Учебник Физика 10 класс Пинской Кабардин

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Физика 10 класс Пинской Кабардин - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Академический школьный учебник ■Э. ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Академический школьный учебник ФИЗИКА Ю класс Учебник для общеобразовательных учреждений и школ с углубленным изучением физики Профильный уровень Под редакцией А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 13-е издание Москва « Просвещение » 2011 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 Ф50 Серия «Академический школьный учебник^} основана в 2005 году Проект «Российская академия наук, Российская академия образования, издательство «Просвещение» — российской школе» Руководители проекта: вице-президент РАН акад. В. В. Козлов, президент РАО акад. Н. Д. Никандров, генеральный директор издательства «Просвещение» чл.-корр. РАО А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад. РАО, д-р пед. наук А. А. Кузнецов, акад. РАО, д-р пед. наук М. В. Рыжаков, д-р экон. наук С. В. Сидоренко Авторы: О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов, Э. Е. Эвенчик, С. Я. Шамаш, С. И. Ка-бардина, Н. И. Шефер На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 2-10106-5215/451 от 02,07.2007 г.) и Российской академии образования (Х° 01-171/5/7 от 06.07.2006 г.) Физика. 10 класс : учеб, для общеобразоват. учреж-Ф50 дений и шк. с углубл. изучением физики : профил. уровень / [О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов, Э. Е. Эвенчик и др.]; под ред. А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина; Рос. акад. наук. Рос. акад. образования, изд-во «Просвеш;ение».— 13-е изд.— М. : Просвещение, 2011.— 431 с. : ил.— (Академический школьный учебник).— ISBN 978-5-09-025616-2. УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 ISBN 978-5-09-025616-2 Издательство «Просвещение», 2009 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2009 Все права защищены МЕХАНИКА -Л Глава 1 Основные понятия и законы МЕХАНИКИ §1 Основные понятия и уравнения кинематики Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной задачей механики является определение положения тел и их скоростей в любой момент времени. Раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения, называется кинематикой. Для определения положения тела в любой момент времени необходимо выбрать систему отсчета, в которой рассматривается движение этого тела. Под системой отсчета понимают тело отсчета, которое условно считается неподвижным, систему координат, связанную с телом отсчета, и часы, также связанные с телом отсчета. В кинематике система отсчета выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи. Например, при запуске автоматической межпланетной станции на Венеру ее начальные координаты и начальная скорость определяются относительно места старта на космодроме на поверхности Земли. При выведении станции на орбиту искусственного спутника Земли целесообразно пользоваться геоцентрической системой отсчета с началом координат в центре Земли. На траектории полета станции к Венере необходимо воспользоваться гелиоцентрической системой отсчета с началом координат в центре Солнца. При посадке же станции на поверхность Венеры важно знать скорость и координаты станции относительно поверхности планеты, поэтому целесообразно систему отсчета связать с этой планетой. Линия, по которой движется некоторая точка тела, называется траекторией движения этой точки. Длина участка траектории, пройденного точкой при ее движении, называется пройденным путем. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, называется перемещением. Движение тела, при котором отрезок, соединяющий две любые точки тела, переносится в процессе движения параллельно самому себе, называется поступательным движением, При поступательном движении все точки тела перемещаются одинаково, и для описания движения всего тела достаточно выяснить зависимость координат от времени для произвольно выбранной точки тела. Тело, размерами которого в условиях поставленной задачи можно пренебречь, называют материальной точкой. Возможность не учитывать размеры тела при механическом движении определяется не размерами самого тела, а конкретными условиями рассматриваемого движения. Одно и то же тело в одних условиях можно рассматривать как материальную точку, а в других такое упрощение недопустимо. Например, космический корабль при описании его движения по орбите наблюдателем с поверхности Земли можно принять за материальную точку, так как размеры корабля здесь роли не играют. Однако космонавт, находящийся внутри космического корабля, не может считать его материальной точкой. Не может рассматривать космический корабль как материальную точку и другой космонавт, находящийся на космической станции, к которой приближается этот корабль. Они должны учитывать как ориентацию космического корабля в пространстве, так и его вращение. Для определения координат тел в любой системе отсчета необходимо уметь измерять расстояние между двумя точками. Проведение измерений любой физической величины заключается в сравнении измеряемой величины с эталоном, условно принятым за единицу измерения данной физической величины. В Международной системе единиц (система интернациональная — СИ) за единицу длины принят метр (от древнегреческого слова «метрон», что означает «мера»). Первоначально (с 1799 г.) метр определялся как одна сорокамиллионная часть земного меридиана, проходящего через Париж. В 1872 г. на Международной конференции мер было принято считать метром длину специально изготовленного эталона длины, хранящегося в Севре, близ Парижа. В 1983 г. по международному соглашению принято новое определение метра: метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени 1/299 792 458 секунды. Новое определение метра позволяет повысить точность измерений расстояний в специальных исследованиях. Зависимость координат тела от времени исследуется на основе измерений времени. Для измерения времени применяются различные природные, периодически повторяющиеся процессы. Естественной мерой времени служат сутки — период вращения Земли вокруг своей оси. Однако вращение Земли вокруг своей оси нельзя считать идеально равномерным. Из-за тормозящего действия приливов в океане и в земной мантии продолжительность суток увеличивается примерно на 0,001 с за столетие. На скорость вращения Земли оказывают влияние направление ветров и океанических течений, изменение распределения вещества внутри Земли, происходящее при землетрясениях. Значительно более устойчивыми и воспроизводимыми являются процессы, связанные с излучением энергии атомами. Поэтому в СИ единица времени — секунда — определяется следующим образом: 1 с равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. При координатном способе задания положения тела в декартовой системе координат движение материальной точки определяется тремя функциями, выражающими зависимость координат от времени (рис. 1.1): x=^x{t), y = y{t) и z = z{t). Эта зависимость координат от времени называется законом движения (или уравнением движения). Скорость. Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорости движения. Мгновенной скоростью И поступательного движения материальной точки в момент времени t называется предел отношения малого перемещения к малому промежутку времени Д^, за который произошло это перемещение, при условии At—*0: V =lim Af-O Такой предел называется производной перемещения по времени. Проекция скорости на ось прямоугольной декартовой системы координат равна производной координаты по времени. Например: v^=hm^ = -^=x'. Мгновенная скорость — векторная величина. (1.1) рис. 1.2 При последовательном уменьшении длительности промежутка времени At направление вектора перемещения Да* приближается к касательной в точке А траектории движения, через которую проходит материальная точка в момент времени t (рис. 1.2). Поэтому вектор и* скорости лежит на касательной к траектории движения материальной точки в точке А и направлен в сторону движения материальной точки. Физический смысл выбора направления вектора скорости тела по касательной к траектории движения заключается в следующем. Как показывает опыт, при таком выборе вектор скорости указывает направление, в котором будет двигаться материальная точка из точки А траектории, если в момент прохождения этой точки действие любых других тел на нее прекратится. Формула (1.1) позволяет установить единицу скорости. В Международной системе (СИ) единицей расстояния является метр, единицей времени — секунда, поэтому единица скорости в СИ — метр в секунду (1 м/с). Скорость один метр в секунду равна скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м. Движение с постоянной по модулю и направлению скоростью называется равномерным прямолинейным движением. При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути. При равномерном движении график зависимости модуля скорости V от времени t является прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 1.3). Путь s, пройденный телом за время t при равномерном движении со скоростью и, определяется уравнением s = vt. (1.2) рис. 1.3 Если площадь прямоугольника ОАВС на графике зависимости скорости V от времени t выразить в единицах произведения скорости V на время f, то она равна пройденному пути s: ОА • ОС= vt. Движение любого тела в реальных условиях никогда не бывает строго равномерным и прямолинейным. Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением. Ускорение. При неравномерном поступательном движении скорость тела изменяется с течением времени. Процесс изменения скорости тела характеризуется ускорением. Ускорением называется векторная величина cl, равная пределу отношения малого изменения вектора скорости Д1Г к малому промежутку времени Af, за которое произошло это изменение, при условии Д^^0: о*=Ит 4^ . Лг-О At (1.3) Этот предел называется производной скорости по времени. Проекция ускорения на координатную ось является первой производной проекции скорости на эту ось или второй производной координаты по времени. Например: ЛУу dUr d^x a^=hm^ = =-41 = jc". ^ д<-.о At dt dr Направление вектора о* ускорения совпадает с направлением вектора Д1Г изменения скорости при очень малых значениях изменения времени Д^-^0. Вектор ускорения а при криволинейном движении тела может быть направлен по отношению к вектору и скорости под любым углом а в пределах 0<а<я. Его можно представить в виде суммы двух составляющих: тангенциальной и нормальной. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, нормальное ускорение — по нормали к касательной (рис. 1.4). Из рисунка следует, что модуль а полного ускорения равен: o = Vo|+^. (1.4) Равноускоренное движение. Движение с постоянным по модулю и направлению ускорением называется равноускоренным движением. При равноускоренном прямолинейном движении ускорение движущегося тела равно отношению изменения вектора скорости Ди к интервалу времени Д^, причем интервал времени может быть любым, а не только очень малым: а = Ли At (1.5) Если в начальный момент времени ^ = 0 скорость тела равна Ijq, а в момент времени t равна V , то Au‘=v’-u‘q, At = t, v'=v'o-ha^t. (1.6) При равноускоренном прямолинейном движении векторы F и а могут быть сонаправлены или направлены противоположно. При сонаправленных векторах 7 и а модуль скорости v в любой момент времени вычисляется по формуле v=Vo + at. (1-7) При противоположном направлении векторов v и а модуль скорости V равноускоренного прямолинейного движения вычисляется по формуле v = VQ-at. (1-8) В формулах (1.7) и (1.8) буквой а обозначен модуль ускорения. Если начальная скорость Vq равна нулю, то скорость равноускоренного прямолинейного движения определяется формулой v = at. (1.9) График зависимости модуля скорости и равноускоренного прямолинейного движения от времени t при Vq = 0 представлен на рисунке 1.5. Примерно равноускоренным движением является падение тел на Землю с небольшой высоты в тех случаях, когда сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Падение в пустоте называют свободным падением. Все тела при свободном падении в данном месте движутся с одинаковым ускорением. Ускорение, с которым падают на Землю тела в пустоте, называют ускорением свободного падения. Модуль ускорения свободного падения обозначается буквой g. В различных местах около поверхности земного шара ускорение свободного падения примерно одинаково и равно: 9,8 м/с^. При равноускоренном прямолинейном движении с начальной скоростью 1^, сонаправленной с вектором ускорения графиком зависимости модуля скорости v от времени t является прямая АВ (рис. 1.6). Заменим приближенно прямолинейное равноускоренное движение последовательностью равномерных прямолинейных движений, как это представлено на рисунке 1.6. Путь, пройденный за каждый интервал времени при равномерном движении, равен плоЕцади соответствующего прямоугольника на графике зависимости скорости от времени. Сумма площадей всех прямоугольников на графике равна площади трапеции OABD. Следовательно, в единицах произведения vt площадь под графиком скорости равноускоренного движения равна пройденному пути. Площадь трапеции OABD равна сумме площадей прямоугольника OACD и треугольника АВС (рис. 1.7). Поэтому путь s, пройденный телом за время t, определяется уравнением s = VQt^att = Vot+. (1-10) Если векторы скорости F и ускорения 1а направлены противоположно, то аналогичным способом можно получить, что пройденный за время t путь s равен: s = Vot-^. (1.11) Если Vq = 0, из формулы (1.10) следует: ® 2 • (1.12) Из формул (1.12) и (1.9) следует: ^ 2а ’ (1.13) v = \j2as. (1.14) 2s ' (1.15) Из формулы (1.12) также следует: а= Щ-г (1.16) и , t= V о (1.17) Равномерное движение по окружности. В природе и технике часто наблюдается движение тел по окружности с постоянной по модулю скоростью. Примерно так движутся Лу- рис. 1.8 на вокруг Земли и Земля вокруг Солнца. При равномерном движении материальной точки по окружности вектор скорости IT изменяется по направлению, но остается постоянным по модулю. Поскольку направление вектора скорости изменяется со временем, равномерное движение по окружности является ускоренным движением. Если модуль вектора скорости гГпри движении по окружности не изменяется со временем, то тангенциальное ускорение равно нулю, в любой момент времени вектор ускорения перпендикулярен^ вектору скорости и является нормальным ускорением: а=а„. Так как вектор ускорения при равномерном движении по окружности в любой момент времени t направлен к центру окружности, его называют центростремительным ускорением (рис. 1.8). Для определения модуля вектора центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности найдем отношение модуля изменения вектора скорости к малому интервалу времени At, за который произошло это изменение (рис. 1.9). Так как интервал времени At очень мал, то угол а между векторами скорости iT^ и Од в точках А vi В окружности тоже очень мал. Поэтому Аи=уа. (1-18) Угол а между векторами скорости в точках А и В равен углу а между радиусами, соединяющими данные точки с центром окружности. Этот угол равен отношению длины дуги АВ к радиусу окружности. Длина дуги АВ равна uAt, следовательно, (1.19) Используя выражения (1.18) и (1.19), получим, что модуль центростремительного ускорения а при равномерном движении по окружности равен: 10 - _ _ vc^ _ vvAt At At RAt V R ' (1.20) Модуль вектора центростремительного ускорения а при равномерном движении тела по окружности не изменяется, но его направление непрерывно изменяется. Поэтому равномерное движение по окружности не является движением с постоянным ускорением, т. е. не является равноускоренным движением. Интервал времени, за который тело совершает один оборот по окружности, называется периодом обращения и обозначается буквой Т. При равномерном движении по окружности радиусом R со скоростью V период обращения Т можно определить, разделив длину окружности на скорость и: (121) Величина, обратная периоду Т, называется частотой обращения и обозначается буквой v: (1.22) v= Из формул (1.20)—(1.22) следует: (1.23) а = 4я2Ду2. (1.24) Равномерное движение материальной точки по окружности можно характеризовать угловой скоростью. Угловой скоростью со равномерного движения точки по окружности радиусом R называется отношение угла Дф поворота радиуса, соединяющего материальную точку с центром окружности, к интервалу времени Д^, за который произошел этот поворот: (1.25) Угол поворота Дф измеряется в радианах, поэтому единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду. Выразив длину s дуги окружности через радиус R окружности и центральный угол Дф, можно установить связь между угловой со и линейной v скоростями движения материальной точки по окружности и центростремительным ускорением: 8=ЛДф, v = ^ = ^=Riii, а = = со^Д. R (1.26) (1.27) Угловая скорость со связана с частотой v и периодом Т вращения выражением со =2Ttv= . (1.28) 11 ■ Вопросы 1. Что изучает механика? 2. Что изучает кинематика? 3. Что называют системой отсчета? 4. Какое движение называют поступательным? 5. При каких условиях тело можно считать материальной точкой? 6. Как определяются единицы длины и времени? 7. Каков физический смысл мгновенной скорости и мгновенного ускорения? 8. Какова связь между тангенциальным, нормальным и полным ускорением? ■ Примеры решения задач Задача 1. Камень брошен с высоты h над поверхностью Земли с начальной скоростью Оо под углом а к горизонту. Определите зависимость координат тела от времени, время движения и дальность полета камня, максимальную высоту его подъема над поверхностью Земли. Напишите уравнение траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. В качестве тела отсчета выберем Землю. Начало системы координат поместим в точку О, находящуюся на Земле. Ось OY направим вертикально вверх, а ось ОХ расположим так, чтобы вектор скорости щ лежал в плоскости XOY (рис. 1.10). В этом случае движение будет происходить в указанной плоскости и для определения положения тела достаточно знать только две координаты — X и у. Y поверхности Земли все тела движутся с постоянным ускорением направленным вертикально вниз. Поэтому проекции ускорения камня во время всего его движения равны: а^ = 0; ay = — g. За начало отсчета времени выберем момент бросания камня. Запишем начальные условия: = Уо=Ь, Vq^= OQCOsa, i^osina. Проекции скорости на оси координат и координаты камня в любой момент времени определяются из уравнений равноускоренного движения: и^ = УоСОза, (1) Uy=0osina-^f, (2) x = VQtcosa, (3) i/= Л-f sin а- (4) времени t c уравнения (3) и, подставив полученное Uflcosa ; выражение в уравнение (4), получим y = h + xtga- _ ^ . (5) Найдем связь координатой X из рис. 1.10 2Uq cos^ а Выражение (5) является уравнением параболы. При заданном значении угла а — это парабола типа у = ах^ -\-bx-\-c. 12 Время подъема камня определим, приравняв нулю проекцию скорости Vy в уравнении (2): O = 0osina-^fn^, ^ _ UQsina Гпод= g • Подставляя полученное значение времени подъема камня в уравнение (4), найдем максимальную высоту подъема: Я = у= fe + По sin а - 4 f= /г + - '^0 У' = " g 2\ g / g 2g 9 . 2 , u^sin а Время движения ^дв определим, приравняв нулю координату у в уравнении (4): ♦2 0 = /г + ио^дв31па- gt‘ Решив полученное уравнение относительно ^дз, получим Uqsin а + Vv^sin^ 0.+ 2gh t„^ = g Второй корень уравнения дает для времени движения отрицательное значение, что в данной задаче не имеет физического смысла. Дальность полета камня I определяется из уравнения (3) при подстановке ^ = ^дв: , ^ Уп sin а cos а + Un cos а VynSin^a+2^Л l = Xr„,^ = VQt^gCOsa= -------- При Л = 0 получаем более простые уравнения: x = V()t cosa, y = V()tsina--^, у = xtg a- gx 2УдСоз^а vlsin^a / = ^sin2a. Задача 2. Камень брошен вертикально вверх с поверхности Земли с начальной скоростью 30 м/с. Нарисуйте графики зависимости от времени скорости, ускорения, координаты камня и пройденного им пути за 8 с. Считать, что после падения камень не движется. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Когда говорят о графиках зависимости векторной величины от времени, например скорости или ускорения тела, то имеют в виду либо зависимость от времени проекции вектора на одну из координатных осей, либо зависимость от времени модуля вектора. Необходимо обратить внимание на то, что модуль любого вектора всегда величина положительная, а проекция вектора на координатную ось может приниматься положительной при направлении от начала координат и отрицательной при противоположном на- 13 правлении. При решении задачи за положительное направление оси ОХ выберем направление вектора начальной скорости щ камня. В этом случае проекция вектора ускорения свободного падения на ось ОХ равна: а^ = -^ = -10 м/с^, а модуль ускорения равен: а = ^= 10 м/с^. Во время полета ни направление, ни модуль вектора ускорения свободного падения не изменяются, поэтому графики a(t) и a^it) до момента достижения земной поверхности являются прямыми, параллельными оси времени. Зависимость проекции скорости на ось ОХ от времени можно представить в виде V^=VQ-gt. (1) Так как полученная функция линейная, графиком этой функции является прямая. Ее можно построить по любым двум точкам. Выберем точку старта t = 0, v^=Vq и верхнюю точку траектории ^поа = ^о/ё- Отсюда время подъема камня до верхней точки равно: ^пoд = 30/10 с = 3 с. Зависимость координаты х камня от времени при его движении запишем в виде x = XQ-\-VQt-gt^l2. Приняв за начало отсчета координаты положение камня на Земле (д:о=0), получим x==VQt-gt^!2. (2) В момент падения камня на Землю х = 0: 0 = По^дв~^^дв^/2. Следовательно, общее время полета равно: ^дв = 2uo/^> *дв = 6 с. Итак, мы выяснили, что общее время полета камня равно 6 с, а время подъема равно времени падения. В течение седьмой и восьмой секунд камень будет лежать на поверхности Земли. Построенные по этим результатам графики зависимости проекции ускорения и модуля ускорения а от времени представлены на рисунке 1.11, а, б, графики зависимости проекции скорости и модуля скорости v от времени представлены на рисунке 1.12, а, б. Выражение (2) является квадратичной функцией, следовательно, графиком этой функции является парабола. Вершину параболы можно найти, подставив в выражение (2) время подъема камня ^под ^^o/^ ' ^тах ~ 14 v^,m/ с 30 -30 a) рис. 1.12 Для построения параболы заполним таблицу. t, с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X, м 0 25 40 45 40 25 0 0 0 График зависимости координаты х от времени представлен на рисунке 1.13, а. Для построения графика зависимости пройденного пути S от времени следует учесть, что в первые три секунды он совпадает с графиком x(t)^ а с четвертой по шестую секунду длина пути продолжает увеличиваться по закону: s = vl/2g + g{t„^^~ 3)^/2. Заполним таблицу зависимости пути от времени. t, с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 S, м 0 25 40 45 50 65 90 90 90 График этой зависимости представлен на рисунке 1.13, б. а) б) рис. 1.13 15 Задачи для самостоятельного решения 1.1. На рисунке 1.14 представлены графики зависимости скорости движения двух автомобилей от времени. Автомобили движутся по одной прямой в одном направлении и в начальный момент времени находились в одном и том же месте. Через сколько времени второй автомобиль догонит первый? 1.2. Найдите зависимость центростремительного ускорения точек земной поверхности от широты местности. Рассчитайте центростремительное ускорение для экватора, полюса и Москвы. При расчетах примите, что Земля имеет форму шара радиусом 6400 км. 1.3. Самолет выполняет «мертвую петлю* в вертикальной плоскости, двигаясь с постоянной по модулю скоростью. Определите минимальную скорость движения самолета при радиусе «петли* 90 м и максимальный радиус «петли* при скорости движения самолета 100 м/с. 1.4. Мимо поста ГИБДД проезжает автомобиль со скоростью и, превышающей дозволенную. Инспектор ГИБДД на мотоцикле отправился вдогонку в тот момент, когда автомобиль поравнялся с постом ГИБДД. Считая движение мотоцикла равноускоренным, определите скорость v мотоцикла в тот момент, когда он догонит автомобиль. 1.5. Велосипедист едет по закруглению велотрека радиусом i? = 35 м. При движении с постоянным по модулю тангенциальным ускорением его скорость за 10 с увеличилась с 10 до 15 м/с. Определите тангенциальное, центростремительное и полное ускорения велосипедиста в конце 10-й секунды разгона. 1.6. Камень бросили под углом 60° к горизонту со скоростью 10 м/с. Рассчитайте радиус окружности, приближенно совпадающей с верхним участком траектории. 1.7. В последнюю секунду свободного падения тело прошло четвертую часть пути. Сколько времени и с какой высоты оно падало? 1.8. Колесо радиусом 1 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью 1 м/с. Определите зависимость координат точки, находящейся на ободе колеса, от времени. Начертите траекторию движения этой точки. §2 Инвариантные и относительные величины в кинематике в практике движение одного и того же тела рассматривают в разных системах отсчета, при этом кинематические характеристики движения при переходе из одной системы отсчета в другую могут изменяться или оставаться одинаковыми. Характеристики, имеющие одинаковые значения в разных системах отсчета, называют инвариантными. К инвариантным величинам относятся промежуток времени, дли- 16 на отрезка, стержня и т. п. Вывод об инвариантности этих величин сделан на основе обобщения опыта. В своей непосредственной практике человек чаще всего встречается с движением тел, скорости которых много меньше скорости света, поэтому вывод об инвариантности промежутков времени и отрезков в различных системах отсчета экспериментально проверен лишь для таких скоростей. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными. Относительными величинами в кинематике являются координаты, перемещение, скорость, а иногда и ускорение. Относительна и траектория движущейся материальной точки. С изменением вида траектории при переходе из одной системы отсчета в другую мы встречаемся в ряде задач. Астрономы, например, хорошо знают, что такие планеты, как Марс, Сатурн, Юпитер, «выписывают» на небе сложные траектории с петлями. Между тем траектории их движения относительно Солнца — эллипсы. Все дело, оказывается, в том, что мы наблюдаем эти планеты в системе отсчета, связанной с Землей, которая сама движется по эллипсу относительно Солнца. Относительность вида траектории можно продемонстрировать и в лаборатории. Отметим на ободе колеса тележки точку и будем наблюдать за ее перемещением при движении тележки. Ясно, что в системе отсчета, связанной с тележкой, траекторией точки будет окружность. В системе отсчета, связанной с Землей, траектория точки будет довольно сложной кривой. Эту кривую называют циклоидой. С точки зрения кинематики все системы отсчета одинаково пригодны для описания движения тел. Это утверждение следует понимать в том смысле, что любое механическое явление можно описать в любой системе отсчета и при этом нет оснований отдавать предпочтение какой-либо одной системе отсчета перед другой. Ни одна из систем отсчета не является «истинной», «настоящей», выбор каждой из систем отсчета определяется лишь соображениями удобства, целесообразности. По значениям кинематических величин в одной системе отсчета можно рассчитывать значения этих же величин в любой другой системе отсчета. Типичным примером относительной величины в механике служит перемещение s тела. Если в движущемся поезде пассажир перейдет из одного конца вагона в другой, модуль его перемещения s' в системе отсчета, связанной с вагоном, будет равен нескольким метрам. В системе отсчета, связанной с Землей (рис. 1.15), перемещение's того же пассажира будет складываться из его перемещения 's' относительно вагона и перемещения самого вагона относительно Земли Sq: 17 s = s'+s (2.1) В случае, когда одна система отсчета движется относительно другой с постоянной скоростью Уо» это выражение принимает вид 's=^'+VQAt. (2.2) Разделив обе части уравнения (2.2) на одинаковый во всех системах отсчета малый промежуток времени At, получим As At При —► о будем иметь V=V'+Vo. (2.3) Формула (2.3) представляет собой выражение классического закона сложения скоростей. Классический закон сложения скоростей имеет ограниченную область применения. Он выполняется с высокой степенью точности при значениях скоростей Vq и о', много меньших скорости света с в вакууме, равной 300 000 км/с. Автомобили и поезда, самолеты и космические ракеты, планеты и искусственные спутники Земли движутся относительно Земли со скоростями, значительно меньшими скорости света. Поэтому для описания их движения при переходе из системы отсчета, связанной с Землей, к любой другой системе отсчета, движущейся относительно Земли со скоростью и<^с, можно пользоваться классическим законом сложения скоростей. Особого обсуждения требует вопрос об ускорении в различных системах отсчета. Если рассматривать любые системы отсчета, движущиеся с ускорением друг относительно друга, то ускорение тела не является инвариантной величиной. Однако в системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга, ускорение тела одно и то же, т. е. инвариантно. К этому выводу легко прийти, используя классический закон сложения скоростей. Пусть в одной системе отсчета за промежуток времени Д^ = ^2-^l скорость движения тела изменилась от v[ до Скорости щ и V2 этого же тела в моменты времени и ^2 ® другой системе отсчета, движущейся со скоростью Уо = const относительно первой, можно найти по закону сложения скоростей: 18 Ul = Ul+Uo. V2=V2 + Vq. Вычтем одно равенство из другого. Изменения скорости в обеих системах отсчета оказываются одинаковыми: V2-Vi=V2-Vi, ИЛИ Av=Av'. Разделив обе части равенства на промежуток времени в течение которого произошло изменение скорости движения тела на Av, получим Аи _ Ди' At At ‘ В пределе, при Д^-^0, будем иметь а = а', т. е. ускорение тела одно и то же в обеих системах отсчета. ■ Вопросы 1. Какие кинематические величины имеют одинаковые значения в различных системах отсчета? 2. Какие кинематические величины зависят от выбора системы отсчета? 3. Приведите примеры, иллюстрирующие относительность траектории. 4. Инвариантно ли ускорение тела в системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга? 5. При каких условиях применим классический закон сложения скоростей? И Примеры решения задач Задача 1. Два автомобиля приближаются к перекрестку по взаимно перпендикулярным траекториям с постоянными скоростями Wj и V2- В момент времени, когда первый автомобиль достиг перекрестка, второй находился на расстоянии Iq от него. Определите минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения. Решение. Первый способ. В качестве тела отсчета выберем Землю. Движение автомобилей по поверхности Земли на малых по сравнению с радиусом Земли расстояниях можно считать происходящим на плоскости. В этом случае положение каждого из них можно задать двумя координатами. Оси ОХ и OY направим вдоль дорог в направлении движения автомобилей (рис. 1.16). За начало отсчета расстояний выберем перекресток, за начало отсчета времени — момент времени пересечения перекрестка первой машиной. Начальные условия движения автомобилей запишем в виде ui,=0, Uij,= Oi, дсо1 = 0, Уо1 = 0» ^02~~^0» У02~^‘ Yk пи, рис. 1.16 X 19 Координаты машин в любой произвольный момент времени определяются уравнениями У\=Уо\+^\у^> У2~У02'^^2у^’ С учетом начальных условий получим JTl = 0, X2 = -lQ + V2t, y^ = V^t, 1/2 = 0- Расстояние между точками на плоскости можно выразить через их координаты: I = \' (х^-х^)'^+(У\ - У2?- Отсюда расстояние I между автомобилями в любой момент времени равно: l = \(lQ-V2t'f+v\t^. Исследование этого выражения на минимум можно провести следующим элементарным способом. Возведем обе его части в квадрат: f = {Iq - Vztf + (i?2 + vj) - 2lQV2t -b ill -1^) = 0. Полученное выражение является уравнением параболы. Из него следует, что на расстоянии I автомобили будут дважды: в моменты времени и fg» определяемые формулой______________ /qL>2 ± \Iqi4 -(t^l +V2)jll-l^) ^1.2= o\ + vl ^0^’2 Минимальное значение достигается в случае t^ = t2 = т. е. при обращении в нуль подкоренного выражения (дискриминанта): /gyi-(u!-bui)(/g-4in) = 0- Выразив из этого уравнения получим V^Iq жется со скоростью V^2^ V 2 2 \vi+V2 Решение задачи оказывается более простым, если выбрать другую систему отсчета. Второй способ. В качестве тела отсчета выберем второй автомобиль, направление координатных осей и начальный момент отсчета времени примем такими же, как и в первом случае. В системе отсчета, связанной со вторым автомобилем, первый автомобиль дви- равной: Vi2 = v^-V2, = Вектор ско- рости Vi2 направлен под углом а к прямой, соединяющей автомобили в начальный момент времени < = 0 (рис. 1.17). Кратчайшее расстояние между автомобилями равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из начала координат, в котором находится второй автомобиль, на прямую, по которой движется первый автомобиль. Из рисунка 1.17 вид- но, что L , = Z()Sina, где sina=-^. Следовательно, 20 ^mln “ ^0^^1 2v V'yi- 3aдача 2. Рассчитайте радиус R^k окружности, совпадающей с участком траектории точки колеса радиусом R (циклоиды) в ее верхней точке. Решение. Ускорение точки А (рис. 1.18) инвариантно в движущихся с постоянной скоростью относительно друг друга системах отсчета; относительно системы отсчета. связанной с осью колеса, оно равно а„„ = .2 ’ н ««1 д а а относительно Земли где Vi — скорость этой точки относительно центра колеса О; V2 — скорость этой же точки относительно точки О^. Обозначив буквой v скорость движения центра колеса О, получим: l>2 = 2u. в соответствии с законом сложения скоростей Ui = 2v-v = v. „ , ^ ,.2 (2vr Из инвариантности ускорений (a^c, = ^n.cJ следует: ' , от- кудаД„ = 4Д. Я Док ■ Задачи для самостоятельного решения 2.1. Ракета на высоте 100 м разрывается в воздухе на два осколка. Скорость первого осколка равна 60 м/с и направлена вертикально вверх, скорость второго равна 40 м/с и направлена вертикально вниз. На каком расстоянии друг от друга окажутся осколки через 0,5 с? 2.2. Два камня падают с высоты 80 м, причем второй камень начал падать на 2 с позже первого. Постройте график зависимости проекции скорости первого камня на вертикальную ось в системе отсчета, связанной со вторым камнем. Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с^. 2.3. Пловец переплывает реку шириной /. Под каким углом к направлению вектора скорости течения воды он должен плыть, чтобы попасть на противоположный берег за самое короткое время? Чему равно перемещение пловца относительно берега, если скорость течения реки Uj, а скорость пловца относительно воды V2? 2.4. Ракета стартовала с поверхности Земли и двигалась вертикально вверх с ускорением 5 м/с^ в течение 10 с, пока работали ее двигатели. Сколько времени пройдет с момента прекращения работы двигателей до момента падения ракеты на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь. 2.5. Два автомобиля за одинаковое время набрали одинаковую скорость. Первый автомобиль двигался в течение времени ti с ускорением о^, а затем в течение времени ^2 с ускорением U2- Второй автомобиль двигался в течение времени ^2 ^ ускорением 02, а затем в течение времени с ускорением а^. В каком случае перемещение тела будет больше, если aj>a2? Решите задачу в общем случае. Проверьте свое решение для частного случая: f,=5 с, ai = 2 м/с^, t2 = 10 с, П2= 1 м/с^. 21 §3 Основные понятия и законы динамики в кинематике движение тел изучается без выяснения законов взаимодействия тел и причин возникновения ускорений. Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел и законы движения тел при действии на них других тел, называется динамикой. Первый закон Ньютона. Развитие механики как экспериментальной науки началось в XVII в. Великий итальянский ученый Галилео Галилей (1564—1642) на основе экспериментальных исследований движения шаров по наклонной плоскости сделал общий вывод о том, что скорость любого тела изменяется только в результате его взаимодействия с другими телами. Явление сохранения скорости движения тела при отсутствии внешних воздействий называется инерцией. Великий английский ученый Исаак Ньютон (1643—1727) сформулировал в качестве одного из основных законов механики закон инерции: всякое тело находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела. Закон инерции называют первым законом Ньютона или первым законом механики. Свойство тел сохранять свое состояние покоя или движения с постоянной скоростью называется инертностью тел. Инертность проявляется в том, что при внешнем воздействии тело не может мгновенно перейти из состояния покоя в состояние движения или из состояния движения в состояние покоя. Легко изменить скорость движения воздушного шарика, но трудно изменить скорость автобуса. Следовательно, инертность разных тел может быть различной. Масса. Для количественного сравнения инертности разных тел в физике используется физическая величина — масса тела. Масса является мерой инертности тела. Для сравнения масс различных тел необходимо выбрать тело, масса которого принимается за единицу массы. Таким телом служит эталон из сплава иридия с платиной, хранящийся в Международном бюро мер и весов (Франция). Единица массы в Международной системе, равная массе этого эталона, называется килограмм (кг). На практике для измерения масс тел используется связь свойства инертности тел со свойством их притяжения к Земле. Опыты и наблюдения показывают, что, чем более инертно тело, тем сильнее оно притягивается к Земле. Притяжение тел к Земле называется гравитационным притяжением. Следовательно, масса является не только мерой инертности тел, но и мерой их способности к гравитационному взаимо- 22 действию. Самый простой и распространенный способ сравнения и измерения масс тел основан на сравнении способности тел к гравитационному притяжению с помощью равноплечих весов. Если равноплечие весы, на чашки которых помещены два тела, находятся в равновесии, то гравитационное притяжение тел к Земле одинаково, следовательно, одинаковы и массы тел. Инерциальные системы отсчета. При отсутствии взаимодействий с другими телами одно и то же тело может находиться в состоянии покоя в одной системе отсчета и двигаться с ускорением в другой системе отсчета. Следовательно, закон инерции выполняется не в любых системах отсчета. Системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, называются инерциальными системами отсчета. Сила. В инерциальных системах отсчета любое изменение скорости тела происходит только в результате действия на него других тел. Признаком действия на тело других тел является возникновение ускорения. Однако одного ускорения для характеристики действия одного тела на другое оказывается недостаточно. Опыт показывает, что при одинаковом действии разные тела приобретают различные ускорения. Однако произведение массы тела на его ускорение при одинаковом действии на разные тела оказывается одинаковым и поэтому может служить количественной мерой действия на тело других тел. Физическая величина F, равная произведению массы т тела на ускорение а его движения, называется силой: F = та. (3.1) Из определения понятия силы следует, что сила F есть векторная величина. Направление вектора силы F совпадает с направлением вектора ускорения а тела. За единицу силы в Международной системе принимается сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с^. Эта единица называется ньютон (Н). Силы упругости. Возникновение ускорений является не единственным возможным результатом взаимодействия тел. Опыт показывает, что другим возможным результатом взаимодействия тел может быть изменение формы и размеров тел — деформация тел. Поэтому силы можно определять не только путем измерения ускорений тел известной массы, но и путем измерения деформации тел. Силы, возникающие в результате деформации тел, называются силами упругости. Измерение сил, возникающих при деформации тел, можно производить, используя силу тяжести. Так как ускорение g свободного падение тел под действием силы тяжести известно, сила тяжести F равна: 23 F = mg. Подвешивая к концу пружины тела разной массы, можно исследовать зависимость силы упругости Fy^p от деформации X. Как показывает опыт, при малых деформациях стальной пружины сила упругости Fy„p прямо пропорциональна деформации (закон Гука): Fy„p=-fejr. (3.2) Коэффициент k в формуле (3.2) называется жесткостью и выражается в ньютонах на метр (Н/м). Знак «минус» в законе Гука указывает, что сила упругости направлена противоположно деформации тела. Сложение сил. Сила F, оказывающая на тело такое же действие, как две одновременно действующие на это тело силы Fj и Fg, называется равнодействующей сил Fj и Fg. Опыт показывает, что равнодействующую F двух сил Fj и Fg, приложенных к одной точке тела, можно найти по правилу сложения векторов, или по правилу параллелограмма: F=Fi + F2. (3.3) Пользуясь правилом параллелограмма, любой вектор силы F можно представить как равнодействующую двух векторов сил Fj и Fg, приложенных к той же точке тела. При взаимодействии одного тела одновременно с несколькими телами каждое из тел действует независимо от других тел и равнодействующая сила F является суммой векторов всех действующих сил: F = Fi + F2 -ь F3+... +F „. Это экспериментально установленное свойство сил называют подчинением принципу суперпозиции. ^ Второй закон Ньютона. По определению сила F, приложенная к телу, равна произведению массы т тела на ускорение а, возникающее под действием этой силы. Следовательно, ускорение движения тела прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона или вторым законом механики: а = ^. т (3.4) В случае, если к телу приложено несколько сил, ускорение а тела прямо пропорционально равнодействующей Fp всех сил и обратно пропорционально массе т тела: а = ^Е, т (3.5) 24 Второй закон механики выполняется только в инерциальных системах отсчета. Закон инерции не является простым следствием второго закона механики. Определяя понятие инерциальной системы отсчета, он позволяет установить границы применимости второго закона механики. Третий закон Ньютона. Опыт показывает, что при любом взаимодействии двух тел, массы которых равны и m2, отношение модулей их ускорений остается постоянным и равным обратному отношению масс тел: Ql _ т.2 02 Отсюда следует равенство 01^1 = 02^2- В векторном виде это уравнение следует записать в виде /7iiai = - /^202. Знак «минус» выражает тот опытный факт, что при взаимодействии тел их ускорения всегда имеют противоположные направления. Используя второй закон Ньютона, получаем равенство F, = -F2. Это выражение, называемое третьим законом Ньютона, показывает, что тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой. Эти силы равны по модулю, противоположны по направлению. Однако они не могут уравновешивать друг друга, так как приложены к разным телам. Сила действия и сила противодействия имеют одинаковую природу. Третий закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета. ■ Вопросы 1. Сформулируйте первый закон Ньютона. 2. Какие системы отсчета в классической механике называют инерциальными? 3. Существуют ли в природе инерциальные системы отсчета? 4. Как в инерциальной системе отсчета движется тело, если векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю? 5. Как в инерциальной системе отсчета движется тело, если векторная сумма всех сил, действующих на него, не равна нулю? 6. Какая физическая величина является мерой инертности тела? 7, Какая физическая величина является мерой действия на тело других тел? 8. Как зависит сила упругости от деформации тела? 9. Сформулируйте второй закон Ньютона. 10. Как следует записать второй закон Ньютона для тела, на которое действуют несколько сил? 11. В чем сущность принципа суперпозиции сил? 12. Всегда ли совпадает направление равнодействующей всех сил с направлением вектора скорости этого тела? 13. Всегда ли совпадает направление равнодействующей всех сил с направлением вектора ускорения этого тела? 14. Сформулируйте третий закон Ньютона. 15. Поясните примерами особенности сил действия и противодействия. 25 ■ Примеры решения задач Задача 1. Два тела массами m-i и т^, связанные нитью, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Масса нити /Ло- На второе тело действует в горизонтальном направлении сила F. Определите силы, с которыми нить действует на каждое тело. В каком случае эти силы будут равны по модулю? Трением можно пренебречь. Решение. Изобразим силы, действующие на каждое тело и нить (рис. 1.1^); Fj и 1^2 — силы, с которыми нить действует на тела 1 и 2; F[ и F'2 — силы, с которыми тела действуют на нить. Сила тяжести, действующая на каждое тело, скомпенсирована силами реакции опоры. Так как нить нерастяжима, то модули ускорений обоих тел и нити одинаковы и равны а. Применим второй закон Ньютона для сил, действующих в горизонтальном направлении (сумма сил, действующих в вертикальном направлении, равна нулю): Fi = nil F'2-F[ = mQa, F-F2= т.2а. Применив третий закон Ньютона, получим: F[=Fi, F2 = F2. Используя выражения (1) — (4), получаем: F (1) (2) (3) (4) mi+m.2 + rtiQ F,= Fm Fo = mi + m2 + mo F(mi+mo) mi -b m2 + m.Q Силы Fi и F2 равны по модулю в том случае, когда масса нити равна нулю (когда массой нити можно пренебречь по сравнению с массами тел). Задача 2. Длинная доска массой М лежит на гладком горизонтальном столе. На доске находится брусок массой т. Коэффициент трения между бруском и доской равен ц, К бруску приложена сила, параллельная доске, ее модуль зависит от времени по закону F = at. Исследуйте зависимость проекций ускорений бруска и доски на горизонтальную ось от времени действия силы. Начертите графики этих зависимостей. ‘ 26 т— •4 I рис. 1.20 рис. 1.21 Решение. Относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей, на брусок действуют две силы: внешняя сила F и сила трения Д со стороны доски, напра^енная в сторону, противоположную направлению внешней силы F. На доску действует только одна неуравновешенная сила Д — сила трения со стороны бруска (рис. 1.20). Силы тяжести, действующие на доску и брусок, уравновешиваются упругими силами реакции опор. Уравнения второго закона Ньютона ^ проекции на ось ОХ, направленную параллельно вектору силы F (рис. 1.21), можно записать в виде F^ + fi^ = mai^, Дг = ЛГа2д:, где F^ = F, /и = -Д Дх = А Следовательно, F-f=mai^, f=Ma2x-Эти уравнения имеют смысл только при значениях как по условию задачи доска не может двигаться быстрее бруска. В начале движения ускорения бруска и доски равны между собой: aij. = a2a:, откуда F-f _ f ^ т М ’ Эти ускорения будут нарастать со временем до тех пор, пока брусок не станет скользить по доске. Обозначим этот момент времени через Д. Предельное значение силы Fq, при котором ускорения доски и бруска еще равны, можно определить из условия Fp-fp ^ ^ т М ’ где Д = р,лг|Г—максимальное значение силы трения покоя, равное силе трения скольжения. Итак, FQ-\kmg \img V^fng _ f-, т \ "“М“' mJ. Если F^o проекции ускорения доски и бруска будут разными. Проекция ускорения доски, достиг- М ’ останет- нув значения а,2х= ся с течением времени неизменной, в то время как проекция ускорения бруска будет увеличиваться со временем по закону: at-\xmg ^\х— т at ^ Ш Графически зависимости ускорений бруска и доски от времени показаны на рисунке 1.22. Задача 3. Брусок массой т|=0,30 кг лежит на наклонной плоскости, угол при основании которой равен 30°. Коэффициент трения бруска о плоскость равен 0,2. К бруску привязана невесомая и нерастяжимая нить, другой конец которой перекинут через неподвижный блок. К этому концу нити прикреплен груз. Определите ускорения бруска при значениях массы m2 груза 0,05 кг; 0,15 кг; 0,25 кг. При каких значениях массы груза брусок покоится? Решение. В зависимости от соотношения между величинами nil, гп.2, CL и \х брусок может двигаться с ускорением вверх или вниз по наклонной плоскости или находиться в покое. При этом изменяется не только направление, но и модуль силы трения, так как сила трения может принимать различные значения. Рассмотрим два предельных случая, когда брусок движется ускоренно вверх и ускоренно вниз по наклонной плоскости. На рисунке 1.23, а, б изображены силы, действующие на брусок и груз: Fi и р2 — силы натяжения нити при ускоренном движении грузов соответственно вверх или вниз по наклонной плоскости; N — сила нормального давления; m.ig тл. m2g — силы тяжести, действующие на брусок и груз; F^p — сила трения скольжения. Сила трения скольжения в каждом случае направлена, в сторону, противоположную движению бруска. Так как нить нерастяжима, то 28 модули ускорений, с которыми движутся брусок и груз, одинаковы. Вследствие невесомости нити сила натяжения по всей ее длине одинакова. 1. Запишем второй закон Ньютона для проекций сил и ускорений на ось, совпадающую по направлению с ускорением, для случая, изображенного на рисунке 1.23, а: Fi-migs\na-F^p = m^ai, (1) ^2^-Л = ^2«1- (2) Учитывая, что сила трения скольжения F^^ = [iN, где N = migcosa, получим FTp = pmig-cosa. (3) Складывая уравнения (1) и (2) и заменяя значение силы трения выражением (3), получим ni2g - niigsina - ^migcosa = imi + m2)ai. (4) Это выражение можно использовать для расчета ускорения бруска только при условии, что aj>0. Определим минимальную массу груза т^, при которой брусок еще движется вверх по наклонной плоскости без ускорения (а = 0): m2g'-mi^sina-p7ni^cosa = 0, m2=/ni(sina-i-pcosa). (5) Следовательно, при выполнении условия /Пг ^/^^(sina-fpcosa) можно определить искомое ускорение бруска из уравнения (4): m2-misina-pmi cos а ai=g (6) mi+ гп2 Рассчитаем числовое значение величины т^: Ш2 = 0,30кгХ X (sin 30°+ 0,20 cos 30°) = 0,20 кг. Сравнивая полученное значение с данными, представленными в условии, делаем вывод, что рассчитать ускорение бруска по формуле (6) можно лишь при значении m2 >0,20 кг. Положим, т = 0,25 кг: ai = 9,81 м/с 2 0,25-0,30 • 0,5-0,20 • 0,30 • V3/2 „ „„ ,2 ^-----------------— =0,86 м/с‘^. 0,30 + 0,25 2. Запишем второй закон Ньютона для проекции сил и ускорений на ось, направление которой совпадает с направлением ускорения, для случая, изображенного на рисунке 1.23, б: migsma-F2-F^p = mia2, (7) F2-m2g=ni2a2. (8) Учитывая, что сила трения скольжения равна F^p = pmig’cosa, получим, сложив оба уравнения: mi^sina-m2^-|j.m]i^cosa = (mi + т2)а2> (9) Полученное выражение можно использовать для расчета ускорения бруска только при условии, что а2>0. Определим максимальную массу груза т^', при которой брусок еще движется вниз по наклонной плоскости без ускорения (а = 0): 29 migaina.-m'2g -^/ni^cosa = 0, mg =mi(sina-|iCOsa). (10) Следовательно, при выполнении условия mg< mi(sina-pcosa) можно определить ускорение бруска из уравнения (9): m,sina-mo-|imi cosa , ^2 = g—-------1^ ------- . (И) Ш\-\- TTlg Рассчитаем числовое значение величины т^' mg =0,30Kr(sin30°-0,20cos30°) = 0,10 кг. Сравнивая полученное значение с данными, представленными в условии, делаем вывод, что рассчитать ускорение бруска по формуле (11) можно лишь при значении mg = 0,05 кг, так как mg < mg': n о1 у 2 0,30 • 0,50-0,05-0,20 • 0,30 • V3/2 , ^ ,, а,-9,81 м/с‘- ----------б:05 + 0.30------ ' 3. При выполнении условия mi( sin а + pcos а) > mg > mi( sin a - pcos a) брусок не будет двигаться ни вниз, ни вверх по наклонной плоскости, т. е. будет находиться в покое. Для конкретных чисел, заданных в условии, будем иметь 0,20 кг>т2>0,10 кг. Следовательно, при mg = 0,15 кг брусок будет покоиться. В чем же причина того, что система покоится не при одном значении массы груза mg, а в интервале значений примерно от 0,2 до 0,1 кг? Оказывается, причина состоит в особенности силы трения покоя, заключающейся в том, что она может изменяться при изменении внешней силы, действующей на тело. ■ Задачи для самостоятельного решения 3.1. Грузы массами 1,0 и 1,5 кг связаны невесомой и нерастяжимой нитью. Нить перекинута через неподвижный блок. Найдите силу давления нити на ось блока, если силой трения между нитью и блоком, а также его массой можно пренебречь. 3.2. Брусок массой 0,3 кг лежит на наклонной плоскости, угол при основании которой составляет а = 30°. Коэффициент трения бруска о плоскость равен 0,2. К бруску привязана нить, другой конец которой перекинут через неподвижный блок. К этому концу нити прикреплен груз массой 0,2 кг. Определите ускорение тел и силу упругости нити. 3.3. На наклонной плоскости лежит брусок. Начертите график зависимости ускорения бруска от угла наклона плоскости к горизонту для ц = 0,б. 3.4. Силой, движущей поезд, является сила трения колес тепловоза о рельсы. Тормозит же движение сила трения колес вагонов о рельсы. Поскольку масса вагонов больше массы тепловоза, а коэффициент трения колес о рельсы одинаков, следует вывод: тепловоз не сдвинет состав. Найдите ошибку в рассуждениях. 3.5. Сани начинают двигаться по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Коэффициент трения ц между полозьями саней и дорогой равен 0,1. Какой путь пройдут сани за 15 с? 30 3.6. Сани из состояния покоя съезжают со склона горы длиной 50 м за 5 с. Определите коэффициент трения скольжения саней о поверхность горы, если склон горы с горизонтом составляет угол а = 30°. 3.7. Сани массой т = 50 кг перемещаются по горизонтальной поверхности под воздействием силы F = 200 Н, направленной под углом а = 30° к горизонту. Чему равно ускорение движения саней в момент начала движения, если коэффициент трения саней о снежный наст равен ц = 0,1? 3.8. На горизонтальную поверхность стола вертикально падает быстро вращающийся цилиндр. Чему равен угол между направлением отскока и нормалью к горизонтальной поверхности, если коэффициент трения скольжения цилиндра о поверхность равен ц? §~4] Прямая и обратная задачи механики Прямая задача механики материальной точки. Основная задача механики — определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по силам, дей-ствуюгцим на тело, и по известным начальным условиям. Эту задачу называют прямой задачей механики. Для ее решения необходимо знать координаты и скорость тела в некоторый начальный момент времени. Силы в механике зависят от координат или скорости движения одного тела относительно другого. Для нахождения координат тела в любой момент времени необходимо по известным значениям сил, действующих на тело в данный момент, и известной массе тела определить его ускорение, затем найти новое значение скорости тела, его перемещение и координаты. Таким образом, решение основной задачи механики проводится по следующей схеме: — в соответствии с первым законом Ньютона выбирается наиболее удобная инерциальная система отсчета; — в соответствии с принципом суперпозиции находится векторная сумма сил Y.F, действующих на тело, или записываются проекции сил на координатные оси; — в соответствии со вторым законом Ньютона определяется ускорение тела в данной системе отсчета: а=Щ-, или а,~^; — ПО ускорениям и начальным условиям находят скорости и координаты материальной точки в любой момент времени. Прямая задача механики легко решается в случае движения тел под действием постоянной силы. При движении тел у поверхности Земли силу тяжести, действующую на тела, можно считать постоянной. Следовательно, во время всего полета тело, брошенное под углом а к горизонту, движется 31 с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения g. Это дает возможность, зная начальные условия (координаты и скорость), рассчитать высоту и дальность полета и результаты расчета проверить экспериментально. В случае действия сил, зависящих от координат, расчет движения тел оказывается более сложной задачей. Прямую задачу механики часто приходится решать инженерам. Например, зная гравитационные силы, действующие со стороны планет на космический корабль, можно рассчитывать его траекторию в космическом пространстве. Зная силу взаимодействия гребного винта с водой и силу сопротивления воды движению корпуса судна, можно определить, как будет двигаться судно, какую скорость оно может развить. Обратная задача механики. При исследовании новых физических явлений и взаимодействий часто приходится решать обратную задачу механики: зная, как движется тело, определять действующие на него силы. Именно путем решения обратной задачи механики установлены многие фундаментальные законы природы, открыты действующие в природе силы. Открытие закона всемирного тяготения. Примером решения обратной задачи механики является открытие закона всемирного тяготения. В XVI в. астроном Тихо Браге, в течение многих лет наблюдавший планеты, смог с наибольшей возможной в то время точностью определить их координаты в различные моменты времени. Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, астроном Иоганн Кеплер установил формы орбит — траекторий, по которым движутся планеты, и некоторые особенности движения планет по этим орбитам. Оказалось, что планеты движутся по орбитам, близким к круговым, и отношение куба радиуса орбиты любой планеты к квадрату периода ее обращения вокруг Солнца есть величина постоянная, одинаковая для всех планет Солнечной системы: Щ = к, или -\ = -К fji^ (4.1) Причины таких закономерностей движения планет пытался выяснить и сам Кеплер. Однако строгое научное объяснение планетных движений было дано лишь И. Ньютоном. В упрощенной форме вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера и законов механики можно выполнить следующим образом. Считая, что планеты движутся по окружностям, найдем центростремительное ускорение любой планеты: ^4 2) “цс д 2 ’ 32 где Т — период обращения планеты вокруг Солнца; R — радиус ее орбиты. Из выражений (4.1) и (4.2) получаем, что ускорение любой планеты независимо от ее массы обратно пропорционально квадрату радиуса ее орбиты: „ 4.Ti^Rk Согласно второму закону планете это ускорение, равна механики сила. F = ma = 4n^k т 2 » R (4.3) сообщающая (4.4) т. е. сила, действующая на любую планету, прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния от нее до Солнца. Согласно третьему закону механики сила, действующая со стороны Солнца на планету, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой планета действует на Солнце. Обозначим последнюю через F' и по аналогии с формулой (4.4) запишем ее выражение: Г=4Л'^, (4.5) где М — масса Солнца. (4.6) (4.7) (4.8) Так как F = F\ то 4n^k^ = 4n^k' Обозначим ^ ^ An^k _ 4л^к' _ М т ' где G — величина постоянная. Следовательно, 4-кЧ = ОМ, и выражение (4.4) можно записать в виде F = G^. Это и есть математическая запись закона для сил тяготения, действующих между Солнцем и планетами: сила тяготения пропорциональна массе Солнца и массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Сила всемирного тяготения и сила тяжести. Ньютон не остановился на получении выражения для силы тяготения, действующей между Солнцем и планетами. Он предположил, что природа силы, удерживающей планеты на их орбитах, тождественна по природе силе тяжести, действующей на все тела у земной поверхности. Для проверки этого предположения Ньютон применил полученный закон (4.8) для вычисления ускорения движения Луны вокруг Земли, т. е. решил прямую задачу механики. 2 Физика, 10 кл. 33 Ускорение Луны, движущейся под действием силы тяготения вокруг Земли по орбите, близкой к круговой, равно: = ^ = = (4.9) тл-Кл ^ где М — масса Земли; — расстояние от Земли до Луны. Поскольку сила тяготения тождественна по своей природе силе тяжести, действующей вблизи поверхности Земли, то для ускорения свободного падения тела любой массы т у поверхности Земли можно написать выражение rt. Ft GmM п М где i?3 — радиус Земли. Определим из выражения (4.10) постоянную G: м Подставив ее в выражение (4.9), получим м ёН (4.10) — ■ М м Дл Но расстояние от Земли до Луны в 60 раз больше радиуса Земли (Rji=60Rq), поэтому = = 2,7• 10'® м/с^. 60 Экспериментальное значение ускорения Луны можно получить из кинематических расчетов: .,2 4л^Дл d п —" “ — л Лл (4.11) где Т — период обращения Луны вокруг Земли. Подставляя значения Ял=3,84-10® м, Г = 27,3 сут. = 27,3-86 400 с, получим Пл = 2,7 • 10"^ м/с^. Хорошее соответствие результатов, полученных обоими способами, подтверждает предположение о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести. Обобщив этот вывод на все тела в природе, Ньютон получил закон всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: F = (4.12) где коэффициент пропорциональности G, одинаковый для всех тел в природе, получил название гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная. Предположение о том, что гравитационные силы должны действовать между любыми материальными телами, экспериментально было доказано английским физиком Г. Кавендишем в 1788 г. Кавендиш выполнил опыты по обнаружению гравитаци- 34 рис. 1.24 онного взаимодействия тел небольших размеров с помощью крутильных весов. Два одинаковых небольших шара из свинца диаметром примерно 5 см были укреплены на стержне длиной около 2 м, подвешенном на тонкой медной проволоке. Против малых шаров он устанавливал большие свинцовые шары диаметром 20 см каждый (рис. 1.24). Опыты показали, что при этом стержень с малыми шарами поворачивался, что говорит о наличии силы притяжения между свинцовыми шарами. Повороту стержня препятствует сила упругости, возникающая при закручивании подвеса. Эта сила пропорциональна углу поворота. Силу гравитационного взаимодействия шаров, равную силе упругости, можно определить по углу поворота подвеса. Массы шаров и m2, расстояние R между ними в опыте Кавендиша были известны, сила гравитационного взаимодействия измерялась непосредственно, поэтому опыт позволил определить гравитационную постоянную G в законе всемирного тяготения. По современным данным, она равна: G = 6,6720-10-" Н-м2 кг-2. Заметим, что формула (4.12) применима для материальных точек, а также для шаров, плотность которых распределена сферически симметрично относительно их центров. В других случаях для вычисления силы взаимодействия между телами произвольной формы их мысленно разбивают на малые участки, находят силы взаимодействия между всеми участками и затем суммируют векторно все эти силы. Определение масс небесных тел. Нахождение массы планеты, у которой есть спутники,— задача несложная. Планета массой М притягивает свой спутник массой т, расположенный на расстоянии R от центра планеты, с силой, которая определяется законом всемирного тяготения: F = G тМ В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила сообщает спутнику ускорение т Для простоты расчета будем считать, что спутник движется по круговой орбите радиусом R. Тогда ускорение, которое мы 35 Q М — _ (4.13) определяем, равно центростремительному ускорению спутника при движении его по орбите: ^ uf _ 4я^Д “цс Д J.2 ’ где Т — период обращения спутника вокруг планеты; v — скорость движения спутника по орбите. Приравнивая два выражения для ускорения, получаем R Отсюда находим: G Qrp2 Значения R и Т для спутника планеты можно определить из астрономических наблюдений. Понятно, что таким же путем можно найти и массу Солнца, если рассматривать планеты в качестве его спутников. Если у планеты нет спутника, то задача определения ее массы сложнее. В этом случае приходится вычислять ускорение, которое вызывает исследуемая планета у других, более удаленных небесных тел. Такие измерения трудны и менее точны. Чем больше расстояние до небесного тела, тем меньше получаемое им ускорение, тем труднее его измерить. В настоящее время стало возможным определение масс планет по ускорениям, которые они вызывают у пролетающих вблизи них космических аппаратов. ■ Вопросы 1. Какие экспериментальные факты были использованы И. Ньютоном при выводе закона всемирного тяготения? 2. Как можно измерить массу Земли? 3. Какими сведениями необходимо располагать о спутнике планеты для того, чтобы можно было определить массу планеты? Ш Примеры решения задач Задача 1, Каким должен быть радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, чтобы спутник все время находился над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе? Решение. Для того чтобы спутник, двигаясь по круговой орбите, находился все время над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе, необходимо, чтобы период обращения спутника вокруг Земли был равен периоду обращения Земли вокруг своей оси Г3. Центростремительное ускорение спутника, создаваемое силой F- гравитационного притяжения его к Земле, равно: ацс= — . Выразим это ускорение через скорость спутника и радиус его орбиты, а силу с помощью закона всемирного тяготения: ацр = 36 R tIR С Земли. , = где R — радиус орбиты; М — масса Далее получим -^^4^ = 0^. Отсюда К = \Г^^^ =\[ Т“ R‘‘ V 4^2 V Расчеты дают следующий результат: GMTi 4^2 R = 6,67 10- 6 • 10 ^^•(86 400)^ M = 4.2-1Q^ м. 4я2 Задача 2. Определите ускорение свободного падения у поверхности Солнца по следующим данным: расстояние от Земли до Солнца 1,496 • 10^^ м; угол, под которым видно Солнце с Земли, равен 32', период обращения Земли вокруг Солнца 3,1557 • 10^ с. Решение. Ускорение свободного падения на Солнце равно: Sc~G R'i (1) где Me и i?c — соответственно масса и радиус Солнца. Радиус Солнца R^- можно определить из геометрического соотношения Rr=^ = D l?sina (2) ^c- 2 - 2 где R — расстояние от Земли до Солнца; а — угол, под которым виден диаметр Солнца с Земли. Массу Солнца определим, применив второй закон Ньютона к движению Земли вокруг Солнца: F = M^a, С^^^=Мз^, Мс=^"'"^" R‘ Из выражений (1) — (3) получим gc = G 167t^•149,6•10" GT| (3) 4л2д3.4 16n^R gSin а Sc — (3,1557-10Y м/с"" • sin''32 •,~274 m/c2. ■ Задачи для самостоятельного решения 4.1. Согласно второму закону Ньютона ускорение тела обратно пропорционально его массе. Почему же при свободном падении ускорения всех тел одинаковы? 4.2. Считая орбиты планет круговыми, найдите зависимость периода обращения планеты вокруг Солнца от радиуса ее орбиты. Как изменилась бы эта зависимость, если бы сила тяготения была обратно пропорциональна не квадрату расстояния между планетой и Солнцем, а кубу расстояния? 4.3. Определите массу Солнца, считая, что Земля обращается вокруг него по круговой орбите радиусом Л=1,5 • 10^^ м. 37 4.4. Определите массу планеты Марс, если известно, что спутник Марса — Фобос — обращается вокруг него по орбите радиусом Д = 9400 км с периодом Т = 7 ч 39 мин. 4.5. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли с периодом, равным периоду обращения Луны вокруг Земли. Во время движения корабль находится на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, на таком расстоянии от Земли, что силы притяжения, действующие на него со стороны Земли и Луны, равны друг другу. Работают ли двигатели корабля? Если работают, то в какую сторону происходит выброс газа из двигателей? Каков вес космонавта массой 70 кг на корабле? Период обращения Луны вокруг Земли 27,3 сут., отношение масс Земли и Луны 81, расстояние от Земли до Луны составляет 60 земных радиусов, радиус Земли 6400 км. § 5 Принцип относительности Принцип относительности и система отсчета. Законами Ньютона можно пользоваться не в любой системе отсчета, а только в инерциальных системах. В системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, ускорение — величина инвариантная. В механике рассматриваются силы, зависящие от расстояния между телами — силы тяготения, от деформации тела — силы упругости, от относительной скорости движения одного тела относительно другого — силы трения. Но и расстояние, и деформация, и относительная скорость — величины, инвариантные в системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно друг относительно друга. Поэтому в таких системах отсчета сила также является инвариантной величиной. Если при переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, силы, ускорения и массы тел не меняются, то при таком переходе остаются неизменными и все соотношения между этими величинами, в том числе и законы Ньютона. Г. Галилей, исходя из наблюдений над природными явлениями, сформулировал фундаментальный физический принцип (впоследствии названный классическим принципом относительности), согласно которому во всех инерциальных системах отсчета все механические явления протекают одинаково при одинаковых начальных условиях. Оговорка о том, что должны быть заданы одинаковые начальные условия, играет весьма существенную роль. Так, например, наблюдатели на Земле и в вагоне, движущемся относительно ее поверхности равномерно и прямолинейно, следя за свободным падением тела, увидят разные траектории движения. Если тело в начальный момент неподвижно относительно Земли, то в системе отсчета, связанной с Землей, траекторией тела является прямая линия, а в системе отсчета, связанной с вагоном,— парабола. Это, однако, не проти- 38 воречит принципу относительности, так как в этих системах отсчета различны начальные условия. В момент начала падения в системе отсчета, связанной с Землей, рассматриваемое тело покоится, а в системе отсчета, связанной с движущимся вагоном, оно имеет начальную скорость, равную по модулю скорости движения вагона относительно Земли, но направленную в противоположную сторону. Именно поэтому падение тела и выглядит неодинаково для разных наблюдателей. Но если в равномерно и прямолинейно движущемся вагоне тело в начальный момент времени неподвижно относительно вагона, то, как утверждает классический принцип относительности, в вагоне все произойдет точно так же, как и на Земле: траекторией падающего тела будет прямая. Время падения его на пол вагона будет равно времени падения тела с той же высоты на Землю. Опыты подтверждают этот принцип. Классический принцип относительности утверждает одинаковость протекания механических явлений в разных инерциальных системах отсчета, но отсюда не следует, что все механические величины в этих системах одинаковы. Например, скорость летящей птицы, измеренная в системе отсчета «берег», будет отличаться от скорости, измеренной в системе отсчета «корабль». Но нет никаких оснований считать, что одна из этих скоростей «истинная», а другая — нет. Другими словами, классический принцип относительности, раскрывая относительность некоторых характеристик движения (перемещения, координаты, скорости), утверждает абсолютность законов динамики (законов Ньютона). Именно поэтому, находясь в какой-либо инерциальной системе отсчета, нельзя с помощью механических опытов установить, движется эта система равномерно и прямолинейно или покоится. Нет никаких оснований отдать какой-либо из систем отсчета предпочтение. Неинерциальные системы отсчета. В инерциальных системах отсчета ускорение тела согласно ньютоновской механике представляет собой результат его взаимодействия с другими телами, иначе говоря, результат действия сил. Но существуют системы отсчета, в которых наблюдается ускоренное движение тел без воздействия на них каких-либо тел. Рассмотрим простой пример. В неподвижном вагоне I поезда на гладком столе сто- ' ИТ игрушечный автомобиль (рис. 1.25). При начале движения вагона вправо с ускорением W игрушка своего положения относительно рельсов не изменит, если 4 И П 3 W Система отсчета "рельсы" рис. 1.25 39 -w ...0.________.0... Система отсчета "вагон' действием сил трения можно пренебречь. Относительно столика в вагоне игрушка будет катиться влево с ускорением -w, равным по модулю ускорению самого вагона относительно рельсов, но на-^ 20 правленным противоположно ^ ■ ■ (рис. 1.26). С точки зрения на- блюдателя, находящегося в вагоне, второй и третий законы динамики нарушились, так как ускорение игрушки возникло при отсутствии сил, действующих на эту модель. Системы отсчета, в которых наблюдается ускоренное движение тел при отсутствии действия на них сил со стороны других тел, называются неинерциальными системами отсчета. Причиной неинерциальности систем отсчета является ускоренное движение этих систем отсчета относительно инерциальной системы. Движение тел в неинерциальных системах отсчета можно описывать таким образом, как будто и в этих системах отсчета выполняется второй закон Ньютона, если формально считать, что здесь, кроме реальных сил взаимодействия, существуют еще так называемые силы инерции. Чтобы получить выражение для силы инерции, надо ускорение, с которым движется система отсчета, взятое с противоположным знаком, умножить на массу ускоряемого тела: Kn = -mw. (5.1) Для рассмотренного выше примера можно сказать, что на модель автомобиля подействовала сила инерции (рис. 1.27): F„^ = -mw. Введение сил инерции дает формальную возможность не отказываться от второго закона Ньютона и в неинерциальных системах отсчета. Каждый раз, когда речь идет о действующих на тело силах, нужно, кроме различных сил, обусловленных взаимодействием тел, рассматривать также и силы инерции. Второй закон Ньютона будет выглядеть так: ZF-f-F„„ = ma, (5.2) П П рис. 1.27 40 где а — ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета; HF — сумма реальных сил, действующих на тело. Например, рассматривая тело массой т в системе отсчета «лифт», движущейся с ускорением w, направленным вертикально вверх, кроме силы тяжести mg и силы реакции опоры N, следует ввести силу инерции F^„ = -mw (рис. 1.28). На основе выражения (5.2) с учетом того, что тело покоится относительно лифта, получим или в проекции на вертикальную ось У: N - mg-mw = 0, откуда N = m(g + w). В случае движения лифта с ускорением W , направленным вертикально вниз, получим (рис. 1.29) uN Y .4 W mg рис. 1.28 или Тогда mg+N+F^^ = 0, N-mg+mw = 0. N = m(g-w). #1 Рассматривая движения тел относительно поверхности Земли, необходимо учитывать, что Земля вращается вокруг своей оси и все точки ее поверхности имеют центростремительное ускорение w = u)^r, где г—расстояние от данной точки до оси вращения. Следовательно, Земля является неинерциальной системой отсчета, и только малость центростремительного ускорения (ш^х = 0>034 м/с^) по сравнению с ускорением свободного падения на Земле позволяет при решении ряда задач считать Землю инерциальной системой отсчета. Однако при объяснении, например, понятия веса тела не-инерциальностью Земли пренебречь нельзя. Если бы Земля не вращалась, то на тело действовала бы только сила тяготения F^. Вес тела Р, измеренный по действию тела на опору, равен был бы по модулю силе тяготения Р, и направлен к центру Земли. Однако Земля вращается, и в системе отсчета, связанной с Землей, на тело действует сила инерции, направленная от оси вращения и перпендикулярно ей: ■^ин = ~ 41 в результате сила F, действующая на тело, оказывается равной не силе тяготения а равнодействующей сил и -Р’ив (рис. 1.30). Силу Р, равную F^ но приложенную к опоре, называют весом тела. Из рисунка видно, что сила Р на любой широте ф, отличной от 0° и 90°, не направлена к центру Земли. Сила инерции, действующая во вращающейся системе отсчета на неподвижные в этой системе тела, по модулю равна F„„ = =тсд^г=тсо^Рсо8ц>, где г=Ясо8ф — расстояние от тела до оси вращения; ф — широта местности. Это расстояние на различных широтах разное. На экваторе оно наибольшее, на полюсе равно нулю. Поэтому на различных широтах сила F„h, а значит, и вес тела Р имеют различные значения. В этом можно убедиться, измеряя действие тела на опору или подвес на различных широтах Земли. Заметим, что эта разница невелика, она меньше или равна (на экваторе) 0,34%. рис. 1.30 ■ Вопросы 1. Как формулируется классический принцип относительности? 2. В каких системах отсчета справедлив этот принцип? 3. Почему необходима оговорка, что явления протекают одинаково при одинаковых начальных условиях? 4. Какие системы отсчета называют неинерциальными? 5. Почему при решении многих практических задач Землю можно считать инерциальной системой отсчета? 6. В каких системах отсчета вводят понятие о силах инерции? ■ Задачи для самостоятельного решения 5.1. При каком движении самолета в нем возникает состояние невесомости? 5.2. Считая Землю шаром радиусом 6,4 • 10® м, определите изменение веса тела массой 2 кг при перемещении его с полюса на экватор. 5.3. Тело массой 1 кг, подвешенное на нити д.чиной 1 м, описывает в горизонтальной плоскости окружность с частотой 1 с“^. Определите модуль силы упругости нити fynp и угол а, который образует нить с вертикалью. 5.4. Считая Землю шаром радиусом 6,4 • 10® м, определите угол отклонения отвеса от направления на центр Земли на широте 45°. 5.5. При какой продолжительности суток на Земле вес тела на экваторе был бы равен нулю? 5.6. Мотоциклист, участвуя в аттракционе «гонки на мотоциклах по вер- 42 тикальной стене», развивает скорость 60 км/ч. Определите угол наклона мотоцикла к стене, если радиус закругления стены аттракциона 7 м. 5.7*. Какую форму имеет поверхность жидкости во вращающемся цилиндрическом сосуде? §~б1 Вращательное движение тел Кинематика вращательного движения. Вращательным движением называется такое движение тела, при котором все его точки движутся по оружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны оси вращения. Вращается вокруг своей оси планета Земля, вследствие чего происходит смена дня и ночи, вращаются роторы турбин, шестерни и валы во всевозможных станках и машинах. Вращательным является движение диска проигрывателя, лопастей вентилятора. Сложные движения можно рассматривать как сочетания поступательного и вращательного движения. Движение колеса автомобиля, например, складывается из вращения колеса вокруг своей оси и поступательного движения оси относительно дороги. В § 1 было введено понятие угловой скорости при равномерном движении тела по окружности. Это определение можно обобщить на случай неравномерного движения аналогично тому, как было введено понятие о мгновенной скорости материальной точки: (6.1) со = lim — д<-о Af Если тело за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы, то такое движение называют равномерным вращательным движением. Используя понятие угловой скорости, можно дать еще одно определение равномерному вращательному движению. Равномерным вращательным движением называют движение с постоянной угловой скоростью (со = const). Примером вращательного движения, близкого к равномерному, может служить вращение Земли вокруг своей оси. Равномерное вращательное движение встречается сравнительно редко. Гораздо чаще приходится иметь дело с вращательным движением, при котором угловая скорость с течением времени изменяется. С примерами неравномерного вращательного движения мы встречаемся повседневно. На разных участках пути с неодинаковой угловой скоростью вращаются колеса велосипедов, мотоциклов, автомобилей. Изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. Угловым ускорением 8 называется 43 предел отношения изменения угловой скорости Доз к изменению времени At при условии Д^^0: ,. Асо 8 = hm — (6.2) рис. 1.31 Основной закон динамики вращательного движения. Закон динамики вращательного движения может быть получен опытным путем. Для этого можно воспользоваться прибором, внешний вид которого представлен на рисунке 1.31. Металлический диск укреплен на вертикальной оси с помощью шарикоподшипника. Силы трения, возникающие в подшипнике при вращении диска, настолько малы, что их влиянием на результат эксперимента можно пренебречь. Диск приводят во вращение с помощью намотанной на шкив нити, перебрасывая ее через блок и подвешивая к ее концу груз. Перемещение груза вниз под действием силы тяжести приводит диск во вращение. Если начальная угловая скорость вращения диска равна нулю 03 0 = 0, то ее значение оз, при вращении с постоянным угловым ускорением в любой момент времени t определяется выражением 03,= 8i. Измерив время t падения груза и максимальную угловую скорость 03 „ которую приобретает диск за это время, можно определить угловое ускорение по формуле 8 = t Исследование зависимости углового ускорения вращения диска от модуля приложенной силы F при постоянном плече d силы относительно данной оси вращения показывает, что при увеличении силы в 2, 3, 4 раза и т. д. угловое ускорение 8 увеличивается соответственно во столько же раз. Следовательно, угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально модулю приложенной силы при постоянном плече d этой силы. Под диском в приборе установлены два шкива с разными радиусами. Намотав нить на шкив, имеющий в два раза больший радиус, и выполнив измерения, можно увидеть, что увеличение плеча силы в два раза при постоянной по модулю приложенной силе приводит к увеличению углового ускорения диска также в два раза. 44 Так как угловое ускорение прямо пропорционально силе F при постоянном значении плеча d силы и плечу силы относительно данной оси вращения при постоянном значении приложенной силы F, то очевидно, что оно пропорционально их произведению, т. е. моменту силы M = Fd: г = кМ, (6.3) где k — коэффициент пропорциональности. Зависимость углового ускорения от свойств вращающегося тела. Если проделать описанные опыты с другими телами, то зависимость углового ускорения их вращения от момента приложенных сил будет точно такой же по форме, но коэффициент пропорциональности k будет иметь другое значение. Следовательно, угловое ускорение е зависит еще от свойств вращающегося тела. Опыт показывает, что при том же моменте приложенной силы угловое ускорение вращения диска зависит от массы вращающегося тела и от расположения частей тела относительно оси вращения. Для характеристики этого свойства тела ввели величину /, называемую моментом инерции вращающегося тела относительно данной оси вращения: k е ' (6.4) Результаты экспериментов по исследованию вращательного движения можно записать в виде: м 8 = 1 (6.5) Угловое ускорение 8 вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов М всех приложенных к нему сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции I тела относительно этой оси вращения. Это основное уравнение динамики вращательного движения тела. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела. Ускорению а поступательного движения тела соответствует угловое ускорение 8 вращательного движения, аналогом силы F при поступательном движении является момент силы М во вращательном движении, а аналогом массы т тела при поступательном движении служит момент инерции I тела во вращательном движении. Вычисление момента инерции. Момент инерции тела сравнительно простой формы может быть определен путем вычислений. Рассмотрим простейший случай — вращение тела по окружности в случае, когда размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с радиусом окружности. 45 Если к телу, закрепленному на расстоянии R от неподвижной оси, приложена сила F, направленная перпендикулярно связи и оси вращения, то тело приобретает тангенциальное ускорение: (6.6) так как за очень малый промежуток времени At движение тела по окружности можно считать прямолинейным. С другой стороны, рассматривая движение тела как вращательное, угловое ускорение его движения можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения [см. формулу (6.5)]. Из уравнения (6.5) и учитывая уравнение (6.6), получим выражение для момента инерции тела: ma^R^ (6.7) т _ М _ FR_ е 6 Так как = а и„ = соТг, то а„= At Отсюда получим Д(оД At = eR. 1 = ma^R mzR = mR^. (6.8) (6.9) E E Момент инерции тела, вращающегося по окружности радиусом R, большим по сравнению с размерами тела, равен произведению массы тела на квадрат расстояния от него до оси вращения. По этой формуле можно, например, вычислить момент инерции планеты относительно оси вращения, проходящей через Солнце и перпендикулярной плоскости орбиты планеты. Полученный результат [см. формулу (6.9)] позволяет решить задачу о нахождении момента инерции тела произвольной формы относительно любой оси вращения. Для этого необходимо мысленно разбить тело на очень малые части, найти произведение массы каждой части на квадрат расстояния от нее до оси вращения и все эти произведения сложить. Эту операцию можно произвести сравнительно просто для таких тел, как обруч, тонкостенный цилиндр и т. д. Все точки обруча находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча. Момент инерции любой точки на обруче относительно этой оси равен тт^. Момент инерции обруча, равный сумме моментов инерции каждой его точки, определится выражением I = -ь ... = r^(mi -ь ma-f... ) = Мг^, где М = т1 + т2 + гпз +... — масса обруча. Различные точки шара, цилиндра и других тел находятся на разных расстояниях от оси вращения, поэтому расчет момента инерции таких тел более сложен и производится методом высшей математики, называемым интегрированием. 46 Момент инерции тела произвольной формы можно определить опытным путем. Для этого нужно измерить угловое ускорение вращения тела при известном моменте приложенной силы и вычислить момент инерции тела относительно заданной оси вращения, используя уравнение (6.4). Единица момента инерции. Из уравнения (6.4) можно получить единицу момента инерции в СИ — килограмм на метр в квадрате (кг • м^). Тело имеет момент инерции, равный 1 кг • м^, если под действием момента силы 1 Н • м приобретает угловое ускорение 1 рад/с^. Момент инерции тела человека, стоящего с прижатыми к туловищу руками относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс, равен примерно 1,2 кг • м^. Вытянув в стороны руки и расставив ноги, человек увеличивает свой момент инерции относительно той же оси почти в семь раз. Теорема Штейнера. Для разных осей вращения момент инерции одного и того же тела различен. Если известен момент инерции Iq относительно любой оси, проходящей через центр масс тела, то для расчета момента инерции I этого тела относительно другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстоянии d, используется соотношение, известное как теорема Штейнера (см. задачу 1): I = Io + md\ (6.10) В таблице 1 приведены формулы для вычисления моментов инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс этих тел. Таблица 1 Тело Ось вращения проходит Момент инерции Iq Обруч через центр обруча перпендикуляр- но плоскости обруча Диск через центр диска перпендикуляр- (цилиндр) но плоскости диска 0,5mR^ Диск через центр диска вдоль его диаметра 0,25mi?' Шар через центр шара 0,4тВ^ Стержень через середину тонкого стержня -i ml^ длиной 1 перпендикулярно ему 12 ■ Вопросы 1. Что называется угловой скоростью? 2. Как связаны между собой линейная и угловая скорости? 3. Что называется угловым ускорением? 4. Как формулируется основное уравнение динамики вращательного движения? 47 5. Какие вам известны примеры использования вращательного движения в технике? 6. Почему, говоря о значении момента инерции тела, надо обязательно указывать, относительно какой оси он определяется? ■ Примеры решения задач Задача 1. Докажите теорему Штейнера для системы, состоящей из двух материальных точек, вращающихся вокруг оси, перпендикулярной прямой, соединяющей эти точки. Решение. Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек 1, 2 массами и m2- Относительно оси вращения, проходящей через центр масс такой системы перпендикулярно прямой, соединяющей точки, момент инерции системы равен: /o = mirf-f тгг|, (1) 1 0 2 т рис. 1.32 где и Г2 — соответственно расстояния от точек 1 и 2 до центра масс системы (рис. 1.32). Момент инерции этой же системы относительно оси, проходящей параллельно первой, но смещенной на расстояние d, равен: I = mi{ri + df + m2ir2-df. (2) Произведя преобразования, получим / = (mirf-f т2Г2)-Ь(т1 + m2)d^ + 2d{mi г^-т2Г2). (3) Так как точка О является центром масс системы материальных точек, то согласно определению центра масс выполняется соотношение nil ^ 2'2 (4) Подставляя выражения (1) и (4) в формулу (3), получим / = /о + + {mi + m2)d^, что и требовалось доказать. Задача 2. Вследствие действия приливов, вызванных притяжением Луны и Солнца, продолжительность суток на Земле увеличивается за At = 100 лет на АГ = 0,001 с. Определите приливную силу трения. Землю можно считать однородным шаром массой 6 ■ 10^* кг и радиусом 6,4 -10^ м. Решение. Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что момент силы трения Л4^р = 7е. Момент инерции Земли / = 0,4тТ?^, Изменение угловой скорости Земли равно: Дсо = ~ а угловое ускорение е = , где At =100 лет=100х Х365-24-3600 с. Представим упрощенно действие приливной волны как действие приливной силы трения приложенной 48 перпендикулярно радиусу Земли на экваторе. Момент приливной силы трения равен: Мтр = ^трД. Подставив значения момента инерции Земли I, углового ускорения и момента приливной силы трения М^р в основное уравнение динамики вращательного движения, получим 0,4mR^ = = F,^R. ^ г 0,8лтДдГ Отсюда F-------J--- . Проведя вычисления, найдем: Р _ 0,8 3,14 6 10^^ •6.410^ 0.001 Н^1-10^Н (24 • 3600)2 . 100 • 365 • 24 • 3600 Задача 3. Цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости с углом при основании а. Рассчитайте ускорение центра масс цилиндра. Решение. На цилиндр действуют сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила трения (рис. 1.33). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на ось X и основное уравнение вращательного движения цилиндра относительно его центра масс: та = mg sin а-F^j,, Iz = M. рис. 1.33 Но для сплошного диска 1 = тт^/2, а угловое ускорение г — alr. Итак, Отсюда ma = mgsina-F^^, ^ • ^=F^^r. а= -l^sina. Решение задачи упрощается, если записать уравнение вращательного движения относительно точки А, используя теорему Штейнера: (/о + тг^)^ = mgr sin а, откуда сразу следует, что а= |-^8ша. И Задачи для самостоятельного решения 6.1. Определите моменты инерции цилиндра массой т, радиусом R и длиной I относительно: а) оси цилиндра; б) образующей цилиндра; в) оси, перпендикулярной оси цилиндра и проходящей через край цилиндра (цилиндр очень тонкий). 6.2. На барабан радиусом R = 0,5 м с горизонтальной осью вращения намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 10 кг. Найдите мо- 49 мент инерции барабана, если известно, что его угловое ускорение равно е = 2 рад/с^. Трением пренебречь. 6.3. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м и массой 1,2 кг приложена постоянная сила 100 Н. При вращении на диск действует момент силы трения, равный 5Н • м. Чему равно угловое ускорение диска? 6.4. Через неподвижный блок, представляющий собой диск массой mQ, перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массами и гп2- Чему равны модули ускорения грузов и сил натяжения нити? 6.5. Цилиндрический маховик массой т и радиусом R вращается с угловой скоростью со. С какой силой нужно прижать к маховику тормозную колодку, чтобы он остановился через промежуток времени, равный f? Коэффициент трения между колодкой и маховиком равен ц. 6.6*. Мальчик бросает обруч радиусом R в горизонтальном направлении со скоростью V, одновременно сообщая ему вращение в обратную сторону с угловой скоростью 0). При каком соотношении между заданными величинами обруч покатится обратно к мальчику? §Т| Условия равновесия тел Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия твердых тел, называется статикой. Знание условий равновесия твердых тел важно для расчетов машин и механизмов, транспортных средств и различных сооружений. В статике твердое тело рассматривается как абсолютно твердое, т. е. недеформируемое тело. Фактически это означает, что деформация много меньше первоначальных размеров тела, так что ею можно пренебречь. Такая модель, как и любая модель, применима лишь в определенных границах. Условия равновесия твердого тела можно получить как следствия законов динамики поступательного и враш;атель-ного движения твердого тела. Первое условие равновесия является следствием второго закона Ньютона: Hf = та, где TjF — векторная сумма сил, действуюш;их на тело. Из этого закона следует, что при выполнении условия Zf = 0 (7.1) и при равенстве начальной скорости нулю (Uo = 0) тело не будет перемещаться в данной системе отсчета. Условие (7.1) — необходимое условие равновесия твердого тела, но недостаточное, так как твердое тело может не только двигаться поступательно, но и вращаться. Второе условие равновесия твердого тела получается из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела: ZM=/8, 50 где ZM — векторная сумма моментов сил, действующих на твердое тело. Из этого уравнения следует, что при выполнении равенства Zm=0 (7.2) и при нулевой начальной угловой скорости (соо = 0) твердое тело вращаться не будет. Таким образом, для того чтобы твердое тело находилось в равновесии и покоилось, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: векторные суммы действующих сил и моментов сил относительно любой оси должны быть равны нулю (при равенстве нулю начальной скорости Vq поступательного движения и равенства нулю начальной скорости соо вращательного движения). Все сказанное выше справедливо для инерциальных систем отсчета. В неинерциальных системах отсчета условия равновесия составляются таким же образом, но к действующим на тело силам добавляют силы инерции. Полученные выше условия равновесия твердого тела позволяют определить силы реакции, действующие на тело со стороны других тел. Пара сил. Система двух равных по модулю и антипарал- лельных сил F и -F, линии действия которых не совпадают (рис. 1.34), называется парой сил. Момент сил такой пары относительно любой точки M = Fd, где d — кратчайшее расстояние между линиями действия сил. Пару сил нельзя заменить одной равнодействующей силой, иными словами, пара сил не имеет равнодействующей. Центр тяжести и центр масс. Центром тяжести тела называют точку, через которую при любом положении тела в пространстве проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы тела. Из этого определения следует простой способ нахождения центров тяжести плоских фигур. Если такую фигуру подвешивать на нити последовательно к разным ее точкам, то направления, отмеченные нитью отвеса, пересекутся в одной точке — центре тяжести тела. Точка О, в которой находится центр тяжести тела в однородном поле силы тяжести, обладает еще одним замечательным свойством. Если к свободному телу массой т приложена сила F, проходящая через эту точку, то тело движется поступательно и ускорение а любой точки тела равно: kF т Как показывает опыт, в любом теле имеется только одна точка О, через которую рис. 1.34 F 51 проходят линии приложения всех сил, вызывающих поступательное движение тела. Если же вектор силы F не проходит через точку О, то тело перемещается в пространстве и вращается вокруг оси, проходящей через эту точку. При этом ускорение а точки О определяется по второму закону Ньютона так же, как и в первом случае, а ускорения всех остальных точек можно найти только с учетом вращения тела, т. е. эта точка всегда движется так, как будто в ней сосредоточена вся масса тела. Поэтому точку О называют центром масс тела. Если вектор силы F не проходит через центр масс тела, то, кроме движения центра масс с ускорением а, происходит вращение тела с угловым ускорением е вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, проходящей через вектор F и центр масс. Угловое ускорение s вращения тела определяется основным уравнением динамики вращательного движения: 8=^ ^ I ’ где М — момент силы F относительно оси вращения тела; I — момент инерции тела относительно этой оси. Понятие о центре масс имеет смысл для любой механической системы и не связано ни с каким силовым полем, а понятие центра тяжести связано с действием на систему гравитационного поля. Однако в случае однородного гравитационного поля положение центра тяжести любой системы тел совпадает с положением ее центра масс. С помощью понятия «центр масс» можно обобщить первый закон Ньютона — закон инерции: если на замкнутую систему тел не действуют внешние силы, то центр масс этой системы движется равномерно и прямолинейно. Следовательно, центр масс замкнутой системы тел движется с постоянной скоростью. Если же в начальный момент времени суммарный импульс системы был равен нулю, то положение центра масс данной системы тел не изменяется, какие бы изменения в расположении тел ни происходили. Этот факт позволяет решать многие задачи, не прибегая к закону сохранения импульса. Заметим, что центр масс в общем случае может не совпадать ни с одним из тел замкнутой системы. В частном случае, когда система состоит из двух тел, центр масс лежит на прямой, соединяющей эти тела, и делит расстояния между ними в отношении, обратном отношению масс. ■ Вопросы 1. Сформулируйте условия равновесия твердого тела. 2. Какая точка называется центром тяжести? 3. Как можно определить координаты центра тяжести тела? 4. Какая точка называется центром масс тела? 5. Как можно 52 экспериментально определить положение центра масс твердого тела? 6. В каких случаях центр масс и центр тяжести тела совпадают? ■ Примеры решения задач Задача 1. Два человека одинакового роста держат на плечах за концы в горизонтальном положении трубу длиной 2 м и массой 10 кг. На расстоянии 0,5 м от первого человека к трубе подвешен груз массой 100 кг. Определите силы, с которыми труба давит на плечи первого и второго человека. Можно ли по данным задачи рассчитать силы давления трубы на плечи, если ее будут нести не два, а три человека? Решение. В рассматриваемой задаче все векторы сил параллельны оси ординат, поэтому уравнения равновесия имеют вид: TjFy = 0, Zm = 0. Выбрав ось, проходяпдую через точку А (рис. 1.35), запишем условия равновесия: Ni+N2-m^g-m2g = 0, гп2 gAC + nil §AO - N2AB = о (здесь Ni и N2 — силы, действующие на трубы). Отсюда найдем: Y В m,g N. □ N. _ ni2gAC -I- niigAO AB Полагая g‘=10 м/с^, ползучим „ 100-10 0,5 + 10-10-1 N0= ------ т£ Н = 300 н, рис. 1.35 2 2 ?Vi = (mi + m2)^-iV2 = [(100+ 10) - 10-300]Н = 800 Н. Чтобы проверить полученный ответ, определим модуль силы Ni, применив правило моментов относительно точки В: т2§ ВС + niigOB _ ~АВ Н = 800 Н. NiAB-ni2gBC-migOB = 0, N1 = 100-10-1,5 + 10101 В соответствии с третьим законом Ньютона труба давит на плечи с силами Fi и F2, равными по модулю, но противоположно направленными силам NiH. N2. Следовательно, Fj = 800 Н, ^2 = 300 Н. Для случая, когда трубу несут три человека, независимых уравнений получается два, а неизвестных сил реакции опор три. Расчет трех сил в рамках модели «труба — абсолютно твердое тело» невыполним. Задача 2. Балка длиной I и массой 120 кг висит на трех шнурах одинаковой жесткости (как показано на рисунке 1.36, а). Центр масс балки отстоит от первого шнура на расстоянии 1/4. Определите си.лы натяжения шнуров. 53 Решение. На балку действуют сила тяжести mg и силы натяжения нитей Ni, N2, N3 (рис. 1.36, а). Поскольку все эти силы параллельны, уравнений равновесия только два: Ni-Ь N2 + Л/^з - mg = О N2-^+N2l-mg-^=0 (1) (2) 2 ' -'d- 4 (относительно оси, проходящей через левый конец балки). Так как общее число сил реакции больше числа уравнений, содержащих эти силы, то данная система является статически неопределимой. В этом случае модель абсолютно твердого тела оказывается непригодной и при решении задачи необходимо учитывать деформацию тел, применив закон Гука. Обозначив растяжения шнуров A/g, А^з и используя закон Гука N^=kAl^, N2 = kAl2, Л^з = ЛА/з, (3) получим третье условие равновесия (см. рис. 1.36, б): Afj - А^з I M2-AI3 1/2 Из выражений (3) и (4) следует: N,+N3 = 2N2. Решая уравнения (1) — (5), получим iVi = ^mg=-j^-120-10 Н=700 Н, N2=-^ = 4--120-10 Н = 400 Н, (4) (5) N^ = -^ = • 120 • 10 Н= 100 Н. В Задачи для самостоятельного решения 7.1. Балка длиной 8 м и массой 100 кг расположена горизонтально и покоится на двух опорах. АМ = 3 м, MN = 3 м, NB = 2 м. На расстоянии 2 м от левого конца балки подвешен груз массой 40 кг. Определите силы, с которыми балка давит на опоры (рис. 1.37). м N 7.2. Однородный стержень массой 0,1 кг укреплен одним концом в шарнире и удерживается в равновесии с помощью нити, прикрепленной к другому его концу. Угол а между стержнем и вертикальным направлением равен 30°. Найдите силы натя- 54 жения нити и реакции шарнира, если нить расположена горизонтально (рис. 1.38). 7.3. Лестница массой т прислонена к стене. Чему равен минимальный угол ф между лестницей и полом, при котором лестница еще находится в равновесии, если коэффициент трения между лестницей и стенкой равен pj, а между лестницей и полом Р2? Определите силы реакции и силы трения между лестницей, полом и стенкой. 7.4. Цилиндр радиусом R имеет цилиндрическую полость радиусом г, ось которой расположена параллельно оси цилиндра и смещена относительно нее на расстояние /. Цилиндр положили на наклонную плоскость. Найдите максимальный угол наклона плоскости, при котором цилиндр еще не скатывается. §Т{ Закон сохранения импульса Основную задачу механики — определение положения тела в любой момент времени — можно решить с помош;ью законов Ньютона, если заданы начальные условия и силы, действующие на тело, как функции координат, скоростей и времени. На практике эти зависимости не всегда известны. Однако многие задачи в механике можно решить, не зная значений сил, действующих на тело. Это возможно потому, что существуют величины, характеризующие механическое движение тел, которые сохраняются при определенных условиях. Если известны положение тела и его скорость в какой-то момент времени, то при помощи сохраняющихся величин можно определить положение и скорость этого тела после любого взаимодействия, не прибегая к законам динамики. Сохраняющимися величинами в механических процессах являются импульс, момент импульса и энергия. Импульс тела. Изменение скорости v тела под действием постоянной силы F за интервал времени равно: Av = aAt = FM (8.1) Уравнение (8.1) показывает, что изменение скорости движения тела прямо пропорционально не только силе, но и времени ее действия. _ Физическая величина, равная произведению силы F на время At ее действия, называется импульсом силы. Из формулы (8.1) следует, что произведение изменения скорости тела на его массу равно импульсу силы: mAv = FAt (8.2) или A(,mv) = FAt. (8.3) 55 Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела. Изменение импульса тела равно импульсу силы, вызывающей это изменение. Иногда импульс тела называют количеством движения. Импульс тела обозначается латинской буквой р: p = mv. (8.4) За единицу импульса в Международной системе принят импульс тела массой 1 кг, движущегося со скоростью 1 м/с. Закон сохранения импульса. При взаимодействии тел скорость и импульс каждого из них изменяются. Система тел, на которые не действуют внешние силы или сумма всех внешних сил равна нулю, называется замкнутой системой. Экспериментально установлено, что в любой инерциальной системе отсчета в замкнутой системе тел сумма векторов импульсов тел до их взаимодействия всегда равна сумме векторов импульсов тел после взаимодействия: = const. (8.5) Постоянство суммы векторов импульсов при любых взаимодействиях тел является универсальным законом природы. Этот закон является одним из основных или фундаментальных законов физики и называется законом сохранения импульса'. в замкнутой системе тел сумма векторов импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел между собой. Если сумма векторов импульсов взаимодействующих тел остается постоянной, то сумма изменений импульсов взаимодействующих тел равна нулю: Хдр/ = 0. (8.6) К незамкнутым системам тел закон сохранения импульса не применим, однако постоянными остаются проекции импульса на координатные оси, в направлении которых сумма проекций приложенных внешних сил равна нулю. В неинерциальных системах отсчета при отсутствии взаимодействия тел скорости движения тел изменяются со временем. Поэтому импульс любого тела при отсутствии взаимодействия с другими телами не остается постоянным, если выбрана неинерциальная система отсчета. Следовательно, необходимым условием применимости закона сохранения импульса к замкнутой системе взаимодействующих тел является выбор инерциальной системы отсчета. В неинерциальных системах отсчета закон сохранения импульса не выполняется. Движение тел переменной массы. Рассмотрим в качестве примера действие реактивного двигателя. При сгорании топлива в камере сгорания ракеты образуются газы, нагретые до высокой температуры. Эти газы вырываются из сопла со 56 скоростью и относительно ракеты (рис. 1.39; на рисунке цифрами обозначено: 1— топливо; 2— окислитель). Эту скорость называют скоростью истечения. Пренебрегая взаимодействием ракеты с внешними телами, будем считать систему тел «ракета — газы» замкнутой. Пусть в момент времени = 0 ракета массой т двигалась со скоростью Vq. За малый промежуток времени Ai из ракеты выбрасывается масса газа Ат со скоростью и относительно ракеты, т. е. со скоростью V^=u-\-v относительно инерциальной системы отсчета (здесь v — скорость ракеты через At). По закону сохранения импульса имеем mVQ= (т - Ат) v + AmV-^. Подставив значения V-^=11^-0 и V = Vq-\- Av, получим mAv = -Amu. (8.7) Разделим обе части равенства на промежуток времени At, в течение которого работали двигатели ракеты: т {Ад/At) = - (Am/At) и. Перейдя к пределу при А^ —»О и Av учитывая, что lim —= аесть уско- Д<-0 рение ракеты, « ницу времени, получим ,. Ат а lim-77 = p рис. 1.39 есть расход топлива в еди- та=-ри. Произведение массы ракеты т на ускорение ее движения называется реактивной силой тяги: F^ = ma = -\iu (8.8) TaKHMja6pa30M, мы показали, что модуль реактивной силы тяги jPp равен произведению модуля скорости и истечения газов относительно ракеты на секундный расход топлива ц. Реактивная сила тяги действует со стороны истекающих газов на ракету и направлена в сторону, противоположную направлению истечения газов. 57 Особенности реактивных двигателей. Реактивные двигатели широко используют в современной технике. Возможность межпланетных полетов с применением ракетных кораблей впервые была доказана К. Э. Циолковским в работе «Исследование мировых пространств реактивными приборами», опубликованной в 1903 г. Формулу, дающую возможность определить массу топлива, необходимого для сообщения ракете заданной скорости, а также найти максимальную скорость ракеты при заданном запасе топлива, получил К. Э. Циолковский. Для случая движения ракеты без учета влияния силы тяжести формула Циолковского имеет вид = (8.9) где Wq — масса ракеты с топливом перед включением двигателя; т — масса ракеты без топлива при окончании работы двигателя; и — скорость истечения газов относительно ракеты; V — скорость ракеты к концу работы двигателя. Символом е = 2,71826... обозначено число, представляющее собой непериодическую бесконечную десятичную дробь, принятую в математике как наиболее удобное основание показательной функции^ Анализ формулы Циолковского приводит к выводу, что расход топлива, необходимого для достижения заданной скорости, определяется скоростью истечения газов относительно ракеты. Так, для достижения ракетой скорости 8000 м/с, которая нужна для запуска искусственного спутника Земли, при скорости истечения газов 1000 м/с отношение массы ракеты с топливом Шо к массе ракеты без топлива т равно: mjm = ^8^ 103-<744 _ 2981 ~ 3000. Для достижения ракетой этой же скорости при истечении газов со скоростью 4000 м/с искомое отношение масс равно: mjm = ю«-8б8б _ 7^339 -7^4. Если учесть, что скорость 4000 м/с — это почти максимальное значение скорости истечения газов при использовании энергии химических реакций окисления топлива, то становится ясным, какие серьезные трудности встают перед конструкторами космических ракет. Например, масса керосина в обычной цистерне лишь в 13 раз превосходит массу цистерны. Но ведь ракета не может быть простой цистерной с горючим! Нужны еще и окислитель, и камера сгорания, система насосов и трубопроводов, механизмы управления работой двигателя и полетом ракеты, должна, наконец, ракета * Выражение (8.9) можно получить, проинтегрировав уравнение (8.7), записанное в дифференциальной форме mdv^-udm. 58 нести в космическое пространство и полезную нагрузку в виде автоматической научной аппаратуры или космонавтов и системы их жизнеобеспечения. Решение трудной задачи достижения ракетами космических скоростей нашел К. Э. Циолковский, предложив использование многоступенчатых ракет. Ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива, находяш;егося в них, а за счет уменьшения оставшейся массы при той же относительной скорости истечения газов увеличивается максимально достижимая скорость многоступенчатой ракеты. ■ Вопросы 1. Что называется импульсом тела? 2. Какая система тел называется замкнутой? 3. Как формулируется закон сохранения импульса? 4. Может ли ракетный двигатель разгонять ракету за пределами земной атмосферы? 5. Почему для запуска космических кораблей используются многоступенчатые ракеты? ■ Задачи для самостоятельного решения 8.1. Определите ускорение ракеты массой т = 10® кг через 1 мин после старта при секундном расходе топлива р = 7,5 • 10^ кг/с. Скорость истечения газов относительно ракеты постоянна и равна и = 2 • 10^ м/с. Ракета движется вертикально вверх. 8.2. Масса ракеты с топливом лго = Ю® кг. Рассчитайте расход топлива, необходимый для достижения ракетой первой космической скорости у = 8 • 10^ м/с, если скорость газовой струи относительно ракеты равна ц = = 4 • 10^ м/с. 8.3. Снаряд разорвался на два осколка одинаковой массы. Скорости осколков равны по модулю i>i = 300 м/с и i>2 = 400 м/с и направлены перпендикулярно друг другу. Найдите скорость снаряда до разрыва. 8.4. На одном конце неподвижной длинной тележки массой mi=25 кг стоит мальчик массой m2 = 50 кг. С какой скоростью будет двигаться тележка, если он побежит со скоростью и = 3 м/с относительно тележки? 8.5. Чему равен секундный расход топлива в момент старта ракеты массой т = 10® кг, если она стартует вертикально с ускорением а = 3 м/с^? Скорость истечения газов относительно ракеты равна ы = 4 • 10^ м/с. §~9] Закон сохранения момента импульса Момент импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения тела под действием постоянного момента силы М = const можно представить в виде откуда At MAt = I(£>2~ /©1. (9.1) 59 Как показывает опыт, если момент инерции тела изменяется, то уравнение динамики вращающегося тела можно записать в более общем виде: MAi = А(/(о). Произведение момента инерции тела на угловую скорость его вращения называется моментом импульса: Ь = 1(л. Закон сохранения момента импульса. Момент импульса — одна из важнейших характеристик вращательного движения тела. Когда суммарный момент сил, действующих на тело, относительно данной оси вращения равен нулю (М = 0), то А1/ = А(/со) = 0, т. е. момент импульса не изменяется: L = /co = const. (9.5) Это и есть закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса справедлив не только для одного тела, но и для любой замкнутой системы тел. Эффектной демонстрацией закона сохранения момента импульса является опыт с использованием вращающейся скамьи. На скамью, имеющую вертикальную ось вращения (или легко вращающийся стул), встает человек, берет в руки гантели или тяжелые гири и разводит руки в стороны. Скамью с человеком приводят во вращение (рис. 1.40, а). Если человек опускает руки и прижимает их к туловищу (рис. 1.40,6), то его момент инерции существенно уменьшается, а угловая скорость вращения увеличивается; если снова разводит руки, то угловая скорость вращения вновь уменьшается. Закон сохранения момен-^ та импульса используют спорт- смены, артисты балета и цирка (сальто, волчок на льду и т. п.). Замечательной особенностью вращательного движения является свойство вращающихся тел при отсутствии взаимодействий с другими телами сохранять неизменными не только момент импульса, но и направление оси вращения в пространстве, рис. 1.40 Неизменным ориентиром для 60 рис. 1.41 путешественников на поверхности Земли служит Полярная звезда. Примерно на эту звезду направлена ось вращения Земли, и кажущаяся неподвижность Полярной звезды на протяжении столетий наглядно доказывает, что в течение этого времени направление оси вращения Земли в пространстве не изменилось. Эффект сохранения направления оси вращения в пространстве используется в приборе, называемом гироскопом. Второй закон Кеплера. Частным случаем закона сохранения момента импульса является второй закон Кеплера, открытый в 1609 г. Солнце и обращающиеся вокруг него по эллиптическим орбитам планеты образуют замкнутую систему, центр масс которой находится практически в центре Солнца. Поскольку направление силы тяготения, действующей на планету со стороны Солнца, проходит через фокус орбиты, по которой движется планета, то момент этой силы равен нулю (плечо силы равно нулю); значит, к планете можно применить закон сохранения момента импульса: L = Ico = тт^ 1>51Пф = тиг sin ф = const. (9.6) где ф — угол между векторами г и и (рис. 1.41). При At—^0 площадь AS, описываемая радиус-вектором, равна А5 = гАл:-81пф (см. рис. 1.41). Так как Ax = vAt, то AS = n;A^sinф. Величина, равная пределу отношения площади AS к промежутку времени A^, т. е. а = lim ^ = rvsin ф, Д(-0 (9.7) называется секторной скоростью. Из выражений (9.6) и (9.7) следует: а= — = угз1пф = const. Это и есть математическая запись второго закона Кеплера: радиус-вектор планеты за любые равные промежутки времени описывает равные площади. 61 Ш Вопросы 1. Что называют моментом импульса? 2. Как связаны изменения момента импульса тела с моментом силы? 3. При каких условиях момент импульса тела остается неизменным? 4. Могут ли внутренние силы изменить угловую скорость системы? ■ Пример решения задачи Задача. Считая Солнце однородным шаром, оцените минимальный радиус и период вращения вокруг своей оси пульсара, который мог бы образоваться после сжатия Солнца под действием силы тяготения при исчерпании внутренних источников энергии, поддерживающих высокую температуру газа. Радиус Солнца Дс = 7*10® м, период вращения вокруг оси Тс = 2,2 • 10® с. Масса Солнца равна Mq = 2- 10®® кг. Решение. Запишем закон сохранения момента импульса для Солнца до и после превращения его в пульсар: /с®с = /„«„. Учитывая, что момент инерции шара равен / = 0,4 mR^, получим 0,4МсЯ^- f-. * С ^ п Отсюда период обращения пульсара вокруг своей оси равен: м Дс (1) Второе соотношение между периодом и радиусом пульсара получим из условия, что сила тяготения обеспечивает вращение вещества пульсара с заданным периодом та^^): тМс ^ ^ П откуда следует: GMc 7’п 4л Из уравнений (1) и (2) получим ,2 ni (2) ^ ~ 15 км, Т„ ~ 10“® с. " GMcTI ” Ш Задачи для самостоятельного решения 9.1. Комета Галлея движется вокруг Солнца по вытянутому эллипсу, причем наибольшее удаление кометы от Солнца равно 35,2 а. е., а наименьшее удаление от Солнца — 0,6 а. е. (1 а. е.— астрономическая единица длины, равная расстоянию от Земли до Солнца; 1 а. е. = 1,5 • 10^^ м). Найдите отношение максимальной скорости кометы к минимальной, 62 9.2. Человек стоит на вращающейся с некоторой угловой скоростью платформе. В вытянутых в сторону руках он держит по гире, масса каждой из них т = Ъ кг. Расстояние от гирь до оси вращения i?i = 0,71 м. Во сколько раз изменится частота вращения человека, если он прижмет к себе руки так, что расстояние от оси вращения до гирь станет R2 = Q,2 м? Момент инерции человека считайте в обоих случаях равным 1=1 кг • м^. 9.3. Человек массой mi=60 кг находится на неподвижной круглой платформе радиусом = м и массой пг2=120 кг, которая может вращаться вокруг своей вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек станет двигаться по окружности радиусом i?i = 5 м с линейной скоростью Uj = 2 м/с относительно платформы? §10 Закон сохранения энергии в механических процессах Энергия. Открытие закона сохранения импульса показало, что механическое движение тел имеет количественную меру, сохраняющуюся при любых взаимодействиях тел. Этой мерой является импульс. Однако с помощью только этой меры движения не удается дать полное объяснение всех закономерностей взаимодействия тел. Рассмотрим такой пример. Два одинаковых автомобиля движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Что произойдет при их столкновении? Если они только остановятся, то сумма их импульсов до столкновения и после столкновения одинакова и равна нулю — закон сохранения импульса выполняется. Если бы автомобили при столкновении могли только остановиться без каких-либо других изменений в них, то это означало бы, что механическое движение при взаимодействии тел может исчезать бесследно. Но природа устроена иначе: в ней никогда и нигде механическое движение тел не возникает само собой, никогда и ни при каких взаимодействиях механическое движение тел не исчезает бесследно. Что же происходит с автомобилями при их столкновении, кроме изменения скоростей движения? Автомобили деформируются и разрушаются, температура деформируемых деталей повышается. Изменение температуры тела свидетельствует об изменениях скоростей хаотического теплового движения атомов, из которых состоит тело. Следовательно, механическое движение не исчезло бесследно, оно превратилось в другую форму движения материи. Имеется ли в природе мера движения материи, сохраняющаяся при любых превращениях одной формы движения в другую? Опыты и наблюдения показали, что такая мера движения в природе существует. Ее назвали энергией. Энергией называется физическая величина, являющаяся количественной мерой различных форм движения материи. 63 Для точного определения энергии как физической величины необходимо найти ее связь с другими величинами, выбрать единицу и найти способы ее измерения. Механической энергией называется физическая величина, являющаяся количественной мерой механического движения тел при его превращениях в другие формы движения. Кинетическая энергия. В качестве меры поступательного движения тел нужно найти физическую величину, одинаковую у различных поступательно движущихся тел при одинаковом изменении какой-либо другой формы движения, превращающейся в механическое поступательное движение. Для передачи разным телам одинаковой энергии можно, например, использовать пружину. Опыт показывает, что одинаково сжатая стальная пружина сообщает телам с разными массами ^1, ..., /тг„ такие скорости i?i, V2, .... u„, что произ- ведение массы тела на квадрат скорости для всех тел оказывается одинаковым. Следовательно, величина ти^ может служить количественной мерой поступательного движения тел при превращениях других форм движения в поступательное механическое движение или поступательного механического движения в другие формы движения. В физике в качестве количественной меры поступательного механического движения при возникновении его из других форм движения или превращении в другие формы движения принята величина, равная половине произведения массы тела на квадрат скорости его движения. Эта физическая величина называется кинетической энергией тела и обозначается Е,^'. (10.1) Так как скорость является величиной, зависящей от выбора системы отсчета, значение кинетической энергии тела зависит от выбора системы отсчета. Кинетическая энергия вращающегося тела. Кинетической энергией обладают не только тела, движущиеся поступательно, но и любые вращающиеся тела. Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частей: Так как угловые скорости всех точек вращающегося твердого тела одинаковы, то o,=(ori, 1>2 = сог2, .... Следовательно, ^ k о + = ^ (т1Г?-ьт2г|-ь...). Величина, стоящая в скобках (сумма моментов инерции всех 64 точек твердого тела), есть момент инерции I тела относительно оси вращения. Тогда формулу для кинетической энергии вращающегося тела можно записать в виде 2 Работа. Любое изменение скорости поступательного движения тела и его кинетической энергии происходит в результате взаимодействия с другими телами. Используя второй закон Ньютона, установим связь изменений кинетической энергии тела с действующими на тело силами. Вычислим изменение кинетической энергии тела массой т за время t при действии на него постоянной силы F. Если в начальный момент времени скорость тела равна нулю, то направление вектора скорости v тела в любой момент времени совпадает с направлением вектора равнодействующей силы F (рис. 1.42). Начальное значение кинетической энергии равно нулю, в момент времени t, когда скорость дости- гает значения v, кинетическая энергия тела равна нение кинетической энергии равно: * 2 , изме- (10.2) Значение скорости v тела определяется выражением v = at (10.3) или v = Ft (10.4) Используя выражения (10.2) — (10.4), изменение кинетической энергии АЕ^ тела под действием силы F можно представить в следующем виде: matEt 2 (10.5) Физическая величина, равная изменению кинетической энергии тела в результате действия на него силы, называется работой силы. Работа обозначается буквой А: А = АЕ*. (10.6) Мы получили, что при совпадении направления вектора силы с направлением вектора скорости тела работа силы равна про- ________ р ^ изведению модуля силы и пути, 1,1 ^ ^ пройденного телом: A^Fs. (10.7) рис. 1.42 3 Физика, 10 кл. 65 За единицу работы в Международной системе принимается работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м при движении по направлению вектора силы. Эта единица называется джоуль (1 Дж). Так как работа равна изменению энергии, единица энергии в СИ совпадает с единицей работы — 1 Дж. Работа силы, направленной под углом к вектору скорости. Найдем изменение кинетической энергии тела в случае, когда вектор равнодействуюш,ей силы направлен под углом к вектору скорости. Начнем с рассмотрения частного случая. Если вектор силы перпендикулярен вектору скорости, тело движется равномерно по окружности. Сила является причиной изменения направления вектора скорости и возникновения центростремительного ускорения. При равномерном движении тела по окружности модуль его скорости не изменяется, следовательно, не изменяется и кинетическая энергия тела. Если равно нулю изменение кинетической энергии тела, то равна нулю и работа силы: АЕ^ = 0, А = АЕ^ = 0. Если вектор силы направлен под углом 90® к вектору скорости тела, то работа силы на любом пути равна нулю. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть к телу приложена сила, направленная под углом а к вектору скорости тела. Вектор силы F можно представить как равнодействующую двух векторов сил Fi и Eg (рис. 1.43). Вектор силы Ej направлен перпендикулярно вектору скорости v тела, вектор силы Eg направлен параллельно вектору скорости v тела. Под действием силы Ej, направленной перпендикулярно вектору скорости, кинетическая энергия тела не изменяется. Изменение кинетической энергии тела происходит только под действием силы Eg, параллельной вектору скорости. Поэтому изменение кинетической энергии тела определяется выражением AE, = EgS. (10.8) Значение составляющей силы Eg равно: Eg = Ecosa, (10.9) поэтому изменение кинетической энергии равно: AE* = Escosa, следовательно, А = Fscosa. (10.10) s , рис. 1.44 рис. 1.45 Если вектор силы направлен под углом а к вектору скорости тела, то работа силы равна произведению модуля силы, пути и косинуса угла между векторами силы и скорости. В зависимости от значения угла между векторами силы и скорости работа может иметь положительное или отрицательное значение. Если угол а лежит в пределах 0<а<90°, то работа силы положительна (рис. 1.44). В результате совершения этой работы кинетическая энергия тела увеличивается Если же угол лежит в пределах 90°<а<180°, то работа силы отрицательна (рис. 1.45). В результате совершения этой работы кинетическая энергия тела уменьшается (V2jj3=Uc-i'o = ^^o(V2-1) = = 1,24 -10^ м/с. Для того чтобы удалить корабль из поля тяготения Земли, ему надо сообщить вторую космическую скорость (ее мы рассчитали в предыдущей задаче): Ort = 2GM„ Дя 72 где Мз=6-10^^ кг — масса Земли; i?3=6,4 • 10® м — радиус Земли; Уц = 1,12 • 10^ м/с. Следовательно, кинетическая энергия которую надо сообщить космическому кораблю для того, чтобы он покинул Солнечную систему, складывается из кинетической энергии необходимой для того, чтобы его удалить из поля тяготения Земли, и кинетической энергии необходимой для того, чтобы он с орбиты Земли ушел в космическое пространство: + или mvi /пищ 2 2 mv‘r, ^ ^-I-S—. Отсюда = Uiii = Vl,122 . 10®+1,242.10® м/с=1,67-10^ м/с. Задача 5. Космический корабль обращается вокруг Луны по круговой орбите, радиус которой равен трем радиусам Луны (Д = ЗДл). Какую минимальную скорость нужно сообщить спускаемому аппарату, чтобы он прилунился на противоположной стороне Луны? Решение. Начальную скорость Oq космического корабля на круговой орбите определим, используя второй закон Ньютона: Mjim mvQ R ’ G где Mjj — масса Луны; m — масса космического корабля. Отсюда Vo=\l ^Мл.= I----- '' ^ =v SRr Спускаемый аппарат массой mj должен двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Луны в точке В (рис. 1.48). При движении по этой траектории выполняются законы сохранения энергии и момента импульса: mivf m-^vl -G Мд/П! 2 R 2 ” Дд miOijRsin(p^= Л11и2-Ял Фв5 (1) (2) так как фд = 90°, фд = 90°, то v^R=V2Rn- Решая полученную систему уравнений и учитывая, что Л = ЗДд, получим ~ = 2СМд^-^—Uj • 3/?д = 02^л» ’ Vi~\GMji /бДд, U2=3Ui. Из сравнения выражений для Vq и Uj видно, что Oicf 64(lfRc“ Яс -f Afc): Давление на искомой глубине равно 8 Дс F 3 GpcoMc ’=^--8 Rc ~ 3GMq 8i?c 9GMq 32Tti?c ’ 108 а температура T=J-= GpcpMcM _ SGMqM "* ' Подставив числовые значения, получим оценку давления и температуры: Па; К. Итак, в недрах Солнца давление газа примерно в миллиард раз превышает нормальное атмосферное давление, а температура составляет около 10 млн К. Эти результаты близки к полученным более строго. ■ Задачи для самостоятельного решения 16.1. Чему равно отношение средних квадратичных скоростей молекул водорода и кислорода при одинаковых температурах газов? 16.2. Для осуществления физического эксперимента необходимо разогреть в замкнутом сосуде водород до температуры 2 • 10® К. Какова максимально допустимая концентрация атомов водорода в сосуде, если стенки сосуда могут выдержать давление 10® Па? 16.3. Температура атмосферы Солнца — фотосферы — равна 6000 К, концентрация атомов составляет примерно 10^® частиц/см®. Предполагая, что фотосфера состоит в основном из атомарного водорода, определите давление и плотность солнечной атмосферы. § 17 Уравнение состояния идеального газа Используя зависимость давления идеального газа от его температуры и концентрации молекул [см. формулу (16.8)], можно найти связь между основными макроскопическими параметрами газа — его массой т, объемом V, давлением р и температурой Т. Концентрация п молекул газа равна: П = у, (17.1) где N — число молекул газа в сосуде объемом V. Число N можно представить как произведение количества вещества v, выраженного в молях, на постоянную Авога-дро Ад: N = vNj,. (17.2) Из выражений (16.8), (17.1) и (17.2) получим pV=vNJiT. (17.3) Произведение постоянной Авогадро Ад на постоянную Больц- 109 мана k называется молярной газовой постоянной R. Молярная газовая постоянная равна: R • 10^3 моль-' • 1,38 • 10-23 ~8,31 Дж • моль"' • К"'. Используя молярную газовую постоянную /2, выражение (17.3) преобразуем к виду pV=vRT. (17.4) Количество вещества v можно найти, если известна масса вещества т и его молярная масса М: v = м * С учетом этого выражение (17.4) можно записать в такой форме: pV^J^RT. (17.5) Полученное выражение называется уравнением состояния идеального газа. Оно может быть записано и так: Р^'м (17.6) где р — плотность газа. Опытная проверка уравнения состояния идеального газа. Уравнение (17.5) мы получили, применив основные представления молекулярно-кинетической теории к идеальному газу. Для того чтобы проверить, можно ли использовать это уравнение на практике для описания физических процессов в газах, можно выполнить эксперимент с атмосферным воздухом, заключенным в гофрированном сосуде — сильфоне (рис. 2.8). Верхняя крышка сильфона соединена со стержнем, имеющим винтовую резьбу. Вращением этого стержня можно поднимать или опускать крышку сильфона, растягивая или сжимая сильфон и изменяя тем самым его объем. Шкала на боковой планке позволяет измерить объем сильфона в условных единицах. Для измерения давления воздуха сильфон подключают к манометру. Температуру воздуха можно изменять, нагревая или охлаждая сильфон. Из уравнения состояния идеального газа (17.5) следу- рис. 2.8 110 ет, что при постоянных значениях массы т газа и молярной массы М отношение произведения давления р газа на объем V к абсолютной температуре Т должно иметь постоянное значение при любых изменениях этих параметров: ^ = ^-const. (17.7) Проверим, выполняется ли равенство (17.7) для воздуха. При обоих открытых кранах манометра установим с помощью вращения рукоятки винта объем сильфона Fj = 0,8F„, где — максимальный объем сильфона. Закроем кран на свободном конце трубки манометра. Давление воздуха в сильфоне равно нормальному атмосферному давлению (Pi = 10^ Па). Определим по термометру температуру, выразим ее в кельвинах. Измеренные значения объема, давления, абсолютной температуры воздуха занесем в таблицу. Вычислим отношение PiVi Поместим сильфон в сосуд с горячей водой и уменьшим объем воздуха в сильфоне до И2 = 0,6И„. Измерив давление m 9 Р2 И температуру Tg, вычислим отношение Поместим сильфон в сосуд с холодной водой и увеличим объем воздуха в сильфоне до V^ = V„. Измерим давление DoVo И температуру Тд. Вычислим отношение Сравнив все ^ 3 в сильфоне ------- три отношения, мы увидим, что для воздуха в пределах границ ошибки измерений выполняется равенство: PlVl т. Р2^2 РЗ^З 1 -'2 ■' 3 Следовательно, уравнение состояния идеального газа в пределах погрешности эксперимента применимо для описания свойств реального газа — воздуха. Опыты более точные, чем проделанные нами, показывают, что при температурах, далеких от абсолютного нуля, и малых значениях плотности уравнения (17.5) и (17.6) могут быть использованы для описания свойств любых реальных газов. Уравнение, устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой газа, было впервые получено французским физиком Б. Клапейроном. В форме (17.5) для случая v = l моль его вывел русский химик Д. И. Менделеев, поэтому уравнение состояния газа (17.5) называется уравнением Клапейрона — Менделеева. 111 ■ Вопросы 1. Каким образом можно проверить применимость уравнения состояния идеального газа для описания свойств реальных газов? 2. При каких условиях свойства реальных газов близки к свойствам идеального газа? 3. При каких условиях свойства реальных газов существенно отличаются от свойств идеального газа? И Пример решения задачи Задача. При температуре 27 °С и давлении 10® Па объем воздушного шара, заполненного гелием, равен 500 м^. Каким будет объем этого шара при подъеме в верхние слои атмосферы, где его температура понизится до -33 ®С, а давление окружающего воздуха станет равным 5 • 10“* Па? Массу гелия считать постоянной. />1 = 10® Па ^1 = 500 м® 7’i = 300 К Р2 = 5 • Ю'* Па Та = 240 К mi = m2 = m V2 —? Решение Из уравнения состояния идеального газа pV=—RT следует, что при т = const выполняет-М ся равенство Ti Т2 Отсюда Ра = » 10®-500-240 „3 300-5 10 ^м‘‘=800 4 Задачи для самостоятельного решения 17.1. Используя уравнение состояния идеального газа, вычислите по четырем параметрам, представленным в таблице 2, пятый, неизвестный параметр. Таблица 2 т, кг М, кг/моль р, Па V, м® Т, К 8 4 • 10'® 2 • 10® 16,6 ^1 2 • 10® 2 • 10-® 8,3 • 10® ^2 200 64 32 • 10-® Хз 24,9 300 7 10® 8,3 400 ^5 44 • 10*® 10' 2,49 • 10*® 300 17.2. Плотность неона в баллоне неоновой лампы 0,05 кг/м® при давлении 5-10® Па. Определите температуру газа. 17.3. Под каким давлением находится углекислый газ в огнетушителе объемом 2 дм®, если масса огнетушителя до заполнения газом была 4,2 кг, а после заполнения 5,6 кг? Температуру газа считать равной 37 °С. 112 17.4. В среднем человек потребляет в сутки примерно 1 кг кислорода. В комнате какого объема при нормальных условиях содержится столько кислорода в воздухе? Парциальное давление кислорода 21 кПа. 17.5. Физический кабинет имеет размеры 6X12X3 м. Определите массу воздуха в кабинете при температуре 27 °С и нормальном атмосферном давлении. 17.6. В баллоне лампы дневного света объемом 250 см^ находится аргон под давлением 5 • 10^ Па при температуре 17 °С. Определите массу аргона. 17.7. При температуре 17 °С в баллоне вместимостью 30 дм^ находится 5,4 кг газа под давлением 10 МПа. Какой это газ? 17.8. Объем баллона электрической лампы накаливания 150 см^. Внутри находится 0,4 г газа при температуре 30 ®С и давлении 8 • 10'* Па. Каким газом наполнена лампа? 17.9. Объем камеры насоса равен Vq. За сколько циклов работы насоса можно накачать автомобильную камеру объемом V от давления Pi до давления Р2^ Температуру газа считать постоянной. 17.10. Как изменится объем пузырька воздуха при подъеме его со дна озера глубиной 20 м к поверхности воды? Температура на дне равна 10 °С, на поверхности 25 °С. 17.11. В конце процесса сжатия газа в цилиндре карбюраторного двигателя внутреннего сгорания давление было 9-10® Па, в конце процесса сгорания топлива стало равным 3,5 • 10® Па. Определите температуру газа в цилиндре в конце процесса сгорания топлива. Температура в конце процесса сжатия равна 400 °С. Поршень во время сгорания топлива можно считать неподвижным. 17.12. При изготовлении электролампы накаливания баллон заполняют инертным газом. Давление газа при 20 °С составляет 8 • 10^ Па. Какое давление устанавливается в баллоне работающей электролампы при температуре 425 К? Объем считать постоянным. 17.13. Воздушный шар объемом 10® м® заполнен гелием. При нормальных условиях он может поднять полезный груз массой 10® кг. Какой груз может поднять тот же воздушный шар при замене гелия водородом при той же температуре? 17.14. Пропускная способность газопровода ограничена давлением, которое могут выдержать трубы. Для повышения пропускной способности используется охлаждение газа. До какого значения нужно понизить температуру газа, чтобы увеличить пропускную способность в 1,5 раза по сравнению с его пропускной способностью при температуре 500 К? 17.15. В цилиндре дизельного двигателя объем воздуха при сжатии поршнем уменьшается в 20 раз, давление увеличивается от 10® до 6 • 10® Па. Какова температура воздуха в конце процесса сжатия, если в начале процесса сжатия она равна 27 °С? 17.16*. Как изменится температура газа при расширении, если его состояние изменяется по закону pV" = Ь, где Ь = const? 17.17*. Два сосуда объемами Fj и V2 заполнены идеальным газом при давлениях pj и Р2- Какое установится давление в сосудах, если их соединить между собой? Температура газа постоянна. 17.18*. Воздушный шар объемом 240 м®, заполненный водородом при температуре 300 К, поднимает полезный груз массой 300 кг. Какой полезный груз сможет поднять воздушный шар, если заполнить его горячим воздухом при температуре 400 К? До какой температуры нужно нагреть воздух, чтобы воздушный шар смог поднять такой же полезный груз, как и при заполнении его водородом? 113 17.19. В трубке имеется столбик ртути длиной 10 см, отделяющий некоторый объем воздуха внутри трубки. При вертикальном положении трубки открытым концом вниз длина столбика воздуха над столбиком ртути равна 30 см, при горизонтальном же положении трубки длина столбика воздуха 26 см. Определите по этим данным атмосферное давление воздуха. 17.20. Цилиндр разделен герметичной теплоизолирующей подвижной перегородкой. При одинаковой температуре по одну сторону перегородки находится 1 моль гелия, по другую — 1 моль водорода. Как изменится давление в сосуде при повышении температуры гелия в 2 раза, если температура водорода при этом не изменится? 17.21. В вертикально расположенной стеклянной трубке, площадь поперечного сечения которой S, находится водород, количество вещества которого равно V, а над ним — столбик ртути. При нагревании водорода на АТ столбик ртути поднялся на высоту h. Определите массу ртути в трубке, если атмосферное давление в опыте было постоянно и равно Pq. 17.22. Докажите, что объем одного моля любого идеального газа при нормальных условиях равен 2,24 • 10'^ м^. § 18 Изопроцессы в газах Многие процессы в газах, происходящие в природе и осуществляемые в технике, происходят так, что изменяются лишь два параметра из пяти. Рассмотрим три таких процесса — изотермический, изохорный и изобарный. Изотермический процесс. Изотермическим называется процесс, протекающий при постоянной температуре. Из уравнения состояния идеального газа (17.5) следует, что при постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы произведение давления газа на его объем должно оставаться постоянным: pF=const. (18.1) Обозначив постоянную ^RT через Ь, уравнение (18.1) представим в виде P--Y- (18.2) Изотермический процесс можно осуществить, например, путем изменения объема сильфона при постоянной температуре. График уравнения (18.2) изотермического процесса называется изотермой. Изотерма, изображенная в прямоугольной системе координат, по оси ординат которой отсчитывается давление газа, а по оси абсцисс — его объем, является гиперболой (рис. 2.9). Уравнение (18.1), устанавливающее связь между давлением и объемом газа при постоянной температуре, было получено из эксперимента до создания молекулярно-кинетической теории газов английским физиком Р. Бойлем (1662) и французским физиком Э. Мариоттом (1676). Поэтому его называют законом Бойля — Мариотта. 114 рис. 2.9 рис. 2.10 Изохорный процесс. Изохорным процессом называется процесс, протекающий при неизменном объеме V. Уравнение изохорного процесса при условии /тг = const и М = const имеет вид (18.3) (18.4) или -^ = const, р=РоаТ, где Pq — давление газа при температуре 0 °С; а — температурный коэффициент давления, равный 1/273,15 К~^. График уравнения изохорного процесса называется изохо-рой. Изохора, изображенная в прямоугольной системе координат, по оси ординат которой отсчитывается давление газа, а по оси абсцисс — его абсолютная температура, является прямой, продолжение которой проходит через начало координат (рис. 2.10). Экспериментальным путем зависимость давления газа от температуры исследовал в 1787 г. французский физик Ж. Шарль. Поэтому уравнение (18.4) называют законом Шарля. Изохорный процесс можно осуществить, например, нагреванием воздуха в сильфоне при постоянном объеме. Изобарный процесс. Изобарным процессом называется процесс, протекающий при неизменном давлении р. Уравнение изобарного процесса при условии w = const и М = const имеет вид = const. (18.5) или V=V^aT, (18.6) где Vq — объем, занимаемый газом при температуре 0 °С; коэффициент а равен 1/273,15 К*^. График уравнения изобарного процесса называется изобарой. Изобара, изображенная в прямоугольной системе координат, где на оси ординат отсчитывается объем газа, а на оси абсцисс — его абсолютная температура, является прямой, продолжение которой проходит через начало координат (рис. 2.11). 115 Экспериментальное исследование зависимости объема газа от температуры провел в 1802 г. французский физик Ж. Гей-Люссак. Поэтому уравнение (18.6) называют законом Гей-Люссака. Изобарный процесс можно наблюдать при нагревании или при охлаждении воздуха в стеклянной колбе, соединенной со стеклянной трубкой, отверстие в которой закрыто небольшим столбом жидкости. ■ Вопросы 1. Приведите примеры изотермических процессов в природе и технике. 2. Приведите примеры изобарных процессов в природе и технике. 3. Приведите примеры изохорных процессов в природе и технике. 4. Покажите, что уравнение (18.4) является следствием уравнения состояния идеального газа для изохорного процесса. 5. Покажите, что уравнение (18.6) является следствием уравнения состояния идеального газа для изобарного процесса. ■ Примеры решения задач Задача 1. Постройте график изотермического процесса идеального газа при температуре 300 К. Начальное давление и объем соответственно равны 9 кПа и 2 м^, конечное давление равно 2 кПа. Решение. Для построения графика изотермического процесса в координатных осях р, V будем откладывать по оси абсцисс значения объема газа, по оси ординат — значения давления. Масштаб выберем таким, чтобы начальные и конечные значения давления и объема укладывались на графике. Точку графика, соответствую-ш;ую начальному состоянию газа, найдем на пересечении двух прямых: параллельной оси ординат, она пересекает ось абсцисс в точке Fj = 2 м^, и параллельной оси абсцисс — пересекает ось ординат в точке Pi = 9 кПа. Для нахождения остальных точек графика необходимо воспользоваться уравнением изотермического процесса и найти значения объема V2, F3, ..., F„, соответствующие выбранным значениям давления Р2, Рз, ..., р„. Получим р, кПа 9 8 7 6 5 4 3 2 V, м® 2 2,35 2,57 3 3,6 4,5 6 9 По найденным значениям объема газа при выбранных значениях давления нанесем точки, через которые проведем кривую, которая и будет графиком изотермического процесса в координатных осях р—V (рис. 2.12). Построение графиков изотермического процесса в координатных осях V—Т и р—Т является более простой задачей. 116 рис. 2.12 100200300 Т.К рис. 2.13 WO 200300 Т.К рис. 2.14 При выборе оси абсцисс для отсчета значений температуры газа графики изотермических процессов представляют собой прямые, параллельные оси ординат. Продолжение каждой из этих прямых до оси абсцисс пересекает ее в точке, соответствующей значению температуры изотермического процесса. Ординаты верхней и нижней точек этих графиков определяются начальными и конечными значениями объема газа (рис. 2.13) и его давления (рис. 2.14). Задача 2. По графику процесса, осуществленного с идеальным газом (рис. 2.15), постройте графики этого процесса в координатных осях р, Т и V, Т. Температура газа в начальном состоянии была равна 250 К. Решение. График показывает, что давление газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 увеличилось в 3 раза, а объем в течение всего процесса оставался неизменным. Следовательно, процесс изменения состояния газа был изохорным. При изохорном процессе связь между давлением газа р и абсолютной температурой Т выражается уравнением El = El Ti Т2 ■ Отсюда J. рЛ.зоо!:«о_к_750 к. Pi 10^ По известным начальным и конечным значениям давления и температуры построим в системе координат с осями р, Т точки 1 1S. 2, соответствующие начальному и конечному состояниям газа. Зависимость давления р от температуры Т линейная, следова- рис. 2.15 117 V,M^ 3 2 - / - рис. 2.16 О 250 500 750 Т,К рис. 2.17 тельно, график изохорного процесса в координатных осях р—Т является прямой, проходящей через точки 1 и 2 (рис. 2.16). В координатных осях V—Т график изохорного процесса — это отрезок прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 2.17). И Задачи для самостоятельного решения 18.1. Постройте график изотермического процесса при температуре 300 К в координатных осях р—V, V—Т и р—Т. Начальные значения давления и объема газа соответственно равны Pi = 10^ Па, Vi=16 м^, конечное давление Р2 = 1,6 • 10® Па. а) б) в) рис. 2.18 18.2. По графикам изопроцессов в координатных осях p—V (рис. 2.18, а, б, в) постройте графики тех же изопроцессов в координатных осях р—Т и V—T. 18.3*. По графикам изопроцессов в координатных осях V—T (рис. 2.19) постройте графики тех же изопроцессов в координатных осях p—V и р—Т. 118 18.4*. На рисунке 2.20 представлен график зависимости давления газа от температуры. В состоянии 1 или в состоянии 2 газ занимает больший объем? Ответ обоснуйте. 18.5*. На рисунке 2.21 представлены два графика изменения состояния одного и того же идеального газа. Какой график соответствует большему количеству вещества? Объем газа одинаков. Ответ обоснуйте. § 191 Реальные газы Экспериментальные исследования свойств газов при высоких давлениях и низких температурах, выполненные еще в конце прошлого века, убедительно показали, что уравнение состояния идеального газа дает хорошее согласие с экспериментом для каждого исследуемого газа лишь при температуре выше некоторого значения, вполне определенного для каждого вещества, и при не очень высоких давлениях. Расхождение результатов теории и практики в области низких температур и высоких давлений газов свидетельствует о непригодности при этих условиях упрощенной модели строения газов, в которой не учитываются размеры молекул и силы взаимного притяжения. Уравнение Ван-дер-Ваальса. В 1873 г. голландский физик И. Ван-дер-Ваальс показал, что согласие результатов теории и эксперимента при установлении зависимости давления газов от объема и температуры оказывается значительно лучшим, если учесть, что молекулы не только отталкиваются при соударениях, но еще и притягиваются друг к другу сравнительно слабыми силами на расстояниях, сравнимых с размерами молекул. С учетом сил взаимного притяжения молекул для одного моля газа было получено уравнение: (19.1) г, . “ - Р 1/2 V ' у2 Это первая поправка, вводимая в уравнение Ван-дер-Ваальса. Вторая поправка должна учесть тот факт, что при любых, 119 даже сколь угодно больших давлениях объем газа не может стать равным нулю. В модели Ван-дер-Ваальса молекулы принимают за твердые шарики диаметром d. В этом случае оказывается, что молекулы реального газа свободно переме-гцаются не в объеме сосуда F, а в уменьшенном объеме: V'=V-b. Здесь Ь — так называемый «запрещенный объем», Тогда получим = ^, или = Р + или (р+:^) (V-b) (19.2) (19.3) Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля реального газа. Хотя уравнение Ван-дер-Ваальса дает лучшее согласие теории с результатами эксперимента, все же точность расчетов, выполненных на его основе, обычно недостаточна для решения практических задач на уровне требований современной техники. Поэтому на практике приходится использовать уравнения состояния реального газа еще более сложного вида. Уравнение же Ван-дер-Ваальса интересно тем, что дает качественное объяснение основных отличий в поведении реального газа от идеального. Средняя длина свободного пробега. В некоторых задачах появляется необходимость учета конечных размеров молекул. Молекулы газа испытывают столкновения не только со стенками сосуда, но и друг с другом. Поэтому одним из параметров газа является средняя длина свободного пробега его молекул. Длиной свободного пробега молекулы газа называют длину пути, пройденного ею между двумя последовательными столкновениями (рис. 2.22). Так как молекулы газа распре- рис. 2.22 120 делены в пространстве беспорядочно, движутся во всевозможных направлениях и с различными скоростями, то длина пути между каждыми двумя последовательными столкновениями молекулы оказывается величиной непостоянной. Однако можно найти среднее значение длины свободного пробега молекулы газа для большого числа столкновений и пользоваться этим параметром для характеристики газа. Среднюю длину свободного пробега можно вычислить теоретически, если известны радиус молекул и их концентрация. При расчетах будем считать, что молекулы газа при столкновении ведут себя как упругие шары, отталкиваюш;иеся только при соприкосновении, когда расстояние между их центрами равно удвоенному радиусу: d = 2r. Силы взаимного притяжения молекул во внимание принимать не будем. Для определения средней длины свободного пробега вычислим сначала число столкновений, которое испытывает молекула за 1 с. Если средняя скорость движения молекулы равна V, то для определения числа соударений Z, испытываемых ею за 1 с, необходимо найти число молекул, центры которых попадают внутрь цилиндра радиусом d = 2r и длиной l = vAt{At = l с). Очевидно, что число соударений можно определить как произведение объема цилиндра на концентрацию молекул газа: Z = V^n = Sin = п {2r)^vnAt = 4nr^nvAt. (19-4) Разделив путь I, пройденный молекулой за 1 с, на число столкновений Z, испытанных ею за это же время, получим среднюю длину свободного пробега X: 1 = — — uAt Z Anr^vnM 1 4nr^n 1 an (19.5) где а = 4лг^ — эффективное сечение. Диффузия в газах. Если молекула газа при каждом столкновении изменяет направление движения совершенно случайным образом, то среднее расстояние s, на которое молекула удалится от первоначального своего местонахождения за время t, можно определить, если известны средняя длина ее свободного пробега X и средняя частота столкновений Z. Кажется правдоподобным предположение, что результатом хаотического блуждания каждой молекулы должно быть «топтание» ее вблизи одного и того же места, сколько бы времени ни прошло. Однако простые наблюдения за процессом диффузии заставляют отказаться от этого предположения. В комнате, где только что выкрашены полы и стены, запах краски ощущается в любой точке пространства комнаты и даже за ее пределами, а не только вблизи окрашенных поверхностей. Значит, молекулы растворителя, испарившись с окрашенной по- 121 верхности, не «толкутся» вблизи места своего освобождения, а удаляются от него на большие расстояния. Как показывает анализ хаотического движения молекул, модуль перемеш;ения s молекулы за время t пропорционален корню квадратному из числа столкновений N, испытанных ею за это время, и средней длине свободного пробега X. Отсюда связь между модулем перемещения s, временем t и средней скоростью V молекул определяется выражением s = \fNX = yJ^X = \vXt. (19.6) Полученное соотношение позволяет определять среднюю длину свободного пробега газовых молекул X за известное время t по экспериментальному значению модуля перемещения S и вычисленной средней скорости их движения и. Интересно сравнить модуль перемещения молекулы газа за счет диффузии с расстоянием, которое могла бы пройти молекула за 1 с, если бы не было соударений с другими молекулами. Выполним расчет для воздуха при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 ®С. Средняя скорость теплового движения молекул при этих условиях составляет примерно 500 м/с, средняя длина свободного пробега их около 6 • 10’* м, тогда среднее значение s модуля перемещения молекулы за 1 с равно: S = \ 500 м/с -1 с • 6 • 10 ® м = 5,5 • 10~® м = 5,5 мм. При нормальных условиях молекула могла бы пробежать за 1 с путь около 0,5 км, но из-за хаотических изменений направления движения в результате большого числа столкновений с другими молекулами смещается от своего первоначального положения в среднем всего на 5 мм! Здесь следует обратить внимание на то, что процесс диффузии газовых молекул нельзя охарактеризовать понятием средней скорости диффузии, как это хотелось бы сделать. Объясняется это тем, что модуль среднего перемещения молекулы пропорционален времени не в первой степени, а в степени 1/2. Следовательно, если определить скорость диффузии как s/t, то эта величина окажется непостоянной и будет убывать с увеличением промежутка времени. ■ Вопросы 1. Каков смысл первой и второй поправок в уравнении Ван-дер-Ваальса? 2. Является ли изотерма ван-дер-ваальсового газа гиперболой? 3. От чего зависит средняя длина свободного пробега молекул газа? 4. Как зависит модуль перемещения молекулы при хаотическом тепловом движении от времени? 5. Сравните выражения для модуля перемещения броуновской частицы (14.1) и перемещения молекулы при диффузии (19.6). Какие выводы отсюда можно сделать? 122 Ш Задачи для самостоятельного решения 19.1. Как изменится частота столкновений молекулы газа с другими молекулами при увеличении давления газа в 2 раза? Температура постоянна. 19.2. В межзвездном пространстве имеется газообразный атомарный водород. Его концентрация составляет примерно 1 атом/см^, температура 125 К. Вычислите давление межзвездного газа, длину свободного пробега и средний промежуток времени между двумя столкновениями молекул. Радиус атома водорода равен 5 • 10'^^ м. 19.3. Оцените, каким должно быть давление азота в сосуде, чтобы при температуре 0 °С длина свободного пробега его молекул была равна 1 м. Эффективное сечение молекулы азота принять равным 4,3 • 10”^® м^. §20 Агрегатные состояния и фазовые переходы Все вещества (за малым исключением) могут находиться в трех агрегатных состояниях — газообразном, жидком и твердом (кристаллическом). Переход вещества из одного состояния в другое зависит от условий, в которых оно находится, — от давления и температуры. В газах и жидкостях структурные элементы, из которых состоит то или иное вещество, — атомы, молекулы или ионы — расположены беспорядочно. Иначе обстоит дело с кристаллами, где частицы вещества расположены упорядоченно, образуя кристаллическую решетку. Таких решеток у вещества может быть несколько, в результате чего возможно несколько различных модификаций кристалла с разными свойствами. Например, углерод образует две кристаллические модификации — графит и алмаз. Исходя из этого, кроме понятия агрегатного состояния, вводится более широкое понятие фазы. Фаза — это равновесное состояние вещества, отличающееся по своим физическим свойствам от других состояний того же вещества. У вещества возможны газообразная и жидкая фазы и одна или несколько кристаллических фаз. Переход вещества из одной фазы в другую называется фазовым переходом. При таких переходах меняются механические, тепловые, электрические и магнитные свойства вещества. Пары и «постоянные газы». Примерно до середины XIX в. вещества в газообразном состоянии разделялись на пары и «постоянные газы». «Постоянными газами» называли аммиак, кислород, азот, водород, хлор, так как их не удавалось перевести в жидкое состояние путем повышения давления. Догадку об отсутствии принципиального различия между парами и «постоянными газами» высказывал еще в конце XVII в. А. Лавуазье. Он считал, что при достаточно низкой температуре в жидкость превратится и атмосферный воздух. 123 Первым из «постоянных газов» был сжижен аммиак при повышении давления до 7 • 10® Па. В 1823 г. М. Фарадею удалось превратить в жидкость хлор путем охлаждения его при повышенном давлении. В 1877 г. французский инженер Ка-льете и швейцарский физик Р. Пикте независимо друг от друга добились сжижения кислорода при повышении давления примерно до 3 • 10”^ Па и охлаждении до температуры ниже -140 °С. В том же году был сжижен азот. В 1898 г. английский физик Дж. Дьюар получил жидкий водород, а в 1908 г. в Голландии Г. Камерлинг-Оннес перевел в жидкое состояние гелий — последний газ, который до него никому не удавалось превратить в жидкость. Таким образом, было установлено, что из газообразного состояния в жидкое можно перевести любое вещество. Однако каждое вещество может испытать такое превращение лишь при температурах ниже определенной, так называемой критической температуры Т^. При температуре выше критической вещество не превращается в жидкость или твердое тело ни при каких давлениях. Очевидно, что при критической температуре средняя кинетическая энергия теплового движения молекул вещества примерно равна модулю потенциальной энергии их связи в жидкости или твердом теле. Так как силы притяжения, действующие между молекулами разных веществ, различны, неодинакова и потенциальная энергия их связи, отсюда различными оказываются критические температуры для разных веществ. Сжижение газов. Рассмотрим основные принципы, используемые в машинах для сжижения газов. Первое условие, которое необходимо выполнить для превращения газа в жидкость, — это охлаждение его до температуры ниже критической. При температуре ниже критической любой газ может быть переведен в жидкое состояние путем повышения давления, поэтому сжижение газов, имеющих высокую критическую температуру, не представляет принципиальной трудности. Более сложной задачей является сжижение газов, критическая температура которых близка к абсолютному нулю. Такими газами являются кислород, азот, водород, гелий, критические температуры которых равны соответственно 154,4, 126,4, 33,3 и 5,3 К. Такие низкие температуры не встречаются на Земле в естественных условиях, поэтому проблема сжижения этих газов оказывается тесно связанной с проблемой получения низких температур. Особенности жидкого состояния вещества. Способность любого вещества превращаться из газа в жидкость доказывает, что между частицами вещества (атомами, молекулами) действуют не только силы отталкивания, но и притяжения. Частицы вещества в жидкости или в твердом теле плотно упакованы, т. е. находятся друг от друга в среднем на та- 124 ких расстояниях, когда сила взаимодействия между ними равна нулю, т. е. энергия взаимодействия минимальна. Смещаясь периодически от положений равновесия, частицы совершают тепловые колебания. В жидкости упорядоченное расположение молекул сохраняется лишь среди ближайших соседей, т. е. на расстояниях порядка нескольких молекулярных диаметров. Такое расположение частиц вещества называется ближним порядком. Молекулы жидкости, совершая тепловые колебания около положений равновесия, при столкновениях друг с другом могут приобрести энергию, достаточную для того, чтобы «перекочевать» в новое положение равновесия. В результате этого ближний порядок постоянно разрушается тепловым движением и вновь создается силами межмолекулярного взаимодействия. Существование ближнего порядка в расположении молекул жидкости и возможность их сравнительно свободного перемещения друг относительно друга обусловливают ряд свойств жидкостей. Так, объем жидкости мало зависит от давления. Малая сжимаемость является свойством, общим для жидких и твердых тел и отличающим их от газов, способных занимать любой предоставленный объем. Возможность свободного перемещения молекул друг относительно друга обусловливает свойство текучести жидкости. Вследствие этого форма жидкого тела определяется формой сосуда, в котором находится жидкость, действием внешних сил (в частности, силы тяжести) и сил поверхностного натяжения. Большая свобода движения молекул в жидкости приводит к большей скорости диффузии в жидкостях, чем в твердых телах, обеспечивает возможность растворения твердых веществ в жидкостях. Твердое тело. Из газообразного и жидкого состояний любое вещество может перейти в твердое состояние. Твердое тело отличается от жидкости тем, что при тепловых колебаниях около положений равновесия атомы и молекулы длительное время не могут изменить своего положения среди других атомов. Это приводит к возможности установления дальнего порядка в расположении атомов, т. е. строгой периодичности в расположении атомов на протяжении тысяч межатомных расстояний. Упорядоченная структура в реальном кристалле нарушается из-за наличия дефектов. Дефекты в структуре кристаллической решетки облегчают также переходы атомов или молекул в кристалле с одного места на другое, но происходят такие переходы редко. Среднее время «оседлой жизни» молекул исчисляется сутками и годами. Поэтому диффузия в кристаллах протекает медленно. Диаграмма состояний вещества. На рисунке 2.23 изображены диаграммы трех фазовых состояний вещества. Равно- 125 а) рис. 2.23 весному состоянию между жидкостью и ее паром соответствует кривая испарения АК. Равновесие между твердым и жидким состояниями вещества характеризует кривая плавления АВ. При давлениях и температурах, соответствующих точкам этой кривой, твердое тело и расплав, приведенные в соприкосновение, находятся в динамическом равновесии. Число молекул, переходящих в единицу времени из жидкости в твердое тело, равно числу молекул, переходящих границу раздела между ними в противоположном направлении. Кривая плавления идет почти вертикально, поскольку температура плавления слабо зависит от давления (на рис. 2.23, а она немного отклонена вправо). Этим иллюстрируется повышение температуры плавления с увеличением давления, наблюдаемое у большинства веществ. Для вещества, обладающего в твердом состоянии меньшей плотностью, чем в жидком (лед, висмут, серый чугун), увеличение давления способствует плавлению. Для таких веществ кривая плавления отклонена влево от вертикали (рис. 2.23, б). Кривая СА на диаграмме состояний вещества отвечает значениям давления и температуры, при которых устанавливается равновесие между процессами испарения молекул (атомов) твердого тела и конденсации их на поверхность твердого тела. Процесс испарения твердых тел называется сублимацией. Конечно, сублимации сопутствует и обратный процесс — кристаллизация из пара. При определенных сочетаниях температуры и давления система «кристалл — пар» находится в динамическом равновесии. С уменьшением температуры кристалла уменьшается и давление его насыщенного пара (см. кривую сублимации СА). Тройная точка. Кривые плавления и парообразования пересекаются в точке А. Эту точку называют тройной точкой, так как если при давлении и температуре некоторые 126 части вещества в твердом, жидком и газообразном состояниях находятся в контакте, то без подведения или отвода тепла количество вещества, находящегося в каждом из трех состояний, не изменяется. Из диаграммы состояний вещества видно, что переход вещества при нагревании из твердого состояния в газообразное может совершиться, минуя жидкое состояние. Переход кристалл — жидкость — газ при нормальном атмосферном давлении происходит лишь у тех веществ, у которых давление в тройной точке ниже этого давления. Те же вещества, у которых давление в тройной точке превышает атмосферное, в результате нагревания при атмосферном давлении не плавятся, а переходят в газообразное состояние (сублимируют). Например, при атмосферном давлении твердая углекислота при нагревании не плавится, а сублимирует. Это объясняется тем, что тройной точке соединения СО2 соответствует давление, примерно в пять раз большее нормального атмосферного давления. Поскольку тройной точке соответствует вполне определенная температура, она может служить опорной (основной) точкой термометрической шкалы. Оказывается, что температура тройной точки воды равна 273,16 К (т. е. 0,01 °С). Это позволило ввести в Международной системе единиц следующее определение единицы термодинамической (абсолютной) температуры (1 К): кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды. ■ Вопросы 1. Каковы особенности жидкого состояния вещества? 2. Что такое «ближний порядок» в расположении молекул? 3. Чем объясняется свойство текучести жидкости? 4. Что такое «дальний порядок»? 5. Почему мала сжимаемость твердых тел и жидкостей? 6. Может ли вещество переходить из газообразного состояния в твердое, минуя фазу жидкого состояния? 7. Может ли твердое тело превратиться в газ без плавления? 8. Что такое «тройная точка»? 9. Как определяется единица температуры — кельвин — в Международной системе единиц? § 21 Испарение и конденсация Испарение. В жидкости или твердом теле при любой температуре существует некоторое количество молекул (атомов), кинетическая энергия которых превышает модуль потенциальной энергии их связи с остальными частицами вещества. Испарение — это процесс, при котором с поверхности жидкости или твердого тела вылетают частицы (молекулы, атомы), кинетическая энергия которых превышает потенциальную энергию их связи с остальными частицами вещества. При испарении с поверхности жидкости или твердого тела вылетают наиболее быстрые частицы, обладающие макси- 127 мальной кинетической энергией. В результате происходит уменьшение средней кинетической энергии оставшихся частиц. Поэтому процесс испарения сопровождается охлаждением жидкости или твердого тела, если только при этом нет подвода тепла из окружаюпдей среды. Насьиценный и ненасыщенный пар. Процесс испарения жидкости или твердого тела в закрытом сосуде или помещении при неизменной температуре сопровождается постепенным увеличением концентрации молекул испаряющегося вещества в газообразном состоянии. Через некоторое время после начала процесса испарения концентрация вещества в газообразном состоянии достигает такого значения, при котором число молекул, возвращающихся в единицу времени, становится равным числу молекул, покидающих поверхность жидкости за то же время. Устанавливается динамическое равновесие между процессами испарения и конденсации вещества. Вещество в газообразном состоянии, находящееся в динамическом равновесии с жидкостью или твердым телом, называется насыщенным паром. Пар, давление которого ниже давления насыщенного пара при данной температуре, называется ненасыщенным (или перегретым). При уменьшении объема, занимаемого насыщенным паром, концентрация его молекул увеличивается и пар становится пересыщенным. Равновесие между процессами испарения и конденсации пара нарушается, скорость конденсации превышает скорость испарения, в результате чего часть вещества из газообразного состояния превращается в жидкое и пар вновь становится насыщенным. Пар из насыщенного может стать пересыщенным не только при повышении концентрации молекул, но и при понижении температуры. Интенсивность процесса испарения увеличивается с возрастанием температуры жидкости (или испаряющегося твердого тела). Поэтому установление динамического равновесия между процессами испарения и конденсации при повышении температуры происходит при более высоких концентрациях молекул газа. Давление идеального газа при постоянной концентрации молекул возрастает прямо пропорционально абсолютной температуре. Так как в насыщенном паре при возрастании температуры концентрация молекул увеличивается, а их средняя кинетическая энергия также возрастает, то давление насыщенного пара с повышением температуры возрастает быстрее, чем давление идеального газа с постоянной концентрацией молекул (рис. 2.24). Кипение. Зависимость температуры кипения от давления. Испарение может происходить не только с поверхности жидкости, но и в пузырьки воздуха, который обычно растворен в жидкости. Объем этих пузырьков, заполненных насыщенным паром, невелик, но с ростом температуры резко возрастает. Эти пузырьки всплывают на поверхность жидкости и лопаются, выбрасывая пар в атмосферу, если давление насыщенного пара равно внешнему давлению или превышает его. Процесс испарения, идущий по всему объему жидкости, называется кипением. Давление насыщенного водяного пара при кипении равно внешнему давлению на жидкость. При нормальном давлении кипение воды происходит при 100 °С. При температуре, например 80 °С, давление насыщенного пара примерно в два раза меньше нормального атмосферного давления. Поэтому вода при этой температуре должна закипеть, если давление над ней уменьшить до половины нормального атмосферного давления. Проверить это можно на следующем опыте. Нальем в небольшой стеклянный стакан воду, нагретую до 80 °С. Вода при нормальном давлении не кипит. Поставим стакан под стеклянный колпак на тарелку выкуумного насоса и будем откачивать воздух из-под колпака. Вскоре вода закипит (рис. 2.25), хотя температура ее остается прежней. Итак, теория и опыт показывают, что температура кипения зависит от внешнего давления. При понижении внешнего давления температура кипения жидкости понижается, при повышении давления температура кипения повышается. Изотерма пара. При температурах выше критической свойства пара достаточно хорошо описываются уравнением Ван-дер-Ваальса. Изотерма пара при этих температурах мало отличается от гиперболы. По мере понижения температуры изотерма пара становится все более похожей на график изо- рис. 2.25 5 Физика, 10 кл. термы ван-дер-ваальсова газа. График изотермы при критической температуре обозначен на рисунке 2.26 символом Т^р; его форма существенно отличается от гиперболы. Штриховая кривая разделяет три фазы. Слева вверху область соответствует жидкой фазе, справа от кривой и внизу — область ненасыщенного пара (газа), под штриховой кривой лежит область насыщенного пара над жидкостью (двухфазная среда). Если изотермически сжимать ненасыщенный пар при температуре ниже критической, то концентрация молекул возрастет и соответственно давление будет возрастать вплоть до давления насыщенного пара. При дальнейшем уменьшении объема на дне сосуда образуется жидкость и установится динамическое равновесие между насыщенным паром и жидкостью. Давление насыщенного пара остается неизменным, а с уменьшением объема все большая часть пара переходит в жидкость. Горизонтальный участок на изотерме пара не связан с особыми свойствами насыщенного пара, а обусловлен процессом превращения части пара в жидкость. Уравнение Клапейрона — Менделеева (17.5) или (17.6) здесь с достаточной степенью точности выполняется, но надо помнить, что масса пара не остается при сжатии постоянной. Процесс уменьшения объема при дальнейшем сжатии прекращается, когда весь газ в сосуде превращается в жидкость. Резкое возрастание давления при дальнейшем уменьшении объема объясняется малой сжимаемостью жидкости. Относительная влажность воздуха. В атмосферном воздухе интенсивность испарения воды зависит от того, насколько близко давление паров воды к давлению насыщенных паров при данной температуре. Отношение давления паров воды р к давлению насыщенного водяного пара Ро °Ри данной температуре, выраженное в процентах, называется относительной влажностью воздуха: ф = А = 100% ^ Ро (21.1) С небольшой погрешностью можно в формуле (21.1) вместо отношения давлений подставить отношение плотностей. Относительная влажность 100% означает установление динамического равновесия между процессами испарения и конденсации воды. Точка росы. Так как давление насыщенного пара тем ниже, чем ниже температура, то при охлаждении воздуха находящийся в нем водяной пар при некоторой температуре становится насыщенным. Температура, при которой находящийся в воздухе водяной пар становится насыщенным, называется точкой росы. 130 Гигрометр. Точку росы можно определить с помощью гигрометра. Он представляет собой металлический сосуд, в который наливается легко испаряющаяся жидкость, например эфир. При испарении эфира происходит охлаждение стенок гигрометра, и при достижении точки росы на полированной поверхности появляются капли росы. Температуру гигрометра измеряют термометром. Для ускорения процесса испарения эфира через него с помощью груши продувается воздух (рис. 2.27). Действие гигрометра другого типа, волосного, основано на свойстве обезжиренного человеческого волоса удлиняться при повышении влажности. В этом приборе натянутый волос соединен со стрелкой прибора, показывающей по шкале относительную влажность воздуха. Определение относительной влажности. По точке росы можно найти давление водяного пара в воздухе. Оно равно давлению насыщенного пара при температуре, равной точке росы. Отыскав затем в соответствующей таблице значения давления насыщенного водяного пара при температуре воздуха, можно рассчитать относительную влажность воздуха по формуле (21.1). Относительную влажность воздуха можно также определить с помощью прибора, называемого психрометром (рис. 2.28). Один термометр измеряет температуру воздуха, а другой — температуру ткани, смоченной водой. С поверхности влажной ткани происходит испарение воды, в резуль- рис, 2.27 рис. 2.28 131 тате температура влажной ткани понижается. Скорость испарения воды зависит от температуры и относительной влажности воздуха. Чем меньше паров в воздухе, тем интенсивнее идет процесс испарения и тем ниже температура влажного термометра. С помош;ью специальной таблицы, называемой психрометрической, по разности показаний сухого и влажного термометров определяют относительную влажность воздуха. Умение измерять относительную влажность воздуха и регулировать ее бывает необходимо в быту и на производстве. В сухом воздухе происходит очень быстрое испарение влаги с поверхности тела человека, высыхают слизистые оболочки дыхательных путей. При относительной влажности 100% прекращается испарение воды с поверхности тела и тем самым затрудняется возможность терморегуляции человеческого организма. Поэтому для человека вреден как слишком сухой, так и слишком влажный воздух. Наиболее благоприятной для человека является относительная влажность от 40 до 60%. Определенную влажность воздуха необходимо поддерживать на многих производствах (ткацком, кондитерском и др.) для обеспечения нормальных условий производственного процесса, а также в библиотеках, музеях, хранилищах произведений искусства для обеспечения лучшей сохранности книг и различных произведений искусства. ■ Вопросы 1. Что называется испарением? 2. Почему испарение жидкости сопровождается ее охлаждением? 3. Что такое насыщенный пар? 4. При каких условиях происходит испарение жидкости? 5. Что такое кипение? 6. При каких условиях происходит конденсация пара? 7. Чем отличаются изотермы пара от изотерм идеального газа? 8. От чего зависит температура кипения жидкости? 9. Что такое относительная влажность воздуха? 10 Что называется точкой росы? 11. Для чего нужно знать влажность воздуха? 12. Как можно изменить влажность воздуха в помещении? ■ Пример решения задачи Задача. Температура воздуха равна 20 °С, точка росы 10 °С. Определите относительную влажность воздуха. Решение. Из таблицы в справочнике находим, что давление р насыщенного водяного пара при 10 °С равно 1226 Па, а давление ро при 20 °С равно 2333 Па. ^--------- -------- ^ 1226 Па 2333 Па 2333 100% = 52,6%. Отсюда получаем ф=^100%; ф = 132 ■ Задачи для самостоятельного решения 21.1. В кастрюле-скороварке объемом 3 дм^ находится 0,5 кг воды при температуре 100 °С. Какая доля воды находится в газообразном состоянии под закрытой крышкой кастрюли? 21.2. Вычислите массу насыщенного водяного пара в комнате объемом 200 м^ при температуре 25 °С. 21.3. В воздухе насыщенный водяной пар содержится при 30 °С. Определите массу воды, выпавшей в виде росы из 1 м® воздуха при его охлаждении до 15 °С. 21.4. В воздухе объемом 60 м^ был насышенный водяной пар при температуре 15 °С. Определите массу воды, которая может испариться в комнате при повышении температуры до 25 °С. 21.5. Давление водяного пара в воздухе при температуре 20 °С равно 2,33 кПа. Чему равна относительная влажность воздуха? 21.6. Температура воздуха 24 °С, точка росы — 8 °С. Определите относительную влажность воздуха. 21.7. Относительная влажность воздуха при температуре 25 °С равна 60%. До какой температуры следует охладить воздух, чтобы началось выпадение росы? 21.8. Относительная влажность воздуха при температуре 20 °С равна 80%. Какой будет относительная влажность воздуха при температуре 30 °С, если давление водяных паров в нем не изменится? § 221 Свойства поверхности жидкостей Поверхностная энергия. Рассмотрим явления, связанные с существованием у жидкости свободной поверхности, — так называемые поверхностные явления. Выдувать мыльные пузыри — любимое занятие детей. Но, оказывается, из этого занятия можно извлечь много ценных сведений. Известно, что мыльный пузырь имеет почти правильную сферическую форму. Если прекращают выдувать пузырь, то он самопроизвольно сокращается и его поверхность уменьшается. Все, вероятно, любовались маленькими капельками росы, которые на листьях растений принимают форму почти правильных шариков. Такую же форму имеют капли воды на парафине. Если эти капли привести в соприкосновение, то они сольются в одну большую каплю, форма которой также будет близка к шаровой. Эти явления кажутся удивительными! Ведь мы привыкли видеть, что жидкость принимает форму сосуда, в котором она находится, и собственной формы не имеет. Оказывается, это не всегда верно. Из геометрии известно, что шар имеет наименьшую площадь поверхности из всех тел равного объема. Легко рассчитать, что если два одинаковых шарика сливаются в один, то площадь его поверхности будет меньше суммы площадей 133 о о поверхностей обоих шариков. Вы-ходит, что в описанных явлениях мы наблюдали самопроизвольное сокращение поверхности жидкости: жидкость принимала форму, при которой площадь ее поверхности оказывалась минимальной. Положим бритвенное лезвие, слегка покрытое жиром, на поверхность воды. Оно не тонет. Но если погрузить это же лезвие в глубину воды, оно пойдет ко дну. Значит, свойства поверхности жидкости отличаются от свойств остальной ее части, рис. 2.29 Как это можно объяснить? Все дело в том, что молекулы на поверхности и в глубине жидкости находятся в разных условиях. Молекула внутри жидкости взаимодействует с соседними молекулами, окружающими ее со всех сторон (рис. 2.29). Над поверхностью жидкости находится пар, плотность которого во много раз меньше, и взаимодействием его с молекулами жидкости можно пренебречь. Молекулы, находящиеся на поверхности, взаимодействуют практически только с теми молекулами, которые находятся внутри жидкости. Казалось бы, что молекулы, находящиеся на поверхности, должны втянуться внутрь жидкости. Но все молекулы не могут уйти внутрь. На поверхности остается такое число молекул, при котором ее площадь оказывается минимальной для данного объема жидкости. Так, капли жидкости принимают форму, близкую к шаровой, при которой поверхность минимальна. При увеличении поверхности жидкости за счет внешнего воздействия часть молекул из внутренних областей жидкости переходит на ее поверхность. При таком переходе совершается работа против сил притяжения, действующих на молекулы, переходящие в поверхностный слой. Поэтому молекулы на поверхности жидкости обладают большей энергией, чем те же молекулы внутри жидкости. Чем больше поверхность жидкости, тем большее число молекул обладает избыточной потенциальной энергией. Избыточную потенциальную энергию, которой обладают молекулы на поверхности жидкости, называют поверхностной энергией. Отношение поверхностной энергии к площади поверхности называется удельной поверхностной энергией. 134 Эту величину обозначают греческой буквой а (сигма): (22.1) S В СИ единицей удельной поверхностной энергии является 1 Дж/м^. Поверхностной энергией обладают как жидкие, так и твердые тела. Ведь особые условия, в которых находятся молекулы на поверхности жидкости, характерны также и для поверхности твердых тел. Устойчивое равновесие наступает при минимуме поверхностной энергии. Значит, сокращение поверхности жидкости, при котором уменьшается поверхностная энергия,— это самопроизвольный процесс, ведущий к состоянию устойчивого равновесия. Поверхностная энергия уменьшается, если поверхность жидкости покрывается веществом, поверхностная энергия которого меньше, чем у данной жидкости. Если такое вещество растворить в воде (например, мыло), то его молекулы концентрируются на поверхности воды, покрывая ее плотным слоем. При этом поверхностная энергия системы уменьшается. Так, при малой концентрации мыла в воде (до 5%) на поверхности воды адсорбируется до 95% молекул мыла. Поверхностное натяжение. Как измерить удельную поверхностную энергию жидкости? Очевидно, это можно сделать, определив работу, необходимую для образования поверхности. Для вычисления этой работы воспользуемся свойством некоторых жидкостей, например мыльной воды, создавать тонкие пленки. Рассмотрим мыльную пленку, образованную на прямоугольнике с одной подвижной перекладиной длиной d (рис. 2.30, а). Если на эту перекладину не действует сила, поверхность жидкости будет сокращаться и подвижная перекладина притянется к неподвижной (рис. 2.30, б). Площадь поверхности сократится до минимума. Значит, со стороны жидкой пленки вдоль ее поверхности действует сила касательная к поверхности и перпендикулярная участку периметра, ограничивающего поверхность жидкости. Эта сила называется силой поверхностного натяжения. Пленку можно растянуть и удерживать в равновесии (рис. 2.31), если к перекладине приложить внешнюю силу F, равную по модулю 135 силе поверхностного натяжения: F=-F (22.2) _ Если под действием силы F подвижная перекладина сместится на Ах, то произведенная работа А будет положительна: A = FAx. За счет этой работы поверхность пленки увеличится на AS. Сила поверхностного натяжения F^os совершает при этом отрицательную работу: A' = -F,,,Ax. (22.3) Так как пленка — это тонкий слой жидкости, ограниченный двумя поверхностями, то AS = Axl, где l = 2d. Поверхностная энергия при этом увеличится на АЕпов = С7^'5 = ст/Ал:, (22.4) где АЕдов — изменение поверхностной энергии. Так как А' = = -АЕддз, то, подставив в это выражение вместо А' и АЕ„ов их значения из формул (22.3) и (22.4), получим -F„„„Ax= -ЫАх. Отсюда а=^. (22.5) Если проводить опыты с рамками, имеющ;ими различную длину подвижной перекладины, то можно обнаружить, что абсолютное значение сил поверхностного натяжения про- F порционально длине перекладины, а отношение для пленки из данной жидкости всегда одно и то же. Не зависит оно и от материала перекладины. Следовательно, отношение модуля силы поверхностного натяжения, действующей на границе поверхности жидкости, к длине этой границы характеризует свойства свободной поверхности самой жидкости. Отношение модуля силы поверхностного натяжения к длине периметра, ограничивающего поверхность жидкости, называется поверхностным натяжением. Из формулы (22.5) следует, что удельная поверхностная энергия а имеет не только энергетический, но и силовой смысл: она равна поверхностному натяжению данной жидкости. Вот почему удельную поверхностную энергию часто также называют поверхностным натяжением и обозначают обе эти величины одной буквой о. Поверхностное натяжение может быть выражено в ньютонах на метр, что нисколько не противоречит выражению этой величины в джоулях на квадратный метр. 136 Действительно, 1 = 1 iL** = 1Ж 2 2 М * М М Мыльные пленки на проволочных каркасах различной формы образуют разнообразные фигуры. У этих фигур общим является то, что при заданном контуре их поверхности имеют наименьшие площади из всех возможных. Собственная форма жидкости. Если жидкость находится только под действием силы тяжести, как, например, при свободном падении, все ее частицы движутся с одинаковым ускорением, а следовательно, с одинаковой скоростью. Поэтому расстояния между частицами жидкости не меняются и жидкость находится в недеформированном состоянии. Значит, если на жидкость действует одна лишь сила тяжести, то она на форму жидкости не влияет. Действие же молекулярных сил, как известно, приводит к сокращению поверхности, и свободно падающая жидкость принимает форму шара. Такую форму жидкости наблюдали, например, космонавты в орбитальных полетах. Шаровая форма — это и есть собственная форма жидкости, которую она принимает под действием межмолекулярных сил. ■ Вопросы 1. Почему молекулы поверхностного слоя обладают большей потенциальной энергией, чем молекулы внутри жидкости? 2. Что такое поверхностное натяжение? 3. Как можно измерить поверхностное натяжение жидкости? 4. Как связано поверхностное натяжение с избыточной потенциальной энергией молекул на поверхности жидкости? 5. Какую форму принимает жидкость в условиях невесомости? ■ Задачи для самостоятельного решения 22.1. Сферическую каплю ртути радиусом 3 мм разделили на две одинаковые капли. Какую работу пришлось при этом совершить для увеличения энергии поверхностного слоя? a^g = 0,465 Дж/м^. 22.2. Какая работа совершается при перемещении молекулы воды из глубины на поверхность? Диаметр молекулы воды равен примерно 4 • 10'*® м. Найдите отношение этой работы к средней кинетической энергии молекулы при комнатной температуре. Он^о=0*0^3 Дж/м^. 22.3. Две малые капли воды одинакового радиуса при соприкосновении сливаются в одну. Как изменится площадь поверхности образовавшейся капли по сравнению с первоначальной площадью поверхности обеих капель? Почему происходит слияние капель? 22.4. Капля ртути во время падения имеет форму шара радиусом 5 мм. Падая в кювету, она дробится на 8 примерно одинаковых капель. Вычислите: а) отношение поверхностной энергии капли к ее потенциальной энергии в момент соприкосновения с кюветой; б) отношение поверхностной энергии одной из получившихся при дроблении малых капель к ее потенциальной энергии. 137 ■ Задание Налейте в тарелку воду и положите на воду 4 спички так, чтобы они составили квадрат. Возьмите кусочек мыла и коснитесь поверхности воды внутри квадрата из спичек. Объясните наблюдаемое явление. Повторите опыт несколько раз и объясните результаты. § 231 Капиллярные явления Явления смачивания и несмачивания. Расплавленная капелька олова, помещенная на деревянную подставку, принимает форму шара. Но если провести паяльником с каплей олова по чистой меди, то олово растечется по медному листу подобно тому, как вода растекается по поверхности чистого стекла. Для лужения железа (покрытия его оловом) протягивают железный лист через ванну с расплавленным оловом. Жидкость, которая растекается тонкой пленкой по твердому телу, называют смачивающей данное твердое тело. Жидкость, которая не растекается, а стягивается в каплю, называют не смачивающей это тело. Чем же объясняются явления смачивания и несмачивания? Рассмотрим каплю жидкости на поверхности твердой пластины. Линия, ограничивающая поверхность капли на пластинке, является границей поверхностей трех тел — жидкости (Ж), твердого тела (Т) и газа (Г) (рис. 2.32, а, б). Поэтому в процессе установления равновесия капли жидкости на границе этих тел на каждый элемент этой границы будут действовать три силы: сила поверхностного натяжения жидкости на границе с газом сила поверхностного натяжения жидкости на границе с твердым телом сила по-^рхностного натяжения твердого тела на границе с газом F^j.. Будет ли жидкость растекаться по поверхности твердого тела или, наоб^от, соберется в каплю, зависит от соотноше- ния величин F^ _ верхности твердого ЖГ тела и Растекание а) Г б) 138 /Vr Т рис. 2.32 тр. X жидкости по по- произойдет, если JFlpr ^^жт+-^’жгСО8 0 (см. рис. 2.32, а), где F,^rCos0 — проекция силы поверхностного натяжения F^^ на го-^ ризонтальную поверхность, мт Угол 0, образованный на- правлением силы поверхностного натяжения Дей- ствующей по касательной к поверхности жидкости, с по-верхностью твердого тела, называется краевым углом. Он всегда отсчитывается внутрь жидкости. Из условия равновесия ^„=-Р’жт + ^жгСОВ0 следует: F -F СО5 0=-'^-Я;^-\ (23.1) Как видно, если поверхностное натяжение на границе жидкость — твердое тело меньше, чем на границе твердое тело — газ (т. е. то cos0>O, краевой угол 0 острый и жидкость смачивает твердое тело. Если же Р^^>Р^^., то cos00. Формула (30.1) относится к случаю, когда давление га-н за при его расширении или а) б) сжатии остается постоянным. График этого процесса (в корме. 3.2 ординатах р, F) изображен на пжп т 168 рис. 3.4 рисунке 3.3 отрезком АВ, параллельным оси абсцисс. Из формулы (30.1) следует, что работа при изобарном расширении численно равна плош;ади фигуры (в выбранном масштабе), закрашенной на рисунке 3.3. При изменении объема газа часто изменяется и его давление. Как в этом случае найти работу? Для вычисления работы воспользуемся графическим методом. Допустим, что газ расширяется и при этом его давление изменяется, например уменьшается (рис. 3.4). Выделим на кривой небольшие участки, соответствуюш;ие малому изменению объема AV, и из концов каждого участка опустим перпендикуляры на ось объемов. Если AV достаточно мало, то получившиеся полоски (одна из них на рисунке закрашена) могут считаться прямоугольниками. Плош;адь каждого из них численно равна произведению давления р, соответствующего выбранному участку (одна сторона прямоугольника), на изменение объема AV (другая его сторона). Но произведение pAV равно работе при малом изменении объема AV. Из таких малых прямоугольников складывается вся площадь под графиком зависимости давления от объема. Значит, площадь под кривой и выражает в выбранном на графике масштабе работу силы давления газа при его расширении от объема Fj до объема Fg (рис. 3.5, а). Если газ сжимать вдоль той же кривой, то работа газа по-прежнему будет определяться площадью фигуры под кривой, но знак ее будет отрицательным (рис. 3.5, б). Работа при циклических процессах. Процессы изменения состояния газа, в результате которых газ возвращается в ис- рис. 3.5 о F, 169 ходное состояние, называют круговыми или циклическими. При возвращении газа в исходное состояние его давление, объем и температура принимают начальные значения. В консервативных системах работа силы по замкнутой траектории равна нулю. Как обстоит дело с работой при циклических процессах? Рассмотрим диаграмму кругового процесса, представленную на рисунке 3.6. Идеальный газ сначала расширяется из состояния В в состояние D через состояние С. При расширении он совершает положительную работу, пропорциональную площади фигуры под кривой BCD. При сжатии газа из состояния D в состояние В через состояние Е совершается положительная работа внешними силами, а работа газа отрицательна. Она пропорциональна площади фигуры под кривой DEB. Полная работа газа за цикл равна сумме работ при расширении и сжатии газа. Так как работа газа при сжатии отрицательна, полная работа за цикл пропорциональна разности площадей фигур под кривыми BCD и DEB, т. е. пропорциональна площади фигуры BCDEB, ограниченной диаграммой кругового процесса в координатных осях р — V. При осуществлении кругового процесса в направлении BCDEB полная работа газа за цикл положительна, так как при расширении газ совершает большую работу, чем затрачивается на его сжатие. Круговые процессы такого типа, в которых расширение газа происходит при более высокой температуре, чем сжатие, используются в тепловых двигателях. Процесс расширения в тепловых двигателях происходит в результате нагревания газа, следовательно, работа совершается за счет количества теплоты, получаемого газом от нагревателя. Если круговой процесс осуществляется в обратном направлении BEDCB, то работа газа при расширении меньше работы, которую нужно совершить для сжатия газа и возвращения его в исходное состояние. Так как работа внешних сил при сжатии газа больше работы при расширении, полная работа газа за цикл отрицательна, т. е. положительную работу совершают внешние силы. Работа при расширении совершается за счет уменьшения внутренней энергии газа, его температура при этом понижается, и он отдает некоторое количество теплоты окружающей среде. Поэтому круговые процессы, в которых расширение газа происходит при более низких температурах, чем сжатие, используются в холодильных машинах. 170 ■ Вопросы 1. Как найти работу, совершаемую газом при изобарном расширении? 2. Как можно сравнить работу, совершенную газом в различных процессах? 3. Почему работа газа при его сжатии отрицательна? 4. Почему работа газа в круговом процессе не равна нулю? 5. При каком условии работа газа в круговом процессе положительна? отрицательна? 6. В каких машинах используются круговые процессы с положительной работой газа за цикл? 7. В каких машинах используются круговые процессы с отрицательной работой газа за цикл? 8. Совершается ли работа при изохорном нагревании газа? Передается ли при этом газу некоторое количество теплоты? ■ Пример решения задачи Задача. Вычислите работу, совершаемую идеальным газом, взятым в количестве 1 моль, при изобарном нагревании на 1 К. Решение. При изобарном нагревании идеального газа работа, совершаемая газом, равна A=pAV. Так как в условии задачи не даны значения давления газа и изменения его объема, выразим эти величины через известное изменение температуры газа. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа: pVi = vRTi, pV2 = VRT2. Из этих уравнений получаем p{V2-V^) = vR{T2-T,), pAV=vRAT. Отсюда для работы газа при изобарном нагревании будем иметь: А = vi?A7’= 1 • 8,31 • 1 Дж = 8,31 Дж. Таким образом, молярная газовая постоянная R численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при изобарном нагревании на 1 К. ■ Задачи для самостоятельного решения 30.1. с помощью поршня сжимают 1 моль идеального газа и одновременно охлаждают, так что давление остается постоянным. Чему равна работа, совершенная внешней силой при сжатии, если начальные значения объема и температуры соответственно равны 20 дм^ и 310 К, а конечный объем газа равен 5 дм^? 30.2. До какой температуры при постоянном давлении надо нагреть 2 кг воздуха, взятого при температуре 40 °С, чтобы при расширении он совершил работу 5 кДж? Молярную массу воздуха принять равной 0,029 кг/моль. 30.3. Гелий массой 40 г в изобарном процессе совершил работу 8 кДж. Определите изменение температуры гелия в этом процессе. Молярная масса гелия равна 4 • 10~® кг/моль. 30.4. Определите работу, совершенную при изобарном расширении 56 г азота, если его начальная температура была 0°С, а объем увеличился в три раза. Молярная масса азота 2,8-10“^ кг/моль. 171 §31 Применение первого закона термодинамики к различным процессам Используя первый закон термодинамики, рассмотрим различные процессы в газах, сопровождающиеся изменениями внутренней энергии. Начнем с процессов в идеальном газе. Изотермический процесс. В идеальном газе внутренняя энергия однозначно определяется абсолютной температурой. При изотермическом расширении или сжатии газа его температура не изменяется. Изменение внутренней энергии идеального газа в изотермическом процессе равно нулю: АС/у =0. На основании первого закона термодинамики (30.2) при изотермическом расширении идеального газа переданное количество теплоты Q-P равно работе Aj, совершенной газом: Qt ~-^7 (31.1) При изотермическом сжатии идеального газа в соответствии с первым законом термодинамики (29.2) работа внешних сил А' равна переданному количеству теплоты Qj-, взятому с противоположным знаком: Ах — Qt" (31.2) Поскольку работа внешних сил при сжатии газа положительна, то количество теплоты Q^, переданной газу, имеет отрицательный знак. Это означает, что при изотермическом сжатии газа происходит теплопередача от газа окружающим телам. Изохорный процесс. При изохорном процессе работа газа (и внешних сил над газом) равна нулю, поэтому изменение внутренней энергии AUy идеального газа равно полученному количеству теплоты Qxr. Итак, при изохорном процессе А = -А' = 0, AUy=Qy. (31.3) Изобарный процесс. Изобарное расширение идеального газа происходит при передаче ему количества теплоты Qp. В результате нагревания газа происходит увеличение его внутренней энергии и совершение работы расширения: Qp=^AU+A = AU+pAV. (31.4) Для изобарного сжатия газа необходимо совершить работу А' внешним силам. Для того чтобы давление газа при уменьшении объема оставалось постоянным, газ нужно охлаждать, т. е. он должен отдать окружающим телам некоторое количество теплоты. Понижение температуры газа при * в термодинамике принято обозначать индексом внизу тот параметр, который в данном процессе не меняется. Следовательно, AU-j- означает, что изменение внутренней энергии рассматривается при Г = const. 172 изобарном сжатии свидетельствует об уменьшении его внутренней энергии. Количество теплоты Qp, отдаваемое окружа-юш;им телам при изобарном сжатии газа, больше работы внешних сил, так как изменение внутренней энергии AU имеет отрицательный знак: AU=A’-Qp, Qp=A-AU. (31.5) Адиабатный процесс. В природе и технике часто происходят процессы, близкие к адиабатным. Адиабатным называется процесс изменения объема и давления газа при отсутствии теплообмена с окружающими телами, т. е. при условии Q = 0. Отсутствие теплообмена с окружающей средой может быть обеспечено хорошей теплоизоляцией газа. Быстрые процессы расширения или сжатия газа могут быть близкими к адиабатным и при отсутствии теплоизоляции, если время, за которое происходит изменение объема газа, значительно меньше времени, необходимого для установления теплового равновесия газа с окружающими телами. Примерами адиабатных процессов могут служить процессы сжатия воздуха в воздушном огниве (рис. 3.7), воздуха в цилиндре двигателя внутреннего сгорания. В соответствии с первым законом термодинамики при адиабатном сжатии изменение внутренней энергии газа равно работе внешних сил: AU=A' (31.6) Так как работа внешних сил при сжатии газа положительна, внутренняя энергия газа увеличивается, его температура повышается. При адиабатном расширении газ совершает работу А за счет уменьшения внутренней энергии: AU = -A. (31.7) Поэтому температура газа при адиабатном расширении понижается. Это можно обнаружить в опыте с вылетом пробки из бутылки, содержащей насыщенный водяной пар. При накачивании в бутылку с помощью насоса воздуха пробка вылетает, и в бу- рис. 3.7 рис. 3.8 173 Адиабата Изотерма О К рис. 3.9 тылке образуется туман (рис. 3.8). Работа А по выталкиванию пробки совершается газом за счет уменьшения его внутренней энергии, так как расширение газа происходит за очень короткое время и теплообмен с окружающей средой не успевает произойти. Образование капель тумана из водяного пара доказывает, что при адиабатном расширении воздуха его температура понизилась и в данном опыте стала ниже точки росы. Поскольку при адиабатном сжатии температура газа повышается, давление газа с уменьшением объема растет быстрее, чем при изотермическом процессе. Понижение температуры газа при адиабатном расширении приводит к тому, что давление газа убывает быстрее, чем при изотермическом процессе. График адиабатного процесса в координатных осях р, V представлен на рисунке 3.9. На том же рисунке для сравнения изображен график изотермического процесса. Мы рассмотрели различные процессы расширения газа, при которых совершается работа. Однако только при адиабатном и изотермическом процессах исключен контакт газа с телами иной температуры — при адиабатном процессе газ теплоизолирован, а при изотермическом он в процессе расширения соприкасается с телом той же температуры (с термостатом). Следовательно, именно в этих процессах исключен переход внутренней энергии газа во внутреннюю энергию других тел, при котором работа не совершается. Поэтому в этих двух процессах изменение внутренней энергии газа или термостата может быть полностью использовано для совершения работы. Образование облаков. Примером адиабатного процесса в природе является процесс, происходящий в земной атмосфере в летнее время. В летний день земная поверхность, поглощающая большую часть падающего на нее солнечного излучения, имеет более высокую температуру, чем прозрачный атмосферный воздух. Слой воздуха, находящийся у поверхности Земли, нагревается сильнее, чем слой воздуха, расположенный над ним, так как кроме излучения Солнца он подогревается еще снизу земной поверхностью. Поверхность Земли неоднородна. На ней имеются холмы и долины, леса и степи, моря и горы, поэтому нагревание земной поверхности и прилегающего к ней слоя воздуха в различных местах оказывается неодинаковым. Воздух над участком поверхности Земли, имеющим повышенную температуру по сравнению с соседними участками, в результате нагревания при постоянном давлении расширяется. Пониже- 174 рис. 3.10 рис. 3.11 ние плотности воздуха при расширении приводит к тому, что он «всплывает» вверх, а его место занимает более плотный и холодный воздух (рис. 3,10). Однако на этом процесс не останавливается. Подъем некоторого количества теплого воздуха в более высокие слои атмосферы сопровождается его дальнейшим расширением, так как по мере удаления от поверхности Земли атмосферное давление уменьшается. Расширение воздуха происходит адиабатно и поэтому сопровождается его охлаждением. Для сухого воздуха подъем на 100 м по вертикали приводит к его охлаждению на 1°С (рис. 3.11). Очевидно, что подъем нагретого воздуха будет продолжаться до тех пор, пока его температура в результате адиабатного охлаждения не сравняется с температурой воздуха на достигнутой высоте. Водяной пар, содержаш;ийся в воздухе, при подъеме и охлаждении на некоторой высоте из ненасыщенного становится пересыщенным, при этом происходит конденсация пара и возникает облако, состоящее из мельчайших капель воды. Высота нижней границы облака определяется условием охлаждения поднимающегося воздуха до точки росы. Конденсация водяного пара в облаке сопровождается выделением тепла, поэтому воздух в облаке охлаждается менее интенсивно, чем вне его. Процесс дальнейшего его расширения и подъема продолжается. Облака могут иметь протяженность по вертикали свыше 10 км. Их вершины даже в самый жаркий летний день находятся в слоях воздуха с температурой ниже 0°С и состоят не из водяных капель, а из кристаллов льда. Выяснив механизм образования облаков, поставим вопрос: почему они не падают на Землю? Ответить на него не- 175 сложно. Как показали экспериментальные исследования структуры облаков, размеры водяных капель в них лежат в пределах от 2 до 70 мкм. Капли таких малых размеров падают в воздухе с очень малой скоростью. Например, скорость падения капли радиусом 10 мкм составляет всего 1 см/с. Эффект уменьшения скорости падения капли с убыванием ее радиуса объясняется тем, что сила тяжести, действующая на каплю, пропорциональна ее объему, т.е. кубу радиуса: — а сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения капли и площади ее поперечного сечения, т. е. квадрату ее радиуса: Fc~uS~i;r^. С уменьшением радиуса капли сила тяжести убывает быстрее, чем сила сопротивления воздуха, и эти силы уравновешиваются при все меньших скоростях движения. Осадки. Если процесс конденсации пара в облаке идет более интенсивно, чем процесс испарения капель воды на поверхности облака, развитие облака может завершиться выпадением из него дождя, снега или града. Образование осадков в облаке происходит примерно следующим образом. По мере подъема вверх восходящим воздушным потоком водяные капли в результате конденсации пара увеличиваются в размерах. Этот процесс продолжается до тех пор, пока размер капли не станет таким, что скорость ее падения превысит скорость подъема восходящего потока воздуха в облаке. Капли, падающие вниз, встречают на своем пути более мелкие капли, поднимающиеся вверх, сливаются с ними, укрупняются. Процесс продолжается до тех пор, пока капли не выпадут из облака в виде дождя. Особенно эффективно происходит образование осадков, если вершина облака состоит из кристалликов льда. При достижении критических размеров кристаллики льда начинают падать. Процесс конденсации пара на их поверхности в нижних слоях облака протекает гораздо интенсивнее, чем на поверхности капель. В результате из облака выпадает снег, а в некоторых случаях град. ■ Вопросы 1. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при изотермическом процессе? 2. Какая связь между изменением внутренней энергии идеального газа и переданным ему количеством теплоты при изохорном процессе? 3. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при изобарном сжатии? 4. Какой процесс изменения состояния газа называется адиабатным? Как этот процесс может быть осуществлен? 5. Каким способом может быть осуществлен изотермический процесс? Нужен ли при этом теплообмен газа с окружающей средой? 6. Как меняется температура идеального газа при адиабатном процессе? 176 ■ Задачи для самостоятельного решения 31.1. Идеальный газ с начальным давлением занимающий объем Fj, расширяется до объема V2. В каком случае газ совершает большую работу — при изотермическом или адиабатном расширении? 31.2. Поезд массой 2-10^ т движется со скоростью 72 км/ч. Какое количество теплоты выделится в его тормозных устройствах в процессе торможения поезда до остановки? 31.3. Одноатомный газ в коли- р,МПш\ 0,3 0.2 В D о 10 рис. 3.12 30 У,дм^ честве 2 моль находится в цилиндре с подвижным поршнем под атмосферным давлением. В процессе его нагревания температура повысилась от 20 до 70 ®С. Какое количество теплоты было передано газу? 31.4. Газ переходит из состояния В в состояние D один раз посредством процесса BCD, другой раз посредством процесса BED (рис. 3.12). Используя данные рисунка, найдите разность количеств теплоты, получаемых телом в ходе обоих процессов. 31.5. Путем изобарного процесса гелий массой 8 г перевели в состояние, в котором объем газа в четыре раза больше первоначального. Определите работу, которую совершил гелий при своем расширении, изменение его вщггренней энергии и количество теплоты, сообщенное газу, если его начальная температура 0°С. § 32] Теплоемкость газов и твердых тел Количество теплоты и удельная теплоемкость. Чтобы вычислить изменение внутренней энергии тела в результате теплопередачи, необходимо каким-либо способом измерить количество теплоты, полученное телом. Определение переданного телу количества теплоты основано на измерении температуры. Если работа внешних сил равна нулю (А' = 0) и изменение внутренней энергии тела происходит только в результате теплопередачи, то, согласно закону термодинамики, AU = Qv (изохорный процесс). Изменение внутренней энергии тела в результате передачи ему количества теплоты можно выразить следующим образом: AU = Qy = CymAT, (32.1) где АТ — изменение температуры тела; т — масса тела как макроскопическая величина, пропорциональная числу N частиц в нем; Су — постоянная, называемая удельной теплоемкостью вещества при постоянном объеме (зависит от свойств данного вещества и его состояния). Из этого выражения следует, что удельная теплоемкость при постоянном объеме равна отношению изменения внутренней энергии вещества к массе и изменению его температуры: 177 Cv — AU mAT mAT Единица удельной теплоемкости — 1 (32.2) Дж кг • к Уравнение теплового баланса. Если известна удельная теплоемкость одного вещества, то удельную теплоемкость Сг любого другого вещества легко определить, приведя в тепловой контакт два тела с известными массами и различными начальными температурами в условиях теплоизоляции. В результате осуществления теплопередачи от горячего тела к холодному в системе устанавливается тепловое равновесие. Согласно закону сохранения энергии, в изолированной системе изменение внутренней энергии одного тела равно по модулю и противоположно по знаку изменению внутренней энергии другого тела, т. е. AUi + AUz^O. (32.3) Если изменение внутренней энергии системы происходило только путем теплопередачи (А=0), то на основании первого начала термодинамики можно записать: AUi = Qi, AU2 = Q2i Qi + Q2=0» или CimiATi + C2m2AT2 = 0, Из этого выражения, называемого уравнением теплового баланса, можно выразить удельную теплоемкость вещества Сг: Ci/niATi 2 Ш2АТ2 Таким образом, зная удельную теплоемкость Су одного вещества, можно определить удельную теплоемкость любого другого вещества. Но как определить удельную теплоемкость Cl выбранного нами эталонного вещества? Для идеального газа расчет можно произвести теоретически. Но для любого реального вещества это можно сделать лишь на основе специального эксперимента. На тело известной массы т произведем механическое воздействие, приводящее к его нагреванию, и измерим изменение его температуры АТ. Если механическое воздействие на тело производилось без теплообмена с другими телами, т. е. при условии Q = 0, то, согласно первому началу термодинамики, изменение внутренней энергии тела AU равно работе внешних сил А' (см. 31.6). Такое же изменение внутренней энергии тела можно вызвать изохорным нагреванием: AU=Qy = CvmAT. Отсюда для определения удельной теплоемкости Су получаем выражение _ Qv А' ^ mAt mAT ’ Следовательно, для определения удельной теплоемкости вещества при постоянном объеме нужно измерить работу, совершенную внешними силами, действующими на тело, и на- 178 блюдаемое в результате совершения работы изменение температуры тела в условиях отсутствия теплообмена его с другими телами. Такого рода эксперименты были в 1843 г. впервые выполнены Д. Джоулем. Теплоемкость идеального газа при постоянном объеме. Количество теплоты, передаваемое телу при теплопередаче, не определяет однозначно температуру тела, так как внутренняя энергия тела может изменяться и за счет совершения над ним работы. Поэтому в отличие от такой, например, неизменной характеристики вещества, как молярная масса, удельная теплоемкость зависит от условий, при которых происходит передача тепла. Рассмотрим случай передачи тепла идеальному газу при условии неизменности занимаемого им объема (изохорный процесс). Условие передачи тепла газу при постоянном объеме выбрано не случайно. Поскольку работа, совершаемая внешними силами над газом при постоянном объеме, равна нулю, то удельную теплоемкость газа при постоянном объеме можно найти, вычислив изменение внутренней энергии газа массой 1 кг при изменении его температуры на 1 К, используя выражение (32.2). Внутренняя энергия одноатомного идеального газа равна сумме кинетических энергий теплового (поступательного) движения молекул и может быть найдена как произведение средней кинетической энергии Е теплового движения молекулы на число молекул N: U=EN = S/2kTN. (32.4) Изменение внутренней энергии идеального газа при увеличении его температуры на АТ определится выражением AU = S/2kATN. Из формул (32.2) и (32.5) получаем _ 3kATN _ 3kN _ зд 2тАТ ’ 2т 2М 2М (32.5) (32.6) где М — молярная масса газа. Для того чтобы проверить применимость полученного результата к реальным газам, вычислим удельные теплоемкости при постоянном объеме для некоторых газов и сравним их с удельными теплоемкостями, полученными экспериментально при температурах около 300 К. Результаты вычислений для водорода, гелия, азота, аргона и углекислого газа приведены в первой строке таблицы 3. Во второй строке этой таблицы приведены удельные теплоемкости тех же газов, полученные экспериментально. 179 Таблица 3 Формула и наименование Водород Гелий Азот Аргон Углекис- лый газ 3R Су “ 9 2М Дж/(кг • К) 6,2-10" 3,1 • 10" 4,45-10" 3,1-10" 2,8-10" (^v) эксп> Дж/(кг • К) 1,01 • 10" 3,2-10" 7,5-10" 3,2-10" 6,5-10" iR Су 9 2М Дж/(кг • К) 1,04-10" 3,1-10" 7,4-10" 3,1-10" 5,7-10" Сравнение расчетных и экспериментальных значений удельных теплоемкостей газов при постоянном объеме показывает хорошее их согласование для гелия и аргона. Удельные теплоемкости водорода, азота и углекислого газа оказываются в действительности значительно большими, чем предсказывает теория, основанная на применении модели одноатомного идеального газа. Чем же отличаются гелий и аргон от остальных газов? Существенным отличием от водорода, азота и углекислого газа является то, что это инертные газы. Силы взаимодействия между атомами инертных газов настолько малы, что они при нормальных условиях не соединяются в молекулы. Гелий и аргон — одноатомные газы; водород, азот и углекислый газ — молекулярные газы. Распределение энергии по степеням свободы. Попробуем уточнить теорию. До сих пор при рассмотрении свойств атомов или молекул газа в расчетах учитывалась лишь их кинетическая энергия поступательного движения, а кинетическая энергия вращательного движения считалась пренебрежимо малой. Согласие расчетов с экспериментом при вычислении теплоемкостей одноатомных газов показывает, что для них такое предположение справедливо. Поскольку теплоемкости многоатомных газов оказываются большими, чем следует из расчетов при з^ете только кинетической энергии поступательного движения молекулы, можно предположить, что внутренняя энергия молекулярных газов складывается как из кинетической энергии поступательного движения молекул, так и кинетической энергии их вращательного движения. 180 Y X а) в) В прямоугольной системе координат состояние молекулы задается тремя координатами и тремя проекциями вектора скорости V на эти координатные оси: Vy, (рис. 3.13, а). Степенью свободы тела называется любое независимое движение, которое оно может совершить. Очевидно, что у материальной точки (одноатомные молекулы) в пространстве есть только три степени свободы. Так как движение молекул газа совершенно хаотично, квадраты проекций скорости на каждую ось в среднем оказываются одинаковыми: Отсюда следует, что и кинетическая энергия поступательного движения, приходяш;аяся на каждую из трех степеней свободы движения, в среднем одинакова. Так как средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна Ek=SI2kT, то кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы движения, равна l/2kT. Теплоемкость многоатомных газов. Двухатомная молекула, кроме трех степеней свободы поступательного движения, обладает еще и двумя степенями свободы вращательного движения, так как может совершать вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей (OZ, OY). Вращением двухатомной молекулы вокруг третьей оси, проходящей через центры атомов, можно пренебречь, так как предположение об отсутствии вращения атомов вокруг своих осей подтверждалось в случае вычисления теплоемкости одноатомных газов. Итак, у двухатомной молекулы имеется пять степеней свободы (рис. 3.13, б). Предполагая, что по-прежнему на одну степень свободы приходится кинетическая энергия, равная l/2kT, мы получим, что кинетическая энергия двухатомной молекулы равна: Ek = E^ . + E,^-3\kT + 2\kT = ^kT. Молекулы, состоящие более чем из двух атомов, облада- 181 ют тремя степенями свободы вращательного движения и тремя степенями свободы для поступательного движения (рис. 3.13, в). Для газа, молекулы которого обладают числом степеней свободы, равным i, кинетическая энергия Ef^=^kT. Тогда для удельной теплоемкости при постоянном объеме мы получим следующее выражение: Cv-i-#. (32.7) Используя его, вычислим удельные теплоемкости двухатомных водорода и азота и трехатомного углекислого газа. Результаты вычислений приведены в третьей строке таблицы 3. Хорошее согласование теоретических и экспериментальных значений удельных теплоемкостей многоатомных газов доказывает справедливость сделанного предположения о равном распределении энергии по степеням свободы движения. Такое распределение энергии по степеням свободы доказывается в классической молекулярно-кинетической теории и называется законом равнораспределения. Теплоемкость идеального газа при постоянном давлении. Используя первый закон термодинамики [см. формулу (31.4)], получим г = = Af/+A ^ AU Р тАТ шАТ тАТ'^тАТ тАТ ' (32.8) Работа идеального газа при изобарном расширении определяется выражением A=pAV=^RAT. Отсюда для удельной теплоемкости идеального газа при постоянном давлении получаем (32.9) — Cv "Ь ■ ^р м Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью С: С = Мс. Следовательно, молярные теплоемкости Ср = СрМ и Су=СуМ связаны уравнением (32.10) Ср=Су-\- а. Это уравнение в 1845 г. получил Р. Майер. Работа при адиабатном процессе. Работа идеального газа на основании первого закона термодинамики при адиабатном расширении равна изменению его внутренней энергии, взятому с противоположным знаком (см. 31.7): A-=-AU = mCv(Ti~T2). 182 Для одного моля идеального газа работа равна: А = Су{Т 1 — Т 2). (32.11) Из уравнения состояния идеального газа для одного моля выразим температуру: Т=^ или Т=—^— R ’ (Ср-Су) (32.12) Подставив (32.12) в (32.11), получим выражение для работы газа при адиабатном расширении: Ср-Су (32.13) Отношение теплоемкостей называется коэффициентом Пауссона. Его можно выразить через число степеней свободы. В самом деле, удельная теплоемкость при постоянном объеме (см. 32.7), а удельная теплоемкость при по- стоянном давлении, согласно выражению (32.9), равна: г =Г I ^ ^ ^ I ^ ^ ^ I 1^— ^ ‘'Р 2М^М М\2^ ) 2 М‘ Тогда для коэффициента Пуассона будем иметь y=^ = i±A '' Су i (32.14) О I о у одноатомного газа i=3, следовательно, у = ^-^ = -5- = 1,67. U О К I Q П У двухатомного газа i=5, следовательно, у = ^-^ = -^ = 1,4. Разделив числитель и знаменатель выражения (32.13) на получим окончательно для работы при адиабатном расши- рении газа: А = Р\^1~Р2^2 Y-1 (32.15) Уравнение Пуассона. Как известно, соотношение между давлением и объемом идеального газа при изотермическом процессе выражается законом Бойля — Мариотта рУ= const. Графиком этого процесса в осях р, V является гипербола. Каким же соотношением связаны давление и объем газа при адиабатном процессе? Мы не будем выводить искомое соотношение, а запишем его в готовом виде: pV^=const. (32.16) Это выражение называется уравнением адиабаты или уравнением Пуассона. График адиабаты показан на рисунке 3.9. 183 Используя уравнение состояния идеального газа, можно уравнение адиабаты записать еще в двух видах: TFi'-i = const, (32.17) ТУ = const. (32.18) Предлагаем читателю получить эти соотношения самостоятельно. Теплоемкость твердых тел. Тепловое движение частиц, из которых состоят кристаллы, в основном сводится к колебаниям частиц около положения равновесия. В твердом теле в отличие от газов велика потенциальная энергия взаимодействия атомов и молекул. Как и у тела, совершающего гармонические колебания под действием сил упругости, средние значения изменений кинетической и потенциальной энергий частицы в твердом теле одинаковы. На одну степень свободы колебательного движения приходится энергия, в 2 раза большая, чем на одну степень свободы поступательного движения, т. е. 2 (l/2kT) = kT. Полная энергия колебательного движения одного атома равна = . Следовательно, из- менение внутренней энергии одноатомного твердого тела при изменении его температуры равно: AU = 3kATN, (32.19) где N — число атомов. Пренебрегая работой при измерении объема твердого тела, можно считать, что удельная теплоемкость вещества в твердом состоянии: _ дг/ _ SkATN 3kN зд т м ' тАТ тАТ тАТ (32.20) Молярная теплоемкость вещества в твердом состоянии равна: C = cM = SR. (32.21) Этот вывод, сделанный на основе предположения о справедливости для твердых тел закона равнораспределения энергии по степеням свободы, подтверждается результатами, полученными экспериментально для многих веществ в твердом состоянии, в частности для металлов. Приблизительное равенство молярных теплоемкостей различных элементов в твердом состоянии было установлено на основании опытов в 1819 г. французскими физиками П. Дюлонгом и А. Пти (закон Дюлонга — Пти). Рассмотренная нами классическая теория теплоемкости твердых тел является очень грубым приближением к действительности. Основные особенности поведения твердых тел в процессах теплопередачи объясняет квантовая теория строения вещества. 184 ■ Вопросы 1. Как можно определить удельную теплоемкость вещества, не сравнивая ее с удельными теплоемкостями каких-либо других веществ? 2. Почему удельные теплоемкости одноатомных и многоатомных газов не совпадают? 3. Почему теплоемкости химических элементов в кристаллическом состоянии вдвое больше теплоемкости одноатомных газов? 4. Какие тепловые свойства веществ не могла объяснить классическая молекулярно-кинетическая теория? ■ Примеры решения задач Задача 1. Одним из способов получения высоких температур является адиабатное сжатие газов. Для этого можно воспользоваться, например, толстостенным цилиндром, закрытым с обеих сторон, с перемещающимся в нем поршнем. По одну сторону от поршня помещается пороховой заряд, а по другую — газ. При взрыве пороха поршень «выстреливается» и производит адиабатное сжатие газа в цилиндре. Вычислите максимальную температуру сжатого водорода массой 2 г, если пороховой заряд сообщает поршню массой 1 кг начальную скорость 1 км/с. т = 1 кг mj,= 2 • 10"^ кг М = 2 • 10“^ кг/моль v= 10^ м/с АТ — 7 Решение AU =A + Q; A = mv^/2; Q = 0; AU=A; AU = miCiAT’, Cj = ii?/2M = 5Д/2М; m^(5R/2M)AT = mv^/2. 2 • 10 ^ • 1 • 10® IT n . 1 л4 Aji_Mmv^ 5/ПгД 5-2 • 10”®-8,31 K = 2,4-10'‘ K. Полученный результат представляет собой лишь оценку изменения температуры водорода, так как в расчетах не учитывались такие явления, как распад молекул и ионизация атомов водорода при высоких температурах. Задача 2. Чему равна молярная теплоемкость идеального газа в процессе, в котором давление пропорционально объему газа: p = aV, если молярная теплоемкость газа при постоянном объеме равна С^? Решение. В соответствии с первым законом термодинамики AQ = AU+A = CiAT+A. Работу А, совершаемую молем газа при расширении по закону p = aV, можно рассчитать по формуле (Гг-F,)-. Этот же результат легко найти, рассчитав площадь под графиком p = aV в координатах р, V. Используя уравнение Клапейрона — Менделеева pV=RT с учетом условия задачи (р = аР), получим aV^ = RT. 185 Подставив полученный результат в выражение для работы газа, будем иметь A = R/2{T2-T{i = R^T/2. Отсюда молярная теплоемкость газа при данном процессе оказывается равной: С = ^Q/^T = {C^^T + R^T /2)/^T = С^ + R/2. Ш Задачи для самостоятельного решения 32.1. В вертикальном цилиндре высотой hi = 2 м с теплоизолированными стенками находится гелий массой /Пне=0,32 г при температуре Tj = 27 °С. На какой высоте окончательно установится поршень массой пг = 40 кг, опущенный сверху и движущийся в цилиндре без трения, если над поршнем вакуум? 32.2. В цилиндре с поршнем находится некоторое количество гелия. К газу подвели количество теплоты, равное 14 кДж. На сколько изменится внутренняя энергия газа? Какова работа расширения? Процесс происходит изобарно. 32.3. Решите предыдущую задачу при условии, что в цилиндре находится водород. 32.4. В цилиндре с поршнем находится неон. При начальном давлении 0,2 МПа его объем равен 0,4 м^. Найдите давление газа, если его объем ади-абатно увеличился в три раза. 32.5. Какова должна быть степень сжатия воздуха, чтобы его температура возросла с 20 до 800 °С? Сжатие считать адиабатным. Воздух считать двухатомным газом. 32.6. Найдите удельную теплоемкость водорода, гелия и кислорода при постоянном давлении. Сравните с табличными данными. 32.7. Найдите удельную теплоемкость серы, железа, меди, ртути и алюминия. Сравните с табличными данными (при температурах от 20 до 100 '’С). 32.8. Удельная теплоемкость алмаза при 20 °С равна 0,5 кДж/(кг-К), графита при 100 °С — 0,934 кДж/(кг-К), а при 1000 °С — 1,7 кДж/(кг-К). Соответствуют ли эти значения закону Дюлонга — Пти? § 331 Принцип действия тепловой машины Основные части теплового двигателя. В современной технике механическую энергию получают главным образом за счет внутренней энергии топлива. Устройства, в которых происходит преобразование внутренней энергии в механическую, называют тепловыми двигателями. Для совершения работы за счет сжигания топлива в устройстве, называемом нагревателем, можно воспользоваться цилиндром, в котором нагревается и расширяется газ и перемещает поршень. Газ, расширение которого вызывает перемещение поршня, называют рабочим телом. Расширяется же газ потому, что его давление выше внешнего давления. Но при расширении газа его давление падает, и рано или поздно оно станет равным внешнему давлению. Тогда расширение газа закончится, и он перестанет совершать работу. 186 Как же следует поступить, чтобы работа теплового двигателя не прекращалась? Для того чтобы двигатель работал непрерывно, необходимо, чтобы поршень после расширения газа возвращался каждый раз в исходное положение, сжимая газ до первоначального состояния. Сжатие же газа может происходить только под действием внешней силы, которая при этом совершает работу (сила давления газа в этом случае совершает отрицательную работу). После этого вновь могут происходить процессы расширения и сжатия газа. Значит, работа теплового двигателя должна состоять из периодически повторяющихся процессов (циклов) расширения и сжатия. В качестве примера рассмотрим принцип работы поршневого теплового двигателя, не останавливаясь подробно на его устройстве. В таком двигателе газ (рабочее тело) давит на поршень, который перемещается в цилиндре, как, например, в автомобильном двигателе. Для простоты рассуждений будем считать, что в двигателе используется все время одна и та же порция газа. Когда газ расширяется, он движет поршень. Движение поршня передается валу двигателя с сидящим на нем маховиком. Для сжатия газа поршень должен переместиться под действием внешней силы в противоположном направлении. Это движение совершается за счет кинетической энергии, запасенной маховиком в процессе расширения газа. Если работа, совершаемая при сжатии газа под действием внешней силы, по абсолютному значению равна работе, совершаемой при его расширении, то общая работа за цикл равна нулю. Отсюда следует, что если мы хотим получить полезную работу, то необходимо сделать работу сжатия газа меньше работы расширения. Для того же, чтобы работа при сжатии была по абсолютному значению меньше работы расширения, нужно, чтобы каждому значению объема при сжатии соответствовало меньшее давление, чем при расширении. Давление газа при одном и том же объеме тем меньше, чем ниже его температура. Поэтому газ перед сжатием должен быть охлажден. Для этого его необходимо привести в контакт с телом, имеющим более низкую температуру. Это тело называется холодильником. Нагреватель, рабочее тело и холодильник — основные части теплового двигателя. На рисунке 3.14 изображены графически процессы расширения газа (линия АВ) и сжатия до первоначального объема (линия CD). Работа газа в процессе расширения положительна (AV> 0) и численно равна площади фигуры ABEF. Работа газа при сжатии отрицательна (так как AV < 0) и численно равна площади фигуры CDEF. Полезная работа за 187 о D В F Е рис. 3.14 I/ этот цикл численно равна разности площадей под кривыми АВ и CD (закрашена на рисунке). Таким образом, мы выяснили, что для получения при циклическом процессе полезной механической работы расширение газа (рабочего тела) должно происходить при более высокой температуре, чем сжатие, т. е. от нагревателя газ должен получить количество теплоты Qi, которое больше количества теплоты ^2> отданного холодильнику при сжатии. Наличие нагревателя, рабочего тела и холодильника принципиально необходимое условие для непрерывной циклической работы любого теплового двигателя. Коэффициент полезного действия тепловой машины. Рабочее тело, получая некоторое количество теплоты Qi от нагревателя, часть этого количества теплоты, по модулю равную iQal» отдает холодильнику^ Поэтому совершаемая работа не может быть больше A = Qi-|Q2|- Отношение этой работы к количеству теплоты, полученному расширяющимся газом от нагревателя, называется коэффициентом полезного действия г| тепловой машины: ' Qx Qx (33.1) Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по замкнутому циклу, всегда меньше единицы. Задача теплоэнергетики состоит в том, чтобы сделать КПД как можно более высоким, т. е. использовать для получения работы как можно большую часть теплоты, полученной от нагревателя. Как этого можно достигнуть? Тепловая машина с наибольшим КПД. При расширении или сжатии газа должны быть использованы процессы, позволяющие исключить уменьшение энергии горячего тела, которое происходило бы без совершения работы. Такие процессы существуют — это изотермический и адиабатный процессы. Впервые наиболее совершенный циклический процесс, состоящий из изотерм и адиабат, был предложен французским физиком и инженером С. Карно в 1824 г. Сади Карно искал пути решения актуальной для его времени задачи — установить причину несовершенства тепловых машин, найти пути наиболее эффективного их использования. Его труды — яркий в истории физики пример взаимного влияния науки и техники. ^ Напомним, что количество теплоты, отданное телом, является величиной отрицательной, т. е. 188 д) Цикл Карно. Допустим, что газ находится в цилиндре, стенки и поршень которого сделаны из теплоизоляционного материала, а дно — из материала с высокой теплопроводностью. Объем, занимаемый газом, равен V^. Приведем цилиндр в контакт с нагревателем (рис. 3.15, а) и предоставим газу возможность изотермически расширяться и совершать работу (рис. 3.15, б). Газ получает при этом от нагревателя некоторое количество теплоты Q^. Этот процесс графически изображается изотермой (кривая АБ, рис. 3.16). Когда объем газа становится равным некоторому значению V{V^ (изотерма CD, см. рис. 3.16). При этом газ отдает холодильнику некоторое количество теплоты Q2, равное совершаемой над ним работе сжатия. После этого газ сжимается адиабатно до объема (рис. 3.15, д), при этом его температура повышается до (адиабата DA, см. рис. 3.16). Теперь газ вернулся в первоначальное состояние, при котором объем его равен V^, температура — Tj, давление — Pi» и цикл можно повторить вновь. Итак, на участке АВС газ совершает работу (А>0), а на участке CDA работа совершается над газом (А<0). На участках ВС и AD работа совершается только за счет изменения внутренней энергии газа. Поскольку изменение внутренней энергии Д(7вс = -ДПдд, то и работы при адиабатных процессах равны: Авс = -^лл* Следовательно, полная работа, совершаемая за цикл, определяется разностью работ, совершаемых при изотермических процессах (участки АВ и CD). Численно эта работа равна плош;ади фигуры, ограниченной кривой цикла ABCD (см. рис. 3.16). В полезную работу фактически преобразуется только часть количества теплоты Qrp, полученной от нагревателя, равная Ят1~\Ятг\’ Итак, в цикле Карно полезная работа А = Qti~ IQt2I* Максимальный коэффициент полезного действия идеального цикла, как показал С. Карно, может быть выражен через температуру нагревателя (Т^) и холодильника (Tg): Лид (33.2) Ti В реальных двигателях не удается осуществить цикл, состоящий из идеальных изотермических и адиабатных процессов. Поэтому КПД цикла, осуществляемого в реальных двигателях, всегда меньше, чем КПД цикла Карно (при одних и тех же температурах нагревателей и холодильников): (33.3) Из формулы (33.2) видно, что КПД двигателей тем больше, чем выше температура нагревателя и чем ниже температура холодильника. Конечно, КПД был бы равен 100%, если бы температура холодильника была равна абсолютному нулю. Но это невозможно. В современных двигателях обычно КПД увеличивают за счет повышения температуры нагревателя. В мощных паровых турбинах в настоящее время используют пар, темпера- 190 тура которого достигает 600 °С. В газовых турбинах температура газа достигает 900 °С. Дальнейшее повышение температуры нагревателя ограничивается отсутствием достаточно жаростойких материалов. Холодильниками этих двигателей служит атмосфера с температурой порядка 20 °С. Вычисленный по формуле (33.2) КПД тепловых машин при указанных температурах нагревателя и холодильника должен был бы достигать 66—75%, реальный же КПД этих двигателей равен 30—35%. ■ Примеры решения задач Задача 1. В цилиндре тепловой машины находится 1 моль одноатомного идеального газа. Определите КПД тепловой машины, если изменение состояния газа в цилиндре осуществляется по циклу, показанному на рисунке 3.17. Решение Q1-IQ2I А . п I п = тсу{Т Q—T+ тсу{Т Q — Т^) + 2р(^q, так как = = isU2+Ai, Ai = 2pqVq, A=PqVq (площадь внутри синего прямоугольника). Тогда Т1 =-----Ро^о----- ' mcviTc-Tj,) + 2pQVQ Из уравнения Клапейрона — Менделеева для состояний А и В получим РаКа _Рв^в „„„ Ро% Та Тв ’ Та Тв • Отсюда Тв^2Та- Для состояний С VI В аналогично получим РВ^В РС^С . ^Ро% _971 —ЛТ Тв Тс ' Тв Тс ’ ^ ^ ^ Обозначив Ta=Tq, подставим найденные значения Тв vi Тс ъ выражение для КПД: ------Mii------- _ /ncv(4T'o~ То) + 2ро^о О р Так как v=l моль, Р(Уо=Т1Т^, поэтому Л = Ро% Ро% _ _ 2pqFq *0,15. 191 Па 12 II 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Задача 2. На рисунке 3.18 представлены диаграммы двух циклов Карно: ABCD и ABC'D'. При работе по какому из этих циклов тепловая машина обладает большим КПД? Решение. КПД идеальной определяется выражением Л = L • тепловой машины J____L J____L J____L О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 рис. 3.18 Температура Tj нагревателя в двух циклах одинакова, так как изотерма АВ у них общая. Температура холодильника Гг при работе по циклу АВС X)'ниже, так как адиабатное расширение газа происходит до большего объема. Следовательно, КПД при работе по циклу ABC'D' выше, чем при работе по циклу ABCD. Это непосредственно видно и из сравнения площадей обоих циклов. Задачи для самостоятельного решения Р Зро _ Ро - о в D 33.1. При переходе одного моля идеального газа из состояния В с температурой Т в состояние D с той же температурой газ совершил работу 8300 Дж (рис. 3.19). Определите температуру газа в состояниях В, С и D. 33.2. В идеальной тепловой машине газ отдал холодильнику 55% количества теплоты, полученное от нагревателя. Определите температуру холодильника, если температура нагревателя 327 °С. V рис. 3.19 192 § 341 Необратимость тепловых процессов Необратимые и обратимые процессы. Ограничения, накладываемые на полное использование внутренней энергии при совершении механической работы тепловыми двигателями, не вытекают из первого закона термодинамики. Этот закон «запреш;ает» лишь получение большей работы, чем было затрачено энергии, т. е. исключает возможность создания так называемого вечного двигателя первого рода. Но если бы энергия нагревателя уменьшилась, например, на 100 Дж и при этом была бы совершена работа 100 Дж, то это не противоречило бы первому закону термодинамики. Однако циклический процесс, при котором все количество теплоты, полученное от нагревателя, шло бы на совершение работы, невозможен. Неизбежно некоторая часть этого количества теплоты отдается другим телам с более низкой температурой. Значит, возможны не все процессы, находяш;иеся в согласии с первым законом термодинамики. В самом деле, представим себе, что в калориметр с холодной водой опустили горячее тело. Если бы при этом холодная вода остыла и некоторое количество теплоты передала горячему телу, которое бы при этом епце больше нагрелось, то такое явление не противоречило бы первому закону термодинамики: баланс энергии был бы соблюден. Но такой процесс в природе никогда не происходит. Самопроизвольно происходяпдие процессы теплообмена между телами всегда протекают так, что горячее тело охлаждается, передавая энергию менее нагретому телу, температура которого повышается. Обратный этому процесс самопроизвольно никогда не происходит. {Самопроизвольными процессами называют такие процессы, которые происходят без воздействия внешних тел, а значит, без изменений в этих телах.) Процесс теплообмена происходит до тех пор, пока температуры тел не сравняются — в системе тел устанавливается тепловое равновесие. Рассмотрим еще один процесс, обратный которому самопроизвольно не протекает. Сжатый газ, находящийся в цилиндре с подвижным поршнем, расширяется до тех пор, пока его давление не станет равно внешнему давлению. Но никогда не наблюдается самопроизвольное сжатие газа. Благодаря хаотическому движению молекул газ всегда занимает весь предоставленный ему объем. Сжать газ можно, только действуя на него внешней силой. При этом в окружающих телах произойдут изменения: тело, которое сжимает газ, совершает работу, а следовательно, оно потеряет некоторую энергию. 7 Физика, 10 кл. 193 Процессы, обратные которым самопроизвольно не происходят, называют необратимыми. Процессы перехода системы из одного состояния в другое, которые можно провести в обратном направлении через ту же последовательность промежуточных равновесных состояний, называются обратимыми. При этом сама система и окружающие тела полностью возвращаются к исходному состоянию. Механические движения, происходящие без трения, обратимы, т. е. обратимыми являются механические процессы в консервативных системах. Реальные же процессы в природе, протекающие с трением, необратимы. Например, колебания маятника при наличии трения затухают, и маятник останавливается. В этом случае механическая энергия маятника убывает, а температура маятника и окружающей среды повышается, т. е. увеличивается внутренняя энергия этих тел. Процесс превращения механической энергии во внутреннюю энергию необратим. Почему процессы в природе необратимы? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что тела состоят из огромного числа частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении. Возьмем для примера самую простую систему — идеальный газ. Пусть в начале опыта газ находится в одной из половин сосуда, а в другой половине создан вакуум. Если убрать заслонку, то газ займет весь объем сосуда (рис. 3.20), и его плотность станет по всему объему одинаковой. Одинаковыми станут также давление и температура газа во всех участках сосуда. Система перейдет в равновесное состояние. После этого макроскопические параметры системы больше не будут изменяться, хотя молекулы газа будут двигаться по всему объему сосуда, меняя свои скорости при соударении со стенками сосуда и друг с другом. Практически нам не удастся обнаружить состояние, при котором все молекулы газа собирались бы вновь в одной половине сосуда. Это и говорит о том, чтб расширение газа в пустоту — процесс необратимый. Разумеется, несамопроизвольно, под действием внешней силы, молекулы газа могут собраться в одной половине сосуда. Например, если бы вместо правой стенки сосуда был бы поршень, то, переместив его, можно было бы собрать газ в левой половине сосуда. Почему же не наблюдаются состояния, когда все молекулы газа самопроизвольно оказываются в одной половине сосуда? Все дело в том, что газ состоит из огромного числа молекул. Рассмотрим, что было бы, если бы частиц было немного. Как они могли бы распределяться между половинами сосуда? рис. 3.20 Если в сосуде одна молекула, то число раз- 194 личных способов ее распределения между половинами сосуда N = 2 — она находится либо в одной, либо в другой половине сосуда. Из этих двух возможностей, например, нахождению частицы в левой половине сосуда соответствует один способ. Вероятность найти молекулу в любой половине сосуда, очевидно, равна 1/2, т. е. 50%. В случае двух частиц (л = 2) общее число возможных распределений между частями сосуда iV = 4 = 2^. Но существует только один случай, когда все частицы находятся в левой части сосуда, и два случая {К = 2)^ когда частицы распределены поровну между частями сосуда. Для 10 частиц (п = 10) общее число возможных распределений ЛГ=1024 = 2^®. Но есть только один из способов, когда все частицы размещены в одной половине сосуда, и 252 способа, когда они распределены равномерно по обеим половинам сосуда. Обобщая рассмотренные случаи для любого числа частиц п, можно сказать, что общее число возможных размещений частиц между двумя половинами сосуда равно N=2'*. И только один случай из этого числа соответствует распределению частиц, при котором все они будут в одной половине сосуда. Число же способов, при котором частицы распределены по объему равномерно, растет с увеличением числа частиц, и тем быстрее, чем их больше. Необратимость и вероятность. Вероятность какого-либо случайного события определяется как отношение числа случаев К, соответствующих наступлению ожидаемого события, к общему числу возможных случаев N, если все случаи равновозможны: Р = ^. N (34.1) Число молекул газа, содержащихся, например, в одном моле вещества, огромно, оно равно примерно 6 • 10^^. В этом случае число возможных размещений молекул по обеим половинам сосуда ЛГ = 2"=2® Это невообразимо большое число. И только в одном из этих случаев все молекулы снова соберутся в левой части сосуда. Значит, вероятность такого события равна: р __L_ ,6-10“ 0. Совершенно очевидно, что такое событие настолько маловероятно, что можно считать его практически невозможным. Наибольшее число случаев из = соответствует равномерному или очень близкому к равномерному распределению молекул по всему объему сосуда. Поэтому вероятность такого события максимальна и практически именно оно всегда наблюдается в эксперименте. Значит, равномерное распределение мо- 195 лекул в сосуде является наиболее вероятным состоянием. Вот почему газ самопроизвольно практически никогда не собирается в одной половине сосуда, так как это был бы самопроизвольный переход от более вероятного состояния к состоянию, вероятность которого ничтожно мала. Малой вероятностью события объясняются и другие необратимые процессы. Например, диффузия необратима потому, что процесс полного разделения образовавшейся смеси различных частиц по разным частям сосуда осуществляется лишь одним способом из огромного числа возможных распределений. Второй закон термодинамики. В § 33 мы выяснили, что существуют определенные ограничения на полное использование внутренней энергии нагревателя для совершения работы в циклических тепловых двигателях. Главная особенность циклического теплового двигателя состоит в том, что рабочее тело в нем, получая некоторое количество теплоты от нагревателя и производя работу, обязательно отдает часть этой теплоты холодильнику. Значит, количество теплоты, полученное от нагревателя, не может быть целиком преобразовано в механическую работу циклически действующей тепловой машиной. Это утверждение представляет собой важный закон природы, получивший название второго закона термодинамики. Он формулируется следующим образом: в циклически действующей тепловой машине невозможен процесс, единственным результатом которого было бы преобразование в механическую работу всего количества теплоты, полученного от источника энергии — нагревателя. Именно так этот закон впервые был сформулирован У. Кельвином в 1851 г. Второй закон термодинамики непосредственно связан с необратимостью процессов в природе. В самом деле, если бы количество теплоты Q2 самопроизвольно могло бы переходить обратно от холодильника к нагревателю, то работа совершалась бы за счет всего количества теплоты Qi, полученного от нагревателя. Однако количество теплоты от холодного тела к горячему самопроизвольно никогда не переходит. Значит, невозможность получения работы за счет всего количества теплоты, полученного от нагревателя, связана с необратимостью тепловых процессов. В связи с этим возможна другая формулировка второго закона термодинамики, дгшная Р. Клаузиусом: невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача энергии от холодного тела к горячему. Разумеется, совершая работу за счет внешнего источника энергии, можно отбирать энергию у холодного тела и передавать ее горячему. Это, например, происходит в холодильниках. 196 где такой процесс совершается за счет работы двигателя, потребляющего электрическую энергию. Второй закон термодинамики имеет вероятностный характер. В отличие от закона сохранения энергии, который может быть применен к отдельным частицам (молекулам, атомам), второй закон термодинамики применим лишь к системам, состоящим из очень большого числа частиц. Для таких систем необратимость процессов объясняется тем, что обратный переход должен был бы привести систему в состояние с ничтожно малой вероятностью, практически неотличимой от невозможности. Самопроизвольные процессы в изолированной системе всегда происходят в направлении перехода от маловероятного состояния в более вероятное. Второй закон термодинамики позволяет понять, почему некоторые источники энергии, находящиеся вокруг нас, бесполезны. Заманчивым кажется использование почти безграничного запаса внутренней энергии, содержащейся в атмосфере и в водах океанов. Нетрудно оценить, каким огромным запасом внутренней энергии обладает окружающая Землю атмосфера, масса которой равна примерно 10^® кг. Еще большим запасом внутренней энергии обладают моря и океаны. Масса воды в Мировом океане составляет около 10^^ кг. Охлаждение ее только на один градус привело бы к выделению энергии порядка 10^^ Дж. Это в 10 000 раз больше всей энергии, вырабатываемой на земном шаре за год. Казалось бы, энергетические запасы на земном шаре почти безграничны. Однако внутреннюю энергию морей и океанов не причисляют к энергетическим запасам. Ведь для получения работы за счет этой энергии необходимо иметь столь же гигантский холодильник, который принимал бы часть этого огромного количества теплоты и при этом не нагревался сам до температуры океана. Двигатель, который мог бы совершать работу только за счет источника энергии без холодильника, получил название «вечного двигателя второго рода», так как он мог бы работать непрерывно за счет почти безграничных запасов энергии. Создание «вечного двигателя второго рода» противоречит второму закону термодинамики. В последнее время появились проекты получения механической энергии за счет использования разности температур между глубинными и поверхностными слоями морей и океанов. Эти проекты связаны с огромными техническими трудностями, но не противоречат законам термодинамики. Почему необходимо экономное расходование энергии? Второй закон термодинамики помогает понять сущность энергетической проблемы, стоящей перед человечеством. 197 Как известно, первый закон термодинамики утверждает, что энергия изолированной системы сохраняется. «...Природа как целое содержит определенный запас энергии, который не может быть ни уменьшен, ни увеличен, и что поэтому количество энергии в природе вечно и неизменно...» — писал Гельмгольц, который был одним из первых физиков XIX в., сформулировавших закон сохранения энергии. Казалось бы, этот закон не дает оснований беспокоиться о запасах в природе энергии и ее экономии. Энергетические ресурсы планеты — это главным образом та внутренняя энергия, которая содержится в топливе. Она составляет более 80% всех энергетических запасов земли. Эта энергия используется для обогрева помеш;ений, в ряде технологических процессов, в различных тепловых машинах. Несмотря на существование закона сохранения энергии, необходимо экономное расходование энергии, ведь запасы топлива в природе ограничены и минеральное топливо (нефть, уголь, газ) невозобновляемо. ■ Вопросы 1. Что такое вероятность случайного события? 2. Какие процессы являются необратимыми? 3. Как связаны между собой необратимость и вероятность? 4. В чем смысл второго закона термодинамики? §35 Устройство машин и действие тепловых Тепловые машины и развитие техники. Развитие энергетики является одной из важнейших предпосылок научно-технического прогресса. Мощный расцвет промышленности и транспорта в XIX в. был связан с изобретением и усовершенствованием первого теплового двигателя — паровой машины. Создание паровых, а затем газовых турбин и двигателей внутреннего сгорания полностью преобразовало всю энергетику, позволило создать крупные морские суда, автомобильный и воздушный транспорт, космические ракеты, построить тепловые электростанции и на этой основе реорганизовать всю промышленность. Впервые практически действующие универсальные паровые машины были созданы И. И. Ползуновым (1763) и Д. Уаттом (1764). Конструкция первых паровых машин имела основные части всех последующих тепловых машин: нагреватель, в котором освобождалась энергия топлива; водяной пар как рабочее тело и поршень с цилиндром, преобразующий внутреннюю энергию пара в механическую энергию; охладитель, необходимый для снижения температуры и давления пара. 198 Главным недостатком паровых машин был низкий КПД, не превышающий 9%. Поршневой двигатель внутреннего сгорания. Среди способов увеличения КПД тепловых двигателей один оказался особенно перспективным. Сущность его состояла в уменьшении потерь теплоты за счет перенесения места сжигания топлива и нагревания рабочего тела внутрь цилиндра. Отсюда и происхождение названия «двигатель внутреннего сгорания» (ДВС). Естественно, что для двигателей внутреннего сгорания наиболее удобным топливом является газообразное или жидкое. Первый двигатель внутреннего сгорания был создан в 1860 г. французским инженером Э. Ленуаром. Этот двигатель не имел трубы, топки и котла. Вместо пара в цилиндр при движении поршня засасывалась смесь светильного газа и воздуха. Когда поршень проходил расстояние, равное половине своего хода, закрывался впускной клапан и горючая смесь воспламенялась электрической искрой. Под давлением продуктов сгорания поршень двигался дальше, совершая рабочий ход. В конце рабочего хода открывался выпускной клапан, и поршень при обратном ходе вытгшкивал продукты сгорания из цилиндра. В 1862 г. французским инженером Боде Роша было предложено использовать в двигателе внутреннего сгорания четырехтактный цикл: всасывание, сжатие, горение и расширение, выхлоп. Эта идея была использована немецким изобретателем Н. Отто, построившим в 1878 г. первый четырехтактный газовый двигатель внутреннего сгорания. КПД этого двигателя достигал 22%, что превышало значения, полученные при использовании двигателей всех предшествующих типов. Карбюраторный двигатель. Развитие нефтяной промышленности в конце XIX в. дало новые виды топлива — керосин, бензин. В бензиновом двигателе для более полного сгорания топлива перед впуском в цилиндр его смешивают с воздухом в специальных смесителях, называемых карбюраторами. Воздушно-бензиновую смесь называют горючей смесью. Расчеты показывают, что для полного сгорания смеси на единицу массы бензина должно приходиться не менее 15 единиц массы воздуха. Это означает, что рабочим телом в двигателях внутреннего сгорания фактически является воздух, а не пары бензина. Топливо здесь сжигается для нагревания воздуха. При движении поршня от верхнего положения до нижнего через впускной клапан происходит всасывание горючей смеси в цилиндр (рис. 3.21). Этот процесс происходит при постоянном давлении. При обратном ходе поршня начинается сжатие горючей смеси. Сжатие 199 Впуск Сжатие Рабочий ход рис. 3.21 Выхлоп происходит быстро, и поэтому процесс близок к адиабатному. В конце такта сжатия происходит воспламенение горючей смеси электрической искрой. Быстрое сгорание паров бензина сопровождается передачей рабочему телу количества теплоты Qi, резким возрастанием температуры и давления воздуха и продуктов сгорания. За короткое время горения смеси поршень практически не изменяет своего положения в цилиндре, поэтому процесс нагревания газа в цилиндре можно считать почти изохорным. Под действием высокого давления поршень далее совершает рабочий ход от верхнего положения до нижнего. Этот процесс расширения рабочего тела близок к адиабатному. В конце рабочего такта открывается выпускной клапан и рабочее тело соединяется с окружающей атмосферой. Выпуск отработанных газов сопровождается передачей количества теплоты Q2 окружающему воздуху, играющему роль охладителя. При длительной работе двигателя описанный цикл повторяется многократно. Но перед началом каждого цикла необходимо освободить цилиндр от продуктов сгорания, не содержащих кислорода, и произвести всасывание горючей смеси. Это осуществляется во время двух подготовительных тактов впуска и выпуска. Для поршневых двигателей внутреннего сгорания важной характеристикой, определяющей полноту сгорания топлива и значительно влияющей на значение КПД, является степень сжатия горючей смеси: e = V'2/V’i, где V2 и Vj — объемы в на- 200 чале и в конце сжатия. С увеличением степени сжатия возрастает начальная температура горючей смеси в конце такта сжатия, что способствует более полному ее сгоранию. У современных карбюраторных двигателей степень сжатия обычно составляет 8—9. Дальнейшему увеличению степени сжатия препятствует самовоспламенение (детонация) горючей смеси, происходяш;ее еш;е до того, как поршень достигнет верхней мертвой точки. Это явление оказывает разрушающее действие на двигатель и снижает его мощность и КПД. Достигнуть указанных степеней сжатия без детонации удалось путем увеличения скорости движения поршня при повышении числа оборотов двигателя до 5—6 тыс. об/мин и применения бензина со специальными антидетонационными присадками. Двигатель Дизеля. Чтобы повысить КПД двигателя внутреннего сгорания, немецкий инженер Р. Дизель в 1892 г. предложил использовать еще большие степени сжатия рабочего тела и расширение при постоянном давлении. Высокая степень сжатия без детонации достигается в двигателе Дизеля за счет того, что сжатию подвергается не горючая смесь, а воздух. По окончании процесса сжатия в цилиндр впрыскивается горючее. Для его зажигания не требуется никакого специального устройства, так как при высокой степени адиабатного сжатия воздуха его температура повышается до 600—700 °С. Горючее, впрыскиваемое с помощью топливного насоса через форсунку, воспламеняется при соприкосновении с раскаленным воздухом. Подача топлива управляется особым регулятором, в результате чего процесс горения протекает не столь кратковременно, как в карбюраторном двигателе. Поэтому часть процесса расширения, пока осуществляется подача топлива, происходит изобарно, а затем адиабатно. При обратном движении поршня осуществляется выпуск. Современные дизели имеют степень сжатия 16—21 и КПД около 40%. Паровая турбина. Первая паровая турбина, нашедшая практическое применение, была изготовлена шведским инженером Г. Лавалем в 1889 г. Ее мощность была меньше 4 кВт при частоте вращения ротора 500 об/с. При конструировании паровой турбины надо решить две проблемы. Во-первых, следует добиться, чтобы внутренняя энергия пара в максимальной степени превращалась в кинетическую энергию струи, вырывающейся из сопла. Во-вторых, следует добиться, чтобы кинетическая энергия струи в максимальной степени передавалась лопаткам ротора турбины. Для экономичной работы турбины требуются сверхзвуковые скорости вращения ротора. Но при таких скоростях ротор турбины разрушится силами инерции. Для разрешения 201 этого противоречия приходится конструировать турбины, ротор которых вращается со скоростью, меньшей оптимальной. Чтобы полнее использовать кинетическую энергию струи пара, турбины делают многоступенчатыми, насаживая на общий вал несколько роторов возрастающего диаметра. Пар отдает часть своей кинетической энергии ротору меньшего диаметра, затем направляется на второй ротор большего диаметра, где отдает его лопаткам часть оставшейся кинетической энергии, и т. д. Отработавший пар конденсируется в охладителе-конденсаторе, а теплая вода направляется в котел. КПД современных паровых турбин достигает 40%. Поэтому электрические генераторы всех тепловых и атомных электростанций приводятся в действие паровыми турбинами. Так как температура пара, применяемого в современных паротурбинных установках, не превышает 580 °С, а температура пара на выходе из турбины обычно не ниже 30 °С, максимальный КПД паротурбинной установки как тепловой машины равен: _ Л-Гг _ 853К-303К пал Пгаах 853 К а реальные значения КПД паротурбинных конденсационных электростанций достигают лишь около 40%. Газовые турбины. Газотурбинная установка состоит из воздушного компрессора 1, камер сгорания 2, газовой турбины 3 и выпускного сопла 4 (рис. 3.22). При работе турбины ротор компрессора вращается, засасывает воздух и повышает давление воздуха в 5—7 раз. Процесс сжатия протекает почти адиабатно, поэтому температура воздуха значительно повышается, достигая 200°С и более. Сжатый воздух поступает в камеру сгорания 2. Одновременно через форсунку в нее впрыскивается под большим давлением жидкое топливо — керосин, мазут. При горении топлива воздух, служащий рабочим телом, нагревается до рис. 3.22 202 1500—2200 °С. Нагревание воздуха происходит при постоянном давлении, поэтому воздух расширяется и скорость его движения увеличивается. Движуш;иеся с большой скоростью воздух и продукты горения направляются в турбину 3. Переходя от ступени к ступени, они отдают свою кинетическую энергию лопаткам ротора турбины. Часть полученной турбиной энергии расходуется на вращ;ение компрессора, а остальная используется, например, для враш;ения винта самолета или ротора электрического генератора. Цикл работы газовой турбины аналогичен циклу поршневого две. Разница лишь в том, что в поршневом ДВС его четыре такта происходят последовательно во времени в одном месте — цилиндре, а в газовой турбине те же такты происходят одновременно в разных участках: всасывание и сжатие воздуха — в компрессоре, сжигание топлива — в камере сгорания, рабочий ход — в турбине и выпуск — в выпускном сопле. КПД газотурбинных установок достигает 25—30%. У газотурбинных двигателей нет громоздких паровых котлов, как у паровых машин и паровых турбин, нет поршней и механизмов, преобразуюЕцих возвратно-поступательное движение во врапцательное, как у паровых машин и двигателей внутреннего сгорания. Поэтому газотурбинный двигатель занимает втрое меньше места, чем дизель той же мощности, а его удельная масса (отношение массы к мощности) в 6—9 раз меньше, чем у авиационного поршневого ДВС. Компактность и быстроходность в сочетании с большой мощностью на единицу массы определили первую практически важную область применения газотурбинных двигателей — авиацию. Самолеты с винтом, насаженным на вал газотурбинного двигателя, появились в 1944 г. Турбовинтовые двигатели имеют такие известные самолеты, как Ил-18, Ан-22, Ан-124 «Руслан». Турбореактивный двигатель. Газовая турбина может быть использована как реактивный двигатель. Воздух и продукты горения выбрасываются из газовой турбины с большой скоростью. Реактивная сила тяги, возникшая при этом, может быть использована для движения самолета, теплохода или железнодорожного состава. Основное отличие турбореактивного двигателя от турбовинтового заключается в том, что в нем газовая турбина используется только для приведения в действие воздушного компрессора и отнимает у газовой струи, выходящей из камеры сгорания, лишь небольшую часть энергии. В результате газовая струя имеет на выходе из сопла высокую скорость и создает реактивную силу тяги. Успешное применение турбореактивных двигателей 203 в авиации началось в 40-х гг. созданием реактивных истребителей, а первый в нашей стране реактивный пассажирский самолет Ту-104 вышел на линию Москва — Иркутск в 1956 г. Турбореактивными двигателями оборудованы самолеты Ил-62, Ту-154, Ил-86. Ракетные двигатели. Реактивные двигатели, не использующие для своей работы окружающую среду, например воздух земной атмосферы, называют ракетными двигателями. Основные части ракетного двигателя — камера сгорания и сопло. В принципе для ракетного двигателя могут быть использованы различные источники энергии, но на практике пока применяют в основном химические. При сжигании горючего в камере сгорания химического ракетного двигателя образуются продукты горения в газообразном состоянии. Выход струи газа через сопло приводит к возникновению реактивной силы. Конструкцию космической ракеты с жидкостным реактивным двигателем впервые предложил в 1903 г. К. Э. Циолковский. Первая отечественная жидкостная ракета «ГИРД-09» была создана в 1933 г. по проекту М. К. Тихонравова. Двигатель ракеты работал на жидком кислороде и бензине. Дальнейшая успешная разработка ракетно-космической техники, выполненная под руководством академика С. П. Королева, позволила осуществить в нашей стране запуск первого в мире искусственного спутника Земли (4 октября 1957 г.), полет вокруг Земли первого в мире космонавта Ю. А. Гагарина (12 апреля 1961 г.), запуск межпланетных станций на Луну, Марс, Венеру. Жидкостные реактивные двигатели для этих космических ракет разработаны под руководством академика В. П. Глушко. Мощность первой ступени ракеты-носителя «Восток» с ЖРД достигала 15 ГВт. В 1987 г. прошла успешные испытания новая мощная универсальная ракета-носитель «Энергия». Она имеет стартовую массу свыше 2000 т, способна выводить на орбиту более 100 т полезного груза. ■ Вопросы 1. Почему паровые машины вытеснены двигателями внутреннего сгорания? 2. Как работает четырехтактный двигатель внутреннего сгорания? 3. Для чего в цилиндр двигателя внутреннего сгорания впускается воздух? 4. По какому циклу работает дизельный двигатель? 5. В чем преимущество дизельного двигателя по сравнению с карбюраторным? 6. В чем преимущество паровой турбины над поршневым паровым двигателем? 7. Где применяют газовые турбины? 8. По какому циклу работает газовая турбина? 9. Какими преимуществами обладает газовая турбина по сравнению с паровой? 10. Как устроен ракетный двигатель? 11. Чем отличается турбореактивный двигатель от турбовинтового? 204 Примеры решения задач Задача 1. На рисунке 3.23 представлена диаграмма цикла, осуществленного с одноатомным идеальным газом, взятым в количестве 0,2 моль. Участки ВС и DA — адиабаты. Вычислите коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по этому циклу. Определите работу, совершенную газом на участке ВС. Найдите максимальный КПД тепловой машины с использованием нагревателя и холодильника, с которыми осуществлен данный цикл, если в точке В газ находился в тепловом равновесии с нагревателем, а в точке D — в тепловом равновесии с холодильником. Решение. Так как участки ВС и DA — адиабаты, то передача количества теплоты от нагревателя осуществляется только при изохорном процессе АВ, а передача количества теплоты Q2 холодильнику — только при изохорном процессе CD. При изохорных процессах работа равна нулю, поэтому из первого закона термодинамики следует: Qi = AUi и Q2 = AU2- Изменение внутренней энергии AU одноатомного идеального газа при изохорном процессе равно: AU = 3/2vRAT = 3/2VAp, следовательно, Qi = 3/2Рд • Др^в, Q2 = 3/2Vc- ApcD- Работа А, совершенная за цикл, равна: A = Qi~Q2 = 3/2(V^Apj^- КПД цикла равен: п = - ^ ^ = 1- . ' Qi УаАРав Уа^Рав Подставив данные величин из диаграммы на рисунке 3.23, получим ^ ^ 0,375. 6-10~^^2,5 -10^ 310'®-8 10^ "88 Работа газа при адиабатном расширении из состояния В в состо яние С равна изменению внутренней энергии газа, взятому с проти воположным знаком: Аде = — AU вс = 3/2vR(T g — Tq). рис. 3.23 Используя уравнение состояния идеального газа, найдем значения температуры в точках В, С и D: 7’« = Рв^в 11-10^-3•10'^ Td= vR 0,2-8,31 Рс^с 3,5-10®-6-10~® vR 0,2-8,31 Pd^d 1-10®-6 -10"® vR К = 1986 К; К=1263 К; К = 361 К. 0,2-8,31 Работа на участке ВС: Abc = 3/2vB(7’b-7’c) = 3/2-0,2-8,31 * 723 Дж = = 1802 Дж=1,8 кДж. Максимальный КПД тепловой магпины равен: л - ^1-^2 _ . 1986-361 п QO Лтах jggg . • Как видно, кпд исследуемого цикла в 2,2 раза меньше КПД цикла Карно, работающего в том же температурном интервале. Задача 2. Космический корабль массой 4,0 т двигался вокруг Земли по круговой орбите на высоте hi = 200 км от ее поверхности. В результате включения на короткое время At ракетного двигателя скорость космического корабля увеличилась на Ли =10 м/с, а траектория движения стала эллипсом с минимальным удалением от поверхности Земли h.| = 200 км и максимальным удалением от поверхности Земли h2 = 234 км. С какой скоростью V2 движется космический корабль в точке максимального удаления от поверхности Земли? Чему равны сила тяги F ракетного двигателя, время At его работы, масса израсходованного топлива Ат? Изменением массы космического корабля пренебречь. Масса Земли и ее радиус соответственно равны Л/=6-10^‘* кг и Д = 6370 км, гравитационная постоянная А/П- 6 = 6,67-10“*^ Н-м^/кг^, секундный расход топлива кг/с, ско- рость истечения газов и = 4,0*10^ м/с, удельная теплота сгорания горючего и окислителя д = 1,2-10^ Дж/кг. Решение. Скорость Uj космического корабля в точке минимального удаления от поверхности Земли после его ускорения равна: Ui = Oo + ^i^- Скорость Vq движения по круговой орбите можно найти из уравнения где i?i = i2+/i, = 6,57-10® м, отсюда Мт R R VI = = yfe.67-10-^^-6-10^1 ^ 7 805.103 ^ \ Rl V 6,57-10® Следовательно, на минимальном удалении от Земли скорость ракеты равна: Oj = 7,805 • 10® м/с-1-10 м/с= 7,815 -10® м/с. По закону сохранения момента импульса для космического корабля выполняется равенство R2 = R + fi2 = = 6,604-10® м. Поэтому скорость i>2 ® точке максимального удаления равна: _ _______)®-6,570-10® «2 7,815-10 L>2 = --- = ---------- 6,604-10 м/с = 7,775 -10® м/с. 206 Силу тяги F ракетного двигателя найдем из уравнения FAt = Amv, где Ат — масса газов, выброшенных ракетным двигателем за время At; v — скорость истечения газовой струи. Перепишем это уравнение в виде F = и = ци = 1 • 4,0 • 10^ Н — 4,0 -10^ Н = 4 кН. Время работы двигателя можно найти по изменению импульса космического корабля: FAt = mAv, где т — масса космического ко- рабля; Av — изменение его скорости. Итак, At = mAv 4,0-10^-10 F 4,0 10^ = 10 с. Массу Ат израсходованного топлива и окислителя можно найти по закону сохранения импульса для системы «корабль — горючее»: mAv^Amv, отсюда Ат= ^4,0- Ю • ^0 кг=10кг. V 4.0-10^ Коэффициент полезного действия ракетного двигателя определяется выражением Ц=-^, где N — мош;ность двигателя; — тепло- та, ежесекундно выделяющаяся при сжигании топлива. 2 2 Так как N=1^, а = то КПД ракеты равен: ri = -^ = f. 2 2q _ 16 10® _ 21,2-10 ^=0,67. ■ Задачи для самостоятельного решения 35.1. Карбюраторный двигатель внутреннего сгорания работает по цик- лу (рис. 3.24), состоящему из двух адиабат (1,2; 3,4) и двух изохор (2,3; 1,4). Рассчитайте КПД двигателя при следующих значениях температур: = 300 К, Та = 524 К, Тз = 786 К, ^4 = 450 К. 35.2. Дизельный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу (рис. 3.25), состоящему из двух адиабат (1,2; 3,4), одной изобары (2,3) и одной изохоры (1,4), Рассчитайте КПД такого двигателя, если отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме Ср равно у= — = 1,4, а температзфы газа имеют значения: Ti =300 К, Т2 = 750 К, Гз=1200 К, Г4=600 К. 35.3. Газотурбинная установка работает по циклу (рис. 3.26), состоящему из двух адиабат (1,2; 3,4) и двух изобар. Рассчитайте КПД такого двигателя, если температуры газа равны: 7’i=300 К, Г2 = 900 К, Т'з = 1800 К, рис. 3.24 рис. 3.25 рис. 3.26 207 рис. 3.27 Указание: для нахождения воспользоваться формулой Пуассона для адиабатного процесса. Газ одноатомный. 35.4*. На рисунке 3.27 приведены диаграммы двух циклов, каждый из которых состоит из двух изохор и двух адиабат. При работе по какому из этих двух циклов двигатель имеет более высокий КПД? Газ одноатомный. §3б| Холодильные машины Испаритель Конденсатор Гг а VO Ci, 5 а 3- 2 сз «о А О <3 о О рис. 3.28 Холодильник. Не опровергает ли второй закон термодинамики работа холодильника? Действие его как раз заключается в том, что от более холодного тела, находящегося в морозильнике, отнимается некоторое количество теплоты и передается более нагретому телу. Этим более нагретым телом является воздух в комнате, который в результате работы холодильника нагревается до еще более высокой температуры. Холодильник работает в полном соответствии со вторым законом термодинамики. Холодильник и воздух комнаты не составляют замкнутую систему. Холодильник подключен к электрической сети, а работу совершает его электродвигатель. Следовательно, 208 переход тепла от холодного тела к горячему не является единственным результатом работы холодильника, так как за счет работы электродвигателя этот процесс сопровождается превращением энергии электрического тока во внутреннюю энергию. Рабочим телом в компрессионном холодильнике (рис. 3.28) служит жидкость, имеющая низкую температуру кипения, которой заполнена система конденсатора и испарителя. Компрессор, приводимый в действие электродвигателем, откачивает пары этой жидкости из испарителя и нагнетает их в конденсатор. При сжатии газ нагревается. Охлаждение его до комнатной температуры происходит в конденсаторе, расположенном обычно на задней стенке холодильного шкафа. Охлажденный до комнатной температуры при повышенном давлении, создаваемом в конденсаторе с помощью компрессора, газ переходит в жидкое состояние. Из конденсатора жидкость через капиллярную трубку поступает в испаритель. Откачка паров из испарителя с помощью компрессора поддерживает в нем пониженное давление. При пониженном давлении в испарителе жидкость кипит и испаряется даже при температуре ниже 0°С. Энергия на испарение жидкости отбирается от стенок испарителя, вызывая их охлаждение. Откачанные пары поступают в кожух компрессора, оттуда снова в конденсатор и т. д., по замкнутому кругу. Самая низкая температура, которая может быть получена в испарителе (морозильной камере), определяется значением давления паров, так как температура кипения жидкости понижается с уменьшением давления. При постоянной скорости поступления жидкости из конденсатора в испаритель через капиллярную трубку давление паров в испарителе будет тем ниже, чем дольше работает компрессор. Если нет нужды добиваться понижения температуры в испарителе до предельно достижимого значения, то компрессор периодически останавливается путем выключения электромотора, приводящего его в действие. Компрессор включается автоматом, следящим за поддержанием в холодильном шкафу заданной температуры. Рабочий цикл холодильной машины. В обратных процессах (циклах) холодильником по-прежнему называют тело с более низкой температурой, хотя теперь оно отдает тепло, а нагревателем — тело, имеющее более высокую температуру, хотя теперь оно его получает. При этом рабочее тело получает за один цикл от холодильника количество теплоты Q2, отдавая нагревателю количество теплоты Qj, которое больше полученного количества теплоты Qg на работу А, совершаемую электромотором: Можно сказать, что в данном случае тепловая машина совершает отрицательную работу: А = ^2“1 = 209 в результате проведения обратного цикла увеличивается разность температур между нагревателем и холодильником. В этих условиях тепловая машина работает как тепловой насос. Важнейшей характеристикой холодильной машины является холодильный коэффициент^ равный отношению количества теплоты, отнятого от холодильной камеры, к работе электродвигателя (расходу электроэнергии): с _ ^ _ Q2 IQ1I-Q2’ В идеальной холодильной машине максимальный холодильный коэффициент равен: ^тах 7’1-Тг’ в реальной машине =Р < г, _ 7’, 1 - ■* 2 Еще одна характеристика холодильной машины — хладо-производительность. Она показывает, какое количество теплоты q способна отнимать машина у охлаждаемых тел в единицу времени: Q2 Холодильная машина как тепловой насос. Нельзя ли использовать холодильную машину для обогрева помещения? Ведь, как мы выяснили, эта машина охлаждает холодное тело (внутреннюю емкость холодильника) и нагревает более горячее, например окружающий воздух в помещении. Ответ на поставленный вопрос уже по существу дан: холодильная машина может служить обогревателем. Но стоит ли это делать, не лучше ли пользоваться обычными электроотопительными приборами, более простыми по устройству, чем тепловые насосы? Чтобы ответить на этот вопрос, найдем соотношение между количеством теплоты Qg» отнятым у холодного тела, и количеством теплоты Qi, переданным нагретому телу. Поскольку в обратном цикле сжатие газа происходит при более высокой температуре, чем расширение, то работа сжатия больше работы расширения (| А'ся,| > | Ap^cml)* Таким образом, за каждый обратный цикл внешние силы совершают положительную работу: I -^сж I I -'^расш I > О • Применив первый закон термодинамики к изотермическим процессам сжатия и расширения, найдем: ~ 1-^сжК Q2— |^р 210 следовательно, Q\ = Q2'^-^ В полном соответствии с первым законом термодинамики мы получили, что за счет работы компрессора А' холодильник отдает в окружающее пространство большее количество теплоты, чем то, которое он отнимает у морозильной камеры. Если холодильную камеру вынести на улицу, а конденсатор оставить в помещении, то при совершении компрессором работы А за счет энергии электрической сети от холодного воздуха на улице будет отнято количество теплоты Qg и теплому воздуху в комнате будет передано количество теплоты iQir=Q2+'^'- Так можно использовать холодильную машину для обогрева помещения. Холодильную машину, работающую по такому принципу, называют тепловым насосом. Ответим теперь на поставленный выше вопрос: выгодно ли пользоваться тепловым насосом? Коэффициент полезного действия электронагревателя можно считать равным единице. Эффективность теплового насоса характеризуется отопительным коэффициентом, равным отношению количества теплоты, которое получает отапливаемое помещение, к работе электродвигателя (расходу электроэнергии): Vmax = _ le.l lo.l А' I Qil ~ Qz T1-T2 T, >1. у реального теплового насоса м^п< - i 1 - i 2 Но и в этом случае добиваются, чтобы выполнялось условие \|/р>1, иначе теряет смысл сама идея теплового насоса как более экономичной отопительной системы. В качестве примера рассмотрим случай, когда температура наружного воздуха ^2 = 0°С, а внутри дома тепловой насос должен поддерживать температуру fi = -l-20®C. Для этих значений температур максимальный отопительный коэффициент равен: Tj _ 293 К Vmax T^-To 293К-273К = 14,5. Это значит, что, пользуясь тепловым насосом, работающим за счет электрической энергии двигателя, мы можем «накачать» в помещение примерно в 15 раз большее количество теплоты, чем получили бы при той же затрате энергии от электронагревательного прибора. ■ Вопросы 1. Опровергает ли работа холодильника второй закон термодинамики? 2. Как устроен холодильник и каков принцип его действия? 3. Что такое тепловой насос? 4. Выполняются ли первый и второй законы термодинамики при работе теплового насоса? 211 § 37| Тепловые машины и охрана природы Роль тепловых двигателей в загрязнении окружающей среды. Непрерывное развитие энергетики, автомобильного и других видов транспорта, возрастание потребления угля, нефти и газа в промышленности и на бытовые нужды увеличивает возможности удовлетворения жизненных потребностей человека. Однако в настоящее время количество ежегодно сжигаемого в различных тепловых машинах химического топлива настолько велико, что все более сложной проблемой становится охрана природы от вредного влияния продуктов сгорания. Отрицательное влияние тепловых машин на окружающую среду связано с действием различных факторов. Во-первых, при сжигании топлива используется кислород из атмосферы, вследствие чего содержание кислорода в воздухе постепенно уменьшается. Во-вторых, сжигание топлива сопровождается выделением в атмосферу углекислого газа. В атмосфере Земли в настоящее время содержится около 2600 млрд т углекислого газа (около 0,033%). До периода бурного развития энергетики и транспорта количество углекислого газа, поглощаемого из атмосферы при фотосинтезе растениями и растворяемого в океане, было равно количеству углекислого газа, выделяемого при дыхании и гниении. В последние десятилетия этот баланс все в большей степени стал нарушаться. В настоящее время за счет сжигания угля, нефти и газа в атмосферу Земли ежегодно поступает дополнительно около 20 млрд т углекислого газа. Это приводит к повышению концентрации углекислого газа в атмосфере Земли. Молекулы оксида углерода способны поглощать инфракрасное излучение. Поэтому увеличение концентрации углекислого газа в атмосфере изменяет ее прозрачность. Инфракрасное излучение, испускаемое земной поверхностью, все в большей мере поглощается в атмосфере. Дальнейшее существенное увеличение концентрации углекислого газа в атмосфере может привести к повышению ее температуры (парниковый эффект). В-третьих, при сжигании угля и нефти атмосфера загрязняется азотными и серными соединениями, вредными для здоровья человека. Особенно существенно это загрязнение в крупных городах и промышленных центрах. Более половины всех загрязнений атмосферы создает транспорт. Кроме оксида углерода и соединений азота, автомобильные двигатели ежегодно выбрасывают в атмосферу 2—3 млн т свинца. (Соединения свинца добавляют в автомобильный бензин для предотвращения детонации топлива в двигателе, приводящей к снижению мощности двигателя и его быстрому износу.) Так как автомобильные двига- 212 тели играют решающую роль в загрязнении атмосферы в городах, проблема их усовершенствования представляет одну из наиболее актуальных научно-технических задач. Один из путей уменьшения загрязнения окружающей среды — использование дизелей вместо карбюраторных бензиновых двигателей, так как в топливо дизелей не добавляют соединения свинца. Перспективными являются разработки и испытания автомобилей, в которых вместо бензиновых двигателей применяются электродвигатели, питающиеся от аккумуляторов, или двигатели, использующие в качестве топлива водород. В последнем типе двигателя при сгорании водорода образуется вода. Однако здесь возникает масса технических проблем, не решенных до сих пор. Использование твердого топлива. Запасы нефти и газа, на которые последние десятилетия ориентировалась теплоэнергетика, ограничены. Добыча нефти, осуществляемая с больших глубин, в более трудных условиях (например, морская добыча) обходится все дороже. Развитие теплоэнергетики связывается в основном с использованием твердого топлива, в первую очередь угля, так как разведанные запасы нефти и газа существенно меньше угольных. В ряде случаев добыча угля обходится намного дешевле добычи нефти. Но при использовании твердого топлива приходится решать целый ряд проблем. Горение твердого топлива намного сложнее горения газообразного или жидкого топлива. В топке котлоагрегата, сжигающего уголь, одновременно происходит несколько процессов. Энергоблок на угле мощностью 500—800 мВт вырабатывает около 2000 т пара в час, сжигая около 200 т калорийного угля. В низкокачественных топливах негорючая часть составляет около 50% объема, поэтому требуется около 400 т угля для часовой работы такой турбины. Негорючая часть топлива превращается в шлак. Вопросы охраны окружающей среды становятся все более определяющими для дальнейшего развития теплоэнергетики. С этой точки зрения тепловые электростанции, работающие на угле, далеко не совершенны прежде всего из-за большого количества оксидов серы в газах, выходящих с электростанции. Если эти газы пропустить через специальные устройства — скрубберы, в которых сера связывается известью, то концентрация оксида серы существенно уменьшится. Еще один метод, достаточно чистый с точки зрения экологии,— сжигание угля в кипящем слое. В этом случае зола не плавится, так как горение идет при более низкой температуре, чем в факеле. Если в кипящий слой добавить известняк, то он погасит оксид серы. Вообще, в энергетике уголь называют «трудным топливом», использование которого связано со многими экономическими и экологическими проблемами. Современная ТЭС мощностью 3 ГВт потребляет 213 в год 13—14 млн т угля. Для ее работы в угольных карьерах должно быть вскрыто около 100 га земли. Сама ТЭС с учетом подъездных путей, водохранилищ, золоотвалов занимает сотни гектаров. Перегрев окружающей среды. Выбросы вредных веществ в атмосферу не единственная сторона воздействия энергетики на природу. Различные стадии преобразования энергии органического топлива в электрическую сопровождаются выделением энергии в окружающую среду. Если тепловые сбросы мощной теплоэлектростанции передать проточной воде, то ее температура повысится примерно на 5°С. Такое воздействие на гидросферу нельзя допустить, оно приведет к изменению теплового режима в реках. Поэтому рядом с теплоэлектростанциями создаются пруды-охладители площадью 10—20 км^, изолированные от рек и озер. При переработке угля все шире применяется метод подземной газификации углей, дающий высококалорийный газ и жидкие углеводороды, которые используются также как топливо или как сырье для органического синтеза. Более половины возможностей экономии топливно-энергетических ресурсов дает автотранспорт. Если дизельными двигателями, которые примерно на треть экономичнее карбюраторных, оборудовать 65% грузовых и хотя бы 20% легковых автомобилей, то суммарный расход топлива сократится на 10 млн т в год. Повышение КПД установок. Важнейшая характеристика энергетических установок — их КПД. Максимальный КПД тепловой электростанции не превышает 40—42%, а у других теплоустановок он еще ниже: у лучших карбюраторных двигателей внутреннего сгорания около 30%, у дизельных около 40%. Столь низкий КПД теплоэнергетики связан с целым рядом причин. Одна из главных — отсутствие жаропрочных материалов, способных выдерживать в течение долгого времени высокие давления и температуры. Возможно, что будущее тепловой энергетики связано с комбинированными установками, в которых паровая турбина работает совместно с газовой. Горячие газы, имеющие температуру до 1200 ®С, подаются в газовую турбину. Затем несколько остывшие, но имеющие еще температуру 500— 600 °С газы подаются в парогенератор паровой турбины. Далее работа осуществляется как в обычной паровой турбине. Такое совместное использование газа и пара позволит получить КПД комбинированной установки до 48%. ■ Вопросы 1. к каким отрицательным последствиям для окружающей среды приводит широкое использование тепловых машин в энергетике и на транспорте? 2. Каковы пути уменьшения отрицательного влияния тепловых машин на окружающую среду? 214 ЭЛЕКТРО-ДИНАМИКА При изучении механических и тепловых явлений рассматривались законы, управляющие этими явлениями, обсуждались модели внутреннего строения тел, объясняющие механические и тепловые свойства тел. Однако не были выяснены очень важные вопросы: какова природа сил молекулярного взаимодействия? Какова природа сил упругости, возникающих при деформации тел? Не все явления в природе можно понять и объяснить с помощью законов механики, молекулярно-кинетической теории строения вещества и термодинамики. В молекулярной физике использовались представления о силах притяжения и отталкивания между атомами и молекулами, но не выяснялась природа межатомных и межмолекулярных сил. Взаимодействия атомов и молекул, взаимодействия частиц внутри атомов объясняются на основе представлений о том, что в природе существуют электрические заряды и электромагнитное поле. Законы взаимодействия электрических зарядов, действия на них электромагнитных полей изучает раздел физики, называемый электродинамикой. ii §38 Глава 4 Электрическое поле Закон сохранения электрического заряда Электрические заряды. Повседневным явлением, в котором обнаруживается факт существования в природе электрических зарядов, является процесс электризации тел при соприкосновении. Для изучения явлений электризации проделаем следующие опыты. Отрежем полоску бумаги шириной около 1 см. Поднеся к полоске какой-нибудь пластмассовый предмет, например ручку, убедимся, что они не взаимодействуют друг с другом. Положив полоску на тетрадь, проведем по ней несколько раз пластмассовой ручкой с легким нажимом. Затем возьмем полоску бумаги в одну руку, а ручку — в другую и будем их сближать. Бумажная полоска изгибается в сторону ручки, т. е. между бумажной полоской и ручкой возникают силы притяжения (рис. 4.1). Очевидно, что наблюдаемые в опыте силы притяжения между бумажной полоской и пластмассовой ручкой не являются силами всемирного тяготения, так как возникают только после соприкосновения тел и не зависят от их масс. Этот новый тип взаимодействия тел называется электростатическим взаимодействием. Электростатическое взаимодействие тел объясняется существованием электрических зарядов. Процесс возникновения электрических зарядов на телах при соприкосновении (а также при некоторых других процессах, которые будут рассмотрены ниже) называется электризацией тел. Два вида электрических зарядов. Продолжим опыты по изучению взаимодействия электрических зарядов. Отрежем две полоски бумаги шириной около 1 см. Сближая полоски, убеждаемся, что между ними нет заметных сил взаимодействия. Положив полоски рядом на тетрадь, проведем по ним пластмассовой ручкой несколько раз с легким нажимом. Чтобы полоски не изгибались, перевернем их и столько же раз проведем ручкой по другой стороне полосок. Взяв полоски в руки, станем сближать их. Опыт показывает, что при сближении полоски изгибаются, отталкиваясь друг от друга (рис. 4.2). Следовательно, в отличие от сил всемирного тяготения, которые всегда являются силами притяжения, при электростатическом взаимодействии электрических зарядов могут наблюдаться как силы притяжения, так и силы отталкивания. Способность электрических зарядов в одних случаях к взаимному притяжению, в других — к отталкиванию объясняется существованием двух различных видов зарядов. Один из них назвали положительным, а другой — отрицательным. Заряды обозначают буквой q или Q. Очевидно, что при соприкосновении с одной и той же пластмассовой ручкой на обеих одинаковых полосках бумаги появляются электрические заряды одного знака. Эти полоски отталкиваются, следовательно, между электрическими зарядами одинакового знака действуют силы отталкивания. Между электрическими зарядами противоположных знаков действуют силы притяжения. Электрометр. Для обнаружения и измерения электрических зарядов применяется электрометр. Электрометр состоит из металлического стержня и стрелки, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси. Стержень со стрелкой закреплен в плексигласовой втулке и помещен в металлический корпус цилиндрической формы, закрытый стеклянными крышками. Натиранием о мех или бумагу сообщим заряд эбонитовой палочке, а затем прикоснемся палочкой к стержню электрометра. Мы увидим, что стрелка электрометра отклоняется на некоторый угол (рис. 4.3). Поворот стрелки объясняется тем, что при соприкосновении заряженного тела со стержнем электрометра электрические заряды распределяются по стрелке и стержню. Силы отталкивания, действующие между одноименными электрическими зарядами на стержне и стрелке, вызывают поворот стрелки. Наэлектризуем эбонитовую палочку еще раз и вновь коснемся ею стержня электрометра. Опыт показывает, что при увеличении электрического заряда на стержне угол отклонения стрелки от вертикального положения увеличивается. Следовательно, по углу отклонения стрелки электрометра можно судить о значении электрического заряда, переданного стержню электрометра. Закон сохранения электрического заряда. Воспроизведем теперь опыты, результаты которых в свое время послужили основой для создания современного учения об электричестве. Опыты, результаты которых лежат в основе построения теории, называют фундаментальными. Установим на демонстрационном столе два одинаковых электрометра. На стержне одного из них укрепим металлический диск и поставим на него второй такой же диск с ручкой из изолятора. Между дисками поместим прослойку из сукна. Взявшись за ручку, совершим несколько движений верхним диском по прослойке и поднимем верхний диск. После удаления верхнего диска стрелка электрометра отклоняется, обнаруживая появление электрического заряда на диске и стержне электрометра (рис. 4.4, слева). Прикоснемся верхним диском к стержню второго электрометра. Опыт показывает, что стрелка второго электрометра после прикосновения отклоняется примерно на такой же угол, что и стрелка первого электрометра (рис. 4.4, справа). Это значит, что в результате электризации при соприкосновении электрические заряды появились на двух соприкасающихся телах — на первом диске с сукном и на втором диске. Теперь выполним последнюю часть опыта — соединим проводником стержни первого и второго электрометров. При этом стрелки первого и второго электрометров возвращаются в вертикальное положение (рис. 4.5). Наблюдаемая в опыте взаимная нейтрализация электрических зарядов показывает, что суммарный электрический заряд на двух дисках равен нулю. Опыты с применением самых точных приборов для измерения электрических зарядов показали, что в результате электризации тел при соприкосновении на них всегда возникают электрические заряды, равные по модулю и противоположные по знаку. Электрические заряды могут появляться на телах не только в результате электризации при соприкосновении тел, но и при других взаимодействиях, например под воздействием света. Однако внутри изолированной системы при любых взаи- 218 модействиях алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной: + ^2+••• +9л = const. Этот экспериментально установленный факт называется законом сохранения электрического заряда. Изолированной (или замкнутой) системой называют систему тел, в которую не вводятся извне и не выводятся из нее электрические заряды. Нигде и никогда в природе не возникает и не исчезает электрический заряд одного знака. Появление положительного электрического заряда всегда сопровождается появлением равного по модулю отрицательного заряда. Ни положительный, ни отрицательный заряд не могут исчезнуть в отдельности, они могут лишь взаимно нейтрализовать друг друга, если равны по модулю. Электрические заряды и строение вещества. Опыт показывает, что нейтральные атомы и молекулы любого химического вещества могут стать заряженными частицами — положительными или отрицательными ионами. Следовательно, электрическими зарядами обладают частицы, из которых состоят атомы и молекулы. Кг1к известно, в состав любого атома входит положительно заряженное ядро и отрицательно заряженные электроны. В нейтральном атоме суммарный заряд электронов в точности равен заряду атомного ядра. Тело, состоящее из нейтральных атомов и молекул, имеет суммарный электрический заряд, равный нулю. Если в результате какого-либо взаимодействия часть электронов переходит от одного тела к другому, то одно тело приобретает отрицательный электрический заряд, а второе — равный по модулю положительный электрический заряд. При соприкосновении двух разноименно заряженных тел избыточное число электронов переходит с отрицательно заряженного тела к телу, у которого часть атомов не имела полный комплект электронов на своих оболочках. ■ Вопросы 1. Чем объясняется электризация тел при соприкосновении? 2. Какие опыты доказывают существование двух видов электрического заряда? 3. Каков принцип действия электрометра? 4, Какие частицы являются носителями отрицательных и положительных зарядов? 5. Как формулируется закон сохранения электрического заряда? ■ Задачи для самостоятельного решения 38.1. Со стержня электрометра сняли заряд +д, затем ему передали заряд -q. Каким стал электрический заряд на стержне? 219 38.2. Капля дождя, несущая положительный электрический заряд +2^, соединилась с каплей дождя, несущей отрицательный электрический заряд -3q. Каким стал общий заряд капли? ■ Задание Выполните опыт по электризации тел при соприкосновении. Пронаблюдайте отталкивание одноименно заряженных тел и притяжение разноименно заряженных тел. § 39| Закон Кулона Взаимодействие зарядов. Взаимодействие неподвижных электрических зарядов изучает электростатика. Основной закон электростатики был экспериментально установлен французским физиком Ш. Кулоном в 1785 г. В опытах Кулона измерялись силы взаимодействия заряженных шаров. На тонкой проволоке была подвешена стеклянная палочка с двумя металлическими шарами на концах. Одному из них сообщался электрический заряд, против него устанавливался другой заряженный шар (рис. 4.6). Сила взаимодействия заряженных шаров определялась по углу поворота стеклянной палочки, закручивающей нить подвеса. Расстояние между центрами шаров нетрудно было измерить. У Кулона не было метода измерения заряда на шарах. Но он применил интересный прием дробления заряда. Исходя из принципа симметрии, Кулон пришел к выводу, что при соприкосновении металлического шара с зарядом q с незаряженным шаром такого же радиуса электрический заряд разделяется на две равные части и на каждом из шаров оказывается заряд q/2. Из опытов Кулона по измерению сил взаимодействия между заряженными шариками следовало, что модуль силы взаимодействия двух неподвижных шаров прямо пропорционален произведению модулей зарядов I 1 и I (721 и обратно пропорционален квадрату расстояния г между ними: \F,\=k (39.1) Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Хотя Кулон производил опыты с шариками конечных размеров и точность эксперимента была невелика, ему удалось точно сформулировать основной закон электро- О— Q г г (Э-- F ^ Q Я рис. 4.7 статики: два точечных неподвижных электрических заряда взаимодействуют в вакууме с силой, пропорциональной произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Справедливость этого закона подтверждена с огромной точностью всей совокупностью исследований электромагнитных явлений. Направление кулоновской силы. Кулоновская сила направлена вдоль прямой, соединяющей оба точечных заряда. Она подчиняется третьему закону Ньютона: заряды взаимодействуют друг с другом с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Рассмотрим, как направлена сила, с которой заряд Q действует на пробный заряд q (рис. 4.7). Направим радиус-вектор г от заряда Q к пробному заряду q. Поскольку одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются, то в случае одноименных зарядов вектор силы имеет то же направление, что и радиус-вектор. В случае же взаимодействия разноименных зарядов вектор силы направлен противоположно радиусу-вектору. Единица электрического заряда. Единицей электрического заряда в СИ служит кулон (Кл). 1 Кл — это количество электричества, проходящее за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А: 1 Кл=1 А1 с. Определение единицы силы тока 1 А будет дано в § 53. Электрическая постоянная. Как показывает опыт, при таком выборе единицы электрического заряда коэффициент пропорциональности k в выражении закона Кулона оказывается равным: k = 9-10^ Н-м7Кл2. Таким образом, два точечных заряда Q и q, каждый из которых равен 1 Кл, взаимодействуют в вакууме на расстоянии г=1 м с силой F=9 • 10® Н. Вместо коэффициента k часто применяется другой коэффициент, называемый электрической постоянной: ^0= A = 4яй Н-м2 Тогда закон Кулона будет записан так: 1^1|9| F = 4яео (39.2) 221 Принцип суперпозиции. Опыт показывает, что сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов qi и ^2 не изменяется при появлении около них третьего заряда gg, четвертого и т. д. Силы взаимодействия ^12, ^13, заряда q^ с каждым из зарядов gg» 9з» •••» д„ определяются по закону Кулона, а результирующая сила взаимодействия является геометрической суммой векторов сил взаимодействия заряда gi с каждым из этих зарядов (рис. 4.8); (39.3) Независимость электрического взаимодействия двух точечных зарядов от присутствия других зарядов свидетельствует о том, что для сил электростатического взаимодействия справедлив принцип суперпозиции^ о котором шла речь в § 3. ■ Вопросы 1. Опишите опыты Кулона по исследованию взаимодействия электрических зарядов. 2. Чем отличается закон Кулона от закона всемирного тяготения? 3. В каких единицах выражается электрический заряд? 4. В чем состоит принцип суперпозиции? 5. Что такое электрическая постоянная? ■ Пример решения задачи Задача. Точечные электрически^заряды gg ^ Чз находятся в вершинах прямоугольника. Определите силу Fg, с которой действуют на заряд gg электрические заряды gi и gg. Расстояние между зарядами gg в д^ равно 1 см, между зарядами gg и gg — 3 см; gg = 10“® Кл, gj = —10“® Кл, д2 = —4 • 10“® Кл. 222 Решение. Сила Fg, с которой электрические заряды Qi и gg действуют на заряд gg, находится как сумма сил Pj и Fg, действующих со стороны каждого из зарядов д^ и gg на заряд gg (рис. 4.9): /g = Fi-i-.Pg. Так как угол между векторами Fi и jFg равен 90°, то модуль вектора Fg можно найти, используя теорему Пифагора: = где |gil|g2l _ 910®10~®10~® Р, =/г г\ F„ = k |921|9з1 910°-410~”-10~® 910"^ Н = 910-®Н; Н = 4*10-®Н; Рд = V81-10-1® -f 16-10-“ Н« 10Н. ■ Задачи для самостоятельного решения 39.1. Как изменится сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов при увеличении расстояния между ними в три раза? 39.2. Как изменится сила электростатического взаимодействия двух заряженных шаров, если расстояние между их центрами увеличится в два раза и заряд одного из шаров увеличится также в два раза? 39.3. Вычислите силу кулоновского притяжения между электроном и протоном в атоме водорода. Заряд электрона отрицательный и равен по модулю 1,6 • 10~^^ Кл, заряд протона положительный и равен по модулю заряду электрона. Радиус орбиты электрона равен примерно 5 • 10~^^ м. 39.4. Сравните силы гравитационного и электрического взаимодействия 1,67 • кг. 39.5. Три отрицательных заряда, по модулю равные 9 • 10“® Кл, расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы система зарядов находилась в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым? 39.6. В трех вершинах квадрата со стороной 10 см находятся одинаковые точечные положительные заряды, равные 3 • 10”® Кл. С какой силой будут действовать эти заряды на положительный точечный электрический заряд 2 • 10“® Кл, расположенный в четвертой вершине квадрата? 39.7. Какая доля атомов в звездах должна потерять электроны для того, чтобы силы кулоновского отталкивания положительно заряженных звезд скомпенсировали силы всемирного тяготения? Звезды считайте состоящими из водорода. §401 Электрическое поле Идеи Фарадея. Взаимодействие зарядов по закону Кулона является экспериментально установленным фактом. Однако математическое выражение закона взаимодействия зарядов не раскрывает физической картины самого процесса взаимодействия, не отвечает на вопрос, каким путем осуществляется действие одного заряда на другой. Великий английский физик М. Фарадей дал факту взаимодействия электрических зарядов следующее объяснение: вокруг каждого электрического заряда всегда существует электрическое поле. Электрическое поле — материальный объект, непрерывный в пространстве и способный действовать на другие электрические заряды. Согласно этим представлениям взаимодействие электрических зарядов и gg есть результат действия поля заряда на заряд и соответственно поля заряда дг на заряд gi. То, что электрическое поле объективно существует, что оно материально, доказывается при рассмотрении явлений, происходящих при ускоренном движении электрических зарядов. Этот вопрос будет рассмотрен в 11 классе при изучении электромагнитных волн. Здесь мы остановимся только на одном факте. 223 Пока электрические заряды и ^2 неподвижны и находятся в точках А и В, на заряд qz со стороны заряда действует сила -В, направленная вдоль прямой ВА (рис. 4.10). Если в некоторый момент времени t заряд начинает двигаться из точки А к точке С, то модуль и направление силы, действующей на заряд ^2» должны измениться. Согласно представлениям теории дальнодействия эти изменения должны были бы происходить мгновенно, т. е. в любой момент времени кулоновская сила должна быть направлена вдоль прямой, соединяющей заряды. Однако в действительности наблюдается другая картина. Если в некоторый момент времени t заряд д^ выходит из состояния покоя и движется ускоренно, то изменение силы, действующей со стороны заряда д^ на заряд ^2» наблюдается лишь через промежуток времени Ai, определяемый выражением At = //c, где I — расстояние между зарядами; с = 3,0'10^ м/с — скорость света в вакууме. Запаздывание изменений взаимодействия электрических зарядов при их ускоренном движении доказывает справедливость теории близ-кодействия, согласно которой взаимодействие электрических зарядов осуществляется с помощью электромагнитного поля. С этой скоростью распространяются любые изменения в электрическом поле при ускоренном движении электрических зарядов. Запаздывание изменений в электрическом поле на расстояниях в несколько метров обнаружить довольно трудно из-за большого значения скорости света. В космонавтике же эти запаздывания не только легко обнаружить, но они создают определенные дополнительные трудности в управлении космическими аппаратами. Так, при управлении луноходом команды, отправленные антеннами радиопередатчиков с пункта космической связи, достигали приемных антенн лунохода лишь через 1,3 с после отправления, так как расстояние от Земли до Луны составляет примерно 400 000 км. При осуществлении посадки на поверхность планеты Венера автоматические космические станции «Венера» получали команды с Земли спустя 3,5 мин после их отправления, так как расстояние между Землей и Венерой превышало 60 млн км. Напряженность электрического поля. Физическая величина, равная отношению силы Р, с которой электрическое поле действует на пробный точечный заряд д, к значению 224 этого заряда, называется напряженностью электрического поля и обозначается символом Е: Для модуля вектора напряженности получим 1^1 Е = 4лЕоГ^ (40.1) (40.2) Заряд Q называется обычно источником поля, заряд q — пробным зарядом. Напряженность электрического поля точечного заряда прямо пропорциональна модулю заряда источника поля Q и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до данной точки поля. За направление вектора напряженности электрического поля принимается направление вектора кулоновской силы, действующей на пробный положительный электрический заряд, помещенный в данную точку поля. Выражение (40.1) позволяет найти единицу напряженности электрического поля — это 1 Н/Кл. Единицей СИ напряженности электрического поля служит 1 В/м. В § 43 мы покажем, что 1 В/м = 1 Н/Кл. ^ Зная напряженность электрического поля Е в данной точке поля, можно определить модуль и направление вектора силы, с которой электрическое поле будет действовать на любой электрический заряд q в этой точке: F = Eq. (40.3) Опыт показывает, что если на электрический заряд q действуют одновременно электрические поля нескольких источников, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих со стороны каждого поля в отдельности. Это свойство электрических полей означает, что они подчиняются принципу суперпозиции’, если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля с напряженностями Е^, Е2 и т. д., то вектор напряженности результирующего электрического поля равен сумме векторов напряженностей всех электрических полей: Ё=Е,+Е2+...+Е,. (40.4) Справедливость принципа суперпозиции для взаимодействия электрических зарядов показывает, что электрические поля различных источников существуют в одной и той же точке пространства и действуют на электрические заряды независимо друг от друга. 8 Физика, 10 кл. 225 Линии напряженности электрического поля. Линией напряженности электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой точке направлена вдоль вектора напряженности Е. Линии напряженности электрического поля начинаются на положительных электрических зарядах и кончаются на отрицательных электрических зарядах. Они могут также уходить в бесконечность от положительных зарядов и приходить из бесконечности к отрицательным зарядам. Распределение линий напряженности вокруг уединенных точечных зарядов показано на рисунке 4.11, а, б. Определяя направление вектора Е в различных точках пространства, можно представить картину распределения линий напряженности электрического поля от разных источников. Для двух разноименных зарядов эта картина имеет вид, показанный на рисунке 4.12, а, для одноименных — на рисунке 4.12, б. Однородное электрическое поле. Электрическое поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке пространства, называется однородным электрическим полем. Приблизительно однородным является электрическое поле между двумя разноименно заряженными плоскими металли- а) рис. 4.12 / ./^''+/+1+ '+1+1+1+1+|+\+^~. / / / , I , I I , I 1 \ I, ^ ? 1 И И ? I ? 7 ♦ 226 г+ \ рис. 4.13 ческими пластинами, если расстояние между ними значительно меньше их размеров. Линии напряженности в однородном электрическом поле параллельны друг другу (рис. 4.13). ■ Вопросы 1. Как объясняет взаимодействие электрических зарядов теория поля? 2. Какие опытные факты доказывают справедливость теории поля? 3. В чем заключается принцип суперпозиции полей? 4. Зависит ли напряженность поля от пробного заряда, помещенного в данную точку поля? от заряда, создающего поле? 5. Что называется линией напряженности электрического поля? 6. Будет ли заряженное тело, помещенное в электрическое поле, обязательно двигаться по линиям напряженности этого поля, если никакие другие силы, кроме электростатических, на него не действуют? 7. Могут ли линии напряженности электростатического поля касаться друг друга или пересекаться? ■ Примеры решения задач Задача 1. Вычислите напряженность электрического поля в точке А, находящейся на прямой, проходящей через два положительных точечных электрических заряда и д2, расположенные в точках В и С; gj = 10”^® Кл, д2 = 2'10”^® Кл, ЛВ = 3 см, ВС = 9 см. Рассмотрите все возможные случаи расположения точки А по отношению к точкам В и С. Решение. Напряженность Ед электрического поля в точке А равна: Ер^ = ЕхЛ-Е2, где EyVi Ez — напряженности полей, создаваемых в точке А зарядами и q^. Модули напряженностей £ i и £ 2 соот- Wl I Т7. \Ч2 -----2’ Г1=АВ; Г2=АС; ~^ = 4тгеоГ2 4я8о ветственно равны: £х , £,= 4яеоГ1 = 9-10®Н-м2/Кл2. По условию задачи возможны два случая. В первом случае точка А находится между точками £ и С (рис. 4.14, а). Тогда =АВ - 3 • 10“^ м; Г2 =АС = 9 • 10"^ м - 3 • 10*^ м = 6 • 10"^ м и для £j и £о соответственно имеем: £,= 910®10‘ 9 -10 £,= 9 10®-2 36-10 10'^® ^----- Н/Кл = 103 Н/Кл, Н/Кл = 5 102 Н/Кл. Векторы El и £2 направлены противоположно, по модулю вектор £i больше вектора £2. Поэтому вектор £д направлен от В к А и модуль его равен: £a=£i —£2; Е^а= =10^ Н/Кл-5102 Н/Кл = 5102 Н/Кл. Во втором случае точки Л и С находятся по разные стороны от точки В (рис. 4.14, б). В этом случае ri=AB = 3-10" м; Е, Ej В Е, А о - а) В ■о Е, Я, б) рис. 4.14 С -о Я? С -о Я2 227 Г2=АС=АВ + БС = 3-10'^ м + 9-10‘2 м=12-10 м. £i = 10=^ Н/Кл, £,= 9 10^-2 • 10~^Р 144- Ю"'* Н/Кл =^0,125- 1Q3 Н/Кл. Векторы и ^2 направлены в одну сторону: Ej^ = E\+E2 = = 10^ Н/Кл + 0,125 • 10^ Н/Кл = 1,125 • 10^ Н/Кл. Задача 2. Найдите напряженность электрического поля, созданного двумя разноименными зарядами | Qj | = | Q2 I = Q< находящимися на расстоянии 21 друг от друга (такая система зарядов называется диполем), в точке, равноудаленной от этих зарядов. Расстояние от этой точки до линии, соединяющей заряды, равно г. Решение. Напряженность Е в искомой точке находится как векторная сумма напряженностей электростатических полей, создаваемых обоими зарядами в данной точке (рис. 4.15). Модули напряженностей электростатических полей, создаваемых этими зарядами, равны: ^ 4т1ео(г^ + ^^) Модуль Е суммарной напряженности в исследуемой точке равен: Е = 2Е^ cos а, где cosa = I Подставив значение и cos а в выражение для Е, получим £ = 2Q I QI 4л£о(г2 + (2) + Анализ полученной формулы показывает, что на расстоянии г^1 выражение для Е можно записать в виде 2лео Таким образом, мы показали, что напряженность поля диполя уменьшается с ростом расстояния от него обратно пропорционально кубу расстояния, т. е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда. Н Задачи для самостоятельного решения 40.1. Вычислите напряженность электростатического поля на первой орбите атома водорода. Радиус орбиты равен 5 • 10”^^ м, ядром атома водорода является протон. 40.2. На точечный электрический заряд 5 • 10"^® Кл электрическое поле действует с силой 10“^ Н. Определите напряженность электрического поля. 228 40.3. Вычислите напряженность электрического поля в точке А, находящейся вне зарядов на прямой, проходящей через два одноименных точечных электрических заряда, расположенные в точках В и С; дв = 10'® Кл, дс = 5-10“^° Кл, АВ = Ъ см, ВС = 10 см. 40.4. Напряженность поля на расстоянии 30 см от точечного заряда равна 900 Н/Кл. Чему равна напряженность поля на расстоянии 10 см от этого заряда? 40.5. Используя закон Кулона, докажите, что на заряд, помещенный внутрь равномерно заряженной сферы, не действуют электрические силы. 40.6. Водяная капля имеет электрический заряд, равный одному элементарному заряду (заряду электрона). Определите массу, радиус капли и число молекул воды в ней, если известно, что действие силы тяжести на каплю уравновешивается действием электрического поля Земли. Напряженность электрического поля Земли равна 130 Н/Кл, вектор напряженности направлен к центру Земли. §41 Теорема Гаусса Поток вектора напряженности. Введем еще одну физическую величину, характеризующую электрическое поле,— поток вектора напряженности. С помощью этой величины мы сможем рассчитать напряженности электрических полей, источниками которых являются не только точечные заряды, но и заряды, распределенные непрерывно по некоторым поверхностям — плоскости, сфере, цилиндру и т. д. Элементарным потоком вектора напряженности через малую площадку называется произведение модуля вектора Е на площадь площадки AS и косинус угла между вектором Е и нормалью к площадке Hq (рис. 4.16): ДФ = £А5соза. (41.1) Заметим, что если поверхность замкнутая, то выбирается внешняя нормаль к ней. Полный поток через поверхность равен сумме элементарных потоков через все ее участки: 0 = ZAO = Z.EAScosa. (41.2) Чтобы вычислить значение полного потока, оказывается полезным ввести еще одно вспомогательное понятие — телесный угол. Мерой телесного угла Q (рис. 4.17) служит отношение площади поверхности шарового сегмента So к квадрату радиуса: Q=So/r2. (41.3) Единицей телесного угла является стерадиан (сокращенно: ср) — это телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий 229 на поверхности сферы элемент, площадь которого равна квадрату радиуса. Итак, Q = 1 ср, если So = r^. Нетрудно убедиться, что полный телесный угол вокруг точки равен 4л ср. В самом деле, поверхность сферы равна 4лг^, следовательно, ^^полн = = 4лг^/г^ = 4л ср. Теорема Гаусса. Вернемся к выражению для элементарного потока (41.1). Пусть электрическое поле создается точечным зарядом q, тогда модуль вектора напряженности £ = д/(4лг^). Подставив в формулу (41.1), получим ДФ = £Д5со8а=^ • 4лео г2 Как видно из рисунка 4.18, а, AScosa = ASo, при этом площадка площадью ASq перпендикулярна радиусу. Тогда Я . ^ _ Я г2 ДФ = ДО. (41.4) 4л8о г2 4лЕо Теперь уже нетрудно получить выражение для полного потока вектора Е через произвольную замкнутую поверхность: Ф = ЕАФ = Г-^ДО=^ГДО=^4л = д/8о. ^ 4яео 4лео^ 4лео ^ ” Таким образом, если точечный заряд расположен внутри произвольной замкнутой поверхности, то полный поток вектора напряженности через эту поверхность равен: Ф = д/ео. (41.5) Обращаем внимание читателя на тот факт, что этот ре- 230 зультат не зависит ни от формы поверхности, ни от того, где внутри поверхности расположен заряд. Осталось рассмотреть случай, когда заряд находится вне замкнутой поверхности. Нетрудно убедиться, что поток в этом случае равен нулю. В самом деле (см. рис. 4.18, б), элементарные потоки ДФ^ и ДФ2 через площадки AS^ и ASg по модулю равны, ибо они вписаны в один и тот же телесный угол AQ (см. 41.4). Однако знаки этих потоков противоположны, так как угол ai острый и cosai>0, а угол а2 тупой и cosa2<0. Итак, сумма этих двух элементарных потоков равна нулю. То же будет справедливо и для всех других участков замкнутой поверхности. Следовательно, если заряд расположен вне замкнутой поверхности, то поток вектора напряженности от этого источника равен нулю. Если же внутри поверхности расположен не один точечный заряд, а их совокупность или если заряд распределен по некоторой поверхности или в некотором объеме, то выражение (41.5) легко обобщается (на основе принципа суперпозиции; см. с. 20 и 209); Ф=^Уд 80 (41.6) Это и есть теорема Гаусса: поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную. Используя теорему Гаусса, можно вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела при условии наличия какой-либо симметрии, например симметрии относительно центра, плоскости или оси. Напряженность поля заряженной плоскости. Применим теорему Гаусса для определения напряженности электрического поля заряженной плоскости. Если плоскость бесконечна и заряжена равномерно, т. е. поверхностная плотность заряда g = Q/S одинакова в любом ее месте, то линии напряженности электрического поля в любой точке перпендикулярны этой плоскости. Такое же направление они сохраняют и на любом расстоянии от плоскости, т. е. поле заряженной плоскости однородное. Для нахождения напряженности электрического поля заряженной плоскости мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна заряженной плоскости, а основания параллельны ей и одно из оснований проходит через интересующую нас точку поля. Цилиндр вырезает из заряженной плоскости участок площадью S, и такую же площадь имеют основания цилиндра, расположенные по разные стороны от плоскости (рис. 4.19). 231 рис. 4.20 Согласно теореме Гаусса поток Ф вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра связан с электрическим зарядом внутри цилиндра выражением БО во ' С другой стороны, так как линии напряженности пересекают лишь основания цилиндра, поток вектора напряженности можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра: Ф = 2Е8. В самом деле, поток через боковую поверхность цилиндра (см. рис. 4.19), согласно выражению (41.2), равен нулю, поскольку а = 90° и cosa = 0. Из двух выражений для потока вектора получим 2£S=^, напряженности откуда £о (41.7) Напряженность электрического поля между разноименно заряженными пластинами. Если размеры пластин значительно превосходят расстояние между ними, то электрическое поле каждой из пластин можно считать близким к полю бесконечной равномерно заряженной плоскости. Так как линии напряженности электрического поля разноименно заряженных пластин между ними направлены в одну сторону (рис. 4.20), то напряженность поля между пластинами равна: Так как 232 -!• (41.8) где Q — заряд одной пластины; S — ее площадь, то E=S-. Seo (41.9) Во внешнем пространстве линии напряженности электрического поля разноименно заряженных пластин имеют противоположные направления, поэтому вне этих пластин результирующая напряженность электрического поля практически равна нулю (см. рис. 4.20). Выражения (41.7) и (41.9) справедливы для больших заряженных пластин, когда напряженность определяется в точке, расположенной далеко от их краев. ■ Примеры решения задач Задача 1. Используя теорему Гаусса, найдите зависимость напряженности электрического поля равномерно заряженной тонкой проволоки бесконечной длины от расстояния г до оси проволоки. Решение. Выделим участок проволоки конечной длины I. Если линейная плотность заряда на проволоке x = qll, то заряд выделенного участка равен: q = xl. Из соображений симметрии электрическое поле проволоки изобразим линиями напряженности, расходящимися перпендикулярно поверхности проволоки (рис. 4.21). Окружим этот участок цилиндрической поверхностью радиусом г таким образом, чтобы ось цилиндра совпадала с осью проволоки (см. рис. 4.21). При этом весь поток вектора напряженности будет выходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой S = 2nrl, так как поток через оба основания цилиндра равен нулю. В этом случае из выражений (41.2) и (41.5) следует: Ф = Е2пг1 = = ^, откуда £ = 2яеог Анализ этой формулы показывает, что напряженность электрического поля тонкой, равномерно заряженной, бесконечно длинной и прямой проволоки обратно пропорциональна расстоянию от нее. Задача 2. Используя теорему Гаусса, определите зависимость напряженности электростатического поля равномерно заряженной сферической поверхности радиусом R от расстояния г до центра сферы. Заряд на сфере равен д. 233 Решение. Линии напряженности электрического поля, создаваемого сферой, расходятся радиально. Окружим заряженную сферу сферической поверхностью радиусом r>R (рис. 4.22). Поток вектора напряженности через сферическую поверхность равен: Ф = 4пг^Е. На основании теоремы Гаусса получим 4кг^Е= откуда ЁО Е ~ ^ 4тгеог2 ' Анализ этой формулы показывает, что электростатическое поле вне равномерно заряженной сферы не отличается от поля точечного заряда, если заряд сферы поместить в ее центре. Можно доказать, что напряженность электрического поля в любой точке внутри равномерно заряженной сферы равна нулю. ■ Задачи для самостоятельного решения 41.1. Напряженность электрического поля у поверхности Земли равна 130 Н/Кл. Оцените электрический заряд земного шара. 41.2. Напряженность электрического поля у поверхности бесконечно длинного цилиндрического проводника радиусом 1 см равна 10 Н/Кл. Какой заряд находится на участке провода длиной 1 м? Какова напряженность электрического поля на расстоянии 40 см от оси цилиндра? §421 Работа сил электрического поля Работа сил электрического поля при перемещении электрического заряда. В § 10 было показано, что при перемещении тела между двумя точками в гравитационном поле работа силы тяжести не зависит от формы траектории его движения. Силы гравитационного и электрического взаимодействия имеют одинаковую зависимость от расстояния, векторы гравитационных и кулоновских сил при взаимодействии точечных тел направлены по прямой, соединяющей взаимодействующие тела. Следовательно, при перемещении заряда в электростатическом поле из одной точки в другую работа сил электрического поля не зависит от формы траектории. Работа электростатических (кулоновских) сил по любой замкнутой траектории равна нулю. Работа в однородном поле. Независимость работы сил электростатического поля от формы траектории движения заряда 234 между двумя точками однородного поля можно доказать следующим способом. Пусть в однородном электрическом поле напряженностью Е электрический заряд q перемещается из точки В в точку D (рис. 4.23). Если заряд дви- __ гался по прямой BD, то работа электрического поля равна: A = Fs cos а = qEd, где S — модуль вектора перемещения; а — угол между направлениями вектора кулоновской силы F = qE и вектора перемещения заряда s. Если заряд из точки В сначала двигался по прямой в точку С, а затем по прямой из точки С в точку D, то работа сил электрического поля равна: ^2 =Abc+^d = ■ -ВС cos 0° + qE- CD cos 90®= qEd. Мы видим, что работа сил однородного электрического поля при перемещении электрического заряда по прямой BD и по ломаной BCD одинакова и равна произведению электрического заряда на напряженность электрического поля Е и расстояние BC = d, на которое переместился заряд вдоль линии напряженности электрического поля: A = qEd. (42.1) Любую линию, соединяющую точки В и D в однородном электрическом поле, можно приближенно представить состоящей из последовательных отрезков, расположенных параллельно и перпендикулярно линиям напряженности (рис. 4.24). Применив такие же рассуждения для каждого участка траектории, получим, что выражение (42.1) пригодно для вычисления работы сил однородного электрического поля при движении заряда по любой траектории. При изменении направления перемещения работа сил электрического поля, как и работа силы тяжести, изменяет знак на противоположный. Если при перемещении заряда q из точки В в точку D силы электрического поля совершили работу А, то при перемещении этого заряда по тому же самому пути из точки D в точку В они совершают работу -А. Но так как работа D 235 не зависит от формы траектории, то и при перемещении по любой другой траектории тоже совершается работа -А. Отсюда следует, что при перемещении заряда по замкнутой траектории суммарная работа сил электростатического поля оказывается равной нулю. Поле, работа сил которого по любой замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным (консервативным) полем. Гравитационное и электростатическое поля являются потенциальными полями. Работа в поле точечного заряда. Определим работу, которая совершается при перемещении пробного заряда в электрическом поле, источником которого является положительный заряд Q (рис. 4.25). Пусть положительный пробный заряд q находится сначала в точке М на расстоянии г^, а затем оказывается в точке N на расстоянии rg от источника поля Q. Допустим также, что заряд двигался вначале вдоль радиуса по прямой МК, а затем по дуге KN окружности радиусом Tg. Тогда работа по перемещению заряда из точки М в точку N равна сумме работ на участках МК и KN: (42.2) Очевидно, что работа по перемещению заряда по дуге равна нулю. В самом деле, здесь сила F = gQ/(47t8org) = const, а угол между векторами силы и перемещения а = 90°. Итак, Aj^j^=FlcosoL = Flcos90° = 0. Остается найти работу, совершаемую полем при перемещении пробного заряда вдоль радиуса, т. е. вдоль линии напряженности. Трудность этой задачи заключается в том, что в каждой точке пути сила F, действующая на заряд со стороны электрического поля, принимает новое значение, т. е. это не постоянная, а переменная величина. Однако на очень малом отрезке пути Дг вдоль линии напряженности элементарную работу АЛ сил электрического поля можно принять равной Qq АЛ = ^Дг = 4тГ8оГ^ Аг, (42.3) где г — расстояние от источника поля до отрезка Аг. Работу сил электрического поля при перемещении пробного заря- Fk да q из точки М, расположенной на расстоянии г^ от заряда Q, в точку К, расположенную на расстоянии Tg, можно найти как сумму элементарных работ на малых отрезках пути: ■^мк ~ ^ — T^FfArj. О Операция нахождения такой суммы при переходе к бесконечно малым значениям перемещения называется интегрированием. Интегрирование в данном случае дает следующий результат: А„^ = т^-т^- (42.4) 47ieo/'i 4ябоГ2 Можно доказать, что если пробный заряд будет перемещаться по другой траектории, например по пути MLN, то результат окажется таким же. Итак, мы пришли к выводу, что поле точечного заряда является консервативным (потенциальным) и работа по перемещению пробного заряда по произвольной траектории не зависит от формы траектории и определяется лишь положениями начальной и конечной точек: qQ qQ Ai2 — л л (42.5) 4яеоГ1 4л8оГ2 Работа и потенциальная энергия. В механике (§ 10) мы говорили, что если работа не зависит от формы траектории, иными словами, если поле сил консервативное, то работу можно представить как разность потенциальных энергий в начале и конце траектории: (42.6) (Мы будем в электростатике энергию обозначать буквой W, а не Е, поскольку буквой Е мы обозначаем напряженность поля.) Сравнивая выражения (42.5) и (42.6), мы видим, что потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов равна: qQ W = Р 4л8оГ + const. (42.7) Как и в общем случае, потенциальная энергия взаимодействия зарядов определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого, значение которого можно задать так, чтобы упростить решение задачи. Напомним, что точно так же обстоит дело с потенциальной энергией гравитационного взаимодействия. ■ Вопросы 1. Какие поля называются консервативными (потенциальными)? 2. Чему равна работа электрического поля при перемещении пробного заряда по замкнутой траектории? 3. Докажите, что однородное электрическое поле является консервативным. 4. Чему равна работа электрического поля точечного заряда при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую? 5. Докажите, что электрическое поле точечного заряда является консервативным. 6. Чему равна потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов? 237 Ш Задачи для самостоятельного решения 42.1. Согласно классической модели атома водорода, электрон обращается вокруг протона на расстоянии г=5,3-10“^^ м. Определите кинетическую энергию электрона, его потенциальную и полную энергию. Какой смысл имеет отрицательное значение потенциальной и полной энергии? На бесконечно большом расстоянии между электроном и протоном потенциальная энергия принимается равной нулю. 42.2. Между двумя бесконечно длинными параллельными плоскими пластинами создано электрическое поле напряженностью £=10^ Н/Кл. Расстояние между пластинами равно 20 мм. Из отрицательно заряженной пластины вылетел электрон с начальной скоростью, близкой к нулю. Какова будет его скорость, когда он долетит до положительно заряженной пластины? 42.3. На шарике радиусом 5 см находится электрический заряд 5-10~® Кл. Какова собственная энергия поля этого заряда? 42.4. Две бесконечно длинные параллельные плоские пластины заряжены разноименными зарядами с поверхностной плотностью 6 • 10"“* Кл/м^. Расстояние между пластинами равно 1,5 см. Определите работу, которую совершает поле, перемещая заряд 2,5-10”® Кл с одной пластины на другую. § 43 Потенциал электрического поля Потенциал. В предыдущем параграфе мы на примере двух полей — однородного поля и поля точечного заряда — доказали, что электростатическое поле является консервативным (потенциальным) и работа по перемещению заряда равна разности потенциальных энергий в начале и конце траектории [см. формулу (42.6)]. Аналогично тому как в § 40 была введена силовая характеристика электрического поля — его напряженность, введем энергетическую характеристику электрического поля — потенциал: (p = W,/g. (43.1) Потенциалом электрического поля в данной точке называется отношение потенциальной энергии, которой обладает пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к этому заряду. Работа и разность потенциалов. Поскольку потенциальная энергия определяется лишь с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора нулевого уровня, то это справедливо и для потенциала. Однако работа не зависит от этой произвольной постоянной, поскольку она определяется разностью потенциальных энергий. Сопоставив выражения (42.6) и (43.1), получим ^ = 9(Ф1-Фг)- (43.2) Работа по перемещению электрического заряда между двумя точками поля равна произведению заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек. 238 Единица потенциала. В Международной системе единиц единицей потенциала (естественно, и разности потенциалов) служит вольт (В). 1 В — это разность потенциалов двух точек электрического поля, при перемещении между которыми заряда 1 Кл поле совершает работу 1 Дж. Согласно выражению (43.2) 1 В=1 Дж/1 Кл. Потенциал поля точечного заряда. Сравнив выражения (42.7) и (43.1), получим выражение для потенциала поля точечного заряда: Q Ф = + const. (43.3) 4л8оГ Потенциал определен лишь с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора нулевого уровня потенциала. Обычно полагают равным нулю потенциал поля в точке, удгшенной бесконечно далеко от точечного источника поля; т. е. при г-*оо потенциал ф->0. Это означает, что при данном условии const = О, тогда выражение для потенциала поля точечного заряда имеет вид ('‘3-4) Эквипотенциальные поверхности. Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью. Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор силы F в любой точке траектории при движении заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору перемещения. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности. В самом деле, AA = FAlcosa. Если ДА = 0 при F ^0 и 1^0, то cos а = О, следовательно, а = 90°. Эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности. Эквипотенциальные поверхности поля двух одноименных точечных зарядов представлены на рисунке 4.26. Связь между напряженностью и разностью потенциалов. Установить эту связь для неоднородного поля можно, используя представление об эквипотенциальных поверхностях. 239 рис. 4.27 Рассчитаем работу, совершаемую электрическим полем при перемещ;ении электрического заряда с одной эквипотенциальной поверхности на соседнюю по направлению нормали к этой поверхности (рис. 4.27). Если расстояние между поверхностями по нормали Ал настолько мало, что на этом участке можно считать поле однородным, то можем записать выражение для элементарной работы через напряженность поля и расстояние между эквипотенциальными поверхностями: AA = qEAn. С другой стороны, согласно формуле (43.2) работа поля по перемеш;ению заряда из точки с потенциалом (Pi = (p до точки с потенциалом ф2 = ф-1-Аф равна: А^ = 9(ф1-Ф2) = -9Аф* Приравнивая эти выражения для работы, получим Е=-^. Ап (43.5) В однородном поле Ал может быть любым. Если Ал=с^, то (43.6) Ф1-Ф2 Ф2-Ф1 ^ d d ' Из (43.6) следует, что единицей напряженности электрического поля в СИ является 1 В/м. Потенциал поля системы зарядов. Потенциал — величина скалярная. Если в некоторой точке пространства двумя зарядами (источниками поля) одновременно созданы электрические поля с потенциалами ф1 и фг, то потенциал результирующего электрического поля равен алгебраической сумме потенциалов ф1 и Ф2: Ф = Ф1 + Ф2- (43.7) Аналогичным способом можно найти потенциал электрического поля, созданного любым числом дискретных электрических зарядов, а также зарядом, распределенным на некоторой поверхности. 240 Электрическое напряжение. При перемещении электрического заряда в любом электрическом поле силы электрического поля совершают работу. Отношение работы А сил электрического поля к электрическому заряду q при его перемещении из одной точки в другую называется электрическим напряжением. Электрическое напряжение обозначается буквой U: (43.8) Сравнивая выражения (43.2) и (43.8), можно сделать вывод о том, что в электростатическом поле разность потенциалов между двумя точками равна напряжению между ними: ^^12=Ф1-Ф2- (43.9) Однако понятия «напряжение» и «разность потенциалов» не тождественны друг другу. Если перемещение электрического заряда происходит в непотенциальном электрическом поле, то задавать вопрос о напряжении между двумя точками имеет смысл, а задавать вопрос о разности потенциалов бессмысленно. Единица электрического напряжения совпадает с единицей разности потенциалов в Международной системе единиц — 1 вольт (В). ■ Вопросы 1. Какие общие закономерности имеют место в законах гравитационного и электростатического взаимодействия? 2. Что называется потенциалом электрического поля? 3. Как связана потенциальная энергия электрического заряда в электростатическом поле с потенциалом поля? 4. Как связана работа при перемещении заряда в электростатическом поле с потенциалами начальной и конечной точек траектории? 5. Что такое эквипотенциальная поверхность? 6. Как расположены линии напряженности электрического поля по отношению к эквипотенциальным поверхностям? 7. Каково соотношение между напряженностью и потенциалом электростатического поля? ■ Примеры решения задач Задача 1. В кинескопе телевизора электроны ускоряются электрическим полем. Какую работу совершает электрическое поле при ускорении электрона, если разность потенциалов между начальной и конечной точками равна 10 кВ? Какую скорость приобретает электрон в конце пути? Решение. Работа электрического поля равна: A = ^((pi-cp2). Можно считать, что на электрон в кинескопе действуют только кулоновские силы, так как действием других сил можно пренебречь. В этом случае изменение кинетической энергии электрона равно работе сил электрического поля: AWj^=A = g((pi-(p2). Начальную скорость электрона можно считать равной нулю, по- 2 этому кинетическая энергия электрона в конце пути ^^ = 0'((р1-ф2)-Из последнего уравнения можно получить выражение для скорости электрона в конце пути: / 29(ф1-Ф2) 241 Выполнив расчеты, получим Л = 1,6 10-'® Кл-10^ В = = 1,6-10-^^ Дж; .-V 21.610~ 9,1-10 -31 м/с = = 5,9 • 10^ м/с. Задача 2. Между двумя разноименно заряженными пластинами влетает электрон со скоростью v = = 5 • 10^ м/с, направленной параллельно этим пластинам. На какое расстояние s сместится электрон за время движения между пласпшами? Расстояние между пластинами d=0,02 м, длина пластины / = 0,05 м и разность потенциалов между пластинами Ф1~Ф2 = 400 в. Отношение заряда электрона к его массе е/т = 1,76 • 10^^ Кл/кг. Решение. На электрон в однородном электрическом поле действует вдоль оси ординат постоянная сила Fy^=eE, следовательно, смещение электрона от первоначального направления (рис. 4.28) равно: 5 = —^. Ускорение электрона равно: Ей еЕ аи = ^ = -у т е(Ф1-Ф2) ^ md Вдоль оси абсцисс на электрон сила не действует. Время движения между пластинами t = lfv. Окончательно для смещения имеем: 8 = «(Ф1-Ф2)^ 2mdv^ Подставляя значения величин, получим: S = 1,7610“-4-10^-25- 10~ 2 • 2 • 10"2 • 25 • 10^‘‘ = 1,76 • 10'® м = 1,76 мм. Задача 3. Два шара одинакового радиуса R с одноименными зарядами qi и ^2 находятся на расстоянии друг от друга. Если их соединить / / Ol+ Q2 на короткое время проводником, то заряды станут равными: q^ = q2 = —— 2 Сравните энергию электростатического взаимодействия шаров до и после опыта. Объясните полученный результат. Решение. Потенциальная энергия взаимодействия заряженных шаров до соединения равна [см. формулу (42.7)]: =?1Ф2 = 92Ф1 = Ч\Ч2 4яеоГ После соединения потенциальная энергия становится равной: ^р,= ^^1Ф2 = ^^2Ф1 = 91 + 92 91 + 92 (91 +9г) 2 • 4лбог 16леог 242 Для сравнения величин и Wp^ найдем их разность: _ (?1 + Q2f QlQz _ gl + + gj - 4glg2 _ (gl - 42^ ^ Q P2 Pi 1бт1БоГ 4л8оГ 16леоГ 16ЛБоГ Следовательно, при любых значениях зарядов д, и ^2 энергия электростатического взаимодействия заряженных шаров после перераспределения зарядов возрастает! Этот результат будет еш;е более парадоксальным, если учесть, что при перераспределении зарядов должно выделиться некоторое количество теплоты в проводнике, через который протекал электрический ток. Объяснение полученного результата возможно лишь при учете «собственной энергии* заряженных шаров, т. е. потенциальной энергии взаимодействия зарядов на каждом из них. Потенциальную энергию заряда q на шаре радиусом R можно найти следующим образом. Если шар имеет заряд Qi, то при добавлении малого заряда Aq потенциальная энергия заряда на шаре увеличивается на AW=q>iAq=-j^. ’ 4пбоГ При переносе на первоначально незаряженный шар п малых порций заряда по Д^=-|- заряд шара линейно увеличивается от О до q, q среднее значение заряда равно Тогда потенциальная энергия заряда q на шаре радиусом R равна: W, = nAW= 4лбоГ SmoR Следовательно, «собственная энергия* на обоих шарах до перераспределения зарядов равна: я! Яг Я1 + Я2 '1 8лбоД ^ 8лЕ()Д SkeqR После перераспределения зарядов эта энергия становится равной: vfr 2 (Ях + ЯгУ (Я1 + Яг^ «=2 8лБоД \ 2 / 16лБ()Д * Изменение «собственной энергии*: AW-W -W gi + gj gi + g|-b2gig2-2gf-2gi ' Cj »^C2 167tEoi? (Я1-Я2? <0. StieoR 16kEoR 16лбоД Итак, потенциальная энергия взаимодействия зарядов на шарах (их «собственная энергия*) уменьшилась. Так как то возрас- тание энергии электростатического взаимодействия шаров всегда меньше, чем уменьшение собственной потенциальной энергии заряженных шаров. ■ Задачи для самостоятельного решения 43.1. Положительный электрический заряд 2 Кл перемещается в электростатическом поле из точки с потенциалом 20 В в точку с потенциалом 5 В. Какую работу совершают при этом силы электрического поля? 243 43.2. При перемещении в электростатическом поле заряда 4 Кл электрические силы совершили работу 8 Дж. Найдите разность потенциалов начальной и конечной точек пути. 43.3. На параллельных металлических пластинах находятся электрические заряды q и 3q. Определите разность потенциалов между пластинами площадью S, если расстояние между ними d. Между пластинами находится воздух. Принять S^d^. 43.4. В пространство между параллельными незаряженными пластинами 1 и 2 вносится параллельно им пластина 3 с плотностью электрического заряда а. Определите разность потенциалов между пластинами 1 и 2, если расстояние между ними равно d. 43.5. На металлическом шаре радиусом г имеется электрический заряд q. Каким станет потенциал шара, если внести его внутрь металлической сферы радиусом R, изолированной от Земли, и коснуться им внутренней поверхности сферы? 43.6. Разность потенциалов между двумя заряженными параллельными пластинами равна 100 В, расстояние между пластинами 2 см. Определите напряженность электрического поля между пластинами. 43.7. Напряженность однородного электрического поля 30 В/м. Какова разность потенциалов между точками электрического поля, расположенными на одной линии напряженности на расстоянии 30 см друг от друга? 43.8*. Ускоряющая разность потенциалов в электронно-лучевой трубке Дф=1,5 кВ, расстояние от отклоняющих пластин до экрана L = 30 см. На какое расстояние сместится пятно на экране осциллографа при подаче на отклоняющие пластины разности потенциалов U = 20 В? Расстояние между пластинами d = 0,5 см, длина пластин 1 = 2,5 см. §44 Проводники и диэлектрики в электрическом поле Электризация тел без непосредственного контакта. Проводниками называются такие материалы, в которых имеются свободные носители электрических зарядов. Примерами могут служить металлические тела в твердом и в жидком состоянии, жидкие растворы и расплавы электролитов. Проводимость металлов обнаруживается, если соединить с помощью металлической проволоки заряженный электрометр с незаряженным (рис. 4.29). Опыт показывает, что по 244 а) б) рис. 4.31 рис. 4.32 металлической проволоке часть зарядов с первого электрометра переходит на второй (рис. 4.30). Наличие свободных электрических зарядов в проводниках можно обнаружить в следующих опытах. Установим на острие металлическую трубу. Соединив проводником трубу со стержнем электрометра, убедимся в том, что труба не имеет электрического заряда. Теперь наэлектризуем эбонитовую палочку и поднесем к одному концу трубы. Труба поворачивается на острие, притягиваясь к заряженной палочке (рис. 4.31). Следовательно, на том конце трубы, который расположен ближе к эбонитовой палочке, появился электрический заряд, противоположный по знаку заряду палочки. По закону сохранения электрического заряда на теле, если нет передачи заряда от других тел, не может появиться электрический заряд одного знака. Если на одной части проводника под действием электрического поля заряженной палочки появился положительный электрический заряд, то на другой его части должен появиться равный по модулю отрицательный электрический заряд. Проверим это на опыте. Поместим в электрическое поле два соединенных одинаковых металлических диска (рис. 4.32, а) и разведем в электрическом поле их на некоторое расстояние друг от друга (рис. 4.32, б). Затем каждый диск вынесем из поля и соединим поочередно со стержнем электрометра. После прикосновения к электрометру первого диска стрелка электрометра отклоняется, после прикосновения второго диска стрелка возвращается к нулевому делению шкалы. Таким образом, опыт доказывает, что две части металлического тела, разде- 245 рис. 4.33 рис. 4.34 ленного в электрическом поле, действительно приобрели под действием поля электрические заряды, равные по модулю и противоположные по знаку. Электрическое поле внутри проводящего шара. При внесении проводника в электрическое поле свободные заряды в нем приходят в движение, которое прекращается, когда напряженность поля внутри проводника ста- новится равной нулю. В том, что внутри проводника, помещенного в электростатическое поле, электрическое поле отсутствует, можно убедиться на опыте. При поднесении заряженного тела к стержню электрометра его стрелка отклоняется, так как электрическое поле вызывает разделение зарядов в стержне (рис. 4.33). Накроем стержень электрометра полым металлическим шаром и вновь поднесем заряженное тело. Теперь стрелка электрометра не отклоняется (рис. 4.34). Следовательно, электрическое поле внутри полого металлического шара отсутствует. Распределение зарядов в проводящих телах. Если наэлектризовать проводящее тело, то силы отталкивания, действующие между одноименными зарядами, выталкивают их на поверхность тела. Покинуть поверхность проводника свободные электрические заряды не могут, так как на них действуют кулоновские силы притяжения зарядов противоположного знака, имеющихся в проводнике. Свободные заряды перестают перемещаться вдоль поверхности проводящего тела при достижении такого их распределения, при котором вектор напряженности электрического поля в любой точке перпендикулярен поверхности тела. Поэтому в электрическом поле поверхность проводящего тела любой формы является эквипотенциальной поверхностью. Все точки внутри проводника имеют одинаковый потенциал, равный потенциалу на его поверхности. Электрическое поле заряженного проводящего шара. Так как поверхность проводника эквипотенциальна, линии напряженности электрического поля заряженного проводящего шара выходят из поверхности шара перпендикулярно ей. Если заряд на поверхности шара равен д, то электрическое поле вне шара такое же, как поле точечного заряда д, находящегося в центре проводящего шара. Внутри проводящего шара напряженность электрического поля равна нулю. 246 Измерение разности потенциалов с помощью электрометра. Так как поверхность любого проводника является эквипотенциальной поверхностью, то при соединении проводником стержня электрометра с одним заряженным телом, а корпуса электрометра с другим телом разность потенциалов между стержнем и корпусом электрометра будет равна разности потенциалов между телами, с которыми они соединены (рис. 4,35). На заряженную стрелку электрометра действует сила, прямо пропорциональная заряду стрелки и напряженности электрического поля, в котором эта стрелка находится. Напряженность электрического поля пропорциональна разности потенциалов между стержнем и корпусом электрометра. Заряд на стрелке также пропорционален разности потенциалов между стрелкой и корпусом. Поэтому сила, действующая на стрелку, пропорциональна квадрату разности потенциалов между стержнем и корпусом электрометра. Соединяя стержень и корпус электрометра проводниками с различными телами, можно по отклонению стрелки электрометра определить разность потенциалов между телами. Соединив проводником стержень электрометра с заряженным проводящим телом, а корпус электрометра — с Землей, можно измерить разность потенциалов между поверхностью заряженного тела и Землей. Опыт показывает, что при соединении стержня электрометра с различными точками поверхности проводящего тела показания электрометра остаются неизменными (рис. 4.36). Следовательно, поверхность проводящего тела действительно является эквипотенциальной поверхностью. Поляризация диэлектриков. Диэлектриками, или изоляторами, называются материалы, в которых нет свободных электрических зарядов. К диэлектрикам относятся воздух, стекло, плексиглас, эбонит, слюда, фарфор. Соединив заряженный электрометр с незаряженным с помощью стеклянной трубки, можно убедиться, что электрические заряды от одного электрометра к другому по стеклу не переходят (рис. 4.37). 247 Исследуем свойства диэлектриков в электрическом поле. Выполним с пластмассовой трубой такой же опыт, как с металлической трубой и заряженной палочкой. Опыт показывает, что незаряженные диэлектрики притягиваются к заряженным телам подобно тому, как это происходит с проводниками. Однако при разделении тела из диэлектрика в электрическом поле на две части каждая из них оказывается нейтральной. Следовательно, в диэлектрике разделение зарядов не происходит, так как в нем нет свободных зарядов. Чем же объяснить притяжение диэлектрика к заряженному телу? Оказывается, в электрическом поле происходит поляризация диэлектрика, т. е. смещение в противоположные стороны разноименных зарядов, входящих в состав атомов и молекул вещества. На поверхности диэлектрика возникают связанные заряды, неспособные свободно перемещаться по диэлектрику в отличие от свободных зарядов в проводниках. Вектор напряженности £„ электрического поля, создаваемого связанными зарядами на поверхности диэлектрика, направлен внутри диэлектрика противоположно вектору напряженности Eq внешнего электрического поля, вызывающего поляризацию (рис. 4.38). Напряженность электрического поля внутри бесконечного пространства, полностью заполненного диэлектриком, оказывается равной E = Eq-\-E^, или по модулю E = Eq-E^. Физическая величина, равная по отношению модуля напряженности Eq однородного электрического поля в вакууме к модулю напряженности Е электрического поля в однородном диэлектрике, заполняющем это поле, называется диэлектрической проницаемостью вещества: e = Eq/E. (44.1) Многие диэлектрики состоят из неполярных атомов или молекул. В них внутримолекулярные заряды расположены симметрично, так что центр положительно заряженного яд- 248 pa совпадает с центром отрицательного электрического заряда электронной оболочки (рис. 4.39, а). В электрическом поле центр электрического заряда электронной оболочки смещается относительно положительно заряженного ядра, так как силы, приложенные к ядру и оболочке, противоположно направлены. • г»;;* ; . Ш;. а) (^Ш ... ..м "ёЭЁ б) рис. 4.39 В результате смещения центра отрицательного заряда относительно центра положительного заряда атом становится диполем (рис. 4.39, б). Эти диполи в электрическом поле располагаются вдоль линий напряженности, обращая свои отрицательно заряженные концы к той поверхности, в которую входят линии напряженности внешнего поля. На поверхностях образца, перпендикулярных линиям напряженности, остаются неском-пенсированными заряды концов крайних диполей. Они и создают поверхностные (поляризационные) заряды (связанные заряды) и поле, напряженность которого уменьшает напряженность внешнего поля внутри диэлектрика. Рассмотренный механизм электронной поляризации является универсальным, поскольку смещение электронных оболочек происходит в атомах, молекулах или ионах любого диэлектрика. Другой разновидностью деформационной поляризуемости является ионная поляризация. Кристаллические решетки многих ионных диэлектриков типа NaCl можно рассматривать как состоящие из двух подрешеток, каждая из которых образована ионами одного знака, вставленных одна в другую. В отсутствие электрического поля каждая кристаллическая ячейка и кристалл в целом нейтральны и неполярны. Во внешнем электрическом поле ионы подрешеток смещаются друг относительно друга в противоположных направлениях, вследствие чего на противоположных гранях кристалла будут преобладать ионы одного знака, т. е. кристалл в целом поляризуется. Ионная поляризация в чистом виде не наблюдается, ей всегда сопутствует электронная поляризация. Многие диэлектрики (HgO, HgS, NOg) образованы из молекул, каждая из которых является электрическим диполем. Такие молекулы и образованные ими диэлектрики называются полярными. При отсутствии внешнего электрического поля молекулярные диполи из-за теплового движения расположены хаотично. Когда полярный диэлектрик попадает в электрическое поле, происходит поворот его молекулярных диполей 249 в таком направлении, чтобы их оси совпадали с направлением линий напряженности. Но этому препятствует тепловое движение. В результате система полярных молекул в среднем приобретает некоторую преимущественную ориентацию и диэлектрик в целом поляризуется. Такой механизм поляризации называют ориентационным. Если диэлектрик находится в переменном электрическом поле, то он периодически переполяризуется. Повороты полярных молекул и сдвиги ионов в решетке усиливают тепловое движение и приводят к повышению температуры вещества. Потери электрической энергии на нагревание диэлектрика называются диэлектрическими потерями. В реальных диэлектриках имеется дополнительный источник потерь: нагревание их токами проводимости. При достаточно большой частоте переменного тока полярные молекулы не успевают ориентироваться, а ионы — смещаться. Поэтому у полярных диэлектриков и у диэлектриков с ионной решеткой увеличение частоты вызывает уменьшение поляризуемости и диэлектрической проницаемости. Этого не наблюдается у диэлектриков с чисто электронным механизмом поляризации. ■ Вопросы 1. в чем заключается явление электризации проводников в электрическом поле? 2. Почему напряженность электростатического поля внутри проводника равна нулю? 3. Какой опыт доказывает отсутствие электрического поля внутри проводника? 4. Почему поверхность заряженного проводника является эквипотенциальной поверхностью? 5. Докажите, что внутри проводника все точки имеют одинаковый потенциал, равный потенциалу на поверхности этого проводника. 6. Докажите, что электрическое поле вне заряженного уединенного проводящего шара такое же, как поле точечного заряда в его центре. 7. Почему незаряженные куски диэлектрика притягиваются к заряженным телам? 8. Каковы механизмы поляризации диэлектриков? 9. Что называется диэлектрической проницаемостью? ■ Примеры РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача!. В пространство между параллельными металлическими пластина.ми 1 и 2 с разноименными зарядами q и -q вносят незаряженную металлическую пластину 3. Какой заряд q появится на одной из поверхностей пластины 3? Решение. Движение свободных электронов в пластине 3 будет происходить до тех пор, пока напряженность электрического поля внутри пластины не станет равной нулю. Это значит, что вектор напряженности Е' однородного поля, создаваемого зарядами ±д, появившимися на поверхности пластины 3, равен по модулю и противоположен по направлению вектору напряженности Е электрического поля заряженных пластин 1 и 2. 250 Напряженность электрического поля между пластинами 1 и 2 равна по модулк,: = М + . Напряженность электрического поля от зарядов на пластине 3 внутри пластины равна: . Так как Е = Е\ то > I I I I 2йео iibeQ Ео<ь откуда . Задача 2. Металлический шар радиусом г укреплен на изолирующей подставке и имеет положительный электрический заряд q. Определите потенциал этого шара, если он окружен заземленной сферической оболочкой радиусом R (рис. 4.40). Решение. Потенциал шара ф равен сумме потенциалов и фг электрических полей зарядов на шаре и на оболочке. Так как оболочка заземлена, напряженность электрического поля вне оболочки равна нулю. Это значит, что на оболочке появляется электрический заряд -д, равный по модулю заряду на шаре (рис. 4.41). Найдем потенциалы электрических полей, создаваемых зарядами на сфере и на оболочке: Ф1 = 4леог Ф2=- к1 4пеоД рис. 4.40 рис. 4.41 Тогда потенциал ф шара равен: |д| ф = ф1+ф2= \я\ 4леог 4лёоД _ к1 4лео \ Rr /‘ Задача 3. На каком расстоянии от маленького заряженного шара напряженность электрического поля в воде с диэлектрической проницаемостью б = 81 будет такой же, как в вакууме на расстоянии ri = 18 см от центра шара? 251 Решение. Так как напряженность поля одинакова (Ел=Ео), то II II АЛ ---Ц =------5. Отсюда следует: 4тС£оГ1 4яЕ£()Г2 ^2 = ^iVT = 0,18Vi/81 м = 0,02 м = = 2 см. И Задачи для самостоятельного РЕШЕНИЯ 44.1. Внутрь незаряженной металлической сферы на изолирующей подставке вносится заряженный металлический шарик так, как показано на рисунках 4.42 и 4.43. Будет ли существовать электрическое поле внутри сферы и вне ее? 44.2. Напряженность электрического поля на расстоянии 1 см от поверхности заряженного проводящего шара радиусом 3 см равна 1000 В/м. Определите заряд шара и напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от центра шара. рис. 4.42 § 451 Электрическая емкость Емкость конденсатора. Для накопления значительных разноименных электрических зарядов применяются конденсаторы. Конденсатор — это система из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с линейными размерами проводников. Так, например, две плоские металлические пластины, расположенные параллельно и разделенные слоем диэлектрика, образуют плоский конденсатор. Если пластинам плоского конденсатора сообщить равные по модулю заряды противоположного знака, то напряженность электрического поля между пластинами будет в два раза больше, чем напряженность поля у одной пластины: (45.1) где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами [см. формулу (41.8)]. Физическая величина, определяемая отношением заряда q одной из пластин конденсатора к разности потенциалов Аф между обкладками конденсатора, называется электроемкостью конденсатора: С = (Ф1-Ф2) * (45.2) 252 Единица электроемкости. Единица электроемкости СИ — фарад (сокращенно: Ф). Емкостью в 1 Ф обладает такой конденсатор, разность потенциалов между обкладками которого равна 1 В при сообщении обкладкам разноименных зарядов по 1 Кл: 1 Ф=1 Кл/1 В. Емкость плоского конденсатора. Формулу для вычисления электроемкости плоского конденсатора можно получить, используя выражение (45.1). В самом деле, напряженность поля Е- g - g еео eeoS ’ где S — площадь пластины. Поскольку поле однородное, то разность потенциалов между обкладками конденсатора равна: где d — расстояние между обкладками. Подставив в формулу (45.2) это уравнение, получим выражение для электроемкости плоского конденсатора: eeoS с= (45.3) Устройство и типы конденсаторов. Выражение (45.3) показывает, что электроемкость конденсатора можно увеличить путем увеличения площади S его обкладок, уменьшения расстояния d между ними и применения диэлектриков с большими значениями диэлектрической проницаемости е. В целях экономии материалов металлические электроды конденсаторов обычно изготавливаются в виде тонкой фольги. В качестве изолирующей прокладки используются парафинированная бумага, полистирол, слюда, керамика, воздух. По типу используемого диэлектрика конденсаторы называются бумажными, слюдяными, полистирольными, керамическими, воздушными. Бумажный конденсатор изготавливают из двух полос металлической фольги, изо- лированных друг от друга полосами парафинированной бумаги. Полосы фольги и бумагу сворачивают в рулон и помещают в металлический или фарфоровый корпус. Через специальные изоляторы от листов фольги делают два вывода для подключения конденсатора в электрическую цепь (рис. 4.44). Станиоль Парафина] рованная бумага рис. 4.44 253 рис. 4.45 Аналогичное устройство имеют и конденсаторы других типов. Все перечисленные типы конденсаторов можно включать в электрическую цепь, не обращая внимания на полярность. Но есть электролитические конденсаторы, которые необходимо включать в цепь с учетом полярности. Слоем изолятора в электролитическом конденсаторе служит тон- кая пленка оксида алюминия на алюминиевой фольге, помещенной в электролит. Малая толщина пленки алюминия позволяет изготавливать электролитические конденсаторы большой электроемкости при малых размерах обкладок. Необходимость соблюдения полярности включения электролитических конденсаторов объясняется тем, что пленка оксида алюминия является хорошим изолятором лишь при одном направлении вектора напряженности электрического поля между обкладками конденсатора. Изменение направления вектора напряженности приводит к значительному уменьшению электрического сопротивления изолирующего слоя. Электрический ток, протекающий через конденсатор, вызывает его разогревание. При достаточно большой разности потенциалов происходит разрушение слоя изолятора, наступает пробой конденсатора. Поэтому электролитические конденсаторы нельзя включать в цепь переменного тока. Наряду с конденсаторами постоянной электроемкости в практике применяются конденсаторы переменной электроемкости. В этих конденсаторах электроемкость регулируется изменением взаимного положения пластин. При увеличении площади пластин, находящихся друг против друга, электроемкость увеличивается, при уменьшении — уменьшается (рис. 4.45). ■ Вопросы 1. Для чего предназначены конденсаторы? 2. Как устроен конденсатор? 3. Что называется электроемкостью конденсатора? 4. В каких единицах выражается электроемкость? 5. От чего зависит электроемкость конденсатора? 6. Для чего пространство между обкладками конденсатора заполняется диэлектриком? 7. Чем отличаются электролитические конденсаторы от конденсаторов других типов? Почему при их включении надо учитывать полярность? 8. Как устроен конденсатор переменной электроемкости? 254 ■ Примеры РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Чему равна сила притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора, площадь каждой из которых S, а напряженность электрического поля между ними £? Решение. Каждая из пластин конденсатора создает электрическое поле, напряженность которого Ei равна по модулю: F — о _ ^ где q — модуль заряда на каждой обкладке конденсатора. Пластины притягиваются с силой Fq, равной по модулю: Напряженность электрического поля конденсатора равна: Е = ^-т, гф откуда q = EzQS. Исключая значение q в выражении для модуля силы Fq, получим ^^2^2с2 c.-Cf2 СА..2 0^ Р _ Ehls^ _ гоЗЕ^ _ ео5Дф^ " 2eoS 2 Задача 2. Как изменится сила притяжения между пластинами конденсатора, если пространство между пластинами заполнить жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью б? Решение. Возможны два случая. 1. Если конденсатор после зарядки отключен от источника тока, то величиной, не изменяющейся при заполнении диэлектриком пространства между обкладками, будет электрический заряд на его пластинах, а напряженность поля окажется меньше в е раз: Ei=—-^--. Следовательно, сила взаимодействия между пластинами 2 f равна: F = Eiq=—^—- = — , т. е. при заполнении пространства диэлект- 28q£iS £ риком она уменьшается в £ раз. 2. Если конденсатор подключен к источнику тока, то разность потенциалов между его обкладками при заполнении диэлектриком не изменяется. Подставив в формулу F = —^— значение о = СДф = ^^®^^, 2eeoS а получим р e=^egS^A(p^ _ EEpSAcp^ _ ^р d^2EEoS 2d^ ^ Из этого выражения следует, что сила взаимодействия между обкладками конденсатора при заполнении конденсатора диэлектриком возрастает в е раз. Задача 3. Определите электроемкость двух конденсаторов С1 и С2, соединенных параллельно и последовательно. 255 4= -я +Я =i= С/ А<Р С2 рис. 4.46 рис. 4.47 Решение. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 4,46) разность потенциалов одинакова для обоих конденсаторов: Дф = const, а заряд батареи конденсаторов равен 9 = 9i +92- Электроемкость двух параллельно соединенных конденсаторов равна: Q_ д _9i+92 Дф Аф Учитывая, что 9i = CiA(p, 92 = С2Дф, получаем С = СI С2‘ При последовательном соединении конденсаторов (рис. 4.47) их заряды одинаковы, так как на соединенных пластинах суммарный заряд равен нулю. Разность потенциалов на батарее конденсаторов равна сумме разностей потенциалов на каждом конденсаторе: Дф = Дф1+Лф2. Но Аф = ^, Дф1=^, Дф2 = Х. Поэтому получим Н Задачи для самостоятельного решения 45.1. При разности потенциалов между пластинами конденсатора 100 В модуль заряда на пластинах равен 2 • 10“'* Кл. Чему равна электроемкость конденсатора? 45.2. Площадь пластины плоского конденсатора 1 м^, его электроемкость равна 1 мкФ. Между пластинами находится слой диэлектрика толщиной 0,1 мм. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика? 45.3. На обкладках плоского воздушного конденсатора находятся разноименные электрические заряды, по модулю равные 10“® Кл. Чему равна разность потенциалов между обкладками, если площадь пластин 100 см^, а расстояние между пластинами равно 0,9 мм? 45.4. Воздушный конденсатор подключен к источнику постоянного тока. Как изменится заряд на обкладках конденсатора и разность потенциалов между ними при заполнении пространства между его пластинами диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е? 45.5. Воздушный конденсатор электроемкостью 500 пФ заряжен до разности потенциалов 200 В и отключен от источника тока. Какими станут элект- 256 рический заряд на пластине конденсатора и разность потенциалов между его пластинами при погружении в дистиллированную воду с диэлектрической проницаемостью е = 81? § 46 Энергия электрического поля Энергия заряженного конденсатора. Зарядим конденсатор и затем подключим к его выводам электрическую лампу (рис. 4.48). При подключении лампы наблюдается кратковременная вспышка света. За счет какой энергии произошло нагревание спирали лампы, излучение света? Суммарный электрический заряд на пластинах конденсатора перед началом опыта был равен нулю, он остался равным нулю и в конце опыта, когда исчезло электрическое поле между его обкладками. Единственное изменение, которое произошло при разряде конденсатора,— это исчезновение электрического поля между его обкладками. Следовательно, электрическое поле обладает энергией, за счет которой и произошла вспышка. Если на обкладках конденсатора электроемкостью С находятся одинаковые по модулю электрические заряды, то разность потенциалов между обкладками конденсатора равна Дфо = ^С. В процессе разрядки конденсатора разность потенциалов между его обкладками убывает прямо пропорционально заряду q от первоначального значения Афо до нуля. Среднее значение разности потенциалов в процессе разрядки равно: 2 2С Для работы А, совершаемой электрическим полем при разрядке конденсатора, будем иметь А = доАфср = до^Фо/2 = . (46.1) 9 Физика, 10 кл. 257 Изменение энергии электрического поля равно работе, которая совершена при разрядке конденсатора: AW^ = Wq-0=A = СДф^/2 = ql/(2C) = доАфо/2. Следовательно, энергия электрического поля конденсатора электроемкостью С, заряженного до разности потенциалов Дф, равна: = gV2C = <7Дф/2 = СДф72. (46.2) Подставив в формулу (46.2) выражение электроемкости плоского конденсатора [см. формулу (45.3)] и выразив разность потенциалов через напряженность поля, получим: __ ECqS £>2^2_£^0-^ ® 2 2d 2 ■ Разделив обе части уравнения на объем V=Sd, занятый электрическим полем внутри конденсатора, получим = —- = —^ ® V 2 (46.3) Величина w^ = WJV имеет смысл плотности энергии электрического поля, т. е. энергии, содержащейся в единице объема. Итак, плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности. Этот вывод справедлив для электрических полей любой конфигурации, а не только для однородного поля. Впервые понятие плотности энергии электрического поля ввел Дж. Максвелл. В отличие от сторонников теории дальнодействия, считавших, что энергия концентрируется на заряженных телах, Максвелл исходил из полевых представлений. Он полагал, что энергия электрического поля рассредоточена по всему объему с плотностью, выражающейся формулой (46.3). ■ Вопросы 1. Опишите опыт, доказывающий, что электрическое поле между обкладками заряженного конденсатора обладает энергией. 2. Чему равна энергия заряженного конденсатора? 3. Чему равна плотность энергии электрического поля? ■ Пример решения задачи Задача. Заряженный конденсатор емкостью С и зарядом q подключили параллельно к другому незаряженному конденсатору такой же емкости. Сравните энергию электрического поля системы конденсаторов до и после подключения. Объясните полученный результат. 258 Решение. Начальная энергия системы конденсаторов равна: W =-2i + o = -2i. ^ 2С 2С После параллельного подключения второго конденсатора произойдет перераспределение зарядов между ними. В соответствии с законом сохранения заряда при одинаковой электроемкости конденсаторов и одинаковой разности потенциалов на их обкладках будут одинаковыми и заряды на них; 91 = 92 = 9/2. После соединения конденсаторов их энергия будет равна: W - 91 I gj - (9/2)^ I (9/2)^ - 9^ ^ 2С 2С 2С 2С 4С ' Мы видим, что половина энергии электрического поля как бы исчезла: ■^/2. Уменьшение энергии конденсатора связано с тем, что часть энергии электрического поля пошла на нагрев проводов и излучение электромагнитных волн. Причем результат не зависит от электрического сопротивления проводов. ■ Задачи для самостоятельного решения 46.1. Вычислите энергию электрического поля конденсатора электроемкостью 10 мкФ, заряженного до разности потенциалов 10 В. 46.2. Воздушный конденсатор электроемкостью 250 пФ подключен к источнику постоянной разности потенциалов 100 В. Вычислите энергию конденсатора. Как изменится энергия конденсатора при заполнении пространства между пластинами веществом с диэлектрической проницаемостью е = 20? § 471 Применение диэлектриков Спонтанная поляризация. Если в ионном кристалле центры положительного и отрицательного зарядов ионов, расположенных в одной элементарной ячейке, не совпадают, то каждая элементарная ячейка такого кристалла может рассматриваться как диполь, т. е. система из двух точечных разноименных зарядов, равных по модулю. До тех пор пока энергия взаимодействия между такими диполями превышает среднюю энергию теплового движения частиц, отдельные микроскопические области кристалла могут быть самопроизвольно, или, как принято говорить, спонтанно, поляризованными. В каждой из таких областей, называемых доменами, диполи элементарных ячеек ориентированы одинаково, а сами домены ориентированы хаотично (рис. 4.49). На поверхности кристалла чередуются положительно и отрицательно заряженные участки, и кристалл в целом не создает в окружающем пространстве электрического поля. Сегнетоэлектрики. Кристаллы, обладающие в некотором температурном интервале спонтанной поляризацией, называ- 259 Е=0 рис. 4.49 рис. 4.50 ют сегнетоэлектриками. Основные свойства сегнетоэлектри-ков впервые были изучены в 30-х гг. И. В. Курчатовым и П. П. Кобеко на кристаллах сегнетовой соли. Впоследствии было открыто и исследовано около 80 сегнетоэлектриков. Наиболее интересным для практических применений является титанат бария BaTiOg, открытый в 1944 г. Б. М. Вулом. Внесение сегнетоэлектрика в электрическое поле приводит к тому, что в части его доменов все диполи ориентируются вдоль линии напряженности (рис. 4.50). Вследствие того что в сегнетоэлектриках происходит ориентация целых макроскопических областей — доменов, а не отдельных молекулярных диполей, сегнетоэлектрики обладают большой диэлектрической проницаемостью. Сегнето-электрические материалы, обладающие высокими значениями диэлектрической проницаемости (порядка 10^-Ю'*), применяют для изготовления малогабаритных конденсаторов. Точка Кюри. Для сегнетоэлектриков характерно наличие предельной температуры — точки Кюри, выше которой спонтанная поляризация исчезает и сегнетоэлектрик становится обычным диэлектриком. Точка Кюри для титаната бария близка к температуре 120 °С. Переход через точку Кюри сопровождается резким изменением диэлектрической проницаемости. Это обусловлено тем, что при температуре Кюри происходит перестройка кристаллической структуры. Пьезоэлектрический эффект. Если подвергнуть образец сегнетоэлектрика одностороннему сжатию вдоль направления остаточной поляризации, то размеры образца и каждой эле- 260 ментарной ячейки в этом направлении уменьшатся. При этом уменьшатся расстояния между центрами положительного и отрицательного зарядов в каждой ячейке и остаточная поляризация в целом. В результате изменится разность потенциалов между гранями образца, перпендикулярными направлению силы. При растяжении образца остаточная поляризация и соответствуюш;ая ей поверхностная плотность зарядов на гранях увеличивается, что приводит к возникновению разности потенциалов противоположного знака. Явление возникновения поляризационных зарядов при деформации кристалла называют прямым пьезоэлектрическим эффектом. Он был открыт в 1880 г. братьями Пьером и Жаком Кюри на несегнетоэлектрическом материале — кварце. Все сегнетоэлектрики являются пьезоэлектриками, но далеко не все пьезоэлектрики обладают сегнетоэлектриче-скими свойствами. Существует и обратный пьезоэффект — деформация пьезоэлектрика, помещенного в электрическое поле. Обратный пьезоэффект объясняется тем, что под действием электрического поля элементарные ячейки удлиняются или укорачиваются, а это приводит к макроскопической деформации образца. Деформация пропорциональна приложенной разности потенциалов. Прямой и обратный пьезоэффект широко применяют в практике для преобразования механических колебаний в электрические и наоборот. Пьезоэлектрический элемент находится в пьезоэлектрических микрофонах и телефонах, в эхолотах, гидролокаторах, в тензометрах (измерителях давлений и механических напряжений) и т. п. ■ Вопросы 1. Что такое сегнетоэлектрики и где их применяют? 2. Что такое точка Кюри? 3. В чем заключается пьезоэлектрический эффект (прямой и обратный)? 4. Какое применение находит пьезоэлектрический эффект? ii Глава 5 Постоянный ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток §48 Условия существования постоянного тока в предыдущей главе рассматривались электрические явления, в которых электрические заряды находились в покое. Но наибольший практический интерес представляют явления, связанные с упорядоченным движением электрических зарядов. 261 Упорядоченное движение электрически заряженных частиц называется электрическим током. Электрический ток называется постоянным^ если сила тока и его направление не изменяются с течением времени. За направление тока условно выбрано направление движения положительных зарядов. Постоянный электрический ток может возникать в результате процессов различной физической природы. Например, испускаемые радиоактивными веществами отрицательно заряженные электроны и положительно заряженные а-части-цы могут в вакууме пролетать беспрепятственно значительные расстояния. Такой поток электронов или а-частиц представляет собой постоянный электрический ток. В данной главе нас будет интересовать постоянный ток в проводниках, создаваемый благодаря особым устройствам — источникам тока. Напомним, что проводники — это такие тела, в которых имеются свободные частицы, обладающие электрическим зарядом и способные ускоряться и, следовательно, перемещаться под действием приложенных к ним электрических сил. Если бы заряженные частицы, приведенные в движение в замкнутом проводнике, не взаимодействовали с другими частицами, то они двигались бы бесконечно долго. Такой ток можно наблюдать в некоторых веществах при весьма низких температурах; удельное сопротивление таких веществ — их называют сверхпроводниками — равно нулю при этих температурах. Но в большинстве проводников при протекании тока движущиеся заряженные частицы взаимодействуют с неподвижными частицами и теряют свою кинетическую энергию. Поэтому для поддержания постоянного тока в цепи необходимо пополнять энергию заряженных частиц, т. е. совершать работу за счет действия каких-то источников. Возьмем два заряженных проводящих тела, заряды которых равны по модулю, но противоположны по знаку. Соеди- ______ ним эти тела проводником (рис. 5.1). По проводнику пойдет ток. Перемещение зарядов будет происходить до тех пор, пока не исчезнет электрическое поле в проводнике в результате выравнивания потенциалов на телах А и В. После этого ток в проводнике прекратится. Для того чтобы ток был постоянным, необходимо, чтобы на концах проводника поддержива-рис. 5.1 лась постоянная разность потен- 262 циалов, иными словами, чтобы в проводнике существовало неизменяющееся электрическое поле. Очевидно, заряженные тела не годятся для создания постоянного тока в цепи. Для этой цели необходимо особое устройство — источник тока (генератор). Что такое источник тока? Для того чтобы ток не прекращался, необходимо, чтобы положительные заряды, перемещающиеся на тело В с тела А, вновь возвращались бы на тело А, а отрицательные заряды возвращались на тело В, т. е. чтобы на некотором участке замкнутой цепи заряды двигались против действующих на них электростатических сил, как это показано пунктиром на рисунке 5.1. Для этого на заряды, кроме электростатических сил, должны действовать другие силы, направленные противоположно электростатическим силам. Такие силы неэлектростатического происхождения называют сторонними силами. Источник тока представляет собой устройство, в котором на электрические заряды действуют сторонние силы. Сторонние силы в различных источниках возникают по разным причинам. В химических источниках, например в автомобильном аккумуляторе или в гальваническом элементе, они возникают благодаря химическим реакциям на границе соприкосновения пластин аккумулятора или электродов батарейки с жидким электролитом. В фотоэлементе они возникают в результате действия света на электроны в металле или полупроводнике. В генераторах электростанций сторонние силы возникают при движении проводников в магнитном поле. Электрическая цепь постоянного тока. Рассмотрим простейшую электрическую цепь постоянного тока, составленную из гальванического элемента, электрической лампы и проводников. При замыкании электрической цепи нить лампы нагревается протекающим через нее электрическим током и излучает свет. Постоянная интенсивность свечения лампы свидетельствует о том, что в цепи протекает постоянный, не изменяющийся во времени электрический ток. Подключив к выводам гальванического элемента прибор для измерения разности потенциалов — вольтметр, мы обнаружим, что на выходе источника тока она также остается неизменной. На внешнем участке цепи электрические заряды движутся под действием сил электрического поля. Перемещение зарядов внутри проводника не приводит к выравниванию потенциалов всех точек проводника, так как в каждый момент времени за счет действия источника тока к одному концу электрической цепи подходит точно такое же количество электричества, какое из него перешло к другому концу внешней электрической цепи. Поэтому сохраняется неизменной 263 разность потенциалов между началом и концом внешнего участка электрической цепи, что, в свою очередь, приводит к тому, что напряженность электрического поля внутри проводников в этой цепи остается постоянной во времени. Зависимость силы тока от напряжения. Немецкий физик Г. Ом в 1826 г. обнаружил, что сила тока I в проводнике прямо пропорциональна разности потенциалов на этом участке: ^-(Фх-Фа)- Другими словами, отношение разности потенциалов между концами проводника, являющегося участком электрической цепи, к силе тока в цепи есть величина постоянная: (фх “ Ф2)Д = -R = const. (48.1) Эта величина называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей электрического сопротивления в СИ является Ом: 10м= Электрическое сопротивление проводника зависит от вещества, длины I и площади поперечного сечения S: R = pi- (48.2) Коэффициент р в формуле (48.2) называется удельным сопротивлением вещества. Электродвижущая сила источника. В источниках тока сторонние силы перемещают положительные заряды между электродами от отрицательного полюса к положительному, а отрицательные заряды от положительного к отрицательному полюсу. Чем больший заряд перемещается при этом, тем большая работа совершается. Отношение работы к переносимому заряду для данного источника остается постоянной величиной. Поэтому указанное отношение может служить характеристикой источника тока. Отношение работы сторонних сил к значению положительного заряда, переносимого внутри источника от отрицательного полюса к положительному, называют электродвижущей силой источника (сокращенно ЭДС). Обозначают ее % Из определения ЭДС следует: (48.3) где — работа, совершаемая в источнике сторонними силами при перемещении положительного заряда q. Из этой формулы видно, что ЭДС, как и разность потенциалов, выражается в вольтах. 264 Различные источники тока отличаются своей ЭДС. Например, ЭДС гальванических элементов равна 1—2 В, свинцовых аккумуляторов —2 В; ЭДС индукционных генераторов достигает 15 кВ. Когда к полюсам источника тока присоединяют проводник, то на внешнем участке цепи электрические заряды движутся под действием электростатических сил Fg внутри же источника на них действуют сторонние силы F„ и электростатические силы (рис. Источник тока рис. 5.2 5.2). складывается из работы электростатических сил Aj 2 на внешнем участке цепи, работы электростатических сил Ag^ на внутреннем участке и работы сторонних сил А„: Ац = Ai_2 -Ь А2,1 -1-Аст. Первые два слагаемых представляют собой работу электростатических сил по замкнутому участку. Она, как известно, равна нулю. Следовательно, А., = А. (48.4) Таким образом, работа по перемеш;ению заряда во всей замкнутой цепи совершается за счет сторонних сил. Работа сторонних сил компенсирует потери энергии носителями заряда при их движении по всей цепи. Рассчитаем работу по переносу единичного положительного заряда. Из равенства (48.4) получим Л/9=Лт/^=^- (48.5) Итак, ЭДС источника равна отношению работы, совершаемой сторонними силами при перемещении положительного заряда по всей замкнутой цепи, к значению этого заряда. Механическая аналогия электрической цепи. Для того чтобы яснее представить себе роль источника тока, рассмотрим действие установки, изображенной на рисунке 5.3, а. Здесь шарик, движущийся вдоль винтовой наклонной плоскости, служит моделью свободной заряженной частицы («носителя заряда»), консервативное потенциальное поле силы тяжести служит аналогом консервативного электрического поля, сила трения служит аналогом электрического сопротивления. Соответственно движение свободных электрических зарядов в проводнике под действием электрического 265 ПОЛЯ аналогично движению шариков под действием силы тяжести. Если бы на шарики при их движении не действовала сила трения, то их кинетическая энергия у основания плоскости была бы равна потенциальной энергии у ее вершины. За счет этой кинетической энергии шарики могли бы подняться к вершине А по участку СА и вновь двигаться вниз. Следовательно, при отсутствии трения движение шариков было бы непрерывным. Однако, двигаясь по наклонной плоскости, шарики из-за трения теряют энергию. Поэтому для их непрерывного движения нужно, чтобы на участке СА на них действовала какая-то сила, направленная противоположно силе тяжести, и совершала работу, поднимая их вновь к вершине А. Эта сила и будет аналогом сторонних сил в электрической цепи. Эту работу может совершить, например, рука, поднимаюш;ая шарики. Но можно использовать небольшой заводной подъемный механизм, действуюш;ий при помощи сил упругости пружины 1 (рис. 5.3, б). Поворачивающаяся часть 2 механизма удерживается защелкой 3. Каждый раз, когда шарик, скатываясь, ударяет по защелке, механизм срабатывает и поднимает шарик вновь к вершине плоскости. Естественно, что перед началом опыта пружина должна быть деформирована и за счет этого получить запас энергии, которая постепенно будет расходоваться на подъем шарика снизу вверх. Источник тока, в котором заряды перемещаются по внутренней части цепи против электростатического поля, выполняет ту же функцию, что и подъемный механизм в этой модели. рис. 5.3 ■ Вопросы 1. Что такое постоянный электрический ток? 2. При каких условиях в замкнутой электрической цепи протекает постоянный электрический ток? 3. Ка- 266 KOBO назначение источника тока? 4. Что такое сторонние силы? 5. Что такое ЭДС? 6. Какой механической моделью можно пояснить процессы в замкнутой электрической цепи постоянного тока? ^4^ Закон Ома для полной цепи Закон Ома для полной цепи. На рисунке 5.4 изображена замкнутая цепь постоянного тока. ЭДС источника равна его внутреннее сопротивление г, сопротивление внешнего участка цепи (нагрузки) Д, сопротивлением проводов пренебрегаем. Ток идет в направлении, указанном стрелкой. Полная работа при перемещении заряда q по замк- нутой цепи равна сумме работы А„ сторонних сил и работы Ад., кулоновских сил: -^полн='^ст+-^эл* (49.1) При перемещении заряда по замкнутому контуру работа кулоновских сил равна нулю Адл = 0, следовательно: ■^полн (49.2) Полная работа Адолн равна сумме работы тока на внутреннем и работы тока на внешнем участках цепи: A^^^^ = Prt + PRt, (49.3) где г и jR — электрические сопротивления внутреннего и внешнего участков цепи. Работа сторонних сил равна: Отсюда следует: A„ = q^=m, Prt + PRt = m, ^=/(г-ьЯ), 1 = r + R (49.4) (49.5) (49.6) (49.7) Полученное выражение называется законом Ома для полной цепи: сила тока в полной цепи равна электродвижущей силе источника, деленной на сумму сопротивлений внешнего и внутреннего участков цепи. Из формулы закона Ома следует, что сила тока в цепи зависит от трех величин. Две из них — ЭДС ^ и внутреннее сопротивление источника г — относятся к самому источнику, а третья — R — к внешней цепи. 267 Формула закона Ома для всей цепи показывает, как можно приближенно измерить ЭДС источника. Если замкнуть источник на вольтметр, сопротивление которого Rg значительно больше внутреннего сопротивления источника г(/?в»г), то внутренним сопротивлением можно пренебречь и тогда из формулы (49.7) следует: ^ = IR, (49.8) Значит, измеряя напряжение на полюсах источника, замкнутого внешней нагрузкой, сопротивление которой R~:^r, мы получаем приближенное значение ЭДС источника. Чем больше сопротивление внешней нагрузки по сравнению с внутренним сопротивлением источника, тем более точный результат будет получен. Очевидно, что ЭДС источника тока равняется напряжению между полюсами разомкнутого источника тока (когда сопротивление внешней цепи бесконечно велико). Принципиально правильно напряжение между полюсами разомкнутого источника можно измерить с помощью электрометра или электростатического вольтметра. Короткое замыкание. Какие же предельные значения силы тока можно получить в цепи, пользуясь данным источником тока? ЭДС источника ^ и его внутреннее сопротивление г являются величинами постоянными. Поэтому сила тока в цепи будет зависеть только от сопротивления внешней цепи R. Пусть к полюсам источника присоединен проводник, сопротивление которого ничтожно мало по сравнению с внутренним сопротивлением источника. Этот случай в технике получил название короткого замыкания. Из закона Ома следует, что если сопротивление R = 0, то напряжение между полюсами источника (U = IR) уменьшается до нуля, а сила тока короткого замыкания достигает максимального значения: /к.з=^/Г. Как мы видим, сила тока короткого замыкания зависит не только от ЭДС источника, но и от внутреннего сопротивления. У источника со сравнительно большим внутренним сопротивлением, как, например, у гальванических элементов, сила тока короткого замыкания небольшая, а потому этот ток для них не очень опасен. Иное дело в свинцовых аккумуляторах: внутреннее сопротивление у них мало (0,1—0,01 Ом). Поэтому сила тока короткого замыкания очень велика, порядка 20—200 А. Такой ток может разрушить пластины аккумуляторов. Особенно опасны короткие замыкания в осветительных сетях, питае- 268 мых от подстанций. При значительной ЭДС (свыше 100 В) внутреннее сопротивление этих источников ничтожно мало. Поэтому сила тока короткого замыкания может достигнуть тысяч ампер. В этом случае короткое замыкание может вызвать перегрев проводов, пожар здания и т. д. Чтобы избежать этого, в такие цепи включают предо- ис 5 5 хранители, в которых тонкий провод- ник АВ (рис. 5.5) плавится при силе тока, превышаюш;ей ее допустимое значение для данной цепи, и размыкает цепь. В настоящее время обычно применяют электромагнитный автоматический выключатель. ■ Вопросы 1. Как формулируется закон Ома для полной цепи? 2. Почему напряжение на полюсах источника тока зависит от электрического сопротивления внешней цепи? 3. При каком условии напряжение, измеренное на полюсах источника тока, можно считать равным ЭДС источника? ■ Примеры решения задач Задача 1. Проводник длиной 50 см и площадью поперечного сечения 0,2 мм^ изготовлен из материала с удельным сопротивлением 1,2*10”® Ом*м и подключен к источнику тока, ЭДС которого 4,5 В и внутреннее сопротивление 3 Ом. Найдите напряжение между концами проводника и напряженность электрического поля в нем. Решение. и= и= fR R + r 4,5 30,210-е , г 1+_ 1+_ R р1 В = 2,25 В; 1-ь 1,210®-0,5 „ и 2,25 В . с В ^=~Г= — =4,5 —. I 0,5 м м Задача 2. Какую ошибку в измерении ЭДС источника тока мы допускаем, если показание школьного лабораторного вольтметра, присоединенного к его полюсам, равное 4 В, принимаем за ЭДС источника тока? Внутреннее сопротивление источника тока г = 5 Ом, сопротивление вольтметра ftg = 2000 Ом. 269 Решение. Вольтметр показывает напряжение между его зажимами. Когда вольтметр присоединен к полюсам источника, показания вольтметра меньше ЭДС источника. Напряжение на зажимах U = IR^, электродвижущая сила ^=I{R^ + г). Отсюда + =4.2005/2000 В = 4,01 В. Таким образом, абсолютная ошибка в измерении ЭДС составляет: A'^='^-U = 1г, т. е. Д«^=0,01 В, а относительная ошибка 1г г я д? —= Л- = М1_0,0025, или 0,25%. Rs + r Дв 4 1 (-^в + О Если цена деления вольтметра равна 0,2 В, то ошибка в 0,01 В не может быть обнаружена при измерениях данным вольтметром. ■ Задачи для самостоятельного решения 49.1. ЭДС источника тока равна 4 В, к его полюсам присоединен резистор с номинальным сопротивлением 8 Ом, в результате чего в цепи установилась сила тока 0,4 А. Определите по этим данным внутреннее сопротивление источника. 49.2. Определите показания вольтметра и амперметра в цепи по схеме (рис. 5.6). ЭДС источника равна 6 В, его внутреннее сопротивление 0,2 Ом; сопротивления резисторов Д, и Дг соответственно равны 1,8 и 10 Ом. Сопротивление вольтметра считать бесконечно большим, амперметра — бесконечно малым. 49.3. К полюсам источника тока с ЭДС 8 В присоединили проводник сопротивлением 30 Ом. При этом напряжение между концами проводника стало равным 6 В. Чему равно внутреннее сопротивление источника? 49.4. Для определения ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока к его выходу подключили реостат. При одном положении движка реостата сила тока в цепи была Jj = 1,5 А, а напряжение t/j=4,5 В; при другом положении движка получены значения /2 = 2 А, С/2 = 3 В. Найдите ЭДС источника и его внутреннее сопротивление. 49.5. Опасным для жизни человека является поражение электрическим током при силе тока более 20 мА. Какое напряжение может представлять опасность для жизни человека? Электрическое сопротивление тела человека при поврежденной коже около 1000 Ом. 49.6. Электрическое сопротивление верхнего рогового слоя кожи человека примерно 100 кОм, электрическое сопротивление тела человека при поврежденной коже около 1 кОм. Электрический пробой кожи человека наступает при напряжении около 200 В. Какие значения имеет сила тока при этом напряжении при неповрежденной коже и после электрического пробоя кожи? 49.7. В школьном кабинете используется высоковольтный выпрямитель с ЭДС до 100 кВ. Каково минимальное значение сопротивления резистора, который должен быть включен внутри прибора для ограни- 270 чения силы тока в целях безопасности, если опасной для жизни человека является сила тока 20 мА? 49.8. В цепи, изображенной на рисунке 5.7, ползунок реостата переместили так, что лампочка стала светить ярче. Как изменилось при этом показание вольтметра? 49.9. Электрическая цепь состоит из источника тока и резистора. Во сколько раз уменьшится сила тока в ней, если резистор с сопротивлением R заменить резистором с вдвое большим сопротивлением? Внутреннее сопротивление источника тока равно г. 49.10. ЭДС батареи аккумуляторов равна 12 В, а ее внутреннее сопротивление 0,04 Ом. Чему равна сила тока короткого замыкания у этого аккумулятора? §50| Последовательное и параллельное соединение проводников в электрической цепи Электрическая цепь состоит из различных элементов, которые могут быть соединены последовательно или параллельно. При последовательном соединении проводников (рис. 5.8) сила тока во всех проводниках одинакова — в противном случае заряды накапливались бы в каких-то точках цепи. Следовательно, / = /,=/2. (50.1) Напряжение U на всей цепи равно: U = U, + U2. (50.2) Применяя закон Ома для участка цепи ко всей внешней цепи, сопротивление которой R, и к каждому из последовательно соединенных проводников R1 и R2, получаем U = IR, U, = IR„ U2 = IR2^ Отсюда с учетом соотношения (50.2) следует: IR = IRi + IR2, или R = R^+R2. (50.4) При последовательном соединении полное сопротивление цепи равно сумме (50.3) 271 сопротивлении всех отдельных проводников: И = Ri-\-1^2"^ (50.5) При параллельном соединении проводников (рис. 5.9) напряжения Ui и Uz одинаковы, так как резисторы присоединены к одним и тем же точкам цепи (А и В) и равны напряжению на всей цепи: U^ = U2 = U. (50.6) Сила тока в неразветвленной цепи равна сумме сил токов в параллельно включенных элементах: рис. 5,9 1 = 1,+12 (50.7) Обозначим полное сопротивление разветвленной цепи через R, а сопротивление каждого проводника на этом участке через R, и Из закона Ома для участка цепи следует: /_£ г -Л. т -Л. Отсюда с учетом соотношения (50.7) получаем Яг Я, (50.8) (50.9) Величина, обратная сопротивлению всего разветвленного участка цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого из параллельно соединенных проводников. В электрической цепи могут быть участки со смешанным соединением — как с последовательным, так и с параллельным (рис. 5.10). В этой цепи участок АВ представляет собой параллельное соединение, а вся цепь — последовательное соединение участков АВ и ВС. Шунт к амперметру. Каждый измерительный прибор рассчитывают на определенную максимальную для него силу тока или на предельное для него напряжение. Но всегда оказывается возможным расширить пределы измерения данным прибором. Рассмотрим, как можно увеличить пределы измерения силы тока данным амперметром. Для этого параллельно амперметру присоединяют проводник, через который проходит часть измеряемого тока. Сопротивление этого проводника, называемого шунтом, рассчитывают так, чтобы сила тока через амперметр не превышала его предельного значе- 272 ния, а остальная часть тока шла бы через шунт. При этом, разумеется, изменится цена деления шкалы данного прибора. Поясним это примером. Амперметром, сопротивление которого равно рассчитанным на максимальную силу тока /д, требуется измерить силу тока в цепи /ц, которая может достигать значений, в п раз превышающих максимально допустимую силу тока в амперметре = Чему должно быть равно сопротивление шунта Ш (рис. 5.11)? Сопротивление шунта можно найти, если известны напряжение на шунте и сила тока в нем. Применяя формулы для параллельного соединения проводников (50.7) и (50.8), полу- чаем /„-/„-/. = («-1)/. и ^ = Решая эти уравнения, найдем сопротивление шунта: (50.10) = R * п * I» П-\ Отсюда следует, что если амперметром, рассчитанным на силу тока, например, до 1 А, нужно измерить токи, в 10 раз большие (л = 10), то сопротивление шунта должно быть меньше сопротивления амперметра в 9 раз. При этом цена каждого деления увеличивается в 10 раз. Дополнительное сопротивление к вольтметру. Чтобы увеличить пределы измерения напряжения вольтметром, последовательно ему подключают дополнительный резистор. Определим, например, каким должно быть сопротивление резистора R2 (рис. 5.12), чтобы вольтметром, рассчитанным на максимальное напряжение можно было измерять напряжение и на резисторе R1, в п раз большее (U = nUJ. Так как резистор R2 соединен последовательно с вольтметром, то сумма напряжений на нем и вольтметре равна измеряемому напряжению: и. + и, = и, где С/д — напряжение на резисторе R2. Ш и RI 1 1 Us Uu R2 рис. 5.11 рис. 5.12 273 А В ^ П Напряжения же на вольтметре и резисторе R2 пропорциональны их сопротивлениям: Отсюда (50.11) рис. 5.13 Подставив в это выражение значение 1/д, получим Дд--^Д,-(п-1)я,. Обычно в технических приборах шунты к амперметрам и дополнительные сопротивления к вольтметрам находятся внутри самих приборов. Для изменения силы тока в электрической цепи используется прибор, называемый реостатом. Реостат включается в электрическую цепь последовательно, регулирование силы тока в цепи осуществляется путем изменения электрического сопротивления реостата при перемещении скользящего контакта по его проволочной обмотке. Для регулирования напряжения, подаваемого на элемент П электрической цепи, используется прибор, называемый потенциометром. Потенциометр представляет собой резистор со скользящим контактом. Концы А и В потенциометра присоединяют к полюсам источника тока, а прибор П — к одному из концов потенциометра и выводу от скользящего контакта (рис. 5.13). При таком включении прибора к нему будет подводиться часть напряжения, которое создается источником тока на концах потенциометра. Потенциометр применяется для регулировки громкости звучания радиоприемников, магнитофонов, яркости свечения телевизионной трубки и в ряде других радиоэлектронных устройств. ■ Вопросы 1. Докажите, что при последовательном соединении проводников их общее электрическое сопротивление равно сумме электрических сопротивлений всех проводников. 2. Докажите, что при параллельном включении проводников обратная величина общего сопротивления цепи равна сумме обратных величин сопротивлений всех параллельно включенных проводников. ■ Примеры решения задач Задача 1. К источнику тока с ЭДС ^=6 В и внутренним сопротивлением г = 0,5 Ом присоединены два резистора с сопротивлениями Д| = 2 0.м и 274 R2 = 1>5 Ом, соединенные последовательно, и амперметр (рис. 5.14). Сопротивлением амперметра пренебречь. а) Какую силу тока показывает амперметр? б) Каковы будут показания амперметра, если параллельно первому резистору будет присоединен еще один с сопротивлением Дз = 2 Ом? Решение, а) Внешняя цепь состоит из двух последовательно соединенных проводников, сопротивления которых и /?2* ^1,2 = -Ь ^2’ По закону Ома для полной цепи сила тока равна I = , от- б) Если сопротивление параллельно соединенных проводников обозначить то все внешнее сопротивление R = Ri2 + ^2’ рис. 5.14 Сопротивление з находим из формулы 4,3 , J_. д Ki я i?3 ’ Ri+Rs Следовательно, Я = R^R 1^3 Ri + R3 Тогда / = RiRs _ + Яо. = 2 А. Задача 2. В цепь, состоящую из аккумулятора и резистора сопротивлением Я = 10 Ом, включают вольтметр сначала последовательно, а затем параллельно резистору (рис. 5.15, а, б). Оба показания вольтметра оказываются одинаковыми. Сопротивление вольтметра Яд = 1кОм. Каково внутреннее сопротивление аккумулятора? 1' А Л 1' R R J — Решение. По закону Ома а) рис. 5.15 б) для полной цепи сила тока для каждого из случаев соответственно равна: Г Я + Я» + г ’ 275 ДДв R+R, fjR+Rs) RRf, + Rr + R^r ■ + r Напряжение на вольтметре в обоих случаях одинаково: Ui = U2, но Ui = IR„= Я + i?B + г /гДДв Uo = nR + RJ ?ДДв R + Rg RRg + Rr + R^r R + Rg RRg + Rr + R^r ' Поэтому ?ДДв R R‘^Rg-i~r RR^~\~ Rr 4* ЯцГ R-^Rg-^r После преобразования получим RRg + Rr+ R„r R^ = Rgr, T. e. r = ^ = 0,l Om. Дн Задача 3. Резистор R1 сопротивлением fij = 150 Ом включают в сеть с напряжением 220 В при помощи потенциометра. Сопротивление потенциометра = Ом. Каково будет напряжение между концами резистора, когда ползунок расположен посредине обмотки потенциометра (рис. 5.16)? Решение. Когда ползунок находится в точке С, проводник оказывается включенным параллельно половине обмотки потенцио- - D R2 метра, сопротивление которой /?з = -^. Общее сопротивление R этих параллельно соединенных проводников найдем из формулы + f+ -|—-^2+2Л,; п «1 Лз III ^2 Р— ^1^2 _ 150'600 л 1 по От11 300 + 600 Ом-100 Ом. В сеть оказываются включенными последовательно два участка с сопротивлениями R2/2 и R. Напряжения на этих участках распределяются пропорционально их сопротивлениям: а сумма напряжений равна напряжению между концами цепи: C/j + C/g = (7 = 220 В. Отсюда следует: St/g-f [/3 = 220 В и [/2=55 В. 276 Задачи для самостоятельного решения R1 R2 50.1. Определите общее сопротив-ление внешнего участка электрической цепи, схематически показанной на рисунке 5.17. 50.2. Определите общее сопротивление внешнего участка электрической цепи, схематически показанной на рисунке 5.18. 50.3. Вольтметр с верхним пределом измерений напряжения 10 В имеет внутреннее сопротивление 5 кОм. Каким сопротивлением должен обладать дополнительный резистор для того, чтобы при его подключении верхний предел измерений стал равен 100 В? 50.4. Амперметр с верхним пределом измерения силы тока 10 А имеет внутреннее сопротивление 1 Ом. Каким сопротивлением должен обладать шунт для того, чтобы при его подключении верхний предел измерений амперметра стал равным 100 А? 50.5. Школьный вольтметр, рассчитанный на напряжение до 6 В, имеет сопротивление 700 Ом. Определите, какое дополнительное сопротивление должно быть к нему присоединено, чтобы с помощью этого вольтметра можно было измерять напряжение до 120 В. Во сколько раз при этом изменится цена деления вольтметра? Рассчитайте, какой длины должен быть взят провод из имеющихся в кабинете физики (с большим удельным сопротивлением) для изготовления такого дополнительного сопротивления. 50.6. До какого напряжения зарядится конденсатор С, присоединенный к источнику тока с ЭДС 3,6 В и внутренним сопротивлением 1 Ом по схеме, изображенной на рисунке 5.19? Какой заряд будет при этом на обкладках конденсатора, если его емкость равна 2 мкФ? Д| = 4 Ом, = 7 Ом, Яз = 3 Ом. 50.7. Два одинаковых проводника сопротивлением Д = 100Ом каждый соединены параллельно; последовательно к ним присоединен проводник сопротивлением Kj = 200 Ом и параллельно — конденсатор емкостью С = 10мкФ. Цепь подключена к источнику постоянного тока. Определите ЭДС источника, если заряд на конденсаторе д = 2,2-10"* Кл. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов пренебречь. 277 § 5i| Правила Кирхгофа Пользуясь законом Ома, можно рассчитать силу тока на любом участке цепи. Проще всего рассчитывается сила тока в том случае, если внеп1няя цепь не содержит источников ЭДС. Расчеты разветвленных цепей, содержащих источники ЭДС, значительно сложнее. В соответствии с законом Ома для таких участков цепи в этих случаях требуются знания трех величин: разности потенциалов на концах этого участка, ЭДС источника тока на этом участке и его полного сопротивления, включая внутреннее сопротивление источника тока. Для упрощения расчета сложных электрических цепей Г. Р. Кирхгофом на основе использования закона Ома сформулированы правила, называемые правилами Кирхгофа. Рассмотрим цепь, в некоторых точках которой {1 и 3) соединяются три проводника (рис. 5.20). Точки разветвленной цепи, в которых сходятся не менее трех проводников, называются узлами цепи. В узлах не может происходить накопление зарядов или разрыв потока упорядоченно движущихся частиц. Суммарный ток, втекающий в узел, равен суммарному току, вытекающему из узла. Если ток втекает в узел, то силу тока считают положительной величиной, если вытекает из узла, то отрицательной. Первое правило Кирхгофа относится к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма сил токов для каждого узла равна нулю: /х-ь/г-ь/з-!-...-1-/„ = 0. (51.1) В рассматриваемом случае (см. рис. 5.21) /i и /2 — величины положительные, а /3, /4 и /5 — отрицательные. Второе правило Кирхгофа относится к отдельным замкнутым контурам цепи: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме произведений сил токов и сопротивлений каждого из участков этого контура. Рассмотрим замкнутый контур 1, 2, 3 (см. рис. 5.20). Чтобы учесть знаки ЭДС и сил токов на каждом участке цепи, выберем направление обхода контура. На рисунке 5.20 это направление указано стрелкой. Если на данном участке источник тока создает ток, совпадающий по направлению с выбранным направлением обхода контура, то ЭДС считается положительной, в противном случае — отрицательной. Аналогично, если произвольно выбранное направление тока совпадает с направлением обхода, то силу тока считают положительной, в противном случае — отрицательной. О правильности выбранного знака силы тока судят по окончательному знаку, полученному в результате вычислений. Применив первое правило Кирхгофа к узлу 1 и второе правило к контурам 1 ^ 2, 3, 1 и 1, 4, 3, 1 ^ получим следующую систему уравнений: ?2+ ^3 = -^i(-^i + ^2 + ^ 1 + ^г) + -^з(-^з+ ^з)> ^3~ = ^4) + -^з(^3+ ^з)5 (51.2) Мы получили линейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными значениями сил токов /j, /3, /4. Решение этой системы при известных числовых значениях ЭДС и сопротивлений не вызывает трудностей. Применение правил Кирхгофа. При использовании правил Кирхгофа надо иметь в виду: 1. Число составляемых уравнений должно соответствовать числу неизвестных. 2. Составляя уравнения, надо следить, чтобы в каждое последующее уравнение входила хотя бы одна неизвестная величина, которая не входила в предыдущие уравнения. 3. Для каждого контура направление его обхода, определяющее знаки сил токов и ЭДС, выбирают произвольно. Если в результате решения задачи получают отрицательное значение для силы тока на каком-то участке, то это означает, что ток на этом участке идет в направлении, противоположном выбранному обходу контура. ■ Вопросы 1. Следствием чего является первое правило Кирхгофа? второе правило Кирхгофа? 2. Какие требования следует учитывать, применяя правила Кирхгофа к расчету цепей? ■ Пример решения задачи Задача. На рисунке 5.22 показана схема цепи, собранной для зарядки аккумулятора. Источник тока имеет ЭДС 2Г, = 22 В и внутреннее сопротивление Г4 = 0,2 0м. ЭДС заряжаемого аккумулятора ^=10 В и его внутреннее сопротивление Г2 = 0,6 Ом. В цепь включены переменный резистор сопротивлением Д = 10 Ом и осветительная лампа сопротивлением Дз = 48 Ом. Рассчитайте силы токов во всех участках цепи. 279 в D рис. 5.22 Решение. Направления токов в узлах и выбранные направления обхода контуров показаны на рисунке 5.22. Из первого правила Кирхгофа в применении к узлу В следует: /1-/2-/з = 0. (1) В уравнении для второго узла нет необходимости. Оно не даст ничего нового, так как в него войдут те же значения сил токов. Второе правило Кирхгофа в применении к контурам BCDEB и ACDFA даст следующие уравнения: ^2 =-^3-^3 ■~-^2(^2+(2) =/3i?3+ /1Г1. (3) Отметим, что в составлении уравнения для контура ABEFA нет необходимости, так как в него не вошли бы новые величины. Итак, получены три уравнения, в которые входят три искомые величины. Решать их в общем виде нет смысла, поскольку они относятся к конкретной задаче. Поэтому, подставив числовые значения известных величин, получим /1-/2-/з = 0; 48/з~ 10,6/2= 10; 48/3+0,2/1 = 22. Подставив в третье уравнение /1 = /2 + /з, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 48/3-10,6/2=10; 48,2/3 + 0,2/2 = 22. Умножив первое уравнение на 0,2, а второе — на 10,6, имеем 9,6/3-2,12/2 = 2; 510,92/3 + 2,12/2=233,2. Сложив оба уравнения, исключим /2. Следовательно, 520,52/з = = 235,2. Отсюда /3=0,452 А. Подставив это значение в любое из уравнений, содержащее /3, получим 9,6-0,452-2,12/2=2, откуда /2=1,10 А. Сила тока через источник тока /1 = /2 + /з= 1,55 А, ■ Задачи для самостоятельного решения 51.1. Два источника тока с ЭДС Щ и f2 к внутренними сопротивлениями Г] и Г2 включены так, как показано на рисунке 5.23. Найдите силы токов через источники и силу тока через перемычку АВ, сопротивление которой принять равным нулю. 280 _fl, г, А '*2 . в рис. 5.23 рис. 5.24 51.2. Два гальванических элемента, ЭДС которых одинаковы и равны В, соединены параллельно и замкнуты на резистор R (рис. 5.24). Внутренние сопротивления элементов равны соответственно ri = l Ом и Гз=2 Ом. Чему равно сопротивление резистора R, если сила тока в первом элементе равна 7i = l А? Найдите силы токов во втором элементе и резисторе. 51.3. Какой заряд q пройдет через ключ при его замыкании (рис. 5.25)? § 52 Работа и мощность тока Работа и мощность электрического тока. Если через проводник с электрическим сопротивлением R в течение времени t протекает постоянный электрический ток /, то работа сил электрического поля (или работа электрического тока) за это время равна: A = qU = IUt = PRt = ^. ti Мощность Р электрического тока отсюда равна: P=^ = IU = PR = ^. * н Единицей работы электрического тока в джоуль, единицей мощности — ватт: (52.1) (52.2) СИ является 1 Дж = 1 Кл • 1 В, 1 Вт = ^^ = 1 А 1 с 1 в. Тепловое действие электрического тока. Если электрический ток протекает в цепи, где не происходят химические реакции и не совершается механическая работа, то энергия электрического поля превращается во внутреннюю энергию проводника и его температура возрастает. Путем теплообмена эта энергия в форме теплоты передается окружающим бо- 281 лее холодным телам. Из закона сохранения энергии следует, что количество теплоты равно работе электрического тока: Q=A = PRt = ^. ^ R (52.3) Этот закон независимо друг от друга установили опытным путем Дж. Джоуль и Э. X. Ленц. Он называется законом Джоуля — Ленца. Тепловое действие электрического тока находит широкое применение в быту и технике — лампы накаливания, электрические плиты, кипятильники, печи для плавления металлов и т. д. Почему необходимо высокое напряжение при передаче электрической энергии на большие расстояния? Электрический ток можно передавать по проводам на большие расстояния — от электростанций к потребителям. При этом неизбежны потери энергии на нагревание проводов. В линиях электропередачи (ЛЭП) большой протяженности эти потери могут быть очень велики, если не принять специальных мер для их уменьшения. Выясним, от чего зависят эти потери и как можно их уменьшить. Допустим, что Р — это мощность, которая передается от электростанции к потребителю, а — мощность, которая теряется в проводах. Мощность Pi равна: P^ = PR, где R — сопротивление проводов; I — сила тока в линии. Силу тока в линии можно определить по передаваемой мощности: где и — напряжение на полюсах источника, т. е. напряжение между проводами в начале линии передачи. Подставив значение силы тока в формулу Pi = PR и заменив сопротивление проводов двухпроводной ЛЭП по формуле R = 2lp/S, получаем р _ _ 2р1Р^ /ко ^ su^ Формула (52.4) показывает, что мощность, которая теряется в проводах, зависит от напряжения U и площади сечения проводов S. Расстояние I от генератора до потребителя и передаваемая мощность Р для данной ЛЭП являются заданными величинами, для проводов используется медь или алюминий. Возможности снижения потерь за счет увеличения площади сечения ограничены из-за повышения стоимости линии и массы проводов. Поэтому потери уменьшают за счет повыше- 282 ния напряжения. В мощных линиях передач допустимыми считаются потери не более 8%, т. е. a = Pi/P = 0,08. ■ Вопрос Почему с повышением напряжения уменьшаются потери в линии электропередачи? ■ Пример решения задачи Задача. Чему должна быть равна площадь сечения алюминиевых проводов для передачи энергии на 1000 км, если передаваемая мощность составляет 1 ГВт; напряжение в линии электропередачи равно 500 кВ, а часть мощности, теряемой в проводах, а=0,08? Для алюминия р = 2,8х X 10~^ Ом * м. Какой должна быть площадь сечения проводов той же линии при напряжении 250 В? Решение. Из формулы (52.4) получаем s = ^ = = • 10-3 ^2^28 см3. aW 0,08 -25 -10 При напряжении 250 В, т. е. в 2000 раз меньшем, площадь сечения проводов при тех же потерях должна быть в 4 • 10® раз больше, т. е. S«11000 м3, что совершенно нереально! Ш Задачи для самостоятельного решения 52.1. Какой должна быть площадь сечения алюминиевых проводов, по которым от генератора с ЭДС 70 В подается ток к сварочному аппарату? Для нормальной работы сварочного аппарата на нем должно поддерживаться напряжение 50 В, Потребляемая аппаратом мощность 1 кВт; расстояние от него до генератора 20 м; внутреннее сопротивление генератора 0,05 Ом; удельное сопротивление алюминия равно 2,8-10“® Ом-м. 52.2. Резистор с электрическим сопротивлением 2 МОм рассчитан на рассеяние мощности 2 Вт. Вычислите максимально допустимые значения силы тока и напряжения для этого резистора. 52.3. Постройте график зависимости мощности, выделяемой на внешнем участке цепи, от сопротивления этого участка, если ЭДС источника 4,5 В, а его внутреннее сопротивление 2 Ом. 52.4. Докажите, что мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, максимальна при равенстве электрического сопротивления внешнего участка цепи внутреннему сопротивлению источника. 52.5. К источнику тока с ЭДС 1^=10 В и внутренним сопротивлением г=1 Ом подключена система из четырех резисторов сопротивлением Д-=1 Ом каждый. Как нужно соединить эти резисторы, чтобы в них выделилась максимальная мощность? 52.6. Суммарная мощность, выделяющаяся на резисторах, сопротивления которых = 8 Ом и i?2 = 2 Ом, одинакова при их последовательном и параллельном подключении к источнику тока. Нгшдите внутреннее сопротивление источника тока, питающего эти резисторы. 283 ii Глава G Магнитное поле § 53 Магнитное взаимодействие токов Магнитное взаимодействие. Явления взаимного притяжения разноименных и отталкивания одноименных электрических зарядов во многом сходны с явлениями притяжения разноименных и отталкивания одноименных полюсов магнита. Однако попытки установить связь между электрическими и магнитными явлениями долгое время оставались безуспешными. В 1820 г. датский физик X. Эрстед заметил, что магнитная стрелка поворачивается при пропускании электрического тока через проводник, находящийся около нее (рис. 6.1). В том же году французский физик А. Ампер установил, что два проводника, расположенные параллельно друг другу, испытывают взаимное притяжение при пропускании через них электрического тока в одном направлении и отталкиваются, если токи текут в противоположных направлениях (рис. 6.2). На основании этих опытов Ампер пришел к выводу, что взаимодействие тока с магнитом и магнитов между собой можно объяснить, если предположить, что внутри магнита существуют незатухающие молекулярные круговые токи. Тогда все магнитные явления объясняются взаимодействием движущихся электрических зарядов, никаких особых магнитных зарядов в природе нет. рис. 6.1 рис. 6.2 284 Притяжение или отталкивание электрически нейтральных проводников при пропускании через них электрического тока называют магнитным взаимодействием токов или электродинамическим взаимодействием. Вспомним, что электрический ток — это упорядоченное движение электрических зарядов (см. § 48). Следовательно, магнитное взаимодействие — это взаимодействие упорядоченно движущихся электрических зарядов. Магнитное поле. Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов, согласно представлениям теории поля, объясняется тем, что всякий движущийся электрический заряд создает в окружающем пространстве магнитное поле, способное действовать на другие движущиеся электрические заряды. Единица силы тока. Прохождение электрического тока может сопровождаться нагреванием и свечением вещества, различными его химическими превращениями, магнитным взаимодействием. Из всех действий электрического тока только магнитное действие наблюдается всегда и при любых условиях. Поэтому магнитное взаимодействие проводников с током используется в Международной системе (СИ) для определения единицы силы тока — ампера. Приведем принятое в настоящее время определение этой единицы. Ампер — сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу магнитного взаимодействия, равную 2 • 10’’^ Н на каждый метр длины. Сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током, называется силой Ампера. Сила Ампера. Экспериментальное изучение магнитного взаимодействия показывает, что сила Ампера зависит от ориентации проводника в магнитном поле. Для создания магнитного поля будем пропускать постоянный ток через провод, намотанный на прямоугольную рамку, а для обнаружения действия силы Ампера используем пучок электронов, летящих в электронно-лучевой трубке осциллографа. Такой пучок электронов эквивалентен проводнику с током. Опыт показывает, что при расположении электронного пучка параллельно проводнику с током (длинной стороне рамки) этот пучок смещается к проводнику с током, если электроны в проводнике движутся в том же направлении, что и электроны в трубке (рис. 6.3, а). При противоположном направлении тока электронный пучок отталкивается от проводника с током. 285 а) рис. 6.3 При плавном изменении угла между электронным пучком и проводником с током плавно изменяется смещение яркого пятна (следа электронного пучка) на экране осциллографа. Этот опыт доказывает, что сила Ампера зависит от ориентации проводника в магнитном поле. Смещение пятна максимально при параллельном расположении электронного пучка и проводника с током, следовательно, сила Ампера в этом случае имеет максимальное значение. Если же электронный пучок перпендикулярен проводнику с током, то пятно на экране осциллографа не смещается, т. е. в этом случае магнитные силы на движущиеся электроны не действуют (рис. 6.3, б). Магнитная индукция. Опыт также показывает, что сила Ампера пропорциональна силе тока в проводнике I и длине I той части проводника, которая находится в магнитном поле. Для максимального значения силы Ампера справедливо выражение = (53.1) где В — физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля. Она называется магнитной индукцией (или индукцией магнитного поля). Магнитная индукция — векторная величина. Модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимального значения силы Ампера, действующей на прямой проводник с током, к силе тока в проводнике и его длине: В = и (53.2) Единица магнитной индукции. В Международной системе единиц за единицу магнитной индукции принята индукция такого магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника при силе тока 1 А действует максимальная сила Ajvinepa 1 Н. Эта единица называется тесла (сокращенно: Тл) в честь выдающегося югославского физика Н. Тесла: 1 н 1 н 1 Тл = 1 А • 1 м = 1 А • м 286 Направление вектора магнитной индукции. Направление вектора индукции В определяется правилом левой руки. Нужно расположить прямолинейный проводник в магнитном поле таким образом, чтобы сила Ампера имела максимальное значение. Раскрытую ладонь левой руки поместим в плоскости, проходящей через вектор силы Ампера и проводник с током. Четыре пальца руки расположим по направлению тока в проводнике, а большой палец, отогнутый в плоскости ладони под прямым углом к остальным четырем пальцам,— по направлению силы Ампера. Тогда вектор индукции будет входить перпендикулярно в плоскость ладони (рис. 6.4). Правило левой руки можно использовать для определения направления вектора силы Ампера, если известны направления тока в проводнике и вектора магнитной индукции. Зависимость силы Ампера от угла между вектором магнитной индукции и проводником. Опыт показывает, что если расположить проводник с током под углом а к вектору магнитной индукции В, то модуль силы Ампера определяется выражением F^=IBlsincL. (53.3) Следовательно, на проводник с током, расположенный вдоль вектора магнитной индукции, сила Ампера не действует. Линии магнитной индукции. Линия, в любой точке которой вектор магнитной индукции В направлен по касательной к ней, называется линией магнитной индукции. Линии магнитной индукции около прямого проводника с током являются окружностями, лежащими в плоскости, перпендикулярной проводнику; центры этих окружностей находятся на оси проводника (рис. 6.5). Направление вектора магнитной индукции прямого проводника с током определяется следующим мнемоническим 287 ______правилом. Если смотреть вдоль ------► ^ проводника по направлению то- _______ В ка, т. е. по направлению движения положительных заря-дов, то вектор магнитной индукции направлен по рис. 6.6 касательной к линии индукции в направлении хода часовой стрелки. Однородное магнитное поле. Если в некоторой области пространства вектор индукции магнитного поля имеет одинаковое значение по модулю и одинаковое направление во всех точках поля, то магнитное поле в этом пространстве называется однородным (рис. 6.6). Магнитный поток. Произведение модуля вектора индукции на площадь участка поверхности, перпендикулярной вектору индукции, называется потоком вектора магнитной индукции или магнитным потоком ф. В случае расположения вектора индукции под углом а к поверхности в однородном магнитном поле магнитный поток через плоскую площадку равен: Ф = В5соза. (53.4) За единицу магнитного потока в СИ принят вебер (сокращенно: Вб). 1 Вб — это магнитный поток через поверхность площадью 1 м^, расположенную в однородном магнитном поле перпендикулярно вектору индукции В, равному по модулю 1 Тл: 1 Вб = 1 Тл-1 м2 = 1 Тл-м2. В магнитных полях линии индукции всегда замкнуты сами на себя, образуя вихревое поле. В результате замкнутая поверхность, помещенная в магнитное поле, пронизывается линиями магнитной индукции так, что любая линия, входящая в эту поверхность, выходит из нее. Следовательно, полный магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Полученный результат является следствием того факта, что в природе нет магнитных зарядов и магнитные поля образуются только электрическими токами. ■ Вопросы 1. Как взаимодействуют между собой параллельные проводники с током? 2. Как Ампер объяснял взаимодействие постоянных магнитов? 3. Какое явление используется для определения единицы силы тока в СИ? 4. Как определяется модуль вектора магнитной индукции? 5. В каких единицах выражается магнитная индукция? 6. Как определяется направление вектора 288 магнитной индукции? 7. По какому правилу можно определить направление силы Ампера? 8. Что такое линия магнитной индукции? 9. Какую форму имеют линии индукции магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током? 10. Какое магнитное поле называется однородным? 11. Что называется магнитным потоком? 12. Что является единицей магнитного потока? И Задачи для самостоятельного решения 53.1. С какой силой действует однородное магнитное поле с индукцией 2,5 Тл на проводник длиной 50 см, расположенный под углом 30° к вектору индукции, при силе тока в проводнике 0,5 А? 53.2. Какой должна быть сила тока в обмотке якоря электродвигателя для того, чтобы на участок обмотки из 20 витков длиной 10 см, расположенный перпендикулярно вектору индукции в магнитном поле, действовала сила 120 Н? Магнитная индукция равна 1,5 Тл. 53.3. На прямолинейный участок проводника с током длиной 2 см между полюсами постоянного магнита действует сила 10 ^ Н при силе тока в проводнике 5 А. Определите магнитную индукцию, если вектор индукции перпендикулярен проводнику. § 541 Магнитное поле тока Магнитная индукция прямого проводника с током. Опыт показывает, что сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля, созданного очень длинным прямым проводником с током, на параллельный ему второй проводник с током, пропорциональна не только длине I второго проводника и силе тока /g ® нем. Она также пропорциональна силе тока в первом проводнике и обратно пропорциональна расстоянию г между проводниками (рис. 6.7): F = k' hhl При параллельном расположении проводников сила Ампера максимальна. Ее можно выразить через модуль индукции В магнитного поля, создаваемого электрическим током J^, силу тока /2 во втором проводнике и длину I второго проводника: ¥ = 1^31, (54.2) Из формул (54.1) и (54.2) получаем, что магнитная индукция на расстоянии г от длинного прямого проводника с током определяется выражением (54.1) 10 Физика, 10 кл. 289 в = k'U (54.3) Коэффициент k' можно найти, воспользовавшись определением единицы силы тока (см. § 53). Согласно определению ампера, сила взаимодействия равна 2*10''^ Н, если 1 = г=\ м и Л = /2 = 1 А. Подставляя эти значения в выражение (54.1), получаем fe' • 1 А • 1 А • 1 м 2 -10-7 Н = 1 м (54.4) откуда ^г' = 2 • 10"7 Н/А^. Магнитная постоянная. Вместо коэффициента k' в расчетах в Международной системе единиц пользуются магнитной постоянной Ро» которая связана с коэффициентом к' соотношением /е' = ро/2тс. (54.5) Отсюда магнитная постоянная равна: Ро=4л- 10-7 н/А2== 1,26- 10-6 Н/А2. (54.6) Таким образом, в СИ индукция магнитного поля на некотором расстоянии от прямого проводника с током I выражается так: В = (54.7) Формула для силы взаимодействия параллельных проводников с током в СИ примет вид 2пг (54.8) Магнитное поле катушки и кругового тока. Внутри соленоида — цилиндрической катушки, длина которой I значительно больше радиуса г вит- И а) ка, модуль вектора индукции равен: B = = (54.9) где N — обш;ее число витков; n = N/l — число витков провода на единицу длины катушки. В центре кругового витка с током индукция магнитного поля равна: В = 2V 2г (54.10) рис. 6.8 Вектор индукции магнитного поля как в катушке, так и в центре витка с током направлен вдоль их оси. 290 Направление вектора индукции связано с направлением тока мнемоническим правилом буравчика (правило Максвелла): если головка винта (буравчика) с правой резьбой врагцается по направлению тока, то направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора индукции (рис. 6.8, а, б). Ш Вопросы 1. Как изменится сила магнитного взаимодействия между двумя длинными параллельными проводниками при уменьшении силы тока в каждом из них в два раза? 2. Как изменится сила взаимодействия между двумя параллельными проводниками с током при уменьшении расстояния между ними в два раза? I Задачи для самостоятельного решения 54.1. Какая сила действует на каждый метр длины воздушных проводов троллейбусной линии, расположенных на расстоянии 52 см друг от друга, если сила тока в проводах 2000 А? 54.2. Вычислите индукцию магнитного поля на расстоянии 5 см от прямолинейного участка канала молнии при силе тока в молнии 2 • 10^ А. 54.3. Вычислите индукцию магнитного поля внутри цилиндрической катушки длиной 10 см, содержащей 200 витков провода, при силе тока в катушке 5 А. § 55| Сила Лоренца Движение заряженных частиц в магнитном поле. Если в проводнике длиной I упорядоченно движутся электрические заряды со средней скоростью о, то за время t = l/v через поперечное сечение проводника пройдет суммарный электрический заряд Q = It = Il/v. На этот проводник в магнитном поле с индукцией В действует сила Ампера Fj,^=IBI sina. Но Il = QVy следовательно, если мы в выражении для силы Ампера заменим произведение II на Qv, то получим выражение для силы, действующей на суммарный движущийся заряд: F = QBv sin а. Разделив обе части равенства на число движущихся зарядов, определим силу, действующую на заряд одной частицы q = Q/N: F„ = qBv sina, (55.1) где а — угол между векторами и и В. ^ Направление силы определяется правилом левой руки (рис. 6.9). Для случая движения отрицательно заряженных частиц пальцы левой руки следует располагать противоположно направлению вектора скорости. В однородном магнитном поле на заряженную частицу, движущуюся со скоростью V перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, действует сила постоянная по модулю и направленная перпендикулярно вектору скорости (рис. 6.10). Под действием магнитной силы частица приобретает ускорение, модуль которого равен: a = FJm = qBv/m. В однородном магнитном поле эта частица движется по окружности. Радиус окружности, по которой движется частица, определяется из условия а = и^/г, откуда следует: qvBlm = v^ 1?', т. е. г = дВ (55.2) Период обращения частицы в однородном магнитном поле равен: 2лг 2/гт т= (55.3) V дВ Последнее выражение показывает, что период обращения частицы в однородном магнитном поле не зависит от скорости и радиуса траектории ее движения. Этот факт используется, например, в ускорителе заряженных частиц — циклотроне. Циклотрон. В этом ускорителе заряженные частицы — протоны, ядра атомов гелия (альфа-частицы) или ионизованные атомы других элементов разгоняются переменным электрическим полем постоянной частоты в вакууме в зазоре между двумя пустотелыми металлическими электродами специальной формы — дуантами. Дуанты находятся между полюсами постоянного электромагнита. Под действием магнитного поля внутри дуанта заряженные частицы движутся по дуге окружности. К моменту времени, когда они совершат половину оборота и подойдут к зазору между дуантами, направление вектора напряженности электрического поля между ними изменится на противоположное и частицы вновь испытают ускорение. Каждую следующую половину оборота частицы пролетают по окружности все большего радиуса (рис. 6.11), но период их обращения остает- 292 Вакуумная камера Ускоряющий промежуток рис. 6.11 ся неизменным. Поэтому для Дуанты Траектория ускорения частиц на дуанты \ 'у^астицы подается переменное напря- \/м жение с постоянным перио- х \ У мишень дом, равным периоду обращения частицы: Г„апр = Г„бр = = 2пт/(дВ). Это равенство называется условием синхронизации. Ускорение частиц в циклотроне с постоянным периодом возможно лишь до значений скоростей, значительно меньших CKopocTPi света в вакууме. С приближением скорости частицы к скорости света в вакууме, равной с = 300 000 км/с, период ее обращения в магнитном поле возрастает. Равенство периода обращения частицы и периода изменения электрического поля, т. е. условие синхронизации, нарушается, ускорение частицы в циклотроне прекращается. Для ускорения частиц до скоростей, близких к скорости света в вакууме, служат другие ускорители — фазотроны, синхротроны, синхрофазотроны. Движение заряженных частиц, влетающих в магнитное поле под любым углом к вектору индукции. Заряженная частица, влетающая в однородное магнитное поле со скоростью V под углом а к вектору индукции В, движется по винтовой линии. Докажем это. Разложим вектор скорости v на две составляющие — вектор У||, направленный вдоль вектора индукции, и вектор Uj^, направленный перпендикулярно вектору индукции магнитного поля (рис. 6.12). Вдоль вектора iJ| на заряженную частицу никакие силы не действуют, и в этом направлении частица движется равномерно со скоростью иц = {;со8а. На частицу действует сила, перпендикулярная составляющей Под действием этой силы, равной по модулю F^ = qBv_ = = qBv sin а, заряженная частица будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору индукции. Результирующая траектория будет иметь вид винтовой 293 рис. 6.13 линии с радиусом обращения mv, /пи sin а г ■■ = t‘=“- лу (55.2)] и шагом винта h = v^T = 2лmvcosa/iqB) [см. формулу (55.3)]. Данное явление находит применение в технике и играет важную роль в природе, в частности в астрофизических явлениях. Приведем некоторые примеры. Для осуществления управляемых термоядерных реакций необходимо, чтобы частицы высокотемпературной плазмы — практически полностью ионизованного газа — не сталкивались со стенками сосуда и тем самым не передавали им свою энергию. Для реализации этого условия физики И. Е. Тамм и А. Д. Сахаров в 1950 г. предложили использовать магнитную термоизоляцию. В вакуумной кольцевой камере создается сильное магнитное поле, линии магнитной индукции которого направлены вдоль стенок камеры. Заряженные частицы движутся, как рис. 6.14 бы навиваясь на линии индукции, и не испытывают столкновений со стенками камеры (рис. 6.13). Такие камеры применяются в установках «Токамак» для получения плазмы, нагретой до десятков миллионов кельвин. Своеобразной защитой для всего живого на Земле от потоков заряженных частиц из космоса является магнитное поле Земли. Быстрые заряженные частицы, электроны и протоны, выбрасываемые Солнцем, образуют так называемый солнечный ветер. В магнитном поле Земли траектории движения частиц изменяются, и они огибают Землю (рис. 6.14). На расстояниях примерно от 500 до 60 000 км заряженные частицы движутся, навиваясь на линии индукции магнитного поля Земли (рис. 6.15), совершая колебания от 295 одного полюса к другому за 0,1—1 с. Эта область космоса называется радиационным поясом Земли. Лишь в полярных областях небольшая часть этих частиц вторгается в верхние слои атмосферы из радиационного пояса Земли и вызывает полярные сияния. Сила Лоренца. В одной и той же области пространства могут одновременно суш;ествовать электрическое и магнитное поля, их действия на заряженные частицы независимы. Сила Fji, действуюпо^ая на заряженные частицы со стороны электрического и магнитного полей, называется обобщенной силой Лоренца: = t + (55.4) В частном случае, если напряженность электрического поля равна нулю, то сила Лоренца Fд равна магнитной силе : ^л = ^Вп81па. (55.5) Определение удельного заряда и массы иона. По траектории движуш;егося иона в соответствии с формулой (55.2) можно определить удельный заряд частицы д/т, а при известном заряде ее массу. Рассмотрим принцип действия прибора масс-спектрометра, схематически изображенного на рисунке 6.16. Через систему из трех диафрагм пропускается пучок положительно заряженных ионов, имеющих различные скорости. В пространстве между диафрагмами 1 и 2 создано электрическое поле с напряженностью Eq (вектор Eq лежит в плоскости чертежа) и магнитное поле с индукцией Bq (вектор Bq направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам). За диафрагмой 3 создано однородное магнитное поле с индукцией В, причем вектор В перпендикулярен плоскости чертежа и направлен от нас. Диафрагмы 1 и 2 образуют «фильтр скоростей». В самом деле, на ион, движущийся между ними, действуют в противоположных направлениях две силы: электрическая, по модулю равная Fg = qEQ, и маг-X X X X X X X нитная, модуль которой равен F,^ = qvBQ. Через диафрагму 2 пролетят лишь те ионы, для которых эти силы уравновешены, т. е. F^ = F„, или qEo = qvBo, откуда u = Eq/Bq, Ионы, движущиеся с другими скоростями, отклонятся либо вправо, либо влево и через фильтр не пройдут. Ионы, пролетевшие через диафрагму 3, под действием поперечного магнитного поля описывают полуокружности, радиусы которых равны r=mv/(qB) (см. 55.2). Но так как у всех ионов, прошедших «фильтр скоростей», скорости одинаковы, то радиус полуокружности определяется только удельным зарядом иона q/m. Измерив радиус и зная значения постоянной для данного прибора величины v/B и заряда q определяют массу ио- дВг на т = -—. V Именно с помощью такого и аналогичных масс-спектрометров были определены массы атомов всех элементов, обнаружены изотопы. ■ Вопросы 1. Как определяется модуль силы, действующей со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу? 2. По какой траектории движется заряженная частица в однородном магнитном поле? 3. От чего зависит радиус окружности, по которой движется заряженная частица в однородном магнитном поле? 4. От чего зависит период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле? 5. Каков принцип действия циклотрона? 6. Для чего используется магнитное поле в установках для получения высокотемпературной плазмы? 7. Что такое сила Лоренца? 8. Как определить удельный заряд иона? Массу иона? Ш Задачи для самостоятельного решения 55.1. Вычислите радиус окружности, по которой будет двигаться электрон в однородном магнитном поле с индукцией 10'^ Тл, если вектор скорости электрона направлен перпендикулярно вектору индукции, а модуль скорости равен 10® м/с. 55.2. Как изменится период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле при увеличении магнитной индукции в три раза? 55.3. До какой энергии происходит ускорение протонов в циклотроне, радиус дуантов которого равен 0,75 м? Индукция магнитного поля равна 1,4 Тл. §5б| Магнитное поле в веществе Ферромагнетики. Электростатическое взаимодействие неподвижных зарядов зависит от свойств среды, в которой они находятся. Опыт показывает, что от свойств среды зависит и магнитное взаимодействие токов. Если около большой катушки подвесить на двух тонких проводах вторую небольшую катушку (рис. 6.17), то при подключении катушек к источнику тока наблюдается отклонение маленькой катушки от вертикального положения. При внесении в большую катушку железного сердечника отклонение малой катушки существенно увеличивается. Увеличение силы Ампера, действующей на малую катушку, показывает, что индукция маг- 297 рис. 6.17 нитного ПОЛЯ, создаваемого током в большой катушке, увеличивается при внесении железного сердечника в катушку. Вещества, которые значительно усиливают магнитное поле, называются ферромагнетиками. Кроме железа, к ферромагнетикам относятся никель, кобальт и некоторые сплавы. Магнитная проницаемость. Физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция В магнитного поля в веществе отличается по модулю от индукции Bq магнитного поля в вакууме, называется магнитной проницаемостью'. \x=B/Bq. У ферромагнетиков значения магнитной проницаемости достигают нескольких десятков, сотен и даже тысяч единиц. Магнитная проницаемость ферромагнетиков не является постоянной величиной, она зависит от индукции намагничивающего поля Bq. Кроме того, процесс намагничивания ферромагнетиков зависит от предыдущей истории намагничивания вещества. Это явление называется гистерезисом. На рисунке 6.18 показана так называемая петля гистерезиса. Ее можно получить следующим образом. Изготовим сердечник из размагниченного ферромагнетика в форме то-роида с малой поперечной прорезью и обмотаем его равномерно проводником. Меняя силу тока в обмотке, будем менять индукцию намагничивающего поля Bq. Индукцию магнитного поля будем измерять в зазоре. Вначале индукция магнитного поля в ферромагнетике растет вместе с увеличением индукции намагничивающего поля Bq. Этот рост изображен кривой OS. Дальнейшее возрастание индукции намагничивающего поля {Bq>Bq^) не приводит к увеличению индукции поля в ферромагнетике, индукция сохраняет постоянное значение Bg, называемое намагниченностью насыщения. 298 Уменьшая силу тока в обмотке, мы будем уменьшать индукцию на-магничивающего поля Bq и тем самым индукцию поля в ферромагнетике. При этом мы увидим, что индукция поля в сердечнике в процессе его размагничивания остается все время большей, чем в процессе намагничивания. Когда сила тока в обмотке станет равна нулю, исчезнет и намагничиваюш;ее поле. Но сердечник сохранит остаточную намагниченность — остаточную индукцию В^. Чтобы полностью размагнитить ферромагнитный сердечник, надо через обмотку пропустить ток противоположного направления и тем самым создать магнитное поле с противоположно направленной индукцией (-В^). Значение индукции Вр, при которой сердечник размагничивается, называется коэрцитивной силой. Если далее увеличивать силу тока в обмотке, то процесс намагничивания повторится до насыщения. Затем можно повторить процесс размагничивания, и мы получим на графике замкнутую петлю гистерезиса. Форма гистерезисной петли и значение коэрцитивной силы определяют область применения тех или иных ферромагнетиков. Материалы с малой коэрцитивной силой называются магнитно-мягкими. Эти материалы используются для изготовления сердечников электромагнитов, трансформаторов, машин постоянного и переменного тока (генераторов, двигателей). На рисунке 6.19 изображена гистерезисная петля магнитно-мягкого материала. Магнитно-твердыми (или магнитно-жесткими) называются материалы с большим значением коэрцитивной силы, которые трудно размагнитить (см. рис. 6.18). Эти материалы используются для изготовления постоянных магнитов. Парамагнетики и диамагнетики. Если в опыте по обнаружению магнитного взаимодействия катушек с током в большую катушку (см. рис. 6.17) вносить стержни из меди, алюминия, стекла, фарфора, дерева и т. п., то существенного изменения отклонения маленькой катушки заметить не удается. Однако эксперименты с применением более чувствительных приборов позволяют установить, что все вещества способны в той или иной мере намагничиваться. По характеру производимых изменений внешнего поля неферромагнитные вещества делятся на парамагнетики и диамагнетики. Парамагнетиками называют вещества, которые слабо намагничиваются в направлении индукции внешнего поля. Магнитная проницаемость даже наиболее сильных парамаг- 299 нетиков мало отличается от единицы: 1,00036 у платины и 1,0034 у жидкого кислорода. Диамагнетиками называются вещества, которые слабо намагничиваются в направлении, противоположном индукции намагничивающего поля, т. е. они ослабляют внешнее магнитное поле. Диамагнитными свойствами обладают, например, серебро, свинец, кварц, большинство газов. Магнитная проницаемость диамагнетиков отличается от единицы не более чем на десятитысячные доли. Самый сильный из диамагнетиков — висмут — обладает магнитной проницаемостью, равной 0,999824. Природа диа- и парамагнетизма. Электроны в оболочке атомов вещества движутся по различным орбитам. Если для упрощения считать эти орбиты круговыми, то каждый электрон, обращающийся вокруг атомного ядра, можно рассматривать как круговой электрический ток. Каждый электрон как круговой ток создает магнитное поле, которое называется орбитальным. Кроме того, у электрона в атоме есть собственное магнитное поле, называемое спиновым (от англ, spin — вращение, т. е. электрон как бы вращается как волчок). У атомов одних веществ магнитные поля электронов полностью скомпенсированы. У этих веществ при отсутствии внешнего магнитного поля атомы (и молекулы) не имеют собственного магнитного поля. Эти вещества являются диа-магнетиками. Под действием внешнего магнитного поля орбитальное движение электронов меняется таким образом, что компенсация орбитальных магнитных полей нарушается. При этом вектор индукции орбитального магнитного поля атома оказывается направленным против индукции внешнего поля. Поэтому диамагнетик выталкивается из внешнего магнитного поля. Диамагнитный эффект присущ всем веществам, но проявиться он может лишь у тех веществ, у которых орбитальные и спиновые магнитные поля атомов скомпенсированы. У других веществ магнитные поля электронов в атомах скомпенсированы не полностью, и атом в целом оказывается подобным маленькому постоянному магниту. Обычно в веществе все эти маленькие магниты ориентированы произвольно, и суммарная магнитная индукция всех их полей равна нулю (рис. 6.20). Если же поместить вещество в магнитное поле, то все маленькие магниты-атомы повернутся во внешнем магнитном поле подобно стрелкам компаса. Векторы индукции магнитных полей атомов оказываются преимущественно направленными примерно вдоль направления вектора индукции внешнего поля, поэтому магнитное поле в веществе усиливается (рис. 6.21). Этот эффект называется парамагнитным. Вещества, в которых этот эффект проявляется, называются парамагнетиками. 300 6i 0- а 61 ■ сЬ сЬ сЬ сЬ сЬ А <+> -0 рис. 6.20 '0 сЬ сЬ рис. 6.21 cb сЬ сЬ Bn Заметим, что полная ориентация магнитных полей атомов возможна только вблизи абсолютного нуля. Природа ферромагнетизма. Домены. Ферромагнетизм также качественно объясняется магнитными свойствами электронов. Каждый электрон в атоме обладает собственным (спиновым) магнитным полем. Во всех газах, жидкостях и в большинстве кристаллов спиновые магнитные поля взаимно компенсируются благодаря попарной антипараллельной ориентации спинов электронов в атомах, молекулах или кристаллах. Лишь в некоторых кристаллах, например в кристаллах железа, возникают условия для параллельной ориентации векторов индукции спиновых магнитных полей части электронов и их сложения. В результате этого внутри кристалла ферромагнетика возникают намагниченные области протяженностью 10’^-10“'^ см. Эти области самопроизвольного намагничивания называют доменами (рис. 6.22). В разных доменах индукции магнитных полей имеют различные направления, и в большом кристалле поля взаимно компенсируют друг друга. При внесении ферромагнитного образца во внешнее магнитное поле происходит смещение границ отдельных доменов так, что объем доменов, ориентированных по внешнему полю, увеличивается. Поэтому с увеличением индукции внешнего поля Bq возрастает магнитная индукция намагниченного вещества. При значениях индукции внешнего поля Bq^Bqs смещение границ доменов достигает максимально возможного значения, так как все домены оказываются ориентированными вдоль индукции внешнего поля (рис. 6.23). Поэтому возрастание магнитной индукции В с увеличением магнитной индукции Во внешнего поля пре- кращается (см. рис. 6.18). Это явление называется магнитным насыщением. Вд Постоянные магниты. При вынесении ферромагнитного образца из внешнего магнитного поля значительная часть доменов сохраняет упорядоченную ориентацию. Магнитно-твердый образец становится постоянным магнитом. Для изготовления постоянных магнитов используются специальные стали, сплавы железа с алюминием, никелем и кобальтом, оксиды железа и некоторых других металлов. Температура Кюри. Упорядоченная ориентация магнитных полей атомов в доменах ферромагнетика может быть нарушена за счет энергии тепловых колебаний атомов в кристалле. Чем выше температура кристалла, тем быстрее разрушается порядок в ориентации доменов и образец размагничивается. Температура, выше которой вещество теряет ферромагнитные свойства и становится парамагнетиком, называется температурой (или точкой) Кюри. Температура Кюри у железа 770 °С, у кобальта 1130®С, у никеля 356 ®С. Исчезновение ферромагнитных свойств при высокой температуре можно наблюдать в опыте с лезвием бритвы. При комнатной температуре оно притягивается к магниту; при нагревании в пламени отпадает от магнита, т. е. ферромагнитные свойства стального лезвия теряются. После охлаждения образца его ферромагнитные свойства восстанавливаются, однако магнитно-твердый материал может стать магнитно-мягким. Дело в том, что в процессе отжига меняется структура кристаллической решетки, изменяются упругие, магнитные и другие свойства вещества. ■ Вопросы 1. Какие вещества называются ферромагнетиками? 2. Как объясняются процессы намагничивания и размагничивания ферромагнитных материалов? 3. Что такое температура Кюри? 4. Какими магнитными свойствами обладают диамагнетики и парамагнетики? 5. Из каких магнитных материалов следует изготавливать сердечники трансформаторов — магнитно-мягких или магнитно-твердых? §571 Электроизмерительные приборы в электроизмерительных приборах магнитоэлектрической системы используется действие магнитного поля на проводник с током (рис. 6.24). Измеряемый электрический ток 302 IMl/u/// рис. 6.24 пропускается через рамку 6, помещенную в магнитное поле постоянного магнита 5. Рамка укреплена на оси 2, для уменьшения силы трения стальная ось 2 опирается на подпятники 1, изготовленные из синтетического агата, рубина или корунда. Измеряемый ток подводится к рамке 6 через спиральную пружину 3. На участки проводников, расположенные перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, действует сила Ампера. Если бы подвижная часть измерительного механизма не имела пружину 3, противодействующую ее повороту, то при пропускании тока через рамку происходил бы поворот ее на 180° независимо от силы тока. Но силы упругости, возникающие при закручивании пружины, препятствуют повороту рамки. Сила упругости прямо пропорциональна углу закручивания пружины, поэтому угол поворота, при котором наступает равенство моментов сил Ампера и сил упругости, пропорционален силе тока в рамке. Шкала магнитоэлектрического прибора равномерная. При изменениях силы тока равновесие моментов сил упругости и сил Ампера нарушается, в результате подвижная система начинает совершать колебания относительно нового положения равновесия. Вместе с ней колеблется и стрелка прибора. Для устранения этих колебаний в приборах применяются специальные успокоители. В них для торможения подвижной системы используется тонкая алюминиевая пластина 7, помещенная между полюсами постоянного магнита 8 и закрепленная на оси вращения подвижной системы. При повороте подвижной системы алюминиевая пластина успокоителя движется в поле постоянного магнита. Наводимые в ней при этом индукционные токи тормозят движение пластины и вместе с тем вращение всей подвижной системы электроизмерительного прибора. 303 Для того чтобы при любом положении указательной стрелки 4 подвижная часть была уравновешена в поле тяжести, имеются противовесы 9. Установка на нулевое деление шкалы производится с помощью корректора 10. Поворот стрелки в приборах магнитоэлектрической системы пропорционален силе тока, протекающего через измерительную систему прибора. Однако шкала прибора может быть отградуирована и в единицах напряжения, так как сила тока прямо пропорциональна напряжению, приложенному к выводам измерительной системы. Приборы магнитоэлектрической системы применяются для измерения силы тока и напряжения в цепях постоянного тока. В электроизмерительных приборах других систем подвижная часть обычно устроена примерно так же, как и в приборах магнитоэлектрической системы. В приборах электродинамической системы нет постоянного магнита. Поворот подвижной системы происходит в результате электродинамического взаимодействия электрических токов в двух катушках. Одна катушка закреплена неподвижно, а другая укреплена на оси подвижной системы (рис. 6.25). Электродинамические приборы могут служить ваттметрами — приборами для измерения мощности. С этой целью неподвижную (токовую) катушку включают в цепь последовательно, а подвижную (катушку напряжения) через дополнительный резистор включают параллельно потребителю энергии. Вращающий момент, действующий на подвижную рамку, пропорционален произведению сил токов в обеих обмотках. Но сила тока в одной обмотке равна силе тока в рабочей цепи, а сила тока в другой пропорциональна напряжению на рабочем участке цепи. Очевидно, что их произведение пропорционально мощности. В приборах электромагнитной системы измеряемый ток пропускается по неподвижной катушке, а поворот подвижной рис. 6.25 рис. 6.26 304 системы вызывается втягиванием в эту катушку стального сердечника, связанного с подвижной системой (рис. 6.26). В приборах электростатической системы враш;ение подвижной системы вызывается силами электростатического взаимодействия разноименно заряженных проводников. Достоинство этих приборов заключается в том, что они не потребляют тока, т. е. не являются дополнительной нагрузкой, как приборы другой системы. Но они позволяют измерять только напряжение, но не силу тока. Условные обозначения, позволяющие определить систему электроизмерительного прибора и его назначение, приведены в таблице 5. Таблица 5 Измеряемая величина Сила тока Напряжение Электрическое сопротивление Мощность А V Q W Магнитоэлектрическая Q Система Электромагнитная прибора Электродинамическая Ф Электростатическая Постоянный — Измеряемый Переменный ток Постоянный и переменный Положение Вертикальное JL прибора при Горизонтальное — измерении Под углом 60° /L60° Погрешность прибора. Одной из важнейших характеристик электроизмерительных приборов является класс точности. Отношение максимально возможного значения абсолютной погрешности ДА к максимальному значению измеряемой величины А„ах» выраженное в процентах, называется приведенной погрешностью прибора: е„р=^ 100%. 305 При отклонении стрелки на всю шкалу граница относительной погрешности прибора равна приведенной погрешности. При измерении меньших значений измеряемой величины относительная погрешность измерения превышает приведенную погрешность прибора. По приведенной погрешности электроизмерительные приборы делятся на восемь классов точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. ■ Вопросы 1. Как устроен электроизмерительный прибор магнитоэлектрической системы? 2. Почему приборы магнитоэлектрической системы пригодны для измерений только в цепях постоянного тока? 3. Для чего в электроизмерительных приборах нужны успокоители? 4. Как устроен измерительный прибор электродинамической системы? §58| Электрический двигатель постоянного тока в электрических двигателях для преобразования электрической энергии в механическую используется действие силы Ампера. Основными частями электродвигателя постоянного тока (рис. 6.27) являются индуктор 4^ с помощью которого создается постоянное магнитное поле, якорь 3, через обмотки которого пропускается ток, и коллектор 1 с электрическими щетками 2, с помощью которых осуществляется соединение обмоток якоря с источником тока. В простейшей мащине постоянного тока индуктор — это постоянный магнит или электромагнит со стальным сердечником. Обмотки электромагнита индуктора называются обмотками возбуждения. Магнит индуктора имеет полюсные наконечники такой формы, что между ними образуется отверстие цилиндрической формы. Между полюсными наконечниками индуктора помещается якорь. Якорь состоит из сердечника — стального цилиндра с пазами, параллельными оси цилиндра, и обмоток, вложенных в пазы сердечника. Выводы каждой обмотки соединены с медными контактами коллектора. Якорь насажен на ось, концы которой установлены в подшипниках, и может свободно вращаться вокруг рис. 6.27 этой оси. 306 к коллектору с двух противоположных сторон прижимаются щетки из графита или меди; щетки подключаются к источнику постоянного напряжения. При подключении напряжения в обмотке якоря протекает постоянный электрический ток и на провода обмотки со стороны магнитного поля действует сила Ампера. В проводах обмотки, расположенных на противоположных сторонах якоря, направления сил Ампера противоположны друг другу, и под действием этих сил якорь приходит во вращение. При вращении якоря с помощью коллектора происходит отключение от щеток одной обмотки и подключение другой обмотки таким образом, что в каждый момент времени ток пропускается через ту обмотку якоря, в плоскости которой лежит вектор индукции магнитного поля индуктора. Сила Ампера, действующая на провода обмотки, в этом случае максимальна. Основной рабочей характеристикой электродвигателя постоянного тока является вращающий момент, создаваемый на валу двигателя силой Ампера, действующей на проводник с током в обмотке якоря. Момент пары сил, действующий на рамку с током, равен: M = 2FrN, где г — радиус ротора; N — число витков в обмотке. Из выражения (53.1) получаем M = 2IBlrN, (58.1) где I — сила тока в обмотке; В — индукция магнитного поля; I — длина проводника. Так как 2lr=S есть площадь рамки, а В8 = Ф — максимальный магнитный поток через рамку, то вращающий момент на валу двигателя равен: М = А/Ф. (58.2) Мы получили, что вращающий момент двигателя постоянного тока прямо пропорционален максимальному магнитному потоку Ф через виток обмотки, силе тока / в обмотке якоря и числу витков N в обмотке. Скорость вращения якоря электродвигателя можно регулировать, изменяя силу тока в его обмотках; направление вращения можно изменять, изменяя направление тока в обмотке якоря или индуктора. Электродвигатель постоянного тока может приводить в движение колеса электровоза, троллейбуса, трамвая, приводить в действие электробритву, магнитофон и другие бытовые электроприборы. С помощью электродвигателя постоянного тока — старте- 307 pa — производится запуск двигателя автомобиля. В качестве примера приведем некоторые технические характеристики стартера автомобиля «Жигули». Рабочее напряжение стартера 12 В, сила тока в обмотке якоря при максимальной мощности 260 А, частота вращения якоря 30 об/с. ■ Вопросы 1. Каково устройство электродвигателя постоянного тока? 2. Каково назначение индуктора? 3. Как устроен якорь? 4. Каково назначение коллектора и щеток? 5. От чего зависит вращающий момент электродвигателя постоянного тока? 6. Как можно изменить направление вращения якоря электродвигателя? 7. Как можно изменять скорость вр