Учебник Физика 11 класс Пинского Кабардина

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Физика 11 класс Пинского Кабардина - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Академический школьный учебник ФИЗИКА 11 ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТСЛЬСТВО л Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Академический школьный учебник ФИЗИКА 11 1сласс Учебник для общеобразовательных учреждений и школ с углубленным изучением физики Профильный уровень Под редакцией А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 12-е издание Москва * Просвещение » 2011 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 Ф50 Серия «Академический школьный учебник» основана в 2005 году Проект «Российская академия наук, Российская академия образования, издательство «Просвещение» — российской школе» Руководители проекта: вице-президент РАН акад. В. В. Козлов, президент РАО акад. Н. Д. Никандров, генеральный директор издательства «Просвещение» чл.-корр. РАО А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад. РАО, д-р пед. наук А. А. Кузнецов, акад. РАО, д-р пед. наук М. В. Рыжаков, д-р экон. наук С. В. Сидоренко Авторы: А. Т. Глазунов, О. Ф. Кабардин, А. Н. Малинин, В. А. Орлов, А. А. Пинский На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106—5215/15 от 31.01.2007) и Российской академии образования (№ 01 — 170/5/7 от 06.07.2006). Физика. 11 класс : учеб, для общеобразоват. учреж-Ф50 дений и шк. с углубл. изучением физики: профил. уровень / [А. Т. Глазунов, О. Ф. Кабардин, А. Н. Малинин и др.]; под ред. А. А. Пинского, О. Ф. Кабар-дина; Рос. акад. наук. Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 12-е изд. — М. : Просвещение, 2011. — 416 с., [4] л. ил. : ил. — (Академический школьный учебник). — ISBN 978-5-09-025746-6. Учебник предназначен для учащихся, углубленно изучающих физику и математику в школах, технических лицеях, гимназиях, а также для подготовки к экзаменам в вузы и самообразования. УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 ISBN 978-5-09-025746-6 © Издательство «Просвещение», 2009 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2009 Все права защищены ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Глава 1 Электромагнитные колебания и физические основы электротехники § 1. Гармонические колебания Свободные и вынужденные колебания. Звук струны гитары, землетрясение, переменный ток в электрической цепи, свет Солнца — совершенно различные физические процессы. Однако их объединяет один обилий признак — периодичность изменения физических величин с течением времени. Физические процессы различной физической природы, в которых изменения физических величин периодически повторяются во времени, называются колебаниями. Система взаимодействующих тел, в которой могут возникать колебания, называется колебательной системой. Колебания, возникающие в колебательной системе под действием внутренних сил, называются свободными колебаниями. При свободных колебаниях в системе взаимодействующих тел происходит попеременное превращение энергии одного вида в энергию другого вида. Например, при колебаниях струны гитары потенциальная энергия упругой деформации струны периодически превращается в кинетическую энергию движения, затем кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругой деформации и т. д. Колебания, возникающие под действием периодически изменяющихся внешних сил, называются вынужденными колебаниями. Вынужденные колебания совершают поршень в цилиндре автомобильного двигателя, игла швейной машины. Гармонические колебания. Многие колебания, имеющие различную физическую природу, происходят по одинаковым законам. Это позволяет применять общие методы для их описания и анализа. Из большого числа различных колебаний в природе и технике особенно часто встречаются гармониче- 1* с кие колебания. Гармоническими называют колебания, совершающиеся по закону косинуса или синуса: X = cos (со^ + фо) или X = х^ sin (o)f •+• фо), (1.1) где X — величина, испытывающая колебания; t — время; со — циклическая частота. Максимальное значение х^ величины, изменяющейся по гармоническому закону, называют амплитудой колебаний. Аргумент косинуса или синуса при гармонических колебаниях называют фазой колебаний ф: ф = cot -I- Фо. (1.2) Фазу колебаний фо в начальный момент времени называют начальной фазой. Начальная фаза определяет значение величины X в начальный момент времени t = 0. Значения функции косинуса или синуса при изменении аргумента функции на 2п повторяются, поэтому при гармонических колебаниях значения величины х повторяются при изменении фазы колебаний на Дф = 2тс: х^ cos cot = х„, cos (cot + 2тс). Интервал времени Т, равный 2к Т = (1.3) называется периодом колебаний. Изменение фазы на 2тг происходит через период колебаний Т\ х^ cos со (t ч- Г) = cos (cot -ь 2л), значение функции через период колебаний повторяется: х^ cos cot = х^ cos со (t ч- Т). Физическая величина V, обратная периоду колебаний Т и равная числу колебаний в 1 с, называется частотой колебаний: '' = 7’ СО = 27W. (1.4) (1.5) Из выражения (1.5) следует, что циклическая частота со гармонических колебаний равна числу колебаний, происходящих за 2л с. Единица частоты в Международной системе соответствует одному колебанию в секунду и называется герц (Гц): 1 Гц = :^= 1 с-'. 1 С Используя выражения (1.3) и (1.5), уравнение (1.1) можно выразить через частоту v или период колебаний Т: X = х„ cos I ^t ч-фо 1 = х^ cos (2лvt ч- Фо). (1.6) Способы представления гармонических колебаний. Наряду с аналитическим описанием гармонических колебаний широко используют и другие способы их представления. Первый способ — графический. Обычно график колебаний функции X — f {t) задается в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывают время t, а по оси ординат — значение изменяющейся величины х. Для гармонических колебаний этот график — синусоида или косинусоида (рис. 1.1). Графический способ дает наглядное представление о колебательном процессе. Эквивалентом графика колебательного процесса является его осциллограмма. Для получения осциллограммы колебательного процесса физической величины X эта величина преобразуется в электрическое напряжение и. При этом преобразователь должен обладать свойством линейности, т. е. напряжение и на его выходе должно быть пропорциональным физической величине X. Выход преобразователя соединяется с входом усилителя вертикального отклонения луча электронного осциллографа, и усиленное переменное напряжение и подается на пластины вертикального отклонения электронного луча. Пилообразное напряжение развертки, подаваемое на пластины горизонтального отклонения, вызывает периодическое равномерное движение электронного луча вдоль горизонтальной оси и быстрое его возвращение в исходное положение. Отклонение луча вдоль вертикальной оси в любой момент времени пропорционально значению напряжения и на выходе преобразователя и, следовательно, пропорционально мгновенному значению физической величины х. Таким образом электронный луч вычерчивает на экране осциллографа осциллограмму, эквивалентную графику функции х = f (t). Например, можно с помощью микрофона преобразовать колебания давления воздуха при прохождении звуковых волн в колебания электрического напряжения. При подключении микрофона к входу вертикального отклонения луча осциллографа и включении развертки наблюдается осциллограмма звуковых колебаний. Второй способ представления колебательного процесса — спектральный. По оси абсцисс отсчитывают частоту гармонических колебаний, а по оси ординат — амплитуду колебаний. Гармонический колебательный процесс с частотой cDq и амплитудой х^ представлен в этом случае вертикальным отрезком прямой длиной д:^, проведенным от точки с координатой cOq на оси абсцисс (рис. 1.2). Третий способ описания гармонических колебаний — метод векторных диаграмм. Этот способ заключается в ис- Рис. 1.2 пользовании следующего формального приема. Для нахождения в любой момент времени t значения величины х, изменяющейся по гармоническому закону: X = cos (coi + фо), (1-7) выбирают на плоскости произвольно направленную координатную ось ОХ, по которой отсчитывают величину х. Из начала координат под углом фд к оси ОХ проводят вектор х^, модуль которого равен амплитуде гармонического колебания х„,. Если представить, что вектор вращается вокруг начала координат в плоскости XOY с постоянной угловой скоростью со против часовой стрелки, то угол ф между вращающимся вектором и осью ОХ в любой момент времени можно определить из выражения: Ф = со^ -ь Фо. (1-8) Проекция X вращающегося вектора х^ на ось ОХ (рис. 1.3) будет изменяться со временем по закону (1.7). Следовательно, значение величины х, изменяющейся по гармоническому закону, можно найти в любой момент времени, определив проекцию вектора х^ на ось ОХ. Ш Вопросы. 1. Какие колебания называются гармоническими колебаниями? 2. Что называется периодом колебаний? 3. Что называется частотой колебаний? 4. Что называется амплитудой колебаний? 5. Что называется фазой колебаний? 6. Что такое начальная фаза колебаний? 7. Какова связь циклической частоты с периодом колебаний? 8. Как описывается гармонический колебательный процесс спектральным методом? 9. Опишите способ представления гармонических колебаний с помощью векторной диаграммы. ■ Задачи для самостоятельного решения 1.1. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ с периодом 0,2 с и амплитудой 0,1 м. Начальная фаза колебаний к/2. Представьте гармонические колебания этой точки аналитически, графически, спектральным методом и с помощью векторной диаграммы. 1.2. Изменения физической величины х происходят по закону: х = 5 cos (2f + r/4) (cm). Представьте этот процесс графически, спектральным методом и с помощью векторной диаграммы. 1.3. На рисунке 1.4 представлен график гармонических колебаний. Запищите уравнение этих гармонических колебаний. 1.4. На рисунке 1.5 представлен спектр сложного колебания. Считая начальные фазы составляющих колебаний равными нулю, запишите уравнения гармонических колебаний, из которых состоит это сложное колебание. § 2. Сложение колебаний Сложение гармонических колебаний. Очень часто в одном и том же месте одновременно существует несколько причин, вызывающих колебания. Например, звуковые волны от нескольких независимых источников звука могут одновременно вызывать колебания барабанной перепонки уха человека, электромагнитные волны от множества радио- и телепередатчиков одновременно действуют на электроны в антенне приемника и вызывают их колебания. Какие же колебания возникают при нескольких одновременных независимых воздействиях, каждое из которых в отдельности вызывает гармонические колебания? Во многих случаях оказывается, что если физическая величина х при одном воздействии изменяется по закону: X = Xj cos ((Ojt -h (pi), (2.1) a при другом изменяется по закону: X = Х2 cos (cog^ + Ф2)» (2.2) то результирующий эффект двух воздействий одновременно представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности: X = Xj cos (coj^ -i- (pi) -I- X2 cos (CO2 t + Фг)- (2.3) Колебания, возникающие при одновременном действии двух сил, можно рассматривать как результат сложения независимых колебаний. Принцип суперпозиции. Сложение колебаний, при котором результирующий эффект представляет собой сумму эф- фектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, удовлетворяет принципу суперпозиции. Системы, в которых сложение колебаний происходит в соответствии с принципом суперпозиции, называются линейными системами. Согласно принципу суперпозиции происходит сложение механических колебаний, если при деформациях не нарушается закон Гука, сложение электрических колебаний в цепях из резисторов, катушек и конденсаторов, сложение электромагнитных колебаний в вегцестве под действием электромагнитных волн, если свойства веш;ества не изменяются при прохождении этих волн. Сложение гармонических колебаний можно наблюдать с помощью электронного осциллографа. На рисунке 1.6 представлены осциллограммы двух гармонических колебаний с частотами cOj и щ ((Oj = Зщ), полученные при подключении /у9\МАМ^ Рис. 1.6 Рис. 1.7 двух независимых генераторов переменного напряжения к двум входам двухлучевого осциллографа. На рисунке 1.7 показана осциллограмма, полученная при одновременном подключении тех же генераторов к одному входу осциллографа. Колебания, описываемые уравнением (2.3), не являются гармоническими колебаниями. Это наглядно демонстрирует осциллограмма, изображенная на рисунке 1.7. Следовательно, при сложении гармонических колебаний могут возникать негармонические колебания. Однако в некоторых частных случаях результатом сложения гармонических колебаний могут быть гармонические колебания. Например, при сложении двух гармонических колебаний с одинаковой частотой со и одинаковой начальной фазой колебаний сро возникают гармонические колебания с той же частотой со и амплитудой, равной сумме амплитуд слагаемых колебаний: X = Xi cos (cot + СРо) + Х2 cos (со^ + СРо) = = (jCi -I- Х2) cos (со^ -I- (ро). (2.4) Результат сложения гармонических колебаний с одинаковой частотой, но с различными значениями начальной фазы можно найти с помощью метода векторных диаграмм. Н Вопросы. 1. Какие колебания возникают при сложении нескольких гармонических колебаний? 2. В чем заключается принцип суперпозиции колебаний? 8 Рз ш Примеры решения задач Задача 1. Звуковая волна от первого источника звука с частотой 5000 Гц вызывает около уха человека гармонические колебания давления воздуха с амплитудой 400 Па, волна от второго источника звука с такой же частотой вызывает гармонические колебания давления воздуха с амплитудой 300 Па. Какова амплитуда колебаний давления воздуха при сложении колебаний, вызываемых этими двумя источниками звука, если в точке регистрации колебания давления от второго источника звука опережают по фазе колебания давления от первого источника звука на л/2? Решение. При сложении двух гармонических колебаний с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз возникают гармонические колебания с той же частотой. Для определения амплитуды результирующих гармонических колебаний построим векторную диаграмму (рис. 1.8). Так как колебания давления от второго источника звука опережают по фазе колебания давления от первого источника звука на п/2, вектор Р2 повернут на п/2 относительно вектора Pi в направлении против часовой стрелки. Вектор р^, являющийся геометрической суммой векторов Р2 и pj, определяет амплитуду результирующих колебаний. Модуль вектора рд равен: />з = -JpI + pf . Рз = V(400)2+(300)2 ^ 500 (Па). Задача 2. Три независимых источника звука возбуждают в одной точке А гармонические звуковые колебания с одинаковой частотой (0, одинаковой амплитудой колебаний давления р^ и сдвигом по фазе на 2л/3 и 4л/3. Определите результат сложения этих колебаний. Решение. Согласно принципу суперпозиции в любой момент времени давление р, создаваемое в точке А звуковыми волнами от трех источников звука, равно алгебраической сумме давлений от каждого источника: р = Pi -I- Р2 + Рз = = р^ cos (at -f р^ cos ((o^ + 2л/3) + р^ cos (cat + 4л/3). Выполнив тригонометрические преобразования, получаем р = р„, cos (at + р^ cos (at (-1/2) - р^ sin (at л/з/2 ч-+ cos o)f (-1/2) - sin (at (- Vs/2) = 0. Мы получили, что результатом сложения трех гармонических колебаний с одинаковой частотой О), одинаковой амплитудой колебаний и сдвигом по фазе на 2д/3 и 4л/3 является отсутствие колебаний. Такой же результат легко получить с использованием метода векторных диаграмм. Этот результат имеет очень важное практическое применение при осуществлении передачи электроэнергии переменным током на большие расстояния. § 3*. Негармонические колебания Негармонические колебания. Многие встречающиеся в природе колебательные процессы существенно отличаются от гармонических колебаний. Примером колебаний такого рода могут служить периодические изменения напряжения между различными участками человеческого тела, возникающие в результате работы сердца. График зависимости вырабатываемого сердечной мышцей переменного напряжения от времени называют электрокардиограммой (рис. 1.9). Изучение формы электрокардиограммы очень часто помогает врачу определить характер сердечного заболевания. Рис. 1.9 Рис. 1.10 Произнося перед подключенным к электронному осциллографу микрофоном различные звуки, можно убедиться, что разным звукам соответствуют разные осциллограммы, существенно отличающиеся от синусоиды. Например, на рисунке 1.10 представлена осциллограмма, полученная при произнесении перед микрофоном звука «а». Полученные таким же способом осциллограммы звуков от различных музыкальных инструментов оказываются отличными от синусоиды и особыми у каждого инструмента. Эти опыты показывают, что звуковые колебания в окружающем мире в большинстве своем являются негармоническими колебаниями. На основании того факта, что при сложении гармонических колебаний могут возникать некоторые виды негармонических колебаний, можно предположить, что любое негармоническое колебание может быть представлено как результат сложения конечного (или бесконечного) числа гармонических колебаний. Правильность этого предположения была математически подтверждена французским ученым Жаном Фурье в XIX в. Фурье доказал, что любая периодическая функция /(Ос циклической частотой (о может быть представлена как сумма гармонических функций вида /(0=Ао+ cos (co„f+ ф„). (3.1) где 0)i = со, СО2 = 2со, ..., со„ = псо. Разложение периодической негармонической функции на гармонические составляющие [см. срормулу (3.1)] называется Здесь и далее: параграфы, отмеченные звездочкой, рекомендуются для дополнительного чтения. 10 разложением в ряд Фурье, Первое слагаемое ряда Aq — постоянная составляющая функции f (^), не зависящая от времени. Второе слагаемое Aj cos (coj^ + ф^) представляет собой первую гармоническую составляющую разложения с частотой (Oi, равной частоте (о функции f (t). Третье слагаемое с частотой, в два раза большей частоты функции f (t), называется второй гармоникой и т. д. Если для анализа периодической функции f (f) были бы одинаково важны все члены бесконечного тригонометрического ряда, то с помощью гармонического анализа было бы невозможно произвести никаких практических расчетов. Но в действительности амплитуда гармоник ряда Фурье с увеличением номера п гармоники имеет тенденцию к убыванию, и поэтому для практических целей оказывается возможным использовать конечное число гармоник. Применение гармонического анализа к исследованию акустических явлений позволило понять особенности восприятия человеческой речи. Физическими характеристиками звуковых колебаний являются частота, амплитуда и фаза колебаний. Человеческое ухо воспринимает только частоту и амплитуду колебаний. Но если это так, то каким образом мы узнаем различные звуки, например «а», «о», «у», в речи разных людей? Ведь один человек говорит басом, другой — тенором, третий — сопрано, и частота звуковых колебаний при произнесении одного и того же звука оказывается у них различной. Можно пропеть на одной и той же гласной «а» целую октаву, изменяя частоту звуковых колебаний вдвое, и все же мы узнаем, что это «а», но не «о» или «у». Не изменяется наше восприятие и при изменении амплитуды колебаний. И громко, и тихо произнесенное «а» мы уверенно отличаем от «о» или «у». Объяснение этой замечательной особенности человеческой речи дают результаты анализа спектра звуковых колебаний, возникающих при произнесении звуков. Оказалось, что при произнесении человеком, например, звука «а» на высоте тона «до» первой октавы возникают как колебания с частотой 261,6 Гц, так и звуковые колебания более высокой частоты. Пример частотного спектра звука «а», произнесенного на высоте тона «до» первой октавы, представлен на рисунке 1.11. При изменении высоты тона произнесения звука «а» в спектре звуковых колебаний происходят изменения: падает до нуля амплитуда гармоники с частотой 261,6 Гц и появляется гармоника, соответствующая новому тону, но несколько других гармоник при этом остаются неизменными. Эта устойчивая группа гармоник и опре- Рис. 1.11 11 деляет характер восприятия данного звука человеком. Следовательно, по сигналам, поступающим от слухового аппарата, мозг человека способен определять не только частоту и амплитуду звуковых колебаний, но и спектральный состав сложных звуковых колебаний. По спектральному составу сложных звуковых колебаний человек узнает голоса знакомых людей, различает звуки одного тона, полученные с помощью различных музыкальных инструментов. Н Вопросы. 1. в чем заключается сущность метода гармонического анализа периодических функций? 2. Какие физические характеристики звуковых колебаний определяют восприятие звука человеком? 3. Какой способ описания сложного колебания дает о нем более полную информацию — способ задания графика колебаний или способ задания спектра его гармонических составляющих? ■ Пример решения задачи Задача. Три гармонических колебания, совершающиеся по одной прямой, заданы уравнениями д?! = sin cot, ЛГ2 = 0,32sin Scot, дсз = 0,21jc^ sin Scot. Выполните графическое сложение этих колебаний. Решение. Изобразим на графике (рис. 1.12, а, б, в) гармонические колебания, заданные условием задачи. Результирую- Хз = 0,21х^ sin Scot P^A/VW-r в) Рис. 1.12 а) t Рис. 1.13 12 щее колебание найдем путем сложения в каждый момент времени значений ^з» исходя из принципа суперпозиции. На рисунке 1.13 произведено последовательное суммирование составляющих колебаний. Как видно из этого рисунка, результирующее колебание не является гармоническим. § 4. Свободные электромагнитные колебания Колебательный контур. Свободные колебания могут возникать не только в механических системах, но и в электрических цепях. Для наблюдения свободных электромагнитных колебаний можно выполнить следующий опыт. Заряжают электрический конденсатор, отключают его обкладки от источника постоянного тока и соединяют их через гальванометр и резистор. При замыкании цепи стрелка гальванометра на короткое время отклонится в одну сторону, а затем возвратится к нулевому делению шкалы (рис. 1.14). Во время протекания тока в цепи происходит превращение энергии электрического поля конденсатора во внутреннюю энергию вещества резистора, нагреваемого электрическим током. Никаких колебаний в этом случае не наблюдается. Заменяют резистор проволочной катушкой с железным сердечником. Конденсатор и катушка при соединении в замкнутую электрическую цепь образуют электрический колебательный контур. Условное обозначение электрического колебательного контура представлено на рисунке 1.15. Свободные электромагнитные колебания. При подключении выводов заряженного конденсатора колебательного контура к выводам катушки стрелка гальванометра сначала отклоняется в одну сторону, затем возвращается к нулевому делению шкалы, проходит его и отклоняется в противоположную сторону и далее совершает несколько колебаний (рис. 1.16). Рис. 1.14 Рис. 1.15 13 Рис. 1.16 Колебания стрелки гальванометра доказывают, что в электрическом колебательном контуре возникает переменный электрический ток: происходят свободные колебания силы тока в цепи и электрического заряда на обкладках конденсатора. Рассмотрим механизм возникновения этих колебаний. Превращения энергии в колебательном контуре. При подключении обкладок заряженного конденсатора к концам катушки возникает электрический ток. Если потери энергии на нагревание провода катушки малы, то энергия электрического поля в процессе разрядки конденсатора в основном превращается в энергию магнитного поля катушки. В тот момент времени, когда конденсатор полностью разряжается и энергия электрического поля становится равной нулю, сила электрического тока в катушке и энергия магнитного поля достигают максимальных значений. После разрядки конденсатора и ис- Un. I А I'll! ? t f f I 14 чезновения внешнего электрического поля ЭДС самоиндукции катушки создает индукционный ток в контуре, и этот ток заряжает конденсатор до первоначального значения напряжения; знаки зарядов на обкладках конденсатора оказываются при этом противоположными первоначальным. Таким образом энергия магнитного поля тока в катушке преврагцается в энергию электрического поля заряженного конденсатора. Затем вновь происходит разряд конденсатора через катушку, и далее процесс периодически повторяется (рис. 1.17). Периодически повторяющиеся изменения силы тока в колебательном контуре, сопровождающиеся превращениями энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки, затем энергии магнитного поля в энергию электрического поля и так далее без потребления энергии от внешних источников, называются свободными электромагнитными колебаниями. При отсутствии потерь на нагревание вещества и излучение электромагнитных волн максимальное значение энергии электрического поля конденсатора контура равно максимальному значению энергии магнитного поля катушки: = (4.1) где — максимальное значение напряжения на конденсаторе; — максимальное значение силы тока в катушке. По закону сохранения энергии сумма мгновенных значений энергии электрического и магнитного полей в колебательном контуре в любой момент времени остается неизменной: CU'i Li'i = (4.2) Си^ 2 2 где и — мгновенное значение напряжения на конденсаторе; i — мгновенное значение силы электрического тока в катушке. Затухающие электрические колебания. В реальном электрическом контуре происходит нагревание проводников и энергия электрического и магнитного полей постепенно превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов вещества. Поэтому амплитуды колебаний силы электрического тока в катушке и напряжения на конденсаторе со временем уменьшаются, и через некоторое время после начала свободные колебания в контуре прекращаются. Такие свободные электромагнитные колебания в контуре называются затухающими колебаниями. Для изучения процесса свободных затухающих электромагнитных колебаний в электрическом колебательном контуре можно воспользоваться электронно-лучевым осциллографом. Для этого вход усилителя вертикального Рис. 1.18 15 отклонения луча электронно-лучевого осциллографа соединяют с обкладками конденсатора колебательного контура и включают генератор развертки. При замыкании ключа, соединяющего заряженный конденсатор с катушкой, на экране осциллографа наблюдается осциллограмма, представленная на рисунке 1.18. Н Вопросы. 1. Что называется электрическим колебательным контуром? 2. Как происходят свободные электромагнитные колебания в контуре? 3. Почему затухают свободные колебания в электрическом контуре? ■ Примеры решения задач Задача 1. Два конденсатора CI и С2, имеющие одинаковую электроемкость (Ci = C2 = C), и катушка инд>тстивностью L соединены так, как показано на рисунке 1.19. В начальный момент времени ключ разомкнут, конденсатор С1 заряжен до разности потенциалов и, а конденсатор С2 не заряжен и сила электрического тока в катушке равна нулю. Определите максимальное значение силы тока в катушке после замыкания цепи. Решение. После замыкания ключа в первый момент времени происходит перераспределение заряда между конденсаторами. Это связано с тем, что цепь С1—С2 можно считать колебательным контуром с очень малой индуктивностью и, следовательно, с большой собственной частотой. Через очень короткий интервал времени колебания в этом контуре затухнут и на конденсаторах установится одинаковое напряжение. Так как электроемкости и С2 конденсаторов одинаковы, при одинаковом напряжении будут одинаковыми и их заряды: си q^ = q.^ = q = —. Энергия электрического поля двух заряженных конденсаторов равна: С1 =i= C2zb Рис. 1.19 W = 2^ = 2С Ct/2 Это вдвое меньше энергии электрического поля первоначально заряженного конденсатора. Половина энергии электрического поля в результате нагревания проводов превращается во внутреннюю энергию. После перераспределения заряда между конденсаторами возникают электромагнитные колебания в контуре из двух параллельно соединенных конденсаторов и катушки. Максимальную силу тока в катушке можно найти, используя закон сохранения энергии: 1^=иЖ. си^ Задача 2. Конденсатор электроемкостью Cj первоначально заряжен до напряжения (/, а конденсатор электроемкостью С2 не заряжен (рис. 1.20). Каким будет максимальное значение силы электриче- 16 ского тока в катушке индуктивностью L после замыкания ключа? Решение. В любой момент времени сумма энергий электрических полей двух конденсаторов С1 и С2 и магнитного поля катушки равна начальной энергии электрического поля конденсатора С1: _ -г ^ С1 9i я1 L/2 —-I- —^ -1-2С-\ 2С2 —+ -^. (1) С2 Рис. 1.20 При максимальном значении силы тока в контуре ЭДС индукции в катушке равна нулю, так как ЭДС индукции пропорциональна производной от силы тока, а производная функции в точке максимума равна нулю. Следовательно, равно нулю и напряжение на двух последовательно включенных конденсаторах С1 и С2: ^ С1 + ^С2 — 91 92 Cl С2 (2) На основании закона сохранения электрического заряда выполняется равенство q^+q2 = q = C^U. (3) Решая систему уравнений (2) и (3), находим значения зарядов на конденсаторах в момент максимального значения силы тока в катушке: CjC2 Ч1 = С? С, +Со и, (?2 = Cl Со и. (4) Подставив найденные значения зарядов и gg ® уравнение (1), получим максимальное значение силы тока в катушке: 1^=и i С1С2 L(Ci+C2) Задача 3. В электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L и конденсатора электроемкостью С, происходят затухающие колебания. За интервал времени от f j до <2 амплитуда колебаний силы тока в цепи уменьшилась от значения до значения /2- Какое количество теплоты выделилось за это время на резисторе, если затухание связано только с потерями энергии на нагревание резистора? Решение. Искомое количество теплоты Q равно разности энергий магнитного и электрического полей в контуре в моменты времени и fg- Q — — Е2 — cui, LII (1) При максимальном значении силы тока в цепи ЭДС индукции в катушке равна нулю, так как ЭДС индукции пропорциональна производной от силы тока, а производная функции в точке максимума равна нулю. Следовательно, равно нулю и напря- 2 — А. А. Пинский 11 кл. 17 жение на двух последовательно включенных конденсаторе и резисторе: Ui. = ^„. = 0, U^ + Uc + U„ = 0, Uc = -U^, |(7с,1 = М. (2) \Ucs\ = l2R- (3) Подставляя значения \ Ud\ и \ U(j2\ из уравнений (2) и (3) в уравнение (1), получаем Q = 1/2 (L + СД2) (/2 _ /|). ■ Задачи для самостоятельного решения 4.1. Конденсатор электроемкостью 20 мкФ, заряженный до напряжения 200 В, подключили к выводам катушки индуктивностью 0,1 Гн. Каково максимально возможное значение силы электрического тока в катушке? 4.2. Конденсатор электроемкостью 6 мкФ подключили к катушке индуктивностью 50мГн. Каким может быть максимальное значение силы тока в катушке, если на обкладках конденсатора был заряд 10~® Кл? 4.3. В электрическом колебательном контуре, состоящем из конденсатора электроемкостью 0,1 мкФ и катушки, происходят свободные электромагнитные колебания. Максимальное значение силы электрического тока 20 мА, напряжения — 20 В. Какова индуктивность катушки? 4.4. Какой электроемкостью должен обладать конденсатор, чтобы при начальном напряжении на его обкладках 50 В при подключении катушки индуктивностью 0,2 Гн максимальное значение силы электрического тока было равно 1 А? 4.5. Заряд конденсатора электроемкостью С в электрическом контуре, представленном на рисунке 1.21, при разомкнутом ключе равен q. Чему равны максимальные значения силы тока в катушках индуктивностью L, и /-2 после замыкания Рис. 1.21 ключа? С Ф и § 5. Собственная частота электромагнитных колебаний в контуре Мы установили, что напряжение на конденсаторе колебательного контура при его разрядке через катушку периодически изменяется. Выясним теперь, по какому закону изменяется со временем напряжение на конденсаторе и как изменяется со временем сила электрического тока в катушке контура. Применим закон Ома для полной цепи к колебательному контуру: ^ = Дф -ь iR, (5.1) где W — электродвижущая сила; Аф — разность потенциалов между обкладками конденсатора; i — мгновенное значение силы тока в катушке; R — ее активное сопротивление. В колебательном контуре электродвижущая сила есть ЭДС самоиндукции: ^ = -Ы', (5.2) 18 а разность потенциалов между обкладками конденсатора равна: Дф = q/C. (5.3) Если электрическое сопротивление R провода катушки пренебрежимо мало {R 0), то, подставляя в уравнение (5.1) выражения ЭДС и разности потенциалов, получаем -Ы' = q/C. (5.4) Учитывая, что сила тока есть производная от электрического заряда по времени: i = q\ а V = q", из уравнения (5.4) получаем дифференциальное уравнение Lq" + q/C = 0, (5.5) или (5.6) Как легко проверить подстановкой, решением уравнения (5.6) является функция q = q^cos(Oot, (5.7) где ^__ 1 'o-i/lC- Юп = (5.8) Величина (Оц, определяемая выражением (5.8), является собственной круговой (или циклической) частотой колебаний в контуре. Из выражения (5.7) следует, что при возникновении свободных электрических колебаний в идеальном контуре сила тока в катушке и напряжение на конденсаторе изменяются по синусоидальным законам: i = q\ i= -q„^ sin cOo^ = qm^o cos (cOq^ + я/2), (5.9) и = q/C, и = q^/C cos cOq^. (5.10) Следовательно, свободные электрические колебания в контуре являются гармоническими колебаниями. Из формулы (5.9) следует, что амплитуда колебаний силы тока в электрическом контуре равна: 1т = Ят^0^ (5-11) а амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе в соответствии с формулой (5.10) равна: Я т с ' = (5.12) Сравнение выражений (5.9) и (5.10) показывает, что фаза колебаний силы тока в электрическом контуре отличается от фазы колебаний напряжения на конденсаторе на я/2. Из формулы (5.8) следует, что собственная круговая частота контура определяется его параметрами — индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора. Период Т свободных электрических колебаний в контуре из ка- 2* 19 тушки индуктивностью L и конденсатора электроемкостью С равен: 2л = ^ = 2k4lC. (Оо (5.13) Уравнение (5.13), определяющее период свободных электрических колебаний в идеальном контуре, называется формулой Томсона. Амплитуды колебаний напряжения и силы электрического тока определяются электрическим зарядом на конденсаторе в начальный момент времени и значениями индуктивности L катушки и электроемкости С конденсатора. Аналогия электромагнитных и механических колебаний. В учебнике для 10 класса было рассмотрено движение тела, подвешенного на пружине. Оказалось, что под действием сил тяжести и упругости тело массой т, подвешенное на пружине жесткостью k, после однократного выведения его из положения равновесия совершает гармонические колебания с циклической частотой cOq* зависящей от массы тела и жесткости пружины: со « ~ Vm- (5.14) Координата х и скорость х' при этом изменяются со временем по законам: л: = лго cos (Оо^, (5.15) х' = -XqCOo sin (i)t = лгоСОо cos (cof -I- 71/2). (5.16) Сравнение уравнений (5.15) и (5.16) с уравнениями (5.10) и (5.9) показывает, что координата и скорость тела, совершающего механические колебания, изменяются со временем по таким же законам, по каким изменяются напряжение на конденсаторе и сила тока в катушке электрического колебательного контура. Из этих уравнений следует, что влияние массы тела на процесс механических колебаний аналогично влиянию индуктивности катушки на процесс электромагнитных колебаний в электрическом колебательном контуре, а жесткость пружины влияет на процесс механических колебаний аналогично влиянию величины, обратной электроемкости конденсатора, на процесс электромагнитных колебаний в электрическом колебательном контуре. Аналогию между механическими и электрическими колебательными процессами используют в различных исследованиях и инженерных расчетах сложных механических систем путем моделирования механических систем соответствующими электрическими цепями. По результатам исследования электрической модели можно сделать выводы о свойствах моделируемой механической системы. Ш Вопросы. 1. По какому закону изменяются напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в катушке при возникновении свободных 20 электромагнитных колебаний в электрическом контуре? 2. От чего зависит период свободных колебаний в идеальном электрическом контуре? 3. От чего зависят амплитуды колебаний силы тока в катушке электрического контура и напряжения на конденсаторе контура? ■ Пример решения задачи Задача. Напряжение на обкладках конденсатора электроемкостью 2,6 • 10“^ мкФ колебательного контура изменяется со временем по закону: и (f) = 10 cos (2 • 10^ Tit). (1) (Физические величины заданы в единицах СИ.) Определите период электромагнитных колебаний, индуктивность контура, зависимость силы тока от времени, максимальную энергию электрического и магнитного полей в контуре. Решение. Из уравнения (1) следует, что со = 2 • Ю^тс. Так как период Т связан с циклической частотой со выражением Т = 2л/со, то Т = 10~^ с. Индуктивность катушки можно найти, используя связь циклической частоты со свободных электромагнитных колебаний в контуре с индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора: 0)2 = 1/LC, L = l/co^C, L ~ 1 Гн. Зависимость силы электрического тока в контуре от времени можно найти, используя связь силы тока i с изменениями электрического заряда q на обкладках конденсатора: i = q' = (Си)' = Си' = 2,6 • 10 -8 10 • 2 • lO^rtcos I 2-102 |. (2) Из выражения (2) амплитуда колебаний силы тока равна: /о = 2,6 • 10-2 • 10 • 2 • 102д ~ 1,63 • 10-2 А Максимальная энергия электрического и магнитного полей в контуре равна: = LIl/2 ~ 1 • (1,63 • 10-2)2/2 ~ 1,33 • 10-6 дж ■ Задачи для самостоятельного решения 5.1. Как изменится период свободных колебаний в электрическом контуре при увеличении электроемкости конденсатора в 2 раза? 5.2. Как изменится частота свободных колебаний в электрическом контуре при уменьшении индуктивности катушки в 4 раза? 5.3. Какой должна быть электроемкость конденсатора, чтобы при подключении его к катушке индуктивностью 20 мГн в контуре возникли колебания с периодом 1 мс? 5.4. Каков период свободных колебаний в электрическом контуре из конденсатора электроемкостью 20 мкФ и катушки индуктивностью 2 Гн? 5.5. Какова частота свободных электромагнитных колебаний в электрическом контуре из катушки индуктивностью 40 мГн и конденсатора электроемкостью 30 нФ? 5.6. Какова индуктивность катушки, если при включении ее в электрический колебательный контур с конденсатором электроемкостью 20 мкФ возникают свободные колебания с частотой 50 Гц? 21 § 6. Автоколебательный генератор незатухающих электромагнитных колебаний После однократной зарядки конденсатора электромагнитные колебания в любом реальном контуре быстро затухают из-за потерь энергии на нагревание проводов. Для поддержания незатухающих электромагнитных колебаний в контуре необходимо пополнять запасы энергии в нем. Это можно сделать, периодически подключая конденсатор контура к источнику постоянного тока. Трудность заключается в том, что электрические колебания в контурах обычно происходят с большой частотой, и с такой же частотой конденсатор нужно подключать к источнику постоянного тока и отключать его, согласуя моменты подключений конденсатора к источнику с моментами появления на его обкладках зарядов, совпадающих по знаку со знаками полюсов подключаемого источника тока. В качестве быстродействующего «ключа» может использоваться транзистор, через который конденсатор колебательного контура соединяется с источником тока (рис. 1.22). Пока на базу транзистора не подается управляющий сигнал, ток через него не проходит, конденсатор отключен от источника. При подаче на базу управляющего сигнала через транзистор протекает электрический ток, и конденсатор заряжается от источника постоянного тока. Для согласования моментов подключения колебательного контура к источнику постоянного тока с соответствующими моментами изменения напряжения на конденсаторе используется принцип обратной связи. При зарядке и разрядке конденсатора колебательного контура изменения силы тока в катушке контура вызывают изменения магнитного поля вокруг нее. При этом происходят изменения магнитного потока и возникает ЭДС индукции во второй катушке L^.^, называемой катушкой обратной связи. Один конец катушки обратной связи соединен с эмиттером транзистора, другой — с его базой. Катушка обратной связи включена таким образом, что при возрастании силы тока в цепи коллектора на базе оказывается потенциал, отпирающий транзистор, а при уменьшении коллекторного тока — потенциал, запирающий транзистор. Такой тип связи называется положительной обратной связью. Конденсатор контура при замыкании цепи приобретет заряд 22 и начнет разряжаться через катушку L^: в контуре возникнут свободные электрические колебания с малой амплитудой. Эти колебания через цепь обратной связи управляют коллекторным током транзистора, и конденсатор контура через транзистор периодически получает дополнительный электрический заряд. При этом энергия электрического поля в конденсаторе увеличивается, соответственно растет и амплитуда колебаний напряжения на нем. Однако увеличение амплитуды колебаний напряжения в электрическом контуре не продолжается беспредельно. Объясняется это нелинейной зависимостью напряжения на выходе транзистора от напряжения на его входе. При возрастании напряжения между базой и эмиттером сила тока через транзистор увеличивается, однако дальнейшее увеличение напряжения между базой и эмиттером сопровождается все меньшим и меньшим ростом силы тока. При некотором значении амплитуды колебаний напряжения между базой и эмиттером возрастание амплитуды коллекторного тока пре-кращ;ается. При этом потери энергии в колебательном контуре за период компенсируются поступлением энергии в контур от источника тока. Рассмотренный генератор незатухающих электромагнитных колебаний является примером автоколебательной системы. Так называется система, состоящая из устройства, в котором могут происходить свободные колебания, источника энергии и элемента, управляющего поступлением энергии от источника к колебательной системе, а также устройства, обеспечивающего положительную обратную связь колебательной системы с управляющим элементом. Особенностью автоколебательной системы является способность поддерживать колебания с постоянной амплитудой за счет автоматического пополнения энергии колебательной системы от внутреннего источника. Такие колебания называются автоколебаниями. В транзисторном генераторе устройством, в котором могут происходить автоколебания, является электрический контур; источником энергии для поддержания незатухающих колебаний может быть гальваническая батарея, аккумулятор или другой источник постоянного тока. Управляющим элементом в генераторе является транзистор; обратная связь осуществляется с помощью катушки L^„, индуктивно связанной с катушкой электрического колебательного контура. В ламповом генераторе управляющим элементом служит трехэлектродная электронная лампа — триод. Ш Вопросы. 1. Каков принцип действия автоколебательного генератора незатухающих электромагнитных колебаний на транзисторе? 2. Каково назначение транзистора в автоколебательном генераторе? 3. Что такое положительная обратная связь? 4. Как осуществляется индуктивная обратная связь в транзисторном генераторе? 5. Почему амплитуда колебаний силы тока в генераторе не возрастает неограниченно? 23 § 7. Вынужденные электромагнитные колебания. Переменный ток Вынужденные электромагнитные колебания. По закону Ома сила тока в электрической цепи в любой момент времени пропорциональна ЭДС источника тока. Если ЭДС источника не изменяется со временем и остаются неизменными параметры цепи, то через некоторое время после замыкания цепи изменения силы тока прекращаются, в цепи течет постоянный электрический ток. Однако в современной технике широко применяются не только источники постоянного тока, но и различные генераторы электрического тока, в которых ЭДС периодически изменяется. При подключении в электрическую цепь генератора переменной ЭДС в цепи возникают вынужденные электромагнитные колебания. Вынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника. Вынужденные электромагнитные колебания обеспечивают работу электрических двигателей в станках на заводах и фабриках, приводят в действие осветительные приборы в наших квартирах и на улице, холодильники и пылесосы, отопительные приборы и т. п. Во всех этих примерах вынужденные электромагнитные колебания в электрических цепях создаются генератором переменного тока, работающим на электростанции. Виток в однородном магнитном поле. Для выяснения принципа действия генератора переменного тока рассмотрим сначала, что происходит при вращении витка провода в однородном магнитном поле. Пусть виток ограничивает поверхность площадью »S и вектор В индукции однородного магнитного поля расположен под углом а к перпендикуляру к плоскости витка. Магнитный поток Ф через площадь витка создается составляющей В^ вектора индукции, направленной перпендикулярно плоскости витка (рис. 1.23) и равной по модулю: Bi = В cos а. (7.1) При вращении витка с перио-дом Т угол а изменяется по закону а = —t, а магнитный поток Ф, пронизывающий виток, изменяется с течением времени по закону: Ф = BS cos а = BS cos | (7.2) 24 _ 2к Так как то для магнитного потока получаем выра- жение Ф = BS cos (ot. (7.3) Изменения магнитного потока возбуждают в витке ЭДС индукции, равную: е = -Ф'. (7.4) Изменения ЭДС индукции со временем происходят по закону: или где е = BSo) sin со^. е = sin (Dt, = Б5о) — (7.5) (7.6) (7.7) амплитуда ЭДС. Если с помощью контактных колец и скользящих по ним щеток соединить концы витка с электрической цепью (рис. 1.24), то под действием ЭДС индукции, изменяющейся со временем по гармоническому закону, в электрической цепи возникнут вынужденные гармонические колебания силы тока — переменный ток. Для получения больших значений амплитуды ЭДС и больших значений амплитуды силы тока во внешней цепи используются генераторы переменного тока с большой площадью S витка и большим числом витков в обмотке. На практике синусоидальная ЭДС в мощных генераторах возбуждается не путем вращения витков в магнитном поле, а путем вращения магнита или электромагнита (ротора) внутри статора — неподвижной обмотки, навитой на стальной сердечник. Н Вопросы. 1. От чего зависит ЭДС индукции в витке провода, вращающемся в однородном магнитном поле? 2. По какому закону изменяется во времени сила тока во внешней цепи, соединенной с витком провода, вращающимся в однородном магнитном поле с постоянной частотой v? ■ Задачи для самостоятельного решения 7.1. Виток провода площадью 2,5 • 10“^ м^ вращается с частотой 5 Гц в однородном магнитном поле с индукцией 1,1 Тл. Определите амплитуду колебаний ЭДС индукции в витке. Рис. 1.24 25 § 8. Активное сопротивление Рассмотрим процессы, происходящие в проводнике, включенном в цепь переменного тока. Если индуктивность проводника настолько мала, что индукционные электрические поля оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с внешним электрическим полем, то движение электрических зарядов в проводнике определяется действием только внешнего электрического поля, напряженность которого пропорциональна напряжению на концах проводника. При изменении напряжения по гармоническому закону и = cos (Mt (8.1) напряженность электрического поля в проводнике изменяется по такому же закону. Под действием переменного электрического поля в проводнике возникает переменный электрический ток, частота и фаза колебаний которого совпадают с частотой и фазой колебаний напряжения; мгновенное значение силы тока равно: i = cos cof. (8.2) Колебания силы тока в цепи являются вынужденными электрическими колебаниями, возникающими под действием приложенного переменного напряжения. Очевидно, что амплитуда силы тока равна: In. = (8.3) где R — электрическое сопротивление проводника. Мощность переменного тока. При совпадении фазы колебаний силы тока и напряжения мгновенная мощность переменного тока равна: р = iu = cos^ (at. (8.4) Среднее значение квадрата косинуса за период равно 0,5 (рис. 1.25), поэтому среднее значение мощности равно: гг/ /■2d Р = 1^ = ^. (8.5) Действующие значения силы тока и напряжения. Для того чтобы формула для расчета мощности переменного тока совпадала по форме с аналогичной формулой для постоянного тока (Р = Г^К), вводятся понятия действующих значений силы тока и напряжения. Действующим значением силы переменного электрического тока называют величину, в 42 раза меньшую ее амплитудного значения: / = 42’ (8.6) 26 Действующее значение силы тока равно силе такого постоянного тока, при котором средняя мощность, выделяющаяся в проводнике в цепи переменного тока, равна мощности, выделяющейся в том же проводнике в цепи постоянного тока. Действующее значение переменного напряжения в V2 раза меньше его амплитудного значения: С/ = -^ (8.7) V2 Средняя мощность переменного тока при совпадении фаз колебаний силы тока и напряжения равна произведению действующих значений силы тока и напряжения: Р = IU. (8.8) Заметим, что обычно электроизмерительные приборы для цепей переменного тока показывают действующие значения измеряемых величин. Активное сопротивление. Активным сопротивлением R называется физическая величина, определяемая отношением среднего значения мощности Р переменного тока, поглощаемой на участке электрической цепи, к квадрату действующего значения силы электрического тока I на этом участке: (8.9) Средняя мощность, выделяющаяся на участке цепи переменного тока, равна произведению квадрата действующего значения силы электрического тока на активное сопротивление R участка цепи: P = PR. (8.10) При небольших значениях частоты переменного тока активное сопротивление проводника не зависит от частоты и практически совпадает с его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока. Н Вопросы. 1. При каком условии колебания силы тока в проводнике совпадают по фазе с колебаниями напряжения в цепи переменного тока? 2. Что такое активное сопротивление? 3. Каково соотношение между активным сопротивлением проводника в цепи переменного тока и его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока? ■ Задачи для самостоятельного решения 8.1. Изменится ли активное сопротивление проводника при увеличении частоты переменного тока от 20 до 40 Гц? 8.2. Найдите среднюю мощность, выделяющуюся в резисторе в цепи переменного тока при амплитудном значении силы тока 2 А и амплитудном значении напряжения 30 В. 8.3. Найдите активное сопротивление электрической лампы накаливания, включенной в цепь переменного тока с действующим напряжением 220 В, если при этом на ней выделяется средняя мощность 100 Вт. 27 § 9. Индуктивное сопротивление Катушка в цепи переменного тока. В любом проводнике, по которому протекает переменный ток, возникает ЭДС самоиндукции. Влияние явления самоиндукции на процессы в цепях переменного тока рассмотрим на упрощенном примере,^ Пусть в цепь переменного тока включена идеальная катушка с электрическим сопротивлением провода, равным нулю. При изменениях силы тока по гармоническому закону: i = cos (at (9-1) в катушке возникает ЭДС самоиндукции: е = -Ы' = I^L(a sin cof, (9.2) где L — индуктивность катушки; со — циклическая частота переменного тока. Так как электрическое сопротивление катушки равно нулю, то ЭДС самоиндукции в ней в любой момент времени равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на концах катушки, созданному внешним генератором: и = -е = -I^L(a sin со^. (9.3) Следовательно, при изменении силы тока в катушке по гармоническому закону напряжение на ее концах изменяется тоже по гармоническому закону, но со сдвигом (|)азы: (9.4) и = 1„Ьы cos I со^ -ь - Мы получили, что колебания напряжения на концах катушки опережают по фазе колебания силы тока на Произведение 1щЬ(а является амплитудой колебаний напряжения на катушке: U^ = I^L(a. (9.5) Отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке к амплитуде колебаний силы тока в ней называется индуктивным сопротивлением и обозначается X^^: и. ^^ = 1. = Lo). (9.6) При использовании индуктивного сопротивления связь амплитуды колебаний напряжения на концах идеальной катушки с амплитудой колебаний силы тока в ней совпадает по форме с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока: к = (9-7) Выражение (9.6) показывает, что индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в катушке при по- 28 стоянном значении амплитуды колебаний напряжения обратно пропорциональна частоте. Зависимость амплитуды колебаний силы тока в катушке от частоты переменного напряжения можно наблюдать в опыте с генератором переменного напряжения, частоту которого можно изменять. Сдвиг фазы колебаний напряжения на идеальной катушке относительно фазы колебаний силы тока на л/2 приводит к тому, что мош;ность переменного тока на катушке в течение периода меняет знак и среднее значение мощности переменного тока на идеальной катушке за период оказывается равным нулю. Ш Вопросы. 1. Каково соотношение между фазами колебаний силы тока и напряжения в идеальной катушке? 2. Что называется индуктивным сопротивлением? 3. От чего зависит индуктивное сопротивление? 4. Какова средняя мощность переменного тока, протекающего через идеальную катушку? ■ Задачи для самостоятельного решения 9.1. Вычислите индуктивное сопротивление идеальной катушки индуктивностью 1 мГн на частоте 50 Гц. 9.2. Катушка индуктивностью 0,5 Гн обладает электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока, равным 100 Ом. При какой частоте переменного тока индуктивное сопротивление катушки будет в 100 раз больше ее электрического сопротивления в цепи постоянного тока? 9.3. Концы катушки подключили к источнику переменного напряжения с частотой 50 Гц. Действующие значения напряжения и силы тока в цепи при этом соответственно равны 50 В и 0,2 А. Найдите индуктивность катушки. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало. § 10. Емкостное сопротивление Конденсатор в цепи переменного тока. При включении конденсатора в цепь переменного тока процесс его зарядки длится четверть периода. После достижения амплитудного значения напряжение между обкладками конденсатора уменьшается и конденсатор в течение четверти периода разряжается. В следующую четверть периода конденсатор вновь заряжается, но полярность напряжения на его обкладках изменяется на противоположную и т. д. Процессы зарядки и разрядки конденсатора чередуются с периодом, равным периоду колебаний приложенного переменного напряжения. Как и в цепи постоянного тока, через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды не проходят. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора по проводам, соединенным с его выводами, течет переменный ток. Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока (рис. 1.26), кажется горящей непрерывно, так как человеческий глаз при высокой частоте колебаний 29 Рис. 1.26 силы тока не замечает периодического ослабления свечения нити лампы. Установим связь между амплитудой колебаний напряжения на обкладках конденсатора и амплитудой колебаний силы тока. При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону: и = cos cof (10.1) заряд на его обкладках изменяется по закону: q = Си = UjC cos cof. (10.2) Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда конденсатора: i = q'. Поэтому колебания силы электрического тока в цепи происходят по закону: i = -[/„о)С sin {at = U^(aC cos ^ j- (10.3) Сравнение выражений (10.1) и (10.3) показывает, что колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на л/2. Произведение U^iaC является амплитудой колебаний силы электрического тока: 7, = и^{аС. (10.4) Емкостное сопротивление. Отношение амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе к амплитуде колебаний силы электрического тока называют емкостным сопротивлением конденсатора и обозначают Xq\ Со ‘ Связь между амплитудным значением силы электрического тока и амплитудным значением напряжения по форме совпадает с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока, в котором вместо электрического сопротивления фигурирует емкостное сопротивление конденсатора: /„ = ^. (10.6) Емкостное сопротивление конденсатора, как и индуктивное сопротивление катушки, не является постоянной величиной. Оно обратно пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в цепи конденсатора при постоянной амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе возрастает прямо пропорционально частоте. Сдвиг фазы колебаний силы тока на тг/2 относительно фазы колебаний напряжения на конденсаторе приводит к тому, что мош;ность переменного тока на конденсаторе в течение первой половины периода имеет положительный знак, а в те- (10.5) 30 чение второй половины — отрицательный. Среднее значение мощности переменного тока на конденсаторе за период оказывается равным нулю. Физический смысл этого результата заключается в том, что сначала за счет работы внешнего генератора происходит зарядка конденсатора и накопление энергии электрического поля, а затем за счет энергии электрического поля конденсатора создается электрический ток противоположного направления. В результате работа электрического тока за период и средняя мощность равны нулю. Ш Вопросы. 1. Каково соотношение между фазами колебаний силы электрического тока и напряжения на конденсаторе в цепи переменного тока? 2. Что называется емкостным сопротивлением конденсатора? 3. От чего зависит емкостное сопротивление конденсатора? 4. Какова средняя мощность переменного тока, протекающего через конденсатор? ■ Задачи для самостоятельного решения 10.1. Найдите емкостное сопротивление конденсатора электроемкостью 10 мкФ в цепи переменного тока с частотой 50 Гц. 10.2. При какой частоте переменного тока емкостное сопротивление конденсатора электроемкостью 200 нФ будет равно 1 кОм? 10.3. Как изменится емкостное сопротивление конденсатора при уменьшении частоты переменного тока в 4 раза? 10.4. Постройте график зависимости емкостного сопротивления конденсатора от частоты. 10.5. Конденсатор электроемкостью 2 мкФ включен в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Найдите действующее значение силы тока в цепи, если действующее значение напряжения на конденсаторе равно 220 В. 10.6. Какой электроемкостью должен обладать конденсатор для того, чтобы при включении его в цепь переменного тока с частотой 1000 Гц при действующем значении напряжения 2 В действующее значение силы тока в цепи было равно 20 мА? § 11. Закон Ома для электрической цепи переменного тока Последовательная электрическая цепь переменного тока. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 1.27). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ш и амплитудой U^, то в цепи возникнут вынужденные колебания силы электрического тока с той же частотой и некоторой амплитудой /„. Установим связь между амплитудами колебаний силы тока и напряжения. В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения: и = Uji + Ur + Un. (11-1) 31 R L с II Ur Ul II Uc 6 и = и^ cos cof Рис. 1.27 Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы электрического тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы электрического тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону: i = 1т cos (at. (11-2) Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы электрического тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на к/2 от колебаний силы тока, а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на л/2. Поэтому уравнение (11.1) можно записать так: и = cos (at + и(2т cos (o)t - л/2) + + cos (cй^ + я/2), (11-3) где и(2т и — амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке. Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм. При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы электрического тока; поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения исовпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока /^. Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на л/2 от колебаний силы тока, поэтому вектор U^m отстает от вектора на угол 90®. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на л/2, поэтому вектор опережает вектор на угол 90° (рис. 1.28). 32 На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов U^ ^Lmy вращающихся с одинаковой угловой скоростью со против часовой стрелки. Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных значений напряжения и Uq отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов Unm, C/cm И Ujr^^ на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов: = Плт + и cm + Ucm- Из рисунка 1.28 видно, что амплитуда колебаний напряжения на всей цепи равна: (11.4) ИЛИ Отсюда /„ = и. (11.5) coL- (оС Физическая величина Z, равная отношению амплитуды колебаний напряжения к амплитуде колебаний силы электрического тока называется полным электрическим сопротивлением цепи переменному току: Z = ^. (11.6) Связь между амплитудами колебаний напряжения и силы тока в цепи переменного тока 4jh. Z = (11.7) называется законом Ома для цепи переменного тока. Из формул (11.5) и (11.6) следует, что полное электрическое сопротивление последовательной электрической цепи переменному току равно: Z = + \(x)L- о)С (11.8) 3 — А. А. Пинский 111 33 Так как фаза колебаний полного напряжения равна (Of + (р, мгновенное значение полного напряжения последовательной цепи определяется формулой и = cos (cof + (р). (11-9) Сдвиг фазы ср колебаний напряжения относительно фазы колебаний силы электрического тока можно найти из векторной диаграммы: URm ^ R Z’ cos ср = (11.10) Параллельная электрическая цепь переменного тока. При параллельном соединении резистора, конденсатора и катушки (рис. 1.29) напряжение на всех этих элементах электрической цепи изменяется по одному и тому же закону: а = cos (Of. (11.11) С учетом возникновения сдвига фазы между током и напряжением на реактивных элементах электрической цепи сила электрического тока в ветвях определяется формулами С/, to — cos (Of, R Iq = U^(oC cos ((Of + k/2), C/n, / ir = —— cos ((Of — n/2). ^ (oL (11.12) (11.13) (11.14) Полный ток в цепи в любой момент времени равен сумме токов в параллельных ветвях: i = iji + ic + ic- (11.15) i = 'r + 'c + 'l 'it] = cos (Of \ ? т 'с \ Рис. 1.29 34 Для нахождения полного тока построим векторную диаграмму (рис. 1.30). Из нее видно, что суммарный ток можно найти по формуле г =/„J cos (cof + ф), (11.16) ?7де — амплитуда колебаний тока в общей цепи; ф — сдвиг фазы между током и напряжением в общей цепи. Амплитуда колебаний тока в общей цепи равна: I. = + ( /с - У = [о)С - i]' . (11.17) Из формулы (11.17) следует, что полное электрическое сопротивление параллельной электрической цепи переменному току равно: 1 Z = -^ + (соС - — д2 1 (OL (11.18) Ш Вопросы. 1. Почему можно принять, что колебания силы электрического тока во всех элементах электрической цепи, соединенной последовательно, совпадают по фазе? 2. Каков сдвиг фазы колебаний напряжения на конденсаторе и катушке относительно фазы колебаний силы тока в цепи переменного тока? 3. Как строится векторная диаграмма для цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, катушки и конденсатора? 4. Какова связь амплитуды колебаний силы тока с амплитудой колебаний полного напряжения в последовательной электрической цепи? 5. Что называют полным сопротивлением электрической цепи? 6. Почему для последовательной цепи переменного тока использовалась векторная диаграмма напряжений, а для параллельной цепи — векторная диаграмма токов? ■ Примеры решения задач Задача 1. Определите амплитудное значение силы электрического тока в цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора электроемкостью 2 мкФ, катушки индуктивностью 0,51 Гн и активным сопротивлением 100 Ом, если к ней подводится переменное напряжение с действующим значением 220 В и частотой 50 Гц. Определите действующие значения напряжения на отдельных элементах цепи и силу тока в цепи. Решение. Силу тока определим, применив закон Ома для цепи переменного тока: = и. Ur + (oL- соС Так как = 2n\L = 2л50 с ^ • 0,51 Гн ~ 160 Ом, 1 1 X.. = 2tcvC 2х50с-1-2-10-®Ф ~ 1600 Ом, 3* 35 то I = 220 В 7(100 Ом )2 + (1600 0м-160 Ом )2 0,152 А. Применив закон Ома для отдельных элементов цепи, получим Ujj = IR = 0,215 А • 100 Ом = 15,2 В, C/jr = 1Х^ = 0,215 А • 160 Ом = 24,3 В, Uc = IXc = 0,215 А • 1600 Ом = 243 В. Задача 2. Из двух резисторов, активное сопротивление каждого из которых R, и двух одинаковых конденсаторов электроемкостью С собрана электрическая цепь (рис. 1.31), которая подключена к сети переменного тока с амплитудой колебаний напряжения U^. Определите амплитуду колебаний напряжения между точками 1 и 2. т 1. R Рис. 1.31 Решение. Построим векторную диаграмму напряжений одной ветви цепи (рис. 1.32). Так как t/jg = 17^- то из векторной диаграммы следует, что U^2 - ^т- Задача 3. На выводы электрической цепи, представленной на рисунке 1.33, подается переменное напряжение и с амплитудой U^. Как изменяется амплитуда колебаний напряжения между точками А и В цепи при уменьшении электрического сопротивления резистора Д? Решение. Построим векторную диаграмму напряжений для электрической цепи. Векторы напряжений и на после- Рис. 1.34 36 довательно соединенных резисторе R и конденсаторе С взаимно перпендикулярны, их сумма равна (рис. 1.34). Напряжение на резисторе г равно U^/2, поэтому искомое напряжение равно радиусу окружности, построенной на векторе как на диаметре. Следовательно, амплитуда колебаний напряжения между точками А и В не зависит от изменений сопротивления резистора R и равно U^/2. ■ Задачи для самостоятельного решения 11.1. к генератору переменного тока подключены резистор и конденсатор, соединенные последовательно. Начертите график зависимости силы электрического тока от его частоты. 11.2. К генератору переменного тока подключены резистор и конденсатор, соединенные параллельно. Начертите грюфик зависимости силы электрического тока от его частоты. 11.3. В цепь переменного тока последовательно включили резистор активным сопротивлением 3 Ом, конденсатор емкостным сопротивлением 1 Ом и катушку индуктивным сопротивлением 5 Ом. Каково полное сопротивление цепи переменному току? 11.4. В цепь переменного тока параллельно включили резистор активным сопротивлением 2,5 Ом, конденсатор емкостным сопротивлением 2 Ом и катушку индуктивным сопротивлением 5 Ом. Каково полное сопротивление цепи переменному току? 11.5. В цепь переменного тока частотой 50 Гц и действующим напряжением 220 В включены последовательно активная нагрузка сопротивлением 100 Ом, катушка индуктивностью 3.2 Гн и конденсатор электроемкостью 3,2 мкФ. Определите амплитудное значение силы тока в цепи. 11.6. В цепь переменного тока частотой 50 Гц и амплитудой колебаний напряжения 3 В включены параллельно конденсатор электроемкостью 1600 мкФ и катушка индуктивностью 16 мГн. Чему равна амплитуда колебаний силы тока в цепи? § 12. Мощность в цепи переменного тока Мгновенная мощность р в цепи переменного тока равна произведению мгновенного значения силы тока i на мгновенное значение напряжения и: р = ш. (12.1) Так как сила тока и напряжение в цепи периодически изменяются, изменяется со временем и мгновенная мощность. Поэтому цепь переменного тока обычно характеризуют ее средней мощностью за период. Среднюю мощность Р переменного тока называют активной мощностью или просто мощностью переменного тока. При наличии в цепи реактивных элементов между колебаниями силы электрического тока и напряжения в цепи существует сдвиг по фазе на некоторый угол (р: и = sin (ot = ил/2 sin cot, (12.2) i = sin (cot - cp) = / V2 sin (cot - ф). (12.3) 37 Из формул (12.1), (12.2) и (12.3) следует, что мощность переменного тока равна: т т Р = J uidt = — J 2 sin (at sin (cof ~(p)dt = = I [cos Ф - cos (2co^ - Ф)] dt. (12.4) Поскольку интеграл второго члена подынтегральной функции обращается в нуль, среднее значение мощности при прохождении переменного тока равно: Р = UI cos ф, (12.5) где ф — сдвиг фазы между колебаниями силы электрического тока и напряжения; I и U — действующие значения силы тока и напряжения. Величина cos ф называется коэф(рициен-том мощности. Формула (12.5) показывает, что потребляемая мощность в сети переменного тока зависит не только от амплитуд колебаний силы тока и напряжения, но и от значения коэффициента мощности, т. е. от сдвига фаз колебаний силы электрического тока и напряжения. Сдвиг фаз колебаний силы тока и напряжения в сетях переменного тока возникает из-за включения элементов, обладающих значительным индуктивным сопротивлением, — электродвигателей, трансформаторов. Снижение коэффициента мощности ведет к уменьшению полезной мощности переменного тока. Для повышения коэффициента мощности часто последовательно с индуктивными элементами включают конденсаторы. Ш Вопросы. 1. Как зависит средняя мощность переменного тока от параметров электрической цепи и сдвига фаз колебаний силы электрического тока и напряжения? 2. Почему средняя мощность переменного тока уменьшается при увеличении сдвига фаз колебаний силы электрического тока и напряжения? 3. Каким способом можно увеличить коэффициент мощности? ■ Задачи для самостоятельного решения 12.1. В цепь переменного тока частотой 50 Гц и действующим напряжением 220 В включены последовательно активная нагрузка сопротивлением 100 Ом, катушка индуктивностью 3,2 Гн и конденсатор электроемкостью 3,2 мкФ. Определите среднюю мощность в цепи. 12.2. В цепь переменного тока частотой 50 Гц последовательно включены резистор сопротивлением 628 Ом и катушка. При этом между колебаниями напряжения и силы электрического тока сдвиг по фазе равен я/4. Какова индуктивность катушки? Конденсатор какой электроемкости нужно включить последовательно в цепь, чтобы средняя мощность в цепи имела максимальное значение? 38 § 13. Резонанс в электрических цепях переменного тока Резонанс при последовательном соединении элементов электрической цепи переменного тока. Полное сопротивление последовательной электрической цепи переменному току зависит не только от параметров цепи, но и от частоты переменного тока [см. формулу (10.8)]. Если в электрическую цепь включить амперметр переменного тока и исследовать зависимость амплитуды колебаний силы тока от частоты при постоянной амплитуде колебаний напряжения, то обнаруживается зависимость, представленная на рисунке 1.35. Явление возрастания амплитуды колебаний силы электрического тока при некотором значении частоты Ур^з до максимального значения называют электрическим резонансом, а частоту, при которой амплитуда колебаний силы тока достигает максимального значения, — резонансной частотой. Такая зависимость силы электрического тока в цепи от частоты объясняется следующим образом. На низких частотах емкостное сопротивление конденсатора переменному току очень велико. С увеличением частоты это сопротивление убывает, а сила тока в цепи возрастает. Индуктивное сопротивление катушки на низких частотах мало, но возрастает с увеличением частоты. При резонансной частоте сОр^з индуктивное сопротивление катушки оказывается равным емкостному сопротивлению конденсатора: (13.1) и амплитуда силы тока становится максимальной. При более высоких частотах индуктивное сопротивление превышает емкостное. Возрастание индуктивного сопротивления с частотой приводит к убыванию силы тока в цепи на частотах, больших резонансной. Так как колебания напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности при их последовательном соединении происходят в противофазе, а электрический ток через все элементы цепи протекает один и тот же, то при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений напряжения на них в любой момент времени одинаковы по модулю, но имеют противоположные знаки: Ul = -Uc‘ (13.2) 39 Резонанс в электрической цепи переменного тока при последовательном соединении ее элементов называют резонансом напряжений. При резонансе мгновенное напряжение на резисторе согласно условию (13.2) оказывается равным приложенному напряжению: и — ^R* (13.3) Отсюда можно найти мгновенные и действующие значения силы тока в цепи при наступлении резонанса: ■^рез и. R (13.4) (13.5) Тот же результат можно получить, используя условие резонанса (13.1). Это условие позволяет определить резонансную частоту (Орез по известным значениям индуктивности ка- Из равенства (13.1) тушки и электроемкости конденсатора, следует: 1 со_ = Vie = со (13.6) Таким образом, резонанс наступает при совпадении частоты переменного тока с частотой свободных колебаний в контуре. Индуктивное сопротивление катушки и емкостное сопротивление конденсатора при резонансе можно выразить через значения индуктивности и электроемкости: Xl = Xc = Leo. ^ ■'рез Vic -Гъ- (13.7) Определим амплитуду колебаний напряжения на катушке индуктивности и на конденсаторе при наступлении резонанса: ^ Lm ^ Cm Um [L R VC* (13.8) Выражение (13.8) показывает, что при наступлении резонанса амплитуды колебаний напряжения на катушке и конденсаторе могут значительно превышать амплитуду колебаний приложенного напряжения. Физическую величину называют волновым сопротивлением электрического колебательного контура и обозначают буквой р: P = J§- (13.9) Из выражений (13.8) и (13.9) следует, что отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке (или на конден- 40 саторе) к амплитуде колебаний приложенного напряжения при наступлении резонанса равно отношению волнового сопротивления контура к его активному сопротивлению: ^Lm _ ^Ст _ ^тп9 _ 9_ ~ R' и. и. R (13.10) Это отношение называется добротностью электрического колебательного контура и обозначается буквой Q: ^ R (13.11) Добротность может достигать значений порядка 100 и даже выше. Зная добротность контура, можно определить амплитуду вынужденных колебаний напряжения на катушке или на конденсаторе в резонансе при включении источника переменного напряжения с известной амплитудой напряжения. Если, например, в колебательный контур с добротностью Q = 100 включен источник переменного напряжения амплитудой 1 В, то при наступлении резонанса амплитуда вынужденных колебаний напряжения на катушке и конденсаторе достигает 100 В. Явление увеличения амплитуды колебаний напряжения при настройке контура в резонанс с источником колебаний широко используют в радиотехнике — в схемах ргщиоприем-ников, усилителей, генераторов высокочастотных колебаний. С увеличением добротности контура уменьшается ширина резонансного пика. Вид резонансных кривых, полученных при различных значениях добротности контура, представлен на рисунке 1.35. Резонанс при параллельном соединении элементов электрической цепи переменного тока. При параллельном соединении резистора, конденсатора и катушки (см. рис. 1.29) напряжение на всех элементах цепи изменяется по одинаковому закону [см. формулу (11.11)], а полный ток в обпцей цепи в любой момент времени равен сумме мгновенных значений силы тока в параллельных ветвях. Амплитуда колебаний силы электрического тока в общей цепи определяется по формуле (11.17). При некотором значении частоты Юд индуктивное сопротивление катушки равно емкостному сопротивлению конденсатора: ^ ^ (13.12) ш«С = СОпЬ СОп = При такой частоте токи через катушку и конденсатор в любой момент времени равны по модулю и противоположны по направлению (или по фазе колебания). Их сумма равна нулю, а сила тока в общей цепи равна силе тока через активное сопротивление: I = h R (13.13) 41 Рис. 1.36 Этот же результат можно получить формально подстановкой выражения (13.12) в выражение (11.17). При выполнении условия (13.12) полное сопротивление электрической цепи принимает максимальное значение Z = R. Максимальному значению полного сопротивления параллельной электрической цепи соответствует минимальное значение силы электрического тока. Следовательно, при выполнении условия (13.12), называемого условием резонанса токов в колебательном контуре, сила тока в общей цепи минимальна. На рисунке 1.36 представлена зависимость амплитуды колебаний силы электрического тока в общем участке цепи от частоты при постоянной амплитуде колебаний напряжения на параллельно соединенных катушке, конденсаторе и элементе с активным сопротивлением. Н Вопросы. 1. В чем заключается явление электрического резонанса? 2. Чем объясняется явление электрического резонанса? 3. При каком условии наблюдается электрический резонанс? 4. Что называют волновым сопротивлением электрического колебательного контура? 5. Что называют добротностью электрического колебательного контура? 6. Какие свойства электрического контура определяют его добротность? 7. Чем отличается электрический резонанс в последовательной цепи от электрического резонанса в параллельной цепи? 8. Какие практические применения находит явление электрического резонанса? ■ Примеры решения задач Задача 1. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включены катушка индуктивностью 2 Гн и резистор активным сопротивлением 50 Ом. Конденсатор какой электроемкостью нужно включить последовательно с катушкой и резистором для возникновения электрического резонанса в цепи? Какие значения будут иметь амплитуды колебаний силы электрического тока в цепи и напряжения на конденсаторе в резонансе при амплитуде полного напряжения 10 В? Какова добротность контура? Решение. Резонанс возникает при условии X^^ = Xq, т. е. 2tcvL = 1/27TVC. Отсюда следует: 1 1 С = 4n^v^L 4д2 2500-2 Ф ^ 5 • 10-® Ф. Амплитуда колебаний силы тока в резонансе равна: ^гп ^e. = UJR= 10/50 А = 0,2 А. Амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе в резонансе равна: Цщ 1 _ 0,2 R 2kvC 2ТГ-50-5-10-® ^Ст — ^ т — 127 В. 42 Добротность контура равна: Q = -.[^ = - в \ С 50 5*10-6 12,7. Задача 2. Конденсатор электроемкостью С и катушка индуктивностью L и активным сопротивлением В подключены последовательно к выходу генератора переменного напряжения. При каком значении частоты амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе будет максимальной, если амплитуда колебаний напряжения на выходе генератора поддерживается неизменной? Решение. Амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе равна: у . 7 т m т ^-'Ст - С(0 С(0 Jb'^ + (L(0-1/C(i>y + (Lco-1/Cod)2 ) Полученное выражение принимает максимальное значение при минимальном значении выражения под корнем в знаменателе. Для нахождения значения частоты, соответствуююцего этому условию, введем обозначение д: = со^, найдем первую производную по X от подкоренного выражения и приравняем ее нулю: {C^xR^ + C^x^L^ - 2CLx + 1)' = + 2C^xL^ - 2CL = 0. Отсюда получаем X = 1/LC - R^/2L^, или ч2 _ ^ _ 1 LC 0)'" = JC 3L 2L2 = J_ I 1_ LC 2L B^C 2L Так как l/ylLC = (Oo есть частота резонанса в последовательной электрической цепи, а R^C/L = 1/Q^, где Q — добротность колебательного контура, то для искомой частоты получаем выражение ________ со = (Оо yjl - l/2Q^ . Такое выражение показывает, что амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе будет максимальной при частоте со, меньшей резонансной частоты сОц. Эта частота приближается к резонансной частоте с увеличением добротности Q контура. ■ Задачи для самостоятельного решения 13.1. к генератору переменного электрического тока, частоту которого можно изменять, подключены последовательно резистор сопротивлением 10 Ом, конденсатор электроемкостью 0,5 мкср и катушка индуктивностью 0,5 Гн. Действующее напряжение на выходе генератора равно 100 В. Каковы показания амперметра при наступлении резонанса? При какой частоте наблюдается резонанс? 13.2. В последовательной электрической цепи переменного тока, состоящей из резистора, катушки и конденсатора, увеличили в 2 раза актив- 43 ное сопротивление резистора, индуктивность катушки и электроемкость конденсатора. Как при этом изменилась добротность контура? 13.3. В электрическую цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно конденсатор, нагрузка активным сопротивлением 100 Ом и катушка индуктивностью 0,7 Гн. Определите электроемкость конденсатора, если сила тока в цепи равна 1,34 А. Рассчитайте электроемкость конденсатора, при которой возникает резонанб! Определите силу тока в цепи и добротность цепи при резонансе. 13.4. В колебательный контур добротностью 50 включен последовательно источник синусоидального переменного напряжения с изменяемой частотой, амплитуда колебаний напряжения на выходе источника 2 В. Найдите амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе и катушке при максимальном значении силы тока в контуре. 13.5. В электрическую цепь переменного тока переменной частоты включены параллельно конденсатор электроемкостью 0,5 мкФ, катушка очень малым активным сопротивлением и индуктивностью 50 мГн и резистор активным сопротивлением 1 кОм. Каково минимально возможное значение амплитуды колебаний силы тока в общей цепи при амплитуде колебаний напряжения 10 В? § 14. Трансформатор Назначение трансформатора. При заданных значениях мощности нагрузки и расстояния от электростанции до потребителя электроэнергии уменьшение потерь в линии электропередачи возможно в основном за счет увеличения напряжения. Так как тепловые потери в линии пропорциональны квадрату силы электрического тока, то с повышением напряжения в п раз для передачи той же мощности можно во столько же раз снизить силу тока в линии и в раз снизить тепловые потери. Наиболее экономичными являются линии электропередач с напряжениями от 110 до 400—500 кВ. Но генераторы могут давать на выходе лишь напряжения до 20—24 кВ. Следовательно, необходимы специальные устройства для преобразования переменного тока и напряжения, способные повышать напряжение и понижать силу электрического тока от генератора к линии электропередачи. Потребителям электроэнергии наиболее удобны для использования напряжения от 110 до 380 В. Поэтому нужны специальные устройства для преобразования переменного тока и напряжения, способные понижать напряжение и повышать силу электрического тока на пути от линии электропередачи к потребителю. Нередко требуется от одного и того же источника переменного тока питать приборы, рассчитанные на разные напряжения. Например, при включении телевизора в сеть напряжением 220 В на нитях накала должно быть создано напряжение в несколько вольт, между анодом и катодом электронно-лучевой трубки — напряжение 15 000 В, а для работы транзисторов — напряжение от 1—2 до 10—15 В. Все эти задачи решаются с помощью трансформаторов. 44 с 1 о ~ ©1 _1и1л г'“ 1ЯЙ1 П, П2 Рис. 1.37 Устройство трансформатора. Трансформатор был изобретен в 1878 г. русским ученым Павлом Николаевичем Яблочковым. Самый простой трансформатор переменного тока состоит из двух катушек, надетых на ферромагнитный сердечник (рис. 1.37). Сердечник трансформатора собран из листов специальной трансформаторной стали с малой коэрцитивной силой. На сердечник надеваются две обмотки. Обмотка, на концы которой подается переменное напряжение от внешнего источника, называется первичной обмоткой. Обмотка, не связанная с внешним источником переменного тока, называется вторичной обмоткой. При подключении выводов первичной катушки к источнику переменного напряжения в ней возникает переменный ток. Если напряжение изменяется со временем по гармоническому закону с частотой со, то по гармоническому закону с этой же частотой происходят изменения силы электрического тока в катушке и магнитного потока, создаваемого этим током: Ф^ = ф^^ cos coi. При изменениях магнитного потока в каждом витке провода первичной катушки возникает изменяюш;аяся по гармоническому закону ЭДС самоиндукции: е = -Ф| (О = соФ1^ sin CD^, (14.1) где соФ1,„ — амплитуда колебаний ЭДС в одном витке. Если число витков в первичной катушке п^, то мгновенное значение ЭДС самоиндукции в первичной катушке равно: б] = п^е = П1(оФ1^ sin со^. (14.2) Вторичную катушку пронизывает тот же магнитный поток, который проходит через первичную катушку: Фз = Ф1. При изменениях магнитного потока в каждом ее витке возникает ЭДС индукции, изменяюш;аяся по гармоническому закону [см. формулу (14.1)]. Если число витков провода во вторичной катушке Л2» мгновенное значение ЭДС в ней равно: «2 = П2е = /l2W^lm siri (Oi. (14.3) Отношение ЭДС самоиндукции в первичной обмотке к ЭДС индукции во вторичной обмотке равно отношению числа витков: ^2 ^2 (14.4) Активное сопротивление первичной обмотки мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением; поэтому прило- 45 женное напряжение в любой момент времени почти точно равно ЭДС самоиндукции взятой с противоположным знаком. При разомкнутой цепи вторичной катушки — режим холостого хода трансформатора — напряжение U2 на ее концах в любой момент времени равно ЭДС индукции ^2, взятой с противоположным знаком. Поэтому из выражения (14.4) следует: = = (14.5) где пг П2 (14.6) называется коэффициентом трансформации. При k > 1 трансформатор называется понижающим, при k < 1 — повышающим. Амплитуда колебаний силы электрического тока холостого хода мала, поэтому в режиме холостого хода трансформатор потребляет небольшую мощность. Режим нагрузки. При подключении нагрузки к концам вторичной обмотки во вторичной цепи возникает переменный ток. При амплитуде колебаний силы электрического тока Jg во вторичной цепи в сердечнике возникает переменный магнитный поток с амплитудой колебаний Og. По правилу Ленца магнитный поток, создаваемый током вторичной катушки, уменьшает амплитуду колебаний полного магнитного потока в сердечнике, что приводит к уменьшению ЭДС самоиндукции в первичной катушке. Из-за этого в ней возрастает амплитуда колебаний силы электрического тока до тех пор, пока не будет достигнуто равенство амплитуд приложенного напряжения и ЭДС индукции. Амплитуда колебаний силы электрического тока в первичной катушке при этом увеличивается на такую величину А/^, при которой изменение амплитуды колебаний магнитного потока АФх, создаваемого током A/j в первичной катушке, можно считать примерно равным по абсолютной величине амплитуде колебаний магнитного потока Ф2, создаваемого током /g во вторичной катушке: АФ1=Ф2. (14.7) Так как магнитные потоки АФ^ и Ф2 равны соответственно A/jL/Zj и l2Lri2j где L — индуктивность одного витка, то из формулы (14.7) следует: Д/, — /g^2» г “ (14.8) Если увеличение амплитуды колебаний силы тока AI^ в первичной катушке в режиме нагрузки значительно больше амплитуды силы тока холостого хода то амплитуду колебаний силы тока Ii в первичной катушке в режиме нагрузки 46 можно считать примерно равной изменению амплитуды колебаний силы тока A/j при подключении нагрузки: АЛ = Л. (14.9) Из формул (14.8) и (14.9) следует: Ll ~И:1. Л ^1 (14.10) Мы получили, что увеличение напряжения на выходе повышающего трансформатора в k раз сопровождается уменьшением силы электрического тока во вторичной катушке в k раз. Мощность тока в первичной и вторичной цепях, если пренебречь потерями, оказывается одинаковой. Потери энергии в трансформаторе обусловлены нагреванием проводов его обмоток и стального сердечника. Сердечник нагревается в результате его перемагничивания и индукционными токами Фуко. Для уменьшения токов Фуко сердечник трансформатора обычно изготавливают из тонких стальных листов, изолированных друг от друга. Это приводит к значительному увеличению сопротивления сердечника и уменьшению потерь на его нагревание. Трансформаторы для преобразования переменных токов больших мощностей имеют высокий КПД (98—99,5%). Н Вопросы. 1. Как устроен трансформатор? 2. Каков принцип действия трансформатора? 3. Что называют коэффициентом трансформации? 4. Как можно определить число витков в одной из катушек, не разбирая трансформатор? 5. Почему катушки трансформатора изготавливают из проводников разного диаметра? 6. Почему стальной сердечник трансформатора изготавливают из тонких пластин, изолированных друг от друга? ■ Пример решения задачи Задача. Число витков вторичной обмотки трансформатора вдвое больше числа витков первичной обмотки. Активное сопротивление первичной обмотки равно 20 Ом, а ее индуктивное сопротивление — 200 Ом. На первичную обмотку подано переменное напряжение амплитудой колебаний 100 В. Определите амплитуду колебаний напряжения на вторичной обмотке в режиме холостого хода. Как изменится напряжение на вторичной обмотке, если сердечник трансформатора заменить другим того же размера, но сделанным из материала с магнитной проницаемостью, в 10 раз меньшей? Рассеянием магнитного потока и потерями в сердечнике можно пренебречь. Решение. Если бы не было потерь на активном сопротивлении первичной обмотки, то напряжение на вторичной обмотке было бы равно и2 = 2C/j. Вследствие потерь на нагревание первичной обмотки напряжение на вторичной обмотке определяется формулой U2 = где UiL = IiOiLi. Напряжение на первичной обмотке определяется формулой 47 Следовательно, UlL _ _________ Ui + X IL = С/, [7, = 2(7i ^1+(20/200) = 199 (B). 2 100 При замене сердечника индуктивное сопротивление уменьшается в 10 раз: = 20 Ом. В этом случае напряжение на вторичной обмотке станет равным 141 В. Таким образом, необходимым условием для нормальной работы трансформатора является выполнение соотношения » В. ■ Задачи для самостоятельного решения 14.1. Что происходит с трансформатором, когда в нем замыкается накоротко один виток? 14.2. Первичная обмотка разборного трансформатора подключена к сети переменного тока, ко вторичной обмотке подключена нагрузка. Как изменится сила тока в первичной и вторичной обмотках при удалении замыкающей части сердечника трансформатора? 14.3. Почему при разомкнутой вторичной обмотке трансформатор потребляет мало энергии? 14.4. Для определения числа витков в первичной обмотке трансформатора на его сердечник было намотано 10 витков провода. Определите число витков в первичной обмотке, если при подаче на нее переменного напряжения 220 В вольтметр, подключенный к катушке из 10 витков провода, показывает напряжение 1,1 В. 14.5. На какую силу тока должен быть рассчитан провод первичной обмотки сварочного трансформатора, если во вторичной обмотке максимальное значение силы тока 100 А при напряжении 50 В? Напряжение на первичной обмотке трансформатора 380 В. Считать, что cos ф= 1. 14.6. Сила тока холостого хода в первичной обмотке трансформатора, питаемой от сети переменного тока частотой 50 Гц и напряжением 220 В, равна 0,2 А. Электрическое сопротивление первичной обмотки трансформатора 100 Ом. Определите индуктивность первичной обмотки трансформатора. § 15. Производство и использование электрической энергии Производство электроэнергии. Значительная часть запасов механической энергии воды в реках и энергии химического горючего — угля и нефти — расположена вдали от крупных городов и промышленных центров. Во многих случаях экономически более целесообразным оказывается строительство крупных электростанций вблизи залежей горючего и передача электроэнергии по проводам, чем перевозка угля и нефти. Запасы механической энергии воды в реках вообш;е нельзя перевезти в другое место. 48 Для преобразования энергии горючего в электроэнергию используются тепловые электростанции. На тепловой электростанции освобождаемая при сжигании топлива энергия расходуется на нагревание воды, превращение ее в пар и нагревание пара. Струя пара высокого давления направляется на лопатки ротора паровой турбины и вращает его. Ротор турбины и ротор генератора имеют общую ось. Поэтому при вращении ротора турбины вращается и ротор генератора электрического тока. Турбина и генератор переменного тока осуществляют превращение механической энергии струи пара в энергию электрического тока. Гидроэлектрические станции обычно строят на реках. Русло реки перегораживают плотиной, создающей перепад уровней воды. Вращение гидравлической турбины потоком воды используется для приведения в действие электрического генератора. Генератор переменного тока. В генераторах переменного тока на тепловых и гидравлических электростанциях электромагнит (индуктор) является ротором, т. е. вращающейся частью машины (рис. 1.38). При вращении ротора 7 переменная ЭДС индукции возникает в обмотках 5, расположенных в неподвижной части генератора — статоре 4. Постоянный ток для питания обмотки индуктора 6 подводится от возбудителя 1 через щетки 3 к кольцам 2 на оси ротора. Напряжение снимается с выводов 8 обмотки статора (изображены выводы трех фаз и нулевого провода). Если ротор генератора имеет одну пару полюсов, то для получения в обмотках статора переменной ЭДС частотой 50 Гц, 4— А. А. Пинский 11 кл. 49 принятой в качестве стандартной в электрических сетях переменного тока, ротор должен вращаться с частотой 50 Гц, или 3000 об/мин. С такой частотой вращаются роторы генераторов тепловых электростанций, приводимые во вращение быстроходными паровыми турбинами (турбогенераторы). На гидроэлектростанциях скорость вращения ротора турбины значительно ниже. Для получения переменного тока со стандартной частотой / = 50 Гц при меньшей частоте вращения ротора генератора применяются многополюсные роторы. При вращении ротора с частотой п, в р раз меньшей стандартной частоты 50 Гц, он должен иметь р пар полюсов, т. е. р пар самостоятельных обмоток электромагнитов. Тогда частота переменной ЭДС, возбуждаемой в обмотке неподвижного якоря, будет равна 50 Гц: f = пр, где р — число пар полюсов ИЯ — частота вращения ротора. На рисунке 1.38 изображен генератор с двумя парами полюсов (р = 2). Конструирование и создание современных электрических генераторов является сложной научно-технической задачей. Приведем в качестве примера некоторые параметры турбогенератора мощностью 1,2 МВт, установленного на Костромской ГРЭС. Ротор генератора, на котором расположена обмотка возбуждения, имеет длину более 8 м, диаметр более 1 м, масса ротора 105 т. При таких размерах и вращении с частотой 3000 об/мин вибрация подшипников составляет лишь 30 мкм. Сила тока питания обмотки электромагнита ротора — 8000 А. Н Вопросы. 1. Как устроен генератор переменного тока? 2. Какие функции выполняют ротор и статор генератора? 3. Для чего служат кольца и щетки на роторе генератора переменного тока? 4. Почему частота вращения турбогенератора на тепловых электростанциях всегда равна 3000 об/мин? 5. Каким образом электрические генераторы на гидроэлектростанциях при малых скоростях вращения ротора вырабатывают переменный ток с частотой 50 Гц? 6. В чем преимущества электрической энергии по сравнению с другими видами энергий? ■ Задача для самостоятельного решения 15.1. Ротор электрического генератора длиной 7 м и диаметром 1,25 м вращается с частотой 3000 об/мин. Индукция магнитного поля 2 Тл. Определите амплитуду колебаний ЭДС индукции в одном витке обмотки статора. § 16*. Генератор трехфазного тока Трехфазный генератор. Значительную экономию электроэнергии и расходов на строительство линий электропередач дает применение трехфазных генераторов и трехфазной системы электропередачи (см. § 18). Трехфазную систему переменных токов впервые предложил использовать выдающийся русский электротехник Михаил Осипович Доливо-Доброволь- 50 в ский в 1888 г. Он же первым сконструировал и построил трехфазный генератор, трехфазный асинхронный электродвигатель и трехфазную линию электропередачи. Индуктором в генераторе трехфазного тока служит электромагнит, обмотка которого питается постоянным током. Индуктор является ротором, якорь генератора — статором. В пазах статора расположены три независимые электрические обмотки, сдвинутые в пространстве одна относительно другой на угол 120® (рис. 1.39). При вращении ротора с угловой скоростью со в каждой из трех обмоток возникает ЭДС индукции, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой со. Вследствие сдвига обмоток в пространстве фазы колебаний в них сдвинуты на 2к/д и 4я/3. Таким образом, один генератор трехфазного тока заменяет три генератора однофазного тока. Соединение фазных обмоток генератора между собой, при котором три конца фазных обмоток X, У, Z соединяют в общий узел О, называемый нейтральной или нулевой точкой генератора, а начала обмоток Ау В, С служат зажимами для подключения нагрузки (рис. 1.40), называется соединением звездой. Напряжение между началом и концом каждой фазной обмотки генератора называют фазным напряжением U^, а напряжение между началами любых двух фазных обмоток — линейным напряжением U^. Используя метод векторных диаграмм, можно доказать, что амплитуда колебаний линейного напряжения больше амплитуды колебаний фазного напряжения в >/3 раза: u, = Su^. Поэтому на электрощите в квартире при фазном напряжении 220 В линейное напряжение (напряжение между проводами двух фаз) равно yfs • 220 В ~ 380 В. Соединение обмоток трехфазного генератора, при котором конец X первой обмотки генератора соединяют с началом В второй фазной обмотки, конец У второй обмотки соединя- 4* 51 Рис. 1.41 ют с началом С третьей обмотки, а конец Z третьей обмотки соединяют с началом А первой обмотки (рис. 1.41), называется соединение ем треугольником. Используя метод векторных диаграмм, можно доказать, что при таком соединении обмоток трехфазного генератора сумма фазных ЭДС равна нулю: е = -I- ^2 + вз = 0. Следовательно, при отсутствии внешней нагрузки сила электрического тока в обмотках генератора равна нулю. При подключении генератора, обмотки которого соединены по схеме треугольника, к трехпроводной линии фазное напряжение оказывается равным линейному напряжению: и. = Пф. Ш Вопросы. 1. Опишите устройство генератора трехфазного тока. 2. Как осуществляется соединение фаз генератора звездой? 3. Как осуществляется соединение фаз генератора треугольником? 4. Какое напряжение называется фазным напряжением трехфазного генератора? 5. Какое напряжение называется линейным напряжением трехфазного генератора? ■ Задачи для самостоятельного решения 16.1. Докажите, что при соединении обмоток трехфазного генератора звездой амплитуда колебаний линейного напряжения больше амплитуды колебаний фазного напряжения в -Уз раза. 16.2. Докажите, что при соединении обмоток трехфазного генератора треугольником сумма фазных ЭДС равна нулю. § 17*. Асинхронный трехфазный двигатель Важнейшим достоинством трехфазной системы для современной промышленности является возможность создания и широкого использования в практике очень простых и надежных электродвигателей, принцип действия которых основан на использовании трехфазного тока. Статор трехфазного электродвигателя имеет такое же устройство, как и статор трехфазного генератора. Три обмотки электродвигателя подключают к трехфазной сети. Каждая обмотка электродвигателя создает переменное магнитное поле. Так как в любой момент времени модуль магнитной индукции В пропорционален силе тока i в катушке, то изменения индукции магнитных полей катушек различаются по фазе колебаний на 2я/3 и 4я/3. Если бы векторы магнитной индукции всех трех магнитных полей были направлены по одной прямой, то при таком сдвиге по фазе и одинаковой амплитуде колебаний сумма векторов магнитной индукции была бы равна нулю в любой момент времени. Однако в трех- 52 фазном электродвигателе обмотки сдвинуты друг относительно друга по окружности статора на угол 120° (рис. 1.42), Такой же угол образуют между собой векторы магнитной индукции в междуполюсном пространстве. Выполнив сложение векторов, можно убедиться, что модуль вектора магнитной индукции результирующего магнитного поля трех катушек является постоянным и равным: В = 1,5Во, где Bq — модуль амплитуды вектора индукции одной обмотки. Сам вектор В вращается в плоскости осей катушек с угловой скоростью со. Этот вывод можно проверить экспериментально, поместив во вращающееся магнитное поле трехфазного электродвигателя магнитную стрелку. Опыт показывает, что стрелка вращается с угловой скоростью со. Если во вращающееся магнитное поле поместить замкнутую металлическую рамку на оси, совпадающей с осью вращения поля, то вследствие вращения магнитного поля магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется. Это приводит к возникновению в рамке ЭДС индукции и индукционного тока. При взаимодействии вращающегося магнитного поля с током в рамке на каждую сторону рамки действуют силы Ампера. Эти силы поворачивают рамку в направлении вращения поля. По мере того как скорость вращения рамки приближается к скорости вращения магнитного поля, скорость изменения пронизывающего ее магнитного потока уменьшается, поэтому уменьшаются ЭДС индукции и сила электрического тока в рамке. Это приводит к уменьшению момента сил, действующих на рамку. При равенстве скоростей вращения магнитного поля и рамки ЭДС индукции и сила электрического тока в рамке равны нулю. Следовательно, и момент сил, вызывающих вращение рамки, становится равным нулю. Поэтому рамка в таком электродвигателе вращается всегда медленнее магнитного поля, т. е. несинхронно с ним. Электродвигатель, в котором вращающееся магнитное поле взаимодействует с током в обмотках ротора, индуцированным этим же магнитным полем, называют асинхронным электродвигателем. Вращающий момент на валу трехфазного асинхронного электродвигателя возрастает с уменьшением скорости вращения ротора и достигает максимального значения при остановке ротора. Наиболее широко применяют асинхронные трехфазные двигатели с короткозамкнутым ротором. В таких машинах 53 а) обмотка ротора представляет собой систему медных стержней (рис. 1.43, а), заложенных в пазы ротора из стальных пластин (рис. 1.43, б) и соединенных с торцов медными кольцами. Обмотку такого типа называют «беличьим колесом». Достоинствами асинхронного двигателя являются отсутствие скользящих контактов, которые быстро изнашиваются и создают радиопомехи, способность автоматически снижать потребление энергии при уменьшении нагрузки, простота в изготовлении и надежность в эксплуатации. Благодаря этим достоинствам большая часть всех электродвигателей, применяемых в технике, приходится на долю асинхронных двигателей. При изменении порядка включения начала и конца любой из обмоток статора (рис. 1.43, в) направление вращения магнитного поля изменяется на противоположное, поэтому для реверсирования (т. е. для изменения направления вращения ротора) трехфазного двигателя достаточно изменить порядок включения начала и конца одной из обмоток статора в сеть трехфазного тока. Рис. 1.43 В Вопросы. 1. Опишите устройство асинхронного двигателя трехфазного тока. 2. Каков принцип действия асинхронного двигателя трехфазного тока? 3. Как осуществляется соединение обмоток асинхронного двигателя трехфазного тока? 4. Почему обмотка ротора трехфазного асинхронного двигателя заложена в пазы сердечника из стальных пластин? 5. Когда вращающий момент трехфазного асинхронного двигателя больше — при малой скорости вращения или при больщой скорости вращения? § 18*. Передача и использование электрической энергии Передача электрической энергии. Передача электрической энергии на значительное расстояние от электростанции до большого города или промышленного центра является сложной научно-технической проблемой. Потери энергии в линии электропередачи прямо пропорциональны квадрату 54 силы электрического тока в линии и активному сопротивлению проводов линии: Q = I^Rt. (18.1) Для уменьшения потерь необходимо уменьшить силу тока в линии. Мощность тока равна произведению силы тока на напряжение. Чтобы при уменьшении силы электрического тока в линии не уменьшилась передаваемая мощность, следует во столько же раз увеличить напряжение. При высоких напряжениях (несколько сотен тысяч вольт) переменный ток передается на большие расстояния с относительно малыми потерями. Выбор напряжения в линии электропередачи определяется передаваемой мощностью и расстоянием. Пусть потребитель энергии — нагрузка — работает при напряжении U; мощность нагрузки Р = IU cos ф. Длина линии электропередачи (сокращенно ЛЭП) равна I, сечение проводов S; тогда сопротивление двухпроводной линии окажется _ 2р/ Q равным R = . Потеря мощности на проводах АР= — = I^R. t Поскольку I = и cos ф ’ то АР = 2p^p2 SI/2 COS^ ф (18.2) Мы видим, что при заданной мощности нагрузки Р и заданной длине линии передачи I уменьшение потерь возможно в основном за счет увеличения напряжения и коэффициента мощности. В самом деле, расстояние от электростанции до потребителя задано; удельное сопротивление медных или алюминиевых проводов известно; сечение проводов увеличивать практически невозможно из-за возрастания массы проводов. Остается повышение напряжения и коэффициента мощности. Если увеличить cos ф со значения 0,63 до 0,88, то потери мощности уменьшатся в 2 раза. Именно поэтому повышение cos ф имеет важное значение. Снижение потерь в линиях электропередач примерно в 2 раза и почти двойную экономию металла дает использование трехфазной системы передачи переменного тока. При сложении трех гармонических звуковых колебаний одинаковой частотой и амплитудой со сдвигом фазы 2л/3 и 4тс/3 амплитуда результирующих колебаний равна нулю (см. § 2). Точно такой же результат получается и при сложении электрических колебаний. Поэтому при подключении к выводам фазных обмоток трехфазного генератора, соединенных звездой, трех нагрузок, соединенных звездой (рис. 1.44), три провода, соединяющие точки О и О', можно объединить в один провод. Этот провод называют нейтральным или нулевым проводом. 55 Рис. 1.44 Рис. 1.45 При симметричной нагрузке = ^з) амплитуды колебаний силы тока во всех трех нагрузках одинаковы, но фазы колебаний различаются на 2л/3 и 4т1/3. В нулевом проводе эти токи складываются и сила тока равна нулю. Таким образом, в нем нет и потерь. При несимметричной нагрузке фаз, что имеет место в осветительных сетях (рис. 1.45), сила электрического тока в нулевом проводе не равна нулю, но значительно меньше, чем в фазных проводах А, В, С. Поэтому нулевой провод нельзя совсем исключить из линии электропередачи, но он может быть значительно более тонким. Использование энергии переменного тока. После преобразования механической энергии врапдающегося ротора генератора в энергию переменного тока переменный ток от генератора по проводам поступает к различным потребителям электрической энергии. Термин «потребитель электроэнергии» не означает, что существуют приборы или устройства, в которых энергия 56 исчезает. Закон сохранения и превращения энергии строго выполняется в любых физических процессах, происходящих в природе и технике. В любом потребителе энергия переменного тока не исчезает, а лишь превращается в другие виды энергии в равной количественной мере. В лампах накаливания, в спиралях электрических плит и электрических печей электрическая энергия переменного тока преобразуется во внутреннюю энергию нагреваемых тел. С помощью электрических двигателей энергия электрического тока преобразуется в механическую энергию. Электродвигатели приводят в действие станки на фабриках и заводах, электровозы и трамваи, троллейбусы и поезда метро. К достоинствам электрических машин следует отнести простоту управления, высокий КПД, полное отсутствие вредных отходов, загрязняющих окружающую среду. Важна также возможность питания от одного источника целого ряда потребителей разной мощности, зачастую работающих под разными напряжениями. В Вопросы. 1. В чем преимущества электрической энергии по сравнению с другими видами энергии? 2. Почему передачу электрической энергии на большие расстояния выгодно осуществлять при высоком напряжении? 3. Какова роль трансформаторов в линиях электропередач? 4. Начертите схему передачи электрической энергии от генератора к потребителю. В Задачи для самостоятельного решения 18.1. На какое расстояние можно передавать электроэнергию по медным проводам площадью поперечного сечения 16 мм^ при напряжении 10 кВ, если требуется осуществить передачу мощности 100 кВт с потерями на нагревание проводов не более 5% (cos <р = 1)? 18.2. Какая доля энергии теряется в линии электропередачи под напряжением 35 кВ при передаче мощности 1 МВт на расстояние 50 км по алюминиевым проводам площадью поперечного сечения 25 мм^ (cos ф = 0,67)? Глава 2 Электромагнитные волны и физические основы радиотехники §19. Открытие электромагнитных волн Гипотеза Максвелла. Английский физик Джеймс Клерк Максвелл создал теорию электромагнетизма, обобщив представления Майкла Фарадея об электрических и магнитных полях. Согласно представлениям Фарадея пространство вокруг электрического заряда даже в отсутствие атомов вещества не является совершенно пустым: в нем существует непрерывное электрическое поле. Взаимодействие заряженных тел осуществляется через их электрические поля. Столь же реальными, как и электрические силовые линии, Фарадей считал силовые линии магнитного поля (линии индукции). Теория, основанная на представлениях о существовании непрерывного в пространстве электромагнитного поля и конечной скорости передачи изменений в этом поле от одной точки пространства к другой, получила название теории близкодей-ствия. Многим современникам Фарадея его гипотеза о существовании электрических и магнитных полей как физической реальности казалась надуманной и ненужной, так как все известные в то время электрические и магнитные явления получали полное качественное и количественное описание в рамках теории дальнодействия. Согласно этой теории электрические заряды действуют непосредственно друг на друга на любом расстоянии; это действие распространяется на любое расстояние мгновенно с бесконечно большой скоростью. Ответить на вопрос о том, какая из теорий справедлива — дальнодействия или близкодействия, — мог только эксперимент. В 1831 г. Фарадей установил, что любое изменение магнитного поля вызывает возникновение в окружающем пространстве индукционного электрического поля. Линии напряженности этого поля замкнуты, поэтому его называют вихревым полем (рис. 2.1). Касательная к линии напряженности индукционного электрического поля перпендикулярна вектору магнитной индукции в данной точке пространства; следовательно, вектор В магнитной индукции и вектор Е напряженности индукционного электрического поля взаимно перпендикулярны. Дж. К. Максвелл в 1864 г. предположил, что любое изменение напряженности электрического поля сопровождается возникновением вихревого магнитного поля. Линии магнитной индукции этого поля замкнуты, они расположены вокруг 58 Рис. 2.1 В ^ CU? линии напряженности переменного электрического поля точно так же, как вокруг проводников с электрическим током (рис. 2.2). Согласно гипотезе Максвелла процесс взаимного порождения электрическим полем магнитного поля и магнитным полем электрического поля может неограниченно распространяться, захватывая все новые и новые области окружающего пространства. Распространяющиеся в пространстве переменные электрическое и магнитное поля, порождающие взаимно друг друга, и есть электромагнитная волна (рис. 2.3). В свободном пространстве переменное электромагнитное поле распространяется в виде электромагнитной волны, у которой векторы Е и В перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Таким образом, электромагнитная волна является поперечной волной. Скорость и распространения электромагнитной волны в веществе согласно теории Максвелла равна: * (19.1) V = где е и р соответственно электрическая и магнитная проницаемости вещества; Eq = 8,854188 • 10"^^ Ф/м и Ро = = 1,256637 • 10 ® Гн/м — электрическая и магнитная постоянные. Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме (е = р = 1) является фундаментальной величиной и обозначается буквой с: с == 2,99792458 • 10® м/с. (19.2) о 59 Для подтверждения гипотезы Максвелла требовалось экспериментально обнаружить электромагнитные волны, измерить скорость их распространения и сравнить полученный результат с теоретически предсказанным. Экспериментальное открытие электромагнитных волн. Изменение магнитного поля происходит при изменении силы тока в проводнике, а сила тока в проводнике изменяется при изменении скорости движения электрических зарядов в нем, т. е. при движении зарядов с ускорением. Следовательно, электромагнитные волны должны возникать при ускоренном движении электрических зарядов. Электромагнитные волны были впервые экспериментально обнаружены Генрихом Герцем в 1887 г. В его опытах ускоренное движение электрических зарядов возбуждалось в двух металлических проволоках с шарами на концах. Проволоки с шарами имели определенную индуктивность и электроемкость и представляли собой электрический колебательный контур — вибратор. При сообщении шарам достаточно больших разноименных зарядов между ними происходил электрический разряд и в электрическом контуре возникали свободные электрические колебания. Поместив на некотором расстоянии от этого контура виток проволоки с двумя шарами на концах — резонатор (рис. 2.4), Герц обнаружил, что при искровом разряде между шарами вибратора маленькая искра возникает и между шарами резонатора. Следовательно, при электрических колебаниях в электрическом контуре в результате ускоренного движения электронов в пространстве возникает вихревое переменное электромагнитное поле. Это поле и создает электрический ток во вторичном контуре — резонаторе. Измерив частоту v гармонических колебаний в контуре и длину X электромагнитной волны. Герц определил скорость V электромагнитной волны: V = Х\. Значение скорости электромагнитной волны, полученное в эксперименте Г. Герца, совпало со значением скорости электромагнитной волны, предсказанным на основе гипотезы Максвелла. Таким образом, гипотеза Максвелла о существовании электромагнитных волн превратилась в теорию электромагнитных волн и представления Фарадея о существовании электрических и магнитных полей как физической реальности получили экспериментальное подтверждение. В области электромагнитных взаимодействий правильной оказалась Рис. 2.4 теория близкодействия. 60 Н Вопросы. 1. Как объяснялись электрические и магнитные взаимодействия теорией дальнодействия? 2. Как объяснялись электрические и магнитные взаимодействия теорией близкодействия? 3. В чем заключалась гипотеза Максвелла? 4. Какова скорость распространения электромагнитных волн? 5. Какими опытами было доказано существование электромагнитных волн? 6. При каких условиях возникают электромагнитные волны? 7. Какие функции выполняли вибратор и резонатор в опытах Герца? § 20*. Генерация электромагнитных волн Излучение электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом. Возникновение электромагнитных волн при ускоренном движении электрических зарядов можно объяснить, используя представления Фарадея о линиях напряженности электрического поля, связанного с электрическим зарядом, и о конечной скорости распространения изменений электрического поля в пространстве. Пусть точечный положительный заряд q движется по прямой сначала с постоянной скоростью V (рис. 2.5), а затем равнозамедленно в течение времени т с ускорением я V а = - X (20.1) и останавливается в точке О. Выясним, какой вид имеет картина линий напряженности электрического поля спустя время t после остановки заряда в точке О, если изменения электрического поля распространяются со скоростью с. Так как с момента начала торможения заряда прошло время ^ + т, то возмущение электрического поля распространится на расстояние ro = c{t + т). (20.2) За пределами сферы радиусом Tg поле должно иметь такой вид, какой оно имело бы, если бы заряд q продолжал двигаться равномерно со скоростью v. Но если бы заряд действительно двигался после достижения точки О, то он к моменту времени t + х находился бы в точке на расстоянии OOj = vt от точки О. Следовательно, линии напряженности электрического поля за пределами сферы радиусом являются прямыми, проходящими через точку Oj. Но на самом деле в течение времени t заряд неподвижен и находится в точке О. За время t электрическое поле неподвижного заряда устанавливается в пределах сферы радиусом г^ = г = ct. (20.3) 61 Чтобы выяснить, какие изменения происходят в электрическом поле при движении заряда с ускорением а в течение времени т, найдем за пределами сферы радиусом rg продолжения каждой линии напряженности электрического поля, выходящей из сферы радиусом Из рисунка 2.6 видно, что на всех линиях напряженности, кроме линий, совпадающих по направлению с вектором скорости движения заряда, образуется излом. Таким образом, опираясь на представления Фарадея о силовых линиях электрического поля, мы установили, что торможение электрического заряда, двигавшегося ранее равномерно со скоростью V, приводит к возникновению излома на линиях напряженности и перемещению этого излома со скоростью с. Излом линий напряженности электрического поля свидетельствует о том, что при ускоренном движении электрического заряда возникает составляющая вектора напряженности электрического поля, направленная перпендикулярно радиус-вектору, т. е. прямой, соединяющей данную точку поля с электрическим зарядом. Найдем значение этой составляющей вектора напряженности на расстоянии г от заряда q в направлении под углом 0 к вектору скорости v. Приближенный вывод, приводимый далее, основан на использовании свойства независимости кулоновской составляющей вектора напряженности электрического поля от скорости и ускорения движения: Е^ = 4я£оГ 2 ■ (20.4) 62 Как видно из рисунка 2.6, поперечная составляющая вектора напряженности равна: = (20.5) где tg а = AD/BD. Так как AD = О^К = vt sin 0, а BD ~ AF = ст, то tg а = AD/BD ~ O^KjAF = (20.6) сх Подставляя в выражение (20.5) выражения (20.4) и (20.6), а затем выражения (20.1) и (20.3), получаем: qvt sin 0 qa sin 0 E 47C8o/"^ct 4т1гхеоС^ (20.7) Таким образом, при движении электрического заряда q с ускорением а в произвольной точке А пространства, которой достигло изменение электрического поля, возникает нормальная составляющая Е^ вектора напряженности электрического поля. Модуль этой составляющей прямо пропорционален модулю ускорения заряда, обратно пропорционален первой степени расстояния г от точки поля до заряда и зависит от угла 6 между радиус-вектором г, соединяющим заряд с данной точкой поля, и вектором ускорения а. Излучение электромагнитных волн гармонически колеблющимся электрическим зарядом. Если электрический заряд совершает колебания вдоль оси ОХ по гармоническому закону: X = cos coi, то модуль ускорения изменяется со временем по закону: а = I дг"| = (О^л:^ cos (at. (20.8) Подставив выражение (20.8) в формулу (20.7), получим cosot sin 0 4лГ£оС^ (20.9) Следовательно, если электрический заряд совершает гармонические колебания частотой со и амплитудой вдоль прямой ОХ, то в произвольной точке А на расстоянии г от заряда возникает переменное поле, у которого составляющая £( вектора напряженности направлена перпендикулярно прямой О А, а ее модуль изменяется со временем по такому же гармоническому закону. Амплитуда колебаний нормальной составляющей напряженности поля прямо пропорциональна квадрату частоты колебаний, т. е. со^. Плотность энергии электрического поля в вакууме равна: 63 плотность энергии магнитного поля равна: Wb = 2йо ’ Из теории Максвелла следовало, что в электромагнитной волне, излучаемой электрическим зарядом при гармонических колебаниях, плотность энергии магнитного поля равна плотности энергии электрического поля. Поэтому плотность энергии электромагнитного поля, излучаемого электрическим зарядом при гармонических колебаниях, пропорциональна четвертой степени частоты: W = Wb + Wb = ~ (20.10) Пропорциональность излучаемой энергии электромагнитной волны четвертой степени частоты обусловливает необходимость использования для радиосвязи волн с частотами не ниже 150 кГц. То, что напряженность Е^_ электрического поля в электромагнитной волне убывает обратно пропорционально лишь первой степени расстояния от источника, обеспечивает возможность радиосвязи на больших расстояниях. В Вопросы. 1. Излучает ли электромагнитные волны электрический заряд, движущийся равномерно? 2. Чем отличается электрическое поле заряда, движущегося с ускорением, от поля неподвижного заряда? 3. Какова зависимость энергии электромагнитной волны от частоты колебаний электрического заряда? Какую роль это играет в радиотехнике? 4. Как зависит энергия электромагнитной волны в данной точке поля от расстояния до колеблющегося заряда? Какую роль это играет в радиотехнике? В Примеры решения задач Задача 1. Оцените, во сколько раз потребовалось бы увеличить мощность радиопередатчика при переходе с частоты Vj = 1 МГц на частоту V2 = 1 кГц для обеспечения одинаковой мощности излучения. Решение. Так как мощность излучения ускоренно движущегося заряда прямо пропорциональна четвертой степени частоты, то Р2 v| VIO^ ) Следовательно, при одинаковой амплитуде колебаний силы электрического тока в антенне мощность излучения электромагнитных волн на частоте 1 кГц в 10^^ раз меньше мощности излучения на частоте 1 МГц. Для достижения равной мощности излучения потребовалось бы увеличить мощность генератора в 10^^ раз, т. е. в тысячу миллиардов раз! Задача 2. Современные средства космической связи обеспечивают возможность устойчивой радиосвязи с автоматической станцией на поверхности планеты Марс. Приняв максимальный радиус действия аппаратуры космической связи равным наибольшему расстоянию от Земли до Марса — 400 миллионов километров, определите, каким было бы 64 максимальное расстояние связи с помощью этой аппаратуры, если бы напряженность электрического поля в электромагнитной волне убывала пропорционально квадрату расстояния. Решение. Обозначим напряженность электрического поля в электромагнитной волне на расстоянии 1 км от передаюш;ей антенны передатчика через Eq. При убывании напряженности электрического поля в электромагнитной волне пропорционально первой степени расстояния напряженность электрического поля в электромагнитной волне на расстоянии Tj = 4 • 10* км равна: i:. = При условии убывания напряженности электрического поля в электромагнитной волне пропорционально квадрату расстояния такое же значение напряженности будет на расстоянии rg, определяемом из уравнения \2 ^2 ~ -^0 1 !л .^2 2 = > ' ^2 Еу=Е 2> = 2-10^ км. Расстояние 20 000 км в 20 раз меньше расстояния до Луны. Следовательно, при условии убывания напряженности электрического поля в электромагнитной волне пропорционально квадрату расстояния существующие средства радиосвязи не смогли бы обеспечить не только связь с межпланетными космическими аппаратами, но даже связь с космонавтами на Луне. ■ Задачи для самостоятельного решения 20.1. Солнечной постоянной называется поверхностная плотность потока излучения, получаемого от Солнца, на границе земной атмосферы. Она равна 1,36 кBт/м^. Определите среднюю плотность энергии солнечного излучения на орбите Земли. 20.2. Определите амплитуду колебаний напряженности электрического поля электромагнитного излучения, посылаемого на Землю Солнцем, на границе земной атмосферы. 20.3. Амплитуда колебаний напряженности электрического поля в электромагнитной волне равна Е. Чему равна амплитуда колебаний индукции В магнитного поля? § 21. Отражение электромагнитных волн Отражение электромагнитных волн. В первых опытах по обнаружению электромагнитных волн Генрих Герц установил, что электромагнитные волны способны отражаться от поверхностей твердых тел. Дальнейшие исследования показали, что отражение электромагнитных волн происходит не только от поверхностей твердых тел, но и от поверхностей жидкостей и даже на границах раздела газов с различными физическими параметрами. 5— л. А. Пинский 11 кл. 65 Для выполнения опытов по изучению свойств электромагнитных волн можно воспользоваться генератором электромагнитных волн длиной волны около 3 см. Электромагнитные волны, возбуждаемые генератором, излучаются антенной передатчика, изготовленной в виде металлического рупора. Антенна приемника электромагнитных волн имеет такую же форму, как и антенна передатчика. В приемной антенне установлен кристаллический диод, превращающий высокочастотный переменный электрический ток, возбужденный в антенне падающей на нее электромагнитной волной, в последовательность электрических импульсов одной полярности, которую можно зарегистрировать прибором постоянного тока. Опыты с передачей и приемом электромагнитных волн показывают, что от поверхности диэлектрика электромагнитные волны отражаются слабо, от поверхности металла отражаются почти без потерь. Если антенну генератора направить на металлическую пластину, то антенна приемника обнаруживает электромагнитные волны при условии равенства углов падения и отражения (рис. 2.7). Способность металлов хорошо отражать электромагнитные волны объясняется тем, что при падении электромагнитной волны на поверхность металла в нем под действием переменного электрического поля возбуждаются вынужденные колебания свободных электронов. Частота вынужденных колебаний электронов равна частоте электромагнитной волны. Вся энергия падающей электромагнитной волны затрачивается на возбуждение вынужденных колебаний электронов в металлах, поэтому электромагнитные волны не проходят сквозь металлические предметы, а отражаются от них. При замене металлической пластины пластиной из диэлектрика отраженный сигнал значительно ослабляется. В диэлектриках под действием электромагнитной волны колеблются связанные электроны. Амплитуда вынужденных колебаний связанных электронов в диэлектрике много меньше амплитуды колебаний электронов проводимости в металлах, поэтому отражение от диэлектрика менее эффективно. Рис. 2.7 66 X. Гюйгенс Отражение электромагнитных волн используется в радиосвязи на коротких волнах, в радиолокации (см. § 29). Принцип Гюйгенса. Закон отражения электромагнитных волн получает объяснение на основе принципа, сформулированного в 1690 г. нидерландским физиком Христианом Гюйгенсом. Согласно принципу Гюйгенса каждая точка поверхности, которой достигла в данный момент волна, является точечным источником вторичных волн. Совокупность точек, до которых дошел процесс распространения волны, называется волновой поверхностью или волновым фронтом. Все точки, принадлежащие одной волновой поверхности, колеблются одинаково, т. е. синфазно. Линия, перпендикулярная волновой поверхности, называется лучом (рис. 2.8). Луч определяет направление передачи энергии волной. Закон отражения электромагнитных волн. Рассмотрим процесс возникновения отраженной волны при падении волны с плоским фронтом на плоскую поверхность раздела двух сред. Угол между перпендикуляром к границе раздела двух сред и лучом падающей волны называется углом падения волны, угол и между перпендикуляром, и лучом отраженной волны — углом отражения волны. Если угол падения отличен от нуля, то падающая волна достигает различных точек границы раздела двух сред в различные моменты времени. В тот момент времени, когда колебания, распространяющиеся вдоль луча МА падающей волны (рис. 2.9), достигают границы раздела двух сред, точка А согласно принципу Гюйгенса становится источником вторичных волн. За время т, пока границы раздела в точке В достигнет участок волнового фронта, отмеченный лучом ND, вторичные волны от точки А распространятся по лучу АС отраженной волны на расстояние АС = их. Прямой ВС на рисунке 2.9 отмечено положение фронта отраженной волны в тот момент времени, когда коле- Луч Рис. 2.8 5* 67 бания, распространяющиеся вдоль луча NDy достигают границы раздела в точке В. Падающая и отраженная волны распространяются в одной и той же среде, скорости их одинаковы. Поэтому за одно и то же время они проходят одинаковые расстояния DB = АС = их. Из равенства катетов АС и DB двух прямоугольных треугольников АСВ и ADB с общей гипотенузой АВ следует равенство этих треугольников. Поэтому ZDAB = = ZCBA. Этим углам равны соответственно угол падения а и угол отражения у как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, углы а и у равны между собой. Этот вывод, полученный теоретически на основании принципа Гюйгенса, подтверждается на опыте. Поэтому он называется законом отражения волн. Согласно закону отражения волн луч падающей волны, луч отраженной волны и перпендикуляр к границе раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости; угол отражения равен углу падения. Ш Вопросы. 1. в чем состоит принцип Гюйгенса? 2. Что называется волновой поверхностью? 3. Что такое луч? 4. При каком условии наблюдается явление отражения электромагнитных волн? 5. Как формулируется закон отражения волн? 6. Почему электромагнитные волны хорошо отражаются от поверхностей металлических тел и слабо отражаются от поверхностей тел из диэлектриков? 7. Хорошо ли отражает электромагнитные волны морская вода? § 22. Преломление электромагнитных волн Наблюдение явления преломления электромагнитных волн. На границе раздела двух сред может происходить не только отражение волн, но и проникновение их во вторую среду с изменением направления распространения. Изменение направления распространения волн на границе раздела двух сред называется преломлением волн. Для наблюдения явления преломления электромагнитных волн можно использовать трехгранную призму, заполненную 68 vit_____^ Q^iiCsase Д111 о о ^ о f §' tr о к о О -о £ Рис. 2.10 диэлектриком (парафином). Рупор передающей антенны направляют под таким углом к горизонту, чтобы электромагнитные волны проходили немного выше приемной антенны. При этом волны не регистрируются приемником. При внесении призмы из диэлектрика в область между передающей и приемной антеннами, как это показано на рисунке 2.10, стрелка гальванометра отклоняется, свидетельствуя о попадании электромагнитных волн в приемную антенну. Следовательно, электромагнитные волны испытали преломление на границах раздела сред воздух — парафин и парафин — воздух. Изучение явления преломления волн показало, что при переходе электромагнитных волн из одной среды в другую выполняется закон преломления, получаемый теоретически на основании использования принципа Гюйгенса. Закон преломления волн. Рассмотрим процесс возникновения преломленной электромагнитной волны при падении волны с плоским фронтом на плоскую поверхность раздела двух различных сред. Скорость распространения волн в первой среде обозначим через v^, во второй — через Ug (^2 < Если угол падения отличен от нуля, то падающая волна достигает различных точек границы раздела двух сред в различные моменты времени. В тот момент времени, когда участок падающей волны, отмеченный лучом МА (рис. 2.11), достигнет границы раздела двух сред, точка А согласно принципу Гюйгенса становится источником вторичных волн. За то время т, пока в первой среде границы раздела достигнет участок волнового фронта, отмеченный лучом ND, волны во второй среде от точки А распространятся на расстояние АС = UgT. 69 Положение фронта преломленной волны в тот момент времени, когда колебания вдоль луча ND достигают границы раздела в точке В, отмечено на рисунке 2.11 прямой ВС. Угол падения МАК (а) равен углу DAB, а угол преломления LAC ((3) равен углу СВА как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Найдем отношение синуса угла падения к синусу угла преломления: sin а _ BDj АВ BD sin Р АС/ АВ АС' Так как BD = и АС = V2I, то sin a/sin Р = lij/yg. (22.1) Таким образом, на основании принципа Гюйгенса получаем закон преломления волн: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к границе раздела двух сред лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления не зависит от угла падения и равно отношению скоростей распространения волн в первой и во второй средах. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления называется относительным показателем преломления: sin а yj '• o' — — ^21 ■ sin Р V2 (22.2) Из закона преломления (22.1) следует, что если скорость распространения волн во второй среде меньше, чем в первой, то угол преломления р меньше угла падения а и преломленный луч приближается к перпендикуляру. Если же скорость распространения волн во второй среде больше, чем в первой, то угол преломления больше угла падения и преломленный луч удаляется от перпендикуляра. Из формулы (19.1) следует, что в среде с электрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц = 1 скорость V распространения электромагнитных волн равна: V = (22.3) Поэтому относительный показатель преломления электромагнитных волн на границе раздела сред с электрическими проницаемостями и 82 равен: ^’2 V ^1 (22.4) Отношение скорости распространения электромагнитной волны в вакууме к скорости распространения в данной среде называется абсолютным показателем преломления данной среды: п = c/v = л/е. (22.5) 70 Относительный показатель преломления на границе раздела двух сред равен отношению абсолютных показателей этих сред: _Ol c/v2 П2 hi Ппл — — V2 C/Uj (22.6) В Вопросы. 1. Почему на границе раздела двух сред происходит преломление электромагнитных волн? 2. При каких условиях изменяется направление распространения электромагнитных волн на границе раздела двух сред? 3. Сформулируйте закон преломления волн. 4. При каком условии электромагнитные волны при прохождении через две грани трехгранной призмы отклоняются к ее третьей грани? В Задачи для самостоятельного решения 22.1. Определите скорость распространения электромагнитных волн в парафине и абсолютный показатель преломления этого вещества. Диэлектрическая проницаемость парафина равна 2. 22.2. Электромагнитная волна падает из воздуха на пластину из плексигласа под углом 60°. Найдите угол преломления. Диэлектрическая проницаемость плексигласа равна 4. 22.3. Найдите относительный показатель преломления при переходе электромагнитной волны из парафина в плексиглас ~ 2. Епл = § 23. Интерференция электромагнитных волн Интерференция электромагнитных волн. Исследования свойств электромагнитных волн показали, что в каждой точке, которой достигают волны от разных источников с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз, амплитуда колебаний, вызванных действием нескольких волн, в любой момент времени равна векторной сумме амплитуд каждой волны в отдельности. Это значит, что электромагнитные волны подчиняются принципу суперпозиции. Амплитуда колебаний равна нулю в тех точках пространства, в которые волны с одинаковой амплитудой приходят в противоположных фазах. Сдвиг по фазе при этом оказывается равен к или (2k + 1) к. При одинаковом законе колебаний двух источников волн различие на половину периода колебаний будет при условии, что разность расстояний А = h — I2 от источников волн до этой точки равна половине длины волны или любому нечетному числу полуволн (рис. 2.12, а). Величина Д называется разностью хода интерферирующих волн, а условие: д = Zj -/2 = (2fe + 1) V2 (23.1) называется условием интерференционного минимума. Интерференционные максимумы наблюдаются в точках пространства, в которые волны приходят с одинаковой фазой колебаний (рис. 2.12, б). При одинаковом законе колебаний 71 двух источников должно выполняться условие равенства разности хода нулю либо целому числу длин волн: А = 1^-1^ = kX. (23.2) Явление увеличения или уменьшения амплитуды резуль-тируюпдей волны при сложении двух или нескольких волн с одинаковыми частотами (периодами) колебаний называется интерференцией волн. При интерференции амплитуда результирующих колебаний в разных точках пространства имеет различные значения, а расположение в пространстве максимумов и минимумов с течением времени не изменяется. Явление интерференции волн не противоречит принципу суперпозиции. В точках с нулевой амплитудой колебаний две встречные волны не гасят друг друга, обе они без изменений распространяются далее. Точно так же в точках с максимумами амплитуды волны не усиливают друг друга, после встречи волны распространяются независимо. Меняется лишь суммарная амплитуда в месте встречи этих волн. Для наблюдения интерференции электромагнитных волн можно установить рупор передатчика в горизонтальной плоскости и поставить напротив него на расстоянии 1,5—2,0 м приемник. Примерно на середине расстояния между ними нужно поместить металлический экран с двумя вертикальными щелями (рис. 2.13). Опыт показывает, что в этом случае приемник регистрирует максимальную интенсивность излучения в направлении перпендикуляра к поверхности металлического экрана, проходящего посередине между щелями. Рис. 2.13 72 При смещении приемника волн вправо или влево от этого перпендикуляра интенсивность сначала убывает, затем возрастает, потом снова убывает и так далее несколько раз. Таким образом обнаруживается явление интерференции электромагнитных волн. Стоячая волна. Процесс распространения электромагнитной волны в пространстве описывается уравнением волны. Для электромагнитной волны с плоским фронтом, перпендикулярным оси ОХу уравнение волны в вакууме имеет вид Е = cos (О (t - Af) = Е^ cos со (t - х/с)у (23.3) где Е^ — амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля около источника колебаний, расположенного в начале координат; с — скорость света в вакууме; Е — напряженность поля электромагнитной волны с частотой (О в момент времени t в точке с координатой х; At — интервал времени, за который волна проходит расстояние х. Колебания векторов напряженности Е и индукции В в свободной электромагнитной волне происходят в одной и той же фазе (синфазно), поэтому зависимость модуля вектора индукции В от времени t и координаты х описывается аналогичным уравнением. При этом вектор В перпендикулярен вектору и оба они перпендикулярны оси ОХ. Рассмотрим процесс отражения плоской электромагнитной волны от плоского экрана, параллельного фронту волны. Пусть отражение происходит без потерь энергии и в той же фазе, в какой приходит к экрану падающая волна. Отраженная волна начинает распространяться вдоль оси абсцисс справа налево, встречаясь и складываясь с волной, бегущей слева направо. По принципу суперпозиции напряженность электрического поля в точке с координатой х на оси ОХ равна сумме напряженностей падающей и отраженной волн: Е = Е^ cos (£> (t - х/с) + Е„ cos со (i -f х/с). (23.4) Преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле п а-Р а + р cos а -I- cos р = 2 cos ^ cos —-—, получим Е = 2Е^ cos со (jr/c) cos со^ = Eq cos cot, (23.5) где Eq = 2E cos со (х/с) — амплитуда колебаний напряженности в точке с координатой Ху не зависящая от времени. Итак, в результате сложения бегущей и отраженной волн мы получили новую волну, у которой фаза не зависит от координаты, но амплитуда колебаний от координаты зависит. Такая волна называется стоячей волной. У стоячей волны есть точки, где амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны (рис. 2.14). 73 Найдем их координаты, полагая Eq = 2Е^ cos со (х/с) = 0. Косинус равен нулю, если его аргумент равен нечетному числу я/2. Следовательно, 2пх сох с Отсюда получаем, что координаты узлов определяются из условия: = (2т -I- 1) (23.6) У стоячей волны есть также точки, где амплитуда стоячей волны вдвое больше амплитуды бегуш;ей волны. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Очевидно, что мы получим координаты пучностей, положив cos со (х/с) = ±1, для чего необходимо, чтобы выполнялось условие: 2кх п я = тк = 2т —, л. 2 откуда следует, что координаты пучностей удовлетворяют соотношению: ^^пуч = 2т (23.7) Экспериментальное обнаружение интерференции с образованием стоячих волн было решающим фактором при открытии электромагнитных волн Генрихом Герцем. Установив вибратор в фокусе вогнутого цилиндрического зеркала и отражающий металлический экран на расстоянии 6—10 м от вибратора (см. рис. 2.14), он обнаружил, что интерсреренци-онные максимумы наблюдаются на расстоянии примерно 33, 65 и 98 см от экрана. Расстояние между двумя соседними интерференционными максимумами равно половине длины электромагнитной волны. Следовательно, длина волны в опыте была равна примерно 66 см. По известной частоте электромагнитных колебаний в контуре v = 4,6 • 10® Гц и измеренно- 74 му значению длины электромагнитной волны Герц определил скорость распространения электромагнитных волн: с = Xv = 0,66 • 4,6 • 10^ м/с = 3,06 • 10® м/с. Этот результат был важным экспериментальным подтверждением гипотезы Максвелла о существовании электромагнитных волн. Интерференция и закон сохранения энергии. Существование интерференционных минимумов в местах встречи волн с противоположными фазами ставит вопрос о выполнимости закона сохранения энергии в волновых процессах. Куда исчезает энергия двух волн в местах интерференционных минимумов? Если рассматривать колебания только в одной точке, то на такой вопрос нельзя дать правильный ответ. Но распространение волн недопустимо рассматривать как совокупность независимых колебаний в отдельных точках пространства. Сущность волнового процесса заключается в передаче энергии колебаний из одних точек пространства в другие и т. д. При интерференции волн в местах интерференционных минимумов энергия результирующих колебаний действительно меньше суммы энергий интерферирующих волн. Но в местах интерференционных максимумов энергия результирующих колебаний превышает сумму энергий интерферирующих волн ровно на столько, на сколько уменьшилась энергия в местах интерференционных минимумов. При интерференции волн энергия колебаний перераспределяется в пространстве, при этом закон сохранения энергии строго выполняется. Ш Вопросы. 1. Какое явление доказывает справедливость принципа суперпозиции при распространении электромагнитных волн? 2. В каких опытах наблюдается явление интерференции электромагнитных волн? 3. Каковы условия максимума и минимума при интерференции волн? 4. При каких условиях наблюдается явление интерференции волн? 5. Как согласуется факт прекращения колебаний в местах интерференционных минимумов с законом сохранения энергии? 6. Как возникает стоячая волна? 7. Все ли точки стоячей волны колеблются с одинаковой амплитудой? 8. Что такое пучность и что такое узел стоячей волны? 9. Каково расстояние между двумя ближайшими пучностями стоячей волны? ■ Пример решения задачи Задача. Две антенны, находящиеся на расстоянии L = 100 м друг от друга, излучают когерентные электромагнитные волны на частоте 10^ Гц. На каких расстояниях х от одной из антенн на прямой, соединяющей антенны, находятся точки интерференционных максимумов? Решение. Запишем условие интерференционного максимума: Д/ = пХ. (1) Разность хода равна: AZ = I д: - (L - д:) I = 2х - L (2) 75 Из уравнений (1) и (2) следует: \2x-L\ = nX, 2x-L = ±nX, х = ^±^, . U . 3-108 к = —, К=------= 30 м. V 10^ Из уравнений (3) и (4) получаем искомые значения: (3) (4) л = 0, = 50 м; , JC2 = 35 м. ^3 = , ЛГ4 = 20 м. Хд = 1, ^6 = : 5 М, Xrj - 1 ■ Задачи для самостоятельного решения 23.1. По условию примера решения задачи найдите расстояния до точек интерференционных минимумов. 23.2. Две антенны, находящиеся на расстоянии 120 м друг от друга, излучают когерентные электромагнитные волны на частоте 10^ Гц. Определите значения угла ф между перпендикуляром к прямой, соединяющей антенны, и направлением распространения волн, при которых интенсивность сигнала принимает максимальные значения. § 24. Дифракция электромагнитных волн При исследовании прохождения электромагнитных волн через отверстия в непрозрачном экране было обнаружено, что если размеры отверстия значительно больше длины волны, то волны проходят через отверстие и распространяются почти прямолинейно по первоначальному направлению луча. При уменьшении размеров отверстия в преграде на пути волн картина распространения волн за отверстием изменяется. Чем меньше отверстие, тем большее отклонение от прямолинейного направления распространения испытывают волны. Отклонение направления распространения волн от прямолинейного 1"'| °1 III: Рис. 2.15 76 о. Френель у края преграды называется дифракцией волн (от лат. diffractus — разломанный). Дифракцию электромагнитных волн можно наблюдать в опытах с генератором сан-,тиметровых электромагнитных волн. Приемник волн позволяет обнаружить, что электромагнитные волны заходят за непрозрачный для них алюминиевый диск. При перемещении приемника за щелью в металлическом экране (рис. 2.15) обнаруживается чередование минимумов и максимумов амплитуды колебаний. Явление, наблюдаемое при встрече волн с преградами, объяснил в 1816 г. французский физик Огюст Френель на основе дополнения принципа Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Отсутствие волн в стороне от направления луча первичной волны за широким отверстием согласно принципу Гюйгенса — Френеля объясняется тем, что вторичные волны, испускаемые разными участками отверстия, интерферируют между собой. Волны отсутствуют в тех местах, в которых для вторичных волн от разных участков выполняются условия интерференционных минимумов. Интерференцией вторичных волн, испускаемых различными участками волнового фронта на отверстии в экране или за краем экрана, объясняется обнаружение чередующихся максимумов и минимумов у края тени. Н Вопросы. 1. В чем заключается явление дифракции волн? 2. При каких условиях наиболее четко наблюдается явление дифракции? 3. Как объясняется явление дифракции? 4. В каких опытах обнаруживается дифракция электромагнитных волн? § 25. Поляризация волн Интерференция и дифракция наблюдаются при распространении как продольных, так и поперечных волн. Однако поперечные волны обладают одним свойством, которое не присуще продольным волнам. Это — возможность поляризации волн (от Греч, polos, лат. polus — конец оси, полюс). Термин «поляризация» применительно к свету впервые ввел И. Ньютон в 1704—1706 гг. Линейнополяризованной (или плоскополяризованной) называется поперечная волна, у которой колебания происходят в одной плоскости. Плоскополя-ризованная волна в резиновом шнуре получается при колебаниях конца шнура в одной плоскости. Если же конец шнура колеблется в различных направлениях, то волна, распространяющаяся вдоль шнура, не поляризована. Такую поперечную волну называют естественной. Поляризацию естественной упругой волны можно осуществить, поставив на ее пути две параллельные пластины 77 Рис. 2.16 С узкой щелью между ними. Щель пропускает только те колебания шнура, которые происходят в плоскости пластин. Поэтому волна после прохождения щели становится поляризованной в этой плоскости. Если далее на пути плоско-поляризованной волны поставить вторую систему пластин параллельно первой, то волна свободно пройдет через нее (рис. 2.16, а). Поворот второй системы по отношению к первой на 90° гасит волну в шнуре (рис. 2.16, б). Устройство, выделяющее колебания, происходящие в одной плоскости (первая щель), называется поляризатором. Устройство, позволяющее определить плоскость поляризации волны (вторая щель), называется анализатором. Опыты с пропусканием электромагнитных волн через систему из двух решеток с параллельными металлическими стержнями показывают, что при одинаковой ориентации металлических стержней в решетках электромагнитные волны проходят через них (рис. 2.17), если же вторую решетку 1''|| °| ^ - ‘-4^ © © Рис. 2.17 78 повернуть на 90°, то волны сквозь нее не проходят. Это доказывает, что электромагнитные волны являются поперечными. При ориентации вектора напряженности электрического поля в электромагнитной волне параллельно металлическим стержням в них возбуждаются вынужденные колебания свободных электронов и происходит отражение волны. При ориентации вектора напряженности электрического поля перпендикулярно стержням вынужденные колебания имеют меньшую амплитуду, поскольку электроны колеблются поперек стержней. Решетка слабо отражает электромагнитную волну. Если бы электромагнитная волна была продольной, а не поперечной, то она одинаково проходила бы через металлическую решетку при любой ориентации стержней. В плоскополяризованной электромагнитной волне векто-—>- ры напряженности Е электрического поля во всех точках пространства лежат в одной плоскости и перпендикулярны лучу, определяющему направление распространения волны. Векторы индукции В магнитного поля расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости, в которой лежат векторы Е. Свойства поляризованных электромагнитных волн необходимо учитывать при установке антенн телевизионных приемников. Вынужденные колебания в телевизионной антенне достигают максимальной амплитуды при расположении антенны параллельно вектору напряженности электрического поля в поляризованной электромагнитной волне, излучаемой передающей телевизионной антенной. Ш Вопросы. 1. Какие волны называют поляризованными? 2. Какие волны могут быть поляризованными — поперечные, продольные или любые? Почему? 3. Какие опыты доказывают поперечность электромагнитных волн? 4. Как можно объяснить результаты опытов с прохождением электромагнитных волн через систему из двух металлических решеток? § 26*. Эффект Доплера Особого рассмотрения требуют волновые явления, которые можно обнаружить при движении источника колебаний и наблюдателя относительно друг друга. Рассмотрим сначала звуковые явления, наблюдаемые при движении источника звука в воздухе со скоростью и, меньшей скорости и распространения звуковых волн в воздухе (рис. 2.18). Точки О, Oi, О2, О3 показывают положение источника колебаний через интервалы времени, равные периоду колебания Т. В тот момент, когда источник находится в точке О3, фронты волн, испущенных источником в точках О, Oj, О2, 79 будут сферическими с радиусами 3wT, 2иТ, иТ. В этом случае длина волны, равная расстоянию между фронтами волн через период колебания, различна в разных направлениях и отличается от длины волны неподвижного источника: Хц = нТ. Длина волны Xj по направлению движения источника колебаний меньше длины волны ?1о на величину vTy длина волны А.2 в противоположном направлении больше X,Q на величину vT: = X.Q — vT, А<2 — X.Q -Н vT. Неподвижный относительно воздуха приемник будет регистрировать волны с частотами Vj и V2, отличными от частоты ^0 ~ U/Xq’. (26.1) V, = l-ii и Х-2 (26.2) В соответствии с полученным результатом при приближении источника звуковых колебаний высота тона звука повышается, при удалении источника звука высота тона понижается. Это замечал каждый, кто слушал звук сирены приближаюш;ейся и затем удаляющейся машины «скорой помощи». Изменение частоты волн наблюдается и при движении приемника относительно неподвижного источника звуковых волн. В этом случае длина волны в среде остается неизменной: = Х.2 = Х.0 = иТ = u/Vq, но скорость распространения волны относительно приемника изменяется. В случае приближения приемника к источнику колебаний со скоростью w скорость волны равна и + w у в случае удаления приемника со скоростью w скорость волны равна и - W. Частота колебаний, регистрируемая приемником, равна соответственно: и + W Vi = = 1 -ь ;)• (26.3) и -IV Vo = — = V, 1-^ (26.4) 80 Сравнивая выражения (26.1) и (26.2) с выражениями (26.3) и (26.4), приходим к выводу, что к изменению частоты приводит и движение источника, и движение приемника, но эти изменения различны. Явление изменения частоты регистрируемых волн при движении источника и приемника волн называют эффектом Доплера. Этот эффект назван в честь австрийского физика К. Доплера, который впервые в 1842 г. теоретически объяснил это явление в акустике и оптике. Эффект Доплера наблюдается и для электромагнитных волн. Однако электромагнитное поле в отличие от упругой среды не может служить системой отсчета, так как скорость электромагнитных волн в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому формула для вычисления частоты одинакова как для случая движения источника колебаний, так и для случая движения приемника электромагнитных волн и зависит только от относительной скорости v источника и приемника. Точную формулу для расчета изменения частоты при относительном движении источника электромагнитных волн и приемника можно получить только на основе специальной теории относительности. В случае сближения источника и приемника со скоростью и регистрируемая частота равна: V, = V /1+ и оутгт; и/с 1с (Vi > Vo), а в случае их взаимного удаления со скоростью и: -vjc Vo = V \^-v/c ° Y 1 + vjc (У2 < Vo)- (26.5) (26.6) Эффект Доплера находит широкое практическое применение. С его помош;ью измеряют скорость движения источника электромагнитного излучения или отражаюш;их волны объектов. В астрофизике с помощью эффекта Доплера определяют скорости движения звезд и скорости вращения небесных тел по смещению спектральных линий. Путем измерения доплеровского смещения спектральной линии элемента (например, водорода) в спектре Солнца с противоположных краев его диска определяют скорости приближения и удаления краев диска и период вращения Солнца вокруг своей оси. Измерение доплеровского смещения спектральных линий в спектрах излучения далеких галактик привело к выводу о расширении Вселенной. Измерение доплеровского ушире-ния линий излучения атомов и ионов, связанного с их движением, дает возможность определить температуру излучающего вещества. Радиолокация с использованием эффекта Доплера используется для измерения скоростей движения космических ракет, самолетов, кораблей, автомобилей. 6— А. А. Пинский 11 кл. 81 в Вопросы. 1. в чем заключается эффект Доплера? 2. Как изменяется частота волны при приближении источника волн к приемнику? 3. Как изменяется частота волны при удалении приемника от источника волн? 4. Изменяется ли длина волны при движении источника волн относительно неподвижного приемника? 5. Изменяется ли длина волны при движении приемника относительно неподвижного источника? 6. Одинаково ли изменение частоты при движении с одинаковой скоростью источника волн к неподвижному приемнику или приемника к неподвижному источнику? В Пример решения задачи Задача. Источник электромагнитных волн частотой 10^ Гц движется относительно приемника волн со скоростью 10® м/с. Определите частоту волн, регистрируемых приемником. Решение. Регистрируемая частота равна: hTv, I с vjc ’ v= 10- 1+i 1-i 3 ^ = V2 • 10^ Гц. § 27. Принцип радиотелефонной связи Изобретение радио. Сообщение о возможности практического применения электромагнитных волн для установления связи без проводов впервые сделал 7 мая 1895 г. А. С. Попов. Этот день считается днем рождения радио. Приемник А. С. Попова содержал когерер, электромагнитное реле, электрический звонок и источник питания (рис. 2.19). Свой приемник А. С. Попов сначала применил для регистрации электромагнитных волн, возникающих при электрических разрядах во время грозы. Поэтому он назвал его грозоотметчиком. В металлическом проводе — антенне — под действием переменного электрического поля возникали вынужденные колебания свободных электронов с частотой, равной частоте электромагнитной волны. Переменное напряжение с антенны поступало на когерер — стеклянную трубку, заполненную металлическими опилками. Последовательно с когерером включались электромагнитное реле и источник постоянного тока. Из-за плохих контактов между опилками сопротивление когерера обычно велико, поэтому электрический ток в цепи мал, и реле не включает цепь звонка. Под действием переменного напряжения высокой частоты в когерере возникают электрические разряды между отдельными опилками, и его сопротивление уменьшается 82 в 100—200 раз. Сила тока в катушке электромагнитного реле возрастает, и реле включает электрический звонок. Так регистрировался прием электромагнитной волны антенной. Молоточек электрического звонка, ударяя по когереру, встряхивал опилки и возвращал его в исходное положение — приемник снова был готов к регистрации электромагнитных волн. В 1896 г. А. С. Попов построил передатчик электромагнитных волн. Источником электромагнитных волн в радиопередатчике была антенна, соединенная с искровым разрядным промежутком. На расстояние 250 м была передана первая в мире радиограмма, состоящая из двух слов; «Генрих Герц». В 1899 г. была установлена радиосвязь на расстоянии около 50 км. Открытый колебательный контур. Если в автоколебательном генераторе происходят электрические колебания, то в катушке и проводах контура электроны движутся с ускорением, и можно ожидать возникновения электромагнитных волн. Однако на практике излучение электромагнитных волн от колебательного контура из конденсатора и катушки не происходит. Поэтому такой колебательный контур называется закрытым колебательным контуром. Наглядно отсутствие излучения электромагнитных волн закрытым контуром можно объяснить следующим образом. При возникновении электрических колебаний в закрытом контуре периодически возникает вихревое магнитное поле в виде замкнутых силовых линий, охватывающих линии напряженности электрического поля между обкладками конденсатора. При любых изменениях напряженности электрического поля в конденсаторе магнитное поле «привязано» к нему и не может выйти в окружающее пространство. Аналогично «привязано» к катушке магнитное поле катушки и порождаемое им вихревое электрическое поле. Для излучения электромагнитных волн нужен открытый колебательный контур. Роль открытого колебательного контура выполняет антенна. Открытый колебательный контур антенны настраивается в резонанс с контуром автогенератора, и в нем возбуждаются вынужденные электрические колебания. На практике антенна представляет собой два длинных металлических провода или два стержня, в которых возбуждается переменный ток. Переменный ток в антенне передатчика удобно изобразить как периодическое колебательное движение двух точечных электрических зарядов противоположного знака от середины антенны к ее концам и обратно. В момент времени, когда разноименные заряды достигли противоположных концов антенны и должны начать движение к середине антенны, сила тока в антенне равна нулю, магнитное поле вокруг нее отсутствует, а расположение силовых линий электрического поля имеет вид, представленный на рисунке 2.20. 6* 83 При движении разноименных зарядов от концов к середине антенны электрический ток создает вокруг антенны магнитное поле, а расположение линий напряженности электрического поля изменяется из-за изменения положения зарядов в пространстве (рис. 2.21). В момент встречи зарядов в середине антенны концы силовых линий электрического поля смыкаются. При этом, как писал Герц, «... отшнуровывается замкнутая на себя силовая линия, которая начинает самостоятельно двигаться в пространстве». Этот процесс поясняется рисунком 2.22. Изменения вихревого электрического поля распространяются в окружающем пространстве со скоростью света и порождают вихревое магнитное поле. Распределение электрического поля в электромагнитной волне, излучаемой антенной радиопередатчика, представленное на рисунке 2.22 показывает, что напряженность электрического поля в электромагнитной волне наибольшая на прямой, проходящей через середину антенны и перпендикулярной антенне, и равна нулю на прямой, совпадающей с антенной, вдоль которой колеблются электрические заряды. Следовательно, антенна обладает направленностью излучения. Этот вывод полностью совпадает с результатом, полученным в § 20 при рассмотрении излучения ускоренно движущегося электрического заряда. Радиотелефонная связь. Для осуществления радиотелефонной связи можно попытаться усилить электрические колебания, возникающие на выходе микрофона при действии на него звуковой волны, и вызвать вынужденные колебания 84 переменного тока звуковой частоты в передающей антенне. Однако такой способ радиотелефонной связи неосуществим. Мощность излучения электромагнитных волн антенной пропорциональна четвертой степени частоты (см. § 20), поэтому при колебаниях переменного тока звуковых частот электромагнитные волны практически не излучаются. Но даже если бы мощность излучения волн звуковой частоты была достаточной, то каждый приемник при таком способе радиопередачи принимал бы одновременно сигналы от всех радиостанций. Современная система радиовещания основана на передаче и приеме радиоволн, излучаемых антенной высокочастотного генератора, в котором высокочастотные электромагнитные колебания модулируются колебаниями звуковой частоты. Простейшая схема для модуляции высокочастотных колебаний изображена на рисунке 2.23. В цепь транзисторного автогенератора высокочастотных колебаний последовательно с колебательным контуром 1 включена вторичная обмотка трансформатора 2, на первичную обмотку 3 которого подается переменное напряжение звуковой частоты. При отсутствии звукового сигнала в колебательном контуре генератора возникают гармонические колебания напряжения высокой частоты со (рис. 2.24, а): Uj = С/, cos cof. (27.1) При подаче на обмотку 3 модулирующего трансформатора напряжения звуковой частоты на обмотке 2 трансформатора возникает напряжение звуковой частоты (рис. 2.24, б): (27.2) Действие двух напряжений и i/g на транзистор генератора приводит к возникновению колебаний силы тока в контуре по закону: / = /„, (1 -I- а cos Hi) cos (at. (27.3) I2 = и2 cos Q.t. П a) 6) Рис. 2.24 85 Рис. 2.25 Такие колебания называются амплитудно-модулирован-ными колебаниями (рис. 2.25). Выполнив тригонометрические преобразования, из формулы (27.3) можно получить i = cos cof + al^ cos (со + f2) i -t- al^ cos (со - Q) t. (27.4) Выражение (27.4) показывает, что высокочастотный сигнал с частотой со, модулированный низкой частотой Q, можно рассматривать как три высокочастотных сигнала с частотами со, со -ь П и со - Частота со называется несущей частотой, а частоты со + ^2 и со - Q называются боковыми частотами. Таким образом, высокочастотный сигнал с частотой со, модулированный низкой частотой U, занимает интервал частот от со - до со + Q. Ширина этого интервала 2Q называется полосой пропускания. Простейший приемник. Электромагнитные волны, излучаемые передатчиком, улавливаются и преобразуются радиоприемником. Для приема электромагнитных волн применяется антенна. Антенной служит провод, расположенный параллельно вектору напряженности электрического поля радиоволны. Электромагнитные волны от всех радиостанций на Земле, от грозовых разрядов, от искр работающих электрических приборов, от электродвигателей возбуждают в антенне радиоприемника вынужденные колебания. Для того чтобы слушать только одну радиопередачу, в цепь антенны включают колебательный контур, собственная частота которого может регулироваться. Изменение собственной частоты колебаний в контуре приемника производится обычно путем изменения электроемкости конденсатора. При совпадении частоты вынужденных колебаний в антенне с собственной частотой приемного контура наступает резонанс, при этом амплитуда вынужденных колебаний напряжения на обкладках конденсатора достигает максимального значения. Настройкой приемника на несущую частоту выбранной радиостанции из большого числа электромагнитных колебаний, возбуждаемых в антенне, выделяются колебания нужной частоты. В простейшем радиоприемнике, называемом детекторным приемником, модулированные колебания высокой частоты с антенны 1 через резонирующий контур 2 поступают на детектор 3 (рис. 2.26). В качестве детектора может использоваться полупроводниковый диод, пропускающий переменный ток высокой частоты только в одном направлении. Под действием модулированных высокочастотных колебаний в цепи 86 детектора возникает электрический ток в виде последовательности кратковременных импульсов различной амплитуды (рис. 2.27). Преобразование модулированных колебаний в систему кратковременных импульсов называется детектированием или демодуляцией. Для преобразования такой последовательности импульсов тока в переменный ток звуковой частоты используются конденсатор 4 и резистор 5. Детектор является выпрямителем высокочастотного переменного тока, пропуская ток только в полупериоды с приложением напряжения на диод в пропускном направлении. На выходе из диода получается последовательность кратковременных импульсов тока одного направления (рис. 2.27, а). Эти импульсы тока нужно превратить в переменный ток, изменяющийся с низкой частотой, которой был модулирован высокочастотный сигнал. Такое превращение осуществляется с помощью конденсатора 4 и резистора 5, представленных в схеме на рисунке 2.26. Каждый полупериод высокой частоты импульс тока заряжает конденсатор, затем до следующего импульса конденсатор разряжается через резистор. Если значения электрической емкости конденсатора и электрического сопротивления резистора выбраны правильно, то через резистор протекает ток, изменяющийся во времени со звуковой частотой, использованной при модуляции колебаний в радиопередатчике (рис. 2.27, б). Для преобразования электрических колебаний в звуковые переменное напряжение подается на громкоговоритель 6 или телефон (см. рис. 2.26). Приемник с усилителем. Детекторный приемник весьма несовершенен. Он имеет низкую чувствительность, и поэтому может успешно принимать радиопередачи только от мощных радиостанций или от близко расположенных радиопередатчиков. Колебательный контур детекторного приемника нельзя настроить в резонанс только с одной несущей частотой, поэтому он принимает радиопередачи одновременно от нескольких радиостанций. В более сложных радиоприемниках сигнал с колебательного контура поступает на вход усилителя высокой частоты (УВЧ), 87 а с выхода УВЧ высокочастотные электрические колебания поступают на детектор. Для увеличения мощности звукового сигнала на выходе радиоприемника электрические колебания звуковой частоты с выхода детектора поступают на вход усилителя низкой частоты (УНЧ). Переменное напряжение звуковой частоты с выхода УНЧ подается на обмотку динамика (рис. 2.28). В Вопросы. 1. Как был устроен приемник А. С. Попова? 2. Каково назначение антенны в приемнике? 3. Почему свой первый приемник А. С. Попов назвал грозоотметчиком? 4. Почему закрытый колебательный контур не излучает электромагнитные волны? 5. Как устроен открытый колебательный контур? 6. Как работает высокочастотный генератор незатухающих электромагнитных колебаний? 7. Почему невозможна радиотелефонная связь путем излучения и приема электромагнитных волн звуковой частоты? 8. Как осуществляется амплитудная модуляция высокочастотных электромагнитных колебаний? 9. Нарисуйте принципиальную схему детекторного радиоприемника и назовите его основные детали. 10. Каким образом радиоприемник настраивается на прием радиоволн одной радиостанции? 11. Для чего в радиоприемнике используется детектор? 12. Рассмотрите схему транзисторного радиоприемника на рисунке 2.28 и попытайтесь объяснить назначение отдельных элементов схемы. В Задачи для самостоятельного решения 27.1. Две соседние длинноволновые радиостанции работают на длинах волн 1,0 и 1,1 км. Обе радиостанции передают концерты симфонических оркестров, где звучат скрипки и флейты, максимальная звуковая частота составляет 20 кГц. Какой должна быть полоса пропускания частот радиоприемника, чтобы он мог без искажений принимать любой из концертов? Будут ли при этом обе радиостанции мешать друг другу? Решите эту же задачу при условии, что радиостанции будут работать на коротких волнах 25,0 и 25,1 м. 27.2. Выполните преобразование выражения (27.3) в выражение (27.4). 88 § 28. Телевидение Телепередача. С помощью радиоволн осуществляется передача на расстояние не только звуковых сигналов, но и изображений предметов. Принцип передачи движущихся черно-белых и цветных изображений с помощью телевизионных передатчиков и приемников заключается в следующем. Для передачи одного кадра телевизионного изображения с помощью объектива в телевизионной камере получается изображение предмета на экране специального электровакуумного прибора — передающей трубки (рис. 2.29). Под действием света в результате фотоэффекта различные участки экрана приобретают положительные заряды, пропорциональные интенсивности падающего на них света. На экран внутри передающей трубки направляется электронный луч, перемещающийся периодически слева направо по 625 горизонтальным линиям-строкам. Во время пробегания луча вдоль строки происходит нейтрализация электрических зарядов на отдельных участках экрана и в электрической цепи, соединяющей электронную пушку и экран, протекает импульс электрического тока. Изменения силы тока в импульсе соответствуют изменениям освещения экрана на пути движения электронного луча. Высокочастотные электромагнитные колебания, генерируемые в телевизионном передатчике (частотой в десятки и сотни мегагерц), модулируются сигналами импульсов, полученных на выходе передающей трубки, и подаются на антенну передатчика. Антенна излучает электромагнитные волны, с помощью которых вместе с сигналом изображения передаются звуковые сигналы и синхронизирующие импульсы, управляющие движением электронного пучка. Телевизионный прием. В телевизионном приемнике — телевизоре — имеется электронно-лучевая трубка с магнитным управлением, называемая кинескопом. В кинескопе электронная пушка создает электронный пучок, который фокусируется на экране, покрытом кристаллами, способными светиться под ударами быстро движущихся электронов. На пути к экрану электроны пролетают через магнитные поля двух 89 Рис. 2.30 пар катушек, расположенных снаружи трубки (рис. 2.30). Магнитное поле одной пары катушек вызывает отклонение электронного пучка по горизонтали, второй пары катушек — по вертикали. Периодические изменения силы тока в катушках, управляемые сигналами синхронизации, вызывают изменения магнитных полей, в результате которых электронный пучок за 1/25 с 625 раз пробегает по экрану слева направо и один раз сверху вниз, повторяя движение электронного пучка по строкам в передаюш,ей трубке. Во время движения пучка вдоль первой строки силой тока в нем управляет сигнал, принятый приемником от передатчика во время движения пучка в передающей трубке по первой же строке; при движении пучка по второй строке силой тока управляет сигнал от второй строки и т. д. В результате за 1/25 с пучок «рисует» такое же изображение на экране кинескопа, какое было построено объективом на экране передающей трубки. Кадры сменяют друг друга с частотой 25 кадров в секунду. Последовательность кадров, сменяющих друг друга с высокой частотой, воспринимается глазом человека как непрерывное движение. Телевизионные передачи ведутся в диапазоне от 50 до 230 МГц. В этом диапазоне электромагнитные волны распространяются практически только в пределах прямой видимости. Поэтому для обеспечения передачи телевизионных сигналов на далекие расстояния строят высокие антенны. Передающие антенны студий центрального телевидения установлены на вершине Останкинской башни, высота которой 540 м. Такая высота обеспечивает прием телевизионных передач на расстоянии до 120 км от Москвы. Передача телевизионных сигналов в любую точку нашей страны обеспечивается с помощью ретрансляционных искусственных спутников Земли в системе «Орбита». Цветное телевидение. Передача и прием цветных изображений требуют применения более сложных телевизионных систем. Вместо одной передающей трубки требуется применять три трубки, передающие сигналы трех одноцветных изображений — красного, синего и зеленого цвета. В отличие от черно-белого телевизора экран кинескопа цветного телевизора покрыт кристаллами люминофоров трех сортов. Одни кристаллы при попадании на них электронного пучка светятся красным светом, другие — синим, третьи — зеленым. Эти кристаллы расположены в отдельных ячейках на экране в строгом порядке. Чередующиеся разноцветные элементы экрана цветного телевизора можно рассмотреть в лупу. Сигналы поступают от телевизионного передатчика 90 к трем электронно-лучевым пушкам, каждая из которых испускает свой электронный пучок (см. цветную вклейку). На экране цветного телевизора три пучка создают одновременно три изображения красного, зеленого и синего цвета. Наложение этих изображений, состоящих из маленьких светящихся участков, воспринимается глазом человека как многоцветное изображение со всеми оттенками цветов. Одновременное свечение кристаллов в одном месте синим, красным и зеленым светом воспринимается глазом как белый цвет, поэтому на экране цветного телевизора можно получать и черно-белые изображения. Сложность устройства кинескопа цветного телевизора характеризуется, например, такими его параметрами. На экран кинескопа наносится в строгом порядке 1 500 000 ячеек из кристаллов, способных светиться под ударами электронов, а на пути к экрану трех электронных пучков располагается металлическая пластина толщиной 0,15 мм, в которой имеется 500 000 круглых отверстий диаметром около 0,25 мм. Через каждое отверстие должен проходить только один электронный пучок точно в то место на экране, в котором расположена соответствующая ячейка из кристаллов. Один пучок должен попадать только в те 500 000 ячеек, которые светятся красным светом, другой — в такое же количество ячеек, светящихся синим светом, третий — только в ячейки, светящиеся зеленым светом. Только при такой строгой настройке электронных пучков получится правильное цветное изображение. Ш Вопросы. 1. Как получается изображение на экране кинескопа телевизора? 2. Чем отличается телевизионный передатчик в системе цветного телевидения от передатчика в системе черно-белого телевидения? 3. Как получается разноцветное изображение на экране цветного телевизора? § 29. Развитие средств связи Проводная и беспроводная связь. Передача различной информации на расстояние может осуществляться с помощью электрических сигналов, передаваемых по проводам (кабелям) или с помощью радиоволн. В нашу повседневную жизнь прочно вошли такие виды проводной связи, как радиотрансляционная, телефонная, телеграфная связь. С помощью электрических сигналов по кабелям передаются изображения. Это позволяет выпускать центральные газеты в городах страны, находящихся на расстоянии в несколько тысяч километров от Москвы, одновременно с их выходом в Москве. По кабелям может осуществляться передача телевизионных сигналов (кабельное телевидение). 91 Проводная связь обеспечивает высокое качество передачи информации, но прокладка кабелей связи требует значительных затрат. Поэтому во многих случаях предпочтение отдается беспроводным видам связи. Наиболее распространенными видами беспроводной связи являются радиовещание и телевидение. Распространение радиоволн. Радиосвязь осуществляется на длинных (10 000—1000 м), средних (1000—100 м), коротких (100—10 м) и ультракоротких (менее 10 м) волнах. Радиоволны с различными длинами волн по-разному распространяются у поверхности Земли. Длинные волны за счет дифракции распространяются далеко за пределы видимого горизонта; радиопередачи на длинных волнах можно принимать на больших расстояниях, за пределами прямой видимости антенны. Средние волны испытывают меньшую дифракцию у поверхности Земли и распространяются на меньшие расстояния за пределы прямой видимости. Короткие волны еще менее дифрагируют у поверхности Земли, но их можно принимать в любой точке на поверхности Земли за счет отражения от ионосферы. Ионосфера — это ионизированная верхняя часть атмосферы, начинающаяся с расстояния примерно 50—90 км от поверхности Земли и переходящая в межпланетную плазму. Особенностью ионосферы является высокая концентрация в ней свободных заряженных частиц — ионов и электронов. Ионизация верхних слоев атмосферы происходит за счет ультрафиолетового и рентгеновского излучения Солнца. Максимальная концентрация свободных ионов в ионосфере составляет 2 • 10^—5 • 10® см“'^ и достигается на высотах 250—400 км от поверхности Земли. Концентрация ионов днем значительно (более чем в 20 раз) больше, чем ночью. Поэтому свойства ионосферы в разное время суток различны. Ионосфера способна поглощать и отражать электромагнитные волны. От нее хорошо отражаются длинные радиоволны. Это явление наряду с дифракцией увеличивает дальность их распространения. Хорошо отражаются ионосферой и короткие волны. Многократные отражения коротких радиоволн от ионосферы и земной поверхности делают возможной радиосвязь на коротких волнах между любыми точками на Земле (рис. 2.31). Ультракороткие волны (УКВ) не отражаются ионосферой и свободно проходят через нее; они не огибают поверхность Земли в результате дифракции (рис. 2.32). Поэтому связь на УКВ осуществляется только в пределах прямой видимости антенны передатчика. Для расширения зоны приема телевизионных передач, осуществляемых в диапазоне УКВ, антенны передатчиков устанавливаются на возможно большей высоте, для этой же 92 Рис. 2.31 Рис. 2.32 цели используются ретрансляторы — специальные станции, принимающие сигналы, усиливающие их и излучающие дальше. Космическая радиосвязь. Возможности современной космической радиосвязи наглядно продемонстрированы успешными полетами межпланетных космических станций к Луне, Венере, Марсу и другим планетам с осуществлением мягкой посадки спускаемых аппаратов на планеты, передачей информации о физических условиях на этих небесных телах и телевизионных изображений их поверхностей. Сигналы от спускаемого аппарата с планеты Венера принимались наземными станциями спустя 3,5 мин после их отправления, так как расстояние до Венеры составляет около 60 млн км. Передаваемые автоматическими космическими аппаратами телевизионные изображения поверхности Земли и ее облачного покрова позволяют сделать более точными прогнозы погоды. Спутники связи используются для ретрансляции телевизионных программ на всю территорию страны, для мобильной телефонной связи. Сигналы спутнику связи посылаются передатчиком наземной станции. Спутник принимает сигналы и посылает их другой наземной станции, находящейся на расстоянии в несколько тысяч километров от первой. Принятые наземной станцией сигналы от спутника связи усиливаются и посылаются приемникам других станций (рис. 2.33). В настоящее время спутниковая радиосвязь обеспечивает телевизионную передачу из США в Западную Европу, Японию и обратно, позволяет осуществлять «телемосты» 93 Рис. 2.33 ---между нашей страной и США, ^>4 а также Западной Европой и Японией. \ Радиолокация. Большую роль в современном морском флоте, авиации и космонавт тике играют радиолокационные средства связи. В основе радиолокации лежит свойство отражения радиоволн от про-водяш;их тел. Если радиопередатчик включить на очень короткое время и выключить, то можно через некоторое время с помощью радиоприемника зарегистрировать возвращение радиоволн, отраженных от проводящих тел, расположенных вдали от радиостанции. Измерив с помощью электронной аппаратуры длительность промежутка времени т между моментами отправления и возвращения электромагнитных волн, можно определить путь s = сх, пройденный радиоволнами, где с — скорость электромагнитной волны. Так как волны прошли путь от станции до тела и обратно, то расстояние I до тела, отражавшего радиоволны, равно половине этого пути: I = ст/2. Чтобы определить не только расстояние до тела, но и его положение в пространстве, необходимо посылать радиоволны узким направленным пучком. Узкий пучок радиоволн создается с помощью антенны, имеющей форму, близкую к сферической. Для того чтобы антенна радиолокатора могла создать узконаправленный пучок радиоволн, в радиолокации используются ультракороткие волны метрового и дециметрового диапазонов. Для определения, например, местонахождения самолета антенну радиолокатора направляют на самолет; генератор испускает периодически кратковременные импульсы электромагнитных волн. Электромагнитные волны отражаются от самолета и возвращаются к радиолокатору (рис. 2.34). Отраженный радиосигнал улавливает та же антенна, отключенная на время паузы от передатчика и подключенная к приемнику. По углу поворота антенны радиолокатора определяется направление на самолет. Радиолокатор, установ- ленный на самолете, позволяет по времени прохождения радиоволн до поверхности Земли и обратно измерить высоту самолета над Землей, определить его скорость. Вода и суша, сухая и влажная почва, городские строения и транспортные коммуникации по-разному отражают радиоволны. Это позволяет с помощью радиолокационных приборов на самолете не только измерять расстояние до поверхности Земли, но и получать своеобразную радиолокационную карту местности, над которой летит самолет. Эту карту пилот самолета получает днем и ночью, в ясную погоду и при сплошной облачности, так как облака не являются преградой для электромагнитных волн метрового и дециметрового диапазонов, но сильно поглощают видимый свет. Радиолокационными методами выполнены наиболее точные измерения расстояний от Земли до Луны и до планет Меркурий, Венера, Марс и Юпитер. С помощью радиолокационных станций, установленных на космических аппаратах «Венера», была исследована поверхность этой планеты и построены довольно детальные карты исследованных участков. Аварийная радиоспасательная служба. Это совокупность искусственных спутников Земли, движущихся на круговых околополярных орбитах, наземных пунктов приема информации и радиобуев, устанавливаемых на самолетах, судах, а также переносимых альпинистами. При аварии радиобуй посылает сигнал, который принимается одним из спутников. ЭВМ, расположенная на нем, вычисляет координаты радиобуя и передает информацию в наземные пункты. Система создана в России (КОСПАС) и США, Канаде, Франции (САРСАТ). С ее помощью удается быстро получить точные сведения о месте аварии и оказать необходимую помощь людям. Ш Вопросы. 1. Каковы границы диапазонов длинных, средних, коротких и ультракоротких радиоволн? 2. Почему радиосвязь в диапазоне длинных волн возможна за пределами прямой видимости? 3. Чем объясняется возможность дальней радиосвязи на коротких волнах? 4. Объясните происхождение ионосферы. 5. Почему качество связи на коротких волнах неодинаково ночью и днем? 6. Почему для телевизионной связи необходимы высокие антенны? 7. Как осуществляется трансляция телевизионных передач из Москвы в районы Сибири и Дальнего Востока? 8. Как работает радиолокационная станция? 9. Как измеряют расстояния с помощью радиолокатора? ■ Задачи для самостоятельного решения 29.1. Высота Останкинской телевизионной башни — 540 м, радиус Земли — 6371 км. Определите, на каком расстоянии принимаются телевизионные передачи без ретрансляции. 29.2. На какой минимальной высоте над Землей следует расположить три спутника, чтобы с их помощью можно было обеспечить телевидение 95 в любой точке Земли? Каков должен быть период обращения этих спутников вокруг Земли? 29.3. Радиолокатор работает на электромагнитной волне длиной 1 м. Время посылки импульса составляет 100 периодов колебания, время прослушивания в 10 раз больше времени излучения. Каково минимальное расстояние до предмета, который можно обнаружить с помощью этого прибора? 29.4. Среднее расстояние от Земли до Луны составляет 380 000 км. Космический аппарат луноход передавал изображения рельефа Луны. На сколько запаздывает сигнал, подаваемый оператором, находящимся на Земле при управлении луноходом? 29.5. Кратчайшее расстояние от Марса до Земли (во время великого противостояния) составляет 56 млн км, а наибольшее расстояние — 400 млн км. На сколько запаздывает сигнал, посылаемый автоматическому космическому аппарату на Марсе, при минимальном и при максимальном расстояниях до Марса? § 30*. Радиоастрономия Открытие космических источников радиоизлучения. После открытия радиоволн и установления единой электромагнитной природы света и радиоволн многими учеными высказывалось предположение о том, что такие космические тела, как Солнце и звезды, кроме видимого света, могут излучать и радиоволны. Однако попытки обнаружить радиоизлучение от Солнца и других космических тел долгое время были безуспешными. Впервые радиоволны от внеземных объектов удалось зарегистрировать в 1932 г. радиоинженеру Карлу Янскому, работавшему в США. На волне 14,6 м Янский обнаружил интенсивное радиоизлучение от области на небе, где расположен Млечный Путь. Он предположил, что это излучение испускает межзвездный газ, сконцентрированный в основном вблизи плоскости диска нашей Галактики — Млечного Пути. Это предположение впоследствии подтвердилось. В 1936 г. было зарегистрировано радиоизлучение от Солнца. Первые систематические астрономические наблюдения в области радиоволн начал проводить с 1937 г. американский исследователь-любитель Грот Рёбер. Он и стал первым радиоастрономом. К 1944 г. Рёбер составил первую карту распределения интенсивности радиоизлучения Млечного Пути на волне 187 см. В 1945 г. на волне 62,5 см он обнаружил области высокой интенсивности радиоизлучения в созвездиях Тельца, Кассиопеи, Лебедя и Девы. Позднее было установлено, что в созвездии Тельца источником радиоизлучения является Крабовидная туманность. Эта туманность возникла в 1054 г. в результате гигантского взрыва звезды. Такие взрывающиеся звезды называют сверхновыми звездами. В созвездии Кас- 96 сиопеи радиоволны излучают остатки сверхновой, вспыхнувшей в 1700 г. Источниками радиоизлучения в созвездиях Девы и Лебедя оказались галактики, расположенные за пределами нашей звездной системы — Млечного Пути. Галактики, испускающие мощные потоки радиоизлучения, называют радиогалактиками. У радиогалактики Дева А в оптическом диапазоне обнаружен гигантский выброс размером около 1000 пк*. Эта галактика на волне 3,5 м излучает примерно в два раза интенсивнее, чем в области видимого света. В 1965 г. американские физики Арно Пензиас и Роберт В. Вильсон открыли существование равномерно распределенного по небесной сфере радиоизлучения, которое соответствует тепловому излучению абсолютно черного тела при температуре около 3 К. В 1967 г. английский радиоастроном Энтони Хьюиш открыл космические источники импульсного радиоизлучения. Эти космические объекты назвали пульсарами. У различных пульсаров интервалы повторения импульсов лежат в пределах от нескольких десятков миллисекунд до нескольких секунд. Пример записи радиосигналов от первого из открытых пульсаров представлен на рисунке 2.35. Эти сигналы были зарегистрированы на частоте 72,7 МГц, период пульсаций составлял 1,3370113 с. Инструменты и методы радиоастрономии. Основным инструментом для проведения радиоастрономических наблюдений и измерений является радиотелескоп. Главная часть современного радиотелескопа — гигантское сферическое или параболическое зеркало, собирающее в свой фокус поток радиоволн с большой площади. Приемник радиоволн помещается в фокусе зеркала. Для того чтобы зеркало радиотелескопа собирало весь падающий на него поток электромагнитного излучения на приемник в фокусе, дефекты на его поверхности должны быть существенно меньше длины волны. Это означает, что в диапазоне метровых и дециметровых волн дефекты поверхности зеркала порядка нескольких сантиметров не оказывают заметного влияния на качество работы телескопа. Поэтому вместо сплошного металлического зеркала с тщательно отполированной поверхностью в радиотелескопе можно использовать зеркало из металлической сетки. Такое зеркало больших размеров значительно легче изготовить, легче им и управлять (см. цветную вклейку VI). Самый большой радиотелескоп по- Рис. 2.35 1 ПК = 1 парсек ~ 3,08 • 10‘” м ~ 2,06 • 10“ а. е. ~ 3,26 св. года. 7— А. А. Пинский 11 кл. 97 строен в кратере потухшего вулкана в Пуэрто-Рико. Диаметр зеркала этого радиотелескопа равен 305 м. Положение источника радиоволн на небесной сфере определяется высотой — углом между осью зеркала и горизонтальной поверхностью и азимутом — углом, отсчитываемым от прямой, проходящей через точку юга, до вертикальной плоскости, проведенной через зенит и наблюдаемое светило. Точность радиоастрономических измерений координат радиоисточников на небесной сфере с помощью радиотелескопа существенно ниже точности оптических измерений. Предел углового разрешения радиотелескопа ограничивается явлением дифракции. Как и в оптических телескопах (см. § 46), угловой радиус ф дифракционного пятна определяется примерным равенством ф ~ X/D. Так как длина волны \ в радиодиапазоне примерно в 10® раз больше длины световой волны, а диаметр зеркала радиотелескопа лишь примерно в 20 раз больше диаметра зеркала самого большого оптического телескопа, то угловой радиус ф дифракционного пятна радиотелескопа в 5 • 10^ раз больше углового радиуса дифракционного пятна оптического телескопа. Однако этот недостаток радиотелескопа при необходимости точного определения координат источника радиоволн устраняется путем использования системы небольших зеркал, расположенных по дуге окружности и образующих вместе полосу сферического или параболического зеркала очень большого диаметра. Такой радиотелескоп диаметром 20 км обладает разрешающей способностью около 0,1", как и лучшие оптические телескопы. Еще почти в 1000 раз выше разрешающая способность радиоинтерферометра, состоящего из двух радиотелескопов, расположенных на противоположных сторонах земного шара и ведущих одновременные согласованные наблюдения. С помощью радиотелескопов проводятся измерения мощности потока радиоизлучения на различных частотах. Чувствительность современных радиотелескопов очень высока. С их помощью регистрируют потоки радиоизлучения плотностью -10“^® Вт/(м^ • Гц). Это примерно в тысячу миллиардов меньше плотности потока радиоизлучения, регистрируемого обычным радиоприемником, и в тысячу раз меньше минимальной плотности потока светового излучения, регистрируемого глазом. Измерения распределения энергии в спектре теплового радиоизлучения позволяют определить температуру источника радиоизлучения. Физическая природа космических источников радиоволн и механизмы радиоизлучения. Самый простой механизм излучения радиоволн космическими телами — это тепловое излучение. В любом теле при любой температуре атомы участ- 98 вуют в хаотическом тепловом движении, сопровождающемся ускорением при каждом взаимодействии. Следовательно, испытывают ускорения и электроны, входящие в состав атомов или освободившиеся от них при достаточно высокой температуре. Ускоренное беспорядочное движение электронов является источником теплового электромагнитного излучения. При любой температуре в составе теплового излучения имеется радиоизлучение. По измерениям теплового радиоизлучения радиоастрономы определяют температуру поверхностей планет Солнечной системы и их спутников, температуру различных областей Солнца, температуру облаков межзвездного газа. Исследования радиоизлучения остатков сверхновых звезд и радиогалактик показали, что в основном оно возникает в результате взаимодействия очень быстрых электронов с магнитными полями. Источниками быстрых электронов в остатках сверхновых звезд и радиогалактиках являются очень мощные взрывные процессы. Например, при взрыве сверхновой Кассиопея А была сброшена со звезды газовая оболочка массой, примерно равной массе Солнца. Эта оболочка разлетается от звезды со скоростью более 7000 км/с. Самое мощное радиоизлучение идет от радиогалактики Лебедь А. По доплеровскому смещению спектральных линий измерена скорость удаления этой галактики, а по скорости убегания найдено расстояние от нас до этой галактики. Оно оказалось равным 220 Мпк, что примерно в 7000 раз больше диаметра нашей Галактики. Мощность радиоизлучения этой галактики достигает 7 • Вт, что примерно в миллион раз больше мощности радиоизлучения средней обычной галактики. Мощные всплески радиоизлучения регистрируются от Солнца во время гигантских взрывов на Солнце, называемых хромосферными вспышками. Это радиоизлучение порождается потоками быстрых электронов, выбрасываемых при вспышках и взаимодействующих с магнитными полями и плазмой. Особенно трудно было понять происхождение мощного импульсного радиоизлучения пульсаров. Это явление настолько отличалось от всего известного ранее, что высказывалась даже гипотеза о «маленьких зеленых человечках», посылающих в космос сигналы о своем существовании. Однако эту гипотезу пришлось отбросить, так как нашлось более простое объяснение. Выяснилось, что в результате вспышки сверхновой звезды может возникнуть нейтронная звезда столь малых размеров и такой высокой плотности, что электроны атомных оболочек оказываются вжатыми в атомные ядра и большая часть протонов после захвата электронов превращается в нейтроны. Плотность нейтронной звезды становится равной плотности ядерного вещества: ~2 • 10^^ кг/м^. Если бы Солнце превратилось в нейтронную звезду, то его диаметр с 1 400 000 км уменьшился бы до 25 км. При сжа- 99 Вращающееся магнитное поле Вращающаяся нейтронная звезда тии звезды сохраняется ее момент импульса, поэтому период вращения уменьшается до тысячных долей секунды. Магнитные поля, существовавшие вокруг звезды, сжимаются вместе со звездой. Если магнитное поле асимметрично относительно оси вращения нейтронной звезды, то радиоизлучение быстрых электронов изменяет направление излучения с периодом вращения звезды, подобно лучу вращающегося прожектора (рис. 2.36). Н Вопросы. 1. Каково происхождение космического радиоизлучения? 2. Какими приборами регистрируется космическое радиоизлучение? 3. Каков механизм магнитотормозного космического радиоизлучения? 4. Каков механизм радиоизлучения пульсаров? ■ Задача для самостоятельного решения 30.1. Оцените период вращения нейтронной звезды радиусом 12,5 км, если известно, что эта звезда возникла в результате сжатия звезды радиусом 700 000 км, совершавшей один оборот вокруг своей оси за 27 сут. §31. Глава 3 Световые волны Электромагнитная природа света. Скорость света Развитие представлений о природе света. Большую часть информации об окружающем мире дает человеку зрение. В этом одна из причин того, что в истории физики исследования природы света занимают одно из ведущих мест. В развитии представлений о свете с древних времен до наших дней прослеживается преемственность физической науки, ее важнейших законов и теорий. Что такое свет и каким образом мы видим предметы вокруг нас? Ответы на эти вопросы пытались найти еще философы Древней Греции. Философы пифагорейской школы объясняли способность человека видеть окружающие предметы свойствами глаза. Они считали, что открытый глаз испускает «флюиды» и ощупывает ими наблюдаемые предметы как тончайшими щупальцами. Древнегреческие атомисты развивали другие представления о способности видеть. Они считали, что с каждого предмета непрерывно срываются оболочки, подобные самим предметам. Эти «призраки» или «образы» предметов, попадая в глаз, вызывают ощущения формы и цвета предметов. В 1672 г. Исаак Ньютон высказал гипотезу о корпускулярной природе света. Он писал: «Не являются ли лучи света очень малыми телами, испускаемыми светящимися веществами? Ибо такие тела будут проходить через однородные среды без загибания в тень соответственно природе лучей света. Они могут иметь также различные свойства и способны сохранять эти свойства неизменными при прохождении через различные среды, в чем заключается другое условие лучей света». Против корпускулярной теории света выступили современники Ньютона — Роберт Гук и Христиан Гюйгенс, выдвинувшие гипотезу о волновой природе света. Согласно представлениям Гука, «...свет — колебательное или дрожательное движение в среде... происходящее из подобного же движения в светящемся теле подобно звуку... И как в звуке пропорциональные колебания производят различные гармоники, так и в свете различные странные и приятные цвета создаются при смешении пропорциональных движений. Первые воспринимаются ухом, а вторые — глазом». С использованием сформулированного им принципа интерференции на основе волновых представлений о природе света Юнг объяснил происхождение колец Ньютона — чередующихся темных и разноцветных концентрических колец, наблюдающихся при наложении линзы на стеклянную пластину. 101 Более подробно разработал волновую теорию света Гюйгенс. Он писал: «Если принять во внимание... что лучи света проходят один через другой, не мешая друг другу, то станет совершенно понятным, что когда мы видим светяш;ийся предмет, то это не может происходить вследствие переноса световой материи, доходящей до нас от этого предмета наподобие пули или стрелы, пересекающих воздух... Несомненно, что и свет доходит от светящегося тела до нас каким-нибудь движением, сообщенным веществу, находящемуся между ним и нами... движение, сообщенное веществу, постепенно распространяется так же, как и при звуке, сферическими поверхностями и волнами...» На протяжении более ста лет корпускулярная и волновая гипотезы о природе света существовали параллельно. Важнейшую роль в выяснении природы света сыграло опытное определение скорости его распространения. Опыт Галилея. Первая известная попытка экспериментального определения скорости света была предпринята Галилео Галилеем. Он предложил проделать следующий опыт. Два экспериментатора с фонарями ночью расходятся на большое расстояние I друг от друга, и каждый ждет светового сигнала. Первый экспериментатор открывает крышку фонаря и одновременно запускает прибор для измерения времени. Второй экспериментатор, увидев свет, тотчас открывает свой фонарь (рис. 3.1). Первый экспериментатор, увидев свет от второго фонаря, останавливает прибор, измеряющий время. Делением двойного расстояния между экспериментаторами на время запаздывания светового сигнала следовало получить скорость света. Однако обнаружить запаздывание сигнала в таких опытах не удалось из-за большой скорости света и грубости измерительных приборов. Скорость света. Первое экспериментальное определение скорости света выполнил датский астроном Олаф Рёмер в 1675 г. Наблюдениями было установлено, что спутник Ио совершает один оборот вокруг планеты Юпитер и скрывается в его тени через 42,5 ч. Однако период между двумя последовательными затмениями Ио не остается точно постоянным. При удалении Земли от Юпитера каждое следующее затмение Ио наступает немного позднее ожидаемого момента времени. Суммарное запаздывание начала затмения при удалении Земли от Юпитера на диаметр земной орбиты позднее ожидаемого момента времени, по Рёмеру, составляло 22 мин (рис. 3.2). Рёмер предположил, что это запаздывание возникает вследствие того, что свет, имеющий конечную скорость, проходит увеличившееся расстояние между Юпитером L Рис. 3.1 102 и Землей за большее время. Разделив диаметр земной орбиты на время запаздывания, можно получить значение скорости света: 3-10" м с = 1320 с 2,27 • 10» м/с. Хотя полученный Рёмером результат из-за неточности определения времени запаздывания и отсутствия точных данных о диаметре земной орбиты имел большую погрешность, опытное установление факта конечной скорости распространения света имело очень большое принципиальное значение. Первое лабораторное измерение скорости света было выполнено в 1849 г. французским физиком Арманом Физо. В его опыте (рис. 3.3) свет от источника S проходил через прерыватель К (зубья вращающегося колеса) и, отразившись от зеркала 3, возвращался опять к зубчатому колесу. Если зубец и прорезь зубчатого колеса имеют одинаковую ширину и место прорези на колесе занимает соседний зубец, то свет перекрывается зубцом и в окуляре становится темно. Это происходит при условии, что время прохождения света туда и обратно: = 2Llc — равно времени поворота зубчатого колеса на ширину зубца: = T/{2N) = l/(2Av). Здесь L — расстояние от зубчатого колеса до зеркала; Т — период вращения зубчатого колеса; N — число зубцов; V = 1/Т — частота вращения. Из равенства = ig следует 103 расчетная формула для определения скорости света данным методом: с = 4LNV. Используя метод вращающегося затвора, Физо получил значение скорости света с = 3,13 • 10^ км/с. В опытах Л. Фуко и А. Майкельсона по определению скорости света для его прерывания использовались вращающиеся зеркала. По результатам современных измерений скорость света в вакууме равна: с = 2,99792458 • 10* м/с. Свет как электромагнитная волна. Новое содержание в спор о волновой или корпускулярной природе света внесла созданная Максвеллом теория электромагнитного поля. Согласно этой теории ускоренно движущиеся электрические заряды ДО.ПЖНЫ излучать электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью 300 000 км/с. Совпадение теоретически предсказанного значения скорости электромагнитных волн со скоростью света делало очень правдоподобной гипотезу об электромагнитной природе света. Экспериментальное открытие электромагнитных волн Генрихом Герцем в 1887 г., установление совпадения их скорости со скоростью света, обнаружение у них всех основных свойств, присущих свету, явилось доказательством электромагнитной природы света. ■ Творческое задание в 1725 г. английский астроном Джеймс Брадлей открыл явление, названное впоследствии годичной аберрацией света. Он наблюдал с помощью неподвижного телескопа в одни и те же моменты звездных суток положение звезд в направлении, перпендикулярном плоскости земной орбиты. Оказалось, что положение этих звезд в поле зрения телескопа изменялось в течение года. В начале наблюдений, в декабре, звезды с каждым днем смещались в направлении к югу. Наибольшего значения 20" смещение достигло в марте, затем началось возвратное смещение к северу. В сентябре смещение к северу достигло 20" и началось смеще- 104 ние к югу. В декабре звезды возвратились в исходные точки. Такое движение, поясняемое рисунком 3.4, повторялось каждый год. В 1728 г. Брадлей догадался, что открытое им явление доказывает конечность скорости распространения света и позволяет определить значение этой скорости. Попробуйте и вы догадаться, как из факта существования годичной аберрации света следует вывод о конечности скорости света. По значению угла аберрации и известному значению орбитальной скорости Земли (30 км/с) определите скорость света. Н Вопросы. 1. Каковы основные этапы развития представлений о природе света? 2. В чем состоят основные положения электромагнитной теории света? 3. Опишите методы измерения скорости света. sis. ■> W ' / I/ 1 \ I 5 I 5 I Рис. 3.4 ■ Задача для самостоятельного решения 31.1. в опыте Физо расстояние между зубчатым колесом и зеркалом составляло 3,733 км, зубчатое колесо содержало 720 зубцов. Первое затемнение света наблюдалось при частоте вращения 29 об/с. Определите по этим данным скорость света. § 32. Интерференция света Опыт Юнга. Одним из наиболее убедительных доказательств волновой природы света было открытие явления интерференции света. Каждый знает, что если над столом включить сначала одну лампу, а затем другую, то на столе станет светлее, но интерференционная картина с чередованием светлых и темных полос не образуется. Можно подумать, что этот факт опровергает гипотезу о волновой природе света. Но английский ученый Томас Юнг был первым, кто понял, что от двух независимых источников света интерференционная картина не получится. Поэтому он пропустил свет через узкое отверстие S, затем с помощью двух отверстий Sj и S2 разделил этот пучок на два пучка (рис. 3.5). Пучки, расширяясь за счет дифракции, накладывались друг на друга. Если в опыте использовался монохроматический (одноцветный) свет, то в местах наложения двух световых пучков наблюдалась центральная светлая полоса, а по бокам от нее чередовались темные и светлые полосы, т. е. наблюдалась интерференция света. Томас Юнг 105 в точку о в центре экрана, находящуюся на одинаковых расстояниях от источников S-i и Sg» световые волны приходят в одинаковой фазе. Поэтому в точке О наблюдается так называемый нулевой максимум интенсивности света. В других точках экрана максимум возникает при выполнении условия равенства разности хода целому числу длин волн: А = тХ, (32.1) где т — номер максимума. В точках экрана, для которых выполняется условие равенства разности хода нечетному числу полуволн: A = (2m-hl)V2, (32.2) наблюдаются минимумы интенсивности света. При условии L ^ d и малых значениях угла 0 для максимумов будут выполняться приближенные равенства А ~ d sin 6, (32.3) = L tg Q ^ L sin 9. (32.4) Из формул (32.1), (32.3) и (32.4) следует, что расстояние y„^ от нулевого максимума до максимума с номером т равно: = LA/d = LmX/d. (32.5) Величины L, т, d и у„ можно измерить. Это позволило Юнгу впервые измерить длину световой волны: X = y^d/Lm. (32.6) Из выражения (32.5) следует, что положение интерференционного максимума в опыте Юнга зависит от длины световой волны. В опыте с белым светом Юнг наблюдал белую полосу в месте нулевого максимума и разложенные в разноцветный спектр полосы в местах максимумов. Это доказывало, что белый свет является смесью световых волн разной длины. Наиболее удаленными от нулевого максимума нахо- 106 дились максимумы красного света, наименее удаленными — максимумы фиолетового света. Следовательно, наибольшей длиной волны обладает красный свет, наименьшей длиной волны — фиолетовый свет. В своем опыте Юнг достаточно точно определил длину световой волны: для крайней фиолетовой части спектра он получил значение длины волны 0,42 мкм, для красного света — 0,7 мкм. Благодаря простоте и убедительности опыт Юнга стал классическим и одним из самых ярких в истории физики. Цвета тонких пленок. Интерференция света наблюдается не только в специальных опытах, но и во многих повседневных явлениях в окружаюпдем нас мире. Самое замечательное из них — разноцветная окраска тонких пленок бесцветных жидкостей: мыльных пузырей, масляных или бензиновых пленок на воде, на дороге. Когда белый свет падает на тонкую пленку (рис. 3.6), волна частично отражается от ее верхней поверхности, частично проходит через пленку и отражается от ее нижней поверхности. Волна, отраженная от нижней поверхности пленки, проходит больший путь. Разность хода зависит от длины волны и угла падения света на поверхность пленки. Поэтому максимумы интерференционной картины для разных длин волн в одной точке наблюдаются при разных углах падения света, а при наблюдении из одной точки разные участки пленки наблюдаются окрашенными в различные цвета. Аналогично возникают и кольца Ньютона. Между выпуклой поверхностью линзы и плоской стеклянной пластиной, на которую положена линза, образуется воздушный клин (рис. 3.7). Волны, отраженные от нижней поверхности линзы и от верхней поверхности плоской пластины, различаются разностью хода, зависящей от толщины воздушного клина в данном месте. Установка симметрична относительно оси OOj, поэтому интерференционные полосы имеют вид концентрических колец. При освещении установки монохроматическим светом наблюдается чередование светлых и темных колец. При освещении установки бе- Рис. 3.7 М - - г ~ - /I 11 / I / I / I I I I I ' /О, /1 I i ivy’ll ii 107 Рис. 3.8 лым светом кольца оказываются окрашенными: наружная часть кольца красная, внутренняя фиолетовая. Таким образом, интерференция белого света сопровождается его спектральным разложением на монохроматические составляю-ш;ие. Проблема когерентности. Волновой цуг. Выясним теперь, почему же не наблюдается интерференция от двух независимых источников света, например от двух ламп. Для того чтобы это понять, следует обратить внимание на механизм излучения света атомами вепдества. Более детально этот вопрос будет рассмотрен в главе 7. Здесь же нам достаточно знать, что атом может находиться в возбужденном состоянии около 10"® с и примерно столько же времени длится процесс излучения. Поэтому волна, излучаемая атомом, может быть в первом приближении представлена в виде волнового цуга — обрывка синусоиды (рис. 3.8). Длина цуга примерно равна: Z = ст ~ 3 • 10® м/с • 10"® с = 3 м. На длине цуга укладывается около 5 • 10® длин световых волн. А так как свет излучается одновременно огромным количеством атомов и излучают они независимо друг от друга, то реальная световая волна представляет собой набор волновых цугов с беспорядочно меняющейся фазой. В уравнении световой электромагнитной волны от обычного источника света начальная фаза ф является случайной функцией времени: Е = cos (со (^ - At) -ь ф) = Е^ cos (со (^ - х/с) + ф). (32.7) Волны, фазы которых меняются случайно и независимо друг от друга, называются некогерентными. Сложение некогерентных волн. Если от двух независимых источников света в одну точку пространства приходят две световые волны с одинаковой частотой и одинаковым направлением векторов напряженности электрического поля, то при сложении волн получится суммарное колебание, зависисящее от разности хода и разности начальных фаз. Каждый атом высвечивает электромагнитное излучение примерно в течение 10"® с, через такие же интервалы времени изменяются и начальные фазы складывающихся колебаний. Поэтому картина, получающаяся на экране, меняется с частотой около 10® Гц. Человеческий глаз сохраняет зрительное впечатление примерно в течение 0,1 с, и при изменениях освещенности с частотой более 10 Гц глаз регистрирует лишь среднюю освещенность экрана. 108 Интенсивность света во всех точках экрана оказывается равной сумме интенсивностей, что соответствует закону сохранения энергии. Когерентные волны. Рассмотрим сложение когерентных волн. Для примера обратимся к опыту Юнга (см. рис. 3.5). Свет, испускаемый щелями и Sg, также представляет собой электромагнитные волны с хаотически меняющейся фазой. Но через обе щели проходит свет от одного фронта волны, испускаемой первым отверстием S. Аналогичный результат имеет место в тонких пленках, где также складываются волны, отраженные двумя поверхностями, на которые падает одна первичная волна. И в этом случае у обеих волн начальная фаза меняется хаотично, но закон ее изменения один и тот же. Следовательно, разность начальных фаз равна нулю. Две световые волны одинаковой частоты, у которых разность начальных фаз равна нулю или постоянна, называются когерентными. Именно при сложении когерентных волн возникает интерференция. Поскольку разность фаз волн (Pi - Фг = О, то интенсивность волны оказывается зависящей только от разности хода, которая не зависит от времени. Следовательно, интенсивность волны оказывается равной: Х2~ Ху I = 4£2 ср т COS' со 2с ‘iEl cos^ cos2[^j. (32.8) При разности хода, равной целому числу длин волн, А = тХ, косинус равен единице и интенсивность будет пропорциональна учетверенному квадрату амплитуды, т. е. окажется вдвое больше суммы интенсивностей слагаемых волн. Если же на разности хода укладывается нечетное число полуволн А = (2т 1) Х/2^ то косинус равен нулю и интенсив- ность тоже равна нулю. Для наблюдения интерференции разность хода, безусловно, должна быть много меньше длины волнового цуга (рис. 3.9): А «: ст. (32.9) В противном случае условие когерентности нарушается. Итак, при интерференции света — сложении когерентных волн — возникает устойчивая во времени интерференционная картина максимумов и минимумов освещенности, причем в максимумах энергия больше суммы энергий от обеих слагаемых волн, а в минимумах энергия равна нулю. При интерференции происходит перераспределение энергии между интерференционными максимумами и минимумами, но среднее значение энергии во всех точках интерференционной картины равно сумме энергий, приносимых обеими волнами. Ш Вопросы. 1. Почему интерференция считается одним из основных доказательств волновой природы света? 2. В чем состоял опыт Юнга? 3. Почему интерференционная картина в белом свете имеет радужную окраску? 4. Опишите установку для наблюдения колец Ньютона. 5. Возможна ли интерференция от двух независимых источников света? 6. Что такое оптическая разность хода? 7. Каков результат сложения когерентных световых волн? Выполняется ли при интерференции закон сохранения энергии? ■ Примеры решения задач Задача 1. Между краями двух хорошо отшлифованных плоских стеклянных пластинок помещена тонкая проволока диаметром 0,05 мм; другие концы пластинок плотно прижаты друг к другу (рис. 3.10, а). Свет падает перпендикулярно поверхности пластинки. На пластинке длиной 10 см наблюдатель видит интерференционные полосы, расстояние между которыми равно 0,6 мм. Определите длину волны. Решение. Как видно из рисунка 3.10,6, ——— = По- d I скольку мы рассматриваем два соседних максимума (или минимума) и свет дважды проходит расстояния и rg, то справедливы соотношения aj б) Рис. 3.10 110 2rj = 2mXl2 и 2rg = (2m + 1) X/2, откуда Г2~ r^ = X/2. Следовательно, ^ “ у ^ длины световой волны будем иметь X = 2dh 2-0,05-0,6 мм I 100 = 6*10 ^ мм = 0,6 мкм. Задача 2. Определите радиус темного кольца Ньютона в отраженном и проходящем свете. Решение. Опыт показывает, что в том месте, где в проходящем свете наблюдается максимум, в отраженном свете наблюдается минимум. Явление это объясняется следующим образом. Волна, отразившаяся от выпуклой поверхности линзы в точке Е (см. рис. 3.7), отражается от границы стекло — воздух, т. е. от среды с меньшим показателем преломления. При этом ее фаза не меняется. Волна же, отразившаяся в точке F на границе воздух — стекло, меняет фазу на противоположную, ибо отражается от среды с большим показателем преломления. Изменение фазы на противоположную равносильно изменению разности хода на половину длины волны (отражение с потерей полуволны). Отсюда следует, что для отраженного света в точках Е и F разность хода равна; Д = 2EF + Х/2. Интерференционный минимум возникнет при разности хода А = (2т + 1) Х/2. Из этих двух равенств получим EF = тХ/2, где m = о, 1, 2, 3, ... — номер кольца. Радиус темного кольца с номером m в отраженном свете = ED. Из геометрических соображений (квадрат полухорды равен произведению отрезков диаметра) имеем ED'^ = MD ■ OD или гД = {2R - OD) • OD. Раскрывая скобки и учитывая, что OD = EF, получаем г1 = 2R • EF - EF'^. Но EF jR, поэтому вторым слагаемым можно пренебречь. Итак, гД = 2R • EF = 2R тХ/2 = mXR. Таким образом, радиус темного кольца в отраженном свете: = JmRX. Задача 3. Определите услови51 наблюдения интерференционных максимумов и минимумов при отражении монохроматического света длиной волны X от тонкой плоскопараллельной прозрачной пленки толщиной а. Показатель преломления пленки равен п. Решение. На рисунке 3.11 показан ход луча АО, падающего на тонкую плоскопараллельную пленку под углом а. В ре- 111 зультате многократного отражения и преломления падающая на пленку световая волна разделяется на ряд волн, отраженных и проходящих через пластинку. Для расчета интерференционной картины при малом отражении достаточно ограничиться двумя лучами OBj и В,В2, так как энергия последующих отраженных волн мала по сравнению с энергией первых двух волн. Оптическая разность хода для этих двух волн равна: М = (OCj + CiBi) n-OF = 2ап cos Р - 2а tg р sin а. sin а Так как по закону преломления ------- = п, то sin р 2ап 2ап sin2 Р „ А1 =---^--------::--= 2ап cos р. cos Р cos р При отражении волны в точке О от оптически более плотной среды происходит смена ее фазы на противоположную, при отражении волны в точке Cj от оптически менее плотной среды изменение фазы не происходит. Поэтому интерференционная картина будет определяться разностью хода А1' с учетом по-тери —: А1' = А1-— = 2ап cos р — —. 2 ^2 Из условия интерференционного максимума А1' = 2k ^ сле- дует: 2ап cos Р = (2/е + 1) —, а из условия интерференционного минимума А1'= (2k - 1) 2ап cos р = ^ = kX. Ш Задачи для самостоятельного решения 32.1. Найдите расстояние между соседними интерференционными максимумами в установке Юнга (см. рис. 3.5), если расстояние между щелями равно d, расстояние от щелей до экрана равно L. Отверстие S освещается монохроматическим светом длиной волны X. 32.2. В установке Юнга расстояние между щелями равно 1 мм, расстояние от щелей до экрана — 3 м. Первый максимум отстоит от нулевого на расстоянии 2 мм. Определите длину световой волны. 112 32.3. На установку, описанную в предыдущей задаче, падает белый свет. Крайние длины волн для красного света = 0,72 мкм, для фиолетового >-2 = 0,41 мкм. Будут ли видны раздельно спектры первого порядка, или спектр первого порядка перекроется частично спектром второго порядка? § 33. Применение интерференции Интерферометр Майкельсона. Интерферометром называется прибор, в котором явление интерференции используется для прецизионных (весьма точных) измерений. В качестве примера рассмотрим устройство интерферометра Майкельсона. Схема прибора изображена на рисунке 3.12. Здесь S — источник света с высокой монохроматичностью; и Pg — Две стеклянные пластинки одинаковой толщины с высококачественно отшлифованными поверхностями; на пластину Pj напылен тонкий слой серебра с таким расчетом, что он половину светового пучка пропустит, а половину отразит; Mj и Mg — два металлических зеркала, которые могут перемещаться с помощью микрометрических винтов; Т — зрительная труба. Свет от источника падает на пластинку Ру и здесь раздваивается. Половина светового пучка отражается в направлении к зеркалу Mj, затем отражается от него, проходит вновь пластины Pg и Р^ и попадает в зрительную трубу. Другая половина светового пучка, пройдя через полупрозрачный слой серебра, доходит до зеркала Мз, отражается от него, проходит вновь пластину Ру и, отразившись от полупрозрачного слоя серебра, попадает в зрительную трубу. На полупрозрачном слое световой пучок делится на два, следовательно, обе волны, попадающие в зрительную трубу, когерентны. Глаз наблюдателя увидит в трубе интерференционную картину: четкие интерференционные полосы. Разность хода равна удвоенной разности расстояний от центра пластины Ру до зеркал Му и Mg: А = 2 (Zj — Zg)* Если переместить зеркало Му на расстояние AZ = j, то разность хода изменится на полуволну, а в интерференционной картине максимум сдвинется на место минимума. Такой сдвиг полос наблюдатель отчетливо увидит. Фактически в интерферометре можно зарегистрировать сдвиг интерференционного максимума 8 — А. А. Пинский 11 кл. 113 на 0,1—0,05 расстояния между полосами, что соответствует перемещению зеркала на расстояние Д/, = ^ = = нм = 25 нм (или А/з = "= 12,5 нм). С помощью интерферометров можно измерить коэффициенты линейного расширения твердых тел, а также измерить весьма малое изменение размеров ферромагнетиков в магнитном поле или сегнетоэлектриков в электрическом поле (маг-нитострикционный и электрострикционный эффекты). Интерференционные методы позволяют проверить качество шлифовки линз и зеркал, что очень важно при изготовлении оптических приборов; с их помощью измеряются коэффициенты преломления веществ, в частности газов; измеряются весьма малые концентрации примесей в газах и жидкостях. В астрономии интерференционные методы позволяют оценить угловой диаметр звезд. Просветление оптики. Многие из вас, наверное, обращали внимание на то, что объективы хороших фотоаппаратов, биноклей и других оптических приборов «переливаются» сине-фиолетовой окраской, хотя стекло, из которого выполнены линзы, обладает хорошей прозрачностью. Поскольку эти отблески от объективов похожи на цвета тонких пленок, то можно предположить, что мы здесь наблюдаем явление интерференции, и это действительно так. Рассмотрим, в чем тут дело. Свет, проходя через линзу, частично отражается от ее передней и задней поверхностей. При отражении теряется от 8 до 10% энергии света. Если же объектив состоит из нескольких линз, то потери на отражение могут составить до 50%. Чтобы этого избежать, на поверхность линзы химическими методами наносят тонкую пленку, толщина которой и показатель преломления выбираются с таким расчетом, чтобы в отраженном свете возник интерференционный минимум (рис. 3.13). В результате в проходящем свете возникает интерференционный максимум, т. е. через линзу пройдет больше света, чем при отсутствии пленки. Таким образом, оптика «просветляется». К пленке нужно относиться бережно, оберегать поверхность линзы от загрязнений, ударов, царапин. Удалять пыль следует мягкой фланелью. Недопустимо промывать поверхность линзы какими-либо растворителями — спиртом, ацетоном и т. п. Н Вопросы. 1. Нарисуйте схему интерферометра Майкельсона. 2. Для чего нужна в интерферометре Майкельсона полупосеребренная стеклянная пластинка? прозрачная стеклянная пластинка? 3. На сколько сдвинутся интерференционные полосы в интерферометре Майкельсона, если сместить зеркало на расстояние, равное одной восьмой длины волны? 4. В чем сущность явления просветления оптики? 114 Ш Примеры решения задач Задача 1. Определите толщину пленки с показателем преломления Til = 1,23 на поверхности линзы из стекла с показателем преломления п-2 = 1,5, необходимую для просветления оптики. Учтите, что при дневном видении глаз наиболее чувствителен к свету с длиной волны 555 нм. -I Решение. При интерференции в отраженном свете складываются волны 1 и 2 (см. рис. 3.13), причем волна 1 отражается непосредственно от пленки, волна 2 — от стекла, т. е. обе волны отражаются от оптически более плотных сред. При каждом из отражений фаза меняется на п (отражение «с потерей полуволны»). Следовательно, разность фаз при этом не меняется. Оптическая разность хода А = 2п1, где I — толщина пленки. Для получения интерференционного минимума необходимо, чтобы разность хода равнялась нечетному числу полу-(2k + l)X Рис. 3.13 волн: Д = , где k = 0, 1, 2, ... — натуральное число. Имеем (2k + l)X откуда следует: ^_(2k + l)X 2п^1 = {2k + !)• 555 нм = {2k -t- 1) • 112,8 нм. 4/1 4-1,23 Наименьшая толщина = 112,8 нм. Задача 2. В каждое плечо интерферометра Майкельсона поместили по цилиндрической кювете длиной 50 мм. Кюветы были заполнены воздухом. Выкачивание воздуха из одной кюветы сопровождалось сдвигом интерференционных полос, и при достижении глубокого вакуума произошел сдвиг на 50 полос. Определите показатель преломления воздуха при нормальном атмосферном давлении. Интерферометр освещался натриевой лампой (длина световой волны 589,3 нм). Решение. Оптическая разность хода А = п1 - I = {п - 1) I, где I — длина кюветы. Поскольку свет проходит кювету дважды, сдвиг на 50 полос означает, что на оптической разности хода 50Х укладывается 50 полуволн: Д = (/i — 1) Z = ^ . Отсюда следует: ц = 1+ ^=1 + 25- 589,3 • 10-6/50 = = 1 + 0,000295 = 1,000295. ■ Задачи для самостоятельного решения 33.1. при перемещении зеркала в интерферометре Майкельсона интерференционная картина сместилась на 100 полос. На сколько сместилось зеркало, если длина световой волны равна 546 нм? 8* 115 33.2. В каждое плечо интерферометра Майкельсона поместили по цилиндрической кювете длиной 50 мм каждая. В одной из кювет воздух заменили углекислым газом, что вызвало сдвиг интерференционной картины на 25 полос. Определите показатель преломления углекислого газа, если показатель преломления воздуха при этих же условиях равен 1,000292. Интерферометр освещался гелий-неоновым лазером (длина световой волны 630 нм). 33.3. В интерферометре (см. задачу 33.2) из одной кюветы выкачали воздух, в другой он остался. На сколько полос сместилась интерференционная картина? § 34. Дифракция света Явление дифракции света. Первое научное описание явления, в котором наблюдалось отклонение света от прямолинейного направления, было дано в книге итальянского ученого Франческо Гримальди, опубликованной в 1665 г. Гримальди обнаружил, что при помещении непрозрачного предмета на пути узкого пучка солнечного света в темной комнате тень от предмета оказывается шире, чем она должна быть при строго прямолинейном распространении света. Кроме того, по краям тени он наблюдал цветные полосы. Следовательно, свет отклонялся у края предмета и заходил в область геометрической тени. Это явление Гримальди назвал дифракцией света. Для наблюдения явления проколоть иглой в листке Рис. 3.14 Рис. 3.15 дифракции света достаточно бумаги отверстие диаметром 0,2—0,5 мм, поднести этот листок близко к глазу и посмотреть сквозь малое отверстие на яркий источник света. Вместо ожидаемой яркой светлой точки в таком опыте наблюдается светлый круг с размытым краем и система из нескольких светлых колец, окружающих этот светлый круг (рис. 3.14). При наблюдении источника света через узкую щель дифракционная картина состоит из центральной светлой полосы и нескольких более слабых светлых полос, расположенных симметрично относительно центральной полосы и параллельно ей (рис. 3.15). Зоны Френеля. Найти амплитуду световых колебаний от источника света А в про- 116 Рис. 3.16 извольной точке О согласно принципу Гюйгенса — Френеля можно следующим образом. Если источник света А точечный и монохроматический, а среда, в которой распространяется свет, изотропна, волновой фронт в произвольный момент времени t имеет форму сферы радиусом г = ct (рис. 3.16). Каждая точка на этой сферической поверхности является источником вторичных когерентных волн. Амплитуду колебаний в точке О можно найти, сложив когерентные колебания от всех вторичных источников на волновой поверхности. Так как расстояния от разных участков волновой поверхности до точки О неодинаковы, то колебания от них в эту точку приходят в различных фазах. Для нахождения результата интерференции колебаний от вторичных источников Френель предложил метод разбиения волнового фронта на зоны, называемые теперь зонами Френеля. Обозначим расстояние от точки О до ближайшей точки волновой поверхности В через Vq. Первая зона Френеля ограничивается точками волновой поверхности, расстояние от которых до точки О равно = Гд -н Х/2. Эти точки располагаются на окружности. Вторая зона находится между краем первой зоны и точками волновой поверхности, расстояние от которых до точки О равно ^2 = -Ь А./2 = Гц -I- А.. Аналогично получим г^ — Г2 + V2 = ^0 + 3?i/2 и т. д. 117 Если рассчитать площади зон Френеля, то можно убедиться, что все зоны Френеля имеют одинаковую площадь. Поэтому они должны возбуждать в точке наблюдения колебания с одинаковой амплитудой. Однако из-за того, что у каждой последующей зоны угол а между лучом, проведенным в точку наблюдения, и нормалью к фронту волны несколько больше, чем у предыдущей зоны, с увеличением угла а амплитуда колебаний уменьшается. Для соседних зон Френеля разница в амплитудах колебаний невелика, и ею можно пренебречь. Важно обратить внимание на то обстоятельство, что разность хода от двух соседних зон равна Х/2. Следовательно, колебания от них приходят в точку наблюдения в противоположных фазах и почти полностью гасят друг друга. Учитывая этот факт, можно предсказать результаты опытов с пропусканием света через отверстие малого радиуса. Пока радиус отверстия меньше радиуса первой зоны Френеля, увеличение диаметра отверстия должно приводить к увеличению амплитуды колебаний в точке О, так как разность хода для колебаний, пришедших от различных точек первой зоны, не превышает А./2. Максимального значения амплитуда колебаний в точке О должна достигнуть при равенстве радиуса отверстия радиусу первой зоны Френеля. При дальнейшем увеличении радиуса отверстия амплитуда колебаний в точке О должна уменьшаться в результате интерференции колебаний от первой и второй зон и становиться минимальной при равенстве радиуса отверстия радиусу второй зоны. Получается парадоксальный результат: свет проходит из точки А в точку О через отверстие радиусом в одну зону Френеля и не проходит через большее отверстие в две зоны Френеля! Это полностью противоречит представлениям геометрической оптики, но прекрасно подтверждается в эксперименте. На самом деле световая волна проходит через отверстие и во втором случае, но в точке О наблюдается интерференционный минимум. Далее амплитуда колебаний должна принимать максимальные значения в случаях нечетного числа зон Френеля на отверстии и минимальные значения при четном их числе. Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики. Важнейшим свойством световых волн является прямолинейность их распространения. С помощью метода зон Френеля этот экспериментальный факт объясняется так. Если в отверстии укладывается большое число зон Френеля, то для нахождения суммарного их действия нужно учитывать убывание амплитуды колебаний от более далеких зон. Можно показать, что в этом случае интенсивность волны равна интенсивности, создаваемой совместным действием половины первой зоны и половины последней зоны. При больших значениях числа зон на отверстии амплитуда колебаний от половины последней зоны становится настолько малой, что ее влиянием по сравнению с действием половины первой 118 зоны можно пренебречь. Результат получается таким, будто бы волна из одной точки в другую распространяется прямолинейно внутри цилиндра, диаметр которого меньше диаметра первой зоны. В этом случае можно использовать понятие светового луча, рассматривая узкий пучок света половины центральной зоны Френеля как луч. Условием, при котором можно пользоваться законами геометрической оптики, служит соотношение г»Г1, (34.1) где г — радиус отверстия; Гу — радиус первой зоны Френеля. Рассчитаем радиус первой зоны для плоской волны. Из рисунка 3.17 видно, что г^ = ^{d + X/2f -d^ ~ Vd\, (34.2) где d — расстояние от отверстия до экрана; К — длина световой волны. Из выражений (34.1) и (34.2) получим искомое условие: г » (34.3) Это условие показывает, что размеры отверстия, позволя-юш;ие использовать законы геометрической оптики, зависят не только от длины волны, но и от расстояния до места наблюдения. С увеличением расстояния увеличивается радиус первой зоны Френеля, поэтому явления дифракции и интерференции могут наблюдаться и при больших размерах отверстий и экранов. Зонная пластинка. Из теории Френеля можно получить еш;е ряд замечательных и парадоксальных следствий. Если на пути монохроматического светового пучка поместить прозрачную пластинку, на которой в месте расположения всех четных зон Френеля нанесены концентрические кольца из непрозрачного материала (зонную пластинку), то в точку наблюдения будут приходить колебания только от нечетных зон, происходяш;ие в одной и той же фазе. В результате интерференции этих колебаний освеш;енность в точке О должна значительно возрасти, хотя почти половина площади отверстия закрыта непрозрачным экраном. Опыт полностью подтверждает правильность этого предположения. Действие зонной пластинки не опровергает закона сохранения энергии. Закрывание половины зон непрозрачным экраном сопровождается не только увеличением амплитуды световых колебаний в точке наблюдения, но и одновременно уменьшением 119 амплитуды световых колебаний в других точках: зонная пластинка действует подобно собирающей линзе и может строить изображения предметов. Полная энергия светового потока, проходящего через зонную пластинку, равна лишь половине энергии светового потока, который проходит через отверстие в отсутствие этой пластинки. Дифракция от круглого экрана. Второе замечательное следствие теории Френеля — предсказание существования светлого пятна в области геометрической тени от непрозрачного экрана. Если на пути распространения света от точечного источника поместить небольшой непрозрачный экран, то освещенность в центре области геометрической тени можно рассчитать как результат сложения волн от всех оставшихся незакрытыми зон Френеля. Как и в случае когда свет проходит через большое отверстие, в центре геометрической тени всегда должно быть светлое пятно, освещенность которого равна освещенности, создаваемой половиной первой незакрытой зоны Френеля, отсчитываемой от края экрана. На это следствие из теории Френеля обратил внимание французский ученый Симеон Пуассон. Считая это предсказание противоречащим здравому смыслу, он привел его в качестве довода против теории Френеля. Однако французский ученый Доме-ник Араго специально поставил опыт, в котором доказал реальность существования светлого пятна в центре геометрической тени, и этот результат из довода против теории Френеля превратился в один из веских аргументов в ее пользу. Для наблюдения светлого пятна в области геометрической тени (называемого часто пятном Пуассона) необходимо, чтобы непрозрачный экран перекрывал небольшое число зон Френеля (одну-две), а размеры неровностей на краю его поверхности не превышали длину световой волны. В качестве экрана можно использовать, например, шарик от подшипника. Источник света должен быть точечным и одновременно достаточно мощным. Расстояние от шарика радиусом 1 см до источника света и экрана, на котором наблюдается дифракционная картина, должно составлять примерно 10 м. Дифракция от круглого отверстия. Выполним приблизительный расчет радиуса г центрального светлого пятна при наблюдении дифракции от отверстия радиусом R. Для этого примем, что отверстие освещается монохроматическим светом длиной волны X таким образом, что колебания во всех точках отверстия происходят в одной фазе. Линза, собирающая параллельный пучок световых лучей в одну точку, обладает замечательным свойством: оптическая длина пути для всех параллельных лучей, идущих от некоторой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, до фокуса линзы, одинакова. Так как во всех точках отверстия колебания происходят в одной фазе, разность хода для волн, распространяющихся в направлении, перпендикулярном плос- 120 о. о Рис. 3.18 КОСТИ экрана, равна нулю. Поэтому в точке О (рис. 3.18) наблюдается максимум интенсивности световых колебаний. Световой пучок, распространяющийся в результате дифракции под углом а к направлению прямолинейного распространения света, собирается линзой в точку О^. И в этом случае от любой точки на плоскости, перпендикулярной направлению распространения света, например на плоскости АВ, длина оптического пути до фокуса одинакова. Однако к плоскости АВ световые волны от разных точек отверстия приходят в разных фазах, так как проходят различные пути. Вычислим разность хода А для волн, идущих от центра отверстия и от его краев. Как видно из рисунка 3.18, эта разность хода равна: А = DC = AD sin а = В sin а. (34.4) Можно принять, что граница центрального светлого пятна, или, точнее, положение середины первого темного кольца, определяется условием: А = R sin а = Х/2. (34.5) Таким образом, в результате дифракции света малое отверстие в экране радиусом В воспринимается как светлое пятно с угловым радиусом а, приблизительно равным: а ~ sin а = Xf2B = X/D, (34.6) где D — диаметр отверстия. Уравнение (34.6) показывает, что угловые размеры центрального светлого дифракционного пятна (как и угловые размеры окружающих его светлых колец) зависят не только от диаметра отверстия D, но и от длины волны света X. Поэтому при освещении отверстия белым светом, состоящим из световых волн различной длины, в ре- 121 зультате дифракции наблюдается центральное белое пятно, окруженное системой концентрических цветных колец. Ш Вопросы. 1. в чем заключается явление дифракции света? 2. Как должна изменяться освещенность экрана, установленного напротив круглого отверстия, при увеличении его диаметра с точки зрения геометрической оптики и с точки зрения принципа Гюйгенса? 3. Что показывак:)т опыты с пропусканием света через отверстия различных размеров? 4. Как строятся зоны Френеля? 5. Как объясняется прямолинейность распространения света на основе использования метода зон Френеля? 6. Что такое зонная пластинка и каковы ее свойства? ■ Примеры решения задач Задача 1. Световая волна с плоским волновым фронтом имела интенсивность Iq. При помещении перпендикулярно световым лучам непрозрачного экрана с круглым отверстием интенсивность света на расстоянии 3 м от экрана на прямой, перпендикулярной экрану и проходящей через центр отверстия, возросла почти в 4 раза. Каков радиус отверстия в экране, если длина световой волны 589,3 нм? Решение. При отсутствии экрана с отверстием интенсивность света в точке наблюдения примерно равна интенсивности света от половины первой зоны Френеля. Учетверенная интенсивность (т. е. удвоенная амплитуда колебаний) получится в том случае, если отверстие откроет только одну первую зону Френеля. Радиус этой зоны найдем из выражения (34.2). Подставив значения d = 3 м и Я, = 5,893 • м, получим = ^3 • 5,893 10-^ м ~ 1,33 • м = 1,33 мм. Задача 2. Диафрагма радиусом 1 см освещается зеленым светом длиной волны 0,5 мкм. На каком расстоянии от диафрагмы будет справедливо приближение геометрической оптики? Решение. Из соотношения (34.3) имеем d <^rL = = 200 м. Я 5•10 ^ м Следовательно, для расстояний от диафрагмы, много меньших 200 м, например 10 м, вполне справедливо приближение геометрической оптики. Наблюдать дифракцию на таком отверстии можно лишь на расстояниях порядка 200 м или больше, что экспериментально практически невозможно. ■ Задачи для самостоятельного решения 34.1. Экран расположен на расстоянии 50 см от диафрагмы, которая освещается желтым светом от натриевой лампы (длина волны 589 нм). При каком диаметре диафрагмы будет справедливо приближение геометрической оптики? 34.2. Параллельный пучок света падает нормально на экран с круглым отверстием радиусом 1,4 мм. На каком минимальном расстоянии от отверстия будет наблюдаться минимум интенсивности света? Длина световой волны 0,5 мкм. 122 § 35. Дифракционная решетка Дифракция от одной щели. Важную роль в прикладной оптике играют явления дифракции на отверстиях в форме щели с параллельными краями. Рассмотрим сначала дифракцию в параллельных лучах на одной узкой щели. Пусть на щель, длина которой много больше ее ширины, падает световая волна с плоским фронтом. Чтобы сделать дифракционную картину видимой на конечном расстоянии, за щелью помещают собирающую линзу, а за линзой в ее фокальной плоскости — экран (рис. 3.19). Во всех точках волновой поверхности, достигшей щели, совершаются колебания в одинаковой фазе. Но в точку А на экране волны от точек В и С щели приходят с неодинаковыми фазами, так как оптические пути их различны. Поскольку линза не изменяет длину оптического пути, разность хода BD света можно определить, опустив перпендикуляр из точки С на направление распространения света, проходящего через точку В. Если разность хода BD равна половине длины волны BD = Х/2, то расстояние ВС = х является шириной зоны Френеля. Разобьем щель на зоны шириной х, т. е. на зоны Френеля. Выясним, от чего зависит освещенность в произвольно выбранной на экране точке А, в которую линза собирает параллельный пучок лучей, идущих в результате дифракции в некотором направлении под углом ф к первоначальному направлению. Если на щели для данного направления укладывается четное число п зон, то в точке А происходит полное взаимное гашение колебаний и освещенность равна нулю. Если же число зон нечетное, то колебания от одной из зон останутся непогашенными и в точке А будет наблюдаться максимум освещенности. Следовательно, условие дифракционного минимума освещенности для одной щели: п = 2k, (35.1) (35.2) число п г,г., . - . • (35.3) BDj sm ф А. Из выражений (35.1), (35.2) и (35.3) получаем условие ми- а условие максимума освещенности: п = 2k + Если а — ширина щели, то легко определить укладывающихся на ней зон: _ а _ а 2а sin ф X нимума освещенности: а sin а = kX (35.4) и условие максимума освещенности: а sin а = (2/г + 1) А./2- (35.5) Для заданных значений длины волны X и ширины щели а в направлениях, определяемых выражением (35.4), для угла ф наблюдаются минимумы освещенности, а в направлениях, определяемых выражением (35.5), наблюдаются максимумы света. Дифракция от двух щелей. Рассмотрим теперь дифракцию от двух щелей шириной а, разделенных непрозрачным промежутком шириной Ь (рис. 3.20). Пусть плоский фронт монохроматической волны достиг положения, совпадающего с плоскостью двух щелей. С помощью линзы соберем все параллельные группы дифракционных параллельных лучей на экране MN. Выберем на экране произвольную точку А, в которой собирается пучок параллельных лучей, идущих в направлении под углом ф к первоначальному. Если для этого направления выполняется условие (35.4) минимума от одной щели, то и при наличии двух щелей в этом направлении не будет наблюдаться света. Условие (35.4) в применении к двум щелям называют условием прежних минимумов. Оно справедливо для любого числа щелей. Если значение угла ф таково, что каждая М А Рис. 3.20 N 124 щель в отдельности дает на экране свет, то в зависимости от разности хода А слагаемых колебаний могут представиться две возможности: 1) интерференция на экране света от двух щелей приводит к усилению света; 2) происходит взаимное гашение. Назовем точки щелей, расположенных на расстоянии = а + bf соответственными точками. Очевидно, что усиление света будет происходить тогда, когда разность хода А от соответственных точек равна четному числу полуволн. Как видно из рисунка 3.20, эта разность хода определяется формулой А = d sin ф. При выполнении условия: d sin ф = (35.6) свет от каждой пары соответственных точек будет при интерференции в точке А давать максимум освещенности. Выражение (35.6) называют условием главных максимумов. Условие главных максимумов справедливо при любом количестве щелей. В направлении, для которого разность хода от соответственных точек щелей равна нечетному числу полуволн: d sin ф = (2/г-h 1) V2, (35.7) наблюдается интерференционный минимум на экране. Это справедливо для любого четного числа щелей. Направления, определяемые выражением (35.7), называют направлениями на дополнительные минимумы. Дифракционная решетка. Прозрачную пластину, на которую нанесен ряд параллельных непрозрачных полос, называют дифракционной решеткой (рис. 3.21). Прозрачные полосы в дифракционной решетке можно рассматривать как щели. С увеличением числа щелей главные максимумы и прежние минимумы, направления на которые определяются выражениями (35.6) и (35.4), справедливыми для любого числа щелей, остаются на прежних местах, но максимумы становятся ярче, а промежутки между ними — все темнее. Дело в том, что с увеличением числа щелей увеличивается |Число дополнительных минимумов и интенсивность света в промежутке между максимумами уменьшается до исчезающе малого фона. С увеличением числа щелей энергия световых колебаний в главных максимумах возрастает Рис. 3.21 1J Ь V I 125 пропорционально квадрату числа щелей, так как результирующая амплитуда А в главном максимуме пропорциональна числу щелей N, а энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Максимумы света на экране располагаются симметрично относительно центрального максимума, для которого k = 0. Максимумам присваиваются номера, соответст^ вующие значениям k. Различают максимумы первого, второго порядка и т. д. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Дифракционные решетки изготавливают путем нанесения большого числа параллельных штрихов на поверхность металлической или стеклянной пластины. Хорошие решетки имеют до 2000 штрихов на один миллиметр поверхности при общей длине решетки 100—150 мм. Наблюдения на металлических решетках проводятся только в отраженном свете, а на стеклянных — обычно в проходящем свете. Самые простые дифракционные решетки изготавливают в виде тонких прозрачных пленок. Из соотношения (35.6) видно, что различным длинам волн соответствуют разные углы, по направлению которых наблюдаются главные интерференционные максимумы. На этом основано главное свойство дифракционной решетки — способность разлагать падающий на нее немонохроматический свет в спектр. Из той же формулы следует, что чем меньше постоянная решетки d, тем больше дифракционный угол ф, т. е. шире спектр. Чем на больший угловой интервал Дф растягивается данный интервал длин волн ДХ, тем лучше решетка как спектральный прибор. Это качество дифракционных Лф решеток количественно характеризуется отношением —, на- дл зываемым дисперсией решетки. Используя выражение (35.6), для малых углов ф можно записать приближенное равенство ф ~ sin ф = kX/d и получить приближенное выражение для дисперсии решетки: Дф _ fe ДА, d’ (35.8) Амплитуда световой волны в дифракционном максимуме от решетки с общим числом штрихов N в N раз больше амплитуды световой волны, приходящей в этом же направлении от одной щели, а интенсивность света, пропорциональная квадрату амплитуды, в раз больше интенсивности света от одной щели. При освещении решетки белым светом только максимум нулевого порядка имеет белый цвет, так как из условия (35.2) следует, что при k = 0 для всех длин волн ф = 0. Симметрично относительно спектра нулевого порядка располагаются спектры первого, второго и последующих порядков. 126 Так как длина волны фиолетового цвета меньше длины волны красного цвета, в соответствии с соотношением (35.6) дифракционный угол для фиолетового цвета меньше, чем для красного. Поэтому в дифракционном спектре (в отличие от получаемого с помош;ью стеклянной призмы) красные линии расположены дальше фиолетовых от центра дифракционной картины (см. цветную вклейку). Н Вопросы. 1. Каков принцип действия дифракционной решетки? 2. Как изменяется спектр, получаемый с помощью дифракционной решетки, при уменьшении постоянной решетки? 3. Как изменяется спектр, получаемый с помощью дифракционной решетки при увеличении общего числа штрихов на решетке? 4. Чем отличается спектр, получаемый с помощью дифракционной решетки, от спектра, получаемого с помощью стеклянной призмы? ■ Примеры решения задач Задача 1. На дифракционную решетку падает свет длиной волны 550 нм. Дифракционная решетка имеет 200 штрихов на 1 мм. Определите, под каким углом виден первый максимум. Как изменится этот угол, если взять решетку, имeюпJ^yю 500 штрихов на 1 мм? Решение. Вначале определим постоянную каждой решетки. Для первой решетки имеем dj = 1/200 мм = 5 • 10“^ мм, для второй решетки dg = 1/500 мм = 2 • 10“® мм. По формуле (35.6) получим 55010-9 sin ф, =-------= 0,11, ф, = 6®19 . 5.10-6 Для более качественной решетки, имеющей большее число штрихов на 1 мм, получим аналогично sin ц>2 = 0,275, ф£ = 15°58'. Задача 2. При дифракции монохроматического лазерного излучения на дифракционной решетке, имеющей 100 штрихов на 1 мм, максимум первого порядка получается на расстоянии 10 см от нулевого максимума. Определите длину волны лазерного излучения, если расстояние от решетки до экрана 2 м. Решение. Для малых углов sin ф ~ tg ф. Из условия для первого максимума d sin ф = А, определяем длину волны излучения: X = 10“^ • sin ф = 10"^ • tg ф = 10"® • x/L = = 10-5.0,1/2 = 5 • Ю-"^ м = 500 нм. ■ Задачи для самостоятельного решения 35.1. Щель шириной 0,5 мм освещается красным светом от лазера, длина световой волны 630 нм. На каком расстоянии от щели можно отчетливо наблюдать дифракционную картину? 35.2. Щель шириной 1,2 мм освещается зеленым светом, длина световой волны 0,5 мкм. Наблюдатель находится на расстоянии 3 м от щели. Увидит ли он дифракционную картину? 35.3. Дифракционная решетка имеет 250 штрихов на 1 мм. На решетку падает монохроматический свет длиной волны 500 нм. Под какими углами видны первый и второй максимумы? 127 35.4. Определите длину волны монохроматического света, падающего на решетку с постоянной 3,33 мкм, если угол между направлениями на первый и второй максимумы равен 10°. 35.5. Дифракционная решетка, имеющая 200 штрихов на 1 мм, расположена на расстоянии 2 м от экрана. На решетку падает белый свет максимальной длиной волны = 720 нм и минимальной длиной волны ^2 = 430 нм. Найдите расстояние между красным и фиолетовым краями первого спектра на экране. 35.6. Для измерения длины световой волны была применена дифракционная решетка, имеющая 200 штрихов на 1 мм. Первое дифракционное изображение на экране получено на расстоянии 24 см от центрального. Определите длину световой волны, если расстояние от дифракционной решетки до экрана 2 м. 35.7. Сколько штрихов на 1 мм имеет дифракционная решетка, с помощью которой зеленая линия (>. = 0,55 мкм) в спектре первого порядка наблюдается под углом 19°8'? 35.8. В школьном кабинете есть дифракционные решетки, имеющие 50 и 100 штрихов на 1 мм. Какая из них дает более широкий спектр при прочих равных условиях? 35.9. Как изменяется дифракционный спектр при удалении экрана от решетки? Ответ обоснуйте, сделав рисунок. ■ Домашнее творческое лабораторное задание Наблюдение линейчатых спектров с помощью лазерного диска Это лабораторное задание может быть выполнено в домашних условиях без применения специальных приборов, если у вас есть лазерный диск от CD-плейера или компьютера. При аккуратном проведении опыта лазерному диску не будет причинен никакой вред, так как диск используется лишь для наблюдения отраженного от него света. На лазерном диске запись произведена нанесением штрихов по спиральной линии. В результате вдоль каждого радиуса имеется система стро- фиолетовая голубая земная желтая Рис. 3.22 Рис. 3.23 128 го периодически повторяющихся участков поверхности, отражающих и рассеивающих свет. Поэтому лазерный диск может быть использован в качестве очень хорошей отражательной дифракционной решетки. Для наблюдения линейчатого спектра нужно встать на расстоянии 2—3 м от люминесцентной лампы и расположить лазерный диск примерно на уровне подбородка таким образом, чтобы изображение лампы как в зеркале было видно около центра диска. Затем следует медленно поворачивать диск вокруг диаметра, параллельного трубке люминесцентной лампы, перемещая изображение трубки лампы от центра диска к его краю. Когда белое изображение скроется за краем диска, у центра диска появится фиолетовая полоса спектра. При дальнейшем вращении диска появятся голубая, зеленая, желтая и красная линии (рис. 3.22). Для наблюдения спектра в виде тонких линий, какие изображены в учебниках, нужно закрыть лампу непрозрачным экраном со щелью шириной примерно 1 мм и длиной 2—4 см. В качестве экрана можно использовать трубку из оберточной темной бумаги или из бумаги для чертежных работ. Для наблюдения спектральных линий от узкой щели в экране нужно поставить диск на расстоянии 15—20 см от щели, плоскость диска нужно расположить под углом 45° к выходящему лучу. Глаз наблюдателя при этом должен находиться под углом 90° к выходящему из лампы пучку света на расстоянии 40—50 см от диска (рис. 3.23). Поворачивая диск, необходимо установить сначала белое изображение щели у края диска, а затем, медленно поворачивая диск вокруг оси, параллельной щели, наблюдать появление узких спектральных линий. § 36*. Голография Что такое голография. Среди разнообразных практических применений волновых свойств света в последние десятилетия одно из наиболее интересных — голография. Идеи и принципы голографии сформулировал в 1948 г. венгерский физик Деннис Габор. Как это иногда бывает в науке, идея голографии родилась при разработке совсем другой проблемы — усовершенствования электронного микроскопа. Сущность идеи состояла в фиксации полной информации о предмете, причем информации не только об амплитуде, но и о фазе световой волны. Это объясняет название голографии (от греч. holos — полный и grapho — пишу). Бурное развитие голографии началось с появлением в 1960 г. лазеров (см. § 70). Голографический метод записи информации использует важнейшее свойство лазерного излучения — его когерентность. Голографический метод получения изображения предмета состоит из двух этапов. Сначала получают голограмму — интерференционную картину, возникающую на фотопластинке при сложении двух когерентных пучков света. Один из них (рис. 3.24) отражается от зеркала (опорный пучок), другой — от предмета (сигнальный, или предметный, пучок). Эти пучки света образуют на фотопластинке интерференционную картину, представляющую собой чередование светлых и темных пятен. После обработки фотопластинки те участки голограммы, где фазы опорной и предметной волн совпадали, окажутся наиболее прозрачны- 9 — А. А. Пинский 11) 129 Объект Глаз наблюдателя Зеркало // ./й ■ •-у ... Голограмма Фотопластинка Рис. 3.24 Мнимое изображение Рис. 3.25 ми. Там, где волны находились в противофазе, участки голограммы окажутся темными. Процесс получения изображения с помощью голограммы называют восстановлением. Для восстановления голограммы на нее направляется опорный пучок когерентного света (рис. 3.25). Опорный пучок, падая на голограмму, возбуждает в прозрачных ее местах колебания вторичных источников. Амплитуды этих колебаний пропорциональны амплитудам сигнальных волн в этих точках, и фазы их совпадают. По принципу Гюйгенса — Френеля вторичные источники создают в окружающем пространстве такую же картину волновых полей, какая была в сигнальном пучке от предмета. Точное совпадение восстановленного волнового фронта с сигнальным (падавшим на фотопластинку во время изготовления голограммы) приводит к тому, что воспринимаемое зрением изображение по внешнему виду неотличимо от предмета. Голография с записью в трехмерной среде. В 1962 г. российский физик Юрий Николаевич Денисюк предложил интересный и перспективный метод голографии с записью в трехмерной среде. В этом методе предмет освещается монохроматическим когерентным источником. Свет, рассеянный объектом, интерферируя с основным пучком, образует в пространстве вокруг предмета стоячие волны. Если в области стоячих волн располагается слой прозрачной светочувствительной эмульсии, то после экспонирования и обработки этой эмульсии в местах образования пучностей стоячих волн, где фазы опорной и сигнальной волн совпадают, выделяется серебро. В эмульсии создаются серебряные слои — зеркала 130 с поверхностью сложной конфигурации, в точности повторяющей конфигурацию расположения в пространстве пучностей стоячих волн. Если на полученную голограмму направить свет от обычного не когерентного источника, то, отражаясь от зеркал голограммы, образовавшихся на месте поверхностей пучностей, свет изменит направление распространения. Причем на поверхностях зеркал, в местах интерференционных максимумов, направление распространения отраженных волн и распределение фаз будут такими же, как и у волн, отраженных объектом при экспонировании голограммы. Если при получении голограммы предмет осветить тремя когерентными источниками видимого света с различными длинами волн, то восстановленное белым светом изображение будет таким же цветным, как и предмет. Черно-белая голограмма дает цветное изображение! Голограмма — это материальная структура, отражающая свет так же, как и реальный предмет. Поэтому голограмму называют иногда оптическим эквивалентом предмета. Именно оптическим, а не действительным. Например, если взять в качестве предмета вогнутое зеркало и получить его голограмму, то она будет отражать и фокусировать свет точно так же, как и вогнутое зеркало. Свойства и особенности голограмм. Применения голографии. Изображения, получаемые с помощью голограмм, обладают удивительными особенностями. Часть обычной фотографии предмета, разумеется, содержит информацию только о части предмета. А от любой небольшой части голограммы можно получить полное изображение предмета. Правда, качество изображения, полученного от части голограммы, хуже изображения, полученного от всей голограммы. Голографические изображения уникальных предметов искусства дают возможность «увидеть» эти предметы одновременно многим людям во многих местах. Уже сделаны экспериментальные съемки объемных голографических фильмов. Можно восстанавливать голограмму, просвечивая ее когерентным излучением, имеющим длину волны, которая больше длины волны излучения, с помощью которого была получена голограмма. В этом случае размер изображения будет больше размера предмета. На этом основано действие голо-графических микроскопов. Голографическая запись с использованием лазерного пучка позволяет фиксировать вибрации и деформации, возникающие в различных узлах и деталях работающих машин. Еще одно техническое применение голографии — количественные исследования воздушных потоков в аэродинамических трубах. Ш Вопросы. 1. в чем отличие голографического способа записи информации от фотографического? 2. На каких свойствах голограмм основано их применение? 3. Какие распространенные и перспективные способы применения голограмм вам известны? 9* 131 § 37. Дисперсия света Преломление света и дисперсия. Разложение белого света в спектр впервые было изучено И. Ньютоном. Он обнаружил, что при прохождении через стеклянную призму белый солнечный свет разлагается в разноцветный сплошной спектр. При пропускании через призму монохроматического света, например красного, синего или фиолетового, разложение на какие-либо составляющие не происходит. Тот факт, что фиолетовые лучи отклоняются призмой от первоначального направления сильнее, чем красные, означает, что показатель преломления световых волн зависит от длины световой волны или частоты света. Показатель преломления п вещества связан со скоростью V распространения электромагнитной волны в этом веществе: с п = -, и где с — скорость света в вакууме. Следовательно, скорость v распространения света в веществе зависит от частоты световой волны. Зависимость скорости света в веществе (или показателя преломления) от частоты волны называется дисперсией. Дисперсия света имеет следующее объяснение. Как было выяснено в § 22, абсолютный показатель преломления электромагнитной волны в веществе равен: п = л/ё. Явление дисперсии света показывает, что одно и то же вещество для световых волн с различной частотой обладает разными значениями диэлектрической проницаемости. Радуга. Все мы восхищаемся радугой — одним из красивейших явлений природы. Древние славяне считали, что во время грозы бог-громовержец поражает молниями злых духов. Радуга после дождя с грозой означала торжество добрых сил над злом. Изучая явление дисперсии света, И. Ньютон объяснил происхождение радуги. Рассмотрим рисунок на цветной вклейке. Радуга наблюдается всегда при расположении Солнца за спиной наблюдателя. Если на поверхность капли воды падает белый свет от Солнца под углом падения а, близким к 90°, то, преломляясь на границе раздела сред воздух — вода, белый свет благодаря дисперсии разлагается в спектр. Так как угол падения на границу раздела сред вода — воздух близок к предельному углу полного отражения, большая часть энергии отражается внутрь воды, небольшая часть света выходит в воздух. Выходящий при втором падении свет воспринимается глазом на фоне более темного неба как главная радуга. Цветные полосы в главной радуге располагаются от синего 132 цвета к красному цвету в направлении от внутренних к внешним кольцам. Главная радуга образует дугу с углом 42°. Выше главной радуги иногда наблюдается более слабая вторичная радуга под углом 51°. Во вторичной радуге цвета расположены в обратном порядке. Вторичная радуга возникает после двукратного внутреннего отражения света, падающего на нижний край капли. Сплошной и линейчатый спектры. Опыт показывает, что нагретые до высокой температуры жидкие и твердые тела испускают свет, который разлагается призмой в сплошной спектр (см. цветную вклейку). Условно в сплошном спектре выделяют, следуя Ньютону, семь участков — красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый цвета. Если источником света является разреженный одноатомный газ, то спектр имеет вид четких узких цветных линий на черном фоне (см. цветную вклейку). Такой спектр называется линейчатым спектром излучения. Причину возникновения линейчатых спектров мы выясним в главе 7. Однако отметим, что еще в 1859 г. немецкие ученые Роберт Бунзен и Густав Кирхгоф, ничего не зная о строении атомов, впервые проанализировали линейчатые спектры. Они установили, что линейчатые спектры химических элементов специфичны, каждому элементу соответствует свой набор спектральных линий. Это позволяет по характеру спектров определять химический состав вещества — проводить спектральный анализ. Для проведения спектрального анализа применяются спектроскопы и спектрографы. Спектроскоп и спектрограф. Спектроскопом называется прибор, с помощью которого визуально исследуется спектральный состав света, испускаемого некоторым источником. Если регистрация спектра происходит на фотопластинке, то прибор называется спектрографом. Спектральное разложение производится либо с помощью дифракционной решетки, либо с помощью призмы. Для исследований в видимой области спектра применяется стеклянная оптика, а для ультрафиолетовой или инфракрасной области спектра — оптика из кварца, флюорита или каменной соли. Простейший спектроскоп (рис. 3.26) состоит из двух труб — коллиматорной 1 и зрительной 4, укрепленных на подставке 2, и стеклянной призмы 3. На одном конце коллиматорной трубы имеется щель для выделения узкого 133 пучка света, на другом ее конце — линза для превращения расходящегося пучка света в параллельный пучок. Параллельный пучок света, выходящий из коллиматора, попадает на грань стеклянной призмы. Показатель преломления света зависит от его длины волны; поэтому пучок света, состоящий из волн разной длины волны, разлагается на параллельные пучки света разного цвета, идущие по разным направлениям. Линза зрительной трубы фокусирует каждый из параллельных пучков и дает, таким образом, изображение щели (см. цветную вклейку). Разноцветные изображения щели образуют разноцветную полосу — спектр. Спектр можно наблюдать через окуляр, используемый в качестве лупы. Если нужно получить фотографию спектра, то фотопленку или фотопластинку помещают в том месте, где получается действительное изображение спектра. Прибор для фотографирования спектров называется спектрографом. Для получения линейчатого спектра излучения исследуемое вещество нужно нагреть до высокой температуры, достаточной для перевода вещества в газообразное состояние и возбуждения атомов. Обычно для этой цели используют дуговой или искровой разряд. Если пучок белого света проходит через вещество в газообразном состоянии, то при разложении пучка света в спектроскопе на сплошном спектре излучения обнаруживаются темные линии. Эти линии называются линейчатым спектром поглош,ения. Линии спектра поглощения расположены в тех местах спектра, в которых находятся линии спектра излучения данного химического элемента, когда вещество излучает свет. Спектральный анализ. Исследование линейчатого спектра вещества позволяет определить, из каких химических элементов оно состоит и в каком количестве содержится каждый элемент в данном веществе. Количественное содержание элемента в исследуемом образце определяется путем сравнения интенсивности отдельных линий спектра этого элемента с интенсивностью линий другого химического элемента, количественное содержание которого в образце известно. Метод определения качественного и количественного состава вещества по его спектру называется спектральным анализом. Спектральный анализ широко применяется при поисках полезных ископаемых для определения химического состава образцов руды. В промышленности спектральный анализ позволяет контролировать составы сплавов и примесей, вводимых в металлы для получения материалов с заданными свойствами. Достоинствами спектрального анализа являются высокая чувствительность и быстрота получения результатов. Методом спектрального анализа определяется химический состав небесных тел, удаленных от Земли на расстояния в миллиарды световых лет. Химический состав атмосфер планет и звезд, холодного газа в межзвездном пространстве определя- 134 ется по спектрам поглощения. По смещению спектральных линий можно определять скорость движения небесного тела. В настоящее время спектроскопы с дифракционными решетками позволяют разрешить спектральные линии с разностью длин волн около 10“^ нм. Поэтому спектроскопы с дифракционной решеткой все более вытесняют призменные приборы, разрешающая способность которых меньше. Кроме того, дифракционные спектроскопы работают не только в видимом, но и в невидимых участках спектра. Ш Вопросы. 1. Что такое дисперсия света? 2. Почему показатель преломления зависит от частоты света? 3. Как правильнее определить явление дисперсии света: как зависимость скорости света в веществе от частоты или как зависимость скорости света в веществе от длины волны? Или оба определения равносильны? 4. Какой спектр называется сплошным? 5. Какие бывают линейчатые спектры? 6. В чем сущность спектрального анализа? 7. Опишите устройство спектроскопа и спектрографа. ■ Задачи для самостоятельного решения 37.1. При частотах свыше 1 МГц диэлектрическая проницаемость льда равна 3. Определите показатель преломления света и скорость света в этом веществе. 37.2. В стекле показатель преломления для света красного цвета (А.ф = 670,8 нм) равен 1,643, для фиолетового (Хф = 404,7 нм) — 1,685. Сравните скорости света этих волн в стекле. 37.3. На стеклянную пластинку падает пучок белого света под углом 60°. Найдите углы преломления для света красного и фиолетового цвета, используя данные предыдущей задачи. § 38. Поляризация света Естественный свет. Основной характеристикой световой волны является электрический вектор Е. Плоскостью колебаний называют плоскость, в которой колеблется вектор напряженности Е. Плоскость колебаний определяется направлением распространения волны и вектором ускорения заряда (см. § 23). Плоскость, в которой совершает колебания вектор ► индукции магнитного поля В, называют плоскостью поляризации. Атом или любая колеблющаяся заряженная частица излучают электромагнитную волну, у которой плоскость колебания вектора Е строго фиксирована. Но любое светящееся тело состоит из огромного числа частиц. Излучение любой из них никак не связано с излучением соседней, поэтому плос- кость колебаний вектора Е у каждой из них не зависит от соседней. В суммарном излучении, которое испускается таким телом, колебания вектора Е происходят во всех направлени- ях, перпендикулярных лучу. Свет, у которого вектор Е колеблется беспорядочно одновременно во всех направлениях. 135 Линейно- Рис. 3.27 перпендикулярных лучу, называется естественным или не-поляризованным (рис. 3.27). Типичный пример неполяризо-ванного света — солнечное излучение, излучение ламп накаливания, ламп дневного света и т. п. Поляризованный свет. Исследования явлений отражения и прохождения естественного света через некоторые кристаллы показали, что при некоторых условиях из пучка естественного света можно получить пучок света, в котором колеба-—► ния вектора Е происходят только в одной плоскости. Свет, у которого колебания вектора напряженности электрического поля Е происходят в одной плоскости, называется линейно- 136 поляризованным (или плоскополяризованным). Процесс выделения из естественного света световых колебаний с одним определенным направлением электрического вектора называется поляризацией света. Устройство, с помощью которого осуществляется поляризация света, называется поляризатором (рис. 3.28). В качестве поляризаторов могут использоваться некоторые кристаллы, обладающие способностью про- пускать колебания, электрический вектор Е которых параллелен одному особому направлению в кристалле, и сильно поглощать колебания, вектор Е которых перпендикулярен этому направлению. Устройство, которое позволяет выяснить, является данный световой пучок естественным светом или поляризованным, какова плоскость колебаний света, называется анализатором. Анализатор по своей конструкции ничем не отличается от поляризатора. Разница в функциях: поляризатор выделяет из естественного света пучок с одним направлением колебаний вектора Е, а анализатор определяет, каково направление этих колебаний. Именно поэтому поляризаторы и анализаторы носят общее название — поляроиды. Если плоскость колебаний электрического вектора в световом пучке совпадает с оптической осью анализатора, то свет проходит сквозь него практически без ослабления. При взаимной перпендикулярности направления колебаний вектора Е и оптической оси анализатора свет через него не проходит (см. рис. 3.28): он поглощается кристаллом. Открытие явления поляризации света явилось важным звеном в развитии представлений о природе света, так как доказывало поперечность световых волн, их тождественность с электромагнитными волнами. Практические применения поляризации. Явление поляризации света имеет многочисленные практические применения. Например, было обнаружено, что растворы некоторых веществ (сахара, глюкозы, ряда кислот) обладают способностью поворачивать плоскость поляризации поляризованного света, проходящего через эти растворы. Угол поворота плос- 137 кости поляризации пропорционален концентрации вещества в растворе. Такие вещества были названы оптически активными. Измеряя угол поворота плоскости поляризации, можно определить концентрацию вещества (рис. 3.29). Плоскость поляризации света могут поворачивать и неко-. торые твердые прозрачные материалы, если они испытывают деформацию. Поворот плоскости поляризации пропорционален механическому напряжению. Если изготовить модель детали машины из плексигласа, поместить ее на пути светового пучка между поляризатором и анализатором и подвергнуть нагрузке, то в поляризованном свете вокруг участков с большими механическими напряжениями возникнут интерференционные полосы. Изучая полученную картину, можно усовершенствовать конструкцию детали и вновь провести испытания. Н Вопросы. 1. в чем причина отсутствия поляризации в солнечном излучении? 2. Почему в некоторых кристаллах происходит поляризация света? 3. Какой свет называется линейно-поляризованным? 4. Как действуют поляризатор и анализатор? 5. Какие практические применения находит явление поляризации света? § 39. Спектр электромагнитных излучений Свойства электромагнитных излучений. Электромагнитные излучения с различными длинами волн по-разному взаимодействуют с веществом, неодинаково действуют на органы чувств человека, но все они, от радиоволн и до гамма-излучения, имеют единую физическую природу (рис. 3.30). Все виды электромагнитного излучения проявляют свойства отражения, преломления, интерференции, дифракции и поляризации, характерные для волн. Вместе с тем все виды электромагнитного излучения в большей или меньшей мере обнаруживают квантовые свойства. 10 1 100 10 1 10 1 1 100 10 1 100 10 1 0.1 0,01 1 км км м м м см см мм мкм мкм мкм нм нм нм нм нм пм А. 3-10^ 3•10^ I 3-10^ Радиоволны 3-10 .15 3-10^® I Ч____ 3•10^° V, Гц I Г амма-излучение ■V Инфракрасное i i Ультрафиолетовое излучение излучение Видимый свет Рентгеновское излучение Рис. 3.30 138 Электромагнитные волны с любой длиной волны могут возникать при ускоренном движении электрических зарядов или при переходах молекул, атомов или атомных ядер из одного квантового состояния в другое. Гармонические колебания электрических зарядов сопровождаются электромагнит-йым излучением, имеющим частоту, равную частоте колебаний зарядов. Радиоволны. Самые длинноволновые электромагнитные излучения с длинами волн от десятков километров до десятых долей миллиметра называют радиоволнами. Радиоволны излучаются при колебаниях электрических зарядов в антеннах радиопередатчиков, телевизионных передатчиков и радиолокаторов, при грозовых и других электрических разрядах. Излучают радиоволны и любые нагретые тела. Применяемые для радиосвязи радиоволны занимают диапазон от нескольких километров до нескольких метров. В телевидении используются радиоволны длиной от нескольких метров до десятков сантиметров, в радиолокации — радиоволны длиной от десятков сантиметров до нескольких миллиметров. Радиоволны применяются для исследований физических свойств веществ и материалов. Инфракрасное излучение. Электромагнитные излучения с длиной волны, меньшей 1—2 мм, но большей 8 • 10“^ м, т. е. лежащие между диапазоном радиоволн и диапазоном видимого света, называются инфракрасным излучением. Область спектра за красным краем спектра видимого излучения впервые экспериментально была исследована в 1800 г. английским астрономом Вильямом Гершелем. Он поместил термометр с зачерненным шариком за красный край спектра и обнаружил повышение температуры. Шарик термометра нагревался излучением, не видимым глазом. Это излучение назвали инфракрасными лучами или инфракрасным излучением. Инфракрасное излучение испускают любые нагретые тела. Источниками инфракрасного излучения служат печи, батареи водяного отопления, электрические лампы накаливания. С помощью специальных приборов инфракрасное излучение можно преобразовывать в видимый свет и получать изображения нагретых предметов в полной темноте. Инфракрасное излучение применяется для сушки окрашенных изделий, стен зданий, древесины. Для регистрации инфракрасного излучения на участке спектра, близком к видимому свету (от 0,7 до 1,2 мкм), применяют фотографический метод. В других диапазонах используют термопары и болометры, позволяющие с высокой точностью определять температуру тела. Видимый свет. Часть спектра электромагнитного излучения, воздействие которой способен воспринимать глаз человека, принято называть видимым светом. Хотя по чисто физиологическим причинам эта часть спектра необычайно важна 139 для человека, по своим физическим свойствам она принципиально неотличима от других его частей. Световые волны лежат в диапазоне длин волн от 400 нм (фиолетовый цвет) до 760 нм (красный цвет). Значение этого участка спектра электромагнитных излучений в жизни человека исключительно велико, так как большинство сведений об окружающем мире человек получает с помощью зрения. Видимый свет является обязательным условием для развития зеленых растений и, следовательно, необходимым условием для существования жизни на Земле. Ультрафиолетовое излучение. В 1801 г. немецкий физик Иоганн Риттер обнаружил за фиолетовым краем спектра невидимое глазом излучение, способное воздействовать на некоторые химические соединения. Под действием этих невидимых лучей происходит разложение хлорида серебра, свечение кристаллов сульфида цинка и некоторых других кристаллов. Электромагнитные излучения в диапазоне длин волн от 4 • 10“^ до 1 • 10“® м называют ультрафиолетовыми лучами или ультрафиолетовым излучением. Ультрафиолетовое излучение способно убивать болезнетворных бактерий, поэтому его широко применяют в медицине. Ультрафиолетовое излучение в составе солнечного света вызывает биологические процессы, приводящие к потемнению кожи человека — загару. При большой дозе облучения ультрафиолетовое излучение может вызывать ожог и оказывать на кожу человека канцерогенное действие, т. е. способствовать возникновению рака кожи. Большая часть солнечного ультрафиолетового излучения поглощается у границы земной атмосферы в озоновом слое. В последние десятилетия из-за загрязнения атмосферы выбросами различных химических соединений, в первую очередь веществами типа фреона, происходит существенное разрушение озонового слоя (образование озоновой дыры в околополярных областях). Это ставит под угрозу все живое на Земле. В качестве источников ультрафиолетового излучения в медицине используются газоразрядные лампы. Трубки таких ламп изготавливают из кварца, прозрачного для ультрафиолетовых лучей, поэтому эти лампы называют кварцевыми лампами. Рентгеновское излучение. На протяжении всего XIX в. происходило уточнение представлений о диапазоне электромагнитных волн, осуществлялось продвижение в область более коротких волн. В 1895 г. немецкий физик Вильгельм Рентген обнаружил излучение длиной волны меньшей, чем у ультрафиолетового излучения. Электромагнитные излучения в диапазоне длин волн от до 10"^ м по имени их откры- вателя называются рентгеновскими лучами или рентгеновским излучением. В современной рентгеновской трубке электроны испускаются нагретым катодом К и под действием 140 высокого напряжения, приложенного между катодом К и анодом А, разгоняются и приобретают кинетическую энергию в несколько десятков килоэлектронвольт (рис. 3.31). При встрече с анодом происходит торможение быстрых электронов в веществе с испусканием коротковолнового электромагнитного излучения. В. Рентген не только открыл рентгеновское излучение, но и исследовал его свойства. Рентгеновские лучи не видимы глазом. Они проходят без существенного поглощения через значительные слои вещества, непрозрачного для видимого света. Обнаруживают рентгеновские лучи по их способности вызывать свечение некоторых кристаллов и действовать на фотопленку. На способности рентгеновских лучей проникать через толстые слои вещества основана диагностика заболеваний внутренних органов человека. В технике рентгеновские лучи применяются для контроля внутренней структуры различных изделий, сварных швов. Рентгеновское излучение обладает сильным биологическим действием и применяется для лечения некоторых заболеваний. Гамма-излучение. Самое коротковолновое электромагнитное излучение с длиной волны менее 10"^® м называется гамма-излучением. Гамма-излучение испускается возбужденными атомными ядрами или возникает при взаимодействии элементарных частиц. Его особенностью являются ярко выраженные корпускулярные свойства. Поэтому гамма-излучение обычно рассматривают как поток частиц — гамма-квантов. В области длин волн от 10"^® до 10“^^ м диапазоны рентгеновского и гамма-излучений перекрываются, в этой области рентгеновские и гамма-кванты по своей природе тождественны и различаются лишь происхождением. Н Вопросы. 1. Какими общими свойствами обладают все виды электромагнитных излучений? 2. В чем заключаются отличия каждого из видов электромагнитных излучений от всех остальных? 3. Как получается каждый из видов электромагнитных излучений? 4. Где применяется каждый из видов электромагнитных излучений? 141 Глава 4 Оптические приборы § 40*. Принцип Ферма Геометрическая оптика. Первые оптические приборы и устройства появились много столетий назад. Создавались они искусными умельцами, обладавшими не только умелыми руками, но и большой наблюдательностью. Расчеты велись с помощью законов геометрической оптики: закона прямолинейного распространения света в однородной среде, законов отражения и преломления света, установленных опытным путем. Законы отражения и преломления электромагнитных волн можно вывести с помощью принципа Гюйгенса исходя из волновой теории. Как показал в 1660 г. французский математик Пьер Ферма, законы геометрической оптики могут быть получены не только из волновой теории, но и на основе применения принципа минимального времени. Принцип минимального времени. В простейшей формулировке принцип минимального времени утверждает, что в пространстве между двумя точками свет распространяется по тому пути, вдоль которого время его прохождения минимально. В оптической среде с абсолютным показателем преломления п скорость света в п раз меньше скорости света в вакууме, поэтому время прохождения светом одинакового расстояния увеличивается в п раз. Величина s, равная произведению абсолютного показателя преломления п на пройденное расстояние I (s = п1), называется оптической длиной пути. Принцип Ферма относится именно к оптической длине пути: из одной точки в другую свет распространяется по линии с наименьшей оптической длиной пути. Прямолинейность распространения света. Используя принцип Ферма, можно получить закон прямолинейного распространения света. В однородной среде свет по любому направлению распространяется с одинаковой скоростью; поэтому в однородной среде кратчайшим оптическим путем между любыми двумя точками является отрезок прямой линии, соединяющий эти точки. В неоднородной среде кратчайшим оптическим путем может оказаться некоторая кривая или ломаная линия, вдоль которой оптический путь меньше, чем вдоль отрезка прямой линии, соединяющего эти точки. Этим объясняется явление преломления света. Закон отражения света. При отражении света распространение его происходит в одной и той же среде. Поэтому отыскание пути, на прохождение которого свет затрачивает минимальное время, вновь сводится к отысканию кратчайщего расстояния между двумя точками при условии соединения их двумя отрезками, концы которых находятся в некоторой точ- 142 ке на отражающей плоскости. Можно представить себе различные возможные варианты распространения света из точки А в точку В при отражении от плоскости MN, например АСуВ и АС2В (рис. 4.1). Какой же из всех возможных путей потребует минимального времени и будет действительным при распространении света? Для отыскания кратчайшего пути построим точку А', расположенную симметрично точке А относительно плоскости MN. Соединив точки и Сз с точкой А', замечаем, что из равенства треугольников ЛЛ'ОС^ и ААОС^, А А'ОС 2 и ААОС2 следует равенство их сторон и АС^, A'Cz и АС2. Поэтому задачу отыскания кратчайшего оптического пути из точки А в точку В с условием отражения от плоскости MN можно заменить задачей нахождения кратчайшего пути из точки А' в точку В с пересечением плоскости MN. Очевидно, что из точки А' в точку В кратчайшим является путь по прямой А'СВ. Из равенства треугольников А А СО и ААСО следует равенство углов ZACO и ZACO. Так как ZACO = ZBCN, то выполняется равенство ZACO = ZBCN. Восставив перпендикуляр к плоскости MN в точке С падения луча и используя последнее равенство, получим, что угол падения луча ZACK равен углу отражения ZKCB. Ш Пример решения задачи Задача. Используя принцип Ферма, выведите закон преломления света. Решение. Рассмотрим явление прохождения света из точки Ai в точку Ag через границу раздела двух сред (рис. 4.2). Пусть в среде I скорость света Uj, в среде II — Ug- Для прохождения света из точки А^ в точку Ag будет затрачено время: t = Л + х‘ ^^2 (40.1) 143 Для выбора из всех возможных траекторий распространения света той, которой соответствует минимальное время распространения света из точки в точку А2, продифференцируем время t по л: и положим производную равной нулю: X_____1 L-X _ 1 д; 1 L-X t' - J_ dx - — = 0. +х^ ^2 -¥{L-x)^ 0-^2 Учитывая, что sin = х/А^О, sin «2 = (L - х^/ОА^, получим sin Oj sin 0.2 откуда следует: sin ^2 = 0, El f^2 c/Vi El Л1 sin 02 V2 c/l»2 «1 Это и есть закон преломления света. (40.2) В Вопросы. 1. Сформулируйте принцип Ферма. 2. Что такое оптическая длина пути? Используя это понятие, дайте формулировку принципа Ферма. 3. С помощью принципа Ферма выведите законы геометрической оптики. § 41. Преломление и отражение Преломление и отражение. Как показывают наблюдения, при падении света на границу раздела двух сред падающий световой пучок во многих случаях разделяется на два — отраженный и преломленный — и наблюдаются одновременно преломление и отражение света (рис. 4.3). При этом согласно закону сохранения энергии сумма энергий отраженного и преломленного пучков равна энергии пучка, падающего на границу раздела двух сред: (41.1) Предельный угол полного отражения. Если свет переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную («2 > ^i)> то при любом угле падения существует как отраженный, так и преломленный пучок. Несколько иной результат получается при переходе света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду (П2 > п^), например из воды в воздух или из стекла в воду. Если угол падения небольшой, то существуют оба пучка — как отраженный, так и преломленный. При увеличении угла падения энергия отраженного пучка возрастает, а преломленного убывает. При некотором угле 144 падения «j = а„р угол преломления аг достигает значения 90° и энергия преломленного пучка падает до нуля. В соответствии с равенством (41.1) оказываются равными энергии отраженного и падающего пучков. Это явление называется полным отражением. Найдем значение предельного угла а„р, при котором преломленного пучка нет. Этот угол в соответствии с законом преломления определяется из равенства sin а„р = П2 sin 90°, откуда следует: sin а„р = п^/п^. (41.2) При угле падения большем, чем предельный угол, пучок света, падающий на границу раздела, отражается от нее, как от зеркала. Преломленного пучка нет, свет полностью отражается от поверхности. В том случае, когда свет выходит, например, из воды в воздух (для воздуха Яг ~ 1)» выражение (41.2) будет иметь вид sin а^р = 1/я. (42.2) Учитывая, что показатель преломления воды при комнатной температуре равен 1,33, получим значение предельного угла полного отражения для воды, равное примерно —49°. Волоконная оптика. На явлении полного отражения основано появление целого раздела оптики — волоконной оптики, в котором изучается распространение света по световодам. Свет от источника распространяется по световодам, диаметр которых в зависимости от назначения колеблется от нескольких микрометров до миллиметров. В применяемом стеклянном волокне основная световедущая жила окружена оболочкой с меньшим показателем преломления (рис. 4.4). На границе раздела двух сред происходит полное отражение света. За счет этого световой пучок практически без потерь проходит от источника к освещаемой поверхности. Применение различных устройств волоконной оптики очень широко: от техники до медицины. Например, одножильные световоды или жгуты из волокон применяют для освещения внутренних поверхностей желудка, мочевого пузыря и других внутренних органов при диагностике и проведении операций. Такой прибор называется эндоскопом (от греч. endon — внутри и skopeo — смотрю). В технике световоды применяются для освещения недоступных мест, а также для Рис. 4.4 10 — л. л. Пинский 11 кл. 145 передачи сигналов на большие расстояния. Модулируя световой пучок, идуш;ий по световоду, можно по нему на значительные расстояния передавать информацию — речь, музыку, изображения, информацию от ЭВМ. Ш Вопросы. 1. Как определяется предельный угол полного отражения? 2. Как устроены световоды? Где они находят применение? ■ Примеры решения задач Задача 1. Свет переходит из стекла в воду. Определите предельный угол падения света на границе этих сред = 1,52; = 1,33). Решение. Воспользуемся законом преломления (40.2) в форме /г„ sin = «в sin а^. Для нахождения предельного угла в стекле положим «ст = оСпр’ «в = 90°, тогда sin а„р = Дд sin 90°. Отсюда следует: a,jp = arcsin = arcsin 0,875 = 61°. Задача 2. Относительный показатель преломления двух оптических сред П21- Луч, падающий на плоскую границу этих сред, частично преломляется, частично отражается. При каком угле падения отраженный луч перпендикулярен лучу преломленному? Решение. По закону преломления sin a/sin (3 = «21* гласно условию задачи (3 = 180° - (90° -ь а) = 90° - а. Поэтому sin а sin а ^21 — откуда следует: sin (90°-а) cos а а = arctg Дг = tg а. Задача 3. В сосуд налиты две несмешивающиеся жидкости с показателями преломления = 1,3 и П2=1,б (рис. 4.5), толщина слоя каждой жидкости 5 см. На каком расстоянии от поверхности жидкости кажется расположенным дно сосуда? Решение. Анализ рисунка 4.5 показывает, что Н tg а = Xi + Х2 = h tg + h tg а2 = h (tg -i- tg «2)- Здесь H — расстояние от верхней поверхности до точки О' — изображения точки О на дне сосуда. Учитывая, что угол а мал (tg а ~ sin а), получаем Н sin а ~ h (sin -i- sin а.2), или Н Так как д sin а = Д2 sin ag (д = 1), Д1 sin ttj = Д2 sin «2 = sin a. Поэтому H ~h\— + ~ 7,2 CM. 146 Рис. 4.6 Задача 4. Под каким максимальным углом может падать свет на плоский торец волновода, чтобы он не выходил в оболочку? Показатель преломления вещества жилы п.|, оболочки ^2 < ^i. Решение. Обратимся к рисунку 4.6. Свет испытает полное отражение на границе жилы с оболочкой, если Р ^ а^р = = arcsin (пг/^г)» или sin Р > Из закона преломления имеем sin а = Hi sin aj. Но = 90° - р, т. е. sin = cos Р = yl - sin^ Р ^ Следовательно, sin а= sin aj < yjl - (П2 jn^)^ = yjnf -n|, или a ^ arcsin -nl ■ Задачи для самостоятельного решения 41.1. С увеличением расстояния от поверхности Земли плотность атмосферы убывает. Как это обстоятельство влияет на распространение света в атмосфере? Возможно ли полное отражение света от верхних слоев атмосферы? 41.2. Луч, отраженный в воздухе от поверхности воды, образует с преломленным лучом угол 90°. Определите угол падения и угол преломления. 41.3. Параллельный пучок света падает на поверхность воды под углом 60°. Ширина пучка в воздухе 5 см. Определите ширину пучка в воде. 41.4. При переходе из первой среды во вторую угол преломления равен 45°, а при переходе из первой среды в третью угол преломления равен 30° (при том же угле падения). Определите предельный угол полного отражения для света, идущего из третьей среды во вторую. 41.5. При переходе из воздуха в воду луч света отклоняется на 30°. Изменится ли этот угол, если на поверхность воды будет налит тонкий слой бензина? 10* 147 41.6. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину под углом 60°. Показатель преломления стекла 1,5. Какова толщина пластины, если при выходе из нее луч сместился на 1 см? 41.7. Между источником света и глазом помещена плоскопараллельная пластина. Постройте изображение источника. 41.8. Перечислите известные вам случаи, когда луч света искривляется. Объясните причины искривления светового луча. 41.9. По световоду из плавленого кварца передается инфракрасное излучение. Показатель преломления вещества жилы для этого излучения равен 1,450, показатель преломления вещества оболочки — 1,410. Под каким максимальным углом может падать излучение на плоский торец этого световода? 41.10. Диаметр жилы световода (см. задачу 41.9) равен 300 мкм. При каком радиусе изгиба световод еще будет работать? § 42*. Зеркала Плоское зеркало. Построение изображения в плоском зеркале основано на использовании закона отражения света. Пусть над плоским зеркалом (рис. 4.7) находится точечный источник света S, освещающий это зеркало. Из всего светового потока выберем два луча 1 тл. 2, которые падают на зеркало под разными углами и аз* После отражения от зеркала эти лучи, как видно из рисунка, расходятся. Продолжения лучей пересекаются в точке S', находящейся по другую сторону зеркала относительно источника света (в Зазеркалье, как сказала бы Алиса из книги Льюиса Кэрролла). Нашему глазу будет казаться, что лучи 1 п 2 выходят из этой точки, как будто там находится источник света. Следовательно, точка S' воспринимается нами как изображение точечного источника S. Изображение, которое получается за счет пересечения не самих лучей, а их продолжений, называется мнимым. Такое название связано с тем, что в точку S' не попадает энергия от источника света. Почему же мы видим мнимое изображение? Дело в том, что хрусталик глаза и стекловидное тело (см. § 44) собирают расходящийся световой пучок на сетчатке в точке S". Аналогично расходящийся пучок может собрать объектив фотоаппарата. Именно свойство линз собирать расходящийся пучок позволяет видеть мнимое изображение, заглянуть в Зазеркалье. Совсем необязательно строить изображение источника или предмета в плоском зеркале, пользуясь двумя или большим числом лучей. Из равенства треугольников ASAO и 148 Рис. 4.8 AS'AO следует, что SA = S'A. Значит, возможен более простой способ построения изображения точки А в плоском зеркале: на перпендикуляре, опущенном на зеркало из точки А, надо отложить отрезок S'A, равный отрезку SA. Так мы найдем место мнимого изображения S'. Здесь мы, по существу, пользуемся симметричностью расположения предмета и изображения относительно плоскости зеркала. Из практики хорошо известно, что не из любой точки можно увидеть изображение в зеркале. На рисунке 4.8 показано изображение предмета АВ в зеркале. Из рисунка видно, что полностью изображение наблюдается только из так называемой области видения, ограниченной прямыми II—III. Есть еще две области I—II и III—IV, из которых видна только часть предмета. Например, из точки К видна только правая часть изображения предмета. Это области частичного видения. За пределами прямых I и IV изображение не видно. Сферическое зеркало. Зеркало, у которого отражающая поверхность имеет форму части сферы, называется сферическим зеркалом. При отражении света от внутренней поверхности сферы зеркало называется вогнутым, при отражении света от внешней поверхности сферы зеркало называется выпуклым. Средняя точка сферической поверхности зеркала называется полюсом зеркала; прямая, проходящая через полюс С зеркала и центр О сферы, называется главной оптической осью зеркала (рис. 4.9). Рассмотрим процесс отражения параллельного пучка света от вогнутого сферического зеркала. Пусть пучок света параллелен главной оптической оси зеркала ОС. Радиус ОМ сферы является перпендикуляром к поверхности зеркала в точке М падения луча КМ на зеркало, отраженный луч пересекает главную оптическую ось в точке F. По закону отражения выполняется равенство ZKMO = ZOMF. Углы ZCOM и ZKMO равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Следовательно, треугольник AOFM является равнобедренным и отрезок OF равен: ОМ R OF = 2 cos а 2 cos а 149 Отсюда следует, что расстояние f = ОС равно: R f = CF^OC-OF = R- 2 cos а (42.1) При малых значениях угла а (параксиальный пучок) из уравнения (42.1) следует приближенное равенство ' 2 ’ (42.2) которое показывает, что все отраженные вогнутым зеркалом лучи в этом случае проходят через одну точку F на главной оптической оси. Эта точка называется главным фокусом зеркала, а расстояние f от главного фокуса до полюса зеркала называется фокусным расстоянием. Из равенства (42.2) следует, что фокусное расстояние сферического зеркала равно половине радиуса кривизны зеркала. Если пучок света широкий, то, как следует из уравнения (42.1), отраженные лучи пересекают главную оптическую ось на разных расстояниях от полюса зеркгша. Это свойство сферического зеркала называется сферической аберрацией. Как видно из рисунка 4.10, у выпуклого зеркала фокус мнимый. Нетрудно убедиться, что и здесь для параксиального пучка справедливо условие (42.2). Предоставляем читателю возможность доказать это самостоятельно. Фокусное расстояние выпуклого зеркала принято считать отрицательным числом, т. е. у выпуклого зеркала f = -R/2. Построение изображения в сферическом зеркале. Для построения изображения точки в сферическом зеркале в параксиальных лучах можно выбрать любые два луча из трех стандартных: а) луч, проходяш;ий через центр сферической поверхности зеркала, который после отражения от зеркала опять проходит через центр; б) луч, падаюш;ий на зеркало параллельно оптической оси и после отражения проходяш;ий через фокус зеркала; в) луч, проходяндий через фокус зеркала и после отражения идуш;ий параллельно оптической оси. Воспользовавшись этими лучами, построим изображения в некоторых частных случаях. В выпуклом зеркале изображение мнимое, прямое, уменьшенное при любом положении предмета (рис. 4.11). Мнимое, прямое, увеличенное изображение возникает в вогнутом зеркале, если предмет расположен между фокусом и зеркалом (рис. 4.12). Если же предмет расположен дальше центра вогнутого сферического зеркала (рис. 4.13), 150 Рис. 4.11 М Г N 151 то образуется действительное, перевернутое, уменьшенное изображение между фокусом и центром. Формула сферического зеркала. Введем следующие обозначения: расстояние ВС от предмета до вершины зеркала (см. рис. 4.13) обозначим через d, расстояние В’С до изображения обозначим через d'. Найдем связь между этими величинами и фокусным расстоянием в предположении, что размер предмета АВ много меньше радиуса зеркала, т. е. что все пучки параксиальные. В этом случае AM ~ ВС = d, A'N ~ В'С = d', СМ ~ АВ и CN ~ А'В'. Из подобия треугольников AABF и ACNF имеем BF/CF = АВ/А'В', или (d - f)/f - АВ/А'В'. Аналогично из подобия треугольников AA'B'F и AMCF имеем CF/B'F = СМ/А'В' = АВ/А'В', или f/{d' - Л = АВ/А'В'. Отсюда следует: d-f f У = 7^- После простых преобразований получим d'f + df = dd'. Разделив обе части равенства на величину dd'f, получим окончательно (42.4) d d' f Это выражение называется формулой зеркала. При расчетах следует учесть, что расстояния до предмета и действительного изображения являются величинами положительными, расстояние до мнимого изображения — число отрицательное. Фокусное расстояние вогнутого зеркала — величина положительная, выпуклого — отрицательная. Н Вопросы. 1. Укажите способы построения изображения предмета в плоском зеркале. 2. Почему изображение в плоском зеркале называется мнимым? Можно ли его увидеть? 3. Чем отличается действительное изображение от мнимого изображения? 4. Что называется фокусом сферического зеркала? 5. Какой пучок называют параксиальным? 6. Если в опыте, изображенном на рисунке 4.13, поместить предмет в том месте, где получилось изображение, то его изображение окажется там, где раньше находился предмет. Докажите это. Получится ли такой же результат, если предмет поместить на место изображения в опытах, изображенных на рисунках 4.11 и 4.12? ■ Задачи самостоятельного решение 42.1. Докажите, что изображение в плоском зеркале и предмет симметричны относительно плоскости зеркала. 42.2. С помощью сферического зеркала на экране получили уменьшенное изображение предмета. Какое это зеркало? Где расположен предмет относительно зеркала? 42.3. Предмет перемещают из бесконечности к фокусу вогнутого зеркала вдоль главной оптической оси. Как будет перемещаться изображение предмета и каким оно будет при различных положениях предмета и зеркала? 152 42.4. Постройте изображение четырехугольника ABCD в плоском зеркале (рис. 4.14). Найдите построением, в какой области будет видно изображение четырехугольника. 42.5. Источник света расположен между двумя плоскими зеркалами, расположенными под углом 120®. Постройте изображение источника в этих зеркалах. 42.6. Какова должна быть высота зеркала, чтобы человек ростом 180 см видел себя в полный рост? 42.7. Предмет расположен на расстоянии 1 м от вогнутого зеркала с радиусом кривизны 20 см. Где находится изображение? Какое оно? Рис. 4.14 § 43. Линзы Основные параметры линзы. Линзой называется тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Поперечные сечения различных по взаимному расположению ограни-чиваюпдих поверхностей линз представлены на рисунке 4.15. Линзы в середине более толстые, чем по краям, обладают свойством собирать параллельный пучок лучей в одну точку (рис. 4.16). Такие линзы называются собирающими линзами. Линзы в середине менее толстые, чем по краям, обладают свойством рассеивать параллельный пучок лучей (рис. 4.17). Такие линзы называются рассеивающими линзами. Важнейшее свойство любой линзы — это способность собирать все лучи света, исходяицие из одной точки А перед линзой, в одну точку А' за линзой (рис. 4.18) либо рассеивать их таким образом, что они кажутся исходяш;ими из одной точки А' перед линзой (рис. 4.19). В первом случае точка А' схождения лучей называется действительным изображением точ- Рис. 4.16 Рис. 4.17 153 А' Рис, 4.18 Рис. 4.19 ки А, во втором — мнимым ее изображением. Создавая изображение каждой точки предмета, линза создает изображение предмета. Прямая, на которой лежат центры обеих сферических поверхностей линзы, называется главной оптической осью. Мы будем далее рассматривать тонкие линзы, толщина которых значительно меньше их радиусов. У тонких линз есть точка С, проходя через которую луч не преломляется. Эта точка называется оптическим центром линзы (см. рис. 4.16, 4.17). Прямая, проходящая через оптический центр линзы и пересекающая главную оптическую ось, называется побочной оптической осью. Точка F, в которой после прохождения собирающей линзы фокусируется пучок света, параллельный главной оптической оси, называется главным фокусом линзы. После прохождения через рассеивающую линзу пучка, параллельного главной оптической оси, свет кажется исходящим из точки F за линзой. Эту точку называют мнимым главным фокусом рассеивающей линзы. Пучок света, направленный на собирающую линзу параллельно побочной оптической оси, собирается в точке, называемой побочным фокусом. Все побочные фокусы лежат на плоскости, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус. Эта плоскость называется фокальной плоскостью линзы. Недостатки линз. Реальным линзам свойственны некоторые дефекты. Один из них заключается в том, что собираю- Рис. 4.21 154 щая линза далекие от главной оптической оси лучи фокусирует ближе к линзе, чем лучи, близкие к главной оптической оси (рис, 4.20). Это явление называется сферической аберрацией. Сферической аберрацией обладают и рассеивающие линзы (рис. 4.21). Один из способов борьбы со сферической аберрацией заключается в использовании только узких и близких к главной оптической оси пучков (параксиальных пучков). Для этого линзу диафрагмируют, пропуская через нее более узкий пучок, в результате уменьшается энергия пучка и освещенность изображения. При другом способе ослабления сферической аберрации учитывается тот факт, что у собирающих и рассеивающих линз оптическая сила имеет противоположные знаки, поэтому можно подобрать такую пару линз, чтобы их аберрации в значительной степени компенсировались. Другим серьезным дефектом линз является хроматическая аберрация. Из-за дисперсии в линзе происходит разложение белого света в спектр. При этом красные лучи, преломляясь слабее, фокусируются дальше от линзы; синие и фиолетовые, преломляясь сильнее, фокусируются ближе (рис. 4.22). В результате хроматической аберрации изображение оказывается размытым. Устранение хроматической аберрации возможно путем подбора системы из нескольких (до десятка) линз, каждая из которых компенсирует недостатки другой. На рисунке 4.23 изображен объектив микроскопа, в котором устранены почти все аберрации. Расчет, изготовление и проверка таких сложных оптических систем — весьма трудная задача, требующая хороших знаний теории и высокой квалификации. Построение изображений, даваемых линзой. Пусть предмет АВ находится на расстоянии d от собирающей линзы значительно дальше фокуса. Высота предмета АВ = h больше размера линзы, что почти всегда бывает на практике (рис. 4.24). Из точки А выходит световой пучок; часть его, закрашенная на рисунке, проходит через линзу и собирается в точке А\ которая является изображением точки А. Чтобы найти положение точки А', проводят через оптический центр линзы плоскость MN, перпендикулярную 155 главной оптической оси. Для построения изображения точки можно выбрать любые два из трех стандартных (характерных) лучей: а) луч, параллельный главной оптической оси, который после преломления проходит через главный фокус; б) луч, совпадающий с побочной оптической осью и проходящий без преломления оптический центр линзы; в) луч, проходящий через главный фокус, за линзой идущий параллельно главной оптической оси. Построив изображение А\ опускаем перпендикуляр на главную оптическую ось и находим точку В\ которая является изображением точки В. Если же предмет имеет более сложную форму, нужно тем же способом построить изображения основных точек, определяющих форму предмета. В данном случае мы получили действительное, перевернутое, уменьшенное изображение. Так как ход любого светового луча обратим, то если в том месте, где находится изображение, поместить предмет, его увеличенное изображение окажется там, где раньше располагался предмет. Нетрудно убедиться, что если предмет будет находиться между линзой и главным фокусом, то глаз, расположенный за линзой, увидит мнимое, прямое, увеличенное изображение. Рекомендуем выполнить это построение. Рассеивающая линза дает мнимое, прямое, уменьшенное изображение предмета (рис. 4.25). Формула линзы. Расстояние от тонкой линзы до предмета d, расстояние до изображения d' и фокусное расстояние f связаны формулой. Выведем ее. Пусть двояковыпуклая линза дает изображение высотой h' предмета АБ, расположенного на расстоянии BF = а от левого фокуса линзы; изображе-Рис. 4,25 ние А'В' расположено на рас- 156 стоянии B'F' = а' от правого фокуса линзы (см. рис. 4.24). Из подобия треугольников А'B'F' и F'CM, а также треугольников ABF и FCN имеем — — h' _ h а' /’ f а' Определим поперечное увеличение (3 = h'/h, даваемое линзой, из обоих выражений; о h' _ f _ а' ^ ~ h ~ а~ f ‘ (43.1) Отсюда следует так называемая формула Ньютона: аа' = f. (43.2) Но расстояние до предмета d = а + f, а расстояние до изображения d' = а' + f. Подставляя выражения для а и а' в формулу Ньютона, получим (d-f) id' -f) = f, или после приведения подобных членов: dd' = d'f -h df. Разделив обе части выражения на d'df, получим (43.3) f d d' Это соотношение носит название формулы линзы. Оно аналогично формуле зеркала (42.4). В формуле линзы следует учитывать знаки входящих в нее величин. Принято считать фокусное расстояние собирающей линзы положительным числом, фокусное расстояние рассеивающей линзы — отрицательным. Расстояния от предмета до линзы и от действительного изображения до линзы считают положительными числами, расстояние от линзы до мнимого изображения — отрицательным числом. Фокусное расстояние и оптическая сила линзы. Опыт показывает, что фокусное расстояние линзы зависит от радиусов кривизны ее поверхностей, а также показателей преломления вещества, из которого изготовлена линза, и окружающей ее среды. Получим выражение для фокусного расстояния на примере двояковыпуклой линзы. Для простоты вывода будем считать, что обе сферические поверхности имеют одинаковый радиус кривизны /?, а относительный показатель преломления линзы по отношению к окружающей среде равен п = Пусть на двояковыпуклую линзу параллельно главной оптической оси падает параллельный пучок — по волновой терминологии это плоская волна AKD (рис. 4.26). До плоскости BLE все колебания распространяются в однородной среде с одинаковой скоростью, так что на этой плоскости все точки колеблются в одинаковой фазе. Далее волны будут распространяться в среде с другим показателем преломления, следовательно, и с другой скоростью. Так как в фокусе 157 наблюдается максимум интенсивности, они должны прийти в фокус F в одинаковой фазе, следовательно, пройти одинаковые оптические пути. Сравним оптические пути по лучу ABMF и по лучу KLGF. Волна из точки В проходит расстояние ВМ + MF = а + I в среде с показателем преломления Hj. Следовательно, оптический путь равен: Si = III (а + I). Волна из точки L проходит расстояние LG = 2а в веществе с показателем преломления /ig и расстояние GF = f — а в среде с показателем преломления nj. Следовательно, оптический путь равен: S2 = 2ап2 + rii {f - а). Приравняв оптические пути, получим rii (а + I) = 2ап2 + rii (f - а), или с учетом равенства п = а + I = 2ап + f - откуда 1 = 2а(п-1) + f. (43.4) Из теоремы Пифагора следует = 1^ - с другой стороны, - {R - а)^ = 2Ra - а^. Поскольку линза тонкая, т. е. а R, то 2Ra\ следовательно, = 2Ra. Приравняв выражения для получим 1^-р= 2Ra. (43.5) Подставив значение I из соотношения (43.4), будем иметь 4а^ {п - 1)^ + 4а/ (/г - 1) + = 2Ra. Учитывая, что из-за тонкости линзы а/, получим по- сле сокращений f = T^y Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, называется ее оптической силой. Для двояковыпуклой линзы с одинаковыми радиусами кривизны оптическая сила равна: ф = 1 = (п-1)|. (43.7) 158 Можно показать, что для линзы, у которой поверхности имеют разные радиусы кривизны (/?i Ф R2), справедлива формула В этой формуле радиусам приписываются определенные знаки. Если поверхность выпуклая, то радиус кривизны считается положительным; у вогнутой поверхности радиус кривизны отрицательный. У плоской поверхности радиус кривизны бесконечно велик. Пользуясь этим правилом, убедитесь, что у двояковыпуклой, плосковыпуклой и вогнуто-выпуклой линз (см. рис. 4.15) оптическая сила положительная; у двояковогнутой, плосковогнутой и выпукло-вогнутой (см. рис. 4.15) — отрицательная. Единица оптической силы линзы в СИ — диоптрия (дптр). 1 дптр — это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м. Чтобы получить оптическую силу линзы в диоптриях, надо ее фокусное расстояние выразить в метрах. Н Вопросы. 1. Назовите известные вам типы линз. Какие линзы являются собирающими? рассеивающими? 2. Изобразите на чертеже главную и побочную оптические оси линзы, ее фокусы и фокальные плоскости. 3. Какой фокус является действительным и какой мнимым? 4. Какие аберрации линз вы знаете? Чем они вызваны? 5. Как ослабить или устранить аберрации линзы? 6. Сформулируйте правила построения изображений в линзе. Какое изображение называется действительным? мнимым? 7. Можно ли увидеть мнимое изображение? 8. Выведите формулу тонкой линзы. 9. От чего зависит фокусное расстояние линзы? 10. Что такое оптическая сила линзы? Что является единицей СИ оптической силы линзы? 11. Может ли двояковыпуклая линза иметь отрицательную оптическую силу, а двояковогнутая — положительную? ■ Примеры решения задач Задача 1. Луч MN, не параллельный главной оптической оси, падает на собирающую линзу. Фокус линзы находится в точке F (рис. 4.27). Постройте дальнейший ход луча через линзу. Решение. Отметим положение второго главного фокуса F' на главной оптической оси и проведем через F' прямую аЬ, перпендикулярную главной оптической оси. Эта прямая лежит в фокальной плоскости. Через центр линзы С проводим побочную оптическую ось КС II MN, которая пересекается с фокальной плоскостью аЬ в точке Рц — побочном фокусе линзы (рис. 4.27). Соединив точки N и Ец, найдем направление дальнейшего хода луча. Задача 2. Докажите, что оптическая сила двух соприкасаю- Рис. 4.27 М 159 Рис. 4.28 1 или — ^1 d' f /сист h h щихся тонких линз равна сумме их оптических сил. Решение. Предположим, что вторая линза более длиннофокусная (/2 > f\)i а также что обе линзы — собирающие (рис. 4.28). Пусть источник света находится слева в фокусе первой линзы (dj = Д). Пучок света, пройдя первую линзу, далее распространяется параллельно главной оптической оси. Этот пучок, попав на вторую линзу, сходится в ее фокусе, т, е. d'2 = /2- Таким образом, для системы из двух линз получаем 1 fсист Подставляя — = Ф, получим Oj + Ф2 = ф. Задача 3. Предмет расположен на расстоянии 40 см от линзы, имеющей оптическую силу 5 дптр. Вторая линза с оптической силой 6 дптр расположена на расстоянии 60 см от первой линзы. Определите, где находится изображение и каково поперечное увеличение, даваемое оптической системой. Решение. Построим изображение предмета в первой линзе (рис. 4.29). По формуле линзы имеем -7- + ^ откуда d\ = = 0,4 м. d' di-/, Считая это изображение предметом для второй линзы, находим расстояние до нее: d2 = I - d\ = 0,2 м. По формуле -I- — = находим расстояние от второго изображения до вто-d2 dg ^2 рой линзы: с^2 = = 1 м. ^ d2-f2 Первая линза дает изображение, равное предмету, поскольку d\ = di и Pj = d\/d^ = 1. Увеличение дает только вторая линза. Отсюда определяем увеличение, даваемое всей оптической системой: Р = Рг = <^2/^2 = 1 м/0,2 м = 5. Задача 4. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см нужно расположить предмет, чтобы получить изображение, увеличенное в 4 раза? Решение. Увеличение р = = 4, отсюда d'— ^d. Подставляем это соотношение в формулу тонкой линзы: l = l + J- = i + J- = A. f d d' d Ad Ad’ d = 5f/4 = —= 0,25 M = 25 cm. Задача 5. Даны положения главной оптической оси собирающей линзы, светящейся точки S и ее изображения S' (рис. 4.30). Найдите построением положение оптического центра и фокуса линзы. Решение. Проводим отрезок прямой, соединяющий светящуюся точку и ее изображение (рис. 4.31). Точка пересечения С главной оптической оси с этой прямой является оптическим центром линзы. Через эту точку перпендикулярно главной оптической оси проводим главную плоскость линзы. Затем из точки S проводим отрезок прямой параллельно главной оптической оси до пересечения с главной плоскостью в точке А. Соединяя точки А и S', определяем положение главного фокуса линзы F. Построив SA' параллельно главной оптической оси и соединив А' и S, получим положение второго главного фокуса F'. Нетрудно доказать, что F'C = FC = /. Рис. 4.31 Задача 6. Оптическая система состоит из двух собирающих линз с фокусными расстояниями /j = 15 см и f2 = 7 сил, расположенных на расстоянии 1 = 5 см друг от друга. Определите, на каком расстоянии от второй линзы расположен фокус этой оптической системы. Решение. Определим графически, где находится фокус системы (рис. 4.32). Для этого направим на левую линзу параллельный пучок (луч МА), который (если бы не было второй 11 — А. А. Пинский 11 кл. 161 о линзы) собрался бы в точке F^. Однако присутствие второй линзы приводит к тому, что этот пучок сходится в точке F, которую находим следующим образом: проводим луч KC2WAB, находим его пересечение с фокальной плоскостью второй линзы в точке D и на пересечении луча BD с главной оптической осью находим точку F. Рассматриваем образовавшиеся треугольники. Анализ рисунка 4.32 показывает, что здесь есть подобные треугольники: ABC.^F ^ ADF2F и ЛБС2Р1 ~ ADF2C2. Из подобия треугольников следует: ВСо DF., ВС., DFo f fz-f fi-l /2 Разделив первое соотношение на второе, получим fl-l _ f-2 откуда f = hUi-i) f\ + fz f fz-f’ 7(15-5) 70 CM = — CM = 4,1 CM. 15+7-5 17 Заметим, что из полученной формулы получается результат решения задачи 2, если положить I = 0. Докажите это. Задача 7. На горизонтально расположенное вогнутое зеркало с радиусом кривизны 0,5 м налили воду. Какова оптическая сила этой системы? Решение. Данная оптическая система состоит из вогнутого зеркала с радиусом кривизны R = 0,5 м и плосковыпуклой водяной линзы с показателем преломления п = 1,33 и радиусами кривизны R = 0,5 м и = оо (рис. 4.33). Поскольку оба оптических прибора сложены вплотную, то их оптическая сила равна их сумме (см. задачу 2). При этом следует учесть, что через линзу свет проходит дважды — при падении на зеркало и отражении от него. Имеем Ф = Фз + 2Ф, = | + 2(л-1)[^ + ^ = А + iALzll = AL = 5,32 дптр. R R R ^ 162 Задача 8. Двояковыпуклая линза из стекла (n.j = 1,51) с радиусами кривизны /2j = jR2 = 0>2m помещена в сероуглерод (п-2 = 1,62). Определите оптическую силу линзы. Решение. Оптическую силу найдем по формуле (43.7), где относительный показатель преломления п = njn^ — 1,51/1,62 = = 0,93. Тогда Ф = 2(п-1) 2(0,93-1) дптр = -0,7 дптр. R 0,2 Как видно, в данном случае двояковыпуклая линза оказывается рассеивающей. Задача 9. Через отверстие в непрозрачном экране проходит сходящийся пучок, собирающийся в точке А, находящейся от экрана на расстоянии АС = 42 см. Если в отверстие вставить собирающую линзу с фокусным расстоянием 21 см, то пучок соберется в точке А' (рис. 4.34). Определите расстояние А'С. Решение. Точка А является «мнимым предметом» для действительного изображения А'. Имеем d = -42 см, / = 21 см. Подставив в формулу линзы (43.3) значения величин, получим 1^1 1 1 1^1 3 42 d' 21 d' 21 42 42 Отсюда А'С = d'=14 см. Задачи для самостоятельного решения 43.1. Постройте график функции d'= df для собирающей линзы. d-f (Указание: исследуйте функцию при d -* оо, d = 2f, d ^ f+ 0, d f-0, d-yQ.) 43.2. Постройте тот же график для рассеивающей линзы. (Указание: запишите исследуемую функцию в виде = d+\f\ 43.3. Вогнуто-выпуклая линза с радиусами кривизны R■^ = 0,2 м и ^2 = 0.5 м отщлифована из стекла (п^ = 1,65). Какова ее оптическая сила в воздухе и воде (П2 = 1,33)? 43.4. Постройте изображение стрелки в собирающей и рассеивающей линзах (рис. 4.35, 4.36). 2F \ F В Рис. 4.35 F’ 2F’ 2F о F В F' 2F' Рис. 4.36 11* 163 S' Рис. 4.37 ^1^ Рис. 4.38 ---S'— Рис. 4.39 43.5. Луч, не параллельный главной оптической оси, падает на рассеивающую линзу, положение фокусов которой известно (рис. 4.37). Постройте дальнейший ход луча через линзу. 43.6. Дано положение светящейся точки S и ее изображения S', получаемого с помощью собирающей линзы (рис. 4.38). Найдите построением положение главной плоскости линзы и ее фокусное расстояние. Какое это изображение — действительное или мнимое? 43.7. Дано положение светящейся точки S и ее изображения S', полученного с помощью рассеивающей линзы (рис. 4.39). Найдите построением положения главной плоскости линзы и ее фокуса. 43.8. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 50 см надо поместить предмет, чтобы получить его четырехкратное увеличение? 43.9. Постройте график зависимости увеличения, даваемого собира- ющей линзой, как функции расстояния от предмета до линзы. 43.10. Постройте график зависимости увеличения, даваемого рассеивающей линзой, как функции расстояния от предмета до линзы. 43.11. Найдите построением изображение светящейся точки S, находящейся на главной оптической оси собирающей линзы (рис. 4.40). Выполните аналогичные построения для случая, когда светящаяся точка S находится на главной оптической оси между фокусом и линзой. 43.12. Две линзы с фокусными расстояниями f-^ = 0,2 м и ^2 = распо- ложены на расстоянии 1 м друг от друга. Пучок света, параллельный главной оптической оси, падает на первую линзу. Определите расстояние от центра второй линзы до точки схождения этого пучка после прохождения двух линз. 43.13. Две линзы с оптическими силами = 2 дптр и Ф2 = 4 дптр расположены на расстоянии 50 см друг от друга. Предмет находится на расстоянии 1 м от первой линзы. На каком расстоянии от центра второй линзы находится изображение предмета и каково увеличение, даваемое оптической системой? Рис. 4.40 Предмет Ширма Экран Линза -----> F' ТУ-Т-Т-Т-УТТ Рис. 4.41 164 F' Рис. 4.43 43.14. С помощью линзы на экране получили изображение предмета. Что произойдет с этим изображением, если половину линзы закрыть ширмой (рис. 4.41)? Обоснуйте ответ, сделав необходимое построение. 43.15. Постройте изображение стрелки в линзе (рис. 4.42). 43.16. Постройте изображение стрелки в линзе (рис. 4.43). § 44. Глаз как оптическая система Устройство глаза. Говоря об оптических системах, надо прежде всего проанализировать работу глаза — совершенной системы, созданной природой в ходе эволюции. Устройство глаза показано на рисунке 4.44. Наружную оболочку глазного яблока образует склера 1, она защищает внутреннее содержание глаза и обеспечивает его жесткость. На передней поверхности склера переходит в тонкую прозрачную роговицу 2, через которую в глаз проникает свет. За роговицей расположена радужная оболочка 3 с отверстием — зрачком 4. Радужная оболочка представляет собой мышечное кольцо, окрашенное пигментом. Это кольцо, сжимаясь или растягиваясь, меняет размеры зрачка и тем самым световой поток, попадающий в глаз, т. е. действует как диафрагма. За радужной оболочкой находится хрусталик 5 — эластичное линзоподобное тело. С помощью циллиарной связки 6, которая может натягиваться и расслабляться, меняются радиусы кривизны поверхности хрусталика и тем самым его оптическая сила (см. 43.8). Полость между роговицей и хрусталиком заполнена водянистой влагой; за хрусталиком находится стекловидное тело 7. Роговица, водянистая влага, хрусталик и стекловидное тело образуют оптическую систему, аналогичную линзе с оптической силой около 58,5 дптр (f = 17,2 мм). Рис. 4.44 165 Оптический центр этой системы расположен на расстоянии около 5 мм от роговицы; оптическая ось изображена на рисунке 4.44 штрихпунктиром. Сетчатка 9 представляет собой полусферу, состоящую из рецепторных клеток, имеющих форму колбочек и палочек. Всего в глазе человека 125 млн палочек и 6,5 млн колбочек. Эти светочувствительные клетки находятся на задней поверхности сетчатки, которая лежит на сосудистой оболочке 8. В некоторой области сбоку от оптической оси нервные клетки сетчатки объединяются и образуют зрительный нерв 10, выходящий из глаза. В этом месте нет ни палочек, ни колбочек, и потому оно образует нечувствительное к свету «слепое пятно» ii. В центре сетчатки, на оптической оси, находится центральная ямка 12 — область наибольшей остроты зрения. Здесь сосредоточены светочувствительные колбочки, с помощью которых глаз ощущает цвета. В остальных участках сетчатки расположены в основном палочки. Под действием света в палочках происходит перестройка особого вещества — зрительного пурпура (родопсина). Родопсин — это соединение одной из форм витамина А (ретинена) с белком сетчатки (оксином). Под действием света ретинен переходит из одной формы в другую (из цис- в транс-форму). Это вызывает генерацию в клетке нервного импульса, который через зрительный нерв передается в мозг. Генерация импульса происходит за счет энергии, запасенной в рецепторной клетке, свет играет лишь роль «пускового механизма» для реакции. Этим объясняется высокая чувствительность палочек — каждая палочка способна реагировать на один квант света (см. гл. 6). Палочки осуществляют так называемое сумеречное зрение, с помощью которого различаются размеры и форма предметов, но не их цвета. Цветовое зрение осуществляется с помощью колбочек, что возможно, если изображение предмета попадает на центргшьную ямку. Есть три типа колбочек, которые различно реагируют на разные участки спектра. Одни из них лучше реагируют на зеленый свет, другие — на красный и третьи — на синий. Промежуточные цвета воспринимаются при одновременном раздражении двух или трех типов колбочек. В зависимости от степени раздражения каждого из этих типов колбочек мозг получает различные серии нервных импульсов и интерпретирует это как разные цвета. Аккомодация. В оптической системе глаза хрусталик 5 представляет собой бесцветное тело, напоминающее по форме двояковыпуклую линзу. Передняя поверхность хрусталика менее выпукла, чем задняя. Интересно, что показатель преломления хрусталика различен в различных его частях — от 1,405 до 1,454. Мышца, фиксирующая хрусталик, может изменять его кривизну. Изменение кривизны хрусталика опре- 166 деляет способность глаза к аккомодации — изменению оптической силы глаза. Именно поэтому согласно формуле линзы (43.3) при разных расстояниях d от предмета возможно сохранение постоянным расстояния d' от центра глаза до сетчатки. Близорукость и дальнозоркость. Аккомодация происходит непроизвольно. Как только глаз переводится с одного предмета на другой, нарушается резкость изображения, о чем в мозг приходит сигнал. Обратный сигнал из мозга к циллиарной мышце вызывает ее сокраш;ение или растяжение до тех пор, пока не получится резкое изображение. Точка, которую глаз видит при расслабленной циллиарной мышце, называется дальней точкой, видимая при максимальном напряжении, — ближней точкой. Для нормального глаза дальняя точка лежит бесконечно далеко, ближняя точка — на расстоянии около 15—20 см от глаза. При близорукости дальняя точка лежит на конечном расстоянии, иногда при сильной близорукости — очень близко от глаза. Соответственно приближается и ближняя точка, поэтому близорукие люди для лучшей видимости приближают предметы к глазу. Близорукость вызывается либо вытянутостью глазного яблока, либо спазмом циллиарной мышцы. Коррекция близорукости производится с помош;ью очков с рассеивающими линзами (рис. 4.45, а, б). Дальнозоркость вызвана либо укороченностью глазного яблока, либо слабой аккомодацией, что приводит к удалению ближней точки от глаза. Дальнозоркость обычно возникает в старческом возрасте, когда хрусталик теряет упругость, но встречается и врожденная дальнозоркость. Для коррекции этого недостатка глаза применяются очки с собирающими линзами (рис. 4.45, в, г). Бинокулярное зрение. Рассматривая предмет двумя глазами, мы получаем на сетчатке каждого из них несколько различные изображения. В то же время мы воспринимаем один предмет, но видим его стереоскопически, т. е. объемно. Рис. 4.45 167 Представление о глубине пространства возникает благодаря тому, что, направляя оба глаза на один объект, мы усилием глазных мышц поворачиваем их так, чтобы их оптические оси пересекались на предмете. Угол а между осями называется углом конвергенции. Расстояние между глазами (база) равно Ь = 5 см, а расстояние до предмета d> 25 см. Следовательно, угол конвергенции а ^ b/d меняется от нуля (дальняя точка) до 10° (ближняя точка). Одновременные и непроизвольные аккомодация и конвергенция позволяют оценить глубину пространства и расстояние до предметов значительно лучше, чем при зрении одним глазом. Цветовая чувствительность глаза. Глаз человека обладает различной чувствительностью к разным участкам спектра. Кривая видности (рис. 4.46) характеризует чувствительность глаза к свету с различными длинами волн при нормальной освещенности. Относительная спектральная световая эффективность равна отношению чувствительности глаза к свету с данной длиной волны к чувствительности глаза к свету с длиной волны 555 нм. Эта кривая имеет максимум при X = 555 нм. Кривая видности резко падает к краям: при длине волны 400 нм чувствительность глаза меньше в 2500 раз, чем при 555 нм. Интересно то, что при очень слабых освещенностях кривая видности расширяется. Природа многие миллионы лет приспосабливала глаз человека к солнечному излучению. Видимой области спектра соответствует 40% всего излучения Солнца, падающего на Землю. Глаз человека обладает удивительной способностью к адаптации — приспособлению к различным световым потокам, мощность которых изменяется на двенадцать порядков — от 10“^^ до 10~^ Вт. При увеличении яркости зрачок сужается и снижается чувствительность колбочек и палочек. Наилуч-шим для глаза является поперечник зрачка, равный 2—3 мм. При таком размере зрачка некоторые люди могут различать два объекта, видимые под углом в несколько угловых минут. Разрешающая способность глаза. Явление дифракции ставит предел для разрешающей способности многих оптических инструментов и человеческого глаза. В результате дифракции бесконечно удаленный точечный источник воспринимается глазом как светлое пятно с угловым радиусом, равным примерно одной угловой минуте. Две светящиеся точки могут восприниматься глазом как отдель- Рис. 4.46 168 Рис. 4.47 ные источники света при условии, если угловое расстояние между ними, называемое углом зрения, превышает угловой радиус центрального дифракционного светлого пятна от одного точечного источника (рис. 4.47). Следовательно, разреша-юш;ая способность человеческого глаза равна примерно одной угловой минуте. Это соответствует тому факту, что расстояние между двумя соседними палочками или колбочками равно примерно 5 мкм. С уменьшением освегценности разрешаюш;ая способность глаза ухудшается, как говорят, падает острота зрения. В Вопросы. 1. Каковы основные элементы глаза и их функции? 2. Что такое аккомодация? Как она осуществляется? 3. В чем заключаются явления близорукости и дальнозоркости? 4. В чем особенность бинокулярного зрения? 5. По графику рисунка 4.46 опишите спектральную чувствительность глаза. В Примеры решения задач Задача 1. Найдите минимальный угол зрения, исходя из явления дифракции. Решение. Минимальный угол зрения должен соответствовать дифракционному расширению пучка, вызванному его прохождением через зрачок. Полагая диаметр зрачка равным 2 мм, а длину световой волны, соответствующей максимальной чувствительности глаза, равной 555 нм, имеем X 555 • 10~® мм Sin Фо = -^ = 2 мм = 2,8 • 10-1 При таких малых значениях синус равен радианной мере угла: 2,8 •Ю-'^ -180-60' Фо = 2,8 - 10 4 рад = = 0,95 ~ 1'. Мы получили тот же результат, что и при учете расстояния между двумя соседними палочками или колбочками. 169 Задача 2. Школьник, читая книгу без очков, держит ее на расстоянии 20 см от глаз. Какие очки должен носить этот школьник для чтения на расстоянии 25 см? Решение. Будем считать, что расстояние от центра глаза до сетчатки всегда одинаково и равно d'. В том случае, когда школьник читает без очков, справедливо соотношение d d' f где f — фокусное расстояние невооруженного глаза; d = 0,2 м. В очках школьник будет читать книгу на расстоянии do = 0,25 м. Поэтому справедлива формула линзы в виде -L + i- = i + -L, da d' t f„ где — фокусное расстояние очков, которые необходимы школьнику. При этом мы считаем, что оптическая сила системы очки — глаза равна сумме их оптических сил. Вычитая из второго выражения первое, получим 1 1 _ 1 do d /дц Подставляя числовые значения величин и учитывая, что оптическая сила — это величина, обратная фокусному расстоянию, найдем 1 J, 1 1 1 dr ф = -L- = ___± = 0,25 м 0,2 м = -1 дптр. Задача 3. Человек переводит взгляд с неба на раскрытую книгу. Как изменится оптическая сила хрусталика? Считайте, что книга расположена на расстоянии 25 см. Решение. В обоих случаях (разглядывание неба и чтение книги) расстояние от оптического центра глаза до изображения одинаково: d[ = dg- Изображение получается на сетчатке. При разглядывании неба можно считать расстояние до предмета бесконечным (di = оо), при чтении это расстояние равно dg. Получаем два уравнения dj dj fi d2 dg /2 Вычитая из второго уравнения первое, получаем J_ ^ 1 d-г di do 0,25 м /2 fi = 4 дптр. ■ Задачи для самостоятельного решения 44.1. Расстояние наилучшего зрения для дальнозоркого глаза равно 40 см. Какие очки следует использовать для чтения на расстоянии 25 см? 44.2. Человек носит очки с оптической силой -2,25 дптр. Каково для него расстояние наилучшего зрения без очков? 44.3. Шкаф высотой 180 см расположен на расстоянии 2 м от наблюдателя. Каков размер изображения шкафа на сетчатке? Под каким углом зрения виден шкаф? Оптическая сила глаза 58,5 дптр. 170 44.4. Предмет размером 20 см расположен на расстоянии 700 м от глаза. Увидит ли человек какие-либо детали этого предмета? 44.5. Расстояние до Луны равно 384 400 км, ее диаметр равен 3476 км. Какова площадь изображения полной Луны на сетчатке? Под каким углом зрения видна Луна? 44.6. Решите задачу 44.5 для Солнца. Диаметр Солнца 1,392 • 10® км, расстояние до Солнца равно 1,496 • 10® км. § 45. Световые величины Точечный источник. Телесный угол. При рассмотрении оптических явлений часто используется идеализированная модель источника света, называемая точечным источником света. Считается, что точечный источник равномерно излучает свет во все стороны, а размеры его много меньше расстояния до освеш;аемой поверхности. Например, если лампа диаметром 10 см освеш;ает поверхность на расстоянии 100 м, то эту лампу можно считать точечным источником. Звезды много больше Земли, но расстояние от них до Земли на много порядков больше. Поэтому для наблюдателя на Земле звезды можно считать точечными источниками света. Для понимания смысла некоторых световых величин необходимо знать, что такое телесный угол. Телесным углом называется область пространства, ограниченная прямыми, проведенными из одной точки пространства ко всем точкам какой-либо замкнутой кривой. Мерой телесного угла Q является отношение плогцади S поверхности шарового сегмента к квадрату радиуса R сферы с центром в вершине конуса (рис. 4.48): n = S/R\ (45.1) Единица телесного угла в СИ — стерадиан (ср). 1 ср равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы. Зная площадь поверхности сферы, можно определить полный телесный угол вокруг точки: Q = 4kR^/R^ = 4к ср. Световые величины. Наряду с энергетическими характеристиками электромагнитного излучения в физике и технике используются субъективные характеристики видимого излучения, оцениваемые по вызываемому им световому ощущению. Рис. 4.48 171 Важнейшая характеристика любого источника света — сила света I — определяется отношением светового потока Ф к телесному углу Q, внутри которого этот поток распространяется: I = Ф/П. (45.2) Так как телесный угол вокруг точки равен 4л:, то сила света точечного источника определяется из соотношения I = Ф/(4л). (45.3) Единица силы света в Международной системе — к а н-д е л а (кд). 1 кд равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 5,40 • 10*'* Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1,683 Вт/ср. Заметим, что данная частота соответствует максимальной чувствительности человеческого глаза, т. е. длине волны в вакууме, равной 555 нм. Все остальные световые единицы выражаются через кан-делу. Мощность электромагнитного излучения, оцениваемая по вызываемому им световому ощущению, называется световым потоком. Единица светового потока в СИ называется люмен (лм). 1 лм равен световому потоку, испускаемому точечным источником силой света 1 кд в телесном угле, равном 1 ср. Освещенность Е связывает световой поток с площадью поверхности, на которую этот поток падает. Освещенность Е поверхности равна отношению светового потока Ф, падающего на элемент поверхности, к площади S этого элемента: Е = Ф/S. (45.4) Единица освещенности в СИ называется люкс (лк). 1 лк равен освещенности поверхности площадью 1 м^ при падающем на нее световом потоке 1 лм, равномерно распределенном по этой поверхности. Законы освещенности. Выясним, от чего зависит освещенность поверхности, на которую падает световой поток. Пусть в центре сферы находится точечный источник силой света I. Для нахождения освещенности Е на расстоянии R от источника разделим световой поток Ф на площадь сферы радиусом R. Площадь поверхности сферы равна 4nR^, полный световой поток согласно формуле (45.3) равен Ф = 4к1. Поэтому выражение для освещенности имеет вид 4 я/ _ " • 4kR‘ (45.5) Значит, при перпендикулярном падении лучей на поверхность освещенность, создаваемая точечным источником света, прямо пропорциональна силе света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Если направление све- 172 товых лучей составляет некоторый угол ф с направлением нормали к поверхности S (рис. 4.49), то плопцадь S связана с площадью F. Следовательно, для уменьшения расстояния d необходимо использовать возможно более короткофокусные линзы. Увеличение разрешающей способности объектива микроскопа при заданном фокусном расстоянии путем увеличения диаметра D объектива ограничено естественным пределом D = 2Б, где R — радиус кривизны линзы. Это означает, что плосковыпуклая линза, обычно применяемая в качестве первой линзы объектива микроскопа, должна быть полушаровой. Так как фокусное расстояние плосковыпуклой линзы определяется формулой п -1 то для объектива микроскопа можно записать соотношение d>-^~ п -1 Учитывая это, можно выразить минимальное расстояние у, на котором могут находиться две светящиеся точки, различимые с помощью микроскопа: XR X У Ы XF D ^ 2R 2R(n-l) 2(л-1)‘ (46.7) 12* 179 Принимая показатель преломления стекла, из которого сделана линза объектива, п = 1,5, получаем у^Х. (46.8) Таким образом, минимальное расстояние, на котором с помощью микроскопа могут быть разрешены две светящиеся точки при оптимальной конструкции объектива, равно приблизительно длине световой волны. Фотоаппарат. Фотоаппарат представляет собой светонепроницаемую камеру и систему линз, называемую объективом, Объектив из одной линзы почти не применяется, так как он дает большие искажения изображения, особенно по краям. Поэтому даже относительно простые объективы состоят из двух-трех линз. Объектив дает изображение на фотопленке или светочувствительной ячейке полупроводникового чипа, называемого сенсором. Для фиксации изображения предмета необходимо открыть затвор объектива. Еще одна важная деталь фотоаппарата — диафрагма, с помощью которой изменяется диаметр отверстия за объективом. Уменьшая диаметр диафрагмы, можно одновременно получать более четкие изображения на пленке и близких, и далеких предметов (увеличивать глубину резкости). Диапроектор, Назначение диапроектора — создавать на экране увеличенные изображения прозрачных рисунков или фотографий, зафиксированных на кадре диафильма или диапозитива. Эта задача противоположна той, которую выполняет оптика фотоаппарата. В фотоаппарате с помощью объектива формируется уменьшенное действительное изображение удаленного большого предмета, а в диапроекторе с помощью объектива на удаленном экране формируется увеличенное действительное изображение кадра пленки. Если проектор увеличивает изображение кадра в п раз, то освещенность изображения на экране уменьшается в раз. Поэтому проецируемый кадр следует очень сильно осветить. Для этого в проекторе используется мощная осветительная лампа большой яркости, а также система из двух плосковыпуклых линз — конденсор, который концентрирует световой пучок на проецируемом кадре. Кинопроектор. Сетчатка глаза обладает некоторой инерционностью, сохраняя примерно в течение 0,1 с возникшее зрительное ощущение. Зрительные раздражения, следующие друг за другом с промежутками менее 0,1 с, сливаются в одно непрерывно изменяющееся ощущение. На этом свойстве глаза основано кино. Ряд фотографий с движущегося предмета снимают на одну ленту; обычно производится 24 снимка за 1 с. Кинопроектор отличается от диапроектора лишь тем, что в нем имеется механический прерыватель (обтюратор), который заслоняет объектив в тот момент, когда кинопленка продергивается на один 180 кадр. Поскольку смена кадров происходит 24 раза в секунду, глаз эти прерывания не замечает, и мы видим непрерывное движение предметов на киноэкране. Однако если нужно получить замедленную картину очень быстрого процесса или, наоборот, ускоренную картину медленного процесса, то съемку ведут с очень большой (до нескольких тысяч кадров за 1 с) или очень малой (1 кадр в 1 ч) скоростью. Затем их проецируют с нормальной скоростью. С помош;ью этого метода, который образно называется «лупой времени», удается наблюдать, например, за развитием цветка или полетом пули. В Вопросы. 1. Каково назначение лупы? 2. С какой целью в оптической системе телескопа используют длиннофокусный объектив и короткофокусный окуляр? 3. Начертите ход лучей в телескопе-рефлекторе и телескопе-рефракторе. 4. Почему существует предел разрешающей способности оптических приборов? 5. Хороший телескоп дает увеличение примерно в 200 раз, микроскоп — примерно в 500 раз. Иногда предлагают изображение, даваемое телескопом, рассматривать в микроскоп и получать тем самым увеличение в 100 000 раз. Почему же на практике астрономы не пользуются такой простой рекомендацией? 6. Для чего изготавливаются телескопы с большими диаметрами, несмотря на сложности и дороговизну их изготовления и эксплуатации? 7. Диаметр диафрагмы уменьшили в 4 раза. Как надо изменить выдержку, чтобы освещенность фотопленки осталась без изменений? 8. Каков принцип действия кинопроектора? В Примеры решения задач Задача 1. Увеличение микроскопа равно 400. Определите фокусное расстояние объектива, если фокусное расстояние окуляра 2,5 см, а длина тубуса 20 см. Решение. Воспользуемся формулой увеличения микроскопа (46.2). Из этой формулы следует, что do А fоб yfo Для нормального глаза расстояние наилучшего зрения do = 0,25 м. Тогда /об ~ 0,2-0,25 400-0,025 м = 0,005 м. Задача 2. Фокусное расстояние объектива микроскопа равно 2 мм, а окуляра — 5 мм. Расстояние между объективом и окуляром составляет 20 см. Каково увеличение микроскопа для наблюдателя, расстояние наилучшего зрения которого равно 20 см? Решение. Воспользовавшись формулой для увеличения микроскопа, получим /об/ок Задача 3. Фокусное расстояние объектива телескопа равно 200 см, окуляра — 10 см. Под каким углом виден диаметр лунного диска при наблюдении в этот телескоп? Угловой диаметр Лупы при наблюдении невооруженным глазом равен 30'. 181 Решение. Угловое увеличение, даваемое телескопом, определяется соотношением у = Лоб/^ок* Используя эту формулу, получаем, что угловой диаметр Луны равен 10°. ■ Задачи для самостоятельного решения 46.1. Определите оптическую силу лупы, дающей шестикратное увеличение. 46.2. Увеличение микроскопа у =500. Определите оптическую силу объектива, если фокусное расстояние окуляра равно 5 см, а длина тубуса — 20 см. 46.3. Фокусное расстояние лупы 5 см. Каково увеличение, даваемое этой лупой? 46.4. Фокусное расстояние окуляра телескопа 2,5 см, телескоп дает сорокакратное увеличение. Определите оптическую силу объектива. 46.5. В трубе Галилея (например, в театральном бинокле) объективом служит длиннофокусная собирающая линза, окуляром — короткофокусная рассеивающая линза. Задний мнимый фокус окуляра совпадает с задним фокусом объектива. Начертите ход лучей в этой системе и определите угловое увеличение трубы. 46.6. Вычислите наименьшее расстояние между двумя точками на Луне, которые видны раздельно в телескоп с зеркалом диаметром 3 м. Расстояние от Земли до Луны считайте равным 380 000 км. 46.7. Каковы размеры предмета, который может уверенно различить на Земле космонавт, пользуясь оптической трубой с объективом диаметром 20 см? Спутник находится на высоте 300 км над поверхностью Земли. 46.8. Лучшие спринтеры пробегают стометровку примерно за 10 с. Какая экспозиция допустима при фотографировании бегуна, если на негативе размытие изображения не должно превышать 0,5 мм? Фотографирование производится с расстояния 10 м, оптическая сила объектива фотоаппарата 20 дптр. 46.9. С помощью фотоаппарата с объективом, оптическая сила которого 12 дптр, фотографируют предмет, находящийся на дне водоема глубиной 2 м. Каково расстояние между центром объектива и пленкой? Во сколько раз изображение меньше предмета? Сравните со случаем, когда предмет находится в воздухе. Считайте, что объектив располагается вблизи поверхности воды. 46.10. На экран, расположенный на расстоянии 3 м от объектива проектора, имеющего оптическую силу 8 дптр, проецируется кадр диафильма размером 22х 17 мм. Каков размер изображения на экране? Какова должна быть освещенность кадра, если освещенность изображения на экране должна быть не менее 50 лк? Потерями света пренебречь. 46.11. Труба Кеплера наведена на Солнце. Фокусное расстояние объектива равно 50 см, окуляра — 5 см. На расстоянии 15 см от окуляра расположен экран. При каком расстоянии между объективом и окуляром на экране получится четкое изображение Солнца? Чему равен диаметр этого изображения? Угловой диаметр Солнца а = 30'. Глава 5 Элементы теории относительности § 47. Предельность и абсолютность скорости света Электромагнитное поле и принцип относительности. Вспомним замечательные экспериментальные факты: поворот магнитной стрелки вблизи провода, по которому протекает электрический ток (опыты Эрстеда, 1820 г.), и взаимодействие проводов с током (эксперименты А. Ампера, 1820— 1823 гг.). Их теоретическое объяснение, как известно, основано на представлении о магнитном поле. Согласно этому представлению электрический ток или движущиеся заряды являются источником магнитного поля, которое экспериментально обнаруживается по его действию на другой ток, или движущийся заряд, или магнитную стрелку. Покоящийся заряд связан с электростатическим полем, движущийся заряд — с электромагнитным полем. Это значит, что поля покоящихся и движущихся зарядов, в частности движущихся равномерно и прямолинейно, не равноценны. Если обратиться к классическому принципу относительности, то мы здесь приходим к противоречию. Действительно, рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и Kq, причем последняя связана с движущимся равномерно и прямолинейно зарядом (рис. 5.1). Согласно принципу относительности мы уверены в их механическом равноправии. Но кажется сомнительной симметрия систем отсчета К и Kq в отношении электромагнитных явлении, так как в системе отсчета К есть, кроме электриче- у ского, еще и магнитное поле. Эфир и опыт Майкельсона. Экспериментально установлено, что магнитное поле возникает при движении заряда в вакууме. В XIX веке пытались понять это явление как механический процесс, и q ученым представлялось разумным и естественным выдвинуть гипотезу о существовании особой материальной среды, названной эфиром, которая заполняет все простран- \/ Электрическое поле Ол Электромагнитное поле Рис. 5.1 183 ство (в том числе и физические тела). Впервые эту гипотезу выдвинул в 1678 г. Гюйгенс, рассматривая эфир как среду, в которой распространяются световые волны подобно звуковым волнам в упругих средах. Асимметрия в состоянии покоя и движения заряда должна проявляться во взаимодействии движущегося заряда с эфиром, если считать последний неподвижным, не увлекаемым движущимися телами. Предполагали, что вследствие этого взаимодействия и возникает магнитное поле. Однако от такого классически понятного объяснения происхождения электромагнетизма пришлось отказаться после экспериментов американских физиков Альберта Майкельсо-на и Эдварда Морли (1881 и 1887 гг.). В эксперименте Майкельсона — Морли на массивной каменной плите, плавающей в ртути, монтировался специальный интерферометр. Свет от монохроматического точечного источника попадал на полупрозрачную пластину и разделялся на два когерентных пучка со взаимно перпендикулярными направлениями. После отражения от зеркал, установленных на плите на определенных расстояниях, оба пучка попадали в зрительную трубу, где наблюдалась интерференционная картина. Несимметричность обоих направлений распространения света — одно параллельно орбитальной скорости Земли, другое ей перпендикулярно — должна была согласно гипотезе неподвижного эфира повлиять на картину интерференции, если повернуть интерферометр на 90°. Иными словами, «эфирный ветер», дующий в земной лаборатории навстречу орбитальному движению Земли, должен был оказывать различное действие на каждый из световых пучков. Однако наблюдаемая картина интерференции не выявила различий в условиях прохождения света. В рамках эфирной гипотезы этот экспериментальный факт Майкельсон истолковал как ошибочность представления о неподвижности эфира (если он вообще реально существует). Но попытки ввести идею «увлечения эфира» движущимися телами также привели к противоречию с экспериментом. Гипотеза об эфире — мировой среде, определяющей протекание электромагнитных (в частности, оптических) процессов и эффективно проявляющейся в ее воздействии на движущиеся тела, в том числе на измерительные инструменты — часы и линейки, оказалась в целом несостоятельной. Конечность и предельность скорости света. По теории электромагнетизма свет представляет собой электромагнитную волну. Экспериментально установлено, что свет может распространяться в вакууме. Скорость света была измерена многими физиками с использованием различных лабораторных методов и все более точной аппаратуры. Основные выводы из всех этих экспериментов таковы: скорость света в вакууме конечна (т. е. свет распространяет- 184 Рис. 5.2 ся не мгновенно) и приблизительно равна 3,0 • 10® м/с; она значительно превосходит скорости макротел, известные физикам. В экспериментах никогда не наблюдались движения других материальных объектов со скоростью, равной или превосходящей это значение. Абсолютна или относительна скорость света? Одинакова ли она во всех инерциальных системах отсчета или различна? Зависит ли скорость света от скорости движения источника или от скорости движения наблюдателя (измерительной аппаратуры)? Концепция классической механики о движении не допускает возможности абсолютной скорости у материальных объектов. Так, по классическому закону сложения скоростей V = V' V, где v' и V — скорости частицы соответственно в инерциальных системах отсчета К' и К; V— скорость одной из систем отсчета относительно другой (рис. 5.2). По этому закону равенство v = v\ т. е. одинаковость скорости частицы в разных системах отсчета, исключается, так как V — конечная величина, не равная нулю. Формально v = v' было бы возможно, если бы это были бесконечно большие величины, но скорость света конечна, и это экспериментальный факт. Если бы скорость света была относительна и подчинялась классическому закону сложения скоростей, то существовал бы в вакууме свет медленный и быстрый — свет от источников, по-разному движущихся в данной системе отсчета. Но экспериментально установлено, что свет распространяется в вакууме только с одной скоростью, каковы бы ни были его источники — земные или космические, движущиеся или находящиеся в покое относительно лаборатории (измерительного прибора). Таким образом, следует признать твердо установленным экспериментальным фактом конечность и абсолютность (инвариантность) скорости света в вакууме. Но как теоретически объяснить этот факт и понять его? На основе представлений классической механики (ее концепции о пространстве, времени и движении) сделать это невозможно. Другие опытные основания теории относительности. Однако не только экспериментальные факты электромагнетизма и оптики не удалось теоретически осмыслить и объяснить 185 в рамках понятий о движении, постулируемых классической механикой. Обнаружено, что время существования (от рождения до распада) движущейся элементарной частицы больше времени жизни такой же покоящейся частицы. Понять этот результат с классических позиций нельзя, так как одним из фундаментальных положений классической механики являг ется постулат абсолютности времени. Эксперименты с элементарными частицами явно ему противоречат. В экспериментах по ускорению элементарных частиц (электронов, протонов) на мощных современных ускорителях не удается разогнать частицы до световой скорости (и тем более сверхсветовой), несмотря на значительные затраты энергии. Почему? Ведь согласно классической механике для ускорения, например, электрона массой m = 9 • 10”^^ кг до скорости V = с = 3 • 10® м/с достаточно энергии = mv^/2 = = 4,1 • Дж = 0,25 МэВ. А ведь на некоторых линейных ускорителях электроны получают энергию 50 ГэВ, что в 200 000 раз больше! Но и при этих энергиях электроны не могут достичь скорости, большей или хотя бы равной скорости света в вакууме. Установлено, что суммарная масса системы исходных элементарных частиц (до их столкновения) не равна суммарной массе системы новых частиц, образовавшихся после столкновения. Такие процессы нельзя описать в понятиях и закономерностях классической механики, в которой масса системы частиц тождественно равна их суммарной массе. При ядерных реакциях выделяется колоссальная энергия. Понять и рассчитать такой энергетический выход ядерных реакций посредством классических законов сохранения импульса, энергии и массы оказалось невозможным. Подведем итоги. Экспериментальные результаты протекания различных физических явлений от электромагнетизма и оптики до ядерной физики и физики элементарных частиц не удается теоретически понять, объяснить и описать в рамках постулатов и законов классической механики, относящихся в конечном счете к ее фундаментальным понятиям о пространстве, времени и движении. Потребовалось отказаться от представления, будто бы классическая (иначе ньютоновская) механика пригодна для объяснения всех физических явлений. Оказалось, что есть границы ее применимости, за пределами которых нужны новые идеи. Н Вопросы. 1. Какие трудности возникают при применении принципа относительности в электродинамике? 2. Что показал опыт Майкель-сона? 3. Каковы противоречия между классическим законом сложения скоростей и данными о скорости света? 4. Почему ньютоновская механика неприменима к описанию ядерных реакций и превращений элементарных частиц? 186 А. Эйнштейн § 48. Постулаты специальной теории относительности Новая в сравнении с классической теоретическая концепция пространства, времени и движения была разработана Альбертом Эйнштейном (1905) и названа им специальной (частной) теорией относительности (СТО). Значительный вклад в становление и развитие идей СТО внесли X. Лоренц, А. Пуанкаре, Г. Минковский. Основу ее составляет ряд понятий и постулатов. В качестве фундаментальных традиционно выделяются два ее постулата: принцип относительности и постулат абсолютной скорости. Принцип относительности. Принцип относительности был впервые сформулирован для механики Г. Галилеем (середина XVII в.). Он был принят в качестве постулата и в специальной теории относительности, но в более общем виде, как утверждение, относящееся не только к механическим явлениям, но и к электромагнитным, оптическим, ядерным. В специальной теории относительности принцип относительности гласит: все инерциальные системы отсчета (ИСО) физически равноправны — любой физический процесс протекает в них одинаково (при одних и тех же начальных условиях). Из определения инерциальной системы отсчета и принципа относительности следует, что любая система отсчета, которая движется относительно инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно, также является инерциальной. Инерциальные системы отсчета ничем не отличаются друг от друга, они полностью физически тождественны. Любую из них, в частности, можно принять за неподвижную, тогда другие будут двигаться относительно нее с различными постоянными по модулю и направлению скоростями. Принцип относительности также означает, что какие бы физические опыты ни были поставлены в данной инерциальной системе отсчета, они дадут совершенно такие же результаты в любой другой инерциальной системе (при одинаковой постановке опытов). Значит, нельзя по результатам этих опытов определить, покоится ли данная инерциальная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно. Не существует абсолютно покоящейся инерциальной системы отсчета или абсолютно равномерно и прямолинейно движущейся, речь может идти только о движении или покое относительно другой системы отсчета. Экспериментальным обоснованием принципа относительности в области оптики можно считать результаты опытов 187 Майкельсона — Морли, в области электромагнетизма — результаты опытов с различными электромагнитными явлениями, в области ядерной физики — результаты экспериментов с ядерными реакциями. Постулат абсолютной скорости. Постулат абсолютной скорости утверждает: в природе существует предельная ско^' рость распространения любых взаимодействий: абсолютная (инвариантная) по модулю, она имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. Эта абсолютная и предельная скорость называется релятивистской постоянной и обозначается буквой с. Абсолютная скорость равна модулю скорости света в вакууме, которая не зависит ни от скорости движения источника света, ни от выбора инерциальной системы отсчета. Независимость скорости света от скорости его источника подтверждается наблюдениями за двойными звездами, а также прямыми измерениями. Приведем лишь два примера. В. де Ситтер в 1913 г. наблюдал движение двойных звезд. Здесь две звезды вращаются вокруг общего центра масс, в момент излучения света вектор скорости одной из них направлен к наблюдателю, а другой — в противоположную сторону. Если бы скорость света зависела от скорости звезд, то из-за значительной удаленности двойной звезды от Земли различие в скорости распространения света от каждой звезды привело бы к оптическим искажениям истинной картины движения этих звезд в поле зрения телескопа, чего де Ситтер не обнаружил. А. М. Бонч-Бруевич в 1955 г. измерял скорости двух световых волн, идущих соответственно от диаметрально противоположных точек края солнечного диска. Из-за вращения Солнца вокруг своей оси эти точки имеют линейную скорость около 2 км/с; одна из них удаляется от наблюдателя, другая — приближается к нему. В пределах достаточно высокой точности измерений скорости обеих световых волн оказались одинаковыми. Основные понятия. В специальной теории относительности используются понятия «событие» и «инерциальная система отсчета». Событие определяется как физическое явление, происходящее в какой-либо пространственной точке в некоторый момент времени в избранной системе отсчета. Событие характеризуется, таким образом, своим физическим содержанием, местом и временем. Заметим, что так определенное событие — теоретическое понятие. Реальные события происходят в конечной пространственной области и за конечный промежуток времени. Только в случае достаточной малости последних реальное событие можно моделировать идеальным (точечным) событием. Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка либо покоится, либо 188 движется равномерно и прямолинейно. Инерциальная система отсчета — идеальный объект. Реальные системы отсчета лишь приблизительно в большей или меньшей степени соответствуют свойствам инерциальной системы отсчета. Инерциальной (с определенным приближением) является реальная система отсчета, у которой в качестве тела отсчета выбран центр Солнца. Исследовательская задача СТО. Сформулируем исследовательскую задачу специальной теории относительности: на основе постулатов и вытекающей из них новой концепции пространства, времени и движения теоретически объяснить и описать экспериментальные факты электромагнетизма, оптики, механики, ядерной физики, т. е. те физические явления, понять которые на основе представлений классической механики о движении, пространстве и времени оказалось невозможным. В Вопросы. 1. Как формулируется принцип относительности? 2. Какая система отсчета называется инерциальной? 3. Что означает равноправие всех ИСО? 4. Как формулируется принцип абсолютной (инвариантной) скорости? 5. Известна ли вам какая-либо инвариантная скорость? Чему она равна? § 49*. Пространство — время в специальной теории относительности Релятивистский закон преобразования скорости. В классической механике закон преобразования скорости частицы (менее точно закон сложения скоростей) имеет вид v = v' + V. (49.1) Здесь р' и и — скорости данной частицы соответственно в инерциальных системах отсчета К' и К; V — относительная скорость этих систем отсчета (см. рис. 5.2). Выражение (49.1) справедливо, если векторы и, и' и V имеют одинаковые направления (например, вдоль оси абсцисс). Постулат специальной теории относительности об абсолютной скорости требует, чтобы при v' = с было v = с (так как с — абсолютная для всех инерциальных систем отсчета величина). Но из соотношения (49.1) следует: если и'= с, то V = с + V Ф с (при любом конечном значении V). Так как классический закон преобразования скорости противоречит второму постулату специальной теории относительности, то возникает задача нахождения нового закона преобразования скорости — релятивистского (от англ, relativity — относительность), т. е. согласующегося со специальной теорией относительности. 189 Согласно постулату специальной теории относительности об абсолютной скорости модуль относительной скорости V инерциальных систем отсчета удовлетворяет условию: V О и у не зависит от модуля и направления скорости частицы. Так как системы отсчета К и К' согласно принципу относительности равноправны, то у может зависеть только от модуля их относительной скорости V. Поэтому обратные выражениям (49.6) соотношения, соответствующие переходу от К' к К, должны быть такими: JАх' = у (Аде - VAt), [Ait'= у (Ai + FAx/c^ ), ( 9 ) что соответствует релятивистской формуле (49.5). После подстановки соотношений (49.7) в соотношения (49.6) получим (49.8) у = l/Vl- FVc2 Соотношения (49.6) и (49.7) при значении у, соответствующем выражению (49.8), А. Эйнштейн обобщил для любых пар событий, а не только связанных с движением частицы. Если учесть, что относительного движения систем отсчета К и К' вдоль осей координат OY и OZ нет, то Ау = Ау', Az = Az', что согласуется с соотношениями (49.6) и (49.7) при F= 0. 191 Таким образом, если имеется пара событий, для которой в инерциальных системах отсчета К и К' разности пространственных координат и моментов времени соответственно (Дл:, Ау, Д2, ДО, (Дл:', Ау\ Az\ Д^')> то согласно соотношениям (49.6) — (49.8) Ах = At = Лл:' + Vlsi' yjl-V^/c^ At' + VAX' I Vl- V^lc^ , Ay = Ay', Az = Az', (49.9) Соотношения (49.9) называются преобразованиями Лоренца. Они представляют собой математическое выражение постулатов специальной теории относительности. Относительность одновременности событий. Из преобразований Лоренца (49.9) следует, что Д^ Ф At'. В частности, если Д^' = О, то Д^ Ф 0. Это означает относительность одновременности событий', события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, будут неодновременными в другой инерциальной системе отсчета. Относительность одновременности разноместных событий означает отсутствие абсолютного времени для всех инерциальных систем отсчета. Согласно принципу относительности в любой инерциальной системе отсчета время течет совершенно так же, как и в каждой из совокупности инерциальных систем отсчета. Однако единого для всех инерциальных систем отсчета абсолютного времени не существует. Связь между собственным и координатным временем. Под собственным временем Tq понимается промежуток времени, разделяющий события в той инерциальной системе отсчета, где они совершаются в одной пространственной точке. События, непосредственно относящиеся к какой-либо частице, очевидно, одноместны с ней; они происходят в одной и той же пространственной точке системы отсчета, в которой частица покоится. В другой системе частица движется с той же или иной скоростью и названные события уже совершаются в разных пространственных точках. Промежуток времени между ними определяется здесь как координатное время X. Из-за относительности скорости частицы ее координатное время X, равное времени движения, различно в разных системах отсчета при одном и том же собственном времени Tq. Таким образом, различие координатного и собственного времени состоит в том, что координатное время относительно, а собственное время частицы абсолютно (инвариантно ). Если в системе отсчета К' частица покоится, то для пары связанных с ней событий Ах' = 0, At' = Tq. Тогда в системе от- 192 счета Ку относительно которой частица движется со скоростью V = Vy для той же пары событий Ajc О, Ai = т и согласно преобразованиям Лоренца -^0 О К X = yll-V^/t (49.10) ////// 7 / /■/777'7'У 7”77 ~/ / / / / R = vx Эта релятивистская формула выражает связь собст- Рис. 5.3 венного времени частицы и соответствующего ему координатного времени (времени движения частицы со скоростью v = const в заданной инерциальной системе отсчета). Согласно этой формуле х > Xq, т. е. время движения частицы в какой-либо инерциальной системе отсчета со скоростью V < с от «старта» до «финиша», определяемое часами данной системы отсчета, больше собственного времени, соответствующего тем же событиям («старту» и «финишу») и измеряемого часами, связанными с самой частицей (рис. 5.3). К эмпирическому подтверждению соотношения (49.10) относится упоминавшееся в § 47 явление, в котором обнаруживается различие между временем существования движущейся элементарной частицы и ее собственным временем жизни. Так, для л-мезона (пиона) собственное время жизни равно Xq = 2,5 • 10“® с. При движении со скоростью у ~ с (близкой к скорости света) я-мезон пролетел бы за время Xq расстояние ^0 = 3 ■ 10® • 2,5 • 10~® м = 7,5 м. Но в лабораторных ис- следованиях на ускорителях элементарных частиц установлено, что я-мезон пролетает (не распадаясь, т. е. не прекращая своего существования) значительно большие расстояния (R ^ i?o), что соответствует времени движения: X = R/V > R^)/v = Xq. Прямые эксперименты по проверке релятивистского соотношения (49.10) были поставлены в 70-х гг. группой американских физиков. В них были использованы атомные часы с точностью хода порядка 10"® с. Одни часы оставались в лаборатории, а другие отправлялись в длительные путешествия на самолетах. На заключительном этапе опыта показания всех часов вновь сравнивались в лаборатории. Результаты экспериментов подтвердили прогноз теории относительности. Интервал. Пространство — время. Соотношение (49.10) является следствием постулатов специальной теории относительности. Но оно само нуждается в объяснении: необходимо понять, почему возникает различие между х и Xq. Ведь по принципу относительности время во всех инерциальных 13 ' А. Л. Пинский 11 кл. 193 системах отсчета течет одинаково, часы всех этих систем отсчета идут в одном и том же темпе. Анализируя содержание специальной теории относительности, Г. Минковский (1908) обнаружил фундаментальную релятивистскую идею, фокусирующую всю концепцию специальной теории относительности. Подойдем к этой идее следующим образом. Из соотношения (49.10) находим: - R^, где R = их — расстоя- ние, на которое переместится частица при своем движении со скоростью V в системе отсчета К за время х. Так как предельная скорость с и собственное время Tq инвариантны, то величина S = cXq = inv, и поэтому g2 _ ^2.^2 _ р2 ^ Инвариантную (абсолютную) величину = д/с^х^ - R^ = inv (49.11) называют интервалом. Г. Минковский показал, что абсолютность пространственно-временного интервала имеет место для любых событий, а не только связанных с движением частицы. Отсюда следуют два важных вывода. Во-первых, величины х тл R (соответственно координатное время и расстояние для определенной пары событий) относительны, т. е. их значения зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Во-вторых, относительность величин х w. R есть следствие абсолютности составленной из них пространственно-временной величины S = yjc^x^ — R^ , т. е. следствие инвариантности интервала. Таким образом, специальная теория относительности устанавливает универсальную связь пространства и времени: они образуют единое абсолютное пространство — время. Его составляющие — отдельно пространство и отдельно время — относительны в силу абсолютности этой новой сущности: пространства-времени. Н Вопросы. 1. Почему классический закон сложения скоростей противоречит специальной теории относительности? 2. Как объяснить согласно постулатам теории относительности, что свойство частиц иметь скорость в области значений только vV(2c2), Vl-y2/c2 ТО из формулы (50.7) в таком приближении у получим Е ~ тс^ + mv^ 12. (50.9) Так как собственная энергия частицы тс^ = const, то, во-первых, заключаем, что релятивистская энергия Е частицы складывается из ее собственной энергии (независимой ^ Точное выражение определяется следующей математической фор- мулой: (1±лг) 2 1—1 1*3 =1+ ±х + -- 2 2-4 ^ 1-3-5 . Т-------X' 2 • 4 • 6 где <§С 1. 198 от скорости движения) и энергии, определяемой движением частицы. Во-вторых, слагаемое mv^/2 в соотношении (50.9) представляет собой известное классическое выражение кинетической энергии, и оно появляется здесь только при соответ-ствующем условии: v с. Таким образом, можно сделать вывод о том, что релятивистская энергия Е частицы при любом значении ее модуля скорости V < с складывается из собственной энергии частицы Eq = тс^ и релятивистской кинетической энергии Е^: Е = тс^ + Е^. (50.10) Тогда из соотношений (50.7) и (50.10) получим следующее определение релятивистской кинетической энергии массовой частицы: Е, = {у-1)тс\ (50.11) которое в приближении малых скоростей частицы, соответствующем принятому выше значению у> совпадает с классическим выражением mv^/2. Эксперименты с элементарными частицами и атомными ядрами показали, что при релятивистских скоростях частиц (т. е. скоростях, сравнимых с предельной скоростью с) приближенное равенство (50.9) перестает выполняться и оказываются справедливыми именно соотношения (50.10) и (50.11). При v^c величина уи согласно формуле (50.11) оо (заметим, в отличие от классического выражения кинетической энергии, которая при v ^ с остается конечной: Е^^ < со). Поэтому при ускорении скорость массовой частицы не может достигнуть значения скорости света — она оказывается для таких частиц недостижимой, или иначе — предельной. Масса частицы. Согласно соотношению (50.4) массу частицы можно выразить через релятивистские энергию и импульс посредством формулы т (50.12) из которой при Е = ср следует: т = 0, что согласуется с выражением (50.1), и m о при Е > ср. В случае Е < ср масса становится комплексной величиной, и потому он исключается, если ограничиться понятием о массе как о действительной величине. Такое понятие оказывается достаточным для теоретического описания и объяснения известных современной физике экспериментальных фактов. Если частица покоится (р = 0), то из выражения (50.12) получим определение массы частицы через ее собственную энергию: m = EJc^. (50.13) 199 в соотношениях (50.12) и (50.13) содержится одно и то же значение массы т частицы, что соответствует условию: т = const = inv. Понятие массы в релятивистской динамике, основанное на определениях [см. формулы (50.12) и (50.13)], значительно отличается от понятия массы в ньютоновой динамике, так как в последней вообще нет понятий собственной энергии Eq и энергии Е = Eq-\- Ef,, а также отсутствует понятие безмассо-вой частицы. В этом отношении, конечно, нет соответствия между релятивистской и классической механикой. Принцип соответствия. Вместе с тем для релятивистской динамики выполняется принцип соответствия с ньютоновой динамикой: при малых скоростях движения частиц {V с) формулы релятивистских кинетической энергии и импульса принимают форму соответствующих классических выражений. Поэтому в предметной области механических явлений при у X' i = l Избыток массы такой системы равен: П Ат = М - ^ i m, (52.7) i = 1 Теперь из соотношений (52.6) и (52.7) получаем, что избыток массы системы взаимодействующих частиц определяется ее собственной кинетической энергией, т. е. Ат = E^q/c'^. (52.8) Релятивистская формула (52.8) выражает собой принципиально новый по сравнению с классической механикой результат: энергия совокупного относительного движения частиц в системе отсчета их центра масс — собственная кинетическая энергия — служит источником дополнительной массы Ат, прибавляемой к суммарной массе Z т^ частиц таким образом, что масса системы частиц определяется соотношением М = ^mi Am. (52.9) Примером системы невзаимодействующих частиц является идеальный газ. При его нагревании масса М газа согласно релятивистским формулам (52.8) и (52.9) должна увеличиваться, так как в процессе нагревания за счет притока энергии извне увеличивается собственная кинетическая энергия частиц газа. Однако зафиксировать этот эффект экспериментально весьма трудно из-за его незначительности при скоростях частиц газа v с. 207 Масса и энергия системы взаимодействующих частиц. При взаимодействиях в замкнутой системе элементарных частиц масса системы частиц не изменяется. Изменение суммы масс частиц в связи с возникновением одних частиц и уничтожением других определяется изменением собственной кинетической энергии системы частиц согласно соотношению (52.6): (52.10) Согласно этой формуле прирост суммарной массы частиц происходит за счет убыли их собственной кинетической энергии. Таким образом, например, оказывается возможным превращение двух движущихся навстречу друг другу протонов в три протона и один антипротон путем рождения пары протон-антипротон. Иными словами, собственная кинетическая энергия системы частиц является энергетическим источником рождения новых частиц. Если частицы находятся в достаточно малой области пространства, в которой они взаимодействуют силами притяжения, то такая совокупность частиц называется системой связанных частиц. Собственная энергия Eq системы взаимодействующих частиц складывается из суммарной собственной Л энергии частиц с^^т^, собственной кинетической энергии j = i Ef^Q и энергии взаимодействия Wq частиц (определяемой в системе отсчета центра масс): Е^ = с'^^т^-^Е^о+^о- (52.11) i = 1 Энергия взаимодействия частиц Wq < 0, поскольку она количественно равна затратам энергии, которую необходимо сообщить частицам системы, чтобы они удалились друг от друга на расстояние, выходящее за пределы локальной области взаимодействия частиц. Вне этой области частицы образуют систему свободных частиц. Значение собственной кинетической энергии системы связанных частиц должно, очевидно, удовлетворять условию: (52.12) или, иначе. ^кО I ^0 1* в противном случае, т. е. при Е^о + > 0» выражение (52.11) равноценно соотношению типа (52.2), характерного для системы свободных частиц. Это значит, что при E^q > I Wq I система связанных частиц неустойчива и самопроизвольно распадается на систему свободных частиц. Поэтому соотношение (52.12) представляет собой условие существования устойчивой системы связанных частиц, не способной к самораспаду. 208 Если выполняется условие: ® выражении (52.11) можно пренебречь слагаемым Ef^Q. После подстановки выражения (52.11) в формулу (51.7) с учетом того, что < О, получим (52.13) i = 1 Согласно соотноы1ению (52.13) масса М устойчивой системы связанных частиц меньше суммы масс частиц. Такая система частиц характеризуется дефектом (недостачей) массы Ат: Ат = - М. (52.14) i = l Из формулы (52.13) следует, что дефект массы связанной системы частиц определяется собственной энергией взаимодействия частиц: Ат = \W^\/c^. (52.15) Величина | Wq \ называется энергией связи частиц: £o. = |W"ol- (52.16) Тогда из соотношений (52.15) и (52.16) получим релятивистскую формулу для вычисления энергии связи системы взаимодействующих частиц по известному дефекту массы: Е,, = с^Ат. (52.17) Так как согласно формуле (52.14) Ат = inv, то из формул (52.15) и (52.16) следует, что энергия связи системы частиц — величина инвариантная: Е^^ = inv. Фундаментальный закон взаимосвязи массы и энергии. Релятивистские формулы (50.2), (51.7), (51.8), (52.8), (52.15) представляют собой частные выражения общего закона о взаимосвязи массы и собственной энергии. Этот фундаментальный закон устанавливает связь собственной энергии Eq любой системы с массой т системы: Еп = тс^. (52.18) Из закона (52.18) взаимосвязи массы и собственной энергии системы следует, что не может существовать собственная энергия, не связанная с массой системы, и не может существовать масса системы вне связи с инвариантной собственной энергией. Экспериментальные факты, подтверждающие релятивистскую механику. Полученные выше результаты являются следствием специальной теории относительности — релятивистской концепции о пространстве, времени и движении. Они представляют собой прогноз релятивистской механики. Реализуется ли он в физическом мире? 14 — л. А. Пинский 11 кл. 209 Прежде всего назовем современные ускорители частиц. В них удается разогнать частицы до скорости, очень близкой к предельной, — скорости света в вакууме. Проектирование ускорителей (расчет требуемой для разгона частиц энергии) производится на основе релятивистских формул (50.6) — (50.8). Достигаемая частицами скорость, их энергия и импульс соответствуют расчетным значениям. В процессах столкновений различных элементарных частиц, сопровождаемых их взаимопревращениями, а также при ядерных реакциях подтверждаются законы сохранения релятивистских энергии и импульса, фундаментальное соотношение (50.4). У атомных ядер экспериментально обнаружен дефект массы и соответствующая ему энергия связи. Расщепление тяжелых ядер и синтез легких ядер приводит к высвобождению этой энергии (цепные ядерные реакции, ядерные взрывы). Расчеты значений выделяемой энергии по релятивистской формуле (52.17) полностью экспериментально подтверждаются (см. гл. 8). Фундаментальная роль специальной теории относительности в современной физике. Специальная теория относительности — весьма общая теория, так как ее основу составляют фундаментальные для всей физики понятия пространства и времени. Вне таких понятий не может быть сформулирован ни один физический закон. Они входят в состав каждой теории физики, описывающей и объясняющей определенную предметную область реального физического мира. Релятивистская концепция пространства-времени вместе с квантовыми идеями служит фундаментом значительного класса теорий, созданных в XX столетии и называемых релятивистскими и квантовыми. Они включают электродинамику, оптику, ядерную физику, теории элементарных частиц. Область предметных приложений специальной теории относительности охватывает различные физические явления в предельно большом диапазоне: от микро- и макромира до мегамира — Вселенной в целом. Специальная теория относительности выполняет в современной физике синтезирующую и конструктивную функции, служит инструментом для проникновения в области неизвестного, стимулируя прогресс физического познания. Без нее невозможно поставить и решить ни одну значительную проблему в современных экспериментальных и теоретических исследованиях физики. Ш Вопросы. 1. Что называется собственной кинетической энергией системы частиц? 2. Зависит ли значение собственной кинетической энергии системы частиц от выбора системы отсчета? 3. Как связаны масса системы невзаимодействующих частиц с суммой масс частиц? Какая из этих величин больше? 4. Что такое избыток массы системы невзаимодействующих частиц? Как он определяется через собственную кинетическую 210 энергию такой системы частиц? 5. Каково условие существования устойчивой системы связанных частиц? 6. Что такое дефект массы? 7. Как связан дефект массы с энергией связи? 8. Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. 9. Какими экспериментальными фактами подтверждаются законы и соотношения релятивистской механики? 10. В чем заключается фундаментальная роль специальной теории относительности в современной физике? ■ Пример решения задачи Задача. Две частицы массами соответственно т и 2т движутся в лабораторной системе отсчета навстречу друг другу со скоростью v каждая. Определите избыток массы этой системы частиц и ее собственную кинетическую энергию. Какова масса новой частицы, образовавшейся после неупругого соударения исходных частиц? Принять = 0,9с^. Решение. Масса системы свободных частиц определяется соотношением М = {1/с^) -рс^, (1) где Е =^Ei — суммарная энергия системы свободных частиц, а р = I — ее суммарный импульс. По условию задачи: Е = Ел + Еу = утс^ + 2утс^ = Зутс^, (2) р = Pi + Р2 = 2ymv - ути = ymv, у = = i/vi-0,9 = i/Voa = VTo. Подставив эти значения в соотношение (1), получим М = ут jc^ = т УТО • ^8,1 = т = 9m. Избыток массы системы частиц составляет: Дт = М - = 6т, и ее собственная кинетическая энергия равна: E/^q = Amc^ = бтс^. Если в результате неупругого соударения данные частицы прекращают свое существование и образуется новая (и единственная) частица, то ее масса окажется равной М = 9т. ■ Задачи для самостоятельного решения 52.1. Определите массу и собственную кинетическую энергию совокупности двух одинаковых свободных частиц массой т каждая в случае, если в лабораторной системе отсчета: а) одна частица — снаряд — движется со скоростью V/, а другая частица — мишень — покоится; б) обе частицы движутся навстречу друг другу с равными скоростями v. 52.2. На сколько увеличилась масса водорода, если его нагрели при постоянном объеме от 0 до 500 °С? Масса водорода при 0 °С равна 20 кг. 52.3. На 1 м^ поверхности, перпендикулярной направлению солнечных лучей около Земли, но вне ее атмосферы, ежесекундно приходит излучение от Солнца энергией примерно 1,4 кДж. Какую массу в 1 с теряет Солнце за счет излучения? Расстояние от Солнца до Земли около 1,5 • 10® км. 14* 211 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Глава 6 Световые кванты § 53. Возникновение учения о квантах в предыдущей главе были рассмотрены трудности, возникшие при описании движения тел с релятивистскими скоростями, и показаны пути решения этой проблемы. Однако это была не единственная проблема, с которой столкнулась физика в начале XX в. Оказалось, что на основе законов классической физики невозможно объяснить строение атома, происхождение линейчатых спектров, закономерности испускания и поглощения электромагнитного излучения нагретыми телами, явления фотоэффекта, люминесценции и т. п. Все это вместе создало ситуацию, которая была названа кризисом классической физики. Разрешить этот кризис удалось путем создания теории относительности и квантовой теории — двух фундаментальных теорий, возникших в начале XX в. Исторически квантовая теория возникла в процессе установления закономерностей теплового излучения, к рассмотрению которых мы и переходим. Тепловое излучение. Излучение, испускаемое нагретыми телами, называется тепловым. При этом не следует думать, что тепловое излучение возникает только при высоких температурах, Оно происходит и при комнатной температуре. Разница лишь в том, что по мере понижения температуры уменьшается интенсивность излучения и изменяется его спектральный состав. Излучение в области видимого света начинается при температуре порядка 800 °С. Каждое тело может не только испускать, но и поглощать тепловое излучение. Опыты показали, что чем большую энергию тело излучает при некоторой постоянной температуре, тем сильнее оно поглощает излучение такого же спектрального состава при той же температуре. 212 Рис. 6.1 Тело, которое при любой не разрушающей его температуре полностью поглощает всю энергию падающего на него света любой частоты, называется абсолютно черным телом. Хорошей моделью черного тела является небольшое отверстие в ящике сферической формы (рис. 6.1). Свет, попадающий через отверстие внутрь ящика, будет многократно отражаться от стенок, прежде чем сможет выйти наружу. При каждом отражении свет, независимо от материала стенок, частично поглощается. В результате многократных отражений внутри ящика излучение практически полностью поглощается, и отверстие снаружи кажется совершенно черным. Черный бархат, черная бумага близки по оптическим свойствам к абсолютно черному телу. При одной и той же температуре абсолютно черное тело испускает в единицу времени с поверхности единичной площади больше энергии электромагнитного излучения, чем любое другое тело. В этом можно убедиться на простом опыте с сосудом кубической формы, две боковые стороны которого зачернены, а две другие окрашены в белый цвет. Если залить такой куб горячей водой и поставить на одинаковых расстояниях от зачерненных и белых его сторон совершенно одинаковые приемники излучения, то обнаруживается, что при одинаковой температуре мощность излучения с единицы черной поверхности больше плотности мощности излучения с белой поверхности. Закон Стефана — Больцмана. Интегральной светимостью R тела называется отношение мощности излучения к площади поверхности излучателя: R = P/S. (53.1) Спектральной светимостью г тела в интервале длин волн от А, до X. -I- АЯ. называется отношение интегральной светимости в данном диапазоне длин волн ДА к ширине диапазона: = АЛ/ДА. (53.2) Опыт показывает, что как интегральная, так и спектральная светимости зависят от температуры излучающего тела. Австрийский физик Йозеф Стефан в 1879 г. экспериментально установил, а австрийский физик Людвиг Больцман в 1884 г. теоретически доказал, что интегральная светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры: R = <5T\ (53.3) 213 Этот закон называется законом Стефана — Больцмана. Коэффициент пропорциональности а называется постоянной Стефана — Больцмана'. а = 5,670 • 10-8 Вт/(м2 • К^). Из закона Стефана — Больцмана следует, что излучение абсолютно черного тела определяется только его температурой. Распределение энергии в спектре. Нагретое тело состоит из множества атомов, каждый из которых ведет себя подобно вибратору — источнику электромагнитного излучения. Разные атомы-излучатели колеблются с различными частотами. Поэтому излучение нагретого тела содержит волны всевозможных частот, а следовательно, и длин волн. Задача о распределении энергии излучения абсолютно черного тела между волнами различной длины, т. е. о спектральном составе излучения, сыграла важную роль в развитии основных идей современной физики. Ее решение привело к созданию квантовой физики. Распределение энергии излучения абсолютно черного тела по длинам волн было тщательно изучено на опыте. На рисунке 6.2 изображены кривые, характеризующие распределение энергии излучения в спектре абсолютно черного тела при различных температурах. Площадь, ограниченная каждой кривой и осью абсцисс, определяет интенсивность полного излучения абсолютно черного тела. Эта площадь быстро растет с увеличением температуры, так как она возрастает пропорционально четвертой степени температуры излучателя. Обратим внимание на форму кривых распределения при различных температурах. Все кривые имеют максимумы, причем с увеличением температуры большая часть энергии приходится на более короткие волны. Для каждой температуры существует такая длина 1700 К \\3 4 / / ' f 1 'тЛ ■ ^тЗ ^т2 Рис. 6.2 мкм волны Х,„,, на которую приходится наибольшая часть энергии, испускаемой абсолютно черным телом. При повышении температуры длина волны уменьшается. Именно поэтому раскаленное тело с повышением температуры становится сначала красным, затем оранжевым и, наконец, желто-белым. В 1993 г. немецкий физик Вильгельм Вин теоретически доказал, что длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного 214 Солнце 6000 К 6500 К 250 500 750 1000 1250 Рис. 6.3 X, нм тела, обратно пропорциональ- i на абсолютной температуре: = Ь/Т. (53.4) Эта формула математически выражает закон смещения Вина, Значение постоянной Вина: Ь = 2,898 • 10-=^ м • К. Спектральный состав излучения Солнца очень близок к спектральному составу излучения абсолютно черного тела. Это видно из рисунка 6.3, на котором штриховыми линиями показаны кривые распределения энергии излучения абсолютно черного тела при температурах 6000 и 6500 К. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на 470 нм. Если рассматривать Солнце как абсолютно черное тело и воспользоваться законом смеш;ения Вина, то можно рассчитать, что температура наружных слоев Солнца близка к 6200 К. Квантовая гипотеза Планка. Последовательное применение идей классической физики к исследованию спектрального состава излучения абсолютно черного тела привело к результатам, противоречапщим закону сохранения энергии. Решение этой проблемы нашел в 1900 г. М. Планк. В классической физике испускание света источником рассматривается как непрерывный процесс. Считается, что излучающее тело непрерывно посылает в пространство электромагнитные волны и энергия источника света непрерывно изменяется. Аналогично рассматривается и процесс поглощения света. Планк пришел к выводу, что именно эти представления ведут к противоречиям в теории теплового излучения и должны быть пересмотрены. М. Планк Им была высказана гипотеза, согласно которой абсолютно черное тело испускает и поглощает свет не непрерывно, а определенными конечными порциями энергии — квантами (квант — в переводе с латинского quantum — означает «количество»). Значение минимальной порции энергии — кванта — по теории Планка прямо пропорционально частоте света, т. е. его важнейшей волновой характеристике. Энергия Zy кванта должна быть равна: e = /iv, (53.5) где V — частота света; h — так называемая постоянная Планка. Постоянная Планка — это универсальная постоян- 215 ная величина; h = 6,626 • 10'^'* Дж • с. Согласно Планку излучающее тело всегда испускает энергию е, равную (для любой частоты) nhv, где п — любое целое положительное число. Предположения о прерывистом процессе испускания света оказалось достаточным для создания правильной теории теплового излучения, теоретического вывода зависимости г, = / (V, Г). На основе своих идей Планк получил формулу для спектральной светимости: г, = 8tcv^ Лу ,3 ghv/ikT) _ J ’ (53.6) где с — скорость света в вакууме; h — постоянная Планка; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура тела; v — частота излучения. Формула Планка прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Идея Планка о прерывном характере процессов испускания и поглощения света оказала громадное влияние на все дальнейшее развитие физики. Н Вопросы. 1. Что такое абсолютно черное тело? Какая установка близка по своим свойствам к абсолютно черному телу? 2. Может ли абсолютно черное тело ярко светиться? При каких условиях? 3. Какое тело излучает сильнее при данной температуре — черное, серое или зеркальное? Как это объяснить? 4. Какую гипотезу выдвинул Планк для вывода закона распределения энергии в спектре абсолютно черного тела? 5. Что называется интегральной светимостью? спектральной светимостью? 6. Как меняется график распределения энергии в спектре абсолютно черного тела с изменением температуры? 7. Как формулируется закон Стефана — Больцмана? 8. Как формулируется закон Вина? ■ Пример решения задачи Задача. Максимум энергии в спектре Солнца приходится на диапазон длин волн вблизи 470 мм. Считая Солнце абсолютно черным телом, рассчитайте, на сколько уменьшается ежегодно масса Солнца за счет излучения. Через сколько лет масса Солнца уменьшится на 10% ? Масса Солнца равна 2 • 10^® кг. Его экваториальный диаметр равен 1,4 • 10® м. Решение. Используя закон Вина, найдем температуру поверхности Солнца. Имеем Г = — = ^ К = 6,16 • 10® К. 470 • 10“® Энергию, излучаемую Солнцем с 1 м^ за 1 с, определим по закону Стефана — Больцмана: R = = 5,671 • 10 ® • (6,16 • 10-V Вт/м® = 8,17 • 10^ Вт/м®. Энергия, излучаемая всей поверхностью Солнца за год, равна: Е - RSt = RkDH = = 8,17 • 10^ . л • (1,4 • 10®)2 • 31,6 • 10® Дж = 5 • 10®® Дж. 216 Соответствующая потеря массы за 1 год составит: Ат = Е/с^ = 5 ' 10^^/9 • 10^® кг = 5,6 • 10^® кг. Для того чтобы масса Солнца уменьшилась на 10%, потребу- ется время: At = 0,1Мс 0,1 • 2 • 10 30 Ат 5,6-10^® лет ~ 4 • 10*^ лет. ■ Задачи для самостоятельного решения 53.1. На освещенную поверхность Земли ежесекундно падает солнечное излучение с интенсивностью 1,36 кВт/м^. Считая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, определите температуру фотосферы. Диаметр Солнца 1,4 • 10® м, расстояние от Земли до Солнца 1,5 ■ 10^^ м. 53.2. Определите температуру звезды — «белого карлика», если максимум излучения в ее спектре приходится на ультрафиолетовое излучение с длиной волны 300 нм. 53.3. Температура плавильной печи повысилась с 600 до 1200 °С. Во сколько раз возросла излучаемая ею энергия? 53.4. Максимум излучения в спектре звезды сместился с 600 нм до 400 нм. Как изменилась излучаемая ею энергия? Во сколько раз? 53.5. Определите энергию кванта излучения с длиной волны 500 нм; с длиной волны 10 нм. 53.6. Какова длина волны излучения, у которого энергия кванта равна средней кинетической энергии атома гелия при температуре 300 К? 53.7. До какой температуры нагреются излучением Солнца малые черные шары из вещества, имеющего хорошую теплопроводность, находящиеся на орбитах Венеры, Земли и Марса? § 54. Фотоэлектрический эффект Открытие фотоэффекта. В 1887 г. немецкий физик Генрих Герц обнаружил, что если направить на отрицательный электрод искрового разрядника ультрафиолетовое излучение, то электрический разряд происходит при меньшем напряжении между электродами, чем в отсутствие освещения. Герцу не удалось дать правильного объяснения этому явлению. Тщательные исследования российского физика Александра Григорьевича Столетова, проведенные в 1888—1889 гг., позволили понять сущность явления, обнаруженного Герцем: оно обусловлено выбиванием под действием света отрицательных зарядов из металлического катода разрядника. В дальнейшем измерения удельного заряда этих частиц показали, что они представляют собой электроны. Явление вырывания электронов из твердых и жидких тел под действием света называют внешним фотоэлектрическим эффектом (или просто фотоэффектом), а вырванные таким образом электроны иногда называют фотоэлектронами. Схема опытов Столетова представлена на рисунке 6.4. В электрическую цепь включен конденсатор, положительная обкладка которого — медная сетка С, а отрицательная — 217 Рис. 6.4 цинковая пластина D. Когда от источника света излучение направляют на отрицательно заряженную пластину Z), в цепи возникает электрический ток. Его называют фототоком. При увеличении напряжения между пластиной и сеткой сила фототока сначала возрастает, затем достигает некоторого предельного для данной интенсивности света значения, называемого током насыщения и при дальнейшем повышении напряжения остается неизменной. Фототок достигает насыш;ения, когда все электроны, вырываемые светом из пластины, достигают сетки. На рисунке 6.5 зависимость силы фототока от напряжения при соединении пластины с отрицательным полюсом источника напряжения представлена участком графика справа от оси ординат. При соединении пластины с положительным полюсом источника напряжения электрическое поле между пластиной и сеткой тормозит движение фотоэлектронов. В этом случае сила фототока в цепи убывает с увеличением напряжения, так как все большая часть фотоэлектронов под действием электрического поля возвращается на пластину. Это показано на рисунке 6.5 участком графика слева от оси ординат. Электрон возвращается на пластину в том случае, если его кинетическая энергия при выходе из пластины недостаточна для преодоления тормозящего действия электрического поля. Тот факт, что сила фототока при увеличении тормозящего напряжения убывает постепенно, а не скачком, показывает, что под действием одинаковых квантов света электроны вылетают из пластины с разными скоростями. Это объясняется тем, что поглощение квантов света может происходить на различной глубине в веществе и на пути к поверхности разные электроны теряют разные доли энергии. При некотором значении напряжения на пластину возвращаются все фотоэлектроны и сила фототока становится равной нулю. Напряжение называется запирающим напряжением. Значение запирающего напряжения Пз определяется мак- 218 симальным значением кинетической энергии Ef^ электронов, вырываемых светом из пластины: Законы фотоэффекта. Опытным путем установлены три закона внешнего фотоэффекта: 1) максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности; 2) для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. наименьшая частота света при которой еще возможен внешний фотоэффект; 3) число фотоэлектронов, вырываемых из катода за 1 с (фототок насыщения), прямо пропорционально интенсивности света. Кроме того, установлена практическая безынерционность фотоэффекта: он сразу же возникает при освещении поверхности тела при условии, что частота света v > Полученные опытным путем законы фотоэффекта не удалось объяснить на основе электромагнитной волновой теории света. С точки зрения этой теории электромагнитная волна, достигнув поверхности металла, вызывает вынужденные колебания электронов, отрывая их от металла. Но тогда требуется время для «раскачки» электронов, и при малой освещенности металла должно возникнуть заметное запаздывание между началом освещения и моментом вылета электронов. Далее, кинетическая энергия электронов, покидающих металл, должна зависеть от амплитуды вынуждающей силы и тем самым от напряженности электрического поля в электромагнитной волне. Однако все эти выводы противоречат законам фотоэффекта. Решение было найдено Альбертом Эйнштейном в 1905 г. из совершенно иных соображений. Как уже говорилось, в 1900 г. М. Планк объяснил законы теплового электромагнитного излучения. Для решения этой задачи ему пришлось предположить, что атомы нагретого тела изменяют свою энергию не непрерывно, а отдельными порциями — квантами. Эйнштейн, анализируя свойства электромагнитного излучения, пришел к выводу, что электромагнитное излучение состоит из отдельных порций — квантов (названных впоследствии фотонами). Идеи Эйнштейна представляют собой отход от классической волновой оптики. Распространение света здесь рассматривается не как непрерывный волновой процесс; свет — это поток особых частиц — фотонов, движущихся со скоростью с — скоростью света в вакууме. В монохроматическом свете с частотой v все фотоны имеют одинаковую энергию, равную £ = hv. Поглощение света состоит в том, что фотоны передают всю свою энергию атомам и молекулам вещества. 219 Из этого следует, что поглощение света, как и его распространение, происходит прерывно, отдельными порциями. Квантовая теория фотоэффекта. Квантовая точка зрения на природу света позволяет иначе, чем в электромагнитной теории, подойти к объяснению внешнего фотоэффекта в металлах. Известно, что для выхода из металла электрон должен преодолеть потенциальный барьер на границе металл — вакуум. Для этого электрон должен совершить работу выхода Aq. в результате поглощения фотона его энергия = hv целиком передается электрону. Если е > Aq, то электрон сможет совершить работу выхода и выйти из металла. Наибольшую кинетическую энергию, которую сможет приобрести фотоэлектрон, можно найти исходя из закона сохранения энергии: Лу = Aq + mv^/2. (54.1) Это уравнение называют уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. С помощью уравнения Эйнштейна можно объяснить все законы внешнего фотоэффекта. Так, из формулы (54.1) следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, а следовательно, и его максимальная начальная скорость зависят от частоты света v и работы выхода Ац, но не зависят от интенсивности света. Это есть первый закон внешнего фотоэффекта. Далее из этого же уравнения следует, что внешний фотоэффект возможен лишь при условии, что hv ^ Aq. Энергии фотона должно по меньшей мере хватить на то, чтобы вырвать электрон из металла. Обозначив через наименьшую частоту света, при которой возможен фотоэффект, имеем = Aq, следовательно, граничная длина волны ^тах = = hc/Aq. Красная граница фотоэффекта зависит только от работы выхода электрона, т. е. от химической природы металла и состояния его поверхности. Так объясняется второй закон фотоэффекта. Красной эта граница названа потому, что при X > т. е. при «более красном» свете, фотоэффект не происходит. Наконец, общее число N фотоэлектронов, покидающих за 1 с поверхность металла, должно быть пропорционально числу фотонов л, падающих за это же время на поверхность. Если Е — освещенность поверхности, пропорциональная интенсивности света, то число ежесекундно падающих на поверхность фотонов составляет п ~ E/{hv) ~ I/{h\). Таким образом объясняется третий закон внешнего фотоэффекта: число фотоэлектронов, ежесекундно вылетающих из металла, пропорционально интенсивности света: ЛГ ~ Н Вопросы. 1. в чем сущность явления внешнего фотоэффекта? 2. Интенсивность света, падающего на фотокатод, возросла в 10 раз. Что при этом увеличится: сила фототока? скорость фотоэлектронов? 3. Пока- 220 жите, что уравнение Эйнштейна для фотоэффекта непосредственно следует из закона сохранения энергии при определенных допущениях. Каковы эти допущения? 4. Чем отличаются взгляды Планка и Эйнштейна на проблему квантования? ■ Примеры решения задач Квантовые явления в микромире описываются с использованием тех же самых понятий энергии и импульса, какие применяются в механике, молекулярной физике, термодинамике и электродинамике. Однако процессы в микромире характеризуются значительно меньшими значениями энергии, чем макроскопические процессы. Поэтому при рассмотрении квантовых процессов для удобства часто используется значительно меньшая, чем единица энергии в СИ джоуль, внесистемная единица энергии, называемая электронвольт (эВ). 1 эВ равен работе, совершаемой электрическим полем при перемеш;ении частицы с элементарным электрическим зарядом е между точками с разностью потенциалов 1 В: А = е.и ~ 1,60218 • 10 1» Кл • 1 В ~ 1,60218 • Дж, 1 эВ === 1,6 • 10-^9 Дж. Задача 1. При освещении поверхности металла монохроматическим светом частотой 4 • 10^"* Гц освобождаются фотоэлектроны. Какова работа выхода фотоэлектронов из металла при максимальной кинетической энергии фотоэлектронов 1,1 эВ? Решение. Энергия фотона /iv связана с работой выхода А электрона из металла и его максимальной кинетической энергией Efg уравнением Эйнштейна для фотоэлектрона: Ef^- h\/ - А, где h — постоянная Планка; v — частота фотона. Из уравнения фотоэффекта следует: А = hv - Е^. Для вычисления работы выхода А в электронвольтах найдем значение энергии фотона в электронвольтах: hv = 6,626 • 10-34.4 . 1Q14 Дж = --эВ = 1,66 эВ, 1,6 • 10-1® А = 1,66 эВ - 1,1 эВ = 0,56 эВ. Задача 2. На рисунке 6.6 представлены результаты экспериментального исследования зависимости максимальной кинетической энергии фотоэлектронов, освобождаемых с поверхности катода фотоэлемента, от частоты падающего на катод света. Используя эти результаты, определите работу выхода электрона и максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов при частоте падающего света 9 • 1014 с-1. Решение. Построим по экспериментальным точкам график зависимости максимальной кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего света (рис. 6.7). Этот график является прямой, пересекающей ось абсцисс в точке, соответст- 221 эВ 1,5- 1.0- 0.5- эВ о 1 2 3 4 5 6 Рис. 6.6 V X Ю’'*, с вующей частоте Vq, равной 4,5 • 10^^ с Частота Vq является частотой красной границы фотоэффекта: = о, h\Q = А. Отсюда значение работы выхода А: А = 6,6 • 10-34.4 5 . 1Q14 дж = 2,97 • 10-‘» Дж = 1,86 эВ. По графику находим значение максимальной кинетической энергии фотоэлектронов при частоте фотонов 9 • 10^4 q-1; Ef^i ~ 1,85 эВ. Задача 3. Какова максимальная скорость фотоэлектронов, освобождаемых с поверхности катода фотоэлемента с работой выхода 1,5 эВ светом длиной волны 450 нм? Решение. Для нахождения максимальной кинетической энергии фотоэлектронов используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: mv^/2 = hv - А. Отсюда максимальная скорость v фотоэлектронов равна: /2(Лу-А) I 2hc!X - 2А Выразив значение работы выхода в единицах СИ, вычислим максимальную скорость электронов: V = 2 • 6,6 • 10-34.3.108 4,5 • Ю-"^ - 2 • 1,5 • 1,6 • 10 -19 9,1-10-81 м/с ~ 9,2 • 1Q3 м/с. ■ Задачи для самостоятельного решения 54.1. Постройте график зависимости кинетической энергии фотоэлектрона от частоты света и длины волны для натрия. Работа выхода электрона из натрия равна 2,35 эВ. 54.2. Определите красную границу фотоэффекта для лития. Работа выхода электрона равна 2,38 эВ. 222 54.3. Определите кинетическую энергию и скорость фотоэлектронов, вылетающих из катода, изготовленного из оксида бария (II) при его освещении зеленым светом длиной волны 550 нм. Работа выхода электрона равна 1,2 эВ. 54.4. При каком запирающем потенциале прекратится эмиссия с цезиевого катода, освещаемого красным светом с длиной волны 600 нм? Работа выхода 1,8 эВ. § 55. Фотоэлементы. Применение фотоэффекта Вакуумные фотоэлементы. Фотоэлектрический эффект нашел широкое применение в технике. На основе внешнего фотоэффекта работают вакуумные и газонаполненные фотоэлементы. Вакуумный фотоэлемент (рис. 6.8) представляет собой стеклянный сосуд, в котором создан глубокий вакуум. Половину баллона покрывают тонким слоем серебра (это подложка), на который напыляют светочувствительный слой из металла, оксида бария или соединения сурьмы с цезием и т. п. Этот электрод служит катодом. В центре фотоэлемента помещают анод в виде кольца или цилиндра. Если катод осветить, то из него вылетают фотоэлектроны, и в цепи течет ток. А так как сила фототока пропорциональна интенсивности света, то колебания освещенности катода вызывают колебания силы тока в цепи. Сила фототока в вакуумных фотоэлементах мала. Для усиления тока используют иногда ударную ионизацию газа. С этой целью баллон заполняют инертным газом (чаще всего аргоном) под давлением около 1—10 Па. За счет ударной ионизации сила тока возрастает в десятки раз. Вакуумные фотоэлементы применяются в схемах световой сигнализации, а также в звуковом кино для воспроизведения звука, записанного на кинопленке. Полупроводниковые фотоэлементы. Для преобразования энергии светового излучения в энергию электрического тока широко применяются полупроводниковые фотоэлементы. В плоском кристалле кремния или другого полупроводника с дырочной проводимостью создается тонкий слой полупроводника с электронной проводимостью. На границе раздела этих слоев возникает р—я-пе-реход. Под действием света в полупроводниковом кристалле происходит изменение распределения электронов и дырок по энергиям. Этот процесс называется внутренним фотоэффектом. В результате внутреннего фотоэффекта количество свободных электронов и дырок в полупроводнике увеличивается. Когда электрон и дырка в дырочном полупроводнике приближаются к р—/г-переходу, то действием контактного электрического поля Рис. 6.8 223 р—n-перехода электрон перебрасывается в электронный полупроводник, а дырка отбрасывается в слой дырочного полупроводника (рис. 6.9). Вследствие такого разделения пар дырка — электрон слой электронного полупроводника приобретает отрицательный заряд, а слой дырочного полупроводника — положительный заряд, т. е. между слоями образуется разность потенциалов. При замыкании слоев проводником в цепи возникает электрический ток; сила тока в цепи пропорциональна плотности потока светового излучения, падающего на фотоэлемент. Систему последовательно и параллельно соединенных кремниевых фотоэлементов называют солнечной батареей. Солнечные батареи используются для преобразования энергии солнечного излучения в электрическую энергию. Они применяются в качестве источников электрического тока на космических станциях, в микрокалькуляторах и даже в электромобилях. Н Вопросы. 1. Чем отличается внутренний фотоэффект от внешнего? 2. Где используются фотоэлементы с внешним фотоэффектом? 3. Как работает газонаполненный фотоэлемент? 4. Как работает полупроводниковый фотоэлемент? § 56. Химическое действие света Фотохимические процессы. Под действием света могут происходить процессы диссоциации молекул, присоединения атомов к молекулам. Различные химические реакции, протекающие под действием света, называются фотохимическими реакциями. Например, молекулы хлора и водорода в темноте не взаимодействуют, а на свету вступают в химическую реакцию и образуют хлороводород НС1. Разрыв электронных связей в молекуле при поглощении фотона является фотохимической реакцией: На -ь Лу = Н* + Н, где символом Н* обозначен возбужденный атом водорода. 224 в жизни человека большую роль играет способность глаза воспринимать свет. Поглощение фотона света в светочувствительной клетке сетчатки приводит к разложению молекулы белка — родопсина. При разложении молекулы родопсина возникает сигнал, который по нервным волокнам передается мозгу. В темноте родопсин восстанавливается, и клетки снова становятся способными к восприятию света. Фотохимические законы. Исходя из фотонной структуры света А. Эйнштейн сформулировал основной закон фотохимии: каждый поглощенный веществом фотон вызывает превращение одной молекулы. Молекула вступает в фотохимическую реакцию под действием фотона лишь в том случае, если энергия фотона не меньше определенного значения, необходимого для разрыва молекулярных связей (энергии диссоциации). Если энергия фотона меньше этой энергии, то реакция не произойдет. Если же энергия фотона больше энергии диссоциации, то избыток энергии содержится в продуктах распада молекул. Заметим, что граница фотохимической реакции по энергии фотона полностью аналогична красной границе фотоэффекта. На основе этого закона можно легко объяснить, почему, например, фотобумага нечувствительна к красному и инфракрасному свету. Для фотографирования в инфракрасном свете создается специальная фотопленка, где в светочувствительный слой вносятся определенные добавки — активаторы, снижающие энергетический порог фотохимической реакции. Фотосинтез углеводов. Наиболее значительными в живой природе являются фотохимические процессы фотосинтеза. Фотосинтез — основа жизни на Земле. Это единственный процесс, в результате которого органический мир за счет энергии излучения Солнца пополняет внутреннюю энергию, расходуемую в процессе жизнедеятельности. По современным представлениям почти весь кислород в атмосфере Земли образовался и поддерживается за счет фотосинтеза в листьях растений и в зеленых водорослях. В частности, в атмосферах других планет, например Венеры и Марса, практически нет кислорода, что согласуется с фактом отсутствия там органической жизни. Рассмотрим в общих чертах важнейшую фотохимическую реакцию — фотосинтез углеводов (крахмала) в зеленом листе растения. Процесс этот сложен, он связан с множеством вторичных биохимических реакций. Молекулы хлорофилла и других пигментов поглощают фотоны света. Избыточная энергия возбуждения молекулы позволяет ей участвовать в осуществлении реакции восстановления углекислоты: 2Н2О -1- СО2 + Tihv —► СН2О + Н2О + 02« Далее из муравьиного альдегида СН2О образуются молекулы углеводов: п (СН2О) С„Н2„0, 15 — А. А. Пинский 11 ; 225 На осуществление одной реакции восстановления углекислоты затрачивается энергия около 5 эВ. Для получения такой энергии молекула хлорофилла должна поглотить не менее трех фотонов длиной волны около 700 нм. Следовательно, процесс фотосинтеза многоступенчатый и уравнение реакции восстановления углекислоты выражает лишь конечный результат цепи сложных химических превращений. Фотография. С явлением внутреннего фотоэффекта связаны фотохимические процессы, протекающие под действием света в фотографических материалах. Фотоматериалы на основе серебра содержат кристаллы бромистого серебра AgBr (или AgCl, AgJ), распределенные в тонком слое желатиновой эмульсии, нанесенной на стеклянную пластинку, пленку или бумагу. Если силуэтом, вырезанным из черной бумаги или фольги, частично закрыть светочувствительную бумагу и направить на нее дневной свет или свет от мощного источника, то освещенная часть фотографической бумаги потемнеет, силуэт на ней получится светлым. Потемнение бумаги можно ускорить, предварительно смочив ее проявителем. Рассмотрим механизм возникновения фотографического изображения. При поглощении фотона энергией hv молекула бромида серебра, входящего в состав светочувствительного слоя, распадается по схеме AgBr + h\ = Ag* + Br^ + e~. Здесь Ag* — энергетически возбужденный атом серебра; Вг^ — положительный ион брома; е~ — электрон. Под действием света в кристалле бромистого серебра образуются нейтральные атомы серебра и брома, атомы серебра концентрируются вблизи дефектов кристаллической решетки и образуют там маленькие кристаллы металлического серебра. Квантовый характер взаимодействия света с веществом проявляется в фотохимических процессах в том, что один акт химического превращения происходит при поглощении одного фотона света. Поэтому число атомов серебра, освобожденных в кристалле бромистого серебра под действием света, пропорционально числу фотонов, поглощенных этим кристаллом. При открывании затвора фотоаппарата на короткое время объектив проецирует на фотопленку изображения предметов. В различных местах фотопленки освобождается разное количество свободных атомов серебра, в каждом месте число освобожденных атомов серебра пропорционально числу падающих фотонов света. Таким образом, в фотопленке возникает изображение из частиц металлического серебра. Частицы металлического серебра, образующиеся в кристалле под действием света, очень малы. Поэтому изображение из кристаллов серебра, возникающее в фотопленке под действием света, называется скрытым изображением. Для получения видимого изображения используется процесс проявления. Для проявления пленку в темноте погружают в раствор проявителя — вещества, способного восстанавливать бромистое серебро в свободное металлическое серебро. 226 Такое восстановление наиболее эффективно происходит вокруг центров скрытого изображения. Для того чтобы после проявления оставшиеся в пленке кристаллы бромистого серебра не могли восстановиться, производится процесс фиксирования в растворе тиосульфата натрия Na2S20g. Процесс фиксирования заключается в растворении кристаллов неразложившего-ся бромистого серебра. Изображение на фотопленке получается негативным, т. е. светлым местам объекта соответствуют темные места фотографического изображения. Для получения нормального, позитивного изображения производится повторный процесс фотографирования с негатива на фотобумагу, после чего производятся операции проявления и фиксирования. Ш Вопросы. 1. Какие реакции называются фотохимическими реакциями? 2. Сформулируйте закон Эйнштейна для фотохимических реакций. 3. Как образуется фотографический негатив? 4. Каков механизм проявления и закрепления фотографического изображения? ■ Задачи для самостоятельного решения 56.1. Обычные сорта фотобумаги можно обрабатывать при красном свете (длина волны более 680 нм). Оцените энергию диссоциации молекулы АдВг. 56.2. Специальная активированная фотопленка характеризуется энергией диссоциации молекул около 1,3 эВ. Будет ли такая фотопленка засвечиваться инфракрасным излучением длиной волны 800 нм? § 57. Световое давление. Импульс фотона Волновая теория светового давления. Сугцествование светового давления было предсказано электромагнитной теорией света. Рассмотрим, например, воздействие электромагнитной волны на лист металла (рис. 6.10). Под действием электриче- ского ПОЛЯ электромагнитной волны электрон со скоростью и движется в направлении, противоположном направлению вектора Е напряженности электрического поля; магнитное поле волны действует на движущийся электрон с силой Лоренца Как видно из рисунка 6.10, направление этой силы совпадает с направлением распространения электромагнитной волны. Средняя сила, действующая на электроны поверхности металла, определяет силу давления, а ее отношение к площади — значение светового давления. Максвелл показал, что давление электромагнитной волны: р = (1 -Hi?) (57.1) где R — коэффициент отражения; — средняя плотность энергии волны. Для зеркальной поверхности i?g = 1 и Рз = для черной поверхности, которая полностью погло- щает излучение, i?,, = 0 и 15* 227 Опыт Лебедева. Вывод Максвелла о наличии светового давления был встречен недоверием со стороны ряда крупных ученых. Возникла необходимость в экспериментальной проверке данного результата. Решающие эксперименты были проведены российским физиком Петром Николаевичем Лебедевым. Лебедев сумел обнаружить и измерить давление света на твердые тела, а в 1907—1910 гг. — на газы. Прибор Лебедева представляет собой очень чувствительные крутильные весы, подвижной частью которых является легкая рамка с укрепленными на ней «крылышками» — светлыми и черными дисками толщиной от 0,1 до 0,01 мм (рис. 6.11). Так как давление на черный диск меньше давления на светлый, то на подвижную систему действует вращающий момент, который можно измерить по углу закручивания нити. Плотность энергии Лебедев измерял с помощью специально сконструированного миниатюрного калориметра, направляя на него пучок света на определенное время и регистрируя повышение температуры. На основе ряда наблюдений он пришел к выводу, что в пределах погрешности эксперимента световое давление согласуется с формулой, полученной Максвеллом. Опыты Лебедева сыграли историческую роль в утверждении идей Максвелла, в частности его вывода, что свет есть электромагнитная волна; они вошли в историю физики как классический пример исключительно тонкого физического эксперимента. Квантовая теория светового давления. Давление света получает весьма простое объяснение, если ввести понятие импульса Рис. 6.11 фотона. В самом деле, до сих пор, развивая 228 представления Эйнштейна о квантах света — фотонах, мы говорили только об их энергии е = hv. Однако если считать, что свет — это распространяюЕциеся в пространстве фотоны, ведущие себя как поток особых частиц, то следует признать, что фотон обладает и импульсом. Наличие у фотона импульса вытекает из общей взаимосвязи между энергией и импульсом в теории относительности. Учитывая, что фотон — безмассо-вая частица, из формулы (50.4) получим выражение для импульса фотона: р = е/с = Лу/с ~ h/X. (57.2) Импульс фотона существенно отличается от импульса других элементарных частиц и макроскопических тел. Это отличие определяется тем, что у фотона нет энергии покоя. Другими словами, покоящихся фотонов не существует. Этот вывод не должен вызывать удивления. Если распространяющуюся световую волну остановить, то свет прекратит свое существование; это означает, что фотоны поглощены атомами и молекулами вещества, а их энергия перешла в другие виды энергии. Например, при поглощении света металлами энергия фотонов переходит к фотоэлектронам, которые вырываются из поверхности металла при фотоэффекте. Наличие у фотона импульса позволяет объяснить причину светового давления по аналогии с давлением потока частиц. В самом деле, пусть на поверхность какого-либо тела в одном направлении, например перпендикулярно поверхности, падает свет. Предположим, что за 1 с на 1 м^ поверхности тела падает п фотонов. Часть из них поглотится стенкой (неупругое соударение), и каждый из поглощенных фотонов передает ей свой импульс р = h\/с. Часть же фотонов отразится (упругое соударение). Отраженный фотон полетит от стенки в противоположном направлении. Поэтому полный импульс, переданный стенке отраженным фотоном, будет равен Ар = р - (-р) = 2р = 2/iv/c. Давление света на поверхность численно равно импульсу, который передают за 1 с все п фотонов, падающих на 1 м^ поверхности тела. Если R — коэффициент отражения света от произвольной поверхности, то Rn — это число отраженных фотонов, а (1 - R) п — число поглощенных фотонов. Таким образом, давление света: р = 2Rnhv/c + (1 - 7?) nhv/c = (1 + R) nhv/c. (57.3) Произведение nhv = E представляет собой энергию всех фотонов, падающих на 1 м^ поверхности за 1 с. Это есть интенсивность света (иначе — поверхностная плотность потока излучения). Отношение Е/с = w является объемной плотностью энергии падающего света. Подставив в выражение (57.3) значение nhv/с = Е/с = ш^р, получим формулу Максвелла (57.1). Н Вопросы. 1. Выразите энергию и импульс фотона через частоту и длину волны. 2. Как объясняется наличие светового давления на основе 229 электромагнитной волновой теории света? 3. Опишите опыты Лебедева по световому давлению. Какова их роль в истории физики? 4. Объясните происхождение светового давления на основе квантовой теории. 5. Почему отличается давление света на черную поверхность от давления на зеркальную? ■ Задачи для самостоятельного решения 57.1. Найдите энергию и импульс фотона инфракрасного излучения длиной волны 1 мкм. 57.2. Найдите длину волны излучения, у которого импульс фотона равен импульсу молекулы водорода при температуре 500 °С. 57.3. Докажите, что свободный, покоящийся в вакууме электрон не может поглотить фотон. (Указание: воспользуйтесь законами сохранения энергии и импульса в релятивистской форме.) 57.4. Солнечная постоянная у поверхности Земли равна 1,36 кBт/м^. Радиус Солнца 7 • 10® м, расстояние от Земли до Солнца 1,5-10’^ м. Определите световое давление на уровне фотосферы. Фотосферу принять за абсолютно черное тело. 57.5. По условию предыдущей задачи рассчитайте радиус частицы, для которой сила светового давления уравновесит силу тяготения со стороны Солнца. Масса Солнца 2 • 10®® кг, плотность вещества частицы считать равной 8-10® кг/м®, частицу считать абсолютно черной. § 58. Опыты, обнаруживающие корпускулярные свойства света Эффект Комптона. Введенное А. Эйнштейном в 1905 г. понятие о квантах как порциях света, локализованных в пространстве и обладающих энергией и импульсом, утвердилось в физике не сразу. Многим физикам принятие идеи о квантовой структуре излучения представлялось шагом назад, возвратом к ньютоновским представлениям о свете. В то время все явления, связанные с распространением электромагнитного излучения и его взаимодействием с веществом, хорошо объяснялись на основе волновых представлений о свете. Объяснение Эйнштейном законов фотоэффекта было воспринято с интересом, но многие считали, что фотоэффект будет объяснен и на основе волновой теории без использования понятия о квантах излучения. Ситуация в физике совершенно изменилась после сообщения американского физика Артура Комптона о результатах исследования рассеяния рентгеновского излучения в веществе. В эксперименте Комптона, выполненном в 1922 г., из рентгеновской трубки 1 узкий пучок моноэнергетического рентгеновского излучения направлялся на кусок графита 2 (рис. 6.12). Из рассеянного в графите излучения выделялся узкий пучок и направлялся на кристалл 3, выполнявший функцию дифракционной решетки для измерения длины волны рентгеновского излучения. Отраженное от кристалла излучение регистрировалось детектором 4. 230 Согласно классической электромагнитной теории любое электромагнитное излучение, падая на вещество, вызывает вынужденные колебания электронов, эти колебания сопровождаются излучением электромагнитных волн. Частота вынужденных колебаний равна частоте падающей на вещество электромагнитной волны; поэтому рассеянное излучение должно иметь ту же частоту (и ту же длину волны), что и падающее на вещество излучение. Комптон обнаружил, что при рассеянии рентгеновского излучения с длиной волны Хц в рассеянном потоке наряду с излучением с той же длиной волны Xq наблюдается излучение с большей длиной волны ^1, изменение длины волны зависит от угла 0 рассеяния излучения: АА, = — A.Q = = 2Л sin2 (в/2), (58.1) где 0 — угол рассеяния; Л = = 2,43 • 10-12 ^ 2,43 • 10-3 нм. Величина Л, называемая комп-тоновской длиной волны, не зависит от свойств рассеивающего вещества. При увеличении угла рассеяния 0 интенсивность излучения с неизменной длиной волны уменьшается, а интенсивность излучения с увеличенной длиной волны возрастает (рис. 6.13). Результаты опытов Комптона не находили объяснения на основе волновой теории. Рис. 6.13 231 Комптон дал теоретическое объяснение полученным результатам на основе представлений о квантах рентгеновского излучения как о частицах, обладающих энергией и импульсом и способных испытывать упругие столкновения с другими частицами. Эти частицы света назвали фотонами. При упругом соударении с неподвижным свободным (или слабосвязанным с атомом) электроном фотон передает ему часть своего импульса и изменяет направление движения (рис. 6.14). При этом энергия фотона уменьшается, следовательно, частота его уменьшается, а длина волны увеличивается. Применив законы сохранения импульса и энергии к фотону и электрону как системе из двух упруго взаимодействующих частиц, Комптон вывел теоретически формулу (58.1). Наличие в составе рассеянного излучения фотонов с неизменной частотой Комптон объяснил тем, что часть фотонов рассеивается не на внешних слабосвязанных электронах, а на электронах внутренних оболочек атомов. Эти электроны так прочно связаны с атомами, что при рассеянии фотона происходит его взаимодействие со всем атомом. Из-за большой массы атома при упругом рассеянии фотон теряет очень малую долю энергии. Эффект Комптона убедительно свидетельствует о существовании фотонов и наличии у них энергии и импульса. Опыт Боте. В 1924 г. немецкий физик Вальтер Боте выполнил еще один эксперимент, обнаруживавший корпускулярные свойства света. В опыте Боте тонкая металлическая фольга F облучалась потоком фотонов рентгеновского излучения Р (рис. 6.15). В атомах облучаемого вещества за счет фотоэффекта происходило освобождение электронов с внутренних оболочек атомов. Переходы электронов с внешних оболочек атомов на освободившиеся места во внутренних оболочках сопровождались испусканием характеристического рентгеновского излучения. Для регистрации этого излучения с двух сторон от фольги находились два счетчика Гейгера Zj и Zg. Если рентгеновское излучение распространяется от фольги во все стороны в виде сферических волн, то при каждом Рис. 6.14 232 акте излучения волны проходят одновременно через оба счетчика. В этом случае счетчики должны регистрировать определенное число совпадающих по времени импульсов. Если же из фольги вылетают отдельные фотоны, то их вылеты вправо и влево являются независимыми беспорядочными событиями. В этом случае счетчики должны срабатывать независимо друг от друга, то первый счетчик, то второй, возможны лишь очень редкие случайные совпадения. Именно это и наблюдалось в эксперименте. Результат опыта Боте убедительно доказывает, что рентгеновское излучение испускается в виде отдельных фотонов, каждый из которых движется в одном определенном направлении, а не распространяется во все стороны одновременно. Единство корпускулярных и волновых свойств света. Проблемой природы света физики стали активно заниматься с начала XVIII в. В это время конкурировали две альтернативные теории света — корпускулярная и волновая. Вопрос стоял так: свет — либо волна, либо поток частиц. В XIX в. после работ Юнга, Френеля и Максвелла казалось очевидным, что свет — это электромагнитная волна. Однако в начале XX в. Эйнштейн, Комптон и ряд других физиков развили представление о свете как потоке частиц — фотонов, несущих энергию и импульс. В физике возникла сложная ситуация — явления интерференции, дифракции, поляризации и дисперсии свидетельствуют в пользу волновой природы света, а фотоэффект, эффект Комптона и опыт Боте говорят о том, что свет — это поток фотонов. Как же совмещаются в одном объекте столь противоположные свойства? Эту особенность света выражают утверждением, что свет обладает двойственной корпускулярно-волновой природой. Впервые представления о корпускулярно-волновой двойственности свойств света развил Эйнштейн на основе изучения флуктуаций энергии излучения абсолютно черного тела в единице объема и флуктуаций светового давления. Используя законы излучения абсолютно черного тела и методы статистической физики, Эйнштейн получил формулы, содержащие сумму двух членов. Первый, квантовый член соответствует представлению о свете как о потоке дискретных частиц — фотонов; второй, волновой член описывает флуктуации в распространяющейся электромагнитной волне. Существенно, что только сумма двух этих членов дает правильные значения флуктуаций энергии и светового давления. При больших частотах главную роль играет квантовый член, а при малых частотах — волновой. Когда регистрируются усредненные результаты воздействия достаточно мощных световых потоков в течение сравнительно больших (в масштабах микромира) промежутков времени, то дискретность светового потока не играет роли, и мы наблюдаем непрерывную волновую картину. Это аналогично тому, что в макромире мы 233 не замечаем дискретную структуру вещества. Если же регистрируются индивидуальные акты взаимодействия излучения с микрочастицами, например с отдельными атомами, молекулами или электронами, то здесь дискретная структура излучения проявляется весьма наглядно — отдельный фотон взаимодействует с одной частицей вещества. Ш Вопросы. 1. в чем заключалось противоречие между результатами опытов Комптона и классической теорией рассеяния электромагнитного излучения? 2. Чем объясняется наличие в рассеянном рентгеновском излучении фотонов с разной частотой? 3. В чем сущность опыта Боте? Проанализируйте его результат с позиций волновой и квантовой теорий. 4. В каких явлениях обнаруживаются волновые свойства света и в каких явлениях обнаруживаются дискретные (квантовые) свойства света? 5. Можно ли с помощью одного и того же измерительного прибора регистрировать и волновые, и квантовые свойства света? ■ Примеры решения задач Задача 1. Выведите формулу (58.1), выражающую связь изменения Д.1ИНЫ во.тны АХ с углом 0 рассеяния при комптоновском рассеянии рентгеновского фотона на свободном электроне (см. рис. 6.13). Решение. Обозначим через v и >. частоту и длину волны фотона до столкновения с электроном, через v' и X' — после столкновения. Тогда энергия фотона до столкновения равна /iv, после столкновения — hv'. Модуль импульса р до столкновения равен h/X, после столкновения — h/X'. Полная энергия покоящегося электрона до столкновения равна тс^, после столкновения — /пс^у, где у= (1 - ц^/с*2)-1/2. — масса электрона; с — скорость света в вакууме. Модуль импульса электрона до столкновения равен нулю, после столкновения равен mvy. Запишем уравнения, выражающие законы сохранения импульса и энергии системы фотон — электрон до и после упругого столкновения: (1) (2) р + О = р' + mvy, hv + тс^ = Лу' -н тс^у. Из равенства (1) следуют равенства для векторов: р - р' = mvy и равенство для модулей: \ р - р' f = \ mvy 1^, р'^ - 2рр' cos 0 -I- = imvy)^, или ih/Xy - 2h^/XX' cos 0 + {h/X')^ = (mvy)^. Преобразуем равенство (2): hv - hv' + mc^ = mc'^y. Возведем в квадрат левую и правую части равенства (4) и разделим обе части нового равенства на квадрат скорости света для приведения этого равенства к одинаковой размерности с равенством (3): (hv/c - hv'/с + mcY = m^c'^'f, или „ „ „ (h/X - h/X'л-mcf-= (5) (3) (4) 234 После этого вычтем из уравнения (5) уравнение (3) и произведем преобразования: 2mch/X - 2mch/X' - 2h‘^!Xk' -ь 2h^lKk' cos 0 = = (1 - u^/c^) = m^c^, (6) X' - X = h/mc (1 - cos 0) = 2h/mc sin^ 0/2. (7) Из формул (1) и (7) следует, что комптоновская длина волны Л для случая рассеяния фотонов на свободных электронах равна: Л = h/mc. Задача 2. Фотон с энергией 50 кэВ сталкивается с неподвижным свободным электроном и отражается в направлении, противоположном первоначальному направлению движения. Определите энергию фотона после такого рассеяния. Решение. При столкновении фотона с электроном выполняются законы сохранения энергии и импульса системы взаимодействующих частиц. Изменение длины волны фотона при комп-тоновском рассеянии на электроне выражается формулой (7), полученной при решении задачи 1. При 0 = 180°, из этой формулы следует: X' - Х = h/mc (1 - cos 0) = 2/i/mc, c/v' - c/v = 2h/mc, c/hv' - c/hv = 2/mc, 1/hv' - l/h\' = 2/mc^, 1/hv’ = l/hv + 2/mc^, h\ • mc^ hV = hv' = mc^ + 2/iv 5 • 10^ • 1,6 • 10"’^ • 9,1 • 10“^^ • 9 • 10^® 9,1 • 10 -31 9-10^® 4-2-5 10^ -l.e-lO"!® 6,75 -10-^^ Дж ~ 6,75 • 10 Дж, hv' 1,6 • 10"i® эВ ~ 42,2 эВ. ■ Задачи для самостоятельного решения 58.1. Рентгеновский фотон испытывает центральное соударение с покоящимся электроном. Определите энергию фотона отдачи. Энергия фотона до соударения равна 100 кэВ. 58.2. Угол рассеяния фотона в эффекте Комптона 0 = 90°, угол отдачи электрона (р = 30°. Определите энергию фотона до рассеяния. 58.3. Найдите энергию фотона, у которого при центральном соударении с электроном длина волны возрастает в 1,5 раза. Какова при этом энергия электрона отдачи? 58.4. Решите предыдущую задачу, если угол рассеяния фотона ф = 90°. § 59. Глава 7 Физика атома Доказательства сложной структуры атомов Открытие электрона. Многие физические свойства вещества получили объяснение на основе представления о его дискретной структуре. Согласно этим представлениям мельчайшие частицы одного химического элемента — атомы — ничем не отличаются друг от друга и обладают одинаковыми свойствами. Первые экспериментальные результаты, из которых можно было сделать вывод о существовании внутри атомов электрических зарядов, были получены Майклом Фарадеем в 1833 г. при изучении электролиза. Фарадей установил, что электрический ток в растворе электролита — это упорядоченное движение ионов; на один ион любого одновалентного химического элемента в среднем приходится одинаковый электрический заряд. Минимальный заряд иона назвали элементарным электрическим зарядом, его приближенное значение равно: в = 1,60 • 10-^® Кл. В опытах Фарадея не измерялись заряды отдельных ионов, поэтому утверждение о существовании внутри атомов положительных и отрицательных элементарных электрических зарядов долгое время оставалось только гипотезой. В 1897 г. английский физик Джозеф Джон Томсон выполнил ряд экспериментов по изучению электрического разряда в разреженных газах, термоэлектронной эмиссии и фотоэффекта. В результате этих опытов он установил, что при пропускании электрического тока через газы, при нагревании вещества и при его освещении ультрафиолетовым светом из атомов любого химического элемента вырываются совершенно одинаковые отрицательно заряженные частицы. Эти частицы позже были названы электронами. Электрический заряд отдельных электронов впервые измерил американский физик Роберт Милликен в 1909 г. Заряд у всех электронов оказался равным по модулю значению элементарного заряда, полученному в опытах по электролизу. Масса электрона оказалась примерно в 2000 раз меньше массы самого легкого атома — атома водорода. Она равна примерно = 9,11 • 10»‘ т^ кг. Открытие электрона и обнаружение электронов в составе всех атомов было первым доказательством сложного строения атомов. 236 Периодический закон Д. И. Менделеева. Открытие Дмитрием Ивановичем Менделеевым в 1869 г. периодического закона поставило перед физикой вопрос о причинах повторяемости химических свойств элементов, расположенных в порядке возрастания атомной массы. Естественно было предположить, что увеличение массы атомов обусловлено увеличением числа частиц, входящих в их состав. Периодическую повторяемость химических свойств элементов в таблице Д. И. Менделеева можно рассматривать как свидетельство периодической повторяемости основных особенностей внутренней структуры атомов по мере увеличения числа частиц, входящих в их состав. Физикам предстояло выяснить, из каких частиц состоят атомы химических элементов, объяснить основные химические свойства атомов на основе сведений об их внутренней структуре и законах взаимодействия частей атомов. Линейчатые спектры. Важным фактом, свидетельствующим о сложной внутренней структуре атомов, было открытие линейчатых спектров. Исследования показали, что при нагревании до высокой температуры пары любого химического элемента испускают свет, узкий пучок которого разлагается призмой на несколько пучков света различного цвета (см. цветные вклейки /, IV). Совокупность наблюдаемых при этом разноцветных линий называется линейчатым, спектром испускания. Линейчатый спектр испускания любого химического элемента не совпадает со спектром испускания всех других химических элементов. Каждая отдельная линия в линейчатом спектре образуется светом с определенной длиной волны (определенной частотой). Следовательно, источник света, представляющий собой разреженный газ, испускает электромагнитные волны не со всевозможными, а только с несколькими вполне определенными частотами Vj, Vg, ..., v„. При пропускании белого света через пары вещества наблюдается возникновение темных линий на фоне сплошного спектра. Темные линии расположены точно в тех местах, где наблюдались бы светлые линии спектра испускания данного химического элемента. Такой спектр называется линейчатым спектром поглощения. Возникновение линейчатых спектров поглощения свидетельствует о том, что вещество в газообразном состоянии способно поглощать электромагнитное излучение только с такими же частотами v^, V2, ...» v„, какие содержатся в излучении данного вещества. После открытия электрона стала очевидной связь явлений излучения и поглощения света атомами с наличием в них электронов. Действительно, свет — это электромагнитные волны. Излучение электромагнитных волн происходит при ускоренном движении электрических зарядов. Можно предположить, что при соударениях атомов электроны, имеющиеся внутри атомов, приобретают избыток энергии и затем излучают электромагнитные волны, совершая гармонические 237 колебания внутри атомов. Различным частотам излучаемого света соответствуют различные частоты колебаний электронов внутри атомов. Следовательно, теория строения атома должна дать способы расчета длин волн в спектре любого химического элемента. Радиоактивность. Еще одним доказательством сложности атомов явилось открытие радиоактивности. В 1896 г. французский физик Анри Беккерель, производя опыты с солями урана, обнаружил, что атомы урана испускают невидимые глазом излучения, способные проникать через бумагу или картон и вызывать почернение фотографической пластины, ионизировать воздух. Явление испускания атомами невидимых проникающих излучений назвали радиоактивностью (от лат. radius — луч). Польский физик Мария Склодовская-Кюри и французский физик Пьер Кюри установили, что радиоактивные излучения испускаются не только атомами урана, но и атомами некоторых других элементов. По радиоактивному излучению ими были открыты два неизвестных ранее химических элемента — радий и полоний. Исследования радиоактивности показали, что радиоактивные вещества испускают три вида излучений различной физической природы. Эти излучения были названы альфа-, бета- и гамма-лучами. Альфа-лучи оказались потоком ионов гелия, бета-лучи — потоком электронов, гамма-лучи — потоком квантов электромагнитного излучения с очень малой длиной волны — порядка 10“^^—м. Английские ученые Эрнест Резерфорд и Фредерик Содди в 1902 г. доказали, что явление радиоактивности — это процесс превращения ядер атомов одного химического элемента в ядра другого химического элемента. Например, уран в результате радиоактивного распада превращается в торий и гелий. Н Вопросы. 1. Какие экспериментальные факты свидетельствуют о сложности атома? 2. Какая частица, входящая в состав любого атома, была открыта раньше всех остальных? 3. Является ли Периодический закон Д. И. Менделеева доказательством существования сложной внутренней структуры атомов химических элементов? 4. При каких условиях наблюдаются линейчатые спектры испускания? 5. При каких условиях наблюдаются линейчатые спектры поглощения? 6. Каким образом существование линейчатых спектров подтверждает сложное строение атомов? 7. Что такое радиоактивность? 8. Почему явление радиоактивности служит одним из доказательств сложности атома? 9. Возможны ли превращения одних химических элементов в другие? § 60. Ядерная модель атома Модель атома Томсона. Одну из первых моделей строения атома предложил в 1903 г. Дж. Дж. Томсон. Он предположил, что атом имеет форму шара; положительный заряд распределен равномерно по всему объему этого шара, а отрица- 238 Дж. Дж. Томсон тельно заряженные электроны находятся внутри него. Радиус атома должен быть равен примерно 10"^® м. Эта величина оценивалась по известным расстояниям между центрами атомов в кристаллических решетках твердых тел. Дж. Дж. Томсон считал, что периодическая повторяемость химических свойств атомов и спектральные закономерности получат свое объяснение, если будут найдены радиусы концентрических электронных оболочек внутри положительно заряженного шара, число электронов на каждой оболочке и закономерности их заполнения (рис. 7.1). Опыты Резерфорда. Новая модель атома была предложена Э. Резерфордом в результате проделанных им и его сотрудниками опытов по изучению рассеяния быстрых заряженных частиц при прохождении через тонкие слои вещества. В этих опытах в свинцовый контейнер 1 помещали крупицу радия 2. Узкий пучок альфа-частиц 3 — ионов гелия, испускаемых радиоактивным веществом, направлялся на тонкую металлическую фольгу 4. За ней помещался экран 5, покрытый слоем кристаллов сульфида цинка, способных светиться под ударами быстрых заряженных частиц (рис. 7.2). Вспышки на экране наблюдались глазом 7 с помощью микроскопа 6. Было обнаружено, что альфа-частицы проникают через тонкие металлические пластины почти без отклонения от прямолинейного пути. Так, при прохождении через слой золота толщиной 4 • 10”^ м большинство альфа-частиц отклоняется от прямолинейного пути на углы ф не более 1—2®. Вместе с тем небольшая часть альфа-частиц испытывала отклонение на значительно большие углы. Сотрудники Резерфорда Э. Марсден и X. Гейгер обнаружили, что в среднем одна из 8000 альфа-частиц рассеивается в направлении, обратном направлению первоначального движения частицы. 51дерная модель атома. Резерфорд предположил, что рассеяние альфа-частиц на большие углы объясняется тем, что положительный заряд в атоме не распределен равномерно в шаре радиусом 10~*” м, а сосредоточен в центральной части атома в области значительно меньших размеров. В этой центральной положительно заряженной части атома — атомном ядре — сосредоточена почти вся масса атома. Расчеты Резерфорда показали, что для объясне- Рис. 7.1 239 © У-'< ния опытов по рассеянию альфа-частиц нужно принять радиус ядра равным примерно 10"^^ м. Если радиус атомного ядра меньше радиуса атома примерно в 10^ раз, то напряженность электрического поля вблизи атомного ядра по модели Резерфорда должна быть примерно в 10^*^ раз больше напряженности поля у поверхности атома по модели Томсона. Такое возрастание напряженности электрического поля и делало возможным рассеяние альфа-частиц на большие углы, в том числе и в обратном направлении. После обнаружения в опытах Резерфорда положительно заряженного ядра необходимо было ответить на вопросы о том, где же в атоме находятся электроны и чем занято в нем остальное пространство. Резерфорд предположил, что атом устроен подобно планетной системе. Как вокруг Солнца на больших расстояниях от него обращаются планеты, так вокруг ядра в атоме обращаются электроны (рис. 7.3). Радиус орбиты самого удаленного от ядра электрона и есть радиус Рис. 7.3 атома. Такая модель строения атома была названа планетарной, или ядерной моделью. Однако атомные системы отличаются от планетных систем физической природой сил, удерживающих планеты и электроны на их орбитах: планеты притягиваются к звездам силами всемирного тяготения, а во взаимодействии электронов с атомным ядром основную роль играют силы кулоновского притяжения разноименных электрических зарядов. Силы гравитационного притяжения между электроном и атомным ядром ничтожно малы по сравнению с электромагнитными. Ядерная модель атома хорошо объясняет основные закономерности рассеяния заряженных частиц. Так как большая часть пространства между атомным ядром и обращающимися 240 вокруг него электронами пуста, то быстрые заряженные частицы могут почти свободно проникать через слои вещества, содержащие несколько тысяч слоев атомов. При столкновении с электроном альфа-частица практически не рассеивается, так как ее масса примерно в 8000 раз больше массы электрона. Однако в том случае, когда альфа-частица пролетает вблизи одного из атомных ядер, под действием электрического поля атомного ядра может произойти ее рассеяние на любой угол до 180°. Но из-за малых размеров ядра по сравнению с размерами атома такие события происходят весьма редко. Н Вопросы. 1. Какую модель строения атома предложил Дж. Дж. Томсон? 2. Какие результаты были получены в опытах Резерфорда по наблюдению рассеяния альфа-частиц при их прохождении через тонкие слои вещества? 3. Какую модель строения атома предложил Резерфорд? 4. Как на основе ядерной модели строения атома можно объяснить результаты рассеяния альфа-частиц в тонких слоях вещества? ■ Задачи для самостоятельного решения 60.1. Докажите, что в атоме водорода силы гравитационного взаимодействия много меньше кулоновского взаимодействия и ими можно пренебречь. 60.2. Считая радиус атома водорода равным 5,3 • 10“^^ м, определите скорость и частоту обращения электрона согласно планетарной модели атома. 60.3. Определите отношение скорости электрона на орбите (см. задачу 60.2) к скорости света в вакууме. 60.4. Определите кинетическую, потенциальную и полную энергию электрона на орбите радиусом 5,3 • 10"’^ м. § 61. Квантовые постулаты Бора Неустойчивость атома Резерфорда. Планетарная модель атома позволила объяснить результаты опытов по рассеянию альфа-частиц в веществе, но встретилась с другой принципиальной трудностью: законы движения электронов в атоме Резерфорда противоречили законам электродинамики. Как известно, любое ускоренное движение электрических зарядов сопровождается излучением электромагнитных волн. Движение по окружности является ускоренным движением, поэтому электрон в атоме должен излучать электромагнитные волны с частотой, равной частоте его обращения вокруг ядра. Это должно приводить к уменьшению энергии 16-А.А . Пинский 11 кл. 241 Н. Бор электрона, постепенному его приближению к атомному ядру и падению на ядро (рис. 7.4). Но в действительности атомы устойчивы и в невозбужденном состоянии не излучают свет. Квантовые постулаты Бора. Первый шаг на пути разрешения противоречий между теорией и результатами эксперимента в физике атома был сделан в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором. Свои представления о механизме излучения и поглош;ения света атомом он сформулировал в виде двух постулатов. Согласно первому постулату существуют особые состояния атома, в которых он не излучает энергию, хотя заряженные частицы движутся с ускорением. Эти состояния называются стационарными состояниями. Атому нельзя сообщить энергию или отнять ее от него иначе как процессом, переводящим атом из одного стационарного состояния в другое. По второму постулату всякое излучение атома связано с переходом из одного стационарного состояния в другое и состоит всегда из чисто гармонических волн. Частота этих волн не зависит непосредственно от движения электрона в атоме, а определяется так называемым условием частот. Согласно этому условию произведение частоты v излучаемой волны на постоянную Планка h {h = 6,626 • 10"^^ Дж • с) равно излученной энергии. Для процесса перехода из одного стационарного состояния в другое со значениями энергий и выполняется равенство hv = Ei~E2. (61.1) Для наглядного представления возможных энергетических состояний атомов используются энергетические диаграммы, на которых каждое стационарное состояние атома отмечается горизонтальной линией, называемой энергетическим уровнем. Все стационарные состояния, кроме одного, являются стационарными лишь условно. Бесконечно долго каждый атом может находиться только в стационарном состоянии с минимальной энергией Е^. Это состояние атома называется основным или нормальным состоянием. Все остальные стационарные состояния атома с энергиями Е2, Е^, ..., ___________ Е„ называются возбужденными состоя- ' ~ ' ниями (рис. 7.5). Ниже всех остальных на диаграмме располагается энергетиче- ----------- ский уровень основного состояния атома, энергетические уровни возбужденных состояний располагаются над основным ----------- уровнем на расстояниях, пропорциональных разности энергий возбужденного и Рис. 7.5---основного состояний. Переходы атома из ^1 242 т Ч Рис. 7.6 ОДНОГО состояния в другое изображаются вертикальными линиями между соответствующими уровнями на диаграмме энергий, направление перехода обозначается стрелкой (рис. 7.6). В результате соударения с другим атомом, с любой заряженной частицей или при поглощении фотона атом может перейти из стационарного состояния с меньшей энергией в стационарное состояние с большей энергией. Из любого возбужденного состояния атом самопроизвольно переходит в основное состояние или в другое возбужденное состояние с меньшей энергией. Такой переход сопровождается излучением фотона. Время жизни атомов в возбужденных состояниях обычно не превышает —10~® с. Основное изменение, внесенное в физику атома постулатами Бора, заключалось в отказе от представлений о непрерывности изменения всех физических величин и в принятии идеи квантования значений физических величин, которыми описывается внутреннее состояние атома. Н Вопросы. 1. в чем заключалось противоречие планетарной модели строения атома с законами классической физики? 2. Сформулируйте квантовые постулаты Бора. 3. В чем заключается принципиальная новизна представлений о свойствах атомов в теории Бора? 4. Какие состояния атома называются стационарными? 5. Какое состояние называется основным состоянием и какие состояния называются возбужденными состояниями? 6. Как описываются состояния атомов с помощью энергетических диаграмм? ■ Задачи для самостоятельного решения 61.1. На рисунке 7.7 представлена энергетическая диаграмма состояний атома. Стрелками на диаграмме указаны переходы с излучением или поглощением фотонов. При каком из обозначенных на рисунке переходов происходит поглощение фотонов с максимальной энергией? Какой из переходов сопровождается излучением фотонов с минимальной частотой? 61.2. По рисунку 7.7 найдите переход с излучением фотонов с максимальной энергией и переход с поглощением света с максимальной длиной волны. Рис. 7.7 16* 243 E^ а) § 62. Объяснение происхождения линейчатых спектров Линейчатые спектры и постулаты Бора. Постулаты Бора позволяют объяснить происхождение линейчатых спектров испускания и поглощения наличием дискретного ряда энергетических состояний. При одинаковом заряде ядра все атомы одного химического элемента обладают одинаковым строением электронных оболочек и потому имеют одинаковый набор возможных энергетических состояний. Энергия фотона, поглощаемого атомом при переходе из основного состояния с энергией в возбужденное состояние с энергией (рис. 7.8, а), в точности равна энергии фотона, излучаемого атомом при обратном переходе (рис. 7.8, б), так как в обоих случаях равна разности энергий атома в этих двух состояниях. Поэтому положение линий в спектре испускания вещества точно совпадает с положением линий в спектре поглощения того же вещества. Различие наборов возможных энергетических состояний атомов разных химических элементов приводит к различиям в их линейчатых спектрах испускания и поглощения. Объяснение спектра атома водорода. Может показаться, что основное содержание теории Бора сводится к тому, что загадка закономерностей распределения линий в спектрах элементов заменяется не меньшей загадкой распределения стационарных энергетических состояний атомов. Но это совсем не так. Бору удалось не только предложить общий принцип объяснения происхождения спектров, но и вывести теоретически точные количественные закономерности распределения линий в спектрах атома водорода и водородоподобных ионов. Еще в 1885 г. швейцарский учитель физики Иоганн Баль-мер установил, что частоты спектральных линий водорода в области видимого света можно получить из простой формулы (62.1) tS^ б) Рис. 7.8 v = 3,29- В этой формуле п принимает целые значения, начиная от 3. Ряд спектральных линий водорода с частотами, определяемыми по формуле (62.1), назвали серией Балъмера. В 1904 г. американский физик Теодор Лайман обнаружил в спектре водорода новый ряд линий в области ультрафиолетового излучения. Этот ряд линий назвали серией Лаймана. 244 Оказалось, что частоты линий серии Лаймана определяются по формуле V = 3,29 • 10 15 (62.2) где п принимает целые значения, начиная от 2. Позднее в излучении водорода были открыты и другие серии спектральных линий в области инфракрасного излучения. Для вычисления частот линий всех спектральных серий водорода оказалась пригодна одна формула, называемая обобщенной формулой Бальмера: (62.3) v = 3,29- где т Vi п — целые числа, т < п. При т = 1 мы получим серию Лаймана, при т = 2 — серию Бальмера и т. д. Согласно представлениям Бора, движение электронов вокруг ядра в стационарных состояниях определяется законами обычной механики, для описания же процессов перехода атома из одного стационарного состояния в другое эти законы не применимы, и следует воспользоваться квантовыми представлениями. Возможные стационарные состояния атома, состоящего из атомного ядра и электрона, согласно Бору, квантованы по значениям орбитального момента импульса электрона. Минимальное возможное значение орбитального момента импульса электрона равно m^vr = h, где Й = Л/2тс = 1,05457266 х X 10“^"* Дж - с, — масса электрона, и — его скорость, г — радиус круговой орбиты. Изменение орбитального момента импульса электрона может происходить только на целое число значений постоянной Планка й. Следовательно, орбитальный момент импульса электрона в атоме может принимать дискретный ряд значений: rrigVr = nh (я = 1, 2, 3, ...). (62.4) Квантование орбитального момента импульса электрона для случая круговых орбит приводит к квантованию значений радиуса возможных стационарных круговых орбит. Действительно, если в стационарном состоянии движение электрона по круговой орбите вокруг ядра определяется обычными законами механики, то можно найти связь между скоростью движения электрона и радиусом круговой орбиты стационарного состояния. Центростремительное ускорение при движении электрона по одной из стационарных круговых орбит в атоме водорода равно отношению кулоновской силы притяжения к массе электрона: а = 4л£отеГ^ 245 откуда v^ = —^----. • (62.5) С другой стороны, скорость движения электрона и радиус его круговой орбиты связаны условием (62.4). Из этих двух формул следует, что возможно движение электрона в атоме лишь по стационарным круговым орбитам, радиусы которых определяются выражением 2„2 г„ = AnEQti п (62.6) Подставляя в последнее выражение значения л = 1, п = 2 и т. д., можно вычислить радиусы первой, второй и всех последующих стационарных круговых орбит электронов в атоме. Радиус первой орбиты, называемый радиусом Бора, равен: 4тгепЛ^ Tj = Цц =---= 5,29 • 10 “ м, Шев^ что хорошо согласуется со значениями размеров атомов, полученными на основе молекулярно-кинетической теории. Потенциальная энергия Ер электростатического взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода определяется формулой ^2 Е = — Р 4я£пГ’ (62.7) Кинетическая энергия электрона при движении по круговой орбите равна: _ rrigV^ - 2 ■ Подставив значение v из формулы (62.5), получим Ей = (62.8) * 8я£ог ' Полная энергия Е системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по круговой орбите радиусом г, равна: ^2 Е = Е„ + Еу = - втСЕпГ (62.9) Подставляя значение радиуса (62.6), получаем значение полной энергии атома водорода в стационарном состоянии: ^ .,4 Е = - 1 (62.10) Целое число п = 1, 2, 3, ... называется главным квантовым числом. При переходе электрона со стационарной круговой орбиты 246 радиусом r„ на стационарную круговую орбиту радиусом г„ изменение энергии атома равно: 4 т .€ АЕ = = 327i2e|ft2 1 Частота кванта v = этого перехода равна: АЕ АЕ fn е'^ h 2nh 64тс^£оЛ^ Значение множителя равно: 4 т^е ^ =---Г1-Т = 3,29 • 10’ Гц. (62.11) (62.12) (62.13) С учетом этого формула (62.12) принимает вид обобщенной формулы Бальмера (62.3). Расчет спектра водорода был серьезным успехом теории Бора. При этом удалось объяснить происхождение различных серий в спектре водорода. Серия Лаймана, например, возникает при переходах атомов из возбужденных состояний в основное состояние (т. е. на первый энергетический уровень), серия Бальмера — при переходах атомов из второго, третьего и более высоких возбужденных состояний в первое возбужденное состояние, т. е. на второй энергетический уровень (рис. 7.9). Принцип соответствия. Представления, развитые Бором на начальном этапе, не отражают содержания современной квантовой теории. Более того, попытка соединения классических представлений (определенная траектория и скорость электрона) и квантовых идей (квантование момента импульса, излучение кванта света) ведет к неразрешимым внутренним противоречиям в теории. Действительно, если представлять атом водорода состоящим из ядра и электрона, движущегося по круговой орбите, то согласно классической теории электрон должен излучать электромагнитные волны Серия Лаймана Серия Бальмера Е, эВ Серия Лаймана Серия Бальмера с частотой, равной частоте его обращения вокруг ядра. Вычислим эту частоту для п-й орбиты. С этой целью разделим скорость V движения электрона по п-тк круговой орбите на длину окружности этой орбиты. После несложных преобразований получим с учетом формулы (62.13) v„ = 2яг„ 2Ь 3 (62.14) Согласно этой формуле частоты обращения электрона на первой и второй круговых орбитах равны соответственно: п = \, Vj = 2Ь; /г = 2, Vg = |. Действительная частота света, излучаемого при переходе из второго стационарного состояния в первое, определяется уравнением (62.3) для т = 1 и п = 2: = Ь _1_ 22 ЗЬ 4 ‘ Частота света Vgi, излучаемого при переходе из второго стационарного состояния в первое, существенно отличается от частот обращения электрона на первой и второй стационарных круговых орбитах. Следовательно, излучение света при переходе атома водорода из второго стационарного состояния в первое нельзя описать, опираясь на классические представления о движении и механизме излучения электрических заряженных частиц. Однако развитие квантовой физики не привело к опровержению основных, фундаментальных законов классической физики — законов сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда. Более того, согласно принципу соответствия, сформулированному Н. Бором, законы квантовой физики включают в себя законы классической физики, и при определенных условиях можно обнаружить возможность плавного перехода, близкого схождения квантовых и классических представлений о свойствах микросистем. Таким образом, квантовые и классические представления взаи-модополняют друг друга. Такой плавный переход от квантовых к классическим представлениям можно увидеть, например, в случае перехода атома водорода из одного возбужденного стационарного состояния (л) в соседнее (т = л - 1) при больших значениях квантового числа л. Расчет частоты излучения по формуле (62.12) на основе использования квантовых представлений дает следующий результат: V = Ь 1 (П - 1)2 = ь - + 2п - 1 (л -1)2 л2 = ь 2 -1/л (л - 1)2 Л (62.15) 248 в пределе, при п оо, выражение (62.15) совпадает с выражением (62.14). Сближение результатов квантовой и классической теорий при больших значениях квантового числа объясняется тем, что в этом случае уровни энергии квантовых стационарных состояний сближаются настолько, что переход атома из одного квантового состояния в соседнее становится практически неотличимым от процесса с непрерывным изменением частоты. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место в теории относительности (см. гл. 5). Там при скоростях, много меньших скорости света в вакууме, релятивистские соотношения переходили в известные формулы ньютоновской механики. Здесь же, в квантовой физике, при больших значениях главного квантового числа квантовые соотношения переходят в соотношения классической электродинамики. Следовательно, ни теория относительности, ни квантовая физика не отвергают закономерности классической физики — они лишь указывают на границы ее применимости. Ш Вопросы. 1. Как объясняется происхождение линейчатых спектров теорией Бора? 2. Почему линейчатые спектры у каждого химического элемента свои, а все атомы одного химического элемента излучают свет с одинаковым линейчатым спектром? 3. Поясните происхождение спектральных серий в линейчатом спектре водорода с помощью представлений 0 переходах электронов с одной орбиты на другую и с помощью энергетической диаграммы. 4. Какое соотношение между квантовыми и классическими законами устанавливается принципом соответствия Бора? ■ Примеры решения задач В атомной физике из-за малости значений массы и энергии микрочастиц наряду с единицами физических величин международной системы часто употребляются две внесистемные единицы. Первая из них называется атомной единицей массы (а. е. м.). 1 а. е. м. равна 1/12 массы атома изотопа углерода 1 а. е. м. в единицах СИ — килограммах — имеет значение: 1 а. е. м. = 1,66057 • 10"2^ кг. Вторая внесистемная единица используется для выражения значений энергии. Энергию частиц и атомов в атомной физике часто выражают в электронвольтах (см. с. 222). Задача 1. Схема энергетических уровней состояний атома водорода представлена на рисунке 7.9. Энергия атома в основном состоянии принята равной нулю, в возбужденных состояниях она выражена в электронвольтах. Определите длину волны излучения, испускаемого атомом водорода при переходе из состояния, которому соответствует энергетический уровень 4, в состояние с уровнем 2. Решение. При переходе из состояния в состояние Е2 атом излучает фотон света с энергией Лу, равной разности энергий исходного и конечного состояний: hv = Ел - Ео. 249 Отсюда длина волны излученного кванта равна: А, — — — cfe V £4—^2 Подставляя числовые значения, находим: З-Ю^-6,6-10-2^ X = (12,55 -10,20)-1,6-10 -19 М 5,27 • 10-7 Задача 2. Потенциал ионизации атома водорода равен 13,6 эВ. При каком минимальном значении скорости атома водорода его столкновение с неподвижным атомом водорода может привести к ионизации одного из атомов? Решение. При столкновении движущегося атома водорода с неподвижным атомом вся кинетическая энергия системы не может быть затрачена на ионизацию атома, так как в любой замкнутой системе обязательно выполняется закон сохранения импульса. Суммарный импульс двух атомов после столкновения должен быть равен импульсу движущегося атома до столкновения. Следовательно, и кинетическая энергия атомов должна быть отлична от нуля. Учесть действие закона сохранения импульса проще всего путем перехода в систему отсчета, связанную с центром масс системы. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц до и после столкновения равен нулю, поэтому кинетическая энергия частиц может быть полностью израсходована на ионизацию одного из атомов. Так как массы атомов одинаковы, скорость v движения центра масс системы из двух атомов в системе отсчета Земля равна v/2. Поэтому в системе отсчета, связанной с центром масс двух атомов, эти атомы движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями v/2. В результате неупругого столкновения суммарная кинетическая энергия двух атомов может быть полностью израсходована на ионизацию одного из атомов. Обозначив работу ионизации атома водорода получаем уравнение т (и/2)2 , т (u/2)2 _ ^ ------- I — -А.,, • Из уравнения получаем выражение для вычисления минимальной скорости, достаточной для ионизации: V = 4А. Выразим энергию ионизации в джоулях и вычислим минимальное значение скорости атома водорода, приводящее к ионизации при столкновении с неподвижным атомом: V = 4-13,6-1,6-10 -19 1,67 • 10 -27 м/с = 7,2 • 10"* м/с, 250 ■ Задачи для самостоятельного решения 62.1. На рисунке 7.9 представлена энергетическая диаграмма состояний атома водорода. Определите длину волны излучения, испускаемого при переходе атома с энергетического уровня 3 на уровень 2. 62.2. По диаграмме (см. рис. 7.9) определите частоту света, поглощаемого при переходе с уровня 1 на уровень 3. 62.3. Вычислите радиус первой воровской круговой орбиты электрона в атоме водорода и скорость движения электрона по этой орбите. 62.4. Вычислите радиус боровской круговой орбиты электрона в атоме водорода для л = 100 000 и частоту электромагнитного излучения, испускаемого при переходе со ста тысяч первой круговой орбиты на стотысячную. Поясните, почему атомы водорода в таких состояниях обычно не наблюдаются. 62.5. При каком минимальном значении энергии электронов, сталкивающихся с атомами водорода, может наблюдаться возникновение всех возможных линий в спектре водорода? § 63. Опыт Франка и Герца Согласие результатов расчета спектра водорода с экспериментальными результатами было большим успехом теории Бора, но не являлось прямым доказательством существования стационарных состояний атома, квантования энергии атома. Первым экспериментом, в котором был установлен факт дискретности энергетических состояний атома, был опыт немецких физиков Джеймса Франка и Густава Герца. В этом опыте, выполненном в 1913 г., исследовались столкновения электронов с атомами ртути. В стеклянной трубке находились пары ртути (рис. 7.10, а). Электроны, вылетевшие из катода К, нагреваемого электрическим током, ускоряются электрическим полем между като- дом К и сеткой С. Их кинетическая энергия при дости- жении сетки равна работе электрического поля eU (е — заряд электрона, U — ускоряющее напряжение). Между сеткой С и анодом А электроны тормозятся электрическим полем, тормозящее напряжение между сеткой С и анодом А равно 0,5 В. Исследовалась зависимость силы тока в цепи анода от напряжения между катодом и сеткой. Результаты, полученные в одном из опытов, представлены на рисунке 7.11. Оказалось, что, пока напряжение между сеткой и катодом не превосходит 4,9 В, возрастание напряжения сопровождается увеличением силы тока в цепи. Объясняется это тем, что с увеличением напряженности поля все большая часть электронов, вылетающих из катода, преодолевает область, где электрическое поле объемного заряда, создаваемого электронным облаком вблизи катода, препятствует движению вновь вылетающих электронов от катода к аноду (см. рис. 7.10, а). 251 а) пР-1- б) 0.5 В Q - Атом ртути в основном состоянии щ - Атом ртути в возбужденном состоянии Фотон о ~ Электроны Рис. 7.10 /, мА Резкое уменьшение силы тока в цепи анода при достижении напряжения 4,9 В между катодом и сеткой заставляет сделать вывод о том, что электроны, обладающие кинетической энергией 4,9 эВ, полностью теряют ее в результате столкновений с атомами ртути. Взаимодействие атома с электроном или другой частицей, в результате которого часть кинетической энергии превращается в энергию возбуждения атома, называется неупругим столкновением. Кинетическая энергия электронов после такого соударения оказывается близкой к 252 нулю, поэтому даже слабое встречное поле между сеткой и анодом не пропускает их к аноду и сила тока в цепи анода уменьшается (см. рис. 7.10, б). Таким образом, передача энергии от электронов к атомам ртути наблюдается при достижении энергии 4,9 эВ. При меньших значениях энергии происходят только упругие столкновения электронов с атомами ртути, при которых электроны не передают им энергию. Исходя из этих результатов, можно сделать вывод, что разность энергий первого возбужденного стационарного состояния атома ртути Е2 и основного стационарного состояния Е-^ равна 4,9 эВ: Е2- Ei = 4,9 эВ. Этот вывод подтверждается результатами одного эксперимента. Атомы ртути, переведенные в результате неупругого столкновения с электронами из основного состояния в первое возбужденное состояние, должны через короткое время самопроизвольно возвратиться в основное состояние с излучением фотона с частотой Еп — Е-1 V = 4,9 • 1,6 6,625 10 -34 Гц = 1,2 • 1015 Гц. Наблюдения показали, что пока напряжение между катодом и сеткой меньше 4,9 В, пары ртути не светятся. При достижении напряжения 4,9 В пары ртути испускают ультрафиолетовое излучение с частотой 1,2 • Гц. Таким образом, опыты Франка и Герца явились экспериментальным подтверждением правильности основных положений теории Бора. Ш Вопросы. 1. Опишите опыты Франка и Герца. 2. Объясните результаты опытов франка и Герца. 3. Какова длина волны излучения, испускаемого атомами ртути при напряжении 4,9 В между катодом и сеткой? § 64. Волновые свойства частиц вещества Трудности теории Бора. Объяснение спектра водорода и результаты опытов Франка и Герца были серьезными доводами в пользу теории Бора. Однако попытка сочетания принципиально новых квантовых законов (квантование энергии и момента импульса системы при переходах из одного стационарного состояния системы в другое) с классическими законами (движение электронов по стационарным орбитам происходит в соответствии с классическими законами механики и электродинамики) оказалась в конечном счете бесперспективной. После нескольких первых успехов обнаружились серьезные трудности для дальнейшего развития теории Бора. 253 Луи де Бройль Например, эта теория позволяла вычислить частоты спектральных линий атома водорода, но ничего не могла сказать об интенсивностях излучения тех или иных частот. Добившись успеха в объяснении спектра атома водорода, теория Бора не могла справиться с объяснением спектра атома гелия. Дальнейшее развитие физики показало, что трудности теории Бора были не случайными. Для понимания основных свойств атомов и других микрообъектов оказался необходимым пересмотр многих фундаментальных физических представлений и понятий. К такому пересмотру физика подошла в результате открытия волновых свойств частиц веш;ества и соотношения неопределенностей. Волны де Бройля. В 1924 г. французский физик Луи де Бройль высказал гипотезу о том, что сочетание волновых и корпускулярных свойств является общим свойством любых материальных объектов, а не только света. Это значит, что любое тело массой /тг, движущееся со скоростью и, может быть охарактеризовано не только координатами в пространстве, импульсом р и энергией Е, но и длиной волны X, и частотой v. По предположению де Бройля, длина волны любого материального объекта связана с его импульсом таким же соотношением, каким связана длина волны фотона с его импульсом. Из формулы (57.2) длина волны фотона равна частному от деления постоянной Планка на импульс фотона: (64.1) Согласно гипотезе Луи де Бройля длина волны любой частицы, обладающей массой, определяется таким же соотношением: А miTf x = i = (64.2) В нерелятивистском приближении (и с) имеем Х = —. то (64.3) Волновые свойства электронов были обнаружены экспериментально в 1927 г. английскими физиками Клинтоном Девиссоном, Лестером Джермером и независимо Джоржем Томсоном и российским физиком Петром Саввичем Тартаков-ским в опытах по дифракции электронов. На рисунке 7.12 представлена схема экспериментальной установки Девиссона и Джермера для исследования отражения пучка электронов от поверхности монокристалла. Пучок 254 электронов 2, испускаемый электронной пушкой 1, рассеивается на кристалле 3. Число отраженных в данном направлении электронов регистрируется прибором 4. Изменяя положение кристалла и приемного устройства, можно исследовать зависимость интенсивности отраженного пучка от угла падения. На рисунке 7.13 представлены результаты одного из опытов. Если провести через начало координат прямую под некоторым углом ср к поверхности кристалла, то длина отрезка от начала координат до пересечения графика с этой прямой даст значение интенсивности электронного потока, отраженного от кристалла при падении под данным углом. Наличие максимумов и минимумов интенсивности при изменении угла падения получает качественное и количественное объяснение, если рассматривать кристалл как дифракционную решетку. Схема опыта Дж. Томсона по наблюдению дифракции электронов при их прохождении сквозь тонкий листок золота представлена на рисунке 7.14. На фотопластинке за листком золота вокруг центрального пятна обнаруживаются чередующиеся светлые и темные кольца (рис. 7.15). Радиусы центрального пятна и колец изменяются с изменением скорости электронов и соответствуют результатам расчета дифракции волн де Бройля в кристалле. Волновыми свойствами, согласно представлениям де Бройля, должны обладать любые материальные объекты. Но почему же эти свойства не обнаруживаются в опытах с макроскопическими телами? Для ответа на этот вопрос вычис- о со с: с о н о -е- Рис. 7.15 255 ЛИМ, например, дебройлевскую длину волны тела массой 1 г, движущегося со скоростью 0,5 м/с: -34 mv 6,625 • 10' 10 -3 0,5 м 10- м. Значение длины волны получилось на 20 порядков меньше размеров атома! Волновые эффекты такой малости невозможно обнаружить. Вместе с тем в настоящее время экспериментально обнаружены волновые свойства не только электронов и других элементарных частиц, но и атомов, и молекул. Интерференция волн де Бройля и корпускулярно-волновой дуализм. Опыт показывает, что при прохождении пучка электронов через одно малое отверстие в экране (А или В) пучок испытывает дифракцию, т. е. ведет себя как поток волн де Бройля (рис. 7.16, а, б). Какой будет картина на экране фотопластинки, если на пути пучка электронов в экране будут открыты оба близко расположенных отверстия А и Б? Так как почернение фотопластинки вызывается ударами электронов, то можно ожидать, что потемнение усилится в тех местах, где дифракционные пятна от двух отверстий налагаются друг на друга (рис. 7.17). В действительности наблюдается иная картина с чередованием темных и светлых полос (рис. 7.18). Результат получается таким же, как в опыте Юнга по наблюдению интерференции света от двух отверстий. Но как могут интерферировать электроны? Электрический заряд каждого электрона неделим, каждый электрон проходит только через одно из двух отверстий и попадает только экран к I I В I [ 1'^ 1 ^ а) б) Рис. 7.16 256 экран А А I I I I Б I I Д экран А А I I I I В ' 'А ____I____I____ i Рис. 7.17 U ‘i i j i Рис. 7.18 В одну точку на фотопластинке. Другой электрон, попав на близко расположенную точку, может вызвать только дальнейшее потемнение фотопластинки, но не посветление, так как процесс взаимодействия электронов с фотопластинкой необратим. Одно из возможных объяснений интерференции пучка электронов — взаимодействие электронов после их прохождения через два отверстия. Однако российский физик Валентин Александрович Фабрикант с сотрудниками в 1949 г. выполнили опыт с пучками электронов такой малой интенсивности, при которой во время полета между отверстиями в экране и фотопластинкой находится лишь один электрон и получили такой же результат. Поэтому интерференционная картина не является следствием взаимодействия электронов между собой после их прохождения через разные отверстия. Полученный результат можно объяснить, если считать, что дебройлевская волна данного электрона проходит одновременно через оба отверстия, что приводит к интерференции. Но как сочетать представления о прохождении дебройлевской волны одновременно через два отверстия с несомненными фактами неделимости электрона, локализации его в одной определенной точке при попадании на фотопластинку? Разрешение этого противоречия заключается в признании корпускулярно-волновой В. А. Фабрикант 17 — А. А. Пинский 11 кл. 257 двойственности свойств частиц вещества. Природа электрона, как и других частиц вещества, не может быть описана полностью с использованием только корпускулярных или только волновых представлений. Бесплодными оказались и попытки механического соединения корпускулярных и волновых свойств в одном объекте. Идея корпускулярно-волнового дуализма заключается не в механическом соединении двух взаимоисключающих моделей, а в признании такой сложности свойств микрообъектов, для полного описания которых не пригодны только одни корпускулярные или только одни волновые представления. Описание свойств микрообъектов с использованием представлений о локализованных в пространстве частицах или о непрерывных волнах является упрощением реальности. Волновая функция. Наиболее последовательное и непротиворечивое описание явлений микромира дает квантовая механика на основе использования волновой функции. Оказалось, что все состояния систем частиц в микромире могут быть охарактеризованы функцией, которую называют волновой функцией У (пси-функцией). Квадрат модуля волновой функции I Ф р пропорционален вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Такую трактовку предложил М. Борн в 1926 г. Используя волновую функцию, можно описать результаты опыта по пропусканию пучка электронов через два отверстия в экране следующим образом. При взаимодействии электрона с обоими отверстиями в экране пси-функция, описывающая движение электрона за экраном, дает распределение вероятности попадания электрона в разные точки на фотопластинке. Каждый электрон проходит через одно из двух отверстий и попадает в одну точку на фотопластинке. После прохождения через экран большого количества электронов на фотопластинке более темными оказываются места, соответствующие большим значениям квадрата модуля пси-функции: в эти места попадает больше электронов. Чередование максимумов и минимумов на фотопластинке отражает картину распределения квадрата пси-функции в пространстве, т. е. распределение вероятностей попадания электронов в ту или иную область пространства. Таким образом, волны де Бройля — это не упругие и не электромагнитные волны, они имеют чисто вероятностный смысл. I Вопросы. 1. в чем суть гипотезы де Бройля? 2. Какие экспериментальные факты свидетельствуют о существовании волновых свойств частиц вещества? 3. Как объясняются результаты опытов по пропусканию пучка электронов через два малых отверстия в экране? ■ Задачи для самостоятельного решения 64.1. Пользуясь результатом задачи 62.3, определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося на первой боровской орбите. Найдите соотношение между длиной волны и первым боровским радиусом. 258 64.2. Электрон разогнали в электрическом поле при напряжении 30 В. Найдите длину волны де Бройля этого электрона. 64.3. Определите длину волны де Бройля для атомов водорода при температуре 10^ К. 64.4. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы соответствующая ему волна де Бройля имела длину, равную: а) длине волны света зеленого цвета =5,5 • 10“^ м); б) длине волны рентгеновского излучения (А.2 = 1,2 • 10"^^ м)? Какие разности потенциалов электрического поля необходимо приложить, чтобы разогнать электрон до таких скоростей? § 65. Соотношение неопределенностей Обнаружение волновых свойств частиц привело к открытию фундаментального закона, управляющего всеми явлениями мира микрочастиц, — соотношения неопределенностей. Оно было открыто в 1927 г. немецким физиком Вернером Гейзенбергом. Рассмотрим явление дифракции моно-энергетического параллельного пучка частиц на щели шириной d (рис. 7.19). На экране в результате явления дифракции частиц образуется размытая полоса с максимумом против центра отверстия. Можно приблизительно принять, что почти все частицы после прохождения отверстия попадут на экран в области между центральным максимумом и первыми минимумами по обе стороны от него. Положение первого дифракционного минимума на экране определяется условием: d sin ф = ?i. (65.1) Частица с импульсом р обладает длиной волны 'к = h/p, поэтому условие первого минимума можно представить в виде h В. Гейзенберг d sin ф = —. Р (65.2) Отклонение частицы в результате дифракции от первоначального направления движения свидетельствует об изменении ее импульса. По углу отклонения ф можно определить изменение импульса частицы (рис. 7.20): ^Рх = Р sin ф. (65.3) Из выражений (65.2) и (65.3) следует: ~ h. Таким об- разом, если частица с первоначальным точно известным значением импульса р прошла через щель шириной d и тем самым положение частицы в пространстве (ее координата х) было определено с точностью до Дл: = d, то сведения об импульсе частицы становятся менее определенными. Неопреде- 17* 259 Рис. 7.19 ленность импульса частицы и неопределенность ее координаты Ах связаны соотношением Ал: • Ар^ ~ h. (65.4) Смысл полученного соотношения, называемого соотношением неопределенностей, заключается в следующем. При любой попытке все более точного определения положения частицы в пространстве (ее координаты) обязательно будут все менее определенными сведения об импульсе частицы. Если же каким-либо способом более точно определять значение импульса частицы, то сведения о координатах будут все менее точными. Более точное выражение соотношения неопределенностей имеет вид Ал: • Ар^ > Й. (65.5) Принципиально важно, что соотношение неопределенностей не связано с несовершенством применяемых измерительных приборов, а отражает особенности физической природы объектов микромира. Существенно и то, что соотношение неопределенностей применимо только к будущему, к предсказанию физических характеристик микрообъектов. Наряду с выражением, связывающим неопределенности координаты и импульса, можно получить выражение, связывающее неопределенности энергии АЕ и времени At. Так как импульс фотона равен р = —, для фотона излучаемого атома 260 неопределенности его импульсами и его координаты Ajc можно представить так: Ар^ = —, Ах = с • А^. ^ с Перемножив эти равенства и учитывая соотношение (65.5), получим АЕ • At> Ь. (65.6) Здесь АЕ — неопределенность значения энергии системы в некотором состоянии с энергией Е, At — неопределенность времени t пребывания системы в данном состоянии. Н Вопросы. 1. Каков физический смысл соотношения неопределенностей для координаты и импульса? 2. Каков физический смысл соотношения неопределенностей для энергии и времени? ■ Пример решения задачи Задача. Пользуясь соотношением неопределенностей, оцените размер атома водорода. Решение. В устойчивом состоянии полная энергия атома минимальна. Энергия атома водорода складывается из потенциальной энергии системы электрон — ядро: 1 4ле и кинетической энергии электрона: Е 2т’ где р — импульс электрона. В соответствии с соотношением неопределенностей ДРд. • Ах ~ h, где Ад: — неопределенность в координате электрона, которую можно принять равной искомому радиусу Гц атома водорода. Импульс электрона р можно принять равным его неопределенности Ар^. Тогда из соотношения неопределенностей следует: ^ Ах г а для кинетической энергии электрона имеем F =-^ 2г^т’ Полная энергия атома равна: /)2 1 с2 Е = 2г^т 4д£о г Так как в устойчивом состоянии полная энергия системы должна быть минимальной, для нахождения радиуса первой орбиты электрона найдем значение Гц, соответствующее минимуму 261 энергии. Найдем производную энергии атома по его радиусу Е' (г) и приравняем ее нулю: =0. 2тг^ 4я£()Г^ Отсюда находим искомый размер: 4яеоЛ^ Гп = + е.т е^-кт Подстановка числовых данных приводит к результату: 8,85 • 10-12 ф/(6^626 • 10-3^ f Дж2 . с2 ^ ^ , Г(\ —--------———т----------------------- 0^0 • 10 (1,6 • Кл2.3,14 • 9,1-10-21 кг что соответствует действительному значению радиуса атома водорода в нормальном состоянии. ■ Задачи для самостоятельного решения 65.1. Предположим, что неопределенность радиуса для первой воровской орбиты равна Дг=0,01л. Найдите неопределенность радиальной компоненты импульса и сравните ее со значением импульса на этой орбите. 65.2. Время жизни электрона на втором энергетическом уровне атома водорода составляет около 1Q-® с. Оцените ширину второго энергетического уровня (т. е. неопределенность его энергии). Сравните со значением энергии второго энергетического уровня атома водорода (см. рис. 7.9). § 66*. Элементы квантовой механики Уравнение Шредингера. Физическую теорию, описывающую явления в мире элементарных частиц и состоящих из них систем, называют квантовой механикой. В основу квантовой механики положены экспериментальные факты, обнаруженные при изучении свойств микрочастиц: корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц, соотношение неопределенностей. Принципиальное отличие квантово-механического способа описания состояния системы от метода классической механики заключается в том, что с помощью квантовой механики можно найти лишь вероятность обнаружения объекта в данной области пространства. Определить одновременно координаты и скорость (или импульс) частицы в любой момент времени в принципе невозможно. Квантовая механика дает статистическое описание состояния микросистем без использования понятия траектории движения и без определения координат как функций времени. Для решения конкретных задач в кван-Э. Шредингер товой механике необходимо иметь уравне- 262 ние для волновой функции, которое позволяло бы вычислять значение волновой функции (пси-функции) Ф {t, х, у, г). Основное уравнение квантовой механики получил в 1926 г. австрийский физик Эрвин Шредингер. Доказательством его правильности является полное соответствие получаемых из него решений опытным данным. Первым успехом квантовой механики был расчет энергетических состояний атома водорода. Электрон, полная энергия которого меньше нуля, находится в гиперболической потенциальной яме кулоновского поля ядра, и его движение ограничено в пространстве вблизи ядра (рис. 7.21). Если рассматривать зависимость волновой функции только от радиуса г, то для состояний частицы, не зависящих от времени (стационарных состояний), уравнение Шредингера имеет вид dr^ 2 ^ г dr -ь ^ (Е - С7) Ф = О, (66.1) где Е — полная энергия атома в стационарном состоянии; и — его потенциальная энергия; т — масса электрона; Ь — постоянная Планка. Квантование энергии. Приняв уравнение Шредингера как математическое выражение фундаментальных свойств систем в микромире, можно получить ряд замечательных следствий. п = 2 263 в частности, можно вывести правила квантования полной энергии замкнутой системы. Оказывается, что уравнение Шре-дингера имеет решение не при любых значениях полной энергии системы, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений энергии называется спектром. Таким образом, идея кван-тованности энергетических состояний атома, которая у Бора была гениальной догадкой и формулировалась в качестве постулата, оказывается следствием уравнения Шредингера. Решение уравнения (66.1) показывает, что для атома водорода существует набор стационарных состояний со значениями полной энергии £, определяемыми формулой Е =----(66.2) Параметр н = 1, 2, 3, ..., определяющий полную энергию электрона в атоме, называется главным квантовым числом. Формула (66.2) полностью совпадает с полученной ранее формулой (62.10). Однако этот успех квантовой механики не был простым повторением результатов, достигнутых ранее в полу-классической теории Бора. Квантовая механика сделала ряд новых шагов в разгадке законов микромира. Теория Бора не могла объяснить, почему электрон не падает на ядро. Квантовая механика дала ответ на этот вопрос. Если положение электрона вблизи ядра изменяется в пределах расстояния Аг ~ г, то согласно соотношению неопределенностей (65.5) его импульс имеет неопределенность: Ар = h/r. Связь между кинетической энергией Е и импульсом р электрона в атоме приводит к тому, что при уменьшении размеров области вокруг ядра, в которой находится электрон, его кинетическая энергия возрастает обратно пропорционально г^, т. е. быстрее, чем убывает потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра. При сближении электрона с ядром увеличение его кинетической энергии, начиная с некоторого расстояния, превышает убывание потенциальной энергии, и полная энергия не убывает, а возрастает. Поэтому электрон упасть на ядро не может. Расстояние г от ядра, на котором полная энергия электрона в атоме водорода проходит через минимум, совпадает с полученным ранее значением радиуса первой боровской орбиты в атоме водорода. Таким образом, квантовая механика объясняет существование минимального расстояния от электрона до ядра в атоме водорода на основе принципа минимума полной энергии системы электрон — атомное ядро. Для получения значения этого расстояния не использовались классические представления о движении электрона по определенной орбите, приводящие к неразрешимым противоречиям. 264 Квантование момента импульса. В классической физике тело, вращающееся вокруг некоторой оси, имеет момент импульса, который характеризуется модулем L = /со и определенным направлением в пространстве или тремя проекциями L^, Ly и на оси координат. Иной результат дает квантовая механика. Любая система в квантовой механике может быть охарактеризована одновременно только двумя параметрами момента импульса — его модулем L и одной из трех проекций вектора момента импульса на какую-либо координатную ось. Это значит, что направление вектора момента импульса системы в квантовой механике оказывается неопределенным, но проекция вектора L на одно из выбранных направлений в пространстве может быть найдена. Модуль момента импульса любой системы принимает только дискретный ряд значений, определяемых формулой называется магнитным квантовым Ь = п yjl (1 + 1), (66.3) где 1 = 0, 1, 2, 3, ... называется орбитальным квантовым числом. Проекция момента импульса на некоторое избранное в пространстве направление (например, на направление вектора индукции В магнитного поля) также принимает дискретный ряд значений, определяемых уравнением Lg = mh, (66.4) где т = О, 1, 2, 3, числом. Так как проекция вектора не может быть больше его модуля, то из уравнений (66.3) и (66.4) следует, что магнитное квантовое число т не может превышать орбитальное квантовое число I, т. е. т ^ I. (66.5) Наглядное представление о связи между модулем момента импульса L системы и проекцией момента импульса на одно избранное направление дают векторные диаграммы (рис. 7.22). Квантовая механика налагает одно ограничение на момент импульса: для любой системы уравнение Шре-дингера имеет решения лишь для значений орбитального квантового числа, удовлетворяющих условию: К.п-1, (66.6) где п — главное квантовое число. Итак, 1 = 0, 1, 2, 3, п - 1. 265 Состояния атома водорода. Основное состояние атома водорода — состояние с минимальным значением полной энергии — определяется значением главного квантового числа п = \. Из условия (66.6) следует, что в основном состоянии атома водорода орбитальное квантовое число I может иметь единственное значение / = 0; его магнитное квантовое число также равно нулю: m = 0 (см. формулу (66.5)). Тогда из соотношения (66.4) следует, что в основном состоянии атома водорода модуль момента импульса электрона равен нулю, т. е. электрон нельзя представлять себе вращающимся вокруг ядра по круговой или эллиптической орбите. Скорее движение электрона можно представить как колебания относительно ядра по прямой, проходящей через ядро. Состояния с квантовым числом / = 0 называются s-состояниями. В s-состоянии момент импульса электрона равен нулю, оболочка сферически симметрична, т. е. электрон может быть обнаружен с равной вероятностью в любой точке пространства на расстоянии г от ядра. Решение уравнения Шредингера для основного s-состояния атома водорода, обозначаемого символом Is, дает распределение радиальной плотности вероятности р нахождения электрона в зависимости от расстояния до ядра, представленное на рисунке 7.23. Как видно из рисунка, электрон в основном состоянии атома водорода может быть обнаружен на различных расстояниях от ядра. С наибольшей вероятностью его можно обнаружить на расстоянии, равном радиусу первой боровской орбиты. Атом водорода в Is-состоянии можно представить в виде атомного ядра и окружающего его сферически симметричного электронного облака с максимальной плотностью на расстоянии г, от ядра. При взаимодействии с атомами или другими частицами, при поглощении фотона атом водорода может перейти из основного стационарного состояния в одно из возбужденных состояний. Рассмотрим особенности этих состояний. В первом возбужденном энергетическом состоянии, т. е. в состоянии с главным квантовым числом п = 2, атом водорода согласно выражению (66.2) обладает полной энергией: ,4 1 ^ ^ 4 Е = - ^ 32к^е1Г1^ 4 Значению главного квантового числа п = 2 соответствуют два возможных значения орбитального квантового числа 1 = 0 и / = 1. Следовательно, при одном и том же значении главного квантового числа п = 2 электрон мо- 266 жет находиться либо в 2s-coctohhhh (Z = 0), либо в состоянии с орбитальным квантовым числом, равным единице (I = 1). Состояния с орбитальным квантовым числом 1=1 называются р-состояниями. В 2§-состоянии распределение электронного облака сферически симметрично, как и в Is-состоянии. Однако зависимость плотности вероятности нахождения электрона от расстояния до ядра имеет иной вид (см. рис. 7.23). Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра оказывается примерно в 5 раз больше радиуса первой боровской орбиты. Кроме того, этот график имеет не один, а два максимума. Для 2р-состояния решение уравнения Шредингера дает иной результат. Это облако по форме напоминает гантель. Во втором возбужденном энергетическом состоянии (л = 3) орбитальное квантовое число I может иметь значения, равные о, 1, 2. Состояния с орбитальным квантовым числом I = 2 называются d-состояниями. Следовательно, при п = 3 атом водорода может находиться в S-, р- и cZ-состояниях. Распределения плотности электронных облаков атома водорода в плоском сечении в S-, р- и d-состояниях представлены на рисунке 7.24. В каждом следуюш;ем возбужденном энергетическом состоянии атома водорода к уже известным состояниям по орбитальному квантовому числу добавляется одно новое. Состояние с орбитальным квантовым числом 1 = 3 называется /"-состоянием, с I = 4 — ^•-состоянием. Во всех состояниях с различными значениями квантовых чисел Z и т, но с одинаковым значением главного квантового числа п атом водорода обладает одинаковой полной энергией jE, т. е. S-, р-, cZ-, /-, ^-энергетические уровни для одного значения главного квантового числа п совпадают. Однако это не обш;ее свойство состояний всех атомов, а лишь особое свойство атома водорода, обусловленное наличием на электронных оболочках только одного электрона. Правила отбора. Ко времени создания квантовой механики при изучении линейчатых спектров атомов был обнаружен ряд эмпирических закономерностей, требовавших теоретического объяснения. Одной из таких закономерностей было установление факта, что в спектрах атомов наблюдаются только линии Рис. 7.24 ^s 2s •о© т = 0 2р ## m = ±^ • • V = о ^ Лк .... о Т J_ ф 267 излучения, соответствующие переходам между s- и р-, р- и d-, d- и /^-состояниями. Эта особенность спектров получила объяснение в квантовой механике. Расчеты вероятностей переходов между различными состояниями показали, что отличны от нуля вероятности лишь таких переходов, в результате которых происходят изменения орбитального квантового числа на единицу и магнитного квантового числа на единицу или нуль. Эти условия называются правилами отбора. Физический смысл правил отбора несколько упрощенно можно пояснить следующим образом. Фотон обладает моментом импульса. Его проекция на направление движения фотона называется спином (от англ, spin — вертеть) фотона. В единицах постоянной Планка h спин фотона равен ±1. Следовательно, при излучении или поглощении фотона момент импульса атома должен увеличиваться или уменьшаться на ±h. Переход, например, с возбужденного 2з-уровня на основной Is-уровень оказывается невозможным потому, что в этом случае изменение момента импульса электрона в атоме было бы равно нулю и появился бы отличный от нуля момент импульса фотона. Возможны лишь такие переходы с излучением фотона, при которых момент импульса электрона до излучения равен векторной сумме моментов импульсов излученного фотона и электрона после излучения. Это условие может быть выполнено только при переходах с изменением орбитального квантового числа I на ±1. Изменения проекции вектора момента импульса при этом не могут превышать по модулю изменения самого вектора момента импульса. Н Вопросы. 1. в чем заключается принципиальное отличие квантовомеханического описания состояния системы от классического описания? 2. Какие сведения о квантово-механической системе можно получить на основании решения уравнения Шредингера? 3. Какие физические характеристики системы определяются главным квантовым числом, орбитальным квантовым числом и магнитным квантовым числом? 4. Какой вид имеет потенциальная яма для электрона в атоме водорода? 5. Почему электрон в атоме водорода не падает на ядро? 6. Какой вид имеют электронные облака в различных состояниях атома водорода? 7. Почему переходы в атоме возможны не между любыми состояниями? § 67*. Спин электрона Тонкая структура уровней и спин. Наблюдения атомных спектров с помощью спектрографов высокой разрешающей способности показали, что линии в спектрах щелочных металлов состоят из двух очень близко расположенных линий. Этот факт легко объяснить, предположив, что все энергетические уровни, кроме s-уровня, имеют тонкую структуру — распадаются на два близко расположенных подуровня. В этом случае нужно признать, что энергия электрона в атоме зависит не только от главного квантового числа п, но и от 268 орбитального квантового числа I. Эта зависимость получила объяснение после открытия спина электрона. Спином называется собственный или внутренний момент импульса элементарной частицы. Гипотезу о существовании спина электрона высказали в 1925 г. голландские физики Джордж Уленбек и Самьюэл Гаудсмит. Они предположили, что электрон можно представить в виде заряженного шарика, вращающегося вокруг своей оси. Вращающаяся заряженная частица эквивалентна круговому току, поэтому электрон должен обладать собственным магнитным полем (магнитным моментом). Дальнейшие теоретические и экспериментальные исследования свойств электронов показали ошибочность представлений об электроне как вращающемся заряженном шарике. Классические представления неприменимы к элементарным частицам. Однако вывод о существовании собственного момента импульса и собственного магнитного поля электрона полностью подтвержден. При круговом движении электрона вокруг ядра в системе отсчета электрона положительно заряженное ядро представляется круговым током. Собственное магнитное поле электрона взаимодействует с магнитным полем кругового тока. Такое взаимодействие называется спин-орбиталъным взаимодействием. Энергия этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации векторов индукции собственного магнитного поля электрона и магнитного поля кругового тока. Модуль спина электрона определяется по формуле, аналогичной формуле (66.3) для модуля орбитального момента: S = П Vs(s + lj, (67.1) где S — спиновое квантовое число, имеющее только одно значение: S = 1/2. Модуль спина электрона также имеет только одно значение: S = ^h. (67.2) Проекция спинового момента на избранное в пространстве направление может принимать только два значения: S, = ti/2, S, = -h/2. (67.3) В единицах постоянной Планка Й проекция спина на избранное в пространстве направление равна ±1/2, поэтому часто для краткости говорят, что электрон обладает спином 1/2 или полуцелым спином. Изучение свойств атомов, прежде всего их спектров, показало, что орбитальный и спиновый моменты электрона в атоме не могут быть ориентированы произвольно друг относительно друга. Проекция спина электрона на одну из координатных осей может быть только параллельной или антипа-раллельной проекции орбитального момента. Поэтому проек- 269 ция полного момента импульса J атома может принимать значения: j = l + s = 1±1/2. (67.4) Знак «плюс» соответствует параллельной ориентации проекций орбитального и спинового моментов, знак «минус» — антипараллельной их ориентации. Так как электрон обладает не только орбитальным, но и собственным моментом, то уточненное правило отбора возможных переходов между различными состояниями атома, сопровождающихся излучением или поглощением фотона, являющееся следствием законов сохранения, имеет вид Ау = ±1. (67.5) Сверхтонкая структура уровней. Дальнейшее совершенствование спектральных методов позволило обнаружить разделение многих спектральных линий на несколько очень близко расположенных линий. Это означало, что энергетические уровни атомов разделены на несколько очень близких подуровней. Это расщепление уровней назвали сверхтонкой структурой уровней. Сверхтонкое расщепление примерно в 1000 раз меньше тонкого расщепления. Оно объясняется зависимостью энергии атома от взаимодействия электрона и атомного ядра, обусловленного существованием собственных магнитных полей у атомных ядер. Н Вопросы. 1. Чем объясняется тонкая структура спектральных линий? 2. Что такое спин электрона? 3. Чему равен полный момент импульса электрона? 4. Как квантуется полный момент импульса? 5. Каковы уточненные правила отбора? 6. Чем объясняется сверхтонкое расщепление спектральных линий? § 68*. Многоэлектронные атомы Принцип Паули. В атоме водорода из всех возможных стационарных состояний lS-состояние с квантовыми числами п = 1 и I = о является особенным. В этом состоянии, называемом основным, энергия электрона имеет минимальное значение из возможных, атом в этом состоянии может существовать неограниченно долго. Во всех остальных состояниях атом существует ограниченное время, порядка 10'®—10“^ с, и самопроизвольно переходит в основное состояние с излучением фотона. Можно предположить, что при образовании атома с зарядом ядра q = Ze все электроны в соответствии с принципом минимума энергии будут находиться в одном и том же состоянии с квантовыми числами /1=1и/ = 0.В этом случае атомные спектры всех элементов были бы подобны спектру водорода. Но в действительности атомные спектры всех элементов существенно различны. 270 Изучение атомных спектров химических элементов показало, что в нейтральном невозбужденном атоме, содержащем Z электронов, лишь два из них находятся в состоянии с минимальной энергией. Остальные электроны находятся на более высоких энергетических уровнях и не переходят самопроизвольно на более низкие уровни неограниченно долгое время. Такое поведение электронов в атомах объяснил в 1925 г. австрийский физик Вольфганг Паули. Принцип Паули утверждает, что в любой квантовой системе два и более электрона не могут находиться одновременно в одном и том же квантовом состоянии. Состояние электрона в квантовой системе определяется четырьмя квантовыми числами: п, /, т, s (см. § 66, 67). Следовательно, в квантовой системе не могут существовать электроны, у которых были бы одинаковыми все четыре квантовых числа. Принцип Паули — фундаментальный закон квантовой физики. Ему подчиняются не только электроны, но и любые другие частицы со спином 1/2 или другим полуцелым спином. Частицы с нулевым или целочисленным спином, например фотоны, мезоны, принципу Паули не подчиняются. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева. Совместное действие принципа Паули и принципа минимума энергии системы определяет закономерности заполнения электронных оболочек в атомах и периодическую повторяемость химических свойств элементов. Прежде всего отметим, что в многоэлектронных атомах из-за взаимодействия электронов между собой их энергия оказывается зависящей не только от главного квантового числа, но и от остальных трех квантовых чисел, в первую очередь от орбитального числа. Но преобладающим остается влияние главного квантового числа. Поэтому минимальной энергией обладают электроны в состоянии с главным квантовым числом, равным единице; больщей энергией — в состояниях сл = 2,3,4ит. д. Сколько же электронов может находиться в состоянии с одним и тем же значением главного квантового числа? Согласно принципу Паули электроны с одним и тем же значением главного квантового числа должны отличаться друг от друга хотя бы одним из трех других квантовых чисел I, т и S. Одному значению главного квантового числа п соответствует п значений орбитального квантового числа I (от л - 1 до 0). Одному значению орбитального квантового числа I соответствует 2/ + 1 значение магнитного числа т (от I до —I). Отсюда общее число возможных состояний с одним и тем же значением главного квантового числа, но различными значениями орбитального и магнитного квантовых г = л - 1 чисел равно ^(2/+1) = л^. Вместе с тем при одинаковых I = о 271 значениях трех квантовых чисел п, I и т электроны могут отличаться значениями четвертого, т. е. спинового квантового числа. Так как это число имеет два возможных значения (s = 1/2 и S = -1/2), то общее число различных квантовых состояний электрона с одним и тем же значением главного квантового числа равно 2п}. Совокупность электронов в атоме с одним и тем же значением главного квантового числа называют электронной оболочкой. В зависимости от значений п эти оболочки обозначаются латинскими буквами К, L, М, N, О, ... (см. табл. 1). Таблица 1 Главное квантовое число п 1 2 3 4 5 Обозначение оболочки К L М N О Максимальное количество 8 18 32 50 электронов в оболочке, 2п^ 2 Электроны с одним значением орбитального квантового числа I образуют подоболочку, обозначаемую буквами s, р, d, f, g с указанием главного квантового числа: Is, 2s, 2р, 3d, 4/ и т. д. Порядок заполнения электронных оболочек атомов химических элементов с порядковыми номерами от Z = 1 до Z = 28 представлен в таблице 2. Из таблицы видно, что до восемнадцатого элемента, аргона, заполнение электронных оболочек происходит в соответствии с основным правилом: сначала заполняются оболочки с меньшими значениями главного квантового числа, затем оболочки с большими его значениями. Однако при заполнении оболочек девятнадцатого и двадцатого элементов — калия и кальция — наблюдаются первые отклонения от этого правила. Девятнадцатый и двадцатый электроны располагаются не на Sd-подоболочке, как можно было ожидать, а на 4з-подоболочке. Таким образом, начинается заполнение четвертой оболочки до завершения заполнения третьей оболочки. Дело в том, что энергетические уровни Sd-подоболочки оказываются выше уровня 4s-пoдoбoлoчки, поэтому только после заполнения более низкого 4э-уровня начинается заполнение Зс/-уровня. В результате на внешней электронной оболочке атомов калия оказывается один электрон, как у атомов лития и натрия, на внешней оболочке атомов кальция — два электрона, как у атомов бериллия и магния. Сходство строения электронных оболочек обусловливает сходство химических свойств элементов. Электрон на новой оболочке оказывается более удаленным от атомного ядра; кроме того, взаимодействие с ядром существенно ослабляется экранирующим действием полностью застроенных внутренних электронных оболочек. Поэтому литий, натрий, калий очень легко отдают один электрон при взаимодействиях 272 Таблица 2 Атомный номер элемента Z Обозначение оболочки К L M N Обозначение подоболочки Is 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p Символ химического элемента Число электронов на подоболочке 1 Н 1 2 Не 2 3 Li 2 1 — — — — — — 4 Be 2 2 — — — — — — 5 В 2 2 1 — — — — — 6 С 2 2 2 — — — — — 7 N 2 2 3 — — — — — 8 О 2 2 4 — — — — — 9 F 2 2 5 — — — — — 10 Ne 2 2 6 — — — — — 11 Na 2 2 6 1 — — — — 12 Mg 2 2 6 2 — — — — 13 А1 2 2 6 2 1 — — — 14 Si 2 2 6 2 2 — — — 15 Р 2 2 6 2 3 — — — 16 S 2 2 6 2 4 — — — 17 Cl 2 2 6 2 5 — — — 18 Ar 2 2 6 2 6 — — — 19 К 2 2 6 2 6 — 1 — 20 Ca 2 2 6 2 6 — 2 — 21 Sc 2 2 6 2 6 1 2 — 22 Ti 2 2 6 2 6 2 2 — 23 V 2 2 6 2 6 3 2 — 24 Cr 2 2 6 2 6 5 1 — 25 Mn 2 2 6 2 6 5 2 — 26 Fe 2 2 6 2 6 6 2 — 27 Co 2 2 6 2 6 7 2 — 28 Ni 2 2 6 2 6 8 2 — 18 — А. А. Пинский 11 кл. 273 с атомами химических элементов, имеющими незавершенную оболочку, — фтора, хлора, брома, кислорода, серы, селена. Поэтому же указанные металлы образуют положительные ионы, а неметаллы — отрицательные. Полностью застроенные s- и р-подоболочки образуют очень устойчивую систему, подобную электронной оболочке атома гелия. Поэтому неон, аргон и криптон по химическим свойствам очень близки к гелию. Атомы этих элементов химически инертны, так как у них велика энергия связи электронов с ядром. Нарушение «нормального порядка» заполнения электронных оболочек в области от девятнадцатого до двадцать восьмого элемента таблицы Менделеева приводит к некоторым особенностям в распределении элементов по их химическим свойствам. Например, легко объясняется близость химических свойств таких элементов, как железо, кобальт и никель. У этих трех элементов (см. табл. 2) одинаковое строение внешней А-оболочки, содержащей по два электрона в 4s-co-стоянии. Отличаются друг от друга атомы этих трех химических элементов только количеством электронов на внутренней М-оболочке, причем эти электроны все заполняют одну Зй-подоболочку. Н Вопросы. 1. в чем физический смысл принципа Паули? 2. Какие частицы подчиняются принципу Паули? Какие частицы не подчиняются принципу Паули? 3. Какими правилами определяется порядок заполнения электронных оболочек атомов? 4. Чем объясняется периодическая повторяемость химических свойств элементов? § 69"^. Атомные и молекулярные спектры Линейчатые спектры газов. Любое вещество при нагревании испускает электромагнитное излучение. Излучение с линейчатым спектром можно получить от атомарного газа при достаточно высокой температуре и низком давлении. Высокая температура необходима для того, чтобы кинетическая энергия теплового движения атомов при их столкновениях была достаточной для перевода атома из основного состояния в одно из возбужденных состояний, а низкое давление — для того, чтобы атомы большую часть времени своего движения были свободными, не влияли друг на друга. При пропускании электрического разряда через газы возбуждение атомов происходит под действием ударов электронов, разгоняемых электрическим полем. Обычно в горячем газе процессы возбуждения атомов и переходы их из возбужденного состояния в нормальное находятся в динамическом равновесии. При этом происходят как процессы излучения фотонов, так и процессы их поглощения. Вид наблюдаемого спектра зависит от условий наблюдения. 274 Для наблюдения линейчатого спектра излучения нужно направить в спектроскоп только свет, идущий от горячего газа. Для наблюдения линейчатого спектра поглощения нужно пропустить через тот же газ поток света со сплошным спектром излучения и со значительно большей поверхностной плотностью потока излучения. В горячем газе в результате соударений имеются атомы в различных возбужденных состояниях. Поэтому при пропускании света со сплошным спектром через горячий газ наблюдается линейчатый спектр с такими линиями поглощения, которые соответствуют линиям излучения в спектре горячего газа. В холодном газе все атомы находятся на основном энергетическом уровне. Поэтому холодный газ может поглощать свет только с частотами, соответствующими переходам атомов из основного состояния в возбужденные, и не способен поглощать свет с частотами, соответствующими переходам с одних возбужденных уровней на другие, более высокие. В случае водорода, например, это означает, что при высоких температурах газ может поглощать свет с частотами, соответствующими всем возможным сериям — сериям Лаймана, Бальмера, Пашена и т. д. Холодный водород поглощает свет только с частотами, соответствующими серии Лаймана. Естественная ширина спектральных линий. Обсудим особенности атомных линейчатых спектров. Каждая линия спектра является изображением освещенной щели на входе трубы коллиматора в цвете определенной длины волны. Поэтому можно ожидать, что с уменьшением ширины щели будет уменьшаться ширина спектральных линий до тех пор, пока не станет существенным влияние дифракции света на краях щели. Однако при использовании спектрографов высокого класса было обнаружено, что разные линии спектра имеют разную ширину и эта ширина значительно превосходит гра- 18* 275 —I Ду[—^ Рис. 7.26 ницы, обусловленные дифракцией света. Пример распределения интенсивности светового излучения по длинам волн, полученного при экспериментальном исследовании линейчатого спектра, представлен на рисунке 7.25. Как видно, спектральные линии в действительности не являются монохроматическими, они представляют собой набор световых волн с разными интенсивностями в некотором узком диапазоне длин волн. Диапазон частот Av, в пределах которого интенсивность спектральной линии убывает в два раза по сравнению с максимальным значением, называется шириной спектральной линии (рис. 7.26). Одна из причин уширения спектральных линий — эффект Доплера. В горячем газе атомы движутся с различными скоростями в разных направлениях. Даже если бы они излучали световые волны с абсолютно одинаковой длиной волны, то из-за влияния эффекта Доплера неподвижный наблюдатель регистрировал бы от удаляющихся атомов свет с несколько большей длиной волны, а от приближающихся атомов — с более короткой длиной волны. Этот эффект называется доплеровским уширением спектральных линий. Измеряя доплеровское уширение, можно определить среднюю скорость теплового движения атомов газа и тем самым его температуру. Однако ширина спектральных линий атомных спектров всегда превышает значение, которое можно объяснить эффектом Доплера. Ширину спектральных линий неподвижных и удаленных друг от друга атомов называют естественной шириной спектральной линии. Так как любая спектральная линия имеет конечную ширину, то это означает, что энергия атома в возбужденном состоянии не имеет одного строго определенного значения. Энергия возбужденного атома может находиться в некоторых интервалах энергии шириной и относительно сред- них значений энергий и Е^ (рис. 7.27). Естественная ширина спектральной линии определяется суммой значений ширины двух энергетических уровней: Рис. 7.27 Av = А£/Л = (А.Б^ -f AEJ/h. (69.1) 276 Соотношение неопределенностей и время жизни возбужденных атомов. Неопределенность энергии атома в любом стационарном состоянии связана с действием фундаментального закона квантовой физики — соотношения неопределенностей (см. формулу (65.6)). Оценим естественную ширину спектральной линии для типичного случая At = 10“^ с, считая, что совершается переход из возбужденного состояния в нормальное состояние. Учитывая соотношение (65.6), имеем Л 1 А АЕ ^ Ду = — ^ . И hAt = ^ « 10« Гц. 2тШ 2п Так как видимый свет имеет частоту порядка 10’“* Гц, то граница относительного изменения частоты спектральной линии, обусловленная естественной шириной, составляет примерно: Ду _ 10** 10' = 10-«, или 10-''%. Ширина спектральных линий близка к естественной ширине в спектрах разреженных газов при слабом и редком взаимодействии атомов. При повышении давления газа и его температуры увеличивается частота столкновения атомов. Взаимодействия атомов приводят к уменьшению их времени жизни в возбужденных состояниях и уширению спектральных линий. Сплошные спектры испускания газов. Довольно широко распространено убеждение, что нагретые газы всегда излучают свет с линейчатым спектром, а свет со сплошным спектром испускают только нагретые жидкости и твердые тела. Однако это убеждение ошибочно. Хорошо известно, что у солнечного света сплошной спектр. Излучается этот свет фотосферой — разреженной газовой оболочкой Солнца, температура которой 6000 К при давлении около 10^ Па. Свет со сплошным спектром испускают разреженные раскаленные газовые оболочки большинства звезд во Вселенной. Следовательно, излучение горячими газами света со сплошным спектром не является редким, исключительным явлением, происходящим в особых условиях на Солнце. Возможны различные механизмы возникновения излучения со сплошным спектром в разреженном горячем газе. Первый из них — рекомбинация свободных электронов с положительными ионами (рис. 7.28). Энергия свободного электрона не квантована, поэтому возникающий при этом спектр имеет ограничение только со стороны низких частот. Этим механизмом порождается часть сплошного спектра солнечного излучения в ультрафиолетовом диапазоне. Второй механизм возникновения излучения со сплошным спектром — тормозное излучение свободных электронов, движущихся в электрических полях, создаваемых положительными ионами 277 hv Рис. 7.29 у \ / \ / \ 1 V+^ ; ^ f \ / \ у Рис. 7.30 плазмы (рис. 7.29). Так как спектр скоростей свободных электронов в плазме сплошной и они проходят на различных расстояниях от положительных ионов, спектр их тормозного излучения также сплошной. Третий механизм возникновения сплошных спектров — излучение при образовании отрицательных ионов (рис. 7.30). Свободный электрон может обладать любой кинетической энергией до присоединения к нейтральному атому. Поэтому при соединениях электронов с нейтральными атомами возникает излучение со сплошным спектром. В фотосфере Солнца происходят все три указанных процесса, при этом основным источником излучения со сплошным спектром в области видимого света являются процессы образования отрицательных ионов водорода. Рентгеновские спектры. Рентгеновское излучение возникает при торможении быстрых заряженных частиц в веществе. В рентгеновской трубке торможение быстрых электронов происходит в результате их взаимодействий с электрическими полями атомных ядер. Спектр тормозного рентгеновского излучения сплошной. Если энергия электронов больше энергии связи электронов К- или L-оболочки атома с большим порядковым номером Z, то может происходить освобождение электронов с внутренних оболочек атомов. Если с i^-оболочки атома удален один электрон, то на освободившееся место переходит один из электронов с соседней L-оболочки (рис. 7.31). На новое освободившееся место, в свою очередь, переходит один электрон с М-оболоч-ки и т. д. Эти переходы совершаются в соответствии с принципом минимума энер? ГИИ системы и сопровождаются испусканием дискретного спектра рентгеновского излучения (рис. 7.32). Это излучение называется характеристическим рентгенов- Рис. 7.31 278 Рис. 7.32 ским излучением. На внутренние оболочки электронов пренебрежимо мало влияют взаимодействия атомов при вступлении их в химические взаимодействия. Поэтому характеристические рентгеновские спектры практически не изменяются при вступлении химических элементов в соединения с другими элементами. По характеристическим рентгеновским спектрам можно определить присутствие отдельных химических элементов в любых сложных соединениях, в любом агрегатном состоянии вещества. Молекулярные спектры. Спектры молекулярных газов отличаются от атомных спектров. Они выглядят как система полос из многочисленных и очень близких друг другу линий. Положение каждой полосы соответствует одному из возможных электронных переходов. Расщепление одного энергетического уровня на полосу близкорасположенных подуровней объясняется двумя причинами: колебаниями атомов внутри молекулы и ее вращением. Энергия колебательного движения молекулы подчиняется законам квантовой физики и имеет дискретный ряд значений. Таким образом, один электронный энергетический уровень разбивается на множество колебательных подуровней. Кроме колебаний отдельных частей молекулы, может происходить вращение молекулы как целого. Изменения энергии вращательного движения квантуются. Электронные и колебательные уровни энергии молекулы разбиваются на множество вращательных подуровней. Число возможных переходов резко увеличивается, возникает огромное число линий спектра, сливающихся в широкие полосы. Н Вопросы. 1. Какой спектр может иметь излучение горячего газа? 2. Как связана ширина спектральных линий излучения горячего газа с его температурой? 3. Чем объясняется существование естественной ширины спектральных линий? 4. Какими механизмами может объясняться происхождение сплошного спектра излучения горячего газа? 5. Как возникают характеристические рентгеновские спектры? 6. Чем отличаются молекулярные спектры от атомных спектров? ■ Творческое задание при исследовании Солнца было обнаружено, что спектр его излучения сплошной, с темными линиями поглощения. Происхождение темных линий 279 поглощения на фоне сплошного спектра объясняют тем, что свет от фотосферы проходит сквозь слой газовой оболочки Солнца, называемый хромосферой. Однако хромосфера не холоднее, а горячее фотосферы. Почему же она дает линейчатый спектр поглощения? Во время солнечных затмений, когда диском Луны закрывается диск Солнца, но остается незакрытой часть хромосферы на краю солнечного диска, происходит обращение линейчатого спектра поглощения в линейчатый спектр испускания. Как можно объяснить это явление? ■ Примеры решения задач Задача 1. При бомбардировке быстрыми электронами металлического антикатода рентгеновской трубки возникает рентгеновское тормозное излучение. Определите коротковолновую границу спектра рентгеновского излучения при скорости электронов 150 000 км/с. Решение. Коротковолновая граница спектра рентгеновского излучения определяется условием равенства кинетической энергии электрона энергии фотона: A,q откуда получаем = (1) Так как скорость v электрона сравнима со скоростью света, то его кинетическую энергию следует рассчитывать по релятивистской формуле Е, = Е-Ео= - тс^ 1 - В этом случае выражение (1) можно записать: ______h е'~ 1 — _ А. п — ----------- При условии: ^ X о - h Л -1 1-^ 6,62 • Ю-З'* Дж • с (2) 9,1 • 10-31 кг • 3 • 1Q3 м/с • 0,155 4,7 • 10-11 Задача 2. Неподвижный атом водорода излучил квант света при переходе с уровня п. = 2 на уровень m = 1. Определите относительное изменение частоты фотона вследствие отдачи атома. Какую скорость приобрел атом за счет энергии отдачи? Решение. Для явления излучения фотона запишем законы сохранения энергии: /гуо = ^21 = Лу + (1) и импульса: ^ = Mv. (2) 280 Из уравнений (1) и (2) следует: v = /г(Уо-У) = ^и, v = 2c^. Мс ° ^ 2с V 2с V (3) Из выражений (1) и (2) следует и другое равенство: ftv„ = Av + MI '"V h (Vo -V) = 2 ( Me = hv + Av 2Mc2 ’ h\ (4) 2Mc2 V 2Mc2 Частота Vq излучения, полученная без учета отдачи атома, определяется по формуле (62.12) или (62.3): Vo = 3,29 • 1015 • (1//п2 - 1/л2). (5) Отсюда энергия, соответствующая переходу атома из состояния п в состояние т, равна: Луо = Л • 3,29 • 1Q15 (1 - 1/4) = ^h- 3,29 • (6) 4 Проведя преобразования выражений (4) и (6), принимая, что у ~ Уо, получим Ду _ /гУр ^_ 3 6,62 10-3^ Дж-с-3,29-1015 c~i V 2Мс2 ’ V 8 1,673 10-27 кг-9 1015 м2/с2 Подставив полученное значение — в выражение (3), найдем V 5,4 • 10-®. скорость: у = 2с — = 2 • 3 • 10» м/с • 5,4 • 10-^ = 3,24 м/с. § 70. Лазер Одним из самых замечательных достижений физики второй половины XX в. было открытие физических явлений, послуживших основой для создания удивительного прибора — оптического квантового генератора, или лазера^. Пучок света от лазера может прожечь отверстие в самом твердом материале, расплавить металлическую броню, и он же помогает хирургам при выполнении самых тонких операций внутри человеческого глаза. По лучу лазера осуществляется телефонная связь и прокладка трасс, лазерное излучение применяется для измерения расстояний и для получения объемных изображений предметов — голограмм. Физической основой работы лазера служит явление индуцированного излучения. * Слово «лазер» образовано от начальных букв слов английского выражения «Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation», что означает «усиление света с помощью индуцированного излучения». 281 Спонтанное и индуцированное излучение. Излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из одного состояния в другое, называется спонтанным (самопроизвольным). Спонтанное излучение различных атомов происходит некогерентно, так как каждый атом начинает и заканчивает излучать независимо от других. и В 1916 г. А. Эйнштейн предсказал, что переход электрона с верхнего энергетического уровня на нижний с излучением фотона может происходить под влиянием внешнего электромагнитного поля с частотой, равной собственной частоте перехода. Такое излучение называют вынужденным или индуцированным. Вероятность индуцированного излучения резко возрастает при совпадении частоты электромагнитного поля с собственной частотой излучения возбужденного атома, возникающего при переходе на более низкий энергетический уровень (резонансный эффект). Таким образом, в результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном, частота которого равна частоте перехода, получаются два совершенно одинаковых по энергии и направлению движения фотона-близнеца (рис. 7.33). С точки зрения волновой теории атом излучает электромагнитную волну, одинаковую по направлению распространения, частоте, фазе и поляризации с той, которая вынудила атом излучать. В итоге получается результирующая волна с амплитудой большей, чем у падающей. Особенностью индуцированного излучения является то, что оно монохроматично и когерентно. Именно это свойство индуцированного излучения положено в основу устройства лазеров. При прохождении света через вещество происходит поглощение фотонов атомами, находящимися в основном состоянии, и излучение фотонов индуцированного излучения атомами, находящимися в возбужденном состоянии. Для того чтобы мощность светового излучения увеличилась после прохождения через вещество, больше половины атомов вещества должно находиться в возбужденном состоянии. Состояние вещества, в котором меньше половины атомов находится в возбужденном состоянии, называется состоянием с нормальной населенностью El---------- Е, 4 энергетических уровней. Со- стояние, при котором боль-Рис. 7.33 ше половины атомов веще- / W4» ^ — г '' ' I © • - ь-2 h\ /7V - Е, — »ЛЛ-» /7V 282 ства находится в возбужденном состоянии, называется состоянием с инверсной (от лат. inversio — переворачивать) населенностью уровней. В веществе с инверсной населенностью уровней возбужденных атомов больше, чем невозбужденных. На пути фотонов чаще встречаются возбужденные атомы, чем атомы в основном состоянии, поэтому индуцированное излучение фотонов происходит чаще, чем их поглощение. В результате при прохождении света нужной частоты через вещество с инверсной населенностью уровней поток света усиливается, а не ослабляется. Экспериментально явление усиления света при его прохождении через среду с инверсной населенностью уровней было открыто в 1951 г. российскими физиками Валентином Александровичем Фабрикантом, Михаилом Максимовичем Вудынским, Фаиной Алексеевной Бутаевой. Создание в веществе инверсной населенности уровней. Перевод вещества в состояние с инверсной населенностью энергетических уровней трудно выполним, так как в возбужденном состоянии атомы обычно находятся лишь 10~®—10"’' с, а затем самопроизвольно переходят в основное состояние. Чем больше атомов находится в возбужденном состоянии, тем больше совершается таких переходов. Однако некоторые атомы имеют возбужденные состояния, в которых они могут находиться довольно длительное время, например 10"^ с. Такие состояния называются метастабилъ-ными. Вещество, в котором имеются метастабильные уровни, может использоваться для усиления света. Пусть атомы вещества в результате поглощения фотонов или другого взаимодействия переводятся из основного состояния с энергией в возбужденное состояние с энергией с коротким временем жизни (рис. 7.34, а). Затем совершается самопроизвольный переход этих атомов на метастабильный уровень с энергией Е2. В результате таких процессов на метастабильном уровне можно создать инверсную населенность. При прохождении в веществе фотона с энергией, равной разности энергий метастабильного и основного состояний = ^2 - Е^), происходит лавинообразный процесс усиления света за счет индуцированного излучения (рис. 7.34, б). Оптический квантовый генератор — лазер. Система атомов с ин- ■е- ■е- ^2 -ee-eee-GH3KE>e- а) -е- -0- ^2 vA/v^ \Лл-^ v/VV^ v/Vv^ б) Рис. 7.34 283 Н. г. Басов версной населенностью уровней способна не только усиливать, но и генерировать электромагнитное излучение. Для работы в режиме генератора необходима положительная обратная связь, при которой часть сигнала с выхода устройства подается на его вход.-Для этого активная среда, в которой создается инверсная населенность уровней, располагается в резонаторе, состоящем из двух параллельных зеркал. После облучения активной среды мощным потоком излучения более половины атомов переходят в метастабильное возбужденное состояние. В результате одного из спонтанных переходов с метастабильного уровня на основной образуется фотон. При движении фотона в сторону одного из зеркал возникает индуцированное излучение других атомов, и к зеркалу подходит целая лавина фотонов с энергией /zVgi каждый. После отражения от зеркала лавина фотонов движется в противоположном направлении, попутно заставляя высвечиваться все новые возбужденные атомы, и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока существует инверсная населенность уровней. С квантовых позиций генерация света должна происходить при любом расстоянии между зеркалами. Но опыт показывает, что она возникает только при определенной длине L А. М. Прохоров резонатора, кратной целому числу полуволн: т _ ^ 2 * При этом условии разность хода между вышедшей волной и волной, испытавшей отражение от двух зеркал, оказывается равной целому числу длин волн и на выходе лазера происходит сложение амплитуд световых волн, т. е. в резонаторе образуется стоячая волна. Рассмотренный принцип усиления и генерации электромагнитного излучения был предложен российскими физиками Николаем Геннадьевичем Басовым, Александром Михайловичем Прохоровым и независимо от них американским физиком Чарлзом Таунсом. В первых лазерах активной средой был кристалл рубина (AI2O3) с примесью около 0,05% хрома. Этот основной (активный) элемент лазера обычно имеет форму цилиндра 1 (рис. 7.35) диаметром 0,4—2 см и длиной Рис. 7.35 3—20 см. Торцы цилиндра 3 и 4 284 строго параллельны, на них нанесен отражающий слой. Одна из зеркальных поверхностей частично прозрачна: 92% светового потока отражается от нее и около 8% светового потока пропускается ею. Рубиновый стержень помещен внутри импульсной спиральной лампы 2, являющейся источником возбуждающего излучения. Процессы, протекающие в кристалле рубина, схематически представлены на цветной вклейке III. Кристалл рубина изображен на этой вклейке прямоугольником, штриховкой слева обозначено зеркало, более редкой штриховкой справа обозначено частично прозрачное зеркало, являющееся и выходным окном для луча лазера. Атомы кристаллической решетки рубина на рисунке не показаны; кружками обозначены атомы хрома, распределенные внутри кристалла хаотически. До воздействия света все атомы хрома в кристалле находятся в основном состоянии, они обозначены светлыми кружками (см. рис. 1 цветной вклейки III). Под воздействием фотонов света различной частоты, испускаемых лампой накачки, большинство атомов хрома переходит в возбужденное метастабильное состояние. Возбужденные атомы хрома обозначены темными кружками (см. рис. 2 цветной вклейки III). Возбужденный атом хрома при переходе в основное состояние испускает фотон света. Все направления для спонтанного излучения фотонов равновероятны, и поэтому сначала большинство излученных фотонов покидает кристалл, вылетая из него по различным направлениям. Только фотоны, летящие вдоль оси рубинового стержня, не могут быстро его покинуть, испытывая многократные отражения от зеркал на торцах кристалла (см. рис. 3 цветной вклейки III). Пролетая вблизи возбужденных атомов хрома, эти фотоны вызывают вынужденное излучение таких же фотонов, летящих в том же направлении. Этот процесс развивается лавинообразно, и за короткий интервал времени в него оказывается вовлеченной большая часть возбужденных атомов хрома: сквозь частично прозрачное зеркало на правом торце кристалла вырывается мощный пучок когерентного света (см. рис. 4 цветной вклейки III). Описанный режим работы лазера называют режимом свободной генерации. Свободная генерация начинается после вспышки лампы накачки и длится около 1 мс. В этом режиме получены рекордные значения энергии излучения, достигающие 1000 Дж в импульсе при мощности около 10® Вт. КПД рубинового лазера невелик: он составляет всего около 1%. Столь низкий КПД обусловлен многими причинами. Основными из них являются следующие: не весь запас электрической энергии, накапливаемой в конденсаторе, превращается в световую энергию; лишь часть светового потока лампы накачки поглощается рубином. 285 Среди различных типов лазеров наиболее широкое распространение в лабораторной практике получили газовые лазеры. Устройство газового гелий-неонового лазер» представлено условно на рисунке 7.36. Стеклянная трубка i, заполненная смесью гелия с парциальным давлением около 10^ Па и неона с давлением около 10 Па, помещается между двумя параллельными зеркалами 3 и 4, из которых одно частично прозрачно. На концах трубки расположены два электрода 2. При подаче напряжения на электроды в трубке возникает электрический разряд. В плазме электрического разряда атомы неона и гелия возбуждаются при неупругих столкновениях с электронами. Упрощенно возникновение индуцированного излучения в гелий-неоновом лазере можно представить следующим образом. У атомов неона имеются возбужденные уровни ^2 и Е^. Время жизни атомов в состоянии значительно больше времени жизни в состоянии Eg, и поэтому возможно создание инверсной заселенности уровня Е^ по отношению к уровню Eg* Однако интенсивность индуцированного излучения в чистом неоне очень невелика. В смеси гелия с неоном интенсивность излучения значительно возрастает, так как у атомов гелия имеется метастабильный возбужденный уровень, практически совпадающий с уровнем Eg неона. Возбужденные атомы гелия могут передавать свою энергию невозбужденным атомам неона и значительно увеличивать населенность уровня Eg (рис. 7.37). Применение лазеров. Мощные лазеры, в частности инфракрасные лазеры на углекислом газе, используются для об- столкновение атомов Рис. 7.37 286 работки материалов (резание, сварка, сверление) с помощью сфокусированного лазерного пучка. Такие же пучки применяются в хирургии вместо скальпеля. Лазерные пучки нашли широкое применение в офтальмологии. С их помощью производятся операции на хрусталике й сетчатке глаза. Возможность «приваривать» отслоившуюся сетчатку к глазному дну позволяет избавить многих больных от неизбежной слепоты. С помощью лазерного излучения можно определять расстояние до движущихся объектов и скорость их движения по эффекту Доплера. Лазерная локация точнее радиолокации, поскольку световые волны значительно короче радиоволн. На монохроматическом когерентном лазерном пучке с помощью волоконной оптики осуществляется кабельная телефонная и телевизионная связь. В настоящее время ведутся исследования возможности осуществления лазерного термоядерного синтеза, лазерного разделения изотопов, использования лазерного облучения для стимуляции химических реакций и т. п. В Вопросы. 1. Какое излучение называется спонтанным? Является ли оно когерентным? 2. Какое излучение называется вынужденным? Является ли оно когерентным? 3. Является ли вынужденное излучение монохроматическим? 4. При каком условии может происходить усиление света при его прохождении через слой вещества? 5. При каком условии в веществе может возникнуть инверсная заселенность энергетических уровней? 6. Как устроен оптический квантовый генератор? 7. Как работает лазер на кристалле рубина? Глава 8 Физика атомного ядра § 71. Атомное ядро Зар51д атомного ядра. Одна из основных характеристик атомного ядра — его электрический заряд. Точные измерения электрического заряда атомных ядер были выполнены в 1913 г. английским физиком Генри Мозли. Заряды ядер атомов различных химических элементов он определял по спектрам рентгеновского излучения, испускаемого атомами при облучении вещества потоком электронов высокой энергии. Электрический заряд q ядра атома равен произведению элементарного электрического заряда е на порядковый номер Z химического элемента в таблице Д. И. Менделеева: q = Ze. (71.1) В связи с этим порядковый номер элемента называется зарядовым числом. Атомы, ядра которых обладают одинаковыми зарядами, имеют одинаковое строение электронных оболочек и поэтому химически неразличимы. Масса атомного ядра. Физические свойства атомного ядра определяются его зарядом и массой. Массы атомов и атомных ядер измеряются с помощью масс-спектрографа (схема устройства масс-спектрографа представлена на рис. 8.1). Положительные ионы исследуемого вещества разгоняются электрическим полем. Специальное устройство пропускает на щель О только ионы с некоторой определенной, одинаковой для всех скоростью и. Через щель пучок ионов попадает в вакуумную камеру М. Эта камера находится между полюсами магнита; вектор магнитной индукции перпендикулярен вектору скорости ионов. Как известно, на электрически заряженную частицу, движущуюся со скоростью V в поперечном магнитном поле с ин-■> дукцией Б, действует сила Лоренца, направленная под прямым углом к векторам скорости заряда и индукции магнитного поля; модуль этой силы равен F = qvB. Под действием силы Лоренца ион движется по окружности, радиус которой R определяется соотношением mv^/R = qvB. Описав полуокружность, все ионы с одинаковой массой попадают в одно место фотографической пластинки П. По известным Рис. 8.1 значениям индукции магнит- 288 ного ПОЛЯ, скорости, заряда иона и радиуса окружности определяется масса иона: т = qBRjv. Целое число, ближайшее к численному значению массы ядра, выраженному в атомных единицах массы, называется массовым числом и обозначается буквой А. Массовое число — безразмерная величина. Изотопы. Измерения масс атомных ядер показали, что большинство химических элементов представляет собой смесь атомов с одинаковым зарядовым числом, но с различными массами. Атомы с одинаковыми зарядами ядра, но с различными массами назвали изотопами элемента (изотоп от греч. isos — одинаковый и topos — место). Этим термином называют различные по массе атомы, принадлежап^ие одному химическому элементу и занимаюш;ие одно и то же место в таблице Д. И. Менделеева. Например, в природе есть три вида атомов водорода. Масса ядра самого легкого изотопа водорода — протия — равна примерно 1 а. е. м.; масса ядра атома второго изотопа водорода — дейтерия — равна примерно 2 а. е. м.; масса ядра атома третьего изотопа водорода — трития — равна около За. е. м. С помощью масс-спектрографа можно не только измерять массы атомов отдельных изотопов, но и определять по плотности почернения линий масс-спектра количественное содержание изотопов в данном элементе. Установки, не отличающиеся по принципу действия от масс-спектрографов, могут быть использованы для промышленного разделения изотопов с целью получения значительных количеств одного из них. Форма и размеры атомных ядер. Изучение рассеяния альфа-частиц и других видов излучений на ядрах атомов различных химических элементов и другие исследования показали, что атомные ядра имеют форму, близкую к сферической. Радиус атомного ядра определяется приближенной формулой (71.3) где Vq = 1,3 фм = 1,3 • 10“^® м; А — массовое число. Так как радиус атомного ядра пропорционален корню кубическому из массы ядра, то объем атомного ядра пропорционален его массе в первой степени: V ~ ~ А ~ М. Поскольку М ~ А • 1,66 • кг, то плотность ядерного вещества примерно одинакова у всех ядер и равна: ММ 3 • 1,66 • 10'^^ А кг P = -F 4/Зл1?з 4/3 • 3,14 (1,3 • 10”^^ f 1,8 • 10^^ кг/м». в Вопросы. 1. Как связан заряд атомного ядра с порядковым номером химического элемента в таблице Д. И. Менделеева? 2. Почему заряд ядра определяет химические свойства атома? 3. Как измеряются массы 19-А. А. Пинский 11 кл. 289 атомных ядер? 4. Что такое изотопы? 5. Почему изотопы одного химического элемента обладают одинаковыми химическими свойствами? 6. Как зависит объем ядра от его массы? 7. Что такое атомная единица массы? Чему она равна? ■ Задачи для самостоятельного решения 71.1. Однозарядные ионы изотопа цезия массой 133 а. е. м. разгоняются в электрическом поле при напряжении 2000 В и движутся в однородном магнитном поле масс-спектрографа. Определите радиус окружности, по которой движутся ионы, если индукция магнитного поля 0,25 Тл. 71.2. В масс-спектрографе с индукцией магнитного поля 0,25 Тл в электрическом поле при напряжении 2000 В разгоняются однозарядные ионы изотопов калия с массами 39 и 41 а. е. м. На каком расстоянии друг от друга будут находиться на фотопластинке образованные ими линии спектра, если траектории их движения будут полуокружностями? § 72. Состав атомных ядер Протон. Первая частица, входящая в состав атомных ядер, была открыта Э. Резерфордом в 1919 г. Используя экспериментальную установку, схема которой изображена на рисунке 8.2, он исследовал взаимодействие альфа-частиц с ядрами атомов азота. В герметичный сосуд помещался источник альфа-частиц Z), перед источником располагался прозрачный экран F, покрытый сульфидом цинка. При выкачивании воздуха из сосуда альфа-частицы достигали экрана и вызывали световые вспышки — сцинтилляции. Эти световые вспышки наблюдались с помощью микроскопа М. При заполнении сосуда газообразным азотом альфа-частицы растрачивали свою энергию на ионизацию и возбуждение атомов и не достигали экрана. Однако редкие световые вспышки все же наблюдались. Эти вспышки вызывались какими-то заряженными частицами, появляющимися в результате взаимодействия альфа-частиц с атомами азота. Электроны не способны вызвать в кристалле сульфида цинка световую вспышку, видимую в микроскоп. Следовательно, альфа-частицы из ядер азота выбивали какие-то другие заряженные частицы. Исследования действия электрических и магнитных полей на частицы, выбиваемые из ядер азота, показали, что эти частицы обладают положительным элементарным зарядом и масса их равна массе ядра - атома самого легкого изотопа 1 водорода — протия iH. Эти т ^ f частицы — ядра атомов самого легкого изотопа водорода — назвали протонами. Выполнив опыты с бором, фтором, натрием, алюмини- 290 ем, фосфором, неоном, магнием и рядом других элементов, Резерфорд обнаружил, что из ядер атомов всех этих элементов альфа-частицы выбивают протоны. На этом основании можно было предположить, что ядра атомов всех элементов содержат протоны. ■F Положительный заряд протона точно равен элементарному заряду е = 1,60217733 • 10■^^ Кл, масса протона равна гпр = 1,6726231 • кг = 1,007276470 а. е. м. Нейтрон. Открытие протона не давало еще ответа на вопрос о том, из каких частиц состоят атомные ядра. В самом деле, если считать, что атомные ядра состоят только из протонов, то возникают противоречия. Так как заряд ядра атома химического элемента с порядковым номером Z в таблице Менделеева содержит Z элементарных положительных зарядов, то естественно было бы предположить, что ядро любого из атомов этого химического элемента составлено из Z протонов. В таком случае ядро атома химического элемента с порядковым номером Z должно было обладать электрическим зарядом q = Ze и массой т = Z/Пр. Но в действительности масса, например, ядра атома кислорода не в 8 раз больше массы ядра атома водорода, а примерно в 16 раз. Первый шаг на пути к открытию второй частицы, входящей в состав атомных ядер, сделали в 1930 г. немецкие физики Вальтер Боте и Г. Беккер. Они обнаружили, что при облучении бериллия и лития альфа-частицами возникает излучение неизвестной природы, способное проходить через толстые слои свинца с мень- альфа-частицы ? р It: ? р IsJ 1 берилий / свинец Рис. 8.3 \ парафин шим ослаблением, чем рентгеновское или гамма-излучение. В 1932 г. французские физики Фредерик и Ирен Жолио-Кюри установили, что излучение, возникающее при облучении бериллиевой пластины альфа-частицами, выбивает из парафина протоны, т. е. ядра атомов водорода (рис. 8.3). Английский физик Джеймс Чэдвик в 1932 г. выполнил опыты по изучению свойств излучения, возникающего при обручении бериллия альфа-частицами. Он установил, что это излучение является потоком нейтральных частиц с массой, примерно равной массе протона. Гипотезу о возможности существования в атомном ядре нейтральной частицы с массой, примерно равной массе протона, Резерфорд высказал еще в 1920 г. Эту предполагаемую частицу он назвал нейтроном (от лат. neutrum — ни то ни другое, т. е. не имеющий ни положительного, ни отрицательного 19* 291 заряда, нейтральный). Опыты Чэдвика явились экспериментальным доказательством существования нейтронов. По результатам современных измерений масса свободного нейтрона равна т„ = 1,6749286 • кг = 1,008664902 а. е. м. Сравнение масс нейтрона и протона показывает, что они различаются очень незначительно, менее чем на 0,2%. Однако важно отметить при этом, что масса нейтрона превосходит массу протона более чем на две электронные массы. Одной из загадок нейтронов было отсутствие их в природе в свободном виде. Их нет ни в воздухе, ни в земных породах. Однако этой загадке вскоре было найдено объяснение. Причиной отсутствия заметных количеств свободных нейтронов оказалась их неустойчивость, нестабильность. Каждый нейтрон, каким-либо способом освобожденный из атомного ядра, через несколько минут самопроизвольно распадается на протон, электрон и электронное антинейтрино. Состав атомных ядер. После открытия нейтрона российский физик Дмитрий Дмитриевич Иваненко и немецкий физик Вернер Гейзенберг выдвинули гипотезу о протоннонейтронном строении ядра. Согласно этой идее все ядра состоят из протонов и нейтронов. Число протонов в атомном ядре равно зарядовому числу Z, число нейтронов обозначается буквой N. Общее число нуклонов (т. е. протонов и нейтронов) равно массовому числу: A = Z + N. (72.1) Ядра с одинаковым числом протонов, но с различным числом нейтронов являются ядрами различных изотопов одного химического элемента. Из-за разного числа нейтронов ядра различных изотопов одного химического элемента обладают разными массами и могут отличаться по физическим свойствам, например по способности к радиоактивному распаду. Из-за одинакового заряда ядра атомы разных изотопов одного химического элемента имеют одинаковое строение электронных оболочек и поэтому обладают одинаковыми химическими свойствами. Обозначается изотоп символом химического элемента X с указанием слева вверху массового числа А и слева внизу — зарядового числа Z, т. е. символом ^Х. Например, самый легкий изотоп водорода, ядром ксгорого является один протон, обозначается символом }Н. Тяжелый изотоп водорода — дейтерий, ядро которого содержит один протон и один нейтрон, обозначается символом fH; сверхтяжелый изотоп — тритий — символом fH. Открытие частиц, из которых состоит атомное ядро, поставило новую проблему — выяснить природу сил, связывающих частицы в атомном ядре. Н Вопросы. 1. В каких опытах было обнаружено разделение атомного ядра на более мелкие части? 2. Из каких частиц состоит атомное ядро? 3. Почему в природе нет заметного количества свободных нейтронов? 292 4. Что такое массовое число? 5. Что одинаково в атомных ядрах всех изотопов данного химического элемента? 6. Чем отличаются ядра атомов разных изотопов одного химического элемента? ■ Задачи для самостоятельного решения 72.1. Чем различаются ядра изотопов и К каким химическим элементам они относятся? Совпадают ли их химические свойства? 72.2. Раньше полагали, что химические свойства элемента определяются его атомной массой. Докажите несправедливость данного утверждения. 72.3. Чем различаются по составу ядра изотопов урана и § 73. Энергия связи ядра Ядерные силы. К началу двадцатого столетия физикам были известны лишь два типа сил: гравитационные и электромагнитные. Между одноименно заряженными протонами в атомном ядре действуют электростатические силы отталкивания. Благодаря чрезвычайно малым расстояниям между протонами в ядре силы электростатического отталкивания, возрастающие обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, достигают колоссальных значений. В тяжелых ядрах, состоящих из нескольких десятков протонов, силы кулоновского отталкивания достигают нескольких тысяч ньютон. Можно было бы предположить, что кулоновскому отталкиванию протонов противодействует их гравитационное притяжение. Но расчеты показывают, что сила гравитационного притяжения, действующая между двумя протонами в ядре, примерно в 10^® раз меньше силы кулоновского отталкивания между ними. Факт существования устойчивых атомных ядер свидетельствует о действии внутри атомных ядер могучих сил притяжения неизвестного ранее вида. Их называют ядерными силами. Свойства ядерных сил к настоящему времени изучены экспериментально довольно хорошо. Современные эксперименты позволили установить, что на расстоянии 10"*® м от центра протона ядерные силы примерно в 35 раз больше кулоновских и в 10^® раз больше гравитационных. Однако с увеличением расстояния ядерные силы очень быстро убывают и на расстояниях, больших 1,4 • Ю"*'’ м, их действием можно пренебречь. Малым радиусом действия ядерных сил объясняется тот факт, что при определяющем действии их внутри атомных ядер в обычных для нас макроскопических явлениях они себя ничем не проявляют. Экспериментальные определения сил ядерного взаимодействия у пар протон — протон, протон — нейтрон и нейтрон — нейтрон показали, что во всех этих случаях ядерное взаимодействие одинаково, т. е. ядерные силы не зависят от наличия или отсутствия электрического заряда у частицы. 293 Нуклон. Так как протон и нейтрон по взаимодействию ядерными силами не отличаются друг от друга, их часто рассматривают как одну частицу — нуклон — в двух различных состояниях (от лат. nucleus — ядро). Нуклон в состоянии без электрического заряда называется нейтроном, нуклон в состоянии с положительным электрическим зарядом называете ся протоном. Одно из замечательных свойств ядерных сил — свойство насыщения — заключается в том, что нуклон оказывается способным к ядерному взаимодействию одновременно лишь с небольшим числом нуклонов-соседей. Свойство насыщения ядерных сил делает их в некоторой мере сходными с силами связи атомов в молекулах. Атом водорода, например, способен вступать в соединение лишь с одним другим атомом, атом углерода способен установить связь одновременно не более чем с четырьмя другими атомами. Ковалентная связь между атомами в молекуле возникает за счет постоянного обмена валентными электронами. Атом водорода имеет всего лишь один электрон и потому способен вступить в обмен электронами только с одним атомом; атом углерода обладает четырьмя валентными электронами, поэтому он может вступить в связь с одним, двумя, тремя и четырьмя другими атомами. Свойство насыщения ядерных сил указывает на возможную природу ядерных сил как сил обменного типа. X. Юкава в 1935 г. показал, что все основные свойства ядерных сил можно объяснить, приняв, что нуклоны обмениваются между собой частицами с массой немногим более 200 электронных масс. Такие частицы были обнаружены экспериментально в 1947 г. Они получили название пи-мезонов или пионов. Существуют положительный, отрицательный и нейтральный пи-мезоны. Масса заряженного пи-мезона равна 274т^, масса нейтрального пиона равна 264т^. Обменное взаимодействие нуклонов в ядре не во всем сходно с ковалентной связью атомов в молекулах. Главное различие заключается в том, что электроны, с помощью которых осуществляется ковалентная связь между атомами, реально существуют и являются составными частями атомов. Иначе обстоит дело с мезонами. Мезоны не являются составными частями протонов и нейтронов, а испускаются и поглощаются ими подобно тому, как атомы испускают и поглощают кванты электромагнитного излучения — фотоны. Протон, испустивший положительный пи-мезон, превращается в нейтрон, а нейтрон после захвата пимезона превращается в протон (рис. 8.4): р —> л' -ь п; п -* р. Таким образом, пи-мезоны являются квантами поля сильного взаи- 294 модействия, или квантами ядерного поля. В принципе возможны четыре типа обмена пионами: т. < Zrrip -ь Nm^. р ^ р + п ^ п -{■ р ^ п + п ^ р TZ . Все эти процессы обеспечивают сильное взаимодействие и тем самым — устойчивость ядра. Энергия связи. Точные измерения масс атомных ядер с помощью масс-спектрографов показали, что масса любого ядра, содержащего Z протонов и N нейтронов, меньше суммы масс такого же числа свободных протонов и нейтронов: (73.1) Из релятивистского соотношения (52.18) следует, что сумма энергий свободных протонов и нейтронов больше энергии составленного из них ядра. Минимальная энергия которую нужно затратить для разделения атомного ядра на составляющие его нуклоны, называется энергией связи ядра. Эта энергия расходуется на совершение работы против действия ядерных сил притяжения между нуклонами. Для разделения атомного ядра на составляющие его нуклоны нужно затратить энергию, равную разности между суммой энергий свободных протонов и нейтронов и энергией ядра: = (ZrrLp + Nm^ - т„) = Атс^, (73.2) где дефект массы: Ат = Znip + Nrrip - т^. (73.3) При соединении протонов и нейтронов в атомное ядро за счет работы сил ядерного притяжения выделяется энергия, равная по модулю энергии связи ядра. Удельная энергия связи ядра. Отношение энергии связи ядра Е^^ к массовому числу А называется удельной энергией связи нуклонов в ядре. Удельная энергия связи нуклонов у разных атомных ядер неодинакова. Сначала с ростом массового числа А она увеличивается от 1,1 МэВ/нуклон в ядре дейтерия до 8,8 МэВ/нук-лон у изотопа железа IgFe, а далее с ростом массового числа постепенно убывает и снижается до 7,6 мэВ/нуклон у изотопа урана ^92 и • Зависимость удельной энергии связи нуклона в ядре от массового числа А представлена графически на рисунке 8.5. Удельная энергия связи нуклонов в ядре в сотни тысяч раз превосходит энергию связи электронов в атомах. Открытие сложной структуры атомных ядер и энергии связи нуклонов в ядре поставило ряд новых вопросов: может ли атомное ядро изменить свое состояние при взаимодействии с другими атомными ядрами и частицами или оно существует только в одном состоянии с одним запасом энергии? 295 f, МэВ нуклон Рис. 8.5 Если изменение энергетического состояния ядра возможно, то каковы спектры изменения энергии ядер — сплошные или линейчатые? Ш Вопросы. 1. На основании каких факторов можно сделать вывод о существовании ядерных сил как особых сил