Физика 10 класс Учебник Анциферов

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Физика 10 класс Учебник Анциферов - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
л. и. АНЦИ О ЕРОВ класс УЧЕБНИК для общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации 3-е издание Москва 2004 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 А 74 А 74 Анциферов Л. И. Физика: Механика, термодинамика и молекулярная физика 10 кл.: Учеб, для общеобразоват. учреждений. —3*е изд. М.: Мнемозина, 2004. — 415 с.: ил. ISBN 5-346-00422-Х В учебнике на современном уровне изложены вопросы механики, термодинамики и молекулярной физики, представлены основные примеры технического применения законов физики, рассмотрены методы решения задач, приведены практические задания. Особенностью учебника является выделение в нем двух уровней. к Первый из них ориентирован на изучение физики всеми учащимися. Материал повышенной сложности предназначен для школьников, интересующихся данным предметом. УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 ISKN 5-346-00422-Х ® «Мнемозина», 2001 ® «Мнемозина», 2004 ® Художественное оформление «Мнемозина», 2004 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ Курс физики, который вы будете изучать в X классе, состоит из двух разделов: «Механика», «Термодинамика и молекулярная физика». С элементами соответствующих теорий вы познакомились в младших классах. Вначале мы повто рим эти сведения, чтобы, опираясь на них, вы могли изучать явления и законы механики, термодинамики и молекулярной физики более глубоко и детально. Учебник содержит обязательный минимум и материал по- вышенной трудности, выделенный в тексте звездочкой (за дачи и заданр1я) или флажком (теоретический материал) Обязательный материал необходимо знать всем, а повышен ной трудности — можно изучать по вашему выбору. В конце учебника даны консультации, которые помогут L вам правильно и рационально изучать физику. Глава 1. ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ Окружающий нас мир богат и разнообразен. Все, что можно обнаружить нашими органами чувств и физическими приборами, является материей. Мы видим дерево, камень, Луну, звезды, сльшшм звук, улав- ливаем запахи, с помопщю антенны воспринимаем сигналы радио- и телепередач — все это примеры проявления материи. Материя находится в непрерывном движении. Простейшим видом движения является меха- к ническое. При механическом движеши меняется положение тел друг * относительно друга. Механические движения изучает наука, которая на- зывается механикой. днои из задач механики является определение положения тел в любой момент времени. Иначе говоря, если известны начальные условия (скорость и положение тела, действие со стороны других тел), то. опираясь на законы механики, можно предсказать, как будет двигаться тело с течением времени, например рассчитать траекторию движения ракеты к Марсу. Часть механики, в которой рассматривается характер движения тел (изменение положения тела и его скорости со временем), назьшается кинематикой, т.е. кинематика отвечает на вопрос, как движется тело. Вторая часть механики, назьшаемая динамикой, отвечает на вопрос, что заставляет тело изменять скорость и положегае (см. схему 1.1). Некоторые вопросы механики были рассмотрены в VII классе. Основное содержание этого материала отражено в схемах 1.2—1.8 (с. 10). При изучении механического движения различных тел (объектов): корабля, саней, тележки — нас не интересует, из какого материала сде- ланы сани, какого цвета тележка, какой формы корабль. Каждый из этих объектов можно назвать физическим телом или просто телом. Более того, можно отвлечься от размеров тела. В этом случае говорят о материальной точке. Длина поезда мала по сравнению с расстоянием от Москвы до Курска, размеры шайбы малы по сравнению с расстоянием между хоккейными воротами, муха мала по сравнению с размерами комнаты. Земля мала по сравнению с расстоягаем от Земли до Солнца. Во всех перечисленных примерах тела можно принять за материальные точки. В любом случае, если размерами тела можно пренебречь по сравнению 4 с расстояниями, на которые оно перемещается, тело можно принять материальную точку. Линию, вдоль которой движется материальная точ ка, называют траекторией. Из предыдущего курса физики вы узнали, что все тела, находящие ся на Земле, притягиваются к ней. Притягивается к Земле и Луна. Если пренебречь влиянием Солнца и планет, то Землю и Луну можно рассматривать независимо от других тел, т.е. как изолированную систему. При движении вокруг Земли скорость Луны меняется, что обусловлено действием на Луну Земли. Аналогично Луна действует на Землю, притягивая ее. Иначе говоря. Луна и Земля взаимодействуют. Взаимодействие происходргг и при ударе молота о сваю, при выстреле из орудия, г ь при разгоне ракеты, в случае притяжения (отталкивания) заряженных тел. При взаимодействии тел могут меняться их скорость и форма. Если речь идет о притяжении Луны к Земле, Земли к Солнцу, в об щем случае о притяжении тел, зависящем от их массы, то говорят о ера- * витационном взаимодействии, Прит5гжение и отталкивание заряженных тел определяются электромагнитным взаимодействием, В природе су ч ществуют и другие взаимодействия. Мерой взаимодействия тел является сила. Под действием сил тело может менять свою скорость (по модулю и по направлению), а также деформироваться, т.е. изменять свою форму и размеры. Во многих случаях взаимодействия деформации тел незначи тельны, например деформации саней, скатывающихся с горы, дефор мации грузов, подвешенных на нитж и пружинах, и т.д. Если деформа гщями тела в условиях данной задачи можно пренебречь, тело считает Схема 1.1 Рис. 1.1 Рис. 1.2 ся абсолютно твердым. Однако абсолютно твердых тел в природе не существует. В механике рассматриваются разные движения твердых тел, среди них основными 51ВЛЯЮТСЯ поступательное и вращательное. При посту пательном движении прямая, проходящая через две произвольные точки в теле, перемещается параллельно самой себе, иначе говоря, все точки тела _ ь движутся по одинаковым траекториям (рис. 1.1, где траектории обозначены пунктиром). При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых находятся на одной прямой 00, называемой осью вращения. Ось вращения 00 может проходить через тело (рис. 1.2), а может быть и вне его. Задание 1.1 С помощью схем 1.2—1.8 вспомните знания, полученные вами в младших классах. Решите задачи 30 1. Какая скорость больше: 36 км/ч или 20 м/с? 2. Во сколько раз скорость 12 км/ч больше скорости 10 м/с? Юм 3. Пользуясь графиком (рис. 1.3), определите: а) скорость первого тела на участках 0—5 м и 5 б) какое тело (первое или второе) имеет ббльшую скорость 4. Скатываясь на санях с горки длиной 20 м, мальчик движется 22 с На горизонтальном участке длиной 16 м он движется 8 с. Чему равна средняя скорость на участке длиной 16 м и на всем пути (см. схему 1.3)? 5. Между двумя тележками массами 8 и 2 кг расположена пружина, которая в сжатом состоянии удерживается нитью. При пережигании нити и распрямлении пружины (см. схему 1.4) скорость тела массой 8 кг изменилась на 1 м/с. На сколько изменилась скорость тележки массой 2 кг? 6. При взвешивании на весах масса тела оказалась равной 2 кг. Что покажет динамометр, если к нему подвесить это тело? Человек, двигаясь равно мерно, везет сани, прикладывая в горизонтальном направлении силу 80 Н. Какова по модулю и направлению сила трения? . Когда к динамометру под- весили тело определенной массы, пружина растянулась на 4 деле- ния шкалы динамометра. На сколько делении растянется пружина динамометра, если подвесить три таких тела? 9. Спортсмен весом 800 Н Рис. 1.3 удерживает штангу весом 1000 Н. С какой силой спортсмен давит на пол? 10. Чтобы поднять штангу весом 1000 Н, спортсмен приложил силу 1200 Н. Чему была равна равнодействующая сил, действующих на штангу, в момент рывка? 11. В какую сторону отклоняются пассажиры при резком увеличе- нии скорости (при торможении) транспорта (см. схему 1.6)? 12. Кусок латуни массой 850 г имеет объем 100 см^, а кусок чугуна массой 1400 г имеет объем 200 см^. Плотность какого металла больше? 13. Чему равна масса мраморной колонны объемом 2 м^? Плотность мрамора 2,7 г/см^. Схема 1.2 Равномерное движение const Схема 1.3 S АВ + ВС Неравномерное движение В S весь путь, / — все время 7 Схема 1.4 14. Гусеничный трактор массой 6 т имеет опорную площадь обеих гусениц 2 м^. Человек весом 800 Н опирается на ступню площадью 2 дм^. В каком случае оказывается на почву большее давление? Принять g 10 Н/кг. 15. Чему равно давление воды на глубине 0,8 м? Принять ^ = 10 Н/кг. 16. Плоскодонная лодка с площадью дна 5 м^ погрузилась в воду на глубину 0,4 м. С какой силой давит вода на дно лодки? Принять 10 Н/кг. 17. Объем подводной части лодки 0,6 м^. Чему равна выталкивающая сила? Принять ^ = 10 Н/кг. 18. Под ъемный кран поднимает груз массой 2000 кг на высоту 8 м за 10 с. Какую работу совершает кран и какую развивает мопщость? Принять g= 10 Н/кг. 19. С помощью подвижного блока массой 10 кг поднимают груз мас- сой 90 кг. Чему равен КПД? (Массой каната и трением пренебречь.) 20. Человек действует на тележку с силой 200 Н (см. схему 1.8). Под действием этой силы тележка переместилась на расстояние Юм. Какую работу совершил человек? 21. Укажите из задач 1,4,8,9 те задачи, которые относятся к задачам кинематики. 22. Укажите из задач 2, 3, 5,10 те задачи, которые относятся к зада чам динамики. 23. В одном сосуде находится вода, в другом — спирт. Массы жид костей одинаковы. Какая жидкость занимает больпшй объем? 24. В воду опущен куб, длина ребра которого 20 см. Определите обусловленное водой давление на нижнюю грань, если она располо Схема 1.5 Схема 1.6 Схема 1.7 Схема 1.8 10 жена на глубине 50 см, а также силу давления на эту грань. Принять ^ = 10 Н/кг. 25. спирт опустили стальной куб, длина ребра которого 20 см. Чему равна архимедова сила? Плотность спирта 800 кг/м^. Принять 10 Н/кг. 26. Во сколько раз скорость второго тела больше скорости первого тела (см. рис. 1.3)? 27. Катер двигался со скоростью 36 км/ч, а велосипедист — со ско ростью 8 м/с. Кто быстрее пройдет путь в 10 км? 28*. На рисунке 1.4 приведен график движения тела. Определите по графику среднюю скорость тела на участках пути, движение на которых графически характеризуется линиями АВ, ВС и CD, 29*. Определите по графику (см. рис. 1.4) среднюю скорость за первые 5 с. 30*. В воду опущен чугунный куб, длина ребра которого 20 см. Кл-кую силу нужно приложить, чтобы удержать куб в жидкости? Плотность чугуна 7000 кг/м^. Принять ^ = 10 Н/кг. Задание 1.2 Пользуясь схемами 1.2—1.8, назовите изученные вами явления ме ханики, физические величины, законы. (См. консультацию 1.) Глава ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ Перемещение Допустим, что после взаимодействия с пружиной шар приобрел не которую скорость V в точке а затем двигался равномерно вдоль гори зонтальной прямой линии от точки А до точки К в течение времени t (рис. 2.1). Длина пройденного пути от точки Л до точки ЛГ будет равна S vt. Если с помощью той же пружины пустить шар от точки К к точке А при том же взаимодействии, то участок длиной s шар пройдет за то же время t, что и в первом случае. 11 в чем же отличие рассмотренных вариантов движения? В одном и в другом случае тело двигалось со скоростью v ив течение времени t прошло путь длиной S, Но в первом случае тело переместилось из точки Л в точку К, а во втором — из точки К в точку А. Таким образом, длина пути S не является полной характеристикой движения. Оказывается, еще необходимо указать направление перемещения тела относительно како- го-либо тела, принятого за неподвижное, следовательно, возникает не обходимость ввести новое понятие — перемещение. Перемещение — это вектор, соединяющий положение движущейся точки в начале и в конце некоторого промежутка времени. Обозначается перемещение буквой s со стрелкой наверху, т.е, s. На рисунке 2.2 показаны векторы перемещения тела, движущегося точки А до точки К (si) и от точки К до точки А (?2)« Хотя модули векторов S\ и $2 равны, т.е. S\ = 5*2, векторы перемещении не равны, так как они направлены в разные стороны. На рисунке 2.3 показан вектор перемещения s при движении тела по произвольной траектории (пунк- тирная линия) от точки А до точки В, Уточним понятия траектория, длина пути, расстояние, модуль пере мещения, которыми мы уже пользовались. Вьппе было сказано, что тра ектория — это линия, вдоль которой движется тело. Так, например, ко нец стрелки часов движется по окружности, следовательно, здесь траектория — окружность. Шар (см. рис. 2.1) движется по прямой линии. Его траектория — отрезок прямой. Траектория движения тела на рисунке 2.3 сложная кривая линия. Длину пути иногда отождествляют с понятием путь. Если тело пе реместилось из точки А в точку К ио прямой линии (см. рис. 2.1) длина пути может быть определена прямым измерением линейкой или рулеткой. Сложнее обстоит дело, когда тело движется по криволиней- ной траектории (см. рис. 2.3). Для определения этой длины пути следу ет вдоль траектории (по пунктирной линии) проложить нить от точки А к точке В, а затем эту нить растянуть. Длина полученной прямой линии будет являться как длиной траектории, так и длиной пути. Расстояние н между двумя точками (объектами) — это длина отрезка, соединяющего эти точки (объекты). Сравним длину пути, расстояние и модуль переме щения по рисункам 2.1 и 2.3. S Рис. 2.1 12 к к Рис. 2.2 Рис. 2.3 На рисунке 2.1 рассматривалось перемещение тела из точки А в точ ку J5T. В этом случае длина пути равна модулю перемещения и расстоя нию между точками AviK. На рисунке 2.3 длина пройденного пути равна длине траектории, а модуль перемещения — расстоянию между точками А и В, В этом случае длина пройденного пути не равна модулю перемещения, Если же тело по той же криволинейной траектории пройдет туда и обратно (см. рис. 2.3), то длина пути будет равна удвоенной длине тра ^ % ектории, расстояние между точками AviB останется прежним, модуль перемещения окажется равным нулю. Скорость — векторная величина Для скорости, как и для перемещения, не менее важным является указание ее направления. Допустим, что автомобиль двигался с посто янной скоростью i; = 20 м/с по прямолинейному шоссе. При прохожде НИИ пункта С, расположенного между пунктами А и В, был включен се кундомер. Можно ли ответить на вопрос: к какому пункту {А или В) ока жегся ближе автомобиль через 40 с? Конечно нет. Необходимо обяза тельно указать направление движения. Следовательно, скорость явля ется векторной физической величиной. Для прямолинейных движений (см. рис. 2.1, 2.2) можно записать: 5, =1^11 при движении от точки А до точки К\ S2=Vit при движении от точки К до точки А. Векторы скорости не равны, т.е. ц , но равны их модули, т.е. V\ V2- Для прямолинейного равномерного движения в общем случае ско рость равна: (2.1) 13 А как определить скорость при неравномерном движении? Одним из наглядных примеров неравномерного движения является движение тела по наклонной плоскости (рис. 2.4). Если речь идет о не равномерном движении, то можно говорить о средней скорости. Допу стим, шар, скатываясь от точки А к точке К, за время / совершает пере мещение s, где s = АК. Среднюю скорость можно определить, разделив перемеш:ение на время движения между точками А is. К: Vcp S t Возникает вопрос: с какой скоростью тело проходит точку В или KBKOBSi мгновенная скорость в точке Ri (Обычно слово «мгновенная» опускают.) Чтобы ответить на этот вопрос, поступим следующим образом. Рассмотрим малое перемещеш1е Д , включающее точку В. В дальнейшем мы часто будем пользоваться символом Д (Д — греческая буква. читается: «дельта»), обозначающим малое изменение чего-то. В нашем случае отсчет времеш! можно начать от начала движения шара, т.е. от точки А, По прошествии времени Л шар совершит переме щение , а к моменту времеш! /2 перемещение шара будет $2. За про межуток времени to — /1 шар совершает перемещеме s 2 S, . Измене ние времени At ti, изменение перемещения Д s S 2 S I . За малое время At шар совершает перемещение Д s . Пусть перемещение ДSy совершается за малое время At^. В этом As случае средняя скорость vicp I д/, Если перемещение тела уменьшить 1 до Д 52 , то тело совершит его за меньший промежуток времени Д/2. На 14 Рис. 2.5 К этом участке скорость успевает измениться на меньшую величину. Но 2 отношение дает и теперь среднюю скорость У2ср на этом меньшем участке. Если еще уменьшить А/ и , то изменением скорости можно пренебречь, т.е. средняя скорость и мгаовенная не будут отличаться. г Итак, для определения скорости в точке В при неравномерном дви жении нужны очень малое перемещение As и соответствующий ему промежуток времени At: V As At (2.2) Это можно выразить еще так: скорость — физическая величина, рае ноя отношению очень малого перемеш^ения ко времени, за которое совер шено это перемещение. То, что при движении тела по наклонной плоскости скорость увели чивается, можно проиллюстрировать стрелками разной длины (рис. 2.5) Рассмотрим подробнее характер движения тела по наклонной плос кости (см. рис. 2.5). Движущимся телом может быть каретка на воздушной или магаитной подушке, а также другае тела. Выясним, как меняется скорость при движении тела от точки А до точки К. Допустим, мы 15 располагаем приборами, позволяющими определять время ti, ti, h, движения тела от точки А до точек В, С, D, Е, а также скорость Vi, V2, U3, V4 в этих точках. При движении тела от точки В до точки С скорость тела изменяется на величину Av V2 VI за время А/ ti. Именно так можно найти изменение скорости за соответствующие промежутки времени между двумя другими точками, например ВиВ, ВиЕ,СиВи т.д. Для анализа изменения скорости воспользуемся таблицей 2.1, данные для которой могут быть получе1ш опытным путем. Таблица 2.1 Точка V, м/с t, с А 0 0 В 0,27 2,24 С 0,38 3,16 D 0,46 3,87 Е 0,54 4,47 Так как нас интересуют изменения скорости за соответству ющие промежутки времени, то, по данным таблицы 2.1, составим таб лицу 2.2. Таблица 2.2 Участок Av, м/с At, с Av At вс 0,11 0,92 0,120 AD 0,46 3,87 0,119 СЕ 0,16 1,31 0,122 BE АЕ Далее рассуждаем следующим образом. Для ответа на вопрос, как изменяется скорость со временем на каждом участке, необходимо най Av ти отношение At . Вычисления показывают, что отношение Av At (в на шем примере 0,12) оказьшается одинаковым на всех участках пути. Дру Av гими словами. At const. Некоторые расхождения обусловлены по грешностями эксперимента. 16 Задание 2.1 Используя данные таблицы 2.1, заполните в таблице 2.2 клеточки для участков BE и АЕ, Если изменить угол наклона плоскости и проделать аналогичные измерения, а затем еще раз наити Ау А/ , то окажется, что новое отноше ние также будет одинаковым для разных участков пути, хотя окажется другим. Физическую величину, показывающую, как изменяется скорость со временем, называют ускорением. Обозначают ускорение латинской бук вой а. Таким образом, а Av At . Поскольку скорость — векторная величи на, то и изменение скорости тоже векторная величина: А v V 2 У,, а следовательно, и ускорение векторная величина. Ускорение — физическая величина, равная отношению изменения ско рости к промежутку времени, за который произошло это изменение: (2.3) За единицу ускорения 1 м/с^ принимают такое ускорение, при кото ром за\с скорость тела изменяется на 1 м/с: 1 м/с 2 м/с с в нашем примере а = 0,12 м/с^. Это означает, что за 1 с на любом участке пути скорость изменяется на 0,12 м/с. Движение с постоянным ускорением {а — const) называют равноускоренным. Мы убедились, что движение по наклонной плоскости является равноускоренным движением. Причем доказано, что чем больше угол а, т.е. чем круче наклонная плоскость, тем быстрее изменяется скорость, следовательно, больше и ускорение. 4 ■ ш Система отсчета Попробуем ответить на вопрос: где и когда будет тело (например, человек) через 2 ч, если его скорость равна 5 км/ч? В лучшем случае мы можем сказать, что за 2 ч тело переместится на расстояние 10 км. Однако полностью ответить на поставленный вопрос невозможно, так как неизвестны следующие данные: пункт, от которого началось движение. 17 X о X Рис. 2.6 направление движения тела и время начала движения. Следовательно, необходимо: 1) выбрать объект, относительно которого будет рассматриваться движение, т.е, выбрать тело отсчета; 2) выбрать систему координат, начало которой должно совпадать с телом отсчета; 3) выбрать начало отсчета времени. Выполнение этих операций называют выбором системы отсчета (00), включающей точку отсчета, систему координат и часы. Удачный выбор системы отсчета облегчает решение многих задач. Если, например, движение осуществляется вдоль прямой (рис. 2.6), то целесообразно выбрать систему отсчета так, чтобы ось ОХ была направ лена вдоль направления движения, to4IQ^ отрыва шарика от пружины принять за точку отсчета и связать с ней начало О координаты х. В этой системе отсчета модуль перемещения шарика от точки О до точки К бу- дет равен 8 м. Направление скорости совпадает с направлением оси ОХ, За начало отсчета времени можно принять момент отрыва шарика от пружины. Положение тела (материальной точки) в выбранной системе отсчета на прямой, на плоскости, в пространстве определяется следующими координатами: х — на прямой, х, у — на плоскости, х, у, ^ — в пространстве. Проекция (тень) Рис. 2.7 18 x о -x: Рис. 2.8 За начало отсчета времени выбирают обычно момент прохождения тела через начало координат или момент начала движения. Возможны и другие варианты. Так как вектор перемещения соединяет две точки, то для определе ния перемещения в какой-либо системе отсчета необходимо задать ко ординаты этих точек. Координата начальной точки движения, напри мер координата точки О (см. рис. 2.6), обозначается какхо, а координата конечной точки движения, например точки iST, обозначается как х. На рисунке 2.6 хп О, X 8 м. Рассмотрим теперь понятие проекции вектора на ось. На рисунке 2.7 иллюстрируется способ получения проекции вектора на ось ОХ. Допус- ТИМ, что на вектор перемещения падает параллельный пучок света в направлении, перпендикулярном оси ОХ. Тень на оси ОХ дает проекцию этого вектора. Проекция вектора — это скалярная величина, определяемая длиной отрезка между проекциями начала и конца вектора; обозначается сим- волом вектора с индексом оси, например Sx- Проекция вектора перемещения на ось ОХ по рисунку 2.6 опреде ляется разностью координат проекции конца и начала вектора: Sx X = 8 м — о м 8 м. Если ось СйГнаправить влево, а ее начало совместить с точкой О (рис. 2.8), ТОХ = + 2 М, Хл ” 11 М, 9 м. Таким образом, чтобы определить проекцию вектора на координатную ось, нужно найти проекции начала и конца вектора и координаты этих точек. Проекция вектора перемещения будет равна изменению со- ответствующей координаты. Проекции вектора перемещения на координатные оси можно записать следующим образом: на ось ОХ: х — хп, на ось OY:y—уо, на ось OZz Zq. Найдем проекции перемеще ний 5, и Sj по рисунку 2.9. Проекция перемещения 5, на ось Отравна X- -Хо = = 5м- ■ 2м = = 3 м. на ось OY: У- Уо = = 10м- -4м = = 6м. 10 Рис. 2.9 19 Рис. 2.10 Для вектора проекция перемещения на ось ОХ равна X Хо 9м 4 м 5 м, на ось OY: Уо 2 м 7 м 5 м. Эти результаты можно записать и так Six 3 м. Sly 6u,S2x 5 и, S2y 5 м. Модуль перемещения может быть найден по значениям его про екции: s=jsl+sl Проекции перемещений могут быть как положительными, так и от-рицательными величинами. Положительной проекция будет в том случае, если при произвольном расположении вектора направление от проекции начала вектора к проекции его конца совпадает с направлением оси. От- рицательный знак проекция имеет в противоположном случае, В частности, при совпадении направления вектора с направлени ем оси проекция вектора положительна, в случае противоположных направлений — отрицательна. При этом длина проекции равна модулю вектора. На рисунке 2.10 показана проекция скорости на координатную ось ОХ, Видно, что направление вектора о, совпадает с направлени- Рис. 2.11 Рис. 2.12 20 ем оси ОХ, а направление вектора противоположно оси ОХ; проекция Vix положительна, а проекция Vjx — отрицательна. Так, например. если модуль скорости V\ = 15 м/с, а модуль скорости vj м/с, то проекция Vix = 15 м/с, а проекция V2x 7 м/с. Если скорость направлена под некоторым углом к направлению оси ОХ (рис. 2.11), то проекция Vx V cos а, а проекция Vy V sin а. Обе проекции положительны. Для рисунка 2.12 проекция Vx = v cos а должна быть отрицательной, так как координата проекции конца век- тора V на ось ОХ меньше координаты проекции начала этого вектора. Так оно и есть на самом деле, поскольку угол а > 90®, следовательно, cos а < о и Uv < 0. 5. Сложение векторов. Сложение перемещений Пусть тело, двигаясь по траектории, представляющей собой прямую линию, переместилось из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 2.13). В первом случае тело совершило перемещение s., во вто- ром перемещение s,. Если бы тело переместилось сразу из точки А в точку С, то его перемещение было бы равно s . На рисунке видно, что модуль результирующего перемещения равен сумме модулей и S2- s 5i+52- Теперь представим себе, что тело сначала переместилось из точки А в точку С (перемещение s,, рис. 2.14), а затем из точки С в точку В (пе- Рис. 2.13 21 ремещение 5 ^) • В результате перемещение тела оказывается равным s . В этом случае модуль результирующего перемещения равен разности модулей Si и 52*. 5 ^2- Вообще говоря, мы выполняли сложение векторов, направленных ОЛЬ одной прямой. Для рассмотренных случаев вьшолненные опера- ции можно записать так: (2.4) При этом надо помнить, что результирующий вектор начинается в той точке, от которой начинается отсчет движения, и кончается в точ ке, в которой этот отсчет заканчивается. Если слагаемые векторы на правлены в одну сторону, то модуль результирующего вектора равен сум ме модулей слагаемых векторов, а если в противоположные стороны то их разности. Рассмотренные ситуации можно проиллюстрировать, исполь- ft зуя систему отсчета. Если на рисунках 2.13 и 2.14 направить ось ОХ от точки А к точке С, то для рисунка 2.13 можно записать 5^ = Sw + S2x или 5 Si +52, а для рисунка 2.14 5v = 5iv+52jc или 5 ^2- Если ось ох направить от точки С к точке А, то для проекций спра ведлива та же запись: 5^ = 5iv + 52^; конкретно для рисунка 2.13: 5 52 или 5 +52. Для рисунка 2.14 5 + 52 или 5 *^2 Таким образом, результат от выбора направления оси ОХ не зави сит. Рассмотрим случай, когда перемещения происходят не вдоль одной прямой. Допустим, перемещения совершались так, как показано на рисунке 2.15: первое — от точки А к точке В, второе — от точки В к точке С. Эти два перемещения (5, и 5j) можно заменить одним перемещением (5). Рисунок сразу же позволяет сформулировать правило сложения век- торов, направленных под углом друг к другу. Рис. 2.14 22 •У1 с Рис. 2.15 Рис. 2.16 [ЛЯ сложения векторов начало вектора совмещают с концом векто ра 5,. Вектор s , соединяющий начало вектора s^ с концом вектора s будет результирующим вектором. 2 1 На рисунке 2.15 вектор s является результирующим перемещением Векторы а и Ь могут быть направлены так, как показано на рисун- ке 2.16. Тогда их сложение выполняют по правилу параллелограмма. На векторах, как на сторонах, строят параллелотрамм. Диагональ параллелограмма, начинающаяся в точке совмещения векторов, дает результи- « рующий вектор с . На рисунке 2.17 вектор s является результирующим вектором перемещения. Его модуль можно найти по модулям слагае- мых перемещении: S 2 2 2 Если модули слагаемых перемещений выражены в метрах, то s 5 м. Аналогично находится модуль вектора с , являющегося результи рующим векторов а и Ь (рис. 2.18): с 4 Такое определение модуля оказалось возможным, потому что скла дываемые векторы взаимно перпендикулярны. 23 Относительность скорости Допустим, катер пльшет по реке. Можно рассматривать движение катера относительно берега и относительно воды. В случае движения катера в стоячей воде скорость катера и относительно берега v, и отно сительно воды vi будет одной и той же. Если же вода в реке течет отно сительно берега с некоторой скоростью , то катер будет сносить по течению. В этом случае скорость катера относительно воды будет пре жней, а относительно берега окажется другой. Пусть модуль скорости катера относительно воды vy= 12 м/с, скорость течения =0,2 м/с. Если катер идет по течению, то относительно берега он будет двигаться со скоростью i; = 12 м/с + 0,2 м/с = 12,2 м/с. В случае движения катера против течения i; = 11,8 м/с. Если скорость катера направлена перпен цикулярно скорости течения реки, то модуль скорости катера относи тельно берега v Jl2' +0,2 2 м/с. в общем случае: (2.5) где V — скорость тела относительно берега; v ^ — скорость тела относи тельно воды; — скорость реки относительно берега. Рис. 2.19 |0| 1 1 1 Li 1 -5- Mill III 1 Задание 2.2 Решите задачи 1. Обратитесь к рисунку 2.19, где дана координатная плоскость. Запишите координаты векторов, показанных на рисун ке, а также значения проекции этих векторов на координатные оси ОХи OY, Руководствуясь таблицей 2.3, по начальной букве вашей 24 Таблица 2.3 фамилии выберите столбец, а затем постройте на рисунке 2.19 каранда шом векторы: а) по координатам начала Хц, у и и конца Xj^ yj^; б) по проекциям Ь Ь.,. Xf •'У 3*. Линкор движется со скоростью V\ = 40 км/ч относительно берега, катер движется со скоростью V2 = 60 км/ч тоже относительно берега, человек идет со скоростью уз = 5 км/ч относительно линкора (рис. 2.20). Рис. 2.20 25 Какова проекция скорости каждого тела: линкора, катера, челове ка в следующих системах отсчета (СО): а) в СО «берег» с осью ОХ, направленной вправо; б) в СО «берег» с осью ОХ, направленной влево; в) в СО «линкор» с осью ОХ, направленной вдоль скорости vi; г) в СО «линкор» с осью ОХ, направленной против скорости v\; д) в СО «катер» с осью ОХ, направленной вдоль скорости vi; е) в СО «катер» с осью ОХ, направленной против скорости vi; ж) в СО «человек» с осью ОХ, направленной вдоль скорости v\; з) в СО «человек» с осью ОХ, направленной против скорости vi ? Задание 2.3 Решите экспериментальную задачу на определение скорости дет ского заводного автомобиля при его движении вдоль демонстрацион ного стола. Оборудование: заводной детский автомобиль (или автомобиль с элек тродвйгателем демонстрационный); лента измерительная; секундомер демонстрационный; часы с секундной стрелкой. После определения скорости автомобиля дайте ответы на следую щие вопросы: 1. Почему при многократном измерении (одними и теми же или раз ными измерительными инструментами) значения скорости получают ся разными? 2. Как добиться повышения точности измерения? 3. Чему равна относительная погрешность измерения времени ча сами и секундомером? 4. В каком случае получается ббльшая ошибка: при измерении од - ч ного и того же времени часами или секундомером? 5. В каком случае получается ббльшая ошибка: при измерении дли ны лентой или измерении времени секундомером? Задание 2.4 4г Опираясь на признаки понятия «модель», охарактеризуйте понятия «материальная точка», «система отсчета». (См. консультацию 1.) 26 Самое важное главе «Основные понятия кинематики» 27 Глава 3 РАВНОУСКОРЕН ИОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ Скорость равноускоренного движения в § 2.3 мы установили, что при равноускоренном движении уско рение постоянно. Постоянство ускорения означает, что при движе НИИ тела его скорость за любые равные промежутки времени изменя ется одинаково. По определению ускорение равно а Av At или а V 2 V 1 At Если отсчет времени идет от нуля, то At t t. Обозначив на чальную скорость как Vq , а скорость через промежуток времени t как V-V V, получим последнее уравнение в виде: а о или t v=Vq +at. (3.1) Векторному уравнению (3.1) соответствует уравнение для проекций на ось ОХ: V X Vqy CljJ, Уравнение (3.1) позволяет найти скорость в любой момент времени, если известны начальная скорость и ускорение тела. Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении можно представить графически. На рисунке 3.1 даны четыре графика. выражающие зависимость проекции Рис. 3.1 скорости от времени для четырех дви жений, которые можно охарактеризо вать следующим образом. 1фафик 1 говорит о том, что в мо мент начала отсчета времени (/=0) ско рость тела была равна нулю (vq Тело двигалось с постоянньп^ ускоре нием, ибо график представляет собой прямую линию. Ускорение можно най- ди X ти по отношению At 1 28 Движение тела, представленное графиком 2, тоже равноускоренное. Тело стало двигаться спустя некоторое время после начала отсчета времени. Ускорение второго тела больше ускорения первого тела, ибо гра- фик идет круче: Av X At > Av X 2 At , так как A^2 М • 1 График 3 характеризует равномерное движение (частный случай рав ноускоренного движения, когда а = 0). Время идет, а скорость не меня ется. График характеризует движение с уменьшающейся скоростью. В момент начала отсчета времени тело имело некоторую скорость. При /Л вижении тела скорость уменьшалась по линейному закону. Уравнения равноускоренного движения Как определить перемещение тела при равноускоренном движении? Воспользуемся формулой перемещения s=v„t, где V ср средняя ско рость. Иначе s Vq +v t, но v=Vq +at, откуда (3.2) Уравнение (3.2) в проекциях на ось ОХ запишется следующим об разом: VQxt + aJ 2 X 2 . Но s X X Xq, тогда это уравнение можно запи сать так: (3.3) где хп — координата тела в момент начала отсчета времени; х — коорди ната тела через время t после начала отсчета; Vqx — проекция начальной скорости на ось ОХ; — проекция ускорения на ось ОХ, Если тело движется по плоскости, то уравнение необходимо записать в проекциях на оси ОХ и OY, а если в пространстве, то на оси ОХ, OY, OZ, Формулу для перемещения можно получить графически. Рис. 3.2 29 Если тело движется равномерно, то проекция перемещения на ось ОХ определяется по формуле Sx = vj. С помопщю графика зависимости скорости от времени (рис. 3.2) также можно найти проекцию переме- щения тела за данный промежуток времени. Она численно равна пло щади прямоугольника ОАВС. Действительно, площадь прямоугольника равна произведению двух смежных его сторон. Но в нашем случае одна из сторон в выбранном масштабе равна времени t, а другая — проекции скорости вектора v а их произведение равно проекции вектора перемещения тела. При равноускоренном движении (рис. 3,3, а) проекция перемещения численно равна площади фигуры ОАВС, Чтобы обосновать это утверждение, вьшолним следующие операции. Разделим время движения тела на очень малые промежутки времени (рис. 3.3, б). Эти промежутки времени настолько малы, что изменением скорости за At можно пренебречь. На графике АВ выберем произвольную точку D, Проекция скорости тела в этой точке равна Площадь выделенного цветом прямоугольника численно равна проекции перемещения за промежу ток времени At, если считать движение в течение этого промежутка рав номерным. То же самое можно сказать о других прямоугольниках. Нетрудно видеть, что сумма площадей всех прямоугольников равна площади трапеции ОАВС, так как площадь малого прямоугольника abed равна площади элементарной трапеции abYd, Все прямоугольники образуют ступенчатую фигуру. Переход от о; ного прямоугольника к другому происходит скачкообразно, так как мы заменили истинное движение суммой равномерных движении за малые интервалы времени . Чтобы это движение совпало с истинным, необходимо уменьшить промежуток времегш At, тогда различие между проекциями скорости аЬ' и dc' в начале и конце промежутка времени At бу- Г7л>: Г^Л-1 ■ ^ ^ ь' ■■ ь"" ' I ■ '‘V у" ' 1^ ■■;■■■ J' ^ ■ 1* ■ j' ^-----------------------.1- I i ■■ -5 ' i ^ . Й is; ,: . <6 \ jy. ■ ГцМ ■'i yiii J - СЦ--r. Ь -I a Рис. 3.3 30 Рис. 3.4 дет малым и ступенчатое движение не будет отличаться от истинного. Таким образом, и площадь S трапеции ОАВС станет численно равной проекции перемещения Sx за время L Из курса математики известно, что площадь S трапеции определи ется по формуле; ОА+ВС ОС. 1лшш оснований ОА и ВС этой трапеции численно равны проек циям Vqx и Vx начальной и конечной скоростей, а д лина высоты ОС времени движения t. Следовательно, Учитьшая, что Ох ~ получим: S X t или S X V Ох 2 Пусть тело движется по наклонной плоскости (рис. 3.4). Вы знаете, что это движение равноускоренное. Допустим, отсчет времени начат тогда, когда тело проходило точку с координатой Xq со скоростью . Через время t тело окажется в точке с координатой х, где его скорость будет V. Можно записать: at 2 или в проекциях на ось ОХ (см. рис. 3.4) 31 а Рис. 3.5 const Рис. 3.6 Но 5 aJ 2 JC 2 X X Хп, следовательно, х хь Отсюда: V Ох t+-^* 2 2 X •^0 + Щх^+ 2 X 2 На рисунках 3.5 и 3.6 показаны установки, с помохцью которых де монстрируется равноускоренное движение. Рисунок 3.5, а иллюстри рует движение шара вниз по наклоьшой плоскости, а рисунок 3.5, б движение шара вверх. На рисунке 3.6 показано движение тела при действии постоянной силы, обусловлеьшой опускаюпщмся хрузом. Такое движение также может быть равноускоренньш. Пусть в установке (см. рис. 3.6) тело движется с постоянным ускорением, модуль которо-ГО д = 0,2 м/с^. Составим таблицу значений координаты и скорости че- рез равные промежутки времени, например через i с, считая, что на чальная скорость vq о, S X. Тогда: V at, X at 2 2 32 Эти уравнения помогут составить таблицу 3.1. Таблица 3.1 с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 X, м 0 0,1 0,4 0,9 1,6 2,5 3,6 4,9 6,4 V, м/с 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 Анализ этой таблицы показывает, что скорость за равные проме жутки времени меняется на одно и то. же значение. самом деле, через каждую секунду скорость меняется на 0,2 м/с (на значение ус корения), через кавдые две секунды — на 0,4 м/с, через каждые 3 с на 0,6 м/с. Если в строке координат х взять разность между соседними значениями координат, то получим расстояния, которые проходит тело за равные промежутки времени (рис. 3.7). Ах\ Ах7 Ахз А : А Хо: А Хз: А Х4 А Ха 1:3:5:7 Axs Рис. 3.7 За! с: За 2 с: Дх1 = = 0,1- -0 = 0,1 Axi = = 0,4- -0 = 0,4 АХ2 = = 0,4- -0,1 = 0,3 АХ2 = = 1,6- -0,4 =1,2 Дхз = = 0.9- -0,4 = 0,5 Дхз = = 3,6- -1,6 = 2 АХ4 = = 1,6- -0,9 = 0,7 Ахл = = 6,4- -3,6 = 2,8 Если значения Ах в первом столбце поделить на 0,1, а во втором — на 0,4, то получим ряд нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9,... . Деление на Axi (0,1 и 0,4) выполняют с той целью, чтобы в каждом случае получить ря^ чисел, у которых первое число равно еди нице. 2 Физика, 10 кл. 33 V, м/с 10 n t, с a, м/с 0,1 Рис. 3.9 Рис. 3.10 Таким образом, при равноускоренном движении: ускорение, с которым движется тело, остается постоянным; скорость за любые равные промежутки времени меняется одина ково; пути, пройденные телом за равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел, т.е, Ах\: Ах2: Ахз...= 1:3:5... при условии, если Для графической интерпретации равноускоренного движения используем данные таблицы 3.1. Построим графики зависимости координаты X от времени t (рис. 3.8), модуля v скорости от времени t (рис. 3.9) и модуля а ускорения от времени t (рис. 3.10). Из рисунка 3.10 видно что с течением времени ускорение не меняется. В уравнения, которые рассматривает кинематика, не входят значения сил и масс тел. Эти уравнения не раскрывают причины изменения скорости и координаты. Они только отвечают на вопрос: как происхо дит движение? Раздел механики, раскрывающий только характер движения (изменение координат и скоростей), называется кинематикой. Раздел же механики, раскрывающий причины изменения движения тел, называется динамикой. Ускорение свободного падения Опыт показывает, что с увеличением угла наклона наклонной плос кости ускорение движения тела увеличивается, и при угле наклона, рав ном 90° (т.е. при вертикальном падении тела) оно будет наибольппш и направлено вертикально вниз. Изучая такое движение, итальянский ученый Г. Галилей (1564—1642) установил, что оно является равноуско- ренньп^. В этом можно убедиться, например, на таком опыте. Пусть тело Т за нить удерживается электромагнитом Э на высоте А над полочкой с контактом К (рис. 3.11). При выключении электромагнита тело начинает падать и одновременно включается секундомер С. В момент удара тела о контакт К секундомер отключается. Таким образом можно экс- периментально определить высоту А, с которой падало тело, и время t 34 его падения. Из формулы h 2h at 2 2 МОЖНО вы разить ускорение а t 2 . Устанавливая полон ку на разной высоте и измеряя каждый раз вре О мя падения, можно наити несколько значении ускорения. Эти значения окажутся приблизительно одинаковыми. Чем точнее будут выполнены измерения, тем больше будет совпадений результатов вычисления ускорения. Оказывается, что значение ускорения приблизительно равно 9,8 м/с^. Самое удивительное то, что это ускорение одинаково для всех тел. На первый взгляд это кажется невероетным. В самом деле, если с не которой высоты отпустить одновременно сталь Рис. 3.11 НОИ шар и кусок ваты, то легко заметить, что стальной шар падает значительно быстрее. Однако можно проделать такой опыт. Стальной шар и кусок ваты помещают в достаточно длинную трубку, один конец которой запаян, а другой снабжен краном. Из трубки выкачивают воздух. Трубку быстро поворачивают, устанавливая в вертикальное положение, и наблюдают за движением тел. Оказывается, что шар и кусок ваты упадут на дно трубки одновременно. Падение тел в вакууме (в отсутствие воздуха) называют свободным падением, а ускорение тел при свободном падении называют ускорением свободного падения. Ускорение свободного падения принято обозначать буквой g. Оно всегда направлено вдоль вертикальной линии вниз, В средних широтах модуль ускорения g = 9,8 м/с^. Рассмотрим пример движения тела, брошенного вертикально вверх со скоростью щ, Чтобы определить положение тела в момент времени t, запишем уравнения равноускоренного движения в проекциях: X , , а/ Хо + VqJ + —^ , V 2 X VQjq "Ь Ду/. Направим ось ОХ вертикально вверх, совместив начало отсчета с точкой бросания. Тогда Xq О, X а X и уравнения движения примут вид: h = VQt 2 2 ’ V X Vo 35 Пусть vn = 30 м/с, t 2 с, g 10 м/с^. (При грубых вычислениях можно брать g = 10 м/с^.) Тогда А = 40 м; = 10 м/с. Рассмотрим второй пример. На рисунке 3.4 показано движение тела по наклонной плоскости вдоль оси ОХ. Поставим вопрос: можно ли найти скорость, зная начальную скорость, перемещение и ускорение? Урав- нения для скорости и перемещения в проекциях на ось Ол можно запи сать так: Sx="Voxt + aj 2 2 Исключим время подставив его из первого уравнения во второе - Щх S;c=Vox—---- + Ох у* - Vox 1 а X а X 2 Выполнив необходимые действия (возведение в квадрат, умноже ние, сокращение), получим формулу: (3.4) главе Самое важное «Равноускоренное прямолинейное движение» при равноускоренном движении а = const. v = Vq +at, s v^t + at 2 5 Axi; Ax2 : Ахз...= 1:3: 5..., если Vq Условие уравнения 2 1. Равноускоренное движение с начальной скоростью, отличной от нуля •У;с = -Voxt+ 2 -X — Xq Vx'- = Vox+ ■ X - vl = 2ал 36 2. Равноускоренное движение с начальной скоростью, равной нулю а 2 = х —Хо — Лд/ X = Задание 3.1 По заданной ситуации изучите решение задачи 1, а затем решите задачи 2 Ситуация Два автомобиля движутся равномерно со скоростями i?, и ^2 попря молинейному шоссе. В момент начала отсчета времени координаты ав томобилей равны xqi и xq2. Координаты в момент времени / следующие: Х\ = jcqi + Vixt, Х2 =jcq2 + V2xt. Расстояние между автомобилями в момент времени t равно Ах Х9 Xi. Xi •^01 •^02 V2 10 м 20 м 4.0 м/с 2.0 м/с t 5,0 с 9 ГХ2 ?Ах 9 Задачи 1,2,3 Положение тел до начала отсчета времени показано на рисунке 3.12 (масштаб не соблюдается). Определите координаты Xi, х? и расстояние Ах между телами в момент времени t. Ответы: xi = 25 м, Х2 = 30 м. Ах 5 м. Положение тел через 5 с показано на рисунке 3.13, график — на ри сунке 3.14. X 01 л 02 Рис. 3.12 V, V, О Xi Дл: Хг Рис. 3.13 X 37 2. Хо1 = —Юм 3. хо1 = —10 м Х02 = 15 м :)С02= 15 м V\ = 4,0 м/с V\ = 4,0 м/с V2 = 2,0 м/с V2 = 2,0 м/с / = 5,0 с / = 20с Ах — 1 1 о _ Ах — Проиллюстрируйте графически по задачам 2, 3 положение тел и на правление скоростей (без соблюдения маспггаба) в начале и в конце от счета времени. Постройте график зависимости х от t. Контрольные вопросы а) Как меняется расстояние между автомобилями с течением вре мени? б) Как объяснить равенство модулей Ах для двух разных значений времени 5 и 20 с? в) Как объяснить отрицательный результат региения задачи 3? X, м 30 20 10 Рис. 3.14 4.* Запигпите данные задачи 2 в другой системе отсчета. Выберите новую систему координат так, чтобы начало системы имело координа ту 5 м в старой системе ОХ, Определите Ах в новой системе отсчета. Контрольные вопросы а) Какой можно сделать вывод, сравнивая Ах, найденное в новой и старой системах отсчета? б) Как выбрать систему координат, чтобы в момент начала отсчета времени оба автомобиля имели положительные координаты? Сколько можно выбрать таких систем координат? 5*. Выберите новую систему координат так, чтобы начало координат совпадало с первым автомобилем, и считайте первый автомобиль неподвижным. Запигпите данные задачи 2 в новой системе отсчета и определите Ах в ней. 38 Контрольные вопросы а) В чем преимущество новой системы отсчета? б) Изменится ли знак Ах, если систему координат связать со вторым автомобилем? Задание 3.2 На рисунке 3.15 представлены графики проекций скорости несколь ких тел. Пользуясь этими графиками, дайте ответы на следующие воп росы: а) Чему равна начальная скорость каждого тела? б) Сколько времени третье тело находилось в состоянии покоя? в) Что означает точка пересечения графиков 1 и 2? г) Чему равно ускорение каждого тела? д) По какому признаку (без вычислений) можно судить, что ускоре ние третьего тела больше ускорения второго тела? е) Какое тело (первое или второе) прошло больший путь за пер вые 6 с? ж) Какое тело прошло больший путь за 2 с между 6-й и 8-й секун дами? з) Как меняется Vx при Сх> 0иах<0, если У;с > О (Сх и — проекции соответственно ускорения и скорости на ось ОД)? и) Как записать формулу зависимости проекции скорости от време- ни для первого, второго и четвертого тела? к) Как записать формулу зависимости координаты от времени для первого, второго, четвертого тела, считая, что хл О? Рис. 3.15 39 Задание 3.3 По заданной ситуации изучите решение задачи 1, а затем решите задачи 2—4 и дайте ответы на вопросы. Ситуация Шар движется по наклонной плоскости. Если ось ОХ выбрать вдоль наклонной плоскости, то движение шара описывается следующими формулами: X а Хо + Uqx/ + ^ ,V 2 X Vqx + aJ 1. Начальные условия: а = 0,80 м/с^, Xq = 3,0 м, Vq Определите координату и скорость шара через каждые 2 с после начала движения. Ситуацию задачи можно представить рисунком 3.4. Значения xnvx при разных t представлены в таблице 3.2. Таблица 3.2 t, с 0 2 4 6 8 10 X, м 3 4,6 9,4 17,4 28,6 43 Vx, м/с 0 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0 1 Из таблицы видно, что скорость за равные промежутки времени возрастает на одну и ту же величину, равную 1,6 м/с. Рассмотрим пути. пройденные шаром за каждые 2 с: Axi Xi Xq, Дх 2 Х2 Xi И т. д. Ах 1 1,6 м, Дх2 = 4,8м, Ахз=8м, Axa= 11,2 м. Поделим все Дх на Axi = 1,6. Получим 1, 3, 5, 7. Следовательно, Axj: Дх2: Ахз: Дх4 = 1: 3 : 5 : 7. Такое соотношение характерно для равноускоренного движения, но только в случае, если Vn Постройте таблицу и проиллюстрируйте графически ситуацию по задачам 2 и 3. Вычертите графики зависимости х и от / без соблюдения масштаба. йх = 2,0 м/с^ 3. йх =1,0м/с^ Хо = —4,0 м Хо = 15 м У0х= 1,0 м/с Уох = -4,0 м/с t = 3,0 с t = 3,0 с X— ? Vx— ? X— ? Ux— ? 40 Контрольные вопросы а) Составьте таблицу для задачи 3 (по примеру таблицы к задаче даяг 2, 3,4, 5, 6 с. Сделайте вывод о характере движения шара. б)* Запишите данные условия задачи 3 для случая, когда направле ние оси ОХ изменено на противоположное. ♦ Чему равны значения х и в задаче 3, если направление оси ОХ изменено на противоположное? ♦ Как записать данные условия задачи 3, если начало координат О? перенести в точку, где находится шар при t ту г)? д)* Каковы будут JC и Vx, если условие задачи 3 изменить по пунк Рис. 3.16 4*. Шар начинает двигаться из состояния покоя и проходит путь Si Юме ускорением 0,20 м/с^. На участке длиной л он движется равно мерно. Какой путь пройдет шар за 2 с, если на участке длиной он двигался равнозамедленно с ускорением, равньв! по модулю 0,30 м/с^ (рис. 3.16)? Контрольные вопросы * ♦ Как изменится значение , если увеличить 5*2? Вычертите без соблюдения масштаба графики зависимости Vx и йх от t. Задание 3.4 Решите задачи 1. Автомобиль, трогаясь с места, за первые 5 с набрал скорость 10 м/с. Определите: а) ускорение автомобиля; б) пройденный автомобилем путь. 2. Мотоциклист, трогаясь с места, за первые 4 с проехал расстояние 16 м. Определите: а) ускорение мотоциклиста; б) скорость мотоциклиста через 3 с после начала движения. 41 3. Автомобиль, трогаясь с места, набрал скорость 10 м/с, пройдя рас стояние 50 м. Определите ускорение автомобиля. Сколько времени по надобилось автомобилю, чтобы набрать скорость 10 м/с? Ф 4. Мотоциклист, трогаясь с места, движется с ускорением 2 м/с 2 Определите а) скорость мотоциклиста через 5 с; б) расстояние, которое проехал мотоциклист за 10 с 5. После скатывания с горы сани проехали по горизонтальному на правлению до остановки 8 м за 4 с. Определите: а) ускорение саней на горизонтальном участке; б) скорость саней после скатывания с горы. Задание 3.5 Лабораторная работа «Изучение равноускоренного движения» Оборудование: желоб лабораторный; штатив; шарик; лента измери тельная; цилиндр (из набора тел для калориметра); метроном. Ход работы 1. Соберите установку по рисунку 3.17. Угол наклона желоба подберите так, чтобы шарик скатывался по желобу в течение 3—4 с, т.е. за 4 удара метронома. 2. Пуская шарик от отмеченной на желобе точки О, постарайтесь заметить точку ^4, мимо которой шарик проходит через 1 с, и установите в этом месте цилиндр. 3. Удерживая рукой шарик в начальном положении, каждый раз от пускайте его одновременно с ударом метронома и следите, чтобы одно временно со следующим ударом метронома шарик коснулся цилиндра Рис. 3.17 42 Перемещая цилиндр, добейтесь, чтобы участок ОА шарик проходил за 1 с. Место переднего края цилиндра отметьте на желобе. Измерьте расстояние ОА, 4. Вьшолняя операции по пункту 2, определите расстояние 05, которое проходит шарик за 2 с. . Аналогично найдите расстояние ОС, которое шарик проходит за 3 с. 6. По измереьшым расстояниям ОА, АВ, ВС сделайте вывод о харак тере движения шарика по наклонной плоскости. 7. По измерегаому расстоянию ОС подсчитайте ускорение шарика при движении по желобу. Глава 4 ОСНОВЫ ДИНАМИКИ Первый закон Ньютона Если на прямолинейном горизонтальном участке пути пустить железнодорожный вагон с некоторой скоростью, то его скорость будет медлеьшо уменьшаться. Если бы не было трения (например, в осях ко лес, между колесами и рельсами и т. д.), то скорость вагона не изменя лась бы в системе отсчета, связанной с рельсами. В качестве второго примера рассмотрим систему отсчета, начало которой помещено в центр Солнца, а оси направлены на удаленные звезды. И пусть вдали от Солнца и других небесных тел движется ракета. Если не работает двигатель ракеты, то она практически будет двигаться в этой системе равномерно (другие тела не вызывают изменения скорости). Допустим, что вслед за ней движется вторая ракета с той же скоростью, т.е. в том же направлении и с тем же модулем скорости в системе отсчета, связанной с Солнцем. Очевидно, что друг относительно друга ракеты покоятся. Иначе говоря, если связать систему отсчета с первой ракетой, то в этой системе отсчета вторая ракета будет покоиться. Таким образом, одно и то же тело может в одной системе отсчета покоить- ся, а в другой двигаться равномерно. Системы отсчета, относительно которых скорость тела остается постоянной (в частности, равной нулю), если отсутствует воздействие других тел, называют инерциальными системами отсчета (ИСО). Рассматривая движение тел в разных условиях, Галилей пришел к выводу, что чем меньше трение, тем дольше движется тело (сравните движение саней на траве и на льду). Тело продолжало бы двигаться с начальной скоростью сколь угодно долго, если бы трение полностью 43 а сЯ t 1 Рис. 4.1 в t 2 X отсутствовало. Определение «инерциальная» связано с понятием «инерция». Инерция — явление сохранения состояния прямолинейного движения с постоянной скоростью или покоя тела при отсутствии внешних воздей- ствии. В этом состоит сущность первого закона механики, или закона инер ции. Английский ученый И. Ньютон (1643—1727) обобщил вывод Галилея и включил закон инерции в число основных законов механики. В современном варианте первый закон Ньютона формулируется так: Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, относи тельно которых тела, достаточно удаленные от других тел, движутся пря молинеино и равномерно. Первый закон Ньютона можно проиллюстрировать рисунком 4.1, а, б, в. Рисунок 4.1, д иллюстрирует случай, когда время идет, тело 1 сто ИТ, координата х не меняется. (Систему отсчета можно связать с лю бой звездой.) Рисунок 4.1, относится к случаю, когда время идет, тело 2 дви жется с постоянной скоростью в инерциальнои системе отсчета вдоль оси ОХ. Рисунок 4.1, в ршлюстрирует случай, когда при движении тела на плоскости с течением времени меняются координаты х и у. Если нет внепших воздействий, то тело движется равномерно и прямолинейно: V const. 44 4.2. Вы знаете, что сила является мерой взаимодействия тел и ее измеряют динамометром (см. схему 1.4). Возникает вопрос: как градуировать динамометр? Вы знаете, что в результате взаимодействия тел, т.е. в результате действия сил, тела могут изменять свою скорость, т.е. приоб-ретать ускорение, и деформироваться. И снова вопрос: как связать деформацию тела (в частности, растяжение пружины) с его ускорением? Если подвесить к пружине тело некоторой массы, то в результате деформации пружины возникает сила упругости F у„р, стремящаяся вернуть пружину в первоначальное состояние. Сила упругости уравновешивает силу тяжести , действующую на тело (рис. 4.2). Чем больше масса тела, тем больше сила тяжести и на ббльшую величину х растягивается пружина, а следовательно, сила упругости становится больше. Упругие деформации изучал английский физик Р. Гук (1635—1703), который и установил закон, названный его именем, т.е. законом Гука: Сила упругости, возникающая при деформации пружины, прямо про- порциональна удлинен I 10 пружины: (4.1) Мы рассмотрели только частное проявление закона Гука. В формуле (4.1) х — удлинение пружины, к — постоянный коэффициент, называемый жесткостью пружины; минус (—) означает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную перемещению частиц при деформации пружины, т.е. в сторону, противоположную удлинению X пружины. Рис. 4.2 45 в соблюдении условия (4Л) можно убедиться, если к пружине под вешивать тела одинаковой массы. При последовательном подвешива НИИ нового тела можно увидеть, что длина пружины увеличивается на одно и то же значение. Зависимость между удлинением х и модулем силы упругости Fyjjp оказывается линейной (рис. 4.3). Это дает возможность построить равномерную шкалу динамометра. Но этого мало. Дело в том, что пружины отличаются по своим упругим свойствам. На рисунке 4.3 даны графики, характеризуюпще свойства двух пружин. При растяже шш пружин на одну и ту же величину х возникающая сила упругости оказьшается разной: > ^упрь т.е. жесткость второй пружины боль- ше жесткости первой пружины. Второй закон Ньютона Рассмотрим серию опытов с экспериментальной установкой (рис. 4.4). Допустим, что в нашей установке тело массой М движется по горизонтальной дороге в отсутствие трения (например, каретка на воз душной или магнитной подушке). К телу прицеплена пружина, к кото рой привязана шпъ, перекинутая через блок. К свободному концу нити прикреплен груз массой т. Пружина имеет указатель, который при ее растяжении скользит вдоль планки, предназначенной для шкалы. В про извольных точках дороги с координатами ух и У2 установлены датчики, позволяющие измерять скорость и ускорение тела в этих точках. Если проводить наблюдения и измерения с помощью этой установ ки, то можно обнаружить следующие факты: удлинение пружины в те чение движения тела по дороге останется неизменным, т.е. сила упру гости будет постоянна, а следовательно, и сила, действующая на тело массой М, останется постоянной; ускорение тела в течение его движения по дороге останется тоже постоянным. Если подвесить груз другой массы, удлинение пружины в течение движения тела будет другим. Другой будет и сила, действующая на тело массой М. Измерения покажут, что и ускорение тела той же массы М будет другим. При этом можно заметить: чем больше сила, тем с большим ускорением движется тело. М Рис. 4.4 46 На основе серии опытов можно сделать вывод: ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе: а 1 К 1 а 2 R 2 Если выполнить другую серию опытов, в которых можно было бы измерять ускорение тел разной массы при действии одинаковых сил, то опыты покажут: при одинаковой силе, действующей на тела разной массы, ускорение обратно пропорционально массам тел а 1 а 2 Щ т. Эти зависимости были исследованы И. Ньютоном и обобщены ] законе, который носит название второй закон Ньютона и читается еле дующим образом: Сила , действующая на тело, равна произведению его массы и сообщен ного силон ускорения: (4.2) Второй закон Ньютона позволяет установить единицу силы, назы ваемую ньютоном (сокращенно: Н). 1 ньютон — это сила, под действием которой телу массой 1 кг сооб щается ускорение 1 м/с^: 1Н 1 кг 1 м/с^. Пользуясь вторым законом Ньютона, можно выполнить градуи ровку динамометра. Если тело массой М кг будет двигаться с ус корением а м/с 2 (рис. 4.4), то в месте расположения указателя удлинения пружины следует поставить отметку (штрих) и обозначить значение силы 1 Н. Затем можно отложить равные деления, каждое из которых соответствует силе упругости 1 Н. Разумеется, не обяза- тельно тело должно иметь массу 1 кг. Например, каретка на магнит ной подушке может иметь массу 0,4 кг. Допустим, что при определен ном удлинении пружины каретка двигалась с ускорением 5 м/с^. Сле довательно, на каретку действовала сила: 0,4 кг • 5 м/с 2 2Н месте указателя пружины следует поставить отметку с обозна чением 2 Н. Далее, учитывая соотношение (4.1), можно построить шкалу сил. Мы уже отмечали, что в формуле (4.1) коэффициент к харакгеризу ет упругие свойства пружины и называется жесткостью. Если рассмат ривать модуль силы упругости, то к единицу жесткости 1 Н/м. Е упр X , ЧТО позволяет установить 47 Задание 4.1 Лабораторная работа «Измерение жесткости пружины» Оборудование: динамометр; линейка; пружина; пггатив Ход работы 1. Для определения жесткости пружины динамометра по шкале ди намометра измеряют расстояние х между произвольными делениями и подсчитывают отношение X 2. Для определения жесткости произвольной пружины один ее ко нец зажимают лапкой штатива, а к другому концу прицепляют динамо метр. С помопц>ю динамометра растягивают пружину и замечают пока зания динамометра F, Линейкой измеряют удлинение х пружины и под считывают отношение X Задание 4.2 Ответьте на вопросы X Известны значения измеренных величин 4.0 Н (абсолютная погрешность 0,1 Н), 8.0 см (абсолютная погрешность 0,1 см) Какую величину (удлинение или силу) вы измерили с большей точ ностью во второй части лабораторной работы? (См. консультацию 3.) 2*. Оггределите абсолютную и относительную погрешности измере ния жесткости пружиньг. Третий закон Ньютона при взаимодействии двух тел каждое из них исггьгтывает со сто роньг другого тела действие силы. Выясним, каково соотношение между этими силами. Рассмот рим оггыт, показанный на рисунке 4.5. На двух штативах укреплены динамометры, крючки ко-торьгх сцеггленьг. Если гггтативьг перемегцать в противоположньгх Рис. 4.5 наггравлениях, то динамометры 48 Рис. 4.6 будут показывать одинаковые силы. Разумеется, что силы приложе ны к разным телам (штативам). Обобщая подобные опыты, И. Ньютон сформулировал еще один закон, названный третьим законом Ньютона: При взаимодействии тела действуют друг на друга с силами, равными но модулю и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны: (4.3) Силы 1 и 2 имеют одну и ту же природу, но приложены к раз ным телам и поэтому не уравновешивают друг друга. Проиллюстрировать третий закон Ньютона можно на разных установках, где действуют силы одной природы. Рассмотрим установку (рис. 4.6), в которой электромагнит Э может притягивать железную пла стину — якорь Я. Пока ключ разомкнут, стрелки динамометров уста новлены на нуле. При замыкании ключа якорь притягивается к элект ромагниту. Верхний динамометр показывает силу, действующую на якорь, а нижний — силу, действующую на электромагнит. Показания динамометров оказьшаются одинаковыми. В опыте (рис. 4.7) к верхнему динамометру подвешено тело, а на нижнем стоит сосуд с водой. Стрелки динамометров установлены на нуле. Если тело, подвешенное к верхнему динамометру, опустить (не касаясь дна) в сосуд с водой, который стоит на нижнем динамометре, то показания верхнего динамометра уменьшатся на столько, на сколь- ко увеличатся показания нижнего динамометра. Очевидно, что вода действует на тело вверх с силой, равной архимедовой силе, но по тре тьему закону Ньютона олжно давить на воду с такой же по моду ЛЮ силой. 49 всемирного тяготения При движении Луны вокруг Земли скорость Луны все время меняет ся (рис. 4.8), что обусловлено силой JF,»действующей на Луну со сторо ны Земли. Аналогично Луна действует на Землю с силой 1 , причем 1 F2. в этом частном случае речь идет о силах всемирного тяго тения, действующих между любыми телами, массы которых отличны от нуля. Изучение движения небесных тел и ряд физических опытов привели Ньютона к открытию закона всемирного тяготения: Все тела притягиваются друг к Apyiy. Материальные точки прит5пива-ются с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению их масс и обратно пропорциопалеп квадрату расстояния между ними: (4.4) где G 6,7 10-11 Н*м2 /кг 2 — гравитационная постоянная, которую можно определить опытным путем. В указанной форме закон всемирного тяготения справедлив и для тел со сферически-симметричным распределением масс (например, однород ных шаров). В этом случае силы действуют вдоль линии, соединяющей центры шаров, R — расстояние между центрами взаимодействующих тел Закон всемирного тяготения наряду с законами механики был вклю чен в фундаментальный труд Ньютона «Математические начала нату ральной философии», изданный в 1687 г. Несмотря на то что этим зако ном пользовались физики и астрономы, значение гравитационной по / / I I \ \ \ N \ \ Рис. 4.8 Рис. 4.9 50 стоянкой не было известно. Впервые экспериментально определил значение гравитационной постоянной в 1798 г. Г Кавендиш (1731—1810), т.е. более чем через сто лет после открытия закона всемирного тяготе ния. На рисунке 4.9 дана схема установки опыта Кавендиша. На упру гой металлической нити Н подвешено коромысло К, на концах которо го укреплены свинцовые шары (масса каждого шара равна т) и легкая стрелка С, с помоиц>ю которой по ппсале Ш можно определить угол по ворота коромысла и соответственно силу, вызьюающую закручивание нити Н, На поворотном диске Д укреплены свинцовые шары большой массы М, Если, враш;ая диск Д, приблизить шары массой М к шарам массой т на малое расстояние, то можно заметить поворот коромысла К за счет сил притяжения между шарами массами тиМ, Таким образом можно измерить силу взаимодействия между шарами, массу шаров и расстояние между их центрами, что позволяет вычислить гравитацион ную постоянную. Оценим силу, действующую между шарами массой 1 кг и 8 кг, рас стояние между центрами которых 0,1 м: 6,7.10 ■*‘Н м^/кг^ I-Skt 2 2 ..2 0,1 м 5,4 10 8 Как видим, сила взаимодействия между шарами чрезвьшайно мала Это и являлось одной из главных трудностей определения гравитаци онной постоянной. Масса т, которая рассматривалась во втором законе Ньютона, ха рактеризует инертные свойства тел. Масса в законе всемирного тяготе ния является мерой гравитационных свойств тел. Но это не разные мае сы. Поэтому для полной характеристики массы нужно указывать ее пол ные видовые отличия. Масса является характеристикой физических объектов, определяю II [ей инертные и гравитационные свойства тел. Все тела у поверхности Земли притягиваются к ней с силой, назы ваемой силой тяжести Fj, Эту силу можно определить с помош;ью ди намометра. Показание динамометра с подвешенным телом в состоянии покоя или равномерного движения будет равно силе тяжести, действу ющеи на тело. По второму закону Ньютона, а F т . Если в эту формулу подставить GMm R 2 , ТО получим а GM R 2 (4.5) 51 Это ускорение, с которым движется тело под действием силы тяжести. • 10^"^ кг), Если приняпъ массу М равной значению массы Земли {М расстояние R — равным радиусу Земли {R = 6,4 • 10^ м), то значение а оказывается равным 9,81 Н/кг. Легко показать, что Н/кг = м/с^. Это дает возможность записать, что а—g. Однако а только приблизительно равно g, поэтому сила тяжести только приблизительно равна силе притяжения к Земле F, найденной по закону всемирного тяготения. Несовпадение FvlF^^ обусловлено прежде всего вращением Земли. Однако это отличие незначительно и в задачах мы не будем его учитывать, считая силу F=mg силой тяжести. Ускорение а, найденное по формуле (4.5), зависит от R. Следовательно, значение F на горе должно быть меньше, чем у поверхности Земли, что и подгвержда ют опыты. Кроме того. Земля не является в точности шаром (радиус Зем ли у экватора несколько больше, чем у полюсов), масса Земли распреде лена неравномерно. Все это влияет на значение силы тяжести. 4.6. Сложение сил Силы можно складывать. Поскольку силы — векторные величины, то к ним применимы правила сложения векторов. Равнодействующая сил, действующих на тело, оказывает на тело та кое же действие, как и все приложенные силы. Если две силы 1 и 2 направлены в одну сторону, то модуль равнодействующей силы F ра вен сумме модулей составляющих сил F^ и F^ (рис. 4.10). Если силы Z’, и направлены в противоположные стороны, то 1 2 модуль равнодействующей силы равен разности модулей этих сил (рис. 4.11). Когда на тело действует несколько сил, то нужно найти рав- нодействующую (геометрическую сумму этих сил), которая и вызыва ет ускорение. Во втором законе Ньютона та сила равнодеи ствующая. X 4 + 3 Рис. 4.10 52 I + F 2 F^F-F, Рис. 4.11 При сложении двух сил, направленных под углом друг к другу, модуль равнодействующей можно подсчитать по модулям проекций составляющих сил. Допустим, нужно найти равнодействующую двух сил F. и F2 (рис. 4.12), приложенных в точке А, или равнодействую щуюсил F^ и Fa , приложенных в точке В. Здесь действует уже знако мое нам правило для проекции: проекция равнодействующей нескольких сил на любую ось {ОХ или OY) равна сумме проекций этих сил на ту же ось. Чтобы найти равнодействующие сил, обратимся к рисунку 4.13. А В F, = 7^1+ F2 Fb = F3 + ^4 Fax = Fi, + F^ Fbx = F3X + F4X FAy = Fly + F2y Fay — Fiy + F^y Fax = 0 + 3= 3 Fbx = —2 + 2 = FAy = —3 + (—1) == -4 Fay- 2 + 3 = 5 F = V F^ + Fy , где Fx = -F\x + F'jx * • • • ^ Fy- - F\y + F2y ^ Щ Щ Щ Ф (4.6) Теперь легко построить векторы F^ ^ F^. Рис. 4.13 53 Рис. 4.14 Рис. 4.15 Как говорилось выше, равнодействующую сил можно построить, не вычисляя проекций, геометротеским способом (рис. 4.14, 4.15). Самое важное в главе «Основы динамики» Системы отсчета, относительно которых скорость тела остается постоянной (в частности, равной нулю), если отсутствует воздействие на него других тел, называют инерциальными системами отсчета (ИСО). Первый закон Ньютона Существуют системы отсчета, назьшаемые инерциальными, от носительно которых тела, достаточно удаленные от других тел, дви жутся прямолинейно и равномерно. Закон Гука Сила упругости, возникающая при деформации пружины, прямо пропорциональна удлинению пружины и направлена в сторону, противоположную направлению удлинения пружины: (F упр/х кх. Второй закон Ньютона Сила, действующая на тело, равна произведению его массы на сообщенное силой ускорение: та. 1Н это сила, под действием которой телу массой 1 кг сообща ется ускорение 1 м/с^: 1 Н = 1 кг • 1 м/с^. Третий закон Ньютона При взаимодействии тела действуют друг на друга с силами, рав ными по модулю и направленными вдоль одной прямой в противо 54 положные стороны: Рис. 4.16 1 2 Закон всемирного тяготения Все тела притягиваются друг к другу. Материальные точки притяги ваются с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними: Мт R 2 Равнодействующая сил, действующих на тело, равна векторной сум ме этих сил: F I + F2 +... + F„, или Задание 4.3 Найдите графическим способом равнодействующие сил, действу ющих на тело (рис. 4.16). Задание 4.4 Ответьте на вопросы 1. На тело массой 7 кг действует сила 21 Н, а на тело массой 11 кг сила 44 Н. У какого тела ускорение больше? 2. Скорость тела массой 7 кг в течение 4 с изменилась на 24 м/с, а тела массой 11 кг — за 5 с на 30 м/с. На какое тело действовала ббльшая сила? 3. Два мальчика растягивают канат. Один может тянуть с максималь ной силой 140 Н, другой — с силой 200 Н. Какую силу покажет динамо метр, если он находится в руках второго мальчика? 55 Рис. 4.17 4. На весах уравновешен сосуд с водой (рис. 4.17). Нарушится ли равновесие, если опустить в сосуд шар так, чтобы он погрузился в воду, но не касался дна? 5.СкакойсилойЛунапритягиваетсякЗемле?МассаЛуны7,4 * 10^ кг, расстояние от Земли до Луны 380 000 км. Задание 4.5 Лабораторная работа «Изучение правила сложения сил» Оборудование: фанерный или картонный лист; пружина; динамометр; грузы с крючками; штатив; лист бумаги; кнопки; карандаш; линейка. Ход работы 1. Соберите установку по рисунку 4.18. На фанере кнопками при крепите лист бумаги. Рис. 4.18 Рис. 4.19 56 2. К пружине, закрепленной в точке А, подвесь-те 2—3 груза с крючками. К этому же концу прицепите динамометр и перемещайте его в произвольном направлении так, чтобы он показывал силу, равную Н. конца растянутой пружины ка рандашом отметьте точку В, а по направлению силы, действующей со стороны динамометра, поставьте точку С. 3. Снимите грузы. Растягивая пружину с помо- щью динамометра, доведите ее конец до точки В (рис. 4.19). Заметьте значение силы по шкале динамометра. 4. Снимите лист бумаги. Постройте вначале направления АВ, ВС, BD (рис. 4.20). Из этого рисунка ь-4 \ F \ I I I бО 'С Рис. 4.20 ВИДНО, что BD — это направление силы тяжести F\, ействующей на грузы (см. рис. 4.18). По направлению содействовала сила упругости Fi пружины динамометра. Следовательно, сила F на рисунке 4.20 окажется равнодействующей, направленной по АВ, Постройте в выбранном вами масштабе измеренные силы и Fi- Опре- [елите силу F . 5. Сделайте вывод Глава 5 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИКЕ Закон сохранения импульса При взаимодействии тел их состояние меняется. Тела могут изме нять форму и скорость. Пусть, например, два тела, соединенные пружи ной (рис. 5.1, а), разлетаются при распрямлении пружины (рис. 5.1, Опыт показывает, что тело большей массы приобретет меньшую ско рость. А какую именно? Или, к примеру, одно движущееся тело сталки вается с другим, неподвижным (рис. 5.2, а), и в дальнейшем тела дви жутся как одно целое (рис. 5.2, б). Но с какой скоростью? Цель предсто ящей работы будет состоять в том, чтобы установить закон взаимодействия, в частности ответить на вопрос: как изменяются скорости двух тел при взаимодействии? Введем обозначения: AWi и/«2— массы взаимодействующих тел, и, и V 2 скорости тел до взаимодействия, и 1 и и 2 скорости тел после 57 а и I т, > т а Рис. 5.1 Рис. 5.2 пь + m2 взаимодействия, и (и) — скорость тела суммарной массы до (после) вза имодеиствия. По третьему закону Ньютона, F 1 F., где F 1 сила, действую щая на первое тело со стороны второго при их взаимодействии, F сила, действующая на второе тело со стороны первого. 2 Каждую из сил по второму закону Ньютона можно записать следу ющим образом: F^ , F2 =/«2^2. Но ускорение а Аи 1 1 А/ , ИЛИ и а 1 V 1 1 А/ ; аналогично л. ^2 -^2 А/ . Время, в течение которого тела действуют друг на друга, одно и то же. Тогда: и 1 т 1 V 1 I At 9 и 2 т 2 и 2 2 At Силы Fj и /^2 ® течение времени At не остаются постоянными, поэтому можно вести речь о средних значениях сил. Но в любой момент времени соблюдается условие 1 F2 9 следовательно. т I "^1 At т 2 “2 -^2 At 58 Сокращая на А/, получим: W2«2 +^^2^2 • Перенесем члены, содержащие скорости тел до взаимодействия, в одну часть равенства, тогда получим уравнение: (5.1) Каждый член формулы (5.1) представляет собой произведение мае сы тела на его скорость. Произведение массы тела на его скорость называют импульсом тела Импульс тела обозначают буквой р. Импульс тела — векторная ве личина: (5.2) Единицей импульса является 1 кг • м/с. Для удобства будем обозначать буквой р импульс тела до взаимо действия, буквой / импульс тела после взаимодействия. В нашем случае: 1 m,v^, Р. m^v^ импульсы тел до взаимодействия. / Рх т^щ , 2 импульсы тел после взаимодействия. Формула (5.1) представляет собой математическую форму одного из важнейших законов природы — закона сохранения импульса для изолиро ванной системы, те. для такой системы тел, в которой тела взаимодеиств\ ют только между собой, не испытьшая действия со стороны других тел. Закон сохранения импульса для изолированной системы, состой! щей из двух тел, можно записать иначе: т{0^ +т202 = const. Если система состоит из нескольких тел, то закон сохраненрш импульса формулируется следующим образом: Геометрическая сумма импульсов тел изолированной системы остается постоянной при любьк взаимодействиях между телами этой системы: 59 Из уравнения (5.1) следует: / писать так: Рх или 1 л). 1 + /? 2 + /?2 • Иначе это можно за Ад 1 (5.3) где Ад^ и Ад^ изменения импульсов тел в результате взаимодеи ствия. Таким образом, при взаимодействии тела обмениваются импуль сами. На сколько уменьшается импульс одного тела, на столько же уве личивается импульс другого тела. Что и было подтверждено многими опытами. На основе выражения (5.3) можно записать: т iAuj т 2А^з. Если принять /^2 = 1 кг, то легко заметить, что массу тел, в частности массу т 1, можно измерять по результату взаимодействия с телом массой 1 кг. Например, если тела разлетаются из состояния покоя, то т 1 т и 2 2 > щ где «1 и «2 “ модули скоростей тел после их взаимодействия Неупругое взаимодействие Возможны два основных вида взаимодействия: неупругое и упру гое. При упругом взаимодействии тела отталкиваются. О неупругом вза имодействии говорят в том случае, если тела до взаимодействия имели разные скорости, а после взаимодействия их скорости стали одинако выми (т.е. тела объединились и стали двигаться как одно тело). К неуп ругому взаимодействию относятся и случаи, когда тело под действием внутренних причин распадается на две, три (и более) части. При неуп- ругом взаимодействии двух тел возможны два случая: и 1 и 2 и, р / Р +р / тела объединяются, V 1 V 2 U, (/и, +nti)v, р р{ + р\ тела разделяются. Задание 5.1 Изучите решение задачи 1. 1. Тележка с песком массой М движется в горизонтальном направ лении со скоростью ^2 (рис. 5.3, а ,б). В нее влетает шар массой aw, движу щиися горизонтально со скоростью v\, и застревает в песке Определите скорость тел после взаимодействия. 60 Решение По условию задачи известны массы тел (М, т) и их скорости до вза имодействия (у,, Uj). При застревании шара в песке произойдет неуп ругое взаимодействие, после которого оба тела будут иметь скорость и. Импульсы тел до взаимодействия: Mvj, w . Импульс тел после взаи модействия: (М + т)и. На основании закона сохранения импульса (его нужно написать для проекций на горизонтальную ось) имеем: откуда: Mv2x + mvix = (Af + m)Ux, и X мУг, + тх М + т Решите задачи 2—5 (см. рис. 5.3), применив формулу, полученную в задаче 1. 2. Af = 50 кг 3. М = 50 кг т = 3,0 кг т =3,0 кг V2x = 0,4 м/с vtc = -0,4 м/с = 2,4 м/с Vix = 2,4 м/с «X — ? 4. Af = 50 кг 5. М =50 кг т =3,0 кг т = 3,0 кг V2x = -0,5 м/с у 2х = -0,6 м/с Vix = 2,4 м/с vxx = 10 м/с Ux —1 Ux —7 Контрольные вопросы а) Как объяснить результаты решения задач 2—5? При каком условии после встречного столкновения шара с те лежкой она остановится? Рис. 5.3 61 Следует обратить внимание еще на один аспект. Мерой взаимодействия тел является сила. Если, например^ между двумя телами находится сжатая пружина, то при распрямлении пружины сила действует на каж дое тело и тела изменяют свою скорость. В данном примере мы отвлеклись от других тел, считая их влияние несущественным. Однако в практике дело обстоит несколько иначе. Допустим, рассматривается движете кареток по горизонтальным направляющим. Кроме взаимодействия между каретками необходимо обратить внимание на взаимодействие каждой каретки с Землей. На каретки действуют сила тяжести и сила ре акции, которые являются внешними по отношению к системе, состоящей из двух кареток. Таким образом, система из двух кареток и направ-ляюпщх является неизолированной. Но и в этом случае можно применить закон сохранения импульса, если рассматривать движение в направлении, перпендикулярном внешним силам. В нашем примере закон сохранения импульса можно применять для проекций на горизонтальное направление, ибо оно перпендикулярно направлению силы тяжести. Дадим общий подход к решению задач с применением закона со хранения импульса. 1. Уясните условие задачи, сделайте его краткую запись, выполните чертеж. Выясните, какие силы являются внешними, какие — внутрен ними. . Выберите систему отсчета, запишите формулу для импульса каждого тела до и после взаимодействия. Если система изолирована. то направление оси ОХ целесообразно выбирать по направлению oj •ного из импульсов. Если система не изолирована, то ось ОХ следует выбирать так, чтобы сумма проекций внешних сил на эту ось была равна нулю. 4. Запишите закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ, (В случае движения тела по плоскости — в проекциях на оси ОХ и OY,) . Если число неизвестных превышает число уравнений, то, ис пользуя геометрические и другие связи, запишите недостаюпще урав нения. . Решите систему уравнений относительно искомой величины и вычислите ее значение (если требуется). 7. Проанализируйте полученный результат. Задание 5.2 Решите задачи 1. Вагон массой 25 т, идущий со скоростью 2,0 м/с, сталкивается с неподвижной платформой массой 15 т. Какова скорость вагона и платформы после того, как сработает автосцеп? 62 2. Ледокол массой 6000 т, идущий с выключенным двигателем со скоростью 8,0 м/с, наталкивается на неподвижную льдину и движется вместе с ней. При этом скорость ледокола уменьшилась до 3,0 м/с. Оп ределите массу льдины. 3. Человек, стоящий на неподвижном плоту, масса которого 5000 кг, пошел со скоростью 5,0 м/с относительно плота. Масса человека 100 кг. С какой скоростью начал двигаться плот? Контрольные вопросы При падении тел на Землю изменением скорости Земли пренебрегают. Почему? б) Как изменится движение плота в задаче 3, если человек остановится? в) Как изменится движение лодки, если перебросить пакет с песком с кормы на нос? 4. Для определения массы прямоугольного бруска Б можно применить установку, показанную на рисунке 5.4, где Oj и О2 — осветители. Пунктиром показан путь света от осветителей к датчикам Д1 и Д2- Когда свет падает на датчики, секундомеры С не работают. Когда же свет перекрывается движущимися телами, секундомеры отсчитывают время. При пережигании нити Япружина Я распрямляется. Цилиндр и брусок расходятся в разные стороны и, двигаясь равномерно, пересекают световые лучи. Масса цилиндра m = 0,1 кг. В эксперименте измерялись длина линеикои и время секундомерами. Измерения дали следуюпще результаты: длина бруска Li = 10 см, длина цилиндра Z/2 “ 4 см, время движения бруска мимо датчика Д\ 0,5 с, время движения цилиндра мимо датчика До Ь ~ ОД с, погреш- ность измерения времени 0,01 с, погрешность измерения массы 0,01 кг, погрешность измерения длины 0,1 см. а) Чему равна масса бруска? б) Клкая величина измерена с большей точностью? О I t f I Рис. 5.4 О 2 2 63 * Какими погрешностями можно пренебречь при вычислении массы бруска? г)* Какова абсолютная и относительная погрешности измерения массы бруска? 5*. В соревнованиях участвуют два экипажа лодок. В одной нахо- дятся пакеты с песком массой гпх = 20 кг, в другой — пакеты с песком массой гп2 = 10 кг. Массы лодок с экипажами и пакетами одинаковы и равны М = 300 кг. Пакеты бросают с кормы в сторону, противоположную движению лодок. Скорости бросания пакетов соответствеишо равны по модулю 1^1 =4 м/с и 1^2 =5 м/с, время между бросками t\ =2 с, 1,5 с. Какой экипаж быстрее набирает скорость? Контрольные вопросы а) Нужно ли учитывать в задаче 5 изменение массы системы (лодка с экипажем) при бросании пакетов? б) В каком случае будет больше изменение скорости экипажа: при бросании пятого или десятого пакета? Закон сохранения энергии в результате взаимодействия с Землей на тело действует сила тяже сти mg . При падении с высоты Н тело массой т приобретает опреде ленную скорость v (рис. 5.5). В рассматриваемой системе (Земля тело) можно выделить два состояния, характеризующиеся определенными па раметрами: первое — тело покоится на некоторой высоте Я, его ско рость равна нулю, второе — тело непосредственно у поверхности Зем ли, где оно обладает скоростью v и где высота равна нулю. Супхествует ли связь между параметрами в этих состояниях? Практика показывает: чем больше высота Н, тем ббльшую скорость имеет тело у поверхности Земли. Поэтому можно предположить, что для од ного и того же тела массой т существует связь между его высотой над поверхностью Земли и скоростью у поверхности Земли при свободном падении. Чтобы поднять тело на высоту /Г, к телу нужно приложить силу уравновешивающую силу тяжести. При перемещении на высоту Н под действием силы If совершается работа А = FH (эта формула вам извест- на из начального курса физики). Тело, падая с высоты Я, само может 64 0=0 н V и 1 н 2 1 X Рис. 5.5 Рис. 5.6 совершить работу, например молот может забивать сваю. Говорят: если тело способно совершить работу, то оно обладает энергией. Энергией обладает не только тело, поднятое над Землей, но и тело. движущееся с некоторой скоростью. В самом деле, пуля, летящая с не которой скоростью, может пробить доску, преодолевая силу сопротив ления доски на некотором расстоянии. Энергию, которой обладает тело, поднятое над поверхностью Земли, называют потенциальной. Потенциальная энергия обусловлена взаимодействием между телом и Землей, Энергию, которой обладает движущееся тело, называют кинетичес кой энергией (энергия тела, имеющего скорость v). Рассмотрим теперь более общий случай, когда тело падает с некото рой высоты Н (рис. 5.6). Вьщелим два промежуточных состояния. Пер вое состояние: тело находится на высоте hy (параметры т, g, hi, v\); второе состояние: тело находится на высоте/г« (параметры/w, g^h2, v^) В главе 3 была получена формула: —Vn —2as , Так как свободное падение является равноускоренным движением. то, учитывая, что Vox Vu V, X V7,S^ X h, a^ g, получим: vl-v^=2gh 1 3 Физика, 10 КЛ. 65 в нашем случае h 1 hi, следовательно, V 2 2 i; 2 1 2g(A 1 2 Если обе части этого равенства умножить на т (массу тела), то ра венство не нарушится: т\ V 2 2 i; 2 I 2mg{h I 2 Запишем полученное уравнение в таком виде, чтобы величины, ха рактеризующие одно и то же состоящие, находились в одной части урав нения: (5.4) Это выражение называют законом сохранения механической энергии. где Ер= mgh (5.5) потенциальная энергия (энергия взаимодействия), ти 2 к 2 (5.6) кинетическая энергия (энергия движения); + £ р полная энергия Условие (5.4) можно записать иначе: р к const (5.7) Таким образом, найдена характеристика состояния системы энергия. 1 2 Ер\ + Ек\ Ер2 + Е,г энергия, характеризующая первое состояние, энергия, характеризующая второе состояние. Энергия — количественная мера движения и взаимодействия физичес ких тел. Количественной мерой движения тел является кинетическая энергия, количественной мерой взаимодействия тел — потенциальная энергия. Механическая энергия Е (сумма потенциальной Ер и кинетической энергий) изолированной системы остается постоянной. Иначе говоря, система может переходить из одного состояния в дру гое. При этом происходят превращеьшя кинетической энергии в потен циальную и наоборот, но полная механическая энергия сохраняется. 66 Единицей энергии является джоуль (Дж). Для определения единицы энергии удобно применить формулу потенциальной энергии mgh. Поскольку mg = F, то Ер = Fh, следовательно, 1 Дж = 1 Н* 1 м, как и для механической работы. Джоуль это работа, которая совершается стой lH на пути 1 м, совпадающем с линией действия силы. 5.4. Энергия сжатой растянутой пружины Мы рассмотрели случай, когда тело, поднятое над поверхностью Земли, обладает потенциальной энергией Ер = mgh. За счет этой энергии тело может приобрести скорость. Однако сжатая пружина тоже может сообщить телу скорость, следовательно, сжатая (или растянутая) пружина также обладает потенциальной энергией. Найдем эту энергию. Допустим, пружина расположена вдоль оси ОХ, Один конец пружины упирается в неподвижную опору, а другой свободен. Свободный конец пружины расположен у деления О (рис. 5.7, а). Приставив шар к свободному концу, пружину сжимают на величину х (рис. 5,7, б). Если теперь отпустить шар, то пружина, разжимаясь, переместит шар на расстояние от точки с координатой х до нуля. При этом действующая на шар со стороны пружины сила упругости упр совершает работу. По скольку при движении сила упругости меняется, то для вычисления ра боты на пути X следует взять среднее значение силы упругости F, упр.ср. • ■*^р.ср Сила упругости меняется по закону Гука (iVnp);c Поскольку х меняется от максимального значения до нуля, то сила упругости также а Рис. 5.7 67 будет меняться от некоторого максимального значения до нуля. Ввиду прямо пропорциональной зависимости силы упругости от х среднее значение модуля силы упругости равно: упр.ср F + 0 2 , или -fynp.cp кх 2 Работа, совершаемая силой упругости, равна кх 2 2 . Эта величи на представляет собой потенциальную энергию сжатой пружины: (5.8) Таким образом, потенциальной энергией обладают тела, взаимодействующие посредством сил тяготения и сил упругости. Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения или силами упругости, остается постоянной. Сохранение энергии в механических процессах можно подтвердить экспериментально. Опыт 1. Если располагать установкой, позволяющей определить скорость тела в любой точке траектории, то можно сравнить энергию тела, движущегося по наклонной плоскости, в точках i и 2 (рис. 5.8). Энергия в точке 1 Ei= mgh\ + то 2 1 2 5 энергия в точке 2 Ei= mghi + то] 2 Таким образом, нужно измерить массу тела т, высбты h\ и Ао, ско роста V\ и V2-В пределах ошибок эксперимента получают Е 1 El- Рис. 5.8 68 Рис. 5.9 Опыт 2. Если поставить опыт по рисунку 5.9, то по результатам опыта можно сравнить энергию сжатой пружины с кинетической энергией, полученной телом за счет энергии пружины. Энергия пружины, сжатой на величину л: упирающимся в нее брус- ком, Е кх 2 1 2 . После отпускания бруска пружина распрямляется на ве личину X (см. рис. 5.9), и в точке 1 брусок приобретает кинетическую энергию Ео mv 2 2 . При условии, что тело движется без трения по гори зонтальной поверхности, такой же будет энергия и в точке 2, В этом случае необходимо измерить деформацию пружины х, жесткость пру жины А:, массу тела т, скорость тела v. С учетом погрешностей экспери мента должно соблюдаться соотношение Е 1 Еъ внешних сил До сих пор мы рассматривали системы, в которых тела взаимодействуют силами тяготения или упругости. А каковы будут результаты при скатывании тела по наклонной плоскости при наличии силы трения F (рис. 5.10)? тр Сила трения — это сила, возникающая при непосредственном соприкосновении двух тел и направленная вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Если найти энергию 1 mg!\ + то 2 2 и энергию 2 то 2 2 2 69 Рис. 5.10 ТО окажется, что JE'i > £'2. Но это не означает нарушения закона сохране ния механической энергии, так как за счет части энергии Е\ — Ео совер тр , и В конечном счете шается работа А по преодолению силы трения эта часть энергии превращается во внутреннюю энергию системы (идет на нагревание тела и наклонной плоскости). В общем случае при действии внешних сил на систему имеем: 1 или А АЕ, (5.9) гдеу4 работа внешних сил. В схеме 1.8 мы рассматривали работу как произведение силы на длину пути (А = Fs), Однако эта формула справедлива только для частного случая, когда сила и перемещение имеют одно и то же направление. Так, например, в опыте (см. рис. 3.6) сила, действующая со стороны нити на брусок, остается постоянной. Направление силы совпадает с направлением перемещения. Поэтому работа может быть подсчитана по формуле Fs. Если пренебречь силой трения, то можно сделать заключение, что за счет произведенной работы увеличилась кинетическая энергия бруска. Теперь представим себе хоккейную шайбу, движущуюся с небольшой скоростью от одних ворот к другим. Шайба, пройдя некоторое расстояние, остановится из-за трения о лед. Здесь сила трения, действующая на шайбу, направлена в сторону, противоположную перемещению. Работа силы трения уменьшает кинетическую энергию шайбы. Условие (5.9) будет соблюдаться только в том случае, если работа будет иметь отрицательное значение, ибо 2 < Е\. нашем примере £2 “ о* Чтобы соблюдалось условие (5.9), необходимо брать не модуль силы, а проекцию силы на направление перемещения. Если направления силы и перемещения совпадают, то проекция силы положительна; если они направлены в противоположные стороны, то проекция силы отрицательна. Следовательно, в первом случае работа по- Рис. 5.11 70 ложительна, во втором — отрицательна. Но сила может быть направлена под некоторым углом к перемещению (рис. 5.11). В этом случае формула для работы имеет вид: (5.10) tjiqF модуль равнодействующей внешних сил, s — модуль перемеще ния тела, а — угол между векторами и S F cos а — проекция силы на направление перемещения. Из этой формулы видно, что работа силы F на перемещении s может быть положительной при о® < а < 90°, отрицательной при 90° < а < 180°, равной нулю при а 90 Сила трения тр и перемещение s (см. рис. 5.10) направлены противоположные стороны, значит, работа А силы трения отрицатель на. С другой стороны, изменение механической энергии АЕ 2 1 тоже отрицательно, так как Е2< Е\, следовательно, соблюдается уело вие А=АЕ. Работа, как и энергия, является скалярной величиной. Задание 5.3 Решите задачи 10 1. Во сколько раз и как изменится кинетическая энергия тела при: а) уменьшении массы в 6 раз; б) увеличении скорости в 2 раза; в) увеличении массы в 8 раз; г) уменьшении скорости в 2 раза? 2. Во сколько раз уменьшится потенциальная энергия тела, подня того над Землей, при одновременном: а) уменьшении массы в 8 раз и увеличении высоты в 2 раза; б) увеличении массы в 3 раза и уменьшении высоты в 9 раз? 3. Подсчитайте изменение энергии в следующих случаях: а) брусок массой 0,4 кг падает с высоты 2 м; б) шар массой 1 кг увеличивает скорость с 2 до 4 м/с; в) пружина жесткостью 104 Н/м растягивается на 0,02 м. 4. Пружина растягивается на 8 см. В каком случае совершается ббль-шая работа: при растяжении от 0 до 4 см или при растяжении от 4 до 8 см? Пуля, движущаяся с некоторой скоростью, застревает в доске. Какие при этом происходят изменения энергии? Тело без трения соскальзывает по наклонной плоскости высо-м. Какую скорость приобретает тело у основания наклонной той плоскости? 7. Какую скорость приобретает снаряд пружинного пистолета массой 20 г, если жесткость пружины 800 Н/м, а пружина сжимается на 3 см? 71 8. В каком случае работа силы натяжения троса больше а) груз равномерно поднимается вверх; б) груз равноускоренно поднимается вверх; в) груз равнозамедленно подашмается вверх? 9. Шар брошен вертикально вверх со скоростью 50 м/с. Найдите скорость шара на высоте 80 м. 10. Тело массой 3 кг скатывается при наличии трения с горки высо той 4 м и останавливается. Какую работу надо совершить, чтобы щить тело на горку по тому же пути? Задание 5.4 * Лабораторная работа «Изучение неупругого взаимодействия» Оборудование: два одинаковых пластилиновых шара, подвешенных на нитях одинаковой длины; штатив; лента измерительная. Ученик, желая проверить закон сохранения энергии, предложил следующий способ. Один из пластилиновых шаров отклоняют на угол 90“ и отпускают (рис. 5.12, а). После соединения шары поднимаются на некоторую высоту А (рис. 5.12, б). Шар, отклоненный на 90“, обладает только потешщальной энергией. Его полная энергия равна 1 mgL, гдеХ длина нити. При соединении шаров в момент удара эта энергия переходит в кинетическую энергию двух шаров (рассматриваемых как целое), которая, в свою очередь, переходит в потенциальную энергию этих шаров, поднявшихся на высоту А, т.е. Ei — 2mgh. Ученик считает. что, по закону сохранения энергии, Е\=Е2, откуда А L 2 а б Рис. 5.12 72 а) Правильно ли рассуждал ученик? б) Какой результат получили вы и как его объяснить? Самое важное главе «Законы сохранения в механике» rriiV,+m^V2 —закон сохранения импульса для двух тел. ^p 1 ^p 2 Ер + Е. к При взаимодействии тела обмениваются импульсами, const —- закон сохранения полной механической энер- гии изолированной системы тел. mgh потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h Haj поверхностью Земли. то 2 к 2 кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью v кх 2 2 потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины АЕ изменение полной механической энергии системы равно работе внеппшх сил. Fs cos а — работа силы равна произведению модулей силы и пе ремещения и косинуса угла между векторами силы и перемещения. 1Дж 1 Н-1 м единица работы и энергии. Глава 6. ГРАН И ЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА Всегда ли справедливы законы механики Ньютона? Проделаем мысленный эксперимент, т.е. эксперимент, который не противоречит существующим законам и который в принципе может быть осуществлен. Представим себе, что создана ракета массой т, которая может раз гоняться достаточно долго под действием постоянной силы F. По вто рому закону Ньютона, в этом случае ускорение будет величиной посто яннои: а F т 73 Если ракета стартовала из состояния покоя, то ее скорость v at. Допустим, а = 50 м/с^, / скорость будет равна: 70 сут 6 048 000 с. Приобретенная ракетой V 3,024*108 м/с. С точки зрения механики Ньютона в полученном значении ничего странного нет. Однако ученьпли установлено, что практически такой скорости достичь невозможно. Максимальное значение скорости, которое возможно в природе, З Ю^ м/с. С такой скоростью распространяется свет в вакууме (в безвоздушном пространстве). Механика Ньютона хорошо описывает движение тел с малыми ско- ростями. Когда же речь идет о скоростях, сравнимых со скоростью све та, то законы Ньютона приходится заменять другими, с которыми вы познакомитесь в XI классе. Глава?. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПРИ ДЕЙСТВИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ При изучении кинематики мы уже встречались с движением тела под действием силы тяжести: рассматривали частный случай — свободное падение — и установили, что ускорение свободного падения я = 9,81 м/с 2 10 м/с^). Если бы мы произвели стробоскопическую съемку падающе го шара, то смогли бы получить картину, представленную на рисунке 7.1 0,2 0,8 1,8 Суть стробоскопической съемки состоит в следующем. В затемненном помещении устанавливают вертикальную линейку длиной, допустим, 4 м. На определенном расстоянии от линейки укрепляют фотоаппарат с открытым затвором. Включают стробоскоп — прибор, позволяющий получать вспышки света через равные промежутки времени (в нашем случае через А/ = 0,2 с). В мо- мент вспьппки пускают шар от нулевой отметки. Очевид но, в дальнейшем шар будет освещаться через каждые 0,2с, следовательно, на фотографии будут отмечены по ложения шара через 0,2; 0,4; 0,6 и 0,8 с. Проанализируем рисунок 7.1, чтобы выяснить харак 3,2 Рис. 7.1 тер движения шара. За первые 0,2 с шар пролетел по вертикали расстоя ние Axi = 0,2 м (считаяя = 10 м/с^); за следующие 0,2 с расстояние 0,8 0,2 0,6 (м); за последующие промежутки времени по 0,2 с шар пролетал расстояния Ах 3 1,8 0,8 1 (м) и АХ4 3,2 1,8 1,4 (м). 74 Поделив все Axi на 0,2, получим: Axi: Ахо: Axi: АХ4 = 1: 3 : 5 : 7 Таким образом, мы подтвердили, что свободное падение является равноускоренным движением (собственно говоря, это и следовало ожидать) . Теперь проанализируем результаты стробоскопической съемки тела, брошенного горизонтально (рис. 7.2). Первый шар (темный) брошен со скоростью 2,5 м/с, второй шар (светлый) — со скоростью 5 м/с. Легко заметить, что в горизонтальном направлении перемещение первого шара за каждые 0,2 с составляло 0,5 м, а второго шара —1м. Следовательно, движение каждого шара в горизонтальном направлении было равномерным (скорости разные, координаты разные). В вертикальном же направлении каждый из шаров перемещался так, как шар при свободном падении (см. рис. 7.1), т.е. в вертикальном направлении движение каждо- шара было равноускоренным с ускорением свободного падения Вообще говоря, такое поведение шаров можно было предвидеть, ибо в горизонтальном направлении на шары не действуют силы (силу сопро- тивления воздуха не учитываем), в вертикальном же направлении дей ствует сила тяжести, которая вызывает ускорение g (одно и то же для любого тела). Если бы нам теперь предложили записать уравнения движения, можно было бы рассуждать так. Тело брошено горизонтально со скоростью D т Т Ч-'СХ 0,2 \ \ \ ^ 1 N к 1 к "'и ix0,8 N N — К \ \ \ \ V L 1 \ \ \ \ \ \ \ г ■ - ё к - — ц Г \ \ \ N Рис. 7.2 1,8 V \ \ 6 3,2 \ \ \ X 75 Vq . Эта скорость в горизонтальном направлении сохраняется, следова тельно, дальность полета 5* VqL Начальная скорость в вертикальном направлении равна нулю, на чальная координата также равна нулю. Движение вниз равноускорен ное, следовательно, расстояние, пройденное телом по вертикали (вы сота), h 2 Подойдем к этому же выводу с других позиций. Пусть шар бро шен горизонтально со скоростью Vq с высоты А. Запишем уравнения движения для проекций перемещения, выбрав систему отсчета так, как показано на рисунке 7.3. s перемещение, L=Sx,h— Sy, В нашем слу чае действует только сила тяжести, следо вательно, движение происходит с посто янным ускорением. Тогда: S v^t + at 2 Найдем проекции v^, Vy, ах, йу скорости и ускорения на оси ОХ и OY, Uqv = un> так как по условию задачи скорость Vq на Рис. 7.3 правлена горизонтально; uq;; О, ибо дикулярно оси ОХ; а у ускорение свободного падения g перпен я, так как вектор ускорения g направлен в сто рону, противоположную оси OY, Запишем проекции перемещения: S X Уо-Н- aJ 2 X 2 , -У у и Оу aJ t + — 2 Учитывая, что Хо=0,Х = 1, S у Vox Уо, Уо Vq, VQy h.y а X о, а у g, получим: Vot, h 2 2 76 Попытаемся ответить на вопрос, как направлена скорость при движении тела по кривой. Пусть на рисунке 12 длина вектора ско- рости Vq (в точке бросания) в определенном масштабе соответству- м/с. Такой же в горизонтальном направлении скорость будет ет через 0,2 с и через 0,4 с, т.е. проекция скорости на горизонтальное на правление не меняется. В нашем примере Vx = uq* Проекция скорое ти на вертикальное направление по модулю увеличивается: Vy Gyt, V 9,8-0,2 м/с и т.д. Приблизительно получим ряд 2 м/с, 4 м/с, м/с, .... Если выполнить построение векторов по их проекциям. у то получим направления и значения модулей векторов скорости в выбранном масштабе. Физические опыты и более строгий математический подход приводят к заключению: при движении по кривой скорость тела в произвольной точке кривой направлена по касательной к этой кривой в данной точке. Зная проекции и Vy, можно найти модуль скорости в любой точке траектории: V 2 2 и +V ИЛИ о vl + gY или V ^0 + 2gA (1) Этот же результат можно получить на основе закона сохранения энергии. В верхней точке полная энергия I mgh + то 2 о 2 где А расстояние по вертикали, которое пролетело тело до точки, в которой определяется скорость. В этой точке полная энергия 2 ти Т 2 Поскольку ДОЛЖНО соблюдаться условие Ei^Ey, то можно записать ти 2 2 mgh + ти 2 о 2 Сокращая на m и решив уравнение относительно и, получаем то же выражение (1). Пока не приобретен навык в решении задач, можно применить следующее предписание при решении задач по кинематике. 77 Предписание для решения задач по кинематике 1. Уяснить условие задачи и выполнить его краткую запись. 2. Вьыснить характер движения рассматриваемых тел. 3. Выполнить рисунок, на котором указать направление скоростей и ускорении. Выбрать систему отсчета, т.е. указать начальный момент време ни, тело отсчета и систему координат, связанную с этим телом. 5. Записать кинематические уравнения движения в векторной и ска лярной форме. 6. Если число неизвестных превьппает число уравнений, то, исполь зуя геометрические и другие связи (дополнительные условия), записать недостаюпще уравнения. Решить записанную систему относительно искомой величины Вычислить, если необходимо, искомую величину. Проверить и исследовать полученный результат. В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи. Задача Тело брошено в воду с крутого обрыва высотой Н. Начальная ско рость тела Vq составляет с горизонтом угол а. На каком расстоянии от берега упадет тело? Решение 1. В задаче рассматривается движение одного тела, которое принимается за материальную точку. Обозначив искомое расстояние через X, запишем кратко условие. Н ^0 а 9 Движение тела совершается под действием силы тяжести, является криволинейным с ускорением свободного падения ~g. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. 3. На рисунке 7.4 показаны векторы начальной скорости и уско рения тела, его траектория, расстояния Ни L, 4. Примем за начало отсчета времени момент бросания тела. Поме стим начало координат в точке бросания, ось ОЙГнаправим горизонталь но вправо, ось OY — вертикально вверх. 78 5. Уравнение движения в выбран НОИ системе отсчета имеет вид: S gt 2 ИЛИ в проекциях на оси ОХ и OY Sx=S VqJ; s у Voyt I 2 где vqx = ^0 cos a, Voy = uq sin a, gy g- Рис. 7.4 6. Учитывая, что в момент падения в воду Н,х i, получим vq (cos a)t; Н un (sin a)t gt 2 2 7. Исключая из полученных уравнений время, находим искомое рас стояние L\ 2 Vq sin 2а 2g + Vq cos a g sin^ a + 2gH 8. Анализируя результат, прежде всего убеждаемся, что каждый член уравнения выражается в метрах. Решение показывает, что расстояние L растет с увеличением модуля vq начальной скорости, угла бросания (до 45°) и высоты обрыва Н. Заметим: если начало оси ОХ выбрать в точке О' (см. рис. 7.4), то уравнение для у будет иметь вид: Я + Уп (sina)/ 2 2 Тогда в момент падения в воду по-прежнему х = £, но у = 0. Даль неишее решение не изменится и приведет к тому же результату. По решенной задаче можно построить графики, проиллюстрировав характер изменения физических величин со временем, т.е. графики за висимостей хот t, у от t, Vx от t, Uy от t, gx от /, gy от t. Иначе это записывается так: x(t), y{t), Vx(t), Vy(t), gyit), gy(t). Ha рисунке 7.5 изображены эти графики без выбора масштаба. 79 Рис. 7.5 Задание 7.1 Решите зада чи 1. Два тела свободно падали с разной высоты, причем время паде ния первого тела в 2 раза больше времени падения второго тела. Первое тело падало с высоты 20 м. С какой высоты падало второе тело? 2. На рисунке 7.6 дан график изменения проекции скорости на одну из осей координат. Приведите пример реального движения, которое отражает этот график. б) Определите ускорение на участках движения, характеризуемого частями АВиВС графика. в) Постройте графики зависимости ускорения от времени м/с 20 20 в Рис. 7.6 80 V \ \ \ \ \ \ \ \ \ Рис. 7.7 Рис. 7.8 3. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. а) Сколько времени он будет двигаться до наивысшей точки подъ ема? б) Какое расстояние он пролетит за это время? Принять g 10 м/с 2 4. Для определения начальной скорости снаряда детского пистоле та из него был произведен выстрел в горизонтальном направлении (рис. 7.7). Измерения дали следуюыще значения физических величин: высота, на которой укреплен пистолет, А = 20 см, дальность полета снаряда £ = 50 см. Чему равна скорость? Принять я = 10 м/с^. Малокалиберная винтовка укреплена в горизонтальном поло жении (рис. 7.8). Если смотреть через ствол, то можно видеть точку А на мишени, расположенной на расстоянии £ = 45 м от ствола винтовки. При стрельбе пули попадают в точку В, находящуюся на расстоянии А = 5 см ниже точки А. Какова скорость пули? Принять 10 м/с^. Задание 7.2 Лабораторная работа «Сравнение энергии в двух состояниях» Первое состояние (рис. 7.9): шар удерживается на площадке на некоторой высоте А, динамометр показывает силу F, растяжение пружины равно X, Второе состояние: шар на высоте А приобрел скорость v, пружина вернулась в состояние равновесия (xq 0). 81 \ % *1 Рис. 7.9 Теория вопроса За счет энергаи растянутой пружины Е сообщается кинетическая энергия Е 2 ти 2 1 2 кх 2 2 (или Е 1 , где V Fx 2 ) шару скорость шара в горизонтальном направлении. Должно соблюдаться равенство: Fx ти 2 2 Значения F, х, т можно определить, применив динамометр и ли нейку. Задача сводится к определению у. Но скорость можно опреде лить по формуле: V поскольку L vt, h gt 2 2 ,Lnh можно измерить с помощью линейки Оборудование: шар с крючком; динамометр; нить; штатив; лист чис той бумаги; лист копировальной бумаги; линейка; отвес. Ход работы 1. Удерживая рукой шар в конце площадки, растяните пружину ди намометра в горизонтальном направлении на 4 Н. Резко отпустите шар. Заметьте приблизительно, где упал шар. На это место положите лист чистой бумаги, на него — лист копировальной бумаги. (Предваритель но лист чистой бумаги можно закрепить липкой лентой. После оконча ния опытов стол тщательно протереть.) Снова удерживая рукой шар в конце площадки, растяните пру жину динамометра в горизонтальном направлении на 4 Н. Резко отпус тите шар. Такие операции повторите 8 10 раз. 82 3. Снимите аккуратно лист копировальной бумаги, не нарушая положения листа чистой бумаги. По следам от падения шара крестиком ориентировочно отметьте среднюю точку падения шара. 4. Подвесьте отвес у края площадки. Измерьте расстояние L от груза отвеса до средней точки падения шара. Измерьте высоту h площадки над столом. Измерьте растяжение пружины х при показаниях динамо метра 4 Н. 5. Вычислите Е 1 Сделайте вывод Fx 2 и Е 2 Ah 2 Оценим погрешности, которые получатся при выполнении лабораторной работы. Измерение силы выполняется лабораторным динамометром, абсолютная погрешность измерения силы А/* =0,1 Н. Растяжение пружины х можно измерить линейкой, беря абсолютную погрешность Дх = 0,001 м. Допустим, при растяжении пружины на х = 6 см динамометр показал 3 Н. Результаты измерений можно записать так: X (0,060 ± 0,001) м. (3,0 ± 0,1) Н. Относительная погрешность измерения длины Ах X 1 60 , относитель А/* ная погрешность измерения силы F 1 30 . Погрешности сравнимы Пусть масса тела т = (100,0 ± 0,1) г. Реально могут быть получены следующие значения высоты h и длины L (с помощью измерительной ленты): (0,300 ± 0,005) м, Z = (0,330 ± 0,005) м. Относительная погрешность измерения массы (0,1%) мала по сравнению с относительными погрешностями измерения h и L, которые составляют приблизительно 2%, поэтому погрешностью массы можно пренебречь. Вычисления Е\1л. Е^сш. погрешностями дадут следующие значения: 1 (0,09 ± 0,02) Дж, Е2 = (0,089 ± 0,004) Дж, ^E 1 Е 20%, ^E 2 1 Е 5%. 2 Если по шкале отметить минимальное (0,07 Дж) и максимальное (0,11 Дж) значения энергии также минимальное (0,085 Дж) и максимальное (0,093 Дж) значения энергии Ео, то получим, что интер 83 вал значений Ел включает в себя значения Ео- Это означает, что в пределах погрешностей опыт подтверждает равенство энергии 1 и Ej. Задание 7.3 fc Решите задачи 1. С крьпыи капают капли через промежуток времени 0,2 с. На каком расстоянии друг от друга окажутся две соседние капли через 0,8 с после начала падения первой капли? 2. Футбольный мяч после удара спортсмена начинает движение под утлом 35® и пролетает до другого игрока 47 м. Определите: а) начальную скорость мяча; б) наибольшую высоту, которой до стигнет мяч; в) время полета мяча; г) скорость мяча на высоте 5 м. Со противление воздуха не учитывать. Проиллюстрируйте графически решенную задачу, построив (без со блюдения масштаба) графики x(t), y(t), Vr(t), vM), aJJ), aSt), Миномет расположен в овраге глубиной 43 м. Чтобы мина по пала в цель, ствол установили под утлом 57®. Начальная скорость мины 150 м/с. На каком расстоянии (по горизонтали) расположена цель? Глава 8 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПО ОКРУЖНОСТИ Центростремительное ускорение Пусть тело (материальная точка) движется по окружности так, что модуль скорости остается постоянным. Такое движение часто называ- ют равномерным движением по окружности. Это вовсе не означает. что остается постоянной скорость. В самом деле, скорость — вектор ная величина. Причем скорость направлена по касательной к траекто рии, следовательно, направление вектора скорости все время меняется. значит, и сама скорость меняется (рис. 8.1), хотя модули скорости рав ны: V\ V2 U3. Так как скорость меняется, то существует ускорение. Ли которое по определению равно а At Попытаемся вначале предугадать, как направлено ускорение по от ношению к скорости и от каких факторов оно зависит. Вращая привязанный к нити груз (гайку, шарик и др.), мы чувству ем, как нить натягивается. Очевидно, на вращающееся тело действует сила со стороны нити, т.е. сила направлена к оси вращения. 84 Следовательно, можно предполо жить, что ускорение вызывается силой, действующей со стороны нити, и направ- лено оно по радиусу к центру окружности. Увеличивая скорость вращения, мы ощущаем, как увеличивается сила натяжения нити. Очевидно, ускорение должно зависеть от скорости вращения. Меняя длину нити, можно обнаружить, что сила натяжения зависит и от длины нити. Таким образом, на основе простых опытов мы можем сделать следующее предположение: ускорение направлено вдоль радиуса к центру вращения (т,е, ускорение направлено перпендикулярно скорости, так как скорость направ лена по касательной), ускорение зависит от скорости и радиуса. Единица ускорения 1 м/с^, единица скорости 1 м/с, единица радиуса 1 м. «Сконструируем» по единицам физических величин формулу, в ко торой в одной части должно быть наименование единицы ускорения, а в другой — наименования единиц скорости и радиуса. Чтобы наименова ния единиц совпадали, сконструированная формула должна иметь вид: м м с 2 :м с По единицам физических величин мы установили связь между ус V 2 корением а и величиной —. Строгий вывод приводит к формуле: R (8Л) Формулу (8.1) можно проверить экспериментально. Что же надо измерять? Умножив обе части формулы (8.1) на массу т вращающегося тела, получим: та то 2 R та т сила, действующая на движущееся по окружности тело (силу можно измерить динамометром), масса вращающегося тела (находится взвешиванием), радиус вращения (измеряется линейкой). V скорость движения тела по окружности (можно найти, зная длину пройденного пути и время движения). 85 Вопрос сводится к тому, как проще определить скорость при равно мерном движении тела по окружности. Длина окружности 2nR. Если тело сделает N оборотов, то длина пройденного пути будет 2%RN, Если эти N оборотов были выполнены за время /, то скорость будет равна V 2%R N t . Таким образом, измерение скорости сводится к измерению времени, за которое тело сделает оборотов. Назовем частотой обращения число оборотов в единицу времени (8.2) Тогда скорость v = , а ускорение а 4Tih^R. (8.3) Итак, для проверки условия (8.1) нужно выполнить измерение силы динамометром и вычислить произведение та = 4n^v^Rm. Если найденная нами формула (8.1) верна, то должно соблюдаться уело вие та. Рассмотрим установку на рисунке 8.2. На диске вдоль радиуса рас положена рейка со шкалой, по которой может перемещаться цилиндр. привязанный к пружине. При вращении цилиндр растягивает пружину и удерживается ею на расстоянии R от центра вращения. Опыт можно провести следующим образом. При какой-то частоте вращения заметить значение расстояния R, например R = 0,2 м. С помощью секундомера определить время десяти оборотов, например N 10,/ 10 с. Остановрпъ вращение; прицепив к цилиндру динамометр, растянуть пружину на Л = 0,2 м, затем опреде лить силу упругости пружины, например 7^= 4 Н. Далее измерить массу цилиндра, например т = 0,5 кг, и выполнить вычисления: 4n^v^Rm 4-10*l-0,2-0,5H 4Н. Теперь надо сравнить вьршсленное значение 4n^v^Rm с измеренным значением F. Оказывается, сравниваемые величины одинаковы! (Разумеется, в пределах погрешностей измерений.) Наш опыт с одной установкой еще не является гарантом достоверности условия (8.1), хотя мы и получили подтверждение. Однако ряд других опытов и другие теоретические подходы приводят однозначно к V 2 выводу, что а R 86 Рис. 8.2 Ускорение, характеризующее изменение скорости только по направлению, называют центростремительным ускорением. Центростремительное ускорение перпендикулярно направлению скорости и направлено вдоль радиуса к центру окружности. Нами было получено два варианта записи центростремительного ускорения: а V 2 R и а 4n^v^R Рассматривая равномерное движение тела по окружности, мы столкнулись с так называемым периодическим движением, т.е. таким, при котором движение повторяется через определенный промежуток времени. Минимальный промежуток времени, за который система возвращается в то же состояние, называют периодом. В нашем случае периодом является время одного оборота. Если за время / тело совершает 7V оборотов, то период обращения: t N Найдем связь между периодом обращения Т и частотой обраще ния V. Так как v N t , то (8.4) Единица периода обращения — секунда (с), а единица частоты об ращения — секунда в минус первой степени (с 1 87 Угловая скорость Рассмотрим вращающийся стержень, на котором выделим две точки AvlB, Точки движутся с разными скоростями Uj и Uj, хотя принадлежат одному и тому же телу (рис. 8.3). Однако это не означает, что нет единой характеристики скорости равномерного вращения тела. Таковой является частота v. Есть и другая характеристика — угловая скорость. Угловая скорость со — это физическая величина, равная отношению угла Аф поворота радиуса произвольной точки тела к промежутку времени А/, за который совершен поворот. Угловая скорость показьшает, на какой угол поворачивается радиус произвольной точки за 1 с. Пусть за некоторое время А^ радиус R, соединяющий точку В с цен тром, повернулся на угол Аф. Тогда: со Аф А/ Учитывая, что за время Т, равное периоду, радиус повернется на угол 2тс, можно записать: (8.5) Единицей угловой скорости является радиан в секунду (1 рад/с). (Ра диан это центральный угол, дуга которого равна радиусу,) Радиан в се кунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при ко т » Рис. 8.3 торой за время 1 с радиус поворачива ется на угол 1 рад. Так как Т 1 V , то со 2tcv Легко найти связь между линейной и угловой скоростью: v = 27CVjR, со 2tcv, следовательно, v (oR, Вернемся вновь к формуле центростремительного ускорения. Попытаемся ее получить, исходя из других теоретических предпосылок. Рассмот- рим скорость при равномерном дви 88 жении тела по окружности в двух точках у4 и В (рис. 8.4), где v{ У7. Ау V 2 V 1 изменение скоро сти. При уменьшении угла (при сближении точек ^4 и 5) Ау и АХ уменьшаются, при этом отрезок АХ приближается к дуге АВ. Если угол ср Рис. 8.4 стремится к нулю, то направление вектора Уз стремится к направлению вектора у, , а вектор Ау оказы вается перпендикулярным скорости. Но Ау Л/ есть ускорение, следова тельно, центростремительное ускорение будет перпендикулярно ско рости. Сравнивая треугольник, полученный построением векторов у 1 ’ у 2 И разностью Ау , с треугольником ОАВ, легко заметить, что они подоб ны. Тогда Ау АХ у В , гдеу У2 Поделим обе части уравнения на малый промежуток времени At и получим следующий результат: Ау Но Ау А/ АХу AtB > или At а, следовательно. а V 2 R Ау At и 2 R Таким образом, если точка движется равномерно по окружности, то имеется только центростремительное ускорение^ иногда его называют нормальным ускорением a„ (нормаль — перпендикуляр). Если же модуль скорости при движении тела по окружности меняется, то следует вести речь как о нормальном а„, так и о тангенциальном Of ускорении, В этом случае: а (8.6) где а V 2 R ’ а t Ау At 89 Вопрос: как проиллюстрировать графически равномерное движение тела по окружности? С этой целью рассмотрим графики x(t) и Vx(t), На рисунке 8.5 иллюстрируется графикРассматривается движение тела (материальной точки) по окружности в направлении против часо- вой стрелки. Когда тело находится в точке А, то его положение проеци руется в начало координат, в точку у4'. За время t 12 радиус, соединяю щии вращающееся по окружности тело с центром вращения, повернет ся на угол ф = 30®. При этом тело попадает в точку В, которая проециру ется в точку J?', и т.д. По оси t откладываются промежутки времени, со 1 ставляющие 1 12 периода (А^ 12 ), что соответствует углу ф, который равен — от 2л:, т.е. приращение угла составляет 30°. Длина отрезка ВН равна координате х. Ее значение можно найти из треугольника ОВН по формуле X = Л sin ф. Следовательно, по закону х = Л sin ф меняется ордината, что и отра жено на графике. Полученная кривая называется синусоидой. Учиты вая, что при равномерном вращении ф = Ш, получим: (8.7) Перенесем начала векторов скорости из точеку4. В, С,... в одну точку О. Тогда получим «розу» векторов (рис. 8.6). В этом случае удобно получить проекции скорости на ось ординат. Когда тело находится в точке А (см. рис. 8.5), проекция скорости va^ равна модулю скорости v Рис. 8.5 90 Рис. 8.6 (см. рис. 8.6), в точке D проекция v^x равна нулю, в точке G проекция отрицательна: = т.д. Проецируя векторы на ось ординат, полу чим график, выражаюпщй зависимость проекции скорости от време ни, т.е. Uv(/): V X ucoscp > или Vx = V COS{(dt). (8.8) Таким образом, при равномерном движении тела по окружности координата меняется по закону синуса, а проекция скорости —• по закону косинуса. Задача. Телу массой 0,2 кг, подвешенному на нити длиной L 0,2 м, толчком сообпщли скорость у = 5 м/с в горизонтальном направлении так, что тело начало двигаться по окружности в вертикальной плоско сти. Определите скорость в верхней точке и силу натяжения нити в верхней и нижней точках (рис. 8.7). Решение задачи рассмотрим по этапам (см. консультацию 2). Решение Первый этап (обдумывание уело ВИЯ задачи). В задаче рассматривается нерав номерное движение тела по окружно сти. Обозначим скорость тела в верх ней точке , в нижней V, силы на тяжения соответственно 1 и F. * Рис. 8.7 91 Модуль скорости меньше модуля скорости v, что обусловле но законом сохранения энергии. За счет кинетической энергии, сообщенной телу в нижней точке, совершается работа по поднятию тела на высоту 2L, Поднятое тело обладает потенциальной энергией. Запишем кратко условие. т V 0,2 кг 0,2 м 5 м/с 9 10 м/с 2 Так как Vi < v, то центростремительное ускорение в верхней точке будет меньше, чем в нижней Будем считать тело массой т материальной точкой Пренебрегаем массой нити и ее растяжением, ар- химедовой силой и силой сопротивления воздуха Следовательно, на тело действуют только сила тя- жести и сила упругости со стороны нити. Изобразим на рисунке действующие силы (см. рис. 8.7) В нижней точке на груз действуют сила тяжести т g, направленная В1шз, и сила со стороны нити F (равная по модулю силе натяжения нити). направленная вверх. В верхней точке и сила Т51жести mg, и сила Fj, действующая со стороны нити, направлены вниз. Ускорения в нижней точке и в верхней точке направлены вдоль радиуса к центру окружности Oi. Второй этап (составление плана решения). Выберем ось ОУтак, чтобы проекции сил и ускорений наиболее просто можно было выразить через их модули, т.е. направим ось ОУ вертикально вниз. Применим второй закон Ньютона для составления уравнений движения. Когда тело находится в нижней точке, силы направлены в противоположные стороны и в скалярной форме второй закон Ньютона имеет ВЦ; i mg та. Когда тело находится в верхней точке, силы направлены вертикаль но вниз, поэтому: 1 ~^mg таи Полученные уравнения пока не позволяют определить значения F и Fu так как нам неизвестны а и а\. Однако а V 2 V L 2 1 L . и и i даны в условии задачи. Остается найти значение v\. Воспользуемся для этого законом сохранения энергии: 92 mv 2 то 2 I + 2mgL, откуда + 4gL . (1) Таким образом, получаем уравнения, позволяющие найти FnF 1 Tjpendi этап (осуществление плана). Решая совместно полученные уравнения, находим: т V 2 L + ^ IF, 1 т V 2 I L + g (2) По формуле (1) определим скорость в верхней точке, а по формулам (2) силы. После вьгаислений получим: ui «4,1 м/с, F = 27 Н, F\ 14 Н. Четвертый этап (исследование ответа). Как поведет себя система (подвешенное тело), если в нижней точке сообщить скорость v' = yj4gL ? Обратимся к выражению (1) для вычисления скорости в верхней точке. При v^ < 4gL под корнем по- лучится отрицательное число, следовательно, такой случаи в прин ципе невозможен, т.е. при v '=Ш тело не сможет двигаться по ок ружности. Подойдем к анализу ответа с других позиций. Пусть сила натяжения в верхней точке равна нулю {F\ = 0), т.е. т V 2 I L о, или V\ yfgF 1,4 м/с Иначе говоря, чтобы тело могло двигаться по окружности, скорость верхней точке должна быть не меньше 1,4 м/с Что должно произойти, если увеличить частоту обращения? С уве личением частоты обращения увеличивается сила натяжения нити, при чем она будет максимальной в нижней точке. Когда сила натяжения нити превзойдет прочность нити, нить оборвется. Допустим, нить оборвалась, когда тело было в нижней точке. Как полетит тело после обрыва нити? Легко догадаться, что в нижней точке скорость будет направлена горизонтально (касательная к окружности в нижней точке). Эта скорость будет начальной скоростью тела после раз рыва нити, следовательно, тело полетит по параболе. 93 Задание 8.1 Решите задачи 1. Автомобиль массой 4,0 т движется со скоростью 72 км/ч по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 50 м. Чему равен вес автомобиля в верхней точке моста? . Мотоциклист с мотоциклом имеет массу 200 кг. С какой силой авит мотоцикл на нижнюю точку вогнутого моста при движении по нему со скоростью 36 км/ч? Радиус кривизны моста 40 м. 3. Самолет описывает мертвую петлю радиусом 360 м. С какой ско ростью он должен лететь, чтобы на летчика в верхней точке не действо вала сила со стороны сиденья? 4. На нити длиной 1 м подвешен груз массой 0,4 кг. Груз отклонили о положения, при котором нить расположилась горизонтально, и отпустили. С какой силой груз будет натягивать нить в нижней точке? В какой точке траектории центростремительное ускорение будет наибольшим? 5. На нити длиной L вращается хруз массой т, а) Как изменится скорость, если увеличить длину в 2 раза, оставив прежней частоту обращения? б) Как изменится центростремительное ускорение, если увеличить скорость в 2 раза? в) Как изменится сила натяжения нити, если увеличить скорость в 2 раза? г) Как изменятся скорость и центростремительное ускорение, если увеличить частоту в 2 раза? д) Как изменится период при увеличении частоты в 2 раза? Задание 8.2 Лабораторная работа «Определение периода обращения тела по окружности» Первый способ i Груз, подвешенный на нити (рис. 8.8), раскручивают таким обра зом, чтобы он двигался по окружности в горизонтальной плоскости при малом угле наклона отклонения а (до 10®). Центростремительное уско рение груза создается равнодействующей двух сил: силы Т51жести т g действующей на груз, и силы упругости нити I (рис. 8.9). 94 Рис. 8.8 Рис. 8.9 На основе второго закона Ньютона можно записать: F = та, где F равнодействующая сила. Из рисунка 8.9 видно, что F = mgiga Тогда для ускорения будем иметь л mgtga Но а т L sin а. Таким образом, g- tg а = sin а При малом угле а tg а = sin а. Учитывая, что v где R 1 Т , получим 1 2п (8.9) Следовательно, для измерения периода обращения подвешенного на нити тела с малым углом отклонения от вертикали достаточно измерить длину нити (от подвеса до центра тела) и вычислить Т[ по формуле (8.9). Второй способ Второй способ состоит в том, что бы определить время заданного чис ла оборотов (например, N= 20). Не риод можно подсчитать по формуле t 2 N (8.10) Рис. 8.10 95 Оборудование: груз с крючком; нить; штатив; лента измерительная; часы с секундной стрелкой. Выполните необходимые операции и измерения. Сравните периоды Тх и То, подсчитанные по формулам (8.9) и (8.10). Сделайте вывод. Задание 8.3 * Решите задачи 1. Груз массой 0,7 кг, подвешенный на нити длиной 0,8 м, отведен в сторону от вертикали на угол а = 75“ и отпущен. Разорвется ли нить. если она может выдержать силу i^= 12 Н? 2. С какой минимальной высоты должно скатываться тело без тре ния, чтобы описать «мертвую петлю», все время касаясь дороги радиу сом R (рис. 8.10)? 3. На диске, равномерно вращающемся вокруг оси 00', укреп лена вертикальная стойка, отстоящая от оси вращения на рассто янии 8 см. Чему равен период обращения шарика, если нить длиной 10 см с подвешенным шариком отклонилась на угол а 30“ (рис. 8.11)? 4. Тело без трения из состояния покоя скатывается со сферической поверхности радиусом R (рис. 8.12). На какой высоте А тело оторвется от сферической поверхности? 5. Шар, подвешенный на нити длиной L, отвели от вертикали на угол а = 90“ и отпустили (рис. 8.13). Как будет двигаться шар, если на расстоянии 0,5 L от точки подвеса установлен гвоздь /? Рис. 8.12 Рис. 8.13 96 Глава 9 9.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Период и частота в механических колебаниях Механические колебания очень распространенный вид движения Это и движение детских качелей, и колебания деревьев при порыве вет ра, и вибрации в движущемся транспорте. Если наблюдать за движени ем лодки, качающейся на волнах, или за движением подвешенной к потолку люстры, выведенной из состояния покоя, или за движением молота при забивании свай, то можно заметить нечто общее. Этим об щим является то, что движение повторяется через равные промежутки времени, которые называются периодами. Кстати, мы уже знакомы с понятием периода как временем, за которое тело делает один оборот при равномерном движении по окружности. Аналогично и при колебаниях: периодом является время одного полного колебания, а частота характеризует число колебаний в единицу времени. Поэтому связь периода с частотой остается той же, что и при равномерном движении тела по окружности: 1 V (9.1) Единицей периода является се1сунда, единицей частоты герц (Гц). 1Гц это частота, при которой совершается одно колебание за \ с 9.2. Гармонические колебания Математический маятник Среди различных видов колебаний мы рассмотрим простейший гармоническое колебание. Прршером гармонического колебания являются колебания тела, подвешенного на длинной нити (так называемого математического маятника, у которого нить должна быть невесомой, нерастяжимой, а тело должно быть точечным массивным), и колебания тела, прикрепленного к пружине {пружинного маятника). Наша задача будет состоять в том, чтобы установить законы колебаний, в частности выяснить, от каких факторов зависит период колебаний математического и пружинного маятников, более точно определить понятие гармонического колебания. 4 Физика, 10 кл. 97 Рассмотрим опыт. На двух штативах подвешены на нитях одинако вой длины два одинаковых шара (рис. 9.1). Один шар (слева) заставим вращаться по окружности радиусом R в горизонтальной плоскости при малом угле отклонения а. В тот момент, когда левый шар будет нахо диться в левой крайней точке, правый шар отпустим из точки В, Этот шар начнет совершать колебания по траектории ВОС, Наблюдения приведут к следующему заключению: период обращения левого шара совпадает с периодом колебаний правого шара. Но ведь ранее мы нашли формулу (8.9) для периода обращения ле вого шара, следовательно, она будет такой же и для периода колебаний правого шара, а именно: (9.2) Эту формулу можно получить строгим математическим выводом. В формулу (9.2) не входит масса шара. Это означает, что период колебаний математического маятника не зависит от массы. Этот фактор можно легко проверить. Заменим левый шар на шар большей (или мень- шей) массы, но так, чтобы длина от точки подвеса до центра шара была одинаковой у левого и правого шаров. Отведем шары в сторону на оди наковый угол и одновременно отпустим. Левый и правый шары будут совершать колебания. Наблюдения показывают, что периоды колеба ний шаров будут одинаковыми, т.е. период колебаний математического маятника не зависит от его массы. Рис. 9.1 98 При вижении шар проходит положение равновесия (точку О) и U U доходит до крайних точек BvlC, При этом ОВ = ОС и положения точек В и С соответствуют наибольшему отклонению тела от положения равновесия. Наибольшее отклонение колеблюьцегося тела от положения равновесия называют амплитудой. Чтобы выяснить, зависит ли период колебаний математического маятника от амплитуды, достаточно перед пуском отвести два маятника на разные, но небольшие расстояния от положения равновесия. Наблюдения показывают: при малых амплитудах период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Задание 9.1 Лабораторная работа «Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника» 2 Из формулы (9.2) следует: g 4Г1 fji 2 j N Учтите, что период время движения тела от точки В до точки С и обратно (см. рис. 9.1). Оборудование: груз с крючком на нити длиной 0,3—0,5 м; штатив; часы с секундной стрелкой; лента измерительная. Определите g при разных длинах L математического маятника и еде лайте вывод. Пружинный маятник Теперь поставим цель найти формулу для периода колебаний пружинного маятника. Начнем с опыта (рис. 9.2). Подвесим к пружине груз массой т. В равновесии груз расположится на уровне О. Удерживая груз, опустим его до уровня В и отпустим. Груз начнет совершать колебания между уровнями 5 и С, причем длина отрезка ОВ равна длине отрезка ОС и, будучи максимальной, является амплитудой А. Следовательно, ОВ,А ОС. Для ответа на вопрос: от каких факторов зависит период колебаний пружинного маятника! — проделаем серию опытов, меняя массу подвешенного груза и жесткость пружины. На основе эксперимента приходим к выводу: чем больше масса груза, тем больше период; чем больше 99 .г..-. л-' > ?1. J V --------ч. - 1- — .*4^ . * |1. X Рис. 9.2 Рис. 9.3 жесткость пружины, тем меньше период, т.е. период колебаний Тзависит от массы груза т и жесткости пружины к. Прицепим снизу к грузу динамометр и опустим груз до уровня В (рис. 9.3). В этом случае динамометр уравновешивает силу упругости пружины. Отцепим динамометр. С этого момента начнутся колебания. При колебаниях в процессе опускания груза сила упругости увеличивается пропорционально смещению груза от положения равновесия. Если ось ОХ направить вертикально вниз, то на участке ОВ смещение х положительно. Сила упругости, действующая со стороны пружины на груз, направлена вверх, ее проекция на ось ОХ отрицательна. Если же груз находится на участке ОС, то смещение оказывается отрицательным, а проекция действующей на груз силы — положительной. Наши рассуж- дения можно записать в виде закона Гука: {F ynp/JC foe. (9.3) Колебания, которые совершаются под действием силы, пропорциональ смещению и направленной к положению равновесия, называются гар моническими. Когда груз опущен вниз на длину амплитуды, то х А, Потенциальная энергия, запасенная пружиной в этом положении. равна Е р Ы 2 2 100 После отпускания груза пружина начнет сжиматься, потенциаль ная энергия кх 2 2 уменьшается, кинетическая энергия ти 2 2 возрастает. и при л: = О (т.е. в положении равновесия) потенциальная энергия ока жется равной нулю, а кинетическая — максимальной: Е^ то 2 т 2 На основании закона сохранения энергии можно записать: Ей то 2 т кЛ 2 2 2 , откуда и 2 т к А 2 . Иначе это можно записать так: т Ер, или V т Что нам дает полученное выражение? Во-первых, если вместо мае сы /и и коэффициента к подставить их единицы, то мы получим едини цу времени — секунду. Следовательно, можно предположить, что выра жение характеризует период. Ведь на основе эксперимента мы ус тановили зависимость периода от массы т тела и жесткости к пружины Также можно предположить, что для пружинного маятника (по анало- ГИИ с матем^-^геским): / (9.4) Строгий вывод приводит именно к этому результату. Возможно эк спериментальное подтверждение формулы (9.4). Задание 9.2 Лабораторная работа «Определение периода колебаний пружинного маятника» Оборудование: пружина; штатив; линейка; грузы с крючками массой по 0,1 кг. Ход работы Первый способ К пружине, укрепленной на штативе (рис. 9.4), подвесьте груз массой 0,1 кг, запишите положение груза относительно линейки (xi). Затем подвесьте еще 3—4 груза и запишите новое положение первого груза 101 относительно линейки (хо). Тогда к Mg , где М — масса вновь под X 2 X 1 вешенных грузов. Подсчитайте Ti по формуле Т 1 , где/w мае са всех грузов, колебания которых наблюдаются Второй способ К пружине подвешивают то же количество грузов (массой т), что и в первом способе. Оттягивают грузы вниз на небольшое расстояние и отпускают. Измеряют время 100 (или 50) колебаний. Находят период по формуле Т t 2 100 сравните Т\ и Го. Сделайте вывод. Рис. 9.4 Подойдем к выводу форму лы (9.4) с других позиций. На ри сунке 9.5 слева иллюстрируется рав номерное движение шара по окруж ности против часовой стрелки, а справа — колебания пружинного маятника. Меняя число оборотов вращающегося шара, можно подо брать условия, при которых перио А ы вращающегося шара и пружинного маятника будут одинаковыми. Более того, можно подобрать такие условия, при которых будут равны ми радиус R окружности вращаю щегося шара и амплитуда А колеба ний пружинного маятника: R=A, Пусть шар, вращающийся по окружности со скоростью и, находится в точке М. Тогда Wr = « sin а. Из треугольника CTMiV имеем: sm а R 2 X 2 и R , откуда JC и 2 2 -X R Учитывая, что R= А, можно записать и X 2 2 -X и А (9.5) 102 Рис. 9.5 Если подвешенное на пружине тело при колебаниях движется от уровня В к положению равновесия и находится на уровне то, по за кону сохранения энергии, то 2 т кх 2 2 2 + то 2 2 (9.6) пю 2 где т 2 энергия маятника при прохождении равновесия с макси мальной скоростью (максимальная кинетическая энергия), правая часть уравнения (9.6) представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий в точке М\ при смещении х и скорости v. Из формулы (9.6) с учетом того, что V 2 т ^7^ 7 , можно получить V 2 2 -X V т Л (9.7) Сравнивая (9.5) и (9.7), замечаем, что их правые части равны, еле довательно, равны и левые, т.е.: V и X V т и 103 Рис. 9.6 Это значит, что скорость пружинного маятника изменяется так же, как и проекция скорости тела, равномерно вращающегося по окружности. Но для тела, равномерно вращающе- гося по окружности, Т 2nR и Учитывая, что радиус R равен ам плитуде А, модуль скорости вра- Vf„, для пружинного щения и маятника получим: 2п А V (9.8) т Подставляя в формулу (9.8) значение А V т , получим Рассматривая пружинный маятник, мы установили, что его колеба^ ния совершаются под действием силы, пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия (этой силой была сила упругости). Спрапшвается; под действием какой силы совершает колебания математический маятник? , На рисунке 9.6 показано, что при движении маятника от крайней точки В к положению равновесия (точка Oj) в произвольной точке D на него действуют две силы: сила тяжести w g и сила N со стороны нити. Поэтому уравнение движения маятника принимает вид: N +mg — ma. Проведем через точку D ось ОХ перпендикулярно отвесной линии. проходящей через точку подвеса М, Тогда в проекциях на ось ОХ урав нение запишется так: Nx + mgx та JC* Сила т g перпендикулярна оси ОХ, значит, mgx= 0. Поэтому Nx = max- 104 треугольники AD К и MOD подобны. Следовательно, DK AD OD МО . Но DK есть проекция а AD есть модуль силы тяжести mg\ OD = —х, так как координата точки D отрицательна. Если считать, что угол а мал, то МО Тогда: N X X mg L ’ откуда N X Щ L X (9.9) Знак минус показывает: если проекция > О, то х < О (и наоборот). что достаточно легко просматривается на рисунке 9.6. Выражение (9.9) похоже на выражение (iVnp /х кх. Здесь роль жесткости играет постоянный коэффициент mg L Колебания, проис ходящие под действием силы, описываемой таким уравнением, мы на звали гармоническими. Таким образом, колебания математического маятника являются гар моническими. 9.4. Т Графическая интерпретация гармонических колебаний Гармонические колебания можно проиллюстрировать графически. С этой целью соберем экспериментальную установку по рисунку 9.7. На ыггативе укрепляется стержень, к которому на нитях подвешивается полый шар с отверстием внизу. В шар насьшается песок, который может высыпаться тонкой струей. Если под качающимся шаром помес- тить лист бумаги, то на нем высыпающийся песок оставит след в виде прямолинейного отрезка. Если же под качаюищмся шаром перемещать бумажную ленту с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном направлению колебаний, то на ленте зафиксируется кривая. которая является синусоидой. Синусоида отражает зависимость смеще ния маятника от времени, что показано на рисунке 9.8. Там же отмече ны амплитуда А и период Т, 105 Рис. 9.7 Аналогичный график (синусоиду) можно получить с применением установки по рисунку 9.9. На штативе меж-у двумя пружинами подвешивается груз, к которому крепится кисть. Кисть, слегка касаясь бумажной ленты. вычерчивает синусоиду на равномерно перемещающей ся бумаге. Рассмотрим еще один ва риант графической интерпре тации колебаний. С этой це лью применим камертон, ко торый представляет собой U образный стержень на ножке (рис. 9.10). Если ударить по одной из ветвей камертона, то ветви начнут совершать колебания, что на рисунке 9.10 показано пунктиром. Если прикрепить к камертону острие, возбудить колебания и провести острием по закопченному стеклу, то оставленный след будет выглядеть синусоидой. Рис. 9.9 Рис. 9.10 106 Таким образом, можно сделать общий вывод: графиком зависимое ти смещения от времени в гармонических колебаниях является синусоида. При рассмотрении движения двух тел, подвешенных на одина ковых нитях, одно из которых движется по окружности в горизонтальной плоскости, а другое совершает гармонические колебания, мы пришли к выводу, что их периоды одинаковы (см. рис. 9.1). При условии А (равенства радиуса вращения и амплитуды колебаний) будут рав ны модули скоростей где модуль скорости вращения тела Vfn— модуль максимальной скорости маятника при прохождении поло жения равновесия. Поскольку характер изменения скорости у пружин ного и математического маятников одинаков, очевидно, можно сравнивать графики зависимости смещения и проекции скорости от времени маятника и равномерно вращающегося тела. Схема установки, позволяющей сравшгвать проекции на ось ЛУскоростей движущейся равномерно по окружности материальной точки М и груза, подвешенного на пружине, представлена на рисунке 9.5. Колебания подвешенного на пружине груза совершаются с амплитудой, равной радиусу обращения материальной точки, и с тем же периодом. При- чем когда пружинный маятник проходит через положение равновесия, вращающаяся материальная точка проходит через линию (УК. Если в этом случае рассматривать проекции скорости вращающегося и колеблющегося тел на ось ОХ, то окажется, что они совпадают. В главе 8 мы установили, что проекция тела, равномерно вращающегося по окружности, совершает движение, которое может быть гра- фически отражено синусоидой, а значение проекции смещения (коор динаты) может быть найдено по формулеx=Rsm (Ш). Те же самые закономерности можно записать и для пружинного маятника, учитывая, что радиус вращения равен амплитуде и 2п со . Приходим к выводу, что колебания пружинного маятника совер шаются по закону: X .4 sin 2л/ (9.10) Обратимся теперь к проекции скорости на ось ОХ. Ранее мы показали, что проекция скорости пружинного маятника меняется так же, как и проекция скорости тела, равномерно вращающегося по окружности. Следовательно, можно воспользоваться ранее полученной формулой (8.8) для проекции скорости тела, движущегося по окружности. Оче видно, в нашем случае v 2к Т , поэтому 107 Int V X Vfn COS (9.11) Таким образом, мы установили, что скорость при гармонических колебаниях меняется по закону косинуса. В общем случае можно утвер- ждать: Если в колеблющейся системе физические величины меняются по зако ну синуса или косинуса, то система совершает гармонические колебания. Вынужденные колебания Резонанс Если в опыте (см. рис. 9.10) попытаться получить график на довольно длинной ленте, то мы убедимся, что со временем амплитуда уменьшается (рис. 9.11). Амплитуда будет уменьшаться и у математического маятника, если проводить наблюдения достаточно долго. Рис. 9.11 Систему тел, способную совершать колебания после того, как ее вывели из состояния равновесия, называют колебательной системой. Примеры колебательных систем: корпус здания, мост, качели и Р. Если на систему не действуют внешние периодические силы, то она совершает свободные колебания, которые всегда будут затухающими, т.е. колебаниями с уменьшающейся амплитудой. Затухание колебаний обусловлено сопротивлением среды, в которой находится система, и трением внутри колебательной системы. Механическая энергия постепенно переходит во внутреннюю энергию, т.е. элементы колебательной системы нагреваются. Колебательная система, выве-енная из состояния равновесия, совершает колебания с собственной Рис. 9.12 частотой, которую для математичес кого и пружинного маятников мож 108 но подсчитать, воспользовавшись формулами (9.2) и (9.4). Частоту лю бой колебательной системы можно найти по формуле v N t . Однако в практике на систему часто действует внешняя периодическая сила. Пусть, например, в холодильнике на решетке стоят стеклянные банки. Банки на решетке представляют собой колебательную систему с определенной собственной частотой. Кроме того, в холодильнике есть электродвигатель, который действует на все находящееся в холодильнике с некоторой периодической силой, т.е. создает вынужденные колебания^ частота которых определяется частотой вращения якоря электродвигателя. Аналогично можно вести разговор о собственной частоте колеба- ний сиденья в автобусе и частоте вынужденных колебаний сиденья, обус ловленной работой двигателя автомобиля. Поставим вопрос: зависит ли амплитуда колебательной системы, совершающей вынужденные колебания, от частоты вынуждающей силы! Соберем установку (рис. 9.12). На штативе между двумя пружинами укреплен груз (колебательная система). К нижней пружине привязан резиновый шнур, который перекинут через блок и укреплен другим кон- цом к стойке на диске. Диск может вращаться вручную или от электро двигателя. Частоту вращения диска можно менять. Обозначим через Vq частоту собственных колебаний колебательной системы, а через v частоту вьшужденных колебаний (частоту вращения диска). При мед ленном вращении диска, когда v « Vq, на колебательную систему дей ствует периодическая сила со стороны шнура с частотой вынужденных колебаний v. Вынужденные колебания системы будут происходить с час- тотой вынуждающей силы. По мере возрастания частоты вынужденных колебаний амплитуда колебаний системы возрастает. Когда частота вынуждающей силы при ближается к частоте Vq собственных колебаний системы, амплитуда рез ко возрастает и становится максимальной при v = Vq. Дальнейшее уве личение частоты вьшуждающей силы приводит к уменьшению ампли туды. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний сис темы при равенстве частоты вынуждающей силы v и частоты собствен ных колебаний системы Vq называется резонансом. На рисунке 9.13 дан график зависимости амплитуды А вынужден ных колебаний от частоты v вынуждающей силы. При v = Vq амплитуда максимальна. Две резонансные кривые, которые показаны на рисунке, отличаются значением амплитуды при резонансе. Чем обусловлено такое отличие? Обратимся вновь к экспериментальной установке (см. рис. 9.12). Если к 1рузу прикрепить легкую пластинку, как это показано 109 на рисунке 9.14, то сопротивление, оказываемое воздухом, возрастет. Опыт показывает, что в этом случае при резонансе амплитуда будет меньше. Таким образом, можно сделать вьшод: чем больше сопротивление со стороны внешних тел и трение внутри колебательной системы, тем меньшей будет амплитуда при резонансе. Как же объяснить явление резонанса? Обратимся вновь к опыту (см. рис. 9.12). Когда при вращении диска шнур тянет пружину вниз, колебательной системе передается энергия за счет работы внешних сил. Если внешняя сила действует «в такт» с собственными колебаниями системы при V = Vo, т.е. если внешняя сила совершает положительную работу над системой, то энергия системы все время возрастает, амплитуда растет Но с ростом амплитуды возрастают внешнее сопротивление и внутреннее трение. Когда энергия, передаваемая системе за счет работы внешней периодической силы, полностью расходуется на работу по преодолению сил сопротивления и внутреннего трения, рост амплитуды прекращается. Вернемся к нашим примерам с банками в холодильнике и сиденью в автобусе. Иногда можно слышать, как банки в холодильнике дребез жат. Аналогично можно наблюдать «сильные» колебания сиденья в ав тобусе. Очевидно, в каждом из этих случаев речь идет о резонансе. Ре зонанс может быть полезным и вредным. Приведем примеры. В практике для определения частоты вращения двигателей приме няют приборы — частотомеры. Схему работы частотомера можно проиллюстрировать рисунком 9.15. Частотомер представляет собой основание, на котором укрепле1Ш[ упругие пластины с разной частотой собственных колебаний (в нашем примере 10, 20 и 30 Гц). Если основание частотомера закрепить на двигателе, вынуждающая сила, действующая со стороны двигателя, вызывает вьшужденные колебания пластин. При совпадении частоты работы двигателя с собственной частотой какой- Рис. 9.13 Рис. 9.14 110 либо пластины наступит резонанс, амплитуда колебаний этой пластины резко возрастет. Следовательно, по значению амплитуды колебаний какой-либо плас тины можно определить частоту рабо ты двигателя (шкала прибора градуируется по частоте). ^ ^ Резонанс может привести к разрушению колебательной системы Важное значение имеет учет явления резонанса при строительстве зда- ний, мостов и пр. Известны случаи, когда корабли подвергались силь ным вибрациям при резонансе, обусловленном совпадением собствен ной частоты с частотой вращения гребного вала; когда выбоина на ко лесе проходящего поезда вызвала резонанс в конструкции моста, в ре зультате чего железнодорожный мост обрушился. Автоколебания Прислушиваясь к ходу часов, можно отметить повторяющиеся через равные промежутки времени звуки. Поэтому можно сделать заключение, что часы представляют собой колебательную систему или, по крайней мере, в часах есть колебательная система. Мы уже знаем: если в колебательной системе совершаются свободные колебания, то они со временем затухают. Внешних периодических воздействий на ко- лебательную систему в часах нет. Почему же часы «идут»? Как в них осуществляются незатухающие колебания? Оказывается, возможны такие колебательные системы, в которых осуществляется пополнение энер- гии за счет источника энергии, находя щегося внутри самой системы. В таких системах могут поддерживаться незату- хающие колебания без воздействия внешних периодических сил, так называемые автоколебания, а сами системы называются автоколебательными. Примером автоколебательной сис- темы является электрический звонок (рис. 9.16). Система состоит из электро- магнита Э, якоря Я, который представ ляет собой упругую стальную пластину с укрепленным на конце шариком (молоточком) . В систему входят источник тока, ключ, провода, контакт К и звенящее Рис. 9.16 111 тело 3 (например, полусферическая металлическая чашка). При замыкании ключа через электромагнит потечет ток, электромагнит притянет к себе стальной якорь, молоточек ударит по звенящему телу. Когда якорь притянется к электромагниту, то разомкнется контакт К, цепь разрьшается, ток через электромагнит прекратится. Теперь якорь не при-тягавается к электромагниту и под действием силы упругости отойдет от электромагнита, но при этом коснется контакта К. Цепь замкнется. и все повторится. Таким образом, звонок будет звенеть при замкнутом ключе. В рассматриваемой системе будут наблюдаться автоколебания за счет энергии источника тока. Задание 9.3 Заполните таблицу карандашом для разных состояний (В .) математического маятника (см. рис. 9.1). Используйте следующие условные обозначения: + (плюс), — (минус), если координата положительная или отрица тельная; или (направление стрелки характеризует направление векто ров V, а, F); О, шах, УВ, характеризуют значение физической величины (рав но нулю, максимально, увеличивается, уменьшается). В таблице заполнены некоторые графы. 112 Задание 9.4 Решите задачи 16 1. Во сколько раз нужно увеличить массу пружинного маятника, чтобы его период колебаний увеличился в 4 раза? 2. Как нужно изменить жесткость пружины, чтобы период колебаний увеличился в 4 раза? Как изменится частота колебаний математического маятника. если его длину увеличить в 9 раз? 4. На Луне ускорение свободного падения в 6 раз меньше, чем на Земле. Как изменятся периоды колебаний математического и пружинного маятников на Луне? 5. Тело совершает колебания с амплитудой А, Какое расстояние пройдет тело за период? 6*. Математический маятник перенесли с уровня моря на гору. Как изменилась частота колебаний маятника? 7*. Период колебаний математического маятника на Земле равен 6,0 с. Каким будет его период на Марсе, где ускорение свободного паде ния составляет 0,37 земного? 8*. Подвешенный на пружине груз массой 0,20 кг совершает 200 ко лебаний за 100 с. Какова жесткость пружины? 9*. Шар, подвешенный на нити, отклоняют от положения равнове сия на малый угол. Второй шар удерживают у точки подвеса первого шара. Шары отпускают одновременно. Какой из шаров первым достиг нет положения равновесия? 10*. Тело массой т колеблется на пружине жесткостью к. Пружину разрезали пополам и к одной из половин подвесили то же самое тело. Как и во сколько раз изменится частота колебаний? 11*. В старинных часах, установлекпных на городской площади, стержень маятника изготовлен из металла. Часы показывали точное время летом. Как будут идти часы (спешить или отставать) зимой? 12 4с Когда человек массой 70 кг садится на мотоцикл массой 130 кг, то корпус мотоцикла на рессорах опускается на 4 см. Каков будет период колебаний корпуса с мотоциклистом после наезда мотоцикла на ухаб? 13*. Запишите уравнение, описывающее движение маятника, если максимальное смещение от положения равновесия равно 0,15 м, а период колебаний 2 с. Определите смещение маятника через 0,2 с после прохождения им положения равновесия. 14*. Длина математического маятника в Исаакиевском соборе в Санкт-Петербурге составляет 98 м. Чему равен период колебаний этого маятника? 113 15*. Когда к пружине подвесили груз массой 0,6 кг, колебания про исходили с частотой 1,8 Гц. Какой будет частота колебаний, если подве сить к той же пружине груз массой 0,4 кг? 16*. Для определения массы метеорита на Луне космонавты проделали следующий опыт. Подвесив метеорит к пружгае, они подсчитали, что 100 колебаний метеорит совершает за 200 с. Затем к этой же пружине космонавты подвесили шар известной массы 100 г. Шар совершил за 200 с 400 колебаний. Какой должна получиться масса метеорита? Глава 10 10.1 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПРИ ДЕЙСТВИИ СИЛЫ ТРЕНИЯ Центр масс Рассматривая движение тела под действием силы тяжести, движе ние тела по окружности, механические колебания, мы фактически рас сматривали движение материальной точки. В практике же мы встреча емся с протяженными телами, движение которых может быть как по ступательным, так и вращательным. При поступательном движении все точки тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения. Скорости и ускорения всех точек в один и тот же момент времени оказываются одинаковыми. Это позволяет изучить движение одной любой точки, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела При вращательном движении все тонки тела движутся по окружное тям с общей осью вращения. Точки, находящиеся на разных расстояниях от оси вращеьшя, дви жутся с разными скоростями и разными ускорениями, но с одинаковой угловой скоростью. Как же найти наиболее простые характеристики, которые опреде ляют движение твердых тел? Начнем с поступательного движения и попытаемся ответить на вопрос: как следует приложить к телу силу, чтобы оно двигалось поступательно? Обратимся к эксперименту. Задание 10.1 Лабораторная работа «Определение центра масс» Оборудование: плоское тело произвольной формы, к которому в точ каху4. В, С, D привязаны нити (рис. 10.1). 114 Ход работы Положите тело на горизонтальную поверхность стола и потяните вдоль произвольной прямой за любую нить, например за нить, привязанную в точке А, Тело может вначале повернуться, а затем начнет двигаться поступательно вдоль выбранного вами направления. Остановите тело. Не меняя направления нити, вьгаертите на поверхности тела прямую линию вдоль выбранного вами направления нити. Аналогичную процедуру проделайте, потянув в произвольном направлении за каждую из остальных нитей. Сделайте вывод о пересечении проведенных вами линий. Если вами правильно выполнен опыт, то можно заметить, что все проведенные вами линии пересекаются в одной точке (рис. 10.2). Эта точка называется центром масс. Центром масс называют точку, через которую должно проходить направление действия силы, вызывающей поступательное движение тела. Если на тело действует несколько сил и направление действия каждой силы проходит через центр масс, то и направление равнодействующей также пройдет через центр масс. Следовательно, тело будет дви- гаться поступательно. Если рассматриваемое нами плоское тело (см. рис. 10.1) подвесить за любую нить, то, во-первых, нить расположится вертикально, а во- вторых, направление нити пройдет через центр масс. С другой сторо ны, если перерезать нить, то тело начнет падать поступательно. Но оно падает под действием сил тяжести, действующих на каждый элемент тела. Следовательно, направление равнодействующей сил тяжести проходит через центр масс. Поэтому обьгано при вычерчивании сил, действующих на твердое тело, стрелку, характеризующую силу тяжести, вьгаерчивают так, чтобы ее начало совпадало с центром масс. В этом случае центр масс называют центром тяжести. (Практически на Земле центр масс совпадает с центром тяжести, поскольку в пределах тела const.) Рис. 10.1 Рис. 10.2 115 о О Т" № Рис. 10.3 Если в центре масс нашего плоского тела просверлить отверстие и вставить ось, то при любом положении тело будет находиться в равновесии (не вращаться). Такое равновесие называют безразличным. Таким образом, если подвесить тело в центре масс, то оно будет находиться в безразличном равновесии. Центр масс однородных тел правильной формы находится в центре симметрии. Например, у прямоугольника он находится в точке пересечения диагоналей, у шара — в центре шара. Теперь рассмотрим эксперимент, связанный с вращательным движением. Допустим, у нас есть две гантели, одна из которых представля-ет собой стержень с двумя одинаковыми шарами на ковдах, а вторая стержень с двумя шарами разной массы. Если гантели бросить в горизонтальном направлении так, чтобы они вращались в вертикальной плоскости, то их полет относительно Земли будет выглядеть так, как показано на рисунке 10.3. Такого вида снимки можно получить с помо щью стробоскопической съемки. Мы знаем, что тело, брошенное гори зонтально, движется по параболе. Но ведь у вращающейся гантели раз ные точки (например, шары) движутся по другим траекториям. Тща о тельный анализ снимков показывает, что у каждой гантели есть одна точка, которая движется по параболе. У первой гантели эта точка является центром симметрии. У второй гантели эта точка расположена бли- же к шару большей массы. Если заметить выделенные точки, привязать 116 в этих точках нити и подвесить гантели, то они окажутся в безразлич ном равновесии. Это позволяет сделать заключение, что найденные точ ки являются центрами масс. Знание положения центра масс облегчает решение многих задач. В самом деле, при рассмотрении полета гантелей мы обнаружили, что центр масс движется по параболе, т.е. по той же кривой, по какой двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе гантели. Таким образом, если не учитывать вращение (летит мяч, пуля и пр.), то мы вправе заменить твердое тело материальной точкой с массой, равной массе тела и расположенной в центре масс тела. То же самое можно сказать и по поводу поступательного движения тела. Если на тело действуют силы, направления которых проходят через центр масс, то движение твердого тела можно заменить движением центра масс. Обратим внимание на такой факт: если в рассматриваемой задаче пренебречь деформацией тела, то точку приложения внешней силы, [ействующей вдоль прямой, проходящей через центр масс, можно переносить вдоль этой прямой. При этом действие силы не меняется. 10.2. Аналитическое определение центра масс До СИХ пор МЫ рассматривали определение положения центра масс экспериментальным способом. Подойдем к его определению тео- ретически. Всякое тело можно представить как совокупность малых частей. Суммарная масса частей составляет массу тела. Рассмотрим вначале центр масс двух частей разной массы гп\ и mi, считая их материальными точками. Пусть т\ > ту, тогда центр масс будет ближе к точке с массой Wi (рис. 10.4). Пусть материальные точки соединены невесомым стержнем. Если подвесить или подпереть систему материальных точек в центре масс, то равновесие будет безразличным. Допустим, эта система вращается равномерно и повернулась на некоторый угол а (рис. 10.5). Так как система состоит из двух материальных точек, то на каждую точку действуют силы тяжести m\g и ту g. При повороте первая материаль ная точка поднялась на высоту А i. Ее энергия по отношению к горизон т 2 Рис. 10.4 117 тальному уровню увеличилась на migh\, энергия же второй материаль ной точки уменьшилась на Над первой материальной точкой со вершена положительная работа, над второй — отрицательная. По зако ну сохранения энергии, имеем: mj ghi ntogho о, или т 1 щ (1) На рисунке 10.5 видно, что треугольники АВО и CDO подобны, по этому: или (2) Сравнивая выражения (1) и (2), получим т 1 щ ц * (ЮЛ) Центр масс двух материальньсх точек находится в точке, которая де лит расстояние между материальными точками на отрезки, длины которых обратно пропорциональны массам этих материальных точек. Перейдем к определению положения центра масс произвольного числа частей. Идея состоит в следующем. Выбираются две произволь ные части массами mj и гп2. Для них находится центр масс по формуле (10.1). Затем эти две части заменяются одной, расположенной в центре масс, причем ее масса т равна сумме масс гп\-\-mi- Теперь находят центр масс части массой т с любой другой частью массой aw,-. Вновь применяют формулу (10.1). Такая процедура повторяется со всеми оставшимися частями. Рассмотрим определение положения центра масс через координа ты материальных точек. Допустим, протяженное тело состоит из мате риальных точек, расположенных вдоль прямой линии (рис. 10.6). Выберем ось ОХ совпада ющей с этой линией. Найдем сначала координату центра масс для материальных точек массами т\ и mi. На рисунке 10.6 видно, что X — коорди- ната центра масс, х\, xi ко ординаты точек массами т\ и m2, причем L 1 X Хь L 2 118 2 X Рис. 10.6 Xi X. Подставив значения и L2 в формулу (10.1) и выполнив преобразования, получим: X WjXi + ГП2Х2 где гпл + mi М суммарная масса частиц. Можно показать: если множество п материальных точек располо жено вдоль прямой, то: X /?2,x, + ЩХ2 +... + т„х^ или X м (10.2) где тх, mi,,.. массы материальных точек, х\, Хъ.. их координаты. М масса тела, состоящего из п частиц. Координаты X, Y центра масс плоского тела определяются по двум формулам типа (10.2). Для определения координат объемного тела при меняют формулы: X М Y 5 ^ М М (10.3) Рассмотрим в качестве примера определение центра масс плос кой однородной фигуры, состоящей из трех квадратов, стороны ко торых Ь, а их массы равны т (рис. 10.7). Так как квадрат фигура симметричная, то центр масс каждого квадрата находится в точке пересеченрш диагоналей. Поскольку квадраты одинаковы, то центр масс первого и третьего квадратов будет находиться на середине от резка, соединяющего центры масс этих квадратов, т.е. в точке А. Те перь считаем, что вместо двух квадратов (первого и третьего) имеется 119 тело массой 1т с центром масс в точке А, Найдем центр масс всей фигуры, т.е. тела массой 2т и второго квадрата. По нашему чертежу должно соблюдаться условие: СВ т 2т , т.е. СА О 2 Обозначим АВ = L (половина диагонали квадрата), тогда СВ СА, или СА . Но 2X2 *2иХ ф 2 5 следовательно, СА Ь-Я Теперь определим центр масс той же фигуры, но с помощью форму- * лы (10.3). Проведем систему координат так, как показано на рисунке 10.8. Тогда координаты центров масс квадратов будут равны: х 1 2’ 2 2 » У2 2 5 Хз Ь 2 . Уг 2 Так как масса всей фигуры М = Зт, то, применив формулу (10.3), после сокращения на т получим: X Xj + Х2 + Хз 3^1 + 3^2 + Уъ Подставив числовые значения, найдем X Ь .Y Ь Так как СА = Jx^ + , то окончательно имеем: СА 2Ь 2 bJl 36 120 Для определения положения центра масс некоторых тел целесооб разно применять искусственньш прием, состоящий в том, что данное тело дополняют другим таким образом, чтобы дополненное тело и вновь полученное обладали центральной сим метрией. Допустим, требуется определить положение центра масс однородного шара радиусом R, у которого имеется сферичес- Ш R кая полость радиусом — с центром, отстоим D япщм от центра шара на — (рис. 10.9). Искомый центр масс будет находиться на диаметре, проходящем через центры шара и полости. Обозначим ОА — расстояние от центра шара до центра масс — через Ь, Если мысленно заполнить полость материалом той же плотности, то образуется сплошной шар с центром масс в центре шара. Следовательно, мысленно мы можем найти центр масс двух тел: данного тела (шара с полостью) с центром масс в точке А и «вложенного» тела с центром масс в точке В. «Вложенный» шар имеет массу пг 4 к к . Масса шара с полос тью по условию равна: Mb mR 2 , получим Ь М Л 14 4 %R 3 т М IpnR 3 . Применив условие 10.3. Коэффициент трения Рассмотрим движение бруска по горизонтальной плоскости (рис. 10.10). На брусок действует сила тяжести mg. Мы уже знаем, что графически силу тяжести можно изобразить стрелкой с началом в центре масс. Так как брусок лежит на неподвижной плоскости (на столе), то он давит на опору (на стол) с силой Р, называемой весом. Вес приложен к опоре и по модулю равен силе тяжести т g. (Вес на рис. 10.10 не показан.) Поскольку брусок давит на опору, то, по третьему закону Ньютона, опора давит на брусок с силой, равной по модулю весу тела, но направленной в противоположную сторону, т.е. вверх, и приложен- 121 Рис. 10.11 ной к бруску. Эту силу мы обозначим через N и назовем силой реакции опоры. Если на брусок подействовать с некоторой силой в горизонталь- ном направлении, прицепив к бруску динамометр, а затем медленно уве личивать растяжение пружины, то можно заметить, что брусок некото рое время остается в покое, а затем при достижении определенного зна чения силы начинает двигаться в направлении действия этой силы. Силу тяги F можно подобрать таким образом, чтобы брусок двигался равномерно. При равномерном движении равнодействующая всех сил должна быть равна нулю. Сила тяжести уравновешивается силой реак- ции опоры N, а силу тяги F уравновешивает сила трения F^^. Вспом ним, что сила трения направлена в сторону, противоположную движению тела. Силой трения скольжения называют силу, возникающую при движении одного тела по поверхности другого, препятствующую этому движению и оказывающую механическое сопротивление в плоскости касания двух прижатых друг к другу тел. Обычно опускают слово «скольжения» и говорят просто: сила трения. Так как при равномерном движении модуль силы трения равен модулю силы тяги, то измерение силы трения сводится к измерению силы тяги при равномерном движении по горизонтальной поверхности. Чтобы сдвинуть брусок с места, необходимо к телу приложить силу. которая не должна быть меньше силы трения скольжения. Следователь но, и в состоянии покоя на брусок действует сила трения, которая на правлена в сторону, противоположную направлению возможного д ви жения. Это сила трения покоя. Если к телу приложена сила, параллельная поверхности соприкосновения, то сила трения покоя по модулю равна приложенной внешней силе и направлена в противоположную сторону: тр F. Возможно ли движение, если действует только сила трения? Возможно. Допустим, что брусок скользит по поверхности с некоторой 122 скоростью (рис. 10.11). Выберем ось ОХ по направлению скорости По второму закону Ньютона, будем иметь: Frp+N + mg та. тр /X та X' 1^ кроме того, N= — mg , тогда (F Поскольку ускорение направлено в сторону, противоположную на правлению скорости, движение бруска будет равнозамедленным. По действием силы трения брусок остановится. Силу, перпендикулярную поверхности соприкосновения, называ ют силой нормального давления. В нашем случае сила нормального давле ния обусловлена действием силы тяжести. Сила нормального давления может создаваться не только силой тяжести. Допустим, к вертикаль ной стене приставили брусок и отпустили. Разумеется, он упадет под действием силы тяжести. никакого трения скольжения между стеной и бруском не будет. Если же на брусок подействовать силой F , перпендикулярной к стене (прижать брусок рукой), то на стену со стороны бруска бу- дет действовать сила давления F^ (рис. 10.12). В свою очередь, со стороны стены на брусок будет F действовать сила реакции опоры N. Теперь на Г', ‘-•■•■‘У-Лу ‘Г •* . ч ^ • -к • ' ^ V ■ ■ ■ • • I * + * "... ••• кл r\ * - * 5 •*- • : mg брусок действует сила трения тр , направленная в сторону, противоположную направлению силы Рис. 10.12 тяжести mg . Если F^p < mg, то брусок начнет двигаться вниз равноускоренно, если Fjp = mg, то брусок либо будет находиться в состоянии покоя , либо станет двигаться вниз равномерно. От каких же факторов зависит сила трения? Если брусок лежит на горизонтальном столе, то можно предположить, что сила трения зависит от веса бруска, от площади соприкасающихся поверхностей, от рода трущихся поверхностей. Задание 10.2 Лабораторная работа «Изучение зависимости силы трения от силы нормального давления, от площади соприкасающихся поверхностей и от рода поверхности, по которой движется тело» Оборудование: доска; полоска картона; брусок с отверстиями; грузы с крючками; динамометр. 123 Ход работы Вам необходимо выполнить измерение силы трения и силы нормаль ного давления при разных условиях. Измерение силы нормального дав ления сводится к определению динамометром веса бруска с грузами. Для ^ ;• Ml Lx Г н I *, - . * -■ определения силы трения брусок с грузами тянут равномерно по го ризонтально расположенной доске или полоске картона, зацепив брусок динамометром. На рисун- ке 10.13 показана сила F, с кото Рис. 10.13 рой динамометр действует на бру сок. При этом Fr тр Опыт 1. Определите с помощью динамометра вес бруска с одним грузом Р{ (вес бруска в данных опытах равен по модулю силе реакции опоры: P = N) и силу трения когда брусок лежит на доске наиболь- шей гранью. Аналогичные измерения вьшолните, устанавливая на бру- сок два, а затем три груза. Полученные данные внесите карандашом в таблицу 10.1. (Опыт 1.) Опыт 2. Проделайте такие же измерения, как и в опыте 1, но брусок на доске установите меньшей гранью. Заполните в таблице 10.1 столб цы, относящиеся к опыту 2. Таблица 10.1 Физическая величина Опыт 1 • Опыт 2 N тр Опыт 3. Проделайте такие же измерения, как и в опыте 1, но брусок перемещайте по полоске картона. Заполните таблицу 10.2. Проанализируйте результаты измерений и сделайте вьюоды 124 Анализ результатов работы приводит к выводу, который подтверждается более строгими лабораторными опытами: сила трения прямо пропорциональна силе нормального давления, поэтому можно записать: (10.4) Сила трения не зависит от площади соприкосновения. Коэффициент пропорциональности |и в формуле (10.4) называют коэффициентом трения. Коэффициент трения |и не зависит от силы нормального давления, а зависит от того, из каких материалов сделаны трущиеся поверхности, как обработаны их поверхности и т. д. Значения коэффициента трения для некоторых пар материалов даны в таблице 10.3. Таблица 10.3 I Материалы Металл по металлу 0,15- 0,20 Древесина по древесине 0,20- 0,50 Металл по металлу при смазке 0,07- 0,10 Древесина по льду 0,035 Резина (шина) по сухому асфальту 0,50-0,70 Задание 10.3 Изучите два способа определения коэффициента трения. Первый способ. Для определения коэффициента трения используют установку, показанную на рисунке 10.14. Придерживая рукой брусок массой М, подвешивают к нити груз массой т, а затем отпускают брусок. Груз опускается на расстояние А, перемещая при этом брусок по плоскости на расстояние L до остановки. При опускании груза потенциальная энергия груза з^еньшается на величину mgh. Нить тянет брусок с силой, равной по модулю приблизительно силе трения F = \iMg. Эта сила совершает работу А = \iMgL. Из- менение потенциальной энергии при опускании груза массой т долж но быть равно работе силы трения: mgh = \iMgL. Отсюда: mh ML Второй способ. Для определения коэффициента трения используют установку, которая показана на рисунке 10.15. Брусок массой т оттяги- 125 Рис. 10.14 Рис. 10.15 вают вправо, записывают показания динамометра F и величину растя жения пружины х. Отпускают брусок, измеряют расстояние i, прой денное бруском до остановки. Растянутая пружина обладает энергаей Е. Fx р . За счет этой энер ГИИ совершается работа по преодолению силы трения. Ер = А, где А \rngL, Следовательно, Fx \xmgL, откуда Fx 2mgL * 10.4. Природа сил упругости и трения Для измерения силы мы применяем динамометр. Если на пружину не действует сила, то стрелка устанавливается на нуле. Если же к пру- жине подвесить груз, то пружина растянется на несколько делении Причем степень растяжения прямо пропорциональна силе тяжести, дей- 126 ствующей на подвешенный груз. Сила возникает только при рас тяжении (деформации) пружины. Деформация означает изменение формы, которое происходи не только при растяжении, но и при сжатии, кручении, изгибе. Сила, возникающая в теле в результате его деформации, называется силой упругости. Сила упругости, возникающая при растяжении (сжатии) пружины, направлена в сторону, противоположную растяжению (сжатию), и определяется по закону Гука: упр/х кх. (10.5) Формула (10.5) справедлива не только для пружины, но и для тел любой формы, которые подвергаются деформации растяжения или ежа тия и обладают упругими свойствами, например для силы реакции опоры N, действующей на стальной брусок (см. рис. 10.12, 10.13). Однако закон Гука справедлив только при небольших деформациях. Даже если ту же пружину растянуть очень сильно, то после снятия нагрузки она может не вернуться в свое первоначальное состояние. К такой пружине закон Гука применять нельзя. Как же объяснить возникновение сил упругости? Из начального курса физики вам известно, что все тела состоят из молекул, между которыми действуют силы прит51жения и отталкивания. На рисунке 1 о. 16 показана плоская мо-дель твердого тела. Шариками изображены молекулы, которые соединены между собой пружинками. Такая кон- струкция будет препятствовать как сжатию, так и растяжению. Отражая характер сил упругости, эта модель ничего не говорит об их природе. Рис. 10.16 Заменим эту модель другой, бо лее реальной. Вспомним, что молекулы состоят из атомов, а каждый атом состоит из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных электронов. Причем заряд ядра равен заряду электронов, поэтому атомы и молекулы электрически нейтральны. Но заряжен- ные частицы взаимодействуют друг с другом, что приводит к взаимо действию между атомами и молекулами. Такое взаимодействие называют электромагнитным. Теперь наша модель может быть представлена иным образом. На определенных межмолекулярных расстояниях силы электромагнитного взаимодействия уравновешиваются. В этом случае сила упругости не воз- 127 никает. Но при сближении молекул или удалении их друг от друга силы взаимодействия увеличиваются, что и определяет силу упругости тела. Обратимся теперь к вьыснению природы сил трения. Из практики Рис 10 17 знаем, что наждачной бумагой можно обрабатывать поверхность тел по-разному. Если переходить от крупнозернистой к мелкозернистой наждачной бумаге * то можно получать все бол ее гладкую поверхность Однако при любой обработке на поверхности остаются неровности, которые можно наблюдать с помощью микроскопа и которые схематично отражены на рисунке 10.17. Оказьшается, трущиеся поверхности непос- редственно касаются малыми участками. Площади соприкосновения этих участков в сотни раз меньше, чем площади поверхностей, скользя пдах друг относрггельно друга. При движении одного тела по поверхности другого неровности (бугорки, выступы), цепляясь друг за друга, препятствуют движению тел Иногда происходит их смещение, иногда отрьш (разрушение). При сме щении бугорков и их отрыве проявляются действия сил молекулярных связей, природой которых является электромагнитное взаимодействие. Таким образом, силы упругости и силы трения определяются электромагнитным взаимодействием между молекулами. Задание 10.4 Пользуясь указаниями об изучении физической величины (см консультацию 1), установите физический смысл понятия коэффищ’ ент трения. Задание 10.5 Решите задачи 15 1. Имеется плоская фигура, состоящая из круга и квадрата (рис. 10.18). Радиус круга равен половине стороны квадрата, длина которой равна 0,6 м. На каком расстоянии от центра круга находится центр масс этой фигуры? (Принять п 3.) 2. На каком расстоянии от центра шара радиусом 0,6 м находится центр масс объемной фигуры, состоящей из шара и куба? Радиус шара равен половине ребра куба. (Принять п 3.) 3. Пользуясь только линейкой и циркулем, найдите центр масс од нородной пластины в форме произвольного треугольника. 128 Рис. 10.18 Рис. 10.19 4. Тело конической формы уравновешено на тросе (рис. 10.19). Какая часть (А или В) окажется тяжелее, если распилить тело по линии подвеса? 5. Одна половина цилиндрического стержня состоит из стали, другая — из алюминия. На каком расстоянии от середины стержня находится центр масс? Длина стержня 80 см. Принять плотность стали в 3 раза больше плотности алюминия. 6. Упряжка собак при движении саней действует с силой 0,2 кН. Какой массы сани с грузом может перемещать упряжка, двигаясь равномерно по горизонтальной поверхности, если коэффициент трения равен 0,1? 7. Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жесткос- тью 100 Н/м. Какая работа совершена на пути 1,6 м по преодолению силы трения? Найдите удлинение пружины. (Коэффициент трения равен 0,3.) 8. Чему равна сила трения при равномерном движении велосипе диета по горизонтальной дороге, если коэффициент трения равен 0,07? Масса велосипедиста с велосипедом равна 80 кг. (Принять 10 м/с^.) 9. Какой путь пройдет шайба по горизонтальному льду, если коэф- фициент трения равен 0,04, а начальная скорость шайбы 4 м/с? 10. Через сколько времени после начала аварийного торможения остановится автобус, движуищйся со скоростью 12 м/с, если коэффициент трения равен 0,4? 11. Почему водитель должен уменьшать скорость при приближении к повороту? Какое отношение к этому имеет скверная погода, листопад, гололед? 12. Каков наименьший радиус дуги поворота автомобиля, движу щегося по горизонтальной дороге со скоростью 36 км/ч, если коэффи циент трения о дорогу равен 0,25? 13. На вращающемся с частотой v = 1 Гц плоском диске лежит пре, мет. Коэффициент трения между предметом и диском равен 0,4. На ка 5 Физика, 10 кл. 129 ком предельном расстоянии от центра диска может удержаться предмет? 14. На горизонтальном столике в автомашине лежит книга. С какой максимальной скоростью может двигаться автомобиль на повороте радиусом 200 м, чтобы книга не соскальзывала? Коэффициент трения между книгой и столом равен 0,2. 15. Трамвайный вагон массой 7,0 т идет со скоростью 4,0 м/с по кри- вой радиусом 120 м. Поперечного уклона нет. Найдите силу давления внешнего рельса на реборду колеса. Задание 10.6 Нс Решите задачи 1. Магнит массой 70 г прижимается к стальной пластине с силой 2000 Н. Какую силу нужно приложить, чтобы перемещать магнит по горизонтальной пластине? Какую силу нужно приложить, чтобы перемещать магнит по вертикальной пластине вверх (вниз)? Коэффициент трения равен 0,4. 2. В бруске массой М, лежащем на горизонтальной доске, застревает летящая горизонтально пуля массой т. При этом брусок перемещается по доске на расстояние L. Коэффициент трения между бруском и доской |Li. Определите скорость пули. 3. Масса саней с грузом т. Равномерно двигая по горизонтальной поверхности сани, мальчик тянет веревку, привязанную к ним, под углом а. Коэффициент трения между санями и снегом |ii. С какой силой тянет мальчик веревку? 4. Между телами массой /«i и /И2 находится пороховой заряд. Центр масс системы этих тел имеет координату X, После взрыва заряда тела разлетаются в противоположные стороны вдоль оси ОХ, Определите положение центра масс этой системы спустя время t после взрыва. Как будет двигаться центр масс системы осколков, полученных при взрьте гранаты в верхней точке траектории, если граната была бро шена под некоторым углом к горизонту? 10.5. Движение тела плоскости наклонной Задание 10.7 По предложеьшой ситуации изучите решение задачи 1, решите за дачи 2—5 и ответьте на вопросы. 130 Ситуация Тело массой т находится на наклонной плоскости, составляющей щ угол а с горизонтом. Коэффициент трения между телом и плоскостью ц. 1. Какую силу (вверх или вниз вдоль наклонной плоскости) нужно приложить к телу, чтобы оно двигалось равномерно вверх (вниз) по наклонной плоскости? Решение Рассмотрим силы, действующие на брусок при его движении вверх по наклонной плоскости (рис. 10.20). В результате взаимодействры с Землей на брусок действует сила тяжести mg , приложенная к центру масс. В результате взаимодействия бруска с наклонной плоскостью на его нижнюю грань действует сила реакции опоры N. Рис. 10.20 Рис. 10.21 Чтобы брусок двигался вверх по наклонной плоскости поступатель но, нужно приложить силу F, направление которой проходит через центр масс. При движении бруска вверх сила трения тр ^ действует на нижнюю грань, а ее направление противоположно направлению дви жения. Направление силы трения не проходит через центр масс. поэтому брусок не должен двигаться поступательно. Однако опыт по казывает, что низкий брусок движется поступательно. Очевидно, нуж но учитывать еще какие-то неизвестные пока нам факторы (о них пой дет речь в следующей главе). В данной задаче можно пренебречь не значительным отклонением направления силы тр от линии, проходя щей через центр масс, и рассматривать движение бруска как движение материальной точки (рис. 10.21). 131 Определим, как направлена равнодействующая сил mg N. Допустим, на брусок силы Fyi nt действуют, а действуют толь ко силы mg Vi N. Такой брусок при отсутствии трения будет соскаль зывать вниз равноускоренно с ускорением, направленным вдоль наклон НОИ плоскости. По второму закону Ньютона mg + N та Запишем это уравнение в проекциях на оси ОХ и ОТ, которые прове дем так, как показано на рисунке 10.22. На ось ОХ\ Щх + N. на ось OY: mgy + Ny Из рисунка 10.22 видно, что К X = тах. (1) = тау, 0,Ny = N,mgx = = mg sina, mgy= (2) mg cosa, & а, а у Следовательно, вместо уравнений (1) и (2) будем иметь: wgsma та и N mg cosa. (10.6) Теперь вновь обратимся к рисунку 10.21. Движение рассматривается вдоль плоскости (так же направлена ось ОХ). Сила F направлена вверх по наклонной плоскости, т.е. противоположно направлению оси ОХ, следовательно, ее проекция на эту ось отрицательна: Fx F. Сила тре ния Ftp направлена по оси ОХ, следовательно, (^’тр)д: = Fj^, Рис. 10.23 132 с учетом этого второй закон Ньютона в скалярной форме в случае равномерного движения тела можно записать так: F-\- F^ + mg sina Но/: тр \x.N, diN= mg cosa. Следовательно, mg sina + \img cosa. При равномерном движении вниз (рис. 10.23) сила трения направ лена вверх по наклонной плоскости в сторону, противоположную на правлению скорости v (и оси ОХ). О силе F (ее значении и направле нии) мы пока ничего не знаем. Второй закон Ньютона для этого движе ния в скалярной форме принимает вид: Fx — mg sina Отсюда: Fx = Fjp-mgsina Здесь возможны три случая равномерного движения. LF тр mg sina — модуль силы трения равен модулю проекции силы тяжести. Тогда Fx 2.F тр > mg sina. Тогда получается, что > 0, т.е. для равномерного вижения вниз нужно приложить силу направленную вниз вдоль наклонной плоскости. 'i.Fr^d, 0. Применительно к рисункам 11.2 и 11.3 это условие может быть за писано следующим образом: FA Fid2 0,F^d 1 Fid. Первое условие равновесия определяет либо состояние покоя, либо со стояние равномерного поступательного движения; второе условие опре деляет либо состояние покоя, либо состояние вращения с постоянной угло вой скоростью. Правило моментов сил может быть получено теоретически с при менением закона сохранения энергии для замкнутой механической си стемы. Пусть на рычаг в плоскости чертежа действуют силы 1 и 2 (рис. 11.4). Рычаг способен вращаться вокруг оси О. Допустим, при рав номерном вращении рычаг повернулся так, что левый конец, к которо му приложена сила F j , совершил малое перемещение ^ ^, а правый, к которому приложена сила F 2, совершил также малое перемещение s 2 При очень малых перемещениях s, и можно считать, что переме 2 щения направлены по вертикали. Сила 1 направлена под острым уг лом а к перемещению ^, а сила F, противоположна по направлению перемещению 52 • Работа силы F^ будет положительной, а силы F 2 отрицательной. Поскольку рычаг вращался равномерно, его энергия не менялась, следовательно, работа внешних сил равна нулю: /"i^icosa P7S2 о, или /’ijicosa FoS2^ 141 Из подобия треугольников следует: L 1 S 2 S 1 , тогда -Fiiicosa F2L2 Кроме того, di = Licosa. Учитывая, что dy = L7, окончательно получим т F2CI2, или Fid 1 Задание 11.1 1ЙГ Лабораторная работа «Изучение условия равновесия диска, вращающегося на закрепленной оси» Ход работы любым трем гвоздям, у к репленным на диске, подцепите на петлях грузы с крючками (рис. 11.5). К нитям можно цеплять разное число грузов. Убеди- тесь, что равновесие наступает при разных вариантах подвешенных грузов. Выберите какой-либо вариант равновесия. Измерьте плечи сил с применением уголь- ника, подсчитайте положительные и отрицательные моменты сил, найдите их алгебраическую Рис. 11.5 сумму и сделайте вывод. 11. Y Виды равновесия Различают три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и без различное. Мы уже встречались с понятием безразличного равновесия. Установили факт: если закрепленная ось вращения проходит через центр масс, то тело находится в безразличном равновесии. Тело, вьшеденное из одного положения равновесия, после прекращения действия сил может быть установлено в любом другом положении. Примером может служить плос- 142 кая однородная пластина (линейка) с отверстием в центре масс Ц\ через отверстие проходит ось О, которая жестко закреплена на стене (рис. 11.6, а). При любом положении линейки ее потенциальная энергия одна и та же. Центр масс находаггся на одном уровне по отношению к Земле. Если же ось не проходит через центр масс, то возможны два случая. Первый случай: центр масс находится ниже закрепленной оси (рис. 11.6,6). Чтобы вывести тело из положения равновесия, нужно затратить энергию, поднять центр масс относительно Земли. В данном случае тело, вьгоеденное из состояния равновесия, самопроизвольно в него возвращается. Такое со- Ц Рис. 11.6 в стояние нгзыьгют устойчивым. Второй случай: центр масс находится выше закрепленной оси (рис. 11.6, в). Тело, выведенное из состояния равновесия, самостоятельно в него не возвращается. Такое состояние равновесие называют неустойчивым. Здесь при выходе тела из положения равновесия потенциальная энергия уменьшается. Рисунок 11.7 иллюстрирует поведение шара на горизонтальной плоскости (а)у на дне сферической чашки (6), на вершине полусферы {в). В первом случае его равновесие безразличное, во втором — устойчивое, в третьем неустойчивое. Сравнивая положения равновесия линейки и шара, можно выделить общие признаки видов равновесия. При безразличном равновесии изменение положения тела не приводит к поднятию или опусканию центра масс, центр масс находится на одном уровне при любом положении тела, при изменении положения тела его потенциальная энергия не меняется. При устойчивом равновесии центр масс занимает самое низкое положение относительно поверхности Земли. Потенциальная энергия тела минимальна, при выводе тела из положения равновесия оно самопроизвольно возвращается в положение равновесия. При неустойчивом равновесии центр масс занимает самое высокое положение относительно поверхности Земли. При выводе тела из положения равновесия потенциальная энергия тела уменьшается, оно самопроизвольно в положение равновесия не возвращается. Обратимся теперь к устойчивости равновесия таких тел, которые имеют поверхность опоры. К ним относятся, например, здания, опоры линии электропередачи, трубы. Простейший случай показан на рисунке 11 .8. Рассмотрим, в каком случае призма будет находиться в равновесии при повороте вокруг ребра О. В положении равновесия направле- 143 а в Рис. 11.7 а в г Рис. 11.8 ние силы тяжести проходит через поверхность опоры (рис. 11.8, а), которой является нижняя грань. Если к точке А приложить силу, направленную вверх, и приподнять призму на малую высоту (рис. 11.8, б), а затем отпустить, то призма вновь возвратится в первоначальное положение. Это обусловлено моментом силы тяжести М = mgd относительно оси О, проходящей через правое нижнее ребро. Что же произойдет, если за ребро А поднимать призму на ббльшую высоту? На рисунке 11.8, в направление силы тяжести проходит через ось О. Равновесие неустойчивое, ибо центр тяжести находится в самой высокой точке. Дальнейший незначительный поворот вокруг оси О изменит знак момента силы тяжести (рис. 11.8, г), и призма самопроиз- вольно установится на хрань ОВ, Таким образом, для устойчивости тела. имеющего опору, необходимо, чтобы направление силы тяжести пере секало поверхность опоры. 11.3. К решению задач по статике При решении задач по статике существенным является не только опре- деление действующих на тело сил, но и определение точек приложения этих сил. Кроме того, необходимо учитьшать, что векторы сил можно переносить вдоль линии действия сил. Важно так же выбирать ось вращения и находить плечи сил. Вообще говоря, ось вращения можно провести через любую точ- 144 L 3 О L L i Tv ' "ii • ,'i- ■^. F. I О ЧЧ-:' _____Lz Рис. 11.10 Рис. 11.11 Рис. 11.12 ку. Однако целесообразно ось проводить через точку приложения или линию действия одной из сил (или через точку пересечения линий действия нескольких сил). В этом случае момент сил равен нулю, так как плечо равно нулю. Это упрощает решение задачи. Задачи по статике можно разделить на три группы: 1) задачи, в которых применяют только условие У Z’. 2) задачи, в которых применяют только условие ^ М,. 3) задачи, в которых применяют оба условия. К первой группе можно отнести, например, следующие задачи: 1. Определите коэффициент трения бруска о наклонную плоскость, если брусок скользит равномерно при угле наклона а. На рисунке 10.23 были показаны действующие на брусок силы: mg-\- N =0. Соотношение не изменится, если брусок будет покоиться при том же угле наклона. 2. Определите силы, действующие на подкос ВС и перекладину АВ, если к точке В подвешен груз массой т (рис. 11.9). анном случае: jFj + /’з + 0. Недостающие данные в задачах 1 и 2 получают из геометрических соотношении. Рассмотрим задачу второй группы. Доска массой т лежит на опоре, расположенной на расстоянии, рав- L ном Y, от правого конца (L—длина доски, рис. 11.10). Какую силу нужно приложрпъ к правому концу доски, чтобы она оказалась в равновесии? Осью вращения является точка опоры О (рис. 11.11). Тогда: FL 3 mgLi, где ii L 3 L 3 \F 0,5mg 145 Другой способ решения основан на выборе сил по рисунку 11.12, где 1 2mg 3 5 2 mg 3 Условие равновесия FL 3 + mg L 3 2mg L 3 3 Ответ получится тот же, а именно: F= 0,5тя, но решение сложнее Задача третьей группы. нородныи стержень приставлен к идеально гладкой стене под углом а к полу (рис. 11.13). При каком минимальном коэффициенте трения стержня о пол стержень не будет проскальзывать? Для решения задачи следует использовать Рис. 11.13 оба условия равновесия. Ось вращения можно выбрать в точке О. Тогда первое условие можно записать как mg^^N+ /^ = 0, второе — как mg L cos а + |Liw^£sina = NLcosa (L — длина стержня). Далее можно выбрать систему координат с началом в точке О, направив оси ОХ и OY в горизонтальном и вертикальном направлении. Записав первое условие в проекциях на оси, выразить проекции через модули сил и решить полученную систему уравнении. Обратимся теперь к составлению предписания, позволяющего отразить общий подход к решению задач по статике. Предварительно решим две задачи (А и Б), найдем в структуре решения этих задач общие операции, которые и положим в основу составления предписания. Задача А. К средней точке горизонтально подвешенного невесомого провода длиной i = 20 м подвешен груз массой /w = 17 кг, вследствие чего провод провис на расстояние А = 10 см. Определите силу упругос- ти, с которой каждая половина провода действует на груз. Решение 1. В данной задаче рассматривается равновесие системы. 2. Сила тяжести, действующая на подвешенный груз массой т, урав новешивается силами упругости, действующими со стороны провода 146 . Силы, действующие на груз в точке подвеса, можно изобразить графически (рис. 11.14). 4. Так как в задаче не рассматривается возможность вращения, то следует применить только одно условие равновесия. 5. Условие равновесия F + F ^ + Z’ 2 0. (1) 6. Систему координат удобно выбрать с началом в точке подвеса, j направления осей — по горизонтали и вертикали. Тогда равнодейству ющая сил /’j и /’з будет направлена вдоль оси OY (рис. 11.15). 7. Условие (1) можно записать в проекциях на координатные оси \х + F- 2х 0,Fy + F,y-^F2y или 1у + F2y = F, так как Fy F, 8. Для определения F^y и 7^2v необходимы дополнительные условия. а именно: -Fisina, F2v — F2sina, F\ = F2, sina L 147 9. Полученные уравнения Fly + Fly ly 2yf IH 1 L достаточны для определения Fi: 1 EL Ah ,F 1 8500 H 10. Ответ правдоподобен, что можно проверить по единицам физических величин в конечной формуле: Н • м/м = Н. Сила упругости, действующая со стороны провода, превышает силу тяжести, действующую на подвешенный груз. Чем меньше провисание груза, тем сильнее натягивается провод. Задана Б, Цилиндрический каток массой 100 кг и радиусом 0,5 м необходимо перекатить через порог высотой 0,1м (рис. 11.16, а). Какую минимальную силу нужно приложить в горизонтальном направлении? Решение 1. Требование приложить минимальную силу следует понимать так, что при условии равновесия каток не должен опираться на горизонталь- ную поверхность. В процессе перекатывания сила F изменяется. 2. На каток будут действовать три силы т сила тяжести, F искомая сила в горизонтальном направлении, N — сила со стороны по « рога (рис. 11.16, б). а Рис. 11.16 148 3. в случае равновесия геометрическая сумма этих сил должна быть равна нулю. Каток можно рассматривать как имеющее ось вращения проходящую через точку .4. Тогда плечи сил Z’ и /’т будут соответственно равны L и flf. 5. Запишем условия равновесия: F + Т 4- N =0,FL-F^d = 0, 6. Выберем систему координат с началом на оси катка и направле ниями осей, совпадающими с линиями действия сил F и Ft . Обозна чим угол между вектором силы N и осью 07через а (рис. 11.16, в). 7. Запишем уравнения в скалярной форме: iVsina = О, Ncosa т 0,FL F^d=0 (2) 8. Найдем L, d, cosa: А, d 2 2 Lr , cosa L R 9. Подставл51я значения L, d, m в уравнения (2), получим N mgR R h mgJR 2 R h 2 Найдем значения F и N: 740 H,N= 1200 H 10. Ответ правдоподобен, что легко проверить по единицам физи ческих величин. Правдоподобность ответа можно проверить также, учи 2 4 2 тывая, что N Замечание. В процессе решения задачи чертеж видоизменяется, к начальному варианту добавляются новые элементы. Сравнивая решения задач А Vi Б, можно заметить, что в решениях вьщелено одинаковое число шагов, на которых выполняются сходные операции. Это позволяет обобщить содержание отдельных шагов и записать предписание для решения задач подобного типа. Задание 11.2 а Опираясь на пункты решенных задач А и Б, составьте предписание из 10 пунктов для решения задач по статике. 149 Задание 11.3 Решите задачи 15 !• Как меняется сила F, с которой тянут трос, по мере поднятия груза массой т (рис. 11.17)? 2. По лестнице, приставленной к стене под некоторым углом, поднимается человек. На какой ступени (верхней или нижней) опасность проскальзывания лестницы больше? Могут ли силы, равные по модулю 6 и 4 Н, приложенные к одному телу, дать равнодействующую, равную 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11 Н? 4. В каком случае нужно приложить ббльшую силу: если тянуть за веревку сани под углом а или если толкать палкой сани сзади тоже под углом а? 5. На обод колеса по касательной действует сила. Как изменится момент силы. если: силу увеличить в 2 раза, а плечо уменьшить в 2 раза; б) силу уменьшить в 2 раза, а плечо увеличить в 4 раза? 6. В каком случае лодка более устой- чива: когда груз лежит на сиденье или когда груз лежит на дне? 7. Какое тело более устойчиво: цилиндр или конус, — если высота и площадь основания у них одинаковы? 8. Для чего на платформе подъемного крана укладываются тяжелые бетонные блоки? 9. Как, не пользуясь весами, определить массу линейки при помо-пщ гири известной массы? 10. Болт, подвешенный на нити, уравновешен. Какая часть болта окажется тяжелее: с головкой или нарезная, если болт распилить в месте подвеса? 11. Тело массой 4 кг подвешено на шнуре (рис. 11.18): AD = 100 см, 200 см. Каковы силы упругости, возникающие в шнурах AD DC СВ vlDCI 12. Найдите силы, действующие на подкос ^Си тягу(рис. 11.19), если А8 = 1,5 м, АС = 3 м, 5С = 4 м, а масса груза 200 кг. 13. Рельс длиной 10 м и массой 900 кг подвешен на двух параллельных тросах. Найдите силу натяжения тросов, если один из них укреплен на конце рельса, а другой — на расстоянии 1 м от другого конца. 14. Круглый стол массой 30 кг имеет три ножки, расположенные по краю стола на одинаковых расстояниях друг от друга. Чему равна мини 150 Рис. 11.18 Рис. 11.19 мольная масса тела, которое нужно положить на край стола, чтобы он опрокинулся? 15. Какую минимальную силу нужно приложить в горизонтальном направлении, чтобы куб массой 100 кг опрокинуть через ребро? Глава 12.1. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Кинематика вращательного движения при вращательном движении тела все его точки движутся по ок ружностям, центры которых находятся на одной оси. Примером такого движения может служить вращение диска вокруг закрепленной гори зонтальной оси О (рис. 12.1). Его точки А и В вращаются по окружностям с центром в точке О. Точки Аи В находятся на разных расстояниях (г и К) от центра О. При повороте радиусов гиКнаугол <р (угол отсчитывается от прямой ON) точки А и В проходят разные расстояния. Их линейная скорость вдоль траектории, которые являются дугами А'А и будет разной, но угол поворота <р — одним и тем же. При этом любой радиус. проведенный от оси вращения 1 о произвольной точки, за определенный промежуток времени повернется на один и тот же угол. Следовательно, угол поворота произвольного радиуса является характеристикой вращающе- гося твердого тела, аналогичной длине пути тела, движущегося поступатель- 151 но. Если за определенный промежуток времени угол поворота ср для всех точек одинаковьш, то и угловая скорость для всех точек тоже одинако вая. В главе 8 было введено понятие угловой скорости для точки, которая равномерно движется по окружности: со t . Однако вращение может быть ускоренным. В установке, показанной на рисунке 12.1, под действи ем опускающегося груза массой т нить, накрученная на барабан, будет раскручивать диск. Следовательно, угловую скорость надо определять следующим образом: (12.1) где At — достаточно малый промежуток времени, в течение которого изменением скорости можно пренебречь, Аср — угол поворота произ- вольного радиуса за время At. Формула V = (oR, полученная в главе 8, дает связь между линейной и угловой скоростью произвольной точки вращающегося тела, которая движется по окружности радиусом R. Если угловая скорость меняется. то можно записать: Av = А(соЛ). Поделим обе части полученного равенства на достаточно малый промежуток времени At. Av ~At A((Oi?) At , или Av At Aco aT (12.2) В равенстве (12.2) слева — тангенциальное ускорение точки, движу щейся по окружности радиусом R, т.е. а Av It Очевидно, в правой час ти величина Асо аГ есть не что иное, как угловое ускорение тела: Асо At (12.3) Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скоро сти. Определяется отношением изменения угловой скорости к промежут ку времени, за который произошло это изменение. Единицей углового ускорения является 1 рад/с^ — это такое ускоре ние, при котором за\с угловая скорость изменяется на 1 рад/с. 152 Связь между линейным и угловым ускорением дается формулой (12.2), или а QR. (12.4) Учитывая, что Асо со соп, из равенства (12.3) можно записать: со С0о+ В/, (12.5) что аналогично выражению для линеинои скорости v = Vq + at. Если угол поворота радиуса выражать в радианах, то для произвольной точки длина дуги при повороте радиуса на угол ср будет равна срЛ. (В частности, для полной окружности L 2nR, ср 2п.) Но L есть длина пути, которую при равноускоренном движении можно запи сать следуюпщм образом: v^t + at 2 2 Подставляя значения L (fR, Vo (OqR, а РЛ и сокращая на R, по лучим: СОп/ + 2 2 (12.6) Выражение (12.6) определяет угол поворота радиуса произвольной точки, иначе говоря, угол поворота вращающегося тела. Аналогия между величинами, характеризующими поступательное и вращательное движения, представлена таблицей 12.1. Таблица 12.1 Движение поступательное вращательное Перемещение s Угол поворота ср Скорость V Угловая скорость со Ускорение а Угловое ускорение Р Формулы: Формулы: V = Vq + at, (0 = С0о+ at^ 2 ■ (р=Юо/+ . 153 Вращательное движение тел широко используется в промышленности, сельском хозяйстве, быту, поэтому определение зтловой скорости и углового ускорения является важной задачей. Например, от скорости вращения турбины на электростанции зависит электрическое напряже ние. Знание скорости движения автомобршя (скорости вращения ко лес) позволяет водителю не нарушать правила дорожного движения; если известна скорость вращения центрифуги, то можно рассчитать перегруз ки космонавта, и т. д. Наиболее распространенным прибором для измерения угловой скорости является электрический спидометр, представляющий собой генератор электрического тока, соединенный с гальванометром. При во^ от вращающегося тела заставляет вращаться якорь генератора Напряжение на выходе генератора пропорционально частоте враще ния якоря, т.е. угловой скорости вращающегося тела. Шкала гальва нометра градуируется в единицах скорости. Кроме электрического спидометра существуют и другие приборы для измерения угловой скорости. Задание 12.1 * Лабораторная работа «Определение угловой скорости и углового ускорения блока» Получите необходимую формулу и наметьте план выполнения работы. Оборудование: штатив; блок; грузы с крючками (рис. 12.2); грузик; нить; линеика; секундомер. Для получения равноускоренного движения на грузы с крючками слева (или справа) положите маленький грузик. В качестве грузика можно применить монету. Рис. 12.2 154 12.2. Динамика вращательного движения В динамике поступательного движения основным законом, по зволяющим рассчитывать движения разных тел, является второй закон Ньютона: та . Попытаемся найти аналогичный закон для враща тельного движения. Прежде всего изучим ка чественно характер вращения тела в зависи о мости от приложенной к нему силы и массы тела. На рисунке 12.3 показана экспериментальная установка, представляющая собой стержень длиной X, вдоль которого могут пе ремещаться и закрепляться в определенных местах грузы 7 и 2. Со стержнем жестко скреплены два диска радиусами г и 7?. На диски может накручиваться нить, к концу которой привязан груз массой т. Под действием силы тяжести mg груз опускается, приводя во вращение исследуемую систему тел. Рис. 12.3 Допустим, что нить накручена на диск радиусом г. Под действием груза массой т система приходит во вращение с некоторым ускорени ем. Опыт показывает, что с увеличением массы т груза увеличивается i ускорение. В этом нет ничего неожиданного. Вторую серию опытов проведем при одной и той же массе т груза, но нить накручивается сначала на диск радиусом г, а затем на диск ради усом R. В результате придем к выводу, что при одной и той же массе груза, т.е. при одной и той же силе, действующей на тело, угловое ускорение будет разным. Чем больше радиус диска, тем больше угловое ускоре- ние. Следовательно, вращательное действие силы зависит не только от самой силы, но и от точки ее приложения. В нашем примере положение точки приложения силы определ5глось радиусом, гшаче говоря, плечом. Очевидно, нужно речь вести не о силе, а о моменте сильг: mgr или mgR. Теперь видоизменим оггьгт следующим образом. Сравним угловое ускорение рассматриваемой системы тел при одном и том же моменте сильг mgr. Будем менять расстояние от центра О до грузов 7 и 2. Общая масса системьг при этом остается постоянной, но распределение масс относительно оси вращения разное. Эксперимент показывает, что при одном и том же моменте сильг угловое ускорение системьг будет раз-ньгм. Чем ближе грузы 1 и 2к центру вращения, тем больше угловое ускорение. Следовательно, на значение углового ускорения влияет не только 155 Рис. 12.4 значение массы тела, но и распределение массы от носительно оси вращения. Найдем количественную характеристику, связан ную с массой вращающегося тела и определяющую угловое ускорение. Рассмотрим простейший случай. когда по окружности движется материальная точка массой/и (рис. 12.4). Пусть на эту точку действует сила F , перпендикулярная радиусу. Для этой точки можно записать второй закон Ньютона: та. (12.7) Для вращательного движения существенным является момент силы. Чтобы получить момент силы F , умножим обе части выражения (12.7) на R (радиус R является плечом силы 7^) и учтем, что а Получим: &R FR (12.8) Введем обозначение: mR^ (12.9) Величина I = mR^ назьшается моментом инерции материальной точ ки относительно данной оси вращения. Единицей момента инерции явля ется 1 кг *м^. Учитывая, что момент силы М=/К, выражение (12.8) можно запи сать так: М т (12.10) Выражение (12.10) справедливо не только для материальной точки, но и для тела любой формы. Оно является основным уравнением дина- мики вращательного движения. Момент силы, приложенной к телу, равен произведению углового ус корения на момент инерции тела относительно оси вращения. * I f 11 i Опыты с установкой, показанной на рисунке 12.3, подтверждают уравнение 12.10. В этих опытах увеличение момента силы Млибо за счет увеличения массы подвешенного груза, либо за счет увеличения плеча (радиуса) приводило к увеличению углового ускорения. Если получить числовые значения, то можно убедиться, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы. 156 Как оказалось, угловое ускорение зависит от момента инерции. Мы видели в опытах, что уменьшение радиуса окружности, по которой двигались грузы 7 и 2 (при Л/= const и /w = const), приводило к увеличению углового ускорения. Сравнивая выражения (12.7) и (12.10), можно увидеть аналогию меж- ду физическими величинами, характеризующими поступательное и вра щательное движения. Силе при поступательном движении соответствует момент силы при вращательном движении; массе соответствует момент инерции. Таким образом, момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Любое тело можно представить как систему жестко связанных меж- ду собой материальных точек. Можно показать, что для тела произвольной формы момент инерции относительно неподвижной оси равен сумме моментов инерции всех материальных точек относительно этой оси: (12.11) где W/ — масса материальной точки, 7?/ — ее расстояние от оси враще ния. Моменты инерции тел, имеющих оси симметрии, можно подсчитать с помощью математических методов, выходящих за пределы знаний элементарной математики. На рисунке 12.5 приведены значения моментов инерции некоторых тел. Момент инерции тела произвольной формы (или системы тел) относительно произвольной оси можно подсчитать с заданной точностью с помощью ЭВМ, применив формулу (12.11). Тонкостенный цилиндр О тК 2 Сплошной цилиндр mR 1 .0 Сплошной шар imR' Тонкий спержень Рис. 12.5 157 Опытным путем момент инерции любого тела можно определить, применив основное уравнение динамики вращательного движения (12.10). Аналогия между физическими величинами и законами динамики поступательного и вращательного движений представлена таблицей 12.2. Таблица 12.2 Движение поступательное вращательное | Сила F Момент силы М Масса т Момент инерции / Основной закон динамики Второй закон Ньютона: вращательного движения: F - та М = тр ' Задание 12.2 * Вьгаислите момент инерции системы из трех одинаковых грузов, скрепленных легкими (считать невесомыми) стержнями, относительно осей вращения 00 (рис. 12.6, а. б). Масса каждого груза /и = 5 кг, рассто- яние между грузами г 2 м. 12.3. Законы сохранения при вращательном движении Основной закон динамики поступательного движения — второй за кон Ньютона мы записывали в следующем виде: та, или т Av At , или Ар At Аналогично для вращательного движения можно записать М /р, М Асо Следовательно, М со 2 COi 1.Г /со,-/со. -—^,или м =—---------i At At 158 \0 \о I 1 I I I ф I А ф I I 10 I I а Окончательно получим: Рис. 12.6 (12.12) Величину /со называют моментом импульса и обозначают буквой L: /©. (12.13) Тогда: (12.14) Момент силы относительно оси вращения равен отношению изменения момента импульса относительно этой оси вращения ко времени, за которое произошло это изменение. Пусть на тело не действует момент силы, т.е. Af = О, тогда А/ иначе AL = О, т.е. L = const. Полученное выражение можно записать так: (12.15) Выражение (12.15) представляет собой математическую запись за кона сохранения момента импульса. Момент импульса вращающегося тела остается постоянным, если мо мент внеппшх сил, действующих на тело, равен нулю. Закон сохранения момента импульса объясняет любопытные фак ты, связанные с изменением угловой скорости тела вследствие измене ния расположения частей тела, что можно проиллюстрировать с помощью установки, показанной на рисунке 12.7. Шары Ш могут свободно скользить по наклонным стержням С. К шарам привязана нить Н, перекинутая через блоки Б. Если за концы нитей К потянуть вниз, то шары можно поднять по наклонным стержням С. Система подвешена на нити Т. Заставив систему вращаться вокруг оси, направленной вдоль нити Г, и 159 потянув за концы нитей К, можно наблюдать увеличение угловой скорости. При отпускании концов АГугловая скорость уменьшается. Чтобы заставить тело вращаться, необходимо совершить работу Следовательно, вращающееся тело обладает кинетической энергией. которая равна сумме кинетических энергии всех составляюпщх частиц тела, движупщхся по окружностям радиусами Д, т.е.: Авр тл) 2 / 2 Учитывая, что и,- = соЛ/ и угловая скорость одинакова для всех час тиц, получим: /со 2 Лвр (12.16) Это выражение — математическая форма записи кинетической энер ГИИ тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, где /— момент инер ции тела относительно этой оси. Если на тело действует постоянный вращающий момент силы, то совершается работа, которая приводит к изменению угловой скорости и изменению кинетической энергии, т.е.: /ой 2 /ОЙ. 2 Если тело не только вращается вокруг оси, но и движется поступа тельно, например шар движется по наклонной плоскости, то работа вне шних сил может привести как к изменению кинетической энергии вра щательного движения, так и к изменению кинетической энергии по ступательного движения. Рис. 12.7 160 в общем случае АЕ квр + АЕ. кп А(Е. вр + Е, кп АЕ к Здесь “ полная кинетическая энергия тела: (12.17) Полная кинетическая энергия движущегося в пространстве и вращающегося тела равна сумме его кинетической энергии относительно центра масс и кинетической энергии поступательного движения его центра масс. Аналогия между величинами и законами сохранения для поступа тельного и вращательного движений дана в таблице 12.3. Таблица 12.3 Движение поступательное Вращательное Импульс тела: p = mv Момент импульса: i = /со Закон сохранения импульса: Закон сохранения момента ^m^Vi = const импульса: /со = const Кинетическая энергия тела Кинетическая энергия тела При поступательном движении: 1 при вращательном движении: Екп= Работа постоянной силы: Работа при постоянном A = Fs вращающем моменте: А = Мр Задание 12.3 it Пользуясь установкой, схематически показанной на рисунке 12.8, определите момент инерции шара. Найдите коэффициент к в формуле ктВ?. При выполнении опытов не следует устанавливать дорожку вблизи точки А очень круто, ибо возможно проскальзывание шара. Задание 12.4 1ЙГ Решите задачи 15 1. Точильный камень (диск) диаметром 0,40 м вращается с частотой 900 об/мин. Чему равна угловая скорость камня и какова линейная скорость точек на ободе? 6 Физика, 10 кл. 161 Рис. 12.8 2. Чему равна угловая скорость Луны при ее вращении вокруг своей оси и при движении по орбите вокруг Земли? 3. Диск диаметром 20 см вращается с постоянным ускорением, при этом за 2,4 с частота вращения увеличилась от 20 до 64 с“^ Определите угловое ускорение, угловую скорость в начале отсчета времени и линейную скорость на ободе диска в этот момент. 4. Якорь электродвигателя после отключения источника тока уменьшает частоту своего вращения за 5 с от 6000 до 1000 об/мин. Найдите угловое ускорение якоря и число оборотов, совершенных якорем за 5 с. 5. Автомобиль, двигаясь со скоростью 60 км/ч, затормозил и остановился через 5 с. Чему равно угловое ускорение колес, если их диаметр 80 см? б. Четыре одинаковых тела массой т каждое расположены в верши нах квадрата со стороной d. Определите момент инерции системы от носительно оси, проходящей через: а) два тела вдоль стороны квадрата; б) диагональ квадрата; точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости квадрата. . На полый цилиндр диаметром 2,0 м и массой 12 кг намотан трос. Цилиндр из состояния покоя за 3,2 с достигает частоты враще- ния 180 об/мин. Определите силу, действующую на цилиндр со сто роны троса. 8. Вычислите момент импульса Луны: а) относительно собственной оси вращения; б) при ее движении по орбите вокруг Земли. . Момент инерции ротора центрифуги равен 0,040 кг *м^. Какую работу надо совершить, чтобы из состояния покоя привести его во вращение с частотой 10 000 об/мин? 162 10. Два тела массами т\ и m2 соединены нитью, перекинутой через блок. Блок представляет собой цилиндр массой т и радиусом R, С каким ускорением смогут двигаться тела? 11. Представьте себе, что произошла значительная миграция живот- ных в сторону экватора. Как это сказалось бы на продолжительности суток? 12. По наклонной плоскости скатывается шар и соскальзывает без трения брусок. Какое тело раньше достигнет основания наклонной плоскости? 13. По двум наклонным плоскостям одинаковой высоты, но с разными углами наклона скатываются шары. Будут ли отличаться скорости шаров у основания наклонной плоскости? 14. Два шара покоятся на вершине наклонной плоскости. У одно- го из них радиус и масса соответственно в 2 раза больше радиуса и массы другого шара. Какой шар у основания наклонной плоскости будет иметь ббльшую линейную и какой бблыыую угловую скорость? 15. Шар и цилиндр одинаковых масс и радиусов начинают скатываться с вершины наклонной плоскости. Какое тело первым достигнет основания наклонной плоскости? Глава 13. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ЗВУК 13 тт Что такое волна? Бросив В ВОДУ камень, мы увидим, как от места падения расходятся «круги». Брошенный в воду камень или движущийся катер вызывает возмущение среды, которое распространяется по поверхности воды. Распространение возмущений в среде представляет собой волны. Волны можно наблюдать не только на поверхности жидкости, но и распрост- раняющимися вдоль веревки, пружины и пр. Например, если два чело века удерживают верев1су за концы в свободном состоянии и один из них достаточно быстро перемещает конец веревки вверх и вниз, то по веревке бежит волна. Когда мы говорим «круги расходятся», «волна бежит», очевидно, подразумеваем распространение волны с определенной скоростью. Теперь представим себе, что на поверхности воды в реке находится поплавок. Если к поплав1су подходит волна (идущая от упавшего камня, всплеска рыбы, прошедшего катера и пр.), то поплавок нач нет перемещаться вверх-вниз, но не по направлению распростране 163 ния волны. Чтобы поднять поплавок, нужно затратить энергию, еле [овательно, при распространении волны переносится энергия. Вода состоит из молекул, которые, очевидно, перемещаются так же, как и поплавок, т.е. при распространении волны молекулы колеблются около положения равновесия, но в направлении волны не перемещаются. Теперь рассмотрим опыты с пружиной, подвешенной на 4 дин ных резиновых шнурах (рис. 13.1, а). Шнуры на рисунке не показа ны. Пружина должна быть достаточной длины и малой жесткости Если по концу пружины ударить ладонью, образовавшееся сгуще ние витков побежит вдоль пружины. А если совершать колебания конца пружины по направлению АЪ (рис. 13.1, б), то вдоль пружины будут распространяться волны, представляющие собой перемещение сгущений и разрежений витков пружины. Скорость движения импульса (сгущения) является скоростью распространения волны. Отметим сходство рассмотренных волн. Во всех случаях для распространения механических волн необходима среда, волну образуют возмущения среды, волна распространяется с некоторой скоростью, волна переносит энергию, частицы среды не перемещаются вместе с волной, а колеблются около определенного положения равновесия. Отличие состоит в направлении колебаний частиц среды, В первом случае частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном распространению волны (поперек). Такие волны называются поперечными, В случае с пружиной частицы (витки пружины) колеблются вдоль распространения волны, поэтому волна называется продольной. Приведенные выше примеры волн — это видимые механические волны. К невидимым относятся те, которые могут быть обнаружены либо другими органами чувств, либо приборами. Наиболее часто встре- чаюпщмися механическими волнами, распространяющимися в возду хе, в воде, в земле, являются звуки. а Рис. 13.1 164 Проделаем следующий опыт. Если ударить по камертону резиновым молоточком и поднести к камертону подвешенный на нити шарик (рис. 13.2), то можно увидеть, что во время звучания камертона шарик отскакивает. Отскакивающий колеблющийся шарик является индикатором колебаний ветвей камертона. Индикатором звука является наше ухо. Причем звук мы слышим в любой точке помещения, в котором находится звучащий камертон. Следовательно, от камертона распространяются волны. Что же собой представляют механические волны в воздухе (звук)? Сжимая руками резиновый шарик, наполненный воздухом, мы можем обнаружить: чем больше сжатие (уплотнение, сгущение) воздуха, тем с большей силой он действует на руки. После того как мы разожмем руки, шарик принимает свою первоначальную форму. Следовательно, воздух обладает упругими свойствами. Рис. 13.2 Как и в случае с пружиной, от колеблющегося камертона распро страняются сгущения (уплотнения) и разрежения частиц среды (мо лекул воздуха), ибо воздух обладает, как и пружина, упругими свой ствами. Если звучащий звонок подвесить в сосуде, из которого мож но выкачивать воздух, то по мере выкачивания воздуха звук будет затухать. Чтобы убедиться в том, что звук распространяется и в жидкостях, достаточно нырнуть в воду с двумя камнями. На любой глубине, ударив камнем о другой камень, можно услышать звук. О распространении звука в твердых телах люди знали много лет назад. Читая старые романы, мы могли встретить описание событий, в которых люди, приложив ухо к земле, слышали топот копыт всадника, находящегося на далеком расстоянии. Частным случаем механических волн являются волны, идущие от эпицентра землетрясения и вызывающие разрушения на значительных расстояниях от эпицентра. Механические волны — это процесс распространения колебаний в упругой среде. Кроме механических существуют и другие волны, которые, кстати, могут распространяться и в отсутствие среды. К таким волнам относятся волны, идущие от радио- и телестанций и принимаемые нашими приемниками. К таким волнам относится свет, идупщй от Солнца, звезд, электрических лампочек и других источников света. 165 изические величины 3 характеризующие волны Рассмотрим опыты с пружиной, подвешенной на резиновых шну рах (см. рис. 13.1). В свободном состоянии пружина располагается го ризонтально, а ее витки находятся на равных расстояниях друг от друга Такую пружину можно заменить моделью (рис. 13.3), где витки пружины изображаются частицами. Теперь представим себе, что в первом опыте левый конец пружины приводят в колебания по направлению ХК, а во втором опыте — по направлению LL (рис. 13.4). Очевидно, в первом опыте вдоль пружины (вправо) будет распространяться поперечная вол на (рис. 13.3, внизу), во втором — продольная (см. рис. 13.4). В попереч ной волне различают гребни и впадины, в продольной (соответствен но) сгущения и разрежения Расстояние между соседними гребнями (или впадинами) поперечной волны или между соседними сгущениями (разрежениями) продольной волны называется длиной волны. Длина волны обозначается буквой X, На расстояние, равное длине волны Я., гребень волны перемещается за время одного периода Т (за время одного колебания частицы). Если сгущение (гребень) перемещается на расстояние Я за время Г, то скорость распространения волн равна: (13.1) К К Рис. 13.3 166 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 f 1 1 1 1 1 1 1 t f 1 1 1 1 1 1 1 1 » 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 I 1 1 1 f 1 1 1 1 1 1 1 { 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 r 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I I I I I I » i I I I I I I I I I I I < I \ I I I I 1 I I t I \ I I I I I I I I I t I \ I I I I fill fill till till I t I I I I I I till I I J I fill fill I I I I t t ^ ^ ^ cb d (i ^^^(idcb ^ Рис. 13.4 Вспомним, что частота v Т Как известно, частота определяет, сколько колебаний любая частица совершает около своего положения равновесия за единицу времени (за 1 с) или сколько гребней (сгущений) проходит через произвольную точку в направлении распространения волны за 1 с. Волна характеризуется амплитудой А, которая представляет собой наибольшее отклонение частиц среды от своего положения равновесия. У поперечной волны амплитуда равна расстоянию от гребня (или впадины) до положения равновесия. Поперечную и продольную волны можно представить графически. Направление оси ОХ совпадает с направлением распространения волны. По оси ОУмогут откладываться разные величины. Если график отображает поперечную волну, то у представляет собой смещение частицы от положения равновесия. Для продольной волны по оси OYцелесообразно откладывать плотность вещества. В сгущениях плотность больше нормальной, а в разрежениях — меньше. Тогда на графике (рис. 13.5) точки В, С, D отмечают наибольшую плотность вещества. При распрост ранении волны сгущение (точка В) перемещается вправо. Через четверть Т периода 4 точка переместится на расстояние, равное четверти длины волны 4 Т , через половину периода 2 на полдлины волны 2 ИТ. д 167 Попытаемся вьыснить, от каких факторов зависит скорость ме ханических волн в среде. Можно предположить, что чем ббльшие силы упругости действуют между частицами вещества, тем быстрее передает ся взаимодействие и тем больше скорость распространения волн в этом веществе; чем больше инертность частиц, тем скорость меньше. Итак нас будут интересовать величины, характеризующие инертные и упру гие свойства вещества. Инертные свойства вещества характеризует плотность р. Есть характеристика и упругих свойств. Познакомимся с ней на опыте. Пусть в цилиндре под поршнем находится жидкость объемом V (рис. 13.6). Под действием силы, приложенной к поршню, можно со здать достаточно большое давлениер на жидкость. При этом жидкость. хотя и незначительно, будет сжиматься. Объем ее уменьшится на вели чину AF. Эксперимент показывает, что: ^V (13.2) где 5 величина постоянная. Этот коэффициент является характерис тикой упругих свойств жидкости. Для твердого тела опыт можно видоизменить, взяв металлический цилиндр (рис. 13.7). Если на поверхность площадью S подействовать некоторой силой F , равномерно распределенной по поверхности, то для давления (которое обьгано называют напряжением и обозначают буквой а) можно записать условие, аналогичное (13.2): а М L 9 (13.3) е L дина цилиндра до действия силы F , AL — изменение длины цилиндра под действием силы F. Здесь коэффициент обозначен через Е (модуль упругости). Выражение (13.3) также подтверждается экспе риментально. Рис. 13.6 Рис. 13.7 168 проанализировав выражения (13.2) и (13.3), можно заметить, что физические величины, характеризующие упругие свойства жидкостей и твердых тел {В и Е), имеют такие же единицы, как и давление, т.е. паскаль. Опираясь на обнаруженный факт, продолжим наши попытки отыскать зависимость скорости звука от упругих свойств среды и инертности, считая, что скорость прямо пропорциональна коэффици ентам В или Е и обратно пропорциональна р. Подставим единицы ко эффициента Е и плотности р: Н/м^ : кг/м^ = Н • м/кг 3 mVc 2 (м/с) 2 Таким образом, в результате мы получили единицы скорости в квад рате. Следовательно, можно сделать вывод, что v 2 Е и отличаются только постоянным коэффициентом. Опираясь на более строгий по^ ход, можно показать, что для скорости звука в жидкостях и твердых те лах имеют место соотношения: V и V (13.4) Эксперимент подтверждает эти выражения. В качестве примера подсчитаем скорость звука в стали, для которой 2,1 • IQii Па, 7800 кг/м^. Вычисления дают v = 5200 м/с, что соответствует скорости звука в стали, найденной опытным путем. Зна чения скорости звука в некоторых средах приведены в таблице 13.1. Таблица 13.1 Среда Скорость, Среда Скорость, м/с м/с Алюминий 6260 Вода при 0 “С 1403 при 20 "С 1483 Сталь 5000-6100 Воздух при 0 “С 332 Кирпич 3600 при 20 °С 343 13.3. Энергия волны Мы уже отмечали, что волна переносит энергию. Как же судить об энергии волны? Так же, как и о массе, с учетом плотности вещества. Можно ввести понятие плотности энергии волны, которая характе ризует энергию в единице объема. Обозначим плотность энергии бук 169 вой w. Будем считать, что плотность энергии равна произведению средней энергии одной частицы на число частиц п в единице объема. Средняя энер ГИЯ одной частицы то 2 2 , где V 2 Средний квадрат скорости колеблю щеися частицы, т — масса частицы вещества, в котором распространя ется механическая волна. Следовательно, W то 2 п , но /WW плотность вещества; значит W ро 2 2 (13.5) Рассматривая механические колебания, мы получили выражения 2пА о и и X т u^cos 2ш [см. формулы (9.8) и (9.11)] Учитывая, что v Т , можно записать: Ох = 27rvy4cos(27TvO В течение периода величины п, v, А не меняются. Волна распрост раняется вдоль оси ОХ, поэтому о X О. Средний квадрат скорости равен: о 2 4тс V 2-.2 а2 COS 2 (2iivt) Здесь может меняться только среднее значение квадрата косинуса за период. Но в математике доказывается, что среднее значение квадра та косинуса за период равно единице. Значит, = 4п\^А^. Тогда плот ность энергии механических волн w ри 2 2 может быть записана так W 2n^^pA^. (13.6) Величиной, характеризующей волновой процесс, является интенсивность I, которая равна отношению энергии AfV, переносимой волной за время At через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению распространения волны, к произведению площади S и времени At. AW SAt 170 Но AW = wV, где w — плотность энергии, а V SvAt объем, в кото ром заключена энергия, переносимая волной. Следовательно, In^v^pA^v, (13.7) Таким образом, интенсивность механических волн определяется плотностью среды, квадратом частоты, квадратом амплитуды и скорое тью распространения волн. Преобразуем выражение (13.3), подставив в него значение а S ' тогда получим: ES AL Если направить ось ОХ вдоль стержня вниз (см. рис. 13.7) и вместо внешней силы рассматривать силу упругости г которая равна по модулю силе и направлена вверх, то полученное выражение мож но записать следующим образом (с учетом того, что Ах AL): (F упр/х ES Дч:, кш(Р упр/х кх Следовательно, к ES есть жесткость стержня из материала с мо дулем упругости Е, Величина к характеризует жесткость стержня, а ве личина Е — упругость материала. Оказывается, жесткость стержня пря МО пропорциональна площади сечения и обратно пропорциональна дли не. В пространстве от источника распространяется сферическая волна. Энергия, переносимая волной через сферу радиусом R\ в единицу времени (т.е. мощность), равна произведению интенсивности волны на площадь сферы: 1\ • . Аналогично для сферы радиусом Ri эта величина равна I2 • 4тс Л2 • Так как вся энергия, идущая от источника колебаний, переносится волной как через сферу радиусом R\, так и через сферу радиусом Ry, то: 1 • AtiR^ 2 AnR 2 2» или / 1 / 2 R R 2 2 2 1 (13.8) 171 Таким образом, интенсивность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Кроме того, интенсивность убывает и за счет потери энергии, расходуемой на преодоление «трения» между частицами. В конечном счете эта часть энергии идет на нагревание среды, в которой распространяет ся волна. 13.4. Звук Среди механических волн важным для нас является звук. Человеческое ухо воспринимает как звук колебания в диапазоне частот от 20 до 20 000 Гц. Частота звука определяет высоту тона. Звуки низкого тона — это звуки малой частоты. Например, частота звука камертона «ЛЯ» 440 Гц (низкий тон), а частота свиста более 15 кГц (высокий тон). Громкость звука определяется интенсивностью волны. Чем больше интенсивность, тем громче звук. Однако связь между интенсив ностью и громкостью сложная. Например, человек воспринимает звук интенсивностью 10~^ Вт/м^ (разговор) и звук интенсивностью 10 10 Вт/м 2 (шепот) с небольшой разницей в громкости, хотя интенсивность раз личается на два порядка. Слишком громкий звук может вызывать боле вое ощущение. Индикатором звука является наше ухо. Однако возможны и другие индикаторы. Например, индикатором звука может быть микрофон, со- единенный с чувствительным гальванометром или осциллографом Микрофон служит для преобразова1шя энергии звука в энергию элект рических колебаний звуковой частоты. Если микрофон подключен к осциллографу, то на экране осциллографа можно наблюдать графическое изображение звукового сигнала. На рисунке 13.8 дана схема установки, позволяющей исследовать форму звуковых колебаний, испускаемых камертоном. Звук, создаваемый камертоном, распространяется в воздухе в виде упругих колебаний и достигает микрофона, где происходит преобразование энергии механических колебаний в энергию электрических колебаний, которые графически представляют- на экране осциллографа в виде си нусоид ы. Рис. 13.8 Камертон издает звук одной частоты, которая зависит от длины и толщины его ветвей. Однако существуют электрические приборы — зву- 172 ковые генераторы, которые создают электрические колебания звуковой частоты, и при подключении к ним громкоговорителя (динамика) мож но получить звуки разной частоты. На рисунке 13.9 дана схема установки, с помощью которой можно изучать характеристики звука. Звук, идущий от громкоговорителя, noj ключенного к звуковому генератору, достигает микрофона, преобразу Рис. 13.9 ется, и на экране осциллографа иллюстрируется форма звукового сиг нала. Если ручкой «частота» звукового генератора увеличивать частоту от 20 до 20 000 Гц, то мы будем слышать, как изменяется тон от низкого до высокого. При этом на экране осциллографа будет увеличиваться «плотность» синусоиды, что иллюстрирует рисунок 13.10. Существуют упругие колебания, которые не воспринимаются ухом человека. Упругие колебания с частотой меньше 20 Гц называются инфразвуками, а с частотой больше 20 кГц — ультразвуками. Теперь, не меняя частоты, повернем ручку звукового генератора, позволяющую увеличить мощность электрических колебаний. При этом громкоговоритель начнет издавать звуки большей громкости. На экра не осциллографа мы заметим увеличение амплитуды синусоиды, что иллюстрирует рисунок 13.11. Видоизменим установку. Вместо звукового генератора с громкоговорителем будем помещать перед микрофоном последовательно разные музыкальные инструменты (балалайку, гитару, скрипку и др.). Звук от музыкального инструмента будет графически отображаться на экране осциллографа. При одной и той же высоте тона (частоте) форма сиг- Низкая частота низкии тон ЛЛАЛЛА/ Высокая частота высоким тон Тихо Громко Рис. 13.10 Рис. 13.11 173 у\ЛЛЛ налов получается разной (рис. 13.12). этом случае звуки отличаются по тембру Рис. 13.12 (окраска звука). Дело в том, что музыкаль ные инструменты издают звуки не только основной частоты, но и звуки с частотами, в два, три раза и т. д. ббльшими ос- новной частоты (так называемые обертоны) . В зависимости от состава обертонов звук принимает разную окраску, разный тембр. По тембру мы различаем голоса разных людей. Задание 13.1 Решите задачи 16 1. Какие волны распространяются по металлическому стержню, если по его концу ударили молотком: а) сбоку, б) с торца? 2. Почему уменьшаются амплитуды волн на воде по мере их удале ния от источника? Какие из величин (скорость, частота, длина волны, период) из меняются при переходе волн из воздуха в воду? 4. Рыбак заметил, что его лодка поднимается на гребне волны через каждые 6 с. По его оценке, расстояние между гребнями 18 м. С какой скоростью движутся волны? 5. На каком расстоянии (приблизительно) находится грозовое облако, если гром после вспьппки молнии достиг наблюдателя через 6 с? Температура воздуха 20 °С. 6. На рисунке 13.13 представлен график изменения плотности воздуха при распространении звука вдоль оси ОХ, Укажите графики, которые относятся к звукам: а) одинаковой частоты, б) одинаковой длины Рис. 13.13 174 волны, в) одинаковой амплитуды, г) одинакового тембра. 7. На рисунке 13.14 дан профиль волны, распространяющейся на поверхности воды по направлению оси ОХ, В каком направлении (вверх или вниз) движутся частицы воды в точках А, В, С, D1 , От эпицентра землетрясения рас- Рис. 13.14 пространяются как продольные (со скоростью 9,0 км/с), так и поперечные (со скоростью 5,0 км/с) волны. На каком расстоянии от сейсмической станции находится эпицентр землетрясенрш, если сейсмографы зафиксировали интервал между появлениями волн в 40 с? 9. Дельфины испускают ультразвук частотой 250 кГц. Определите длину волны такого ультразвука в воде и в воздухе при температуре 20 ®С. 10. Грампластинка вращается с частотой 33 об/мин. Игла адаптера находится на расстоянии 15 см от центра, где извилины звуковой дорожки идут с интервалом 3 мм. Чему равна частота издаваемого звука? 11 * Как изменится скорость звука в воздухе при увеличении темпе ратуры, если известно, что плотность воздуха уменьшается при его нагревании, а модуль всестороннего сжатия почти не зависит от температуры? 12*. Два стержня сделаны из одинакового материала, но модуль упругости одного в 2 раза больше модуля упругости другого. В каком стержне больше скорость звука и во сколько раз? 13*. Сравните интенсивности и амплитуды сейсмических волн на расстоянии 10 и 20 км от эпицентра. 14*. Почему скорость звука в газах меньше, чем в жидкостях? 15*. Амплитуда звука увеличилась в 3 раза. Во сколько раз возросла его интенсивность? 16*. Интенсивность рок-музыки в закрытом помещении Вт/м 2 (звук на пороге болевого ощущения). Принять среднее значение часто ты 2 кГц. Определите: а) плотность энергии звука; б) амплитуду колеба ний частиц воздуха; в) длину волны; г) во сколько раз длина волны боль ше амплитуды колебаний частиц; д) во сколько раз увеличится интен сивность звука, если частота возрастет в 2 раза. 13.5. Свойства волн Свойства волн можно изучать в опытах с ванной, на плоское дно которой налит тонкий слой воды. Если у края ванны поместить плоский вибратор (плоскую пластину, укрепленную на пружинящей плас- 175 тине и при колебаниях касающуюся воды), то от него по поверхности воды будут распространяться волны (рис. 13.15). Скорость волн зависит от толщины водяного слоя. Например, при слое толщиной 2—3 мм скорость волн меньше, чем при слое толщиной 10—20 мм. При тонком слое (порядка длины волны) волны испытывают большее сопротивле ние движению. Если на пути следования волн поставить экраны так, чтобы они об разовали щель (ворота), то можно наблюдать за распространением волн после прохождения щели. Непосредственно за экранами образуется тень (отсутствие волн). Однако можно заметить, что волны, прошедшие че рез щель, проникают в область тени. Чем ^е щель, тем нагляднее кар тина отклонения волн от прямолинейного распространения. Явление отклонения волн в область тени, огибания волнами препятствий называется дифракцией волн. Дифракция хорошо наблюдается, если размеры препятствия или щели сравнимы с длиной волны. Поместим на пути следования волн экран, расположив его под некоторым углом к направлению распространения волны (рис. 13.16). Волны отражаются от экрана, причем направление отраженных волн зависит от ориентации экрана. Если положить непосредственно у щели стеклянную пластинку в форме линзы, то можно наблюдать фокусирование (схождение и расхождение) волн (рис. 13.17). Теперь в качестве вибратора применим не плоскую пластину, а два молоточка, укрепленных на одной пружинящей пластине и колеблю- щихся с одинаковой частотой. От вибратора будут распространяться волны как от двух источников, колебания которых совершаются по закону X =^sin(2Tcv/) [см. формулу (9.10)]. Величину 2mt — аргумент функции — называют фазой колебаний. Волны называются когерентными. Л* " • * ' * « « t • * « • • * ^ ritfATttttflSifiiittiffliTrri ф ■ • • * * » « # ♦ 1 ' • • • • • ....................... ’z*rrvt • ФФ«-Ф I . « Ф щ * « « % ф ф • фф ффф««* ф # ф ♦. ^ ф • • ф ; • • •. Ф г . • • V . . • Ф • • •. t :Л Ш ф % » ф ф • * * t • •• -• ■ Г; ^ г ;* • • * Ф * ф * -ФФмеи* Ф • ф • * * I • • * I • .1 ф ‘•t . S •I '; Ф 4 4 X 4 Рис. 13.15 Рис. 13.16 Рис. 13.17 176 Рис. 13.18 если разность их фаз колебаний остается постоянной. В результате наложения когерентных волн друг на друга получается сложная картина (рис. 13.18). Явление сложения когерентных волн в пространстве, при котором в разных его точках получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны, называется интерференцией. Свойства волн (отражение, преломление, дифракция, интерферен ция и др.) могут быть использованы в практической жизни. Например, при строительстве зрительных залов важное значение имеет акустика зала, обеспечивающая хорошую слышимость. Здесь учитьшаются такие свойства волн, как отражение и поглощение. Упругие колебания, в частности ультразвук, распространяются как в газах, так и в твердых телах и жидкостях. Для исследования различных свойств тел применяют узконаправленный ультразвуковой луч, полу чить который можно, используя преломление волн в линзах. Интерференция и дифракция могут быть применены для определе ния длины волны и скорости распространения волн в среде, а также для исследования свойств вещества, в котором распространяется ультразвук. Свойства звука можно изучать с помощью установки, в которой звук создается звуковым генератором с громкоговорителем, а индикатором звука является микрофон с подключенным к нему через усилитель гальванометром (рис. 13.19). Если громкоговоритель (лучше с рупором) расположить так, чтобы звук преимущественно был направлен под неко- 177 торым углом вверх, то микрофон с гальванометром зафиксируют слабый сигнал. Если же сверху поставить экран Э, то српиал усилится. При поворачивании экрана вокруг горизонтальной оси сигнал будет меняться. Это говорит о том, что, во-первых, звук отражается от экрана и, во-вторых, отражение звука зависит от ориентации экрана. Примером от- ражения звука является эхо. Назовем лучом линию, вдоль которой распространяется звук. Это направление перпендикулярно поверхностям сгущений (разрежений) волны. Рис. 13.19 Луч, идущий к экрану, называют лучом падения, а луч, идущий от экрана, — лучом отражения. Угол между лучом падения и перпендикуляром к экрану в точке падения называют углом падения, а угол между перпендикуляром и отраженным лучом называют углом отражения. Опыт показы- вает, что угол отражения равен углу падения; а. (13.9) В этом состоит суть закона отражения волн. На рисунке 13.19 показаны луч, идущий от громкоговорителя, угол падения а и угол отражения у. Изменение угла падения приводит к аналогичному изменению угла отражения. Рассмотрим теперь переход звука из одной среды в другую, на- пример из воды (среда 1) в воздух (среда 2). Пусть на нашей модели (рис. 13.20) источник звука находится в воде. Звук распространяется в воде со скоростью по направлению луча (показан пунктирной лини ей со стрелкой). Поверхности, на которых частицы колеблются в оди наковой фазе, называют волновыми поверхностями. Волновые поверх ности перпендикулярны лучу. На рисунке 13.20 показаны пять волно вых поверхностей. Обозначим угол между границей раздела двух сред и волновой по верхностью через а. Он равен углу падения. — длина волны в воде Соответствующие величины в воздухе: Vi, А.2, р. На рисунке 13.21 изображена часть модели, представленной рисун ком 13.20. Рассмотрим треугольники.4SCиу которых сторона 178 Воздух (2) Рис. 13.20 Рис. 13.21 общая. Из рисунка 13.21 видно, что АС X^BD sm а sin |3 1 2 При этом X 1 V 1 V д 2 V 2 V Можно показать, что углы а и В равны соответственно углу падения и углу преломления. Частота v при переходе из одной среды в другую не меняется, следовательно: sin а sinp V 1 (13.10) V 2 Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть вели чина постоянная и равная отношению скорости падающей волны к скорое ти преломленной волны Выражение(13.10) называют законом преломления волн 13.6. У Стоячие волны. Резонанс Если конец В резинового шнура закрепить, а конец Л привести в колебание, то вдоль шнура от точки А к точке В побежит волна. В точке В волна отразится. Падающая и отраженная волны должны складывать ся. в результате интерференции получается неизменяющаяся картина, которая показана на рисунке 13.22. Возникает стоячая волна, в которой различают пучности (точки максимального значения амплитуды) и узлы (точки с нулевой амплитудой). Расстояние между соседними узлами или пучностями равно половине длины волны. Меняя частоту колебаний 179 конца А, можно получить на резиновом шнуре разное число пучностей (1,2, Зит.д.). Рассмотрим опыт с установкой, показанной на рисунке 13.23. Звук от громкоговорителя идет вправо, а звук, отраженный от экрана, рас- пространяется влево. В результате интерференции между громкого ворителем и экраном устанавливаются стоячие волны. Для обнару жения узлов и пучностей применяют микрофон, к которому подклю чен через усилитель гальванометр, а для фиксирования места расположения узлов (или пучностей) — линейку. Перемещая микрофон от экрана к громкоговорителю (влево), отмечают точку А, в которой стрелка гальванометра установится на нуле (или сила тока будет иметь минимальное значение), а затем продолжают двигать микрофон влево. При этом показания гальванометра будут то увеличиваться, то уменьшаться. В точках, соответствующих минимальным показаниям гальванометра {А, В, С, /)), будут узлы, а в точках, соответствующих максимальным показаниям, — пучности. По линейке можно отсчитать рас- стояние между соседними узлами (т.е. между точками ^4 и 5, 5 и С, С и D), что дает значение 2 • Пучность Рис. 13.22 D Рис. 13.23 180 Рассмотрим опыт с установкой, показанной на рисунке 13.24, где индикатором звука являются камертон, ножка которого вставлена в полый ящик, и шарик, подвешенный на нити (шарик касается одной из ветвей камертона). Если медленно изменять частоту колебаний звукового генератора (высоту тона), то при некоторой частоте наблюдается отскакивание шарика от ветви камерто- Рис. 13.24 на, что фиксирует колебания стержня камертона. При неко- торой частоте происходит резкое возрастание амплитуды колебаний камертона, т.е. наблюдается резонанс. Резонанс можно наблюдать и с помощью установки, показанной на рисунке 13.25. Над правым коленом сообщающихся сосудов, представляющим собой стеклянный ци- КЗГ линдр, установлен громкоговоритель, издающий слабый сигнал от звукового генератора. Перемещая колено вверх Рис. 13.25 или вниз (или изменяя частоту звука), можно обнаружить при определенных условиях усиление звука (резонанс). Измерение длины воздушного столба L при резонансе позволяет определить длину волны. У открытого конца колена будет пучность, а у поверхности воды — узел. Следова- тельно, при резонансе длина L может быть равна ЗА, 5А, 4 ’ > Теперь становится понятной роль ящика у камертона. Он является резонатором, а его длина должна быть равна четверти длины звуковой волны, создаваемой камертоном. 181 Задание 13.2 ★ Решите задачи 1. Колеблющийся резиновый жгут имеет три пучности. Где можно коснуться жгута острием ножа, не нарушая его движения? 2. Какой должна быть длина резонатора у камертона «ДО» с часто той звука 130,5 Гц? Считать температуру воздуха равной 20 ®С. 3. Над вертикальной открытой трубкой, заполненной частично водой, колеблется камертон «ЛЯ» (частота 440 Гц). По мере понижения уровня воды в трубке наблюдается резонанс при длине воздушного стол- ба 0,193 м и 0,58 м. Чему равна скорость звука? 4. Для определения частоты звука (следовательно, и частоты звукового генератора) применили установку (см. рис. 13.23). При перемещении микрофона от узла было отмечено 5 минимумов показаний гальванометра (т.е. пройдено 5 пучностей). Расстояние между крайними узлами оказалось 47 см. Чему равна частота звука? Опыты выполнялись при температуре 20 "С. 5. В установке (см. рис. 13.23) при неподвижном расположении приборов увеличивали частоту звукового генератора (звука). При этом показания гальванометра менялись, поочередно увеличиваясь и уменьшаясь. Почему? Задание 13.3 ★ Лабораторная работа «Изучение звука» Разработайте теорию и порядок вьшолнения лабораторной работы по одному или двум предложенным вариантам. 1. Применив приборы (см. рис. 13.25) и камертон вместо громкоговорителя, определите скорость звука. ЗА, Рис. 13.26 Рис. 13.27 182 . Применив установку (см. рис. 13.23), определите частоту звукового генератора. 3. Определите скорость звука, применив камертон и прибор, представляющий собой открытый цилиндр, в котором можно перемещать по вертикали уровень воды (рис. 13.26) или двигать поршень (рис. 13.27). Глава 14. СПУТНИКИ. НЕВЕСОМОСТЬ 14.1. Искусственные спутники Земли космические скорости 9 Запуски искусственных спутников Земли и космических кораблей в настоящее время стали привычными. Спутники не только решают научные задачи, но и способствуют успешному решению ряда народно хозяйственных задач. Благодаря спутникам можно осуществлять прием радио- и телевизионных сигналов практически в любой точке Земли. Спутники помогают установить точное местоположение корабля, потерпевшего катастрофу. С помощью спутников открывают месторож- дения полезных ископаемых, выполняют астрономические наблюдения. выращивают сверхчистые кристаллы. Основоположником современной космонавтики (отрасли науки и техники о полетах в космическое пространство) был К.Э. Циолковский (1857 1935). Он создал теорию полета ракеты и вьщвинул идею приме нения ракетных двигателей для межпланетных кораблей. Практически его идеи были реализованы в нашей стране под руководством С.П. Королева (1907—1966). В нашей стране 4 октября 1957 г. был впервые запущен искусственный спутник. 12 апреля 1961 г. был осуществлен первый в истории человечества полет космического корабля с космонавтом Ю.А. Гагариным на борту. С этого периода началось освоение космоса. Вслед за нашей страной США запустили искусственный спутник февраля 1958 г. Начиная с 1959 г. осуществлялись систематические за- пуски спутников, межпланетных станций для исследования Луны и планет Солнечной системы. 20 июля 1969 г. была осуществлена первая посадка на Луну пилотируемого корабля «Аполлон-11». Первыми людьми, ступившими на поверхность Луны, были американские астронавты Н. Армстронг и Э. Олдрин. Как же осуществляются запуски искусственных спутников и космических кораблей? И почему искусственный спутник летает по орбите вокруг Земли многие годы, не затрачивая на это энергии? На эти вопросы можно ответить, применив законы механики. 183 Будем рассуждать так, как рассуждал И. Ньютон. Камень, бро шенный в горизонтальном направлении с высокой горы (из точки В, рис. 14.1), под действием силы тяжести движется по криволинейной тра- ектории и падает на Землю. Если его бросить с большей скоростью, то он упадет дальше. Можно предположить, что в безвоздушном простран стве при сообщении камню достаточно большой скорости в горизон тальном направлении (скорости v в точке В) он вообще никогда не до стигнет поверхности Земли, а начнет двигаться вокруг нее по круговой траектории. Так, например, движется Луна вокруг Земли, Земля и дру- гие планеты вокруг Солнца. На высоте более 100 км от поверхности Земли тело почти не будет испытывать сопротивления воздуха. В этом случае возможно длительное движение тела вокруг Земли. Какую же скорость нужно сообщить телу в горизонтальном направлении, чтобы оно двигалось вокруг Земли по круговой траектории (орбите)? Пусть тело массой т движется на высоте h над Землей. На тело действует сила, обусловленная притяжением Земли. По закону всемир ного тяготения, эта сила равна GmM {R + hf ' где КиМ— соответственно радиус и масса Земли. Сила /вызывает цен тростремительное ускорение тела, движущегося по окружности вокруг Земли. По второму закону Ньютона: та, или то 2 R+h Приравнивая оба значения силы и решая уравнение относительно V, найдем: (14.1) Подсчитав скорость по формуле (14.1) при А = 0, мы получим значе ние, приблизительно равное 7,9 км/с. Это так назьшаемая первая космы ческая скорость, т.е. скорость, с которой тело летало бы по круговой ор бите вокруг Земли. На высоте А = 300 км скорость составит приблизи тельно 7,7 км/с. А что же произойдет, если телу на высоте 300 км сообщить в гори зонтальном направлении скорость больше 7,9 км/с? В этом случае тело начнет двигаться по другой траектории. При значении скорос- ти, большем 7,9 км/с, но меньшем 11,2 км/с, орбита будет представ 184 \ \ \ \ \ \ I I I I I / / у Рис. 14.1 Рис. 14.2 лять собой эллипс, в одном из фокусов которого расположена Земля. Эллипс можно вычертить следующим образом: воткнув две иголки в точках А и В (фокусах) и набросив на них кольцо из нити, карандашом натягивают нить. В натянутом состоянии проводят линию (рис. 14.2), которая и будет имитировать эллипс. При скорости больше 11,2 км/с корабль уйдет за пределы действия притяжения Земли (например, при запуске кораблей к Марсу, Венере и другим планетам). Поэтому скорость 11,2 км/с называют второй космической скоростью. Поставим следующий вопрос: можно ли создать такой спутник, чтобы он «висел» над одной и той же точкой Земли? Спутник должен обращаться вокруг Земли в плоскости экватора. На рисунке 14.3 спутник находится в точке В на высоте h над точкой А. Изогнутой стрелкой показано направление вращения Земли. Земля за сутки делает один обо- рот, следовательно, и спутник должен делать один оборот. Скорость спут ника можно вычислить по формуле: V 2n{R + Т (14.2) радиус Земли период обращения Земли. Решая совместно уравнения (14.1) и (14.2), получим: V InGM Т h vT 2nR 2п Таким образом, чтобы спутник все время был над одной и той же точкой на экваторе, он должен двигаться по круговой орбите в плоскости экватора со скоростью v = 3,15 км/с на высоте h-37 000 км. 185 Полюс Экватор / В ♦ I I I Рис. 14.3 Рис. 14.4 Чтобы тело обращалось по круговой или эллиптической орбите вок руг Земли, ему необходимо сообщить определенную скорость в гори зонтальном направлении. Но на экране телевизора мы видим, что при старте ракеты, выводящей спутник на орбиту вокруг Земли, скорость ракеты вертикальна. В чем же дело? Оказывается, наиболее экономично вначале запускать ракету в вертикальном направлении, а затем изменить направление движения, как показано на рисунке 14.4. На участке АВ ракета летит вертикально вверх, на участке ВС ракета меняет направление скорости, в точке С спутнику сообщается необходимая скорость в горизонтальном направлении. Реактивное движение Пусть в космическом корабле нам понадобилось увеличить ско рость. космическом пространстве нет воздуха, следовательно, са молетные двигатели не помогут. (В самолете двигатель отбрасывает воздух и, отталкиваясь от него, действует на самолет силой в направлении движения.) Как же быть? Это можно сделать только с помощью реактивного двигателя, принцип действия которого проиллюстрируем на установке, показанной на рисунке 14.5. Колба закрыта пробкой, в которой сделано осевое отверстие. Через отверстие пропущена трубка, имеющая сообщение с двумя изогнутыми трубками. Это устройство подвешено на нити. Под колбой помещают спиртовку. При кипении воды, налитой в колбу, пар выходит через трубки, что вызывает вращение колбы. Реактивный двигатель тоже создает силу за счет реакции (отдачи) струи вытекающего из сопла газа при сгорании топлива. 186 Принцип действия реактивного двигателя можно объяснить, приме няя закон сохранения импульса. Задана, Из ракеты, имеющей мае су М 70 000 кг, при разгоне выбра сываются газы со скоростью и 2000 м/с. На сколько увеличится скорость ракеты при выбросе газа массой т = 2500 кг? Эту задачу легко решить, если принять, что ракета находится вдали от массивных тел, и считать, что газ массой т выбрасывается мгновенно (последнее, вообще говоря, неправо мерно, поэтому решение будет упро щенным). В системе отсчета, связанной с ра кетой, ее скорость равна нулю. Сле Рис. 14.5 довательно, до взаимодействия сумма импульсов ракеты и топлива в ракете равна нулю. После взаимодействия, т.е. после выброса газа (сгоревшего топлива), импульсы ракеты и газа будут противоположно направлены. Учитывая, что масса ракеты стала равна М— т, запишем: (М т) V ти , или в проекциях на ось ОХ, совпадающую по направлению со скорое тью ракеты v, Отсюда: (М т) Vr + тЫх V X ти X м т В выбранной системе отсчета изменение скорости ракеты Аи есть не что иное, как приобретенная скорость v , т.е. Аи Vx = V,?i и. Тогда: Аи V ти М-т (14.3) Подставив числовые значения величин, получим V 74 м/с. Теперь поставим другой вопрос: сколько топлива должно сгореть (т. е. какова масса выброшенного ракетой газа), чтобы была получена ско- 187 рость 8 км/с? Решая уравнение (14.3) относительно т, получим vM т U+V , т 56 000 кг. Таким образом, бблыпую часть стартовой массы ракеты должна со ставлять масса топлива. Полезной будет только масса {М что в 5 раз меньше начальной массы М т) 14 т, Обратимся к реальным данным. Масса космического корабля «Аполлон-11» была 47 т, а стартовая масса ракеты-носителя — 2950 т. Почему же масса ракеты в 63 раза больше массы корабля, причем основная масса — это масса топлива? Дело в том, что при запуске ракеты на вертикальном участке ббльшая часть энергии тратится на преодоление притяжения ракеты Землей. Вообще говоря, при взлете еще нужно учитывать сопротивление воздуха, а при полете в межпланетном пространстве — гравитационные силы, обусловленные притяжением Солнца и планет. Задачи эти очень сложные и решаются только с помощью ЭВМ. При решении задачи о полете ракеты мы предположили, что топливо выбрасывается мгновенно. Однако это упрощенное решение, так как ракета разгоняется при непрерывном горении топлива. Но можно допустить, что топливо сгорает малыми порциями т. Тогда модули изменения скорости ракеты при выбросе первой, второй, третьей и т. д. порции в соответствии с уравнением (14.3) будут равны: Ai; ти ти 1 М-т У , Аи / М im * ., Av ти п М пт ^ где I число выброшенных порций. При сгорании п порций т.е. Av Avi + Avo + ... + AVi+ ... + Av tn Av m и M + и m M 2m +... + и M + im + + и M + nm или Av mY mu M-im Обозначим массу выброшенного газа через М\, тогда т Окончательно получим: М 1 п Av М 1 п и М т (14.4) 188 Вычислить Av по формуле (14.4) можно по программе для ЭВМ (см метод суммирования в консультации 4). 14.3. Т Вес тела 3 1вижущегося ускорением Невесомость Наблюдая на экране телевизора за поведением космонавтов в космическом корабле, движущемся вокруг Земли, мы замечаем, что они свободно парят, перемещаясь плавно в полете по кабине корабля. Любой предмет внутри корабля, выпущенный из рук, будет либо равномерно передвигаться в направлении начального толчка, либо находиться в состоянии покоя, свободно висящим. О космонавтах и предметах, находящихся в космическом корабле при свободном движении (при движении без работы реактивных двигателей), говорят, что они находятся в состоянии невесомости. Попытаемся уяснить сущность этого понятия. Остановимся сначала на понятии веса тела и изменении веса тела на Земле. На любое тело, находящееся на Земле, дей ствует сила притяжения со стороны Земли, которая по закону всемирного тяготения равна: GmM R 2 (14.5) Подвесив тело к динамометру, можно оп ределить вес тела как силу, действующую на подвес (на пружину) или на опору (на Землю). Со стороны пружины на тело действует сила упругости Fу (рис. 14.6). По третьему закону Ньютона: у * (14.6) Силы Р и F „ не уравновешивают друг друга, поскольку приложе у ны к разным телам. Силы Р и Р у приложены к одному телу, поэтому для них можно записать второй закон Ньютона: Р+Ру =/ид. (14.7) Теперь рассмотрим два случая: тело находится на полюсе и тело на ходится на экваторе (рис. 14.7). Тело, находящееся на полюсе, покоится 189 Рис. 14.7 по отаошению к центру Земли, следовательно, его ускорение равно нулю. Из формулы (14.7) следует F + у о, или F F.. , но F у у следовательно, Р = F, или P=F, Учитывая закон (14.5), получим GmM R 2 gm , Р, GM где R 2 (14.8) Тело, находящееся на экваторе, движется по окружности относи тельно центра Земли со скоростью суточного вращения точек экватора На основании (14.7) можно записать т GM R 2 т V 2 У R . Учитывая, что Р = Fy, получим: т GM V 2 R 2 R , илиР Щ, то 2 R , откуда Р у где GM V 2 R 2 R (14.9) Сравнивая (14.8) и (14.9), замечаем, что на экваторе ускорение сво бодного падения меньше, чем на полюсе (соответственно и вес на эк 190 ваторе меньше). Оценим эту разницу, подсчитав величину и 2 и 2 R R 0,034 м/с 2 Реальный эксперимент подтверждает полученный вывод: на эква торе = 9,78 м/с^. Вес тела зависит не только от местоположе- ния тела на Земле, но и от характера его движения у поверхности Земли. Рассмотрим движение лифта, на полу которого стоит тело. На тело действуют сила тяжести mg и сила реакции N со стороны пола лифта (сила упругости). Тело, в свою очередь, действует на пол лифта с силой Р , являющейся весом тела. По третьему закону Ньютона, имеем N , а второй закон Ньютона позволяет за- писать, что + N та. Пусть лифт покоится или движется равномер но, тогда а Нои Ои + N 0. Поэтому F N . N , следовательно. mg Это означает, что вес тела по модулю равен X Рис. 14.8 силе тяжести, действующей на тело. Рассмотрим теперь движение лифта с уско рением, направленным вниз (рис. 14.8), когда лифт начинает опускаться вниз или заканчивает подниматься вверх. Направим ось СйГвниз. В этом случае второй закон Ньютона + N та в проекциях на ось ОХ будет иметь вид та JCJ где л mg, Я а^г а (см. рис. 14.8), откуда 7V mg Следовательно, та, или N m(g а). Но Р К m(g а). (14.10) Таким образом, вес тела зависит от ускоре ния лифта. Если лифт движется с ускорением а = g ,то о, т.е. вес отсутствует, наступает состояние невесомости. В этом случае реакции со стороны а Рис. 14.9 191 опоры (со стороны пола в кабине лифта) нет, тело движется только под действием силы тяжести. Можно сделать вывод: тело находится в состоянии невесомости, если оно движется только под действием гравитационных сил. Допустим, в кабине лифта находится человек, держаищй в руке мяч. В покоящемся лифте со стороны мяча на руку действует вес, равный по модулю силе тяжести, действующей на мяч. Если теперь лифт начнет падать с ускорением а = g , то и на человека, и на мяч будет действовать только сила тяжести. Вес будет отсутствовать. И если человек отпустит (не толкая) мяч, то мяч будет двигаться вниз с таким же ускорершем. как и человек (с ускорением g). Человек и мяч будут находиться друг относительно друга в состоянии покоя. Обобщая изученное, можно ут- верждать: два тела, имеющие произвольные, но равные начальные скорости (допустим, брошенные горизонтально с одинаковой скоростью). будут двигаться по одинаковым траекториям. И если они брошены од повременно, то в течение полета будут покоиться друг относительно друга. Почувствовать себя в состоянии невесомости очень просто: дос таточно подпрыгнуть. Во время прыжка мы не касаемся Земли, а значит, движемся только под действием силы тяжести и таким образом находимся в состоянии невесомости. Что же происходит в космическом корабле, движущемся по орбите вокруг Земли? Как мы установили раньше, ракета при выводе корабля на орбиту сообщает ему скорость в горизонтальном направлении. Такую же скорость приобретают все тела внутри корабля. После прекра- щения действия реактивных двигателей корабль движется только под действием силы притяжения к Земле, которая, сообщая ему центростремительное ускорение, заставляет корабль двигаться по круговой орбите. Так же, т.е. под действием только гравитационных сил, движутся все тела внутри корабля, оставаясь в состоянии невесомости, т.е. они не давят ни на какую опору. Если какому-то телу сообщить начальную скорость, то оно относительно корабля будет двигаться равномерно. Обратимся вновь к движению лифта. На этот раз рассмотрим случай, когда ускорение лифта направлено вверх (рис. 14.9). Докажите, что в этом случае: m(g + а). Допустим, a — 2g, тогда 3mg, Вес в 3 раза больше силы тяже сти. В этом случае говорят, что на тело действует перегрузка (в нашем случае тройная). На космонавтов действуют перегрузки при вьшоде корабля на орбиту и при посадке. 192 Задание 14.1 Решите задачи 15 1. Как направлены скорость и ускорение при движении спутника по круговой орбите вокруг Земли? 2. От каких факторов зависит период обращения спутника Земли? 3. Какие факторы нужно учитывать при объяснении различий в весе тела, находящегося в разных точках на Земле? 4. Во многих точках Земли отвес не указывает точного направления к центру Земли. Почему? 5. Каково соотношение между весом и силой тяжести в лифте, если: а) лифт движется равномерно вверх (вниз); б) лифт движется ускоренно вверх (вниз); в) лифт движется замедленно вверх (вниз)? 6. Предложите способы определения массы Земли. 7. Предложите способы определения массы Луны. 8. Определите скорость спутника, движущегося по круговой орбите на высоте 3200 км от поверхности Земли. 9. Какая сила действует на космический корабль массой 80 т, движущийся по орбите над Землей на высоте 12 800 км? 10. Чему равно ускорение свободного падения у поверхности Луны? Радиус Луны 1,7 * 10^ м, масса Луны 7,4 • 10^^ кг. 11. На каком расстоянии от Земли на космический корабль будут действовать одинаковые силы со стороны Земли и Луны? 12 Расстояние от Земли до Солнца приблизительно равно 1,5 • 10^ км. Используя известные данные о Земле, определите массу Солнца. 13. Как изменятся период и скорость спутника, движущегося по круговой орбите, если спутник перейдет на орбиту с радиусом в 2 раза больше предыдущего? 14. Какова была бы продолжительность земных суток, если бы Земля вращалась с такой скоростью, что тела на экваторе были бы невесомыми? 15. Может ли космонавт испытывать перегрузки при движении корабля в межпланетном пространстве? Задание 14.2 ★ Решите задачи 1. На сколько изменится скорость искусственного спутника Земли, если для корректировки орбиты в направлении, противоположном дви 7 Физика. 10 кл. 193 жению спутника, было выпущено три порции газа? Масса спутника 8,0 т. масса каждой порции газа 0,20 кг, скорость истечения газа 1000 м/с. 2. На сколько изменится скорость космического корабля массой 70 т. [вижущегося в межпланетном пространстве, если масса сгоревшего топ лива 2500 кг, скорость истечения газа 2000 м/с? Указание. Примените при решении задачи 2 метод суммирова ния, воспользуйтесь универсальной программой или составьте програм му самостоятельно. 3. Докажите, что отношение квадратов периодов любых двух пла нет, обращающихся вокруг Солнца, равно отношению кубов их сре, них расстояний от Солнца, т.е.: 1 2 1 3 1 2 2 3 2 4. Возможны ли перегрузки в лифте, движущемся вниз? Глава 15. 15.1. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ Закон Бернулли Движение жидкостей и газов, пожалуй, самый распространенный в природе вид движения (течение рек, ветер, течение крови по кровенос- ным сосудам и др.). Этот вид движения широко используется в быту и технике. Сюда, например, можно отнести движение жидкостей и газов по трубам, движение водного и воздушного транспорта. Какими же за- конами следует руководствоваться при конструировании, например самолета или при расчете нефтяного трубопровода? Разумеется, мы не будем раскрывать эти сложные вопросы в це лом, а коснемся только простои модели установившегося движения жидкости или газа. В этой модели траектории, по которым движутся частицы, называют линиями тока. Мы будем изображать линии тока линиями со стрелками. На рисунке 15.1 показаны линии тока жид- кости, переходящей из трубы с большей площадью сечения S\ в тру бу с меньшей площадью сечения Si (из широкого участка реки в узкий). Линии тока идут гуще там, где сечение меньше. Такая картина наблюдается при малых скоростях жидкости, что и будет нас инте- ресовать. Рассмотрим модель, в которой жидкость практически несжимаема и трение между отдельными слоями жидкости отсутствует. Не вызьшает сомнения, что через каждое вьщеленное сечение за определенный про 194 I Рис. 15.1 межуток времени А/ проходит одинаковая масса жидкости (иначе она где-нибудь скапливалась бы). Следовательно, /И1 = /И2, или т 1 А/ , или — А/ А/ Р^: 2 А/ , где Vx = AZi, F2 2 AI 2 объемы жидкости, прошедшей через сечения трубы с площадями S и So за время А/ (рис. 15.2). Тогда: 1 р5 М 1 1 А/ 9S 2 AL 2 А/ Сокращая на р и учитывая, что М 1 А/ AL 2 А/ У2 скорости жид кости в разных сечениях, получим: V 1 V 2 S 2 S I (15.1) Скорости жидкости в двух сечениях трубопровода обратно пропорцио нальны площадям сечений. Этот факт можно проверить экспериментально, наблюдая, как движется мяч, когда он уносится течением реки из широкого участка в узкий. Каков же механизм увеличения скорости частиц жидкости при их переходе из трубы большого сечения в трубу малого сечения, какие силы действуют на частицы? Причиной возникновения этих сил может быть только давление. Значит, можно предположить: чем больше площадь сечения трубы (чем меньше скорость жидкости), тем больше давление в жидкости. Наше предположение можно проверить эксперименталь- 195 Рис. 15.3 но. На рисунке 15.3 жидкость течет по каналам разного сечения слева направо. Вертикальные трубки (манометры) позволяют судить о давлении жидкости. Эксперимент подтверждает наши предположения. Давление в текущей жидкости больше там, где меньше скорость. Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее течения математической форме была установлена Да!шилом Бернулли (1700—1782). Наиболее просто уравнение Бернулли можно вывести, если при- менить закон сохранения механической энергии к потоку жидкости. Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к гори зонту. Выделим некоторый объем жидкости между сечением АВ в широкой части трубы и сечением CD в узкой части (рис. 15.4). Пусть пло- щадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой части соответственно равны ^ъРь а в узкой части S2,P2, V2- Если жидкость течет слева направо (направление течения показано на рисуиже стрелкой), то под действи Рис. 15.4 ем сил давле1шя F ^ ^ F силы тяжести вьщеленный объем жидкости малое время А/ сместится вправо и займет часть трубы, ограничен ную сечениями y4i5i и C\D\, Силы давления 1 VL F 2 совершат работу I +у4 2 1 AZ 1 2 AZ/ 2 Работа силы F ^ отрицательна, так как эта сила действует в направлении, противоположном перемещению жидкости. Так как F^ = p\Si, 2 P2S2, AI/i = UiA/ и AI/2 = У2М то для работы получим: 196 P\S\/SL\ — pySyiSJLy-' P\S\V\^t — P2SiV2^t. При установившемся течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями А\В\ и CZ), остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем ABB\Ai, переместилась и заняла объем CDD\Cu Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии элемента жидкости, переходящей из области 1 в область CDD]C\, Работа внешних сил давления, согласно закону сохранения энергии, равна изменению энергии этого элемента. Его объем AF не изменяется вследствие несжимаемости жидкости, т.е. S\ViAt Лиг А/* AV. Изменение энергии этого элемента жидкости равно АЕ AEk + АЕр, где АЕ к к2 1 2 pAVv 2 2 1 2 pAFi; 2 1 » АЕ р р2 pgAVfu pgAVh. Тогда для АЕ получим: АЕ 1 2 РАК( V 2 2 Uj ^ (iS*2 АZ/2 ^2 *S*jAZ/jAj) Учитывая, что АЕ = А, будем иметь: 1 2 рАК( V 2 2 u^)-hpgAV(fi2 fh) рЛУ P2AV . Сокращая на AF и перенося члены с одинаковыми индексами в одну сторону, получим: (15.2) Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости Если труба горизонтальная, т.е. А I Ао, то: pui 2 2 2 + А № 2 + А, а это означает, что давление оказывается меньше в тех точках, где ско рость больше. Закон Бернулли широко используется в практике. Рассмотрим примеры. На рисунке 15.5 показан профиль крыла самолета и линии тока воздуха, а — угол атаки, т.е. угол, под которым на крыло набегает поток 197 а Рис. 15.5 воздуха. Над крылом линии тока плотнее, скорость воздуха больше. В самом деле, частицы воздуха вдоль верхней поверхности крыла проходят больший путь. Следовательно, давление над крылом будет меньше, чем под крылом. Так возникает подъемная сила при движении самолета в воздухе даже при а = О (см. рис. 15.5, а). Теорию крыла самолета разработал русский ученый Н.Е. Жуковский (1847—1921). Он нашел оптимальный профиль крыла, обеспечиваюпщй подъемную силу F при наиболее благоприятных условиях. С увеличением угла атаки увеличивается подъемная сила до определенного значения. Но одновременно увеличивается и сила лобо- вого сопротивления (см. рис. 15.5, б). В практике самолетостроения подбирается оптимальное значение угла атаки, обеспечивающее достаточную подъемную силу при приемлемом лобовом сопротивлении. Обтекаемую форму Рис. 15.6 придают не только кры 198 лу самолета и самолету, но и современным автомобилям. На рисунке 15.6 показана установка для изучения сопротивления, оказываемого воздухом движению автомобиля. На подвешенный в аэродинамической трубе автомобиль направляется поток воздуха, создаваемый вентилятором. Направление воздушного потока показано стрелками. Вентилятор приводится во вращение электродвигателем, что позволяет менять скорость вращения, а следовательно, и скорость воздушного потока. Скорость воздушного потока определяется анемометром, а сила лобового сопротивления — при помощи гирь. находящихся на чашке весов. По рисунку 15.7 познакомимся с принципом действия пульверизатора, применяемого для распыления жидкости при окраске помещений, машин и пр. Если нажать на грушу Г, то из узкого конца трубки А воздух будет выходить с большой скоростью. Давление в струе над трубкой В становится меньше атмосферного. Через трубку В втя- гивается жидкость, которая в струе воздуха распыляется. На этом принципе основана работа карбюратора бензиновых двигателей, установленных на автомашинах. о°о° о о о о о о о о о о г Рис. 15.7 15.2. Тела, движущиеся в жидкости или газе, испытывают сопротивление со стороны среды, в которой они движутся. Если попытаться сдвинуть лодку, покоящуюся на поверхности воды, то большого усилия не потребуется. Однако для движения лодки к веслам приходится прилагать определенную силу. Причем чем больше скорость лодки, тем большую силу нужно прилагать к веслам, чтобы поддерживать эту скорость. Оказывается, что при сравнительно малых скоростях сила сопротивления со стороны воды по модулю прямо пропорциональна модулю ско- рости: kv. (15.3) При больших скоростях сила прямо пропорциональна квадрату скорости. (Сравните с силой трения между твердыми телами.) Если бы лодка двигалась не по воде, а по нефтяному озеру, то соотноше- ние kv соблюдалось бы, но коэффициент пропорциональности был бы другим. Вообще говоря, коэффициент пропорциональности 199 зависит от свойств жидкости и от некоторых особенностей движуще гося в жидкости тела. Возникает необходимость изучить свойства жидкости, обусловлен ные внутренним трением, т.е. трением при движении одних слоев жид кости относительно других. Внутреннее трение иначе называют вязкостью. Чем больше вязкость жидкости (или газа), тем она создает большее сопротивление движению. Для изучения вязкости применим прибор, показанный на ри сунке 15.8. Прибор представляет собой двойной алюминиевый стакан. между стенками которого находится исследуемая жидкость. В жидко сти вращается цилиндр Ц, укрепленный на оси О, На этой же оси укреплен барабан JJ, на который наматывается нить, вращающая цилиндр под действием опускающегося груза Г, Выясним, от каких факторов зависит сила сопротивления движению цилиндра в жидкости. Но прежде обсудим вопрос, как эту силу измерить. Груз Г под действием силы тяжести mg опускается вниз и при равномерном движении тянет нить с той же силой. Эта сила приложена к барабану Б по касательной и создает момент силы mgr, где г — радиус барабана (рис. 15.9). Теперь о силе внутреннего трения F , Вообще говоря, сила, действу ющая со стороны жидкости на цилиндр, распределена по всей поверх ности цилиндра, находящейся в жидкости, и препятствует его движе нию. На каждую маленькую площадку поверхности цилиндра действу ет сила /., направленная в сторону, противоположную движению, по г касательной к поверхности цилиндра, создавая момент силы Л R, Мож- Рис. 15.8 Рис. 15.9 200 но записать: FR= X ^ рассматривается как сила внутреннего трения, FR — момент силы F ,R — радиус цилиндра Ц, При равномер- ном вращении цилиндра моменты сил должны быть равны FR mgr, откуда: mgr R (15.4) Изменением массы груза т можно изменить скорость вращения цилиндра, что приводит к изменению силы F . Можно предположить, что сила зависит от модуля v скорости вращения цилиндра, от площади соприкосновения цилиндра с жидко стью S, от расстояния между цилиндром и стенками стакана. Обозна чим через L расстояние между цилиндром и одной из стенок стакана: 1 2 СС 1 Нас будет интересовать площадь поверхности части цилиндра, погруженной в жидкость. Ее можно менять, доливая в цилиндр жидкость Эту площадь можно подсчитать по формуле S = 2nRh, где h — расстоя- ние от края цилиндра до поверхности жидкости. Наконец, договоримся, как будем измерять скорость v. На барабан в опытах можно наматывать определенное количество витков N. При опускании 1руза быстро устанавливается равномерное движение, при котором можно по секундомеру определить время t и подсчитать часто N ту вращения v t , а затем и скорость v =2tiR^, или v 2kR N t . Таким образом, все интересующие нас величины можно измерить. Следовательно, можно экспериментально найти связь между величинами F, V, S, L. Выполняя необходимые измерения, получим: (15.5) Коэффициент пропорциональности г\, зависящий от природы и состояния жидкости (или газа), называют вязкостью жидкости (или газа). Оказьшается, что при изменении скорости вращения, площади поверхности цилиндра, расстояния между стенками цилиндра и стакана изме- няется сила сопротивления движению цилиндра F , а вязкость не ме няется. Поэтому значения вязкости разных жидкостей и газов вносят в таблицу (см. табл. 15.1). Единицей вязкости является 1 Н • с/м^, или 1 Па • с. 201 При изменении температуры условие (15.5) соблюдается, но значение вязкости будет другим, т.е. вязкость жидкости или газа зависит от температуры. Таблица 15.1 Вещество Вязкость, мПа • с Вода Этиловый спирт Глицерин Воздух 1,8 1,0 0,3 1,2 150 0,018 Задание 15.1 Ответьте на вопросы 1. Почему опасно стоять у края платформы, когда мимо проходит быстро идущий поезд? . Почему самолеты предпочитают взлетать против ветра? . Во время бури с домов иногда срываются крьппи. Почему? Два судна, идущие параллельным курсом, могут столкнуться, если они идут близко друг к другу. Почему? 5. Во сколько раз уменьшится скорость реки при переходе от узкого участка к широкому, площадь сечения которого в 3 раза больше? Задание 15.2 * Решите задачи 1. Какую скорость приобретет вода, вытекающая из крана, распо ложенного в дне бака, если высота воды в баке 3,2 м? Вязкость не учи тывать. На какую высоту поднимется струя воды из пожарного шланга, если давление 240 кПа? . Площадь крыла 50 м^. Скорость потока воздуха над крылом 200 м/с, под крылом 180 м/с. Груз какой массы может удерживать это крьшо? 4. Когда спортсмен действует на весла с силой 40 Н, лодка движется со скоростью 1,8 м/с. С какой скоростью будет двигаться лодка, если спортсмен будет действовать с силой 80 Н? 5. В установке (см, рис. 15.8) диаметр цилиндра 6,6 см, диаметр барабана 2,0 см. С какой силой жидкость действует на цилиндр, если вращение цилиндра обусловлено равномерно опускаюпщмся грузом массой 102 г? 202 6. в установке (см. рис. 15.8) цилиндр при равномерном вращении сделал 10 оборотов за 22,4 с. Определите линейную скорость цилиндра. Диаметр цилиндра 6,6 см. 7. С помощью установки (см. рис. 15.8) определяют вязкость касторового масла. Расстояние между стенками стакана и цилиндра 7,2 мм. Цилиндр диаметром 6,6 см опущен в жидкость на глубину 8,0 см. При силе вязкого сопротивления 0,30 Н скорость цилиндра 0,093 м/с. Чему равна вязкость масла? 8. Определите время, в течение которого цилиндр массой 0,050 кг под действием силы 0,30 Н набирает скорость 0,093 м/с (см. рис. 15.8). Для решения задачи примените метод суммирования. Используйте уни версальную программу для ЭВМ или составьте свою. Глава 16. ПРИМЕНЕНИЕ ЗВУКА 16.1. Т Запись и воспроизведение звука Вспомним явление, которое изучалось в курсе физики первой ступени. Чтобы намагнитить гвоздь, его помещают в катушку, а катушку подключают к источнику тока (рис. 16.1). Если намагниченный (магнит) вводить в катушку, подключенную к гальванометру (рис. 16.2), то стрелка гальванометра отклонится, что позволяет судить о появле НИИ тока в катушке при перемещении магнита. Видоизменим опыт. Пусть у нас имеется катушка К с железным сер дечником С (рис. 16.3). Катушку подключают к источнику тока. В зазор сердечника вводят стальную линейку Л. По мере передвижения линейки делают несколько замыканий ключа. Затем вместо источника тока с ключом к катушке подключают гальванометр (рис. 16.4) и вновь вводят линейку в зазор. Во время движения линейки стрелка гальванометра отклоняется в те моменты, когда в зазоре оказываются участки, на которых остались «следы», получениые при замыкании ключа в опыте по рисунку 16.3. Рис. 16.1 Рис. 16.2 203 Рис. 16.3 Рис. 16.4 Практически мы записали на стальной ленте импульсы тока, а затем их обнаружили. На этом как раз и основаны запись звука и его воспроиз- ведение. Схема установки для записи звука показана на рисунке 16.5. Мик рофон преобразует звук в электрические колебания очень малой амп литуды, поэтому необходим усилитель У, который увеличивает ампли туду, не меняя частоту и форму сигнала. Электрические колебания подводятся к записывающей головке Г, мимо которой с постоянной скоростью протягивается магнитофонная лента Л, Лента представляет собой гибкую подложку, на которую I I # % i f Ш Ш I I ■ « t « » ■ % Ф % % t » I I ■ » * Рис. 16.5 У % I * t ё 9 I t ш # ■ f i « ■ i Ф Ф ш i » # Л Рис. 16.6 нанесен магнитный порошок. На ленте, как на линейке (см. рис. 16.3), остаются «следы» в виде разной ориентации части чек порошка. При воспроизведении зву ка(рис. 16.6) лентастойже скоростью протягивается мимо воспроизводящей головки Г. В обмотке головки возникают электрические колебания с частотой записанного звука. Пос- ле усиления колебания подают ся на громкоговоритель, кото рый воспроизводит записан ньш звук. Рассмотрим схему другого способа записи и воспроизве 204 Рис. 16.7 дения звука. Вместо головки Г устанавливают электромагнит 5, вблизи которого смонтирована стальная пластина с иголкой на конце (рис. 16.7). При подведении к электромагниту электрических колебаний звуковой частоты игла совершает колебания с той же частотой. Под иглой вращается диск, на котором тонким слоем нанесен парафин. При колебаниях иглы на поверхности парафина остается волнистый след, соответству- ющий колебаниям звука. Путем напыления и другими способами ют матрицу, повтор5пошую все извилины парафиновой дорожки. С помощью этой матрицы штампуют дорожку на пластинках. При воспроизведении звука с вращающейся пластинки игла адаптера повторяет колебания на звуковой дорожке. Эти механические колебания преобразуются в электрические, которые после усиления подаются на громкоговоритель. Мы рассмотрели простейшие схемы записи и воспроизведения звука. Как принципиальные решения, так и конструкции устройств для записи и воспроизведения звука могут быть разными. Задание 16.1 Решите экспериментальную задачу Выполните с помощью магнитофона запись и воспроизведение зву ка камертона и любого музыкального инструмента. 16.2. Ультразвук и применение Ультразвуки — это упругие колебания с частотой от 20 кГц и, сотен мегагерц. Для получения ультразвука применяют два типа из лучателей: магнитострикционные и пьезоэлектрические. Работа маг 205 нитострикционного излучателя напоминает работу громкоговори теля. Излучатель состоит из никелевого или ферритового стержня вставленного в катушку К, Катушка подключается к генератору электрических ультразвуковых колебаний УЗГ (рис. 16.8). При прохождении по катушке переменного тока в ней создается переменное магнитное поле той же частоты. Никелевый (ферритовый) стержень обладает свойством деформироваться в магнитном поле. Чем сильнее магнитное поле, тем больше деформируется стержень. В соответствии с изменением магнитного поля изменяется и длина стержня, а колеблющийся стержень излучает ультразвук. Чем короче стержень, тем вьпые частота излучаемого ультразвука. Приемник ультразвука принципиально не отличается от излучате- ля (рис. 16.9). ^^тразвук, достигая стержня, вызьшает его деформации. что приводит к возникновению меняющегося магнитного поля. Чем больше деформация, тем сильнее изменяется поле. Но меняющееся магнитное поле создает в обмотке ток, который усиливается усилителем и может фиксироваться гальванометром или каким-то другим фиксирующим прибором (лампочкой, осциллографом и пр.). Ультразвук обладает двумя существенными свойствами. Во-первых, можно получить ультразвук большой интенсивности, ибо интенсивность волн пропорциональна квадрату частоты, и, во-вторых, ультразвук обладает высокой направленностью, т.е. можно получить узкий, строго направленный пучок волн. В основном эти свойства и определяют широкое применение ультразвука в науке и народном хозяйстве. На рисунке 16.10 показана схема гидролокации, позволяющей оп ределить глубину водоема. На дне судна монтируются излучатель и при емник. Электрический импульс с УЗГ подается на излучатель, который преобразует его в импульс ультразвука. Этот импульс достигает дна, от- С К # i I Ф р Ф f Ф Ф Ф Ф Ф • Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф • Ф Ф Ф Ф 4 Ф Ф Ф 4 t « Ф Ф Ф Ф 4 Ъ Ф Ф Ф Ф % « Ф Ф Ф Ф Ф Ф % Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф § Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф 4 4 Ф Ф Ф Ф Ф Ф 1 Ф Ф Ф • Ф Ф 9 9 Ш Ф Ф Ф Ф I Ф Ф К ф ф f « Рис. 16.8 Рис. 16.9 206 Рис. 16.10 Рис. 16.11 ражается от него и подходит к приемнику. Сигнал от приемника усили вается и подается на специальное устройство, которое вычисляет про межуток времени между испусканием импульса излучателем и его при емом приемником, т.е. время t, в течение которого ультразвук от излу чателя доходит до препятствия (дна водоема) и обратно. Очевидно, рас стояние до препятствия от корабля s vt , где V скорость ультразву ка. Так работает прибор, называемый эхолотом. С помощью эхолота можно непрерывно измерять глубину и при многократном прохожде- нии получить карту дна определенного участка моря или океана. Если сигнал от эхолота пустить по горизонтальному направлению, то можно обнаружить предметы, находящиеся под водой у ее поверхности (например, косяки рыбы, подводную лодку и др.). Ультразвук может быть применен для обнаружения дефектов в металлических изделиях. Допустим, проверяется качество листового проката (рис. 16.11). Лист движется между излучателем Яи приемником П. Если в листе имеется дефект Д, то ультразвуковой луч от него отразится и не попадет на приемник, что сразу же фиксируется регистрирующим прибором. Ультразвуковые методы лечения и диагностики применяются в ме дицине и биологии. Ультразвуковые приборы позволяют, например, обнаружить злокачественные образования. Связано это с тем, что изменения в органах человека (животных, растений) приводят к изменению степени отражения или поглощения ультразвука, что и фиксируют приборы. Утьтразвук широко применяют для изученры свойств веществ. Рассмотрим, например, определение концентрации растворов. Предварительно получают зависимость скорости ультразвука от концентрации 207 раствора (аналитическую, графическую или табличную). Каким-то методом (например, эхолокацией) определяют скорость ультразвука в растворе, а по таблице находят его концентрацию. Все процессы можно автоматизировать с помощью ЭВМ, и тогда значение концентра- ции сразу же выводится на дисплей. о о До СИХ пор мы рассматривали примеры при менения ультразвука малой мощности. Мощное из лучение применяется, например, для изменения о свойств веществ в расплавленном состоянии, для обработки сверхтвердых материалов (керамики, ал- мазов, вольфрама и др.). Принцип обработки со стоит в том, что в промежуток между излучателем и обрабатываемой поверхностью вводится специальная суспензия. Зерна суспензии под действием ультразвука оказывают на обрабатьшаемый матери-ал ударное действие, что и вызывает обработку. Уль-‘ тразвуковая волна большой интенсивности застав- ляет частицы жидкости перемещаться. Убедиться в этом можно на таком опыте. Если под кюветой из оргстекла с полусферической ванной на дне поместить излучатель, то при достаточной интенсивности излу чения вода в кювете будет фонтанировать (рис. 16.12). Мы рассмотрели очень ограниченное число примеров, где работа ет ультразвук. Задание 16.2 Решите зада чи 1. Для исследования рельефа дна на озере Байкал и на Черном море применили эхолоты. Должны ли эти эхолоты различаться? 2. Чтобы ультразвук, создаваемый излучателем, обладал наиболь шей энергией, необходимо УЗГ настраивать в резонанс с собственной частотой излучателя. В каком случае стержень излучателя должен быть короче: при частоте 100 кГц или частоте 1 МГц? 3*. На рисунке 16.13 показана схема установки для определения скорости ультразвука. На излуча И Рис. 16.13 теле И установлена стеклянная трубка, в которой находится спирт со взвешенньвш частицами алюминиевого порошка. При излучении ультразвука порошок собирается в узлах стоячей волны. Экспериментатор подсчитал, что на длине 20,0 мм укладывается 26 полос при частоте 0,90 МГц. Чему равна скорость ультразвука в спирте с частицами алюминия? 208 Глава 17. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Механика, с которой вы познакомились в первой части учебника, рас сматривает изменение положения тел в пространстве, характер взаимо ействия между телами, решает большое количество задач о движении и равновесии тел. Но в ней не изучается структура тел, их тепловые, электрические и другае свойства, знание которых необходимо как для науки, так и для практики. Некоторые свойства тел и процессы, связанные с тепловыми явлениями, вы изучали. Многае понятия, такие, как температу- ра, внутренняя энергия и другие, вам знакомы, однако эти понятия бу дут уточняться в процессе дальнейшего изучения физики. Обращаясь к знаниям по физике предыдущих лет, вы можете убе диться, что тепловые явления можно рассматривать с двух точек зрения. Одна из них опирается на описание физических тел и процессов с макроскопических позиций, другая дает микроскопическое описание. При мшфоскопическом подходе рассматриваются свойства тел, обусловленные поведением атомов и молекул (размеры которых порядка 10'*® м), т.е. изучается поведение таких элементов, которые непосредственно не воспринимаются нашими органами чувств, хотя в настоящее время можно получить фотографии молекул и атомов, применив специальные микроскопы. О размерах молекул можно судить, например, по растворению малой дозы акварельной краски в стакане воды. «Следы» краски будут наблюдаться и при последующем растворении капли подкрашенной воды в стакане чистой воды. При нормальных условиях (t С,р 101 325 Па) в одном кубическом сантиметре воздуха содержится 2,7 • 10^^ молекул. Если эти молекулы расположить цепочкой вплотную по одной молекуле, то длина цепочки оказалась бы значительно больше расстояния от Земли до Луны. Молекулы находятся в непрерывном беспорядочном движении. Хаотическое движение атомов и молекул подтверждается такими явлениями, как диффузия и броуновское движение. Напомним, что диффузия — это взаимное проникновение микрочастиц (атомов и молекул) 209 одного вещества в промежутки между молекулами другого, а броунов ское движение — беспорядочное движение малых частиц вещества, взве шенных в жидкости или газе, происходящее под действием ударов мо лекул окружающей среды. Между молекулами существуют силы притя жения и силы отталкивания. О силах взаимодействия между молекулами можно судить, например, по прилипанию стекла к поверхности воды (рис. 17.1,л), по сцеплению свинцовых цилиндров (рис. 17.1,6), по плохой сжимаемости жидкостей и твердых тел (рис. 17.1 ,в). Энергия хаоти- ческого (теплового) движения микрочастиц (атомов, молекул, ионов и др.) и энергия взаимодействия этих частиц определяют внутреннюю энергию тела. Кинетическая и потенциальная энергия тела как целого во внутреннюю энергию не входит. При макроскопическом описании тепловых явлений оперируют макроскопическими величинами, т.е. величинами, характеризующими свойства тела в целом. К таким величинам относятся: масса, объем, давление, температура, количество теплоты и др. Эти величины могут быть измерены с помощью приборов (весов, термометров и пр.). Изучая тепловые явления с макроскопичесК1их позиций, вы пользовались такими понятиями, как количество теплоты, удельная теплоемкость вещества. удельная теплота плавления и др. Вспомним эти понятия и связанные с ними процессы. Работа силы величина, характеризующая действие силы, опреде ляемая произведением модулей силы и перемещения s и косинуса угла а между направлениями векторов силы и перемещения: A = Fs cos а. а в Рис. 17.1 210 Количество теплоты энергия,, получаемая или отдаваемая телом при теплопередаче (теплопроводности, конвекции, излучении). Температура {t) — характеристика состояния тела, определяемая средней кинетической энергией микрочастиц. Удельная теплоемкость (с) — характеристика вещества, показываю щая, какое количество теплоты необходимо для нагревания (вьщеляет ся при охлаждении) 1 кг вещества на 1 “С. Удельная теплота плавления (А.) — характеристика вещества, по казывающая, какое количество теплоты необходимо для перевода 1 кг вещества из твердого состояния в жидкое при температуре плав ления: Q Хт. Удельная теплота парообразования {L) — характеристика вещества, показьшающая, какое количество теплоты необходимо для перевода 1 кг вещества из жидкого состояния в газообразное при температуре кипе- ния: Q Lm. Удельная теплота сгорания {q) — характеристика топлива, показы вающая, какое количество теплоты вьщеляется при полном сгорании кг топлива: Q qm. КПД {коэффициент полезного действия ц) — характеристика эффективности работы машины, равная отношению полезно использованной энергии к энергии, полученной устройством: А п А При передаче телу количества теплоты можно наблюдать расши рение тел (рис. 17.2). Передача теплоты может осуществляться t2>t{ Рис. 17.2 211 ill в a Рис. 17.3 путем конвекции (рис. 17.3,а), теплопроводности (рис. 17.3,6), излучения (рис. 17.3,в). За счет переданного количества теплоты может совершаться работа. Так, например, возможен вылет пробки из трубки при нагревании находящейся в ней жидкости (спирта или воды) (рис. 17.4, а). Возможен и противоположный процесс: нагревание тела при совершении работы, например при трении шнуром металлической трубки находящаяся в ней жидкость нагревается (рис. 17.4, б). На рисунке 17.5 показана схема установки, иллюстрирующая под нятие груза массой Af на высоту А. Груз привязан к нити, которая наворачивается на вал, жестко скрепленный с мельничкой. При сгорании топлива массой т в колбе образуется водяной пар, который, выходя из сопла, заставляет вращаться мельничку и поднимать груз. КПД (г|) та- кой установки может быть подсчитан по формуле Mgh qm Изучением тепловых явлений с макроскопических позиций зани мается термодинамика. Термодинамика это теория, которая рассматривает закономерно сти превращения энергии в различных физических, химических и других процессах. Термодинамика является обобщением большого количества фактов. Законы термодинамики были открыты на основе макроскопических опытов. Законы термодинамики отвечают на вопрос «Как?». Например: как изменяется объем тела (твердого, жищкого или газообразного) при нагревании, в каком направлении самопроизвольно передается теплота, как изменяется температура газа при его расширении и т.д.? 212 а Рис. 17.4 Рис. 17.5 Изучением тепловых явлений с микроскопических позиций занимается молекулярно-кинетическая теория (МКТ). МКТ оперирует как макроскопическими (объем, давление, температура и пр.), так и микроскопическими величинами: скорость и размеры молекул, число молекул в единице объема и др. МКТ является тео- рией, позволяющей делать предположение о причинах поведения сис темы. Таким образом, МКТ отвечает на вопрос: «Почему процесс протекает так, а не иначе?». Закономерности, лежащие в основе наблюдаемых явлений, в том числе и тепловых, пытались сформулировать еще философы Древнего мира (IV—V вв. до н. э.). Анаксагор и Аристотель считали, что в природе нет пустоты, все пространство заполнено непрерывной материей. По Аристотелю, первич- ная материя представляет собой одну из четырех стихий: огонь, воздух. вода, земля. Стихии, соединяясь друг с другом, образуют разнообразные вещества: глину, песок, кости и т.д. Аристотель различал естествен-ные и насильственные движения, на основе которых пытался объяснить наблюдаемые явления. Атомистические представления встречаются у Левкиппа, Демокрита, Эпикура. Согласно их учению, в мире существует два «начала» — пустота и атомы. Атомы разнообразны по форме, они могут сцепляться, образуя разные тела. Ощущения трактовались исходящи- ми от тел атомами, попадающими в органы чувств человека. уче НИИ Эпикура объяснялось, например, почему высыхает белье. Оно сохнет, потому что под действием солнечных лучей и ветра от белья отрываются атомы. 213 Два взгляда на природу тепловых явлений — это в основном результат деятельности ученых XVIII—XIX вв. Термодгаамика и МКТ — два разных пути познания одних и тех же явлений. Каждая теория обобща ет опытные данные на основе мышления, абстрагируясь от непосред ственного чувственного восприятия. Абстракция, идеализация, отвле чение от несущественного являются одним из мощных приемов науч ного познания. Абстракция позволяет создавать модели, способствую щие изучению связей и закономерностей, осознанию сущности явле НИИ природы. Задание 17.1 Назовите явления, закономерности, физические величины, кото рые относятся преимущественно к термодинамике (МКТ). Глава 18. СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ . ТЕМПЕРАТУРА При изучении термодинамики мы часто будем пользоваться поня тием системы. Термодинамическая система — это совокупность макроскопических тел, которые могут взаимодействовать между собой, а также обмениваться с внешней средой энергией и веществом. К системе может быть отнесен газ в сосуде или газ вместе с сосу дом, определенный объем жидкости, два твердых тела, находящихся в контакте, и т.д. Поскольку речь идет о термодинамике, то нас будут интересовать такие процессы в системе, которые связаны с переда чей энергии. Систему называют замкнутой (закрытой), если она не обменивается веществом с окружающей средой. Масса незамкнутой (открытой) системы может увеличиваться или уменьшаться за счет окружающей среды, за счет обмена веществом и энергией с другими системами. Замкнутая система является изолированной, если система не обмени вается энергией с внешней средой. В термодинамике для характеристики изучаемых процессов пользу ются макроскопическими величинами. К ним относятся объем V, дав 214 ление р, температура t. В зависимости от внешних условий эти величины могут меняться, определяя разные состояния системы. Величины, которые могут быть использованы для описания состояния системы, называются параметрами состояния. Каждое состояние системы характеризуется определенными значе ниями параметров (температуры, плотности, объема и др.). Изменение состояния системы представляет собой термодинамичес кий процесс. Если параметры состояния не меняются со временем, то система на ходится в состоянии термодинамического (теплового) равновесия, а со стояние системы называют равновесным. Изменить состояние системы можно двумя способами: 1) если сообщить системе некоторое количество теплоты или отнять от системы то или иное количество теплоты; « ■ 2) если система совершает работу по перемещению внешних тел или над системой совершается работа. Одним из параметров состояния системы является температура. Остановимся подробнее на этом параметре. Выясним, чем принципиально отличается температура от других параметров. С этой целью рассмотрим мысленные опыты, которые можно было бы выполнить практически. Представим себе достаточно большой сосуд с холодной водой Опустим в этот сосуд кусок льда и будем наблюдать, как идет термо динамический процесс в системе вода—лед. Вначале объем воды бу дет возрастать, а объем льда уменьшаться. Если кусок льда достаточно большой, то через определенное время, называемое временем релаксации, объемы воды и льда не будут меняться, наступит тепловое равновесие. При дальнейшем изложении мысленных опытов систему вода—лед, находящуюся в термодинамическом равновесии, будем называть системой А. Теперь применим простой прибор — колбу, заполненную жидкостью и закрытую пробкой с пропущенной через нее трубкой (см. рис. 17.2). Допустим, колба находилась в теплом помещении. Опустим колбу в со- суд, содержащий воду со льдом. В течение времени релаксации (теперь другого) объем жидкости в колбе уменьшится и при достижении термодинамического равновесия уже меняться не будет. Заметим уровень жидкости в трубке и отметим его знаком «О». Считая колбу с жидкостью системой В, можно утверждать, что система В находится в состоянии теплового равновесия с системой у4. В наших опытах мы могли бы брать колбы разного объема, заполненные разными жидкостями, с трубками разного сечения. Во всех случаях менялся бы только уровень жидкости 215 в трубке, которому мы приписьшали значение «О». Но в каждом случае мы получили бы одинаковые результаты, а именно: если уровень жидкости в трубке системы В не меняется, то системы В1Л.А находятся в состоянии теплового равновесия. Теперь представим себе, что в нашем распоряжении имеется второй сосуд с какой-то жидкостью. Будем считать этот сосуд с его содержи мым системой С. Опустим колбу (систему В) во второй сосуд. Допус ТИМ, состояние системы С таково, что при термодинамическом равновесии жидкость в трубке системы В установилась на отмеченном нами ранее уровне «О». Это говорит о том, что колба и сосуд с жидкостью системы 5 и С, находятся в тепловом равновесии друг с другом. Итак, мы установили: в наших опытах система В в одном случае на ходится в состоянии теплового равновесия с системой А, в другом с системой С. Значит, можно предположить, что системы А, В иС могут характеризоваться в рассмотренных состояниях каким-то одним пара метром, которому можно приписать определенное значение, например значение «О». Наконец, представим себе еще два разных сосуда с разными жидко- стями (системы DvlE), в которые тоже поочередно опускали колбу (си стему В). При этом и в одном, и в другом сосуде при термодинамичес ком равновесии уровень жидкости в трубке колбы оказался другим, от личным от «О», но одинаковым. Вновь оказалось, что система В находится в состоянии теплового равновесия и с системой Д и с системой Е, Очевидно, системы В, ВиЕ находятся в состоянии теплового равно- весия друг с другом. Но теперь параметр, характеризующий термодина мическое состояние системы, будет иметь другое значение, отличное от нуля. На основании подобных опытов было установлено: 1. Если две системы находятся в состоянии термодинамического рав- новесия с третьей, то они находятся в состоянии теплового равновесия [руг с другом. 2. Для различных систем, находящихся в термодинамическом рав новесии друг с другом, существует параметр, единый для систем и все: частей каждой системы. Таким параметром является температура. Температура—физическая величина, характеризующая состояние тер модинамического равновесия макроскопической системы. 3. Температура не может быть измерена непосредственно с помо пц>ю мер, как, например, масса или длина. Об изменении температуры судят по изменению каких-либо свойств вещества. Мы, например, су ДИЛИ об изменении температуры по расширению жидкости в колбе, что вызывало изменение уровня жидкости в трубке. На этом принципе основано устройство жидкостных термометров, в частности термометров 216 со шкалой Цельсия. Для градуировки термометра выбирают две фиксированные точки: температуру плавления льда (О “С) и температуру кипения воды (100 “С) при нормальном атмосферном давлении. Интервал от о до 100 разбивают на 100 равных частей (градусов). Так опытным (экспериментальным) путем может быть получена эмпирическая температурная шкала. Если над системой совершается работа или системе передается некоторое количество теплоты, состояние системы меняется: может увеличиваться объем, изменяться температура. При термодинамическом процессе параметры системы меняются, а система обменивается с внешней средой энергией; система может совершать работу или отдавать во внешнюю среду некоторое количество теплоты. Следовательно, система обладает внутренней энергией, а количество теплоты и работа являются мерой изменения внутренней энергии. Внутренняя энергия и температура связаны между собой количественно, что будет рассмотрено в следующей главе. Задание 18.1 Ответьте на вопросы 1. Газ рассматривается как система. В первом случае газ находится в теплонепроницаемом закрытом сосуде, во втором случае в металли ческом закрытом цилиндре. Будут ли эти системы замкнутыми и изолированными? 2. Вода рассматривается как система. Вода находится в закрытой кастрюле и в закрытом электрическом чайнике. Вода в кастрюле нагревается на газовой плите, электрический чайник нагревается от сети. Будут ли эти системы замкнутыми и изолированными? 3. Два куска металла из разного материала находятся в состоянии теплового равновесия в холодильнике. Можно ли утверждать, что они пришли в состояние теплового равновесия сразу же, как их внесли в теплую комнату? Возможно ли состояние теплового равновесия между этими телами в комнате? 4. В кастрюлю с водой, которая нагревается на газовой плите, опустили термометр. Можно ли утверждать, что термометр показывает температуру воды в кастрюле? 5. Рассматривается система вода—лед. В воду при температуре 15 бросили кусок льда при температуре 0 °С. Термометр, опущенный в воду, при таянии льда показывает 10 ®С. Можно ли утверждать, что температура системы 10 ®С? 6. Что характеризуют количество теплоты и работа: процесс или состояние системы? 217 7. В каких единицах выражаются работа, количество теплоты, внут ренняя энергия? 8. Как понимать термин «количество теплоты»? 9. Как можно изменить внутреннюю энергию системы? Глава 19. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ. АБСОЛЮТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА 19.1. Температура. Законы и Шарля Люссака Рассмотрим более подробно понятие температуры. На рисунке 19.1 схематически показан прибор, с помощью которого можно изучать зависимость объема газа от температуры при давлениях, близких к атмосферному. Часть пробирки (объемом V) и часть трубки, вставленной в пробирку, заполнены газом. Это может быть воздух, кислород или любой другой газ. Его количество может быть разным, но в течение опыта должно оставаться постоянным. При опускании пробирки в сосуд с водой при температуре воды t после установления теплового равновесия газ займет определенный объем, значение которого можно определить по шкале. При увеличении температуры воды (за счет подогрева или добавления горячей воды) газ расширяется, что можно наблюдать по перемещению водяного столба вправо в нижнем колене. Давление газа в пробирке при этом остается постоянным и равным практически атмосферному давлению, которое можно определить по барометру. Используя установку (см. рис. 19.1), проделаем следующий опыт. Опустим пробирку вначале в сосуд с тающим льдом и, добившись со-стояния теплового равновесия, отметим на шкале знаком «О» начало во- Рис. 19.1 218 дяного столба в верхнем колене. Затем опустим пробирку в сосуд с ки пящей водой и вновь в состоянии теплового равновесия отметим на шка ле числом «100» начало водяного столба в верхнем колене. Разделив интервал 0—100 на 100 равных частей, получим газовый термометр. Та КИМ образом, в нашем приборе верхняя шкала служит шкалой темпера тур, нижняя шкалой объемов. Если в сосуд с водой (см. рис. 19.1) опустить пробирку нашего прибора и ртутный термометр Г, то при нагревании жидкости можно обнаружить, что показания ртутного термометра практически совпадают с показаниями газового термометра. Теперь исследуем зависимость объема Кгаза от температуры t. Объем газа будем отсчитывать по нижней шкале прибора, а температуру по верхней (или по ртутному термометру). Воспользуемся данными лабо раторного опыта. В опыте могут быть получены, например, такие значения объема в зависимости от t при р = const. Таблица 19.1 1 t,°c 0 10 20 30 40 50 V, см^ 13 13,5 14 14,4 14,9 15,4 Задание 19.1 Используя результаты таблицы 19.1, докажите, что зависимость объема от температуры является практически линейной. Проанализируем полученные результаты, для чего вначале постро им график (рис. 19.2). Экспериментальные точки на этом графике прак тически укладываются вдоль прямой линии. Более тщательные опыты К см 14 12 10 50 Т 80 Л С Рис. 19.2 219 позволили сделать вывод: при постоянном давлении объем газа линейно зависит от температуры. График можно продолжить как в сторону болыпих значений температуры, так и в сторону отрицательных значений температуры. Можно предположить, что зависимость V(f) останется линейной. Найдем фор- мулу этой зависимости. Пусть Кл — объем газа при О ®С, объем газа при температуре /, тогда V о есть изменение объема газа при нагревании от 0°С до Г, а V К о К изменение каждой единицы объема при нагревании газа от о О® С до t. Разделив это отношение на t, получим V К о единицы объема газа при нагревании на 1 ®С. изменение Очевидно, эта величина должна оставаться постоянной, так как за висимость V{t) линейная. Обозначим ее через а и назовем температур ным коэффициентом объемного расширения. Тогда: Ко(1 + аО- (19.1) Полученное выражение называют законом Гей-Люссака в честь фран цузского ученого Ж.Л. Гей-Люссака (1778 1850). Подставл51я числовые значения Рис. 19.3 величин из таблицы 19.1, опреде ЛИМ числовое значение а, которое оказывается близким к числу 1 273 Многократные опыты дают воз можность сделать заключение: для всех достаточно разреженных газов 1 а 273 °С Достаточно разрежен ными газами можно считать газы при давлениях, близких к атмо- сферному и меньших атмосферного. Теперь рассмотрим зависимость давления газа р от его температуры t при постоянном объеме. Применим экспериментальную установку, схематически показанную на рисунке 19.3. Колба А соединена с манометром М, колена которо- 220 р, CM вод. ст 1150 1000 850 50 t, С Рис. 19.4 го в нижней части соединяются резиновой трубкой Т, что позволяет перемещать правое колено по вертикали. Шкала манометра построена так, что при нормальном атмосферном давлении ро (которое измеряется ба- рометром) и температуре 0 °С (температура тающего льда) уровень жщ 1 КОСТИ в коленах манометра устанавливается на делении 0. При опускании колбы А в сосуд с горячей водой при температуре t газ в колбе нагревается и расширяется. Если после установления термодинамического равновесия поднять правое колено настолько, чтобы уровень жидкости в левом колене достиг значения 0, то по высоте h можно судить об изменении давления. Давление газа р в колбе равно /?о + А /?. Таким образом, можно получить таблицу значений давления в зависимости от температуры (см. табл. 19.2) при К= const и построить график (рис. 19.4), выражающий зависимость p{t). Таблица 19.2 t,°C 0 10 20 30 40 р, см ВОД. ст. 1006 1043 1980 1117 1154 Опыты с различными газами, анализ таблиц и графиков позволяют сделать следующие выводы: давление разреженного газа при V = const линейно зависит от температуры ; температурный коэффициент давления Ро является вели чиной, постоянной для всех газов; Pot 221 Рис. 19.5 математически зависимость давления от температуры выражает ся формулой: Dn(l + ВО- (19.2) Зависимость (19.2) в 1787 г. получил фра1щузский физик Ж. Шарль (1746 1823), поэтому ее называют законом Шарля, По да1шым таблицы легко подсчитать числовое значение В, кото рое оказывается равным 1 273 . Обнаруживается поразительный факт: температурный коэффициент объемного распшрения и температурный коэффициент давления оказываются равными одному и тому же значе- нию. Это указывает на какое-то фундаментальное свойство. Предполо жим, что зависимостиp{t) и V{f) остаются линейными в любом интерва л е температур. Если продолжить график p{t) или V{t) в сторону отрицательных зна чений температуры, то он пересечет ось температур в некоторой точке А (рис. 19.5), где значение давления окажется равным нулю. Продолжение графика за точку .4 бессмысленно, ибо это равносильно признанию того, что давление (объем) газа может быть отрицателышм. Итак, дав-леьше в точке А равно нулю. Если в формулу для р подставить р получим / 273 ‘’С. Опыты, проведеьшые учеными, и более строгие теоретические расчеты дают значение t 273,15 °С. Температуру, равную —273,15 9 называют абсолютным нулем. Если теперь построить новую шкалу, совместив ее начало с точкой (где/ 273,15 *’С) и оставив цену деления прежней, то получим шка лу Кельвина (по имени английского ученого У.Томсона (Кельвина) (1824 1907), который ввел шкалу в 1848 г.). Соотношение между тем пературами по шкале Кельвина и по шкале Цельсия дается простой формулой: / + 273,15‘’С. (19.3) В дальнейшем буквой / мы будем обозначать температуру по шкале Цельсия, буквой по шкале Кельвина (эту температуру называют 273,15 -200 -100 0 100 t, с 1 1 1 1 1 0 73,15 173,15 273,15 373,15 г,к Рис. 19.6 абсолютной). Единицей температуры по шкале Кельвина является кель вин (К). Изменение температуры на 1 равно изменению температу ры на 1 К. Примеры. 1) ^ С, 273 К; 2)t 20 ‘’С, 293 К; 3)/ 43 “С, 230 К. На рисунке 19.6, показьшающем, как давление зависит от температуры, на оси абсцисс значения температуры выражены одновременно в градусах Цельсия (“С) и кельвинах (К). Запишем формулы (19.1) и (19.2) с использованием температуры по шкале Кельвина. Так как а 21УС , то 1 + а/ аГи о аТ а /»оР7’. 19.2. Термометры Жидкости, как и газы, расширяются при увеличении температуры. На этом основано устройство термометров. В повседневной практике. в быту чаще всего используют спиртовые и ртутные термометры. Тем пература плавления спирта —114 “С, ртути —38,9 ®С. Температура кипе ния спирта 78,3 °С, ртути 356,66 “С. Таким образом, спиртовые термо метры непригодны для измерения температур ниже 114 ®С и выше 78,3 “С, а ртутные можно применять только в интервале температур от 38,9 Х до 356 X. В производстве же и в научных исследованиях необходимы измерения температур как более низких (ниже —114 °С), так и более высоких (выше 356 ‘’С). В практике применяются термометры, принцип действия которых основан не только на расширении тел (твердых, жидких, газообразных), но и на изменении цвета, электрического сопротивления и пр. 223 ^обство использования жидкостных термометров, к сожалению, не гарантирует достаточной точности измерения температуры по двум причинам. Первая состоит в том, что расширение жидкости не является строго линейным. Например, вода имеет наибольшую плотность при С. С другой стороны, расширение разных жидкостей в одном и том же интервале температур оказывается различным. Пусть, например, при измерении температуры О “С и 100 ртутным и спиртовым термометрами показания приборов совпадали. Если теперь измерить температу- ру в средней части шкалы, то значения этой температуры у термометров разной жидкостью окажутся разными (хотя различие очень мало). Наиболее подходящим для измерения температуры является газо вый термометр. Принцип действия газового термометра совпадает с принципом действия прибора, с помощью которого мы изучали зависимость pit) (см. рис. 19.3). Но даже газовый термометр не всегда спасает. Дело в том, что при низких температурах газы переходят в жид состояние (азот при температуре 210 кислород при темпе ратуре —218,4 °С, водород при температуре —259,1 °С при нормальном атмосферном давлении). Задание 19.2 Решите задачи . Каков характер зависимости давления газа от температуры при постоянном объеме? 2. Газ нагревают на АТ в первом случае при постоянном давлении, во втором случае (из того же состояния) при постоянном объеме. Во сколько раз должно увеличиться давление во втором случае, если в первом случае объем увеличился в 3 раза? 3. В двух разных по объему сосудах находится один и тот же газ при температуре 0 °С. Давление в сосудах одинаково. Затем газ нагревают и строят графики V(t). В чем сходство и отличие графиков зависимости V отопри р = const? 4. Ртутный и спиртовой термометры показали температуру 0 °С, на- ходясь в сосуде с тающим льдом. В морозный день спиртовой термо метр показывает —40 ®С. Будут ли такими же показания ртутного термо метра? 5. Правильны ли утверждения: а) жидкостные термометры неудобны в обращении; б) температурный коэффициент объемного расширения жидкостей не одинаков в разных интервалах температур; в) жидкостный термометр непригоден для измерения температуры вьпие точки кипения и ниже точки замерзания жидкости в термометре; 224 г) несмотря на точную градуировку при О ‘’С и 100 ‘’С, в случае изме рения температуры воды газовым термометром (60 ”С) ртутный и спир товой термометры покажут температуру, отличающуюся от 60 °С? Глава 20 УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ. ГАЗОВЫЕ 20.1 ЗАКОНЫ Уравнение состояния в предыдущем параграфе мы выяснили, что для достаточно разре женного газа справедливы зависимости: /?оаГпри V= const (20.1) и VoaT при р = const (20.2) На основании полученных экспериментальных формул можно найти и другие связи. Оказывается, что для двух разных состояний одной и той же массы газа существует достаточно простая связь между парамет рами/7. К, Т, PiVx. _РгУг Тх Тг ’ или (20.3) Произведение давления определенной массы газа на его объем, делен ное на абсолютную температуру, есть величина постоянная. Полученную зависимость можно подтвердить опытным путем, применив установку, схематически показанную на рисунке 20.1. Объем газа в закрытом гофрированном сосуде можно менять. При вращении ручки винт перемещается по вертикали, перемещая одновременно крьпыку гоф рированного сосуда. Объем газа отсчитывается по шкале объемов V. Давление внутри сосуда определяется как сумма атмосферного дав ления, отсчитанного по барометру, и значения давления по шкале ма нометра. Помещая прибор в сосуды с водой при разной температуре. можно сравнивать параметры, характеризующие разные состояния газа внутри гофрированного сосуда (Fj, Т\, F2, Р2, Т2 и т. д.). Подставляя 8 Физика, 10 кл. le IB з1в Я1В яв IB 1 i Рис. 20.1 nojtyHCHHbie экспериментальные данные в соотношение (20.3), можно убедиться, что: PlVy P2V2 1 2 Выражение (20.3) нгзывдхугуравнением состояния. Впервые оно было получено в 1834 г. французским физиком Б.Клапейроном (1799 1864). Покажем, как можно получить уравнение состояния, исходя из выражений (20.1), (20.2) и учитывая, что То = 273 К, а Запишем формулу (20.1) для значений Т\ и Tq: 1 273 °С • /?о Pi рмТ\. Из отношений записанных уравнений при V = const получим: Pq Р\ о (1) 1 Аналогично применив формулу (20.2) для Ту и 7п при р = const, по лучим: о 2 Т, о Т (2) 2 Умножив соотношение (1) на ^о, а соотношение (2) на Ро и учиты вая, что левые части равны, получим: PxV, Р0^2 1 2 Но Ко = а Ро ==Р2, значит. РхУх Р'^2 1 , ИЛИ pV 2 const 226 Уравнение состояния справедливо для реальных газов при услови-ях, близких к нормальным. Однако при очень низких температурах (близких к температуре сжижения газа) и достаточно больших давлениях, превышающих атмосферное в десятки и сотни раз, уравнение (20.3) не соблюдается. Процессы, при которых один из параметров остается постоянным, называют изопроцессами: изопроцесс при Т= const называют изотермическим, изопроцесс при р = const называют изобарным, изопроцесс при V— const называют изохорным. Отражающие их графики называют соответственно изотермой, изобарой, изохорой. Если система переходит из состояния с параметрамир\, Vx, Г1 в состояние с параметрами ро, V2, Т2 при изотермическом процессе, то 2 Т\. На основе уравнения состояния P2V2 т получим 2 PxVx P2V2. (20.4) ля Формулу (20.4) называют законом Бой-Мариотта в честь английского ученого Р.Бойля (1627—1691) и французского ученого Э.Мариотта (1620—1684). График зависимости между объемом и давлением при постоянной температуре представлен на рисунке 20.2. Рассмотрим на опыте еще один процесс, когда сразу меняются три параметра (рис. 20.3). Если в цилиндр А поместить ку- Рис. 20.2 сочек ваты, слегка смоченный спиртом, то при быстром движении поршня П вниз ватка вспыхивает. Это говорит о том, что при быстром сжатии газа и увеличении давления температура газа повышается. За короткое время движения поршня газ не успевает передать существенное количество теплоты стенкам цилиндра и окружающей среде. Такой процесс, который протекает в системе настолько быстро, что за время его осуществления не происходит теплообмена между системой и окружающей средой, называют адиабатным. График зависимости р(У) при адиабатном процессе называют адиабатой. Рис. 20.3 227 \ \\ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ 1 Рис. 20.4 Уравнение адиабаты= const (у > 1) можно получить теоретически. Однако это выходит за пределы нашего курса. Сравним график изотермы с графиком адиабаты. На рисунке 20.4 пунктиром изображены две изотермы, при этом Ti> Т\, Пусть газ в цилиндре находится в состоянии с параметрами р\, FJ, Т\, что отмечено точкой А, При изотермическом сжатии график (изотерма) прошел бы через точку В, (В точке В газ характеризуется параметрами р\ ъ 7^1.) При адиабатном же сжатии при достижении объема газ имеет температуру Ti> Ti и состояние газа будет характеризоваться параметрами ру^ ^2, Ту. Адиабата пройдет через точку С. Аналогично можно было бы рассмотреть достаточно много точек на участке АС, Легко заметить, что адиабата идет круче изотермы. При адиабатном сжатии газ нагревается. при расширении охлаждается. 20.2. Квазистатические процессы Рассматривая частные газовые законы, мы накладывали уело вия: const, V = const, Т = const. Но так ли просто осуществить изо процессы? Допустим, мы рассматриваем изотермический процесс, ежи мая газ в цилиндре (рис. 20.5). При быстром опускании поршня на рас стояние h под действием силы F газ сожмется и нагреется (процесс ади абатный). Следовательно, поршень нужно опускать очень медленно. чтобы нагревающийся газ успевал отдавать во внешнюю среду опре. ленное количество теплоты, практически поддерживая тем самым по стоянство температуры. Такие чрезвычайно медленные процессы, ког 228 - ■« -■ Ч -■ - ■ - ’ ■ Ч ■ '• ■■■ ■ ■: - ■' ■ ■■ 1^1 Рис. 20.5 Рис. 20.6 да какой-то параметр остается почти постоянным, называют квазиста тическими. Система проходит через последовательность бесконечно близких равновесных состояний. Рассмотрим практическое осуществление изобарного процесса (рис. 20.6). При передаче газу определенного количества теплоты поршень переместится на некоторое расстояние h вверх. Сверху на поршень действует постоянное атмосферное давление. С учетом веса поршня (пренебрегая силой трения поршня о цилиндр) можно было бы сделать заключение, что давление газа в цилиндре остается постоянным. На са- мом же деле процесс протекает таким образом, что вначале давление должно быть несколько выше, чтобы привести поршень в движение. В конце же движения поршня давление должно быть несколько ниже, ибо при остановке сила давления газа на поршень должна быть меньше силы, действующей на газ со стороны поршня. При этом существенным явля- ется значение ускорения поршня. И только при малых порциях переда ваемого количества теплоты изменениями давления можно пренебречь и считать процесс квазистатическим. Задание 20.1 Решите задачи 1. Какие изопроцессы отражают участки графика 1—2, 2—3, 3 7 на рисунке 20.7? Газ расширяется изотермически (рис. 20.8). Сравните площади фигур АВСО и KLMO, Сделайте вывод. Вьиертите график зависимости р от Т, отражающий процессы. показанные графически на рисунке 20.7. Вычертите график зависимости V от Т, отражающий процессы. показанные на рисунке 20.7. 229 Рис. 20.7 Рис. 20.8 5*. В цилиндрическом сосуде под поршнем находится газ, что позволяет осуществлять процессы по рисунку 20.7. Обменивается ли газ количеством теплоты с внешней средой, когда идут процессы, характеризуемые графиками 1—2, 2—3, 3—11 Совершается ли при этом работа? Глава 21. РАБОТА ГАЗА ПРИ РАСШИРЕНИИ На рисунке 21.1 схематически пред ставлена установка, с помощью которой можно изучать работу газа при расшире- нии. В цилиндре под поршнем находится газ, который представляет собой рассматриваемую систему. Стенки сосуда и поршень относятся к окружающей среде. Между системой (газом) и окружающей Рис. 21.1 средой может происходить теплообмен. Со стороны газа на поршень действует сила F', модуль которой F' = pS, где р давление газа, S — площадь поршня. Со стороны поршня на газ дей ствует сила F , обусловленная внешними воздействиями (атмосферное давление, сила трения или любая внешняя сила, приложенная к поршню).Пусть при равенстве модулей сил (F= F') поршень равномерно движется вверх, р = const. При перемещении поршня на рассто- яние АА 2 I объем газа меняется на величину А К = MS. Тогда работа газа при его расширении равна А' = F'A А, или А' = pMS, или (21.1) АК> о, так как АА > 0, ибо А2 > Ai,p = const. Следовательно, работа газа при расширении величина положительная. 230 Рис. 21.2 Рис. 21.3 Работа внешних сил над газом А jPAA cos а, где а — угол между на правлением вектора силы F и вектора перемеш,ения поршня. Так как поршень движется вверх, а сила направлена вниз, то а 180* и cos а 1. Поэтому А FAh. Но F= F\ следовательно, А F'Ah, т. с. А А\ Тогда: pAV. (21.2) При сжатии газа работа внешних сил будет положительной, ибо АК<0(К2< к,). Работу газа при расширении можно определить графически. Допу- стим, газ расширяется при постоянном давлении от объема Vi до объема V2. Изобара представляет собой отрезок>45 (рис. 21.2). Работа газа оказывается численно равной площади прямоугольника ABCD: А' P(V2 Vi). Если в термодинамическом процессе давление меняется, например при изотермическом расширении, то работа газа при расширении А' опять-таки численно равна площади, ограниченной осью объемов и графиком (рис. 21.3). Задание 21.1 Решите задачи 1. Может ли газ совершать работу: а) при изобарном процессе; б) при изохорном процессе; в) при изотермическом процессе? 2*. Газ в двух сосудах находится в одинаковых состояниях. Объем газа увеличивается на одну и ту же величину. В одном случае газ расши- 231 ряется изотермически, в другом — адиабатно. При каком процессе газ совершает большую работу? Почему? 3*. Если построить машину, в которой газ будет расширяться адиабатно, а сжиматься изотермически, можно ли получить полезную работу? 4*. Если к процессу (см. задачу 3) добавить изохорный таким образом, чтобы система вернулась в исходное состояние, то в чем будет состоять принципиальная разница двух систем: по задачам 3 и 4? Если система, совершив определенные процессы, возвращается в исходное состояние, то говорят, что совершается цикл. График в этом случае представляет замкнутую фигуру. Может ли цикл состоять: а) из двух изотерм и двух изохор; б) из двух изобар и двух изохор; в) из двух адиабат и двух изотерм? Задачу решить графически в координатах /?, Изобарный процесс можно осуществить практически. Если газу (системе) от стенок цилиндра передать некоторое малое количество теп- лоты, газ нагреется и практически при постоянном давлении начнет расширяться. Передача количества теплоты должна быть медленной, чтобы процесс был квазистати- ческим. Рис. 21.4 Если газ будет расширяться без теплообмена с окружающей средой (адиабатный процесс), то все его параметры меняются Адиабата АВ этого процесса по- казана на рисунке 21.4. Работа газа А', как и в предьщущем случае, численно равна площади фигуры A8CZ). Поскольку давление меняется, то для вычисления работы А' можно поступить следующим образом: А' Ь4;, (21.3) где A'i = Pi А V, Pi — давление при каком-то промежуточном значении объема Vi, АF — достаточно малое изменение объема, в течение которого давление р/ можно считать постоянным. Возможен также изотермический процесс. На рисунке 21.4 изотермой является кривая АЕ, Чтобы поддерживать постоянство температу- ры, газу необходимо передавать количество теплоты от окружающей среды. Работа А' может быть подсчитана по формуле (21.3). В частно сти, можно применить метод суммирования (см. консультацию 4). 232 На основании закона Бойля—Мариотта р т I , V; меняется от Fi до ^2* Участок между значениями V\ и Ко можно разделить на ЛГравных V -V частей, тогда АК= + i^Vi N li А' ^2-y_iY PiVi N К +/AK Pi Пусть газ расширяется от объема К = 0,40 дм^ до объема К2 = 0,60 дм^; 2 1,0 • 10^ Па, N= 10. Вычисления дают значение 16,216 Дж. О т в е т: у1' 16 Дж. Теоретически можно получить более точную формулу: А' PiKi In л 2 1 J Вычисления дадут А' = 16,218 Дж. Глава ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ И РАБОТЫ Сжатый газ обладает энергией, так как при расширении, например под поршнем, он может совершить работу. При совершении над газом работы внешними силами его внутренняя энергия увеличивается, а при совершении работы газом — уменьшается. Работа может совершаться и за счет передачи газу количества теплоты, например при изотермичес ком расширении. Поэтому количество теплоты также является величи о о о НОИ, характеризующей процесс, связанньга с изменением внутренней энергии системы. И работа, и количество теплоты в Международной системе единиц выражаются в одних и тех же единицах — джоулях. Но возникает закономерный вопрос: как установили эквивалентность между единицами работы и количества теплоты; как установили, например. что удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг • К)? Почему не еди нице или другому числу? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к опыту английского ученого Д. Джоуля (1818 1889). Прежде чем рассмотреть опыт Джоуля, вспомним, как определяется единица производной физической величины. Взяв за основу определенную формулу, считают значения входящих в нее величин равными еди1шце. Например, 233 IH 1 кг • 1 м/с^, 1 Па = 1 Н/1 м^, 1 Дж = 1 Н • 1 м и т.д. Поэтому в соответствии с определением удельной теплоемкости единицей удельной теплоемкости должен быть 1 Дж/(кг • К). Но веще ства с таким значением удельной теплоемкости нет. У воды (пгароко распространенного вещества), как мы сказали, удельная теплоемкость равна 4200 Дж/(кг • К). Откуда же взялось это число 4200? Дело в том. что количество теплоты может выражаться и в других единицах (появив шихся исторически раньше) — в калориях (кал). Калорией назвали ко личество теплоты, необходимое для нагревания 1 г воды на 1 *С. Следо вательно, удельная теплоемкость воды была 1 кал/(г • °С), тогда стЫ, 1 кал = 1 кал/(г С) 1г • С. Как видим, значения входящих в формулу величин равны единице Поскольку работа и количество теплоты определяют изменение энер ГИИ, их единицы (джоуль и калория) должны быть связаны определен ным соотношением. Это соотношение можно получить на основе опы та Джоуля. Схема установки опыта Джоуля показана на рисунке 22.1. В тепло изолированном сосуде С (калориметре) может находиться жидкость (вода, керосин, ртуть и др.) и могут вращаться лопатки Л, соединенные с осью О. Вверху на оси закреплен барабан Б, На барабан наматывается нить, к концам которой подвешены грузы Г, При опускании грузов ло патки вращаются и перемешивающаяся жидкость нагревается. По мае се М грузов и высоте опускания можно подсчитать работу: А Mgh, Рис. 22.1 234 По количеству воды (а затем другой жидкости) и по изменению ее температуры можно вычислить количество теплоты в калориях: стА/. Разумеется, в опыте нужно учитывать теплоемкость лопаток, сосуда и т. д., что и было выполнено Джоулем. Многократные опыты, выполненные Джоулем в разных условиях и с разными жидкостями, привели его к определенному соотношению между единицами работы и количества теплоты. В современных обозначениях эта связь выражается соотношением: 1 кал 4,186 Дж «4,2Дж. Полученное соотношение между калорией и джоулем можно про верить и другими способами. Известно, что 1 Дж 1А • 1 В • 1 с. Следовательно, если собрать установку, t схема которой представлена на рисунке 22.2, то по значениям силы тока, напряжения и времени легко подсчитать работу электрического тока, а по удельной теплоемкости воды, ее массе и изменению температуры можно подсчитать полученное водой количество теплоты в калориях. Затем найти энергию в джоулях, приходящуюся на 1 кал. Рис. 22.2 Задание 22 Соберите установку по рисунку 22.2. Определите работу (в джоу лях) электрического тока в течение 5 мин и количество теплоты (в кало риях), полученное водой. Сравните и Q. Сделайте вывод. Глава 23. ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 23.1. Т Первый закон термодинамики Рассмотрим систему: газ или жидкость, находящуюся в цилиндри ческом сосуде под поршнем. В приведенных ранее примерах неодно кратно подчеркивалось, что такая система может совершать работу, над системой может быть совершена работа, системе может быть передано определенное количество теплоты и система может отдать в окружаю- 235 щую среду определенное количество теплоты. Все это говорит о том, что, во-первых, система обладает внутренней энергией и, во-вторых, об изменении внутренней энергии системы можно судить по работе, совершенной над системой, и по количеству теплоты, которым обменивается система с окружающей средой. Многократные наблюдения и исследования физических процессов привели ученых к однозначному вьюоду. Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты 9 переданного системе: (23.1) Это и есть первое начало термодинамики, или первый закон термо динамики, которьш является законом сохранения энергии для механи ческих и тепловых процессов. В механике мы рассматривали закон сохранения механической энер ГИИ. Однако существует закон сохранения энергии, справедливый для всех процессов. Во всех процессах, происходящих в изолированной системе, энергия переходит из одной формы в другую, оставаясь в количественном отноше НИИ постоянной. Если вместо работы внешних сил А рассматривать работу системы А' над внешними телами, то первый закон термодинамики запишется так: AU-b А\таккакА А'. Его можно сформулировать следующим образом: Количество теплоты, переданное системе, вдет на увеличение внутренней энергии и на совершение системой работы. Работа и количество теплоты не являются характеристиками состояния системы, они характеризуют только процесс, изменение состояния системы. Одну и ту же работу система может совершать при переходе, например, из состояния 1 в состояние 2 или из состояния 4 в состояние 5, каждое из которых характеризуется вполне определенными значениями V, р, Т, 23.2. Второй закон термодинамики Рассматривая закон сохранения энергии для механических процессов, мы убедились, что потенциальная энергия может переходить в кинетическую и, наоборот, кинетическая в потенциальную. Полная же энергия системы остается постоянной. (Например, при колебаниях ма- 236 тематического маятника или тела, подвешенного на пружине, Е— + + Ер,Е= const, если не учитывать затрат энергии на трение.) Закон сохранения энергии справедлив для всех процессов, происходящих в при- роде: при переходе механической энергии во внутреннюю, химичес кой в электрическую, механической в электрическую и т. Поскольку нас интересуют тепловые процессы, рассмотрим задачу по неупругому взаимодействию. Пусть шар массой т влетает со скорое тью V в цилиндр с песком массой Ми застревает в нем. Цилиндр под вешен на нитях. Сравним механическую энергию системы цилиндр шар до и после взаимодействия. На основе закона сохранения импуль са получим, что скорость цилиндра с застрявшим в нем шаром после взаимодействия равна и mv М + т Энергия системы до взаимодействия Е mv 2 1 2 , поскольку скорость цилиндра до взаимодействия равна нулю. Энергия системы после вза имодействия Е (М + т \и 2 2 . Подставляя значение w, получим: mv 2 т 2 М + т ’ т.е. El < Е\, В частности, если М= т, то Е2 mv 2 4 , следовательно, Е\ в 2 раза больше Ео. Разумеется, энергия не исчезла. Энергия, равная Ei — Ео, пошла на нагревание системы цилиндр—шар, т. е. часть механической энергии перешла во внутреннюю. Возможен переход части внутренней энергии в механическую (на пример, при запуске космической ракеты). Однако такой процесс дале ко не всегда можно осуществить. Так, в нашем случае, сколько бы мы ни нагревали цилиндр с шаром, шар сам по себе из цилиндра с песком не вылетит. Другой пример: при контакте горячего и холодного тел энергия самопроизвольно переходит от горячего тела к холодному, но не наоборот. При вращении колеса, свободно посаженного на ось, колесо останавливается за счет трения (нагревания колеса и оси), обратный же про- цесс невозможен. Тарелка, упавшая на пол, разбивается, но никогда ос колки самопроизвольно не соберутся в тарелку и не поднимутся вверх. На основе обобщения большого количества опытных фактов ученые пришли к формулировке второго закона термодинамики. Имеется несколько формулировок второго закона термодинамики. Одна из них дана немецким ученым Р. Клаузиусом (1822—1888) в 1850 г.: 237 Невозможен процесс, при котором теплота переходила бы самопроиз вольно от тела менее пагретого к телу более нагретому без каких-либо из менении в системе. Второй закон термодинамики отражает направленность возможных процессов природы, подчеркивает их необратимость. Необратимые процессы могут протекать самопроизвольно только в одном направлении: при неупругом ударе механическая энергия переходит во внутреннюю, при контакте двух тел теплота переходит от горячего тела к холодному. В обратном направлении эти процессы самопроизвольно протекать не могут. При обратимом процессе система проходит в обратном направлении через те же состояния, через которые она проходила в прямом направлении. Меняется только последовательность прохождения. Так, например, если бы при колебаниях математического маятника не было энергетических потерь (на трение и пр.), то его колебания оказались бы незатухающими; в системе «маятник» наблюдались бы обратимые процессы. В природе невозможны обратимые макропроцессы, все макроироцес-сы природы необратимы. Открытие второго закона термодинамики является результатом изучения учеными вопроса о тепловом двигателе, т.е. двигателе, с помощью которого можно получить механическую энергию за счет внутренней энергии. Схема теплового двигателя, в частности паровой маишны, показана на рисунке 23.1. Атмосфера I Паровой котел Рис. 23.1 238 Пар, полученный в паровом котле, при от крытом впускном клапане К\ поступает в ци линдр. Выпускной клапан Ку закрыт. Под дей ствием давления пара поршень поднимается и заставляет поворачиваться маховик М (массивное колесо). Продолжая вращаться по инерции, маховик двигает поршень вниз. При опускании поршня клапан К2 открыт, а клапан К\ закрыт. Отработанный пар выпускается в атмосферу (или в холодильник, где пар охлаждается, конденсируется и полученная вода может быть вновь направлена в паровой котел). Таким об- Рис. 23.2 разом, часть внутренней энергии пара может быть превращена в механическую энергию вращающегося колеса. Пар получает от нагревателя количество теплоты Q\ при температуре Т\, совершает работу А' и выходит в атмосферу при температуре Т2, отдавая окружающей среде количество теплоты 62* У тепловых двигателей газ, который совершает работу при расширении, называют рабочим телом. Это может быть пар, сгорающий распыленный бензин и др. К тепло- вым двигателям относятся двигатели автомобилей, самолетов, ракет и др. В общем случае принципиальную схему работы теплового двигате ля можно представить так (рис. 23.2). Рабочее тело получает от нагре вателя количество теплоты Q\, совершает работу А' и отдает холодиль нику количество теплоты Q2. Для идеальной тепловой машины спра ведливо соотношение А' 02- У идеальной тепловой машины газ (рабочее тело) подчиняется уравнению газового состояния, у нее нет потерь на трение, излучение и пр. Работа, совершаемая любым идеальным двигателем, равна разности количеств теплоты, полученной от нагревателя и переданной холодильнику» Поскольку А' Q2, КПД двигателя т| А' , или: 1 (23.2) КПД реального теплового двигателя значительно меньше вьгаислен-ного по формуле (23.2). Возникает вопрос: а можно ли каким-либо способом перевести некоторое количество теплоты от более холодного тела к более горячему? Оказывается, можно, но при этом необходимо совершить работу. На рисунке 23.3 представлена схема работы теплового насоса (холодильника. 239 кондиционера). Работа теплового насоса не про тиворечит второму началу термодинамики. Пе ревод теплоты от холодного тела с температурой Гх к горячему телу с температурой про- исходит не самопроизвольно, а за счет совершения работы. Задание 23.1 Решите зада чи 10 1*. Почему считается, что внутренняя энергия системы является функцией состояния? 2*. Почему количество теплоты и работа не являются функциями состояния? 3. Можно ли на основе первого начала термодинамики определить направление термодинамического процесса? 4. Является ли движение Луны вокруг Земли обратимым процессом? 5. Запишите первый закон термодинамики для изопроцессов. 6. В каком случае изменение внутренней энергии отрицательно? 7. В каком случае работа газа больше: при изотермическом или при изобарном расширении, если AVодно и то же? 8. Воздух, взятый в объеме 0,1 м^, охлаждали при постоянном дав- лении до тех пор, пока его объем не уменьшился в 2 раза (процесс 1 2). После этого воздух расширился изотермически до своего начального объема (процесс 2—5). Изобразите эти процессы в координатах р, 9. Процессы 7—2 и 2—5 (см. задачу 8) изобразите в координатахр, Т, 10. Процессы 1’—2vl2—3 (см. задачу 8) изобразите в координатах К, Г. Задание 23.2 * Решите задачи Рис. 23.4 Газ медленно расширяется о объема, в 2 раза большего начального, совершая процесс: а) изобарный; б) изотермический; в) адиабатный. Изобразите каждый из процессов в координатах Р, каком процессе газ совершает наиболыпую и наименьшую работу, получает (отдает) наибольшее и наименьшее количество теплоты, происходит наибольшее и наименьшее изменение внутренней энергии газа? 240 2. Газ медленно расширяется по линейному закону (рис. 23.4), причем в состояниях 7 и 2 температура газа одинакова. Опишите процесс: совершение работы, передачу теплоты, изменение температуры, изменение внутренней энергии газа. 3. Определите максимальную температуру в процессе (см. задачу 2), если Pi = 243 кПа, I 0,45 дм^ 1 300 к, /?2 = 81 кПа. Используйте программу для нахождения максимума (см. консультацию 4). 4. Решите задачу 3, еслиpi = 162 кПа, Pj = 0,675 дм^, Т\ = 300 К, pi 40,5 кПа. 5. Определите по данным задачи 3 координату /?, соответствующую максимуму температуры. Будет ли эта точка делить график пополам? Газ нагревается из одного и того же состояния на одну и ту же разность температур один раз при постоянном давлении, другой раз при постоянном объеме. В каком случае необходимо затратить большее количество теплоты и почему? Глава 24. ЦИКЛ КАРНО Поставим перед собой цель: выяснить, как должен работать тепловой двигатель, чтобы с его помощью можно было поднимать бруски на некоторую высоту h с уровня А на уровень В (рис. 24.1). Применим в качестве теплового двигателя конструкцию, состоящую из цилиндра Ц, заполненного газом (рабочим телом), и поршня 77 со столиком С, на который можно положить груз Г. Допустим, что стенки цилиндра и поршень сделаны из материала, не проводящего теплоту; дно же цилиндра Д изготовлено из материала, хорошо проводящего теп- лоту; теплоемкость цилиндра и поршня ничтожно мала, т.е. на нагрева ние цилиндра и поршня не расходуется теплота. Кроме того, будем счи тать, что поршень движется без трения. Если дно цилиндра прикрыть теплоизолирующей пластиной 777, то исключается обмен энергией между рабочим телом (газом) и окружающей средой, т.е. в этом случае возможен только адиабатный процесс. Если же цилиндр поставить на нагреватель, то возможна передача теплоты от нагревателя газу; при установке цилиндра на холодильник газ отдает теплоту. В первом случае поршень будет подниматься, во вто- ром опускаться. Теперь рассмотрим, как с помощью такого теплового двигателя можно выполнить работу по поднятию брусков. На рисунке 24.2 показаны четыре последовательных положения поршня. В первом положении газ занимает объем Vi и столик находится на уровне полки А. Цилиндр расположен на теплоизолирующей пластине. При перемещении 241 Рис. 24.1 груза с полки А на столик газ адиабатно сжимается до объема F2. Пор шень с грузом опускается на высоту А i. По первому закону термодина МИКИ, AU= Q, Теплообмена не происходит: Q = 0. Следовательно, 12 AU. 12 над газом совершается работа, идущая на увеличение его внутренней энергии. Во втором положении теплоизолирующая пластина заменена натре вателем Н, от которого газу передается определенное количество теп лоты. Газ расширяется при постоянном давлении и, совершая работу Л'23, поднимает груз на высоту А2 до уровня полки В, Внутренняя энер ГИЯ газа увеличивается на А1/2з. Третье положение вновь иллюстрирует адиабатный процесс, когда груз сдвигается со столика на полку В и поршень поднимается на высо ту A3. При этом дно цилиндра прикрыто теплоизолирующей пластиной. За счет изменения внутренней энергии AU2% газом совершается работа А^ 34 AU 34 В четвертом положении рассматривается цилиндр, расположенный на холодильнике. Газ отдает холодильнику Xнекоторое количество теп лоты, поршень опускается на высоту А4 при постоянном давлении, сто лик устанавливается на уровне полки А Заменяя холодильник тепло изолирующей пластиной, систему переводят в исходное состояние. Повторяя описанные процессы, можно следующий груз поднять на высоту А. Мы рассмотрели так называемый цикл теплового двигателя. Цикл представляет собой последовательность процессов, при которых газ (рабочее тело) переводится из начального состояния через ряд состояний вновь в первоначальное состояние. 242 Цикл можно представить графически в координатах р, К в виде замкнутой линии. На рисунке 24.3 показан цикл идеального двигателя, состоящий из двух изобар (2 1) и двух адиабат (1 2, 3 приближенно отражающий цикл, который нами рассмотрен по ри сунку 24.2. В результате совершения цикла выполняется работа по поднятию одного груза. Работа численно равна площади фигуры I ь. I 2 const Л1 Q 41 Рг const f 23 л Цз + А,, Рис. 24.2 243 Рис. 24.3 Рис. 24.4 Процессы преобразования внутренней энергаи в механическую подробно изучал С. Карно (1796—1832). Он впервые рассмотрел двигатель с обратимым циклом. Карно изучал цикл, состоящий из двух изотерм (7 2.3 4) и двух адиабат {2—3, 4—1) (рис. 24.4). При изотермическом процессе 7 2сис теме передается количество теплоты Q\ от нагревателя (термостата с тем пературой Ti). При изотермическом процессе 3—4 система отдает холо дильнику (термостату с температурой Т2) количество теплоты 02- ® ЭДИ абатных процессах обмена энергией с окружающей средой не происхо дит. Изменение внутренней энергии рабочего тела за цикл равно нулю (AU 0), работа газа А' Qi- Найдем коэффициент полезного действия 11 1 2 1 (24.1) Теоретически можно показать, что КПД идеальной тепловой мапш ны определяется значениями температуры нагревателя Т\ и температу ры холодильника Т2. (24.2) где Т 1 температура нагревателя. 2 температура холодильника. С. Карно сформулировал следующую теорему: Двигатели, работаюпще по обратимому циклу между термостатами с темпера1урами Т\ и J29 имеют один и тот же КПД. Реальный двигатель работающий между теми же термостатами, не может иметь более высокий КПД. КПД любого двигателя, работающего по обратимому циклу (иде ального двигателя), зависит только от разности температур нагревателя 244 и холодильника и не зависит от рода рабочего тела; им может быть лю бой газ, жидкость, твердое тело. Сравнивая выражения (24.1) и (24.2), можно получить отношения или Ог _Zi Gi 3". Q2 Т, ■ 'т * ^2 (24.3) Здесь Qi — количество теплоты, полученное рабочим телом от на гревателя при температуре Ту, Q2 — количество теплоты, отданное ра бочим телом холодильнику при температуре Ti. Соотношение (24.3) У. Томсон (Кельвин) положил в основу определения температуры по термодинамической шкале. Попытаемся уяснить, почему это целесообразно. Предварительно вспомним, как мы вводили шкалу Кельвина. О температуре мы судили по изменению объема или давления рабочего тела (ртути, спирта, газа); можно судить и по изме нению других параметров (длины, сопротивления и пр.). Таким обра зом, мы могли получить только эмпирическую (экспериментальную, опытную) шкалу, зависящую от рабочего тела. Поскольку свойства рабочих тел с изменением температуры меняются по-разному, эмпири- ческая шкала всегда является приближенной. Термодинамическая шкала, вводимая на основе цикла Карно, ли шена этого недостатка, ибо отношение (24.3) не зависит от свойств ра бочего тела и позволяет по измерению Q\ и Qi определить термодина мическую температуру. По этой шкале выбирается температура таяния льда при нормальном атмосферном давлении равной Тп=273,15 К. Если обозначить количество теплоты, которым обменивается рабочее тело с нагревателем или холодильником при То, через Qo> ^ через Q — количество теплоты, которым обменивается рабочее тело при температуре то получим следующее соотношение: о (24.4) Это соотношение справедливо во всем интервале возможных тем ператур. По измеренным значениям Q и Qo можно определить тем пературу Т, Термодинамическая шкала совпадает со шкалой газового термометра, заполненного идеальным газом. высокой точностью значение термодинамической температуры, т.е. температуры по шкале Кельвина, можно измерять реальным газовым термометром. Однако 245 при температурах, близких к О К, газовый термометр становится не пригодным, так как при таких температурах все газы перехо, жидкое (и даже твердое) состояние. Применив же соотношение (24.4) в можно измерять температуру, сколь угодно близкую к абсолютному нулю (О К). Задание 24.1 Решите задачи 1*. В каком случае КПД идеального теплового двигателя окажется больше: при увеличении температуры нагревателя на 20 К или при понижении температуры холодильника на 20 К? 2. Приведите примеры процессов, которые не нарушают первый закон термодинамики, но противоречат второму. 3. Автомобиль, развивая мощность 15 кВт и двигаясь со скоростью 90 км/ч, потребляет 8 л бензина на 100 км пути. Чему равен КПД двига теля? Удельная теплота сгорания бензина 45 МДж/кг, плотность бензи на 750 кг/м^. 4*. На тепловой электростанции мощностью 2000 МВт пар в турбину подается при температуре 700 К, а холодильником является речная вода при температуре 350 К. Объемная подача речной воды насосом 80 mVc. На сколько должна повыситься температура речной воды? Считать, что турбина является идеальным тепловым двигателем. 5*. Существует идея создания теплового двигателя, действие ко торого основано на использовании разности температур воды в оке ане: на поверхности 20 °С, на глубине 5 °С. Какой максимальный КПД мог бы иметь такой двигатель? Предложите конструкцию тако- го двигателя. 6*. Идеальный тепловой двигатель имеет температуру нагревателя 873 К и КПД 25%. Какой должна быть температура нагревателя, чтобы повысить КПД до 30% ? 7*. Эффективность холодильника хараетеризуется холодильным коэффициентом, равным отношению количества теплоты, отбира емого от тела с низкой температурой, к работе внешних сил: е X Докажите, что для идеального холодильника е Т X т г. , где Гн А тем X пература нагреваемой окружающей среды, Гх — температура охлаж даемого тела. 246 Задание 24.2 Решите задачи 1. В калориметр с водой массой гпх при температуре опущен кусок льда массой m2 при температуре /2- Исследуйте варианты термодинами ческого равновесия. Теплоемкость калориметра не учитывать. 2. Ситуация: рассматривается цикл идеального теплового двигате ля. Необходимо выяснить, какова «энергетика» того или иного процес са (выбрать из перечисленных в пунктах а е). а) Система отдает некоторое количество теплоты окружающей сре де. б) Системе передается некоторое количество теплоты окружающей средой. в) Система совершает работу. г) Над системой совершается работа. д) Внутренняя энергия системы увеличивается е) Внутренняя энергия системы уменьшается. Задача 2.1 (рис. 24.5): участок 1—2; участок 2 участок 3—4; участок 4 Пример решения Участок 1—2 является изобарой. За счет передачи количества теп лоты совершается работа и увеличивается внутренняя энергия, так как температура в состоянии 2 выше, чем в состоянии 7. Следовательно ответ такой: бвд (пункты записывают в порядке их следования). Участок 2—3 характеризует изохорный процесс, при котором тем пература газа уменьшается, работа не совершается. О т в е т: ае. Изобарный процесс 3—4 характеризуется тем, что система отдает некоторое количество теплоты, над системой совершается работа, температура уменьшается. Ответ: are. Рис. 24.5 Рис. 24.6 247 Рис. 24.7 Рис. 24.8 Характеристика участка 4—1 аналогична характеристике участка 3 с учетом направления процесса. О т в е т: бд. Задача 2.2 (рис. 24.6): участок 1—2 (адиабата); участок 2—3 (изотерма); участок 3 Задача 2.3 (рис. 24.7): участок 1—2 (изотерма); участок 2—3\ участок 3 Задача 2.4. Цикл Отто (рис. 24.8): участок 1—2 (адиабата); участок 2—3\ участок 3—4 (адиабата); учас ток Задача 2.5. Цикл Дизеля (рис. 24.9): участок 1—2\ участок 2—J (адиабата); участок 4; участок 4—7 (ади абата). 3*. Цикл теплового идеального поршневого двигателя состоит из двух изотерм при температурах Т\ = 300 К и ?2 = 450 К и двух изобар при давлениях р\ = 200 кПа и ~ ЮО кПа. Цикл начинается с изо- барного расширения от объема 1 1 л. Чему равен объем рабочего тела в конце каждого изопроцесса? Каков КПД двигателя? Чему рав на полезная работа за 1 цикл? Рис. 24.9 248 Самое важное в разделе «Термодинамика» Понятия: внутренняя энергия, количество теплоты, работа, термодинамическая система, параметры состояния, тепловое равновесие. изолированная система, термодинамический процесс, изопроцессы: изотермический, изобарный, изохорный, адиабатный, рабочее тело, абсолютная температура Т = 273,15 °С + t. Законы 1. Уравнение состояния pV const 2. Первый закон термодинамики: Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе: AU A + Q, или0 = А?7+у4'М А'), 3. Второй закон термодинамики: Невозможен процесс, при котором теплота переходила бы само произвольно от тела менее нагретого к телу более нагретому без ка ких-либо изменений в системе или окружающих телах. 4. Газовые законы (рис. 24.10, 24.11). Изохора 273,15 Изобара t, "С 273,15 Рис. 24.10 Работа газа при расширении А' pAV, Коэффициент полезного действия (ц) теплового двигателя: Ц 1 2 1 Фундаментальный опыт: опыт Джоуля Адиабата Изотерма Рис. 24.11 249 Глава 25 МОЛЕКУЛЫ 25.1 Масса размеры молекул Как мы уже отмечали, молекулярно-кинетическая теория объяс няет свойства тел на основе молекулярного строения вещества. По этому резонно поставить вопрос: если молекулы существуют, то необ ходимо знать их наиболее общие физические свойства (размеры, мае су, скорость движения, характер взаимодействия). Имеются различ ные способы определения размеров молекул. Рассмотрим один из наиболее простых. Начнем с аналогии. Допустим, нам нужно определить диаметр дроби, находящейся в пробирке с известным объемом V (рис. 25.1). Если высыпать дробь «горкой» на горизонтальную плоскость, то под действи- ем силы тяжести дробинки стремятся занять самое низкое положение. располагаясь вплотную на плоскости практически в один слой. Если определить площадь S поверхности, на которую рассьшались дробин- V ки, то толщину слоя можно вьиислить по формуле d=—, Эта величи- на и будет приблизительно равна значению диаметра дробинки. Теперь рассмотрим опыт по определению размера молекул жид кости с плотностью, меньшей плотности воды, не растворяющейся в воде. В нашей модели будем считать, что молекула имеет форму шара. Если каплю жидкости объемом V нанести на поверхность воды, то молекулы исследуемой жидкости разойдутся по поверхности воды (как дробинки), образуя пятно площадью S и толщиной d. По толщине d I I f. 4:4:: ^ К 4'-4 А F > 4-Ч у..4 4.4 fjp. V* 4 i >■ >: >> > -ipf • Л r * 'e- ’•/ 4' 4) 4 ^ A -4Г М-Ш. . A * i “4^ *-«-■■■ A ( *.-v .vJ i ^ *1. l-F* A,’ J*1 a"* :•= 4: 4' Д4 > li Рис. 25.1 250 можно судить о порядке диаметра молекул. Капля должна быть ма лых размеров, поэтому поступают следующим образом. Образуют раствор исследуемой жидкости в спирте с концентрацией, например. 400. При падении капли раствора на поверхность 'А спирт час тично растворяется в воде и частично испаряется с поверхности воды, а исследуемая жидкость растекается по поверхности. Чтобы определить границу пятна, на поверхность воды наносят порошок. этой целью до падения капли насыпают тальк (или иной порошок: лико подий, пудру) тонким слоем на лист бумаги. Расположив лист бумаги выше и сбоку от ванны на расстоянии 15—20 см, порошок сдувают с бумаги так, чтобы он едва заметным слоем покрывал поверхность воды. Из пипетки капают одну каплю раствора. Линейкой определя ют приблизительно средний диаметр пятна и подсчитывают его пло щадь. Разумеется, это довольно грубый метод определения размера молекулы. Задание 25.1 Лабораторная работа «Определение размеров молекулы олеиновой кислоты (или другой маслянистой жидкости)» Оборудование: ванна размером 40 х 30 см с водой слоем см; линейка измерительная; лист бумаги; тальк (пудра, порошок мела); раствор олеиновой кислоты в спирте с концентрацией 1 : 400; микро пипетка со шкалой. Ход работы 1. Определите объем Vолеиновой кислоты в капле раствора в спирте с концентрацией 1:400, отсчитав число капель Nb растворе объемом 0,5 см^ по формуле 0,5 400ЛГ см^, где N см 3 объем одной капли раствора. 2. Покройте поверхность воды тонким слоем талька и капните одну каплю раствора на поверхность воды. С помощью линейки определите средний диаметр пятна D и вычислите площадь пятна: кВ 2 4 Определите ориентировочно размер молекул (их диаметр) V S 251 Рассмотрим один из результатов. В опыте было получено: N 38, 0,000033 см^ i) = 22 см, S = 380 см^, d 9 -10 8 СМ. Теперь попробуем определить массу одной молекулы. Молекулу по прежнему считаем шаром. Обозначим массу молекулы то, плотность исследуемой жидкости р, объем молекулы V\ Тогда то = pV\ где V' 4 kR 2 4 3 п 3 d 3 2 Для олеиновой кислоты р = 0,89 г/см^, то 3 - 10 22 Г. Число молекул в 1 см^ равно отношению т о Это приблизительно 10^^. Число это очень велико. Если бы расположить цепочкой такое число спичек, то полученное расстояние превысило бы в 10^ раз расстояние от Земли до Солнца. Размеры молекул могут значительно превышать размеры атомов. И все-таки следует запомнить: порядок диаметра атома d порядок массы атома mn 10 10 10 26 М, КГ. Размеры некоторых молекул приведены в таблице 25.1, а значения масс — в таблице 25.2. Таблица 25.1 Вещество Диаметр молекул, нм Вещество Диаметр молекул, нм Азот N2 0,32 Гелий Не 0,20 Вода Н2О 0,30 Кислород О2 0,30 Водород Н2 0,25 Хлор CI2 0,37 Таблица 25.2 Вещество Масса молекул, 10“^^ кг Вещество Масса молекул, 10“^^ кг Азот N2 46,5 Пхицерин 153 Вода Н2О 29,9 СзН5(ОН)з Водород Н2 3,3 Кислород О2 53,2 Серная кислота H2SO4 163 Сульфат меди CUSO4 265 25.2. Количество вещества. Постоянная Авогадро. Молярная масса Так как массы молекул очень малы, то используются не абсолютные значения масс, а относительные. По международному соглашению, 1 массы всех атомов и молекул сравнивают с — массы атома углерода. Л ^ Относительной молекулярной (или атомной) массой вещества Mf. на- зывают отношение массы молекулы (атома) то данного вещества к 1 12 массы атома углерода тоо (25.1) Относительная атомная масса углерода строго равна 12, а водорода очень близка к 1. Относительные атомные массы всех химических эле- ментов точно измерены, поэтому относительные молекулярные массы веществ легко записать, зная их химические формулы. Например, относительная молекулярная масса воды Н2О равна 18, так как относи- тельная атомная масса водорода равна 1, а кислорода 16 (2 • 1 + 16 18) Поскольку вещество представляет собой систему, состоящую из ато мов или молекул, то можно ввести понятие «количество вещества» Принято называть количеством вещества физическую величину v, про- порциональную числу частиц структурных элементов данной систе мы. В Международной системе единиц количество вещества выражает ся в молях. Один моль—это количество вещества, в котором содержится столько же структурных элементов (т,е, столько атомов, молекул, ионов и других частиц), сколько атомов содержится в углероде массой 0,012 кг. Из определения моля следует, что в одном моле любого вещества содержится одно и то же число атомов (молекул или других структур ных элементов вещества). Это число атомов обозначают Np^ и называют постоянной Авогадро. Постоянную Авогадро можно определить разными способами на основе тепловых, электрических и других явлении. Значение постоянной Авогадро, полученное современными экспе риментальными методами, равно: N. А 6,022 10^^ моль 1 253 Наименование моль’ * указывает, что —число атомов в одном моле любого вещества. Отсюда видно, что количество вещества v равно отношению числа молекул N в данном теле к постоянной Авогадро т.е. к числу молекул в одном моле вещества: (25.2) Наряду с относительной молекулярной массой используется понятие «молярная масса». Молярной массой М вещества называют массу вещества, взятого в количестве одного моля. Согласно этому определению, молярная масса вещества равна про- изведению массы молекулы на постоянную Авогадро: М ШоМа. (25.3) Отсюда видно, что молярная масса выражается в килограммах на моль (кг/моль). Масса т любого количества вещества равна произведению массы одной молекулы на число молекул в теле: т mnN. (25.4) Заменив Na и Nb формуле (25.2) их выражениями из (25.3) и (25.4), получим: V т М (25.5) Количество вещества равно отношению массы вещества к его моляр ной массе. Найдем соотношение между молярной массой Л/вещества и его от носительной молекулярной массой Mr. Поскольку в одном моле любо го вещества содержится одинаковое количество частиц, то можно запи сать: . Щ м т ос т М , или о М с т ос М , где обозначения Мг и т^г относятся к с углероду. Но из определения относительной молекулярной массы еле т дует, что о М т ос J 2 • Учитывая также, что Mq = 0,012 кг/моль, получим М= Mr' 10“^ кг/моль. (25.6) 254 Задание 25.2 Решите задачи 10 1. Каковы приблизительно размеры и массы молекул? 2. Сравните по отношению величин диаметры (массы) молекул а) кислорода и водорода; б) кислорода и азота. 3. Какие свойства вещества отражают масса и количество вещества? 4. Расположите вещества (азот, вода, водород, гелий, кислород) в порядке возрастания молярных масс. . Считая толщину волоса равной 0,1 мм, определите, сколько приблизительно атомов может уместиться вплотную вдоль диаметра волоса. . Сколько молекул находится в 2 молях азота? . Сколько молекул содержится в азоте, масса которого 2 г? . Чему равно количество вещества в 2 г азота? 9. Где количество вещества больше: у азота массой 5 г или кислоро да такой же массы? 10. Меняются ли плотность вещества и молярная масса при перехо де вещества из твердого состояния в жидкое и газообразное? Глава 26 УНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОПЫТЫ 26.1 Y Броуновское движение Рассмотрим ОПЫТ, который в 1827 г. впервые осуществил англий ский ботаник Б. Броун (1773—1858). Препарат для наблюдения броу новского движения можно приготовить, разбавив акварельную краску Рис. 26.1 Рис. 26.2 255 или молоко в воде. Дав отстояться препарату, наносет каплю препарата на предметное стекло микроскопа. При увеличении в 600 раз можно наблюдать броуновское движение: беспорядочное движение частиц краски. Если следить за одной частицей и отмечать ее положение через равные промежутки времени, то можно получить картину вида рисунка 26.1. Вначале опыту Броуна не придали значения. Однако к концу XIX в. этот опыт вошел в разряд фундаментальных, основополагаюш;их, ибо в первую очередь он наглядно подтверждал хаотичность движеьшя молекул и особый характер закономерностей в молекулярных явлениях. Суть броуновского движения состоит в том, что суммарное действие моле- кул на броуновскую частицу приводит к появлению у нее некоторой скорости и. На рисунке 26.2 иллюстрируется действие молекул на броуновскую частицу. Слева число ударов молекул о частицу больше, чем справа. Частице сообщается импульс, направленный вправо. В после- дующие моменты времени (в силу хаотичности движений молекул) сум марные действия молекул приведут к перемещению броуновской час тицы в другом направлении. Опыт многократно повторялся с разными веществами и с разными целями. Был установлен ряд закономерностей, как качественных, так и количественных. Из опытов следовало, что скорость броуновской частицы тем больше, чем меньше частица и чем выше температура, чем меньше вязкость жидкости и чем меньше плотность броуновских частиц. Броуновское движение наблюдается и в газе. Теоретически (в 1905 г.) броуновское движение рассматривалось А. Эйнштейном (1879—1955) и польским физиком М.Смолуховским 1917). Эйнштейн доказал, что = Kt, где Ах^ — средний квад 2 (1872 рат проекции перемещения броуновской частицы на любую ось за время t. Коэффициент К зависит от температуры, вязкости жидкости и радиуса броуновских частиц. Сравнивая броуновское движение с известными нам движениями, замечаем, что: для равномерного движения х = K\t, так как х Vty для равнопеременного движения х = К2 fi, так как х at 2 2 для броуновского движения Ах 2 Kt Следовательно, броуновское движение нельзя свести ни к равно мерному, ни к равнопеременному. 256 26. Скорость молекул Первое экспериментальное определение скорости молекул было выполнено в 1920 г. немецким физиком-экспериментатором О. Штерном (1888—1969). Мы остановимся на более позднем и более простом варианте. Но прежде, чем перейти к описанию опыта по определению скорости молекул, решим задачу: определить скорость пули, применив установку по рисунку 26.3, а. На оси 00 укреплены два картонных диска 7 и 2, вращаюищхся с угловой скоростью со. Пуля, движущаяся со скоростью V, пробивает дисках отверстия Пока пуля в течение времени t летит между дис i " а Рис. 26.3 Рис. 26.4 9 Физика, 10 кл. 257 ками, диски поворачиваются на угол ф (рис. 26.3, б), значит, ф Ш ЗбОя/, где п — частота вращения дисков. Расстояние между дисками L, следовательно, v t Исключая /, получим v ЗвОпЬ . Все величины можно измерить: п частота вращения, L — расстояние между дисками, ф — угол ВОС (С точка, в которой могло быть отверстие, если бы диски не вращались) Таким образом можно определить скорость пули. Рассмотренный метод был положен в основу определения скорое тей молекул Ламмертом в 1929 г. Схема опыта Ламмерта дана на рисун ке 26.4. В камере К на оси 00 закреплены два диска, имеющие радиальные щели А VIВ VI расположенные на расстоянии L друг от друга. Диски при ВОД5ГГСЯ во вращение электродвигателем Э, В «молекулярной печке» П нагревается и испаряется ртуть (или другой металл). Пары ртути, про ходя через диафрагмы Д входят в камеру узким молекулярным пучком. При своем движении молекулы могут пролетать через щели AvlBvi вле тать в ловушку Д которая охлаждается жидким азотом. Это приводит к осаждению молекул на стеклянной прозрачной мишени М Для обес печения достаточного вакуума (молекулы пучка не должны сталкивать с молекулами воздуха) из камеры выкачивается воздух насосом Н, Если диски не вращаются, то молекулярный пучок, пройдя через щель А первого диска, попадет в точку С второго диска и не достигнет ловушки. При увеличении скорости вращения дисков наступает момент. когда за время t движения молекул между дисками диски повернутся на угол ф (угол СОЕ), следовательно, скорость молекул v ЗШ1 В опытах наблюдался любопытный факт. Оказалось, что скорость молекул в пучке разная, ибо прохождение молекул через щели А vi В наблюдалось в широком диапазоне частоты вращения п при const, ф = const. В опыте могли быть получены значения, представленные таблицей 26.1 при L = 0,4 м, ф 24\ Таблица 26.1 л, об/с 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 у, м/с 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 258 1 I Данные таблицы 26.1 говорят о том, что скорости молекул в пучке могут значительно отличаться. Могли наблюдаться молекулы со скоростями меньше 60 м/с и больше 600 м/с. Но таких молекул в пучке было очень мало. О количестве молекул, имеющих определенные скорости и осевших на стеклянной мишени за определенное время, можно было судить по степени прозрачности стеклянной мишени М. В каждом новом повторном опыте (при новой скорости вращения дисков) ставилась новая мишень. Многочисленные наблюдения, измерения и вычисления позволили ученым найти зависимость между скоростью молекул в пучке и их количеством. В таблице 26.2 иллюстрируется процентное содержание молекул в пучке, имеющих скорости в определенном интервале . Та блица 26.2 Интервал скоростей, м/с 0-180 180-360 360-540 540-720 720 и больше Относительное число молекул, % 16 49 31 3 1 Таблица 26.2 показывает, что скорости абсолютного большинства молекул находятся в интервале 180—540 м/с. Несмотря на большое количество молекул в макроскопическом объеме, существуют методы вычисления модуля средней скорости молекул как средней арифметической модулей скоростей. Значения средних скоростей молекул при различной температуре и нормальном атмосферном давлении даны в таблице 26.3. Таблица 26.3 /,“С У, м/с Водород Кислород Углекислый газ 0 1693 425 362 20 1755 440 376 200 2232 556 475 Проанализируем опыт Ламмерта более подробно. На рисунке 26.5 по оси абсцисс (скоростей) вьщелены интервалы ско ростеи, а по оси ординат показан процент молекул, имеющих скорость в определенном интервале скоростей. Даьшые взяты из таблицы 26.2. Делая более узкими щели Аи Вв установке (см. рис. 26.4), можно уменьшить интервал скоростей, что на рисунке 26.5 отразится более узкими столбиками и ббльшим их количеством. Проводя плавную кри- 259 4 V, м/с Рис. 26.5 вую через середины верхних сторон прямоугольников, получим график, который характеризует распределение молекул по скоростям (пунктирная линия). Закон, описывающий это распределение математически, был получен теоретически в 1859 г. английским физиком Дж.К. Максвеллом (1831—1879). На основе представлений о молекулярном строе- нии газа он нашел функцию: где А к В — величины, зависящие от массы молекул газа и его темпера туры. Для определенного газа при постоянной температуре const. const. Опыты Штерна и Ламмерта являются хорошим подтвержде нием теоретически полученной функции Максвелла. На основе опытов и на основе функции Y можно построить храфи ки распределения молекул по скоростям для разных слз^аев. На рисун ке 26.6 представлены две кривые для одного и того же газа при разных температурах. Чем больше температура, тем больше число молекул, имеющих ббльшие скорости. Максимум числа молекул смещается в сторону ббльших скоростей при Т2> Т\, Скорость у», соответствующую максимуму кривой 7(у), называют наиболее вероятаой, v^p — средняя скорость, v^p > так как кривая не V симметрична: ср V 1,13. в 260 Задание 26.1 Решите задачи 1. На рисунке 26.7 показана модель пористой стенки, разделяющей сосуды А и В. В пористой стенке имеются каналы, размеры которых сравнимы с размерами молекул. В на- чальный момент в сосуде А находит KJ ся газ с молекулами массой /Wqi , меньшей массы молекул /wo2 в сосуде В. Что должно наблюдаться с течением времени? 2. На рисунке 26.8 дана схема ус- тановки для демонстрации диффузии газов. В колбе К находится вода. Через пробку пропущены две трубки, одна из которых соединена с пористым сосудом ПС (например, изготов- Пористый сосуд ПС установлен в ста кане С. Трубка Тпроходит через проб ку в пористом сосуде и опущена в ста кан С\ с водой. Что будет наблюдаться с течением времени, если из сосуда С2 перелить углекислый газ в сосуд С? © © © о © о © Рис. 26.7 ленным из неглазурованнои керамики). Над пористым сосудом помещен стакан С. Что должно наблюдаться с течением времени, если в стакан ввести порцию водорода? 3. На рисунке 26.9 показана схема Водород установки для наблюдения диффузии. Рис. 26.8 Углекислый газ ь I Вода: А Д V. ■V- Рис. 26.9 261 я Рис. 26.10 Рис. 26.11 * . На рисунке 26.10 представлен схематически опыт Штерна. Вдоль оси прибора натянута платиновая нить Я, покрытая серебром. При на гревании нити электрическим током с ее поверхности испаряются ато мы серебра. Атомы проходят через щель Щ цилиндра Ц и попадают на внутреннюю поверхность внешнего цилиндра. Чтобы атомы серебра не сталкивались с молекулами воздуха, опыт проводится в вакууме. При не- подвижной установке на поверхности внешнего цилиндра атомы сереб ра оседают в виде узкой вертикальной полосы. Что должно наблюдаться, если вращать прибор вокруг вертикальной оси? Как определить скорость атомов? 5*. На рисунке 26.11 схематически показан один из вариантов опыта Штерна, вьшолненный Цартманом. За счет нагревателя Н в печи П нагревается и испаряется висмут. Атомы висмута в вакууме, пройдя че рез диафрагмы Д, узким пучком влетают в щель Щ вращающегося ци линдра Ц, Что должно наблюдаться на внутренней стенке цилиндра? Как определить скорость атомов? Глава 27 УРАВНЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКОМ ТЕОРИИ 27.1 Основное уравнение МКТ Обращаясь вновь к экспериментальным фактам (броуновскому дви жению, опытам Штерна, Ламмерта), можно сделать ряд вьшодов о по 262 ведении молекул. Прежде всего следует отметить, что молекулы нахо дятся в непрерывном беспорядочном (хаотическом) движении. При одной и той же температуре скорости разных молекул различны, но можно говорить о средней скорости, которая при данной температуре остается постоянной. Скорость молекул зависит от температуры и массы молекул. Чем выше температура, тем больше скорость молекул; при одной и той же температуре чем меньше масса молекул, тем больше их скорость (см. табл. 26.3). Теперь построим модель газа, с помощью которой будем изучать свойства реальных газов. Вспомним, что плотность твердых тел и жщ костей порядка 103 кг/м^, а плотность газов порядка 1 кг/м^. Например, плотность сжиженного кислорода при температуре —183 равна 1153 кг/м^, а плотность газообразного кислорода при нормальных условиях (/ >Р атм) составляет 1,4 кг/м^. Если предполо жить, что молекулы в жидкости расположены вплотную друг к другу. то окажется, что молекулы в газе находятся на расстояниях, в десят ки раз ббльших размеров молекул. На таких больших расстояниях силы притяжения между молекулами ничтожно малы, и в модели их можно не учитывать. Кроме того, поскольку размеры молекул малы по сравнению с расстояниями между ними, молекулы можно при нять за материальные точки. При одинаковых условиях в определенном объеме находится оди наковое число молекул любого газа, причем это число велико. Подсчи таем, например, число молекул водорода Н2 в сосуде объемом V 1 см^. Молярная масса водорода М= 0,002 кг/моль, плотность водорода при нормальных условиях р = 0,090 кг/м^. Массу водорода можно найти по формуле т = pF, а количество вещества — по формуле v т М Один моль любого газа при нормальных условиях содержит число мо лекул, равное постоянной Авогадро TVa. Следовательно N N 0,002 yN^,N- =-Л^А = м м 0,0910 ■’•610” = 310”. 5 Если подсчитать число молекул кислорода в таком же объеме (1 см^) при нормальных условгшх, то получим то же самое число 3 • 10^^. Сравним это число с числом зерен в мешке, которое исчисляется миллионами. Получим, что в 1 см^ содержится столько молекул, сколько зерен находится в 10^^ мешках. 263 Молекулы, двигаясь, сталкиваются со стенками сосуда и между собой. Модель газа может быть охарактеризована следующими положе ниями: представляет собой совокупность большого числа молекул массой /Ио, размерами молекул пренебрегают (принимают молекулы за материальные точки); молекулы находятся на больших расстояниях друг от друга и дви жутся хаотично (беспорядочно); молекулы взаимодействуют по законам упругих столкновений, силами притяжения между молекулами пренебрегают; скорости молекул разнообразны, но при определенной температуре средаыя скорость молекул остается постоянной. Созданная модель газа назьшается идеальным газом. Построенная нами модель, конечно, не учитывает всех характеристик реального газа. В самом деле, молекулы реального газа не являются точечными образованиями, диаметры молекул лишь в десятки раз мень ше расстояний между молекулами. Молекулы не взаимодействуют по законам упругих столкновений. Силы притяжения и отталкивания меж- у молекулами реального газа определяются взаимодействием между электрически заряженными частицами, которые входят в состав молекул. В микромире действуют законы, отличающиеся от законов механики. Однако с помощью модели идеального газа можно удовлетворительно объяснить многие свойства реальных газов. Модель приводит к ряду уравнений, которые можно проверить в опытах с реальными газами. Поэтому ее и применяют для изучения свойств реального газа. Попытаемся ответить на вопрос: от каких факторов зависит давле- ние р идеального газа на стенки сосуда? Молекула, двигаясь со скорое тью V , обладает импульсом щ v. При ударе о стенку импульс молеку лы изменяется. Но изменение импульса в единицу времени определяет силу AmqV At . Следовательно, каждая молекула действует на стенку с некоторой силой. Все молекулы, ударяюпщеся о стенку, действуют на нее с суммарной силой F , которая и определяет давление р F S (рис. 27.1). Можно предположить, что давление зависит от числа молекул п в единице объема (чем больше частиц, тем больше их вклад в силу F), от массы молекул /Ил и от их скорости v (чем больше Шо и и, тем больше 264 изменение импульса). Постараемся найти эту зависимость, используя единицы величин: р— Н/м^ 1/м^ /Ип КГ. м/с Оказывается, чтобы получить единицу давления, следует взять еди ницу произведения п • /«о (м 2. -3 (кг) • (м/с) 2 Н/М2. На основе равенства единиц давления р и произведения пгп(р^ мож но утверждать, что давление идеального газа прямо пропорционально числу молекул в единице объема, массе молекулы и квадрату скорости молекул. Возникает вопрос: о какой скорости идет речь? Ранее было показано, что молекулы газа имеют разные скорости. Обозначим модули ско- ростей молекул через Ui, U2,... Тогда квадраты модулей будут v 2 1 ’ иЬ. Величину V 2 2,2, , 2 Ui + U2 +... +12jy N называют средним квадратом скорости. Именно эта величина входит в формулы МКТ. Величину называют средней квадратичной скоростью. Теоретически можно получить формулу давления идеального газа (27.1) пщ Рис. 27.1 Рис. 27.2 265 Выражение (27.1) называют основным уравнением МКТ. В нем п концентрация молекул, /wq скорости. масса молекулы, v 2 средний квадрат Получим основное уравнение МКТ, опираясь на модель идеаль ного газа. Пусть газ находится в кубическом сосуде с ребром L, Скорое ти молекул могут иметь самые разнообразные направления (рис. 27.2), но для каждой молекулы v vl+vl+vl . Согласно нашей модели, дав ление определяется изменением импульса молекул при ударе их о стенку сосуда. Поскольку давление определяется силой, перпендикулярной к поверхности, то нас будут интересовать только составляющие импуль сов, перпендикулярные к граням куба. Так, для правой грани А следует брать niQUx, для верхней грани В — m^Vy и т.д. При подлете молекулы к грани А проекция импульса положетельная. После удара о стенку про- екция импульса изменит знак на противоположный. Следовательно, изменение проекции импульса равно А(/«оУх) Щ^х ЩЩ) Сила, с которой молекула действует на стенку (точнее, ее проекция): л= At At 5 (27.2) Определим А/. Молекула ударяет о грань А один раз в течение времени, за которое она пролетает от грани А до грани С и обратно (путь. равный двум длинам ребра). Учитьшая, что в направлении оси ОХ еле 21 дует брать получим А/ 2 V . Подставляя At в (27.2), будем иметь JC L Средняя сила давления молекул, действующих на грань Л, равна сум ме сил, действующих со стороны всех iV молекул, а именно: А Обозначим через vl средний квадрат проекции скорости, тогда 2 А Дамение F А , ИЛИ F А 2 . Подставляя выражение для /^4, получим: 266 Nm^v 2 X Но N это объем куба, тогда п концентрация молекул. Таким образом, р = nniQ V 2 X Мы совершенно произвольно выбрали грань А. С таким же успехом мы могли бы вести рассуждения и по отношению к любой другой грани, например по отношению к грани В. В последней формуле только бы изменился индекс при скорости. Этого и следовало ожидать, ибо средний квадрат проекции скорости по всем направлениям должен быть одинаковым вследствие равноправности всех направлений. (В противном случае давление на грани было бы разным.) А это позволяет утвер- ждать, что V 2 X V 2 У V 2 Z Но поскольку V 2 3 vl , или V 2 X V 2 Следовательно: 1 3 nniQV 2 27.2. Связь температуры с микроскопическими параметрами Различные физические явления указьшают на тесную связь между скоростью движения молекул и температурой (увеличение интенсивности движения броуновских частиц при увеличении температуры, увеличение скорости диффузии и др.). Попытаемся найти формулу связи. Уравнение состояния (20.3) справедливо и для нормальных условий, когда/?о = 101 325 Па (или 10^ Па), То = 273 К. Очевидно, для различных объемов газов постоянная в уравнении (20.3) будет разной, поэтому следует взять определенный объем. Оказалось удобным выбрать объем Vq, занимаемый одним молем вещества. Но при нормальных условиях объем 1 моль любого газа Vq = 0,0224 м^, тогда Ро^о Т. 8,31 Дж о моль • к Полученное значение обозначают буквой R и назьшают универсаль ной газовой постоянной: 267 (27.3) Для одного моля: о Т {21 А) Если масса газа равна т, то количество вещества v т М . Очевидно, объем газа в этом случае в v раз больше Fq, т.е. V = v Fq, и уравнение (27.4) примет вид: pV т М RT. (27.5) Полученное выражение (27.5) называют уравнением Менделеева Клапейрона. В 1884 г. русский ученый Д.И. Менделеев (1834—1907) при дал уравнению Клапейрона pV_ Т const более общую форму. Он пре^ \ ложил рассматривать не произвольный объем газа, а объем, занимаемый одним молем, потому что 1 моль любого газа при одинаковых условиях занимает один и тот же объем. Уравнение (27.4) для одного моля можно записать в виде: pVo RT. (27.6) Основное уравнение МКТ также можно записать для одного моля Учитывая, что = aiFq, получим: pV, 1 N.mov 2 (27.7) Поскольку левые части уравнеипий (27.6) и (27.7) равны, то, при 1 равняв правые части, получим RT = —. Учитывая, что ГПрУ 2 2 является средней кинетической энергией молекул, запишем: 3 RT 2N ,RhNa — величины постоянные, следовательно, их можно А заменить постоянной N 1,38-10 23 Дж/К А Коэффициент к называют постоянной Больцмана в честь авст рийского физика Л. Больцмана (1844—1906). Следовательно: 268 (27.8) Средняя кинетическая энергия Е хаотического поступательного дви жения молекул идеального газа пропорциональна абсолютной темпера туре. Важный факт! Молекулы любого газа при данной температуре имеют одинаковую среднюю кинетическую энергию. Температура является мерой средней кинетической энергии движения молекул идеального газа Задание 27.1 Решите задачи 10 1. От каких факторов зависит давление идеального газа на стенки сосуда? 2. Одинаковы ли средняя квадратичная скорость и средю1я кинети ческая энергия молекул азота и кислорода в комнате при постоянной температуре? 3. Во сколько раз изменятся средняя квадратичная скорость и сред- няя кинетическая энергия молекул газа при увеличении абсолютной температуры в 2 раза? На сколько изменится средняя кинетическая энергия поступа тельного движения молекул идеального газа, взятого в количестве 1 моль, при увеличении температуры на 1 К? 5. Сколько молекул содержится в 16 г кислорода? 6. Что содержит больше атомов: 1 кг азота или 1 кг кислорода? При каких условиях можно не учитывать размеры молекул газа? Как объяснить закон Шарля на основе МКТ? Как объяснить закон Гей-Люссака на основе МКТ? 10. Какой величиной является температура: макроскопической или микроскопической? Самое важное разделе «Молекулярно-кинетическая теория» Понятия: атом, молекула масса молекулы ( диаме1р молекулы ( 10 26 кг) 10 10 м) 269 относительная молекулярная масса Mf. Щ 12 т ос молярная масса М посто5Шная Авогадро в -10^^ 1/моль количество вещества v N N А Идеальный газ универсальная газовая постоянная = 8,31 Дж/(моль • К) постоянная Больцмана N 'Л 1,38 • 10 23 Дж/К А Законы 1. Основное уравнение МКТ : 1 3 пщи 2 Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа пропор циональна абсолютной температуре: кТ 2. Уравнение Менделеева—Клапейрона: Р V т М RT Явления: броуновское движение. Фундаментальные опыты: опыты Штерна и Ламмерта Задание 27.2 * Изучите решение задачи А, решите задачи 1—4 и ответьте на вопро сы. Ситуация: в теплоизолированном цилиндре под поршнем нахо дится идеальный одноатомный газ, массивный поршень может дви гаться без трения. Задача А В теплоизолированном горизонтально расположенном цилиндре может без трения перемещаться поршень массой т. Объем одноатомного идеального газа под порпшем Vq, его температура То, давление pq. Поршню сообпщли скорость W, в результате чего газ начал сжиматься. Определите температуру при максимальном сжатии. 270 Решение Первый этап В рассматриваемой ситуации не будет происходить обмена количе ством теплоты между цилиндром и окружающей средой, поскольку ци линдр теплоизолирован. Под действием движущегося поришя газ ежи мается, его температура повьппается. За счет кинетической энергии поршня совершается работа внешних сил над системой, внутренняя энергия системы (идеального одноатомного газа) возрастает. Второй этап начальный момент поршень обладает кинетической энер гиеи ти 2 , которая равна работе А. По первому началу термодинамики работа равна изменению внутренней энергии: А — AU, поскольку Q Из формулы (27.8) следует, что энергия 1 моль газа Е 3RT 1 , а энергия V молей Е 3vRT . При изменении температуры на АГвнутренняя энер ГИЯ изменится шА11 3vRAT 2 На основании уравнения Менделеева Клапейрона можно записать: pqVq vRTq, Полученных соотношений достаточно для решения задачи. Третий этап Так как А = AU, то ти 2 3vRAT 2 , но vR 3pqVqAT . Тогда ти^ т, о т. . Следовательно, изменение температуры за счет работы вне о шних сил АТ Искомая температура Г= 7J) + АТ Четвертый этап Проверим результат по единицам физических величин, для чего статочно сравнить единицы ти^ и р^Уп, Отношение этих единиц равно единице, следовательно, можно говорить о правдоподобности ответа. Чем больше масса цилиндра и его скорость, тем большая энергия передается газу, тем выше должна быть его температура. Правдоподобность этого утверждения подтверждается конечной формулой. Можно рассмотреть пределышш случай. Например, если /и = О или и О, то Т То- 271 Задачи В вертикально стоящем теплоизолированном цилиндре может без трения скользить поршень массой 0,50 кг. Под поршнем в объеме 2,0 л находится одноатомный идеальный газ при температуре 300 К и под давлением 1,2 • 10^ Па. На поршень тонкой струей наливают жид кость, масса которой равна массе поршня. При этом поршень опускается на 9,0 см. На сколько нагреется газ? (Скорость жидкости не учитывать.) 2. В вертикально стоящем теплоизолированном цилиндре может без трения скользить поршень массой 5,0 кг. На поршне стоит гиря. Под поршнем находится 2,0 моль идеального одноатомного газа. Йа какую максимальную высоту поднимется поршень, если быстро убрать гирю, а газ при этом охладится на 0,50 "С? 3. До снятия гири с поршня (см. задачу 2) газ в цилиндре нахо дился при нормальных условиях. Каким станет минимальное давле ние газа после того, как убрали гирю, если площадь сечения цилин дра 4,0 • 10 3 м^? 4. Какую максимальную скорость приобретет поршень, если убрать гирю (см. задачу 2)? Вопросы по задачам 1. Что должно наблюдаться (см. задачу 1), если на поршень поста вить гирю? 2. Как изменится АТ (см. задачу 1), если: а) увеличить начальный объем газа в цилиндре; б) увеличить массу поршня? ре? 3. Зависит ли результат (АТ) в задаче 1 от количества газа в цилинд 4. Как изменится высота (см. задачу 2), если газ охладится на вели чину, большую 0,5 "С? 5. Как изменится искомое давление (см. задачу 3), если начальная температура будет больше То? 6. Как изменится искомая скорость (см. задачу 4), если количество газа увеличить в 4 раза? Задание 27.3 Изучите решегае задачи Л, решите задачи 1—4 и ответьте на вопро сы. Ситуация: идеальный одноатомный газ является рабочим телом теп ловой машины. 272 Задача А Какой КПД имеет тепловой двигатель, работающий по циклу, изоб раженному на рисунке 27.3? Рабочим телом является идеальный одно атомный газ. Чему был бы равен КПД идеального теплового двигателя, работаю щего в том же максимальном интервале температур? Решение Первый этап В цикле два изопроцесса (1 изохора, 3 изобара) и один процесс {2—3) характеризуются тем, что зависимость р(У) является линейной. Работа А газа за цикл определяется площадью закрашенного треугольника (1 А 1). КПД равен отношению “, где Q количе ство теплоты, переданное газу за цикл. Необходимо выяснить, при ка ких процессах газу передается количество теплоты. Кроме того, нас бу дут интересовать состояния системы (газа), при которых ее температу ра будет минимальной и максимальной. Второй этап Рассмотрим три состояния системы и найдем связь между темпера турами в этих состояниях. Состояния газа в точках 7, 2, 3 характеризу ются соответственно параметрами: Рь /?2, Т^2, Ti, Ръ, Уь 7з* Связь между объемами и давлениями дана на рисунке 27.3. На ос новании уравнения Менделеева—Клапейрона можно записать: рУ \ЯТ,2рУ = \ЯТ2,ЗрУ vRT^. Таким образом, Т 2 2Г, Г 3 ЗГ. При изохорном процессе 1—2 работа не совершается, количество переданной газу теплоты идет на увеличение внутренней энергии: Q12 Ai/n. При этом температура газа увеличивается: А£/, ЪуК (Т2 12 2 , или AUn ЗрУ 2 Процесс 3 характеризуется тем. что, во-первых, газом совершается работа .Л23 и, во-вторых, температура газа меняется. Вопрос заключается в том, чтобы вьыснить, как меняется температура. Но мы ранее установили, что > Т2. Значит, в процессе 2—3 переданное газу Рис. 27.3 273 количество теплоты пошло на совершение работы и увеличение внут ренней энергии газа: Q23 “ *^23 23 Лр (V3 Уг), р + 2р ср , тогда ^423 W; 23 2 VRAT23 (VRT3 VRT2). Применив уравнение Менделеева—Клапейрона с учетом соотноше ний между объемами и давлениями, получим: о 3 23 (W 2pV) 2 pV. Тогда Q23 pV, При изобарном сжатии (процесс i—7) над системой совершается работа, при этом вьщеляется определенное количество теплоты, газ ос- тывает от температуры 7з до температуры Г, его внутренняя энергия уменьшается. Третий этап КПД тепловой машины, работающей по циклу (см рис. 27.3), может быть найден по формуле п Работа А P-2V А Q * pV; количество теплоты, переданное газу в про цессах 1—2 и 2—3, равно: Q12 + Q23, или pV + 2 pV 6pV. Тогда: pV 6pV , л 17% КПД идеальной машины, работающей в диапазоне температур Т (нагревателя и холодильника). 3 . Т 3 67% Четвертый этап КПД можно подсчитать иначе: п е' , где Q — количество теп лоты, получегаое газом, Q' — количество теплоты, отданное газом, ко торое должно быть равно Q31. При изобарном сжатии: 274 G' A31 + А?7з1 P(V ЗУ) 3pV 5pV;if] 17%. Полученный результат подтверждает правильность решения задачи Изменение внутренней энергии за цикл должно быть равно нулю Проверим это: AU AUn + АС/28 + АС/31 3 2 pV + 3 2 pV ЪрУ Задачи 1. Каков КПД теплового двигателя, работающего по циклу, изобра женному на рисунке 27.4? Рабочим телом является идеальный одноатом ный газ. 2. Чему был бы равен КПД идеальной тепловой машины, работаю щей в максимальном интервале температур цикла, который представ лен на рисунке 27.4? 3. Каков КПД тепловой машины, работающей по циклу, изображен ному на рисунке 27.5? Рабочим телом является идеалышхй одноатом ный газ. 4. Чему был бы равен КПД идеальной тепловой машины, работаю щей в максимальном интервале температур цикла, который представ лен на рисунке 27.5? Вопросы по задачам 1. Как изменился бы КПД двигателя (см. рис. 27.5), если бы цикл был П 2. Как изменился бы КПД идеального теплового двигателя, работа ющего в максимальном интервале температур с циклом по рисунку 27.5, если бы цикл был 1 П 3. Изменится ли КПД двигателя (см. задачу 1), если поменять на правление процессов, т.е. рассматривать цикл 1—3—2—1? Рис. 27.4 Рис. 27.5 275 4. Как изменится КПД теплового двигателя (см. рис. 27.5), если во втором состоянии параметры будут 3/? и 3F ? 5. Во сколько раз (см. рис. 27.5) внутренняя энергия газа в состоя НИИ 2 больше внутренней энергии в состоянии 3 ? 6. Во сколько раз в процессе 2—3 (см. рис. 27.5) изменение внутрен ней энергии больше работы газа? Задание 27.4 Изучите решение задачи решите задачи 1—4 и ответьте на во просы. Ситуация: газ, находясь в смеси газов, создает парциальное давле ние. (Парциальное давление — это давление, которое создавал бы газ той же массы, если бы он один заполнял сосуд.) Задача А В закрытый сосуд с воздухом вместимостью 1,0 л ввели каплю спир та. После испарения в сосуде давление увеличилось на 400 Па при тем пературе 17 °С. Определите число молекул в капле спирта. Решение Первый этап Покажем, что давление смеси газов в сосуде равно сумме парциаль ныхдавлении:Р=Р\’^Р2’^ Pn- Вьшолним преобразования: pV vRT pV vNJcT pV NkT => p nkT, где N — число всех молекул в сосуде, п — число молекул в единице объема (« = Л] + «2 + ... + nj^). Тогда кТ(п\ + /12 + ...) ~ п\кТ + HikT + ..., или Р\ +Л+ - ^Pn- После того как капля испарилась и установилось термодинамическое равновесие, пары спирта создают парциальное давление 400 Па. Будем исходить из предположения, что газ находится при таких условиях, которые позволяют применить уравнение Менделее ва Клапейрона. Второй этап В уравнении Менделеева—Клапейрона pV mRT М 290 К температура термодинамического равновесия, V= 10“^ м^. В объеме V, 276 который занимают пары спирта, их количество вещества равно v т М Тогда число молекул спирта составит N vN А» щсК А постоянная Аво гадро. ТЬетий этап Подставив значение v в последнее уравнение, получим N mN А М С другой стороны, из уравнения Менделеева—Клапейрона следует т М pV RT т рУ ,или ^ kN^T , поскольку Л=kNA, Следовательно, N EL кТ 1,38 • 10“^^ Дж/К, N= 10^® молекул. Четвертый этап При Го = 290 К и давлении, близком к нормальному ро ~ Ю5 Па, в л воздуха содержится Щ молекул. Щ РдУ кТ. о 2,5 • 1022. Число молекул спирта iVдолжно быть меньше числа Nq во столько раз, во сколь ко раз (приблизительно) давление р меньше давления pq: Ро N о . N ; N pNo. N ;N 400-2,5 10 22 10 5 Наблюдается приблизительное равенство, что говорит о правдопо добности ответа. Задачи 1. В закрытый сосуд с воздухом вместимостью 2,0 л вводят 0,20 мл эфира ((С2Н5)20). На сколько повысится давление в сосуде, если тем пература термодинамического равновесия 20 ®С? Плотность эфира при температуре 20 “С равна 710 кг/м^. 1.1.1Сак изменилась бы искомая величина (Ар), если бы опыт про водился при температуре 35 °С? 1.2. Как изменится искомая величина (Ар), если вместо эфира ввес ти ацетон ((СНз)2СО), плотность которого 781 кг/м^? 1.3. Как зависит искомое изменение давления от количества веще ства легкоиспаряющейся жидкости? 1.4. Увеличение давления (Ар) определяют по высоте столба линей кой длиной 30 см. Достаточна ли длина шкалы линейки для измерения высоты столба? 277 2. В баллоне находится смесь азота с кислородом, причем парциальное давление азота в 5 раз больше парциального давления кислорода. Во сколько раз число молекул азота больше числа молекул кислорода? 2.1. Если бы парциальное давление кислорода в смеси было в 3 раза больше парциального давления азота, то во сколько раз было бы больше число молекул кислорода? 2.2. Если бы в баллоне находилась смесь трех газов, можно ли было бы применить условие Nx iNj: Р\: Рг • ? 2.3. Изменится ли отношение El Pi , если увеличить в баллоне темпе ратуру газа? 2.4. Изменится ли отношение Л Pi , если объем смеси газов умень шить в 2 раза? 3. В сосуде находится смесь двух разных газов. Массы газов равны, а их парциальные давления относятся как 1:2 1 Pi . Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул второго газа больше средней квадратичной скорости молекул первого газа? 3.1. Как изменится парциальное давление газа, если средняя квадратичная скорость увеличится в 2 раза? 3.2.Каково отношение 1 2 средних кинетических энергии моле кул газов? 3.3. Если бы средняя кинетическая энергия молекул газов возросла в 3 раза, то как изменилась бы температура газа? 3.4. В сосуде находится смесь водорода и кислорода. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул водорода больше средней квадратичной скорости молекул кислорода? 4. Какое давление на стенки сосуда производит газ, если его масса 3,0 г, объем 0,50 л, а средняя квадратичная скорость 500 м/с? 4.1. Какова концентрация молекул, если в сосуде находится моле кулярный водород? 4.2. Чему равна температура газа, если в сосуде находится молеку лярный водород? 4.3. Чему была бы равна температура газа, если бы в сосуде был мо лекулярный кислород? 4.4. Как изменилась бы концентрация молекул, если бы в сосу, вместо водорода был кислород? 278 Глава 28'. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ВТОРОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ Статистические закономерности описывают свойства макроскопических систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), исходя из свойств этих частиц и взаимодействий между ними. Мы уже касались статистических закономерностей, когда рассматривали уравнение Эйнштейна для броуновских частиц (Лл: ^ = AJ) и закон распределения молекул по скоростям Максвелла Поведение системы, состоящей из малого числа частиц, можно опи- сать, применив законы механики. Если в какой-то момент известны координаты и скорости всех частиц, то, решая уравнения механики, можно найти координаты и скорости частиц в любой последующий момент времени, т.е. определить состояние системы. Если же система состоит из большого числа частиц (вспомним, при нормальных услови ях в 1 см^ содержится 3 • 10*^ молекул), то, во-первых, невозможно по лучить информацию о начальных значениях координат и скоростей каж дои частицы, а во-вторых, невозможно решить систему уравнении для такого большого числа частиц. Однако поведение большого числа частиц можно характеризовать средними значениями, например значением среднего квадрата скорости. Причем наблюдается замечательный факт; состояние системы не зависит от начальных значений координат и скоростей частиц. При определенной температуре значение среднего квадрата скорости будет постоянным, хотя каждая частица непрерывно меняет свои координаты и при любом взаимодействии меняет скорость, т.е. состояние системы может быть одним и тем же, а конкретные частицы могут иметь самые разнообразные значения координат и скорос- тей. Для того чтобы детально разобраться в поведении системы, необ ходимо познакомиться с понятием вероятности. Рассмотрим систему, представляющую собой два одинаковых сфе рических сосуда А и В, соединенных каналом. В сосуде В находится шарик, который непрерывно и беспорядочно движется за счет непре рьшного и беспорядочного встряхивания сосудов. (Аналогично можно было бы рассуждать, рассматривая беспорядочное движение молекулы.) Можно ожидать, что шарик с течением времени попадет в сосуд А, а затем вновь в сосуд 5 и т. д. Если очень долго вести наблюдения, то ока жется, что приблизительно половину времени шарик находится в сосу деА, а другую половину — в сосуде В. Иначе говоря, вероятность на хождения шарика в сосуде А или В равна 1 2 279 Можно догадаться, что вероятность вьшадения «решки» или «орла» при многократном бросании монеты также будет -, а выпадение опре- деленной грани при бросании кубика 1 . Здесь следует подчеркнуть, что наблюдение за шариком должно быть длительным, бросание моне ты должно быть многократным. Например, если монету подбросить 10 раз, то может выпасть 2 раза «решка» и 8 раз «орел» или 4 раза «орел» и 6 раз «решка». Но если монету подбросить 100 раз, то скорее всего вьша- дет 49 раз «решка» и 51 раз «орел» или 48 раз «орел» и 52 — «решка». Если взять отношение 51 48 100 или 100 , то это отношение будет близким к , т.е. к вероятности выпадения «орла» или «решки». Обозначим через 1 2 Ni число вьшадений «орла» или «решки», через N — число бросаний. N число Тогда отношение -гг тем ближе к - (к вероятности), чем больше N 2 бросаний. Аналогично, если обозначить через и время нахождения ша рика в сосуде А или В, через t — время наблюдения, то 1 ближе к -, чем больше время наблюдения. t 1 t будет тем В наших мысленных опытах появление определенной грани куби ка, расположение шарика в сосуде А или В являются случайными собы тиями, результат которых мы не можем заранее предсказать точно. Слу чайное событие может произойти или не произойти. К таким событи ям, например, относятся возможное направление движения броунов ской частицы, выбор экзаменационного билета и др. Выбирая экзаме национный билет (допустим, один из 25), мы с равнмм основанием мо жем ожидать появление любого номера от 1 до 25. Такие события назы ваются равновероятными. Выбор любого билета — это один шанс из 25, поэтому вероятность выбора любого билета равна 1 25 Теперь немного усложним наш пример. Пусть в 10 билетах содержится задача, а в 15 — задание по лабораторной работе. Выбирая один билет из 25, у нас больше шансов выбрать билет с заданием по лабора торной работе, ибо таких билетов больше. Вероятность выбора билета с заданием по лабораторной работе равна , или Р 1 3 5 , а вероятность 280 выбора билета с задачей равна — , или Р2 2 ^ 2 5 . Равновероятными со бытиями здесь будут выборы билетов с задачами (выборы билетов с заданиями по лабораторной работе). Теперь можно сделать некоторые обобщения: вероятность (обозначается буквой Р) представляет собой постоянное число, меньшее единицы; вероятность некоторого события равна отношению ожидаемого числа благоприятных исходов к общему числу равновероятных исходов; вероятность характеризует частоту появления случайных событий: чем больше вероятность, тем чаще совершается событие. Представим теперь себе, что в сосудах АиВ находится 4 молекулы. Обозначим каждую из них буквой: а, б, в, г. При беспорядочном движении возможен переход молекул из одного сосуда в другой. Все возможные состояния можно представить таблицей 28.1. Таблица 28.1 Номер макросостояния Число молекул в сосуде А Число молекул в сосуде В Число микросостояний 1 (0 молекул) (4 молекулы) абвг 1 2 (1 молекула) а б в г (3 молекулы) бег авг абг абв 4 3 (2 молекулы) а б а в а г б в б г в г (2 молекулы) в г б г б в а г а в аб 6 4 (3 молекулы) (1 молекула) 4 5 (4 молекулы) (0 молекул) 1 Под макросостоянием будем понимать состояние, которое опреде со ляется числом молекул в каждом сосуде, а под микросостоянием стояние, которое определяется тем, какие именно молекулы и как рас положены в том или другом сосуде. 281 Мащюсостояний в нашем случае получилось 5, микросостояний 16 Вероятность характеризует макросостояние системы. Одно макро- с* состояние может включать несколько микросостоянии, что хорошо иллюстрируется таблицей 28.1. Например, второе макросостояние (одно) характеризуется тем, что в сосуде А находится одна молекула, в сосуде три (не важно какие), но это одно макросостояние характеризуется четырьмя микросостояниями. Третье макросостояние характеризуется шестью микросостояниями. Будем считать, что нахождение любой молекулы в том или ином сосуде является событием равновероятным. Тогда вероятность макро- состояния будет определяться общим числом микросостояний. Веро ятность первого макросостояния (в сосуде >4 нет молекул, в сосуде В молекулы) равна —, поскольку число микросостояний в нем равно 1, а 16 число всех микросостояний — 16. Вероятность второго макросостоя- 4 ния равна —, или —; вероятность третьего макросостояния 16 4 3 8 Из таблицы 28.1 видно, что вероятность нахождения всех молекул в сосуде А или Въб раз меньше, чем вероятность их распределения поровну в сосудах >4 и А Проследим, как расположены молекулы, допустим, в сосуде В (см. табл. 28.1). Из четырех молекул можно составить следующие группы: одну группу, содержащую 4 молекулы, 4 группы, каждая из которых содержит 3 разные молекулы, 6 групп по 2 молекулы, 4 группы по одной молекуле и одну группу без молекул. (Группа определяется числом микросостояний.) Если из Af элементов (молекул, людей, букв, цифр и пр.) составляются группы по iV элементов в каждой, то, не обращая внимания на их порядок, полученную при этом комбинацию называют сочетанием из М элементов по N ж обозначают С . Доказано, что: N М м{м {N 12...N (28.1) Число макросостояний на единицу больше числа молекул. Число микросостояний можно подсчитать как сумму всех сочетаний С. Так, в нашем примере (см. табл. 28.1): о 4 1,С 1 4 4 ,С 2 4 4-3 1-2 ,С 3 4 4-3-2 1-2-3 ,С 4 4 4-3-21 1-2-3-2 282 Следует отметить, что С^ M-N М , следовательно, ГМ, м ;та КИМ образом. о м Число всех микросостояний С о 4 +с{ +с 2 4 +с 3 4 +с 4 4 16 • Число микросостояний для одного макросостояния можно найти как число сочетаний из М элементов по Ж Вероятность того, что система окажется, например, в макросостоя- нии 2, можно подсчитать по формуле 1 4 4 16 Для макросостояния 4 следует применить формулу 3 4 4 16 Теперь представим, что в сосудах Л и В содержится 10 молекул. Со стояния системы можно представить таблицей 28.2. Всего макросостояний —11, микросостояний 1024. Статистика не отрицает возможности, когда все 10 молекул окажут одном сосуде, но это один шанс из 1024 (вероятность 1 1024 Таблица 28.2 Номер макро- Число молекул Число молекул Число микро- состояния в сосуде А в сосуде В состоянии 1 10 0 1 2 9 1 10 3 8 2 45 4 7 3 120 5 6 4 210 6 5 5 252 7 4 6 210 8 3 7 120 9 2 8 45 10 1 9 10 11 0 10 1 Если в сосудах будет 100 молекул, то число микросостояний, когда молекулы окажутся в одном из сосудов, равно 1, а число микросостояний, когда в каждом сосуде (А и В) окажется по 50 молекул, равно 10^^. 283 Вы видите, что статистический подход не отрицает возможности того, что все молекулы окажутся в одном сосуде, но это событие настолько маловероятно, что практически невозможно. Обратимся теперь к реальным газам. При нормальных условиж в 1 см^ содержится 3 • 10^^ молекул. Это очень большое число. А мы знаем, что при увеличении числа частиц (например, от 4 до 10, см. табл. 28.1 и 28.2) число микросостояний, при которых частицы распределяются приблизительно поровну в сосудах, резко возрастает. Такое состояние является наиболее вероятным. Иначе говоря, системы, состоящие из большого числа частиц, самостоятельно стремятся к состоянию наибольшей вероятности. Рассмотрим теперь явление диффузии. Допустим, что сосуды А и В заполнены одинаковым числом молекул разных газов (кислородом и азотом). Первоначально канал был перекрыт. Если канал открыть, то в результате диффузии образуется однородная смесь, причем чис- ло молекул каждого сорта в сосудах окажется приблизительно одина ковым. Практика показывает, что самопроизвольно газы вновь никогда не раздел5ггся и не соберутся в разных сосудах (допустим, в сосуде А кис лород, в сосуде В — азот). Это событие имеет ничтожно малую вероят ность. Опять мы убеждаемся, что система стремится к состоянию наи большей вероятности, причем чем больше вероятность, тем больше «бес порядка» в системе. В самом деле, два газа, каждый в своем сосуде, это упорядоченное разделение газов. Смесь же газов представляет со бой больший «хаос». Обратимся теперь к теплопроводности. Пусть два тела >4 и J?, образующие изолированную систему, имеют разную температуру и находятся в контакте. Теплота будет переходить от более нагретого тела к менее нагретому. В конце концов температуры тел окажутся одинаковыми. Это состояние является наиболее вероятным. Второе начало термодинамики, согласно которому теплота самопроизвольно может переходить только от горячего тела к холодному, с точки зрения статистических закономерностей сводится к утверждению: В системах с большим числом частиц происходят которые являются наиболее вероятными. 1111 оь те процессы 9 Второе начало термодинамики отражает направление термодина мических процессов. Статистическая трактовка второго начала тер модинамики не запрещает процессов с малой вероятностью. Нет ни чего невозможного в том, что в сосуде А или В окажется больше мо лекул того или иного сорта, но вероятность таких состояний ничтож но мала. 284 Задание 28.1 fc Лабораторная работа «Определение частоты появления «орла» при бросании монеты 10 и 50 раз» Задание 28.2 ♦ Лабораторная работа «Определение частоты появления любой грани кубика» Бросив кубик 30 раз, заполните таблицу 28.3. Отмечайте каждое по явление определенной грани штрихом карандаша. Таблица 28.3 Грань 1 2 3 4 5 6 Число штрихов Вопросы 1. Чему равно отношение N ш I N для каждой грани (JV/ — число появ лений определенной грани, N — число всех бросаний)? 2. Чему равно среднее значение N 2 3 4 5 6 ср ? 3. Вьиислите N ср N и сравните с частотой появления каждой грани Сделайте вывод. Задание 28.3 ♦ Решите задачи 1. Вы встряхиваете в ладонях 7 монет, после чего бросаете их на стол Какова вероятность выпадения трех «орлов»? Вопросы 1.1. Будет ли вероятность выпадения трех «орлов» больше, чем ве роятность выпадения двух «орлов»? 285 1.2. Будет ли вероетность выпадения ipex «орлов» больше, чем ве роятность вьшадения шести «орлов»? 1.3. Во сколько раз вероятность вьшадения четырех «орлов» больше вероятности выпадения одного «орла»? 1.4. Во сколько раз вероятность вьшадения одного «орла» больше, чем вероятность выпадения шести «решек»? 2. При наблюдении броуновского движения фиксировалось поло жение трех одинаковых частиц. Оказалось, что в правой половине ви димого поля две частицы наблюдались приблизительно через 5 мин (Т{) Через какой промежуток времени (З2) можно ожидать повторного появления трех частиц в правой половине видимого поля? Вопросы 2.1. Через какой промежуток времени будет наблюдаться появление одной частицы в левой половрше наблюдаемого поля? 2.2. Если бы броуновские частицы оказались меньших размеров, то как изменилось бы время между появлениями двух частиц в одной и той же части поля? 2.3. Если бы броуновские частицы оказались меньших размеров, то как изменилось бы отношение 2 9 т. • 2.4. Если бы наблюдение выполнялось при более высокой темпера туре, то как изменилось бы отношение 2 9 т, ■ 3. Сосуд разделен на две равные части (левую и правую) пористой перегородкой, через которую могут диффундировать молекулы. Первоначально в правой части находилось 30 молекул. Наблюдение вьшол- нялось длительное время. Каково отношение 1 вероятностей обнару 2 ЖИТЬ в правой части сосуда 15 и 5 молекул? В ответе оставить одну зна чащую цифру. Примените одну из программ для ЭВМ, например следующую Программа на языке Бейсик 10 INPUT «Введите число М»; М 20 INPUT «Введите число N»; N 286 30 А М; GOSUB 50: M1=Z: A=M-N: GOSUB 50 35 M2=Z: A=N: GOSUB 50 40 M3=Z: C=M1/(M2*M3): РИОТ C: END 50 Z=l: FOR M TO A: Z=Z*I: NEXT: RETURN Вопросы 1 3.1. Как изменилось бы отаошение п , если бы вероятаость опре 2 делилась для 15 и 2 молекул? I 3.2. Как изменилось бы отношение п , если бы вероятность опре 2 делилась для 15 и 27 молекул? 3.3. Изменился бы ответ, если бы первоначально в правой и левой части сосуда было бы по 15 молекул? 3.4. Изменился бы ответ, если бы первоначально в правой части было 10 молекул, а в левой 20? 4. Ситуация: сферический сосуд, содержапщй N молекул, разделен на две равные (левую и правую) части. Задана 4.1 В сосуде две молекулы. Чему равна вероятность того, что обе моле кулы будут находиться в левой части сосуда? Задача 4.2 В сосуде находятся 3 молекулы. Чему равна вероятность того, что три молекулы окажутся в левой части сосуда? Задача 4.3 В сосуде находятся 3 молекулы. Чему равна вероятность того, что две молекулы окажутся в правой половине сосуда? Задача 4.4 В сосуде находится 5 молекул. Чему равна вероятность того, что 5 молекул окажутся в левой или правой части сосуда? Задача 4.5 В сосуде находится 5 молекул. Чему равна вероятность того, что 3 молекулы окажутся в левой части сосуда? 287 Глава 29 29.1 свойства реальных Зависимость объема газа от давления при постоянной температуре Создавая модель идеального газа, мы пренебрегли, во-первых, размерами молекул и, во-вторых, силами притяжения между молекулами. Полученные нами закономерности достаточно хорошо описывают поведение реальных газов при малых давлениях и высоких температурах. При высоких же давлениях и низких температурах начинают проявляться свойства, которые невозможно объяснить закономерностями, полученными для идеального газа. Оценим роль размеров молекул. Воспользуемся таблицей 25.1. Пусть нами выбран кислород или азот; диаметр молекул этих газов приблизительно равен J = 3 • 10”^ см. Определим объем молекул, содержапщхся в 1 см^ при нормальных условиях. Так как приро Ю1 325 Па и 7J) = 273 К в одном моле содержится = 6 • 10^^ молекул и объем одного моля Vjn = 22 400 см^, то в 1 см^ будет N кулы Ко приблизительно равен 2 3 • 10^^ молекул. Объем одной моле 1,4 • 10"*^ см^. Объем всех Nuorq кул будет о N 4 • 10“"^ см^. Этот объем мал по сравнению с объемом 1 см^, поэтому при нормальных условиях он не оказьшает существенного влияния на исследуемые закономерности, например зависимость pV= const. Если бы реальный газ подчинялся закону Бойля—Мариотта, то при увеличении давления от 10^ до 2 • 10^ Па его объем стал бы равен 5 • см^, т.е. почти таким, каков объем молекул газа. Если продолжить эти рассуждения дальше, то получится, что при дальнейшем увеличении давления объем газа должен оказаться меньше объема молекул, что явно невоз- можно. На основании наших рассуждений мы убеждаемся, что при боль ших давлениях объем молекул необходимо учитывать, законы идеального газа в этом случае непримеьшмы. Если учесть поправку, обусловленную размерами молекул, то уравнение Менделеева—Клапейрона для 1 моль газа может быть запи- сано следующим образом: p{V RT, где объем одного моля газа, Ь — постоянная величина, определяемая размерами молекул. Величина Ь может быть найдена экспериментально. Другой фактор, который мы не учитывали в модели идеального газа, — это силы взаимодействия между молекулами. Эти силы обусловлены наличием электрических зарядов у электронов и протонов, вхо- 288 дящих в состав атомов, и действуют на расстояниях, сравнимых с размерами молекул. Наличие зарядов разного знака приводит к тому, что при «непосредственном столкновении» молекул проявляется действие сил отталкивания, а начиная с некоторого расстояния проявляется действие сил притяжения. Нам это хорошо известно из практики. Например, чтобы сжать или растянуть твердое тело, нужно приложить значительное усилие. Трудно также сжать жидкость. Встречались мы и с действием сил притяжения между молекулами жидкости. Вспомним, как трудно разъединить две пластины стекла, между которыми находится вода. На таких малых расстояниях, как расстояния между молекулами в жидкости, в газах также действуют силы притяжения и отталкивания. Учет этих сил приводит к необходимости введения егце одной по правки в уравнение состояния идеального газа, которое теперь может быть записано следуюгцим образом: а 2 RT (29.1) Выражение (29.1) уравнением Ван-дер-Ваальса в честь гол- ландского физика, предложившего это уравнение в 1873 г. Постоянная а, так же как и Ь, определяется экспериментально. Рассмотрим опыт, схема которого дана на рисунке 29.1. Цилиндр, заполненный газообразным эфиром, соединен с манометром М, На рисунке показано положение поршня, при котором газообразный эфир занимает наибольший объем Vi, Допустим, что эфир находится при нормальных условиях. При движении поршня влево объем газа уменьшается до V2 по закону Бойля—Мариотта, если процесс изотермический. Далее при уменьшении объема наблюдается любопытная картина: в процессе сжатия, начиная с объема V2, появляется жидкий эфир, а медленное сжатие газа при постоянной температуре не вызывает увеличения давления. Давление газообразного эфира остается постоянным, но количество жидкости увеличивается, и при объеме 4 весь газообразный эфир превращается в жидкость. Попытка дальнейшего уменьшения объема приводит к резкому возрастанию давления, ибо жидкость малосжимаема. Проанализируем более подробно участок 2—4, где эфир находится одновременно в жидком и газообразном состоянии. Допустим, газообразный эфир занимает объем К3. Газ и жидкость находятся при одинаковой температуре и под одинаковым давлением, т.е. находятся в термодинамическом равновесии. 10 Физика, 10 кл. 289 Газ, находящийся в термодинамическом равновесии с жидкостью, на зывают насыщенным паром этой жидкости. Итак, давление насыщенного пара не зависит от объема. Когда мы уменьшали объем, давление насыщенного пара оставалось постоянным, но соответственно уменьшалась его масса, так как часть паров превращалась в жидкость. Допустим теперь, что при объеме К3 будем нагревать цилиндр. Мы обнаружим, что давление пара возрастает. Однако зависимость нелинейная. Насыщенный пар не подчиняется закону Шарля. Давление растет быстрее, чем полагалось бы по закону Шарля. Объяснить поведение насьпцениого пара можно, опираясь на молекулярное строение вещества. Если жидкость находится в закрытом сосуде, то наблюдают ся следующие процессы. Молекулы жидкости имеют разные скорости Самые быстрые молекулы могут покинуть жидкость. Однако возможно и возвращение молекул в жидкость. Если число молекул, покидаюпщх жидкость, оказывается равным числу молекул, возвращающихся в нее, то наступает термодинамическое равновесие, т.е. над жидкостью находится насьпценный пар. Если медленно увеличивать объем, то должно было бы нарушиться термодинамическое равновесие, должна была бы уменьшиться плотность пара. Однако вспомним, что рассматривается изотермический процесс. Системе передается некоторое количество теплоты, а из жидкости вылетает столько молекул, сколько может скомпенсировать уменьшение плотности пара и вновь восстановить термодинамическое равновесие. Поэтому при увеличении объема количество жидкости уменьшается, а давление остается постоянным. При увеличении температуры в жидкости увеличивается число молекул с большими скоростями, а следовательно, большее их количество может вылететь с поверхности, тем самым увеличивая концентрацию молекул пара. Следовательно, при увеличении температуры давление Рис. 29.1 290 насыщенного пара возрастает, во-первых, за счет увеличения скорое теи молестл, а во-вторых за счет увеличения их концентрации. 29.3. Поведение в зависимости от давления и температуры Можно ЛИ сжать газ таким образом, чтобы расстояния между моле кулами газа оказались равными расстояниям между молекулами жид кости? Станет ли газ жидкостью? Оказывается, можно сжать, но не все гда газ превращается в жидкость. Нам хорошо известно, что вода может быть в трех агрегатных стояниях: твердом, жидком и газообразном. То же самое можно сказать и о других веществах. Например, типичный газ — азот — может быть в жидком и твердом состоянии. При нормальном атмосферном давлении температура кипения азота = —196 °С, а температура плавления t п 210 “С. Таким образом, чтобы превратить газ в жидкость нужно понизить его температуру и увеличить давление. Рассмотрим опыт (рис. 29.2). В закрытой ампуле находится эфир, над эфиром — его насыщенный пар. При повышении температуры молекулы эфира начинают двигаться быстрее, число молекул, вылетающих из жидкости, увеличивается, растет и плотность газообразного эфира, а плотность жидкого эфира за счет увеличения его объема уменьшается (рис.29.2,л,б). При дальнейшем повышении температуры граница между жидким и газообразным эфиром делается плоской (рис.29.2,в) и, наконец, исчезает (рис.29.2,г). Это означает, что плотности жидкого и газообразного эфира сравнялись и исчезла разница между жидким и газообразным состояниями эфира. При дальнейшем увеличении температуры вещество не может находиться в жидком состоянии. Температура, выше которой ее щество не может находиться в жид ком состоянии, называется крити ческой. Рисунок 29.3 иллюстрирует рас смотренный процесс графически. Таким образом, чтобы превра тить газ в жидкость, его нужно ох • ^ ♦ - V Ш «1 ♦ •• • ■, ^ _ л t • г* ь ф * # I V , V*.•***.•' > • и , .'. V у л г ♦ ладить до температуры ниже крити ческой и сжать. В таблице 29.1 приведены кри тические параметры некоторых ве ществ. а в Рис. 29.2 г 291 Таблица 29.1 Вещество Температура t °С *КР5 Плотность Ркр, кг/м^ Давление Ркр, МПа Азот -147,1 311 3,39 Вода 374,2 307 22,13 Водород -239,9 31,0 1,30 Гелий -267,9 69,3 0,23 Кислород -118,8 430 5,04 Спирт 243,5 276 6,38 Эфир 193,8 260 37,0 Вернемся к опыту, показанному на рисунке 29.1. Так как рассмот ренный процесс происходил при постоянной температуре, трафик, изоб ражающий зависимость давления газа р от объема F, называют изотер мой реального газа. Участок 1—2 (К > соответствует газу, участок 2 (^4 < V< Ко) ““ равновесному состоянию жидкости и ее насыщенного пара, а участок (К < — жидкому состоянию вещества. Если на основе опытных данных построить еще несколько изотерм, то получится семейство изотерм реального газа (рис. 29.4). Из рисунка видно, что при температуре газ ведет себя как идеальный, т.е. подчиняется закону Бойля—Мариотта р К= const. По мере понижения тем- пературы сказывается отличие свойств реального газа от идеального и для его описания нужно применять уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы, соответствующие температурам Г4 и Т^( Т^< Г3), отли- чаются длиной горизонтального участка. Это означает, что при увели чении температуры конденсация пара начинается при меньшем объеме, а получившаяся жидкость занимает больший объем. Следовательно, конденсация начинается при ббльших плотностях газа и закан- чивается при меньших плотностях жидкости. Другими словами, плот 292 Жидкость ■ ч ш Газ аШ’'1 т. Насыщенный пар и жидкость 4 3 кр Рис. 29.4 ности газа и жидкости при одном и том же давлении тем ближе друг к другу, чем выше температура. При некоторой температуре горизонтальный участок обращается в точку (на рис. 29.4 точка А^. Температуру, соответствующую изотерме с точкой К (когда плотности жидкости и насыщенного пара сравнялись — см. рис. 29.3), мы назвали критинес-кой Гкр. При температурах выше критической вещество существует только в газообразном состоянии. Две линии АК и DK (см. рис. 29.4) ограничивают область, каждая точка которой соответствует состоянию равновесия между жидкостью и насыщенным паром. Слева от кривой DK между ней и критической изотермой расположена область, соответствующая жидкому состоянию вещества. За исключением области жидкого состояния вещества и области равновесия жидкости с газом вся остальная область соответствует газообразному состоянию вещества. Газообразное состояние вещества при температуре ниже критической называют паром (ненасыщенным), если отсутствует жидкая фаза При наличии жидкости пар будет насыщенным. 29.4. Влажность воздуха в окружающем нас мире много воды. При испарении воды ее моле кулы попадают в воздух и создают парциальное давление. Давление во 293 15ШОГО пара зависит от ковдентрации молекул в воздухе и температуры. При достаточной ковдентрации и низкой температуре возможна кон денсация пара (образование капель воды), в результате чего появляется туман, облака, вьшадает роса. В этом случае водяной пар становится насыщенным. Температуру, при которой водяной пар переходит в состояние насыщения, называют точкой росы. Давление насыщенного пара при точке росы обычно обозначают через ро* Часто говорят «влажный воздух», «сухой воздух». Можно ли су дить о степени влажности воздуха только по концентрации молекул. т.е. только по парциальному давлению р водяного пара? Оказывает ся, этого мало. Ведь при одной и той же концентрации молекул воды пар может быть близким к насыщению или далеким от него, что за висит от температуры: чем ниже температура, тем ближе пар к насы щению. Чтобы судить о влажности воздуха, вводят понятие относи тельной влажности. Относительной влажностью воздуха называют выраженное в процен max отношение давления водяного пара, содержащегося в воздухе, к давле нию насыщенного пара при данной температуре: Р • 100%. Ро (29.2) Чем меньше относительная влажность воздуха, тем быстрее идет испарение воды. При относительной влажности 100% пар становится насыщенным и оказывается в термодинамическом равновесии со своей жидкостью. В этом случае число молекул, покидающих поверхность жидкости, становится равным числу молекул, возвращающихся в жидкость. Давление насыщенного пара зависит от температуры, что отражено в таблице 29.2. Таблица 29.2 t,°C р, кПа р, ММ рт. ст. t,°C р, кПа р, ММ рт. ст. 0 0,61 4,58 60 19,9 149,4 10 1,23 9,21 70 31,0 233,7 20 2,34 17,54 80 47,3 355,1 30 4,24 31,8 90 70,1 525,8 40 7,37 55,3 100 101,3 760,0 50 23,3 92,5 294 Рассмотрим, как изменяется относительная влажность при увели чении температуры. Допустим, что пар, содержащийся в воздухе, становится насьпценным при /=О “С. Какова будет его относительная влажность при температуре О **0,10 **0,20 “С, 30 ‘’С? Вычисления дают значения соответственно 100%, 50%, 26%, 14%. Точку росы и относительную влажность определяют с помощью приборов, называемых гигрометрами и психрометрами. Рассмотрим устройство и принцип ДСЙСТВР1Я гихрометраЛамбрехта (рис. 29.5). При бор состоит из металлического цилиндра Ц, в который наливают эфир Э, В цилиндр опущены термометр и трубка, идущая от резино вой груши. Основание цилиндра О делают блестящим. Вокруг основа ния О крепится блестящее кольцо К, отделенное от цилиндра тепло изолирующей прокладкой. При продувании грушей воздуха через эфир последний быстро ис паряется, что приводит к понижению температуры цилиндра. Когда тем пература цилиндра становится равной точке росы, на основании цилиндра О появляется налет влаги (запотевание), что легко заметить, сравнивая блеск кольца К и основания О. Решим задачу по определению относительной влажности воздуха при помощи гигрометра Л амбрехта. Допустим, что при температуре 20 с помощью гигрометра была определена точка росы 10 “С. Следовательно, при 10 пар стал насыщенным. Его давление р= 1,23 кПа можно найти по таблрще 29.2. Поскольку концентрация молекул пара не меняется при повышении температуры, тор — 1,23 кПа и при температуре 20 ®С. Но при температуре 20 2,34 кПа. Следовательно, при 20 авление насыщенного пара ро Р Ро • 100% 53% Другим прибором, с помощью которого определяется относитель ная влажность воздуха, является психрометр (рис. 29.6). Принцип дей ствия его основан на том, что вода при испарении охлаждается. Псих рометр состоит из двух термометров. Резервуар со спиртом одного термометра обмотан тканью, опущенной в сосуд с дистиллированной водой. Сухой термометр показывает температуру в помещении. Влаж ныи термометр регистрирует температуру испаряющейся воды, его температура ниже. Чем меньше относительная влажность воздуха, тем интенсивнее идет испарение, тем меньше температура влажного термометра, тем больше разность между показаниями термометров. Зная эту разность, можно определить относительную влажность воз уха по психрометрической таблице, которая прилагается к психро метру. 295 |Г« Рис. 29.5 Рис. 29.6 29.5. Внутренняя энергия реальных Внутреннюю энергию реальных газов определяют как сумму ки нетическои энергии хаотического движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Рассмотрим подробнее, от чего зависит изменение внутренней энергии системы. При механических воздействиях возможно изменение объема и формы тел. А это означает, что может измениться расстояние между молекулами, а значит, сила их взаимодействия. Следовательно, механические воздействия приводят к изменению внутренней энергии. Теп- ловые процессы (нагревание, плавление, испарение и пр.) приводагг к изменению кинетической энергии молекул и изменению сил взаимо действия между ними. Иначе говоря, тепловые процессы сопровожда ются изменением внутренней энергии. При химических реакциях про исходит перестройка молекул, что изменяет силы взаимодействия меж [у атомами и молекулами. Кроме того, химические реакции сопровож даются изменением температуры системы. Следовательно, химические реакции приводят к изменению внутренней энергии. При ядерных ре акциях происходят процессы превращения ядер атомов, что приводит к 296 значительному изменению энергии взаимодействия частиц системы, т.е. к изменению внутренней энергии системы. Таким образом, внутренняя энергия системы меняется при механи ческнх и тепловых процессах, химических и ядерных реакциях. Причем изменение внутренней энергии при тепловых процессах в сотни и тысячи раз больше, чем при механических, в сотни и тысячи раз меньше. чем при химических, и в миллиарды раз меньше, чем при ядерньпс реак циях. Нас будет интересовать изменение внутренней энергии при теп ловых процессах. Изменение энергии в ядерных реакциях будет рассмот рено при последующем изучении физики. Потенциальная энергия молекул имеет электрическое происхожде ние. Вспомним, что молекулы и атомы являются электрически нейт ральными, но имеющими положительный и равный ему отрицатель ный заряды. Молекулу можно рассматривать как систему, состоящую из двух тел, заряженных разноименно (рис. 29.7). Такие системы, назы ваемые диполями, создают вокруг себя электрическое поле и взаимо действуют с внешним электрическим полем. Диполи (молекулы) спо собны взаимодействовать между собой. Сила взаимодействия между молекулами может быть выражена графиком (рис. 29.8), где fr— проекция результирующей силы на прямую, соединяющую центры молекул, расстояние, при котором сила притяжения уравновешена силой отталкивания, т.е. их равнодействующая равна нулю. При г < го молекулы отталкиваются, при г> молекулы притягиваются. Силы притяжения между молекулами являются короткодействующими, проявляются на малых расстояниях, так как очень сильно зависят от расстояния между 1 молекулами (пропорционально -т). Молекулы взаимодействуют толь г ко с «соседями» на расстояниях, сравнимых с размерами молекул. Рассмотрим теперь, как меняется энергия взаимодействия между молекулами при изменении расстояния между ними. Вначале выясним, как меняется энергия системы, состоящей из двух заряженных тел. Пусть два шара, заряженные одноименным зарядом, подвешены на нитях. За Рис. 29.7 297 счет сил отталкивания шары разойдутся на некоторое расстояние R Чтобы сблизить шары, надо совершить некоторую работу. Значит, энергия системы при действии сил отталхшвания с уменьшением расстояния увеличивается, а с увеличением расстояния уменьшается. Очевид- но, на очень большом расстоянии, когда силами отталкивания можно пренебречь, энергия взаимодействия равна нулю. Энергия системы тел при действии сил отталкивания является поло жительнои величиной. Пусть теперь два шара, подвешенных на нитях, заряжены разноимен ными, но одинаковыми по модулю зарядами. Как и в предыдущем слу чае, можно считать энергию взаимодействия равной нулю, если на дос таточно большом расстоянии находятся два разноименно заряженных тела. Подвешенные на некотором расстоянии шары, притягиваясь, сбли- зятся до расстояния R\. Чтобы раздвинуть шары, необходимо совершить работу. Таким образом, чем больше расстояние при действии сил при тяжения, тем больше энергия системы. Но на расстояниях, при которых силами взаимодействия можно пренебречь, энергия системы равна нулю. Поэтому энергия системы тел при действии сил притяжения отрицательна. При минимальном расстоянии между притягивающимися телами энергия системы будет минимальной (меньшей нуля). Теперь вернемся к взаимодействию молекул. Мы выяснили, что су ществует некоторое расстояние го между молекулами, при котором силы притяжения и отталкивания уравновешены. При г > гп проявляется дей ствие сил притяжения. С увеличением расстояния энергия системы должна возрастать, оставаясь величиной отрица- тельной. Если г < Го, то проявляется действие сил отталкивания. С уменьшением расстояния сила отталкивания увеличивается, одновременно увеличивается энергия взаимодействия. Таким образом, получается, что энергия взаимодействия минимальна. На рисунке 29.9 приведена кривая, ко- молекул при г торая характеризует изменение потенциальной энергии системы, состо ящеи из двух молекул, в зависимости от расстояния г между «центрами» молекул. 29.6. Теплоемкость Эксперимент показывает, что удельная теплоемкость тел зависит процессов, в которых участвуют тела. Для газов эта зависимость бо- 298 лее существенна, чем для твердых тел и жидкостей. Газ можно нагревать при постоянном объеме и при постоянном давлении. В этих процессах дя нагревания газа на одну и ту же величину А Г необходимо затратить разное количество теплоты. В самом деле, нагревание газа на А Г изме няет его внутреннюю энергию на А К Но, по первому началу термоди намики, Qv AU при изохорном процессе. AU+pAV при изобарном процессе. При изобарном процессе необходимо затратить количество теплоты Qp большее, чем количество теплоты Qy при изохорном процессе, так как газ расширяется и должна быть газом совершена работа pAV. Следовательно, подсчитывая количество теплоты, идущее на нагрева ние газа, по разности температур, нужно различать теплоемкость газа при постоянном объеме и при постоянном давлении. В таблице 29.3 при- ведены значения удельной теплоемкости некоторых газов при посто ЯННОМ давлении в интервале температур 100—200 °С. Удельная теплоемкость вещества показывает, какое количество теп необходимо для нагревания 1 кг вещества на 1 К. По таблице 29.3 видно, что эта величина имеет самые разнообразные значения. Таблица 29.3 Газ Количество атомов в молекуле Удельная теплоемкость, кДж/(кг • К) Молярная теплоемкость, Дж/(моль • К) Азот N2 2 1,0 29,2 Водяной пар Н2О 3 2,0 37 Гелий Не 1 5,2 20,9 Кислород О2 2 0,92 29,5 Неон Ne 1 1,03 20,9 Введем понятия: молярная теплоемкость при постоянном объеме Су и молярная теплоемкость при постоянном давлении Ср. Молярная теплоемкость Су показывает, какое количество теплоты необходимо для нагревания 1 моль газа «с 1 К при постоянном объеме. Единицей молярной теплоемкости Су является 1 Дж/(моль К). Молярная теплоемкость Ср показывает, какое количество теплоты необходимо для нагревания 1 моль газа wc 1 К при постоянном давлении. Единицей молярной теплоемкости Ср также является 1 ДжДмоль К) Найдем связь между молярными теплоемкостями при постоянном объеме и постоянном давлении. 299 Если процесс изохорный (К = const), то Qy AU. Для изобарного процесса (р const) AU+pAV. Если нагревать газ массой т на АТ, то V т М V АТ и т р слт м ^ следовательно, вторую формулу можно записать так ^ слт=—Су^T+p^V . м т с другой стороны, pAV=—RAT, откуда следует М (29.3) В частности, для одноатомного идеального газа 3 2 уКТ AU 3 2 vRAT 5 следовательно: V 3 2 J р 5 2 Обозначив р , для одноатомного идеального газа получим у 5 Теперь вновь обратимся к таблице 29.3 и сравним молярные тепло емкости. Оказывается, молярные теплоемкости одноатомных газов (ге ЛИЯ и неона) одинаковы, почти одинаковы молярные теплоемкости двухатомных газов (азота и кислорода). Кроме того, легко заметить, что молярная теплоемкость газов тем больше, чем больше атомов содержит молекула. Как это объяснить? Вспомним, что строение одноатомных и многоатомных молекул различно. В простейшем варианте одноатомную молекулу можно представить в виде шарика, которьш может перемещаться в простран стве с тремя координатами. Модель молекулы двухатомного газа мож двух шариков, жестко скреплен но представить в виде «гантели» 300 I у Рис. 29.10 ных между собой (рис. 29.10). Такая молекула кроме поступательной кинетической энергии, присущей одноатомной молекуле, имеет еще кинетическую энергию вращательного движения вокруг осей 0\0\ и О2О2. Говорят, что одноатомная молекула имеет три степени свободы (три независимых поступательных движения в пространстве с тремя координатами), двухатомная молекула имеет пять степеней свободы (пять независимых движений: три поступательных и два вращательных). В XIX в. физиками был установлен принцип равнораспределения энергии, согласно которому энергия распределяется поровну между степенями свободы. Оценим энергию, приходящуюся на одну степень свободы. Энер- гия молекулы одноатомного газа [см. формулу (27.9)] равна кТ Так как молекула одноатомного газа имеет три степени свободы, то на одну степень приходится энергия —кТ Следовательно, энергия молекулы двухатомного газа должна быть равна ^ кТ, а внутренняя энергия одно го моля газа будет 5 2 RT Поскольку внутренняя энергия одного моля одноатомного газа равна 3 ЛГ, то его молярная теплоемкость Су 3 2 Л. Так как V + Л, то С р 5 2 Молярная теплоемкость двухатомного газа равна соответственно V 5 2 и С р 7 2 301 Вычисления для Ср дают: одноатомный газ двухатомный газ 20,8 ДжДмольК); 29 Дж/(мЬльК). Если теперь вновь обратиться к таблице 29.3, то легко заметить, что теоретически вьиисленные значения Ср хорошо согласуются с экспериментальными. Молярная теплоемкость одноатомных газов гелия и неона [20,9 и 20,8 ДжДмоль К)] практически одинакова. Для двухатомных газов экспериментально полученные молярные теплоемкости также близки к теоретически вьршсленному значению. На первый взгляд может показаться, что классическая теория хорошо согласуется с экспериментальными данными. В действительности же все оказывается не так просто. Если экспериментально определять молярные теплоемкости газов в разных интервалах температур, то наблюдается любопытный факт. При низких температурах двухатомный газ ведет себя так же, как и одноатомный, т.е. как бы имеет только три степени свободы, его молярная теплоемкость Су 3 2 R. При очень вы соких температурах оказывается, что Су 7 2 jR, т.е. как бы появляются еще новые степени свободы. Характер изменения Су двухатомного газа представлен на рисунке 29.11. Появление еще двух степеней свободы при достаточно высокой температуре объясняют тем, что атомы в моле куле совершают колебания («гантель» не жесткая, атомы связаны упругим взаимодействием). Одна степень свободы приходится на кинетическую энергию колебаний, вторая — на потенциальную энергию упругого взаимодействия атомов в молекуле. Таким образом, при низких температурах двухатомная молекула движется только поступательно. При повышении температуры молекула начинает вращаться. А при очень высоких температурах атомы, входящие в состав молекулы, на- Рис. 29.11 302 чинают совершать колебания. Классическая МКТ не может объяснить, почему молекулы ведут себя таким образом. Объяснение этим явлени- ям дает квантовая теория, с которой мы познакомимся при дальней шем изучении физики. Задание 29.1 Ответьте на вопросы 1. Какова относительная молекулярная масса: а) углекислого газа; б) молекулярного кислорода; в) полностью диссоциированного кислорода; г) воды? 2. Сколько молей содержится: а) в воде массой 27 г; б) в кислороде массой 16 г; в) в гелии массой 10 3. Какова масса: а) гелия (v = 2 моль); б) наполовину диссоциированного кислорода (v = 1 кмоль)? 4. Из баллона при постоянной температуре вытекла половина нахо лившегося там газа. Как изменились для газа в баллоне: а) концентрация молекул; б) давление; в) средняя квадратичная скорость движения молекул; г) плотность? 5*. Масса одноатомного идеального газа в баллоне уменьшилась на половину, а температура возросла в 3 раза. Что произошло при этом: а) со средней кинетической энергией молекул; б) с давлением; в) с внутренней энергией газа? 6. Как объяснить с молекулярной точки зрения понижение темпе ратуры жидкости при испарении? 7*. В чем различие изотерм идеального и реального газа? 8. Как ведет себя газ, если его сжатие осуществляется изотермически а) при температуре вьппе критической; б) при температуре ниже критической? 9. Зависит ли давлете насыщенного пара от: а) рода жидкости; б) объема сосуда; в) температуры; г) площади поверхности жидкости? 10. Как меняется в помещении (при прочих равных условиях) отно сительная влажность воздуха при увеличении температуры? 11*. Половина находящегося в сосуде молекулярного водорода дис социировала на атомы, после чего температура установилась прежней Как изменились: а) концентрация молекул; б) давление газа; в) средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы; г) внутренняя энергия системы? 303 12*. Почему молярная теплоемкость газа при постоянном давлении больше молярной теплоемкости при постоянном объеме? 13*. Какой величиной (отрицательной или положительной) является потенциальная энергия системы, частицы которой притягиваются друг к другу? 14*. Меняется ли внутренняя энергия водяных паров при их кон денсации на поверхности холодных предметов? 15*. Газ нагревали один раз при постоянном объеме, другой при постоянном давлении. В каждом случае было передано одно и то же количество теплоты. В каком случае температура газа оказалась выше? 16*. Может ли оставаться постоянной внутренняя энергия системы, если ей передается теплота? 17*. Может ли оставаться постоянной внутренняя энергия системы , если над ней совершается работа? 18*. Чем объясняется с точки зрения МКТ увеличение внутренней энергии системы при адиабатном сжатии? Задание 29.2 * Решите задачи 1. Какая масса воздуха выйдет из комнаты объемом 50 м^ при новы шении температуры от 280 до 300 К при нормальном атмосферном давлении? Молярная масса воздуха Af= 0,0289 кг/моль. 2. Шар объемом 0,1 м^, сделанный из тонкой бумаги, наполняют горячим воздухом, имеющим температуру 300 К. Температура окружа- ющего воздуха 290 К. Давление воздуха внутри шара и атмосферное дав ление одинаковы и равны 100 кПа. При каком значении массы бумаж ной оболочки шар может висеть в воздухе? 3. В сосуде объемом 100 л при температуре 30 °С находится воздух относительной влажностью 30%. Какова будет относительная влажность уха, если в сосуд добавить воду массой 1 г той же температуры? Тем пература в сосуде поддерживается постоянной. 4. Два сосуда соединены трубкой с краном. В первом сосуде нахо дится газ массой 1 кг под давлением 2 МПа, во втором — газ массой 3 кг под давлением 1 МПа. Какое установится давление после открытия крана, если температура газа постоянна? 5. Когда объем, занимаемый газом, уменьшили на 10%, а температуру увеличили на 16 К, давление газа возросло на 20%. Какова начальная температура газа? 6. В цилиндре под поршнем находится азот (v = 420 моль). Газ нагревается от 50 до 200 при постоянном давлении. Определите: а) работу, совершенпную газом; 304 б) изменение внутренней энергии; в) количество теплоты, сообщенное газу. 7. Чему равна внутренняя энергия двухатомного газа (v = 4,5 моль) при температуре 700 К? Считать температуру достаточно высокой, чтобы учитывать все степени свободы. . На сколько увеличится температура двухатомного газа 25 моль), если ему сообщить количество теплоты, равное 64 кДж, при постоянном объеме? Считать температуру очень высокой. Глава 30 СВОЙСТВА жидкостей 30.1 Расширение жидкости при нагревании Жидкости СОСТОЯТ ИЗ молекул. Между молекулами жидкости дей ствуют силы притяжения и отталкивания, что подтверждается экспериментально. Действие этих сил проявляется на расстояниях, сравнимых с размерами молекул. Так как жидкость принимает форму сосуда, в котором находится, то следует предположить, что молекулы жидкости могут перемещаться друг относительно друга. Из теории газов извест но, что с увеличением температуры увеличивается средняя кинетическая энергия молекул. Очевидно, то же самое можно сказать и о жидкостях. Отличие в движении молекул жидкости состоит в том, что им присущи колебания около некоторого положения равновесия. Таким образом, молекулы жидкости, двигаясь поступательно, могут перемещаться в новое положение равновесия, около которого они также совершают колебания. Молекулы жидкости могут находиться либо внутри жидкости. либо на ее поверхности (на границе с газом), либо у поверхности твердого тела. Молекулы, находясь в разных условиях взаимодействия с другими молекулами (газа, жидкости, твердого тела), должны определять такое свойство жидкости, как изменение ее объема при нагревании . Молек^ы, находящиеся внутри жидкости, испытьшают воздействие со стороны соседних молекул. Это воздействие одинаково со всех сто- рон, поэтому молекула будет находиться в положении равновесия и со вершать колебания с определенной амплитудой. При увеличении тем пературы увеличивается средняя кинетическая энергия молекул, а зна чит, и амплитуда колебаний. На рисунке 30.1 графически представлена зависимость энер ГИИ взаимодействия двух молекул от расстояния между ними. Выде 305 Рис. 30.1 лены два состояния при двух температурах 1 и 2 (Т, < Т2). При температуре Гi молекула совершает колебания с амплитудой, равной половине отрезка AyBi, и средним расстоянием между молекулами При увеличении температуры до значения Т2 амплитуда увеличится и станет равной половине отрезка А2В2. Среднее расстояние между моле кулами теперь будет Г2. Оказывается, Г2> г\, что обусловлено несиммет ричной формой кривой. Так объясняется расширение жидкости. Факт расширения жидкостей при нагревании общеизвестен. Воп рос состоит в другом: одинаково ли расширяются разные жидкости при нагревании? Для получения ответа на этот вопрос можно проделать следующий опыт. В две одинаковые колбы наливают разную жидкость оди- к накового объема. Колбы закрывают пробками, через которые пропущены трубки. Пусть при комнатной температуре уровень в трубках был одинаковым. При опускании колб в сосуд с горячей водой после уста новления термодинамического равновесия можно заметить, что уровень жидкости в трубках будет разным. Это говорит о разной степени расширения жидкостей при нагревании. Для характеристики расширения жидкости при нагревании вводится физическая величина — температурный коэффициент объемного расширения. Обозначим через начальный объем жидкости при температуре При нагревании жидкости до температуры t, т.е. на Af, ее объем увели- чится до какого-то значения V. Тогда температурный коэффициент объемного расширения, который показывает, на какую долю своего пер- воначального значения изменяется объем жидкости при изменении тем пературы на 1 К, будет равен: (30.1) 306 Значения температурного коэффициента объемного расширения некоторых жидкостей приведены в таблице 30.1. Та блица 30.1 Жидкость р, 10-« К-1 Жидкость р, 10-« К-* Вода (10...20 °С) 150 Кислород (-205...-184 ‘О 3850 Вода (20...40 °С) 302 Раствор соли (6%, 20 ”С) 300 Спирт (20 °С) 1080 Керосин (20 ”С) 960 Ртуть (20 °С) 181 Из таблицы видно, что температурный коэффициент расширения зависит от рода жидкости, интервала температур, примесеи. Следует обратить внимание на особенности расширения воды. Наи большую плотность вода имеет при 4 “С. Значит, при нагревании или охлаждении воды от 4 ‘’С вода расширяется. 30.2. Поверхностное натяжение Сравним условия, в которых находятся молекула А, расположенная внутри жидкости, и молекула В, расположенная вблизи поверхности жидкости (рис. 30.2). На молекулу .4 со всех сторон действуют соседние молекулы. В среднем их действие компенсируется. На молекулу В со стороны молекул жидкости действуют силы, равнодействующая кото рых направлена перпендикулярно поверхности внутрь жидкости. Взаи модеиствием с молекулами газа над поверхностью жидкости можно пре небречь, так как расстояния до них в десятки раз больше, чем расстоя ния между молекулами жидкости. Теперь вспомним, что молекулы жидкости могут перемещаться, в том числе и в направлении к поверхности жидкости. Но, перемещаясь к поверхности жидкости, молекула совершает работу против равнодействую- щей сил, действующей на нее со старо ны соседних молекул. Следовательно, каждая молекула, находящаяся у поверхности жидкости, обладает избытком потенциальной энергии по сравнению с молекулами, находящимися внутри жидкости. Чем больше поверхность жидкости, тем больше молекул, обладающих избытком потенциальной энергии. Ф — ® @ —I Ф Ф Ф Ф /|> Ф Ф Ф Ф В Ф Рис. 30.2 307 к этому же вьшоду можно подойти и с макроскопических позиций Чтобы каплю жидкости разделить на две капли, нужно совершить рабо- ту по разрушению тела, преодолению сил притяжения между молекула- h МИ. Допустим, капля имела форму шара радиусом R, а полученные две капли оказались шариками радиусом г. Сравним площадь поверхности шара радиусом R и площади поверхностей двух шариков радиусами г Объем жидкости одинаков, следовательно, выразив объемы шаров че рез радиусы и приравняв объемы шара и двух малых шариков, получим г Иг. Отношение площади поверхности двух шариков к площади поверх ности большого шара равно 1,26, т.е. площадь поверхности двух шари ков больше. Это подтверждает наш вывод: чем больше площадь поверх J ' ности жидкости, тем больше ее поверхностная энергия. Теперь попробуем выяснить, почему капля жидкости стремится при пять форму шара, о чем можно судить, наблюдая за капл5ши дождя или маленькими каплями росы на поверхности листьев и цветов. Капля жидкости как система стремится к такой форме, которой соответствуют минимальная энергия и минимальная площадь поверхности на границе с газом. А такой формой, как доказывается в математике, является шар. О том, что жидкость стремится принять форму, при которой площадь ее поверхности на границе с газом будет минимальной, можно судить по многим примерам. Допустим, у нас есть проволочное кольцо с привязанной нитью (рис. 303,а). Если кольцо опустить в мыльный раствор и вновь вынуть, то на кольце образуется мыльная пленка (рис. 30.3,6). Уничтожив с одной стороны от нити мыльную пленку, обнаружим, что с другой стороны пленка натягивает нить (рис. 303,в). На нить со стороны пленки действуют силы, стремящиеся сократить поверхность жидкости. Эти силы называют стами поверхностного на тяжения. Сты поверхностного натяжения перпендикулярны границе поверхности жидкости, направлены по касательной к поверхности и стремятся сократить поверхность до минимума. а в Рис. 30.3 308 Найдем характеристику этих сил. Возьмем пря моугольную проволочную рамку с легкой подвиж ной перекладиной (рис. 30.4). Если рамка будет за тянута мыльной пленкой, то перекладина начнет вигаться вверх. Чтобы помешать перекладине двигаться, прице- пим к ней динамометр и потянем пружину динамо метра вниз. При равновесии перекладины сила упру гости пружины динамометра уравновешивает силу поверхностного натяжения /’ (силутяжес ти, действующую на перекладину, не учитываем). Следовательно, должно выполняться равенство /’н. Так можно измерить силу поверхностного натяжения. Поскольку сила действует на пе- рекладину со стороны двух поверхностей пленки. Рис. 30.4 то следует принять, что она действует на границу длиной L = 21, где / — длина перекладины. Отношение модуля силы поверхностного натяжения к длине границы L является харак теристикой жидкости. Это отношение обозначают буквой а и назы вают поверхностным натяжением жидкости: а Н L ' (30.2) Поверхностным натяжением называется физическая величина, равная отношению модуля силы поверхностного натяжения, действующей на границе поверхности, к длине этой поверхности. Вернемся к опыту (см. рис. 30.4). При медленном равномерном пе- ремещении перекладины вниз внешняя сила жины динамометра) совершает работу: (сила упругости пру Fh, (30.3) где Л модуль перемещения перекладины по направлению, перпенди кулярному ей и совпадающему с направлением силы F • Согласно закону сохранения энергии, эта работа равна изменению поверхностной энергии пленки: AjE", пов* (30.4) Приравнивая правые части выражений (30.3) и (30.4), получим: Fh АЕ. ПОВ* (30.5) Учитывая, что F Н cL, выражение (30.5) перепишем в виде 309 aLh AE П0В5 (30.6) где Lh=AS есть увеличение площади поверхности пленки. Тогда из урав нения (30.6) для с получим: а АЕ пов Д5 (30.7) Если рассматривать всю поверхность жидкости, то будем иметь: а ПОВ Это значит, что поверхностное натяжение показывает, какая поверх постная энергия приходится на поверхность жидкости единичной пло щади. Из формулы (30.2) следует, что единицей поверхностного натяже ния 5шляется 1 Н/м, а из формулы (30.7) получается 1 Дж/м^. Но 1 Н/м 1 Дж/м^. Следовательно, выражения (30.2) и (30.7) по-разному определяют одну и ту же физическую величину — поверхностное натяжение. В таблице 30.2 приведены значения поверхностного натяжеьшя не- которых жидкостей. Таблица 30.2 Вещество а, мН/м Вещество а, мН/м Алюминий (700 ®С) 540 Вода(0 °С) 75,6 Азот (-183 °С) 6,2 Вода(20 °С) 72,8 Ацетон (20 “С) 24 Вода (374,15 °С) 0 Глицерин (20 °С) 63 Раствор мыла (20 ‘'С) 40 Из таблицы видно, что поверхностное натяжение зависит от рода вещества, от температуры, от примесей. Чтобы убедиться в зависимости поверхностного натяжения от примеси, можно вьшолнить простой опыт. На поверхность воды кладут картонную фигурку — «ракету» (рис. 30.5). Капнув каплю мыльного раствора в круглое отверстие, можно наблюдать перемещение «ракеты». Объяснить движение достаточно просто. У «сопла ракеты» поверхностное натяжение меньше, а у головной части — больше. Следовательно, в сторону большего значения поверхностного натяжения будет стягиваться поверхностный слой, увлекая за собой «ракету». Рис. 30.5 310 30.3. Смачивание и несмачивание Обратимся К явлениям, происходящим на границе между жидко стью и твердым телом. При рассмотрении сил взаимодействия между молекулами можно выделить два случая. Если силы притяжения между молекулами твердого тела и жидкости больше сил притяжения между молекулами жидкости, то говорят, что жидкость смачивает твердое тело. этом случае жидкость растекается по поверхности твердого тела (рис. 30.6). Так, например, вода смачивает чистое стекло, ртуть смачивает цинк. Если же силы притяжения между молекулами жидкости боль- ше, чем между молекулами жидкости и твердого тела, то говорят, что жидкость не смачивает твердое тело (рис. 30.7). Например, капли воды на жирной сковороде, ртуть на стекле. Остановимся подробнее на вопросе: почему капля принимает фор- ♦ му сплюснутой сферы? Ранее мы отметили, что положение устойчивого равновесия системы соответствует минимуму потенциальной энергии. Если капля находится в невесомости, то она принимает форму шара (с минимальной поверхностной энергией). Если же капля находится на , 1 плоской пропарафинированной бумаге, то на нее действует как сила тяжести, так и сила реакции опоры. Под действием силы тяжести центр масс опускается. Система стремится к минимуму энергии сил тяготения. Но при этом капля деформируется, ее поверхность увеличивается. что приводит к возрастанию поверхностной энергии. В состоянии равновесия суммарная потенциальная энергия (потенциальная энергия. обусловленная действием сил тяготения, и поверхностная энергия) бу дет минимальной. Потенциальная энергия, обусловленная действием силы тяжести, пропорциональна объему капли, а поверхностная энер-ГИЯ пропорциональна площади поверхности. При увеличении сферической капли объем тела растет как куб радиуса, а поверхность -- как квадрат радиуса. Поэтому энергия, обусловленная силами тяготения. растет быстрее с увеличением размеров капли. У малых капель преоб ладающую роль играет поверхностная энергия, поэтому они имеют фор му, более близкую к шару. Поверхность жидкости, налитой в сосуд, у границ сосуда искривля ется. Искривленная поверхность называется мениском. Если сосуд сма Рис. 30.6 Рис. 30.7 311 Стекло Вода Ртуть а Рис. 30.8 чивается жидкостью, то мениск вогнутый (рис. 30.8,а), если не смачи вается выпуклый (рис. 30.8,6) Проделаем опыт. В сосуд с водой опустим две стеклянные трубки разного диаметра (рис. 30.9). Поскольку вода смачивает стекло, силы притяжения, действующие между молекулами стекла и воды, заставляют воду подниматься по стеклу трубки. Это приводит к искривлению поверхности воды вблизи стекла. Сила поверхностного натяжения F Н 5 действующая на границе поверхности по длине внутренней окружное ти трубки (ее модуль), может быть подсчитана по формуле: н а • 2яг, где г — внутренний радиус трубки. Вода по трубке будет поднимать ся вверх до уровня, при котором сила тяжести, действующая на столб жидкости, окажется уравновешенной силой поверхностного натя- I жения. Рис. 30.9 312 Сила тяжести Fj = pnr^hg, где А высота поднятия жидкости в трубке Приравнивая /’н и Fj, получим: 2^ prg (30.8) Из формулы видно, что высота поднятия воды в трубке обратно пропорциональна радиусу трубки. Так, например, высота поднятия воды в стеклянной трубке радиусом 0,2 мм составляет приблизительно 7 см. Уменьшение радиуса в 10 раз приводит к увеличению высоты до 70 см. Тонкие трубки называют капиллярами, а явления, обусловленные поверхностным натяжением жидкости при ее движении по капиллярам, капиллярными явлениями. Капиллярные явления довольно широко распространены в природе. Стволы деревьев и другрпс растений пронизаны капиллярами, по которым к листьям поднимаются питательные растворы. По капиллярам почвы на поверхность поднимается влага. Кирпич — попа ристое тело; находясь влажной поверхности, он впитывает влагу. Полотенце впитывает воду, фитиль в спиртовке поднимает топ ливо и т. д. 30.4. Кипение Из повседневной жизни нам известно, что кипение сопровождается движением пузырьков в жидкости. Каково же происхождение этих пузырьков? Оказывается, диффузия может происходить между жидкостью и газом. Проникновение газа в жидкость и распространение его по всему объему называют растворением. Максимально возможное количество растворенного газа в жидкости зависит от давления этого газа; эта зависимость является линейной. При термодинамическом равновесии жидкости с газом количество молекул газа, вылетающрпс с поверхности и влетающих в жидкость, одинаково. То же самое можно сказать и о молекулах жидкости. При кипении растворенный в жидкости газ, в частности воздух воде, образует пузырьки. Очевидно, в пузырьках имеется насы щенный пар жидкости. Каждый пузырек находится под давлени ем, равным атмосферному плюс давление столба жидкости над пу зырьком. Кипение — переход жидкости в пар, происходящий с образованием в объеме жидкости пузырьков пара. 313 Кипение происходит при такой темпе ратуре, при которой давление насыщенного ав пара в пузырьках становится равным лению внутри жидкости. Температура кипения зависит от давления. Очевидно, температура кипения воды на вершине горы будет ниже, чем у ее основания. Температура кипения воды в скороварке (герметически закрытом сосуде с клапаном) выше, чем в открытой кастрюле. Убедиться в этом можно на простом опыте (рис. 30.10). Доведем до кипения воду в колбе и уберем нагреватель (плитку, спиртовку). Вода перестает кипеть. Ее температура понижается. Теперь с помощью насоса нач- Рис. 30.10 нем выкачивать воздух из колбы, понижая тем самым давление газа над жидкостью. Вода вновь закипает. На рисунке 30.11 приведен график зависимости давления насыщенного пара от температуры. Температуры кипения различных жидкостей при одном и том же давлении сильно разнятся между собой. Например, при нормальном авлении гелий кипит при температуре —269 “С, спирт — при температуре 78 ®С, расплавленное железо — при температуре 2880 “С. р, атм Рис. 30.11 314 к 1 щ / / / / Рис. 30.12 Рис. 30.13 Задание 30.1 Решите задачи 1. Объем баллончика с ртутью медицинского термометра 550 мм-^. При нагревании его от 35 до 40 столбик ртути в капилляре поднялся на 37 мм. Определите площадь сечения капилляра. На какую высоту поднялась бы вода в капилляре, если бы пло щадь его сечения была 0,013 мм^? 3. Автоклав (прочный котел, рис. 30.12) предназначен для нагрева ния жидкости при высоком давлении, в частности для стерилизации медицинских инструментов и пр. Крышка, наглухо закрывающая ко- имеет предохранительный клапан К, площадь основания которого 0,75 см^. На рычаге АВ подвешен груз массой 1 кг. АК = 6,5 см, АВ 18 см. До какой максимальной температуры может нагреваться вода в автоклаве? 4*. На рисунке 30.13 приведен график, характеризующий измене- ние давления паров в замкнутом сосуде при повышении температуры. Опишите происходящие процессы. 5. В колбе вскипятили воду, закрыли ее пробкой и перевернули. На дно колбы положили снег. Вода закипела. Почему? Задание 30.2 Решите задачи с экспериментальными данными.* Ответ дайте с уче том погрешностей. 315 Рис. 30.14 1. Для определения температурного коэффи-циента объемного расширения воды опыт выпол- нялся с установкой, показанной на рисунке 17.2 (см. с. 211). Колба опускалась в сосуд с водой разной темпера1уры. Для определения высоты, на которой находился уровень воды в трубке, приме- нялась линейка с миллиметровыми делениями. Температура воды определялась термометром с ценой деления 1 ®С. Внутренний диаметр трубки измерялся штангенциркулем и оказался равным 2,4 мм. При измерении объема воды в колбе мензуркой с ценой деления 1 см^ было получено значение ПО см^. Нагревание воды осуществлялось от 20 до 30 “С. Опыт выполнялся 5 раз, при этом были получены следующие значения высоты уровня воды в трубке: 7,1 см, 7,8 см, 7,5 см, 7,2 см, 7,4 см. Чему равен температурный коэффициент объемного расширения? 2. В опыте, схема которого показана на рисун- ке 30.14, вьшолняли измерение поверхностного натяжения воды методом отрыва кольца. Диаметр проволочного кольца, измеренный линейкой с миллиметровьшш делениями, оказался равным 12 см. Вес кольца и сила отрыва кольца от воды измерялись дина- мометром с ценой деления 0,005 Н. Вес кольца оказался равным 0,08 Н. При отрыве кольца от воды были зафиксированы следующие значения показаний динамометра: 0,146 Н, 0,155 Н, 0,140 Н, 0,150 Н, 0,150 Н. к Чему равно поверхностное натяжение воды? Задание 30.3 V Лабораторная работа «Определение поверхностного натяжения воды» Оборудование: стеклянная трубка с внутренним диаметром 1 мм; со суд с водой; линейка с миллиметровыми делениями; штангенциркуль; мыло; соль. Определите поверхностное натяжение: а) чистой воды; б) соленой или мыльной воды Глава 31 свойства твердых тел 31.1 Дальний и ближний порядок Монокристаллы и поликристаллы Твердые тела в отличие от жидкостей и газов сохраняют свой объем и форму. Кроме того, твердые тела отличаются от жидкостей меньшей сжимаемостью. Если, например, при всестороннем сжатии воды увеличивать давление на 100 кПа, то объем воды уменьшится на 0,000046 первоначального объема, а объем стального тела на 0,0000006 первоначального объема, т. е. сжимаемость стали приблизительно в 80 раз меньше сжимаемости воды. В связи с этим можно предположить, что атомы и молекулы в твердых телах расположены практически вплотную друг к А ругу. В простейшем случае модель атома можно представить в форме шара. Вспомним, что атом состоит из положительного ядра и вращающихся Boicpyr него отрицательных электронов. Как вращаются электроны вокруг ядра? На этот вопрос ответить трудно. Их движение не похоже на движение Луны вокруг Земли или планет вокруг Солнца. Установлено, что электроны образуют как бы «электронное облако» вокруг ядра. Это «электронное облако» находится от ядра на расстоянии, приблизительно в 100 000 раз большем, чем радиус ядра (как это установлено, мы уз- наем в дальнейшем). Как же следует уложить шары, чтобы они занимали наименьший объем? На рисунке 31.1 показан слой шаров, расположенных вплотную на плоскости. Около каждого шара, например у того, который закрашен, располагается 6 соседних (ближайших) шаров. Между шарами остаются пустоты. Если теперь положить сверху еще слой шаров, то верх- ний слой ляжет на нижний вплотную только в том случае, когда шары верхнего слоя попадут в лунки между шарами нижнего слоя. При этом лунки заполняются через одну: шары верхнего слоя укладываются либо Рис. 31.1 317 в черные (см. рис. 31.1), либо в светлые лунки. Такое расположение шаров называют плотнейшей упаковкой. На рисунке 31.2 представлена «архитектура» трех слоев рассмотренной плотнейшей упаковки. В верхнем >4 и нижнем >4 слоях шары расположены одинаково. Шары среднего • h слоя в расположены в лунках нижнего и верхнего слоев. Рисунок 31.3 иллюстрирует расположение центров шаров. Кружками изображены цешры шаров в слоях а крестиками — в слое В, Такое схематическое изображение называют пространственной решеткой. Если рассматривать большие объемы твердых тел, то в них будут повторяться слои * АВАВАВ... Плотнейшую упаковку можно осуществить и другим способом, поэтому в природе встречаются и другие пространственные решетки. На рисунке 31.3 изображена так назьшаемая гексагональная решетка. Если вернуться к рисунку 31.1, то проиллюстрировать построение гексагональной решетки можно следующим образом. Верхний слой укладывается на нижний в заштрихованные (черные) лунки. Следующий (третий) слой укладывается на верхний тоже в заштрихованные лунки. Таким образом, каждый шар третьего слоя будет находиться строго против шара нижнего слоя. Другой вариант часто встречающейся в природе плотнейшей упаковки также можно проиллюстрировать по рисунку 31.1. Если шары третьего г СЛОЯ положить в светлые лунки второго слоя, то опять получится плотнейшая упаковка. Но теперь шары третьего слоя не будут находиться точно над шарами первого слоя. Рассматриваемый вариант плотнейшей упаковки представлен на рисунке 31.4, а на рисунке 31.5 изображена соответствующая ему пространственная кубическая решетка. Цешры шаров расположены в вершинах куба и на его гранях. Слои шаров располагаются в плоскостях, которые на рисунке 31.5 закрашены. Обратимся к рисунку 31.6, где представлена модель слоя атомов. Расположение центров атомов отражает плотнейшую упаковку. Если двигаться от центра атома О по направлению ОЛТ, то центры атомов будут встречаться через расстояния, равные а. Направление ОУтакже пересе- Рис. 31.2 Рис. 31.3 318 Рис. 31.4 Рис. 31.5 кает центры шаров, но через расстояние 6, а направление OZ через расстояние с. Расстояния а, Ь, с разные, но главное здесь в том, что «кар тина» повторяется через равные отрезки. Расположение атомов или молекул, при котором наблюдается повторяемость (воспроизводимость «картины») через равные расстояния при движении по любому направлению, называют дальним порядком. Твердые тела, в которых существует дальний порядок в расположении частиц (атомов, молекул, ионов), называют кристаллическими телами. Атомы (молекулы) жидкостей и некоторых твердых тел не представ ляют собой упорядоченных структур. На рисунке 31.7 изображена модель слоя жидкости. Если выбрать произвольное направление, то окажется, что выбранная прямая может пересекать центры шаров, но расстояния между этими центрами вдоль линии окажутся разными. В этом случае нет дальнего порядка. Однако можно отметить, что вблизи каж дого шара рассматриваемого слоя в большинстве случаев располагается 6 шаров. Сохраняется так называемый ближний порядок. Твердые тела, структура которых отражает ближний порядок, назьшают аморфными телами. 0^ Ф Ф ф ф ф ф ф ф ф ^ ф ф ф ф ф ф ф Ф ф ф ф Ф Рис. 31.6 Рис. 31.7 319 Большинство кристаллических тел являются поликристаллически-ми телами {поли означает много). Поликристаллические тела состоят из множества отдельных беспорядочно ориентированных кристалличес ких зерен. К ним относятся многие горные породы, металлы и сплавы Крупные одиночные кристаллы называют монокристаллами. Они представляют собой тела, ограниченные плоскими гранями. У разных мо- нокристаллов одного и того же веш;ества углы между соответственньп^ гранями одинаковы, что в первую очередь позволяет различать крис таллы. К монокристаллам, встречающимся в природе, относятся гор ный хрусталь, алмаз, турмалин и др. Задание 31.1 Лабораторная работа «Изучение кристаллических тел» Оборудование: лупа, микроскоп; предметное стекло; кристаллы гипса, кальцита; кусок канифоли; пластинка слюды; нож; молоток; фанера Ход работы 1. Рассмотрите с помощью лупы и микроскопа предложенные об разцы. 2. Ножом отделите пластинку слюды, легким ударом молотка раз дробите образцы. Рассмотрите с помощью лупы и микроскопа продук ты дробления. 3. Опишите наблюдаемые результаты. Задание 31.2 Лабораторная работа «Наблюдение роста кристалла из раствора» Оборудование: микроскоп; предметное стекло; насьпценные раство ры поваренной соли и гидрохинона; стеклянная палочка. Ход работы 1. Нанесите на предметное стекло штрих карандашом. Положите предметное стекло на столик микроскопа, отрегулируйте освещение и четкость изображения штриха. 2. Нанесите стеклянной палочкой каплю раствора на предметное стекло. Перемещением стекла установите видимый край капли. Пронаблюдайте за появлением и ростом кристалла. 3. Сделайте в тетради рисунки наблюдаемых кристаллов. 320 31.2. Структура кристаллов Шарообразная модель атома позволила нам понять, что такое плотная упаковка. Но эта модель липпь приближенно отражает реальность. Большинство веыхеств состоит из молекул, поэтому ученым пришлось создавать такие модели молекул, которые наилучшим образом отража ли бы изучаемые свойства тел. На рисунке 31.8 приведены примеры мо делен молекул: кислорода. углекислого газа. поваренной соли. Плотная упаковка кристалла поваренной соли NaCl показана на рисунке 31.9. Ионы хлора иллюстрируются светлыми шарами, а ионы натрия — темными. Ионы натрия заполняют пустоты между ионами хлора. Возникает вопрос: мы все время рассматриваем модели, а как же устроены кристаллы «на самом деле»? И можно ли увидеть или как-то экспериментально подтвердить наши рассуждения, связанные с моделями? Но модели как раз и создаются для того, чтобы понять, как устроены кристаллы «на самом деле». Существует наука — структурная кристаллография, основателем которой был наш соотечественник Е.С. Федоров (1853—1919). Е.С. Федоров теоретически доказал, что возможны только 230 способов построения кристаллов, так называемые федоровские группы. Практическая проверка пока- 2 СО, зала, что в природе не найдены кристаллы, которые не принадлежали бы к той или иной федоровской группе. Экспериментально стрзчстура кристалла изучается с помощью рентгеноструктурного анализа, родоначальника- NaCl Рис. 31.8 и ми которого являются английские ученые (отец и сын): Брэгг Г. (1862—1942) и Брэгг Л. (1890—1971). Основная идея рентгеноструктурного анализа состоит в следующем. На пути узкого пучка рент- геновских лучей ставится монокристалл размером 0,5—1 мм (рис. 31.10). Проходя через кристалл, рентгеновские лучи отклоняются и попадают на фотопластинку. На проявленной фотопластинке Рис. 31.9 11 Физика, 10 кл. 321 Кр исталл Пучок рентгеновских лучей Фотопластинка Рис. 31.10 обнаруживается множество упорядоченных пятен, разных по размеру, расположению и интенсивности. Расшифровка рентгенограмм представляет собой сложную задачу. Однако ученые научились по рентгенограммам судить о структуре щ)исталлов. Кристаллическая структура одного и того же вещества может быть разной. Так, например, известно 8 модификаций льда. Одна из них воз можна при давлении 20 000 атм. При этом температура плавления льда оказывается равной +80 °С. Незнание того, что олово может быть белым и серым, погубило экспедицию Скотта на Южный полюс в 1912 г. Дело в том, что жидкое топливо экспедиции находилось в сосудах, паянных оловом. При низкой температуре белое олово превратилось в серый порошок, сосуды «распаялись», топливо вылилось. Многообразие кристаллических структур одного и того же вещества носит название полиморфизма. В зависимости от расположения атомов углерода разли- чают два вида кристаллов: алмаз и графит. Алмаз и графит очень сильно отличаются своими свойствами. Атомы углерода в алмазе настолько сильно связаны, что их электроюшхе оболочки перекрываются. Алмаз является очень твердым веществом, используемым для бурения горных пород, заточки режущих инструментов, резки стекла и пр. Атомы же графита образуют слоевую структуру. Слои графита связаны друг с другом значительно слабее, чем атомы внутри слоя. Насколько эти связи слабее, можно судить по разрушению карандапшого стержня из графита. 31 аЗв Типы связей частиц в кристалле Силы, объединяющие частицы в кристалле, имеют электри ческую природу. По конкретному механизму установления связей раз и молекулярные личают ионные, ковалентные, металлические связи. Типичньп^ представителем кристалла с ионной связью является поваренная соль NaCl, плотная упаковка которой показана на рисунке 31.9, 322 а кристаллическая решетка — на рисунке 31.11. Каждый отрицательно заряженный ион хлора притягивает к себе 6 положительно зар51женных ионов натрия. В свою очередь, каждый ион натрия при- тягивает 6 соседних ионов хлора. Таким образом осуществляется плотная упаковка частиц в кристалле. Ковалентная связь осуществляется между нейтральными атомами. Приме- Рис. 31.11 ром может служить решетка алмаза (рис. 31.12). Каждый атом алмаза связан с четырьмя ближайшими атомами посредством объединения валентных электронов. Из оболочки каждого атома объединяется по одному валентному электрону. Таким образом, между ;вумя соседними атомами обобществляются два электрона, что и отражено на объемной схеме пространственной решетки (см. рис. 31.12) и на плоской схеме (рис. 31.13). На рисунке 31.13 Рис. 31.12 большими кружками моделируются атомы, черными пятнами ■— электроны, эллипсами — «электронные орбиты». К кристаллам с ковалентной связью относятся кристаллы германия, кремния, азота и др. При объединении атомов с металлической связью часть их валентных электронов «обобществляется». Остов кристалла составляют положительные ионы металлов (Fe, Си и пр.). Обобществлен- Рис. 31.13 ные электроны принадлежат не отдельным атомам, а всему кристаллу в целом. Электроны, покинувшие оболочку своих атомов, называют свободными. Свободные электроны образуют как бы «электронный газ» (рис. 31.14). В кристаллах с молекулярными связями в узлах решетки находятся нейтральные молекулы с асимметричными зарядами, т.е. с явно выра женными равными по модулю положительными и отрицательными за рядами. Асимметрия обусловлена либо внутримолекулярными факто рами, либо результатом сдвига зарядов при сближении молекул. Крис таллы с молекулярными связями непрочны. К ним, например, отно 323 Рис. 31.14 Рис. 31.15 сятся кристаллы сахара, парафина, водорода и пр. Рисунок 31.15 иллю стрирует кристаллическую решетку углекислого газа. 31.4. Симметрия кристаллов Отличительная черта монокристаллов — их определенная форма в виде правильных многогранников. Эта форма является следствием упо рядоченного расположения частиц кристалла. В каждом кристалле можно выделить ячейку (куб, призму и пр.), которая многократно повторяется. Такая ячейка нами рассмотрена, например, на рисунке 31.11. При росте кристалла его грани передвигаются как бы параллельно самим себе, а углы между соответствующими гранями остаются постоянны ми. На рисунке 31.16 показана элементарная ячейка. Длину а, й, с ребер называют периодом идентичности. Если в кристалле перемещаться, например, в направлении ребра длиной с, то элементарные ячейки будут повторяться через расстояния, равные с. Углы а, Р, Y в каждой ячейке и в кристалле в целом остаются постоянными. Для измерения углов между гранями применяют специальный Рис. 31.16 Рис. 31.17 324 прибор — гониометр. Прикладной гониометр (рис. 31.17) может быть применен для исследования крупных монокристаллов Более точные измерения выполняют отражательным гониометром, схема которого дана на рисунке 31.18. Пучок света, иду- Рис. 31.18 щий от источника А, попадает на грань кристалла и после отражения входит в зрительную трубку Т, При повороте кристалла на определен- ный угол пучок света вновь попадает в зрительную трубу. По шкале Ш гониометра отсчитывают угол между гранями. 31.5. Де екты кристаллов Экспериментально установлено, что при длительном контакте двух твердых тел наблюдается явление диффузии. Каким же образом атомы одного веш;ества проникают в другое, если в кристаллических веществах должна быть плотная упаковка? Дело в том, что при построении кристаллической решетки мы не учитьтали ряд факторов, присущих реальным кристаллам. Прежде всего отметим, что частицы (атомы, молекулы, ионы) реального кристалла совершают сложные движения около своих положений равновесия (около узлов кристаллической решетки). Представьте себе цепочку шаров, соединенных пружинками и подвешенных на штативе. Если любой из шаров отклонить от положения равновесия и отпустить, то шар начнет совершать колебания. Поскольку шары связаны, то колебания будут передаваться и другим шарам. Короче говоря, в цепочке все шары будут совершать колебания, связанные между собой. Аналогичная картина наблюдается и при колебаниях атомов в кристалле. Амплитуда колебаний атомов при комнатной температуре может быть порядка 2 • 10”* * м, что составляет несколько процентов периода идентичности. Атомы с наибольшей амплитудой колебаний (наибольшей энергией) могут обменяться местами с соседними атомами. При повышении температуры энергия атомов возрастает, возрастает амплитуда колебаний, увеличивается вероятность перемещения атомов. Опыт показывает, что с увеличением температуры возрастает скорость диффузии. Если бы кристаллы имели идеальную структуру, то скорость диффузии была бы чрезвычайно мала. Кстати, в монокристаллах диффузия идет значительно медленнее, чем в поликристаллах. Этот факт и мно- гие другие говорят о том, что идеальные кристаллы в природе не образуются. Опыт показывает, что каждый кристалл состоит из отдельных 325 Рис. 31.19 Рис. 31.20 блоков, слегка повернутых по отношению друг к другу. В каждом блоке наблюдается дальний порядок. Нарушение структуры кристалла явля ется дефектом. Один из дефектов называется зацеплением или дисло кацией. Схема простой дислокации дана на рисунке 31.19. На участке кристалла образовалась лишняя узловая плоскость, начало которой обо-значено перевернутой буквой Т. Здесь искажение кристаллической ре- * г * шетки максимально. Но оно быстро исчезает при удалении от линии дислокации. Схема спиральной дислокации показана на рисунке 31.20. Решетка разбита на два блока. Один из них как бы соскальзывает своей частью на один период по отношению к другому. Наибольшее искажение ока зывается в области оси, показанной плотным отрезком. Дефекты возможны и внутри блока. Искажения решетки происхо дят по разным причинам. На рисунке 31.21 показан дефект, обуслов р ленный наличием крупного атома примеси. Рисунок 31.22 иллюстри рует дефект, обусловленный разрывом связей, когда место атома оста лось свободным. Возможны и другие искажения. Рис. 31.21 Рис. 31.22 326 31 кристаллических тел Как нам известно, кристаллы отличаются от других тел наличием дальнего порядка. Рисунок 31.6 иллюстрирует воспроизводимость кар- тины при движении в кристалле по любому направлению. Однако «кар тина» оказывается разной при движении по направлениям ОХ, OY, OZ и т. ., повторяемость и «вид» будут разными и через разные отрезки а, Ь, с. Можно предположить, что свойства кристалла по разным на правлениям будут различными, т.е. монокристаллам присуща ани зотропия (анизос — неравный, троте — свойство). Действительно, у монокристаллов наблюдается неодинаковость физических свойств (теплопроводности, электропроводности, скорости распространения света и др.) по разным направлениям. Различие механических свойств нагляд- но иллюстрируется расслоением слюды. Слюда легко расслаивается на тонкие пластины в одном направлении и очень трудно разрушается в направлении, перпендикулярном полученным плоскостям. Для иллюстрации разной теплопроводности монокристалла можно на пластину монокристалла графита нанести тонкий слой воска, а затем положить на пластину раскаленный металлический шарик. Можно заметить, что воск плавится в виде эллипса, подчеркивая тем самым различную теплопроводность по разным направлениям. Рассматривая вопрос о статистическом истолковании второго начала термодинамики (см. гл. 28), мы отмечали, что в системах с большим числом частиц происходят лишь те процессы, которые наиболее вероятны. Причем наиболее вероятными являются такие состояния системы, когда в ней наблюдается наибольший «беспорядок». Тепловое движение приводит к беспорядку в расположении молекул и их скоростей I Кроме того, нами было выяснено, что наиболее устойчивым состояние системы будет в том случае, если энергия взаимодействия между молекулами минимальна (см. § 29.5). Таким образом, получается, что, с одной стороны, система стремится «к беспорядку» (газ), с другой — к максимальному порадку (кристалл). И все эти состояния должны объясняться вторым началом термодина МИКИ как наиболее вероятные. Попробуем разобраться. При достаточно высокой температуре вещество находится в газооб разном состоянии. Молекулы движутся хаотично, находясь на значи тельных расстояни51х друг от друга. Силами взаимодействия между мо лекулами можно пренебречь. Кинетическая энергия молекул значитель но превьппает потенциальную энергию взаимодействия и играет суще ственную роль. Система стремится к беспорядку. С понижением температуры энергия хаотического, беспорядочно го движения молекул уменьшается. Силы взаимодействия между моле 327 кулами начинают оказывать влияьше на взаимное расположение молекул. Потенциальная энергия становится сравнимой с кинетической энергией молекул. Наступает такой момент, когда силы притяжения начинают собирать молекулы в капли жидкости. данных условиях наиболее вероятным оказьгоается ближний порядок, присущий жидкостям и аморфным телам. При дальнейшем понижении температуры определяющую роль начинает играть потенциальная энергия взаимодействия молекул. Кинетическая энергия теперь может определять только колебания молекул около положения равновесия. В этих условиях молекулы образуют кристаллическую решетку, наиболее вероятным становится дальний порядок. Задание 31.3 Ответьте на вопросы Чем отличаются кристаллические тела от аморфных? Что собой представляет монокристалл? Каким телам присуща анизотропия, каким — изотропия? В какой фазе больше внутренняя энергия тела: в жидкой или твер дой? Когда кинетическая энергия молекул одного и того же тела боль ше: если тело находится в жидком состоянии или если оно находится в твердом состоянии? 6. Чем обусловлена аьшзотропия монокристаллов? 7. По какому основному внешнему признаку различают монокристаллы? 8*. Каков механизм образования ионной, ковалентной, металлической и молекулярной связи? 9*. В чем состоит различие между простой и спиральной дислока цией? 10*. К каким результатам приводит наличие дефектов в кристаллах? Самое важное разделе «Свойства газов, жидкостей и твердых тел» При достаточно высокой температуре и низком давлении свойства реального газа подчиняются законам идеального газа. При пониже НИИ температуры и увеличении давления нужно учитьгоать размеры молекул и силы взаимодействия между ними. Между молекулами существуют силы притяжения и отталкива ния электрического происхождения. На расстояниях порядка раз 328 меров молекул (в жидкостях и твердых телах) эти силы уравновешивают друг друга. Молекулы совершают колебания около положений равновесия. Газ, находящийся в термодинамическом равновесии с жидкостью, называют насьпценным паром этой жидкости. Нельзя получить жидкость при температуре выше критической. Относительная влажность ^•100%. Рй Температурный коэффициент объемного расширения Поверхностное натяжение о н о v,t Кристаллические тела характеризуются дальним порядком в рас положении частиц (атомов, молекул, ионов). Монокристаллы представляют собой тела, ограниченные плоскими гранями, им присуща анизотропия. Ближний порядок характерен для жидкостей и аморфных тел, эти тела изотропны. Второе начало термодинамики утверждает, что теплота может са мопроизвольно переходить только от горячего тела к холодному; его можно интерпретировать так: самопроизвольные процессы в изоли- рованной системе всегда протекают в направлении перехода от менее вероятного состояния в более вероятное. При высокой температуре наиболее вероятным является газообразное состояние, для которого характерно неравенство Е^, > Ер (кинетическая энергия молекул Ej^ значительно больше потенциальной энергии взаимодействия Ер). При понижении температуры Ер может стать больше Ej^ и наиболее вероятным будет либо ближний порядок (жидкость, аморфное тело), либо дальний порядок (кристалл). Принцип равнораспределения энергии: энергия распределяется поровну между степенями свободы. При низкой температуре молекула газа имеет три степени свобо ды; движение только поступательное; Су 3 2 С повышением температуры появляется вращение; Су 2 При дальнейшем повышении температуры молекулы начинают со вершать колебания; Су 7 2 329 ГЛАВА 32 ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ 5 ЖИДКОСТЕЙ 32.1 ТЕЛ Использование газов Газы широко используются в технике. Например, сжатый воздух ис пользуется в пневматическом отбойном молотке, с помопц>ю которого разрушают горные породы, асфальт и пр. Другими примерами могут служить пневматический штамповочный молот и машина для забива- ния свай. В этих машинах сжатый воздух или пар применяется для под нятия тяжелого металлического тела, которое при своем падении совершает работу (забивает сваю, штампует). Сжатый воздух или газ получают с помощью компрессоров. По принципу действия различают поршневые, ротационные и другие ком прессоры. В поршневом компрессоре (рис. 32.1) возвратно-поступатель ное движение поршню сообщается кривошипно-шатунным механиз мом от внешнего двигателя. При движении поршня вниз под действи ем атмосферного давления открывается клапан Ki и через него засасы вается воздух. При движении поршня вверх под действием сжатого воз Сжатый воздух Атмосферный воздух Рис. 32.1 330 [уха открывается клапан Ку. Сжатый воздух через трубопровод подает баллон. Для получения достаточно больших давлений воздуха (по рядка 10 МПа) применяют многоступенчатые компрессоры. Сложной технической задачей является получение технического вакуума, т. е. достаточно большого разрежения, когда количество молекул в сосуде настолько мало, что они практически не сталкиваются друг с другом. Вакуум создается в электронных лампах, в электронно-лучевых трубках телевизоров, в ускорителях элементарных частиц (электронов, протонов и др.). Для откачивания (удаления) из замкнутых сосудов газов и паров применяют вакуумные насосы. Простейшим является механический насос, принцип действия которого аналогичен принципу действия поршневого компрессора. Если правый трубопровод соединить с баллоном. из которого необходимо выкачать воздух, то в баллоне можно получить разреженный воздух. Однако степень разрежения будет невелика, по- рядка 1 Па. Для более глубокого разрежения применяют насосы других типов, позволяющие получать давление порядка 10 10 Па 32.2. Разделение изотопов Химические элементы обладают интересш>1м свойством: массы атомов одного и того же элемента могут отличаться. Разновидности одного и того же элемента, различающиеся по массе ядер, называются изотопами. Вспомним, что атом состоит из ядра, где сосредоточена основная масса, и легких электронов. В состав ядра входят положительные протоны и незаряженные частицы — нейтрошл. Массы протонов и нейтронов приблизительно одинаковы. Число протонов и электронов одинаково (атом нейтрален). Следовательно, изотопы должны отличаться друг от друга только числом нейтронов. Например, водород имеет три изотопа: в ядре обычного водорода, с которым мы хорошо знакомы, содержится один протон и ни одного нейтрона; в ядре второго изотопа водорода — дейтерия — содержится один протон и один нейтрон; в ядре третьего изотопа водорода трития содержится один протон и два нейтрона. На атомных электростанциях ядерным топливом является уран. Природный уран, состоящий из смеси трех изотопов, не может быть непосредственно использован как ядерное топливо. Необходимо выде лить изотоп урана-235, более легкий по сравнению с изотопом ура на-238 (235 — это суммарное число протонов и нейтронов в ядре.) Хи мические свойства элементов определяются числом электронов, а оно у всех изотопов одного и того же элемента одинаково. Следовательно, изотопы можно разделить только с учетом различия их масс. 331 Смесь изотопов Смесь с более легким изотопом Рис. 32.2 Теперь вспомним, что атомы газов, имеющие меньшую массу, обла дают большей скоростью и быстрее диффундируют — преодолевают пористую перегородку (см. задание 26.1, задачи 1—3). На этом принци пе основано разделение изотопов урана. Схема установки показана на рисунке 32.2. Установка состоит из достаточно большого количества оди наковых ступеней. В каждую ступень входит сосуд, разделенный пори стой перегородкой П, Уран — металл, поэтому в качестве диффундиру ющего газа используется гексафторид урана Up6 Газообразная смесь изотопов при достаточно низком давлении 0,1 Па) с помопщю насосов Я прокачивается через пористую перего родку. Легкие атомы быстрее диффундируют через перегородку, следо вательно, при переходе слева направо газ обогащается легкой компонентой. Поскольку разница в массах ядер изотопа урана-235 и изотопа урана-238 мала, то процесс повторяется несколько тысяч раз. 32.3. Сжижение Современные научные исследования в области получения деше вой ядерной энергии требуют таких низких температур, при которых вещества переходили бы в сверхпроводящее состояние. Низкие температуры обеспечивают сжиженные газы. Для сжижения газа необходимо охладить его до температуры ниже критической. Существует несколько способов сжижения газа. Один из них состоит в том, что газ при адиабатном расширении и совершении работы охлаждается. На рисунке 32.3 приведена принципиальная схема 332 Компрессор Дроссель Дьюара Рис. 32.3 установки для сжижения газа. Сжатый компрессором газ поступает во внутренний канал теплообменника. Направление сжатого газа показа но сплошными стрелками. Часть газа направляется в детандер, где газ совершает работу в пор шневом двигателе и охлаждается. Охлажденный газ из детандера посту пает во внешний канал теплообменника. Вторая часть газа, идущего по внутреннему каналу, поступает в дроссель, где сильно расширяется и. переходя из узкого отверстия в канал большого сечения, охлаждается Охлажденный газ (показан пунктирными стрелками) движется по внешнему каналу навстречу более теплому газу, движущемуся по внутреннему каналу, и охлаждает его. Так осуществляется круговой процесс при непрерывном охлаждении газа. Когда температура газа станет ниже критической, газ конденсируется и стекает в сосуд Дьюара. Рассмотренный метод был усовершенствован нашим соотечественником П.Л. Капицей, который вместо поршневого детандера применрт турбодетандер. 32м4м Применение монокристаллов Ранее мы уже отмечали, что алмаз нашел применение при заточке инструментов из сверхпрочных сплавов, используется для опорных под шипников в хронометрах высшего класса и т. д. Широко используются 333 и другие монокристаллы. Рубин (оксид алюминия AI2O3 с примесью оксида хрома) нашел применение в лазерах — приборах, с помощью которых может быть получен тонкий световой пучок большой мощности. С принципом действия лазера и его применением мы познакомимся при дальнейшем изучении физики. Кристаллы германия и кремния необходимы для изготовления полупроводниковых приборов, которые в настоящее время входят в состав деталей телевизоров, электронно вычислительных машин и многих других конструкций. В природе монокристаллы без дефектов встречаются редко, поэто му монокристаллы получают искусственным путем. Возможна кристаллизация из расплавов и растворов. При получении монокристаллов из растворов в качестве растворителей используют воду, спирты, кислоты, соли. Кристалл может выращиваться либо при испарении растворов, либо при медленном понижении температуры. В любом случае кристалл растет в условиях перенасьпценного раствора. Чем меньше скорость испарения или скорость изменения температуры, тем меньше дефектов в выращиваемом кристалле. Глава 33 33.1 ТЕПЛОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ Паровая машина Исторически первой (XVII—XVIII вв.) была изобретена поршневая паровая машина. Знакомство с ней представляет лишь определенный исторический интерес. Долгие годы паровая машина являлась основ- ным двигателем на паровозах, насосах и других установках, пока паро вую машину не заменили другими тепловыми и электрическими двига телями. 33.2. Паровая турбина Турбина — двигатель, преобразующий кинетическую энергию ра бочего тела (пара, газа, жидкости) в энергию вращательного движения рабочего органа — ротора. Тепловые турбины бывают паровые и газовые. Стационарные паровые турбины применяются для привода генераторов электрического тока на электростанции, для компрессоров и насосов. Турбины используют в качестве основных двигателей на судах. Газовые турбины нашли широкое применение в авиации. Мощности современных паровых турбин — порядка тысяч мегаватт, газовых — со- тен мегаватт. 334 V Рис. 33.1 Попытки создать паровую турбину были предприняты еще Ге-роном Александрийским (ок. I в. н.э.). Однако только в конце XIX в. были созданы промыпшенные образцы турбин К.Е П. Лавалем (Швеция) и независимо от него Ч.А. Парсонсом (Великобритания). Современные паровые турбины имеют разные конструкции, схема одной из них дана на рисунке 33.1. В корпусе К на валу В укреплен диск Д с рабочими лопатками РЛ, Укрепленный на валу диск с лопатками образует ротор (вращающуюся часть). Поступающий со скоростью v через сопло С пар давит на первый ряд рабочих лопаток и приводит в движение ротор. Часть кинетической энергии пара превращается в энер ГИЮ вращательного движения ротора. Пар, частично уменьшив скорость на первом ряду рабочих лопаток, проходит через направляющие лопат Рис. 33.2 Рис. 33.3 335 ки Я/Г, укрепленные неподвижно в корпусе. Изменив направление дви жения на направляющих лопатках, пар входит во второй ряд лопаток ротора с меньшей скоростью. Схема теплосиловой установки с условными обозначениями пока зана на рисунке 33.2. В паровом котле К вода, получив количество теп лоты Qi, превращается в пар. Пар под давлением ро поступает в турбину где, расширяясь, совершает работу. В генераторе Г механическая энергия превращается в электрическую. Пар при низком давлении Рк и малой скорости поступает в конденсатор КС, где охлаждается и конденсируется. Полученная вода насосом Я перекачивается в котел. Так завершается цикл. /? К-диаграмма рассмотренного цикла дана на рисунке 33.3. Участок АВ отражает перекачку воды насосом из конденсатора в котел. Процесс превращения воды в пар отражен участком j5C, а процесс расширения рабочего тела (пара) в турбине изображен участком CD, При конденсации давление пара остается практически постоянным, объем же уменьшается от Кз до Ki, что отражено участком DA, 33.3. Двигатель внутреннего сгорания Двигатель внутреннего сгорания (ДВС) тепловой двигатель, в котором химическая энергия сгоревшего топлива превращается в механическую энергию. Практически пригодный ДВС был впервые сконструирован во Франции Э. Ленуаром (1860 г.). Более современный ДВС был построен немецким изобретателем Н. Отто в 1876 г. ДВС получили большое применение, прежде всего в автомобилестроении, авиации и мореплавании. Это обусловлено большей компактностью, более высокой экономичностью по сравнению с паровыми двигателями. I По способу приготовления горючей смеси (смесь горючего с воздухом) различают двигатели с внешним и внутренним смесеобразованием. В ДВС с внешним смесеобразованием горючая смесь образуется вне цилиндра (в карбюраторе), а в ДВС с внутренним смесеобразованием (дизелях) топливо впрыскивается в цилиндр со сжатым воздухом. 0 Рассмотрим работу четырехтактного карбюраторного ДВС. Двигатель состоит из цилиндра Д, поршня Я, щ)ивошишю-шатунного механизма КШМ, преобразующего возвратно-поступательное движение пор- шня во вращательное движение маховика М, Горючая смесь, подготов ленная в карбюраторе, может поступать в цилиндр через впускной клапан Ки а отработанные газы могут выбрасьшаться из цилиндра через вьшускной клапан Я2. При работе ДВС вьщеляют 4 такта (рис. 33.4) -й — впуск, 2-й — сжатие, 3-й — рабочий ход, 4-й — выпуск. При впус 336 тм Рис. 33.4 поршень движется вниз, впускной клапан К\ открыт, горючая смесь засасывается в цилиндр. В течение второго такта поршень движется вверх, оба клапана закрыты, осуществляется сжатие горючей смеси, ее температура повышается до 200—400 “С. В конце сжатия смесь воспламеняется электрической искрой с помощью свечи С. При сгорании топлива температура повышается до 1600—2200 °С, а давление о 6 МПа. В течение третьего такта — рабочего хода — происходит пре образование внутренней энергии в механическую: под давлением сгоревшего топлива поршень опускается вниз. Четвертый такт — выпуск выпускной клапан открывается, поршень поднимается вверх, отработанные газы вытесняются в атмосферу. Идеализированнаяр F-диаграмма работы четырехтактного ДВС дана на рисунке 33.5. Впуск отображен участком АВ, когда горючая смесь практически при атмосферном давлении ро входит в цилиндр. Сжатие отображено участком ВС. Участок CD отражает процесс быстрого возрастания давления при сгорании топлива. Адиабатное расширение рабочего тела при рабочем ходе отражает участок DE. При открытии выпускного клапана давление отработанного газа (рабочего тела) практи- Рис. 33.5 Рис. 33.6 337 чески падает до /?о (участок ЕВ) и при выпуске (участок ВА) остается равным ро* Дизель отличается от карбюраторного двигателя. Вместо горючей смеси при впуске в цилиндр засасывается чистый воздух, что на идеализированной рК-диаграмме (рис. 33.6) отражено участком АВ, Во время сжатия (участок ВС) давление возрастает до значения Pi, при этом температура воздуха возрастает до значения, соответствующего температуре воспламенения топлива. При рабочем ходе через форсунку впрыскивается топливо, которое сразу же сгорает. Процесс сгорания топлива отражен участком CD. После окончания впрыскивания рабочее тело расширяется адиабатно (участок DE), Далее открывается выпускной клапан и отработанный газ выпускается в атмосферу. 33в4а Реактивный двигатель Тепловой реактивный двигатель создает необходимую для движения силу тяги за счет преобразования энергии сгоревшего топлива в кинетическую энергию реактивной струи рабочего тела. Большое распространение, особенно в авиации, получил турбокомпрессорный реактивный двигатель (ТРД), принципиальная схема которого приведена на рисунке 33.7. Атмосферный воздух поступает в двигатель через воздухозаборник В и сжимается турбокомпрессором 7Х Сжатый воздух подается в каме РУ сгорания КС, в которую впрыскивается топливо. Энергия, вьщелив шаяся при сгорании топлива, частично расходуется на вращение турбины Т, приводящей в движение компрессор. Основная же часть энергии расходуется на совершение ра- боты силой тяги, когда расши ряющиися газ проходит реак тивное сопло С. рК-диаграмма ТРД показа Рис. 33.7 на на рисунке 33.8. Она напо минает аналогичную диаграмму для работы дизеля. Участок Рис. 33.8 АВ отражает сжатие воздуха в воздухозаборнике и компрессоре. Процесс сгорания топлива отражен участком ВС, а работа газа при расширении в турбине и сопле отражена участком CD. 338 Распределение энергии сгоревшего топлива в тепловых двигате лях разного типа различно. 15—35% идет на совершение работы, оп ♦ ределяя КПД; 60—65% отдается рабочим телом холодильнику (окру жающей среде, конденсатору); 5% выделяется в виде теплоты в окружающую cpej Воздействие тепловых двигателей на окружающую среду На тепловых электростанциях (ТЭС) для получения механической работы за счет энергии топлива сжигают уголь, мазут, газ; в двигателях внутреннего сгорания сгорают бензин, керосин, газ. Продукты горения топлива выбрасываются в атмосферу. При эксплуатации тепловых дви- гателей атмосфера загрязняется соединениями серы и азота, углеводо родами, оксидами углерода, соединениями фтора, золой, сажей и пр. Выбросы оксидов серы и азота опасны для здоровья и всего живого. В повышенных количествах они поражают органы дыхания человека и пищеварительный тракт, увеличивают восприимчивость живого организма к инфекционным заболеваниям. Оксид углерода СО влияет на сердечно-сосудистую и нервную систему, ухудшая состояние организма. В этом состоит прямое воздействие вредных выбросов на живые организмы. Отрицательное воздействие на окружающую среду оказывается и косвенным образом. Здесь можно отметить следующие факторы: по требление большого количества кислорода для сжигания топлива и воды для охлаждения пара в конденсаторах турбин, отчуждение значитель- ных площадей земельных угодии для золоотвалов и вскрьпиных пород, горение пород в отвалах, горение факелов при нефтедобыче, загрязне- ние воды, нарушение ландшафта и т. д. Глобальной проблемой стали кислотные дожди. Другая опасность, о которой предупреждают ученые, связана с выбросами углекислого газа. По мнению многих ученых, увеличение содержания углекислого газа в атмосфере может привести к парниковому эффекту. Суть его состоит в том, что теплота, полученная Землей от Солнца и вьщеленная из глубин Земли, будет задерживаться атмос- ферой, содержащей избыток углекислого газа. Если тепловое равнове сие будет нарушено, то парниковый эффект приведет к изменению климата и погоды. В частности, высказывается мнение, что за счет таяния ледников в ближайшие десятилетия уровень Мирового океана может подняться на 25—140 см. В настоящее время человечество беспокоит еще один глобальный фактор — разрушение озоновой оболочки Земли в области Антарктики 339 и Арктики. Тонкий озоновый слой предохраняет поверхность Земли от жесткого ультрафиолетового излучения. Под воздействием этого излу чения прекращается деление и размножение клеток живых организмов, нарушается генетический код (код наследственности). Иначе говоря, разрушение озонового слоя влечет за собой, может быть, самые трагические последствия, связанные с изменением жизни на Земле. Существует множество гипотез, объясняющих причины сокращения озонового слоя. Отмечается, что отрицательное воздействие на озоновый слой оказывают газы (фреон и другие), выбрасываемые промышленными предприятиями и бытовыми приборами, а также продукты сгорания, выбрасьшаемые высотными самолетами и ракетами. Удовлетворительного решения проблемы замедления и приостанов- ления роста озоновой дыры до сих пор не найдено. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение МЕХАНИКА Приложение 1.1 Задачи на определение экстремума (см. консультацию 4) *. Поезд на участке длиной L = 3,24 км вначале движется равно мерно, затем до остановки тормозит с ускорением, модуль которого а 0,1 м/с^. При какой скорости время движеьшя поезда будет наименьшим? 2*. По наклонной плоскости равномерно вверх тянут груз. При каком угле наклона плоскости к горизонту необходимо приложить наибольшую силу по направлению наклонной плоскости? Коэффициент трения U 0,4. 3*. Под каким углом нужно тянуть веревку, чтобы равномерно везти сани по горизонтальной поверхности при минимальной силе? Коэф- фициент трения U 0,1. 4*. Мальчик бросает мяч с высоты А = 1,5 м в цель, расположенную на расстоянии i = 10 м на высоте Я= 4 м. Под каким углом нужно бросить мяч, чтобы скорость бросания была наименьшей? Чему равна эта скорость? *. Мальчик, который может плавать со скоростью, в 2 раза мень- шей скорости реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки 200 м? Приложение 1.2 Задачи, решаемые с применением суммирования (см. консультацию 4) *. Тело соскальзывает без трения по полусфере радиусом R из со стояния покоя почти от вершины (рис. П. 1). Радиус, проведенный в точ ку, от которой начинает двигаться тело, составляет с вертикалью угол 1 (0,157 рад). Определите время скольжения тела до момента отрыва о' поверхности полусферы. 341 D Рис. П.1 Рис. п.2 Рис. П.З 2*. График зависимости модуля скорости от времени (рис. П.2) пред ставляет собой полуокружность. Максимальная скорость пп=2 м/с, вре мя движения ^ = 4 с. Определите путь, пройденный телом * Определите положение центра масс полукольца радиусом R 2,5 м относительно центра окружности этого полукольца. ♦ Определите положение центра масс плоского равнобедренного треугольника высотой А = 0,6 м относительно верпшны А (рис. П.З). Определите положение центра масс плоского полукруга радиу сом Л = 2, 5 м относительно центра окружности. Приложение 1.3 Задачи с эвсспери1иентальными данными (см. консультацию 3) Следует различать два понятия: экспериментальные задачи и зада чи с экспериментальными данными. Экспериментальные задачи пре дусматривают получение данных на основе реально выполненного экс перимента, т.е. экспериментальную задачу невозможно решить без пред варительного проведения опыта. В задачах с экспериментальными дан ными предполагается определение физической величины по данным ранее проведенного опыта. В условии этих задач данные представлены в форме результатов прямых измерений, т.е. с инструментальной погрешностью или в виде нескольких значений измеренной физической величины, если ее значение определяется случайной погрешностью. Вопрос задачи предусматривает вычисление,физической величины с ее погрешностью и оценку точности измерений. При решении задач вы полняются операции по обработке экспериментальных данных, как и при вьшолнении лабораторных работ. При вычислениях на ПМК или ЭВМ результат на экране содержит 8 или 14 цифр. Однако это вовсе не означает, что в ответе нужно лять столько цифр. При записи результата нужно пользоваться правилами приближенных вычислений. В консультации 3 рассматривается два варианта вычислений при решении задач с экспериментальными 342 Рис. п.4 данными и при обработке экспериментальных данных на лаборатор ных работах: вьгаисления без строгого учета погрешностей и вьгаисле ния со строгим учетом погрешностей. Задачи Для определения начальной скорости снаряда лабораторного баллистического пистолета применялась установка, схема которой показана на рисунке П.4. Пистолет укреплялся на крышке стола так, что cHap4j стола. S момент выстрела под углом а находился на уровне Дальность полета L определяли с помош;ью измерительной ленты Цена деления угломера 2°, деления мелкие. Результаты измерений: а 50 L: 1,53 м; 1,58 м; 1,49 м; 1,65 м; 1,51 м. Чему равна начальная ско рость Un снаряда? 2. Для изучения свободного падения была применена установка, схема которой показана на рисунке П.5. Тело (цилиндр) па-дает от нулевой отметки шкалы. ЗК замыкающий контакт, РК се размыкающий контакт, кундомер. Рычаги контактов ЗК и РК устанавливаются на любой высоте Ai и А2. Тело, падая, касается рычага ЗК и замыкает цепь секундомера, который начинает отсчет времени. При касании телом рычага РЙГцепь размыкается, Рис. П.5 343 т V<-" Рис. П.6 секувдомер останавливается. Таким образом, секундомер измеряет вре мя полета тела между рычагами ЗК и РК, Измерение высоты вьшолнялось измерительной лентой. Результаты измерений: 1 15 см, 2 60 см. t. 0,169 с; 0,178 с; 0,172 с; 0,173 с; 0,170 с. Чему равно ускорение свободного падения? 3, На рисунке П.6 схематически показана лабораторная установка, позволяющая изучать законы механики. Каретка массой М может дви- гаться по дороге Д Трение скомпенсировано наклоном. При размыка НИИ ключа АГ электромагнит Э отпускает каретку и она начинает дви гаться под действием силы, действующей со стороны нити, связанной с опускающимся грузом массой т. Проходя мимо замыкающего контакта ЗК, каретка замьпсает цепь секундомера, начинается отсчет времени. При прохождении каретки мимо рычага размыкающего контакта РК цепь секундомера размыкается, отсчет времени прекращается. Таким образом, секундомер отсчитывает время движения каретки между кон тактами ЗК и РК, которые устанавливаются против определенных деле ний L\ и L2 (по желанию экспериментатора). Результаты измерений: 1 0:1 2 0,8 м: w = 0,2 кг; М 2 кг. Длина измерялась измерительной лентой. Измерение массы выпол нялось с точностью до 1 г. 11,35 с; 1,38 с; 1,32 с; 1,28 с; 1,27 с. [окажите, что ускорения, подсчитанные по второму закону Ньютона и по формулам кинематики, в пределах допустимой ошибки будут одинаковыми. 344 Рис. п.7 4. С помощью экспериментальной установки (рис. П.7) изучался второй закон Ньютона. На диске укреплены динамометр и стойка с отвесом массой т на расстоянии R от центра. С помощью электродвигателя, скорость вращения ротора которого можно менять, диск приводился во вращение. Медленно изменяя частоту вращения, добивались, чтобы отвес установился вдоль вертикальной стойки. Определялось время, за которое диск с отвесом сделает ЛГ = 20 оборотов. Результаты измерений: (2,6 ± 0,1) Н, m = (150 ±1) г, Л =14,5 см. N 20, t 1,4 с. Радиус R измерялся измери тельной лентой. Время t измерялось ручным се кундомером. Подтверждают ли полученные данные второй закон Ньютона? 5. В опыте, схематически показанном на рисунке П.8, шары массами nii и ту разлетаются под действием распрямляющейся пружины. Рис. П.8 Зкп* 345 Рис. п.9 Результаты измерений: Щ 1 0,03 кг, гп2 — 0,06 кг. : 0,21 м; 0,22 м; 0,21 м; 0,22 м; 0,20 м Li, 0,1 м; 0,12 м; 0,09 м; 0,13 м; 0,11 м. Шары взвешивались с точностью до 0,1 г, расстояния L\ и Li изме Рис. П.10 рялись измерительной лентой. Подтверждают ли полученные данные закон сохранения импульса? 6. На рисунке П.9 приведена схема ус тановки для определения скорости снаря-а баллистического пистолета. Снаряд С, вылетая из пистолета, застревает в канале баллистического маятника М, Вследствие снарядом маятник. взаимодействия со 1 на отклоняясь, поднимается с высоты высоту hi. Результаты измерений: масса снаряда т = 0,052 кг, масса маятника М= 0,045 кг. 20 см. hj. 42 см; 45 см; 39 см; 43 см; 1 40 см. Измерения высоты h выполнялись из мерительной лентой. При измерении массы не применялись гири массой менее 1 г. 346 Чему равна скорость снаряда баллистического пистолета? 7*. Для определения момента инерции блока радиусом R была применена установка, схема которой показана на рисунке П.10. Свя занные грузы массами и /И2 в исходном положении удерживаются электромагнитом Э. При размыкании цепи электромагнита груз массой т\ опускается и включается секундомер С. Когда этот груз касается контакта К, секундомер отключается. По вертикальной шкале можно определить перемещение L грузов. Результаты измерений: /И) = 350 г, ГП2 = 300 г; Z = 0,80 м; Л = 6,4 см. /: 2,60 с; 2,61 с; 2,59 с; 2,61 с; 2,60 с. Измерение массы вьшолнялось с точностью до 1 г. Радиус блока R определялся линейкой с миллиметровыми деления ми, шкала для измерений расстояния L имеет деления 2 мм. Приложение 1.4 Задания по работам практикума Отчет по лабораторной работе должен содержать номер и название работы, дату выполнения работы, перечень оборудования, расчетные формулы, чертежи и схемы экспериментальной установки, таблицы значений физических величин, результаты вычислений и графики, выводы и ответы на вопросы. Работа 1. Определение начальной скорости снаряда балли стического пистолета Оборудование, баллистический пистолет; лента измерительная; лист чистой бумаги; лист копировальной бумаги; лента липкая. Листы бумаги необходимы для фиксирования места падения снаряда. Липкой лентой крепят чистую бумагу к столу. Задание, разработайте метод и порядок выполнения лаборатор- ной работы по определению начальной скорости снаряда баллисти ческого пистолета, выполните измерения и вычисления. Используй те задачу 1 из приложения 1.3. При затруднении обратитесь к кон сультации Вопросы 1. От каких факторов зависит дальность полета снаряда? 2. Как можно собрать установку, чтобы определить скорость снаря да при угле бросания 0“? 347 Работа 2. Определение ускорения свободного падения Оборудование: штатав; циливдр с держателем; контактные датчики (замыкающий ЗК и размыкающий РК)\ секундомер; линейка; отвес; провода. л Задание: разработайте метод и порядок выполнения работы по определению ускорения свободного падения. Выполните измерения и вычисления. Используйте задачу 2 из приложения 1.3. При затрудне НИИ обратитесь к консультации 5. Вопросы 1*. Если увеличить высоту А, то как должны при этом меняться зна АА М чения относительной погрепшости измерения — и п t ? 2*. Предложите два способа определения ускорения свободного па дения g с помощью рассматриваемой установки. Работа 3 Изучение равноускоренного движения Оборудование: комплект приборов по механике для практикума; штатив; лента измерительная; секундомер; источник тока; выключатель. Задание: соберите установку так, чтобы угол наклона дороги был порядка 10—15“; разработайте метод и порядок выполнения работы, позволяюпще доказать, что движение тележки равноускоренное. Ис пользуйте задачу 3 из приложения 1.3. При затруднении обратитесь к консультации 5. Вопросы 1. Зависит ли ускорение тележки от длины дороги и уклона? 2. В каком случае будут получены более точные измерения времени при меньшей или большей массе опускающегося груза? Работа 4 Определение центростремительного ускорения Оборудование: штатив; диск с отвесом; электродвигатель со шкивом; источник тока; реостат; динамометр; секундомер; весы; гири. Задание: разработайте метод и порядок выполнения работы по определению центростремительного ускорения; выполните измерения и вьгаисления. Используйте задачу 4 из приложения 1.3. При затрудне- нии обратитесь к консультации 5. 348 *3 Вопросы 1. Что дает ббльшую ошибку: измерение силы динамометром или 4 измерение времени секундомером? 2. Что дает ббльшую ошибку: вычисление ускорения по второму за- кону Ньютона или по законам кинематики? Работа 5. Изучение закона сохранения импульса Оборудование: прибор для изучения закона сохранения импульса; штатив; два листа писчей и два листа копировальной бумаги; лента измерительная; уровень; динамометр; весы; гири; лента липкая. Задание: разработайте метод и порядок выполнения работы для подтверждения закона сохранения импульса; выполните измерения и вычисления. Используйте задачу 5 из приложения 1.3. При затруднении обратитесь к консультации 5. Вопросы 1. От каких факторов зависит скорость тел, разлетающихся под дей ствием деформированной пружины? 2. Как изменятся импульсы тел, если при распрямлении пружины одно из тел придерживать рукой на площадке? Работа 6ш Определение скорости снаряда баллистическим методом Оборудование: пистолет баллистический; маятник баллистический; лента измерительная; весы; гири. Задание: разработайте порядок выполнения работы для определе- ния скорости снаряда; выполните измерения и вычисления. Исполь зуйте задачу 6 из приложения 1.3. При затруднении обратитесь к кон сультации 5. Вопрос Почему нельзя применять закон сохранения энергии в таком вари анте: mv 2 2 (М+т)и 2 9 2 349 Приложение ТЕРМО МОЛЕ 11НАМИКА ЛЯРНАЯ ФИЗИКА * Приложение 2.1 Задачи с экспери1^ентальными данными 1. Для определения удельной теплоты плавления льда были вьшол нены следующие операции. С помощью весов и гарь, дающих погреш ность 0,1 г, определены масса алюминиевого стакана калориметра т\ 45,0 г и масса воды в калориметре mi — 180,0 г. Температура воды изме рялась термометром с ценой деления 1 “С р оказалась равной t\ = 22 Деления на шкале термометра достаточно крупные. Из сосуда с таю % щим льдом был взят и перенесен в калориметр кусочек льда. После ус ы тановления термодинамического равновесия температура воды в кало риметре оказалась равной ti = 5 “С, а масса воды = 218,0 г. Чему ока залась равной удельная теплота плавления льда? 2. Для определения молярной массы эфира был применен прибор, схема которого показана на рисунке П.11. Баллон Б плотно закрыт пробкой, через которую пропущена трубка, соединенная с манометром М. В пробке имеется отверстие, в которое может плотно вставляться микропипетка. Погрешность шкалы манометра 0,3 см, погрешность шкалы мик- ропипетки 0,005 см^, объем баллона V= (1030 ± 10) см^. После впрыски 3 вания микропипеткой эфира объемом ~ 0,100 см^ уровень жидкости в манометре поднялся на А = 24,3 см. Опыт проводился при температуре t = (20,0 ± 0,5) “С. Определите молярную массу эфира. ■, ir" Ч'- Рис. п.11 350 3. Для определения поверхностного натяжения воды была применена установка, схема которой показана на рисунке П.12. При медленном вытягивании из воды про- волочной петли показания динамометра уве личиваются. момент отрыва петли пока зания динамометра наибольшие. В связи с тем что показания динамометра при повторных измерениях оказываются разными, выполнялось несколько измерений. Погрешность шкалы динамометра 0,3 мН. Длина петли измерялась линейкой с миллиметро- выми делениями. В результате измерений было получено: длина петли i = 46 мм; сила/’: 6,7 - 10-^H;7,0 - 10"ЗН;6,5 -10 3 Н; 6,6 -10-3 Н; в,6 10 3 Н. Вычислите поверхностное натяжение воды Рис. П.12 4. Для определения поверхностного натяжения воды была приме нена пипетка с внутренним диаметром X = 1,5 мм. Измерение диаметра выполнялось с применением иглы и штангенциркуля, цена деления шкалы которого 0,1 мм. При комнатной температуре масса N = 200 капель оказалась равной т = (7,0 ± 0,4) г. Вычислите поверхностное натяжение воды. 5. Относительная влажность воздуха определялась с помощью гигрометра Л амбрехта (см. рис. 29.5). При температуре воздуха в помещении Г = 21 “С замечалось появление росы при температуре ti и ее исчезновение при температуре Ь* Погрешность измерения температуры 1 “С. Были получены следующие экспериментальные данные ti: 13 ‘’С, 14 ^С, 13 ‘’С, 12 ^С, 14 ‘’С; t2. 15 °С, 16 ‘’С, 16 ‘’С, 14 ”С, 15 “С. Вьшислите относительную влажность воздуха. 6. Для сравнения переданного количества теплоты Q и совершенной работы А была применена установка, схема которой показана на рисунке П.13. Калориметр с водой закрыт крышкой /Г, на которой укреплен механизм механического нагрева. Механизм состоит из латунного цилиндра Ц, жестко закрепленного на крьппке, и двух полуцилиндров ЯД, упруго прижимающихся к цилиндру. Полуцилиндры жестко закреплены на оси О, которую можно вращать рычагом Р, При вращении рычага полуцилиндры скользят с трением по цилиндру и нагревают воду. Температура воды может быть измерена термомет- 351 Рис. п.13 ром при опускании его в калориметр через отверстие Т в крышке. Сила, действующая на рычаг, может быть определена динамометром. при этом направления силы и плеча рычага должны быть перпенди кулярными. г Экспериментально было получено: длина плеча рычага г = (0,100 ± 0,001) м; сила, приложенная к рычагу, (3,2 ± 0,2) Н; число оборотов N 1000; изменение температуры Д/ = (5,6 ± 0,5) “С. Вторая часть опыта состояла в том, чтобы изменить внутреннюю энергию системы на то же значение за счет теплоты, вьщеляемои элек трической спиралью сопротивлением R = (10,0 ± 0,1) Ом при напряжении и = (6,9 ± 0,1) В. Сколько времени нужно пропускать ток через спираль, чтобы нагреть воду на Д/ = 5,6 “С? 7. Для определения удельной теплоты парообразования был вы полнен эксперимент, схема которого показана на рисунке П.14. Су хопарник позволяет отделить капли воды, идущие из колбы вместе с паром. При измерениях было получено: масса алюминиевого стакана ка лориметра гп\ = 0,045 кг, масса воды в калориметре mi =0,120 кг, темпе ратура воды до начала опыта ti = 16 “С, температура воды в конце опыта 60 “С, масса воды в конце опыта = 0,130 кг. Температура измерялась с погрешностью 1 “С, масса — с погрегггно стью 0,1 г. Вьгчислите удельную теплоту парообразования. 352 Рис. п.14 Приложение 2.2 Задания по работам практикума Отчет по лабораторной работе должен содержать номер и название работы, перечень оборудования, расчетные формулы, чертежи и схемы экспериментальной установки, ход работы (порядок выполнения опы тов), таблицы значений физических величин (полученных прямыми измерениями), результаты вьиислений с учетом погрешностей, графи- ки (если необходимо), ответы на вопросы. Работа 1. Определение удельной теплоты плавления льда Оборудование: калориметр; сосуд с таюш;им льдом; термометр; весы; гири; пинцет; салфетка бумажная (салфетка необходима для отделения воды от кусочков льда). Задание: разработайте порядок выполнения работы по определению удельной теплоты плавления льда. Выполните измерения и вычисле ния. Используйте задачу 1 из приложения 2.1. Вопросы 1. В каком случае была бы допущена ббльшая погрешность: при остывании воды от 22 до 14 °С или от 14 до 6 “С, если бы опыт проводился в помещении с температурой 22 ®С? Сколько процентов от полученного льдом количества теплоты составляет количество теплоты, отданное калориметром? Каков был бы результат вычисления удельной теплоты плавле ния, если бы не учитывалось количество теплоты, отданное калоримет ром? 12 Физика, 10 кл. 353 Работа 2. Определение молярной массы эфира Оборудование: баллон; жидкостный манометр; микропипетка; линей ка измерительная; штатив; исследуемая жидкость (эфир, спирт и др.); термометр; мензурка. Задание: разработайте порядок выполнения работы по определению молярной массы эфира. Вьшолните измерения и вьиисления. Используйте задачу 2 из приложения 2.1. Вопросы 1. В каком случае, при прочих равных условиях, манометр покажет ббльшее давление, если опыт проводят с двумя жидкостями разной мо лярной массы? 2. В каком случае, при прочих равных условиях, погрешность измерений будет меньше, если в опыте применить баллоны разного объема? 3. Что дает большую погрешность: измерение объема впрыскивае мой жидкости или измерение высоты столба жидкости в манометре? Работа 3. Определение поверхностного натяжения воды методом отрыва петли Оборудование: динамометр ДПН с принадлежностями; инструкция к динамометру; штатив; линейка измерительная; сосуд с водой. Задание: разработайте порядок выполнения работы по определению поверхностного нат5гжения воды методом отрыва петли. Выполните измерения и вьиисления. Используйте задачу 3 из приложения 2.1. Вопросы 1. Как зависит погрешность измерения поверхностного натяжения от длины петли? 2. От каких факторов может зависеть результат измерения поверхностного нат51жения? 3. Как должны измениться показания динамометра, если в воду кап нуть мыльный раствор? Работа 4. Определение поверхностного натяжения воды методом отрыва капель Оборудование: весы; гири; штангенциркуль; пипетка; игла; стакан (2 шт.). Задание: разработайте порядок выполнения работы по определению поверхностного натяжения воды методом отрыва капель. Выполните измерения и вычисления. Используйте задачу 4 из приложения 2.1. 354 Вопросы 1. Измерение какой величины вносит самую большую погрешность? Почему? 2. В каком случае погрешность измерения массы капли воды будет больше: при отсчете 100 или 200 капель? 3. Почему при отрыве капель нужно брать диаметр внутреннего отверстия пипетки? Работа 5. Определение относительной влажности воздуха гигрометром Ламбрехта Оборудование: гигрометр Ламбрехта; спирт (эфир); термометр; воронка; таблица зависимости давления насыщенного пара от температуры. Задание: разработайте порядок выполнения работы по определению относительной влажности воздуха. Выполните измерения и вьгаисле- ния. Используйте задачу 5 из приложения 2.1. Вопросы 1. Почему в гигрометре применяют легкоиспаряющуюся жидкость? 2. Как по таблице определить приблизительно абсолютную погрешность давления насыщенного пара, учитывая погрешность измерения температуры? . В каком случае воздух в помещении будет более влажным: при более высокой или более низкой температуре появления росы? КОНСУЛЬТАЦИИ Консультация Термины, которые надо понимать Явление отражает изменения, которые происходят с физическими телами. Примеры: северное сияние, испарение, электризация. Система — множество элементов, находящихся в определенных свя зях друг с другом. Примеры: Земля и стальной шар, взаимодействующие силами притяже ния; б) стальной шар, состоящий из взаимодействующих молекул. Состояние системы характеризует определенные связи между эле ментами системы. Изменение связей между элементами системы при водит к изменению состояния системы. Пример: шар на разных расстояниях от поверхности Земли. Процесс — последовательная смена состояний системы (отвечает на вопрос: как протекает явление?). Пример: явление — падение тела на Землю; процесс — расстояние между Землей и телом уменьшается, скорость тела увеличивается. Закон существенная и устойчивая связь между явлениями, между предметами или элементами предмета. Закон может быть выражен словами, формулой, графиком, таблицей. Пример: закон Архимеда, выраженный формулой /X Физическая величина количественная характеристика свойств физических объектов (физических тел, состояний системы, процессов). Примеры: а) характеристики свойств тел: объем, масса; б) характеристики состояния системы: температура, энергия; в) характеристики процесса: количество теплоты, работа. Модель — образ (условное или мысленное изображение, уменьшенная копия, рисунок, схема, чертеж, график), позволяющий отражать строение или свойство изучаемого объекта. Примеры: рисунок саней, глобус, материальная точка, система отсчета. 356 Как раскрыть физическую величину 1. Вьщелить свойство рассматриваемого объекта (физического тела, состояния системы, процесса). Пример: объект — стальной шар. Свойства объекта: инертность, способность двигаться, нагреваться и др. Вьщелим для иллюстрации два свойства: инертность и способность двигаться. 2. Определить количественную характеристику вьщеленного свойства, т. е. физическую величину (основную или производную величину; в механике основных величин три: длина, масса, время). Примеры: количественная характеристика инертности — масса (основная физическая величина); б) количественная характеристика движения тела — скорость (производная физическая величина). 2.1. Доя основных величин: определить эталон количественной характеристики свойства (ина че говоря, определить единицу величины). Пример: кг платиноиридиевыи цилиндр определенных разме ров. (Масса 1 дм^ воды приблизительно равна 1 кг.) В результате измерений получают числовое значение измеряемой величины. Пример: значение массы измеряют путем взвешивания на рычажных весах. 2.2. Для производных величин: установить связь характеристик рассматриваемого свойства с ранее введенными величинами. Пример: скорость равномерного движения v связана с длиной пути s и временем t, за которое пройден путь. Определить единицу величины через единицы связанных величин. Пример: 1 м/с = 1 м/1с. Определить способ измерения. Примеры: а) измерить длину, измерить время, вычислить скорость (косвенное измерение); б) применить прибор спидометр (прямое измерение). 357 Как дать определение физической величины Рассмотрим в качестве примера определение массы и давления. Масса мера инертных и гравитационных свойств физических объек тов. Можно иначе. Масса физическая величина, характеризующая инертные и грави тационные свойства физических тел, В этих определениях общим является то, что за термином самой физической величины (в нашем случае термин «масса») следует так на зываемое родовое слово (в первом случае слово «мера», во втором слово «физическая величина»), а затем рассматриваются видовые отли чия. Чем масса отличается от других физических величин? Тем, что она является характеристикой инертных свойств тел. Для измерения массы мы пользовались рычажными весами. При взвешивании на весах мы вьшолняли прямые измерения с помощью мер. В нашем случае мерами являются гири, с массами которых сравнивалась масса тела. Рассмотрим еще один пример. Давление — физическая величина, равная отношению модуля силы F, действующей перпендикулярно поверхности, к площади S этой поверхнос- ти: р F S Пример: если брусок весом 160 Н и площадью опоры 0,04 м^ лежит на горизонтальном столе, то он оказывает на стол давление р 160 о, 04 Па, или 4000 Па. Как понимать, что давление тела равно 4000 Па? Это означает, что при таком давлении на каждый квадратный метр должна действовать сила, равная 4000 Н, т. е. давление численно равно силе, действующей на поверхность единичной площади. Определяя отношение одной величины (F) к другой {S), мы тем са мым находим число, показывающее, сколько единиц первой величины приходится на единицу второй величины (р т V плотность числен но равна массе, приходящейся на единицу объема; v S t скорость чис ленно равна расстоянию, которое тело проходит за единицу времени). Для определения единицы производной физической величины ис пользуют формулу, положенную в основу определения самой физичес 358 кой величины. Родовым словом в этом случае является термин физической величины, а видовое отличие дается через единицы физических величин, входящих в формулу определения физической величины. Например, давление определяется формулой F , единица дав ления — паскаль (Па): 1 Па = 1 Н : 1 м^. Один паскаль — это давление, которое производит сила в 1 Н, действующая на поверхность площадью 1 м^ перпендикулярно этой поверхности. Что надо уметь ♦ . Охарактеризовать механику как физическую теорию по плану явления, объясняемые механикой; основные понятия механики; опытное обоснование законов механики; основные применения механики; границы применимости законов механики. Охарактеризовать модель по плану: объект моделирования, содержание модели; вид модели (словесная, графическая, схематическая); ♦ признаки и свойства, которые моделируются; * теория, в которой работает модель; ♦ щсторшства и недостатки модели; ♦ связь между понятиями в модели; ♦ пределы применимости модели. Модели: материальная точка, система отсчета. 3. Охарактеризовать закон по плану: формулировка закона; математическая запись закона (формула, график, таблица); опыты, подтверждающие справедливость закона; практическое применение закона; границы применимости закона. Законы: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, *за-кон сохранения момента импульса, законы Ньютона, закон всемирного тяготения, закон Гука, уравнения кинематики, законы гармонических колебаний. 4. Охарактеризовать физическую величину по плану: выделение свойства рассматриваемого объекта (физического тела, состояния системы, процесса), которое характеризует физическая величина; определение физической величины и ее единицы; формулы связи данной физической величины с другими величинами; 359 способы измерения физической величины. Физические величины: перемещение, координата, путь, скорость, ускорение, масса, сила, вес, импульс тела, коэффициент трения, работа. энергия, мощность, частота, амплитуда, период, длина вольты, ^ момент импульса, момент инерции. 5. Раскрыть понятие по плану: объекты и связи, которые характеризуются данным понятием; определение понятия, вьщеление существенных признаков; связь с другими понятиями; ♦ *область применения понятия. Понятия: относительность механического движения, система отсче та, поступательное движение, равноускоренное движение, свободное падение, невесомость, движение тела по окружности, продольные и поперечные волны. 6. Пользоваться приборами: знать назначение прибора; по внепшему виду и инструкции определять основные технические характеристики прибора: * спланировать и осуществить опыт с прибором; обработать результаты наблюдений и измерений. Приборы: линейка, штангенциркуль, микрометр, измерительный цилиндр, секундомер, весы, динамометр, барометр, манометр, звуковой генератор. 7. Применять знания к решению физических задач: выполнить анализ физической ситуации по условию задачи; выбрать рациональный способ решения задачи и осуществить поиск закономерностей; реализовать выбранный способ решения задачи (арифметический, алгебраический, геометрический, графический, логический, компьютерный) ; * ВЫПОЛНИТЬ исследование ответа. Консультация 2 Общие замечания к решению задач Многие законы физики, как правило, имеют ограниченную область применимости. Так, законы Ньютона, являющиеся основой классической механики, неприменимы к телам, скорости движения которых сравнимы со скоростью света. Они не срабатывают также и при описании поведения микрообъектов — отдельных атомов, молекул, элементарных частиц. Исключением в этом смысле являются законы сохранения, играющие в физике совершегао особую роль. Они являются универсаль- 360 ными, т.е. применимыми для объектов любой природы, и на современном уровне знаний абсолютно точны. Из всех законов сохранения чаще других приходится встречаться с законом сохранения энергии. Это связано и с многообразием форм энергии. Различают механическую (кинетическую и потенциальную), внут- реннюю, электрическую и другие формы. В механике кинетическая энергия Ef^ то 2 2 , потенциальная энергия Еп = mgh, Е кх 2 Р 2 , полная + Е р const. энергия Е Если на замкнутую систему, кроме сил тяготения и упругости, дей ствуют еще какие-либо другие cpuu>i, работа которых не может быть пред ставлена приращением потенциальной энергии, то работа этих сил равна изменению механической энергии системы, т.е. А Ей где Е. к\ + £, р\ начальная, Ео к2 р2 конечная механическая энер ГИЯ системы. Например, при падении стального шара в воздухе мы пренебрегаем работой, совершаемой силами сопротивления воздуха. Если шар пада- ет с высоты Я, то Е\ = mgH, а для любой точки на высоте h 2 mgh + + то 2 2 , Е 1 El, т.е. Е= const. Но если учитывать работу силы сопротив ления воздуха при падении шара для настольного тенниса с большой высоты, то следует записать: mgh + то 2 2 mgH, где Ео не равно Е 1 Решение многих задач механики значительно облегчается исполь зованием закона сохранения энергии. Особенно эффективным являет ся его использование в тех случаях, когда действующие силы не посто ЯННЫ, а движение происходит по криволинейным траекториям. Следует обратить внимание на то, что при решении задач с приме нением закона сохранения энергии в рассматриваемой физической системе необходимо выделить по крайней мере два состояния. Второй закон сохранения, рассмотренный нами, — это закон сохранения импульса. При решении задач мы будем преимущественно рассматривать взаимодействие двух тел. В этом случае закон сохране- ния импульса для изолированной системы запишется так: Решение задач сводится в первую очередь к умению записать (в об щем виде) импульсы тел до и после взаимодействия. Сумма проекций 361 импульсов тел изолированной системы на любую ось сохраняется не изменной, т. е.: Щ^\х + ЩЩх + AW2W2X- Остается правильно записать значения проекций с их знаками. Импульс системы сохраняется лишь для изолированной системы, когда сумма внешних сил равна нулю. Однако закон сохранения им пульса можно применять и в случае, когда система не изолирована, но сумма проекций внешних сил на какое-то направление равна нулю, т.е. проекция импульса системы на это направление будет постоянной. Например, в полете на тело действует сила тяжести, но вдоль гори зонтального направления она не действует и сумма проекций импуль сов тел на это направление будет постоянной, если пренебречь силами трения. Многие задачи предусматривают движение одного тела. Но это не значит, что рассматриваемое тело не взаимодействует с другими телами (иначе о силах вообще не было бы речи). При решении задач динамики нужно выяснить, какие силы дей- ствуют на тело со стороны других тел: сила тяжести, сила трения и др. Силы реакции — это силы нормального давления, силы упругости натяжения нитей, тросов. Обычно в задачах нить (трос, цепь) считается нерастяжимой и невесомой. В задачах по динамике существенным является умение применять законы Ньютона: та или А/? = /'А/, где 1 2 * Если рассматривается движение системы, то уравнения движения записываются для каждого тела системы. Задача будет решена, если чис ло независимых уравнений равно числу неизвестных. Если уравнений движения недостаточно, то нужно записывать еще и кинематические условия, которые выражают соотношения между ускорениями тел сис темы, обусловленными связями. В задачу иногда вводят дополнительные условия и ограничения упрощаюпще ее, т.е. предполагают, что дополнительными воздеистви ями можно пренебречь, например пренебрегают несущественными, второстепенными связями и взаимодействиями. Этот вопрос решается при анализе условия задачи. Таким образом, рассматривается некоторая идеализированная система. Например, считают тело материальной точ- кой или считают тело абсолютно твердым. Иногда пренебрегают изме нением той или иной физической величины или предполагают, что из 362 менение ее мало. Например, считают, что ускорение свободного паде ния постоянно и не изменяется при движении тела. Задача решена правильно только в том случае, если получен ее вер ный общий или числовой ответ. Многие задачи кинематики выглядят так: известны положение и скорость тела (материальной точки) в какой то момент времени, известен характер его движения, надо найти поло жение и скорость этого тела в некоторьш другой момент времени. Каков смысл слов: «известны положение и скорость тела в какой-то момент времени»? Эти слова означают, что, во-первых, выбраны тело отсчета и система координат, связанная с этим телом, во-вторых, выбрано начало отсчета времени, т.е. выбрана система отсчета. А это важнейший элемент описания любых физических явлений, своеобразный экран, на котором они разворачиваются. И в-третьих, эти слова означают, что в выбранной системе в начальный момент времени (/ заданы положение тела с его начальными координатами Хл, Уо, Zo и век тор начальной скорости с его проекциями Вьысним смысл слов «известен характер движения». Изменение положения тела задается вектором перемещения s , проекции которого на координатные оси находятся как разности текущих и начальных ко- ординат: Sr X Xq, Sy Уо1 s z Z Zq. Движение математически описано полностью, если известно правило, по которому можно наши перемещение в любой момент времени, или, что то же самое, вычислить координаты x,y,zB любой момент времени. Из большого разнообразия движений можно вьщелить простейшие: прямолинейное равномерное движение, описываемое уравнениями S vt (v const), или X = Xq + ut, и прямолинейное равнопеременное вижение, описываемое уравнениями: S v.t + at 2 V Vq + at, ИЛИХ = Хо + VQrt + aj 2 2 j V X vqx + cij, если векторы начальной скорое ти Vq и ускорения а направлены вдоль оси ОХ. Что означают, наконец, слова: «найти положение и скорость тела в некоторый (конечный момент времени)»? Если этот момент указан явно. то уравнения для перемещения и скорости (или другие) позволяют лег ко наити конечные координаты и скорость тела. Часто, однако, этот (конечный) момент времени не указан, и его следует находить, используя какие-либо дополнительные условия. Так, 363 если речь идет о встрече двух тел, то его находят, приравнивая коорди наты тел в момент встречи. На примере решения одной задачи попытаемся найти общие поло жения, которые применимы к решению любой задачи. Задача Пункты А, В, С расположены друг за другом на одном прямом шос се, причем АВ = 35 км. От пункта В в направлении на пункт Сравномер но движется автомобиль со скоростью 54 км/ч. Через полчаса вдогонку ему от пункта А движется мотоцикл, скорость которого 90 км/ч. На ка ком расстоянии от пункта В мотоцикл догонит автомобиль? Решение Первый этап В задаче рассматривается движение двух тел, которые можно при нять за материальные точки, так как размеры тел малы по сравнению с расстояниями, на которые они перемещаются. Обозначим АВ = L,V\VL V2 модули скоростей автомобиля и мотоцикла, т — время движения автомобиля до выхода мотоцикла. Произведем краткую запись условия задачи ^2 Т 54 км/ч 90 км/ч 35 км 0,5 ч Движения обоих тел считаем равномерными прямолинейными. Вьшолним рисунок, на котором покажем положение автомобиля (В) и мотоцикла, а также их скорости в момент отправления мотоцикла из пункта А, В точке D мотоцикл догонит автомобиль (рис. К2.1). Второй этап Пусть время движения мотоцикла было t, тогда время движения ав томобиля / + т. За время движения t мотоцикл пройдет путь ^2 Автомобиль за время / + т пройдет путь s\ = Vi(t + т). Но ^2 V2 t L + S\ Таким образом, получим три уравнения с тремя неизвестными S\, S2, t S2 V2t,Sx = Vx(t+ T), S2 L + Si. CE V 2 о Рис. K2.1 364 Т]ретий этап Решив эту систему уравнений относительно получим и I (L+V2'1) V 2 V (1) 1 На этом этапе, т.е. после решения задачи в общем виде, целесооб разно проверить результат по единицам физических велотин. Слева о равенства физическая величина s выражается в метрах, следовательно и справа от знака равенства единицы физических величин должны пос ле сокращений дать единицу метр. Проверим: м/с • (м Н- с • м/с) м. м/с Это позволяет сделать заключение, что при записи конечной фор мулы скорее всего ошибки нет. Подставив числовые значения Vi,V2^L, т в уравнение (1), получим s\ = 120 км. Четвертый этап Оценим правдоподобность ответа. Это не 20 м и не 11 000 км следовательно, ответ правдоподобен. Исследование ответа можно вы полнить в разных вариантах. Например, можно решить задачу РУ гим способом или взять какие-то предельные случаи, в частности можно приравнять время к нулю. Пусть t Это значит, что авто мобиль и мотоцикл начали двигаться одновременно и двигались вре мя t. Тогда: S2 V2 ^2 S\ + L, откуда s 1 ViL V 2 и 1 Но это же можно получить, подставив в уравнение (1) значерше т Если, например, v\ то на основании (1) получим = 0, т.е. авто мобиль все время будет в точке В, где его и встретит мотоциклист. Решая задачу, мы вроде бы обошлись без системы отсчета. Однако это не совсем так. Расстояния мы отмеряли по отношению к точке А, направление движения рассматривали вдоль направления скоростей. Таким образом, мы использовали систему отсчета в неявном виде. При решении задачи о движении автомобиля и мотоцикла мы вы делили 4 этапа, которыми можно руководствоваться при решении лю бой задачи. 365 Этапы решения задачи Осмысливание условия задачи На этом этапе выполняется краткая запись условия, выясняется, что дано и что требуется определить, каковы условия взаимодействия тел. Вьщеляются существенные признаки и свойства, выясняется, чем мож- но пренебречь (например, пренебречь силами сопротивления воздуха. считать тело материальной точкой и др.). Составление плана решения задачи На этом этапе необходимо выяснить, между какими понятиями (яв лениями, процессами, физическими величинами и пр.) существуют свя зи (логические, графические, алгебраические, табличные); какие зако ны связывают вьщеленные физические величины; как составить непро тиворечивые уравнения; какие дополнительные условия можно исполь зовать. В рассмотренной нами задаче были найдены уравнения движения автомобиля и мотоцикла Vi(t + т) и Vj t, а также дополнитель ное условие sy +1. Осуществление плана В процессе реализации этого этапа получают ответ на требование задачи, т.е. решают уравнения. При необходимости выполняют физи ческий опыт, дают графическое решение или логическое заключение. В случае необходимости выполняют обработку данных условия задачи (перевод единиц физических величин в СИ, введение недостающих таб личных данных, определение значения искомой величины). Исследование ответа По результатам решения задачи вьысняют правдоподобность ответа, оценивают, в каких пределах и как могут меняться физические величины, ведут поиск других способов решения. На всех этапах осуществляется контроль за каждой операцией. Возможны лишние записи, последовательное достраивание чертежа или вычерчивание нового. Возможен неоднократный переход от последую щего этапа к предыдущему и наоборот. Консультация 3 Измерения Измерение операция, посредством которой определяется отноше ние измеряемой величины к другой однородной величине, принятой за еди ницу, В результате измерений находится значение физической величи ны. 366 Рассмотрим, как выполнять измерения (случай 1). На рисунке КЗ. 1 показано измерение длины бруска, истинная длина которого X неизвестна. Допустим, первое измерение длины бруска выполнено деревянной линейкой {ДЛ). Длина бруска оказалась несколь- ко больше 7 единиц. Для страховки (большей надежности) было полнено измерение пластмассовой линейкой (Ш7). При этом длина бруска оказалась несколько меньше 7 единиц. Как же записать результат измерений: = 7,1 рши Х2 = 6,9 единицы? Видимо, можно было бы взять стальную линейку рши любую другую и получить иной результат. Этот пример говорит о том, что при измерениях возникают отклонения измеренного значенрш х от истинного X, Разность Х—х называют абсолютной погрешностью. Разумеется, истинное значение X неизвестно, поэтому и абсолютную погрешность вычислить нельзя. Но можно указать границу, за которую не выходит абсолютная погрешность. Например, если в нашем случае выбрать границу 0,5 единицы, то результат измерений можно записать так: для деревяююй линейки х\ = 7,0 ± 0,5, для пластмассовой линейки Х2 = 7,0 ± 0,5. Величину Ах > — X I называют границей абсолютной погрешности (часто просто абсолютной погрешностью). Абсолютные погрешности некоторых мер и приборов приведены в таблице К3.1. Для измерения длины бруска бьша применена линейка, которая яв ляется мерой (в отличие от прибора). При измерении мерами происхо дит непосредственное сравнение измеряемой величины с мерой. Кме рам относятся гири, измерительные цилиндры и др. Измерение длины бруска было выполнено непосредственно одним инструментом, по показаниям которого бьшо записано значение физической величины (длины). Такие измерения называют прямыми. В на- шем случае выполнялось прямое измерение длины мерой. I I I 10 пл Рис. К3.1 367 Погре юсти мер и приборов Таблица КЗ. 1 Мера, прибор Нормальное значение, предел измерения Линейка измерительная Лента измерительная Цилиндр измерительный Гири 4-го класса Штангенциркуль Микрометр 300...350 мм 1500 мм 1000 мл 100 г Абсолютная погрепшость 150 мм 25 мм ±1 мм ±5 мм ±1 мл Приблизительно ±0,04 Хн, где номинальное значение ±0,05 мм ±0,004 мм Прямые измерения можно выполнять также измерительными при борами (случай 2). На рисунке КЗ.2 схематически показан спидометр прибор для измерения скорости движущегося транспорта. Между коле сами транспорта (поезд, автомобиль и др.) и электрическим генерато ром устанавливается механическая связь, что на рисунке показано пунктиром. Число оборотов колеса транспорта прямо пропорционально скорости. В свою очередь, напряжение на гальванометре прямо про порционально числу оборотов генератора. Это позволяет сделать при бор, у которого стрелка отклоняется на угол, прямо пропорциональный скорости движения, т.е. сделать спидометр. Измерение скорости спи дометром будет прямым, но в отличие от случая 1 (измерение длины бруска) измерение вьшолняется не мерой, а прибором. Таким образом, прямые измерения могут выполняться с помощью мер или приборов (случаи 1 и 2). Скорость транспорта можно определить и другими способами. Рас полагая секундомером, наблюдатель, находящийся внутри транспорта (рис. КЗ.З), может измерить время движения между двумя столбами (слу Рис. К3.2 368 Рис. КЗ.З чай 3). Зная расстояние между столбами и время движения между ними, легко подсчитать скорость. Такое измерение называют косвенным, так как для определения искомой величины потребовалось применить формулу. Значения физических величин, входящих в формулу, могут быть получены прямыми измерениями или частично заданы. Скорость транспорта, например вагона, может определить наблюдатель, расположенный вне его (рис. К3.4, случай 4). Возможен такой вариант: наблюдатель пускает секундомер, когда мимо него проходит передний край вагона, и останавливает, когда с ним поравняется конец вагона. Зная длину вагона и время перемещения вдоль этого участка. можно наити скорость. Рассмотренные случаи определения скорости разными методами для одного и того же транспорта дадут разные результаты, аналогично тому, как это было и при прямых измерениях разными инструментами. Следовательно, и для косвенных измерений необходимо решать вопрос об улучшении результатов измерений. Но как? Напрашивается вывод: выполнять измерения разными способами. На рисунке КЗ.З,а схематично изображено бросание тела под углом а к горизонту (случай 5). Предположим, что стрельба выполняется из винтовки, жестко закрепленной под углом а. При этом имеется возможность отмечать точки падения пули и выполнять прямые измерения дальности полета. Пусть выполнено выстрелов. В плане (вид сверху) можно получить картину, показанную на рисунке КЗ.5,^. Вроде бы на Рис. К3.4 369 чальная скорость пуль одинакова, одинаков угол, а точки падения распределяются по некоторой области. В этом случае находят среднее значение физической величины. Если обозначить дальность полета пули при каждом выстреле Xt, Х2,..., Хм, то среднее значение х ср Xj + Xj + Xj N Абсолютную погрешность можно подсчитать по формуле Ах X —X • max mm 2 Результат следует записать так: х = Хср ± Ахилих = X ± Ах. Разделим область, ограничивающую точки падения, на равные полосы и подсчитаем число падений Ni, приходящихся на каждую по лосу. Затем на оси ОХ отметим точки, совпадающие с границами полос. а вдоль оси ординат построим прямоугольники, площади которых прямо пропорциональны А}, тогда получим рисунок КЗ.5,в. Если бы сделать вновь N выстрелов, скорее всего (наиболее вероятно) в среднюю полосу опять попало бы большинство следов, во все остальные полосы не быть. меньше, а в крайние попадании могло и I Хер • •• #1^ 1 • 1 JjO _т1 > 1 ш и jl 1 1 |з_ X X а в г Рис. К3.5 370 Если полосы сделать очень узкими и вьшолнить большое число вы стрелов, то можно построить и большее число прямоугольников. Вы чертив линию, огибаюш;ую вершины прямоугольников, можно полу чить рисунок КЗ.5,г. Вершина^4 полученной кривой характеризует сред нее значение дальности полета пули. Такую кривую можно получить те оретически, опираясь на знания высшей математики, и вьщелить две особые точки jS и С. В интервал (полосу) между точками 5 и С попадает большинство значений результатов измерений. Для характеристики этого интервала вводится особая величина а (сигма) — среднее квадратичное отклонение. Оказывается, если граница абсолютной погрешности Ах = а, то при повторных измерениях (в нашем случае при повторных выстрелах и измерениях дальности полета) приблизительно в 70 случаях из 100 результаты будут укладываться в интервал ВС (что составляет 70%). Тогда X = Хер ± а. Если взять интервал таким, что Ах = 2а, то приблизительно 95% значений измеренной величины будут укладьшаться в этот интервал. А если взять Ах = За, то практически все результаты измерений окажутся в выбранном интервале. При выполнении лабораторных работ мы будем брать значение Ах 2а. Практика и теория показывают, что с увеличением числа измере ний iV значение а уменьшается. А это означает, что для повьппения точ ности измерений необходимо увеличивать их число. Классификация измерений и погрешностей Измерения бывают прямые (случаи 1, 2) и косвенные (случаи 3, 4). Прямые измерения могут выполняться с помощью мер (случай 1) и приборов (случай 2). В процессе измерений возможны инструментальные погрешности, погрешности метода, случайные погрешности. Инструментальные погрешности обусловлены несовершенством мер и приборов (случаи 1, 2). Погрешности метода зависят от метода измерений (случаи 2, 3, 4). Случайные погрешности зависят от причин, которые учесть невозможно (случай 5: порыв ветра, отличия в массах пули или пороха и пр.). При измерениях возможны систематические ошибки и промахи. Систематические ошибки возникают от ряда факторов: влияние электрического или магнитного поля на прибор, неправильное расположение прибора или его стрелки и пр. Систематические ошибки можно 371 учесть или устранить, например установить корректором стрелку при бора на нуль, устранить влияние электрического поля и пр. Промахи — это грубые ошибки, допущенные при измерениях. Ре зультаты таких измерений обьмно значительно отличаются от значе ния искомой величины. Результаты промахов отбрасывают. Невозможность изготовления точных мер и приборов При измерении длины бруска разными линейками была сделана попытка подобрать линейку, которая дала бы наилучший результат. Сто ИТ ли это делать? Может быть, следовало сразу взять «точный» измери тельный инструмент? Оказьюается, точных измерительных инструментов (мер и приборов) не существует. В качестве примера обратимся к эталону массы 1 кг, хранящемуся во Франции. Аналогичные эталоны изготовлены и существуют в метрологических центрах других государств. Чтобы эталоны были совершенно одинаковыми, в них должно быть одинаковое число атомов, чего практически добиться невозможно. Таким образом, даже эталоны отличаются по своим параметрам. По эталонам изготовляют рабочие инструменты, которые сделаны проще и дают ббльшие погрешности, чем эталонные инструменты. Погрешности мер и приборов могут зависеть от разных причин. Например, результаты измерений длины могут зависеть от температуры. Допустим, что нанесение шкалы на стальную линейку выполняли при температуре О ®С, а измерение длины бруска (2 м) выполня- . Тогда в результате измерений данной ли- ли при температуре 20 нейкой должны получить 1,995 м. Это обусловлено тем, что при на гревании длина стальной линейки увеличивается, а следовательно, увеличиваются расстояния между нанесенными штрихами на шкале линеики. Относительная погрешность Допустим, что при измерении двух физических величин получены следующие значения: ^ = 2,5 ± 0,05, В = 0,025 ± 0,001. Спрашивается, какая из этих величин измерена с большей точностью? Можно заме тить, что граница абсолютной погрешности АА = 0,05 больше АВ в 50 раз. 0,001 Однако из этого не следует, что второе измерение выполнено с боль шей точностью. Характеристикой точности измерений является отно Ах сительная погрешность X , которая показывает, какую долю (или сколько процентов) составляет граница абсолютной погрешности от измеренной величины. В нашем случае: 372 ^A 0,05:2,5 0,02, В 0,001:0,025 0,04 Теперь легко сравнить: в первом случае граница абсолютной погреш ности составляет 0,02, или 2%, от значения искомой величины, а во вто 0,04, или 4%. Следовательно, первое измерение вьшолнено с боль ром шей точностью. Чем меньше относительная погрешность, тем точнее измерение. Класс точности мер и приборов Инструментальные погрешности обусловлены несовершенством технологий изготовления мер и приборов. Очевидно, чем меньшую относительную погрешность дает прибор, тем труднее его изготовить. Однако далеко не все приборы должны обладать высокой точностью. Например, при взвешивании в магазине фруктов не нужна точность до долей грамма. Поскольку меры и приборы служат разным целям, они должны отличаться классом точности, характеризующим степень точности измерений. Класс точности выражается числом, равным относительной погрешности в процентах от максимального значения шкалы прибора. Существуют приборы следующих классов точности: 0,002; 0,005; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. В школьной практике часто применяют приборы класса точности 4,0. Для определения границы абсолютной погрешности по классу точ ности прибора 4,0 достаточно найти 4% от максимального значения шкалы прибора. Например, шкала лабораторного амперметра рассчитана на 2 А, его класс точности 4,0, следовательно: А/ 2 0,04 А = 0,08 А 0,1 А. Таким образом, самой конструкцией прибора предусмотрена воз можность получения ошибки 0,1 А. Прямые измерения 1. Прямые измерения, результаты которых определяются только инструментальной погрешностью. Если значение искомой величины при повторных измерениях не меняется, то выполняют следующие операции: 1.1. По классу точности или таблице определяют границу абсолютной погрешности А/4 (инструментальную погрешность). При отсутствии 373 того или другого в качестве АА берут цену; деления (при малых делени ях) или цены деле1шя прибора. 1.2. Если стрелка прибора устанавливается на штрихе деления, то записывают это значение А. Если стрелка расположена между штрихами, то замечают штрих, к которому ближе стрелка, и записывают значение А^ определяемое этим штрихом. 1.3. Значение измеренной величины х записьшают в виде: X ± АА. Например: х = (1,75 ± 0,01) мм. 2. Прямые измерения, результаты которых определяются случайной погрешностью. Если значение искомой величины при повторных измерениях меняется, то вьшолняют следующие операции: 2.1. По пункту 1.1 определяют границу абсолютной погрешности АА (инструментальную погрешность). 2.2. Вьшолняют не менее пяти измерений по пункту 1.2 (5 значений записьшают, промахи отбрасывают). 2.3. Находят среднее значение искомой величины по формуле: + А2 + ^4з + А^ + А^ 5 , или А 1А 5 9 (1) где /= 1, 2, 3,4, 5. 2.4. Находят абсолютную (случайную) погоешность по формуле АВ А —А ^тах ^min 2 2.5*. Для курса по выбору предлагается более строгий вариант. Под считьшают границу абсолютной погрешности за счет случайных погреш ностей по формуле: АВ 2 5 м* аЛ . (2) 2.6.* Если АА1ЛАВ сравнимы, то в качестве абсолютной погрешнос ти берут Ах 7а4^"+А^. (3) Иначе одной из величин пренебрегают (если одна величина в 4 раза и более больше другой). 374 2.7. Абсолютную погрешность Ах округляют до одной значащей циф ры, а искомую величину х — до разряда абсолютной погрешности Значение измеренной величины записывают в виде: X X ± Ах. В случае применения персональных ЭВМ или ПМК вычисления по пунктам 2.3—2.6 выполняются по определенным программам. Косвенные измерения 1. Записывают формулу для вычисления измеряемой величины F(x, у,...), где X, у,... — аргументы, т.е. физические величины, полученные при прямых измерениях. По расчетной формуле, в которую подставляют средние значения аргументов, определяют искомую величину. В результате оставляют столько значащих цифр, сколько предусмотрено правилами вычислений без строгого учета погрешностей (см с. 377). 2*. Сравнивают относительные погрешности аргументов Ах Ау X У Пренебрегают погрешностями тех величин, относительная погрешность которых в 4 раза и более больше относительных погрешностей других аргументов. 3*. Подсчитывают абсолютную погрешность искомой величины по формуле: AF yj + AFy +... , (4) где F(x Ах) (5) характеризует долю, которую вносит в абсолютную погрешность искомой величины погрешность первой измеренной величины. В формуле (5) среднее значение функции, F(x Ах) наибольшее (или наи меньшее) значение функции, зависящее только от х. Следовательно, разность (5) определяет границу абсолютной похрешности в зависимости от одного аргумента. Аналогично по формуле (5) определяют АЛ,.... 4.* Абсолютную погрешность определяют до одной значащей циф ры, а искомую величину — до разряда абсолютной погрешности. За писывают ответ: F =F ± AF . AF Находят относительную погрешность 375 в случае применения ЭВМ или ПМК вычисления по пунктам 1 и 3 можно вьшолнить по определенной программе. Построение графиков Если работой предусмотрено построение графика, то получают 10 значений искомой величины без погрешностей. Данные заносят в таблицу, которую используют для выбора масштаба и построения то чек. График проводят так, чтобы число точек по разные стороны от плавной щ)ивой было одинаковым. Пример. Построить график зависимости л: от ^ по данным таблицы К3.2. Таблица КЗ. 2 t 0 1 2 3 1 4 1 5 6 7 8 X 0 0,1 1,5 1,7 2 2,5 2,3 2,4 2,3 Трафик представлен на рисунке КЗ.6. Вычисления без строгого учета погрешностей В процессе вьшолнения лабораторных работ значения физических величин, полученных в результате измерений, выражаются приближенными числами. При решении задач также приходится оперировать приближенными числами. В записи приближенного числа значапщми цифрами являются все цифры, юроме нулей, стояпщх перед первой слева отличной от нуля цифрой. Примеры: 0,0307 3 зн. ц 3,200 4 зн. ц. 70,50 4 зн. ц. 5700 ? В последнем случае нули могут быть значащими, а могут быть и не значащими. Запись числа в стандартной форме устраняет этот недоста 376 ток. Запишем те же числа в стандартной форме: 3,07 • 10 2 3,200 7,050 • 10 5,70 > 1Q3 3 зн. ц. Правила вычислений без строгого учета погрешностей . При сложении и вычитании приближенных чисел в результате оставляют столько десятичных знаков, сколько имеет приближенное данное с наименьшим числом десятичных знаков. Примеры: 75,384 + 0,27 = 75,65; 24 0,075 24; 1,373 + 0,21 1,58 2. При умножении и делении в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их содержится в данном с наименьшим числом значащих цифр. Примеры: 75,64 • 2,7 = 2,0 ♦ 102; 6,4:7,51 10 3 8,5 • 10^ 3. При возведении приближенного числа в квадрат или куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет данное число. Пример: 2,32^ 5,38. , При выполнении последовательного ряда действий над приближенными числами следует в промежуточных действиях сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. При округлении окончательного результата эта запасная цифра отбрасывается. 5. Правило округления. Чтобы округлить число до iVзначащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие правее iV-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом если первая слева из отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу. Округление результатов при вычислениях на ПМК осуществляют с учетом приведенных правил. Можно принять, что абсолютная погреш ность составляет единицу младшего разряда. Рассмотрим на конкретном примере оформление решения задачи с экспериментальными данными или результатов лабораторной работы. Задача. Определение коэффициента трения по рисунку 10.14 mh ML 377 Оформление решения зада чи Результаты измерений: М т (0,251 ±0,001) кг, (0,100 ± 0,0005) кг. дается схема установки Lv = 0,605 м, h\ = 0,405 м Li = = 0,58 м, hi = 0,38 м. = 0,62 м. Аз = 0,41 м. Z/4 — = 0,595 м, А4 = = 0,395 м. ^5 = = 0,63 м. Аз = = 0,42 м. 1. Вычисления без строгого учета погрешностей: о, 605 + о, 58 + 0,62 + 0,595 + 0,63 ср М 0,606 м, AI 0,63 0,58 2 м 0,03 м Результат: L = (0,61 ± 0,03) м 0,405 + 0,38 + 0,41 + 0,395 + 0,42 ср 5 м 0,402 м. АЛ 0,42 0,38 2 м 0,02 м Результат: А (0,40 ± 0,02) м. Коэффициент трения 0,26. В результате оставляют две значащие цифры. Последняя цифра (6) считается сомнительной. 2*. Вычисления со строгим учетом погрешностей ср 0,606 м. AI 2 5 0.606 0,605)4(0,606 0,58) 2 + . + (0,606 0,63) 2 м, AI ср 0,02 м. Результат: L = (0,61 ± 0,02) м. 0,402 м. ДА 2 J(0,402 - 0,405)^ + (0,402 - 0,38)4... + (0,402 0,42) 2 М, ДА 0,012 м. Результат: А = (0,402 ± 0,012) м. Измерительная лента дает погрешность АЛ = 0,005 м. Сравнение инстоументальной погрешности АЛ со случайной AL и ДА; АЛ ДА АЛ 378 Инструментальной погрешностью можно пренебречь Сравнение относительных погрешностей: AI L 3%, АЛ ср л 3%, Ат ср т 0,5%, Ш ср м 0,4% ср Погрешностями измерения масс т я М можно пренебречь. По формуле \1 mh Ш вьиисляют среднее значение коэффициента трения: Рср 0,261. Для вычисления абсолютной погрешности вьшолняют следующие операции. По формуле |i(A) m (л + ал) ML вычисляют наибольшее значение. обусловленное погрешностью Л. Получают 0,274. Вычисляют границу абсолютной погрешности, обусловленную по грешностью h, получают: Ли, (А) 0,274 0,261 0,013. Аналогично вычисляют: mh М (L + AL) 0,253 9 Ди, (L) 0,253 0,261 0,008. Вычисляют Ар = Jo, 013^ +0,008 2 0,015. Округляют абсолютную погрешность для одной значащей цифры и записывают ответ: ц = 0,26 + 0,02. Консультация 4 Иг Задачи на определение экстремума Физические величины в разных процессах могут меняться по разным законам. Возможно, с ростом одной величины другая достигает минимума или максимума (экстремума). Например, при бросании тела вертикально вверх с течением времени высота возрастает, достигает мак симума, а затем начинает уменьшаться; модуль же скорости, наоборот, уменьшается до нуля, а затем увеличивается. В этом случае задача решается просто, если, например, будет поставлен вопрос: через какой промежуток времени тело достигнет наибольшей высоты при начальной скорости, равной у? Ответ легко получить, зная, что при макси- 379 мальнои высоте скорость равна нулю, тогда V V gt, откуда t g . Но далеко не так просто обстоит дело в других задачах. Рассмотрим следующую задачу. Спортсмен находится в точке А на берегу реки. Ему необходимо попасть в точку В на противоположном берегу. Ширина реки s. Модули максимальных скоростей спорт смена при беге и, при плавании — м. В какой точке D спортсмен должен перейти с бега на плавание, чтобы затратить наименьшее время (рис. К4.1)? 150 M,s= 100 м, у = 7 м/с, и = 1,5 м/с. По суше спортсмен пробежал расстояние £ — х, а в воде проплыл расстояние, равное + v2 . Следовательно: t L-s + 2 2 S +Х V и (1) Задачи на определение экстремума по одному уравнению, содержа щему две неизвестные величины, в школьном курсе обьино не решаются. Суш;ествует общий подход с применением высшей математики Решая предложенную задачу аналитическим способом, получим: X US 2 2 V -и По предложенным данным х 22 м. Наша цель — научиться решать задачи на определение экстремума с применением ЭВМ, где не нужно знаний высшей математики. При ре- шении любой задачи на нахождение экстремума можно применять одну и ту же программу. В основу программы положена следующая модель. Пусть некоторая физическая величина имеет максимум на некотором интервале (на интервале значений х). Если задать доста точно большое начальное значение интервала аргумента Ах, то можно подсчитать значение функции / через Ах, 2Ах и т.д., т.е. в точках Xi, Х2 и т. д. (рис. К4.2). Вначале значения функции возрастают (в точках Л, В), но после прохождения максимума начинают уменьшаться (точка Q. Теперь можно уменьшить Ах в 2 раза и двигаться в противоположную сторону с мень 380 Рис. К4.2 шим шагом до нового уменьшения функции. Затем опять уменьшить Ах шаг в 2 раза (сделать его равным —) и двигаться вновь по первоначаль ному направлению до прохождения максимума в точке М, Такие пере мещения вблизи максимума (или минимума) выполняются до тех пор, Ах пока шаг п станет меньше заданного числа определяющего точ ность, с которой вычисляется значение х. Таким образом, значение мак симума можно наити с заданной точностью наити число, равное максимуму или близкое к нему. Функцию, имеющую минимум, можно свести к функции, имеющей максимум, путем умножения функции на минус единицу (на 1). По этому одна и та же программа применима для нахождения максимума и минимума. Если экстремум находится с применением персональной ЭВМ, то выполняются следующие операции: вводится формула, по которой определяется физическая величина, имеющая экстремум, например формула (1); вводится начальный шаг аргумента, т.е. Ах; вводится погрешность результата Е\ вводится начальное значение аргумента; осуществляется пуск программы. ЭВМ по введенной программе вычисляет экстремум, и на экран вы водится результат. Варианты работы по программе, как и сами програм мы, могут быть разными. ic Задачи, решаемые с применением суммирования При описании реактивного движения нами была рассмотрена задача о разгоне ракеты, в частности получено выражение для определения изменения скорости: 381 Av М 1 n и M-irh (2) щ где М — начальная масса ракеты, М\ — масса сгоревшего топлива (выброшенных газов), и — скорость истечения газов, п — число порций, на которое было разделено топливо, т — масса одной порции топлива. В формуле (2) вьшолняется суммирование. Непосредственные вычисления, разумеется, занимают много времени, но эти вычисления можно автоматизировать с применением ЭВМ. Более того, можно составить универсальную программу, пригодную для вычисления резуль- тата при решении многих задач. В общем случае в формуле (2) можно выражение, стоящее после знака суммирования, обозначить через Дх,), где х. — значение аргу- мента. В нашем случае im меняется от О Мл. Значит, можно считать, что аргумент меняется от О до х. Однако аргумент может меняться от Хд до х^. Тогда в общем случае искомая функция у может быть записана так: У X к X н П (3) Таким образом, если решение задачи можно свести к получению формулы (3), то задача относится к рассматриваемому типу. В этих за- [ачах у — значение искомой величины, х„ начальное значение аргу мента, Хк — конечное значение аргумента. Ах X к X н П шаг аргумен та, X/ — текущее значение аргумента, Дх,) — функция, которая отражает специфику задачи. Если задачу решают с применением персональной ЭВМ, то возмож на программа, по которой выполняются следующие операции: вводят функциюДх/), стоящую за знаком суммирования; вводят начальное значение аргумента Хц; вводят конечное значение аргумента Хк; вводят число «, на которое делится интервал значений аргумента; осуществляют пуск программы и считывают результат. ЭВМ п раз подсчитывает (в цикле, по одной и той же программе) значение Дх.), увеличивая каждый раз значение аргумента на величину Ах Ах п , затем полученную сумму умножает на п Вычисление изменения скорости ракеты по программе при п 10 дает значение Ai; = 72,7 м/с. Если считать, что масса газа выбрасьшается мгновенно, то Ai; = 74 м/с. 382 Консультация Рекомендации к работам практикума по механике К работе 1 Вариант Если пистолет укреплен на 1фышке стола так, как показано на ри сунке П.4, то дальность полета снаряда s = (vq cos a)t, где uq модуль начальной скорости снаряда, а — угол бросания, / — время полета. Время полета до наивысшей точки равно t 2 В верхней точ ке проекция скорости на вертикальное направление равна нулю. следовательно, О = vq sin а 2 . Исключая из написанных уравнений /, получим: S 2v 2 О g Sin а • cos а Если а = 45% то произведение sin а • cos а 1 2 . Тогда Vq 4^ Вариант 2 Если, применив штатив, укрепить пистолет на высоте h и выпол нять стрельбу в горизонтальном направлении, то дальность полета s Vnt • А gt 2 2 . Исключая t, получим vq s g 2h Ход работы Баллистический пистолет укрепляют либо на крышке стола (см рис. П.4), либо на штативе. Устанавливают угол бросания в первом варианте 45% во втором — 0% Делают пробный выстрел. На место naj ния снаряда кладут лист чистой бумаги и закрепляют его липкой лен-той. Сверху кладут лист копировальной бумаги. Вьшолняют не менее пяти выстрелов. Снимают копировальную бумагу и измеряют дальность полета. (Во втором варианте необходим отвес, вдоль которого измеряют высоту, от основания высоты измеряют дальность полета.) Данные измерений заносят в таблицу и вьгшсляют скорость бросания. К работе 2 Введем обозначения: А 1 расстояние от основания падаюш;его ци линдра до рычага контакта ЗК, hi — расстояние до рычага контакта РК 383 (см. рис. п.5). Падающий цилиндр пролетает расстояние hi за время 2h I g Аналогично . Секундомер измеряет промежуток времени ti. Подставив значения времени t\ и /2 и решив уравнение относи тельно ускорения, получим: 2 2 1 + Й2 Ход работы На штативе укрепляют датчики ЗК и РК. Держатель падающего ци линдра пропускают через отверстие горизонтальной планки, укреплен ной вверху штатива, и удерживают двумя пальцами (исходное положе ние цилиндра). На этом же или на другом штативе укрепляют линейку так, чтобы нулевое деление линейки оказалось на уровне основания цилиндра. Рычаги ЗК и РЛТустанавливают против выбранных делений и записывают значения 1 и А2. Собирают электрическую цепь по рисунку П.5. Из исходного поло жения пускают цилиндр, по секундомеру отсчитывают время падения цилиндра между датчиками Ь — Л. Опыт вьшолняют не менее пяти раз. Данные измерений записывают в таблицу и находят ускорение свобод ного падения. К работе 3 Вариант 1 За основу можно взять метод, предложенный в работе 2, беря разные пары значений Aj и А2. Вариант 2 Известно, что при равноускоренном движении соблюдается соотношение 5t : 5^2 • *5^3 ... = 1:3:5... при начальной скорости, равной нулю расстояния, пройденные телом за равные проме жутки времени. В работе надо выбрать эти расстояния и доказать. что показания секундомера на участках, допустим, длиной ^2 и одинаковые. Ход работы Собирают установку по рисунку П.6. Измерительную ленту натяги вают вдоль дороги, совмещая нулевое деление с передним краем карет 384 ки, находящейся в исходном состоянии. Карандашом отмечают на до роге деления 0,1 м; 0,4 м; 0,9 м. Устанавливают рьгааг ЗК против деления 0,1 м, а рычаг РК против деления 0,4 м. Пускают каретку и отсчитывают по секундомеру время движения на участке длиной si = 0,3 м (между 0,1 и 0,4 м). Опыт вьшол няют не менее пяти раз. Аналогичные операции выполняют, установив рычаги ЗК и РК про тив делений 0,4 и 0,9 м. По данньв! измерений делают вывод с учетом погрешностей. К работе 4 По второму закону Ньютона, а F т . Но ускорение, которое в рас сматриваемом случае (см. рис. П.7) является центростремительным, равно: а V 2 , где V 2nRN t 9 откуда а 2 4ГМ 2 t Речь идет об одном и том же ускорении, которое нужно определить двумя способами. Ход работы Определяют массу отвеса. Цепляют отвес за крючок динамометра и протягивают его до вертикального направления. Записывают показания динамометра. Включают электродвигатель. Регулируя реостатом силу тока, медленно меняют частоту вращения, добиваясь положения, при котором отвес устанавливается вертикально. Определяют время, за которое диск сделает 20 (30) оборотов. Подсчитывают ускорение по двум формулам. Сравнивают резуль таты и делают вывод. К работе 5 В соответствии с законом сохранения импульса должно соблюдать сяусловие ntiV. +/Я2^^2 0. Так как скорости шаров направлены гори зонтально, то их модули могут быть найде1Ш по формулам: 13 Физика, 10 кл. 385 1>1 I t . Vi t . Тогда m,L, т,1п t t Следовательно, достаточно сравнить выражения mi L\ и mo Xo- Ход работы Собирают установку по рисунку П.8. Выполняют пробный пуск шаров. На места падения шаров кладут листы чистой бумаги и закреп ляют их липкой лентой. Сверху кладут листы копировальной бумаги. Опыт с пуском шаров делают не менее пяти раз. Снимают копиро вальную бумагу, измеряют дальность полета шаров X i и Хо. Результаты заносят в таблицу. Определяют массы шаров. Вычисляют значения miXt и moXo. Делают вывод. К работе б По закону сохранения импульса, mv = (М+ т)и, где m — масса сна ряда, V — модуль скорости снаряда, М — масса баллистического маят ника, и — модуль скорости баллистического маятника после взаимо действия. По закону сохранения энергии (М +т)и^ т (Af + m)gh, где А 2 hi. Тогда и Подставляя значение и в первое уравнение, получим V Мл-т т Ход работы « Собирают установку по рисунку П.9. Выполняют выстрел. Подби рают положение линейки таким образом, чтобы при максимальном от клонении баллистический маятник почти касался линейки. Изме! I с* т высоты А2 и hi. Опыты проделывают не менее пяти раз. Данные измере ний записывают в таблицу. Определяют массу снаряда и баллистического маятника. Находят высоту А и определяют скорость снаряда. 1 386 Задание LI . 20 м/с > 36 км/ч. 2. В 2 раза. , а) 1 м/с; б) второго. . 2 м/с, 1,2 м/с. . На 4 м/с. 6.19,6 Н. 7. 80 Н, сила направлена в сторону, противоположную движению. 8. На 12 делений. . 1800 Н. 10. 200 Н. 11. При трогании с места (резком увеличении скорости) транспорта пассажиры стремятся сохранить состояние покоя, поэтому отклоняются назад. При резком торможении транспорта пассажиры стремятся со- хранить состояние движения, поэтому наклоняются вперед 12. Плотность латуни больше плотности чугуна. 13. 5400 кг. 14. /?-г = 30 000 Па, = 40 000 Па. 15. 8000 Па. 16. 20 000 Н. 17. 6000 Н. 18. 160 000 Дж, 16 000 Вт. 19. 90%. 20. 2000 Дж. 21. 1;4.22. 5; 10. 23. Спирт. 24. 5000 Па, 200 Н. 25. 64 Н. 26. В 2,5 раза. 27. Катер. 28.1,25 м/с, о, 1 м/с. 29.1 м/с. 30.480 Н. Задание 2.2 1. 6 1 . Хд = -5, -2, Ьг- л:н = -и :vh = -2, Xjf — = 4, З'к = = 6, = 4, Ук = -4, Ь\х~ = 9, Ъху- = 8. Ьъс’ = 3, Ь2у = -2. а) 40 км/ч, 60 км/ч, 35 км/ч; 40 км/ч, —60 км/ч, —35 км/ч; в) 0,20 км/ч, —5 км/ч; г) —20 км/ч. км/ч; ж) 20 км/ч, о, —25 км/ч; е) 20 км/ч, 0,25 км/ч; 5 км/ч, —25 км/ч, 0; з) 5 км/ч, 25 км/ч, 0. Задание 3.1 2. Ах 15 м. 3. Ах 15 м. а) Вначале уменьшается до 0, затем увеличивается 387 б) Расположением автомобилей: в первом случае второй автомо биль впереди, во втором — наоборот. в) Х{ > Х2- 15 м, хо2 = 10 м, у 1 = 4,0 м/с, V2 — 2,0 м/с, t = 5,0 с; Ах ^01 а) Ах равны, результат от выбора СО не зависит. б) Перенести начало в точку с координатой меньше Бесконечно много. 15 м 5* Xqi •^02 25 м, Vix Oj V2x 2 м/с, t 5,0 с а) Вычисления более простые, б) Нет. 10 м Задание 3.2 ^02 2 м/с, Uo3 *^04 5 м/с б) 7 с. в) Равенство скоростей. ^)^\х 0,75 м/с^, й2х = 0,4 м/с^, а^х =1,7 м/с^, а^х = —0,4 м/с 2 д) По углу наклона графика, е) Второе, ж) Первое, з) При йх > о увеличивается, при < 0 уменьшается H)U1x ^2х (^02)х ^2x^5 (^^04)х ^4х^* k)Xi 2 t 2 ^Ix 2 ’ "^2 (^02)х^ 4* U2x 2 5 ^4 (Уо4)г t + ^4х t 2 2 Задание 3.3 X 8 м, Vx 1 м/с. 3. X = 7,5 м, Vx 1 м/с t 2 3 4 5 6 X 9 7,5 7 7,5 9 Ух -2 -1 0 1 2 б) а в) х т)хо д)х 1 м/с^, Хп = —15 м, Уох = 4,0 м/с, t 7,5 м, Vx 1 м/с. о, Ду 1,0 м/с^, Уох = —4,0 м/с, t Зс Зс. 7,5 м, 1 м/с. 3,4 м. а) Не изменится Задание 3.4 а) а а) а а а) V а) а 2 м/с^; б) S 2 м/с^; б) V 25 м. 6 м/с м/с^; / Юс. 10 м/с; б) S 1 м/с^; б) V 100 м 4 м/с. 388 Задание 4.2 F > Ax . 2. Ak X 1 4* Ak к 0,03 3% Задание 4.4 1. У второго. 2. Fy = /’з- 3.140 Н. 4. Да. 5.2 • Н Задание 5.1 2. 0,51 м/с. 3. —0,24 м/с. 4. —0,34 м/с. 5. 0 Задание 5.2 . 1,25 м/с. 2.10^ кг. 3. 0,1 м/с. а) Масса Земли много больше массы тела, б) v в) Не изменится, во время полета пакета лодка передвинется. 4. а)т = 0,20 кг; б) L 1%; в) ALi, AL2, At\ г) Ат = 0,02 кг. Ат 10%. т 5. Первый экипаж. а) Да. б) При бросании 10-го пакета Задание 5.3 . а) Уменьшится в 6 раз; б) увеличится в 4 раза; в) увеличится в 8 раз; г) уменьшится в 4 раза. . а) Увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 3 раза а)А£ 8 Дж; б) А£= 6 Дж; в) АЕ 2 Дж При растяжении от 4 до 8 см. Кинетическая энергия пули превращается во внутреннюю энер ГИЮ пули и доски. б. V 9.V 10 м/с. l.v = 6 м/с. 8. В случае б) 30 м/с. 10. А = 240 Дж. Задание 7.1 l.h 5 м. а) Движение тела, брошенного вертикально вверх со скоростью 20 м/с. б) (uab) у 10 м/с2, (а^с) у 10 м/с^. в) Прямая линия, параллельная оси времени. a)t 2 с; 20 м. 4. у = 2,5 м/с. 5. у = 450 м/с. Задание 7.3 1. Ах 1,4 м 389 2. а) vq = 22 м/с; б) А = 8,2 м; в) / = 2,6 с; г) v 20 м/с 3. S 2100 м. Задание 8.1 3. V 8000 Н. 2. Р = 2500 Н. 60 м/с. 4. F= 12 Н, в нижней. а) Увеличится в 2 раза, б) Увеличится в 4 раза. в) Увеличится в 4 раза. г) Скорость увеличится в 2 раза, центростремительное ускорение увеличится в 4 раза. д) Уменьшится в 2 раза Задание 8.3 1. Нет, Е max 10 Н. 2. h 3R mm .3. т 0,95 с. 4. А 2Р 5. После касания нитью гвоздя шар вначале будет двигаться по ок ружности радиусом R L , затем с высоты А 5L начнет двигаться влево по параболе. Задание 9.4 . В 16 раз. . Уменьшить в 16 раз. 3. Уменьшится в 3 раза 4. Период математического маятника увеличится в >/б раз, а пери од пружинного маятника не изменится. 5.1 4 А, б. Уменьшилась. 1.Т= 9,9 с. 8. А: = 32 Н/м 9. h тс , h , h>t2 10. Частота увеличится в yfl раз. 11. Часы будут спешить. 12. Т— 0,68 с. 13. X = 0,15sin(Tc0 (в единицах СИ), х = 0,088 м 14. Г= 19,9 с. 15. V = 2,2 Гц. 16. /я = 1,6 кг. Задание 10.5 \.Х 0,7 м. 2. X 0,8 м Ъ.Х hk 3 от вершины, где L — длина медианы 390 4.5 > ^. 5. Z = 0,1 м. 6. AW = 200 кг. 7. А 9.L 13. R 9,6 Дж, Ах = 6 см. 8. F 20 м. 10. / = 3 с. 12. R 56 Н 40 м. 0,1 м. 14. v = 20 м/с. 15. 930 Н Задание 10.6 I.F 1 1080 Н, F2 = 100 Н, /’з = 1500 Н (вверх) 3 V М + т т \mg cos а + psin а 4. Центр масс останется на месте. 5. По параболе Задание 10.7 а 3,2 м/с^, S = 0,64 м. а) Не меняется, б) Уменьшается, в) и tga. Измерить угол, при котором брусок скользит равномерно Уменьшается с увеличением угла. 17 кН. а) Увеличится, б) Уменьшится ускорение. 4. Xsin а 5 + Xcosa а) От L и ц. б) 5 = X cos а. в) 2mgh 66%. а) Чем больше ц, тем меньше Т|. б) Увеличивается, в) От aw, и, а. Задание 10.8 EL F а / и а б)Х, 1 0,2 Н, когда тележка покоится; Fi = 0,19 Н, когда тележка движется. В)Х] 1 2Н, F2 1,2 Н. г) Оправдан, если т « М, нет, если т и Л/сравнимы д) Нет. Задание 10.10 а 240 Н, д = 0,17 м/с2. 1 м/с^, V — 2 м/с, 5 = 2 м, ЫЕ 2 Дж Когда закреплено тело меньшей массы б) Ускорение уменьшится. 391 в) Измерить ускорение и подсчитать g по формуле а (nil + Щ) т. т 1 г)^ 3.F 2Дж 22 кН. 4. а т М (sin а-рcos а)] М +т при движении вверх с ускорением а а)щ2<т< Ши б)т. то Af(sin а — р cos а) — вверх; Af(sin а + р cos а) — вниз. Задание II.3 1. Увеличивается. . На верхней. Могут дать равнодействующую от 2 до 10 Н , Если тянуть веревку. 5. а) Не изменится; б) увеличится в 2 раза . На дне. 7. Конус. 8. Чтобы создать момент силы, противоположный по знаку момен ту силы, обусловленному действием силы тяжести груза, а также опус тить центр масс крана. 9. Уравновесить гирю на линейке, затем воспользоваться отноше нием т 2 т 1 , где! 1 рассто5Шие от центра масс до опоры, L2 пле 40 силы тяжести, действующей на гирю 10. С головкой. 11. Fi = 23 Н, F2 12. Fi = 980 Н, F2 = 2,6 кН. 13. F^ 14. m = 30 кг. 15. F= 500 Н. 46 Н. 4кН 2 5кН Задание 12.2 1 40 кг • м^, I2 = 100 кг • м^ Задание 12. 4 1. (D 2. (О 3. р 4. р 5. р 1.F 94 рад/с, и = 38 м/с. 2,6- 1рад/с. 120 рад/с 100 рад/с 2 2 9 00 N 130 рад/с, v = 25 м/с. 290 оборотов. 2. 8,3 рад/с^. 6. а) = 2 md^; б) I2 = md^\ в) /3 = 2 md^, 71 Н. 392 8. Масса Луны равна 7,3 • 10^^ кг, радиус равен 1,7 • 10^ м, среднее расстояние до Земли 3,8 • 10^ м, период обращения вокруг оси и вокруг Земли равен 2,4 • 10^ с. а) Z] б) ^2 2,2 • 10^^ кг • м^ • рад/с; 2,8 • 10^ кг • м^ • рад/с. 9. А 22 кДж. 10. а Щ -щ /«1 + /«2 + о, 5т 11. Продолжительность суток увеличится. 12. Брусок. 13. Скорости шаров будут одинаковыми. 14. Линейные скорости шаров будут одинаковыми, угловая скорость больше у шара меньшего радиуса. 15. Шар достигнет первым, так как момент инерции шара меньше момента инерции цилиндра. Задание 13.1 1. а) Поперечные; б) продольные. 2. Энергия распределяется по поверхности большей площади, а так же переходит во внутреннюю энергию воды (нагревание воды). , Скорость, длина волны. . и = 3 м/с. 5. у = 343 м/с, S = 2,0 км. . а) 1,2, 4: б) 7,2, 4; в) 7,3, 4; г) 7,2, J. вверх, В “ вверх. вниз, D — вниз. S 10. V 450 км. 9. В воздухе X = 1,4 мм, в воде X = 5,9 мм 170 Гц. 11. Увеличится. 12. В первом, в л/2 раз. 13. I I 2 2 14. Плотность жидкости больше плотности газа 15. В 9 раз. W 2,9 10 3 Дж/м^; 6)у4 = 9,8 • 10 6 м; в) X 0,17 м; г) 1,7 • 10"^; д) в 4 раза Задание 13.2 1. В узле. 1.Х — 0,657 м. 3 4. V 340 м/с 1800 Гц. 5. Узлы сдвигались Задание 14.1 . Скорость по касательной к траектории, ускорение перпендику лярно скорости. 2. Период зависит от массы Земли и радиуса орбиты. 393 3. Расстояние от центра Земли, вращение Земли, плотность пород. 4. Разная плотность пород, близкое расположение горы. 5. а) Р= тг, б) Р> тяг — вверх, Р< тг — вниз; ь)Р< mg — вверх, Р> mg— вниз. 8. V 9.F W.L 6,5 • 10^ м/с. Схфавочные данные: масса Земли 6 • 10^^ кг, 6,7 • 10-" Н • м2/кг2, Лз = 6400 км. 8,7 10'‘Н. 10. g л = 1.7 м/с2. 3,4-10* м. 12. ilf = 2 • 10** кг. 13. Период увеличится, так как 3 2 так как i; 2 GM const; скорость уменьшится, 14. Г 5000 с. 15. Может при ускорении корабля за счет работы двигателя. Задание 14.2 1. Ai; 0,75 м/с. 2. Аи = 72,7 м/с 3. та GmM GM 2nR в} ~r ' " 7 9V- Т const. Задание 15.1 1. Со стороны поезда скорость воздушного потока относительно человека больше, следовательно, давление с этой стороны меньше. 2. Увеличивается подъемная сила при меньшей скорости самолета. сокращается длина разбега. 3. Над крьппей давление меньше за счет потока движущегося воздуха 4. Между судами давление меньше, чем с внепшей стороны, что обус ловлено относительно большей скоростью потока воды между судами 5. В 3 раза. Задание 15.2 1. V 4. V 7.11 7,9 м/с. 2. А = 25 м. 3. m = 2500 кг. 3,6 м/с. 5. F= 0,3 Н. б. i; = 0,093 м/с 0,7 Па • с. 8. / = 0,066 с. Задание 16.2 Эхолоты должны учитывать разную скорость ультразвука в пресной и соленой воде. 2. При частоте 1 МГц. 3. и = 1400 м/с Задание 18.1 [а, в первом случае. Во втором — система замкнута, но не изоли рована. 394 2. Системы замкнуты, но не изолированы. 3. Нет, сначала идет процесс теплопередачи. Да, когда температура кусков металла станет равной температуре окружающей среды. 4. Температура воды в разных точках различна, поэтому нельзя говорить о состоянии теплового равновесия, а значит, нельзя говорить и об определенной температуре воды как системы. 5. Нет, так как система не находится в состоянии теплового равновесия. 6. Количество теплоты и работа характеризуют процесс — переход энергии, изменение энергии системы. 7. В джоулях (Цж). 8. Энергия, получаемая или отдаваемая при теплопередаче 9. Внутренняя энергия может измениться при теплообмене с окружающей средой и совершении работы самой системой или над системой Задание 19.2 1. Линейный. 2. В 3 раза. 3. Сходство: линейность графиков, графики имеют общую точку пересечения при Г = О К или t = 273 ®С. Отличие: график, отражающий процесс расширения газа с ббльшим объемом, идет выше. 4. Нет. 5. Ошибка в пункте а). Задание 20.1 изотерма, 2 Площади одинаковы. изобара, 3 изохора Графикр{Т) дан на рисунке 0.1. График V{T) дан на рисунке 0.2. Участки 1 2 и 3 4 характеризуют процессы, идущие с сообще нием количества теплоты газу; участок 2 участок 1 процесс, при котором отдается количество теплоты; процесс, когда под действием давления газа поршень перемещается, следовательно, совершается работа; Рис. 0.1 Рис. 0.2 395 участок 2 процесс, аналогичный предьщущему, но работа со вершается над газом; участок 3—1 отражает процесс, когда поршень закреплен, переме ш;ение равно нулю и работа равна нулю. Задание 21.1 нет. 1. а), в) 2. При изотермическом, так как для поддержания да, б) const газу со общается Q. 3. Да. 4. В варианте по задаче 3 возможен одноразовый процесс, а в задаче повторяющийся, т.е. можно сделать машину непрерьшного действия. 5. Да. Задание 23.1 \. Состояние системы не меняется, если ее параметры р, V, Т остаются постоянными. Но в этом случае система не обменивается энергией с окружающей средой, т.е. внутренняя энергия системы не меняется Значит, внутренняя энергия является характеристикой состояния системы, определяется состоянием системы. 1.Q VI А характеризуют процесс изменения внутренней энергии. 3. Нет. 4. Да, если рассматривать только систему Земля—Луна. Но эту систему практически нельзя считать изолированной. 5.0 А + Q изохорныи, изотермический, Д17 адиабатный. A + Q изобарный, Д17 Когда система совершает работу без получения теплоты 1. При изобарном. . См. рис. 0.3. 9. См. рис. 0.4.10. См. рис. 0.5 Задание 23.2 1. См. рис. 0.6:1 — изобара, 2 — изотерма, 3 — адиабата А\ > Ai> >4з; Qi > Q2, Q3 AU^ 2 О, AUi > О, AU2 < 0. Рис. 0.3 Рис. 0.4 396 Рис. 0.6 2. Совершается работа Реп J 1 . Если бы процесс был изотерми ческим, то изотерму можно было бы изобразить пунктирной линией (рис. 0.7). Следовательно, в процессе 7—2 температура вначале возрастает, возрастает и внутренняя энергия, после чего температура уменьшается до первоначального значения, соответственно до первоначального значения уменьшается и внутренняя энергия. Вначале газ получает некоторое количество теплоты, затем отдает. Рис. 0.7 3.V 2 Ell Р2 ,V 2 1,35 дм^. Поскольку р линейно зависит от F, вве Pi ~ Р\ ем коэффициент С = т:—= const 2 1 V V\ + AF, д = Д1 + CAF. Так как р1 1 1 El т , то 7i {р 1 CAK)(Ki+AK) Ph Можно взять начальный шаг AFn = 0,1 дм^, погрешность результата 0,001. Ответ: 398 К, после округления Т = 400 К 4. Т 470 К. 5. Нет, так как р = 121,5 кПа, а/?ср = 162 кПа. 6. Qi > Q2, так как при р = const AJ7i +А\ при F = const Q2 2 Поскольку ATi = А?2, то AC/i АСА. Задание 24.1 1. При понижении температуры холодильника 397 3.22%. 4. На 6 К. 5. 5%. 6.940 К. X т ^ X о т н . с другой стороны, X Приравнивая получим искомое соотношение X т. X Т -Г Н ^ X Задание 24.2 l.Qi I CiOTi/i I количество теплоты, отданное водой при остыва НИИ до о “С; 02 cottiih количество теплоты, полученное льдом при натре вании до о °С; Q3 04 Х\тх I A,2/W2 I количество теплоты, отданное замерзающей водой; количество теплоты, переданное льду при плавлении 1) Q\ > “ весь лед расплавился, температура термодинами ческого равновесия ^ > 0 °С, t 1 2 4 Cl (mi + mj) 2) > (Qi + бз) — вся вода замерзла, f < 0 °С, Г 1 2 +Q 3 СзС/я 1 + т 2 3) Qi 4) Q2 (02 + Q4) — вода при t (61 + 63)—лед при Г С. 5) б2<б1<(б2+б4) 6) б1<б2<(б1 + 6з) t t С. с, часть льда расплавилась С, часть воды замерзла. Задана 2.1: бвд, ае, are, бд Задана 2,2: ве, аг, бд. Задана 2,3: бв, are, бд. Задана 2,4: ве, ае, гд, бд. Задана 2,5: бвд, ве, ае, гд 2 1,5 Л, F3 Зл,К 4 2 Л. 15%. 69 Дж Задание 25.2 l.d 10 10 м, то 10 26 КГ. 2. а) к т Ок в т Ов 16; б) к т Ок а т Оа 3. Масса инертные и гравитационные свойства, количество ве щества — число структурных элементов (частиц) вещества. 398 4. Водород, гелий, вода, азот, кислород 5.10^. 6.1,2 • 102^ 7. 4,3 1022 8. V т М ,v 0,071 моль. V а V 16 / 14, Va > V К К 10. Плотность уменьшается, молярная масса не изменяется. Задание 26.1 1. Скорость молекул массой /wqi больше скорости молекул массой /ио2, следовательно, молекулы из сосуда А быстрее пройдут через кана лы в сосуд В, Но через достаточно большой промежуток времени (вре мя релаксации) наступит термодинамическое равновесие, когда число молекул каждого сорта в сосудах Аи В станет приблизительно равным 2. Водород быстрее воздуха диффундирует через стенки пористого сосуда, поэтому давление в пористом сосуде возрастает. Воздух переда ет давление на воду, и через трубку Т потечет вода. Однако с течением времени давление внутри и вне ПС сравня