Физика 10 класс Учебник Чижов Ханнанов

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Физика 10 класс Учебник Чижов Ханнанов - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
г. А. Чижов, Н. К. Ханнанов класс г. А. Чижов, Н. К. Ханнанов ФИЗИКА УЧЕБНИК для классов с углубленным изучением физики 2-е издание, доработанное Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации Москва D р о ф а класс 2010 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 Ч 59 Ч-59 Подготовлено при содействии Национального фонда подготовки кадров Чижов, Г. А. Физика. 10 кл.: учебник для классов с углубленным изучением физики / Г. А. Чижов, Н. К. Ханнанов. — 2-е изд., дораб. — М. : Дрофа, 2010. — 480 с., ил. ISBN 978-5-358-08785-9 Материал учебника соотнетствует основному минимуму содержания образования и включает механику, молекулярную физику, электродинамику. Отличительной особенностью данного учебника являеюя не расширение круга рассматриваемых явлений и законов, а углубление основных понятий; использование молельно-аксиоматического подхода: вводится модель, очерчиваются границы ее применимости, проверяется выполнение полученных выводов на практике. Поскольку построение модели является важнейшей частью естественнонаучного метода познания мира, такой подход применяется в любой сфере деятельности человека. Сквозные идеи (силовой и энергетический подход и т. п.) позволяют создать единое восприятие физики как инструмента для описания множества природных явлений и технических приложений. Учебник п{)«дназначен для ynaupixca классов с углубленным изучением физики. В подготовке учебника принимала участие Т. А. Ханнанова. УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 Учебное издание Чижов Геннадий Александрович, Ханнанов Наиль Кутдусович ФИЗИКА. 10 КЛАСС Учебник для классов с углубленным изучением физики 0тве'1ственный редактор Е. Н. Тихонова. 0(1юрмление А. Л. Шувалова Художник Л. Я. Александрова. Художественный редактор А. Л./Я//оп.7ова Технический редактор Л/. В. Биденко. Компьютерная верстка Т. В. Рыбина Корректоры Г. И. Мосякини, Е. Е. Никулина Отитарно-эпндемиологичегкор заключение М- 7Т.«9.00.?)53.Л.009733.08.00 от 18.08.2009. Подписано к печати 25.05.10. Формат60X 90 */|ь- Нумага офсетная. Гарнитура «Школьная*. Печать офсетная. Уел. печ. л. 1,5. 'Гираж 3000 акз. Заказ № 2896. СХЮ «Лро<|)<1>. 127018, Москна, Сущовскип гшл, 49. Прелложения н .зямечанин по содержанию и офор.мдению книги просим направлять в ре.чакцию общего образования излателытва «Дрофа*»: 127018. Москва, а я 79. Тел.: (495) 795-05-41. F>mail: chi[email protected] По вопросам приобретен1и| продукции издательства «Дрофа-» обряищтыя но адресу: 127018. Мос'ква, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс; (495) 795-05-52. Торговып дом «Школьник*. 109172. Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6. спр. 1А. Тел.: (495) 911 70-24, 912-15 10. 912 45 76. Оть магазинов *Пе{>еплетные птицы*. Тел.: (495) 912-45-76. Интернет*магазин: liltp: www.drofa.ni Отпечатано в ОАО *Тверской ордена Трулоного Красного Знамени пол иг рафкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР*. 170040, г. Тверь, проспект 50 дет Октября, 46.)^ ©ООО «Дрофам, 2003 ISBN 978-5-358-08785-9 © ООО «Др(х1)а’>, 2010, с изменениями ВВЕДЕНИЕ Як •5' Л Сущеавование человечества неразрывно связано с процессом познания окружающего мира. Познание — это определенный способ построения картины мира, в котором живет и развивается человек. Целью познания является накопление полезной информации об окружающем мире и передача ее последующим поколениям. Важнейшую роль для успешного развития человечества играют знания о природе, которые накапливались на протяжении многих веков в виде определенных понятий и представлений. По мере развития человечества менялись формы и методы познания природы. В древнем мире преобладало наблюдение и описание рассуждениями, зачас1ую базирующимися на религиозных представлениях. В средние века эта форма познания стала вытесняться другой, более эффективной, в основе которой лежит доказательное рассуждение, базирующееся на эксперименте. В XVII в. на основе синтеза экспериментального метода Галилея и математических методов построения теории был создан совершенно новый подход к науке - математическое естествознание, из которого и возникла современная физика. Новое мировоззрение объясняло течение явлений действием общих законов природы, сформулированных математическим языком. Математика (от греч. рса^т^ра - знание, наука) пришла в физику вместе с измерением. Однако вскоре в физику вошла другая сторона математики, во многом опреде лившая всю структуру современной физики, - ее логика. В нааоящее время физика является наиболее развитым разделом современного естествознания и служит образцом научного описания, поэтому так важно глубокое и всестороннее изучение физики в средней школе. ** “ 1» vr f. ;Г ра Ojy4j и твердого тела, с которым связаны оси координат, однозначно определяется задание.м пары чисел, определяющих положение начала вектора — точки (например, декартовыми координатами Л', и !/j) и величиной угла (/, задающего Рис. 2.2 Глава 2. Кинематика J 29 ориентацию этого вектора (рис. 2.3). Таким образом, для определения взаимного расположения двух твердых тел на плоскости необходимо задать три числа: координаты какой-либо точки тела и ориентацию прямой, проходящей через любую пару точек этого тела. Система отсчета. При изучении движения необходимо научиться сравнивать изменения в рассматриваемой системе с изменениями, происходящими в других физических системах, независимых от рассматриваемой. Этот процесс называют измерением времени. Систему, с которой производят сравнения, называют часами. В настоящее время процесс измерения времени связывается с подсчетом количества повторений периодических физических процессов, таких как колебания маятника, или электрические колебания в контуре, или колебания атомов в некоторой системе, движение в которой практически не зависит от других физических процессов. В качестве эталонных систем в разные эпохи выбирались различные процессы — горение свечи, вытекание воды из сосуда, вращение Земли и т. и. Для количественного определения моментов времени используется независимая непрерывная переменная — время. Момент времени t = О в задачах часто называют начальным. Максимальное время, которое может быть измерено, в настоящее время связывается с возрастом Вселенной и составляет около 15 млрд лет, или около 4,5 • 10*'с. Если рассматривать процессы, например, происходя1цие внутри элементарных частиц, то время протекания таких процессов составляет около 10 с. Этот интервал времени ничтожно мал для любых механических систем, поэтому мы будем предполагать, что минимальная длительность физических процессов не ограничена и интервал времени может быть.выбран каким угодно малым. Это приводит к представлению о непрерывном течении времени. Во времена создания классической механики все имеющиеся опытные данные указывали на то, что ход различных часов никак не связан с их взаимным перемещением, т. е. течение времени не зависит от движения часов по отношению друг к другу. Измерение временных интервалов Af = tg “ производится с помощью часов, которые считают связанны.ми с телом отсчета. 30 I Механика Измерение пространственных интервалов первоначально связывалось с существованием твердых тел, которые использовались в качестве измерительных приборов линеек. В настоящее время измерение длины фактически связывают с измерением времени (§ 1.2). Диапазон измерений длин простирается от размеров элементарных частиц около 10"^® м до размеров Вселенной около 10^® м. В большинстве задач элементарной механики можно предполагать, что пространственные интервалы измеряются обычной твердой линейкой, а система декартовых координат, необходимая для опреде.'1ения положения точки, связана с твердым телом отсчета. Дополняя такую систему часами, можно изучать механическое движение тел. Системой отсчета называется твердое тело отсчета, связанная с ним система координат и часы, фиксированные относительно выбранного тела отсчета. Вопросы и задания 1. Можно ли деформацию назвать механическим движением? 2. Может ли для описания движения одного и того же тела быть применена модель материальной точки и твердого тела? 3. Какие физические величины определяют взаимное расположение двух точек, двух твердых тел, точки и твердого тела? 4. Чем отличается тело отсчета от системы отсчета? § 2.2. Основные характеристики движения точки Среди множества характеристик твердого тела и материальной точки, описывающих изменение взаимного расположения, чаще других используются такие кинематические характеристики движения, как закон движения, перемещение, траектория, путь, скорость и ускорение. Закон движения, перемещение, траектория. Важнейшей характеристикой движения материальной точки является закон движения. Законом движения точки называется зависимость ее радиуса-вектора от времени г = r{t). Если положение движущейся точки М задано на плоскости декартовы.ми координатами, то каждая из координат являет- Глава 2. Кинематика 31 Рис. 2.4 ся функцией времени: х = x(t), у = = y{t). Опыт показывает, что при движении материальная точка в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве и перемещается последовательно из одной точки пространства в другую без скачков, поэтому функции X = x{t)y у ^ y{t) существуют в любой момент и являются непрерывными. Если бы тело могло при движении исчезать в одном месте и появляться в другом, как это бывает в цирковых трюках, то его закон движения следовало бы описать функциями, имеющими разрывы. Изменение положения точки описывается вектором перемещения, Предположим, что в момент времени t = (начальный момент) положение точки М задано радиусом-вектором Tj = r(tj), а в момент времени t = t2 (конечный момент) — радиусом-вектором rg = Н^2)* показано на рис. 2.4. Вектор Лг = Tg — Tj, равный разности радиусов-векторов начального и конечного положений точки, называется вектором перемещения. В декартовых координатах проекции вектора перемещения на оси координат определяются выражением: Дг = (jCg “ У2 ~ У^)‘ С течением времени материальная точка непрерывно перемещается из одного положения в другое, образуя при движении непрерывную линию — траекторию. Поскольку закон движения задается непрерывными функциями времени, то траектория точки — непрерывная кривая. Представление о траектории дает след, оставляемый в небе высоко летящим самолетом. Траектория точки относительно выбранной системы отсчета является чисто геометрической характеристикой и никак не зависит от времени. На плоскости траектория точки (или ее часть) выражается математически зависимостью одной координаты от другой, например у = у{х). Скорость точки. Перемещение материальной точки вдоль траектории от одной точки пространства к другой может происходить за разные промежутки времени. Для математического описания этих различий вводится понятие скорости движения. 32 1 Механика Если при движении тола, начиная с момента времени существует интервал в|)емени /2)» ^ течение которого для любого интервала с нриемлемоГ! точностью вектор перемещения Аг пропорционален интервалу Л/ Дг Д/. то такой интервал времени 5шляется элементарным. Соответствующее ему перемещение Дг называется элементарным. Б декартово!! системе координат XOY это условие приводит к системе Дх ~ Д/, Лгу ~ \t. Отношение v = Дг \/ является постоянным вектором, не зависящим о'г выбора ДС и называется вектором скорости с(/,) в момент времени Вектор с = f ), таким обра- • * зом, определяет коэффициенты пропорциональности ме.нсду эле.ментарны.м перелгещение.м и эле.ментарным ин гпервалом времен и Дг = сЛ/. В каждом из уравнений для проекци!! перемещения коэффициенты пропорциональности г; и не зависят от интер-ва- ла Д/: ! Дх = г;^Д/, Дг/ = г’^Д/. Заметим, что элементарный интервал времени не обязательно должен быть исчезающе малой величиной. Например, если точность в определении направления вектора скорости в 1° приемлема в задаче о движении Земли вокруг Солнца, то элементарный интервал времени составит 1 сутки, а вектор элементарного перемещения будет иметь длину ~ 2,6 млн км. Скорость в СИ измеряется в м,. с. При описании движений па практике чаще всего именно уменьшение инте1)вала времени Д/ (до определенного преде.па) Л г приводит к постоянству отношения — . Математическим отражением этого факта является определение ско1К)сти 1чак предела (limit) отношения нереме- Глава 2. Кинематика J 33 щения точки Дг к интервалу времени At при стремлении его к нулю: * Аг V = lim — . —> о Д^ Ньютон использовал для обозначения процедуры вычисления скорости более компактное обозначение, которым мы часто будем пользоваться: й = г. Как и вектор перемещения, вектор скорости характеризуется длиной (модулем) и направлением в пространстве. Из определения следует, что вектор скорости по направлению совпадает с вектором элементарного перемещения о U Дг, а его модуль может быть вычислен, если известны проекции вектора скорости на оси координат: V= Jvf+vl- При движении точки вектор скорости может изменяться как по модулю, так и по направлению. В тех случаях, когда модуль скорости остается постоянным, за равные промежутки времени точка проходит равные отрезки траектории. Такое движение называется равномерным. В зависимости от характера траектории различают равномерное прямолинейное и равномерное криволинейное движение. Элементарное перемещение точки, движущейся по заданной гладкой траектории, совпадает с направлением касательной к траектории в данной точке пространства. Поскольку вектор скорости пропорционален вектору элементарного перемещения Дг = vAty то вектор скорости точки, движущейся по гладкой траектории, направлен по касательной к этой траектории. Путь. По определению на элементарном интервале времени Д^1 скорость точки можно считать постоянной. Длина вектора перемещения за элементарный интервал времени lArJ = Sj = v{t^)At называется элементарным путем. Путь S, пройденный точкой от начального до конечного положения при произвольном законе движения, равен сумме элементарных путей: S = v{t^)At^ -Ь v{t2)At2 + ... + v(t^)At^, где N — число элементарных интервалов. 2 Физика. 10 кл ■^4 I Механика Если проекция скорости на выбранное направление вдоль траектории при движении не меняла знак, то путь равен длине участка траектории, пройденного точкой. Ускорение точки. При движении материальной точки ее скорость может изменяться с течением времени. В этом случае вектор скорости - функция времени: и = v(t). Если изменение проекций вектора скорости на оси координат системы XOY с приемлемой в данной задаче точностью пропорциональны Af = ^2 ~ то Ли Ли у Л1, Л1. Вводя в каждое из уравнений свой коэффициент пропорциональности \txv^ = a^t. полученную систему обозначения. можно записать, используя векторные Ли = аЛ1. Вектор а = а^), не зависящий от Af, называется векто- ром ускорения. Ускорение в СИ измеряется в м/с^. Математически ускорение, как и в случае скорости, удобно определять как предел отношения изменения вектора скорости к промежутку времени: Ли а = Ит . л^->о At а = и. Если скорость точки изменяется только по модулю, а направление ее в пространстве остается неизменным, тогда вектор ускорения параллелен вектору скорости. В этом случае траектория — прямая, а движение называется одномерным прямолинейным. Если скорость изменяется только по направлению, оставаясь по модулю постоянной, то в любой момент вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости. Точка при этом совершает движение по окружности^ если движение является плоским. В общем случае вектор ускорения составляет некоторый угол с вектором скорости. Движение в этом случае не является ни равномерным, ни прямолинейным. По виду траектории можно судить о направлении вектора ускорения относительно вектора скорости. Как мы уже говори- Глава 2. Кинематика 35 ли, вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, а вектор ускорения определяет направление изменения (приращения) скорости, т. е. в итоге определяет направление отклонения траектории от касательной в данной точке (рис. 2.5). Вопросы И задания 1. Будут ли зависеть закон движения и траектория от системы отсчета, в которой рассматривается движение? 2. В каком случае путь и модуль перемещения тела совпадают? 3. Придумайте задачу, в которой интервал времени продолжительностью в 1 ч является элементарным. 4. На рис. 2.6 показано положение точки в декартовой системе координат и векторы скорости точки в моменты времени и Постройте вектор изменения скорости и найдите построением направление вектора ускорения в момент времени fj, если § 2.3. Относительность движения точки Определение закона движения в механике всегда связано с выбором тела отсчета, который ничем не ограничен. В зависимости от выбора системы отсчета изменяется закон движения материальной точки и связанные с ним кинематические величины. Например, в системе отсчета, начало которой совпадает с рассматриваемой точкой, ее радиус-вектор остается неизменным, что математически записывается r'{t) s О и читается «радиус-вектор тождественно равен нулю». Движение этой же точки в другой системе может быть, например, равномерным прямолинейным. Одной из важнейших задач кинематики является установление связи между законами движения материальной точки, определенными в разных системах отсчета, а также кинематическими величинами движения. 36----1 Механика Кинематические инварианты. Предположим, что мы знаем закон движения материальной точки М в некоторой системе отсчета ХОУ, т. е. г = г(0 — заданная функция. Это зна- - ♦ чит, что мы знаем также скорость точки и = о(^) и ускорение а = d(t) в любой момент времени. Поставим задачу — найти закон движения, скорость и ускорение точки относительно системы отсчета X'O'Y', движущейся относительно системы отсчета ХОУ. Мы ограничимся случаем, когда ориентация осей системы отсчета X'O'Y' при движении не изменяется относительно исходной. Например, будем считать, что во время движения оси координат, связанные с движущимся телом, остаются параллельными осям, связанным с неподвижным телом. Такую систему отсчета будем называть движущейся поступательно. Предположим, что закон движения начала координат — точки О' (задаваемый вектором R) относительно неподвижной системы отсчета известен: R = R(t). Для решения поставленной задачи нужны дополнительные сведения: — о характере течения времени в системах отсчета ХОУ и X'O'Y'; — о расстояниях, измеряемых наблюдателем в этих системах отсчета. Установить связи между физическими величинами в разных системах отсчета можно, используя инварианты (от лат. invariantia — отсутствие различий) — величины, которые остаются неизменными при переходе от одной системы к другой. В классической механике на основании обобщения опытных фактов считается, что измерение временных и пространственных интервалов не зависит от выбора системы отсчета. Принятые предположения рассматриваются как постулаты кинематики. 1. Для всех систем отсчета время течет одинаковым образом. Интервалы времени, измеренные в разных системах отсчета, одинаковы. 2. Расстояния между любыми двумя точками какого-либо тела, измеренные наблюдателем в движущейся системе отсчета и в неподвижной системе отсчета, совпадают. Глава 2. Кинематика J 37 Эти постулаты позволяют найти правила перехода от одной системы отсчета к другой и использовать системы, удобные для решения задач. Преобразование кинематических величин. Зададим закон движения точки М относительно системы X'O'Y' (рис. 2.7): Г = г\Г). Поскольку время в системах отсчета XOY и X'O'Y' течет одинаково, справедливо равенство ЛП = r'ity Пусть R = R{t) — закон движения точки О' — начала движущейся системы отсчета в системе XOY. Координаты вектора г' = r'(t) измерены движущимся наблюдателем, но поскольку расстояния, измеряемые в системах отсчета XOY и X'0'Y\ одинаковы, ими может воспользоваться и неподвижный наблюдатель. Тогда положение точки М в системе отсчета XOY в любой момент времени можно задать суммой векторов г' и R: r(t) = j^(t) + R(t), 1-,^ здесь г = г(^) — положение точки М относительно системы ХОУ, г' = r'(t) — положение точки М относительно системы X'O'Y', R = R(t) — положение точки О' относительно системы XOY. Поскольку время течет одинаково, можно установить связь между скоростями и ускорениями в разлртчных системах отсчета: v(t) = V(t) + Вш a(t) = A(t) + d'(t), где i) иа — скорость и ускорение точки М относительно системы XOY, а й' и а' — скорость и ускорение точки М относительно системы X'O'Y', V{t) w.A{t) — скорость и ускорение точки О' относительно системы XOY. Пример 1. Шарик, движущийся со скоростью вдоль оси ОХ навстречу стенке, упруго сталкивается с ней и отскакивает. Найдите скорость шарика после соударения Og» если стенка движется равномерно со скоростью и вдоль этой же оси. Задачу легко решить в системе отсчета X'O'Y', которая движется вместе со стенкой. В этой системе скорость шарика до 23 I Механика соударения по модулю равна скорости после соударения, отличаясь лишь направлением: v'2 = пли в проекциях v\ = {-v\; 0), 1^2 "^(1;^; 0). Скорости шарика в неподвижной и движугцейся системах отсчета связаны соотношением i3j = v\ + li, 1^2 = Og + й, где й = {и, 0) — скорость стенки. Проекции векторных уравнений на ось ОХ дают систему уравнений: -Dj = -v\ + и, 1^2 = определяющих результат соударения 1^2 = + 2и. Заметим, что полученные соотношения справедливы лишь в случае, когда система отсчета X'O'Y' движется поступательно. Если оси этой системы при движении меняют ориентацию относительно системы XOYу то соотношения нарушаются. Пример 2. Два автомобиля движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями и относительно земли (рис. 2.8, а). В начальный момент оба автомобиля находились на одинаковом расстоянии от центра кругового участка дороги. Определите скорость автомобиля А относительно автомобиля В в тот момент, когда они оказались на круговом участке дороги (рис. 2.8, б). Свяжем систему отсчета X'O'Y' с автомобилем А, направив ось О'Х' по направлению его движения. На горизонтальном участке дороги эта система движется относительно системы XOY, связанной с землей, поступательно. В такой системе а) Рис. 2 8 Глава 2. Кинематика J 39 отсчета скорость автомобиля В относительно автомобиля А вычисляется в соответствии с общими формулами преобразования скоростей и равна = {-2v; 0). При движении по круговому участку дороги положение точки В относительно системы отсчета X'0'Y\ связанной с автомобилем А, остается неизменным: = (0; 2R)f где Я — радиус этого участка. Соответственно скорость автомобиля В относительно автомобиля А на этом участке равна нулю. Вопросы И задания 1. Как получить вектор скорости и ускорения тела, движущегося в неподвижной системе отсчета со скоростью v и ускорением а, относительно системы отсчета, связанной с автомобилем, движущимся с постоянной скоростью й относительно неподвижной системы отсчета? 2. По теннисному мячу, летящему со скоростью 10 м/с, бьют ракеткой, двигающейся со скоростью 20 м/с. Определите скорость мяча относительно земли после удара. § 2.4. Равномерное прямолинейное движение Основные модели движения материальной точки. Моделью движения называется математическая идеализация основных кинематических характеристик, которая упрощает описание движения, сохраняя при этом важные в данной задаче особенности движения. В зависимости от того, какие характеристики движения считаются наиболее важными, в кинематике принято выделять различные группы моделей. Если для описания движения точки наиболее существенной является геометрическая характеристика движения — траектория, то основные модели траекторий в кинематике заимствуются из элементарной геометрии. Это прямая и окружность. Движение называется прямолинейным, если траекторией точки является прямая. Если траекторией точки является окружность, то движение точки называется движением по окружности. Если при описании движения важной характеристикой является путь, проходимый точкой за определенный интервал времени, то рассматриваются модели движения, называемые равномерным и неравномерным. 40 I Механика Движение точки называется равномерным, если за любые равные промежутки времени она проходит одинаковый путь. Мы будем задавать модель движения законом движения точки г = г(<) так, чтобы ее координаты были линейными, квадратичными или тригонометрическими функциями от времени. Закон движения. Рассмотрим движение, при котором законом движения является линейная зависимость r{t) = = Го + ^о(0- Запишем закон движения в декартовых координатах, задавая векторы начального положения и скорости их проекциями на координатные оси = (jc^; у^), v = {и/, Vy): \ x{t) = Xq + VJ, % Для получения уравнения траектории у = у{х) следует исключить из этих уравнений время: График зависимости у{х) = kx + b — прямая линия [/?=—, Ъ = [уQ- ^^0 ))• Следовательно, траекторией является прямая, т. е. это движение пря.чолинеиное. Пример. Пароход плывет параллельно берегу на расстоянии Ь от него с постоянной скоростью и. От берега к пароходу со скоростью и начинает движение катер. Расстояние между катером и пароходом в начальный момент времени равно d. Сколько времени будет двигаться катер до встречи и как должен быть направлен вектор его скорости? И пароход, и катер будем считать материальными точками. Пусть телом отсчета является земля (берег), а оси системы координат ориентированы, как показано на рис. 2.9. Положение парохода зададим радиусом-вектором Tj(0» а катера — радиусом-вектором rgCO- Движение обоих тел является рав- Глава 2 Кинематика J 41 номерным и прямолинейным. Закон движения парохода имеет вид где Tq = (-а; Ь) — радиус-вектор начального положения паро- хода, а W = (п; 0) — его скорость. Здесь а - - Ь^. Закон движения катера при выбранных начальных условиях TgCO = Vty где о = (i;cos а; nsin а) вектор скорости катера. Для решения задачи необходимо записать дополнительное условие — условие встречи: в некоторый момент времени положение парохода и катера совпадут: Зависимость радиусов-векторов парохода и катера от времени можно записать в виде ^i(^) + ut; b)j Гг(^) = (ncos a • t\ nsin a • 0* Условие встречи представляется в виде системы уравнений: I а + ut^ = ncos а • b = vsin a * ^0* Легко исключить из системы угол, возводя каждое уравне ние в квадрат и складывая их: + (utQ - tt)2. Получившееся квадратное уравнение относительно време ни имеет следующие корни: ^0 “ аи ± 4а^и^ - - v^) - v'^ Решения существуют, если дискриминант уравнения боль ше нуля, что накладывает ограничение на возможную ско рость движения катера: > «^nun - d “• Если скорость движения катера превышает скорость дви жения парохода п > w, то имеется только одно решение: _ - ® аи >0, а в случае достаточно медленного движения, когда выполня ется условие < п < п, решений два. I Механика Направление движения катера можно найти из второго уравнения системы, определяющего условия встречи: sin а - ut о При движении катера с минимально возможной скоростью Ь ^ и время движения ^0 аи «J 2 — I ч 2 аи так что а Jd^ - Ь‘^ S1I1 а = ^ J— d d Вопросы и задания 1. Назовите модели движений, рассматриваемых в элементарной физике, и приведите примеры реальных движений, которые можно описать этими моделями. 2. Два автомобиля в начальный момент времени находятся на расстоянии а и Ь от перекрестка взаимно перпендикулярных дорог и движутся к перекрестку со скоростями й и о соответственно. По какому закону изменяется расстояние r{t) между ними? 3. Докажите, что при движении точки по закону /(О = /q + vt скорость точки направлена вдоль траектории. §2.5. Равноускоренное движение Рассмотрим движение, при котором вектор ускорения остается постоянным по модулю и по направлению. Движение точки называется равноускоренным, если вектор ускорения точки остается постоянным. Первым исследователем равноускоренного движения можно считать Галилея. Он экспериментально показал, что движение по наклонному желобу является равноускоренным. Экспериментальная установка, которой пользовался Галилей, такова. Вдоль деревянной доски прорезан прямой канал шириной около 3 см, оклеенный изнутри полированным пергаментом для г л d в а 2. Кинематика Г 43 уменьшения трения. По нему скользил гладкий шарик из твердой бронзы. Угол наклона доски можно было менять. Для измерения времени Галилей пользовался ведром, заполненным водой. В дне ведра было проделано маленькое отверстие. Количество воды, вылившееся из отверстия за время соскальзывания, взвешивалось на точных весах. «Повторяя опыты сотни раз, мы постоянно находили, что отношение пройденных путей равно отношению квадратов времени их прохождения при всех наклонах плоскости, то есть канала, по которому скользил шарик» — так описывает Галилей выводы из своих экспериментов. Современная установка для изучения равноускоренного движения по наклонной плоскости показана на рис. 2.10. Тележка Т скользит без трения по наклонной плоскости за счет отталкивания магнитных полос, впрессованных в тележку и плоскость. На тележке на расстоянии d друг от друга располагаются два штырька. Магнитный пускатель П позволяет запускать тележку нажатием кнопки на клавиатуре компьютера и фиксировать начало движения. Оптоэлектрический датчик Д фиксирует время прохождения штырьков мимо луча света. Время t между стартом и прохождением первого штырька мимо датчика фиксирует время, затраченное на прохождение расстояния S от начала движения. Время At между прохождениями первого и второго штырьков на тележке мимо датчика позволяет определить скорость тележки и = d/^t. Меняя положение датчика, можно быстро получить данные о движении при разных значениях s. I Механика Сигналы с датчика поступают на измерительный блок и затем на компьютер К, что позволяет представить информацию о движении сразу в виде графиков s(t) и v{t). Закон движения. Равноускоренное движение описывается выражением r(t) = Tq + v^t + at‘^12. В этом векторном уравнении вектор а постоянен по модулю и направлению. Это уравнение приводит к системе t < x(t) = Xq + VqJ + t 2 yU) = yo + VQyt + ay^ Скорость точки при равноускоренном движении изменяется с течением времени по линейному закону v{t) = Vq + at так, что за равные промежутки времени она изменяется на одну и ту же величину. Проекции вектора скорости на координатные оси в этом случае изменяются в соответствии с уравнениями vSt) = aJ, I Олг йу + Начальное положение и начальная скорость точки при равноускоренном движении определяются уравнениями в момент времени i = О, что придает конкретный смысл величинам Tq и как векторам начального положения и начальной скорости точки: '^(0) = Го = (дго; f/o), ^(0) = 1^0 == %)• Траектория движения. Поскольку вектор ускорения не зависит от времени, можно так ориентировать оси системы координат, что вектор ускорения будет направлен вдоль одной из осей, например OY. Тогда в приведенной выше системе уравнений можно положить а^. = 0, т. е. движение вдоль оси ОХ является равномерным, а вдоль оси OY — равноускоренным: л:(0 = Xq + VqJ, y{t) = .Vo + + a/^/2. Глава 2. Кинематика Г 45 В такой системе координат траектория движения точки в плоскости XOY — парабола^ что легко показать, исключая из уравнений время: у{х) ^Уо+^(х-х^)+ (х - Xq)^. Uqx в частном случае, когда вектор начальной скорости параллелен вектору ускорения = О или равен нулю, траектория будет прямой линией. Зависимость скорости от положения точки. При движении точки часто бывает необходимо определить ее скорость как функцию координаты v = v{x)y а не времени. Для равноускоренного движения такая задача легко решается в частном случае прямолинейного равноускоренного движения. Пусть движение точки происходит вдоль оси ОХ с ускорением а. Изменение координаты точки и ее скорости с течением времени определяется системой уравнений at^ X = Xq+ VQt+ V = Vq + at. Исключая из этой системы время, получим соотношение между скоростью и координатой точки иЦх) = 1^0 2а{х - jcq). Отметим следующ,ие важные свойства этого соотношения. Поскольку и\х) > о, то полученное выражение устанавливает ограничения на область изменения координаты точки: + 2а{х - лгд) > 0. Отсюда легко определить границу области возможного движения точки, имевшей в начальный момент времени координату jc(0) = XqVi скорость ц(0) = Uq. Она определяется условием = о, откуда х^ = Xq- v^/2a. Каждому значению координаты соответствуют два значения скорости точки, отличающиеся лишь знаками: 2(х) = ± + 2а{х - Xq) . Выбор подходящего значения требует дополнительной информации о движении. Поясним сделанные выводы. Если движение камня, брошенного вертикально вверх, считать равноускоренным, то его I Механика движение ограничено максимальной высотой подъема. В любой точке ниже этой максимальной высоты скорость камня может быть направлена либо вверх, либо вниз, а ее величина в этой точке не зависит от направления движения. Вопросы и задания 1. Как зависят координаты точки и проекции вектора ее скорости от времени в случае, когда вектор ускорения при равноускоренном движении направлен вдоль оси ОХ декартовой системы координат? направлен произвольно? 2. Какой линией может быть траектория точки при равноускоренном движении? От чего зависит форма траектории? 3. Тело соскальзывает с вершины клина, покоящегося на поверхности стола. Начальная скорость тела равна нулю, модуль ускорения равен 2 м/с^. Угол наклона плоскости 30°, высота 2 м. Напишите уравнение движения в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат: а) начало которой совпадает с вершиной, ось ОХ направлена горизонтально; б) начало которой совпадает с вершиной, ось ОХ направлена вдоль плоскости. § 2.6. Движение точки по окружности и гармонические колебания Равномерное движение по окружности. Рассмотрим движение точки, задаваемое законом движения r{t) = = {Rcos o.{t); i?sin г/(0)- Теорема Пифагора приводит к уравнению для координат точки xHt) + уЧО = ^2, из которого следует, что точка движется по окружности радиусом R с центром в начале координат (рис. 2.11). Угол а = a{t) между осью ОХ и радиусом-вектором R определяет положение точки в любой момент времени. Напомним, что угол мы измеряем в радианах, т. е. отношением длины дуги s к радиусу окружности а = s/R. Если движение происходит так, что приращение угла Да, а следователь- г л а в а 2. Кинематика 47 но, и длины дуги As пропорционально интервалу времени At и не зависит от величины этого интервала (за любые равные промежутки времени точка проходит одинаковые пути) As ^ At; Аа ~ Af, то движение называется равномерным движением по окружности. Коэффициенты пропорциональности в представленных соотношениях называются модулем скорости V и скоростью изменения угла {угловая скорость) со соответственно As -= vAt; Да = соА^. Из этих соотношений следует As Аа At At для любых интервалов времени (как для At —> О, так и для конечных). По определению угла (в радианах) а = s/i?, где S — длина дуги, поэтому V = со/?. Скорость изменения угла измеряется в рад/с. Размерность угловой скорости с"Ч Если в начальный момент а(0) = О, то закон движения точки имеет вид R{t) = (i?cos со?; i?sin со?). Поскольку вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, проекции этого вектора на координатные оси определяются выражением или сЗ(?) = {и^; Vy) = (-osin со?; i;cos со?), i5(?) = (-co/?sin со?; coi?cos со?). Вектор скорости v{t) при движении по окружности зависит от времени, поскольку его проекции являются функциями времени, однако модуль его остается постоянным. Проекции вектора скорости можно вычислить, воспользовавшись определением д,. где А? — элементарный Ньютона, запишем интервал. Используя обозначения V = г(?) = (х; у). I Механика Точки над проекциями радиуса-вектора на оси координат означают вычисление соотношений xit) = inn R----—----, vit) = lim R— ^ ’ У' ' v_,o Д/ здесь A(cos Ш) = cos (Oig ~ cos A(sin (oO = sin cofg “ sin со^р ^2 = ^1 + A^* Сравнивая эти выражения с полученными ранее для проекций вектора скорости можно сделать вывод, что для тригонометрических функций выполняются соотношения Д(со8(о0 . ^ Д( sill 0)0 lim ---—---- = -(osin 0)0 lim --г--- = cocos wL Определим ускорение, используя выведенные нами соотношения для тригонометрических функций: а = Ь = {Ь,; Ьу), = -DCOCOS coi = -o)^i?cos 0)0 6 = -ocosin О)^ = -co^JRsin (оО Таким образом, d{t) = -©*^r(t). Из этой формулы следует, что вектор ускорения направлен противоположно радиусу-вектору, т. е. к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости. Вектор ускорения d{t) при движении по окружности зависит от времени (его компоненты — функции времени), однако его модуль остается постоянным: 2 а = (O^R = V R' Поскольку вектор ускорения направлен к центру окружности, он называется центростремительным ускорением. Полезно обратиться к геометрической интерпретации появления центростремительного ускорения при движении по окружности. Рассмотрим для этого положение точки в два близких момента времени и t2=^ + Af (рис. 2.12). Для вычисления разности скоростей точки по правилу треугольника: Og = 1^1 + Ап (см. рис. 2.12). Положение точки в эти моменты определяется углами ttj и ttg = «1 + Аа соот- Рис. 2.12 ветственно. Вектор скорости в любой Глава 2. Кинематика Г 49 момент времени составляет прямой угол с радиусом-вектором, vAt за время t2 = -г Af он повернется на угол Да = оставаясь неизменным по величине. Поскольку угол поворота вектора мы выбрали малым, вектор приращения скорости Av оказывается направленным к центру окружности. А значит, и вектор ускорения, связанный с ним соотношением Av = aAt, также направлен к центру окружности. Модуль вектора приращения скорости пропорционален приращению угла: Av - Да. Отсюда следует, что модуль центростремительного ускорения точки, равномерно движущейся по окружности радиусом i?, равен а = Ау At 41 R • Если при произвольных At соотношение As ~ At не выполняется, то движение называется неравномерным движением по окружности. Примером неравномерного движения являются колебания маятника. Так как достаточно малые интервалы времени можно считать элементарными, то угловой скоростью называют предел отношения приращения угла Да к интервалу времени At, за которое оно происходит, при At —> 0: Да О) = lim *77 . Используя обозначения Ньютона, это соотношение можно записать в виде 0) = а. Ясно, что это соотношение имеет место и для равномерного движения по окружности. При неравномерном движении точки по окружности вектор ускорения а = -f (рис. 2.13) не направлен точно к центру, однако имеет компоненту, направленную в сторону центра. Компонента вектора ускорения а„, направленная к центру окружности, в этом случае называется нормальным или центростремительным ускорениему и его модуль выражается таким же соотношением, как при равномерном движении по окружности: ,2 = ^ = Рис. 2.13 50 I Механика Компонента вектора ускорения а^, касательная к окружности, называется тангенциальным ускорением (от лат. tango — касание). Гармонические колебания. Колебательным называется такое одномерное движение точки, при котором ее механическое состояние, определяемое положением и скоростью, повторяется хотя бы приближенно. Если движущаяся точка регулярно возвращается в исходное механическое состояние через некоторый промежуток времени, то движение называется периодическим. Минимальный временной промежуток Т, за который точка возвращается в исходное состояние, называется периодом колебаний. Закон движения точки х = д:(0 в этом случае является периодической функцией времени д:(0 = x{t + Т). называется часто- Величина, обратная периоду, той колебаний v: 1 V = у. Единицей частоты является герц (Гц). Герц равен частоте периодического процесса, при котором совершается одно колебание в секунду. В элементарной физике основной моделью колебательного движения являются гармонические ко.пебания. Гармоническими называются колебания, происходящие по закону x{t) = ^.sin(o)^ 4- ф^) или x{t) = Acosicat + \}/q). По такому закону изменяется координата x{t) математического маятника — груза малого размера, подвешенного на длинной нити, если |x(^)| много меньше длины нити L (рис. 2.14). Величина w называется круговой частотой колебаний, А ^ О — амплитудой, а ф0 и — начальной фазой колебаний. Таким образом, максимальное смещение точки при гармонических колебаниях определяется амплитудой. При смещении начала координат закон движения отличается от рассматриваемого на постоянную величину и также описывает гармонические колебания. Глава 2. Кинематика J 51 Связь между моделями движений. Модели движения точки, рассмотренные нами, не являются совершенно независимыми. Можно установить связи между различными моделями. Так, равномерное прямолинейное движение по закону Ht) = Го + v^t является частным случаем равноускоренного движения г(0 = Го + VqI + а|- с ускорением а = 0. При равномерном движении по окружности радиусом R с угловой скоростью со проекции радиуса-вектора на оси ОХ и OY совершают гармонические колебания. Амплитуда этих колебаний равна радиусу окружности, а частота — угловой скорости: x{t) = :Со + Rcos со^, y(t) - Уо + -Rsin cof. Более сложную связь между различными моделями можно установить при криволинейном движении. Любой достаточно малый участок криволинейной траектории можно рассматривать как отрезок прямой, если речь идет об определении скорости точки на этом участке. При этом вектор небольшого перемещения Дг = vAt за время At позволяет определить модуль и направление вектора скорости v. Несколько сложнее обстоит дело при определении ускорения точки. В этом случае участок траектории нельзя заменить отрезком прямой, поскольку вектор ускорения, как правило, не направлен вдоль вектора скорости. Здесь нужно использовать другую модель. Можно представить, что небольшой участок криволинейной траектории совпадает с дугой окружности некоторого радиуса. Радиус окружности при этом называется радиусом кривизны траектории. Движение по такому участку траектории можно рассматривать как неравномерное движение по окружности. Вопросы и задания 1. Закон движения точек на плоскости задается уравнениями а) J y(t) = t/o, 1 jc(0 = б) f y{t) = y^sm сод в) [ г/(0 = z/jCos cof, I д:(0 = XqCOS соД I x{t) = jCqCos соД где t/o = 2 м; = 3 м; jCq = 2 м; со = 5 с Задайте эти движения в виде г(0. 52 I Механика Постройте в декартовой системе координат положение точки в моменты времени О, 2, 3 с. Покажите в масштабе вектор скорости и вектор ускорения во всех трех точках. 2. Каков период равномерного вращения тела по окружности, если его координата по оси ОХ меняется по закону jc(f) = jCqCos cof, где JCy = = 25 см, (О = 62,8 с“*? Каков при этом радиус вращения, угловая скорость и модуль скорости? Куда направлена скорость через 0,05 с? 3. Тело совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ так, что его координата описывается уравнением x{t) = JCgSin (cot + Фо)» где jCo = 0,1 м; (О = 10 с~Ч Фо = Tt/2. Где находилось тело в начальный момент времени? Чему равны координата, скорость и ускорение тела через 3,14 с? § 2.7. Графическое представление характеристик прямолинейного движения До сих пор мы пользовались в основном аналитическим представлением кинематических характеристик движения, т. е. задавали их в виде формул. Однако аналитический подход имеет ряд недостатков. Высокая точность описания и легкость преобразований достигаются ценой трудоемких вычислений, использованием громоздких формул. Представить результаты в наглядной с1юрме помогают графические методы. Часто при решении задач используют схематические рисунки движущихся тел, на которых изображаются кинематические величины. Однако по-настоящему универсальным методом, сочетающим точность аналитического описания и образность графических схем, стало представление изучаемых зависимостей величин в виде графиков. Рассмотрим такое представление для кинематических величин основных моделей движения. Равномерное прямолинейное движение точки. При равномерном прямолинейном движении точки вдоль оси ОХ ее координата изменяется во времени по линейному закону x{t) = jcq + Графиком такой функции в координатах х, t является прямая, изображенная на рис. 2.15. Начальная координата точки — точка пересечения оси ординат этим графиком. Скорость Vq определяет угол наклона прямой к оси абсцисс. Ах а7 -хр tg а. Глава 2. Кинематика J 53 График зависимости v ^ v(t) — прямая линия, параллельная оси абсцисс. График ускорения а = a(t) совпадает с осью абсцисс. Конечно, реальное движение тел никогда не бывает равномерным и прямолинейным. Обычно эта модель применяется только на некоторых участках движения. Рассмотрим графическое описание такого «кусочно-равномерного» движения. Пример 1. Пусть в некоторый момент времени маневровый локомотив начал движение от семафора, находящегося в 50 м от наблюдателя, со скоростью 3 м/с, прошел 300 м и остановился. За 60 с к нему прицепили вагон, после чего он поехал к семафору со скоростью 5 м/с. Постройте графики зависимости кинематических величин, описывающих движение локомотива. Будем определять координату локомотива по положению, например, передней фары. Система отсчета показана на рис. 2.16. Для построения графика x{t) определим характерные точки. В начальный момент времени тепловоз находился у семафора л:(0) = лгд = 50 м. Движение его на первом этапе происходило со скоростью 3 м/с, так что за 100 с его координата стала равной 350 м (рис. 2.17, а). Затем в течение 60 с он оставался неподвижен, и его движение изображается отрезком прямой, параллельной оси абсцисс. При движении локомотива назад его координата уменьшается с течением времени. Двигаясь со скоростью 5 м/с, локомотив пройдет расстояние 350 м за 70 с и окажется около наблюдателя в момент времени fg = 230 с (график пересекает ось абсцисс). Yi о (- -J 1 J с □ LJ V x(t) X Рис. 2.16 I Механика Изменение скорости локомотива представлено на рис. 2.17, б. Следует отметить, что на первом и третьем участках движения проекция скорости имеет разный знак. Изменения скорости в процессе ускорения и торможения локомотива не описываются выбранной моделью, поэтому на графике они не изображены. Построим график зависимости от времени пути, пройденного локомотивом. Поскольку независимо от направления движения путь, пройденный телом, может только увеличиваться с течением времени, график имеет вид, представленный на рис. 2.17, в. Значение графиков модели равномерного движения не ограничивается только описанием кусочнолинейного движения. Значительно важнее то, что при определении скорости для произвольной зависимости координаты точки от времени д: = x{t) (рис. 2.18) движение на любом достаточно малом (элементарном) интервале At можно рассматривать как равномерное. Рассмотрим движение точки в окрестности t = такой, что за время At = = ^2 “ движение можно считать равномерным. Графиком такого движения является прямая, соединяющая две соседние точки графика. При малых Aif —> О она совпадает с касательной к графику кривой X = x{t) в точке t = t^, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен скорости точки в этот момент ^2 ~ Ах времени: tg а = ^ At ^ г л а b а 2 Кинематика 55 Таким образом, для определения скорости точки в некоторый момент времени t = по заданному графику зависимости X = x{t) необходимо определить тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке. Равноускоренное прямолинейное движение. Пусть движение происходит вдоль оси ОХ. Координата точки и ее скорость при равноускоренном движении меняются с течением времени по закону: at Oq + at. x{t) = Xq + VQt+ -j-; v(t) = Графиком зависимости x{t) является парабола, ветви которой направлены вверх, если а > О (рис. 2.19, а), или вниз, если а < О (рис. 2.19, б). Закон движения определяется тремя параметрами: лГу, t>y, а. Начальная координата Xq = л:(0) определяет точку пересечения графика функции с осью ординат ОХ. Поскольку v{0) = Vq — начальная скорость, то она определяет тангенс угла наклона касательной к графику х(0 в момент ^ = 0. Если начальная скорость у(0) = Vq положительна, то приращение координаты за элементарный промежуток времени At > о будет положительным: Ал: = = OyAif > о, так что график функции x{t) на этом участке линейно возрастает (см. рис. 2.19, б). Если же начальная скорость точки отрицательна, то функция x{t) на начальном участке линейно убывает (см. рис. 2.19, а). График зависимости скорости точки от времени — прямая, пересекающая ось ординат в точке у(0) = VqH наклоненная к оси абсцисс под таким углом а, что tg а = а (см. рис. 2.19). Рис. 2,19 I Механика Скорость обращается в нуль в V о а когда момент времени — прямая пересекает ось абсцисс. Именно этот момент времени и определяет положение вершины параболы, в которой касательная параллельна оси абсцисс, а значит, скорость равна нулю. Пример 2. Шарик толкнули вверх по наклонной плоскости со скоростью Гу. Полагая, что движение является равноускоренным, постройте графики х = x{t) и и = v(t). Как видно из рис. 2.20, dt'^ x{t) = Xq + VqI- —; v{t) = - at. Этим зависимостям соответствуют графики, изображенные на рис. 2.19, б. Поскольку ускорение направлено против оси V о ОХ, то = — — время подъема до верхней точки, имеющей V о координату jc(fj) = дгд -f — . Графики других кинематических величин. Кроме графиков закона движения и скорости точки (см. рис. 2.19) полезно представлять графики других кинематических величин. На рис. 2.21 приведены графики координаты^ расстояния от начала координат и nymUy пройденного точкой, при одномерном движении ее вдоль оси ОХ для рассмотренных моделей равномерного и равноускоренного движения. В отличие от координаты, расстояние l^l от начала координат до точки всегда положительно, а путь — неубывающая функция времени. Анализ графиков при произвольном законе движения. Рассмотренные примеры позволяют обобщить полученные результаты на случай произвольной зависимости х = x{t). • Максимумам и минимумам на графике х = x(t) соответствуют моменты времени, где скорость обращается в нуль, так как в этих точках угол наклона касательной к кривой равен нулю. • Участки графика, где координата возрастает, соответствуют интервалам времени, когда движение происходит со скоростью, направленной по оси ОХ, v{t) > 0, а убывающие участ- Глава 2. Кинематика J 57 Равномерное движение Равноускоренное движение а) Рис. 2.21 б) ки описывают движение со скоростью, направленной против оси ОХ у v{t) < 0. • Чем быстрее происходит изменение координаты на данном участке, тем больше модуль скорости. Отношение Ах/At равно тангенсу угла а наклона касательной к кривой в данной точке у = tg (X. Вопросы и задания 1. Найдите зависимости v(t) и a(i), если координата движения тела по прямой представлена уравнением: а) jc(0 = Xq; б) x{t) = лгр + VqU в) x{t) = jcq ■*" Постройте графики этих функций. ■^g I Механика 2. Какова траектория частицы, если ее координаты меняются со вре-хменем по закону: a) jc(t) = Asin (Of, y{t) = Asin 0)f; 6) jr(f) = Asin cof, y{t) = Acos cot; b) x(t) = Ct, y(t) = Acos (Of? Какова скорость этих частиц через 1 с при А — 3 см, со = g с“^ С - 2 м/с? 3. Проекция скорости точки зависит от времени так, как показано на рис. 2.22. Какова координата точки в конце движения? В начальный момент времени точка находилась в начале координат. 4. Постройте графики зависимости y{t) и vAt) для мяча, падающего с У высоты Н с нулевой начальной скоростью и упруго отскакивающего от пола (рис. 2.23). § 2.8. Свободное падение Задача о падении тел представляет большой интерес как чисто познавательный, так и практический, и привлекает внимание исследователей уже не одну тысячу лет. Познавательный аспект этой части вызван удивительным свойством — универсальностью. Абсолютно все тела падают на Землю. В течение тысячелетних наблюдений не замечено ни одного исключения. Более того, оказалось, что достаточно массивные тела, брошенные с одинаковой начальной скоростью, движутся практически одинаково, независимо от их массы и химического состава. Ото привело ученых древности к представлению о «естественном» стремлении всех тел двигаться к центру Вселенной, которым, по их мнению, являлась Земля. Одним из крупнейших ученых древности, занимавшихся проблемой падения тел, был Аристотель (384—322 до н. э.). Практически одинаковое движение массивных тел привело ученых к мысли, что небольшие различия в их движении Глава 2. Кинематика J 59 вызваны влиянием воздуха и что в некоторых важных случаях им можно пренебречь. Пристальное внимание к задачам о свободном падении исторически было связано не столько с чисто познавательными целями, сколько с решением прикладной военной задачи, называемой задачей внешней баллистики. Движение тела вблизи Земли, рассматриваемое в отсутствие всех других тел, включая атмосферу, называется свободным падением. Интересно проследить развитие теоретического описания свободного падения и характера используемых моделей. В древности основой математики являлась геометрия, поэтому и описание движения проводилось в геометрических терминах. Особый интерес при этом представляло изучение траектории движения. Основными элементами геометрии являлись долгое время две простейшие модели — прямая и окружность. Естественно, что траекторию пытались представить с помощью этих элементов, комбинируя их в соответствии со своими эстетическими и философскими взглядами. В понимании Аристотеля «естественное» движение должно быть совершенным. Тело при этом может двигаться либо по окружностям, либо по прямой. Поэтому и траектория свободного падения — отрезки прямых. Эти представления просуществовали вплоть до середины XVI в. Абу Али ибн Сина (Авиценна) (980—1037) полагал, что движение пушечного ядра происходит вначале по восходящей прямой, а затем оно падает вертикально вниз. В XIV в. Альберт Саксонский, уточняя и развивая представления предшественников, добавляет между двумя прямыми участок движения по дуге окружности (рис. 2.24). Закон свободного падения Галилея. Развитие математики привело к появлению более сложных элементов геометрического описания траекторий: эллипса, параболы и гиперболы. Эксперименты Галилея по изучению падения тел, проведенные им в начале XVII в., привели к представлению о равноускоренном движении свободно падающего тела. Используя эти представления, современник Галилея Николо Тарталья (1499—1552) установил, что траекторией свободно падающего тела является парабола. Рис. 2.24 0Q I Механика Хотя дальнейшее изучение движения пушечных ядер и снарядов в воздухе показало, что модель свободного падения мало пригодна для его описания, модель свободного падения как равноускоренного движения широко используется в элементарной физике из-за своей простоты и наглядности. На основе количественного исследования свободного падения, выполненного Галилеем и уточненного и дополненного его современниками и последователями, был сформулирован закон свободного падения Галилея: 1. Все тела {материальные точки) в свободном падении движутся относительно Земли с одинаковым ускорением, независимо от их химического состава и массы. 2. Модуль и направление вектора ускорения g свободно падающего тела {материальной точки) вблизи поверхности Земли не зависит от положения и скорости падающего тела. Вектор ускорения свободно падающего тела направлен вертикально вниз {определяет направление вертикали), а его модуль g = 9,8 м/с^. Первое положение утверждает независимость ускорения от массы и химического состава тела. Эта независимость была установлена Галилеем еще в 1590 г. с точностью около 0,15% при наблюдении за падением тел с Пизанской башни. Он пишет: «Стофунтовая бомба едва ли упреждает полуфунтовое ядро на ширину ладони при высоте падения 200 футов». Второе положение закона свободного падения, постулирующее постоянство ускорения свободного падения тела, выполняется менее точно. Более поздние исследования обнаружили следующие эффекты. • Модуль и направление ускорения свободного падения слабо зависят от географического положения места наблюдения. Наблюдается как систематическая зависимость от широты места, так и нерегулярная, зависящая от состава пород и рельефа местности. • По мере удаления от Земли модуль ускорения свободного падения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния тела до центра земного шара. Модель свободного падения Галилея—Тартальи. Будем описывать движение тела в системе отсчета, связанной Глава 2 Кинематика J 61 с Землей, и предположим, что это движение является свободным падением, происходящим в соответствии с законом свободного падения Галилея. Воспользуемся моделью материальной точки. Вектор ускорения тела в любой точке траектории направлен вертикально вниз и равен ^ = 10 м/с^. Выберем систему координат, связанную с Землей, так, что ось ОХ будет направлена горизонтально, а OY — вертикально, как показано на рис. 2.25. В выбранной системе отсчета проекции начального вектора скорости, начального радиуса-вектора и ускорения на координатные оси определяются следующими выражениями: Го = (0; h); Vq = (t>ocos а; v^sin а); а = (0; -g). При равноускоренном движении закон движения Ht) = Го + Uot + ^ приводит к системе уравнений для координат X = VqCos а* <, < у = h + L>oSi^ ^ ^--------^ Исключая из первого уравнения время t, легко наити урав нение траектории: У gx 2y^cos2a + jctg а + Л. Траектория точки, свободно падающей вблизи поверхности Земли, — парабола. Ветви параболы направлены вниз, на что указывает знак «минус» перед первым слагаемым. Впервые этот результат был получен современником Галилея Тартальей. Скорость точки изменяется по закону y(t) = V^y + gty что дает для проекций скорости на координатные оси систему уравнений = VqCos а, Vy = i^Qsin а - gt. 02----1 Механика Максимальная высота подъема достигается в момент времени / = ifp когда вертикальная составляющая скорости точки обращается в нуль: "" Vasina- gt^ = 0. Вектор скорости в этот момент направлен горизонтально. Определяя время подъема на максимальную высоту UqS!!! а g найдем положение вершины параболы r(^l) = (Хр где 2 У1 Xi ^ UqCos а • ^J = / gti = Л + I L>oSin а —Y U0sina cos а g t^ = h + (uosina)^ 2i В некоторый момент времени t = тело достигает поверхности земли и у it 2) = 0. В этот момент точка будет находиться на расстоянии s = |х(?2)| от начала координат. Определяя момент касания земли из условия i/(^2) == 0 или 0 = /г + ^osin ~ gti 2 ’ получим h ~ Uosina + g g При выборе знака корня мы учли, что t2> 0. Отсюда расстояние до точки падения определяется выражением (при о < ot < 71/2) S = UqCos а* t2= vl sing cosa g / 1+1 + 2gh \ (Tosing) Вопросы и задания 1. Какая модель движения была предложена Галилеем для описания свободного падения? 2. Каковы возможные траектории движения при свободном падении? 3. Каковы ограничения на использование модели описания свободного падения как равноускоренного движения? Глава 2. Кинематика J 63 4. Сравните описание свободного падения тела, брошенного с наклонной плоскости в системах отсчета, координатные оси которых направлены: а) вертикально вверх и горизонтально; б) вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Запишите проекции ускорения и начальной скорости в этих системах координат. В первой из них условие достижения точки максимального подъема может быть сформулировано как достижение максимальной координаты по оси OY или как равенство нулю проекции скорости на эту ось. Как сформулировать достижение той же точки во второй системе отсчета? Во второй системе координат условие падения может быть сформулировано как достижение нулю координаты по оси ОУ. Как можно сформулировать условие касания плоскости в первой системе отсчета? § 2.9. Обобщение модели свободного падения Применимость модели Галилея—Тартальи. Применение модели Галилея—Тартальи ограничено предположением о равноускоренном движении, когда вектор ускорения свободно падающей точки имеет одинаковое направление и модуль в любой точке траектории. Однако в действительности вектор ускорения направлен к центру Земли и изменяется с высотой, поэтому в тех случаях, когда характерные размеры траектории (высота и дальность полета) сравнимы с радиусом Земли, используются другие модели свободного падения. Высота подъема и дальность полета, как показано в предыдущем параграфе, зависят от начальной скорости движения падающего тела. При достаточно большой начальной скорости высота и дальность полета могут получиться сравнимы с радиусом земного шара, и представление о полете с постоянным ускорением оказывается неприменимым. Поэтому модель Галилея—Тартальи накладывает ограничения и на начальную скорость движущегося тела. Первая космическая скорость. При описании свободного падения тел, движущихся с большими скоростями, возникает вопрос о выборе новой модели движения. Поскольку ускорение свободного падения тел не зависит ни от массы, ни от скорости тел, то можно полагать, что свободное падение земных тел (движение камня вблизи Земли) и крупных небесных тел (движение Луны около Земли) происходит по одним и тем же законам. 64 1 Механика Наиболее просто описывается полет тела с постоянной по модулю скоростью по круговой орбите вокруг Земли. Модуль ускорения свободного падения можно считать неизменным, при этом вектор ускорения направлен всегда к центру Земли. Как вам известно, модуль скорости тела при таком движении остается постоянным, т. е. движение является равномерным. Учитывая связь между скоростью движения v, радиусом орбиты г и центростремительным ускорением а^. ^цс ^ ~ легко найти скорость движения тела по круговой орбите. Если движение происходит вблизи поверхности Земли, то радиус орбиты г примерно равен радиусу Земли В. Скорость движения тела (материальной точки) по круговой орбите, радиус которой совпадает с радиусом небесного тела (Земли), называется первой космической скоростью’. Vj = . Для Земли величина первой космической скорости = = 7,9 км/ с. Приблизительно такую скорость имел запущенный в Советском Союзе 4 октября 1957 г. первый в мире искусственный спутник Земли, положивший начало полетам в космос. Расстояние от Земли до Луны в 60 раз больше радиуса Земли, а центростремительное ускорение Луны, рассчитанное по периоду ее обращения вокруг Земли, в 3600 раз меньше g вблизи поверхности Земли. Следовательно, можно высказать предположение, что ускорение свободного падения убывает с расстоянием обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли. Эта гипотеза была подтверждена в исследованиях Кеплера и Ньютона. Модель свободного падения Кеплера—Ньютона. Модель, позволяющая проанализировать свободное падение тел вблизи Земли при скоростях, сравнимых с первой космической, основана на гипотезе, что падение тел вблизи Земли и вблизи Солнца определяется одинаковыми законами, а также на анализе астрономических наблюдений за движением планет. Немецкий астроном Кеплер сформулировал три закона, описывающие движение планет вокруг Солнца. Эти законы применимы и для описания движения тел с большими скоростями вблизи Земли. Глава 2. Кинематика 65 I. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце (рис. 2.26, а). II. За равные промежутки времени радиус-вектор, проведенный из фокуса эллипса к планете, «заметает» равные площади (рис. 2.26, б), III. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей эллипсов. Эллипсом называется такая замкнутая кривая на плоскости, сумма расстояний от любой точки которой (например, точки М) до двух выбранных точек плоскости Oj и Og постоянна независимо от положения точки М (см. рис. 2.26): О^М + OgM = С. Точки Oj и Og называются фокусами эллипса. Большой осью эллипса называется отрезок прямой АВ, соединяющий точки эллипса, максимально удаленные друг от друга, и проходящий через фокусы. Окружность является частным случаем эллипса, у которого фокусы совпадают, а большая ось равна диаметру. Законы Кеплера позволили установить зависимость ускорения свободного падения от расстояния g(r), что легло в основу закона всемирного тяготения Ньютона. Нетрудно получить эти результаты, считая, что Луна движется по круговой орбите. Поскольку окружность является частным случаем эллипса, в случае движения по окружности третий закон Кеплера принимает вид Но период движения по окружности определяется ее радиусом и скоростью 2кг В V При равномерном движении точки по окружности ее ускорение направлено к центру и рассчитывается по формуле а tic = 7 = g{r). 3 Физика. 10 k;i. 66----1 Механика Из последних выражений легко получить зависимость периода обращения точки от радиуса окружности: Т{г) = -Щ= . Jrgir) Зная ускорение вблизи поверхности Земли g и ее радиус Tj = R, легко определить время обращения Т,: Подставляя это выражение в закон Кеплера, получаем ё{г) = т. е. ускорение свободного падения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от Земли, Этот результат и привел Ньютона к формулировке закона всемирного тяготения. Эллиптические траектории. Рассмотрим подробнее траектории свободного падения тела вблизи Земли или Солнца, основываясь на модели Кеплера. Если телу, находящемуся на расстоянии г от центра Земли, сообщить скорость Vq = Jg{r)r, перпендикулярную радиусу-вектору, проведенному из центра Земли, где g{r) ^ g{R/r)^ — ускорение свободного падения на этом расстоянии, то тело будет двигаться по круговой орбите вокруг Земли (рис. 2.27, а). Движение тел вокруг Земли с большими скоростями в общем случае может быть описано лишь с помощью законов Кеплера. Однако в некоторых частных случаях приемлемую точность удается получить с помощью модели свободного падения Галилея—Тартальи. Рассмотрим движение тела с высоты h ^ R с горизонтальной скоростью, немного меньшей первой космической = и^ - и^ и и определим расстояние до точки падения. Движение такого тела происходит по эллиптической траектории (рис. 2.27, б). Однако если при движении до точки падения = (Xj, t/j) направление вектора ускорения изменяется мало, т. е. а 1, то движение можно считать равноускоренным. Траектория движения в этом случае может считаться параболой y=R+h- ^ 2v‘i X 2 Координаты точки падения определяются равенствами х^ = = Ksin а = Яа, у^ = Rcos а « Я (1 - а^/2). Подставляя эти вы- Глава 2 Кинематика Г 67 ражения в уравнение для траектории, получим выражение для угла: V, а = /2^ о ^ - 1^0 Отсюда легко определяется дальность полета по дуге окружности S — aR. Если <$С Oj, то полученное выражение дает результат s = = aR Д /2^ • - = и R V 12 Л о , который был получен ранее для I W ^ падения тела с небольшой горизонтальной скоростью. Если h же Vq = Vi~ п, п <$С Oj, тоS = aR~ ^*/2^ V 1 V J2v^u "V и Например, при полете тела с высоты h = 1 км с горизонтальной скоростью, меньше первой космической всего на п = = 80 м/с (Oj = 7900 м/с), дальность полета составляет s = 800 км. При этом а = s/R = 1/8 1, т. е. движение по эллипсу в дан- ном случае можно считать движением по параболе. Кроме того, приведенный расчет показывает, что для вывода космического корабля на орбиту, близкую к круговой, требуется высокая точность. Незначительное отклонение значения или направления скорости от расчетной приводит к существенному изменению траектории. Если начальная скорость тела будет превышать максимально допустимое значение, то движение тела по замкнутой траектории оказывается невозможным, и оно будет удаляться от Земли по гиперболе. Наименьшая начальная скорость, которую необходимо сообщить телу, находящемуся на поверхности планеты или звезды. v^ = 0 (прямая) ViyV2< V (эллипсы) V = и. V = V, г (окружность) (парабола) V > V II (гипербола) а) Рис. 2.27 gg I Механика чтобы оно могло преодолеть притяжение и неограниченно удалиться, называется второй космической скоростью: Для Земли Ojj — 11,2 км/с. Используя законы Кеплера и закон сохранения энергии, можно определить требуемые значения скоростей для совершения определенных маневров в космическом пространстве, например для совершения посадки на планету или для полетов с Земли на Марс. Траектории межпланетных перелетов были впервые рассмотрены в работе немецкого ученого Вальтера Гомона в 1925 г. Запущенные к Луне в 1959 г. в Советском Союзе первые в мире космические аппараты достигли второй космической скорости. Их полеты еще раз подтвердили правильность теории и открыли новую эпоху в исследовании планет Солнечной системы. Пример. В геостационарный спутник (неподвижный относительно некоторой точки на экваторе), висящий над Землей на высоте h = 6Л3, попадает метеорит, и его скорость в системе отсчета, связанной с центром Земли, становится равной нулю. Оцените время падения спутника на поверхность Земли. То, что скорость спутника в геоцентрической системе стала равной нулю, говорит о том, что спутник начнет двигаться к Земле с переменным по модулю ускорением g(r). Неравномерное движение спутника по вертикали с переменным ускорением и с нулевой относительно центра Земли скоростью можно рассмотреть как частный случай движения по сильно вытянутому эллипсу с фокусом в центре Земли. Тогда время падения t будет равно половине периода Т движения по эллипсу с большой полуосью, равной h -I- R^. По третьему закону Кеплера период вращения такого спутника можно связать с периодом вращения спутника вокруг Земли вблизи ее поверхности с первой космической скоростью Vi = JgoR. /?3 л 3 ~2ЯГ )=( Яз + 6 Яз чЗ 2 Я. ) =(3,5)8 = 42,3, 7" = Г, 742,3 = 742,3 2яЯз 2 742,3 дЯ;; V = 29 •^3 ^0 Искомое время ^ ~ 2 ~ 29 ёо = 11 600 с = 3,2 ч. Данный расчет является оценкой, поскольку включает и полет «вну- Глава 2. Кинематика J 69 три» Земли. Однако ошибка, связанная с этим, будет небольшой, поскольку движение по этой части траектории занимало бы незначительное время. Точный расчет дает 3,1 ч. Вопросы и задания 1. Каковы кинематические закономерности, обнаруженные Кеплером для движения планет Солнечной системы? 2. Какие скорости называют первой и второй космическими скоростями? Каково их примерное значение? 3. По какой траектории будет двигаться спутник, если ему сообщить на высоте 20 км над поверхностью Земли скорость 10 км/с в направлении, перпендикулярном вертикали? 4. Как на основании законов Кеплера рассчитать период обращения спутника вокруг Земли, зная максимальное и минимальное его удаление от центра Земли и расстояние от Земли до Луны? § 2.10. Суперпозиция движений Из правила сложения векторов следует, что любой вектор может быть представлен в виде суммы по крайней мере двух других векторов, причем такое представление может быть выполнено различными способами. Очевидно, что радиус-вектор г, задающий положение материальной точки М относительно тела отсчета в некоторый момент времени f, также можно представить в виде суммы: Ht) = ri(f) + Если радиус-вектор материальной точки в каждый момент времени представлен суммой, то закон движения точки r(f) представляется как суперпозиция (сумма) двух других законов движения. Это утверждение называется принципом суперпозиции движений. Для краткости здесь и далее мы будем говорить о суперпозиции движений, а не законов движения. Такой подход позволяет представлять сложное движение г = г(0 как сумму двух простых = rj(0 и rg ^ Свободное падение материальной точки. Свободное падение относительно Земли описывается вблизи ее поверхности законом движения: ^(0 = Го + ^0^ + ^ • Представим это движение в виде суперпозиции равномерного прямолинейного движения /'j(0 = v^t по горизонтали и равноус- коренного прямолинейного по вертикали г2(f) = Гд + • УО I Механика Рассмотрим падение шариков без начальной скорости и с начальной скоростью v, направленной горизонтально. В системе отсчета ХОУ, связанной с землей, для начальных условий Гу = (0; 0), Oq = {и; 0) и при g = (О; g’) закон движения может быть задан системой уравнений ' x{t) = vt. y(t) = 2 Величины, определяющие движение вдоль оси ОХ, не зависят от величин, определяющих движение вдоль оси ОУ, так что каждое из этих движений происходит независимо от другого. Это упрощает анализ и делает результаты более наглядными. Например, можно сделать вывод о независимости времени падения тела от горизонтальной скорости, не решая полностью задачу о движении тела. Принцип суперпозиции в астрономии. Уже свыше 4000 лет назад древние наблюдатели знали, что среди звезд, равномерно вращающихся вокруг Земли, имеются пять светил, положение которых по отношению к звездам изменяется. Позже греческие астрономы назвали эти светила планетами, т. е. блуждающими звездами, и дали им имена богов: Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн. На рис. 2.28 изображен фрагмент траектории движения Марса в период с ноября 1979 по июль 1980 г. относительно звезд. Попытку объяснить наблюдаемое движение небесных светил предприняли величайшие древнегреческие философы Аристарх Самосский, живший около 2500 лет назад, Платон (427—347 до н. э.) и его ученик Аристотель. Вот что писал Аристотель: «Солнце и планеты обращаются около Земли, находящейся непо-' движно в центре мира... Так как I тела небесные совершеннее всех ' других, то им и приличествует самое правильное движение, и вместе с тем самое простое, а такое движение может быть только круговым... и равномерным». Поскольку планеты находятся ближе к Земле, чем звезды, то и движение их менее со-Рис. 2 28 вершенно, считал Аристотель. • X Рак Глава 2. Кинематика J 71 Эпицикл hit) ' Эпицикл f^em Сатурна Рис. 2.29 Говоря современным языком, Платон представлял сложное движение планет с помощью суперпозиции «совершенных» равномерных круговых движений, «приличествующих» движению небесному. Количественно эту сложнейшую задачу удалось решить Клавдию Птолемею. В результате собственных наблюдений, выполненных в период 127— 151 гг. н. э., а также обобщения результатов, полученных его предшественниками. Птолемей нашел способ расчета положения любой планеты в любой заранее заданный момент времени. Он представил видимое сложное движение небесных светил как сумму равномерных круговых движений. Каждая планета в системе Птолемея (рис. 2.29) движется по малой окружности — эпициклу^ центр которой движется по большой окружности — деференту. Птолемей рассчитал соотношения между радиусами этих окружностей, углы их наклона и периоды обращения планет. Спустя тысячу лет положение Марса отличалось от предсказанного Птолемеем всего на 2°! Неудивительно, что геоцентрическая система мира сохранялась неизменной почти полторы тысячи лет, а его труды считаются энциклопедией древней астрономии. С течением времени различия между теорией Птолемея и наблюдениями становились все более заметны, а исправлять их в сложной картине движения Птолемея становилось все труднее. Значительное упрощение картины движения и повышение точности предсказания положения планет было получено при переходе к гелиоцентрической системе, разработанной выдающимся польским ученым Николаем Коперником (1473— 1543). Учитывая выделенное положение Солнца среди других тел Солнечной системы, его особые физические свойства, размеры, Коперник рассмотрел движение планет относительно Солнца, а не Земли. Мы бы сейчас сказали, что он выбрал систему отсчета с центром на Солнце, а оси координат направил на удаленные звезды. Планеты, согласно Копернику, вращаются равномерно вокруг Солнца по круговым орбитам и, кроме того, обладают суточным вращением вокруг своих осей. 72 I Механика В соответствии с этой теорией видимое движение звезд объясняется суточным вращением Земли, а движение планет и Солнца относительно звезд — орбитальным движением Земли вокруг Солнца. Следующий шаг в развитии гелиоцентрической системы был сделан Иоганном Кеплером в 1609 г. Анализируя в течение 20 лет результаты астрономических наблюдений, он обнаружил, что «естественное» движение планет вокруг Солнца не является равномерным, а их траекториями являются эллипсы, а не окружности. Стало ясно, что при изучении движения тел не следует «из общих соображений» предписывать им заранее определенный закон движения. Кеплер предположил, что движение планет обусловлено действием на них Солнца. Таким образом, в астрономии установилось убеждение, что движение планет определяется действием других тел, а не предписано заранее некоторым божественным началом. Начался новый этап в развитии науки. Гениальному английскому ученому Ньютону удалось построить теорию, позволяющую определять закон движения тела под действием других. И здесь не удалось обойтись без принципа суперпозиции движений. Более поздние точные наблюдения показали, что планеты в Солнечной системе не движутся строго по эллипсам. Теория Ньютона объясняет это влиянием планет друг на друга, что приводит к «возмущениям» в их движении. Пришлось вновь представлять движение в виде суперпозиции «основного» и «возмущенного» движений. Однако теперь уже можно было указывать на небесные тела, которые явились причиной возмущений, и даже предсказать существование новых небесных тел, изучая возмущенное движение уже известных планет. Так в 1846 и 1930 гг. были открыты наиболее удаленные от Солнца планеты Нептун и Плутон. Вопросы И задания 1. Тело движется равномерно вдоль оси ОХ и ускоренно вдоль оси OY. Как направлено полное ускорение тела? Какова его траектория? Приведите пример такого движения. 2. Суперпозицией каких движений объяснял петлеобразное движение планет Аристарх Самосский? Как это движение на небосклоне объясняет современная астрономия? 3. Можно ли равномерное движение тела по окружности представить как суперпозицию двух колебательных движений? Глава 2 Кинематика Г 73 § 2.11. Сложение скоростей и ускорений. Принцип суперпозиции для скоростей Принцип суперпозиции движений приводит и к принципу суперпозиции скоростей^ называемому сложением скоростей или разложением скорости на составляющие. Вектор скорости материальной точки может быть представлен в виде суммы двух векторов, причем различными способами: 0 = Uj + 02* Выбор способа разложения вектора скорости на составляющие произволен, однако, когда направления векторов 0^ и 02 заданы, такое разложение становится однозначным. Обычно выбор направления составляющих вектора скорости диктуется условиями задачи. Если радиус-вектор точки задавать его длиной и углом ориентации, то элементарное перемещение точки удобно представить в виде суммы Дг = ДГ|| + Дг^_, где перемещение Дги направлено вдоль радиуса-вектора и изменяет его длину, т. е. расстояние между движущейся точкой и началом координат. Элементарное перемещение Дг^ определяет изменение ориентации радиуса-вектора. Представляя скорость точки в виде суммы скоростей вдоль радиуса-вектора и перпендикулярно ему, можно записать и = U.I + и 1» U|l определяет скорость изменения расстояния и 0_l — скорость движения точки по окружности заданного радиуса (рис. 2.30). Пример 1. Определите, с какой скоростью v движется рыба, схватившая блесну на мелководье, если леска спиннинга разматывается со скоростью п, а угол между леской и поверхностью воды равен а. уд----1 Механика Скорость рыбы на мелководье направлена горизонтально. Удлинение участка лески АВ (рис. 2.31) происходит лишь за счет продольной составляющей вектора скорости рыбы, направленной вдоль АВ: и = Величина этой составляющей V = L’cos а. Отсюда ответ: v = —^ . cos а Принцип суперпозиции для ускорений. Принцип суперпозиции движения приводит и к суперпозиции ускорений, позволяя представить вектор ускорения а в виде суммы двух векторов: CL “t” Такое представление часто используется при анализе криволинейного движения. При этом первую составляюп1,ую вектора ускорения направляют вдоль вектора скорости Оц || и, а вторую составляющую — перпендикулярно ей и, так что а = flfji + а . Если dfjL = О, то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости. При этом ориентация вектора скорости не изменяется, и точка движется в заданном направлении по прямой. Вектор определяет изменение модуля вектора скорости. Когда ац = О, модуль скорости остается постоянным. Если при этом а О, то направление движения изменяется. Это случай равномерного криволинейного движения. Если значение этой составляющей ускорения остается постоянным во время движения, то точка движется равномерно по окружнос- ти, радиус которой К = “. Произвольное криволинейное движение на небольшом участке траектории можно представить как суперпозицию равномерного движения по окружности и ускоренного вдоль вектора скорости. Если участок траектории между близкими точками траектории можно считать дугой окружности, то радиус кривизны произвольной траектории R можно также определить выражением а и 2 где и — величина скорости движущейся точки, а а— нормальная составляющая ускорения. Пример 2. Определите радиус кривизны траектории на начальном участке полета материальной точки, брошенной со скоростью V под углом а к горизонту. Ускорение свободного падения равно g. Глава 2. Кинематика J 75 На рис. 2.32 изображена схема движения материальной точки. Представляя ускорение свободного падения в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих g = a^ + d^, определим их значения: flj. = ^cos а; ац = gsin а. Поскольку на начальном участке скорость точки равна о, то радиус кривизны траектории Рис. 2.32 R = V а V 2 g’cosa Отметим в заключение, что представление движения в виде суперпозиции двух других иногда связывают с переходом от одной системы отсчета к другой. Если рассматривать один из векторов суммы, например TgCO» как радиус-вектор, определяющий движение начала одной системы отсчета относительно другой Гз(0 = R{t), то вектор TjCO определяет закон движения материальной точки относительно новой системы: г(^) = Г|(^) + R{t). Вопросы и задания 1. Человек движется со скоростью 3 км/ч относительно баржи, плывущей по реке, и со скоростью 5 км/ч относительно берега. В каком интервале находится скорость движения воды относительно берега? 2. Один наблюдатель утверждает, что тело движется со скоростью 10 км/ч вдоль одной оси и с такой же скоростью вдоль другой оси, направленной под углом 120® к первой. Второй утверждает, что тело движется со скоростями 6 км/ч и 8 км/ч вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Третий считает, что тело движется вдоль одной оси со скоростью 10 км/ч. Возможно ли, что все они правы? 3. Скорость тела 10 м/с, радиус кривизны траектории 10 м, полное ускорение 10 м/с^. Чему равно тангенциальное ускорение тела? 4. На рис. 2.33 показана линия (циклоида), прочерчиваемая на доске кусочком мела, закрепленным на ободе диска, двигающегося без проскальзывания по лотку классной доски. Покажите, что скорость у////7'■/////■'/'///////// 77/////77//////'7/ //А Рис. 2.33 У5 I Механика точки диска, в которой закреплен мел, оказывается направленной по касательной к циклоиде в любой ее точке, если считать, что точка участвует в поступательном движении с центром диска со скоростью V и при этом вращается относительно центра с такой же скоростью 6. § 2.12. Кинематика твердого тела Виды движения твердого тела. В элементарной физике обычно ограничиваются рассмотрением одномерных или двумерных моделей тел — стержня и плоского тела. При рассмотрении движения одного плоского твердого тела относительно другого необходимо определить закон движения какой-либо его точки, г = г(0, и закон изменения ориентации, например зависимость а = а(П- Скорость изменения угла ориентации твердого тела (О = a{t) называется угловой скоростью твердого тела. Движение твердого тела называется поступательным, если его ориентация в пространстве {относительно тела отсчета) остается неизменной: а = const. Движение твердого тела называется вращательным, если меняется его ориентация в пространстве. Из этих определений следует, что характер движения тела определяется не видом траектории каких-либо его точек, а только ориентацией. Так, кабинки колеса обозрения (рис. 2.34) совершают поступательное движение, а само колесо — вращательное, хотя траектории любых точек и колеса, и кабинок относительно Земли — окружности. Отметим, что любое движение твердого тела можно рассматривать как суперпозицию поступательного и вращательного движений. Твердое тело как система материальных точек. Поскольку мы подробно изучили кинематику материальной точки, попробуем использовать освоенные методы для описания движения твердого тела. Для этого представим твердое тело Рис. 2.34 Глава 2 Кинематика 77 как систему материальных точек. Поскольку деформации твердого тела не существенны, расстояния между любыми его точками при движении остаются неизменными. Отсюда следует, что составляющие векторов скоростей любых двух точек твердого тела вдоль оси, соединяющей точки (рис. 2.35), одинаковы: = {З^ц. Пример 1. Определите скорость Vjg точки В жесткого стержня длиной I, концы которого скользят по направляющим ОХ и ОУ, как показано на рис. 2.36, в тот момент времени, когда угол между направляющей OY и стержнем равен а. Скорость точки А стержня в этот момент равна При движении стержня, скользящего в плоскости XOY^ скорости точек А и В стержня могут быть только такими, что их проекции на направление АВ в любой момент времени должны быть равными (см. рис. 2.36): y^cos а = VgSin а. откуда = i;^ctg а. Ось вращения. При вращении тела достаточно больших размеров в любой момент времени можно найти такие его точки, скорость которых равна нулю. Все эти точки твердого тела лежат на одной прямой, которая называется осью вращения. В некоторых случаях лишь одна точка твердого тела имеет скорость, равную нулю. Ось вращения, проходящая через эту точку, называется неподвижной. Обычно при движении твердого тела с течением времени различные его точки приобретают скорость, равную нулю. По- yg I Механика ложение этих точек меняется не только относительно движущегося тела, но и относительно тела отсчета. Ось вращения, проходящая через такие точки, называется мгновенной. В различных системах отсчета разные точки твердого тела имеют скорость, равную пулю. Следовательно, положение оси вращения твердого тела различно в разных системах отсчета, движущихся поступательно. В частности, в при мере 1 можно выбрать систему отсчета, поступательно движущуюся горизонтально с той же скоростью что и точка В. Тогда по определению эта точка будет осью вращения стержня в выбранной системе отсчета. Если одна система отсчета движется поступательно по отношению к другой так, что их оси остаются параллельны друг другу: О'Х' II ОХ, O'Y' II ОУ, то угол, определяющий ориентацию твердого тела, одинаков в обеих системах, поэтому и закон изменения угла также не зависит от системы отсчета. Следовательно, угловая скорость твердого тела одинакова в любых системах, движущихся поступательно по отношению друг к другу. Кинематические связи. Во многих задачах механики приходится рассматривать движение не одного тела, а целой системы, состоящей из двух и более тел. Рассмотрим некоторые особенности движения системы тел, соприкасающихся друг с другом. В качестве модели первого тела выберем материальную точку, а модели второго - твердое тело. При движении материальной точки по поверхности твердого тела ее положение зависит от движения этого тела. Математически эта зависимость выражается в том, что координаты точки связаны с координатами твердого тела определенным уравнением. Уравнение, связывающее координаты точки, соприкасающейся (скользящей) при движении с твердым телом, называется уравнением кинематической связи. Для простоты рассмотрим поступательное движение твердого тела. Зададим закон движения определенной точки этого тела: Г| = г^О). Движение материальной точки будем описывать законом движения г.^ = Эти два закона движения не вполне независимы, поскольку мы предполагаем, что точка скользит по поверхности твердого тела, так что существует уравнение, связывающее координаты рассматриваемых точек — уравнение кинематической связи. Выбирая систему отсчета, можно установить эту связь и записать соответствующее уравнение связи. Глава 2 Кинематика J 79 Пример 2. Запишите уравнения кинематической связи для точки М, которая движется по поверхности клина (рис. 2.37), и найдите связь между скоростями и ускорениями клина и точки. Предположим, что клин движется поступательно вдоль оси ОХ системы отсчета XOY. Закон движения клина Tj = rj(f) при поступательном движении определяется законом движения любой его точки, например точки А: }\{t) = (Xj(0; 0). Закон движения точки М Поскольку точка остается на поверхности клина, между координатами точек АиМ существует связь: ly^l = \х2 - л: Jtg а. Это приводит к связи между элементарными приращениями координат (перемещениями) за время At. Раскрывая модуль с учетом знаков, получим Ау2 = (Алг^ - Ax2)tg а. Учитывая, что элементарные приращения векторами скоростей точек соотношениями связаны Arj = v^At и Аг'2 = V2Aty получим соотношения между проекциями скоростей Аналогичное соотношение существует и между проекциями ускорений: “2i, = (“l^ - «• Несколько сложнее описание движения одного твердого тела по поверхности другого. При контакте двух твердых тел их скорости в точках контакта могут быть равными, а могут отличаться. Если скорости двух твердых тел в точках контакта различны, то такое движение называется скольжением. go I Механика Рис. 2.38 Если скорости соприкасающихся тел в точке контакта одинаковы, но их взаимная ориентация изменяется с течением времени, то движение называется качением без проскальзывания. Пример 3. Определите скорости точек А, В, С кубика, вращающегося вокруг ребра Oj (рис. 2.38, а), и обруча, катящегося без скольжения по поверхности стола (рис. 2.38, б). В системе отсчета, связанной со столом, точка 0| в обоих случаях является осью вращения, поскольку скорость точек кубика и обруча, соприкасающихся со столом, равна нулю. Для определения скоростей любых точек вращающегося тела достаточно знать положение оси вращения и скорость любой другой точки этого тела. При этом не важно, является ось вращения неподвижной или мгновенной. Если скорость центра кубика равна и, то скорости точек А, Б и С равны соответственно = t; л/2, = 2ц, поскольку скорость любой точки твердого тела пропорциональна расстоянию от этой точки до оси вращения. Эти же соотношения справедливы и для выделенных точек обруча (см. рис. 2.38, б). Направлены скорости рассматриваемых точек перпендикулярно прямым, соединяющим их с осью вращения. Вопросы И задания 1. Клоун идет по арене цирка, глядя на публику и не двигая головой. Второй клоун обходит вокруг щеста в центре арены, постоянно глядя на оркестр. В каком случае движение головы клоуна следует описать моделью поступательного, а в каком случае вращательного движения? 2. Может ли движение одного и того же тела в одной системе отсчета быть вращательным, в другой — поступательным? Если да, приведите примеры. Глава 2. Кинематика J 81 Yk 3. Как получить вектор скорости и ускорения тела, движущегося в неподвижной системе отсчета со скоростью v и ускорением а относительно системы отсчета, связанной с автомобилем, который движется с постоянной скоростью й относительно неподвижной системы отсчета? 4. Какие ограничения накладываются на скорости разных точек движущихся твердых тел: а) не зависящих друг от друга; б) касающихся друг друга; в) связанных нерастяжимой нитью? 5. Что такое мгновенная ось вращения твердого тела? Всегда ли ее можно найти? 6. Найдите кинематическую связь для системы, движущейся вверх с — V ускорением А (рис. 2.39). О X Рис. 2.39 Глава 3. ЗЭКОНЫ ДИНЭМИКИ §3.1. Взаимодействие тел Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение взаимодействующих тел. Основной задачей динамики является построение моделей движения для таких тел. Описание движения взаимодействующих тел сложнее кинематического и требует введения дополнительных негеометрических характеристик и физических величин. Прежде всего необходимо научиться описывать механическое действие одного тела на другое, т. е. определить основные проявления этого воздействия и ввести физические величины для их количественного описания. Поскольку мы изучаем механическое движение, т. е. изменение взаимного расположения тел и их частей, то среди всех возможных проявлений взаимодействия рассмотрим такие, при которых происходит изменение механического движения. В зависимости от конкретной ситуации деформации тел могут быть существенными или пренебрежимо малыми. Поэтому и в описании взаимодействия тел на первый план может выходить либо изменение закона движения тела, если его деформации несущественны, либо, наоборот, деформации. Например, при описании движения брошенного камня его деформации в полете несущественны. Моделью камня в полете обычно является материальная точка, деформации которой по определению отсутствуют. В такой ситуации действие на камень других тел, например воздуха, приводр1т лишь к изменению закона движения по сравнению со свободным падением. А при взвешивании тела на пружинных весах основным интересующим нас результатом воздействия тела на пружину является ее деформация. Сила — мера взаимодействия. В механике существует много способов описания механического воздействия одного тела на другое. В элементарной физике для этого часто pic-пользуется фр13Р1ческая велршина, называемая силой. Рассмотрим подробнее различные способы введения силы. При введенрш ср1лы как меры измененрш движенрш тела от-носР1тельно ДРУГР1Х рассматрршаются такие тела, деформация- I лава 3. Законы динамики J 83 ми которых можно пренебречь. Среди всех недеформируемых тел наиболее просто описывается движение материальной точки, поэтому рассмотрим вначале изменение ее закона движения, вызванное воздействием каких-либо тел. Чтобы установить количественные характеристики движения, следует взять такую модель, которая описывается особенно просто — равномерное прямолинейное движение. Выберем систему отсчета, в которой движение точки в отсутствие воздействия является равномерным прямолинейным. Действие любого тела вызовет изменение закона движения, которое обязательно связано с появлением ускорения. Модуль и направление ускорения материальной точки, выбранной в качестве эталона, может служить мерой воздействия на нее других тел. Поскольку ускорение определяется модулем и направлением и является вектором, то сила также характеризуется модулем и направлением. Сила направлена в ту же сторону, что и ускорение точки, вызываемое действием этой силы. Величина деформации сжатия или удлинения однородного упругого стержня, выбранного в качестве эталона, также может служить мерой воздействрш. Поскольку удлинение или сжатие определяется величиной (деформации) и направлением (ориентацией стержня), то сила, определяемая таким путем, также характеризуется модулем и направлением. Силой называется векторная величина, характеризующая механическое действие одного тела на другое, которое проявляется в деформациях рассматриваемого тела и изменении его движения относительно других тел. Измерение силы можно проводить двумя способами: • определяя ускорение эталонного тела под действием данной силы (рис. 3.1, а); • определяя деформацию эталонного тела (пружины) (рис. 3.1, б). f.' .'о;г ' \ ТЯЖ тяж тяж тяж iMi тяж а) Рис. 3.1 I Механика В Международной сртстеме единиц (СИ) единица силы называется ньютон (Н). 1 Н равен силе, придающей эталонному телу массой 1 кг ускорение 1 м/с^ в направлении действия силы. На практике для измерения силы используют прибор, называемый динамометром. Будем считать две силы одинаковыми по величине и на-правлениЮу если они оказывают одинаковое механическое воздействие на тело, независимо от природы этих сил: f 1 = Р2- Силы считаются одинаковыми по величине и направленными противоположно^ если их одновременное воздействие на тело компенсируется. С использованием векторных обозначений сил это условие записывается как = -р2 или р2 = 0. Изображение сил. Важной составной частью анализа механической системы является рисунок, изображающий взаимодействующие тела. В механике приняты определенные правила изображения тел и их взаимодействий, которых следует придерживаться. 1. Действие каждого тела на данное изображается с помощью вектора силы. Сила, действующая на материальную точку, изображается направленным отрезком, пропорциональным модулю силы. Этот отрезок начинается от материальной точки, а его направление совпадает с направлением действрш силы. Сила, приложенная к протяженному телу, характеризуется точкой приложения. 2. Если на некоторую материальную точку действует одновременно несколько тел, то необходимо изображать столько СР1Л, сколько тел действует на эту точку. На рис. 3.2, а изображено тело, подвешенное на нити и покоящееся относительно Земли, и силы, действующие на это тело. На рассматриваемое тело действуют нить и Земля; Земля действует на расстоянии, нить — при непосредственном контакте. Силы, действующие в этом случае, имеют разную природу. Однако можно говорить о том, что силы компенсируют друг друга: сила тяжести или сила притяжения Земли равна и противоположно направлена силе натяжения нити Т. Поскольку в механике при описании движения тел используется модель материальной точки, то на рисунке точку приложения сил выбирают в центре тела (рис. 3.2, б). Глава 3. Законы динамики J 85 а) ТЯЖ б) Рис. 3.2 \ : т тяж тяж Рис. 3.3 На рис. 3.3 изображено это же тело, покоящееся на наклонной плоскости. На тело действует Земля и наклонная плоскость: R — сила, действующая со стороны наклонной плоскости, соприкасающейся с рассматриваемым телом, F. тяж сила тяжести. Рассмотрев оба рисунка, можно утверждать, что нить и наклонная плоскость оказывают на тело т одинаковое воздействие, поскольку в обоих случаях оно остается неподвижным относительно Земли. Следовательно, сила натяжения нити Т и сила реакции опоры Й, действующая на тело со стороны наклонной плоскости, равны: R=f. Вопросы и задания 1. Что характеризует сила? С помощью каких устройств можно определить ее модуль и направление? 2. Какие силы можно назвать равными? равными и противоположно направленными? 3. Изобразите все силы, действующие на ластик, лежащий на наклонной парте. § 3.2. Силы И ИХ сложение Принцип суперпозиции. Определяя силу, мы назвали ее векторной величиной. Напомним, что векторной называется такая физическая величина, которая не только характеризуется направлением, но и складывается с другой такой же величиной по правилу параллелограмма. Поэтому чтобы убедиться, что сила действительно является векторной величиной, необходимо установить правила сложения двух сил. 86 1 Механика Рассмотрим одновременное воздействие на некоторое тело двух других тел, которое мы будем описывать силамР! и Fg. Опыт показывает, что одновременное воздействие на данную точку двух тел может быть заменено действием одного тела, вызывающего тот же эффект. Простой пример такой замены дает опыт с грузом на нити и пружиной, Р1зображенный на рис. 3.4. К телу массой т прикреплена нить, компенсирующая притяжение Земли (см. рис. 3.4, а), так что тело находится в покое (относительно Земли). Прикрепив к этому телу пружину, как показано на рис. 3.4, б, можно изменить положение равновесия тела. В новом положении равновесия совместное действие нити и пружины вновь компенсирует притяжение Земли. Следовательно, сила Т, действующая со стороны нити (см. рис. 3.4, а), по определению равна сумме сил, действующих со сто-роны нити и пружины Tj и F (см. рис. 3.4, б). Мы предположили, что нить и пружина, действующие на тело, не влияют на притяжение его к Земле. Выполняя этот опыт для разных значений силы F, можно убедиться, что модуль и направление суммарной силы, заменяющей действие нитрт и пружины, всегда определяется геометрическим правилом сложения сил, как изображено на ppic. 3.4, б. Математически это утверждение записывается в виде векторного равенства Т, + F = Т. Правило сложения векторов (параллелограмма и треугольника) позволяет определить результирующую силу как диагональ параллелограмма, построенного на векторах сил, описывающих действие каждого тела. т а) Т F. ТЯЖ б) тяж Рис. 3 4 I лава 3. Законы динамики Г 87 Обобщением опытных фактов является правило сложения сил. Одновременное механическое действие на данное тело двух других тел может быть заменено действием одного тела так, что сила F, описывающая результирующее воздействие, определяется векторной суммой сил и • ^ JPg. действующих со стороны каждого тела: F, + F^^F. Сила F называется равнодействующей сил F^ и Fg- Это правило обобщается и на большее число сил. Таким образом, сила является векторной величиной. В общем случае действие третьего тела, например горизонтальной пружины (см. рис. 3.4, б), изменяет величину взаимодействия между телами. Нить в этом случае растянута иначе, чем в отсутствие пружины (см. рис. 3.4, а). Однако действие пружины и нити никак не сказывается на модуле и направлении силы тяжести. Если силы, действующие на данное тело, не изменяются в присутствии третьего тела, то вычисление равнодействующей силы упрощается. В этом случае составляющие сил определяются независимо от присутствия каких-либо тел, а их суммарное воздействие равно сумме воздействий каждого тела системы на данное. Если силы обладают таким свойством, то говорят, что они удовлетворяют принципу суперпозиции. Схема расчета результирующей двух сил в этом случае иллюстрируется рис. 3.5. N У Г I О Рис. 3.5 88 I Механика Рис.З.б Правило сложения сил позволяет проделать и обратнз^ю операцию — заменить одну силу F двумя силами — » —> Fj и Fg, удовлетворяющими соотношению F, + = F, если точки приложения сил Fj и Fg совпадают с точкой приложения силы F. В этом случае Fj и Fg называют составляющими силы F, а ее представление в виде суммы — разложением вектора силы на составляющие. Например, силу реакции поверхности R клина (рис. 3.6) можно представить в виде суммы нормальной составляющей Ny перпендикулярной поверхности, и касательной составляющей F: R = N + F. Напомним, что заданный вектор может быть представлен в виде суммы двух других векторов различными способами, т. е. разложение заданного вектора силы F на составляющие неоднозначно. Модуль и направление вектора силы не зависит от выбора ср1стемы отсчета. Действительно, вектор силы может быть определен по деформации эталонного стержня (изменением расстояния между его концами), а расстояние между точками, как мы знаем, не зависит от выбора системы отсчета. Хотя количество векторов сил на рисунке должно быть равно количеству тел, действующих на данное тело, принцип суперпозиции позволяет отступать от этого правила. Наиболее часто такой прием используется в отношении силы реакции шероховатой поверхности, представляемой в виде двух сил — нормальной и касательной составляющей. Типы сил. Механическое действие одного тела на другое возможно как при непосредственном соприкосновении тел, так и на расстоянии, поэтому в элементарной физике можно выделить два класса взаимодействий — контактное и дальнодействующее. Также разделяются и силы. Силы, возникающие только при соприкосновении (контакте) тел, называются контактными. К ним относятся силы упругости и силы трения. Эти силы действуют между поверхностями соприкасающихся твердых и жидких тел. Силы, возникающие между телами, не соприкасающимися друг с другом, называются далънодействующими. К ним относятся силы притяжения планет к Солнцу, силы тяжести. Глава 3. Законы динамики J 89 Все упомянутые силы ослабевают с увеличением расстояния между телами. Например, планеты Солнечной системы, которые находятся от Земли значительно дальше, чем Луна, почти не влияют на приливы в океане. Обобщением опытных данных является вывод, что любые силы убывают с расстоянием так, что тело, достаточно удаленное от всех других, не подвержено каким-либо механическим воздействиям. Тело, не подверженное механическому воздействию других тел, называется изолированным. Силы, действующие на тело, могут зависеть от времени, от скорости и от положения тела в пространстве. При решении задач элементарной физики обычно рассматривают силы, зависящие только от положения тела либо только от скорости. Например, сила притяжения тела к планете зависит от его положения и не зависит от скорости. Сила сопротивления воздуха при полете пушечного ядра вблизи поверхности Земли зависит только от его скорости и не зависит от положения относительно Земли. Вопросы И задания 1. Приведите примеры контактных и дальнодействующих сил. 2. Какова равнодействующая двух сил, модуль каждой из которых 10 Н, если они направлены под углом 180°, 90° и 60° друг к другу? Как она направлена? 3. Как проще найти результирующую десяти сил, действующих на тело, если направление и модуль каждой из них относительно заданной системы координат известны? 4. В некоторой системе отсчета, связанной с Землей, сила, действующая на тело, равна 10 Н и направлена под углом 30° к горизонту. Определите модуль и направление этой силы в системе отсчета, движущейся вдоль оси ОХ исходной системы отсчета со скоростью 10 м/с? § 3.3. Всемирное тяготение (гравитация) Законы взаимодействия тел. Для определения закона движения тела необходимо знать модуль и направление сил, действующих на него со стороны других тел, а также точки приложения этих сил. Силы могут быть заданы либо конкрет- go I Механика ными условиями решаемой задачи, либо общими физическими законами, описывающими взаимодействие тел. Рассмотрим основные законы взаимодействия тел, которые используются в элементарной физике. Одним из наиболее известных взаимодействий является гравитационное (от лат. gravitas — тяжесть). Опыт показывает, что все без исключения тела притягиваются к Земле. Это взаимодействие является дальнодействующим, поскольку притягиваются тела, находящиеся не только на поверхности Земли, но и на значительном от нее расстоянии. Понятие о гравитационной массе тел. Очень рано человечество научилось сравнивать количество однородных веществ с помощью равноплечих весов. Эта процедура называется взвешиванием. Постепенно взвешивание тел различного состава привело к введению физической величины, называемой массой. Понятие массы первоначально связано с представлением о количестве вещества, о чем свидетельствует первый эталон массы (1791 г.). Он определялся как масса воды, содержащейся в 1 дм^, т. е. в его основе лежало представление о количестве эталонного вещества, пропорционального его объему. Именно такое представление о массе как о мере количества вещества развивал И. Ньютон: «Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее». Масса, определяемая в результате взвешивания, называется в физике тяжелой или гравитационной у что указывает на способ ее измерения. Введенная таким образом масса обладает свойством аддитивности. Закон всемирного тяготения. Долгое время считалось, что тела притягиваются только к Земле, поскольку взаимное притяжение других тел вблизи Земли не заметно, за исключением приливов в океане, вызываемых Луной и Солнцем. Однако результаты астрономических наблюдений планет Солнечной системы привели Ньютона к мысли, что притяжение является универсальным свойством, присущим любым телам, а не только Земле. Анализируя законы движения планет, установленные Кеплером из астрономических наблюдений, Ньютон пришел к выводам, которые можно сформулировать следующим образом. Глава 3 Законы динамики J 91 • Любые два тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной массам этих тел и т,/. F ~ /TijWg. Сила притяжения зависит от формы, размеров и взаимного расположения тел. Сила притяжения не зависит от модуля и направления скорости относительного движения тел, а также присутствия любых других тел. • Если расстояние между взаимодействующими телами так велико по сравнению с их размерами, что их можно считать материальными точками, то зависимость значения силы притяжения от расстояния между ними имеет простой вид. Значение силы притяжения двух материальных точек убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точки. • Для определения силы притяжения тел в тех случаях, когда их нельзя считать материальными точками, можно представить тела как системы материальных точек и применить принцип суперпозиции сил. Обобщением этих положений является закон всемирного тяготения. Между любыми двумя телами действует сила притяжения, модуль которой F пропорционален массам т^ и /Tig этих тел. Для материальных точек сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей точки: F = G Коэффициент пропорциональности G, который не зависит ни от характера движения тел, ни от характера воздействия на них других тел, называется гравитационной постоянной G = 6,67 • 10-11 Н • м2/кг2. Измерение гравитационной постоянной. Ньютон не знал величину гравитационной постоянной, поэтому и говорил только о пропорциональности величин. Современная фор- 02 I Механика ма записи закона стала возможной после определения значения гравитационной постоянной G. Для определения G необходимо уметь измерять чрезвычайно малые силы гравитационного притяжения, возникающие между телами относительно небольшой массы, с которыми можно проводить эксперименты в лаборатории. Необходимый для этого прибор появился только в конце XVIII в. — это крутильные весы. В 1784 г. во Франции Шарль Кулон, используя упругую нить, создал прибор «для измерения мельчайших степеней силы». Примерно в это же время аналогичный прибор был создан в Англии Дж. Мичеллом, который предполагал использовать его для измерения гравитационного притяжения тел. После его смерти аппаратура перешла к английскому химику Генри Кавендишу, который в 1798 г. и осуществил тончайший эксперимент по определению гравитационной постоянной. Схема опыта Кавендиша изображена на рис. 3.7. Горизонтальный стержень длиной 2 м подвешен к тонкой проволоке. К концам стержня прикреплены два свинцовых шарика диаметром 5 см и массой 775 г. Вблизи этих шариков можно размещать два больших свинцовых шара диаметром 20 см и массой около 50 кг. Под действием силы притяжения маленьких шариков к большим нить закручивается на некоторый угол, что и позволяет определить модуль силы. В результате измерений Кавендиш получил значение гравитационной постоянной G = 6,67 • 10'^^ Н • м^/кг^, очень близкое к современному значению, с ошибкой, не превышающей 1%. Для обеспечения такой точности измерений крутильные весы размещались в специальной камере, а все манипуляции по перемещению больших шаров осуществлялись извне. Измерение угла закручивания нити также производилось извне с помощью подзорных труб. Значения гравитационной постоян-ной уточнялись в последующих экспериментах, точность которых в настоящее время приблизительно в 100 раз превосходит точность измерений Ка-^ вендиша. У нас в стране такие экспе- ^ —— рименты были выполнены в Государ- ственном астрономическом институте им. Штернберга (ГАИШ) МГУ М. У. Сагитовым и В. К. Милюковым Рис. 3.7 в 1978 г. Глава 3. Законы динамики J 93 т/2 т/2 Рис. 3 8 складывая силы по Притяжение тел конечного размера. Закон всемирного тяготения, установленный для двух материальных точек, позволяет вычислять силу и в более сложных случаях взаимодействия двух и более протяженных тел. Для этого следует заменить протяженные тела системами материальных точек, воспользоваться законом всемирного тяготения для каждой пары взаимодействующих точек и с помощью принципа суперпозиции сил определить суммарное воздействие правилу сложения векторов. Пример. Материальная точка массой т взаимодействует с гантелью, состоящей из двух одинаковых материальных точек, имеющих массы т/2 каждая и соединенных невесомым стержнем длиной 21 (рис. 3.8). Определите зависимость силы притяжения от положения частицы F = F(jc). Гантель состоит из двух материальных точек, каждая из которых воздействует на частицу с силой, определяемой законом тяготения Ньютона. Сила притяжения частицы к гантели определяется как векторная сумма сил, действующих со стороны каждой точки: F = Fi+F2. Результирующая сила направлена вдоль оси ОХ, а ее значение определяется по правилу параллелограмма F{x) = 2Fj(jc) cos а. Значение силы притяжения между материальными точками Fj(jt) определяется законом тяготения РгМ = , а зависимость косинуса угла от координаты определяется из рисунка: cos а = Таким образом, ношением (д:2+ /2)1/2 • зависимость F = F{x) выражается соот F(x) = О т^х (л:2 -н /2)3/2- 94 1 Механика График этой зависимости изображен на рис. 3.9. Уменьшение силы притяжения на малых расстояниях X I обусловлено компенсацией сил Fj и направленных в этом случае почти противоположно друг другу. На больших расстояниях х ^ I силы Fj и Fg направлены почти параллельно, так что при их сложении зависимость от расстояния оказывается такой же, как и при взаимодействии материальных точек. Можно сказать, что на больших расстояниях гантель выглядит как материальная точка. На рис. 3.9 нижняя линия изображает график зависимости модуля силы от расстояния для гантели и точки. Для сравнения приведена верхняя линия, изображающая аналогичный график для двух точечных масс. Расчеты, выполненные Ньютоном, показали, что закон тяготения в виде mj/ng F = G ,.2 справедлив и для сферически симметричных распределений массы (например> однородных шаров или однородных шаровых слоев), если для таких тел в качестве г брать расстояние между центрами этих шаров (слоев) (рис. 3.10). Внутри однородной оболочки силы гравитационного притяжения компенсируются, так что суммарная сила, действующая на материальную точку внутри оболочки, равна нулю. ТП2 ГП2 ГП2 т Рис. 3.10 Глава 3. Законы динамики J 95 Таким образом, закон всемирного тяготения и принцип суперпозиции сил позволяют определить модуль и направление силы, действующей на материальную точку со стороны однородного шара или сферической оболочки. Например, вблизи поверхности Земли расстояние от тела массой пг до центра Земли приблизительно равно ее радиусу г = Ry так что сила притяжения определяется теперь выражением „ GM Зная постоянную гравитационного взаимодействия можно вычислить массу Земли М, измерив силу притяжения F тела массой т у поверхности Земли: М- Gm = 5,98-1024 кг. Вопросы и задания 1. Как изменится сила притяжения двух тел, если масса каждого из них, а также расстояние между ними увеличить в 2 раза? 2. Как различаются силы гравитационного притяжения двух пар (1 и 2; 3 и 4) сферических тел, изображенных на рис. 3.11, если плотность вещества в них одинакова? (Объем шара равен 4kR'^/S,) 3. Оцените, на какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения такое же, как на поверхности Луны, если масса Луны в 81 раз, а радиус Луны в 3,7 раза меньше земного. 4. Рис. 3.12 сделан с фотографии падающего бильярдного шара, полученной методом покадрового анализа видеозаписи процесса. Частота кадров равна 1/30 с. Расстояние между линиями соответствует 10 см. Можно ли утверждать, что съемка могла быть сделана на Земле? 1 о -О О о (J4 Рис. 3.11 Рис. 3.12 gg I Механика § 3.4. Полевое описание взаимодействия Физическое поле. Для описания взаимодействия тел, не находящихся в непосредственном контакте, в современной физике используется представление о физическом поле — материальном объекте, носителе взаимодействия. Полевой подход позволяет объяснить действие тел на расстоянии, используя представления, применяемые при описании контактного взаимодействия. Предполагается, что тело, отделенное от другого пространственным промежутком, испытывает действие физического пространства, «в которое оно погружено», и «контактирует» с ним. Способность физического пространства оказывать воздействие на «погруженное» в него тело вызвана другим телом и зависит от физических характеристик этого тела, а также от расстояния, на котором находятся взаимодействующие тела. Тело, вызывающее изменения пространства, называется источником поля. Изменения пространства, вызванные источником, называются физическим полем. Таким образом, источник поля создает в каждой точке пространства физическое поле. Тело, испытывающее действие физического поля, называется пробным телом. Предполагается, что физическое поле, созданное источником, существует независимо от пробного тела в любой точке пространства. Пробное тело не оказывает никакого влияния на поле, созданное источником. В настоящее время известны различные виды взаимодействия тел на расстоянии, определяемые разными свойствами взаимодействующих тел: гравитационные, электрические, магнитные и др. Для описания этих взаимодействий вводятся различные физические поля. Для математического описания физического поля используются различные физические величины, заданные в каждой точке пространства в любой момент времени. Гравитационное поле. Покажем, как строится такое описание на примере гравитационного взаимодействия материальных точек массами mj и mg, подчиняющихся закону всемирного тяготения. Глава 3. Законы динамики J 97 Сила, действующая со стороны тела mj на тело mg, определяется выражением F = -G-^r, Рис 3.13 вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (от первого где г — тела ко второму, рис. 3.13). При полевом описании мы считаем, что тело является источником гравитационного поля, создающим изменения в каждой точке пространства. Эти изменения зависят от физической характеристики источника — его массы и положения той точки пространства, в которой исследуется поле. Это положение определяется вектором г. В соответствии с этим запишем выражение для силы притяжения в виде произведения двух сомножителей так, чтобы один сомножитель содержал только характеристики источника и точки пространства, а другой — только характеристики пробного тела: F{r) = -m2 • G-^ г = ^2 • iiniij г). Векторная физическая величина, позволяющая определить силу, действующую на пробную массу, называется напряженностью гравитационного поля g = г). Отсюда следует и способ измерения этой величины. Если наблюдатель, помещая в выбранную точку пространства небольшие тела разной массы, обнаружит, что сила, действующая на эти тела, пропорциональна их массам и не зависит от других физических характеристик, то он должен сделать вывод, что в данной точке пространства имеется гравитационное поле, напряженность которого равна отношению силы, действующей на данную массу, к значению этой массы. Напряженность гравитационного поля имеет размерность ускорения и является ускорением свободного падения, значение которого вблизи поверхности Земли равно 9,8 м/с^. Направление вектора напряженности поля совпадает с направлением силы, действующей на пробную массу. Гравитационное поле, создаваемое материальной точкой, является сферически-симметричным. Его напряженность зависит только от расстояния до точки и направлена к этой точке. 4 Фн»1ка. 10 кл. gg I Механика Силовые линии поля. Напряженность силового поля, как и сила, изображается вектором. Только начинается этот вектор в точке пустого пространства, в которой изображается напряженность поля. На рис. 3.14 показана часть поля тяготения Земли. Длина векторов напряженности g{r) убывает с ростом г и пропорциональна ^. Общую картину поля удобнее изображать не векторами напряженности, а силовыми линиями. Силовыми линиями поля называются непрерывные линии, проведенные так, что вектор напряженности в каждой точке этой линии направлен по касательной к ней. Силовые линии дают представление о направлении поля, его симметриях, и по их густоте можно определять значение напряженности поля. Силовые линии для поля Земли проходят перпендикулярно ее поверхности (пунктирные линии на рис. 3.14). Гравитационное поле в достаточно малой области пространства можно описывать моделью однородного поля, в котором на материальную точку в любой точке пространства действует одинаковая сила F = mg. Такая модель применима, в частности, для описания гравитационного поля в малых областях пространства вблизи поверхности Земли и других небесных тел. В этих условиях однородное гравитационное поле называется полем тяжести. В модели поля тяжести поверхность Земли считается горизонтальной плоскостью, а сила тяжести направлена вертикально (рис. 3.15). До сих пор мы говорили о гравитационном поле Земли, рассматривая ее как однородный шар. В действительности неод- ♦ Рис. 3.14 Рис. 3.15 Глава 3. Законы динамики 99 Блок питания лазера и обработки лазерного импульса Свет лазера Падающее тело Вакуумированная трубка Рис. 3.16 Q —> F„ + F. П 1 ?———т—г—^7- / ' f 7v^ • 1 1 i i 1 Рис. 3.17 нородности в распределении масс вызывают возмущения гравитационного поля. Исследуя эти возмущения, можно сделать выводы о плотности пород, составляющих Землю, их составе и распределении. Метод изучения земных пород по изменению гравитационного поля широко используется в геологии, например для определения месторождений газа или нефти. Определение напряженности гравитационного поля Земли можно проводить прямым путем, измеряя силу притяжения тела известной массы к Земле. Такой способ широко использовался в середине прошлого века и позволял измерить поле с точностью до 10~^. Другим способом, косвенным, является определение закона движения тела в поле тяжести. Практически использовались два способа — определялся период колебаний маятника и ускорение свободного падения. В настоящее время определение закона свободного падения тела на участке около 0,5 м с помощью лазера (рис. 3.16) позволяет измерить ускорение свободного падения с точностью до 10~®. Пример. С помощью лазерного измерителя ускорения свободного падения в двух точках Земли, удаленных друг от друга на расстояние s = 50 м, были получены значения = 9,8102834 м/с^, g.^ = 9,8102821 м/с2. Оцените на основании этих экспериментальных данных размер шаровой полости, находящейся под второй точкой измерения непосредственно вблизи поверхности Земли (рис. 3.17). Будем полагать г з, чтобы не учитывать влияния полости при втором измерении g. В случае отсутствия полости силу притяжения пробной массы т к Земле можно, воспользовавшись принципом супер- ^[qq [Механика позиции, разбить на силу притяжения пород в объеме полости — • •» и пород вне полости Fj: F„ + f, = mi,. В случае наличия полости сила притяжения обусловлена только притяжением пород вне полости: Fj = mij,. Тогда = m(g, - g^). Если породы в полости имели плотность р, то масса пород в объеме полости V М = pV=p^^nr^y Выразим по закону всемирного тяготения GmpgTtH ^ .2 = 2 KpmGr, откуда г = 3(gi -gz) 4Gnp Полагая плотность пород равной плотности гранита р = = 2500 кг/м^, получим значение г = 1,8 м, что соответствует предположению о том, что r<^s. Вопросы и задания 1. в чем суть описания взаимодействия тел с помощью силового поля? 2. Спутник вращается по орбите вокруг Земли. Какое из двух тел в данном случае является источником гравитационного поля, а какое — пробным телом? 3. В чем особенности рассмотрения гравитационного поля Земли вблизи поверхности и на расстояниях, сравнимых с радиусом Земли? На какой высоте над поверхностью Земли сила притяжения тела уменьшится на 1 % ? 4. Если напряженность гравитационного поля в точке А равна g(A), то чему равна сила, действующая на тело массой М в точке А? I л а в а 3 Законы динамики f 101 § 3.5. Контактное взаимодействие тел Мы рассмотрели дальнодействующую силу гравитационного притяжения и определили ее зависимость от взаимного расположения тел и их масс. Силы реакции. Рассмотрим силы, возникающие при соприкосновении тел — контактные силы, и попытаемся установить зависимость этих сил от физических свойств взаимодействующих тел и характера их движения. Если деформации тел существенны, то можно определить модуль и направление силы по характеру деформации тел и сформулировать соответствующие правила или законы для определения сил. Отметим только, что при одинаковой величине взаимодействия характер деформаций поверхностей тел сильно зависит от их материала, от структуры поверхности, характера движения и многих других факторов. Поэтому установить общие правила и сформулировать достаточно простые законы, позволяющие определить модуль и направление сил при контактных взаимодействиях, практически невозможно. Силы, возникающие при контакте недеформируе-мых тел, называются силами реакции (т. е. силами, возникающими в ответ на воздействие, см. рис. 3.6). При контакте тел, деформации которых пренебрежимо малы (нерастяжимая нить, нерастяжимый стержень, поверхность твердого тела), определение модуля и направления сил по деформациям принципиально невозможно. В этих случаях о силах реакции судят по особенностям движения взаимодействующих тел. Например, о модуле и направлении силы, действующей со стороны нити маятника на груз, можно судить по тому, что траекторией маятника является окружность. О модуле и направлении силы, действующей со стороны стола на книгу, лежащую на его поверхности, можно судить по тому, что книга остается на столе. Анализ движения соприкасающихся тел позволяет сформулировать для частных случаев определенные правила, которым подчиняются силы реакции. • Сила натяжения нити. Действие нити на тело удовлетворяет следующему очевидному правилу. Конец нити, прикрепленный к телу, действует на него {тянет) с силой, направленной вдоль нити. ^|q2 I Механика • Сила реакции гладкой поверхности. Силы, возникающие при взаимодействии поверхностей твердых тел, очень сильно зависят от их свойств: материала, шероховатости и т. д. Анализ движения тела, скользящего по гладкой поверхности^ показывает, что сила реакции направлена почти перпендикулярно поверхности. Этот результат формулируется в виде правила, которое следует рассматривать как определение гладкой поверхности. Поверхность называется гладкой, если при любом взаимодействии с ней любого тела сила реакции перпендикулярна этой поверхности. • Сила реакции при скольжении по шероховатой поверхности. Еще один случай, когда возможно определить направление действия сил, дает скольжение одного твердого тела по поверхности другого. На рис. 3.18, а приведены силы, действующие па тело, скользящее по поверхности клина вниз. Обобщением опытных данных является следующее правило. При скольжении тела по шероховатой поверхности сила реакции препятствует скольжению. Сила реакции при таком движении составляет строго определенный угол <р с перпендикуляром к поверхности, который зависит только от материала взаимодействующих тел и степени их шероховатости. Этот угол ф определяется величиной р, называемой коэффициентом трения скольжения: tg Ф = р. Закон сухого трения. Умение определять силы, возникающие при скольжении твердых тел, очень важно дл51 практических целей, поэтому исследования в этой области имеют большую историю. Результаты, приведенные нами в виде правил, в механике трущихся поверхностей обычно формулируют несколько иначе, вводя представление о силе трения. Представим силу реакции поверхности R, действующую на материальную точку, в виде суммы двух сил — нормальной составляющей N, перпендикулярной к поверхности, и каса- Глава 3 Законы динамики J 103 тельной составляющей направленной вдоль поверхности (см. рис. 3.18, б): Я = N + Касательная составляющая силы реакции поверхности R, действующей на твердое тело, называется силой трения. Силой трения покоя называется сила трения, возникающая между поверхностями тел, неподвижных относительно друг друга. Силой трения скольжения называется сила трения, возникающая при скольжении одного тела по поверхности другого. Силы трения между соприкасающимися поверхностями твердых тел (силы сухого трения) сложным образом зависят от многих факторов. В элементарной физике принято описывать силы трения простейшим законом — законом сухого трения (законом Кулона—Амонтона). Величина силы трения скольжения пропорциональна нормальной составляющей силы реакции: Рг, = Коэффициент пропорциональности р, называемый коэффициентом трения (скольжения), зависит от материалов соприкасающихся поверхностей и качества их обработки (степени шероховатости) и не зависит ни от площади соприкасающихся поверхностей, ни от скорости их относительного движения. Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную скорости движения тела относительно поверхности. Если при контакте двух тел скольжения нет, то закон Кулона—Амонтона определяет лишь предельно возможную силу трения покоя. Если скольжения не происходит, то ни модуль, ни направление силы трения покоя не известны, однако максимально возможное значение силы трения покоя равно модулю силы трения скольжения: F < F тр. п тр, ск* I Механика Модуль и направление силы трения покоя определяются из условия относительного покоя тел при решении конкретной задачи. Силы трения экспериментально исследовал еще Леонардо да Винчи (1452—1519). Он установил, что «всякое трущееся тело оказывает при трении сопротивление, равное одной четверти своего веса, при условии соприкосновения ровной поверхности с полированной поверхностью». Таким образом, Леонардо считал коэффициент трения универсальной константой и подчеркивал независимость его от площади соприкосновения. Ш. Кулон (1736—1806), исследовавший закон сухого трения в широком диапазоне параметров, установил, что максимальная сила трения покоя и сила трения скольжения в действительности отличаются. Применимость закона сухого трения. Простейший закон сухого трения в условиях лабораторных опытов и технической практики имеет точность около 10%, а иногда и более низкую. Приведем результаты экспериментов, иллюстрирующие наличие границ применимости закона сухого трения. В этом законе величина р = считается постоянной. На рис. 3.19 приведены экспериментальные данные зави- Ft симости р = от нормальной составляющей силы реакции N для металлического образца с площадью контакта S — 30 см^, скользящего по ткани. Как следует из этих данных, при уменьшении нагрузки р заметно возрастает, что не соответствует закону сухого трения. Отношение р = может заметно зависеть от скорости скольжения. На рис. 3.20 приведен график зависимости коэффициента трения от скорости при скольжении полиамидной нити по стальному желобу. Экспериментальные данные лишь в небольшой области низких скоростей, не превышающих 1 м/мин, соответствуют закону Кулона—Амонтона. Из опыта известно, что при скольжении тел поверхности их в результате трения изменяются, притираются, так что по прошествии определенного времени коэффициент трения заметно уменьшается. Глава 3 Законы динамики J 105 Оказалось, что коэффициент трения зависит даже от времени, в течение которого находились в контакте трущиеся поверхности до начала скольжения. Вопросы и задания 1. Чем может отличаться направление силы реакции, действующей на шарик, прикрепленный к нити и к стержню? Рассмотрите различные положения стержня и нити, покоящийся и двигающийся шарики. 2. Обычно для описания взаимодействия двух тел используют одну силу. Почему взаимодействие трущихся поверхностей описывается двумя силами: нормальной составляющей силы реакции и силой трения? 3. Что такое коэффициент трения скольжения, от каких факторов он зависит в законе сухого трения? Каковы границы применимости этого закона? 4. На графике (рис. 3.21) приведена зависимость силы, которую приходится прикладывать горизонтально для того, чтобы сдвинуть брусок по горизонтальному столу от времени. Что происходит в момент времени, равный 0,5 с? На каком участке кривой имеет смысл говорить о законе сухого трения? Чему равен коэффициент трения скольжения, если для отрыва бруска от поверхности нужно приложить вертикальную силу в 0,8 Н? 5. Нарисуйте силы реакции поверхности, действующие на кубик, находящийся на -h....—----------< 0,5 Рис. 3.21 t, с ]q5 I Механика шероховатой доске, которая может двигаться по гладкому горизонтальному столу. Рассмотрите четыре случая: доска и кубик покоят ся; доска движется относительно стола, а кубик покоится относительно доски; доска движется относительно стола, а кубик движется относительно доски вправо и влево. § 3.6. Взаимодействие деформируемых тел Механическое действие одного тела на другое, как мы уже говорили, проявляется в изменении закона движения тела и в его деформациях. Рассмотрим подробнее деформации твердых тел, возникаюш;ие при контактном взаимодействии. Виды деформации. Деформации тел бывают очень разнообразными, и свойства этих деформаций сильно зависят как от состава вещества деформируемого тела, так и от величины деформаций. Некоторые тела почти полностью восстанавливают первоначальные размеры и форму сразу после прекращения воздействия, если их деформации были достаточно малыми. Свойство шел восстанавливать свою форму и размеры после прекращения действия других тел называется упругостью. Соответственно деформации, исчезающие сразу после окончания внешнего воздействия, называются упругими. Хорошо известны упругие свойства резины, стальной проволоки. Неупругие деформации, не исчезающие после прекращения взаимодействия, называются пластическими. Свойство твердых тел необратимо деформироваться называется пластичностью. При определенных условиях пластические деформации обладают текучестью, т. е. свойством увеличиваться с течением времени, даже если приложенные к телу силы остаются неизменными. Для тел простой формы можно ввести количественные характеристики деформаций под действием приложенных сил. На рис. 3.22 изображен график зависимости удлинения А/ однородной железной проволоки, один конец которой закреплен, от приложенной к другому концу растягивающей силы jP. По мере увеличения приложенной силы удлинение на участке О—1 растет пропорционально приложенной силе. На участке 1 —2 эта зависимость перестает быть линейной. При сня- Глава 3. Законы динамики J 107 а) О t t тии нагрузки деформация проволоки исчезает, поэтому участок о—2 описывает упругие деформации. На участке 2—3 кривая удлинения параллельна оси ординат. Удлинение проволоки под действием приложенной силы Fq на этом участке определяется не только значением этой силы, но и зависит от времени воздействия. Здесь проявляется текучесть металла. На участке 3—4 вновь длина проволоки увеличивается только с увеличением приложенной силы. При снятии нагрузки, соответствующей этим точкам графика, деформация проволоки уменьшается линейно, но не до нуля. Величина остаточной деформации изображена на графике и равна Л/р. Несколько иначе происходят деформации полимерных материалов. Процессы перестройки структуры материалов, происходящие в веществе под действием нагрузок, происходят в течение длительного времени, составляющего минуты и даже часы. Обратимые деформации таких веществ называют эластическими. Полимерная нить под действием подвешенного груза (рис. 3.23, а) постепенно удлиняется в течение 2—2,5 часов. После снятия нагрузки сокращение длины нити происходит не сразу, а также в течение нескольких часов. Если нить до конца не восстановила длину, значит, она наряду с эластичностью обладает пластичностью. Зависимость деформации полимерной нити от времени иллюстрирует график на рис. 3.23, б. Изделия из эластичных тканей обладают свойством постепенно восстанавливать исходную форму. ^Qg I Механика Закон Гука. По величине упругой деформации можно определить силу, действующую на тело в данный момент вре мени, если известна зависимость модуля силы от деформации F = F(A/). При этом на графиках зависимости удобно по оси абсцисс откладывать удлинение, а по оси ординат — силу. Особенно просто это сделать, если рассматривать упругие деформации, при которых значение силы пропорционально удлинению. При этом удлинение должно быть достаточно малым, обычно составляющим 1—2%. Модель упругой линейной деформации однородного стержня, при которой сила пропорциональна удлинению, рассматривалась Робертом Гуком (1635—1703) в 1660 г. Упругие деформации однородных тел (нить, струна, пружина, стержень), один из размеров которых (длина) существенно больше других, под действием небольших сил, приложенных к этим телам вдоль направления максимального размера, могут быть приближенно описаны законом Гука. Изменение длины тела пропорционально величине приложенной си.чы. Эта зависимость может быть выражена аналитически с помощью формулы F = k А1, где F - величина силы, А1 — I - Iq величина деформации, ^0 — длина недеформированного, а / — деформированного тела. Коэффициент k, не зависящий от приложенных сил и величины деформации, называется коэффициентом упругости или жесткостью. Он определяется размерами деформируемого тела и свойствами вещества, из которого оно состоит. В СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Гук опубликовал свой закон в 1676 г. в виде текста «ceiiinossst-tuv», представлявшего, по обычаям времени, анаграмму формулировки закона на латыни. Через два года Гук расшифровал анаграмму — ut tensio sic vis - «каково напряжение (натяжение), такова и сила» и объяснил ее значение: «...что значит сила любой пружины находится в одинаковом отношении с напряжением. Иными словами, если одна сила растягивает или сжимает ее на одну длину, две сожмут ее на две, а три сожмут ее на три и так далее ». [лава 3. Законы динамики Г 109 Модели упругих тел. В задачах элементарной физики в качестве упругого тела обычно рассматривается пружина. Пружиной называется модель деформируемого тела, обладающего пренебрежимо малой массой и заданная двумя параметрами — длиной в недеформированном состоянии Iq и коэффициентом упругости к. Причем деформации пружины А1 = I - Iq (рис. 3.24) в точности следуют закону Гука при больших деформациях А/, сопоставимых с начальной длиной пружины Iq. Зная упругие свойства одной пружины, можно сделать некоторые заключения о поведении системы пружин. Предположим, что у нас имеется две одинаковые пружины, каждая из которых характеризуется длиной в недеформированном состоянии Iq и коэффициентом упругости к. Под действием приложенной силы F каждая из пружин удлиняется на А1^ = F/k. Если эти пружины соединить последовательно, как показано на рис. 3.25, то суммарное удлинение системы под действием той же силы будет вдвое больше A/g = 2 A/j. При таком соединении и начальная длина системы также будет вдвое больше, что позволяет сделать вывод: удлинение системы пружин, соединенных последовательно, тем больше, чем больше начальная длина всей системы. Если деформация стержня имеет сходные черты с деформацией системы пружин, то можно делать вывод, что величина его деформации прямо пропорциональна начальной длине стержня I. Рассматривая систему параллельно соединенных пружин, можно показать, что деформация стержня обратно пропорциональна площади его сечения S. Опыт подтверждает установленную зависимость. Упругие свойства материала задаются величиной Е — модулем упругости, или моду- Рис. 3.24 yiQ I Механика лем Юнга, так что закон Гука теперь можно записать в удобной форме, выделив в нем величины, зависящие от геометрии (Z, S) и от упругих свойств материала: Измеряется модуль Юнга в ньютонах на метр квадратный (Н/м^). Таким образом, коэффициент упругости стержня определяется соотношением k = ES I ‘ Приведенная форма записи расширяет область применимости закона Гука, поскольку позволяет теоретически определить коэффициент упругости для стержней различной геометрии, изготовленных из различных веществ. При неограниченно возрастающей жесткости {к —* «э) модель упругого твердого тела совпадает с моделью абсолютно твердого тела. Во многих случаях упругое твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, связанных пружинами. Отметим, что при удлинении стержня или проволоки ее сечение не остается постоянным, а немного уменьшается, причем это уменьшение пропорционально удлинению. Однако для металлов удлинение незначительно, поэтому и изменением сечения в этих случаях можно пренебречь. Если упругие свойства стержня сохраняются при больших деформациях Л/ /у, изменением площади поперечного сечения стержня в расчетах пренебречь нельзя. Вопросы и задания 1. в чем отличие упругой деформации от пластической? 2. Что такое коэффициент упругости пружины и чем он определяется? 3. Для какой физической модели тела вводится понятие «модуль Юнга»? Чем он определяется? Какие параметры необходимо измерить, чтобы его определить? 4. Пружину жесткостью 100 Н/м разрезали на две одинаковые части. Рассчитайте жесткость каждой половинки. Какова будет жесткость системы пружин, полученных скреплением двух половинок параллельно друг другу? Глава 3. Законы динамики J 111 § 3.7. Динамика материальной точки Ньютон — создатель классической механики. Величайшей заслугой Ньютона было создание первой научной теории, объединившей большинство известных понятий и законов в стройную систему, позволяющую с единых позиций описывать механическое движение как небесных тел, так и тел в лаборатории. Ньютон придал ей форму математической теории, основанной на небольшом числе основных понятий и аксиом, обобщающих опытные факты. Все основные результаты выводились из этих аксиом как математические теоремы. Центральная идея законов механики Ньютона гениально проста: изменить состояние движения тела (величину скорости или ее направление) можно, только если подействовать на него другим телом. Напомним, что основная задача динамики — определение закона движения взаимодействующих тел, механическое состояние которых в данный (начальный) момент известно. Следуя Ньютону, мы ограничимся динамикой материальной точки. Кинематика описывает движение тел с помощью заранее выбранных математических моделей. Динамика конструирует модели движения на основе известных законов взаимодействия тел. Воздействие на материальную точку других тел при этом описывается с помощью сил, и все силы считаются известными. Первый закон Ньютона. Закон движения материальной точки г(0 зависит от выбора системы отсчета. В частности, движение любой материальной точки можно всегда сделать равномерным и прямолинейным независимо от того, какие силы на нее действуют. Например, чтобы точка, вращающаяся относительно неподвижной системы отсчета, покоилась, нужно выбрать тело отсчета, включающее эту точку. При изучении влияния воздействия тел на закон движения материальной точки удобно использовать такую систему отсчета, в которой движение изолированной точки описывается достаточно простым законом. Выбираем такую систему отсчета, в которой Исаак Ньютон У12 I Механика любая изолированная точка движется равномерно и прямолинейно (в частности, покоится). Такая система отсчета называется инерциальной. Хороший пример изолированных тел представляют звезды, удаленные от нас и друг от друга на огромные расстояния. Для отдельной изолированной точки всегда можно выбрать систему отсчета, в которой она будет покоиться. Например, в системе отсчета, связанной с Землей, Полярная звезда практически остается неподвижной. Однако движение других изолированных тел (звезд) не является равномерным и прямолинейным — они движутся по окружностям. Сам факт возможности суш,ествования такой системы, в которой все изолированные тела движутся равномерно и прямолинейно, может вызывать сомнения. Однако движение звезд происходит так, что их взаимное расположение остается практически неизменным, поэтому можно выбрать систему отсчета, направив оси ее на удаленные звезды, и любая из звезд будет неподвижной. Обобпцением таких наблюдений является постулат, называемый первым законом Ньютона. Существуют системы отсчета, в которых любая изолированная точка движется равномерно и прялюлинейно. В такой системе отсчета можно начинать изучать изменение характера движения материальной точки под действием других тел. Выбор инерциальной системы отсчета. Выбор тела отсчета определяется характером решаемой задачи и требуемой точностью. Для большинства задач элементарной физики (движение тела по наклонной плоскости, колебание маятника) можно в качестве тела отсчета выбрать Землю, поскольку за время наблюдения процессов с требуемой точностью все известные нам изолированные точки (звезды) считаются неподвижными. Для решения других задач, таких, как движение спутников вокруг Земли, в качестве инерциальной системы отсчета берут систему, начало которой связано с центром Земли, а оси направлены на удаленные звезды. При описании движения планет вокруг Солнца требуется большая точность. Глава 3 Законы динамики Г 113 поэтому используется аналогичная система отсчета с началом в центре Солнца. Инерциальная система отсчета в любой задаче может быть выбрана не единственным образом. Если указана некоторая инерциальная система отсчета, то любая другая система, связанная с твердым телом, движущимся относительно нее поступательно, равномерно и прямолинейно, также является инерциальной. Это следует из кинематических формул преобразования координат, скоростей и ускорений, связывающих эти величины в различных поступательно движущихся системах отсчета (см. § 2.3): — ♦ r{t) = r\t) + jR(0» = ^'{i) + ^(0> при A(0 = 0. Точные современные наблюдения показывают, что все известные астрономические объекты меняют взаимное расположение. Это дает основание считать, что в строгом смысле инерциальных систем отсчета не существует. Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета воздействие на материальную точку других тел, являвшуюся до этого изолированной, приводит к изменению скорости, т. е. к появлению ускорения — изменению ее закона движения. Ускорение материальной точки зависит как от модуля и направления приложенной силы, так и от индивидуальных свойств точки, называемых инертностью. Обобщением опытных данных является второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета ускорение любой материальной точки пропорционально приложенной силе и направлено в сторону действия этой силы: F а = —. т Скалярный коэффициент пропорциональности т, называемый массой материальной точки, является положительной величиной, которая не зависит ни от механического состояния точки (ее положения и скорости), ни от модуля и направления действующей силы, ни от ее природы. Масса материальной точки, определяемая как коэффициент пропорциональности между силой и ускорением, яв- у[4 I Механика ляется «мерой инертности» (от лат. inertia — косность). При фиксированном значении силы, действующей на данную точку, ее ускорение, определяющее изменение механического состояния точки за некоторое время, тем меньше, чем больше масса. Масса материальной точки является постоянной во времени величиной. Масса пропорциональна количеству вещества. Если некоторое тело можно представить как систему N материальных точек, то масса этого тела равна сумме масс материальных точек, его составляющих {принцип аддитивности массы): т — mj + т^ + ... + т^. Это позволяет применить второй закон Ньютона, установленный для материальной точки, для определения ускорения поступательно движущегося твердого тела, все точки которого имеют одинаковые скорости и ускорения. Движение любых других тел (деформируемая нить, вращающийся блок) непосредственно этим законом не описывается. Современные представления говорят о том, что суммарная масса взаимодействующих частиц, строго говоря, не равна сумме масс отдельных частиц. Однако аддитивность массы выполняется с высокой точностью. Так, разность массы т^ (большого) числа уединенных атомов углерода и массы кристалла алмаза, содержащего то же число атомов углерода, положительна и равна примерно 5* 10"^® m^^. Заметное нарушение аддитивности массы начинается при объединении субатомных частиц (протоны и нейтроны в ядре и т. п.). Эти эффекты существенны в физике микромира и мегамира и являются предметом рассмотрения специальной и общей теории относительности. Для механических явлений макромира выполняется закон сохранения массы. Масса изолированной системы тел не меняется с тсч,е нием времени. Еще раз подчеркнем, что, так как для всех тел масса положительна, направление ускорения точки совпадает с направлением действия силы. Глава 3 Законы динамики J 115 Рис. 3.26 Рассматривая гравитационное притяжение тел, мы ввели гравитационную массу rrij. как характеристику тела, определяющую силу притяжения. Вто рой закон Ньютона определяет массу 7П„ как меру инертности тела. Такая масса называется инертной. Возможные различия между инертной и гравитационной массами для тел различного химического состава проверялись Ньютоном в 1687 г. в опытах по колебанию маятников одинаковой длины с грузами из золота, серебра, свинца, стекла, дерева и других веществ. При отклонении маятника от вертикали на угол а составляющая силы тяжести mg sin а, касательная к траектории движения, вызывает касательное ускорение груза (рис. 3.26), определяющее скорость его движения. Поскольку сила тяжести пропорциональна гравитационной массе, а ускорение тела определяется действующей силой и инертной массой, то в случае их различия для грузов разного химического состава различны будут и скорости их движения, что приведет к различиям в периоде колебаний маятников, отклоненных первоначально на одинаковый угол. Опыты Ньютона установили пропорциональность инертной и гравитационной масс для тел разного химического состава с точностью 0,1%. Коэффициент пропорциональности между гравитационной и инертной массами можно положить равным 1. Это приведет к определенному выбору значения коэф())ициента т,. G в законе всемирного тяготения. Выбор — =1 позволяет рас- т И сматривать проверенную в эксперименте пропорциональность масс как их эквивалентность. Постулат об эквивалентности инертной и гравитационной масс называется принципом эквивалентности. Прежде всего, принцип эквивалентности гравитационной и инертной массы проявляется в постоянстве ускорения свободного падения для тел различной природы. В течение последующих трех столетий проводились опыты по проверке этого принципа. Эксперименты обнаружили равенство инертной и гравитационной масс. Наиболее точные эксперименты, выполненные учеными Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова В. Б. Брагинским и В. И. Пановым в 1971 г., подтвердили справедливость принципа эквивалентности с точностью до 10“^^ (см. приложение 2). 116 I Механика Вопросы и задания 1. Какие системы отсчета называют инерциальными? 2. Для каких задач систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, можно считать инерциальной? 3. Сформулируйте первый закон Ньютона; второй закон Ньютона. 4. В верхней точке траектории на мяч массой 1 кг действует сила сопротивления воздуха 30 Н. Каков модуль ускорения мяча и направление ускорения? 5. Как изменится значение гравитационной постоянной в законе все- /Пг мирного тяготения, если выбрать — =2? т И § 3.8. Прямая и обратная задачи динамики точки Типы задач в динамике. Второй закон Ньютона позволяет решить две основные задачи механики точки. Во-первых, определить закон движения материальной точки, взаимодействующей с другими телами, если известны все силы, действующие на нее, и задано ее начальное механическое состояние, т. е. ее положение и скорость в начальный момент времени. Такая задача является основной задачей механики и называется прямой задачей. Примером такой задачи является установление закона движения груза массой т, подвешенного на пружине длиной I жесткостью k и совершающего колебания. На груз действуют сила тяжести mg, не зависящая от положения груза, и сила упругости, определяемая законом Гука F{x) = -k{x-l) (рис. 3.27). Второй закон Ньютона устанавливает связь между координатой (положением) груза и ускорением та = mg - к{х - I). Это позволяет получить уравнения для уско- k рения а = g — ~{х X - I Рис. 3.27 - Z). Движение груза оказывается колебательным, и зависимость координаты от времени при заданных начальных условиях (л:(0) = х^\ i;(0) = Vq) получается в виде x{t) = А + Bcos (o)Z + ф), где А, В тл (S) выражаются через данные условия задачи. Глава 3. Законы динамики J 117 Yi а О X Рис. 3.28 Во-вторых, задачей динамики точки является задача об определении силы, действующей на нее со стороны других тел, если закон движения точки известен. Такая задача называется обратной задачей динамики. Решение обратной задачи динамики позволяет определить неизвестные силы, обычно силы реакции, дейст-вуюпцие на материальную точку со стороны твердых тел, если закон движения точки задан. Такой задачей является, например^ определение силы натяжения нити Т, прикрепленной к шарику массой т, если шарик движется вертикально вверх с ускорением а, В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, второй закон Ньютона та = mg + Т позволяет определить силу натяжения нити Т - та - mg. Если ось OY направлена вертикально вверх (рис. 3.28), то векторы, входящие в правую часть уравнения, задаются проекциями: а^ = а, gy = -g. Это определяет силу натяжения нити Т = m{g + а). План решения задач динамики. Определение закона движения точки под действием заданных сил представляет непростую математическую задачу, поскольку второй закон Ньютона устанавливает связь между ускорением точки и силой, которая может зависеть от положения точки, от ее скорости и от времени. Если известно положение точки и ее скорость в начальный момент времени, то закон движения может быть определен, и притом единственным образом, т. е. задача имеет только одно решение. Практически определение закона движения происходит в несколько этапов. 1. Следует убедиться, что рассматриваемое тело можно описывать моделью материальной точки или поступательно движущегося твердого тела. Только в этом случае можно применять второй закон Ньютона. 2. Указываются все тела, действующие на данную точку, действие тел изображается векторами сил. y[g I Механика 3. Модуль и направление вектора силы в задачах элементарной физики определяются либо условиями задачи, либо физическими законами. Для дальнодействующей силы тяжести таким законом является закон всемирного тяготения, а для контактных сил — закон Гука либо закон сухого трения. 4. Выбирается инерциальная система отсчета. Оси координат ориентируют так, чтобы уменьшить число не равных нулю проекций векторов сил либо чтобы легко было учесть ограничения на траекторию движения. В выбранной системе отсчета записывается второй закон Ньютона, приводящий в проекции на оси к системе алгебраических уравнений, связывающих проекции вектора ускорения точки и действующих сил. 5. Дополнительная информация о характере движения или определенных ограничениях записывается в виде соответствующих уравнений и неравенств, которые присоединяются к уравнениям Ньютона. 6. В прямой задаче механики точки решение полученной системы устанавливает зависимость (или независимость) вектора ускорения от положения, скорости точки или от времени и используется для определения модели движения: равноускоренное движение, равномерное движение по окружности, гармонические колебания. В обратной задаче механики эта система определяет вектор неизвестной силы по заданному ускорению. 7. Для определения конкретного закона движения точки необходимо учесть начальное положение и начальную скорость точки. Системы со связями. В задачах, где точка движется по поверхности твердого тела или перемещается под действием нерастяжимой нити или стержня, приведенная схема решения задач не может быть непосредственно реализована. При взаимодействии твердого тела с другими твердыми телами возникают контактные силы, которые мы назвали силами реакции. Хотя силы реакции и вызваны деформациями тел, но ни модуль, ни направление этих сил неизвестны, так как деформации в модели твердого тела не описываются. О модуле и направлении сил реакции мы можем судить лишь по результату — изменению закона движения тел. Таким образом, прямая задача динамики — определение закона движения по заданным силам — оказывается в общем случае неразрешимой, если твердое тело соприкасается с другими твердыми телами. Глава 3. Законы динамики J 119 Рис. 3.29 Закон движения тела удается получить в случае, когда начальные условия выбраны так, что рассматриваемое тело находится в контакте с другим телом длительное время, например скользит по его поверхности. Возникающие при этом кинематические связи дают дополнительную информацию о движении тел, которая и позволяет определить закон движения, даже не зная силы реакции. При дополнительных предположениях о свойствах этих сил (например, принимаемых в законе сухого трения) удается получить полное решение задачи. Пр и М е р 1. Брусок массой т неподвижен относительно шероховатой поверхности доски, движущейся горизонтально с ускорением а относительно стола. Коэффициент трения между бруском и доской равен р. Определите силу реакции доски. Выберем инерциальную систему отсчета: тело отсчета — поверхность стола, ось ОХ направлена горизонтально в направлении вектора а = (а; 0), ось OY — вертикально вверх (рис. 3.29). На брусок действует постоянная по модулю и направлению сила тяжести mg = (0; -mg) и контактная сила реакции доски R = {F^^; N), модуль и направление которой неизвестны. В выбранной системе отсчета ускорение поступательно движущегося твердого тела определяется вторым законом Ньютона: та = mg + Я, что позволяет найти силу реакции R = та - mg. В проекциях на координатные оси его можно переписать в виде системы уравнений frp = N = mg. Если действие шероховатой поверхности доски на брусок описывается моделью сухого трения Кулона—Амонтона, то угол р отклонения вектора R от вертикали не может превышать величины, определяемой законом сухого трения tg р = = р. Как следует из решения задачи, тангенс этого угла опре- 120 I Механика деляется компонентами сил реакции: tg (3 = ^. Таким образом, движение бруска с заданным ускорением возможно лишь при коэффициенте трения р > ^ , при этом искомая сила реакции R = {та; nig). Приближенное решение. В реальной ситуации взаимодействие тел редко бывает устроено так, что супдествует достаточно простая модель движения, удовлетворяющая второму закону Ньютона. В этом случае приходится прибегать к различным упрощениям, позволяющим пол>’Ч[ить решение задачи с приемлемой точностью. Поучительным примером такого подхода является задача, рассматривавшаяся Ньютоном в его «Началах». Сформулировав закон всемирного тяготения, Ньютон искал возможность его лабораторной проверки, для чего рассмотрел следующую задачу. Пример 2. Два одинаковых шара диаметром D в один фут (~ 0,3 м) и плотностью, равной средней плотности Земли, помещены на расстоянии d = 0,25 дюйма (~ 0,6 см) друг от друга (рис. 3.30) и притягиваются в соответствии с законом всемирного тяготения. Определите время движения шаров до столкновения, если вначале они покоятся. Для решения задачи выберем инерциальную систему отсчета XOYy начало которой находится посередине между шарами и неподвижную относительно удаленных звезд. Так как шары одинаковы, то они будут двигаться навстречу друг другу с оди-наковымр! по модулю ускорениями. Ускорение левого (см. рис. 3.30) шара а = (а; 0) под действием силы гравитационного притяжения F = {F; 0) определяется вторым законом Ньютона та = F(x). m Здесь та = F{x) = G-^ — G т /2 ^ 4jc^ сила, определяемая законом всемирного тяготения, X — координата центра шара, I = 2х — расстояние между центрами шаров. Отсюда следует, что ускорение шара зависит от его положения: т Глава 3. Законы динамики J 121 Движение с ускорением, изменяющимся по такому закону, не описывается ни одной из изученных нами моделей. Однако изменение расстояния между центрами шаров за время движения невелико по сравнению с их диаметром, а значит, и изменение ускорения за это время также достаточно мало. Действи- ^ т тельно, в начальный момент ускорение Hq = G (Z) + d)2’ а в Mo- rn мент удара =G-^. Используя числовые данные, легко показать, что с точностью не хуже 4% ускорение в данной задаче можно считать постоянным, а движение — равноускоренным. Определим время движения t шаров до столкновения: d = откуда t = d т ^pV pG 4 nD^ npGD , где а, = G-^ = G^ = . S 8 6 Считая p = 5500 кг/м^ (средняя плотность Земли), можно рассчитать ускорение шаров aj ~ 6 • 10"® м/с^. Время движения шаров до столкновения оказывается не слишком большим: t = 6d 300 с. npGD Для вычисления ускорения шара с помощью полученной формулы необходимо знать гравитационную постоянную, которая не была известна Ньютону. Значение гравитационной постоянной было определено Кавендишем лишь 100 лет спустя. Однако Ньютон преодолел эту трудность, воспользовавшись общим характером закона всемирного тяготения и открытого им второго закона. В соответствии с этими законами, ускорение свободного падения шара вблизи поверхности Земли g вызывается силой гравитационного притяжения его к Земле, а расстояние между центрами шара и Земли равно земному радиусу: тМгз Используя соотношение g = G-^ ^ легко вычислить а,: a^=g т Mr ^'2 D 122 I Механика Радиус Земли известен: « 6,4 • 10® м, а плотность шаров он считал равной средней плотности Земли. Тогда отношение массы шара к массе Земли равно отношению их объемов, а объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров, так что можно записать: т М V _( D 'f Учитывая это соотношение, получим ускорение движения шара: D а. = g- 8R. К сожалению, в расчеты Ньютона вкралась досадная ошибка, и в своих «Началах» он утверждал, что столкновение шаров произойдет не ранее чем через месяц. Авторитет Ньютона был настолько велик, что его вывод долгое время не подвергался проверке, что задержало эксперименты по проверке закона всемирного тяготения в лаборатории более чем на 100 лет. Вопросы и задания 1. Какие цели ставят прямая и обратная задачи механики? Каковы пути их решения? 2. Назовите три основных допущения, сделанные Ньютоном при решении задачи о движении шаров. § 3.9. Динамика системы точек Второй закон Ньютона применим только для описания движения материальной точки или поступательно движущегося твердого тела. Движение других тел может быть описано этим законом только в том случае, когда они могут быть представлены как система материальных точек или поступательно движущихся твердых тел с заданным взаимодействием между ними. Системой материальных точек называется произвольно выделенная совокупность этих точек. Движение точек системы предполагается неизвестным. Внешние тела — тела, не отнесенные к этой системе. Движение внешних тел считается заданным. Глава 3 Законы динамики J 123 Внешние и внутренние силы. Воздействие на рассматриваемую систему точек внешних тел описывается силами, которые также называются внешними. Силы, действующие между точками данной системы, называются внутренними. Если для всех сил, и внешних, и внутренних, известен закон взаимодействия (например, закон всемирного тяготения), то второй закон Ньютона, записанный для каждой точки, дает систему уравнений, решая которую можно определить закон движения всех точек системы. В общем случае решение задачи о движении нескольких тел системы представляет очень сложную задачу. Однако решение значительно упрощается при рассмотрении частных случаев. Рассмотрим простейшие ситуации. В тех случаях, когда взаимодействующие тела системы движутся как единое целое, решение может быть получено с учетом того, что движение такого «составного» тела определяется только действием внешних сил. Пример 1. Сцепка из двух вагонов массами и mg движется по горизонтальному участку пути под действием горизонтальной силы F, действующей со стороны локомотива (рис. 3.31, а). Пренебрегая трением, определить силы, действующие на каждый из вагонов в горизонтальном направлении. Считая движение вагонов поступательным движением твердых тел, применим для решения задачи второй закон Ньютона. Поскольку движение является одномерным, рассмотрим лишь силы, действующие вдоль горизонтальной оси ОХ инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. - f На первый вагон массой действует локомотив с силой F и второй вагон с силой (рис. 3.31, б). Эти силы в ИСО вызывают ускорение вагона aj, определяемое вторым законом Нью- Yi О F _ ^2 М 1 m2 т, m2 ГПх X а) б) Рис. 3.31 ^[24 I Механика тона. Проекции векторов на оси инерциальной системы отсчета XOYy связанной с Землей, приводят к уравнению = F - Tj. На вагон массой вдоль оси ОХ действует первый вагон с силой Tg, что вызывает его движение с ускорением «2, определяемым уравнением ^2^2 ^ '^2' в системе из двух уравнений имеются четыре неизвестные величины: Цр ag» ^2- У^^тeм кинематическую связь а^ = а2 = а, поскольку система тел движется как одно целое, и принцип аддитивности масс М — т^ + т^. На основании второго закона Ньютона в ИСО ускорение поступательно движущегося твердого тела массой М определяется только суммой сил, действующих на него со стороны других теЛу т. е. внещних сил. В данном случае — силой F. Это приводит к уравнению Ма = (mj + тп2)а = F, совместное решение записанных пяти уравнений дает а = (т^ + т.^) T,2 = F т mj + гп2 T^ = F т /П| + ГП2 Третий закон Ньютона. В решенном примере получилось, что внутренние силы, приложенные к взаимодействующим телам системы, равны по модулю и противоположно направлены, действие первого тела на второе равно по величине и противоположно по направлению действию второго тела на первое. Решение задачи оказалось возможным благодаря тому, что ускорение поступательно движугцегося тела (по второму закону Ньютона) зависит только от других тел, действующих на данное. Поскольку внутренние силы не влияют на движение тела, состоящего из двух частей, то их сумма равна нулю. Заметим, что гравитационные силы, действующие между материальными точками, обладают таким же свойством. Обобщением этого правила на все системы материальных точек является аксиома механики, называемая третьим законом Ньютона. Глава 3. Законы динамики J 125 В системе материальных точек любая пара точек взаимодействует между собой так, что векторы сил взаимодействия, приложенные к каждой точке данной пары, равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на прямой, соединяющей эту пару точек. а) А У Взаимодействие тел часто происходит так, что силу, действующую на каждое тело, удобно представить как сумму нескольких сил разной природы. В этом случае третий закон Ньютона оказывается справедливым для каждой составляющей. Два тела всегда действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, равные величины и противоположные направления. Пример 2. Определите силу, действующую со стороны кубика массой т на клин массой М в системе, изображенной на рис. 3.32, а, если вся система скользит по гладкой плоскости, составляющей угол а с горизонтом, а кубик покоится относительно клина. При каком коэффициенте трения между кубом и клином возможно такое движение? В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, ускорение тел определяется действующими на них силами в соответствии со вторым законом Ньютона. На кубик действуют (рис. 3.32, б) сила тяжести т^ — (0; -mg) и сила реакции клина R = ^)» заданная своими проекциями в системе координат XOY. На клин действуют (рис. 3.32, в) сила тяжести Mg = (0; -Mg); сила реакции наклонной плоскости Nq = = (NoSin а; NqCos а), направленная перпендикулярно гладкой поверхности; сила со стороны кубика F = = (F^; F^). Модуль и направление силы не заданы заранее и определяются при решении задачи. В модели сухого трения при отсутствии проскальзывания справедливо неравенство |Fj < рАГ, где р — коэффициент трения. Рис. 3.32 1 т О ^125 I Механика Следовательно, коэффициент трения должен удовлетво- рять условию р N • Ь Компоненты силы реакции R = Л^) можно определить с помощью второго закона Ньютона tTlQ X F .j.p, та у = N - mg, если известно ускорение кубика и а,,. Для определения ускорения воспользуемся тем, что система тел движется как одно целое с ускорением а = {а а,,), а масса системы Mq = т + М. Ускорение системы определяется только внешними силами — силой тяжести, действующей на всю систему — (0; -М^), и силой реакции наклонной % ь плоскости Nq = (A^pSin а; TVqCos а): (т + М)а^ = NgSin а, (т + М)ау = NqCos а - {т + M)g. С учетом кинематической связи ^движение происходит а вдоль наклонной плоскости, так что — = ctg а 1 модуль ус- а корения а = gsin а, а его проекции = acos а = gsin а cos а и а = -asin о. = -gsin^ а. У Решение обратной задачи дает = mgsin а cos а, N = mg{l - sin^ а) = mgcos^ а р > ctg а. и Искомая сила F, действующая на клин со стороны кубика, согласно третьему закону Ньютона, равна по модулю и проти- * воположна по направлению силе R. Таким образом, F = (-mgsin acos а; -mgcos^ а). Вес и невесомость. Третий закон Ньютона позволяет решить задачу о силе, которая действует со стороны грузов на пружину весов. Силу, с которой тело давит на опору или растягивает подвес, называют весом тела. Глава 3. Законы динамики Г 127 Обычно говорят о весе как о силе, действующей на горизонтальную опору или вертикальный подвес, поскольку это больше соответствует «взвешиванию» тел на пружинных весах. Решая обратную задачу динамики, можно найти силу, с которой подвес, нить или опора действуют на груз, и, воспользовавшись третьим законом Ньютона, приравнять его весу тела. Вес тела будет зависеть от закона движения тела. При движении груза на нити с ускорением а вверх сила натяжения, ■•Л а следовательно, модуль веса Р равен: Р = Т = m (g + а). Аналогично можно показать, что при направлении ускорения а вниз модуль веса Р = m{g - а). При движении с ускорением ci = ^, т. е. при свободном падении Р = 0. Говорят, что тело находится в состоянии невесомости, поскольку не давит на опору и не растягивает подвес. Такое состояние может быть реализовано в спутнике на орбите. Вопросы и задания 1. Верно ли утверждение: «Книга покоится на столе, так как сила, с которой Земля притягивает книгу, по третьему закону Ньютона равна силе, с которой стол действует на книгу в противоположном направлении»? 2. С помощью законов Ньютона поясните, почему, если вытаскивать тетрадь из-под книги, лежащей на столе, медленно, книга движется вместе с тетрадью, а если быстро, то выскальзывает из-под книги. 3. По гладкой горизонтальной поверхнос-ти стола может скользить доска массой М, на которой находится брусок массой т. К бруску под углом а приложена сила F (рис. 3.33). Коэффициент трения между доской и бруском равен р, ускорение свободного падения — g, 1) Изобразите силы, действующие на каждое тело системы. 2) Запишите проекции сил на координатные оси инерциальной системы XOY. 3) Запишите второй закон Ньютона в проекции на выбранные оси кординат. 4) Определите ускорения тел. 5) Определите модуль силы F, при которой возможно скольжение бруска по доске. 6) Постройте график зависимости ускорения доски от модуля приложенной силы a{F). О Рис. 3.33 Глава 4. Зэконы сохранения импульсз и энергии § 4.1. Импульс точки и его изменение Импульс материальной точки. Теорема об изменении импульса точки. Определение закона движения материальной точки, т. е. зависимости ее координат от времени на основе второго закона Ньютона, сопряжено с большими трудностями, поскольку уравнения связывают ускорение точки с ее скоростью и положением: та = jP(r, V, t). Значительно проще было бы определять закон движения из уравнений, которые не содержат ускорения точки, но являются математически эквивалентными второму закону Ньютона. Такие уравнения, являющиеся математическими следствиями законов Ньютона, могут быть получены только в отдельных случаях. Условия, при которых такие уравнения были найдены, и сами эти уравнения исторически получили название законов сохранения. В механике особую роль играют законы сохранения импульса и энергии. Импульсом р материальной точки называется векторная физическая величина, характеризующая движение точки и равная произведению массы точки на ее скорость р = mv. В СИ эта величина имеет размерность кг • м/с. Используя определение импульса, а также определение ускорения как отношения элементарного приращения скорости ^ Аи к элементарному интервалу времени а —Г At = и, второй закон Ньютона та = F можно представить в виде постулата о скорости изменения импульса материальной точки. В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна сумме сил, действующих на эту точку: p=F. I л а в а 4. Законы сохранения импульса и энергии J 129 Именно так и формулировал Ньютон второй закон динамики точки. Второй закон Ньютона в этом виде можно использовать для определения изменения импульса за элементарный интервал времени Д^, в течение которого сила остается постоянной: Ар = FAty где Ар = Р2~ Pi изменение импульса точки. Величина FAt^ входящая в это выражение, называется элементарным импульсом силы F. Соотношение Ар = F At установлено только для элементарного интервала времени. Чтобы установить связь между изменением импульса за время t и силой, зависящей от времени, следует разбить интервал времени на элементарные интервалы At-f на каждом из которых силу F, можно считать постоянной. Используя теорему об изменении импульса на каждом элементарном интервале и проводя суммирование, определим изменение импульса за время t: Рь~Ра"^ + F2At + ... = X F^At^. Назовем импульсом силы за время t сумму элементарных импульсов силы и сформулируем полученный результат в виде теоремы об изменении импульса. В инерциальной системе отсчета изменение импульса материальной точки за время t = равно импульсу силы, действующей на эту точку: Рь~Ри='^ В выбранной системе отсчета вектор силы в каждый мо мент времени определяется проекциями на оси координат ОХ и ОУ: F{t) = {F^{t); Fy{t)). Для каждой проекции силы, например F^, зависимость от времени может быть изображена графиком функции (рис. 4.1). Проекция элементарного импульса силы F^ At на этом графике равна площади прямоугольника AS^ = F^At, проекция импульса силы за весь рас- Рис. 4.1 5 Физика. 10 К.1. ^i3Q I Механика сматриваемый интервал времени равна площади под кривой S^y заштрихованной на рис. 4.1. Это позволяет графически определить изменение импульса точки за время t = как площадь под соответствующими кривыми F^{t) и F (t) от точки до С* РМ) = ■Sx- Р,Мь) - Р,Ра) = ^,Г Используя закон изменения импульса, можно определить среднюю силу за интервал времени t\ t Индексом у скобок будем обозначать время усреднения. Пример. Шарик массой т упруго отскакивает от горизонтальной плиты. Период колебаний шарика — Т, время контакта с плитой — т. Определите среднюю силу реакции, действующую на шарик. Сначала определим среднее значение силы реакции за период колебаний шарика Т. В системе отсчета XOY (рис. 4.2), связанной с плитой, изменение вертикальной составляющей импульса шарика за период колебаний равно нулю: Ару = 0. Следовательно, проекция импульса всех сил, действующих на шарик, также равна нулю: (N - mgj)T = = NrpT - mgjT = 0. Значит, среднее значение силы реакции плиты (за период колебаний) равно силе тяжести, действующей на шарик: Рис. 4.2 Nj^ = mgf = mg. Таким образом, достаточно инерционные весы будут оставаться в равновесии, если на одной их чашке шарик массой т будет покоиться, а на другой шарик такой же массы упруго подскакивать. Если вычислить среднее значение силы реакции плиты за время контакта т, то результат будет иным. Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 131 Вычисление удобно провести с помощью графика. На рис. 4.3 приведены графики изменения импульса точки и сил, действующих на нее, в зависимости от времени. Время контакта шарика с плитой на рисунке значительно увеличено. Импульс силы реакции N за период Т равен площади заштрихованного прямоугольника. Аналогично вычисляется импульс силы тяжести. Это приводит к уравнению N^x - mgT = Apy = О, откуда находим величину силы реакции плиты — Т = mg- > mg. Если время соударения мало по сравнению с периодом колебаний т Т, то сила реакции значительно превышает силу тяжести. Для Т = 1 с время контакта х составляет сотые или тысячные доли секунды, в зависимости от материала плиты и шарика. Соответственно средняя сила реакции за время контакта превышает силу тяжести в сотни и тысячи раз. Этот результат хорошо знаком каждому, кто хоть раз в жизни неудачно пользовался молотком для забивания гвоздей и определил величину контактных сил, возникающих при ударе, с помощью своих пальцев. Вопросы И задания 1. Аксиомой или теоремой является закон сохранения импульса точки в механике Ньютона? 2. Сила, модуль которой F, подействовала на покоящуюся материальную точку вдоль направления оси ОХ в течение времени а через некоторый интервал времени в направлении, перпендикулярном ■|32 I Механика этой оси в течение такого же времени t. Каков угол между направлением импульса точки и осью ОХ через интервал времени t vi2t после начала движения? 3. Верно ли утверждение: «Если на тело действует сила только вдоль оси ОХ, то импульс тела вдоль оси ОУ не изменяется»? 4. Как вычислить изменение импульса материальной точки при воздействии на нее переменной силы, действующей в одном направлении? 5. N пуль массой т каждая, летевшие со скоростью о, попадают в течение времени t в деревянный щит и застревают в нем. Какая средняя сила действует на щит в этот промежуток времени, если пули летят перпендикулярно щиту? § 4.2. Изменение и сохранение импульса системы точек Теорема об изменении импульса системы. Напомним, что системой материальных точек называется произвольно выделенная система тел, которые в данной задаче можно считать материальными точками. Тела, не отнесенные к рассматриваемой системе, называются внешними, а их движение считается заданным. На каждую точку системы могут действовать как другие точки этой же системы, так и внешние тела. Соответствующая сила, действующая на точку с номером /, называется внутренней /*, либо внешней Импульсом Р системы N материальных точек называется сумма импульсов всех точек системы Р = X Pi» p^ — импульс i-й точки. i — I при движении точек системы их скорости изменяются, что приводит к изменению импульса всей системы. Докажем, что в инерциальной системе отсчета изменение импульса системы материальных точек происходит только под действием внешних сил. Внутренние силы не изменяют импульс системы. Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек массами и mg, взаимодействующих друг с другом (силы и /g на рис. 4.4) и с внешними телами (силы Fj и Fg). По определению импульсом Р такой системы называется сумма импульсов двух точек, составляющих систему ^ = Pi +Р2- г л а в а 4 Законы сохранения импульса и энергии J ш Силы, действующие на материальные точки, за элементарный промежуток времени изменяют их импульс, в результате чего изменяется и суммарный импульс системы АР = Ар^ + Др2. Скорость изменения импульса системы YL -♦ J а nil о X Р = АР Api _ Др2 At At + At = Pl + Р2- Рис. 4.4 В инерциальной системе отсчета XOY для каждой точки выполняется теорема об изменении импульса Pi = /i+Pi,P2 = /2 + ^2- Складывая уравнения, получим Р = Pi + pg = /i + /2 ^ ^1 + -^2- По третьему закону Ньютона сумма внутренних сил в системе точек равна нулю: f I ?2~ Следовательно, скорость изменения импульса системы определяется только суммой внешних сил, а внутренние силы импульс системы не изменяют: P = F, + F^. Обобщением этого вывода на систему, состоящую из N точек, является теорема об изменении импульса, которую часто называют законом изменения импульса системы точек. В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса системы материальных точек равна сумме всех внешних сил, действующих на точки системы: N Р= I 1 Если рассмотреть элементарный интервал времени At, в течение которого сумма внешних сил остается постоянной, то ^134 I Механика изменение импульса системы за этот интервал времени определяется выражением ^ - АР= I t- 1 где произведение силы на элементарный интервал времени At — элементарный импульс силы, а сумма эле^ментарных импульсов за некоторый промежуток времени F^At — импульс силы. В общем случае, когда внешние силы изменяются с течением времени, изменение импульса системы за временной интервал t = t2~- можно вычислить, разделив этот интервал на элементарные и сложив все изменения. Этот результат можно сформулировать в виде следующей теоремы. В инерциальной системе отсчета изменение импульса системы материальных точек за время t равно импульсу всех внешних сил, действующих на точки системы за это время: Ра - -Pi = I Р, Д',- Законы сохранения. Следствиями этой теоремы являются законы сохранения импульса и проекции импульса системы точек на выбранное направление. 1. Если в инерциальной системе отсчета сумма внешних сил, действующих на систему материальных точек, в течение некоторого интервала времени равна нулю, то импульс системы в течение этого времени сохраняется: I = о => P{t) = АО). 2. Если в инерциальной системе отсчета сумма внешних сил, действующих на систему материальных точек, не равна нулю, но сумма проекций этих сил на некоторое направление ОХ обращается в нуль, то проекция импульса системы точек на это направление сохраняется: I = о =» P,(t) = Р,ф). I лава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 135 Вопросы и задания 1. Какие силы являются внутренними и внешними для системы материапьных точек (системы тел)? 2. Справедлив ли закон об изменении импульса системы точек в произвольной неинерциальной системе отсчета? 3. В чем проявляются преимущества использования закона сохранения импульса системы тел в определении ее конечного состояния? Каковы границы его применимости? § 4.3. Сохранение и изменение импульса в задачах динамики Сохранение импульса. Применение закона сохранения импульса при решении задач динамики позволяет получить результат быстрее и с меньшим количеством математических выкладок, чем решение тех же задач с использованием законов Ньютона. Пример 1. На шероховатой неподвижной доске, лежащей на гладком горизонтальном столе, стоит кубик. В начальный момент ему щелчком сообщают скорость Vq относительно доски (рис. 4.5, а). Какую скорость будет иметь доска относительно стола в тот момент, когда кубик перестанет скользить относительно нее? Массы доски и кубика равны соответственно М и т, а коэффициент трения между доской и кубиком равен р. Решим эту задачу двумя способами — непосредственно применяя законы Ньютона (I) и используя закон сохранения импульса (II). I. На кубик действуют Земля с силой mg (рис. 4.5, б) и доска с силой i?j. На доску действуют Земля с силой Mgy кубик с силой jRg и стол с си- лой Q (рис. 4.5, в). В инерциальной системе отсчета ХОУ, связанной с Рис. 4.5 13б I Механика Землей, силы задаются проекциями: mg = (0; -mg)y = = N)y Mg = (0; -Mg)y Щ = (F^p; -N), Q = (0; Q). Здесь мы учли третий закон Ньютона (Fg = - Fj) и то, что стол является гладким (Q^ = 0). Движение тел вдоль оси OY отсутствует, векторы ускорений кубика и доски а = (а; 0), а' = {а'; 0). Второй закон Ньютона для каждого тела системы записывается в виде системы уравнений для проекций векторов ускорений и сил на выбранные оси координат: та = -F^p, о = -mg + N; Ма' = F J тр’ \0 = -Mg-N + Q. Определим ускорения тел на начальном этапе движения, когда скорость кубика и превышает скорость доски и' и сила трения подчиняется закону сухого трения F^p = \xN. Решение системы пяти уравнений дает Движение является равноускоренным, и при заданных начальных условиях зависимость скоростей тел от времени имеет вид v(t) = Vq + at = Vq- [xgty u'{t) = at = ^ \xgt. Такое движение будет происходить до момента времени t = t^y когда скорости тел станут равны = v'{t^) - Oj (рис. 4.5, г): т Откуда М и о = - ^ т + М [ig и скорость совместного движения кубика и доски l’j: т т + М'^о II. Установим возможность применения закона сохранения импульса системы тел в данной задаче, что требует вначале определения системы теЛу а затем анализа внешних сил, действующих на эту систему. Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 137 Рассмотрим систему тел кубик — доска. Внешними силами по отношению к этой системе являются силы тяжести mg и Mgf а также сила реакции стола Q. Проекции всех этих сил на ось ОХ равны нулю. Это позволяет применить закон сохранения проекции импульса системы на ось ОХ. Выберем два момента времени — начальный ^ = О, когда скорости всех тел заданы, и конечный t = когда тела движутся как единое целое. Вычислим проекцию импульса системы на ось ОХ в указанные моменты времени: Pj,(0) = = {т + M)v^. Поскольку проекция импульса системы на эту ось сохраняется, Pj,(0) = moQ = (m + M)v^y m откуда = ——- ^ m + M ^ Второй способ решения — с использованием теорем динамики — быстрее приводит к искомому результату. Приближенное сохранение импульса. В ряде случаев удается удовлетворительно рассчитать конечные скорости тел, образующих систему, применив закон сохранения импульса к системам, в которых сумма внешних сил явно не равна нулю. Это возможно в тех случаях, когда изменением импульса системы за время наблюдения можно пренебречь. В задачах эти условия могут быть выполнены, когда время действия внешних сил достаточно мало, обычно при быстрых взаимодействиях частей системы: удар, слипание, разрыв и т. п. В этом случае импульс внешних сил пренебрежимо мал по сравнению с изменениями импульсов тел. Пример 2. Снаряд массой 2Л/, летящий горизонтально со скоростью V на высоте Ну разорвался на два осколка одинаковой массы, так что один осколок упал на землю под местом разрыва через время т после взрыва. На каком расстоянии s от первого осколка упал второй? Сопротивлением воздуха пренебречь. Для решения задачи примем следующую модель взрыва. 1. Будем считать, что снаряд состоит из двух одинаковых частей (осколков) массой М каждый, а заряд взрывчатого вещества имеет пренебрежимо малую массу. Т38 I Механика 2. Горение взрывчатого вещества происходит очень быстро. Скорость детонации тротила составляет 7 км/с, а осколки имеют начальную скорость и несколько сотен метров в секунду. Они ускоряются горячими газами, образовавшимися при взрыве, на расстоянии d порядка нескольких сантиметров. Это позволяет дать оценку времени взрыва. Полагая d = 0,1 м, у = 100 м/с, получим At ~ - = , = = 0,001 с. За это время импульс силы тяжести, действующей на снаряд, практически не изменяет импульса системы. Рассмотрим импульс снаряда в системе отсчета ХОУ, связанной с Землей, считая, что взрыв происходит в высшей точке траектории А (рис. 4.6). Непосредственно перед взрывом скорость снаряда была направлена горизонтально: и = (и, 0). Сразу после взрыва система состоит из двух осколков, движущихся со скоростями i3j = (0; и ^2 Пренебрегая изменением импуль- са системы за время взрыва, можно записать закон сохранения импульса системы 2Mv = MD, + Mv^, или в проекциях на оси координат 2Ми = М • о + 0 = -Mv^^ + Mv2^. Пренебрегая сопротивлением воздуха, будем считать, что движение осколков после взрыва является свободным падением. Запишем закон движения для каждого осколка: '^(0 = '*10 + ^^1^ + Гз(0 = '*20 + где /'ю = ?2о = (0; Я). Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии J 139 В момент X падения первого осколка закон движения = = rj(i) приводит к уравнению О = Я - UjX - gx^l2. Учитывая, что по оси ОХ движение является равномерным, а по оси OY — ускоренным, в момент Т падения второго осколка его закон движения Г2 = ^2(0 дает систему уравнений S = и^^Т, О - Я + U2 Т - gT^/2. Решая эти уравнения, получаем ответ s = 4vH gx В заключение отметим, что не во всех механических процессах, происходяш[их за короткое время, можно пренебречь импульсом внешней силы. Так, в рассмотренном в § 4.1 процессе упругого удара шарика о плиту возникающие силы деформации имеют тем большую величину, чем меньше время удара, так что импульс внешних сил здесь не мал. В подобных задачах закон сохранения импульса даже приближенно не выполняется, и для описания таких процессов необходимо использовать теорему об изменении импульса. Теорема об изменении импульса. Проиллюстрируем преимущество применения теорем динамики по сравнению с прямым использованием законов Ньютона для системы тел, когда ее импульс меняется под действием внешних сил. В этом случае используется более общая теорема об изменении импульса системы, а не закон сохранения импульса. Пример 3. На гладкой наююнпой плоскости, составляющей угол (X с горизонтом, лежит доска массой М. С каким ускорением а должен бежать по ней человек массой т, чтобы доска не соскальзывала? Воспользуемся теоремой об изменении импульса системы тел человек — доска. Поскольку изменение импульса системы определяется лишь внешними силами, достаточно рассмотреть только их. На систему действуют следующие внешние силы (рис. 4.7): N — сила реакции наклонной плоскости; mg. Mg — силы тяжести, действующие на человека и на доску. В инерциальной системе отсчета XOY, связанной с наклонной плоскостью, изменение проекции импульса системы на ось ^[4Q I Механика Рис. 4.7 OXy вдоль которой может происходить движение, вызвано внешними силами, действуюьцими вдоль этой оси: Pj. = + Р\1^ + Ма' = (т + M)g‘sin а, где а — ускорение человека, а' — ускорение доски. Так как по условию задачи а' — О, то а =- (1 + M/m)gsin а. Вопросы и задания 1. в каких случаях при решении задач можно использовать закон сохранения импульса, несмотря на то что сумма всех внешних сил, действующих на систему тел, не равна нулю? 2. Решите задачу из примера 3, используя законы Ньютона. § 4.4. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и работа силы Важнейшей характеристикой движения в динамике является кинетическая энергия. Эта характеристика движения была введена голландским ученым Христианом Гюйгенсом (1629—1695) при изучении соударения тел еще до появления «Математических начал натуральной философии» Ньютона. Оказалось, что кинетическая энергия, наряду с импульсом, сохраняется при упругом ударе шаров. В современной физике известно много различных видов энергии. В элементарной механике мы ограничимся только кинетической, потенциальной и полной энергией. [лава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 141 Введем понятие кинетической энергии материальной точки, используя второй закон Ньютона. Для этого рассмотрим подробно решение задачи об определении скорости и материальной точки, переместившейся из начальной точки в конечную, при заданной зависимости силы от положения точки. Элементарная работа. При одномерном движении материальной точки вдоль оси ОХ инерциальной системы отсчета ее ускорение а = (а; 0) определяется проекцией всех сил на это направление: F а = — . т Рассмотрим для простоты прямолинейное равноускоренное движение под действием двух сил F = Fj + F2 (Рис. 4.8). Примером такого движения может служить соскальзывание тела с наклонной плоскости под действием силы тяжести и силы реакции опоры. Пусть в начальный момент положение материальной точки (тела) задано радиусом-вектором Tq = (jcq; 0), а скорость точки Dq = (t^o» ^)- Если действующие силы постоянны, то движение точки является одномерным равноускоренным. В этом случае изменение модуля скорости v = {и; 0) связано с ускорением соотношением у2 _ 2 = 2а(лг - Xq). Подставляя в это уравнение выражение для ускорения точки а ^2х т приведем его к виду, встречающемуся наиболее часто: mv mv о = F^^^x + 2 2 Введем определения для физических величин, входящих в это урав-не-ние. Кинетической энергией материальной точки массой т, движущейся со скоростью v, называется физическая величина, определяемая выражением mv Рис, 4.8 [JVlexaHMKa Yk Правая часть уравнения представляет собой сумму величин и F2jj.Ajc, связанных с фундаментальной физической величиной работой силы. Если сила постоянна и материальная точка движется вдоль оси O-Xf,' то произведение проекции силы на перемещение точки Ад: = — дгз - Xj за время движения будет положительным (рис. 1.9, а), когда проекция вектора силы на ось ОХ положительна. Если же при таком движении проекция вектора силы отрицательна, то и работа будет отрицательной (рис. 4.9, б). Учитывая, что = FjCoscp, выражение F|^Ax можно записать в виде Fjj^Ax = Fj Axcos ф. Или, используя скалярное произведение векторов силы Fj и перемещения Аг = г2 - Fj^Ax = Fj Axcos ф = (Fj • Ar)*. В рассмотренном случае одномерного движения вдоль оси ОХ Аг = (Ах; 0). Назовем элементарным такое перемещение, на котором сила, действующая на точку, постоянна, а траекторией точки является отрезок прямой, и введем понятие элементарной работы. Элементарной работой А А силы F на элементарном перемещении Аг называется скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения А А = (F • Аг). Ясно, что это определение описывает и рассмотренный нами частный случай. В примере с ускоренным движением точки под действием двух сил Fj и F^ изменение кинетической энергии точки равно сумме элементарных работ двух сил. Согласно определению скалярного произведения, для вектора Fj = (F,^; Fjy), изображенного на рис. 4.9, а, работа силы ААу = FJAxcosф положительна, если этот угол ф острый Г Эта запись означает скалярное произведение векторов. Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 143 ^0 < Ф1 так как вектор силы направлен в ту же сторону, что и вектор перемещения. В этом случае действие силы на материальную точку приводит к увеличению скорости, направленной в ту же сторону, что и вектор перемещения. С помощью введенных понятий кинетической энергии и работы силы увеличение скорости частицы описывается как увеличение кинетической энергии вследствие совершения силой положительной работы. Если же угол (р — тупой, как на рис. 4.9, б < (pg < я то вектор силы направлен в сторону, противоположную перемещению, а значит, и скорости точки, и замедляет ее движение. Работа силы в этом случае отрицательна, а эффект торможения на языке энергии описывается как уменьшение кинетической энергии точки при совершении силой, действующей на нее, отрицательной работы. Поскольку ни модуль силы, ни модуль перемещения, ни угол между ними не зависят от выбора начала системы координат XOY или ориентации осей (для данного тела отсчета), элементарная работа силы не зависит от выбора ориентации системы координат, связанной с данным телом отсчета, т. е. является скалярной величиной. С помощью введенных физических величин задача об изменении скорости точки под действием сил может быть сформулирована как задача об изменении кинетической энергии за счет совершения работы этими силами: = ДА. И кинетическая энергия точки, и работа силы, действующей на нее, являются размерными физическими величинами, имеющими одинаковую размерность — кг • м^с^ и измеряются в джоулях (Дж). Сила в 1 Н, направленная вдоль вектора перемещения материальной точки, совершает работу в 1 Дж при перемещении точки на 1 м. Графическое представление работы. Элементарную работу АА| постоянной силы F, по графику зависимости силы от координаты точки можно найти как площадь прямоугольника (рис. 4.10): AAj = Fj(a:j - Xq) = Элементарная работа может быть как положительной, так и отрицательной, причем знак работы зависит как от знака I Механика Fk Fx Г I i t I о 0 Рис 4 11 проекции силы, действующей на данном участке, так и от направления перемещения. Если элементарное перемещение, например Длг1 = Xj - jcq, положительно (Aa'j > 0) и проекция силы Fj(jc) на участке (^Tq; Xj) положительна, то работа силы положительна: ААу > 0. Если проекция силы на участке (дгр Xg) является отрицательной (Fg < 0) при положительном перемещении AXg = Xg - Xj, то и работа силы отрицательна: AAg < 0. Работа силы, зависящей от координаты. Если при движении материальной точки сила изменяется, как показано на рис. 4.11, то изменение кинетической энергии при перемещении из начальной точки Xq в конечную Xg может быть вычислено последовательно в два этапа: 1) изменение энергии при перемещении материальной точки из точки с координатой Xq в точку с координатой Хр АЕ^ = = El - Ец = ЛАр 2) изменение энергии при перемещении материальной точки из точки Xj в точку Xg: AEg = Eg - Ej = AAg. AE = AEj + AEg = Eg - Eq = AAj + AAg = AQg, где AAj = EjAXp AAg = EgAXg — элементарная работа на каждом из участков, Axj = Xj - Xq, Axg = Xg - Xj — соответствующие элементарные перемещения. Если проекция силы, действующей на материальную точку, произвольным образом зависит от ее координаты (рис. 4.12), то изменение кинетической энергии точки определяется суммой элементарных работ: Д£„ - £„(6) - £„(а) = 1ДЛ;. Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии J Й5 Такая сумма равна площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, ординатами начальной и конечной точек и графиком зависимости F(x) (см. рис. 4.12). Работой силы F(x) на перемещении называется сумма элементарных работ силы, действующей на материальную точку, при ее перемещении из начального положения в конечное X, ь* I I Пример. Длина недеформированной пружины — Iq, жесткость — k. Действие пружины на материальную точку, прикрепленную к пружине, описывается законом Гука. Определите работу силы упругости. Направим ось ОХ системы отсчета вдоль пружины и совместим начало координат с точкой закрепления пружины. Координата конца недеформированной пружины при таком выборе x — Iq (положение равновесия). В соответствии с законом Гука сила, действующая на материальную точку, прикрепленную к концу пружины, пропорциональна деформации и действует в сторону, противоположную смещению от положения равновесия: F(x) = -k{x - Iq). График зависимости F(x) представлен на рис. 4.13. При растяжении пружины из положения равновесия х = Iq в точку X = Xi > Iq перемещение положительно AXj = Xi - Iq > О, а проекция силы на направление перемещения отрицательна Fj^(Xi) = -k AXj < 0. Работа силы на таком перемещении отрицательна и численно равна площади треугольника справа от точки X — IqI А,-- А(*1 - 146 I Механика о При сжатии пружины из положения равновесия х = L в точку X = Х2< Iq перемещение отрицательно АХ2 Х2~ Iq< Оу а проекция силы на направление перемещения положительна ^^(^2) = k А Х2 > 0. Работа силы в этом случае также отрицательна k[ Х2 ^0 Таким образом, при деформации пружины из состояния равновесия работа силы упругости всегда отрицательна А(х) = - k{x - Iq)^ При движении тела под действием нескольких сил изменение кинетической энергии равно сумме работ каждой из сил. Используя введенное определение, можно выразить изменение кинетической энергии материальной точки, движущейся вдоль оси ОХ под действием силы, зависящей от координаты, сформулировав теорему об изменении кинетической энергии. В инерциа.пьной системе отсчета изменение кинетической энергии материальной точки, на которую дейст- ~ ь вуют силы F,(jc), р2{х) и т. д. при ее перемещении из начального положения х^ в конечное х^^, равно работе всех действующих сил на этом перемещении: АЕ^ = EJib) - EJ,a) = А ah* Криволинейное движение точки и работа силы. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки допускает обобщение на случай движения ее по произвольной криволинейной траектории. Для этого достаточно разбить траекторию движения на элементарные (прямолинейные) участки Аг,., на которых силу действующую на точку, можно считать постоянной по величине и направлению. Работа силы при перемещении по криволинейной траектории равна сумме элементарных работ: А = ХаА^ = Аг,). г / I а b d 4. Законы сохранения импульса и энергии J 147 Поскольку каждое слагаемое в сумме является скаляром, то и работа произвольной силы при перемещении точки по криволинейной траектории является скаляром и не зависит ни от выбора начала отсчета, ни от ориентации осей системы координат, связанных с телом отсчета. Вопросы И задания 1. Дайте определение работы силы и кинетической энергии матери альной точки. Решение каких задач упрощает введение этих понятий в механике? 2. На покоящуюся материальную точку массой 0,2 кг в течение 10 с действует сила, не меняющая своего направления, модуль которой меняется в соответствии с графиком (рис. 4.14). Какова работа этой силы, куда направлена и чему равна скорость материальной точки, если все остальные силы, действующие на точку, уравновешивают друг друга? 3. Работа каких известных вам сил при перемещении тела равна нулю? отрицательна? 4. Векторная сумма трех сил равна нулю. Можно ли утверждать, что при некотором перемещении тела суммарная работа этих трех сил равна нулю? § 4.5. Работа потенциальных сил Однородное поле сил тяжести. Рассмотрим подробнее работу различных сил, действующих на материальную точку, совершающую криволинейное движение. Если материальная точка массой т движется вблизи поверхности Земли, то сила тяжести, действующая на эту точку, всюду одинакова по величине и направлению. В любой точке пространства эта сила определяется выражением F = mg. Если вектор силы, действующей на материальную точку, определен в каждой точке пространства, то говорят, что задано поле силы. Поле силы, величина и направление которой одинаковы во всех точках пространства, называется однородным. I Механика Рис. 4.15 Поле силы тяжести вблизи поверхности Земли в большинстве задач считается однородным. Вычислим работу силы тяжести в этом случае. Пусть частица массой т переме-щается из начала координат в точку 2 по прямой, соединяюш;ей эти точки (рис. 4.15). Поскольку сила в каждой точке прямолинейной траектории постоянна, такое перемещение является элементарным. Работа силы на элементарном перемещении определяется скалярным произведением ^2 = Б точку 2 частица может попасть также по ломаной траектории 012 (см. рис. 4.15). Каждый из участков траектории 01 и 12 является элементарным перемещением, поэтому работа силы тяжести равна сумме элементарных работ: А = Aj + Ajg = (^i'^i) + ("i^*^i2)- Вынося общий множитель, работу силы можно представить в виде А = Aj + Aj2 == (mg’ Tg) = ^2» поскольку ^2 = ri + ^12* Следовательно, в однородном поле силы работа не зависит от траектории движения частицы. В справедливости полученного результата можно убедиться, вычисляя работу силы тяжести в декартовых координатах XOY. Вектор силы тяжести и векторы перемещений задаются своими проекциями mg = (0; -mg), г, = (х^; у^), Tg = (Xg; i/g), r^g = (jcTg - x^; z/g - y^). Вычисляя скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями, получим Ai = {mg*r{) = -mgy^, Ag = {mg- Tg) = -mgy2У Ajg = {mg • r^g) = -m^(z/g - y^). Отсюда A = Aj + Aig = -mgy2 = Ag Этот результат справедлив для любой траектории, соединяющей начало координат и точку 2, поскольку выбор числа и расположения промежуточных точек произволен, а работа не зависит от координат промежуточной точки 1. Работа силы упругости. Вычислим работу силы упругости пружины F, действующей на материальную точку г л а в а 4 Законы сохранения импульса и энергии 149 Рис. 4.16 массой т, если одним из концов пружина закреплена в точке О. На рис. 4.16 изображено элементарное перемещение материальной точки из положения 1 в положение 2. Элементарная работа силы упругости при перемещении точки AAj2 = (-f’ • ^^12) = FAr^gCOS ф = -FArjgCOS а. Но величина Arjg cos а ~ Аг^д равна удалению точки от начала координат, т. е. удлинению пружины, так что AAjg = = AAjg = -FArjg. При перемещении из точки 3 в точку 2 по дуге окружности с центром в начале координат сила упругости не совершает работу, так как направлена перпендикулярно этому перемещению. Представляя произвольное перемещение точки по криволинейной траектории 1—2 (рис. 4.17) как сумму элементарных перемещений, легко вычислить работу силы упругости: Aj2 = -Ajg. Точка 3 находится на таком же расстоянии от начала координат, что и точка 2, но перемещение происходит по прямой. Для вычисления работы силы упругости на прямолинейной траектории воспользуемся графическим способом, проиллюстрированным в § 4.4. При перемещении из точки 1 в точку 3 (см. рис. 4.13) Ajg = Ajg = Hrl - rf) Пример 1. Груз массой т прикреплен к нижнему концу пружины, верхний конец которой закреплен. В начальный момент груз удерживается так, что пружина не деформирована. Жесткость пружины равна ky ускорение свободного падения — g. Определите максимальное растяжение пружины после освобождения груза. \ Механика В системе отсчета, связанной с Землей, начало координат совместим с начальной точкой траектории, а ось ОХ направим вертикально вниз (рис. 4.18). На груз во время движения действуют Земля с силой mg, пружина с силой F, модуль которой определяется законом Гука F = kx. По теореме об изменении кинетической энергии Д£„-£к(2)-£„(1) = Л„^ + А^,. В начальном положении 1, когда пружина не деформирована, и в конечном положении 2, когда пружина максимально растянута (см. рис. 4.18), скорость груза равна нулю, так что £,(2) = £,(1) = 0. Работа силы тяжести ^ mgx. Работа силы упругости kx^ отрицательна: Ар = —^ . Поэтому kx‘^ mgx----= О, откуда X = 2т g k Заметим, что в состоянии максимального удлинения пру жины сила упругости достигает своего максимального значе ния, которое вдвое превосходит силу тяжести ^тах = = 2/П^, так что ускорение груза в этом положении не равно нулю и направлено вверх. Потенциальные силы. Работа силы упругости и силы тяжести определяется лишь расстоянием от начала координат до начальной и конечной точек и г^. Она одинакова для любой траектории, соединяющей эти точки. Сила называется потенциальной, если ее работа не зависит от формы траектории, соединяющей начальную и конечную точки траектории. Работу силы, не зависящей от траектории движения, можно вычислять не по действительной траектории движения материальной точки, а по контуру — траектории, соединяю- Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 151 щей начальную и конечную точки, которая вводится для удобства вычисления работы силы и не обязательно совпадает с какой-либо действительной траекторией точки. Для выяснения потенциальности данной силы удобно пользоваться следующим критерием: если работа силы, действующей на материальную точку, при ее перемещении по любому замкнутому контуру равна нулю, то сила является потенциальной. Применение этого критерия показывает, что потенциальными являются следующие силы: сила тяжести, сила упругости пружины и электростатические силы, действующие между заряженными телами. Пример 2. Тело брошено с высоты Н с начальной скоростью под углом а к горизонту. Определите модуль и направление скорости тела непосредственно перед падением на землю. Для определения модуля скорости тела, переместившегося в свободном падении из начальной точки в конечную (рис. 4.19), удобно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии 2 Д£,= mv то о = А mg’ Поскольку сила тяжести является потенциальной, т. е. работа ее не зависит от формы траектории, соединяющей начальную и конечную точки, вычисление удобно провести по контуру НОВ (см. рис. 4.19). На вертикальном участке работа силы тяжести равна А^^^ = mgH, а на горизонтальном она равна нулю. Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим уравнение то то о = mgH, 2 2 решая которое определим скорость V = Jvl + 2gH . Для определения направления вектора скорости необходимо вычислить угол р, определяемый отношением проекции скорости на ось ОХ к модулю скорости в момент падения: cos р = о о I Механика Движение вдоль оси ОХ является равномерным, так что - Vq cos а. Тогда cos р = cos а л + 2gH/v^' Вопросы и задания 1. Какие силы называются потенциальными? Приведите примеры таких сил. 2. Тело в течение некоторого времени t соскальзывает по наклонной плоскости с постоянной скоростью. На него действуют сила тяжести и сила реакции плоскости. Работа какой из сил за время t больше по модулю? § 4.6. Работа сил реакции Мы рассмотрели примеры применения теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки для определения ее скорости при движении под действием заданных сил. Если же точка скользит по поверхности твердого тела, то сила реакции, а часто и траектория движения точки неизвестны, поэтому вычислить работу этой силы невозможно, не определив предварительно закон движения и силу реакции с помощью второго закона Ньютона. Но в такой ситуации применение теоремы об изменении кинетической энергии для определения закона движения в общем случае не имеет смысла. Рассмотрим частные случаи, когда теорема об изменении кинетической энергии может быть использована для решения задач динамики, включающих силы реакции. Особенно просто решаются такие задачи, если, не определяя закона движения точки, удается доказать, что работа силы реакции равна нулю. В двух случаях это очевидно: • при движении материальной точки по гладкой поверхности, неподвижной в выбранной системе отсчета; • при движении материальной точки на нерастяжимой нити, конец которой неподвижен в данной системе отсчета. В обоих случаях вектор силы реакции перпендикулярен вектору скорости, так что элементарная работа силы реакции в любой точке траектории при любом характере движения равна нулю. Следовательно, работа силы реакции при любом перемещении также равна нулю. Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 153 Пример 1. Определите скорость математического маятника длиной 1 в нижней точке траектории, если в начальный момент времени он был отклонен на угол а от вертикали, а его скорость в этот момент равнялась нулю. Для определения скорости маятника в нижней точке траектории воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки, переместившейся из начального положения 1 в конечное положение 2 (рис. 4.20): Рис. 4.20 Д£к = mv ■A-mg 3" -Aj.. Здесь А работа силы — работа силы тяжести, а Aj — натяжения нити. Сила тяжести является потенциальной, поэтому для вычисления ее работы можно выбрать контур 132^ не совпадающий с траекторией перемещения тела массой /п. Работа силы тяжести по указанному контуру легко вычисляется: mgl{l - cos а). Сила натяжения нити не является потенциальной, однако при движении она всегда перпендикулярна перемещению и Ау. = 0. Теорема об изменении кинетической энергии имеет вид ти = mgl{l - cos tt). откуда получается скорость маятника в нижнеи точке V = J2gl{l - cos а). Заметим, что равенство нулю работы силы натяжения нити вовсе не означает, что мы не учли действия этой силы на движение маятника. В каждой точке траектории сила натяжения нити действует на тело так, что обеспечивает его движение по дуге окружности. Поскольку сила натяжения нити изменяется по модулю и по направлению, то движение точки под действием силы тяжести и силы натяжения нити не является ни равномерным движением по окружности, ни равноускоренным. Поэтому применение теоремы об изменении кинетиче- ■i[54 I Механика X Рис. 4.21 ской энергии является единственно возможным способом решить поставленную задачу. Работа сил реакции может быть и отличной от нуля. Например, при торможении кубика, скользящего по поверхности доски до остановки (см. рис. 4.5, а), работа сил реакции отрицательна < О, а при движении этого кубика вместе с доской под действием горизонтальной силы (см. рис. 3.29) работа силы трения положительна. В этом случае теорема об изменении кинетической энергии может быть использована для определения конечной скорости или положения точки. Пример 2. Определите скорость тела массой т в конце спуска с наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а, если в начальный момент времени тело находилось на высоте h над горизонтальной частью, а ее скорость была равна нулю. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен ц, ускорение свободного падения равно g. В инерциальной системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью (рис. 4.21), ускорение материальной точки определяется вторым законом Ньютона та = mg + R. Что с учетом проекций векторов на оси координат дает та - mgsin а -^ О = N - mgcos а. К Поскольку при скольжении Frt. = MN. силу трения легко рассчитать: F.j.p = pm^cos а. Для вычисления скорости точки, движущейся по наклонной плоскости, удобно применить теорему об изменении кинетической энергии: Определяя проекции сил на направление движения — ось ОХ, получим следующие выражения для работы сил: А = m/?sin а • х, Aj^ = -F х = -pm^cos а * х. г л d в а 4 Законы сохранения импульса и энергии J те Подставляя эти значения в теорему об изменении кинетической энергии 2 mv = mg‘x(sin а - jicos а) и учитывая связь между перемещением точки вдоль оси ОХ и высотой h = X sin а, определим скорость точки в конце спуска: V - J2gh{l - |ictg а). Решение справедливо при условии 1 - р ctg а > О, т. е. при достаточно малой силе трения, которая не может удержать точку на наклонной плоскости. Работа силы в различных системах отсчета. Второй закон Ньютона имеет одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета, поэтому все они равноправны. Различие возникает лишь при выборе начальных условий. Это позволяет одинаково успешно решать задачи о движении точки под действием заданных сил в любой инерциальной системе отсчета. Иначе обстоит дело с применением теоремы об изменении кинетической энергии. Конечно, эта теорема остается справедливой в любой системе отсчета, но практическое ее использование в разных системах различно. Покажем, например, как с помощью теоремы об изменении кинетической энергии и импульса материальной точки рассчитывается конечная скорость шарика, упруго сталкивающегося с движущейся стенкой. Положим для простоты, что сила реакции в течение времени контакта постоянна. Стенка за время контакта х перемещается на расстояние Дл: = пх и сила реакции F = (F; 0) совершает положительную работу (рис. 4.22). Теорема об изменении кинетической энергии имеет вид mv mv - = Fux. 2 2 Согласно теореме об изменении импульса для проекции импульса шарика на ось ОХ можно записать wl>2 + mv^ = Ft. ^[56 I Механика Система уравнений позволяет определить скорость шарика после отскока путем деления одного уравнения на другое: 1^2 ^ L>i + 2и. Вопросы И задания 1. Как рассчитать работу силы при криволинейном движении? 2. Чем определяется работа силы тяжести при перемещении тела вблизи поверхности Земли? Зависит ли она от траектории, по которой тело перемещается из одной точки пространства в другую? 3. Чему равна работа силы реакции при упругом отскоке шарика массой т, летящего со скоростью на стенку, движущуюся со скоростью V (см. рис. 4.22)? 4. Шайба массой m соскальзывает с гладкой наклонной плоскости высотой h с нулевой начальной скоростью. Плоскость составляет с горизонтом угол а. Определите работу силы реакции наклонной плоскости в системе отсчета, движущейся горизонтально с постоянной скоростью о. § 4.7. Потенциальная и полная энергия материальной точки Закон сохранения энергии. Теореме об изменении кинетической энергии материальной точки в поле потенциальных сил можно придать форму закона сохранения. Пусть частица перемещается из положения 1 в конечное положение 2 по некоторой криволинейной траектории 12 (рис. 4.23). Теорема об изменении кинетической энергии точки при таком перемещении имеет вид '^к = -Е„(2)-£,(1) = А,2. работа потенциальной силы. Частицу можно привести в положение 1 из некоторой фиксированной точки пространства (например, из начала координат). Работу потенциальной силы на этом перемещении обозначим Aj. Если обозначить работу потенциальной силы по перемещению частицы из этой же фиксированной точки пространства в положение 2 как А2, то из условия где Aj2 Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J W7 потенциальности (независимости работы от формы траектории) следует равенство Ag = Aj + -^12» которое дает возможность записать теорему об изменении кинетической энергии в виде Е^{2)-Е^Ц)=А2-А,. Перенесем в левую часть выражения все слагаемые с индексом 2, т. е. относящиеся к механическому состоянию частицы в положении 2, а в правую часть — слагаемые с индексом 1, т. е. описывающие состояние частицы в положении 1: E,(2)-A2 = E,(1)-Ai. В таком виде равенство можно трактовать как сохранение величины, равной разности кинетической энергии точки и работы силы, действующей на эту точку. Поскольку работа потенциальной силы при выбранном начале отсчета зависит только от положения точки в пространстве, удобно работу внешней силы рассматривать как характеристику самой точки. Эту характеристику точки по аналогии с кинетической энергией называют потенциальной энергией точки. Потенциальной энергией силы {потенциальной энергией точки в поле потенциальных сил) называется работа потенциальной силы при перемещении материальной точки из некоторого начального положения в данное, взятая со знаком «минус»: к = -А. Это позволяет записать полученное соотношение как Е,(1) + £„(1) = £,(2) + £„(2) (*) и, введя понятие полной энергии материальной точки, сформулировать важный вывод из теоремы об изменении кинетической энергии. Полной энергией материальной точки называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий: Е = + Е„. Поскольку в каждой части уравнения (*) собраны величины, характеризующие механическое состояние материальной ^[53 I Механика точки (положение и скорость) в соответствующий момент вре мени, теорема об изменении кинетической энергии точки при обретает форму закона сохранения полной энергии. В инерциальной системе отсчета по.чная механическая энергия материальной точки^ движущейся в поле потенциальных сил, сохраняется: £ = + £„ = const. Для практического применения закона сохранения энергии необходимо уметь вычислять потенциальную энергию материальной точки. Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле CHjnbi тяжести. В однородном поле силы тяжести работа силы F = mg при перемещении материальной точки из начала координат в точку, заданную радиусом-вектором г - (л:; у), равна А(г) = {¥•?) = {mg • г) (см. § 4.5), V/ следовательно, потенциальная энергия материальной точки равна EJr) = -Л(г) = ~(mg- г). Если выбрать систему координат XOY так, чтобы ось ОХ была горизонтальной, а ось OY направить вертикально вверх, то mg = (0; -mg) и потенциальная энергия равна В Jr) = mgy. Как видно из этого соотношения, потенциальная энергия зависит от выбора начала отсчета и может, например, быть положительной или отрицательной. Традиционно вводят высоту подъема тела относительно начала координат г/ = Л и записывают потенциальную энергию в виде EJh) = rngh. Потенциальная энергия материальной точки в поле сил упругости. Работа силы упругости F = -kx при перемещении материальной точки из положения равновесия в положение, когда деформация пружины равна х = I - 1^{1^ — длина не- деформированной пружины, а / — длина в деформированном Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии J 159 kx^ состоянии), была вычислена ранее в § 4.4: А{х) = —^ . Удобно ввести потенциальную энергию точки в поле сил упругости kx^ Е^{х) = Ц- . Поскольку наличие такой энергии у материальной точки в задачах элементарной механики чаще всего связано с тем, что она прикреплена к пружине, потенциальную энергию точки называют потенциальной энергией пружины. При этом потенциальная энергия недеформированной пружины считается равной нулю. Потенциальная энергия материальной точки в поле силы тяжести точечной массы. В гравитационных полях, описываемых законом тяготения Ньютона, непосредственное вычисление работы сил достаточно сложно. В этом случае используют готовые формулы для потенциальной энергии, которые мы приводим без вывода. Если материальная точка массой т находится в гравитационном поле точечной массы М на расстоянии г от нее, то Е„(г) = • Потенциальная энергия стремится к нулю с увеличением расстояния между точками, так что отсчет потенциальной энергии ведется от положения предельного удаления, из бесконечности. Между формулами = mgh и = - GMm существует связь. Если R — радиус тела массой М (планеты), создающего гравитационное поле (рис. 4.24), а г = Я + Л — расстояние от его центра до точки массой т, то ^тМ _ ^ тМ ”Сг-----(_т = -G г тМ R + h R 14-Л/Я* Ф Учитывая, что ускорение свобод- GM ного падения на поверхности g Я2 и используя представление дроби в виде геометрической прогрессии —=1-^ + l+h/R R ^ Ф Ф ь у Рис. 4.24 ■jgQ I Механика получим выражение для потенциальной энергии “ I + (I) “(I) + ••• I + Пример. Определите минимальную начальную скорость о, которую должна иметь материальная точка массой т на поверхности Земли, чтобы удалиться от нее неограниченно далеко. Пренебрегая влиянием на эту точку всех других тел Солнечной системы, рассмотрим движение в поле силы тяжести Земли. Сила тяжести, действующая на материальную точку, является потенциальной, что позволяет ввести для ее описания потенциальную энергию точки, находящейся на расстоянии г > R от центра Земли (здесь R — радиус Земли, а М — ее масса): Е,,{г) = -G тМ Полагая систему ХОУ, связанную с Землей, инерциальной и пренебрегая действием всех других сил, применим для описания движения закон сохранения полной механической энергии. В начальный момент времени материальная точка, находящаяся на поверхности Земли, имеет потенциальную энергию £„(Д) = -G ^ И кинетическую 2 mvQ EJR) = ^ На расстоянии Rot центра Земли кинетическая энергия mv тМ Е^{г) = , а потенциальная EJ^r) ~ -G—^ ~ О, так что пол- ная энергия на этом расстоянии выражается соотношением то Е(г) = - 2 Поскольку полная энергия сохраняется Е{г) = E{R)y можно записать уравнение mv mvl тМ 2 ^ R Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 161 позволяющее получить выражение, связывающее начальную скорость точки и ее скорость на расстоянии г ^ R. Скорость материальной точки voiv) = Jv 2 2GM R Тогда минимальному значению начальной скорости V \2GM о min R обеспечивающей удаление от Земли на сколь угодно большое расстояние, соответствует значение = 0. Это выражение можно упростить, если учесть, что вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения пропорцио- GM нально ее массе g = так что ^0 min J^§R • Минимально возможная скорость, позволяющая преодолеть притяжение небесного тела, называется второй космической скоростью. Для Земли i>omin ~ км/с. В 1793 г. английский ученый Дж. Мичелл высказал предположение, что наиболее массивные звезды могут быть невидимы, поскольку вторая космическая скорость для них может оказаться больше скорости света. Французский математик Пьер Симон Лаплас в 1795 г. использовал закон сохранения энергии для вычисления радиуса таких сверхмассивных звезд, полагая вторую космическую скорость равной скорости света Vq = с. При выполнении неравенства 2GM > c^R ни одна частица, включая световые, не сумеет покинуть поверхность звезды. Значительно позже, в 1916 г. такой же результат был получен Карлом Шварцшильдом с помощью теории тяготения Эйнштейна. Радиус тела, для которого вторая космическая скорость равна скорости света, называется гравитационным радиусом. Согласно приведенным вычислениям. 2GM Если в формулу подставить массу Солнца, то его гравитационный радиус окажется равным Rg ^ 3 км, что соответствует результатам Мичелла, который утверждал, что если сжать Солнце до шара диаметром 6 км, то свет не сможет его покинуть. В 1968 г. американский физик Джон Уилер назвал такие объекты черными дырами. ^[02 I Механика Закон сохранения полной энергии в совокупности с законами Кеплера позволяет выявить закономерности движения космических кораблей при межпланетных перелетах, не решая сложной задачи их движения под действием сил всемирного тяготения с помощью второго закона Ньютона. Так, например, можно показать, что если увеличить скорость вращения спутника по круговой орбите радиусом г вокруг планеты от значения Vq до значения 1;^, меньше второй космической, то спутник перейдет на эллиптическую орбиту. I г причем большая полуось эллипса будет равна „ = • ^ 2 - v{/v^ Вопросы И задания 1. в каких случаях можно ввести понятие потенциальной энергии материальной точки и как она определяется? В чем привлекательность замены работы сил, действующих на тело, потенциальной энергией тела? 2. Как рассчитывается потенциальная энергия материальной точки в поле гравитационных сил и сил упругости? 3. За счет чего может изменяться полная механическая энергия системы? Приведите примеры. 4. Какую минимальную скороть следует сообщить космическому кораблю, запускаемому с Земли на Марс? В какой точке траектории должен находиться Марс в момент запуска? Сколько времени будет продолжаться полет станции? Радиус орбиты Марса считать равным 228 млн км. § 4.8. Сохранение и изменение полной энергии в задачах динамики Если на материальную точку кроме потенциальных сил действуют также и непотенциальные (например, силы реакции поверхности), то теорема об изменении кинетической энергии может быть представлена в форме закона изменения полной энергии. В инерциальной системе отсчета изменение полной энергии материальной точки равно работе непотенциальных сил: АЕ = Е{2)-Е(1) = А НП 12 Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 163 Достаточно часто в задачах рассматриваются системы, в которых работа непотенциальных сил реакции равна нулю. Это позволяет говорить о сохранении полной механической энергии и решать как прямую, так и обратную задачу динамики. Пример 1. Материальная точка скользит по гладкой поверхности купола радиусом R в поле силы тяжести. Найдите зависимость силы реакции поверхности от угла а, определяющего положение точки на куполе. В начальный момент времени точка находится на вершине купола и ее скорость равна нулю. Скольжение точки по поверхности купола рассмотрим в инерциальной системе отсчета ХОУ, связанной с Землей (рис. 4.25). На точку действуют сила тяжести mg = (0; -mg) и сила реакции купола N = (№in а; Ncos а), направленная перпендикулярно поверхности. Ускорение точки в инерциальной системе отсчета определяется вторым законом Ньютона та = mg + N. Для решения обратной задачи динамики — определения силы реакции поверхности — необходимо знать ускорение точки. Вектор ускорения условием задачи не определен, однако при движении по окружности заданного радиуса R нормальная составляющая ускорения направлена к центру окружности и ее модуль выражается как в момент времени, изображенный на рисунке, проекции сил на направление к центру легко вычисляются, так что второй закон Ньютона приводит к уравнению та^^ = mgcos а. - N. Отсюда можно выразить силу реакции v^{a) N{a) = т ^^cos а - R если известна зависимость скорости точки от ее положения. Определить скорость можно с помощью закона сохранения полной механической энергии, поскольку работа силы реакции гладкой поверхности равна нулю. ^[04 I Механика В произвольный момент времени 2 , а £„ = mgRcos а, £к = так что Е{а) = mi? + mgRcos а. Применяя закон сохранения энергии для начальной и произвольной точек скольжения, получим уравнение 2 mgR = mv + mgRcos а, определяющее скорость точки в зависимости от угла а: L>^(a) = 2gR(l - cos а). Искомая зависимость N{a) = m^^cos ^ j = mg{3cos a - 2). При cos 0^ = 3 сила реакции Л^(а) - 0, что определяет точку отрыва. Дальнейшее движение не описывается рассмотренной моделью. Теорема об изменении полной механической энергии позволяет решать задачи динамики, в которых присутствуют непотенциальные силы, если работу этих сил можно вычислить в явном виде. Пример 2. Определите максимальную деформацию пружины жесткостью kj верхний конец которюй закреплен, а к нижнему прикреплено тело массой т, которое может скользить по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Тело начинает движение с нулевой начальной скоростью из положения, в котором пружина не деформирована. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен р, ускорение свободного падения — g. Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с наклонной плос- Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии J 165 костью. Начало системы координат совместим с начальной точкой движения тела (рис. 4.26). При движении тела на него действуют потенциальные сила тяжести mg и сила упругости F, а также непотенциальная сила реакции R = (/; Л^), определяющаяся условием движения по плоскости и законом сухого трения / = [iN при Ф 0. Второй закон Ньютона та = mg + F + R в проекции на ось OY можно записать о = - mgcos а. f = [iN ■- \xmgcos а Поэтому Для удобно точки определения максимальной деформации пружины использовать теорему об изменении полной энергии АЕ = £(2)-£(1) = А12я, где £(1) — полная энергия тела в начальном состоянии, Е{2) — полная энергия в конечном состоянии, = ~fx = = -pm^cos а* X — работа непотенциальной силы реакции поверхности при перемещении точки на расстояние х вдоль наклонной плоскости. Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий -^к ^nmg Поскольку начальная и конечная скорости тела равны нулю, £^(2) = Е^(1) = 0. Потенциальная энергия тела в поле сил упругости в начальном состоянии £„f(i) = о, так как пружина не деформирована, и в поле силы тяжести ^ тело нахо- дится в начале координат, Л = 0. В конечном состоянии 1? v2 = -mgxsin а; £„Д2) = • Теорема об изменении полной энергии принимает вид kx^ -mgxsin а + = -[imgcos а • Ху откуда максимальная деформация пружины _ 2mgsin а(1 - pctg а) k I Механика Решение верно при условии л: > О, т. е. при tg а > р, когда тело может скользить по плоскости. Пример 3. Как следует изменить скорость космической станции, движущейся по круговой орбите вокруг Земли на высоте 400 км, чтобы совершить посадку? Для совершения посадки следует уменьшить скорость станции так, чтобы ее эллиптическая орбита пересекала поверхность Земли или касалась бы ее. Предположим, что после кратковременной работы тормозного двигателя скорость станции уменьшится на п, не изменившись по направлению: - w, где Uq — скорость кругового движения стании на орбите. Минимальное изменение скорости станции соответствует условию касания. В этом случае большая полуось эллипса определяется условием 1 = В t h!2. Подставляя сюда выражение для 1{и^) (см. § 4.7) I/ \ R + h = о 1 ,;г'7.. ч2 R + h 2-{Vi/Vq)^ 12{u/Vfy) - получим формулу для определения скорости и: и = о А1 —, А -- 71 + h/2R Учитывая, что скорость кругового движения на высоте h = 400 км над поверхностью Земли ‘^0 = ■ J R R + h = 7,7 км/с, получим ответ: и = 120 м/с. Вопросы и задания 1. Какая модель движения применима для описания движения материальной точки после ее отрыва от купола (см. рис. 4.25)? 2. Опишите характер движения тела в системе, показанной на рис. 4.26, после того как деформация пружины достигнет максимального значения. Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 167 § 4.9. Изменение кинетической энергии системы точек Во многих задачах энергетический подход к описанию движения системы может оказаться не менее полезным, чем в динамике точки. Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. Пусть — масса точки с номером t, а - ее скорость. Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий Е- всех точек системы: = I m.vf Будем считать, что точки этой системы взаимодействуют друг с другом и с внешними телами. При движении материальных точек изменяются их скорости v^j что приводит к изменению кинетической энергии каждой точки. Это, в свою очередь, приводит к изменению кинетической энергии системы. Изменение кинетической энергии системы материальных точек описывается теоремой динамики, называемой теоремой или законом изменения кинетической энергии системы точек. В инерциальной системе отсчета изменение кинетической энергии системы материальных точек за время t = = ^2 ~ равно работе всех сил, и внешних и внутренних, действующих на точки системы в течение этого времени: ...+ А висш внутр* Для системы двух материальных точек, взаимодействующих друг с другом силами /j и f 2 = ~1 \ (по третьему закону Ньютона), суммарная работа этих сил не равна нулю, так как перемещение точек за время ЬЛ различно из-за различия в скоростях (рис. 4.27). Полученные результаты относятся и к взаимодействующим телам, которые можно рассматривать как систему материальных точек. ■^0g I Механика Пример. На шероховатой неподвижной доске, лежащей на гладком горизонтальном столе, стоит кубик. В начальный момент ему щелчком сообщают скорость Vq относительно доски. Какое расстояние пройдет кубик по доске, прежде чем прекратится его скольжение? Массы доски и кубика равны М и т, коэффициент трения между доской и кубиком равен р (см. § 4.3, пример 1). Начальное и конечное состояния системы в момент окончания скольжения изображены на рис. 4.28. Воспользовавшись результатами, полученными в § 4.3, мож но определить положение кубика и доски х\ в момент оконча- Рис. 4.28 М V о ния скольжения t, - -, ^ М + m[ig at х^ ^0^1 a't , Ху^ = 1 2 ’ где а = -[ig — ускорение кубика, а' = т М ускорение доски. Подставляя эти выражения, получим расстояние, пройденное кубиком по доске М V о I = Хл - х\ = - ^ о ^ * М + т 2ря Гораздо быстрее можно получить этот результат, воспользо вавшись теоремой об изменении кинетической энергии сис темы £„((i) - £„(to) = А внутр’ поскольку внешние силы — силы тяжести и реакции поверхности стола — направлены перпендикулярно перемеш;ениям тел и работы не совершают. В начальный момент времени ^0 = о кинетическая энергия системы равна энергии кубика mv о Глава 4 Законы сохранения импульса и 3nepi ии J 169 а в конечный момент времени когда скорости доски и куби- ка одинаковы и равны v^y (М + m)v? Kih) ~ ----2---^ ■ Выражение для конечной скорости системы i>j определяется из закона сохранения проекции импульса системы на ось ОХ: ttiVq == (М + т)Цр откуда т ^ М + m ^ С учетом этого соотношения выражение для кинетической энергии приводится к виду (М + m)L>? м mv о М + m 2 * так что изменение кинетической энергии системы за время скольжения кубика по доске т mv о М + т 2 Работа Aj силы реакции = (- Nj)y приложенной к кубику, равна ^ работа Ag силы реакции Яз = (Ртр2» ^2^* действующей на доску, — ^2 ^ = {Щ •АГз) = -^тр2^]1 • Следовательно, суммарная работа внутренних сил в задаче определяется выражением А внутр = Ai + - -F (х^ - х\) - -FJ, тр И поскольку модуль силы трения скольжения определяется законом сухого трения = \iN = \\.mgy “^внутр ~ \i.ITLgl, Таким образом, закон изменения кинетической энергии системы АЕ.. = А к внутр приводит К уравнению М mv о М + m 2 = -\imgly 170 I Механика решение которого дает ответ на вопрос задачи: 1 = М V 2 о М + т 2\ig ‘ Работа внутренних непотенциальных сил. Суммарная работа внутренних сил в этой задаче определяется относительным перемещением тел и пропорциональна этому перемещению. Если рассматривать систему кубик — доска как деформируемое тело, начальная форма которого отличается от конечной, то перемещение кубика по доске является неупругой деформацией этого тела. Решение задачи приводит к выводу, что при неупругих деформациях тел работа внутренних сил не равна нулю. Этот вывод подтверждается и анализом произвольного движения взаимодействующих материальных точек. Вопросы И задания 1. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии для системы точек. Сравните эту формулировку с законом изменения импульса системы точек. 2. Как зависит работа внутренних сил от выбора системы отсчета? § 4.10. Идеальные системы тел Особый интерес представляют такие системы, в которых работа внутренних сил равна нулю. Это позволяет при решении задач динамики использовать закон сохранения полной механической энергии. Системы материальных точек, в которых суммарная работа внутренних сил равна нулю, называются идеальными. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внутренних сил в системе точек, расстояние между которыми не изменяется при движении, равна нулю. Поскольку такая система точек называется твердым телом, можно сказать, что работа внутренних сил при движении твердого тела равна нулю. Полученный результат позволяет сформулировать закон изменения кинетической энергии твердого тела. г л а в а 4 Законы сохранения импульса и энергии J 171 В инерциальной системе отсчета изменение кинетиче ской энергии твердого тела за время ^ ра боте только внеигних сил, действующих на него в тече ние этого времени'. ~ “ ^внеш* Рассмотрим применение этих выводов для решения задач динамики. Пример 1. Невесомый стержень длиной I с прикрепленными к нему материальными точками массами ти М вращается вокруг горизонтальной оси О, как показано на рис. 4.29. В начальный момент времени стержень находится в горизонтальном положении и его скорость равна нулю. Определите силу реакции Т, действующую на груз массой М, со стороны стержня в тот момент, когда стержень при движении займет вертикальное положение. Выберем инерциальную систему отсчета ХОУ, связанную с Землей. Начальное положение системы изображено на рис. 4.29, а, а конечное — на рис. 4.29, б. На рис. 4.29, в указаны силы, действующие на точку массой М в момент прохождения нижней точки траектории. В этот момент точка массой М движется по окружности радиусом I со скоростью ц и ее центростремительное ускорение = и^/1 направлено к оси вращения. Поскольку силы, действующие на точку в этот момент времени, направлены только вдоль радиуса, полное ускорение этой точки а = Оцд = v^/l определяется вторым законом Ньютона Ма = Т - Mgy 172 I Механика откуда Т = M{g -4- а). Для определения центростремительного ускорения необходимо вычислить скорость движения материальной точки массой М. Воспользуемся для этого законом изменения кинетической энергии твердого тела. На твердое тело, состоящее из стержня и двух материальных точек, действуют силы тяжести mg и Mg и сила реакции оси вращения Л, приложенная к стержню в точке О, следовательно, изменение кинетической энергии стержня с материальными точками равно работе этих сил. Но сила реакции приложена к оси вращения стержня и не совершает работы, так как ось неподвижна. Следовательно, изменение кинетической энергии тела равно работе только сил тяжести. В начальный момент кинетическая энергия тела равна нулю, а в момент, когда стержень занимает вертикальное положение, кинетическая энергия тела равна сумме энергий точек, его составляющих, так что закон изменения кинетической энергии имеет вид ти -Ь Ми2 ^mg '^Mg' Поскольку радиус траектории точки т вдвое меньше, чем точки М, ее скорость в 2 раза меньше: и = v/2. Отсюда получается выражение для кинетической энергии тела £к = mi;2 . Му2 т + 4М 8 + 8 1>2. Силы тяжести являются потенциальными, и их работа определяется только вертикальным перемещением материаль ных точек: • , mgl , ,, , т + 2М , А_. +А,^„= +Mgl = ----------gl. mg Mg Из этих выражений можно определить центростремитель ное ускорение точки М 1)2 т + 2М а также найти силу реакции стержня Т: Т = M{g + а) = Mg\\ + 4 т + 2М т + 4М ) =Mg 5т + 12М т 4М г л а в а 4. Законы сохранения импульса и энергии J 173 Работа внутренних сил в разных системах отсчета. Суммарная работа внутренних сил в системе материальных точек не зависит от выбора системы отсчета, поскольку и модуль силы, и расстояние между точками не зависят от выбора системы отсчета, т. е. являются инвариантными величинами. Поэтому если в какой-либо системе отсчета (не обязательно инерциальной) можно доказать, что работа внутренних сил в системе равна нулю, то такую систему можно считать идеальной. Рассмотрим, например, материальную точку массой т, соскользнувшую с гладкой горки массой М и высотой Л, если горка может скользить по гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 4.30, а). В начальный момент горка и материальная точка были неподвижны о-тосительно стола. Работа внешних сил Mg и N, действующих на горку (рис. 4.30, б), равна нулю, так как перемещение горки перпендикулярно этим силам. Работа силы тяжести легко вычисляется, поскольку сила является потенциальной. Непосредственное вычисление работы внутренних сил Лзнутр в системе отсчета ХОУ, связанной с Землей, невозможно, так как траектория движения точки в этой системе не определена. Однако эту работу легко вычислить в системе отсчета Х'О'У', связанной с горкой (рис. 4.30, в). Здесь горка покоится и работа сил реакции, действующих на нее, равна нулю. Любое элементарное перемещение точки, скользящей по гладкой горке, в этой системе перпендикулярно силе реакции, поэтому и работа силы реакции также равна нулю. Следовательно, работа внутренних сил в системе отсчета, связанной с горкой, равна нулю. Но так как суммарная работа внутренних сил не зависит от системы отсчета, работа внутренних сил в системе ХОУ также равна нулю: = 0. Таким образом, закон изме- нения кинетической энергии системы приводит к уравнению mv + Mu2 == mgh. Рис. 4.30 I Механика Рис. 4.31 Система связанных тел. В задачах динамики мы рассматривали системы материальных точек и блоков (твердых тел), связанных невесомыми нерастяжимыми нитями. Закон изменения кинетической энергии системы точек может быть успешно применен и в этих задачах, так как любая система материальных точек, соединенных невесомыми нерастяжимыми нитями, перекинутыми через невесомые блоки, является идеальной. Покажем, например, что силы натяжения правого и левого концов нити, перекинутой через блок, при движении грузов равны (рис. 4.31). Поскольку система из блока и нити идеальна, работа внутренних сил в ней равна нулю. Так как блок и нить невесомы, то изменение их кинетической энергии, а следовательно, и работа внешних сил равны нулю. Внешними силами являют-ся сила реакции R блока и силы натяжения, приложен-ные к концам нити, Tj и Т.^. Работа силы R равна нулю, так как ось блока неподвижна, тогда равна нулю и работа сил натяжения. Поскольку нить нерастяжима, смещения ее концов равны по модулю и противоположны по знаку Az/j = -At/2* Поэтому ~ ^2^У2 = о и ТJ = Т2. Таким образом, идеальными системами являются следующие системы тел: • системы материальных точек, расстояния между которыми не изменяются при движении, т. е. твердые тела; • системы твердых тел с гладкими поверхностями при их взаимном скольжении; • системы материальных точек и твердых тел, соединенные невесомыми нерастяжимыми нитями. Для этих систем изменение кинетической энергии определяется только работой внешних сил. Пример 2. Определите ускорение груза т, в системе, изображенной на рис. 4.32, а, если нить нерастяжима, а массой блока можно пренебречь. 1. Система состоит из двух материальных точек и двух тел — нити и блока, для которых модель материальной точки непри- Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 175 щё а) Рис. 4.32 менима (рис. 4.32, б). Движение материальных точек в инерциальной системе ОХУ, связанной с Землей, можно описать вторым законом Ньютона: mjttj = m^g-T^, т^а2 = rrizg - ^2* где m^g и m2gy T^vi Т2 — модули проекций сил тяжести и сил натяжения нити на ось ОУ. Как мы показали выше, невесомый блок с нитью образуют идеальную систему, для которой = Tg. Координаты материальных точек связаны соотношением ^1 + z/g = и где I — длина свисающей части нити. Так как нить нерастяжима, то при движении А/ = О, что приводит к уравнениям для скоростей и ускорений точек + ^2 = О, "Р zig 0. Решение полученной системы дает искомое ускорение: mj - mg mj + mg ё- 2. Эту же задачу можно решить, используя теорему об из менении энергии идеальной системы. Если в начальный мо мент тела покоятся, то изменение кинетической энергии опре деляется уравнением: Д£.= + mgi>| = + mg^Az/g, где Az/j, А^^2 — перемещения грузов за время наблюдения. ~yfQ I Механика С учетом кинематической связи между скоростями и пере мещениями точек это уравнение приводится к виду: mj + mg vf = {rrii - ni2)gAyi. Такая зависимость между скоростью точки и ее перемеще нием возможна только при равноускоренном движении с ус корением (см. § 2.5) «1 = rtli - 1712 mj + mg g- Вопросы И задания 1. Приведите примеры системы точек (тел), в которых работа внутренних сил, действующих на систему точек, равна нулю. Как они называются и как для таких систем можно сформулировать закон изменения кинетической энергии системы точек? 2. Найдите скорость горки (см. рис. 4.30) после соскальзывания тела. § 4.11. Работа внутренних потенциальных сил системы. Упругий удар Классическими задачами, в которых могут быть экспериментально проверены теоретические выводы теорем динамики, являются задачи об упругом ударе двух тел. Упругий лобовой удар. Если при взаимодействии шаров внутренние силы упругости, возникающие при деформации шаров, являются потенциальными, то их работа в ходе взаимодействия равна нулю и суммарная кинетическая энергия шаров до и после удара сохраняется. Ударом называется такое взаимодействие деформируемых твердых тел, которое происходит в течение ограниченного времени. До и после удара тела можно считать не взаимодействующими друг с другом. Примером удара может служить столкновение бильярдных шаров. Абсолютно упругим ударом называется соударение упругих тел, форма которых полностью восстанавливается после удара, а внутренние силы потенциальны. Полная работа внутренних сил за время удара равна нулю. Соударение называется центральным {лобовым), если оба тела в результате соударения будут двигаться вдоль одного направления. Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии J 177 Пример 1. Определите скорости упругих шаров после лобового столкновения, если до соударения один шар массой т двигался со скоростью Vq относительно инерциальной системы, связанной с Землей, а другой, массой М, покоился (рис. 4.33). Будем считать, что движение шаров происходит на гладкой горизонтальной поверхности (ось ОХ) без вращения. Внешние силы (силы тяжести и реакции поверхности) действуют на систему только в вертикальном направлении. Такие силы: • не изменяют импульс системы вдоль оси ОХ; • не совершают работы. Первое условие позволяет применить закон сохранения импульса. Импульс системы до соударения P^.(0) = mvQ равен импульсу системы после соударения = mv + Ми: mvQ = mv + Ми. Здесь VyU — скорости шаров после соударения. Второе условие позволяет записать закон сохранения кинетической энергии, поскольку суммарная работа внутренних сил при упругом ударе также равна нулю. Кинетическая энергия системы до соударения равна кинетической энергии системы после соударения: mv о то + Mu2 Система уравнений mv + Ми^ 2 2 mv + Ми имеет следующие решения: V и = ^т + М * Первое решение описывает систему, в которой удар не произошел, второе — соответствует упругому удару. УТ8 I Механика m! М В этом случае скорость налетающего шара может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от соотношения масс шаров. Если налетающий шар достаточно легкий (т < М), то после соударения с тяжелым шаром он отскакивает назад, как от неподвижной стенки {v < 0). Если же этот шар достаточно тяжелый (т > М), то он продолжает двигаться в том же направлении, но медленнее (0 < 1>< i^o)* Если же массы шаров равны {т = М), то налетающий шар останавливается, а покоящийся двртжется со скоростью v = Vq. Шары «обмениваются скоростями». Этот процесс иногда описывают в терминах энергии, говоря, что налетающий шар «передает часть энергии». Если ввести отношение энергии второго шара после удара к энергии налетающего шара X] = Е.^/Еу где Eg ~ Ми^/2, а Е = /2, то 4тМ Рис. 4.34 это отношение зависит только от масс шаров г\ = ., -п . На (т + М)^ рис. 4.34 приведен график этой зависимости как функции отношения масс. Нецентральный удар тел. Гораздо чаще удар двух шаров бывает нецентральным. При этом очевидно, что внутренние силы упругости действуют только по линии, соединяющей центры шаров (рис. 4.35). Хотя в общем случае угол разлета и скорости шаров после нецентрального удара определить нельзя, в ряде частных случаев такая задача может быть решена. Пример 2. Определите угол разлета двух одинаковых упругих шаров (бильярдных), движущихся без вращения по гладкой горизонтальной плоскости, если один из них вначале покоится, а второй движется со скоростью Oq (рис. 4.36). & 1^0 60" О Рис. 4.35 Рис. 4.36 Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 179 Поскольку движение шаров происходит по гладкой горизонтальной поверхности, то внешние силы, действующие на систему (силы тяжести и реакции поверхности), направлены вертикально. Эти силы не изменяют импульс системы и не совершают работы. Если соударение шаров считать абсолютно упругим, то полная работа внутренних сил за время соударения также равна нулю. Это позволяет использовать закон сохранения импульса (в векторной форме) и закон сохранения кинетической энергии системы: — mv^ + 771^2» mu о mv 2 + ти^ Возводя первое уравнение в квадрат и учитывая, что квадрат суммы двух векторов вычисляется по правилам скалярного произведения = (б • б), получим систему = of + 1?| + 2i>^i;2<^os а, ug = uf + у|. Из полученной системы следует, что а = 0. Это соот- ветствует таким вариантам: 1) 1?2 = о — удара не произошло; 2) = о — произошел лобовой удар, при котором шары обменялись скоростями; 3) cos а = о — произошел нецентральный удар, при котором угол разлета шаров равен ос = 90°. Следовательно, для того чтобы забить два бильярдных шара в лузы одновременно, необходимо один из шаров поставить на окружность, опирающуюся на прямую, соединяющую лузы, как на диаметр. Безусловно, что это условие является только необходимым (в принятой модели удара), а достаточным будет умение игрока придать нужное направление первому шару. Если известны параметры, задающие потенциальные силы при деформации, то может быть решена задача о величине этой деформации. Для этого также требуется использовать и закон сохранения импульса, и закон сохранения энергии системы. Пример 3. Определите максимальную деформацию невесомой пружины жесткостью /г, присоединенной к покоящемуся кубику массой т-2, если на него вдоль оси пружины налетает со скоростью V кубик массой (рис. 4.37) и в начальном состоянии пружина не деформирована. "jgQ I Механика и т Рис. 4.37 Фактически задача моделирует упругое лобовое столкновение тел. Для решения задачи прежде всего следует понять, в какой момент времени деформация пружины будет максимальна. После контакта налетающего кубика с пружиной она начнет сжиматься, тормозя кубик массой и ускоряя кубик массой mg. Когда скорости кубиков сравняются, пружина будет сжата и сила упругости будет продолжать ускорять второй кубик и замедлять первый. Кубик массой начнет отставать от второго кубика, пружина начнет разжиматься. Значит, в момент максимальной деформации пружины кубики движутся с одинаковой скоростью. Будем считать движение системы одномерным и выберем ось ОХ вдоль векторов скоростей точек системы. Поскольку внешние силы, действующие на тела системы, отсутствуют, а внутренние — силы упругости — являются потенциальными, полная энергия системы сохраняется. Так как массой пружины можно пренебречь, кинетическая энергия системы определяется только движением кубиков: + nioV 2‘^2 2 2' Потенциальная энергия определяется взаимным расположением кубиков, т. е. деформацией пружины А1 = х^- k{Xi - ATg) Поскольку полная энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется, вычислим эту величину в два момента времени. В начальный момент ^ = О, когда пружина не деформирована. Е(0) = m^v а в момент наибольшего растяжения t = когда скорости всех точек системы одинаковы. (mi + mg)w2 ^ + 2 2 * Закон сохранения полной энергии приводит к уравнению л л I л • Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 181 Для определения из этого уравнения деформации пружины необходимо знать скорость точек системы в момент времени t = Поскольку внешние силы равны нулю, импульс системы сохраняется: = (iTij + mg)^. Решая систему уравнений, можно определить максимальную деформацию пружины = I’ т^Ш2 {гПу + Ш2)к Вопросы и задания 1. Дайте определения удара, упругого удара, неупругого удара и лобового удара. Приведите примеры реальных явлений, которым соответствуют такие модели. 2. Какие закономерности наблюдаются при упругом лобовом соударении шаров одинаковой массы, если один из них покоится? оба летят с одинаковой скоростью? 3. Опишите характер движения при упругом ударе двух тел, масса одного из которых много больше массы другого. 4. Опишите характер движения трех одинаковых шаров, два из которых связаны упругой пружиной и покоятся, а третий налетает на них вдоль оси пружины. § 4.12. Центр масс и теоремы динамики При рассмотрении движения системы точек с использованием законов сохранения импульса и энергии крайне полезным оказывается введение понятия центра масс. Центром масс системы N материальных точек /п^ (1 < i ^ N), положение которых в данной системе отсчета задано радиусами-векторами г., называют точку пространства, координаты которой определяются уравнением 1 лг л = х;.1 Mj где М — суммарная масса всей системы: N м= I т^. ^|g2 I Механика Найдем положение центра масс гантели — двух материальных точек массами и mg, соединенных невесомым стержнем длиной I. Координаты центра масс в системе отсчета, ось ОХ которой совпадает со стержнем, задают выражениями mj + mg ’ Уп-yi т. е. центр масс находится на отрезке, соединяющем рассматриваемые точки. Расположив N точек одинаковой массы т вдоль оси ОХ на равном расстоянии друг от друга, получим цепочку, которая может служить моделью однородного стержня длиной L = {N - 1)/ и массой М = Nm. Вычисляя положение центра масс этой системы, получим = ■£'/2. |/ц.„ = О, таким образом, центр масс однородного стержня совпадает с его геометрическим центром. Для вычисления координаты центра масс системы тел можно использовать выражение, принятое для определения положения центра масс системы точек, если вместо значений масс точек т,. подставить значения масс рассматриваемых тел Mj., а вместо радиусов-векторов этих точек г,- — радиусы-век- - торы центров масс тел системы Я,. Применим эти выводы для определения положения центра масс однородной треугольной пластины. Рассмотрим треугольник как систему однородных тонких стержней (отрезков), параллельных основанию АВ (рис. 4.38). Поскольку центр масс каждого стержня совпадет с его серединой, а середины всех стержней находятся на медиане треугольника, проведенной из вершины С, то и центр масс треугольника находится на этой медиане. Повторяя этот прием для другого разбиения треугольника на стержни, например параллельные стороне АС, приходим к выводу, что центр масс треугольника находится на медиане, проведенной из вершины В. Отсюда следует, что центр масс однородного треугольника располагается в точке пересечения Рис. 4 38 его медиан. П Л I / С ч ч ч А в X Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии I 183 Движение центра масс. Из определения центра масс следует, что импульс системы материальных точек пропорционален скорости движения центра масс. Для доказательства вычислим скорость центра масс: п = Р = ‘^ц.м ^ц.м т,Г1 + тппГо + ... + m^,■r 2' 2 N' N м niiVi + ni2V2 + ... + Р м М • Следовательно, импульс системы определяется ее массой и скоростью центра масс: Р = Соответственно, скорость изменения импульса пропорциональна ускорению центра масс: Р =Л?1>ц.„ = Ма,,„. В соответствии с теоремой об изменении импульса системы точек, в инерциальной системе отсчета изменение импульса системы возникает только под действием внешних сил: Р = N _ / = 1 ЧТО приводит к следующему выводу. В инерциальной системе отсчета ускорение центра масс системы точек пропорционально сумме внешних сил, действующих на эту систему: = if,. I = J Полученное выражение по форме напоминает второй закон Ньютона для материальной точки, но имеет другое содержание и является следствием второго и третьего законов Ньютона. В инерциальной системе отсчета центр масс движется так, как будто вся масса системы сосредоточена в этой точке и все внешние силы приложены к ней. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то в инерциальной системе отсчета ускорение центра масс равно нулю. Система точек, для которой сумма внешних сил равна нулю, называется замкнутой. Для замкнутой системы точек справедлива следующая теорема. I Механика В инерциальной системе отсчета центр масс замкнутой системы точек движется равномерно и прямолинейно или покоится. Из проведенного анализа следует, что в инерциальной системе отсчета внутренние силы не могут изменить скорость движения центра масс. Если же эта скорость в некоторый (начальный) момент равна нулю, то неизменным будет и положение центра масс. Пример. Рыбак массой т ловил рыбу, располагаясь на корме лодки длиной /, массой М, нос которой находился у берега. Какое расстояние будет отделять рыбака от берега, когда он перейдет с кормы на нос лодки (рис. 4.39)? На лодку действуют сила тяжести и выталкивающая сила, направленные вдоль оси OY. Если пренебречь силой сопротивления движения лодки вдоль оси ОХ, то импульс системы вдоль оси ОХ равен нулю, а еле довательно, сохраняется положение центра масс. Предполо жим, что центр масс лодки находится в точке А. Вначале Рис. 4.39 = М1/2 4- ml М т после перемещения рыбака ^>1 = М(Ах + 1/2) + пгАх М -\- т Но положение центра масс не может измениться под дейст вием внутренних сил, следовательно. М1/2 + ml М + т М{Ах + 1/2) + тАх М + т Откуда Ах = 1 т М -\- т Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии J 185 Как видно из результата, при перемещении рыбака лодка не может переместиться на расстояние, большее длины лодки. Чем больше масса рыбака по сравнению с массой лодки, тем на большее расстояние лодка отъедет от берега. Теорема о кинетической энергии системы точек. Введение понятия центра масс системы позволяет рассмотреть систему отсчета, связанную с центром масс. В этой системе отсчета анализ движения точек, входящих в систему, существенно упрощается. Используем этот факт для модификации теоремы о сохранении энергии системы точек. Пусть кинетическая энергия г-й точки системы в инерци- т^и} альной системе отсчета, связанной с Землей, равна = g . Назовем эту систему отсчета неподвижной. В системе отсчета, движущейся относительно нее со скоростью г;, скорость i-й точки равна й\ = - i3, а ее кинетическая энергия — Як. = тм'? ^ 2 * . Тогда, возводя значение и\ в квадрат, легко показать, что кинетические энергии в разных системах отсчета связаны между собой соотношением 2 + mf^u^ • у). Согласно определению кинетической энергии точек, можно записать системы Як=1Як, = я;+1^ I J - 1 ^ -I- /' N \ (у • J. Выберем в качестве подвижной системы отсчета систему отсчета, связанную с центром масс системы, движущейся со скоростью в этой системе отсчета N = I тДи, - „) = 0. Поэтому выражение для кинетической энергии, рассчитан ной в лабораторной системе отсчета, приобретает вид N TtlV^ Як = Як+ t - 1 ^ 186 I Механика Или с использованием обозначения для суммарной массы системы М - ^ т. i Е.= Е' +^~. К К Полученное соотношение носит название теоремы Кенига. Кинетическая энергия системы точек равна сумме кинетической энергии центра масс системы и кинетической энергии точек относительно центра масс. Эта теорема оказывается полезной для расчета кинетической энергии систем, у которых легко определить положение центра масс. Так, кинетическая энергия обруча массой М, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью V на основании теоремы Кенига в системе отсчета, связанной с Землей, равна Л/ Е^ = Е: = Mv\ где = Му2 кинетическая энергия точек обруча в системе отсчета, в которой центр масс обруча покоится. Вопросы И задания 1. Найдите положение центра масс однородного металлического прута, согнутого в середине так, что две половины образуют прямой угол. 2. Как движется центр масс системы в случае, когда: а) в покоящейся на гладкохм столе закрытой пробирке жук переползает с одного конца на другой; б) пробирка падает со стола, а жук начинает летать внутри пробирки? 3. Найдите ускорение обруча, который катится без проскальзывания с наклонной плоскости с углом наклона а. 4. Как связана кинетическая энергия системы материальных точек в данной системе отсчета с кинетической энергией центра масс этой системы? Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии f 187 § 4.13. Механика сухопутных транспортных средств Изученные нами основы механики позволяют проанализировать многие явления, с которыми мы сталкиваемся в жизни. Одной из важнейших черт современного мира стало развитие транспорта. Рассмотрим физические явления, которые лежат в основе работы современных транспортных средств, используя для описания простейшие модели. Транспортные средства, изобретенные человечеством, различаются по принципу действия, способам перемещения грузов, своим характеристикам и возможностям. Даже краткое перечисление используемых принципов движения заняло бы слишком много места. Поэтому мы ограничимся лишь схематическим рассмотрением физических основ наиболее распространенного в настоящее время сухопутного колесного транспорта. Среди сухопутного транспорта наиболее широко распространен железнодорожный и автомобильный. Несмотря на большие различия, оба эти вида транспорта используют сходные физические принципы движения. Движение здесь осуществляется благодаря взаимодействию твердых тел — колеса и поверхности земли или рельса. Основой колесного транспорта является колесо, простейшей геометрической моделью которого является цилиндр. При качении такого идеального недеформируемого колеса по недеформируемой поверхности твердого тела в каждый момент времени контакт осуществляется лишь в одной точке. Свободное качение идеального колеса по горизонтальной поверхности может происходить по инерции сколь угодно долго, так как работа внутренних сил в системе отсчета, связанной с Землей, равна нулю. Трение качения. Реальное колесо деформируется при движении. Деформации такого колеса не являются абсолютно упругими, поэтому внутренние силы совершают работу, уменьшая кинетическую энергию колеса и приводя к его торможению. Характер деформаций достаточно сложен, поэтому мы не будем рассматривать детали этого процесса, а рассмотрим простую феноменологическую модель, обобщающую опытные данные. Установлено, что для равномерного движения реального колеса необходимо прикладывать к его оси силу, пропорциональную нормальной составляющей силы реакции поверхности, по которой оно катится, и обратно пропорциональной ра- ■^gg I Механика N диусу колеса: F = f— (рис. 4.40). Коэффициент пропорциональности f зависит от материала колеса и поверхности. Для стального колеса, катящегося по стальной поверхности, этот коэффициент мал: от 10~^ до 3 • м, так что для качения колеса радиусом 0,5 м к его оси достаточно прикладывать такую же силу, как для скольжения тела с коэффициентом трения р = 6*10-4. Поскольку модуль нормальной сос-Рис. 4.40 тавляющей силы реакции при каче- нии, как и при скольжении, оказывается пропорционален ее касательной составляющей, удобно f ввести коэффициент трения качения _______ = -, так что F г ^ М^кач Напомним, что коэффициент трения скольжения различных материалов обычно колеблется от 0,1 до 0,4, т. е., грубо говоря, в 500 раз больше. Сопротивление качению для автомобильных колес по асфальту при скорости 80 км/ч примерно такое же, как для мягкой стали по стали. Таким образом, для движения автомобиля массой т = 1000 кг по горизонтальному шоссе необходимо приложить к нему горизонтальную силу тяги всего 6 Н, если не учитывать другие силы сопротивления движению. Такие малые силы сопротивления качению позволили создать эффективный железнодорожный и автомобильный транспорт. Например, сопротивление качению железнодорожных вагонов состава массой 5000 т составляет в идеальном случае всего около 1000 Н. Сила тяги. Мы говорили пока только о свободном качении, однако для создания колесного транспорта необходим движитель^ который создает тягу в результате взаимодействия с другими телами. Оказывается, колесо может выполнять эту функцию. Рассмотрим подробнее, как происходит управление величиной и направлением силы реакции, действующей со стороны дороги на катящееся колесо и создающей силу тяги. Для создания силы тяги ведущее колесо соединяется с двигателем, вращающим его в направлении движения. Со стороны дороги на колесо действует горизонтальная составляющая силы реакции, препятствующая его вращению и направлен- Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J ш тр ускорение торможение Рис. 4.41 ная в сторону, противоположную возможному проскальзыванию колеса. Эта составляющая силы реакции является трением покоя и ограничена величиной силы трения скольжения. Таким образом, сила трения является той силой, которая создает тягу ведущих колес. Модуль этой силы определяется степенью деформаций колеса под действием двигателя и дороги. Для торможения колеса достаточно приложить к нему силы, препятствующие его вращению. Возникающие при этом деформации приводят к изменению направления силы трения, действующей на колесо со стороны дороги. Так реализуется управление силой реакции дороги. На рис. 4.41 изображены силы, действующие на ведущее колесо при ускорении и торможении автомобиля или локомотива. Поскольку величина силы трения покоя ограничена лишь величиной силы трения скольжения, нетрудно оценить эту силу для автомобиля и локомотива. Если масса легкового автомобиля составляет около 1000 кг и вертикальная составляющая силы реакции на каждое -- N mg из четырех колес равна » то при движении по су- хому асфальту при коэффициенте трения р = 0,4 автомобиль с одной парой ведущих колес может развивать силу тяги до = 2000 Н, а со всеми ведущими колесами может быть достигнута сила тяги до Fg = \img = 4000 Н. Такие силы могут обеспечить ускорение автомобиля а^ = = 0,2g = 2 м/с с двумя и ag = 0,4^ = 4 м/с с четырьмя ведущими колесами. Автомобиль при таком ускорении может разгоняться до скорости i; = 30 м/с (108 км/ч) за время t — кото- рое в первом случае составляет 15 с, а во втором — 7,5 с. В случае движения локомотива по рельсам коэффициент трения скольжения стали о сталь почти в 10 раз ниже, поэтому и силы трения не могут обеспечить такие ускорения, как в автомобильном транспорте. Однако темп разгона не играет решающей роли при железнодорожных перевозках. ^jgO I Механика Трение между колесом и дорогой определяет не только динамику движения, но и возможный профиль дороги. Величина допустимых уклонов автомобильных и железных дорог ограничивается значением коэффициентов трения скольжения. Мощность двигателей. До сих пор мы рассматривали лишь статические характеристики транспортных средств и установили требования к дорогам и достижимые динамические характеристики. Важнейшими характеристиками транспорта являются скорость его движения и необходимая работа, которую должен совершать двигатель для обеспечения требуемых параметров движения. Напомним, что действие силы F, приложенной к телу, на элементарном перемещении Аг удобно характеризовать работой силы ^A = {F^ Аг). Если тело движется со скоростью и, то элементарное перемещение Аг = vAt пропорционально времени движения. Соответственно, работа силы также пропорциональна времени движения: AA-{F-vAt) = {F-d)At. Отношение элементарной работы, совершенной силой F, к интервалу времени At, характеризующее скорость совершения работы, называется мощностью силы АА = {F • и). W = At Размерность мощности Дж/с, а единицей измерения в СИ является ватт (Вт), от имени английского изобретателя паровой машины. Понятие мощности силы часто применяется для характеристики транспортных средств. Так, сила F, приложенная к составу со стороны локомотива, при движении его с постоянной скоростью V характеризуется мощностью W^Fv. В технике эту мощность называют мощностью, развиваемой локомотивом. Несколько сложнее определяется мощность силы тяги для поезда в целом или автомобиля на рис. 4.42. Здесь силу тяги создает сила трения, действующая на ведущие колеса в точке их контакта с поверхностью дороги. Однако в точке контакта скорость колеса относительно поверхности равна нулю, поэтому и мощность силы трения также оказывается равной нулю. Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии 191 Рассмотрим подробнее силы, действующие на автомобиль, движущийся равномерно по горизонтальной дороге в положительном направлении оси ОХ системы отсчета, связанной с Землей (см. рис. 4.42). Вдоль оси ОХ на автомобиль действуют внешние силы — сила трения приложенная к точке контакта колеса с дорогой, и сила сопротивления например со стороны воздуха. Поскольку движение происходит с постоянной скоростью, кинетическая энергия автомобиля и его импульс Р остаются неизменными £„ = 0, Р = 0. В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии системы Е =W Л-W =0 - МОЩНОСТЬ внешних сил, а где И^внеш ^ ~ мощность внешних сил, а И^внутр ^ ~ - /2^2 — мощность внутренних сил, действующих со стороны двигателя. В рассматриваемой модели /1 = /2 — внутренние силы, действующие на автомобиль со стороны поршня двигателя и его цилиндра соответственно, — скорость штока поршня, действующего на верхнюю часть колеса Uj = 2у, а — ско- рость цилиндра, скрепленного с корпусом автомобиля. Изменение импульса автомобиля определяется внешними силами Поскольку F^ сать в виде F^p, мощность внешних сил можно запи = -F 1> внсш а мощность внутренних сил в этом случае W = -W = F и виутр внеш тр^* Мощность внутренних сил определяется скоростью движения поршня относительно корпуса - U2 является характеристикой двигателя — его мощностью = fl^>l - flV2 = - Ч2) = ^j92 I Механика В рассматриваемой модели W =F V дв тр*^* Мощность двигателя автомобиля или локомотива определяется развиваемой тягой: W = Fv. При движении по горизонтальной дороге максимальная сила тяги равна силе трения. При массе локомотива 300 т и коэффициенте трения скольжения р = 0,1 мощность двигателя может достигать значения W ^ \xMgv « 3000 кВт при скорости движения 10 м/с. Приведем для сравнения характеристики одного из паровозов: масса 356 т, сила тяги 4,3 • 10^ Н, мощность паровой машины 3500 кВт. Как видим, рассматриваемые простейшие модели позволяют оценить параметры реальных транспортных средств. Отметим, что при выбранной скорости движения увеличение мощности двигателя локомотива или автомобиля выше указанного значения просто бесполезно, поскольку приведет лишь к пробуксовке его колес. Перевозки грузов по железной дороге значительно экономичнее, поскольку требуют небольшой мощности двигателя на единицу перевозимой массы. Это означает не только удешевление перевозок за счет экономии топлива, но и значительное сокращение вредных выбросов в атмосферу, а значит, радикальное улучшение экологической обстановки. Известно, что именно автотранспорт является основным загрязнителем окружающей среды. Однако строительство железных дорог достаточно дорого и сложно. Поэтому развитые страны пошли по пути развития автотранспорта, не требующего больших вложений. Доступные цены на энергоносители и технические возможности создания легких и мощных двигателей внутреннего сгорания привели к тому, что большая часть перевозок в настоящее время осуществляется автомобилями, несмотря на серьезные экологические проблемы. Вопросы и задания 1. За счет каких сил происходит движение наземного транспорта? Какие характеристики влияют на скорость, время разгона при заданной мощности двигателя, чем еще ограничивается его использование? 2. За какое время автомобиль с четырьмя ведущими колесами может достигнуть скорости 100 км/ч при коэффициенте трения скольжения между колесами и асфальтом 0,8? Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J т 3. Какой груз может перемещать по горизонтальной железной дороге паровоз массой 350 т и мощностью 3500 кВт при скорости 40 км/ч, если коэффициент трения качения для колес состава 10“^? § 4.14. Равновесие точки в заключение раздела о движении материальной точки и твердого тела остановимся подробнее на исследовании частного, но очень важного случая — положения равновесия. Рассмотрим вначале движение материальной точки. Положением равновесия материальной точки относительно данного тела называется такое ее движение, при котором взаимное расположение материальной точки и этого тела остается неизменным сколь угодно долго. Из определения следует, что в положении равновесия скорость относительного движения точки равна нулю в любой момент времени: ~ 0» "Ч[то приводит к равенству нулю и ускорения = 0. Виды равновесия. При произвольных малых отклонениях материальной точки от положения равновесия ее поведение может быть различным. Возможны следующие случаи. " • Точка, отклоненная немного от положения равновесия, будет двигаться, оставаясь все время вблизи этого положения, возможно, приближаясь постепенно к положению равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым. Примером устойчивого положения равновесия является нижнее положение маятника, состоящего из груза массой W, подвешенного на нити длиной L (рис. 4.43, а). При отклонении такого маятника или при сообщении грузу небольшой скорости возникают колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается. Рис. 4.43 а) / б) I Механика • Точка, отклоненная немного от положения равновесия, при движении удаляется от положения равновесия на большее расстояние по сравнению с первоначальным отклонением точки. Положение равновесия называется неустойчивым, если малое отклонение от положения равновесия приводит с течением времени к нарастанию этого отклонения. Примером неустойчивого положения равновесия является положение материальной точки на вершине гладкого купола (рис. 4.43, б). • В некоторых случаях материальная точка, отклоненная от положения равновесия, может оставаться неподвижной, если ее относительная скорость в новом положении равна нулю. Такое положение равновесия называется безразличным. Примером безразличного положения равновесия является любое положение точки на горизонтальной поверхности. Равновесие точки под действием нескольких сил. Практический интерес представляет определение положения равновесия материальной точки под действием приложенных к ней сил. Если равновесие определяется относительно инерциальной системы отсчета, то необходимое и достаточное условие равновесия точки в этом случае задается вторым зако- ном Ньютона та = Е = О, где F = ^ F; — сумма сил, дейст- / = 1 вуюпдих на точку со стороны N тел. Таким образом, в инерциальной системе отсчета положением равновесия является такая точка пространства, в которой сумма сил, действующих на материальную точку, равна нулю: л- . If, = 0. / = 1 При отклонении от положения равновесия сумма сил, действующих на точку, не равна нулю, а ее величина и направление зависят от вида равновесия. Если положение равновесия является устойчивым, как на рис. 4.43, а, то сумма сил F = = mg + Г, приложенных к точке, при ее отклонении направлена к положению равновесия. При отклонении от неустойчивого положения равновесия сумма сил F = mg + N направлена в сторону от положения равновесия (см. рис. 4.43, б). При безразличном положении равновесия сумма сил, действующих на отклоненную точку, равна нулю. Пример. Определите положение равновесия маятника длиной I, массой т, если на него действует горизонтальная сила F (рис. 4.44). Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 195 Для определения положения равновесия точки воспользуемся вторым законом Ньютона в инерциальной системе отсчета ХОУ, связанной с Землей. На точ ку действуют сила тяжести mg = {mg\ 0), горизонтальная сила F — (0; F) и сила натяжения нити, направленная к оси вращения, значение которой неизвестно, Т == (-Tcos ф; -Tsin ф). Условие равновесия, следующее из второго закона Ньютона mg Л F f Т = о, дает систему двух уравнений для проекций сил на оси коорди нат, содержащих две неизвестные величины — Тиф: mg - Tcos ф = о, F - Tsin ф = 0. Исключив из этих уравнений силу натяжения нити, опре делим положение равновесия точки: F tgф = rng Равновесие точки и потенциальная энергия. Исторически в механике параллельно развивались два подхода — динамический и энергетический. Приведем для сравнения описание равноускоренного движения материальной точки, движущейся вдоль оси ОХ инерциальной системы отсчета из состояния покоя под действием силы F, направленной вдоль этой оси, используя разные подходы. Эти три утверждения эквивалентны. 1) Под действием силы F импульс материальной точки за время t увеличился {р = Ft). За это время точка приобрела а/2 Ft^ _ Р_ т скорость V = ^ и переместилась на расстояние х = 2т ’ 2) При перемещении материальной точки на расстояние л: > о сила F совершила положительную работу А = Fx и увеличила кинетическую энергию точки, которая равна 2 3) При перемещении материальной точки на расстояние л: > о ее потенциальная энергия уменьшилась на величину 196 I Механика E^ = Eq- Fxy за счет чего на эту же величину возросла кинетическая энергия Е^ = + Ех. Полная энергия системы оста- лась неизменной Е^ + Е^ = E^y. Связь между описанием движения с помощью второго закона Ньютона и теоремы об изменении кинетической энергии можно использовать для определения положения равновесия. Теорема об изменении кинетической энергии при элементарном перемещении материальной точки имеет вид = АА, где АА = (F‘Ar) — элементарная работа всех сил, действующих на точку. Если силы, действующие на точку, являются потенциальными, то их работа равна изменению потенциальной энергии, взятому со знаком «минус»: АЕ^^-АА. Поэтому условие равновесия может быть записано и в таком виде: АЕ„ = = О при малых отклонениях от положения равновесия. На графике зависимости потенциальной энергии от координаты это условие определяет точки минимума или максимума потенциальной энергии, поэтому положение точек равновесия сразу же может быть определено, например, графически. В рассмотренном выше примере (см. рис. 4.43, а) сила тяжести является потенциальной, а сила натяжения нити не совершает работы, поэтому достаточно построить график зависимости потенциальной энергии от угла Е„(ф) ^ -mglcos ф и определить точки минимума энергии — положения равновесия. Как следует из графика (рис. 4.45), минимум потенциальной энергии соответствует точке = 0. Более того, по графику можно определить не только положение равновесия, но и исследовать его устойчивость. Используем для этого закон сохранения полной энергии: rnv 2 -л/2 0 л/2 \ |Ф1 \ I \ ♦ Ф2 / ^ If ' ^ ' Ж г* -mgl^ • Рис. 4.45 ф Как следует из этого уравнения, кинетическая энергия точки равна разности между полной энергией и потенциальной: ^ =Е- Е„(ф) > 0. Кинетическая энергия точки по определению не может быть величиной Глава 4 Законы сохранения импульса и энергии J W отрицательной, поэтому точка может двигаться лишь там, где разность между полной энергией, определяемой начальным положением и начальной скоростью, и потенциальной неотрицательна. Если на графике изобразить полную энергию точки прямой, параллельной оси абсцисс, то кинетическая энергия определяется разностью Е - ^„(ф). Область, соответствующая значению координат, при которых кинетическая энергия положительна, на графике заштрихована. При небольшом отклонении маятника от точки Фо = О (для чего нужно сообщить маятнику кинетическую энергию Е^> - mgl) его движение возможно только в области ф| < ф < фз. Точка, движущаяся в ограниченной области, не может отклониться от положения равновесия больше, чем на ф2» причем величина максимального отклонения тем меньше, чем меньше полная энергия отличается от минимальной. Положение маятника ф0 = О по определению является положением устойчивого равновесия. В системе, изображенной на рис. 4.43, б, работа силы реакции также равна нулю, а потенциальная энергия точки — другая: mglcos ф. График зависимости потенциальной энергии этой системы изображен на рис. 4.46. В этом случае положение равновесия также определяется условием фо = О, но при небольшом отклонении от этого положения кинетическая энергия материальной точки возрастает по мере удаления от положения равновесия. Это приводит к тому, что материальная точка удаляется от положения равновесия с нарастающей скоростью. По определению такое положение равновесия называется неустойчивым. На рис. 4.46 полная энергия Е2> mgl соответствует точке, получившей в положении равновесия небольшую начальную скорость. Из приведенных примеров можно сделать следующие выводы. 1. Равновесие достигается в тех точках, где потенциальная энергия имеет минимум или максимум. 2. Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум, то такое равновесие является устойчивым. 3. Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет максимум, то равновесие является неустойчивым. -71/2 71/2 ф Рис. 4.46 ■jgg I Механика Вопросы и задания 1. Сформулируйте условия устойчивого и неустойчивого равновесия точки относительно твердого тела с использованием динамического подхода к рассмотрению движения тел и энергетического подхода. 2. Используя рис. 4.45, поясните, почему при изображенной форме графика равновесие будет устойчивым. Как меняется кинети- ческая энергия точки при заданном значении полной энергии? § 4.15. Равновесие твердого тела Момент силы. Рассмотрим простейшую модель твердого тела. Пусть материальная точка массой т прикреплена к невесомому стержню длиной /?, который может вращаться вокруг точки О (рис. 4.47). Ориентация осей системы отсчета выбрана так, что сила F, действующая на эту точку, направлена вдоль оси ОХ. Ориентация стержня определяется углом ф, отсчитываемым от оси OY. При повороте стержня на угол Дф элементарная работа силы, приложенной к материальной точке, опреде.дяется как скалярное произведение вектора силы F на вектор перемещения As: ДА = {F • As) = FAscos ф. Ранее при вычислении элементарной работы мы рассматривали это скалярное произведение как произведение модуля перемещения As = 72 Дф на проекцию вектора силы на направление, задаваемое вектором перемещения F^ = Fcos ф (рис. 4.47, а): ДА = F^As. Однако это произведение можно вычислять и как произведение модуля силы на проекцию вектора перемещения на направление, задаваемое вектором силы Дг = Ascos ф (рис. 4.47, б): ДА = (F • As) = FAr. Именно эта интерпретация принята исторически в теории вращательного движения. Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J Ш Учитывая, что As = i?A(p, модуль перемещения Дг ^ Ascos ф можно записать в виде Дг = Ascos ф = Ясозф • Аф = с^Аф. Расстояние от оси вращения до линии действия силы называется плечом силы. В данном случае плечо d "= Rcos ф. Используя понятие плеча силы, элементарную работу можно записать в виде ДА = {F • Аг) = с/РДф = МАф. Произведение модуля силы на ее плечо называется моментом силы: М = Fd. Момент силы считается положительным, если совершенная силой элементарная работа положительна при Аф > О, т. е. если при небольшом увеличении угла ф, определяющего ориентацию твердого тела, вектор элементарного перемещения точки направлен в сторону действия силы. Условие равновесия твердого тела. Для определения условия равновесия твердого тела рассмотрим его как систему материальных точек, расстояние между которыми не меняется при движении. Произвольное движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений, поэтому для равновесия твердого тела необходимо одновременное выполнение двух условий равновесия. Условие равновесия для поступательного движения твердого тела, которое аналогично условию равновесия материальной точки. В инерциальной системе отсчета сумма сил, действующих на твердое тело, которое находится в равновесии, равна нулю: 1F, = 0. Если твердое тело может вращаться вокруг какой-либо оси, то каждая его точка при таком движении будет двигаться по окружности. Работа внутренних сил, действующих на твердое тело, равна нулю. Равенство нулю работы внешних сил для твердого тела, способного вращаться вокруг оси, приведет 200 I Механика к условию равновесия для вращательного движения твердого тела вокруг любой оси. В инерциальной системе отсчета сумма моментов сил, действующих на твердое тело, которое находится в равновесии относительно выбранной оси вращения, равна нулю: = 0. Центр тяжести. Твердое тело как система материальных точек обычно находится в поле силы тяжести Земли. При рассмотрении условия равновесия твердого тела вычисление суммы моментов сил тяжести является достаточно сложной задачей, поскольку необходимо определить плечо каждой силы и выполнить суммирование. Оказывается, что сумму моментов сил тяжести относительно любой оси можно вычислить как момент суммарной силы тяжести, действующей на точки системы. Точка приложения суммарной силы тяжести, действующей на точки системы, момент которой относительно произвольной оси вращения О равен сумме моментов всех сил тяжести относительно этой оси, называется центром тяжести системы материальных точек. Определим положение центра тяжести системы, состоящей из двух материальных точек массами т^ и m2, положение которых в системе отсчета XOY задано радиусами-векторами (-^1» У\^ ^ ^2 ^ (^2’ показано на рис. 4.48. Суммар- ный момент сил тяжести относительно начала координат точки О определяется суммой моментов действующих сил: Mv - Mj + М2 = rtT-2^^2- Здесь положительным считается направление вращения по часовой стрелке, а правило знаков выполняется автоматически, поскольку при отрицательных координатах какой-либо точки знак момента изменяется на противоположный. Глава 4. Законы сохранения импульса и энергии J 201 По определению центром тяжести называется такая точка Го = (лгр; 1/о)» что суммарная сила тяжести, приложенная к этой точке, создает такой же момент относительно оси О: Mj; = (mi + m2)gXQ. Отсюда следует, что для точки Xq выполняется равенство (mi + m2)gXQ ■■= m^gXi + позволяющее определить положение центра тяжести mi^i + ГП2Х2 Хг. =----------. ^ m-i + ГП2 Но именно это условие определяет лг-координату центра масс системы точек. Отсюда следует, что в однородном поле силы тяжести положение центра тяжести совпадает с положением центра масс системы материальных точек. Пример. Однородный стержень массой т и длиной I опирается одним концом на гладкую вертикальную стенку, а другим — на горизонтальный пол (рис. 4.49). Определите минимальный коэффициент трения |i между однородным стержнем и полом, если в положении равновесия стержень наклонен под углом а к горизонту. В инерциальной системе отсчета ХОУ, связанной с Землей, на стержень действуют сила тяжести mg = (0; -m^), приложенная к середине стержня, сила реакции стенки Q - (Q; 0), направленная горизонтально, и сила реакции пола R = N). На рисунке изображены составляющие силы реакции пола R = F,^ + N. Запишем общие условия равновесия стержня: mg + Q + R = Оу Условия равновесия для поступательного движения дают систему из двух уравнений “^тр + Q = о, N - mg = 0. Вычислим моменты сил относительно начала координат, считая положительным направление вращения против часовой стрелки. Момент силы тяжести = ~f7ig-^ /cos а. Момент силы реак- ции стенки Mq = -Qlsin а. Момент силы 202 I Механика реакции пола проще определить, рассмотрев силу реакции как сумму вертикальной и горизонтальной составляющих: Мр = о и Мд. = Nlcos а. тр Равенство моментов сил приводит к соотношению -тё\ ^cos а + Nlcos а - Q/sin а = 0. Систему из трех уравнений Пр + 0 = о, J N - mg = о, ' 1 -mg-^ /cos гх + Nlcos а - Q/sin а ^ 0 дополним равенством следующим из закона сухого трения. Получаем систему уравнений, решение которой определяет условие равновесия: р = I ctg а. Выбор оси вращения. Если сумма моментов сил относительно одной оси вращения твердого тела равна нулю, то она будет равна нулю и относительно любой другой оси. Число неизвестных, входящих в уравнение для моментов, можно сократить, выбирая ось вращения так, чтобы плечи неизвестных сил (реакции) были равны нулю. Более того, выбирая в задаче различные оси вращения, удается иногда исключить неизвестные силы реакции, не прибегая вовсе к уравнениям для поступательного движения. Вопросы И задания 1. Чем условия равновесия точки отличаются от условий равновесия твердого тела? 2. Материальная точка на невесомом стержне может вращаться вокруг точки О. Каково плечо силы F относительно осп вращения, проходящей через то^щу О перпендикулярно плоскости (рис. 4.50), если точка находится в равновесии при направлении силы в точку 21 31 41 Рис. 4.50 Глава 5. Движение жидких и газообразных тел § 5.1. Сплошная среда и ее движение Модель сплошной среды. В этой главе мы более подробно остановимся на описании движения деформируемых тел. ЛСидкими телами (в этой главе для краткости просто жидкостями) будем называть тела, обладающие текучестью, которая возникает под действием сколь угодно малых сил, и объем которых остается неизменным. Газообразные тела (далее просто газы), в отличие от жидкостей, могут изменять свой объем. Благодаря текучести форма жидкости и объем газа определяются сосудом, ограничивающим их. Жидкости и газы можно представить как систему, состоящую из большого числа частиц, взаимодействующих между собой и с внещними телами. Для описания их движения можно использовать законы Ньютона или их следствия — теоремы об изменении импульса и энергии. Однако такое описание движения жидкостей и газов представляет очень сложную математическую задачу, решение которой невозможно без применения вычислительной техники и специальных математических методов. Задача значительно упроищется, если рассматривать жидкости и газы как сплошную среду, т. е. тело, физические характеристики которого в соседних точках почти одинаковы. Характеристики сплошной среды. При движении жидкости форма любой ее выделенной части может легко изменяться, поэтому удобно использовать такие характеристики, которые не зависят от формы. Например, масса воды в сосуде любой формы пропорциональна занимаемому ей объему: т ~ V. Этим свойством обладает любая жидкость. Отношение массы жидкого тела к занимаемому им объему m/V = р, как вы знаете, называется плотностью жидкости и измеряется в кг/м^. Подобную же характеристику удобно использовать и для газообразных тел. Поскольку газы легко сжимаются, отноше- 2Q4 I Механика ние массы к объему может оставаться постоянным только для достаточно малого объема и обычно в течение короткого про межутка времени. Объем газа, для которого масса пропорциональна величине выделенного объема Д/Т7 ~ AF, называется элементарным. Для однородной жидкости любой ее объем является элементарным. Введение плотности позволяет легко описывать силу тяжести, действующую на любой выделенный объем сплошной среды. Сила тяжести, действующая на массу Ат в элементарном объеме AF, пропорциональна этой массе AF = Amg. Поскольку в сплошной среде Ат = pAF, то сила тяжести оказывается пропорциональной элементарному объему: AI' = Amg = p^AF. Виды движения сплошной среды. Движение сплошной среды очень сложно и многообразно, зависит и от особенностей взаимодействия частиц, и от начальных условий. Удобно разделить движение сплошной среды на определенные виды, которые достаточно часто наблюдаются в природе: движение при относительном равновесии частиц, стационарное течение, турбулентное течение, вихревое движение и волновое движение. Рассмотрим особенности каждого из этих видов движения. • Движение при относительном равновесии частиц. В некоторых случаях течение жидкости или газа происходит так, что вся сплошная среда или какая-то ее часть движется подобно твердому телу, без взаимного перемещения частиц. В этом случае существует система отсчета, относительно которой частицы сплошной среды покоятся, т. е. в этой системе движение является состоянием {относительного) равновесия. Например, при движении тележки с сосудом (рис. 5.1) жидкость в сосуде остается неподвижной относительно сосуда. При этом поверхность жидкости параллельна наклонной плоскости. • Стационарное течение. В общем случае течение сплош- ной среды сопровождается ее деформацией, а частицы среды имеют различные скорости. И положение частиц, и их скорости постоянно меняются. Для наблюдения за характером движения жидкости в поток вводится через узкую трубку немного окрашенной жидкости. Частицы окрашенной Рис. 5.1 Глава 5 Движение жидких и газообразных тел J 2^ жидкости увлекаются потоком, делая видимым движение частиц жидкости. Обычно каждая частица жидкости движется по своей особой траектории, поэтому след, образуемый краской, меняется со временем. Линия, по которой движутся окрашенные частицы, называется линией тока. Если течение жидкости происходит так, что картина линий тока не меняется, то течение жидкости называется стационарным. Если при стационарном течении получить несколько линий тока, то они не пересекутся и образуют в пространстве конфигурацию, подобную стенкам трубки. Такая «трубка» называется трубкой тока. Частицы жидкости внутри трубки тока не могут проникать через ее «стенки». Стационарное течение жидкости или газа по трубам возникает только при достаточно малых скоростях течения и при небольшом диаметре трубы. Так, для воды при комнатной температуре стационарное течение при скорости 1м/с возможно лишь в трубках диаметром не более 2 мм. Аналогичную картину течения в газе получают, используя частицы дыма, впускаемого в поток через небольшие трубки. • Турбулентное течение. При больших скоростях течения частицы жидкости или газа совершают движение по сложным, нерегулярно изменяюш;имся линиям. Такое течение называется турбулентным (от лат. turbulentis — беспорядочный). При турбулентном течении происходит интенсивное перемешивание различных слоев жидкости или газа. Если в турбулентный поток ввести тонкую струйку подкрашенной жидкости, то эта струйка на некотором расстоянии от источника разрывается, и окрашенная жидкость быстро и почти равномерно перемешивается с основным потоком. • Вихревое движение. В природе широко распространено и вращательное движение среды. Движение сплошной среды, при котором существенно вращение частиц, называется вихревым. Вихревое движение всегда возникает в жидкостях или газах, движущихся по трубам или каналам. Причиной возникновения вращательного движения частиц является трение между жидкостью и стенками трубы или между соприкасающимися слоями жидкости, движущимися с различными скоростями. На рис. 5.2 приведена фотография струи воздуха, с большой скоростью вытекающего из круглой трубы. На неболь- 205 I Механика Рис. 5.2 шом расстоянии от трубы стационарное движение переходит в вихревое, а затем в турбулентное. Особый интерес представляют отдельные вихри, которые возникают в неподвижной среде и движутся в ней как единое целое, практически не деформируясь. Эти вихри хотя и состоят из тех же частиц, что и вся остальная среда, но движутся в ней как единое целое. Вихри легко образуются не только в газах, но и в жидкостях. На рис. 5.3 показаны кинокадры образования вихревого кольца в воде при вытекании небольшого количества под- Рис. 5.3 Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J Ш Рис. 5.4 крашенной жидкости из трубки. Образовавшееся вихревое кольцо распространяется в покоящейся жидкости, перенося частицы краски, причем форма и размер сформировавшегося кольца почти не изменяются на большом расстоянии от места его рождения. Сам вихрь может относительно медленно перемещаться в покоящейся среде, но быстро движущиеся в нем частицы имеют большую кинетическую энергию, что проявляется при столкновении вихря с препятствием. Так, хорошо известна разрушительная сила смерчей, возникающих в атмосфере при определенных условиях. На рис. 5.4 приведена фотография смерча, возникшего 8 августа 2002 г. на Черном море около Севастополя. Эта огромная вихревая трубка одним концом опирается на поверхность моря, а другой ее конец уходит в облака. Вихревое движение в атмосфере (циклоны и антициклоны) оказывает огромное влияние на погоду. • Волновое движение. Другой разновидностью организованного движения частиц сплошной среды являются волны. Волна представляет собой возмущение сплошной среды, распространяющееся в пространстве, перенося энергию частиц, вовлеченных в это движение. Но в отличие от вихрей в волне не происходит переноса вещества. Наглядным примером является распространение волн по поверхности озера от прошедшего катера. Распространение волны происходит по поверхности озера на сотни метров, в то время как частицы воды совершают лишь небольшие горизонтальные и вертикальные перемещения, составляющие десятки сантиметров. При распространении волны в движение вовлекаются все новые частицы среды. Примерами волн в воздухе являются звуковые волны, а также ударные волны, возникающие при взрывах. Вопросы и задания 1. Какие представления закладываются в модель сплошной среды? В каком случае при описании движения удобно использование такой модели? 203 I Механика 2. Перечислите основные виды движения сплошной среды. 3. Приведите примеры стационарного движения, при котором ско рости частиц в разных точках среды различны. 4. Каковы отличия между вихревым и волновым движениями? § 5.2. Гидростатика Свойства контактных сил Давление Раздел механики сплошной среды, изучающий условия равновесия жидкостей и газов, называется гидростатикой. Задачи гидростатики. Начиная изучение гидростатики, определим основные ее задачи. К ним относятся: — установление условий относительного равновесия; — определение сил, действующих на тела со стороны жидкости или газа; — определение формы свободной поверхности жидкости при ее относительном равновесии. Рассмотрим подробнее особенности контактного взаимодействия жидкостей и газов с другими телами. Контактные силы, действующие на жидкость или газ со стороны стенок сосуда или других частей жидкости и газа, не определяются законом, подобным закону всемирного тяготения. Как и в механике твердого тела, ни модуль вектора силы, ни его направление в общем случае неизвестны и зависят от конкретных физических свойств поверхностей и особенностей движения. Направление контактных сил. Одним из важнейших свойств жидкости и газа является текучесть. Это свойство определяет направление действия контактных сил. Для всех неподвижных жидкостей и газов^ взаимодействующих с неподвижным твердым те.чом, контактные силы перпендикулярны плоскости элементарной площадки. Для доказательства рассмотрим силы, возникающие при взаимодействии покоящейся жидкости с небольшим участком стенки сосуда. Выделим тонкий слой жидкости, примыкающий к стенке сосуда, и запишем для него условия равновесия. В инерциальной системе отсчета ХОУ, связанной с Землей, необходимое условие равновесия — равенство нулю всех сил, действующих на тело. На выделенный слой действует стенка сосуда с силой Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J 2^ yi л mg AF Рис. 5.5 О AS X Рис. 5.6 Щ и остальная жидкость с силой (рис. 5.5). Силу тяжести будем считать пренебрежимо малой, поскольку масса слоя мала. Условие равновесия ^ приводит к уравнениям для касательных и нормальных составляющих этих сил: Fi - jPg = О, N^-N2 = 0. В отличие от твердых тел жидкости обладают текучестью под действием сколь угодно малой приложенной силы. Касательные составляющие и Fg, действующие вдоль стенки сосуда, будут приводить к деформации сдвига верхней части выделенного слоя относительно нижней его части, вызывая течение жидкости вдоль стенки сосуда, что противоречит предположению о равновесии. Таким образом, действие любой поверхности, твердой или жидкой, на покоящуюся жидкость подобно действию гладкой поверхности — сила давления всегда перпендикулярна поверхности. Давление. При равновесии жидкости или газа не только жидкость целиком, но и любая ее часть находится в равновесии. Это позволяет найти, как распределена сила реакции дна сосуда, и определить точку ее приложения. Мысленно выделим в жидкости вертикальный столб высотой /г, площадь основания которого равна AS (рис. 5.6). Поскольку силы, действующие на этот столб со стороны других частей жидкости, направлены горизонтально, условие равновесия столба вдоль оси OY приводит к уравнению AF = mg = pghAS. ZiO I Механика Сила действия атмосферы на верхнюю часть жидкости здесь не учитывается. Каждый участок дна сосуда действует с силой, модуль которой пропорционален его площади AF ~ AS, поэтому при вычислении таких сил удобно ввести коэффициент пропорциональности р — давление жидкости, так что AZ’ = pAS. В покоящейся жидкости или газе всегда можно выбрать площадку достаточно малых размеров {элементарную площадку AS) так, что модуль элементарной силы AF^ действующей на эту площадку со стороны сплошной среды^ пропорционален ее площади: AF-AS. Сила, действующая на площадку, в этом случае перпендикулярна площадке. Если для указания ориентации площадки ввести единичный вектор /г, перпендикулярный площадке AS, то приведенное соотношение можно записать в векторной форме AF = pAS, где для упрощения записи введен вектор элементарной площадки AS = ASri. Таким образом, задание единственной скалярной величины — давления — позволяет определить и модуль, и направление силы, действующей со стороны жидкости на элементарную площадку AS заданной площади и заданной ориентации. Единица давления в СИ — паска.пь (Па). I Па = 1 Н/м^. Для того чтобы вычислить силу давления, действующую на произвольную поверхность, следует разбить поверхность на элементарные площадки AS,, определить элементарную силу давле1шя, действующую на каждую площадку, и ее направление AF^ = p,ASj, и воспользоваться принципом суперпозиции F = ZAF,. = Z P,AS,, просуммировав все элементарные силы. i I Закон Паскаля. Важнейшим свойством силы давления покоящейся жидкости на элементарную площадку является независимоепгь модуля этой силы от ориентации площадки. Докажем это свойство, называемое законом Паскаля. Выделим в жидкости столбик площадью сечения AS и высотой /г, нижняя часть которого заканчивается площадкой AS', наклоненной под углом а к горизонту (рис. 5.7). Силой действия воздуха на верхнюю поверхность столбика жидкости пренебрежем. Глава 5. Движение жидких и i азообразных тел f 211 Если площадка достаточно мала, О X чтобы ее можно было считать элементарной, то сила давления направлена перпендикулярно площадке, а ее модуль пропорционален площади AS': F' = p'AS'= p'AS/cos а. Вертикальная составляющая этой силы F' = F'cos а = У = p'AS обеспечивает равновесие столбика вдоль оси OY: F'y = p'AS - mg. Если площадка горизонтальна, то mg = F = pAS, где F — сила, действующая на горизонтальную площадку, ограничивающую столбик высотой hy а р — давление на эту площадку. Так что p'AS = p^AS и р' = р^ Следовательно, давление в жидкости не зависит от ориентации элементарной площадки. Закон Паскаля можно сформулировать следующим образом. В покоящейся жидкости или газе модуль силы давления, действующей на элементарную площадку, не зависит от ее ориентации. Это свойство было установлено Блезом Паскалем в 1663 г. в результате обобщения наблюдений и экспериментов: «Если в сосуде, наполненном водою, имеются отверстия, к которым приложены силы, пропорциональные площадям, то силы эти находятся в равновесии». Особое удивление у ученых в средние века вызывало то, что сила давления, действующая на жидкость, может вызывать ее действие не только на дно и боковые стенки закрытого сосуда, но и на его верхнюю часть. Рассмотренные свойства контактного взаимодействиз! позволяют определять силы, действующие на дно и стенки сосуда, содержащего жидкость. Пример. Определите силу, действующую на дно и стенки сосуда, заполненного жидкостью (рис. 5.8, а). Площадь дна сосуда равна Sj, площадь верхней поверхности жидкости — Sg, площадь боковой поверхности S, высота сосуда Л, а плотность жидкости — р. Угол наклона боковой стенки сосуда к вертикали равен а. Силой действия воздуха на верхнюю поверхность жидкости пренебречь. 212 I Механика Рис. 5.8 При равновесии жидкости в сосуде в инерциальной системе отсчета XOYy связанной с Землей, сумма всех сил, действующих на жи^ц-кость, равна нулю. Силы и /g» действующие на жидкость со стороны стенок, и сила jPj, действующая со стороны дна сосуда, перпендикулярны поверхностям (рис. 5.8). Это приводит к системе уравнений для проекций сил на оси ОХ и ОУ: /jcos а - /2C0S а = О, Fj + /jsin а + /gsiri а - mg = 0. Из первого уравнения системы получаем /j = /"g. Однако система из двух уравнений содержит три неизвестных /g ^ потому для решения задачи требуется дополнительное условие. Для определения силы давления Fj со стороны дна сосуда воспользуемся тем, что при равновесии жидкости любая ее часть также находится в равновесии. Выделим в сосуде столб жидкости, ограниченный вертикальными плоскостями и дном сосуда, как показано на рис. 5.8, б. Силы, действующие со стороны жидкости на вертикальные стенки, направлены горизонтально, поэтому из условия равновесия вдоль вертикальной оси OY получим уравнение, определяющее силу реакции дна: Fj - = о, где mj = pSj/i — масса выделенного столба жидкости. Отсюда следует, что сила давления со стороны дна пропорциональна площади его поверхности: Fj = mjg= pg/iSi. Подставляя это выражение во второе уравнение системы, получим 2/iSin а = mg - m^g = (т- m^)g. Учитывая, что масса той части жидкости, которая находится в сосуде над боковыми поверхностями. т - mi = р—2 + S, Sg — h - pSj/г = р — -S -Л, Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J ш получим /jSin а = pghiSz - Sj) При выбранной форме сосуда Sg = Sj + + 2bhtg а, где Ь — ширина сосуда. Поскольку S = bh/cos а, <§2 - Sj = 2Ssin а. С учетом этих выражений получим / _ PSb Q /1 9 О. Рис. 5.9 В соответствии с третьим законом Ньютона искомые силы, действующие со стороны жидкости на дно и стенки сосуда, равны по модулю, соответственно, = pghS^^ и = {pgh/2)S, При рассмотрении примера мы пренебрегли силой действия атмосферного воздуха на верхнюю поверхность жидкости только для упрощения. При обычных условиях силы действия атмосферного воздуха значительны. Если описать действие атмосферного воздуха давлением Pq и считать его постоянным при небольших расстояниях от поверхности Земли, то сила, с которой воздух действует на площадку размером, например, с телевизионный экран S = аЬ « 0,15 м^, составит F = PqS « 1,5* 10'^ Н, что соответствует силе тяжести, действующей на 1,5-тонный груз. Рассмотрев равновесие столба жидкости над плоскостью АВ (рис. 5.9) в открытом сосуде, получим, что давление на глубине h от поверхности жидкости рассчитывается по формуле P=Po + PSh и линейно растет с глубиной. С учетом закона Паскаля можно утверждать, что таково будет давление на глубине h в жидкости, налитой в сосуд произвольной формы. Вопросы И задания 1. Назовите основные свойства контактных сил в покоящейся жидкости. 2. Определите силу, действующую на дно и стенки сосуда со стороны жидкости, заполняющей сосуд, изображенный на рис. 5.10. Площадь дна, верхней и боковой граней равны, соответственно, Sj, S2 и 214 I Механика Рис. 5.11 S, высота сосуда h, а плотность жидкости — р. Угол наклона боковой стенки сосуда к вертикали равен а. 3. Как на основе законов гидростатики объяснить «гидростатический парадокс» (рис. 5.11), когда давление жидкости на дно в сосудах разной формы, но одинаковой высоты оказывается одинаковым, ведь масса жидкости, приходящаяся на единицу площади дна, везде различна? 4. Паскаль удивлял в XVII в. своих сограждан тем, что создавал усилия, разрывающие деревянный бочонок с помощью воды, умещающейся в одной кружке, за счет того, что эта вода наливалась в узкую трубку высотой несколько метров, воткнутую в бочонок. Объясните возникновение больших разрывающих нагрузок, действующих на стенки в «бочке Паскаля». § 5.3. Закон Архимеда Важной задачей гидростатики является определение силы, действующей на тело произвольной формы, погруженное в покоящуюся жидкость. Эта задача была впервые решена Архимедом в III в. до н. э., т. е. задолго до создания механики Ньютона. Сила, действующая на покоящееся тело со стороны жидкости или газа, называется силой Архимеда или выталкивающей силой. Существует много различных способов вычисления выталкивающей силы. Для тел простой формы при известном распределении давления в жидкости бывает удобно непосредственное вычисление сил. Для этого можно ра.збить поверхность тела на такие площадки, чтобы модуль и направление силы fдействующей на площадку, легко определялись. Сила пропорциональна давлению жидкости вблизи площадкир,^, ее площади и направлена перпендикулярно площадке: f и~ Рк^^к' Глава 5 Движение жидких и газообразных тел J 21Ь Для вычисления выталкивающей силы, действующей на тело, следует вычислить сумму всех сил: Однако для тел произвольной формы вычисление этой суммы может оказаться очень сложной математической задачей, поскольку и модуль, и направление каждой элементарной силы изменяются. Метод Архимеда для вычисления равнодействующей поверхностных сил. Удобнее использовать метод вычисления, который был предложен Архимедом. Этот метод основан на предположении о независимости сил давления от свойств поверхности тела, что справедливо в случае относительного равновесия тела в жидкости. Вместо непосредственного вычисления выталкивающей силы, действующей на погруженное тело, Архимед сравнивает ее с силой, действующей на жидкость такой же формы и размеров, как и тело, используя для этого условие равновесия всей жидкости. Если форма и размеры выделенного объема совпадают с рассматриваемым телом, то поверхностные силы давления будут одинаковы (рис. 5.12). Этот результат формулируется в виде закона Архимеда. На тело, погруженное в неподвижную жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости и направленная в сторону, противоположную его весу. Выталкивающая сила приложена к центру тяжести вытесненной жидкости. / ^ \ \ mg ( « Рис. 5.12 2j5 I Механика Рис. 5.13 Если жидкость покоится в инерциальной системе отсчета, то выталкивающая сила по модулю равна силе тяжести (см. рис. 5.12). Слово «погруженное» в приведенной формулировке закона означает, что тело покоится относительно жидкости. Поскольку плотность жидкости неизменна, в однородном поле тяжести вычисление выталкивающей силы фактически сводится к решению геометрической задачи об определении объема вытесненной жидкости. Точка приложения силы Архимеда определена из условия равновесия объема жидкости, заменяющей погруженное в нее тело. Если жидкость с погруженным телом неподвижна относительно инерциальной системы отсчета, то Ед = -mg. Пример 1. Определите выталкивающую силу, действующую на шар радиусом i?, помещенный на границе раздела двух жидкостей (рис. 5.13). Плотность одной жидкости Pj, а другой — Р2- В соответствии с законом Архимеда выталкивающая сила равна весу всей вытесненной шаром жидкости. Если шар наполовину погружен в нижнюю жидкость, то выталкивающая сила равна суммарному весу вытесненной жидкости. С учетом 4 того, что объем шара равен У — ^ kR^j получаем Fa = PiF . p.V + )§=(р1+Р2)ё'*уД’*- Закон Архимеда для тел, движущихся вместе с жидкостью. Для жидкости, движущейся поступательно с ускорением а относительно инерциальной системы отсчета, условие относительного равновесия получается из второго закона Ньютона та = mg + F. Здесь т — масса жидкого тела, которым мы заменили исходное тело, mg — сила тяжести, а F — сумма поверхностных сил. Если жидкость вместе с телом покоится относительно вращающейся системы отсчета, то ускорение различных частей тела и жидкости имеет разную величину, поэтому второй закон Ньютона непосредственно не применим. Однако и в этом Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J 217 случае выталкивающая сила может быть определена из условия равновесия объема жидкости, вытесненного телом. Для этого случая удобно обобщить закон Архимеда. На тело, погруженное в неподвижную (в некоторой системе отсчета) жидкость и покоящееся относительно нее, действует выталкивающим сила, модуль, направление и точка приложения которой определяются из условия относительного равновесия жидкости, вытесненной этим телом. Отметим еще раз, что определение суммы поверхностных сил основано на использовании условия относительного равновесия. Поэтому закон Архимеда применим лишь к телам, покоящимся относительно жидкости. Если жидкость движется вместе с погруженым в нее телом как единое целое, то поверхностные силы, действующие на тело, рассчитываются из условия относительного покоя выделенной части жидкости, вытесненной телом. Пусть жидкость (вместе с погруженным в нее телом) движется с ускорением а относительно инерциальной системы XOY как единое целое. Силы, действующие на поверхность тела, определяются с помощью второго закона Ньютона для жидкости, замещающей это тело: = -^пов + где т = pV — масса выделенной жидкости, р V — объем тела. Отсюда поверхностная сила ^пов = гпа-mg = pV{d - g). В частности, при движении жидкости по горизонтальной поверхности с ускорением а модуль и направление этой силы могут быть определены графически (рис. 5.14): ее плотность. tg а = a/g. Выталкивающая сила теперь не рав на силе тяжести, а направлена под уг лом а к вертикали. 2l8 I Механика /г* i Рис. 5.15 Плавание тел. Закон Архимеда позволяет определить условия плавания тел в жидкости или газе. Очевидно, что условие плавания тела совпадает с условием относительного равновесия его в данной жидкости, т. е. тело, погруженное в жидкость или газ, будет плавать в том случае, если сумма сил, действующих на тело в инерциальной системе отсчета, равна нулю. Определяя выта.пкивающую силу с помощью закона Архимеда, условие плавания можно сформулировать в виде следующего правила. Тело плавает в жидкости, если вес этого тела равен весу вытесненной им жидкости. Пример 2. Определите длину веревки, которую полярник на дрейфующей льдине должен привязать к ведру, чтобы зачерпнуть воду. Толщина льда 4 м, плотность льда 900 кг/м^. Ясно, что требуется определить расстояние /г от поверхности льдины до уровня воды в море (рис. 5.15). Сила тяжести льдины уравновешивается архимедовой силой: Fj^- mg = 0. Объем вытесненной льдиной воды равен объему подводной части: 1^.,, = S{H - h), где S — площадь поверхности льдины, Н — ее толщина. Тогда, выражая архимедову силу и силу тяжести через плотность воды и льда, получим ^,gS{H -h)- ^^gSH = 0. Откуда = 1 - — 0,1. В Поэтому рюкомая длина веревки составит h ~ 0,4 м. Элементарная теория устойчивости плавающих тел. Закон Архимеда позволяет определить условия плавания тел, покоящихся в жидкости или газе на основе расчета, а не опытным путем. Поэтому его можно применять для решения практически важных вопросов плавучести и устойчивости кораблей. В практике кораблестроения впервые закон Архимеда Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J 219 а) Рис. 5.16 применили только в XVI в., когда водоизмещение кораблей стали вычислять. Несмотря на кажущуюся простоту, практическое применение закона Архимеда оказалось достаточно сложным. Наиболее трудной задачей является определение устойчивости корабля, а не его плавучести. Для анализа равновесия тела (корабля) достаточно рассмотреть моменты сил, действующих на него при опрокидывании. Плавающее тело будет находиться в устойчивом равновесии, если действия момента силы тяжести и выталкивающей силы будут возвращать тело к положению равновесия. Точка приложения выталкивающей силы находится в центре тяжести вытесненного объема воды, а сила тяжести приложена к центру тяжести корабля. Если центр тяжести корабля-на-ходится ниже точки приложения выталкивающей силы, то равновесие будет устойчивым. В противном случае равновесие корабля оказывается неустойчивым, что грозит опрокидыванием (рис. 5.16, а). Поэтому для увеличения устойчивости корабля в его корпусе в нижней части размещают тяжелое оборудование и балласт. В парусных яхтах балласт даже выносится за пределы корпуса и укрепляется на специальном плавнике под днищем судна (рис. 5.16, б). При отклонении корабля от положения равновесия форма вытесненного объема воды, а следовательно, и расчет точки приложения выталкивающей силы оказывается достаточно сложным. Особенно важны вопросы устойчивости при повреждении корабля, которое сопровождается заполнением части корпуса корабля водой и изменением положения его центра тяжести. Обычно корабль обладает определенным запасом плавучести. 220 I Механика Рис. 5.17 т. е. способности держаться на воде с дополнительным грузом, и если он не теряет устойчивости, то последствия таких повреждений не будут слишком тяжелыми. Изучая проблемы «выживания» поврежденного корабля, выдающийся российский кораблестроитель А. Н. Крылов пришел к парадоксальному на первый взгляд выводу, что для спасения корабля важнее разрабатывать не систему откачивания воды из трюмов, а систему заполнения водой других отсеков поврежденного корабля, чтобы обеспечить его выравнивание (рис. 5.17). Даже в том случае, когда корабль тонул, но не опрокидывался, это позволяло спасти людей. Им были составлены таблицы заполнения отсеков корабля водой при различных повреждениях, что спасло жизнь многим тысячам моряков. Вопросы И задания 1. Как рассчитать равнодействующую всех поверхностных сил, действующих на тело со стороны жидкости, в которой находится тело? 2. Каково направление архимедовой силы, действующее на тело в сосуде с жидкостью, если сосуд движется с постоянной скоростью? с постоянным ускорением? 3. Поплавок массой т наполовину погружен в жидкость, покоящуюся относительно инерциальной системы отсчета. Как изменится выталкивающая сила и глубина погружения поплавка, если жидкость вместе с поплавком будет двигаться вертикально вверх с ускорением d = -i? 4. Будет ли устойчивым вертикальное положение поплавка (тонкого деревянного стержня), погруженного в жидкость? Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J 221 § 5.4. Давление атмосферы Законы гидростатики с небольшими изменениями применимы не только при рассмотрении равновесия в жидкостях, но и для описания равновесия в газах. Однако задача усложняется тем, что газы легко сжимаются, и поэтому плотность газа не остается постоянной. Изменение плотности и давления в газах за счет сжатия под действием силы тяжести было обнаружено, прежде всего, при изучении атмосферы Земли. История открытия давления атмосферы. «Мы находимся на дне необъятного воздушного моря», — писал Джованни Бальяни в 1630 г. Галилею. Это одно из первых дошедших до нас письменных упоминаний об атмосферном давлении. До этого времени покой выделенного объема воздуха в воздухе объяснялся невесомостью воздуха, говорить о его весе вообще считалось бессмысленным. Галилей впервые провел эксперименты по доказательству существования веса у воздуха и оценил его плотность. Первые количественные опыты по демонстрации и измерению атмосферного давления были проделаны его учеником Эванджелиста Торричелли в 1644 г. Согласно данным Торричелли атмосферное давление можно оценить, зная плотность ртути = 13,6 • 10^ кг/м^ и высоту столба ртути, оставшейся в трубке после ее опрокидывания в чашу со ртутью (рис. 5.18): р = ==10^ Па. Прибор на основе трубки с ртутью для измерения атмосферного давления был назван ртутным барометром (от греч. барос — тяжесть). В настоящее время для измерения давления используется барометр-анероид. В нем стрелка прибора скреплена с корпусом плоской коробочки, из которой откачан воздух. К 1654 г. относят опыты бургомистра г. Магдебурга Отто фон Герике. В своих опытах для создания разрежения в сосуде он применил усовершенствованные им насосы, с помощью которых удавалось полностью откачать воздух из закрытых сосудов. В первых опытах Герике откачивал воду из плотно закрытых винных бочек, затем из медного шара, что приводило к разрушению со- Рис. 5.18 h 222 I Механика Рис. 5.19 судов. Затем к откачиванию воздуха из знаменитых прочных «магдебургских полушарий». В присутствии императора и князей он продемонстрировал, что сила давления атмосферного воздуха столь велика, что шары не могут растащить несколько пар лошадей. Эта сцена изображена на старинной гравюре из книги О. Герике (рис. 5.19). Пример. Оцените силы, с которыми лошади должны растягивать полушария, чтобы разъединить их. Для решения задачи необходимо определить силу давления воздуха, прижимающую одно полушарие к другому. Рассмотрим для определенности правое полушарие, точнее, полусферу, изображенную на рис. 5.20, а. Непосредственное вычисление силы давления воздуха, действующей на полусферу вдоль оси ОХ, достаточно сложнр, поскольку требует суммирования всех элементарных сил F^, действующих на нее. Удобнее воспользоваться условием равновесия объема воздуха на рис. 5.20, б, вытесняемого полушарием радиусом R, равным радиусу полусферы. На полусферу % Р справа действует воздух с силой Fj = ZF^, а на плоскую часть 1 полушария слева действует воздух с силой F = (pS; 0), где S = = — площадь плоской части (основания) полушария, ар — давление атмосферного воздуха. Поскольку выделенный объем воздуха покоится в инерциальной системе отсчета ХОУ, связанной с Землей, сумма сил, действующих на него, равна нулю: F + Fj = 0. Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J ш Отсюда нетрудно определить сумму всех элементарных сил; F, = (-F; 0) = i-pS; 0). Следовательно, для разъединения полушарий необходимо приложить к каждому из них силу F = pS = pnR^. Для оценки возьмем диаметр «магде-бургских полушарий» равным 0,5 м, что дает площадь поперечного сечения S = kR^ « 0,2 м^. Следовательно, при нормальном атмосферном давлении р = = 10^ Па на полушарие действует сила давления F = 2 • 10^ Н. Понятно, что при недостаточно согласованном действии лошади (см. рис. 5.19) не могут развить необходимое усилие. Заметим, что результат вычисления силы, действующей на «магдебургское полушарие», не зависит от его формы, а определяется только площадью основания. Поэтому такую же силу давления испытывает любая другая поверхность произвольной формы, опирающаяся на часть плоскости такой же площади. У1 О а) Fi У X / Yk О б) X Рис. 5.20 Состав атмосферы и ее физические параметры. Как показали исследования последующих 350 лет, с увеличением расстояния от поверхности Земли меняется не только давление, но и температура атмосферы, и ее химический состав. Нижние слои атмосферы прозрачны для солнечной радиации, но присутствующий здесь водяной пар сильно поглощает тепловое излучение Земли и нагревается. Поэтому температура нижних слоев атмосферы оказывается больше, чем верхних. Падение температуры с ростом высоты составляет около 0,6 °С на каждые 100 м и на высоте 15—16 км достигает -55 °С. Выше в атмосфере находится озон. Его основная масса сосредоточена па высоте около 25 км и простирается до высоты 60 км. Озон интенсивно поглощает солнечное ультрафиолетовое излучение и при этом нагревается. Падение температуры сменяется в озоновом слое ее повышением на 0,62 °С на каждые 100 м, и на высоте 55 км температура повышается до о °С. Еще выше температура вновь начинает падать и на высо- 224 I Механика Температура, К 200 300 те 80 км достигает минимума -85 °С. Начиная с высоты 100 км температура вновь растет и достигает 1200 °С на высотах около 400 км. График изменения температуры земной атмосферы с высотой приведен на рис. 5.21. Барометрическая формула. В газах плотность зависит от давления р = р(р), поэтому для того, чтобы вычислить условия равновесия части газа, необходимо выбирать столбик газа таких размеров, чтобы внутри него плотность можно было считать постоянной. Запишем условия равновесия для столбика газа, верхняя граница которого находится на глубине х^, где давление равно pj, а нижняя — на глубине Х2 = Xi + Лх, где давление газа Р2 = Pi + Др. В инерциальной системе отсчета ОХ, связанной с Землей (рис. 5.22), условия равновесия приводят к уравнению Pj + pgAx -р2 = 0. Глава 5 Движение жидких и газообразных тел J Ж Рис. 5.22 Прирост давления Ар = Р2~ Pi зависит от плотности, поэтому вид функции р = р(х) определяется конкретной зависимостью плотности от давления р = р(р). Опыт показывает, что в атмосфере при постоянной температуре плотность линейно за- ВИСИТ от давления р = ар, а = В таком случае прирост давления газа на глубине х оказывается пропорционален давлению на этой глубине: Др(лг) = agAxp(x). Поскольку с ростом глубины давление растет, то растет и плотность, поэтому давление газа увеличивается быстрее, чем давление несжимаемой жидкости. Для качественного выяснения этой зависимости выберем высоту столба газа Дл:^ так, чтобы при увеличении глубины на Дл:^ давление удваивалось. При таком выборе прирост давления равен давлению в исходной точке; Ар = agAx^p = р. Совершив п шагов и оказавшись на глубине х^ — пАх^^ мы обнаружим там давление р„ = 2"pq. Но поскольку п = xJAx^ = a^JC„, давление можно представить в виде р„ = Pq2^^'>. Таким образом, зависимость давления от глубины погружения в рассматриваемом газе в выбранном приближении имеет вид р{х) = Ро • 2“^^. Корректная математическая процедура, использующая бесконечно малые высоты Дд: — О, дает зависимость р(х) = Ро^^^, где число е ~ 2,718 — иррациональное число. Коэффициент пропор- М циональности а = ^ определяется химическим составом газа (М), его температурой (Т = 273 + t °С), R = 8,3 Дж/(К • моль). На рис. 5.23 сплошной кривой изображена зависимость давления в газе от глубины погружения в шахту (х > 0). Пунктирная линия показывает изменение давления в несжимае- 225 I Механика мой жидкости той же плотности в точке х = 0. Как следует из полученного выражения, на интервале Ах^ давление изменяется не в 2, а в с = 2,718... раз. Если в полученном выражении для линейного соотношения плотности газа и давления в нем р(х) = положить h = -X, где h - высота подъема над уровнем, выбранным за нуль отсчета, то зависимость давления газа от высоты подъема p{h) = называется барометрической формулой. В соответствии с ней при температуре Т = 300 К для воздуха давление падает в 2,7 раза с увеличением высоты на характерную величину = RT/Mg = 8000 м. Как показывает анализ барометрической формулы, при изменении высоты подъема на Ah ДЛ^ар изменением давления воздуха в атмосфере с постоянной температурой можно пренебречь, считая р = const, и рассматривать его как несжимаемый газ. Таким образом, простейшей моделью атмосферы Земли может служить воздушная оболочка постоянной плотности р = 1,3 кг/м*^ и температуры Т = 300 К, удерживаемая силами тяготения и создающая давление р^~ 10^ Па на уровне поверхности Земли. Тогда ее высота должна быть равна /iQ- 7,7 км. Вопросы И задания 1. Предложите способы, с помощью которых Галилей мог показать, что воздух имеет вес, не обладая насосом по откачиванию воздуха. 2. Как изменится величина усилий, требуемых для разрыва двух половинок сосуда, между которыми отсутствует воздух, если «магде-бургские полушария» в опыте Герике заменить двумя цилиндрами с диаметром, равным диаметру полушарий? 3. Почему с помощью всасывающих насосов невозможно поднять воду на высоту более 10 м? 4. На какой примерно высоте атмосферное давление должно уменьшиться в 2 раза, если предполагать, что температура воздуха не изменяется с высотой? Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J 227 § 5.5. Равновесие жидкости и форма ее поверхности Сформулированные выше задачи гидростатики включали и определение формы поверхности жидкости в условиях равновесия. Напомним, что под равновесием в гидростатике мы подразумеваем такое состояние среды, когда ее части не меняют своего положения относительно друг друга, т. е. супдествует такая система отсчета, в которой частицы среды покоятся относительно друг друга. Условия равновесия могут быть записаны для любой части рассматриваемой сплошной среды. Для этого достаточно лишь указать форму и размеры выделенной ее части. Как мы уже убедились при доказательстве закона Паскаля, удобным приемом при решении задач гидростатики является рациональный выбор выделенного объема. Используем этот прием для установления формы жидкости в сосудах различной формы. Сообщающиеся сосуды. Сообщающимися называются сосуды А и Б, соединенные трубкой (рис. 5.24, а). Выделим узкую горизонтальную трубку длиной / в горизонтальной части сосуда, соединяющую вертикальные трубки. Предположим, что уровни жидкости в вертикальных трубках /ij и /Zg соответственно. Давление жидкости в сосуде А вблизи левого конца трубки равно р^= Pq + а в сосуде Б — Рг ^ Ро + Поскольку силы, действующие на жидкость в горизонтальной трубке по вертикали, уравновешены, условие равновесия вдоль оси ОХ имеет вид /■,-/2 = 0. где = Pi'S, /2 “ Р2^- Здесь S — сечение горизонтальной трубки (рис. 5.24, б). Из условия равновесия следует, что /Zj = /Z2- Рис. 5.24 228 I Механика Таким образом, уровень однородной жидкости в сообш,ающихся сосудах, покоящихся относительно инерциальной системы отсчета, одинаков. Как следствие, давление на одном горизонтальном уровне в сообщающихся сосудах одинаково. П р и м е р. В правое колено U-образно-го сосуда с водой (плотность Pq) доливают слой масла плотностью р < Ро высотой /г. На сколько поднимется уровень воды в левом колене сосуда? Если уровень воды в левом колене поднимается на Ah, значит, в другом колене он опустился на такую же величину. Поскольку давление на горизонтальном уровне, соответствующем уровню воды в правом колене, равно давлению на этом уровне в левом колене, то Ро^ • 2 Ah = pgh. Рис 5 25 Откуда Ah 2Ро' Сообщающиеся сосуды применяются в простейшем приборе для измерения давления — жидкостном .нанометре (рис. 5.25). Основной частью манометра является U-образная трубка, заполненная жидкостью плотностью р^. Один конец этой трубки открыт, а второй присоединяется к сосуду, давление в котором нужно измерить. Разность уровней жидкости в трубке Ah пропорциональна разности давлений в сосуде и в атмосфере Ар = р - PqI Ар = p^gAh. С помощью такого манометра можно измерить отклонение давления от атмосферного как в большую, так и в меньшую сторону. Гидравлический подъемник. Рассмотрим равновесие в вертикальных сообщающихся сосудах разного сечения Sj и Sg, в которых на поверхности жидкости положены невесомые поршни, а на поршнях покоятся грузы массой т^ и mg. Равновесие жидкости в таком сосуде означает равенство давлений под поршнями: Pi =Р2» Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J 229 Рис. 5.26 Рис. 5.27 а равновесие грузов — равенство сил, действующих на каждый из них: m^g = PiSi и m2g = Р2^2-^2 Откуда т. е. малый груз на поршне малого сече- ния уравновешивает массивный груз на поршне большого сечения. Ясно, что действие силы тяжести на груз можно за- менить действием другой силы F. При медленном движении поршней с постоянной скоростью давление под ними примерно одинаково, тогда силы давления на поршни обратно пропорциональны площадям. Это дает возможность, перемещая поршень в узком цилиндре с малыми усилиями, создавать большие усилия на большой поршень. При этом, правда, большой поршень перемещается на незначительные расстояния. На этом принципе основано действие гидравлических прессов и подъемников (рис. 5.26), в которых после небольшого перемещения большого поршня 1, малый поршень 2 двигают назад, а система клапанов 3 перекрывает канал нагнетания жидкости (масла) в цилиндр с большим поршнем и открывает доступ в балластный сосуд с маслом 4. При повторном опускании малого поршня клапан в балластный сосуд закрывается, а в сосуд с широким поршнем открывается. При многократном повторении движения поршня удается за счет усилий руки поднять автомобиль или раздавить камень. Форма поверхности движущейся жидкости. Сосуд в виде U-образной трубки (рис. 5.27) с водой движется с ускорением а в плоскости, образованной сторонами трубки. Как от- 230 I Механика личаются уровни воды в вертикальных трубках сосуда, если длина нижней трубки равна /? Условие относительного равновесия для любой части этой жидкости, полученное с помощью второго закона Ньютона, имеет вид: та = mg + F Рис. 5 28 НОВ жидкости, F пов где т — масса выделенной части - силы давления, действующие на нее. Для выделенной части жидкости в горизонтальной трубке условие равновесия имеет вид: та — fi~ /г* Масса жидкости в трубке пропорциональна ее объему т = pZS. Подставляя в это уравнение выражения для сил, действующих на левый и правый конец жидкости в горизонтальной трубке f\ = Pi'S = (Ро ^ /*2 = P2-S = (Ро + получим выражение для определения высоты уровня жидкости в сосуде Б: /г„ = Л, --1. 2 ' е Решение задачи может быть использовано для определения формы поверхности жидкости в сосуде протяженных размеров, движущемся равноускоренно. Как следует из этого решения, уровень жидкости линейно понижается с ростом длины трубки /. В сосуде протяженных размеров всегда можно выделить жидкость так, чтобы рассматривать выделенную часть как сообщающиеся сосуды (рис. 5.28). Это приводит к выводу, что поверхность жидкости, покоящейся в инерциальной системе отсчета, горизонтальна, а движущейся равноускоренно в горизонтальном направлении наклонена относительно горизонта. Угол наклона определяется ускорением tg а = a/g. Вопросы И задания 1. Узкую трубку, открытую с двух сторон, погружают наполовину в воду, зажимают пальцем и вынимают из воды. Часть воды выливается. Запишите условие равновесия столба воды в трубке, если трубка остается вертикальной; поворачивается горизонтально; начинает двигаться в горизонтальном положении с ускорением. Глава 5. Движение жидких и газообразных lej J Ш 2. Приведите примеры использования сообщающихся сосудов в природе и технике. 3. Рассчитайте разность уровней воды в вертикальных трубках сосуда на рис. 5.27, если он движется не поступательно, а вращается вокруг правой трубки с угловой скоростью (О. § 5.6. Основные законы динамики сплошной среды Движение сплошной среды, при котором существенна ее деформация, может иметь очень сложный характер. Это потребует привлечения серьезного математического аппарата, а также современной вычислительной техники для решения большого числа уравнений, описывающих поведение многих частиц. Однако в некоторых случаях для описания движения достаточно применить упрощенные модели, которые позволяют воспроизвести основные характеристики процессов и разобраться в сути явлений. Рассмотрим стационарное движение сплошной среды, при котором линии тока остаются неизменными, и применим основные теоремы динамики. В некоторых задачах удается найти законы сохранения величин, характеризующих течение сплошной среды, что существенно облегчает решение задач о движении потоков жидкости и газа. Уравнение непрерывности. Пусть движение сплошной среды, которое происходит по отдельным трубкам тока, не допускающим перемешивания частиц. Выделим элементарную трубку тока, площадь поперечного сечения которой достаточно мала, так что скорость движения в любой точке сечения можно считать неизменной. Проведем в этой трубке два поперечных сечения площадью S| и Sg. Эти сечения выделяют в трубке тока объем, заключенный между ними. Пусть в первом сечении плотность вещества равна Pj, а скорость частиц во втором — pg и Og соответственно. За время t через первое сечение в выделенный объем трубки тока поступит вещество массой т = pjSjOj^, которое на рис. 5.29 s, выделено фоном. Поскольку движение ( \ г, V2 является стационарным, вещество не может накапливаться внутри выделенного объема. Следовательно, веще- ГА 1 Рис. 5.29 232 I Механика ство такой же массы покинет этот объем через второе сечение: т = Закон сохранения массы вещества в выделенном объеме приводит к соотношению между скоростью течения жидкости или газа, его плотностью и поперечным сечением элементарной трубки тока, называемому уравнением непрерывности: Pj/SjUj = Р2^2П2. Для жидкости плотность не зависит от условий ее течения и остается одинаковой в любом сечении трубки тока pj = р2, поэтому скорость ее течения по элементарной трубке тока зависит только от площади поперечного сечения и удовлетворяет уравнению: SjL?i = S2V2- Импульс сплошной среды. Для решения задач динамики движущейся жидкости можно выделить в жидкости частицы малого объема, которые мы будем считать материальными точками, и применить второй закон Ньютона. Однако практическое использование такого подхода достаточно трудно, даже при использовании современных компьютеров. В некоторых случаях для расчета движения сплошной среды и ее взаимодействия с другими телами удается применить теорему об изменении импульса системы частиц. Напомним, что импульсом системы частиц в выделенном объеме сплошной среды (жидкого или газообразного тела) называется сумма импульсов всех частиц этой среды: р=1р,. I Для частицы среды плотностью р, имеющей массу Дт,, занимающей элементарный объем ДК^ (Дт- = pДV'^) и движущейся со скоростью импульс имеет вид р- = Amfi^ = pu-AV^. Если плотность среды постоянна, суммарный импульс ее определяется выражением Р = р I й-AV^. г Для системы частиц сплошной среды справедлива теорема динамики об изменении импульса. Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J ш в инерциальной системе отсчета изменение импульса выделенных частиц сплошной среды равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на этот объем: — F ^ внеш^^ * Внешние силы, действующие на рассматриваемое жидкое тело, могут быть и контактными (силами давления), так что ^п внеш ^ И дальнодействующими (силами тяжести) i2 внеш Кинетическая энергия сплошной среды. Особую роль при решении задач динамики сплошной среды играет закон изменения и сохранения энергии. Это обусловлено тем, что в отличие от второго закона Ньютона применимость закона изменения энергии не ограничена лишь материальной точкой. Рассмотрим его применение для описания движения деформируемой сплошной среды. Назовем кинетической энергией выделенных частиц сплошной среды сумму кинетических энергий всех частиц этой части сплошной среды: Выражая массу части жидкости через плотность, получим £„ = I р I Для любой системы частиц можно применить теорему об изменении энергии. В инерциальной системе отсчета изменение кинетиче ской энергии частиц в выделенном объеме сплошной сре ды равно работе всех сил, и внешних, и внутренних, дей ствующих на частицы этого объема: "^всех сил* Вычисление работы внутренних сил в веществе очень сложно, поэтому мы рассмотрим только такие случаи, когда эта работа пренебрежимо мала. Это возможно в несжимаемой среде (жидкости), если пренебречь силами трения между соседними слоями. 234 I Механика Сплошная среда называется идеальной у если работа внутренних сил при сдвиге соседних слоев в любом выделенном объеме равна нулю. Модель идеальной среды значительно облегчает применение теоремы об изменении кинетической энергии, так как для идеальной жидкости достаточно определить работу только внешних сил (контактных сил давления и силы тяжести), действующих на выделенный объем. Закон Бернулли. Обобщением рассмотренного закона изменения кинетической энергии сплошной среды является уравнение Бернулли. Это уравнение устанавливает связь между скоростью движения идеальной сплошной среды и давлением в трубе переменного сечения. Теорема об изменении кинетической энергии сплошной среды, движущейся в трубе переменного сечения, имеет вид: ти 1 ти о 2 2 = Л + д давл где работа сил давления со стороны прилегающих участков сплошной среды: ~ F^u-yt = p^^S^u^t - A^3j^ = mgih^ - h{) — работа силы тяжести, am — масса ускорившейся за время t части сплошной среды. В силу закона сохранения массы справедливо соотношение: т = Подставляя в теорему об изменении кинетической энергии эти величины, придадим этому уравнению форму закона сохранения, перенося величины с индексом О в одну часть, с индексом 1 — в другую. В результате получим уравнение Бернулли: Ро^о р, wf + Ро + + Pi + Как показывает анализ этого уравнения в частях сплошной среды, где скорость движения частиц среды больше, она с меньшей силой давит на стенки сосуда или на соседние части среды (рис. 5.30). Если, например, над крышей дома возникает порыв ветра большой скорости и давление под и над кровлей не успевает выравняться, то перепад давления создает силы, срывающие кровлю. На аналогичном эффекте основано действие пульверизатора и откачивание газов с помощью водоструйного насоса. Пример. Определите скорость истечения жидкости из отверстия в нижней части сосуда высотой Л, если площадь верхней части сосуда Sq, а площадь сечения отверстия Sj. Глава 5. Движение жидких и газообразных 1ел J 235 'о Рис. 5.31 При стационарном течении жидкости в сосуде, изображен ном на рис. 5.31, применение уравнения Бернулли дает: Р“о ры2 Ро+ ^ +Р^Л=Ро+ -2 Учитывая уравнение непрерывности из уравнения Бернулли получаем U, = j2gh/[l-{Sj/So)^\. Вопросы и задания 1. Какие подходы используются для расчета сил и давления в движущихся жидкостях или при контакте их с твердыми телами? 2. Что называется импульсом и кинетической энергией выделенного объема сплошной среды? Как они выражаются через объемные характеристики сплошной среды (плотность, скорость)? 3. Какую форму принимает теорема об изменении кинетической энергии при движении несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения? § 5.7. Движение тел в жидкости Развитие теории движения жидкости и газа позволило перейти от интуитивных представлений о движении сплошной среды к расчету процессов взаимодействия жидкости и газа с телами. Это сыграло важнейшую роль в развитии техники. Опираясь на законы сохранения, рассмотрим механизм возникновения сопротивления движению тел в сплошной среде, ограничиваясь для простоты телами симметричной формы. 235 I Механика О V У. I X Рис. 5.32 Простейшая модель сопротив-ления. Согласно модели, предложенной Ньютоном, первоначально покоящиеся частицы среды, находящиеся на пути движения тела, вытесняются им в стороны. При контакте частицы приобретают скорость в направлении движения тела, равную скорости тела, что приводит к изменению импульса сплошной среды (рис. 5.32). Изменение импульса среды обусловлено силами, действующими на нее со стороны тела. Соответственно, на тело со стороны среды действует сила сопротивления. Пусть площадь поперечного сечения тела равна S. За время At покоящиеся первоначально частицы в объеме V = SI = = SvAtf изображенном на рисунке пунктиром, сталкиваются с движущимся телом, приобретая скорость v в направлении оси ОХ инерциальной системы отсчета. Масса этих частиц пропорциональна плотности среды р: m = pSl = pSuAt. В модели предполагается, что после взаимодействия с лобовой частью движущегося тела частицы движутся относительно него в направлении, перпендикулярном оси ОХ. Изменение импульса среды вызвано силой F, действующей со стороны движущегося тела, которая определяется в соответствии с теоремой об изменении импульса: АР^ = FAt. Отсюда легко найти силу сопротивления среды: F = р5у2. Полученные Ньютоном выводы о сопротивлении движению качественно согласуются с результатами экспериментов. Ближе всех к модели Ньютона картина обтекания с полостью (каверной) (рис. 5.33), которая образуется и при обтекании пластинки, пер- Рис. 5.33 Глава 5. Движение жидких и газообразных тел J W Рис. 5.34 Рис 5 35 пендикулярной потоку жвдкости. Частицы жидкости в этом случае взаимодействуют с пластиной и отклоняются ею. Из-за большой скорости движения они не успевают сомкнуться позади. Если такую пластинку установить перед движущимся телом, то при большой скорости движения оно может полностью оказаться в образовавшейся полости. При этом сопротивление движению возникает только из-за взаимодействия потока с пластинкой, площадь поперечного сечения которой во много раз меньше, чем площадь движущегося тела, поэтому и сила сопротивления оказывается во много раз меньше. Эта идея легла в основу оригинальной конструкции торпеды «Шквал», созданной в СССР в 1964 г. (рис. 5.34). В носовой части этой торпеды установлена небольшая пластинка, которая и взаимодействует с жидкостью, создавая позади себя полость. В возникающей полости помещается торпеда длиной свыше 8 м и диаметром 0,5 м. Скорость этой торпеды в 3—4 раза больше, чем обычной, поэтому она может поразить цель на расстоянии до 10 км всего через 1,5 мин после выстрела. Однако опыт показывает, что сила сопротивления определяется не только площадью сечения, но и формой тела. Основным источником ошибок в теории Ньютона является предположение о независимости движения отдельных частиц среды. Взаимодействие частиц в реальных жидкостях и газах приводит к сложной картине распределения скоростей частиц среды, появлению в ней вихрей, формированию турбулентного и волнового движений в среде (рис. 5.35). Учет этих факторов при оценке силы сопротивления производится введением коэффициента с^, учитывающего форму тела и скорость относительного движения тела и жидкости: F = c^S^. 238 I Механика Для тела, например, каплевидной формы = 0,04 в широком интервале скоростей, а для шара - 0,4. Теоремы динамики сплошных сред при расчете характеристик водного (воздушного) транспорта. Движение в воде и в воздухе также основано на взаимодействии твердого тела — летательного аппарата или корабля — с окружающей средой. Вода или воздух, окружающие транспортное средство, не могут оставаться неподвижными при действии на них движителя и сами приходят в движение. Силы реакции, возникающие при взаимодействии движителя и окружающей среды, создают тягу, необходимую для движения корабля или самолета. Поэтому движитель должен не только сообщить кинетическую энергию частицам среды при ее «раздвигании», что учитывалось нами при расчете си.ты сопротивления среды, но и увеличить кинетическую энергию частиц среды, отбрасываемых движителем назад для создания силы тяги. Так, двигатель вертолета, зависшего над землей, за время t сообщает отбрасываемому со скоростью и воздуху массой т = {)Sut энергию Е = гпи^ _ pSu'^t 2 2 ’ что соответствует развиваемой движителем мощности f иК При этом сила сопротивления для неподвижного вертолета равна нулю, а сила тяги может быть вычислена на основании закона об изменении импульса сплошной среды и третьего закона Ньютона ^тягп^ = = pSu4 или = pSw2. Таким образом, для развития силы тяги, равной силе тяжести = Mgy двигатель вертолета массой 500 кг при диаметре винта d = 10 м должен развивать мощность iVo = (Mg) 3/2 djnp = 18 кВт. Вопросы и задания 1. От каких факторов зависит сила сопротивления среды в модели Ньютона? 2, Как изменяется картина обтекания тел жидкостью при увеличении скорости тела, движущегося в жидкости? Как это влияет на силу сопротивления? МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕРМОДИНАМИКА i Изменения, происходящие с телами в природе, не исчерпываются только их относительным перемещением и деформациями, т. е. механическим движением. Мы часю можем наблюдать изменение агрегатного состояния, например плавление твердого тела, изменение его 1емпературы или дру| их немеханичес ких характеристик. Иногда такие изменения оказываются явно связанными с механическим движением, а иногда происходят независимо от него. При изучении общих свойств изменений, происходящих с телами, используют два основных подхода. В одном случае наблюдаемые свойства тел связываются с особенностями взаимного расположения и механического движения атомов и молекул, их составляющих. Такой метод описания принят в молекулярно-кинетической теории, возникшей в конце XIX в и получившей развитие в XX в. При другом подходе строится феноменологическая картина изучаемых явлений. Выбирается достаточно простая модель, и вводятся физические величины, механические и немеханические, необходимые для количественной характеристики этих явлений. Одной из первых теорий, построенной для описания тепловых явлений и их связи с деформациями рассматриваемых тел, является термодинамика (от греч. вгррт! — жар и 5uva|ii^ — сила) Этот раздел физики возник в XIX в., и его развитие было связано с бурным ростом производства, потребовавшего широкого применения тепловых двигателей. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика § 6.1. Взаимосвязь тепловых и механических явлений Возникновение термодинамики связывается с развитием промышленного производства и широким использованием паровых машин, для повышения эффективности которых и требовалось создание теоретической базы. В настоящее время круг вопросов, рассматриваемых термодинамикой, значительно расширился. Возникла взаимосвязь между объяснением явлений с помощью молекулярно-кинетической теории и термодинамикой. Величины, используемые в термодинамике, характеризуют систему большого числа частиц и называются поэтому макроскопическими параметрами, в отличие от микроскопических, характеризующих движение молекул. При рассмотрении теплового расширения заданной массы газа, например, измеряется объем и давление газа в ходе нагревания и устанавливается их взаимосвязь с температурой газа. В этом случае макроскопическими параметрами будут давление газа, его масса, объем и температура, микроскопическими характеристиками будут положения и скорости молекул газа, а также масса и энергия каждой молекулы. В элементарной физике ограничиваются только термодинамикой равновесных систем. Упругие свойства газов. Изучение термодинамических процессов начнем с тепловых деформаций тел и выберем сначала достаточно простые модели этого явления. Как и в механике, среди возможных деформаций наиболее удобно рассматривать упругие, т. е. такие, которые исчезают в отсутствие внешних воздействий, когда система возвращается в исходное состояние. Неупругис деформации, обусловленные текучестью, будем считать несущественными. ПреР1мущество такого подхода состоит в том, что свойства тела полностью задаются параметрами в данный момент времени и не зависят от предыдущих его состояний. Термодинамика изучает процессы, происходящие с любыми телами, но для упрощения описания основное внимание мы уделим процессам, происходящим с газами. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и 1ермодинамика ; 24^ Механические свойства газа описываются минимальным числом макропараметров: его объемом и давлением, которое можно считать одинаковым в любой точке сосуда. Упругие свойства таких газов, как воздух, были хорошо известны еще в Древней Греции. Современнику Архимеда Ктезибию предание приписывает создание тяжелых орудий, работающих на сжатом воздухе, и ряд других изобретений, в частности пожарного насоса. Опыты по исследованию упругих свойств воздуха проводил английский ученый Роберт Бойль. Исследуя зависимость давления определенного количества воздуха в сосуде от его объема, в 1662 г. он пришел к выводу, что «упругость воздуха находится в обратном отношении к его объему». Пользуясь современной терминологией, Бойль установил зависимость давления воздуха в сосуде от его объема. Давление данной массы любого газа обратно пропорционально занимаемому объему: Р ~ 1/^^. Аналогичные опыты для газа несколько позже и с меньшей точностью выполнил французский ученый Эди Мариотт. Тепловое расширение тел и создание термометра. Механическое воздействие на тело не является единственной причиной его деформации. Опыт показывает, что подобные изменения происходят также при нагревании или охлаждении тел. Почти все тела при нагревании расширяются, а при охлаждении уменьшают свой объем. Один из первых опытов по наблюдению теплового расширения воздуха описан Филоном, жившим в Александрии, приблизительно в 250 г. до н. э. Прибор для этих опытов, названный термоскопом^ состоит из двух шаров, соединенных трубкой (рис. 6.1). К полому шару, содержащему воздух, трубка присоединена герметично. Другой шар наполнен водой. Свободный конец трубки опущен сверху че- рез горловину шара в воду. При нагревании полого шара воздух расширяется и выходит через трубку, образуя в воде хорошо заметные пузырьки. При охлаждении полого шара воздух в нем сжимается и через трубку в сосуд поступает вода. Рис. 6.1 242 I Молекулярная физика. Термодинамика Тепловое расширение тел было использовано при создании первых термометров — приборов для измерения температуры. Привычное нам сегодня понятие температуры имеет большую историю и чрезвычайно интересно как пример введения физической величины, первоначально не имевшей четко установленного смысла. Долгое время представления о температуре (от лат. ternpe-rare — умерять, ограничивать) — характеристике степени «нагретости» тела — имели субъективный характер и не поддавались количественному определению, а значит, не существовало физических величин, которые можно было бы положить в основу построения физической теории. Галилей в 1597 г. повторил опыт Филона Александрийского с термоскопом, немного изменив его. Измеряя длину столбика воды, поднявшейся в трубку, Галилей смог ввести количественную характеристику степени нагрева колбы. Однако термоскоп Галилея не мог служить прибором для измерения температуры, поскольку его показания зависели от атмосферного давления. В XVII в. ученик Галилея Торричелли усовершенствовал термоскоп, используя для измерения температуры тепловое расширение спирта в запаянной трубке, что исключило влияние атмосферы на показания прибора. Прибор, созданный Торричелли, назвали термометром (рис. 6.2). Интересно отметить, что термин «температура» появился на два столетия раньше, чем термометр Торричелли. Для градуировки термометра с 1742 г. используются две точки — температура таяния льда и температура кипения воды. Интервал между этими точками, поделенный на 100 равных частей, образует шкалу Цельсия^ широко распространенную в настоящее время в Европе. В США и Англии используется шкала Фаренгейта, в которой выбраны другие опорные точки — температура смеси снега и нашатыря принимается равной нулю, а температура тела здорового человека — за 100°. Температура замерзания воды по шкале Фаренгейта равна 32°. Рис. 6.2 Спиртовой и ртутный термометры Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | в настоящее время являются наиболее широко распространенными приборами для измерения температуры в бытовых условиях. Закон Бойля—Мариотта. Создание термометров открыло возможности для количественного изучения тепловых явлений и их связи с механическими деформациями, привело к открытию ряда физических законов. В первую очередь это позволило уточнить закономерности, установленные Бойлем для механических деформаций газов, и придать им форму физического закона, называемого законом Бойля—Мариотта. При постоянной температуре давление р данной массы любого разреженного газа изменяется обратно пропорционально занимаемому объему V: V о Р=Р0-у Здесь Pq — давление газа, занимающего начальный объ- ем Vq. Pi 2pi--- Pi О Этот закон применим только для достаточно разреженных газов и, как любой феноменологический закон, имеет относительно невысокую точность. На рис. 6.3 представлена зависимость давления газа от занимаемого им объема в соответствии с законом Бойля—Мариотта. В 1802 г. при изучении теплового расширения газов в интервале температур от о до 100 °С Жозеф Гей-Люссак сделал вывод: «Все газы во-общСу насколько я могу заключить^ при одинаковом давлении расширяются от теплоты одинаковым образом». В настоящее время закон Гей Люссака формулируется так: V, 2V, V Рис. 6.3 При любом постоянном давлении объем V неизменной массы любого разреженного газа определенного химического состава линейно изменяется с температурой: V — Vq{\ + ос^). 244 I Молекулярная физика. Термодинамика у у ф -4 > ^ »—1 Коэффициент объемного расширения а одинаков для всех газов и не зависит от давления: -273,15 О 100 t. °С Рис. 6 4 V. о а = 1/273,15 [1/град], — объем газа, занимаемый им при температуре ^ = 0 °С. Этот закон выполняется с ограниченной точностью и дает удовлетворительные результаты только применительно к разреженным газам. График зависимости объема разреженного газа от его температуры, построенный на основе опытов Гей-Люссака, изображен на рис. 6.4 сплошной линией. Продолжение (экстраполяция) этого графика к точке V = 0 (пунктирная линия) дает значение температуры, при котором объем газа должен обращаться в нуль. Эта температура называется нулем Кельвина и соответствует значению t = -273,15 '^С. Тепловое расширение твердых и жидких тел. При нагревании упругие деформации испытывают не только газообразные тела, но также и жидкости, и твердые тела, хотя величина их деформаций значительно меньше. Серьезное изучение объемных деформаций жидкостей и твердых тел было проведено в начале XIX в. Пьером Дюлон-гом и Алексисом Пти. Вначале они детально исследовали расширение ртути, а затем изучили расширение других веществ, сравнивая их поведение с поведением ртути. Ученые пришли к заключению, что по отношению к тепловому расширению ртути тепловое расширение других тел оказывается неравномерным. Расширение жидкостей в небольшом интервале температур можно описывать выражением У=Го(1 +рЛ0, где Vq — ^о(^о) — начальный объем жидкости при температуре t^y а. At = t — — изменение температуры, но коэффициент объемного расширения р заметно зависит от температуры, и его следует определять экспериментально для каждой области изменения температур. Некоторое представление о величине этого коэффициента для распространенных жидкостей можно получить из таблицы 6.1. Глава 6. Молекулярно-кинетичегкая теория и термодинамика | 2^ Таблица 6.1 Жидкость р, 1ГС Ацетон 14,3-10-4 Вода 10—20 °С 1,5*10-4 Вода 20 40 3,0*10-4 Вода 40—60 4,6*10-4 Ртуть 1,8*10-4 Спирт этиловый 11,0*10-4 Деформации твердых тел имеют довольно сложный характер, но для простых деформаций, таких как удлинение однородного стержня, удается ввести количественную характеристику этого процесса — коэффициент линейного расширения а, связывающий удлинение стержня с его температурой. Как и для жидкостей, этот коэффициент можно считать постоянным только в узкой области изменения температуры. Длина нагретого стержня I определяется выражением: 1 = Iq{1+ add) у где Iq — длина стержня при некоторой начальной температуре <0, а коэффициент линейного расширения можно считать постоянным для данного вещества (так, для алюминиевого стержня а = 2,4 • 10~^ 1/°С). Вопросы и задания 1. Чем отличаются описания теплового расширения тел в рамках термодинамической и молекулярно-кинетической теории? 2. Нарисуйте график зависимости силы, выдвигающей поршень из сосуда, от смещения поршня от положения равновесия. 3. Какую температурную шкалу называют шкалой Цельсия? Каковы количественные закономерности расширения газов в интервале О—100 ®С? Выполняются ли эти закономерности в других температурных диапазонах? 4. Каковы закономерности теплового расширения твердых и жидких тел? Постройте график зависимости длины столбика воды в трубке от температуры в диапазоне 10—60 °С, если изменением объема трубки в этом диапазоне можно пренебречь. 5. На сколько сместится капля ртути, закрывающая слой воздуха длиной 10 см в запаянной с одного конца трубке диаметром 1 мм. 24^ I Молекулярная физика. Термодинамика при нагревании трубки от 20 до 100 ^С? На сколько сместилась бы поверхность ртути, если бы трубка была заполнена ртутью от дна до высоты 10 см? § 6.2. Температура как параметр состояния Температурная шкала Кельвина. Определение температуры тела по расширению произвольно выбранного вещества, например спирта, имеет серьезный недостаток — показания термометра зависят от этого вещества, называемого термометрическим телом. В начале XIX в. Гемфри Дэви провел эксперименты, в которых исследовал зависимость показаний термометра от термометрического тела. Он взял термометры, заполненные ртутью, спиртом, водой и оливковым маслом, обозначил точку таяния льда и кипения воды и разделил интервал между этими точками на шкале каждого термометра на 100 равных частей. При измерениях оказалось, что, когда ртутный термометр показывал 50'\ спиртовой — 43°, а с оливковым маслом — 49°. Разнобой в показаниях термометров сильно затруднял измерение и сравнение результатов. Поиски подходящих для термометра веществ привели к газам, поскольку коэффициент расширения газа при постоянном давлении почти не зависит от его химического состава. Независимость показаний газовых термометров от выбранного термометрического тела обеспечивает возможность сравнения результатов, получаемых в разных лабораториях в разное время. На практике оказалось удобнее измерять изменение давления газа, заключенного в сосуд фиксированного объема. Изучая зависимость давления газов от температуры при постоянном объеме, Жак Шарль в 1787 г. обнаружил, что в том же интервале температур 0 < / < 100 °С зависимость давления газов от температуры одинакова для всех газов (рис. 6.5). Закон Шарля можно сформулировать следующим образом: При постоянном объеме давление р неизменной массы .любого разреженного газа линейно изменяется с температурой'. Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Pi, Ро -273,15 О 100 t, °С Рис. 6.5 Коэффициент а в этом выражении одинаков для всех газов, не зависит от давления и совпадает с коэффициентом объемного расширения а = 1/273,15 [1/град], Pq — давление газа при температуре t = 0 °С. Из закона Шарля следует, что не только объем, но и давление любого газа должно обратиться в нуль при температуре t = -273,15 °С, если установленные закономерности будут справедливы и при низких температурах. Эта температура была названа абсолютным нулем температуры. На основе закона Шарля в 1877 г. была установлена шкала эмпирической температуры. В соответствии с принятым соглашением измерение температуры должно было производиться по измерению давления водорода, объем которого поддерживается строго постоянным. По водородному термометру устанавливались шкалы всех остальных приборов — ртутных, спиртовых и т. д. Такой метод калибровки существовал вплоть до 1927 г., когда шкала температур стала устанавливаться по изменению электрических свойств платины. Используя газовый термометр, удобно температуру отсчитывать от абсолютного нуля, тогда точка ^ = 0 °С — температура таяния льда будет иметь температуру Т = Tq = 273,15 К. Температурная шкала газового термометра, начало которой совпадает с абсолютным нулем, а интервал температур от точки таяния льда до точки кипения воды (при нормальном атмосферном давлении) разделен на 100 равных частей, называется шкалой Кельвина. Одно деление такой шкалы — один градус — является единицей температуры в СИ и называется кельвин (К). Соотношение между температурой по шкале Цельсия t и абсолютной температурой Т задается выражением Т =/ + 273,15. При использовании шкалы Кельвина законы Гей-Люссака и Шарля формулируются особенно просто — объем и давление прямо пропорциональны абсолютной температуре: V = Vf^aT, Р = Из приведенных соотношений легко установить, что а = = 1/Г„>0. 248 I Молекулярная физика. Термодинамика Так как объем любого тела при любых условиях — положительная величина, то температура любой системы тел не может опускаться ниже абсолютного нуля. Физический смысл температуры. Измерение температуры тел по деформации жидкости или газа в термометре не дает ответа на важные для физики вопросы: что характеризует физическая величина, которую мы измеряем с помощью такого термометра? Существуют ли иные способы измерения температуры? Как сравнивать результаты измерения температуры различными способами? Понятие температуры тесно связано с количественным описанием состояния теплового равновесия тел. Любая система тел, изолированная от окружающего мира, самопроизвольно приходит в такое состояние, когда все параметры, характеризующие эту систему, принимают определенные значения и перестают изменяться. Такое состояние системы называется состоянием термодинамического равновесия. Поясним сказанное. Предположим, что в горизонтально расположенном цилиндре, разделенном на две части легким поршнем, находится газ. Цилиндр изолирован от всех других тел. В начальный момент в левой части цилиндра находится газ массой mj, который занимает объем и имеет давление /?р а в правой части — газ массой mg, занимающий объем Fg и имеющий давление pg. Под действием газа поршень переместится в положение механического равновесия, когда силы, действующие на поршень, будут равны. При этом давление слева и справа от поршня будет одинаковым р^ = pg, а газы займут объемы V\ и Fg соответственно. При этом если в одной части цилиндра газ окажется более нагретым, чем в другой, то это состояние системы начнет изменяться, а поршень будет медленно перемещаться. В итоге движение поршня прекратится и в системе установится такое состояние газов, при котором и давление, и объем перестанут изменяться — система придет в состояние нового равновесия. В этом состоянии давление и объем газа слева и справа от поршня имеют строго определенные значения Pqj = ^ Ро2» ^01 ^ ^02 соответственно, которые зависят только от начальных параметров газа в цилиндре. Это состояние равновесия системы не может быть определено только из условия механического равновесия поршня, которое выполнялось при его движении в любой момент времени, поэтому в дополнение Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ к представлению о механическом равновесии системы вводится понятие о ее тепловом равновесии. Опыт показывает, что в состоянии теплового равновесия температуры газов, измеренные любым термометром, будут одинаковыми, поэтому температуру тел можно рассматривать как характеристику равновесного состояния. Состояние системы, в котором достигается и механическое, и тепловое равновесие, называют тер мод ина мине ским равновесием. Измерение температуры связано с установлением теплового равновесия между измеряемым телом и термометром, а значит, изменением состояния не только измерительного прибора — термометра, но и измеряемого объекта. Оказывается, при установлении теплового равновесия между двумя телами параметры тела, содержащего больше вещества, изменяются меньше. Поэтому для уменьшения влияния термометра на изучаемый объект его стараются сделать малым. Такой термометр, приведенный в контакт с исследуемым телом, принимает его температуру. Относительно большое тело, которое при установлении теплового равновесия не изменяет своего состояния, называется термостатом. Введение физической величины требует не только способа ее измерения, но и установления правил работы с ней как с математической величиной. Измерение температуры трех тел приписывает каждому из них числовые характеристики Тд, и Если Тд = Tq, а Tq = Т^, то Тд = Заметим, что это свойство, называемое в математике транзитивностью, присуще, например, такой известной вам физической величине, как масса. А вот правило сложения величин, верное для массы, не выполняется для температуры. Если тело С состоит из двух частей А и В, то т^ = т^ + т^. Если части этого тела находятся в состоянии теплового равновесия, то Гд + а как мы видели, Т'д = 7*5 = Tq. в математике говорят, что температура — неаддитивная величина. Температура и уравнение состояния. Если известен объем и плотность однородного тела, то масса может быть вычислена с помощью соотношения т = pV. Температура может быть вычислена по известным параметрам, определяющим механическое состояние тела. Для га- 250 I Молекулярная физика. Термодинамика за такими параметрами являются его количество в молях, объем и давление. Любое равновесное состояние газа характеризуется некоторой температурой, поэтому существует уравнение, которое определяет температуру данного состояния газа в зависимости от его количества, объема и давления: Т = /(V, р, V). Такое уравнение называется уравнением состояния и может быть получено на основе обобщения опытных данных. Отметим, что одно и то же значение температуры может соответствовать различным значениям объема, давления и количества вещества. Уравнение состояния позволяет вычислить те значения параметров газа, при которых он может находиться в состоянии теплового равновесия с другим телом, имеющим заданную температуру. Вопросы И задания 1. Как записывается закономерность, выявленная Шарлем, для нескольких газов с использованием температуры Т по шкале Кельвина? Как связано соотношение 0 °С = 273,15 К с опытами Шарля? 2. Каковы причины выбора (до 1927 г.) газа в качестве термометрического тела эталонного термометра? Почему на практике чаще пользуются жидкостными термометрами? 3. Какие свойства тел, кроме теплового расширения, могут быть использованы для измерения температуры? Приведите примеры термометров, используемых в различных отраслях хозяйства, науки, в быту. 4. Какие параметры состояния перестают меняться в состоянии теплового равновесия в любой точке системы? выравниваются во всех точках системы? 5. Что такое уравнение состояния в термодинамике? § 6.3. Уравнение Клапейрона—Менделеева Уравнение состояния для газов является обобщением экспериментальных закономерностей, полученных различными учеными для разреженных газов различного состава. Давление газов в этих исследованиях варьировалось вблизи 10^ Па, температура — вблизи 273 К. Глава б Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Это уравнение в виде закона подобия, связывающего параметры начального и конечного состояний, было получено французским ученым Бенуа Клапейроном в 1834 г.: pV Ро^о Y = const. Значение константы в уравнении состояния удалось определить Дмитрию Ивановичу Менделееву в 1874 г., поэтому оно называется уравнением Клапейрона—Менделеева. Обычно это уравнение записывают в виде pV=^RT. Здесь т — масса газа, М — его молярная масса (масса одного моль вещества), а R — константа, называемая универсальной газовой постоянной: R = 8,31 Дж/(моль • К). Уравнение Клапейрона—Менделеева достаточно точно описывает свойства разреженных газов. Уравнение состояния для разреженных газов устанавливает связь между четырьмя параметрами газа с заданной молярной массой — массой, давлением, объемом и температурой, так как состояние газа задается тремя независимыми параметрами, например массой т, объемом V и температурой Т. С помощью уравнения состояния можно вычислить четвертый параметр, в данном случае — давление р. Если в задаче рассматриваются два состояния газа, различающиеся давлением, температурой, массой, объемом и даже химическим составом, то уравнение состояния можно записать в виде закона подобия, связывающего начальные М^, /tIq, Pq, Fq, Tq и конечные Mj, m^, pj, Ур Tj параметры газа: moTo что позволяет определить один из неизвестных параметров конечного состояния газа по заданным начальным параметрам, если все другие параметры конечного состояния известны. В тех случаях, когда химический состав газа и его масса не изменяются, уравнение Клапейрона—Менделеева в виде pV Ро^о Т То непосредственно обобщает законы Бойля—Мариотта, Гей-Люссака и Шарля, которые могут быть получены из него как частные случаи: 252 1 Молекулярная физика. Термодинамика PiV^ = PqVq при Tj = Tq — закон Бойля—Мариотта; прирг=Ро закон Гей-Люссака; о Pi Т = при Vi = Vq — закон Шарля. Ро ^ о Уравнение состояния может быть полезным при определении термодинамического равновесия системы, поскольку определяет те значения давления и объема газа, при которых он имеет температуру, обеспечивающую тепловое равновесие системы. Вместе с уравнениями Ньютона для механического равновесия уравнение состояния приводит к системе уравнений, решение которой и определяет состояние термодинамического равновесия. Пример. В вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем площадью S и массой т находится газ, занимающий объем Vj. Определите смещение поршня относительно цилиндра при его переворачивании, если атмосферное давление равно Pq. В начальном состоянии газ находится в механическом и тепловом равновесии, когда его объем не меняется, а температура равна температуре атмосферного воздуха. Постоянство объема газа можно рассматривать как условие механического равновесия поршня в инерциальной системе XOYy связанной с Землей: F^ - Fq- mg = О, под действием силы тяжести mgy силы атмосферного давления Fq = PqS^ направленной вниз, и силы давления газа в сосуде Fj = piSy направленной вверх (рис. 6.6, а). Из этого уравнения определяется давление газа в цилиндре в начальном состоянии Pi=Po + m^/S. После переворачивания цилиндра объем, занимаемый газом, изменяется, и спустя некоторое время устанавливается новое термодинамическое равновесие системы. В новом положении равновесия поршень удерживается силой тяжести mgy силой атмосферного давления Fq = PqS, направленной теперь вверх, и силой давления газа в сосуде Fg = P2S (рис. 6.6, б). Условие механического равновесия в этом положении Fg - Fq + = О Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Yi О • • т г • • • • • • • а) X О Рис. 6.6 • # • • • • ^ • • • ж • Л • *•*. PzVzr:. Ф• • • ! ♦ ♦ V I % ё б) X определяет давление pg после переворачивания ци линдра: Р2=Ро~ mg/S. После переворачивания сосуда и установления в нем тепло вого равновесия газ будет иметь температуру, равную температуре окружающего воздуха, т. е. равную начальной: Tg = Т^. Поскольку масса и химический состав газа остались неизмен ными, объем и давление газа в начальном и конечном состоя НИИ связаны уравнением, вытекающим из уравнения состоя ния: Pl^I =Р2^2- Здесь ^2 — объем, занимаемый газом после сме щения поршня вниз на расстояние А1. Подставляя в это соотношение выражения для р^ и pg» г^ос ле простых преобразований получим условие Ро + mg/S = (Ро - mg/S){l + SAl/V^), из которого определяется смещение поршня: А/= 2^ V 1 S2 Ро “ fng/S * Решение уравнения, имеющее физический смысл, существует только при достаточно большом атмосферном давлении Ро» удовлетворяющем неравенству Ро > mg/S. Уравнение состояния может быть установлено не только для газов. Оно помогает установлению количественных связей между механическими и тепловыми деформациями. 254 I Молекулярная физика. Термодинамика Вопросы и задания 1. Что называется уравнением состояния? Приведите примеры. 2. Объем и температура заданной массы газа снизились в 2 раза. Как изменилось давление газа, если химический состав его не изменился? 3. Может ли давление и объем газа уменьшиться в 2 раза, а температура при этом не измениться? 4. Давление в волейбольном мяче в 2 раза выше атмосферного, температура комнатная, объем 4 л. На сколько снизится масса мяча при образовании в нем отверстия? Считайте, что мяч заполнен смесью, в которой 20% кислорода и 80% азота. § 6.4. Квазиравновесные переходы и их графическое изображение Графическое представление уравнения состояния. При неизменной массе и химическом составе давление разреженного газа в состоянии термодинамического равновесия определяется только его температурой и занимаемым объемом: p{V, Т) = mR ~w т V' Для графического представления этой зависимости удобно на плоскости ввести декартовы координаты, по осям которых откладываются значения объема и температуры — аргументов функции состояния. Если считать эту плоскость горизонтальной, например плоскостью листа бумаги на столе, то значение давления для каждой точки плоскости откладывается по вертикали, образуя определенный «рельеф местности». Такой трехмерный график уравнения Клапейрона—Менделеева изображен на рис. 6.7. Квазиравновесные процессы. Среди всех возможных переходов вепдества из одного состояния термодинамического равновесия в другое наиболее просто и наглядно описываются переходы, которые осуществляются через последовательность почти равновесных (квазиравновесных) состояний. Это бывает в тех случаях, когда переход из начального состояния в конечное осуществляется настолько медленно, что промежуточные состояния газа можно считать равновесными и характеризовать газ в любой момент времени параметрами термодинамического состояния — давлением, температурой и объемом. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |-----2^ D 1 Каждое равновесное состояние изображается на графике зависимости р = p(F, Т) точкой, а последовательность состояний при медленном и плавном изменении параметров изобразится непрерывной кривой. Все точки этой кривой находятся на поверхности, задаваемой уравнением состояния р = p{V, Т). Квазиравновесный переход из выбранной начальной точки А в конечную точку В (см. рис. 6.7) можно осуществить бесчисленным количеством различных способов, и каждому из них соответствует определенная кривая на поверхности, задаваемой уравнением состояния. Например, из точки А в точку В можно перейти по кривой АВ, соответствующей постоянной температуре Tj, а можно вначале перейти в точку С по прямой АС, соответствующей постоянному давлению, а затем — в точку В по прямой СВ, соответствующей постоянному объему. Если переход из начального состояния в конечное происходит так, что термодинамическое равновесие в промежуточных состояниях не достигается, то система не может быть описана с помощью всего двух параметров — давления и температуры всей системы, и такой переход не может быть изображен графически. Изображение квазиравновесных переходов на пространственном рисунке неудобно, поэтому чаще используют проекции пространственных кривых на координатные плоскости р—V, р—Т или V—Т. Получающиеся при этом проекции пространственных кривых называются диаграммами процессов. Используя уравнение состояния, по диаграмме процесса в одних координатах, например р, V, можно построить диаграммы в других координатах: Т = TiV) или р = р{Т). 256---1 Молекулярная физика. Термодинамика 1 П 2Ti Тг О А т в К, 2Vi V Основные модели квазиравновесных процессов. Среди всех возможных квазиравновесных процессов выделяют изопроцессы — процессы^ в которых один из параметров остается неизменным. • Если давление в ходе процесса остается постоянным (р == const), то процесс называется изобарным. • Если процесс проводится при неизменном объеме {V = const), то он называется изохорным. • Если в ходе процесса не изменяется температура (Т = const), то процесс называется изотермическим. На рис. 6.8 изображены графики изохорных процессов для некоторого количества вещества при двух фиксированных значениях объемов и 2Fj. Точки, задающие процесс при постоянном объеме, на пространственной картине (см. рис. 6.7) лежат в вертикальной плоскости, параллельной плоскости р—Т, поэтому графики получены как проекции линии пересечения этой плоскости и поверхности р = p(F, Т). График изохорного процесса называется изохорой. На рис. 6.9 изображены графики изобарных процессов для некоторого количества вещества при двух фиксированных значениях давления Ру и 2р^. Точки постоянного давления изображаются на пространственной картине (см. рис. 6.7) го- Pi\ 2pi -- Р\-- D I О I tB I 2^1 V Рис. 6.9 Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика [----- Pi 2pi Pi — D ta 0 Ti 2T, Ti 2T 1 Тг D 0 В F, 2Fi V Рис. 6.10 ризонтальной плоскостью, параллельной плоскости V—Т, поэтому графики получены как проекции линии пересечения этой плоскости и поверхности р = p(V, Т). График изобарного процесса называется изобарой. Графики изотермических процессов, соответствующие двум значениям температуры и 2Tj, представлены на рис. 6.10. Как и предыдущие графики, они являются изображениями линии пересечения поверхности р = p(F, Т) и плоскости Т = const (см. рис. 6.7) на плоскостях р—V, р—Т и V Т. График изотермического процесса называется изотермой. Во многих случаях переходы из начального состояния газа в конечное могут быть представлены как последовательность изопроцессов. Используя приведенные на рисунке графики основных процессов, легко построить графики изопроцессов в любых координатах. Пример 1. График на рис. 6.11 изображает замкнутый процесс (цикл) 1—2—3—4—1 с одним молем идеального газа. Постройте график зависимости температуры газа от объема Т = T{V). Объем, давление и температуру газа в точках 1, 2 и т. д. мы будем отмечать соответствующими индексами: pj, V2» Р2» Т2 и т. д. Участки 1—2 и 3—4 рассматриваемого цикла являются изохорами У = Fj и У = = 2Г, соответ- ственно. Графики этих процессов в координатах У, Т — прямые, параллельные оси ординат. Температуры начальной и конечной точек на каждой изохоре определяются уравнением состояния: Pi 2pi Pi--- ^ ^ = 9 Тг Pi = - = 2. Р4 о Vy 2V Рис. 6.11 1 V 258---1 Молекулярная физика. Термодинамика Рис. 6.12 Участки 2—3 и 4—1 являются изобарами с давлением р = Рг ^ ^Р\ Р ~ Р\ соответственно. В соответствии с уравнением состояния на участке 2—3 2pyV, 2p,V 2 Т получаем линейную зависимость температуры от объема: V V T(V)=T^;^ =2Т, V 1 График этой функции — прямая, проходящая через начало координат и точку 2. При У = V3 ^ температура в точке 3 превышает начальную в 4 раза: Тд = 4Т1. V Аналогично на участке 4—1 Т{У) = Tj ^ . График этой зависимости — прямая, проходящая через начало координат и точку 1. График цикла в координатах Т, V изображен на рис. 6.12. В тех случаях, когда процессы, происходящие с газом, не сводятся к рассмотренным изопроцессам, построение графика термодинамического процесса в определенных координатах, например Т = Т{У)^ по графику, заданному в других координатах, например р = р(У), является достаточно сложной задачей. Ее решение проводится в три этапа. На первом этапе по заданному графику устанавливается вид функции, определяющей зависимость давления от объема р = р{У). Затем полученное выражение подставляют в уравнение Клапейрона— Менделеева для определения функции Т = Т{У)\ Т{У) = м тЯ Р(У) • V-. И наконец, на третьем этапе по известной функции Т = T(V) строится ее график. Пример 2. Разреженный газ постоянной массы переходит из состояния 1 в состояние 2 так, что его давление линейно падает (рис. 6.13). Постройте график зависимости температуры газа от объема. Определите максимальную температуру газа, если в начальном состоянии его температура Т-у = 800 К. г л а в d 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Параметры разреженного газа летворяют уравнению Клапейрона- удов -Мен т делеева pV = RT. Определим вид функции р = p{V), соответствующей графику. Линейное убывание давления с ростом объема описывается алгебраическим уравнением: p(V) = kV+b. Константы kyb в этом уравнении определяются из условий = 2р|,р(^2) = Pj, приводящих к системе уравнений: 2pj = kVy -t- Ь, Pi = 2kVy + 6, откуда константы в уравнении прямой на графике: k = '"Г Ь = 3pj. Учитывая значения этих констант, запишем выражение для давления: p{V)=p,{Z-V/V,) и с помощью уравнения Клапейрона—Менделеева найдем зависимость температуры от объема: T(V) = — = ^ - (3 - v/v^)v. R т R пг ^ -'i' Используя уравнение Клапейрона—Менделеева для точки 1: уравнение зависимости температуры газа от объема можно привести к виду: Т'л V f V\ Т. ^ ЗТ, Графиком этой зависимости является парабола, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс в точках V = О и V = 31^1, следовательно, максимальное значение 3 температуры достигается в точке Vq = 2 Тогда вершина параболы: 9 Т = Т = ^ max = g Ti = 900 К. 200---1 Молекулярная физика. Термодинамика График зависимости температуры в рассматриваемом процессе от объема изображен на рис. 6.14. Вопросы И задания 1. Почему для описания реальных процессов в газах используются модели квазиравно-весных процессов? 2. Какой процесс называют изобарным, изо-хорным и изотермическим в идеальном газе и как выглядят их графики в координатах р, Г; р, Т; Г, Г? 3. График процесса в координатах Т, V является замкнутой ломаной. Будет ли он замкнутой кривой в других координатах? Будет ли он обязательно состоять из отрезков прямых? 4. Найдите положение точки F (см. рис. 6.7) на диаграммах основных процессов (см. рис. 6.8—6.10). 5. Постройте график цикла, рассмотренного в примере 1, в координатах р, Т. §6.5. Молекулярно-кинетическая теория строения вещества Глубже разобраться в особенностях термодинамических процессов и способах их описания помогает знание строения вещества. В настоящее время в естествознании господствует позиция сторонников представлений древнегреческого философа Демокрита, предполагавщего, что вещество состоит из мельчайших неделимых частиц — атомов, разделенных пустотой. Атомы находятся в движении и могут взаимодействовать друг с другом, образуя сложные системы. Все свойства вещества обусловлены движением взаимодействующих атомов. Научное обоснование и развитие атомистическая концепция получила в XIX—XX вв. в связи с созданием молекулярно-кинетической теории строения вещества, сокращенно МКТ. Исследования, проведенные в этот период, установили, что любое вещество имеет структуру и во всех экспериментах проявляется как совокупность большого числа частиц, которые можно рассматривать как неделимые в данных условиях. Выбор модели вещества и его структурных единиц определяется поставленной задачей. В теории тепловых процессов, раз- Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |- витой в XIX в., неделимыми можно считать молекулы. При рассмотрении химических превращений неделимыми считаются атомы химических элементов, а при описании процессов, происходящих при делении ядер урана в реакторах атомных электростанций, такими частицами являются протоны и нейтроны, входящие в состав атомного ядра. Однако не следует забывать, что на протяжении всей истории науки развивались и другие представления о материальном мире. Представления Аристотеля и Пифагора о том, что природа не терпит пустоты, созвучны с обнаруженной в XIX в. новой бесструктурной материальной сущностью — электромагнитным полем. Развитие современной теории строения материи объединило эти противоположные на первый взгляд представления. Описание структуры элементарных частиц в современной физике проводится на основе квантовой теории поля, соединяющей в себе представления о бесструктурном поле и дискретных частицах. Задачи молекулярно-кинетической теории. Описание реальных тел, состоящих из большого числа частиц и потому называемых макросистемами^ в предыдущих параграфах было связано с поиском взаимосвязей между макропараметрами тел: объемом, давлением, температурой, массой, составом системы. При переходе к описанию поведения макросистем на основе параметров частиц, их образующих, нам придется ввести в рассмотрение характеристики этих частиц — микропараметры системы. Первостепенной задачей молекулярно-кинетической теории является установление связи между микроскопическими параметрами молекулярной модели и измеряемыми макропараметрами тел. Число микроскопических параметров системы, состоящей из очень большого количества молекул, невообразимо велико, поэтому детальное описание физических свойств вещества оказывается нереальным. На практике свойства вещества определяются величинами, которые измеряются обычными приборами, т. е. достаточно грубо. В этом случае нет необходимости описывать движение каждой молекулы в отдельности, поскольку ее влияние на макроскопические параметры ничтожно. Макроскопические параметры системы определяются взаимодействием с измерительным прибором очень большого числа молекул за макроскопическое время измерения. 252---1 Молекулярная физика. Термодинамика т. е. являются результатом определенной процедуры усреднения. Таким образом, макропараметры вещества являются функциями усредненных определенным образом микропараметров системы частиЦу его составляющих. Основные положения МКТ и их экспериментальное обоснование. Примем следующую модель строения вещества. 1. Вещество состоит из неделимых частиц. 2. Частицы вещества взаимодействуют между собой — притягиваются и отталкиваются. 3. Частицы вещества находятся в непрерывном хаотическом движении. Микроскопическое движение в любом веществе происходит постоянно и никогда не прекращается, усиливаясь с ростом температуры. Отметим, что в принятой модели вещества не оговаривается ни размер молекул, ни зависимость силы взаимодействия от расстояния. Это делает модель очень гибкой, применимой к самым разнообразным ситуациям, а выводы, полученные на ее основе, достаточно общими. В настоящее время существование молекул не вызывает сомнений. Современные молекулярные технологии получили промышленное применение и в электронике, и в химии, и в биологии. Однако еще в начале XX в. о строении вещества в учебниках физики говорили как о молекулярной гипотезе, хотя диффузия, испарение и конденсация наиболее последовательно и просто объяснялись именно на основе представления о молекулярной структуре вещества. Прямые экспериментальные доказательства основных положений МКТ появились в основном в XX в. Одним из первых доказательств существования молекул в твердых телах является особый характер отражения от них рентгеновских лучей, обнаруженный в опытах Лауэ. Пуская однородный пучок рентгеновских лучей на кристалл О (рис. 6.15, а), получали на фотопленке К картину распределения интенсивности отраженных рентгеновских лучей (рис. 6.15, б). Симметричное распределение максимумов отраженных лучей (черные точки на рис. 6.15, б) могло быть истолковано только как регулярное распределение центров, с которыми взаимодействует рентгеновское излучение. Теория взаимодействия электромагнитных волн с веществом позволяет восстановить картину распределения этих центров в пространстве и определить размеры атомов, образующих кристалл (рис. 6.15, в). Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |-----2^ Пучок рентгеновских лучей а) t ✓ /Г — л «с* -X ^ • б) Рис. 6.15 в) Прямое определение сил взаимодействия молекул могло быть реализовано только после того, как удалось получить молекулярные пучки, в которых молекулы выступают как индивидуальные объекты, т. е. взаимное влияние их друг на друга пренебрежимо мало. Метод молекулярных пучков был разработан в трудах Отто Штерна, которому в 1920 г. удалось измерить скорость молекул серебра, вылетающих с раскаленной проволоки при заданной температуре, а в 1929 г., сталкивая молекулы с заданной скоростью в скрещенных пучках и изучая их рассеяние, получить информацию о потенциальной энергии их взаимодействия. На рис. 6.16 приведена иллюстрация идеи опыта Штерна (1920), в котором скорость атомов серебра измерялась по отношению расстояния S между цилиндрами к времени пролета t между ними. Время t можно рассчитать, измеряя расстояние 1у на которое сместилась полоска серебра на внешнем цилиндре радиусом R после начала вращения обоих цилиндров с угловой скоростью со. В результате экспериментов было показано, что скорость молекул и = cojRs/Z меняется в широких пределах (полоска серебра размыта), и при температуре Т = 1200 °С около 45% молекул движутся со скоростью от 300 до 500 м/с. Экспериментальное подтверждение непрерывного движения микроскопических частиц вещества было получено еще в 1828 г. английским ботаником Робертом Броуном, наблюдавшим движение цветочной пыльцы, взвешенной в воде. Размер частиц пыльцы составлял около одного микрона. Движение носило случайный характер и продолжалось дни и недели без уменьшения интенсивности. Рис. 6.16 I I 254---i Молекулярная физика. Термодинамика • • « • • ♦ • • - • • • • « • • • • . • • ' • • • • * • • • • • ф ф ••••• •• • • ♦ * % ф * • * • •• ♦» •• 1 4 # ' ' щ ••• ••• ••• И.* • • Рис. 6.17 Рис. 6.18 Последующие эксперименты показали, что хаотическое движение обнаруживают и капельки жира в воде, и мелкие частицы краски. Это опровергло предположение о биологическом происхождении движения. Объяснение состояло в том, что движение броуновских частиц вызвано ударами молекул воды, движущихся хаотически. Неравномерный, случайный характер их движения приводит к тому, что сила ударов молекул о частицу, их число и направление постоянно изменяются. Поскольку удары молекул воды по частице с разных сторон носят случайный характер, результирующая сила, действующая на частицу, оказывается не равной нулю. Модуль и направление этой силы изменяются случайным образом, что и приводит к случайному блужданию частицы (рис. 6.17). Полная теория этого движения была построена Альбертом Эйнштейном и Марианом Смолуховским в 1905 г. Для проверки теории Жан Перрен разработал метод получения частиц жидкости, нерастворимых в воде и обладающих строго определенным размером. Изучение их движения в воде и распределения таких частиц под действием силы тяжести в узкой вертикальной кювете (рис. 6.18) полностью подтвердило объяснение броуновского движения с помощью молекулярно-кинетической теории и позволило экспериментально определить число Авогадро (Ад). Размер молекул и расстояния между ними. Представление о размерах молекул и расстояниях между ними для вещества в различных агрегатных состояниях можно получить опытным путем. Строго говоря, размер молекулы — условное понятие, поскольку его значение зависит от способа измерения. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Оценим размер и массу молекулы воды, молярная масса которой М = 0,018 кг/моль и один моль ее занимает объем V = = 18 см^. Объем, приходящийся на одну молекулу воды, равен Fo = F/Na="30*10 24 см3, где Л^д = 6 • 1023 — число молекул в одном моле вещества, называемое числом Авогадро. Ребро куба такого объема /о = = 3 • 10-8 см = 3 • 10-’“ м. Эту величину и можно ориентировочно считать размером молекулы воды. Примерно на таком же расстоянии друг от друга расположены и молекулы льда. Брусок льда можно немного растянуть, но после небольшой деформации он разрушится. Это свидетельствует о небольшом радиусе действия сил притяжения между молекулами, сопоставимом с ребром куба, занимаемого одной молекулой. Поэтому вычисленное значение Iq можно считать границей действия сил притяжения. Плотность паров веществ при нормальных условиях приблизительно в 1000 раз меньше, следовательно, ребро куба, занимаемого каждой молекулой, в 10 раз больше и составляет около 3 • 10“® м. На таких расстояниях силы взаимодействия между молекулами равны нулю, и движение молекул газа можно считать почти свободным. Оно сопровождается редкими столкновениями, когда молекулы при своем движении сближаются так, что попадают в область взаимодействия друг друга. Однако большую часть времени они не взаимодействуют. Масса молекул легко оценивается на основе постоянной Авогадро и молярной массы: то = M/N^. Для воды то = 3 • 10"2б кг. Вопросы и задания 1. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической теории строения вещества. Какими экспериментальными данными они подкрепляются? 2. Приведите примеры макросистем, микро- и макропараметров системы. 3. Оцените размер молекулы и расстояние между молекулами в газообразном азоте, если плотность жидкого азота = 800 кг/м-"^, а плот- 255 I Молекулярная физика. Термодинамика ность газообразного азота при нормальных условиях (давление 101 325 Па, температура 0 равна р2 = 1,3 кг/м^. 4. Оцените среднее расстояние, которое пролетает молекула азота при нормальных условиях, до столкновения с другой молекулой. § б.б. Хаос И движение молекул Предположение о хаотичности движения является центральным в молекулярно-кинетической теории, поэтому необходимо уточнить смысл, который вкладывается в это понятие. Возможно ли выявление каких-либо закономерностей в системах, где движение хаотично? Хаос и механика Ньютона. Изучая механику, мы установили, что движение частицы под действием заданных сил всегда строго определено. Тем не менее опыт всегда обнаруживает хаотичность в движении молекул. Причины такого поведения долгое время были неясны. Большинство ученых склонялось к мысли, что хаотичность движения присуща системам, состоящим из большого числа частиц. В молекулярно-кинетической теории хаотичность движения просто постулировалась. Детальный анализ упругих соударений, проведенный в конце XX в., показал сильную зависимость движения от начальных условий. В результате незначительная ошибка в определении начального положения частицы, сопоставимая с размерами молекул, возрастает до размеров сосуда, в котором она находится, всего за несколько соударений и движение становится непредсказуемым, хаотичным. Рассмотрим результаты компьютерного моделирования (компьютерной симуляции) с участием нескольких десятков молекул, помещенных в сосуд размерами, в 25 раз превышающими размеры молекул '. В модель заложены законы сохранения энергии и импульса при соударениях частиц и второй закон Ньютона при столкновении их со стенками сосуда. Для простоты рассматривается двумерная модель движения, где в плоскости движутся круги заданного диаметра. Рисунки, иллюстрирующие расчеты, и описание модели любезно предоставлены Д. В. Баяндиным, одним из авторов «Виртуальной физики», которая разработана в РЦИ Пермского ГТУ на базе инструментальной системы визуального проектирования и математического моделирования Stratum-2000. Глава 6- Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | N О N 0,5 16 4^ О 16 N 0,5 ! •■ II iU. О 16 V, у.е. « О <1 ч ANk N ; в 6 \ \ у I' 1.'л 0,5 ^ о ^ \ ^ г/* J\, / о /. ь V, у-е, д) V, у.е. Рис. 6.19 О 16 у, у.е. Задав начальные координаты и одинаковую по модулю начальную скорость каждой частицы, проанализируем, как изменяются скорости частиц с течением времени. На рис. 6.19, а показано начальное положение и направление скорости 42 частиц, имеющих не только одинаковый модуль скорости, равный 16 единицам скорости, но и одинаковое направление. При этом все частицы начинают движение от одной стенки. Такое начальное состояние нельзя назвать хаотическим. Справа показана диаграмма соотношения числа AN частиц , имеющих определенную скорость, от скорости — гистограмма. Первые 13 единиц времени частицы движутся к противоположной стенке, не задевая друг друга (рис. 6.19, б). При ударе о стенку происходят столкновения отразившихся от стенки частиц первого ряда и частиц, продолжающих двигаться к этой стенке. В результате таких столкновений 258 I Молекулярная физика. Термодинамика Рис. 6.20 NL о 8 V Nk 11 «I о Рис. 6.21 V происходит увеличение скорости одних и остановка других частиц и первоначальная упорядоченность движения нарушается (рис. 6.19, в). Последующее соударение частиц со стенками сосуда и между собой приводит к дальнейшему изменению распределения молекул и по направлениям движения, и по модулям скорости (рис. 6.19, г). Через большой промежуток времени (3000 единиц) устанавливается не меняющееся в дальнейшем распределение молекул по скоростям с выраженным максимумом (рис. 6.19, д). При этом оказывается, что распределение векторов скорости по направлениям изотропно (рис. 6.20). Как показывают расчеты положение максимума конечного распределения молекул по скоростям на гистограмме не зависит от начальных координат и направлений скорости. Однако оно зависит от начальной кинетической энергии молекул. Чем больше суммарная кинетическая энергия частиц, не меняющаяся в ходе столкновений, тем больше максимум конечного распределения частиц по скоростям сдвинут в сторону больших скоростей и тем более «растянуто» распределение по оси скоростей (сравните рис. 6.19 и рис. 6.21). Статистические закономерности. Таким образом, компьютерные расчеты показывают, что при хаотическом движении одинаковых частиц, движение которых подчиняется законам Ньютона, можно выделить определенные закономерности для величин, описывающих состояние системы частиц. 1. По прошествии некоторого времени устанавливается равномерное распределение молекул в пространстве. В разные моменты времени можно отметить отклонение {флуктуации) от среднего значения концентрации в выделенном малом объеме, однако при длительном наблюдении среднее во времени число частиц в выбранном объеме постоянно. Глава 6 Милекулярио-кинетическая теория и термодинамика | 2^ 2. После множества столкновений устанавливается изотропное распределение векторов скорости молекул, т. е. направление движения молекул беспорядочно. 3. При заданной энергии фиксированного числа молекул их распределение по энергиям после некоторого времени не зависит ни от начальных координат частиц, ни от начального распределения скоростей; система «забывает» о своем прошлом. 4. Установившееся распределение зависит от средней кинетической энергии молекул и не зависит от общего числа частиц. Максимум распределения молекул по модулям скорости, получаемый в ходе расчетов, с ростом суммарной кинетической энергии фиксированного числа молекул смещается в сторону больших значений модуля скорости. Закономерности, наблюдаемые при этом в виде соотношений между усредненными величинами, характеризующими систему, называют статистическими. Получаемое в ходе компьютерных расчетов распределение молекул по скоростям характеризует динамическое равновесие системы. Аналитическое описание такого распределения (в виде формулы) было получено Джеймсом К.терком Максвеллом (1831—1879), применившим вероятностный подход. Выражение для функции распределения молекул массой т по скоростям в газе с температурой Т (т. е. в состоянии теплового равновесия) имеет вид: т 2 f о'^ехр (- 7 2/гГ где k — постоянная Больцмана, равная отношению газовой постоянной R к постоянной Авогадро Ад. График функциональной зависимости, соответствующей этому распределению, приведен на рис. 6.22 для воздуха при двух значениях температуры (T'j = 300 К и Т2 = 600 К). 270 I Молекулярная физика. Термодинамика Сходство кривых, полученных в ходе компьютерного расчета при разных средних энергиях молекул, показывает, что параметр Т в распределении Максвелла и энергия молекул в газе связаны друг с другом. Вопросы И задания 1. Что имеют в виду, говоря о том, что вероятность найти в газе частицу с заданной скоростью мала или велика? 2. Какие законы механики можно использовать при расчетах движения большого числа частиц в замкнутом объеме? 3. Каковы особенности распределения большого числа частиц, подчиняющихся законам классической механики, по скоростям? 4. Как зависит распределение частиц по скоростям в системе из достаточно большого числа частиц от начальных условий (координат, модуля скорости и направления скорости каждой частицы)? § 6.7. Основное уравнение МКТ Связь между микро- и макропараметрами системы. Макроскопической характеристикой действия газа на другие тела является давление, определяемое как отношение модуля элементарной силы F, действующей на выделенную площадку, к ее площади AS: р = F/AS. Среди микроскопических параметров, характеризующих систему движущихся частиц, такой параметр отсутствует. В молекулярно-кинетической теории взаимодействие молекул описывается как совокупность кратковременных соударений. Результат столкновений молекул с мембраной манометра, а значит, и его показания существенно зависят от размеров мембраны, ее массы, времени регистрации воздействий. Связь между микропараметрами частиц (их скоростями и массами) и макропараметром (давлением) была впервые установлена швейцарским ученым Даниилом Бернулли в 1738 г. с помощью теоремы об изменении импульса АР механической системы: АР = FM. С помощью этой теоремы определяется средняя сила Р, действующая на систему, за время измерения Af (см. § 4.1). Таким Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2Tf образом, давление определяется как результат усредненного действия частиц. Если площадь мембраны манометра достаточно мала и время регистрации соударений удается сделать малым, то манометр будет регистрировать флуктуации давления р = p{t). При увеличении размеров мембраны и времени регистрации ударов колебания давления будут сглаживаться и в достаточно грубых приборах давление молекул в состоянии термодинамического равновесия будет неизменным. На рис. 6.23 показан график зависимости средней силы ударов сорока двух одинаковых молекул по стенке от времени в ходе компьютерного моделирования. F определялась как отношение суммы изменений проекций импульсов всех молекул при их ударах о стенку к времени наблюдения t. График ярко иллюстрирует статистический характер давления: при каждом новом ударе о стенку F увеличивается скачком (поскольку время удара мало), затем монотонно уменьшается вплоть до следующего удара. Поскольку с ростом t растет общее число ударов, уменьшается отклонение этой силы от ее среднего значения, к которому приближается F при увеличении t. Достижение среднего значения происходит тем быстрее, чем больше частиц находится в этом сосуде. Говоря о средней силе удара, мы будем говорить об усреднении величины и по времени, и по частицам, меняющим свои скорости в результате столкновений со стенками. Далее мы будем также говорить о средней кинетической энергии частиц, при этом будет производиться усреднение по всем частицам системы в данный момент времени. Однако считается, что при большом количестве частиц в макросистеме вычисление для одной частицы среднего по времени значения кинетической энергии движения даст то же значение. 272 I Молекулярная физика. Термодинамика V М О X Рис. 6.24 Сила давления молекул на стенку. Определим давление, которое оказывают движущиеся частицы на стенку сосуда в результате соударений. Движение частиц будем считать хаотическим, предполагая, что каждая молекула является материальной точкой массой т и движется с некоторой скоростью Vy а размеры стенки и время измерения достаточно большим, чтобы пренебречь случайными изменениями числа ударов за единицу времени и давления молекул на стенку. Выберем систему отсчета так, что ось ОХ направлена перпендикулярно стенке сосуда площадью S (рис. 6.24). Пусть каждая из частиц движется по направлению к стенке, не испытывая воздействия со стороны других частиц, так, что до соударения со стенкой ее скорость задана проекциями v = = Vyy v^)y причем > 0. После соударения ее скорость изменяется случайным образом. Это вызвано тем, что стенка сосуда также состоит из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении, и результат каждого удара непредсказуем. Будем считать, что в результате удара частица приобрела скорость, направленную от стенки сосуда v' = где < 0. Изменение скорости приводит к изменению импульса этой частицы Др = mv' - mvy вызванного действием стенки сосуда. За время At частицы, находящиеся на расстоянии Д/ = v^At и движущиеся по направлению к стенке, столкнутся с ней. Это вызовет изменение их импульса АР = ApANy где AN — число частиц, достигших стенки за время At. В соответствии с теоремой об изменении импульса системы стенка .. „ АР действует на газ с силой Р Определим число частиц, испытавших соударение со стенкой, предполагая, что движение молекул в сосуде хаотично, т. е. число частиц, движущихся с заданной скоростью в положительном направлении оси, в любой момент приблизительно совпадает с числом частиц, движущихся в отрицательном направлении. Частицы равномерно заполняют сосуд, и в слое объемом Vj = SAl вблизи стенки находится = N-у частиц. Глава 6 Молекулярно кинетическая 1еория и 1врмодинамика | 273 причем вследствие хаотичности движения половина из них движется к стенке, так что SAI Как мы уже отмечали, результат каждого столкновения непредсказуем, но результат большого числа столкновений легко заметить. Если в результате последовательных столкновений скорость молекул в сосуде будет увеличиваться, то будет возрастать кинетическая энергия движения и соответственно макроскопические параметры — давление и температура — будут изменяться. Если же макроскопические параметры будут оставаться неизмененными (система находится в термодинамическом равновесии), то в среднем в результате столкновений модуль скорости молекул останется неизменным. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа. Рассмотрим состояние термодинамического равновесия, а для упрощения расчетов предположим, что модуль скорости любой молекулы после столкновения не изменяется, т. е. будем считать каждое столкновение абсолютно упругим, а силу реакции стенки перпендикулярной к ее поверхности F = (-F; 0; 0). В этом случае изменение импульса системы одинаковых молекул массой легко определяется АР = (АР^; 0; 0), где APj. = -2mQV^AN = -tUqU^N yAt = -FAt. Отсюда следует, что сила давления газа на стенку сосуда F = pS = а следовательно, давление газа р опреде- V ляется выражением 2^ 2 Р = f^ovly ^ т^и^п N где п = у концентрация молекул, т. е. число молекул в единице объема сосуда. Перейдем к известной из механики величине — кинетической энергии молекулы. Заметим, что в выражение для кинетической энергии входит квадрат полной скорости, который (рис. 6.25) может быть записан в виде 274 I Молекулярная физика. Термодинамика Если рассматривать удары о стенку молекул, имеющих разные значения, то выражение для давления содержит не квадрат проекции скорости некоторой частицы на ось ОХ, а среднее значение этой величины Для значения скорости всех молекул, столкнувшихся со стенкой за большой промежуток времени Af: р = mgV^n. В силу хаотичности движения = о|, а = 3l>J. Следовательно, давление, оказываемое частицами на стенку сосуда, пропорционально средней кинетической энергии ё одной частицы: — 2 2 р = m^v^n 9 2 — — - л 3 2^ 2 '”0^^ 3 2 2_ л = g ел. Величина называется средней квадратич- ной скоростью. Уравнение, выражающее зависимость давления частиц от их средней кинетической энергии и концентрации, называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории: 2_ р = ^ел. Интересно отметить, что если концентрация частиц в сосуде одинакова, то частицы с одинаковой энергией оказывают одинаковое воздействие на стенки сосуда независимо от их массы. Закон Дальтона. Используя представления молекулярно-кинетической теории, можно установить, что в состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия молекул смеси, состоящей из двух различных газов, одинакова, а давление в сосуде определяется лишь концентрацией частиц и Л2 и никак не зависит от их массы. В силу основного уравнения молекулярно-кинетической теории давление смеси выражается уравнением 2 _ дё(л1 -Ь Л2>. Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |-275 Левую часть уравнения можно представить формально в 2 _ 2 виде суммы р =Pi + Р2, где величины Pi = 3 ^ Р2 ^ 3 ^^2 зываются парциальными давлениями (от лат. partio — разделять). Давление смеси двух идеальных газов, содержащей молекулы различной массы, равно сумме парциальных давле ний каждого газа. Это утверждение называется законом Дальтона, по имени выдающегося английского химика, установившего этот закон в начале XIX в. экспериментально, измеряя давление смеси газов и каждого газа отдельно. Вопросы И задания 1. Как определяется давление в молекулярно-кинетической теории газа? 2. Какие макро- и микропараметры идеального газа объединяет основное уравнение кинетической теории идеального газа? На каких гипотезах основывается его вывод? § 6.8. Температура и энергия идеального газа Модель идеального газа. При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов мы считали молекулы материальными точками. Результат не изменится, если молекула образована группой атомов, а под скоростью мы будем понимать скорость центра масс молекулы. Действительно, если молекула состоит из нескольких атомов, то изменение импульса ДР такой системы определяется теоремой об изменении импульса системы материальных точек или теоремой о движении центра масс, поэтому при столкновении многоатомной молекулы со стенкой сосуда она оказывает такое же действие на стенку,_как точечная частица массой т^, движущаяся со скоростью Д? = При этом молекулы следует считать не взаимодействующими друг с другом. Отсутствие взаимодействия означает, что 270---1 Молекулярная физика. Термодинамика молекулы не только не притягиваются друг к другу, но и не отталкиваются подобно упругим шарикам, а значит, их размер пренебрежимо мал. Такая модель называется в молекулярно-кинетической теории идеальным газом. Идеальным газом называется система хаотически движущихся частиц в состоянии термодинамического равновесия^ в которой взаимодействие между молекулами не учитывается. Однако именно столкновения молекул делают возможным переход газа в равновесное состояние. Когда система уже находится в состоянии равновесия, взаимодействием можно пренебречь. В этом проявляется противоречивый характер рассматриваемой модели. Газ, молекулы которого можно считать материальными точками, называют одноатомным идеальным газом. Примером одноатомного газа является гелий. Средняя энергия поступательного движения молекул. Сравним основное уравнение молекулярно-кинетической теории И уравнение Клапейрона—Менделеева pv = ^ RT, полученное на основе экспериментальных исследований. Оба уравнения относятся к системе, в которой взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало. Действительно, в обычных газах при нормальных условиях (10^ Па, 273 К) среднее расстояние между молекулами примерно в 10 раз больше их размеров, поэтому большую часть времени молекулы не взаимодействуют друг с другом. При этих условиях средняя кинетическая энергия молекул существенно превышает потенциальную энергию их притяжения. Поэтому можно сравнить правые и левые части двух уравнений, фактически описывающих модель идеального газа. Равенство левых частей уравнений означает равенство их правых частей: \lN=^.RT=^RT = N-§-T = NkT, 3 М Л^д Ад где k = R/NI, {k = 1,38 • 10"^^ Дж — постоянная Больцмана). Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |------277 Откуда 6 = 2 Полученное соотношение показывает, что температура пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения молекулы. Следовательно, средняя квадратичная скорость движения молекул в данной модели определяется химическим составом и температурой газа: Vcp = JSkT/rriQ = JdRT/M. Для водорода, например, при комнатной температуре (Т = 300 К) i;^p = 1936 м/с, а для кислорода — = 484 м/с. Вопросы и задания 1. Какие предположения о свойствах молекул газа заложены в модель идеального газа? 2. Как зависят средняя кинетическая энергия и средняя квадратичная скорость молекул газа от температуры? § 6.9. Внутренняя энергия идеального газа и ее изменение Газ, как и жидкость, представляет собой сильно деформируемую среду. Мы убедились при описании движения жидкостей, что для описания такой сложной системы наиболее эффективным является энергетический подход. Для его использования необходимо рассмотреть полную энергию системы, включающую кинетическую энергию частиц системы, потенциальную энергию их взаимодействия между собой и потенциальную энергию взаимодействия частиц системы с внешними телами. При наличии взаимодействия газа со стенками сосуда введение понятия полной энергии системы затруднительно. Полная энергия постоянно меняется за счет случайного взаимодействия молекул газа с молекулами стенок сосуда даже при постоянной температуре. При постоянных макропараметрах системы будет сохраняться только среднее значение полной энергии. Внутренняя энергия одноатомного газа. Рассмотрим, как реализуется энергетический подход для простейшей модели — одноатомного идеального газа. 273---1 Молекулярная физика. Термодинамика Полная энергия одноатомного идеального газа равна суммарной кинетической энергии его частиц. Как и для других газов ее значение за счет взаимодействия со стенками сосуда случайным образом изменяется вокруг некоторого среднего значения. Поэтому вместо понятия «полная энергия» мы будем использовать понятие внутренней энергии. Внутренней энергией идеального газа называется средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул этого газа, выраженная как функция макроскопических параметров. Для одноатомного идеального газа 17 = IАТЛГ - I TkN^y = I vfiT. Скорости теплового движения молекул при обычных температурах имеют достаточно большое значение, поэтому и кинетическая энергия теплового движения молекул достигает больших значений. Например, кинетическая энергия поступательного движения молекул одного моля гелия при комнатной температуре втрое превышает кинетическую энергию пули, вылетевшей из ствола винтовки. Термин «внутренняя энергия» идеального газа отражает то, что в ней не учитывается энергия взаимодействия молекул газа с внешними телами и кинетическая энергия газа как целого, например, если газ находится в движущемся сосуде. Установление связи между температурой идеального газа и энергией его молекул позволяет вычислять температуру изолированной системы тел после установления теплового равновесия. Пример. Теплоизолированный цилиндр разделен неподвижным теплопроводным поршнем на две равные части. В одной части сосуда находится 1 моль гелия, а в другой — 1 моль аргона. В начальном состоянии средняя квадратичная скорость атомов аргона равна скорости атомов гелия и составляет i^cp.kb"^ Опреде- лите начальную температуру газов и температуру системы после установления в ней термодинамического равновесия. Молярные массы гелия и аргона = 4 • 10~^ кг/моль, Мд^ = 40 • 10~^ кг/моль. Кинетическая энергия теплового движения одного моля молекул газа пропорциональна его температуре. Считая атомы газов материальными точками, можно записать: ^О^^ср. кв _ кв Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |-----279 Отсюда определяется начальная температура каждого газа: Тп.- ср.кв 3R 40 К, Тд, == Аг*^ ср.кв зя 400 К. После установления теплового равновесия средняя кинетическая энергия любой частицы одинакова и не зависит от ее 3 массы, поэтому U ^ ^ где v = 2 моль — число молей газа в сосуде. Так как сосуд теплоизолирован, можно приравнять энергию молекул в начальном и конечном состояниях равновесия и получить уравнение для определения конечной температуры: v(M Не ^ Аг ср. кв _ 3 rtrri гп ^Не ^Ат 9 = V 2 откуда Т =------------- Подстановка численных значений дает Т « 210 К. ср.кв • Изменение энергии идеального газа при теплообмене со стенками сосуда. Изменение энергии системы частиц может происходить только в результате взаимодействия с внешними телами, которыми являются стенки сосуда. Они также состоят из молекул, находящихся в хаотическом тепловом движении. Рассмотрим сосуд, одной из стенок которого является неподвижный поршнень (рис. 6.26). Соударение молекул газа с молекулами неподвижного поршня при каждом конкретном ударе может приводить как к увеличению, так и к уменьшению энергии данной молекулы. Поскольку нас интересует результат большого числа столкновений, рассмотрим предельно упрощенную модель такого процесса. Будем считать, что молекулы газа и молекулы поршня могут двигаться только вдоль оси ОХ. Чтобы еще больше упростить задачу, предположим, что их массы одинаковы, а соударение упругое. Если скорость молекулы газа до соударения равна Ур то после соударения она равна l>2- Скорости молекул поршня до и после соударения обозначим Uj и Wg соответственно. Как следует из законов сохранения импульса и энергии. mv^ + muj = mt>2 + mi/g. • * • • • •a ♦ • s Q • # * • # Щ i Y2< mv 1 + mu 1 mv + mu§ Рис. 6.26 2gQ I Молекулярная физика. Термодинамика в результате соударения молекулы обмениваются скоростями и 2 Wj, ^2 ^’i и кинетическими энергиями: ти.4 ти 1 ти то 1 Отсюда следует, что при равенстве кинетических энергий молекул газа и поршня средняя энергия газа остается неизменной, т. е. система частиц остается в динамическом равновесии. В том случае, когда средняя кинетическая энергия молекулы поршня превышает среднюю кинетическую энергию молекулы газа, газ получает энергию от поршня и энергия хаотического движения газа возрастет. Поскольку кинетическая энергия хаотического движения частиц пропорциональна температуре, это означает, что взаимодействие холодного газа с горячим поршнем приводит к увеличению энергии газа и его температуры. Если за время с поршнем столкнутся N молекул, то изменение внутренней энергии газа AU AU = то •I то -)n= ^Nk(T - т ) поршня газа' оказывается пропорциональной разности температур и числу ударов. Если массы молекул газа и поршня различаются, то полного обмена энергий в каждом соударении не происходит, но молекулы, обладающие большей энергией до соударения, в среднем будут терять ее, а молекулы с меньшей энергией — приобретать. Передача энергии от горячего тела к холодному в термодинамике называется теплопередачей. Поскольку в этом случае перемещения поршня как целого не происходит, этот процесс не связывается с механической работой макроскопической системы. Энергия, переданная системе в процессе теплопередачи без совершения механической работы, называется количеством теплоты Q. Заметим, что в случае равенства температур изменение энергии молекул газа в среднем не происходит. Изменение внутренней энергии идеального газа при деформации стенки сосуда. При деформации сосуда его стенки перемещаются, и движение молекул стенки можно рассматривать как суперпозицию микроскопического теплового Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |-------2^ О Рис. 6.27 X и макроскопического упорядочен-ного движения. Для качественного анализа процессов рассмотрим случай, когда температура поршня и газа одинакова, и применим для анализа модель упругого столкновения молекулы с гладкой движущейся стенкой. Если поршень перемещается, упругое столкновение молекулы с движущимся поршнем изменяет ее кинетическую энергию. Если до столкновения молекула движется вдоль оси ОХ со скоростью i3j = где ^\x ^ после столкновения с поршнем, движущимся со скоростью й = (п. О, 0), W > о, молекула будет двигаться со скоростью ^2 = {-Vi^ + 2uy (рис. 6.27). Учитывая, что скорость движения поршня намного меньше скорости движения молекул W L>j, изменение кинетической энергии частицы при столкновении =-^2 -“ mv mv - = ~ -2mvu. За время At со стенкой столкнется в среднем молекул, что приведет к изменению энергии газа: AU = ДС/^Nj = При этом изменение импульса всей системы молекул газа за указанное время равно импульсу силы, действующей на эту систему со стороны поршня: АРх = - ^^хх^^х ^ -FAt. Поскольку изменение импульса частицы при и почти не зависит от скорости стенки, (mv2x - f^^xx)^x ^ rn{-2vi^ + 2u)N^ « 2mvi^N^y полученное выражение позволяет вычислить изменение энергии системы: AU = ДС/^iVj = -2mv-^^N^a ~ -FuAt — -FAx — -А. Здесь А — работа силы давления, действующей на поршень со стороны газа. Эту работу можно представить в удобной форме, вводя давление газа на поршень: А = FAx = pSAx = pAVy где AV — изменение объема сосуда, S — площадь поршня, ар — давление газа в цилиндре. 2g2 I Молекулярная физика. Термодинамика Изменение внутренней энергии идеального газа. Если температура газа не равна температуре стенок сосуда и при этом происходят деформации его стенок, то изменение энергии молекул газа происходит как вследствие теплопередачи, так и благодаря механической работе сил, действующих на стенки со стороны газа. В этом случае изменение энергии газа имеет вид: AU = Q-A, где Q — количество теплоты, полученное газом от стенок сосуда, а А — механическая работа, совершенная газом при деформации. Компьютерное моделирование процесса упругих соударений с подвижной стенкой позволяет прийти к таким же выводам, не вводя упрощений, которыми мы воспользовались для получения качественных выводов об изменении средней энергии молекул идеального газа. Вопросы И задания 1. Что называют внутренней энергией идеального газа? Как она зависит от температуры, объема и давления газа? 2. Как молекулярно-кинетическая теория идеального газа трактует возможность двух способов изменения внутренней энергии идеального газа? 3. Как изменится решение задачи (см. пример), если будут равны температуры газов в двух половинах сосуда? § 6.10. Основные ПОНЯТИЯ термодинамики Общие свойства взаимодействия молекул: ограниченная область взаимодействия, притяжение на больших расстояниях и сильное отталкивание на малых — приводят к общим свойствам веществ. Перечислим наиболее общие свойства, проиллюстрированные ранее для модели одноатомного идеального газа. • Изолированная система любых молекул самопроизвольно переходит в состояние термодинамического равновесия, в котором и остается сколь угодно долго. • Изменение энергии системы любых молекул может происходить только в результате взаимодействия с другими телами. Здесь рассматриваются два основных способа изменения энер- Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ ГИИ системы молекул — теплопередача и механическая работа при деформации тел. • При теплопередаче возможен самопроизвольный переход энергии тела с большей температурой к телу с меньшей, но не наоборот. Эти свойства универсальны и присущи всем системам частиц. Наиболее общие свойства тел, состоящих из хаотически движущихся молекул, сформулированные в виде системы аксиом, называются началами термодинамики. Эти законы представляют обобщение многочисленных наблюдений и экспериментов по исследованию тепловых и механических явлений. Следует учитывать, что начала термодинамики были сформулированы в XIX в. до появления молекулярно-кинетической теории строения вещества, поэтому они описывают свойства с помощью макроскопических параметров. Нулевое начало термодинамики. Одним из важнейших законов является нулевое начало термодинамики. Любая термодинамическая система при фиксированных внешних условиях самопроизвольно переходит в со стояние термодинамического равновесия, в котором все макроскопические параметры системы не изменяются с течением времени. В состоянии термодинамического равновесия температура всех тел и их частей одинакова, и они находятся в состоянии механического равновесия. Под фиксированными внешними условиями мы будем понимать либо изоляцию термодинамической системы от всех других тел, либо тепловое равновесие ее с телом, температуру которого можно считать неизменной. И в том и в другом случае макропараметры газа в равновесном состоянии будут оставаться постоянными, не зависящими от времени. Именно это свойство позволяет ввести температуру как меру равновесия для любых тел и связать ее с другими макроскопическими характеристиками, т. е. установить уравнение состояния для любого физического тела: Т = Т(р, V, т). 2g4 I Молекулярная физика. Термодинамика Нулевое начало является следствием хаотического движения молекул, составляющих термодинамическую систему, при котором реализуются самые разные механические состояния системы. Нулевое начало ничего не говорит о том, как быстро установится равновесие, однако из молекулярно-кинетических представлений ясно, что скорость перехода системы в состояние равновесия целиком зависит от частоты столкновения молекул при хаотическом движении. В сосуде, содержащем молекулы воздуха при нормальных условиях, среднее время между столкновениями рассматриваемой молекулы с другими приблизительно равно 10"'^ с. Это время связано как с процессом установления механического равновесия (выравнивания давлений), так и с процессом установления теплового равновесия (выравнивание температур). Время установления механического равновесия между различными частями любого вещества составляет доли секунд и определяется распространением в нем деформации. Примером распространения зоны повышенного давления при резком сдвиге одной из стенок сосуда с газом является распространение звука в нем. Скорость звука в различных веществах изменяется от сотен до тысяч метров в секунду. Время установления теплового равновесия газа в сосуде значительно больше и может составлять десятки и сотни секунд, поскольку для передачи энергии от стенок сосуда к его центру требуется длинная цепочка столкновений. Так, в сосуде объемом около 1 л тепловое равновесие в воздухе устанавливается приблизительно за 2—3 мин. Внутренняя энергия. Обобщением представления об энергии хаотического движения молекул идеального газа является внутренняя энергия произвольной системы. Эта физическая величина вводится для систем молекул, находящихся в термодинамическом равновесии, и может зависеть только от макроскопических параметров — давления, температуры, объема и т. д. Внутренней энергией называется сумма средней кинетической энергии хаотического движения молекул и средней потенциальной энергии их взаимодействия между собой, выраженная как функция макроскопических параметров: и = UiY, Т, т) = Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 285 Термин внутренняя в определении энергии системы подчеркивает, что из рассмотрения полной энергии системы исключается кинетическая энергия упорядоченного движения молекул, т. е. энергия движения системы в целом. Обычно не учитывается и потенциальная энергия взаимодействия молекул с внешними телами. Внутренняя энергия — функция состояния. Внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой и пропорциональна количеству вещества, а значит, является функцией термодинамического состояния газа, не зависящей от его объема: Т) = Е JTIqV 2 3 2 М RT. Внутренняя энергия произвольного тела или любой системы взаимодействующих молекул также является функцией состояния вещества, т. е. каждому макроскопическому состоянию тела, заданному набором параметров (давлением, температурой, объемом, массой и т. д.), соответствует одно и только одно значение его внутренней энергии. В отличие от идеального газа внутренняя энергия реального газа, жидкости, твердого тела зависит от взаимного расположения молекул, а значит, и от объема системы U = U{m, V, Т). Внутренняя энергия тела, как и энергия идеального газа, пропорциональна числу частиц системы, хотя потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц не пропорциональна их числу, поскольку каждая из частиц взаимодействует с несколькими соседними одновременно. Но расстояние взаимодействия между молекулами мало, так что каждая взаимодействует лишь с ближайшими соседями. Это приводит к тому, что в системе большого числа частиц внутренняя энергия, как и масса, аддитивна, т. е. оказывается пропорциональной числу частиц. Внутренняя энергия системы, состоящей из двух частей с энергиями C/j и C/g» Р^вна сумме внутренних энергий каждой части: f/ = C/j -Н и^. Изменение внутренней энергии. Внутренняя энергия изолированной термодинамической системы не может измениться самопроизвольно. Ее изменение может происходить только при взаимодействии системы с другими телами. В механике мы рассматривали два основных способа взаимодейст- 2g5 I Молекулярная физика. Термодинамика ВИЯ тел — контактное и на расстоянии (дальнодействие). Здесь для простоты мы будем рассматривать в основном контактные взаимодействия. В термодинамике контактные взаимодействия тел разделяются на два вида — включающие деформации и происходящие без деформации тел. Количественной характеристикой воздействия одного тела на другое в первом случае является механическая работа контактных сил, возникающих при деформации, а во втором — количество теплоты, передаваемое от одного тела к другому. Механизм передачи энергии в обоих случаях на молекулярном уровне принципиально одинаков и был рассмотрен ранее. В термодинамике рассматриваются различные деформации как с изменением объема тела, так и без изменения этого объема. Для идеального газа механическая работа сил отлична от нуля только при изменении объема. Для жидких и твердых тел заметная работа может совершаться и при деформациях, не сопровождающихся изменением объема, например при перемешивании жидкости. Именно такое явление наблюдал Джоуль в своем знаменитом опыте, зафиксировав увеличение внутренней энергии нагревающейся воды за счет работы силы тяжести (рис. 6.28). Аналогичное повышение температуры, свидетельствующее об изменении внутренней энергии, наблюдается при многократном изгибании проволоки. Теплопередача может осуществляться как при непосредственном контакте тел (конвекция, теплопроводность), так и на расстоянии с помощью излучения. Именно так передается на Землю тепловая энергия Солнца. В данной главе мы будем Рис. 6.28 Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ главным образом рассматривать теплопередачу, которая осуществляется при непосредственном контакте тел путем теплопроводности. Вопросы и задания 1. Каковы общие термодинамические свойства молекулярных систем? 2. В чем смысл нулевого начала термодинамики? 3. Чем понятие внутренней энергии идеального газа отличается от понятия внутренней энергии произвольной термодинамической системы? Что общего между этими понятиями? § 6.11. Первое И второе начала термодинамики Первое начало термодинамики. Первое начало термодинамики обобщает выводы об изменении внутренней энергии идеального газа на произвольные системы. • Изменение внутренней энергии системы не зависит от способа перехода из начального состояния в конечное и задается параметрами системы (р. И, Т и т. д.). • Внутренняя энергия может изменяться только при взаимодействии с другими телами. Если рассмотреть два типа взаимодействия рассматриваемой системы с внешними телами, механические деформации и теплопередачу, то закон изменения внутренней энергии можно сформулировать следующим образом. Изменение внутренней энергии системы определяется количеством теплоты Q, сообщенным системе внешними телами в процессе теплопередачи, и механической работой А сил, действующих со стороны системы на внешние тела: AU^Q-A. Первое начало термодинамики является наиболее общей формой закона изменения и сохранения энергии. Оно обобщает теорему об изменении и сохранении энергии системы в механике на тепловые процессы, но может быть распространено и на любые другие процессы, приводящие к изменению внутренней энергии. 203 [ Молекулярная физика. Термодинамика Первое начало термодинамики является математическим выражением невозможности создания вечного двигателя первого рода. Вечным двигателем называется устройство, которое после ряда изменений, сопровождающихся совершением механической работы при перемещении внешних тел, возвращается в исходное состояние. При этом ни в двигателе, ни в окружающих телах не возникает никаких других изменений, кроме изменения механической энергии внешних тел. Многие поколения изобретателей в разных странах пытались создать вечный двигатель, однако все попытки оказались безуспешными. Предложенная формулировка первого начала термодинамики так описывает невозможность создания вечного двигателя. Любое устройство состоит из вещества в твердом, жидком или газообразном состоянии и является термодинамической системой, которая в начальном состоянии характеризуется внутренней энергией. Поскольку внутренняя энергия является функцией состояния, возвращение двигателя в исходное состояние сопровождается возвращением внутренней энергии к исходному значению, так что изменение внутренней энергии равно нулю ДС/ = 0. Из первого начала немедленно следует, что в этом случае Л = Q, т. е. механическая работа, совершенная системой, равна количеству теплоты, полученному ею от внешних тел. Следовательно, совершение механической работы двигателем обязательно обусловлено какими-то изменениями во внешних телах, например теплообменом. Второе начало термодинамики. Первое начало термодинамики запрещает процессы, которые происходят с нарушением закона сохранения энергии, но не накладывает никаких иных ограничений. Между тем из опыта известно, что не любые процессы, в которых энергия системы сохраняется, можно реализовать практически. Например, два тела, изолированные от всех других и имеющие в начальный момент различную температуру, придут самопроизвольно в состояние термодинамического равновесия. Внутренняя энергия такой системы после установления равновесия не изменится. Обратный переход этой системы из состояния равновесия в состояние с различной температурой тел не наблюдается, хотя и в таком процессе энергия будет сохраняться. В этом проявляется одно из важнейших отличий термодинамики от механики, fлaвa 6. Молекулярно кине1ическая 1еория и 1ермодииамика [ 2^ где процессы, не нарушающие закон сохранения энергии, являются обратимыми^ т. е. могут идти в любую сторону*. Закон, запрещающий системе самопроизвольно без внешних воздействий выходить из состояния термодинамического равновесия, называется вторым началом термодинамики. Одна из наиболее наглядных формулировок этого закона принадлежит Рудольфу Клаузиусу (1822—1888). В процессе теплопередачи энергия не может самопроизвольно переходить от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой. Второе начало в формулировке Клаузиуса непосредственно описывает явления, происходящие в системе, не достигшей состояния равновесия. Однако следствия из него играют важную роль и для систем, которые находятся в состоянии теплового равновесия. Для удобства применения второго начала термодинамики в различных ситуациях его часто формулируют по-разному. Другие формулировки второго начала термодинамики мы рассмотрим позже. Начала термодинамики играют такую же роль, как и законы Ньютона в механике — это аксиомы, позволяющие производить расчеты состояний равновесия, механической работы и теплоты при взаимодействии с внешними телами. Применение первого начала к решению задач. Для применения первого начала термодинамики в конкретных задачах необходимо знать внутреннюю энергию рассматриваемого тела или системы как функцию макропараметров и уметь описывать взаимодействие с внешними телами, т. е. вычислять механическую работу и количество теплоты, передаваемое системе от внешних тел. При решении задач с помощью первого начала термодинамики выделяются важные частные случаи. 1. При отсутствии деформаций (для газов и жидкостей в изохорных процессах V = const) механическая работа, совершенная системой, равна нулю {А = 0), и изменение внутрен- Строго говоря, возможны процессы, выводящие систему из сос тояния термодинамического равновесия, но их вероятность ничтож но мала в системах из большого числа частиц. 10 Фи шка 10 кл. 290 I Молекулярная физика. Термодинамика 2pi Pi о Fi 2Vi V Рис. 6.29 ней энергии любой системы равно количеству подведенной теплоты: AU = Q. 2. Если внутренняя энергия начального состояния равна внутренней энергии конечного состояния, т. е. AU = 0, то количество сообщенной системе теплоты равно совершенной системой механической работе Q = А. Поскольку конечное состояние совпадает с начальным в любых циклических процессах^ то количество теплоты^ сообщенное системе за цикл (т. е. разность подведенной от внешних тел и отданной внешним телам), полностью превращается в механическую работу. 3. Если в процессе перехода системы из начального состояния в конечное сообщенное системе количество теплоты равно нулю Q = о, то совершенная системой механическая работа равна изменению внутренней энергии, взятой со знаком «минус»: А = -AU. Пример. Тело, состоящее из неизвестного вещества, в результате нагревания переведено из состояния 1 в состояние 3 двумя способами: первый раз с помощью изохорного процесса 1—2^ затем изобарного 2—3, а второй раз с помощью изобарного процесса 1—4, а затем и изохорного 4—3 (рис. 6.29). В каком слу^1ае требуется подвести большее количество теплоты и насколько, если V^ = 2Ej, арз = 2р^? В соответствии с первым началом термодинамики изменение внутренней энергии тела определяется количеством подведенной теплоты и совершенной им работы: AU = Q-A. Поскольку внутренняя энергия зависит только от состояния тела, а не от способа перехода, то в обоих случаях изменение внутренней энергии одинаково. Это позволяет записать уравнения, описывающие оба перехода: ^123 ^^13 ^123’ ^113 ~ ^^13 Вычитая из первого уравнения второе, получим: ^123 “ ^143 ^ ^123 “ 43- Поскольку работа в изохорном процессе 1—2 равна нулю, ^123 ” ^23 ~ ^Р\^^3 ~ ^2) ^ 2pjFj. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Аналогично в изохорном процессе 4—3 работа равна нулю. Но разность работ и определяет различие в количестве подведенной теплоты: Qi23 ^143 ^123 ^143 Pl^l ^ ^ ^123 ^ ^ 143* Отметим, что для решения задачи нам не понадобилось знать промежуточные состояния системы. Вопросы И задания 1. Почему утверждение о том, что внутренняя энергия системы является функцией состояния, эквивалентно утверждению о невозможности существования вечного двигателя первого рода? Можно ли с Рис. 6.30 точки зрения механики объяснить, почему показанные на рис. 6.30 «вечные двигатели» не будут работать и нужно ли каждый раз разбираться, в чем ошибка изобретателя? 2. В чем смысл второго начала термодинамики? § 6.12. Теплоемкость Механическое взаимодействие тел и способы его описания с помощью силы или ее работы были подробно рассмотрены в разделе «Механика». Все эти методы описания могут быть использованы и в термодинамике. Но взаимодействие тел, происходящее при тепловом контакте, требует более детального описания и введения новых физических величин. Пусть термодинамическая система, например некоторое тело, находящееся в состоянии равновесия, определяемого начальной температурой и объемом Vj, переходит в другое состояние равновесия с температурой Tg и объемом 292 I Молекулярная физика. Термодинамика В общем случае такой переход сопровождается совершением механической работы А и передачей некоторого количества теплоты Q от внешних тел к рассматриваемой системе. Попытаемся установить связь между этихми величинами и параметрами, определяющими состояние системы {V и Т). Теплоемкость тела. В тех случаях, когда изменение температуры тела АТ = Tg - Tj пропорционально переданному количеству теплоты Q-AT, можно ввести коэффициент пропорциональности С, называемый теплоемкостью тела: Q = CAT. Заметим сразу, что определенная таким образом теплоемкость зависит не только от параметров начального и конечного состоянии системы, но и от способа перехода из начального состояния в конечное. Действительно, в соответствии с первым началом термодинамики изменение состояния системы сопровождается изменением ее внутренней энергии и совершением механической работы, если деформации не равны нулю: CAT = АС/ + А. Здесь АС/ = С/(К2’ ^2) “ — изменение внутренней энергии при переходе из начального состояния в конечное, а А — работа сил системы над внешними телами при деформации. Если переход из начального состояния в конечное происходит при фиксированном значении какого-либо термодинамического параметра, то соответствующая теплоемкость снабжается индексохм, указывающим, какой параметр сохраняется. Например, для перехода при постоянном объеме теплоемкость процесса обозначается Су, а при постоянном давлении — Ср. Обычно количество теплоты, полученное телом, можно считать пропорциональным изменению температуры лишь при малых ее изменениях. Теплоемкость при постоянном объеме Су связана с изменением внутренней энергии без изменения объема и является характеристикой системы, ее откликом на внешнее воздействие: С,{\\, Т,)АТ = ЩУ„ Tg) - U(V„ Т,). Если в процессе теплопередачи происходит изменение объема системы, то изменение внутренней энергии обусловлено Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 293 не только количеством теплоты, сообщенным системе, но и механической работой, совершенной при ее деформации. Например, при изобарном расширении работа системы пропорциональна изменению объема А = рЛ¥, где AF = ^2 ~ ^1* Первое начало термодинамики в этом случае приводит к уравнению: С/Т = [/(^2, Т^) - C/(F„ Tj) -hpAV. Следовательно, изменение температуры в изобарном {AV Ф 0) и в изохорном (AV = 0) процессах будет отличаться, а значит, и теплоемкость будет иная: Измерения теплоемкости твердых и жидких тел в лаборатории обычно проводят при атмосферном давлении в открытых сосудах, поэтому в таблицы физических величин помещают значения теплоемкостей, как правило, при постоянном давлении. Молярная и удельная теплоемкость. Поскольку внутренняя энергия является величиной, пропорциональной количеству вещества в системе, а температура не зависит от количества вещества, то теплоемкость тела С пропорциональна количеству вещества V, т. е. является аддитивной величиной. Это свойство позволяет вычислять теплоемкость тела в данном процессе, если известно количество вещества и его моляр- ная теплоемкость моля величина, определяемая для одного С = vC ¥ Если вещество, из которого сделано тело, имеет сложный состав, то для него удобнее использовать понятие удельной теплоемкости — теплоемкости тела массой 1 кг: С с = —. т Введение удельной теплоемкости позволяет перейти от теплоемкости тела к теплоемкости вещества и составить практические таблицы удельной теплоемкости. В них могут вноситься удельные теплоемкости сплавов (латунь, дюралюминий, сталь), продуктов питания (говядина, молоко) и т. д. Пример 1. Английский физик Джозеф Блэк (1728— 1799) произвел первое сравнение удельных теплоемкостей воды и ртути. Поместив жидкости, взятые в равных объемах, на одинаковом 294 I Молекулярная физика. Термодинамика расстоянии от огня, он наблюдал за скоростью повышения температуры жидкостей. Блэк был уверен, что температура ртути будет повышаться медленнее, чем температура воды Tg, поскольку масса сосуда со ртутью была примерно в 13,5 раз больше массы сосуда с водой. Однако он увидел, что температура ртути повышается вдвое быстрее, чем воды. Сравните удельные теплоемкости ртути Cj и воды С2- Будем считать, что за время наблюдения в условиях опыта жидкости в обоих сосудах получили одинаковое количество теплоты Qj = Qg» и пренебрежем нагреванием сосудов. Количество теплоты, подведенной к телу при нагревании, пропорционально массе тела т, его удельной теплоемкости в рассматриваемом процессе с и изменению температуры АТ: поэтому: Отсюда воды: Q = mc/!>iTy c^mjATj = CgmgATg. получаем выражение для удельной теплоемкости /7ij ATj mg AT 2' IIo условию опыта ртуть нагревалась вдвое быстрее ATj = = 2ATg, а ее масса была в 13,5 раза больше т-^ = 13,5mg. Пренебрегая массой сосуда и подставляя указанные значения, получим: Cg = Cj • 13,5 • 2 = 27ср т. е. удельная теплоемкость воды оказалась почтр! в 30 раз больше, чем ртути. Уравнение теплового баланса. Если деформации тела достаточно малы, так что механической работой тела по сравнению с изменением его внутренней энергии можно пренебречь, то изменение внутренней энергии примерно равно количеству теплоты, получаемой телом. Так бывает при нагревании твердых или жидких тел при атмосферном давлении. Оценим механическую работу, совершаемую телом при нагревании, и определим долю полученного количества теплоты, которая перешла в работу. Для повышения температуры тела массой гп и теплоемкостью с на АТ необходимо сообщить ему количество теплоты Qp = тс АТ. Глава 6 Молекулярно-кинетическая 1еория и термодинамика | 2^ При изобарном расширении тела в атмосферном давлении р оно совершает работу где AV = ^2 - ^ V^aAT — изменение его объема при изобар- ном расширении вследствие нагревания. Отсюда определяется отношение механической работы, совершенной телом к количеству подведенной теплоты: Ар _ рУ^аАТ _ ар тсАТ рс где р = m/Fj — плотность вещества. Результаты расчетов этого соотношения для разных веществ приведены в таблице 6.2. Таблица 6.2 Вещество с, кДж/(кг • К) а, Ю"'* К-1 р, кг/м*^ A,/Q, Ацетон 2,18 14,3 790 0,083 Вода 4,19 1,5 1000 0,003 Ртуть 0,138 1,8 13 600 0,0096 Спирт этиловый 2,43 11,0 790 0,057 Из полученных расчетов следует, что во всех случаях меха-нршеская работа не превышает 10% подведенного количества теплоты, а для воды и ртути эта величина значительно меньше. Проводя опыт по изучению теплообмена между твердым телом и жидкостью с использованием калориметра, механической работой можно пренебречь (А Г Г кон сохранения внутренней энергии системы (например, двух тел), записанный в виде Л1/р). Тогда за- де/ J + AJJ 2 — о, приобретает форму так называемого уравнения теплового баланса: Q\ Q2 ~ где Qj = тПуС^ {Т^ - Т), Qg == ^2^2 (^2 “ — количество тепло- ты, полученное первым и вторым телом соответственно. Здесь и /Tig — их массы, и Tg — начальные температуры, Т — температура системы после установления теплового равнове- 295 I Молекулярная физика. Термодинамика сия. Это уравнение позволяет рассчитать равновесную температуру системы: т^с^Ту -ь П12С2Т2 ШуСу + ГП2С2 Теплоемкость твердых тел. Уравнение теплового баланса позволяет определить неизвестную теплоемкость одного из тел с 2 по известной теплоемкости второго тела с у и измеренной в эксперименте конечной температуры системы в калориметре Т. В частности, в качестве тела с известной теплоемкостью можно взять определенную массу воды, теплоемкость которой была измерена еще Джеймсом Джоулем в 1843 г. Изучение удельных теплоемкостей твердых тел было проведено Пьером Дюлонгом и Алексисом Пти в начале XIX в. Несмотря на значительный разброс значений этих теплоемкостей для различных веществ, ученым удалось установить определенную законохмерность, названную законом Дюлон-га—Пти. Таблица 6.3 Вещество Удельная теплоемкость с, кДж/(кг • К) Молярная масса М, 10~‘* кг/моль Молярная теплоемкость С^, Дж/(К • моль) Алюминий 0,88 27 23,8 Железо 0,45 56 25,2 Золото 0,13 197 25,6 Медь 0,39 63,5 24,8 Свинец 0,13 207 26,9 Серебро 0,235 108 25,4 Сера 0,706 32 22,6 Как видно из таблицы 6.3, удельные теплоемкости различных простых твердых веществ различаются почти в десять раз. Однако их молярные теплоемкости С„ = сМ имеют одинаковое значение, близкое к утроенной газовой постоянной, независимо от их плотности и молярной массы: ~ ЗЯ = 24,9 Дж/(К • моль). Глава б Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Объяснение этому удивительному факту было дано значительно позже на основе молекулярно-кинетической теории. Теплоемкость газов. Для газов соотношение изменения внутренней энергии и механической работы, совершенной газом, определяется процессом расширения газа при его нагревании. Например, газ можно нагревать, предоставив ему возможность расширяться так, что его температура при этом не изменится или даже уменьшится. Поэтому говорить о теплоемкости газа без указания особенностей процесса нагревания не имеет смысла. Пример 2. Определите молярную теплоемкость одноатомного идеального газа в процессе, заданном уравнением p = Po(S- V/V^). Подставляя эту зависимость в уравнение Клапейрона— Менделеева для моля идеального газа, получаем: Pons - V/V^) = RT; p^{V + AV)iS-(V + AV)/V^) - R(T + AT). Из разности записанных выражений следует соотношение между элементарным изменением объема и температуры: Ро(3 - 2V/Vq)AV = RAT, что приводит к выражению для молярной теплоемкости вещества IoVq-SVr С - Су + ~ 2 ^ 3^0 - 2V R = SVq -2V 2' Теплоемкость вещества в процессе не постоянна, а зависит от объема. График этой зависимости приведен на рис. 6.31. 293 I Молекулярная физика. Термодинамика Вопросы и задания 1. в чем разница между терминами «теплоемкость тела», «молярная теплоемкость» и «удельная теплоемкость вещества»? 2- От каких параметров зависит теплоемкость вещества? В каких случаях ее можно считать постоянной? 3. Какова погрешность допущения, что при нагревании твердых и жидких тел можно не учитывать количество теплоты, идущее на совершение телами работы? Приведите примеры, когда этого делать нельзя. 4. Чем объясняется различие молярной теплоемкости идеального газа, измеренной при постоянном объеме и при постоянном давлении? §6.13. Первое начало термодинамики в процессах с идеальным газом Рассмотрим в качестве примера расчет некоторых термодинамических параметров процессов, происходящих с одноатомным идеальным газом, внутренняя энергия которого известна: U{T)= \ vRT. Давление газа как функция температуры и занимаемого объема определяется уравнением Клапейрона—Менделеева p(F, Т) = vRT/V. Изохорный процесс. Поскольку изменение объема тела в случае изохорного процесса не происходит, механическая работа газа равна нулю: А = 0. Как следует из первого начала термодинамики, все количество теплоты, получаемой при теплообмене, идет на изменение внутренней энергии: Q = AU. Учитывая выражение для внутренней энергии одноатомного идеального газа, можем записать <г= |vi?(7’2-7’,)= найдем его теплоемкость С.. = |vi?. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 2^ Теперь выражение для внутренней энергии одноатомного идеального газа можно записать в виде: ЩТ) = СуТ. Если для изохорного процесса задано изменение давления Ар, а не температуры АТ, то количество подведенной теплоты можно определить, воспользовавшись уравнением Клапейрона—Менделеева: Q = I viJAT = I FAp. Изобарный процесс. В ходе изобарного процесса давление в системе сохраняется р = Ро “ const, а объем и температура изменяются. Механическая работа, совершенная газом при изобарном расширении от начального объема до конечного Fg, легко рассчитывается: A=pAF = Po(Fg-Fi). Уравнение Клапейрона—Менделеева связывает температуру газа с его объемом: nv) = ^ к Поэтому А = PoFg - PoFi = vRT^ - vi?T, = ~ Т^) = vRAT. Поскольку внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой U = СуТ^ изменение ее пропорционально изменению температуры: AU = СуАТ. Согласно первому закону термодинамики, подведенное к газу количество теплоты Q = At/ + А = Cyts.T + 'JR^T = уЛ + уД ]аГ = \ уДАТ. Для изобарного нагревания газа необходимо большее количество теплоты, чем для изохорного нагревания на то же количество градусов. Теплоемкость одноатомного идеального 5 газа в изобарном процессе Ср = Су + vi? = g vR. Соотношение между теплоемкостями одного моля газа в изобарном и изохорном процессах называется уравнением Майера ^QQ I Молекулярная физика. Термодинамика Pii О Pi^c.6.32 Qai<0 О ТА о 2^0 V Вычисление термодинамических величин с помощью графиков. Большую помощь в решении рассмотренных задач оказывают графики. С помощью графиков зависимости давления и температуры идеального газа от объема удается определить и механическую работу газа, и количество теплоты, полученное им в заданном процессе. Если процесс перехода системы из начального состояния в конечное задан с помощью графика зависимости Р = piV) (рис. 6.32), то механическая работа газа определяется как площадь фигуры, ограниченной графиком и осью V. Если процесс задан с помощью какой-то другой зависимости, например р = рСГ), то для вычисления механической работы график р — p{V) следует построить, используя уравнение Клапейрона— Менделеева. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и = СуТ, ее изменение может быть определено с помощью графика зависимости температуры от объема Т = T{V) по изменению температуры. Таким образом, система графиков р = p{V) и Т = T{V) позволяет определить и механическую работу, и изменение внутренней энергии идеального газа. С помощью первого начала термодинамики легко устанавливается и количество теплоты, сообщенной газу в рассматриваемом процессе: Q = ДС/ + Л. Пример. Определите количество теплоты, полученное одним молем одноатомного идеального газа на каждом участке изобар-но-изохорного цикла 1—2—3—4—1^ изображенного на рис. 6.33. На участке 1—2 происходит изохорное нагревание газа, и количество подведенной теплоты Qjg = ^ г л а в а 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |--- 3 3 = 2 vJ?A7"i2 ^ 2 ^0^0» изменение температуры определяется с помощью уравнения Клапейрона Менделеева - APi2*^i =Ро^^о- Теплота на этом участке поступает в систему от нагревателя. На участке 2—3 происходит изобарное расширение газа с совершением работы — 2ро^о* Увеличение объема обусловлено поступлением теплоты Q23 ~ “ ^Ро^о* На участке 3—4 происходит изохорное охлаждение до температуры 2TqI Д17з4 = Q34 = СуАТ.^^ = — энергия отводится от газа. На участке 4—1 происходит изобарное охлаждение до 5 температуры Т^: = -ро^о» ^ ^4i = = “2 ^0^0» тепло отводится от газа во внешнюю среду. Изотермический процесс. В ходе изотермического расширения или сжатия идеального газа его температура, а следовательно, и внутренняя энергия не меняется: Т = Tq = const, AU = 0. Это означает, что все подводимое к газу количество теплоты полностью расходуется на совершение механической работы: Q = A. Для вычисления механической работы газа можно воспользоваться графическим методом. Построим график зависимости р = p(V) при постоянной температуре: vPT, P(V)=-y о Работа газа при расширении от точки Fj до точки V2 определяется площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху гиперболой* (рис. 6.34). На рисунке эта площадь заштрихована. Поскольку при изотермическом расширении газа к нему подводится некото- * Вычисляется эта площадь интегрированием. Итог ние А = vRTqIu гг • выраже- ■^02 [ Молекулярная физика. Термодинамика рое количество теплоты, а температура при этом остается постоянной ДГ = о, то теплоемкость газа в этом процессе формально следует считать бесконечно большой Су- = ± оо. Вопросы и задания 1. Если в изохорном процессе с двумя молями идеального газа давление возросло в 2 раза, то как изменилась внутренняя энергия газа и какое количество теплоты было подведено к газу, если начальное давление и объем равны и Vq соответственно? 2. Как рассчитать количество теплоты, полученное 0,3 моль аргона при изобарном нагревании от 0 до 100 °С? 3. Газ расширяется изотермически от объема Vq до объема 2Vq и от объема 2Vq до объема 4Fq. В каком случае больше изменение внутренней энергии, работа газа и количество теплоты, полученное газом? § 6.14. Адиабатный процесс Как уже отмечалось, время установления механического равновесия во много раз меньше, чем термодинамического. Поскольку процесс теплообмена газа с окружающей средой происходит сравнительно медленно, во многих случаях при расширении или сжатии газов им можно пренебречь. Процесс, в котором пренебрегают теплообменом системы с внешней средой, называется адиабатным процессом. Алгебраически отсутствие теплообмена газа с внешними телами выражается как Q = 0. В дальнейшем мы будем рассматривать только квазиравновесные адиабатные процессы. Первое начало термодинамики для адиабатных процессов имеет вид: At/ + А = 0. При расширении газ совершает механическую работу за счет внутренней энергии и его температура уменьшается. Наоборот, адиабатное сжатие газа приводит к его нагреванию. Поскольку изменение температуры газа при адиабатном процессе происходит без теплообмена, теплоемкость такого процесса равна нулю. На практике адиабатный процесс можно реализовать, сжав газ (или позволив ему расширяться) так быстро, что тепло не г л а в а 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | успеет передаться от внешней среды за счет конечной теплопроводности стенок сосуда. Все знают, как нагревается выходной канал насоса для накачивания мяча или велосипедной камеры. Это происходит не столько из-за трения поршня о стенки насоса, сколько за счет быстрого сжатия газа в насосе. Нагревание при сжатии используется в цилиндрах дизельных двигателей. Если сжатый до высокого давления газ, имеющий температуру окружающей среды, адиабатно расширить, то его температура может понизиться так сильно, что он перейдет в жидкое состояние. Техническая реализация этой идеи позволяет создавать устройства для сжижения газов или получать «сухой лед» из углекислого газа при выходе его из огнетушителя (рис. 6.35). Рассмотрим график зависимости давления идеального газа от объема р = p{V) при адиабатном расширении (рис. 6.36). Если в начальном состоянии один моль идеального газа имел в точке 1 объем Vq и давление Рр то при переходе в конечное состояние 2, характеризуемое объемом Pg ^ и давлением Pg» Должен охладиться, т. е. его температура уменьшится Tg < Но при фиксированном объеме газа его давление пропорционально температуре. Следовательно, давление газа в конечной точке при адиабатном расширении будет меньше, чем при изотермическом, т. е. падение давления при адиабатном расширении происходит быстрее, чем при изотермическом. Для полного описания процесса необходимо установить зависимость давления газа и его температуры от объема р = р(Р) и Т* = T{V)y поскольку в отличие от предыдущих процессов эта зависимость не задана условием задачи. Но известно условие теплообмена с внешними телами: Q = 0. Такая задача является обратной к уже рассмотренным задачам термодинамики. ♦ ♦л''»» Рис. 6.35 I Молекулярная физика. Термодинамика Учитывая связь между изменением внутренней энергии газа и изменением его температуры АС/ = С^,АТ, с помощью первого начала термодинамики можно установить зависимость между элементарным изменением объема и элементарным изменением температуры газа: О = Cy^T ^ р(У, T)^V. С помощью уравнения Клапейрона—Менделеева из этого уравнения можно получить зависимость давления от объема: p{V)-p,-{Vy/V)\ где Pj — начальное давление, у = Ср/Су. Найденная зависимость давления и температуры от объема полностью определяет состояние газа в адиабатных процессах и называется адиабатой Пуассона. Часто адиабата Пуассона записывается в следующей форме: pV'^ = const, TVy~ ^ = const. Вопросы И задания 1. Какой процесс называется адиабатным? 2. Начертите графики изотермического и адиабатного расширения в 2 раза одного моля одноатомного идеального газа в координатах р, У, если начальное его состояние задано параметрами Tq ^ 300 К, Vq = = 10"^ м^. В каком из процессов расширения совершена большая работа? 3. Какова теплоемкость одноатомного идеального газа в адиабатном процессе? 4. Цикл, совершенный с идеальным газом, состоит из изотермы, изохоры и адиабаты. Начертите возможный ход этого процесса в координатах р, V. В какой из точек внутренняя энергия газа максимальна? На каких участках процесса газ получает энергию в результате теплообмена с внешними телами? Задав объем и давление в одной характерной точке процесса, рассчитайте его в остальных двух, если отношение максимального объема к минимальному равно 4. § 6.15. Внутренняя энергия многоатомного газа Данное ранее определение внутренней энергии идеального газа не дает никаких указаний, как рассчитать или измерить эту величину для конкретного вещества. Пользуясь этим определением, мы можем вычислить внутреннюю энер- Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | ГИЮ для одноатомного идеального газа, а во всех других случаях такое вычисление оказывается очень сложным. Для решения практических задач необходимо указать способ измерения внутренней энергии. Для этого достаточно определить подведенное к системе количество теплоты и работу при переходе системы из начального состояния Fj, Tj в конечное Fg, Tg, а затем воспользоваться первым началом термодинамики и вычислить приращение внутренней энергии. Перемещаясь последовательно из одного состояния в другое, можно определить внутреннюю энергию J7(F, Т) для всех интересующих нас значений параметров и составить таблицу значений внутренней энергии. Внутренняя энергия и теплоемкость. Если рассматривать только достаточно малые (элементарные) изменения температуры и объема AF, АГ, то приращения внутренней энергии при переходе из начального состояния в конечное можно вычислить, зная теплоемкости происходящих процессов. Например, при изохорном нагревании вещества количество подводимой теплоты пропорционально изменению температуры Q = СуЛТу а механическая работа в таком процессе равна нулю {А = 0), поэтому изменение внутренней энергии: AU = Q = СуАТ. Сравнивая экспериментально измеренное значение изохор-ной теплоемкости с теоретическим значением, например для модели идеального газа, можно установить применимость этой модели для рассматриваемого вещества, а также сделать некоторые выводы о характере движения атомов, образующих его молекулы. В таблице 6.4 приведены изохорные молярные теплоемкости некоторых газов при комнатной температуре. Таблица 6.4 Газ С^^^^,Дж/(К» моль) Не 12,8 Аг 12,8 02 21 COg 27,6 Одноатомный идеальный газ 12,46 3Q5 I Молекулярная физика. Термодинамика Как следует из таблицы 6.4, только для инертных газов изменение внутренней энергии хорошо описывается моделью газа материальных точек. Для многоатомных газов, таких как кислород и углекислый газ, модель газа материальных точек не соответствует экспериментальным данным — теплоемкости этих газов значительно больше. Рассматриваемые нами газы с высокой точностью удовлетворяют уравнению Клапейрона—Менделеева при нормальных условиях, т. е. когда расстояние между молекулами значительно больше характерных размеров молекул, а значит, и взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало. Следовательно, основное уравнение молекулярно-кинетической теории справедливо и для многоатомного газа, если его молекулы не взаимодействуют друг с другом. Только следует учесть, что температура разреженного газа связана с кинетической энергией движения центра масс молекулы. Поэтому кинетическая энергия поступательного движения молекулы 2 2 ’ м средняя скорость движения где /7Zq — масса молекулы, ее центра масс. Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул между собой для всех рассмотренных газов мала при этих условиях, то высокую теплоемкость многоатомных газов можно объяснить только отличием движения сложных многоатомных молекул от движения материальных точек. Если молекулы рассматривать как систему материальных точек, то на основании теоремы Кенига кинетическая энергия системы точек может быть представлена в виде суммы £к = "‘оК.» + К’ где /tIq = — масса молекулы, ^ — скорость движения центра масс молекулы, э Е^. — кинетическая энергия движения атомов «относительно центра масс». При повышении температуры изменяется не только энергия центра масс молекулы, но и энергия внутреннего движения атомов в молекуле «относительно центра масс»: — niQV'f — АЕ^=А г лава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |- Кроме этого, при движении атомов в молекуле изменяется и их взаимное расположение, а значит, и потенциальная энергия взаимодействия атомов в молекуле. Таким образом, при увеличении температуры газа изменяется как кинетическая энергия движения центра масс, так и полная энергия молекулы: АЕ = А гпгУ1— + АЕ:, + АЕ К 11* Поскольку в рассматриваемых условиях молекулы практически не взаимодействуют между собой, изменение внутренней энергии одного моля идеального газа многоатомных молекул можно записать в виде Д17= ^RAT + N А{Е'^ + Е^). Второе слагаемое и определяет отличие теплоемкости многоатомного газа от теплоемкости одноатомного идеального газа. Более детальный теоретический анализ простейших случаев позволяет сформулировать следующие рекомендации для учета дополнительной кинетической энергии системы, состоящей из сложных молекул при расчете теплоемкостей газов. • Если молекула, состоящая из двух атомов, движется так, что расстояние между ними не изменяется (модель — жесткая гантель), то изохорная теплоемкость одного моля газа 5 из таких молекул равна Су= 2^^ 20,785 Дж/(К • моль). • Если молекула газа состоит из трех и более атомов, движущихся так, что относительное расстояние между атомами в молекуле не меняется (модель трехмерного твердого тела), то теплоемкость одного моля такого газа Су = SR = = 24,942 Дж/(К • моль). Насколько же соответствуют молекулы реальных многоатомных газов моделям жесткой гантели или недефор-мируемого твердого тела? Для ответа на этот вопрос обратимся к экспериментальной таблице теплоемкостей кислорода и углекислого газа, приведенной ниже. В таблице 6.5 приводятся теплоемкости, измеренные при различных температурах. ^Qg I Молекулярная физика. Термодинамика Таблица 6.5 ^^\Температура Газ Т,= 300 к Tg = 600 к Тз = 900 К 02 с; = 21 Q-= 23,5 Су = 26 СО2 С^,= 27 Су = 38 Су = 44 Значения С;- приведены в Дж/(К • моль) Сравнение этих данных с теоретическими расчетами показывает, что молекула кислорода ведет себя подобно жесткой гантели, и молярная теплоемкость кислорода близка к = 5 = -R = 20,785 Дж/(К • моль) с точностью не хуже 20%. Молекула углекислого газа при низких температурах подобна твердому телу, а теплоемкость углекислого газа близка к Cj^= 3R = 24,942 Дж/(К • моль) при = 300 К. С ростом температуры интенсивность движения атомов в молекуле возрастает, что приводит к увеличению вклада энергии этого движения и росту теплоемкости. При этих условиях молекулу углекислого газа уже нельзя считать твердым телом и следует применять более сложные модели. Приведенные рассуждения показывают, как на основе измерений макроскопической величины — теплоемкости газа — можно сделать заключения о структуре молекулы и характере движения атомов, ее составляющих. Вопросы и задания 1. Как можно измерить изменение внутренней энергии произвольной системы? 2. Почему для изохорного нагревания на 1 одного моля газа двухатомных и трехатомных молекул приходится затрачивать большее количество теплоты, чем при нагревании одного моля одноатомных молекул той же массы? 3. Сравните молярную теплоемкость при постоянном объеме для аргона и пропена (CgHg). § 6.16. Преобразование внутренней энергии в механическую Расширение и сжатие тел при изменении температуры, обнаруженное и изученное еще в древности, позволило создать тепловые машины — устройства для преобразования внутренней энергии тел в механическую работу и обратно. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |----- Рис. 6.37 Простейшим физическим процессом, который лежит в основе работы тепловой машины, является расширение тел при нагревании. Тело, которое расширяется при нагревании, называется рабочим телом. В качестве рабочего тела в принципе может использоваться и твердое, и жидкое, и газообразное тело. Однако чаще всего в качестве рабочего тела в тепловых машинах используют газы, поскольку деформации их оказываются достаточно большими уже при небольшом изменении температуры, что упрощает конструкцию машин. Герои Александрийский (II в. до н. э.) описывает приспособление для открывания дверей храма, изображенное на рис. 6.37. Огонь на жертвеннике нагревает воздух в замкнутом сферическом сосуде, наполовину заполненном водой. Расширившийся воздух выталкивает воду, которая через сифон переливается в сосуд, связанный с дверями храма. Этот сосуд перевешивает противовес, и двигающиеся цепи открывают двери храма. После того как огонь в жертвеннике потухнет, воздух в сферическом сосуде остывает, вода под действием атмосферного давления по сифону переливается обратно в сосуд под жертвенником. При этом противовес перетягивает сосуд с водой, цепи движутся в обратном направлении, и двери храма закрываются. Тепловые двигатели. Создателям первых двигателей не всегда было понятно, что механическая работа в системе может совершаться только при таких изменениях в двигателе или окружающих его телах, которые связаны с изменением энергии. Отсюда безуспешные поиски «вечного двигателя». Лишь с развитием науки и техники пришло понимание закона сохранения энергии и распространение его на немеханические процессы. Стало ясно, что механическая работа теплового двигателя всегда связана с изменением внутренней энергии тел. Двигателем называется система тел, которая может совершать механическую работу при их относительном перемещении. Рассмотрим подробнее тепловые двигатели. Рабочее тело может изменять свою внутреннюю энергию за счет теплооб- 3^10 I Молекулярная физика. Термодинамика мена с другими телами, совершения механической работы, а также за счет изменения состава, например в результате химических реакций. Для описания этих процессов используем первое начало термодинамики: AU = Q-A, где АС/ = U2 - Uy — изменение внутренней энергии рабочего тела, Q — количество подведенной теплоты, А — совершенная работа. Одно из наиболее ранних массовых применений тепловой машины связано с военным делом. Метательные машины, пришедшие на смену баллистам и катапультам древних греков, получили обобщенное название «огнестрельное оружие». Другим примером является изобретение в Китае пороховых ракет, использующих тепловой реактивный двигатель. В этих системах рабочее тело (порох) в результате химических реакций превращается в нагретый газ, внутренняя энергия которого и2 меньше, чем пороха С/^. В результате его расширения механическая работа газа частично превращается в кинетическую энергию пули или снаряда либо в кинетическую энергию реактивной струи. КПД теплового процесса. При использовании тепловой машины возникает вопрос о ее эффективности, которую принято характеризовать коэффициентом полезного действия^ сокращенно КПД. Например, работу метательной тепловой машины — огнестрельного оружия можно оценивать, вводя отношение кинетической энергии снаряда к начальной внутренней энергии пороха: Л = К Заметим, что введение такой величины всегда условно, поскольку понятие «польза» достаточно субъективно. КПД определяется в зависимости от конкретной ситуации и не является чисто физической характеристикой процесса или явления. Оценим КПД пистолета, считая, что один грамм пороха в патроне придает пуле массой т = 0,01 кг скорость v = 300 м/с. Начальная внутренняя энергия заряда пороха ~ 4000 Дж. При этих значениях Г) « 11%. Основная часть внутренней энергии пороха пойдет на нагревание окружающей среды. Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | ^ Часто рассматриваются процессы, включающие теплообмен, когда к газу от нагретого тела подводится определенное количество теплоты Q ф О, а полезной считают работу А, совершенную газом при расширении. В этом случае КПД принято определять отношением: ^ Q' Циклические двигатели. В промышленности и на транспорте использование «одноразовых» тепловых двигателей имеет ограниченную область применения. Двигатель должен действовать в течение длительного времени, а работа, совершаемая двигателем, должна быть значительно больше, чем в рассмотренном примере. При этом размеры рабочего тела не должны быть слишком большими. Перечисленные требования привели к созданию циклически действующих тепловых двигателей, таких как двигатели внутреннего сгорания. В цилиндр двигателя периодически поступает небольшое количество смеси воздуха с горючим, например парами бензина, имеющей большую внутреннюю энергию. В результате химической реакции горения образуются горячие газы, при расширении которых совершается механическая работа, а их внутренняя энергия уменьшается. Продукты сгорания выбрасываются в атмосферу, поршень возвращается в исходное состояние, а цилиндр заполняется новой смесью, имеющей большую внутреннюю энергию, которая затем вновь сгорает. Другим путем создания циклического двигателя, позволяющего получить неограниченно большую работу при деформации небольшого рабочего тела, является использование процессов теплопередачи. В этом случае рабочее тело является неотъемлемой деталью двигателя, а все изменения его характеристик происходят только вслед- ^ i ^ ствие обратимого изменения его состояния. При нагревании рабочего тела в результате контакта с другим телом, имеющим высокую температуру, рабочее тело расширяется и совершает механическую работу, а затем сжимается и возвращается в исходное состояние. Сжатие Рис. 6.38 Qh Рабочее тело ♦ ^^[2 I Молекулярная физика. Термодинамика рабочего тела происходит при меньшем давлении, так что механическая работа за цикл оказывается положительной. Снижение давления при сжатии достигается путем понижения температуры рабочего тела за счет контакта с холодным телом. Тело, нагретое до высокой температуры, которое передает энергию рабочему телу, называется нагревателем, а холодное тело, понижающее температуру рабочего тела при сжатии, — холодильником (рис. 6.38). Мы будем считать, что нагреватель и холодильник являются достаточно большими недеформируемыми телами, так что при теплообмене их температуры и остаются постоянными. КПД циклического двигателя. Рассмотрим работу циклического двигателя, использующего теплообмен с рабочим телом, на основе простой модели. Будем считать, что рассматриваемая система состоит из трех тел: рабочего тела, нагревателя и холодильника. В этой системе теплообмен возможен только между рабочим телом и нагревателем или рабочим телом и холодильником. Механическая работа определяется только для рабочего тела (для силы давления газа). Таким образом, в модели не рассматриваются потери энергии на нагревание деталей двигателя — поршня или цилиндра и не учиты- вается работа диссипативных сил, например трения. Назовем такой двигатель идеальным. Для изучения изменений, произошедших в идеальном двигателе за один цикл, воспользуемся первым началом термодинамики. Обозначим количество теплоты, полученное за цикл рабочим телом от нагревателя, Qj, а количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику, — Qg* Поскольку изменение внутренней энергии рабочего тела за цикл равно нулю ЛС7 = О (тело вернулось в исходное состояние), то в соответствии с первым началом термодинамики механическая работа за цикл А. = Qj — ^2* Обычно холодильником является окружающая среда, а нагревателем — тело, температура которого поддерживается достаточно высокой за счет сгорания какого-либо топлива. Естественно поэтому определить КПД идеального двигателя как отношение энергии, переданной от нагревателя (и оплаченной потребителем) к механической работе за цикл: = — = л _ ^ Q, Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | Количество теплоты Q2, полученное холодильником за цикл, следует отнести к потерям энергии. Как следует из полученного выражения, для увеличения КПД необходимо уменьшить потери, т. е. количество теплоты, передаваемое холодильнику. Чем же определяется эта величина и нельзя ли вообще свести ее к нулю? Очевидно, что КПД цикла зависит от процессов с рабочим телом, которые составляют цикл. Для определенности рассмотрим двигатель, в котором рабочим телом является один моль идеального газа. Можно так провести цикл, что работа газа вообще будет равна нулю. Например, рабочее тело можно вначале изохорно нагреть, приведя его в контакт с нагревателем, а затем изохорно охладить, приведя в контакт с холодильником. В этом случае Q\ Q2 ^2)» А = 0, Л = О» Результатом такой «работы» будет необратимый (в соответствии со вторым началом термодинамики) переход теплоты от нагревателя к холодильнику. Именно необратимый характер теплообмена между двумя телами с различными температурами и дает основание называть переход тепла от нагретого тела к холодному тепловыми потерями, поскольку самопроизвольно вернуться в исходное состояние, чтобы получить затем дополнительную механическую работу, система уже не сможет. Отметим еще раз, что в рассматриваемой системе (нагреватель, холодильник, рабочее тело) энергия сохраняется! Если рабочее тело совершает за цикл положительную работу, то КПД теплового двигателя не равен нулю и зависит от выбранного цикла. Его нетрудно вычислить для изобарно-изо-хорного цикла, рассмотренного в примере §6.13 (см. рис. 6.33). На рис. 6.39 изображен этот же цикл в координатах Т, V. На этом же рисунке изображены минимально возможная температура нагревателя и максимально возможная темпера-тура холодильника, обеспечивающие процессы теплообмена с рабочим телом: Как видно из рисунка, теплообмен между рабочим телом и нагревателем происходит при большой разнице в температурах этих тел, а значит, с большими тепловыми потерями. Так же неэффективно происходит теплообмен и с холодильником. В результате КПД Рис. 6.39 314 I Молекулярная физика. Термодинамика такого двигателя оказывается низким: Л ^ ^З’ увеличения КПД двигателя следует увеличить механическую работу, совершаемую газом при расширении, и уменьшить работу сжатия. Очевидно, что максимально возможная работа при расширении газа будет получена тогда, когда газ имеет максимальное давление на каждом элементарном участке расширения. Для этого температура газа в процессе расширения должна быть максимально возможной, т. е. равной температуре нагревателя. Следовательно, изобарное расширение необходимо заме нить изотермическим. Заметим, что при таком расширении теплообмен между нагревателем и рабочим телом становится обратимым, поскольку температуры тел практически одинаковы, а значит, тепловые потери отсутствуют. Аналогичным образом следует организовать теплообмен и между рабочим телом и холодильником. Вопросы И задания 1. Какое устройство называется в термодинамике тепловым двигателем? Каковы его основные составные части? 2. Что характеризует КПД технического устройства? 3. Почему в качестве рабочего тела в тепловых двигателях используется газ? 4. Назовите газовые процессы, в которых все подводимое к газу тепло преобразуется в механическую работу. 5. Что можно считать нагревателем, холодильником и рабочим телом в двигателе внутреннего сгорания и паровой турбине? 6. Что называют КПД циклического процесса, совершенного над газом? 7. Тепловой двигатель с КПД 30% совершил работу 100 Дж. Какое количество теплоты при этом было передано холодильнику? § 6.17. Цикл Карно Чтобы полностью исключить тепловые потери в цикле, следует отказаться от изохорных участков. Для изменения температуры рабочего тела от до можно воспользоваться адиабатными процессами, при которых теплообмен не происходит и тепловые потери отсутствуют. Особым свойством рассмотренного цикла является обратимость всех процессов, его составляющих, поэтому такой цикл называется обратимым. Глава 6 Молекулярно кинетическая теория и термодинамика | 3^ Французский инженер Никола Леонар Сади Карно (1786— 1832) впервые исследовал работу тепловой машины с помощью обратимого цикла в работе «О движущей силе огня», поэтому обратимый цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, называется циклом Карно. Заметим, что КПД обратимого цикла всегда превосходит КПД цикла с тепловыми потерями. В этом легко убедиться, рассматривая изобарно-изохорный цикл. Например, на участке 3—4—1 (см. рис. 6.39) энергия переходит от рабочего тела к холодильнику. Ясно, что часть этой энергии можно преобразовать в механическую работу с помощью дополнительного небольшого теплового двигателя, в котором используется рабочее тело рассматриваемого цикла в качестве нагревателя, а холодильник исходной системы — в качестве холодильника. При этом полученное от нагревателя всей системы количество теплоты за цикл останется неизменным, а механическая работа увеличится, т. е. возрастет КПД системы. Аналогичным образом можно использовать и любые другие участки необратимого цикла, на которых происходит теплопередача между телами с различными температурами. Следовательно, КПД обратимого цикла является максимально возможным. КПД цикла Карно с идеальным газом. Нетрудно вычислить КПД цикла Карно с идеальным газом, изображенного на рис. 6.40. Количество теплоты подводимой в изотермическом процессе, равно совершаемой газом работе Ajg* Ее значение определяется площадью криволинейной трапеции под гипер- болой p{V) = Ро^о V и вычисляется по формуле: ^12 “^12" Аналогично ^2 RT^ In ^ 1 -RTAn ^ V 3 Используя уравнение адиабаты Пуассона, получим соотношение между параметрами газа на адиабатах 1—4 и 2—3: Т VY-i = гг T/Y-1 к 1 2*^ 4 » 1-1 ЗТ5 I Молекулярная физика. Термодинамика Отсюда следует равенство отношений объемов V. V V. и их логарифмов In V. V. = In V. V 1 Следовательно, КПД цикла Карно оп ределяется только температурами нагре вателя и холодильника Л = Qi2 + Q Q Н = 1 + = I 12 Q 12 1 Рис. 6.41 Тепловой насос. Поскольку все процессы теплообмена в цикле Карно полностью обратимы, этот цикл можно провести в обратном направлении, расширяя рабочее тело при низкой температуре и сжимая его при высокой. В этом случае для проведения цикла внешним телам понадобится совершить механическую работу А, а результатом этого процесса будет отвод некоторого количества теплоты Qg от холодильника и передача теплоты Q^ = Q2 + Л нагревателю (рис. 6.41). Такая система, «перекачивающая» тепловую энергию от холодного тела к нагретому, называется тепловым насосом. Теорема Карно. Используя представление о тепловом насосе, Карно в 1824 г. доказал следующую теорему. КПД теплового двигателя, использующего обратимый цикл: не зависит от свойств рабочего тела и деталей цикла; определяется только температурой нагревателя и холодильника; является максимально возможным при заданных температурах нагревателя и холодильника. Предположим, что КПД обратимой машины зависит от свойств рабочего тела. Пусть имеется обратимая тепловая машина, КПД которой Pj превышает КПД цикла Карно с идеаль- шин за Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | Jjy ным газом T]q, т. е. > T]q, а работа этой машины за один цикл А равна работе машины Карно с идеальным газом. Такая машина за один цикл получает от нагревателя количество теплоты Qi = A/rii, а машина Карно с идеальным газом — Qq = A/t\q. Пусть машина Карно с идеальным газом работает как тепловой насос, а обратимая машина с большим КПД r|j > т|о — как двигатель, приводящий этот насос в действие. В этом случае нагреватель будет получать за каждый цикл от теплового насоса количество теплоты Qq = А/т[^ и отдавать двигателю Qj = A/r)j. В итоге нагреватель получает от этой системы ма- цикл количество теплоты AQ = Qq ~ ~ ^(т]~ ~ ^ а холодильник теряет такое же количество теплоты в соответствии с законом сохранения энергии — первым началом термодинамики. Поскольку механическая работа всей системы за цикл равна нулю, итогом является переход теплоты от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой. Однако переход энергии от холодных тел к нагретым без других изменений в окружающих телах противоречит второму началу термодинамики. Следовательно, наше предположение ошибочно. Те же рассуждения запрещают обратимой машине иметь КПД меньше, чем у машины Карно. Следовательно, любая обратимая тепловая машина имеет такой же КПД, что и машина Карно. Поскольку КПД цикла Карно не зависит от выбора рабочего тела и Г| < 1, любая тепловая машина для своей работы помимо нагревателя нуждается в холодильнике, которому рабочее тело передает определенное количество теплоты. Это позволяет дать эквивалентную формулировку второго начала термодинамики: невозможно создать вечный двигатель второго рода, т.е. циклически работающую тепловую машину, которая совершала бы механическую работу только за счет охлаждения одного тела, например Мирового океана. Таким образом, следствием теоремы Карно является вывод, что в природе не существует процессов, позволяющих полностью превратить тепловую энергию в механическую работу без каких-либо иных изменений в окружающих телах. 313 I Молекулярная физика. Термодинамика Термодинамическая шкала температур. На основе цикла Карно Вильям Томсон (лорд Кельвин) в 1848 г. предложил построить температурную шкалу, не связанную с расширением конкретного физического тела. Температурная шкала Кельвина называется термодинамической или абсолютной шкалой. Идея использовать в качестве термометра цикл Карно основана на связи между температурами нагревателя Tj и холодильника Т2 и количеством теплоты Q^, полученным от нагревателя, и Qg» отданным холодильнику, независимо от конкретного рабочего тела: Т. Q1 Если требуется измерить температуру Tg некоторого тела, следует использовать его в качестве холодильника в тепловой машине, работающей по циклу Карно. Измеряя количество теплоты, сообщенное мащине нагревателем с известной температурой Tj, и работу, совершенную ею в цикле Карно, можно определить эту температуру: Qi -А Г2=-^Т,=(1-л)Л. Определенная таким образом температура не зависит от того, каким рабочим телом мы пользуемся. Технические применения тепловых насосов. Тепловые двигатели и тепловые насосы получили широкое применение в технике. Остановимся кратко на техническом применении тепловых насосов. Они могут быть использованы как эффективные отопительные приборы, поскольку сообщают нагреваемому телу больще энергии, чем расходуют на совершение механической работы > А. Другим важнейшим применением тепловых насосов является использование их в холодильных машинах, позволяющих снижать температуру тел ниже температуры окружающей среды. Холодильная машина объединяет в себе следующие агрегаты: морозильную камеру 1 с находящимся в ней теплообменником (испарителем), компрессор 2, радиатор 3, соединенные трубками и заполненные рабочим телом (рис. 6.42). При работе машины рабочее тело (хладагент) имеет различную температуру и давление в разных ее частях. Для анализа работы машины выделим небольшую часть хладагента, пере- Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | У Рис. 6 42 мещающегося по замкнутому контуру, и будем следить за изменением давления, объема и температуры выделенной части вещества по мере его перемещения из одного агрегата в другой. В домашних холодильных машинах в качестве рабочего тела выбирают такое вещество, которое при высоком давлении на выходе из компрессора превращается в жидкость, попав в радиатор, даже при комнатной температуре. При низком давлении рабочее тело переходит из жидкого состояния в газообразное в испарителе при низкой температуре морозильной камеры. Изменения параметров рабочего тела происходят циклически, приближаясь к обратному циклу Карно (рис. 6.43). Тепло из морозильной камеры с температурой около 250 К «выкачивается» в окружающую среду, имеющую температуру около 290 К. При работе холодильной машины хладагент, находящийся в морозильной камере в газообразном состоянии, поступает в компрессор, где сжимается по адиабате 1—2, нагреваясь до температуры, немного превышающей комнатную (Tj = 300 К), и поступает в радиатор, где далее сжимается по изотерме 2—3, отдав, ая тепло окружающей среде с температурой « 293 К. Напомним, что при равновесии пара с жидкостью изотерма совпадает с изобарой. Рабочее тело при этом постепенно превращается в жидкость, поэтому давление остается постоянным. Это уменьшает механические нагрузки и облегчает дальнейшее перемещение его в испаритель. Pi I о V Рис. 6.43 ■^20 I Молекулярная физика. Термодинамика Пройдя через узкую трубку, позволяющую поддерживать высокое давление в радиаторе, хладагент попадает в испаритель. Этот процесс перехода (участок 3—4), сопровождающийся испарением некоторой части хладагента, близок к адиабатному расширению и приводит к понижению температуры. Благодаря работе компрессора в испарителе поддерживается низкое давление, поэтому хладагент там постепенно испаряется, изотермически расширяясь на участке 4—1 и отбирая при этом тепло от морозильной камеры. Парообразный хладагент вновь поступает в компрессор, и цикл повторяется. При максимальной температуре цикла Tj = 300 К и минимальной тем- пературе Tg = 240 К КПД цикла Карно невелик Г| = Ti-T, 1 = 0,2, что обеспечивает эффективную работу холодильника. Количество теплоты, «выкачиваемое» им из морозильной камеры, может в пять раз превышать потребляемую электроэнергию (Qi = А/г] = 5А). Вопросы и задания 1. Оцените максимально возможный КПД двигателя внутреннего сгорания, использующего в качестве холодильника окружающую атмосферу, а в качестве нагревателя продукты сгорания бензина при температуре 1200 ®С. 2. Определите максимально возможный КПД теплового двигателя, работающего по изобарно-изохорному циклу (см. рис. 6.33), и сравните его с рассчитанным по первому закону термодинамики (пример § 6.13). 3. Определите количество теплоты, полученное холодильником с температурой 400 К в результате работы тепловой машины, если она совершила работу 1 кДж при температуре нагревателя 1400 К. Машина работает по циклу Карно. § 6.18. Промышленные тепловые двигатели Трудно представить себе современный цивилизованный мир без тепловых машин. Тепловые двигатели являются основной частью электростанций. Практически весь мировой транспорт, начиная от личных легковых автомобилей и заканчивая огромными океанскими танкерами и самолетами, приводится в движение тепловыми двигателями. Глава 6. Молекулярно-кинеIическая теория и термодинамика | 321 Рис. 6.44 Из истории развития тепловых машин. С разработкой тепловых машин, работающих циклически, связано бурное развитие промышленности в XVIII в. Остановимся кратко на физических принципах, лежащих в основе действия паровых машин, внесших существенный вклад в промышленную революцию XIX в. Первой промышленной паровой машиной можно считать поршневую паровую машину Ньюкомена (1712 г., Англия) (рис. 6.44) для откачки воды в шахтах. В вертикальном цилиндре с небольшим количеством воды мог двигаться поршень. При нагревании цилиндра за счет сгорающего топлива поршень поднимался вверх, при охлаждении водой пар конденсировался, и поршень перемещался вниз под действием атмосферного воздуха. Значительного улучшения эксплуатационных свойств паровой машины (КПД до 3%) удалось добиться английскому механику Джеймсу Уатту (1765 г., Англия). В его машине пар из цилиндра выпускался в специальный охлаждаемый сосуд — конденсатор, что исключало тепловые потери при охлаждении самого цилиндра. Максимально достижимый КПД в паровых машинах оказывается малым из-за небольшой разницы между температурой пара в котле и температурой конденсатора. Изобретенные в конце XIX в. котлы с перегревом позволяли поднять температуру пара до 350 ®С, а давление до сотни атмосфер. Для сочетания высокого КПД с высокой мощностью были разработаны машины, имевшие до четырех ступеней расширения пара, где пар, отработавший в первом цилиндре, поступал во второй и т. д. В результате были достигнуты мощности около 3000 л. с. и КПД около 30%. Пароходы, оснащенные такими машинами, развивали скорость до 40 км/ч. До конца XIX в., например, считалось, что паровые и электрические автомобили более перспективны, чем бензиновые. Если в 1899 г. «паромобили» и «электромобили» составляли около 80% парка механических экипажей, то к 1920 г. они стали большой редкостью. 322 i Молекулярная физика. Термодинамика На железной дороге широкое применение паровозов продолжалось до середины XX в. Технические характеристики паровозов, созданных к этому времени, были очень высокими. Кроме того, относительно небольшая скорость вращения колес паровоза (не выше 5 об/с) позволяла приводить их в движение без дополнительных редукторов. Однако, несмотря на высокие технические показатели, паровые машины на транспорте были вытеснены электрическими двигателями и двигателями внутреннего сгорания, значительно более компактными и удобными в эксплуатации. Паровая турбина. В первой половине XX в. экономические причины делают более выгодным в промышленности не совмещение тепловой машины с непосредственным агрегатом, использующим механическую энергию (насос, подъемник, станок), а использование электродвигателя. При этом выработка и транспортировка электроэнергии превращается в самостоятельную отрасль промышленности. Строительство тепловых электростанций предъявило иные требования к характеристикам тепловых двигателей. Для выработки электроэнергии необходимы были двигатели, вращающие ротор генератора со скоростью 3000 об/мин или 50 об/с, чтобы обеспечить частоту промышленного тока 50 Гц. Такими характеристиками обладали паровые турбины. В настоящее время они стали основным агрегатом электростанций, независимо от того, какой тип нагревателя используется (топка с углем, ядерный реактор или коллектор солнечной энергии). В паровой турбине (от лат. turbo — вихрь) на первом этапе внутренняя энергия пара переходит в кинетическую энергию потока пара (рис. 6.45), а на втором этапе в механическую энергию вращающейся турбины. Часто турбиной называется собственно колесо, осуществляющее вторую часть преобразования энергии. Прообраз паровой турбины описан еще во II в. до н. э. Эолипил — шар, приводимый во вращение паром, вытекающим из прикрепленных к нему трубок, изображен на рис. 6.46. Промышленное производство тгжих ма-Рис. 6 45 шин развернулось в конце XIX в. Про- Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | Рис. 6.46 Рис 6.47 цесс преобразования тепловой энергии в механическую осуществляется в них в два этапа. Во-первых, энергия хаотического движения молекул пара преобразуется в кинетическую энергию струи пара. Во-вторых, кинетическая энергия струи пара преобразуется в механическую энергию ротора турбины. Модель работы турбины на первом этапе. Для ускорения потока жидкости или пара его пропускают по трубе, в которой существует перепад давлений, приводящий к ускорению частиц среды (рис. 6.47). Изменение кинетической энергии идеальной жидкости или газа определяется работой сил давления А = -^1^1 ~ ^2^2 ~ ~ Р2^2^2‘ Учитывая, что Sj/j = Fj и S2I2 "^^2 — объемы выделенного моля газа на входе в трубу и на выходе из нее, это выражение можно привести к виду: A=PiFi-p2^2* Если учесть уравнение Клапейрона—Менделеева: ТО работу сил давления идеального газа можно выразить через изменение его температуры при прохождении трубы: л = ^ ДГ, - Гг). Применим теорему об изменении кинетической энергии идеального газа, учитывая, что кинетическая энергия молекул равна сумме кинетической энергии поступательного движения ^24 I Молекулярная физика. Термодинамика потока и хаотической энергии теплового движения, определяе мой температурой. Для газа массой т эта энергия равна Е = + СуТ. Изменение кинетической энергии молекул пара при про хождении трубы определяется выражением: АЕ = ти^ + СуТ 2 ти - + С,,Т,) = А = vfl(Ti - T.J, которое позволяет вычислить изменение кинетической энергии потока пара, если известна его начальная скорость и перепад температур: ти: 2 ти 2 2 --^ = (Cy + vR)(T^-T,) = C^iT^-T.,). Здесь мы учли соотношение = Су + \'Я, связывающее теплоемкости идеального газа С^ и Су при постоянном давлении и объеме. Отсюда следует, что при адиабатическом течении пара по трубе его температура снижается с ростом скорости потока, т. е. энергия теплового движения молекул переходит в кинетическую энергию потока. Максимально возможной скорости поток может достичь, если энергия теплового движения полностью перейдет в кинетическую, т. е. при Tg = 0. Если вначале пар в котле был неподвижен, т. е. = 0, то ~ J^C^pTМ. Оценим скорость потока пара из котла с температурой = — 500 К, если конечная температура потока Tg = 300 К. Принимая для водяного пара С.,_ = 29 Дж/(моль • К), а начальную ско-рость пара в котле = 0, получим и = - Т^)/М - 775 м/с. Сопло Лаваля. При технической реализации описанных идей возникли некоторые трудности. Так, при оценках мы полагали, что скорость выходящего потока достаточно высока, поскольку пар в результате адиабатического расширения остывает от 500 до 300 К. Однако оказалось, что при больших перепадах давления при движении в сужающейся трубе газ может остыть от 500 К только до 420 К и не может превысить скорости звука. Исследования французского физика Гю-гонио (1880) показали, что причиной такого необычного пове- Глава 6 Молекулярно-кинетическая I еория и I ермодинамика | 3^ дения потока пара по сравнению с жидкостью является его сжимаемость. В кинетическую энергию потока при этих условиях переходит только 40% энергии. При увеличении температуры пара в котле эффективность преобразования тепловой энергии в кинетическую только падает. Для достижения сверхзвуковых скоростей потока необходимо сделать трубу сначала сужающейся, а затем расширяющейся с таким расчетом, чтобы в наиболее узком ее сечении скорость потока была равна скорости звука. В 1889 г. шведский инженер Лаваль построил турбину, в которой для получения высокой скорости струи пара применил именно такую трубу. Позже она получила название сопло Лаваля (рис. 6.48). Это сопло применяется в настоящее время во всех реактивных двигателях и турбинах, где требуется получить сверхзвуковой поток. Модель работы турбины на втором этапе. Помещая в поток быстро движущегося пара колесо, снабженное лопатками, можно затормозить некоторую часть пара и заставить колесо вращаться. Полученная система и называется паровой турбиной. Рассмотрим предельно упрощенную модель взаимодействия потока пара с рабочим колесом. Будем считать, что частицы пара, движущиеся в потоке со скоростью Wg (рис. 6.49), испытывают упругие соударения с лопатками турбины. Если скорость лопатки в момент соударения равна и, то после соударения с ней частицы будут двигаться со скоростью — - 2и, как при упругом ударе о движущуюся стенку. Изменение кинетической энергии потока частиц массой т равно работе сил, вращающих колесо турбины: А(и) = ти ти ти -fi- -I- и,) 2 V “2 Эффективность превращения кинетической энергии потока в механическую работу зависит от скорости вращения турби- 326 I Молекулярная физика. Термодинамика ны и достигает максимума = А{и.р]2) = muf, при и = U2/2, когда скорость пара после взаимодействия с лопатками обращается в нуль, = О и вся кинетическая энергия потока переходит в механическую работу. Поскольку скорость движения газа в потоке составляет сотни метров в секунду, эффективно работающая турбина должна вращаться очень быстро. Если радиус турбины г = 0,1 м, а t/2 = 775 м/с, то угловая скорость вращения турбины О) = и/г = ^2/2г «750 об/с, т. е. 45 000 об/мин. Реализация второго этапа работы турбины. Лаваль, обеспечив за счет формы сопла большую скорость движения пара, падающего на лопатки турбины, получил скорость вращения турбины около 100 об/с, достаточную для сепарирования молока. Мощность турбины была также достаточна для этих целей. При выработке электроэнергии на тепловых и атомных электростанциях при помощи электрогенераторов, ротор которых находится на одном валу с ротором тубрины, необходима скорость вращения 3000 об/мин, что значительно меньше оптимальной. Использование турбины Лаваля в такой ситуации приведет к резкому снижению КПД. Для сочетания высокой мощности с высоким КПД при выработке электроэнергии английский изобретатель Парсонс (1884) пошел другим путем. Он предложил конструкцию, в которой передача кинетической энергии пара лопаткам турбины происходит в несколько этапов. Если лопатки турбины изогнуть, подобно лопастям настольного вентилятора или пропеллера самолета, то поток пара можно направить вдоль оси вращения. Расширение пара в турбине Парсонса происходит в каналах, образованных лопатками турбины и стенками трубы, в которой она установлена (рис. 6.50). Такие турбины с движением пара вдоль оси турбины получили название реактивных. На одном валу он закрепляет последовательно до 20 турбин (2) (см. рис. 6.50) с увеличивающимся диаметром. Пар, поступающий из котла, отдает часть своей кинетической энергии лопаткам вращающейся турбины первой ступени. При взаимодействии с лопатками поток пара отклоняется в сторону, противоположную направлению вращения турбины, закручиваясь вокруг ее оси. Чтобы уменьшить потери энергии на та- Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | свежий пар гШш S>- V - > Ч> »ХС^ЧЧЧЧЧГ %^777777^ отработанный пар Рис. 6.50 кое вращение и направить пар под нужным углом на лопатки следующей турбины, ставят ряд неподвижных лопаток (i) (см. рис. 6.50). Эффективность передачи кинетической энергии пара лопаткам многоступенчатой турбины в целом обеспечивается за счет разбиения процесса передачи на несколько ступеней. Решая инженерные задачи о подборе угла поворота лопаток относительно плоскости турбины, варьирования радиусов турбин на каждом этапе, удалось создать надежные реактивные паровые турбины мощностью до 1 млн кВт с КПД 40%. Они используют пар с температурой до 650 °С и давлением около 350 атм, диаметр турбин достигает несколько метров, но вращаются они с частотой 50 об/с. В настоящее время турбины Парсонса являются основным типом двигателя на электростанциях. Вопросы И задания 1. Чем определяется максимально возможный КПД паровых машин? Какими путями шло повышение их мощности и КПД? В каких отраслях хозяйственной деятельности они наиболее долго продержались и почему? 2. В чем принципиальное отличие пара как рабочего тела в паровой машине и паровой турбине? 3. Как трактуется закон сохранения энергии при расчете максимальной скорости пара, выходящего из котла под большим давлением? 328 i Молекулярная физика. Термодинамика Каков порядок величины скорости пара? От каких факторов зависит эта скорость? 4. При каком соотношении скорости пара и лопатки турбины достигается максимальная эффективность передачи кинетической энергии пара лопаткам турбины? 5. Где в основном применяются паровые турбины? Какие две принципиально разные конструкции позволяют получить высокий КПД и мощность современных паровых турбин? § 6.19. Двигатели внутреннего сгорания Остановимся кратко на физических принципах работы другого типа современных тепловых двигателей — двигателей внутреннего сгорания, пришедших на смену паровой машине. В двигателе внутреннего сгорания нагревание рабочего тела происходит непосредственно в цилиндре машины, а не в отдельном паровом котле. Отсутствие парового котла и конденсатора делает такие двигатели легкими и компактными, незаменимыми при использовании на транспорте, особенно автомобильном. Идея создания двигателя внутреннего сгорания зародилась в конце XVII в. В 1680 г. X. Гюйгенс описал «пороховую машину», в цилиндре которой происходит горение пороха, приводящее к выталкиванию поршня из цилиндра. Попытки построить такую машину не увенчались успехом. Практическое применение получил лишь двигатель Ленуара, созданный в 1860 г. и работающий на светильном газе*. Как и в паровой машине, горячий газ, получившийся в результате сгорания рабочей смеси в цилиндре двигателя, толкал поршень, совершая полезную работу. По окончании процесса расширения отработавший газ выходил наружу через открывшийся клапан, а цилиндр заполнялся свежей смесью. После сжатия смеси при обратном ходе поршня она поджигалась, и процесс повторялся. Один рабочий цикл двигателя делился на два такта — сжатия смеси и расширения продуктов сгорания, поэтому такие двигатели получили название двухтактных. Хотя КПД этого двигателя составлял всего 4% при небольшой мощности, они быстро распространились в Англии и Франции. Смесь газов, которая использовалась в уличных фонарях. Глава 6 Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |------ 1ШЛ max Рис. 6.51 Рис. 6.52 Огромную роль в усовершенствовании двигателей сыграла теоретическая работа инженера Бо де Роша (Франция), в которой он описал принципы построения эффективного двигателя. В частности, в этой работе впервые было показано, что перед воспламенением рабочей смеси она должна быть сжата. Построенный в соответствии с этими рекомендациями двигатель инженера Николауса Отто (1876 г., Германия) сразу же получил признание. В последующие 17 лет было построено свыше 50 тыс. таких двигателей. Двигатель Отто являлся четырехтактным (рис. 6.51), т. е. полный рабочий цикл его разделялся на четыре такта: всасывание горючей смеси^ сжатие ее в цилиндре^ воспламенение от электрической искры и последующее расширение^ а затем выпуск из цилиндра при движении поршня. Для анализа термодинамических характеристик двигателя используют индикаторную диаграмму у изображающую давление в цилиндре как функцию объема цилиндра. На рис. 6.52 изображена такая диаграмма для двигателя Отто. При построении диаграммы использованы известные модельные процессы, совершаемые над газами. Начало цикла выбрано в точке 1, когда давление в цилиндре близко к атмосферному /?q, а поршень находится в верхней точке и объем цилиндра минимален. В этот момент впускные клапаны, обеспечивающие поступление в цилиндр рабочей смеси, открыты, и цилиндр соединен с атмосферой. При перемещении поршня вниз происходит всасывание воздуха в цилиндр. При этом давление в цилиндре сохраняется приблизительно постоянным и лишь немного меньшим, чем атмосферное давление. Прежде чем попасть в цилиндр двигателя. I Молекулярная физика. Термодинамика воздух проходит через карбюратор, в котором происходит приготовление рабочей смеси путем испарения бензина в потоке воздуха. На этом первый такт работы двигателя — заполнение цилиндра рабочей смесью — заканчивается. После заполнения цилиндра двигателя рабочей смесью впускные клапаны закрываются и смесь сжимается. Процесс сжатия происходит очень быстро, так как современные двигатели совершают до 100 об/с. За это время теплообмен между воздухом и стенками цилиндра не успевает произойти, поэтому такой процесс можно считать адиабатным. Сжатием рабочей смеси в 8—10 раз заканчивается второй такт. Вблизи верхнего положения поршня сжатая смесь поджигается электрической искрой от свечи зажигания и быстро сгорает. За время горения поршень не успевает заметно переместиться, поэтому нагревание воздуха при сгорании топлива можно считать изохорным. При нагревании смеси ее давление повышается в несколько десятков раз. Затем нагретая смесь расширяется в цилиндре, совершая механическую работу. Это третий такт двигателя — рабочий ход поршня. Пренебрегая теплообменом нагретых газов со стенками цилиндра, рабочий ход двигателя также можно считать адиабатным расширением, в конце которого давление оказывается лишь немного выше атмосферного. В конце рабочего хода открываются выпускные клапаны, которые соединяют цилиндр с атмосферой, и горячий воздух из цилиндра вместе с продуктами сгорания бензина уходит в атмосферу, а давление внутри цилиндра оказывается близким к атмосферному. Выхлоп происходит за короткое время, когда объем цилиндра остается приблизительно постоянным, так что на индикаторной диаграмме этот процесс отображается изохорой. Остатки продуктов сгорания выбрасываются в атмосферу при ходе поршня вверх, при котором выпускные клапаны остаются открытыми. Затем они закрываются, а на смену им открываются впускные клапаны. Этим заканчивается последний, четвертый такт работы двигателя. После этого весь процесс повторяется вновь. Для определения КПД цикл, изображенный на индикаторной диаграмме, заменяют циклом, состоящим из двух адиабат и двух изохор. Отношение максимального объема цилиндра к минимальному называется степенью сжатия f = ^max/^min ^ играет важную роль в определении КПД двигателя. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |------ Поскольку в цикле, состоящем из двух адиабат и двух изо хор, рабочее тело получает и отдает количество теплоты, равное Qj и Qg соответственно только на изохорных участках, то КПД такого цикла легко рассчитать: П = — = ~ = 1 _ 1 ^тах(Ро ~ Ро^ ^ Ql Q, Qi - Рз) nun с учетом уравнения адиабаты = P4^inln И = РгК шах МОЖНО получить л = 1- V . чУ-1 nun ' V • \t ■ nun \ J max где Y= CpjCy- 1,4 — отношение изобарной и изохорной теплоемкостей воздуха. График зависимости КПД двигателя от степени сжатия приведен на рис. 6.53. В 1886 г. Г. Даймлер и В. Майбах усовершенствовали двигатель Отто, сконструировав карбюратор, что позволило использовать в двигателе жидкое топливо — бензин. Двигатель внутреннего сгорания приобрел все основные черты современного двигателя и с тех пор занял прочные позиции в современной промышленности и на транспорте. Приведем характерные параметры современного двигателя. Степень сжатия в нем обычно не превышает 10. Максимальная температура продуктов сгорания в цилиндре доходит до 1800 ®С, а давление достигает 50 атм. Эффективный и очень экономичный двигатель внутреннего сгорания был изобретен Рудольфом Дизелем в 1892 г. В отличие от двигателя Отто в дизельном двигателе сжимается не горючая смесь, а воздух. Благодаря высокой степени сжатия, достигающей 20, температура воздуха сильно повышается, превышая 500 ®С. В конце такта сжатия в цилиндр под большим давлением впрыскивается керосин, который при такой температуре самовоспламеняется, что позволяет отказаться от электрической свечи. Дальнейший процесс работы двигателя подобен работе двигателя Отто, за исключе- « нием того, что процесс горения про- 6 8 10 должается значительно дольше и час- Рис. 6.53 ^22 I Молекулярная физика. Термодинамика тично происходит во время движения поршня. Двигатель Дизеля может работать на недорогих видах жидкого топлива — керосине, нефти. Благодаря высокой степени сжатия и высокой температуре продуктов сгорания, достигающих 1900 °С, двигатель очень экономичен и обладает повышенной мощностью. Такие двигатели широко используются в судостроении, на железнодорожном транспорте и на грузовом автотранспорте. Газовая турбина. К двигателям внутреннего сгорания относятся и газовые турбины. В газовой турбине используется тепловая энергия газов, полученных в результате сгорания топлива в камерах сгорания, конструктивно связанных с турбиной. В процессе работы этого двигателя (рис. 6.54) воздух по направляющему каналу 1 поступает на лопатки турбокомпрессора 2. При взаимодействии воздуха с вращающимися и неподвижными лопатками турбины компрессора воздух адиабатически сжимается в несколько раз, разогревается и поступает в зону с камерами сгорания 3. В зоне с камерами сгорания через форсунки 4 впрыскивается топливо, воздух с горячими продуктами сгорания расширяется, ускоряется и поступает на лопатки собственно турбины двигателя 5. Здесь происходит преобразование внутренней энергии и кинетической энергии газов в кинетическую энергию вращающихся лопаток турбины. Расширившиеся газы вылетают через сопло 6. Энергия вращающейся турбины используется частично на вращение лопаток турбины компрессора 2, частично на выработку электроэнергии для нужд транспортно1'о средства и вращает винт 7. Рис. 6.54 г л а в а 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика \-3^ Эти двигатели отличаются высокой мощностью и быстроходностью, благодаря чему получили широкое распространение в авиации. Использование их в наземном транспорте сдерживается пока относительно невысоким КПД, отсутствием дешевых конструкционных материалов, способных длительное время работать в условиях высоких температур и больших механических нагрузок, характерных для такого двигателя. Вопросы и задания 1. Постройте индикаторную диаграмму процесса, происходящего в газовой турбине, считая, что горение топлива происходит при постоянном давлении. 2. Каковы этапы работы четырехтактного бензинового двигателя внутреннего сгорания? Как меняются в каждом такте объем, давление и температура рабочего тела? 3. Что служит рабочим телом, холодильником, нагревателем в двигателе внутреннего сгорания? Какими известными процессами можно приближенно описать этапы работы двигателя внутреннего сгорания Отто или Даймлера? 4. В чем преимущества дизельного двигателя перед карбюраторным? В чем его недостатки? § 6.20. Макроскопические характеристики конденсированного состояния вещества Практически все вещества в природе могут существовать в трех различных агрегатных (от лат. aggrego — присоединяю, связываю) состояниях — твердом, жидком и газообразном. Агрегатное состояние данного вещества зависит от условий, в которых оно находится, прежде всего, от его температуры и давления. Проведем сравнительную характеристику механических (плотность, характер деформаций) и тепловых (тепловое расширение, поведение при нагревании) свойств вещества в различных агрегатных состояниях. Механические характеристики. По плотности вещества принято разделять на две большие группы. К первой группе, наиболее распространенной во Вселенной, относится газообразное вещество. В земных условиях при обычных температурах и давлениях оно характеризуется низ- 224 I Молекулярная физика. Термодинамика кой плотностью, приблизительно в тысячу раз меньшей, чем плотность жидкостей или твердых тел. Жидкости и твердые тела объединяют во вторую группу, называемую конденсированным, состоянием вещества. Второй важнейшей механической характеристикой веществ является способность тел из этих веществ деформироваться под действием приложенных к ним сил. И в этом отношении газообразное и конденсированное состояния вещества сильно отличаются. Газообразные тела характеризуются высокой степенью деформации и высокой текучестью. Под действием сравнительно небольших сил газы легко изменяют объем в несколько раз, причем эти деформации являются упругими. Вещество в конденсированном состоянии ведет себя иначе. Жидкости, подобно газам, обладают высокой текучестью, однако упругие объемные деформации жидкостей гораздо меньше, чем у газов и сопоставимы с деформациями твердых тел. В задачах элементарной физики это часто позволяет считать объем жидкостей постоянным. Твердые тела при небольших воздействиях характеризуются малыми деформациями, что позволяет в задачах механики использовать во многих случаях модель недеформируемого тела. Многие из твердых тел деформируются упруго. Упругие деформации большинства твердых тел малы, так что удлинение не превышает единиц процентов. При больших нагрузках деформации тела становятся пластическими. Под большим давлением из металлической заготовки при комнатной температуре можно получить тонкую проволоку продавливанием через фильеру (узкое отверстие). Некоторые твердые тела проявляют свойство текучести и при небольших, но д.чительных нагрузках. Это позволяет твердые тела разделить на две группы. В первой группе не слишком сильные воздействия сопровождаются упругими деформациями, практически исчезающими при снятии нагрузки, независимо от ее длительности. Такие свойства проявляют кристаллы. Вещества второй группы при достаточно быстрых деформациях ведут себя так же, как кристаллы, но при длительных умеренных нагрузках обладают высокой текучестью, характерной для жидкостей. Такие вещества называются аморфными. Стальной шарик, положенный в стакан с садовым варом, будет хмедленно погружаться в него и через несколько дней «утонет». Примерами аморфных твердых тел являются Глава 6 Молекулярио-кинетическая теория и термодинамика |- и обычные стекла, сохраняющие остаточные деформации после длительных нагрузок (десятки и сотни лет). Тепловые свойства веществ. К тепловым характеристикам веществ следует отнести коэффициент линейного (объемного) расширения и теплоемкость, изученные ранее. Остановимся подробнее на изменении агрегатного состояния вещества. При температурах от нескольких сотен до нескольких тысяч кельвинов многие твердые тела плавятся, переходя в жидкое состояние. Переход твердых тел в жидкости при повышении температуры происходит различным образом для кристаллических и аморфных тел. На рис. 6.55 изображен график изменения температуры металлического олова и стекла при постоянной мощности теплопередачи. Аморфное стекло при повышении температуры постепенно размягчается, его вязкость уменьшается. Как следует из графика, это происходит при монотонном росте температуры образца. Иначе происходит переход в жидкое состояние у металлического олова. Оно остается твердым вплоть до температуры, называемой температурой плав-ленияу в ходе плавления температура образца остается постоянной до тех пор, пока весь образец не расплавится. Процесс плавления на графике (см. рис. 6.55) изображается горизонтальным участком. Только после этого начинается дальнейший рост температуры. Количество теплоты, необходимое для перевода 1 кг кристаллического вещества из твердого состояния в жидкое, называется удельной теплотой плавления X. Для плавления т кг вещества необходимо затратить количество теплоты: Q = Хт. Также возможен непосредственный переход из твердого состояния в газообразное, минуя жидкое, — возгонка. 2^----1 Молекулярная физика. Термодинамика Температура перехода зависит от давления, причем она может как повышаться, так и понижаться с ростом давления. Для такого распространенного вещества, как лед, температура плавления повышается с ростом давления, а большинство других веществ демонстрируют обратную зависимость, т. е. понижение температуры плавления с ростом давления. Все конденсированные вещества, и твердые тела, и жидкости, постепенно испаряются, превращаясь в газ. Превращение жидкостей в газы называется испарением. Процесс испарения вещества происходит при любой температуре. Изменяется лишь скорость этого процесса. Хорошо известно, что мокрое белье сохнет и при комнатной температуре, и на морозе, однако скорость высыхания при высокой температуре гораздо выше. Рассматривая общие свойства трех агрегатных состояний вещества и различия между ними, можно заметить, что во многих случаях трудно провести четкую границу между отдельными группами веществ. Механические свойства жидкостей во многом напоминают свойства газов, а свойства аморфных тел — свойства жидкостей. Переходы между различными состояниями вещества также указывают на общность в их строении. Все эти свойства вещества, сходство и различие в их поведении при механическом и тепловом воздействии, получают объяснение в рамках молекулярно-кинетической теории. Вопросы И задания 1. Назовите механические и тепловые свойства веществ, позволяющие отнести их к твердому, жидкому и газообразному агрегатному состоянию. 2. Как можно установить, какой из двух образцов кубической формы является кристаллом, а какой телом из аморфного вещества? В какой из двух склянок находится порошок аморфного, а в какой кристаллического вещества? 3. Приведите примеры испарения, возгонки и конденсации веществ. § 6.21. Свойства вещества и молекулярно-кинетическая теория Различия в плотности газов и веществ в конденсиро ванном состоянии при нормальных условиях связаны с разли чиями в их молекулярном строении. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |- Межмолекулярное взаимодействие. Зная молярную массу вещества и его плотность, нетрудно вычислить объем, приходящийся на один атом или молекулу и, таким образом, оценить среднее расстояние между ними. Расстояния между соседними атомами и молекулами в конденсированном состоянии для всех веществ почти одинаковы и приблизительно в 10 раз меньше, чем в газах при нормальных условиях. Поскольку свойства газов в молекулярнокинетической теории хорошо описываются моделью невзаимодействующих хаотически движущихся частиц, можно предположить, что на расстояниях в единицы нанометров взаимодействие между атомами и молекулами пренебрежимо мало (при нормальных условиях). Напротив, вещество в конденсированном состоянии состоит из сильно взаимодействующих атомов и молекул, так как заметные деформации такого вещества требуют приложения к ним очень больших сил. В отсутствие внешнего воздействия атомы конденсированного состояния находятся в положении относительного равновесия. Поскольку для растяжения твердого тела, т. е. увеличения расстояния между его атомами требуется приложить к нему внешнюю силу, можно сделать вывод, что на расстояниях, превышающих равновесные, между атомами действуют силы притяжения. Однако расстояния, на которых эти силы играют заметную роль, невелики. При удлинении стержня менее чем на 1/10 его первоначальной длины обычно наступает его разрушение. Отсюда можно сделать вывод, что при таком увеличении расстояния между соседними молекулами силы притяжения существенно ослабевают. Такие силы называются короткодействующими. Этот же результат подтверждается и поведением газов при нормальных условиях. При сжатии конденсированного вещества возникают большие силы отталкивания. Очевидно, что на расстояниях, меньших равновесных, между атомами и молекулами действуют очень большие силы отталкивания, которые и определяют поведение вещества. Исследования подтвердили, что различия в макроскопических свойствах вещества связаны не только с различиями во взаимном расположении атомов и молекул, но и с особенностями их теплового движения и взаимодействия. Поэтому в настоящее время деление вещества на газы, жидкости и твердые тела связано не с различием их макроскопических свойств (плотности, деформируемости и т. д.), а с особенностями поведения их атомов и молекул. ^28 I Молекулярная физика. Термодинамика Степень упорядоченности атомов. Каковы же основные отличия в расположении атомов и молекул жидкостей, газов и твердых тел? • Газы. Газами в молекулярно-кинетической теории называются вещества, в которых атомы и молекулы расположены хаотично. Обычно такое расположение возникает в тех случаях, когда средние расстояния между молекулами достаточно велики, так что они движутся почти свободно, испытывая лишь редкие столкновения. Основной моделью газов является модель молекулярного хаоса. • Твердые тела. Взаимодействие атомов твердых тел часто приводит к образованию регулярных геометрических структур из атомов — кристаллической решетки. Места нахождения атомов называются узлами, кристаллической решетки. Атомы, находящиеся в узлах решетки, жестко связаны со своими соседями, и их движение ограничивается, главным образом, колебаниями относительно положений равновесия. В зависимости от особенностей взаимодействия атомов различных веществ кристаллическая решетка может характеризоваться не только различными расстояниями между частицами, но и различием в их расположении. Простейшая кристаллическая решетка в виде повторяющегося куба образуется у обычной поваренной соли NaCl. На рис. 6.56 приведены два способа отражения структуры кристаллов: в виде совокупности шаров, размер которых соответствует радиусу атомов или молекул (рис. 6.56, а), и в виде шариков, показывающих положение равновесия центров атомов в кристалле, и штрихов, помогающих представить их расположение в пространстве (рис. 6.56, б). В исключительных случаях регулярная структура кристалла охватывает все тело. Так устроены, например, кристаллы Рис. 6.56 б) I л а в а 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | а) б) Рис. 6.57 Рис. 6.58 алмаза. Симметрия в расположении атомов в кристаллической решетке отражается на форме кристаллов (рис. 6.57). Чаще кристаллические тела являются поликристалличе-CKUMUy т. е. состоят из относительно небольших макроскопических образований (микрокристаллов), имеющих регулярную структуру (рис. 6.58). В любом случае упорядоченность характерна для больших, по сравнению с размерами атомов, расстояний. Такое упорядочение атомов и молекул называется дальним порядком (рис. 6.59, а). С помощью рентгеновского анализа удалось выявить различия в строении кристаллических и аморфных тел. Оказалось, что в аморфных телах (аморфный — от греч. арорфо^ — некрасивый, бесформенный) также существуют упорядоченные структуры, и атомы также жестко связаны со своими соседями, но порядок во взаимном расположении атомов наблюдается только в небольшой области вблизи каждого атома. На расстояниях, превышающих среднее расстояние между атомами в несколько раз, эта упорядоченность исчезает. Такая структура расположения атомов называется ближним поряд- а) б) Рис. б 59 34^ I Молекулярная физика. Термодинамика ком. Представление о расположении атомов в этом случае дает рис. 6.59, б. Поскольку в аморфных телах отсутствует дальний порядок, они не образуют кристаллов. Физические свойства тел при таком расположении атомов не зависят от направления. Такие вещества называются изотропными. Кристаллы же обладают свойством анизотропии. Их физические свойства зависят от направления, вдоль которого они определяются. Например, если из кубика хлорида натрия (см. рис. 6.57, а) вырезать три одинаковых столбика вдоль разных направлений, то прочность их на разрыв будет разной. Прочность столбиков, вырезанных вдоль ребра куба, вдоль диагонали боковой грани и вдоль пространственной диагонали куба составит 5,6Н/мм2; 11,3 Н/мм^ и 21,1 Н/мм^ соответственно. Образцы поликристаллических веществ анизотропией свойств не обладают. • Жидкости. Исследования показали, что в жидкостях, как и в аморфных твердых телах, наблюдается ближний порядок в расположении молекул. Однако атомы и молекулы жидкостей более подвижны, чем твердых тел. Поэтому жидкости обладают высокой текучестью, легко деформируются. Так как твердые тела превращаются в жидкости при повыщении температуры, более высокая подвижность атомов свидетельствует об увеличении кинетической энергии атомов и молекул конденсированного вещества при нагревании. Первоначально представление о конденсированном состоянии вещества связывалось с различием в его плотности. Исходя из этих представлений, кажется естественным, что для превращения газа в жидкость достаточно сильно сжать его, уменьшив объем приблизительно в тысячу раз по сравнению с нормальными условиями. При этом средние расстояния между молекулами газа будут сравнимы с расстояниями в конденсированном веществе, и мы получим газ в твердом или жидком состоянии. Действительно, в 1812 г. таким образом удалось получить жидкий аммиак. Позже Майкл Фарадей аналогичным способом получил жидкую двуокись углерода (СО2). Однако получить путем сжатия жидкий азот или кислород не удавалось, несмотря на то что давление сжатого газа в некоторых опытах достигало 3000 атм. Получение жидкого азота и кислорода оказалось возможным только после охлаждения газа до низкой температуры. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | Этот результат легко объясняется в молекулярно-кинетической теории. Различия между газом и конденсированным состоянием обусловлено не плотностью вещества или расстоянием между его молекулами, а их упорядоченностью. Если при сближении молекул может возникнуть ближний порядок, то он превратится либо в жидкость, либо в аморфное вещество. Возникновение той или иной структуры обусловлено взаимодействием между молекулами, которое стремится упорядочить атомы вещества. Но атомы всегда находятся в хаотическом тепловом движении, поэтому для образования регулярной структуры необходимо, чтобы взаимодействие было достаточно сильным или интенсивность хаотического движения молекул, определяемая температурой, была достаточно мала. Поскольку взаимодействие молекул аммиака велико, по сравнению с взаимодействием молекул азота и кислорода, то аммиак сжижается и при комнатной температуре, а для сжижения сжатого воздуха его необходимо охладить до температуры около -150 °С. Температура и упорядоченность молекул конденсированных сред. Поскольку температура вещества характеризует кинетическую энергию хаотического движения, с ростом температуры упорядоченность разрушается. Рассмотрим молекулярную картину процесса перехода твердых тел в жидкости. Тепловые колебания атомов в узлах кристаллической решетки обычно невелики, и средние отклонения от равновесия составляют десятые доли процента от расстояний между узлами. С ростом температуры амплитуда колебаний увеличивается, и перед разрушением решетки при температуре плавления амплитуда составляет около 10% расстояния между узлами. Рост температуры кристалла сопровождается различными нарушениями регулярной структуры, называемыми дефектами кристаллической решетки. Дефекты кристаллической решетки снижают прочность вещества и изменяют ряд других макроскопических свойств. Увеличение числа дефектов, нарушая дальний порядок, приближает свойства кристаллов к свойствам аморфных тел и жидкостей. Например, при повышении температуры железа изменяются его пластические свойства, оно становится ковким, оставаясь кристаллическим твердым телом. В свете сказанного становится понятным, почему аморфные тела, в отличие от кристаллических, не имеют определенной температуры плавления. При нагревании они постепенно 342 I Молекулярная физика. Термодинамика размягчаются, становясь более тек^^ими. «От рождения» взаимное расположение атомов в аморфных телах похоже на расположение атомов жидкости. В обоих случаях оно характеризуется наличием ближнего порядка. Различается лишь степень их подвижности. По мере увеличения температуры подвижность атомов постепенно возрастает, и свойства аморфных веществ постепенно приближаются к свойствам жидкостей. Иная ситуация в кристаллических веществах. Расположение атомов в них характеризуется дальним порядком. До тех пор, пока дальний порядок сохраняется, сохраняются и отличия от жидкостей. Как только достигается температура, при которой дальний порядок разрушается, скачком изменяются и макроскопические свойства твердого тела. В зависимости от того, какую структуру приобретает расположение атомов, возможно либо образование жидкости, если дальний порядок заменяется ближним, либо газа, если движение атомов и молекул становится хаотическим. При охлаждении жидкостей или газов молекулы образуют упорядоченные структуры, что соответствует переходу в конденсированное состояние. Степень упорядоченности получившегося состояния зависит от условий охлаждения. Если охлаждение проводится медленно, то образуются правильные структуры с высокой степенью упорядоченности — кристал- лы. Если же охлаждение жидкости провести быстро, то атомы потеряют подвижность, не успев образовать строго упорядоченную структуру. В результате сохранится взаимное расположение атомов, характерное для жидкости, т. е. образуется аморфное твердое тело, отличающееся от кристаллического не только расположением атомов, но и механическими, оптическими и другими свойствами. Пример такого перехода дает кварц. После плавления кристаллического кварца и последующего охлаждения изменяется не только взаимное расположение атомов, но и макроскопическая характеристика — плотность. Вопросы и задания 1. Во сколько раз среднее расстояние между молекулами в водяном паре больше расстояния между молекулами воды при нормальных условиях, если их плотности отличаются примерно в 1200 раз? 2. Приведите примеры наблюдений, которые можно провести для иллюстрации того, что силы межмолекулярного притяжения являются короткодействующими. Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | 3^ 3. Каковы различия в структуре кристаллических и аморфных тел? Как на молекулярном уровне объясняется различие между аморфными твердыми телами и жидкостями? 4. Поликристаллический и аморфный образцы не обладают анизотропией физических свойств. Как экспериментально можно показать, что в первом из них наблюдается дальний порядок? 5. Приведите примеры, показывающие, что переход к конденсированному состоянию вещества связан не только с увеличением его плотности. § 6.22. Взаимодействие атомов в конденсированном веществе В предыдущем параграфе мы показали, что механические и тепловые свойства конденсированного вещества определяются взаимным расположением его атомов и молекул и их движением. Ясно, что характер взаимного расположения и движения зависит от взаимодействия атомов и молекул друг с другом. Можно надеяться, что подробная информация о силах парного взаимодействия молекул или атомов между собой позволит определить силы взаимодействия молекул в конденсированном веществе, и таким образом описать поведение молекул конденсированного вещества, определить положение равновесия входящих в него атомов. Такая информация даст возможность объяснить макроскопические свойства многих твердых и жидких веществ. Эта задача кажется привлекательной еще и потому, что силы взаимодействия между атомами и молекулами являются короткодействующими, так что основную роль играют лишь взаимодействия с ближайшими соседями, число которых невелико, так что учет их не будет представлять слишком сложную задачу. Достаточно определить потенциальную энергию взаимодействия пары молекул, ее зависимость от расстояния и воспользоваться принципом суперпозиции сил. Химические связи и «химические» силы. На деле, однако, ситуация оказывается гораздо сложнее. Дело в том, что атомы и молекулы любых веществ представляют собой сложные структуры, образованные ядром и окружающей его оболочкой электронов, число которых обычно составляет несколько десятков. Структура электронной оболочки определяется электрическим притяжением электронов к ядру атома 344 I Молекулярная физика. Термодинамика и их взаимным отталкиванием. Кроме этого следует учитывать, что движение электронов не полностью определяется законами классической механики. Квантовая теория движения электронов разрешает им движение вокруг ядра только по орбитам строго определенного радиуса. Более того, на каждой орбите может находиться не более определенного количества электронов: на ближайшей орбите 2, на следующей 8 и т. д. Вся эта сложная система, которую мы называем атомом, хотя и считается неделимой, не является недеформируемой. Это создает не только большие трудности в определении энергии взаимодействия между двумя молекулами. Даже знание энергии парного взаимодействия не позволяет рассчитать энергию взаимодействия трех и более молекул. Действительно, для расчета энергии взаимодействия между двумя атомами необходимо определить энергию электрического взаимодействия ядра и всех электронов одного атома с ядром и всеми электронами другого атома. Это можно сделать, определяя попарно энергию взаимодействия частиц, а затем суммируя полученную энергию. Однако такие вычисления не дают желаемого результата. Во-первых, они очень громоздки. А во-вторых, движение электронов в оболочке атома, взаимодействующего с другим атомом, изменяется. Такое изменение можно рассматривать, как деформацию электронной оболочки тем большую, чем меньше расстояние между атомами. На тех расстояниях, на которых находятся атомы конденсированного вещества, это взаимодействие обычно бывает настолько сильны.м, что приводит к радикальному изменению в движении внешних электронов оболочки — возникает химическая связь. Внешние или валентные электроны сильно смещаются от своих средних положений в невзаимодействующем атоме, и оказываются «общими» сразу для двух атомов. Если теперь к такой системе приближается третий атом, то характер его взаимодействия с образовавшейся молекулой окажется совершенно другим, чем с каждым из атомов в отдельности. Ведь электронная оболочка образовавшейся молекулы уже совершенно не похожа на оболочки исходных атомов. Во многих случаях, например при взаимодействии атомов азота или кислорода, молекула Og будет гораздо слабее взаимодействовать с приблизившимся атомом, чем два отдельных атома. В итоге, хотя образование молекул О3 — озона — возможно, оно происходит только в специальных условиях и получив- I лава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика |- шаяся молекула оказывается неустойчивой. О таком явлении говорят, как о «насыщении» химической связи. Таким образом, химические связи, характеризующие взаимодействие атомов, не удовлетворяют принципу суперпозиции и являются «насыщаемыми». Атом, входящий в состав молекулы, уже не является той частицей, которой он был до взаимодействия. Таким образом, само определение потенциальной энергии парного взаимодействия оказывается невозможным. Например, в кубической решетке NaCl (см. рис. 6.56, б) каждый атом натрия окружен четырьмя атомами хлора, расположенными совершенно симметрично. В этом случае вообще невозможно установить, какая пара атомов образует молекулу NaCl. Скорее, такую решетку следует рассматривать как огромную молекулу, состоящую из миллиардов атомов. Поскольку силы взаимодействия между молекулами имеют сложный характер и могут быть определены с достаточной точностью лишь экспериментально, их часто называют «химическими силами», хотя по своей природе это силы электрического взаимодействия между электронами и ядрами атомов. Взаимодействие молекул в конденсированном состоянии. Рассмотренные примеры показывают, что потенциальная энергия парного взаимодействия атомов не позволяет определить свойства конденсированного состояния в рассмотренных случаях. Однако в некоторых ситуациях она все же оказывается полезной. Если атомы какого-либо вещества слабо взаимодействуют между собой и с атомами других веществ, то их электронные оболочки мало изменяются при сближении атомов. Такие атомы называются инертными. К ним относятся инертные газы, такие как Не, Ne, Аг. Потенциальная энергия системы таких молекул приблизительно равна сумме энергий парного взаимодействия даже в конденсированном состоянии, когда каждый атом окружен несколькими соседними атомами. Такая модель с приемлемой точностью описывает свойства жидкостей и кристаллов, образованных атомами инертных газов (аргон и др.), молекулами метана, азота и т. д. Потенциальная энергия взаимодействия таких атомов и молекул мала. Она приблизительно в тысячу раз меньше, чем типичная энергия химического взаимодействия атомов. 24^ I Молекулярная физика. Термодинамика Модели межмолекулярного взаимодействия. Для приближенного описания парного взаимодействия атомов (молекул) используются различные модели. При этом, как и любое взаимодействие, межмолекулярное взаимодействие можно описать как на языке сил, так и на языке потенциальной энергии взаимодействия. Для сложных систем более приемлемо энергетическое описание взаимодействия. Если взаимодействие двух атомов или молекул (систем атомов) можно описать с помощью потенциальной энергии их взаимодействия, то можно использовать аппарат классической механики для описания их движения. Одной из наиболее распространенных математических моделей для описания зависимости потенциальной энергии взаимодействия двух сближающихся атомов является модель Леннард-Джонсау в которой потенциальная энергия взаимодействия представляется разностью: С/(г) = 4t/o[(7 12 -2|у г ч6^ Первое слагаемое описывает сильное отталкивание атомов или молекул на малом расстоянии, а второе — притяжение молекул. Коэффициенты Uq и подбираются таким образом, чтобы теоретическая модель соответствовала экспериментальным данным при столкновении молекул в молекулярных п^^ках. График зависимости потенциальной энергии взаимодействия двух атомов аргона и соответствующий ему график силы взаимодействия от расстояния между центрами двух молекул аргона приведены на рис. 6.60, а. Для удобства энергия отложена в пересчете на 1 моль атомов (кДж/моль). Там, где потенциальная энергия уменьшается при увеличении расстояния, на атом действует сила отталкивания, а на больших расстояниях сила притяжения. Сила очень быстро изменяется при изменении расстояния. Равновесие системы достигается при г = 0,376 нм, где потенциальная энергия имеет минимум. Это равновесие является устойчивым. Минимальное значение потенциальной энергии взаимодействия атомов в этой точке = -1,2 кДж/моль. Она отрицательна как потенциальная энергия притягивающихся частиц. Наглядно взаимодействующие молекулы можно представлять как достаточно твердые шарики, изображенные на рис. 6.60, б, в темным цветом, окруженные зоной действия сил Глава 6. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика | а) Щг)к О 0,1 0,2 I 0,4 0,5 0,6 -0,5 -1 F{r)i о -5 0,1 0,2 0,3 Н----1----h 0,5 0,6 Н------(■ б) в) Рис. 6.60 притяжения, показанной на рисунке светлым кольцом. При сближении молекулы начинают притягиваться, как только перекрываются их зоны притяжения (см. рис. 6.60, в), а при соприкосновении зон отталкивания — начинают отталкиваться (см. рис. 6.60, б). Границы зон притяжения и отталкивания размыты. Такая модель в конце XIX в. была предложена И. Ван-дер-Ваальсом. Она хорошо согласуется с описанием межмолекулярного взаимодействия в модели Леннард-Джонса. 34^ I Молекулярная физика. Термодинамика Энергия, которую необходимо сообщить, чтобы удалить одну частицу из связанного состояния на большое расстояние, разорвать связь, называется энергией связи. Энергия связи атомов аргона (см. рис. 6.60, а) ^св ^ "^min ^ Вопросы И задания 1. Каковы отличия парного взаимодействия макрообъектов и атомов? 2. Как зависит от расстояния потенциальная энергия взаимодействия двух атомов в модели Леннард-Джонса? Взаимодействия каких атомов описывает эта модель? 3. Какие качественные выводы можно сделать о структуре конденсированного состояния на основании модели Леннард-Джонса и принципа минимума потенциальной энергии системы в состоянии равновесия? § 6.23. Парное взаимодействие и энергия системы Попытаемся описать свойства конденсированного вещества, используя модель парного взаимодействия атомов Леннард-Джонса. Рассмотрим вначале состояние механического равновесия системы атомов, пренебрегая тепловым движением. Равновесие системы атомов. Напомним, что в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия механической системы имеет минимум. Таким образом, для решения поставленной задачи нам требуется определить взаимное расположение системы ат