1. wMTv.examen.biz. E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел Уфакс 641-00-30 (многоканатьнын) Общероссийский ктассификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Приит», г. Тверь, www.pareto-prim.ru ISB.N 978-5-377-05270-8 О Ключникова Е.М., Комиссарова И.В., 2013 © Издательство кЭКЗАМЕН», 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Математический язык. Математическая модель........5 § 1. Числовые и алгебраические выражения...................5 § 2. Что такое математический язык.........................8 § 3. Что такое математическая модель.......................9 § 4. Линейное уравнение с одной переменной................. 12 § 5. Координатная прямая.................................. 16 Глава 2. Линейная функция................................. 19 § 6. Координатная плоскость............................... 19 § 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график...23 § 8. Линейная функция и ее график..........................25 § 9. Линейная функция у = kx...............................30 § 10. Взаимное расположение графиков линейных функций......35 Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными... 38 §11. Основные понятия......................................38 § 12. Метод подстановки....................................43 § 13. Метод алгебраического сложения.......................47 § 14. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными, как математические модели реальных ситуаций...52 Глава 4. Степень с натуральным показателем и ее свойства...57 § 15. Что такое степень с натуральным показателем.......... 57 § 16. Таблицы основных степеней............................59 § 17. Свойства степени с натуральным показателем...........62 § 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями... 64 § 19. Степень с нулевым показателем........................67 Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами... 69 § 20. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена.........69 § 21. Сложение и вычитание одночленов...................... 71 § 22. Умножение одночленов. Возведение одночленов в натуральную степень......................................75 § 23. Деление одночлена на одночлен........................78 > g гп X S m Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами...................82 § 24. Многочлены. Основные понятия.........................82 § 25. Сложение и вычитание многочленов.....................85 § 26. Умножение многочлена на одночлен.....................88 § 27. Умножение многочлена на многочлен....................92 § 28. Формулы сокращенного умножения.......................98 § 29. Деление многочлена на одночлен.......................102 Глава 7. Разложение многочленов на множители...............106 § 30. Что такое разложение на множители и зачем оно нужно?.106 § 31. Вынесение общего множителя за скобки................109 § 32. Способ группировки..................................112 § 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения.............................114 § 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов..............................117 § 35. Сокращение алгебраических дробей....................121 § 36. Тождества...........................................125 Глава 8. Функция у = 129 § 37. Функция у = jc^ и ее график..........................129 § 38. Графическое решение уравнений.......................133 § 39. Что означает в математике запись у = /(х)............142 Глава 1. математический ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ §1. ЧИСЛОВЫЕ 7 И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Продолжите предложение: 1) Запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий, называют _____________________________________________________. 2) Запись, составленную из букв латинского алфавита, чисел и знаков арифметических действий, называют_____________________________. 3) Число, которое получается в результате упрощения числового выражения, называют_______________________________________________. 4) Буквы, входящие в состав алгебраического выражения, называются 5) Если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называются________________________________________________. 6) Если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные переменные называются О Найдите значения арифметических выражений: а) 0,012+ 0,08 = «ч 3 ^1 б) — + 5—= 14 2 д)0,24 : 1,5 = е)2:1- = 7 ■ в) 0,57-0,057 = . г)2—-1—= 15 20 ж) 0,54- 2,5 = ч 5 Л1 з)— 1— = 18 15 X о о ш 21 m s; > ”1 гп СП ? S X m о т; S m ш сг 5 m X X X Выполните действия: а)5--1-3 3 12^:5-^-3 2 6 б) 8,5 + 1,5 • (0,8 : 0,16 - 0,16 • 0,5) ^ ^ 1 в) 4--1--3 V 2 2 , г) (14,6 - 6,8 - 5,8) • 0,05 : 0,1 = Найдите значение выражения, выбрав удобный порядок действий: а) 5,64+ 2,7+ 2,36+ 4,3=____ ______________________________ б)3-+5- + 4-+6- = 5 4 5 4' О Найдите значение алгебраического выражения при данных значениях переменных: 1) при X = 0,5; у = 3 а) л: - у2________ б) х-2у___________ в) (х-уГ_ г) {х -у)-2 2) при а = 0,5; 5 = 4 а) 2а - 5 ________ б) а^~ Ь ____________ в) а - 25 ___________ г) о - 5^____________ О При каких значениях переменных выражения не имеют смысла: а) б) в) 2а а-1 “ х + у 2у-3 45 +л Зп г) Д) е) о-Зт 5т-15 55-Z l-k 84с+ d 7-d ■ Составьте выражения по условию задачи: 1) Купили 2 кг конфет по цене а руб. за 1 кг и 3 кг конфет по цене 5 руб. за 1 кг. Сколько заплатили за покупку? Какова цена 1 кг смеси конфет? Решите задачу при а = 80 и 5 = 95. Решение: 1) 2 • а = 2а (руб.) — стоимость 2-х кг конфет. 2) 3 • ft = 3& (руб.) —__ 3) 2a + 3b (руб.) — стоимость 4) (руб.) — цена______ 5) ^_______________ смеси. 6). стоимость всей покупки, цена 1 кг смеси. Ответ: 2) У Маши есть несколько двухрублевых монет и а пятирублевых монет — всего на сумму 24 рубля. Сколько двухрублевых монет у Маши? Какие значения может принимать число а? Решение: Ответ: О Подберите такие значения переменной а, при которых значение выражения ■ а + 1 а) положительно __ _________________ б) отрицательно ___________________________________________ в) равно нулю __________ __________________________________ г) не существует___________________________________________. О Запишите недостающие переменные в следующих предложениях: а) Двигаясь со скоростью а км/ч, автомобиль за k часов проехал_км. б) Двигаясь с часов, пароход проплыл d км со скоростью км/ч; в) Часы стоили р рублей. После снижения цены на 15% их цена составляет рублей. г) После покупки Ь книг по с рублей, у школьника осталось а рублей. До покупки книг у него было рублей. «п О :□ О ю Е гп m ш ? s; X m О m ш о; Т] m т. 20 1^^^ Заполните таблицу: а) Площадь прямоугольника 36 см^. Длина сторон этого прямоугольника о см и Ь см. Ь (см) 2 4 6 9 12 а (см) б) Пешеход, велосипедист и мотоциклист находятся в пути 2 ч каждый. Пройденное расстояние S км, скорость V км/ч. пешеход велосипедист мотоциклист V (км/ч) 6 15 60 S (км) § 2. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК ^1^ Запишите утверждение на математическом языке: - Ж-/ а) число а при делении на число Ь в частном дает 8________ б) число с при делении на число а дает в частном 5, а в остатке 2 I двигаясь со скоростью а км/ч, автомобиль за k часов прошел ' г) удвоенная сумма 4 и m составляет 18___________________ км; д) отношение полуразности kviCK сумме квадратов end равно 24 ю Используя математические термины запишите выражения: I а)а2-Ьб2 б) (Зх - у) (Зх + у)________________________________________ в) __________________________________________________ 2 2 X -у г) JC® - J/® д) k + m е) (5х-2уГ_ ж) (22 + Зх)^ О Запишите в виде математической формулы утверждение: а) пройденное расстояние S равно произведению скорости V на время t б) стоимость покупки S равна произведению цены единицы товара с на количество единиц товара п________________; в) периметр квадрата Р со стороной, равной а, равен____________; г) если площадь прямоугольника равна S, а одна сторона равна а, то вторая сторона равна________________; д) если пройденное расстояние равно S, а скорость V, то время, затраченное на движение, равно________________. Продолжите предложение на математическом языке: а) Периметр прямоугольника равен___________________ б) Цена товара равна ____________________ в) Время движения равно____________________________ г) Площадь квадрата равна__________________________ «О) X 3 51 S гп ^ §3. что ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Продолжите предложения: 1) Алгебра описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде ____________________________________моделей. 2) Математические модели бывают_____________,________________, m 5 S X m о S I о- т Заполните таблицу: № п/п Реальная ситуация Математическая модель 1. Яблок в 2 раза больше, чем груш 2. Столов на 3 меньше, чем стульев 3. а-Ь = 5;а- 5 = Ь; а = Ь + 5 4. а = —; Ь = 2а 2 5. х+1=у-2 О Установите соответствие между реальной ситуацией и математической моделью: Реальная ситуация Математическая модель 1. В 3 пакетах п коробок, в каждой из которых т карандашей А. S = 10/п -1- 8(т - 1) 2. Прямоугольник длиной а м и шириной Ь м разделили по длине на с равных частей. Найти площадь каждой части. Б. 6 = а + 6;а = &- б 3. Два комбайна убирали пшеницу с поля. 1-й убирал 10 га в день, а 2-й — 8 га в день. Первый работал т дней, а второй — на один день меньше. Нашти площадь поля. с А(а) В(6) 4. •-I-H 1 1 ♦ -> X r.S = 65t + 53(t - 2) N(n) М(лг) К(А) 5. • • •—> X Д. п < m < А: 6. Машина t ч ехала со скоростью 65 км/ч, а со скоростью 53 км/ч на 2 ч меньше. Какое расстояние проехала машина? Е. Зпт 1 2 3 4 5 6 Е 10 о Постройте графическую модель ситуации: а) за 5 дней цена на нефть выросла с 85$ за баррель до 92$, а затем в течение 5 дней упала до 87$ за баррель; б) на координатной прямой точка А расположена на 5 единиц правее точки В; -1 I I I II I II I II-> X в) на координатной прямой точка С расположена в середине отрезка АВ; -1 I I I I I I I I I II-> X г) точки П и £ находятся на равном расстоянии от точки iV(4). —I I I I I I М I I м—> Составьте математическую модель данной ситуации: а) Пешеход прошел S км между пунктами А и В за 5 часов. Скорость его движения выражается формулой V =___________км/ч. б) Катер прошел 30 км по течению реки и вернулся обратно. Скорость течения реки 2 км/ч, скорость катера в стоячей воде х км/ч. Время движения катера по течению _____________ ч, а против течения ___________ч. в) Два токаря должны изготовить по 40 деталей. Первый может сделать эту работу за х часов, а второй затратит на 3 часа больше. Производительность первого__________дет/час, а второго ___ дет/час. Запишите три этапа решения задач: I этап. II этап. III этап. 4»> СлО О 5> о гп S 5 гп S X ГП о ё m п сг 11 , + s § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Продолжите предложения: 1) Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида , гдеаиЬ 2) Уравнения вида 4л: = 15, 6г - 7 = О, —х +24 = 0 называются_. 2 3) Корнем линейного уравнения называются такие значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в_____________. 4) Алгоритм решения уравнения ах + Ь = сх + d: Найдите корень уравнения: а) 2л: = 251 Решение: 2л: = 251 251 д: =--- 2 л: = 125,5 Ответ: 125,5 б) 4л: = -70 Решение: в)-5л: = 163 Решение: Ответ:____ г) 8,3л: = о Решение: д) о • X = 17 Решение: Ответ:____ е) 5х = 0,2 Решение: Ответ: Ответ: Ответ: 12 Найдите корень уравнения: а) 2х - 5 = 27 Решение: 2л-5 = 27 2л = 27 + 5 2л = 32 2 л= 16 Ответ: 16 л = - б) -3 + 4у Решение: = -5 Ответ: в) 2л - 1 = 4л + 3 Решение: Ответ: г) 10 + 14л = 15 - Зл Решение: Ответ: О Используя алгоритм, решите уравнения: а) 7л - 5 = 5л + 7 в) -Зл = л + 4 Решение: Решение: Ответ: Ответ: СО> и S. X m х< X о m •< 5 ш X m X X гп о g X о х< Z1 m TJ m s m X X о x< 13 б) 3 - X = 2л: - 3 Решение: г)х + 3 = 3 + х Решение: Ответ: Ответ: на общий числовой множитель: а) 4(х - 1) = 8(2 - X) Решение: 4(х-1) = 8(2-х) 1:4 X - 1 = 2(2 - X) X - 1 = 4 - 2х X + 2х = 4 + 1 Зх = 5 5 X = — 3 Ответ: 1—. 3 б) -6(2х - 5) = 9(х + 1) Решение: Ответ: [ьно разделив обе части уравнения в) 6(х-3) = 3(15-х) Решение: Ответ г) 0, Реш 2(х - 8) = 0,4(х - 3) ение: Ответ: 14 о Решите уравнение, умножив обе его части на общий знаменатель всех входящих в это уравнение дробей: а)1(х + 5) = -^(л: + 3) О Z Решение: i(o: + 5) = i(;c + 3) |-6 |•6•(ж + 5) = i■6•(д: + 3) 2(х + 5) = 3(х + 3) 2лг + 10 = Зл: + 9 2л: - Зл: = 9 - 10 -л: = -1 -1 х = — -1 л: = 1 Ответ: 1. б)0,7(л:-3) = 0,5(л: + 1) Решение: B)i(5-x) = -i(x-5) 4 3 Решение: Ответ: г) 0,2(л: - 2) = 0,5(д: - 5) Решение: I i -1-^- Ответ: Ответ: to> X m S: X О m •< > ш X m X X m О § X о х< ■п m ■о m S ш X X о х< 15 § 5. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ Продолжите предложения: 1) Прямая I, на которой выбрана начальная точка О, масштаб и поло жительное направление, называется ___ ________ _________ или 2) Начальную точку называют , масштаб — 3) Каждому числу соответствует______ на коорди- натной прямой и наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует ______________________. 2 ^ 5 Изобразите на координатной прямой числа: 3; 2,5; -6; —; -4—; ^ ^ 3 6 -3,8. 4-+ н—> о ^ Укажите координаты точек, отмеченных на координатной пря- мой: BE D А н---•- О 1 Ответ: 0 2 11 Какое из чисел 5; -7; ; 6,5; 18—; -21— расположено левее всех на координатной прямой? Ответ: _______________. 3 7 2 11 Какое из чисел 5;-7; —; 6,5; правее всех на координатной прямой? Ответ: 16 Укажите номера рисунков, на которых числа на координатной прямой изображены неправильно: 1)---•--------•----> 4)---•--------•----> -2 1 5 1^ 7 2) 3) -3 -4 -5 • > 2 ^ 5) - 6) . О 2 ^ -•---> Ответ: -1^ 3 5 Заполните таблицу числовых промежутков: Геометрическая модель Обозначение Название числового промежутка Аналитическая модель fV//////////////V (а; -1-оо) х> а а X луч х>а X (-оо; Ь) X <Ь X ■W х<Ь X а Ь X а<х <Ъ [а; Ь] отрезок [а; Ь) X полуинтервал а<х<Ь X ил Ut X о О 5 s: X X X тз X S о Изобразите на координатной прямой множества точек, координаты которых удовлетворяют указанным условиям: а) л: > -3 б) X < -1 в) 1 < X < 2 X -> X -> 17 г) 1 < л: < 2 д) О < л: < 1 е) К л: < 3 X -> X Данную геометрическую модель задайте аналитически: _2 д. — -2 5 X -5 а) - б) - в) - г) - Д) _2 3 д; С) ////////////////^ у 3 X -2 X Изобразите на координатной прямой множества точек, удовлетворяющих данным условиям: а) |х| > 1 б) |х| < 2 в) |х| > 2 г) |х| < 3 -1 1 X --------> X -> X Даны числа: -2; -1; 0; 3; 5; 7; -9; 18; 4. Укажите те из них, которые принадлежат: а) отрезку [3; 5]_______________________ б) лучу (-21; 6] _________ в) интервалу (-17; 10)__________________ г) полуинтервалу [-7; 5) _________ 18 Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 6. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ Запишите названия: 0(0; 0) -Ось Ох — ось Ось Оу — ось О Заполните таблицу: Точка Абсцисса точки Ордината точки Координатный угол А(5; 6) 5 6 I В( ;7) 2 С( ; ) 4 -3 7)(-3; ) 5 и» а> X О О S s X 5; X X X о о ж о о 19 о Изобразите на координатной плоскости точки: АН; 2) ■А-----1----1- С(4,5; -3) 5 4 • 3-2- Н-Ч---1-1--1-1--!-► -5-4-3-2-ljX 1 2 3 4 5 -2--3- -4 .. -5 О Заполните таблицу: Изображение -I, I X -*■ Запись на математическом языке х = а 20 I § 6. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ U к т 1 к4-. 1 i 1 1 ! Г > ф е 1 V ч® f #г 1 ! --L. га 1 ^ 1 i ! 1 .со. 1 1 1 — -- — . J о II О II о Запишите координаты точек, которые принадлежат данным координатным углам: О Опишите на математическом языке: а) прямую параллельную оси абсцисс и проходящую через точку А(-3; 2) б) прямую перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через точку В(4; -1)______ ______________. Постройте прямые, проходящие через точки: 22 + -; § 7. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 7 С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК О Продолжите предложения: 1) Уравнение вида ах + Ьу + c = Q — это линейное уравнение 2) Решением уравнения ах + &г/ + с = О называется___ Для графиков линейных уравнений ах + Ъу + с = Q заполните таб- лицу: Коэффициенты уравнения Вид графика Решение а 6 с уравнения а = 0 6 = 0 с = 0 Вся координатная плоскость Любая пара чисел (х; у) а = 0 6=0 СФ^ а = 0 6;л0 с 0 а^О 1 6=0 c?t0 а^О Ь^О СФ^ (0> >< а Z гп X S m о 13 Щ 20 Z3 m тз m 3 m X X сг S X S m 3 i X Подчеркните линейные уравнения с двумя переменными: 5х - 7i/ -I-1 = 0; у - & = 4; а -I- 2Ы- с = 0; -{х-у) + 2х^ -4 = 0; 2 m-n + — = 0;2(z + y) = 4z- 1. 5 О Заполните таблицу значений для линейного уравнения с двумя переменными 2х -f у - 1 = 0 Т X 1 0 2 -3 1 .1 L -10 9 -11 23 б)-Зх-у + 4 = 0 (3;8) (0;4) (7;-1) (5;-11) (4; 0) (1; 1) (-2; 10) На координатной плоскости постройте графики уравнений: а) 2дс + Зг/ - 4 = о б) -X - 2у + 3 = О 24 Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 2лг - I/ = 3 и -2х - у = 3. Решение: Построим графики уравнений в одной координатной плоскости. 2х~ у = 3 X у -2x-y = -3 f X у О Заполните таблицу: i Л . 'y 4 о — о ■ n ! 1 1 Z ' 1 ’ 0 i л: 5- 4- 2-3 1 1 ; ! 4 £ I’l 1 0 1 a о 1 - - 'o ’ Л : 4 ' № n/n Уравнение Решение уравнения Коэс эфициенты a b c 1. ax + 5y - 40 = 0 (3;2) 5 -40 2. 6x + by - 35 = 0 (-5;-13) 6 -35 3. 8x + 3y - c = 0 (0;0) 8 3 Решение: 1. 3. § 8. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК О Продолжите предложения: 1) Уравнение вида у = kx + т называется___ 2) Значения у называются__________________ 3) Переменная х называется________________ 4) Переменная у называется________________ 5) Графиком линейной функции является_____ 03 is s: X m X > e •< X xz s: X X m m ? e X t; 25 Заполните таблицу и постройте график линейной функции: &) у - -X + А 6)у-2х + 1 Постройте графики функций и определите, чему равно значение функции при заданном значении аргумента: а)у = х+1 -I—г I—I I > I тг у ; ----------1 I х: I i U i I • ' I i i Ответ: X 0 3 -2 4 у 6)y = -3x - 3 Ответ: X -1 2 -3 5 У 26 Постройте графики функций и определите, чему равно значение аргумента при заданном значении функции: а) г/ = 4л: - б б) у = 0,4л: + 2 Ответ: Ответ: X у 0 3 2 -1 X У 3 -1 0 -2 Координаты точек связаны указанным соотношением. Для каждого случая заполните таблицу и постройте график: а)у = х-2 б)у + х = 3 ия X гп s< X § I SZ X X X m m -I е X Вывод: Графиком линейного уравнения является 27 Постройте график линейной функции у=-2х + 3 и заполнргге таблицу: X у Координаты точки пересечения с осью абсцисс ( ;0) Координаты точки пересечения с осью ординат (0; ) Возрастает или убывает функция функция При х = 5 У = При у = 3 х = Постройте график линейной функции, отметьте на оси те значения аргумента, для которых выполняется условие у > 0. В ответ запишите соответствующий промежуток. а) г/ = 2х + 3 б) у = -Zx -f 1 X у 5 ‘У Л — — 4 л «5 ' п 0 X - 4- р- 2-] : ! Р 1 5 — гА О D ' О ' л 1 г4 ’ ...1 1 .J Ответ: [1,5; -I-qo). Ответ: 28 о Постройте график линейной функции, отметьте на оси те значения аргумента, для которых выполняется условие у < 0. В ответ запишите соответствующий промежуток. &)у = -х-1 6)у = 3х +2 X у — ; i 5 1 Л . — -- 4 о 1 — о ’ л , г 1 Z ' 0 X M 4- J- 5 1 ^ < d 1 о 1 л о г ; -i-1 .. .J и ' л 4 ' Г и ' IT. Ответ: [-1; Ч-оо). Ответ: О Постройте график линейной функции у = -2х + 2, выделите ту его часть, которая соответствует заданному промежутку на оси абсцисс. Решение: у = -2х + 2 X 0 1 У 2 0 и/! OQ s X m X 0 ч: X sz s X tn m —1 5 e X 5C 29 § 9. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ у = to Продолжите предложение: 1) Графиком линейной функции y = kx является 2) Коэффициент к у функции у = кх называется _ 3) Угол, который прямая у = кх образует с положительным направлением оси Ох, зависит от____________. Если fe > О, то этот угол _____________, если А: < О, то угол_______. 4) Прямая, служащая графиком линейной функции у = кх + т прямой, служащей графиком линейной функции у = кх. 5) График функции у = Зх + 4 получается при сдвиге_________на ______________единицы масштаба прямой у = Зх. 6) График функции у = -5х - 2 получается при сдвиге__________ на______________единиц масштаба прямой у = -5х. ___ Подчеркните те функции, графики которых проходят через нача- ' ло координат: 2 1 у = -2х-, у = -; у = -х; у = 2х-1. X 2 Заполните таблицы и постройте графики функций: &)у = Ьх в)у = -4х ■■ - —1 1 I ' - : . О . о 1 1 г 7 \ ч 1 1 i [ 1 ^ — X — ! f 5 -4-3- И,. L J 4 5 ^ ■ 1 • : -^•1 —а- ■— 4 .... 1 i i . 30 «‘'"Г Т)у = --х 4 о Заполните таблицу, если у их связаны соотношением у = -Зх. X 0 8 -2 5 1 1 3 4 4 3 у 3 -1 6 1 2 -9 12 -15 0 и» и> Постройте график функции по двум точкам. X m X I X X с. X X II ж- X 31 На рисунках показаны графики функций у = kx. 2) '■ —1 1 1 n -[- у-л в ' . 1 i t 4 ■ о ■ ■ ■ t ""t' * 1 ; 1 1 и о 1 1 1 1 лк 1 ■ 0 д: “л J- Т1 - i 1 « 1 - 5 п • '2S 2) • \ [ 1 . . . : _ i ■ J О л 4 1 5 1 _._L Выпишите номера графиков функций, для которых: а) А>0: ____________________________________ б) А:<0: ___________________________________ Проходит ли график функции у = Ьх через точки: А(3; 15) Ответ: В(-4; 20) Ответ: 1)(0; 5) Ответ: £(0; 0)_ Ответ: С(2; 10) Ответ: 32 Задайте формулой у = kx функции, графики которых показаны на рисунках: а) Решение: График проходит через точку А(1; 1). Подставим координаты этой точки в уравнение у = kx : 1 = k • 1, k = 1. Ответ: у = х. б) Решение: ia S X гп X > в *< X Е S X ч II 5” Ответ: 33 в) Решение: Ответ: О Постройте график функции у = 0,5х. С помощью графика: а) определите значения аргумента, при которых г/ > О_____ б) определите значения аргумента, при которых г/ < О_____ в) определите значения функции г/, если х е [-4; 4] _____ г) определите значения функции у, если х е (0; 6) _______ График функции у = kx проходит через точку М -4; — |. Найдите коэффициент к. V 4, Решение: Ответ: 34 § 10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ линейных функции Заполните таблицу: Линейные функции Алгебраическое условие Геометрическое условие у = k^x + y = k^x + Aj = k^; mj Прямые у = k^x + и у = k^X + /Tlj = К' — Прямые у = k^x + иу = h^x + совпадают — Прямые у = к^х + /Mj и у = к^х + пересекаются Распределите данные функции у = 7х-4пу=7х + 3;у = Юл: + 8 и у = 5х+^; у = 2х и у = -^х + Ъ; у = -0,7л:+-^ и у =-0,7х - 8 по колонкам ^ м Л в соответствии с условиями: Графики пересекаются Графики параллельны О Пересекаются ли графики данных функций: а) у = -бл: + 9 и у = 2л: - 7? Ответ: в) у = 0,2л: - 9 и у = —л: + 1? 5 Ответ: б) у = -0,5л: + 2 и у = 2,5л: - 10? Ответ: г) у = -Зл: и у = -Зл: + 3,6? Ответ: «й р оэ ы > S X о m ? 0 § 1 m ■X X m i I О Ш e X 35 Постройте в одной системе координат графики функций: а) г/ = -а: + 6; у = -JC - 1,5; у = -х\ у = -X + г б) у = 2х + 4; у = 2л; - 3; у = 2х~\ у = 2х + 0,5 Г : i ' ■' ■ , . . .5. ! i ;4- : 3 • i • 2 ■ У j _ 1 1 1 1 ! , X 1 1 Р J I . 1 ? ? 4 5 i j -2- • -:--п—: .... 1 • -5- • i :■ ; У ' ^ . ... - -4-. i i 1 ■ ! , g_, ■ i j -г- i ! - -j- 1 , 1 1 Л1 -5-4-3r:R-J^, . i Z 9 4 5 1 ' T i ' -3. " - --Hi- ; 1 . , . . • - * • т Укажите ординату точки пересечения графика линейной функции с осью Оу: ^ а) у = 0,2л: 4-Зу = ______________ б) у = -5л: - 4у =______________ г) у = Зд: 4- 5у = ч 1 1 в)у= — х + —у = /у 7 д) у = -л:-0,5у = , 4 е) у =-7х-Ь 8у =. Укажите такой коэффициент к, чтобы графики функций были параллельны: а) у = Ал: 4 3 и у = 5л: - 4, /е = в) у = 4л: 4 1,5 и у = Ал: - 2, А = б)у = -^х-7иу = Ал: + ^, А = г) у = Ал: и у = 2л: + 18, А = Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 5л:-4иу = 4л:-3. Решение: Ответ: ( 36 о Проходят ли графики данных функций через указанные точки: а)у = 2х + 3, А(0; 3) Решение: в) у = -X + 5, С(0; -5) Решение: Ответ: Ответ: 6)у = -х-4,В(2;-3) Решение: г)1/ = -Зх-2,П(1;-5) Решение: Ответ: Ответ: С0О ф U > s: S X о m ? о Z3 о О m X S m 5 в X X 0 ф 1 X ж х: X 37 Глава 3. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ §11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О Продолжите предложения: 1 1) Если даны два линейных уравнения с двумя переменными хтл у а^х + + feji/ + Cj = О и а^х ->г Ь^у + = VI поставлена задача найти такие пары чисел (д;; у), которые одновременно удовлетворяют одному и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют ______. 2) Пара чисел (х; у) называется __ __________________________. Гх + 1/ = 4 Является ли решением системы уравнений < пара чисел [2х-у = 2 а)х = 3,1/= 1 Решение: б)х = 2, у = 2 Решение: Ответ: Ответ: О Выясните, сколько решений имеет система: fllx + 10i/ = 120 а) , [6х + 1/ = 18 Решение: Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Выразим из каждого уравнения переменную у через х: 10г/ = 120-11х 1/ = 18-6х, 120 11 У =-------X 10 10 j/ = -6x + 18. Получим систему: \у = -1,1х + 12 [t/ = -6x + 18. 38 Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны, значит прямые пересекаются, то есть система имеет единственное решение. Ответ: 1. Ау-х = \2 Zy + x = -2 Решение: б) Ответ: а) Покажите, почему системы уравнений не имеют решений: 5л: + 2у = -18 15jc-t-6z/ = -36 Решение: Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Выразим из каждого уравнения переменную у через х: [2y = -lS-bx |бу = -36-15х. Получим систему: 18 5 у =-------X 2 2 36 15 у =--------X. 6 6 \у~-2,Ьх-9 . Угловые коэффициенты прямых, яв- [j/ = -2,5x-6 ляющихся графиками этих функций, равны vi с^, значит, прямые параллельны, то есть система не имеет решении. 3jc-4i/ = 16 6х-8у = -8 Решение: б) «л О О X о ш X Е m X О X н X X Ответ: 39 Заполните таблицу, подобрав такие значения k, при которых выполняются заданные условия: Система уравнений Значение k, при котором система не имеет решений имеет единственное решение имеет бесконечное множество решений (у = Зх-5 ^^[y = kx + 4 3 5 нет [i/ = l,5x + A • О Постройте заданные прямые в одной системе координат и укажите в ответе координаты точек их пересечения: а)2х-у = 4иу = 6 б)х + у = 4их = 2 X У : 1 П А . 4 о 1 i и ' о 1 —■ — ZS ' л . 1 ' 0 X У - 4- р-! 1. J 5 ц 1*1 я а о -- -- и ' А 1 f ■■ t ! г 1 • i ! -■■■1 - i - . Ответ: о Решите графически систему линейных уравнений: а) \х-у = 1 [x + 3i/ = 9 Решение: Построим графики уравнений в одной системе координат. Зх-у = 1 X 0 2 у -1 1 х + Зу = 9 X 0 3 У 3 2 Координаты точки пересечения графиков — решение системы. Ответ:( ;___) б) у = х-1 у=х+3 3 Решение: Построим графики уравнений в одной системе координат. у = х-1 X У у = —х + 3 ^ 3 Координаты точки пересечения графиков — решение системы. Ответ:( ;____) I i 5- 'г/ i . -Y 4t 3 ■ — i 1 £, ' i J г i X ' J 4- i- 1 i M 0 : - f ir о с ! О ' A . Ч ' ■5 ■ — О Какие из пар чисел (-3; 4), (-2; -6), (-4; 3) являются решением систем уравнений: 1х = у-7 Решение:_______________________________________ ^^|зх + 4у = 0 да О О X О ш X о; m => О X X —» X X 41 Решение: О Определите координаты точки пересечения прямых, и запишите уравнения, задающие эти прямые. В ответе укажите соответствующую систему: а) Решение: Точка пересечения имеет координаты ( Уравнения, задающие прямые:_________ Ответ:__________________ б) «Я IV . И r i ] O' i Л i b i 1 T 1 V , L 0 г л -« - n 4 f| • ! 1 Г\ 1 1 b 1 ^ 2 1 Л 1 g It 42 Решение: Точка пересечения имеет координаты ( Уравнения, задающие прямые:________ Ответ: ____ ____ и § 12. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ Из линейного уравнения выразите: а) у через х: Ах-Ъу=\2, . 12 4 4 ^ Решение: 4х - Зг/ = 12, У~~~^—У = б) X через у: Решение: Выразите: а) у через х из уравнения 6л: - у = 12, Решение: б) X через у из уравнения Юл: + 7у = О Решение: а)' Решите систему уравнений методом подстановки: \у = х-1, \Ьх + 2у = 16 Решение: |у = л:-1, |у = л:-1, Гу = х-1, Гу = х-1, |5х + 2у = 16, [5х + 2(х-1) = 16, [5х + 2х-2 = 16, [7х = 18, К) S m н О ы =] о га О X о ш ж 43 18 , Г у = х-1. у=—-1. 18 ■ ( * х = —, 18 7 1 7 [Зх-2г/-11 = 0 Решение: У = 1-, У х = 2~. 7 Ответ: Найдите решение системы уравнений и сделайте проверку: Sx + 4y = 0, 2х + 3у = 1 Решение: а) Проверка: Ответ: б) 5х-г6у = -20, 9x+2i/ = 25 Решение: 44 Проверка: Ответ: Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений: а) 7дг + 4г/ = 23 и 8х - Юг/ = 19 Решение: [7jc + 4i/ = 23, J4i/ = 23-7jc, |8ж-10г/ = 19 [8д:-10г/ = 19 23 7 8л:-Юг/= 19 7 23 и = —х +—, ^4 4 / 8л:-10 —л:+- 23 = 19 Ответ: ________________. б) 11л: - 6г/ = 2 и -8х + 5г/ = 3 Решение: w> «А Ответ: ta О. о ш 45 Решите систему уравнений способом подстановки. Выполните проверку, поставив полученное решение в каждое из уравнений: 3m-2n = 5, т + 2п = \Ъ Решение: а) Ответ: б) [ п + ЗЬ — 2, 2а + ЗЬ = 7 Решение: I > J \ Л I ’J f , f ^ Проверка: \ -J г . г . . f f Л _____ _____ __ f Проверка: f _ л Ответ: 46 а) Решите систему уравнений: ~(х + у) = 2, О -(х-у) = 1 :^ + у) = 2 |-5, :(х-у) = 1 1-2 х + у = 10, {у = \а-х, {у = 10-х, х-у = 2 1л:-(10-х) = 2 |х-10 + х = 2 Решение 1 5 1 2 |i/ = 10-jf, {у = 10-х, ji/ = 10-6, ji/ = 4, [2jc = 12 |jc = 6 |дс = 6 [д: = 6. Ответ: (6; 4). 0,3(д; + г/) = 22,2, 0,4(x-i/) = 6,4 Решение: б) Ответ: § 13. МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ■г СЛОЖЕНИЯ Вставьте пропуиценные слова в описание метода алгебраического сложения при решении систем линейных уравнений: 1) Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали числами; (0> S гп н о m Ш ? S X гп о О “1 О S о m X S !S3 47 2) Сложить почленно и 3) Решить получившееся уравнение с 4) Найти соответствующее значение части уравнении системы; _____________ переменной; ________ переменной. Умножьте одно из уравнений системы или каждое из них на какое-либо число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных: 12*+3!/ = 18 Решение: {х-у = 1, W-y = l |-3, (Зх-3у = 21, [2х + Зг/ = 18 [2л: + 31/ = 18 |2л:-)-Зг/ = 18 1а+6 = 2, (50+26 = 3 Решение: |а-(-& = 2, 5а + 2& = 3 \а + Ь = 2 |-5а + 2Ь = 3 в) р-3д = 5, Зр + 2^ = 4 Решение: \р-Зд = Ъ, |р-3д = 5 I [Зр + 2? = 4 1зр + 2д = 4 Решите способом алгебраического сложения систему уравнений. Выполните устно проверку, подставив полученное решение в каждое из уравнений: х + у = Ь, х + у = Ъ, х-у = 7 2х = 12 х = 6 48 Подставим найденное значение переменной х в первое уравнение и найдем значение переменной у: 6 +у = 5, у = 5-6, у = -1. Ответ: (6; -1). 2п + т = 5, 2п-т = 11 Решение: б) Ответ: Продолжите решение систем уравнений методом алгебраического сложения: а) |2а-нЗЬ = 0, 7а-26 = -25 Решение: |2а + 36 = 0 [2, |7а-26 = -25 \-с Ответ: б) \2х + Ъу = -\, 4а+ 66 = 0, 21а-66 = -25 2х + Ъу = -2 Решение: \2х + Ъу = -1 |(-3), |3x + 5i/ = -2 1-2 -6л: - 9у = 3, 6x + 10i/ = -4 (01 1 Р S m > § S m t 5 -5 1 I О ^ 34 : О .* 3 ; о о S m ' X X ’ X Ответ: 49 Составьте уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через указанные точки: а) М(5; 5)iV(-10;-19) Репхение: Так как график уравнения у^кх + Ь проходит через заданные точки, то одновременно выполняются равенства 5 = й • 5 + 6 и -19 = к • (-10) -I- Ь. Значит можно составить и решить систему уравнений, чтобы найти значения коэффициентов k\ib. \Ъ = Ък + Ъ, -19 = -10ft + 6 \Ь = Ък + Ь |-2, \-19 = -10к + Ь {10 = 10к + 2Ь, \-19 = -10к + Ь^ -9 = ЗЬ Ь = -3 Подставим найденное значение Ь в первое уравнение системы: 5 = 5А-1-(-3), 5 = 5к-3, -5fe = -3-5, -5к = - 8, .-А -5 й = 1,6 Составим уравнение прямой при к = 1,6 и Ь= -3: у = 1,6д: - 3. Ответ: у = 1,6дг - 3. б) P(4;1)hQ(3; -5) Решение: Ответ: 50 Задайте формулой линейную функцию у = кх + Ь, график которой изображен на рисунке: а) Решение: Линейная функция задается формулой__________________________. График функции проходит через точки с координатами (_;____) и (___; ____). Подставим эти координаты в уравнение линейной функ- ции у = кх + Ь, получим систему уравнений, которую решим для нахождения коэффициентов киЬ:-' Ответ: б) <л> W S m н § > ~| m ш I X m о ж о d о о m X s: 51 Решение; Линейная функция задается формулой _ ________• График функции проходит через точки с координатами (__;___) и (_; __), Подставим эти координаты в уравнение линейной функции у = kx + Ь, получим систему уравнений, которую решим для нахожде- ния коэффициентов k и Ь: ■ Ответ: 1 § 14. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ Запишите с помощью систем уравнений следующие ситуации: Сумма двух чисел равна 17. Одно число на 7 меньше другого. Решение; Пусть X — I число, а г/ — II число. По условию задачи сумма двух чисел равна 17, значит составим уравнение____________. I число на 7 меньше II числа, значит составим второе уравнение_____________. Так как условия выполняются одновременно, то получим систему урав- нении: 2) В классе 26 учеников. Девочек на 3 меньше, чем мальчиков. Решение: 52 Ответ J- 3) Периметр прямоугольника равен 400 м. Его длина в 3 раза больше ширины. Решение: Ответ J Решите задачи: 1) У мальчика было 14 монет по пять и десять рублей, всего на сумму 115 рублей. Сколько монет каждого достоинства было у мальчика? Решение: Пусть X — количество пятирублевых монет, а у — количество десятирублевых монет. По условию задачи общее количество монет 14, значит х + у = 14. Общая сумма пятирублевыми монетами 5х рублей, а десятирублевыми монетами 10у рублей. По условию задачи всего у мальчика было 115 рублей, значит 5х + lOi/ =115. Математическая ситуация данной ситуации — система двух уравнений: \х + у = Ы, [5x + 10y = 115. Решим систему методом алгебраического сложения: и + у = 14, |5х + 10г/ = 115. (-5х-5у = -70, |5х + 10у = 115 5у = 45, У =----- . \х + у = Ы |-(-5), [5jc-(-10i/ = 115. <а> S 2| m S S X m о ж S m S g s TJ г z O’ >5 о > д: 53 монет, по 10 рублей было монет. Ответ: по 5 рублей было 2) Поезд прошел первый перегон за 2 ч, а второй за 3 часа. Всего за это время он прошел 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если она на втором перегоне была на 10 км/ч больше, чем на первом. Решение: V, км/ч t,4 S, км I перегон X 2 II перегон У 3 380 км 1 По условию задачи Pj, на 10 км/ч больше, чем V^. Составим и решим си- (й: I-----------------’ стему уравнении: Ответ: 54 3) Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить каждая бригада по плану? Решение: По плану, деталей Всего, деталей По факту, деталей Всего, деталей I бригада X 1 680 1,2х 1 680-1-118 II бригада У 1Д5г/ «л 5 m S S X m о X s: m 3 g m :з s; ■D 0" X x X о X g jr s s< Ответ: 4) Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см. Решение: Пусть боковая сторона треугольника л: см, а основание у см. Периметр равнобедренного треугольника равен Р = 2х + у. 55 По условию задачи Р = 4Z см, значит получим уравнение_________. Так как основание треугольника на 7 см больше боковой стороны, то составим уравнение: у = х + 7. В НИИ й:1- I- .L - г ; . .t — -t г - t r 1^ ^ '""С Ответ: 56 Глава 4. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА ffXlL- , + 5 § 15. ЧТО ТАКОЕ СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ О Впишите пропущенные слова в определениях и высказываниях: 1) Степенью числа а с натуральным показателем , боль- шим 1, называется произведение_________________ из которых равен а: а" = а а-.., а, п > 1; п->множнтелей 2) Степенью числа а с показателем 1 называется, 3) Возвести число в степень — это значит _____ 4) Выражение а" называется ____________ множителей, каждый 5) Число а в выражении а" называется______________ 6) Число п в выражении а" называется______________ 7) _______—это натуральный показатель степени; 8) Положительное число в четной степени___________ 9) Отрицательное число в четной степени __________ 10) Отрицательное число в нечетной степени Не выполняя действий, определите знак числа: а) (-6)»<0; б) (-1)2» >0; в) (-6,5)2“ е) (-2)1“-(-3)". ж) (-4)2® • 8^__ 0; 0; 0; г) д) li V Зу ^4^ V ' / ^ 0; 0; з) (_1)15.(_7)8.57 ____0; и) (-2)‘^*(-3)»-2»_ 0; X 3 Ж о m о м m 3 гп X сг о 1 0" X г S 3 о S m S 57 Запишите в виде степени или произведения степеней: а) 2-2-2-2-2_______________ __________________________ б) (-3)-(-3)-(-3)-(-3)________________________________ в) (-4) • (-4) • (-4) • (-7) • (-7) • (-7) • (-7) = (-4)» • (-7)^; 1 г) - ^ г ^ Г sj . 3, . 3, 6 6-6 = Упростите выражение: а) а-а-а-а-а-а= ___________ б) (X + у)(х + у){х + у)= _ Вычислите: а) 7 + 4^ = ____ б) 5=*-15=______ в) 14^ + 6 = ___ в) т-т'т-т-т-2-2-2-2'2'2 = T)hk...k = 32 ра;}а г) 12^: 2=_ Д)(5-3)2 = е) 82 - 52 = Заполните таблицу: Степень Основание^'^'-^.^ 2 3 4 п к-1 2 22 22 а а" Ф + с) (6 + с)" Представьте в виде степени с данным основанием а: а) а = 2 числа: 2 = 2‘; 8 = ; 32 9 128 = 9 б) а = 0,1 числа: 0,1 = ; 0,001 = ; 0,000001= ; в) а = -— числа: 1 _ 1 > ^ л 9 1 9 2 4 64 32 г) а = -3 числа: 81 = -27 = ; 9 = О Найдите: а) сумму квадратов чисел 0,3 и -0,7. б) квадрат суммы чисел 6,4 и -4, 9 _ 58 в) квадрат разности чисел 1,3 и 0,5 г) квадрат разности чисел -1,8 и -0,5 Запишите в виде степени числа: а) 1000000 = б) 32 =_____ в) 64 = ; г)125 = _ Соедините стрелками равные выражения: (2,5-1,8)2 (-56)2 (-728,5)2 (21-53,5)'* -562 -728,5* (-53,5 + 21)" (-1,8+ 2,5)2 Найдите значения степеней: а) 20* =________; б) 9* =_________; г)-(-3)"=, Д)(-2)2=„. в)(-3)" = , + 5 § 16. ТАБЛИЦЫ ОСНОВНЫХ < СТЕПЕНЕЙ О Заполните таблицу: Показатель ^"^■^.^епени Основание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 81 5 25 7 шА. а> 01 J= Г О О X о ш X х X о н m э m X m 59 о Дополните предложения: 1" = 1, для___________________ О" = О для____________________ (-1)" = 1, если п —_____ (-1)" = -1, если п —____ (-1)"*=___________________ - (-1)2***=_____________________ а) Вставьте пропущенные числа: 5=_1; б) (-2)--=-32; в) _____*=-0,216; О Сравните выражения с нулем: &)Ь* ______0; б) а* + ft* . _0; в) -5(л:+ 1)_______0; Вычислите: а) 7 • 2® = 7 • 25 = 175; '5'’ 6)9 г)1- Д) Y у 64 ._*= 0,0001; г). (п + т) Д) -Z* _ 0; 0; г) -6*-(-12) = Д) -5 • 2» =__ .)i9.j|=. О Найдите значения выражения: а) 8х* при JC = -1 Решение: 8 • (-1)* = 8 • (-1) = -8; при д: = -2 Решение:_______________________ е) -2*-15=. 60 при л: = о Решение: при JC = 3 Решение: Заполните таблицы: X N4 Х2 -Х2 (-Х)2 9 -81 -6 36 О Вычислите: а) -52 + (-3)2 = -25 + 9 = -16; б) -72 + (-2)2 =____________ X Х2 -Х2 (-Х)2 4 -3 27 в) (-1)2-(-4)2 =__ г) 3-22-(-1)2-32 = Соедините отрезками верные соотношения: <0 (-5)2+(-7)2 >0 4 + (7-х)2 >0 (Х + у)2 <0 Найдите значение переменной и выполните проверку: а) л:2 = 25 л: = 5 и X = -5 б) х2 = 27 х = 3 в) 2x2 = 32 г) 2x2 = 250 Проверка: 52 = 25 (-5)2 = 25 Проверка: 32 = 27 Проверка: Проверка: ■А § jr г о о X о 03 X 2! X о н т =3 m X m х< 61 § 17. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Впишите пропущенные слова в правила действий со степенями: 1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней ___ _______ . __________________ _ ___• 2) При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого ____________ показатель степени делителя. 3) При возведении степени в степень показатели степеней _ О Дополните равенства: а)а"-а* =______________ б)а":о* = в) (а")* = О Представьте в виде степени выражения: а) o’ ■ а*® =___________________ д) -X® • = -х“ б) а**: а®=_____________________ е) (х®)^: (х^)"* = ______ в) 5*-52=_______________________ж) 74 7®=_________________ г) I/® • =______________________ з) р* :q^= ______________ Вычислите значения выражений и сравните их: а) 3^+ 4^и 5^ Решение: 3^+ 4^= 9 + 16 = 25; 5=“=25 Ответ: 3^+4^= 5^. б) -2* и (-2)'* Решение: Ответ:_____________ в) 102-62и(10-6)2 Решение: 62 Ответ: _____ г) 72+32и102 Решение: Ответ: О Замените частное степеней степенью с тем же основанием: а)-^ = т® :т^ = =т^; т «4г=_____________ (.43 в)- О Найдите значение выражения: ^8 ¥ 5* ->25 - б) ,55 в) >2012 >2011 О Упростите выражение: а) • (х**: JC®) = ________ б) : (x***: д:®) =________ Заполните пропуски такими выражениями, чтобы выполнялось равенство: а) ( _)" = а>«; в)(_______)" = а®"; б) ( = а®; г) (______)® = а"". О Представьте в виде степени с основанием Ь: Ф)1]----------------- Упростите выражения: а) 0,5х^уг • 4ху^г* = 0,5 ■ 4- х^ • х • у • у^' z • z'^ = -к О S s< 0 н 5 m =1 m 1 5 О X O’ X O’ о ы 5 5 m S 63 б) 4,.5 32х^у в) -9л: • (-4л:*) =_ г) Бас* ■ д) -cV V о -2а^с* -10а®с" - + § 18. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Впишите недостающие слова в предложения: 1) Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточ- но перемножить неизменным. оставить 2) Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно _________________ одно основание на другое, _________________оставить неизменным. 3) Чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый____________________и их перемножить. О Дополните равенства: а) а"Ь" = а б) —= Ь'‘ Возведите в степень: а) (ху)^ = х*у*; б) (abcf = в) (-5л:)* = (-5)* • л:*= -125л:*; _Ь ^ 0; в) (аЬУ г) Ь^О. у г) (За)* = д) (-0,2хг/)* ‘ е) (-2ах)* = 64 о Вычислите: а) 5* 2* = (5- 2У= 10"= 10000; б) 253-43 =_________________ в) 0,2» • 5» = г) 2V Г5^' J» = -27i/»; .)" = 16с". Ф Впишите недостающие показатели степени: а)гг--у" = г/'^; г) — у 6,1 £ в) (аЬ)— = а—б"*; Ф Возведите в квадрат выражения: а) Зс» Решение: (Зс®)» = 3» • (с®)» = 9 • с» »= 9c^“ б) 2л» Решение:______ ____________________ в) -аЬ* Решение: \yj д) {2т)— = 16/л—; е) (Юг)— = ЮООг—. т)—тп^ 4 Решение:, д)0,2c»d Решение: Вычислите рациональным способом: 8 \8 б)0,2»-5» = _ в) (0,3)» - 10» = 2». 4® г) Запишите пропущенные выражения, чтобы равенства стали верными: а) (__)» = 8л»; в) (_ б) (__» = 81а»; г) L it (0> 00 < S X I m X X m X ь m S3 m X X m о н m X m X m 8® 65 Решите уравнения и выполните проверку: а) 5д:*=40 Решение: 5х®= 40 40 Ответ: г) 4х^= 128 ешение: Проверка: 5 • (2)®= 40 5-8=40 40 = 40 Проверка: 9 • 3^ = 729 и 9 • (-ЗУ = 729 9-81=729 9-81=729 729=729 729 = 729 Проверка: Проверка: Ответ: 66 Вычислите: а) 0,25"*’• 4""- \40 140 1 д42 4« ____442 ^ i 4 442-40 НО НО = 4" =16; 6)2 100 чЮЗ •"ГГ г) (3®)^-27 (3®)^-3^ 8Г (з^Г + §19. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Запишите определение степени с нулевым показателем: Приведите примеры: а) 5,3“= 1 б) =1; в) _ . г) _ = 1; = 1; Найдите значение выражения: а) 5д:“ при х= 7,8 Решение: 5 • 7,8“= 5-1 = 5 б) -2,5г/“ при у = -27^ О Решение: в) ЮОх'*!/® при х = 2,у=-8 Решение:__________________________ г) при 5 = 21, d = -3 Решение:_______________ О Вычислите: . 4®-9“ а)—:^ =------ 27«9" (3‘Г(3"Г З^-З!” 3^1 лЛ ю О Н m 3 m X (Г о X т о Z X 3 О ;*! > м а ГГ) S 67 Заполните пропуски: а) (5лг2®) = 1; б) (4аЬс) = 1; Выполните действия: o’ в) d = 1; г> (бх + 1/) = 1. а) а 22 б) Ъ^-Ь*: = Найдите значение выражения: a)l5T+8°=J + l = >j:____ 6)fiT-4« = . Замените пропуски такими выражениями, чтобы равенство стало верным: а) (а • :__________= 1; б) (а*)^: _________= а“; Найдите такие значения х, чтобы выполнялись равенства: “>UJ Решение: б) 4х= - U, Решение: в) Решение: г) -27л;* = Решение: 2 (1] — X = - UJ UJ v27 68 Глава 5. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ ^ ^ § 20. ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА •' Закончите предложения: 1) Алгебраическое выражение, которое представляет собой произведе- ние чисел и переменных, возведенных в степень с натуральным показателем, называется ____________________________________________ 2) Одночлен, у которого числовой множитель записан на первом месте а каждая переменная в соответствующей степени содержится один раз называется____________________________________________________ 3) Числовой множитель многочлена, записанного в стандартном виде называется____________________________________________________ О Является ли одночленом выражение: а) 7,8д:^ + у в)®"’*' 5 Ответ: нет Ответ: Ответ: б) -5,4а^Ь г) -с е)р + 9 Ответ: да Ответ: Ответ: Подчеркните одночлены, записанные в стандартном виде: а) Ьх^у в) 5г/(-7х^) д) Аху • 5x^2 б) —а^Ьа^ 3 г) 21а^Ъс^ е)-—c?V 8 Приведите одночлен к стандартному виду: &)1х^у~ху^ =7 —х-у у^ =—х^у*',___________ 14 14 ^ ^ 2 б) аЬ ■ (15а) • =________________________ 69 в) -5abW • 2(ab) = —ft m n 2 r) 2m^n \ О Представьте в виде одночлена стандартного вида: а) =____________________ в) 12оЬс • Аа^Ь^с^ — e)|ivi =. О Запишите одночлен в виде куба одночлена: а) 27л:®г/® = в) 125c®^^^® = б) =_______________________г) = Выпишите числовые коэффициенты одночленов, предварительно записав их в стандартном виде: Одночлен Числовой коэффициент 4-3 3 3 -4^ 3 б)аЬс•(5а)•(-35)•(-4с) = в)-4о^п(--к^о^пЛ = V 8 J г) {-5xyf = Заполните таблицу, вычислив значение одночлена: 70 о Заполните таблицу: 0,3a a 0 2 -0,6 -1 5jc^ X 20 80 3 125 1 2" У 1 5 10 21 , + S § 21. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ■V ОДНОЧЛЕНОВ О Дополните определение: Два одночлена, составленные из одних и тех же переменных, каж- дая из которых входит в одночлена в оди- наковой степени (т.е. с равными показателями степени), называются ___________________ одночленами. Подчеркните подобные одночлены: а) 5х^у; 7п^т; Snm^; 7,8х^у, О б) 24аЬс^; ^аЬ^с; 0,7а^Ьс; ЗаЬ^с; 5,8аЬ^с. О Выполните действия: а) 5х^ + Зх^ =________ б) 0,7у» + 0,Зг/« = в) -^г +—г = 4 8 ------ г) -0,7d^ + 0,03^“ = д) -0,6с® - 0,04с® =_ e)21,8Jfe"-17,9fe^ = Заполните таблицу, выписав числовой коэффициент, который получится при сложении одночленов: Алгебраическая сумма одночленов Алгебраическая сумма коэффициентов Коэффи- циент а) Аху^ - 7ху^+ (-0,8) • 5ху^ 4 - 7 + (-0,8) • 5 = =4-7-4 -7 <01 N> IS X s m X DD z X X I X m ё X 0 1 71 Алгебраическая сумма одночленов Алгебраическая сумма коэффициентов Коэффи- циент б) Za^b + 8а • ЪаЬ - 6а^ • 0,5Ь в)-cd^---c-2d^ +5-—cd-5d^ 2 4 3 25 г) 0,25галг^-0,5ra 0,lm^+n-4oi —m 2 Выполните действия с подобными одночленами: &)6ab^+l8ab^= . _ . ...... б) -ху--ху= --------- в) 5рд^ ~^pq^ =______________________!!____ О Упростите выражения: X X а)(аб)аЬ-4а^& й+—а&^а = о-а & Ь-4а^ b b +—a a b^ = = aV-4aV+-aV=fl-4+i^ a^b^ =-2—a^b^; ■f- 6) 3{mnk)-mk+—m^k nk-5k^ n m^ = 3 в) (6pq) ■ q^ - 0,8q • (-5pq^) + pq^ При каких значениях числовых коэффициентов равенство будет верным? Впишите эти коэффициенты: а) 21ху+ б) —аЬ’‘~ 2 _ ху = 28ху; аЬ^ =4—аЬ^; 2 в) -0,7c^d2 - г) -—кп + 4 = -7,8сЧ^; кп = 0,75ftn. 72 о Выполните сложение одночленов и вычислите их значение при заданных значениях переменных: а) Ъху - Зху при X = 0,5; у = 0,3 Решение: Ъху - Зху = 2ху. 2 • 0,5 • 0,3 = 0,3. Ответ: 0,3. б) 7х^ - 3,5х^ при х = 4 Решение: Ответ: в) 0,5ху^ - ху^ при X = 2; у = 3. Решение: Ответ: г)-х^у^--х^у^ при л: = 3; у = 4. 3^3^ Решение: Ответ: Запишите на математическом языке: 1) Сумма одночленов 7xy^z и Idxy^z Решение: 7xy^z -Ь Ibxy^z = 22xy^z. 2) Разность суммы одночленов 5аЬ и 18аЬ и разности одночленов 8аЬ и 4аЬ Решение: _________________________________________________ 3) Сумму разности одночленов 4ху и -5ху и суммы одночленов -14ху и 21ху Решение:_____________________________________________________ 4) Разность сумм одночленов 16cd^ и 4cd^ и одночленов 8cd^ и 7cd^ Решение: «и ю «.к О ь 0 3^ гп 1 S m S го tr X s: ■X s: m g X О X ГЗ m X о го 73 S X ZT t ш с: О ш X X о ш 3" S t— ш S е X а. < 2 X ш с; т О X or о Найдите значение переменной а) Зх + 5х = 15 Решение: Зх + 5х = 15 8х = 15 15 X = — 8 8 7 Ответ: 1— 8 б) 1,4г/+ 1,б1/ = 9 Решение: to «Г С t 1 j [ в) 5,62 - 2,6z = 12 Решение: Ответ: г)-7,Зх-2,7л: = -100 Решение: Ответ: Ответ: Ф Решите уравнение: а) -Зл: + 2х-7х + 9х = 3 Решение: -Зх + 2л: - 7л: + 9л: = 3 (-3 + 2 - 7 + 9)л: = 3 л: = 3 в) 2л: - 4л: + 5л: - 8л: = 5,5 Решение: Ответ: 3. Ответ: 74 б) 2,5х - 3,5х + 4х = -2 Решение: Ответ: г) -1,ох - 4,5х = 2,4 Решение: Ответ: , + s § 22. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. < ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ О Выполните умножение одночленов: а) 1,5х • 8х = 1,5 • 8 • X • X = 12 • х’"^* = 12х^; б) -а^ • 4а* = ___________________________________________; г)—al2ai»^ = 3 ------------------------------------------------ Представьте в виде одночлена стандартного вида: а) (4ас*)® • (0,5а*с)* = 4* • а® • (с*)* • 0,5* • (а*)* • с* = 64а*с® • 0,25а®с* = = 64 • 0,25 • а*а®а®с* = 16а®с®; 6)^xV -(-9х^) = в) -(-Х^у*)* • (бх^у)* = г) (-10а*Ь*)® • (-0,2аЬ*)® ^ ю К) I X g m X § со Ё m I X m ш о X гп X tr 75 о Можно, ли представить в виде квадрата одночлена следующие выражения? а) Решение: = 9^x\y^Y = (9ху^у. Ответ: можно. б) -100х^1/8 Решение: Так как квадрат одночлена всегда неотрицательное число, то представить данный одночлен в виде квадрата нельзя. Ответ: нельзя. в)-5х®1/® Решение: Ответ: f —х^у^ 5 ^ г) -(-Зху)« • 271/в = Решение:_________ Ответ: __________ Упростите выражение: а) • Ът*п^ = -0,6 • 5 • т^т* • = -37п®л®; б) • 2п}ат? =________________________________ в) тп • тп • тп =______________________________ г) 0,1ft • 0,2ft • 0,5ft®n^ =_ Возведите в степень одночлен: а) {-ЪхуЧУ = б)| Упростите выражение: а) (-Зд:1/)2 • (5x1/2)® = _____ б) (4х)'‘• (-2x2)® = __________ в) |1а’*5| =_ г) (7р®п2)2 76 Выполните действия: а) возведите одночлен ЗаЬ в куб Решение: (ЗаЬ)^ = = 27а®Ь®; б) возведите одночлен 16km в квадрат Решение: _______; в) найдите произведение квадрата одночлена 5ху^ и куба одночлена 2x^jf Решение: ; г) найдите квадрат произведения одночленов 5пт и 2n^mk Решение: О Представьте в вид одночлена стандартного вида: а) {IQa^yf • {ЗауУ =______________________________ б) (-ЗлV)" • (-х^уУ = д:^=- Решите уравнение: а) (5хУ = 25 Решение: (5хУ = 25 25х^ = 25 25 х^= 1 х= 1кх = -1 Ответ: 1; -Д. б) (4л:)* = 512 Решение: в) (Зж*)* = 144 Решение: Ответ: г) (2л:*)* = 64 Решение: Ответ: Ответ: 77 I® Заполните пропуски: а) (_X—i/z—f =^\х*у—г®; в)(__х—=16лс^®1/—г—; б) (_X—у—г—=125a;®i/V®; г) {Ъх^у—z—) =25х'*г/®г®. ^ § 23. ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА к НА ОДНОЧЛЕН о Впишите пропущенные слова: При делении одночлена на одночлен 1) В делителе_______переменных, которых нет в делимом; 2) Если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причем в делимом она возводится в степень п, в делителе в степень k, то число k не должно быть_______числа п; 3) Коэффициенты делимого могут быть , коэффициенты ^ делителя должны быть________от нуля; 4) Задача, которая не имеет решения, называется_. Выполните действия: а) Ъх^у^: 0,5x1/ = (5 : 0,5) • (х^: х) • ; у) = Юху; б) 27а®Ь®: Safe =_____________________________ в) 54с*^р^® : 2e^‘’p^° = _____________________ О Подчеркните некорректно поставленные задания: Ibx^y’’: 18х^р; 21a^fec: 5ad; 64х'’р*: 12ху; (15-3)p'V®:4pV‘; : (0,1 - 10 • 0,01)r®s'*. Выполните деление одночленов: а) 15a"fe^: За^ =_____________________ б) xV : 8хр^ =________________________ в)| --ху -тУ 78 о Упростите выражения: а) (5 • : {2abf = 20V&3: = (8000 : 4) • (а« : а^) • (6®: Ь^) = 2000а^6; б) (Зт^п)"*: (2mn)® =____________________________________________; в) {2p*qy : (pqf =-----------------------------------------------; г) 77r®s": {Irsf =_______________________________________________. О Выполните корректно поставленные задания: а) сумму одночленов Ъх^у и 21х^у разделить на одночлен 13ху Решение: (5х^у + 21х^у): 13ху = 26х^у: 13ху = (26 :13) • (х^ :х)-(у:у) = 2х; б) произведение одночленов 4аЬ® и За^й^ умножить на частное одночленов 36а®6*^ и За‘*й® Решение: в) произведение одночленов 5,5п^т и бпт^ разделить на разность одночленов 1277Ш и (Зт) • 0,4п Решение: ^SJ .13 m э пгт X S m О 1-J X О X т X > X > о а X о г. "л m X г) разность одночленов 21х^у^г и (9х^) • Згу^ разделить на произведение одночленов Зху и Зх^у^ Решение: 79 а) б) в) Упростите выражения: (Sx^yf 5"xV^625xV 25х^у 2Ъх^у 25х^у 'баУУ ^ ЗаЬ^ J (-2nWf 3 ------ (-Зто^л) О Заполните пропуски, чтобы получилось верное равенство: а) 48p^q^z':____p^q---------® = 4jr 7 2 -gV; б) 8а‘^____ в) ____7П“ -л®А— :7 в — к* = 8т^ 5 ь12 О Впишите недостающий одночлен, чтобы получилось верное равенство: а) 25xVг^° : 5x^y^z^ = ________ б) 18a«fe* в) ________ ; ■ -.'Ci-;..!' г) 36,6pV |8л9 . ____________ = 6a*b^; : 17 n^m*k = Зп^т^к^; __________ =6,lpV- Решите уравнение и выполните проверку: ч 18JC* Решение: Проверка: = 27 -■1чМ -V 18х^ 6х® Зх=" = 27 3 х^ = ^2 I ■Br X = 3 и X = -3 Ответ: 3; -3. 2Ъ(х^)" б) 4а:" Решение: = 7 Проверка: ■ + - - f - -К- Ответ: i I ' i ! ут : I : в)1«4 = в4 (2х)‘ Решение: Проверка: Ответ: П ’ i i . . L... ; . i ] , I Ij I I ип ts) за S m X s m § X О X ■=i m X > X J> g X о X a> m X 81 Глава в. МНОГОЧЛЕНЫ. Арифметические операции НАД МНОГОЧЛЕНАМИ § 24. МНОГОЧЛЕНЫ. ОСНОВНЫЕ понятия Допишите предложения, чтобы получились верные высказывания: 1) Сумму одночленов называют___________________________________. 2) Слагаемые (одночлены), из которых состоит многочлен, называются 3) Многочлен, в котором два слагаемых, называется 4) Многочлен, в котором три слагаемых, называется 5) Сложение подобных одночленов в многочлене называется 6) Многочлен, все члены которого записаны в стандартном виде и при ведены подобные члены, записан в ________________ 7) Многочлены также называются ________________________ О Подчеркните выражение, которое не является многочленом: 31а^ + 11аЬ',—+5‘,———ху\5аЬ + сФ, S — y. 3 У О Представьте многочлен в стандартном виде: 2 2 а.)3х^х~5ху +—ху^х^у = 3х^ -5ху+—х^у^; б) -2а • оЬ + Юаа» - 7Ь^Ь^ =__________________________________ в) За • 5Ь - 8а + 7fc = __________________ г) Заа» - 15аЬ - 12bbb == ________ _ _____ Упростите данный многочлен, выполнив приведение подобных слагаемых: а) —2а + ЗЬ + 8а + 7& = —2а + 36 + 8а + 76 = 6а + 106; 82 б) - Ьху + 1ху - Юл:^ + у^ — в) 2хху - ЗаЬ • - Ах'^у - 2,5а • 2&* = 7 г) За*аЬ - 2 дс1/ ■ 2у - 5д: • j/^ +—а* • Заб: О Приведите подобные члены и запишите их по убыванию степени переменной: а) 858 + 175-36®-85-36 + 5 = 8^+ 116-352-86-36 +5 = 55^ + 66 +5; б) 5а® + За - 7 - 5а® - За® + 7а - 11 =____________________ в) - л:® - jc + JC® + 1 - дс® + X® + X - 1 = г) /п® + то® + /п - т'‘ - т® + /п - 3 + 2то‘‘ = О Упростите выражение и найдите его значение: а) -X - Зг/ - 4 + 2у при х = -15; I/ = -4 Решение: -х - За - 4 + 2у = -х - За - 4 + 2у = -х - а - 4 -(-15) - (-4) -4 = 15 + 4-4 = 15. Ответ: 15. б) 2pq - 2р-р + 2q прир - -3, q = -l Решение:_________________________________________ Ответ: в) Заи® + и®и® - 2ыи® + и®о - при и = 1, а = -1 Решение:_______________________________________ Ответ:________________. г) то'* - Зто®н + то®«® - то®п - 4топ® при то = -1, ге = 2 Решение: __ Ответ: ип N) S з: О 3 X m X г о о X о ш X Е m X О X X н х X 83 Приведите подобные члены многочлена: а) - 7ху - 5у^ - 4д:^ - 20ху - 5х^ + 2у^ + 7ху + Зу^ = = 8^2 - 7ху - - 4x2 _ 20ху - 5х^ + 2ц- + 7ху + 3j^ = -х^ - 20ху; б) 27a2ftc + 23аЬ»с - 25а&с2 - ПаЬс^ - 34а^Ьс + ЫаЬ^с = _________ в) 32а*Ьс - 23а&*с - 37аЬс^ - ЗЪаЬ^с + З&аЬс^ - ЗЗа^Ъс - Приведите подобные члены многочлена и вычислите при заданных значениях xw. у: а) р{х; у) = 2х^ + Зху - у^ + 7у^ - 2ух -Ь 5у^ - 9х^ - ху + 12у^ при х = -1 и У = -1 Решение: • v.Vs •• I I I % -U- . Ответ: ________________. б)р(х; у) = х"* -f- 2у2 - 5х^у - Зх* ~ух^ -Ь у^ при х = 2, у = 1 Решение: ■1 - — . i,. . .-i Ответ: f' 84 о Впишите такой член, чтобы получившийся многочлен не содержал буквы Ь: а) 86 + 13 - 5fe - 37 - 116 + 35 +___ Решение: 86+ 13-56-37-116 + 35 +____________= _________= -86 + 13 +__________ = 86 + 13-56-37-116 + 35 +______________ _______________________ -86 + 13 + 86 = 13 б) 8Ь^х - 5x® + Зх - + 5 - 10х +_______________________________ Решение:________________________________________________________ Ответ: _______________. B)2i/2-56t/ + 62 + 7y2+36y-562 + 9y2 + 26j/+ __ Решение:________________________________________________________ Ответ:________________. О Подчеркните те значения многочленов, которые положительны при всех входящих в них буквах одной чертой, отрицательны — волнистой линией: + х'* + 5; -х^- 4х'* - 7; + 6^ + 1; -п^-- п*-13; (а + 6)^+15; -(а+ 6)^-10; -(х^ + у^ + х^у^) - 1; § 25. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ Продолжите предложения: 1) Результатом сложения и вычитания многочленов является_ 2) Чтобы записать алгебраическую сумму многочленов надо. и подобные члены. 3) Если перед скобкой стоит знгпс ♦+», то при раскрытии скобок надо знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках _______ ________, если же стоит знак «-», то все знаки перед слагаемыми в скобках надо К) (Я О Ь О % X S гп S а сг 2. X X X гл S X о m X О со 85 Запишите выражение, противоположное данному: Данное выражение Противоположное выражение а) 2д; - у 4- 5 -(2л: - р + 5) = -2л: + у + 5 б) 5х^ - Зу2 - 4 в) -бх^у + 32у + 7 г) -(а^Ь - аЬ^ + аЬ) Заполните пропуски: а) (2а - Sb) +______________= 0; б) (7а2 - 12о + 4) - ( ) = 0; в) ( ____________ ) + (~4а + 3&) = 0; г) (_____________) + (-За2-2а + 1) = 0; О Найдите рДлс) + Р2(х), если: а) р^(х) = ~(5,2х - у), pj^x) = 3,2лг - 4«/ Решение: Pj(x) + р^(х) = -(5,2л: -у) + (3,2л: - iy) = -5,2л: + у + 3,2л: - 4у = -2х - Зу; ^ б) р^{х) = -Зл:^ + бд: - 1, p^ix) = -2х^ + Зд: - 1 Решение: ___ ________________________________ - . 9 в) р,(де) = -(5л:^ - 10х + 12), p^ix) = Зл:^ + Юдс - 7 Решение: __________ Решите уравнение: а)(2л:- 1) + (-х + 5) = 2 Решение: (2л: - 1) + (-Х + 5) = 2 2дс - 1 -л: + 5 = 2, х=2-5+1 х = -2 в) (43 - 12л:) - (-7л: + 33) Решение: -2 Ответ: -2. Ответ: 86 б) (-Зл: + 1) + (7 - 2дг) = 16 Решение: г) (2л: - 10) - (Зд: - 4) = 6 Решение: Ответ: Ответ: ^0^ Запишите сумму и разность многочленов в стандартном виде: а) 17т^ - Зтп^ + /п® + 5 и -15т^ + Zm* - т^-Ъ Решение: (17лг^ - Zm* + + 5) + (-15/п^ + Зт'* - - 5) = = 17т^ - Zm* + /п® + 5 - 1Ът’ + Zm* - m® - 5 = 2ni'', (Пт’ - Zm* + m® + 5) - (-15m" + 3m“ - m® - 5) = = 17m" - Зт"* + m® + 5 + 15m" - 3m‘‘ + m® + 5 = 32m" - бт"* + 2m® + 10; б) 8a® + Za^b - 5afe® + 5® и 18a® - 3a®6 - 5a&® + 26® Решение: в) Злг - 5у - 8d и 5u - llx + I/ Решение: из» о :з 0 гп X S m S 00 X X X "Ц > 1 X гп £ X о “1 о X :э m X О ш 87 о Упростите выражение: а) (2л: - 1 ly) - (5л: + 12у) + (Зл: - 1 Ту) = 2^ - 11й - 5д: - 12й + Зл - Ш =-40i/; б) (3&2 + 25) + (2ft2 - 3ft-4) - (-fc2 + 19) = в) (о - 5 + с) + (а - с) - (а - 5 - с) = 1о Найдите алгебраическую сумму многочленов: а) (7х - 19у) - (18у - Зх) + (6х - 16у) =_______ б) (X® - 2x2 - X - 7) - (-Зх - 2x2 + х2 + 5) ^ О Заполните таблицу: р Я Р + Я р-Я 5х + 1 х + 2 6х + 3 4х -1 Х2 + 1/2 4x2 ^ 2у2 - 1 3a2ft - 4а&2 -5о25 + 7а&2 8п2 + 3/п2 -18л2-9т2 § 26. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН I I 5' Запишите распределительный закон умножения: (а + Ь)с =_____________________________________ Впишите пропущенные слова в правило: Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно, многочлена умножить на дения___________________. и полученные произве- < ■ 'г 88 о Выполните умножение: а) а{х + у) = ах + ау, б) -у(а + Ь)= ___________ в) k{a + с - 3) =_ г) -х{-а -у+ 2) О Упростите выражение: а) 2х(х + 1) - 4х(2 - х) = 2х^ + 2^ - 8^ + 4х^ = 6х^ - 6х; б) (д: - 3) - 3(х - 5) =____________________________ в)15(8д:-1)-8(15д: + 4)^ г) 2у(2д; - Зу) - Зу{Ъу - Зх) = О Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) (а'' - + а^Ъ - аЬ^)а^Ъ = а"* • а^Ь - а^Ь • а^Ь + а^Ь • а^Ь - аЬ'^ • а^Ъ ■■ = а!^Ь - + а'^Ь^ - a^Ъ'^', б) -Зс2(2с^ - с» - 8с + 10) = ..... .... __...................... в) (4лг^ - 1т - 1) • (-Ът^) = Щ О Упростите выражение и найдите его значение: а) с(2а - 2с) + а(3с - а) - 2(с^ + а) при а = 0,1 иЬ = 0,7 Решение: с(2а - 2с) + а(3с - а) - 2(с^ + а) = 2ас - 2с^ + Зас - а^- 2с^ - 2а ■■ = 5ас - -4с^ - 2а 5 • (-0,1) • 0,7 - (-0,1)2 _ 2(-0,1) = -0,35 - 0,01 4- 0,2 = -0,16; б) р^(р^ + 5р - 1) - Зр(р2 + 5р2 -р) + 2р' + 10р2 - 2р2 при Р = 3^ О Решение: т-г T-t_-r .... -4 ■ I -1 ■ .. J. N) № < I S i I - о 5^ , m ~i SC m S X о -1 0 X Ь m 1 > X > 0 13 1 О X ь m X 89 в) 2х(х + у)~ у(2х -у)- у(у + 1) при х = -0,3 и у = -0,4 Решение: Впишите пропущенный многочлен и устно сделайте проверку: а)-5а-( _ ___________) = 10о2-15а; б) -4ху^ • (_ в) Зх • ( г) За^& • ( J = -8х'^у + 20ху^; ) = бх^у^ + 15х; _) = 9а^Ь-ба%^. Решите уравнение: а) 3(1 - 2х) - 5(3 - X) - 6(3х - 4) = 88 Решение: 3(1 - 2х) - 5(3 - х) - 6(3х - 4) = 88 3 - 6х - 15 + 5х - 18х + 24 = 88 -19х + 12 = 88 -19х = 88-12 - 19х = 76 76 X =--- -19 X = -4 в) 7 + 3(-х - 3(х + 5)) = 5(7 - 2х) + х Решение: Ответ: -4. Ответ: 90 б) х(2х + 3) - 5(jc^ - Зх) = Зх(7 - д;) Решение; I t I ■ ■ t - ,, i- Ответ: ,-4- 4-- I I---------- г) 2у + 1/(3 - (у + 1)) = у(2 -у)+ 12 Решение: -----------1 - ( -1 - -1 ------- - + -t -г - I- i- r- Ответ: Найдите корни уравнения: a)2i4J. = l Решение: 2а: + 1 5 2х + 1 = 1 = 1 -5 (2jc + 1)-5 = 15 2х + 1 = 5 2х ■= 5 - 1 2х = 4 х = 2 Ответ: 2. в) 11-Зх 1 4 2 Решение: t-t- Ч-i- ».__д----- Ответ: ю pi < S X о пт X X m S X о 3 X Xi m X > X > в X о X :э m X 91 б) 7х-3 5х + 1 6 2 Решение: г) 2х-1 6-х —\' -1 f-- - 4.-^1 ■ } "t Н- г — - + — . ^ 6 8 Решение: i- 4- j I -t- • --r ---f. ■r ( t---- Г' -t-'t ..Li ;:LLLi .r:: Ответ: Ответ: Запишите с помощью уравнений предложения: а) значение суммы двучленов 2х + 8 и Злг - 7 равно 15 Решение: (2х + 8) + (Здг - 7) = 15; б) значение двучлена 5л: - 4 в 2 раза больше значения двучлена Зл: - 2 Решение: . _ . ; в) значение двучлена 0,5л: -11 равно удвоенному значению двучлена л: +18 - л ' Решение:______________________________________________________; г) значение двучлена 2л: + 3, увеличенное в 3 раза, равно половине зна-чения двучлена 8х — 4 Решение: ______:______ § 27. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН Заполните пропуски, чтобы получилось правило умножения многочлена на многочлен: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить_ член одного многочлена поочередно на_____член другого многочлена и полученное произведение_________. 92 Полученный многочлен надо привести к виду. Если умножается многочлен с п членами и многочлен с т членами, то в произведении должно быть_____________________членов. Выполните умножение: а) (х + 4){у -5) = ху-5х + 4у- 20; б) (х-8)(6-у) =_______________ в) (-10 - х)(у + 3) =_________ г) (-2 - у){х - 9) =__________ Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) (х^ + X - 1)(х^ - X + = X* + х^ - х^ - х^ - х^ + X + х^ + X - 1 = х*-х^ + 2х-1; б) (2т^ + Зт + 1)(-2т^ + Зт - 1) =_____ в) (4-у + у^-у^)(1-у) = г) (х + 5)(х - 2)(х2 - Зх - 10) = «о> ■Ч О Заполните пропуски, чтобы выполнялось равенство: а)(1/+1К________-3) = у2-_________-3; б) (х - 5)(х + -х-20. % m S X О 5 о Упростите выражение: а) ху(х + у)~ (х^ + у^)(2х - у) = ху ■ х + ху • у - (х^ ■ 2х + у^ ■ 2х + х^ • (-у) + + у^ • (-у)) = х^у + ху^ - (2х^ + 2ху^ - х^у - у^) = х^у + xi/^ - 2х® - 2хг/^ + х^у + + у^ = 2х^у - XJ/2 - 2х® + у®; б) (8а + ЗЬ){За - 86) - (За + 86)(8а - 36) =_______________________ 93 в) (р + Зс)с - (Зс + р)(с -р) = _У_ При а = 0,9 найдите значение выражения: а) (2а^ - 4а - 1)(3а + 1) - (Зо^ + а - 5)(2а - 4) Решение: Ответ:________________. б) (5а2-8о-1)(2а + 1) + (1 Решение: 10а)(а^ - а - 3) Ответ: Решите уравнение: = (2х - 1)(х + 1) Решение: 2x2 = (2jc-1)(x + 1) 2x2 = 2х^~х + 2х~1 2х^ = -2х^ - X = - 1 -х = -1 Х=1 в) (Зх - 5)(х + 2) = 3x2 Решение: Ответ: 1. Ответ: \ 94 б) (Юл + 14)л - (5л - 1)(2л + 3) = 4 г) (6л + 2)л - (2л - 1)(3л + 2) = 3 Решение: Решение: 1 ■ 1 ; 1 1 .. . г i 1 ' 1 1 i ь - г ч ' : i Ответ: Ответ: Запишите степень многочлена в виде произведения, выполните действия и запишите многочлен в стандартном виде: а) (л + yf = (л + г/)(л + у) = + ух + ху + + 2ху + у^; б) (х-уГ=______________ „ _________________ в) (4а - bf = г) (Зга + 2гаг)^ О Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования: а) Надо застелить ковром пол в комнате, ширина которой на 1 м меньше ее длины. Если купить ковер, длина и ширина которого на 50 см меньше длины и ширины комнаты, то он будет на 25500 руб. дешевле, чем ковер, покрывающий весь пол. Найдите длину и ширину комнаты, если известно, что 1 м^ ковра стоит 6000 руб. to ■Ы '< 3 X о * гп X s: m S X О ~1 О X !Э ГП X > X > 3 X о О m X 95 Решение: I этап. Составление математической модели. Комната Уменьшенный ковер (х -1) м X м ((х-1)-0,5)м (х - 0,5) м на всю комнату: (х(х -1)) м^ Srojp, уменьшенного: ((У-0,5)(х-1,5)) м" Стоимость: 6000(х(х -1)) руб. Стоимость: 6000((х - 0,5Хх -1,5)) руб. По условию задачи уменьшенный ковер стоит на 25500 руб. меньше ковра на всю комнату. Составим уравнение: 6000(х(х - 1)) = 6000((х - 0,5)(х - 1,5)) + 25500 II этап. Работа с математической моделью. Решим полученное уравнение: 6000(х(х - 1)) = б000((х - 0,5)(х - 1,5)) + 25500 |: 100 б0(х(х - 1)) = 60((х - 0,5)(х - 1,5)) + 255 60(х2 - X) = 60(х2 - 1,5х - 0,5х + 0,75) + 255 бОх^ - бОх = бОх^ - 120х + 45 + 255 бОх^ - бОх - бОх^ + 120х = 45 + 255 бОх = 300 300 х =--- 60 X = 5 III этап. Ответ на вопрос задачи. Длина комнаты 5 м, значит ширина комнаты 5 - 1 = 4 м. Ответ: 5 м, 4 м. б) Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то его площадь увеличится на 50 см. Найдите длину и ширину данного прямоугольника. Решение: I этап. Составление математической модели. 96 II этап. Работа с математической моделью. III этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: в) Произведение двух последовательных натуральных чисел равно квадрату предыдущего им натурального числа, увеличенного на 5. Найдите эти три числа. Решение: I этап. Составление математической модели. ил N> X i m X s m Z X 0 3 X m 1 > X > Z m X 97 ; II этап. Работа с математической моделью. III этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: ^ § 28. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО ■5г УМНОЖЕНИЯ О Допишите формулы сокращенного умножения: (а + bf =_______________________________ {а-ЬГ=__________________________________ (а + Ь)(а -Ь) =_________________________ -Ъ^ -__________________________________ а® + = О Выполните преобразования по соответствующей формуле: а) (у + 4)^ = + 2 • у • 4 + 4^ = j/^ + 8у + 16; б) (х-7)2= _______________________________________________ в) (2х - Зу)2 = __________________________________________ г) (-Зс + а)^ = __________________________________________ 98 о Выполните умножение с использованием формулы (а - Ь){а + Ь) = а) (а + 2)(а - 2) = - 2^ = - 4; б) (3-1/)(3 + 1/) =____________________________________________________ в) (а + 2&)(а - 2Ь) = г) (х + 7)(7 - л) = (7 + д:)(7 - л:) д) (4Ь + 1)(1 - 46) =__________________________________________________ О Заполните таблицу: Первое выражение Второе выражение Квадрат суммы выражений Квадрат разности выражений Разность квадратов выражений 5а 26 0,3х ( 1 Y 0,3х+-г/ V ' / 1 —с 6 U 6 j 4х^ - 25у^ (х" + Заполните таблицу: Первое выраже- ние Второе выраже- ние Многочлен, равный квадрату суммы Многочлен, равный разности квадратов Многочлен, равный квадрату разности 2х Зу 4х^ + 12x1/ + 9у^ 4х^ - 9у^ 4х^ - 12x1/ + 9у^ 7а Ь 7 4п 0,2т 6^ 2с Зл <а> ы Р е о т» S о о ж 5 £ m X X 0 5 ч г X 1 m X X X 99 о Упростите выражение: а) (а - ЗЬУ + (За + ЬУ = а^ - баЬ + 9Ь^ + 9а^ + баЬ + Ь^ = 10а^ + 106^; б) (X + 2!/У -(X- 2уГ =________________________________________ в) (2х - ЗуУ + {2х + 3yf Примените формулы сокращенного умножения для упрощения выражений: а) (За + р)(р - За)-р^ = (р + За)(р - За) =р^ _ да^-р2 = -Qa^; б) 25а=* - (с - 5а)(с + 5а) =___________________________________ в) (а + 2Ь){а + 2Ь)-(а-ЬУ = О Представьте в виде произведения многочленов: "Н а) 81 - б4х^у^ = 9^ - {8хуУ = (9 - 8л:у)(9 + 8ху); б) а^п - 1 = - 1^ = (а" - 1)(а'‘ + 1); в) - у*" =____________________________________________ г) 144а^с2х^-225 д) 25р^--4г9^ =_ 125 О Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена: а) 9п^ + 12ат + 4oi^ = (Зп)^ + 2 • Зл • 2т + (2тУ = (Зл + 2тУ', б) 4 - 20с + 25с2 =_______________________________________ в) + 2аЬ + 1 =_________________________________________ г) а"* - 2а^5 + =_________________________________________ Преобразуйте в трехчлен квадрат суммы и разности: а) (а^ + bf = (а^У + 2 ■ а^Ь + = а* + 2а^Ь + Ь^-, б) /< —а—Ь 3 2 VO £. J в) (р - 5?2)2 = 100 о Соедините каждое выражение с соответствующим названием: (х-уГ Сумма квадратов выражений х^-у^ + {2ЬУ Квадрат суммы выражений (о + 2bf (9 - cY Разность квадратов выражений 9'^ + с^ (5а - 66)2 Квадрат разности выражений (76)2 -(С2)2 (ас)2 + (За)2 (0,36 + 1)2 О Заполните пропуски, чтобы равенство было верным: а) а2 - 2а6 + ____ = (а - 6)2; б) 4^2+ +62 = (2л:______6)2; в) n2fe2 + 4nk +__________= (____________)2; г) V+. 4 - +Ь2 = (___)2 Упростите выражения, используя формулы сокращенного умножения: а) (За - 5)(9а2 + 15а + 25) =___________________________________________; б) (0,1л: + г/)(0,01л:2 - 0,1ху + у^) = ________________________________; 1 1 Y 1 , * 1 2 1 2^ о о АО X у + — х у +—х‘ 16 8 4 в) —ху---X '.4 ^ 2 А г) | 2п+—m II -пт+—т^ 101 о Выведите формулы и впишите их в рамку: а) куб суммы: (а + bf = (а + Ь){а + Ь){а + &) = (а + Ь)\а + Ь)=_ б) куб разности: {а-ЬГ=__________ О Используя формулы куба суммы и куба разности, представьте в виде многочлена степень двучлена: а) (2х - yf = (2л:)® - 3 • {2xfy + 3 • 2л: • у® - г/® =___________________ б)(1 + 3/п)® = в) (4 - а)® = Выполните действия: а) 4л:(3л: + 6) - (Зд: - 5)(3х + 5) = 12л:® + 24л: - (9л:® - 25) = = 12л:® + 24л: - 9л:® + 25 = Зл:® + 24л: + 25; б) (л - 4)® - (4 - л)(4 + л) =_________________________ в) {Аху - уУ + 2(л: ~yf = . , + s: § 29. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА ^ НА ОДНОЧЛЕН Дополните предложение: Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо________ ____________на_____________и полученные результаты. многочлена 102 о Подчеркните корректно заданные задачи: (-За^ + 2аЬ): За; {Ъх^у^ - 1п): 2,Ъх^; (а® + 2а^ + За): 21Ь; (4п2+15т<):8; I -^р"9 + 0,6р"дЧ:рд; (17x^z«+18Л®): xV. Выполните деление: а) (7х^у* + \Аху^ ):х1/ = 7—•^ + 14--^ = 7ху^ +Ыу^\ ^ ’ X у X у 6)fiaV + 0,25aVj:ia^&^=. в) (5т^ - п^): п —__ г) (4х^ - 2ху): ху =_ О Заполните таблицу: Делимое Делитель Частное 25a*ft + 15aft* + 5aft ab 25a + 15ft + 5 4x*j/ 8х*у + 2x1/* + 1 18raV + 24nV + 30nV 3p* + 4rt*p + 5n'*p* 2ab 0,la*ft*-0,5aft^-0,3 4xy* - 8y* + 2zy^ 0,5y Найдите значение выражения: а) (-86^ + 16ft*): (-8ft*) при ft = -1 Решение: (-Sft'* +16ft®): (-8ft® ) = -^~+i^~ = ft-2ft® (-l)-2(-l)* = -l-2 = -3. Ответ: -3. 6) (ft" - 5ft»+ ft«- 3ft*): ft* при ft = 2 Решение: ^ ^ 16 ^ -8 ft® СО» :э m X s m S 0 3 й гп X > X > 1 о X 13 m X Ответ: 103 в) (18р“ - 9р^ + 18р^ - 9р): (-9р) при р = 1 Решение: г Т"' I ] I I Ответ: Найдите частное и запишите его в виде многочлена стандартного вида: а) (а®Ь - 0*6 + о‘‘6* - а^Ь*): а^Ь Решение: б) (15jc^ - 5л:* - 5ол:* + 5о*л:): 5л: Решение: а) б) Выполните деление: -7хЧ14х^-21л: 21х -7х -7х -7х -7х -8л:*у* +20x1/^ = х^ -2л:+ 3; -4л:р* в) 9л:® -6л:®р + 15л: Зх 104 ф Установите соответствие между многочленом и одночленом, на который он делится: 1) 2х^у* -I- 8ху® А) 2ху* 2) 3) 4xV - 9ху^ 4) + 17n*m* Б) п^т’’ В)ху^ Г) 9п^т^ 1) 2) 3) 4) О Запишите делитель, если известны делимое и частное: а) (а -I- & - с):______= с-а-Ь; Решение: л б) (4л: -I- 8г/ -I- 2г) Решение: = 2г + Ау + х; в) (21р^ -I- - 14р) Решение: , = Зр + - 2; г) (б9-^ - 12q‘' + 18?") :. Решение: = -3<7» + 6g2 - 9q. Ш1 to о ь m Гз m X X m г X о 5 X i3 гп X > X > о 13 X о X S3 гп X .J_____L 105 Глава 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ . - § 30. ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО? Продолжите предложения: 1) Представление многочлена в виде произведения более простых мно- гочленов называется 2) Разложение на множители используется для решения. для_______________числовых и буквенных выражений. в) -Зл:(л: -t- 5) = 0 Решение: Найдите корни уравнения: а) (X + 3)(л: - 5) = о Решение: (х + 3)(x - 5) = о ж -f 3 = о или д: - 5 = о д: = -3 х = 5 Ответ: 3; -5. б) (г - 4)(22+ 1) = о Решение: Ответ:_____________ г) 1/(2 - у){5 -2у) = 0 Решение: Ответ: Ответ: 106 Среди чисел -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 найдите корни уравнения: а) х(х + 4)(5 - л:) = о в) (г - 4)(2г + 6)г = О Ответ: 0; -4; 5. Ответ:__________________________. б) (у + 2){у - S)(y + 1) = О г) (5л: + 10)(х - 5)(7х - 14) = О Ответ:________________________. Ответ: _______________________________. Представьте многочлен в виде произведения одночлена на многочлен: а) ak + ас-3а = a{k + с - 3); в) -86'* + 166® =______________ б) -7л:»-21л:* = _______________ г) 12i/*® + 24j/*“= _______________ О Разложите многочлен на множители: а) л:^ - 81 = л:» - 9» = (л: - 9)(л: + 9); б) 4у* - 16л:» =____________________________________________________; в) 8а» - 276® =_____________________________________________________; г) 125л:» - 8i/« =__________________________________________________. Решите уравнение: а) X» + 2л: = о Решение: X» + 2х = о х(х + 2) = о X = о или X + 2 = о х = -2 Ответ: 0; -2. б) Зх» - 9х = о Решение: в) 2л:* - блг» = О Решение: 4- - - ' Г - - - -* Ответ:______ г) Z® - 92» = О Решение: ..Г J___L Ответ: иап ы о О О гп ? ы о m X X m X > z X S Ответ: 107 т Найдите корни уравнения, предварительно разложив многочлен на множители: а) 1 - = о Решение: 1 - г/2 = о а-у)а+у) = о 1 - г/ = о или 1 + I/ = О у=1 у = -1 Ответ: 1; -1. б) - 5д: = О Решение: Ответ: —-f- в) 2л:^ - 12л: + 18 = 0 Решение: Ответ:, г) 4г/ - у® = о Решение: t • — 1- - J - + -■] .1 L Ответ: О Найдите значение выражения: а) 252 _ 242 = (25 - 24)(25 + 24) = 1 • 49 = 49; б) 2052 - 1052 =___________________________ в)|8+ V 2у г) 2 ( 11- — 10- 1 V 1 V 108 Разложите многочлен на множители, используя формулы сокращенного умножения: а) а* -I- 2а^Ь + Ь‘^ = + 2- • Ь + + bY‘, б) 9а^ + баЬ + Ь'^ =___________________________________________; в) 1 - 2ху + =________________________________________________; г) —X -2х у +—у =______________________________________________. 25 16' , + s §31. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО ТГ МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ Продолжите предложения: 1) Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной _____________, т.е. выбирают __ ____ из имеющихся показателей. 2) Если многочлен можно представить виде произведения одночлена и многочлена, то многочлен разложен на множители с помощью за скобки. Вынесите общий множитель за скобки: а) Зр -1- 2рс = р(3 -I- 2с); в) -Зтп + п = б) 2аЬ - 5Ь= ________________ ; г)-ху -у = О Вынесите общий множитель за скобки и устно проверьте правильность своих действий: а) ах + ау + az = а(х + у + z); б) 15х + XZ - 2ху —_________________________________________; в) -баЬ - 1бах + 25ау =_______________________________ О Проверьте, верно ли выполнено разложение на множители: а) 5х®2 - 15x^2^ = 5ж^2(д: - З2) Проверка: 5x^z(x - З2) = 5x^z • х - 5x^z • 3z = 5x^z - 15x^2^. Ответ: верно. 109 б) -4aV + 4a2ft2 = -4a^b\a + b) Проверка: ______________________ Ответ: _________________ . в) -u®u® - = - u®u®(u + v) Проверка: ______________________ Ответ: _________________ . г) 14c^d« + 24c®d® = lc4\2d + 3c®) Проверка: ______________________ Ответ: Найдите значение выражения рациональным способом: а) 3 • 99 + 3 = 3 • (99 + 1) = 3 • 100 = 300; б) 7 • 68 + 7 • 32 =. в) 13 123+ 13-23 =_ Вынесите общий множитель за скобки: а) 4a®c®d^ + 2a®c'*d - 6o®c®d^ = 2aVd(2a®d® + ас® - 3cd®); б) 15x®c‘*i/® - 12x^c'^y'^ - 18л:с®г/ =_____________ в) -бЗаЬ^сЧ + 9а6’‘с®- 27a®6®cd® = Докажите, что а) 9® + 9® делится на 10; Решение: 9® + 9® = 9® • (9 + 1) = 9® • 10. Если один из множителей делится на 10, то и все произведение делится на 10. б) 7® + 7’’ делится на 50 Решение: в) 5'‘ + 5® + 5® делится на 31 Решение: г) 3^ - 3® + 3* делится на 11 Решение: 110 на множители: О Разложите: а) S(t + 2) - tit + 2) = (f + 2)(3 - ty, б) ab(b - 3) + аЦЬ - 3) ^ ______ в) с(с - d) + did - с)= ________ г) 2ix - 4) + с(4 - х) - а(х - 4) ^ д) (х + 22)(х - 3) + (х + 2zy = О Решите уравнение: а) х^ + Их = О Решение: х‘= + 11х = 0 х(х+ 11) = 0 X = О или X + 11 = О х = -11 в) х(х - 1) + 2(х - 1) = О Решение: Ответ: 0; -11. б) 0,4х^ + 0,6х = о Решение: Ответ:________________ г) х(х + 5) - 4(х + 5) = о Решение: Ответ: Ответ: Разложите на множители, вынеся общий множитель за скобки: а) (2а - ЬХЗа + И) + (5а - 11X6 - 2а) = (2а - 6)(3а + И) - (5а - 11)(2а - Ь) -= (2а - 6)(3а + И - 5а + И) = (2а - 6)(22 - 2а); Uf> (*> го го з: гп 0 m 1 s; m 0 01 В m 1 О S X о S 4 m 3i 33 ы > о ж о Го; Х 5 ■ 111 б) (5m - 3)(/i + 1) - (2га + 3)(3 - 5m) = в) (2p + 4)(a - x)-(j} + 3)(x - a) = § 32. СПОСОБ ГРУППИРОВКИ Разложите многочлен на множители способом группировки: а) 2ал: + ЗЬу + бау + Ьх = (2ах + Ьх) + (ЗЬу + бау) = х(2а + 5) + Зу(Ь + 2а) = = (5 + 2а)(л: + Зу); б) ау - 12Ьх + Зах - 4Ьу =_________________________________________ в) Зс + Зс^ - а - ас = г) а'^Ь'^ + аЬ + аЬс + с = Представьте многочлен в виде произведения двучленов: а) х'"~'-х'" + х-1 = х'"-х-х'” + х-1= ex'" • X - X”) + (х - 1) = = х"Чх - 1) + (jc - 1) = (х - 1)(х'" + 1); б) - у - 1 + у"-* =_____________________________________ в) ах + Ьх + сх + ау ^ by + су — г) аЬ - а^Ь + а^Ь^ - с + аЬс - а^Ь'^с = Разложите на множители: а) -бг + 5d(x - бг) + л: = od{x - бг) + (д: - 6z) = {х- 6z){5d + 1); б) Зс(2а + 56) + 2а + 56 =_______________________________ 112 в) а + Ь{а + 2с) + 2с = г) 2х - z{2x -у)-у = О Заключите два последних слагаемых в скобки, поставив перед ними знак «-», и вынесите общий множитель за скобки: а) с(а + 2с) - а - 2с = с(а + 2с) - (а + 2с) = (а + 2с)(с - 1); б) х{а - 36) + 36 - а =_______________________ __________________ в) а{2х + Зу) -2х- 2у = г) а(2г - 5х) + 5х- 2г = Разложите на множители: а) х^у - х^у^ + 5гу - 5гх = (х*у - х^у^) + (Ьгу - 5гх) = х^у(х - у) + Ъг{у - дг) = = х^у{х -у)- 5г(х -у) = (х- у)(х^у - 5г); б) а'дг' - + 2® - ах2^ =_________ __________________________________ в) X® - X® + аЬх - с^х + а6 - с® = г) а® - а*х - а6 + X® - ах® + 6х = Вычислите рациональным способом: а) 2,7 • 6,2 - 9,3 • 1,2 + 6,2 • 9,3 - 1,2 • 2,7 = б) 1,25 • 14,9 + 0,75 • 1,1 + 14,9 • 0,75 + 1,1 • 1,25 = Заполните пропуски таким образом, чтобы многочлен можно было разложить на множители способом группировки: а) об - ас - 56 +_= (а6 - ас) - (56 - 5с) = а(6 - с) - 5(6 - с) = (6 - сХа - 5); J* Са> л (О * ^ I =1 J О о ч’ 0 i 01 I if it §; 113^ 6)xy-xz-y _ в) fed - ad + 3 г) 2fe - 2c + fe О Разложите многочлен на множители: а) х^ + Зх + 2 = х^ + X + 2х + 2 == (х^ + х) + (2х + 2) = х(х + 1) + 2(х + 1) = = (л: +1)(л: + 2); б) - 5х + 6 = _____________________________________________________ в) - 8х + 15 = Разложите на множители: а) с^ + 4с - 5 = с^ + 5с - с - 5 == (с^ + 5с) - (с + 5) = с(с + 5) - (с + 5) = = (с + 5)(с- 5); б) с^ - 4cfe + 3fe^ =_________________________________________ в) 2х^ - 5ху + Зу^ = г) + 7гу - 8у'^ = _ § 33. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Заполните таблицу: Формулы сокращенного умножения Разность Разность Сумма Квадрат Квадрат квадратов кубов кубов суммы разности а Ь 114 о Закончите формулу: + 2аЬ + Ь^ = - 2аЬ + Ь^ = дЗ _ ^3 = _____ + Ь^ = Представьте выражение в виде квадрата выражения: а) 81х^у* = 9'^х^(у^)^ = (9ху^)^; в) а® =_____________ б) Зба^ = _______________________ ; г) 4с^ =________________ О Подчеркните выражения, которые можно разложить на множители, применив формулу разности квадратов: - 4; 100 - 16 + Ь^; xV - 1; а" “ 2,5; - 46. О Разложите на множители: 1 2 2 2 2 2 ¥1 1 —XZ -а = —хг -а = -xz-a —xz+a 9 1з j U Аз J б) - 16 = __ в) 100-9б2 = г) сЧ^ - 81л:2 =. д) —-9Ь^с^ = 25 Представьте в виде куба выражения: а) 125л:®у«2‘" = ЪЧ\уУ{г^У = (5xy4^f; г) 27d» = ^ б) 8а® = _______________________ ; д) 64х® = _ в) с® =_________________________ ; е) 125а®6® = Разложите на множители, применив формулы сокращенного умножения: а) ЮООу» - 0,001и® = (10у®)® - (0,1и®)® = (lOu® - 0,1ы)((10р®)® + -(- 10о • 0,1и -I- (0,1и®)®) = (10у® - 0,1и)(100и® + uv + 0,01u®); б) 2® - о® =___________________________________________________________; в) дг® ^3 1 8 «71 W 5 Ы О m X S гп о 3 о 3 о в V 5 § TJ S § 115 г) 8а* + 125x® ^ д) а® + с* =_ О Разложите многочлен на множители по формуле - &^ = (а - ЬХо + Ь): а) (2а + 7ЬУ - (За - 5bf =________________________________________ ___ 9 б) 144aVar* - 225 = ______________________________________________ в)(х + 1/-а^-(х-!/-аУ = , г) (х + уУ -(у- хУ = Разложите многочлен на множители по формулам а® - Ь® и а® + Ь® а) (га + 3)» - (га - 3)» =_________________________________ 6)(:c + i/)®-(x-y)® = в) (а - 5)* + (а + ЬУ = г) (гаг - 1У + {т + 1)® = I . ; ^ ^ Докажите, что V а) 38® + 37® делится на 75 ' * 0 Решение:_________ б) 99® - 74® делится на 25 Решение: Запишите в виде произведения многочлен: а) -8л:® - у® = -(8л:® + у®) - ((2л:)® + i/®) = -{2л: + у)(4х^ ~ 2ху + у®); б) -64ra* + 27rai*®=____________________________________________ 116 . с: § 34. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ •г НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ О Представьте в виде многочлена, содержащего полный квадрат двучлена: а) + 2ху - 2ху = х^ + 2ху + у^~ 2ху = = (х'^ + 2ху + г/2) - 2ху = (х + yf - 2ху; б) х^ + у^ = х^ + у^ + 2ху - 2ху = х^- 2ху + у^ + 2ху = (х^ - 2ху + у^) + 2ху = в) 9а2 + 1бб2 = г) 25у* + 4z^ = Разложите на линейные множители: а) Зх^ - 75а^ = 3(х^ - 25а^) = 3(х - 5а)(х + 5а); б) ах^ - 4а =_____________________________ в) 18с - 2р^с =___________________________ г) -2ау^ + 2а® =__________________________ д) 5х® - 5а®х =___________________________ Представьте в виде произведения: а) 25х®(х® - 1) - 10х(х® - 1) + х® - 1 = (х® - 1)(25х® - 10х + 1) ^ = (X® - 1)(5х - 1)® = (X - 1)(х + 1К5х - 1)®; б) х®(х - 1) + 4х(х - 1) + (х - 1) =_____________________ tat о т; О S ОТ S X > х= X X X от X X "О X от S о ю 117 в) 9х^у - 12х^у'^ + 4ху^ = ______ г) 9а^(а^ - Ь^) + 12аЬ(а^ - Ь'^) + 4Ь'\а^ -Ы) = Разложите многочлен на множители: а) 5с» + Юс» - 5cd» - lOd» = (5с» + Юс») - (5cd» + lOd») = 5с»(с + 2) - - 5d»(c + 2) = (с + 2)(5с» - 5d») = (с + 2) • 5(с» - d») = 5(с + 2)(с - d)(c + d); б) 4а - 4 - а» + а» =_______________________________________________ в) 3/е» + 3/г» - ЗА = Разложите на множители: а) 5у» - у» + 5у» - г/ = (5г/‘‘ - у») + (5у» - у) = у»(5у - 1) + у(5у - 1) = = (5у - 1)(у» + у) = (5у - 1) • у(у» + 1) = у(5у - 1)(у» + 1); б) 1 - 4а - Ь» + 4аЬ» = _________________________________________ в) 2а - Ь» + 2аЬ -Ь = Разложите на множители: а) 4 - а» - 2а(4 - а») - а»(а» - 4) = (4 - а») — 2а(4 - а») + а»(4 - а») = = (4 - а»)(1 - 2а + а») = (2 - а)(2 + а)(1 - а)»; б) 8а» - 5» + 4а» + 2а6 + 6» =______________________________ B)ia®-3 = i(a»-27) = 9 9 г) -с + с’' = с(с® - 1) = Докажите, что а) (а + 1)» - (а + 1) = а(а + 1)(а + 2) Доказательство: ________________ 118 б) (а - If - 4(а - 1) = (а - 1)(а + 1)(а - 3) Доказательство: О Представьте в виде произведения: а) а« + = (a^f + (b^^f = (а^ + b^)((a^f - + (b^f) = (а^ + &2)(q4 _ ^2^2 + ^,4). б) д:® + 1 = _________ в) д:» - г/* = - (y*f = ___ г) а^-Ь^ = Заполните пропуски, чтобы выполнялось равенство: а) (д: - 1) •_____________= д:^ - 4д: + 3 Решение: Для того, что бы найти необходимый множитель разложим многочлен в правой части равенства на множители: - 4д: + 3 = д:^ - д: - Зд: + 3 = б) (х^ - 4х + 3) • Решение: в) (х + 1) • Решение: г) (х2 + Зх + 2) Решение: = х^ - Зх^ - X + 3 х^ + Зх + 2 хЗ 4д-2 _|_ 5^ + 2 ж о 3 сл s; X > j= X X 5 со ia X X X g; X X тз X гп '3 о СИ 119 Найдите: I значение выражения: а) (2о - 6)^ - (2а + при о = 1—. Ь = 0,7 Решение: (2о - bf - (2а + ЬУ = (2а-Ь- (2а + Ь))(2а -Ь + (2а + Ь)) = = (2а -Ь-2а- Ь)(2а -Ь + 2а + Ь) = (-26)(4а) = -8аЬ -81-0,7 = -8—• —= -8 7 7 10 б) (За + bf - (За - ЬУ при а = 3^, Ь = -0,3 О Решение: О Решите уравнение: а) Зд:(л:- 1) + (л:2- 1) = 0 Решение: Зх(х- 1) + (х2-1) = 0 Зх(х - 1) + (д: - l)(x + 1) = о (х - 1)(3х + X + 1) = о (X- 1)(4х + 1) = 0 X - 1 = о или 4х + 1 = о х = 1 4х = -1 1 х =--- 4 Ответ: 1; . б) 2(1/2-1)-(1-1/2) = о Решение: I ^--------------- + I . в) х(2х + 1) = (2х + 1)2 Решение: Ответ: г) 5(9 -х2) = х(х - 3) Решение: Ответ: Ответ: 120 о Найдите корни уравнения: а) {х - S)(x^ + 4) = О Решение: Ответ: б) (л: + 1)2 - 4 Решение: Ответ: в) х'^ - 4x2 -I- 4х = О Решение: Ответ:____ г) X® + х2 - . Решение: 1 = 0 + S § 35. СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ Продолжите предложения: 1) Отношение двух многочленов называется_ 2) В записи многочлен____называется______ а многочлен — алгебраической дроби. 121 3) Можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на ____• Для этого числитель и знаменатель дроби надо __________________. Приведите примеры алгебраических дробей: Сократите дробь: ох-Зх + З-о _ {ах-3х)+{3-а) _ х(а-3)-(а-3) _ (а-3)(дг-1) _ х-1 б) -За ху-х+у-1 ху + 2у-х-2 а(а-З) а(а-З) а(а-З) в) ас-2Ьс + 2Ь-а -4аЬ + 4Ь^ г) X +4х+3 х^ +2х + 1 Вычислите: /57^-38^ (57-38)(57 + 38) 19-95 19 а) -.^2-^= -----= —= 3.8; б) в) г) 22"-3“* (22-3)-(22+3) 19 25 5 83"+2 83 17-fl7" 100 "------------------- 37"-23" 47"-13" ~--------------------- 45"+2 45 13-fl3" 58 "----------- Сократите дробь и найдите ее значение при заданных значениях переменных: ах + Ьх + а + Ь а) ау + Ьу + а+Ь при а = -2,14; 6 = 3,11;л: = 0,7;у = -2,7. 122 Решение: ах + Ъх + а + Ь _ (ал: + 6х)+(а+6) _ x(a+&)+(a + 6) _ (а+&)(х+1) _ х + 1 ау + Ьу + а+Ь [ау + Ьу) + [а + Ь) у[а+Ь)+[а+Ь) (a + fe)(i/ + l) у + 1 0,7+1 1,7 -2,7 + 1 "-1,7 = -1 а + Ь + а^ -Ь^ , ---Z--= 1.75; Ь= 1,76 а-Ь + а -2аЬ+Ь Решение: в) (^-Ь + ах-Ьх jjpjj д ^ 5Д7. ^ 7Д5. ^ = 1 д. = _3 3 а-Ъ + ау-Ьу Решение: t • .-.-4 I : i - ' - j !. t - - 1 1.... ^ — _.ц_ I * i ‘ -1 - Найдите значение выражения: а) если л: - 5, у = 2 „ х^-Ъх'^у х^{х-Ьу) со Решение:----5—— = —^— ---- = х-Ъу. По условию х - о, у = 2. X X Ответ: 2. 5х-15ху 0 2 ^X - 3, у = 2 9у -бху + х ил W у» о о ж 5 Е m X X гп от 5 S X от о ж X X ]Э тз о от m X* 123 N3 о\ СО «с «С со 'С + I to с I о + II S3 + (1 I о й I ф й 9 я со V й ро ►3 S ►3 ф й •о о о» сг J о н ш ф ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 1 п i ■■ ■ 1 .. . — I • I ■ 1 ' t ф Е Ф » to X 1 ф to • • н ^9 1 1 to Н 05 чг + н «с N I Й К « ф о и н ч; N> О нЗ п Ф -3 ф В ф » S Ф I I - t » § 36. ТОЖДЕСТВА Продолжите предложения: 1) Равенства, верные при любых допустимых значениях входящих в их состав переменных, называются ___________________________ 2) Левую и правую части тождества называют __________________ ________________выражениями. 3) Всякую замену одного выражения другими, тождественно равных ему, называют _____________________________________выражения. Найдите допустимые значения переменных входящих в дробь: 5-Ь а) а-4 Решение: Так как а - 4^0, а ^ 4, то допустимые значения кроме 4; X Решение: ______________ все числа. в)^ у+г Решение: г) 4-Ь (Ь-3){Ь-в) Решение: О Докажите тождество: а) (х - у){х ■¥у)-(а-х + у)(а -х-у)- а(2х - а) = О Доказательство: Преобразуем левую часть тождества: (х - у){х + у)-(а-х + у){а -х-у)- а(2х -а) = х^-у^~ со 3 m о н - ((а - х) + у)((а - х)-у)~ 2ах + а^ = х^-у^ ((а - х)^ - у^) - 2ах + а^ = 125 б) (р + х)(р - х)-(р - х + с)(р + л: - с) - с(с - 2х) = О Доказательство: Докажите тождество, используя формулы сокращенного умножения: а) (х^ + + д:) = хДд: +1)^ Доказательство: Преобразуем левую часть тождества (х* + + х) = д:® + д:® + л® + X'* = д:® + 2х® + х* Преобразуем правую часть тождества х‘'(х + 1)^ = х‘*(х^ + 2х + 1) = X® + 2х® + х'* Левая и правая части тождество равны, значит тождество верно. б) (х + а)(х + Ь) = х^ + (а + Ь)х + аЬ Доказательство: Преобразуем левую часть тождества ______________________________ Преобразуем правую часть тождества в) + уЧу^ - у) = уЧу^+ 1)(у -1) Доказательство: Преобразуем левую часть тождества Преобразуем правую часть тождества Докажите тождество: а) 4(2х - у)^ = (4х - 2уУ 126 Доказательство: Преобразуем левую часть тождества 4(2х - уУ = 4(4х^ - 4ху + = 16л:^ - 16x1/ + 4у^ Преобразуем правую часть тождества (4х - 2уУ = (4х)^ - 2 • 4х • 2у + (2у)^ = 16х^ - 16хг/ + 4у^ Левая и правая части тождество равны, значит тождество верно, б) 2(2х-у)2 = 0,5(4х-2у)‘' Доказательство: Преобразуем левую часть тождества __________________________ Преобразуем правую часть тождества в) 25(х - 2у)^ = (5х - Юу)^ Доказательство; Преобразуем левую часть тождества Преобразуем правую часть тождества Проверьте, тождественны ли равны выражения: а) {2п + 2У - (2пУ и 2(2п + (2п + 2)) Решение: Преобразуем каждое выражение: 3 m о н б) (2п + 2f - (2nf и (2/г + (2п + 2)) Решение: Преобразуем каждое выражение: 127 \ш Докажите, что а) (Зх + yf - (Зх - yf = (Зху + l)^ - {Зху - 1)^ Доказательство: Преобразуем левую часть тождества, разложив многочлен на множители как разность квадратов: (Зх -I- у)^ - (Зх - уУ = ((Зх + у)~ (Зх - у))((3х + у) + (Зх - у)) = = (Зх у - Зх + 1/)(Зх + у + Зх - у) = 2у • 6х = 12ху Преобразуем правую часть тождества, разложив многочлен на множители как разность квадратов: {Зху + 1У - (Зху - 1Г = ((Зху + 1) - (Зху - 1))((3хг/ +1) + (Зху - 1)) = = {Зху -Ь 1 - Зху -Ь 1)(3х1/ + 1 -Ь Зху - 1) = 2 • бху = 12ху Левая и правая части тождество равны, значит тождество верно. б) (2а - Ь){2а + Ь) + {Ь- с){Ь + с) -)- (с - 2а)(с -I- 2а) = О Доказательство: ; в) (а - Ь)(а + Ь){{а - bf + (а + ЬУ) = 2(а^ - Ь*) Доказательство: 128 Глава 8. ФУНКЦИЯ У = X* ' § 37. ФУНКЦИЯ у = X* И ЕЕ ГРАФИК Вставьте в предложения пропущенные слова: 1) В линейном уравнении вида у = kx + тх — независимая переменная ( ), у —_______________переменная. 2) Математическая модель, имеющая вид равенства, в левой части ко- торого находится переменная г/, а в правой — какое-то выражение, содержащее X, называется_________________________________. 3) Графиком функции у = х^ является____________________. 4) Ось Оу является__________________________ параболы. 5) Ось симметрии «разделяет» параболу на 2 части, которые называются О Заполните таблицу, зная, что у = х^ X 1 0,5 i 2,5 t ■ ' 1 9 или -9 0 ! 15 -4 -3,4 У 1 4 81 1 2,25 225 ; Постройте график функции у = х^ио данным таблицы X -3 -2 -14 0 ; i ) «л . % ^ X ' ж ; i • X ч: п : ■■ X : m m I [ в 129 Запишите значения функции у = х^, если известны значения аргумента х: а) х = -1,7 у = (-1,7)2=_______________ ________________________; б) дс = -0,4 у =__________ ; в) лг = 2,3 ________ /■•■в Найдите значения аргумента х, если известны значения функции у = х^: а) у = 1, 1 = л;2, д: = 1 или х = -1 б) у = 0,04, 0,04 = jf2, JC =______ в) у = 900,_____________, X =______ г) у = 169,_____________, X =______ или X = - _ или х = -_ или X = - Постройте график функции у = -х*, предварительно заполнив таблицу, учитывая, что ось Оу является осью симметрии графика: X -3 -2 -1 0 у 0' 'У X 5 ■4 3 2 _ 1 2 8 } -4- —1— ! _5__ Г| , Т , ' с 1 л i : ; 1 . . 1 : щ ■ t 1 ' 1 1 _ ; ! i.... 1 1 о • ‘ 1 : —■ и i i , . 8- — ! 1 1 I — 1 ■ 1 f - ' • : 1 1 • ; — л I i : "J и ■ L. . г - 1 ^ ! Принадлежит ли графику функции у = х^ точка: а)А(0,2;0,04) Решение. Если точка А(0,2; 0,04) принадлежит графику, то х = 0,2, у = 0,04. Подставим эти значения в функцию у = х^: 0,04 = (0,2)^, 0,04 = = 0,04. Равенство верное, значит, точка А(0,2; 0,04) принадлежит графику функции у = х2. Ответ: принадлежит. 130 б) В(-1,6; -256) Решение: Ответ:_____ B)cf-5;JL^ I, 4 16 Решение: Ответ:______ r)D(10; 100) Решение: Ответ: Используя график функции у = х^, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном числовом промежутке: а) [-2;1] Решение: По графику определим наибольшее и наименьшее значения функции: у =0,1/ , = 4 ^ ^наим ’ ^наиб б) (-2;1] Решение: По графику определим наибольшее и наименьшее значения функции: у^^^^ = о, у^^ = не существует в) (-3;2) Решение: _______________________________________________________ г) (-1;4] Решение:________________________________________________________ Д)[-3;-1] Решение: CJ X с S X и \ X m m —1 е X ж 131 Используя график функции у = -х^, заполните таблицу: -.^.„„Промежуток по Ох Значение у [-3; 2] (-1;4) (0; 3] [-2; 1) [2; 4] У НАИМ -9 |(яев$ 0 Постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения: Ответ:А(-2;4), В(2; 4). б)у = д:^иу = д:-1-2 Ответ: ), М( ). д,)у = -х^иу = -х-2 1 5. 4 ■ 3 2 1 0 \У X б- 4- -2- —О . .1 2 3 4 5 К 1 о Ответ: С( ), В( ). Ответ: N( ), Р(_____). 132 Ответ: Е( ),F( ). Ответ: Q( _ ), R(___). , + г; § 38. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ зг УРАВНЕНИЙ О Продолжите предложения: 1) Графиком функции у = Ь является прямая _ 2) Графиком функции y = kx является прямая 3) Графиком функции y = kx + b является прямая 4) Графиком функций у = х^иу = -х^ является_ О Дополните алгоритм графического решения уравнений: 1) ввести в рассмотрение две функции (из уравнений); 2) построить в одной системе координат графики этих функций; 3) найти точки пересечения графиков; 4) найти______________точек пересечения — это и есть______ р» -I 5 в S X m о О m "U m Е m X s m < ш X m X X уравнения. 133 Найдите координаты точек пересечения графиков; а)г/ = л:-Зи1/ = 2л: + 4 X 0 3 у -3 0 Ответ: А(-7; -10). б)г/ = Зх + 1и1/ = -2х + 6 X У -5 -4-1-2-1 h Ответ: 15-.. Гц-г-т-рт-^ 4 •• -+3- тГ 4.. -5 ■ - X У X 0 -2 У 4 0 v)y = -x:^viy = A Н—I—I—I—(-^ 2 3 4 5 Ответ: 134 в) I/ = и г/ = X у X у .5-.:^ i Ь- Н—h -&:=|4г:к=Ц^ ~Г1"' : О -+&- |- 1— I 4 .i_L j j. 8_ii I -J ^ I ill ^ . .4-4 4-^ Ответ: Решите графически уравнение: а) = 9 Построим графики функций у = х^иу = 9в одной системе координат. Графиком функции у = является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком г/ = 9 является прямая. Графики пересекаются в точках с абсциссами х = -3 и д: = 3. «я OQ 5S е S X m о ж 0 гп тз m I— сг m X S m ■< ш X m 1 s: S' Ответ: 3; -3. 135 Ответ: Ответ: Решите графически уравнение: а) = -д: + 6 Решение: Построим графики функций у = х^ и у = -X + 6 в одной системе координат. Графиком функции у = х^ является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком у = -х + 6 является прямая. х_ у т J_____^_________ X у Графики пересекаются в точках с абсциссами дс = -3 и дс = 2. Ответ: 2; - 3. . 136 б) -л:2 = Зх + 2 Решение: в) -х^ = X - 2 Решение: Построим графики функций у = -х'^ и у = Зх + 2 в одной системе координат. Графиком функции у = -х^ является парабола, ветви которой направлены___________. Графиком у = дх + 2 является прямая. X у Графики пересекаются в точках с абсциссами х =__________и х =_________. Ответ: X у X у 00 5 в S X m о т; О гп ■D m Е m X S m ш X m X X х< Ответ: 137 о Решите графически уравнение: Решение: 5х® = 25х-20,х^0 X 5x2 = 25х ^2 ~ 201:5 х^ = 5х - 4, X * о Рассмотрим графики функций у = х^иу = 5х-4в одной системе координат. Графиком функции у = х2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком у = 5х - 4 является прямая. X у X у в) 2x2= Юх-Н 12 Решение: X у X у Графики пересекаются в точках с абсциссами х =4 и х = 1. Ответ: 4;1. Ответ: 138 Решение; _2х*+8х^ д:^0 X ^2 х^[2х + 8) ^ 3 » X х^ = 2х + 8 Рассмотрим графики функций у = х^ и у = 2х + 8 в одной системе координат. X у X у * Графики пересекаются в точках с абсциссами х ■ Ответ: и X = «л W о» i в S X гп о ж 0 гп -о m Е m X X m *< 5 ш 1 гп X X х> 139 Используя графический способ решения уравнений, определите число корней уравнений: а) = 2х + 4 г) = О Решение: Построим графики функций у = х^ и I/ = 2д; + 4 в одной системе координат. Графиком функции у = х^ является парабола, ветви которой направлены вверх. Графиком у = 2х + 4 является прямая. Решение: д: Л- Графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня. Ответ: 2. Ответ: 140 б)-х-3 = х^ 2 Решение: X у X у Ответ: в) -х^ = —JC + 4 Решение: X у X у i 5 . у А . о о о пг* i ± -Ь -^-з-2-i 2 I ’ *1Г о . — I \ 4*1 * ! I L 1 j -I—н 4 5 I X m о S m tf m Е rn X s m m X X Ответ: 141 , + s; § 39. ЧТО ОЗНАЧАЕТ к В МАТЕМАТИКЕ ЗАПИСЬ у = f(x) Продолжите предложение: 1) Запись у = f{x) означает на математическом языке______ у от X, то есть связь между переменными хиу. 2) Запись f(a) означает ____________ функции в точке х = а. 3) Функция, заданная____________ формулами на____________ промежутках, называется кусочными функциями. 4) Описание свойств функции у = f(x) по ее графику называется графика. 5) Значения, которые может принимать независимая переменная х, называется_________________ функции. 6) Если функция не имеет точек разрыва, ее называют____________. Дана функция f(x) = -2,3х. Найдите: а) /(0) = -2,3 -0 = 0; 6)f(x + 5) = -2,3(х -1- 5) = -2,3х - 11,5; /(-1) =-2,3 •(-!)= __________; Пх^)=___________________________; /(-2,5)=_____________________; /(-х)= . /(1) =_______________________; Я5) =________________________. Функция f(x) задана формулой f(x) = х^. Найдите: а)/(-1) = (-1)^ = 1; /(0) = 0^=________ /(-3)=____________ 1 / /(0,7) = б) /(а) = /(а^)= _ в)/(6)= _ /(6)-1 = /(&=» +2) = fib^) + 2 = r)f(-x)-f(-x'^) = 142 ЯЗа) =______________________ Я-4а) =_____________________ f{3a + 1) =_________________ О Дана функция у = f{x), где f{x) = Вычислите: а) Я-3) =___________________ б) ЯО) =_____________________ в) Я2) =____________________ О Постройте график функции f л: + 1, если -3<х<2 1-2ДС + 7, если 28. г)Я8)=___________ Д)ЯЮ) = 3)f(x) = -х если х<2 6, если 2<лг<8 ! .5. 4- 3- ■ ■ ;2- ..... 1 1 1 1 1 0 i 1 1 ] -5-4-3-2-1 1 1 1 1 1 2 8 А 5 ’ .1.0 . ! 1 ; 1 ■ riJ . 1 |... : _з. ! , А , 1 .... ^ , 1 1ч - ь 1 1 ^ X JL. Найдите: Найдите: а)А-1) = -1 + 1=0; а)Я-5) = б) Я-3) = ; б) Я-1) = в) ЯО) = ; в) ДО) = г)ЯЗ) = ; г) f(2) = Д) Я2,5) = : Д)Я4) = е)Я6) = ю> со со о 0 W 1 > m н ш S m S S ж m ы > ZJ S о от ч II л X 143 2) f{x) = , если -2<х<1 X, если 1<х<4 4, есл и X > 4 X у Найдите: а) Д-2) =. б) Д-1) = . в) ДО) = _ г) Д1)=_ Д)ДЗ) = _ 1 е)Д7)=_ = 2^4 5 Ф 3 2 1 + ■Т * - t - - - - - i 1 • X t Тм 5 144