Алгебра Дидактические материалы 10-11 класс Рыжик Черкасова

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Алгебра Дидактические материалы 10-11 класс Рыжик Черкасова - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
в. и. РЫЖИК, Т. X. ЧЕРКАСОВА ДИДА1СТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ С ОТВЕТАМИ И РЕШЕНИЯМИ в. и. Рыжик, Т. X. Черкасова ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по АЛГЕБРЕ и МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ с ОТВЕТАМИ и РЕШЕНИЯМИ для 10—11 классов Учебное пособие для профильной школы Санкт-Петербург СМИО Пресс 2008 Р43 Рыжик в. И. Р 43 Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу с ответами и решениями для 10—11 классов. Учебное пособие для профильной школы / В. И. Рыжик, Т, X, Черкасова. — СПб: СМИО Пресс, 2008. — 428 с. Книга содержит: 1) задачи по школьному курсу алгебры и математического анализа для профильных классов, в первую очередь для классов с углублённым изучением математики; 2) ответы ко всем задачам; 3) решения задач. Книга адресована учителям математики, учащимся, обучающимся в школах различного типа, и абитуриентам. Первое издание вышло в 1997 году. В новом издании изменены условия некоторых задач, внесены исправления в ответы, добавлены решения. ISBN 978-5-7704-0110-3 I Рыжик в. И., Черкасова Т. X., 2008 г. > Зинаида Якупова, оформление обложки, 2008 г. > СМИО Пресс, 2008 г. Редактор к. ф.-м. н. Золина Н. К, Художественный редактор Соловьева Н. Д. Директор издательства Морозова И, С. Издательство «СМИО Пресс*, СПб, ул. Седова, д. 97, к. 3, лит. А. Тел. (812) 595-9476, (911) 290-90-26 (МТС), (961) 811-1749 (БиЛайн) e-mail: smiopress@mail.ru, http://www.smio.ni Подписано в печать 04.10.07. Формат 60x90 Vi6* Усл.-печ. л. 3,6. Печать офсетная. Тираж 1500. Заказ . Отпечатано в СПб ГУП «Петроцентр» ОП «Пушкинская типография* г, Пушкин, ул. Средняя, д. 3/8 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено как для учителей, так и для всех учащихся, которые хотят продолжить свое математическое образование. Содержащиеся в книге задания один из авторов использует в практической работе более 15 лет. Учителя, работающие в специализированных физико-математических классах, могут рассматривать задания как дидактические материалы по всему курсу алгебры и математического анализа. Учителя математики, работающие в массовой школе, могут использовать книгу для работы с более сильными учениками при прохождении программы, во время итогового повторения и при подготовке выпускников к вступительным экзаменам в вуз. Задания в достаточной степени обеспечивают проверку усвоения принятой программы по математике в специализированных физико-математических классах. Более того, иногда они даже выходят за рамки этой программы, что отражает особенности преподавания математики в разных физико-математических классах, отличающихся тем, какое внимание уделяется физике. Упражнения диагностируют и в целом обеспечивают готовность учеников к вступительному экзамену по математике не только в технические вузы, но и на факультеты, где требуется повышенная математическая подготовка выпускников школы, включая математические факультеты университетов. Для проверки готовности к вступительным экзаменам в вузы в задания включены и некоторые «экзотические» задачи, например, решение логарифмических уравнений или неравен- ства с произвольным основанием. Однако надо понимать, что серьезная подготовка к вступительному экзамену в конкретный вуз должна быть достаточно целенаправленной и не может быть полностью обеспечена сборником задач достаточно общего характера. Материалы нацелены не только и даже не столько на проверку усвоения программы или на подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в вуз, сколько на подготовку школьника к получению высшего математического образования. Не секрет, что пройти барьер вступительных экзаменов для этого не самое главное. Гораздо важнее — умение хотя бы в простейших случаях заниматься математической деятельностью как таковой. Для этого требуется не только определенное математическое мастерство — разумеется, оно необходимо на вполне приличном уровне, который ясен из предлагаемого задачника. Готовность к продолжению школьного математического образования предполагает определенные интеллектуальные знания специального характера. Подготовленный к нему ученик школы умеет разобраться в условиях задачи, в частности, понимает, насколько они достаточны для ее решения: он обладает более высокой логической культурой; довольно свободно переходит от аналитической постановки задачи к ее наглядной интерпретации и наоборот; умеет отыскивать примеры и контрпримеры для подтверждения или опровержения некоего предположения; умеет обобщать полученные результаты и т, д. Задачи, в которых от ученика требуются именно такие свойства интеллекта, есть по возможности в каждом задании. И наконец, необходима способность, хотя бы в скромных масштабах (отнюдь не на уровне олимпиадных задач), к продуктивной математической деятельности. Поэтому, например, даже в чисто «технических» задачах предусмотрена возможность для поиска другого, более простого решения, чем «лобовое». Другие возможности для проявления учениками способностей к математике в процессе решения этих заданий почти целиком определяются деятельностью зшителя математики. Одно дело — готовить учеников к выполнению заданий на основе аналогичных примеров, решенных публично, и совсем другое дело, когда ученики видят пример того или иного типа впервые на самостоятельной или контрольной работе. Если мы хотим от наших учеников, чтобы они побыстрее отошли от школярства, необходимо поставить их в такие условия, где от «натасканности» мало толку — в разумных, конечно, пределах. Эти задания можно использовать для самостоятельных и контрольных работ, для домашних заданий и текущей учебной работы. Самостоятельные работы мы предлагаем, как правило, на 1 час, а контрольные — на 2 часа. Вариантов два, и практика показывает, что этого вполне достаточно. Варианты почти аналогичны — это ставит учеников практически в равные условия и облегчает проверку их работ. В каждом варианте задачи, как правило, располагаются по мере возрастания их сложности. Поэтому ученикам при выборе последовательности решаемых задач предлагается действовать по своему усмотрению. Разумеется, учитель может дать для работы не все задание полностью, а некоторую его часть. Выставление отметки — дело учителя, и тут возможны только самые общие рекомендации. Например, совсем не обязательно, чтобы отличную отметку получали только ученики, выполнившие задание полностью. За одну работу можно поставить даже две отметки. Как пособие для самопроверки этот задачник лучше использовать так: первый вариант решить, ориентируясь на ответ, а второй вариант — для закрепления тех умений, использовать которые понадобилось при решении задач первого варианта. Отметим несколько особенностей пособия. Последовательность тем и заданий, а также их содержание не «привязаны» к конкретному учебнику. В наше время учитель может позволить себе не только роскошь выбора учебника и задачника, но даже составление собственной программы. Поэтому всегда можно из этих заданий скроить что-нибудь свое. Если в ответе тригонометрического уравнения написано, к примеру, x = nk и никакой информации о числе k нет, то предполагается (по умолчанию), что k — любое целое число. Форма записи ответа при решении уравнения или неравенства не имеет, по нашему мнению, принципиального характера, поэтому возможны разные формы такой записи. То же замечание для записи числовых промежутков. Под монотонностью функции здесь понимается строгая монотонность. При исследовании непрерывной функции на монотонность в ответах указаны открытые промежутки. Разумеется, можно было указать в этих случаях и замкнутые промежутки. Главный аргумент комплексного числа можно брать на промежутках от О до 2т1 и от -л до я. В некоторых случаях учитель может разрешить использование калькулятора или компьютера. Мы будем благодарны всем читателям, кто заметит в нашей книге те или иные просчеты и сообщит об этом в издательство. Тема I ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Задание 1.1. Функциональная символика Вариант 1 1* у(х) = + д: -1. Найдите: а)г/(0); б)г/(-|); в)г/(л/3); т)у(2х)-, д)г/(л: + 1); е) I/ (л: + Ах) - у (х). f-2 если t <1, 2. f(t) = V [f +1, если ^ > 1. Найдите: а) б) в) f(a^ +1). 3. g{x) = sinx + cos2x. Найдите: a) 6) в) я(1); г) ^(х+л); д) g(|-x). 4. Верно ли при любом t е (-1,1) равенство x{-t) = x{t), если x{t) = 5. h{x) — линейная функция, заданная на R. Вычислите Л(1), если Л(-1) = О, Л(0) = 1. Вариант 2 1* у(х) = ~х^-х-1. Найдите: а) j/(0); б) в) г/(-л/3); г) i/(0,5x); р)у(-х+1); е) у {х + Ах) - у (х). 2. /(f) = 1 [-^ +1, если ^ < 1. Найдите: а) /(1Д”’®); б) /(1^'^); в) /(а^ +1). 3. ^(х) = COSX + sin2x. Найдите: а) б) в) ^(-1); г) ^(х-л); д) g'(|-x). 4. Верно ли при любом t е (-1,1) равенство x{-t)=-x{t), если x(t) = t-t^7 5. h{x) — линейная функция, заданная на R. Вычислите Л (-1), если А(1) = 0,Л(0) = 1. Задание 1.2. Сложная функция Вариант 1 1- h{y) = (i/^ +1)'Ч Вычислите: а) Л(0); б) Л(Л(0)). 2. yj^ix) = х^,У2(х) = 3 д: -1, г/з(д:) = д:"^ Запишите z{x) = (Зх -1)“^ как сложную функцию, составленную из трех данных функций. 3. Д (д:) = д:^, Д (^) = • а) Найдите fiifi(x)). б) Найдите f2(f2(x))- в) Решите уравнение f2ifi(x)) = fiifzix)). 4. f(x) = О, если д: > О, Ф(д:) = -fix). 1, если д: < 0; Нарисуйте график: а) /(ф(д:)); б) ф(ф(д:)), 5. Придумайте функцию, отличную от линейной, которая при любом X удовлетворяет равенству fif(x)) = fix). Вариант 2 1- h{y) = (у^ -iy\ Вычислите: а) Л(0); б) Л(/г(0)). 2. 1/1 (х) = ж®, у2 (х) = 0,5 д: -1, Уз (д:) = х~К Запишите zix) = (0,5 х^ +1) как сложную функцию, составленную из трех данных функций. 3. fi(x) = X‘^,f2(x) = ^. а) Найдите Д (Д (д:)). б) Найдите Д (Д (^))- ®) Решите уравнение Д(Д(д:)) = Д(Д(д:)). [о, если д: > о, fix) = \ (p(x) = -fix). [-1, если д: < 0; Нарисуйте график: а) /(ф(д:)); б) fifix)). 5. Придумайте функцию, отличную от линейной, которая при любом х удовлетворяет равенству fi-fix)) =fix). 8 Задание 1.3, Область определения функции Вариант 1 1, Найдите область определения функции: д: +1 а) f(x) = VII-л: + 4х; б) g{y) = (1 -г/^) в) h(z) = 2, Напишите уравнение какой-либо функции у{х), которая определена при всех х е R, кроме х, принадлежапцих промежутку [1, 2). 3. Решите уравнение а + л/а^ - х^ а -1. Вариант 2 1. Найдите область определения функции: б) g (у) = (у^ -; a)f(x)= . V X + 3__ в) h{z) = (1 - Vl 2, Напишите уравнение какой-либо функции у{х), которая определена при всех х е R, кроме х, принадлежаш;их промежутку (—2, -1]. 3. Решите уравнение ^а -\х \ + л1х^ -а^ = -а. Задание 1.4. Область значений функции Вариант 1 1. Найдите область значений функции: а) / (д:) = 3 - 5 д: +1, если 0,5 < д: < 2; б) g{y) = |г/ -1|, если -1 < ^ < 3; в) h{z) = 2 -зш(2г). 2. В равносторонний треугольник со стороной 1 вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на стороне треугольника. Пусть длина этой стороны прямоугольника равна X. Выразите его плош,адь как функцию от д: и установите, в каких границах она находится. 3, Решите уравнение х^ + х ^ 4 - , до Вариант 2 1. Найдите область значений функции: а) f{x) = ~2x^ + 2, если -1 < д: < 1; б) ^(«/) = |у +1|, если -3 < у < 1; в) Л(2г) = 1 + cos(0,5z). 2. В прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой, равной 1, вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на гипотенузе треугольника. Пусть длина этой стороны прямоугольника равна х. Выразите его площадь как функцию от X и установите, в каких границах она находится. 3, Решите уравнение х^ + х ^ = ^4 - |х|. Задание 1.5. Четность и нечетность функции Вариант 1 Исследуйте функцию на четность и нечетность: I X |; б) x{t) = - ^ +1; i)(y"-у") a)f{x) = x^ в) ф(а) =sinacosa; г) g{y) = — 1-У 2. Функция /(х) определена на /?, четная и отлична от нуля. Исследуйте на четность и нечетность функцию: а) fiix) = б) fzix) = x • f(x). 3. Найдите функцию Д которая определена на /?, и такую, что при любом значении х выполняется равенство f(x^) = х. Вариант 2 1. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) /(х) = “X • I X -11; 6) x{t) = ~1\ (|l/| + l)(l/3 в) ф(а) = cos а - sin а; г) g{y) = 1 + */ 2. Функция f (х) определена на 7?, нечетная и отлична от нуля. Исследуйте на четность и нечетность функцию: а) fi{x) = f{-x)\ б) f2(x) = X • /(х). 3. Найдите функцию /, которая определена на R, и такую, что при любом значении х выполняется равенство /(|х|) = -х. 10 Задание 1.6. Четность и нечетность функции Вариант 1 1. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) Л(2) = tgz +tg(-z); б) f{x) = (д: -1)"^ - (х +1)'^; в) g(y) = л11+у + у^ - -Jl-y -у^. 2. Существует ли четная функция f, такая, что для любого х, отличного от нуля, выполняется равенство fix) + fi-x) = X? 3. Может ли уравнение | ^| = +1)^-1 иметь 10 корней? Вариант 2 1. Исследуйте функцию на четность и нечетность: a) h (z) = ctgz + ctg(-z); б) f (x) = (x +1)“^ - (1 - x)’^; b) g (y) = ^j6-5y +y^ - V 6 + 5i/ - i/^. 2. Существует ли нечетная функция f{x), такая, что для любого X, отличного от нуля, выполняется равенство /W-/(-x) = х^? 3. Может ли уравнение х^ =(|х|+1)*°-1 иметь 10 корней? Задание 1.7. Монотонность функции Вариант 1 1. Исследуйте на монотонность функцию: а) fix) = + X +1, если х < -1; б) giy) = |i/“^ -l|, если у >2. 2. Найдите промежутки монотонности функции: а) Л(г) = ^ ^ б) /(а) = За'^ + |а I -1; в) у (х) = 32+1 I х^°, если X > о, [х +1, если X < 0. Вариант 2 1. Исследуйте на монотонность функцию: а) fix) = х^ - X +1, если х > 1; б) giy) = \у~^ +lL если у < -2. 11 2. Найдите промежутки монотонности функции: а)Л(2) = -^?^; б)/(а) =-2а®-|а|+1; 2г -3 ^8 в) у(х) = {X , если X < О, -X +1, если X > 0. Задание 1.8. Монотонность функции Вариант 1 1. Функции у VL 2 возрастают на промежутке А. Будет ли на этом промежутке монотонной функция: а) у ■ г; О) у - zl 2. Решите уравнение ^ х -9 + ^ х + 6 = 5. 3. Верно ли неравенство | х^ - х | < -х^ + 20 при 1 < х < 2? 4. Является ли функция f{x) возрастающей на Rj если при любом X е R выполняется неравенство /(х) > f(x -1)? Вариант 2 1. Функции у и 2 возрастают на промежутке А. Будет ли на этом промежутке монотонной функция: s) у + г; б) у :2Г? 2. Решите уравнение д/Ю - х + 7 - х = 3. 3. Верно ли неравенство | х^ + х | < -х^ + 20 при -2 < х < 1? 4. Является ли функция /(х) убывающей на /?, если при любом X е R выполняется неравенство f(x +1) < /(х)? Задание 1.9. Ограниченность функции Вариант 1 1, Является ли заданная функция ограниченной и если да, то в каких границах лежат ее значения, если: а) Z/(^) = “Зх+ 10 при -2<х<3; l2 , -I б) х(а) = - 2а + 3 при 0 < а < 4; в) =-------? 12 2. F — функция, ограниченная на R. Будет ли ограниченной на R функция: а) F^; б) Д-? F^ 3. Решите неравенство \2x^‘ -1+ 3-л:^ <1. Вариант 2 1. Является ли заданная функция ограниченной и если да, то в каких границах лежат ее значения, если: а) у(х) = 0,5х - 2 при - 4 < х < -2; б) д:(а) = + 2а - 3 при - 3 < а < 0; в) +1, 2, F — функция, ограниченная на R, Будет ли ограниченной „ 1 на R функция: а) F ; б) —-? 3. Решите неравенство |ю| + |2д:^ - б| < 1, Задание 1Л0, Обратная функция Вариант 1 1. f{x) = -/jc, g(x) — функция, обратная для /(д:). Вычислите: а) ^(2); б) g(~a). 2. Найдите функцию, обратную для функции: а)у(х) = 2х-3; б) х{у) = -у^ +2у, где у g [1, 2]; ч /+\ ^ + 1 в) 2 (0 = t-1 2х 3. Существует ли обратная для функции у =----- при д: > 1? 1 - х'^ 4. Функции f (д:) и g (х) заданы на и взаимно обратны. Будут ли взаимно обратными функции f(-x) и ^(-д:)? Вариант 2 1. f(x) = ^(д:) — функция, обратная для f(x). Вычислите: а) ^(-2); б) g(a). 13 2, Найдите функцию, обратную для функции; &)у(х) = -5л; + 1; б) х(у) = -у^ -2у, где у е [-2, -1]; t-1 3. 4. 4. в) Z it) = f + 1 при X >1? Существует ли обратная для функции у - — 1-х® Функции f(x) и g (х) заданы на Л и взаимно обратны. Будут ли взаимно обратными функции -f(x) и -^(х)? Пх) Задание 1JI. Периодичность функции Вариант 1 1. fix) определена на R, нечетная, периодическая с главным периодом 6. При этом 2 X, если О < X < 2, -4х +12, если 2 < X < 3. а) Нарисуйте график этой функции на [-6, 6]. б) Вычислите /(1987). 2. и ^2 — два периода функции /, заданной на R, Будет ли ее периодом ^1 + ^2? 3. ^[2 является главным периодом функции /. Будет ли ^ ее периодом? f — периодическая функция. Будет ли периодической функция -? / 5. Функция f определена на R, нигде не обращается в нуль, и при этом /(х +1) = —Докажите, что f является перио- „ , -дическои функцией. Вариант 2 1. fix) определена на Л, четная, периодическая с главным периодом 6. При этом |-2х + 4, если О < X < 2, 4х - 8, если 2 < X < 3. а) Нарисуйте график этой функции на [—6, 6]. б) Вычислите /(1987). 2, и — два периода функции /, заданной на R. Будет ли ее периодом - ^2? fix) = 14 3. -yfs является главным периодом функции f. Будет ли ^ ее периодом? 4. / — периодическая функция. Будет ли периодической функция 5. Функция f определена на R, нигде не обращается в нуль, и при этом f{x -1) = . Докажите, что / является перио- Пх) дической функцией. Задание 1.12. Преобразования графиков функций Вариант 1 1. Нарисуйте график функции: а) I/=-2|1 - л;|+ 1; б) г/= I- + Iл:I -1 [; в) У 2л: + 3 1 - JC г) у 2 х\ -1. 2, При каких а и Ь имеет решение уравнение (а - х)^ - Ь = --у! X - а? Вариант 2 1, Нарисуйте график функции: а) у = -3|2 - д:| -1; б) г/ = | - | х | +11; Зх + 2 в) г/ = 1-х . 2х^ . 2. При каких а и Ь имеет решение уравнение (а - х)^ + Ь = --у1 X - а? Задание 1.13. Контрольное задание Вариант 1 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1, а) Выразите его периметр как функцию от площади. б) Нарисуйте график этой функции. 2. Решите неравенство (-^ х +1 ~ .[~хУ^ > (х^ +1)“^. 3. Пусть /"(х) = X +1: а) найдите такие функции ^(х) и Л(х), что ^(Л(х)) = /(х); б) единственна ли такая пара функций? в) может ли при этом g = hi 15 Вариант 2 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1. а) Выразите его площадь как функцию от периметра. б) Нарисуйте график этой функции. 2. Решите неравенство (-/х"+Т --yfxy^ < (х^ 3. Пусть f{x) ~ X -1: а) найдите такие функции g{x) и h{x), что g{h(x)) = f(x); б) единственна ли такая пара функций? в) может ли при этом g = hi Тема 2 ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ПРОИЗВОДНАЯ Задание 2.1. Определение предела функции в точке Вариант 1 1. f{x) = 2 д: +1. Докажите, что limf{x) = 3. дг->1 2- g{y) = +2. Докажите, что Ит g(y) = 11. 3. h{z) Докажите, что limh{z) Ф 1. Z z->2 Вариант 2 1. f{x) - 0,5 д: - 2. Докажите, что Ит/(д:) = 1. 2. g(y) = г/^ - 3. Докажите, что Ит g(y) = 1. у->-2 3. h(z) = . Докажите, что Ит h(z) ф2. Z г—>-1 Задание 2.2. Вычисление предела функции в точке Вариант 1 1. Вычислите: ^ 2 + А д: - -у[2 ^ а) Ит Дх->0 в) Ит Ад: + д: + 2 б) Ит ---; ^i+t^ -1 -1 _^2 + Зх + 4 г) Ит /' +1 y-^-ly'^ +1 2. В равнобедренном треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС равны 1. Пусть г — радиус вписанной в этот треугольник окружности, а Л — радиус описанной около треуголь- 16 ника окружности. Вычислите Ит —, где h — высота, проведенная к основанию. Вариант 2 1. Вычислите: а) lim Длг-^О V3 +Аж - б) lim Ад: ^ 8 + - 2 ж® + 2ж + 3 , -х^ + 4 д: + 5 г) lim 1/'° -1 .“-1- в) lim 2. В равнобедренном треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС равны, АС = 2. Пусть г — радиус вписанной в этот треугольник окружности, а Д — радиус описанной около треугольника окружности. Вычислите lim~, где h — высота, проведенная к основанию. Задание 2.3. Предел функции на бесконечности Вариант 1 1. Вычислите: а) lim ({t +1)® - (i -1)®); б) lim 60 t —>+«» (2y+3) 2. Исследуйте функцию f(x) - -2x^ + -1 +1 на асимптоты. 3. Исходя из определения, докажите, что lim 1-х^ д:—>+<» = — оо. 4. Приведите пример такой функции /, что lim/(x)=l, а Ит/(/(:с)) = 0. х-»«> Вариант 2 1. Вычислите: 1 1 а) lim {{t - ly - (t + 1)®); б) lim {2y-l) 110 2. Исследуйте функцию f(x) = +1 x^ + 2 на асимптоты. 1 _ уЗ 3. Исходя из определения, докажите, что lim -------= +оо. 17 4. Приведите пример такой функции f, что lim/(a:) = -1, а lim/(/(x)) = 0. Х->оо Задание 2.4. Контрольное задание Вариант 1 1. Вычислите: а) Ит х->а+1 X - X - а X -1 б) lim 't——в) Ит (J -2 - г). ^-2 2. Нарисуйте график функции у{х) = х^-1 2х ' 3. В равнобедренном треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС равны 1. Из середины К основания проведены перпендикуляры КР и КТ на боковые стороны треугольника. Вычислите предел отношения плош;адей треугольников КРТ и АВС при условии, что ВК стремится к нулю. Вариант 2 1. Вычислите: а) lim X—>а-1 X + X - а х+1 б) lim в) lim (z - Jz^ +1). ^-1 2. Нарисуйте график функции у{х) = +1 2х ' В равнобедренном треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС равны 1. Из середины К основания проведены перпендикуляры КР и КТ на боковые стороны треугольника. Вычислите предел отношения площадей треугольников КРТ и АВС при условии, что ВК стремится к 1. Задание 2.5. Непрерывность функции Вариант 1 Нарисуйте график функции [|Ал: + 2| при X > О, [д:^ + ft X + +1 при X < О, если известно, что она непрерывна. 2. Две функции / и g таковы, что f gvif - g непрерывны на R. Будет ли функция / + Я непрерывной на R1 fix) = 18 3. в квадрате ABCD со стороной 1 взяты точка К — середина стороны AD и точка М — середина стороны ВС, Через точку К проводятся всевозможные прямые, имеющие общую точку с ломаной АВМ, Пусть х — расстояние от такой прямой до А, а L — длина отрезка такой прямой, находящегося в данном квадрате. Найдите зависимость L от х и выясните, будет ли полученная функция непрерывной. 4. Является ли функция, заданная на замкнутом промежутке, непрерывной на этом промежутке, если ее областью значений является замкнутый промежуток? 5. Можно ли одной линией разделить сегмент круга на три равновеликие части? (Линия не проходит по границе сегмента.) Вариант 2 1. Нарисуйте график функции \\kx -2\ при д: > О, = \ о о [х^ kx + - 3 при д: < О, если известно, что она непрерывна. 2. Две функции flag таковы, что f-gnf-\-g непрерывны на R, Будет ли функция f ~ g непрерывной на Л? 3. В квадрате ABCD со стороной 1 взяты точка К — середина стороны AD и точка М — середина стороны ВС. Через точку К проводятся всевозможные прямые, имеющие общую точку с ломаной DCM. Пусть х — расстояние от такой прямой до А, а I/ — длина отрезка такой прямой, находящегося в данном квадрате. Найдите зависимость L от д: и выясните, будет ли полученная функция непрерывной. 4. Является ли функция, заданная на замкнутом промежутке, непрерывной на этом промежутке, если она имеет на этом промежутке наибольшее и наименьшее значения? 5. Можно ли одной линией разделить равнобокую трапецию на три равновеликие части? (Линия не проходит по границе трапеции.) 19 Задание 2.6. Определение производной, ее геометрический и механический смысл, использование для приближенных вычислений Вариант 1 1. Найдите производную функции: а) fix) = 7^ + 2; б)/(х) = \ X, если X > О, \-х^, если X <0. 2. h(x) = х^ + X +1. Напишите уравнения касательной и нормали к графику этой функции в точке (1, 3). 3. Вычислите приближенное значение ^100,5. 4. а) Плош;адь круга в некоторый момент времени растет со скоростью 1. Чему равна в этот момент длина его окружности? б) Решите задачу в общем виде. Вариант 2 1. Найдите производную функции: а) fix) ^ ^ X-2; 6)f[x) = х^ - X, если д: > О, х^ у если д: < 0. 2. h(x) ~ х^ - д: + 1. Напишите уравнения касательной и нормали к графику этой функции в точке (1, 1). 3. Вычислите приближенное значение 799,5. 4. а) Площадь квадрата в некоторый момент времени растет со скоростью 1. Чему равен в этот момент его периметр? б) Решите задачу в общем виде. Задание 2.7. Теоремы дифференцирования Вариант 1 1. f(x) = (х^ - X + 1)(х^ + д: “1), а) Найдите f'(x). б) В какой точке нормаль к графику этой функции перпендикулярна оси X? в) Какой по виду угол образует при д: > 0 касательная к графику этой функции с осью д:? 20 2. Зависимость расстояния х от времени t движущейся точки 2t + 1 такова: x{t) = ——Докажите, что ее скорость не превосходит 1. 3. Найдите функцию Н (х), такую, что Н' (х) = х^ +1, причем Я(0) = -1. Вариант 2 1. f(x) = {х^ - X -1){х^‘ + д: +1). а) Найдите f'{x). б) В какой точке нормаль к графику этой функции перпендикулярна оси X? в) Какой по виду угол образует при д: < О касательная к графику этой функции с осью д:? 2. Зависимость расстояния х от времени t движущейся точки 3^ + 1 такова: x(t) =--—. Докажите, что ее скорость не превос- t 2 ходит 2. Найдите функцию Н (х), такую, что Н'(х) чемЯ(О) =1. +1, при- Задание 2,8, Дифференцирование операций и сложной функции Вариант 1 1. Нх) = 1-^, g{х) = f {f {х)). Найдите я'(д:). 2. g{y) = У + У +1 У^+У При каких значениях у производная функции g отрицательна? 3. Две стороны треугольника равны 1, а третья растет со скоростью V, С какой скоростью растет радиус окружности, описанной около этого треугольника, в тот момент, когда этот треугольник является равносторонним? 4. Функции f VI g таковы, что f л- g vl f • g дифференцируемы на R, Будет ли дифференцируема на R функция f - gl 5. Н (t) = t (t -{-2)... (t +100). Вычислите H' (0). 21 Вариант 2 1. /(д:) = 1 + -|, g {х) ^ f (f (х)). Найдите я'(л:). 2. g(y) = У^-У , При каких значениях у производная функции g отрицательна? 3. Две стороны треугольника равны 1, а третья растет со скоростью V, С какой скоростью растет радиус окружности, описанной около этого треугольника, в тот момент, когда этот треугольник является прямоугольным? 4. Функции / и ^ таковы, что f ~ g и f • g дифференцируемы на R. Будет ли дифференцируема на R функция f + g? 5. Н (t) t • (t ~l) {t - 2) ...{t -100), Вычислите Н' (0), Задание 2.9. Исследование функции на монотонность Вариант 1 1. Найдите промежутки монотонности функции f{x) = 3 + х^ 2. При каких значениях а функция x{t) = at^+at возрастает на R7 3. Докажите, что при д: > 1 верно неравенство 2д/1с > 3 - —. Вариант 2 1 + х^ 1. Найдите промежутки монотонности функции f (х) =---. X 2. При каких значениях а функция x{t) = at^ -\-at возрастает на R? 3. Докажите, что при д: > 1 верно неравенство ЗлГх^ >1---- X 22 Задание 2 JO, Исследование функции на экстремум, наибольшее и наименьшее значения Вариант 1 1. Найдите экстремальные, наибольшее и наименьшее значения функции: у4 3 а) f{x) - — + — - ~2х -12; 4 3 б) S{y) =У^ ~У -1 при 1<г/<4; в) x{t) = при О < t < 2. 2. Из всех равнобедренных треугольников с периметром 2 найдите тот, у которого площадь наибольшая. 3. Имеет ли уравнение х^ - х --1 положительный корень? Вариант 2 1. Найдите экстремальные, наибольшее и наименьшее значения функции: а) f(x) = 2х^ х^ ^ - ---+ —+2JC + 7; 3 2 б) ^(у) = I/ -2г/+1 при 1<у<3; в) x{t) = ~—- при -2 < ^ < 0. f -1-1 2. Из всех равнобедренных треугольников с площадью 1 найдите тот, у которого периметр наименьший, 3. Имеет ли уравнение х^ - х =1 отрицательный корень? Задание 2,11, Построение графиков функций Вариант 1 Нарисуйте график функции. I-------^ 1, у = X - а{1 ~ X ) при а > о, 2, у - х^-1 Вариант 2 Нарисуйте график функции. 1, у = Xа{1 - х^) при а > 0. 2. у = 23 2. Задание 2.12. Текстовые задачи на экстремум Вариант 1 В равностороннем треугольнике АВС расположен параллелограмм АМНР так, что М лежит на АВ, Н лежит на ВС, Р лежит на АС. Будет ли ромбом тот из параллелограммов, который имеет наибольшую площадь? На прямолинейном участке железной дороги расположены станция и на некотором расстоянии от нее город. Песчаный карьер находится на расстоянии 3 км от железной дороги и станции. Требуется проложить дорогу от карьера до железнодорожного пути так, чтобы стоимость перевозок от карьера до города была наименьшей. Перевозка по шоссе обходится в 2 раза дороже, чем перевозка на то же расстояние по железной дороге. Как проложить шоссе, чтобы стоимость перевозки была наименьшей? Вариант 2 В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС расположен параллелограмм АМНР так, что М лежит на АВ, Н лежит на ВС, Р лежит на гипотенузе АС. Будет ли ромбом тот из параллелограммов, который имеет наибольшую площадь? На прямолинейном участке берега озера расположены пристань и на некотором расстоянии от нее деревня. Лодочник находится на расстоянии 3 км от берега и пристани. Причалив к берегу, он бежит в деревню. Скорость его на суше в 2 раза больше скорости на воде. Куда ему причалить, чтобы добраться до деревни за наименьшее время? Задание 2.13. Контрольное задание Вариант 1 1. Нарисуйте график функции у = (x-lf 2. Докажите, что расстояние между графиком функции у = и прямой д: - ^ -1 = О меньше 1. 24 3. Т{х) = - ах + а. Пусть Н (а) — сумма кубов корней Т(х). Какова область значений Н (а)? Вариант 2 1. Нарисуйте график функции у = х"^ (х +1)~^. 2. Докажите, что расстояние между графиком функции г/ = и прямой х + у +1 = О меньше 1. 3. Т{х) = х^ л-ах -\-а. Пусть Н (а) — сумма кубов корней Т(х), Какова область значений Н (а)? Тема 3 ИНТЕГРАЛ И ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание 3.2. Первообразная и неопределенный интеграл Вариант 1 1. F " (О = - 3 -F (0) = 1, f (1) = |, (-1) = 11 Найдите F (2). 2. f{x) = \x\. Нарисуйте график той первообразной для функции fix), которая имеет положительный корень. 3. g(x) = х'^, Точка А имеет координаты (1, 0). а) Нарисуйте график той первообразной для функции g, который проходит через точку А. б) Какой угол с осью х образует нормаль к графику функции G в точке А? 4. График функции состоит из двух полуокружностей. Радиус каждой равен 1. Центр первой из них находится в точке (1, 0), центр второй — в точке (3, 0). Первая полуокружность находится над осью х, а вторая — под этой осью. Нарисуйте график первообразной для этой функции. 5. Точка (х, у) движется в первой четверти системы координат. Обе ее координаты зависят от времени, а ее траектория проходит через точку А (1, 2). По какой линии она движет- У У'о ся, если при этом выполняется условие — = —? Вариант 2 1. F"it) = 3^, Р (0) = 1, Р (1) = f, F (-1) =1^, Найдите F (2). 25 f{x) = I л:|. Нарисуйте график той первообразной для функции /(х), которая имеет отрицательный корень. g{x) = х~^. Точка А имеет координаты (—1, 0). а) Нарисуйте график той первообразной для функции g, который проходит через точку А, б) Какой угол с осью х образует нормаль к графику функции G в точке А? График функции состоит из двух полуокружностей. Радиус каждой равен 1. Центр первой из них находится в точке (1, 0), центр второй — в точке (3, 0). Первая полуокружность находится под осью х, а вторая — над этой осью. Нарисуйте график первообразной для этой функции. Точка (х, у) движется в первой четверти системы координат. Обе ее координаты зависят от времени, а ее траектория проходит через точку А (1, 2). По какой линии она движет- ся, если при этом выполняется условие У. = -L.9 Задание 3.2, Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки Вариант 1 Найдите неопределенный интеграл. z^dz 1. J(12. J (1+z^) 3 ч20 4. J(x +l)(x + 2)^^dx. 5. j-—-—dyj у > 0. У 3. J /7 Вариант 2 Найдите неопределенный интеграл. z^dz 1. j(X-0,5y)^^dy. 2. J 4. j(x+iy°(x + 2)dx. 5. J - dy, у > 0. 3. 26 Задание 3.3> Нахождение неопределенного интеграла с использованием алгебраических преобразований Вариант 1 1. Найдите неопределенный интеграл: B)J dx; 16-х 2-yfx + 8 dx ->[x X -1 6)J r)J X X -t -dx\ -dt. 2. Нарисуйте график той первообразной для функции f{x), который проходит через точку (5, 1), если fix) д/ к -2-^ X -1 ■^х-1 -1 Вариант 2 1. Найдите неопределенный интеграл: •х^ -2х +1 . f X -25 , а) —— dx\ ^S-yfx +15 б)/ ч Г ^fx г= ’ X + .^ X -1 г) J X -1 +t (2t + l)^ dx; -dt. 2. Нарисуйте график той первообразной для функции f(x)j который проходит через точку (1,25; —1), если Пх) X- 2-/"х-1 1 - X -1 Задание 3.4. Интегральные кривые Вариант 1 Нарисуйте интегральную кривую, соответствующую данному уравнению. \^у\ 1. у'= 3. у = ху _ У 1-х 2. у у'=х при условии, что 1/(0) = 0. , л: > 1. 27 Вариант 2 Нарисуйте интегральную кривую, соответствующую данному уравнению. ху 1. у' = \^У\ 2, у • у' =. -X при условии, что 1/(0) = 1. 3. у' = —X <\. 1-х Задание 3.5. Вычисление определенного интеграла Вариант 1 1. Найдите определенный интеграл: a)J xdx 2ч2 6)J 1 ,.3 , „2 r+i dy; % X в) -—'dx при условии а < b. J V I 2 2. При каких значениях а верно равенство {-yftdt = -? 3 а 3. Найдите такую функцию /, что для каждого значения а а верно равенство |/(x)dx = +а. Вариант 2 1. Найдите определенный интеграл: xdx -1)'^ 6)j Ч^-у"" -1 di/; в) при условии а <Ъ. J V Г !~ 4 2. При каких значениях а верно равенство Ы tdt = —? а 3. Найдите такую функцию Д что для каждого значения а а верно равенство J/(x)dx = а^ - а. 28 Задание 3.6. Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной Вариант 1 1. Вычислите: а) |jc(l - x^)^^dx; б) + x^dx. о о 1 1 2. а) Сравните между собой и jx^(l - x)^dx. о о б) Попытайтесь обобщить полученный результат. 100 jfrnt 3. а) Вычислите: — jf{100t)dt б) Полученный результат обобщите. Вариант 2 1. Вычислите: 1 а) ^х{х^ -l)^^dx\ б) ^ х^ dx. 2. а) Сравните между собой Jx^(l - и Jx'*(l - о о б) Попытайтесь обобщить полученный результат. 101 3. а) Вычислите: -------• jf(101t)dt о б) Полученный результат обобщите. Задание 3.7. Интеграле переменным верхним пределом Вариант 1 X 1. /(х) = J(1 - t^)dt. Найдите J/(x)dx. 29 д. 2. Пусть F'{x) = J(1 -2^)dz. При каких х достигает экстре- мальных значений функция F{x), если 2^(0) = -1? Г:^ 3, Найдите dt \' 4, Найдите функцию f(x), отличную от нуля и такую, что jf(a)da = fix). dt 5. Нарисуйте график функции f(x) = f- о1 Вариант 2 X 1. f(x) = j(t^ - l)dt. Найдите J/(л:)dx. о X 2. Пусть F'{x) = J(1 -2^)dz. При каких х достигает экстре- 0 мальных значений функция F(x), если F{0) = 1? {'2х -- ^ * 3. Найдите Y dt I t +1 4. Найдите функцию /(х), отличную от нуля и такую, что J/(a)da = - fix). о 5. Нарисуйте график функции fix) = f—— il^t^ Задание 3,8. Вычисление площадей с помощью опредэленного интеграла Вариант 1 1. Параболу!/ = х^ отразили относительно прямой х = 3. Сделайте рисунок и найдите наибольшую из плогцадей, ограниченных графиками обеих кривых и осями координат. 30 Вычислите меньшую из двух площадей фигур, ограниченных прямой X = О, графиком у = и нормалью к этому графику, проведенной через точку с абсциссой х = -1, Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х^ - X - 2 и у = х^ -\-2х^ -5х -6. Вариант 2 Параболу г/=д:^ отразили относительно прямой д: = -3. Сделайте рисунок и найдите наибольшую из площадей, ограниченных графиками обеих кривых и осями координат. Вычислите меньшую из двух площадей фигур, ограниченных прямой X = О, графиком у - х^ и нормалью к этому графику, проведенной через точку с абсциссой х = 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х^ •¥ X - 2 и у = х^ -2х^ - Бх + 6. Задание 3.9. Вычисление определенного интеграла с помощью площади Вычислите: 4 Вариант 1 . ------ 3 а) Jl^ -z\dz. о о 1 1 2. Сравните, не вычисляя, J(x^ - x^)dx и ~^[^)dx. о о 3. Пусть g{x) — непрерывная и положительная функция на R. При этом для всякого X выполняется равенство а+1 1 ^(x+l)=g(x). Сравните ^g{x)dxvi^g{x)dx. а О 4. f{y) = ky^ - у -\-k. Для каких значений k при любом а и любом bj большем, чем а, выполняется неравенство lf{y)dy >0? 31 Вариант 2 1. Вычислите: 5 а) |д/25 - dx\ б) J|2 - 2 \dz. о о 1 1 2. Сравните, не вычисляя, J(x^ - x^)dx и j{^fx - ^[^)dx. 3. Пусть ^(х) R. При непрерывная и положительная функция на равенство этом для всякого X выполняется а+1 1 g{x~l) = g{x). Сравните Jg(x)dx и Jg’(x)dx. 4- f (у) = ky^ + г/ + й. Для каких значений k при любом а и любом Ь, большем, чем а, выполняется неравенство ь \fiy)dy < О? 1. Задание 3.10. Нахождение объема с помо1цыо интеграла Вариант 1 Найдите объем фигуры, образованной вращением части плоскости, ограниченной графиком у = х^-1 и прямой I/ = О, вокруг: а) оси X; б) оси Y; в) прямой у = -1, 2. Основание тела — круг радиуса 1. Любое сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной к одному и тому же диаметру этого круга и проходящей через внутреннюю точку этого диаметра, является равносторонним треугольником. Вычислите объем этого тела. 3, Может ли фигура, образованная вращением вокруг оси X графика некоторой функции, ограниченная плоскостями X = а и X = Ь (а < Ь), иметь объем, меньший, чем к при любом значении Ы Вариант 2 1. Найдите объем фигуры, образованной вращением части плоскости, ограниченной графиком у ~ -х^+1 и прямой у = О, вокруг: а) оси X; б) оси Y; в) прямой у = 1, 32 2. Основание тела — круг радиуса 1. Любое сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной к одному и тому же диаметру этого круга и проходящей через внутреннюю точку этого диаметра, является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой в основании. Вычислите объем этого тела. 3. Может ли фигура, образованная вращением вокруг оси X графика некоторой функции, ограниченная плоскостями X = а и X ~ Ь (а < Ь), иметь объем, меньший, чем 1 при любом значении Ь? Задание З.Л. Длина кривой Вариант 1 1. у = (I - Вычислите длину кривой на промежутке 2. Сравните длину кривой г/ ~ на промежутках [О, 1] и [1, 2]. 3. Найдите дифференцируемую на R функцию /, такую, что для любого д: > о длина графика f на промежутке [О, х] равна 2/(д:). У = 3-4д: Вариант 2 ■у[~х. Вычислите длину кривой на промежутке [м]- 2. Сравните длину кривой z/ = д:^ на промежутках [О, 1] и [1, 2]. 3. Найдите дифференцируемую на R функцию /, такую, что для любого д: > О длина графика f на промежутке [О, д:] равна -2/(д:). Задание 3,12, Оценка определенных интегралов Вариант 1 Докажите, что Г— x^dx <1. д: +1 /* X dx 2. Оцените с обеих сторон Г------ il + д: 33 3. Пусть на промежутке [О, 1] непрерывная функция принимает значения от 1 до 2. а) Оцените сверху и снизу [ - ^ , о/(^) б) Докажите, что 2j--+ J/(x)dx < 3. о f о 4. а) Приведите пример такой функции /, что выполняется неравенство /(0) 1; б) на промежутке [1, +«>). 3. Фигура ограничена линиями: у - — л- I/ = О, X = а, X - 2а{а > 0). 6 При каких значениях а площадь этой фигуры экстремальна? 37 4. Чему равна сумма 2 • 2 + 3 • 2^ +4-2^ +... + 100 • 2®®? 2 5. а) Вычислите (х -1){2 - x)dx. 1 б) Обобщите полученный результат. Вариант 2 1. Вычислите наименьшую площадь фигуры, ограниченной линиями у = -у[~х, у = х^иу = х + 6. » ин Пх) = 2. Сравните интегралы от функций ^ и g{x) = ^ х^ + X X +1 - Сравнение проведите для двух случаев: а) на промежутке [1, а] при а > 1; б) на промежутке [1, +оо). 3. Фигура ограничена линиями: у = у = Of X = а, X = 2а(а <0), 6 При каких значениях а площадь этой фигуры экстремальна? 4. Чему равна сумма 2 • 2 + 3 • 2^ + 4 * 2^ +... +100 • 2®®^? 3 5. а) Вычислите J^/ (д: - 2)(3 - x)dx, 2 б) Обобщите полученный результат. Тема 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задание 4J. Значения тригонометрических функций Вариант 1 1. Укажите такое число д:, что верно неравенство зшд: • cos2x • tg3x • ctg4x • secbx созесбд: < 0. 2. Множество А состоит из всех чисел вида а множество В состоит из всех чисел вида | + лА (А — целое число). Найдите значения всех тригонометрических функций для чисел, входящих в оба множества. 38 3. = (sinx)^". а) При каких значениях х последовательность (а„) не является геометрической прогрессией? б) При каких значениях х последовательность (а„) является бесконечной убывающей геометрической прогрессией? в) Вычислите сумму этой прогрессии при х = 4. Найдите корень уравнения tg^x + tgx = О на промежутке [23, 24]. 5. sin а 2 ’ cosp = tgY = Ctg5 = /з. Числа а, р, у, 5 лежат в промежутке [О, 2л]. Вычислите наибольшее и наименьшее значения суммы а + Р + у + 8- Вариант 2 1. Укажите такое число х, что верно неравенство sinx ■ cos2x • ctg3x ■ tg4x • cosec5x -sec6x < 0. 2. Множество A состоит из всех чисел вида а множество В состоит из всех чисел вида + яй (й — целое число). Найдите значения всех тригонометрических функций для чисел, входящих в оба множества. 3. = (cosx)^'^. а) При каких значениях х последовательность (а„) не является геометрической прогрессией? б) При каких значениях х последовательность является бесконечной убывающей геометрической прогрессией? в) Вычислите сумму этой прогрессии при х = -|. 4. Найдите корень уравнения ctg^x + ctg х = 0 на промежутке [23, 24]. 5. cosa = |,sinP = ctgy = -^[d,tgb = Числаа,р, у, 5 лежат в промежутке [0, 2я]. Вычислите наибольшее и наименьшее значения суммы а + Р + у + 5. Задание 4.2. Общие свойства тригонометрических функций Вариант 1 1. Найдите область определения функции f{x) = 2. Решите уравнение 2sin^x + cosх +1 = 0. sinx cosx-1 0.5 39 3. Исследуйте на четность и нечетность функцию ,cos t а sin t -1 4. Исследуйте на периодичность функцию: а) у = б)у =tgx + tgnx. 5. Нарисуйте в системе координат множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у -\у\ = у tgx. Вариант 2 1. Найдите область определения функции f{x) = 2, Решите уравнение 2 cos^ л: + sin х + 1 = О. Г N^0,5 COS X sin X -1 3. Исследуйте на четность и нечетность функцию ,sin t x(t) = ^ • а sin t -1 4. Исследуйте на периодичность функцию: а) г/ = cos^l лс|; б) у - ctgx + ctg лл:. 5. Нарисуйте в системе координат множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению г/ + |г/1 = г/ • ctg д:. Задание 4.3, Основные тригонометрические тождества Вариант 1 1. Представьте в виде степени произведения двух тригонометрических функций выражение cosec® д: - 3cosec х + 3sin д: - sin® х. 2. Упростите выражение - tg®a)(ctg®a-1) и вычислите 3. Решите уравнение sin х + cos х - sec х на промежутке [0, л]. 4. Пусть tga + ctga = 2,5. Вычислите значение выражения sin а - cos а sin а + cos а 40 5. Пусть р = 1-t^ q = 2t i + t^ . Может ли значение выражения lv 1-а" быть больше, чем 3? Вариант 2 1. Представьте в виде степени произведения двух тригонометрических функций выражение зес^д: - Ззес х + Зсоз д: - соз^ х. 2. Упростите выражение yOL-ctg^o)(tg^a-^ и вычислите его значение при л = |. 3. Решите уравнение зш х + соз х = созес х на промежутке [-0,5 я; 0,5я]. 4. Пусть tga + ctga = 3^, Вычислите значение выражения sin а + соз а 5. Пусть р = -1+Г i + t^ q = sina - cos а ~2t 1 + r . Может ли значение выраже- 1 _ 2 ния---— быть больше, чем 3? 1-р^ Задание 4,4. Нахождение значений тригонометрических функций по значению одной из них Вариант 1 1. Пусть число X удовлетворяет двум условиям: tgx = 10 и я < д: < 1,5я. Расположите в порядке возрастания значения всех тригонометрических функций при этом х, 2. cosect - а. Сравнитеtg^с числом 2 при: а) а = 1Д; б) а = 1,2. 3. Дано неравенство cos^z + tg^z + ctg^z + sec^z > 4. а) Проверьте его истинность при z б) Установите, при каких z оно верно. 4. ctgy = 2. Найдите значение выражения 5sin^j/ - 4siny cosy + 3 -4sin^i/ + Ззшг/ cosy - 5cos^i/ 41 Вариант 2 1. Пусть число X удовлетворяет двум условиям: ctgx =10 и я < л: < 1,5 я. Расположите в порядке возрастания значения всех тригонометрических функций при этом х. 2. sec^ = а. Сравните ctg^ с числом 2 при: а) а = 1Д; б) а = 1,2. 3. Дано неравенство sin^z +tg^2 + cig^z + cosec^a > 4. а) Проверьте его истинность при z = ^, б) Установите, при каких z оно верно. 4. tgy = 2, Найдите значение выражения -3sin^y + 5siny cosy + 4 4sin^i[/- 5siny cosy - Зсоз^у - cosec- x)sec(x - 5я). Задание 4.5, Формулы приведения Вариант 1 1. При каких натуральных значениях k для любого х верно равенство sin л: + sin(x + я) + ... + sin(x + kn) = 0? 2. При каких значениях а уравнение tg (30° - x)-tg (120° - х) = а не имеет решения? 3. Нарисуйте график функции ^ tg(я - х)8ш(1,5я - х) cos (я + х) ctg (1,5 я - д:) 4. Сравните sin(cosl) и cos(sinl). 5. Что больше: cosec (-^) - sec (--^) или tg(-^) + ctg(-~)? Вариант 2 1. При каких натуральных значениях k для любого х верно равенство cosд: + соз(д: + я) + ... + соз(д: + Ая) = 0? 2. При каких значениях а уравнение ctg (60° - х) - ctg (150°- х) - а не имеет решения? 3. Нарисуйте график функции ctg (я - х) cos (1,5 я - д:) f(x) = sin (я + л:)tg(l,5я - д:) + sec(| + д:)cosec (д: - 5я). 42 4. Сравните sin(sinl) и cos(cosl). 5. Что больше: -cosec(-^) -sec(--^) или tg(^) + ctg^ (-^)? Задание 4.6. Контрольное задание Вариант 1 tg^x + tgx <0. Найдите остальные 1. sino: 2а а^ +1 тригонометрические функции и установите, при каких значениях а они существуют. 1 + sin t Упростите выражение 1 - sin t при -3 < ^ < 2. 1 - sin t “У 1 + sin t Нарисуйте в системе координат множество точек, координаты которых удовлетворяют условию sin® д: + cos^ У ^ 2. 4. Пусть X = tg^a + ctg^a, у = sina + cosa, z = seca + coseca. Выразите x через у viz. 5. f{x) = (cosx)“^ - ig^x. Найдите область значений f{x). 6. Вычислите сумму созОДя + соз0,2я +...+ созО^я, 7. Решите уравнение ^ sin (1 - x)=>yj cos 2 д: на промежутке [О, 1]. Вариант 2 1. со8л: = 2а •у/а^ +1 , tg^x + tgx <0. Найдите остальные триго- нометрические функции и установите, при каких значениях а они существуют. __________ 2. Упростите выражение 1 - cos t 1 + cos t 1 + cos t у 1 “ cos t при -3 < t <2. 3. Нарисуйте в системе координат множество точек, координаты которых удовлетворяют условию cos® X + sin^ у ^ 2. 4. Пусть X = tg^a + ctg^a, у = sina - cosa, z = seca - coseca. Выразите x через у viz. 5. f{x) = (sinx)“^ - ctg^x. Найдите область значений f(x). 6. Вычислите сумму sin (| + ОДя) + sin(| + 0,2 я) + ... + sin(| + О^я). 43 7. Решите уравнение cos (1 - jc) = ^ sin 2 х на промежутке [-0,5, 0,5]. Тема 5 НАЧАЛА АНАЛИЗА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Задание 5.1. Вычисление пределов Вариант 1 Вычислите предел. 1. lim igZx о sinx-sina 2. lim----------. x-a 3. lim x sin—. 4, lim arcsinax tg{f + 2x)-2tg{^ + x)-4s 5. lim--^^ sin л: Вычислите предел. 1. lim дг->0 Вариант 2 х^о ctgSx 2. lim cos л: - cos a x-a 3. lim AT sin —. X^-oo X 4. lim arcsin X x-^o sin ax 5. lim д:^0 ctg(^ + 2x)-2ctg(^ + x)-l43 Задание 5.2. Вычисление пределов Вариант 1 Вычислите предел. - т sinx+sin3x+...sin(2a-1)х . 1. lim------------^----------- {п G N). х^О arcsin X 2 sm^ ^ g sinx *-.1 ' ' ® 2 4. lim X cos — X 5. lim sm{n^|n^^) (ns N), 44 Вариант 2 Вычислите предел. - sin2x + sin4x+...sin2/ix . 1. lim----------------------- (п e N). arcsine: 2. lim (a € N). sin ад: n X 3. lim {l-\-x)tg x^-i 2 4. lim X jc-»0 sin — X 5. lim sin(nyre^-l) {n e N). Задание 5.3, Непрерывность тригонометрических функций Вариант 1 1. Можно ли доопределить до непрерывной в точке О функцию fix): а) fix) = sin X б) fix) = tgx - sin X, 2. Укажите точки разрыва функции fix) и доопределите функцию в этих точках до непрерывной, если fix) = sin^ X 1 - cos X 3. Имеет ли уравнение 3sin^ д: + 5sinx-1 = О решение при X е (О, 0,5 л)? Сколько? 4. Найдите множество значений функции fix) = sin^ X + asin д: + 1. 5. Вычислите предел lim sin sin sin ... sinl {n синусов). >oo Вариант 2 1. Можно ли доопределить до непрерывной в точке 0 функцию fix): а) fix) = Sin д: 6)fix) = - sin д: - tg д: 2, Укажите точки разрыва функции fix) и доопределите функцию в этих точках до непрерывной, если fix) = COS^ X 1 - sin X 45 3. Имеет ли уравнение Зсоз® д: + бсозл:-1 =0 решение при X G (0, 0,5 71)? Сколько? 4. Найдите множество значений функции f{x) = cos^x +acos X +1. 5. Вычислите предел lim sin sin sin ... sin2 {n синусов). n — Задание 5.4. Производные тригонометрических функций Вариант 1 1. f{x) = -—Вычислите /'(^). 1 + cos X 71 2. g{y) = sin—. Сколько экстремальных точек имеет функция У g (у) на промежутке [1, °о)? 3. h(z) = ctgaz. Известно, что в точке 2=1 функция Л (г) возрастает. Возрастает ли она в любой натуральной точке? 4. x(0=(sec i+ tg 0(sec ^+ tg 0(sec ^+ tg ^)...(sec ^+ tg 0- Вычислите x'(^). 5. Найдите функцию f{x\ такую, что f' (x) = sin^x. Вариант 2 1. /(x) = Вычислите /4^)- 1 - sin X 2. g{y) = Сколько экстремальных точек имеет функция g(y) на промежутке [1, «>)? 3. h{z) = igaz. Известно, что в точке 2=1 функция h{z) убывает. Убывает ли она в любой натуральной точке? 4. х(0= (cosec^f + ctg^0(cosec^f + ctg^f)(cosec®f + ctg®0 ... ... (cosec+ ctg®^0- Вычислите x'{-~). 5. Найдите функцию /(x), такую, что f'{x) = cos^x. 46 Задание 5.5. Производные тригонометрических функций Вариант 1 1. Под каким углом пересекаются в первой четверти графики функций у :=tgx и у = ctgx? 2. z/=cos(arcsin д:). Упростите выражение (1-х^)у"-ху'-^у. 3. При каких значениях а функция у = sin ад: убывает на промежутке [1, 2] и возрастает на промежутке [О, 1]? 4. При каких значениях k уравнение t + cost = k имеет единственный корень? 5. Могут ли парабола у = ах^ и график функции у = -созд: иметь общую касательную? Вариант 2 1. Под каким углом пересекаются в четвертой четверти графики функций у = tgx и у = ctgx? 2. у = sin(arccos д:). Упростите выражение (1 - х^)у"- ху' + у. 3. При каких значениях а функция у = cosax убывает на промежутке [О, 1] и возрастает на промежутке [1, 2]? 4. 5. При каких значениях k уравнение t + sint = k имеет единственный корень? Могут ли парабола г/= аи график функции y=cosx иметь общую касательную? Задание 5.6. Графики тригонометрических функций Вариант 1 1. Нарисуйте график функции: а) у = 10,5 - 2sin(0,5x -1)|; б) у = sin^ х + cos х; в) у = sin (cos х). 2. Имеет ли уравнение tgx = -5х^ +10х - 4,5 решение на промежутке (0, 0,5тс)? 47 Вариант 2 1. Нарисуйте график функции: а) у = 12 cos(0,5л: + 2) - 0,5|; б) у = sin х + cos^ х; в) у = cos (sin х). 2. Имеет ли уравнение tgx - 5х^ +10 д: + 4,5 решение на промежутке (-0,5я, 0)? Задание 5.7. Интегрирование тригонометрических функций Вариант 1 1. Вычислите /(-|), если f'"{x) = cos — + sin—, /(0) = 0, Пп) = 0. 1,5 л 2. Вычислите J | cos x\dx. -0,5 я 0,25 я 2 3. Докажите, что f ^ dy < 0,5. i 2 + tg2y 4. Найдите jtg^z dz. 0,5 я ____________ 0,5 я __________________ 5. Сравните J д/ sin х - sin^ xdx и J д/ cos х - cos^ х dx о Вариант 2 1. Вычислите /(-|), если f"\x) - cos2x +зш2д:, /(0) = 0, /(0,5я) = 0,5. 2 л 2. Вычислите j |sin x\dx. о 0,5 я 2 3. Докажите, что f У ^ q g J 9 _L л+л-2,. 0.25я2 + Ctg у 4. Найдите ^cig^z dz. 0,5 я ____________ 0,5 л __________________ 5. Сравните J д/sin х + sin^ xdx та. J д/ cos х + cos^ х dx. о 48 Задание 5.8. Гармонические колебания Вариант 1 1. Нарисуйте график функции у = -3sin (2| х | - |). 2. Функция у(х) такова, что у" + у = 0^ г/(0) = 1, у'{0) = -1. При каких значениях х на промежутке [О, 2nj у > О? 3. Функция у{х) такова, что у" + 0,25у = О, г/(0) = ^'(0) = 1-Найдите площадь, ограниченную ее графиком и осью X на промежутке между двумя ее соседними корнями, 4. Найдите функцию f{x), такую, что f"{x) + 4/(х) = sinx. Вариант 2 1. Нарисуйте график функции у = -0,5cos (0,5| х| + |). 2. Функция у{х) такова, что у" у = 0, у(0) = -1, г/'(0) = 1. При каких значениях х на промежутке [0, 2л] г/ > 0? 3. Функция 1/(х) такова, что у" + = 0, г/(0) = у'(0) = 1. Най- дите площадь, ограниченную ее графиком и осью X на промежутке между двумя ее соседними корнями. 4. Найдите функцию /(х), такую, что f" (х) + 4/(х) = cosx. Задание 5.9. Контрольное задание Вариант 1 1. /(х) = tgx • secx. Имеет ли решение уравнение f{x) - /'(x)cosx + /"(x)cos^ X = о? X cos X 2. Нарисуйте график функции у =-------. 3 - sin X 3. Верно ли для каждого t из промежутка [0, 0,5 л) неравенство 2sin^ -I- tgt > 3t? 4. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 1. Угол А равен 60°. Найдите наибольшее значение периметра треугольника. 5. Вычислите площадь, ограниченную графиком функции у ~ sec^ х и касательными к нему в точках с абсциссами ^ и -Фигура задана условиями: у < asinx, у < ^cosx (а>0), г/>0, 0<х< 0,5 л. Найдите экстремальные значения ее площади. 49 7. Вычислите lim Д—>оо л-1 . я У sin^ " п k=l Вариант 2 1. f{x) - ctgx • cosec д:. Имеет ли решение уравнение fix) - /'(^^)sinx + /"(^:)sin^ д: = О? 1 + cos X 2. Нарисуйте график функции у = 3 + sin X 3. Верно ли для каждого t из промежутка [О, 0,5я) неравенство sint + 2tgt > 3t? 4. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 1. Угол А равен 120°. Найдите наибольшее значение периметра треугольника, 5. Вычислите площадь, ограниченную графиком функции у = cosec^ X и касательными к нему в точках с абсциссами Ли—. 4 4' 6. Фигура задана условиями: у < acosXj у < isinx (а >0), у >0, 0 < х < 0,5я. Найдите экстремальные значения ее площади, л-1 , Я > COS тг— А=1 7. Вычислите lim ------------. л-»«> 2/1 Тема 6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Задание 6Л. Уравнения и неравенства для тангенса и котангенса Вариант 1 1. Решите уравнение: а) igx cXg2x = о на промежутке [0, 2я]; б) ^igy - а = д/1 ~igy\ в) |tg^ + ctgt\ = 2 - tg^t. 50 2. Решите неравенство: а) tg^x > tg х;_________ б) tg X -1 < -Jtg^x +tgx - 2 на промежутке [ - 0,5 я, 1,5 я]. Вариант 2 1. Решите уравнение: а) ctgx tg2x = О на промежутке [О, 2я]; б) д/ ctgy -1 = ^а- ctgy; в) |tg^ + ctgt| = 2 - ctg^^. 2. Решите неравенство: а) ctg^x < ctgx; б) ctg X -1 < ctg^x + ctg X - 2 на промежутке О, 2 яJ. Задание 6,2, Уравнения и неравенства для синуса Вариант 1 1, Решите уравнение: . sinx sin2x « гп о т а) ---------= О на промежутке О, 2я ; 1 - sin X ^ б) sinx + sin3x + sin7х = 3; в) sin(sinx) = О . 2. Решите неравенство; а) sin^ 2х < 0,25 на промежутке [О, |j; б) - 4z/ > siny - 2, Вариант 2 1. Решите уравнение: ,, sinx sin0,5x ^ гл о i а) ---------= О на промежутке О, 2я ; 1 + sin X L J б) sinx + sin3x + sin5x = -3; в) sin (sinx) = 1. 2. Решите неравенство: а) sin^ 0,5 X < 0,75 на промежутке [О, б) -4у^- 4у < siny + 2. 51 Задание 6.3. Уравнения и неравенства для косинуса Вариант 1 1. Решите уравнение: cos д: а) cos (х -1) cos {х + 1) = о на промежутке б) |0,5 + cost] + |0,5 - cosf I = |; в) acos^ 2=1. 2. Решите неравенство: а) cos^0,25x > 0,75 на промежутке [0, 2я]; б) cos^ у - cos у -l\> cos у. 1. Решите уравнение: cos д: а) cos (2 - д:) cos (2 + д:) Вариант 2 о на промежутке б) |0,5 + cos^ I + I - 0,5 + cos^ I = 1; в) acos^ z = -1. 2. Решите неравенство: а) со8^2д: > 0,25 на промежутке |^0; 0,5яJ; б) cos^ у + cos у -1 > - cos у, Задание 6.4, Уравнения для синуса и косинуса Вариант 1 1. Решите уравнение: . sin д: - cos д: ^ « . . а)----------= 0; б) 8есд: - осоед: = 4sinx; 1 - sin 2 X в) I sin X + cos XI = cos X - sin x на промежутке j^O, 2 я] ; . sin^ д: + sin д: cos x - Г)---^^-----------=1. cos X - sin X cos X 2. При каких значениях a уравнение sin 2 + cos 2 = a имее на промежутке [О, 2я] единственный корень? 52 Вариант 2 1. Решите уравнение; sin X + cos X = О на промежутке ^0, 27ij ; а) 1 +sin2x б) cosec X - 6sin х = 4 cos х; в) I sin X - cos XI = cos X + sin x на промежутке |^0, 2 7i]; . cos^ X - sin X cos X . Г)—1—^------------= 1- sin X + sin X cos X 2. При каких значениях a уравнение sin2-cos2=a имеет на промежутке [^0, 2 я] единственный корень? Задание 6.5.Уравнения ДЛЯ всех тригонометрических функций Вариант 1 1. Решите уравнение: , sin2X cosЗх ^ г л т а) —^—;------= о на промежутке I 0, я ; 1 + sin X 1 + tgx б) + cigx = cosecд:; в) ctg^x = 1 + cos X 2. При каких значениях а имеет решение уравнение tg^o: + 2atgx cos4д: + =0? 3. Нарисуйте график числа решений на промежутке [0, 2я] уравнения tg д: -1 = а (sin х - cos х) при а > 0. Вариант 2 1. Решите уравнение: cos 2д:sinЗд:« т = о на промежутке 0, я ; а) 1 + ctg X б) -^1 +tgx = аесд:; в) tg^д: = 1 + sin X 1 + cos X 2. При каких значениях а имеет решение уравнение ctg^x + 2а ctg д: sin2 д: + =0? 3. Нарисуйте график числа решений на промежутке [0, 2я] уравнения tg д: +1 = а (sin х + cos д:) при а > 0. 53 > о на промежутке О, я ]; > О на промежутке [О, я]; Задание 6.6, Неравенства ДЛЯ всех тригонометрических функций Вариант 1 1. Решите неравенство: а) COS X sin 4 X б) а cos^ z - (а^ + l)cos2 + а < О при О < а < 1; в) IsinX -tgx'^> sinX на промежутке (0; 0,5я). 2. Докажите, что неравенство tg(яsecд:) >1 имеет решения, сколь угодно близкие к 0,5я. 3. Пусть ctg2>l и sin2>а. Следует ли из этого, что cos2>a? Вариант 2 1. Решите неравенство: а) _rtg£_ COS 2 X sin X б) а cos^2 - (a^ + l)cos2 +а < 0 при -1 < а < 0; в) |-sinx +tgjc| > -sinx на промежутке (-0,5я, 0). 2. Докажите, что неравенство ctg (я cosec х) > 1 имеет решения, сколь угодно близкие к нулю. 3. Пусть tg2>l и cos2>а. Следует ли из этого, что sin2>a? Задание 6.7, Контрольное задание Вариант 1 1. Решите уравнение: а) cos (я д/ X -4) cos (я ^yfx) = 1; б) sin® X + cos® X = 1. 2. При каких значениях а уравнение sin®!/ - (а®- 3)sin^ + а®- 4 = 0 имеет два решения на промежутке 2яJ? 3. Решите неравенство: а) д/ cos2 - sin2 > sin2 - 0,5 на промежутке [0, я ]; б) asint + cosf > sec^ при а>0 на промежутке [О, я]. 54 4. Длины сторон прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите меньший острый угол этого треугольника. Вариант 2 1. Решите уравнение: а) cos{n-yJ X - 4) cos= -1; б) sin^ X + cos^ X = -1, 2. При каких значениях а уравнение cos^y + (a^-3)cosi/ +а^- 4 = 0 имеет два решения на промежутке l,5^j? 3. Решите неравенство: а) ^fsinF^^cosz > cos2 - 0,5 на промежутке [0, л ]; б) acosf+sint>cosect при а>0 на промежутке 4. Длины сторон прямоугольного треугольника составляют геометрическую прогрессию. Найдите меньший острый угол этого треугольника. Тема 7 ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ Задание 7Л. Теорема сложения Вариант 1 1. Вычислите уесли у = sin{x - п) ctg(l,5^ + 0,5х) - sin (1,5 л - х). tg(^ + х) tg(^ -х)-^ 2. Вычислите lim —^^----------------. JC-.0 Д.2 3. При каких значениях а имеет решение уравнение cos2y cos ay - cos (a + 2)y cosecay 4. Вычислите сумму arcsin^ + arccos^. = 0? 55 5. Вычислите cosP, если cos(a + Р) = 1, cosa = ^, О < а < 0,5л, л < Р < 1,5 л . Вариант 2 1. Вычислите если у = sin (л: - л) tg(l,5л + 0,5х) + sin (1,5 л - х). 3-tg(^ + o:) tg(^-x) 2. Вычислите lim ----------- х^О Д.2 3. При каких значениях а имеет решение уравнение cos (а +1)у - cosy cosay _ cosec ay 4. Вычислите сумму arcsini + arccos-i. 5. Вычислите sinP, если sin(a + Р) = sina = 0<а<0,5л, л < Р < 1,5 л , Задание 7.2. Формулы кратных углов Вариант 1 1. Упростите выражение sin^(a -1,5л)вш(3а + 0,5л) + соз®(3,5л + а) cos (За -2,5 л). 2. Найдите ту первообразную F(x) для функции / (х\ которая удовлетворяет условию F{0) = 0, если fix) = -^1 - sin2x и -0,75л < л: < 0,25л. 3. Вычислите экстремальные значения функции Ф (I/) = cos (2arcsin(tgy)). 4. Решите уравнение 4зш'^0,5г - 4sin^0,52 +1 = |а - cos^2 |. 5. Является ли рациональным числом tg5°? Вариант 2 1. Упростите выражение sin^(a - 1,5л)зш(3а - 2,5л) + сов^(3,5л + a)cos(3a + 0,5л). 2. Найдите ту первообразную F(x) для функции f (х), которая удовлетворяет условию F(n) = 0, если fix) = -71 “sin2X и 0,25л < л: < 1,25л. 56 3. Вычислите экстремальные значения функции Ф (у) = cos (2arccos(tgy)). 4. Решите уравнение 4соз'^0,5г -4cos^0,52 +1 = |соз^г -а|. 5. Является ли рациональным числом tg7,5°? Задание 7.3. Формулы половинных углов Вариант 1 1. Решите неравенство 1 + cos X + cos 2 X + cos 3 х < X если О < л: < л. sin2x + 2sin JC cos 2 л: 2. Нарисуйте график функции f{x) = sin(0,5arctgx). 3. Нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию 8ш^д: = cos^0,5y, О < л: < 10, 0 < у < 10. 4. Сколько решений на промежутке Г-0,5 л, 0,5л] уравнение sin(2^ -1,5 л) - cos (0,5 л + 2^) = |tg^|? имеет 0,5 я 5. Вычислите J dx -0,5 я 2 + cos X Вариант 2 1. Решите неравенство 1 - sin д: - cos2x + зшЗд: < 1, если -0,5л < л: < 1,5л. sin 2 X + 2 cos X cos 2 х 2. Нарисуйте график функции f(x) = cos(0,5arcctgx). 3. Нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию sin^y = cos^0,5x, 0 1. 5. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтальной плоскостью угол 30°, лежит тело массой т. К нему приложена сила, которая составляет угол а с этой плоскостью. Она должна поднять тело по наклонной плоскости. Коэффициент трения равен 0,2. При каком угле эта сила имеет наименьшее значение? Вариант 2 1. Решите неравенство | sin 0,25 х + cos 0,25 д: | < 1. 2. f(x) ~ sinx sin2x. а) Найдите для f{x) такую первообразную F{x), что F(0) =0. б) Нарисуйте график этой первообразной. в) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком первообразной и осью X на промежутке между двумя ближайшими точками максимума этого графика. 3. Пусть а + Р + Y = 0,5я. Вычислите -ctga - ctgP - ctgy + ctga ctgP ctgy. 60 4. Упростите выражение 2arctg^: +arcsin- 2х 1-h при д: < -1, 5. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтальной плоскостью угол 60°, лежит тело массой т. К нему приложена сила, которая составляет угол а с этой плоскостью. Она должна поднять тело по наклонной плоскости. Коэффициент трения равен 0,2. При каком угле эта сила имеет наименьшее значение? Тема 8 ОБРАТНЫЕТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задание 8J, Свойства обратных тригонометрических функций. Производная этих функций Вариант 1 1. Решите уравнение (arcsin(-д:))^ +(агссозд:)^ =36. 2. Решите неравенство arcsin(y^-i/ +1) < arccos(i/^+ у +1). и'' X 3. у(х) = агсзшад:. Найдите а, если — =------. у' 1-х" 4. Пусть а о, |а I < 1. Найдется ли такое значение х, при котором arcsin(x-a), arcsinx, arcsin(x + a) являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии? 5. Пусть г/i =arcsinax, У2 = arccosx-0,5 л. Могут ли графики этих функций пересекаться под прямым углом? Вариант 2 1. Решите уравнение (arcsinx)" + (arccos(-x))" =36. 2. Решите неравенство arcsin (i/"+ у -\-1) < arccos (^"- у +1). и" X 3. у{х) = arccosax. Найдите а, если — =------. у' 1-х" 4. Пусть а о, |а I < 1. Найдется ли такое значение х, при котором arccos (х-а), arccos х, arccos (х+а) являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии? 61 5. Пусть У1 =arccosax, г/2 = arcsinx + 0,5я. Могут ли графики этих функций пересекаться под прямым углом? Задание 8,2. Графики обратных тригонометрических функций Вариант 1 1. Нарисуйте график функции: а) у = |- 2 “ arcsin(2 - |х|)|; б) г/ = arcsin-/x; в) у = arcsin^:"^; г) г/ = arccos(sinx). 2. Нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению arcsin(xz/) = arcsin(o: + у). Вариант 1 1, Нарисуйте график функции: а) I/ = |“2 -arcsin(-2 + |^|)|; б) у = arccos/^; в) у = агссозл:'^; г) у = arcsin(cos х). 2. Нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению arccos(xy) = arccos(x + у). Задание 8,3, Тождества, уравнения и неравенства, содержащие арксинус и арккосинус Вариант 1 л:^ + 1 1. Решите уравнение arcsin д: = arccos 2х 2. Найдите целые решения неравенства arccos Зх) > ^, 3. Верно ли неравенство агсзш2д: > х, если О < д: < 0,5? 4. а) Сравните arccosи arcsin-^. 45 /5 б) Обобщите полученный результат. 5. Упростите выражение arccos X + arccos у - arccos (ху - • *^1 - у^), если 0<д:<1, 0 < у <1, Вариант 2 х^ +1 1. Решите уравнение arccos д: = arcsin---. 2д: 62 2. Найдите целые решения неравенства arcsin (х^-Зх) > 3. Верно ли неравенство arcsin0,5х > х, если 0 < х < 2? 4. а) Сравните arccosи arcsin /5 /5 б) Обобш;ите полученный результат. 5. Упростите выражение _______________ arcsin X - arcsin у - arcsin (x^J l - - г/ТТ-^^), если 0<х<1, 0<г/<1. Задание 8.4. Интегрирование при помощи арксинуса и арккосинуса Вариант 1 1. /(х) - (1-9 х^)"°’^. Нарисуйте график той первообразной для функции /(х), которая при х = 0 равна 0,5 л. и 2. Вычислите J dx 2 2 аМ и - X 3. Найдите | dx при а > о . Хд/ Х ^ -1 если х>1. Вариант 2 1. /(х) = (1 - 4х^Нарисуйте график той первообразной для функции /(х), которая при х = 0 равна 0,5 л. —и 2. Вычислите J 3. Найдите J dx dx x^f. при а < о . если X < -1. Задание 8.5. Свойства обратных тригонометрических функций. Производная этих функций Вариант 1 1. у = arctgx, 2 = ay +Ь. Есть ли такие значения а и Ь, при которых областью значений функции z (х) является промежуток (0,1)? 63 2. В последовательности (х^) х-^ = 100, arctg Вычис- лите lim х^, 3. x=arctg t, y=arctg Существует ли зависимость у от х? 4. При каком значении а график функции у = arcctgax пересекает прямую X = о под углом 45°? 5. Сравните, не вычисляя, 0,75 + arctg3 и 2arctg2, Вариант 2 1. у ~ arctgд:, z = ay -\-Ь. Есть ли такие значения а и Ь, при которых областью значений функции z (х) является промежуток (-1, 0)? 2. В последовательности ) х-^=-100, x^^i = arctg х^. Вычислите lim Xf^. 3. о:=arcctg t, у =arctg (t~^), Существует ли зависимость у от х? Y 4. При каком значении а график функции у = arcctg— пересе- а кает прямую д: = 0 под углом 45°? 5. Сравните, не вычисляя, l + arcctg3 и 2arcctg2, Задание 8.6. Графики обратных тригонометрических функций Вариант 1 1. Нарисуйте график функции; а) у = arctgX - х\ б) у = arctg(arcctg х)\ в) г/ = arcctg (1 -2|x|). 2. Решите неравенство arcctg 2 > arctg 2^. 3. Сколько решений имеет уравнение arctgх = ах^ при а > 0? Вариант 2 1. Нарисуйте график функции: а) у ~ X ~ arcctg х\ б) у = arcctg (arctg х); в) у = arcctg (0,5|л:|-1). 2. Решите неравенство arctg 2 < arcctg 2^, 3. Сколько решений имеет уравнение arctg х ~ ах^ при а < 0? 64 Задание 8.7. Тождества, уравнения и неравенства, содержащие арктангенс и арккотангенс Вариант 1 1. Решите уравнение: а) arctg (1 - а) - arcctg (а +1) = 0,25 л:; б) arctg (х -1) + arctg х + arctg (х +1) = arctg 3 х, если х > 0. 2. Нарисуйте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению arctg (х + г/) = arcctg х. 3. Вычислите 2arctg 2 - arctg0,75. 4. а) Докажите неравенство arctg 3 - arctg 2 < 1. б) Обобщите этот результат. Вариант 2 1. Решите уравнение: а) -arcctg (1 - а) + arctg (1 + а) = 0,25 л; б) arctg (х -1) + arctg х + arctg (х +1) = arctg3х, если х < О. 2. Нарисуйте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению arcctg (х + i/) = arctg х. 3. Вычислите 2arctg 0,25 + arctg 4. а) Докажите неравенство arctg 4 - arctg 3 < 1. б) Обобщите этот результат. Задание 8.8. Интегрирование при помощи арктангенса и арккотангенса Вариант 1 Л 1. Нарисуйте график функции у =-------- и вычислите пло- 1 + х* щадь, ограниченную графиком и осью х на промежутке [0. 1]. 2. /(х) = (х^ +3x^ + 2) Исследуйте на монотонность ту первообразную для функции fix), которая равна О при х = 0. 3. Можно ли, не вычисляя интегралов, проверить неравенство f—-f i ^ л J dx х^ + 4 i х^ + 2 <0Д? 65 4. Найдите J x^dx + 4 5. Докажите, что +-i-+... +^—< 7,5. 1,01 1,04 1,09 1,81 Вариант 2 X 1. Нарисуйте график функции у ----------- и вычислите пло- 1 + д:^ щадь, ограниченную графиком и осью х на промежутке [0, 1]. 2. /(х) = (jc^ + 4x^ + 3) Ч Исследуйте на монотонность ту первообразную для функции f{x), которая равна 0 при х =0. 3. Можно ли, не вычисляя интегралов, проверить неравенство 4. Найдите J 1 J о x*dx х^ + 2 dx dx х^ + 0;25 ix^ + 0,5 <2,5? 5. Докажите, что > 6,5. 1,01 1,04 1,09 1,81 Задание 8.9. Контрольное задание Вариант 1 1. Нарисуйте график функции f{x) = - 2arctg х + arcsin - 2х l + x’^ 2. Решите неравенство arccos (0,5 х -1) > 2arcctg (3-х). 3. Пусть X + arcsin X = у + arcsin у. Докажите, что arctgx = arctgy. . „ arcsin X 4. Вычислите lim----------. arctgax 5. Решите уравнение arcctg^ х (х -1) + arccos д/ х^ - х +1 = 0,5 л. 6. Нарисуйте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию 1 -tg0,25nx + arccos (х + |sini/|) = 0. 66 7. Докажите, что arctg i + arctg ^ + • ■ ■ + arctg ^ = arctg ^. Вариант 2 1. Нарисуйте график функции /(x)=2arcctgx - arccos- 2. Решите неравенство arcsin + 0,5) < 2arctg (4 - jc). о 3. Пусть X + arctg д: = г/ + arctg у. Докажите, что arcsin X - arcsin у. 4. Вычислите lim х-40 arcsinax 2д: 1 + дг^ 5- Решите уравнение arctg 7 л: (д: + 1) + arcsinх +1 = 0,5 л. 6. Нарисуйте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию 1 -tg0,25nx + arccos (д: + |cosj/|) = 0. 7. Докажите, что arctgl + arctgi +... + arctg • Телеа 9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Задание 9.1. Предел показательной функции Вариант 1 1. Вычислите lim X—»«> / 1 \2х ' X +1' х + 3 „Зх е + е 2. Есть ли асимптоты у графика функции f{x) =------? 3. Найдите функцию /(х), такую, что lim f (х) = +сх> и lim fix) = +00. 67 4. а) Вычислите lim х^2 х~2 б) Обобщите полученный результат. Вариант 2 1. Вычислите lim х-*<» X + 2 € + € 2. Есть ли асимптоты у графика функции f{x) =------? 3, Найдите функцию f{x), такую, что lim f{x) = +CXJ и lim f(x) = +00. 4. а) Вычислите lim ^^3 х~3 б) Обобщите полученный результат. Задание 9,2, Производная показательной функции Вариант 1 ( ^ У 1. = + 1 . Будет ли функция f{x) монотонной на об- ласти определения? 2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = е~^ cos X при X = О. 3. Исследуйте на экстремум функцию h(z) = 4. Докажите, что при х >0 >1х-^ х^ +-^ х^. 5. Найдите функцию у(х), такую, что у"'-г/"-2у'= О, У(0) = 0. Вариант 2 ( V 1. f(x) = \ е ' +1 . Будет ли функция f{x) монотонной на об- ласти определения? 68 2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = e"^sin X при X = 0. 3. Исследуйте на экстремум функцию h{z) = 4. Докажите, что при д:>0 <1 + х 5. Найдите функцию у{х), такую, что у'"-^ у"~ 2у'~ О, у(0) = 0. Задание 9,3. Свойства показательной функции г^2+/з Вариант 1 1. Сравните два числа: ^/2 + -/З и ^|2-43 2. Решите уравнение 3"^ + 4 = 5 . -Iх-2I 3. Решите неравенство 2 ' 4. Сколько решений имеет уравнение а^+ а'^ + 2^ = 1987 при а >0? 5. Могут ли графики функций у = а^ (а > 1) и у ~ (Ь >1) иметь две общие точки (а ^ Ь)? Вариант 2 tg- tg- 1. Сравните два числа: (tg^) ® и (tg|) ^ 2. Решите уравнение 5^ + 15 = 4^"'^. 3. Решите неравенство 2 ' ' cosx > 1. 4. Сколько решений имеет уравнение а^ +а“^ +|2 | = 1987 при а >0? 5. Могут ли графики функций у = а^ {а <1) и у ~Ъ^ ф <1) иметь две общие точки (а ^ Ь)? 69 Задание 9.4. График показательной функции Вариант 1 1. Нарисуйте график функции: a)j/=(i) Х-2 + Х+1 б)у = 2. /(^) = а2' +1, ^(О = 2 ^ + а. При каком значении а графики функций f и g имеют единственную общую точку? Вариант 2 1. Нарисуйте график функции: a)j/=(|) ; б)у = —. 2. /(f) = 2^+ а, ^(^) = а2"'+ 1. При каком значении а графики функций f и g имеют единственную общую точку? Задание 9,5. Интегрирование показательной функции Вариант 1 1. Найдите —^—^dx. е + е 1 2. Верно ли, что J+ е ^ )dx >21 о 3. f(x) = . При каком значении а > О площадь фигуры, ограниченной графиком функции f и осью х на промежутке Го, aj, равна площади фигуры, ограниченной этим же графиком и осью х на промежутке [ а, За] ? + 00 4. Исследуйте на сходимость J dx. о 5. Нарисуйте график той первообразной для функции у = е^ которая при JC = -1 равна е~^. Вариант 2 1. Найдите е + е 70 2. Верно ли, что > 21 о 3. f(x) = е~^, При каком значении а > О площадь фигуры, ограниченной графиком функции f и осью х на промежутке Г О, 2аJ, равна площади фигуры, ограниченной этим же графиком и осью х на промежутке [ 2а, За] ? г ^ 4. Исследуйте на сходимость \е dx. 5. Нарисуйте график той первообразной для функции у = которая при д: = 1 равна е. Задание 9.6. Дифференциальное уравнение показательной функции Вариант 1 1. Найдите функцию у{х), удовлетворяющую условию: й)у' = 2у и у (2х) = 0,5у (х); б) у ■ у'= и j/(0)=l; в)4у"'-у'=0, 1/(0) = 2 и у{2) = е + е-К 2. Вещество А вступило в реакцию с другим веществом. Скорость реакции пропорциональна количеству вещества А. Через 1 ч после начала реакции осталось 100 г вещества А, а через 3 ч осталось 25 г вещества А. Сколько вещества А было в начале реакции? Вариант 2 1, Найдите функцию у{х), удовлетворяющую условию: &)у'=0^у и у(2х) = 2у{х); б) I/• у'= и ^(0) = 2; в)у"'~4у' = 0, у(0) = 2 и у{1) = е^+е~^. 2. При брожении скорость прироста фермента пропорциональна его количеству. Через 2 ч после начала брожения стало 6 г фермента, а через 6 ч стало 24 г фермента. Сколько было фермента в начале брожения? 71 Задание 9.7. Контрольное задание Вариант 1 1. а) Нарисуйте график функции y = e^sinx, б) Какой угол с осью х образует касательная к графику в точке с абсциссой д: = О? в) Докажите, что площадь S фигуры, ограниченной графиком и осью X на промежутке [О, 1] удовлетворяет неравенству S < 1. 2. Решите уравнение 2 х-3\ -\х^-х-б\=1. 3. Докажите, что уравнение 2х - х • =1 имеет поло- жительный корень. 4. Решите неравенство 10^ +11^ > (^/221)^. 5. Найдите функцию у(х)у которая удовлетворяет условию у' = е^-у и у" = 2у'. 6. Докажите, что при а+Ь + с = 0 3"+3^+3^>3. Вариант 2 1. а) Нарисуйте график функции у = e^cosx. б) Какой угол с осью х образует касательная к графику в точке с абсциссой д: = 0? в) Докажите, что площадь S фигуры, ограниченной графиком и осью X на промежутке [0, 1] удовлетворяет неравенству S > 1. 2. Решите уравнение 3 х-З - д:^ - д: - 6 = 1. 3. Докажите, что уравнение Зх + - х ■ =1 имеет поло- жительный корень. 4. Решите неравенство 9^ +10^ < (д/181)^. 5. Найдите функцию у(х), которая удовлетворяет условию у' = 2у и у"=у' е\ 6. Докажите, что при а + Ь + с = 0 3"“ + 3"^ + 3"^ > 3. 72 Тема 10 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Задание 10 J. Логарифмирование и потенцирование Вариант 1 1. Нарисуйте график функции f{x) = log4 — - 2log4 4х^. 4 2. Вычислите -log2 log2 3. Пусть а > О, Ь > О, = 7 ай. Докажите, что lg£_^_0,5(lga+lgb) = 0. О 4. Пусть log2 (л[3 +1) + log2 (-/б - 2) = ft. Чему равно значение выражения log2 (^[3 -1) + logg (-/б + 2)? 5. Докажите, что log4l8 — число иррациональное. Вариант 2 х^ в 1. Нарисуйте график функции f (х) = logg--2logq6x . б 2. Вычислите -Ig Ig 3. Пусть a > О, Ь > О, = Пай. Докажите, что lg^-^-0,5(lga+lgb) =0. О 4. Пусть log4 +1) + log4 i^[8 - 2) = ft. Чему равно значение выражения log^{^-1)-\-log^{^f8 + 2)? 5. Докажите, что logi636 — число иррациональное. Задание 10.2. Переход к другому основанию Вариант 1 1. Зависит ли у от й, если logoJ/ = 2 -log^(a^-b^) + 21og ,(а -Ь) - log .(а +Ь) + +0,51og^(a4b2)? 73 2. а) Вычислите log2 logg X + logg X logs ^ + logs X logg X loggox. logg л:logg л:logs д: 6) Обобщите полученный результат. 3. Пусть logi2 27 = а. Чему равен logglG? 4. Сравните Iog2o80 и loggo640. 5. Верно ли неравенство (logg 3)”^+ (log4 5)"^< 2? Вариант 2 1. Зависит ли у от Ь, если log^y = 2 + log^., ф*-а^) + 21og^2ф-а) + log„(& + а) + +0^51ogy^(a4b^)? 2. а) Вычислите -Ио8,д:1ое,» loggXlogg ^rlogy д: б) Обобщите полученный результат. 3. Пусть logglG = а. Чему равен logi2 27? 4. Сравните logigGO и log go 480. 5. Верно ли неравенство (logy 5)“^+ (logg 7)"^< 2? Задание 10.3. Действия со степенями Вариант 1 1 1. Вычислите + + loglOOO g loglOOO Ь Упростите Ь а . "logs 5 г—logg 2 3. а) Сравните ^[2 и ^ б) Обобщите полученный результат. logs logs X 4. При каком натуральном х верно неравенство 6 <1? 5. а) Сравните 202^®^ и 303^°^. б) Обобщите полученный результат. Вариант 2 1 1. Вычислите + 74 2. Упростите 6 a . 3. a) Сравнитеи 6) Обобщите полученный результат. logo ^Qg6 ^ 4. При каком натуральном х верно неравенство 7 <1? 5. а) Сравните 20^ 202 и 303. б) Обобщите полученный результат. Задание 10.4. Производная логарифмической функции Вариант 1 1. f{x) = In (sin X - cosx). В каких точках касательная к графику этой функции параллельна оси х? 2. g{y) = ln-==L=. Найдите промежутки убывания функ-ции g(y). 3. Л(г) = lg(2^-82+15)-logo i(2-1)”Ч Вычислите h'(4). 4. Пусть X > 0. Верно ли неравенство 1 - i < 1пх? X х^ 5. Найдите функцию /, такую, что f'{x) =---, х > -1. X +1 Вариант 2 1. /(х) = In (sin X + cosx). В каких точках касательная к графику этой функции параллельна оси х? 2. g{y) = In -- —■ Найдите промежутки возрастания функ- ЦИИ g{y). 3. h{z) = lg(z -3)"^-logo,i(z^-8z +12). Вычислите Л'(5). 4. Пусть X > 0. Верно ли неравенство 1пх < х -1? 5. Найдите функцию Д такую, что Д(х) = х-1 , X > 1. 75 Задание 10.5. Свойства логарифмической функции Вариант 1 1. Найдите область определения функции f(x) = ^log2 sin я л: + ^logo.s secx. 2. Найдите область значений функции 1 + ^(i/) = logo,5 1 + г/ +У 3. Исследуйте на четность/нечетность функцию h{z) = lg{z + +z^). 4. Определите знак выражения loggTS -log2 22. 5. Сравните между собой loggj„^tgx и log^g^-sinx на промежутке (0;0^5тс). Вариант 2 1. Найдите область определения функции f{x) = ^log2 cos я л: + ^ log 0,5 cosec д:. 2, Найдите область значений функции г/^ + у +1 ^ (у) = log0.5 у' + 1 3. Исследуйте на четность/нечетность функцию 1+Z h(z) = Ig 1-z 4. Определите знак выражения log4 60 -loggSO. 5. Сравните между собой log^^^^^cigx и log^tg^coso: на промежутке Задание 10.6. График логарифмической функции Вариант 1 Нарисуйте график функции. 1. у = lg(4-2л:). 2. у = -^ (log 0.5 {х + if f . 3. у = log„ (л: + 4 -1) - log„-i (х - 4 -1). 4. у = X Inx -1' 5. ?/ = log3i„^(l-cos2a:). 76 Вариант 2 Нарисуйте график функции. 1. I/=logo,i(4 + 2x). 2. г/=• 3. у = -log^{x-^J -1) + log^.i {x + ^j -1). 4. I/ = In л: +1 5. I/= log,„3^(1+cos2л:). Задание 10.7. Интегрирование и логарифмическая функция Вариант 1 ^ d d 1. При каком X > О верно равенство | — = J — ? 2. а) Найдите ^cigtdt, б) Найдите ту первообразную для функции у = ctgt, которая при t = 0,5 я равна 0. в) Нарисуйте график этой первообразной на (0, 2я). 3. Найдите при х > 0 Г— ^ Х'/х^+Т 4. Нарисуйте криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции у = — на промежутке Г1, а] (при а > 1). X *- -* Соедините точки (1,0) и отрезком. При каком зна- чении а трапеция разбивается этим отрезком на две равновеликие части? 3 5. Докажите, что Jlnxdx < 2. 2 Вариант 2 1. При каком X > о верно равенство [ = Г { У L р 2. а) Найдите ^igtdt, б) Найдите ту первообразную для функции у = tgf, которая при f = о равна 0. в) Нарисуйте график этой первообразной на (0, 2я). 77 3. Найдите при л: > О j dx + X 4. Нарисуйте криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции 1/=— на промежутке Га, 1] (при 0<а<1). X Соедините точки (а, 0) и (1,1) отрезком. При каком значении а трапеция разбивается этим отрезком на две равновеликие части? 5 5. Докажите, что ^Inxdx < 2. Задание 10.8. Контрольное задание Вариант 1 1. Нарисуйте график функции у 1пх-1 In^x 2. Криволинейная трапеция ограничена графиками функций у = и у = — на промежутке [0, 2], где а > 1. X а) В каких границах лежит ее площадь? б) Где лежит ббльшая по площади часть ее фигуры: слева или справа от прямой х = 1, когда а = 2? 3. Нарисуйте множество точек координатной плоскости, таких, что logy logy X < log^ log^ у. 3® — 1 2° — 1 4. Пусть а > 0. Верно ли неравенство -->------? 1пЗ 1п2 5. Нарисуйте график функции у = \log^ х\ при а > 1. При каком значении а ветви графика образуют между собой прямой угол? 6. Найдите функцию у (х), если точка А (1, 2) принадлежит ее графику и отрезок касательной между точкой касания и осью X делится пополам в точке пересечения с осью Y. Вариант 2 1пх +1 1. Нарисуйте график функции у = % « In^x 78 2. Криволинейная трапеция ограничена графиками функций у = а“* и у = на промежутке [-2; 0], где а < 1. X а) В каких гргшицах лежит ее площадь? б) Где лежит большая по площади часть ее фигуры: слева или справа от прямой х = -1, когда а = 2? 3. Нарисуйте множество точек координатной плоскости таких, что log^, logj, д: > log^ log^ I/, 3“ -1 2“ -1 4. Пусть а < 0. Верно ли неравенство --<-----? 1пЗ 1п2 5. Нарисуйте график функции у = [log^ х\ при а < 1. При каком значении а ветви графика образуют между собой прямой угол? 6. Найдите функцию у (д:), если точка А (1, - 2) принадлежит ее графику и отрезок касательной между точкой касания и осью X делится пополам в точке пересечения с осью У. Тема 11 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Задание 11.1. Показательные уравнения Вариант 1 1. Решите уравнение: б) 5 • 25 -sin^ gcos2x = 25 0,5sin2x. в)2^-4^+8^=1. 2. Нарисуйте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию 3. Нарисуйте график зависимости числа корней уравнения от значений а: =а^. Вариант 2 1. Решите уравнение: а) 3 4^+16 • 4^^^- 0,5 ■ 9^^^; б) 9“®' ^ в) 2^ + 4^ - 8^ = 1. 79 2. Нарисуйте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию 3. Нарисуйте график зависимости числа корней уравнения от значений а: 10’^^=а^. Задание 11.2. Равносильность при решении показательных уравнений и неравенств Вариант 1 1. Решите уравнение: а) д/25*-1 =5^-1; 2. Решите неравенство: б) 3' -3 = 3' -2 З'-З. а) (z^ + 2 б)х^>х^; в)|4^ -2*1 >2^-1. Вариант 2 1. Решите уравнение: а) Vl -36* = 1 - 6*; б) 2‘ -2 = 2‘ -2-2'-2. 2, Решите неравенство: а) (2^-2+1)^^*^>1; б)л:*<л:*'; в)|э* -3*1 <1-3*. Задание 11.3. Показательные неравенства Вариант 1 Решите неравенство. 1. (2*-1)-^ > (1-2*-^)-^. 2. (9*-3*^2)“-® >3*-9. х+5 3. (х^ + X{х^ + X+lf. 4. 2®'"^*< ргх+1 g ^ ^ 1 О к I А к ,.2 5^*+25 >13-51/ +0,5l/^ 80 Вариант 2 Решите неравенство. 1. <(з'-1)-^ л:+5 3. (х^ - х + X+1)\ 4. 2 2. 2*-4 < (4^-2*■"^)°’^ -• cos2jc ;jc+l 5. 6^^+36 >13 + 5г/ + Ь^ Задание 11.4. Системы уравнений Вариант 1 1. Решите систему уравнений: 2"^ = X, \у^-Ьх-^12 _ I а) ^ б) [х-у = 4‘, 2*' = у, у*' = л:. 2. При каких значениях а имеет единственное решение система уравнений |а + ^)"+(1+у)*=а, =17^У? Вариант 2 1. Решите систему уравнений: а) [х+ у = 4; б) х^ =у, Х^ =2, 2‘ =у. 2. При каких значениях а имеет единственное решение система уравнений I (1 -I- xf + (Х + уУ = а, [б2д:"+/ =16*!/? Задание 11.5. Контрольное задание Вариант 1 2х-1 1. Найдите положительный корень уравнения 5* • 2 = 50. 81 2. Решите неравенство 4у^ + 3-3'^ + у-3^<2у^ ■3'^+2у+6. 3. На какой прямой лежат решения системы уравнений х'^=у, У^=хЧ 4. При каком значении а имеет единственное решение уравнение I д: + 2| -12 JC + 81 = а^? 5. Решите на промежутке [О, я] неравенство ^^l+sinx Вариант 2 Зх+S fx о Jc+2 1. Найдите положительный корень уравнения 7^ • 3 = 63. 2. Решите неравенство Зу^-5-^ + 3у +6 <9у^ + у ■ 5^+2 - 5^. 3. На какой прямой лежат решения системы уравнений У^ = х, х^ = уЧ 4. При каком значении а имеет единственное решение уравнение |х+1|-|2д:+ б| = а^? 5. Решите на промежутке [О, я] неравенство ^^l+sinx ^^sinx_iyl^ Задание II.6. Равносильность при решении логарифмических уравнений Вариант 1 1. Решите уравнение: а) logo,5 (х -1) = logo.5 (JC^-1 л: I - 3); б) log|j,_i|(y46i/^ +9) = 4; в) г) log2(2‘ + 1) log2(2'^^+2)=2. 82 2. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию logj-(-y) = log^ у^. Вариант 2 1. Решите уравнение: а) logj(-a:-l)=logj(x^-|x| -3); б) log|j^^i|(i/46z/49) = 4; b)^z =1; г) log3(3‘+2)log3(3'"46) = 2. 2, В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию log^ у = log^ у^. Задание 11.7. Равносильность при решении логарифмических неравенств Вариант 1 1 ■ Решите неравенство: log а) - 2) > 0; б) 0,5 в) log( (2t) < д/ log( (2 tf . 2. При каких значениях а для любого х верно неравенство log„(:c4 2)>l? 3. в системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию log^(-z/) > 1. Вариант 2 1. Решите неравенство: а) + 2) < 0; б) >1; 3J/-1 в) log, (3t) < д/log,(30® 2. При каких значениях а для любого х верно неравенство loga(|:c| + 3)<-l? 3. в системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию log_^ У >1- 83 Задание 11,8. Логарифмические уравнения Вариант 1 1. Решите уравнение; a) 2lg(x +3) +lg(x + 5)^-lg{x^-\-8x + 7) = 51g2; log o9 1 6)3 y" =9; b) (log|,„„|16)(logi^,„32e2) = если 2<|zl<4. 2. В системе координат нарисуйте множество точек, коорди- наты которых удовлетворяют условию Igx +lgy = Ig У 3. При каком значении а имеет единственное решение уравнение lg{^J t^-a +t)- Iga = lg{^] ~а - t)7 Вариант 2 1. Решите уравнение: а) 21g(д: +1) + Ig (д: + 3)^ - Ig (л:Ч 4 д: - 5) = 51g2; = 4; в) (log|3i„,|16)(logi_,„32z2) = если 4 < |z| < 6. 2. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию Igx -Ig у =lgxy. 3. При каком значении а имеет единственное решение уравнение lg{^j - а ~ t) - Iga = Ig (-yj t^-a -ht)? Задание 11.9. Логарифмические неравенства Вариант 1 1. Решите неравенство: а) (logj^(l +у^)) (logy^i г/) > 2; б) logg л: > logg(x + 1); в) (log^(3 - л:)) (log2*_i(3 - х)) < (log^(3 - х)) (logs_2;,(3 - л:)) г) log^^^2x COSX < log,^32xSinX. 2, При д: = 3 неравенство log^2 (д:^ +1) < log^ (д: +1) верно. Найдите все значения д:, при которых оно верно. 84 Вариант 2 1. Решите неравенство; а) (log^a^i у) (logy (у +1)) > 0,5; б) logj л: < log^ (л: +1); в) (log;c-2(5 - ^:))(log^_i(5 - x)) < (log^_2 (5 - x)) (log4_, (5 - x)); r) logsin2A: cos X > log,„32:c З^ПЛГ. 2. При X =-^ неравенство logo(o:^ + l) < log^(^:+1) верно. Найдите все значения х, при которых оно верно. Задание 11.10. Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств Вариант 1 Решите систему уравнений: I logs logs г/^ = 0, \х^-9у^ = 80; а) х« =у\ 15*' =3*; в) ^.log3j/+yIog3X ^2, ху = 3; г) л:** = 2-* Z -1 У = X — X ,.-1 Z = у 2. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию I log2-x(2 - г/) > о, |log4-y(2a: -2) > 0. Вариант 2 1. Решите систему уравнений; а) в) = у"", 15^ = 5^; з;Ьй!/+у1оез^ =2, ху = 2] б) г) l0g4 X^ + \0g2 У^ = о, ^2 А ,.2 41/" =15; =2, У~^ =х, 85 2. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию jlog^_2(2f/ -4) > О, |log3.j^(x-4) >0. Задание 11.11. Логарифмические уравнения с параметром Вариант 1 1. Решите уравнение: а) 21og^ а + log^^. а = 0; б) а^х. 2. Решите уравнение на промежутке [0> f] при а>1 (logg sina:)^ + log^ sin jc - a = 0. 3. При каких значениях a имеет единственный корень уравнение lOgg X=|X+l|+|jC-5|? 4. При каких значениях а не имеет решения уравнение \og^_^(x +а) =1? Вариант 2 1. Решите уравнение: 2 а) 21og„ а+log 2 а=0; б) . ^ а X д. 2. Решите уравнение на промежутке |^0, при а < 1 (log^ cosx)^ + log^ cosx - a = 0. 3. При каких значениях а имеет единственный корень уравнение logo (“^) = |л:-1| + |д: + 5|? 4. При каких значениях а не имеет решения уравнение = 1? Задание 11.12. Логарифмические неравенства с параметром Вариант 1 1. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию log2д^+з(^/ - 2) < 1. 86 2. Найдите целые решения неравенства при а >1 log„((25-x==)“’® -l)>log„(|^:|+l). 3. При каких значениях а имеет решение неравенство 21ogo^ga^- 3 + 2xlogo,5a^->0? 4. При каких значениях а образуют один промежуток решения неравенства log^2 + 2х) < 1? 5. При каких значениях а не имеет решений неравенство log^(a - х) <1? Вариант 2 1. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию log2^.+i(i/ - 2) > 1. 2. Найдите целые решения неравенства при 0 < а < 1 log„((25 - -l)log|,|_i(4‘ -1). 3. При каких значениях а имеет единственное решение уравнение ^ + log2|x-20| = a^-2‘*^^®4 5? 87 1. Решите уравнение Вариант 2 log4(2l/)-log4(tf2-3) '2-у^ . у = 1. 2. Решите неравенство: а) (25* -4 - 5*)°’®> 5* -1; б) I log^-i 0^5z I > ^ (log2-i zf B)log|,_i|(9' -l)1; б) log^log3(9^-6) >1. 4. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию + >2х\ 5. При каких а имеет единственное решение система уравнений sin(a - г/) + 2sin х = 0, / гт:\ 21ogi6(a -у) + 41ogo,25 У = log2 Js уУ у + 31ogo4 X? 88 Вариант 2 1. Решите уравнение: а) 1о&г(9 + cos2x) + log 0,5(1 + sin^ д: cos^ х) = 3; б) log^o log„| = (log_^2 2)(^log^o^)-log„-/2 при а<0Д. 2. a) При каких значениях а и Ь имеет ровно два решения уравнение а ■ 3^ +Ь ~Ь • 3~^ + а? б) Найдите эти решения, 3. Решите неравенство: а) legal/ +logi I/ <1; б) log^ log2(4*-2) >1. 3 4. В системе координат нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию 5. При каких а имеет единственное решение система уравнений f sin(3a - 3i/) + 3sin д: = О, |21og4(a - у) + 21og4(2-/y) = loga -/у +31ogg(2a:)? Тема 12 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Задание 12 J. Вещественные числа Вариант 1 1. Сравните числа (0,1(2))^ и 0,1. 2. Докажите, что число 2^[3+1 не является рациональным. 3. Является ли рациональным число 3 + 2^/~2 + ^3 - 2д/~2? 4. Пусть X и у —два вехцественных числа. Известно, что хФ-у^ а числа х + у и х^-^у^ — рациональные. Верно ли, что: а) число ху — рациональное; б) оба числа х и у — рациональные? 5. Дана геометрическая прогрессия: а, а^, а^,... (а 6 Q). Может ли в ней быть конечное число рациональных членов? Вариант 2 1. Сравните числа (0,1(3))^ и 0,(12). 89 2. Докажите, что число 0,5 - \[5 -1 не является рациональным. 3. Является ли рациональным число ^ 3 + 2./^ - -yj 3-2^? 4. Пусть X и у —два вещественных числа. Известно, что а числа х - у и х^ - у^ — рациональные. Верно ли, что: а) число ху — рациональное; б) оба числа х vi у — рациональные? 5. Дана геометрическая прогрессия: а, а^, а®, ... (а б Q). Может ли в ней быть конечное число иррациональных членов? Задание 12,2, Алгебраическая форма комплексного числа Вариант 1 1. Вычислите: a + i)^+(l + 0^ а) B)(3i-ir-(3i + l)^ г) б) 1 + f 1 +Л 1 - i , где п G N; Д) + -2^2 > где и ^2 — корни уравнения 2^ + 2 +1 = 0. 2. На множестве комплексных чисел решите уравнение х^+ I д:| +1 = 0. 3. Докажите, что существует такое комплексное число 2, для которого - 1 Ке2 2 Im2 Вариант 2 1, Вычислите: а) (l-0Ч(l + i)^ (x + if-a + if в) (2i-l)®-(2t + l)®; лоо. г) 1 + i , где п G N; Д) + ^2 > где 2i и 2з — корни уравнения 2^ - 2 +1 = 0. 2. На множестве комплексных чисел решите уравнение х^-\х\-^1 = 0. 90 3. Докажите, что существует такое комплексное число z, для которого 1 Rez Z = -, ----< 100. 2 Imz Задание 12.3. Геометрическая форма комплексного числа Вариант 1 1. Нарисуйте фигуру, образованную всеми точками, изображающими комплексные числа z, такие, что: а) 2<|z + j|<4, I Rez | > >у[3, | Imz | < 1; б) Z = 1 - 2z', |z'| = 1; B)z=z'(l-i), I Rez'l + I Imz'l > 1. 2. Пусть |z I = 1. Рассмотрим три числа: 1, z, iz. a) Докажите, что |iz-l| + |z-l|> -/2. + 2? б) При каких Z iz -1 = z -1 в) При каких Z iz -1 = z -1 г) Найдите границы для iz-1+z-l + iz-z Вариант 2 1. Нарисуйте фигуру, образованную всеми точками, изображающими комплексные числа z, такие, что: a) 2<|z+l|<4, |lmz|>-/3, |Rez| ^[2. + 2? б) При каких Z iz +1 = z +1 в) При каких Z iz +1 z= z +1 г) Найдите границы для iz+1+z+l + tz-z 91 Задание 12.4. Тригонометрическая форма комплексного числа Вариант 1 1. Вычислите: (-1 + . (1 - б) 1 + Z + 2^+ ...+если 2 =-0,5 - 0,5i^/^. 2. Запишите в тригонометрической форме число z = -ctga + i (О < а < я). 3. а) Решите уравнение =-1. б) Нарисуйте , Zg, 2g, 24,25 — последовательные решения этого уравнения. в) Вычислите сумму всех решений этого уравнения. г) Вычислите Z-^Z2 + 2323 + 2324 + 2425 + 2g2i. 4. Найдите такие2, модуль которых равен 1 и ——0(1 + < q (l-2)(l + i) 5. Пусть и = sinl + i cosl, v = cosl - i sinl. а) Чему равен угол AOB, где О — начало координат, А и В — точки, изображающие данные комплексные числа? б) Вычислите . в) Сможете ли вы обобщить результаты, полученные в п. (а) и (б)? Вариант 2 1. Вычислите: (1 + б) 1-2+2^-...-2^^, если 2 = 0,5 - 0,5i-/3. 2. Запишите в тригонометрической форме число z =ctga - i (О < а < я). 3. а) Решите уравнение 2^ = 1. б) Нарисуйте 2^, 23,23,24,25 — последовательные решения этого уравнения. в) Вычислите сумму всех решений этого уравнения. г) Вычислите 2423 + 2323 + 2324 + 2425 + 2:524. 92 4. Найдите такие 2, модуль которых равен 1 и ——1 + 0 > q (z + i)(l + i) 5, Пусть и = sin2 + i cos2, v = cos2 - i sin2. а) Чему равен угол AOB, где О — начало координат, А и В — точки, изображающие данные комплексные числа? б) Вычислите . в) Сможете ли вы обобщить результаты, полученные в п. (а) и (б)? Задание 12.5, Контрольное задание Вариант 1 1. Найдите комплексные числа х л у, такие, что (1 + г) д: + (1 - 1)у ~ 6, (3 + i)x + {3 - i)y = 8. 2. Из всех комплексных чисел z, таких, что jz - ^[З + i| <1, найдите (в алгебраической форме) то, у которого главный аргумент наименьший, 3. Запишите в тригонометрической форме число z = а - ai, где а е R. 4. Пусть X = 0,5(-1 - i^[3), у = 0,5(-1 + i-yfS). Вычислите ^3 л+2 .гп+1 X - у {п е. N). 5, Пусть комплексные числа z таковы, что |2| = 1, 0»г __ ^ < QXgZ < Пусть z' Какую фигуру образуют 3 3 все такие числа z'l 6, Имеет ли при а >2 решение уравнение 2+а|2+1| + г = 0? Вариант 2 1, Найдите комплексные числа х л у, такие, что (2 + i) д: + (2 - 1)у = 6, {3 + 2i)x + {3 - 2i)y = 8, 2. Из всех комплексных чисел z, таких, что /3 <1, найдите (в алгебраической форме) то, у которого главный аргумент наибольший. 93 3. Запишите в тригонометрической форме число z = а + а/, где а е R, 4, Пусть X = 0,5(-1 - у = 0,5(-1 + i^). Вычислите ^Зп+1_^Зп+2 5. Пусть комплексные числа < arg2 < Пусть 2' = -6 6 ^ все такие числа 2'? 6. Имеет ли при О < а < ^ решение уравнение \z f+ 2й +2а(1 + i) = О? 2 таковы, что 12 I =1, Какую фигуру образуют Тема 13 МНОГОЧЛЕНЫ Задание 13 J. Действия с многочленами Вариант 1 1. Разделите Р(а)=1+а^+а®+2а на Q(a)=l+a^. Пусть R{a) — остаток при этом делении. Верно ли, что R (!) — остаток от деления Р(1) на Q (1)? 2. Пусть Р(х) = 2 + Зд:^ +1. Существует ли многочлен, при делении на который Р(д:) даст в частном 2 д:^ + Зд: + 2, а в остатке — 4 х - 5? 3. Может ли сумма двух многочленов делиться на +1, если ни один из них не делится на х^ +1? 4. Выражение (1 + 2 х - 4 х^ можно записать как многочлен. Чему равна сумма всех коэффициентов этого многочлена при X в четной степени? Вариант 2 1. Разделите Р(а)=1+а'*-а®+2а+а^ на Q(a)=l+a^. Пусть R(a) — остаток при этом делении. Верно ли, что Д (1) — остаток от деления Р (1) на Q (1)? 2. Пусть Р(х) = 2х^-х^ +Зх^-1. Существует ли многочлен, при делении на который Р(х) даст в частном 2х^ - Зх + 2, а в остатке 4 х + 3? 94 3. Может ли сумма двух многочленов делиться на - 2, если ни один из них не делится на - 2? 4. Выражение (1-7x+5jc^)^®^® можно записать как многочлен. Чему равна сумма всех коэффициентов этого многочлена при X в нечетной степени? Задание 13.2. Делимость с остатком Вариант 1 1. Пусть P(x) = Зд:®+3 . а) При каком вещественном значении а остаток от деления многочлена Р(х) на (х-а) равен а? б) Найдите частное, полученное в результате этого деления. 2. Есть ли такие натуральные и ббльшие 1 значения п, при которых (а^ + а +1)"+(а^ - а +1)" делится на а^ + 1? 3. Многочлен Р{х) при делении на д: +1 дает в остатке 1, при делении на (д: +1) (д: + 2) (д: н- 3) дает в остатке многочлен, все коэффициенты которого равны. Какой остаток он дает при делении на (д: + 2)? 4. Могут ли различные числа а, Ь, с быть корнями многочлена д:^ - а д:^ + Ь д: - с? 5. Делится ли (а + Ь + с)® - (Ь + с -а)^- (с + а -Ь)^ - (а + Ь - с)® на аЬс? Вариант 2 1. Пусть Р(д:) = Зд:®+д:^ +3 . а) При каком вещественном значении а остаток от деления многочлена Р{х) на (х+а) равен а? б) Найдите частное, полученное в результате этого деления. 2. Есть ли такие натуральные и ббльшие 1 значения п, при которых (За^ + а-1)”-(а^-!-а+1)" делится на а^-1? 3. Многочлен Р(х) при делении на х +1 дает в остатке 1, при делении на (х -ь 1)(х - 2)(х - 3) дает в остатке многочлен, все коэффициенты которого равны. Какой остаток он дает при делении на (х - 2)? 95 4. Могут ли различные числа а, Ь, с быть корнями многочлена -ах^ - Ьх - с? 5. Делится ли (а + Ь + с)^- (Ь + с-а)^-(с + а - Ь)^-(а + 6 -с)^ на аЪс1 Задание 13.3, Теорема Безу Вариант 1 1. Найдите такое целое значение а, при котором остаток от деления многочлена 4 д:+2а на Зд:-2 равен 10. 2. Докажите, что при натуральных т, деляпдихся на 3, х'^-у^ делится на х^-у^. 3. Верно ли такое утверждение: многочлен ах^ + х^- х - Ь делится на + 1 тогда и только тогда, когда аЬ - 1? Вариант 2 1. Найдите такое целое значение а, при котором остаток от деления многочлена Зх^ + а - 4 д: + 2а на Зх + 2 равен 10. 2. Докажите, что при натуральных т, делящихся на 4, х^-у^ делится на 3. Верно ли такое утверждение: многочлен ах®+х^-Ьх-1 делится на х^ +1 тогда и только тогда, когда аЪ = 1? Задание 13.4. Схема Горнера Вариант 1 1. Разделите а'^ч-4а®6+6а^Ь^ + 4аЬ®-&^ на а + Ь. 2. Найдите значение многочлена x®+(l + 2i)^:^+(l + 3i)^:^ + 7 при X = -2 + i. 3. Делится ли многочлен ах"^^-(а+1)х”+1 на (х-1)^ {neNy п>1)? Вариант 2 1. Разделите а"* - 4а^& + ба^Ь^ - 4а&® -на а-Ь. 2. Найдите значение многочлена х^+ (1 - 2i)x^- (3 +i)^^ + 7i при X = -1 + 2i. 96 3. Делится ли многочлен {П’-1)х^-пх^ на {х-1)^‘ {пеМу п>1)? Задание 23.5. Теорема Виета Вариант 1 1. Рассмотрим квадратное уравнение ах‘^ - д: +1 = О. Пусть а и р — его корни. а) Не решая уравнения, составьте квадратное уравнение с корнями и Р^. б) При каких значениях а корни составленного уравнения положительны? 2. Составьте уравнение, корни которого противоположны корням уравнения -1=0. X + Z/ + г = 6, 3. Решите систему уравнений ■ xz/ + г/2 + 2х = 11, xyz - 6. Вариант 2 1. Рассмотрим квадратное уравнение ах^ + х +1 =0. Пусть а и р — его корни. а) Не решая уравнения, составьте квадратное уравнение с корнями а^Р“^ и р^а’Ч б) При каких значениях а корни составленного уравнения положительны? 2. Составьте уравнение, корни которого противоположны корням уравнения х^®®^ + 1 = 0. 3. Решите систему уравнений X + у + г = -6, Ху + Z/2 + 2Х = 11, xyz = -6. Задание 13.6. Рациональные корни многочлена Вариант 1 1. Найдите рациональные корни уравнения 2х^-хЧ4х^-2хЧ2х-1 =0. 2. Решите неравенство х^ + 2х^ + 2х^+х-6>0. 97 3. Можно ли представить многочлен (х-1) (jc- 2) (лс- 3) -1 как произведение многочленов с целыми коэффициентами? ^4 4. Найдите целые значения а, при которых дробь ах +1 2х^ -а будет сократимой. 5. Рассмотрим уравнение + х - 3 = О. а) Имеет ли оно вещественные корни? б) Имеет ли оно рациональные корни? Вариант 2 1. Найдите рациональные корни уравнения 2х^+х^ + 4х^ + 2х^ + 2х+1 = 0. 2. Решите неравенство х^-2х^ + 2х^-х-6<0. 3. Можно ли представить многочлен (х +1) (х + 2) (х + 3) -1 как произведение многочленов с целыми коэффициентами? . тт - - х'^ + ах + 1 4. Найдите целые значения а, при которых дробь ------- 2х^ + а будет сократимой. 5. Рассмотрим уравнение х^+х-3 = 0. а) Имеет ли оно вещественные корни? б) Имеет ли оно рациональные корни? Задание 13,7. Комплексные корни многочлена Вариант 1 1. Один из корней уравнения х'* + Зх^ + 2х^-х + 5 = 0 равен i “ 2 . Найдите его остальные корни. 2. Решите уравнение: а) X® - i = 0; б) i/^ + i/^ + l = 0; в) (2-1)^ = (2 +l)^ 3. Найдите хотя бы два вещественных значения а, при которых уравнение х^^ + ах^ + х + а = 0 имеет единственный вещественный корень. Вариант 2 1. Один из корней уравнения 3x^-5х^ + Зх^ + 4х-2 = 0 равен i + 1 . Найдите его остальные корни. 98 2. Решите уравнение: а) i=0; б) -у^ +1=0; в) {z~i)^ ={z + i)^, 3. Найдите хотя бы два вещественных значения а, при которых уравнение + ах^ + 2х - а =0 имеет единственный вещественный корень. Задание 13.8, Контрольное задание Вариант 1 1. Докажите, что многочлен делится на (х - 2) (х - 3) тогда и только тогда, когда он делится на х - 2 и на х -3. X + у + Z = 2j 2. Решите систему уравнений • х^ + у^ + z^ = 6, xyz = -2. 3. а) Является ли i корнем уравнения х^ - {1 + i)х^ + X -1 - i = о? б) Найдите корни этого уравнения. 4. Существуют ли такие целые значения а, при которых многочлен р{х) = О^Бах'^-Зах^ + 8х + 6 делится на ^(л:) = 0,5л:^-ад:+ 3, а р'{х) делится на q'{x)? 5. а) Пусть Xi, Х2, Х3, ..., XiQ — отличные от 1 корни уравнения х^^-1 = 0. Чему равно произведение (l + Xi)- (1 + Х2) ... (1 + X^q)? б) Обобщите полученный результат. Вариант 2 1. Докажите, что многочлен делится на (д: + 2) (х + 3) тогда и только тогда, когда он делится на х + 2 и на х + 3. X + у + Z = -2у 2. Решите систему уравнений \ х^ + г/^ + = 6, xyz = 2. 3. а) Является ли -г корнем уравнения х^ + (1 + i) х^ + X +1 + i = 07 б) Найдите корни этого уравнения. 99 4. Существуют ли такие целые значения а, при которых многочлен р (х) = 0^5а - 3 а - 8х + 6 делится на ^(х) = 0,5х^ + ах+ 3, а р'{х) делится на q'(x)? 5. а) Пусть Xj, Xg, Xg, х^ — отличные от —1 корни уравнения х^^ + 1 = 0. Чему равно произведение (l-Xi) (l-X2)-...-(l-Xio)? б) Обобщите полученный результат. Тема 14 УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Задание 14.1. Уравнения первой степени с одним неизвестным Вариант 1 1. Рассмотрим уравнение ах - а =1. а) Решите его. б) При каких значениях а оно имеет положительный корень? в) При каких значениях а выполняется неравенство | х | <1? г) Нарисуйте график зависимости х(а). 2. Решите уравнение а = — + ——. а а (х -1) 3. Отрезок соединяет две точки на боковых сторонах равнобедренного треугольника и параллелен его основанию. Боковые стороны равны 1, основание равно а. Чему равна длина этого отрезка, если в полученную трапецию можно вписать окружность? Вариант 2 1. Рассмотрим уравнение ах + а = -1. а) Решите его. б) При каких значениях а оно имеет отрицательный корень? в) При каких значениях а выполняется неравенство | х | >1? г) Нарисуйте график зависимости х(а). а + 3 _ 2 5 а + 2 X (а + 2) X 2. Решите уравнение 100 3. Отрезок соединяет две точки на боковых сторонах равнобедренного треугольника и параллелен его основанию. Боковые стороны равны а, основание равно 1. Чему равна длина этого отрезка, если в полученную трапецию можно вписать окружность? Задание 14,2. Неравенства первой степени с одним неизвестным Вариант 1 1. Рассмотрим неравенство ах -1 <0. а) Решите его. б) При каких значениях а решением неравенства является х = 2? в) При каких значениях а любое решение данного неравенства меньше 1? г) При каких значениях а любое число, модуль которого меньше 1, является решением данного неравенства? on 2г/+1а + 53 - 2. Решите неравенство —-----------> — при а > 1. (а-1)у а-1 у 3. Решите неравенство |л: + 5|<ад: при а>0. Вариант 2 1. Рассмотрим неравенство ах +1 > 0. а) Решите его. б) При каких значениях а решением неравенства является X = -2? в) При каких значениях а любое решение данного неравенства меньше —1? г) При каких значениях а любое число, модуль которого меньше 1, является решением данного неравенства? 2. Решите неравенство 2у-1 а + 5 3 >-----при а > 1. (a-l)iy-l) а-1 у-1 3. Решите неравенство I - х + 51 > а х при а < 0. 101 Задание 14.3. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными Вариант 1 Решите систему уравнений: а) а X + у = а , X +ау =1; б) 2х + Зу = 5, X-у = 2, X л- 4у - а. 2. Прямые заданы уравнениями 3x+2ai/=l и 3(а~1)х-ау=1. При каких значениях а они: а) пересекаются; б) совпадают; в) параллельны? 3, При каких значениях а имеет единственное решение сис- „ fIх| + и = а, тема уравнении J i i \х -ay = -а? Вариант 2 1. Решите систему уравнений: а) X + аг/ = а , ах л-у =1; б) Зх + 2у = 5, X - г/ = -2, 4х + у = а. 2. Прямые заданы уравнениями 2ах+Зг/=1 и ах+3(1-а)г/ = -1. При каких значениях а они: а) пересекаются; б) совпадают; в) параллельны? 3. При каких значениях а имеет единственное решение сис-'1x1 + 1/ = а, тема уравнении X л-ау =а? Задание 14.4. Линейные системы уравнений с многими неизвестными Вариант 1 1. Решите систему уравнений: 2x-4j/+2-5t=2, 4х-7y-z-8t = - 5, 10 X -18у -\-22 -23t = 3, 2x-3z/+2-f=0; а) б) Xi + Xg + Хз + Х4 + Х5 =0, Х1+2Х2-ЗХ3+2Х4 -Х5=1, 3 Xj + 4 Х2 - Хз +4 Х4 + Х5=2. 102 а) б) Xi-X2-^X^-X^+X^=0, 2Xi + X2 “ЗХд +ЛГ4 +2X5 =1, 4 Xi -Х2 - Х3 - Х4 + 4 Х5 = 2. 2. При каких значениях а не имеет решения система уравнений ах + г/ + 2 = а, X + аг/ + 2 = а^, X + Z/ + а2 = а® ? 3. При каких значениях k имеет единственное решение система уравнений X + у + Z = 4x + 2i/+2 = 4х + 5г/+2г = 5х + 5г/ + 42 = й? Вариант 2 1. Решите систему уравнений: 2х + 3у + 42 + 5^ = -2, Зх + у + 22 + 4^ = 1, 4х + 61/ + З2 + 7^ = 1, 5х + 2г/ + 52 + 4f = 0; При каких значениях а не имеет решения система уравнений -ах + г/+2 = -а, X -ау +2 = а^, X + у - а2 = -а^ ? 3. При каких значениях k имеет единственное решение система уравнений х + у+ 2 = Зх + 2у+2 = Зх + 4у + 22 = 4х + 4^ + 52 =/е? Задание 14.5. Системы неравенств с несколькими неизвестными Вариант 1 1. На координатной плоскости нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: - X + Зг/ > 3, 4х-у < 2, л а) б) 1*1'’' 21, ^\sin{x + y)>0, х^<4, <1; “^lcos(a:-(/) <0; ,2 Г >9; г) arcsinx < arccosi/, х > 0, г/ > 0. 2. Плоскость а задана уравнением Х-1/+2-1=0. Плоскость Р задана уравнением x + j/-2+l=0. Какими неравенствами задается меньший из двугранных углов, образованных этими плоскостями? 103 Вариант 2 1. На координатной плоскости нарисуйте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: Зх - у >3, -x + Ay<2, а) д:" >9, у" < 4; б) <1, sin (х - у) < О log^ у >1; [ COS {х + у) > 0; г) arcsiny < агссозд:, х > 0, у > 0. 2. Плоскость а задана уравнением -х + у -i- z -1 = 0, Плоскость р задана уравнением -х ~ у - z +1 = 0. Какими неравенствами задается меньший из двугранных углов, образованных этими плоскостями? Задание 14.6, Метод интервалов Вариант 1 1. Решите неравенство: -I \3 б) а^ + |а| -1 > 1; в) дс®+ х^ + х^ {22 + 4)-^ < (2 - 3)-\ 2^ < 8. 2. 3. Найдите область определения функции -2r-t + l Нарисуйте на координатной плоскости множество точек, ко- х^ “ 5 ч* 6 ординаты которых удовлетворяют условию —--------> 0. у"-5у + 6 Вариант 2 1. Решите неравенство: а) (-1 +Л)а-л:)^(д:+1)® в) х^- х®+ x‘^ ' {22 + 6)-^ > {2 - 2)-\ 2^ >12. < 0; б) + 2|аI +1 < 4; 104 2. Найдите область определения функции “2t +1 3. Нарисуйте на координатной плоскости множество точек, ко- __rj ординаты которых удовлетворяют условию ---------< 0. у^-1у+12 Задание 14.7. Квадратные уравнения с параметром Вариант 1 1. а) Чему равна сумма квадратов корней уравнения х^-ах +1 =0? б) Нарисуйте график этой суммы. 2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах^-(а+1)х-\-а^-\-а = 0? 3. При каких значениях а имеет решение система уравнений ix^ + ax-\-8 = о, [х^-\- JC + а = о? АП ах + 1 ^ 4. Решите уравнение -------= -1. х{х а) 5. При каких значениях а корни уравнения ах^+ х +1 = 0 удовлетворяют условию | х | < 1 ? Вариант 2 1. а) Чему равна сумма квадратов корней уравнения х^-\-ах +1 =0? б) Нарисуйте график этой суммы, 2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение а х^ + (а +1) х + а^а =0? 3. При каких значениях а имеет решение система уравнений \х^-ах + 8=0, \х^~ X + а о? 4. Решите уравнение —— = -1. х(а - х) 105 5. При каких значениях а корни уравнения х +1 = 0 удовлетворяют условию \х \ >1? Задание 14.8. Квадратные неравенства с параметром Вариант 1 1. При каких значениях а неравенство (а^-1)х^+2(а-1)я:+2>0 верно для всех значений х? 2. Решите неравенство а х^ + х + 1 >0. 3. При каких значениях а решения неравенства |х^-а|>х образуют один промежуток? 4. При каких значениях а неравенство 3 - | д: - а |>д:^ имеет только отрицательные решения? 5. При каких значениях а любое решение неравенства az^+ (1 -a^)z -а > о удовлетворяет условию |2| < 2? Вариант 2 1. При каких значенияха неравенство (а^ -1) х^-2 (а -1) х+2 <0 верно для всех значений х1 2. Решите неравенство ах^- х +1 >0. 3. При каких значениях а решения неравенства | - а |> - х образуют один промежуток? 4. При каких значениях а неравенство 3 - | х+а |>х^ имеет только положительные решения? 5. При каких значениях а любое решение неравенства |21 > 7 является решением неравенства а2^-2(а^-3)г-12а>0? Задание 14.9. Уравнения с модулями Вариант 1 1. Решите уравнение: а)|х| + |х-1| + |х-2| = 2; б)х^-|х| = 6; в)|х-|1-х||-х = -1. 106 2. Какое число является решением уравнения (|x + 3|)-(a|x-l|) = 4 при всех значениях а? 3. При каких значениях а имеет единственное решение уравнение |1 -ал:| = X? Вариант 2 1. Решите уравнение: а)|х| + |х+1| + |х + 2| = 2; б)х^ + |х| = 6; в)|х + |1-х||-х=1. 2. Какое число является решением уравнения (|х-2|) + (а|х + 3|) = 5 при всех значениях а? 3. При каких значениях а имеет единственное решение уравнение |1 + ах| = -х? Задание 14,10. Неравенства с модулями Вариант 1 Решите неравенство. 1. х+1 х-1 >1. 2. \2^-Z-2\<2 (2 е N), 3. \у^-у\>1-у. 4. к <“. ' ' t 5. Х“а + х-1>1-а. Вариант 2 Решите неравенство. х-1 х+1 >1. 2. г^+г-2<2 {2 е N), 3. \~у^у\>1+у. 4. 5. |х + а| + [х+1|>|а-1|. 107 Задание 14.11. Иррациональные уравнения Вариант 1 1. Решите уравнение: a) я: - V - 7 = 13; б) ^- у+1 = -2у^ ; b) |(2z + 5)°’®-(22+16)‘’-®| =1; г) (1 + ^(^^-24)‘’'®)‘’■®= f-1. 2. При каких значениях а имеет решение уравнение “yj +1 + -yj + 2 + ^ + 3 = а? Вариант 2 1. Решите уравнение: ^ X + 5 - X = -1; б)^j у’’ -у +1 = yjl-2y'’; в) I (0,52 -(0,52 - 5)°'®| = 2; r)(l + i(i^-16)°-®)°'®=i-l. 2. При каких значениях а имеет решение уравнение ■yj + 2 + ‘yj + 3 + yj + 4 — д? Задание 14.12. Иррациональные неравенства Вариант 1 Решите неравенство. 1. д/ X + 2 > X. 2. (i/^-3z/-10)®’® < 8 - г/. 3. < (г®’®-1)®’25 4. ^З-^-д/^ + 1 >0,5. 5. + д +1 + д/ д^ + д + 2 + -yjа^ д + 3 ^ 3,5. Вариант 2 Решите неравенство. 1. д/х+1 > х-1. 2. (г/2-51/-6)®’® <9-г/. 3. Ь< (1-2®’®)®’2® 4. д/2-^-д/^ + 2 >0,5. 5. д/ д^ — д +1 + д^ — д + 2 + д^д^ — д + 3 ^3,5. 108 Задание 14.13. Иррациональные уравнения с параметром Вариант 1 1. Решите уравнение: а) X - а = а; б) д/1-х^ X + а. 2. При каких значениях а имеет единственное решение уравнение -yfax = JC +1 (а > 0)? Вариант 2 1. Решите уравнение: а) X + а = -а; б) - х^ ~ х- а. 2. При каких значениях а имеет единственное решение уравнение -yfax = -д: +1 (а < 0)? Задание 14.14. Иррациональные неравенства с параметром Вариант 1 1. Решите неравенство: а) ^[х^+а^ > X + а; б) + -sfx > 2а. 2. При каких значениях а не имеет решения неравенство ^ а^ - х^ > jc +1? Вариант 2 1. Решите неравенство: а) х^-\-а^ > X - а; б) X -а^ + -урс > -2а. 2. При каких значениях а не имеет решения неравенство •yja^ > -X +1? 109 Задание 14.15. Нелинейные системы уравнений Вариант 1 1. Решите систему уравнений: а) в) х^-х^у=1, У -ху^ =2; xyz х + у-2 У + 2-Х xyz ^2 + Х~у б) + ^fy + V” -1^» -ж/у +У^[^ = 30; = 3. При каких значениях а имеет единственное решение система уравнений л:Чг/^=a^ X + у = а? 3. Верно ли, что при любом значении а имеет положитель- ' х^-у^= а-1, у^ - 2ху = а^? (Положительные решения означают, что х > О и у > 0.) ные решений система уравнений Вариант 2 1. Решите систему уравнений: а) в) х^-х^у = 2, у^ - ху^ = 1; - =3, х + у-2 xyz ^ 2^ б) л/х + УУ + у ху = 5, хУУ -у^[х = 6; у + Z -X xyz = 1. Z + х-у При каких значениях а имеет единственное решение система уравнений xЧy2=:a^ X - у = а? 110 3. Верно ли, что при любом значении а -имеет положитель- „ \~х^ + у^=а+1, ные решения система уравнении < [ - 2ху = а^? (Положительные решения означают, что д: > О и у > 0.) Задание 14.16. Контрольное задание Вариант 1 1. Решите уравнение: а) х = а •¥ X а (х~2) 2. Решите систему: (а>0); б) у^~3у~^ 2г/^-б1/ + 5=-3, \z^ + \2z -1| -l| = 2 -2^, (2^ б) ху = (x+lf, yz = (у ^-l)^ XZ = {z + 1)^, xyz > 0. 3. При каких значениях а для любого х верно неравенство ах^ +ах -1 ^ (а^ +1)х^ •¥ X +1 4. При каком значении Ь не имеет решения уравнение д/ 5 + д: ~ Ь - X? 5. При каком значении с имеет единственное решение система уравнений д:^-4д: + 4=1-г/^ = 1/-|с|? 6. Нарисуйте в системе координат множество точек, коорди- наты которых удовлетворяют условию 1 < у[у - X < 2. Вариант 2 1. Решите уравнение: а) х = а X а{х + 2) (а>0); б) г/^+Зу-д/2z/46i/ + 5 = -3. Ill 2. Решите систему: а) + 122; +11 -1 = 2 - 2^ [(2^ -!)''’'< 1; б) XZ = (х +1)^, ху = (у + if , У2 = {2+ if , xyz > 0. 3, При каких значениях а для любого х верно неравенство ах ах <0? (а^ +1)д:^ - X +1 4. При каком значении Ь не имеет решения уравнение д/ 5 - X = X - Ь? 5. При каком значении с имеет единственное решение система уравнений х^ - 6х +9 = 1 - i/^ = г/ - | с|? 6. Нарисуйте в системе координат множество точек, координаты которых удовлетворяют условию 1 < |д/^ + х| < 2, Тема 15 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Задание 15.1. Общие свойства последовательностей Вариант 1 1. Исследуйте на ограниченность последовательность (а„), если 2п + 3 «« =------• п 2. Найдите условия для а и Ь, такие, что последовательность (х„), где х„ = а/г^+Ь/г + с, строго возрастает. 3. Пустьа1=0, а2=1, a„=0,5(a„_j +a„+i). Найдите формулу обпцего члена последовательности (а„). 4. Найдите наибольший член последовательности (л:„), где 1000 л л^ + 1 5. В прямой угол вписана окружность радиуса = 1. Затем в него вписана меньшая окружность, касающаяся первой окружности. Каждая следующая окружность касается сторон угла и предыдущей окружности. Чему равен радиус л-й окружности? 112 Вариант 2 1. Исследуйте на ограниченность последовательность (а„), если 2п -3 ап =------. п 2. Найдите условия для а и &, такие, что последовательность (Хп), где Хп ~ ап^ '\-Ьп Су строго убывает. 3. Пусть tti = 1, йз = 2, Найдите формулу общего члена последовательности (а„). 4. Найдите наименьший член последовательности где _ тгЧ1 " 1000 5. в прямой угол вписана окружность радиуса = 1. Затем в него вписана большая окружность, касающаяся первой окружности. Каждая следующая окружность касается сторон угла и предыдущей окружности. Чему равен радиус л-й окружности? Задание 15.2, Предел последовательности Вариант 1 Вычислите: , 1+2 + 2Ч... + 2" а) lim ----------------- 1 +3 + 3^-1-... + 3” (-1)" + б) lim п\ 2. Имеет ли предел последовательность: 41 1 -I 111 &) 1 > •”>•••> 2 3 4 б) а„ = 1 + 2^ + 2 2‘* + 3 + .. 2'* + /г Ограничена ли последовательность (х„), если , 1 ^1 = 1. ^«+1 = + —-? х„ Вариант 2 Вычислите: 1 +3 + ЗЧ... + 3" (-1)" - а) lim 1 +5 + 5^ + ... + 5'* б) lim 113 2. Имеет ли предел последовательность: . „ 1 „ 2 о 3 а) О, jO, ,0,—,...5 2 3 4 1 ■I б) а„ = 1 + — + ... + 3^ + 2 3^ + 3 3" + н 3. Ограничена ли последовательность (л:„), если Xj =1,Х2 =2, х„^2 = л:„+1 + —? Задание 15.3. Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия Вариант 1 1. Вычислите Ит 1-i+ i 2 2^______^ '____2"'^ -i + i-4+...+(-i)” 3 д2 V / дП-1 2. При каких значениях а выполняется неравенство ^а^a^J^^ > 1? 3. Пусть — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна S, Может ли сумма последовательности равняться S^? 4. Последовательность квадратов образована так: каждый квадрат, начиная со второго, имеет вершины в серединах сторон предыдущего квадрата. Сторона исходного квадрата равна 1. Вычислите предел последовательности сумм: а) периметров; б) площадей этих квадратов. 5. Может ли каждый член бесконечной геометрической прогрессии быть в k раз меньше суммы членов, следующих за ним? Вариант 2 1. Вычислите Ит ". 1 л-1 ^ 1 2. При каких значениях а выполняется неравенство ^а^a^J^^ < 1? 114 3. Пусть ip'n) — бесконечная убывающая геометрическая про- грессия, сумма которой равна S. Может ли сумма последовательности равняться 4. Последовательность равносторонних треугольников образована так: каждый равносторонний треугольник, начиная со второго, имеет вершины в серединах сторон предыдущего треугольника. Сторона исходного треугольника равна 1. Вычислите предел последовательности сумм: а) периметров; б) площадей этих треугольников. 5. Может ли каждый член бесконечной геометрической прогрессии быть в k раз больше суммы членов, следующих за ним? Задание 15.4. Числовые ряды Вариант 1 Сходится ли ряд? ^ - 3^ + 2 ■ 1 - 7п ‘ 100 3- Е sin^n 2. 2 0»5-10“"-9‘"-8“". 4- Е 5. £ (-1) + л+1 п = 1 Н п = 1 п = 1 6. 1 + о + 2"°’Ч о + о + 3“®'Ч о + о + о + Вариант 2 Сходится ли ряд? . “ 3-4тг (2n-lf „=1 10 п + 7 2. ^ -3-100‘" + 99'"-88"\ 3. 6. cos^n п=1 п“ л = 1 ^ “50" п=1 5. Z(-l) П = 1 л+1 (2n+lf 1 + о + 2'2+ 0 + 0 + 3 ^+0 + 0 + 0 + 4 ^+... Задание 15.5. Контрольное задание Вариант 1 1 1. Вычислите lim 1 1 ----+------+... + - 1-3 2-4 п(п + 2) 115 2. Пусть =~—+Г1 + 1 ^ а) Ограничена ли (а Л? б)Моно- /г^ - /г + 1 тонна ли (аЛ? в) Вычислите Ита„. ' П—>оо 3. Пусть — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия с суммой и знаменателем q. Докажите, что — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия. Обозначим ее сумму S2. Верно ли, что: а) при любом и любом q > S2I б) при любом q найдется а^, такое, что Sj > S2; в) найдутся такие q и что >82; г) при любом найдется д, такое, что 8^ >82? 4. На одной стороне угла берется точка А^, Из нее проводится перпендикуляр А^А2 к другой стороне угла. Из точки А2 проводится перпендикуляр А2А3 к первой стороне угла. Этот процесс идет бесконечно. Вычислите длину полученной бесконечной ломаной, если расстояние от А^ до вершины угла равно 1, а величина угла равна 30°. 5. Вычислите предел последовательности 2 + ^J~2, J 2 + + ^[2 , ... . 1. Вычислите lim П~>оо Вариант 2 1 1-4 2-5 /г (тг + 3) 2. Пусть а„ =——+ п +1 ^ а) Ограничена ли (а„)? б)Моно- -п+1 ^ ^ тонна ли (а„)? в) Вычислите lima„. 3, Пусть — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия с суммой Si и знаменателем q. Докажите, что — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия. Обозначим ее сумму 82 • Верно ли, что: а) при любом а^ и любом q S^ > S2; б) при любом q найдется а^, такое, что S^ >82; в) найдутся такие q и а^, что 8^ >82', г) при любом а^ найдется д, такое, что Sj > S2? 116 4. На одной стороне угла берется точка Из нее проводится перпендикуляр к другой стороне угла. Из точки Аз проводится перпендикуляр Аз A3 к первой стороне угла. Этот процесс идет бесконечно. Вычислите длину полученной бесконечной ломаной, если расстояние от А^ до вершины угла равно 1, а величина угла равна 60°. 5. Вычислите предел последовательности д/3 + д/~3, 3 + д^З + , ... . Тема 16 ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНОЙ МАТЕМАТИКИ Задание 16.1, Множества Вариант 1 1. Каждый взрослый житель города говорит хотя бы на одном из трех языков: французском, или немецком, или итальянском. 80% жителей говорят на французском языке, 70% жителей говорят на немецком языке, 60% жителей говорят на итальянском языке, 10% жителей говорят на трех языках. Сколько процентов от всего взрослого населения города составляет число жителей, которые говорят на двух языках? 2. Пусть А, Б, С — различные непустые множества. А с Б, А с С, (Bf]C) А, Верно ли, что А = БПС? 3. Придумайте такие различные непустые множества А, Б, С, X, что Б с А с С, АПХ = Б, AUX = С. 4. Существуют ли такие различные непустые множества А, Б, С, что (АиБ)ПС = (АПС)иБ? 5. Пусть известно, что: а) если рак вареный и красный, то он мертвый; б) если рак красный и мертвый, то он вареный. Следует ли из этого, что вареный и мертвый рак — красный? Вариант 2 1. Каждый взрослый житель города говорит хотя бы на одном из трех языков: французском, или немецком, или итальянском. 80% жителей говорят на французском языке, 70°/) жителей говорят на немецком языке, 60% жителей гово- 117 рят на итальянском языке, 40% жителей говорят на двух языках. Сколько процентов от всего взрослого населения города составляет число жителей, которые говорят на трех языках? 2. Пусть А, Б, С — различные непустые множества, В с. А, С с А, Ас (Б и С). Верно ли, что А = B\JC? 3. Придумайте такие различные непустые множества А, Б, С, X, чтоБсАсС, СПХ = АиБ, БУХ^СПА. 4. Существуют ли такие различные непустые множества А, Б, С, что (АиБ)ПС = (БПС)иА? 5. Пусть известно, что: а) если рак вареный или красный, то он мертвый; б) если рак красный или мертвый, то он вареный. Следует ли из этого, что вареный или мертвый рак — красный? Задание 16,2. Формула числа сочетаний Вариант 1 1. а) Сравните • C^gg и (СгооУ-б) Обобщите полученный результат. 2. Решите уравнение —^ = 11. ^х+1 3. Сколько решений имеет неравенство 10 < CjJ <15? (2;г+1)!^ 4, Будет ли натуральным число 5. Докажите, что . i=0 Вариант 2 1, а) Сравните Cfoi • С, i50 99 и ^'-'100 ) ■ б) Обобщите полученный результат. 2. Решите уравнение —- =11. 3. Сколько решений имеет неравенство 15 < <20? 118 4. Будет ли натуральным число (2?г-1)! 5. Докажите, что 1=0 СП^1 n+k+l• Задание 16.3. Комбинаторные задачи. Сочетания Вариант 1 1. Имеется 10 красных, 21 синий и 40 зеленых шаров, причем шары одного цвета различны. Некто X может выбрать 5 красных, 10 синих и 20 зеленых шаров. Некто Y может выбрать 5 красных, 11 синих и 16 зеленых шаров. У кого из них больше возможностей? 2. Из 10 юношей и 10 девушек выбирается команда в 5 человек. Сколько команд можно выбрать так, чтобы в них было: а) не больше двух девушек; б) больше двух девушек? 3. В классе 35 человек, причем только одна Ольга, один Саша и один Женя. Сколькими способами можно выбрать делегацию из 5 учеников этого класса, если всем известно, что введя в состав делегации Ольгу, нельзя в нее одновременно включать Сашу и Женю? 4. Семейство параллельных между собой прямых пересекается другим семейством параллельных между собой прямых. В каждом семействе k прямых. При каких значениях к получится на рисунке больше 100 параллелограммов? Вариант 2 1. Имеется 10 красных, 21 синий и 40 зеленых шаров, причем шары одного цвета различны. Некто X может выбрать 6 красных, 8 синих и 20 зеленых шаров. Некто У может выбрать 4 красных, 11 синих и 20 зеленых шаров. У кого из них больше возможностей? 2. Из 12 юношей и 12 девушек выбирается команда в 5 человек. Сколько команд можно выбрать так, чтобы в них было: а) не больше двух юношей; б) больше двух юношей? 3. В классе 35 человек, причем только одна Галя, один Федя и один Вася. Сколькими способами можно выбрать делегацию из 5 учеников этого класса, если всем известно, что 119 введя в состав делегации Галю, необходимо ввести и Васю, и Федю? 4. Семейство параллельных между собой прямых пересекается другим семейством параллельных между собой прямых. В каждом семействе k прямых. При каких значениях k получится на рисунке меньше 100 параллелограммов? Задание 16.4. Бином Вариант 1 1. Имеется бином а) Каких слагаемых: рациональных или иррациональных — больше в его разложении? б) Найдите наибольший член этого разложения. 2. При каких натуральных значениях п число 7^” -1 делится на 50? 3. Рассмотрим выражение (1 + 2х . После возведе- ния в степень и приведения подобных получается многочлен. Чему равна сумма всех его коэффициентов? 4. Докажите, что ^ • 2”“' = З"*. 1=0 5. Найдите коэффициент при х® в разложении выражения а + 2х^ -Зх^)^°. Вариант 2 1. Имеется бином ^1 + • а) Каких слагаемых: рациональных или иррациональных — больше в его разложении? б) Найдите наибольший член этого разложения. 2. При каких натуральных значениях п число 6^" -1 делится на 37? 3. Рассмотрим выражение (За ~ 2Ь После возведения в степень и приведения подобных получается многочлен. Чему равна сумма всех его коэффициентов? 120 4. Докажите, что ^ (-l)^C^ • 2 t=0 4 5. Найдите коэффициент при х в разложении выражения (1 + 2х + Зх^У^. Задание 16.5. Формулы комбинаторики Вариант 1 1. Решите уравнение 2. Решите систему уравнений Aiy = 20, y+l 18. 3. Докажите или опровергните неравенство {С1, , 1 4. а) Решите неравенство А^оо “^i^oo -б) Можно ли его обобш;ить? 5. Решите уравнение А" = 210. 1. 2. 3. Вариант 2 Решите уравнение А^^^ = xAll\. l2 Решите систему уравнений Ку =42, ^^д:+2 =12. Докажите или опровергните неравенство (СГ +С1)Р, *-Л+1 П + 1 4. а) Решите неравенство А^о -Cqq > б) Можно ли его обобш;ить? 5. Решите уравнение А” = 6. Задание 16.6. Комбинаторные задачи Вариант 1 1. Сколькими способами можно разложить 100 различных книг на 10 полках? 121 2. а) Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр О, 1, 2, 3, 5, используя каждую цифру только один раз? б) Какой будет результат, если не накладывать ограничения на использование цифр? 3. Сколько различных «слов» (буквенных наборов) из 7 букв можно составить из слова «колобок»? 4. В списке выступающих 6 человек. Сколько возможно таких регламентов, когда X выступает после У, но раньше Z? 5. Никакие три диагонали выпуклого многоугольника не пересекаются в одной точке. Всего точек пересечения диагоналей оказалось 495. Сколько сторон в этом многоугольнике? Вариант 2 1. Сколькими способами можно разложить 10 различных книг на 100 полках? 2. а) Сколько различных четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 5, используя каждую цифру только один раз? б) Какой будет результат, если не накладывать ограничения на использование цифр? 3. Сколько различных «слов» (буквенных наборов) из 7 букв можно составить из слова «барабан»? 4. В списке выступающих 6 человек. Сколько возможно таких регламентов, когда X выступает после Y и Z? 5. Никакие три диагонали выпуклого многоугольника не пересекаются в одной точке. Всего точек пересечения диагоналей оказалось 210. Сколько сторон в этом многоугольнике? Задание 16,7, Подсчет вероятностей Вариант 1 1. В ящике лежит п шаров, пронумерованных от 1 до п. Какова вероятность того, что при последовательном вытаскивании всех шаров их номера будут возрастать? 2. Из 28 костей домино берется одна. Какова вероятность того, что будет взят дубль или кость с суммой очков, не меньшей 10? 122 3. Компания из 10 человек усаживается за стол как попало. Среди них один Федя и один Вася, Какова вероятность того, что они окажутся рядом? 4. Взяты два числа хну. Сумма их квадратов не больше 1. Какова вероятность того, что их сумма по модулю не превосходит 1? 5. В лотерее 1000 билетов. Когда вероятнее выигрыш хотя бы на один билет: когда выигрышных билетов 100 и куплено 20 или когда выигрышных билетов 20 и куплено 100? Вариант 2 1. В ящике лежит п шаров, пронумерованных от 1 до п. Какова вероятность того, что при последовательном вытаскивании всех шаров их номера будут убывать? 2. Из 28 костей домино берется одна. Какова вероятность того, что будет взят дубль или кость с суммой очков, не большей 2? 3. Компания из 8 человек усаживается за стол как попало. Среди них один Федя и один Вася. Какова вероятность того, что они не окажутся рядом? 4. Взяты два числа х я у. Сумма их квадратов не больше 1. Какова вероятность того, что их разность по модулю не превосходит 1? 5. В лотерее 1000 билетов. Когда вероятнее выигрыш хотя бы на один билет: когда выигрышных билетов 10 и куплено 5 или когда выигрышных билетов 5 и куплено 10? Задание 16.8. Контрольное задание Вариант 1 1. А, By X — три различных непустых множества. Может ли быть, что Af]X = B[jX и A\JX = Bf]X? _L--A 2. Решите неравенство ^5 ,.2 \5 .6 "" 10 3. Имеется бином (1 - х^у. При каких значениях х модуль четвертого члена разложения не меньше модуля третьего члена разложения? 123 10 4, Чему равна сумма ^ 10'С^о? i = 0 5, Сколько нечетных чисел, меньших 10"*,можно составить из цифр 4, 6, 7? 6. Имеется 100 белых и 50 черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы два черных шара не лежали рядом? 7. Два шахматиста одинакового уровня играют без учета ничьих. Что вероятнее для одного: выиграть три партии из четырех или шесть из восьми? Вариант 2 1. А, В, X — три различных непустых множества. Может ли быть, что AnX=:A(jB и А[]Х=АПВ? 2. Решите неравенство 1 1 — > — 3. Имеется бином (х^-1)^. При каких значениях х модуль четвертого члена разложения не меньше модуля пятого члена разложения? 4. Чему равна сумма 10~^ С1^? 1 = 0 5. Сколько нечетных чисел, меньших 10^,можно составить из цифр 5, 6, 7? 6. Имеется 50 белых и 100 черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы два белых шара не лежали рядом? 7. Два шахматиста одинакового уровня играют без учета ничьих. Что вероятнее для одного: выиграть две партии из четырех или четыре из восьми? 124 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Тема 1 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Задание 1.L Функциональная символика Вариант 1 1. а)г/(0) = -1; 6)j/(-i) = -l-i-l = -f; в) у(/3) = -3+/3-1 = /з - 4; г) у(2х) = -4х^ + 2х - 1; д) I/ (х + 1) = - (х + 1)^ + X + 1 - 1 = “Х^ “ X - 1; е) у (л: + Ах) - у (х) = -{х + Ах) +х+х + Ах-х = = -2X - Ах - (Ах)^ + Ах. 2. а) Так как 0,9°'^ < 1, то /(0,9°’=^) = ^ = = б) так как 0,8“^ = -^ > 1, то /(0,8~^) = 0,8~^ + 1 = 2,25; и,о в) + 1 > 1, поэтому f{a^ + 1) = {aUlf при а = о, а^ + 2 при а Ф 0. Значит, /(а"^ + 1) = 1 при а = о, а^ + 2 при а ^ 0. 3. а) ^(|) = sin| + cos| = 1 + 1 = 1; б) sin(-|)+соз(-я) =-2; в) g{l) = sin(l) +cos(2); г) g(x + я) = sin(x + я) + cos(2x + 2я) = - sinx + cos(2x); Д) ^(f + соз(я -2x) = C03X - соз2х. 4. x(-0 = 1 - {-t)^ = ^ 1 - - x(i)- Значит, утверждение верно. 5. Пусть h{x) = ax + b. Определим коэффициенты а и Ь. Используем условия: h (-1) - - а + 6 = 0, h(0) = Ь = 1. Значит, а = Ь = 1. Тогда h(l) = а + Ь = 2. Вариант 2 1. а) 1/(0) =-1; б)у(|) = -1-|-1 = -{; в) y{~^f^) == -3 + ^ - 1 = ^ ~ 4; г) £/(0,5х) = -0,25х^- 0,5х - 1; д) у(-х + 1) = -(-X + 1)^ + X - 1 - 1 = -х^ + Зх - 3; е) ^(х + Ах) - 1/(х) = -(х + Ах)^-х - Ах +х^+х = -2х ■ Ах -(Ах)^- Ах. 125 2. а) Так как > 1, то ^ ; б) так как 1,2“^ < 1, то /(1,2'^) = -1,2~^ + 1 = 1- ^^ = ^; в) + 1 > 1, + 1 = 1 при а = О, + 1 > 1 при а фО, поэтому /(а" + 1) = , если а Ф О, с^+1 о, если а = 0. 3. а) ^(|) = cos| +sin| =/З; б) ^(--|) = cos(-^) + sin(-|) = ^ - 1; в) ^(-l) = cosl-sin2; г) n)=cos(o:- я)+ sin(2x- 2я) = - зшл:+ sin2x. д) ^ (| “ ^) = cos (f “ ^) + sin (я - 2 х) = sinx + sin 2х. 4. x(-i) = (-f) - (“0^ = - (i - t^) = -x(^). Утверждение верно. 5. Пусть h{x) = ах + b. Из условий задачи имеем Л(1) = а + Ь = 0, Л (0) = Ь = 1. Значит, а = - & = -1. Поэтому h (-1) = 1 + 1 = 2. Задание 1.2, Сложная функция Вариант 1 1. а)Л(0) = 1; б)Л(/г(0)) = Л(1) = |. 2. 2(зс) = (Зх - 1)"^ = У1(Уз(У2(х))). 3. а) Д(Д(х)) = ix^f = х^; б) ^(/гМ) = -(7^ = 7^’ в) /гСАМ) = 7^- \x\;fi(f2(x)) = X, последнее равенство верно при X >0. Значит, исходное уравнение примет вид |х| =х, х >0. Это уравнение имеет решения х > 0. f о, X > о, 4. а) /(ф(х)) = f(-f(x)) = \ График этой функции приведен II, X < 0. на рис. 1. \ о, X > о, б) ф(ф(х)) = - f{-f{x)) = < График этой функции приведен 1^-1, X < 0. на рис. 2. 0 X > -1 Рис. 2 126 5. Например, условию задачи удовлетворяет функция у = [х] — целая часть числа, т. е. функция принимает только целые значения, для любого X значение y = [xj есть наибольшее целое число, не превосходяш;ее х. [[-]] = Г-Г- Вариант 2 1. а)Л(0) = -1; б)/г(0) = -1. Л (Л (0)) = ((-1)^ - 1)“^ — значение не определено. 2. z{x) = у^{у2{У1(х))), 3. а) fi(fi(x)) = (x‘^f = б) Ш2(х)) = -fjx = в) /2(/iW) = х^ ; /i(/2(x)) = {^[xУ = х^, верно прих > 0, по- 2 2 этому исходное уравнение примет вид х - х и оно имеет решения д: > 0. 4. а) /(ф(д:)) = f{-f{x)) = 0. График этой функции — прямая у - 0 (рис. 3). f о, X > о, б) f(f{x)) = \ График этой функции приведен на рис. 4. ! - 1, д: < 0. 0 X 0 V X -1 Рис. 3 Рис. 4 5. Например, условию задачи удовлетворяет функция f{x) = ~[х\ где [д: ] — целая часть числа х. Задание 1.3, Область определения функции Вариант 1 1. а) Область определения функции f{x) — все д:, удовлетворяющие 1 11^ - I 11-х > о, системе ( которая равносильна системе \ ее [х>0, . \х>0, решение х в [0; 11) есть область определения функции /(х). б) Область определения функции g{y) — решение неравенства I - у >0. Значит, область определения есть все у е (-1; 1). 127 в) функция у = л:®’® определена при х > О, а функция у = определена при 1-t^ >0, поэтому функция h{z) определена при условиях 1 - > о, Эта система равносильна системе ] z^ <1, [ 2^ < О, которая не имеет решений. Значит, область определения функции — пустое множество: г е 0. 2. Например, функция у = 3. Левая часть уравнения не может быть отрицательной, поэтому и правая часть а - 1 тоже неотрицательна. Откуда получаем, что а -1 > о, то есть а > 1. Область допустимых значений такова: |х| - а > о, |х|> а. -х^ >0 ^ а<|х|<|а|, и так как а > 1, то ^ а" >х" I а 1 = а и получаем неравенство а < | х | < а, то есть | х | = а. Подставим это значение для |х| в левую часть уравнения и увидим, что она обращается в 0. Тогда правая часть уравнения а -1 = 0, а = 1. Итак, при а = 1 решение уравнения | х | = а = 1, то есть х = ±1. При а ^ 1 уравнение не имеет решений. Вариант 2 1. а) Область определения функции f{x) — решение системы X + 3 > о, -х>0 I ^ ^0 ^>0, х+г ^ о - 3 < X < о, то есть х е (-3; 0]. б) Область определения функции g(y) — все у из неравенства у^> 1 ^ уе (-оо; - 1) U (1; +оо). в) область определения функции h (z) — все 2, удовлетворяющие -.2. системе 1-2^ >0, 1-/Г 2^ > о, которая имеет решения 2 G [- 1; 0) и (0:1]. 2. Например, у(х) = 3. Левая часть уравнения неотрицательна при всех допустимых значениях а и X. Правая часть уравнения тоже должна быть неотрицательной, что выполняется при а<0. Если а < о, то подкоренное выражение а -1 х | неположительно. Поэтому остается рассмотреть только а = 0. При этом уравнение примет вид ^1-\х \ + 0. Это уравнение имеет единственное решение х = 0. Итак, при а = 0 решение х = 0, при а ф 0 решений нет. 128 Задание 1.4, Область значений функции Вариант 1 = 3(x “ ^ • Наименьшее значение функция f{x) принимает в точке ^ = 1» и Наибольшее значение /(2) = 3. Итак, -i| < fix) < 3 при 0,5 < д: < 2. б) Наименьшее значение функции g(y) =| У -1| равно 0 при у = 1. Наибольшее значение равно 2, оно достигается при у = -1 и у ~ 3. о < g(y) < 2, если -1 < у < 3. в) Так как значения функции у - sin(x) — все числа у по модулю, не превосходящие 1, то2 -1 <Л(z)<2-(-1), то естьl2. Правая часть уравне- ния при любых X ^ о ^4- х^^ < -yj~i = 2. Отсюда следует, что уравнение решений не имеет. Вариант 2 1. а) -2хЧд: + 2 = -2(д:2-#) + 2 = -2[(х-|)2-Х] + 2 = -2(д:-|)Ч^. J 41Ь"* 4 о Наибольшее значение функции f(x) равно -Ц при х = Наимень- о 4 шее значение функции при -1 < х < 1 /(-1) = -1. Поэтому, если б) Если -3 < у < 1, о < g(y) < 2. в) о < Л (г) < 2 при ZS R. 129 2. Пусть ABC и DEFG — треугольник и прямоугольник, удовлетворяющий условию задачи (рис. 6). АВ = 1, GD~FE = x, Треугольники AFG и BED равные и равнобедренные и AG = DB = DE = = Izf 2 ‘ AB-GD Тогда площадь прямоугольника x(L~x) ^DEFG - —2—' условия задачи следует, что О < д: < 1, поэтому функция принимает значения от О до о Значит, О <5Г, DEGF ^ 3. Левая часть уравнения + при х О больше или равна 2, а правая часть ^[~^-\x \ при х ^ О меньше 2. Поэтому уравнение не имеет решений. Задание 1.5. Четность и нечетность функции Вариант 1 1. Для любого X ^ R: а) f{-x) - (-x)^l XI. Значит, функция — нечетная; б) функция не является ни четной, ни нечетной. Например, х(1) = 1, а х(-1) = 3; в) функция 1/= sin(a) — нечетная функция, а функция y = cos{a) — четная функция, поэтому ф(-а) = sin(-а) cos(-a) = - sina cosa = -(р(а). Функция ф(а) — нечетная функция; г) функция g{y) не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не является симметричной относительно 0. Функция g{y) определена при у = -1, но не определена при у = 1. 2. а) Функция fi(x) — четная функция. В самом деле, = f (-(-х)) = = fix) = fi-x) = /i(x). б) f2(x) — нечетная функция. Действительно, f2i-x) = {~x)f{-x) = = -х/(х) = -f2(x). 3. Пусть х^=1, т. е. х = ±1. Вычислим значения функции /(х^) в этих точках. /(1^) = 1, с другой стороны, /((-1)^) = -1. Но заметим, что /((-1)^) = /(1^), т. е. функция f(t) принимает два значения при ^ = 1. Это противоречит определению функции. Значит, не существует функции, удовлетворяющей условию задачи. 130 Вариант 2 1. а) Функция f(x) не является ни четной, ни нечетной, так как /(1) = 0, а/(-1) = 2. б) Функция x{t) не является ни четной, ни нечетной, так как х{-2) = -5, л: (2) = 11. в) Функция ф(а) — четная, так как ф(-а) = cos^(-a) - sin^(-a) = cos^a - sin^a = ф(а). г) Функция g(y) не является ни четной, ни нечетной, так как область определения функции не является симметричной относительно точки I/ = О, а именно функция не определена при у = -1 и определена при у - 1. 2. а) Функция f\(x) является нечетной, так как =/(-(-х)) = = -f(-x) = б) функция /2(х) — четная. Действительно, она определена при любом X 6 /г и /2 (-х) = (-х) / (-х) = - (-х) / (х) = X / (х) = /2 (х). 3. Вычислим значения функции / при х = 2их = -2. Следуя определе- нию,прих=2 /(|2|)=/(2) = -2, априд: =-2 Д| - 2|) = - (-2) = 2. Но так как |-2|=2, /(|-2|) должна быть равна /(121) = 2. Значит, функция принимает два значения при х = -2. Такого быть не может. Функции, удовлетворяющей условию задачи, не существует. Задание 1,6. Четность и нечетность функции Вариант 1 1. а) h{z) = tg 2+ tg{-z) = tgz-tg Z ~ О при всех г ^ | ч-я/е, keZ, Функция является четной и нечетной одновременно. б) Функция /(х) — нечетная, так как она определена при х ^ ±1 и П-Х) = {-X - 1)-2 - {-X + 1)-2 = ((л: - 1)-2 -(х + 1)-2) = -Пх). в) функция g{y)ne является ни четной, ни нечетной, так как она не определена при у = 1 и определена при у = -1, 2. Так как искомая функция четная, то из равенства f{x) + f{~x) = х следует, что 2 f (х) = х и f (х) = ^. Но получившаяся функция нечетная. Противоречие. Значит, функции, удовлетворяющей условию задачи, не существует. 3. Нетрудно проверить, что х = О является корнем этого уравнения. Пусть Xq — какой-то его корень, тогда и -Xq является его корнем, так как в обеих частях этого уравнения стоят четные функции. Но тогда вместе с нулевым корнем число корней будет нечетным, т. е. точно не равным 10. 131 Вариант 2 d)h(z) — нечетная и четная функция, так как при z Ф nk, k е Z h(~z) = ctg(- z) + ctg(-(- z)) = -ctgz + ctg2 = 0. Cm. вар. 1. 6) f(x) — нечетная функция. Действительно, функция определена для всех л: 6 Л, кроме д: = ±1, и f(-x) = (-Х + 1)-"- (1 - (-х))-^= (1 - х)-^- (X + 1)-^= = -((х + 1)-^-(1-х)-^) = -/(х). в) g(i/) не является ни четной, ни нечетной функцией. Действительно, g(l) Ф g(-l), так как g(l) = -/1о, а g(-l) = -JT2. 2. Пользуясь свойством нечетности функции /(х) исходное равенство можно переписать так: 2 f(x) = х^, откуда следует, что = -|- четная функция. Пришли к противоречию. Значит, не существует функции f(x)f удовлетворяющей условию задачи. 3. Уравнение не может иметь 10 корней. Задача решается аналогично задаче 3 варианта 1. Задание 1.7. Монотонность функции Вариант 1 1. а) Функция f(x) — квадратичная, и ее график — парабола. Вершина параболы в точке с абсциссой х^ ~ ~ 2* параболы направ- лены вверх, поэтому при х < -1 (левее вершины) функция убывает, б) Так как у > 2, то g{y) =| 1| = 1 - Исходя из монотонности гиперболы ^ при у > 2у видим, что g{y) возрастает на (2; + «>). 2. а) Преобразуем функцию h(z). .3 h(z) = — = = 2 + 7_1_ 32+1 3^+1 3 9^+1* 3 3 Исходя из свойств гиперболы видим, что h(z) убывает на промежутках 2 е (- ©о; - i) и ^; + <»). 3 о б) Для определения промежутков монотонности исходной функ- ции достаточно рассмотреть функцию За'*+|а1. Она есть сумма двух функций, функция у = За^ убывает на промежутке (-0] и возрастает на[0; + оо). Функция у = \ а \ тоже убывает на промежутке (-~;0] и возрастает на [0;+«>). Поэтому функция/(а) убывает на (- 0] и возрастает на [0; + «>). в) Функция у(х) возрастает на промежутках (-«>; 0) и [0 ; +~)* 132 Вариант 2 1. а) График функции f{x) — парабола с вершиной {xq; /(xq)), где Xq = ветви параболы направлены вверх. При х > 1 функция fix) возрастает. б) При у < -2 \ + 1| = 1 + и так как функция ^ убывает, то и функция g(y) убывает при у < -2. 2. а) 1-^ = I +поэтому функция h(z) убывает на (-«*; |) и Az~; 0] и убывает на [0; +оо). в) Функция у(х) убывает на (-~;0] и на (0;+оо), но при этом неверно то, что она убывает при X е Л, так как, например, у(-|) = ф, а уф = I и 1/(-|) < уф. Задание 1.8. Монотонность функции Вариант 1 1. а) Не всегда. Например, у = хл-1 на [-2; 0]; г = х + 0,5 на [-2; 0]. Произведение у • z есть квадратичная функция, которая на промежутке [-2; 0] не монотонна. б) Не всегда. Например, y = ^[x на [0; 2] и z = x^ на [0; 2]. Разность y-z равна о при х=0 и х = 1. При х = ^ разность у - 2 = ~, поэтому функция не монотонна на [0; 2]. 2. д: = 10, что подтверждает непосредственная подстановка. Других корней уравнение не имеет, так как функция в левой части уравнения монотонна. 3. При 1<х<2 д:^-д:>0. Откуда следует, что |х^-д:| х. Так как х^-х возрастает от о до 3, то и |х^-х| возрастает в тех же границах. Функция -х^+20 убывает от 19 до 4, значит, неравенство верно. 4. Не всегда. Например, функции, графики которых имеют вид (рис. 7): 133 Вариант 2 1. а) Да, так как при Х2 > Ху имеем у{х2) > и z(x^ > z{x{^. Откуда следует, что у(х2) + 2(хз) > i/(xi) + z{x{). б) Не всегда. Например, у = х^‘ и г = х^^ х е [-1; 1]. | — эта функция монотонна на [-1; 0) и (0; 1]. 2. X = 6. См. вар. 1. 3. При X 6 [-2; 1] |х^+х| меняется от ^ до 2, а -х'^+20 —от 4 до 19. Значит, неравенство верно. 4. Не всегда. Например, функции, графики которых имеют вид (рис. 8): Задание 1.9, Ограниченность функции Вариант 1 1. а) Да, у е [1; 16]. В силу монотонности этой функции достаточно вычислить ее значения на концах данного промежутка. б) Да, X е [2; 11]. Достаточно вычислить значения функции на концах данного промежутка и в точке а = 1, вершине параболы — графике данной функции. +1 1 в) Нет. Функцию представим в виде g{h)= ^ =k + j. Функция k неограниченная при й —> «>, функция ^ — при ft —> 0, поэтому ^(ft) не является ограниченной функцией. а) Да. Пусть F < L {L > 0), тогда < I?. б) Не всегда, так как F может принимать нулевые значения. 3. Нет решений. Рассмотрим неравенство (свойство модуля) \(2х^-1) + (3-х^)\<\2х^-1\ + \ 3-х^\, откуда получаем, что \х^ + 2\<\2х^-1\+\ 3-х^\ или 2 <\2х^-1\+\ 3-х^\. По условию задачи выражение в правой части должно быть не больше 1. Но этого быть не может, так как оно не меньше 2. 134 Вариант 2 1. а) Да, у € [-4; - 3]. Надо вычислить значения функции на концах промежутка. б) Да, хе[-4;0]. Надо вычислить значения функции в точках а = -3, а = -1, а=Ои взять наименьшее и наибольшее значения. в) Нет, так как g{k) ~ ^ и и ^ не являются ограниченны- ми функциями. 2. а) Да, Пусть F < L (L > 0). Тогда < I?. б) Не всегда. F может принимать нулевые значения. 3. Нет решений. \10-х^\ + \2х^ -5\>\10-х^ +2х^-5\ = \х^ + 5\> 5. Поэтому сумма не может быть меньше 1. Задание 1.10. Обратная функция Вариант 1 1. g(x) определена при х > 0 и g[x) = х Тогда: а) g{2) = 4; б) g’(- а) = (- а)^, если а < 0. 2. а) Решим уравнение у = 2х - 3 относительно х. Тогда х = — это обратная функция х(у). б) Аналогично получим, что у = 1 + ^ х - 1, х > 1. в) ^ = Z ^ 1. ' 2~Г 3. Да. Решим уравнение у = 2х относительно х. Получим 1-х2 _ -l±yjl + / Так как для х > 1 у < 0, то при у < о решение уравнения х > 1 1 + Ji + X -----У——±- единственно. 4. Нет. Например, у = (х-1)^ и + 1 взаимно обратны на R, а у = (-Х - 1)^ и у = ^ - X + 1 нет. На рис. 9 приведены графики функций у = (х-1)^ и y=Vx + l, они симметричны относительно прямой у = X. у = Чх + 1 -У=х- -1 -1У=(х-1У 3 — Рис. 9 135 Вариант 2 1, Функция g(x)y обратная для f(x), будет g{x) = х^, поэтому: а) ^(-2) = (-2)3 =-8; б) ^(а) = а^. 2. а) Решим уравнение y = -5jc + l относительно х. Тогда x = i^ — Э это обратная для у{х) функция. б) Решим уравнение х = -у^ -2у относительно у. -2±yj4-ix у = ---=2--- = Как выбрать знак? По условию задачи у g [-2; - 1], значит, х при таких у принимает значения от О до 1. х (-2) = О, поэтому у(0) = -2. Значит, функция имеет вид у(х) = -1 - 1 - х. в) t(z) = 1^, z*l. 3. Да. Функция у{х) на промежутке (1; +о°) возрастает. Докажем это. Пусть Х2 >Xj > 1. Рассмотрим У(х2)~У(хг) = 1-Х^ _ (Х2 - .Ti) (Xi +Х2+ Х2Х1) i-x: а-дг|)(1-;с3) л-2 * Эта разность прих2 >JCi >1больше нуля. Значит, у (х2)> (/(xj), т. е. у (х) возрастает. Монотонная на промежутке функция имеет обратную, так как любому у соответствует единственное значение х. 4. Нет. Например, функции из задачи 4, вар. 1. Функции у = -/(х) = = -(х-1)Зиг/ = ~g{x) = - yfx -1 не являются взаимно обратными на R, Задание LJL Периодичность функции Вариант 1 1. В условии задачи функция задана при х е [0; 3]. Продолжим эту функцию на [-3; 0], используя нечетность. Тогда - 4х - 12, если - 3 < X < -2, f(x)= 2х, если - 2 < X < 2, - 4х + 12, если 2 < X < 3. При этом функция задана на промежутке [-3; 3], длина которого равна периоду этой функции (6). Теперь нетрудно ее продолжить на [-6; 6]. 136 б) /(1987) = /(1+ 6-331) = /(1) = 2. 2. Да, если ti+t2 Ф О. Так как и ^2 — периоды, то для любого tf{t + ti) = = f{t) и f(t-^t2)=f{t). Рассмотрим для любого t f {t + {ti +12))-= f{{t + ti) + #2) = /(t + ti) = fit), откуда следует, что (^i + ^2) — период fit). 3. Нет. Если предположить, что >/3 — период, то ^^3 = k^^^2, где k — какое-то целое число. Значит, ^ = ^ = Ид^не является целым. Поэтому -/З не является периодом исходной функции. 4. Да. Пусть fit) —периодическая функция и Т —период этой функ- ции. Тогда fit+T)- fit) и, если fit)^0, f(t+T) 1 fuy Если /(0=0, то функция в этой точке не определена, также она не будет определена в точках t + kT, k € Z. Значит, функция — периоди- ческая. 5. Докажем, что периодом функции fix) является число 2. = fix) ДЛЯ любого X е R. f(x + 2) = f((x + l) + l) = -jj^ = 1 /(X) Вариант 2 1. Используя свойство четности, продолжим функцию fix) на промежуток [-3; 0]. -4л:-8, если - 3 < :с < 2, 2х + 4, если - 2 < л: < о, -2х + 4, если о < X < 2, 4х - 8, если 2 < X < 3. fix) = Используя период, равный 6, нетрудно продолжить теперь функцию на промежуток [-6; 6]. а) 137 б) /(1987) = /(1+ 6-331) = /(1) = 2. 2. Да, если - ^2 ^0. См, вар, 1, 1ь 3. Нет, так как ^ не является целым числом. См. вар. 1. ■n/3 4. Не всегда. Например, /(х) = -1 -| sinx|. 5. Докажем, что периодом данной функции является число 2. /(х) = /((х + 1)-1) = - 1 = /(:с + 2). /(х + 2) Задание L12. Преобразование графиков функций Вариант 1 1. а) График функции i/ = -2|l-x| + l можно получить сдвигом графика у = ~2\х\ на 1 вправо и на 1 вверх (рис. 12). б) График функции у = |-х^+|х|-1|| можно получить из графика функции Z/=-х^ + X - 1. Функция у = \-х^+\х\-1\\ —четная, поэтому ее график симметричен относительно ОУ. Значения функции 1/ = -х^ + х-1 отрицательные при всех х. Для того чтобы получить искомый график, достаточно симметрично отразить трафик z/ = -x^ + x- l при X > о относительно оси ОХ, затем отразить относительно оси ОУ (рис. 13). комая функция имеет вид у =| - 2 + =| 2 + ^^|. График этой 5 х-Х оси ОУ на 2 вверх и отражением симметрично оси ОХ части графика для у<0 (рис. 14). 4 г) Функция у = ^ четная и определена при х 0. График 2\х\ g этой функции можно получить из графика У = Для этого 138 сдвинем его на 1 вниз по оси ОУ, затем часть графика для х > О отразим относительно оси OY (рис. 15). 2. Уравнение можно переписать в виде {х - а) \ ^Jx~a = Ь. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда имеется пересечение графиков у={х-а)^+ ^]х-а и у = Ь. Так как первый график получается из графика функции у = х\у[х сдвигом на а единиц по оси ОХ, то существование решения не зависит от а. Можно исследовать пересечение графиков у = х^+^ и у = Ь. Область значений функции y = x^+-Jlc есть I/ 6 [0; +<»), поэтому графики пересекаются только при 6 > о. Итак, уравнение имеет решения при Ь > 0 пае R (рис. 16). Вариант 2 1. а) График функции у = - 3|2-х|-2 может быть получен из графика у = -3| XI сдвигом на 2 вправо по оси ОХ и на 2 вниз по оси OY (рис. 17). б) График искомой функции получается из графика у = - х + 1 при д: > О отражением относительно оси ОУ. Отметим, что искомый график совпадает с графиком функции из задачи 16 варианта 1. в) Преобразуем выражение ^ = -3 + Поэтому ис- комая функция примет вид у=|3-1--^|, график которой получается из графика функции у = сдвигом на 3 вверх по оси OY и отражением той части графика, которая ниже оси ОХ (у < 0), симметрично вверх относительно оси ОХ (рис. 18). Q О г) График функции у = - -|^ + 1 получается из графика у = -2 х сдвигом на 1 вверх по оси ОУ и отражением части графика для д: > о симметрично относительно оси ОУ (рис, 19). 2. Эта задача решается аналогично варианту 1 заменой Ь на —Ь, Уравнение имеет решения при Ь < 0 и а е R, Задание 1J3. Контрольное задание Вариант 1 1. Пусть треугольник имеет катеты а и by площадь S и периметр Р. Тогда а^+Ь^ = 1у S = Рассмотрим (а + Ь)^= а^+Ь^+2аЬ. Отсюда (а-1-6)^=1-ь 4S или а + 6 = ^1 +^, Р 1 + 4S +1. График этой функции приведен на рис. 20. 140 Рис. 20 ^(/г(х)) = (x + i) + i = л:+ 1. 2. х + 1 - ^[х) ^ = -==Д—= = ^ X + 1 + -yfx. Решим неравенство •J Х +1 Y ^ -yjx +1+ Левая часть этого неравенства при х > 0 не меньше 1, а правая часть не больше 1. Отсюда решение хе(0;+оо). 3. а) g{x) = X, Л (х) = X + 1. б) Не является единственной. Например, ^(х) = Л(х) = х + |. в) Да, такой пример приведен в пункте (б). В самом деле. Вариант 2 1. а) S =-——, где S — площадь, Р — периметр. См. решение вар. 1. б) График функции S(P) приведен на рис. 21. 2. После преобразования получим неравенство Jx + 1+Jx<-^, дг+i решение которого пустое множество. См. решение вар. 1. 3. а) Например, ^(х) = х - Л (х) = х - U О б) Не является единственной. Например, g(x) = Л(х) = х - в) Да,см.паруфункцийизпункта(б):^(Л(х)) = (х-|)-| = х-1. Тема 2 ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ПРОИЗВОДНАЯ Задание 2,1. Определение предела функции в точке Вариант 1 1. Рассмотрим! /(х)-3| = |2х + 1-3| = 2| х -1|. Пусть е>0и21х-1|<е. Тогда для любого е>0 и 5 = | и любого х, удовлетворяющего 141 условию I X - l| < 5, будет 2 | x - l| < e, то есть | /(x) - 3| < е. Это означает, по определению предела, lim /(х) = 3. I I 19 1 2. Рассмотрим такое е>0, что |g(i/)-ll| О принять 5 = -|, то для любых у, таких, что | z/ + 3| < 5, будет выполнено неравенство 1 ^(i/) - 11| < е. Значит, lim ^(у) = 11. 3. Функция Л (2) непрерывна в точке 2 = 2. Поэтому предел Л (2) в точке 2 = 2 равен h{z) = ^ ^ 1. Можно также показать, что в окрестности точки 2 = 2 величина! /г (2) - 1| не может быть как угодно малой, что означает, что lim Л (2) Ф 1. Z —>2 Вариант 2 1. Для е > О можно взять 5 = е и тогда для любого х, удовлетворяющего неравенству |х-б|< 5, будет выполнено |0,5х-3|< е, откуда следует, что | /(х) - 1| < е. Значит, lim /(х) = 1. 2. Для £>0 можно взять 5 = и тогда для любого у, удовлетворяющего условию I у + 21 < 5, будет выполнено | ^ (i/) - 11 < £. Значит, lim g(y) = 1. -2 3. Л(-1) = 1, и функция непрерывна в точке 2 =-1. Значит, lim h{z) ф2, z-^-\ Задание 2.2. Вычисление предела функции втачке Вариант 1 , = lim ----i----- ^ 1. a) lim ^x~>0 Ax дх_^0 Дх (•/2Тд^ + /2) Ax-^0 V2 + Ax + /2 2^ 6) lim - ■■ = lim ^ (i+f2)2^^l+t^ + l) = 3. (->0 a+(‘'-i) t-^o При доказательстве помножили числитель и знаменатель на неполный квадрат выражения ^ 1 + t^ + 1, тем самым получили разность кубов в знаменателе. в) lim = lim = lim 1 -j^+Sx+4 x-^-1 (4-x)(x+l) 4-x 5‘ r) lim и-^-1 у +i W-y+i) _u = lim у _ 5 7* y + l y^-1 (у + 1)(И-у®+И-А/-у + 1) y^-l y^-y^+y^-y^+i^-y + i 2. Пусть Oi — центр описанной, O2 — центр вписанной окружности, OiM 1АВ, О2Р-L АВ. ВК — высота, равная Л. ТогдаОхВ = В, итак как OiB = О1А, то ВМ = ^АВ = 1, ОоР = г как радиус вписанной окружности, также О2К - г (рис. 22). Обозначим угол АВК как а. 142 в в Рис. 22 Из Д ВМ01 cosa = 7^. Из Д ВРО о sina = -г^» так как sin^a + cos^a = 1. А о 2Д ^ Л-г то (h-ry = 1. Отсюда после несложных преобразований получим h^+r^-2hr-AR^h^-¥2>R^rh=Q, Разделим равенство на R\ тогда -4- + -^-2Л-~-4Л^+8гЛ = 0. При Л 0 получим (-^)^ —> 0, то есть Ит~ = 0. Замечание. Треугольник, удовлетворяющий Л->0 ^ условию задачи, может быть и таким (рис. 23). Этот треугольник тупоугольный. Возможен и прямоугольный треугольник. Вариант 2 а) lim VIl5HzV!.= lim (Уз+Ад^-УзкУз+^+уз) _ 3-fA;c-3 Дх-->0 = lim Дх 1 Дх^О 1 Дх (/З + Дх + Дх->0 Дх(./зТдх + т/3) Дх—>0 -^3 + Дх + 2-JS tH^{S + Pf+2^S + P+4) _^.^f^(^(8 + fV+2^8 + /^+4)_ (->0 ^8+ /2-2 /-^0(^8+(2-2)(^(8+/2)2+2^/2^8+4) S + /2-8 б) lim -=lim- ^ + 2^ + 4 = 12. ч 1. x^+2x+3 1. х2+1+2(х+1) т (х+1){х2-х+3) в) lim —=-----= lim —;—= lim , ^ = х^-1 -х2+4х+5 х^-1 х->-1 (^+1)(5-лг) = lim х-^-1 х2-х+3 5-х _ 5 г) |; используем разложение I/ -l = (i/-l)(i/* Ч у* Ч i/* Ч... + 1). 2. Пусть О1 — центр описанной, О2 — центр вписанной окружности, вы-сотаВЛГ=Л, O2PIAB, 01М1АВ(рис.24).ТаккакАС=2,АйГ=^ = 1. Б Oi= Б, О2 iiT = О2 Р = г. Обозначим угол ЛВК как а. Из Д ВМО i имеем cosa = 4^. Из Д БРОо имеем sina = -г^« Из Д АВК имеем 2Л ^ Л-г АВ^= Л^+ Ай:2= кЧ 1, tga = ^ = i П П 143 См. Замечание в вар. 1. Задание 2.3, Предел функции на бесконечности Вариант 1 1. а) Ит ((t + 1) в -(t- 1) 6) = lim f —>+«» /—>+« I i I (f + l)3+(f-l)3+(f2,l)6 = lim t —»+“> = lim ^ + l-i + 1 1 i 1 1 1 {{t + lf + (f-l)2)((i + l)3+ (f-l)3+ (f2_ 1)6) J((1+1)2+{1-1)2)((1+|:)3+(1_1)3+(1_X)6) = 0. 6) lim {y + lf^iy + 2f^ _ (2y+3) no lim ^50(1^1)50^60(1^^)60 уП0(2 + ^)П0 ,110 2. Наклонная асимптота — это некоторая прямая у = ад: + &, такая, что а = lim Пх) и Ь = lim (fix) - ах). lim ж-»~ ж® (1+1) Y-Z ^ = -2, lim {f(x)+2x) = lim | - + 2х\ = *2+1 Ь2*1+^-1+2^^1.^ i!^=lii X-^ee ДГ + 1 X 1+ 2_Х X 3^ _ ‘ —------=lim---7^=1. Функция fix) дг + 1 х->~ 1+-— Х2 имеет наклонную асимптоту у = -2х + 1. 3. Возьмем любое число Л < О, тогда для любого числа х >1- R полу- 1 •“ X ’ чим, что fix) = —г- < R. Действительно, если подставим x = l-R, то l_/t_D\3 p3^QD_ 3 д2 f(x) = —^^ = —г------------< Ry это неравенство равносильно (1-л) R^-2R + l R^-\- 3R - 3R^< Rr - 2R^ + Ry 2R- Rr <0 и верно при любом R <0. 144 функция f(x) убывающая, поэтому при x>l-R неравенство f{x) < R выполняется. Тем самым доказали, что для сколь угодно большого по модулю отрицательного числа R значения функции для сколь угодно больших х будут меньше числа R. Значит, lim f{x) = -<» . д:—> + оо о Другой способ доказательства: lim 77т = lim —^ = 0. Значит, x-»+eo/W lim f{x) = -oo . Знак предела определен по знаку , это «минус». 4. Например, f{x) = 1 - - . Вариант 2 1. а) lim ((f - 1)^ - (^ + 1)®) = о, см. вар. 1. t —>+00 б) lim у.^ос (2у-1) ПО lim у..ус y50(i_lj50^60(i_l)60 “ТГ0(2Гр10 - —L ) по * 2. lim lim = 2, Ит(/(х)-2дг)= lim х-хг (1 + -^) х^оо -х^ —2х = lim —5---= -1. Уравнение наклонной асимптоты: j/ = 2х - 1. X—>«» л +2 3. Возьмем любое число R > 0. Тогда для любого х <-R получим, что XX f(x) = —5—>Д. Действительно, если подставимх = f(-R) ■ Х^ Я" = -у + -R > -R. Функция f(x) убывающая, поэтому при любом х < -R fix) > R. Значит, lim l-x^ > x2 + ®o . Можно доказать и по-другому, lim -ту-- = lim 7^-7 = 0. Поэтому > / \Х) .l-x'" lim fix) = +00 (при X < о fix) > 0). 4, Например, fix) = Задание 2.4. Контрольное задание Вариант 1 1 т х^-х-а (a + l)^-c-l-a г, л 1. а) lim ------— = ----------= а, если а ^ 0; если а = 0, то х->а+1 ^ ^ ^ lim = lim х = 1. Х^1 х-1 х->1 145 б) Иш = lim ^ = t^S ^-2 (->8 (^-2)(V9+2(+5) (->8(^-2)(V9+2(+5) - 21im <^-2)(^+4 + 2^) _ g f64 + 4-b2p _ 24 _ 2 1 (^8 (^-2)(V9+2(+5) V^+5 10 ’ b) lim (V - 2 - z) = lim 1 (1-1)(/^+/3) 2/3 в) lim (z - z^ 1) = lim 2->+“ 2—»+о lim {z - ij 2^ + 1) = - oo. 2 ' (2-7 2^ + l)(2+/?+l) ^ 2^-2^-l ■ (z + if?+l) 2. Функция p(x) не определена при X 0. Прямая X = О — вертикальная асимптота. Определим наклонную асимптоту у = ах + Ь. т т -Х^ + 1 а = am = am —j- Ь = Ит(г/(дг) + ^х) = 0. Уравнение наклонной асимптоты: У ~ -f (рис. 27). 1 2’ Рис. 27 3. Из варианта 1 следует, что ~’^ =h^-h^, lim = Ит(/г^-Л'*) = 0. ^АВС k^l^ABC h~^l Задание 2,5, Непрерывность функции Вариант 1 1. Из условия непрерывности определим к. /(0) = 2, поэтому lim /(х) = 2. lim /(х) =(х^ + йх+ /г^+l)L=o 1- Уравнение ~>о+о х->0-0 ' , к = ±1. При X + 21, X > о, для А такое:/г^+1 = 2, к^=1у к = ±1. ПриА = 1 имеем При к - -1 имеем Пх) = Пх) х"^ + X + 2, X < 0. |2 -х|, X > о, х^ - X -I- 2, X < 0. 147 в первом случае: график у -f(x) (рис. 28а). Во втором случае: график у -f{x) (рис. 286). 2. Не всегда. Рассмотрим такой пример. Пусть f vi g имеют разрыв в некоторой точке Xq, причем при xjco обе функции непрерывны: ^(xq) = с и Ит /(xq) = c, /(хо) = о? и lim g(xQ)=d. д:->Хо + 0 Тогда f(x)g(x) и f(x)~ g(x) определены в точке х = Xq; предел слева lim g{x)f{x)-C’d, предел справа lim g(x)f{x) = C‘d\ X >xo“0 д:->д;о + 0 lim (f{x)-g(x)) = d-d~0, lim (/(x)-^(x))=c-c = 0. Равенст- x-»;ico-0 X“>Xo + 0 BO Пределов слева и справа означает, что функции f(x)g{x) и f(x) - g(x) непрерывны в точке х = Xq. Эскиз графика может иметь вид, как на рис. 29. Второе решение. Рассмотрим равенство + Так как {f-g) и f-g непрерывные, то (f + g)^ тоже непрерывна. Значит, непрерывна функция -/(7+"я)^ =1/ + я|. Но из непрерывности модуля не следует непрерывность подмодуля. 3. Пусть прямая пересекает сторону АВ в точке Т и АТ = у (рис. 30). Тогда из ДКЛГ имеем = у^+АК^ = и из формулы для площади Д К А Т у= L • х. Решая систему двух уравнений для L 148 y,TQ Х -- 2/V + 1 =; так как 0 о, х^ + + 2, л: < О, 0 X \ б \ 0 X с параболой у = х^ + -yfbx + 2 и при д: > О с графиком у = I -^х - 21, состоящим из двух участков: при О < д: < -^ прямая V5 У = 2- 4Ъх и при х>-^ прямая у = VSx - 2 V5 (рис. 34а). В случае k = --yfb (рис. 346) л/бд: + 2, X > О, Рис 34 ,х^-^х + 2,х<0. 2. Не всегда. Например, функции, графики которых могут быть, как на рис. 35. Объяснение в вар. 1. 3. Пусть Т — точка на ломаной DCM (рис. 36). Пусть DN1KT и АР1^ГГ.ТаккакАК' = KD,toAP = DAT, но АР = х, значит, = Пх) = В м 150 в о Рис. 37 Рис. 38 и задача сводится к задаче из варианта 1. Функция L(x) будет такой же, как в варианте 1. 4. Не всегда. Пример функции, имеющей точку разрыва и удовлетворяющей условию задачи, приведен графически на рис. 37. 5. Пусть АК = KD, ВЫ ~ CN, ВО = СО. Перемещая точку N по ломаной OCD (рис. 38), можно менять площадь фигуры JirDiV от О до |S, гдеЗ — площадь трапеции. Существует такое положение точки N, что площадь равна - S. Точка М симметрична N. Тогда площади о трех фигур АМКу MBOCNK и KDN равны. Задание 2.6. Определение производной, ее геометрический и механический смысл, использование для приближенных вычислений 1. а) Г(х) б) f'(x) = Вариант 1 2х + 1у X > О, -Зх^ х<0. 2. h'{x) = 2х + 1, уравнение касательной в некоторой точкеXq имеет вид у - h (xq) + h'(xq) (x - Xq), в точке Xq = 1 оно имеет вид у = Зх. Запишем теперь уравнение нормали у = А^х -ь bi- Если две прямые у = kiX + biH у = к2Х -1- Ь2 перпендикулярны, то kih^ = - 1. И обратно, если kik2 =- 1, то прямые перпендикулярны. Значит, в нашем случае 3-ki~-\yki = - Нормаль у = -^х л- bi проходит через точку (1; 3). Подставив координаты этой точки, вычислим Поэтому уравнение нормали у = -\х + 3-|-- q1 3. Найдем приближенное значение функции / (х) = -^1 ч- х при малых X. Для этого представим в виде f{x)-f(0) + f'(0)-x. Значит, 151 / (x) = 1 +1 ■ д:. Используем это выражение для вычисления ^ 100,5 = = + = 10 УТ+О^О^ = 10 (1 + ^^) = 10,025. 4. Площадь круга S = я где г — радиус. а) Скорость роста площади равна производной. Поэтому Sp = 2яг. Пусть S'. = 1, тогда 2яг = 1, но длина окружности равна 2яг, значит, в искомый момент она равна 1. б) В общем виде S' = 2яг. Длина окружности и есть скорость изменения площади круга. 1. а) Пх) - Вариант 2 2х - 1, X > о, б)Г(х)=, „ 2/^ I X <0. 2. h'{x) = 2х - 1, отсюда уравнение касательной в точке (1, 1) у = х^ уравнение нормали имеет вид у = kx л-Ь, где /г • 1 = - 1, то есть k = -l, число Ь вычислим подстановкой координат точки (1, 1) и получим, что уравнение имеет вид I/ = -х + 2. 3. Представим число 99,5 в виде 100 — 0,5 = 100(1 - 0,005). Используем результаты варианта 1: =Vl 00-0,5 =д/ю2(1 - 0,005) =10^1 - 0,005 =10(1- = 9,975. 4. а) Площадь квадрата S = а , где а — сторона. Скорость роста площади 5д=2а. Периметр равен Р = 4а. Так как S'=2a = l, то Р = 22а = 2. б) Р = 2S', =-^. Скорость роста площади равна половине пери- метра. Задание 2.7, Теоремы дифференцирования Вариант 1 1. а) Для вычисления производной/'(х) используем теоремы о дифференцировании суммы и произведения. f'{x) = {Х^-X + \у (х^+ X + X + 1){х^‘+х- 1)' = = (2х-1)(х^+х- 1) + (х^-х + 1){2х + 1) = 4х^-2х + 2. б) Нормаль к графику функции у = /(х) перпендикулярна оси X в такой точке, в которой касательная к графику параллельна оси X. Значит, /'(х)=0<=>4х^-2х-1-2 = 0<=>2х^-х + 1 = 0<=^х^ + 1 + х^-х = 0<=> <=^(х -f-1) (х^- х-1-1-1-х(х-1)) = 0, (х-1-1)(2х^-2х + 1) = 0<=>х = -1. в) Тангенс угла наклона касательной в некоторой точке равен производной функции в этой точке, tga = f'(х). Если tgа > 0, то угол касательной с осью ОХ — острый, если tga <0, то угол — тупой. Опре- 152 делим знак f'(x) при х>0. /'(д:) = 4х^-2х + 2 = 2{л: + 1)(2х^-2х + 1). При д:>0 х + 1>0, и так как дискриминант квадратного трехчлена 2 X - 2 JC +1 отрицательный, то 2 х - 2 д: +1 > 0. Поэтому f' (х) > 0 при X >0. И значит, tga > 0 и угол — острый. 2. Скорость в некоторый момент t равна производной x'(t). x'(t) = it + iY < 1 при любом t > 0. а-1 3. Производная функции вида у ~ х равиаа х . Используя это, можно написать Н{х) = ^ + х+С, где С — некоторая постоянная, которую О определим из условия Н{0) = - 1. Поэтому, Н{х) = -^ + х +1. Вариант 2 1. а) /'(х) = (х^-х - 1)'(х^ + х +1) + (х^-х - 1)(х^ + х +1)'= 4х^-2X -2. б) Нормаль к графику функции перпендикулярна к оси X в точках, в которых /'(х) = 0. Значит, они определяются из уравнения 4х^-2х-2 = 0. Разложив его на множители, получим {х-1)(2х^+2х + 1) = 0. Решение: х - 1. в) Определим знак производной f'(х) при х <0. Так как iga~f'(х), где а — угол, образованный касательной в точке х и осью X, по знаку производной определим, какой угол, тупой или острый, /'(х) = (х-1)(2х^+2х + 1) = 0 (см. (б)). Прих<0 /'(х)<0, поэтому tga < о и угол — тупой. 2. Скорость L)(0 = x\t) {t^2Y < 2 при t >0. 3. Я(х) = -^ + х + 1. Задание 2.^. Дифференцирование операций и сложной функции Вариант 1 1. Используем теорему о дифференцировании сложной функции: g'{x) = f'{f(x)) f'{x). И так как f'{x) = то g'(x) = —^-^ - ^2’ = —^—7. Этот результат можно получить и непосредственно диффе- {х-2)“ ренцируя функцию: g(x) 1- — = -1-^. д:-2 х-2 2. Можнопредставить функциюё*(1/) В виде g(^) = 1 +g (i/) - слож- rf/ ная функция: g(y) = 1 + f(t(y))y где f {t) = ^(^/) = y^+ y. Производ- 153 ная g'iy) = f'(t(y))-t'{y)= -(2 г/+ 1). Производнаяg'(I/)отри- iy^+ yf цательна при у>~~,у^0уВ этом можно убедиться, решив неравенство g'{y)<0, 3. Пусть в искомом треугольнике АВС ВК± АС, АВ = ВС = 1, АС ~ х, BK=h (рис. 39). Тогда из треугольника АВК имеем I ^ J4-X* В h = Jl-~ = 2—Плош;адь треугольника АВС с x h J 4-я^ „ , S АВС - ~2~ ~ ^^~4 Известной формуле Ст Q' Ь' с L П S = ——{S = ^ - , где а, by с — стороны, R — ра- 4 л 4 п диус описанной окружности), откуда R = ^ и скорость его роста R' (/717) где х' — скорость роста третьей стороны в момент, когда треугольник равносторонний, т. е. при х = 1. Значит R' = = и-З'*’®. ф)^ 4. Не всегда, например, f = х" - \ х\, g = +\х\. 5. Представим H{t) в виде H{t) = f(t) g(t), где f(t) = t, g(t) = (t + l)(t + 2) ... (^ + 100). /(0) = 0, ^(0) = 100!. H'{t) = g(t) f'{t) + g'(t) f(t), тогда Я'(0) = Я(0)Г(0) + ^'(0)/(0) = 1001. Вариант 2 1. g'(x) = r(f{x)) r(x) = ^:p,. {Х + 2У 2. g'iy) = - (2 z/ - 1) < о при t/ > I и f/ 1. iy - y) ^ 3. Для скорости изменения радиуса R используем формулу, полученную в варианте 1 (рис. 39), R' = вводя те же обозначения. В тот момент, когда треугольник прямоугольный, х = АС~у[2 и поэтому R'= 0,5 о. 4. Не всегда, например, |х| - и |х| + х^. 5. Представим Н (t) в виде Н (t) = g(t) fit)y где g(t)^ty f{t) = {t-l){t-2)...(t~l00). g(0)=0y ПО) = 100! H'(t) = g'it)-fit)^git)-r(t). H'(0) = g'(0)f(0) + ^(О)-Г(О) = 100! 154 Задание 2,9. Исследование функции на монотонность Вариант 1 1. f'{x) = (~ + л:)' = 1 - Функция f(x) возрастает на тех промежут- ках, где f'(x) > О, что равносильно 1 - > 0. Решая неравенство, определяем, что при х е (-о°; -л/З) KJ (л/З; + оо) функция возрастает. Функция убывает на промежутках х е 0) и (0; ^). 2. x'(t) = 3at^-\- а = a(3f^+ 1). Знак производной x'{t) зависит только от знака а. Поэтому функция возрастает на R при а > 0. 2 X 3 X \ X 3. Перепишем неравенство в виде S'(х) = —----,§{х) > 0. Прих = 1 ^(х) = о, и неравенство верно. При х > 1 определим знак g'(x). Л----L - при X > 1 (х) > о и функция g (х) возра- хг стает, поэтому прих>1 > ^(0) = 0. Вариант 2 1. Функция Дх) возрастает на тех промежутках, на которых/'(^) > 0- f'(x) = l—V = /Чл^) > о при |х|>1, поэтому на промежут- дг ках (- оо; - 1) и (1; + оо) функция возрастает. Функция убывает на промежутках (-1; 0) и (0; 1). 2. Функция возрастает на /?, если х' {t) >0.x'(t)>b at"^ + а = а(5 +1)>о 3. Перепишем неравенство в виде я(х)>0, где ^(х) = З^х^1. ^(1) = 4. g'{x) = 2 ——--. При X > 1 и g'{x)>0y поэтому при X > 1 функ- х“ ция g(x) возрастает. При х>1 ^(х)>^(1)= 4, значит, ^(х)>0 при X > 1. Это утверждение можно доказать иначе. Перепишем исходное неравенство в виде 3^[~х^+^>1. Так как при х>1 33^7 >1 и — > о, то неравенство верно при всех х > 1. на /?, если а >0. Задание 2,10, Исследование функции на экстремум, наибольшее и наименьшее значения Вариант 1 а) Вычислим производную f'{x). f'(x) = х^+ х^- 2х - 2 = (X + 1)(х^- 2) = (X + 1)(х - ^){х + /2). 155 Производная равна О прих - -1,х = --/2 их = -^2. Это точки экстремума. Решив неравенство f' (д:) > О, можно построить на числовой оси схему для значений f'{x). Пх) -л/2 -1 V2 Точках = -1 — точка максимума, так как = О и f'(х) < О, если X > -1, f' (х) > о, если X < -1; при х, принадлежащих небольшой окрестности точки х = -1, /(-1) = “И — максимальное значение функции. Точки X = - л/2 и х = — точки минимума, так как в этих точках производная обращается в О и меняет знак в этих точках с «~» на «+». / (-V2) = - 13 +1V2, Д V2) = - 13 -1V2 — ЭТО значения функции в точках минимума, наименьшее значение функции /(л/2) = - Так как функция неограниченная, то наибольшего значения нет. б) Производная g'(y) = 5 1. Вычислим корни производной из уравнения 5 ^^-1=0, это I/ = ± 5^. Решим неравенства я'(у) > < 0- ё'(у)>^ равносильно 5i/^-l>0, {->Jb у^-1)(у[Ьу^ +1) > 0 или У~ 1) у + 1) > 0. Решая, находим, что при у < или у> §'(у) > 0. Аналогично решаем g'{y) < 0. Схема для производной: g'iy) Так как g'{5‘^) = 0 и производная меняет знак с «—» на «+», точка 1 15 1 1 X = 54 — точка минимума, g’(5'^) = S'* - 5“* - 1. Точка х =-5** — 1 5 1 точка максимума, g‘(-5 ‘) = -5"* + 5“* - 1. Вычислим значения функции на концах промежутка: ^ (1) = - 1 и ^ (4) = 1019. Сравнивая числа 1 1 ^(“5'*), ^(5**), g’(l) и я(4)» определяем, что наименьшее значение 5 1 функции -5'* + 5‘*-1, наибольшее значение 1019. в) х(0 = ill t-i t-1+2 ^ = 1 + ^, хЧ0 = it-iy < 0. функция убывает при ^ е [0; 1) и ^е(1;2]. Экстремальных точек нет. х(0) = -2, х(2) = -2. Наибольшего и наименьшего значений нет. 2. Пусть основание треугольника равно х, а боковые стороны равны I/, тогда X -I- 2 у = 2. При этом 0 < х < 1. Площадь треугольника 156 S = = S'(x) = ^^l- X - Определим точ- ки, где производная обращается в 0. S'(^:)=0, откуда получаем X = |. При х<| S'(x)>0 и при х>| S'(x)<0, поэтому при х = | о о о о значение S (х) наибольшее. При х = ~ У значит, искомый треугольник равносторонний. 3. Пусть g(x) = x^-x + l, тогда ^*(0) =-1. Вычислим производную ^'(х) = 3х -1 и определим точки экстремума из уравнения 3x^-1 = о, X = ±4-. Прих = -р я(-р) = 1—^>0 — это наименьшее значение функции при положительных х. Действительно, и в точке х = ^ производная меняет знак с «—» на «+». И так как наименьшее значение функции при положительных х больше 0, функция не имеет положительных корней. Значит, исходное уравнение тоже не имеет положительных корней. Вариант 2 1. а) Найдем экстремальные точки из уравнения /'(х) = 0, -х^-2х“+ + х+2 = 0. Это уравнение можно решить разложением многочлена на множители, (х + 2)(х^- 1) = 0, (х + 2)(-х + 1)(х + 1) = 0. Экстремальные точки X = - 2, X = - 1, X = 1. Максимальные значения /(-2) = б|, /(1) = Минимальное зна-чение /(-1) = Наибольшее значение /(1) = 8^. Наименьшего значения нет. б) Экстремальные точки найдем из уравнения g'(y) = 0, что равносильно уравнению 5 i/^ - 2 = 0, решения которого у = ± . Так как о i ^ 1 -(|)4 < 1, то внутри промежутка одна экстремальная точка у = (у)*, о <) 15 .5 = (г)** “ т 1 = (1)“* к- Найдем значения функции на концах промежутка: g-(l) = 0и^’(3) = 238. Наименьшее значение функции на промежутке у е [1; 3] g’(l) = 0 и наибольшее значение ^(3) = 238. 157 в) X (t) = ^ = 1 - x'(t)= ^ „ > о при t^ - 1. функция возрастает t +1 / + 1 /# при i е [- 2; - 1) и ^ g (- 1; 0]. Экстремальных точек, наибольшего и наименьшего значений нет. 2. Пусть основание треугольника я:, а боковые стороны равны I/. Тогда высота, проведенная к основанию, равна Площадь тре- угольника S - ^ ^ ^ ^-= 1. Из этого уравнения у = J ^. Периметр равен Р = х+ 2г/ = х + 2 + Для того чтобы найти наименьшее значение периметра, приравняем к нулю производную периметра Р'(х) = 1 + , ^ (-^ - -^) = 0. Это уравнение принимает 4 ^ д: I 4 д:2 вид;с^'^я:^ + 16 = 16 - JC^, решим его возведением в квадрат прих < 2. х® + 16х'^ = х^-32х'* + 256, х^= у. Из этого уравнения х^ = ^, х--щу значит, у^ = ^у 1/ = ^, треугольник равносторонний. 3. Уравнение запишем в виде ^(х) = х^-х - 1 = 0, я(0) = -1. Покажем, что функция ^(х) при X < о принимает наибольшее значение g-(_ 1 ) = _1 + _^ < 0. Действительно, ^'(х) = 0 при х = ±-t, в у 3 3 3 у 3 точкех = -^производная равна 0 и меняет знак с на «—». Так как наибольшее значение функции при отрицательных х отрицательное, функция не может иметь отрицательных корней. Поэтому исходное уравнение тоже не имеет отрицательных корней. Задание 2.11, Построение графиков функций Вариант 1 1. Рис. 40. 2. Рис. 41. 158 1. Рис. 42. Вариант 2 2. Рис. 43. Задание 2Л2, Текстовые задачи на экстремум Вариант 1 1. Пусть стороны МН и АР равны х, а стороны AM и PH равны у (рис. 44). Пусть сторона треугольника а. Треугольники МВН и РНС тоже равносторонние. Поэтому PC = НС = МР = ВН = = МН = X. Тогда АС - АР + PC = х + у = а, сумма сторон параллелограмма тоже равна X + у = а. При этом О < х < а. Так как острый угол параллелограмма 60°, то высота /ч равна у • Площадь паралеллограмма х{а~х)^^ Определим, при каких X площадь наибольшая. Вычислим экстре-мальную точку. S'(x) = 0, откуда следует, что х = -(а-2х) = 0, Рис. 44 = Это точка максимума, так как прих < > О» прих > (S'(x)<0. В точке максимума достигается и наибольшее значение, так как 0<х<а и других точек экстремума нет. При л: = -| сторона у = значит, параллелограмм является ромбом, который имеет наибольшую площадь. 2. Нарисуем схему расположения объектов (рис. 45). Пусть в точке А — карьер, в точке В — станция, С — город. Вычислим стоимость перевозки по пути А—К~Су изображенному на рисунке. АК — участок пути по шоссе от точки А до К, находящейся на железной дороге. КС — участок железной дороги. 159 Пусть а — угол между направлениями АК и АБ, где АВ — перпендикуляр к железной дороге. Тогда АК= B7ir=3tga, ^ cos а cos а ® КС= а - 3tga, где а — расстояние от В до С. Тогда стоимость проезда по участку АК равна 2/г 3 по участку —(а -3tga)-A, где k — некоторая единица, соответствующая стоимости. Суммарная стоимость перевозки на участке А—iiT—С будет Р (а) = (-А_ + а - 3tga)-^. Стоимость зависит Рис. 45 от угла, поэтому k можно не учитывать. Определим, при каких а 6sin а 3 _ 3 она будет наименьшей. Р'(а) = - -(2sina-l). Экс- тремальная точка определяется из уравнения = О» что соот- ветствует 2 sina -1 = 0, sina = |, откуда получаем, что а = 30°. При этом ВК= 3tg30°. Наименьшее значение Р{а) при а = 30°. Шоссе надо проложить следующим образом. Если расстояние ВС < -/з км, то шоссе надо вести в город. Если ВС > -/з км, то шоссе вести в ту точку железной дороги, которая на ^[З км ближе к городу, чем проекция точки нахождения карьера на железную дорогу (эта точка совпадает со станцией). Вариант 2 1. Пусть АВ = ВС = а, стороны параллелограмма хи у. МА = HP = Ху НМ~АР= у (рис. 46). Тогда ВМ = ВН ~а-Хуу = НМ = V2 (а - х). Площадь параллелограммаS^j^^p=x ■ ВН- х (а-д:). Определим, при каком X площадь наибольшая. ^АМИР = Л “ 2х. Из уравнения= 0 определяется экстремальная точка ^ = f• При таком X действительно достигается наибольшее В значение площади, так как = 0 и про- изводная в точке д: = I меняет знак с «+» на «—». При х = ~ у Параллелограмм с наибольшей площадью не явля-ется ромбом. 2. Нарисуем схему расположения объектов, обозначив через А точку, в которой находится лодочник, В — пристань, С — положение деревни. АВ1 ВС. Задача теперь полностью сводится к задаче вар. 1 (рис. 45). Лодочнику надо вести лодку в ту точку берега озера {ВС > -/з км), которая на -/з км ближе к деревне, чем проекция начального положения лодки на берег озера, или, если ВС < -/З км, то в деревню. 160 Задание 2,13, Контрольное задание Вариант 1 График имеет вертикальную асимптоту х = 1. Наклонная асимптота I/ = л: + 3. Она определена следующим образом. Асимптота имеет уравнение г/ = ах + Ь, где а = Ит fix) Ь = lim(/(x) - ах). Вычислив пределы, получим приведенное уравнение асимптоты (рис. 47). 2. Расстояние между графиками этих функций равно расстоянию между касательной к графику у = х^, параллельной прямой у = х -1,1л самой прямой (рис. 48). Тангенс угла наклона прямой у = х -1 равен 1, поэтому тангенс угла наклона касательной тоже равен 1, а так как тангенс угла наклона равен производной в точке касания, Д I 3 3 то у' = (х = 4xq ; Xq — абсцисса точки касания, 4xq = 1, откуда следует, что Хп = Уравнение касательной: 4 или у = х- fi fi 4 ^ Вычислим расстояние между прямыми у = х - 1и у = х---Если 4^4 точка касания А (^, -7^=-), В — точка (1, 0), С — точка (, 0) — 4 ^1~4 ’ точка пересечения касательной с осью абсцисс, то Д АВС — прямоугольный и катет АВ — искомое расстояние. Так как тангенс угла наклона касательной равен 1, то ZACB = 45° и Д АВС — равнобедренный. ВС ~ 1----значит, АВ = -~(1—1=)<1. 4 ^[4 /2 4^ 161 3. По теореме Виета XiX2 = a, Xi+X2 = a. Тогда xf + = (л^1 + ^2) х X (xi + х| - Х1Х2) ~ а ((xj + Х2)^ - ЗххХ2) = а (а^ - 3 а) = Н{а), Корни л существуют, если дискриминант а - 4а > О, то есть при а < О или а > 4. Определим, как изменяется Н (а) при таких а. Найдем точки экстремума из уравнения Н'(а) = О, За - ба = О, откуда получаем, что а = О, а = 2. Функция Н (а) на (- 0] и на [2; + °о) возрастает, а на [0; 2] убывает. Если а < 0 и а > 4, тогда Т(х) имеет два корня, область значений Н (а) есть (- 0) и (16; + о°). Вариант 2 1. Вертикальная X = -1, наклонная у = X - 3 (рис. 49). асимптота асимптота Рис. 49 2. Заметим, что если в условии задачи заменить х на (-х), задача сведется к вар. 1. См. доказательство в вар. 1. 3. Область значений Н (а) есть (-оо; -16) и(0; +оо). Результат можно получить заменой х на (-х) в вар. 1. Поэтому меняется знак и сумма корней Н (а). См. решение вар. 1. Можно провести решение аналогично и без замены х. Тема 3 ИНТЕГРАЛ И ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ Задание ЗЛ. Первообразная и неопределенный интеграл Вариант 1 1. Найдем первообразную для F"{t), это будет F'{t). F'{t) = J F”{t)dt = ^ + С, где С — постоянная, F{t) = jF'(t)dt = ^ + Ct + Cl. Так как заданы значения функции в точках ^ = о, t = 1, определим С и С^. (0) = Сх = 1, Е (1) = | = = Cj + С - откуда получаемCi = l,C = Так как задано еще значение в точке t = -1, проверим, не противоречит ли заданное 162 Рис. 50 значение Р (-1) = вычисленному. Подставим f = -1 в выражение О для F(t) и получим, что Р(-1) = Значит, первообразная существует. F{2) = 2. /(jc)=|x|. Первообразная F{x) = 4 + С, Х> о, -f + C, х<0. Для того чтобы существовал положительный корень, постоянная С должна быть отрицательной. Например, первообразная с положительным корнем: F{x) = f - 1, X > о, - ^ - 1, л: < о (рис. 50). 3. Первообразная для функции g(x) есть G (х) = - + С. а) Первообразная, проходящая через точку (1, 0), есть G(x) = --| + 1 (рис. 51). б) Так как G \х) = g{x)vi tga = ^(1) = 1, то угол наклона касательной в точке А(1; 0) равен а = 45°, поэтому нормаль к графику образует угол в 135°. 4. Уравнения полуокружностей: У = ^1-(Х-1)\ l/ = Vl-(x-3)2 (рис. 52). Значение первообразной для этой функции в некоторой точке из 0 < х < 4 равно площади под графиком функции. Нетрудно вычислить значения первообразной в некоторых точках. Если F(x) — пер- вообразная, то F{0)-0, = J^(2) = f, ^^(3) = f,F(4) = 0. Эскиз графика y = F{x) приведен на рис. 53. 5. Условие можно переписать так: Найдем первообраз- ные обеих частей равенства откуда получаем, что 1пх=1пу + С, где С — некоторая постоянная. Последнее равенство можно переписать как х = С • у. Траектория проходит через точку (1; 2), поэтому траектория имеет вид у = 2х — прямая. Вариант 2 1. Задачу решаем аналогично вар. 1. F'{t) = = у + |^^ + С, = J F'{t)dt +1 Cx^-f Cj. Получили семейство первообразных. Теперь для определения постоянных С и Ci имеются 3 условия: F(0) = 1, J^(l) = р i^(- 1) = Из первых двух условий вычисляем Ci=l,C = -|. Тогда F{-1) = ~у что несовместимо с исходным условием. Значит, не существует первообразной, удовлетворяющей условию задачи. 2. Первообразная F(x) = 4 + С, л: >0, -4 + С, х<0. График первообразной, имеющей отрицательный корень (С = 1), приведен на рис. 54. 3. а) Первообразная G(x) = -1 -1 проходит через точку (-1; 0) (рис. 55). 164 Рис. 56 б) Так как G'{x) = ^(х), то G'{-x) = 1, угол наклона касательной в точке X = -1 равен 45°, угол наклона нормали равен 135°. 4. График функции приведен на рис. 56. Значение первообразной F (х) в точке X равно площади под графиком исходной функции. Так как площадь в этой задаче есть площадь частей круга, то F (0) = 0, F(l) = F(2) = -|, i^(3) = Р(4) = 0. График функции F{x) симметричен относительно прямой х = 2 (рис. 57). 5. Условия можно записать как ^ Интегрируя это равенство, получим In г/ = -1пх + С, значит, х у = С. Используя условие прохождения через точку А(1; 2), получим уравнение линии У = ^ — гипербола. Задание 3.2. Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки Вариант 1 1. = = -ifi® + C = -^(1-21/)1®+С.Здесьис- пользовали подстановку t = 1 - 2 z/, при этом dt = -2 dy, 2- = =----L ^ (l+z^r° 57 f 57(l + zV® + C. Здесь использо- вали подстановку t = + 1, при этом dt ^ Zz^dz. 3. = Zj-yfzdz = +C = ■1-^(1 -f- -H C, использована подстановка 2 = 1 + -yft, dz = . 2 у Z 4, После подстановки t = x + 2, dt = dx интеграл примет вид j(t-l)t^^dt ^t^^t-jt^^dt = C. 165 Искомый интеграл получаем из вычисленного, используя ту же подстановку, поэтому J (x+\){x+2f°dx = i(x+2)^2- i(a:+2)“+С = у|2(^+2)“(Ил: +10) +С. = = Заметим, что =-^, и если сделать замену ^ = dt = --^y то интеграл примет вид у у 3 -jj-yjtdty который легко вычисляется и равенПосле подстановки t через у искомый интеграл будет равен Вариант 2 1. |(1 - 0,5 y)^^dy = - 2^t^^dt = + ^ = -|(1 С. Использо- вана замена ^= 1-0,5 у, dt = -0,5 dy, 2* f ^ = т f4тг =-^ + ^ + С. Использованаза- J (1+^4)20 4 J,20 73^19 76^ ^ мена # = 2'* + l,df = 4z^dz. 3. =-2j/Idz =-|zUc =-|(l-^)Uc. Использована замена z ~ 1 - JT, с?г = —^ . ^ 2/i 4. |(л: + + 2)dx = J((x + 1)^^+ (x + t^^)dt = ” ^ ^ ^ ” Тз2^^ + 23) + С. Замена t = х + 1, dt = dx. -1 ^_i 3 -1 + C. Сделана замена ^ = -|--l,df = - — Задание 3.3, Нахождение неопределенного интеграла с использованием алгебраических преобразований Вариант 1 1. а) \^^^dx = = I Г(4_^)йд; = 2х-^х^ +С. J 2y[i+& J 2ф + 4) 2)^^ ^ ' 3 166 б) J = I i—= J (д:^ + л: + l)dx +1 Idx = + 2д: + C. °) J = 1Ф + ^x-l)dx = +^(x-iy +C. Г) = if-4^-^1-47 = J (2<-i)4 j m-h ii-b (^-b m-b 64-3 + C = -: 8(2f-l) 24{2i-l)^ = li^:V'dx=0^^dx^ J /jc^-1 J /^^-1 - X + Cl, если 1 < д: < 2, X + Сз, если X > 2, + С = ^5^^ + С. 12(2;-!)^ Первообразная, график которой проходит через точку (5; 1) (рис. 58): - X + Cl, X < 2, X - 4, X > 2. У 1 / 12 /1 T- Cl j j X 5 J \ \ F{x) = Рис. 58 Вариант 2 »JnS''* - IJ'<« - §«■ - i*+с. f x^-2x+l, C : 6)J—^dx=J- 3(/jc + 5) -x-(x-l) x-l dx = J (x-l)(x(x+l)-l) x-l dx = |(x^ + x - l)dx = 3 3 b) = ji^fx - ^x -l)dx -f(x2 -(x-l)2) + C. Li\2_i ^ J (2(+1)4 j leJ (f+i)2 64 J (( + 1)4 (2^+lГ 1 ____1 16(^ + |) + C = -: ■ ^c = "MrUc. 64-3 (( + 1)3 8{2f + l) 24(2(+1)^ 12(2i+l)'^ ^х-г/х^ _ ^x-l-2y[x-l + l _ ^x-1-1^ _ |l-^x-l| _ 2- “1, X > 2, 1, 1 < X < 2. Первообразная F(x) = x-l 1-^ x-l 1-^ x-l - X + Cl, X > 2, X + C2, 1 < X < 2. 167 Первообразная, график которой проходит через точку (1,25; - 1) (рис. 59): = ^ I л: - 2,25, 1 < д: < 2. Задание 3.4. Интегральные кривые Вариант 1 1, X у >0, 1. Условие можно записать так: у' = -1, X у <0. \ x+Ci, ху> О, Тогда у = \ (рис. 60). [-Х+С2, ху<0 2. Так как (у^)' =2у -у', исходное уравнение можно записать так: у2Л 22 ^\=х, откуда— = -|* + С, и так как г/(0) = 0, то у = д: ,т. о. полу- 2 ) * 2 2 чаем прямые | у | = | х| (рис. 61). 3. Уравнение запишем в виде у = откуда получаем (In у)' = In I/ = -1п(х - 1) + С, у(х -1) = С, уравнение интегральной кривой у = ^ (рис. 62). 168 Вариант 2 1. Уравнение запишем в виде , f l,xz/>0, у = < решение ко- [ - 1, XI/ < О, f x + Ci, ху > О, торого I/ = i \-х + С2, ху <0 (рис. 63), 2. Так как 21/I/', то уравнение можно записать в виде -|-|=-х, решение его есть 2 Ч 1/ = -Х+С2 J / У = х+С^ Cl X ч / ч / с) X Ч Рис. 63 у = -^ + С. Учитывая начальное условие, у^ + х"^ = 1. Нетрудно узнать это уравнение — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1 (рис. 64). 3. Так как (In у)' = у, то уравнение примет вид (In у)' = решение его 1п1/ = -1п(1-х) + С или у = — это уравнение гиперболы (при X < 1) (рис. 65). Задание 3.5. Вычисление определенного интеграла Вариант 1 1. а) Подинтегральная функция у = —имеет разрыв в точке х = 1, (1 - Интеграл не существует. g) + ^idy =:0 + у \ = 2, так как = О как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку. 169 в) Подинтегральная функция UI 1, если X > Оу - 1, если X < О, Поэтому ин- Г \х\ теграл существует п|)и а Ь>0. Если а < О, Ь < О, то J —dx = а-Ь; если а > О, Ь > Оу то { — dx = Ь - а. ° 2. 3 ^ ^ 3 t = I = Этот интеграл равен если а удовлет- ООО U а воряет уравнению f 1 = |, то есть = 1. Если обозна- О О О - 2 чить 2=а^у то уравнение имеет вид 2 -2-1 = 0, решение его 1±л/5 гп I л I 1 + V5 2 = —Так как z = > 0, то откуда имеем а = (0,5 + 0,5-75)". 3. продифференцируем обе части равенства по а, тогда /(а)=2а + 1. Здесь использовано jf(x)dx VO = /(а)-а' = /(а) — правило диф- ференцирования интеграла. Вариант 2 1. а) Подинтегральная функция имеет особенность в точке х = 1, поэтому интеграл не существует. б) = f-|—di/- fldy =0 - 2 =-2 , di/ = 0, так -1 ^ -1^ -1 -r как подинтегральная функция нечетная и промежуток интегрирования симметричный. 1, х>0, в) Так как 7^ = 1 то интеграл существует, если а*Ь>0, и 1^1 [-1, х<0, равен Ь - а при Ь>а>0уа-Ь при а < 6 < 0. 3 2. Iftdt^lia^ - а^). Требуемое в условии задачи равенство выпол- няется, если ~(а^~а^) = ~у то есть - 2 = 0, О О 3 3 3 {а^ - 2)(а^ + 1) = о, откуда имеем а^ = 2 > 0, а = 3. Дифференцируя равенство, определим, что f{a) = 2a~l. Здесь ис- Гп У пользовано \f(x)dx VO = f{a) a' = f{a) — правило дифференци- рования интеграла. 170 Задание 3,6. Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной Вариант 1 1 1 1. о) = здесь произведена замена t = l-x^‘. 0 о dt = -2xdx, t{l) = О, ^(0) = 1. 1 _______ 1 1 б) x^dx = ^^ t-yj 1 +1 d t = ^ j-1) ^ 1 +1 dt = ^ ^(1 +1)^dt- 0 0 0 0 -lJ/rT7d^ = l(l + o" 1-1(1 + 04 42t-i-l2t+I = ^(l + 72). Здесь произведена замена t = x^, dt = 2x. 1 2. a) Рассмотрим сделаем замену t = l-x, тогдаdx--dty x=l-1. Интеграл принимает вид J ^^(1-и равен первому интегралу. о 1 1 б) Обобщение этого результата: ^x^(l~x)^'^^dx ^x^^\l-xYdx. о о Действительно, если заменить 1-л: = ^, dt~ -dx, то второй интеграл 1 примет вид J(l“ о 3. а) Если заменить z-100 dz = 100 dty то интеграл в знаменателе будет 100 100 равен J f{z)dzy поэтому искомое выражение равно—^------= 100. о б) Обобщение результата: 100 Гй О = а, а>0. jfiat) dt О Вариант 2 1 1 1 1. а) jx(x^ ~l)^^dx = \ = ^, произведена за- 0 о мена t = х^у dt = 2х dx. 1 ,______ 1 2. a) Интегралы равны, б) Обобщение см. в вар. 1. 171 3. а) 101. б) Обобщение см. в вар. 1. Задание 3.7. Интеграл с переменным верхним пределом Вариант 1 л- л л 1- j(l-t^)dt = tl -^1 = х- поэтому j f(x)dx = - г о 4 4 2. Вычислим J (1 - 2 )dz = X - Тогда F'(x) = х - Экстремальные о значения достигаются при таких х, при которых F'(x) = 0 или 4 X - ^ = 0. Решая это уравнение, определяем, что точки экстремума X = о, л: = ^fi. С учетом условия Р(0) = -1 имеем F(x) = ^-^-l. Тогда экстремальные значения JP(0) = - 1, Fi^fi) = ^ -1. Э 3. По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом: g(x) lf{t)dt V а У ( 2 = f(g(x))-g'(x). Тогда f dt J t^+t+l 2x x‘^ + x^+1^ 4. Продифференцируем no x обе части равенства. Тогда f(x) = 2f(x)-f'(x)j если f(x) отлично от 0, то f'(x) = | и f(x) = | + С. 5. Производная у'(х) = —^>0. Функция i/(x) возрастает. у"(х) = 1 + х° 6х^ г<0. График функции выпуклый (рис. 66). Функцию Г — можно сравнить с функцией g(x) = f —^ = arctgjc. Для любого J i + J i + t^ о о X i/(x)оо Вариант 2 1- f(x)= - l)dt = i^\ -t \ =^-x, jf(x)dx = ^-^ + C. 2. F'(x) = j{l~ z^)dz= X Функция F(x) достигает экстремальных о значений при условии F'{x) = 0, из которого определяем, что X = о, x = fi — точки экстремума. С учетом условия F(0) = 1 v2 5 имеем F(x)-^-^ + l. Тогда экстремальные значения J^'(0) = 1, Р{Щ)= ^2-Щ + 1. D 172 3. 2х К 1 4х^-2х + 1 См. вар. 1 4. Продифференцируем исходное равенство. Тогда f(x) = -2 f(x) f'(x). Так как/(x) отлична от нуля,/'(л:) = откуда имеем/(х) = --| + С. X 5. График f(x) = Г—- приведен на рис. 67. См. вар. 1. i 1+1 Задание 3.8. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла Вариант 1 1. Отраженная парабола удовлетворяет уравнению ^ = (х - 6)^. Пусть Si — площадь фигуры, расположенной ниже i/= (х - 6)^, выше у = х^, О < X < 3. S2 — площадь фигуры, расположенной ниже у = (х ~ 6)"^^ ниже у = х^, О < X < 6. Вычислим площади Si и S2 (рис. 68). 3 51 = |((л: - 6)^ -x^)dx = о 3 = 12|(3-x)dx=54; о 3 6 52 = Jx^dx + J(x - Q^dx = = 18. о 3 о 3 об ^0 ^ 3 Si>S2- Наибольшая площадь равна 54. 173 2. Напишем уравнение нормали к графику в точке х = -1. Нормаль перпендикулярна к касательной в точке с абсциссой х = -1 (рис. 69). Уравнение касательной в этой точке у = у(-1) +у'{-1){х+ 1). Подставив числовые значения, можно записать у = -4х-3. Уравнение нормали y = kx + Ь, где - 4 • А: = - 1, число Ь определяется из условия, что точка (-1; 1) лежит на нормали. Тогда уравнение нормали таково: У = Искомая площадь о 40* 3. Заметим, что х^+2х^-Ъх-Ъ=(х + 1){х+Щх-2) и х^-х-2={х~2){х^-1). Фигура, ограниченная графиками заданных функций, состоит из двух частей, часть от х = -2 до х = ~1у часть от х = -1 до х = 2 (рис. 70). -1 S = J ((х®+ 2х^~ 5л: - 6) - (х^-х- 2))dx + -2 2 + J ((х^- х-2)-(х^ + 2х^~ 5л: - 6))с/л: = 111. -1 Вариант 2 1. Отраженная парабола удовлетворяет уравнению у = {х + 6)^, Пусть Si — площадь под графиками функций у = x^vi у = (х 6)^отх = -6 до X =0, S2 — площадь под графиком у = (х + 6)^ и над графиком у - х^ от х = -3 дох = 0 (рис. 71). 174 -3 о Si= ^{х + 6)Чх+ jx^dx^lS, 82= |((л: + 6)2-д:2)^д: = 54. S2>Si. -6 -3 -3 Наибольшая площадь равна 54. Этот вывод можно сделать и без вычисления площадей, так как графики парабол в этой задаче симметричны относительно оси OY параболам из задачи вар. 1; соответствующие площади равны. 2. Напишем уравнение касательной в точке х = -1. у = 1 + 6(л: - 1) = = 6л: - 5. Нормаль перпендикулярна к касательной. Уравнение нормали Z/= --|л: + с, число с определяется из условия i/(l) = 1. Окончательно уравнение нормали ^ - Построим графики функций у = х^иу = -^х + ^ (рис. 72). Из двух фигур, ограниченных графиками у = л: , у _ 1 прямой л: = о, меньшую площадь имеет фигура с д: > 0. Площадь 1 111 £. \ = ш 7 I 84- этой фигуры S = /(“б^+б“ x^)dx = I 6^ о 3. х^ + х -2 = {х +2){х - 1)уХ^-2х^-5х + 6 = (д: - 1)(х - 3)(x + 2). Графики функций пересекаются в точках д: = -2,х = 1',д: = 4 (рис. 73), поэтому площадь, ограниченная этими графиками, вычисляется по формуле 1 S = J (д:^- 2х^- Ьх + 6- д: + 2) dx + -2 +1 (х^+х - 2 - х^+ 2х^+ 5х - 6) dx: 401 Задание 3.9. Вычисление определенного интеграла с помощью площади Вариант 1 1. а) Рассмотрим уравнение у = 16-, откуда при у > О получим п о у +х =16 — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом г = 4. Так как определенный интеграл есть площадь под графиком подинтегральной функции, искомый интеграл равен 4 I------ 2 четверти площади круга {х > О, у > 0). 16-х^ dx = ^ = 4я. о б) Построим график у = \1~ z\ при О < 2 < 3. Искомый интеграл равен площади под графиком подинтегральной функции, которая равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников 3 (рис. 74). j\l-z\dz = ^ + 2 = 2^. 2. Эти интегралы равны, так как функции х^ и ^fx и х^ и ^[х взаимно обратны, а их графики симметричны относительно прямой у = х. На рис. 75 приведены графики этих функций и обозначены фигуры, площади которых равны значениям интегралов. 3. Из условия задачи следует, что подинтегральная функция g(x) имеет период Т = 1. Поэтому сравниваемые интегралы равны. а+1 В первом интеграле можно сделать замену t = x-a, тогда ^f{x)dx = = ]f(t)dt = jf{x)dx. 4. График функции z = f (у) при А О представляет собой параболу. Так как искомый интеграл есть площадь под параболой, то для того 176 чтобы интеграл был больше нуля при любых а и Ь, необходимо и достаточно, чтобы парабола не пересекала ось ОХ и ветви параболы были направлены вверх, то есть дискриминант 1-4 <0и/е>0. Решая эту систему, определяем, что k> Вариант 2 25 л 1. а) Искомый интеграл равен(рис. 76). См. решение вар. 1. 3 б) j\2- z\dz = 2 + ^ = 2^ (рис. 77). о 2. Интегралы равны, так как функции и ■Jx и и ^ при X > о взаимно обратны и графики этих функций симметричны относительно прямой у = X (рис. 78). Рис. 76 Рис. 77 Рис. 78 3. Подинтегральная функция ^(х) имеет период Г = 1, поэтому интегралы равны. См. вар. 1. 4. График функции z = f{y) при k^O — парабола. Поэтому, для того чтобы интеграл был меньше нуля при любом А, необходимо и достаточно, чтобы парабола пересекала ось ОХ и ветви ее были направлены вниз, л то есть 1 - 4А < О и А < О, откуда получаем, что А < -0,5. Задание 3,10, Нахождение объема с помощью интеграла Вариант 1 1, Построим фигуру, которую будем вращать (рис. 79): а) при вращении ее вокруг оси X объем вычисляется так: 1 1 Vi = я J(x^ - ifdx = я J(x^ - 2х^ + l)dx = -1 -1 177 У у, у \ у=х^-1 / \ 0 / 1 г/=1 1 ш' " W Ш у=-\ W д. -ll 1 -l' о1 1 l' % -1 0 1 X Рис. 79 Рис. 80 Рис. 81 б) при вращении ее вокруг оси У объем вычисляется так: о о Vz = njx^(y)di/ = nj(y + l)dy = -1 -1 в) при вращении ее вокруг прямой г/ = -1 получится такое же тело, как при вращении фигуры, ограниченной графиками i/ = 1и1/ = х^, вокруг оси X (рис. 80). Рассмотрим фигуру, образованную графиком i/ = х^, осью X и прямыми X = -1, X = 1 (рис. 81). Объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг оси X, вычисляется так: 1 1 ^3 = Ttj y^dx = njx"^ dx = Щ^ -1 -1 Сумма вычисленного объема и искомого объема V равна объему цилиндра, полученного вращением отрезка у = 1, х = -1, х = 1 вокруг оси X (высота цилиндра 2, радиус 1), то есть V^+V - 2п. 2л 8я Откуда получаем искомый объем V = 2n-V^ = 2тг--^ = -^. Введем систему координат так. Круг лежит в плоскости ХУ, его центр совпадает с началом координат, диаметр лежит на оси X и любое сечение, перпендикулярное к этому диаметру (рис. 82а), — равносторонний треугольник с площадью S (л:) {х — координата сечения) (рис. 826). При фиксированном х длина хорды АВ равна 2 -/Г-”?, это есть сторона треугольника. Тогда 8(х) = 43(1-хЬ.^ Объем тела V = = 1 -1 = j43(l-xbdx = ^. -1 178 3. Может. Например, тело, образованное вращением графика у = ^ Действительно, при любом а и Ь> а, объем тела равен 2,jx^+i 7 = = |= J^ = ^arctg2 |^=j|(arctgb®-arctga3). При вычислении интеграла сделана замена переменной z = x^, dz = 3x^dx. Так как при любом аиЬ arctg arctg а® < 2 -1 = я, то объем V < -^ < я. Вариант 2 1. а) Искомый объем такой же, как и в вар. 1, так как график у = -х^+1 есть отражение относительно оси X графика у = х -1, поэтому при вращении относительно оси X получим одинаковые фигуры (рис. 83). Ис- комый объем V = 16я Тб"’ 1 м -1 о1 1 X б) фигура, полученная вращением у = ~х'^+1 вокруг оси У, такая же, как и полученная вращением у = 1-х вокруг оси У, поэтому объем ^ в) искомый объем такой же, как и в вар. 1, поэтому V ~ Рис. 83 8т1 2. Введем систему координат так. Основание фигуры лежит в плоскости ХУ, центр окружности находится в начале координат; рассмотрим диаметр, лежащий на оси X. (См. рис. 82 к вар. 1. В рассматриваемом случае ZC = 90°.) Сечение в точке (д:; 0), АВ — гипотенуза сечения. AB = 2-/v-^. Площадь сечения S(x) = l-x^. Тогда 1 1 объем V = JiS(x)dx = J(1 - x^)dx - . -1 -1 3. Может. Например, если вращать график функции у = ——=. 2 24хК\ См. вар. 1. У < ^ < 1- Задание 3.71. Длина кривой Вариант 1 1, Длина кривой вычисляется по известной формуле L = JVl Hyfdx = J Нф -l^fdx = ) 81д^+18х+1 36л: dx = 179 3 3 1 3 = r£i^d;c = ffV^djc+ 1+1x2 I =-^_X. { 6/^ i 6/^ I ^ i 3^3 24 4 4 4 4 4 2. Длина кривой на заданных промежутках 1 ------- 1 ----------- 2 --------------- 2 ----------- Li=j-Jl + (у')^ dx=j^Jl + 9х^ dx, I<2 = J V1 + (dx = | ^ 1 + 9x^ dx, 0 0 11 в последнем интеграле сделаем замену i = x-l, тогда dt = dx^ X = t +1, ^(2) = 1, f (1) = О и интеграл имеет вид 1*2 = J^/l + 9(t + l)^dx. о И так как ^l + 9(f + l)^>7l + 9t'*, то J ^l + 9(^ + l)^rf^> J -^l + 9x^dx = о о = Lj, то есть L2 > 1^1. 3. Необходимое условие для функции /(х): f(x) > о, L = 2/(дг) = J^l + U'{x)f dx. Продифференцируем равенство по х, тогда 2 f'{x) = -yjl + if'ix))^ и для /(л:)>0 + откуда получаем if'(x)f=^, f'(x)=^ (выбрали положительный знак производной). Решая получившееся дифференциальное уравнение, вычисляем /(х) = -рХ + С. Постоян- л/З ную с определяем из условия, что при х = 0 длина кривой на промежутке [0; х] L = 0, то есть С = 0 и /(х) = -^х. v3 Вариант 2 3 3 _____ 3 1. L = I ll+(-l^-4^fdx = l^l^^dx = \^dx = (V Ф ^ { Ф {Ф 4 4 4 4 4 4 2. На промежутке [0; 1] длина кривой меньше. См. решение вар. 1. 3. -2f(x) = ]^l + (nx)f dx, откуда, дифференцируя, полз^чаем, что -2 f'(x) = ^1 + (/'(х))^. Решая уравнение аналогично вар. 1, получим. что fix) __ 1 4s' 180 Задание 3.12, Оценка определенных интегралов Вариант 1 1. При О < л: < 1 < Jx и + 1 > 1, поэтому < Jx, причем ’ * ^ х+1 равенство достигается только на концах промежутка [0; 1]. меньше, чем пло- Поэтому площадь под графиком функции щадь под графиком функции-Jx . И так как определенный интеграл для неотрицательной функции равен площади под графиком, 2. На промежутке [2; 3] подинтегральная функция возрастает, следо- вательно, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах промежутка. Тогда Так как длина промежутка 3 равна 1, то |< 2 3. а) Из условия задачи следует, что подинтегральная функция на промежутке [0; 1] принимает значения от ^ до 1. Так как длина промежутка равна 1, площадь под графиком подинтегральной функции не меньше ^ и не превосходит 1. 1 б) Сумму интегралов можно записать как J -ь /(х)^ d х, и так как о подинтегральное выражение не превосходит 3 и длина промежутка равна 1, то значение интеграла не превосходит 3. 4. а) Если значение функции /(х) > 0 на промежутке [0; 1], то интег- 1 рал J fix) dx равен площади под графиком функции на промежутке о [0; 1]. Нетрудно убедиться, что число /(0) + /(1) 2 равно площади прямоугольной трапеции с основаниями /(0) и /(1) и высотой, равной 1. Значение /(0) равно площади прямоугольника ABED. На рис. 84 искомая трапеция ABCD. Для того чтобы площадь трапеции была больше площади под графиком функции, достаточно, чтобы график функции был ниже прямой DC. Для того 181 чтобы значение f (0) было меньше интеграла, достаточно, чтобы оно было равно наименьшему значению функции f{x) на промежутке [0; 1]. Это только достаточное условие для функции f(x). Могут быть и другие решения. Пример функции f(x)~x^ (рис. 85). 1 Для этого примера fi0) = 0,jf{x)dx = ~; ^ о Можно привести и такой пример: f{x) = {х - Тогда /(0) = = А; ]f{x)dx = i (рис. 86). о б) Следующее обобщение основано на том, что определенный интеграл для положительной функции соответствует площади под интегралом. Координаты точек!) (а; f(a))\C(b\ f{b))\E(b; /(а)). Если функция возрастает на [а; Ь] и ее значение меньше g(x) = /(а) + - а)» график y = f(x) на [а; Ь] ниже прямой, проходящей через точки (а; /(а)) и (Ь; /(5)), то ь f{0){b-a) < jf{x)dx а b f{0){b -a) — площадь прямоугольника ABED, J f{x)dx — площадь a криволинейной трапеции ABCD, {b-a) — площадь трапеции ABCD (рис. 87). Уравнение у ~ g(x) — это уравнение прямой DC с тангенсом угла наклона А, который определяется из прямоугольного треугольника DEC у k = поэтому g(x) = /(а) + (х - а). Ь-а 182 Вариант 2 5 1 1. Так как на[0; 1] < ^ = то f~=i < [x^dx - ^ <1. Jx+l Jx J J X+1 J ' ^ ^ 0^ 0 2. Ha промежутке [3; 7] подинтегральная функция | ^ поэтому определенный интеграл на промежутке длиной 4 удовлетворяет нера-7 венствам4 * 4< Г т-^dx <|^ • 4, т. е. его значение в пределах от 3 до 3,5. 4 J 1 + х о 3 3. а) Так как на промежутке [-1;0] 1 о на [0; 1], то — площадь прямоугольной трапеции с боковой стороной на отрезке [0; 1], /(0) — площадь 1 прямоугольника со сторонами, равными /(0) и 1, |/(x)dx — пло- 0 щадь под графиком f{x). Чтобы выполнялись условия задачи, графически картина может выглядеть так, как на рис. 88. Точки имеют координаты Z)(0; /(0)); Е(1; /(0)); С(1; /(1)), Б(1; 0), А(0;0). Площадь прямоугольника ABED равна /(0) ■ 1 =/(0), площадь трапеции ABCD равна площадь криволинейной 1 трапеции ABCD равна J f{x)dx, о Для того чтобы выполнялись условия задачи, достаточно, чтобы функция f(x) убывала на[0; 1] и график функции у = f(x) был выше прямой, проведенной через точки (0; /(0)) и (1; /(1)). Например, функция у = 1-х^ (рис. 89). б) Обобщение может быть таким. Если функция /(х) убывает на отрезке [а; Ь] и значение f{x) > g{x) (рис. 90), где g(x) = f(a) + - а), ТО выполняются неравенства ь f(a)(b-a)>jfix)dx>^^^^ib-a). Примечание: Уравнение у g{x) — уравнение прямой, проходящей через точки (а; /(а)), {Ь; /(&)). Задание 3,13. Приближенное вычисление определенных интегралов Вариант 1 1. Наименьшее значение функции у = на промежутке равно а наибольшее — поэтому интеграл можно оценить так: то есть границы оценки 0,5 и 1. Разбиваем промежуток интегрирования [1; 3] на 4 равные части. Тогда Л = гра- и ницы промежутков: Хо = 1, JCi = Хо +1 = 1,5, ^2 = ^0 -2 = 2, дгз = 2,5, ДГ4 =3 (рис, 91). Оценка интеграла с недостатком: 1 1,5 2 2,5 3 Рис. 91 /„ = Л (у (Xi) + у (Х2) + у (Хз) + у (Х4))=0,635. Погрешность равна J ^ = In (1 + д:) I - 0,635 = In 4 - In 2 - 0,635 = 0,058. 184 3. Так как п = 3, шаг интегрирования Л = I* Тогда координаты концов отрезков разбиения: Xq = 1, XI = Ц, д:2=2|. = 3. Оценка интеграла по формуле трапеций: Imp = Л(|(г/(лСо) + I/(ji:i)) + I(y(Xi) + у(Х2)) + 1(у(Х2) + у(Хз))) = = + 1» = 0-700. 4. Для вычисления по формуле Симпсона при л = 3 надо знать ) + • 2 значения функции в серединах отрезков. Обозначим их: Xi = Xz = = -^4^- Тогдад:! = jcg = 2,Xs = |. Приближенное 2^2^ 2^2 2^ значение интеграла по формуле Симпсона равно Ic=i(yixo)+y(x3)+2y(xi)+2y(x2)+^y{Xi) + 4:у(хз) + 4i/(x5)) = 0,693. 2 2 2 Вариант 2 1. При X е [3; 5] 0,25 < < 0,5, поэтому значение интеграла не меньше0,25 • 2и небольше0,5 • 2, то есть границы оценки от0,5 до 1. 2. Разбиваем промежуток интегрирования на 4 равные части. Тогда шаг интегрирования Л=|, границы промежутков: Xq=3, Xi= 3,5, д:2=4, ^3=4,5, дг4 = 5 (рис. 93). При вычислении с избытком за значение интеграла берем сумму площадей прямоугольников шириной h и высотами, равными у{Хо), y{Xi), 1/(Х2), у(х^). Тогда 3 3,5 4 4,5 5 Рис. 93 Ij^=h{y{xo)+ y(xi)+y{x2)+ у{х^)) = 0,760. 5 5 Погрешность равна ~ \ = 0,760 - 1п(д; - 1) | = 0,067. 3 3 185 2 3 ^14^2 5 Рис, 94 3. Так как п = 3, то шаг интегрирования Л = |. Тогда координаты концов отрезков разбиения: ^0=1, ЛГ1=1|, Х2 = 2|, JC4 = 3 (рис. 94). Оценка интеграла по формуле трапеций ^тр = Л(|(1/(а:о)+1/(л:1)) + +\iy(xi) + y{.X2)) + + i(j/(JC2)+J/(^3)))=0,700. 4. Для вычисления интеграла по формуле Симпсона при л = 3 надо знать значения функции в серединах отрезков. Обозначим их: -- _^+^1 „ + гг_________ 10 „ _ ^ _ 14 - -5-, Xz - -5-, Хь----5--. 10ГДа Х\ - -5-, Xz - 4, Xs-5-. 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2^2 2^ Приближенное значение интеграла по формуле Симпсона равно 7е=i(!/(^o) + у(^з) + ^y(xi) + 2у(х2) + iy(Xi) + 4у(хз) + 4у(хь)) = 0,693. 2 2 2 Задание 3,14, Интегральные суммы Вариант 1 п 1, а) Рассмотрим интеграл jx^dx, его можно вычислить точно и при- ”4 ближенно с шагом Л = 1. Точное значение ^x^dx = Значение интеграла с недостатком у{х) = х^ (рис .95). л-1 i=0 п Значение интеграла с избытком = h^y{i) (рис. 96). t=i Тогда точное значение интеграла /jj < / < /„. Рассмотрим предел lim ^ = lim “^ = 7» Так как для любого п 1ц<1, то lim -г^ суще- п-^ п* П-Х»4л^ 4 ствует. Но в то же время lim ^ = lim так как /„(л) = Iy^(n + 1). л—п п—>°° Значит, по свойству пределов lim = lim ^ = lim Итак, л—>оо п—>оо Л—>оо Л** 1 + 2^ + 3^+ ... +л® _ 1 «4 “4* lim л->«» б) Обобщение полученного результата: lim 1+2^43''*+ ■■■ +л" _т +1 ш+1 п Для доказательства надо рассмотреть интеграл | x^dx. о 11 10 2. Рассмотрим интегралы и |^. Оценивая интегралы сверху 1 ^ о ^ И снизу формулами левых и правых прямоугольников, получим 11 10 с шагом Л = 1 1^<1 + ф + ф+...+ ф<1^. Вычисляя интег- ралы, определим пределы искомой суммы S: p/Io^>S>| (^fl?-l) или 5,9 2, v^i при вычислении интеграла сделана замена z = x^-S, dz = 2xdx, во xdx 2-< z(2) = 1, z{a) = a*^ - 3 = - 3 = A. Несобственный интеграл f -т== iw- 3)^ = lim Г xdx чаем 1 xdx ^(х^-ЗУ , Тогда, используя вычисленный интеграл, полу- = lim 1- = 1. б) Вычислим неопределенный интеграл f = f-|L = шП + с = 3^Jt + c = з^х-1 + с. 2 2^ __________________2^ Несобственный интеграл | -г-—— = lim | . = lim 3 - 1 = lim (3-3^7-1) = 3. а^1 V / в) Подинтегральная функция имеет особенность в точке х = 0, Неопределенный интеграл f-^ = -^ + C. Искомый несобственный ^ X Ух Ух 1 1 ь интеграл есть сумма пределов Г —i = lim f —^ + lim Г —^ = \хух хУх Ь->0\хух -1 а -1 =-3 +ЗИт i - 3“ lim i, и так как пределы бесконечны, то а-»0 у а 6->0 У Ъ несобственный интеграл не существует. 2. [-4^ = ? = =----Тогда, если \а\ф1, то u I xdx (;c2-l)2 2(х2-1)_'д = 0. При a= 1 J= lim f = lim J(^2-l)2 с^1МдГ-1Г a~>l 2(д:2-1)_а = 0. 188 -1 1 Приа = -1 f^ = -|^ = 0. J (x2-l)2 Итак, искомый интеграл равен нулю при всех ае R. XX X 3. a)/(x)=f-^=lim f-^=lim3^|= У = 3^ - lim 3?fa = 3?/jc. а^О На рис. 98 приведен график функ- 2--ции. б) Площадь криволинейной трапеции есть определенный интеграл на промежутке [О; 1]: S = j f{x) dx = ^ 3^[х dx = 3j- ^Jx^ \~4' 0 0 ® 1 6) Объем V = JSi(jE:)rfx, где51(л:) = n f^{x) — площадь круга радиу-0 1 о/— 5 1 са f{x). Тогда V = п\ 9^ х^ dx = 9п’^х^ \ = Щ-п. J ь ь о о Вариант 2 1. а) f = lim f --р—^ Вычислим неопределенный интеграл ^ yjix^-S)^ я-^J //^2_йчЗ и найдем предел: f --- = ^ Г + С, тогда искомый J I/^2_q\Z I/* _q\3 Jt-8 ( a\ интеграл равен lim fl—>«* = 1 - lim-j=i= = 1. ^0^-8 0 6) f , ■ = lim f . ^ = lim 3{^x + 1) [ =3- lim 3 ^ a + 1=3. 0-^-1 0-^-1 a “^-1 1 b) [—не существует, см. вар. 1. ^^хЧх 2. Рассмотрим неопределенный интеграл \-^ = И^ =-------------=------------+ J (д:^-1П (^-1) 6(е-1)^ б(х2-1)3 189 u Тогда при а ^ ±1 J xdx (х2-1И 6(^2-1)3 = 0. Приа = 1 = lim }-^ = о, -1 -о при а = - 1 = 0. Итак, искомый интеграл равен нулю при любых а е R. X dt 3. а) = = = J5^C< a-»0JV<4 = lim (55/lc - 55/^) = sVx. o-^O График функции приведен на рис, 99. б) S - ^f(x)dx = 5 J^[х dx = о о = 5-|V^| = 25 6 * в)7 = n]f(x)dx = я|25 ^^Jx^dx = 25я-|^| = 0 0 ° Задание 3,16. Применение интеграла Вариант 1 1. Рассмотрим случаи расположения точек и В, которые зависят от возможного вида графика у ~ f{x) (рис. 100). В общем виде для произвольной точки А (xq; f{x^) напишем уравнение касательной и уравнение нормали. Уравнение касательной y = /(jCo) + /'(^o)(^“^o)' Тогда тангенс угла наклона нормали равен - , и уравнение нормали имеет вид y = f{X{^- .,} (х-хп). Пусть нормаль пересекает ось абсцисс в точке N{х\;, 0), Тогда, приняв у = О, из уравнения нормали получим / (х о) - ^(х - х о) = 0. От- сюда Xi-Xo=/'(^o)‘/(^o)- Вычислим NB — расстояние между точками i^Cxj; 0) иВ(Хо; 0). Еслихх<л:о,случаиЗи4,2\ГВ = Хо-д:1.Если Xi > Xq, случаи1и2,7УВ = Xj - Xq. По условию задачи NB=OB®. Отрезок OB = Xq. Равенство NB = OB® приведет к следующим уравнениям. В случаях 1 и 2 имеем XQ = f'(xQ)f(xQ), В случаях 3 и 4 имеем 190 XQ = -f'(xQ)f(xQ), Первое уравнение можно записать так: Xq = xldxQ = f(xQ)df{xQ). Интегрируя это уравнение, получим ^x\dx^ = jf{xQ)df (xq), или -Л- + С = -^-"з * определения постоянной С используем условие, что график у = /{xq) проходит через точку (^; ^[2). Тогда 1 + С = 1, С = 0. Значит, i(xq) = так как график функции расположен в первой четверти, то Xq ^ 0 и /(хо)>0. Искомая функция /(;со) = -^. Решая уравнение Хо = -/'(^о)/(^о)» находим, что 4 4 -+ С = ^ , -1 + С = 1,С = 2, /^(xq) = 4 - В этом случаеXq Итак, функции /(х) = дачи. 42 nf(x) = J^ ~ удовлетворяют условию за- 2. Пусть5(^) — путь, тогда производнаяS'(t) — скорость. По условию задачи S'(t) = ^^, SdS=Cdt, ^ = Ct + Ci, S = ^2Ct + 2Ci, Постоянные C и Cj можно определить из начальных условий S(0) = 2, S'(0) = 1. ТогдаCj=2, С = 2 и, значит, S = 2-/ТП. Путь, пройденный за 8 с, равен5(8) = 6 м, скорость в это время8'(8) = о с 191 Вариант 2 1. Задачу можно решить аналогично вар. 1 в той последовательности, как изложено. Но заметим, что если в условии задачи из вар. 1 заменить Z/ на -I/, то получим условие данной задачи. Тогда решение есть функция -у = то есть у = - 2. См. вар. 1. ^ = Cf + Ci, из начальных данных 5(0) = 4, S'(0) = 1. Тогда Cl = 8, С = 4. S = ^/8(t + 2). Путь, пройденный за 6 с, равен S(6) = 8 скорость в это время ^ Задание 3.17, Контрольное задание Вариант 1 л 1. Найдем точки пересечения графиков функций. При х > 0 у = - х и y = x-G пересекаются в точке (2; - 4), координата х = 2 определяется из уравнения -x^‘ = х - 6. Графики у = х - биу = пересекаются в точке (4;-2), которая определяется из уравнения X - 6 = --у[х. Графики у = -х^ и у = -д/х пересекаются в точках (0; 0) и Площадь фи- гуры, ограниченной всеми тремя линиями, заключена по х в пределах от 1 до 4 и состоит из двух частей, первая часть Si: л: Е [1; 2] и z/ е [-х^\ -^У, вторая часть S2: X G [2; 4] и у 6 [х - 6; - ^]. Тогда площадь фигуры S = Si + S2, Рис. 101 2 гдeSl = J(--/x+x^)dx, S2 = -X -н 6)dx. 1 2 Тогда S = -fV^I + "fI --^1 + 6x I = ^ “ “ ___________________ 2. a)Si = J^^ = J(./x + ^x-l)dx, S2 = J^x^-x dx = J^x(x-l)dx = J-J^xVy^^Tdx. 192 Так как среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического, то ^ .у[х .урс - 1. Равенство достигается только при ^fx ~ - 1, что здесь невозможно. Поэто- му ^^2^ ^ рс -1 и -Jx + ^х - 1 > 2-J лрс^х - 1. Интеграл от функции f(x) больше, чем интеграл от функции ^(х). б) Интегралы на [1; +<») несобственные. «> оо _____ ^ _____ I l-^^dx = +^x~l)dx = lim ^{^fx + ^х + l)dx = = Иш А- >оо -А^ /? 1 +|-J(x + 1)^ I =lim (А +1)^ -1- Интеграл расходится. Так как g{x) = i]x^-x > ^(х -1)^ =^х-1 ОО ОР оо при х>1, то Jд/х-1 dx0, и искомый интеграл равен площади полукруга радиуса Вариант 2 1. Если в условии заменить х на -х и i/ на -г/, получим фигуру из варианта 1. Поэтому площадь равна ~. Можно проделать вычис- о ления, аналогичные вар. 1, и получить этот же результат. 2. а) Представим f{x) = ^x + l+ фс, Тогда, аналогично вар. 1, -^х + 1 + ^ > ^^х + 1 • у[х и /(х) > ^(х). Интеграл от первой функции больше. б) Интегралы расходятся, сравнить их невозможно. См. вар. 1. 3. Задача заменой х на -х и а на - а сводится к вар. 1. Площадь фигуры экстремальна при а = -1. 194 4. Сумма равна 999 • см. вар. 1. 3 5. а) JV(^:"2)(3-x)dx - |, см. вар. 1. 2 б) См. вар. 1. Тема 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задание 4.1. Значения тригонометрических функций Вариант! 1. Например л: = |. Так как углы ® первой четверти, то sinjc > О, cos2x > О, tg3jc > О, ctg4^: > 0. Углы -у — во второй четверти, поэтому sec 5д: < О, cosec 6х > О, произведение всех этих чисел отрицательно. 2. Определим, какие числа входят в множества А и В. Числа из множества А вида - ft, а множество В состоит из чисел вида ^ + л /, где ft О О и / целые числа. Определим, когда^/г = ^+ л/, откуда получаем, что О и ft = 1 3/ — соотношение между ft и /. Значит, в оба множества входят числа вида f (1 + 3 /), где I — целые числа. Значения тригономет- рических функций; sin(|(l-H3/)) = cos(|(l + 3Z)) = I— четн е, - / — нечетн е, I — четЦ !е, _ 1 / —нечетц е, tg(|(i + 3D) = Д ctg(|(i + 30) = f, sec(|(l + 30) = | ^ “2,/ — нечетнИе, cosec (|(1 -j- 3/)) = I — четное, V3 —/ — нечетн 'е. VI 3. а) Так как первый член и знаменатель геометрической прогрессии не могут равняться нулю, последовательность а^ не является геометрической прогрессией при х = iik, k е Z. 195 б) При X Ф^к (то есть при О < 1 а„| < 1) последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. в) Первый член ai = -^, знаменатель g = Сумма 5 = 017-^ = ^. £i и L ~ (J о Уравнение равносильно уравнению tgx (tgx +1) = О, откуда, решая х = пк. уравнения tgx = 0 и tgx = -1, получим Х = ~^ + п1у к, leZ. Так как 7т1<23, а8я>24и--| + 8тг>24и--| + 7ж23, то на промежутке [23; 24] нет решений. Зя 5 я 5. Наименьшие решения ах = |, Pi = -^, = ^1=5' наибольшие ре- шения Y > Р2 = X * ^2 “ ^ ’ ^2 = ^ • Наибольшее значение суммы 59я 25я равно наименьшее значение суммы равно —. Вариант 2 I’ Т’ Т’ f находятся в первой П 9 1. Например, х = ^. Так как углы четверти, то sin| > 0, cos^ > 0, ctg3x > 0, tg4x > 0. Для x = ^ cosec 5X > 0, sec 6x < 0. Произведение этих чисел меньше нуля. 2. А = ~к, В = ^+ пк, keZ. Все числа множества В входят в множе- R J2 ство А. Функции этих углов sincp = ± COS(p = ± tg{p = ctg(p = 1, sec ф = ±42, cosec ф = ±4^. 3. а) Последовательность а„ не является геометрической прогрессией при COSX = о или X = I + nkj ке Z. б) Последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией при условии |cosx|< 1, что выполняется при X Ф пку keZ и cosx 0, то есть хФ^ + пк, Значит, последовательность — геометрическая прогрессия, если х Ф ^к, keZ. /3 в) cos(-|) = Первый член прогрессии а^^- _ 3 т, знаменатель а = — 4 ^4 Тогда сумма S = aj = 3. Уравнение равносильно уравнениям ctgx=0 и ctgx = - 1. Решения х=| + я/е, х = -^ + я/, kyleZ, Корень х = | + 7я принадлежит промежутку [23; 24]. 196 5л 5. Наименьшие решения = |, Pi = Yi ~ ^1~ q* наибольшие решения tt2 = ^» Р2 = Y2 = ^2 = Тогда наименьшее значение суммы oti + Pi + Yi + Si = Щпу наибольшее значение суммы «2 + Р2 + Y2 S2 = Ця. Задание 4.2, Общие свойства тригонометрических функций Вариант 1 1, Область определения функции является решением системы > О, f sinx < О, или < [X Ф 2nky keZ, i cos л: - 1 [созд: Ф 1 откуда получаем д: е (я -н 2nk; 2n{k + 1)), keZ. 2. Перепишем уравнение в виде 1-1-2 зш^д: = - cosx. Так как область значений созх от -1 до 1, то есть -1 < созх < 1, а 1 + 2 зш^х > 1, то решение может быть только тогда, когда sinx = 0 и созд: = -1, что равносильно х = п + 2nk, keZ. 3. Четность определяется условием, что для любого ^ из области определения x(i) = д^(-^), значит, должно выполняться равенство cosf cos{-0 cos I cost —^---7 = —. / / ,, откуда получаем, что —:------т = —^----г или asini - 1 osin(-0-l^ ^ ^ asm/-l -asinf-1 для cos tФ0 а sin f = - а sin t. Для sin t Ф О это возможно при а - 0. Нечетность определяется условием, что для любого ^ из области определения x(-f) = -д:(0* Тогда cos (“О cos^ г, для cost Ф О asin (“О - 1 asin f - 1 ’ -asini - 1 = -asin^ + 1. Это условие для любого t не выполняется ни при каких а. Значит, функция х (f) при а = О четная, а при а ф О этим свойством не обладает. 4. а) Определим, при каких х функция достигает своего наибольшего значения sin ■/ы = 1 , откуда получим, что ^j\x\ = |-ь2я/е,Ле^ или I I 9 \х\ - Щ + 2nk) . Значит, максимальное значение 1 достигается при д: = ±(^ -ь н- 2 7t^k)f keZ. Рассмотрим расстояние между сосед- ними максимумами при д: > О, оно будет равно-^-»-4я^ -|-2я“Л---^-4я^(й-1)^“2я^(/е-1) = 8я^А-2я^. С ростом k расстояние неограниченно увеличивается, поэтому функция не имеет периода, б) Функция y = igx не определена в точках х = |н-я/е, функция у = tgлх не определена в точках хл = | -ь л/, где /г, leZ. Значит, функция I/ = tgx^-tgлx не определена при х = л(| + ^е) и х=^ + 1. 197 k, leZ. Прямые x = n(^ + k) и x = ^ + I — вертикальные асимптоты. Расстояние между асимптотами х = | и х = | равно ^ = f ” | = Рассмотрим всевозможные расстояния между асимптотами. Это + я(| + /е)-я(| + /г), | + где /е, /г, meZ. При я-З каких А, I, л, т эти расстояния равны -у-? Для этого рассмотрим равенства + = п(^ + к)-п(^ + п) = ^,^ + 1-^-т = = после несложных преобразований они примут вид + nk-l+l= , n{k~n) = , 1-т = . Эти уравнения не имеют целых решений k, I, тг, т. Это означает, что расстояние, 7t-3 равное между асимптотами, принимается только один раз. Поэтому нет периодичности. Функция у{х) не имеет периода. 5. Раскрыв модуль, уравнение можно представить в виде совокупно-2у = y tgx, у <0, y-tgx = О, I/ > 0. сти уравнении У Х4 -2л ^2 -Я Х\ л:з Из первого уравнения получим первое решение I/ = 0. Если у < 0, то первое уравнение имеет решение X = arctg2 + я/е, keZ, Из второго У > о, уравнения решение ‘ Рис. 103 [х = п1у leZ. Xi = arctg2, Х2 = arctg2 - я, Хз = arctg2 + я, Х4 = arctg2 - 2я. arctg2 1,107 (рис. 103). Вариант 2 f sin X 1, 1. Область определения функции вычислим из системы ] cosx [sin:c-l ^ [ sinx ^1, которая равносильна системе < решения которой есть [cosx < о, X 6 (-| + 2nk; | + 2яА), keZ. 2. Решим равносильное уравнение 2cos^x = -1- sinx, так как при всех xeR cos^x>0 и -1-sinx <0, то решение уравнения удов-fcosx = о. летворяет системе 198 то есть л: = -5 + 2nky keZ, sinx = -1, 2 ' 3. Решение аналогично вар. 1. При а = О функция нечетная. При а ^ О свойством четности и нечетности не обладает. 4. а), б) функции не имеют периода. См. вар. 1. ^ 5. Уравнение равносильно совокупности уравнений ~2y=ydgx, у>0, y-ctgx = 0, у<0, Ф = arcctg2 = 0,464 (рис. 104). -I" ф-71 I" ф + Я Рис. 104 Задание 4,3, Основные тригонометрические тождества Вариант 1 О Ч 1 1 Я 1. cosec д: - Зсозесд: + Ssino: - sin х = —^— 3-г^ + 3sinx - sin х = 3 (1-«ш^д:) _ icosW _ cos»* ^ (^qsо: • ctg;с)^ = ---sinx^ = \Sin X / 2. V(1 - -1) = ^(1 - Н i^l = = U^ = 2lctg2a|; 2lctg^| = 2ctgf = ^. 3. уравнение равносильно уравнению sinx+cosx = —или системе Равносильными преобразованиями полу- j sinx-cosx+cos^x-l = 0, [cosx ^ 0. fsinx -cosx - sin^x = 0, [ sinx(cosx - sinx) = 0, ЧИМ cosx Ф 0, [cosx Ф 0. Решения последней системы равносильны совокупности систем sinx = о, tgx = 1, откуда получим x-nky x = nk + ^y /ееZ. Из этих кор- COSX ^ о, ней промежутку [0; я] принадлежат х = 0, х = ^, х = я. la-cosa _ _ tga-1 . По условию tga -i-ctga = 2,5, значит, sina+cosa соза + О tga+1 'cos а ' tg^a + = 2,5, tg^a - 2,5 tga + 1 = 0. Решения этого уравнения 199 tga = 2 и tga=|. Тогда, подставляя эти значения tga, вычислим значение исходного выражения. При tga =2 при tga ; 1 tgg-l _ 2 tga+1 3‘ 5. p^{t) + q\t) = 1. Действительно, для любого t l-r 2t 1 + r + + _ l + 2f^ + f‘* _ J il + t^f (l + (2)2 (1 + /^)^ _ = 1. p(t)nq (0 можно принять за синус и косинус U q (<) = sin f, р (t) = cos t. Тогда 1 - 1 - и = ^ = tg^^. Так как область зна- 1-9 чений функции tg ^ — любые числа, то значение искомого выражения может быть больше 3. Вариант 2 1. sec^jc - Ззесл: + Зсозх - cos^x = —h-3-^ + 3cosx - соз^д: = = (—------cosa:^ = \со8д: / 1 - = su^ _ -tg^A: = (sina: -tgx)^. 2. ^(1 - ctg^a)(tg^a - 1) = yjictg^a - 1)(1 - tg^a) задача свелась к вар. 1, поэтому искомое выражение равно 2|ctg2a|. 3. Несложными преобразованиями нетрудно получить последовательно равносильные уравнения 1 I sinA:-cosx + sin^A:-l = 0, | sinA:-cosa:-cos^x = 0, sinx + cosx = -r^, [sinx^tO, [sinx5*0, cosx = 0, tgx = 1, решения: x = | + я/г, x =-| + яЛ, keZ. Промежутку sinx Ф 0, [-0,5я; 0,5я] принадлежат корни х = - |, х = |, х = 4. Равносильное равенство tga + = 3^, ^ lOtga +3-0, tga tga о. откуда получим, что tga = 3, tga = Искомое выражение преобра- о ( sin а , cos а --+ 1 sin а+cos а vcos зуем: — sin а-cos а ;osa ] tga+1 тт , ----V = ~—г- Подставляя значение тапген- Jsing Л tga-1 ( cos а J са, получим, что искомое значение равно 2 или -2. 200 9 О 5. Может. Доказательство аналогично вар. 1. Так как р (t) + q \t) = 1 для любого и р(0) = - 1,0^(0) = О, p(f) = -cost,q{t) = - sm^, тогда ,2 „2 \~р“ q- = ~ = ctgH, значение выражения может быть больше 3. Задание 4.4, Нахождение значений тригонометрических функций по значению одной из них Вариант 1 1. Так как sec^x = tg^x +1, то sec^x = 101 и secx = -^101, тогда COSX = sinx = ctgx = Значения функ- secx .До! ДШ ^ tgx 10 ций расположены в следующем порядке: secx, cosecx, sinx, cosx, ctgx, tgx. 2. a) sint = —^ tg^^ = = 7^. Значит, tg^f > 4. Так как ' cosect 1,1 ® 1-sin^/ ®*21 ° В условии задачи не определено, в какой четверти угол t, то знак tg t в задаче невозможно определить и сравнить с числом 2. б) sin^ = ^, tgh = < 3, значит, \ tgt\< ^ и tgt < 2. 7з, ■” 3 б) cos^ Z + —^ + tg^2 + >2 + 2 = 4, так как сумма взаимно об- cos'^ 2 tg^2 ратных положительных чисел не меньше 2, то есть cos^ z + —^ > 2 COS^2 и tg^2 + —^ > 2. Исходное неравенство верно при любых z, таких, t^z что cos2 ^ о И sin 2 Ф о, то есть 2 Ф ^k, keZ. 4. Так как 3 = 3cos^ у + 3 sin^ у, выражение можно записать в виде 8sin^y-4sini/-cosi/+3cos^(/ _ sin^i/(8-4ctgi/+3ctg^j;) _ 8-8 + 12 _ _2 -4sin^y+3sini/cosi/-5cos^f/ sin^i/(-4+3ctgi/-5ctg^i/) -4 + 6-20 3 Вариант 2 1. cosec^x = 1 + ctg^x, поэтому cosec^x = 101, cosecx = -^/101, 3. . 2 ^ 1_ 1 V 2 Sinx = -- Г, tgx _ 1 , cosx = sinx ctgx = 10 secx = Дщ .s- - iQ, - ...... ------ 10 Значения функций расположены в следующем порядке: cosecx, secx, cosx, sinx, tgx, ctgx. 201 2, а) cosf = значит, ctg t 2* _ cos^ t — 1-cos^f _1_______ I____1 0.21 > 4. Отсюда сле- cos^i дует, что значение ctg t может быть больше 2 или меньше -2, то есть ctg^ > 2 или ctg# < -2. Сравнить ctg# и 2 невозможно. б) ctg^ # = < 4, значит, I ctg # | < 2 и ctg # < 2. 5 л 3. а) Подставим тогда . 2 5л Sin 5л . . 25л х_25л , 2 5л 1 . 1 . о . >< л -^+ tg -^ + Ctg -^ + cosec ~= ^ + ^ + 3+4>4. б) Выражение в левой части неравенства определено при z Ф ^k, keZ. При этих Z cosec^2 ^ — и ctg Z 1 „ _ , и неравенство можно sin^ Z t^z записать так: sin^ z + —^ + ~V - 4, для решения неравенства sin^ г i^z вспомним, что сумма взаимно обратных положительных чисел а + ^>2. Значит, sin^2 + —2 и tg^2 + —2, поэтому левая ® sin"^ Z tg^z часть неравенства не меньше 4 при всех z Ф ke Z. 4. Используя основное тригонометрическое тождество, запишем выражение как 2 f sin^u _sinu-cosw . cos'^i/1 —:г^+5—^—- + 4. У\- Ic sin^ у+5siny■ cosy+4 cos^ у 4sin^y-5siny-cosy-3cos^y _______2..I ^sin^y ..siny-cosy 4tg^y-5tgy-3 cos у 4 - 0 - о J cos'* у cos^ у 4+10+4 16-10-3 = 6. Задание 4,5. Формулы приведения Вариант 1 1. По формулам приведения sin (х + Ал) = sin л: при четном А, sin(x + Ал) = - sinx при нечетном А. Если число А в искомой сумме четно, то число членов равно (А + 1), то есть нечетное число членов, которые могут быть равны ±зшд:, их сумма не может быть равна нулю при любых X. Если А нечетно, то в сумме (А +1) член и это число четно. Сумма имеет вид sinx - sinx + sinx - sinx +...- sinx = 0, 0 0 TO есть верно при любом х, 2. tg(30°-x)-tg(120°-x) =tg(30°-x)-tg(90°-i-30‘^-x) = = tg(30°-x) - ctg(30°-x) = tg(30°-x) + 202 Тогда уравнение имеет вид tg(30°-^:) + = а. Функции у = tg(30°-A:) и I/ = tg(30“-x) принимают любые значения. Эти зна- tg(30“-x) чения взаимно обратны, поэтому их сумма при положительных tg (30°- х) не меньше 2 и при отрицательных tg (30°- х) не больше -2. Поэтому уравнение имеет решения при | а | > 2. Уравнение не имеет решений при | а|< 2. 3. Используя формулы приведения, преобразуем выражение, опреде-ляюш;ее функцию -tgA:(- cos jc) f{x) = ^0(я-;сНша5я X) _ sec (л: - 5я) ' ' ^ cos(n+A:) ctg(l,5n-j:) '‘2 '' ' ' / V tgxcosx 2 - sec X • (- sec x) = - —:---sec x. Область определения функции есть все х е /?, кроме х, при которых COSX = о, tgx=0, или при хФ^к, keZ, В области своего определения функция имеет вид -cosx-tgx т=-1 + ^ = ig4. ~п I VJ п |я График функции приведен на рис. 105 Рис. 105 4. sin(cosl) = cos(| - cosl), cos(sinl) == sin(| - sinl). Так как 1>^, sinl>cosl, откуда следует, что | - cosl > | - sin 1, поэтому cos(| - cosl) < sin(| - sin 1). Следовательно, sin(cosl) < cos(sin 1).. 5. cosec(-^) - sec(-f) = --L ^ + 2 = V2 + 2. Sin — COS V “ 4 3 tg^ + ctg(-^) =/3 +/3 = 2 ^3. Сравниваемые числа положительные и иррациональные. Сравним квадраты этих чисел: (л/2 + 2)2 И (2^3)1 ТО есть 6+ 4у[2 и 12, то есть 4V2 и 6, 242 И 3, V8 И -у/Э. Так как -yfs < -у/9, то второе число больше. Вариант 2 1. cos(x + kn) = -COSX, если k — нечетное; cos(x + kn) = cosx, если к четное. Значит, сумма примет вид cosx - cosx +cosx - cosx +... . Чтобы сумма равнялась нулю при любом х, число к должно быть нечетным. 203 2. ctg(60°-x) - ctg(904 60°-х) = a, ctg(60'^-A:) + tg(60°-x) = a, ctg(60°-x) + ctg(60®-a:) = a. Задачу можно решить с использованием свойств взаимно обратных чисел, как в вар. 1, или свести уравнение к квадратному ctg^(60°-x) - actg(60°-A:) + 1 при ctg(60°-x) 0. Это уравнение не имеет решений, если его дискриминант Z) = - 4 отрицатель- ный, то есть I а| < 2. 3. otg(K-xy^s(l,bn-x) ^ ^ (х-5п)= -<=^S=c <-sinx) ^ I sin(n+x)tg(l,5n-x) ' ' ' ' -sinxctgx sin^x область определения функции — все х, для которых sinx^O и cosx^O, то естьх ¥= ^kykeZ, В области определения функция принимает вид /(х) = —^— 1, sin^x ИЛИ /(x)=ctg^x. График функции приведен на рис. 106. 4. sin (sin 1) = 1-cos (sinl). доказано, что cos(sinl) > sin(cosl), поэтому sin (sinl) < cos (cos 1). 5. _cosec(-^)-sec(-^) = -L__J_ = _^ + 2, tg -^ + ctg^ (- -b I, второе число больше, так как 0 < 2 - ^[2 < 1, а-Д-f-l > 1. Задание 4.6. Контрольное задание Вариант 1 1. Решим неравенство tg^x+tgx<0, равносильное tgx(tg^x-ь1) < 0 или tgx<0. Нетрудно убедиться, что если а = 0, то sinx = 0 и, следовательно, tgx =0. Поэтому а ^ 0. Так как значения |sinx|0; 2xe[0; 2]; уравнению удовлетворяют только такие х, для которых cos2x >0, поэтому х€[0; -|]. При таких х уравнение равносильно уравнению [sin(l - х) = cos2x, хе[0; f], или cos(| - 1 + х) = cos2x, \хе[0; f]. Дляхе[0; j] аргументыкосинусов:|-1<|-1-1-х<|^л:-1,0 <2х<|, и при таких X значения косинуса в двух частях уравнения равны только при равенстве аргументов: |-l-i-x = 2x, откуда получаем решение х = | -1. Вариант 2 1. Решение аналогично варианту 1. Все функции существуют при ае[-^; 0)U(0; ^]. Если0<а<^, тоsinx = - 1 -cos^x = -^ 2а CtgX = - . Jl-3a^ „ 1 ^ л • /——tg X = - г-----. Если - < а < о, то sin X = Vl-3a2 V3 1-За^ а^+1 1-За2 а^+1 tgx _ VT-3a^ 2^ , CtgX = 2а Vl-Зй 2. Выражение можно переписать так: (■^l-cos/)^- (-^ 1+sin 0^ _ l-cosf-1-cos^ _ 2cost V(l+cosO 0,5, поэтому уравнение решений не имеет. Тема 5 НАЧАЛА АНАЛИЗА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Задание 5.1. Вычисление пределов Вариант 1 -8ш2д: 1 1. ig2x 4. 8ш2дг-совЗд: i. 2х о 1. lim = lim ——г-r- = lim —r-r— = |, при вычислении этого пре- х-»0 cos2;c sin3x ^.^QgSin3Ar 3 ^ Зд: дела использован первый замечательный предел lim sin/ = 1. /->0 2. Преобразуем выражение ^ ^ ' выражение для предела примет вид lim ^ Используя замену х-^а X - а = Ах, его можно записать так: lim Последний дх^о предел по определению равен производной sin'(x) \х^а- cos а. sin/ ^ /—>0 ^ 3. lim X sin-= lim = 1. Х-»+вв arcsin ах 4. lim х-^О ^ !■ Г arcsin ах v = lim ----------------= lim arcsin ах х->0® х->0 . Пусть t = arcsin ах, тог- да ах = sin< и lim-^ = а. t^O sin/ 207 5. Предел равен -S^js. Для вычисления используем определение производной и - tg"(a). Ддг->0 Д;с->0 Дх Тогда tg[y + 2xl-tg| ^ (f«) 4f-) *-.v^ , . 2п -+^l-tgy lim-------------------- x^o ^ _ 4.^/,/2л^ _ 2sinx I ~ L=| ^ ,(2k 'l , ,2k lim x->0 = -8д/з. Вариант 2 gSinSx 1 1. ctg2x 1* cos2xsin3x i. 3x я 1. lim , - = lim -T-75---T- = lim — v_>o 2x-cos3x sin2x 2 ~2x" 2. Решение можно свести к вар. 1. Преобразуем исходное выражение sin(^-x)-sin(^-a) sini-g-a) lim—--------------— = - lim ----------— =-cos(f - a) = - sin a. x^a + (->?-o f-(?-“) 3. lim л: sin-= lim^^ = 1, X—>-« ^ /—>0 ^ x->0 x->0 i lim ' x->0 ^ Если принять t = arcsine:, TO л: = sini, и -lim-т^ = O’ t ^0 ^ ® 5. Решение аналогично вар. 1. Предел равен 2(-i) 2L - 8 3^ ■ Задание 5.2, Вычисление пределов Вариант 1 1. Используем первый замечательный предел lim = 1 и как след- х->0 ^ ствие lim ^ = 1. Преобразуем исходное выражение: lim х—>0 ^ X / sinx 3sin3x 5sin5x ,п -.v sin 0 п-1)х ^ _ V ~ ■* г г ... + {ZH — X) /9 „_i'j ^ ) ~ 5х (2л-1)х 1(1 + 3 + 5+...+ 2«-1) = = «2_ 2. Введем t - п - х, тогдах = ^ - я, и предел можно вычислить следующим образом, используя формулу приведения: lim = lim = (-1) sin (г-л) Sint ^ ^ ' sin at , \fl-l ■^a-1 Jim . _L - i\a-l t ->0 at ■■-4 = «(-1) sin t ' 208 = lim 2 = lim • 1-л: 3. lim(l-^:)tg-;p = Ит(1-д:)-----------— ____ 2 ' cos(|(jc-l) + f) х^1-8т(5(л:-1)) ____ = - lim -7^ ~ л:->1 ^sin(-(a;-l)) ^ 4. Область значений функции ^cos | -^| есть промежуток [0; 1], поэтому искомый предел равен нулю, как предел произведения функции, имеющей предел, и ограниченной функции. 5. Используем формулу приведения и запишем -ь 1) = (-1)" - лл), тогда искомый предел вычислим следующим образом: lim (-1)” sin{n ^[n^^- пп) = lim sin-|==i=—= lim(-l)'^ sin—?^= = n-»oo yjn^+l+n n-^oo |l+i V rr = lim(-l)"sin^= lim —3--^(-1)" = lim ■a(-l)".lim — = 0. Л—>oo ^ n-^w — ^ ^ л:—>0 ^ Вариант 2 28ш2л: 48ш4л: ^ sin2x+sin4л:+...+8ш2пд: _ |-^ 2л: 4л: 2л8ш2лл: 2лл: х->0 л:->0 rt Г28ш2л: 48ш4х 2л8ш2лд: 2 lim -------+ — — + ... + -------- x-»0V 2х 4л: 2лл: « • ССХ х-*0 X = 2-1-4 + ...-I-2л = л = л (л + 1). 2. lim = lim = (-1)^ ^а ^ (см. вар. 1). д._^д81пал: д.^Д81пл:/ 3. lim (l + x)tg-^ = Ит(1 + д:) sin 5 л: 2 = lim (1 + д:) lim sin^ д: -» -1 2 cos i(l + x)-.^ ^->-1 sinf(l+^) = -lim-^ = -a. 2->0|sin2 " 4. Так как 0 < J| sin^| < 1, то lim x J| sin^| = 0. V X x->0 ’ ^ 5. lim sin{k= lim(-l)” sin{n^jn^- 1 - nn) - = lim (-1)" sin-r - = lim (-1) sin ^ ■ ^jn^-l + n Л->“ = lim(-l)'*-^ sin^ = +1 = lim(-l) Л-1 Л_____n = lim(-l)"-^-^^lim-^^=0. Л 2-^0 ^ 209 Задание 5,3, Непрерывность тригонометрических функций Вариант 1 1. а) Нам известен первый замечательный предел lim = 1. В слу- jc-»0 ^ X/ Ч I sin X 1 1- Isinxi 1 m _ чае f(x) = ------ имеем hm ------^ =-1. Так как предел справа не ^ дг—>0-0 ^ равен пределу слева, функцию f{x) нельзя доопределить до непрерывной в точке jc = 0. б) fix). tgAT-sinA: _ sinx 1-С08дг_ sinx (l-cosx)(l+cosx) _ вшдг l-cos^x _ x'^cosx(1+co8A:) д:'^со8х(1 + созд:) 1 со8д:(1 + со8д:) . Тогда lim f{x) = lim .3, x->0 Л_____= 1.1 = 1. x->0 2 2 lim Функцию можно доопределить в точке л: = 0, положив /(0) = 2. l-cos'^a: _ (1-со8д:)(1+со8д:) = 1 + созл:, если 1 - созл: ^ 0, COSX 1-С08Д: 1-COSX Точки разрыва функции определяются из уравнения l-cosx=0, cosx = l, x = 2nky keZ, Функцию f{x) можно доопределить до непрерывной следующим образом: f{x) = 1 + cosx. 3. /(0) = - 1, /(l) = 7. Функция непрерывна и на концах отрезка [0; |], ее значения имеют разные знаки. Поэтому на промежутке (0; |) существует такое Xq, что /(JCo) = 0, то есть существует корень. Выясним, является ли функция f{x) на отрезке [0; |] монотонной. о Обозначим f=sinA: и рассмотрим функцию ^(t) = 3t +5^-1 при [0; 1]. Производная этой функции g'{t) = 9f^+5 положительна, поэтому g(t) возрастает. Возрастает также и f(x) и, следовательно, имеет на промежутке (0; |) единственный корень. 4. Так как | sinx| < 1, для определения множества значений функции f{x) можно вычислить множество значений функции ^(0 = t^+ at + 1 при -1 < i < 1. Наименьшее значение функции g(t)y которая является 2 квадратным трехчленом, в точке tQ = ~~j равно 1-^, Надо рассмотреть все случаи расположения точки и промежутка [-1; 1] на числовой оси t. Если ^o = “ f < “ 1» то наименьшее значение есть наибольшее значение есть ^(1); если = ~ f >1» то наименьшее значение есть ^(1), наибольшее значение есть если =“ (" 1; 1)» то наи- меньшее значение есть наибольшее значение равно ^(1) или ^(-1) в зависимости от знака числа а; если iQ = -^=-l, то 210 наименьшее значение ^(^о)» наибольшее значение g^(l); если tQ = ly то наименьшее значение ^(^о)» наибольшее значение ^(-1). Вычислив эти значения, запишем решение задачи: если а < - 2, то множество значений функции f{x) есть [2 + а; 2 - а ]; если а>2, то [2 - а; 2 +а]; 2 если 0<а<2, то[1-^; 2 + а]; 2 если -2<а<0, то[1- 2 - а ]; если а = ±2, то [0; 4]; если а = 0, то [1; 2]. 5. Для любого дгть о выполняется неравенство sinx0. Последовательность (а„) ограничена и монотонна, поэтому имеет предел. Пусть он равен а, тогда а = sin а, а<1. Откуда следует а = 0. Вариант 2 1. а) Так как lim = 1, го Ит = 1, Ит = х—>0 ^ х^О + О ^ х->0-0 ^ -1. Так как предел справа не равен пределу слева, функцию f(x) нельзя доопределить до непрерывности в точке х = 0. б) Функция f{x) не определена в точке д: = 0. Рассмотрим предел функции в точке д: = 0. Ит —= -2, так как в вар. 1 Ит = ~. x^Qsmx-tgx ^ 2 Функцию f{x) можно доопределить в точке д: = 0. 2. Точки разрыва определяются из уравнения l-sinx=0, то есть х = |+ 2яй, ft е Z. Пх) = -^ = i=^ = |1+ sinjf, 2 1-sinx 1-sinx [l-sinx?t0. Функцию fix) можно доопределить как l+sinx. 3. /(0) = 7, /(l) = -1. Функция fix) непрерывная и принимает на концах промежутка значения с разными знаками, поэтому она имеет корни на промежутке (0; |). Как в вар. 1, можно показать, что функция fix) монотонна на [0; ^], поэтому на промежутке (0; f) корень единственный. 4. Задача решается аналогично вар. 1. Если а>2, то множество значений [2 - а; 2 + а]; если а < - 2, то [2 + а; 2 - а ] ; 2 если 0<а<2,то[1-^;2 + а]; 211 если -2 < а < О, то [1 - 2 - а ]; если а = 0, то [1; 2]; если а = ± 2, то [0; 4]. 5. о < sin2 < 1, тогда выражение можно записать как lim sin sin sin...sinb (n синусов), где b = sin2 < 1. n —><» Как доказано в вар. 1, этот предел равен 0. Задание 5.4, Производные тригонометрических функций Вариант 1 /l-cosx^^ — sinx(l+cos.r)-(l \l + cosx) ~ a + oos - созд:) (-sin х) _ 2 sin а: cos;c)‘^ (l+cosa:) 2’ ' i Я & 2. Экстремальные точки определяются из уравнения g'(y) = 0; так как g'iy) = - Л cos-^, то надо найти корни уравнения cos- = 0. Полу-у У У чили,чтоя1/ = ^ + nk,keZ,nnny = AeZ. В этих точках произ- водная равна нулю, при переходе через эти точки знак производной меняется. На промежутке [1; +°о) функция имеет одну экстремальную точку У = 2. 3. функция h (z) имеет производную в области определения. Так как она возрастает в точке 2 = 1, то производная Л'(г) в этой точке неот- рицательна. h'(z) = - -, поэтому Л'(!) = -—^> о. Производная не может равняться нулю, так как числитель обращается в нуль при а = 0, но при этом равен нулю знаменатель. Решим нера- /I л f а < о, венство----^^> о, оно имеет следующее решение < Sin^a [ а Ф nky keZ. Пусть ае{а<0; аФпк, k^Z). Проверим, возрастает ли функция в любой натуральной точке 2 = л, neiV. Значение производной в такой точке Л' (п) = - —f—. Условие возрастания------------------f— sin'^an sin'^a/i Ilk >0, откуда имеем а < 0, an Ф nk, ke Z, или аФ a <0. Значит, в любой натуральной точке функция возрастает, 4. Используя разность квадратов вида (а”-6”)(а”+б'*), x{t) можно переписать так: (sec^i + tg^f) (sec^f + tg^t) (sec**^ + tg*^f)- • *(sec®^^ + tg**^^) = 212 —----(sec^^-tg^^)(sec^^+ tg^^)(seA + tg®0 ... (sec®'^t + tg®'*i) = h - t^t (зеЛ-tg®0(sec®i + tg®i) ... (sec®'^i + tg”^i)=...= *64. «128 cos*^®/ (1-sin^O 1-Sin^2^ COS'28^ ■tgl28^. X'{t) = = 128 COs'28( sini sin.^^4 - (tgl28^)^=-----1||_ . (_ sinf) - 128tg^2^f = nl27* C0S^29^ 1 I ol29, 128 cos*"/ sin / - sin^^^/ COS>29( cos / X'= -128= 256(1 -2®®). (*) 5. Например, f{x) = |(л: - sinx - cosx). Вариант 2 2 __ cosy(l-siny) + (l+sinjr) cosj: _ 2cosx \l“sina:/ (l-sinj:)^ (l-sinx)'' nf) = - l-f)‘ 2. Так как g'{y) = - sin-, to экстремальные точки определяются из у уравнения sin- = 0, решения которого у = т, /eeZ\{0}. Корни у л уравнения действительно являются точками экстремума, так как в этих точках производная меняет знак. На промежутке [1; +оо) функция имеет одну экстремальную точку у =1 (при k = 1). 3. Функция igaz определена в точке 2 = 1, если аг | + лА:, k^Z, то есть | + ksZ, Так как при этом функция имеет производную, то из условия убывания в точке 2 = 1 следует, что производная в этой точке неположительна: Л'(2) < 0. Производную нетрудно вычислить: h'(z) = —|—. Она неположительна в точке 2 = 1, если cos'^az а <0, л I + TiA, ksZ. Функция убывает в любой натуральной точке 2 = л, wgTV, еслиЛ'(л) = - —<0, то есть при а<0, keZ . \R^an ^ Л П 4. Задача решается аналогично вар. 1. x(t) можно записать так: х(0 = sin*"/ 213 Тогда производная подставляя t = вычисляем = 256(2®^ - 1). 5. Например, f{x) = ^{х + sinx cosx). Задание 5.5. Производные тригонометрических функций Вариант 1 1. Сначала найдем точку, в которой пересекаются графики функций, гдetgx = ctgar. Не решая уравнения, из табличных значений можно определить, что корень в первой четверти х-^. Напишем уравнения касательных к графикам функций в точке х = ~. Для у = tgx: У = ^ё (т) + —“ ■?)» после преобразования у = 1 - ^ + 2х. cos2[|j Для у = ctgx: Z/ = 1 + I - 2д:. Тангенс угла наклона а в точке х = ~ касательной к графику тангенса равен 2. tgct=2, тангенс угла наклона Р касательной к графику котангенса в точке x=j равен -2. tg Р = - 2. Вычислим тангенс угла между касательными: tg(Р - а) = tg|3 - tg а l+tga- tgp 2. y' = (cos(arcsinx)y = sin^arcsinx)' = (-^1 - x^Y = -- = Тогда угол между касательными равен arctg|-. У = “ 71^ (/г?) i--.тогда (1-х^)у"-ху'+ у = - ■ Д-"С-,. + + ■ + cos(arcsinx) = у ^ 1-х^ +^j 1-х^ = 0. 3. Функция у = sin ах всюду имеет производную. Поэтому, если она возрастает на [0; 1] и убывает на [1; 2], точка х = 1 является точкой максимума, в которой у'=0, то есть acosa = 0, откуда имеем а = ^ + nk^keZ. Тогда i/' = (f + nk) • cos(^ + nk)x, число k найдем из условия у' > о, хе(0; 1), 1/'<0,хе(1;2). Это условие выполняется только при ft = 0. Значит, а = |. 214 4. Функция t + cost непрерывная с множеством значений (-«>; +°°). Значит, при любом k существует такое io, что +cos^o= /е, то есть уравнение имеет корень. Докажем, что корень при любом k единственный. Рассмотрим исходное уравнение в виде cost = k-t. Правая часть уравнения — прямая с тангенсом угла наклона, равным минус единице (рис. 109). Косинус имеет непрерывную производную, равную минус синусу, поэтому тангенс угла наклона касательной к графику синуса меняется от -1 до 1. 45° Рис. 110 Множество углов наклона можно представить следующим образом (рис. 110). Предположим, что график косинуса пересекается с прямой y = k~t в двух точках А и В (см. рис. 111). В некоторой точке С дуги АВ угол наклона касательной к графику равен 135° (tgl35°= -1), в этом можно убедиться параллельным переносом прямой АВ до касания с дугой АВ. Тогда на дуге АВ найдутся точки, в которых угол наклона касательной меньше 135°, значит, тангенс угла меньше -1. Но этого быть не может, значит, прямая y = k-tue может пересекаться с графиком косинуса в двух точках. Уравнение имеет единственный корень при любом значении k. 5. Так как функции четные, для определенности рассмотрим л: > О, Углы наклона касательных к параболе определяются из уравнения tga =2 адг0, Xq — абсцисса точки касания. Углы наклона касательной к графику косинуса tgai- sinxi в точке Xj. Для Xq^O а (xq) меняется от О до Для любого Хх > О имеем а х е [--; . Ясно, что для любой касательной к графику косинуса с углом наклона [0; найдется параллельная касательная к параболе (рис. 112). Пусть а >0. Уравнения касательных: t/x(x) = 6 + tga-х, У2(х) = bi + tgai-Xy где л b = axQ- tga • Xq, Ьх= - cosxx- tgax • Xx. Пусть a = ax, для совпадения касательных достаточно, чтобы л Ь=: bi <=> axo“tga Xq- -cosxx-tgax-Хх ^ axo - 2axo + cosxx + 2axoXx = 0 <=> uxq - 2axoXx- cosxx = 0. Решение этого уравнения Xq = Xx + -^xf + Для любого a можно подобратьXx так, чтобы дискриминант уравнения был больше нуля. Xq и Хх, связанные полученным соотношением, лежат на одной касательной. Итак, общая касательная существует. Можно показать, что касательная существует и при а<0. Вариант 2 1. Одно из условий пересечения графиков функций: tgx =ctgx, откуда имеем tg^x = 1 и, так как угол в четвертой четверти, tgx = -1, X = - Уравнения касательных в точках пересечения: У = tg("- ~"т)» 4 У = ctg("“ --------(х + 216 После преобразования: [у = -l + ^ + xiga. где tga=- Ц = 2. tgP = - Г = -2, [у = -l-| + XtgP, — V 4/ -- V 4/ аир — углы наклона касательных. Угол между ними р-а. tg(P - а) = Значит, угол между касательными l+lgOC-tgp о Р-а =arctg|. 2. ц'= cos(arccosx)-pi= =--р=£=г, у" = = --,=J=. ^ i д/l^J ^f(ГW Подставим в исходное выражение: (\~х^)у"-ху'+ у = + + sin(arccosx) = V(l-x2)3 7l-:c2 = -iJx^-1 + -}J 1-cos^(arccosx) = -^Jx^- 1 + -Jl + x^ = 0. 3. Вычислим производную у' = (cos ax)' = - a sin ax. Так как производная непрерывна, то для выполнения условий задачи достаточно, чтобы производная у' была положительной на [1; 2] и отрицательной на [0; 1]. Значит, в точке х = 1 производная у' равна нулю. -asina = 0, a = nk, keZ. Проверкой убеждаемся, что условию удовлетворяют а = ±п. 4. Задача аналогична вар. 1. Решение единственно при любом k, 5. Случай а < о дает ту же картину, что и вар. 1 (рис. 113). Рассмотрим а > 0. Углы наклона касательных tgа =2 axQ, tga^ = -sinxj. Касательные yi=b + 2aX(^j y2 = bi~ sinx^-x. Еслиа =aj<=>2axo = -sinxi, для совпа-дения касательных достаточно, чтобы b = <=> -axo=cosxi-2axo*A:^i, откуда ах\- 2axoXi + cosxi = 0. Решение XQ = Xi+^xf ^ существует для каких-то Хь Общая касательная существует. 217 Задание 5,6. Графики тригонометрических функций Вариант 1 1. а) График у = |0,5 - 2 sin(0,5x - 1)| (рис. 114). б) График у = sin^x +cosx (рис. 115). в) График у = sin(cosx) (рис. 116). Рис. 114 Рис. 115 218 2. Для всех X е (0; 0,5я) левая часть уравнения tg л: > 0. Определим, ка- о кие значения принимает правая часть уравнения -Ьх + 10х - 4,5. Нетрудно решить систему [хб(0; 0,5л) -5д:‘^+10л:-4,5<0. Этол:е(0; 1--^]U[1 + -^; 0,5я). тДо 4То' На этих промежутках уравнение не может иметь решения, так как левая и правая части уравнения — числа разных знаков. Остается промежуток д:е(1--^=; 1 + -^). .уТо<3,2, откуда следует, что l-^>0,68>|.tg| = ^>0,57.TaK как tgx возрастает с ростом х на промежутке [0;|), левая часть уравнения при д: е (1 - ; 1 + ^=) больше 0,57. Правая часть уравнения не может быть больше 0,5, так как наибольшее значение квадратного трехчлена при х = 1 равно 0,5. Уравнение не имеет корней на рассматриваемом промежутке. В заключение можно привести графики левых и правых частей уравнения (рис. 117). Вариант 2 1. а) График у = |2cos(0,5x + 2) - 0,5| (рис. 118). б) График у = sinx н-соз^д: (рис. 119). в) График у = cos (sin д:) (рис. 120). 219 Точки пересечения с осью X Рис. 120 2. В уравнении сделаем замену t = -x, тогда ^е(0; 0,5я), -tg^ = 5i^-10^ + 4,5 или tgt = -5i^ + 10t-4,5. Это уравнение не имеет решений на промежутке (0; 0,5я) (см. вар. 1). Следовательно, исходное уравнение тоже не имеет решений на (-0,5я; 0). Задание 5.7. Интегрирование тригонометрических функций Вариант 1 1. Интегрируем исходное равенство: f"{x) = J (cos^ + sin|) dx =2 sin-| - 2cos^ + C. Тогда f\x) = J(2 sin|^ - 2 cos^ + C) dx = - 4cos^ - 4sin-| + Cx + Cx, f(x) = - 8 sinf + 8cosf + Cx^ + Qx + C2. 220 Для определния неизвестных С, Cj и С2 надо иметь три условия, но в условии задачи их всего два, поэтому однозначного ответа нет. иЪп 0,5л 1,5л 0,5л 1,5л 2. J|cosj:|dx= Jcosxdx- jcosxdx= sinx | -sinx \ =2 + 2 = 4. -0,5л -0,5л 0,5л 0,5л 3. в интеграле можно сделать замену t = tg у, dt = —^dy, тогда иско- J соз^у мый интеграл равен [ „ =-^ arctg-^. Так как при д:е(0;5) J 2 + г V2 л/2 ^: Зравносильно . 008*^^ COS^/ >2(1- cost)j последнее 4sin^ 1 cos^ ^ .2t равносильно - -> 4sin^4> и, значит,—г^>1. Этонеравенст- ВО верно при ie (0; |). Таким образом, производная левой части неравенства больше производной правой части. Производные положительны, поэтому при f е (0; |) левая часть исходного неравенства больше правой части. 4. Обозначим углы треугольника как аир. Пусть О — центр описанной окружности. Тогда, если R — радиус этой окружности, то OA=OB = OC = R = \. Тогда стороны треугольника равны с = 2 Лзш60° = .уЗ, а = 2i?sina = = 2 sina ,b=2R sin p = 2 sinP. Периметр треуголь-1шка P = ^ + 2sina+2 sinP, где p = 120°-a. Тогда P = ^ + 2(sina + sin(120°-a)). Рассмотрим периметр P как функцию от угла а. Так как Р(а) имеет производную, то в точке наибольшего значения Р'(а) = 0. Рис. 125 P'(ot) = 2cosa -2cos(120°-a) = 0, что равносильно sin(60°-a) • sin б0°=0, откуда имеем а = 60°. Наибольшее значение периметра Р = 3^. 5. Уравнения касательных к графику исходной функции в точках с абсциссамих = ^ их- - ^ соответ— ственноу=2~п + 4хиу-2-к - 4х. Фигура симметрична относительно оси OY (рис. 125). Пло-1цадь фигуры равна п п 4 4 S = 2 f (зес^л: - 2 + я - Ах) dx = 2\ — 2 -ь я - Ax)dx = J •' соз^д: о о п Л л 4 4^4 _2 _2 = 2tgx I +2(я-2)д: | - Ах^ \ = 2 + ^^я--^= ^-я + 2. 6. Пусть графики у = asinx и у = ^cosx пересекаются в точке Xq, п у 2 азтд:о= -^cos^q. Тогда искомая плош,адь5 = J asinxdx-^-^^cosxdx. о Xq Экстремальные значения площадиS(а) можно определить из усло- вия 5д=0, что равносильно условию J asinxdx + ^^cosxdx хо = {а- acosxo + - - -зшлго)' = О, откуда имеем й Q I д l-COSATo + asinoro * ^б| а“ Л ” д COSATq ‘Xq\^= о, Xq\ *(asin;co--cosa:o) + 1-cosjco- ^ + -~sinxo = 0. I fl 0 or Так как Xq удовлетворяет условию a sin jcq = -^cos^q , to последнее равенство можно записать так: (а^- 1)(1-(а^+1) sin^:o) = 0. Это равенство может быть выполнено при а^-1 или 1 - (а^+1) sin Xq = 0. Так как а>0, то а=1. В этом случае экстремальное значение площади S = 2-^. Из второго уравнения sinxQ = -^, изопределения Xq 225 sinjcg Имеем систему iS^Xo=-^. /1^ Подставляя из пер- вого уравнения sin л:о второе, имеем или (а^+1)^= а^+ 1. У этого уравнения нет ненулевых решений. Значит, экстремальное значение площади для одного случая a = lS = 2- у[2 . 1 7. Рассмотрим интеграл яJ sin пхdx, приближенное значение которо- 0 л-1 го по формуле левых прямоугольников равно - ^sin—. Предел ” А = 1 ” 1 1 ЭТОЙ суммы при п—равен я[sinnxdx = - cosяд: | =2. п о 1. Вариант 2 f(x) - ctg X • cosec X = —5— sin^x . Г(:с) = ^ + ^, = Под- „_о „ ЯШ IT sm X sin X ставляем эти значения sin X в уравнение. и оно примет вид ^X+COS'^X + 6COSX + 1 = 0. На промежутке [0; я] функция в числителе уравнения меняет знак с «+♦ на Значит, числитель имеет корни. Так как корни не равны я/е, keZ, при которых sinx обращается в нуль, исходное уравнение имеет решение. 2. График этой функции приведен на рис. 126, Точки пересечения с осью абсцисс те же, что и в вар. 1. Отметим, что рассматриваемый график получается из графика вар. 1 отражением относительно оси У. 3. Верно. Можно доказать аналогично вар. 1. Можно и следующим образом. Рассмотрим разность между левыми частями равенства 226 второго и первого вариантов. Она равнаtgi- sint, но на промежутке (0; 0,5я) tgt>sint, поэтому левая часть рассматриваемого неравенства больше на промежутке (0; 0,5я) левой части неравенства вар. 1. Так как в первом варианте неравенство верно, то и рассматриваемое неравенство верно. 4. Стороны треугольника (рис. 127) равны a = 2sina, 6 = 2sinP, с = 2 sinl20°=V3. Периметр треугольника равен Р=2 sina + 2 sinр +>/3, Р(а) = 2 sin а + 2 sin (60 а) + л/З. Экстремальная точка определяется из условия P'(ot) = 2cosa - 2cos(60°-a) = 0. Откуда следует 30°-а =0, а =30°. Наибольший периметр равен Р = 2 sin 30°+ 2 sin 30°+ л/З = 2 + л/З. 5. Для y=cosec^x-—^ делаем замену переменной t = x-~, тогда sin^ X ^ У (0 = = sec^ t, а координаты точек касания t = - = Задача cos'* t 4 4 свелась к вар. 1. Значит, искомая площадь равна 6. В этой задаче можно заменить параметр а (а>0) на д» тогда условия имеют вид у <-^cosx, у< ап sin д:, у>0,0<д:<0,5л. Задача «о свелась к вар. 1. Экстремальное значение площади равно 2-^. п - I п 5^ cos 7. lim к = 1 kn 2п 2л = I Jcos-ydx = l. Тема 6 ТРИГОНОМЕГРИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Задание 6J. Уравнения и неравенства для тангенса и котангенса Вариант 1 1. а) Уравнение можно привести к виду упрощая, получаем 227 2 cos^ X cos2x=0, sinx^O, cosx^O. [sinx^O Решение системы: x = -?, x = ^, x = ^, x = ^. 4 4 4 4 6) Уравнение равносильно системе ftgi/-a = l-tgj/, tgJ/ = 4^, упрощая которую, имеем ■{ 2 l-tgi/>0, [tgi/2. Но п правая часть уравнения 2-tg ^<2, И так как левая и правая части уравнения не равны 2 при одних и тех же t, то уравнение не имеет решений. 2. а) tgx(tgx -1) >0. Решаем это неравенство: хе(-| +лА:; - ^ + nk)[J(nk; | + лАе). б) Область допустимых значений определяется из неравенства tg^x+tgx-2>0, которое можно записать как (tgx - 1) (tg^ X + tgx + 2) > о. Так как при любых х квадратный трехчлен относительно tgx больше нуля, то допустимые значения определяются из неравенства tgx > 1. При tgx > 1 левая часть неравенства тоже неотрицательна, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству (tgx - 1) tg^x + tgx - 2 <=> (tgx - 1) (tg^x + 3) > 0. Откуда имеем tgx - 1 > 0. Значит, исходное неравенство имеет решения tgx>l, хе(|; |)U(^; “). 228 1. а) Уравнение перепишем в виде Вариант 2 cos sin2x sin д: cos2x = 0, решения которого определяются из системы cos ^ д: _ Q cos2x“ * ЭТО л: = |, л:- 2 Зя sinx^tO, б) Решения уравнения удовлетворяют условиям fctgi/-l = a-ctgz/, fctgi/ = -2fi, \ откуда имеем 2 [ctgi/>l, [ctgy>l. (a + l) Решения существуют только при а > 1 и равны у = arcctg ^ ksZ. в) Аналогично вар. 1 уравнение не имеет решений. 2, а) ctgx {ctgx -1) < о, откуда имеем 0 < ctgx < 1, то есть xe{^-^nk; | + яА), k^Z. б) Область допустимых значений определяется из неравенства ctg^A: + ctgx - 2 > о. Разложив на множители, приходим к неравенству (ctgx-l)(ctg^x+ctgx+2) >0, которое равносильно неравенству ctgx>l. При ctgx>l левая часть неравенства неотрицательна, и исходное неравенство можно заменить на (ctgx-1)^l, хе(0; -|)U(^; ™). Задание 6.2. Уравнения и неравенства для синуса Вариант 1 1. а) Уравнение равносильно совокупности двух систем ^ sinx = 0, sinx^tl, fcosx=0, [sinx 5^1, решая их, находим корни на промежутке[0; 2я],х = 0,х = я,х = |я, х = 2я. б) Так как каждое из слагаемых в левой части уравнения не может быть больше 1, то уравнению удовлетворяют только такие х, при которых одновременно 229 sinx = l, sin 3x = 1, откуда имеем sin 7x = l, x = ^ + 2nky keZy 3x=^ + 2nly l^Zy 7х = | + 2я/тг, meZ, x = ^ + 2nk, x = l + ^, k,l,meZ. x = — + ^ 14^ 2nm Необходимо определить такие k, 1, m e Z, чтобы значения x при этом были равны. Приравнивая выражения, получим l + 2ft = i + f, f 2l = 6k + l, ЧТО равносильно < 14.2/=Х + 2т Зт = 7/ + 1. 6 3 14 7 ’ в первом уравнении в левой части четное число при любом I, а справа нечетное число при любом k. Это означает, что целых чисел Ink, удовлетворяющих системе, нет. Следовательно, исходное уравнение решений не имеет. в) Нетрудно определить, что sinx = nk, keZ. Из этого уравнения получаем sinx=0, то естьх = я/, leZ, 2. а) sin^2x-j<0, что равносильно (sin2x-^)(sin2x+|)<0, то есть -| siny-1 или (2у-1)^> siny-1. Так ка то любое у — решение. (2у-1)^> siny-1. Так как при любом у (2у-1)^>0, а siny-l<0. Вариант 2 а) Исходное уравнение равносильно совокупности систем |sinx=0, [sinX5-0,5, поэтому в этом О О О случае нет решений. Случай -0,50,5, cost = ^<0,5 тоже нет решений. Значит, исходное О уравнение не имеет решений. в) Это уравнение имеет решение только при а>1. cosz = ±-t, ■Ja 2 = ±arccosj^±^j-b2nft, keZ. 2, a) Неравенство нетрудно привести к виду ^cos --- ^j |^cos ■- j > 0, л/з Js которое имеет решения cos^>^ либо cos^<-^. Решая первое неравенство, находим д:е^-у + 8яй; ~ + keZ. Решая вто- рое, находим д:е^-^ + 8я/е; ^ + 8я/г^,Й€^. На промежутке[0; 2я] исходное неравенство имеет решение д:е [0; Щ . о б) Квадратный трехчлен относительно cosy cos^y-cosy-1 неотрицателен при cos у < ^ , неположителен при cos у > ^ . А ^ 231 в первом случае решаем cos*^ I/- cos I/-1 > cos у, [cosi/ О, cosy cos у, ->[Е +1 cos'^y^^^2--• 2 -у[2 sin{z-ф, TO уравнение можно записать следующим образом -у[2 sin (2 - j) = а ф=> <=> sin(2--|) = ^. Получили простое уравнение для синуса, которое надо решить на промежутке [0; 2я]. После замены переменной t= z-~: то и уравнение sint=:-f=. 4’ 4 • График у= sin^ на рис. 128. 42' Длина промежутка [- равна 2тг — периоду синуса. Уравнение sint = -^ имеет единственный корень, если ^ =±1 <=> а =±^. Задание б.5.Уравнения для всех тригонометрических функций Вариант 1 1. а) Уравнение равносильно совокупности tgx^-1, x^t|, хе[0; я], sin2x=0, tgx^-1, Х5<ь|, хе[0; я], cos3x=0 х=0, х = я, ХФ 2* ■ Л 6' , 5я 6 х=0, х = ^ ^ 6’ 6’ х = я. 234 б) Исходное уравнение равносильно системе fsinx>0, fsinx>0, sin^jc + sinx ■ cosx -1 = 0 sin X |sinx>0, fsinA:>0, <=> sin л: - cos л: -cos^x = 0 I cosx (sinX- cosx) = 0. [ sinx>0, [cosx =0, sinx>0, tgx = l x=|+2nfe, x = ^ + 2nk. k^Z. b) Уравнение равносильно системе 1 + cosx ^ 0, sinx^tO, <=> 9 9 cos X(1 + cosx) - sin x(l + sinx)= 0 cosx Ф -1, sinx ^ 0, 9 9 (1- sin x)(l+cosx) -(1-cos x)(l + sinx) = 0 <=> cosx?t -1, sinx 9^0, (1 - sinx)(1 + sinx)(1 + cosx) - (1 - cos x) (1 + cosx)(1 + sinx) = 0 cosx Ф -1, sinx?t0, <=> (1 + sinx) (1 + cosx)(1 - sinx -1 + cosx) = 0 cosx^t -1, sinx^tO, (1 + sin x) (1+cos x) (cos X - sin x) = 0 sinx = - 1, tgx = l х = -| + 2я/г, x = ^-\-nk, keZ. 2. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно tgx, для того чтобы оно имело решение, необходимо, чтобы дискриминант был 9 9 9 9 9 неотрицательным: D= 4а cos 4х- 4а >0 <=» 4а (cos 4х- 1)>0, Так как cos'^4x0 <=> а = 0, cos^4x = 1 а = 0, х = -^, keZ. Если а = 0, 235 решения tgx=0 существуют. Если а^Оид: = ^ (А=2л + 1), подстановкой проверим tg2|(2ra +1) + 2а tg(|(2n +1)) (-1) + а^=0^ <=> l-2atg(-| + |a) +а^ = 0 <=>1±2а + а^ = 0<=>а = ±1. Это означает, что при а-±1 решения существуют. Итак, искомые а = 0, ±1. Уравнение запишем в виде sinx-cosy _ _cosx) = о <=> (sinx -созд:)^-^^— а^= 0. COSX ' ' \С08д: / Ясно, что при любом а имеется решение з1пд:- созх = о tgx=0 <=> x-^ + nk, keZ. Учитывая, что д:е[0; 2я], решение х-~, х = Другие решения возможны из уравнения - а = 0. Если а = 0, оно не имеет реше- ний. Если а^О, его можно записать созх=-^, откуда ясно, что при А<1 имеются решения. А<1^|а|>1. Решение д: = ±агссоз-. 1а| ^ \а\ ' ' а Подсчитаем количество решений. Если а = -^2, то в решении х = ± arccos^, одно решение д: = агссоз^ = ^ повторяет одно из ранее полученных решений. Если а = - решениях = ^ тоже повто- ряются. Поэтому число решений следующее: 1) а=0, два решения; 2) а = д/2, три решения; 3) а = - -/2, три решения; 4) I а|<1, два решения; 5) 1 а|>1,| a\^^f2 , четыре решения. График числа решений п приведен на рис. 129. Вариант 2 1. а) Решения х = -|, х = |, х = ^. б) Исходное уравнение равносильно системе [созх>0, [cosjoO, \i + tgx = l + tgh. 1 + tgx 1 [cosx>0 |tgx = 0, fcosx>0, |tgx = l о 236 x = 2nk. ksZ. x~j + 2nk, b) Уравнение равносильно системе sin^x (1 + sin x) - cos^x (1 + cos x) = 0, sinx^*- 1, cosx^O <=> (cm. вар. 1) 4=> (1 + sinx)(1+cosx)(cosx - sinx) = 0, sinx?t-l, <=» cosx 9^0 х = -5 + я/е, , „ 4 keZ, х = я + 2л/е, 2. Уравнение имеет решения при а=0, а = ± 1. Решение аналогично вар. 1. 3. Если заменить X на-X, уравнение сведется к вар. 1. Количество решений при соответствующих а то же, что и в вар. 1. Задание 6.6. Неравенства для всех тригонометрических функций Вариант 1 1. а) Исходное неравенство равносильно следующему; [cosx^O, x?tf, хе[0; я], ->0фФ^ sin л: фф (так как sinx >0) , , cos^xsin4x I V >0 [ sin 4 д: sin4x ‘ ХФ^, X6[0; Л], «»:E(0;f)U(|;f). sin 4x > 0 б) Если a = 0, TO неравенство сводится к cos2>0, тогда ze[- ^ + 2nk; ^ + 2nk]ykeZ. Если a = l, TO (cos2-l)^<0 <=> cos2 = l ф=> z = 2nk, k^Z, Если 0< a<1,TO неравенство равносильно a(cos2-a)(cos2-^)<0, так как a >0, cos z - <0, to cos z - a >0 <=> cos z > a. Следовательно, Z6 [-агссо8а + 2яА; агссоза + 2яА], keZ, в) Пишем равносильное неравенство: | sinx-^^| > sinx, следовательно, I sinxil > sinx. На указанном промежутке неравен- >sinx Ф=> 1-cosx >cosx <=> 0 где Ае Z. Так как cosx ->0 при х то для любого k в некоторой окрестности X =1 неравенство верно. Это означает, что существуют решения этого неравенства. 3. Нет, например, если угол ж г <^, то может быть такое а < 0, что b=sinz> а, c-cos20, тогда 2G [- | + 2яА; | + 2лА], AgZ, о Если а=-1, то решение из неравенства -(cos2 + 1) <0 ^ zeR. Если -1<а<0, a(cos2-a)(cos2-^)<0. Таккаксоз2-^>0 иа<0, то cos2-a>0 <=> 2G [-агссоза + 2яА; агссо8д + 2яА], AeZ. в) Неравенство равносильно следующему] sinx|| - 1 + > “ sinx, следовательно, (-sinx)(^^-l)>-sinx <=> 1 >1 «=> 0l, и если х>0, то оно равносильно <=> ^ sm д: 4 <=> -г^<т + А, AeZ. Если х—>0, то sin дс 4 sinx —>0, -4—>. Какое бы малое sinx х>0 мы не взяли, найдется keN, такое, что неравенство верно. Зна- -1 чит, в любой малой окрестности х=0, х>0, существует решение. Не следует. Например, на рис. 131 угол ге(я; ^), COS2 = 0а, sin2 = 6 [ Лд/д:-4 = 2яА, \n^ = 2nlf [я-^х-4 = я + 2я/1, п^[х =п + 2пт k, I е Zy <р=> Пу m^Zy I х-4= 4^*^, к>Оу \х=41^у 1>0у kyle Zy |д:-4=(1 + 2л)^ /г>0, \х = (1 + 21)^, 1>0, Пу 1е Z. Первая система имеет решение, если г= (l-k){l-¥k) = ly сле- 1-к^1у 1 + к = 1 1 = 1, к = 0. Вторая система имеет реше- довательно ние, если 4+(1 + 2п)2= (1 + 20^0 4 = (1 + 20^-(1 + 2 и)2<=> 4=(2 г - 2и) (2 + 2Z + 2п) <=> 0 1= (/-га)(1 + / + л) => Г ^ нет целых решений. [/ + 71 + 1= 1, Итак, х = А — решение {1 = 1ук = 0). б) Рассмотрим тождество sin^x + cosS: = l. Так как |sinx| f sinx = 1, [cosx =0, [ sinx =0, I cosx = 1 * = | + 2A x-2nky 239 2. Решения квадратного уравнения для синуса sinx = - 4, зшд: = 1. Уравнение sinx = 1 имеет одно решение х = | на промежутке [|; 2п], Второе решение из уравнения sinx = 4. Оно должно иметь ров- о но одно решение на[|; 2я]. Ясно, что если значение синуса а - 4 отрицательно, то это значение на промежутке [я; 2я] берется дважды, то есть имеем два решения. Поэтому этот случай не подходит. Если sinx =0 при а^- 4=0, уравнение также имеет два решения. Пусть 1>а^- 4>0 о 4< а^<5 <=> <=> 2<\а\<-у[Ь, График функции 1 y= sinx 0,5 A 0 / / / ^ X \ Рис. 132 Решаем уравнение sinx= Ь {Ь~ а^- 4) на промежутке хе[~;п). Если |< а^- 4<1, то уравнение имеет два решения, если а^-4 = 1 — одно ре- шение = если 0< а^- 4<| — одно решение x = arcsin(a^- 4). При а^ - 4 = 1 решение х = | повторяет первое решение, этот случай не подходит, Случай о < а^-4<|<=>2<| а\<^ дает одно решение, отличное от X = |. При этом исходное уравнение имеет ровно два решения. Итак, при 2 < I а I < -у/4,5 уравнение имеет два решения. {cos 2 > sin 2, откуда 2g[0;3, Другая часть sin 2 <0,5, ” решения определяется из условия cos 2 - sin 2 > (sin 2 - 0,5)^, I cos 2 - sin 2 > sin^2 - sin 2 + 0,25, sin 2 >0,5 [sin 2 >0,5 ^ jcOS^2 + COS2-l,25>0, ^ I (cos 2 + (cos 2 - -) > 0, ^ sin 2 >0,5 ^ ^cos2>4^, ^ I^ Iвш2Ц^24б-3, sin2>0,5 [sin2>0,5 [sin2>0,5. Так как 1>|-^2^-3>0,5, то решение arcsin0,5 0, о te [0; я] sini(a -tg^)>0, а>0, <=> te [0; я] • . 2 asm t cost - sin i cos t a>0, te [0; я] a -tgi >0, a>0, te [0; я]. >0, <=> I igt0, то ^ 2 [^е(0;я) откуда ^6(0; arctga)U(|; я). 4. Пусть а — меньший острый угол (рис. 133). Toгдaa = 6tga — меньший катет, с = —^-------------- ** cos а гипотенуза. Тогда Ь — средний член прогрессии Ь = значит, biga+ ^ » cosa . 1 п О =-----т---<=> tga + —= 2 <=> 2 ® cosa <=> -tga <=> (tga - 2)^ = —L о cosa ' ^ cos-^a \2 Рис. 133 <=> (tga - 2)^ = tg^a -н1 ^ -4tga + 4 = 1 <=^ tga =-| <=> а = arctg|. Вариант 2 1. а) Решения удовлетворяют следуюш;ей совокупности \^x-A = l + 2k, [ С08Я-^ЛГ-4 = - 1, [с08Я^ = 1, I С08Я^Х-4 = 1, [ cos Я -у/х = - 1 [^ = 2я, I д/х-4 = 2т, [ -/х =1 + 2 /, ky neZy ту LeZ 241 |д: = 4 + (1 + 2/г)^ [х= 4п^, [x = 4+4t?i^, lx = (l + 2lf. k, т, п, I > О, k, т, Пу I ^ Z. Для существования решений необходимы условия: 4л^ = 5 + 4/е + 4А:^, 4 + 4т^ = 1 + 4/ + 4/^, для каких-то целых ку т у п у L Нетрудно заметить, что в равенства входят четные и нечетные числа. Так как всего одно нечетное число в каждом равенстве, эти неравенства не выполняются ни при каких целых ку ту п, L Уравнение не имеет решений. б) Аналогично вар. 1 получаем равносильную систему I sin^x= - sin^x, [cos^x= - cos^x, которая имеет следующие решения: sinx =- 1, COSX = -1 X = п + 2пку 2. Уравнение имеет решения. Из квадратного уравнения получаем cosz/ = 4- a^,cos(/ = - 1. Одно решение не зависит от а и определяется из cosy = - 1, у = я. Ясно, что второе решение может быть только при условии -1<4-а^<1 3<а^<5 <=> а\<^. Уравнение cosy = 4-a^ решим, используя тригонометрический круг (рис. 134). По условию уе[-^; 1,5я]. Надо определить такие а, чтобы уравнение cosy = 4- имело ровно один корень в проме- жутке уе[-|; 1,5я]. Если обозначить & = 4- а^, на рисунке подходящее Ь — это &2» ^ ® случае и Ьд уравнение имеет два корня. Ь2^{0; со^{-ф)у то есть Ь2^{0; 0,5). ’Г Откуда о<4- а^<0,5 <=> 3,5 < а^<4 <=> -У^<| а|<2. Кроме рассмотренных случаев есть еще = 1, когда уравнение имеет 242 Итак, условию удовлетворяет один корень. &4= 4- а^= 1 ^ а^= 3, а = ± -/З. При этом корень г/ = 0. а = ±^, п[^<\ а\<2. 3. а) Исходное неравенство равносильно совокупности I sin2(l-ctg 2)>0, sin2-cos2>0, cos 2 - 0,5 < О, 9 ^ sin 2 - cos 2 > (cos 2-0,5) , cos 2-0,5 > о l-ctg2>0, cos 2 <0,5, 2 = Л, sin^2 + sin2-l,25 >0, <=> cos 2 >0,5 |<2<я, 2 = Я, 0<2<|, 2 > arcsin cos 2 <0,5, sin 2 = 0, COS2<0, sin2>cos^2 + 0,25, cos 2 > 0,5 ctg2O, I cos 2 > 0,5 <=> Ve-i Для того чтобы записать окончательное решение, сравним | и arcsin . Так как~ = arcsin^, то сравним^ и <^, то __^ о Z ^ ^ Z 2t есть ^ -1<у[з -/б < 1 + Так как д/З > 1,7 и < -у/6,25 = 2,5, то ^<1 + ^, откуда следует, что arcsinИтак, решение 26 [arcsin ; я]. б) Неравенство равносильно неравенству acos^ + sin^>^^, тогда acosf-sini+sin^f-1 л ocos?-sinf - cos^/ ^ sintcosf/ . .\ л >0 ----Г7Г-:--->0 <=> ——(a-ctgO>0 sinf sin/ sin/ <=> cosf(a-ctgt)> 0, так кaкcos^>0 для te |], to a-ctgt> 0. Если a = 0, то решение te 0). Если a>0, то решение 0)U(arcctga; |). 243 Рис. 135 4. Пусть а — меньший угол, a = btga, с = (рис. 135). Так как Ь средний член геометрической прогрессии, то Ь^= а • с, Ь^= btga • —^ = 1 <=> cosa cosa = 1 <=» sina = cos^a « sina = 1 -sin^a => cos'^a Vs-i . => Sina = —^—, откуда a = arcsin . Тема 7 ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ Задание 7.1, Теорема сложения Вариант 1 1. Функцию можно преобразовать следующим образом: sin (х- я) соз(1,5я+ 0,5х) -8ш(1,5я+ 0,5л:)зш(1,5я- х) ^ зш(1,5я+0,5х) Используя формулу приведения, получим у = cos0,5x cos0,5x cos х+sin 0,5 х sin х ИЛИ, что ТО же самое, у = - ^ cos0,5x в точке J равна нулю: у'{Щ=0, cos0,5x , ТО есть у = 1. Тогда производная 2. Применяя формулы сложения для тангенса, получим для исходного выражения 1- tg^x 3 Stg^x Тогда lim —- ~ I х->0 3x^(3-tg^x) ^х->0 Х^ cos^x (3 - tg^x) 3x2(3-tg2:r) 1_________ 8 3. Уравнение равносильно системе | [ cos 2 у cos ау - cos (а + 2) у = О, sin ау^О, Применяя формулу для cos(a + 2)y, получим cos2y cosay-cosay cos2y + sinay • sin2y = 0, sin ay • sin2y = 0. откуда sin ауфО, ^ \2y = nky k&Zy „ Решения \ Решение существует при любом а, не яв- \ауфп1у leZ. lOt ляющемся четным числом. у = -^, keZ. 244 4. arcsin^ + arccos| = |. Докажем, что при любом [ а | < 1 arcsin а + arccos а - 2* Записав arcsin а = | - arccos а, убедимся, что области значений левой и правой частей совпадают. Действительно, при О < а < 1 О < arcsin О < arccos и0<| - arccos а ^ |; при -1 < а < О -1 < arcsin а < О, | < arccos а <п и-|<| - arccos а < О. При значениях угла -|<а<| равенства arcsin а = а и sina= а равносильны. Поэтому, вычисляя синус обеих частей исходного равенства, имеем ему равносильное sin(arcsina) = sin(|-arccosa), откуда а=а. Последнее равенство верно, поэтому верно и равносильное ему исходное равенство. 5. cos р = cos (а -bp-a)=cos(g -нр) -cosa -f- sin (а + р) • sin а = = i.| + (_^l_cos2(a+P))Vl-cos2a =1 • | Вариант 2 1. Применяя формулы приведения, функцию можно записать в виде 8Шд:со80,5д:-со8ДГ8ш0,5д: sin0,5x ^ о //тг\ л у =--------^—, откуда у= . ' , у = 1. Значит у (т) = 0* ^ 81п0,5х ^ ^ вшПКг» ^ '4^ sin 0,5д: ^ 2. Нетрудно преобразовать исходное выражение (V3 + tgx)(-v/3-tgjc) (i - л/з tgx) (i + -/з tgx) 3-- l-3tg^x Тогда lim = -81im x2{l-3tg2x) ' -= 8. откуда имеем 3. Исходное уравнение равносильно системе [cosaycos Z/- sinai/ sini/-cosycosai/ = 0, sin ауфОу \ sin ay • siny = 0, J y~nk, keZ, [sinay^O, \ay^nn,neZ, Если a = 0, TO решений нет. Если a — целое (a^^O), то у ^ среди У - ~ есть все решения вида у = я^, значит, при целом а уравнение не имеет решений. Уравнение имеет решения у~%ку k^Z при любых нецелых вещественных значениях параметра а. 4. arcsin^ + arccosj = I. См. решение вар. 1. 5. sin р = sin (а -ь Р - а) = sin (а -н Р) • cos а - sin а • cos (а -ь Р) = = 1 • V1 -sin2а -1(±V1 -sin2(a +p)=-i.l±|.i^ = . 5 v 5' Подходит знак поэтому sinP = 5 5”5 5 -4-бл^ 25 245 Задание 7.2. Формулы кратных углов Вариант 1 1. Используя формулы приведения, выражение запишем в виде cos^a cos За + sin^a sin За. Из формул для cos За и sin За имеем cos^a =^ gin^a = , подставив в выражение, получим ^ 3sinasin3a- sm^За ^ 1(соз23а - зЛ)+ + |-(cosa cos3a + sina sin3a) = icos6a+jcos2a=-|(4cos^2a-3cos2a) + + 4cos2a =cos®2a. 2. J f{x) dx = j-y]l- sin 2x dx = j^]cos^x + sin^x - 2 sinx cosx dx = = J -^(cos:c - sinx)^ dx = J | cosx - sinx | dx = J -^21 sin (x - -|) | dx = = -/2 J(- sin (x - -|)) dX = ^ cos (x - -|) + C. Так как i^'(O) = 0, то C = -1. Первообразная F{x) = -/2 cos (x - -1 = = cosx + sinx -1. 3. Область значений функции tgy промежуток (-«>; +oo). Функция arcsin(tgz/) определена при-l2 или а<0, решений нет. 5. nycTbtg5°—^ рациональное число. Рассмотримtg 15°= tg(60°-45°) = _ ^-1 _ Ш~1) — число иррациональное. tgl5°= tg(5°+10°) = i+Vi 2 2tg5° - tgl0° + tg5° _ l-tg^5° " l-tg5ngl0“ “ + tg5“ выраженный через tg 5°, т. e. число pa- ^ 2tg^5° l-tg25“ циональное. Пришли к противоречию. Значит, tg5°— число иррациональное. 246 Вариант 2 1. Упрощаем аналогично вар. 1, используя формулы приведения и формулы тройного угла для синуса и косинуса. Получим, что О исходное выражение равно - cos 2а. 2. |/(x)dx = J^/(sinx"-cosj^rfx= J|sinA:-cosx|dx = = -/2j| sin(x--|)|(ix - -^Jsin(x--|)dx = --/2cos(X“-|) + C. Так как 2^’(я) = 0, то С = -1. Тогда F{x) = -^[2cos{x-ф~l =-cosx-- sinx - 1. 3. Наибольшее и наименьшее значения функции равны -1 и 1 (см. вар. 1). 9 9 I 9 I 4. Уравнениеможнозаписатьввиде(2со8 0,52-1) =1 cos 2-а|, откуда имеем cos^ 2 = | а - cos^21. Уравнение свелось к уравнению первого варианта. Решение то же. 5. Как показано в вар. 1, tg 15° — число иррациональное. Рассмотрим tgl5°= .^*^5Уео* Если бы число tg7,5° было рациональным, число 1 tg I, о tgl5° тоже было бы рациональным, но это не так. Поэтому tg7,5° — число иррациональное. Задание 7.3. Формулы половинных углов Вариант 1 1. Используя формулы cosx-bcos3x = 2cosx cos2x, l-i-cos2x = 2cos^x, sin2x = 2sinx cosx, приведем неравенство к виду 2со8^д: + 2со8х- cos2^: 2sinx- cosx-(-2sinA:- cos2x ^ cosд:(cosл: + cos2x) ^ J- >—^ T ^ > sinx(cosx+cos2x) далее получаем |ctgx о уравнение принимает вид z^- 2-1=0, равносильно — (2-1)^(2 + 1)=0. Оно имеет один положительный корень. При 2<0 уравнение сводится к 2^-2^-1-32-1-1=0. Функция 2^-2^-1-32-н1 возрастающая, в этом можно убедиться исследованием производной 248 32"^-2г + 3, которая при любом z положительна. При z = -l левая часть последнего уравнения равна - 4, при 2 = 0 равна 1, поэтому это уравнение имеет ровно один отрицательный корень. Значит, исходное уравнение имеет всего два корня. 5. Преобразуем 2+cosx = 3cos^-|-(-sin^^ = cos^^(3+tg^^). Тогда dx 0,5п J 2 +cos л: -0,5я 0,5я = J dx dx Сделав замену переменной f = dt = - ^ 2cos2| так: 2}i^ = f J dt 1 2л -1 1 + ^arctgj^l^ S интеграл запишем Вариант 2 1. Используя формулы l-cos2x = 2sin^x, sin3^:-sinx = 2sinx cos2x, приведем неравенство к виду sin^A:+sinx-соз2дг sinx(sinx+cos2at) откуда имеем sinx- cosx + cosx- cos2x tgx Расстояние между соседними нулями равно то есть периоду, поэтому искомая площадь фигуры одна и та же для всех промежутков между нулями и равна J}-~= -f ~иCQS4л:dx = ^sin4д: | =-|. 0 0 ® 2. у(х) = sin (Jc+1) • sin (jc -1) = I (cos 2 - cos 2x). Если х = ±1,тоу{х) = 0. Область значений 1/(д:) отрезок[|(cos2-l); |(cos2 + l)], то есть|£/(д:)|<1. Рассмотрим |х|>1, для этих х ординаты точек на прямой у-х по модулю не меньше 1. Т. е. не может быть таких корней, что|х|>1. Если то ординаты удовлетворяют неравенству -1<у(х)<0. Графики исходной функции и прямой могут пересекаться только при таких X, что 1/(л:)<0, у = х<0. Прихе (-1; 0) функция у{х) убывает, а функция у = х возрастает и у (-1) = 0, z/ (0) < 0. При х = - 1 ордината точки на прямой у = х равна -1, при х=0 у = 0. Графики пересекаются в единственной точке с абсциссой хе (-1; 0) (рис. 140). Рис. 140 3. Преобразуем числитель и знаменатель: cos32cos42 + sin22sin52 = |(cos7a + cos2-cos72+cos32) = = I(cosz + cosЗг) = coszcos22, cos2z + cos 42 = 2cos2cosЗ2. 250 rn C0S2C0s2z л fcOS2^0, СОзЗЯт^О, Тогда уравнение примет вид------------^- = 0» или < coszcosSz |cos2z = 0. Решение: z = ^ + ^tkeZ. 4. J sin^2x соз^Зл:dx = j sin 2x ~ 4+ cos ^ Сделаем замену о о переменной t = тогда интеграл примет вид я ж Интеграл на симметричном промежутке [-1; |] от нечетной функции равен нулю. 5. Используя формулы приведения, исходное выражение можно записать так: -cos5°sin35°sin25°= |cos5°(cos60'’-cosl0°) = ^соз5°-^соз5°соз10°= = -7Соз5°- -7Соз5°--7Соз15°= - -7СОз15°. 4 4 4 4 соз15° вычислим ИЗ косинуса двойного угла соз30°= 2соз^15°-1, /3. cos2i5o=£2!^ = X:i = ^ . Поэтому значение исходного выраже- ния равно -|y^-t-2. Вариант 2 1. Задача решается аналогично вар. 1. Искомая площадь равна Зя Зя Зя 8= jcos^xdx= 11 + соз4j:^^| J4xdx = ~, 2. Графики пересекаются один раз. См. решение вар. 1 и графическую иллюстрацию (рис. 141). 251 3. Уравнение можно переписать в виде - cosTz + созг + соз7г + созЗг зшЗгсозг = 0, от- _ _ C08ZCOs2z л куда получим —^ = 0, или COs2 2=0, sin32^0, созгт^^О. Решение имеет вид 2 = -| + -y,fteZ. 4. Решение аналогично вар. 1. Искомый интеграл равен нулю. 5. Используя формулы приведения, запишем выражение так: -cos5°(- sin35°)(- sin25°). Его значение равно вычисленному в вар. 1 - Задание 7,5, Формулы повышения степени Вариант 1 1. Преобразуем числитель и знаменатель: tff(a+x\ trig - 2sinxcosx ' cos (а+х) cos (a-jc) cos (а + х) cos (а - х) ’ sin (а + х) - sin (а - х) = 2 sinx cos а, Тогда Иш 2 sinx cos X = lim _______1 Q 2 sinx cos a cos (a + x) cos (a - x) ;c->0 ® cos (a + x) cos (a - x) cos^a ' 2. Преобразованиями получим равносильное уравнение. Для этого заменим cos 10 г/-cos 6^ = - 2 sinSy • sin21/, l-cos8y = 2 sin^4y. Тогда уравнение примет вид 2sin^4i/-2sin8z/ • sin2i/=0 о 2 sin^4^-4 sin4i/ ■ cos4i/ • sin2 г/=0 о 2sin4z/(2 sin2 у • cos2 у - 2 sin2 у • cos 4i/) = 0 <=> sin4y = 0, 4sin4y • sin2y • 2sin3y - siny=0 <=> y = f, kez, sin3y = 0, siny = 0, sin2y = 0, откуда получим y=^> *1^2. y = nk2, kzeZ, 4 ’ ’ Итак, решение У = у» У = k,hieZ, nAj '~4~ ^3 G Z. 3. Используя формулы для сумм синусов и косинусов, преобразуем исходное выражение: sinl+sin4+sin5 2sin2 cos2 + 2sin3*cos2_f, sin2+sin3 ___ cos2 + cos3 -=cos2- -= COS2 2 cos “ • cos: *» 1 cos ^ • cos ^ 2 2 252 = cos2tg|; так как cos2<0 и tg|<0, то выражение больше нуля. 4. Исходное выражение можно преобразовать: 2sin-^^cos-^^ + sin(180°-a - P)-4cos|cos|cos^^^ 2“"^ ~ = 2 sincos+sin (а + P)-4cos^cos|sin^^ = о • а+6 а-В . о • ct + 3 а+В л « В • « + В = 2 Sin—^COS—^ + 2 sin—COS—5-^- 4cosf cos^sin—= о • а + В/ а-В . а + В о а В\ = 2 sin—j^(cos—^ + cos-^- 2cos^cos|) = о • а+В/ а-В . а + В а + В а-В\ л = 2 sin—^(cos—j^+COS-y^- COS-^-COS-y^) = 0. 5. Исходную систему уравнений приведем к равносильным системам: [л: + 1/ = а, [х+1/ = а, соз^г/ - cos^x = а \ (cosу - cosx) (cos у + cosx) = а fx + i/ = a, ^ I о • Х-у . Х+У л х+у х-у ^ 2 sin ■ sin ■ 2 cos ■ cos = а ^ |х + у = а, ^ \х + у = ау \ sin(x- у) sin(x + z/) = а [ sin(x- у) sin а = а. ^ « fx + i/=a, Если а = 0, то система примет вид \ она имеет ре- [sin(x-^) -0 = 0, шения х = - y = teR. [х + у = а, Еслиа^О, то \ , V « но так как при любом а sina < а , \sln{x-y) = -:^—, [ ' sin а ТО и уравнение решений не имеет. Вариант 2 1. Предел вычисляется аналогично вар. 1 и равен--^-----. cos^a sin а 2. Применяя формулы sinlO i/+ sin6y= 2 sinSz/ cos21/, l-cos8y = 2sin 4i/, уравнение приведем к виду sin8i/ cos2i/ + sin^4i/ = 0. Применяя формулу для синуса двойного угла, разложим на множители: sin4y (2cos4y • cos2 у + sin4i/) = 0,2 sin41/ • cos2 у (cos4 у + sin2 у) = 0, последнее уравнение преобразуется в уравнение sin4y • cos2 у (cos4^+cos(| - 21/)) = 0, 253 откуда получим sin4i/'Cos2i/*cos(i/+^)-cos(3i/--|) = 0. Решение имеет вид: = у = AjeZ. sin2 +sin3 +sin5 _ sin2 + 2sin4* cosl _ 2 cosl(sinl+sin4) _ ^ cosl-sin | ‘ cos | 3, sin 4 - sin 1 2sin I • cos I 2sin - cos ; 2sin -- cos* = cosl*tg| *ctg| так каксоз1>0, ctg|>0, tg|<0, то значение исход- '2 2 ного выражения меньше нуля. 4. Значение выражения равно нулю. См. решение вар. 1. 5. Систему можно преобразовать в равносильную систему \х-у = а, (х-у=а, sin{x-y) sin(x + ^) = a [sinа зш(л: + у) = а. Если а=0, то решениех = 1/ = ^еД. Если а?^0, то sin(jc += так как |-т^|>1, то система в этом случае решений не имеет. Задание 7.6, Контрольное задание Вариант 1 1. /(х) = sin^x =-5—. График этой функции приведен на рис. 142. 2. Как известно, в точках перегиба у функции, имеюш;ей непрерывную вторую производную, вторая производная равна нулю. Найдем точки перегиба из уравнения /"(^) = 2cos2x =0, откуда х=^ + ^, keZ. Искомая площадь равна S = lf(x)dx п . nk . Вычислим интег- рал Jsin^x= dx=~x-^sin2x +C. Тогда 254 4 Z J f(x)dx = ^-\ (sin (| + n(k +1)) - sin (| + Л Л)) = ^ sin (| + л /г). я I nk 4 2 Площадь будет равна Si = -| + | или S2 = ^-|. Искомая большая площадь 1 = f +1* 3. Для имеющей производную функции тангенс угла наклона касательной равен производной. Для симметричных касательных тангенсы углов наклона имеют противоположные значения. Если эти касательные проведены в точках Xi и ^2, то tgaj=-tga2 и соответственно f'(x{)--f'{x^, причем ^~Xi-X2~~^ Вычислим f'{x), /'(х)= sin2x, наибольшее значение f'{x) в точке х = ^ и наименьшее значение f'(x) в точке х = —, эти точки симметричны относительно точки х = ~. Тангенсы угла наклона в этих точках tga 1=1, tga 2 = -l,ai = -|, а2"“4* Угол между касательными в точках х = ^ и х = ~ равен ai-a2=|. Это наибольшее значение угла между симметричными касательными на промежутке д:е[0; л]. Наименьшее значение угла равно нулю. Поэтому угол между касательными меняется от нуля до 4. Например, угол наклона касательной к оси х в точке ^ есть а в точке “ ~ есть - Угол между этими касательными равен |, то есть прямой. Вариант 2 1. /(х) = соз^д: = , График этой функции приведен на рис. 143. Рис. 143 2, Точки перегиба те же, что и для функции вар. 1. Большая площадь равна S = 0,5 + 0,2 5 л. 255 3. Угол меняется от О до 0,5я. См. вар. 1. 4. Например, угол между касательными в точках х = ^ и х = Задание 7.7. Контрольное задание Вариант 1 1. Неравенство равносильно неравенству -/21 sin(2x+ -|)| <1, возводя обе части неравенства в квадрат, получаем равносильное sin^(2x + 7)-^ <0, f sin(2x +f sin(2A: + -j) + -tl <0, решения которого --j + 2яй < 2x +-7 <-7 + 2я^, 4 4 4 ^ ’¥2nk<2x + ^<^ + 2nky .4 4 4 f2 keZ. Окончательно решение может быть записано как 2. а) /(x) = cosxcos2a: = ^(cos3x + cosx). Первообразная F(x) = -| J (cos Зх + cosx) dx = | (|^ sin Зх + sinx) + С. Так как F(0) = 0, С = 0. б) График этой функции приведен на рис. 144. в) Найдем экстремальные точки: F'(x) = /(x) = cosxcos2x = 0. Это точки 4 2 X =f+ я/г, ke Z, или тах^ тах^ max max — Л —Л п п ^ 5я Зя X 2 4 4 2 4 4 2 Функция /(х) имеет период 2я. Поэтому достаточно рассмотреть отрезок ДЛИНОЙ 2я. Например, отрезок [-|; ^]. Ближайшие точки максимума х = -| и х = ^. Искомая площадь равна 256 Зл 4 Зя 4 Зп 4 ^ 3ji __ _______ \F{x)dx= |-|sin3xdA:+ sinxdj:=--^cos3a: | -|cosx | = ^V2. я A 7 ; 4 4 4 4 4 3. Выражение можно записать в виде tga + tgP + tgY (1 - tga tgP) = tga + tgP + tgy = = (tga + tgP) (1 + = (tga + tgP) (1 “ ^) = 0. 4. Так как x>l, то ^ 1 функция постоянна. Ее значение можно определить, например, подставив х = 1. 2 arctg 1 + arcsin 1 = 2*-|-ь| = я. Рассмотрим, какие силы действуют на тело (рис. 145). Это сила тяжести, равная mg, где g — ускорение’ свободного падения, Ffnp — сила трения, N — реакция опоры. Из физики известно, что Ffnp - 0,2 N, Чтобы тело двигалось по наклонной плоскости, суммарная сила, действующая по направлению перпендикуляра, должна быть равна нулю: N - mg • cos30® + Esina = 0. Вдоль плоскости приложены силы: — трения, Ecosa — проекция силы Е и проекция силы тяжести mg • cos 60°. Проекция силы Е должна быть не меньше суммы силы трения и проекции силы тяжести. Так как надо определить наименьшую силу, приравняем их Ecosa =Е^^ + mg-cos 60°. Итак, имеем систему Рис. 145 Ecosa-0,2iV + ^, Esina =mg^-iV, откуда получим Е = л/З-0,2 + 1 2 (cos а + 0,2 sin а)‘ 257 Сила будет наименьшей, если cosa +0,2 sing принимает наибольшее значение. Так как 0,2 sing + cosa = -^1^ + 0,2^ cos(a - <р), где Ф= arctg0,2, то наибольшее значение косинуса при а - ф = 0, то есть а = Ф = arctgO^. Вариант 2 1. Исходное неравенство равносильно неравенству -/21 sin(0,25x + р 1 > 1 <=> I sin(0,25 (х + я)) | > ^ <=> о -| + яй<0,25(х + я)<^л+ ЯЙ, ke Z ^ 4яА<х<2я + 4я/е. 2. а) F{x) = Jsinx sin2xdx = (cosx-cos3x)dx = |sinx-sinSx + C. Так как F(0)=0, C = 0. 6) График F(x) приведен на рис. 146. в) F'{x)=0<=> /(x)=0<=>sinxsin2x=0<^2sin^xcosx=0<=>x=|^,/5eZ — точки экстремума. _ _ + + max _ _ + + max _ f\x) -Зя -2я -я -f 0 I Например, ближайшие точки максимума = - у, Х2 = |. Площадь под графиком равна п я 2 2 S = 4j F(x) dx = 4j(| sin X - ^ sin 3x) dx = 4 Tt i'' 2 2 -^COSX 1 +tVcOS3x I ^ 0 0 0 0 = 4(i-J_) = 2-2 = i6, 4 18'' 9 9 3. - ctgg - ctgp - ctgY + ctgg - ctgP - ctgy = = - ctgg - ctgP - ctg(| - g - P) + ctgg • ctgP • ctg(| - a - P) = = - ctgg - ctgP - tg(g + P) + ctgg • ctgP • tg(g + P) = 258 = tg(a + P) (ctga • ctgP -1) - (ctga + ctgP) = ctga+ ctgp = (ctga + CtgP) [tg(a + P) • ctg (a + P) -1]=(ctga + ctgP) [1 -1] = 0. / 4. Функция arctgx возрастающая; так как ( arcsin г I =--^ < О, то V l + jtr) 1+ дг 2 X функция arcsin—=■ убывает. Область значений функции 2arctgx 1+хг 2х для х< - 1 есть (-я; -f]. Область значений arcsin—^ есть [-|; 0). г 1+х^ г Значения исходной функции для х < - 1 принадлежат промежутку -|). Вычислим производную исходного выражения: о (2 arctgx + arcsin-^)' = —Ц- + 1+х^ 1 + х^ 0.+ х^)^ hi ’ 2х )2 1 + х^ + 2 1-х^ \ (1 + х2)2 - —^-----^=0. Итак, для х<-1 производная f2)2 1+х^ 1+Х 2х функции 2 arctgx + arcsin-т- равна нулю, то есть для х < -1 значе- 1 + х^ ние исходного выражения постоянно. Подставим х = -1 и вычислим: 2arctg(-l) + arcsin(-l) = -n. Значит, значения исходного выражения при х<-1 равно -я. 5. См. решение вар. 1. Угол равен arctg0,2, и этот угол не зависит от угла наклона плоскости. Тема 8 ОБРАТНЫЕТРИГОНОМЕГРИЧЕСКИЕФУНКЦИИ Задание 8Л. Свойства обратных тригонометрических функций. Производная этих функций Вариант 1 1. -|0, неравенство неверно. Значит, неравенство решений не имеет, . Подставив в уравнение производные, 3. у\х) = -^—•, У"{х)= , ^ 41^ Va-aV)' получим(т. 2=- > а^х{1-х"^)-х{1- а^х^) = Оу то У 1~а^х^' 1~а^х^ 1~х^ есть х{а^-а^х-1-^а^х^) = 0 <=> jc(a^-l) = 0. Так как равенство должно быть верно для всех допустимых значений X, а^-1 = 0«=>а = ±1. Итак, а = ± 1. 4. Например,л: = 0. Действительно, arcsin(О-а), arcsinО, arcsin(0 + a), равные соответственно -arcsina, 0, arcsina, образуют арифметическую прогрессию. 5. Пусть Xq — абсцисса точки ют производные, тангенсы углов касательных к графикам в точке д: о равны у\ = сательные перпендикулярны, если УгУ2 = ~1^1 Av-= 1. Это ра- венство верно, например, для Xo=0, а = 1. При а = 1 (рис, 147) у ^ = arcsin х, 1/2=агссо8Х-0,5я=-(0,5я-агссо8л:) = = -(0,5Я“ arccosjc) = - arcsinx. Вариант 2 1. Если заменить х на -д:, получим уравнение вар. 1, которое не имеет решений. Поэтому исходное уравнение не имеет решений. 2. Аналогично вар. 1, можно показать, что область допустимых значений i/=0, при котором неравенство неверно. Нет решений. 3. Так как z/'(x)== . У"{х) = , - г, то ^ ^ и исходное ^(1-а^хУ У 1-oV уравнение имеет вид ■> = ~~которое верно для всех допусти-l-aV 1-х^ 4l-a ? вид ■ мых значений х при а = ± 1. 4. Да, например, х=0. Длях = 0 агссоз(-а) = я-arccosa, arccos0 = |, и прогрессия имеет разность d = arccosa-|. 260 5. Да, в точке дг = 0. Действительно, тангенсы углов наклона касательных у{=—. ^ , у2 = , ^ в этой точке равны соответственно Vl-aV i/i(0) = -a, i/2(0) = l* Если a = l, = то есть tgaj-tga2 =-1, следовательно, tgai=-ctga2 <=> tgai = tg(| + a2) <=> ai-ct2 = | — касательные перпендикулярны. Задание 8,2. Графики обратных тригонометрических функций Вариант 1 1. а) рис. 148; б) рис. 149; в) рис. 150; г) рис. 151. 2. Исходное равенство равносильно следующей системе (это следует из монотонности arcsinx) ху=х + у, = l + \х^у\<1 "^l|:c+j/| 2 1 + V5. ). Точки АиВ определены из условия f У = 1 + — I ^ X-V [д:+1/=-1. Рис. 152 Вариант 2 1. а) рис. 153; б) рис. 154; в) рис, 155; г) рис. 156. Рис. 155 2, Координаты искомых точек удовлетворяют равносильным услови-\ху = х +1/, ям , (следствие монотонности агссозл:). Это множество [|лс + у|<1 точек см. в вар. 1. 262 Задание 8,3, Тождества, уравнения и неравенства, содержащие арксинус и арккосинус 1. Если я:<О, то arccos Вариант 1 1 -^>2* а так как при ЭТОМ агсзшя:<0, то отрицательных решений х не может быть. Уравнение равносильно системе fO 2x 0 fO0, в правой части Имеет смысл только случаи 4х^ х^=0, / 2 ,ч2 Эта система не имеет решений, 4х^ поэтому не имеет решении и исходное уравнение. 2. Так как arccos(^) = | и arccosx убывающая функция, исходное неравенство равносильно следующим: -1<х^-3х<^ « 2л:^-6л:-1<0, h»:^-3x + l>0 2 - 2 ’ . 3 + J5 X > ^ л ^ ft , Х< ^3-^5 “ 2 3f 2 2 ’ Ы1к<г<^Л 2 “ " 2 * Целые решения: х=0,х = 3. arcsinx — возрастающая функция, и sint возрастает на[0; |], поэтому исходное неравенство равносильно системе sin (arcsin 2х) > sin х, 12х > sin х, 0<х<0,5 ^ |о<х<0,5. Так как для х>0 sinx <=> /5 V 5 ^ -Д’ Значит, равенство верно. б) Аналогично можно доказать, что arccos J___ arcsm r+ r+ где ^>0, 2>0, t, zeR, 5. Покажем, что это выражение равно нулю, то есть arccos л: + arccos у = arccos (ху - . Для0<х<1, 0<1/<1, -l 1, х1/ + 1>1, и поэтому неравенства верны. Это означает, что в исходном равенстве в правой части аргумент арккосинуса в промежутке[-1; 1] и его значения в пределах [0; я]. Так как 0 cos (arccos x)cos(arccos y) - sin (arccos x) sin (arccos y) = _ Значит, равенство верно, a исходное выражение равно нулю. Заметим, что если х и у не принадлежат промежутку [0; 1], равенство может быть неверным. Например, х = у = - Тогда х1/--/ь^--/ь^ = -| и arccos("|) +arccos(-|) = ^, arccos(-|) = ^ и Вариант 2 1. Нет решений. См. вар. 1. 2. Исходное неравенство равносильно неравенству -^<х^-3х<1, которое имеет целые решения х=0, х=3. 264 3. Нет. Например, для x = l arcsin| = | x^l~sin^arcsin у -y-Jl-sin^arcsinx = = x^l-y^-y^]l-x^ о x,Jl-y^-y^Jl~x^ =x^jl-y^-y^Jl-x^. Значит, равенство верно, и исходное выражение равно нулю. Задание 8,4, Интегрирование при помощи арксинуса и арккосинуса Вариант 1 1. Сделаем замену переменной t=3x^ dt- Bdx, тогда Дх) = |^=1/^ = •' Vl-9x^ л/1-f^ 9х^ = ^ arcsin t-\-C= ~ arcsin (Зд:) + С. о о Так как ^*(0) = |, то С = | и i^(x) = arcsin(Зх) + ^ (рис. 157). О А 2. Сделаем замену переменной t = J J. dx dt~—j тогда [ , =-f-j=£^== f-f£L== arcsint+C-arcsin- + C. V 265 Определенный интеграл равен а а I dx -а » = arcsin^ I =arcsinl-arcsin(-l) = | + | = n. 3. Сделаем замену переменной ^ = - -\dx. с dx _ f dx__________________I* J :c2firx" J dt 4T~ = = - arcsint + C = - arcsin~ + C. 2 ДГ Вариант 2 Задание 8.5. Свойства обратных тригонометрических функций. Производная этих функций Вариант 1 1. Как известно, область значений функции у = arctg^: есть у е (-1; |). Пусть а>0, тогда z{y) возрастает. Выберем а и Ь так, чтобы 2(-|)=0, [г(|)=1, I -|а + г> = 0, [|а + Ь=1, н- Так как уе(-|; |), то z(y)e(0; 1). Тогда z(x)~aarctgx-¥b принимает все значения из промежутка (0; 1). Известно, что для ае(0;|) aов п _>во и если lim х„ = а, то а = arctg а, и так как для а>0 arctg а < а, то л —>«» равенство может быть только при а-0. Значит, предел равен нулю. 266 3. Область значений jc = arctg^, Х€(-|;|). Область значений z/ = arctgr\ z/G(-|; 0)U(0; |). Для хе(-|;|) #=tgx, тогда i/(x) = arctg^-^^ — это функция от х, заданная нахе (-|; |). 4. Прямая X = О — это ось OY, Угол пересечения графика функции с осью ОУ равен 45°, если тангенс угла наклона касательной равен 45° г = ±1 <=» -а = ±1. и 135°, то есть tga = ±l <=> i/'(0) = ±l <=> l + a^x^ Значит, а = ±1 (рис. 159). у= arcctgx у= arcctg(-x) Xq~Ax Xq+Ал: 5. Длях>0 график i/ = arctgx выпуклый вверх, поэтому f у= arctgx _arctgUo-Ax)^arctg(xo^A^:) ^ ^rctgXo, откуда arctg (xq - Ал:) + arctg (xq + Ax) < <2arctgXQ. Пусть Xq= 2, Ax = l. Тогда arctg 1 + arctg 3 < 2 arctg 2 <=> ^ + arctg3< 2arctg2 => (t. к. я > 3) |+arctg3<2arctg2 (рис. 160). Рис. 160 Вариант 2 1. Да, например а = -^, 5 = -1 (см. вар. 1). 2. Предел равен нулю. Для доказательства использовать: при а<0 arctga>a. См. вар. 1. Можно также рассмотреть последовательность yi=100 = -Xi, i/2 = -arctgXi=arctgyi. Как показано в вар. 1, lim */„ = 0. Поэтому lim(-i/J=limx^=0. 267 3. y(x) = arcctg(^-^ 4. a = ±l. 5. Дляд:>0 график функции у= arcctgx вогнутый (рис. 161), поэтому arCCtg:Co < -Ax).^arcotgUo ^ Дх) ^ откуда 2arcctgXQ< arcctg(Xo-Ax) + arcctg(A:o + Ax). Пусть Xq=2 и Ах = 1. Тогда 2arcctg2< arcctg 1 + arcctg 3, и так как arcctg 1 =-^ < 1, то 2 arcctg 2 < 1 + arcctg 3. Задание 8.6. Графики обратных тригонометрических функций Вариант 1 1. а) у = arctgx-x. Рис. 162. б) у = arctg(arctgx). Рис. 163. в) у = arcctg(l-2|x|). Рис. 164. 268 Рис. 164 2. Так как ctg г убывающая функция, исходное неравенство при равносильно следующему z < ctg(arctg <=> г <---------—^ < 3 _ _ . (arctg 2^) >Z<- г<=> Z < 1, <=> z0 выпуклый вверх, а график у=ах^ — вогнутый (выпуклый вниз) (рис. 165). Для любой хорды, например, с точками 0(0; 0) и M{xq; arctg X о) график у = arctg х лежит выше хорды, также для хорды 0(0; 0) и iV(xo; uxq) график у= ах^ лежит ниже хорды (рис. 166). Так как для Xq>0 Xo>arctgXQ, можно подобрать Xq такое, что axo>Xo>arctgXQ, точка N выше точки М, В этом случае дуги графиков пересекутся в некоторой точке К у абсцисса которой О < х^ < X о- — второй корень уравнения. Итак, уравнение имеет два корня. Вариант 2 1. а) рис. 167; б) рис. 168; в) рис. 169. 269 Рис. 168 2. Исходное неравенство при z^O равносильно следующему tg(arctg2) < tg(arcctg0^) <=> ^ 2< ^------о Л< <=> 2^< 1<=> ctg (arcctg z^) <=> г < 1, 2^0. 2 = 0 удовлетворяет исходному неравенству, поэтому решение 2 < 1. 3. Если рассматривать графики у=ах^ и y = arctgAT, то имеет место центральная симметрия относительно начала координат к графикам задачи 3 вар. 1. Корень д: = о и корень < 0. Всего два корня (рис. 170). Задание 8.7. Тождества, уравнения и неравенства, содержащие арктангенс и арккотангенс Вариант 1 1. а) Следствием исходного уравнения является следующее: 1- а- tg(arctg (1 - а) - arcctg (а +1)) = tg f = = 1 <=> = - 2 ае0. 1 + 1~а а + 1 Нет решений. Так как следствие не имеет решений, исходное уравнение не имеет решений. б) Исходное уравнение равносильно следующему arctg(x-1) + arctg(x +1) = arctg3x- arctgx, 270 откуда следует уравнение tg(arctg(x-1) + arctg(x + 1)) = tg(arctg3x- arctgA:) => д:-1+х + 1 Зх-х 2х 2х 1-(х-1)(х + 1) i + sx^ 2-х^ 1 + Зх^ , если X >0, то l + Sx^ = 2-x^ => jc^ = 4- => х = ^ X 2* Так как х = ~ — корень уравнения-следствия, проверим подстановкой, удовлетворяет ли он исходному уравнению. Имеем для х = | arctg (|-1) + arctg | + arctg (| +1) = arctg | <=» <=> - arctg I + arctg | + arctg | = arctg | <=» 0 = 0. То есть х = | — корень исходного уравнения. Область значений arcctgx есть (0; л), область значений arctg(x + ^) — промежуток (-|; |). Равенство возможно только при х>0 и х + у>0. При этом область значений левой и правой частей (0; |). Тогда исходное уравнение равносильно системе х>0, х>0. х + 1/>0, х + у>0у ^ ■ tg(arctg(x + ^)) = tg(arcctgx) х + и = ^ [ ^ X х>0, х + у>0у у = --х. Искомое множество — точки графика у = ^-х для х>0. 3. Так как arctg2>arctg0,75, то 2arctg2-arctg0,75>0. Так как 0Xi>0. Покажем, что arctgX2-arctg^:i arctg3-arctg2< 3-2, то есть arctgS- arctg2 < 1. б) Обобщение arctg(n + l)-arctg«< 1. Это следует из пункта (а). Вариант 2 1. а) Нет решений. Если заменить а на -а, получим уравнение, рассмотренное в вар. 1, которое не имеет решений. б) х = -0,5. См. решение вар. 1. 2. Исходное уравнение удовлетворяет системе д^ + г/=^, л:>0, <=^ х + г/>0 У = \-х, х>0, 1/>-Х. Получили множество точек вар. 1. 3. Так как0,25 = то arctg0,250j то первообразная F(x) возрастает. f —-f dx лЧ2 = f-------r—\dx — это площадь фигуры, ограни- ^ I х^+2 х^+4 J ченной графиками Wi= —, Uo= —» х = 0^ х-1 (рис. 174). х^+2 л-2+4 Так как подинтегральная функция убывает, площадь можно оценить следующим образом: 1-(^-^)<5<1(^--^) <=> Так О D 6 4 10 4 как ^>0,1, неравенство неверно. 4. Так как — = х^- 4+ , то интеграл можно вычислять следую- х^+4 х^+4 щим образом: 4+-^^jdjc = -^-4x + 8arctg^ + C. 1 5. Рассмотрим интеграл J—^djc: = arctgl=:^. о Вычислим интеграл по формуле правых прямоугольников с шагом Л = 0Д: + + (рис. 175). После несложных преобразований имеем 10Si-0,5= QJ + ^ Q^ + ... += + Так как Si< то искомая сумма меньше - 0,5 = 2,5 л - 0,5 < 2,5 ■ 3,2 - 0,5 = 7,5. Вариант 2 1 1. Площадь равна S = | —^dx - ^. График функции у =--- получа- J 1 + х* ^ 1 + х* о ется из графика функции у = —^ (рис. 173) зеркальным отобра- 1 + х^ жением относительно оси ОХ, Поэтому искомые площади равны. 2. ПустьF{x) — первообразная. Так какF'(x)~ f{x)и f(x)>0, то первообразная F{x) возрастает. 3. Так как для д: >о 0,25 < 2, ТО интеграл на х^+ 0,25 х^+ 0.5 {х^+ 0,25) (х^+ 0.5) промежутке [0; 1] меньше 2. 4. Так как -^ = д:^-2+ -^—, то интеграл равен ff д:^-2 + —^ |dx = х'^+2 х^+2 ^ V х*^+2; -^-2дг + 2 2 arctg^ + C. о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 д: Рис. 175 274 0,2 0,4 0,6 0,8 1 X Рис. 176 5. Рассмотрим интеграл S = | ^ , dx = ^ и оценим его по формуле ле- о вых прямоугольников с шагом Л = 0,1 (рис. 176); Sl>Sy Si = 0,lfy^^H---—2 ^-—2 "* —2 "• -----—г!» 1,1 + 0 1 + 0,1^ 1 + 0,2^ 1 + 0,3^ l + 0.9^j 10^1=1+1;к+1^4+ "+Щ’ ш+ш+-+ш=1051-1> > 1^_1_2,5.3-1= 6,5. Утверждение доказано. Задание 8,9, Контрольное задание Вариант 1 1. Покажем, что для I д:| < 1 /(jc)= 0. Так как функция нечетная, пусть 2х х>0. Рассмотрим sin(-2arctgA: + arcsin--------г) = 1 + х^ = sin (-2 arctg х) cos (arcsin +cos (-2 arctg x) sin (arcsin = l + x^ 1 + x^ = ~2 sin(arctgJc)cos(arctgx)^|l-|^-j-^j +(2cos^(arctgx)-l) = -2 cos^ (arctg x) tg( arctg x) + 2 cos^( arctg x) ^ = 1 + л:“ 1+л^ 1 + д;'^ = -2cos^(arctgj:) л: ■ + 2cos^(arctgJc) - 2x l + x^ 1 + д:^ 1 + л:^ l + x'^ 2cos^(arctgx) / 1 . 2 . n\ 2jc о 2/ i. \ 2x ------ 2 X (-1 + Х +2) - -—^ = 2л:со8 (arctg------------------------- 1 + дг^ l + x^ i + x^ Используем известное равенство cos^ = —Ц-, тогда 1 + tg^a cos^( arctg x) = —Ц 2x 2x = 0. l + x“ Так как это синус исходного выражения, то его значение равно nk, где k — некоторое целое число. Так как при х = 0 выражение равно нулю, то и для IXI < 1 оно тоже равно нулю (рис. 177). 2. Эту задачу можно решить, используя области определения и области значений функций. Область определения:-1<0,5х-1<1 <=>0<х<4. Пусть хб[0;2]. При этом 0,5х-1<0, и значит, arccos(0,5x-l)>|, 1<3-х<3, и поэтому 2arcctg(3-x)<2 *^ = |. Значит, хе[0; 2] — решение. Рис. 177 275 Пусть хе(2;4]. Тогда 0,5л:-1>0 и arccos(0,5x-l)<|, -1<3-д:<1 и поэтому arcctg(3-x)>|^ и 2 arcctg(3-A:)>|. Значит, хе(2; 4] не удовлетворяют неравенству. Итак, решение: хе [0; 2] (рис. 178). 3. Если обозначить /(A:) = x+arcsinjc, то исходное равенство можно записать так: f(x) = f{y). Покажем, Рис. 178 что функция f(x) возрастающая. Действительно, т=1+^ ,___.->0. Vrr? Производная положительна, значит, f{x) возрастает. Возрастающая функция каждое свое значение принимает один раз, поэтому из f(x) = f(y) следует х= у. Значит, arctgx= arctgy. 4. Если а=0, выражение не имеет смысла. Если а 9^0, ^^Q&rctgax ^ ^^Qaarctgax Если обозначить х = siny, z- arctga^, lim lim — = -^lim = y^QSiny 2_^Qaz a^-^QZCosz a 5, Область определения фс (x -1) есть множество х<0, х>1. Область опре- деления arccos(yx“-x + l) есть х, удовлетворяющие неравенству п 0<х-х + 1<1<=> х(х- 1)<0<=>0<х<1. Область допустимых значе-0<х<1, х>1, НИИ уравнения: х<0, Проверка показала, что х= 1, х = 0. х = 1, х = 0 подходят как решения. 6. Рассмотрим область определения арккосинуса. Это -1<х+| sini/| <1, то есть -l-x<|siny| <1-х. Для существования решения необхо- ^ fl-x>0, димо, чтобы выполнялись условия j ^ <=^ -2<х<1. 276 Заметим, что если д: < О, то -tg 0,2 5 лх > О, и левая часть уравнения положительна. Значит, уравнение отрицательных решений не имеет. Если О < х < 1, то tg0,25nx <1,и поэтому 1- tg0,25x >0. Так как для любого х arccos (х +1 sin i/1) > О, то единственное условие суш;ествования корня следующее: [l-tg0,25nx = 0, arccos(x +1 sini/|)= О, У 1 , 1 1 4 1 1 1 - ♦ 1 1 0 tl 1 ■ f 1 1 ■ t 1 откуда имеем Рис. 179 tg0,25nx = 0, 0<х<1, х+1 sinyl = 1 х= 1, I sini/l = 0. Решение есть множество точек с абсциссами х = 1 и ординатами y~nk, ke Z (рис. 179). 7, Для п = 1 равенство верно. Покажем, что если верно для п, то верно и для л + 1, то есть 1________ arctgi + arctg—Ц + • • • + arctg^-^ + arctg 2 ®2-2^ 2(п + 1) , л +1 Согласно предположению последнее равенство равносильно следующему: arctg-—+ arctg—-—r = arctg-^^. Так как значение ле-л + 1 ®2(л + 1)2 ^* + 2 вой части не может быть больше п, а значение правой находится :илы: л + 1ч в промежутке (0; |), пишем равносильное равенство tg(arctg^ + arctg^^^) = tg(arctg^) <=> tg (arctg^) + tg arctg- 2(л + 1)^ 1 1- tg arctg—tg arctg-^—r- ' n + l) I 2(л + 1)2 Л + 1 ” + l 2(л + 1)2 Л + 1 ^ ^-----=-----ГГ ^ Л + 2 Л + 2 л + 12(л + 1)2 ^ (2л(л.1).1)(л.1)^^ ^ (2/г2+2/г + 1)(п+2) = 2(л + 1)3-л 2(n + l)3-n n + 2 ^ О 2/г^+6л^ + 5л+2 = 2л^-ь6/г^-1-5/м-2. Итак, тангенсы выражений равны и, так как значение выражения не превосходит я, выражения тоже равны. Таким образом, доказали методом индукции исходное равенство для любого п. 277 Вариант 2 1. Как известно, arcctgx = |-arctgx, arccosx = |-arcsinx, поэтому функцию f{x) можно записать как /(x) = ^-2arctgx+arcsin 2х 1+д:2' В вар. 1 была рассмотрена функция -2arctgx +arcsin-^. Функ- 1 + д^ ция f{x) отличается от нее на константу и график получается сдвигом на 2. Рассмотрим область допустимых значений. Это + то есть -9<х<3, для всех х из области допустимых значений 1<4-х<13, поэтому 2 arctg(4-x)>|. Так как arcsin(-| + 0,5)<|, то решение — все ХЕ [-9; 3], кроме таких, что ■ arcsin(| + 0,5) = ^, arctg(4-x) = j <=> х = 3. Итак, решение: хе[-9; 3). 3. Как доказано в вар. 1, х = у и поэтому arcsinx= arcsini/. 4. Если а = 0, то выражение не имеет смысла. Если а^О, то X -4 О ах а {х(х + 1)>0, 5. Область допустимых значений \ <=> х = 0. Проверка показала, что эти значения являются корнями. [ X = 1 6. Множество точек \ ’ точки (1; 5 + яА), keZ. См. вар. 1. [cosy = 0 ^ 7. Доказательство аналогично вар. 1. Тема 9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Задание 9,L Предел показательной функции Вариант 1 х+г-s х+3 £+3^ 1 = е“ 278 Здесь использован замечательный предел + 2. Функция определена в окрестности точки д: = О и не определена в этой точке. При этом lim f{x) — . х~>0 Поэтому прямая д: = 0 — вертикальная асимптота, lim /(х) = 0. Прямая z/= О — гори- X зонтальная асимптота. 3. Например, f{x) = e^ . Рис. 180 4. а) lim х^2 2^- х^ х-2 = lim х-^2 2^-4+ 4- х^ х-2 = lim х-^2 4(2^"^-1) х-2 - lim х-^2 (х - 2) (х + 2) х-2 = lim 4-----lim(x + 2)= 41п2-4= 4\п^, 2->0 ^ х-^2 б) lim а'- х^ 1. а*-а^ +а^ • ------= lim---------- х->2 - = lim х->а (х-й)(х + а)^ = а^1па-2а. Вариант 2 “Т.(iS)"’’- ‘™.(O-iif) = ()” ('"ir)’i™ ('-TTj)'"''*- 2. Асимптоты — прямые д: = 0 и у-0. х_ 3. Например,/(д:)= е**. Х+2 \2 4. а) lim -—5- х->з ^-3 = lim з*-з^- х-З по ^ Л ■ X т 0—0 .!■ О — X — = lim-----+ hm-------^ х-»з *~з х^з ^"3 = 3®lim ^^^+lim 271im—+(9 + 9 + 9) lim ^ = x-^3 x-»3 г = 271n3-27. 6) lim-----= a^lna-3a^. x-0 279 Задание 9.2, Производная показательной функции Вариант 1 1. Функция не является монотонной на области определения. Например, если рассмотреть три точки Xi=-2, Х2 = -1 и х^ = 1у то /(^2)» Производная функции в области опреде- 1 1 ления отрицательна: = --н1)<0 прих^^О. Функция убывает на двух промежутках (-©о; 0) и (0; н-оо). 2, Как известно, для функции y = f(x) уравнение касательной в точке Xq таково: y = f{X(^ + f'(x^(x-x^. Для рассматриваемой функции i/'=(e”^cosx)'=-e”^cosx-sinx i/'(0) = -l, у(0) = 1. Уравнение касательной 1-х. 3. h'{z)=a- производная равна нулю в некоторой точке 2q, то эта точка может быть экстремальной. = = 0 2e^‘^(-2e-^^^)=Q <=>-4 = 0. Производная h'(z) нигде не обращается в нуль. Функция не имеет экстремумов. 4. Пусть /(jc)=e*, g(x) = l + x + ^x^ + ^x^-, f'(x) = e'‘, g'(x) = l + x+ jfX^; f"(x) =e\ g"{x) = l + x; f'"{x) = eg'"(л:) = 1. /'"(0) = 1, g'"(0) = 1 и для л: > 0 f'"(x) > g"'(x). f"(0) = g"(0) = l И, так как f'"(x)>g"'(x), f"(x)>g"(x) для x>0. f'(0) = g'(0) = l И, так как f"(x)>g"(x), f'(x)>g'(x) для jc>0. f(0) = g(0) И, так как f'(x)>g'(x), f(x)>g(x) для jc>0. 5. Решение можно искать в виде у(х)=С+еТогда у' = Хеу" = у"' = Х с . Подставим производные в исходное равенство и получим Х^-2Х)= о, откуда имеем уравнение для X: XQ?-X~2)=0. Следовательно, А, = 0, Л=-1, Х=2. Условию задачи удовлетворяет, 1 или у = е Вариант 2 -. Если функция имеет производную и например, функция z/ = e^^- 1 или у = е 1. Нет. См. вар. 1. 2. Уравнение касательной у = X. 3. Функция не имеет экстремумов. См. решение вар. 1. Функция в данном варианте отличается от вар. 1 только знаком. 4. Можно доказать аналогично вар. 1, используя производные и условие монотонности для функций, имеющих производные. Если 280 /(х) = е* и g{x) = l+x + U^e\ то f\x)^f"{x) = r(x) = f'^\x)=e\ g'{x) = 1 + е *(х + ф, g"(x) = е ^(2х + ^ +1), g"'{x) = е+ Зд: +1). —9 т 5. Например, у(д:) = 2е -2. Задание 9,3, Свойства показательной функции Вариант 1 1. 72 + л/3>1, д/2-л/3<1 , поэтому Значит, первое число больше второго. 2. Нетрудно догадаться, что х = О — корень. Функция у = 3^+ 4 возрастает, а функция у= 5^”"^убывает, поэтому уравнение других корней не имеет. 3. |х-2| >0, поэтому 1. | sinx| <1, значит, sinx < 1, и равенство достигается только в случае sinx = 1. Система решений не имеет, поэтому неравенство также не имеет решений. 4. Сумма взаимно обратных положительных чисел и а~^ всегда не меньше 2. а^+ а~^= 2 при г= О, при z=0 имеет наименьшее значение л функция 2 , Значит, 2 — есть наименьшее значение левой части. Рассмотрим 2>0, Производная(а^+ а~^+ z^Y= \па(а^+ a~^) + 2z>0. Значит, левая часть уравнения возрастает. Поэтому существует zq, при котором значение ее равно 1987. Уравнение имеет один положительный корень. Левая часть — четная функция. Поэтому при z = -2q значение этой функции равно 1987. Значит, уравнение имеет два корня. 5. Отношение ^ = (f} —монотонная функция при любых а >1и&>1; прих = о (-|)^= 1- Значит, нет других х, при которых функции принимают равные значения. Вариант 2 1. tg| = ^/3>l, tg^ = ^i^ (tg|)‘®3(tg|)-3. 281 2. Нетрудно догадаться, что л: = 0 — корень. Функция 5^+ 15 возра- 9— -г стает, 4 убывает, поэтому других корней нет. 3- |л:-1|>0, поэтому |cosx| а2‘+1-а-Л = 0 « У+2'а-а)-1 « (2‘-1)(а2'+1) = 0 2'=1, а2'=-1 = 0 « 2* ^ = 0, I а^О, для любого а. 2'=-1 Итак, уравнение имеет корень ^= 0. Если имеется второй корень, его находят из уравнения а2^= -1. По условию надо определить такие а, при которых второе уравнение не имеет корней, либо он равен нулю. Корень равен нулю, если а = -1. Если а > 0, корней нет. Итак, графики функций имеют единственную обш,ую точку при а = -1 и а>0. 282 Вариант 2 1. а) рис. 183; б) рис. 184. а = -1, а>0. Задание 9.5. Интегрирование показательной функции Вариант 1 1. Заметим, что(е^+е~^У поэтому, если t = е^+е"'^, интеграл принимает вид J■y = ln^ + C, значит, искомый интеграл равен \п(е^+е~^ + С. 2. Значение подинтегральной функции не меньше 2 (сумма взаимно- обратных положительных чисел). Тогда I{е +в )dx>2 1. о а За 3. Si = je^dx~e^-1, 82- ^e^dx=e^^~e^. Так как Si=S2, то е°-1 = о а = О е^®-2е®+1=0 <=> е^“-^^-(е“-1)=0 <=> <=> е^{е^^-1)-{е^-1)=0 ^ е^{е^-1){еЧ1)-(е^-1) = 0 1, (е“-1)(е^^+е“-1) = 0 <=> е^= -1--/5 -1+VB <0, 0<—5—<1, поэтому уравнения не имеют положитель- ных решений. Нет а, удовлетворяющих условию. 283 00 оо оо оо 4. е >1+х^, тогда f-^< f-^^ = arctgx | = ^. Значит, ин- 1 ip^ ii + ^ о ^ о 0^0 теграл сходится. 5. Первообразная F(x)=|^ ,л:<0, (рис. 185). д:>0 Вариант 2 1. Заменой # = t = интеграл можно свести к следующе- му: -J^ = -ln^+ С, тогда искомый интеграл равен -1п(е^+е"^ + С. 2. Подинтегральная функция при х е (0; 1] больше 2, при х = 0 равна 2, поэтому значение интеграла больше произведения 2 на длину промежутка интегрирования, то есть 1. Значит, утверждение верно. 2а За 3. Si= ^e~^dx = l~e^^, S£= Так как 81=82, то о 2а V“=l, ^-а_ 1±л/5 Последние уравнения не имеют положительных решений. Нет таких а, удовлетворяющих условию задачи. 4 у| 4 4. Оценим интеграл сверху, > 1 + х^, е~^ <—Ц-. Тогда 1 + х^ 0^0 -1 о \е~^ dx< Г ■ < Г -^~+ [ldx= lim (arctg(-l)-arctg(x)) + l = J J l+X^ l+X^ Л-^-00 = -^ + |+l = l + -|. Значит, исходный интеграл сходится. \ ЛГ > о, 5. Первообразная равна i^(x)=] ’ ’ (рис. 186). е~^, х<0 284 Задание 9.6. Дифференциальное уравнение показательной функции Вариант 1 1. а) Из у'= 21/следует, что если О, то ^ = 2dx, откуда In | i/| = 2x+C, следовательно, 11/| = Второе условие задачи у(2х) = ^у(х). Но из первого условия [ у{2х)\ = Значит, ненулевых ре- шений нет. Решение у = 0 удовлетворяет условию. о Y б) Из первого условия: ydy = e dx => 2 ~ 2 второго усло- вия следует, чтоС=0. Значит, решение: у=е^. л в) Решение можно искать в виде у = е . Подставим у' и у'" в уравнение и получим Хе^^= О, следовательно, А}? -Х = 0 <ф> Xi = О, А-2 = Решениями будут функции и их линейные комбинации, то есть 1/= Cl+ 026^2^+ Из начальных условий следует, что у(0) = 2 и у{2)=е + е~^. Тогда для [ С1 + С2 + Сз = 2, постоянных Cl, Со и Со имеем \ . , решение ^ \С1 + С2е+Сзе-^=е+е-\ _Х_ X Cj= О, С2 = Сд = 1. Тогда искомая функция: у(х) = е 2 + . 2. Пусть y(t) — количество вещества в момент t. Тогда скорость реакции У' = ^ пропорциональна количеству вещества, то есть у'=су « ^ = cdt => In t/ = cf + Ci, £/= Начальное количество вещества у=е^^. В момент времени f = 1 i/(l)=e^'^^i = 100, в момент t=S у{3)=е^^'*'^^ = 2Ь^ Из двух последних условий следо- вательно, ^^=1 и 6^1 = 200. Значит, количество вещества в начале реакции равно 1/(0) = е^^ = 200 г. Вариант 2 1. а) 1/= 0. См, вар. 1. б) у=2е^. в) у = е^^+е~^^. 285 2. Пусть y(t) — количество фермента. Тогда y'{t) — скорость брожения и y'{t)=cy(t). По условию, у(2)=6, p(Q=^24. Из дифференциального уравнения для y(t) имеем ^=cdt => lni/ = c^ + Ci. y{t) = €^^'^^^. Используя начальные условия, определяем начальное количество фермента i/(0)=e^^ = 3 г. Задание 9,7, Контрольное задание Вариант 1 1. а) Нули функции e^sinx совпадают с нулями sinx и равны x=nk, ke. Z,B тех точках, в которых зшл: = 1, точки графикаsinx лежат на графике у=е^, В точках sinx = -l точки искомого графика на графике у=-е^{рис, 187). б) Вычислим производную функции в точке х = О и тем самым тангенс угла наклона касательной в этой точке: y' = cosx e*+sinx у'{0) = 1. Значит, tga = 1 и а = -. в) Вычислим неопределенный интеграл по частям Jе^sinxdx- е"^sinx - je^cosxdx = e■'^sinx -e^cosx - Je^sinxdx, Итак, первообразная J e ^sinx dx выражается через e ^sinx - e ^cosx и через эту же первообразную, то есть получили для первообразной уравнение 2je‘*^sinxdx=e^sinx-e*cosx, откуда J е ^sinx dx = — ^ * X Тогда площадь S = Jе^sinxdx = sin 1-еcos 1 + 1) 286 Преобразуем выражение |(е sinl - ecos 1 +1) = |(еV2 sin(l-+1). Так как sin(l-^)0, то 2“^^“^^0, отрицательна — функция убывает. Например, i/'(l)<0. Значит, существует некоторая точка х^>0, что у(х^) = 1, — корень. 4. Искомое неравенство равносильно следующему; Z > 1. W22iy \2 / \2 что Заметим, что ~ ввести угол (р, такой, 8Ш(р = -щ| и созф = -щ-, исходное неравенство можно записать как ] sin^(p-i-cos^{p>l, [ sin^(p + cos^(p = l. I sin^(p> sin^cp, ^ sin^(p< sin^(p, И так как j для z<2; < для z>2, нера- [cos^(p>cos^(p [ cos^ (р < cos^ (р венство sin^(p-»-cos^

l выполняется только для г<2. Значит, исходное неравенство имеет решение 2<2. 5. Дифференцируем первое равенство. Имеем у"=е^(у + у'). Полученное равенство не согласуется со вторым для любого х. Единственное решение: у = 0. 6. Используем известное свойство >з^3°-3'’-3"=^7за^'’^"=зу^=1. откуда 3®+ ЗЧ 3^> 3. 287 Вариант 2 1. а) Нули функции совпадают с нулями косинуса х = | + лА:, keZ, Точки с такими абсциссами, что cosx = ±l, лежат на графике у = ±е^. Искомый график можно построить, используя графики у = е^у у--е^у y=cosx (рис. 188). б) y' = €^{cosx-smx)y у'(0) = 1, tga =1, а =45°. Угол равен 45°. в) Аналогично вар. 1 вычисляем интеграл: I е ^cosx dx = e ^cosx +je ^sino: dx-e '^cosx + e ^sinx - J e ^cosx dx. Откуда 2 J e ^созл: dx = e ^(cosx + sino:), J e ^cosx dx = + C. I X • ^ Значит, S = J e "^^созх dx = ^ (cosx+sinj:) I _ I ^ 1) -1. Покажем, 4ToS>l. Действительно, S = I(COS1+ Sinl) -1 = ^ sin (1+f) -1 > ^ sin(f) - i > ^ • 1,4■ 1,73- i > 1. Итак, S>1. 2. x = 3. Cm. решение вар. 1. 3. Доказательство аналогично вар. 1. 4. Решение аналогично вар. 1: 2 >2. 5. Решение: i/ = 0. 6. 3~°+ 3-^+3- ^ ^з~а g-ft g-c ^ 3^^-(а+Ь+с) ^ 3^^ ^ ^ 3"“+3'*’+3. 288 Тема 10 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Задание Логарифмирование и потенцирование Вариант 1 1. log4^“ 21og4 4x'^= 21og4|x|-l- 81og4|A:| - 2 =-61og4|x| - 3. Тогда функцию можно записать: f{x) =-61og4|x| -3 (рис. 189). 2. -log2log2^fJ2 =-log2\og22* =-log2| = 2. 3. a\b^=7ab, значит, {а-ь b)^-2 ab = 7ab => (a+ b)^=9ab a+b = B^faby следовательно, = 4ab. Поэтому Ig - 0,5 (Ig a + Ig 6) = Ig -/ab - - ^\gab = \g^^ab-\g^fab = 0. 4. Заметим, что v3 + l = -pJ—, V6-2 = -jJ—, Поэтому л/з-1 Ve + 2 log2( Vs - 1) + log2( Ve + 2) = log2 + log2 = 1 - log2( Vs + 1) + 1- -\og2(4&-2)=2-k. 5. log4l8 = |(l + 21og2 3). Достаточно доказать, что log23 — иррациональное число. Докажем от противного. Предположим, что log23 = “ — рациональное число, — — несократимая дробь, m и /г — т взаимно простые числа. Тогда 2" = 3 <=^ 2"^= 3". Это равенство не может быть верно ни при каких /п и л е 7V, так как четное число не может быть равно нечетному. Значит, log23 — иррационально и log4l8 — иррационально. Вариант 2 1. log6^-21og6&«;®=21og6k|-l-121og6|x|-2 = -101og6|x|-S (рис. 190). 2. -lglgi°Vi^0 = -lg(j^lgl0) = -lg^ = 2. 100 3. Доказательство аналогично вар. 1. 4. Значение выражения равно 2 - 5. logie36=^log2 6= ^(l+log2 3). Как уже доказали в вар. 1, log23 — иррациональное число. Значит, logi^SB — иррациональное число. Задание 10.2, Переход К другому основанию Вариант 1 1. 2-loga(a^- b^) + 21og^2(a-&)-log^-i(a + &) + 0,51og^(a^+6^) = = 2-loga(a^- &^)+loga(a- b) + logo(a+ b)+logo(a^+ b^) = = 2-logo(a^- 6^)+loga(a^- b^) +loga(a^+ b^) = 2-loga(a^- 6'*) + + loga(a^-6'*) = 2. Значит, logo у = 2. у от b не зависит. 2. а) Перейдем к основанию 2, и тогда исходное выражение равно log2* log2x ___^ ■. loif^ X +_______-______+_________ log2 3 2 log2 3 log2 5 logg 5 logg X _ log2 5 4-1 + log2 3 _ log2 15 + 1 _ ^ log| д: log2 3 Iog2 5 log2 30 log2 30 log2l5 + l 6) Результат пункта (a) можно обобщить следующим образом: logm ^ logn X + \og[ X logn л: + log^, x logf X, .. logm X log„ X log/ X Smnl Перейдем к основанию n, тогда lo^ X ^ log^ X ^ log^ X logn m logn i logn ^ ^ogft ^ ^ogn^ _ logn ^ + logn +1 _ logn ^ _ logn log|x \og„mnl logn топ/ log„TOn/ log„TOn/ logn 'n logn ^ 3. l„geI6=41og,2 = ^ = jj^. l„8„27 = 31og„3.gg.^.a. Откуда log23=^^. Значит, искомый логарифм равен При 3 + а ЭТОМ а^б“3, так как a = logi227>0. 4. Перейдем к десятичным логарифмам, тогда Inff QO- lg80_l + lgS_l + 21g2_o 1 , 9__3^ ^Og2Qbi) l + \g2 l + lg2 ^ l+lg2’ l + lg8 ^ l + lg8’ так как ig8>lg2, то i + jg'f ^ i + igg* значит, второе число больше. 5. Перейдем к основанию 5, тогда левая часть неравенства равна ^ + log54. Так как log54>log53, то ^ + logs4> j3^ + log53>2 . В последнем неравенстве использовано свойство суммы положительных взаимно обратных чисел. Исходное неравенство неверно. Вариант 2 1. Не зависит. См, вар. 1. 2. а) 1; б) см. вар. 1. 290 3. 1„8е1в.41ог.2.4М-гпЬ-а, l„g„27-gfl = ^ 31og23 log23 \0g2i2 I- log23 ’ log23=-^, поэтому logi227= 12-3a 2a+4-a a+4 , при этом a^-4. 4. logi5l6=logi5(415) = logi54+l, Iog6o480=log6o(60-8) = log6o8 + l. Достаточно сравнить logi54 и logeoS- Рассмотрим 4 о о 31ogi52 21ogi52 + 41ogf 2-31ogi52 Iogi5 4-log6o8 = 21ogi52-j^2T^ =-------i;2^5 2-------= _ Iogj52(41ogi5 2-1) _ Iogi52(logi5l6-1) l + 21og]g2 l + 21og|52 Так как logi52>0 и logi5l6>l, последнее выражение положительно, значит, logi5 4 > log ео8, откуда следует, HTologisGO > logeo480. 5. Нет, неверно. Действительно, (log7 + (log67)-^ = ф +^ ® ^ ® 2 ’ так как сумма взаимно обратных положительных чисел не меньше 2. Задание 10,3. Действия со степенями Вариант 1 1, Нетрудно преобразовать исходное выражение g21og65^ jQ-lg2 + l_glog9 36^^21og^V3_ glog6 25^_l0__glog3 6^ 2^0^2 3 _ 10 \g2 = 25 + ^-6 + 3 = 27. 1 IgQ 1 igb j 2. Исходное выражение можно записать в виде 6^*®" ■ =(а • 6)^. 3. а) Покажем, что g}ogbC^^\ogba = <=>log;,c-logba = logf,a-logi,c. Тогда Значит, исходные выра- жения равны, б) Обобщение следующее: 4. Исходное неравенство равносильно следующему: —■ < О <=» logs” «log5(log5д:)<0<=>I^ 1<д;<5_ Значит,д:бЛ7:х=2,д:=3, л:=4. [logjjoO, 5. а) Представим числа в виде (2101)® и (3101)® ФФ 2®•^°^•101®®®•101^®^ и 3®•^®Ч01®°®•101^‘’^ следовательно, можно сравнить числа 23 101 loiioi JJ 32101 ^ 808101 и 9^°^ Ясно, что 808^”‘ > Значит, число 202®”® > 303®°®. б) Сделаем обобщение. Пусть число х = поп — трехзначное число: поп = 100тг+/г, у= (п+ 1)100 + (л+ 1), где 1<п<8. Тогда х^>у^. Действительно, jc^= (п • у^=((л +1) • 101)”^®^. Для срав- 291 \Л + 1 нения исходных чисел достаточно сравнить ^ = (л*101) и 2=(101-(л + 1))”. 2=101"-(л + 1)"» далее можно сравнить и (/г + 1)”, /г-101 и J так как для 1<п<8 <3, то 101/г>^-^^ и, значит, л:^> у Вариант 2 1. Выражение можно записать в виде у log7 25^j^Q2Q-lg3_4 logie 49 ^ ^ 2 log^ '^=25+ ^ - 4 ’°®'* '^ + 3 ^ = 1 П ^ = 25 + ^-7 + 5 = 261 1 U о 2. {аЬ)~К 3. а) равны, см. вар. 1. -V /—logft с /—logfc а o)^]a =^с 4. X = 2, д: = 3, X = 4, л: = 5. 5. а) В вар. 1 доказано, что 202 _1_ 1 202®°Ь 202 >303303 ^ 202202 > зоззоз ф=>202^^ > зоз^^. 1 i б) х' > г/^, где X и £/ см. в вар. 1. Задание 10А, Производная логарифмической функции {sinx-cosx>0, 1. Искомые точки можно определить из системы] cosx + sin;c f cosx + sinx =0, О , . „ <^x = fn + nkfkeZ, [sinx-cosx >0 ^ 2. Область определения функции: i/e(0; 1). В области определения функция имеет производную, поэтому в промежутках убывания производная должна быть отрицательной. g'iy) = 1 + - Г>0. ,-/iV ^la-yYj ^ 1-»" Значит, функция не имеет промежутков убывания. 3. Область определения функции найдем из системы: 2"^-8г + 15>0, 2-1>0 г>5, _г<3, 26(1; 3)U(5;+оо). 2>1 В точке 2=4 функция не определена, поэтому производной не существует. 4. Исходное неравенство равносильно 1-1-1пх<0, В точке х = 1 оно верно, левая и правая части равны нулю. Вычислим производную 292 (1-i-lnx) . Производная имеет экстремум в точке х = 1. Это точка максимума, и значение функции в этой точке равно нулю. Значит, в точках 0<я:<1 и х>1 значение функции меньше нуля. 1 - — - \пх <0. Значит, 1 - - < Inx, и неравенство верно при х > 0. 5. + ^ + Тогда Х+1 JC+1 дг + 1 dx f(x) = jf'{x)dx = j{x~l)dx + j^^~^-x+ln{x + l)-^C при х>-1. Вариант 2 1. Искомые точки можно определить из системы sinx +COSX >0, ' sinx +COSX >0, f'(x) = " cosx-smx = 0 sinx -cosx =0 <=> X = ^ + 2nky ke Z. sin x+ cosx 2. Нет промежутков возрастания. 3. Область определения: г> 6, поэтому h'(S) не суш,ествует. 4. Верно. В точкех = 1 функция 1пх-х + 1 принимает наибольшее значение, равное нулю. Это следует из равенства нулю производной (1пх- х-ь!)' = -- ! в точке х = 1. 5. (х-1 + ir х-1 , - = х -1-1-2-1-^-г = х-1-1-1-^^. х-1 х-1 д:-1 /(х) = |/'(х)с?х = ^+х + 1п(х-1) + С при X >1. Задание 10.5, Свойства логарифмических функций Вариант 1 1. Область определения удовлетворяет системе sin7ix>l, fsinnx>l, fsin7ix = l, 02 при у>0 и ~+у<~2 при у<0. Значит, поэтому ^<1-1-—^<| и ^0 <=> ze(-«>;+«>), Для любого Z h{-z) -lg(-2+ ^jl+z^) = Ig I—L— = “lg(2 +^jl+z^)= -h(z). Функ- ^]l + г^+г ЦИЯ h{z) — нечетная. 4. log375log2l6=4. Значит, log3?5 sinx, ToO1. Первое выражение меньше. Вариант 2 1. Область определения — пустое множество, 2. Заметим, что искомая функция отличается от функции вар. 1 только знаком. Поэтому можно использовать полученный в вар. 1 результат. Область значений функции [-log21; 1]. 3. Область определения функции > 0 2g(-1; 1) симметрична отно- сительно нуля. Для любого 2е(-1;1) верно ^(-2) = lgj^--lgY^ = = -h(z). Значит, функция h(z) — нечетная. 4. Так как log4 60<3, а log330>3, Iog4 60-log330<0. Знак «минус». 5- logcosxCtgx=log<.osx^ = l-logcos*sinx. Так как для хе(^;|) о < COSX < sinx < 1, то о < logcosj: sinx < 1, значит, о < log^osxCtgx < 1. Тогда logctg;c ^ cigx ^ ^' Значит, первое выражение меньше. Задание 10.6, График логарифмической функции Вариант 1 1. Рис. 191. 2. (logo,s(^ +1)^)^ = 12logs I ^ +111 (рис. 192). 294 Рис. 193 3. Преобразуем исходную функцию: у = loga(jC + у]х^~ 1) -logi (ДС - -y/jC^-1) = а = l0ga(x + ^|x^^) + \0ga{x-^jx^-^) = = loga(x^-^^lx^-lf) = \oga 1 = 0 ДЛЯ Х>1. Итак, у(х) = 0, лг>1 (рис. 193). 4. Область определения функции: л:6 (0; e)\j(e\ +«>), lim , ^ , =0. Оп- ределим экстремальные точки: 1 У'{х) ______1_ Г+Х- _ 1 г» у'(х) = 0<^\пх ~2 = 0<^х = 9 9 9 Точка х=е — точка минимума, у(е ) = е (рис. 194). 1пл-1 (1пх-1)2 1пх-1 (1пх-1)2 му 5. log3i„;,(l-cos2x) = logsi„^2sin2x = 2+log3i„;,2 = 2 + 3^^^. Функция определена для 0 хе (2лА; | + 2тс/г)и(| + 2яй; л + 2яА). Нарисуем график для хе [0; я], lim log2(sinx)-^ “оо, поэтому lim logsin^.(l-cos2x) 2, X—>0 lim loggin^.(l-cos2x) —> 2 X ->7C (рис. 195), Нули функции из уравнения cos2x=0: х = -~ + |А, keZ. Рис. 195 295 Вариант 2 1. Рис. 196. 2. -^(logo,5(x-l)^)^ =|2Iog5|x-l||. График функции имеет вертикальную асимптоту (рис. 197). 3. у = -log д (х - +log^_i (х +^Х^^1) =-loga(x - ^|x^-l) {х +^jx^~l) = = -logal=0. функцию можно записать так: График [х>1. приведен на рис. 193 (см. вар. 1). 4. lim , ^ 1=0» Из условия у'(л:) = о определим экстремальные точки; jC^QinX+l —^ = О <=> X = 1. Точка X = 1 является точкой минимума, I/ (1) = 1. (1пд:+1)^ Прямая х=^ — вертикальная асимптота (рис. 198). л 5. logcosA:(l‘^^os2x) = logcosx2cos x = 2 + logcosx2* Область определения f0 0<со8Х<1 Ф=> [l+cos2x>0 <=> хе (-|-1-2лА:; 2Kk)\J{2nk; | + 2яА), ke Z (рис. 199). 296 Задание 10,7, Интегрирование и логарифмическая функция Вариант 1 2х 2х 1. J-^ = lny I =1пд:^, | —= I =1п2х-1пх = 1п2. Тогда искомое ра- I ^ X ^ венство приобретает вид 1пх^=1п2 <=>х^=2, х = V2. Итак, при д: = л верно равенство. 2. а) J’ = |ctgfdf = j^df = j^|^ = ln| sint|+C. б) Искомая первообразная определяется из условия In | sin 11 + С = О, то естьС = 0. Значит, первообразная имеет вид i^(x)=ln| sin^l. в) График первообразной приведен на рис. 200. 3. Сделаем замену: 2 = -, dz=^—\-dx, ^ хг 4. Площадь треугольника АВС площадь криволинейной 2а и трапеции^ = J-^dx=lna (рис. 201). По условиюSi= =^^^ = lna, 1 тогда |-lna = ~. Равенство верно при а = 1. При а>1 обе части равенства убывают, но с разной скоростью: —^ и Отсюда следует, что равенство не может быть верно при а>1. Итак, нет таких а, при которых выполнено условие задачи. 5. Прил:е[2;3] 1пх<2. Значит, Jlnx(ix<|2dx = 2. 297 Вариант 2 1. Исходное равенство равносильно следующему: 1пх^= In4x-ln2x, то есть1пх^=1п2 ^x = ^^2. Итак, условию удовлетворяет х -V5. б) f (0 = -ln|cosf|. в) Искомый график приведен на рис. 202. Рис. 202 Рис. 203 3. ^j 2^+ Х dx , замена ^ = -/х, dt~—^dx, тогда интеграл равен х+1 ’ * * 2^ 2\-f£L^ = 2ln(t + Jt^+l) + C = 2ln(^ + Jx + l) + C. J /*2 , I jr + 1 4. Si = -~, S = J^dx = -lna = ln-^ (рис. 203). По условию, -| = Si «=» 5. Прихб[4;5] Inx<2, значит, Jlnxdx = TO есть ln- = l-a. 2 a 2 a Последнее уравнение имеет корень а = 1. На промежутке а е (0; 1) функции 1п^ и 1- а убывают: (1- а)' = -1<0, причем -^<“1, значит, скорости убывания различные, и поэтому уравнение решений на промежутке а е (0; 1) не имеет (рис. 204). 5 298 Задание 10.8. Контрольное задание Вариант 1 1. Исследуем функцию: lim — У-- = О, lim —■ = lim т^= О, корень In^X Х-^0 In^X функции х = е. Прямая д: = 1 — вертикальная асимптота. Определим экстремумы. J/'= 1 ^-2(i££z« . 1, у' = о«1 -= о,-fl--1 = о «1пх = 2,сле- ^ In^v Inx ’ Inx 9 9 1 довательно, x=e — точка максимума. y(e ) = -j (рис. 205). 2. a) Площадь криволинейной трапеции (рис. 206): 1 2 1 S = f a^dx-\- \—dx~^^\ + a In 2 = ^^ +a In 2. j J X In a' In a 0 1 0 Рассмотрим, в каких границах изменяется площадь. S (а) = -?-^ + а!п2. lim а1п2^ =1п2, lim + а1п2^ = «>. 1па / а->оо\1па J Итак, S(a)e (1п2; +«>). б) Левая часть площади при а = 2 равна правая часть площади — 2 In 2. Рассмотрим разность 1п2 1п2 1п2 _1->/21п2 + У2а-У21п2) 1п2_ (1-V21n2)q-У21п2) _ д-У21п2)^ 1п2 1п2 1п2 Так как 1п2>0, то j^-21n2>0, и, значит, левая часть площади больше правой. 299 3. Исходное неравенство равносильно следующему (переход к основанию у): . logy ^ ^ logj, log,x 0 3“>2^, левая часть неравенства больше правой. 5. График y = \logax \ при а > 1 и х> 1 совпадает с графиком yi= logaX; при о<х < 1 совпадает с графиком 1/2 = logj^x (рис. 208). Вычислим углы наклона касательных в точке х = 1 к этим графикам: 1 _ 1 _ 1 У2-— х\п-^ X 1па ‘ Для того чтобы в точке х = 1 касательные пересекались под прямым углом, необходимо и достаточно, чтобы = о у^ = 1па а = е. У2 1п й Итак, при а=е ветви графика у = \1пх\в точке х = 1 пересекаются под прямым углом. 300 6. Уравнение касательной в точке Xq таково: у = /(л:о) + /'(хо)(х-Xq). Так как отрезок касательной делится пополам в точке пересечения с осью у и точка А имеет абсциссу Xq, абсцисса точки пересечения с осью X равна -Xq; то есть точка (-Xq; 0) лежит на касательной. f(xQ)-2xQf'(xQ)-0, откуда имеем ^ = |^^ln/ = llnxo+C, ln/ = ln(Ci^) => f = Ci^. Из условия прохождения графика через точку А(1; 2): f(x)=2^^x, х>0 (рис. 209). Вариант 2 1. lim = о , lim ^7-^^ = 0. Прямая х = 1 — вертикальная асимп- >0 In^x \п^х тота. Определим экстремумы из условия у' = 0 ^ 1пл: +1 = 0 ^ \пх 1п2д: (рис. 210). L =0^---------L-----^ = 0olnx = -2<^x = e'^l/(e’2) = -l xln^x а Рис. 210 2. а) Если заменить х на -х, задача сводится к вар. 1. Площадь меняется от 1 + 1п2 до оо. у б) Площадь справа от прямой ‘ х = 1 больше. 3. Аналогично вар. 1, исходное неравенство можно записать так; Границы множества точек задаются уравнениями: у = х, = х = 1, х=0, у = 0, у = 1 (рис. 211). 301 4. Нет, неверно. Действительно, при а = 0 выражения равны. Производная левой части при а<0 3“<2“ меньше производной правой части. Это значит, что при а<0 левая часть больше. 5. а = -. При а<1 график I/=|logдД:| совпадает с графиком i/=|logx^:| е а и произведение производных в точке л: = 1 равно -1. Поэтому ветви графика перпендикулярны. 6. i/(x)= - 2л/^^, д:>0. См. вар. 1. Тема 11 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Задание ILL Показательные уравнения Вариант 1 1. а) Применим ряд равносильных преобразований: (I) "" ^=1<=>д:2-3=0. , 22.2 2 л2.2 1.2^-3^ = |-3^-4-2^ « |.2^ = |-3^ <=> Итак, уравнение имеет решение д: = ±л/3. б) 5 • 4 • = 52sinxcosx ^ 25 - <=> <=> 25^“®^^^^= 1- sin^jc= sinxcosx <^cos^x- sinxcosx = 0. следовательно. cosx =0, tgx = l л: = | + я/е, X-^ + nlj 4 kf I €Z. b) Исходное уравнение равносильно следующим: 2^^-1 + 2''-22^=0 <^(2^-1)(22^+1 + 2^)-2^(2^-1)=0 <=> <=> (2^-1)(2^^-»-1) = 0 ^ 2^= 1, значит, корень х-0. 2. Исходное условие равносильно совокупности \y-x = L xhy^>16, у-х>0, xhy^ = 16. Заметим, что равенство у-х= 1 — уравнение прямой, у-х = 0 — 2 2 уравнение прямой, х +у =16 — уравнение окружности с центром 302 (0; 0) и радиусом r = Vl6= 4. Итак, исходное множество точек выглядит так (жирная линия) (рис. 208). 3. Нетрудно проверить, что если Хо>0 есть корень уравнения, то и число -Xq есть корень уравнения. Также проверка показала, что х-0 является корнем уравнения при а = 1. Значит, уравнение может при аФ1 иметь либо четное число корней, либо не иметь их. Исследуем уравнение при х>0. Оно равносильно запишем его в виде 100"^=x^+а^, левая часть уравнения от а не зависит и является показательной функцией которая убывает при лг>0 от 1 до «почти» 0. Правая часть уравнения — квадратичная функция, возрастающая от до Если | а| =1, то уравнение имеет один кореньд: =0. Если] а\ =0, уравнение имеет один положительный корень и один отрицательный корень (всего 2). Если I а| >1, уравнение корней не имеет. На рис. 209 приведены графики. График числа корней см. в вар. 2. Вариант 2 1. а)д: = -0,5. б) x = ±f-§ + TcA, keZ, о о в) я: = о . 2. Множество точек определяется из совокупности х^+у^<А, х + у = 1, х^+у^=4. Х-¥у>0, 303 п > • 1- • -1 0 г а Рис. 211 На графике точки лежат на прямой и окружности, отмечены жирной линией (рис. 210). 3. Решение аналогично вар. 1. Ответ такой же. Приведем график зависимости числа корней от значений а (рис. 211). п — число корней. Задание 11,2, Равносильность при решении показательных уравнений и неравенств Вариант 1 I—^ [б^-1>0, \х>0у \х>0у 1. а)-J25^-l = 5^-l <=> i <^ \ <=» I <=^х=0, |25^-1=(5*-1)2 [2.5^=2 [5^=:1 б) Исходное уравнение равносильно совокупности систем: |з' -3>0, [з‘'-3=3'"-2-3'-3, [з'"-з<о, -3''+3 = 3‘'-2-3‘-3 [2-3'=0, \t^ I 2‘^+2 + 1>0 304 z^+z0, \ 2^+2>0, I z^2z = 0 <=^ -1< zOy z>Oy <=> z<-l 2 = -2, 2=0 2 = 0, 2 = -2. 6)x^>x^ , область допустимых значений: л:>0, тогда верно \og2X^>\og2X^^ илил:log2л:-x^log2^>0, x(l-x)log2A:>0. Рассмотрим 0<д:<1, при этом log2A:<0, х>0, 1~х>0у значит, выражение X (1 - д:) log2 X < о, то есть нет решений при 0 < х < 1. Рассмотрим х > 1. При этом log2X>0, х>0, 1-х<0. Неравенство также не имеет решений при х > 1. Итак, неравенство решений не имеет. в)|4^-2^|>2^-1 <=> 4х_2^>2^-1, 4^-2^<1-2^ 4^-2-2^+1>0, 4^<1 (2*-1)2>0, х<0 Х9^0, х<0 xeRy X9t0. Вариант 2 1. а) Уравнение равносильно системе fl-6^>0. [l-36*= (1-6*)2 л:<0, ^ 2-Зб*-2-6*=0 ^ jc<0, 36*= 6* <=»jc=0. б) Нет решений, см. вар. 1. 2. а) Исходное неравенство равносильно системе р-2 + 1-1)ТЛ^>0, ^ , [2^-2 + 1>0 <=> 26 (-оо; 0]U[2;+«>). б) Исходное неравенство равносильно системе ^>0, fx>0, \х>0у xl0g2X0, 2^-2 2>0 305 в) Исходное неравенство равносильно системе [9^_3^<1_3^, [9^<1, \х<0. <=> <=> <=» лс<0. [9*-3*>3*-1 [9*-2-3*+1>0 [(3*-1)2>0 Задание 21,3. Показательные неравенства Вариант 1 1. Пусть 2^~^= tj тогда 2^, и неравенство примет вид 1-^1 ^ 2-Zt ^ 2t-l 1-t (2i-l)a-f) Неравенство можно решить методом интервалов, — . +, - .__________+ _ 12 1 t 2 3 te{^; |)U(1; +~). Тогда 2^"^е(^; |)U(1; +“)» и решение исходного ^2’ 3 неравенства л:G (0; log24)U(l; +~). 2. Исходное неравенство равносильно -^9^-9-3^>3^-9. Пусть t = 3^, \t>9. тогда 9f >t-9 t(t-9)>{t-9)\ t<9, t{t-9)>0 Тогда X удовлетворяет неравенству 3^>9, 3^<0, ^ >9, ^<0. откуда x>2 — решение неравенства. 3. Исходное неравенство равносильно системе х*'+х + 1>0, (Лх + 1-1)(|^-3)>0 ^ >о <=> д^(1+^)(2дс+1) х + 2 ~ (х+2) ~ -2 -1 Решение; хе(-2; l]U[-i; 0]. 4. Исходное неравенство равносильно следующему: А так как cos д:>0, это неравенство не имеет решений. 5. Покажем, что правая часть неравенства не меньше j. Действительно, 0,5i/^-5i/ + 13=i(i/-5)^+^>|. Левая часть неравенства не боль- 306 ше Рассмотрим неравенство (5'^-5)^>0, верное для всех х, оно равносильно 5 + 25 > 10 • 5 , откуда имеем ^. Значит, дейст- 5^* + 25 2 вительно, левая часть исходного неравенства не превосходит Поэтому исходное неравенство верно при 9 1 0,5у -5i/ + 13=^, что возможно при х= 1, у=Ъ, 5-5" б2'+25 2 ~jr И Вариант 2 1. Если обозначить t=S^, неравенство для t будет иметь вид - 2t-S Тогда te(l;|)U(3; +«>), Для х неравенство имеет вид <0. 1<3"<|, 3^>3, откуда получаем решение хе (0; log3|)U(l; +о°). 2. хе (2; +оо). Решение аналогично вар. 1. 3. Исходное неравенство равносильно системе (х^-х + 1>0, решение которой есть хб(-2; -|]U[0; 1]. 4. X nky keZ. 5. Решение: x = l, y = -5. См. вар. 1. Задание 11.4, Системы уравнений Вариант 1 1. а) Первое уравнение системы можно записать как 1. ~у= 1. хеЛ. х = 2, Учтем второе уравнение Решение этого уравнения: X -1/ = 4, тогда решение: У>0у у= 1, х = 5, у = 2, х= 6. б) Из второго уравнения имеем z-y^, подставим в первое уравне- i I. ние и получим у^=х, в третье и получим у^ = у^. Значит, система примет вид 1/*'=Х из второго уравнения следует, что либо z/ = l. у^ = у^. 307 либо при у>0 у, то есть У = 1, у>0, f=y. Если г/ = 1, тох = 2 = 1. Если х = у^, то у^=у^, откуда у=2, z~42, х=4. Решения: (1; 1; 1), (4; 2; -J2). 2. Известно, что (х - у) >0, откуда получим, что х + у > 2ху. Тогда 52*!,. • 5^'% 25*^ Так как л:2+2j/2>o, ТО 5^ тогда для возможных решений (х; у) правая часть Зфавнения Значит, ху>0. Но при ху>0 25^^> 17^^. И поэтому >1Ч^У. Равенство возможно только при д:=1/=0. При этом первое уравнение примет вид (1 + 0)^+(1 + 0)®= а, то есть единственное решение возможно при а = 2. Вариант 2 1. а) Первому уравнению системы удовлетворяют все у при х = 1 и все х>0 при у = 5 или 1/ = 2. Тогда, учитывая второе уравнение, имеем Гх = у = 2, х = 1, z/=3. 1. б) Из второго уравнения имеем х = 2 ^, подставим в первое и третье у 2" = Z/, уравнения, получим 2 = 1, второе уравнение имеет решение 2^=2^, ИЗ которого имеемх = 1/ = 2 = 1 и 2^= 2 , то есть 2 = 2. При 2>0, -=2, 2 2=2 у= 4у x = ^^2, Итак, решения х = г/=2 = 1, х = 42, 1/ = 4, 2 = 2. 2. Решение аналогично вар. 1. Система имеет единственное решение при а = 2. Задание 11,5. Контрольное задание Вариант 1 1. Исходное уравнение можно записать в виде 2х-1 2х-1 2-х 2-х 2=2^*' «(i) ■*=2’^"» 5^-2 <=>5*-2=2-2 ( * ^ 2-х х = 2, <=> 5-2""^ = 1 1 <=> 1 > 5-2^^'=1 - ■д: = 2, _JC = -l-log52, положительный корень исходного уравнения — х = 2. 308 Запишем равносильные неравенства: 4i/4 3 • 3^+I/• 3^-21/2-21/- 6<0 <=> о 4i/2-2i/2 •3^+3-3'^-6+j/-3^-2i/<0 « <=> -2 1/^(3^- 2)+ 3(3^*'- 2) + y(Z^^~ 2)<0 «. ■Jy_ i <=>(3 9\(~ 2)(-2y^+i/ + 3)<0o2(3>/j'- 2)(у + 1)(у-\)>0. Так как y>0, то у + 1>0, значит, достаточно решить неравенство ~у>Ь 0/^- 2)(z/-|)>0. Откуда имеем решение: 3. Из первого уравнения имеем х = у^, тогда из второго у^= ~х = 1. .Гу Отсюда ~y = h y = h тогда _У = 4, л: = 2. Надо определить, на какой прямой лежат две точки (1; 1) и (2; 4). Уравнение прямой имеет вид Ад: + By+ 1 = 0. Подставляя точки, определим А и В. Тогда -|jc + |i/ + l = 0 или у= Зх-2. В системе координат построим графики левых и правых частей уравнений у = а^ и у = |д: + 2|-| 2х + 8| (рис. 212). Левая часть уравнения принимает наибольшее значение при x = -4, равное 2. Левая часть уравнения положительна при -6<д:<-^. Так как правая часть уравнения не может быть меньше нуля, возможные корни в интервале (- 6; Об- О ласть значений левой части уравнения при д:е(-6;-^) U уе (0; 2), причем каждое значение уе(0; 2) принимается дважды. Рассмотрим область значений у=а^ при д:е(-6;-^) при различных а. Приа>1 о < а *< 1 при любом д: < о. Это означает, что на промежутке (- 6; - имеются две точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения, и уравнение имеет два корня. При 0<а<1 и хб (-6; “^) у = а^е(а ^;а Рассмотрим подробнее л: е (-6; Прил:е(-6; -4] i/ = a% [а'^; а“®);при -.10 хе[-4;-^) у = а^е{а Так как левая часть уравнения принимает наибольшее значение при д: = -4, равное 2, и правая часть убывает, то для установления количества корней надо сравнивать 2 и а . Если а "^< 2, то графики левой и правой частей уравнения пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня. Если а 2, то графики пересекаются в одной точке (- 4; 2) и уравнение имеет один корень л: = - 4. Если а 2, то графики не пересека- ются и уравнение не имеет корней. Итак, при а"^= 2, или а - V2 уравнение имеет единственный корень. 5. Пусть Тогда имеем (af-1) ^>(^-l) " ^ >0. Еслиа>1,то 1-а<о и решение неравенства te(-oo; 0]U(-^; 1), и так как t>0, 1). Если 0<а<1, то 1-а>0, ^g(0; 1)U(-j; +«>). Решим неравенство для а^. При а>1 1), значит, sinjc6(-l; 0). По условию, д:е [0; л]. Значит, неравенство при а>1 решений не имеет. При 0<а<1 (0; 1)U(^;+°°), откуда sinx е (-1; 0) U(0; 1). Значит, х е (0; л). Итак, при а > 1 неравенство решений не имеет. При 0<а<1 :icg (0; л). Вариант 2 1. Исходное уравнение равносильно уравнению Зх+З 7Х о х+ 2 7^-3 1 Л х-1 =1. Решаем х -1 = 0 либо 7 • 3^ 1, откуда имеем х = 1 или х = log71-2. Положительный корень уравнения: х = 1. 2. Неравенство можно переписать в виде (5^- 3K3I/2- у - 2) <0 « Шу -1) (I/ +1) <0 г "Л то есть i/G((log53)^; 1). 310 Поэтому решение такое: у = х^ подставим во второе уравнение и получим х^=х^, тогда х = 1 либо Vx = , откуда ых х= 4. и=1» [х=4, [У=2, Уравнение прямой: х - Зу + 2 = О. 4. Уравнение имеет единственное решение при а = ^. См. вар. 1. V2 Графики левой и правой частей уравнения приведены на рис. 213. 5. Если а>1, то xe(0;7i). Если 0<а<1, то нет решений. См. вар. 1. (а>1) Рис. 213 Задание 11.6, Равносильность при решении логарифмических уравнений Вариант 1 1. а) Область допустимых значений: х>1, л: - 1-Лз X -- 1 +Лз j>o, ТО есть X > 1 + Лз х-1 = х -х-3, Тогда исходное уравнение равносильно 1 + 713 Корень х = 1 + -Уз. б) Исходное уравнение равносильно системе У*0, У*2, 1/^1, y*+6y^+9 = (y-l)‘^ <=» У^о, 1/^2, y^h (yh3f-{y-l)^=Q 311 y*Q, y*2, y*h 2j/ + 2 = 0 « y = -l. y*o, У ^2, y^i, (y^+3-(y-lf)(y^+3+(y-lf) = 0 |2 = 1, I log^2 z — существует, |2>0, |log^2 2 = 0 r) log2(2‘+l)(log2(2‘ + l) + l) = 2 «=>log|(2< + l) + log2(2f + l)-2 = 0 <=> log2(2‘+l) = l, B) 2 ^og^2i = 1 <=> 2>0, 2^1, 22 = 1 2Ф1, <=> 2 = |. « (log2(2i +1) + 2)(log2(2< +1) -1)=0 « ’2*+l = 2, log2(2‘+l) = -2 241 = 2 -2 <=»2'=lot = 0. У^ 1 0 -1' 1 1 1 d, X 2. Исходное множество определяется из условий: х>0, -у>о. -У= У г/=-1. х>0, (рис. 214). хф1 Рис. 214 Вариант 2 1. а) Исходное уравнение равносильно системе -л:-1>0, -x-l = x^-|x|-3 ^ \х- ^ ^ Х<-1у <=> ^ <=> х^-\х\ + х-2=0 Ь:^ + 2л:-2 = 0 х<-1. =-1->/з. б) Исходное уравнение равносильно системе y^-h \y^i\^h I/ + l9t0, <=> /+б1/2+9 = (г/ + 1)'‘ у*о, У*-2, (у2+3)2-(«/ + 1)4=о 312 <=> у*-1, у^о, У*-2, (y43-(y + lfny43+(y + lf) = 0 у^о, у ^ “2, 2-2Z/-0 у= 1. в) Исходное уравнение равносильно совокупности Vz = l, 2 [2^0, ~ 1) — существует, 2>0, log2(2:^-1) = 0 2^-1 = 1, <=> 2 = л/2. z>0 г) Исходное уравнение равносильно уравнению log|(3‘+2) + log3(3‘+2)-2 = 0 (log3(3' + 2) + 2)(log3(3‘+2)-l) = 0 « log3(3‘+2) = -l, 'з'+2 = 1. log3(3'+2) = l 3'+2 = 3 = _1 8 2. Координаты исходного множества удовлетворяют следующим д:>0, х^1. условиям: У= У у>0 (рис. 215). : J. 1' 1 1 1 0 1 ^ Рис. 215 Задание 1L7, Равносильность при решении логарифмических неравенств Вариант 1 1. а) Исходное неравенство равносильно системе х"^+д: + 1>0, 1 ^1, {x^+x + l-l){x-2-(x^+x + \)'^)>Q х-2>0у о х-3>0 <=> x>3. б) Исходное неравенство равносильно системе ' 3Z/+2 {хЧх){х-3)>0, х>2 <=> О < »--v- ^ 1 <=> Зу+2 2у+5 <=» >0 ' 2у + Ь 2г/+5 У-3 21/+5 >0, <0 |0у как x^ « <1^0<д;<3. Тогда 0 (^-l)t(2-r)<0, (^-l)(2f-l)>0, ^>0, tФl 2. Исходное неравенство равносильно системе [0<а<1, (a-l)(x^+2-a)>0, а>0 х^-\-2-а<0, а>1, x^+2-a>0 <=> а>1, а<х^+2, <=> 1<а<2. xeR 3. Исходное неравенство равносильно системе х>0, {х-1){-у-х)>0,<^ -У>0 (рис. 216). 0<х<1, 0>у>-х, JC>1, у<-х 1. a)log^_^^^(^: + 2)<0<=> \х>-2, х(х-1)(х + 1)<0. Вариант 2 х^-х + 1>0у д:+2>0, <=» (д:2-х + 1-1)(х + 2-1)<0, ^ -2-10 IX c^xg(-2;-1)U(0; 1). «) ш loft 2у+3 >1 <=> у>\. Зу-1 . 2у+3 <1 y>h г/<-|,« У-4 2у+3 <0 314 y>h У<-|, <=>|<1/<4. ~^<У<4: в) log( (30 < -^log((30® <=> log, (30 < (31og, (30) 2 <=> t>0, \ogt(3t)>Q, <=> log?(30-31og,(30<0 t>l, 00, (t-l)(3f-l)>0,<=> 00, t>l. 't>43, «fe(0; |]U[V3;+~). 0l, N<■5-3, TO есть 0i-3 0-1-3, <=» xeR «1<а<1. 3. Задача решается аналогично вар. 1 (рис. 217). Задание 11.8. Логарифмические уравнения . Вариант 1 1. а) Исходное уравнение равносильно системе =Ig32, х^+8х+7 x+3>0, л:‘^+8х + 7>0 (х+3)^(х+5)^ _go х^+8х+7 ’ <=> Х>-1 315 ^ I {х^+ 8х +15)2= 32(X Ч8д: + 7), ^ л:>-1 t=x^-\-Sx + 7, ^ = д: +8л: + 7, х>-1у 2 л:>-1. х>-1, д:^ + 8л:-1=0 (t + 8)^-32^ = 0 ^jc=-4 + Vl7. а-8)^=0 б) Исходное уравнение равносильно уравнению 9 <=> logsS 1 _ 1__ ^ 3}0ёз^у\0ШзУ^ д2 ^ 3log3!/j,log3!/= 32 ^ log3(3'“®3J' . y^<^S^):=2 <=> 1 « logg З'°^зу + logg г/>°езУ = 2 фф + log| у = 2<^ «=>log|z/-21og3i/ + l = 0 <=>log3j/-l-2(log3i/-l) = 0 фф <=>(log3i/-l)(log3i/ + log3i/-l) = 0 о Решение: у = 3, у = 3 у-^ г в) Исходное уравнение равносильно уравнению log3i/ = l, , -1±л/5 bg3i/ = ^—. a-S) log2 16 log2 2 - = 4, (log|,„g^|lQ(log2^_^^2^2) = 0’°®-^ ФФ '“Salcoszl log2(2cos23) ’ «=> 2>0, 29^1 f log2l COS z\ • (1+2 logo| cos 2I ) = 1, ’ 1 [2>0, 29^1 2 logfl cos z\ + log2| cos 2I -1 = 0, 2>0, 2^1 TO есть jlog2l cos z\ = ^ [^^^2! cos 2I - - 1, ^ p cos z\ 2 [2>0, 2^1 |l0g2|c0S2|=i О cos 2 _ V2* Решение этих уравнений, удовлетворяющее системе 2<|2|<4, 29^1, 2>0, есть 2 1< , — 2тг ' 3 * 0 ^Х Рис. 218 316 2. Исходное условие равносильно системе х>0, у>0, \х>0, у>0, ^ п <=> д:(у2-1)=о ху = ~ I ^ у х>0, xeRy У = 1 (рис, 218). 3. Исходное уравнение равносильно системе г гг- л г^р— ^t а + / I 1 ) , =lga, Ig a>0 f(-y/i^- a + 0^=-a^, U^~a + t —=— = a, <=> a>0 -a ’ a>0 отсюда следует, что уравнение не имеет ре- [а>0, шений ни при каких а. Вариант 2 1. а) Исходное уравнение равносильно системе [(х^+4х + 3)^=32 (х^+4х-5), х^+Ах-Ъ л:>1 л:>1. Обозначим t = x^+4x + 3, тогда уравнение примет вид f =32(^-8), п которое имеет решение f = 16. Поэтому: л: +4х + 3=16. Последнее уравнение имеет решениях = -2 ± Vl7. Так как для исходного уравнения X> 1, то его корень х = -2 + Vl7. б) Уравнение решается аналогично вар. 1. После преобразований получим равносильное уравнение log2j/-21og2Z/ + l=0 «(Iog2l/-l)(log2l/ + log2l/-l) = 0 log2^/ = lj 1 +л/5 1 -Тъ , -i±v5 г/=2 ' ,г/=2 2 . log2i/ = —^ в) После преобразований, аналогичных вар. 1, получим равносильное уравнение 12 logfl sin z\ + log2l sin г| -1 = О, ^ [z>0, 2Ф1у sin z\ ‘2’ I sin z\ = -~, ' ' V2 Решение, удовлетворяющее условию задачи, таково: з = 2. Искомое множество точек приведенному на рис. 218. х>0, 1/>0, График аналогичен графику. - = хи, у ^ 317 3. Исходное уравнение равносильно системе а>0. Уравнение не имеет решений ни при каких а. -= а, Задание 11.9. Логарифмические неравенства Вариант 1 1. а) Исходное неравенство равносильно неравенству logj,(l + 1/)(г/^-I/+1) • logy+i I/> 2 <=> « logj,(l + у) ■ logj,+iу + \ogy(y^~у + 1)-logj,+i у >2. Так как log^(l+ у) -log^+i i/ = 1, то исходное неравенство запишется в виде log,(l/^- у +1) ■ log,., , > 1 « ^^ « ll/>0 \у + 1-1)(у^-у + 1-(у + 1))>0, \yHy-2)>Q, ^ у>0 [у>0 б) Исходное неравенство равносильно неравенству 1 11/14 flogoX^>logQ(x + l), fx^-x-l>0, i+Vs log^x>pogs(X’^l)<=>\ ’<=»x>-^. [jc>0 [л:>0 b) Область допустимых значений определяется из условий: л:>0, Х>^, «A:E(i: 1)U(1; 2)U(2; 2,5). хф2, 2 х<1, х<г Исходное неравенство в области допустимых значений равносильно неравенству 1111 logg.^X 1огз_д.(2х-1) l0gg„^X logg_^(5-2x) ^ 1 Iog3_x(5-2x)'log3_j.(2x-l) logg.j X log3_;j(2x-l)log3_;^(5-2x) 318 Если0<3-х<1,тоесть 20. Значит, для выполнения исходного неравенства необходимо и достаточно выполнение неравенства Iog3_^.(5-2x)-log3_^.(2x-l)<0 при 2<х<2,5 о 5-2х>2х-1, 2<х<2,5 х< 2’ 2<х <2,5 ФФ XG 0. ЕслиЗ-х>1, что возможно при допустимых значениях хе (|;1)U(1;2), то прилсЕ (i; 1) Iog3_^(2jc-l)<0,log3_j;a:<0,log3_j,(5-2x)>0. Тог- да исходное неравенство равносильно |log3-*(5-2x) 2’ 1) [jcE(i; 1) Ф:> хе 0; если хе (1; 2), Tolog3_^(2x -1)>0, log3_^.x >0, log3_j.(5-2x)>0. Для рассматриваемых значений х исходное неравенство равносильно log3-x(5-2x)0, sin2x >0, sin2x Ф1, cosx >0, cos2x>0, cos2x Ф1. Так как функции периодические и период для всего неравенства есть 2 л, определим область допустимых значений для х е [0; 2 л]. Из решения системы неравенств следует, что допустимые значения хе(0;^). Нетрудно определить, что при sin2х= cosx и cos2x=sinx. Значит, длях=^ имеем log При хе(0; |) cosx>sin2x и cos2x>sinx, поэтому loggin2xCosxl- Решение в промежутке(0; естьхе (0; |). Учиты- вая период, решения имеют видхе(2лп; 2л/г+ |), /геZ. 2. Подставим в исходное неравенство х= 3. Тогда log^2 10 <=> ilogal0 logflVlO 1. Тогда исходное неравенство 319 I 2 [дГ + 1>0, равносильно неравенству Jx +1<х + 1<=^^ « „ ох>0. '' \х^+1<х^+1 + 2х Итак исходное неравенство верно при а>1 их>0. Вариант 2 1. а) Исходное неравенство равносильно системе у>0, у^2, 1у>0, 1/9^1, у^2, i°gy.iyiogy(y-^i), Q 5 « _____1______>0,5 ^ log„ + l(!/+l)(!/^-!/+l) ’ [l + logj,,iQ/^-y+l) у>0, у*1, уф2, 0,5-0.51ogy^l(i/^-i/+l)^ д (*) l + logj, + i(/-i/+l) Для у>0 l+logj,+i(i/- 1/ + 1)>0, действительно 1+logy+i(/- I/ +1) = logj,+i( 1/®+1) >0. Тогда система (*) сводится к системе г/>0, уФ\, у^2, 0,5(1 -logj^+i(у^-у+ 1))>0 у>0, уФ1, уф2, (У + 1-1) У+1 -1 >0 у>0, уф1, уф2, «1/6(0; 1)U(1; 2). <=» б) Исходное неравенство равносильно системе x>Q, [л:>0. X <х + 1 1 /i л <=>01, решаем неравенство. См. вар. 1. Решение: xg(2; 2,5). г) Рассматриваемое неравенство противоположно неравенству из вар. 1. Поэтому решение хе (| + 2яп; ^ + 2яп),/гб Z. 2. Подставим л: = -1. Тогда logo(| +1) < log^ | <=> log^ у < logo ^. Так как ^>1^, ТО неравенство возможно только при 0<а<1, При таких а исходное неравенство можно свести к неравенствам fx^+l>x^+ 2х + 1, 1х+1>0 <^XG(-1; 0). 320 Задание 11.10. Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств Вариант 1 1. а) Из второго уравнения x = i/log3l5 подставим в первое и получим (у logs 15)^= | ^ 1, У*1, у>0, <=> log3(log315) logs у у*1, у>0, <=> у log3(log3l5) = у logs 5 • logs У У*1, У>0, у (logsClogglS) - logs 5 ■ logs 1/)=о <=> logs (logs 15) = logs 5 • logs у « Iog3Qog3l5) «logsy = i^?^M«y=3 '»^з5 ^ у = З'ок531одз(1оез15)^з1о0з(1оез15)‘°з5 3 X = logs 15 (logs 1=(logs 1. fx=(logsl5)‘°®5i5^ Итак, решение: y = (logsl5)'“®^^ 6) Исходная система равносильна системе flogslx|y^=0, [х^-9у^=80 ^ W’ кко, х^-|2т = 80. UI Решим уравнение х^-^ = 80«|х1®- 80|х|-9 = 0<^(|х|-9)(хЧ9|х|-1-1) = 0 « ФФ |х|= 9. Итак, решения: (9; |), (9; -|), (-9; А), (-9; -|). в) Известно, что Тогда первое уравнение системы за- пишем как 2х'°®®^=2 « jc'°K3!/= 1 <=> ^ ^’ х>0, у = 1. уравнения находим решения {х; у): (1; 3), (3; 1). Тогда из второго 321 г) Область допустимых значений: х, у, z> 0. Запишем систему г = х ^ в виде \х=у~^. Легко проверить, что система имеет решение У = г-\ x = y = z = l. Пустьх > 1, тогда из второго уравнения следует, что у~^> 1. Так как 2 > о, то это возможно при у < 1. Тогда из третьего уравнения следует у=2"^<1. И так как х>1, то z=y -^>1. Из первого уравнения следует, что 2 = х“^= —<1. Пришли к противоречию. Значит, корней х>1 нет. Пусть0<х<1, тогда из второго уравнения: х = у~^< 1, и так как 2>0, _i то у>1. Тогда из третьего уравнения: y = z~^> 1 и z=y ^ <1. А из первого уравнения: 2=х~^> 1. Значит, нет решений х<1. Итак, система имеет единственное решение: x = y = z = l, 2. Область допустимых значений: 1<х<2, 2<1/<4, у^З. В области допустимых значений 0<2-х<1, то есть основание логарифма в первом неравенстве меньше 1. Значит, из первого неравенства следует 0<2-1/<1, то есть у>3. Но при 1/>3 0<4-1/<1, и из вто-______________^ рого неравенства следует 0 < 2х - 2 < 1, то о I I If Рис. 219 есть 1<х<|. Итак, решение: (рис. 219). Вариант 2 1<Х<\, 3<у<4 1, а) Из второго уравнения х = y\og^ 15,х>0, у>0, подставим в первое уравнение: (z/log5l5)®'= Z/^(log5l5)^= (log5l5)^= <=>l0g5[(l0g5l5)^] =l0g5(l/^^°^5^) <=> l/loggClogglS) = Z/l0g53 l0g5l/ logs(bg5l5) = I/ = 5 >‘>^53 y=(log5l5)''>®35^ л: = (logs 15) ’“«3 5+1=logs 15'°«315. 322 б) Из первого уравнения log2l^:|+log2y^= О подставим во второе уравнение: х^-^^ = 1Ь<^\х\^-1Ь\х\-А = 0^х^-1б\х\ + \х\-4.=0 <=> ^ (|jcl-4)(x^+4|ji:| + l) = 0 <=> |л:| = 4, у^~ Решения: (4; |), (4; (-4; |), (-4; B)^iog2x^^iog2!/^ поэтому 1 Из второго уравнения находим решения: (1; 2), (2; 1). г) Решение х = i/ = 2 = l. См. вар. 1. X =1. г/>0, х>0, у = 1. Решение: \ (рис. 220). [2,5<1/<3 У 1 1 1 1 1 3 2,5 1 1 izzzzz-'M~-1 1 1 1 1 1 1 1 ^ 0 4 5 л: Рис. 220 Задание 11JL Логарифмические уравнения с параметром Вариант 1 1. а) Пусть а = 1, тогда уравнение принимает вид logj.a = 0. Решения: хе(0; 1)U(1; +°°). Пусть а>0, а^1. Тогда исходное уравнение рав- х^1,х>0у х = а log^x^tO, Х9^1, х>0у посильно системе logo д: 9^-1, <=> ХФ^, « 2+1-0 loga X logo х+1 31ogaJ: = -2 так как а>0 и 1, то а ^^1иа ^ ^ значит, решение: х= а ^ при а>0, а^1. Если а = 1, то решение: х>0, х ^tl. б) Исходное уравнение равносильно следующему: \ogaX^°^“^=loga(a^x) <=Ф log„д:-logo^-2 =0 <=> \х >0, 'logo д: =2, « (logaД;-2ИlogaД: + l) = 0 <=> logaX = -l <=> х= а , <=> Х=^ а>0, 09^1, х= а^у 2. На промежутке[0; |] 0 < sinx < 1. Так как sinO = О, то область допустимых значений: х е (0; |]. Тогда можно записать: 323 -1 ± Vl + 4a sinx= a решение возможно при loga(sin^:) = 1 + 4a > О, так как по условию а > 1, то это условие выполняется. Так -1 t 4а как I sinд:| < 1, то должно быть выполнено условие а ^ <1.При + 4о f-—— -1+ Vl+ 4о ^>1 _1+Vi^<0jj0 1. Поэто- -l-Vl+4a ЛГ+1+ JC-5 = му решение уравнения при а>1 sinx = а ^ arcsin а 2 3. Решим задачу с помощью графиков. Правая часть уравнения не зависит от а: 6 при О < < 6, [ 2:с - 4 при х>6. Левая часть уравнения убывает при 0<а<1,х>0и возрастает при а> 1, jc>О. Пусть О<а< 1. Как видно из рис. 221, графики пересекаются в одной точке. На промежутке хе(0; 1) левая часть уравнения принимает значение (0; +оо), правая часть постоянна и равна 6. Значит, при 0<а<1 уравнение имеет единственное решение. Пусть а > 1. Тогда возможны следующие виды графиков (рис. 222а, 2226, 222в). 324 в случае (в) \og^5 = 6 —одна точка пересечения графиков, i единственный корень (а = 5®). Итак, уравнение имеет единственный корень при 0<а<1 и а=5®. Найдем а, при которых есть решения, и их уберем. Исходное уравнение равносильно системе х^-1 = х + а, х^-1>0, «=> х^-1ф1 У У = Х^-1 i ^Ху=х+1+лА у^Х + 1-лЛ 0 X Рис. 223 <=> X -1=а:ч-а, л:е(-~; -V2)U(-V2; -l)Ud; V2)U(V2; +~). На рис. 223 при хб(-«>о;- V2)U(-V2;-1)U(1;V2)U(V2; +«>) части параболы у =х^-1 — график левой части уравнения. Семейство прямых 1/=х + а — графики правой части уравнения. Уравнение имеет решения при -l1- V2. Значит, уравнение не имеет решений при а<-1 и а = 1-л/2. Вариант 2 1. а) Если а = 1, то уравнение имеет вид 21og;^. 1 + log^ 1 = 0. Это уравнение имеет такое решение; х>0, х?ь1. Если аФ1у а>0, то исходное уравнение равносильно системе f 2 + 1 -0 logflX logo X+ 2 ’ loga^: = -|, х>0, x?tl, <=> х>0, хФ1у <=> а>0, аф\ а>0, аФ1 4 4 = п 3 _ х = а х>0, хф1, а>0, а^1. Таккакприа>0,а?^1а ®>0иа з^1^торешениеуравнения:х= а б) Исходное уравнение равносильно системе jlogaJc’°®“*=logo(4), Jlog^JC = 2-logaa:, Jlog^a: + logoX-2=0, [а>0, а?!:1 [а>0, а^1 |а>0, |(logaX + 2)(log^x-l) = 0, <=> \ <=Ф а>0, а^1 l0gaX = l, l0gaX = -2, а>0, аФ1 X = а, X = -- а>0, аФ1. 325 2. Из исходного уравнения можно определить logд (cos х) = ■ при 1 + 4а>0, а>0, откуда а<1, -1±У1 + 4а cosJC = a а>0, а<1. I cos х| < 1. Поэтому для решения должны выполняться условия: -l±Vl+4a <1, -l->/l+4a При 0<а<1 а 2 О < а < 0. -l+Vl+4a >1, а Vl+4a-l 2 <1. Значит, cosx = a 2 ^ 0<а<1. Решение уравнения на промежутке [0; f]i 0<о<1, Vl+4a-l X = arccos о 3, Решение можно провести аналогично вар. 1. Но можно заметить, что если сделать замену i = -x, уравнение сведется к уравнению вар. 1. Ответ: единственное решение при 0<а<1 или а = ^. 4. Исходное уравнение равносильно системе X -а= 1-х, 1-х>0, 1-Х9^1 <=> X -1=а-х, х<1, x^tO. Рис. 224 Графики левой и правой частей уравнения см. на рис. 224. Уравнение имеет решения при всех а > Hq, где Oq определяется следующим образом. Прямая y = aQ-x — касательная к графику у = х^-1. Нетрудно определить, что ^'=2хо= =-1, — абсцисса точки касания. Тогда касательная в этой точке: Прямая y = aQ-x совпадает с этой касательной при ao-"f* Значит, уравнение не имеет решений при ао<-|. 326 Задание 11.12. Логарифмические неравенства с параметром Вариант 1 Множество точек на плоскости см. на рис. 225. 2, Исходное неравенство равносильно следующему ^25-х^-1>|д:| + 1 <=> ■^2Ъ-х^>\х\ + 2 <=»25-:г^>х^+4|х| + 4<=> о1 |2 л\ I о1-^л I j^V46“2 V 46 - 2 ^ >/ 46 ~ 2 <=> 2|х| +4|х|-21<0 « |х|<-^!—^— <=>-2——2—* Целые решения: -2; -1; 0; 1; 2. 3. Исходное неравенство равносильно неравенству - 2я: logo,5 - 2 logo,5 + 3 < о. Это квадратное неравенство относительно х. Квадратный трехчлен имеет отрицательные значения только в том случае, когда дискриминант положительный: Z) = 41ogo,5a^-12 + 81ogo,5a^>0. Условиям задачи удовлетворяют такие а, при которых дискриминант положителен. Неравенство D>0 можно решить так: t = \ogQ^^c^. Тогда 4#^8f-12>0 or + 2t-3>0 <=>(i-l)(t + ^>0 ^ 1 f >1, ^<-3. Тогда logo,5a^>l» logo,5a^<-3 <=» 0<а2<1. аЧ8 “'<72’ а\ > Vs. Итак, неравенство имеет решения при 0<|a|<2'^’^ , 5 а >22. 4. Исходное неравенство равносильно системе [ (х^ + 2х - а^) (а^ -1) < 0, I х^ + 2х>0 <=> |((х + 1)2-(а2 + 1))(а2-1)<0, 1(х + 1)^-1>0. 327 Можно рассмотреть новую переменную t = x + l, тогда система запишется в виде*^ |(i^-(a^+l))(o^-l)<0, Неравенство является чет- ным относительно значит, если — решение (^о> 0), то(- ^о) — тоже решение. Чтобы решения образовали один промежуток, необходимо, чтобы t = 0 было решением. Но это не так. Поэтому ни при каких а неравенство не имеет решением один промежуток относительно t. Отсюда следует, что для переменной х решения исходного неравенства не образуют один промежуток ни при каких а. 5. Исходное неравенство равносильно системе (a-x-x)(x-l)<0, д:>0, <=> а-х>0 {а-2х){х -1)<0, х>0у х<а. _ \х>0у Так как д: должно удовлетворять неравенствам ^ приа<0, не- [х<а равенство не имеет решений. Т-, л fx>0, ^ Если а>0, то система < имеет решения. Решение неравенства [х<а {а - 2х) (д: -1) < о зависит от а. Корни левой части неравенства: д: = f и х = 1. Если ^>1, то есть а>2, то решение: хе{-°°; l)U(-f; +°°). Тогда исходное неравенство имеет решения: 0<х<а, г 1\\ 1/а «л:е(0; l)U(f; а). д:е(-оо; l)U(f; +~) 2 ЕслиО<#<1,тоО<а<2. Решения в этом случае:хе(-оо; #)U(1; +®®)- __ -____ ^ а I X ^ [0<х<а, Решения исходного неравенства при 0<а<2: { |:cG(0;f)U(l;+oo). Нетрудно убедиться, что это решение — непустое множество. Если а = 2, то исходное неравенство равносильно системе -2(д:-1)^<0, ^хе(0; 1)U(1; 2). [0<х<2 Итак, исходное неравенство не имеет решений при а<0. Вариант 2 1. Исходное неравенство равносильно системе 328 У>2у 2х + 1>0, <=> (2л: + 1-1)(1/-2-2д:-1)>0 У>2, х>- <=> 2х(у-2х-3)>0 У>2, ~^<х<Оу у<2х + 3у х>0, у>2х+3. Это множество выглядит так, как на рис. 226. 2. Исходное неравенство при 0<а<1 равносильно неравенству ^25-х^-1>\х\ + 1. Это неравенство решено в вар. 1. Целые решения: -2; -1; 0; 1; 2. 3. Исходное неравенство имеет решения, когда дискриминант квадратного трехчлена положителен: 41ogo,5a^-81ogo,5a^-12 > 0 <=> <=> logons a^-21ogo,5a^-3>0. Если обозначить ^ = logons а^, то неравен- ство запишется в виде ^'^-2^-3>0 f>3, ^ <-1. Тогда для а: logo.5a^>3, <=> 0< а^<0,5^ а^> — 0,5 <=> 0< а^<|, а^>2 <=> logo,5а <-1 4. Исходное неравенство равносильно системе \(х^-2х-а^)(а^-1)<0, \{{x-lf- а^-1){а^-1)<0. 0<| а| < 2 а >22. л:^-2л:>0 f(a^-l)U2-l-a2)<0, Если^ = х-1, то Г-1>0. Далее можно применить те же рассуждения. что и в вар. 1 и прийти к выводу, что неравенство не имеет решений, образуюш;их один промежуток, ни при каких а. 5. Сделаем замену t = -x и получим неравенство из вар. 1. Значит, исходное неравенство не имеет решений при а<0. 329 Задание 11.13, Контрольное задание Вариант 1 1. Рассмотрим уравнение [a(i/)]^^=l. Решениями этого уравнения ~\a{y) = h [b(i/) существует, \b{y) = 0. Поэтому решения исходного уравнения удовлетворяют совокупности будут такие у, что -^ = 1 2-1/ 2у + 1>0, У^-2>0, ^>0, 2-у <=> logg (2 I/ + 1) - logg (у^-2)=0 У>~Ь />2, [у£(0; 2), llogg^ = 0 «=> уе0, |i/e(0;2), <=> [i/2-2z/-3=0 i/e 0, уе(0-, 2), <=> уЕ0, У = 3, У = -1- Нет решений. 2. а) Пусть f = 3*>0. Тогда исходное неравенство можно записать: r-4f>0, <=> ts 0. t>0^ t>0, "i>4, t<0, t-l>0, [t>i, t>0 2t<-l, t>0 Нет решений. Так как t = 3^, то и исходное неравенство не имеет решений. б) Пусть log z = t. Тогда | ^ | > + t^> t^+ 4^ + 4<=>^<-1. Отку- 3 да logi_ 2<-1 <=>2>3. в) Область допустимых значений: Ul>i, 2)U(2; +оо). ^>0 330 Рассмотрим te(l;2). Тогда |f|-l = t-l, |i-l| = t-l. Неравенство можно записать: log(_i(8‘-4*)>log,_x(4*-l) о 8^-4*<4*-1 о «. 2®‘-2 -22'+1<0 <=> 2^'-1 + 1-2 -22'+1<0 « 2^‘-1-2(22'-1)<0 <=» «=> (2‘-1)(2^‘+2'+1)-2(2‘-1)(2'+1)<0 <=> (2'-1)(2^'-2'-1)<0 <=> <=> (21)(2‘- i^)(2'- <О <=>(21)(2‘-<0. Так как f Ё (1; 2), ТО решений на этом промежутке неравенство не имеет. Рассмотрим ^е(2;+оо). Тогда неравенство равносильно неравенству log,-i(8' - 4') > log,_i(4' -1) « 8'- 4' > 4' -1 <=4- 2®'-2 • 2^'+1 > 0 <=> «=>(2'-1)(2'+^)(2‘-^)>0 О (2'-1)(2'-^)>0, то есть 2'<1, #<0, J л/5+1 < 2 и рассматриваем случай ^е(2;+оо), то решением неравенства являются t6(2;+«j). Других решений неравенство не имеет. 3. Так как выражение а^"20«+б4 имеет смысл только при а>0, при а<0 уравнение решений не имеет. Квадратный трехчлен А X -20х + 6^ имеет корни лг = 4, д: = 16. При х = 4 или х = 1б и а>0 а^'20х+б4„ тогда правая часть уравнения равна 6. Подстановка х = 4 или дг = 16 в левую часть уравнения дает 6. Значит, при а>0 уравнение имеет по крайней мере два корня. Итак, единственного решения нет ни при каких а. Вариант 2 1. Уравнение решений не имеет. См. вар. 1. 2. а) Исходное неравенство равносильно совокупности систем 125*-4-5*>(5*-1)2 д:<0, 5* >4, х>0, -4-5"^>-25^+1 [д:<0, [x>log54>0, \х>0, <=> л:б 0. [5*^4 Неравенство решений не имеет. б) Исходное неравенство равносильно системе [г>0, Г2>0, I log?O^500, Гг>0, 1 2^=1 1 2^ 2 «z>2. log,^log,i<0 |logi-^<0 ^>1 2 2 I 2 ^ ^ b) Решение неравенства t > 2. См. вар. 1. 3. Нет таких а, при которых неравенство имеет единственное решение. Задание 1L14, Контрольное задание Вариант 1 1. а) Исходное уравнение равносильно уравнению ^0^2^^^ = 3 <=> 9 + 8sin^x-3sin2x = 8(l + sin^x) о l+sin^x 8 sin^x ~ 8 sin^x + 3 sin 2х-1= О <=> 8 sin^x (sin^x -1) + 3 sin 2х -1= О <=> <=> -8 sin^o: cos^a: + 3sin2x-l= О <=> -2 sin^2x + 3sin2x-l=0 <=> sin2x= 1, sin2x= ^ <=> 2x= ^ + 2nky keZ, 2д:=|(-1)''+ял, eZ x = ~ + nky keZy x = -^{-l)4f,eZ, 6) Область допустимых значений: 2>0, В области допустимых 10а2>0. значений уравнение равносильно уравнению 2|1е00а2)| ^ igiooaMgVMo_^jg^ ^ 2]lg(10а2)| =lg Лоa^-llg^z \ 10az>l, |lgl00a^2^-lg VT6a^+|lg^2 = 0, f0<10a2l, ^2 + \ga^+2lgz-^-lga4^lg^z=0y \0<10az 10а2>1, lg^2 + 41g2 + 3=0, 0<10а2<1, lg^2 - 41g 2-5- 41g a^=0 10аг>1, 2 = ^ ^ 10’ 2 = : 10a2>l, lg2 = -l, lg2 = -3, 0<10a2 lg2 = 4 ± ^36+IGlgg^ 1000’ 0<10a21. Значит, они не подходят. \\g2 = 2±J9 + S\ga, Проверим второе решение \ ^ запишем его в виде [0<10а2<1, flg(10аг) = 3+Igа±J9 + 81ga, _ - < ^ Так как для решения необходимо [0<10а2<1. 9 + 81ga>0 <р=> lga>-|, то S+lga+^jd+Slgа>0^ откуда следует 10а2>1, что не подходит в качестве решения. Рассмотрим: 3+lga-^9 + 81ga<0 <=> 3-i-lga<^9 + 81ga <=> (3+lga)^<9 + 81ga <=> lg^a-21ga<0 <=> 0 1. По условию, а < 1. Итак, уравнение решений не имеет. 2. а) а -2^+Ь = Ь-2~^+а <=> а *2^^-ь(6-а) -2"^-& = 0, если обозначить f = 2 0, то {b-a)t-b = 0y t>0. Необходимое условие существования двух корней: Если а0, то уравнение квадратное. При каких а и Ь корни о < < ^2 (рис. 227)? Необходимое и достаточное условие Рис. 227 333 существования #2 и0<^1<#2 есть D>0, to>0, а>Оу -b>0y а<0, -b<0y где D = (b-ay+4ab- дискриминант, — абсцисса вершины параболы. Итак, 2а условия следующие: (&-а)Ч 4а&>0, (а + Ь)^>0у ^>®’ ^ -аЬ>0 аЬ<0 аФ-Ьу i_il- 2 2 а" аЬ<Оу ^-^->0, так как а^?<0 =>-<0, 2 2а’ а значит, 2 2а®’ остается два условия: Г аЬ<0у \аФ-Ь. б) Решения: и— ^9 — а-Ь-'/Ъ 2а ’ a-b + ^^D 2а и — ^9 — а-6+1а+д| 2^ ’ а- Ь-1а + Ь| 2а * откуда корни ^ = l, ^ = -|, значит, х=0, x = log2(-^). 3. а) Исходное неравенство равносильно неравенству J/+13^^ > 1« log3 Z/(1 - 3^) > 1 « logg J/> 1, logs 2 так как 0 0 loggS • 0<1/<2''’®з2-1 ф^о<г/<2 3 . [ X ^ 1, 6) Область допустимых значений: \ * тогда исходное нера- [x>log9?, венство равносильно совокупности logg? < д: < 1, [ loggT < д: < 1, log3(9^- ^<д:, [9^- 6<3^ о , < Х>1у \х>1, log3(9^-6)>x [9''-6>3^ bgQ71. l0gg71у (3^-3)(3^+2)>0 <=> 334 4. Используем свойство логарифма: с Тогда исходное нера- венство равносильно неравенству ^|(Ar-l)(logy(jc + l)-2)>0, |д:>0. Граница области определяется равенствами: 'х = 1, д: = 0, х + 1 = у^,<^ У=0, 1/ = 1 х = 1, X =0, Х = У^-1 (рис. 228). 5. В уравнениях перейдем к логарифмам с основанием 2. Тогда имеем sin(a ~у) + 2 sinx =0, fsin(a - у) -ь 2 sinx = о, Ilog2(а - у) -2logj J/ = log2 ^ + \\og2X t / 2 l0g2 {a-у) _ l0g2-^ X, <=> У у>0, a- 1/>0, x>0 <=^ sin(a- 1/)-ь2 sinx =0, (Д-У) _ 3 у ^ 4 — 4 •*'> ^ у у у>0у а-у>0у х>0 sin3x-i-2sinx=0, а-у = ЗХу <=^ у>0, а-у>0у х>0 sinx (4 cos^x +1)=о, a-y = Sx, <=> ^>0, а-z/>0, х>0 sin(a-i/) + 2sinx=0, а-у = 3ху о у>0у а-у>0у х>0 2 sin2x • COSX + sinx = 0, a-i/ = 3x, <=> 1/>0, а-1/>0, х>0 x = nk, ke Ny y = a-Snky y>0. Так как у>0у то а - Snk > 0, Snk < а, ke N, Для того чтобы решение было единственным, достаточно, чтобы Зжа<6п. Вариант 2 1. а) Исходное уравнение равносильно уравнению —®J:£2£2x _g ^ l+sin^xcos'^x 335 <=> 1 + cos 2д: - 8 sin^x cos^x = о <=> 1 + соз2л:-2 sin^2^: =0 <=> <=> 2cos^2x + cos2x-l = 0 <=> cos2x = -l, cos2x= I <=❖ 2x= +K + 2nk, 2x= ± | + 2яА, ke Z ^ x = ^ + nk, x = ±^ + nk, Аб Z <=> X = ^ + §^, /JG Z. о о б) Переходя к логарифмам с основанием а, делая замену ^=log^|, получим уравнение 4| t|= 41oga2-(i+log^2)^. Так как а<0Д, loga2 < о, значит, правая часть уравнения отрицательна, а левая при любом t неотрицательна. Уравнение для t решений не имеет. Поэтому не имеет решений и исходное уравнение. 2. а) аЬ<0у Ьф-а, б) х = 0, JC=l0gg(--^). 3. а) Переходя к логарифмам с основанием 2, получим l0g2i/ /' \ 1 + —L ч <1 <=> log2J/(l-log32)log2l/<^-5-<=>log2l/ \ Исходное 4''-2>1 [x>log43. неравенство равносильно совокупности |log431, |log2(4^-2)>x [log431у А^-2>2^ log43<;c1, 2^>2 log43cc1. 4. Исходное неравенство равносильно неравенству 2 log:,(S,+l)<2u2 ^ log^(y+l)< „2^1 «/>0. l(i/-l)(log^(y + l)-2)<0. 336 Граница области задается уравне- у = 0, y = h ниями х=0, (рис. 229). х = 1, у+1=х^ 5. преобразуем второе уравнение системы: log2(a-y)+log2{2V^) = = log2V^ + log2(2x) <=> log2 [(а-1/) • 27^ ] = log2 ( Ту • 2л:), Рис. 229 д:>0, а~у>0 <=> 2{а-у)^=2^х <=> а-у = х. подставим а - у = X в первое уравнение и получим sin3x+3sinA:=0, [4sin^o:=0, \x = nk, д:>0 \х>0 [ksN. у = а — Ху Так как а-у = ХуТо{ Так как y>Qy^oa-nk>0,nk0. Для того чтобы решение было единственным, достаточно, чтобы \х = п. жа<2я. Это единственное решение у= а-я. Тема 12 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Задание 12.1, Вещественные числа Вариант 1 1. Представим дробь 0,1(2) в виде обыкновенной дроби. Число 0,0(2) можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем д=^ и первым членом 6i=0,02. Тогда 0,0(2) = з^=^ = Х,0Д(2)=0Д + ^ = ^ + Х = М.Сравним(^)2иХ 10 . Значит, первое число меньше. olUU 1U 337 2. Предположим, что число 2 V3+1 рационально. Тогда 2 V3 тоже рационально и равно 2V3=—, где m и л — взаимно простые числа. ^ 3 о о Возведем в куб обе части равенства: 24=^ <=> 24л =т . В обеих частях последнего равенства целые числа.” Левая часть равенства делится на 3. Поэтому и правая часть равенства делится на 3. Так как правая часть есть куб некоторого числа и число 3 — простое, то число т делится на 3, m=^3k. Тогда 24л^=27А^. Так как числа т и п — взаимно простые, то и числа пик — взаимно простые. Последнее равенство можно записать, сократив на 3:8л^= 9к^. Так как правая часть делится на 9, то число в левой части тоже делится на 9. Это значит, что п делится на 9, л = 9Л Тогда лг = ЗА и л = 9Z. Числа т и л имеют общий делитель 3, пришли к противоречию. Предполагали, что m и л — взаимно простые числа. Значит, рассматриваемое число не является рациональным. 3. Нетрудно показать, что 3-1-2V2 = (V2)^ + 2V2-i-l = (V2 + l)^ 3-2л/2 = = (72-1)1Тогдад/з+2>/2 + 7з-272 = 72 + 1 + л/2-1 = 2л/2 — иррациональное число. 4. Si)x^-i-у^={х-\-у)(х^-ху^у^) = (х-^у)((х + у)^-Зху). Откуда имеем = + )> так как {х + у) и {х^-\-у"^) — рациональные числа, то число ху — рациональное, б) Нет, например, x = 2-»-V3, i/ = 2-V3. 5. Нет. Пусть число а'” — рациональное, тогда любое число вида( а'”)*, где тик — натуральные, тоже рациональное. 0,(12) = Вариант 2 3 . 100 ■ 10010 ’ ЮО-Ю^ 15’ 12 100 100 100 100-100^ Сравним (^)2 и ^ ^ и А. Так как ^ (^)2< значит, (0,1(3))2< 0,(12). 2. Пусть число 0,5 VE -1 — рациональное. Тогда число 0,5 VE — тоже рациональное и равное где тип — взаимно простые числа. Откуда V5 л = 2т<=>5л^= 8лг®, Так как числа 5 л® и 8лг® — натуральные и первое делится на простое число 5, то второе число тоже делится на 5, а именно число т = 5к. Тогда равенство примет вид 5л^=8 • 125 <=> 338 « n^=S ■ 25/г^, отсюда следует, что п делится на 25, л = 25/. Имеем л = 25/,/п =5 ft, значит, m и л не являются взаимно простыми числами. Пришли к противоречию. Таким образом, искомое число не является рациональным. 3. Да. -/з+2л/2-д/3-2л/2 = л/2 + 1->/2 + 1 = 2. 4. а) Да.х^- у^=(х-у)(хЧху+у^)==(х-у)((х-у)КЗху). Откуда чи- ело ху= -(х-у)^ — рациональное. б) Нет. Например, д: = 2 + л/3, у-у[3-2, 5. Пусть число o'” — рациональное, тогда = — иррацио- нальное. Значит, иррациональных членов бесконечно много. Задание 12,2. Алгебраическая форма комплексного числа Вариант 1 1. (1+ + =(1+0 .42 1 + 1 +i _ 2i(2 + 0 _2i~l 4i-2 2(2i-l) 2i-l = 1. 6) Рассматриваемая сумма — сумма геометрической прогрессии со знаменателем i 1 + /*^+/^^+... + /*^^= ;70 1 ;77 1-г 1 + i ■ 1 + / 2 = -l. в) Выражение можно упростить непосредственным возведением в степень. А можно использовать формулу а®- (а- Ь) (а^+ а^Ь + аЬК = (а- 6) ((а + Ь) а^+ Ь\а + Ъ)) = = (а-6)((а+ Ь) (а®+ Ь^) + а%^) = (а- Ь)((а+ Ь)^(а^- аЬ + Ъ^) + = = (a-b)((a+b)\a + bf-3ab) + a%\ a-ft = 3/-l-3/-l = -2, a + i!? = 3/-l + 3i + l=6i, а-6 = -9-1=-10. Тогда искомое выражение равно -2((6/)^((60^-3(-10))+100)=-2(-36(-36+30) + 100) = -2(36-6+100) = = -2-316=-632. д) По теореме Виета 2i+22 = -l, • 22= 1. 22^=(2i+ Z2)(Zi Z^- Z1Z2) = (Zi+ 22)((2j+ Z^^-^ZiZ2) = -1(1-3) = 2. 2. Пусть число X = t+iz, где t z — вещественные числа. Тогда x‘^=t^-zK2iZy\x\ = ^t^+z^. 339 Подставляя в уравнение ^ и х, имеем ^^-г^+2i2:^ + -^+2^ +1=0, Из этого уравнения, отделяя вещественную и мнимую части, имеем [ ^^-2^+-/А-2^ + 1 = 0, систему 2 = 0. Если 2 = о, то искомое числоx=t — вещественное и уравнение для t f^+l t| + 1 = 0 имеет отрицательный дискриминант. Вещественных корней нет. Если ^ = 0,тох = г2 — мнимое число и уравнение для г: вещее 1 + V5 -2^+|2| + 1 = 0, где 2 — вещественное. Из уравнения: | z\ - . Решение: 1 z\ = ^и 2 = ± Тогда X = и 3. Пусть z~x+iy. Тогда z~x-iy и 22=1, откуда х^+у =1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 0) и радиусом 1. Отношение -5^ = Ясно, что - принимает все возможные значения из Д, \тг у ^ у В ТОМ числе и ->100. у Вариант 2 1. а) Искомое выражение равно -2i + 2i (1 + 0 _ -1 + 1 + ^ _ i _ 1 (l + 02/-2i " 1+i-l 6) Искомая сумма — сумма геометрической прогрессии со знаменателем д = -/®: 1-(-(5)21 _ 1+((5)21 ^ е <..• 4.J i.i 1-i-n l+i 1 + i l + i l + i l + i b) Выражение вычисляем аналогично варианту 1. Тогда а + Ь = = 2i-l + 2i+l= 4г, a-b = 2i-l-2i-l= -2, а• 6=(20^-1= -5. Искомое выражение равно -2((4/)^((4/)^+15) + 25) = -2(16+25) = -82. . (1-0^ ^ (d-oY ^/z2i\"= f_i4п д) По теореме Виета 21+22= 1, Zi • 22= 1. Тогда ^l ^^^2- (2^1+22)(2i^+22^-2122) = (2i+ 22)^-82122 = -2. Пусть x = i + i2, тогда уравнение примет вид z^+2itz--^t^+z^ +1 = 0, Из второго откуда получим систему для t ] [2^2=0. уравнения следует, что хотя бы одно из неизвестных f и 2 равно нулю. Пусть 2 = 0, тогда + 1= 0, дискриминант этого уравнения 340 отрицательный, поэтому решений нет. Если ^=0, то для z имеем + 1 = ( V5-1 -2^-| 2| + 1 = 0, то есть 1 2I^+1 2|-1 = 0,1 г\~ - <=> | z\ = -^„ ^ <=> <=> 2 = ±- Откуда д: 2 * - 2 3. Доказательство приведено в вар. 1. Задание 12,3, Геометрическая форма комплексного числа Вариант 1 1. а) Уравнение \ z + i\=2 — уравнение окружности радиуса rj=2 с центром в точке -L | г+г| = 4 — уравнение окружности радиуса Г2=4 с центром в точке -г. Тогда область 2<|2 + i|<4 — кольцо. Условие 1 Re 21 > Vs задает такие z, что модуль вещественной части числа не меньше ^JЪ,\lmz\1.Значит,||x+i/| +^\х-у\ >1 <=> <=> \х-^у\ -^\х-у\ >2. Границы этой области — прямые х = 1, у = 1, д: = -1, (/=-!. То есть граница есть квадрат с вершинами (1; 1), 341 (1; -1), (-1; 1), (-1; -1). Искомая область — внешность этого квадрата (рис. 232). Заметим, что граница области для z' — тоже квадрат с вершинами (0; 1), (0; -1), (1; 0), (-1; 0). Область для г' — внешность этого квадрата. а) I z| = l — окружность радиуса 1 с центром (0; 0). Тогда для любой точки Z этой окружности точка iz = z' получается поворотом этой точки на 90° против часовой стрелки, U2-II — это расстояние между точками / ги(1; 0);|z-ll — расстояние между точками z и (1; 0). Расстояние между точками z и г' равно V2. По неравенству треугольника: |iz-l|+|z-l|>V2 (рис. 233). б) Так как | z| = 1 и | i z -1| < | z| +1 = 2, то единственная точка, в которой I iz-l| = 2, есть Z-U Так как в точке z=i |z-l|^0, то условие задачи не может быть выполнено ни при каких z. в) I iz-ll = |iz + i i|=|i| | z + ij. 12+/| — расстояние от точки z до точки (-i). Учитывая условие, имеем | z + i| =| z-l|. Значит, расстояния от точки Z до точек (-0 и 1 равны. Такие точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку (0; -i) и (1; 0). Решениями исходного уравнения будут два значения z, которые получаются в точках пересечения построенного перпендикуляра и окружности I z| = 1 (рис. 234): >/2 л/2’ ^2-^ г) Для любой точки Z окружности 1 z| = 1 рассмотрим три точки z,iz и 1. Как было показано в (а), точка iz получается поворотом Z на 90°. Искомая сумма есть периметр треугольника с вершинами z, /z и 1 со сторона-Рис. 234 ми Ii2-z|, I z-l|, liz-ll. В случае. Rez 342 когда 2 = 1 или 2--i, треугольник вырождается и имеет наименьшую сумму, paвнyю2^f2,\iz~l\+\z-l \ + |/2-2|= |i2-l| + | 2-1| +V2. Надо найти наибольшее значение |i2-l| + |2-l|. Это сумма двух сторон треугольника. Рассматриваемый треугольник — вписанный, одна сторона постоянная, поэтому противоположный ей угол тоже постоянный. Надо определить наибольшее значение суммы двух сторон. Покажем, что эти две стороны равны. Пусть фиксированная сторона с, две другие — а и Ь. Тогда по теореме косинусов: + Ь^ -2 a&cosa, откуда + 2 аЬсоза, (а + Ь)^= + + 2 ab(cosa+1). Так какcosa+1>0, то имеем наибольшее а+ 6 в том случае, когда 2 аЬ наибольшее. Известно, что > ^fab — равенство при а=Ь. Следовательно при а~Ъ периметр наибольший. Так как а= I i2-l|, Ь= 1 2-1|, то случай а-Ъ рассмотрен в пункте (в). Тогда I i2-l|=|2-ll = |-^-^i-l| = -^2-t-V2. Значит, наибольшая сумма равна 2-/2W2+V2. Вариант 2 1. а) Искомая область ограничена окружностями | 2 + 1| = 2, | 2 + 1| = 4 (центры окружностей — точка -1, радиусы 2 и 4), прямыми 1п12 = -л/3,1т2 = л/3, Re 2 = 1, Re2 = -1 (рис. 235). б) z = l-\~2z' z-l = 2z' ^\z-l\ = 2jзначит, точки 2 образуют окружность радиуса 2 с центром в точке 1 (рис. 236). в) Пусть z = x+iy, тогда Re 2'=Re-^ - Re = Re ~ = ^(x+y)j 1+i 1+i 2 2' iy-x), из условия задачи следует х+у у~х 2 2 1+i - 2 2 <1. Граница этой области — прямые д: = 1,я: = -1, у = 1, у = ~1. Область — квадрат с вершинами в точках (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1). 2. а) Доказательство аналогично вар. 1, только вместо точки (1,0) надо рассмотреть точку (-1; 0). б) Так как | г| = 1, то | / 2 + 1| < | г| +1 = 2, то единственная точка, в которой I / 2+ 1| = 2, есть 2 = -L Так как в точке 2 = ~i |2 + 1|^0,то условие задачи не может быть выполнено ни при каких 2, в) I i2+ l|=|i2 + i-(-0l=|i|'| 2-/|. 12-/| — расстояние от точки 2 до точ- ки/. Учитывая условие, имеем I 2-г| =1 2+1|. Значит, расстояния от точки 2 до точек / и -1 равны. Такие точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку (0; /) и (-1; 0). Решениями исходного уравнения будут два значения 2, которые получаются в точках пересечения построенного перпендикуляра и окружности | 2| = 1: 5, Lj-—L ‘7 — -1_L 1 л/2’ 2 ^ 72' г) Рассматриваемая сумма — периметр треугольника с вершинами в точках 2, /2 и -1, I 2| = 1. Рассматриваются и вырожденные треугольники при 2 = -1 или 2= /. Ясно, что, если заменить точку -1 на 1, границы для суммы не изменятся. Последний случай рассмотрен в вар. 1. Значит, решение следующее: наименьшее значение суммы 2л/2, наибольшее значение — 2V2+V2+V2. Задание 12.4. Тригонометрическая форма комплексного числа Вариант 1 1. а) Запишем число в тригонометрической форме -1-1- /л/З = 2 = = 2(cos sin^)» ~ V2(cos^ + / sin^). Тогда (-l-b/V3)^®‘^=(2(cos^ + /sin^))^^®=2^^‘^(cos^-h/sin2^) = - 2^®®(cos 100л -ьi sin 100n) = 2 (1 -/)(V2)^®^'^(cos^^^^л + +l 8ш^^) = 2®^^-л/2(соз(3477л-н^)-Ь8ш(3477л+^))=2®®^^(-1-/). Окончательно имеем -нн|—— = 2"®^^^^^^ = 2"^^(-1 + /). 2993 2 б) 2 = -^-/^ = со8“Л+ /8ш|-л, искомая сумма — сумма 12 членов геометрической прогрессии со знаменателем g = 2. Тогда сумма рав- на ^_^2_l-(coз^^-isin^)^" _ l-cosi|g-isini|g_ l_co30_isi„0 3 ^ - isin ^ 1 - cos ^ - isin ^ о i . • cos а . . 2. 2 = -ctga+i=—: + 1 = ° sin а ^ 4я _ ^ in 4? 1- cos 4? - isin ^ 3 3 3 3 3 -cos а + isin а sin а - = со8еса (со8(л-а) + /8ш(л-а)), таким образом, модуль числа равен coseca, а аргумент — л-а. 3. а) 2^=-1<=> 2^=созл+ /зшл <=> 2 = co8^^^^^ + /8in-^^^^^, ke Z, Подстав- и Э ляя целые значения kj получаем пять различных корней: 2i=cos| + /sin|, 22 = со8 —+ /sin^, 2з=со8Л+ /зшл, 24 = COS^-1-/sin 25 = COS^-|-/sin^. Ъ и 344 б) Корни рассматриваемого уравнения лежат на окружности | 21 = 1, разность между аргументами соседних корней равна ^ = 72° (рис. 237). в) Сумма корней: 21+22 + 23+24+25 = = cos ^ + i sin ^ + cos ^ + i sin ^+cos я + 5 5 5 5 +i 8ШЯ+cos^+/ sin^+cos%^+i sin%^ = 5 5 5 5 = cos I + i sin I -t- cos ^ + i sin — -1 + 555 5 +cos^-i sin^+cos^-^sinf =2cosf+ 2cos%^-l = 5 555 5 5 Im2 108°Vi 2з\ / Nv J Rez Рис. 237 2 (cos J sinf + cos^ sin 5) .______5 5_______5 5 sin^+sin4l-sin^ 5_______5_____5 sin^ sin 5 -1= —^-1= -^-1=0 sin 5 sin 5 5 5 5 5 (рис. 237). Можно вычислить исходную сумму геометрически. Рассмот- рим вектора 02^, начало которых совпадает с началом координат, конец — с точками 2^ (г = 1,5) (предполагается, что углы между векторами 5 ^ ^ последовательно равны). Из геометрии известно, что 0. Отсюда 5 5 5 следует, что для 2y=xy+iz/y, 7 = 1,5, J^Xy=0, г/у = О, откуда ^ 2у = 0. 7=1 7=1 7=1 г) Рассмотрим, чему равно каждое слагаемое суммы 2i22 +22 23 +23 24+ 24 25+25 2i. 2i 2о =(cos^ + isin^(cos^+tsin^)=cos?cos^- sin^ sin^ + i л ^ 5 S''' 5 5' 5 5 5 5 +/(sin^cos^ + cosf sin^)= cos-^ + isin. Аналогично, d 0 5 & D D 2323 = cos^ + isin2324 = cos^l^ + isin^, 2425 = cos^ + z sin О □ do 1) D 2521 = соз2я + /8ш2я. Итак, искомая сумма равна cos ^+i sin ^ + cos ^ + i sin + cos ^ + i sin +cos-^ + i sin + 55555 55 5 +COS 2 Я + 7 sin 2 Я = cos ^ + 7 sin | - cos - 7 sin — ~ cos %^ + 7 sin ^ - dud U U U - cos^ - 7 sin ^ +1 = -2 cos $ - 2 cos%^ +1. Как показано в пункте (в), по- 5 5 5 5 следняя сумма равна нулю. Итак, искомая сумма равна нулю. 4. Пусть 2= cos ф+ 7 sin ф, тогда (1-0 (l+z) _ (1-0^(1+г) _ ; cos(p+l + isin (1-2) (1+0" 2(1-2) l-cos(p-isin

0. Поэтому sin(p<0, ф5£0, <=> л<ф<2я, значит, 2= созф + гзшф, я<ф<2л. ф5*2я. 5. а) и= sinl + icosl = cos(|-l) + isin(^-l), и = cosl- isinl = cos(- l) + isin(-l). Аргументы чисел ц и i; равны сооответственно -|-1 и -1. Значит, искомый угол равен |. б) cos(5я -10) + i sin(5я -10)+ cos(-10) + i sin(-10) = -cos 10 + + /sinl0+cosl0-isinl0 = 0, b) Результаты n. (a) и (6) можно обобщить следующим образом. Пусть и= г(81пф + гсозф), у = г(соаф-1зшф). Тогда угол АОВ равен I и ц'®+ и^®= 0. Действительно, ц=г(соз(|-ф)+1зт(|-ф)), и=г(соз(-ф)+гзш(-ф)). ^АОВ=|-ф+ф=|. ц10+у10„ ;-10(со8(5я-10ф)+1зт(5я-10ф) + соз(-10ф) + /зт(-10ф) = 0. Вариант 2 1. а) Запишем число в тригонометрической форме: -l-iV3 = 2(-i-i^) = 2(cos^+isin|!), 1 +1 = V2 ^ i) = л/2 (cos+ / sin|). Тогда исходное выражение примет вид: 2’®®(cos^ + 2 ______u_____О___. I50(cos^ + isin^)‘“ 3_____________3 (V2)»»«^(cosS + isin 28®3(cosi9|7>! + ism №) 4 4 4 4 2-843 V2 cos 200n + i sin 200я .-2; •843 COS (496я + Зл ■) + isin (49бп+■'/З -_L V2 л/2 _0-843 1 . / ^ -l+i' ^-2-844(1 + ^^ 6) 2 = ^ - i ^=cos |я+i sin |я. Искомая сумма равна сумме 12 членов 2 2 о о геометрической прогрессии со знаменателем q= -z. 346 1+ г j_^2 l-(cos^ +isin l-cos 2. 2=ctga-i= l + г cosa-isina_ cos (-a)+tsin (- a) l + ^-^isinS 1-1 _o 3 iJi 2 2 2 ’ 2 = coseca (соз(27г-а)+гзш(2я-а)). 2nk , • 2tiA 3. a) 2 = I4=>2®=cos0 + isin0<=>2 = cos^ + isin-^, гдеАе^;подставляя целые значения k, находим пять различных корней; ■^ + isin^ D D 2i=cos0 + isin0 = l, Z2 = coS“ + isin^, 23 = cos^ + isin^, 5 -----5 24 = COS-|^ + isin^, 25 = C0S^ + isiny 6) Рис. 238. в) 2i+ 22+ 23 + 24 + 25 = 1+COSy+COS-y +cos^+cos^+i(sin^+ sin-^ + + sin ^ + sin Щ - 1+cos^+cos^+cos^+cos^ = 1-2 cos ^ - 2 cos f = 0. 55 5555 5 5 Равенство нулю последней суммы доказано в вар. 1. г) 2122+^223+2324+2425 + 25 2i= 0. Решение аналогично вар. 1. 4. Пусть 2 = cos(p+isin(p, тогда исходное выражение равно (c08(p+isin(p-i)(-l+t) _ (co8(()+tsin0, то есть cos

0 <=> (ре [0; |]U(|n; 2я]. 5. а) ц= sin2+icos2=cos(|-2) + isin(|-2), V = cos 2 - i sin 2 = cos(- 2) + г sin (- 2). Так как аргументы чисел и и i; в тригонометрической форме равны сооответственно |-2 и -2, искомый угол равен |. 347 б) u^®=cos(5K-20) + isin(5K-20) + cos(-20)+Jsin(-20) = -cos20 + + i sin 20 + cos 20 - i sin 20=0. b) Cm. вар. 1. Задание 12,5, Контрольное задание Вариант 1 1. Пусть л: = U +/и, y = t + iZj и, и, t, zeR, Тогда исходную систему мож- но записать в виде: (1+/) (W + 1У) + (1 - О {t + iz) = 6, (3+г) (w + io) + (3 - О (f + iz) = S u~v-^t + Z=6y U + V + z-t=^0y < 3u-v + 3t + z=8, 3v-\-u + 3z-t=0 U-V-\-t + Z=6j U-¥Z = S, v+ i = -2, v + z=0 <=> <=> # = 0,5, у = -2,5, z= 2,5, u= 0,5, Рис. 239 откуда x = 0,5-i2,5; г/=0,5 + #2,5. 2. Множество \ z-^^S + i\0, то модуль числа равен Vа^ + с? - aV2, аргумент Ф = ^, г = aV2(cos^+isin^). Если а<0, то модуль числа равен а^= -aV2, аргумент ф = ^» Z = -aV2(cos^+ isin^). 4. x = i(-l-iV3) = cos^ + i sin-^, у = ^(-l+iV3) = cos^ + i sin^, тогда Z i i C О О eosi^^+i sini^^=cos|5+isin^= cos^+/sin^= -1 + i#, о о OOOOaa у-------=cos Д sin"'-Д ~'''=cosY+isin^= + тогда значение ,.Зл+1_ ^2(3л+1)л^ ^2(3п+1)л_, ИСКОМОГО выражения равно нулю. 5. Пусть 2 = х+#г/, тогда I г| = -Ух^+^=1. г -г :сЧу^ 348 тогда z' + l = 2{x-iy)j |г' + 1| = 2-^х^+^=2. Числа z образуют дугу окружности I г[= 1, числа z' образуют дугу окружности |2' + 1| = 2. 6. Пусть 2 = ц + ш, UfVeRy тогда| z + l\ = ^j{u + l)^^\■v^,и уравнение примет вид u + iv + ал[(и + 1)^+и^ + i = О <=> lu + ayj{u-\-l) +v -О, ^ 0 + 1 = 0 u + a^(u + l)^+l = О, I а'^(ц +1)^+1 = -и, о = -1 о = -1 а^((ц + 1)^+ l) = w^, u<0, о = -1 (а^-1)м^+2а^и + 2а^= О, и<0, о = -1. Дискриминант квадратного уравнения для и равен D = {2a^f~4:-2a\a^-l) = 4:a\2-ab. По условию, а>2, поэтому дискриминант меньше нуля. Уравнение решений не имеет. Значит, исходное уравнение тоже не имеет решений. Вариант 2 Пусть x = u+io, y = t+iZy тогда для и, v, t, z eR имеем систему u-v + t + z=6, u + v-t + z = 0, 3u-o + 3^+ 2 = 8, u + 3o-i+ 32 = 0. и x=2 + i, y = 2-i. 2. Числа 2 образуют круг радиуса 1 с центром в точке 2 = л/З+i. Пусть A{z') — точка на окружности, такая, что О А — касательная к окружности (рис. 240). Из геометрического построения ясно, что аргумент этой точки наибольший, Решая систему, получаем п = 2,о = 1,^ = 2,2 = -1 ^^2 V3 | = |, ф = |, модуль числа г' равен О А =ОВ = -Уз. Тогда г' = л/3(соа| + i sin|) + i | ■ 3. Если а>0, то модуль числа равен ^^2 а, его аргумент равен 2= aV2(cos^+isin^); если а<0, то Re 2 349 модуль числа равен -л/2а, аргумент 2=-ал/2(соз^+^8ш^). Если а = 0, то тригонометрической формы нет. 4. j£: = -^-i^ = cos^+/sin^, v = -^+i~ = cos%^ + isin^, тогда L 2i о о Z о о о cos-^^^^+i соз(4я/г +-^ +i 8ш(4ял + - i^, о о о О Z Z ^Зп+2_ jjQg ^ ^1п2(Зп+2)я_ (2 яя +-^ + i sin(2 я л + тогда значение искомого выражения равно нулю. 5. Пусть z = x+iy, ХууеК, тогда | z\ = ^x^+y^=l, г' = ^ = ^ + 1, ^'-l = ^ = ^^ = 2(:c-ii/), \z'-l\ = 2^]x^+y^y значит, U'-l| = 2, *+iy х+у числа z' образуют дугу окружности. 6. Пусть 2= и + ш, где ц, и еЛ, | г| = Уравнение принимает вид u^+v^-^2i{u+iv) + 2a{l + i) =0 u^+v^-2v+2a=0y <=^ 2и+2а=0 и^+(и-1)^=1-2а, и = '-а. вое уравнение определяет окружность радиуса г = ^1-2а с центром в точке (и\ и) = (0; 1). Так как по условию 0<а<|, то0<г<1 (рис. 241). Рис. 241 Тема 13 МНОГОЧЛЕНЫ Задание 13.1. Действия с многочленами Вариант 1 1. Р{а) = 1 + а^+ а^+ 2а- Q{a) {а^+ а -1) + а + 2, тогда Ща) = а + 2, Р(1) = 5, Q(l) = 2, Д(1) = 3. Значит, утверждение неверно. 2. Будем искать многочлен в виде Q{x) = x^+ax+by тогда (2х^+ Зх + 2) (хЧ ах + 6) - 4х - 5 = 2х V х®+ Зх^+1. Перемножая многочлены в левой части равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой ча- 350 сти, получим систему уравнений для неизвестных коэффициентов а и Ь, 2x‘^+^3+2a)xЫ2 + Зa + 2b)x^+(2a + Зb-i)x + 2b-5=2x‘^+xЧЗx^+l, 3+2а = 1, 2 + За + 2Ь=3, о 26-5=1 3+2а = 1, За+ 26=1, из первого и третьего уравнений 6 = 3, имеем а = -1, 6 = 3, но эти числа не удовлетворяют второму уравнению. Значит, многочлена Q(x), удовлетворяющего условию задачи, не существует. Да. Например, х^+х^+1 и -х^+х^+1. Пусть Р{х) — искомый многочлен. Тогда Р(1) — сумма всех коэффициентов многочлена, считая 1=х*^ (четная степень), Р(-1) — сумма всех коэффициентов при х в четной степени минус сумма всех коэффициентов при х в нечетной степени. Тогда - — есть сумма всех коэффициентов при х в четной степени. Значит, искомая сумма равна Р{1)+Р{-1) _ 1 + 5^ 2 2 Вариант 2 1. Р(а) = a^-а®+ а^+2а + 1= Q(a)(a^- а) + За +1. Значит, Я(а) = Зач-1, Я(1) = 4, Q(l) = 2, Р(1) = 4. Утверждение задачи неверно. 2. Не существует, задача решается аналогично вар. 1. 3. Да. Например, х^+х^-2 и -х^+х^-2. 4. Сумма равна 1-3 1976 -, см. вар. 1. Задание /3.2. Делимость с остатком Вариант 1 1. а) Пусть P{x)=(x~a)R{x) + a, Подставляя х= а, получим уравнения для а: Р(а)= а<=>За^+а^-3=а<=>3(а-1)(а^+а + 1) + а(а-1) = 0<=> <=> (а-1)(За^+4а + 2)=0 <=> а= 1. Значит, условию задачи удовлетворяет а = 1. б) Для того чтобы найти частное, разделим Р(х) на х-1. Р(х)=(х-1)(Зх^+4х + 4) + 1. Частное равно Зх^+4хн-4. 2. Да, например, л = 3. Исходное выражение можно разложить как сумму кубов: 351 (а"^+ а + 1г+ (а - а +1)"^= (а^+ а +1 + а^~ а +1) • ((а^+ а +1)^-(а^+ а +1) • ■ (а^- а+1) + (а^- a+lf) = 2 (а^+1)((а^+ а+1)^-((а^+1)2- а^) + (а^- а+1)^). 9 9 Это выражение имеет множитель а +1 и поэтому делится на а +1. 3. Пусть при делении Р{х) на (д:+1)(д:+2)(д:+3) остаток есть ах^+ах + а. Тогда P(x) = Q(x)(x+1)(х + 2)(х + 3) + ах^+ах + а. Отсюда следует, что при делении нах + 2 остаток равен остатку от деле- п ния ах + ах + а на х + 2, то есть За. Определим а из условия, что остаток от деления Р (х) на х +1 равен 1. Так же, как и при делении нах + 2, определяем остаток, равный а. Значит, а = 1. Тогда остаток при делении на х + 2 равен 3 а = 3. 4. Если различные числа а, Ь, с являются корнями рассматриваемого кубического многочлена, то этот многочлен можно разложить на три множителя, т. е. привести к виду (Х”а)(х-Ь)(х-с). Перемножая эти множители и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х коэффициентам исходного многочлена, получим систему уравнений для а, Ь, с: с = аЬу b{b-a){b + l) = 0y аЬ-с = 0, с = аЬу Ь^-аЬ^+Ь^-с =0у ^ Ь{Ь^~ аЬ + Ь- а)=0у с^- ас^+Ьс -с= 0 с{с^-ас + Ь-1) = 0 ab{b-l){a^b + l) = 0. То же самое можно получить, подставляя а, Ь, с в исходный Ь=0у многочлен. Второе уравнение равносильно совокупности Ь= а, Ь = -1, Так как числа а, Ь, с различные, то Ь?^а. Тогда Ь = 0, Если Ь = -1, 6= О, то ис= О, что не подходит по условию задачи. Если 6= -1, то из последнего уравнения имеем а^=1 о а = ±1. Подходящее решение а= 1, Ь = -1. с, удовлетворяющих условию задачи. При этом с = -1, откуда с = Ь, и, значит, нет различных а, Ь, 5. Многочлен (а + 6+с)“ — многочлен 5-й степени, содержащий слагаемые а^, Ь^у и Аа^Ь^с^у где т, /г, k е Ny m + n + k==Sy А — некоторое число. Многочлен (а + Ь + с)^ можно записать как {a + b+c)^=a^+b^-\-c^+Qi{aybyC)y 352 где Qi{a,bfC)— многочлен 5-й степени, содержащий слагаемые вида Аналогично, (Ь+с - а)^=Ь^+с®- а^+ (с + а - 6)®= с®-(- а®- ^(а, 6,с), (a + 6-c)^=a®+6^-c®+Q4(a,6,c), где Q2 * Qs ’ ^4 — многочлены, содержащие слагаемые вида а!^Ь^с^. Тогда исходный многочлен равен a^+6®+c®-i-Qi(a,6,c) -5®-с®+а^- ^(а,Ь,с) -с^-^(а,6,с)- - а®-Ь®+с®- Q4(a,b,c)= Qi(a,6,c) - Q2(a,b,c) - Оз(а,Ь,с)- Q^{a,b,c). Многочлены Q^, Q2, Q4 делятся на аЬс, поэтому исходный многочлен также делится на аЬс, Вариант 2 1. а) См. вар. 1. Р(-а)= а Ф:> -За^+ а^+3=а о 3(а^-1)-а(а-1) = 0 о (а-1)(3а^+2а + 3) = 0 <=ф а= 1. б) Частное равно Зх^-2х + 2. 2. Например, л = 2. Действительно, (За^ + а - 1)2 - (а^ + а + 1)2 = (За2 + а-1-а2-а-1)-(За2 ^а-1 + а^ +а + 1) = 2{а^ - 1){4а^ -н2а). 3. Остаток равен 7. См. вар. 1. 4. Нет. Если заменить в многочлене & на -Ь, то задача сведется к вар. 1. И так как в вар. 1 нет таких а, 6 и с, то и в рассматриваемой задаче нет таких а, Ь, с. 5. Многочлен (а + 6-1-с)^ — многочлен 7-й степени и содержит одночлены видаа^, Ь'^ус'^иА а^Ь^с^, где т, п, кеМ,т + п+ к = 7,А — неко- п п торое число. Аналогично, многочлены (6+с-а) , (с + а-Ь) , (а + &-с) состоят из такого же типа слагаемых: (а -I-&+с)^= а^+ &^+с^4- Qi(a,bjC), {Ь +с - af= а'^+ ^(а,6,с), (с + а - bf== а^- ^ (а, 6, с), {а + Ь~с)^= &^-с^+®4(а,Ь,с), 353 где Qi(a,&,c), ^(а,&,с), ^(а,Ь,с), Q4(a,6,c) —многочлены 7-йстепе-ни, содержащие слагаемые вида т, л, AeiV, /п + л + А = 7. Тогда исходный многочлен равен a^+b^+c^+Qi(a,b,c) -Ь^-с^+а^~ ^(а,&,с) -с^-Q^(a,&,c)- - а^-Ь’+с^- Q4(a,6,c)= Qi(a,b,c) - %(а,Ь,с) - Qs(a,b,c)- ^4(а,Ь,с). Все многочлены Qj, Q^, Q4 делятся на а&с, поэтому исходный многочлен тоже делится на аЬс. Задание 13.3. Теорема Безу Вариант 1 1. Так как корень многочлена Зх-2 равен 1,5, то значение многочлена Зх®+ а^х^- 4х + 2а прих = 1,5 по теореме Безу равно 10. Значит, 10,125+0^2^5-6+2а=10<=>2^5аЧ2а-5,875«18аЧ16а-47=0<=> <=> а = -16 ± ^fШ6 _ -8 ± УэТо _ -8 ± уэ1 10 36 18 18 Значит, условию задачи удовлетворяют приведенные выше числа, но они не являются целыми. Нет таких целых а, удовлетворяющих условию задачи. 2. Пусть m=Sky keN, тогда х"*-Так как многочлен а"- 6” делится на а- &, многочлен (х^)*- делится на х^- 3. Нет. Например, при а = Ь = 1 не делится. Вариант 2 1. Нет таких целых а. См. вар. 1. 2. Пусть т = 4ft, fte Ny тогда х'"- 1/™= (х^)*- делится на х^- у^. Пусть а=х^уЬ= у^у тогда а Ь* делится на а - 5. Так как значение многочлена Р(а) = а*-Ь* при а = &равно нулю, P(ft) = b*-5*= 0. 3. Нет, например при а = 6 = 1. Задание 13.4, Схема Горнера Вариант 1 1. Используем схему Горнера 1 46 46® -Ь* -ь 1 36 3&2 6® -2Ь* Тогда а^+ 4а^6+ 6а^6^+4а6^-Ь^=(а + 6)(а^+За^6+За6^+6®)-26^. 354 2. Исходное значение многочлена при д: = - 2 - i равно остатку от деления его на дг + 2+i, который можно определить по схеме Горнера 1 1 + 2/ 0 1 + 3/ 0 7 -2-/ 1 -1+/ 3-/ -6+2/ 14+2/ -19-18/ Значит, значение многочлена при x = -2-i равно -19-18/. 3. Исходный многочлен Р (д:) делится на д: -1, так как его значение при X = 1равно нулю. Если этот многочлен делится на(х -1)^, то, значит, его можно представить в виде произведения Р(х) = (д:-1)^С(д:), где Q(x) — многочлен степени (л-1). Тогда P'W = 2(х -1) Q(x)+(x - 1)2q'(x), и значение производной Р'{х) при х = 1 равно нулю, Р'(1) = 0. И если Р'{1) = 0, то P{x)=(x-l)^Q{x). Вычислим производную исходного многочлена Р'{х) = (п +1) х"+1)'= л (га +1) л:"- и (га +1) x"■^= = ra(ra + l)x"‘V-l). Значит, Р'(1) = 0. Поэтому исходный многочлен делится на(х-1)^. Вариант 2 1. По схеме Горнера 1 -4& б&2 -И Ь 1 -ЗЬ зь^ -ь^ -2Ъ^ Тогда а^- 4а% + 6а%^- 4аЬ^-Ь^=(а-Ь)(а^-3а% + 3аЬ^-Ь^) -2Ь^. 2. Значение 5 + 22/. См. вар. 1. 3. Делится, так как Р{х)={п-1)х^-пх^~^+1, Р(1) = 0, Р'(1) = 0. Задание 13.5. Теорема Виета Вариант 1 1. а) Для первого уравнения по теореме Виета а*Р = ^,а+Р = ^. Пусть корни второго уравнения Xj=a^, Х2=Р^, тогда Xi X2=a®P^=^ и 355 Xi+jC2=a3+p3=(a+P)(a2+p2-otP) = i(((x+P)2-3aP) = i(i-f) = i(l-3). Значит, искомое уравнение имеет вид х^-^(^--3)л: + ^ = 0 <=> ФФ а^лг^-(1-За)х + 1 = 0 б) Чтобы уравнение (1 - За)х + 1 = 0 имело положительные корни, необходимо, чтобы был неотрицательным дискриминант D = (l-3a)2-4a®>0. Вершина параболы у = а^х^-{1-За)х + 1 ^0 1-За 2а > 0. Так как независимо от а у{0) = 1, графики подходящих парабол представлены на рис. 242. Если а>0, то при условии Xq>0, D>0 уравнение имеет положительные корни. Если а<0, то при условии Xq>0, D>0 один корень будет отрицательным. Итак, а удовлетворяют системе Рис. 242 а>0, 1-За >0, 2а^ (1-За)^-4а®>0 а>0, 1-За>0, <=> (4а-1)(а^-2а+1)<0 а>0. а<: <=> 0<а<-^. 4 (4а-1)(а-1Г<0 2. Пусть^о — корень искомого уравнения, тогда число (-JCn) — корень уравнения = Значит, -1=0 <=> Хо^^°' + 1=0. Так как последнее уравнение должно выполняться для любого корня 1 Qft7 искомого уравнения, уравнение имеет вид л: +1= 0. 3. Нетрудно проверить, что г = 0 не является корнем. Поэтому умножим на Z второе уравнение и получим систему Х + 1/ + 2 = 6, \x + y=6-Zy 6+2^(6-2)- 112=0, xyz= 6, второе уравнение примет вид z^- 6 2^+112-6=0. По теореме Виета для корней кубического уравнения 2j, 22, 23 запишем: 21 + 22 + 23 = 6, 2i22 + 22 23 + 2123 = 11, Из ЭТОЙ системы имеем решение 2i = 1, 23 = 2, 212223 = 6. 23=3. Тогда решения исходной системы: х=2, у = 3, 2 = 1 и все перестановки. 1987 Х1/2 + 2^(Х+у)= 11 2, <=> xyz= 6 356 Вариант 2 1. а) По теореме Виета для уравнения ах^+х +1 = 0: а+Р = --, а Р = f + ^=^ = a(a+P)(a2+p2_„p) = a(--l)((a + P)2-3aP) = -(^-f) = За-1 гу2 6^ о 1т = —5—, . ^ = а • Р = Тогда искомое уравнение имеет вид р а " 2 За-1 л: +—5— а х+^ = 0 <=> а^л:^+(3а-1)х + а = 0. б) См, вар. 1. Корни составленного уравнения положительны при условии П=(За-1)2-4аЬ0, Зо~1 2а^ >0, (а-1)(4а-^- 5а +1)< 0, (а-1Г (4а -1) <0, ^0 а>0 <=> а = 1. При а = 1 корни положительны и равны. 2. Пустьдго — корень искомого уравнения. Тогда (-Xq) — корень уравнения 1 = о и, значит, (-Xq) +1 = 0 <=> 1=0. Так как это верно для любого корня, то искомое уравнение х^®®^-1=0. 3. По теореме Виета для корней кубического уравнения Хх,Х2,Хз вер- Х1+Х2+Хз = -а, Х1Х2+Х2Хз+ХзХ4=6, Если принятьX, у, 2 за XiX2X3=-C. Xi, Х2, Х3 или их перестановки, то х, у, z есть корни кубического о р уравнения t +6^ +1 It+ 6=0, корни которого есть числа ti = -l. нох^+ ах^+ &х +с = о и ^2 = -2, t3 = -3. Значит, корни исходной системы: Х = -1, х = -1, х = -2, х = -2, х = -3, У = -2, 1/ = -3, 1/ = -3, У = -1, y=-h 2 = -3, 2 = -2, г = -1, 2 = -3, 2 = -2, х = -3, У = -2, 2 = -1. Задание 13,6. Рациональные корни многочлена Вариант 1 Уравнение имеет целые коэффициенты, поэтому рациональными корнями могут быть числа, у которых числитель есть делитель свободного члена, а знаменатель — делитель старшего коэффициента. В рассматриваемом случае это числа ±|. Проверка дала корень х = |. 357 2. Легко проверить, что х-1 — корень неравенства. Разложим на множители и получим (х -1) (х®+ Ззс^+ 5х+Q >0 <=> (л: -1) {х + 2) (х^+ х + ^ > О «=> <=>(х-1)(х + 2)>0 <=>хе(-«; -2]U[1; +®®). 3. Нетрудно убедиться, что свободный член многочлена равен -7. Так как многочлен с целыми коэффициентами, то корнями могут быть только числа ± 1, ± 7. Ни одно из этих чисел не подходит. Значит, многочлен не разлагается на многочлены с целыми коэффициентами. 4. Преобразуем исходную дробь: ^ = —. Если сокращает- 2х^-а 2 ~х+1 ся дробь —, то сокращается и исходная дробь. Если корни 2х -а -^х+1 числителя и знаменателя дроби — равны, то дробь можно сокра- 2х^-а ТИТЫ - = ?/¥ <=> а^=16 а = ±2. а у 2 5. а) Кубическое уравнение имеет хотя бы один вещественный корень. б) Рациональными корнями могут быть числа ±3, ±1. Ни одно число не подходит. Нет рациональных корней. Вариант 2 1. Рациональный корень х = -|. См. вар. 1. 2. х^-2х®+2х^-х-6<0 <=>{х -2)(х®+2х +3)<0 «=> <=>{х -2)(х + 1)(х^-х + 3)<0 <=>(х -2)(х + 1)<0 <=>хе[-1; 2]. 3. Нет. См. вар. 1. и+1 ^х+1 х^+йХ+1 ^ • 4. -—7^=^х + -^-з—. Ясно, что дробь — может быть сокращена 2х^+а 2 2x^+0 2хКа только на ^х +1, это означает, что корни числителя и знаменателя должны быть равны: = ^ а^=16 <=» а = ± 2. 5. а) Рассмотрим промежуток хе[0; 2]. Значения многочлена на концах промежутка имеют разные знаки, поэтому на этом промежутке имеется хотя бы один корень. б) Рациональными корнями могут быть только числа ±3, ±1. Ни . одно из этих чисел не подходит. Нет рациональных корней. 358 Задание 13,7, Комплексные корни многочлена Вариант 1 1, Так как коэффициенты уравнения — вещественные числа, то второй корень уравнения равен -i-2. Значит, многочлен2х^-х + 5 делится на (д: - i + 2) (х + i + 2)=+ 4х + 5, Тогда уравнение принимает \x = -2±i, вид (х^+4х + 5)(х-х + 1) = 0 <=> J [Л 2 2, а) t=cos| + i sin|, тогда уравнение принимает видх^=со5| + 18ш| ^ <=>х=со8(^ + |яА) + /8ш(^ + |я/г), k-0, 1, 2, 3, 4. б) /+уЧ1 = 0 <=> у^= cosY + isin”, cos Y + ^sin^ i/=cos|+/sin|, i/=cos^ + /sin^, о о i/=cosY + isin Y» i/=cos^ + /sin^ y-i*4. B) (Z-1)®=(2 + 1)® « 29^-1, 2^-1, /z~l\® v7+I/ =cos6 + isin0 <=> 2Ф-1, z-l _ = cos^ + isin^, ft = 0, 1, 2, 3, 4 l+cos- <=> 2 = l-cos^-»in^ 5 5 2, 3, 4. 3. Например, a = О, a = 1. При a = О многочлен принимает вид х^"*+х = О, то есть х(х^^+1) = 0. Один вещественный корень х = 0. При а=1 х^^+х^+х + 1 = 0. Производная (х^^+х^+х + 1)' = 13х^^+Зх^+1>0 при xeR. Значит, многочлен возрастает и больше одного корня иметь не может, и один корень имеется. Вариант 2 1. Зх'*-5х^+ЗхЧ4х-2=0 ^(х2-2х + 2)(Зх2+х-1) = 3(х-1-0(д:-1 + 0* (х + ^+/^)(х + |-/^). Корни х = 1±г, x = -^±i^. 2. a)x®+i=0 ^:>x®=cos^ + tsin^ <=> x=cos(|g + |nA)+/sin(f^ + |n/E), no 5 ft = 0, 1, 2, 3, 4. 359 б) y-f+l=Q <=> i/^=cos| + isin|, у cos Y + i sin Y z/=cosf+ isinf, 0 0 i/=cos Y + ^sinY> z/=cos Y+isin^, у = cos ^+i sin , 0 6 <=> u = J^ + i^ У 2 » 2 ^2’ i»- #-4- b) (z-i)®=(z + 0® « i, =cosO+£sinO \2Ф iy = cos ^ + i sin ^ = 0, 1, 2, 3, 4 i±i = COS^-rtaiii^ г - I 5 5 i(l+cos2s*+isi„2M) ФФ <=> 2 = * l_cos^-/sin^ 5 5 -, Л=1, 2, 3, 4. 3. Например, a=0, a=l. Cm. вар. 1. Задание 13.8, Контрольное задание Вариант 1 1. Пусть многочлен Р{х) делится на(х-2)(д:-3). Тогда P(x) = (x-2)(x-3)Qi(x), где Qi(x) — частное. Тогда Р(2) = 0 и Р(3) = 0. И по теореме Безу многочлен Р (х) делится на (х - 2) и (х - 3). Пусть Р (х) делится на (х - 2), тогда Р (х) = (х - 2) ©2(^)» Q2W — частное, некоторый мно- гочлен степени на 1 меньше степени Р(х). Пусть Р(х) делится еще на (х - 3). Тогда, так как (х - 2) не делится на (х - 3), Q2(x) делится на (х-3), то есть Р(х)=(х-2)(х-3) ^(х), ^(х) — частное. Получили, что Р (х) делится на (х - 2) (х - 3). 2. Из первого уравнения следует, что (х+I/+2)^=4 Ф=>Х^+ у^+ 2^+2(xz/+x2+1/2) = 4. Используя второе уравнение, запишем 2{xy + xz + yz) = 4:-6. Тогда Х4-у + 2 = 2, система уравнений сведется к виду ху + yz + xz = -1, Из этой систе- xyz = -2. мы видно, что числа Ху у, z удовлетворяют теореме Виета для кубического уравнения t^-2t^-t-\-2=0y значит, х, I/, z — корни этого уравнения. ^^(f-2)-(^-2) = 0 <=» (^-2)(^^-l)= О <=> f = l, f=-l, t = 2. Тогдарешениях, I/, 2равны(1; -1; 2) и все перестановки этих чисел. 360 3. а) Проверим подстановкой д: = г: -/ + (l + /) + i-l-i = 0. Да, д: = iявляется корнем. б) Разложим кубический многочлен на множители: i)x^+x-l - i = (x - i)(x^~X -{-1- i) у тогда уравнение примет вид {х - О {х^-х + 1-/) = 0 <=> Х=1, X = -U д: = 1 + г. 4. р'(х)= ах^-6ах + 8у q'(x) = x-a. Если р'(х) делится на то по теореме Безу р'{а)-0 <=> а^- 6а^-(-8 = 0 <=> (а^- 4)(а^- 2) = 0. а = ±2 — целые. Проверка показала, что при этих а р(х) не делится над(х). Не существует таких а. 5. а) Многочлен х^^-1 можно представить в виде произведения (числа 1, Xi, Х2, ... , лгю — корни): x“-1 = (x-1)(a:-Xi)(x-jc2)...(x-^:io). Тогда при х = -1 имеем -2 = -2(l-t-Xj)(l-i-X2)... (1 + Хю)- Откуда следует, что искомое произведение равно 1. (l + Xi)(l + X2)...(l + Xio) = l-б) Пустьх1,Х2,... уХ2п — отличные от 1 корни уравнения 1 = 0. Тогда (1 + Xi)(l + X2)...(l + X2;^=l. Вариант 2 1. См. вар. 1. 2. Решение (1; -1; -2) и все перестановки этих чисел. См. вар. 1. 3. а) Да. Можно проверить подстановкой, б) Xi=-i, Х2= /, Хз = -!-/. 4. Нет. См. вар. 1. 5. а) Произведение равно 1. б) Рассмотрим уравнение1 = 0. Пустьх!, Х2, ... , Х2„ — корни, отличные от -1. Тогда (1-Xi)(l-X2)...(1-Х2„) = 1. Действительно, многочлен x^”'^4l= (x-t-l)(x-Xi)(x-X2)...(x-X2rt). Подставим х = 1. Имеем (1-Xi)(l-X2) ...(1-Х2л) = 1* Тема 14 УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Задание 14Л, Уравнения первой степени с одним неизвестным Вариант 1 1. а) Если а ^ о, то решение х = , если а = 0, то решений нет. б) X >0, если о <=> ае (-о°; -1)U(0; + оо) , 361 г) Je(a) = i^ = l + 1 (рис. 243). 2. Исходное уравнение равносильно системе афОу хф1^ О, ХФ\у <=> (а^-1)х =а^+а-2 а {х -1) =х-1+ а-1 афО, Хф1у (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2). Если а = 1, то решения хеК,хФ\, Если а-~1 или а=О, то решений нет. Если а ^ ± 1, а ^ О, то X = Проверим, когда х = = 1. Оказывается, что нет таких а, при которых х = 1. Значит, все утверждения верны. 3. Рассмотрим треугольник АВС, где АВ = ВС = 1, АС= а (рис. 244). Пусть DE11 АС. Так как трапеция описанная, то AD + ЕС = DE + АС (суммы противоположных сторон равны). Треугольники АВС и DBE подобны. Значит, ^ ^, ВС = BE + ЕС. Подставляя АС и ВС, получим 1 = В£ + £С. Так как АВ-ВС, BD = BE, имеем 2ЕС = DE + п, AD = EC, Итак, получим систему ^ Ж = БВ, а подставим ВС из первого уравнения в третье ВС=Ж^|, БВ + ВС = 1, DE = аВЕ, откуда для DE получим ББ + Ж + | = 1, 362 уравнение DE = a(l~^~^) <=> Выясним, при каких а выполняется 00<^^^^<а<=>0<^^<1 <=>0<2- а<2 + а а+2 2+а О О < а < 2. Так как в треугольнике АВС две стороны равны 1, то по неравенству треугольника а<2. Значит, для всех 0<а<2, при которых существует треугольник с двумя сторонами, равными 1, и третьей стороной а, отрезок DE = ■ Вариант 2 1. а) Если а = О, то решений нет, если а ^ О, то д: = -б)л: = -^<0 <=!.-^>0 «=> аб(-~; -1)U(0; +~). а +1 в) I ХI > 1 О а + 1 а а + 1 >1, <-1 2а + 1 <0, 1>0 I а -|<а<0, а>0, следовательно. условию удовлетворяют ае 0)U(0; +«>). г)д:(а)=-1-^ (рис. 245). 2. Исходное уравнение равносильно системе аф -2, хфО, (а + 3)д: = 2(а + 2)-5. Если а = -2,а = -3, а = ^, уравнение решений не имеет. Если аФ~2, аФ~3, х = . Число а = ^ получилось из условия, что а + о л X = 2а-1 а + 3 = О И ЧТО ИЗ допустимых значений хфО. 3. Пусть в треугольнике АБС АБ = ВС = а, АС = 1, Б£|| АС. Так как в трапецию можно вписать окружность (описанный четырехугольник), то AD + EC = DE + AC. Треугольники АБС и DBE подобны, 363 поэтому ^ Щ, AD = ЕС. Кроме этого BE = ВС - ЕС = а - , тогда подставляя это выражение для BE в пропорцию, имеем ^ ^ , откуда DE • а = а- ЕС. Так как из равенства сумм противоположных сторон треугольника следует, что 2ЕС = ВЕ + 1, то имеем систему \2ЕС = ПЕ-\-и [DE а = а-ЕС. Нетрудно решить эту систему линейных уравнений: ВЕ = 2а-1 2а + 1* По условию, 0 а>^. Именно 2а + 1 2 при а>^ существует предполагаемый треугольник. Значит, для всех а > ^ BE = . 2 2а+ 1 Задание 14,2. Неравенства первой степени с одним неизвестным Вариант 1 1. а) ах-1<0<=> ах<1.Решения:еслиа = 0,тол:е1г;еслиа>0,тох<^; если а<0, х>-. а б) Подставим в рассматриваемое неравенство х = 2, тогда для а имеем 2a-l<0<=^a0,тох<-^и если -<1, то все х< — меньше 1. Откуда а>1. а а г) Обратимся к пункту (а). а = 0 удовлетворяет условию задачи. Если а>0, тох<^ и если -^^1» то все |х|<1 — решения. Это возможно при О <а< 1. Если а <0, то х> - и если -1, то все! х I < 1 — решения. Значит, 0>а>-1. Итак, условию задачи удовлетворяют ае[-1; 1]. 2. Исходное неравенство можно записать в виде -(о + 3)у + 4-За^ Q ^ 4-3a-(g + 3)t/^ Q (а -1)1/ у Корень числителя при а ^-3 г/i = » корень знаменателя у2=0. Если г/2, ^*у 4 -1/(а + 3) /\ ЧТО достигается при а = ^, неравенство примет вид ——- > 0, оно не о у имеет решений, так как а >0. Если yi< У2, f7///7X !/1 о 364 то есть ^ v<0, тогда а >4» решение oY Если У1>У2, а-ьо о уа + о/ ^^ О У1 У ТО есть 1<а<^, то решение уе^О; 3. Так как а>0, то из неравенства следует, что решения могут быть только положительными: х > 0. Тогда х + 5>0и|х + 5|=х + 5. Исход- ное неравенство равносильно системе Система имеет решение при х>а>1. х + 5<ах, х>0, <=> а>0 х + 5<аху х>0у а>0. Вариант 2 1. а)ах + 1>0<=>ах>-1. Если а = 0, то решение xeR; если а > 0, то х>--; если а<0, тох<-~. а а б) Подставим в исходное неравенство х = 2, тогда 2а + 1>0<=>а>-4* Значит, при а>-^, х = 2 является решением. в) Из пункта а) ясно, что условию пункта в) могут удовлетворять решения ^ при а > О. Любое решение неравенства будет больше -1 при условии -1 <-^ <=> а>1. г) Рассмотрим решение этого неравенства в пункте (а). Ясно, что а = о удовлетворяет условию задачи. Удовлетворяют условию задачи также следующие а: случай а>0 случай а<0 ! II 1^1 II II Ц о iUtUjlUUli о 1 1. а ' а>0, а<0. Решая эти неравенства, получим ае(0; 1], ае[-1; 0). Итак, условию задачи удовлетворяют ае [-1; 1]. 2. Исходное неравенство равносильно (q + 3)y+2fl-7 ^ (а + 3)у-7 + 2а {а-1){у-1) у-1 Решим неравенство методом интервалов. Корень числителя при 7 — 2d а ^ "3 у 1 = , корень знаменателя у 2 = 1 - Возможны три случая. 365 1\ 7-2о < л 1) У1= г/2. то есть <=» a = f. 1=У1=г/2 В этом случае неравенство не имеет решений. 2) 1/1>Р2^-7^^>1<=>7-2а>а + 3<=>1<а<|. Решение i/e ^1; 3) 1/1< J/2 о>|• Решение i/e l). -±____^y7jf7\ + ^ J/1 1/2 = 1 У 3. Исходное неравенство можно решить, используя графики. Пусть Графики у = У2(х) при а<0 — У1(х) = \-х + Ъ\=\х-Б\, У2(х) = ах , У= ах Рис. 247 прямые с тангенсом угла наклона а, проходящие через начало координат (рис. 247). Ясно, что если тангенс угла наклона прямой равен а, -1 < а < О, то график у = Ух(х) ниже графика у=У2(х) при любых X. Значит, решение xeR. Если а=0, то решение У=Ух(х) xeR, х^5(х = 5 — общая точка графиков У2(х)и yi(x) при а=0). Если а < -1, то графики yi(x)ii у2W пересекаются в точке JCi: алгх=-Хх+5, xj = и решениех >Хх, то есть X > 1 + а * Задание 14.3. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными Вариант 1 1. а) Вычислим определители этой системы. А = а • а-1 • 1=0-1, Ai = а^ 1 4 Ч А а 1 а = а-1, Дг = 1 1 - а-а Если Л 9^0, то есть а=/=±1, то система имеет единственное решение _ Ai _a^-l_(a^-l)(g^+l)_„2 Х = -^ = = а"+1, у = ^ = _ Дг _ в- - = -0. Если о = ±1, то Д = О, Д1 = Л2 = 0. Система имеет бесконечно много ре-yeR, шеяии х = 1-ау. 366 Возможно другое решение. Подставим х из второго уравнения в первое и получим для I/ (1-а^)г/ = а^-а <=^(1~а^)у = ~ а{1 - а^). Ясно, что при а = ±1 уравнение имеет бесконечно много решений yeR. Для любого у х = 1-ау. Если а^±1, система имеет единственное решение I x = a"^+l, 1г/ = -а. б) Если вычесть из первого уравнения второе, получим x + 4i/ = 3, [x + 4i/=3, добавим третье уравнение \ Ясно, что решение системы [x + iy= а. о m \x~y~2, существует только при а = 3. Тогда < <=> \ \х + 4у=3 [j/ = l 2. а) Прямые пересекаются при условии, что система имеет решение. Определители этой системы: Зх+2ау = 1, 3{а-1)х-ау = 1 Л = Ai = 3 2а 3(а-1) -а 1 2а 1 -а = -За-6а(а-1) = -6 аг+ 3 а, — —а~2а — ”3а, До “ 3 1 3(а-1) 1 = 3-3(а-1)= 6-За. Система имеет единственное решение при А О, то есть За- ба^;^ О рямые перес! Зд: + 2а^ = 1, <=> Значит, если прямые пересекаются Другое решение следующее. Систему 3(а- 1)х~ау = 1 подста- новкой X из первого уравнения во второе приводим к виду Единственное решение существует при а^О и а^0,5. 1-2а’ у= оа-2а) При этом исходные прямые пересекаются. б) Прямые совпадают, если коэффициенты при х и у соответст- 3=3(а-1), венно равны < <=^ 2а = -а а = 2, а = 0, нет решений. Ни при каких а прямые не совпадают. в) Прямые параллельны, если коэффициенты при х и при у пропорциональны ^ а = 0, а=|, 3. При решении данной задачи удобно использовать графики. Если л + л а = о, то система принимает вид у <=»x=i/ = 0 — единст- [х=0 венное решение. Если а^О, то исходная система равносильна 367 \у = а-\х\, системе \ Приведем графики первого и второго урав- нений. График у^а-\х\ — два перпендикулярных луча с началом М (0; а). График ^ = 1 - — прямая с тангенсом угла наклона - и проходящая через точку ^(0; 1). Рассмотрим различные случаи расположения графиков. 1)0<а<1(рис. 248а), 2) а>1(рис. 2486). 3)-1<а<0(рис. 248в). 4) а<~1 (рис. 248г). 5) а = 1 (рис. 248д). 368 Случай 1. Если О < а < 1, то тангенс угла наклона - -1 и угол на- клона прямой у = 1-^х меньше и больше Система имеет единственное решение, так как графики пересекаются в точке С. Случай 2. Если а>1, то вершина графика у-а-\х\ М находится выше точки N, угол наклона прямой у = 1~~х находится в пределах (~п; я). Графики пересекаются в двух точках С^, С2- Система имеет два решения. Случай 3. -1<а<0. Система имеет одно решение. Случай 4. а<-1. Графики не пересекаются. Система не имеет решений. Случай 5. а = 1. Лучи графиков у = 1-^х и у = а-\х\ совпадают. Система имеет бесконечно много решений. Случай 6, а = 0. Система имеет одно решение х = у = 0. Итак, система имеет единственное решение при ае(-1; 1). Вариант 2 а) Систему можно решить так же, как в вар. 1. С другой стороны, заметим, что если поменять Х1я.у местами, получим систему вар. 1. Поэтому, используя решение вар. 1, получим: если а ± 1, то систе- ма имеет единственное решение У= а +1» х = -а. Если а = ±1, то система . „ \x^R, имеет бесконечно много решении \ [ i/ = l-ax. б) Система имеет решение только при а = 3: л: = |, У = у* 2. Еслиа^^О, прямые пересекаются. Если а = 0, а = |, прямые параллельны. Нет таких а, при которых прямые совпадают. 3. Решим эту систему не с помощью графиков, как это сделано в аналогичной системе вар. 1, а подстановкой у - а-|х| во второе уравнение. Тогда получим для х уравнение х-а\х\ = а- с? . Раскрывая Гх>0, модуль, получим совокупность систем х{1~а)= а-а^^у х<0, х(1 + а) = а- а , X =0, а- Ясно, ’2.0. ЧТО надо отдельно рассмотреть случаи 1-а = 0,1 + а = 0,а -а= 0. Если а = 0, то система имеет единственное решение. Если а = 1, решений бесконечно много. Если а = -1, то нет решений. Если а^±1, 369 то уравнению удовлетворяют такие х, что [х>0, [х<0. Для того х = - 1+а чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно (при а ^ ± 1, а 0), чтобы произведение возможных решений 2 было положительно: а • ^ >0. Тогда одно из решений исключается условиями х>0 или х<0. >0 о а^- ^~д >Q> то есть ае (-1; 0)U(0; 1). Итак, уравнение имеет единственное решение при ае (-1; 1). Задание 14,4. Линейные системы уравнений с многими неизвестными Вариант 1 1. а) Для решения системы используем метод Гаусса. Получим из первого уравнения выражение для х и подставим его в другие. Тогда ^_2+Ы-г+4у * 2 2(5^ + 2-гч-4у)-7у-2-8г = -5, ^ 5(5^ + 2- 2-^- 4у) -18i/ + 22-23t = 3, 2 + 5i-2 + 4i/-3y+ 2- ^=0 ^_2 + 5t’’Z + 4y 2 y-3z-\-2t = -9, 2^-32 + 2i=-7, y + 4t = -2, исключим из второго уравнения у и подставим выражение для него в третье и четвертое чим 2 = и подставим его в четвертое уравнение, получим 4f = -4. о Отсюда вычисляем t = -l, подставляем во все другие уравнения. Затем вычисляем 2=3, подставляем в первое и второе уравнения. Из второго уравнения у =2, из первого х=1. Значит, решение системы (х, Z/, 2, t)={lj 2, 3,-1), б) Методом Гаусса можно получить равносильную систему уравнений Х1-»-Х2+Хз+Х4+Х5 = 0, Х2 - 4хз + Х4 - 2x5 = 1, Ясно, что последние два уравнения несовме- Х2-4Хз-НХ4-2Х5 = 2. стны. Значит, система не имеет решений. _ 2 + 5f -* z + 4y 2 y = -9 + Sz-2t, 32-2f=ll, З2 -\-2t — 7 f из третьего уравнения полу- 370 во нулю определителя А= Необходимым условием несовместности системы является равенст- а 1 1 1 а 1 = а^+1+1-а-а-а= а^-За + 2 = 11а = (а-1)^(а + 2). Значит, надо проверить значения а = 1, а = -2. При а = 1 все уравнения системы равносильны. Поэтому система имеет бесконечно много решений. Пусть а = - 2, тогда система примет вид -2л: +z/ + 2 = -2, x-2z/ + 2 = 4, если сложить все уравнения системы, то получим л:+г/-22 = -8, 0 = - 6. Это означает, что система не имеет решений. Другое решение. Вычтем из первого и второго уравнений третье. (а-1)л:-{а-1)г=а(1- а^). Тогда получим равносильную систему ](а-1)г/-(а-1)2 = а^(1-а), х+1/ + а2= а^. Ясно, что при а = 1 система имеет бесконечно много решений. Пусть X- 2 = -а(1+ а), .2 а^1. Тогда имеем у-2=- а“ Подставим X и у из первого и Третье и четвертое уравнения сов- х+у+а2=а. второго уравнений в третье. Тогда третье уравнение примет вид (2 + а) 2 = 3 + а. Нетрудно сделать вывод, что при а = -2 уравнение не имеет решений. При а = -2 исходная система также не имеет решений. 3. Методом исключения (Гаусса) получим равносильную систему X + J/ + 2=A, fx + y + z=k, 2y + 3z= 3k, 2y + 3z = 3k, ^ i y + 2z=3k, z = -3k, z=4k [2=4^. местны только при A = О. Решение при k= О х= у= z=0. Это решение единственно. Вариант 2 а) Ответ (1, 0,-1, 0). Можно решить метод ом исключения (Гаусса). б) Если исключить х\ из первого уравнения и подставить во второе и [лГ1-Х2+Хз-Х4+Х5 = 0, третье, получим равносильную систему 3^2 -5лгз +3^4 =1, По- 3X2 -бхз +3X4 =2. следние два уравнения этой системы несовместны. Значит, система не имеет решений. Не имеет решений также и исходная система. 371 определителя А = равносильна системе конечно много решений. При а = 2 =-а^+За + 2= (а + 1)^(а-2). Опреде- 2. Необходимое условие несовместимости системы — равенство нулю -а 1 1 1 -а 1 1 1 -а литель равен нулю при а = 2, а = -1. Если а = -1, исходная система X + y+Z = l, fx + y+Z-lt x + y + 2 = l,<=> 0=0, которая имеет бес-x + y + z = l 0 = 0, -2х+г/ + 2 = -2, x-2y + z = 4^y Если сложить x + y-2z = -S, все три уравнения, получим 0 = - 6, это уравнение не имеет решений, поэтому при а = 2 система не имеет решений. Без использования определителей решение таково: равносильная -(а + 1)х +{а +1) 2 = - а(1-а^), - (а + 1)у + (а +1) 2 = а^(1+а). Ясно, что при а = -1 x + y-az= -а^, система имеет бесконечно много решений. Пусть аФ~1, Тогда имеем -x+ 2= а(а-1), -Z/ + 2 = а^, Подставим хи у из первого и второго уравнений в ДГ +у-а2= -а^. третье, оно примет вид (2 - а) 2 = 2 - а - Уравнение, а также ис- ходная система не имеют решений при а = 2. Решение единственно только при k=0. Задание 14.5, Система неравенств с несколькими неизвестными Вариант 1 1. а) Исходное условие можно записать система имеет вид в виде 1/>4х-2, Граница множества |х|<2, lj/l>3. точек состоит из отрезков прямых, которые представлены на рис. 249. д:>1, х>0, х^1, У>0, (х-1)(у-х)<0 [\og^y0, в) < [cos(x-i/)<0. [2яЛ<х +у<я + 2яА, ke Z, ^ + 2nlх>0, 1>у>0, sin(arcsinx) < sin (arccos у) (рис. 251). 0<л:<1, 0 X < -^1 - cos^(arccos у) 0<х<1, 0<л:<1, 0<у<1, «j х^<1- х^+ у^< 1. Искомое множество ■ ницы) (рис. 252). четверть круга радиуса 1 с центром (без гра- 2. Например, X- у+ 2-1<0, х+ у- г + 1<0. 373 Вариант 2 1. а) Исходное условие равносильно следующему ' у<3х-3, \х\>3, \у\<2. Границей множества точек являются отрезки прямых. Нарисуем эти прямые и определим множество (рис. 253). б) Исходное условие равносильно следующему (рис. 255). г) Аналогично вар. 1, получим множество, определяемое условиями 374 2. Например, хЧу^< 1, 0<х<1, 0<г/<1 “Х+ Z/+ Z- 1< о, (рис. 256). -X- у- 2 + 1<0. Задание 14.6, Метод интервалов Вариант 1 1. а) Исходное неравенство равносильно следующему - \ V » - О • дг(д;^+лг+1) Так как xVx^+l>0 при любом хеЛ, последнее неравенство равносильно^^——I—^>0. Корни числителя и знаменателях = 0, дг Х = -1, Х = 1. -1 о Решение: х = -1, 1<х<оо =>хб[1; +оо). б) Исходное неравенство равносильно следующему I а|^-1+| а|-1>0 <=>(Iа|^-1)(| а|^+1)+| а|-1>0 <=> <=>(! а|-1) [(I а| + 1)(| а|^+1) + 1] > 0. Так как выражение в квадратных скобках при любом а больше нуля, последнее неравенство равносильно I а|-1>0 <=> I а| > 1, ае -1]U[1; +®®). 375 в) Исходная система равносильна следующей системе 2z+4 Z-3 -тЧ<0, -г-7 ^1 2(г + 2)(г-3)^®’ 1(г-2у/2)(г + 2л/2)<0 1-2^2 < 2<2^/2. Так как з:<2л/2 <3, то г- 3<0 и -2- 7<0, поэтому система равно- сильна следующей -2л/2< 2<2л/2. -2V2 “2 Решение: 2е[-2л/2; -2). 2. Область определения функции 2V2 О /# J. /# _ * 2(t-l) Итак, область определения функции: fe(-oo; 3. Исходное условие равносильно следующему условию ((х-2)(х-3)>0, (х-2)(х-3) f. {(у-2)(у-3)>0, (у-2)(у-3) [(Х-2)(Х-3)<0, [(i/-2)(z/-3)<0 лг£(-=о; 2)U(3; +~), z/e(-~; 2)U(3; хе(2; 3), г/Е(2; 3) (рис. 257). Вариант 2 1. а) Неравенство равносильно следующему <0. Так как (д;‘*-дГ+1) X -X +1>0при любом д: 6/?, неравенство равносильно^^——^<0. __ X* -1 о 376 Решение: д:<0, 0<л:<1. б) Исходное неравенство равносильно следующему неравенству (I ар+1)^-4<0 <=> (I а|^+1 + 2)(| ар+1-2)<0 <=> | а|^-1<0 <=> | а| <1. в) Система неравенств равносильна следующей системе -2-8 1 i 2г + 6 2-2 (2-273)(2 + 2л/3)>0 <=> 2(2 + 2) (2-3) г<-2л/3, 2>2V3. <0, Решим первое неравенство. -8 Итак, система принимает вид -3 2 2<-8, -32>/3 «=> 2<“8. 2. Область определения все t, удовлетворяющие неравенству -2i^+t+l' 2(/-l)(f + |) -^>0. Область определения функции: 1)U(1; +®®). 3. Исходное условие равносильно следующему условию (х-3)(х-4) (1/-3)(у-4) <0 <=> (л:-4)(д:-3)<0, {у-Шу-г)>о, (х-4)(х-3)>0, (у-4)(1/-3)<0 3<д:<4, 1/>4, 1/<3, :с>4, х<3, 3<у<4 (рис. 258). Задание 14 J, Квадратные уравнения с параметром Вариант 1 л 1. а) Дискриминант уравнения Z) = a -4. Уравнение имеет решения, если D>0, то есть I а| >2. Тогда сумма квадратов корней Х2= (Xi + Х2)^-2ХхХ2 = а^- 2. Использовали теорему Виета, XiX2 = l, Xi+X2=a. А б) График суммы у-а -2 — часть параболы для|а|>2 (рис. 259). 2. Рассматриваемое уравнение при а = О является линейным -д: = 0<=>д: = 0. При этом уравнение имеет единственное решение. Если a;t О, то для единственности решения необходимо и достаточно, чтобы был равен нулю дискриминант П = (а-ь1)^-4а^(а-1-1) = 0. Рис. 259 (а + 1)(а + 1-4аТ = 0 <=» а = -1, 1±Л7 а = - 8 Целое а = -1. Итак, ответ: при а = 0, а = -1 уравнение имеет единственное решение. 3. Если Xq — решение системы, toxq — и решение разности этих уравнений , откуда (а -1) Хо = а - 8. Это уравнение при а^1 имеет решение Xq=^^. Подставим это значение Xq во второе уравнение. Тогда А а - 24 а +72 = о. Можно подобрать целый корень уравнения а = - б и разложить выражение на множители (а + Q (а^- 6 а +12) = 0. Других корней нет. Значит, система имеет решение при а = -6. 4. Исходное уравнение равносильно следующему уравнению ^\х = -а±4^1. Если дискриминант а^-1<0, решений нет. а^-1<0 «=> ае(-1; 1). Проверим, при каких ах = 0их = -а. fa>0, 1)-а±-/а^^=0 ^ ” ' <=> а е 0. 2 2-1 а =а -1, а<0, 2 2 а =а - 378 2) - а = - а ± sja^-l <=> yj а^-1 = О а = ± 1. При этих значениях а нет решений. Итак, решение: при] а|>1 х = - a±yj а^-1, 5. При а = О корень уравнения х = -1. Если а О, то решим задачу графически. График квадратного трехчлена — парабола с вершиной ^0=-^. Одно из условий для того, чтобы уравнение имело корни, |х|<1,-1<д:о<1<=>-1<-^<1<=>| ^1 > Также необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным D = l-4a>0 о a а<-2. Итак, при а<-2 и а~0 корни |л:| < 1. Вариант 2 1. а) См. вар. 1. XiX2=l,Xi+X2=-a ,xl-^X2 = {xi+x^^-2xiX2= а^-2приП = а^~4>0. Итак, Xj +Х2= а^-2 при | а| > 2 . б) См. вар. 1. Тот же график. 2. Единственное решение только при а=0 и дискриминанте D=0. D=(а +1) ^ - 4 (а +1) = о <=> (а +1) (а +1 - 4 а ^) = о ^ а = -1, а - . о Таким образом, целые значения а: а=0, а = -1. 3. Если заменить х на - х, задача сводится к вар. 1. Система имеет решение при а = - 6. 4. « Ка-Я »Й-Я Проверим, при каких ах = 0их=а. D = 4a2-4>0. х^О, X9t а, х= a±yja^-l. 379 1) х = о <=> а±-^а^-1= О <=» д/ а^-1 = ±а а>0, а^=а^-1, а<0, 2 2 1 а =а -1. <=> ае 0. 2) д:= а <=> а= a±^fa^^=0 <=> д/а^-1=0 <=> а = ±1. D= 4а^-4>0 <=> <=>| а| > 1. Итак, уравнение имеет решение х= а±^/о^^ при| а\ > 1, 5. При а = о л: = 1. Если а?^0,то |д:| > 1 при условии, что дискриминант D>0 <=> 1-4а>0 <=> а<^. Кроме того, вершина параболы ae(0;i). ae(-i; 0), ае(0; i]. X о < -1 либо X о > 1. Так как х о = ^, L27>1 Хо>1 с учетом дискриминанта множество а уменьшилось: Существует еще одно условие. 1) а> о (рис. 261). Рис. 261 Значения трехчлена в точках х = ±1 должны быть больше нуля |j/(-l)=a + 2>0, ^ «а>0. \у(1)=а>0 2) а<0 (рис. 262). Значения трехчлена в точках х = ±1 должны быть меньше нуля [ 1/(-1)= а + 2<0, ^ ^ ^ а<-2. Ь(1)=а<0 380 Итак, объединяя все условия, имеем ae(-i;0), а<-2, ае(0; А], « ое [0; |]. а>0, а = 0. Задание 14.8, Квадратные неравенства с параметром Вариант 1 1. При а = 1 неравенство принимает вид 2>0, значит, оно верно при всех дгеЛ. При а = -1 неравенство оказывается линейным, поэтому оно не может быть верно при всех х. При аФ±1 имеем квадратное неравенство. Как известно, такое квадратное неравенство, когда значения трехчлена при всех х больше нуля, может быть только при положительном значении старшего коэффициента и в случае отсутствия корней, т. е. [а^-1>0, 1х)=4(а-1)2-8(а2-1)<0 <=> а>1, а<-1, <=> -4а^“8а + 12<0 а>1, а<-1, а^+2а-3>0 а>1, а<-1, <=> (а + 3)(а-1)>0 а>1, а<-1, i а> 1, а<-3 а>1, а<-3. Итак, условию задачи удовлетворяют а>1, а<-3. 2. Если а = о, то решениех > -1. Если а > 0 и дискриминант П <0, то решение x^R. -1-л/^ л :ь XI = ■ Если а>0 и дискриминант D>0, то решение = - 2а ’ -1+Vo Х>Х2 = 2а Если а<0 и дискриминант П>0, то решение X2^x0, запишем ответ: 1) а=0, решение х>-1; „ ^ -l-vr-4a ___ __________ 2а ’ 04 л -l+Jl-4a^ ^ -1-Jl~4a 1 3)а<0, решение —^---------<х<—г-------: . -1+Л-Аа х> —4-----: 2)а€(0;1), 2а 2а 2а 4) а> решение xsR. 381 Рис. 263 Рис. 264 Рис. 265 3. Представим графически левую и правую части неравенства: 1) а = О (рис. 263); 2) а> О (рис. 264); 3) а<О (рис. 265). В случае а>0 решения неравенства не образуют один промежуток. В случае а < О такие решения возможны. Если парабола не имеет общих точек с прямой у = х, то решения образуют один промежуток xeR. Все подходящие параболы находятся выше параболы, которая касается прямой у = х. Значит, надо определить, к какой параболе у= X - а является касательной прямая у = х. ПустьXq — точка касания, тогда y(xQ) = XQ- а — ордината касания, тангенс угла наклона y'-2xQj и так как в то же время тангенс равен 1 (а = 45°), то можно вычислить Xq, 2xq= 1, откуда Xq = -|, Xq - д = Xq. Получаем значение а = X0^- X = (|)^--| = -. Итак, если значения а<-^ (парабола выше), то решения неравенства |х^- а\>х есть xeR (один промежуток). 4. Представим графически левую и правую части неравенства. На рис. 266а сплошной линией проведены лучи прямых у=3~\х-а\ при а<0, пунктирной — лучи прямых у=3-\х-а\ при а>0. Если а>0, то среди решений исходного неравенства обязательно имеются положительные решения (рис. 2666). Если а<0, то ордината графика у=3-\х-а\ в точке х = 0 г/= 3+а. Так как в точке д: = О ордината параболы ^=0, то в случае 3+а>0 неравенство имеет и положительные решения. Имеем систему ^ д<о аИС. 2оI <=^-3<а<0. Если 3+а<0, то 3+а>0, положительных решений нет. Наименьшее а, при котором неравенство имеет только отрицательные решения, определяется из условия касания прямой у=3-\х-а \ и параболы у~х^ при х> а. На рис. 267 приведены графики у-3~\х-а \ при а = -3и в случае касания. Определим, при каком а прямая у=3-\х~а\ <=> у = 3+а-дг является касательной к параболе у = х^. Пусть точка касания Xq. Тогда (x^Yx=xq=~^ ^ 2xq=1 <=> Xq = ~y Уравнение касательной у = -х-^ — это уравнение прямой i/ = 3-1- а-л:, из равенства 3-1- а = -^ получим a = -3-i. Итак, наименьшее значение а<0, при котором неравенство не имеет решений, а = -3^. Следовательно, неравенство имеет только отрицательные решения, если ае (-3|^; -3). 5. Если а>0, то квадратный трехчлен принимает положительные значения в неограниченном промежутке. Поэтому положительные а не удовлетворяют условию задачи. Если л= 0, то исходное неравенство принимает вид 2>0. Ясно, что а = 0 тоже не удовлетворяет условию задачи. В случае а<0 приведем графики (рис. 268). Подходяпдие параболы определяются из системы D = il-a^)^+4:a^>0, ^0“ 2а ’ -2<л:о<2, 1/(-2)<0, У(2)<0, где D — дискриминант, Xq — вершина параболы, у (-2) и у (2) значения квадратного трехчлена в точках х = ±2. Решим систему 383 (l-a2)2+4aS0, 4a + 2(l-a^)-a<0, 4a-2(l-a^)-a<0 - 2 - V5 < a < - 2 + Vs, -2^, толге/?; если ,___ если а=0, то х<1\ если а<0, то 1^Е5. » 0<а<0,25, то 2а ~ 2а 3. Замена х на -х сведет задачу к вар. 1. Поэтому ответ: а<-^. 4. Задачу можно решить аналогично вар. 1. С другой стороны, можно использовать ответ к вар. 1, так как нетрудно показать, что неравенство имеет только положительные решения при тех а, при которых неравенство вар. 1 имеет только отрицательные решения. -3-7<л<-3. 4 5. Изобразим графически множества! г|>7 и аз^-2(а^-^2-12а>0 (рис. 269). По условию, все числа] з|>7 должны быть решениями неравенства, в котором значения квадратного трехчлена не меньше нуля. Ясно, что старший коэффициент не может быть неположительным. Графики подходящих квадратных трехчленов (параболы) показаны на рисунке. Условия, при которых параболы располагаются приведенным образом, следующие: 384 а>0, D=4(a2-3)2+48a2<0, ^^е0, D>0, -7<Хо<7, а^-З Хо = У(7)>0, 1/(-7)>0, а>0 -7< а^-3 <7, <=> 14аЧ37а-42>0, -14аЧ37а + 42>0, а>0 а -7а-3<0, а^ + 7а-3>0, 14оЧ37а-42>0, -14аЧ37а+42>0, а>0, откуда 7 + Уб1 0<а< а>|. а<-|, ■ ‘ -^<а<7 7 2 Итак, условию задачи удовлетворяют |<а<3,5. Задание 14.9. Уравнения с модулями Вариант 1 1. а) Вещественную числовую ось можно разбить на четыре промежутка. Границы промежутков совпадают с корнями подмодульных выражений х = 0,х-1=0,х-2 = 0. О 1 2 X 1)х<0. В этом промежутке уравнение равносильно системе х<0, х<0у 2) 3) 4) Зх = 1 0<д:<1, х = 4 ^ 3 <=> хе 0. 3-x = 2 1<х<2, х-ь1 = 2 х>2. х = 1. ^ XG 0. «=> XG 0. [3х-3 = 2 Итак, решение х = 1, б) х^-|х|= 6<=>|х|^-|х1- 6=0<=>(|х1-3)(|х| + 2)=0<=>|х|=3<=^х = ±3. в) Исходное уравнение равносильно совокупности систем 385 х<1, l2x-ll-a: = -l, i х>1, l-x = -l х<1. x<- -3x = -2, x = 0, х>1, x = 2 <^x=2. 2. Подставим в уравнение параметр а = О и решим его. |х + 3|= 4 <=> х= 1, х = -7. Проверим, являются ли числах = 1их = -7 решениями уравнения при всех а. Если подставим в уравнение x = -7, то имеем 8а = О, равенство верно только при а = 0. Значит, х = - 7 не является корнем при всех а. Подставим х = 1, имеем 0*а=0<=>0=0. Значит, искомое число X = 1. 3. Решим уравнение, раскрывая модуль. 11 - ах I = X <=> 1-ах=х, 1-ах>0, ах-1=х, 1-ах<0 (а + 1)х = 1, ах<1, (а-1)х = 1, ах>1 а^-1, х = —Ц, а + 1’ а + 1 ’ <=> а^1, х = -^ ^ a-V а-1 а^-1, х = —Ц-, а + 1’ --^<0, а + 1 * а^ 1, то есть х = —Ц-, при а>-1, [при а>1. Итак, единственное решение при ае(-1; 1]. Вариант 2 1. а) Исходное уравнение равносильно совокупности систем 386 jc<-2, -3x-3=2, -2<лг<-1, “X + l = 2, -l0, 3x+3=2 <=> x<-2, x = -^ ^ 3» -20, <=» x = -l. б) Исходное уравнение равносильно следующему уравнению 6=0 <=>(|х| + 3)(|д:|-2)=0 «|jc| = 2 <=>JC = ±2. в) Уравнение равносильно совокупности систем \2х-1\-х = 1, х>1, х<1, 1-х = 1 2х-1-х = 1, х>1, х<1, х = 0 <=> х = 2, х = 0. 2. Определим, какие корни имеет уравнение при а = 0. Тогда уравне- Гх= 7, ние принимает вид [ х - 21 = 5 <=» х=-3. Проверка показала, что корень X = 7 имеем при таких а, что 10 а = 0 <=> а = 0. Корень х = - 3 при таких а, что 5 + а 0 = 5<=>0=0, то есть при всех значениях а. Ответ: х = -3. 3. Воспользуемся графиками. Случай а> 1. Из графиков видно, что в случае а>1 имеем два корня (рис. 270). Случай 0<а<1. В этом случае — один корень (рис. 271). 387 Случай а<-1 (рис. 272), Нет корней. Случай -1<а<0 (рис. 273). В этом случае один корень. Случай а = 0. Уравнение принимает вид л: = -1 и имеет единственное решение. Итак, единственное решение при аЕ(-1; 1]. Задание 14.10. Неравенства с модулем Вариант 1 1. Ясно, что область допустимых значений х^1. Так как неравенство можно записать следующим образом х<-1, -x-l>-x + l, х^1, Г-1<х<1, .1 \ ^ < х + 1|>|х-1| [х + 1>-х + 1, х>1, х+1>х-1 х+1 х-1 _и+1| ~\х-1Г х>0, <=>х€(0; 1)U(1; +®°). х>1 2. Исходное неравенство равносильно совокупности систем f-l<2<2, -1<2<2, -2^+2 + 2<2, z>2, ^ 2<-1, 2^-2-2 <2 2^2, 2>2, 2<-1, 2^-2-2 <2 л/2 <2<2, 2>2, 2<-1, (0-i-V^(z-i+V^ о V2< 2<1 + л/3. ^^22, \^^2<2<2, <=> _ 2<-1, [2<2<1 + л/3 Целое решение: 2 = 2. 3. у^-у = у{у-1){у + 1)^ у^-у>0<^ уе[-1; 0]U[1; +~). При этих значениях у исходное неравенство можно записать как i/(y-l)(z/ + l)+i/-l>0 <=>(i/-l)(z/2+z/ + l)>0 ^ у-1>0 <=> у>1. Значит, решение: у>1. Если у^-у<0 <=> уе (-°о; -1)(J(0; 1), то неравенство примет вид -y(.y-l){y + l) + y-l>0^{y~l)(-y^-y + l)>0<^{y-l)(y4y-l)<0<=i' ^(y-l)(y + hf)(y-:/^)<0 « уе(-о=; -ii^]U[4^; 1]. Учитывая, что модуль раскрывали при уе -1) U(0; 1), получим часть решения !/€(-«>; - l + V5]ij[V5-l ; 1). Итак, исходное неравен-1 + V5,, .rVS-l ство имеет следующие решения: уе{-^;------—]U[—2—» 4. Приведем графики левых и правых частей неравенства 1/=| t\,y-~ (рис. 274). Случай а>0. Неравенство равносильно совокупности ^>0, # <0, а>0 t^0, ^ а>0 а>0. Рис. 274 Случай а = о приводит к неравенству | q < 0, которое не имеет решений. Случай а<0, \t\ t\ 4=> ~-y]-a|l-a| и воспользуемся свойством модуля суммы |д:-ач-1“Д:|<|х-а| + |1-х|, откуда следует, что|l-al|а:+1|, 1. Исходное неравенство равносильно системе •! Вотли- чие от вар. 1 можно его решить графически (рис. 275). Решение: хе(--; -1)U(-1; 0). 2. Неравенство можно решить аналогично вар. 1. Но приведем решение с помощью графиков y-\z^+z-2\ и у = z (рис. 276). Решение: 2б(л/3-1; V2). Целое решение: 2 = 1. 3. Решение можно получить аналогично вар. 1. Но нетрудно заметить, что если заменить у на - у, получим неравенство вар. 1. Поэто- му, используя решение вар. 1, получим решение уе{-оо; +«>). 4. Если а=0, то неравенство запишется в виде |t|>0 откуда имеем teRy Если а>0, то неравенство равносильно совокупности t>4ay t<0. t>^y р [t >а. [#<0, <=> г ^ i<0, 2 2 [г>-а [-Г<а 390 Если а<0, то неравенство равносильно ^>0, [^>0, t>0y 2 |f<0, <=> \~t^13. л: >13, (X - 13)^=х - 7 27х +176= о <=> ^ <=>х = 16. [(х-16)(х-11) = 0 б) Исходное уравнение равносильно системе у^- ^/ + l = l-2z/^ 3i/®- у = 0. [1-2у^>0 1<ь у = 0, v=±4i' y^fi- Теперь надо сравнить числа^И<=> У = 0, <=> Значит, решение исходного уравнения '=±# в) Таккак для любого ге R 2 г + 16>2 2+5, тОт/2 г + 16>^2 2 + 5 для допустимых значений. Исходное уравнение равносильно системе ^2 2 + 16--^2 2 + 5 = 1, ^ I д/22 + 16=1 + -^22^5, ^ 22+5>0 2 >-2,5 2 2 + 16=1 + 2 2 + 5 + 2^2 2 + 5, ^ 2>-2,5 2=10. 5=V2T+5, |25 = 22 + 5, 2>-2,5 '^[2>-2,5 г) Исходное уравнение равносильно системе t>2, (2-24= (t-2) „ О •{ <=> t = 7. 2 I4i=28 391 2. Так как х^+ 1>1,д:^+2>2,х^+3>3,то наименьшее значение левой части уравнения равно 1 + V2 + V3. Функция в левой части не ограничена сверху и принимает какое угодно большое значение. Поэтому для всех а > I + V2 +л/З уравнение имеет решения. Вариант 2 1. sl) х= 4. Г^/=о, б) [у=±^з. в) 2= 10. г) # = 5. 2. Для всех а > 2 +V2 + V3 уравнение имеет решения. Задание 14,12, Иррациональные неравенства Вариант 1 1. Область допустимых значений: х>~2. Если -2<х<0, то левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому -2<д:<0 — часть решения неравенства. Гл:>0, Гх>0, Еслид:>0,то^ J <=> J \х-^2>х^ \x^-x-20j ^0<х<2 — часть решения. -1<х<2 Итак, решение: 0<д:<2, -2<д:<0 <^хе[-2; 2). 2. Исходное неравенство равносильно системе i/2-3i/-10<(i/-8)2,« 1/2- 3i/-10>0 y^8, и<2*, 13’ (1/-5)(1/ + 2)>0 (здесь использована область определения функции г= у°’^, т. е. у>0). !/£(-=; -2)U(5;f|]. 3. Исходное неравенство равносильно системе 2^0, z-l\*0, 4z-i*o 2>1, [2>1, {Z>1, ^^■2-l|l, ^ ^ <=> 2€ 0. Решений нет. [V2(Ve-l)<0 4. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству ,--- ,-------- [3-f>0, \t<3, ^ ^ [3-i>0,25+V7+l+t + l ll,75-2^>V^^ t<3, t + l>0 4t^-8f + 2,0625>0 о R+JrT <=>-1< ff+ 1 = -^, a^+a + 3>^. 2 4 4 4 4 4 Левая часть исходного неравенства не меньше Значит, для любого а левая часть неравенства больше правой. Вариант 2 1. Допустимые значения: д:>-1. Если -1<д:<1, то левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому числа -1<х<1 —часть решения. Еслид:>1, то неравенство равносильно д: + 1>(х-1)^ [л:^-3д:<0, f0^ <=>< <^1<х<3—часть решения. х>1 [х>1 [х>1 Итак, решение: дгб[-1; 3). 2. Исходное неравенство равносильно системе у -5у-6^0, \у^-5у-6>0, ^j(!/-6)(i/ + l)>0,^ ^jy^-5y-6<9-y [i/^-5y-6<81-18i/+|l3i/<87 <=> У >6, »<8I ^“13 393 3. Исходное неравенство равносильно системе 2^1, 2^0, j0< 2< 1, \^fz{yfz-l)>0 z^O, 0< 2< 1, I 2-1| <1-V2, [1-2<1-л/2 1-л/2>0 <=> 2е 0. Нет решений. 4. Исходное уравнение равносильно следующему уравнению I--- ,--- \2-t>0, и<2, ^>0,5+J^ + 2<=»^ ,--- ,----------- <=> [2-^>0,25+7^ + 2 + ^ + 2 \^t + 2<-0^5-2t <=> ^<-0,125, t + 2>0, ^ + 2<(0,25^-20^ -2 1,9735 \t^>^ <=» 64 t>0,125л/31, « ^6 [-2; -0,1257И). ;<-o,i25Vn 5. а^-а + 1 = (а-|)^+а^-а + 2>|- + 1 = а^-а + 3>^> значит, левая часть неравенства не меньше Неравенство верно при всех ае R. Задание 14.13. Иррациональные уравнения с параметром Вариант 1 1. а) Если а<0, то левая часть уравнения при х>а неотрицательна, а правая часть уравнения отрицательна. В этом случае нет решений. Если а = 0, то х = 0. Если а > о, тол: -а = <=>х= а^+ а. б) Решим графически. Левая часть У^Оу „ „ — уравнение по- = 1 X луокружности радиуса г = 1 и с центром (0,0). Правая часть у = х + а — уравнение прямой. На рис. 277 приведены семейство прямых у = X + а при различных а и полуокружность. У = ^ х^ Рис. 277 394 Если а<-1, решений нет. Если а = -1, то решение х-1. Если -1<а<1, то решение х = ^(-а + -^2-а^). Если а=1, то решение х = 0, х = -1. Если 1<а<^[2, то решение х = |(-а±-^2-а^). Если a=V2, то х = -~^ (этот случай определяет прямую х + V2 как касательную к окружности). Если а>-/2, то решений нет. 2. Ясно, что при а = О решение х = -1 единственно. При а>0 используем графики. На рис. 278 приведено взаимное расположение графиков у = х + 1 и у = ^fax при различных а. Ясно, что графики могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку, иметь две общие точки. По условию, надо определить такие а, чтобы графики имели единственную общую точку. Такое значение а определяется из условия касания графиков, то есть прямая у=х + 1 — касательная к у = 4ах в некоторой точке Xq, лученное для функции у = 4аХу Так как эта прямая совпадает с у=х -I-1, то 7^=1 ^ахо=2 fa=4xo, fa^ = 16, . „ ^ <=> 1 <=> а = 4. Итак, уравнение имеет единственное [ахо=4 [а>0 решение при а - О, а = 4. Вариант 2 1. Уравнения равносильны уравнениям вар. 1 с заменой а на - а. Поэтому в решениях вар. 1 можно заменить а на - а и получить решения рассматриваемых задач. а) Решение х = а^- а при а < О. б) Если а >1, то решений нет; если а = 1, то х = 1; если -1 < а < 1, то х=|(а-Ьд/2-а^); если а = -1, тох = -1,х = 0; если -^< а<-1, то х=|(а±'^2-а^); если а = --/2, тох = -|-/2; если a<-^/2, то решений нет. 395 2. Бели заменить а на - а и л: на - х, получим уравнение вар. 1. Используя это решение, получим для исходного уравнения а= О, а = - 4. Задание 14.14, Иррациональные неравенства с параметром Вариант 1 1. а) Если а=0, неравенство равносильно 4х^>х <=>|х|>х<=>х<0. Если а>0, то неравенство равносильно совокупности х<-а, |х>-а, <=> х< 0. х<0 'х-на< 0, х<-а, [х + а>0. <=> Jx>-a, <=> [х^+ а^> (х-1-а)^ [ах <0 х + а<0, Если а<0, то х<-а, х>-а, <=> ах <0 х<-а, х>-а,<=>хе Л. X >0 х + а>0, х^+ а^>{х + а)^ б) Если а = о, неравенство принимает вид > 0 х > 0. Если а > 0, то х-а^+2л/х ^х-а^+х>4а^, 2-^х^-а^х >5а^-2х, а>0 а>0 <=> |х^-а^х>0, |5а2-2х<0, 4(х^- а^х)>(5а2-2х)2 <=> 5а^-2х>0, а>0 « х>1,5625 х> 5а^ 2 ’ х<0, х> а^, ^ х< х> 5а^ 2 * 25а^ 16 х>2,5 а , |х<2,5а^ <=> ]х >1,5625 Если а <0, то для допустимых значений х>а^ левая часть неравенства неотрицательна, а правая часть отрицательна. Значит, решение в этом случае х > а^. 2. Решим графически. Левая часть неравенства y = ^ja^-x^ — уравнение полуокружности радиуса г =| а\ с центром(0; 0). y-^Ja^-x^<=^ У>0, „ « Правая часть у = X +1 — уравнение прямой, которая 1/‘^+х = а^. от параметра не зависит. Параметр а задает семейство полуокружностей (рис. 279). Графически условию задачи удовлетворяют полуокружности 1 и 2. Полуокружность 2 касается прямой у = х +1. Из условия касания определяем а: 396 ^0 ^=1, V ^a^-XQ + - = 1, гдедго — абсцисса точки касания. Решая систему, определим, что касание имеет место при | = Если | а|<^, имеем графически по- луокружность 1. Итак, неравенство не имеет решений при | а|<-^. v2 Вариант 2 Нетрудно заметить, что в задачах этого варианта можно заменить а на -а или д: на -х и привести неравенства к вар. 1. Поэтому, используя решение вар. 1, запишем ответы: 1. а) Если а>0, то xeR; если а = 0, то х<0; если а<0, то х<0. б) Если а> о, то х>а^; если а = 0, то х>0; если а<0, то х>||а^. 2. I а|<^ (рис. 280). Полезно решить этот вариант самостоятельно без использования ответов к первому варианту. Задание 14.15. Нелинейные системы уравнений Вариант 1 1. а) Ясно, что у = о не удовлетворяет системе. Поэтому преобразуем ее: х^-х^у = 1, ^1х\х-у) = 1,^ у^-ху^=2 [у\у-х) = 2 х\х-у) = 1, 2’ у ^ у 397 Первое уравнение не имеет решения, следовательно, нет решений и у системы. б) Из второго уравнения -yl-x-yfy + -/у) = 30 =» + ^fy = , подставим в первое уравнение: -ху-11^-ху +30=0 <=> = 0 4=> Система распадается на две системы: yj-xy=5, ^-xy = Q. ■^-ху =5, ■f^c +^ = ^-ху = 6, •Рх+4у== 30 30 Для решения введем переменные u = ^f^ и v тогда Решая, получим ц = 5, и = 1, ц = 2, и=3, и = 1, 0 = 5, и = 3, 0 = 2, откуда для X и у имеем (-9; 4), (-25; 1), (-1; 25), (-4; 9). в) Система равносильна следующей системе х^О, уфОу 2Ф0у UV = 5, ц + о = 6, ио= 6, п + о = 5. х^О, уфОу гфО, xyz=x + y-z, xyz = 2(y + z~x), xyz = 3(z + x-y)y x + y-z = xyz, y + z-x = ^, z+x-y = ^, сложив первые два уравнения, получим 398 хфО, г/?^0, 2Ф0у X + y-2 = XyZy 2y = ^xyz, z + x-y = ^. Преобразуем второе уравнение, учитывая уфО. Имеем систему хфО, уфОу гФОу x + y-z^xyz, хг = |. z + x-y = ^. Подставляем значение xz в первое и третье уравнение: х^О, уфО, 2Ф0, *+1/-2=|г/, хг = |. z+x-y=^y <=> ХфОу уфО, 2Ф0, X-|l/-2 = 0, xz = ^, 3» 2 + Х-^1/ = 0 <ф> хФОу уфОу 2Ф0у y=3{x-z)y xz = l. 92 + 9х -13 -3(х - z)-0 x?tO, уфОу гФОу х^^О, гфОу х^О, уфОу гФОу y=3{x-z)y y=3{x-z)y у=3(х-2), <=> -=f „2_32 ^ “15’ x = ±AV^, 2 = |Х z^—x Г 8^ 2 = |Х x = ±AV^. У=±^М. 2=±^V^. Итак, решения (х, у, z) (±^V^, ±^V^, ±^V^). 2. Из второго уравнения системы следует, что (х + у)^= <=>х^+у^+2х1/ = а^. Тогда из первого уравнения следует, что ху = 0. Значит, решение \х=0у У = а, У=0у х = а. 399 Единственное решение при а = О х-у = 0. Приведем графическую иллюстрацию (рис. 281). Если a?tO, то х^л-у^=а^ — уравнение окружности радиуса г=| а | с центром (0; 0). х + у=а — уравнение прямой. Если аФОу то система имеет два решения, 3. Нет, и* i, оно. Например, при а = 1 систел:. * ,;ринимает вид Уу _L V3‘ \х^-у^=0. \х = - у=±^- [у-2ху=1 Решения (i; -4=), (-4=; 4=)* Решения неположительные 'л/з V3 ^fз' Вариант 2 1. а) Нет решений. б) (1;-4),(4;-1). в) (±iV^, ±i|V30). 2. а=0. 3. Нет, неверно. Задание 14,16. Контрольное задание Вариант 1 1. Уравнение равносильно системе Если а = 1, то решение а>0, хф2у (а-1)х^-2ах-а=0. Если а 1, то уравнение — квадратное и оно не имеет решений при дискриминанте D<0 о 4а^+4а(а-1)<0 <=> 4а(2а-1)<0 <=> а<^. Если D>0 ^ ^“2’ уравнение (а-1)х^-2ал:-а = 0 имеет корни a±-j2a^-a X = ——. а-1 400 Итак, решение х = -^ при а = 1; решение х = -1 при а = ^; решения X = ° д ~ при а > I и а ^ 1; при О < а < | решений нет. б) Введем переменную z= у^~3у, тогда имеем уравнение для z ,--- ,--------- Г2 + 3>0, [2>-3, z-J2z + 5--3<^J2z+b = z + 3^\ ^ „ <=» 22 + 5 = 2462+9, 2442 + 4=0, <=> 2 = -2. Значит, у^-Зу = -2 <=> ^^-3i/ + 2=0 <=> 1/ = 1> У = 2. 2. а) Система равносильна следующей системе \zh\2z-l\-l\ = 2-z^, ^\\z4\2z-l\-l\ = 2-z^, ^ [|гЧ|2г-1|-1| = 2-22, f| z^+| 22-1|-1| = 2-г^ ^ 1<2^<2 ^\l<\г\ 2422-2=2-2^ 1< 2< ^2, 2^-2г = 2-2^, -'V2<2<-1 <=> I 24 2-2=0, 1i<2 2=1, з = -2, 1< 2< ^2, 1+V5 2 = 2 = <=> 2€ 0. Нет решений. 2 ’ 1-V5 -V2<2<-1 б) Из условий следует х>0, ^>0, 2>0. Перемножим левые и правые части уравнений. Тогда (х1/2)4((д: + 1)(1/ + 1)(2 + 1))^ =>xyz=(x + l)(y + l)(z + l) <=> <=>xyz=xyz + xy + yz + xz + x + y + z + l<^xy + yz + xz + x + y + z + l=0. Так какх>0, у>0, 2>0, решений нет. 401 3. Необходимо, чтобы квадратный трехчлен в знаменателе не имел корней. Это выполняется при i)=l-4(a^+l)<0 <=>-4а^-3<0 aeR. о л Значит, при любых aeR, aeR, (а +1)х +x + l>0. Тогда исходное неравенство равносильно совокупности а = 0, xeRf а>0, D = a^+ 4а<0, xeR, а>0, i) = a^+ 4а >0, -а + уГо^ 2а ’ ах^+ах-1<0 <=» 2а а<0. D = a'^+ 4а > о. -Vd. 2а ; +~), а<0. D = a^+ 4а <0, Х€ 0. Для того чтобы при любом X выполнялось неравенство, необходимо и достаточно, чтобы а=0, а(а + 4)<0 <=❖ -4<а<0. Рис. 282 4. Решим задачу графически. График левой части уравнения — по-лупарабола г/=^5+х, график правой части — прямая у=Ь-х (рис. 282). Графики пересекаются, если &>-5. Не пересекаются при & <-5. Уравнение при 6 <- 5 не имеет решений. 402 5. Первое уравнение можно записать в виде(дг-2)у =1. Это уравнение окружности радиуса г = 1 с центром (2; 0). Второе уравнение задает параболу 1/ = д:^“4д: + 4+|с| с осью л: = 2. В зависимости от с графики могут иметь одну общую точку, две общие точки, не иметь общих точек (рис. 283). Определим случай касания параболы и окружности (1). Абсцисса вершины параболы Xq=2 и абсцисса центра окружности равны. Для касания достаточно, чтобы ординаты этих точек тоже были равны, то есть 1 = Xq- 4хо+4-ь|с|, откуда|с| = 1-д:0+ 4хо-4^|с| = 1<=>с = ±1. Итак, при с = ±1 система имеет единственное решение. 1<-/у-х<2, 6. 1<|^-д:[<2 х + 1<-У^<2+х, х-2<^<х~1. График Jy-2+х — часть параболы ] ^ (2+л:) [х>-2, график ^=д: +1 — часть параболы | ’ график ^ = X -1 — часть параболы У = (х-1Г, х>1, график Jy=x-2 — часть параболы I ^ ’ (рис. 284). [х>2 403 Вариант 2 л \ Tf 1 ч -a±ij2a^-a - i t 1. а) Еслиа>^и а^1,тох =-^-;еслиа = 1,тод: = “;еслиа = ^, то в в 1 АЛ х = 1; если 0< а<^» то нет решений. б) Заменой г=у^+31/ приводим уравнение к виду z--^2z + 5 = -3. Решение у = -1, у = -2, 2. а) Нет решений, б) Нет решений. Рис. 285 Тема 15 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Задание 15.1. Общие свойства последовательностей Вариант 1 1. Так как 0<^<3, то 0<а„ = 2 + ^<5. Итак, последовательность ограничена, 2 < а „ < 5. 2. Если а=0, яг„=&л+с. Условие возрастания лГд+1>л:„ равносильно b(n + l)+c>bf^+c <=> b{n + l)>bf^ <=> Ь>0. Если а>0, то значения Хд лежат на параболе z= at^+bt+c, где te N (рис. 286). Для сравнения JC n+i и х д достаточно сравнить 2д^1=а()7+1)^+&(/и-1) и 2ji=an^+bn. Числа z„ тоже лежат на параболе 2 = at\bt, вершина которой ^0 " “ корни ti=0 и Подходя- щие условию задачи параболы 1 и 2 приведены Рис. 286 404 Ответ: на рис. 286. Если ось параболы находится левее точки t = |, то точки (rtj где п>2, находятся на «возрастающей* ветви. Кроме того, г! <22, первая точка тоже может находиться на «возрастающей* ветви, но это не обязательное условие. Достаточное условие таково: Условие tQ 2-io определяет, что точка ^ = 1 ближе к оси, чем точка # = 2, и поэтому Zi< Z2« Итак, решая неравенство в достаточном условии, приходим к выводу *0- 2а<2«{а>0. Если а<0, то возрастания для всех п быть не может. а-0, Ь>0у а>0, Ь>-За, 3. Из условия а= ^{ааn+i) можно сделать вывод, что последовательность (а д) — арифметическая прогрессия, тогда а „= 0^+ d{n-l)y aj=0, d=l, то есть а^=п-1. 4. Найдем наибольшее значение функции у(х) = —^. Оно равно - при л: = 1. Так как х = 1 — натуральное число, можно положить х = п = 1,и наибольший член = равен Xi = 1000 • ^ = 500. л^+1 ^ 5. Гх = 1. Из построения АС= ВС= ВК= ri = l, AE=DK=DE=r2 (рис. 287). Из прямоугольных треугольников ADE и АВС следует {BK+DKf={AC-AE)4{BC-NCf<^ <=>(Г1 + Г2)^=(Г1-Г2)^+(Г1-Г2)^ « г1+2Г1Г2 + Г2= 2(г^-2г1Г2 + Ф о « 2 Г1Г2 = г^+ 4 Г1Г2 <=> <=> г|- 6 Г2 = о г„ =(3+2V2)"-^. Задание 15.2, Предел последовательности Вариант 1 1. а) Числитель и знаменатель выражения Од есть суммы (л + 1) членов геометрических прогрессий: S ®= 1 + 2 + 22+... + 2" = i^^, S ®= 1 + 3+32+... + 3"=i^ [Л + 1 з“ 406 2« +1 _ 1 Тогда исходное выражение можно записать как lim — = л —> оо 3” - 1 1---^ = lim 2^—^=2 lim (f)"^^=0. 3"*’ 1—1- п->- ^ (_!)«+J. б) lim-----lim + lim -^ = 0. л—>оо л П—>оо ^ л->«>”^’ 2. а) Нет, так как последовательность 1, 1, 1, 1, ... стремится к 1, а подпоследовательность 7» »• »известно, любая подпоследовательность последовательности, имеющей предел, имеет тот же предел. б) Нетрудно показать, что л„.1>а„, так как Пл+1^ ^п“*"“:ггг-• 2" *+ л + 1 2^+2 2ЧЗ 2"+л 2^ 2^ 2* 2" 2^ 1-1 2 2 2 = А-ф". Тогда ;^ + ;^ + ... + -^<1 + |-ф'’<|. Значит, после- 2 2' 2^+2 2^+3 2"+л 2 2 2 довательность ограничена, в то же время она возрастает. Поэтому последовательность имеет предел. 3. Ясно, что последовательность возрастает. Предположим, что она ограничена. Тогда она имеет предел. По свойству пределов lim Xfi+i= lim Пусть предел lim х^=а. Тогда из Д^л+1==^л + ~ Л—»*» Л—»«> ^ имеем а = а + ^, то есть ^=0. Это равенство не может быть выполнено ни при каких а. Значит, неограниченная последовательность. Вариант 2 1. а) Предел равен нулю. См. вар. 1. б) Предел равен нулю, 2. а) Нет, так как подпоследовательности имеют разные пределы, б) Последовательность монотонная и ограниченная. Поэтому имеет предел. 3. Неограниченная последовательность. См. вар. 1. Задание 15,3, Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия Вариант 1 1. В числителе и знаменателе суммы п членов геометрических про- грессии: 407 " 3 32^"^ ^ 3"-^ 1 + 1 ^ 3^ ^ Исходное выражение можно записать так; lim 2. 4.1±Г _ 8 3^ Г 2. Для а>0 неравенство можно переписать в виде 1Л i ^ i+i+j_+... ftA ^ >1«а * >1<=>а*”^ ... > 1 <=> >1. Это неравенство при натуральных /г >2 выполняется, если а>1. Случай а<0 не имеет смысла. 3. Если (aj — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия с первым членом ai и знаменателем д, то(а^) — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем и первым чле- ном а?. Тогда суммы последовательностей 5> = т^, Si = —Ц-; по А 1-91-0-^ условию, Si=S^ <=> 1-Г (1-9)^ <=>l-g = (l-g)^ <=> 9 = 0. 9=1. При таких 9 прогрессия не является убывающей. 4. Пронумеруем квадраты по убыванию сторон (рис. 289). Пусть а„ — сторона /г-го квадрата. Ясно, что Так как Пх=1, то а„= -1 • (V2)" а) Периметр л-го квадрата Рд = \ . (V2)" Сумма периметров первых п квадратов 1- S„=4+-^ + ^ -Л (Л)^ +... + (Л)" 4__(Л)"_^ Л(Л"-1) _ 4(Л"-1) 1-^ (Л-чсЛ")" (Л-цЛ"'' lim S„= lim —L= Цщ л->«> n->«» (^2-1)л/2”” n-+«v2-l lim 4V2 (Л-1)Л""' ’/г-! = 4л/2(л/2 + 1) = 4(2 + л/2). б) Площадь л-го квадрата^ „= . Сумма площадей первых п квад- ратов Sum„= l + i + ^+ ... +^ = 2(1-ф"). lim Sum^=2. ^ 2* 2 ^ Л-+» 408 5. Сумма членов геометрической прогрессии, начиная с (л+1)-го ^п+1-^п+1х~* где — (л + 1)-й член прогрессии. По условию bn+ij^<^kb„= <=>А: = у4^ <=>д = ^<1. Если соотно- шение между k и знаменателем q есгъд--^^, прогрессия удовлетворяет условию. Вариант 2 1. Искомый предел равен Можно проделать вычисления, аналогичные вар. 1. Можно также использовать предел в вар. 1, числитель и знаменатель надо умножить на -1, тогда искомый предел равен пределу в вар. 1. 1 1 2. Приа>0 ^а^а^а... = а* =а * = Тогда неравенст- 1 во примет вид < 1. Оно верно при 0< а<1. 3. Si = ~-^; по условию, Sl = ^fS ^ 1~1~-—L 5 = 0, 5 = 1. _ Л . ... ---...... ^ прогрессия при 5 = 0и5=1не является геометрической и убывающей. Не может быть убывающей прогрессии, удовлетворяющей условию. 4. Пронумеруем треугольники по убыванию стороны (рис. 290). Пусть а„ — сторона л-го треугольника. По уело-ВИЮ, ai=l, а„+1= Тогда а„= Рис. 290 а) ПериметрР„= За„=^^. Суммапе- риметров п первых треугольников 1-^ S„= 3+1 + 4+ +“#Т=З^Г = " 2 2^ 2”"' 1-1 = 6(1-^). limS„=6. Л П-^оо б) Площадь п-го треугольника = ~а^=^^4^ = ^, сумма площадей п первых треугольников 1—^ 1-JL Sum,= 4 + 4 + 4+...+#=#.—= ^ 2^ 2^ 2® 2^ ^ 1-i 3 3 3 2^” 2^ lim 5и/Лл= 4* П —V сх> ^ 409 5. Пусть5д = &Л+1+ ^л+2+ • • — сумма членов прогрессии, начиная с = ^+1ТГ7' условию, kS^ <^Ь^ = kb^^i ^ <^b^=kb^qj^. то есть т^ = 1 <=>д = г^<1* Значит, если знаменатель а =-^, то 1-д ^ k+1 ^ k+1 прогрессия удовлетворяет условию. Задание 15.4. Числовые ряды Вариант 1 1. Рассмотрим lim а^= lim = Необходимым условием сходи- мости ряда является стремление к нулю членов ряда. Это условие нарушено. Поэтому ряд расходится. 2. У (---^-----у у _L_ у X, Каждая из сумм есть сум- 9" 8V TilO" 9" ", 8" Л—1 Л—1 Л—1 П—1 ма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, поэтому ряд сходится. 3. О < Од = - ~V' 2 "V сходится, поэтому сходится и ряд Л = 1 ' л = о 4. Рассмотрим предел отношения последовательных членов ряда. ~^= lim Щ = 0. lim lim ' | __ л-^eo ^ л—100” л— По признаку Даламбера ряд сходится. 5. Исходный ряд знакопеременный, а„ • fln+i<®* кроме того, lim \а„\= lim —i—=0. л—>“» л—>О“0Л—1) Значит, по признаку Лейбница ряд сходится. 6. Члены ряда а„=-^>^. Ряд 1 + ^ + ^+... расходящийся (гармони- V л ^ 2 о ческий). Поэтому исходный ряд расходится. Вариант 2 1. lim|a„|=lim 3-4л Юл + 7 ■^9^0. Ряд расходится. 2, Ряд сходится как сумма геометрических прогрессий. 410 3. I а„| = ^^^<-^.Таккакряд сходится, то и исходный ряд cxo- п = 1 дится. 4. Ряд сходится по признаку Даламбера. lim lim -^=0. 5. Знакопеременный ряд с а„, такими, что lim | а„|= lim —1^=0, п —>оо /I —>вв (2л+1) сходится. 6. Рассмотрим сумму ряда, которую можно записать как V оо : ^>—и ряд 2 расходится, то исходный ряд расходится п = 1 Так как Задание 15.5, Контрольное задание Вариант 1 1. Л + 1-3 2-4 + ...+ 1 - 1 п{п+2) 2 = 1(1-1) +1(1 _i) + i(i^l)+ = l(l-l + i-l + 3 2 4 + 1 — 1+ +1—1_) lijji+ _1_ + ^---1—у* —1— = 3 5 •• п п-2^ „ “Д1-3 2-4 л(я+2)У ^ п{п+2) n~l ~ 2^^” 32 ” 4'*’3 ~5 ® Рассматриваемой сумме все дроби, кро- ме ^ встречаются дважды с противоположными знаками. Поэтому Л = 1 2. о„ = S 17^4(1 4) = ! = о>75. Зл^+л + 1 Зл^-Зл + 3 + 4л-2 „2 пг- л +1 пг- л + 1 = 3+ 4л-2 л^“ л + 1 . 0< 4л-2 л^-л + 1 < 2 при любых натуральных п. а) Последовательность ограничена, 3< а„<5. б) Покажем, что последовательность убывает. Действительно, + 1 _ 3 (л+ 1)^+л+ 2 л^-л + 1 _Зл^+7л+5 л^-л + 1 ^ Зл^+7л + 5 % < 1. (л + 1г-л Зл‘^+л + 1 л^+л + 1 Зл"^+л + 1 Зл*^+л + 1 в) lim а„= lim [з+ 1=3+ lim =3. л —л—л—Л + 1у л —>ооЛ—л + 1 3. Пусть Ь„= а® и a„=aiq'^~^, тогда 6„= af • Q — геометрическая про- п о грессия с первым членом af и знаменателем Q=q < 1. 411 a)'S2= X ^1 ^1Пусть ai=10, g = |, тогда ^2 = ^, n = l Si = 20 и S2 > Si. Утверждение неверно. 6)Si>S2 « ’ ^ ^ 1-9 i_o r>0 ФФ «1 „2 ^ 1- 1 + ^2+g >0. -q- 1-9 l-g3 l-q\ Например, это неравенство выполняется при любом q и таких Oi, что ai=q. Значит, утверждение верно. в) Это верно. Следует из предыдущего пункта. г) Нет. Из пункта (б) следует, что для выполнения условия необ- Г Г.2 \ ходимо и достаточно, чтобы 1- 1 + 9^+9 > о. Например, при а > 2 Аг неравенство не является верным ни при каком I g I < 1. 4, Пусть О — вершина угла. Тогда AiO=l, Так как угол равен 30°, то катет AiA2=|AiO=^ (рис. 291). Из прямоугольного треугольника А1А2А3 Аг Ад= AjAa • sin 60 ° = i ^ ^, из треугольника А2А3А4 АзА4= А2А3 • sin 60°= , -^П-^П + 1 ^п^п+1 = 2]^ 2 л-1 2 3 Длина ломаной L = AiA2+A2A3 + ... = i + i-^ + if^l +|f^l +••• = -1 1 - 1 -g I Уч ^ ^ ^ ^ 2 5. ^2 + -J2 + ...\ a„+i = -^2+ -^2+ ^2 + .^2 +^Тогда 0^+1= + ^л* Л раз (л+1) раз Последовательность возрастает an+l=^|2 + ^2+^2+... > ап=^2+^2+... <=> о 2 + д/2+/2+... >2 + -^2+-У2+ТТГ <=» -^2+^2 + ~>-^2 + ^2-ь... о л раз (л-1) раз л раз (л-1) раз О ...<=» 2 +V2 > 2 <=> V2 > 1, то есть, действительно, a„+i > а„. Последовательность ограничена, 1< а„<2. Действительно, если рассмот-рим последовательность (6„); V2, ^2 + 2, -^2-kJ2+¥, -j2+-J^^2 + 2, 412 члены которой Ь„ > а„ легко преобразуются в последовательность ->/2, 2, 2, 2, ... , ограниченную сверху числом 2, то можно сделать вывод, что а„<2. Ограниченная и монотонная последовательность имеет предел. Этот предел вычислим из равенства a„+i = ^2 + a„, lim = /2+ lim а„ <=> A = -yf^+A <=> A^= 2 + A ^ A^- A - 2 = 0 n->oo ■y <^(A-2)(A + 1) = 0 <=>■ A = 2, A = -l, A>0. Из положительности A следует, что A= 2. Итак, искомый предел равен 2. Вариант 2 Заметим следующую закономерность: = Тогда 1-4 2-5 3 6 1 л(л+3) = i(l_i + i_i + i_i+ +i______L.) 3^ 4 2 5 3 6 л л+3^’ „Л1М-4^2.5^3-6^‘"^л(л+3)^ 2. п(л + 3) -^З^л л + З^’ л = и л = 1 в сумме все дроби, начиная с повторяются дважды с разными знаками. Поэтому сумма равна i(l + i + i) = TFH предел равен о л о 1о 1о 2. а„ = ^Ф^=3+4^<7. ГГ- л + 1 л - л + 1 а) Последовательность ограничена, 4< а„<7. б) Последовательность не является монотонной. Действительно, ai<02 («1= 6, 02= б|), 02>аз (03= 5|). Последовательность монотонна, начиная с 03, 03> 03> 04> ... в) Ита„=Ит (4+ ) = 4. П-^оо л—Л^-Л + 1 ^2 3. S2 = y~^> “ бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q^ S2 <=> <=> 1 > ^ 1 + g > Ох. Последнее неравенство не выполняется при любых Ох и д. Утверждение задачи неверно. б) Да. Это следует из пункта (а). Так как5х>5з <=> 1 + д>Ох, то для любого g и Ох < 1+g верно Sx > S2. 413 в) Да. Для любых ai ид, связанных неравенством l + g>ai, Si>S»2. г) Нет. Так как 0<д <1, то 1<д + 1<2. Значит, как следует из (а), для всех а>2 неравенство Si>S2 не выполняется. \Ai 4. ^1^2 = ^,^2^3 = ^1^200860°= = ^|, A„A„+i=cos60° i4„+iA„+2- Поэтому А„А„+1= Длина лома- НОЙ ь=^+Щ+^+ 2 2^ 2^ 2 1_1 (рис. 292). 5. а„+1=^3 + а„, если существует предел А, то А = -у/з+А <=> A = Докажем, что предел существует. По- <=> А2 Рис. 292 3+ 3+ -^3+..> 3+3+ 3+..3+ ... > 3+ 3+.. следовательность возрастает, ал+1>ад. Так как а„+1>а^, то a^^i>3+a„«=> п раз (п-1) раз п раз (л-1) раз <=> 3+д/з+д/1+ У >3+д(з+д/3+"7. О ... <=^ 3+л/3> 3 <=> л/3>0. -..-..у.-. V ■' (л-1) раз (я-2) раз 01 = V3<3, пусть а„<3. Тогда 0^+1= ^3+о„<3. Значит, по методу математической индукции о„<3. Последовательность (а„) ограничена, 0<а„<3, и монотонна, поэтому она имеет предел, который был уже вычислен. Тема 16 ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНОЙ МАТЕМАТИКИ Задание 16.1. Множества Вариант 1 1. Обозначим Хф — число жителей, говорящих только на французском языке, Xf^ — число жителей, говорящих только на немецком, Хц — число жителей, говорящих только на итальянском, Хфн — число жителей, говорящих на французском и немецком языках, Хф^ — число жителей, говорящих на французском и 414 итальянском, — число жителей, говорящих на итальянском и немецком, Xфf^ц — число жителей, говорящих на французском, немецком и итальянском языках. По условию, Хф,щ=0Лх, х — число всех жителей. Для переменных х выполняются следующие условия ^ ^фи^ ^ фни~ ^ ^ ^ф"^^фн^ 0,8jC, Хи+Х^,,^Хпи-^Х ^фи ин^ ^фни' 0,6д:. Сложим последние три уравнения, тогда Хф~^ X X фff'\^ X фц~^ x^f^— 0,9jc, Хф~^ Xff-i- Xц+^{Xфf^+ Хфц+ Хц^^ “13^* Вычтем из второго уравнения первое, тогда Хф„+Хф^^+х^^^~0у9х. Значит, на двух языках говорят 90% жителей. 2. Из AczB и АаС следует, что Ас(БПС). Так как (БПС)сА, то А=БПС. 3. Например, С — множество целых чисел, Б — {0}, А — неотрицательные целые числа, X — неположительные целые числа. 4, Да. Можно использовать свойство дистрибутивности (распределительности) пересечения относительно объединения: (АиБ)ПС=(АПС)и(БПС). Тогда, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо (АПС)и(БПС) = (АПС)иБ, откуда имеем Б ПС = Б. Это возможно, еслиБсС. Значит, непустые множества А, Б, С существуют. Пусть Б — вареные, К — красные, М — мертвые раки. Тогда условие (а) означает, что БП-йГсМ, условие (б) КГ\Мс.В. Например, это могут быть следующие множества (рис. 294). Из рисунка следует, что в этом случае В Г\ Met К у то есть из того, что рак вареный и мертвый, не следует, что он красный. Рис. 294 415 Вариант 2 1. 35%. Решение аналогично вар. 1. 2. Верно. Из условий БсА и СсА следует, что (ВиС)сА. Из условия Ac.{B\JC) следует, что A = B[JC. Можно нарисовать диаграмму (рис. 295). 3. Из C^X=A\JB следует, что АсХ; из ВПХ = СиА следует, что ХсА; значит, А = X и нет различных непустых множеств, удовлетворяющих условию задачи. 4. Да. Например, Ас С. Тогда (АиБ)ПС=(СПА)и(СПБ) = Аи(СПБ) = (БПС)иА. 5. Нет, не следует. Пусть В — вареные, М — мертвые, К — красные раки. Тогда условие (а) означает (BUX)cM (рис. 296а), условие (б) — (X иМ)с В (рис. 2966). Множества, удовлетворяющие и (а), и (б), могут быть такими, как на рис. 296в. ВПМсхХ, то есть не следует, что вареный или мертвый рак — красный. В{}М<11 Рис. 295 Вариант 1 а) Так как 2011 = 200!-201,1991= 1^,991= ^,1011 = 1001 101, то пЮО -201 пЮО _ 2011 • L/1QQ —-------- 1991 _ 200! 201>200!100 (2001Г 201.100. "^9® 100! 1011 100I99I (100!)^200 100!-10м00! (ЮО!)** 200-101 = (^20о)^‘ |о2 ^ (^20о)^' Итак, первое число меньше, б) Обобщение: Ca^^+rCaVi<(^2*^)^-2. Исходное уравнение равносильно следующему уравнению Г + х\ х!_^ ll.JflSL <=> X(х-1) (х-2) ^ X(х-1) (дс-2) (х-З) _ 11 (х+1) х ^ 3!(л-3)1 41(х-4)! 2!(л:-1)1 б 24 2 <=> 4х(х~1){х~-2) + х(х-1)(х-2){х-3)-^132{х-^1)х ^ <^х{Цх-1){х-2) + {х-1){х-2){х-3)-132{х + 1)) = 0^ <=> X (д:®-2д;2-133л: -130) = о <=> л: (д: +1) (д: +10) (X -13) = о. Целое положительное решение х = 13. 3. - Для решения неравенства можно использовать тре- угольник Паскаля (рис. 297). Решений всего 16. 416 X л h-» 12 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 ....................... 45 10 1 1 11 ............................................... 11 1 1 12 ..................................................... 12 1 1 13 ................................................... 13 1 1 14 ......................................................... 14 1 1 15 ................................................................ 15 1 Рис. 297 4. Да, так как ^Щ = С2п — целое число и (2/г+ 1)1 = (2 л)!(2 л+ 1). (п1) 5. Воспользуемся равенством = C^{J_l+ » которое нетрудно дока- зать, а именно: _ (w-l)! . _I m-1 il- (m-l)I ml (m-l) (m)U l)I(m-/)! ll{m-l)lm l\{m-l)\m = '^7--ilMrn-l+l)= ,,,=Cr. В исходном равенстве используем доказанное C^+A+i = C*+A+C*;j^, тогда +ci ,1+с^2+...+с*;1« « с°+ci ,1+с^2+. ■ •+= ctil Далее сделаем замену = тогда получим Сп+С\+1+С1+2 + ■■■+C^ll-2= ^п+1-1 И Д- Придем к равенству С® = С®. Значит, исходное равенство верно. Вариант 2 1. (а) и (б); см. вар. 1. 2. Решение д: = 14. 3. 15 решений. Решение аналогично вар. 1. 4. Да, так как = ^2д-2 — целое число. (п-1)!^ 5. Задача сводится к вар. 1, так как C^+k+it (^h+i= ^n+i* Задание 16.3. Комбинаторные задачи. Сочетания Вариант 1 1. X и У могут выбрать 5 красных шаров одинаковым числом способов. Число способов выбора 10 и 11 синих шаров из 21 одинаково (если выбрали 10, то 11 осталось, и наооборот). А выбрать из 40 зеленых шаров 20 можно большим количеством способов, чем 16 из 40. Поэтому возможностей у X больше. 2. а) Число способов выбрать 2 девушек и 3 юношей — Cfo Ciq; число способов выбрать 1 девушку и 4 юношей — Cjo • число способов выбрать 5 юношей —Cfo* Значит, число способов выбрать не больше 2 девушек равно Cjo • Cfo + С/о * Ciq + Cfo • Cfo (способы выбора: 5 юношей, либо 1 девушка + 4 юноши, либо 2 девушки + 3 юноши). б) То же число, что и в (а), так как число юношей и девушек одинаково и задача равносильна выбору не больше двух юношей. 418 3. Если выбирать из 35 человек делегацию по 5 учеников, то это можно сделать С35 способами. Чтобы найти искомое число, надо вычесть число одновременного вхождения Ольги, Саши и Жени. А Это Сз2- Последнее число вычислим так: предположим, что Саша, Женя, Ольга уже в составе делегации, тогда из 32 надо выбрать 2. г л Т. е. искомое число равно С35 - С32. 4. Каждый из параллелограммов можно определить двумя противоположными вершинами. На рис. 298 приведены два таких параллелограмма. Значит, надо вычислить пары противоположных вершин. Положение одной вершины может быть выбрано k • k способами. Тогда положение противоположной — (А-1)(/е-1) способами. Учитывая две противополож- Рис. 298 ные вершины, две другие противоположные вершины параллело-грамма не нужно учитывать, поэтому имеем всего —^—— параллелограммов. Для ответа на вопрос надо решить неравенство ^-^^=^>100 <=>(/г-1) /г>20 о ft>6. Вариант 2 1. Так как число способов выбора красных и зеленых у X и Y одинаково, а число способов выбора синих у У больше, всех способов у У больше. 2. (а) и (б): С^2 *+ CI2 • С}2 + ■ Cfa = С^2 + 12 Ci^2 + ббС^а. 3. CI4 +CI2. С34 — число способов выбора делегации без Гали, С32 — число способов выбора с Галей, Васей и Федей, 4. См. вар. 1. Откуда k = 2; 3; 4. Задание 16.4. Бином Вариант 1 50 1. а) По формуле бинома (1-ь V2)®®= ^ C5"o(V2)", в разложении всего 51 член, если л =2т — четное число, точленразложения(л/2)^'”=2'" — рациональное число, всего таких членов 26 (л = 0; 1; ... 25). Значит, рациональных членов больше. б) Общий вид члена разложения C5"o(V2)". С возрастанием л степень (Л)" возрастает, С50 имеет наибольшее значение в случаеС|о (25 = 419 и убывает с возрастанием модуля разности между 50 и л. Поэтому надо сравнить члены разложения С|о(л/2)^®, С5о(л/2)^®, C|o(V2)^^, ... ^50 * ^^0^^ = отношение для п>25 возрастает. Значит, C^q все быстрее убывает, в то время, как (л/2) ” возрастает. Теперь рассмотрим CgQ(^/2)'^: = п+1 "50 ' ^ (50-/1)72’ C5o(V2)"—^^<1<=>л + 1< о (50-/i)v2 «. (1 +V2)n <50V2-1 ФФ <=> и<(50л/2-1)(л/2-1) о 1+V2 <=>«<101-51л/2. Значит, наибольшее значение п из неравенства равно 28. C|o(V2)^®:C|o(V2)^®< 1, откуда С|о (л/2) — наибольший член раз- ложения. 2. 7 -1 = 49'^-!= (50-1)”-1= 2^(-1)*50" -1. Заметим, что в разложе- k = o НИИ все слагаемые, кроме последнего при k = n, делятся на 50. В числе 7^”-1 остаются слагаемые (-1) 1, которые могут не делиться на 50. Если п — четное число, (-!)”-!= 0; число 7^”-1 делится на 50. 3. Пусть Р{Хуу) = 1-\-а1Х-\-а2У’^а^ху-\-а^х^-\-а^у\... л 000 многочлен (1 + 2лгс коэффициентами 1, а^, 02, ... Рассмотрим значение Р(1,1) = 1 + а1+а2 + аз+ 04+а5 + ... , оно равно сумме коэффициен- тов. В то же время Р(1, 1) = (1 + 2-3) тов равна нулю. 1000 . Итак, сумма коэффициен- 4. Действительно, 3”=(1 + 2)”= ^ 1'2”‘‘С^= ^ С^2”“^ 1 = 0 1 = 0 10 10 5. (1 + 2х^-ЗхУ°=(х^-1)^°(ЗхЧ1)^^= 2 ZC(q3>x^^= i=0 j = 0 =(l-CiV+Cfox^-CiV®+Cfo;c»-...).(l + 3C/ox2+32c2ox4...). Коэффициент при x^ есть CiVSCjo ■ Cfo +3^Cfo • Cio -3^Cjo • Cfo +3^C/o = 210-3600 + 18225-- 32400 + 17010 = -555. Вариант 2 1. a) Рациональных чисел больше (см. решение вар. 1). 60 б)(1+7з)®°= 2: Сбо(л/3)*. Наибольший член имеет номер /г >30. А = о Рассмотрим отношения ^б0• ^б0^“(>/3)*:(73)*'^^ = ^. Числа 420 Сбо при /е>30 убывают, числа (73)* возрастают с ростом k. Cgo(V3)*:OV3)*^i = A+l А+1 ■'"60 V''-/ (бО-л)^ . Если это отношение меньше 1, то Сбо^(л/3)*'^^> Сбо(^З)*. Решив неравенство ft+1 (б0-л)л/3 <1, можно опре- делить номер наибольшего члена: —,-<1 <=» Наи- (60-л)>/3 1+л/З большее целое из этого неравенства к = 37. Значит, номер наибольшего члена 38 и его значение Сбо(>/3)^®=СбоЗ^®. 2. 6^”-1= 36”-1=(37- Далее, рассуждая аналогично вар. 1, приходим к выводу, что при четных п число 6^”-1 делится на 37. 3. Сумма коэффициентов равна 0, так как (3-2-1)®^=0 (значение многочлена при а= & = 1). 4. В левой части равенства биномиальное разложение (2-1)”=1, поэтому равенство верно. 5. Представим исходное выражение в виде бинома следующим образом 10 2(Зх^)'(1+2д:)^‘^“'С/о (разложили (1-1-2д:-(-Зд:2)^°=[(1-ь2а:)-»-(Зх2)]^°). i = 0 Члены с находятся в выражении {l + 2x)^^C^Q+(l-b2xf3x^Clo+{l + 2xf9x'^C^Q, откуда, выбирая член с из(1н-2л:)^**, член с х^ из(l + 2x)^ичлeнд:^ с из (1 + 2д:)^, получаем коэффициент при х^ в разложении C/o*2^^^+3x2-C^o-C|-2V-h9x^-Cfo = x^(16-210 + 4320 + 405) = 8085x^ Итак, искомый коэффициент равен 8085. Задание 16.5, Формулы комбинаторики Вариант 1 1. »-^л = (д-^+1)! * Тогда исходное уравнение можно записать л! д: = -~л - д: + 1=д: <^2х = п + 1. Откуда реше- (л-д:)1 (л-х + 1)! Л4-1 ние х= —^у при нечетном п. 2. Так как = ^^И = |^ = л;(л: + 1), А^+1=^=у{у + 1), систему можно записать в виде 421 ху(ху-1) = 20. xy(xy-l) = 2Q, x{x-^l)-y{y + l) = lS [х(х + 1)-у{у + 1) = 1В, так как хе N и уе N, то ху= 5 и = 5, у = 1. Эти значения, полученные из первого уравнения, второму не удовлетворяют. Система не имеет решений. 3. Так как -1)!, C*_i + = С* (это равенство доказано в зада- нии 16.2, № 5), запишем неравенство в следующем виде о* (/t-l)l(n-fe-hl)U 1 п\ п! п k\{n-k)\ л! n-k+1 (га-й+1)1>-Ь<=> ^ k п КП Итак, при n>k неравенство верно. 4. а) Исходное неравенство равносильно следующему неравенству 100! 100! аОО-г)! ziaOO-2)! >2] ^ 100! 100! (100-z)!zl 2!(100-z)I Cfoo > 1 при любом о< 2 < 100, а именно: Cjqo =1» ^loo = ^loo -при 1<2<99. |<(1--^)<1 при 2<2<100, 1--^=0 при 2=1, 2 = 0. Значит, если 2<2<99, Cfoo(l-^)^l. Итак, искомое решение: 2<2<99, zeN, б) Обобщение. Решение неравенства А^~ С^>Р^ есть 2<2<(л-1), что нетрудно доказать, следуя задаче (а). 5. т\ {т - л)! <=> (т-л+ l)(m-/i + 2)...m = l • 2-З* 5 • 7, ясно, что больше 5 множителей в левой части быть не может, поэтому 1<л<5. Нетрудно определить, что л = 3, /?г = 7;л=2,/?г = 3; л = 1,от = 210. Вариант 2 1. Решение существует при четном л, х = 2. Система не имеет решений. См. вар. 1. 3. Заменой k = k-l, л=л-1 задачу можно свести к вар. 1. Поэтому неравенство верно при n-l>k-l <=> n>k. 4. а) 2еТ^, 2<2<89. б) См. обобщение в вар. 1. 5. А"=6 ^(от-л + 1)... от = 1 • 2 • 3 => л < 3. Нетрудно найти л =1, от=6; л = 2,от=3; л = 3,от = 2. 422 Задание 16.6, Комбинаторные задачи Вариант 1 1. Каждая из отдельно рассматриваемых книг может оказаться на одной из 10 полок, независимо от положения другой книги. Количества способов разложить каждую книгу перемножаются 10-1010-...•10 = 10*'’'’. 100 раз 2. а) Так как цифра 0 не может быть первой цифрой, а последней должны быть о или 5, имеем: если 0 — последняя цифра, то всего чисел 4! — на первом месте любая из четырех цифр, на втором — любая из трех оставшихся, на третьем — одна из двух, на четвертом — одна цифра (41 = 4-3-2 1); если 5 — последняя цифра, то чисел 3-3-2-1=3^-2. Итак, всего чисел 4! + 3^ -2= 42. б) Последней цифрой могут быть две цифры, первой цифрой — четыре цифры; второй, третьей и четвертой — все пять цифр, поэто- О му всего 4 • 5 • 5 ■ 5 • 2 = 10 чисел. 3. В слове «КОЛОБОК » 7 букв; поэтому надо использовать все буквы. Всего три буквы «О», две буквы «Ki> и по одной «Л» и «Б». Пусть повторяющиеся буквы различаются номером: Oi, О2,03, Ki, К2. Тогда, например, слова К1О1ЛО2БО3К2 и К2О1ЛО3БО2К1 — одинаковые, но составлены по-разному. Значит, в любой расстановке букв можно как угодно между собой переставить одинаковые буквы и получить одно и то же слово. Сколько различных слов? Если бы все буквы были различны, было бы 7! — слов, но они повторяются, поэтому всего различных слов где 3! — количество перестановок букв «О» между собой и 2! — количество перестановок букв «К». 4. Если не задавать порядок выступления некоторых участников, всего Т = 6! регламентов. Пусть кроме X, У, Z еще выступают 7\, Тг, 7з. По условию, регламенты должны быть видаТ!, У, 72, X, Т3, где X, У, Z между собой нельзя переставлять,поэтому общее количество перестановок 6! делим на 3! — количество перестановок X, У, Z. Итак, вариантов регламента всего ||= 5! = 120. 5. Каждые 4 вершины дают одну точку пересечения диагоналей (рис. 299). Всего четверок вершин С^. Уравнение для п = 495 <=> 7-4^= 495 " (п-4)4! О (п - 3) (п - 2) (/г -1) л = 11880. Это уравнение можно решить подробно, но можно и «угадать» решение л = 12. Для подробного решения уравнение можно преобразовать: л (л - 3) (га - 2) (л -1) = 11880 <=> (л^- Зл) (л^- Зл + 2) = 11880 <=> # = л^- Зл, t(t + 2) = llS80, дальше можно решать самостоятельно. Вариант 2 1. 100^°. 2, а) Всего 42 числа. б) 10^ Всего слов. -^= Всех способов выступлений N^=6!. Если не переставлять X, о1 О & У, Z, то их всего если в этих способах переставить только У и Z, и! то 6! 2 3 * 5. С^ = 210 ■ п = 10. См. вар. 1. Задание 16.7. Подсчет вероятностей Вариант 1 1. Всего способов вытащить все п шаров N=n\. Благоприятный способ один. Вероятность 2. Имеем всего 7 костей-дублей и 4 кости с суммой очков, не меньшей 10: это 5:5, 6:5, 6:6, 6:4, среди них 2 дубля. Значит, благоприятных способов 7 + 2 = 9. Вероятность 3. Допустим, Федя выбрал одно место. Тогда Вася может выбрать одно из двух мест рядом. После их выбора остается еще 8 мест, которые могут занять 8 человек. 8 мест могут быть выбраны 8! способами. Федя может выбрать 10 мест, Вася — 2. Всего возможностей выбора л = 10*2*8!. Всех возможных способов выбора места iV'=10!. Вероятность = 4. Это задача на геометрические вероятности. Точки с координатами {х, у) образуют круг д:^+ 1/^<1. Благоприятные координаты: |л:+1/|<1, +у^<1. Надо найти площадь этой фигуры. Это половина площади круга плюс площадь двух треугольников с катетами, равными 1 (рис. 300). Si = l5 + 2.f l.l = iS + l, 424 где S — площадь круга, S = n, Вероятность того, что координаты удовлетворяют требуемым условиям, есть о — +1 2__= 1 + 1 S п 2 п* 5. Вероятность выигрыша хотя бы на один билет определим из вероят- '.20 ^900 Г.20 * ^1000 ности не выиграть ни на один билет. В первом случае это qi = С^оо во втором — ^2~ ?оо ‘ Вероятность есть отношение способов вы-^1000 тащить 20 билетов из 900 невыигрышных к отношению всех способов вытащить 20 билетов из 1000. Вероятность Q2 есть отношение способов вытащить 100 билетов из 980 невыигрышных к отношению всех способов вытащить 100 билетов из 1000. 9QQL_ . 90Ш980! р20 ^'эоо _ 201880! >.20 1000! 1000!880!’ 980! 100!880! ~~ГоШ~ 900!980! 1000!880!' 1000 201980! *000 Ю0!900! значит, qx~q2^ Вероятности выигрыша: Pi = l“9i, Р2~^~Я2-как qi=q2, Pi = P2f то вероятности равны. Вариант 2 1- i.- 2. Количество дублей и костей с суммой очков, не большей 2, равно 9. Вероят- ность равна 3. Задача аналогична вар. 1. Вероят- ность оказаться рядом равна 2-8-6!_2 ~7* 8! вероятность не оказаться рядом равна 1-2 = 5 7 7’ 4. Замена у иа-у сводит задачу к вар. 1 (рис. 301). Вероятность равна | + 5. Эти вероятности равны. См. вар. 1. Задание 16.8. Контрольное задание Вариант 1 1. а) АПХ = ВиХ (рис. 302 а), 6) AUX^Bf]X (рис. 302 б). 425 Из AnX = B(JX следует, что BUXcARX, откуда B 2<х <21. Но так как д: <5, целые д: = 3; 4; 5. Четвертый член разложения -Cs-x , третий член разложения X <-1, х>1. С5 - X . Надо решить неравенство *х >С^ *х о 10 10 4. 2 10'Cio= 2 l^‘’■‘10'Cio=(l + 10)^‘’=ll^°. 1 = 0 1=0 5. Ясно, что цифра 7 — последняя. Искомое число меньше 10^, имеет не более четырех знаков. Число меньше 10 — одно 7. Чисел от 11 до 99 может быть три. Последняя цифра — 7, первая —любая из 4, 6, 7 (9=3- 3). Чисел от 100 до 999 всего девять (9 = 3- 3). Чисел от 1000 до 9999 может быть двадцать семь. Последняя цифра 7, первые три — любые из 4, б, 7 (27 = 3 - 3 • Итак, всего чисел 1 + 9 + 27 + 3= 40. 6. Так как черные шары могут оказаться только рядом с белыми, то мест у одного черного шара 101. Из этих мест надо занять 50. Всего способов С101* 7. Вероятность выигрыша в одной партии — Р=2‘ ^^роятность выиграть три партии из четырех — С4 • р^(1-р) = \- Вероятность выиграть шесть из восьми — С| • р®(1-р)^ = — . Вероятность выиграть три партии из четырех больше. 3. Вариант 2 (решение аналогично вар. 1) 1. Нет таких непустых множеств. 2. X = 3 или X = 4. х<-1, х>-1. 4. (l + j^)’°=l,l^^ 5. 40. с /ПГ 50 о. Схо1- 7. Первая возможность вероятнее. 426 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие.................................................3 Тема L Общие свойства функций...............................7 Тема 2. Предел, непрерывность, производная.................16 Тема 3. Интеграл и простейшие дифференциальные уравнения . 25 Тема 4. Тригонометрические функции.........................38 Тема 5, Начала анализа для тригонометрических функций ... 44 Тема 6, Тригонометрические уравнения и неравенства.........50 Тема 7. Теорема сложения и следствия из нее................55 Тема 5. Обратные тригонометрические функции................61 Тема 9. Показательная функция..............................67 Tejwa 70. Логарифмическая функция..........................73 Тема 11. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений.....................79 Тема 12. Вещественные и комплексные числа..................89 Тема 13. Многочлены........................................94 Тежа 74. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств......................................100 Тема 15. Последовательности и ряды........................112 Тема 16. Элементы конечной математики.....................117 Ответы и решения..........................................125 427