Учебник Физика 10 класс Мякишев Буховцев Сотский

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Физика 10 класс Мякишев Буховцев Сотский - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ФГОС Классический курс Г. я. Мякишев Б. Б. Буховцев Н. Н. Сотский физика 10 класс Учебник для общеобразовательных организаций с приложением на электронном носителе Базовый уровень Под редакцией проф. Н. А. Парфентьевой Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1: ББК 22.3я72 М99 53 Серия «Классический курс» основана в 2007 году Раздел «Механика» («Кинематика», «Динамика», «Законы сохранения в механике» и «Статика») написан Н. Н. Сотским. Разделы «Молекулярная физика. Тепловые явления» и «Основы электродинамики» написаны Б. Б. Буховцевым и Г. Я. Мякишевым. На учебник получены положительные заключения по результатам научной (заключение РАН № 10106—5215/20 от 15.10.2013), педагогической (заключения РАО № 01—5/7д—327 от 21.10.2013 и № 418 от 29.01.2014) и общественной (заключение РКС № 415 от 07.02.2014) экспертиз. Мякишев Г. Я. М99 Физика. 10 класс: учеб, для общеобразоват. организаций с прил. на электрон, носителе : базовый уровень / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский; под ред. Н. А. Парфентьевой. — М. : Просвещение, 2014. — 416 с. : ил. — (Классический курс). — ISBN 978-5-09-028225-3. В учебнике, начинающем предметную линию «Классический курс», рассмотрены преимущественно вопросы классической физики: классической механики, молекулярной физики, электрюдинамики. Учебный материал содержит информацию, расширяющую кругозор учащегося; темы докладов на семинарах, интернет-конференциях; ключевые слова, несущие главную смысловую нагрузку по изложенной теме; образцы заданий ЕГЭ. Учебник соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования и реализует базовый уровень образования учащихся 10 классов. ISBN 978-5-09-028225-3 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 © Издательство «Просвещение», 2014 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2014 Все права защищены КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ Мы, авторы и редакторы, надеемся, что учебник, который вы держите в руках, станет вашим надёжным помощником (справочником, путеводителем, наставником) в изучении одной из самых важных областей научного знания — физики. Мы считаем, что только при активной работе с учебным материалом, процесс усвоения новых знаний становится эффективным. Поэтому мы выделили в каждом параграфе важные, с нашей точки зрения, части текста и ввели для них следующие обозначения: □ — параграфы, обязательные для всех учащихся; — параграфы для тех, кто изучает физику более подробно; — дополнительные сведения; — фрагменты текста, на которые надо обратить более пристальное внимание; — определения и формулировки, которые необходимо запомнить; обсудить в классе или с товарищем некоторые утверждения, привести собственные примеры или ответить на вопросы; Bt провести простые опыты, обратить внимание на явления, наблюдаемые в повседневной жизни; темы докладов на дополнительных занятиях, которые могут быть проведены в виде «Круглых столов», интернет-конференций и т. п.; примерные темы проектной и исследовательской деятельности; — образцы заданий ЕГЭ; — вопросы к параграфу; — ключевые слова для поиска информации по теме параграфа. I в конце каждой главы предложен примерный план для составления конспекта изученного материала. Эти конспекты помогут вам подготовиться к экзаменам. При работе с учебником можно использовать электронное приложение. Оно содержит подробные биографии учёных, примеры решения задач, рисунки, фотографии, тесты, анимации, опыты и т. д. Работа с электронным приложением также поможет вам глубже понять изучаемый материал. Искать нужную тему или определение следует по каталогу. В данном учебнике используются следуюпдие обозначения, взятые из него: — биографии учёных; — анимации; — видеофильмы, в которых показаны опыты; — тесты; — периодическая таблица элементов Д. И. Менделеева; — примеры решения задач. Желаем вам испытать радость от познания окружаюш,его мира, понимания основных законов его развития, осознания себя и своего места в нём1 ВВЕДЕНИЕ ФИЗИКА И ПОЗНАНИЕ МИРА С самого рождения мы привыкаем к вещам и явлениям, окружающим нас. Так, мы узнаём, что предмет всегда падает вниз, что есть твёрдые предметы, о которые можно удариться, что огонь может обжечь и т. д. Однако как ни важны подобные знания, они ещё не образуют науку. Человек всегда задаёт вопросы: почему что-то происходит? В чём причина наблюдаемого явления? Поиск ответов на эти вопросы и есть предмет научной деятельности. Физика и другие науки. Именно развитие наук о природе дало в руки человека современную технику и привело к преобразованию окружающего нас мира. Основную роль сыграла физика — важнейшая наука, изучающая самые глубокие законы природы. Физика составляет фундамент главнейших направлений техники. Так, открытие транзистора, сделанное в лаборатории физики твёрдого тела, определило современное развитие электроники, радиотехники и вычислительной техники. Создание лазера позволило осуществить связь на большие расстояния, получить высококачественные объёмные изображения (голография), предложить один из способов удержания высокотемпературной плазмы, создать уникальные технологии операций на глазах и многое другое. Открывая законы природы, спрятанные под покровом бесконечно многообразного мира явлений, человек научился применять их для своих целей, создавать устройства, без которых немыслима современная комфортная жизнь. Учёные продолжают исследования Вселенной, создают уникальные материалы, ведут поиск новых источников энергии. Физика “ это наука, занимающаяся изучением основополагающих и вместе с тем наиболее общих свойств окружающего нас материального мира. Поэтому понятия физики и её законы лежат в основе естествознания. Физика очень тесно связана с астрономией, геологией, химией, биологией и другими естественными науками. Например, открытие двойной спирали ДНК, «главной молекулы», было сделано в физической лаборатории. Это открытие определило пути развития молекулярной биологии, призванной ответить на вопрос, что такое жизнь. Квантовая теория позволила химикам объяснить химическое строение вещества, законы распространения звука помогают геологам изучать земные недра. Физика способствовала развитию многих областей математики. Английский физик Дж. Максвелл говорил: «Точные науки стремятся к тому, чтобы свести загадки природы к определению некоторых величин путём операций с числами». Английский учёный И. Ньютон создал дифференциальное и интегральное исчисления, пытаясь написать уравнения движения тел. Стремление к простоте математического описания позволило австрийскому физику Э. Шредингеру записать уравнение, которое описывает мир атомов. ВВЕДЕНИЕ Физическими методами исследования пользуются учёные практически всех областей науки. Научный метод. Какими же путями добывается научная истина? Несколько сотен лет назад были выработаны основы физического метода исследования. Он состоит в следующем: опираясь на опыт, делая предположения о сути того или иного явления, отыскивают сначала качественные, а затем количественные (формулируемые математически) законы природы; открытые законы проверяются практикой. Таким образом, схема научного познания выглядит так: EW.l!Hni!l наблюдение — гипотеза — теория — эксперимент. Именно эксперимент является критерием правильности теории. «К физике относится только то, что может быть измерено» — это высказывание принадлежит американскому физику П. Бриджмену (1882—1961) и точно отражает особенность физики. Главным судьёй, который призван утвердить или отбросить данную теорию, является эксперимент. Физика имеет дело с воспроизводимыми ситуациями. Повторяя эксперимент при различных условиях, мы можем оценить влияние этих условий на данное физическое явление. Модели в физике. Одним из мощных методов исследования в физике является метод моделирования. Моделирование — это процесс замены реального объекта, процесса или явления другим, называемым моделью. Модель — это идеализация реального объекта или явления при сохранении основных свойств, определяющих данный объект или явление. Подчеркнём, что модель должна сохранять те свойства реального объекта, которые определяют его поведение. Модели бывают теоретическими и лабораторными, в последнее время широко используются компьютерные модели. При создании теоретической модели используются результаты наблюдений и экспериментов. Очевидно, что проблема становится более понятной с помощью конкретных образов, именно поэтому модель чаще всего бывает механической. Например, движение молекул газа наглядно можно представить как движение упругих шариков, строение атома сначала предполагалось аналогичным строению Солнечной системы. Одна из первых моделей, которой мы будем пользоваться, — это материальная точка, т. е. тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Последние слова являются ключевыми: именно условия конкретной задачи позволяют применить данную модель. Сначала, когда данных мало, модель, как правило, получается грубой, но по мере накопления экспериментальных фактов она уточняется, однако для ответов на некоторые важные вопросы можно остановиться и на примитивной модели. В лаборатории моделируются, как правило, явления, изучение которых в природных условиях представляет значительные трудности. Например, течение реки, изменение её русла моделируются в гидравлических лотках. ВВЕДЕНИЕ испытание моделей самолётов проводится в аэродинамической трубе. При этом должны выполняться разные условия подобия — геометрическое, кинематическое и т. д. Теоретическое решение любой физической задачи сводится к математическому моделированию, т. е. написанию уравнений. Часто эти уравнения получаются достаточно сложными, и их решения делаются с помощью компьютеров. Научные гипотезы. Научная гипотеза — высказанное суждение, недоказанное утверждение, предположение, объясняющие наблюдаемые явления или результаты лабораторных экспериментов. Научная гипотеза всегда выдвигается для решения конкретной проблемы, чтобы объяснить полученные экспериментальные данные или устранить разногласия между теоретическими и экспериментальными результатами, полученными в ходе проверки ранее выдвинутых гипотез. Например, немецкий физик-теоретик, основоположник квантовой теории, М. Планк, разрабатывая квантовую гипотезу, опирался как на выводы, полученные в рамках классической теории излучения, так и на отрицательные результаты проверки предыдущих гипотез. Слова русского учёного Д. И. Менделеева подтверждают важность научных гипотез в процессе научного познания: «Они {гипотезы. — Авт.) науке и особенно её изучению необходимы. Они дают стройность и простоту, каких без их допущения достичь трудно. Вся история наук это показывает. А потому можно смело сказать: лучше держаться такой гипотезы, которая может оказаться со временем неверною, чем никакой. Гипотезы облегчают и делают правильною научную работу — отыскание истины, как плуг земледельца облегчает выращивание полезных растений». Физические величины и их измерение. Для того чтобы понять и описать эксперименты, учёные вводят целый ряд физических величин, таких, как скорость, сила, давление, температура, электрический заряд и многие другие. Каждой величине надо дать точное определение, ввести её наименование в определённой системе единиц, указать, как эту величину можно измерить, как провести необходимый для такого измерения опыт. Чаще всего в определениях физических величин просто уточняют и придают количественную форму тому, что непосредственно воспринимается нашими органами чувств. Так вводят понятия силы, температуры и т. д. Есть, конечно, величины, которые не воспринимаются непосредственно нашими органами чувств (например, электрический заряд). Но они выражаются через другие величины, на которые органы чувств человека реагируют. Так, электрический заряд определяется по силам взаимодействия между заряженными телами. Для измерения физической величины необходим эталон, стандарт, т. е. некоторое средство измерения, позволяющее хранить единицу, передавать и повторять её размер. Эталоны, такие, например, как эталоны метра, килограмма и многих других величин, хранятся в Международном бюро мер и весов в Севре (Франция). Точные копии эталона разосланы в разные лаборатории мира. ВВЕДЕНИЕ А существует ли вообще точное значение физической величины? Мы знаем, что любое тело состоит из атомов. При увеличении точности измерения мы приходим к необходимости измерения объектов очень малых размеров, таких, как атомы и молекулы. Одним из существенных выводов квантовой механики был вывод о том, что бессмысленно даже ставить вопрос о точном значении физической величины, причём неопределённость лежит в основе самих законов природы, а не в несовершенстве приборов. Теория. Изучая количественные связи между отдельными величинами, можно выявить частные закономерности. На основе таких закономерностей развивают теорию явлений. Теория должна объяснять частные закономерности с общей точки зрения. Теория позволяет не только объяснять уже наблюдавшиеся явления, но и предсказывать новые. Так, например Д. И. Менделеев на основе открытого им периодического закона предсказал существование нескольких химических элементов, которые в то время не были известны, а английский физик Дж. Максвелл предсказал существование электромагнитных волн. Если между теорией и экспериментом появляется несоответствие, то теорию надо изменить, чтобы можно было объяснить все новые полученные данные, т. е. теорию надо усовершенствовать. Практически всякая известная теория является результатом последовательных уточнений. Физический закон. Чтобы из наблюдений за физическими явлениями сделать общие выводы, найти причины этих явлений, следует установить количественные зависимости между различными физическими величинами. Проводя физический эксперимент, стремятся проследить зависимость данной величины от характера изменения каждого из условий в отдельности. Например, давление газа зависит от его массы, объёма и температуры. Чтобы исследовать эту зависимость, надо сначала изучить, как влияет на давление изменение объёма, когда температура и масса остаются неизменными. Затем нужно проследить, как давление зависит от температуры при постоянном объёме, и т. д. Таким образом, в процессе исследований учёные получают научные факты. Научными фактами называют утверждения, которые можно всегда проверить и подтвердить при выполнении заданных условий. Физический закон — основанная на научных фактах устойчивая связь между повторяющимися явлениями, процессами и состояниями тел и других материальных объектов в окружающем мире. Физические законы обычно выражаются в виде короткого словесного утверждения или компактной математической формулы, связывающей между собой определённые физические величины. Английский физик-теоретик П. Д и -рак сказал: «Физический закон должен обладать математической красотой». Границы применимости физических законов. Теория, проверенная и подтверждённая многочисленными экспериментами, может рассматриваться как физический закон. Однако у каждого закона есть границы применимости. Эти границы прежде всего определяются той теоретической моделью, в рамках которой мы рассматриваем данный закон. Все законы, которым подчиняется реальный газ, выведенные на основе модели идеального газа, справедливы только для тех условий, при которых свойства реального газа приближены к свойствам идеального газа. ВВЕДЕНИЕ Так, мы уже знаем закон Ома: сила тока на участке цепи прямо пропорциональна приложенному к нему напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка: / = ^. Однако этот закон справедлив не для R всех проводников. Например, он неприменим для ионизованного газа. Кроме того, им можно пользоваться только в определённом интервале значений силы тока, в котором можно считать сопротивление постоянным. На самом деле при прохождении тока проводник нагревается, сопротивление проводника увеличивается, и сила тока будет отличаться от расчётной. Открытия в физике. Физика продолжает бурно развиваться. Каждый новый эксперимент позволяет усовершенствовать теорию. Между теорией и экспериментом существует неразрывная связь, непрерывное взаимодействие. Необходимо помнить, что любая физическая теория основывается на определённой модели объектов и явлений. В процессе добывания новых научных фактов любая физическая модель совершенствуется и усложняется. Однако очевидно, что окружающий нас мир гораздо сложнее, многообразней и совершенней любой самой сложной, созданной человеческим умом модели. Поэтому завершённость какой-либо физической теории отнюдь не означает полного познания законов природы. В настоящее время учёные получают в лабораториях новые материалы и исследуют их свойства. Так, в 2010 году была присуждена Нобелевская премия по физике А. Гейму и К. Новосёлову за открытие графена, который обладает сверхпрочными свойствами и наибольшей электропроводностью из существующих материалов. Учёные решают глобальные вопросы: открытие новых элементарных частиц, новых физических законов, новых видов энергии. Разрабатывают теории, подтверждение которых требует создания очень сложных установок, таких, как, например, Большой адронный коллайдер в ЦЕРНе. Длина его основного кольца около 27 км. Создание таких установок требует огромных затрат и сложной подготовки. Однако часто случается так, что теории долго не находят экспериментального подтверждения. Так, например, ещё не обнаружены кварки, хотя считается, что все элементарные частицы состоят из них, и создана стройная теория кварков. Так что сегодня нет никаких оснований считать, что раскрыты почти все законы природы и мы находимся у границ познания. Поле для деятельности будущих учёных практически не имеет границ. Физика. Законы природы. Теория. Эксперимент. Научный факт ч N # «Что мы знаем о физике» 1. Известные нам физические величины. 2. Физические явления — примеры и попытки объяснения. , 3. физические модели. Компьютерное моделирование физических явлений. 4. Использование моделей в других науках, например в биологии, химии и географии. 5. Истории открытий некоторых физических законов. МЕХАНИКА Механика — это наука о причинах и общих законах механического дви- жения тел. И. Ньютон (1642-1727) Законы механики были сформулированы великим английским учёным И. Ньютоном. На могильной плите в Вестминстерском аббатстве в Лондоне высечены знаменательные слова: Здесь покоится Сэр Исаак Ньютон, Который почти божественной силой своего ума Впервые объяснил С помощью своего математического метода Движения и формы планет. Пути комет, приливы и отливы океана. Он первый исследовал разнообразие световых лучей И проистекающие отсюда особенности цветов. Которых до того времени никто даже не подозревал. Прилежный, проницательный и верный истолкователь Природы, древностей и Священного Писания. Он прославил в своём учении всемогущего Творца. Требуемую Евангелием простоту он доказал своей жизнью. Пусть смертные радуются, что в их среде Жило такое украшение человеческого рода. Родился 25 декабря 1642 г. Умер 20 марта 1727 г. На протяжении многих лет учёные были уверены, что единственными основными (фундаментальными) законами природы являются законы механики Ньютона. Однако оказалось, что не все явления можно объяснить на основе механической картины мира, например у электромагнитных явлений иная физическая природа, и они не подчиняются законам Ньютона. Было выяснено также, что законы Ньютона, как и любые другие законы природы, не являются абсолютно точными. При движениях со скоростями, близкими к скорости света, тела обнаруживают свойства, о существовании которых Ньютон не подозревал. Механика изучает движение тел. В физике пользуются абстрактным понятием «физическое тело» или просто «тело». Под телом мы понимаем любой объект, это может быть бегущая собака, человек, автомобиль. Земля, обращающаяся вокруг Солнца, и т. д. Изучив законы движения физического тела, мы можем ответить на практические вопросы, например, о скорости движения поезда, ракеты, человека и т. д. Движение окружающих нас тел можно объяснить на основе законов Ньютона, область применения которых очень обширна. кШимР Механика, основанная на законах Ньютона, называется классической механикой. КИНЕМАТИКА КИНЕМАТИКА КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА По характеру решаемых задач механику делят на кинематику и динамику. В кинематике описывают движение тел без выяснения причин, вызыва-ющ;их данное движение. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. СИСТЕМА ОТСЧЁТА Вспомните, по каким признакам мы определяем, что тело движется. Как вы указываете место, в котором собираетесь встретиться с другом? Первое, что бросается в глаза при наблюдении окружающего нас мира, — это его изменчивость. Мир не является застывшим, статичным. Изменения в нём весьма разнообразны. Но если спросить вас, какие изменения вы замечаете чаще всего, то ответ, пожа- ^ Понаблюдайте за движением различных тел и попробуйте дать своё определение механического движения. луй, будет однозначным: изменяется положение предметов (или тел, как говорят физики) относительно земли и относительно друг друга с течением времени. Бежит ли собака, или мчится автомобиль — с ними происходит один и тот же процесс: их положение относительно земли и относительно вас изменяется с течением времени. Они перемещаются. Сжимается пружина, прогибается доска, на которую вы сели, — изменяется положение различных частей тела относительно друг друга. Изменение положения тела или частей тела в пространстве относительно других тел с течением времени называется механическим движением. Определение механического движения выглядит просто, но простота эта обманчива. Прочтите определение ещё раз и подумайте, все ли слова вам ясны: пространство, время, относительно других тел. Скорее всего, эти слова требуют пояснения. Пространство и время. Пространство и время — наиболее общие понятия физики и... наименее ясные. Исчерпывающих сведений о пространстве и времени мы не имеем. Но и те результаты, которые получены сегодня, изложить в самом начале изучения физики невозможно. Обычно нам вполне достаточно уметь измерять расстояние между двумя точками пространства с помощью линейки и интервалы времени с помощью часов. Линейка и часы — важнейшие приспособления для измерений в механике, да и в быту. С расстояниями ^---------------------------- и интервалами времени приходится А Согласно И. Ньютону «простран-иметь дело при изучении многих I ~ вместилище вещей, а явлений во всех областях науки. ^время - вместилище событии». у КИНЕМАТИКА Приведите примеры тел, относительно которых здание вашей школы движется с большой скоростью, и тел, относительно которых пас-j^axnpbi летящего самолёта неподвижны.^/ «...Относительно других тел». сительно которых здание вашей Если эта часть определения меха-^ — " “ нического движения ускользнула от вашего внимания, то вы рискуете не понять самого главного. Например, в купе вагона на столике лежит яблоко. Во время отправления поезда двух наблюдателей (пассажира и провожающего) просят ответить на вопрос: яблоко движется или нет? Каждый наблюдатель оценивает положение яблока по отношению к себе. Пассажир видит, что яблоко находится на расстоянии 1 м от него и это расстояние сохраняется с течением времени. Провожающий на перроне видит, как с течением времени расстояние от него до яблока увеличивается. Пассажир отвечает, что яблоко не совершает механического движения — оно неподвижно; провожающий говорит, что яблоко движется. Сформулируем закон относительности движения. Залой относительности движения Характер движения тела зависит от того, относительно каких тел мы рассматриваем данное движение. Приступим к изучению механического движения. Человечеству понадобилось около двух тысяч лет, чтобы встать на верный путь, который завершился открытием законов механического движения. Q Попытки древних философов объяснить причины движения, в том числе и ме^ ханического, были плодом чистой фантазии. Подобно тому, рассуждали они, как утомлённый путник ускоряет шаги по мере приближения к дому, падающий камень начинает двигаться всё быстрее и быстрее, приближаясь к матери-земле. Движения живых организмов, например кошки, казались в те времена гораздо более простыми и понятными, чем падение камня. Были, правда, и гениальные озарения. Так, греческий философ Анаксагор говорил, что Луна, если бы не двигалась, упала бы на Землю, как падает камень из пращи. Однако подлинное развитие науки о механическом движении началось с тру-,0В великого итальянского физика Г. Галилея. Кинематика — это раздел механики, изучающий способы описания движений и связь между величинами, характеризующими эти движения. Описать движение тела — это значит указать способ определения его положения в пространстве в любой момент времени. Уже на первый взгляд задача описания кажется очень сложной. В самом деле, взгляните на клубящиеся облака, колышущиеся листья на ветке дерева. Представьте себе, какое сложное движение совершают поршни автомобиля, мчащегося по шоссе. Как же приступить к описанию движения? Самое простое (а в физике всегда идут от простого к сложному) — это научиться описывать движение точки. Под точкой можно понимать, например, маленькую отметку, нанесённую на ' л’" КИНЕМАТИКА движущийся предмет — футбольный мяч (рис. 1.1), колесо трактора и т. д. Если мы будем знать, как происходит движение каждой такой точки (каждого очень маленького участка) тела, то мы будем знать, как движется всё тело. Однако когда вы говорите, что пробежали на лыжах 10 км, то никто не станет уточнять, какая именно часть вашего тела преодолела расстояние в 10 км, хотя вы отнюдь не точка. В данном случае это не имеет сколько-нибудь существенного значения. Введём понятие материальной точки — первой физической модели реальных тел. о Материальная точка — тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях рассматриваемой задачи. Система отсчёта. Движение любого тела, как мы уже знаем, есть движение относительное. Это значит, что движение данного тела может быть различным по отношению к другим телам. Изучая движение интересующего нас тела, мы обязательно должны указать, относительно какого тела это движение рассматривается. |Г^ Какие слова вам кажутся наи-более важными в определении материальной точки? Приведите товарищу по парте примеры ситуаций, в которых реальные объекты можно считать материальными точками. Рассмотрите ситуации, в которых для этих объектов модель материальной точки применить нельзя. VS Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчёта. Чтобы рассчитать положение точки (тела) относительно выбранного тела отсчёта в зависимости от времени, надо не только связать с ним систему координат, но и суметь измерить время. Время измеряют с помощью часов. Современные часы — это сложные устройства. Они позволяют измерять время в секундах с точностью до тринадцатого знака после запятой. Естественно, ни одни механические часы такой точности обеспечить не могут. Так, одни из самых точных в стране механических часов на Спасской башне Кремля в десять тысяч раз менее точны, чем Государственный эталон времени. Если эталонные часы не корректировать, то на одну секунду они убегут или отстанут за триста тысяч лет. Понятно, что в быту нет необходимости измерять время с очень большой точностью. Но для физических исследований, космонавтики, геодезии, радиоастрономии, управления воздушным транспортом высокая точность в измерении времени просто необходима. От точности измерения времени зависит точность, с которой мы сумеем рассчитать положение тела в какой-либо момент времени. ЕВШ9 Совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчёта. Систему отсчёта выбирают таким образом, чтобы движение тела в ней было наиболее простым и в то же время можно было ответить на поставленный в задаче вопрос. КИНЕУАТИКА П О X Рис 1 2 На рисунке 1.2 показана система отсчёта, выбранная для рассмотрения полёта брошенного мяча. В данном случае телом отсчёта является дом, оси координат выбраны так, что мяч летит в плоскости XOY, для определения времени берётся секундомер. В какой системе отсчёта лучш^ Уш рассматривать движение: космонавта на Луне; автомобиля, догоняющего впереди движущийся автобус; мяча, упавшего в воду из движущейся по реке лодки? ; Кинематика. Механическое движение. Система отсчёта «Г. ч* ■:..ав«кай-'. ?■ 1. Что называется телом отсчёта? ■' Что составляет систему отсчёта? '6. Какие способы отсчёта времени вам известны? А1. Истинность теории базируется на А) достоверности экспериментов, лежащих в её основе Б) экспериментальном подтверждении выводов из неё 1) только А 2) только Б 3) и А, и Б 4) ни А, ни Б Л2. Исследуется перемещение слона и мухи. Модель материальной точки может использоваться для описания движения 1) только слона 3) и слона, и мухи в разных исследованиях 2) только мухи 4) ни слона, ни мухи, поскольку это живые существа ^3. Решаются две задачи: А. Рассчитывается манёвр стыковки двух космических кораблей. Б. Рассчитываются периоды обращения космических кораблей вокруг Земли. В каком случае космические корабли можно рассматривать как материальные точки? 1) только в первом 3) в обоих случаях 2) только во втором 4) ни в первом, ни во втором \4. Когда мы говорим, что смена дня и ночи на Земле объясняется восходом и заходом Солнца, то мы имеем в виду систему отсчёта, связанную с 1) Солнцем 3) планетами 2) Землёй 4) любым телом V.) Чтобы было проще рассчитать время движения автобуса между двумя остановками, надо в качестве тела отсчёта выбрать 1) автобус 3) шоссе, по которому он движется 2) проезжающую мимо машину 4) идущего по тротуару пешехода КИНЕМАТИКА СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ Вспомните из курса физики основной школы физические величины, которыми можно описать механическое движение тела. Если тело можно считать точкой, то для описания его движения нужно научиться рассчитывать положение точки в любой момент времени относительно выбранного тела отсчёта. Существует несколько способов описания, или, что одно и то же, задания движения точки. Рассмотрим два из них, которые наиболее часто применяются. Координатный способ. Будем задавать положение точки с помощью координат (рис. 1.3). Если точка движется, то её координаты изменяются с течением времени. Так как координаты точки зависят от времени, то можно сказать, что они являются функциями времени. Математически это принято записывать в виде ESSB9 Сколько координат необходим(Г\ для описания движения: машины по прямой дороге; бильярдного шара по столу; мухи по комнате?J Уравнения (1.1) называют кинематическими уравнениями движения X = x(t). = (1.1) w 2 = z(t). ^ точки, записанными в координатной форме. Если уравнения движения известны, то для каждого момента времени мы сможем рассчитать координаты точки, а следовательно, и её положение относительно выбранного тела отсчёта. Вид уравнений (1.1) для каждого конкретного движения будет вполне определённым. ния тел. «Основной задачей кинематики является определение уравнений Движе- Количество выбираемых для описания движения координат зависит от условий задачи. Если движение точки происходит вдоль прямой, то достаточно одной координаты и, следовательно, одного уравнения, например, x(t). Если движение происходит на плоскости, то его можно описать двумя уравнениями — x(t) и y(t). Уравнения (1.1) описывают движение точки в пространстве. Векторный способ. Положение точки можно задать, и с помощью радиус-вектора. Радиус-вектор — это направленный отрезок, проведённый из начала координат в данную точку. КИНЕМАТИКА При движении материальной точки радиус-вектор, определяющий её положение, с течением времени изменяется (поворачивается и меняет длину; рис. 1.4), т. е. является функцией времени: Г = r{t). (1.2) На рисунке 1.4 радиус-вектор 7^ определяет положение точки в момент времени а радиус-вектор — в момент времени /g- Формула (1.2) есть уравнение движения точки, записанное в векторной форме. Если оно известно, то мы можем для любого момента времени рассчитать радиус-вектор точки, а значит, определить её положение. Таким образом, задание трёх скалярных уравнений (1,1) равносильно за- | Данию одного векторного уравнения (1.2). . * у Итак, мы знаем, что положение точки в пространстве определяется её координатами или её радиус-вектором. Модуль и направление любого вектора находят по его проекциям на оси координат. Чтобы понять, как это делается, вначале необходимо ответить на вопрос: что понимают под проекцией вектора на ось? Изобразим какую-либо ось (рис. 1.5), например ось ОХ. Опустим из начала А и конца В вектора а* перпендикуляры на ось ОХ. Точки и есть проекции соответственно начала и конца вектора cl на эту ось. Проекцией вектора а на какую-либо ось называется длина отрезка между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «—». лф: В каких случаях проекция вектора уВш на ось максимальна, а в каких — минимальна? Можно ли расположить на плоскости вектор так, чтобы и проекция на ось X, и проекция на ось I Y имели максимальные значения? Проекцию вектора мы будем обозначать той же буквой, что и вектор, но, во-первых, без стрелки над ней и, во-вторых, с индексом внизу, указывающим, на какую ось проецируется вектор. Так, vl ау — проекции вектора о* на оси координат ОХ и ОУ. Согласно определению проекции вектора на ось можно записать: а, = ± \AyBi\ . Проекция вектора на ось представляет собой алгебраическую величину. Она выражается в тех же единицах, что и модуль вектора. Условимся считать проекцию вектора на ось положительной, если от проекции начала вектора к проекции его конца надо идти в положительном направлении оси проекций (рис. 1.6). В противном Рис. 1.6 случае (см. рис. 1.5) она считается отрицательной. КИНЕМАТИКА Из рисунков 1.5 и 1.6 нетрудно увидеть, что проекция вектора на ось будет положительной, когда вектор составляет острый угол (р с направлением оси проекций, и отрицательной, когда вектор составляет с направлением оси проекций тупой угол ф. /1ногда нужно находить состав-ляющие вектора, например векторы и а^. Сумма составляющих равна У^ектору о*: а* = а, + а„ [Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора . Какими способами можно задать положение точки? " Как задают положение точки в пространстве с помощью координат? Н. Что называется радиус-вектором? Что называется проекцией вектора на ось? 5. Чему равна проекция вектора на ось, если вектор направлен так же, как и ось проекции? С Чему равна проекция вектора на ось, если вектор направлен противоположно оси проекции? 431^ 7. Чему равна проекция вектора на перпендикулярную к нему ось? 1|глА А1. Точка движется в плоскости XOY. Вектор 7% модуль которого равен 1 м, направлен под углом 30° к оси X. Чему равны проекции вектора г* на оси X и У? 1) 0,5; 0,87 2) 0,5; 0 3) 0,87; 0,5 4) 0,87; 0 \2. Точка движется в плоскости XOY. Вектор 7% модуль которого равен 2 м, направлен под углом 135° к оси X. Чему равны проекции вектора г* на оси X и У? 1) 1,41; 1,41 2) 0,71; 0 3) -1,41; -0,71 4) -1,41; 1,41 м ЛЗ Начальное положение точки 7^(3; 0). Чему равен модуль вектора, определяющего новое положение точки, если изменение координаты у равно 4? 1) 7 м 2) 5 м 3) 4 м 4) 1 м Л *. Начальное положение точки 7^(4; 0; 0). Через промежуток времени t положение точки 7^(4; 0; 3). Кинематические уравнения движения имеют вид 1)л: = 4м 2)х = 4м 3)дс = 4м 4)дс = 4м у = о у = y{t) у = о у = о 2 = 5м 2 = Зм 2=Зм 2 = z(t) Л5. Точка движется по прямой в плоскости XOY. Начальное положение точки 7^(3; 0), конечное 7^(0; 3). Угол ср к оси ОХ, под которым двигалась точка, равен 1) 0° 2) 45° 3) 135° 4) 90° КИНЕМАТИКА ТРАЕКТОРИЯ. ПУТЬ. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ С какими векторными величинами вы встречались на уроках физики? Чем отличаются векторные величины от скалярных? торией. Линия, по которой движется точка в пространстве, называется траек- В зависимости от формы траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая -- криволинейным. С верхней полки вагона поезда, движущегося прямолинейно, уронили предмет. Можно ли считать движение предмета прямолинейным в системе отсчёта, связанной с вагоном? в системе отсчёта, связанной с землёй? \mi }■ \ "v/ i а) М\ б) Рис. 1./ Пусть в какой-то момент времени движущаяся точка занимает положение (рис. 1.7, а). Как найти её положение спустя некоторый промежуток времени после этого __________^ момента? Допустим, известно, что точка находится на расстоянии I относительно своего начального положения. Сможем ли мы в этом случае однозначно определить новое положение точки? Очевидно, нет, поскольку есть бесчисленное множество точек, которые удалены от точки на расстояние I. Чтобы однозначно определить новое положение точки, надо ещё знать, в каком направлении от точки следует отложить отрезок длиной I. Таким образом, если известно положение точки в какой-то момент времени, то найти её новое положение можно с помощью определённого вектора (рис. 1.7, б). Вектор, проведённый из начального положения точки в её конечное положение, называется вектором перемещения или просто перемещением точки. Поскольку перемещение — величина векторная, то перемещение, показанное на рисунке 1.7, б, можно обозначить Покажем, что при векторном способе задания движения перемещение можно рассматривать как изменение радиус-вектора движущейся точки. Пусть радиус-вектор 7^ задаёт положение точки в момент времени а радиус-вектор — в момент времени ^2 (рис. 1.8). Чтобы найти изменение радиус-вектора за промежуток времени Af = ^2 “ ^i» надо из конечного вектора вычесть начальный КИНЕМАТИКА вектор 7^. Из рисунка 1.8 видно, что перемещение, совершённое точкой за промежуток времени Д#, есть изменение её радиус-вектора за это время. Следовательно, обозначив изменение радиус-вектора через Аг записать: Аг* = т\ - г* Понаблюдайте за движением различных тел и классифицируйте виды их движения. можно ЕШВ Путь S ~ длина траектории при перемещении точки из положения Mj в положение М, Модуль перемещения может быть не равен пути, пройденному точкой. Например, на рисунке 1.8 длина линии, соединяющей точки и Mg, больше модуля перемещения: S > |Д7^|. Путь равен перемещению только в случае прямолинейного однонаправленного движения. Перемещение тела Д7^ — вектор, (Траектория. Путь. Перемещение Какая из характеристик движения — путь или перемещение — вам кажется наиболее важной? В каких случаях следует определять путь, а в каких — перемещение? путь S — скаляр, | АТ* \ < s. .V '.'к Найти I 1. Что называется перемещением точки? 2. В каком случае модуль перемещения точки за какое-то время равен пути, пройденному ею за то же время? Л1. Вертолёт поднимается вертикально вверх. Какую форму имеет траектория движения точки на конце лопасти винта вертолёта в системе отсчёта, связанной с землёй? 1) точка 3) прямая 2) окружность 4) винтовая линия Л2 Два тела, брошенные с поверхности Земли вертикально вверх, достигли высот 10 м и 20 м и упали на Землю. Пути, пройденные этими телами, отличаются на 1) 5 м 2) 20 м 3) 10 м 4) 30 м АЗ. Человек обошёл круглое озеро диаметром 1 км. О пути, пройденном человеком, и модуле его перемещения можно утверждать, что 1) путь равен 3,14 км, модуль перемещения равен 1 км 2) путь равен 3,14 км, модуль перемещения равен нулю 3) путь равен нулю, модуль перемещения равен нулю 4) путь равен нулю, модуль перемещения равен 3,14 км Л4. Точка начинает движение по окружности радиусом 2 м, и когда её перемещение равно по модулю диаметру, путь, пройденный ею, равен 1) 2 м 2) 4 м 3) 6,28 м 4) 12,56 м II КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ Один и тот же путь тело может пройти за разные промежутки времени. Какая физическая величина характеризует быстроту движений тела? Как, зная эту величину, определить положение тела? На уроках физики вы довольно подробно изучали равномерное движение. Движение точки называется равномерным, если она за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути. Равномерное движение может быть как криволинейным, так и прямолинейным. Равномерное прямолинейное движение — самый простой вид движения. С него мы и начнём изучение движения в кинематике. Скорость. Важной величиной, характеризующей движение точки, является её скорость. Некоторое представление о скорости каждый из нас имел и до начала изучения физики. Черепаха перемещается с малой скоростью, человек движется с большей скоростью, автомобиль движется быстрее человека, а самолёт — ещё быстрее. Самой большой скорости относительно Земли человек достигает с помощью космических ракет. В механике рассматривают скорость как векторную величину. А это означает, что скорость можно считать известной (заданной) лишь в том случае, если известны её модуль и направление. Дадим определение скорости равномерного прямолинейного движения точки. Пусть точка, двигаясь равномерно и прямолинейно в течение промежутка времени At, переходит из положения в положение Mg (рис. 1.9), совершив при этом перемещение АТ*. Поделим перемещение АТ* на промежуток времени At, в течение которого это перемещение произошло. В результате получим вектор. (При делении вектора на число получаем вектор.) Этот вектор называют скоростью равномерного прямолинейного движения точки и обозначают буквой и*. Следовательно, можно записать: Составьте с помощью Интерне^ та таблицу примерных скоростей различных объектов. Проанализируйте её. Аг At (1.3) Так как промежуток времени At — величина положительная, то скорость направлена так же, как и перемещение АТ*. Выясним смысл модуля скорости At V = КИНЕМАТИКА ЕИНВШЯ Скоростью равномерного прямолинейного движения точки называется векторная величина, равная отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Модуль перемещения | АТ* \ есть расстояние, пройденное точкой за время At. А так как точка движется равномерно, то модуль отношения, а значит, и модуль скорости V есть величина, численно равная пути, пройденному точкой за единицу времени. Уравнение равномерного прямолинейного движения точки. Пусть радиус-вектор 7^ задаёт положение точки в начальный момент времени Iq, а радиус-вектор г* — в момент времени t. Тогда At = t - tQ, Af* = F* - 7q, и вы- ражение для скорости принимает вид v = t — Если начальный момент времени tQ принять равным нулю, то v = Отсюда г = Гп Т V t. (1.4) Проведите эксперимент. Измерь^ те время вашего перемещения из одной точки в другую, например от двери школы до калитки. Определите скорость. Сравните вашу скорость со скоростью товарища, прошедшего это же расстояние. Последнее уравнение и есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в векторной форме. Оно позволяет найти радиус-вектор точки при этом движении в любой момент времени, если известны скорость точки и радиус-вектор, задающий её положение в начальный момент времени. Вместо векторного уравнения (1.4) можно записать три эквивалентных ему уравнения в проекциях на оси координат. Радиус-вектор 7^ является суммой двух векторов: радиус-вектора 7^ и вектора ТГ^. Следовательно, проекции радиус-вектора г* на оси координат должны быть равны сумме проекций этих двух векторов на те же оси. Рассмотрим случай, когда направления 7^ и iT совпадают. Выберем оси координат так, чтобы точка двигалась по какой-либо оси, например по оси ОХ. Тогда векторы 7^ и и* будут составлять с осями OY и OZ прямой угол. Поэтому их проекции на эти оси равны нулю. А значит, равны нулю в любой момент времени и проекции радиус-вектора 7^ на оси OY и OZ. Так как проекции радиус- вектора на координатные оси равны координатам его конца, то = д: и ^ох ^ ^0- Поэтому в проекциях на ось ОХ уравнение (1.4) можно записать в виде Запишите уравнение (1.4) в про-уш екциях на оси декартовой системы координат. Обсудите, в каком случае при рассмотрении движения точки можно ограничиться одной осью. X = Хп + vj. (1.5) ВМШ Уравнение (1.5) есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в координатной форме. КИНЕМАТИКА Оно позволяет найти координату х точки при этом движении в любой момент времени, если известны проекция её скорости на ось ОХ и её начальная координата Xq. Если 7^ и iT не совпадают по направлению, а ось ОХ направлена вдоль скорости, то уравнение движения запишем в виде X = Xq + vj: У = Уо Z — 2q, где Xq, yQ, Zq — проекции радиус-вектора 7^ на оси координат (рис. 1.10, а). Путь S, пройденный точкой при движении вдоль оси ОХ (рис. 1.10, б), равен модулю изменения её координаты: s = jxg — Его можно найти, зная модуль скорости v = |i;J: s = \v}t = vt. (1.6) г Какое из наблюдаемых вами движений можно приблизительно считать равномерным? Движение точки может происходить как по направлению оси ОХ (v^ = v), так и в противоположную сторону (и^ = -у). Поэтому при расчётах разумно пользоваться уравнением: ДГ = ЛТд ± vt. -------^ Отметим, что, строго говоря, равномерного прямолинейного движения не существует. Автомобиль на шоссе никогда не едет абсолютно прямо, небольшие отклонения в ту или иную сторону от прямой всегда имеются. И значение скорости слегка изменяется. Но приближённо на протяжении не слишком большого промежутка времени движение автомобиля можно считать равномерным и прямолинейным с достаточной для практических целей точностью. Таково одно из упрощений действительности, позволяющее без больших усилий описывать многие движения. Графическое представление равномерного прямолинейного движения. Полученные результаты можно изобразить наглядно с помощью графиков. Особенно прост график зависимости проекции скорости от времени (рис. 1.11). Это прямая, параллельная оси времени. Площадь прямоугольника ОАВС, заштрихованная на рисунке, равна изменению координаты точки за время t. Ведь сторона ОА есть v^, а сторона ОС — время движения t, поэтому Ах = vj:. На рисунке 1.12 приведены примеры графиков зависимости координаты от времени для трёх различных случаев равномерного прямолинейного движения. Прямая 1 соответствует случаю Xq = 0, > 0; прямая 2 — случаю Xq < о, v^2 > о, а прямая 3 — случаю Xq > 0, < 0. Угол наклона Од прямой 2 больше, чем угол наклона прямой 1. За один и тот же промежуток времени точка, движущаяся со скоростью проходит большее расстояние, чем при движении её со скоростью Vj^i. Следовательно, скорость боль- КИНЕМАТИКА Vx2 Vxl о Vx3 Рис. 1.13 ше, чем скорость Проекция скорости определяет угол наклона прямой к оси t. Очевидно, проекция скорости численно равна тангенсу угла а. В случае 3 Од < О, движение происходит в сторону, противоположную оси ОХ. На рисунке 1.13 представлены зависимости проекций скоростей от времени для случаев 1, 2 и 3. I Равномерное прямолинейное движение. Скорость Как записывается в векторной форме уравнение равномерного прямолинейного движения точки? ■' Как записывается в координатной форме уравнение равномерного прямолинейного движения точки, если она движется: по оси ОУ? по оси OZ7 " Равен ли модуль перемещения длине пути при равномерном движении точки? 1 Можно ли сказать, что тангенс угла наклона прямой .r(t) к оси t численно равен скорости? Зависимость координаты точки от времени при равномерном прямолинейном движении выражается 1) линейной функцией 3) тригонометрической функцией 2) квадратичной функцией 4) показательной функцией \ Координата точки изменяется с течением времени согласно формуле х = = 10 — At. Чему равна координата этой точки через 5 с после начала движения? 1) -20 м 2) -10 м 3) 10 м 4) 30 м Ч.. В таблице приведены координаты корабля, плывущего по прямому каналу. X, м 0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 мин 0 5 10 15 20 25 30 Согласно данным таблицы, движение корабля является 1) равномерным в течение всего времени наблюдения 2) неравномерным в течение всего времени наблюдения 3) равномерным первые 10 мин наблюдения и неравномерным с 10-й по 30-ю мин 4) неравномерным первые 10 мин наблюдения и равномерным с 10-й по 30-ю мин КИНЕМАТИКА ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ» При решении задач по данной теме необходимо прежде всего выбрать тело отсчёта и связать с ним систему координат. В данном случае движение происходит по прямой, поэтому для его описания достаточна одна ось, например ось ОХ. Выбрав начало отсчёта, записываем уравнения движения. •Задача I. Определите модуль и направление скорости точки, если при равномерном движении вдоль оси ОХ её координата за время = 4 с изменилась от = 5 м до JCg = -3 м. Решение. Модуль и направление вектора можно найти по его проекциям на оси координат. Так как точка движется равномерно, то проекцию её скорости на ось ОХ найдём по формуле = Х2 - х-1 -3-5 — м/с = -2 м/с. Отрицательный знак проекции скорости означает, что скорость точки направлена противоположно положительному направлению оси ОХ. Модуль скорости V = |у^| = |-2 м/с| = 2 м/с. D А ВС Iq О I X Задач. 2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми вдоль прямого шоссе Iq = 20 км, одновременно навстречу друг другу начгши равномерно двигаться два автомобиля. Скорость первого автомобиля = 50 км/ч, а скорость второго автомобиля Ug = 60 км/ч. Определите положение автомобилей относительно пункта А спустя время i = 0,5 ч после начала движения и расстояние I между автомобилями в этот момент времени. Определите пути Sj и Sg, пройденные каждым автомобилем за время t. Решение. Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось ОХ в сторону пункта В (рис. 1.14). Движение автомобилей будет описываться уравнениями Х2 = Xq2 + V2J. Так как первый автомобиль движется в положительном направлении оси ОХ, а второй — в отрицательном, то yg^ = -yg. В соответствии с выбором начала координат jJqj = 0, Xq^ = ^о* Поэтому спустя время t = yjt = 50 км/ч • 0,5 ч = 25 км; ^2 ^ ^0 ~ ^2^ ^ 20 км - 60 км/ч • 0,5 ч = —10 км. Первый автомобиль будет находиться в точке С на расстоянии 25 км от пункта А справа, а второй — в точке D на расстоянии 10 км слева. Расстояние между автомобилями будет равно модулю разности их координат: I = \х2 - Xi\ = |-10 км - 25 км| = 35 км. Пройденные пути равны: ^ = 50 км/ч • 0,5 ч = 25 км, §2 = 1^2^ “ 60 км/ч • 0,5 ч = 30 км. КИНЕМАТИКА В щ I JCb X Задача 3. Из пункта А в пункт В выезжает первый автомобиль со скоростью Спустя время fp из пункта В в том же направлении со скоростью Og вь1-езжает второй автомобиль. Расстояние между пунктами А и В равно Z. Определите координату места встречи автомобилей относительно пункта В и время от момента отправления первого автомобиля, через которое они встретятся. Решение. Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось ОХ в сторону пункта В (рис. 1.15). Движение автомобилей будет описываться уравнениями Х2 = I + 02i t - to). в момент встречи координаты автомобилей равны: Z - У2Ц - ug ■ Очевидно, что решение имеет смысл при Oj = Хп = х^. Тогда = / Ч- Og( fg - iff) и время до встречи > Уо и у, < yg и / < ygfo* Координата места встречи х^ = = у Задача 4. На рисунке 1.16 представлены графики зависимости координат точек от времени. Определите по графикам: 1) скорости точек; 2) через какое время после начала движения они встретятся; 3) пути, пройденные точками до встречи. Напишите уравнения движения точек. I > ygZ() Z ~ ^2^0 или при yi-Ug Решение. За время, равное 4 с, изменение координаты первой точки: Ал:^ = 4 — 2 (м) = 2 м, второй точки: A^Tg = 4-0 (м) = 4 м. 1) Скорости точек определим по формуле у^^ = 0,5 м/с; V2x — 1 м/с. Заметим, что эти же значения можно было получить по графикам, определив тангенсы углов наклона прямых к оси времени: скорость yj^ численно равна tgOj, а скорость V2x численно равна tgOg. 2) Время встречи — это момент времени, когда координаты точек равны. Очевидно, что Zg = 4 с. 3) Пути, пройденные точками, равны их перемещениям и равны изменениям их координат за время до встречи: Sj = Ах^= 2 м, Sg = АХ2 = 4 м. Уравнения движения для обеих точек имеют вид х = Xq + v^t, где дсо = = лгд! = 2 м, у^^ = 0,5 м/с — для первой точки; Xq = Xgg = 0, yg^^ = 1 м/с — для второй точки. Задачи для самостоятельного решения 1. При равномерном движении точки по прямой, совпадающей с осью ОХ, координата точки изменилась от 8 до -8 м. Определите время, в течение которого произошло изменение координаты, если модуль скорости равен 4 м/с. Какой путь прошла точка за это время? КИНЕМАТИКА х,мД 2 О -4 Vx, м/с к 2 3 I I ' I ____________,1_____ 7 '9 t 1 / *• # 1.17 -2 н—I—I—t- 6 t, с 2. На рисунке 1.17 изображён график зависимости координаты от времени для точки, движущейся вдоль оси ОХ. Опишите движение точки в интервалах времени от О до 3 с, от 3 до 7 с и от 7 до 9 с. Постройте графики модуля и проекции скорости в зависимости от времени. Начертите график зависимости пути от времени. 3. На рисунке 1.18 изображён график зависимости проекции скорости от времени при движении точки вдоль оси ОХ. Чему равен модуль скорости точки? В каком направлении оси ОХ она движется? Чему равно изменение координаты за 6 с, и какой путь пройден точкой за это время? Постройте график зависимости координаты от времени, если Xq = 6 м. Постройте график зависимости пути от времени. В чём различие графиков? 4. Из пунктов, отстоящих друг от друга на расстоянии 90 км, одновременно выехали два автобуса со скоростями 60 и 30 км/ч, направленными вдоль прямого шоссе, соединяющего эти пункты. Через сколько времени автобусы встретятся? Рассмотрите все возможные случаи. - I На рисунке представлен график движения точки. Определите значение её координаты и скорости движения в момент времени 5 с. 1) 2 м; 1,6 м/с 3) 10 м; 1,6 м/с 2) 10 м; 2 м/с 4) 2 м; 2 м/с На рисунке представлен график движения автобуса из пункта А в пункт В и обратно. Пункт А находится в точке х = 0, а пункт В — в точке X = 30 км. Чему равна скорость автобуса на пути из А в В и из В в А? 1) 40 км/ч, 30 км/ч 3) 60 км/ч, 40 км/ч 2) 50 км/ч, 40 км/ч 4) 75 км/ч, 50 км/ч /..3 На рисунке представлен график зависимости пути S велосипедиста от времени t. В каком интервале времени велосипедист не двигался? 1) от о с до 1 с 3) от 3 с до 5 с 2) от 1 с до 3 с 4) от 5 с и далее КИНЕМАТИКА § 6 СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ Изменится ли движение, если мы будем его описывать в разных системах координат? В любой ли системе координат удобно описывать движение? Пусть по реке плывёт моторная лодка и нам известна её скорость относительно воды, точнее, относительно системы координат К^, движущейся вместе с водой (рис. 1.19). Такую систему координат можно связать, например, с мячом, выпавшим из лодки и плывущим по течению. Если известна ещё и скорость течения реки iT относительно системы координат К2, связанной с берегом, т. е. скорость системы координат относительно системы координат К2, то можно определить скорость лодки щ относительно берега. За промежуток времени Ai перемещения лодки и мяча относительно берега равны А7^ и А7^ (рис. 1.20), а перемещение лодки относительно мяча равно А7^. Из рисунка 1.20 видно, что Аг^ = Аг^ + А7\ (1>7) Разделив левую и правую части уравнения (1.7) Аго |АГ1 на Af, получим Аг At At Ar At Учтём также, что отношения перемещений к интервалу времени равны скоростям. Поэтому vt = + V*. (1.8) Скорости складываются геометрически, как и все другие векторы. Уравнение (1.8) называют законом сложения скоростей. /Если Закон сложения скоростей тело движется относительно некоторой системы координат Ki со скоростью V* и сама система движется относительно другой системы координат К2 со скоростью iT,, то скорость тела относительно второй системы равна у^еометрической сумме скоростей у\ и у*.___________________________________^ Как и любое векторное уравнение, уравнение (1.8) представляет собой компактную запись скалярных уравнений, в данном случае — для сложения проекций скоростей движения -------------------------------------------- на плоскости: ' MfL Как запишется классический за- = Uw + у. '2х Vo.. = V '2у 1у + (1.9) кон сложения скоростей, если неподвижной считать систему, связанную с мячом, а подвижной — с \^ерегом?____________________________ КИНЕМАТИКА Проекции скоростей складываются алгебраически. Закон сложения скоростей позволяет определять скорость тела относительно разных систем отсчёта, движущихся относительно друг друга. Классический закон сложения скоростей справедлив для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света, р Часто скорость тела относительно неподвижной системы координат называют абсолютной скоростью, относительно подвижной системы координат — относительной, а скорость тела отсчёта, связанного с подвижной системой, относительно неподвижной — переносной скоростью. Тогда закон сложения скоростей имеет вид = V пер* А Понаблюдайте, с какой скоростью движутся тела относительно разных систем отсчёта, например пассажир, идущий вдоль движущегося вагона поезда и т. п. [Закон сложения скоростей 40ШЛ.Л... I Сформулируйте закон сложения скоростей. Велосипедист движется по дорожке со скоростью v*. Чему равна скорость дорожки относительно велосипедиста? Лодка плывёт через реку, выдерживая курс перпендикулярно берегам. Запишите для лодки закон сложения скоростей, связав неподвижную систему координат с водой. ; Два автомобиля движутся по прямой дороге в одном направлении: один — со скоростью 50 км/ч, а другой — со скоростью 70 км/ч. При этом они 1) сближаются 3) не изменяют расстояние друг от друга 2) удаляются 4) могут сближаться, а могут удаляться - i Два автомобиля движутся в одном направлении по прямому шоссе. Скорость первого равна iT, а скорость второго 2 и*. Чему равна скорость первого автомобиля относительно второго? 1) о 2) 1Г 3) 2 п* 4) —V* \Г. Катер, двигаясь вдоль по реке, проходит 2 км по течению, разворачивается (мгновенно) и возвращается в пункт отправления. Скорость катера относительно воды 36 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч. Полное время движения катера туда и обратно равно 1) 4 мин 2) 6,75 мин 3) 12,5 мин 4) 21,1 мин ' Пловец переплывает реку по кратчайшему пути. Скорость пловца относительно воды 5 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Скорость пловца относительно берега равна 1) 2 км/ч 2) 3 км/ч 3) 4 км/ч 4) 8 км/ч КИНЕМАТИКА ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ» При решении задач на эту тему прежде всего надо грамотно выбрать тело отсчёта, с которым связать неподвижную систему координат. Затем выбрать тело отсчёта, движупдееся относительно первого, и связать с ним подвижную систему координат. В этих двух системах рассмотреть движение тела и записать закон сложения скоростей. VI V2 V2 Задача 1. Два поезда движутся равномерно друг за другом. Скорость первого равна 80 км/ч, а скорость второго — 60 км/ч. Определите скорость второго поезда относительно первого. Решение. Обозначим скорость первого поезда отно- ^ сительно земли через а скорость второго поезда — через v*2. Тогда согласно закону сложения скоростей (1.9) V2 ~ V2 Vi, где щ — искомая скорость второго поезда относительно первого. Отсюда V2 ~ V2 ~ v^. Это сложение скоростей поясняется на рисунке 1.21. Из рисунка видно, что скорость второго поезда относительно первого направлена в сторону, противоположную направлению движения поездов, и второй поезд удаляется от первого. Проекция скорости vl на ось ОХ равна V2 = V2 - Vi = —20 км/ч. -адача 2. Скорость течения реки v = 1,5 м/с. Определите модуль скорости Vi катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью V2 = 2 м/с относительно его. Решение. Согласно закону сложения скоростей (1.9) v*2 = v\ + lf. Отсюда скорость катера относительно воды Ut = их - iJt -V v[ V2 Pm 22 Векторное сложение скоростей iT и показано на рисунке 1.22. Так как полученный треугольник скоростей прямоугольный, Vi = 2,5 м/с. то За. :ача 8. Самолёт, скорость которого относительно воздуха равна 300 км/ч, летит на север. Внезапно подул северо-западный ветер со скоростью 100 км/ч относительно земли. Определите, под каким углом к направлению на запад лётчик должен направлять самолёт, чтобы продолжать лететь на север, и чему при этом будет равна скорость самолёта относительно земли. j| КИНЕМАТИКА Уа V2 О "W—5" V Faic. I 2; Решение. Свяжем неподвижную систему отсчёта с землёй, а подвижную — с воздухом. Тогда согласно закону сложения скоростей скорость самолёта относительно земли равна сумме скоростей Ug самолёта относительно воздуха и iT ветра относительно земли: + и: (1) На рисунке 1.23 показаны скорость U* ветра, скорость 1?2 самолёта и скорость самолёта относительно земли. Мы направляем скорости так, чтобы проекции скорости самолёта относительно ветра и скорости ветра на оси ОХ были равны по модулю и направлены в противоположные стороны: v^x ~ ~^х' Соответственно уДсоза = ocos45°. В проекции на ось OY уравнение (1) запишем в виде V2y = v'zy Тогда V2y = Vasina - osin45°, это искомая скорость самолёта. Из уравнения (2) найдем угол а: + V,. и cosa = ~ cos45 . i-r 100 Подставим числовые значения: cosa = • 0,707 = 0,236; (2) (3) а = 76' Из уравнения (3) выразим sina: sina = Jl“ ~cos45 Скорость самолёта V2y= 02^1-|^^cos45°j~- usin45° ~ 220 км/ч. Задачи для самостоятельного решения 1. Скорость катера относительно воды равна 36 км/ч, а скорость течения равна 9 км/ч. На одном берегу реки находятся две пристани. Расстояние между ними равно 90 км. Какое время затратит катер на прохождение пути между пристанями по течению и обратно? 2. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу равномерно движутся два поезда со скоростями 72 км/ч и 108 км/ч. Длина первого поезда 900 м, второго — 140 м. В течение какого времени один поезд пройдёт мимо другого? 3. Капли дождя падают отвесно относительно земли со скоростью 35 м/с. Какую наименьшую скорость относительно земли должен иметь автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклонённом под углом 60° к горизонту, не оставалось следов капель? Завихрения воздуха не учитывайте. 4. Эскалатор метро спускает идуш;его по нему человека вниз за 1 мин. Если человек идёт вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе? КИНЕМАТИКА МГНОВЕННАЯ И СРЕДНЯЯ СКОРОСТИ Как вы думаете, какую скорость показывает спидометр? Может ли городской транспорт двигаться равномерно и прямолинейно? т Реальные тела (человек, автомобиль, ракета, теплоход и т. д.), как правило, не движутся с постоянной скоростью. Они начинают двигаться из состояния покоя, и их скорость увеличивается постепенно, при остановке скорость уменьшается также постепенно, таким образом, реальные тела движутся неравномерно. Неравномерное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным. Чтобы полностью описать неравномерное движение точки, надо знать её положение и скорость в каждый момент времени. Понаблюдайте за движением различных тел. Какие из них всё время изменяют скорость при движении, а какие движутся практически равномерно в течение длительного про-У^межутка времени?_________________ Е2ШВ Скорость точки в данный момент времени называется мгновенной скоростью. Что же понимают под мгновенной скоростью? Пусть точка, двигаясь неравномерно и по кривой линии, в некоторый момент времени t занимает положение М (рис. 1.24). По прошествии времени Afj от этого момента точка займёт положение Mj, совершив перемещение А7^. Поделив вектор А7^ на промежуток времени At^, найдём такую скорость равномерного прямолинейного движения, с которой должна была бы двигаться точка, чтобы за время At попасть из положения М в положение М^. Эту скорость называют средней скоростью перемещения точки за время At^. Обозначив её через запишем: • Средняя скорость направлена вдоль секущей ММ^. По той же формуле мы находим скорость точки при равномерном прямолинейном движении. Скорость, с которой должна равномерно и прямолинейно двигаться точка, чтобы попасть из начального положения в конечное за определённый промежуток времени, называется средней скоростью перемещения. Для того чтобы определить скорость в данный момент времени, когда точка занимает положение М, найдём средние скорости за всё меньшие и меньшие промежутки времени: — А 7^ _ А7^ А^’ 1^ср2 = КИНЕМАТИКА ГР"..... ""...................... Верно ли следующее определение мгновенной скорости: «Скорость тела в данной точке траектории у^наэывается мгновенной скоростью»? При уменьшении промежутка времени At перемещения точки уменьшаются по модулю и меняются по направлению. Соответственно этому средние скорости также меняются как по модулю, так и по направлению. Но по мере приближения промежутка времени At к нулю средние скорости всё меньше и меньше будут отличаться друг от друга. А это означает, что при стремлении проме- Д7^ жутка времени к нулю отношение стремится к определённому вектору как к своему предельному значению. В механике такую величину называют скоростью точки в данный момент времени или просто мгновенной скоростью и обозначают v'. Мгновенная скорость точки есть величина, равная пределу отношения перемещения Дг* к промежутку времени Дf, в течение которого это перемещение произошло, при стремлении промежутка At к нулю. Выясним теперь, как направлен вектор мгновенной скорости. В любой точке траектории вектор мгновенной скорости направлен так, как в пределе, при стремлении промежутка времени At к нулю, направлена средняя скорость перемещения. Эта средняя скорость в течение промежутка времени At направлена так, как направлен вектор перемещения А7\ Из рисунка 1.24 видно, что при уменьшении промежутка времени At вектор А7% уменьшая свою длину, одновременно поворачивается. Чем короче становится вектор АгГ тем ближе он к касательной, проведённой к траектории в данной точке М, т. е. секущая переходит в касательную. Следовательно, мгновенная скорость направлена по касательной к траектории {см. рис. 1.24). В частности, скорость точки, движущейся по окружности, направлена по касательной к этой окружности. В этом нетрудно убедиться. Если маленькие частички отделяются от вращающегося диска, то они летят по касательной, так как имеют в момент отрыва скорость, равную скорости точек на окружности диска. Вот почему грязь из-под колёс буксующей автомашины летит по касательной к окружности колёс (рис. 1.25). Понятие мгновенной скорости — одно из основных понятий кинематики. Это понятие относится к точке. Поэтому в дальнейшем, говоря о скорости движения тела, которое нельзя считать точкой, мы можем говорить о скорости какой-нибудь его точки. Помимо средней скорости перемещения, для описания движения чаще пользуются средней путевой скоростью Средняя путевая скорость определяется отношением пути к промежутку времени, за который этот путь пройден: ^^cp8 ~ (ЕЮ) КИНЕМАТИКА Когда мы говорим, что путь от Москвы до Санкт-Петербурга поезд прошёл со скоростью 80 км/ч, мы имеем в виду именно среднюю путевую скорость движения поезда между этими городами. Модуль средней скорости перемещения при этом будет меньше средней путевой скорости, так как s > IaF”!. Начертите произвольную кривую. Пусть вдоль неё движется точка. Выберите на кривой несколько точек и начертите вектор мгновенной скорости, если: а) модуль скорости не изменяется: б) модуль скорости уменьшается на одно и то же значение через У^равные отрезки пути.________________^ стеи Д^я неравномерного/движения также справедлив закон сложения CKopq- В этом случае складываются мгновенные cki [Мгновенная скорость. Средняя скорость. Средняя путевая скорость 1. Что называется средней скоростью перемещения? 2. Что такое мгновенная скорость? .V Как направлена мгновенная скорость в данной точке траектории? Точка движется по криволинейной траектории так, что модуль её скорости не изменяется. Означает ли это, что скорость точки постоянна? .: Что такое средняя путевая скорость? X, KMj Л!. На рисунке представлен график зависимости координаты тела от времени. Средняя скорость движения тела равна 1) 48 км/ч 3) 40 км/ч 2) 60 км/ч 4) о А2. Уравнение движения тела х = 4 + 5t. Все величины выражены в СИ. Через время, равное 2 с после начета движения, скорость тела равна 1) 7 м/с 2) 2,5 м/с 3) 5 м/с 4) 14 м/с ЛЗ На рисунке показана зависимость координаты тела от времени. Определите максимальное значение модуля мгновенной скорости. 1) 1 м/с 3) 2 м/с 2) 3 м/с 4) 8/9 м/с 10 t, с А4. Определите значения средней путевой скорости и модуля средней скорости, перемещения за 9 с (см. рис. к тесту АЗ), 1) 14/9 м/с, 2/9 м/с 3) 2 м/с, 2/9 м/с 2) 2/3 м/с, 2/3 м/с 4) 1/3 м/с, 16/9 м/с КИНЕМАТИКА УСКОРЕНИЕ Как изменяются показания спидометра в начале движения и при торможении автомобиля? Какая физическая величина характеризует изменение скорости? Подбросьте вверх мяч и сделайте вывод об изменении его скорости. При движении тел их скорости обычно меняются либо по модулю, либо по направлению, либо же одновременно как по модулю, так и по направлению. Скорость шайбы, скользяп^ей по льду, уменьшается Uj с течением времени до полной остановки. Если взять в руки камень и разжать пальцы, то при падении камня его скорость постепенно нарастает. Скорость любой точ-^2 ки окружности точильного круга при неизменном числе оборотов в единицу времени меняется только по направлению, оставаясь постоянной по модулю (рис 1.26). Если бросить камень под углом к горизонту, то его скорость будет меняться и по модулю, и по направлению. Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении). ■2Ш|1й1ШР Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением. Рассмотрим случай криволинейного и неравномерного движения точки. В этом случае её скорость с течением времени изменяется как по модулю, так и по направлению. Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость й*(рис. 1.27). Спустя промежуток времени точка займёт положение Mj и будет иметь скорость щ. Изменение скорости за время At^ равно = v[ - гГ. Вычитание вектора V*можно произвести путём прибавления к вектору v\ вектора (-V*): Ду][ = - и* = + (-V*). Согласно правилу сложения векторов вектор изменения скорости направлен из начала вектора в конец вектора (-iJ*), как это показано на рисунке 1.28. Поделив вектор Ду^ на промежуток времени получим вектор, направленный так же, как и вектор изменения скорости Ау^. Этот вектор называют средним ускорением точки за промежуток времени Af^. Обозначив его через о^р^, запишем: —> Понаблюдайте за началом движе-I ния какого-либо тела. Что вы мо-V ^ жете сказать о его скорости? Приведите друг другу примеры дви^ жения тел, при которых изменения скорости происходят только по направлению или только по модулю. КИНЕМАТИКА По аналогии с определением мгновенной скорости определим мгновенное ускорение. Для этого найдём теперь средние ускорения точки за всё меньшие и меньшие промежутки времени: "дГ’ ' При уменьшении промежутка времени Д^ вектор Д1Г уменьшается по модулю и меняется по направлению (рис. 1.29). Соответственно средние ускорения также меняются по модулю и направлению. Но при стремлении промежутка времени Дf к нулю отношение изменения скорости к изменению времени стремится к определённому вектору как к своему предельному значению. В механике эту величину называют ускорением точки в данный момент времени или просто ускорением и обозначают оТ Ускорение точки — это предел отношения изменения скорости До к промежутку времени М, в течение которого это изменение произошло, при стремлении Af к нулю. Ускорение направлено так, как направлен вектор изменения скорости Д[Г при стремлении промежутка времени Д^ к нулю. В отличие от направления скорости, направление вектора ускорения нельзя определить, зная траекторию точки и направление движения точки по траектории. В дальнейшем на простых примерах мы увидим, как можно определить направление ускорения точки при прямолинейном и криволинейном движениях. В общем случае ускорение направлено под углом к вектору скорости (рис. 1.30). Полное ускорение характеризует изменение скорости и по модулю, и по направлению. Часто полное ускорение o'считается равным векторной сумме двух ускорений — касательного (о^) и центростремительного (о^,.). Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю и направлено по касательной к траектории движения. Центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и перпендикулярно касательной, т. е. направлено к центру кривизны траектории в данной точке. В дальнейшем мы рассмотрим два частных случая: точка движется по прямой и скорость изменяется только по модулю; точка движется равномерно по окружности и скорость изменяется только по направлению. КИНЕМАТИКА Единица ускорения. Движение точки может происходить как с переменным, так и с постоянным ускорением. Если ускорение точки постоянно, то отношение изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло, будет одним и тем же для любого интервала времени. Поэтому, обозначив через некоторый произвольный промежуток времени, а через Av* — изменение скорости за этот промежуток, можно записать: а = Av At' Так как промежуток времени At — величина положительная, то из этой формулы следует, что если ускорение точки с течением времени не изменяется, то оно направлено так же, как и вектор изменения скорости. Таким образом, если ускорение постоянно, то его можно истолковать как изменение скорости в единицу времени. Это позволяет установить единицы модуля ускорения и его проекций. Запишем выражение для модуля ускорения: а = а = |Ai> At Отсюда следует, что модуль ускорения численно равен единице, если за единицу времени модуль вектора изменения скорости изменяется на единицу. , Если время измерено в секундах, а скорость — в метрах в секунду, то единица ускорения — м/с^ (метр на секунду в квадрате). [Ускорение. Касательное, центростремительное ускорения t. Что называется ускорением? 2. Куда направлено ускорение при прямолинейном движении точки, если модуль скорости точки увеличивается? уменьшается? Точка движется по криволинейной траектории с постоянной по модулю скоростью. Имеет ли эта точка ускорение? I. Может ли точка иметь ускорение, если её скорость в данный момент времени равна нулю? 5. В каких единицах выражается ускорение? 1-.. Автомобиль движется по шоссе с постоянной скоростью и начинает тормозить. Как направлена проекция ускорения на ось, направленную по вектору начальной скорости автомобиля? 7 Как направлено ускорение равномерно движущейся по окружности точки? ь. Можно ли утверждать, что если ускорение точки постоянно, то направление её скорости не изменяется? Лыжник съехал с горы, двигаясь прямолинейно и равноускоренно. За время 20 с, в течение которых длился спуск, скорость лыжника возросла от 5 м/с до 15 м/с. С каким ускорением двигался лыжник? г* КИНЕМАТИКА 1 §10 ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ Какая величина, характеризующая движение точки, не зависит от выбора системы отсчёта? Может ли в одной системе отсчёта точка покоиться, а в другой двигаться? Выясним зависимость скорости точки от времени при её движении с постоянным ускорением. Для этого воспользуемся формулой - ^ At ■ а = Пусть TTq — скорость точки в начальный момент времени Iq, Si v* — её скорость в некоторый момент времени t, тогда за промежуток времени At = t - tQ изменение скорости AiT = v* - и формула для ускорения примет вид _ V- Ур ^ t-to’ Если начальный момент времени to принять равным нулю, то получим 'у-~Уо “ t ‘ Отсюда получим формулу для определения скорости точки в любой мо- с постоянным ускорением: . ' „л г' iT = -f cTt. (1.11) У>0х a^t. = ^Оу + Uyt. Векторному уравнению (1.11) соответствуют в случае движения на плоскости два скалярных уравнения для проекций скорости на координатные оси X и У: (1.12) Как видим, при движении с постоянным ускорением скорость со временем меняется по линейному закону. Итак, для определения скорости в произвольный момент времени надо знать начальную скорость и ускорение а*. Начальную скорость нужно измерить. Ускорение, как мы увидим в дальнейшем, можно вычислить. Начальная скорость зависит от условий, при которых началось движение. Начальная скорость, например, падающего камня зависит от того, выпустили его из рук или же бросили, совершив некоторое усилие. Ускорение же, наоборот, не зависит от того, что происходило с телом в предыдущие моменты, а зависит лишь от действия на него других тел в данный момент времени. Зависимость проекции скорости от времени можно изобразить наглядно с помощью графика. Если начальная скорость равна нулю, то график зависимости Одинакова ли будет конечная скорость камня, если его сначала бросить вверх с некоторой начальной скоростью, а затем вниз с такой же начальной скоростью? в КИНЕМАТИКА проекции скорости на ось X от времени имеет вид прямой, выходящей из начала координат. Такая зависимость скорости от времени наблюдается при падении тела, покоившегося в начальный момент времени, с некоторой высоты или при движении автомобиля, трогающегося с места. На рисунке 1.31 представлен этот график в виде прямой 1 для случая > 0. По этому графику можно найти проекцию ускорения на ось Х\ 30 м/с а. = = 5 с = 6 м/с2. Чем больше тем больший угол а с осью времени составляет график проекции скорости, так как за тот же промежуток времени скорость изменяется больше. Если начальная скорость отлична от нуля и тело движется с большим, но также постоянным ускорением, то график зависимости проекции скорости от времени имеет вид прямой 2 (см. рис. 1.31). В случае равнозамедленного движения с той же начальной скоростью график зависимости от времени имеет вид прямой 3. Обратите внимание: так как углы а.^ и Од по модулю равны, то равны по модулю проекции ускорения: \a^^\ = кхз1- Теперь получим уравнения, которые позволяют рассчитывать для этого движения положение точки в любой момент времени. Допустим, движение с постоянным ускорением совершается в одной плоскости, пусть это будет плоскость XOY. Если вектор начальной скорости и вектор ускорения не лежат на одной прямой, то точка будет двигаться по кривой линии. Следовательно, в этом случае с течением времени будут изменяться обе её координаты х vi у. Обозначим через и координаты в начальный момент времени = 0, а через х и у координаты в момент времени t. Тогда за время At = t — tQ = t изменения координат будут равны Ах =- X - Xq и Ау = у - yQ. Отсюда X = Xq + Ах, у = Уо + Ау. (1.13) Значит, для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать её начальные координаты и уметь находить изменения координат Дл: и Ау за время движения. В случае движения, при котором проекция скорости изменяется со временем (рис. 1.32, кривая 1), величину Ах за время t найдём следующим образом. Из § 4 мы знаем, что при равномерном движении изменение координаты точки за время At можно определить на графике зависимости v^{t) по площади прямоугольника. На рисунке 1.32 длина отрезка ОС численно равна времени движения. КИНЕМАТИКА Можно ли по графику зависимости vjit) определить путь, пройденный телом? Разделим его на малые интервалы Д^, в пределах которых проекцию скорости можно считать постоянной и равной её среднему значению. Рассмотрим интервал At,. Тогда AjCj = и соответственно площадь заштрихованного прямоугольника численно равна изменению координаты точки за время А^,. Сумма всех таких площадей численно равна изменению координаты точки за время t. Чем меньше интервал At, тем точнее будет результат. При стремлении At к нулю значение площади фигуры АВСО будет стремиться к числовому значению изменения координаты точки Ал:. В случае равноускоренного (а^ = const) движения (рис. 1.32, прямая 2) изменение координаты тела Ал: численно равно площади трапеции АВСО. Длины оснований ОА и ВС этой трапеции численно равны проекциям начальной и конечной скоростей, а длина высоты ОС — времени движения. По формуле для площади трапеции имеем Ал: = лучаем Ал: = X ''X ^ 2 графику (см. рис. 1.32),"^ = Unv + (i^t, по- Ущ используя тот факт, что площадь фигуры под графиком численно a„i2 равна изменению координаты, опреде- -1 - VQ^t + 2 . холить среднюю скорость движения? у Мы рассмотрели случай, когда > о и > о. Но полученная формула справедлива и тогда, когда одна из этих величин отрицательна или когда обе они отрицательны. Изменение координаты Ау можно найти таким же способом, и выражение имеет аналогичный вид Подставив найденные выражения для изменения координат Ал: и Ai/ в формулы (1.13), получим уравнения для координат при движении с постоянным ускорением как функции времени (их называют кинематическими уравнениями движения): d X = л:^ "Ь VQ^t -Ь ^ , У = Уо + а^2 (1.14) Запишите кинематические уравнения движения точки в пространстве. Эти формулы применимы для описания как прямолинейного, тёк и криволинейного движения точки. Важно лишь, чтобы ускорение было постоянным/' Обычно в условиях задачи даются значения (модули) скоростей и уско- a^2 рений. Поэтому удобнее использовать уравнение л: = л:о + и а — модули начальной скорости и ускорения. Очевидно, что в этом уравнении знак « + » берётся тогда, когда направления скорости и ускорения КИНЕМАТИКА сГсовпадают с направлением оси ОХ, знак — когда они направлены в противоположную сторону. Движение вдоль прямой с постоянным ускорением, при котором модуль скорости увеличивается, называется прямолинейным равноускоренным движением. а прямолинейное движение с постоянным ускорением, при котором модуль скорости уменьшается, называется равнозамедленным. При движении точки в плоскости XOY двум уравнениям (1.14) соответствует одно векторное уравнение г = Гп -Н Oni + 'at^- (1.15) Обратите внимание на то, что с помощью формул (1.14) и (1.15) можно найти только положение движущейся точки в любой момент времени. Для нахождения пути необходимо более подробно исследовать траекторию, определить точки, в которых, возможно, произо-щло изменение направления движения. Свободное падение тел. Вспомним теперь частный случай движения с постоянным ускорением, которое называется свободным падением тел. Это движение опытным путём изучал великий итальянский учёный Галилео Галилей. Каждый из нас наблюдал, что при падении тела на Землю из состояния покоя оно увеличивает свою скорость, т. е. движется с ускорением. Это ускорение сообщает ему земной щар. Долгое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения как будто подтверждают это. Например, птичье перо или лист бумаги падают гораздо медленнее, чем камень. Вот почему со времён Аристотеля (грече-ского учёного, жившего в IV в. до н. э.) считалось незы-блемым мнение, что ускорение, сообщаемое Землёй телу, тем больше, чем тяжелее тело. Только Галилею в конце XVI в. удалось опытным путём доказать, что в действительности это не так. Нужно учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину свободного падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной атмосферы. Р Прост и убедителен опыт, проведённый впервые Ньютоном. В стеклянную труб^ ку помещают различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пушинки и т. д. Если перевернуть трубку так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего упадёт дробинка, за ней — кусочек пробки и наконец плавно опустится пушинка. Но если выкачать из трубки воздух, то мы увидим, что все три тела упадут одновременно. Значит, движение пушинки задерживалось ранее сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением. Г. Галилей (1564—1642) Если пренебречь сопротивлением воздуха, то можно считать, что вблизи поверхности Земли ускорение всех падающих тел одинаково и постоянно. КИНЕМАТИКА Движение тела только под влиянием притяжения его к Земле называют свободным падением, а ускорение, сообщаемое Землёй всем телам, называют ускорением свободного падения. Оно всегда направлено вертикально вниз, т. е. вдоль нити отвеса, определяющей вертикаль. Его принято обозначать Свободное падение — это не обязательно движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнёт падать. /Ускорение свободного падения изменяется в зависимости от географической широты места на поверхности Земли и от высоты тела над Землёй, точнее, от расстояния до центра Земли. На широте Москвы измерения дают следующее значение ускорения свободного падения: g » 9,82 м/c^. Вообще же на поверхности Земли g меняется в пределах от 9,78 м/c^ на экваторе до 9,83 м/с^ на полюсе. Если подняться на 1 км над уровнем моря, то ускорение свободного падения уменьшится примерно на 0,00032 своего значения в данном месте Земли. На высоте 100 км У^ад полюсом Земли оно примерно равно 9,53 м/c^.____________________________^ При падении тел в воздухе на их движение влияет сопротивление воздуха. Поэтому ускорение тел не равно Но когда движутся такие тела, как камень, спортивное ядро и т. д., сопротивление воздуха влияет на их движение незначительно. В этом случае движение тел можно рассматривать как свободное падение. Лишь при больших скоростях (снаряд, пуля и т. д.) сопротивление воздуха становится существенным. Для лёгких тел типа пушинки сопротивление воздуха существенно и при малых скоростях. 4} Движение с постоянным ускорением. Свободное падение ■ в каком случае ускорение тела считается постоянным? Куда направлено ускорение тела при его равноускоренном движении? при равнозамедленном движении? : Точка движется равноускоренно. Чему равен модуль изменения скорости за 5 с, если модуль ускорения равен 0,5 м/с^? Л Зависимость координаты точки от времени х = 8t - (все величины в СИ). В какой момент времени скорость точки равна -2 м/с? 1) 4 с 2) 5 с 3) 8 с 4) 2 с Проекции скорости на оси ОХ и OY изменяются согласно уравнениям = 4 - 3t, Vy = At. Ускорение, с которым движется точка, равно 1) 2 м/с^ 2) 4 м/с^ 3) —1 м/с^ 4) 5 м/с^ \о. К. Э. Циолковский в книге «Вне Земли», описывая полёт ргпсеты, отмечал, что через 10 с после старта ракета находилась на расстоянии 5 км от поверхности Земли. С каким ускорением двигалась ракета? 1) 1000 м/с^ 2) 500 м/с^ 3) 100 м/с^ 4) 50 м/с^ . - 4 Зависимость координаты от времени для некоторой точки описывается уравнением д: = 5 + 16^ - 2t^. В какой момент времени проекция скорости точки на ось ОХ равна нулю? 1) 8 с 2) 4 с 3) 3 с 4) о с КИНЕМАТИКА о ОПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ^ ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ Чем отличается равномерное движение от равноускоренного? Чем отличается график пути при равноускоренном движении от графика пути при равномерном движении? Что называется проекцией вектора на какую-либо ось? В § 4 мы показали, как в случае равномерного прямолинейного движения можно определить скорость по графику зависимости координаты от времени. оси Проекция скорости численно равна тангенсу угла наклойа прямой х(0 к абсцисс. При этом, чем больше скорость, тем больше угол наклона. л Рис. 1.33 Прямолинейное равноускоренное движение. На рисунке 1.33 изображены графики зависимости проекции ускорения от времени для трёх разных значений ускорения при прямолинейном равноускоренном движении точки. Они представляют собой прямые линии, параллельные оси абсцисс: = const. Гра- фики 1 и 2 соответствуют движению, когда вектор ускорения направлен вдоль оси ОХ, график 3 — когда вектор ускорения направлен в противоположную оси ОХ сторону. При равноускоренном движении проекция скорости зависит от времени линейно: = Uq* рисунке 1.34 представлены графики этой зависимости для указанных трёх случаев. При этом начальная скорость точки одинакова. Проанализируем этот график. AVr Проекция ускорения . Из графика вид- но, что, чем больше ускорение точки, тем больше угол наклона прямой к оси t и соответственно больше тангенс угла наклона, который определяет значение ускорения. За один и тот же промежуток времени при разных ускорениях скорость изменяется на разные значения. При положительном значении проекции ускорения за один и тот же промежуток времени проекция скорости в случае 2 увеличивается в 2 раза быстрее, чем в случае 1. При отрицательном значении проекции ускорения на ось ОХ проекция скорости по модулю изменяется на то же значение, что и в случае 1, но ____________________________ скорость уменьшается. От чего зависит единица, в кото^ Для случаев 1 и 3 графики зави-рой выражается ускорение? ) симости модуля скорости от време- ____________________________У ни будут совпадать (рис. 1.35). КИНЕМАТИКА Используя график зависимости скорости от времени (рис. 1.36), найдём изменение координаты точки. Это изменение численно рав- ■£* но площади заштрихованной трапеции, в данном случае изменение координаты за 4 с Ая: = 16 м. Мы нашли изменение координаты. Если необходимо найти координату точки, то к найденному числу нужно прибавить её начальное значение. Пусть в начальный момент времени дтц = 2 м, тогда значение координаты точки в заданный момент времени, равный 4 с, равно 18 м. В данном случае модуль перемещения равен пути, пройденному точкой, или изменению её координаты, т. е. 16 м. Если движение равнозамедленное, то точка в течение выбранного интервала времени может остановиться и начать двигаться в направлении, противоположном начальному. На рисунке 1.37 показана зависимость проекции скорости от времени для такого движения. Мы видим, что в момент времени, равный 2 с, направление скорости изменяется. Изменение координаты будет численно равно алгебраической сумме площадей заштрихованных треугольников. Вычисляя эти площади, мы видим, что изменение координаты равно -6 м, это означает, что в направлении, противоположном оси ОХ, точка прошла большее расстояние, чем по направлению этой оси. Площадь над осью t берём со знаком «плюс», а площадь под осью U где проекция скорости отрицательна, — со знаком «минус». Если в начальный момент времени скорость некоторой точки была равна 2 м/с, то координата её в момент времени, равный 6 с, равна -4 м. Модуль перемещения точки в данном случае также равен 6 м — модулю изменения координаты. Однако путь, пройденный этой точкой, равен 10 м — сумме площадей заштрихованных треугольников, показанных на рисунке 1.38. Изобразим на графике зависимость координаты X точки от времени. Согласно одной из формул (1.14) X = Xq VQ^t + (1.16) (! Обсудите с товарищем, может ли график зависимости скорости от времени быть замкнутой кривой, например окружностью. КИНЕМАТИКА кривая зависимости координаты от времени — x(t) — парабола. Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости которой от времени изображён на рисунке 1.36, то ветви параболы направлены вверх, так как > О (рис. 1.39). По этому графику мы можем определить координату точки, а также скорость в любой момент времени. Так, в момент времени, равный 4 с, координата точки равна 18 м. Для начального момента времени, проводя касательную к кривой в точке А, определяем тангенс угла наклона Oj, который численно равен начальной скорости, т. е. 2 м/с. Для определения скорости в точке В проведём касательную к параболе в этой точке и определим тангенс угла Og. Он равен 6, следовательно, скорость равна 6 м/с. График зависимости пути от времени — такая же парабола, но проведённая из начала координат (рис. 1.40). Мы видим, что путь непрерывно увеличивается со временем, движение происходит в одну сторону. Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости проекции которой от времени изображён на рисунке 1.37, то ветви параболы направлены вниз, так как < 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ. Начиная с момента времени t = 2 с, тангенс угла наклона становится отрицательным, а его модуль увеличивается, это означает, что движение точки происходит в направлении, противоположном начальному, при этом модуль скорости движения увеличивается. Модуль перемещения равен модулю разности координат точки в конечный и начальный моменты времени и равен 6 м. График зависимости пройденного точкой пути от времени, показанный на рисунке 1.42 отличается от графика зависимости перемещения от времени (см. рис. 1.41). VDx Рис. 1,43 Рис. 1.44 Как бы ни была направлена скорость, путь, пройденный точкой, непрерывно увеличивается. * .. шт -Ж-"' Выведем зависимость координаты точки от проекции скорости. Ско- - Уох рость = 1>ох + отсюда t = нение (1.16), получим - и, ^0 " . Подставив это выражение в урав- X = Хп + V, ''Ох Ох + а. 2а5 = + |2 — »,2 2а^ (1.17) В случае Xq = О, > 0 и > Uqx график зависимости координаты от скорости представляет собой параболу (рис. 1.43). При этом, чем больше ускорение, тем ветвь параболы будет менее крутой. Это легко объяснить, так как, чем больше ускорение, тем меньше расстояние, которое должна пройти точка, чтобы скорость увеличилась на то же значение, что и при движении с меньшим ускорением. В случае < 0 и Vq^ > 0 проекция скорости будет уменьшаться. Пере- — у2 пишем уравнение (1.17) в виде х = где а = \аЛ. График этой зависи- 2а * мости — парабола с ветвями, направленными вниз (рис. 1.44). Ускоренное движение. По графикам зависимости проекции скорости от времени можно определить координату и проекцию ускорения точки в любой момент времени при любом типе движения. Пусть проекция скорости точки зависит от времени так, как показано на рисунке 1.45. Очевидно, что в промежутке времени от О до движение точки вдоль оси X происходило с переменным ускорением. Начиная с момента времени, равного fg, движение равномерное с постоянной скоростью По графику мы видим, что ускорение, с которым двигалась точка, непрерывно уменьшалось (сравните угол наклона касательной в точках В и С). Изменение координаты х точки за время численно равно площади криволинейной трапеции OABt^, за время fg — площади OACt2 и т. д. Как видим по графику зависимости проекции скорости от времени можно определить изменение координаты тела » за любой промежуток времени. Т S(fjL Постройте график зависимости По графику зависимости коорди- I Ущ ускорения точки от времени, если наты от времени можно определить ^ - 2t . КИНЕМАТИКА значение скорости в любой момент времени, вычисляя тангенс угла наклона касательной к кривой в точке, соответствующей данному моменту времени. Из рисунка 1,46 следует, что в момент времени проекция скорости положительна. В промежутке времени от ig ДО скорость равна нулю, тело неподвижно. В момент времени скорость также равна нулю (касательная к кривой в точке D параллельна оси абсцисс). Затем проекция скорости становится отрицательной, направление движения точки изменяется на противоположное. Если известен график зависимости проекции скорости от времени, можно определить ускорение точки, а также, зная начальное положение, определить координату тела в любой момент времени, т, е. решить основную задачу кинематики. По графику зависимости координаты ох„ времени можно определить одну из самых важных кинематических характеристик движения — скорость. Кроме этого, по указанным графикам можно определить тип движения вдоль выбранной оси; равномерное, с постоянным ускорением или движение^с переменным ускорением. fr •> Графики зависимости кинематических характеристик 1. Как по графику зависимости проекции скорости от времени определить: 1) модуль перемещения; 2) путь, пройденный точкой? 2. Может ли путь быть отрицательным? :■{. Как по графику зависимости координаты от времени определить проекции скорости в разные моменты времени? Можно ли сказать, что при равнозамедленном движении, чем больше время, тем меньше скорость тела? t s: л 1 2 5 е 5 с Л А1. На графике изображена зависимость проекции скорости точки, движущейся вдоль оси ОХ, от времени. Чему равен модуль перемещения точки к моменту времени i = 6 с? 1) О 2) 6 м 3) 8 м 4) 10 м А2. Какой путь прошла точка за 6 с (см. рис.)? 1) о 2) б м 3) 8 м 4) 10 м АЗ. Проекция ускорения (см. рис.) на ось X в ин-тервгшах времени (О, 2); (2, 4) и (4, 6) с была равна 1) 1; -2; о 3) 0; -2; 0 2) 1; -1; -1 4) 0; 2; 0 КИНЕМАТИКА ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ» Для решения задач по этой теме необходимо правильно записывать уравнение движения и уравнение зависимости скорости от времени. Для некоторых задач разумно строить графики зависимости проекции скорости от времени и определять перемещение по графику, что часто удобнее, чем решать задачу аналитически. Задача 1. Ударом клюшки хоккейной шайбе сообщили скорость Vq = 20 м/с. Через время t = 2 с скорость шайбы, движущейся прямолинейно, стала равна 16 м/с. Определите ускорение шайбы, считая его постоянным. Решение. Выберем оси координат так, чтобы ^____ Uq движение шайбы происходило вдоль какой-нибудь ; * I * координатной оси, например вдоль оси ОХ. За поло- q ^ жительное направление оси ОХ примем направление вектора начальной скорости (рис. 1.47). Из опреде- Рис I 47 ления ускорения следует: = (и - Vo)/t = -2 м/с^. Знак «-» в конечном результате означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси ОХ. Модуль же ускорения а = \aj = |-2 м/с^| = 2 м/с^. Задача 2. Перекрытие между первым и вторым этажами здания лифт проходил со скоростью По = 4 м/с. Далее он начал тормозить и поднимался с постоянным ускорением а = 2 м/с^. Через время ^ = 2 с после начала торможения лифт остановился. Высота h каждого этажа равна 4 м. На какой высоте Н, считая от пола первого этажа, остановился лифт? Решение. Совместим начало координат с полом первого этажа и направим ось ОУ вертикально вверх. Так как ускорение лифта постоянно, то его движение будет описываться кинематическим уравнением I/ = Уо + + CL^t^f2. Согласно условию задачи i/q = Л, VQy = Vq, Поэтому Н = h + VQt - at^/2; Н = 8 м. а„ = -а, у = Н. Задача 3. На рисунке 1.48 изображена зависимость проекции скорости от времени. 1) Постройте графики зависимости ускорения и перемещения от времени. 2) Определите перемещение за время, равное #д. 3) Определите среднюю скорость движения за время, равное t^. Решение. В течение промежутка времени от о до ij материальная точка движется равноускоренно, так как скорость растёт со временем по линейному закону. Ускорение - 0)/tj = = 1 м/с^. КИНЕМАТИКА В течение промежутка времени Af = ^2 ~ материальная точка движется равномерно: v = = const, «2 = 0. При t > t2 точка движется равнозамед- ленно с ускорением = (0 - Vy)/{t^ - ig) = “0,5 м/с^. -0,5 б) к i !^1 . ^2 , , ^,3 ^ 2 6 ijo 14 18 Се а) На рисунке 1.49, а изображён график за- висимости от t. Зависимость лг(^) в интервале 0 < ^ < определяется по формуле л; = 0 4-+ a^^t^/2 и при t = = 8 м. Ско- рость в момент времени будет равна и тело начнёт двигаться равномерно: Х2 = Xi + ~ h) ^ 32 м. Начиная с t = t2 тело движется равнозамедленно: Х2 = Х2 + - ^2) - «Зх(^з ~ ^2)V2 = 48 м. Средняя скорость движения ^^cp = ^з/^з ~ 2,7 м/с. График зависимости x(t) показан на рисунке 1.49, б. Кривая, изображающая зависимость x{t), состоит из трёх участков: параболы, прямой, параболы. Отметим, что парабола плавно переходит в прямую в точке А (и в точке В), так как значение мгновенной скорости определяется тангенсом угла наклона касательной к графику д;(0 и в каждой точке графика должна быть единственная касательная. Перемещение также можно определить как площадь трапеции (см. рис. 1.48): ^3 = i^ix^i/2 + “ ^i) + - ^г)/2 = 48 м. Задачи для самостоятельного решения 1. Тело движется вдоль координатной оси ОХ. Направления начальной скорости и ускорения совпадают с положительным направлением оси, а их модули равны Uq ^ 4 м/с, а = 2 м/с^. Определите скорость через 4 с от начала отсчёта времени. 2. В точке с координатой лгр = 10 м тело имело скорость Vq = 20 м/с, направленную противоположно положительному направлению оси ОХ. Ускорение тела направлено противоположно вектору начальной скорости, а его модуль равен 10 м/с^. Определите координату тела в моменты времени 1, 2, 3, 4 с от начала отсчёта. 3. На рисунке 1.50 показан график зависимости проекции скорости тела от времени. Постройте график зависимости модуля перемещения от времени. КИНЕМАТИКА УА Voy ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ Что называют свободным падением? V - ’ ' От чего свободно падающее тело? При изучении свободного падения тел мы будем рассматривать только такие движения, при которых ускорение свободного падения постоянно, т. е. сопротивление воздуха можно не учитывать. Эти движения будут описываться известными нам кинематическими уравнениями (1.12) и (1.14). С движением тел, получивших начальную скорость под углом к ускорению свободного падения или под углом к горизонту, приходится встречаться довольно часто. Например: снаряд, выпугценный под углом к горизонту; ядро, которое толкнул спортсмен. Найдём траекторию тела, брошенного под углом к горизонту. Пусть из точки О брошено тело с начальной скоростью щ под углом а к горизонту (рис. 1.51). Выберем оси координат так, чтобы векторы и ^ были расположены в какой-либо координатной плоскости, например в плоскости XOY. Ось ОХ направим горизонтально, а ось OY — вертикально вверх. Начало координат выберем в точке бросания. Так как ускорение свободного падения с течением времени не меняется, то движение тела в данном случае, как и любое движение с постоянным ускорением, можно описать уравнениями (Г X g Рис. t.5i а х = Xq + VqJ + а У == Уо+ + -|-- (1.18) (1.19) Так как в начальный момент времени тело находилось в начале координат, то jCq = О и 9. Проекцию вектора на какую-либо ось можно выразить через модуль вектора и косинус или синус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси. Из рисунка 1.51 видно, что Vqx = Vgcosa, VQy = OoSina, a^. = О и = -g. Поэтому уравнения (1.18) и (1.19) можно записать в виде X = (UgCosa) f, у = (OoSina) t - gt^ (1.20) (1.21) Для построения траектории точки можно найти из уравнений (1.20) и (1.21) значения координат х и у для различных моментов времени, а затем по координатам построить точки и соединить их плавной линией. Приведите ещё примеры ситуаций, в которых тело начинает падать с начальной скоростью, на-правленной под углом к горизонту^ КИНЕМАТИКА Однако удобнее найти уравнение траектории, т. е. зависимость у от х. Чтобы получить это уравнение, нужно исключить время из уравнений (1.20) и (1.21). X Из уравнения (1.20) имеем t = J cosa' Следовательно, Unsma У gx^ 2v^ cos^ a Введём обозначения: tga = с и - = xtga -g g 2vqcos^ a 2vqcos^ a = t». Тогда Используя значения b = -0,2 м~’ и с = 1.6, вычислите начальную скорость Vq и угол а, под которым брошено тело. у = Ьх^ + сх. (1.22) Из курса алгебры известно, что графиком функции (1.22) является парабола, ось симметрии которой — прямая, параллельная оси У. Поскольку в данном случае Ь < 0, то ' ветви параболы направлены вниз. На рисунке 1.52 изображена парабола для случая Ь = -0,2 м"' и с = 1,6. Итак, мы доказали, что если ускорение свободного падения постоянно, то тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе. Теперь определим дальность и максимальную высоту полёта тела. Дальность полёта Определите углы, при которых даль-ность и высота полёта будут максимальны, а также угол, при котором высота полёта будет равна дальности. L = (yocosa)f^^^. (1.23) Время полёта можно определить из уравнения (1.21). При падении тела у = о, отсюда t = 2uQsina g Подставив это выражение в уравнение (1.23), получим L = Ugcosa Время подъёма t 2uQsina g t L>Qsin2a g UQsina под Под- ставив это получим h = выражение _ ПОЛ _ ____ 2 g в уравнение (1.21), vk sin'" а 2g Из формул (1.20) и (1.21) видно, что движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений — равномерного движения вдоль оси ОХ и равноускоренного движения вдоль оси ОУ. щ удви В ЁШннНг Всякое сложное движение можно представить как сумму движении по двум независимым координатам. Теперь выясним, какой будет траектория тела, если его начальная скорость направлена горизонтально. Из рисунка 1.52 видно, что, начиная с того момента, когда скорость тела горизонтальна, оно движется по ветви параболы. Следовательно, любое тело. КИНЕМАТИКА брошенное горизонтально, будет двигаться по одной из ветвей параболы, вершина которой находится в точке бросания (рис. 1.53). Мы разобрали пример сложного движения тела. Это движение является суммой двух независимых движений — равномерного движения со скоростью и равноускоренного движения с ускорением Ж- Используя закон независимости движения, можно определить параметры траектории, а также значения кинематических характеристик движения в разные моменты времени. 5 Напишите уравнения движения тела в случае,'если тело бросают горизонтально с высоты Л. Сравните свои уравнения с уравнениями, написанными соседом по парте. /Наглядное представление о траектории тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, можно получить на простом опыте. Так как каждая частица воды движется по параболе, то струи воды имеют форму параболы. В этом легко убедиться, поставив за струёй экран с заранее вычерченной параболой. При определённой скорости истечения воды струя будет располагаться вдоль вычерченной \^араболы.____________________________________________________________________ IУскорение свободного падения. Независимость движений 1. Какую форму имеет траектория тела, брошенного под углом к горизонту? 2. При каком угле бросания дальность полёта будет максимальна? Под каким углом к горизонту направлена скорость тела в наивысшей и конечной точках траектории? С1. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через 2 с. Определите высоту, с которой был брошен камень (g = 10 м/с^). С2. Мяч бросили с горизонтальной поверхности земли под углом а = 30° к горизонту. Максимальная скорость мяча во время полёта была равна 12 м/с. Чему равна минимальная скорость мяча во время полёта? СЗ. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал обратно на землю в 20 м от места броска. Сколько времени прошло от броска до того момента, когда его скорость была направлена горизонтально и равна 10 м/с? КИНЕМАТИКА ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ» При решении задач по этой теме надо иметь в виду, что свободное падение — частный случай движения тела с постоянным ускорением. Если тело брошено под углом к горизонту, отличным от 90°, то движение происходит в плоскости, при этом надо помнить, что в горизонтальном направлении движение равномерное, так как проекция ускорения на эту ось равна нулю. Yk Vo оо Mil Pm Лл ,ач; с балкона из точки О бросили мяч вертикально вверх со скоростью Vq = 9 м/с. Определите положение мяча относительно точки О и его скорость спустя время = 2 с от момента бросания. Сопротивление воздуха не учитывайте. Решение. Поскольку сопротивление воздуха не учитывается, то движение мяча можно считать свободным падением. В данном случае векторы и ^ лежат на одной прямой. Следовательно, мяч будет двигаться вдоль той же прямой. Примем за начало координат точку О бросания мяча, ось Y направим вертикально вверх (рис. 1.54). Тогда движение мяча будет описываться кинематическим уравнением I/ = !/о + а у Так как = 0, = 2 с gt^ 'Оу = Vq VI а = -g, то // = VqI-В момент времени гк м ^ с 9,8 ^ • 4с2 2с -------------= -1,6 м. Чтобы определить модуль и направление вектора скорости 1^, найдём его проекцию на ось У по формуле V, = Уо, + а„г. При выбранном направлении оси У последнюю формулу можно записать так: Vy = Vq - gt. Поэтому 'ly = 9 - - 9,8-с с 2с = -10,6-; с '1у\ = V, = 10,6- « 11- с с Отрицательный знак проекции скорости означает, что в конце второй секунды скорость мяча направлена противоположно положительному направлению оси У, т. е. вниз. ;^аяача 2. Из точки А брошен горизонтально шарик со скоростью L>o = 8 м/с. Определите положение шарика относительно точки О через t = 1,5 с от начала его движения. Точки А и О находятся на одной вертикали на расстоянии 5 м друг от друга и точка О ниже точки А. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Решение. Выберем оси координат так, чтобы векторы и ^лежали в одной координатной плоскости, например в плоскости XOY. Так как сопротивление воздуха не учитывается и начальная скорость шарика направлена КИНЕМАТИКА горизонтально, то он будет двигаться в плоскости XOY по параболе, вершина которой находится в точке бросания. Поскольку надо найти положение шарика относительно точки О, то за начало координат возьмём эту точку. Ось ОХ направим горизонтально, ось OY — вертикально вверх (рис. 1.55). В этом случае движение шарика будет описываться кинематическими уравнениями X = Xq + -Ь У = Уо + + а t‘ у 2 При сделанном выборе начала координат и направлений осей ОХ и OY имеем Xq = О, i/q = |ОА|, = Vq, v^y = О, = О, ау = -g. Поэтому х = v^t. gt у = |QA| - . Спустя время = 1,5 с координаты шарика будут равны; х^ = 8^ • 1,5 с = 12 м, i/j = 5 м 9,8^ • 2,25 с2 -6 м. Задача 3. Футболист, находясь от ворот на расстоянии I, ударяет по мячу, и мяч летит с начальной скоростью Vq и пролетает мимо, едва коснувшись верхней планки ворот. Высота ворот h. Определите, под каким углом начал лететь мяч, после того как футболист ударил по нему. Решение. Выбрав систему координат так, как показано на рисунке 1.56, и начало координат в точке удара по мячу, отметим, что координаты мяча в момент касания верхней планки ворот будут X = I, у = h. Запишем уравнения движения мяча вдоль осей ОХ и OY: X = (nQCOsa)^; у = (UoSina)f - gt'^/2. Выразив из первого уравнения время и подставив его во второе, получим у = xtga - gx^ 2uQCOs^a gl^ Тогда у верхней планки ворот h = ltga--^ Мы получили тригоно- cos ос метрическое уравнение. Произведя замену l/(cos^a) =1-1- tg^a и выполнив необходимые преобразования, получим квадратное уравнение относительно tga: gl^ . 2 7+ Л.1 h м - (tga = 0. КИНЕМАТИКА Решив его, найдём (tga)^ 2= l±yll-(2g/v^)(h + (gl^/2vl)) gl/Щ Тогда значения угла ttj 2=arctg l±^l-(2g/v^)(h + (gl^/2y2}) gilo§ Оба значения имеют смысл. Кроме этого, если {,g/v^){h + gfi/2vl) -= 1/2, то мяч касается планки в наивысшей точки траектории. На рисунке 1.56 показаны три возможные траектории полёта мяча. Задачи для самостоятельного решения. 1. Камень, упав с обрыва, достиг поверхности воды через 2 с. Чему равна высота обрыва? Определите модуль конечной скорости камня. 2. Льдинка падает с высоты 4 м. Определите время, за которое она пролетела последний метр, а также среднюю скорость её движения. 3. Камень брошен горизонтально со скоростью 20 м/с с высоты 10 м относительно земли. Определите время полёта, дальность полёта и скорость камня в момент падения на землю. 4. Мяч брошен с поверхности земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Определите наибольшую высоту подъёма, дальность полёта, скорость в наивысшей точке траектории, скорость и координаты мяча через 2 с после начала движения. 1И. Камень падает из состояния покоя с высоты Л. Ось OY вертикальна и направлена вверх. Начало координат совпадает с поверхностью земли. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Физическая величина Формула А) Проекция скорости на ось OY в момент времени t 1) gt 2) h- gt^/2 3) -gt 4) gt^/2 Б) Координата точки, в которой находится камень в момент времени t A) Б) Тело брошено со скоростью Vq под углом а к горизонту. Начало координат находится в точке, из которой брошено тело, ось ОХ горизонтальна, ось OY j вертикальна и направлена вверх. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Физическая величина Формула A) Максимальное значение нормгшьного ускорения во время полёта 1) g 2) -Vq 3) gcosa 4) -Uosina Б) Минимальное значение прюекции скорости Уу. A) Б) КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ Изменяется ли скорость точки при её равномерном движении по окружности? Может ли материальная точка двигаться по криволинейной траектории без ускорения? Рассмотрим равномерное движение точки по окружности. Очевидно, что в этом случае скорость и ускорение не изменяются по модулю, а изменяются лишь по направлению. вижение тела по окружности или дуге окружности довольно часто встречается в природе и технике. Приблизительно по окружности движется Луна вокруг Земли; каждая точка земной поверхности движется по окружности вокруг земной оси; дуги окружности описывают различные точки самолёта во время виража, автомобиля \^ри повороте, поезда на закруглении дороги и т. д.__________________________ Приведите примеры движения тел по окружности, которые вы наблюдаете в повседневной жизни. Найдём модуль и направление вектора ускорения при равномерном движении точки по окружности радиусом R. Пусть точка в момент времени t занимает положение М, а через интервал времени At — положение (рис. 1.57). Обозначим её скорость в положении М через ut а в положении через При равномерном движении у = yj. Чтобы найти изменение скорости Ду*за время At, надо из вектора у^ вычесть вектор V*. Разделив вектор Ау*на промежуток времени At, получим среднее ускорение точки за этот промежуток времени: а = ср Av At ‘ Сначала найдём модуль мгновенного ускорения. Для этого проведём вектор перемещения и рассмотрим треугольники ОММ^ и МуАВ. Эти треугольники подобны как равнобедренные с равными углами при вершинах (углы между двумя взаимно перпендикулярными сторонами). Следова- |Д1Г| \АТ\ тельно, --- = г, • ’ V R Разделив левую и правую части этого равенства на промежуток времени \АТ\ 1 А- 1 lAu* At, получим — или At i?’ (1,24) V |Дг R~At Но IAu*" At = а ср и |Аг1 At = У ср* Обсудите с товарищем, как изменится среднее ускорение, если рассматривать такие случаи: 1) точка прошла четверть оборота; 2) точка прошла пол-оборота; 3) точка сделала полный оборот. КИНЕМАТИКА В пределе, т. е. при стремлении промежутка времени М к нулю, модуль вектора будет модулем ускорения \а \ точки в момент времени t, IaFI а модуль вектора будет представлять собой модуль вектора мгновенной скорости |iT|. Тогда равенство (1.24) примет вид 1C R ■ (1.25) Так как v и R постоянны, то модуль вектора ускорения при равномерном движении точки по окружности остаётся всё время неизменным. ---------------------------------Найдём теперь направление уско- Как вы думаете, с одинаковыми ли по модулю скоростями и ускорениями движутся все точки кабинки колеса обозрения? Понаблюдайте за колебаниями ша-<1^^ рика на нити. Изменяется ли цен-^ тростремительное ускорение ша-рика при его движении? рения а. Вектор ускорения направлен так, как направлен вектор Av* в пределе при стремлении промежутка времени Д^ к нулю. Из рисунка 1.57 видно, что при стремлении интервала к нулю точка приближается к точке М и угол ф стремится к нулю. Следовательно, угол ВМ^ стремится к 90°. Таким образом, угол между вектором Av* и радиусом окружности стремится к нулю. Следовательно, в пределе вектор мгновенного ускорения направлен к центру окружности. Поэтому ускорение точки при её равномерном движении по окружности называют центростремительным. В процессе движения точки по окружности ускорение всё время направлено по радиусу к центру, т. е. непрерывно изменяется по направлению. Следовательно, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением непеременной скоростью. Отметим, что модули скорости и ускорения при этом остаются постоянными. 1 Иногда центростремительное ускорение называют нормальным ускорением. Это название связано с тем, что центростремительное ускорение на-^правлено по нормали к скорости тела. ти f\ Криволинейное движение. Центростремительное ускорение к L Точка движется равномерно по окружности. Постоянна ли её скорость? 2 Постоянно ли ускорение при равномерном движении точки по окружности? 5 Куда направлено ускорение конца стрелки часов? Будет ли ускорение перпендикулярно мгновенной скорости? ■ Какое ускорение всегда перпендикулярно мгновенной скорости? КИНЕМАТИКА КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА При любом ли движении тела можно использовать такую его модель, как материальная точка? Какие модели тела ещё существуют? Поступательное движение твёрдого тела. Описание движения тела считается полным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Мы много внимания уделили описанию движения точки. Именно для точки вводятся понятия координат, скорости, ускорения, траектории. В общем случае задача описания движения тел является сложной. Особенно она сложна, если тела заметно деформируются в процессе движения. Проще описать движение тела, взаимное расположение частей которого не изменяется. Тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся постоянным при его движении, называется абсолютно твёрдым. Абсолютно твёрдое тело — это одна из механических моделей, используемых при описании движения и взаимодействия тел. На самом деле абсолютно твёрдых тел нет. Но в тех случаях, когда реальные тела при движении мало деформируются, их можно рас-сматривать как абсолютно твёрдые. Однако и движение абсолютно твёрдого тела в общем случае оказывается весьма сложным. Самое простое движение абсолютно твёрдых тел — поступательное. Поступательным называется такое движение абсолютно твёрдого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остаётся параллельным самому себе. При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути, имеют в каждый момент времени равные скорости и ускорения. Покажем это. Пусть тело движется поступательно (рис. 1.58). Соединим две его произвольные точки В и А отрезком. Расстояние |АВ| не изменяется, так как тело абсолютно твёрдое. При поступательном движении остаются постоянными модуль и направление вектора АВ . Вследствие этого траектории точек В и А одинаковы, так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на вектор АВ . Согласно рисунку 1.58 перемещения точек А и В одинаковы и совершаются за одно и то же время. Очевидно, что любая точка твёрдого тела, например С, движется так же, как точки А и В. Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости и ускорения. Совершенно очевидно, что для описания поступательного движения абсолютно твёрдого тела достаточно описать движение какой-либо одной его точки. КИНЕМАТИКА иис. 1.59 Рис. 1.60 Лишь при поступательном движении можно говорить о скорости и уско--. if рении тела. f В каком случае движение ручки, которой вы пишете, можно счи-I тать поступательным? Примерно поступательно движутся ящик письменного стола, поршни двигателя автомобиля относительно цилиндров, вагоны на прямолинейном участке железной дороги, резец токарного станка относительно станины. Движение педали велосипеда или кабины колеса обозрения в парках (рис. 1.59, 1.60) — также примеры поступательного движения. Для описания поступательного движения абсолютно твёрдого тела доста-* точно написать уравнение движения одной из его точек. Вращательное движение абсолютно твёрдого тела. Вращательное движение вокруг неподвижной оси — ещё один частный случай движения твёрдого тела. В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолётов. Вращательным движением абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис. 1.61). Угловая скорость. Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время разные пути. Так, AAj > BBj (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за ^ 0^ время At на один и тот же угол Дф. КИНЕМАТИКА Понаблюдайте за движением ве-лосипеда. Сравните угловые скоро-^ сти педали, какой-либо точки цепи У^при её движении по окружности и колеса^ Угол ф — угол между осью ОХ и радиус-вектором 7% определяющим положение точки А (см. рис. 1.62). Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы. Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость. Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела Дф к промежутку времени At, за который этот поворот произошёл. Будем обозначать угловую скорость греческой буквой со (омега). Тогда по определению . <0 = ^. (1.26) Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного ди- ^ ска — около 140 рад/с. Как приближённо посчитать угло- Угловую скорость можно связать I \||г скорость вращения Земли во- с частотой вращения. \______круг Солнца?________________^ Частота вращения — число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с). Если тело совершает v (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/v секунд. Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т. Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно пред- ставить в виде Т = -. V Полному обороту тела соответствует угол Аф = 2п. Поэтому согласно формуле (1.26) 2я „ со = -^ = 2tiv. (1.27) Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени 1^ = 0 угол фо = о, то угол поворота радиус-вектора за время t согласно уравнению (1.26) ф = iOt. Если Фо о, то ф - Фо = coi, или ф = фо ± (at. адиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57° 17'48". В радиан ной мере угол равен отношению длины дуги У,^кружности к её радиусу: ф = 1/R. ^ КИНЕМАТИКА Положительна или отрицательно угловая скорость стрелок часов, вращения колеса обозрения (см. рис. 1.60), колёс автомобиля при дви-\жении?______________________________ Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б). Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени. Связь между линейной и угловой скоростями. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости. Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые лйнейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова. Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2nR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так: V = 2nR = 2kRv. Так как со = 2Ttv, то V = (oR. (1.28) (1.29) Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше её линейная скорость. Для точек земного экватора V = 463 м/с, а для точек на широте Санкт-Петербурга V = 233 м/с. На полюсах Земли и = 0. Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности: £,2 а„ = -д , V = coi?. Следовательно, Почему при быстром вращении велосипедного колеса мы видим отдельные спицы только около оси вращения? Оцс = (О R. Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения: 4л^ а„ = -^ = = ^R = 4я2у2/г. КИНЕМАТИКА Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела — поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного. На основании згжона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела. Твёрдое тело. Поступательное, вращательное движения II • ' i • , пй-. и I I, 1. в каком случае тело можно считать абсолютно твёрдым? 2. Что называется поступательным движением? Л. Приведите примеры поступательного движения, не упомянутые в тексте книги. 4. Что называется осью вращения твёрдого тела? й. Что такое угловая скорость? W. Во сколько раз угловая скорость минутной стрелки часов больше угловой скорости часовой стрелки? А1. Период обращения тела, движущегося равномерно по окружности, увеличился в 2 раза. При этом частота обращения 1) возросла в 2 раза 3) возросла в 4 раза 2) уменьшилась в 2 раза 4) уменьшилась в 4 раза V2. Материальная точка, двигаясь равномерно по окружности, за 3 с прошла четверть окружности. Определите частоту обращения точки. 1) — с“1 12 2) 3) 4) ЛЗ. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 20 м с центростремительным ускорением 5 м/с^. Скорость автомобиля равна 1) 12,5 м/с 2) 10 м/с 3) 5 м/с 4) 4 м/с Л4. Материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Как изменится модуль её центростремительного ускорения, если скорость точки увеличить втрое? 1) увеличится в 3 раза 3) уменьшится в 3 раза 2) увеличится в 9 раз 4) уменьшится в 9 раз КИНЕМАТИКА о ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА» При решении задач по этой теме обращайте внимание на связь кинематических характеристик поступательного и вращательного движений. При этом могут быть в одних случаях одинаковыми угловые скорости (например, задача 2), а в других — линейные скорости движения (например, задача 1). .':^адо ;а i. Два шкива соединены ременной передачей, передающей вращение от одного шкива к другому. Ведущий шкив вращается с частотой Vj = 3000 об/мин, ведомый шкив — с частотой Vg = 600 об/мин. Ведомый шкив имеет диаметр Z>2 ^ ^^0 мм. Какой диаметр у ведущего шкива? Решение. Ведущий шкив вращается с угловой скоростью coi = 2tiv^, а ведомый — со скоростью o)g = 2xv2« Скорость приводного ремня равна линейной скорости точек окружностей того и другого шкива: v = = (^2^2- ^ D. R, соо V9 ^ ^ Vo ^ Отсюда — = -5- = — = —. Следовательно, искомый диаметр = D2 — =100 мм. «2 А 4-'1дача 2 Колесо, радиус которого 40 см, катится по горизонтальной дороге со скоростью 2 м/с. Определите скорости относительно дороги точек колеса, находящихся на концах его вертикального и горизонтального диаметров, а также ускорения этих точек. Решение. Точка Oj неподвижна относительно земли (рис. 1.64), следовательно, = 0. Если считать, что через точку проходит мгновенная ось вращения, то относительно неё скорости всех точек, согласно уравнению (1.29), будут равны и = tor, где г — расстояние от точки Oj до выбранной точки обода. Угловая скорость вращения со = Vq/R. Тогда Vc = VjT) = сйЕ\[2 = » 2,8 м/с. Скорость точки А = 2(aR = 2vq = 4 м/с. Все точки обода относительно оси вращения движутся с одинаковыми линейными скоростями и, следовательно, с одинаковым ускорениями = — = 10 м/с^. гС Заметим, что эту задачу также можно решить на основе закона сложения скоростей. Так, например, скорость точки D равна сумме скорости v*q подвижной системы отсчёта, связанной с осью колеса, и скорости точки обода D относительно этой оси. калача .4. Катушка с намотанной на неё нитью может катиться по поверхности горизонтального стола без скольжения. С какой скоростью VqM. в каком направлении будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью v? Радиус внутренней части катушки г, внешней — R (рис. 1.65). Решение. Скорость v — скорость движения нити — совпадает со скоростью точки А внутренней части катушки. — мгновенная ось вращения. Угловая скорость относительно мгновенной оси вращения со = v/{R - г), так как расстояние = R - г. Отсюда Vq = coi? = vR/(R - г). Очевидно, что катушка перемещается в направлении движения конца нити. Скорость перемещения катушки будет больше, чем скорость нити. Задача 4. Шарик радиусом г катится со скоростью Vq по двум рельсам, расположенным на расстоянии 2а друг от друга. Определите скорости точек А п В относительно рельсов (рис. 1.66, а). Решение. Мгновенная ось вращения 0„^н в данном случае показана на рисунке 1.66, б. Угловая скорость поворота шарика относительно этой оси со КИНЕМАТИКА Вид спереди б) °ис. 1.66 со = Vq/OM, где ОМ = yjr^-a^ . Отсюда = v/^r^ -а^, следовательно, = со(г + ОМ) = -а^){г -I- yjr^-a^). Задачи для самостоятельного решения. 1. Линейная скорость периферийных точек шлифовального камня не должна превышать 95 м/с. Определите наибольшее допустимое число оборотов в минуту для диска диаметром 30 см. 2. Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля 3,5 м. Определите модуль и изменение направления линейной скорости конца стрелки через каждые 15 мин в течение часа. Повторите материал главы i по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. # «Движение во времени и в пространстве» 1. Баллистическое движение. 2. Поступательное и вращательное движения в авиации. 3. Различные виды движения в производстве. «Исследование зависимости дальности полёта водяной струи от угла наклона трубки, из которой под напором выходит вода» ДИНАМИКА ДИНАМИКА ГЛАВА 2 ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ НЬЮТОНА Законам механики подчиняются движения всех окружающих нас тел. Для того чтобы открыть эти законы, Ньютону не потребовались какие-либо сложные приборы. Достаточными оказались простые опыты. Главная задача состояла в том, чтобы в огромном разнообразии движений тел увидеть то существенное, что определяет характер движения каждого тела. § 18 ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ МЕХАНИКИ Что является причиной появления ускорения при движении тела? При каком условии тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения? Выбор системы отсчёта. Мы уже знаем, что любое движение следует рассматривать по отношению к определённой системе отсчёта. В кинематике, т. е. при описании движения без рассмотрения причин, его .. .. вызывающих, все системы отсчёта ' лти OfSrvnMTP к'як'пр трпг» птгиртя гпр- \ равноправны. Выбор определённои системы отсчёта для решения той или иной задачи диктуется соображениями целесообразности и удобства. Так, при стыковке космических кораблей удобно рассматривать движение одного из них относительно другого, а не относительно Земли. «р» Обсудите, какое тело отсчёта сле-дует выбрать при определении: 1) времени удаления ракеты от стартовой площадки; 2) расстояния, на которое за время t (с) удаляется воздушный шарик от выпустившего его из рук ребёнка; 3) времени перехода пасса-из одного вагона в другой. \^ира В разделе механики динамике — рассматриваются взаимодействия тел, являющиеся причиной изменения движения этих тел, т. е. изменения их скоростей. Вопрос о выборе системы отсчёта в динамике не является простым. Выберем вначале систему отсчёта, связанную с земным шаром. Движение тел вблизи поверхности Земли будем рассматривать относительно самой земли. Что вызывает ускорение тел? Если тело, лежащее на полу или на столе, начинает двигаться, то всегда по соседству можно обнаружить предмет, который толкает это тело, тянет или действует на него на расстоянии (на-__________________________________^ пример, магнит на железный шар). Поднятый над землёй камень не остаётся висеть в воздухе, а падает. Очевидно, что именно действие Земли приводит к этому. Изменение скорости тела (а значит, ускорение) всегда вызывается воздействием на него каких-либо других тел. ■ Понаблюдайте, что вызывает из-мь»*. менение скорости шайбы при игре в хоккей. С какими телами при этом шайба взаимодействует? ДИНАМИКА Эта фраза содержит главное утверждение механики Ньютона и выражает принцип причинности в механике. Принцип причинности исключает влияние данного события на прошедшее событие. Данное событие может влиять только на последующие события. Этот принцип позволяет описать реакцию тела или системы тел на внешние воздействия. Обсудите принцип причинности и предположите, в чём причина изменения, например, траектории полёта мяча, ударившегося о стенку; темпе-\j3aTypbi проводника, по которому идёт ток^ /футболист ударил по мячу. Ударил — значит, его нога оказала определённое действие на мяч, и скорость мяча увеличилась. А вот какое действие позволяет футболисту быстро устремиться к воротам противника? Одного желания здесь мало. Будь вместо футбольного поля идеально гладкий лёд, а на ногах футболиста вместо бутс с шипами тапочки с гладкой подошвой, это ему не удалось бы. Для того чтобы бежать с ускорением, нужно упираться ногами в землю. Если ноги будут скользить, вы никуда не убежите. Значит, только трение о землю, действие со стороны земли на ноги футболиста позволяет ему, да и всем нам, при беге и ходьбе изменять свою \^корость. Точно так же, чтобы остановиться с разбегу, надо упираться ногами в землю^ EBSD9 Явление, при котором тело сохраняет скорость, когда на него не действуют другие тела, называется явлением инерции. Это явление не является само собой разумеющимся. Понадобил-ся гений Галилея и Ньютона, чтобы его осознать. Ньютону вслед за Галилеем удалось окончательно развеять одно из глубочайших заблуждений человечества о законах движения тел. Если действий со стороны других тел на данное тело нет, то согласно основному утверждению механики ускорение тела равно нулю, т. е. тело будет покоиться или двигаться с постоянной скоростью. Начиная с великого древнегреческого философа Аристотеля, на протяжении почти двадцати веков все были убеждены, что движение тела с постоянной скоростью нуждается для своего поддержания в действиях, производимых на тело извне, т. е. в некоторой активной причине. Считали, что без такой поддержки тело обязательно остановится. Это, казалось, находит подтверждение в нашем повседневном опыте. Например, автомобиль с выключенным двигателем останавливается и на совершенно горизонтальной дороге. Для поддержания его постоянной скорости необходимо, чтобы двигатель был включён. Может оказаться и так, что тело покоится или движется равномерно Приведите примеры движения по инерции. По утверждению Аристотеля, различия в движении двух тел обусловлены различиями тех мест, в которых эти тела находятся. Аристотель выдвигает как непреложную аксиому следующее утверждение: если тело находится в месте, свойственном ему по природе, то оно будет неподвижно; но если оно находится в месте, несвойственном его природе, то оно будет двигаться из места, где оно оказалось, к месту, указанному ему его природой. ДИНАМИКА и прямолинейно, т. е. без ускорения (а* = 0), хотя на него и действуют другие тела. На столе Лежит книга, её ускорение равно нулю, хотя действие со стороны других тел налицо. На книгу действуют Земля, притягивающая её, и стол, который не даёт ей упасть. В этом случае говорят, что действия уравновешивают (или компенсируют) друг друга. В действительности же свободное Можно ли сказать, что свободное Ущ падение — это падение свобод V ного тела? тело, которое не взаимодействует с другими телами, движется всегда с постоянной скоростью или находится в покое. Свободным телом называется тело, которое не взаимодействует с другими телами. Только действие со стороны другого тела способно изменить его скорость. Если бы не было сопротивления движению со стороны земли, то скорость автомобиля на горизонтальном шоссе и при выключенном двигателе оставалась бы постоянной. Галилеем был сформулирован закон инерции. Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела. Подумайте, зависит ли ускорение Ущ тела от того, в каком состоянии оно было до начала движения, находилось в состоянии покоя или равно-У^мерного прямолинейного движения. ^ Состояние покоя и состояние равномерного прямолинейного движения {а* = 0) с точки зрения динамики не различаются. 1. В чём состоит явление инерции? 2. Что такое свободное тело? 3. При каких условиях тело сохраняет состояние покоя? 4. Какую систему отсчёта мы выбрали при рассмотрении движения тел? 5. Можно ли утверждать, что состояние покоя и состояние равномерного прямолинейного движения с точки зрения кинематики не различаются? 6. Как определить, что наблюдаемое тело начало взаимодействовать с другим телом? 7. Выполняется ли закон инерции в системе, тело отсчёта в которой движется с ускорением? ДИНАМИКА §19 СИЛА. МАССА. ЕДИНИЦА МАССЫ Что является причиной изменения скорости тел? Что можно сказать о скорости и ускорении тела, к которому не приложена никакая сила? Основное утверждение механики состоит в том, что ускорения тел определяются действиями на них других тел. Силой в механике называют количественную меру действия тел друг на друга, в результате которого тела получают ускорения или испытывают деформацию. Это определение основано на главном утверждении механики: 1) ускорения тел вызываются силами; 2) силы, действующие на тело, обусловлены действиями на него других тел. Сила — мера взаимодействия тел,;^ С какими телами взаимодействует ребёнок, катающийся на карусели? Понятие силы относится к двум телам. С самого начала нужно отчётливо представить себе, что понятие силы относится именно к двум телам, а не к одному. Всегда можно указать тело, на которое действует сила, и тело, со стороны которого она действует. Так, сила тяжести действует на камень со стороны Земли, а на шарик, подвешенный на пружине, действует сила упругости со стороны пружины. Сила имеет направление. Так, сила упругости растянутой пружины действует вдоль её оси. Сила трения останавливает скользящую по льду шайбу и направлена против скорости её движения. Сила — векторная величина. S Сравнение сил. Для количественного определения силы мы должны уметь её измерять. Только при этом условии можно говорить о силе как об определённой физической величине. Но ведь действия на данное тело могут быть самыми разнообразными. Что общего, казалось бы, между силой притяжения Земли к Солнцу и силой, которая, преодолевая тяготение, заставляет взмывать вверх ракету, или между этими двумя силами и силой, сжимающей мяч в руке, определяемой сокращением мускул? Ведь они совершенно различны по своей природе! Можно ли говорить о них как о чём-то физически родственном? Можно ли сравнивать их? Две силы независимо от их природы считаются равными и противоположно направленными, если их одновременное действие на тело не меняет его скорости (т. е. не сообщает телу ускорение). Это определение позволяет измерять силы, если одну из них принять за единицу измерения. Измерение сил. Для измерения сил необходим эт^он единицы силы. В качестве эталона единицы силы выберем силу с которой некоторая определённая (эталонная) пружина при фиксированном растяжении Длс дей- ДИНАМИКА //////////Л Рис > 1 У7///777////77//////// Ajc^ . , ^ ствует на прикреплённое к ней тело (рис. 2.1). Сила упругости пружины направлена вдоль оси пружины. Установим способ сравнения сил с эталонной силой. По определению две силы считаются равными и противоположными по направлению, если при одновременном действии они не сообщают телу ускорение. Следовательно, измеряемая сила равна по модулю эталонной силе Fq и направлена в противоположную сторону, если под воздействием этих сил тело не получает ускорение (см. рис. 2.1). Причём сила F^ может быть любой природы: силой давления, силой трения и т. д. Если к телу прикрепить две пружины и растянуть их также на Ах (рис. 2.2), то равнодействующая сила будет равна 2Fq. Ci^a направленная в противоположную сторону, по модулю также равна 2Fq, если все три силы, действуя одновременно на тело, не сообщают ему ускорение. Таким образом, располагая эталоном силы, мы можем измерять силы, кратные эталону. Для этого к телу, на которое действует измеряемая сила, прикладывают в сторону, противоположную её направлению, такое количество эталонных сил, чтобы тело не получило ускорение, и подсчитывают число эталонных сил. Естественно, что при этом мы можем измерить силу не меньше эталонной силы Fq и ошибка измерения будет также не меньше ошибки измерения эталонной силы. Выбрав эталонную силу достаточно малой, можно в принципе производить измерения разных сил с требуемой точностью. ________ Динамометр. На практике для Можно ли при задании эталонной силы не растягивать, а сжимать пружину? Рис 2.3 измерения сил применяют динамометр (рис. 2.3). Использование J динамометра основано на том, что при упругой деформации удлинение пружины прямо пропорционально приложенной к ней силе. Поэтому по длине пружины можно судить о значении силы. О силах в механике. В механике не рассматривается природа тех или иных сил и не делаются попытки выяснить, вследствие каких физических процессов появляются те или иные силы. Это задача других разделов физики. В механике важно лишь знать, при каких условиях возникают силы, каковы их направления и чему равны их модули, т. е. знать, как силы зависят от расстояний между телами и от скоростей их движения. А знать модули сил, определять, когда и как они действуют, можно, не вникая в природу сил, а лишь располагая способами их измерения. ДИНАМИКА В механике имеют дело с тремя типами сил: гравитационными силами, силами упругости и силами трения. Модули и направления этих сил определяются опытным путём. Важно, что все рассматриваемые в механике силы зависят либо только от расстояний между телами или от расположения частей тела (гравитация и упругость), либо только от относительных скоростей тел (трение). /когда человек не может поднять тяжёлую вещь, он говорит: «Не хватает сил». При этом, в сущности, происходит сравнение двух совершенно разных по своей природе сил — мускульной силы и силы, с которой Земля притягивает этот предмет. Но если вы подняли тяжёлый предмет и держите его на весу, то ничто не мешает вам утверждать, что сила, действующая на тело со стороны ваших рук, по модулю равна силе тяжести. Это Утверждение, по существу, и является определением равенства сил в механике._^ Инертность тела. Мы уже говорили о явлении инерции. Именно вследствие инерции покоящееся тело приобретает заметную скорость под действием силы не сразу, а лишь за некоторый интервал времени. Инертность — свойство тел по-разному изменять свою скорость под действием одной и той же силы. Ускорение возникает сразу, одновременно с началом действия силы, но скорость нарастает постепенно. Даже очень большая сила не в состоянии сообщить телу сразу значительную скорость. Для этого нужно время. Чтобы остановить тело, опять-таки нужно, чтобы тормозящая сила, как бы она ни была велика, действовала некоторое время. Именно эти факты имеют в виду, когда говорят, что тела инертны^ т. е. одним из свойств тела является инертность, а количественной мерой инертности является масса. Приведём примеры простых опытов, в которых очень отчётливо проявляется инертность тел. 1. На рисунке 2.4 изображён массивный шар, подвешенный на тонкой нити. Внизу к шару привязана точно такая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю нить, то порвётся верхняя нить: ведь на неё действуют и шар своей тяжестью, и сила, с которой мы тянем шар вниз. Однако если за нижнюю нить очень быстро дёрнуть, то оборвётся именно она, что на первый взгляд довольно странно. Но это легко объяснить. Когда мы тянем за нить медленно, то шар постепенно опускается, растягивая верхнюю нить до тех пор, пока она не оборвётся. При быстром рывке с большой силой шар получает большое ускорение, но скорость его не успевает увеличиться сколько-нибудь значительно за тот малый промежуток времени, в течение которого нижняя нить сильно растягивается и обрывается. Верхняя нить поэтому мало растягивается и остаётся _______________________________________ целой. f «14'^ Выполните самостоятельно этот 2. Интересен опыт с длинной 1 опыт и убедитесь в описанных палкой, подвешенной на бумажных V результатах. о щ р;<с. г ДИНАМИКА Объясните описанный опыт с пал-кой. кольцах (рис. 2.5). Если резко ударить по палке железным стержнем, то палка ломается, а бумажные кольца остаются невредимыми. 3. Наконец, самый, пожалуй, эффектный опыт. Если выстрелить в пустой пластмассовый сосуд, пуля оставит в стенках правильные отверстия, но сосуд останется целым. Если же выстрелить в такой же сосуд, заполненный водой, то сосуд разорвётся на мелкие части. Это объясняется тем, что вода малосжимаема и небольшое изменение её объёма приводит к резкому возрастанию давления. Когда пуля очень быстро входит в воду, пробив стенку ___ сосуда, давление резко возрастает. Из-за инертности воды её уровень не успевает повыситься, и возросшее дЕшление разрывает сосуд на части. Чем больше масса тела, тем больше его инертность, тем сложнее вывести тело из первоначального состояния, т. е. заставить его двигаться или, наоборот, остановить его движение. Единица массы. В кинематике мы пользовались двумя основными физическими величинами — длиной и временем. Для единиц этих величин установлены соответствующие эталоны, сравнением с которыми определяются любая длина и любой интервал времени. Единицей длины является метр, а единицей времени — секунда. Все Рис. 2.5 - 4*^ Понаблюдайте за различными те-лами и определите, как зависит ^ инертность тела от его массы. ^Приведите примеры производных единиц физических величин в ки-V нематике. другие кинематические величины не имеют эталонов единиц. Единицы таких величин называются производными. При переходе к динамике мы должны ввести ещё одну основную единицу и установить её эталон. В Международной системе единиц (СИ) за единицу массы — один килограмм (1 кг) — принята масса эталонной гири из сплава платины и иридия, которая хранится в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа. Точные копии этой гири имеются во всех странах. Приближённо массу 1 кг имеет вода объёмом 1 л при комнатной температуре. Легко осуществимые способы сравнения любой массы с массой эталона путём взвешивания мы рассмотрим позднее. Инертность. Масса. Сила. Динамометр 1. При каких условиях тело движется с постоянной скоростью? 2. Дайте определение силы. 3. Какие две силы считаются в механике равными? 4. Как складываются силы, действующие на тело? 5. Чем отличаются основные единицы физических величин от производных единиц? ДИНАМИКА § 20 ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Какое явление называют инерцией? Что называют системой отсчёта? Закон инерции относится к самому простому случаю движения — движению тела, которое не взаимодействует с другими телами, т. е. движению свободного тела. Ответить на вопрос, как же движутся свободные тела, не обращаясь к опыту, нельзя. Однако нельзя поставить ни одного опыта, который бы в чистом виде показал, как движется ни с чем не взаимодействующее тело, так как таких тел нет. Как же быть? Имеется лишь один выход. Надо поместить тело в условия, при которых влияние внешних взаимодействий можно делать всё меньшим и меньшим, и наблюдать, к чему это ведёт. Можно, например, наблюдать за движением гладкого камня на горизонтальной поверхности, после того как ему сообщена некоторая скорость. (Притяжение камня к Земле компенсируется действием поверхности, на которую он опирается; на скорость его движения влияет только трение.) При этом легко обнаружить, что, чем более гладкой является поверхность, тем медленнее будет уменьшаться скорость камня. На гладком льду камень скользит весьма долго, не меняя заметно скорость. На основе подобных наблюдений можно сделать вывод: если бы поверхность была идеально гладкой, то при отсутствии сопротивления воздуха (в вакууме) камень совсем не менял бы своей скорости. Именно к такому выводу пришёл впервые Галилей. Сформулируем первый закон Ньютона: Первый закон Ньютона Существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела. /Ъервый закон, или закон инер-ции, как его часто называют, фактически был открыт Галилеем, но строгую формулировку дал и включил его в число основных законов механики Исаак Ньютон^ Этот закон, с одной стороны, содержит определение инерциальной системы отсчёта. С другой стороны, он содержит утверждение (которое с той или иной степенью точности можно проверить на опыте) о том, что инерциальные системы отсчёта существуют в действительности. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта. До сих пор систему отсчёта мы связывали с Землёй, т. е. рассматривали движение относительно Земли. В системе отсчёта, связанной с Землёй, ускорение тела определяется только действием на него других тел. Система отсчёта, связанная с Землёй, является инерциальной. Из формулировки первого закона следует, что если есть одна инерциальная система отсчёта, то^^любая другая движущаяся относительно неё прямолинейно и равномерно также является инерциальной. ДИНАМИКА Приведите примеры инерциаль-ных и неинерциальных систем отсчёта. Однако, помимо инерциальных систем отсчёта, есть и другие, в которых тело имеет ускорение даже в том случае, когда на него другие тела не действуют. В качестве примера рассмотрим систему отсчёта, связанную с автобусом. При равномерном движении автобуса пассажир может не держаться за поручень, действие со стороны автобуса компенсируется взаимодействием с Землёй. При резком торможении автобуса стоящие в проходе пассажиры падают вперёд, получая ускорение относительно стенок автобуса (рис. 2.6). Однако это ускорение не вызвано какими-либо новыми воздействиями со стороны Земли или автобуса непосредственно на пассажиров. Относительно Земли пассажиры сохраняют свою постоянную скорость, но автобус начинает двигаться с ускорением, и пассажиры относительно него также движутся с ускорением. Ускорение появляется вследствие того, что движение их рассматривается относительно тела отсчёта (автобуса), движущегося с ускорением. Рассмотрим маятник, находящийся на вращающемся диске (рис. 2.7). Нить маятника отклонена от вертикали, хотя сам он неподвижен относительно диска. Натяжение нити не может быть скомпенсировано силой притяжения к Земле. С.чедовательно, отклонение маятника нельзя объяснить только его взаимодействием с телами. Рассмотрим ещё один маятник, находящийся в неподвижном вагоне. Нить маятника вертикальна (рис. 2.8, а). Шарик взаимодействует с нитью и Землёй, сила натяжения нити равна силе тяжести. С точки зрения пассажира в вагоне и человека, стоящего на перроне, шарик находится в равновесии вследствие того, что сумма сил, действующих на него, равна нулю. Как только вагон начинает двигаться с ускорением, нить маятника отклоняется (шарик по инерции стремится сохранить состояние покоя). С точки зрения человека, стоящего на перроне, ускорение шарика должно быть равно ускорению вагона, так как нить не разрывается и шарик движется вместе с вагоном. Шарик по-прежнему взаимодействует с теми же телами, сумма сил этого взаимодействия должна быть отлична от нуля и определять ускорение шарика. С точки зрения пассажира, находящегося в вагоне, шарик неподвижен, следовательно, сумма сил, действующих на шарик, должна быть равна нулю, однако на шарик действуют те же силы — натяжения нити и сила Prs- ^ 8 тяжести. Значит, на шарик (рис. 2.8, б) должна дей- ДИНАМИКА ствовать сила которая определяется тем, что система отсчёта, связанная с вагоном, неинерциальная. Эту силу называют силой инерции (см. рис. 2.8, б). В неинерциальных системах отсчёта основное положение механики о том, что ускорение тела вызывается действием на него других тел, не выполняется. Можно ли говорить силы инерции? о природе Системы отсчёта, в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальными. ш ; Инерциальные системы отсчёта. I закон Ньютона. И. Ньютон 1. Какое утверждение содержится в первом законе Ньютона? 2. Какая система отсчёта называется инерциальной? 3 Каким образом можно установить, что данная система отсчёта является инерциальной? 4. Если за инерциальную систему отсчёта принять Землю, то какие надо выбрать на Земле тела отсчёта, чтобы системы, связанные с ними, были также инерциальными? Ai. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Система отсчёта, связанная с автомобилем, тоже будет инерциальной, если автомобиль 1) движется равномерно по прямолинейному участку шоссе 2) разгоняется по прямолинейному участку шоссе 3) движется равномерно по извилистой дороге 4) по инерции вкатывается на гору Л2. Утверждение, что материальная точка покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на неё не действуют другие тела или воздействие на него других тел взаимно уравновешено, 1) верно при любых условиях 2) верно в инерциальных системах отсчёта 3) верно для неинерциальных систем отсчёта 4) неверно ни в каких системах отсчёта \о. В некоторой инерциальной системе отсчёта (ИСО) частица покоится. В любой другой ИСО она 1) покоится 2) движется прямолинейно 3) движется с ускорением 4) либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно \ «. Пассажиры, находящиеся в автобусе, непроизвольно отклонились назад. Это скорее всего вызвано тем, что автобус 1) повернул налево 3) начал тормозить 2) повернул направо 4) начал набирать скорость ЛГ). Мяч, лежащий на полу вагона движущегося поезда, покатился влево, если смотреть по ходу поезда. Как изменилось движение поезда? 1) скорость поезда увеличилась 3) поезд повернул вправо 2) скорость поезда уменьшилась 4) поезд повернул влево ДИНАМИКА 1 §2Г второй закон ньютона Когда тело движется ускоренно? От чего зависит результат действия силы? Установить на опыте связь между ускорением и силой с абсолютной точностью нельзя, так как любое измерение даёт только приблизительное значение измеряемой величины. Но определить характер зависимости ускорения от силы можно с помощью несложных опытов. Уже простые наблюдения показывают, что, чем больше сила, тем быстрее меняется скорость тела, т. е. больше его ускорение. Естественно предположить, что ускорение прямо пропорционально силе. Ускорение, конечно, может зависеть от силы и гораздо более сложным образом, но сначала надо посмотреть, не справедливо ли самое простое предположение. Проще всего изучить поступательное движение тела, например металлического бруска, так как только при поступательном движении ускорение всех точек одинаково, и мы можем говорить об определённом ускорении тела в целом. Однако в этом случае сила трения о стол довольно велика и, главное, её трудно точно измерить. Поэтому возьмём установленную на рельсы тележку с лёгкими колёсами. Тогда сила трения будет сравнительно невелика, а массой колёс можно пренебречь по сравнению с массой тележки (рис. 2.9). Пусть на тележку действует постоянная сила со стороны нити, к концу которой прикреплён груз. Модуль силы измеряется пружинным динамометром. Эта сила постоянна, но не равна при движении силе тяжести, действующей на подвешенный груз. Измерить ускорение тележки можно, определяя время, затрачиваемое тележкой на прохождение пути s. Предположив, что ускорение постоянно и начальная скорость равна нулю, согласно уравнению движения запишем s = jCj - jcq = ai^/2, где Xq и — начальная и конечная координаты тела. - Xi: t [] Рис. 2.9 Отсюда *2 ’ (2.1) Тщательные измерения модулей сил и ускорений показывают прямую пропорциональность между ними: а ~ F. Векторы сГ 1л F направлены по одной прямой в одну и ту же сторону. На основании экспериментов было выявлено, что отношение модуля силы к модулю ускорения является постоянной величиной, не зависящей от силы: нямд — = const. а Величину F/a, равную отношению модуля силы к модулю ускорения, называют массой тела. ДИНАМИКА Итак, мы выяснили, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе и тем меньше, чем больше масса тела. Сформулируем второй закон Ньютона. Ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе: Второй закон Ньютона 7 Эта формула выражает один из самых фундаментальных законов природы, которому с удивительной точностью подчиняется движение как громадных небесных тел, так и мельчайших песчинок. С помощью этого закона можно рассчитать движение поршня в цилиндре автомобиля и сложнейшие траектории космических кораблей. Для решения задач мы чаще пользуемся другой формулировкой второго закона Ньютона. Произведение" массы тела на ускорение равно сумме действующих на тело сил: та Fx -4- F2 ■+ J?3 -4- ... (2.2) Ньютон ввёл понятие массы как количества вещества в данном теле. тела на рычажных весах, а не измеряем динамометром? Заметим, что если на тело не действуют силы или их сумма равна нулю (F = 0), то относительно инерциальной системы отсчёта о и, следовательно, й* = const. Однако это не означает, что первый закон Ньютона есть следствие второго. Ещё раз подчеркнём, что первый закон Ньютона устанавливает существование инерциальных систем отсчёта, а именно таких систем, в которых справедлив второй закон Ньютона. За единицу силы в Международной системе единиц принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с^. Эта единица называется ньютоном (сокращённое обозначение — Н). Наименование ньютона: 1 Н = 1 кг • 1 м/с^. Сформулированные законы Ньютона справедливы для тел, которые можно считать материальными точками. Во многих случаях форма и размеры тела не оказывают существенного влияния на характер механического движения. Измерение массы. Измерить массу тела можно с помощью рычажных весов. Равновесие рычажных весов с одинаковыми плечами будет в том случае, когда оба тела, положенные на чашки весов, давят на них одинаково. Давление же определяется массой этих тел. Представим, что у нас есть эталонная масса 1 кг, тогда, если любое другое тело уравновешивает эталон, то масса его равна 1 кг. Теперь мы можем измерять массу, равную 2 кг, и т. д. Разделив тело массой 1 кг на две равные части, мы получим два тела по 500 г, которые также можно использовать для измерения. Разделив одно из тел также на две равные части, мы получим массы по 250 г и т. д. Таким образом, мы можем измерять любые Г Почему мы определяем массу массы, используя наборы тел с разными массами. ДИНАМИКА ^ Уверенность в справедливости второго закона Ньютона вытекает не столько из отдельных опытов, на основании которых удаётся подойти к формулировке этого закона, сколько из того, что все вытекающие из него следствия, проверяемые как специальными опытами, так и всей человеческой прак-Jикoй, оказываются правильными. Если измерить массы mg, ДП3, ... нескольких тел, а затем соединить все эти тела вместе и измерить массу т одного объединённого тела, то будет выполняться простое соотношение: т = гПу + . Справедливо и обратное: если разделить тело на части, то сумма масс этих частей будет равна массе тела до разделения. Измерение массы в данном случае основано на том, что на тела действует сила притяжения к Земле. Следовательно, измеряемая таким способом масса является гравитационной массой. Измерить массу тела также можно на основе явления инерции. Ускорение тела, согласно второму закону Ньютона, прямо пропорционально силе, действуюгцей на тело, и обратно пропорционально его массе. Если на два тела действуют одинаковые силы, то отношение масс равно обратному отношению ускорений: (2.3) m2 Если у нас есть тело, массу которого мы знаем, то, измерив ускорения этого тела и тела с неизвестной массой, движущихся под действием одинаковых сил, определим неизвестную массу по формуле (2.3). Определяемая таким способом масса является инертной массой. Можно убедиться, что массы тела, измеренные указанными двумя способами равны, т. е. гравитационная масса тела равна его инертной массе. II закон Ньютона. Гравитационная и инертная массы Можно ли утверждать, что первый закон Ньютона является следствием второго? ■’ При каких условиях материальная точка движется равномерно и прямолинейно? •3. Какие условия необходимы для того, чтобы тело двигалось с постоянным ускорением? 4 Легкоподвижную тележку массой 3 кг толкают силой 6 Н. Чему равно ускорение тележки в инерциальной системе отсчёта? о В инерциальной системе отсчёта сила F сообщает телу массой т ускорение а. Как изменится ускорение тела, если массу тела и действующую на него силу увеличить в 2 раза? ДИНАМИКА 'И-, § 22 ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ СИЛ Какие силы действуют на взлетающий воздушный шар? Какая сила в этом случае входит во второй закон Ньютона? Согласно второму закону Ньютона ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропор- Т ционально массе тела: о, = при этом направления ускорения и силы совпадают (рис. 2.10). Однако в большинстве случаев тело взаимодействует не с одним телом, а с несколькими, и в результате этих взаимодействий на тело действуют несколько сил. Например, при подъёме груза на канате на груз действуют сила тяжести и сила натяжения каната, при движении автомобиля по дороге на него действуют сила тяжести, сила тяги, сила сопротивления и сила реакции опоры со стороны полотна дороги на колёса. Какую из нескольких действующих сил нужно считать определяющей, от какой из них зависит ускорение? Если на тело одновременно действуют несколько сил, то, как показывают эксперименты, ускорение тела будет пропорционально геометрической сумме всех этих сил; _ Приведите примеры тел, на которые при их движении действуют несколько сил. Какие силы действуют на парашют, на катер, на конь-\j5 Н. Определите модуль и направление силы которую необ-:^димо приложить к центру шарика помимо силы F, чтобы шарик двигался с ускорение^ а = 5 м/с^, направленным так же, как и сила F (рис. 2.17). Решение. На шарик действуют две силы: сила F и искомая сила F^. Поскольку модуль и направление силы неизвестны, можно изобразить на рисунке сначала только силу F (см. рис. 2.17). Согласно второму закону Ньютона та* = F + Fj. Отсюда F^ = та* - F. Так как векторы та* VI F в любой момент времени должны быть расположены на одной прямой, то и сила Pj, являясь их разностью, расположена на той же прямой. Таким образом, искомая сила может быть направлена либо так же, как сила F, либо противоположно ей. Чтобы определить модуль и направление силы Fj, найдём её проекцию на ось X, направление которой совпадает с силой F. Учитывая, что F^ = F и а^ = а, выражение для силы F^ в проекциях на ось X можно записать в виде F^^ = та - F. Проанализируем последнее выражение. Если та > F, то > 0, т. е. сила Fj направлена так же, как и ось X. Если же та < F, то < 0, т. е. сила Fj направлена противоположно направлению оси X. Для рассматриваемого случая Fi^ = 0,2 • 5Н - 1,5Н = -0,5 Н. Следовательно, сила F^ направлена противоположно оси X (рис. 2.18). ,а iri В результате полученного толчка брусок начал скользить вверх по наклонной плоскости из точки О с начальной скоростью Vq = 4,4 м/с. Определите положение бруска относительно точки О через промежуток времени По ti = 2 с после начала его движения, если угол наклона плоскости к горизонту а = 30°. Трение не учитывайте. Решение. Поскольку требуется найти положение бруска относительно точки О, начало координат возьмём в этой точке. Ось X направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось У — перпендикулярно этой плоскости вверх (рис. 2.19). При движении бруска на него действуют две силы: сила тяжести т^ и сила ДИНАМИКА реакции опоры N наклонной плоскости, перпендикулярная последней. Эту силу иногда называют силой нормальной реакции. Она всегда перпендикулярна поверхности, на которой находится тело. Согласно второму закону Ньютона та* = -f N. Так как на брусок действуют постоянные силы, то вдоль оси X он будет двигаться с постоянным ускорением. Следовательно, чтобы определить положение бруска относительно точки О, можно воспользоваться кинематическим уравнением л: = Хо -Ь 4- aj. При сделанном выборе направления оси X и начала координат имеем Xq = О и = -Vq. Проекцию ускорения на ось X найдём по второму закону Ньютона. Для рассматриваемого случая та^ = mg^ -I- N^. Учитывая, что = ^sina и = О, получим = ^sina. Таким образом. X = -Vnt -Ь ^ sina = 1 м. Эадачи 3. Два тела массами = 10 г и m2 = г связаны нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок, установленный на наклонной плоскости (рис. 2.20). Плоскость образует с горизонтом угол а = 30°. Определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела. Трение не учитывайте. Решение. Предположим, что тело массой т^ перетягивает. Выберем оси координат так, как показано на рисунке 2.21. В проекциях на оси Х^ и X уравнения движения тел запишем в виде m^a^i = m^g - Т^, = Tg - тз^'вша, \aj так как нить нерастяжима. Силы натяжения нити равны, так как нить и блок невесомы. Сложив левые и правые части уравнений, полу- m^-m2su\a ^ .-.г. 2 чим =---------;----g = 0,98 м/с . Так как > о, то движение тел происходит в выбранном направлении. Рис. 2.21 Задача 4. Автомобиль массой т = 1000 кг движется со скоростью о = 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны Л = 50 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в его середине? С какой минимальной скоростью должен двигаться автомобиль для того, чтобы в верхней точке он перестал оказывать давление на мост? ДИНАМИКА N Решение. Силы, действующие на автомобиль вдоль радиуса моста, изображены на рисунке 2.22: — сила тяжести; N — сила нормальной реакции моста. По третьему закону Ньютона искомая сила давления F равна по модулю силе реакции моста N. При движении тела по окружности всегда направляем одну из осей координат от тела к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона центростремительное ускорение автомобиля определяется суммой сил, действующих на него вдоль радиуса окружности, по которой он движется: mv^/R = mg - N. Отсюда F = N = m{g - v^/R) = 7,8 кН. Сила давления на мост станет равной нулю при mv^/R = mg, так что = 80 км/ч. При скорости, превышающей Уд,: , автомобиль оторвётся от поверхности моста. Pv^«. 2 23 Задачи для самостоятельного решендя 1. К центру шара приложена сила F (рис. 2.23). Куда направлено ускорение шара? В каком направлении движется шар? 2. На полу лифта находится тело массой 50 кг. Лифт поднимается так, что за 3 с его скорость изменяется от 8 до 2 м/с. Определите силу давления тела на пол лифта. 3. Тепловоз на горизонтальном участке пути длиной 600 м развивает постоянную силу тяги 147 кН. Скорость поезда возрастает при этом от 36 до 54 км/ч. Определите силу сопротивления движению, считая её постоянной. Масса поезда 1000 т. 4. Жёсткий стержень длиной 1 м с прикреплённым к нему шариком массой 100 г вращается равномерно в вертикальной плоскости. Определите модуль и направление силы, с которой стержень действует на шарик в верхней точке, при скоростях шарика 2 м/с и 4 м/с. 5. Два груза массами 2 кг и 4 кг, связанные нерастяжимой нитью, поднимают вертикально силой 84 Н, приложенной к первому грузу. Определите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Г^\ л t. Лыжник склону горы, У///////Л i М в начале спуска с горы имел скорость 2 м/с. Спустившись по образующей угол 30° с горизонтом, лыжник увеличил свою скорость до 12 м/с. Какое расстояние проехал лыжник под уклон? Трение не учитывайте. 1) 12,5 м 2) 14 м 3) 50 м 100 м Брусок массой М = 300 г соединён с бруском массой т = 200 г невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рис.). Чему равен модуль ускорения бруска массой 200 г? 1) 2 м/с^ 2) 3 м/с 3) 4 м/с 4) 6 м/с ДИНАМИКА Ш § 24 ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Какие силы возникают при взаимодействии тел? В чём проявляется взаимодействие тел? Какова природа сил взаимодействия? Рис. 2 В третьем законе Ньютона формулируется одно общее свойство всех сил, рассматриваемых в механике: любое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Это означает, что если тело А действует на тело В, то и тело В действует на тело А. Взаимодействие тел. Примеров взаимодействия тел и сообщения ими друг другу ускорений можно привести сколь угодно много. Когда вы, находясь в одной лодке, начнёте за верёвку подтягивать другую лодку, то и ваша лодка обязательно будет двигаться к ней (рис. 2.24). Вы действуете на верёвку, и верёвка действует на вас. Если вы ударите ногой по футбольному мячу или толкнёте плечом товарища, то ощутите обратное действие на ногу или плечо. Всё это проявления закона взаимодействия тел. Действия тел друг на друга носят характер взаимодействия не только при непосредственном контакте тел. Положите на гладкий стол два сильных магнита разноимёнными полюсами навстречу друг другу, и вы тут же обнаружите, что они начнут двигаться навстречу друг другу. Изменения скоростей обоих взаимодействующих тел легко наблюдаются лишь в тех случаях, когда массы этих тел мало отличаются друг от друга. Если же взаимодействующие тела значительно различаются по массе, заметное ускорение получает только то из них, которое имеет меньшую массу. Так, при падении камня мы видим, что камень движется с ускорением, но ускорение Земли (а ведь камень тоже притягивает Землю!) практически обнаружить нельзя, так как оно очень мало. Силы взаимодействия двух тел. Выясним с помощью опыта, как связаны между собой силы взаимодействия двух тел. Возьмём достаточно сильный магнит и железный брусок, установим их на катки для уменьшения трения о стол (рис. 2.25). К концам магнита и бруска прикрепим одинаковые пружины, закреплённые другими концами на столе. Магнит и брусок притянутся друг к другу и растянут пружины. Опыт показывает, что к моменту прекращения движения пружины растянуты совершенно одинаково. Это означает, что на оба тела со стороны пружин действуют одинаковые по модулю и противоположные по направлению силы: Рис. 2 ■■■ = -Fo. (2.5) С какими телами вы взаимодействуете, когда сидите за столом, идёте по дороге, работаете с компьютером? ДИНАМИКА Возьмите с товарищем по дина-мометру, соедините их крючками ^ и начинайте растягивать. Понаблюдайте за показаниями динамометров. \^!)делайте вывод.____________________ Так как магнит покоится, то сила F2 равна по модулю и противоположна по направлению силе F^, с которой на него действует брусок: ---------------- F2 = -F^. (2.6) Точно так же равны по модулям и противоположны по направлению силы, действующие на брусок со стороны магнита и пружины: К = -К (2.7) Отсюда следует, что силы, с которыми взаимодействуют магнит и брусок, равны по модулю и противоположны по направлению: Рз = -К (2.8) Третий закон Ньютона. На основе подобных опытов можно сформулировать третий закон Ньютона. Третий закон Ньютона Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по моду-Улю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. В Если на тело А со стороны тела В действует сила (рис. 2.26), то одновременно на тело В со стороны тела А будет действовать сила Ед, причём Рис. 2.26 Ра = -Рв- (2.9) Отметим, что силы взаимодействия двух тел — силы одной физической природы, время их действия одинаково, но они приложены к разным телам, следовательно, действие первого тела на второе не может быть скомпенсировано действием второго тела на первое. Используя второй закон Ньютона, равенство (2.6) можно записать так: = -т.^2- (2.10) Отсюда следует, что а, гпп — = — = const, (2.11) 02 Щ т. е. отношение модулей ускорений и Пз взаимодействующих друг с другом тел обратно пропорционально их массам (см. формулу (2.3) на с. 76). закон Ньютона. Взаимодействие тел ] 1. Правильна ли следующая запись третьего закона Ньютона: Pi, 2 ~ -^2,1’ 1-^1,2I ^ 1-^2, 2. Лошадь тянет телегу, а телега действует на лошадь с такой же по модулю силой, направленной в противоположную сторону. Почему же лошадь везёт телегу, а не наоборот? ДИНАМИКА ГЕОЦЕНТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОТСЧЁТА Законы механики справедливы в инерциальных системах отсчёта. Можно ли систему отсчёта, связанную с Землёй, считать инерциальной? мМ Если тело относительно определённой инерциальной системы отсчёта движется с постоянной скоростью то по отношению к системе отсчёта, которая сама движется со скоростью гГ, это тело согласно закону сложения скоростей будет двигаться с некоторой новой, но также постоянной скоростью = v[ + ТГ. Ускорение тела в обеих системах отсчёта равно нулю. Напротив, любая система отсчёта, движущаяся с ускорением относительно инерциальной системы отсчёта, уже будет неинерциальной. Действительно, если v\ = const, а скорость v* изменяется, то скорость щ также будет меняться с течением времени. Следовательно, характер движения тела будет изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой: в первой системе отсчёта движение тела равномерное, а во вто- _________________ рой — ускоренное. Так как систему отсчёта, связанную с Землёй (рис. 2.27), можно приближённо рассматривать как инерциальную, то и системы отсчёта, связанные с поездом, движущимся с постоянной скоростью, или с кораблём, плывущим по прямой с неизменной скоростью, также будут инерциальными. Но как только поезд начнёт увеличивать свою скорость, связанная с ним система отсчёта перестанет быть инерциальной. Закон инерции и второй закон Ньютона перестанут выполняться, если рассматривать движение по отношению к таким системам. Геоцентрическая система отсчёта инерциальна лишь приближённо. Наиболее близка к инерциальной система отсчёта, связанная с Солнцем и неподвижными звёздами (рис. 2.28). Земля же движется по отношению к этой системе отсчёта с ускорением. Во-первых, она вращается вокруг своей оси и, во-вторых, движется по замкнутой орбите вокруг Солнца. Ускорение, обусловленное обращением Земли вокруг Солнца, очень мало, так как велик период обращения (год). Значительно больше (примерно в 6 раз) ускорение, возникающее из-за вращения Земли вокруг оси с периодом Т = 24 ч. Но и оно невелико. На поверхности Земли у экватора, где это ускорение наибольшее, оно равно: а = ^ ~ 0,035 м/с. Рис. 2.2/ Почему систему отсчёта, связан^ ную с Землёй, называют геоцентрической? Как называется систе-______ма отсчёта, связанная с Солнцем^ У Рис. 2.28 т. е. составляет всего 0,35% от ускорения свободного падения g = = 9,8 м/с^. Именно поэтому систему Вспомните, как изменяется ускорение свободного падения при перемещении точки наблюдения от полюса к экватору. ДИНАМИКА отсчёта, связанную с Землёй, можно лишь приближённо рассматривать как инерциальную. Доказательство вращения Земли. Однако существуют явления. которые нельзя объяснить, если считать геоцентрическую систему отсчёта инерциальной. К ним относится вращение относительно Земли плоскости колебаний маятника в знаменитом опыте Фуко, доказывающем вращение Земли. Впервые опыт с маятником был выполнен французским физиком-экспери-ментатором Жаном Фуко (1819—1868) в узком кругу. Его результаты заинтересовали Л. Бонапарта, и он предложил Фуко провести демонстрацию этого опыта в грандиозном масштабе под куполом Пантеона в Париже в присутствии множества зрителей. Эту публичную демонстрацию, устроенную в 1851 г, и принято называть юпытом Фуко. Рассмотрим колебания маятника в гелиоцентрической инерциальной системе отсчёта. Для большей наглядности и простоты будем считать, что опыт проводится на полюсе. Пусть в начальный момент маятник отклоняют от положения равновесия. Действующие на маятник сила притяжения к Земле Д, и сила упругости подвеса маятника Т лежат в той же вертикальной плоскости (рис. 2.29). Согласно второму закону Ньютона ускорение маятника совпадает по направлению с равнодействующей силой F и поэтому лежит в той же вертикальной плоскости. А это значит, что с течением времени плоскость колебаний маятника в инерциальной системе отсчёта должна оставаться неизменной. Так и происходит в гелиоцентрической системе. Однако система отсчёта, связанная с Землёй, не является инерциальной, и относительно неё плоскость колебаний маятника поворачивается вследствие вращения Земли. Чтобы это обнаружить, необходимо подвес сделать таким, чтобы трение в нём было мало, а сам маятник — достаточно массивным. Иначе трение в подвесе заставит плоскость колебаний следовать за вращением Земли. Смещение плоскости колебаний маятника относительно Земли становится заметным уже через несколько минут. На средних широтах колебания маятника будут выглядеть несколько сложнее, но суть явления не изменится. Геоцентрическая система отсчёта. Маятник Фуко \ I 1Ы,1,И [ т 1. Какие системы отсчёта являются инерциальными? Сколько инерциальных систем отсчёта? 2. Мяч свободно падает. Будет ли связанная с ним система отсчёта инерциальной? i Как бы двигался маятник Фуко на экваторе? § 26 ДИНАМИКА ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ. ИНВАРИАНТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В любой ли системе отсчёта свободное тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения? Что утверждает первый закон Ньютона? Галилей первым обратил внимание на то, что равномерное прямолинейное движение по отношению к Земле совершенно не сказывается на течении всех механических явлений. Допустим, вы находитесь в каюте корабля или в вагоне поезда, движущегося плавно, без толчков. Вы можете спокойно играть в бадминтон или пинг-понг, как и на земле. Мяч или волан будет по отношению к стенам и полу перемещаться точно так же, как и по отношению к земле при игре в обычных условиях. Если не посмотреть в окно, то с уверенностью нельзя сказать, что же происходит с поездом: движется он или стоит. Если в движущемся с постоянной скоростью вагоне изучать падение тел, колебания маятника и другие явления, то результаты будут точно такими же, как и при исследовании этих явлений на Земле. Лищь при резком торможении поезда нужно прилагать дополнительные усилия, чтобы устоять на ногах. При большой болтанке самолёта или качке парохода на большой волне об игре с мячом не может быть и речи. Все предметы приходится закреплять, чтобы они оставались на своих местах. Принцип относительности. На основании подобных наблюдений можно сформулировать один из самых фундаментальных законов природы — принцип относительности. Все механические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это утверждение известно как принцип относительности в механике. Его ещё называют принципом относительности Галилея. Не нужно думать, что выполнение принципа относительности означает полную тождественность движения одного и того же тела относительно различных инерциальных систем отсчёта. Тождественны лишь законы динамики. Законы движения тел определяются не только законами динамики, но и начальными скоростями и начальными координатами тел. А начальные величины для данного тела относительно разных систем отсчёта различны. Покажите тождественность записи второго закона Ньютона относительно разных инерциальных систем отсчёта (используйте классический закон сложения скоростей). Инвариантные и относительные величины. Инвариантность означает неизменность физической величины или закона при определённых преобразованиях или изменениях условий. Например, сила, с которой мяч ударяется о землю, не зависит от того, кто наблюдал этот удар: человек, стоящий рядом, или пассажир равномерно движущегося автобуса. Или, например, масса космонавта одинакова на Земле и на Луне. Отметим, какие из рассмотренных величин остаются инвариантными при движении тела относительно разных систем отсчёта. ДИНАМИКА Рис. 2.31 Инвариантными при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой являются ускорение, масса и сила. Также инвариантными будут законы Ньютона, о чём говорит принцип относительности Галилея. В то же время уравнения движения тел в разных инерциальных системах отсчёта будут выглядеть по-разному. Величины, изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, являются относительными (неинвариантными). Кинематические величины, такие, как скорость, перемещение, траектория движения — примеры относительных величин. Например, в равномерно движущемся поезде камень будет падать отвесно относительно стен вагона, если начальная скорость камня по отношению к поезду равна нулю (рис. 2.30). Но, с точки зрения на-___________________________________ блюдателя на Земле этот камень будет двигаться по параболе (рис. 2.31). Дело в том, что начальная скорость камня по отношению к системе отсчёта, связанной с Землёй, отлична от нуля и равна скорости поезда. Открытие принципа относительности — одно из величайших достижений человеческого разума. Оно оказалось возможным лишь после того, как люди поняли, что ни Земля, ни Солнце не является центром Вселенной. Запишите уравнения движения: 1) пассажира, идущего вдоль вагона движущегося поезда, относительно вагона и относительно человека, стоящего на перроне; 2) машины, движущейся вдоль экватора, относительно Земли и Солнца. ^*1 Принцип относительности. Инвариантные и относительные величины 7 1. Сформулируйте принцип относительности Галилея. 2. От каких физических величин зависит ускорение тела? 3. Является ли инвариантной величиной скорость тела? Повторите материал главы 2 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. ДИНАМИКА СИЛЫ В МЕХАНИКЕ В главе 2 мы ввели понятие силы как количественной меры действия одного тела на другое. В этой главе мы рассмотрим, какие силы рассматриваются в механике, чем определяются их значения. § 27 СИЛЫ В ПРИРОДЕ Много ли видов сил существует в природе? Перечислите известные вам силы. Какую природу они имеют ную или электромагнитную? гравитацион- на первый взгляд кажется, что мы взялись за непосильную и неразрешимую задачу: тел на Земле и вне её бесконечное множество. Они взаимодействуют по-разному. Так, например, камень падает на Землю; электровоз тянет поезд; нога футболиста ударяет по мячу; потёртая о мех эбонитовая палочка притягивает лёгкие бумажки, магнит притягивает железные опилки; проводник с током поворачивает стрелку компаса; взаимодействуют Луна и Земля, а вместе они взаимодействуют с Солнцем; взаимодействуют звёзды и звёздные системы, луч света отражается от зеркала и т. д. Подобным примерам нет конца. Похоже, что в природе существует бесконечное множество взаимодействий (сил)? Оказывается, нет! Четыре типа сил. В безграничных просторах Вселенной, на нашей планете, в любом веществе, в живых организмах, в атомах, в атомных ядрах и в мире элементарных частиц мы встречаемся с проявлением всего лишь четырёх типов сил: гравитационных, электромагнитных, сильных (ядерных) и слабых. Гравитационные силы, или силы всемирного тяготения, действуют между всеми телами, имеющими массу, — все тела притягиваются друг к другу. Но это притяжение существенно обычно лишь тогда, когда хотя бы одно из взаимодействующих тел так же велико, как Земля или Луна. Иначе эти силы столь малы, что ими можно пренебречь. Предположите, в каких случаях \ гравитационная сила может изме-нить траекторию движения Земли,^ Электромагнитные силы действуют между частицами, имеющими электрические заряды. Сфера их действия особенно обширна и разнообразна. В атом£1х, молекулах, твёрдых, жидких и газообразных телах, живых организмах именно электромагнитные силы являются главными. Такие, казалось бы, чисто механические силы, как силы трения и упругости, имеют электромагнитную природу. Велика их роль в атомах. Попробуйте, зная, что все тела со- \ стоят из молекул, объяснить, почему силы упругости и трения имеют электромагнитную природу.______ у ДИНАМИКА Ядерные силы действуют между частицами в атомных ядрах и определяют свойства ядер. ^ Расскажите одноклассникам, что вам известно о ядерных силах. Замечаете ли вы в быту проявление действия ядерных сил? цами порядка 10*^ м (в тысячу раз они не проявляются совсем. Область действия ядерных сил очень ограничена. Они заметны только внутри атомных ядер (т. е. на расстояниях порядка 10"^® м). Уже на расстояниях между части- 10'^° меньших размеров атома м) Слабые взаимодействия вызывают взаимные превращения элементарных частиц, определяют радиоактивный распад ядер, реакции термоядерного синтеза. Они проявляются на ещё меньших расстояниях, порядка 10“^^ м. Ядерные силы — самые мощные в природе. Если интенсивность ядерных сил принять за единицу, то интенсивность электромагнитных сил составит 10”^, гравитационных — слабых взаимодействий — 10"^®. Сильные (ядерные) и слабые взаимодействия проявляются на таких малых расстояниях, когда законы механики Ньютона, а с ними вместе и понятие механической силы теряют смысл. Интенсивность сильного и слабого взаимодействий измеряется в единицах энергии (в электрон-вольтах), а не единицах силы, и потому применение к ним термина «сила» объясняется многовековой традицией все явления в окружающем .^мире объяснять действием характерных для каждого явления «сил».______ В механике мы будем рассматривать только гравитационные и электромагнитные взаимодействия. Силы в механике. В механике обычно имеют дело с тремя видами сил — силами тяготения, силами упругости и силами трения. .... J. Гравитационные, электромагнитные, ядерные, слабые силы . - ------- О Силы какой природы рассматриваются в механике? Назовите типы взаимодействий, существующих в природе. ■. Какие результаты взаимодействия тел мы наблюдаем? < Что такое интенсивность взаимодействия? ДИНАМИКА ГРАВИТАЦИОННЫЕ СИЛЫ СИЛА ТЯЖЕСТИ И СИЛА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ Почему Луна движется вокруг Земли? Что будет, если Луна остановится? Почему планеты обращаются вокруг Солнца? В главе 1 подробно говорилось о том, что земной шар сообщает всем телам у поверхности Земли одно и то же ускорение — ускорение свободного падения. Но если земной шар сообщает телу ускорение, то согласно второму закону Ньютона он действует на тело с некоторой силой. Силу, с которой Земля действует на тело, называют силой тяжести. Сначала найдём эту силу, а затем и рассмотрим силу всемирного тяготения. Ускорение по модулю определяется из второго закона Ньютона: F а = —. т В общем случае оно зависит от силы, действующей на тело, и его массы. Так как ускорение свободного падения не зависит от массы, то ясно, что сила тяжести должна быть пропорциональна массе: \f^ = 'т^ (3.1) Физическая величина ^ — ускорение свободного падения, оно постоянно для всех тел. На основе формулы F = mg можно указать простой и практически удобный метод измерения масс тел путём сравнения массы данного тела с эталоном единицы массы. Отношение масс двух тел равно отношению сил тяжести, действующих на тела: (3.2) т-1 Ш2 Это значит, что ^ массы тел,одинаковы, если одинаковы действующие на них силы тяжести На этом основано определение масс путём взвешивания на пружинных или рычажных весах. Добиваясь того, чтобы сила давления тела на чашку весов, равная силе тяжести, приложенной к телу, была уравновешена силой давления гирь на другую чашку весов, равной силе тяжести, приложенной к гирям, мы тем самым определяем массу тела. Сила всемирного тяготения. Нью- тон был первым, кто строго доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, одна и та же. Это сила всемирного тяготения., действующая между любыми телами Вселенной. /^ила тяжести, действующая на данное тело вблизи Земли, может считаться постоянной лишь на опре-дёленной широте у поверхности Земли. Если тело поднять или перенести в место с другой широтой, то ускорение свободного падения, а следовательно, и сила тяжести изменятся. > 'ис 3 I Ньютон пришёл к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с высокой горы (рис. 3.1) с определённой скоростью, могла бы стать такой, что он вообще никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался бы вокруг неё подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты. Итак, по мнению Ньютона, движение Луны вокруг Земли или движение планет вокруг Солнца — это тоже свободное падение, которое длится, не прекращаясь, миллиарды лет. Причиной такого падения (идёт ли речь действительно о падении обычного камня на Землю или о движении планет по их орбитам) служит сила тяготения. Земля сообщает Луне ускорение, которое не зависит от массы Луны и, как показали расчёты, в (60)^ раз меньше ускорения тел на Земле. Расстояние до Луны в 60 раз больше радиуса Земли. Отсюда Ньютон сделал вывод, что ускорение и соответственно сила притяжения тел к Земле обратно пропорциональны квадрату расстояния до центра Земли: а ~ F ~ Также Ньютон установил, что Солнце сообщает всем планетам ускорение, обратно пропорциональное квадрату расстояния от планет до Солнца. Закон всемирного тяготения. Можно лишь догадываться о волнении, охватившем Ньютона, когда он пришёл к великому результату: одна и та же причина вызывает явления поразительно широкого диапазона — от падения брошенного камня на землю до движения огромных космических тел. Ньютон нашёл эту причину и смог точно выразить её в виде одной формулы — закона всемирного тяготения. Так как сила всемирного тяготения сообщает всем телам одно и то же ускорение независимо от их массы, то она должна быть пропорциональна массе того тела, на которое действует: F ^ (3.3) Но поскольку, например. Земля действует на Луну с силой, пропорциональной массе Луны, то и Луна по третьему закону Ньютона должна действовать на Землю с той же силой. Причём эта сила должна быть пропорциональна массе Земли. Если сила тяготения является действительно универсальной, то со стороны данного тела на любое другое тело должна действовать сила, пропорциональная массе этого другого тела. Следовательно, сила всемирного тяготения должна быть пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел. Отсюда вытекает формулировка закона всемирного тяготения. «Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них... все планеты тяготеют друг к другу...» И. Ньютон . Закон всемирного тяготения Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: F = G (3.4) стоянкой. ДИНАМИКА Ш Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной по- Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя материальными точками массой 1 кг каждая, если расстояние между ними равно 1 м. Ведь при массах = mg = 1 кг и расстоянии г = 1 м получаем G = F (численно). Нужно иметь в виду, что закон всемирного тяготения (3.4) как всеобщий закон справедлив для материальных точек. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис. 3.2, а). Можно показать, что однородные тела, имеющие форму шара (даже если их нельзя считать материальными точками, рис. 3.2, б), также взаимодействуют с силой, определяемой формулой (3.4). В этом случае г — расстояние между центрами шаров. Силы взаимного притяжения лежат на прямой, проходящей через центры шаров. Такие силы называются центральными. Тела, падение которых на Землю мы обычно рассматриваем, имеют размеры, много меньшие, чем земной радиус {R « 6400 км). Такие тела можно, независимо от Ри-.,. г Г^\ рошенный на Землю камень отклонится под действием тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадёт наконец на Землю. Если его бросить с большей скоростью, то он упадёт дальше». И. Ньютон их формы, рассматривать как материальные точки и определять силу их притяжения к Земле с помощью закона (3.4), имея в виду, что г есть расстояние от данного тела до центра Земли. Определение гравитационной постоянной. Теперь выясним, как можно найти гравитационную постоянную. Прежде всего заметим, что G имеет определённое наименование. Это обусловлено тем, что единицы (и соответственно наименования) всех величин, входящих в закон всемирного тяготения, уже были установлены ранее. Закон же тяготения даёт новую связь между известными величинами с определёнными наименованиями единиц. Именно поэтому коэффициент оказывается именованной величиной. Пользуясь формулой закона всемирного тяготения, легко найти наименование единицы гравитационной постоянной в СИ: Н • м^/кг^ = м^/(кг • с^). Для количественного определения G нужно независимо определить все величины, входящие в закон всемирного тяготения: обе массы, силу и расстояние между телами. Трудность состоит в том, что гравитационные силы между телами небольших масс крайне малы. Именно по этой причине мы не замечаем притяжение нашего тела к окружающим предметам и взаимное притяжение предметов друг к другу, хотя гра- витационные силы — самые универсальные из всех сил в природе. Два человека массами по 60 кг на расстоянии 1 м друг от друга С Оцените силу гравитационного взаимодействия между вами и вашим соседом по парте. Считайте, что вы находитесь на расстоянии г = 0,5 м. ДИНАМИКА притягиваются с силой всего лишь порядка Н. Поэтому для измерения гравитационной постоянной нужны достаточно тонкие опыты. Впервые гравитационная постоянная была измерена английским физиком Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью прибора, называемого крутильными весами. Схема крутильных весов показана на рисунке 3.3. На тонкой упругой нити подвешено лёгкое коромысло с двумя одинаковыми грузиками на концах. Рядом неподвижно закреплены два тяжёлых шара. Между грузиками и неподвижными шарами действуют силы тяготения. Под влиянием этих сил коромысло поворачивается и закручивает нить до тех пор, пока возникающая сила упругости не станет равна гравитационной силе. По углу закручивания можно определить силу притяжения. Для этого нужно только знать упругие свойства нити. Массы тел известны, а расстояние между центрами взаимодействующих тел можно непосредственно измерить. Из этих опытов было получено следующее значение для гравитационной постоянной: Рис. 3.3 Предположите, какие трудности I Vv возникли бы у вас при попытке ! повторить опыт Кавендиша. 06- судите эту проблему с одноклассниками^’ G = 6,67 • Н • м7кг Лищь в том случае, когда взаимодействуют тела огромных масс (или по крайней мере масса одного из тел очень велика), сила тяготения достигает большого значения. Например, Земля и Луна притягиваются друг к другу с силой F « 2 • 10^° Н. Зависимость ускорения свободного падения тел от географической широты. Одна из причин увеличения ускорения свободного падения при перемещении точки, где находится тело, от экватора к полюсам, состоит в том, что земной щар несколько сплюснут у полюсов и расстояние от центра Земли до её поверхности у полюсов меньше, чем на экваторе. Другой причиной является вращение Земли. Равенство инертной и гравитационной масс. Самым поразительным свойством гравитационных сил является то, что они сообщают всем телам, независимо от их масс, одно и то же ускорение. Что бы вы сказали о футболисте, удар которого одинаково ускорял бы обыкновенный кожаный мяч и двухпудовую гирю? Каждый скажет, что это невозможно. А вот Земля является именно таким «необыкновенным футболистом» с той только разницей, что действие её на тела не носит характера кратковременного удара, а продолжается непрерывно миллиарды лет. Необыкновенное свойство гравита- В теории Ньютона масса является источником поля тяготения. Мы находимся в поле тяготения Земли. В то же время мы также являемся источниками поля тяготения, но в силу того, что наша масса существенно меньше массы Земли, наше поле намного слабее и окру-,жающие предметы на него не реагируют^ ционных сил, как мы уже говорили, объясняется тем, что эти силы пропорциональны массам обоих взаимодействующих тел. Масса тела, которая входит во второй закон Ньютона, определяет инертные свойства тела, т. е. его способность приобретать ДИНАМИКА К определённое ускорение под действием данной силы. Это инертная масса т„. Казалось бы, какое отношение она может иметь к способности тел притягивать друг друга? Масса, определяющая способность тел притягиваться друг к другу, — гравитационная масса /п^. Из механики Ньютона совсем не следует, что инертная и гравитационная массы одинаковы, т. е. что т„ = т^. (3.5) Равенство (3.5) является непосредственным следствием из опыта. Оно означает, что можно говорить просто о массе тела как о количественной мере как инертных, так и гравитационных его свойств. :|Силы тяжести, тяготения. Гравитационная и инертная массы 1. Справедлив ли закон всемирного тяготения для тел произвольной формы? 2. Какие силы называют центральными? 3. Каков физический смысл гравитационной постоянной? 4. От чего зависит ускорение свободного падения? 5. Как доказать, что инертная масса равна гравитационной? А1. К каким двум телам массами т, и m2 на расстоянии г друг от друга применим закон всемирного тяготения в форме 1) к любым телам при любых расстояниях между ними 2) только к небесным телам при больших расстояниях между ними 3) к любым телам с размерами, значительно меньшими расстояния г 4) только к телам шарообразной формы А2. Расстояние между центрами двух шаров равно 1 1 кг. Сила всемирного тяготения между ними равна 1) 1 Н 2) 0,001 Н 3) 7 • 10'-^ Н м, масса каждого шара 4) 7 • 10‘“ Н АЗ. При увеличении в 3 раза расстояния между центрами шарообразных тел сила гравитационного притяжения 1) увеличивается в 3 раза 3) увеличивается в 9 раз 2) уменьшается в 3 раза 4) уменьшается в 9 раз А4. По какой из приведённых формул можно рассчитать силу гравитационного притяжения между двумя кораблями одинаковой массы т (см. рис.)? Считайте, что Ь много больше размеров кораблей. 1) F = Gm^/b^ Z)F = Gm^/\Qb^ 2) F = Gni^/Ab^ 4) ни по одной из указанных формул А5. Два маленьких шарика массой т каждый находится на расстоянии г друг от друга и притягиваются с силой F. Чему равна сила гравитационного притяжения двух других шариков, если масса каждого из них т/2, а расстояние между их центрами 2г? 1) F/2 2) F/4 3) F/8 4) F/16 ДИНАМИКА § 29 СИЛА ТЯЖЕСТИ НА ДРУГИХ ПЛАНЕТАХ Чем различаются сила тяжести и сила тяготения? Что влияет на значение силы тяжести? Сила тяжести возникает в результате взаимодействия тела с Землёй при у^гёте суточного вращения Земли. Поясним, как влияет суточное вращение Земли на значение силы тяжести. Как мы знаем, Земля вращается вокруг собственной оси с периодом, равным 24 часам. Следовательно, система отсчёта, связанная с Землёй, является неинерциальной, и тело, находящееся на Земле, находится в неинерциальной системе отсчёта (рис. 3.4). Вследствие этого на тело действует, помимо силы тяготения, центробежная сила инерции, равная щсо^г и направленная от центра окружности, по которой вращается тело. Равнодействующая этих двух сил и будет силой тяжести, равной = mg* = + та*^^. Ускорение свободного падения не направлено по радиусу к центру Земли, а направлено, как мы видим, под углом к этому радиусу. Центростремительное ускорение зависит от радиуса окружности, по которой движется тело, следовательно, сила тяжести и ускорение свободного падения зависят от широты местности. На полюсе ускорение свободного падения максимально и равно 9,83 м/с^, а на экваторе минимально и равно 9,78 м/с^. Очевидно, что учитывать зависимость силы тяжести от широты местности имеет смысл, когда мы делаем расчёты с точностью до четырёх значащих цифр, т. е. когда в данных задачи 4 цифры отличны от нуля, например масса равна 1,321 кг, обычно же достаточно считать ускорение на поверхности Земли равным 9,8 м/с^, а иногда это значение мы округляем и считаем равным 10 м/с^. Рассмотрим движение тела относительно инерциальной системы отсчёта, например системы, связанной со звёздами (рис. 3.5). Запишем согласно второму закону Ньютона уравнение движения тела г’де N — сила нормального давления. В состоянии покоя сила тяжести по модулю равна силе нормального давления и направлена в противоположную сторону F^^^ = -N, отсюда следует, что F^^^ = Сила тяжести зависит также от высоты подъёма тела над уровнем моря. Так как согласно закону всемирного Рис. 3.5 Что влияет на силу тяжести, действующую на тела, находящиеся на Луне? Обсудите эту проблему с одноклассниками. тяготения р = р = G ТЯЖ ^ тяг ^ /nMg то после преобразований можно получить, что сила тяжести, действую- ДИНАМИКА щая на тело, находящееся на расстоянии h над поверхностью Земли, равна ^2 ■ тяжЛ = G (Д + Л)2 R R + h По таблице значений масс и радиусов планет Солнечной системы оцените, на какой из планет сила тяжести отличается от силы тяжести, действующей на тело на Земле наиболее существенно. При этом рассматривайте тело, находящееся на полюсе, чтобы исключить влияние на значение силы тяжести вращения планеты. На Луне и других планетах сила тяжести отличается от силы тяжести на Земле, так как изменяется сила тяготения. Сила тяготения,--------------------------------------- как мы видели, определяется массой планеты и её радиусом. Масса и радиус Луны меньше, чем масса и радиус Земли, поэтому сила тяжести на Луне существенно меньше. Так, на тело массой 1 кг на Луне действует сила тяжести, равная 1,7 Ы. Рассчитаем силу тяжести, действующую на тело массой 1 кг, находящееся на поверхности Венеры, при этом пренебрежём влиянием вращения Венеры вокруг собственной оси. Это можно сделать потому, что период вращения Венеры вокруг собственной оси почти в 10 раз больше, чем аналогичный период вращения Земли. Масса Венеры Mg = 0,82Mg, радиус = 0,95 Rq. Тогда Д-яжв -^тяг ^ mMg ^ /пО,82Мз ч = G (0,95)2 Д2 0,91Д.я^з. Можно ли утверждать, что ускорение свободного падения на Венере будет точно равно приведённому в тексте значению? Что ещё влияет на j3Ha4eHH6 ускорения свободного падения*^ Соответственно и ускорение свободного падения на Венере равно = 0,91^3 ~ 8,9 м/с^. Таким образом, ускорение свободного падения на Венере несущественно отличается от ускорения свободно падения на Земле. Если рассматривать другие планеты, например Марс, то сила тяжести на Марсе уже существенно отличается от силы тяжести, действующей на то же тело на Земле. Радиус Марса равен 0,53 радиуса Земли, а масса — 0,11 тМу< /п0,11Мз л ОЛТ1 массы Земли. Следовательно, = ^тяг = ^ (0,53)2Щ ~ 0»39Е,яжЗ* Таким образом, ускорение свободного падения на Марсе приблизительно равно 3,8 м/с^. Сила тяжести. Сила тяготения I. Где на планете, вращающейся относительно собственной оси, сила тяжести максимальна? Как определить силу тяжести на планете, зная массу планеты и массу тела? .4. Космонавт, находясь на Земле, притягивается к ней с силой 700 Н. С какой силой он будет притягиваться к Марсу, находясь на его поверхности, если радиус Марса примерно в 2 раза, а масса в 10 раз меньше, чем у Земли? i. Планета имеет радиус, в 2 раза меньший радиуса Земли. Известно, что ускорение свободного падения на поверхности этой планеты такое же, как на Земле. Чему равно отношение массы этой планеты к массе Земли? ДИНАМИКА §30 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ» При решении задач надо помнить, что сила тяготения действует между любыми телами, имеющими массу, но формула F = G справедлива только для тел, которые можно считать материальными точками, а также для однородных тел шаровой формы. При этом расстояние г — это расстояние между центрами шаров. Задача 1. При опытной проверке закона всемирного тяготения сила взаимодействия между двумя свинцовыми шарами массами /п^ = 5 кг и mg = 500 г, расстояние между центрами которых г = 7 см, оказалась равной F = 34 нН. Вычислите по этим данным гравитационную постоянную. /711 ^^9 Решение. Согласно закону всемирного тяготения F = G—Из этого выражения следует, что G = • Подставим в эту формулу результаты опыта, при этом все данные переведём в СИ: mg = 500 г = 5 • 10"^ кг, г = 7 см = 7 • 10"2 м, 7^’ = 34 нН = 3,4 • 10'® Н. II ‘ Получим G = 6,66 • 10'^^ ----Уточнённое значение гравитационной кг постоянной, которое входит в таблицы: G = 6,67 • 10~^^ кг • с 2 • Земля Задача 2. Определите равнодействующую силу, действующую на Луну, считая, что силы притяжения к Земле и Солнцу взаимно перпендикулярны. Массы Луны, Земли и Солнца соответственно равны т^ = = 7,36 * 10^^ кг; mg = 5,98 • кг; = 1,99 • 10®“ кг; расстояния от Луны до Земли и от Луны до Солнца соответственно равны Гдз = 3,85 • 10® м, = 1,5 • 10^^ м. Решение. По условию задачи силы гравитационного притяжения Луны к Земле и Солнцу взаимно перпендикулярны (рис. 3.6). Рассчитаем силу гравитационного притяжения Луны к Земле. _ 6,67 • 10-ii • 7,36 • 1022 • 5,98 • 1024 лз (3,85 • 10»)2 Сила притяжения Луны к Солнцу равна (Н) = 1,98 • 1020 Н. ^лс ~ 6,67 ■ 10-11 . 7 36.1022.1^99.1Q30 (Н) = 4,34 • 1020 Н. (1,5 • 1011)2 По теореме Пифагора найдём равнодействующую силу, действующую на Луну, Р = ^ + = 4,77 • 10^“н. лз ДИНАМИКА Задача 3. На поверхности Земли находятся два свинцовых шара радиусом /2 = 10 см каждый. В одном из них вырезана сферическая полость, как показано на рисунке 3.7. Радиус полости г = 5 см, центр полости находится на расстоянии Z = 5 см от центра шара. Определите силу гравитационного притяжения шаров. Центры шаров находятся на расстоянии L = 40 см. Решение. Если бы у правого шара не было вырезанной полости, то т'^ сила гравитационного притяжения шаров была бы равна = G при этом т = р — TiR^. Вырезав полость, мы уменьшаем эту силу притяжения на 3 силу Eg, равную силе притяжения левого шара к вырезанной части: Fo =G mmi 4 , , > где = р- ягз, I = г. Тогда f = Fi-F2 = g^-g ^ 2 £2 (L-r)2 (1) Заметим, что L = 4R = 8г; R = 2г, соответственно m = 8 т^. Подставив эти выражения в формулу (1), получим 41mj2 F = G^r-^ - G ^ 64г2 = G Учтя, что TTii = izKr^pj получаем F = G 49г2 ^ 49г2 * 164ряг 147 = 1,32 • 10-Ш. Задачи для самостоятельного решения 1. Радиус Луны примерно в 3,7 раза меньше, чем радиус R Земли, а масса т Луны в 81 раз меньше массы М Земли. Определите ускорение свободного падения тел на поверхности Луны. 2. Предположим, что масса Земли стала в 2 раза, а радиус — в 1,2 раза больше. Определите, во сколько раз изменилась сила тяжести, действующая на тело, находящееся на полюсе. С1. Какое ускорение сообщает Солнце Земле своим притяжением? Расстояние / г до Солнца примерно в 24 000 раз больше, чем радиус Земли, а масса Солнца превышает массу Земли в 333 000 раз. (^3 = 10 м/с^.) 2. Вычислите ускорение Луны, движущейся вокруг Земли по окружности. Расстояние между центрами Земли и Луны примите равным 400 000 км. Радиус Земли 6400 км. (g^ = 10 м/с^.) СЗ. Отношение массы Венеры к массе Земли равно 0,82, а отношение среднего радиуса Венеры к среднему радиусу Земли равно 0,95. Чему равна сила тяжести спускаемого на Венеру аппарата массой 500 кг? (^3 =10 м/с^.) ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ Что такое искусственные спутники Земли? Какое назначение они имеют? Вычислим скорость, которую надо сообщить искусственному спутнику Земли, чтобы он двигался по круговой орбите на высоте h над Землёй. На больших высотах воздух сильно разрежен и оказывает незначительное сопротивление движущимся в нём телам. Поэтому можно считать, что на спутник массой т действует только гравитационная сила F, направленная к центру Земли (рис. 3.8). Согласно второму закону Ньютона = F. Центростремительное ускорение спутника опре- деляется формулой = д-- ^ , где h — высота спутника над поверхностью Земли. Сила же, действующая на спутник, согласно тМ закону всемирного тяготения определяется формулой F = G (R + Л)2 ’ где М — масса Земли. Подставив найденные выражения для F и а в уравнение для второго за- тМ кона Ньютона, полу^шм Отсюда R + h = G {R + /^)2 V = GM R + h (3.6) Из полученной формулы следует, что скорость спутника зависит от его расстояния от поверхности Земли: чем больше это расстояние, тем с меньшей скоростью он будет двигаться по круговой орбите. Примечательно то, что эта скорость не зависит от массы спутника. Значит, спутником Земли может стать любое тело, если ему сообщить определённую скорость. В частности, при h = 2000 км = 2 • 10® м скорость v ~ 6900 м/с. Минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно стало спутником Земли, движущимся по круговой орбите, называется первой космической скоростью. Первую космическую скорость можно найти по формуле (3.6), если принять h = 0: I—лт (3.7) Подставив в формулу (3.7) значение G и значения величин М и R для ________________________________ Земли, можно вычислить первую Докажите, что первую космиче^ космическую скорость для спутни- скую скорость можно рассчитать по формуле uj = ка Земли: о, ~ 8 км/с. ДИНАМИКА Если такую скорость сообщить телу в горизонтальном направлении у поверхности Земли, то при отсутствии атмосферы оно станет искусственным спутником Земли, обращающимся вокруг неё по круговой орбите. Такую скорость спутникам способны сообщать только достаточно мощные космические ракеты. В настоящее время вокруг Земли обращаются тысячи искусственных спут- ___________________________________ ников. Любое тело может стать искусственным спутником другого тела (планеты), если сообщить ему необходимую скорость. Первый советский космический корабль был запущен 15 мая 1960 г. со скоростью, близкой к первой космической скорости, и выведен на орбиту, близкую к круговой. Космический корабль «Восток», на борту которого советский космонавт Ю. Гагарин 12 апреля 1961 г. совершил первый в мире полёт в космос, двигался по эллиптической орбите. Максимальная скорость его полёта была 7843 м/с, минимальная скорость для данной орбиты составляла 7671 м/с. 1 Первая космическая скорость I. Что определяет первую космическую скорость? li. Какие силы действуют на спутник любой планеты? 3. Можно ли сказать, что Земля — спутник Солнца? 4. Выведите выражение для периода обращения спутника планеты. 5. Как изменяется скорость космического корабля при входе в плотные слои атмосферы? Нет ли противоречий с формулой (3.6)? Л1. Какое выражение определяет значение скорости движения по круговой орбите спутника планеты массой М, если радиус планеты R, а расстояние от поверхности планеты до спутника h? 1) GM 2R 2) GM R + h 3) GM 2(R + h) GM ^4(R + hf A2. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом 20 000 км. Масса Земли 6 • кг. Определите скорость корабля. 1) 4,5 км/с 2) 6,3 км/с 3) 8 км/с 4) 11 км/с АЗ. Чему равна первая космическая скорость на Луне, если ускорение свободного падения на ней примерно в 6 раз меньше, чем на Земле, а радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли, (^д = 9,8 м/с^.) 1) 46 км/с 2) 13 км/с 3) 7,6 км/с 4) 1,7 км/с ДИНАМИКА §32j ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ» Для решения задач требуется знать закон всемирного тяготения, закон Ньютона, а также связь линейной скорости тел с периодом их обращения вокруг планет. Обратите внимание на то, что радиус траектории спутника всегда отсчитывается от центра планеты. Задача 1. Вычислите первую космическую скорость для Солнца. Масса Солнца 2 • 10^° кг, диаметр Солнца 1,4 • 10® м. Решение. Спутник движется вокруг Солнца под действием единственной силы — силы тяготения. Согласно второму закону Ньютона запишем: R< = G тМ Из этого уравнения определим первую космическую скорость, т. е. минимальную скорость, с которой надо запустить тело с поверхности Солнца, чтобы оно стало его спутником: й: 437 км/с. Rr Задача 2. Вокруг планеты на расстоянии 200 км от её поверхности со скоростью 4 км/с движется спутник. Определите плотность планеты, если её радиус равен двум радиусам Земли = 2Яд). Решение. Планеты имеют форму шара, объём которого можно вычислить по формуле V = \nR^, тогда плотность планеты О Опл г""- (1) где Мцд — масса планеты, — её радиус. Спутник движется вокруг планеты по круговой орбите. На него действует сила тяготения которая определяет центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона та^ = или mv^ = G- тМ^ (^пл + *) (^ПЛ + Из последнего уравнения находим массу планеты: М Подставив это выражение в формулу (1), имеем vHK:, + h) oH2Bs t Л) 2 • «"(Л™ + '■) о Рпл —nR^G 3 ® 355 кг/м^. Задача 3. При какой скорости спутника период его обращения вокруг Земли равен двум суткам? ДИНАМИКА Решение. Скорость спутника и = 2n(i?3 + h) (1) где h — высота спутника над поверхностью Земли. Для определения скорости необходимо знать высоту Л. Спутник движется по круговой орбите, при этом сила тяготения является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона для спутника запишем: та - F , или —— = G—p,------------т, (2) (Дз + Л) (Яз + fif ’ где т — масса спутника. Из уравнения (2) находим высоту h = ---Яд. Подставим выражение для h в формулу (1) и из полученного уравнения определим искомую скорость: ^ С?Мз ^ 2л Яо + - Я. о = _ 2nGMg v^T Окончательно получим 2лОМо и = з| ^ ^ (3) Для упрощения расчётов поместим спутник на полюс, где сила тяжести тМ^ ,> равна силе тяготения. Тогда mg = G -> отсюда GMg = йЩ. Подставив найденное выражение в формулу (3), определим скорость: l2KgRS V = з(——^ SS 2,4 км/с. Задача 4. Определите среднее расстояние от Сатурна до Солнца, если период обращения Сатурна вокруг Солнца равен 29,5 лет. Масса Солнца равна 2 • 10^® кг. Решение. Считаем, что Сатурн движется вокруг Солнца по круговой орбите. Тогда согласно второму закону Ньютона запишем: rrw^ „тМс — = (4) где т — масса Сатурна, г — расстояние от Сатурна до Солнца, Mq — масса Солнца. \2 Период обращения Сатурна Т = ^^, отсюда v = ^^. Подставив выражение для скорости v в уравнение (4), полу^1Им 2кг Г Мп Из последнего уравнения определим искомое расстояние от Сатурна до Солнца: г = ^ 1»42 • 10^2 м. ДИНАМИКА Сравнив с табличными данными, убедимся в правильности найденного значения. Задачи для самостоятельного решения 1. Определите длительность года на Венере. Среднее расстояние от Венеры до Солнца 1,08 • 10® км, а от Земли до Солнца 1,49 • 10® км. 2. Какой импульс силы подействовал на спутник массой 1 т, если спутник перешёл с орбиты радиусом Rq + h ка орбиту радиусом Rq + 2h, где высота h равна 200 км? 3. Астероид вращается вокруг Солнца с периодом, равным 410 сут. Определите расстояние от астероида до Солнца. 1-^^ (М. Чему равен радиус кольца Сатурна, в котором частицы движутся со скоро- стью 10 км/с? Масса Сатурна 5,7 • 10^° кг. Г*.* Среднее расстояние от планеты Земля до Солнца составляет 149,6 млн км, а от планеты Юпитер до Солнца — 778,3 млн км. Чему равно отношение линейных скоростей этих двух планет при их движении вокруг Солнца, если считать их орбиты окружностями? СЗ. Среднее расстояние от Солнца до планеты Уран составляет 2875,03 млн км, а до планеты Земля — 149,6 млн км. Чему приблизительно равна средняя линейная скорость планеты Уран при её движении вокруг Солнца, если известно, что средняя скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца составляет 30 км/с? С4. Средняя плотность некоторой планеты равна средней плотности планеты Земля, а радиус этой планеты в 2 раза больше радиуса Земли. Определите отношение первой космической скорости на этой планете к первой космической скорости на Земле vjv^. С5. С какой скоростью движутся частицы, входящие в наиболее плотное кольцо Сатурна, если известно, что период их обращения примерно совпадает с периодом вращения Сатурна вокруг своей оси и составляет 10 ч 40 мин? Масса Сатурна равна 5,7 • 10^*^ кг. ДИНАМИКА § 33 ВЕС. НЕВЕСОМОСТЬ Вспомните определение силы тяжести. Может ли она исчезнуть? Как мы знаем, силой тяжести называют силу, с которой Земля притягивает тело, находящ^ееся на её поверхности или вблизи этой поверхности. Весом тела называют силу, с которой это тело действует на горизонтальную опору или растягивает подвес. Вес не является силой какой-то специфической природы. Это название присвоено частному случаю проявления силы упругости. Вес действует непосредственно на чашку пружинных весов и растягивает пружину; под действием этой силы поворачивается коромысло рычажных весов. Поясним сказанное простым примером. Пусть тело А находится на горизонтальной опоре В (рис. 3.9), которой может служить чашка весов. Силу тяжести обозначим через F, а силу давления тела на опору (вес) — через Д. Модуль силы реакции опоры N равен модулю веса F-^ согласно третьему^закону Ньютона. Сила N направлена в сторону, противоположную весу F^. Сила реакции опоры приложена не к опоре, а к находящемуся на ней телу. В то время как сила тяжести F обусловлена взаимодействием тела с Землёй, вес Fy появляется в результате совсем другого взаимодействия — взаимодействия тела А и опоры В, Поэтому вес обладает особенностями, существенно отличающими его от силы тяжести. Важнейшей особенностью веса является то, что его значение,^зависит рт ускорения, с которым движется опора. * * ^ ^ При перенесении тел с полюса на экватор их вес изменяется, так как вследствие суточного вращения Земли весы с телом имеют на экваторе центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона для тела, тМо находящегося на экваторе, имеем rmo^R = G -------N, где Л — сила реак- ^ пгМ'^ ^ ции опоры, равная весу тела. Отсюда N = G -------ты‘^К. На полюсе вес тела равен силе тяготения. Очевидно, что на полюсе вес тела больше, чем на экваторе. Остановимся на более простом случае. Пусть тело находится на чашке пружинных весов в лифте, движущемся с ускорением at Согласно второму закону ^///////////////^ Ньютона та*^ F + N, где т — масса тела. ^ ^ Координатную ось OY системы отсчёта, связанной с ' Землёй, направим вертикально вниз. Запишем уравнение 2 9 ДИНАМИКА движения тела в проекции на эту ось: тйу = Fy + Ny. Если ускорение направлено вниз, то, выражая проекции векторов через их модули, получаем та = F - N. Так как N = Fj, то та = F - F^. Отсюда ясно, что лишь при а = о вес равен силе, с которой тело притягивается к Земле (F^ = F). Если а О, то Fi = = F - та = m(g - а). Вес тела зависит от ускорения, с которым движется опора, и появление этого ускорения эквивалентно изменению ускорения свободного падения. Если, например, заставить лифт падать свободно, т. е. а = g, то Fj = m{g - g) = О, тело находится в состоянии невесомости. Наступление у тел состояния невесомости означает, что тела не давят на опору и, следовательно, на них не действует сила реакции опоры, они движутся только под действием силы притяжения к Земле. Приведите своё тело в состояние невесомости. Для этого просто ^ подпрыгните. В течение небольшого промежутка времени, пока на ваше тело действует только сила тяжести, вы будете находиться в состоянии невесомости совершенно так же, как j F^,p ни при каком взаимном расположении шероховатостей поверхности сила трения не в состоянии уравновесить силу F, и начнётся скольжение. Зависимость модуля силы трения скольжения от модуля действующей силы показана на рисунке 3.24. При ходьбе и беге на подошвы ног действует сила трения покоя, если только ноги не скользят. Такая же сила действует на ведущие колёса автомобиля. На ведомые колёса также действует сила трения покоя, но уже тормозящая движение, причём эта сила значительно меньше силы, действующей на ведущие колёса (иначе автомобиль не смог бы тронуться с места). Рис. 3.24 /в давнее время сомневались, что паровоз сможет ехать по гладким рельсам. Думали, что трение, тормозящее ведомые колёса, будет равно силе трения, действующей на ведущие колёса. Предлагали даже делать ведущие колёса зубчатыми и прокладывать для них специальные зубчатые рельсы. Трение скольжения. При скольжении сила трения зависит не только от состояния трущихся поверхностей, но и от относительной скорости движения тел, причём эта зависимость от скорости является довольно сложной. Опыт показывает, что часто (хотя и не всегда) в самом начале скольжения, когда относительная скорость ещё мала, сила трения становится несколько меньше максимальной силы трения покоя. Лишь затем, по мере увеличения скорости, она растёт и начинает превосходить F^ Вы, вероятно, замечали, что тяжёлый предмет, например ящик, трудно сдвинуть с места, а потом двигать его становится легче. Это как раз и объясняется уменьшением силы трения при появлении скольжения с малой скоростью (см. рис. 3.24). При не слишком больших относительных скоростях движения сила трения скольжения мало отличается от максимальной силы трения покоя. Поэтому приближённо можно считать её постоянной и равной максимальной силе трения покоя: = \iN. Важная особенность силы трения скольжения состоит в том, что она всегда направлена противоположно относительной скорости соприкасающихся тел. Силу трения скольжения можно уменьшить во много раз с помощью смазки — чаще всего тонкого слоя жидкости (обычно того или иного сорта минерального масла) — между трущимися поверхностями. . Положите на линейку ластик. чинайте поднимать линейку за ^ один конец. Измерьте угол, при котором ластик начнёт скользить по линейке. Докажите, что тангенс этого угла авен коэффициенту трения: tga = р. ДИНАМИКА Трение между слоями жидкости, прилегающими к твёрдым поверхностям, значительно меньше, чем между сухими поверхностями. Сила трения качения. Сила трения качения существенно меньше силы трения скольжения, поэтому гораздо легче перекатывать тяжёлый предмет, чем двигать его. Сила трения зависит от относительной скорости движения тел. В этом её главное отличие от сил тяготения и упругости, зависящих только от расстояний. Силы сопротивления при движении твёрдых тел в жидкостях и газах. При движении твёрдого тела в жидкости или газе на него действует сила сопротивления среды. Эта сила направлена против скорости тела относительно среды и тормозит движение. ^ Ни одна современная машина, например двигатель автомобиля или трактора, не может работать без смазки. Специальная система смазки предусматривается при конструировании всех машин. Возьмите небольшое колесо, при-крепите к его оси вращения дина-^ мометр. Покатите колесо и измерьте силу трения качения. Зажмите колесо так, чтобы оно не могло вращаться. Измерьте силу трения скольжения. У^Сравните полученные результаты._________ Главная особенность силы сопротивления состоит в том, что она появля-* ется только при наличии относительного движения тела и окружающей среды. Сила трения покоя в жидкостях и газах полностью отсутствует. Это приводит к тому, что усилием рук можно сдвинуть тяжёлое тело, например плавающую лодку, в то время как сдвинуть с места, скажем, поезд усилием рук просто невозможно. Модуль силы сопротивления зависит от размеров, формы и состояния поверхности тела, свойств среды (жидкости или газа), в которой тело движется, и, наконец, от относительной скорости движения тела и среды. Примерный характер зависимости модуля силы сопротивления от модуля относительной скорости тела показан на рисунке 3.25. При относительной скорости, равной нулю, сила сопротивления не действует на тело {F^ = 0). С увеличением относительной скорости сила сопротивления сначала растёт медленно, а затем всё быстрее и быстрее. При малых скоростях движения силу сопротивления можно считать прямо пропорциональной скорости движения тела относительно среды: F, = k,v, (3.12) где — коэффициент сопротивления, зависящий от формы, размеров, состояния поверхности тела и свойств среды — её вязкости. Вычислить коэффициент fej теоретически для тел сколько-нибудь сложной формы не представляется возможным, его определяют опытным путём. При больших скоростях относительного движения сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости: F, = (3.13) где ^2 — коэффициент сопротивления, отличный от /?j. ДИНАМИКА Какую из формул — (3.12) или (3.13) — можно использовать в конкретном случае, определяется опытным путём. Например, для легкового автомобиля первую формулу желательно применять приблизительно при 60—80 км/ч, при больших скоростях следует использовать вторую формулу. |Гс1^^Гтр(^ия покоя, скольжения, качения. Сила сопротивления ИаЙХ 1, Посмотрите вокруг себя. Видите ли вы полезное действие сил трения? 2. Зачем на губках тисков и плоскогубцев делают насечки? 3- Для чего на автомобильных шинах делают рельефный рисунок (протектор)? 1. При каких условиях появляются силы трения? о От чего зависят модуль и направление силы трения покоя? (» В каких пределах может изменяться сила трения покоя? 7 Какая сила сообщает ускорение автомобилю или тепловозу? Ь. Может ли сила трения скольжения увеличить скорость тела? У В чём состоит главное отличие силы сопротивления в жидкостях и газах от силы трения между двумя твёрдыми телами? 10. Приведите примеры полезного и вредного действия сил трения всех видов. А1. На горизонтальном полу стоит ящик массой 20 кг. Коэффициент трения между полом и ящиком равен 0,3. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу 36 Н. Чему равна сила трения между ящиком и полом? 1) о 2) 24 Н 3) 36 Н 4) 60 Н Л2. Площадь первой боковой грани бруска, находящегося на столе, в 2 раза меньше площади второй грани, а коэффициент трения о поверхность стола в 2 раза больше. При переворачивании бруска с первой грани на вторую сила трения скольжения бруска о стол 1) не изменится 3) уменьшится в 4 раза 2) уменьшится в 2 раза 4) увеличится в 2 раза А.З. Как изменяется сила трения при соскальзывании стержня с поверхности наклонённого стола? Скорость направлена вдоль стержня. 1) не изменяется 2) изменяется по линейному закону 3) постепенно уменьшается 4) до середины стержня остаётся постоянной, а затем становится равной нулю Л4. Тело равномерно движется по плоскости. Сила давления тела на плоскость равна 8 Н, сила трения равна 2 Н. Коэффициент скольжения равен 1) 0,16 2) 0,25 3) 0,75 4) 4 А5. Конькобежец массой 70 кг скользит по льду. Чему равна сила трения, действующая на конькобежца, если коэффициент трения скольжения коньков по льду равен 0,02? 1) 0,35 Н 2) 1,4 Н 3) 3,5 Н 4) 14 Н ДИНАМИКА §37 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «СИЛЫ ТРЕНИЯ» При решении задач о движении тел, на которые действует сила трения, надо всегда иметь в виду, что сила трения скольжения, действующая на тело, направлена в сторону, противоположную относительной скорости движения. Поэтому, чтобы нарисовать вектор силы трения, прежде всего надо определить направление движения тела. Задача 1. В результате полученного толчка кирпич начал скользить вниз по неподвижной ленте конвейера, расположенной под углом а = 30° к горизонтальной плоскости. Определите модуль и направление ускорения кирпича, если коэффициент трения скольжения кирпича о ленту конвейера ц = 0,6. Решение. Направим ось ОХ вдоль наклонной ленты конвейера вниз, а ось OY перпендикулярно ленте конвейера вверх (рис. 3.26). Так как кирпич движется вдоль оси ОХ, то его ускорение может быть направлено только вдоль этой оси вниз либо вверх. По второму закону Ньютона та*= nig* + N 4- F (1) (2) Запишем уравнение (1) в проекциях на оси ОХ и OY: та^ - mgsina -о = N - mgcosa. Модуль силы трения скольжения выразим через коэффициент трения р и модуль силы нормальной реакции опоры N: = цЛГ = p/n^cosa. (3) Подставив выражение (3) в уравнение (2), получим та^ = mg’sina -- pm^cosa. Окончательно а = ^(sina - pcosa). Из формулы следует, что проекция ускорения кирпича на ось ОХ может быть положительной, отрицательной и равной нулю: если sina > pcosa, то «X > о (вектор ускорения направлен вдоль ленты конвейера вниз); если sina = = pcosa, то = о (кирпич движется без ускорения); наконец, если sina < pcosa, то < о (вектор ускорения направлен вдоль ленты конвейера вверх). Для случая, рассматриваемого в задаче, = -0,2 м/с^. Следовательно, ускорение кирпича направлено вдоль ленты конвейера вверх и модуль этого ускорения а = 0,2 м/с^. Задача 2. В кузове автомобиля лежит ящик массой 30 кг. Определите, с каким максимальным ускорением может двигаться автомобиль, начинающий движение, чтобы ящик не сдвинулся. Коэффициент трения ящика о пол кузова равен р = 0,3. Решение. Автомобиль движется с ускорением. Чтобы ящик оставался неподвижным, необходимо, чтобы ускорение ящика было равно ускорению автомобиля. ДИНАМИКА В начале движения автомобиля ящик должен двигаться в сторону, противоположную движению автомобиля, так как по инерции стремится сохранить состояние покоя. Автомобиль движется вправо (рис. 3.27). Тогда скорость ящика относительно автомобиля должна быть направлена влево, следовательно, сила трения должна быть направлена вправо. На ящик действуют сила тяжести сила нор- мальной реакции опоры N и сила трения покоя. Согласно второму закону Ньютона запишем: та* = + N + Д,р. 'mg Рис. 3,27 (1) В проекциях на горизонтальное и вертикальное направления запишем: та = (2) О = N - mg. (3) Так как по условию задачи мы должны найти максимальное ускорение, то в пределе сила трения покоя должна быть равна силе трения скольжения: Подставим это выражение в уравнение (2) и получим та = \aN. Из уравнения (3) следует, что N = mg. Тогда та = \xrng и а = \ig ^ 3 м/с^. Задача 3. По наклонной плоскости тянут равноускоренно за канат ящик массой 50 кг. Угол у основания наклонной плоскости 30°, коэффициент трения 0,2. Ящик поднимают на высоту 20 м за 5 с. Определите силу натяжения каната. Р е ш е н и е^На ящик действуют сила тя:^ести сила трения F^^, сила натя:^ения каната Т и сила нормальной реакции опоры N (рис. 3.28). Согласно второму закону Ньютона т^ = тТ + А/ + F^^ Т (1) В проекциях на оси ОХ и ОУ уравнение имеет вид та = Т - mgsina - F^^; (2) о = N - mg сова. (3) Сила трения скольжения F^^ = ц77. Из уравнения (3) получим N = mgcosa. Уравнение (2) перепишем в виде та = Т - mgsina - [imgcosa. Ctt^ Ускорение определим из уравнения движения s = при этом s sin а а = #2 2h ^2sina' Т = т 2h t'^sina -l-^(sina-pcosa) « 243 Н. Задача 4. Девочка тянет равномерно по снегу нагруженные санки массой 40 кг. Коэффициент трения санок о снег 0,04. Определите, под каким углом должна быть расположена верёвка, чтобы её натяжение было минимально. ДИНАМИКА Решение. На санки действуют сила натяжения верёвки F^, сила тяжести т^, сила нормальной реакции опоры N и сила трения (рис. 3.29). Согласно второму закону Ньютона для санок запишем: т^= тТ-^ N + F^ + F^. (1) Так как движение по условию равномерное, то ускорение а = 0. Запишем уравнение (1) в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления: о = F^cosa - F^pi о = FjjSina + N - mg. 3 29 Сила трения F^^ = \xN, Из уравнения (3) получим N = mg - F„sina. Подставив в уравнение (2) выражение для силы трения = [i(mg - FgSina), получим F^cosa - ^(mg - FjjSina) = 0. ^mg (2) (3) максимальном значении суммы Для силы натяжения имеем F„ =----------^—. ” cosa + psina Сила натяжения минимальна при cosa + psina = /(а). Исследуем функцию на экстремум: /' = -sina -I- pcosa = 0. limg Получим tga = р. Тогда F^ = 1 1 Выразим cosa через tga: cosa ^1 + tg^a ^1 + p' cosa(l -b ptga) Окончательно для силы натяжения получим F„ = pmg^l -н р2 1 + р‘ = 15,7 Н. mg Зьлача 5. Брусок массой 5 кг тянут по поверхности стола, взявшись за кольцо динамометра. При этом ускорение тела равно 0,5 м/с^. Жёсткость пружины равна 200 Н/м Определите растяжение пружины. Коэффициент трения бруска о стол 0,05. Решение. На брусок действуют сила тяжести сила трения F^^, сила натяжения пружины F^^ и сила нормальной реакции опоры N (рис. 3.30). Согласно второму закону Ньютона тсГ= тТ + N 9- В проекции на горизонталь уравнение запишем в виде та = F^^ - F^^. Сила трения F^^ = \xN = pmg. Сила упругости Fy^p = -kx. Тогда та = kx - \xmg. З.оО Удлинение пружины х = т(а + |ig) = 0,025 м. ДИНАМИКА сила трения и сила нормальной реакции опоры N . Задача в. Два бруска массами mj = 1 кг и mg = 3 кг соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Брусок с большей массой находится на наклонной плоскости, угол у основания которой равен 30°, коэффициент трения равен 0,04. Определите ускорение брусков. Решение. На первый брусок действуют сила натяжения нити и сила тяжести т !^(рис. 3.31). На второй брусок действуют сила натяжения нити Т^, сила тяжести mg^ Согласно второму закону Ньютона запишем: m^al = (1) mg^ = ГП2Ж + Т2 + + N. (2) Рассматриваем движение тел относительно одного тела отсчёта, например относительно наклонной плоскости. Модули ускорений брусков равны вследствие условия нерастяжимости нити: aj = flg = а. Для записи уравнений в проекциях на оси надо знать направления сил. Сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости бруска. Сила трения может быть направлена и вверх, и вниз вдоль наклонной плоскости. Рассчитаем, в какую сторону происходит движение брусков. Движение бруска 2 влево обеспечивает проекция силы тяжести на ось X, равная mg^sina = 15 Н, а вправо — сила тяжести, действуюш;ая на брусок 1, равная 10 Н. Следовательно, брусок 2 движется вниз и сила трения направлена вверх. В проекции на ось Yj уравнение (1) запишем в виде т^а = -m^g + Т^. В проекциях на оси X и Y уравнение (2) запишем в виде mga = mg^sina - - Tg, (4) о = N - mg^cosfx. (5) Сила трения F^^ = \iN = pmg^cosa. Силы натяжения, действуюш;ие на бруски, равны в силу невесомости блока и нити: = Tg = Т. Уравнения (3) и (4) перепишем в виде т,а = -rriig + Т; mgO = mg^sina - pmgg'cosa - Т. Сложив левые и правые части этих уравнений, получим (т^ + mg)a = -m^g + mg^sina - pmg^cosa. Окончательно для определения ускорения имеем + mgsina - [.imgcosa (3) выражение а = g ГПг + ГПг 1 м/с“ Задачи для самостоятельного решения 1. При быстром торможении автомобиль начал двигаться по горизонтальной дороге юзом (заторможенные колёса не вращаются, а скользят по дороге). С каким ускорением при этом движется автомобиль и через сколько времени от начала торможения автомобиль остановится, если его начальная скорость Vq = 20 м/с, а коэффициент трения колёс о дорогу ц = 0,8? ДИНАМИКА 2. Груз массой 97 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, образующей угол 30° с горизонтом. Определите силу натяжения верёвки, если коэффициент трения равен 0,2. 8 с С1. К покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности телу приложена нарастающая с течением времени сила тяги F = Ы, где Ь — постоянная величина. На рисунке представлен график зависимости ускорения тела от времени действия силы. Определите коэффициент трения скольжения. С2. По горизонтальной дороге мальчик тянет сани массой 30 кг за верёвку, направленную под углом 60° к плоскости дороги, с силой 100 Н. Коэффициент трения 0,12. Определите ускорение саней. Чему равен путь, пройденный санями за 5 с, если в начальный момент времени их скорость была равна нулю? СЗ. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем движется вниз. График зависимости модуля скорости шайбы от времени приведён на рисунке. Определите угол наклона плоскости к горизонту. Повторите материал главы з по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. «Силы в механике» 1. Оптимальные условия запуска космических кораблей, изучающих планеты Солнечной системы. 2. Опасность столкновения планет и их спутников с астероидами, кометами. 3. От рессоры до современных амортизаторов. 4. Зависимость силы сопротивления от формы тела. Спортивные модели автомобилей. 5. Трение полезное и трение вредное. «Исследование зависимости упругости пружин от их длины и толщины проволоки, из которой они изготовлены» «Определение коэффициентов трения покоя и скольжения для различных поверхностей» ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Роль законов сохранения в механике, да и в других разделах физики огромна. Во первых, они позволяют решать ряд практически важных задач, например, по первоначальному состоянию системы, не зная подробностей взаимодействия тел, определять её конечное состояние, зная скорости тел до взаимодействия, определять скорости этих тел после взаимодействия. Во-вторых, и это главное, открытые в механике законы сохранения играют в природе огромную роль, далеко выходящую за рамки самой механики. Они применимы как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и элементарным частицам. ГЛАВА 4 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ИМПУЛЬС МАТЕРИАЛЬНОМ ТОЧКИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Вспомните, что такое импульс материальной точки. С направлением какой из перечисленных величин совпадает направление импульса — силы, скорости или ускорения? Второй закон Ньютона та* = F можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии ». Если на материальную точку действует постоянная сила, то посто- янным будет и ускорение тела о* = 1^2 Д^ -, где yj и 1>2 — начальное и ко- нечное значения скорости материальной точки. Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим т(у*2 - й|) At = F, или Произведение массы тела на его скорость Ньютон назвал количеством движения. то 2 - moj = FAt. (4.1) E3QBESSBP Импульс материальной точки — это физическая величина, равная произведению массы материальной точки на её скорость; = тгГ. (4.2) Из формулы (4.2) видно, что импульс — векторная величина. Так как m > О, то импульс имеет такое же направление, как и скорость (рис. 4.1). Обозначим через р\ = тй\ импульс материальной точки в начальный момент времени, а через ^ = mog — её импульс в конечный момент времени. Тогда разность р^ - р\ = Ар* есть изменение импульса материальной точки за время At. Уравнение (4.1) можно записать так: I—^ ----1 V р I Ар*= FAt. I (4.3) ^ О—----------------- Рис. 4.1 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 9 Так как > О, то направления векторов А^и F совпадают. Уравнение (4.3) показывает, что одинаковые изменения импульса могут быть получены в результате действия большой силы в течение малого интервала времени или малой силы за большой промежуток времени. Произведение силы на время её действия называют импульсом силы. Уравнение (4.3) есть запись второго закона Ньютона в импульсной форме. BTOf4>« ЗАКОН Ньютона в импульсной форме Изменение равно импульсу действующей на нее силы. импульса материальной точи Как определить импульс переменим ной силы? Единица импульса не имеет особого названия, а её наименование получается из определения этой величины (см. формулу (4.2)); 1 ед. импульса = = 1 кг • 1 м/с = 1 кг ' м/с. Для нахождения импульса тела, которое нельзя считать материальной точкой, поступают так: мысленно разбивают тело на отдельные малые элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом суммируют их как векторы. Импульс тела равен сумме импульсов его отдельных элементов. Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов каждого из тел системы: р^= р[ + + ... . Систему тел составляют взаимодействующие тела, движение которых мы рассматриваем. Закон сохранения импульса. Пусть система состоит из двух тел. Это могут быть две звезды, два бильярдных шара или два других тела. ->[» Поставьте на лист бумаги банку с водой. Дёрните лист с большой ^ силой так, чтобы он выскользнул из-под банки, а банка при этом осталась бы на месте. Затем потяните лист так, чтобы банка двигалась вместе с листом. Сравните время действия сил. Объясните, почему в первом случае банке не сообщается импульс, а во втором со-У^общается._________*___________________^ EZEEDI Силы, возникающие в результате взаимодействия тела, принадлежащего системе, с телом, не принадлежащим ей, называются внешними силами. Если рассматривать систему, состоящую из двух бильярдных шаров, то сила взаимодействия шаров с краем стола при ударе о него, сила трения шара о —----------------------------------- поверхность стола — внешние силы. J Обсудите с одноклассником, в ка-Л Пусть на тела некоторой системы ком случае импулкю системы движу- действуют внешние силы F, и F, у_______щихся тел может быть равен нулю.^ (рис 4 2) i ^ Силы, возникающие в результате взаимодействия тел, принадлежащих системе, называются внутренними силами. Обозначим внутренние силы через F^ 2 ^ ^2,1 Рис. 4.2). ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Рассмотрите с одноклассником взаимодействие двух любых тел. Укажите силы, действующие на тела, и уточните, какие из них являются внешними, а какие — внутренними. " 1 ^1.2 7^2,1 Г' -е 1 х'* -—' % Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. ЕЗсли взаимодействие рассматривается за малый промежуток времени At, то для тел системы можно записать второй закон Ньютона в виде ---------- = (.^ + -Ь Сложив эти равенства, получим А^ + А^ = (Fj + + (^1,2 + -^2. (4.4) В левой части равенства (4.4) стоит сумма изменений импульсов всех тел системы, т. е. изменение импульса самой системы (под импульсом системы мы будем понимать геометрическую сумму импульсов всех тел системы): ^Кист ^ + ^Р*2- По третьему закону Ньютона 2 = ~-^2. i- Отсюда следует, что сумма внутренних сил всегда равна нулю: + (4-6) Учитывая равенства (4.4) и (4.6), можно записать: _ АКист = (^ + ^Кист = (4.7) где F — геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на тела системы. Мы доказали весьма важное положение: Ри.. 4 2 (4.5) импульс системы дел могут изменить только внешние силы, примем изме-^ нение импульса системы Ар^ совпадает по направлению с суммарной внешней силой. Внутренние силы изменяют импульсы отдельных тел системы, но изменить суммарный импульс системы они не могут. Уравнение (4.7) справедливо для любого интервала времени At, если сумма внешних сил остаётся постоянной. Из уравнения (4.7) вытекает закон сохранения импульса. /есш внешние силы на систему не действуют или их сумма равна нулю, то импульс системы сохраняется: = О, или = const. Закон сохранения импульса (4.8) Полученный результат справедлив для системы, содержащей произвольное число тел: niyv\ Н- 0120*2 + mgO*^ -Ь ... = -f- ГП2Щ + + ..., (4.9) где 0*1, 0*2, щ, ... — скорости тел до взаимодействия; щ, ... — скорос- ти тел после взаимодействия. Импульс, очевидно, сохраняется в изолированной системе тел, так как в этой системе на тела вообще не действуют внешние I силы. Но область применения закона сохранения импульса шире. ^1^1 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 1) Если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю, то импульс системы всё равно сохраняется. 2) Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма проекций сил на какое-то направление равна нулю, то проекция суммарного импульса системы на это направление не меняется. 3) Если внешние силы много меньше внутренних сил, то можно считать, что импульс системы сохраняется. Например, при разрыве снарядов силы, разрывающие снаряд, много больше внешней силы тяжести. Реактивное движение. Большое значение закон сохранения импульса имеет для исследования реактивного движения. Реактивным движением называют движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определённой скоростью относительно него. ш Примером реактивного движения является движение ракеты при истечении из неё струи горючего газа, образующегося при сгорании топлива. Так как вследствие истечения струи ракета движется с ускорением, то можно считать, что на ракету действует сила, называемая реактивной силой. л Понаблюдайте за движением воз-душного шарика, из которого ис-текает воздух, и объясните, почему шарик, как правило, движется по кривой, ак изменяется скорость шарика? ^ .......______ ^ Главная особенность реактивной душного шарика, из которого ис- силы в том, что она возникает в " результате взаимодействия частей системы без какого-либо взаимодействия с внешними телами. Реактивные двигатели. В настоящее время в связи с освоением космического пространства получили широкое распространение реактивные двигатели. В космическом пространстве использовать какие-либо другие двигатели, кроме реактивных, невозможно, так как там нет опоры (твёрдой, жидкой или газообразной), отталкиваясь от которой космический корабль мог бы получать ускорение. Успехи в освоении космического пространства. Основы теории реактивного двигателя и научное доказательство возможности полётов в межпланетном пространстве были впервые высказаны и разработаны русским учёным К. Э. Циолковским в работе «Исследование мировых пространств реактивными приборами». Нашей стране принадлежит великая честь запуска 4 октября 1957 г. первого искусственного спутника Земли, а 12 апреля 1961 г. космического корабля с космонавтом Ю. А. Гагариным на борту. Этот и другие полёты были совершены на ракетах, сконструированных отечественными учёными и инженерами под руководством С. П. Королёва. Большой вклад в исследование космического пространства внесли также американские учёные, инженеры и астронавты. Два американских астро- К. Э. Циолковский (1857—1935) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ навта из экипажа космического корабля «Аполлон-11» — Н. Арм-стронг и Э. Олдрин — 20 июля 1969 г. впервые совершили посадку i на Луну. На космическом теле Солнечной системы человеком были сделаны первые шаги. С выходом человека в космос не только открылись возможности исследования других планет, но и представились поистине фантастические возможности изучения природных явлений и ресурсов Земли, о которых можно было только мечтать. Теперь снимки с орбиты, охватывающие миллионы квадратных километров, позволяют выбирать для исследования наиболее интересные участки земной поверхности, экономя тем самым силы и средства. Освоение космоса имеет огромное практическое значение. Нас уже не удивляет, что мы можем заглянуть практически в каждый уголок Земли, поговорить с человеком, находящимся на другом континенте, благодаря космической (спутниковой) связи. В настоящее время можно в режиме онлайн смотреть, что происходит в космосе благодаря телескопам, вращающимся по орбитам вокруг Земли. С. П. Королёв (1906-1966) Ю. А. Гагарин (1934-1968) Орбитальные аппараты в настоящее время используются не только для научных исследований космического пространства, но и для биологических, медицинских исследований, У^олучения новых материалов. I Закон сохранения импульса. Реактивная сила 1. Точка движется равномерно по окружности. Изменяется ли её импульс? 2. Как определяется импульс тела? 3. Автомобиль трогается с места. Куда направлен вектор изменения импульса? 4. Хоккейная шайба скользит прямолинейно и замедленно. Куда направлен вектор изменения импульса? 5. Сформулируйте закон сохранения импульса. 6. В каких случаях можно применять закон сохранения импульса? 7. В лежащий на гладком столе брусок попадает пуля, летящая горизонтально. Почему для нахождения скорости бруска с пулей можно применять закон сохранения импульса, хотя на брусок и пулю действуют внешние силы: сила тяжести, нормальная сила реакции стола? 8. Может ли парусная лодка приводиться в движение с помощью компрессора, установленного на ней, если струя воздуха направлена на паруса? Что произойдёт, если поток воздуха будет направлен мимо парусов? 9. Как возникает реактивная сила? 10. Осьминоги и каракатицы перемещаются со скоростью до 60 км/ч, периодически выбрасывая вбираемую в себя воду. По какому принципу перемещаются эти животные? ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ §39 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА» Закон сохранения импульса целесообразно применять для решения тех задач, в которых требуется определить скорость, а не силу или ускорение. Для решения задачи нужно записать этот закон в векторной форме: + т^2 “*■ ••• ^ •••> и т. д. — скорости тел системы до взаимодействия, а и т. д. — их скорости после взаимодействия. После этого векторное уравнение записывается в проекциях на оси выбранной системы координат. Выбор направления осей диктуется удобством решения задачи. Если, например, все тела движутся вдоль одной прямой, то координатную ось целесообразно направить вдоль этой прямой. При решении некоторых задач приходится использовать дополнительно уравнения кинематики. Задача 1. Два шара, массы которых = 0,5 кг и mg = 0,2 кг, движутся по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями = 1 м/с и Hg ^ 4 м/с. Определите их скорость v после центрального абсолютно неупругого столкновения. Абсолютно неупругим столкновением называется взаимодействие тел, после которого они движутся как единое целое с одной скоростью. Решение. Ось ОХ направим вдоль линии, проходящей через центры движущихся шаров по направлению скорости После абсолютно неупругого удара шары движутся с одной и той же скоростью уТ Так как вдоль оси ОХ внешние силы не действуют (трения нет), то сумма проекций импульсов на эту ось сохраняется (сумма проекций импульсов обоих шаров до удара равна проекции общего импульса системы после удара): + ^2^2х = ("^1 + ^2)^х- Так как = у^, а yg^, = -Уг, то у^^ = (т^у^ - m2yg)/(mj + mg) ~ -0,4 м/с. После удара шары будут двигаться в отрицательном направлении оси ОХ со скоростью 0,4 м/с. ;алама 2, Два пластилиновых шарика, отношение масс которых Шз/т^ = 4, после соударения слиплись и стали двигаться по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью и (рис. 4.3, вид сверху). Определите скорость более лёгкого шарика до соударения, если он двигался в 3 раза быстрее тяжёлого (v^ = = 3yg), а направления движения шариков были взаимно перпендикулярны. Трением можно пренебречь. Решение. Так как скорости у^ и у^ шариков взаимно перпендикулярны, то оси прямоугольной системы координат удобно направить параллельно этим скоростям. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Согласно закону сохранения импульса имеем m^v\ + ^ (^1 m^iT. Запишем это уравнение в проекциях на оси ОХ и ОУ, проведённые так, как показано на рисунке 4.3: ^\^\х ^ (^1 ^2)^Х> m^v^y -f m^v^y = {т^ + ni2)Uy. Так как Vi^= v^, О, v^y = О, V2y = i>2’ miPi 3 _ _ ^2^2 = nil + ^2 = -^V2, ^ nil ^2 4 - 5^^2- Модуль скорости и равен и = = l>2’ Итак, Ug ^ следовательно, у, = Зн. Можно эту задачу решить так. Импульсы ^ и ^ тел взаимно перпендикулярны, поэтому согласно закону сохранения импульса и теореме J(miVif+(ni2V2f ГТтлЖаг>лгма (т (т т) = (т т Т’г»г'ття и — -------------- = {rrii + ТП2) /„9 .5 m. ij +4^ 5m 1 = Уз» и, следовательно, Vi = Зи. Задача 3. Компоненты топлива в двигатель ракеты подаются со скоростью L?j = 200 м/с, а горючий газ выходит из сопла со скоростью Уд ^ м/с. Массовый расход топлива двигателем = 30 кг/с. Определите реактивную силу. Решение. Изменение импульса топлива массой А/п за время At равно A/nL>2 — AmVi = FAt. Тогда сила, подействовавшая на горючий газ, вырывающийся из сопла ракеты. г / ч Согласно третьему закону Ньютона сила, подействовавшая на топливо, равна по модулю и противоположна по направлению силе, подействовавшей на ракету, т. е. реактивной силе F = -F^. Следовательно, искомая сила Ат At F^=^iv2-vi) = 9000 Н. #1 Задачи для самостоятельного решения 1. Неподвижный вагон массой 2 • Ю'* кг сцепляется с платформой массой 3 • 10“* кг. До сцепки платформа имела скорость 1 м/с. Чему равна скорость вагона и платформы после их сцепки? 2. На плот массой 100 кг, имеющий скорость 1 м/с, направленную вдоль берега, прыгает человек массой 50 кг со скоростью 1,5 м/с перпендикулярно берегу. Определите скорость плота с прыгнувшим на него человеком. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 3. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты и вытекаюш;ие из сопла газы летят вслед за ракетой? 4. Охотник стреляет с лёгкой надувной лодки. Определите скорость лодки после выстрела, если масса охотника 70 кг, масса дроби 35 г и средняя начальная скорость дробинок равна 320 м/с. Ствол ружья во время выстрела образует с горизонтом угол 60°. т^/а . У ^2 Z77777777777. С1. Камень массой /п, = 4 кг падает под углом 60° к горизонту со скоростью 10 м/с в тележку с песком, покоящуюся на горизонтальных рельсах (см. рис.). Чему равен импульс тележки с песком и камнем после падения камня? С2, Снаряд, летящий с некоторой скоростью, разрывается на два осколка. Первый осколок летит под углом 90° к первоначальному направлению со скоростью 50 м/с, а второй — под углом 30° сО скоростью 100 м/с. Определите отношение массы первого осколка к массе второго осколка. СЗ. Пуля, летящая горизонтально со скоростью, равной 200 м/с, пробивает брусок, находящийся на горизонтальной поверхности, и вылетает из него со скоростью, равной 50 м/с. Масса бруска в 15 раз больше массы пули. Определите коэффициент трения между бруском и поверхностью, если известно, что брусок сместился на расстояние, равное 10 м. С4. Снаряд выпущен из пушки вертикально вверх со скоростью 400 м/с. В наивысшей точке подъёма он разорвался на два осколка, причём оба осколка упали вблизи точки выстрела. Первый упал со скоростью, в 2 раза большей начальной, а второй — через 80 с после разрыва. Определите отношение масс осколков. Повторите материал главы 4 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. # «Ракетные двигатели и использование реактивного движения для полётов в безвоздушном пространстве» 1. Закон сохранения импульса, реактивная сила. Примеры и демонстрации. 2. Типы ракетных двигателей. 3. Успехи в освоении космического пространства. Полёты на другие планеты. 4. Искуственные спутники Земли. «Э. К. Циолковский. Идеи Циолковского (по его работам) и их реальное воплощение» ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ГЛАВА 5 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Закон сохранения энергии — фундаментальный закон природы, позволяющий описывать большинство происходящих явлений. Описание движения тел также возможно с помощью таких понятий динамики, как работа и энергия. § 40 МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА И МОЩНОСТЬ СИЛЫ Вспомните, что такое работа и мощность в физике. Совпадают ли эти понятия с бытовыми представлениями о них? Совершает ли учитель физики механическую работу во время урока? Если да, то в каких случаях? Понаблюдайте за работой швейной или стиральной машины и найдите в ней устройство, заменяющее ручной труд. /Ъила тяготения совершает ра-боту при падении капель дождя или камня с обрыва. Одновременно совершает работу и сила сопротивления, действующая на падающие капли или на камень со стороны воздуха. Совершает работу и сила упругости, когда распрямляется согнутое ветром дерево. . Все наши ежедневные действия сводятся к тому, что мы с помощью мышц либо приводим в движение окружающие тела и поддерживаем это движение, либо же останавливаем движущиеся тела. Этими телами являются орудия труда (молоток, ручка, пила), в играх — мячи, шайбы, шахматные фигуры. На производстве и в сельском хозяйстве люди также приводят в движение орудия труда. Применение машин во много раз увеличивает производительность труда благодаря использованию в них двигателей. Назначение любого двигателя в том, чтобы приводить тела в движение и поддерживать это движение, несмотря на торможение как обычным трением, так и «рабочим» сопротивлением (резец должен не просто скользить по металлу, а, врезаясь в него, снимать стружку; плуг должен взрыхлять землю и т. д.). При этом на движущееся тело должна действовать со стороны двигателя сила. Работа совершается в природе всегда, когда на какое-либо тело в направлении его движения или против него действует сила (или несколько сил) со стороны другого тела (других тел). Определение работы. Второй закон Ньютона в импульсной форме = FM позволяет определить, как меняется скорость iT тела по модулю и направлению, если на него в течение времени М действует сила F . Воздействия на тела сил, приводящих к изменению модуля их скорости, характеризуются величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений тел. Эту величину в механике и называют работой силы. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Наше бытовое представление о работе отличается от определения работы в физике. Вы держите тяжёлый чемодан, и вам кажется, что вы совершаете работу. Однако с точки зрения зики ваша работа равна нулю. Изменение скорости по модулю возможно лишь в том случае, когда проекция силы на направление перемещения тела отлична от нуля. Именно эта проекция определяет действие силы, изменяющей скорость тела по модулю. Она совершает работу. Поэтому работу можно рассматривать как произведение проекции силы на модуль перемещения |А7^| (рис. 5.1): ---------^ А = F,\Ar\. (5.1) Если угол между силой и перемещением обозначить через а, то F^ = = Ecosa. Следовательно, работа равна: А = F|AK|cosa. (5.2) Работа постоянной силы равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы и косинуса угла между ними. ^ ^ В общем случае при движении твёрдого тела перемещения его разных точек различны, но при определении работы силы мы под Дг* понимаем перемещение её точки приложения. При поступательном движении твёрдого тела перемещение всех его точек совпадает с перемещением точки приложения силы. Работа, в отличие от силы и перемещения, является не векторной, а скалярной величиной. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Знак работы определяется знаком косинуса угла между силой и перемещением, Если а < 90°, то А > о, так как косинус острых углов положителен. При а > 90° работа отрицательна, так как косинус тупых углов отрицателен. При а = 90° (сила перпендикулярна перемещению) работа не совершается. Если на тело действует несколько сил, то проекция равнодействующей силы на перемещение равна сумме проекций отдельных сил: Fr = Fi^ -I- F^r + ... . Поэтому для работы равнодействующей силы получаем ________ Л = FijAri -Н Е2,|аГ| + ... = Ai -ь А2 + ... . (5.3) ESSBEP Если на тело действует несколько сил, то полная работа (алгебраическая сумма работ всех сил) равна работе равнодействующей силы. Совершённую силой работу можно представить графически. Поясним это, изобразив на рисунке зависимость проекции силы от координаты тела при его движении по прямой. Пусть тело движется вдоль оси ОХ (рис. 5.2), тогда Fcosa = F^, |Ar*| = Ад;. Для работы силы получаем А = F|AK|cosa = F^x. Обсудите с одноклассником случаи^ движения тел, при которых работа действующих на тела сил равна нулю. Какая сила совершает работу при остановке поезда, а какая не совершает'^ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Очевидно, что площадь прямоугольника, заштрихованного на рисунке 5.3, а, численно равна работе при перемещении тела из точки с координатой в точку с координатой лгз* Формула (5.1) справедлива в том случае, когда проекция силы на перемещение постоянна. В случае криволинейной траектории, постоянной или переменной силы мы разделяем траекторию на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а проекцию силы на малом перемещении Аг^ — постоянной. Тогда, вычисляя работу на каждом перемещении А7\ а затем суммируя эти работы, мы определяем работу силы на конечном перемещении (рис. 5.3, б). Единица работы. Единицу работы можно установить с помощью основной формулы (5.2). Если при перемещении тела на единицу длины на него действует сила, модуль которой равен единице, и направление силы совпадает с направлением перемещения её точки приложения (а = 0), то и работа будет равна единице. В Международной системе (СИ) единицей работы является джоуль (обозначается Дж): 1Дж=1Н-1м = 1Н-м. ,а __1^ 1 _____1—J- О XI Ах ^2 Рис. 5.2 X 1 б) Лг Рис. 5.3 Джоуль — это работа, совершаемая силой 1 Н на перемещении 1 м, если направления силы и перемещения совпадают. Часто используют кратные единицы работы — килоджоуль и мегаджоуль; 1 кДж = 1000 Дж, 1 МДж = 1000000 Дж. Ударьте резко по бруску, лежа-щему на столе, и заставьте его ^ двигаться. Какая сила совершает работу при его движении? Мощность. Работа может быть совершена как за большой про-межуток времени, так и за очень малый. На практике, однако, да-леко не безразлично, быстро или медленно может быть совершена работа. Временем, в течение которого совершается работа, определяют производительность любого двигателя. Очень большую работу может совершить и крошечный электромоторчик, но для этого понадобится много времени. Потому наряду с работой вводят величину, характеризующую быстроту, с которой она производится, — мощность. КШУшШыУр Мощность — это отношение работы А к интервалу времени Af, за который эта работа совершена, т. е. мощность — это скорость совершения работы: N = (5.4) At ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Подставляя в формулу (5.4) вместо работы А её выражение (5.2), получаем N = F I Аг М cosa = jPocosa. (5.5) Таким образом, если сила и скорость тела постоянны, то мощность равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора скорости и на косинус угла между направлениями этих векторов. Если же эти величины переменные, то по формуле (5.4) можно определить среднюю мощность подобно определению средней скорости движения тела. Понятие мощности вводится для оценки работы за единицу времени, совершаемой каким-либо механизмом (насосом, подъёмным краном, мотором машины и т. д.). Поэтому в формулах (5.4) и (5.5) под F всегда подразумевается сила тяги. В СИ мощность выражается в ваттах (Вт). Мощность равна 1 Вт, если работа, равная 1 Дж, совершается за с. Наряду с ваттом используются более крупные (кратные) единицы мощности: 1 кВт (киловатт) = 1000 Вт, 1 МВт (мегаватт) = 1 000 000 Вт. |Работа силы. Мощность 1. Дайте определение работы в механике. ^ 2. Может ли совершать работу сила трения покоя? • 3. Всегда ли сила трения скольжения совершает отрицательную работу? 4. В каких единицах выражается работа? "77^^/ ff X .41. На горизонтальной поверхности находится тело, на которое действуют с силой 10 Н, направленной под углом 60° к горизонту (см. рис). Под действием этой силы тело перемещается по поверхности на 5 м. Работа силы равна 2) 50 Дж 3) 25 Дж 4) 0 7777777777. 1) 3000 Дж А2. Мальчик тянет санки за верёвку с силой 50 Н. Пройдя с санками 100 м, он совершил работу 2500 Дж. Чему равен угол между верёвкой и дорогой? 1) 90° 2) 45° 3) 60° 4) 30° АЗ. С помощью динамометра, расположенного под углом 30° к горизонтальной поверхности, равномерно перемещают брусок массой 100 г на расстояние, равное 20 см. Работа равнодействующей всех сил равна 1) о 2) 0,01 Дж 3) 0,02 Дж 4) 0,03 Дж А4. Под действием силы тяги 1000 Н автомобиль движется с постоянной скоростью 72 км/ч. Мощность двигателя равна 1) 10 кВт 2) 20 кВт 3) 40 кВт 4) 72 кВт А5. Какую мощность развивает двигатель подъёмного механизма крана, если он равномерно поднимает плиту массой 600 кг на высоту 4 м за 3 с? 1) 72 000 Вт 2) 8000 Вт 3) 7200 Вт 4) 800 Вт ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ЭНЕРГИЯ. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ Вспомните, когда мы можем сказать, что у тела есть энергия. Какие физические величины определяют механическую энергию тела? Какие виды механической энергии вы знаете? Если система тел может совершить работу, то мы говорим, что она обладает энергией. работу. Энергия характеризует способность тела (или системы тел) совершать Совершая механическую работу, тело или система тел переходят из одного состояния в другое, в котором их энергия минимальна. Груз опускается, пружина распрямляется, движущееся тело останавливается. При совершении работы энергия постепенно расходуется. Для того чтобы система опять приобрела способность совершать работу, надо изменить её состояние: увеличить скорости тел, поднять тела вверх или деформировать. Для этого внешние силы должны совершить над системой положительную работу. Энергия в механике — величина, определяемая состоянием системы — положением тел или частей тела и их скоростями. EBIEOiBi Кинетическая энергия — это энергия, которой обладает движущееся тело. АТ Подсчитаем работу постоянной силы F, действующей на материальную точку массой т при его прямолинейном движении. Пусть направление ^ силы совпадает с направлением скорости матери- q альной точки. В этом случае направления вектора перемещения Дг* и вектора дилы совпадают (рис. 5.4). Поэтому работа силы F: Рис. 5.4 А = F|Ar|. _ Выберем координатную ось ОХ так, чтобы векторы F, Oi, и АТ* были направлены в сторону положительного направления этой оси. Тогда Аг^ = Ал:, и формулу для работы можно записать так: А = FAx. (5-6) Согласно второму закону Ньютона F = та. (5.7) Так как точка движется с постоянным ускорением, то изменение её координаты Ал: при переходе из начального положения в конечное можно найти по известной нам из кинематики формуле ----------- Повторите кинематику и выведите Ал: = vT “I—^ (5.8) \ самостоятельно формулу (5.8). 2а Подставляя формулы (5.7) и (5.8) в формулу (5.6), получаем А = та Izj 2а (5.9) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Можно показать^ что форму^ ла (5.9), выведенная для случая прямолинейного движения тела, на которое действует постоянная сила, справедлива и в тех случаях, когда на тело действует переменная сила и оно движется по криволинейной траектории. Таким образом, работа силы при перемещении точки из начального положения в конечное равна изме- нению величины mv‘ называемой кинетической энергией (от греческого слова «кинема» — движение). Кинетическая энергия материальной точки — это величина, равная половине произведения массы материальной точки на квадрат её скорости: ,2 mv^ (5.10) Энергия выражается в тех же единицах, что и работа. Учитывая равенство (5.10), уравнение (5.9) можно записать так: А = Е,, = Д£„. (5.11) Равенство (5.11) выражает теорему об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении равно работе, совершённой силой, действующей на точку при этом перемещении. Почему мы говорим об алгебраиче^ уш ской сумме работ? Пусть изменение кинетической энергии тела равно нулю. Могут ли при этом работы сил, дей-Ч^твующих на него, быть отличны от нуля'^ Если на точку действует несколько сил, то изменение её кинетической энергии равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на неё: + ^2 + ... . Кинетическая энергия тел зависит только от их масс и скоростей. Изменение кинетической энергии материальной точки зависит от начальной и конечной скоростей точки и не зависит от того, каким образом изменялась её скорость, под действием каких сил происходило это изменение. * Энергия. Кинетическая энергия г1аити 1. Как выглядит график изменения кинетической энергии материальной точки в зависимости от модуля её скорости? Начертите его. .й. Какую работу совершила сила, действующая на точку, если направление её скорости изменилось на противоположное, а модуль её остался без изменения? Три тела массами т^. гп2 и имеют скорости Uj, i?2 и направленные под углом друг к другу. Запишите выражение для кинетической энергии системы этих трёх тел. 4- Зависит ли кинетическая энергия материальной точки от выбора системы отсчёта? Может ли кинетическая энергия иметь отрицательное значение? ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ §421 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ЕЁ ИЗМЕНЕНИЕ» Очень часто для решения задач о движении тела, скорость которого изменяется, удобно пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Такой способ позволяет решать задачи и в том случае, когда силы, действующие на тело, являются переменными. Очевидно, что решение подобных задач на основании второго закона Ньютона затруднено тем, что движение происходит с переменным ускорением. Задача I. Шофёр выключает двигатель и начинает тормозить, когда видит, что впереди меняют асфальт и дорога покрыта песком. Начальная скорость автомобиля 90 км/ч. Шофёр нажал на тормоз на расстоянии 60 м от границы между асфальтом и песком. Определите коэффициент трения колёс автомобиля о дорогу, покрытую песком, если машина до остановки проехала по ней 2,5 м. Коэффициент трения колёс машины об асфальт = 0,5. ^ 7 тр1 ’’mg Рис. 5.5 Решение. Согласно теореме об изменении кинетической энергии изменение кинетической энергии автомобиля равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на него. На автомобиль действуют (рис. 5.5) сила тяжести сила нормальной реакции опоры N, сила трения, причём на первом участке пути сила трения равна jP.rpi ^ на втором — ^ Силы тяжести и нормальной реакции опоры перпендикулярны перемещению, поэтому работы их на данном перемещении равны нулю. Тогда о - mV^/2 = “ -^тр2«2 = + И2«2)^- Очевидно, что N = mg. Подставив N в уравнение, получим mv^/2 = (PiS^ -t- P2S2)^^* Окончательно |i2 ^ 2^82 № «2 0,8. Задача 2. Маятник, представляющий собой маленький шарик, подвешенный на тонкой нити длиной 1 м, отклонили так, что нить стала составлять с вертикалью угол 60°. Затем шарик отпустили. Определите скорость шарика в тот момент, когда угол отклонения нити равен 30° и когда шарик проходит положение равновесия. Решение. На шарик во время движения действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения (рис. 5.6). Изменение кинетической энергии шарика при перемещении из точки А в точку В равно: .2 mvy2 - о = Лг + Ад. (1) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Работа силы натяжения равна нулю, так как она всё время перпендикулярна перемещению. На основании закона о независимости движений движение шарика можно рассматривать как сумму двух движений: по оси ОХ и по оси OY. Работа силы тяжести при перемещении шарика вдоль оси ОХ равна нулю, так как сила тяжести перпендикулярна перемещению вдоль этой оси. Работа силы тяжести при перемещении вдоль оси OY равна = mgAy, где Ау = - ^2- Из треугольника AOgOj получим OjOg = icosoo, тогда = I - = = 1(1 - costto), a из треугольника BOgC получим O2C = /сова, Л2 = / - О2С = = Z(1 - cosa). Окончательно - h2 = /(cosa - совад). Работа силы тяжести равна = mgl(cosa - cosoq). Подставив найденное выражение для работы в уравнение (1), получим mvl/2 = mgl(cosa - совад). Скорость в точке В: V2 = ^2gl(cosa - совоо) ~ 2,7 м/с. Перемещение шарика вдоль оси OY при движении из точки А в точку О равно Тогда скорость шарика в точке О: Vq = ^2^/совао ~ 3,2 м/с. Задача 3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью Vq = 10 м/с. Определите наибольшую высоту подъёма а также скорость тела на вы- соте, равной h^^J2. Силой сопротивления воздуха можно пренебречь. Решение. Изменение кинетической энергии тела при подъёме на максимальную высоту равно работе силы тяжести: 0 - mv\l2 = ~Tngh^^^. Из этого уравнения сразу же получаем выражение для максимальной высоты подъёма: = t>o/2^ = 5 м. Скорость тела на некоторой высоте при падении равна его скорости на той же высоте при подъёме. Определим скорость тела при падении с максимальной высоты. Согласно теореме об изменении кинетической энергии mv^/2 - 0 = mgh = mgh^^^/2. (Сила тяжести при спуске совершает положительную работу.) Тогда для ско- рости получаем формулу и = yjgh^^^. С у^1ётом выражения для окончательно получим о = = Уо / ^ 7,1 м/с. .Задача 4. Груз тянут вверх по наклонной плоскости с углом а у основания. На высоте h верёвка обрывается. Определите скорость груза у основания плоскости. Коэффициент трения груза о плоскость равен р. Решение. На груз действуют силы тяжести, нормальной реакции опоры и трения (рис. 5.7). Изменение кинетической энергии при соскальзывании груза равно: mv'^/2 - о = Л + А.- (1) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Работа силы нормальной реакции опоры равна нулю, так как эта сила перпендикулярна перемещению. Как видно из рисунка, работа силы тяжести равна = m^/sina = mgh. Сила трения = }iN = pm^cosa. ^ Работа силы трения А^р = -\imglcosa. Длина пути I = . Тогда = -pmg’/г cosa/sina = -^imghctga. Подставив найденные выражения для работ сил тяжести и трения в уравнение (1), получим mv^/2 = mgh - \xmghctga = mgh{l - pctga). Тогда для скорости получим выражение v = ^gh(l - pctga). Задачи для самостоятельного решения 1. Мяч массой 1 кг падает с высоты 2 м. Определите изменение кинетической энергии мяча на первой и второй половинах пути. 2. Человек сначала несёт груз массой 4 кг до шкафа, а затем ставит его на шкаф, подняв груз на высоту 1 м. Определите работу силы тяжести, действующей на груз при его перемещении. 3. Скорость тела массой 2 кг изменяется согласно уравнению = 5 + + 4^ -I- 2Г. Определите работу сил, действующих на тело в течение первых четырёх секунд. С1. Чему равен тормозной путь автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30 м/с по горизонтальной дороге? Коэффициент трения скольжения между дорогой и шинами автомобиля равен 0,3. С2. На столе закреплена доска длиной I = 0,9 м. На доске у её левого торца лежит небольшой брусок. Коэффициент трения скольжения бруска о доску р = 0,5. Какую минимальную скорость Uq нужно сообщить бруску, чтобы он соскользнул с правого торца доски? СЗ. Пуля летит горизонтально со скоростью Oq ^ ^/с, пробивает стоящий на горизонтальной поверхности льда брусок и движется в прежнем направлении со скоростью 1/3 Uq. Масса бруска в 10 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между бруском и льдом р = 0,1. На какое расстояние S переместится брусок к моменту, когда его скорость уменьшится на 10 %? С4. Бруски с массами т и Зт скользят по горизонтальной поверхности доски навстречу друг другу. Скорость каждого бруска перед абсолютно неупругим ударом равна по модулю и = 3 м/с. Коэффициент трения скольжения между брусками и доской р = 0,2. На какое расстояние переместятся слипшиеся бруски к моменту, когда их общая скорость уменьшится на 40 % ? Со. В тело массой 4,8 кг, лежащее на гладком участке горизонтальной поверхности, попадает снаряд массой 0,2 кг, летящий под углом 60° к горизонту со скоростью 40 м/с, и застревает в нём. Попав на шероховатую часть поверхности, тело проходит до остановки путь, равный 12 см. Определите коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью. \2 Л2 Рис. 5.8 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И СИЛЫ УПРУГОСТИ. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ По какой формуле можно вычислить работу силы? Что общего между работой силы тяжести и силы упругости? Работа силы тяжести. Вычислим работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз. В начальный момент времени тело находилось на высоте ^ h-y над поверхностью Земли, а в конечный момент времени — на высоте /ig (рис. 5.8). Модуль перемещения тела |Аг*1 = /ii - Лз- ^ Направления векторов силы тяжести и перемещения Аг" совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (5.2)) имеем А = 1^1 IaF'IcosO® = mg{h-^ - h^) = mgh^ - (5.12) Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте над поверхностью Земли, и оно достигло высоты ^2 (рис. 5.9). Векторы и А7^ направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения |А7^| = h2 - h^. Работу силы тяжести запишем так: А = |F.r| |Ar*|cosl80° = -mg(h2 ~ Л,) = mgh^ - mgh2. (5.13) Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол а с направлением силы тяжести (рис. 5.10), то работа силы тяжести равна: А = |A7^|cosa = m^|BC|cosa. Из прямоугольного треугольника BCD видно, что |BC|cosa = = BD = /ij - Лз- Следовательно, А = mg{hi - /I2) = mgh^ - mgh2. (5.14) Это выражение совпадает с выражением (5.12). Формулы (5.12), (5.13), (5.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела, определяемых высотами и Лз над поверхностью Земли. Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой т из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой Предположите, что тело перемещается между точками 1 и 2 (см. рис. 5.10) по ломаной линии. Покажите, что работа силы тяжести и в этом У^случае определяется выражением (5.13).^ D , Аг 2 у///////////У//////////А Рис 5,9 ь 1 о ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис. 5.11), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной - h^. Таким образом, работа силы тяжести при перемещении вдоль кривой ВС равна: А = mgh^ - mgh2. ЕЩЗВВР Мы показали, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от положений начальной и конечной точек траектории. ^ -ч ....... ..rnmmrnmmm' Определим работу А при перемещении тела по замкнутому контуру, например по контуру BCDEB (рис. 5.12). Работа Aj силы тяжести при перемещении тела из точки В в точку D по траектории BCD'. Ay = mg{Ji2 — hy), по траектории DEB: Ag = = mg{hy - /Zg). Тогда суммарная работа A= Ay H Ag = = mg(h2 - hy) -f mg{hy - = 0. D У//////////У////У//А Рис. b 2 di При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю! Итак, работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю. Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и по замкнутой траектории равна нулю, называют консервативными силами. Работа силы упругости. Вычислим работу, которую совершает сила упругости при перемещении некоторого груза. На рисунке 5.13, а показана пружина, у которой один конец закреплён неподвижно, а к другому концу прикреплен шар. Совместим начало координат с центром шара, тогда координата шара будет равна удлинению пружины. Если пружина растянута, то она действует на шар с силой Fy (рис. 5.13, б), направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована. Начальное удлинение пружины равно Ху. Вычислим работу силы упругости при перемещении шара из точки с координатой Ху в ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ точку с координатой jCg. Из рисунка 5.13, в видно, что модуль перемещения равен: \Аг*\ = (5.15) Мы рассматриваем случай, когда направления силы упругости и перемещения тела совпадают. Для вычисления работы переменной силы упругости воспользуемся графиком зависимости модуля силы упругости от координаты шара (рис. 5.14). В § 40 мы показали, что работа может быть определена по графику зависимости от х и что эта работа численно равна площади заштрихованной фигуры (см. рис. 5.3, б). В нашем примере работа силы упругости на перемещении х^ - jCg точки её приложения численно равна площади трапеции BCDM. Следовательно, А = Ft -ь Fn {Xi - Xz) = Ft + Fo |ДГ1. (5.16) 2 2 Согласно закону Гука значения сил упругости = kx^ и Fg = fejCg. Подставляя эти выражения в уравнение (5.16) и учитывая, что |А7^| = Xj - jCg» получаем ^ kx^ + kx2, , k{x{ - х^) ^ ~ 9 (-*^1 -^г) ~ о Или окончательно А = kx^ kx^ > 0. (5.17) 2 2 Работа силы упругости при растяжении пружины, т. е. когда направле- kx? kx% ние силы противоположно перемещению тела: А = —г—I—— < 0. Если начальное и конечное состояния пружины совпадают, то суммарная работа силы упругости при деформации пружины равна нулю. L. Попробуйте доказать самостоятельно, что сила тяготения также консервативна. Во всех случаях движения тела под действием силы упругости мы пришли бы к той же формуле (5.17) для работы, т. е. работа силы упругости зависит лишь от удлинения или сжатия пружины в начальном и конечном состояниях. Таким образом, работа силы упругости не зависит от формы траектории и, так же как и сила тяжести, сила упругости является консервативной. к Работа сил тяжести, упругости. Консервативные силы 1. Чему равна работа силы тяжести и силы упругости при перемещении тела ^ по замкнутой траектории? • 2. Какие силы называют консервативными? Каково их общее свойство? ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 8 МЕХАНИКЕ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ Вспомните, какая связь существует между работой силы тяжести и потенциальной энергией. Почему работа силы упругости определяется её средним значением? Согласно теореме об изменении кинетической энергии работа силы, действующей на тело, равна изменению его кинетической энергии: mv'^ mv? А = = АЕ. (5.18) 2 2 Если же силы взаимодействия между телами являются консервативными, то, используя явные выражения для сил, мы показали (см. § 43), что работу таких сил можно также представить в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от взаимного расположения тел (или частей одного тела): А = mgh^ — mgh2 (для силы тяжести), (5.19) А = ■ kx? kx^ ---— (для силы упругости). Здесь высоты и /Zg определяют взаимное расположение тела и поверхности Земли, а удлинения JCj и jCg — взаимное расположение частей тела, например витков деформированной пружины. Из формул (5.18) и (5.19) следует, что = mghy - mgh2 и kx^ ~2~ kxl 2 2 ® ^ ® ^ 2 2 Величину, равную произведению массы т тела на ускорение свободного падения ^ и на высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести и обозначают Ед = mgh. (5.20) ЕДЯДВ Величину, равную половине произведения коэффициента упругости k тела на квадрат удлинения или сжатия х, называют потенциальной энергией упру- го деформированного тела; kx'^ (5.21) В обоих случаях потенциальная энергия определяется расположением тел системы или частей одного тела относительно друг друга. Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия тел, обусловленная их взаимным расположением или взаимным расположением частей тела. Введя понятие потенциальной энергии, мы получаем возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потенциальной энергии. Под изменением величины понимают разность между её конечным и начальным значениями, поэтому = E^g ~ ^ni- ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Следовательно, оба уравнения (5.19) можно записать так: ^ ^а! ~ ^п2 ~ ~(-^п2 ~ -^nl) ~ ~^^п» откуда = -А. (5.22) Изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком. Например, при падении камня на Землю его потенциальная энергия убывает (АБд < 0), но сила тяжести совершает положительную работу (А > 0). Следовательно, А и имеют противоположные знаки в соответствии с формулой (5.22). Нулевой уровень потенциальной энергии. Согласно уравнению (5.22) работа консервативных сил определяет не саму потенциальную энергию, а её изменение. Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором её потенциальная'^энергия считается равной жулю.*Этому состоянию соответствуётжулевой уровень отсчёта потенциальной энергии. Приведите примеры выбора нуле^ вого уровня отсчёта потенциальной энергии, относительно которого потенциальная энергия тела будет \ иметь отрицательные значения. Ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел. Выбор нулевого уровня производится по-разному и диктуется условиями данной задачи. Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальным значением энергии. Тогда потенциальная энергия всегда положительна или равна нулю. Итак, потенциальная энергия системы «тело — Земля» — величина, зависящая от положения тела относительно Земли, равная работе консервативной силы при перемещении тела из точки, где оно находится, в точку, соответствующую нулевому уровню потенциальной энергии системы. У пружины потенциальная энергия минимальна в отсутствие деформации, а у системы «камень — Земля» — когда камень лежит на поверхнос- kx^ ти Земли. Поэтому в первом случае Б^ = а во втором случае Бд = mgh. Ct ________________________________ Но к данным выражениям можно добавить любую постоянную величину С. При этом изменение потенциальной энергии, определяемое работой консервативной силы, останется прежним. Обсудите с товарищем, как изменится положение нулевого уровня потенциальной энергии, если считать С = mghQ. Изолированная система тел стремится к состоянию, в котором её по; тенциальная энергия минимальна. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Если не удерживать тело, то оно падает на землю {h = 0); если отпустить растянутую или сжатую пружину, то она вернётся в недеформированное состояние {х = 0). 1. В чём состоит сходство кинетической энергии тела с потенциальной? 2. В чём состоит различие между кинетической энергией и потенциальной? 3. Может ли потенциальная энергия быть отрицательной? 4) 3400 кг А1. Легковой автомобиль и автокран движутся по мосту, причём масса автокрана 4500 кг. Чему равна масса легкового автомобиля, если отношение потенциальной энергии автокрана и легкового автомобиля относительно уровня воды равно 3? 1) 500 кг 2) 1000 кг 3) 1500 кг А2. На рисунке представлена траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту. В какой из четырёх точек, отмеченных па траектории, потенциальная энергия имеет минимальное значение? 1) / 2) 2 3) 3 4) 4 АЗ. Математический маятник колеблется между точками А и С с периодом Т. В начальный момент времени маятник находится в точке А (см. рис.). Через какой промежуток времени его потенциальная энергия в первый раз достигнет минимального значения? Сопротивление воздуха не учитывайте. i i i l)T 2)-Т 3)-Т 4) -Т '///////////////У?/ У////////////. В' А4. При удлинении на 2 см стальная пружина имеет потенциальную энергию упругой деформации 4 Дж. Как изменится потенциальная энергия этой пружины при уменьшении удлинения на 1 см? 1) уменьшится на 1 Дж 3) уменьшится на 3 Дж 2) уменьшится на 2 Дж 4) уменьшится на 4 Дж Л5. При растяжении пружины на 0,1 м в ней возникает сила упругости, равная 2,5 Н. Определите потенциальную энергию этой пружины при растяжении на 0,08 м. 1) 25 Дж 2) 0,16 Дж 3) 0,08 Дж 4) 0,04 Дж я ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ § 45 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ Как изменяются потенциальная, кинетическая и полная механическая энергии тела при его свободном падении вниз? если тело брошено вверх? Обратимся к простой системе тел, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня. Камень падает под действием силы тяжести. Силу сопротивления воздуха учитывать не будем. Изменение кинетической энергии камня равно работе сил тяжести: ^ ^5 23) Изменение потенциальной энергии равно работе силы тяжести, взятой с обратным знаком: АЕ, = -А,. (5.24) Работа силы тяжести, действующей со стороны камня на земной шар, практически равна нулю. Из-за большой массы земного шара его перемещением и изменением скорости можно пренебречь. Из формул (5.23) и (5.24) следует, что АЕ, = -А£„. (5.25) Равенство (5.25) означает, что увеличение кинетической энергии системы равно убыли её потенциальной энергии (или наоборот). Отсюда следует, что А^к + = О, или А(Е, + EJ = 0. (5.26) Изменение суммы кинетической и потенциальной энергий системы равно нулю. Полная механическая энергия Е равна сумме кинетической и потенциальной энергий тел, входящих в систему: Е = Е^ + Е,. (5.27) Так как изменение полной энергии системы в рассматриваемом случае согласно уравнению (5.26) равно нулю, то энергия остаётся постоянной: £ = -Е„ f £„ = const. (5.28) Закон сохранения механической энергии в изолированной системе, в которой действу-\^т консервативные силы, механическая энергия сохраняется._____________ Закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения энергии. Общий закон сохранения энергии Энергия не создаётся и не уничтожается, а только \^ревращается из одной формы в другую.___________________________________________ Учитывая, что в рассматриваемом конкретном случае Е^ = mgh и Е^ = закон сохранения механической энергии можно записать так: m f i2 -ь mgh = const, (5.29) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ или + mghi = + mgh2- 2 ® 2 Это уравнение позволяет очень просто найти скорость Ug камня на любой высоте Лз над землёй, если известна начальная скорость камня на исходной высоте h^. Закон сохранения механической энергии (5.28) легко обобщается на случай любого числа тел и любых консервативных сил взаимодействия между ними. Под нужно понимать сумму кинетических энергий всех тел, а под — полную потенциальную энергию системы. Для системы, состоящей из тела массой т и горизонтально расположенной пружины (см. рис. 5.13), закон сохранения механической энергии имеет вид т ц2 = const. (5.30) Чем мы пренебрегаем, когда говорим, что механическая энергия падающего камня сохраняется? Какие превращения энергии реально про-У^сходят при падении камня в воздухе? ^ kx^ 2 Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения. Рассмотрим влияние сил трения на изменение механической энергии системы. Если в изолированной системе силы трения совершают работу при движении тел относительно друг друга, то её механическая энергия не сохраняется. В этом легко убедиться, толкнув книгу, лежащую на столе. Из-за действия силы трения книга почти сразу останавливается. Сообщённая ей механическая энергия исчезает. Сила трения совершает отрицательную работу и уменьшает кинетическую энергию. Но потенциальная энергия при этом не увеличивается. Поэтому полная механическая энергия убывает. Кинетическая энергия не превращается в потенциальную. Силы трения (сопротивления) не- агревание при действии сил трения легко обнаружить. Для этого, например, достаточно энергично потереть монету о стол. С повышением температуры, как известно из курса физики основной школы, повышается кинетическая энергия теплового движения молекул или атомов. Следовательно, при действии сил трения кинетическая энергия тела превращается в кинетическую У^энергию хаотично движущихся молекул.^ консервативны. Отличие сил трения от консервативных сил становится особенно наглядным, если рассмотреть работу тех и других на замкнутом пути. Работа силы тяжести, например, на замкнутом пути всегда равна нулю. Она положительна при падении тела с высоты h и отрицательна при подъёме на ту же высоту. Работа же силы сопротивления воздуха отрицательна как при подъёме тела вверх, так и при движении его вниз. Поэтому на замкнутом пути она обязательно меньше нуля. В любой системе, состоящей из больших макроскопических тел, действуют силы трения. Следовательно, даже в изолированной системе движущихся тел механическая энергия обязательно убывает. Постепенно затухают колебания маятника, останавливается машина с выключенным двигателем и т. д. Но убывание механической энергии не означает, что эта энергия исчезает бесследно. В действительности происходит переход энергии из механической ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Запишите закон сохранения ме-ханической энергии для системы «шарик — пружина», если шарик У^колеблется на вертикальной пружине. ^ В двигателях внутреннего сгорания, паровых турбинах, электро-■ двигателях и т. д. механическая энергия появляется за счёт убыли энергии других \форм: химической, электрической и т. д^ формы в другие. Обычно при работе сил трения происходит нагревание тел, или, как говорят, увеличение их внутренней энергии. Во всех процессах, происходящих в природе, как и в создаваемых приборах, устройствах, всегда выполняется закон сохранения и превращения энергии: энергия не исчезает и не появляется вновь, она может только перейти из одного вида в другой. Закон сохранения механической энергии 1. Что называется полной механической энергией системы? 2. Может ли сохраняться механическая энергия системы, на которую действуют внешние силы? 3. Тело падает с высоты Н. Постройте графики зависимости потенциальной, кинетической и полной энергий системы «тело—Земля» от высоты h. Все высоты считайте от поверхности Земли. i. В каких случаях механическая энергия системы сохраняется? 5. Почему сила трения является неконсервативной? R. Во что переходит механическая энергия в системе, в которой действуют силы трения? А1. Тело массой 1 кг, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, достигло максимальной высоты 20 м. С какой по модулю скоростью двигалось тело на высоте 10 м? Сопротивление воздуха не учитывайте. 1) 7 м/с 2) 10 м/с 3) 14,1 м/с 4) 20 м/с А2. Скорость брошенного мяча непосредственно перед ударом о стену была вдвое больше его скорости сразу после удара. Какое количество теплоты выделилось при ударе, если перед ударом кинетическая энергия мяча была равна 20 Дж? 1) 5 Дж 2) 15 Дж 3) 20 Дж 4) 30 Дж ЛЗ. С балкона высотой 20 м на поверхность Земли упал мяч массой 0,2 кг. Из-за сопротивления воздуха скорость мяча у поверхности Земли оказалась на 20 % меньше скорости тела, свободно падающего с высоты 20 м. Импульс тела в момент падения равен 1) 4 кг • кг/с 2) 4,2 кг • кг/с 3) 3,2 кг • кг/с 4) 6,4 кг ■ кг/с §46 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ РАБОТА СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ В чём выражается гравитационное взаимодействие тел? Как доказать наличие взаимодействия Земли и, например, учебника физики? В § 43 мы рассмотрели работу силы тяжести и выяснили, что сила тяжести — консервативная сила. Теперь найдём выражение для работы силы тяготения и докажем, что работа этой силы не зависит от формы траектории, т. е. что сила тяготения также консервативная сила. Напомним, что работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю. Пусть тело массой т находится в поле тяготения Земли. Очевидно, что размеры этого тела малы по сравнению с размерами Земли, поэтому его можно считать материальной точкой. На тело действует сила тяготения F = G^, где G — гравитационная постоянная, М — мае-са Земли, г — расстояние, на котором находится тело от центра Земли. Пусть тело перемещается из положения А в положение В по разным траекториям: 1) по прямой АВ; 2) по кривой ААВ'В; 3) по кривой АСВ (рис. 5.15) 1. Рассмотрим первый случай. Сила тяготения, действующая на тело, непрерывно уменьшается, поэтому рассмотрим работу этой силы на малом перемещении Аг^ = ^ Среднее значение силы тяготения равно: , тМ ..2 cpf где г cpi = Г,Г: Чем меньше Аг^, тем более справедливо написанное выражение + 1- Проверьте это утверждение, подставляя разные числа. ^1 + 1 П П + 1 Гср1=П+П+1/2 ' срг Тогда работу силы F на малом перемещении Аг^ можно записать в виде ДА, - -Пр,(г,., - г,) = - г,) - -GmM ^cpi Л ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Суммарная работа силы тяготения при перемещении тела из точки А в точку В равна: А = ДА| + ДА2 +... = -GmM = -GmM (fl 1] -1- 1 --1 + - \ J_ “"0 г,} ■ Гв у ''в (5.31) 2. При движении тела по траектории ААВ'В (см. рис. 5.15) очевидно, что работа силы тяготения на участках АА и В'В равна нулю, так как сила тяготения направлена к точке О и перпендикулярна любому малому перемещению по дуге окружности. Следовательно, работа будет также определяться выражением (5.31). 3. Определим работу силы тяготения при движении тела от точки А к точке В по траектории АСВ (см. рис. 5.15). Работа силы тяготения на малом перемещении Да^ равна ДА, = ^„р^Да^сова,. Из рисунка видно, что Да,сова^ = - Дг^ и суммарная работа опять же будет определяться по формуле (5.31). Итак, можно сделать вывод, что Aj = Ag = Ag, т. е. что работа силы тяготения не зависит от формы траектории. Очевидно, что работа силы тяготения при перемещении тела по замкнутой траектории ААВ'ВА равна нулю. Сила тяготения — консервативная сила; Изменение потенциальной энергии равно работе силы тяготения, взятой с обратным знаком: Д£д = +GmM Если выбрать нулевой уровень потенциальной энергии на бесконечности. т. е. = О при Гд -> оо, то О - = GmM следовательно, Е.^л = ~ GmM Потенциальная энергия тела массой т, находящегося на расстоянии г от центра Земли, равна: Е=- GmM Закон сохранения энергии для тела массой т, движущегося в поле тяготения, имеет вид - G тМ - G тМ 2 "" Г] 2 - Г2 где L>i — скорость тела на расстоянии Tj от центра Земли, Уд — скорость тела на расстоянии Гд от центра Земли. Определим, какую минимальную скорость надо сообщить телу вблизи поверхности Земли, чтобы оно в отсутствие сопротивления воздуха могло удалиться от неё за пределы сил земного притяжения. Минимальную скорость, при которой тело в отсутствие сопротивления воздуха может удалиться за пределы сил земного притяжения, называют второй космической скоростью для Земли. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ На тело со стороны Земли действует сила тяготения, которая зависит от расстояния центра масс этого тела до центра масс Земли. Поскольку неконсервативных сил нет, полная механическая энергия тела сохраняется. Внутренняя потенциальная энергия тела остаётся постоянной, так как оно не деформируется. Согласно закону сохранения механической энергии -G тМг, + mu' = const. г 2 На поверхности Земли тело обладает и кинетической, и потенциальной энергией: W = mv II - G тМг, Rr. где Уц — вторая космическая скорость, М3 и Rq — соответственно масса и радиус Земли. В бесконечно удаленной точке, т. е. при г сю, потенциальная энергия тела равна нулю {W^ = 0), а так как нас интересует минимальная скорость, то и кинетическая энергия также должна быть равна нулю: = 0. Из закона сохранения энергии следует: - G тМг = о. mu = G- тМг. i?. отсюда Уп = 2GM3 R, Эту скорость можно выразить через ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли (при расчётах, как правило, этим выражением пользо- тМз 2 ваться удобнее). Поскольку mg = G ^2 > С'Мз = gRs. R. Следовательно, искомая скорость и„ = 1^11 = • 9,8 • 6,4 • 106 (м/с) = ц 200 м/с = 11,2 км/с. Точно такую же скорость приобрело бы тело, упавшее на Землю с бесконечно большой высоты, если бы —---------------------------------------^ не было сопротивления воздуха. ' Определите значение второй кос- Заметим, что вторая космическая мической скорости для Марса. Все необходимые данные найдите в Интернете. скорость в ^/2 раза больше, чем пер- вая. Работа силы тяготения. Вторая космическая скорость 1. Является ли сила тяготения консервативной? Почему? 2. Какие физические величины остаются постоянными, а какие изменяются при расчёте второй космической скорости? 3. Изменится ли значение второй космической скорости, если ракету запустить из глубокой шахты? 4 Как изменится выражение для потенциальной энергии тела в поле тяготения, если за нулевой уровень её отсчёта взять поверхность Земли? ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ I ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ Г§47 |ПТР* I «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ» При применении закона сохранения механической энергии для решения задач надо, прежде всего, выяснить, какое состояние системы целесообразно считать начальным, а какое — конечным, затем записать выражение для начальной энергии системы и приравнять его выражению для конечной. При записи потенциальной энергии надо предварительно выбрать нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии системы. 1^0 Л' шшттшш7у •задачи ’. Мяч брошен с высоты 1 м под углом 60° к горизонту со скоростью 4 м/с. Определите максимальную высоту подъёма мяча над поверхностью Земли. Силу сопротивления при движении мяча не учитывайте. Решение. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на поверхности Земли (рис. 5.16). В момент броска в начальном положении 1 мяч обладает кинетической и потенциальной энергиями: = -^К1 + - в момент максимальной высоты -t- mghQ. подъема скорость мяча направлена горизонтально. Горизонтальная составляющ;ая скорости при движении мяча остаётся постоянной и равной = Vq cosa. Механическая энергия в положении 2: Eg = ^п2 ^ imvlcos^d)/2 + mgh^^. Так как по условию задачи силой сопротивления можно пренебречь, то считаем, что на мяч действует только консервативная сила — сила тяжести, и, следовательно, полная механическая энергия мяча сохраняется: mu^cos^a -Ь mghQ =--------- + mgh^^. mv, Тогда максимальная высота h. Л, шах = *0 -Н — silica = 1,6 м. Задача 2. Недеформированную пружину растягивают на Д/ = 10 см. Определите работу деформирующей пружину силы и силы упругости пружины, если для растяжения пружины на AZq = 1 см требуется сила Eq = 2 Н. Решение. Абсолютные удлинения пружины выразим в единицах СИ: Д/о = 0,01 м, Д/ = 0,1 м. Найдём жёсткость пружины. Из закона Гука ыд/)2 Fq = HMq следует: k = Fq/AIq. Работа деформирующей силы: А = —-— = Ео Ш)^ Д/г = 1 Дж. Направление силы упругости противоположно направлению деформирующей силы, а по модулю эти силы равны, поэтому = -1 Дж. Задача 3. На нити длиной I висит груз. На какую высоту необходимо поднять груз, отклоняя нить от вертикали, чтобы при движении груза вниз без ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ начальной скорости в момент прохождения положения равновесия сила натяжения нити превышала в 2 раза силу тяжести, действующую на груз? Решение. При прохождении нити через вертикальное положение на груз действуют сила натяжения нити Т и сила тяжести т^, лежащие на одной прямой (рис. 5.17). Поэтому ускорение а* груза является центростремительным и направлено вертикально вверх. По второму закону Ньютона та* = Т + т^. Запишем этот закон в проекции на ось OY (см. рис. 5.17): Т - mg = та, где а = v^/l. Учитывая, что Т = 2mg, получаем mg = та, = gL Для определения h применим закон сохранения механической энергии, считая, что в положении 2 потенциальная энергия системы «тело—Земля» равна нулю. Тогда в положении 1 система имеет потенциальную энергию = mgh, где h — высота тела относительно нулевого уровня. В положении 2 тело обладает лишь кинетической энергией = mv^ 12. По закону сохранения механической энергии mv^/2 = mgh, = 2gh. Учитывая, что = gl, получаем 2gh = gl, откуда h = L/2. Задача 4. Определите скорости двух шаров массгиии т-^ и mg после центрального абсолютно упругого удара. Скорости шаров до удара v-^ и Пз соответственно. Решение. Закон сохранения импульса системы имеет вид т^щ + т^2 ^ + ^2^’ (1) где щ VL — скорости шаров после удара. Запишем уравнение (1) в проекции на ось X (рис. 5.18) (предположим, что шары после удара разлетаются в разные стороны): mjL>i - ^ ~ m-ji^ -Н /^3^3. (2) Запишем закон сохранения энергии: m^v\/2 -I- m2v\/2 = т^и{/2 -f- ^31/3/2. (3) Уравнения (2) и (3) образуют систему двух уравнении относительно двух неизвестных и П3. Перенесём все члены системы, содержащие nij, в левую часть уравнения, а содержащие /Пз, в правую: + иД = тз(У2 + Ug), тДп? - и\) = m^iul - v\). Очевидно, что vi U2 ^ - i>2’ скорости шаров после соударения должны измениться. Разделив левые и правые части равенств одно на другое, получим Oj - Uj = Og - П3, откуда Пз = yj f У2 “ Ul V2 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Подставив Ug ® уравнение (2), получим уравнение относительно - /712^2 = -ТПуП^ + ^2^1 ^2^2 ~ Окончательно щ = 2m.2V2 + 1^1 (тп2 - 7п^) ГП] + ГП2 ' Uo = 2mjUj + “ ^2) m-i + ГП2 Задачи для самостоятельного решения 1. Определите суммарную работу сил, которая будет совершена, если сила, равная 3 Н, поднимет груз массой 100 г на высоту 5 м. 2. Груз массой 97 кг перемеш;ают с помощью верёвки с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности. Угол между верёвкой и этой поверхностью равен 30°. Коэффициент трения равен 0,2. Определите работу силы натяжения верёвки на пути 100 м. 3. С какой скоростью двигался вагон массой 20 000 кг по горизонтальному пути, если при ударе о преграду каждая пружина буфера сжалась на 10 см? Известно, что для сжатия пружины буфера на 1 см требуется сила 10 000 Н. Вагон имеет два буфера. 4. Автомобиль, имеющий массу 1 т, трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь 20 м за время 2 с. Какую мощность при этом развивает двигатель автомобиля? С1. Груз массой 100 г привязан к нити длиной 1 м. Нить с грузом отвели от вертикали на угол 90° и отпустили. Чему равно центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует с вертикалью угол 60°? С2. Брусок массой т, = 600 г, движущийся со скоростью 2 м/с, сталкивается с неподвижным бруском массой mg ^ 200 г. Какой будет скорость первого бруска после столкновения? Удар считайте центральным и абсолютно упругим. Повторите материал главы 5 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. «Закон сохранения энергии» 1. Виды энергии в природе. Взаимные превращения энергии. 2. Устройства для совершения механической работы (принципиальные схемы, макеты). «Создание модели лодки, движущейся за счёт реактивной силы» ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДИНАМИКА ВРАЦДАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Повторите основные понятия и соотношения кинематики вращательного движения абсолютно твёрдого тела, изложенные в § 16 главы 1. Угловое ускорение. Ранее мы получили формулу, связывающую линейную скорость и, угловую скорость О) и радиус R окружности, по которой движется выбранный элемент (материальная точка) абсолютно твёрдого тела, которое, вращается относительно неподвижной оси: I--------i ' V = (oR. I Мы знаем, что линейные скорости и ускорения точек твёрдого тела различны. В то же время угловая скорость всех точек твёрдого тела одинакова. Угловая скорость — векторная величина. Направление угловой скорости определяется по правилу буравчика. Если направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вращения тела, то поступательное движение буравчика указывает направление вектора угловой скорости (рис. 6.1). Однако равномерное вращательное движение встречается довольно редко. Гораздо чаще мы имеем дело с движением, при котором угловая скорость изменяется, очевидно, это происходит в начале и конце движения. Причиной изменения угловой скорости вращения является дей- [ Вектор угловой скорости — это ствие на тело сил. Изменение угловой скорости со временем определяет угловое ускорение. Рис. 6.1 /Лектор скользящий вектор. Независимо от точки приложения его направление указывает направление вращения тела, а У^модуль определяет быстроту вращения. ^ Среднее угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорос- Дсо ти к промежутку времени, за которое это изменение произошло: е = При равноускоренном движении угловое ускорение постоянно и при неподвижной оси вращения характеризует изменение угловой скорости по модулю. При увеличении угловой скорости вращения тела угловое ускорение направлено в ту же сторону, что и угловая скорость (рис. 6.2, а), а при уменьшении — в противоположную (рис. 6.2, б). Так как угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением v = coi?, то ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ [« Чем различаются два вектора — вектор линейной скорости и вектор угловой скорости. ^ Неравномерно движутся при запуске и остановке любые вращающиеся тела, например ротор в электродвигателе, диск токарного станка, колесо ^автомобиля при разгоне и др. ______ Обсудите с товарищем, может ли угловая скорость вращения не изменяться, если на тело действуют силы. изменение линейной скорости за некоторый промежуток времени At равно Av =АозЕ. Разделив левую и правую части уравнения на At, име- Аи „ Асо о ем -^ = или а = еп, где а — касательное (линейное) ускорение, направленное по касательной к траектории движения (окружности). Если время измерено в секундах, а угловая скорость — в радианах в секунду, то одна единица ^глово- Рцс. о. го ускорения равна 1 рад/с , т. е, угловое ускорение выражается в ра-' " дианах на секунду в квадрате. Момент силы. Для создания вращательного движения важно не только значение силы, но также и точка её приложения. Отворить дверь, оказывая давление около петель, очень трудно, в то же время вы легко её откроете, надавливая на дверь как можно дальше от оси вращения, например на ручку. Следовательно, для вращательного движения существенно не только значение силы, но и расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Кроме этого, важно и направление приложенной силы. Можно тянуть колесо с очень большой силой, но так и не вызвать его вращения. Момент силы — это физическая величина, равная произведению силы на плечо: где d — плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до линии действия силы (рис. 6.3). Очевидно, что момент силы максимален, если сила перпендикулярна радиус-вектору, проведённому от оси вращения до точки приложения этой силы. Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно данной оси вращения. При этом моменты сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки, будем считать положительными (сила F2), а моменты сил, вызывающих вращение по часовой стрелке, — отрицательными (силы и Fg) (рис. 6.4). Основное уравнение динамики вращательного движения. Подобно тому как опытным путём было показано, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе, было установлено, что угловое ускорение прямо пропорционгшьно моменту силы: г ~ М. Р«-. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Пусть на материалы^ю точку, движующуюся по окружности, действует сила F (рис. 6.5). Согласно второму закону Ньютона в проекции на касательное направление имеем та^ = = F^. Умножив левую и правую части уравнения на г, получим та^г = или тг^ъ = М. (6.1) Заметим, что в данном случае г — кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки и соответственно точки приложения силы. Рис. 6.5 Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения называют моментом инерции материальной точки и обозначают буквой I. Таким образом, уравнение (6.1) можно записать в виде /е = М, откуда 'м 8 = (6.2) Уравнение (6.2) называют основным уравнением динамики вращательного движения. Уравнение (6.2) справедливо и для вращательного движения твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, где I — момент инерции твёрдого тела, а М — суммарный момент сил, действующих на тело. В этой главе при расчёте суммарного момента сил мы рас- ___________________________ сматриваем только силы или их про- Г^ Понаблюдайте, как человек при- екции, принадлежащие плоскости, I кладывает силу к колесу, чтобы перпендикулярной оси вращения. V раскрутить его. Угловое ускорение, с которые враищется тело.щрямо пропорционально сумме моментов сил, действующих' на него, и обратно пропорционально моменту’ инерции тела относительно данной оси вращения. Если система состоит из набора материальных точек (рис. 6.6), то момент инерции этой системы относительно данной оси вращения ОО' равен сумме моментов инерции каждой материальной точки относительно этой оси вращения: I = т^т^^ + т2т\ + ... . Момент инерции твёрдого тела можно вычислить, разделив тело на малые объёмы, которые можно считать материальными точками, и просуммировать их моменты инерции относительно оси вращения. Очевидно, что момент инерции зависит от положения оси вращения. 0‘ mi m2 /Пз О Рис. 6.6 Из определения момента инерции следует, что момент инерции характеризует распределение массы относительно оси вращения. Приведём значения моментов инерции для некоторых абсолютно твёрдых однородных тел массой т. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ О I Рис. 6.7 О' R т ^ 1. Момент инерции тонкого прямого стержня дли- ной I относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6.7), равен: I = m^Vl2. 2. Момент инерции прямого цилиндра (рис. 6.8), или диска относительно оси ОО', совпадающей с геометрической осью цилиндра или диска: I = mR^/2. 3. Момент инерции шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр: 1 = 2 mR^/Ъ. 4. Момент инерции тонкого обруча радиусом R относительно оси, проходящей через его центр: I - niR^. Момент инерции по физическому смыслу во вращательном движении играет роль массы, т. е. он характеризует инертность тела по отношению к вращательному движению. Чем больше момент инерции, тем сложнее тело заставить вращаться или, наоборот, остановить вращающееся тело. Возьмите любое колесо и раскрутите его, а затем попытайтесь его остано-Л вить. Прикрепите к ободу несколько шайб или других грузиков и повторите первый опыт. Сделайте вывод о влиянии момента инерции на инертность тела, у Момент силы. Момент инерции. Вращательное движение •> 1. Что такое момент силы? момент инерции тела? 2. Какое тело сложнее заставить вращаться — диск или колесо? Массы и радиусы диска и колеса одинаковы. А1. Момент инерции диска массой 1 кг и диаметром 40 см равен 1) 0,16 кг • м^ 2) 0,04 кг • м^ 3) 0,02 кг • м^ 4) 0 А2, Радиус диска равен 10 см. Момент силы, равной 10 Н и приложенной к ободу диска под углом 150° к радиусу, равен 1) 0,5 Н • м 2) 0,87 Н • м 3) 1 Н • м 4) 0 ВЗ. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Физическая величина Формула А) Момент силы 1) ml^ 2) Fr 3) Fd 4) mi^/2 Б) Момент инерции двух одинаковых маленьких шариков, закреплённых на концах невесомого стержня длиной относительно оси, проходящей через центр стержня A) Б) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ §49 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Предположите, почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения. Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта? Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону. Момент импульса. Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9). Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, — момент импульса. И1ШД Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10): L = mvr. 6 9 Линейная и угловая скорости связаны соотношением о = tor, тогда L = тг^(й. О \ т Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек. со Рии. 6.10 Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения: L « Ж (6.3) Момент импульса — векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость. Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме. Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: S = <02 " At . Подставим это выражение в основное уравнение динамики враща- тельного движения I <02 ~ Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то чело--------------век может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б). Человек может также заставить вращаться скамью, если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю. На законе сохранения момента импульса основан принцип действия прибор ров, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа — это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. \гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.___________ Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит: т, v'i Е = ^ nioU 2^^2 + ... 2 2 Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно, Е = + /тг2г|(о2 + ... = + /«2^1 + ...)й)' ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид = /со2 в общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна г, ц2 гп г 2|',л2 „ mv^ , /со^ , тг“1о‘ 2 2 В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела. Поступательное движение Вращательное движение v*— линейная скорость (й — угловая скорость Av* сГ= — — линейное ускорение At _ Д(о е = — — угловое ускорение At т — масса I — момент инерции ~р= тхГ— импульс L = 1(л — момент импульса F — сила М — момент силы r=f At м = — At F = та* М = /г mv^ 2 г 2 А = F,s А = Мф ii‘ -^~^Т -j V..yy.-Л ... ib Момент импульса. Энергия вращательного движения. Гироскоп 1. Что характеризует момент инерции тела? 2. В каком случае справедлив закон сохранения момента импульса? 3. Массы и радиусы диска и кольца равны между собой. Оси вращения проходят через центры кольца и диска. Момент инерции какого тела больше кольца или диска? 4. С одной и той же высоты с наклонной плоскости скатывается диск и соскальзывает брусок. Скорость какого тела будет больше? Считайте, что работа силы трения мала. 5. В течение 0,1 с по касательной к ободу вращающегося колеса действовала сила, равная 10 Н. Чему равно изменение момента импульса колеса? ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА» При решении задач на эту тему следует иметь в виду, что моменты силы, инерции и импульса зависят от выбора оси вращения. Кроме этого, нужно обращать внимание на то, что моменты импульса всех тел записываются относительно одной и той же системы отсчёта. Рис. 6.12 •>алам.. На блок радиусом г и массой намотана нить, к концу которой привязан груз массой /Пд (рис. 6.12). Груз отпускают, и он движется вниз, раскручивая нить. Определите ускорение груза. Массой нити можно пренебречь. Решение. Обозначим на рисунке силы, действующие на блок и груз. На блок действуют сила тяжести сила реакции N опо- ры и сила натяжения Т нити. На груз действуют сила тяжести и сила натяжения Т'. Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось У для груза запишем: т^а = m^g ~ Т. (1) Согласно основному закону динамики вращательного движения для блока запишем: /8 = Тг. (2) т Момент инерции блока I = —^—. Связь углового и линейного ускорений а = гг. Так как по условию задачи нить невесома, то Т = Т'. Преобразуем уравнение (2): т^г‘ - = Тг, г тогда = Т. Подставив это выражение в уравнение (1), получим ГП2& ТПо + а = mg. Окончательно а = ГП2 т-у ~2 Задача 2. Скамья Жуковского радиусом 1 м со стоящим в центре человеком вращается, делая 2 об/с. Человек переходит на край скамьи. Определите изменение угловой скорости вращения скамьи. Масса человека 50 кг, момент инерции скамьи 30 кг • м^. Решение. Так как внешние силы — сила тяжести и сила реакции опоры, направленные параллельно оси вращения, не могут изменить момент импульса системы тел «скамья—человек», то согласно закону сохранения импульса (1) Когда человек находится в центре скамьи, то момент инерции системы равен только моменту инерции скамьи: = 1^^. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ После того как человек перешёл на край скамьи, момент инерции системы стал равен /g = /^к пгг^. Угловая скорость связана с числом оборотов в секунду соотношением (Oj = 2пп. Подставив найденные выражения в уравнение (1), получим /^„2лл + mr^)(i)2. Тогда cog = .2 • /ск + тг‘ Изменение угловой скорости Og " = 2ktiy + mr'^ 3,9 рад/с. Задача 3. На наклонную плоскость вкатывается колесо, двигавшееся по горизонтальной поверхности со скоростью 4 м/с. Вся масса колеса сосредоточена в ободе. Определите максимальную высоту, на которую поднимется колесо. Работой силы трения можно пренебречь. Решение. Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии так, как показано на рисунке 6.13. Учтём, что момент инерции колеса-обруча I = тВ,^, а угловая скорость вращения 03 = v/R. Механическая энергия колеса на горизонтальной поверхности равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений колеса: Е, = Е = mv 2 /(0^ 2 + — = = m »»2 На максимальной высоте механическая энергия равна потенциальной энергии £g = mgh. Согласно закону сохранения механической энергии получим Е^ = £g, или mv^ = mgh, откуда h = v^/g = 1,6 м. Задача 4. Сплошной цилиндр раскрутили до угловой скорости оз и положили на пол к стенке. Коэффициент трения между стенкой, полом и цилиндром р, радиус цилиндра R. Определите, сколько оборотов сделает цилиндр до остановки. Решение. Решаем задачу, используя теорему об изменении кинетической энергии. При этом учтём, что ось вращения цилиндра неподвижна. момент инерции цилиндра относительно этой оси ра- г mR^ вен I = —соответственно кинетическая энергия „ /оз^ тК^аз^ цилиндра вначале равна = —-—. Изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ сил, действующих на него: ZA,. На цилиндр (рис. 6.14) действуют силы тяжести т^, реакции опоры N^, iVg и силы трения P^pg. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Так как перемещается относительно стенок угла только точка приложения сил трения, то работу совершают только силы трения. В связи с этим справедливо уравнение „2 2 О - (1) Работы сил трения равны A^pi = -F^y2iiRrr, App2 = где n — чис- ло полных оборотов цилиндра до остановки, а силы трения определяются силами реакции опоры стенок на цилиндр: F^^^ ^ 1^^2' Найдём силы реакции опоры. По условию задачи цилиндр только вращается, его центр тяжести не движется, следовательно, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю: тТ + + N2 + + F^2 " 0. В проекциях на оси ОХ и OY имеем ^тр1 -N2 = 0; (2) + ^тр2 - ntg = 0. (3) Подставив в уравнения (2) и (3) выражения для сил трения, получим N2 = 0; (4) N■1 + pATg - mg = 0. (5) Решая систему уравнений (4) и (5), найдём силы реакции опоры: _ mg ^mg 1 1 J. ..2 ’ лг, = 1 + ц No = 1 + Подставив найденные выражения в уравнение (1), имеем mR^d)^ mg ^ ^ ^ —4— ^ + р). (о2Я(1 + р2) Тогда число оборотов до остановки цилиндра п = 8яр^{1 + р) ‘ Задачи для самостоятельного решения 1. На блок радиусом 10 см и массой 1 кг по касательной действует сила 6 Н. Определите, через какой промежуток времени скорость блока станет равной 5 рад/с. 2. На шарнире в горизонтальном положении удерживают однородный стержень длиной 60 см и массой 1 кг (рис. 6.15). Стержень отпускают, и он начинает вращение. Определите максимальную линейную скорость стержня в тот момент, когда он проходит положение равновесия. Какая точка стержня будет двигаться с этой скоростью? Момент инерции стержня I = тЬ^/2. Рис. 6.15 Повторите материал главы б по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин, характеризующих вращательное движение твёрдого тела, и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. СТАТИКА ГЛАВА 7 РАВНОВЕСИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДЫХ ТЕЛ РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ Вспомните, что такое момент силы. При каких условиях тело находится в покое? Если тело находится в покое относительно выбранной системы отсчёта, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются. Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчёт, считая тело абсолютно твёрдым. Для краткости абсолютно твёрдое тело будем называть твёрдым телом или просто телом. Изучив условия равновесия твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации ГВспомните определение абсолют-можно не учитывать. I но твёрдого тела. F Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой. В статике учитываются размеры и форма тел, в этом случае существенным является не только значение сил, но и положение точек их приложения. Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьём мысленно всё тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Как обычно, назовём силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, внутренними (рис. 7.1). Так, сила F^ 2 — это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же Eg д действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относят- 1 * ся также силы F, 1.3 и ^^3.1. ^2.3 и Eg 2- Очевидно, что СТАТИКА S Статика - частный случай динаЛ геометрическая сумма внутрен- мики, так как покой тел, когда на равна нулю, так как со- них действуют силы, есть частный случай гласно третьему закону Ньютона ^движения (D-- 0). ________________J „ т. д. На каждый элемент в общем случае может действовать несколько внешних сил. Под F2, и т. д. будем понимать все внешние силы, приложенные соответственно к элементам 1, 2, 3, ... . Точно так же через F/, F/ и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 1, 2, 3, ... соответственно (эти F2 = + силы не показаны на рисунке), т. е. F^' = Fjg + -f’ls + + F22 + ... , F^ = F31 -t- F22 + ... и т. д. Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать: _ = о, + Я' = о, ^ = 0. (7.1) Каждое из этих трёх уравнений выражает условие равновесия элемента твёрдого тела. Первое условие равновесия твёрдого тела. Выясним, каким условиям должны удовлетворять внешние силы, приложенные к твёрдому телу, чтобы оно находилось в равновесии. Для этого сложим уравнения (7.1): (-^1 + -^2 + -^3 + •••) + (^1 ^2 + -^3* + •••) ^ 0- В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во вторых — векторная сумма всех внутренних сил, действующих на элементы этого тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Поэтому в левой части последнего равенства останется только геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу: = 0. (7.2) ^1 + -^2 + -^3 + В случае абсолютно твёрдого тела условие (7.2) называют первым условием его равновесия. Оно является необходимым, но не является достаточным. Итак, если твердое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.* Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать: ^1х + ^2х + ^Зх + ••• = 0. (7.3) Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси OY и OZ. СТАТИКА Второе условие равновесия твёрдого тела. Убедимся, что условие (7.2) является необходимым, но недостаточным для равновесия твёрдого тела. Приложим к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю; F + {-F ) = 0. Но доска тем не менее будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 7.3). Какое же ещё условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии? Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Найдём, например, условие равновесия стержня, шарнирно закреплённого на горизонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики основной школы, представляет собой рычаг первого рода. Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы F^ и ^2. Кроме сил Fj и i^, на рычаг действует направленная вертикально вверх сила нормальной реакции Fg со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трёх сил равна нулю: F^ -f- Fg -f Fg = 0. Рис /.3 Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол а. 1 Точки приложения сил F^ и Fg пройдут пути Sj = ВВ^ и Sg = CCj (дуги BBj и CCj при малых В F 1^ О) ж Рис. 7.4 углах а можно считать прямолинейными отрезками). Работа Aj = F^Sj силы F^ положительна, потому что точка В перемещается по направлению действия силы, а работа Ад = -FgSg силы Fg отрицательна, поскольку точка С движется в сторону, противоположную направлению силы Fg. Сила Fg работы не совершает, так как точка её приложения не перемещается. Пройденные пути Sj и Sg можно выразить через угол поворота рычага а, измеренный в радианах: s, = а|ВО| и Sg ^ а|СО|. Учитывая это, перепишем выражения для работы так: Ai = F,a|BO|, (7.4) Ag = -FgalCOl. Радиусы ВО и СО дуг окружно стей, описываемых точками прило жения сил Fj и Fg, являются перпен- дикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил Обсудите с одноклассниками примеры, показанные на рисунках 7.2 и 7.3. Рассмотрите силы, действующие на отдельные элементы доски и руля. СТАТИКА Как вы уже знаете, плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силь^ Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда \ВО\ = — плечо силы Fj, а |СО| = с?2 — плечо силы Fg. При этом выражения (7.4) примут вид A^ = F^ad^, А2 = -Fgttdg. (7.5) Из формул (7.5) видно, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде Aj = М^а, Ag = Mgtt, (7.6) а полную работу внешних сил можно выразить формулой А = А^ + Az = + Мз)а. (7.7) Так как момент силы F^ положителен и равен = F^d^ (см. рис. 7.4), а момент силы Fg отрицателен и равен Mg = -Fgdg» то для работы А можно записать выражение А - (М, - iM^Da. Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершать работу, т. е. в этом случае А О и соответственно М^ -I- Mg ^ 0. р--------------------------------- Если работа внешних сил рав- Приведите примеры рычагов пер-вого и второго рода. Изменится ли вывод условия равновесия, j9CBH мы используем рычаг второго рода*^ на нулю, то кинетическая энергия тела не изменяется (остаётся равной нулю) и тело остаётся неподвижным. Тогда Ml + Mg = 0. (7.8) ЕВЕ0 Уравнение (7.8) и есть второе условие равновесия твёрдого тела. При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю. ' . .................................... Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твёрдого тела следующие: I ^2 -^3 ~ I Ml + Mg -Ь Мз + ... = 0. (7.9) Второе условие равновесия можно вывести из основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела. Согласно этому урав- нению 8 = —, где М — суммарный момент сил, действующих на тело, М = Ml -t- Mg -ь Мз + ... , е — угловое ускорение. Если твёрдое тело неподвижно, то 8 = 0, и, следовательно, М = 0. Таким образом, второе условие равновесия имеет вид М = Mi + Mg ч- Mg + ... = 0. СТАТИКА /если тело не абсолютно твёрдое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю. Приложим, например, к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через У^юбую точку шнура.________________________________________________ ^ II Условия равновесия твёрдого тела I 1. Вспомните, что называется центром тяжести тела или системы тел. 2. Что называют моментом силы? 3. Какие условия необходимы и достаточны для равновесия твёрдого тела? А1. При выполнении лабораторной работы ученик установил наклонную плоскость под углом 60° к поверхности стола. Длина плоскости равна 0,6 м. Момент силы тяжести бруска массой 0,1 кг относительно точки О при прохождении им середины наклонной плоскости равен 1) 0,15 Н ■ м 2) 0,30 Н • м 3) 0,45 Н • м 4) 0,60 Н • м Л2. На рисунке схематически изображена лестница АС, опирающаяся на стену. Чему равен момент силы тяжести, действующей на лестницу, относительно точки С? 1) о 2) F^- OD 3) • АС 4) F^ ■ DC АЗ. На рисунке схематически изображена лестница АС, опирающаяся на стену. Чему равен момент силы трения, действующей на лестницу, относительно точки £)? 1) о 2) F^ • ОС 3) F,, • АО 4) • CD СТАТИКА ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ» При решении задач статики надо использовать условия равновесия (7.9). Причём от векторного уравнения для суммы сил следует перейти к проекциям сил на координатные оси. Иногда удобнее решать задачу, используя геометрическое правило сложения векторов. При равновесии многоугольник сил должен быть замкнутым, так как сумма сил равна нулю (подобный пример будет рассмотрен ниже). При записи для правила моментов сил надо подумать, как выбрать ось, чтобы плечи сил определялись наиболее просто и в сумме моментов сил содержалось меньше слагаемых. В задачах часто рассматриваются стержни, которые скрепляются шарнирно. При этом имеется в виду, что трение в шарнире отсутствует. Валача 1. Груз висит на двух тросах (рис. 7.5, а). Угол АСВ равен 120°. Сила тяжести, действующая на груз, равна 600 Н. Определите силы натяжения тросов АС и СВ. Решение. Силы натяжения тросов обозначим через Tj и Tg. Эти силы направлены вдоль тросов от точки С (рис. 7.5, б). Кроме этих сил, на точку С действует сила тяжести Точка С находится в равновесии. Следовательно, сумма сил, действующих на неё, равна нулю: Т, -f Tg + rrig* = 0. Оси координат выберем так, как показано на рисунке 7.5, в. При равновесии сумма проекций всех сил на оси координат равна нулю: ^1г/ + Т'о или = о, Т^совЗО" = ^ cos30° б) mg 2У -ь mgy = о. Отсюда Т, = mg = 0. 690 Н, ^2 = 7\cos60° ~ 345 Н. -^'^1ача Дверь люка АО, которая может поворачиваться в шарнире О без трения, удерживается в горизонтальном положении верёвкой (рис. 7.6, а). Определите натяжение верёвки и силу реакции шарнира, если верёвка образует с дверью угол а = 60°. Дверь однородна и на неё действует сила тяжести 300 Н. Решение. На дверь люка действуют три силы (рис. 7.6, б): сила тяжести т^, приложенная к середине двери в точке D, сила натяжения Т со стороны верёвки и сила реакции N со стороны шарнира. Выберем оси координат так, как показано на рисунке 7.6, б. Поскольку дверь находится в равновесии, то сумма моментов всех сил относительно, например, шарнира равна нулю: Mj + М + Mj = 0. СТАТИКА Здесь М,, М, Mg — моменты сил Т, и N. Найдём плечи этих сил, обозначив |АО| = I. Тогда OD = 1/2 — плечо силы СО = AOsina = = Zsina — плечо силы Т . Плечо силы N равно нулю, так как она приложена в шарнире. Значит, Mj = -rZsina, М = rng^. Mg = 0. Теперь запишем правило моментов сил, учитывая знаки этих моментов: -TZsina + + 0 = 0. Отсюда находим силу натяжения верёвки: rng 1 Т = 173 Н. 2 sin а Для нахождения силы реакции шарнира воспользуемся первым условием равновесия: + Г + = 0. Запишем это векторное уравнение в проекциях на координатные оси: -Т^ + Ту + Ny - mg = о, ftlg или = Tcosa, Ny = mg - Tsina = Отсюда = 86,5 H; N= 150 H. Модуль силы N равен N = N = 173 H. Угол, который образует сила N с координатной осью OY: Nu cos(3 = р = 30°. Задача 3. Лестница прислонена к стене. При каком минимальном угле наклона к полу она не будет падать? Коэффициенты трения между лестницей и стеной и между лестницей и полом соответственно равны Pi и Р2- Решение. На лестницу действуют следующие силы (рис. 7.7): тяжести mg*, нормальной реакции со стороны стены ZSTj и пола ATg, трения F^pi и Первое условие равновесия для лестницы имеет вид (1) mg + ZVi + ATg + F^pi + F^pg = 0. Для записи правила моментов выберем ось вращения, проходящую через точку С, и запишем: mg^cosa - A^iZsina - F^^Lcosa = 0. СТАТИКА Из последнего уравнения следует: tga = mg - F. тр1 N, Выразим силы и через силу тяжести. Для этого запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат: на ось Х\ = О, на ось У: N2 ~ mg = 0. По условию задачи требуется найти минимальное значение утла поэтому берём максимальные значения сил трения, т. е. F^j = и F^g ^ И2^^ 1 - Ц1Р2 Тогда = 2 + и — 2ц 2 Задачи для самостоятельного решения 1. Для запуска планера применяют резиновый канат. Определите силу, с которой планер действует на канат, в тот момент, когда две половины каната составляют между собой угол 90°, а каждая из них растянута силой 500 Н. 2. К концу рукоятки гаечного ключа длиной 20 см приложена сила 50 Н под углом 60° по отношению к рукоятке ключа. Определите момент этой силы. 3. Человек, открывая дверь, прикладывает силу 4 Н, которая направлена под углом 60° к плоскости двери в горизонтальном направлении. Момент силы равен 3,5 Н • м. Определите расстояние от ручки до оси вращения двери. 4. Труба массой 14 кг лежит на земле. Какую силу надо приложить к одному из концов трубы, чтобы его слегка приподнять? 5. На трапеции сидит гимнаст массой 60 кг. Он расположен на расстоянии 1/3 её длины, считая от одного из её концов. Определите натяжение тросов, на которых подвешена трапеция. Повторите материал главы у по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие основные закономерности. н «Статика — частный случай динамики» 1^21* Различные виды равновесия тел. Эксперименты, показывающие равно-уДЛ весне тел. Гимнаст на канате. 2. Центр тяжести и центр масс. Экспериментальное определение центра тяжести. «Исследование условий равновесия плавающего тела» МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПОЧЕМУ ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ИЗУЧАЮТСЯ В МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ Дадим ряд определений и понятий, которые в дальнейшем будем использовать и уточнять. Сформулируем основные задачи молекулярной физики. Макроскопические тела. Мы живём в мире макроскопических тел. Наше тело — это тоже макроскопическое тело. EE&&QSEI в физике макроскопическими телами называются тела, состоящие из огромного числа молекул. В механике Ньютона имеют дело с механическим движением макроскопических тел — перемещением одних тел относительно других в \jipocTpaHCTBe с течением времени. ^ Газ в баллоне, вода в стакане, песчинка, камень, стальной стержень, земной шар — всё это примеры макроскопических тел. Механика и механическое движение. Механика изучает движение тел, но она не в состоянии объяснить, почему существуют твёрдые, жидкие и газообразные тела и почему эти тела могут переходить из одного состояния в другое. Исследование внутренних свойств тел не входит в задачу механики. В механике говорят о силах как причинах изменения скоростей тел, но природа этих сил, их происхождение не выясняются. Остаётся непонятным, почему при сжатии тел появляются силы упругости, почему возникает трение. На многие, очень многие вопросы механика Ньютона ответов не даёт. Это хорошо понимал и сам Ньютон. «я не знаю, чем я кажусь миру; мне самому кажется, что я был только маль-чиком, играющим на берегу моря и развлекающимся тем, что от времени до времени находил более гладкие камушки или более красивую раковину, чем обыкновенно, в то время как Великий океан истины лежал передо мной совершенно нераз-У^аданным». И. Ньютон._______________________________________________^ Тепловые явления. Явления, связанные с нагреванием или охлаждением тел, с изменением их температуры, называются тепловыми. Механическое движение не вызывает в теле каких-либо существенных изменений, если не происходит катастрофических столкновений. Но нагревание или охлаждение тела способно изменить его до неузнаваемости. Сильно нагрев прозрачную, но всё же видимую воду, мы превратим её в невидимый пар. Сильное охлаждение превратит воду в кусок льда. Если вдуматься, то эти явления загадочны и удивительны, они не вызывают нашего изумления лишь потому, что мы привыкли к ним с детства. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Надо найти законы, которые могли бы объяснить изменения в телах, когда сами тела неподвижны и когда с точки зрения механики с ними не происходит ничего. Эти законы описывают особый вид движения материи — тепловое движение, присущее всем макроскопическим телам независимо от того, перемещаются они в пространстве или нет. ? Тепловое движение молекул. Все тела состоят из атомов и молекул. Тепловые явления происходят внутри тел и всецело определяются движением этих частиц. Движение атомов и молекул мало напоминает движение собаки или автомобиля. Атомы и молекулы вещества совершают беспорядочное движение, в котором трудно усмотреть следы какого-либо порядка и регулярности. Беспорядочное движение молекул называют тепловым движением. Движение молекул беспорядочно из-за того, что число их в телах, которые нас окружают, необозримо велико. Каждая молекула беспрестанно меняет свою скорость при столкновениях с другими молекулами. В результате траектория её движения оказывается чрезвычайно запутанной, само движение — хаотичным, несравненно более хаотичным, чем движение муравьёв в разорённом муравейнике. Беспорядочное движение огромного числа молекул качественно отличается от упорядоченного механического перемещения тел. Оно представляет собой особый вид движения материи со своими особыми свойствами. Об этих CBoiiCTBax и пойдёт речь в дальнейшем. Значение тепловых явлений. Привычный облик нашей планеты существует и может существовать только в довольно узком интервале температур. Если бы температура превысила 100 °С, то на Земле при обычном атмосферном давлении не было бы рек, морей и океанов, не было бы воды вообще. Вся вода превратилась бы в пар. А при понижении температуры на несколько десятков градусов океаны превратились бы в громадные ледники. Даже изменение температуры лишь на 20—30 °С при смене времён года меняет на средних широтах облик этого участка Земли. С наступлением весны начинается пробуждение природы. Леса одеваются листвой, начинают зеленеть луга. Зимой же жизнь растений замирает. Толстый слой снега покрывает поверхность Земли. Температура животных и человека поддерживается внутренними механизмами терморегуляции на строго определённом уровне. При этом интервал возможных значений температуры в данном случае очень мал. Достаточно температуре повыситься на несколько десятых градуса, как мы уже чувствуем себя нездоровыми. Изменение же температуры на несколько градусов ведёт к гибели организмов. Поэтому неудивительно, что тепловые явления привлекали внимание людей с древнейших времён. Умение добывать и поддерживать огонь сделало человека относительно независимым от колебаний температуры окружающей среды. Это было одним из величайших изобретений человечества. Изменение температуры оказывает влияние на все свойства тел. Так, при нагревании или охлаждении изменяются размеры твёрдых тел и объёмы МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ жидкостей. Значительно меняются механические свойства тел, например упругость. Кусок резиновой трубки уцелеет, если ударить по нему молотком. Но при охлаждении до температуры ниже -100 °С резина становится хрупкой, как стекло, и от лёгкого удара резиновая трубка разбивается на мелкие кусочки. Лишь после нагревания резина вновь обретает свои упругие свойства. Кроме механических свойств, при изменении температуры меняются и другие свойства тел, например сопротивление проводника, магнитные свойства, цвет тела и др. Так, если сильно нагреть постоянный магнит, то он перестанет притягивать железные предметы, остывающие угли изменяют цвет от голубого до жёлтого, постепенно становясь красными. Все перечисленные выше и многие другие тепловые явления подчиняются определённым законам. Открытие законов, определяющих тепловые явления, позволяет эффективно применять эти явления на практике и использовать в технике. Современные тепловые двигатели, установки для сжижения газов, холодильные аппараты и многие другие устройства конструируют на основе этих законов. Молекулярно-кинетическая теория. Ещё философы древности догадывались о том, что теплота — это вид внутреннего движения. Но только в XVIII в. начала развиваться последовательная молекулярно-кинетическая теория. М. В. Ломоносов (1711 — 1765) Молекулярно-кинетическая теория даёт объяснение свойств макроскопических тел и тепловых процессов, происходящих в них, на основе представлений о JOM, что все тела СОСТОЯТ из отдельных беспорядочно движущихся частиц. Большой вклад в развитие молекулярно-кинетической теории был сделан М. В. Ломоносовым. Он рассматривал теплоту как вращательное движение частиц тела. Важность этой теории для объяснения многих явлений природы трудно переоценить. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ГЛАВА 8 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ §53 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. РАЗМЕРЫ МОЛЕКУЛ Какие физические объекты (системы) изучает молекулярная физика? Как различить механические и тепловые явления? Приведите примеры тепловых явлений, происходящих в классе, дома, на улице. В основе молекулярно-кинетической теории строения вещества лежат три утверждения: 1) вещество состоит из частиц; 2) эти частицы беспорядочно движутся; 3) частицы взаимодействуют друг с другом. Каждое утверждение строго доказано с помощью опытов. Свойства и поведение всех без исключения тел определяются движением взаимодействующих друг с другом частиц: молекул, атомов или ещё более малых образований — элементарных частиц. Оценка размеров молекул. Для полной уверенности в существовании молекул надо определить их размеры. Проще всего это сделать, наблюдая расплывание капельки масла, например оливкового, по поверхности воды. Масло никогда не займёт всю поверхность, если мы возьмём достаточно широкий сосуд (рис. 8.1). Нельзя заставить капельку объёмом 1 мм'^ расплыться так, чтобы она заняла площадь поверхности более 0,6 м^. Предположим, _______________ что при растекании масла по максимальной площади оно образует слой Рис. 8-1 Обсудите с одноклассником, можно ли доказать первое утверждение, проведя опыт по окрашиванию воды кристалликом марганцовокислого калия? Подумайте, о чём свидетельствует явление распространения запахов ароматических веществ в помещении. Подумайте, как экспериментально доказать, что частицы вещества притягиваются и отталкиваются. v: d = толщиной всего лишь в одну молекулу — «мономолекулярный слой». Толщину этого слоя нетрудно определить и тем самым оценить размеры молекулы оливкового масла. Объём V слоя масла равен произведению его площади поверхности S на толщину d слоя, т. е. F = Sd. Следовательно, линейный размер молекулы оливкового масла равен: 0,001 см^ 1,7 ' 10"^ см. Рис 8.2 6000 см^ Современные приборы позволяют увидеть и даже измерить отдельные атомы и молекулы. На рисунке 8.2 показана микрофотография поверхности кремниевой пластины, где бугорки — это отдельные атомы кремния. Подобные изображения впервые научились получать в 1981 г. с помощью сложных туннельных микроскопов. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Размеры молекул, в том числе и оливкового масла, больше размеров атомов. Диаметр любого атома примерно равен 10~® см. Эти размеры так малы, что их трудно себе представить. В таких случаях прибегают к помощи сравнений. Вот одно из них. Если пальцы сжать в кулак и увеличить его до размеров земного шара, то атом при том же увеличении станет размером с кулак. Число молекул. При очень малых размерах молекул число их в любом макроскопическом теле огромно. Подсчитаем примерное число молекул в капле воды массой 1 г и, следовательно, объёмом 1 см^. Диаметр молекулы воды равен примерно 3 ' 10~^ см. Считая, что каждая молекула воды при плотной упаковке молекул занимает объём 4-8 cm)"" можно наити число (3 • 10- молекул в капле, разделив объём капли (1 см^) на объём, приходящийся на одну молекулу: При каждом вдохе вы захваты-ваете столько молекул, что если бы все они после выдоха равномерно распределились в атмосфере Земли, то каждый житель планеты при вдохе получил бы две-три молекулы, побывавшие в ваших лёгких. N = 1 см^ ^3,7 1022. атомов очень малы. Мы вы- (3 • 10-8)3 Масса молекул. Массы отдельных молекул и числили, что в 1 г воды содержится 3,7 • 10^^ молекул. Следовательно, масса одной молекулы воды (Н2О) равна: "гонго = “ 2,7 ■ г. (8.1) 3,7 • 1022 Массу такого же порядка имеют молекулы других веществ, исключая огромные молекулы органических веществ; например, белки имеют массу, в сотни тысяч раз большую, чем масса отдельных атомов. Но всё равно их массы в макроскопических масштабах (граммах и килограммах) чрезвычайно малы. Относительная молекулярная масса. Так как массы молекул очень малы, удобно использовать в расчётах не абсолютные значения масс, а относительные. По международному соглашению массы всех атомов и молекул сравнивают с ^ массы атома углерода (так называемая углеродная шкала атомных масс). 1. Относительной молекулярной (или атомной) массой вещества называют отношение массы молекулы (или атома) данного вещества к массы mQc атома углерода: „ М, - (8.2) Относительные атомные массы всех химических элементов точно измерены. Складывая относительные атомные массы элементов, входящих в состав молекулы вещества, можно вычислить относительную молекулярную массу вещества. Например, относительная молекулярная масса углекислого газа СО2 приближённо равна 44, так как относительная атом- МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ная масса углерода практически равна 12, а кислорода примерно 16: 12 + + 2 ■ 16 = 44. Сравнение атомов и молекул с — массы атома углерода было принято в 1961 г. Главная причина такого выбора состоит в том, что углерод входит в огромное число различных химических соединений. Множитель ^ введён для того, чтобы от-чносительные массы атомов были близки к целым числам. Откройте в электронном прило-\0 жении таблицу Менделеева и посчитайте относительную молекулярную массу некоторых известных вам У^молекул.____________________________ Количество вещества и постоянная Авогадро. Количество вещества наиболее естественно было бы измерять числом молекул или атомов в теле. Но число молекул в любом макроскопическом теле так велико, что в расчётах используют не абсолютное число молекул, а относительное их число. В Международной системе единиц количество вещества выражают в молях. Один моль — это количество вещества, в котором содержится столько же молекул или атомов, сколько атомов содержится в углероде массой 0,012 кг. Значит, в одном моле любого вещества содержится одно и то же число атомов или молекул. Число атомов или молекул, содержащихся в веществе, взятом в количестве 1 моль, обозначают ЛГд и называют постоянной Авогадро в честь итальянского учёного (XIX в.). Для определения постоянной Авогадро надо найти массу одного атома углерода. Приближённая оценка массы может быть произведена так, как это было сделано выше для массы молекулы воды (наиболее точные методы основаны на отклонении пучков ионов электромагнитным полем). Для массы атома углерода измерения дают: mgc = 1,995 • 10~^® кг. Постоянную Авогадро Nможно определить, разделив массу углерода, взятого в количестве одного моля, на массу одного атома углерода: 1 А/д = 0,012 кг моль т ^ = 0,012 ос моль 1,995 • 10 кг 6,02 • 10^^ моль -1 6,02 10^^ моль ^ (8.3) Наименование моль~^ указывает на то, что Ад — число атомов в одном моле любого вещества. Если, например, количество вещества v = 2,5 моль, то число молекул в теле Ад = уАд = 1,5 • Отсюда видно, что iR количество вещества равно отношению числа N молекул в данном теле к постоянной Авогадро Ад, т. е. .к числу молекул в одном моле, вещества: _ V А/Ад. (8.4) МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Подумайте, можно ли по числу молей сравнивать массы двух разных веществ. Огромное числовое значение постоянной Авогадро показывает, насколько малы микроскопические масштабы по сравнению с макроскопическими. Тело, обладающее количеством вещества 1 моль, имеет привычные для нас макроскопические размеры и массу порядка нескольких десятков граммов. Молярная масса. Наряду с относительной молекулярной массой в физике и химии широко используют понятие молярная масса. шшш Молярной массой М вещества называют массу вещества, взятого в количестве 1 моль. Согласно такому определению молярная масса вещества равна произведению массы молекулы на постоянную Авогадро: (8.5) М = I Масса т любого количества вещества равна произведению массы одной молекулы на число молекул в теле: т = niQN. (8.6) Заменив Ад и А в формуле (8.4) их выражениями из формул (8.5) и (8.6), получим ^ ^ ■diMMftP Количество вещества равно отношению массы вещества к его молярной массе. 1 Именно такое определение количества вещества дано в учебнике химии. Число молекул любого количества вещества массой т и молярной массой М согласно формулам (8.4) и (8.7) равно: А = vAa = Адт /М. (8.8) ^{Молекулярная и молярная массы. Количество вещества 1а_йти штттфшттч 7 I. Какие измерения надо произвести, чтобы оценить размеры молекулы оливкового масла? .i. Если бы атом увеличился до размеров макового зёрнышка (0,1 мм), то размеров какого тела при том же увеличении достигло бы зёрнышко? 3. Перечислите известные вам доказательства существования молекул, не упомянутые в тексте. 4. Чему равна относительная молекулярная масса воды? 5. Заполните таблицу. Основные формулы МКТ Количество вещества (через число частиц) Количество вещества (через массу тела) Масса одной молекулы Концентрация молекул МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ ^ «ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МКТ» При решении большей части задач нужно уметь определять молярные массы веществ. Для этого по известным из таблицы Менделеева относительным атомным массам надо определить относительную молекулярную массу, а затем и молярную массу по формуле М = 10'^ кг/моль, где М — молярная масса, — относительная молекулярная масса. Во многих задачах требуется по известной массе т тела определить количество вещества v или число молекул (атомов) N в нём. Для этого используют формулы v = ^ и N = • Постоянную Авогадро лучше запомнить. М' м Массы отдельных молекул определяются по формуле fn^y = В некоторых задачах массу вещества нужно выразить через его плотность р и объём V. Задача 1. Определите молярную массу воды и затем массу одной молекулы воды. Решение. Относительная атомная масса водорода равна 1,00797, а кислорода равно 15,9994. Химическая формула воды — Н2О. Следовательно, относительная молекулярная масса воды равна: М, = 2 ’ 1,00797 + 15,9994 = 18,01534 ~ 18. Молярная масса воды М ~ 10'^ • 18 кг/моль = 0,018 кг/моль. В любом веществе, взятом в количестве 1 моль, содержится Ад молекул, где Ад — число Авогадро; Ад = 6,02 • 10^^. Тогда масса одной молекулы М 0,018 кг/моль воды /По = Ал 6,02 • 10^^ моль ^ 3 • 10-26 кг. Задача 2. Определите количество вещества и число молекул, содержащихся в углекислом газе массой 1 кг. Решение. Так как молярная масса углекислого газа М = 0,044 кг/моль, т 1 кг * моль то количество вещества v = М 0,044 23 моль. Число молекул А = ^Ад = 23 • 6,02 • 1,4 • Задача 3. Из блюдца испаряется вода массой 50 г за 4 сут. Определите среднюю скорость испарения — число молекул воды, вылетающих из блюдца за 1 с. Решение. Молекула воды Н2О состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода. Молярная масса воды М = 0,018 кг/моль. Число молекул воды в блюдце А = -^Ад . Средняя скорость испарения ДА А хг 1 . о -1 -^■-7 -М^а7-4,8-10‘»с >. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Задача 4. Определите толщину серебряного покрытия пластинки площадью 1 см^, если оно содержит серебро в количестве 0,02 моль. Плотность серебра равна 1,05 • 10^ кг/м^. Решение. Объём слоя серебра, покрывающего пластинку, V = Sd. Масса серебряного покрытия равна т = pSd = vM. Молярная масса серебра М = 0,108 кг/моль. , vM „ Тогда d = = 2 мм. Задачи для самостоятельного решения 1. Какую площадь может занять капля оливкового масла объёмом 0,02 см^ при расплывании её на поверхности воды? 2. Определите молярные массы водорода и гелия. 3. Во сколько раз число атомов в углероде массой 12 кг превышает число молекул в кислороде массой 16 кг? 4. Чему равно количество вещества (в молях), содержащегося в воде массой 1 г? 5. Молярная масса азота равна 0,028 кг/моль. Чему равна масса молекулы азота? 6. Определите число атомов в меди объёмом 1 м^. Молярная масса меди М = 0,0635 кг/моль, её плотность р = 9000 кг/м^. 7. Плотность алмаза 3500 кг/м^. Какой объём займут 10^^ атомов этого вещества? 8. Определите число атомных слоёв серебряного покрытия толщиной 15 мкм. Плотность серебра 1,05 • 10^ кг/м^. С'1 На поверхность воды капают раствор подсолнечного масла в бензине. Сначала на поверхности воды образуется круглое радужное пятно, затем бензин испаряется, пятно исчезает. Посыпание поверхности воды тальком через тонкое ситечко позволяет обнаружить границы невидимого до того масляного пятна диаметром 20 см. Оцените по этим данным размер молекулы масла, если концентрация масла в бензине 0,1 % (по объёму), а объём капли бензина 0,05 мл. Плотность бензина и масла примерно равны. С2. Определите массу золотого слитка, содержащего то же количество атомов, что и железный брусок массой 0,5 кг. Молярные массы золота и железа определите по периодической таблице Менделеева, СЗ. Определите объём золотого слитка, содержащего то же количество атомов, что и железный брусок объёмом 1 дм^. Плотность золота р, = 19,3 • 10'^ кг/м^, плотность железа р2 = 7,8 • 10^ кг/м^. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ § 55^ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Вспомните из курса физики основной школы явление диффузии. Чем может быть объяснено это явление? Ранее вы узнали, что такое диффузия, т. е. проникновение молекул одного вещества в межмолекулярное пространство другого вещества. Это явление определяется беспорядочным движением молекул. Этим можно объяснить, например, тот факт, что объём смеси воды и спирта меньше объёма составляющих её компонентов- Но самое очевидное доказательство движения молекул можно получить, наблюдая в микроскоп мельчайшие, взвешенные в воде частицы какого-либо твёрдого вещества. Эти частицы совершают беспорядочное движение, которое называют броуновским. Вырежите из бумаги кружочки раз-ных диаметров и покажите, что пло1дадь, которую занимают кружочки, расположенные вперемешку, меньше суммы пло1цадей, занимаемых этими У^кружочками в отдельности.__________^ Броуновское движение кости (или газе) частиц. это тепловое движение взвешенных в жид- Наблюдение броуновского движения. Английский ботаник Р. Броун (1773—1858) впервые наблюдал это явление в 1827 г., рассматривая в микроскоп взвешенные в воде споры плауна. Позже он рассматривал и другие мелкие частицы, в том числе частички камня из египетских пирамид. Сейчас для наблюдения броуновского движения используют частички краски гуммигут, которая нерастворима в воде. Эти частички совершают беспорядочное движение. Самым поразительным и непривычным для нас является то, что это движение никогда не прекращается. Мы ведь привыкли к тому, что любое движущееся тело рано или поздно останавливается. Броун вначале думал, что споры плауна проявляют признаки жизни. Броуновское движение — тепловое движение, и оно не может прекратиться. С увеличением температуры интенсивность его растёт. - На рисунке 8.3 приведены траектории движения броуновских частиц. Положения частиц, отмеченные точками, определены через равные промежутки времени — 30 с. Эти точки соединены прямыми линиями. В действительности траектория частиц гораздо сложнее. Проведите эксперимент по определению скорости распространения запаха^ духов в вашем классе. Можно ли будет считать эту скорость скоростью дви-^ жения молекул пахучего вещества? Объяснение броуновского движения. Объяснить броуновское движение можно только на основе молекулярно-кинетической теории. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Рис. 8.3 /^Немногие явления способны так увлечь наблюдателя, как броуновское дви-жение. Здесь наблюдателю позволяется заглянуть за кулисы того, что совершается в природе. Перед ним открывается новый мир — безостановочная сутолока огромного числа частиц. Быстро пролетают в поле зрения микроскопа мельчайшие частицы, почти мгновенно меняя направление движения. Медленнее продвигаются более крупные частицы, но и они постоянно меняют направление движения. Большие частицы практически толкутся на месте. Их выступы явно показывают вращение частиц вокруг своей оси, которая постоянно меняет направление в пространстве. Нигде нет и следа системы или порядка. Господство слепого случая — вот какое сильное, пода-У^ляющее впечатление производит эта картина на наблюдателя». R Поль (1884—1976)^ -Л Причина броуновского движения частицы заключается в том, что удары молекул жидкости о частицу не компенсируют друг друга, ,, На рисунке 8.4 схематически показано положение одной броуновской частицы и ближайших к ней молекул. При беспорядочном движении молекул передаваемые ими броуновской частице импульсы, например слева и справа, неодинаковы. Поэтому отлична от нуля результирующая сила давления молекул жидкости на броуновскую частицу. Эта сила и вызывает изменение движения частицы. /Молекулярно-кинетическая теория броуновского движения была создана в 1905 г. А. Эйнштейном (1879—1955). Построение теории броуновского движения и её экспериментальное подтверждение французским физиком Ж. Перреном окончательно завершили победу молекулярно-кинетической теории. В 1926 г. Ж. Пер-рен получил Нобелевскую премию за исследование структуры вещества. ^ ^ О- Рис 8.4 Опыты Перрена. Идея опытов Перрена состоит в следующем. Известно, что концентрация молекул газа в атмосфере уменьшается с высотой. Если бы не было теплового движения, то все МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ молекулы упали бы на Землю и атмосфера исчезла бы. Однако если бы не было притяжения к Земле, то за счёт теплового движения молекулы покидали бы Землю, так как газ способен к неограниченному расширению. В результате действия этих противоположных факторов устанавливается определённое распределение молекул по высоте, т. е. концентрация молекул довольно быстро уменьшается с высотой. Причём чем больше масса молекул, тем быстрее с высотой убывает их концентрация. Броуновские частицы участвуют в тепловом движении. Так как их взаимодействие пренебрежимо мало, то совокупность этих частиц в газе или жидкости можно рассматривать как идеальный газ из очень тяжёлых молекул. Следовательно, концентрация броуновских частиц в газе или жидкости в поле тяжести Земли должна убывать по тому же закону, что и концентрация молекул газа. Закон этот известен. Перрен с помош;ью микроскопа большого увеличения и малой глубины поля зрения (малой глубины резкости) наблюдал броуновские частицы в очень тонких слоях жидкости. Подсчитывая концентрацию частиц на разных высотах, он нашёл, что эта концентрация убывает с высотой по тому же закону, что и концентрация молекул газа. Отличие в том, что за счёт большой массы броуновских частиц убывание происходит очень быстро. Все эти факты свидетельствуют о правильности теории броуновского движения и о том, что броуновские частицы участвуют в тепловом движении молекул. ^ Подсчёт броуновских частиц на разных высотах позволил Перрону определить постоянную Авогадро совершенно новым методом. Значение этой постоянной совпало с ранее известным. Броуновское движение. Опыты Перрена 0^ 1. Чем определяется скорость распространения ароматических веществ в воз- духе? ® 2. Что является причиной броуновского движения частиц? 3. Можно ли сказать, что движение броуновской частицы — это тепловое движение, аналогичное движению молекул? : Учительница вошла в класс. Ученик, сидящий на последней парте, почувствовал запах её духов через 10 с. Скорость распространения запаха духов в комнате определяется в основном скоростью 1) испарения 3) броуновского движения 2) диффузии 4) конвекционного переноса воздуха Л2. Явление диффузии в жидкостях свидетельствует о том, что молекулы жидкостей 1) движутся хаотично 2) притягиваются друг к другу 3) состоят из атомов 4) колеблются около своих положений равновесия МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ §.56 СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОЛЕКУЛ. СТРОЕНИЕ ГАЗООБРАЗНЫХ, ЖИДКИХ И ТВЁРДЫХ ТЕЛ Подумайте, можно ли объяснить свойства вещества во всех его агрегатных состояниях строением вещества, движением и взаимодействием его частиц. Силы взаимодействия молекул. Молекулы взаимодействуют друг с другом, Без этого взаимодействия не было бы ни твёрдых, ни жидких тел. Доказать существование значительных сил взаимодействия между атомами или молекулами несложно. Попробуйте-ка сломать толстую палку! А ведь она состоит из молекул. Но одни силы притяжения не могут обеспечить существования устойчивых образований из атомов и молекул. На очень малых расстояниях между молекулами обязательно действуют силы отталкивания. Благодаря этому молекулы не проникают друг в друга и куски вещества никогда не сжимаются до размеров порядка размеров одной молекулы. EZSB9 Молекула — это сложная система, состоящая из отдельных заряженных частиц: электронов и атомных ядер. В целом молекулы электрически нейтральны, тем^е менее между ними на малых расстояниях действуют значительные электрические силы; происходит взаимодействие электронов и атомных ядер соседних молекул. Если молекулы находятся на расстояниях, превышающих их размеры в несколько раз, то силы взаимодействия практически не сказываются. На расстояниях, превышающих 2—3 диаметра молекул, действуют силы притяжения. По мере уменьшения расстояния между молекулами сила их взаимного притяжения сначала увеличивается, но одновременно увеличивается и сила отталкивания. При определённом расстоянии Гц сила притяжения становится равной силе отталкивания. Это расстояние считается равным диаметру молекулы. При дальнейшем уменьшении расстояния электронные оболочки атомов начинают перекрываться и быстро увеличивается сила отталкивания. На рисунке 8.5 показаны графики зависимости потенциальной энергии взаимодействия молекул (рис. 8.5, а) и сил притяжения (i) и отталкивания (2) (рис. 8.5, б) от расстояния между молекулами. При г = Tq потенциальная энергия минимальна, сила притяжения равна силе отталкивания. При г > Го сила притяжения больше силы отталкивания; при г < Го сила притяжения меньше силы отталкивания. Молекулярно-кинетш1еская теория даёт возможность понять, почему вещество может находиться в газообразном, жидком и твёрдом состояниях. g g ^.■ЮЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Итак, между молекулами действуют силы притяжения и они участвуют в тепловом движении. Агрегатное состояние вещества определяется тем, какое из этих двух свойств молекул является главным. Газы. В газах расстояние между атомами или молекулами в среднем во много раз больше размеров самих молекул. Например, при атмосферном давлении объём сосуда в десятки тысяч раз превышает объём находящихся в нём молекул. Газы легко сжимаются, при этом уменьшается среднее расстояние между молекулами, но форма молекулы не изменяется. V. Создайте механическую модель взаимодействия молекул. Возьмите два шарика и прикрепите их к концам пружины. Изменяйте расстояние между шариками и понаблюдайте за изменением силы взаимодействия. Сделайте выводы. Газы могут неограниченно расширяться. Они не сохраняют ни формы, ни объёма. Многочисленные удары молекул о стенки сосуда создают давление газа. Молекулы газа с огромными скоростями — сотни метров в секунду — движутся в пространстве. Сталкиваясь, они отскакивают друг от друга в разные стороны подобно бильярдным шарам. Слабые силы притяжения молекул газа не способны удержать их друг возле друга, В газах средняя кинетическая энергия теплового движения молекул больше средней потенциальной энергии их взаимодействия, поэтому часто потенциальной энергией взаимодействия молекул мы можем пренебречь. Жидкости. Молекулы жидкости расположены почти вплотную друг к другу, поэтому молекула жидкости ведёт себя иначе, чем молекула газа. В жидкостях существует так называемый ближний порядок, т. е. упорядоченное расположение молекул сохраняется на расстояниях, равных нескольким молекулярным диаметрам. Молекула колеблется около своего положения равновесия, сталкиваясь с соседними молекулами. Лишь время от времени она совершает очередной «прыжок», попадая в новое положение равновесия. В положении равновесия сила отталкивания равна силе притяжения, т. е. суммарная сила взаимодействия молекулы равна нулю. Характер молекулярного движения в жидкостях, впервые установленный советским физиком Я. И. Френкелем, позволяет понять основные свойства жидкостей. По образному выражению учёного: «...молекулы жидкости ведут кочевой образ жизни...» При этом время оседлой жизни молекулы воды, т. е. время её колебаний около одного определённого положения равновесия при комнатной температуре, равно в среднем 10“^^ с. Время же одного колебания значительно меньше (10'^^— 10"^^ с). С повышением температуры время оседлой жизни молекул уменьшается. Молекулы жидкости находятся непосредственно друг возле друга. При уменьшении объёма силы отталкивания Я И Френкель становятся очень велики. Этим и объясняется малая ежи-(i'894—1952) маемостъ жидкостей. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА TEi 1ЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Жидкости: 1) малосжимаемы; 2) текучи, т. е. не сохраняют своей формы. Объяснить текучесть жидкостей можно так. Внешняя сила заметно не меняет числа перескоков молекул в секунду. Но перескоки молекул из одного оседлого положения в другое происходят преимущественно в направлении действия внешней силы. Вот почему жидкость течёт и принимает форму сосуда. В жидкостях средняя кинетическая энергия теплового движения молекул сравнима со средней потенциальной энергией их взаимодействия. Наличие поверхностного натяжения доказывает, что силы взаимодействия молекул жидкостей существенны, и ими пренебрегать нельзя. Твёрдые тела. Атомы или молекулы твёрдых тел, в отличие от атомов и молекул жидкостей, колеблются около определённых положений равновесия. По этой причине твёрдые тела сохраняют не только объём, но и форму. В твёрдых телах средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул много больше средней кинетической энергии их теплового движения. ■ЫеШИЗм! Если соединить центры положений равновесия атомов или ионов твёрдого тела, то получится правильная пространственная решётка, называемая кристаллической. На рисунках 8.6 и 8.7 изображены кристаллические решётки поваренной соли и алмаза. Внутренний порядок в расположении атомов кристаллов приводит к правильным внешним геометрическим формам. Строение газообразных, жидких и твёрдых тел 1 1 7 1 Почему два свинцовых бруска с гладкими чистыми срезами слипаются, если их прижать друг к другу, а кусочки мела не слипаются? '* Газ способен к неограниченному расширению. Почему существует атмосфера у Земли? . Чем различаются траектории движения молекул газа, жидкости и твёрдого тела? Нарисуйте примерные траектории молекул веществ, находящихся в этих состояниях. Повторите материал главы 8 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите опыты, подтверждающие основные закономерности. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Вспомните, что такое физическая модель. Приведите примеры физических моделей. Можно ли определить скорость одной молекулы? Идеальный газ. У газа при обычных давлениях расстояние между молекулами во много раз превышает их размеры. В этом случае силы взаимодействия молекул пренебрежимо малы и кинетическая энергия молекул много больше потенциальной энергии взаимодействия. Молекулы газа можно рассматривать как материальные точки или очень маленькие твёрдые шарики. Вместо реального газа, между молекулами которого действуют силы взаимодействия, мы будем рассматривать его модель — идеальный газ. Идеальный газ — это теоретическая модель газа, в которой не учитываются размеры молекул (они считаются материальными точками) и их взаимодействие между собой (за исключением случаев непосредственного столкновения). Естественно, при столкновении молекул идеального газа на них действует сила отталкивания. Так как молекулы газа мы можем согласно модели считать материальными точками, то размерами молекул мы пренебрегаем, считая, что объём, который они занимают, гораздо меньше объёма сосуда. Напомним, что в физической модели принимают во внимание лишь те свойства реальной системы, учёт которых совершенно необходим для объяснения исследуемых закономерностей поведения этой системы. Ни одна модель не может передать все свойства системы. Сейчас нам предстоит решить задачу: вычислить с помогцью молекулярно-кинетической теории давление идеального газа на стенки сосуда. Для этой задачи модель идеального газа оказывается вполне удовлетворительной. Она приводит к результатам, которые подтверждаются опытом. Давление газа в молекулярно-кинетической теории. Пусть газ находится в закрытом сосуде. Манометр показывает давление газа Pq. Как возникает это давление? Каждая молекула газа, ударяясь о стенку, в течение малого промежутка времени действует на неё с некоторой силой. В результате беспорядочных ударов о стенку давление быстро меняется со временем примерно так, как показано на рисунке 9.1. Однако действия, вызванные ударами отдельных молекул, настолько слабы, что манометром они не регистрируются. Манометр фиксирует среднюю по времени силу, действующую на каждую единицу площади поверхности его чувствительного элемента — мем- Ра Ро О Я I МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ браны. Несмотря на небольшие изменения давления, среднее значение давления Ро практически оказывается вполне определённой величиной, так как ударов о стенку очень много, а массы молекул очень малы. Среднее давление имеет определённое значение как в газе, так и в жидкости. Но всегда происходят незначительные случайные отклонения от этого среднего значения. Чем меньше площадь поверхности тела, тем заметнее относительные изменения силы давления, действующей на данную площадь. Так, например, если участок поверхности тела имеет размер порядка нескольких диаметров молекулы, то действующая на неё сила давления меняется скачкообразно от нуля до некоторого значения при попадании молекулы на этот участок. Среднее значение квадрата скорости молекул. Для вычисления среднего давления надо знать значение средней скорости молекул (точнее, среднее значение квадрата скорости). Это не про- Чем отличается определение средней скорости тела в механике от определения средней скорости молекул газа? стой вопрос. Вы привыкли к тому, что скорость имеет каждая частица. Средняя же скорость молекул зависит от того, каковы скорости движения всех молекул. С самого начала нужно отказаться от попыток проследить за движением всех молекул, из которых состоит газ. Их слишком много, и движутся они очень сложно. Нам и не нужно знать, как движется каждая молекула. Мы должны выяснить, к какому результату приводит движение всех молекул газа. Характер движения всей совокупности молекул газа известен из опыта. Молекулы участвуют в беспорядочном (тепловом) движении. Это означает, что скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень малой. Направление движения молекул беспрестанно меняется при их столкновениях друг с другом. Скорости отдельных молекул могут быть любыми, однако среднее значение модуля этих скоростей вполне определённое. В дальнейшем нам понадобится среднее значение не самой скорости, а квадрата скорости — средняя квадратичная скорость. От этой величины зависит средняя кинетическая энергия молекул. А средняя кинетическая энергия молекул, как мы вскоре убедимся, имеет очень большое значение во всей молекулярно-кинетической теории. Обозначим модули скоростей отдельных молекул газа через v^, V2, П3, . определяется следующей формулой; v^. Среднее значение квадрата скорости ,2 = + 1>| + и| -ь ... + и N (9.1) где N — число молекул в газе. Но квадрат модуля любого вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат ОХ, OY, OZ. Из курса механики известно, что при движении на плоскости + Vy. В случае, когда тело движется в пространстве, квадрат скорости равен: = — .,2 (9.2) МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ - 4^ Проведите числовой эксперимент. Пусть скорости молекул некоторого газа распределены так, как показано в таблице. Число молекул 10 10 10 5 Скорость, м/с 10 20 40 50 Определите среднее значение модуля скорости и среднее значение квадрата скоро-\^сти молекул этого газа. Сравните полученные результаты и сделайте вывод.___^ Средние значения величин yf, и v\ можно определить с помощью формул, подобных формуле (9.1). Между средним значением и средними значениями квадратов проекций существует такое же соотношение, как соотношение (9.2): —^ ^ = i;2 + у2 _|. (9.3) Действительно, для каждой молекулы справедливо равенство (9.2). Сложив такие равенства для отдельных молекул и разделив обе части полученного уравнения на число молекул N, мы придём к формуле (9.3). [ЩЩ- Внимание! Так как направления трёх осей ОХ, ОУ и 0Z вследствие беспорядочного движения молекул равноправны, средние значения квадратов проекций скорости равны друг другу: __ ____ ____ (9.4) У?. Учитывая соотношение (9.4), подставим в формулу (9.3) вместо и . Тогда для среднего квадрата проекции скорости на ось ОХ получим 1)2 = — 3 ’ (9.5) т. е. средний квадрат проекции скорости равен ^ среднего квадрата самой скорости. Множитель ~ появляется вследствие трёхмерности пространства и соответственно существования трёх проекций у любого вектора. Скорости молекул беспорядочно меняются, но средний квадрат скорости вполне определённая величина. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов. Строгий вывод уравнения молекулярно-кинетической теории газов довольно сложен. Поэтому мы ограничимся упрощённым выводом уравнения. Предположим, что газ идеальный и взаимодействие молекул со стенкой абсолютно упругое. Вычислим давление газа, находящегося в сосуде, на боковую стенку площадью S, перпендикулярную координатной оси ОХ (рис. 9.2). Уравнение молекулярно-кинетической теории — первое количественное соот^ ношение, полученное в МКТ, поэтому оно называется основным. После вывода этого уравнения в XIX в. и экспериментального доказательства его справедливости началось быстрое развитие количественной теории, продолжающееся по сегодняшний день^ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ При ударе молекулы о стенку её импульс изменяется: Др^. = = - Uqx)- При абсолютно упругом взаимодействии модули скорости молекулы до и после удара равны, и тогда изменение импульса Ар^ = 2mQV^. Согласно второму закону Ньютона изменение импульса молекулы равно импульсу подействовавшей на неё силы со стороны стенки сосуда, а согласно третьему закону Ньютона импульс силы, с которой молекула подействовала на стенку, будет иметь то же значение. Следовательно, в результате удара молекулы на стенку подействовала сила, импульс которой равен 2mo|yJ. Молекул много, и каждая из них передаёт стенке при столкновении такой же импульс. За время t они передадут стенке импульс 2niQ\Vy.\Z, где Z — число ударов всех молекул о стенку за это время. Число Z, очевидно, прямо пропорционально концентрации молекул, т. е. числу молекул в единице объёма, а также скорости молекул |oJ. Чем больше эта скорость, тем больше молекул за время t успеют столкнуться со стенкой. Если бы молекулы «стояли на месте», то столкновений их со стенкой не было бы совсем. Кроме того, число столкновений молекул со стенкой пропорционально площади S поверхности стенки; Z ~ Надо ещё учесть, что в среднем только половина всех молекул движется к стенке. Благодаря хаотичному движению направления движения молекул по и против оси ОХ равновероятны, поэтому вторая половина молекул движется в обратную сторону. Значит, число ударов молекул о стенку за время t полный импульс силы, подействовавшей на стенку. Ft = 2mQ\vJZt. Отсюда F = nmQV^S. Z = -| /г|o^|S^ и Учтём, что не все молекулы имеют одно и то же значение квадрата скорости v^. В действительности средняя сила, действующая на стенку, пропорциональна не а среднему значению квадрата скорости : F = utuqu'^S. Так как согласно формуле (9.5) то F = ^nmQV^S. Таким образом, U о давление газа на стенку сосуда равно: ^ 1 “2 Р =S ^ ’ (9.6) Уравнение (9.6) и есть основное уравнение, молекулярно-кинетической теории газов. Формула (9.6) связывает макроскопическую величину — давление, которое может быть измерено манометром, — с микроскопическими параметрами, характеризующими молекулы: их массой, концентрацией, скоростью хаотичного движения. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Связь давления со средней кинетической энергией молекул. Если через Е обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения Т2 молекулы Е = /По у" , то уравнение (9.6) можно записать в виде р = |«£. (9.7) Давление идеального газа пропорционально произведению KOHueHrpaunnj молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул Основное уравнение МКТ Средний квадрат скорости . ''il На^'Ш^ к 1. Чем пренебрегают, когда реальный газ рассматривают как идеальный? 2. Газ оказывает давление на стенки сосуда. А давит ли один слой газа на другой? 3. Всегда ли равноправны средние значения проекций скорости движения молекул? 4. Чему равно среднее значение проекции скорости молекул на ось 0X7 5. Почему молекула при соударении со стенкой действует на неё с силой, пропорциональной скорости, а давление пропорционально квадрату скорости молекулы? 6. Почему и как в основном уравнении молекулярно-кинетической теории по- 1 является множитель ^ ? 7. Как средняя кинетическая энергия молекул связана с концентрацией газа и его давлением на стенки сосуда? А1. Давление 100 кПа создаётся молекулами газа массой /По = 3 ■ 10 кг при концентрации п = 10^^ м“^. Чему равен средний квадрат скорости молекул? 1) 1 (мм/с) 2) 100 (м/с)" 3) 3000 (м/с)" 4) 1 000 000 (м/с)" А2. При неизменной концентрации молекул идеального газа в результате охлаждения давление газа уменьшилось в 4 раза. Средний квадрат скорости теплового движения молекул газа при этом 1) уменьшился в 16 раз 3) уменьшился в 4 раза 2) уменьшился в 2 раза 4) не изменился АЗ. При неизменной концентрации частиц идеального газа средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул увеличилась в 3 раза. При этом давление газа 1) уменьшилось в 3 раза 3) увеличилось в 9 раз 2) увеличилось в 3 раза 4) не изменилось А4. Давление газа при нагревании в закрытом сосуде увеличивается. Это можно объяснить увеличением 1) концентрации молекул 2) расстояния между молекулами 3) средней кинетической энергии молекул 4) средней потенциальной энергии молекул МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ» Обратим внимание на то, что в задачах, как правило, имеется в виду средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул. Связь этой скорости с макропараметрами, такими, как давление и температура, и устанавливает основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Именно поступательное движение молекул определяет их удары о стенку и силу, действующую на неё. Залача 1. Плотность газа в баллоне электрической лампы р = 0,9 кг/м^. При горении лампы давление в ней возросло с = 8 • Ю”* Па до Р2 = 1,1 • Па. На сколько увеличилось при этом значение среднего квадрата скорости молекул газа? Решение. Произведение массы Wq одной молекулы на концентрацию молекул (число молекул в единице объёма) равно массе молекул, заключённых в единице объёма, т. е. плотности газа р = Следовательно, ос- новное уравнение молекулярно-кинетической теории (9.6) можно записать в виде р = О Поэтому - vf = |(jt?2 - Pi) = 10® (м/cf. Задача 2. Определите плотность кислорода рд при давлении 2 • 10® Па, если средний квадрат скорости его молекул равен 10® (м/с)^. Решение. Давление кислорода р = nniQV^fS, где п — концентрация молекул. Очевидно, что р = тдп, где /Пд — масса молекулы кислорода. Окончательно имеем р = рдП^/з^ или Ро ^ ^ кг/м^. Задача 3. Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число молекул азота, соединены краном. В первом сосуде средний квадрат скорости молекул vf = 1,6 • 10® (м/с)^, во втором сосуде — у| = 2,5 • 10® (м/с)^. Кран открывают. Чему будет равен средний квадрат скорости молекул после того, как установится равновесие? Решение. Разные скорости молекул в сосудах объясняются разными температурами азота в них. Так как по условию задачи число молекул, имеющих скорость ^1, равно числу молекул, имеющих скорость Ug (^i ^ то квадрат средней скорости — N^vf -I N^vj ^ Л^1 + iV, = 2,05 • 10^ (м/с)2. Задача 4. С какой скоростью растёт толщина покрытия стенки серебром при напылении, если атомы серебра, обладая энергией Е = 10 Дж, производят МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ на стенку давление р = 0,1 Па? Атомная масса серебра А = 1,108 г/моль, его плотность р = 10,5 г/см^. Решение. Если за время At толщина слоя серебра стала равной Д/, то скорость роста толщины покрытия есть Al/At. Объём напылённого слоя AV = SAI, где S — площадь поверхности стенки. Этот объём можно выразить иначе: хг т mniy ^V = — = , Р Р ’ где т — масса серебряного покрытия, напылённого за время At, — масса атома, N — число атомов. Определим суммарную массу атомов серебра, осевших на стенку. Изменение импульса атома, осевшего на стенку со скоростью v, равно импульсу силы, подействовавшей на стенку со стороны атома; fx = ttiqAv = mQ(0 - и) = -tUqU. На стенку подействует импульс силы = +mQV. Если на стенку за время осядет N атомов, то импульс силы, подействовавший на стенку в результате ударов о неё N атомов, будет FAt = NvitIq. Давление на стенку р = F/S, или р = NvTTiQ/SAt. (1) Средняя кинетическая энергия атома Е = т^и^‘12, отсюда скорость атома V = yj2E/mQ. Подставив выражение для скорости в формулу (1), пoлy^шм р = N,j2Em^ /SAt. ду _ niQN _ niQpAtS _ m-QpAt S I ^ AF Отсюда имеем N = pSAt / J2m^E, Al = — = тогда M PS pS^2/MojE pyj2niQE (2) At p7^ * Масса атома серебра tUq = A/N^, где Nj^ = 6,02 • 10^^ моль”^ Под ставив это выражение в формулу (2), получим ^ = Р. At Р \| ЛГд • 2Е — ~ 9 • Ю-’о м/с. Задачи для самостоятельного решения 1. Температура воздуха в комнате изменилась от 7 до 27 °С. На сколько процентов уменьшилось число молекул в комнате? 2. Под каким давлением находится газ в сосуде, если средний квадрат скорости его молекул =10® (м/с)^, концентрация молекул п = 3 • 10^^ м~^, масса каждой молекулы ttiq = 5 • 10"^® кг? 3. В колбе объёмом 1,2 л содержится 3 • 10^^ атомов гелия. Чему равна средняя кинетЕшеская энергия каждого атома? Давление газа в колбе 10^ Па. 4. Вычислите средний квадрат скорости движения молекул газа, если его масса т = 6 кг, объём V = 4,9 м^ и давление р = 200 кПа. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ Что измеряют термометры? Что означают слова: «Я измерил температуру тела»? Что именно характеризует температура? Макроскопические параметры. Состояние макроскопических тел, в частности газов, и процессы изменения их состояний можно охарактеризовать немногим числом физических величин, относящихся не к отдельным молекулам, из которых состоят тела, а ко всем молекулам в целом. К числу таких величин относятся объём V, давление р, температура t. Так, газ данной массы, находящийся в сосуде, всегда занимает объём этого сосуда и имеет определённые давление и температуру. Объём и давление представляют собой механические величины, которые помогают описывать состояние газа. Температура в механике не рассматривается, так как она характеризует внутреннее состояние тела. Величины, характеризующие состояние макроскопических тел без учёта их молекулярного строения (V, р, t), называют макроскопическими параметрами. Однако макроскопические параметры не исчерпываются объёмом, давлением и температурой. Например, для описания состояния смеси газов нужно ещё знать концентрации отдельных компонентов или их массы. Обычный атмосферный воздух представляет собой смесь газов. Холодные и горячие тела. Центральное место во всём учении о тепловых явлениях занимает понятие температура. Все мы хорошо знаем различие между холодными и горячими телами. На ощупь мы определяем, какое тело нагрето сильнее, и говорим, что это тело имеет более высокую температуру. Таким образом, температура характеризует степень нагретости тела (холодное, тёплое, горячее). Для её измерения был создан прибор, называемый термометром. Его устройство основано на свойстве тел изменять объём при нагревании или охлаждении. Тепловое равновесие. Термометр никогда не покажет температуру тела сразу же после того, как он соприкоснулся с ним. Необходимо некоторое время для того, чтобы температуры тела и термометра стали равны и между телами установилось тепловое равновесие, при котором температура перестаёт изменяться. Тепловое равновесие с течением времени устанавливается между любыми телами, имеющими различную температуру. -------------------------------------^ ^ Бросьте в стакан с водой кусочек льда и закройте стакан плотной крышкой. Лёд начнёт плавиться, а вода охлаждаться. Когда лёд растает, вода начнёт нагреваться. Измерьте несколько раз температуру воздуха и температуру воды в стакане. Когда закончится изменение состояния воды в У^такане?______________________________^ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Обсудите с одноклассником сле-Ущ дующий вопрос: «Зачем в данном опыте нужно закрывать стакан крышкой?» Из простых наблюдений можно сделать вывод о существовании очень важного общего свойства тепловых явлений. Любое макроскопическое тело или группа макроскопических тел при неизменных внешних условиях самопроизвольно переходит в состояние теплового равновесия. Тепловым равновесием называют такое состояние тел, при котором температура во всех точках системы одинакова. Но микроскопические процессы внутри тела не прекращаются и при тепловом равновесии: меняются положения молекул, их скорости при столкновениях. Температура. Система макроскопических тел может находиться в различных состояниях. В каждом из этих состояний температура имеет своё строго определённое значение. Другие физические величины в состоянии теплового равновесия системы могут иметь разные значения, которые с течением времени не меняются. Так, например, объёмы различных частей системы и давления внутри их при наличии твёрдых перегородок могут быть разными. Если вы внесёте с улицы мяч, наполненный сжатым воздухом, то спустя некоторое время температура воздуха в мяче и температура в комнате выравняются. Давление же воздуха в мяче всё равно будет больше, чем в комнате. Температура характеризует состояние теплового равновесия системы тел: все тела системы, находящиеся друг с другом в тепловом равновесии, имеют одну и ту же температуру. При одинаковых температурах двух тел между ними не происходит теплообмена. Если же температуры тел различны, то при установлении между ними теплового контакта будет происходить обмен энергией. При этом опыт учит, что тело с большей температурой будет отдавать энергию телу с меньшей температурой. Разность температур тел указывает направление теплообмена между ними — от более нагретого тела к менее нагретому. Измерение температуры. Термометры. Для измерения температуры можно воспользоваться изменением любой макроскопической величины в зависимости от температуры: объёма, давления, электрического сопротивления и т. д. Чаще всего на практике используют зависимость объёма жидкости (ртути или спирта) от температуры. При градуировке термометра обычно за начало отсчёта (0) принимают температуру тающего льда; второй постоянной точкой (100) считают температуру кипения воды при нормальном атмосферном давлении (шкала Цельсия). Шкалу между точками 0 и 100 делят на 100 равных частей, называемых градусами (рис. 9.3). Перемещение столбика жидкости на одно деление соответствует изменению температуры на 1 °С. Pi. с 9 С > МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ 742 г. А. Цельсий опубликовал работу с описанием стоградусной шкалы термометра, в которой температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении была принята за 0°, а температура таяния льда — за 100°. Позже шведский биолог К. Линней «перевернул» эту шкалу, приняв за 0° температуру таяния льда. Этой шкалой мы пользу-емся до сих пор, называя её шкалой Цельсия.________________________у Так как различные жидкости расширяются при нагревании неодинаково, то установленная таким образом шкала будет зависеть от свойств данной жидкости и расстояния на шкале между 0 и 100 °С будут различны. Поэтому градусы (расстояние между двумя соседними отметками) спиртового и ртутного термометров будут разными. Наполните частично узкий сосуд подсолнечным маслом и отметьте верхний уровень масла. Измерьте термометром температуру воздуха. Затем помести-^ те сосуд в горячую воду и снова отметьте верхний уровень масла. Измерьте температуру воды тем же термометром. Затем наполните этот же сосуд другой жидкостью и проведите аналогичные измерения. Сравните расстояния между отметками jHa сосуде в двух опытах. Сделайте вывод._______________________________^ Какое же вещество выбрать для того, чтобы избавиться от этой зависимости? Было замечено, что в отличие от жидкостей все разреженные газы — водород, гелий, кислород — расширяются при нагревании одинаково и одинаково меняют своё давление при изменении температуры. По этой причине в физике для установления рациональной температурной шкалы используют изменение давления определённого количества разреженного газа при постоянном объёме или изменение объёма газа при постоянном давлении. Такую шкалу иногда называют идеальной газовой шкалой температур. При установлении идеальной газовой шкалы температур удаётся избавиться ещё от одного существенного недостатка шкалы Цельсия — произвольности выбора начала отсчёта, т. е. нулевой температуры.__________________________^ Далее мы подробно рассмотрим, как можно использовать газы для определения температуры. f Макроскопические параметры. Тепловое равновесие ■ , 1. Какие величины характеризуют состояния макроскопических тел? • 2. Каковы отличительные признаки состояний теплового равновесия? ® 3. Наблюдали ли вы примеры установления теплового равновесия тел, окружа- ющих вас в повседневной жизни? 4. В чём преимущество использования разреженных газов для измерения температуры? 5. Как зависит интенсивность теплообмена между двумя телами от разности их температур? МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ §60 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ. ЭНЕРГИЯ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ Какие макропараметры используют для описания состояния газа? Справедливо ли утверждение: «Чем быстрее движутся молекулы газа, тем выше его температура»? Средняя кинетическая энергия молекул газа при тепловом равновесии. Возьмём сосуд, разделённый пополам перегородкой, проводящей тепло. В одну половину сосуда поместим кислород, а в другую — водород, имеющие разную температуру. Спустя некоторое время газы будут иметь одинаковую температуру, не зависящую от рода газа, т. е. будут находиться в состоянии теплового равновесия. Для определения температуры выясним, какая физическая величина в молекулярно-кинетической теории обладает таким же свойством. Из курса физики основной школы известно, что, чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура тела. При нагревании газа в замкнутом сосуде давление газа возрастает. Согласно же основному уравнению молекулярно-кинетической теории (9.7) давление газа р прямо пропорционально сред- 2 ней кинетической энергии поступательного движения молекул: р = пЕ. О N Так как концентрация молекул газа п = то из уравнения (9.7) полу- 2N — V 2— pMV 2 — чаем р = Е, или р— = -Е, или, согласно формуле (8.8), = -Е. При тепловом равновесии, если давление и объём газа массой т постоянны и известны, то средняя кинетическая энергия молекул газа должна иметь строго определённое значение, как и температура. Можно предположить, что при тепловом равновесии именно средние кинетические энергии молекул всех газов одинаковы. Конечно, это пока только предположение. Его нужно экспериментально проверить. Практически такую проверку произвести непосредственно невозможно, так как измерить среднюю кинетическую энергию молекул очень трудно. Но с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории её можно выразить через макроскопические параметры: 3 pMV (9.8) 2 N 2 шЛГд ' Если кинетическая энергия действительно одинакова для всех газов в состоянии теплового равновесия, то и значение давления р должно быть тоже V одинаково для всех газов при — = const. Только опыт может подтвердить или опровергнуть данное предположение. Газы в состоянии теплового равновесия. Рассмотрим следующий опыт. Возьмём несколько сосудов, заполненных различными газами, например водородом, гелием и кислородом. Сосуды имеют определённые объёмы и МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ , V1C 9.4 снабжены манометрами. Это позволяет измерить давление в каждом сосуде. Массы газов известны, тем самым известно число молекул в каждом сосуде. Приведём газы в состояние теплового равновесия. Для этого поместим их в тающий лёд и подождём, пока не установится тепловое равновесие и давление газов перестанет меняться (рис. 9.4). После этого можно утверждать, что все газы имеют одинаковую температуру О °С. Давления газов р, pV их объёмы V и число молекул N различны. Найдём отношение для водо- личество вещества которого равно 1 моль, ivi , то при температуре О °С давление оказывается рода. Если, к примеру, водород занимает объём Ущ = 0,1 м^, т( равным Phj, = 2,265 • 10“^ Па. Отсюда 2,265 • 104 . 0,1 Н • м ^2^Н2 6,02 • 102S м2 = 3,76'10-21 Дж. (9.9) Если взять водород в объёме, равном 1’° ^ число молекул будет равно Pll2_______________—------- о па . 1 л~21 ЛЛ/д и отношение останется равным 3,76 • 10” Дж. Такое же значение отношения произведения давления газа на его объём к числу молекул получается и для всех других газов при температуре тающего льда. Обозначим это отношение через 0q. Тогда РН2^Щ ^ Рне^Не ^ “ А^Не N, = вг 02 (9.10) Средняя кинетическая ^энергия Еца также давление р в состоянии теплового равновесия одинаковы для всех газов, если их объёмы и количества веще- 4... -.з® pV ^ства одинаковы или если отношение Таким образом, наше предположение оказалось верным. const. /Соотношение (9.10) не является абсолютно точным. При давлениях в сотни pV атмосфер, когда газы становятся весьма плотными, отношение перестаёт быть строго определённым, не зависящим от занимаемых газами объёмов. Оно выполняется для газов, когда их можно считать идеальными. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Если же сосуды с газами поместить в кипящую воду при нормальном атмосферном давлении, то согласно эксперименту отношение по-прежнему будет одним и тем же для всех газов, но больше, чем предыдущее: 10-21 (911) \т ~ ®1оо “ 5,14 N Определение температуры. Можно, следовательно, утверждать, что величина 0 растёт с повышением температуры. Более того, 0 ни от чего, кроме температуры, не зависит. Ведь для идеальных газов 0 не зависит ни от рода газа, ни от его объёма или давления, а также от числа частиц в сосуде. Этот опытный факт позволяет рассматривать величину 0 как естественную меру температуры, как параметр газа, определяемый через другие макроскопические параметры газа. В принципе можно было бы считать температурой и саму величину 0 и измерять температуру в энергетических единицах — джоулях. Однако, во-первых, это неудобно для практического использования (температуре 100 °С соответствовало бы очень малое значение — порядка 10~^^ Дж), а во-вторых, и это главное, уже давно температуру принято выражать в градусах. : Т5В(Ш<.. Т!гг. «ж» тиг. Абсолютная температура. Вместо температуры 0, выражаемой в энергетических единицах, введём температуру, выражаемую в привычных для нас градусах. Будем считать величину 0 прямо пропорциональной температуре Т, измеряемой в градусах: 0 = кТ, (9.12) где к — коэффициент пропорциональности. Определяемая равенством (9.12) температура называется абсолютной. Такое название, как мы сейчас увидим, имеет достаточные основания. Учитывая определение (9.12), получим pV N = кТ. (9.13) По этой формуле вводится температурная шкала (в градусах), не зависящая от вещества, используемого для измерения температуры. Температура, определяемая формулой (9.13), очевидно, не может быть отрицательной, так как все величины, стоящие в левой части этой формулы, заведомо положительны. Следовательно, наименьшим возможным значением температуры Т является значение Т = 0, если давление р или объём V равны нулю. Предельную температуру, при которой давление идеального газа обращается в нуль при фиксированном объёме или при которой объём идеального газа стремится к нулю при неизменном давлении, называют абсолютным нулём температуры. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Это самая низкая температура в природе, та «наибольшая или последняя степень холода», существование которой предсказывал Ломоносов. Английский учёный У. Томсон (лорд Кельвин) (1824—1907) ввёл абсолютную шкалу температур. Нулевая температура по абсолютной шкале (её называют также шкалой Кельвина) соответствует абсолютному нулю, а каждая единица температуры по этой шкале равна градусу по шкале Цельсия. Единица абсолютной температуры в СИ называется кельвином (обозначается буквой К). Постоянная Больцмана. Определим коэффициент k в формуле (9.13) так, чтобы изменение температуры на один кельвин (1 К) было равно изменению температуры на один градус по шкале Цельсия (1 °С). Мы знаем значения величины 0 при 0 °С и 100 °С (см. формулы (9.9) и (9.11)). Обозначим абсолютную температуру при 0 °С через Tj, а при 100 °С через Т2. Тогда согласно формуле (9.12) 0 ®0 ~ ^(^2 ^l)» 100 100 - ®о = ^ • 100 К = (5,14 - 3,76) • 10 0 Отсюда -21 Дж. h = = 1.38 • 10-23 Дж/К. Коэффициент 1,38 • 10*2® Дж/К (9.14) называется постоянной Больцмана в честь Л. Больцмана, одного из основателей молекулярно-кинетической теории газов. Постоянная Больцмана связывает температуру 0 в энергетических единицах с температурой Т в" кельвинах. ^ » ifliiiiii • щщшятт1тшттт1тт Это одна из наиболее важных постоянных в молекулярно-кинетической теории. Зная постоянную Больцмана, можно найти значение абсолютного нуля по шкале Цельсия. Для этого найдём сначала значение абсолютной температуры, соответствующее о °С. Так как при 0 °С kTi = 3,76 • 10'^^ Дж, то Д = .3,76 -10-21 1,38 • 10*23 К ~ 273 К. Один кельвин и один градус шкалы Цельсия совпадают. Поэтому любое значение абсолютной температуры Т будет на 273 градуса выше соответствующей температуры t по Цельсию: Т (К) = (t -Н 273) (°С). (9.15) Важно Л. Больцман (1844—1906) Изменение абсолютной температуры АТ равно изменению температуры по шкале Цельсия Д#: Д!Г(К) S* (°С). МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Следует ли из фразы «Один кельвин и один градус шкалы Цельсия совпадают», что 27 °С = 27 К? На рисунке 9.5 для сравнения изображены абсолютная шкала и шкала Цельсия. Абсолютному нулю соответствует температура t = -273 °С. В США используется шкала Фаренгейта. Точка замерзания воды по этой шкале 32 °F, а точка кипения 212 °F. Пересчёт температуры из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия производится по формуле f(°C) = 5/9 (f(°F) - 32). Отметим важнейший факт: абсолютный нуль температуры недостижим! Температура — мера средней кинетической энергии молекул. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории (9.8) и определения температуры (9.13) вытекает важнейшее следствие: абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии движения молекул. Докажем это. 2 - pV Из уравнений (9.7) и (9.13) следует, что ^ з ^ ^ ~дГ ~ Отсюда вытекает связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекулы и температурой: £ = |ftT. (9.16) Средняя кинетическая энергия хаотичного поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. Si* Шкала Кельвина 373 К Шкала Цельсия 100 °С 273 К 0°С ___LQK_______Llr273°C P ic, Н.5 Обсудите с одноклассником, мож-щ но ли считать, что средняя кинетическая энергия теплового движе-ния молекул — мера температуры^ Чем выше температура, тем быстрее движутся молекулы. Таким образом, выдвинутая ранее догадка о связи температуры со средней скоростью молекул получила надёжное обоснование. Соотношение (9.16) между температурой и средней кинетической энергией поступательного движения молекул установлено для идеальных газов. Однако оно оказывается справедливым для любых веществ, у которых движение атомов или молекул подчиняется законам механики Ньютона. Оно верно для жидкостей, а также и для твёрдых тел, где атомы могут лишь колебаться возле положений равновесия в узлах кристаллической решётки. При приближении температуры к абсолютному нулю энергия теплового движения молекул приближается к нулю, т. е. прекращается поступательное тепло- _______^ вое движение молекул. Зависимость давления газа от концентрации его молекул и тем- N пературы. Учитывая, что у = п. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ из формулы (9.13) получим выражение, показывающее зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры; d Выведите закон Авогадро, используя соотношение (9.17). р — nkT. (9.17) Из формулы (9.17) вытекает, что при одинаковых давлениях и температурах концентрация молекул у всех газов одна и та же. Отсюда следует закон Авогадро, известный вам из курса химии. В равных объёмах газов при одинаковых температурах и давлениях содержится одинаковое число молекул. Абсолютная температура. Постоянная Больцмана. Закон Авогадро 1. На каком основании можно предполагать существование связи между температурой и кинетической энергией молекул? 2. Как связаны объём, давление и число молекул различных газов в состоянии теплового равновесия? 3. Чему равен абсолютный нуль температуры по шкале Цельсия? 4. Какие преимущества имеет абсолютная шкала температур по сравнению со шкалой Цельсия? Ь. Каков физический смысл постоянной Больцмана? Можно ли её определить теоретически, не обращаясь к эксперименту? 6. Как зависит от температуры средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа? 7. Почему концентрация молекул всех газов одна и та же при одинаковых давлениях и температурах? 8. Как зависит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул от их массы? .А1 Температура газа в сосуде равна 2 °С. По абсолютной шкале температур это составляет 1) 136,5 К 2) 271 К 3) 275 К 4) 546 К А2. На рисунке показана часть шкалы комнатного термометра. Определите абсолютную температуру воздуха в комнате. 1) 22 °С 2) 18 °С 3) 295 К Л.З. Как изменится средняя кинетическая энергия теплового движения одноатомного идеального газа при повышении его температуры в 2 раза? 1) увеличится в 4 раза 3) уменьшится в 2 раза 2) увеличится в 2 раза 4) уменьшится в 4 раза 4) 291 К 1111 1111 IIN 1 в( 1 20 10 0 А4. В закрытом сосуде абсолютная температура идеального газа уменьшилась в 3 раза. При этом давление газа на стенки сосуда 1) увеличилось в 9 раз 3) уменьшилось в у/з раза 2) уменьшилось в 3 раза 4) не изменилось МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ § 61 ИЗМЕРЕНИЕ скоростей МОЛЕКУЛ ГАЗА Можно ли, зная температуру, вычислить среднюю кинетическую энергию молекул газа? среднюю скорость молекулы? А можно ли эту скорость измерить? Средняя скорость теплового движения молекул. Уравнение (9.16) даёт возможность найти средний квадрат скорости движения молекулы. Подста- вив в это уравнение Е = —^—, получим выражение для среднего значения квадрата скорости: _ = 3—. (9.18) niQ Средней квадратичной скоростью называется величина Укв BkT (9.19) Вычисляя по формуле (9.19) скорость молекул, например азота при ^ = О °С, получаем Укв ~ 500 м/с. Молекулы водорода при той же температуре имеют среднюю квадратичную скорость у кв ~ 1800 м/с. Эти скорости велики, но так как молекулы газа движутся хаотично, непрерывно сталкиваясь друг с другом, и время между двумя столкновениями мало, то расстояние, которое пролетают молекулы также невелико. Из-за столкновения траектория каждой молекулы представляет собой запутанную ломаную линию (рис. 9.6). Большие скорости молекула имеет на прямолинейных отрезках ломаной. Как видно из рисунка, при перемещении молекулы из точки А в точку В пройденный ею путь оказывается гораздо больше расстояния АБ. При атмосферном давлении это расстояние порядка 10'*^ см. Когда впервые были получены эти числа (вторая половина XIX в.), многие физики были ошеломлены. Скорости молекул газа по расчётам оказались больше, чем скорости артиллерийских снарядов! На этом основании высказывали даже сомнения в справедливости кинетической теории. Ведь известно, что запахи распространяются довольно медленно: нужно время порядка десятков секунд, чтобы 'Запах духов, пролитых в одном углу комнаты, распространился до другого угла. ^ Экспериментальное определение скоростей молекул. Опыты по определению скоростей молекул доказали справедливость формулы (9.19). Один из .......................——--------- опытов был предложен и осущест- Подумайте, что определяет сред-Уш нюю кинетическую энергию теплового движения молекул и от чего зависит средняя квадратичная ско-\^рость этого движения.________________ влён О. Штерном в 1920 г. Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров А и В, жёстко связанных друг с другом (рис. 9.7, а). Цилиндры могут вра- МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ /Ъ 1943 г. О. Штерн был удостоен Нобелевской премии по физике «за вклад в развитие методов молекулярных пучков и открытие и измерение магнитного момента протона». . Как вы думаете, почему проволочка сделана из платины? щаться с постоянной угловой скоростью. Вдоль оси малого цилиндра натянута тонкая платиновая проволочка С, покрытая слоем серебра. По проволочке пропускают электрический ток. В стенке этого цилиндра имеется узкая щель О. Воздух из цилиндров откачан. Цилиндр В находится при комнатной температуре. Вначале прибор неподвижен. При прохождении тока по нити она нагревается и при температуре 1200 °С атомы серебра испаряются. Внутренний цилиндр заполняется газом из атомов серебра. Некоторые атомы пролетают через щель О и, достигнув внутренней поверхности цилиндра В, осаждаются на ней. В результате прямо против щели образуется узкая полоска D серебра (рис. 9.7, б). Затем цилиндры приводят во вращение с большим числом оборотов п в секунду (до 1500 ^). Теперь за время необходимое атому для прохождения пути, равного разности радиусов цилиндров Rq - Лд, цилиндры повернутся на некоторый угол ф. В результате ато- Рис 9.7 мы, движущиеся с постоянной скоростью, попадают на внутреннюю поверхность большого цилиндра не прямо против щели О (рис. 9.7, в), а на некотором расстоянии s от конца радиуса, проходящего через середину щели (рис. 9.7, г): ведь атомы движутся прямолинейно. Если через обозначить модуль скорости вращения точек поверхности внешнего цилиндра, то S = vgt = 2nnR^t. (9.20) В действительности атомы серебра имеют разные скорости. Поэтому расстояния S для различных атомов будут несколько различаться. Под s следует понимать расстояние между участками на полосках D и D' с наибольшей толщиной слоя серебра. Этому расстоянию будет соответствовать средняя - ~ скорость атомов, которая равна v =-------. Подставляя в эту формулу значение времени t из выражения (9.20), получаем - 2пп(Ев-На)^ V — -Кц’ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Обсудите с товарищем, почему скорость вращения цилиндров должна быть большой. Зная п, Ед и Rq и измеряя среднее смещение полоски серебра, вызванное вращением прибора, можно найти среднюю скорость атомов серебра. Модули скоростей, определённые из опыта, совпадают с теоретическим значением средней квадратичной скорости. Это служит экспериментальным доказательством справедливости формулы (9.19), а следовательно, и формулы (9.16), согласно которой средняя кинетическая энергия молекулы прямо пропорциональна абсолютной температуре. : Средняя квадратичная скорость молекул. Опыт Штерна У Почему толщина слоя полоски серебра на поверхности внешнего вращающегося цилиндра в опыте Штерна неодинакова по ширине полоски? 2- Как изменится средняя квадратичная скорость движения молекул при уменьшении температуры в 4 раза? Какие молекулы в атмосфере движутся быстрее: молекулы азота или молекулы кислорода? Л i. В сосуде находится газ. Мас^са каждой молекулы газа равна т, средняя квадратичная скорость молекул Окв, абсолютная температура газа Т. Если абсолютная температура газа увеличится до 2Т, средняя квадратичная скорость молекул газа будет равна 1) 4 Окв 2) 2 Окв 3) у/2икв 4) 0,5 Vkb •Л2. Как соотносятся средние квадратичные скорости молекул кислорода Укв. кисл и Окв. вод в смеси ЭТИХ газов в состоянии теплового равновесия, если отношение молярных масс кислорода и водорода равно 16? 1) Vkb. кисл “ Vkb. вод 3) Vkb. кисл ^ *^кв. вод 2) Vkb. кисл ~ 16 Укв. вод 4) Укв. кисл ~ Укв. вод/4 Л.». В двух сосудах находятся различные газы. Масса каждой молекулы газа в первом сосуде равна т, во втором сосуде Зт. Средняя квадратичная скорость молекул газа в первом сосуде равна Укв> во втором сосуде Укв/3. Абсолютная температура газа в первом сосуде равна Т, во втором сосуде она равна 1) 3 Т 2) Т 3) Г/3 4) Т/9 На рисунке показана схема опыта Штерна по определению скорости молекул. Пунктиром обозначена траектория атомов серебра, летящих от проволоки в центре установки через щель во внутреннем цилиндре к внешнему цилиндру при неподвижных цилиндрах. Чёрным отмечено место, куда попадали атомы серебра при вращении цилиндров. Какое утверждение верно? Пятно образовалось, когда 1) только внешний цилиндр вращался по часовой стрелке 2) только внутренний цилиндр вращался по часовой стрелке 3) оба цилиндра вращались по часовой стрелке 4) оба цилиндра вращались против часовой стрелки МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЭНЕРГИЯ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ» При решении задач этой главы используются формула (9.13), определяющая абсолютную температуру, формула (9.16), связывающая энергию беспорядочного движения с температурой, и формула (9.19) для средней квадратичной скорости молекул. Некоторые задачи удобно решать, используя формулу (9.17). Для расчётов надо знать значение постоянной Больцмана (9.14). Задача 1. Чему равно отношение произведения давления газа на его объём к числу молекул при температуре t = 300 ®С? Решение. Согласно формуле (9.13) pV/N = kT, где k = 1,38 х X 10”^^ Дж/К — постоянная Больцмана. Так как абсолютная температура Т = t + 273 (К) = 573 К, то pV/N = 7,9 • Дж. Задача 2. Определите среднюю квадратичную скорость молекулы газа при о °С. Молярная масса газа М = 0,019 кг/моль. Решение. Средняя квадратичная скорость молекул вычисляется по формуле (9.19). Учитывая, что = M/Np^ и Т = 273 К, получим Окв — ЗкТ то SkNp^T М 600-. с Задача 3. Некоторое количество водорода находится при температуре Ti = 200 К и давлении = 400 Па. Газ нагревают до температуры Т2 = 10 000 К, при которой молекулы водорода практически полностью распадаются на атомы. Определите значение давления Р2 газа при температуре Tg» если его объём и масса остались без изменения. Решение. Согласно формуле (9.17) давление газа при температуре равно Pi = /ij/eTj, где — концентрация молекул водорода. При расщеплении молекул водорода на атомы число частиц в сосуде увеличивается в 2 раза. Следовательно, концентрация атомов водорода равна «2 = 2^1. Давление атомарного водорода pg = Разделив почленно второе уравнение на первое, получим 2Т Р2 = Pi = 40 кПа. Задача 4. В опыте Штерна источник атомов серебра создаёт узкий пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса 7? = 30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью 01 = 314 рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол ср = 0,314 рад от первоначального положения. Решение, Угол, на который отклонилось пятно, ф = со^, средняя ско-___________________ рость атомов серебра v Выразив из первого уравнения время t и подставив во второе, получим v = = 300 м/с. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Залача 5. Средняя энергия молекулы идеального газа Е = 6,4 • 10 Дж. Давление газа р = 4 мПа. Определите число молекул газа в единице объёма. Решение. Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа _ Е = (3/2)/гТ. Давление р = пкТ, где п — концентрация молекул, k — постоянная Больцмана и Т — абсолютная температура газа. Решая совместно эти два уравнения, получаем п = — = -й = 9,38 ■ 10^7 kT 2 Е Задача 6. Откачанная лампа накаливания объёмом F = 10 см^ имеет трещину, в которую проникает AN = Ю** частиц газа за время Af = 1 с. Сколько времени понадобится, чтобы в лампе установилось нормальное давление (Ро = 1,013 • 10^ Па)? Температура 0 °С. Решение. Определим, сколько молекул газа Nq должно быть в лампе при нормальном давлении: Nq = где jIq — концентрация молекул, определяемая из уравнения Ро = п^кТ, = р^/кТ. Число молекул будет равно Nq = n,QV = poV/kT. Следовательно, считая скорость проникновения молекул в со- Nq PqVAI суд постоянной, лет. определим t: t = 10* AN/At kTAN = 2,69 • 10^^ с. Задачи для самостоятельного решения 1. Какое значение имела бы постоянная Больцмана, если бы единица температуры в СИ — кельвин — была равна не 1 °С, а 2 °С? 2. Современные вакуумные насосы позволяют понижать давление до 1,3 * 10“^*^ Па мм рт. ст.). Сколько молекул газа содержится в 1 см^ при указанном давлении и температуре 27 °С? 3. Средняя квадратичная скорость молекулы газа, находящегося при температуре 100 °С, равна 540 м/с. Определите массу молекулы. 4. На сколько процентов увеличивается средняя квадратичная скорость молекул воды в нашей крови при повышении температуры от 37 до 40 °С? -12 Повторите материал главы 9 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ГЛАВА 10 УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ В этой главе вы не встретите принципиально новых сведений о газах. Речь пойдёт о следствиях, которые можно извлечь из понятия температуры и других макроскопических параметров. Основное уравнение молекулярнокинетической теории газов вплотную приблизило нас к установлению связей между этими параметрами. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Как можно рассчитать массу воздуха в кабинете физики? Какие параметры воздуха будут необходимы для определения этой массы? Заметим, что формулой (9.17) можно пользоваться только до давления порядка 10 атм. Мы детально рассмотрели поведение идеального газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории. Была определена зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры (см. формулу (9.17)). На основе этой зависимости можно получить уравнение, связывающее все три макроскопических параметра р, F и Т, характеризующие состояние идеального газа данной массы. ЕВЖШ Уравнение, связывающее три макроскопических параметра р, V и Г, называют уравнением состояния идеального газа. Подставим в уравнение р = пкТ выражение для концентрации молекул газа. Учитывая формулу (8.8), концентрацию газа можно записать так: N \ т /1/Ч 14 (10.1) где А/д — постоянная Авогадро, т — масса газа, М — его молярная масса. После подстановки формулы (10.1) в выражение (9.17) будем иметь (10.2) ■ммШшуР Произведение постоянной Больцмана к и постоянной Авогадро А/д называют универсальной (молярной) газовой постоянной и обозначают буквой R: R = /гУд - 1,38 ■ 10"^^ Дж/К • 6,02 • 10=^^ 1/моль = 8,31 ДжДмоль • К). (10.3) Подставляя в уравнение (10.2) вместо /гА/д универсальную газовую постоянную R, получаем уравнение состояния идеального газа произвольной массы (10.4) Единственная величина в этом уравнении, зависящая от рода газа, — это его молярная масса. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Из уравнения состояния вытекает связь между давлением, объёмом и температурой идеального газа, который может находиться в двух любых состояниях. Если индексом 1 обозначить параметры, относящиеся к первому состоянию, а индексом 2 — параметры, относящиеся ко второму состоянию, то согласно уравнению (10.4) для газа данной массы т „ Р2У2 М _ "L р Ti М Т2 Правые части этих уравнений одинаковы, следовательно, должны быть равны и их левые части: P\Vi P2V2 — const. (10.5) Ti Т2 Известно, что один моль любого газа при нормальных условиях (ро = 1 атм = 1,013 • 10*^ Па, t = 0 °С или Т = 273 К) занимает объём 22,4 л. Для одного моля газа, согласно соотношению (10.5), запишем: Д. И. Менделеев (1834-1907) pL Т PqVq 1,013 • 10'^ • 22,4 • 10-3 Па-м» — О, о1 273 моль•к моль•к ‘ Мы получили значение универсальной газовой постоянной R. pV Таким образом, для одного моля любого газа = R. Уравнение состояния в форме (10.4) было впервые получено великим русским учёным Д. И. Менделеевым. Его называют уравнением Менделеева—Клапейрона. Уравнение состояния в форме (10.5) называется уравнением Клапейрона и представляет собой одну из форм записи уравнения состояния. Б. Клапейрон в течение 10 лет работал в России профессором в инсти^ туте путей сообщения. Вернувшись во Францию, участвовал в постройке многих железных дорог и составил множество проектов по постройке мостов и дорог. Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни. Уравнение состояния не надо выводить каждый раз, его надо запомнить. Неплохо было бы помнить и значение универсальной газовой постоянной: R = 8,31 Дж/(моль • К). До сих пор мы говорили о давлении идеального газа. Но в природе и в технике мы очень часто имеем дело со смесью нескольких газов, которые при определённых условиях можно считать идеальными. Самый важный пример смеси газов — воздух, являющийся смесью азота, кислорода, аргона, углекислого газа и других газов. Чему же равно давление смеси газов? Для смеси газов справедлив закон Дальтона. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений: р = + Р2 + + р- + где Pi — парциальное давление i-й компоненты смеси.________________________ ЕЙЗЭДВ Парциальное давление — давление отдельно взятого компонента газовой смеси, равное давлению, которое он будет оказывать, если занимает весь объём при той же температуре. .... \ ’Oto. ■' 1." Уравнение состояния. Универсальная газовая постоянная 1. Что называют уравнением состояния? т 2. Какая форма уравнения состояния содержит больше информации: уравнение • Клапейрона или уравнение Менделеева — Клапейрона? Ч. Почему газовая постоянная R называется универсальной? 4. Сформулируйте закон Дальтона. Уравнение Менделеева—Клапейрона 1) связывает между собой макропараметры газа 2) связывает между собой микропараметры газа 3) связывает макропараметры газа с его микропараметрами 4) не связано ни с микропараметрами, ни с макропараметрами А2. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м^ под давлением 8,3 • 10'^ Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода 0,032 кг/моль. 1) 2 кг 2) 0,4 кг 3) 4 кг 4) 2 • 10"^^ кг Азот массой 0,3 кг при температуре 280 К оказывает давление на стенки сосуда, равное 8,3 • 10'* Па. Чему равен объём газа? Молярная масса азота 0,028 кг/моль. 1) 0,3 м^ 2) 3,3 м^ 3) 0,6 м^ 4) 60 м® ' ^ В сосуде находится жидкий азот N3 массой 10 кг. Какой объём займёт этот газ при нормальных условиях (273 К; 100 кПа)? Молярная масса азота 0,028 кг/моль. 1) 4,05 м'^ 2) 8,1 м^ 3) 16,2 м'"^ 4) 24,3 м'* Л.-1. В баллоне вместимостью 1,66 м^ находится азот массой 2 кг при давлении 100 кПа. Чему равна температура этого газа? Молярная масса азота 0,028 кг/моль. 1) 280 °С 2) 140 °С 3) 7 °С 4) -13 °С МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ §64 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА» При решении задач по данной теме надо чётко представлять себе начальное состояние системы и какой процесс переводит её в конечное состояние. Одна из типичных задач на использование уравнения состояния идеального газа: требуется определить параметры системы в конечном состоянии по известным макроскопическим параметрам в её начальном состоянии. Задача 1. Воздух состоит из смеси газов (азота, кислорода и т. д.). Плотность воздуха ро при нормальных условиях (температура О и атмосферное давление ро ^ 325 Па) равна 1,29 кг/м^. Определите среднюю (эффективную) молярную массу М воздуха. Решение. Уравнение состояния идеального газа при нормальных условиях имеет вид PqVq = ^RTq. Здесь R = 8,31 Дж/(моль • К) и Tq = О °С + 273 °С = 273 К, М — эффективная молярная масса воздуха. Эффективная молярная масса смеси газов — это молярная масса такого воображаемого газа, который в том же объёме и при той же температуре оказывает на стенки сосуда то же давление, что и смесь газов, в данном iuRTq Pq7?7q г\пг\ случае воздух. Отсюда М = _ ^ — = 0,029 кг/моль. Ро^о Ро Задача 2. Определите температуру кислорода массой 64 г, находящегося в сосуде объёмом 1 л при давлении 5-10® Па. Молярная масса кислорода М = 0,032 кг/моль. Решение. Согласно уравнению Менделеева—Клапейрона pV = ^ RT. pVM Отсюда температура кислорода Т = —= 300 К. тН Задача 3. Определите плотность азота при температуре 300 К и давлении 2 атм. Молярная масса азота М = 0,028 кг/моль. Решение. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона: pV = ^ RT. Разделив на объём левую и правую части равенства, получим Р ^ ^ откуда р = ^ ~ 2,28 кг/м». М RT Задача 4. Определите, на сколько масса воздуха в комнате объёмом 60 м^ зимой при температуре 290 К больше, чем летом при температуре 27 °С. Давление зимой и летом равно 10® Па. Решение. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона: pV = ^ RT. тл аУМ ^ Из этого уравнения выразим массу газа: т = , где Г принимает значения 1x1 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ и Т2 — температуры воздуха зимой и летом. Молярная масса воздуха М = 0,029 кг/моль. Температура воздуха летом Т2 = 27 °С + 273 °С = 300 К. Таким образом, Ат = - m2 = pVM R Ti = 2,4 кг. Задачи для самостоятельного решения 1. Чему равен объём идеального газа в количестве одного моля при нормальных условиях? 2. Определите массу воздуха в классе размером 6x8x3 м при температуре 20 °С и нормальном атмосферном давлении. Молярную массу воздуха примите равной 0,029 кг/моль. 3. В баллоне вместимостью 0,03 м^ находится газ под давлением 1,35 • 10® Па при температуре 455 °С. Какой объём занимал бы этот газ при нормальных условиях (^q = 0 °С, р = 101 325 Па)? 4. Выразите среднюю квадратичную скорость молекулы через универсальную газовую постоянную и молярную массу. 5. При переходе газа определённой массы из одного состояния в другое его давление уменьшается, а температура увеличивается. Как изменяется его объём? '■ J. При температуре 240 К и давлении 166 кПа плотность газа равна 2 кг/м^. Чему равна молярная масса этого газа? ' '2. Плотность идеального газа меняется с течением времени так, как показано на рисунке. Температура газа при этом постоянна. Во сколько раз давление газа при максимальной плотности больше, чем при минимальной? < о. Газ находится в баллоне вместимостью 8,31 л при температуре 127 °С и давлении 100 кПа, Какое количество вещества содержится в газе? р, кг/м^ А 3,9 2,6 1,3 1 о 20 40 60 t, мин С4. На рисунке показан график изменения давления идеального газа при его расширении. Какое количество газообразного вещества (в молях) содержится в этом сосуде, если температура газа постоянна и равна 300 К? СГ). На рисунке показан график зависимости давления газа в запаянном сосуде от его температуры. Объём сосуда равен 0,4 м^. Сколько молей газа содержится в этом сосуде? р, 104 Па р, 10^ Па I 1,2- 1,0 290 310 330 Т, К It' МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ § 65 ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ Вспомните, состояние какого газа описывает уравнение Менделеева—Клапейрона. Можно ли универсальную газовую постоянную считать фундаментальной постоянной? С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса газа и один из трёх параметров — давление, объём или температура — остаются неизменными. ЕШВ Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном значении третьего называют газовыми законами. Процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров, называют изопроцессами. у Слово «изопроцесс» — сложное слово, первая часть которого происходит от греческого слова isos — авный, одинаковый. Отметим, что в действительности ни один процесс не может протекать при строго фиксированном значении какого-либо параметра. Всегда имеются те или иные воздействия, нарушающие постоянство температуры, давления или объёма. Лишь в лабораторных условиях удаётся поддерживать постоянство того или иного параметра с высокой точностью, но в действующих технических устройствах и в природе это практически неосуществимо. Изопроцесс — это идеализированная модель реального процесса, которая только приближённо отражает действительность. Изотермический процесс. Процесс изменения состояния системы макроскопических тел {термодинамической системы) при постоянной температуре называют изотермическим. Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплом с большой системой — термостатом. Слово «изотермический» происходит от греческих слов isos — лэавный, одинаковый и therme — теплота. Иначе при сжатии или расширении температура газа будет меняться. Термостатом может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса. Согласно уравнению состояния идеального газа (10.4), если масса газа не изменяется, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на его объём остаётся постоянным: (10.6) pV = const при Т = const. Этот вывод был сделан английским учёным Р. Бойлем (1627—1691) и несколько позже французским учёным Э. Мариоттом (1620—1684) на основе эксперимента. Поэтому он носит название закона Бойля—Мариотта. Закон Бойля-Мариотта 'Для газа данной массы при постоянной температуре произве \^ение давления газа на его объём постоянно.__________________________________ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Закон Бойля—Мариотта справедлив обычно для любых газов, а также и для их смесей, например для воздуха. Лишь при давлениях, в несколько сотен раз больших атмосферного, отклонения от этого закона становятся существенными. Кривую, изображающую зависимость давления газа от объёма при постоянной температуре, называют изотермой. Изотерма газа изображает обратно пропорциональную зависимость между давлением и объёмом. Кривую такого рода в математике называют гиперболой (рис. 10.1). Различным постоянным температурам соответствуют различные изотермы. При повышении температуры газа давление согласно уравнению состояния (10.4) увеличивается, если V = const. Поэтому изотерма, соответствующая более высокой температуре Т2, лежит выше изотермы, соответствующей более низкой температуре (см. рис. 10.1). Для того чтобы процесс происходил при постоянной температуре, сжатие или расширение газа должно происходить очень медленно. Дело в том, что, например, при сжатии газ нагревается, так как при движении поршня в сосуде скорость и соответственно кинетическая энергия молекул после ударов о поршень увеличиваются, а следовательно, увеличивается и температура газа. Именно поэтому для реализации изотермического процесса надо после небольшого смещения поршня подождать, когда температура газа в сосуде опять станет равной температуре окружающего воздуха. Кроме этого, отметим, что при быстром сжатии давление под поршнем сразу становится больше, чем во всём сосуде. Если значения давления и температуры в различных точках объёма разные, то в этом случае газ находится в неравновесном состоянии и мы не можем назвать значения температуры и давления, определяющие в данный момент состояние системы. Если систему предоставить самой себе, то температура и давление постепенно выравниваются, система приходит в равновесное состояние. ЕШВ1 Равновесное состояние — это состояние, при котором температура и давление во всех точках объёма одинаковы. Начертите изотермы в осях р, Т и V, Т. Параметры состояния газа могут быть определены, если он находится в равновесном состоянии. Процесс, при котором все промежуточные состояния газа являются равновесными, называют равновесным процессом. Очевидно, что на графиках зависимости одного параметра от другого мы можем изображать только равновесные процессы. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Изобарный процесс. Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным. 3 Слово -изобарный, происходив , Согласно уравнению (10.4) в лю- бом состоянии газа с неизменным давлением отношение объёма газа к его температуре остаётся постоянным: от греческих слов isos — равный, одинаковый и baros — вес, тяжесть. — = const при р = const. (10.7) Этот закон был установлен экспериментально в 1802 г. французским учёным Ж. Гей-Люссаком (1778—1850) и носит название закона Гей-Люссака. Для газа данной массы при постоянном давлении отношение объёма к абсолютной температуре постоянно. Согласно уравнению (10.7) объём газа при постоянном давлении пропорционален температуре: V = const • Т. (10.8) Прямую, изображающую зависимость объёма газа от температуры при постоянном давлении, называют изобарой. Разным давлениям соответствуют разные изобары (рис. 10.2). Проведём на рисунке произвольную изотерму. С ростом давления объём газа при постоянной температуре согласно закону Бойля— Мариотта уменьшается. Поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению Р2» лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению р^. В области низких температур все изобары идеального газа сходятся в точке Т = 0. Но это не означает, что объём реального газа обращается в нуль. Все газы при сильном охлаждении превращаются в жидкости, а к жидкостям уравнение состояния (10.4) неприменимо. Именно поэтому, начиная с некоторого значения температуры, зависимость объёма от температуры проводится на графике штриховой линией. В действительности таких значений температуры и давления у вещества в газообразном состоянии быть не может. Изобарным можно считать расширение газа при нагревании его в цилиндре с подвижным поршнем, если внешнее давление постоянно. Давление в цилиндре постоянно и равно сумме атмосферного давления и давления m^g/S поршня. Начертите изобары в осях р, Т \л У0 Р. V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Изохорный процесс. ЕВШ Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме называют изохорным. Из уравнения состояния (10.4) вытекает, что в любом состоянии газа с неизменным объёмом отношение давления газа к его температуре остаётся постоянным: Слово «изохорный» происходит от греческих слов isos — равный, одинаковый и chora — место, пространство, занимаемое чем-нибудь. — = const при V = const. Этот газовый закон был установлен в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем (1746—1823) и носит название закона Шарля, (10.9) Для газа данной массы отношение давления к абсолютной температуре постоянно, если объём не меняется. Согласно уравнению (10.9) давление газа при постоянном объёме пропорционально температуре: р = const • Т. (10.10) Прямую, изображающую зависимость давления газа от температуры при постоянном объёме, называют изохорой. Разным объёмам соответствуют разные изохоры. Также проведём на рисунке произвольную изотерму (рис. 10.3). С ростом объёма газа при постоянной температуре давление его, согласно закону Бойля— Мариотта, падает. Поэтому изохора, соответствующая большему объёму Kg* лежит ниже изохоры, соответствующей меньшему объёму В соответствии с уравнением (10.10) все изохоры идеального газа начинаются в точке Т = 0. Значит, давление идеального газа при абсолютном нуле равно нулю. Увеличение давления газа в любом сосуде или в электрической лампочке при нагревании можно считать изохорным процессом. Изохорный процесс используется в газовых термометрах постоянного объёма. В заключение составим опорную схему (рис. 10.4) и покажем логические переходы, связывающие различные законы и уравнения. Pi 1 Р\ ‘“■у Р2 / 0 Рис. 10.3 Можно ли утверждать, что изохор- '% ный процесс равновесный? С какими процессами вы встречаетесь в повседневной жизни? МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ->---на основании теории ► — на основании эксперимента П Изопроцессы. Законы Бойля—Мариотта, Гей-Люссака, Шарля 7 1. Вы надули щёки. При этом и объём, и давление воздуха у вас во рту увеличиваются. Как это согласовать с законом Бойля—Мариотта? 2. Как можно осуществить изотермический, изобарный и изохорный процессы? 3. Какое состояние системы (газа) считается равновесным? 4. Как качественно объяснить газовые законы на основе молекулярно-кинетической теории? §66 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ ] «ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ» Если при переходе газа из начального состояния в конечное один из параметров не меняется, то разумно использовать один из газовых законов (10.6), (10.7) или (10.9). Для этого нужно знать зависимость параметров друг от друга, которая в общем случае даётся уравнением состояния, а в частных — газовыми законами. 11адача 1. Баллон вместимостью = 0,02 м^, содержащий воздух под давлением Pi = 4 ‘ 10® Па, соединяют с баллоном вместимостью Fg = 0,06 м^, из которого воздух выкачан. Определите давление р, которое установится в сосудах. Температура постоянна. Решение. Воздух из первого баллона займёт весь предоставленный ему объём Fj + Fg. По закону Бойля—Мариотта PjF^ = p(Fg + F|). Отсюда искомое давление р = 7Г^Г1Г ^ Задача 2. В запаянной пробирке находится воздух при атмосферном давлении и температуре 300 К. При нагревании пробирки на 100 °С она лопнула. Определите, какое максимальное давление выдерживает пробирка. Решение. Объём воздуха при нагревании остаётся постоянным. Для определения давления в пробирке при нагревании до 100 °С принт ^ ^2 меняем закон Шарля — = —. По условию Tg = 400 К. Заметим, что изменение температуры по шкале Кельвина равно изменению температуры по шкале Цельсия. Pi Тогда давление pg = -;^Tg = 1,25 атм. Однако разорваться пробирке мешает атмосферное давление. Тогда окончательно давление, которое может выдержать пробирка, Рщах ^ Ратм F Рг * « 2,25 атм. Задача 3. При нагревании газа при постоянном объёме на 1 К давление увеличилось на 0,2 %. Чему равна начальная температура газа? Решение. Газ нагревается при постоянном объёме — процесс изохор-Pi ^1 ный. По закону Шарля — = ^2 условия задачи следует, Р2 h _ /J1 что Р2 = Pi • 1,002, т. е. ^ ^ QQg = откуда Ti = ДГ/0,002 = 500 К. Задача 4. Давление воздуха внутри бутылки, закрытой пробкой, равно 0,1 МПа при температуре = 7 °С. На сколько градусов нужно нагреть воздух в бутылке, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ вынуть, прикладывая к ней силу 30 Н. Площадь поперечного сечения пробки 2 см^. Решение. Чтобы пробка вылетела из бутылки, необходимо, чтобы давление воздуха в бутылке было равно Р = ^ Т Ро* О _ При нагревании объём не изменяется. По закону Шарля -гг = pTi 7\Р 1 2 откуда ^2 ~ ~Г~’ Следовательно, ЛТ = То ~ Т, = —г = 420 К. Ро Ро* Задачи для самостоятельного решения 1. Компрессор, обеспечивающий работу отбойных молотков, засасывает из атмосферы воздух объёмом V = 100 л в 1 с. Сколько отбойных молотков может работать от этого компрессора, если для каждого молотка необходимо обеспечить подачу воздуха объёмом = 100 см^ в 1 с при давлении р = 5 МПа? Атмосферное давление Ро = 100 кПа. 2. Определите температуру газа, находящегося в закрытом сосуде, если давление газа увеличивается на 0,4 % от первоначального давления при нагревании на 1 К. 3. Высота пика Ленина на Памире равна 7134 м. Атмосферное давление на этой высоте равно 3,8 • 10^ Па. Определите плотность воздуха на вершине пика при температуре 0 °С, если плотность воздуха при нормальных условиях 1,29 кг/м^. С1. Идеальный газ изотермически сжали из состояния с объёмом 6 л так, что давление газа изменилось в 3 раза. На сколько уменьшился объём газа в этом процессе? С2. Поршень площадью 10 см^ и массой 5 кг может без трения перемещаться в вертикальном цилиндрическом сосуде, обеспечивая при этом его герметичность. Сосуд с поршнем, заполненный газом, покоится на полу неподвижного лифта при атмосферном давлении 100 кПа, при этом расстояние от нижнего края поршня до дна сосуда 20 см. Каким станет это расстояние, когда лифт поедет вверх с ускорением, равным 2 м/с^? Изменение температуры газа не учитывайте. СЗ. С идеальным газом происходит изобарный процесс, в котором для увеличения объёма газа на 1.50 дм^ его температуру увеличивают в 2 раза. Масса газа постоянна. Каким был первоначальный объём газа? С4 Идеальный одноатомный газ в количестве v = 0,09 моль находится в равновесии в вертикальном цилиндре под поршнем массой 5 кг. Трение между поршнем и стенками цилиндра отсутствует. Внешнее атмосферное давление Ро = 100 кПа. В результате нагревания газа поршень поднялся на высоту ДЛ = 4 см, а температура газа повысилась на АТ = 16 К. Чему равна площадь поршня? ' «J. Идеальный газ изохорно нагревают так, что его температура изменяется на АТ = 240 К, а давление — в 1,8 раза. Масса газа постоянна. Определите начальную температуру газа по шкале Кельвина. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ д-7 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ® ПАРАМЕТРОВ ГАЗА ПО ГРАФИКАМ И30ПРОЦЕССОВ» При решении многих задач на газовые законы требуется построение графиков, изображающих разного рода процессы. На графиках обозначаем точки, определяющие состояния системы. Имеем в виду, что можно изобразить только равновесные процессы, при которых каждое промежуточное состояние равновесное, т. е. температура и давление одинаковы во всех точках данного объёма. .Задача 1. Постройте изобары для водорода массой 2 г при нормальном атмосферном давлении в координатах р, Т; р, V; V, Т. Решение. На графиках зависимости р от Т и р от F изобара представляет собой прямую, параллельную либо оси Т, либо оси V (рис. 10.5, а и б). Так как V = Г, то графиком зависимости V от Т является прямая, про-Мро ходящая через начало отсчёта. Учитывая, что т = 0,002 кг, М = = 0,002 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль • К) и Ро = 10^ Па, можно записать: о . 1 л-л м3 „_____ ___ЛТ7 _ 1 лл т/- ТГ о . 1 л-3 „3 V = ВТ, где В = 8 • 10~^ в частности, при Т = 100 К F » 8 • 10 м . Мро К График зависимости V от Т показан на рисунке 10.5, в. р, 10^ Па Т Рис. 10.5 Задача 2. Выведите уравнение Клапейрона при переходе газа из состояния 1 (pj, Fj, Ti) в состояние 2 (pg, Fg, Tg) (рис. 10.6, a). Решение. Переведём газ из состояния 1 в состояние 2, совершив два процесса: изотермический из состояния 1 в состояние Т, поддерживая постоянную температуру Т^, и изобарный из состояния Т в состояние 2, поддерживая постоянным давление pg (рис. 10.6, б). Согласно закону Бойля—Мариотта запишем: p^Fj = PgF', согласно закону F' ^2 Гей-Люссака — = — • Выразив из первого и второго уравнений F и при-^2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ а) б) Рис. 10.6 равняв правые части полученных равенств, запишем: V2T1 Перенеся Р2 ^2 параметры с индексом 1 в левую часть, а параметры с индексом 2 в пра- вую, получим уравнение Клапейрона Pl^l Р2^2 . Для вывода уравнения мы ^2 -*2 использовали два экспериментально установленных закона: изотермический и изобарный. р, Ю'* Па| 'А '' V ЧД Задача 3. На графике (рис. 10.7) показан переход газа, взятого в количестве 2 моль, из состояния А в состояние В. Определите изменение температуры газа, а также максимальное значение температуры при этом переходе. Решение. По графику видно, что сначала газ нагревался при постоянном давлении, а затем давление уменьшалось при постоянном объёме, при этом температура уменьшалась. Обратим внимание на то, что произведение давления на объём в состояниях А и В одно и то же и равно 5 4-3-2-1 -0^ 1 2 3 4 5 F, 10"^м^ Рис. 10.7 4000 Па ■ м*^ pV Согласно закону Менделеева—Клапейрона Т = = 241 К, АТ = О. Vix Начертим изотермы, проходяш;ие через отмеченные состояния. Согласно графикам максимальная температура соответствует промежуточному состоянию Т, для которого Р = 4 л, а давление 4 • 10® Па. Тогда Т = 962 К. Задача 4. На рисунке 10.8, а изображён график перехода газа из состояния А в состояние В в координатах р, V. Постройте график этого перехода в координатах р, Т и Ч Т. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Рис. 10.8 Решение. Сначала построим график перехода в координатах р, Т. Поставим точку, соответствующую состоянию А газа (рис. 10.8, б). Процесс А—1 изотермический. При этом давление газа уменьшается. Процесс 1—2 изобарный. Построим отрезок, параллельный оси абсцисс. Процесс 2—В изо-хорный, при этом температура газа уменьшается. Начертим изохору, проходящую через точку 2. Конечное состояние соответствует давлению р^. Аналогично строим переход в координатах V, Т (рис. 10.8, в). При процессе А—1 объём газа увеличивается при постоянной начальной температуре. При процессе 1—2 объём увеличивается при постоянном давлении. Изобара проходит через начало координат. Конечное состояние соответствует объёму Vg. Затем процесс изохорный, при этом температура газа понижается. Задачи для самостоятельного решения 1. Постройте изохоры для кислорода массой 16 г и объёмом 1 л в координатах р, V; V, Тир, Т. 2. На рисунке 10.9 представлен график изменения состояния идеального газа в координатах V, Т. Представьте этот процесс на графиках в координатах р, V и р, Т. 3. Газ перешёл из состояния 1 в состояние 2 (рис 10.10). Масса газа постоянна. Как изменилось давление газа? 4. Начертите графики зависимости плотности газа от температуры при изобарном процессе и плотности газа от давления при изохорном процессе. Масса газа постоянна. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Л1. в сосуде находится некоторое количество идеального газа. Какой станет температура газа, если он перейдёт из состояния 1 в состояние 2 (см. рис.)? 1) Гз = АТ, Тл 2) АТ, 3) Гг - у- 4) Т, - Т, \2. В координатах V, Т представлена зависимость объёма идеального газа постоянной массы от абсолютной температуры. Как изменяется давление в процессе 1—2—3? 1) на участках 1—2 и 2—3 увеличивается 2) на участках 1—2 и 2—3 уменьшается 3) на участке 1—2 уменьшается, на участке 2—3 остаётся неизменным 4) на участке 1—2 не изменяется, на участке 2—3 увеличивается АЗ. В координатах V, Т показано, как изменялись объём и температура некоторого разреженного газа, количество которого не изменялось, при его переходе из начального состояния 1 в состояние 4. Как изменялось давление газа на участке 2—3? 1) увеличивалось 3) не изменялось 2) уменьшалось 4) определить нельзя Повторите материал главы ю по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. «Основное уравнение МКТ и основное уравнение состояния идеального газа» 1. Статистические закономерности. Подходы к изучению поведения большого числа частиц. Средние значения. 2. Распределение молекул по скоростям — распределение Максвелла. Опыт Штерна, 3. Открытие газовых законов. Роберт Бойль, Эдм Мариотт, Жак Шарль, Жозеф Луи Гей-Люссак. «Экспериментальное подтверждение газовых законов (схемы опытов, предложенные вами)» «Моделирование и изготовление газового термометра, основанного на изобарном или изохорном процессе» МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ГЛАВА 11 ВЗАИМНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Молекулярно-кинетическая теория позволяет не только понять, почему вещество может находиться в газообразном, жидком и твёрдом состояниях, но и объяснить процесс перехода вещества из одного состояния в другое. § 68 НАСЫЩЕННЫЙ ПАР Вспомните, что представляет собой модель идеального газа. Можно ли с помощью этой модели объяснить явление конденсации? Идеальный газ нельзя превратить в жидкость. В жидкость превращается реальный газ. Испарение и конденсация. Молекулы жидкости движутся беспорядочно. Чем выше температура жидкости, тем больше кинетическая энергия молекул. Среднее значение кинетической энергии молекул при заданной температуре имеет определённое значение. Но у каждой молекулы кинетическая энергия в данный момент времени может оказаться как меньше, так и больше средней. В какой-то момент времени кинетическая энергия отдельных молекул может стать настолько большой, что они окажутся способными вылететь из жидкости, преодолев силы притяжения остальных молекул. Процесс превращения жидкости в пар называется испарением. При этом процессе число молекул, покидающих жидкость за определённый промежуток времени, больше числа молекул, возвращающихся в неё. /?1лотно закрытый флакон с духами может стоять очень долго, и количество духов в нём не изменится. Если же флакон оставить открытым, то через достаточно продолжительное время вы увидите, что жидкости в нём нет. Жидкость, в которой растворены ароматические вещества, испарилась. Гораздо быстрее испаряется (высыхает) лужа на асфальте, особенно если высока температура воздуха и дует У^етер. Если поток воздуха над сосудом уносит с собой образовавшиеся пары жидкости, то жидкость испаряется быстрее, так как у молекулы пара уменьшается возможность вновь вернуться в жидкость. Чем выше температура жидкости, тем большее число молекул имеет достаточную для вылета из жидкости кинетическую энергию, тем быстрее идёт испарение. При испарении жидкость покидают более быстрые молекулы, поэтому средняя кинетическая энергия мо- лекул жидкости уменьшается. Процесс испарения происходит со свободной поверхности жидкости. Если лишить жидкость возможности испаряться, то охлаждение её будет происходить гораздо медленнее. /Ъмочив руку какой-нибудь бы-стро испаряющейся жидкостью (например, бензином или ацетоном), вы тут же почувствуете сильное охлаждение смоченного места. Охлаждение этого места усилится, если на руку подуть. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Вспомните, как долго остывает жирный бульон. Слой жира на его поверх^ ности мешает выходу быстрых молекул воды. Жидкость почти не испаряется, и её температура падает медленно (сам жир испаряется крайне медленно, так как большие молекулы более прочно сцеплены друг с другом, чем молекулы воды).^ Вылетевшая молекула принимает участие в беспорядочном тепловом движении газа. Беспорядочно двигаясь, она может навсегда удалиться от поверхности жидкости, находящейся в открытом сосуде, но может и вернуться снова в жидкость. 1В5&Е!!!ШР Процесс превращения пара в жидкость называется конденсацией. При этом процессе число молекул, возвращающихся в жидкость за определённый промежуток времени, больше числа молекул, покидающих её. Насыщенный пар. Если сосуд с жидкостью плотно закрыть, то сначала количество жидкости уменьшится, а затем будет оставаться постоянным. При неизменной температуре система жидкость—пар придёт в состояние теплового равно- Обсудите с товарищем, как мож-но ускорить процессы испарения жидкости и конденсации пара. Как и почему изменяется температура поверхности, на которой происходит \^<онденсация пара?___________________ весия и будет находиться в нём сколь угодно долго. Одновременно с процессом испарения происходит и конденсация, оба процесса в среднем компенсируют друг друга. В первый момент, после того как жидкость нальют в сосуд и закроют его, жидкость будет испаряться и плотность пара над ней будет увеличиваться. Однако одновременно с этим будет расти и число молекул, возвращающихся в жидкость. Чем больше плотность пара, тем большее число его молекул возвращается в жидкость. В результате в закрытом сосуде при постоянной температуре установится динамическое (подвижное) равновесие между жидкостью и паром. ЕШЗВ Динамическое равновесие — это состояние, при котором число молекул, покидающих поверхность жидкости за некоторый промежуток времени, будет равно в среднем числу молекул пара, возвратившихся за то же время в жидкость. Для воды при комнатной температуре это число приблизительно равно 10^^ молекул за время, равное 1 с (на 1 см^ площади поверхности). яшдд Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называют насыщенным паром. Согласно этому определению в данном объёме при данной температуре не может находиться большее количество пара. Если воздух из сосуда с жидкостью предварительно откачан, то в сосуде над поверхностью жидкости будет находиться только её насыщенный пар. Испарение. Конденсация. Насыщенный пар МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ 1. Почему в жару собака высовывает язык? щ 2. Приведите примеры динамического равновесия, подобного динамическому • равновесию насыщенного пара и жидкости. 'Л. Какой пар называется насыщенным? Г^"*^"**"**"^ ■■■' ' “ -Г -- I ■ -III-I - ■ ■ II - t- Al. При какой температуре молекулы могут покидать поверхность воды? 1) только при температуре кипения 2) только при температуре выше 100 °С 3) только при температуре выше 20 °С 4) при любой температуре выше 0 °С А2. Хаотичность теплового движения молекул жидкости приводит к тому, что 1) жидкость в открытом сосуде испаряется при любой температуре 2) температура жидкости во время её кипения не изменяется 3) жидкость трудно сжать 4) жидкость при охлаждении кристаллизуется АЗ, Вода может испаряться 1) только при кипении 2) только при нагревании 3) при любой температуре, если пар в воздухе над поверхностью воды является ненасыщенным 4) при любой температуре, если пар в воздухе над поверхностью воды является насыщенным А4. Часть воды испарилась из чашки при отсутствии теплообмена с окружающей средой. Температура воды, оставшейся в чашке, 1) увеличилась 2) уменьшилась 3) не изменилась 4) увеличилась или уменьшилась в зависимости от скорости испарения А5. Закупоренную бутылку, которая наполовину заполнена квасом, из тёплой комнаты переносят на холодный балкон. Через некоторое время устанавливается тепловое равновесие. Какое из приведённых ниже утверждений верное? В начальном состоянии водяной пар в бутылке являлся 1) насыщенным паром, в конечном состоянии — ненасыщенным 2) ненасыщенным паром, в конечном состоянии — насыщенным 3) насыщенным паром, в конечном состоянии — тоже насыщенным 4) ненасыщенным паром, в конечном состоянии — тоже ненасыщенным МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ }§ 69 ДАВЛЕНИЕ НАСЫЩЕННОГО ПАРА Как вы думаете, что будет происходить с насыщенным паром, если уменьшить занимаемый им объём: например, если сжимать пар, находящийся в равновесии с жидкостью в цилиндре под поршнем, поддерживая температуру содержимого цилиндра постоянной? При сжатии пара равновесие начнёт нарушаться. Плотность пара в первый момент немного увеличится, и из газа в жидкость начнёт переходить большее число молекул, чем из жидкости в газ. Ведь число молекул, покидающих жидкость в единицу времени, зависит только от температуры, и сжатие пара это число не меняет. Процесс продолжается до тех пор, пока вновь не установится динамическое равновесие и плотность пара, а значит, и концентрация его молекул не примут прежних своих значений. Следовательно, концентрация молекул насыщенного пара при постоянной температуре не зависит от его объёма. Так как давление пропорционально концентрации молекул (р = nkT), то из этого определения следует, что давление насыщенного пара не зависит от занимаемого им объёма. Давление п пара, при котором жидкость находится в равновесии со своим паром, называют давлением насыщенного пара. При сжатии насыщенного пара всё большая часть его переходит в жидкое состояние. Жидкость данной массы занимает меньший объём, чем пар той же массы. В результате объём пара при неизменной его плотности уменьшается. Отметим ещё один важный факт. Газовые законы для насыщенного пара несправедливы {при любом объёме при постоянной температуре давление насыщенного пара одинаково). В то же время состояние насыщенного пара достаточно точно описывается уравнением Менделеева-Клапейрона. Ненасыщенный пар. Если пар постепенно сжимают при постоянной температуре, а превращение его в жидкость не происходит, то такой пар называют ненасыщенным. Ра Ри.п L1 3 При уменьшении объёма (рис. 11.1) давление ненасыщенного пара увеличивается (участок 1—2) подобно тому, как изменяется давление при уменьшении объёма идеального газа. При определённом объёме пар становится насыщенным, и при дальнейшем его сжатии происходит превращение его в жидкость (участок 2—3). В этом случае над жидкостью уже будет находиться насыщенный пар. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Предположите, как ведут себя молекулы пара и жидкости на разных участках кривой (см. рис. 11.1). Как только весь пар превратится в жидкость, дальнейшее уменьшение объёма вызовет резкое увеличение давления (жидкость малосжимаема). Однако пар превращается в жидкость не при любой температуре. Если температура выше некоторого значения, то, как бы мы ни сжимали газ, он никогда не превратится в жидкость. Максимальная температура, при которой пар ещё может превратиться в жидкость, называется критической температурой. Каждому веществу соответствует своя критическая температура, у гелия = 4 К, у азота = 126 К. Состояние вещества при температуре выше критической называется газом; при температуре ниже критической, когда у пара есть возможность превратиться в жидкость, — паром. Свойства насыщенного и ненасыщенного пара различны. Зависимость давления насыщенного пара от температуры. Состояние насыщенного пара, как показывает опыт, приближённо описывается уравнением состояния идеального газа (10.4), а его давление определяется формулой p„,^ = nkT. (11.1) С ростом температуры давление растёт. Так как давление насыщенного пара не зависит от объёма, то, следовательно, оно зависит только от температуры. Однако зависимость давления „ от температуры Т, найденная экспериментально, не является прямо пропорциональной, как у идеального газа при постоянном объёме. С увеличением температуры давление реального насыщенного пара растёт быстрее, чем давление идеального газа (рис. 11.2, участок кривой АВ). Это становится очевидным, если провести изохоры идеального газа через точки А и В (штриховые прямые). Почему это происходит? При нагревании жидкости в закрытом сосуде часть жидкости превращается в пар. В результате согласно формуле (11.1) давление насыщенного пара растет не только вследствие повышения температуры жидкости, но и вследствие увеличения концентрации молекул (плотности) пара. В основном увеличение давления при повышении температуры определяется именно увеличением концентрации. Главное различие в поведении идеального газа и насыщенного пара состоит в том, что при изменении^температуры пара в закрытом сосуде (или при изменении объёма при постоянной температуре) изменяется масса пара. ' II МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Почему составляются таблицы за-уш висимости давления насыщенного пара от температуры и нет таблиц зависимости давления газа от темпера- \j7pbi?_________________________________^ Жидкость частично превращается в пар, или, напротив, пар частично конденсируется. С идеальным газом ничего подобного не происходит. Когда вся жидкость испарится, пар при дальнейшем нагревании перестанет быть насыщенным и его давление при постоянном объёме будет возрастать прямо пропорционально абсолютной температуре (см. рис. 11.2, участок кривой ВС). Кипение. По мере увеличения температуры жидкости интенсивность испарения увеличивается. Наконец, жидкость начинает кипеть. При кипении по всему объёму жидкости образуются быстро растущие пузырьки пара, которые всплывают на поверхность. Кипение — это процесс парообразования, происходящий по всему объёму жидкости при температуре кипения. Понаблюдайте внимательно за процессом нагрева, закипания и ^ кипения воды в чайнике. Вы обнаружите, что перед закипанием чайник ^почти перестаёт шуметь._______________ При каких условиях начинается кипение? На что расходуется при кипении подводимое к жидкости тепло с точки зрения молекулярно-кинетической теории? Температура кипения жидкости остаётся постоянной. Это происходит потому, что вся подводимая к жидкости энергия расходуется на превращение её в пар. В жидкости всегда присутствуют растворённые газы, выделяющиеся на дне и стенках сосуда, а также на взвешенных в жидкости пылинках, которые являются центрами парообразования. Пары жидкости, " находящиеся внутри пузырьков, яв- ляются насыщенными. С увеличением температуры давление насыщенных паров возрастает и пузырьки увеличиваются в размерах. Под действием выталкивающей силы они всплывают вверх. Если верхние слои жидкости имеют более низкую температуру, то в этих слоях происходит конденсация пара в пузырьках. Давление стремительно падает, и пузырьки захлопываются. Захлопывание происходит настолько быстро, что стенки пузырька, сталкиваясь, производят нечто вроде взрыва. Множество таких микровзрывов создаёт характерный шум. Когда лсидкость достаточно прогреется, пузырьки перестанут захлопываться и всплывут на поверхность. Жидкость закипит. Зависимость давления насыщенного пара от температуры объясняет, почему температура кипения жидкости зависит от давления на её поверхность. Пузырёк пара может расти, когда давление насыщенного пара внутри его немного превосходит давление в жидкости, которое складывается из давления воздуха на поверхность жидкости (внешнее давление) и гидростатического давления столба жидкости. Обратим внимание на то, что испарение жидкости п^исходит и при температурах, меньших температуры кипения, но только с поверхности жидкостиГ при кипении же образование пара происходит по всему объёму жидкости. ‘Т V МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Кипение начинается при температуре, при которой давление насыщенного пара в пузырьках сравнивается и становится чуть больше давления в жидкости. Чем больше внешнее давление, тем выше температура кипения. Так, в паровом котле при давлении, достигающем 1,6 • 10® Па, вода не кипит и при температуре 200 °С. В медицинских учреждениях в герметически закрытых сосудах — автоклавах (рис. 11.3) кипение воды также происходит при повышенном давлении. Поэтому температура кипения жидкости значительно выше 100 °С. Автоклавы применяют, например, для стерилизации хирургических инструментов, ускорения приготовления пищи (скороварка), консервации пищи, проведения химических реакций. И наоборот, уменьшая внешнее- давление, мы тем самым понижаем температуру кипения. Откачивая насосом воздух и пары воды из колбы, можно заставить воду кипеть при комнатной температуре. При подъёме в горы атмосферное давление уменьшается, поэтому уменьшается температура кипения. На высоте 7134 м (пик Ленина на Памире) давление приближённо равно 4 • 10“^ Па (300 мм рт. ст.). Вода кипит там примерно при 70 ®С. Сварить мясо в этих условиях невозможно. У каждой жидкости своя температура кипения, которая зависит от свойств жидкости. При одной и той же температуре давление насыщенного пара разных жидкостей различно. Например, при температуре 100 °С давление насыщенных паров воды равно 101 325 Па (760 мм рт. ст.), а паров ртути — всего лишь 117 Па (0,88 мм рт. ст.). Так как кипение происходит при той же температуре, при которой давление насыщенного пара равно внешнему давлению, то вода при 100 °С закипает, а ртуть нет. Кипит ртуть при температуре 357 °С при нормальном давлении. Различаются ли значения удельной теплоты испарения и удельной теплоты парообразования? 7 т Давление насыщенного пара. Критическая температура I Почему давление насыщенного пара не зависит от его объёма? Почему температура кипения возрастает с увеличением давления? Почему для кипения существенно повышение давления насыщенного пара в пузырьках, а не повышение давления имеющегося в них воздуха? - Как заставить закипеть жидкость, охлаждая сосуд? (Вопрос этот непростой.) МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА Вспомните, что такое пар и каковы его основные свойства. Можно ли считать воздух газом? Применимы ли законы идеального газа для воздуха? Вода занимает около 70,8% поверхности земного шара. Живые организмы содержат от 50 до 99,7% воды. Образно говоря, живые организмы — это одушевлённая вода. В атмосфере находится около 13—15 тыс. км^ воды в виде капель, кристаллов снега и водяного пара. Атмосферный водяной пар влияет на погоду ,и климат Земли. Водяной пар в атмосфере. Водяной пар в воздухе, несмотря на огромные поверхности океанов, морей, озёр и рек, далеко не всегда является насыщенным. Перемещение воздушных масс приводит к тому, что в одних местах нашей планеты в данный момент испарение воды преобладает над конденсацией, а в других, наоборот, преобладает конденсация. Но в воздухе практически всегда имеется некоторое количество водяного пара. Содержание водяного пара в воздухе, т. е. его влажность, можно характеризовать несколькими величинами. Плотность водяного пара в воздухе называется абсолютной влажностью. Абсолютная влажность выражается, следовательно, в килограммах на метр кубический (кг/м^). Парциальное давление водяного пара. Атмосферный воздух представляет собой смесь различных газов и водяного пара. Каждый из газов вносит свой вклад в суммарное давление, производимое воздухом на находящиеся в нём тела. EEQSCSS^ Давление, которое производил бы водяной пар, если бы все остальные газы отсутствовали, называют парциальным давлением водяного пара. Парциальное давление водяного пара принимают за один из показателей влажности воздуха. Его выражают в единицах давления — паскалях или миллиметрах ртутного столба. Так как воздух представляет собой смесь газов, то атмосферное давление определяется суммой парциальных давлений всех компонент сухого воздуха (кислорода, азота, углекислого газа и т. д.) и водяного пара. Относительная влажность. По парциальному давлению водяного пара и абсолютной влажности ещё нельзя судить о том, насколько водяной пар в данных условиях близок к насыщению. А именно от этого зависит интенсивность испарения воды и потеря влаги живыми организмами. Вот почему вводят величину, показывающую, насколько водяной пар при данной температуре близок к насыщению, — относительную влажность. Подумайте что определяет пар^ W циапьное давление одного из компонент смеси газов в данном 1 сосуде. J МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ АШмш# Относительной влажностью воздуха называют отношение парциаль- ного давления р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре, к давлению „ насыщенного пара при той же температуре, выраженное в процентах: Ф = Рп. п 100 %. (11.2) Относительная влажность воздуха обычно меньше 100 %. При понижении температуры парциальное давление паров воды в воздухе может стать равным давлению насыщенного пара. Пар начинает конденсироваться, и выпадает роса. ESQEED Температура, при которой водяной пар становится насыщенным, называется точкой росы. По точке росы можно определить относительную влажность воздуха. Психрометр. Влажность воздуха измеряют с помощью специальных приборов. Мы расскажем об одном из них — психрометре. Психрометр состоит из двух термометров (рис. 11.4). Резервуар одного из них остаётся сухим, и он показывает температуру воздуха. Резервуар другого окружён полоской ткани, конец которой опущен в воду. Вода испаряется, и благодаря этому термометр охлаждается. Чем больше относительная влажность, тем менее интенсивно идёт испарение и температура, показываемая термометром, окружённым влажной тканью, ближе к температуре, показываемой сухим термометром. При относительной влажности, равной 100%, вода вообще не будет испаряться и показания обоих термометров будут одинаковы. По разности температур этих термометров с помощью специальных таблиц можно определить влажность воздуха. Значение влажности. От влажности зависит интенсивность испарения влаги с поверхности кожи человека. А испарение влаги имеет большое ________________________ значение для поддержания температуры тела постоянной. В космических кораблях поддерживается наиболее благоприятная для человека относительная влажность воз- духа (40—60 %). |Г Т I I ^ Повесьте в классной комнате Очень важно знать влажность в __ „л ^ wKk психрометр и понаблюдайте за метеорологии - в связи с предска- изменением влажности. Построй- занием погоды. Хотя относительное те график изменения влажности на проколичество водяного пара в атмо- тяжении учебного дня. Объясните, чем сфере сравнительно невелико (около \^эпределяется это изменение.________^ Рис. 11.м Как вы думаете, при каких условиях выпадает роса? Почему перед дождливым днём вечером на траве нет росы? МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ 1 %), роль его в атмосферных явлениях значительна. Конденсация водяного пара приводит к образованию облаков и последующему выпадению осадков. При этом выделяется большое количество теплоты. И наоборот, испарение воды сопровождается поглощением теплоты. В ткацком, кондитерском и других производствах для нормального течения процесса необходима определённая влажность. Очень важно соблюдение режима влажности на производстве при изготовлении электронных схем и приборов, в нанотехнологии. Хранение произведений искусства и книг требует поддержания влажности воздуха на необходимом уровне. При большой влажности холсты на стенах могут провиснуть, что приведёт к повреждению красочного слоя. Поэтому в музеях на стенах вы можете видеть психрометры. II Влажность воздуха. Парциальное давление пара. Психрометр ■ Что называется относительной влажностью воздуха? Определяется ли разность показаний термометров психрометра только относительной влажностью или, кроме того, зависит от конструкции прибора? о. Почему при высокой влажности в жаркий день ухудшается самочувствие людей? Какой процесс лежит в основе образования облаков и тумана? Л1. Парциальное давление водяного пара в воздухе при 20 °С равно 699 Па, а давление насыщенных паров при этой температуре равно 2330 Па. Относительная влажность воздуха равна 1) 10 % 2) 20 % 3) 30 % 4) 40 % Л-' Парциальное давление водяного пара в комнате в 2,5 раза меньше давления насыщенного водяного пара при такой же температуре. Следовательно, относительная влажность воздуха в комнате равна 1) 2,5 % 2) 4 % 3) 25 % 4) 40 % \о Давление насыщенного водяного пара при температуре 40 °С приблизительно равно 6000 Па. Чему равно парциальное давление водяного пара в комнате при этой температуре, если относительная влажность равна 30 %? 1) 1800 Па 2) 3000 Па 3) 12 000 Па 4) 20 000 Па В одном кубическом метре воздуха в комнате при температуре 24 °С находится водяной пар массой 1,6 ‘ 10“^ кг. Определите относительную влажность воздуха в комнате, если плотность насыщенных паров при данной температуре 2,18 • 10'2 кг/м^ 1) 100 % 2) 73 % 3) 67 % 4) 53 % Относительная влажность воздуха в сосуде под поршнем равна 45 %. Воздух изотермически сжали, уменьшив объём в 3 раза. Чему стала равна относительная влажность воздуха в сосуде? 1) 135 % 2) 100 % 3) 90 % 4) 15 % МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ g ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ ° ! «НАСЫЩЕННЫЙ ПАР. ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА» При решении задач надо иметь в виду, что давление и плотность насы-ш;енного пара не зависят от его объёма, а зависят только от температуры. Уравнение состояния идеального газа приближённо применимо и для описания насыщенного пара. Но при сжатии или нагревании насыщенного пара его масса не остаётся постоянной. При решении некоторых задач могут понадобиться значения давления насыщенного пара при некоторых температурах. Эти данные нужно брать из таблицы. Задача 1. Закрытый сосуд объёмом = 0,5 м^ содержит воду массой т = = 0,5 кг. Сосуд нагрели до температуры t = 147 °С. На сколько следует изменить объём сосуда, чтобы в нём содержался только насыщенный пар? Давление насыщенного пара ^ при температуре t = 147 °С равно 4,7 • 10® Па. Решение. Насыщенный пар при давлении „ занимает объём, равный niRT V = 0,2 м^, где М = 0,018 кг/моль — молярная масса воды. Объём сосуда Vi > V, а значит, пар не является насыщенным. Для того чтобы пар стал насыщенным, объём сосуда следует уменьшить на AV = V, -V=V.~ = 0,3м3. ^ Рн. Задача 2. Относительная влажность воздуха в закрытом сосуде при температуре = Ъ °С равна = 84%, а при температуре t2 = 22 °С равна Ф2 = 30 %. Во сколько раз давление насыщенного пара воды при температуре больше, чем при температуре fj? Решение. Давление водяного пара в сосуде при = 278 К равно Ф1 Pi = 100 Рн. п1 — давление насыщенного пара при температуре T^i. Ф2 При температуре Т2 = 295 К давление Р2 = ЮО %Рн. п2* Pi Так как объём постоянен, то по закону Шарля — = —. Отсюда Рн. п2 Рн, п1 Ф1 ^2 Ф2 7l Р2 Задача 3. В комнате объёмом 40 м^ температура воздуха 20 °С, его относительная влажность ф^ = 20 %. Сколько надо испарить воды, чтобы относительная влажность ф2 достигла 50 % ? Известно, что при 20 °С давление насыщающих паров р„ „ = 2330 Па. Рп1 Решение. Относительная влажность ф, = Рн. п ф, = 100 %, Ф2 = 100 %. 100 % отсюда МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Давление пара при относительной влажности cpj и ф2 ФхРн. п ФгРн.п Плотность связана с давлением равенством р = Mp/RT, откуда ^Рп1 _ ^Ри2 Pi = RT ’ Р2 RT ■ Массы воды в комнате при влажности ср^ и ф2 m,=p,V-^V, m^=p^V = ^V. Масса воды, которую надо испарить: MV . . ^Рп.и^ т = Шо - 2- - Рт) = дг 100 - Фх) = 0,208 кг. Задача 4. В комнате с закрытыми окнами при температуре 15 °С относительная влажность ф1 = 10 %. Чему станет равна относительная влажность, если температура в комнате повысится на 10 °С? Давление насыщенного пара при 15 °С = 12,8 мм рт. ст., а при 25 °С />„.„2 ^ 23,8 мм рт. ст. Решение. Так как пар ненасыщенный, то парциальное давление пара изменяется по закону Шарля PilT^ = ^2/^2- этого уравнения можно определить давление ненасыщенного пара pg при Т'2: Рг ^ Pi'^z/'^v Относительная влажность при равна: Ф1 Pi Ри. п1 ■100 % Относительная влажность при Т2 = 25 °С равна: Р2 ^ о/ Pl^2 Ф2 = Ря. п2 100 % = Ри. п2^1 100 % (1) (2) ФхРн.п! ФХ^н. п1^ Из уравнения (1) получим pj = ■ , следовательно, фз = —--=5,6 %. 1UU /о I'h. п2^1 Зад-ача 5. Относительная влажность воздуха в помещении 60%, температура 18 °С. До какой температуры надо охладить металлический предмет, чтобы его поверхность запотела? Решение. Относительная влажность воздуха ф = (р/Ры. п)Ю0 %. Для конденсации пара необходимо, чтобы он стал насыщенным, т. е. температура достигла точки росы. Давление пара при 18 °С должно стать равным давлению насыщенного пара при искомой температуре: ФРн.П р = 100 % = 1,24 • 10‘ Па. Давление насыщенного пара р^ ^ = 1,23 • 10^ Па при температуре ^2 ^ 10 °С (определяем по таблице). Следовательно, t2 * 10 °С. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Задачи для самостоятельного решения 1. Как будет меняться температура кипения воды, если сосуд с водой опускать в глубокую шахту? 2. Чему равна плотность пара в пузырьках, поднимающихся к поверхности воды, кипящей при атмосферном давлении? 3. На улице моросит холодный осенний дождь. В комнате развешано выстиранное бельё. Высохнет ли бельё быстрее, если открыть форточку? 4. При температуре f = 20 °С относительная влажность в комнате cpi = 20 %. Определите массу воды, которую нужно испарить для увеличения влажности до ф2 = 50%, если объём комнаты К = 40 м^. Плотность насыщенного пара воды при температуре t = 20 °С равна р^.п • 10"^ кг/м^. 5. Смешали воздух объёмом 5 м^ и относительной влажностью 22 % при температуре 15 °С с воздухом с относительной влажностью 46 % при температуре 28 °С. Определите относительную влажность смеси, если её объём 8 м^. 6. Температура воздуха вечером была 18 °С, относительная влажность 65 %. Ночью температура воздуха понизилась до 9 °С. Выпала ли роса? Если выпала, то сколько водяного пара конденсировалось из воздуха объёмом 1 м^? При 18 °С плотность насыщенного пара 15,4 г/м^, при 9 °С — 8,8 г/м^. Cl. Человек в очках вошёл с улицы в тёплую комнату и обнаружил, что его очки запотели. Какой должна быть температура на улице, чтобы наблюдалось это явление? В комнате температура воздуха 22 °С, а относительная влажность 50 %. Поясните, как вы получили ответ. (Для ответа на вопрос воспользуйтесь таблицей давления насыщенных паров воды.) Давление насыщенных паров воды при различных температурах t, °с 0 2 4 6 8 10 12 14 р, кПа 0,611 0,705 0,813 0,934 1,07 1,23 1,4 1,59 #, °С 16 18 20 22 24 26 28 30 р, кПа 1,81 2,06 2,19 2,64 2,99 3,17 4,24 7,37 Повторите материал главы 11 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите опыты, подтверждающие основные закономерности. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ТВЁРДЫЕ ТЕЛА Мы живём на поверхности твёрдого тела — земного шара, в домах, построенных из твёрдых тел. Различные приборы, орудия труда сделаны из твёрдых тел. Знать свойства твёрдых тел необходимо. § 72 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ И АМОРФНЫЕ ТЕЛА Вспомните, что такое твёрдое тело. Чем мы пренебрегали, когда в механике считали, что тело абсолютно твёрдое? Каковы физические свойства твёрдых тел? Какие физические величины характеризуют свойства твёрдых тел? Твёрдые тела сохраняют не только свой объём, как жидкости, но и форму. Они находятся преимущественно в кристаллическом состоянии. Кристаллы — это твёрдые тела, атомы или молекулы которых занимают определённые, упорядоченные положения в пространстве. Поэтому кристаллы имеют плоские грани. Например, крупинка обычной поваренной соли имеет плоские грани, составляющие друг с другом прямые углы (рис. 12.1). Это можно заметить, рассматривая соль с помощью лупы. А как геометрически правильна форма снежинки! В ней также отражена геометрическая правильность внутреннего строения кристаллического твёрдого тела — льда (рис. 12.2). Анизотропия кристаллов. Однако правильная внешняя форма не единственное и даже не самое главное следствие упорядоченного строения кристалла. Рис. i2. Рис. 12.2 Главное следствие упорядоченного строения ~ это зависимость физических свойств кристалла от выбранного в кристалле направления, Зависимость физических свойств от направления внутри кристалла на- зывают анизотропией. Прежде всего бросается в глаза различная механическая прочность кристаллов по разным направлениям. Например, кусок слюды легко расслаивается в одном из направлений на тонкие пластинки (рис. 12.3), но разорвать его в направлении, перпендикулярном пластинкам, гораздо труднее. Так же легко расслаивается в одном направлении кристалл графита. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Это происходит потому, что кристаллическая решётка графита имеет слоистую структуру. Слои образованы рядом параллельных сеток, состоящих из атомов углерода (рис. 12.4). Атомы располагаются в вершинах правильных шестиугольников. Расстояние между слоями сравнительно велико — примерно в 2 раза больше, чем длина стороны шестиугольника, поэтому связи между слоями менее прочны, чем связи внутри их. Многие кристаллы по-разному проводят тепло и электрический ток в различных направлениях. От направления зависят и оптические свойства кристаллов. Все кристаллические тела анизотропны. Монокристаллы и поликристаллы. Кристаллическую структуру имеют металлы. /1<огда вы пишете карандашом, такое расслоение графита происходит непрерывно и его тонкие слои остаются на бумаге. . При падении света на кристалл кварца световой поток распадается на два потока, идущие в кристалле по разным направлениям. Это явление получило название двойного лучепреломления. Если взять сравнительно большой кусок металла, то на первый взгляд его кристаллическое строение никак не проявляется ни во внешнем виде этого куска, ни в его физических свойствах. Металлы в обычном состоянии не обнаруживают анизотропии. Дело здесь в том, что обычно металл состоит из огромного количества сросшихся друг с другом маленьких кристалликов. Под микроскопом или даже с помощью лупы их нетрудно рассмотреть, особенно на свежем изломе металла (рис. 12.5). Свойства каждого кристаллика зависят от направления, но кристаллики ориентированы по отношению друг к другу беспорядочно. В результате в объёме, значительно превышающем объём отдельных кристалликов, все направления внутри металлов равноправны и свойства металлов одинаковы по всем направлениям. Твёрдое тело, состоящее из большого числа маленьких кристалликов, называют поликристаллическим. Одиночные кристаллы называют монокристаллами. Л Растворите в стакане с водой соль, сделайте концентрированный раствор. Опу-^ стите в насыщенный раствор несколько кристалликов соли и оставьте, пока вся вода не испарится. Посмотрите, что останется в стакане. Сделайте выводы. в обычных условиях поликристаллическое тело образуется в результате того, что начавшийся рост многих кристаллов продолжается до тех пор, пока они не приходят в соприкосновение друг с другом, образуя единое тело. К поликристаллам относятся не только металлы. Кусок сахара, например, также имеет поликристаллическую структуру. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ^ Соблюдая большие предосторожности, можно вырастить металлический кристалл больших разме-у^ов — монокристалл.___________________ Ри< 12 6 Мы говорили только о трёхмерных кристаллах. В 2004 г. был получен графен — двумерный кристалл, состоящий из одиночного --------------^ слоя атомов углерода и имеющий идеальную гексагональную решётку (рис. 12.6). В 30-х годах прошлого века было доказано, что двумерные кристаллы неустойчивы и легко разрушаются. Однако графен имеет волнообразную структуру, что определяет его устойчивость. Графен обладает уникальными свойствами — он прочен, имеет высокую проводимость и прозрачен. Из него можно собрать трёхмерный кристалл графита. ЩВЗЭ® За «передовые опыты с двумерным материалом — графеном» Андрею Кон-Л I стантиновичу Гейму и Константину Сергеевичу Новосёлову была присуждена 1 ЧНобелевская премия по физике за 2010 год.________________________________ ) Аморфные тела. Кроме твёрдых тел, имеющих кристаллическую структуру, которая характеризуется строгим порядком в расположении атомов, существуют аморфные твёрдые тела. У аморфных тел нет строгого порядка в расположении атомов. Только ближайшие атомы-соседи располагаются в некотором порядке. Но строгой повторяемости по всем направлениям одного и того же элемента структуры, которая характерна для кристаллов, в аморфных телах нет. По расположению атомов и по их поведению аморфные тела аналогичны жидкостям. Часто одно и то же вещество может находиться как в кристаллическом, так и в аморфном состоянии. Например, кварц SiOa может быть как в кристаллической, так и в аморфной форме (кремнезём). Кристаллическую форму кварца схематически можно представить в виде решётки из правильных шестиугольников (рис. 12.7, а). Аморфная структура кварца также имеет вид решётки, но неправильной формы. Наряду с шестиугольниками в ней встречаются пяти- и семиугольники (рис. 12.7, б). Свойства аморфных тел. Все аморфные тела изотропны, т. е, их физические свойства одинаковы по всем направлениям. Слово «аморфный» происходит^ от греческого слова morphos — форма и частицы а, имеющей смысл от-\^ицания.____________________________ При внешних воздействиях аморфные тела обнаруживают одновременно упругие свойства, подобно твёрдым телам, и текучесть, подобно жидкости. Так, при кратковре- МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ К аморфным телам относятся стекло, смола, канифоль, сахарный леденец и др. 0О Проследите за куском смолы, который лежит на твёрдой поверхности. Постепенно смола по ней растекается, и, чем выше температура смолы, тем быстрее это происходит. менных воздействиях (ударах) они ведут себя как твёрдые тела и при сильном ударе раскалываются на куски. Но при очень продолжительном воздействии аморфные тела текут. Атомы или молекулы аморфных тел, подобно молекулам жидкости, имеют определённое время «оседлой жизни» — время колебаний около положения равновесия. Но в отличие от жидкостей это время у них весьма велико. В этом отношении аморфные тела близки к кристаллическим, так как перескоки атомов из одного положения равновесия в другое происходят сравнительно редко. Аморфные тела при низких температурах по своим свойствам напоминают твёрдые тела. Текучестью они почти не обладают, но по мере повышения температуры постепенно размягчаются и их свойства всё более и более приближаются к свойствам жидкостей. Это происходит потому, что с ростом температуры постепенно учащ;аются перескоки атомов из одного положения равновесия в другое. Для вара при f = 20 °С время «оседлой жизни» примерно 0,1 с. Определённой температуры плавления у аморфных тел, в отличие от кристаллических, нет. Жидкие кристаллы. В природе встречаются вещества, обладающие одновременно основными свойствами кристалла и жидкости, а именно анизотропией и текучестью. 1м£шШШр Состояние веидества, обладающего одновременно анизотропией и текучестью, называется жидкокристаллическим. Жидкими кристаллами являются в основном органические вещества, молекулы которых имеют длинную нитевидную форму или форму плоских пластин. Рассмотрим наиболее простой случай, когда жидкий кристалл образуется нитевидными молекулами. Эти молекулы расположены параллельно друг другу, однако беспорядочно сдвинуты, т. е. порядок, в отличие от обычных кристаллов, существует только в одном направлении. При тепловом движении центры этих молекул движутся хаотично, однако ориентация молекул не изменяется, и они остаются параллельны самим себе. Строгая ориентация молекул существует не во всём объёме кристалла, а в небольших областях, называемых доменами. На границе доменов происходит преломление и отражение света, поэтому жидкие кристаллы непрозрачны. Однако в слое жидкого кристалла, помещённом между двумя тонкими пластинами, расстояния между которыми 0,01—0,1 мм, с параллельными углублениями 10—100 нм, все молекулы МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ будут параллельны и кристалл станет прозрачным. Если на какие-то участки жидкого кристалла подать электрическое напряжение, то жидкокристаллическое состояние нарушается. Эти участки становятся непрозрачными и начинают светиться, а участки без напряжения остаются тёмными. Явление свечения жидких кристаллов используется при создании жидкокри-I сталлических экранов телевизоров. Сам экран состоит из огромного числа \элементов, и электронная схема управления таким экраном чрезвычайно сложна. Фи.зика твёрдого тела. Теоретические исследования приводят к получению твёрдых тел, свойства которых совершенно необычны. Получить такие тела методом проб и ошибок было бы невозможно. Создание транзисторов, о которых пойдёт речь в дальнейшем, — яркий пример того, как понимание структуры твёрдых тел привело к революции во всей радиотехнике. Получение материалов с заданными механическими, магнитными, электрическими и другими свойствами — одно из основных направлений современной физики твёрдого тела. Кристаллы. Аморфные тела. Жидкие кристаллы -■' к» ‘: 1 Все ли кристаллические тела анизотропны? 9 2. Древесина анизотропна. Является ли она кристаллическим телом? ® ii. Приведите примеры монокристаллических и поликристаллических тел, не упомянутых в тексте. 1. Чем отличаются аморфные тела от кристаллических? 5. Приведите примеры аморфных тел. в. Возникла бы профессия стеклодува, если бы стекло было кристаллическим телом, а не аморфным? Повторите материал главы i2 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите опыты, подтверждающие основные закономерности. «Физика твёрдого тела» 1. Создание новых материалов по заданным свойствам. 2. Дефекты в кристаллах. 3. Жидкие кристаллы в технике. 4. Резина и её физические свойства. Полимеры и их использование. 5. Искусственные алмазы. «Исследование условий роста кристаллов» МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Тепловые явления можно описывать с помощью величин (макроскопических параметров), измеряемых такими приборами, как манометр и термометр. Эти приборы не реагируют на воздействие отдельных молекул. Теория тепловых процессов, в которой не учитывается молекулярное строение тел, называется термодинамикой. В термодинамике рассматриваются процессы с точки зрения превращения теплоты в другие виды энергии. §73 ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ Вспомните из курса физики основной школы, что такое внутренняя энергия. Какие способы изменения внутренней энергии вы знаете? Термодинамика была создана в середине XIX в. после открытия закона сохранения энергии. В её основе лежит понятие внутренняя энергия. Само название «внутренняя» предполагает рассмотрение системы как ансамбля движущихся и взаимодействующих молекул. Остановимся на вопросе о том, какая связь существует между термодинамикой и молекулярно-кинетической теорией. Термодинамика и статистическая механика. Первой научной теорией тепловых процессов была не молекулярно-кинетическая теория, а термодинамика. " Термодинамика возникла при изучении оптимальных условий использования ^ теплоты для совершения работы. Это произошло в середине XIX в., задолго I до того, как молекулярно-кинетическая теория получила всеобщее признание. Тогда же было доказано, что наряду с механической энергией макроскопические тела об-у^ладают ещё и энергией, заключённой внутри самих тел. Сейчас в науке и технике при изучении тепловых явлений используется как термодинамика, так и молекулярно-кинетическая теория. В теоретической физике молекулярно-кинетическую теорию называют статистической механикой. Термодинамика и статистическая механика изучают различными методами одни и те же явления и взаимно дополняют друг друга. Термодинамической системой называют совокупность взаимодей- ствующих тел, обменивающихся энергией и веществом Главное содержание термодинамики состоит в двух основных её законах, касающихся преобразования энергии. Эти законы установлены опытным путём. Они справедливы для всех веществ независимо от их внутреннего строения. Внутренняя энергия в молекулярно-кинетической теории. Основным понятием в термодинамике является понятие внутренней энергии. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Внутренняя энергия тела (системы) — это сумма кинетической энергии хаотичного теплового движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Механическая энергия тела (системы) как целого не входит во внутреннюю энергию. Например, внутренняя энергия газов в двух одинаковых сосудах при равных условиях одинакова независимо от движения сосудов и их расположения относительно друг друга. Вычислить внутреннюю энергию тела (или её изменение), учитывая движение отдельных молекул и их положения относительно друг друга, практически невозможно из-за огромного числа молекул в макроскопических телах. Поэтому необходимо уметь определять значение внутренней энергии (или её изменение) в зависимости от макроскопических параметров, которые можно непосредственно измерить. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа. Вычислим внутреннюю энергию идеального одноатомного газа. Согласно модели молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, следовательно, потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю. Вся внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией беспорядочного движения его молекул. Для вычисления внутренней энергии идеального одноатомного газа массой т нужно умножить среднюю кинетическую энергию одного атома на число атомов. Учитывая, что kNp^ = R, получим формулу для внутренней энергии идеального газа: _ ^ HL 1 (13.1) Внутренняя энергия идеального одноатомного газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре, Она не зависит от объёма и других макроскопических параметров системы. Изменение внутренней энергии идеального газа £ м т. е. определяется температурами начального и конечного состояний газа и не зависит от процесса. Если идеальный газ состоит из более сложных молекул, чем одноатомный, то его внутренняя энергия также пропорциональна абсолютной температуре, но коэффициент пропорциональности между U и Т другой. Объясняется это тем, что сложные молекулы не только движутся поступательно, но епдё и вращаются и колеблются относительно своих положений равновесия. Внутренняя энергия таких газов равна сумме энергий поступательного, вращательного и колебательного движений молекул. Следовательно, ■г-----— -----------------------X внутренняя энергия многоатомного Г Выведите выражение (13.1). > газа больше энергии одноатомного уЯУ_____________________________ У газа при той же температуре. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Объясните, почему внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма. Зависимость внутренней энергии от макроскопических параметров. Мы установили, что внутренняя энергия идеального газа зависит от одного параметра — температуры. У реальных газов, жидкостей и твёрдых тел средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул не равна нулю. Правда, для газов она много меньше средней кинетической энергии молекул, но для твёрдых и жидких тел сравнима с ней. Средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул газа зависит от объёма вещества, так как при изменении объёма меняется среднее расстояние между молекулами. Следовательно, внутренняя энергия реального газа в термодинамике в общем случае зависит наряду с температурой 7 и от объёма V. Значения макроскопических параметров (температуры Т, объёма V и др.) однозначно определяют состояние тел. Поэтому они определяют и внутреннюю энергию макроскопических тел. Внутренняя энергия U макроскопических тел однозначно определяется параметрами, характеризующими состояние этих тел: температурой и объёмом. Подумайте, можно ли утверждать, что внутренняя энергия реального газа зависит от давления, основываясь на том, что давление можно вы-\j3a3HTb через температуру и объём газа^ Внутренняя энергия реального и идеального газов Наити 1. Приведите примеры превращения механической энергии во внутреннюю и обратно в технике и быту. • 2. От каких физических величин зависит внутренняя энергия тела? 3. Чему равна внутренняя энергия идеального одноатомного газа? А1. Внутренняя энергия идеального газа в герметично закрытом сосуде уменьшается при 1) его охлаждении 2) его нагревании 3) уменьшении потенциальной энергии сосуда 4) уменьшении кинетической энергии сосуда Л2. В каком тепловом процессе внутренняя энергия идеального газа постоянной массы НЕ изменяется при переходе его из одного состояния в другое? 1) в изобарном 3) в адиабатном 2) в изохорном 4) в изотермическом -ЛЗ. Как изменяется внутренняя энергия одноатомного идеального газа при повышении его абсолютной температуры в 2 раза? 1) увеличивается в 4 раза 3) уменьшается в 2 раза 2) увеличивается в 2 раза 4) уменьшается в 4 раза МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ § 741 РАБОТА В ТЕРМОДИНАМИКЕ В результате каких процессов может изменяться внутренняя энергия? Как определяется работа в механике? Работа в механике и термодинамике. В механике работа определяется как произведение модуля силы, модуля перемещения точки её приложения и косинуса угла между векторами силы и перемещения. При действии силы на движущееся тело работа этой силы равна изменению его кинетической энергии. Работа в термодинамике определяется так же, как и в механике, но она равна не изменению кинетической энергии тела, а изменению его внутренней энергии. Изменение внутренней энергии при совершении работы. Почему при сжатии или расширении тела меняется его внутренняя энергия? Почему, в частности, нагревается воздух при накачивании велосипедной шины? Причина изменения температуры газа в процессе его сжатия состоит в следующем: при упругих соударениях молекул газа с движущимся поршнем изменяется их кинетическая энергия. ^ J Понаблюдайте за изменением температуры насоса при накачи-V. ^ вании велосипедной камеры. ^ При сжатии или расширении меняется и средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул, так как при этом меняется среднее расстояние \между молекулами.____________________^ Так, при движении навстречу молекулам газа поршень во время столкновений передаёт им часть своей механической энергии, в результате чего увеличивается внутренняя энергия газа и он нагревается. Поршень действует подобно футболисту, встречающему летящий на него мяч ударом ноги. Нога футболиста сооб- щает мячу скорость, значительно большую той, которой он обладал до удара. И наоборот, если газ расширяется, то после столкновения с удаляющимся поршнем скорости молекул уменьшаются, в результате чего газ охлаждается. Так же действует и футболист, для того чтобы уменьшить скорость летящего мяча или остановить его, — нога футболиста движется от мяча, как бы уступая ему дорогу. Вычисление работы. Вычислим работу силы F, действующей на газ со стороны внешнего тела (поршня), в зависимости от изменения объёма на примере газа в цилиндре под поршнем (рис. 13.1), при этом давление газа поддерживается постоянным. Сначала вычислим работу, которую совершает сила давления газа, действуя на поршень с силой F'. Если поршень поднимается медленно и равномерно, то, согласно третьему закону Ньютона, F = F'. В этом случае газ расширяется изобарно. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Объясните, почему процесс расширения газа должен происходить очень медленно. Модуль силы, действующей со стороны газа на поршень, равен F' = pS, где р — давление газа, а S — площадь поверхности поршня. При подъёме поршня на малое расстояние Ah = h2 - работа газа равна: А' = F'Ah = pSihz - h^) = p(S*2 “ Sh^). (13.2) Начальный объём, занимаемый газом, = Shi, а конечный Fg = S/ig. Поэтому можно выразить работу газа через изменение объёма AV = (Fg - Fj): Л' = p(Fg - Vi) = pAV > О. (13.3) При расширении газ совершает положительную работу, так как направление силы и направление перемещения поршня совпадают. Если газ сжимается, то формула (13.3) для работы газа остаётся справедливой. Но теперь Fg < Fj, и поэтому А < 0. Работа А, совершаемая внешними телами над газом, отличается от работы А' самого газа только знаком: А = -А' = -pAV. (13.4) Обсудите с одноклассниками справедливость формулы (13.4). Может ли работа внешних сил быть больше или меньше работы силы давления ^ РП Ь d Vo V p... 1,3.г: При сжатии газа, когда AV = = У2- Ух о, работа внехпнеи силы оказывается положительной. Так и должно быть: при сжатии газа направления силы и перемещения точки её приложения совпадают. Если давление не поддерживать постоянным, то при расширении газ теряет энергию и передаёт её окружающим телам: поднимающемуся поршню, воздуху и т. д. Газ при этом охлаждается. При сжатии газа, наоборот, внешние тела передают ему энергию и газ нагревается. Геометрическое истолкование работы. Работе А' газа для слу^хая постоянного давления можно дать простое геометрическое истолкование. При постоянном давлении график зависимости давления газа от занимаемого им объёма — прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 13.2). Очевидно, что площадь прямоугольника abdc, ограниченная графиком Pi = const, осью F и отрезками аЬ и cd, равными давлению газа, численно равна работе, определяемой формулой (13.3): = Pi(^2 - У\) = \Щ ' В общем случае давление газа не остаётся неизменным. Например, при изотермическом процессе оно убывает обратно пропорционально объёму (рис. 13.3). В этом случае для вычисления работы нужно разделить общее изменение объёма на малые части и вычислить элементарные (малые) работы, а потом все их сложить. Работа газа по-прежнему численно равна площади фигуры, ограниченной графиком зависи- МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ —-------------------------------- Объясните нагревание и охлажде-\(0 ние газа при изменении его объёма при постоянном давлении с точки зрения МКТ. мости р от К, осью V и отрезками аЪ и cd, длина которых численно равна давлениям pj, Р2 в начальном и конечном состояниях газа. ^"работа газа при различных процессах Почему газы при сжатии нагреваются? Положительную или отрицательную работу совершают внешние силы при • изотермическом процессе, изображённом на рисунке 13.3? А1. Объём газа, расширяющегося при постоянном давлении 100 кПа, увеличился на 2 л. Работа, совершённая газом в этом процессе, равна 1) 2000 Дж 2) 20 000 Дж 3) 200 Дж 4) 50 МДж Л 2. Какая работа была совершена при изобарном сжатии водорода, взятого в количестве 6 моль, если его температура изменилась на 50 К? 1) 1 Дж 2) 69,25 Дж 3) 138,5 Дж 4) 2493 Дж \Л Какая работа совершается газом при переходе его из состояния 1 в состояние 2 (см. рис.)? 1) 8 кДж 3) 8 Дж 2) 12 кДж 4) б Дж р, Ю^Па 3 2 1 о р, 10^ Па 2 4 6 8 F, м3 1 0,2 V, м3 10^ Па^ 0,2 0,1 о а4 Какую работу совершает газ при переходе из состояния I в состояние 3 (см. рис.)? 1) 10 кДж 3) 30 кДж 2) 20 кДж 4) 40 кДж '■-о Какую работу совершил одноатомный газ в процессе, изображённом на рисунке в координатах р, F? 1) 2,5 кДж 3) 3 кДж 2) 1,5 кДж 4) 4 кДж 0,1 0,2 F,m3 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ. РАБОТА» Для решения задач нужно уметь вычислять внутреннюю энергию и работу, пользуясь формулами (13.1) и (13.4). Надо ещё иметь в виду, что величины А, Q, AU могут быть как положительными, так и отрицательными. Задача .. Аэростат объёмом V = 500 м^ наполнен гелием под давлением р = 10^ Па. В результате солнечного нагрева температура газа в аэростате поднялась от ti = 10 до t2 = 25 °С. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа? Решение. Гелий является одноатомным газом, поэтому его внутренняя энергия определяется формулой (13.1). При температуре эта энергия рав- на 2 М энергии равно: 3 fTt а при температуре Т2 равна U2 = — — RT2 Изменение Масса гелия неизвестна, но её можно выразить с помощью уравнения Менделеева—Клапейрона через начальную температуру, давление и объём mR pV mR газа: Подставляя значение —^ в уравнение для изменения энер- М 3 гии, получаем AU = - 1 М 4 • 106 Д5К. Задача 2. В цилиндре под тяжёлым поршнем находится углекислый газ (М = 0,044 кг/моль) массой т — 0,20 кг. Газ нагревается на ДТ = 88 К. Какую работу он при этом совершает? Решение. Газ расширяется при некотором постоянном давлении р, которое создаётся атмосферой и поршнем. В этом случае работа газа А' = p{V2 - Pi), где Pi и Р2 — начальный и конечный объёмы газа. Используя уравнение Менделеева—Клапейрона, выразим произведения рРз и pV, через и ^ДТ,. Тогда л'=ВД - = 3,3Дж, м м Задача 3. Чему равна работа, совершённая газом в количестве 3 моль при сжатии, если температура увеличилась на 100 К? Потери тепла не учитывайте. Решение. При сжатии внешняя сила совершает положительную работу, за счёт которой происходит изменение внутренней энергии и соответственно температуры газа, т. е. А = AU. Изменение внутренней энергии AU = |уДАТ. Работа, совершённая силой давления газа: А = -%vRAT ~ -1250 Дж. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Задача 4. На рисунке 13.4 показана зависимость давления газа от объёма при его переходе из состояния 1 в состояние 4. Определите работу газа. Решение. Работа газа численно равна площади заштрихованной фигуры. Процессы 1—2 и 3—4 изобарные, поэтому работа газа в этих процессах '3 А',.2 = - l"l). А'з_4 “ Р2(^4 - ^з)- В процессе 2—3 изменяются все три параметра газа. Работа газа в этом процессе А'2-3 = ^ (V3 - Pg)- Таким образом, учтя, что Р2 “ ~ “ ^2 ~ ^4 “ ~ получим ^' = iPl + Р2 + AV - |(р, + Рг) AV = 1800 Дж. Задачи для самостоятельного решения 1. Как изменится внутренняя энергия одноатомного идеального газа, если его давление увеличится в 3 раза, а объём уменьшится в 2 раза? 2. Стержень отбойного молотка приводится в движение сжатым воздухом. Масса воздуха в цилиндре за время хода поршня меняется от 0,1 до 0,5 г. Считая давление воздуха в цилиндре и температуру (27 °С) постоянными, определите работу газа за один ход поршня = 0,029 кг/моль). 3. При изобарном расширении одноатомного газа, взятого в количестве 4 моль, его температура увеличилась на 100 °С. Определите изменение внутренней энергии и работу, совершённую силой давления газа. Cl. Объём идеального одноатомного газа, масса которого постоянна, увеличился при постоянном давлении 500 кПа на 0,03 м^. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа? С2. Идеальный одноатомный газ находится в сосуде с жёсткими стенками объёмом 0,5 м^. При нагревании его давление возросло на 4 кПа. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа? СЗ. Во время опыта объём воздуха в цилиндре, закрытом подвижным поршнем, и его абсолютную температуру увеличили в 2 раза. Оказалось, однако, что воздух мог просачиваться сквозь зазор вокруг поршня, и за время опыта его давление в цилиндре не изменилось. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия воздуха в цилиндре? (Воздух считайте идеальным газом.) С4. В сосуде с небольшой трещиной находится газ, который может просачиваться сквозь трещину. Во время опыта давление газа уменьшилось в 8 раз, а его абсолютная температура уменьшилась в 4 раза при неизменном объёме. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия газа в сосуде? (Газ считайте идеальным.) ' О. В координатах р, Т показан цикл тепловой машины, у которой рабочим телом является идеальный газ. На каком QI -I > участке цикла работа газа наибольшая по модулю? Рп 11 А 1 ■ Л. 3 РИ1.. i3 5 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕГ НОВЫЕ ЯШШНИЯ КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА Вспомните, какие агрегатные состояния вещества вы знаете. Назовите процессы, при которых происходят агрегатные превращения вещества. Как можно изменить агрегатное состояние вещества? Изменить внутреннюю энергию любого тела можно, совершая работу, нагревая или, наоборот, охлаждая его. Так, при ковке металла совершается работа, и он разогревается, в то же время металл можно разогреть над горяш;им пламенем. Также если закрепить поршень (рис. 13.5), то объём газа при нагревании не меняется и работа не совершается. Но температура газа, а следовательно, и его внутренняя энергия возрастают. Внутренняя энергия может увеличиваться и уменьшаться, поэтому количество теплоты может быть положительным и отрицательным. КВВШШ# процесс передачи энергии от одного тела другому без совершения работы называют теплообменом. Количественную меру изменения внутренней энергии при теплообмене называют количеством теплоты. Молекулярная картина теплообмена. При теплообмене на границе между телами происходит взаимодействие медленно движугцихся молекул холодного тела с быстро движущимися молекулами горячего тела. В результате кинетические энергии молекул выравниваются и скорости молекул холодного тела увеличиваются, а горячего уменьшаются. При теплообмене не происходит превращения энергии из одной формы в другую, часть внутренней энергии более нагретого тела передаётся менее нагретому телу. Количество теплоты и теплоёмкость. Вам уже известно, что для нагревания тела массой т от температуры до температуры t2 необходимо передать ему количество теплоты: Q = cm(t2 - ti) = cmAt. (13.5) При остывании тела его конечная температура ^2 оказывается меньше начальной температуры и количество теплоты, отдаваемой телом, отрицательно. Коэффициент с в формуле (13.5) называют удельной теплоёмкостью вещества. Посмотрите таблицу значений те-плоёмкостей различных веществ. Сравните значения удельной теплоёмкости, например воды и железа. Подумайте, почему теплоёмкости жидкостей больше, чем теплоёмкости твёрдых \^веществ. _______________________ ^ EZBD Удельная теплоёмкость — это величина, численно равная количеству теплоты, которую получает или отдаёт вещество массой 1 кг при изменении его температуры на 1 К. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Удельная теплоёмкость газов зависит от того, при каком процессе осуществляется теплопередача. Если нагревать газ при постоянном давлении, то он будет расширяться и совершать работу. Для нагревания газа на 1 °С при постоянном давлении ему нужно передать большее количество теплоты, чем для нагревания его при постоянном объёме, когда газ будет только нагреваться. Жидкие и твёрдые тела расширяются при нагревании незначительно. Их удельные теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении мало различаются. Удельная теплота парообразования. Для превращения жидкости в пар в процессе кипения необходима передача ей определённого количества теплоты. Температура жидкости при кипении не меняется. Превращение жидкости в пар при постоянной температуре не ведёт к увеличению кинетической энергии молекул, но сопровождается увеличением потенциальной энергии их взаимодействия. Ведь среднее расстояние между молекулами газа много больше, чем между молекулами жидкости. Посмотрите кривую зависимости^ уш потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между ними (см. рис. 8.5) и убедитесь в справедливости данного утверждения. Величину, численно равную количеству теплоты, необходимой для превращения при постоянной температуре жидкости массой 1 кг в пар, называют удельной теплотой парообразования. ^ Процесс испарения жидкости происходит при любой температуре, при этом жидкость покидают самые быстрые молекулы, и она при испарении охлаждается. Удельная теплота испарения равна удельной теплоте парообразования. Эту величину обозначают буквой г и выражают в джоулях на килограмм (Дж/кг). Очень велика удельная теплота парообразования воды: = = 2,256 ■ 10® Дж/кг при температуре 100 °С. У других жидкостей, на-пример у спирта, эфира, ртути, керосина, удельная теплота парообразования меньше в 3—10 раз, чем у воды. Для превращения жидкости массой т в пар требуется количество теплоты, равное: Qn = г/тг. (13.6) При конденсации пара происходит выделение такого же количества теплоты: = -гт. (13.7) Удельная теплота плавления. При плавлении кристаллического тела всё подводимое к нему тепло идёт на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул. Кинетическая энергия молекул не меняется, так как плавление происходит при постоянной температуре. Величину, численно равную количеству теплоты, необходимой для превращения кристаллического вещества массой 1 кг при температуре плавления в жидкость, называют удельной теплотой плавления и обозначают буквой X. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ При кристаллизации вещества массой 1 кг выделяется точно такое же количество теплоты, какое поглощается при плавлении. Удельная теплота плавления льда довольно велика: 3,34 • 10^ Дж/кг. /^Если бы лёд не обладал большой теплотой плавления, то тогда весной масса льда должна была бы растаять в несколько минут или секунд, так как теплота непрерывно передаётся льду из воздуха. Последствия этого были бы ужасны; ведь и при существующем положении возникают большие наводнения и сильные по-jOKH воды при таянии больших масс льда или снега». R Блек, XVIII в.___^ Для того чтобы расплавить кристаллическое тело массой т, необходимо количество теплоты, равное: (13.8) Количество теплоты, выделяемой при кристаллизации тела, равно: Qkp = (13.9) Уравнение теплового баланса. Рассмотрим теплообмен внутри системы, состоящей из нескольких тел, имеющих первоначально различные температуры, например теплообмен между водой в сосуде и опущенным в воду горячим железным шариком. Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, отданной одним телом, численно равно количеству теплоты, полученной другим. Отданное количество теплоты считается отрицательным, полученное количество теплоты — положительным. Поэтому суммарное количество теплоты Qi -ь Qg ~ о* Если в изолированной системе происходит теплообмен между несколькими телами, то Qi + Qz + <3з + - = 0- (13.10) Уравнение (13.10) называется уравнением теплового баланса. Здесь Q2, Q3 — количества теплоты, полученной или отданной телами. Эти количества теплоты выражаются формулой (13.5) или формулами (13.6)—(13.9), если в процессе теплообмена происходят различные фазовые превращения вещества (плавление, кристаллизация, парообразование, конденсация). Плавление. Кристаллизация. Парообразование. Конденсация I Что называют количеством теплоты? 2. От чего зависит удельная теплоёмкость вещества? ->. Что называют удельной теплотой парообразования? 4. Что называют удельной теплотой плавления? .5. В каких случаях количество теплоты — положительная величина, а в каких случаях отрицательная? 6. Как следует записать уравнение теплового баланса для изолированной системы из трёх тел, переходящей в равновесное состояние? МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ §77 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА» Для решения задач нужно чётко выделять начальное и конечное состояния системы, а также характеризующие эти состояния параметры. Кроме этого, нужно уметь вычислять количество теплоты по формулам (13.5)— (13.9) и ещё помнить, что величина Q может быть как положительной, так и отрицательной. ои хача В калориметре находится лёд массой 1 кг при температуре = -40 °С. В калориметр пускают пар массой 1 кг при температуре ^2 = 120 °С. Определите установившуюся температуру и фазовое состояние системы. Нагреванием калориметра пренебрегите. (Cj, = 2,1 • 10® Дж/(кг • К), Св Гг, = 4,2 • 10 Дж/(кг • К), Сц = 2,2 • Дж/(кг • К), = 3,3 • 10® Дж/кг, = 2,26 • 10® Дж/кг.) Решение. Прежде чем составлять уравнение теплового баланса, iQoTfll ^пол’ оценим, какое количество теплоты могут отдать одни элементы системы, а какое количество теплоты могут получить другие. Очевидно, что тепло отдают: пар 1) при охлаждении до 100 °С и 2) при конденсации; вода, сконденсировавшаяся из пара, при остывании от 100 °С. Тепло получают: лёд 1) при нагревании и 2) при плавлении; вода, полученная из льда, нагревается от о °С до какой-то температуры. Определим количество теплоты, отданной паром при процессах 1 и 2: 1^отд1 = “ 100) -f- г„т^ = 23,0 • 10® Дж. Количество теплоты, полученной льдом при процессах 1 и 2: Quon = с^"гл(0 - ti) -Ь = 4,14 • 10® Дж. Из расчётов ясно, что IQqtaI ^ ^пол* Растаявший лёд затем нагревается. Определим, какое количество теплоты нужно дополнительно, чтобы вода, образовавшаяся из льда (т^, = т^), нагрелась до 100 °С: = c,m,(100 - 0) = 4,2 • 10» Дж. Следовательно, суммарное количество теплоты, которую может получить лёд, перешедший в воду, которая затем нагрелась до 100 °С, есть QuoaL = 8,34 • 10® Дж. Мы видим, что QпoлS < 1^отд1- Из последнего соотношения следует, что не весь пар будет конденсироваться. Массу оставшегося пара можно определить из соотношения т'^ = = (iQoTfll - ^полх)/^п = 0.65 КГ. Окончательно в калориметре будут находиться пар и вода при температуре t = 100 °С, при этом т'„ = 0,65 кг, = 1,35 кг. За ■--‘ча 2. На сколько температура воды у основания водопада высотой 1200 м больше, чем у его вершины? На нагревание воды затрачивается 70 % выделившейся энергии. Удельная теплоёмкость воды = 4200 Дж/(кг • К). Решение. При ударе падающей воды у основания водопада часть потенциальной энергии = mgh идёт на нагревание воды: r\mgh = mc^At, откуда At = r\gh/c^ = 1,96 °С. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ Я£и)ЕНИЯ Задача 3. Постройте график зависимости температуры в калориметре от времени, если количество теплоты, сообщаемой системе, постоянно и равно q = 100 Дж/с. В калориметре находился лёд массой 1 кг при = -20 °С. Решение. Количество теплоты, необходимой для нагревания льда до « = о °С, = с^/п(0 - (-20)) Дж = 4,2 • 10^ Дж. Промежуток времени, за который лёд нагреется до 0 °С, = Q^/q = = 4,2 • 10^ с = 0,12 ч. Количество теплоты, необходимой для таяния льда, Q2 = 'кт = 3,3 ■ 10“ Дж. Промежуток времени, за который лёд полностью растает, Д#2 = Я2/Я. = = 3,3 • 10^ с ~ 0,92 ч, t2 = 1,04 ч. Количество теплоты, необходимой для нагревания воды от 0 до 100 °С, Q3 = Cgm(100 - 0) Дж = 4,2 • 10^ Дж. Промежуток времени, за который произойдёт нагревание, А^з = Q^/q = 4,2 х X 10^ с ~ 1,2 ч, Ц = 2,24 ч. Для испарения воды требуется количество теплоты Q4 = rm = 2,26 • 10® Дж. Промежуток времени, за который испарение, А^4 = ч, ^4 = 8,54 ч. Затем будет происходить нагревание пара. Количество теплоты, необходимой для нагревания пара до 120 °С, Q5 = с„т(120 - 100) Дж = = 4,4 • 10® Дж. Промежуток времени, за который произойдёт нагревание пара, A^5 = = 4,4 ■ 10^ с ~ 1,2 ч, ^5 — 9,74 ч. По полученным данным построен график зависимости t (°С) = f{t) (рис. 13.6). произойдет полное = 2,26 • 10^ с ~ 6,3 Задачи для самостоятельного решения 1. В воду объёмом 1 л, температура которой 20 °С, бросают кусок железа массой 100 г, нагретый до 500 °С. При этом температура воды повышается до 24 °С и некоторое количество её обращается в пар. Определите массу обратившейся в пар воды. 2. К чайнику с кипящей водой подводится ежесекундно энергия, равная 1,13 кДж. Определите скорость истечения пара из носика чайника, площадь поперечного сечения которого равна 1 см^. Плотность водяного пара считайте равной 1 кг/м^. 3. Определите массу снега, который растает при температуре 0 °С под колёсами автомобиля, если автомобиль буксует в течение 20 с, а на буксов- ку идёт 50% всей мощности? Мощность автомобиля 1,7 теплота плавления льда 3,3 • 10® Дж/кг. 10 Вт, удельная МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ 4. Свинцовая пуля массой 0,01 кг, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в неподвижный стальной кубик массой 90 г, лежащий на гладком горизонтальном столе. Чему будет равна температура обоих тел после удара? Удар считайте абсолютно неупругим, температура пули в момент удара 30 °С, кубика — 20 °С. Потерями тепла можно пренебречь. Удельная теплоёмкость свинца 126 Дж/(кг • К), стали — 460 Дж/(кг • К). 5. Пар массой 1 кг при 100 “С выпускают в холодную воду массой 12 кг. Температура воды после конденсации в ней пара поднялась до 70 °С. Чему была равна первоначальная температура воды? Удельная теплота парообразования воды 22,6 • 10^ Дж/кг, удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг • К). 6. С помощью механического молота массой 600 кг обрабатывается железная поковка массой 205 кг. За 35 ударов поковка нагрелась от 10 до 18 °С. Чему равна скорость молота в момент удара? Считайте, что на нагревание поковки затрачивается 70% энергии молота. Удельная теплоёмкость железа 460 Дж/(кг • К). 7. В калориметре находится вода массой 0,4 кг при температуре 10 °С. В воду положили лёд массой 0,6 кг при температуре -40 °С. Какая температура установится в калориметре, если его теплоёмкость ничтожно мала? 8. Водород, взятый в количестве 1 моль, первоначально имевший температуру о °С, нагревается при постоянном давлении. Какое количество теплоты необходимо сообщить водороду, чтобы его объём удвоился? 9. Водород, объём которого 1 м^, находится при 0 °С в цилиндрическом сосуде, закрытом сверху легко скользящим поршнем массой 1 т и площадью поперечного сечения 0,5 м^. Атмосферное давление 97,3 кПа. Какое количество теплоты потребуется на нагревание водорода до 300 °С? Определите изменение его внутренней энергии. ..... ' ■' ' ' ' А ' Воду массой 100 г при температуре 12 °С поместили в калориметр, где находился лёд при температуре -5 °С. После установления теплового равновесия температура льда повысилась до 0 °С, но масса льда не изменилась. Пренебрегая потерями тепла, оцените, чему была равна начальная масса льда в калориметре. Удельная теплоёмкость льда равна 2100 Дж/(кг • К), удельная теплоёмкость воды равна 4200 Дж/(кг • К). Для охлаждения лимонада массой 200 г в него бросают кубики льда при о °С. Масса каждого кубика 8 г. Первоначальная температура лимонада 30 °С. Сколько целых кубиков надо бросить в лимонад, чтобы установилась температура 15 °С? Тепловые потери не учитывайте. Удельная теплоёмкость лимонада такая же, как у воды. Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг. В сосуд с водой опущена трубка. По трубке через воду пропускают пар при температуре 100 '’С. Вначале масса воды увеличивается, но в некоторый момент, масса воды перестаёт увеличиваться, хотя пар по-прежнему пропускают. Первоначальная масса воды 230 г, а её первоначальная температура 0 °С. На сколько увеличилась масса воды? Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг • К), удельная теплота парообразования воды 2300 кДж/кг. С ‘ При какой скорости пуля из свинца полностью расплавится при ударе о стенку, если 80 % её энергии будет затрачено на нагревание пули? Начальная температура пули 27 °С, температура плавления свинца 327 °С, удельная теплоёмкость 130 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления 25 кДж/кг. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ § 78 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ Как формулируется закон сохранения полной механической энергии? При каких условиях внутренняя энергия сохраняется? Первый закон термодинамики — это частный случай закона сохранения энергии, главного закона природы. Он показывает, от каких причин зависит изменение внутренней энергии. Закон сохранения энергии. К середине XIX в. многочисленные опыты доказали, что ES3S3P механическая энергия никогда не пропадает бесследно. * Падает, например, молот на кусок свинца, и свинец нагревается. Силы трения тормозят тела, которые при этом разогреваются. На основании множества подобных наблюдений и обобщения опытных фактов был сформулирован закон сохранения энергии. шят Энергия в природе не возникает из ничего и не исчезает: (lПl^llSSSШS!SL■нi количество энергии неизменно, она только переходит из одной формы в другую. Закон сохранения энергии управляет всеми явлениями природы и связывает их воедино. Он всегда выполняется абсолютно точно, неизвестно ни одного случая, когда бы этот великий закон не выполнялся. Этот закон был открыт в середине XIX в. немецким учёным, врачом по образо-ванию Р. Майером (1814—1878), английским учёным Дж. Джо-улем (1818—1889) и получил наиболее точную формулировку в трудах немецкого учёного Г. Гельмгольца (1821—1894). Первый закон термодинамики. шг---- Закон сохранения и превращения Г 5 V------ энергии пловые распространенный на те-явления, носит название Как вы понимаете фразу «переход системы из одного состояния в другое»? первого закона термодинамики. В термодинамике рассматриваются тела, положение центра тяжести которых практически не меняется, т. е. тела, изменение механической энергии которых много меньше изменения их внутренней энергии. Механическая энергия таких тел остаётся постоянной, изменяться может лишь внутренняя энергия каждого тела. До сих пор мы рассматривали процессы, в которых внутренняя энергия системы изменялась либо за счёт совершения работы, либо за счёт теплообмена с окружающими телами. В обш,ем случае при переходе системы из одного состояния в другое внутренняя энергия изменяется одновременно как за счёт совершения работы, так и за счёт передачи теплоты. Первый закон термодинамики формулируется именно для таких общих случаев. /1^ Первый закон термодинЯмики зменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданной системе: Ш = А + Q. (13.11 о МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ^ Систему, которая не обмени^ вается с внешней средой ни энергией, ни веществом, называют изо-\лированной.__________________________ Если система является изолированной, то работа внешних сил равна нулю (А = 0) и система не обменивается теплотой с окружающими телами (Q = 0). или В этом случае согласно первому закону термодинамики ли = U2 - = о, и, = U2. ______ j Внутренняя энергия изолированной системы остаётся неизменной (со- I храняется). Часто вместо работы А внешних тел над системой рассматривают работу А' системы над внешними телами. Учитывая, что А' = -А, первый закон термодинамики (13.11) можно записать так: Q = ли + А'. (13.12) Количество теплоты, переданной системе, идёт на изменение её внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами. Невозможность создания вечного двигателя. Из первого закона термодинамики следует невозможность создания вечного двигателя первого рода, т. е. устройства, способного совершать неограниченную работу без затрат топлива или каких-либо других материалов. Если к системе не поступает тепло (Q = 0), то работа А' согласно уравнению (13.12) может быть совершена только за счёт убыли внутренней энергии: А' = -ли. После того как запас энергии окажется исчерпанным, двигатель перестанет работать. Работа и количество теплоты — характеристики процесса изменения внутренней энергии. В данном состоянии система всегда обладает определённой внутренней энергией. Но нельзя говорить, что в системе содержится определённое количество теплоты или работы. Как работа, так и количество теплоты являются величинами, характеризующими изменение внутренней энергии системы в результате того или иного процесса. Внутренняя энергия системы может измениться на одно и то же значение как за счёт совершения системой работы, так и за счёт передачи окружающим телам какого-либо количества теплоты. Например, нгггретый газ в цилиндре может уменьшить свою энергию остывая, без совершения работы (рис. 13.7). Но он может потерять точно такое же количество энергии, поднимая поршень, без отдачи теплоты окружающим телам. Для этого стенки цилиндра и поршень должны быть теплонепроницаемыми (рис. 13.8). V V Передаваемое тепло Рис. 13 7 Теплоизолирующая оболочка Рис. 13.8 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Изменение внутренней энергии. Первый закон термодинамики 1. Как формулируется первый закон термодинамики? 2. В каком случае изменение внутренней энергии отрицательно? 3. Почему можно говорить, что система обладает внутренней энергией, но нельзя сказать, что она обладает запасом определённого количества теплоты или работы? 4. Можно ли считать систему изолированной, если её температура остаётся постоянной? 5. Известно, что при изотермическом процессе идеальный газ совершил работу 2000 Дж. Чему равно количество теплоты, сообщённой системе? Л1. Идеальный газ получил количество теплоты, равное 300 Дж, и совершил работу, равную 100 Дж. Как изменилась при этом внутренняя энергия газа? 1) увеличилась на 400 Дж 3) уменьшилась на 400 Дж 2) увеличилась на 200 Дж 4) уменьшилась на 200 Дж А2. Идеальный газ совершил работу, равную 300 Дж. При этом его внутренняя энергия увеличилась на 300 Дж. В этом процессе газ 1) отдал 600 Дж 3) получил 600 Дж 2) отдал 300 Дж 4) получил 300 Дж АЗ. В процессе эксперимента внутренняя энергия газа уменьшилась на 60 кДж, и он совершил работу 45 кДж. Следовательно, в результате теплообмена газ отдал окружающей среде количество теплоты, равное 1) 15 кДж 2) 45 кДж 3) 60 кДж 4) 105 кДж А4. В процессе эксперимента газ получил от нагревателя количество теплоты, равное 3 кДж. При этом внутренняя энергия газа уменьшилась на 13 кДж. Следовательно, газ расширился, совершив работу 1) 3 кДж 2) 10 кДж 3) 13 кДж 4) 16 кДж .'V5. Идеальный газ получил количество теплоты 100 Дж, и при этом внутренняя энергия газа уменьшилась на 100 Дж. Чему равна работа, совершённая внешними силами над газом? 1) 100 Дж 2) 200 Дж 3) -200 Дж 4) 0 я МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ §;79 ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ К РАЗЛИЧНЫМ ПРОЦЕССАМ Перечислите известные вам изопроцессы, происходящие с газом. Как записать первый закон термодинамики для различных процессов? С помощью первого закона термодинамики можно делать важные заключения о характере протекающих процессов. Рассмотрим различные процессы, при которых одна из физических величин, характеризующих состояние газа, остаётся неизменной (изопроцессы). При этом газ будем считать идеальным. Изохорный процесс. При изохорном процессе объём газа не меняется, и поэтому работа газа равна нулю. Изменение внутренней энергии газа согласно уравнению (13.12) равно количеству переданной ему теплоты: АС/ = Q. (13.13) Если газ нагревается, то Q > О и AU > О, его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении газа Q < О и AU = U2 ~ < О, изменение внутренней энергии отрицательно и внутренняя энергия газа уменьшается. 3 ГК1 Для одноатомного газа можно записать: Q ^ 2 м Удельная теплоёмкость газа при изохорном процессе Су = 3 А 2 М‘ Q тпАТ Изотермический процесс. При изотермическом процессе (Т = const) внутренняя энергия идеального газа (см. формулу (13.1)) не меняется. Согласно формуле (13.12) всё переданное газу количество теплоты идёт на совершение работы: Q = А'. (13.14) Если газ получает тепло (Q > 0), то он совершает положительную работу (А' > 0). Если, напротив, газ отдаёт тепло окружающей среде (термостату), то Q < о и А' < 0. Работа же внешних сил над газом в последнем случае положительна. Удельная теплоёмкость при изотермическом процессе стремится к бесконечности: с>р оо. Изобарный процесс. При изобарном процессе согласно формуле (13.12) передаваемое газу количество теплоты идёт на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы при постоянном давлении: Q = AU + А' = AU + pAV. Адиабатный процесс. Газ может совершать работу и без сообщения ему теплоты. EBD Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатным процессом. Так, если сосуд с газом теплоизолировать от окружающей среды и предоставить возможность газу расширяться, то сила давления газа будет совершать положительную работу. Выведите выражение для коли-уШ чества теплоты через изменение температуры газа и удельную теплоёмкость газа (р = const). МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Согласно первому закону термодинамики количество теплоты, сообщенной системе (газу), идёт на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой механической работы. В данном случае системе теплота не сообщается и работа равна изменению внутренней энергии, взятому с обратным знаком: А' = -AU (Q = 0). Если газ расширяется, то положительная работа совершается газом за счёт уменьшения внутренней энергии: А' > 0, AU < 0. Внутренняя энергия газа является функцией температуры, следовательно, изменение температуры газа также отрицательно: АТ < 0. При адиабатном расширении газ охлаждается. При сжатии газа, когда внешние силы совершают положительную работу, а соответственно газ — отрицательную, внутренняя энергия газа увеличивается: А' < о, AU > 0. При адиабатном сжатии газ нагревается. Удельная теплоёмкость газа при адиабатном процессе равна нулю, так как Q = 0. -----—................ , , ............—.....- -WIPMIHPI f Адиабатный процесс вы можете наблюдать, накачивая насосом велосипедную камеру, насос быстро нагревается. На горлышке бутылки с охлаждённой газированной водой при открывании образуется облачко тумана. При адиабатном расширении уменьшается температура, что приводит к конденсации пара. Распространение звуковых волн, при котором происходит сжатие и разрежение воздуха, также является адиабатным процессом. Повышение температуры при адиабатном сжатии наблюдается в дизельных двигателях. В них отсутствует система зажигания горючей смеси, необходимая для обычных карбюраторных двигателей внутреннего сгорания. В цилиндр засасывается не горючая смесь, а атмосферный воздух. К концу такта сжатия в цилиндр с помощью специальной форсунки впрыскивается жидкое топливо. К этому моменту температура воздуха так велика, что горючее воспламеняется._________________________________^ Адиабатный процесс может быть реализован и при отсутствии теплоизоляции. Если процесс расширения или сжатия газа происходит настолько быстро, что за время процесса не успевает произойти теплообмен с внешней средой, то такой процесс также можно считать адиабатным. На рисунке 13.9 показаны процессы расширения газа от объёма Fj до объёма Fg при изотермическом и адиабатном процессах. Мы видим, что начальное состояние газа одно и то же. Так как при адиабатном процессе происходит понижение температуры, то кривая зависимости давления от температуры идёт ниже изотермы. Мы знаем, что работа газа может быть вычислена по площади фигуры, ограниченной графиком зависимости p{V), осью F и отрезками, численно равными давлениям при начальном и ^ конечном состояниях газа. Из рисунка видно, что работа при адиабатном расширении меньше, чем при таком же изотермическом расширении. Понаблюдайте и подумайте, с какими ещё адиабатными процессами вы встречаетесь в повседневной жизни. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Гр--------------------------------- ■А Начертите серию изотерм и се-рию адиабат в координатах р, V. Убедитесь, что у каждой адиабаты только одна точка пересечения с каждой У^изотермой.___________________________ Заметим, что адиабата пересекает изотермы, при этом точка пересечения адиабаты с определённой изотермой может быть только одна. Первый закон термодинамики. Изопроцессы 1. в каком случае работа газа больше: при изотермическом расширении от объёма до объёма Kg или при изобарном расширении от объёма Fj до объёма Kg? 2. Как можно изменить температуру газа? 3. Какой из процессов является самым выгодным для получения максимальной механической работы при данном затраченном количестве теплоты? 4. Почему удельная теплоёмкость при постоянном давлении больше, чем удельная теплоёмкость при постоянном объёме? \ 1. Идеальный газ переходит изотермически из одного состояния в другое. При увеличении объёма газа 1) ему сообщают некоторое количество теплоты 2) его внутренняя энергия возрастает 3) работа, совершённая внешними телами, положительна 4) давление увеличивается А2. Идеальный одноатомный газ находится в сосуде с жёсткими стенками объёмом 0,6 м®. При нагревании его внутренняя энергия увеличилась на 18 кДж. На сколько возросло давление газа? 1) 10 кПа 2) 20 кПа 3) 30 кПа 4) 40 кПа АЗ. Идеальный одноатомный газ совершает переход из состояния 1 в состояние 2 изобарно. Количество теплоты, подведённой к системе в этом процессе, равно 225 кДж. При этом внутренняя энергия газа 1) увеличилась на 315 кДж 3) увеличилась на 135 кДж 2) уменьшилась на 225 кДж 4) уменьшилась на 90 кДж В4. Установите соответствие между названием закона и формулой, соответствующей закону. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Название закона Формула А) Первый закон термодинамики для адиабатного процесса 1) А = 2) Q = Ш А 3) лп = 1 4) ДС7 = - А Б) Основное уравнение МКТ газов А) Б) МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ» В большей части задач используется не общая форма первого закона термодинамики, а его различные частные формулировки, применимые к определённым процессам. Задачи на теплообмен в изолированной системе решаются с помощью уравнения теплового баланса (13.10). При решении задач надо чётко выделять начальное и конечное состояния системы, а также характеризующие её параметры. Задача I. Во время расширения газа, вызванного его нагреванием, в цилиндре с площадью поперечного сечения S = 200 см^ газу было передано количество теплоты Q = 1,5 ’ Дж, причём давление газа оставалось постоянным и равным р = 2 ■ 10^ Па. На сколько изменилась внутренняя энергия газа, если поршень передвинулся на расстояние ДЛ = 30 см? Решение. Согласно первому закону термодинамики в форме (13.12) Q = ДС7 + А', где А' = pSAh — работа, совершённая газом. Отсюда AU = Q - pSAh = 30 кДж. Задача 2. Газ расширяется от объёма до объёма Fg один раз изотермически, другой изобарно и третий адиабатно. При каком процессе газ совершает большую работу и при каком газу передаётся большее количество теплоты? Решение. На диаграмме р—V (рис. 13.10) изобразим все три процесса. Работа численно равна площади криволинейной трапеции. Из рисунка очевидно, что работа при изобарном процессе будет максимальной, при адиабатном минимальной, т. е. А\_2' > Ai_2 > А[_2"- Температура газа в состоянии 2' больше, чем в состоянии 2, а температура в состоянии 2 больше, чем в состоянии 2" (Tg^ > Tg > Tg»). В этом легко убедиться, начертив изотермы, проходящие через точки 2' и 2". При процессе 1—2' изменение внутренней энергии AU > 0, при процессе 1—2 AU = 0. Очевидно, что поскольку Q = AU + А' (первый закон термодинамики), то Qi_2' > Qi—2 ^ Qi—2" (Qi—2" ~ ®)* Задача 3. Пусть азот нагревается при постоянном давлении. Зная, что масса азота т = 280 г, количество затраченной теплоты Q = 600 Дж и удельная теплоёмкость азота при постоянном объёме Су = 745 Дж/(кг • К), определите, на сколько повысилась температура азота. Молярная масса азота М = 0,028 кг/моль. Решение. Согласно первому закону термодинамики Q = AU -f- А'. Изменение внутренней энергии AU = СуТпАТ. Работа при изобарном процессе А" = pAV = (m/M)RAT. Следовательно, Q = пгАТ{Су + R/M), откуда АТ = ^R/M) ~ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Задачи для самостоятельного решения 1. Для изобарного нагревания газа, взятого в количестве 800 моль, на 500 К газу сообщили количество теплоты 9,4 • 10® Дж. Определите работу газа и изменение его внутренней энергии. 2. В цилиндрическом сосуде с площадью основания 250 см^ находится азот массой 10 г, сжатый поршнем, на котором лежит гиря массой 12,5 кг. Какую работу совершит азот при нагревании его от 25 до 625 °С. На какую высоту при этом поднимется поршень? Атмосферное давление равно 1 атм. 3. Идеальный одноатомный газ в количестве 2 моль, находящийся при температуре 0 °С, сначала изохорно перевели в состояние, в котором давление в 2 раза больше первоначального, а затем изобарно в состояние, в котором объём в 2 раза больше первоначального. Определите изменение внутренней энергии газа. 4. В цилиндре под поршнем находится воздух. На его нагревание при постоянном давлении затрачено количество теплоты, равное 5 кДж. Определите работу, совершённую при этом воздухом. Теплоёмкость воздуха при постоянном давлении Ср = 10® Дж/(кг • К), молярная масса 29 г/моль. 5. Положительна или отрицательна работа газа в процессах 1—2, 2—3 и 3—1 на рисунке 10.9? Получает газ тепло или отдаёт в этих процессах? 6. Какое количество теплоты необходимо для изохорного нагревания гелия массой 4 кг на 100 К? 7. Вычислите увеличение внутренней энергии водорода массой 2 кг при изобарном его нагревании на 10 К. (Удельная теплоёмкость водорода при постоянном давлении равна 14 кДж/(кг • К).) 8. В цилиндре компрессора сжимают идеальный одноатомный газ, количество вещества которого 4 моль. Определите, насколько поднялась температура газа за один ход поршня, если при этом была совершена работа 500 Дж. Процесс считайте адиабатным. 9. На одинаковые газовые горелки поставили два одинаковых плотно закупоренных сосуда вместимостью по 1 л. В одном сосуде находится вода, а в другом — воздух. Какой сосуд быстрее нагревается на 50 °С? Почему? 10. Предложен следующий проект вечного двигателя (рис. 13.11). Закрытый сосуд разделён на две половинки герметичной перегородкой, сквозь которую пропущены трубка и водяная турбина в кожухе с двумя отверстиями. Давление воздуха в нижней части больше, чем в верхней. Вода поднимается по трубке и наполняет открытую камеру. В нижней части очередная порция воды выливается из камеры турбины, подошедшей к отверстию кожуха. Почему данная машина не будет работать вечно? 11. В вакууме закреплён горизонтальный цилиндр, в котором слева находится гелий в количестве 0,1 моль, запертый поршнем. Поршень массой 90 г удерживается упорами и может скользить влево вдоль стенок цилиндра без трения. В поршень попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, и застревает в нём. Как изменится температура гелия в момент остановки поршня в крайнем левом положении? Считайте, что газ не успевает обменяться теплом с поршнем и цилиндром. ’%»■ .у МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ;§ 81 ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ Вспомните формулировку первого закона термодинамики. Допускает ли первый закон термодинамики самопроизвольный переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому? Наблюдаются ли такие процессы в природе? Мы уже отмечали, что первый закон термодинамики — это частный случай закона сохранения энергии. Закон сохранения энергии утверждает, что количество энергии при любых её превращениях остаётся неизменным. Между тем многие процессы, вполне допустимые с точки зрения закона сохранения энергии, никогда не протекают в действительности. Например, с точки зрения первого закона термодинамики в изолированной системе возможен переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому, если количество теплоты, полученной горячим телом, точно равно количеству теплоты, отданной холодным телом. В то же время наш опыт подсказывает, что это невозможно. Первый закон термодинамики не указывает направление процессов. Второй закон термодинамики. Второй закон термодинамики указывает направление возможных энергетических превращений, т. е. направление процессов, и тем самым выражает необратимость процессов в природе. Этот закон был установлен путём непосредственного обобщения опытных фактов. Есть несколько формулировок второго закона, которые, несмотря на внешнее различие, выражают, в сущности, одно и то же и поэтому равноценны. Немецкий учёный Р. Клаузиус (1822—1888) сформулировал этот закон так: Второй закон Невозможно перевести тепло от более холодной системы к более горячей при отсутствии других одновременных изменений в обеих системах j ^ли в окружающих телах.________________________________________________ / Здесь констатируется опытный факт определённой направленности теплопередачи: тепло само собой переходит всегда от горячих тел к холодным. Правда, в холодильных установках осуществляется теплопередача от холодного тела к более тёплому, но эта передача связана с другими изменениями в окружающих телах: охлаждение достигается за счёт работы. Важность этого закона в том, что из него можно вывести заключение о необратимости не только процесса —_______________________________________ теплопередачи, но и других процес- Г Как вы понимаете термин «направ- 1 сов в природе. ление процесса»?____________ , Необратимыми называются такие процессы, которые могут самопроизвольно протекать лишь в одном определённом направлении; в обратном направлении они могут протекать только при внешнем воздействии. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Ри- 1^12 Рассмотрим пример. Колебания маятника, выведенного из положения равновесия, затухают (рис. 13.12; 1, 2, 3, 4 — последовательные положения маятника при максимальных отклонениях от положения равновесия). За счёт работы сил трения механическая энергия маятника убывает, а температура маятника и окружающего воздуха (а значит, и их внутренняя энергия) слегка повышается. Можно вновь увеличить размах колебаний маятника, подтолкнув его рукой. Но это увеличение возникает не само собой, а становится возможным в результате более сложного процесса, включающего движение руки. ^ Механическая энергия самопроизвольно переходит во внутреннюю, но не наоборот. При этом энергия упорядоченного движения тела как целого превращается в энергию неупорядоченного теплового движения составляющих его молекулi I» Какие необратимые процессы вы наблюдаете в повседневной жизни? Ещё один пример — процесс диффузии. Открыв пузырёк с духами, мы быстро почувствуем запах духов. Молекулы ароматического вещества благодаря тепловому движению проникают в пространство между молекулами воздуха. Трудно представить, чтобы все они вновь собрались в пузырьке. Число подобных примеров можно увеличивать практически неограниченно. Все они говорят о том, что процессы в природе имеют определённую направленность, никак не отражённую в первом законе термодинамики. Все макроскопические процессы в природе протекают только в одном определённом направлении. ш В обратном направлении они самопроизвольно протекать не могут. Все процессы в природе необратимы. Раньше при рассмотрении процессов мы предполагали, что они являются обратимыми. Обратимый процесс — это процесс, который можно провести в прямом и обратном направлениях через одни и те же промежуточные состояния без изменений в окружающих телах. Обратимый процесс должен протекать очень медленно, чтобы каждое промежуточное состояние было равновесным. EBSBBI Равновесное состояние — это состояние, при котором температура и давление во всех точках системы одинаковы. Следовательно, чтобы система пришла в равновесное состояние, необходимо время. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [¥ Можно ли на графиках зависимости макропараметров газа изображать неравновесные состояния? При изучении изопроцессов мы предполагали, что переход из начального состояния в конечное проходит через равновесные состояния, и считали изотермический, изобарный и изохорный процессы обратимыми. Идеальных обратимых процессов в природе не существует, однако реальные процессы можно с определённой степенью точности рассматривать как обратимые, что является очень важным для теории. /яркой иллюстрацией необратимости явлений в природе служит просмотр ки-нофильма в обратном направлении. Например, прыжок в воду будет при этом выглядеть следующим образом. Спокойная вода в бассейне начинает бурлить, появляются ноги, стремительно движущиеся вверх, а затем и весь ныряльщик. Поверхность воды быстро успокаивается. Постепенно скорость ныряльщика уменьшается, и вот уже он спокойно стоит на вышке. Такой процесс, как вознесение ныряльщика на вышку из воды, не противоречит ни закону сохранения энергии, ни законам механики, ,^и вообще каким-либо законам, кроме второго закона термодинамики.____ Статистический характер второго закона термодинамики. Второй закон термодинамики определяет направление процессов в изолированной системе, однако этот закон носит статистический (вероятностный) характер. Любое макросостояние системы, характеризующееся некоторыми макропараметрами, определяется его микросостояниями. Например, для газа давление и температура определяются числом молекул, их скоростью, распределением молекул по объёму сосуда. Если система предоставлена самой себе и она изолирована, то, как мы знаем, постепенно достигается равновесное состояние, при котором давление и температура во всех точках одинаковы. Процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное — необратимый процесс. Равновесное состояние соответствует хаотичному движению молекул, т. е. система с точки зрения микросостояний приходит к полному хаосу. Хаотичное движение предполагает непрерывное перемещение молекул газа по объёму, обмен скоростями. Естественно, если мы сможем проследить за отдельными молекулами, то они в разные моменты времени оказываются в разных частях сосуда. Число молекул, находящихся в выделенном объёме, также может быть различным и т. д. В то же время макропараметры газа не меняются. Движение молекул — это механическое движение, которое является обратимым. В то же время все необратимые процессы, такие, как теплообмен, происходят вследствие механического движения атомов и молекул, так как столкновения молекул обеспечивают передачу энергии. Итак, необратимые процессы являются следствием обратимого механического движения. Чтобы соединить эти два неоспоримых факта, Л. Больцман использовал понятие вероятности. Так, состояние газа, при котором молекулы движутся хаотично, является наиболее вероятным, наиболее вероятным является и равномерное распределение молекул по объёму сосуда. Однако возможно, что благодаря случайным перемещениям молекул все они окажутся в какой-то части сосуда, но вероятность такого состояния чрезвычайно мала. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Соответственно не противоречит законам природы даже такой процесс, в результате которого при случайном движении молекул воздуха все они соберутся в одной половине класса, а учащиеся в другой половине класса задохнутся. Но реально это событие никогда не происходило в прошлом и не произойдёт в будущем. Слишком мала вероятность подобного события, чтобы оно когда-либо случилось за всё время существования Вселенной в современном её состоянии — около нескольких миллиардов лет. По приблизительным оценкам, эта вероятность примерно такого же порядка, как и вероятность того, что 20 000 обезьян, хаотично ударяя по клавишам пишущих машинок, напечатают без единой ошибки «Войну и мир» Л. Н. Толстого. В принципе это возможно, но реально никогда не произойдёт. Границы применимости второго закона термодинамики. Вероятность обратных процессов перехода от равновесных состояний к неравновесным для макроскопических систем в целом очень мала. Но для малых объёмов, содержащих небольшое число молекул, вероятность отклонения от равновесия становится заметной. туациями. Такие случайные отклонения системы от равновесия называются флук- Именно флуктуациями плотности газа в областях порядка длины световой волны объясняются рассеяние света в атмосфере Земли и голубой цвет неба. Флуктуации давления в малых объёмах объясняют броуновское движение. Наблюдение флуктуации служит важнейшим доказательством правильности созданной Больцманом статистической теории необратимости макропроцессов. Второй закон термодинамики выполняется только для систем с огромным числом частиц. В малых объёмах уже становятся существенными отклонения от этого закона. I Второй закон термодинамики. Обратимость процессов 1. Какие процессы называются необратимыми? Назовите наиболее типичные необратимые процессы. 2. Как формулируется второй закон термодинамики? 3. Какое состояние газа является наиболее вероятным и соответствует равновесному состоянию? § 82 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ТЕПЛОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ (КПД) ТЕПЛОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ Вспомните, что такое термодинамическая система и какими параметрами характеризуется её состояние. Сформулируйте первый и второй законы термодинамики. Отметим, что именно создание теории тепловых двигателей привело к формулированию второго закона термодинамики. Запасы внутренней энергии в земной коре и океанах можно считать практически неограниченными. Но для решения практических задач располагать запасами энергии ещё недостаточно. Необходимо так же уметь за счёт энергии приводить в движение станки на фабриках и заводах, средства транспорта, тракторы и другие машины, вращать роторы генераторов электрического тока и т. д. Человечеству нужны двигатели — устройства, способные совершать работу. Большая часть двигателей на Земле — это тепловые двигатели. ЕДВВВПР Тепловые двигатели — это устройства, превращающие внутреннюю энергию топлива в механическую работу. Принцип действия тепловых двигателей. Для того чтобы двигатель совершал работу, необходима разность давлений по обе стороны поршня двигателя или лопастей турбины. Во всех тепловых двигателях эта разность давлений достигается за счёт повышения температуры рабочего тела (газа) на сотни или тысячи градусов по сравнению с температурой окружающей среды. Такое повышение температуры происходит при сгорании топлива. Одна из основных частей двигателя — сосуд, наполненный газом, с подвижным поршнем. Рабочим телом у всех тепловых двигателей является газ, который совершает работу при расширении. Обозначим начальную температуру рабочего тела (газа) через Эту температуру в паровых турбинах или машинах приобретает пар в паровом котле. В двигателях внутреннего сгорания и газовых турбинах повышение температуры происходит при сгорании топлива внутри самого двигателя. Температуру называют температурой нагревателя. Роль холодильника. По мере совершения работы газ теряет энергию и неизбежно охлаждается до некоторой температуры Т2, которая обычно несколько выше температуры окружающей среды. Её называют температурой холодильника. Холодильником является атмосфера или специальные устройства для охлаждения и конденсации отработанного пара — конденсаторы. В последнем случае температура холодильника может быть немного ниже температуры окружающего воздуха. Таким образом, в двигателе рабочее тело при расширении не может отдать всю свою внутреннюю энергию на совершение работы. Часть тепла неизбежно передаётся холодильнику (атмосфере) вместе с отработанным паром или выхлопными газами двигателей внутреннего сгорания и газовых турбин. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Нагреватель (температура Tj) Эта часть внутренней энергии топлива теряется. Тепловой двигатель совершает работу за счёт внутренней энергии рабочего тела. Причём в этом процессе происходит передача теплоты от более горячих тел (нагревателя) к более холодным (холодильнику). Принципиальная схема теплового двигателя изображена на рисунке 13.13. Рабочее тело двигателя получает от нагревателя при сгорании топлива количество теплоты совершает работу А' и передаёт холодильнику количество теплоты Q2 ^1- Для того чтобы двигатель работал непрерывно, необходимо рабочее тело вернуть в начальное состояние, при котором температура рабочего тела равна Т^. Отсюда следует, что работа двигателя происходит по периодически повторяюпдимся замкнутым процессам, или, как говорят, по циклу. Цикл — это ряд процессов, в результате которых система возвращается в начальное состояние. Холодильник (температура Т2) Рис. 13.13 Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя. Невозможность полного превращения внутренней энергии газа в работу тепловых двигателей обуслов- ..'' ■■ .'' ' ' ..^ лена необратимостью процессов в природе. Если бы тепло могло самопроизвольно возвращаться от холодильника к нагревателю, то внутренняя энергия могла бы быть полностью превращена в полезную работу с помощью любого теплового двигателя. Второй закон термодинамики может быть сформулирован следующим образом: ГШ0 ’ WIBIJISI I. U1MH .. , .я Предположите, при какой темпе-ратуре рабочее тело (газ) следует возвращать в исходное состояние, чтобы работа за цикл была больше нуля. невозможно создать вечный двигатель второго рода, т. е. ',^вигатель, который полностью превращал бы теплоту в механическую работу. Согласно закону сохранения энергии работа, совершаемая двигателем, равна: А' = Я, - т, (13.15) где Qi — количество теплоты, полученной от нагревателя, а Q2 — количество теплоты, отданной холодильнику. Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового двигателя называют отношение работы А', совершаемой двигателем, к количеству теплоты, полученной от нагревателя: , i ir» 1 _ А____Qi ~ IQ2I _ -I _ 1^21 “ iQil “ Qi ~ Qi' (13.16) Так как у всех двигателей некоторое количество теплоты передаётся холодильнику, то п < 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Адиабаты Максимальное значение КПД тепловых двигателей. Законы термодинамики позволяют вычислить максимально возможный КПД теплового двигателя, работающего с нагревателем, имеющим температуру и холодильником с температурой Tg, а также определить пути его повышения. ---------------------------------------------------------------- Впервые максимально возможный КПД теплового двигателя вычислил французский инженер и учёный Сади Карно (1796—1832) в труде «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» (1824). Карно придумал идеальную тепловую машину с идеальным газом в качестве рабочего тела. Идеальная тепловая машина Карно работает по циклу, состоящему из двух изотерм и двух адиабат, причём эти процессы считаются обратимыми (рис. 13.14). Сначала сосуд с газом приводят в контакт с нагревателем, газ изотермически расширяется, совершая положительную работу, при температуре при этом он получает количество теплоты Затем сосуд теплоизолируют, газ продолжает расширяться уже адиабатно, при этом его температура понижается до температуры холодильника Tg. После этого газ приводят в контакт с холодильником, при изотермическом сжатии он отдаёт холодильнику количество теплоты Q2, сжимаясь до объёма V4 < V^. Затем сосуд снова теплоизолируют, газ сжима-ется адиабатно до объёма и возвращается в первоначальное состояние. Для КПД этой машины было получено следующее выражение: Риг Как вы думаете, почему для получения максимальной положительной работы С. Карно выбрал изо-У^термический процесс?_________________ Птах т, - То Т: = 1-- (13.17) Как следует из формулы (13.17), КПД машины Карно прямо пропорционален разности абсолютных температур нагревателя и холодильника. Главное значение этой формулы состоит в том, что в ней указан путь увеличения КПД, для этого надо повышать температуру нагревателя или понижать температуру холодильника. Любая реальная тепловая машина, работающая с нагревателем, имеющим температуру Ti, и холодильником с температурой Т^, не может иметь КПД, превышающий Qi ^ . 7i -ТЬ „ --------^ —-—. Процессы, из которых состо- КПД идеальной тепловой машины; Qi ИТ цикл реальной тепловой машины, не являются обратимыми. Формула (13.17) даёт теоретический предел для максимального значения КПД тепловых двигателей. Она показывает, что тепловой двигатель тем эффективнее, чем больше разность температур нагревателя и холодильника. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Лишь при температуре холодильника, равной абсолютному нулю, г| = 1. Кроме этого доказано, что КПД, рассчитанный по формуле (13.17), не зависит от рабочего вещества. Но температура холодильника, роль которого обычно играет атмосфера, практически не может быть ниже температуры окружающего воздуха. Повышать температуру нагревателя можно. Однако любой материал (твёрдое тело) обладает ограниченной теплостойкостью, или жаропрочностью. При нагревании он постепенно утрачивает свои упругие свойства, а при достаточно высокой температуре плавится. Сейчас основные усилия инженеров направлены на повышение КПД двигателей за счёт уменьшения трения их частей, потерь топлива вследствие его неполного сгорания и т. д. Для паровой турбины начальные и конечные температуры пара примерно таковы: — 800 К и Tg — 300 К. При этих температурах максимальное значение коэффициента полезного действия равно 62 % (отметим, что обычно КПД измеряют в процентах). Действительное же значение КПД из-за различного рода энергетических потерь приблизительно равно 40 %. Максимальный КПД — около ^ % — имеют двигатели Дизеля._______________________________ ^ Охрана окружающей среды. Трудно представить современный мир без тепловых двигателей. Именно они обеспечивают нам комфортную жизнь. Тепловые двигатели приводят в движение транспорт. Около 80 % электроэнергии, несмотря на наличие атомных станций, вырабатывается с помощью тепловых двигателей. Однако при работе тепловых двигателей происходит неизбежное загрязнение окружающей среды. В этом заключается противоречие: с одной стороны, человечеству с каждым годом необходимо всё больше энергии, основная часть которой получается за счёт сгорания топлива, с другой стороны, процессы сгорания неизбежно сопровождаются загрязнением окружающей среды. При сгорании топлива происходит уменьшение содержания кислорода в атмосфере. Кроме этого, сами продукты сгорания образуют химические соединения, вредные для живых организмов. Загрязнение происходит не только на земле, но и в воздухе, так как любой полёт самолёта сопровождается выбросами вредных примесей в атмосферу. Одним из следствий работы двигателей является образование углекислого газа, который поглощает инфракрасное излучение поверхности Земли, что приводит к повышению температуры атмосферы. Это так называемый парниковый эффект. Измерения показывают, что температура атмосферы за год повышается на 0,05 °С. Такое непрерывное повышение температуры может вызвать таяние льдов, что, в свою очередь, приведёт к изменению уровня воды в океанах, т. е. к затоплению материков. Отметим ещё один отрицательный момент при использовании тепловых двигателей. Так, иногда для охлаждения двигателей используется вода из рек и озёр. Нагретая вода затем возвращается обратно. Рост температуры в водоёмах нарушает природное равновесие, это явление называют тепловым загрязнением. Для охраны окружающей среды широко используются различные очистительные фильтры, препятствующие выбросу в атмосферу вредных веществ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ совершенствуются конструкции двигателей. Идёт непрерывное усовершенствование топлива, дающего при сгорании меньше вредных веществ, а также технологии его сжигания. Активно разрабатываются альтернативные источники энергии, использующие ветер, солнечное излучение, энергию ядра. Уже выпускаются электромобили и автомобили, работающие на солнечной энергии. [Тепловой двигатель. КПД теплового двигателя 1 Какое устройство называют тепловым двигателем? Какова роль нагревателя, холодильника и рабочего тела в тепловом двигателе? .'i. Что называется коэффициентом полезного действия двигателя? 4 Чему равно максимальное значение коэффициента полезного действия теплового двигателя? Л1. Тепловая машина 1) совершает механическую работу по увеличению внутренней энергии тела 2) производит тепло 3) совершает механическую работу за счёт подводимого количества теплоты 4) производит электроэнергию за счёт совершения работы Рабочее тело тепловой машины получило количество теплоты, равное 70 кДж. При этом холодильнику передано количество теплоты, равное 52,5 кДж. КПД такой машины 1) 1,7 % 2) 17,5 % 3) 25 % 4) >100 % ЛЗ. Чему равен коэффициент полезного действия паровой турбины, если полученное ею количество теплоты равно 1000 МДж, а полезная работа составляет 400 МДж? 1) 4 % 2) 25 % 3) 40 % 4) 60 % Л i Тепловая машина за цикл получает от нагревателя 50 Дж и совершает полезную работу, равную 100 Дж. Чему равен КПД тепловой машины? 1) 200 % 2) 67 % 3) 50 % 4) такая машина невозможна 4.5. Горячий пар поступает в турбину при температуре 500 °С, а выходит из неё при температуре 30 °С. Чему равен КПД турбины? Паровую турбину считайте идеальной тепловой машиной. 1) 1 % 2) 61 % 3) 94 % 4) 100 % МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ 1^ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ ^ , «КПД ТЕПЛОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ» Для решения задач надо воспользоваться известными выражениями для определения КПД тепловых машин и иметь в виду, что выражение (13.17) справедливо только для идеальной тепловой машины. Задача 1. В котле паровой машины температура 160 °С, а температура холодильника 10 °С. Какую максимальную работу может теоретически совершить машина, если в топке, коэффициент полезного действия которой 60 %, сожжён уголь массой 200 кг с удельной теплотой сгорания 2,9 • 10^ Дж/кг? Решение. Максимальную работу может совершить идеальная тепловая машина, работаюш,ая по циклу Карно, КПД которой г| = (Г, - где и Tg — абсолютные температуры нагревателя и холодильника. Для любой тепловой машины КПД определяется по формуле г\ = A/Q-^, где А — работа, совершаемая тепловой машиной, — количество теплоты, полученной машиной от нагревателя. Из условия задачи ясно, что Qj — это часть количества теплоты, выделившейся при сгорании топлива: Qi = Тогда Т, - То откуда А = - Т2/Т1) = 1,2 • 10^ Дж. Задача 2. Паровая машина мощностью N = 14,7 кВт потребляет за 1 ч работы топливо массой т = 8,1 кг, с удельной теплотой сгорания q = 3,3 • 10^ Дж/кг. Температура котла 200 °С, холодильника 58 °С. Определите КПД этой машины и сравните его с КПД идеальной тепловой машины. Решение. КПД тепловой машины равен отношению совершённой механической работы А к затраченному количеству теплоты Qj, выделяющейся при сгорании топлива. Количество теплоты Qj = mq. Совершённая за это же время работа А = Nt. Таким образом, г\ = A/Q^ = Nt/qm = 0,198, или г| » 20%. Т - То Для идеальной тепловой машины Г| = 100 % = 30 %, п < Л ид* Итак, КПД идеальной тепловой машины, как и следовало ожидать, больше КПД реальной машины. Задача 3. Идеальная тепловая машина с КПД г\ работает по обратному циклу (рис. 13.15). Какое максимальное количество теплоты можно забрать от холодильника, совершив механическую работу А7 Решение. Поскольку холодильная машина работает по обратному циклу, то для перехода тепла от менее нагретого тела к более нагретому необходимо, чтобы внешние силы совершили положительную работу. Прин- Рис. 13.15 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ципиальная схема холодильной машины: от холодильника отбирается количество теплоты Q2, внешними силами совершается работа и нагревателю А Q[ ~ Q2 передаётся количество теплоты Следовательно, Л ^ ^ —о--------- о. = О.П - о. = л/п откуда Q2 = Qi(l - л). Qi = ^/Л- Окончательно Qg ^ (^/л)(1 ~ Л)- Задачи для самостоятельного решения 1. Какой должна быть температура нагревателя, для того чтобы стало возможным достижение значения КПД тепловой машины 80 %, если температура холодильника 27 °С? 2. В процессе работы тепловой машины за некоторое время рабочим телом было получено от нагревателя количество теплоты Qj = 1,5 • 10® Дж, передано холодильнику количество теплоты Q2 = ~1,2 • 10® Дж. Вычислите КПД машины и сравните его с максимально возможным КПД, если температуры нагревателя и холодильника соответственно равны 250 °С и 30 °С. 3. В паровой турбине для получения пара с температурой 250 °С сжигают дизельное топливо массой 0,35 кг. При этом пар совершает работу 1 кВт • ч. Температура холодильника 30 °С. Вычислите КПД турбины. Удельная теплота сгорания дизельного топлива 42 МДж/кг. 4. В цилиндре находится газ, для нагревания которого сжигают нефть массой 2 кг с удельной теплотой сгорания 4,3 • 10^ Дж/кг. Расширяясь, газ совершает работу 10 кВт • ч. На сколько изменилась внутренняя энергия газа? Чему равен КПД установки? 5. Двигатель автомобиля развивает мощность 25 кВт. Определите КПД двигателя, если при скорости 60 км/ч он потребляет 12 л бензина на 100 км пути. Плотность бензина 700 кг/м®. При сгорании 1 кг бензина выделяется количество теплоты, равное 4,5 • 10^ Дж. Повторите материал главы 13 по следующему плану: 1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение. 2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы. 3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ. 4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов. щ «Тепловые двигатели и их роль в жизни человека» 1. Модели вечных двигателей. Их разоблачение. 2. Двигатели внутреннего сгорания. Дизельный двигатель. 3. С. Карно — создатель термодинамики. 4. Проблемы и пути повышения КПД тепловых двигателей. 5. Применение тепловых двигателей. 6. Экологические проблемы использования тепловых двигателей. «Проектирование и моделирование теплового двигателя» основы ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧТО ТАКОЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Приступим к изучению нового раздела физики — «Электродинамика». Речь пойдёт о процессах, которые определяются движением и взаимодействием электрически заряженных частиц. Изучение природы этого взаимодействия приведёт нас к одному из самых фундаментальных понятий физики — электромагнитному полю. Электродинамика — это наука о свойствах и закономерностях поведения особого вида материи — электромагнитного поля, осуществляющего взаимодействие между электрически заряженными телами или частицами. Среди четырёх типов взаимодействий, открытых наукой, — гравитационных, электромагнитных, сильных (ядерных) и слабых — именно электромагнитные взаимодействия занимают первое место по широте и разнообразию проявлений. В повседневной жизни и технике мы чаще всего встречаемся с различными видами электромагнитных сил. Достаточно напомнить, что электромагнитные взаимодействия позволяют видеть всё вокруг, так как свет — одна из форм электромагнитного поля. К созданию электродинамики привела длинная цепь планомерных исследований и случайных открытий, начиная с обнаружения способности янтаря, потёртого о шерсть, притягивать лёгкие предметы и кончая гипотезой великого английского учёного Джеймса Клерка Максвелла о порождении магнитного поля переменным электрическим полем. Лишь во второй половине XIX в., после создания электродинамики, началось широкое практическое использование электромагнитных явлений. Изобретение радио русским учёным А. С. Поповым (1859—1906) и итальянским учёным Г. Маркони (1874—1937) — одно из важнейших применений принципов новой теории. При развитии электродинамики впервые научные исследования предшествовали техническим применениям. Если паровая машина была построена задолго до создания теории тепловых процессов, то сконструировать электродвигатель или радиоприёмник оказалось возможным лишь после открытия и изучения законов электродинамики. Бесчисленные практические применения электромагнитных явлений преобразовали жизнь людей на всём земном шаре. Современная цивилизация немыслима без электрического тока. Телевизоры, компьютеры, электроплиты и многое другое, что кажется для нас естественным и привычным, образуют своеобразную среду обитания, об истоках которой мы не задумываемся. Нам кажется, что это существовало вечно. Однако это далеко не так, и стоит задуматься, что любой прибор, которым мы пользуемся, работает на основе того или иного физического закона. Наща задача состоит в изучении основных законов электромагнитных взаимодействий, а также в знакомстве с основными спосо