Учебник Математика 6 класс Тарасенкова Богатырева

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Математика 6 класс Тарасенкова Богатырева - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
Н. А. Тарасенкова, И. Н. Богатырёва, О. Н. Коломиец, 3. А. Сердюк Учебник для 6 класса общеобразовательных учебных заведений с обучением на русском языке Рекомендовано Министерством образования и науки Украины КИЕВ Издательский дом «ОСВИТА» 2014 УДК 51 (075.3) ББК 22.1 я723 Т19 Рекомендовано Министерством образовании и н&уки Украины (приказ Министерства образования и н&уки Украины от 07.02.2014г. №123) ИЗДАНО ЗА. СЧЕТ ГОСУДАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ. ПРОДАЖА ЗАПРЕЩЕНА Переедено пои:щанию: Математика: пщруч. для 6 класузагальноосв1т. навч.закл. /Н. А Тарасенкова, I. М. Богатирьова, О. М. Колом1ець. 3. О. Сердюк. — К.: Видавничийд1мхОсвгга», 2014. —304с. Научную экспертизу проводил Институт математики НАН Украины Рецензент—И. В. Самойпеико, ондидаг физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела фрактального анализа Института математики НАН Украины П с ихол о го - п е даго ги ч е с fy ю э ксп е ртизу п р о во ди л Институт педагогики НАПН Украины Рецензент —А. И. Глобин, кандидат педагогических наук, старилй научный сотрудник. заведующий лабораторией математического и физического образования От вет ст ве нн ы е за п о дгот о вку уч е бн и ка к издан и ю; Р. В. Глздковокий, главный специалист департамента общего среднего и доикольного образования МОН Украины Д. В. Паиьков, научный сотрудник Института инновационныхтехнологий и содер;|^ия образования МОН Украины УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ: ^ - подумайте ^2 - как записать в тетради □ f-”™' и Запомните* Обратите вкимдн»«е: 1 Тарасенкова Н. А. Т19 Математика ; учеб, для б кл. общеобразоват. учеб, завед. с обучением на рус. яз./Н. А. Тарасенкова. И. Н. Богатырёва. О. Н. Коломиец. 3. А. Сердюк. — К.: Издательский дом «Освита». 2014. — 304 с. ISBN 978-617-656-304-4. ISBN 978-617-656-303-7 (укр.) ISBN 978-617-656-304-4 (рус.) УДК 61(076.3) ББК22.1я723 (Э Тарасенковд Н. А., Богатырёве И. Н., ЮзломиецО. Н., Сердюк 3. А., 2014 <Э Издательский дом иОсвитди, 2014 т ДОРОГИЕ УЧЕНИКИ I Вы уже пять лет изучаете математику и узнали много интересного и познавательного. А ещё больше нового вас ожидает впереди. Математические знания люди используют и на работе, и в быту. В наше время, когда наука движется вперёд очень быстро, невозможно представить специалиста любой отрасли без математических знаний. Чтобы освоить математику, необходимы умения считать, рассуждать, сравнивать, делать выводы, задавать вопросы и отвечать на них, решать задачи и обосновывать свои рассуждения. Все эти умения вы сможете развить, если будете упорно и ответственно работать на уроках и дома. А учебник вам в этом поможет. Как изучать математику по этому учебнику? Весь материал разделён на 5 глав, а главы — на параграфы. В каждом параграфе содержится теоретический материал и задачи. В учебнике используются специальные значки (пиктограммы). Они помогут вам лучше ориентироваться в учебном материале. Задачи учебника имеют четыре уровня сложности. Задания, номера которых обозначены штрихом ('), являются подготовительными упражнениями для тех, кто не уверен, что хорошо понял теоретический материал. Задания, возле номера которых стоит кружочек (°), обозначают задачи среднего уровня сложности. Их нужно уметь решать для дальнейшего изучения математики. Номера заданий без отметок являются задачами до-стататочного уровня сложности. Научившись их решать, вы сможете уверенно демонстрировать достататочный уровень знаний. Звёздочками (*) обозначены задачи высокого уровня сложности. Для их решения иногда нужно проявить терпение и настойчивость. Радость от решения сложной задачи будет вам наградой. Желаем вам успехов в познании нового и удовольствия от изучения математики! V \ Бы узнаете; Ф что такое делители и кратные натурального числа; Ф какие существуют признаки делимости чисел; Ф какие числа называются простыми и как их находить; Ф как разложить число на множители; « что такое наибольший общий делитель чисел и как его находить; Ф что такое наименьшее общее кратное чисел и как его находить; как применять изученный материал на практике Решето ЭРАТОСФЕНА 1 2 3 Ж 5 Ж 7 11 Ж 13 ЖЖЖ 17 Ж19 J2CT 23 ЖЖЖЖЖ 29 Ж 31 37 ЖЖЖ 41 Ж 43 47 1 I I ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧЙСЁ‘^ /----------------------------------N § 1. ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Посмотрите на рисунок 1. Вы видите» что 6 яблок разделили на 2 кучки по 3 яблока в каждой. Тут число б является делимым» число 2 — делителем» а число 3 — частным. Однако 6 яблок можно разделить и иначе — разложить их на 3 кучки по 2 яблока в каждой. Тогда для делимого 6 число 3 является делителем» а число 2 — частным. -Это значит» что числа 2 и 3 являются делителями числа 6. В то же время число 6 является кратным для каждого из своих делителей — и для числа 2» и для числа 3. Делители и кратные являются натуральными числами. V 1 г • Рис. 1 Запомните! Д&лателем чтл9 называется такое число, на которое делится данное число. {фатиым числа называется такое число, которое делится на данное число. ? Есть ли другие делители у числа б? Да. Число б делится ещё на 1 и само на себя. Значит» всего у числа б есть четыре делителя: 1; 2; 3; б. Ф Обратите внимание: каждое натуральное число, начиная с числа 2. имеет по меньшей мере два делителя — число 1 и само это число. Другие делители находятпо специальным правилам. 6 ♦ Глава 1 Задача . Найдите все делители числа: 1) 7; 2) 12; 3) 25. Реш ение. 1) У числа 7 есть по меньшей мере два делителя — 1 и 7. Ни на одно другое натуральное число 7 не делится, поэтому у него всего два делителя: 1 и 7. 2) Число 12 имеет по меньшей мере два делителя— 1 и 2. Далее последовательно проверяем делимость числа 12 на натуральные числа от 2 до 11.12 : 2 = 6. поэтому 2 и 6 — делители числа 12.12 : 3 = 4, поэтому 3 и4 тоже являются делителя ми числа 12. На 5, 7. 8. 9.10 и 11 число 12 не делится. Значит, делителями числа 12 являются числа: 1; 2 3;4; б; 12. 3) У числа 25 есть как минимум два делителя: 1 и 25. На 2. 3 и 4. а также на числа от б до 24 это число не делится. 25 : 5 = 5. поэтому число 5 является делителем числа 25. причём дважды. Однако равные делители учитываются только один раз. Значит, у числа 25 не четыре. а три делителя: 1; 5; 25. Запомните! Натуральное число, у которого есть только два делителя (1 и само число),называется лросшм. Натуральное число, у которого больше двух делителей, называется составным. Например, 7 — простое число, а 12 и 25 — составные. ^ Является ли 1 простым числом? А составным? Нет, посколькуу числа 1 только один делитель. Значит, число 1 особенное. Оно и не простое, и не составное. т Обратите внимание: I наименьшим простым числом является число 2. т Узнайте больше Чтобы выписать некоторое количество простых чисел, можно воспользоваться способом, придуманным ещё в III в. до н.э. Эратосфеном Кирёнским (276 г. до н. э. —194 г. до н. э.). греческим математиком, астрономом, географом и поэтом. В честь учёного этот способ называется «решето Эратосфена». На рисунке (с. 4) вы видите, как находили простые числа от 2 до 50. Попробуйте самостоятельно объяснить, как это делали. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какое число называется делителем числа? 2. Какое число называется кратным числа? 3. На какие два числа всегда делится любое натуральное число, большее 1? 4. Какое натуральное число называется простым? Приведите пример. 5. Назовите наименьшее простое число. 6. Какое натуральное число называется составным? Приведите пример. РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 3' 4' 5' А А й 1Каждое ли натуральное число имеет делители? 2'. Верно ли, что число 3 является делителем числа: 1)5: 2)9; 3)4; 4)12? Верно ли, что число 12 является кратным числа: 1)5; 2)9; 3)4; 4)3? Назовите: 1) три простых числа; 2) три составных числа. Является ли число 1: 1) простым числом; 2) составным числом? Даны числа: 3; 4; 6; 8; 9. Выпишите те из них, которые являются делителями числа: 1) 8; 2) 12; 3) 16; 4) 18. Даны числа: 2; 3; 5; 6; 8. Выпишите те из них, которые являются делителями числа: 1) 9; 2) 15; 3) 32; 4) 40. Найдите все делители числа: 1) 8; 2) 14; 3) 28; 4) 39. Найдите все делители числа: 1) 9; 2) 11; 3) 25; 4) 36. 10°. Даны числа: 10; 12; 14; 16; 18; 20. Выпишите те из них, которые являются кратными числа: 1) 4; 2) 6; 3) 3; 4) 8. 11°. Даны числа: 14; 18; 21; 24; 28; 30. Выпишите те из них, которые являются кратными числа: 1) 6; 2) 7; 3) 10; 4) 3. 12°. Дед Мороз принёс в детский сад подарки и подарил каждому ребёнку одинаковое их количество. Сколько подарков получил каждый ребёнок, если в садике 64 ребёнка, а подарков было: 1)256; 2)320; 3)448? 13°, На координатном луче отметьте точкуА(2) и ещё четыре точки с координатами, кратными координате точки А. 8° 9° й й й Глава 1 14°. На координатном луче отметьте точку В(3) и ещё три точки с координатами, кратными координате точки В. 15°. Даны числа: 10; 11; 13; 15; 18; 23. Выпишите те из них, которые являются: 1) простыми; 2) составными. 16°. Даны числа: 21; 25; 27; 29; 32; 37. Выпишите те из них, которые являются: 1) простыми; 2) составными. 17°. Даны числа: 7; 8; 10; 13; 19; 24; 31; 34; 37; 39; 42; 43. Выберите из них те, у которых: 1) только два делителя; 2) больше двух делителей. 18. Сколько делителей у числа: 1) 125; 2) 216; 3) 256; 4) 400? 19. Найдите все делители числа: 1) 96; 2) 100; 3) 144; 4) 180. 20. Найдите все делители числа: 1) 84; 2) 72; 3) 125; 4) 120. 21. В магазине цветные карандаши продают в коробках по 16 карандашей в каждой. Может ли учитель рисования купить: 1) 48 карандашей; 2) 64 карандаша; 3) 96 карандашей; 4) 120 карандашей? Если да, то сколько это коробок? 22. В спортивных соревнованиях принимают участие 108 школьников. Можно ли поделить их на команды: 1) по 6 человек; 2) по 12 человек; 3) по 16 человек; 4) по 24 человека? Если да, то сколько будет таких команд? 23. Найдите все двузначные числа, кратные числу: 1)8; 2)13; 3)16; 4)22. Ж 24. Найдите все двузначные числа, кратные числу: И 1)9; 2)11; 3)12; 4) 15. 25. Найдите все трёхзначные числа, меньшие 400, для которых число 35 является делителем. 26. Найдите четыре наименьших числа, делителями которых являются числа 6 и 8. 27. Можно ли записать простое число в виде: 1) суммы двух чётных чисел; 2) суммы двух нечётных чисел; 3) суммы чётного и нечётного чисел? Ответ объясните. Приведите примеры. 28*. Найдите четыре любых натуральных числа, имеющих ровно три делителя. Какую вы заметили закономерность? 29*. Найдите четыре любых натуральных числа, имеющих ровно четыре делителя. Какую вы заметили закономерность? 30*. Запишите число 48 в виде разности квадратов двух простых чисел, меньших 25. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ ш 31. Оксана покупала в магазине конфеты и получила 2 грн 25 к. сдачи. Могла ли она получить сдачу только монетами: 1) по 5 к.; 2) по 10 к.; 3) по 25 к.; 4) по 50 к.? Если да, то сколько было монет? 32. Возраст Иры, её старшой сестры Ольги, их мамы и бабушки — всё это делители числа 165. Найдите возраст сестры, мамы и бабушки девочки, если известно, что Ире — 11 лет. I ^ ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 33. Вычислите; 1) Л 3 Л 1—+ 2— 11 11 н-З^; 2)5:^ 11 21 V 21 21 34. Магазин в первый день продал 180 кг помидоров, а во второй — 270 кг. На сколько процентов больше магазин продал помидоров во второй день? 2. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 2, 10, 5^ Запишем натуральный ряд чисел: 1; 2; 3; 4; 5; б; 7; 8; 9; 10; 11; 12... Умножим каждое число на 2. Получили ряд чисел, кратных числу 2: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24... Такие числа называют чётными. Их можно задать формулой: 2пу где п — некоторое натуральное число. Цифры о, 2,4, б, 8 считают чётными цифрами. В натуральном ряде чётные числа чередуются с нечётными числами — они не делятся на 2. Например, числа 3, 5, 11 — нечётные. Их также можно задать формулой: 2п- - 1, где п — некоторое натуральное число. Цифры 1, 3, 5, 7, 9 считают нечётными цифрами. ? Как выяснить, является ли чётным данное число? Для этого пользуются признаком делимости на 2. Глава 1 Запомните* Признак делимости на 2 На 2 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается чётной цифрой. Например, запись числа 538 заканчивается цифрой 8, которая является чётной, поэтому число 538 делится на 2. Действительно, 538:2=269. А вот запись числа 537 заканчивается нечётной цифрой 7, поэтому данное число не делится на 2. Опираясь на натуральный ряд чисел, запишем ряд чисел, кратных числу 10: 10; 20; 30; 40; 50- 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120... Как видим, запись каждого числа этого ряда заканчивается цифрой 0. Именно в этом и состоит признак делимости на 10. Запомните! Признак делимости на 10 На 1 о делятся те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой О. Например, число 1000 делится на 10, а число 1001 — не делится. ? Можно ли считать признак делимости на 10 признаком делимости на 5? Нет, так как супдествуют числа, которые делятся на 5, но не делятся на 10. Например, число 2055. Опираясь на натуральный ряд чисел, запишем ряд чисел, кратных числу 5: 5; 10; 15; 20; 2*5; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60... Как видим, запись каждого числа этого ряда заканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Именно в этом и состоит признак делимости на 5. Запомните! Признак делимости на 5 На 5 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается либо цифрой 5, либо цифрой О. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ^ Например, число 85 делится на 5, а число 86 — не делится. ^Задача. Найдите все нечётные числа от 10 до 40, которые у делятся на 5. Решение. Способ 1. Сначала выберем все нечётные числа от 10 до 40: 11:13:15:17:19; 21;...;39. Применив к этим числам признак делим ости на 5. получим искомые числа: 15; 25; 35. Способ 2. Искомые числа — нечётные и делятся на 5. Поэтому среди них не должно быть чисел, запись которых заканчивается цифрой 0. поскольку такие числа — чётные. Итак, среди чисел от 10 до 40 достаточно выбрать числа, запись которых заканчивается только цифрой 5. Отсюда искомым и будут числа: 15; 25; 35. Ф. Обратите внимание: среди чисел, делящихся на 5. чётные числа делятся и на 10. а нечётные — нет. Узнайте больше Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится число, образованное двум я последними цифрами данного числа. Например, число 3436 делится на 4. поскольку число 36 делится на 4. Признак делимости на 8. Число делится на 8 тогда и только тогда. когда на 8 делится число, образованное тремя последними цифрам и данного числа. Например, число 29176 делится на 8. поскольку число 176 делится на 8. Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда на 25 делится число, образованное двумя последними цифрами данного числа. Например, число 6575 делится на 25. поскольку число 75 делится на 25. Признак делимости на 125. Число делится на 125 тогда и только тогда, когда на 125делится число, образованное тремя последними цифрами данного числа. Например, число 36 375 делится на 125, поскольку число 375 делится на 125. 1 2. 3. 4. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Какие числа называются чётными? Нечётными? Какие цифры считаются чётными? Нечётными? Сформулируйте признак делимости на 2. Сформулируйте признак делимости на 10. 5. Сформулируйте признак делимости на 5. Глава 1 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J ё ё ё 35'. Назовите: 1) три чётных числа; 2) три нечётных числа. 36'. Верно ли, что чётным является число: 1)8; 2)15; 3)24; 4)41? 37'. Верно ли, что нечётным является число: 1)18; 2)25; 3)33; 4)72? 38'. Назовите любые три числа, делящиеся на 10. 39'. Назовите любые три числа, делящиеся на 5. 40°. Из чисел от десяти до двадцати выпишите: 1) чётные числа; 2) нечётные числа. 41°. Даны числа: 5; 11; 13; 16; 24; 29; 30; 35; 48; 51. Сколько среди данных чисел: 1) чётных; 2) нечётных? 42°. Даны натуральные числа от двадцати до тридцати. Выпишите те из них, которые являются: 1) чётными; 2) нечётными. 43°. Из чисел от двадцати до сорока выпишите те, что делятся на 2. 44°. Даны числа: 8; 12; 13; 15; 22; 25; 30; 32; 47; 54. Сколько среди данных чисел: 1) делятся на 2; 2) не делятся на 2? 45°. Из чисел от двадцати шести до сорока восьми выпишите те, что делятся на 2. 46°. Из чисел от трёх до пятидесяти выпишите те, что делятся на 10. 47°. Даны числа: 8; 10; 16; 20; 32; 35; 40; 56; 70; 99; 110. Сколько среди данных чисел: 1) делятся на 10; 2) не делятся на 10? 48°. Из чисел от двадцати пяти до семидесяти двух выпишите те, что делятся на 10. 49°. Из чисел от трёх до пятидесяти четырёх выпишите те, что делятся на 5. 50°. Даны числа: 7; 13; 15; 23; 25; 34; 40; 49; 55; 60; 78; 85; 99. Сколько среди данных чисел таких, что: 1) делятся на 5; 2) не делятся на 5; 3) делятся и на 5, и на 2? ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ^51°. Из чисел от девяти до шестидесяти шести выпишите те, что ^ делятся на 5. 52°. Из чисел от тридцати до пятидесяти выпишите те, что делятся: 1)на2; 2) на 5; 3)наЮ. 53°. Назовите любые три числа, которые не делятся: 1)на2; 2) на 5; 3)наЮ; 4) ни на 2, ни на 5. 54°. На координатном луче отметьте точки, координатами которых являются числа от одного до одиннадцати, кратные числу: 1)2; 2)5: 3)10. Ж 55°. На координатном луче отметьте точки, координатами которых ^ являются числа от двух до пятнадцати, кратные числу: 1)2; 2)5; 3)10. 56°. Даны числа: 110; 224; 355; 154; 180; 203; 432; 518; 650; 780. Выпишите те из них, которые делятся: 1)на2; 2) на 5; 3)на10; 4) и на 2, и на 5. А 57°'. Даны числа: 125; 252; 305; 160; 191; 210; 336; 520; 651; 890. ^ Выпишите те из них, которые делятся: 1)на2; 2) на 5; 3)наЮ; 4) и на 2, и на 5. 58°. Допишите справа к числу 33 такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10. 59°. В числе 123* вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10. А 60°. В числе 135* вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы ^ полученное число делилось: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10. 61 °. Вычислите значение выражения 125 • 36 + 125 • 3 и выясните, делится ли полученное число на: 1) 2; 2) 5; 3) 10. А 62°. Вычислите значение выражения 137 • 12 + 137 • 18ивыясни-^ те, делится ли полученное число на: 1) 2; 2) 5; 3) 10. 63. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу 1. Какую закономерность вы заметили? Таблица 1 а Ь а + Ъ а-Ъ чётное чётное чётное нечётное нечётное чётное нечётное нечётное й ё Глава 1 64. Даны числа от ста до двухсот. Сколько среди этих чисел: 1) чётных; 3) нечётных, делящихся на 5; 2) нечётных: 4) чётных, делящихся на 5? 65. Можно ли, используя только цифры 7 и 6, записать числа, которые: 1) делятся на 2; 3) делятся на 5; 2) не делятся на 2; 4) делятся на 10? Если да, то приведите примеры. 66. Мама купила на базаре несколько упаковок яиц по 10 штук в каждой. Может ли быть так, что мама купила: 1)25 яиц; 2) 44 яйца; 3)60 яиц? 67. У Васи было 20 грн. Он купил 5 ручек и получил сдачу — 2 грн 42 к. Верно ли ему дали сдачу? 68. На 8 Марта мальчики б-Б класса купили 14 букетов по 5 тюльпанов в каждом. Смогут ли мальчики подарить всем своим одноклассницам одинаковые букеты, если в б-Б классе 10 девочек? 69. Для уроков рисования родители купили шестиклассникам 10 коробок карандашей, по 14 карандашей в каждой коробке. Можно ли поделить все карандаши так, чтобы каждому ученику досталось по 5 карандашей, если в классе 28 учеников? 70. Среди двузначных чисел, содержащих цифру 5, найдите все числа, которые: 1) делятся на 5; 3) делятся на 10; 2) делятся на 2 и на 5; 4) не делятся ни на 2, ни на 5. 71. Среди двузначных чисел, содержащих цифру 4, найдите все числа, которые: 1) делятся на 5; 3) делятся на 10; 2) делятся на 2 и на 5; 4) не делятся ни на 2, ни на 5. 72*. Запишите наименьшее трёхзначное число, делящееся на 10, если сумма его цифр равна: 1) 7; 2) 8; 3) 11. 73*. Запишите наибольшее трёхзначное число, делящееся на 5, если сумма его цифр равна: 1)15; 2)20; 3)22. 74*. Среди четырёхзначных чисел, запись которых содержит только цифры 2, 5 и о, выпишите те, что делятся: 1)на25; 2) на 4. 75*. Как, не производя вычислений, определить, делится ли произведение 24 • 13 • 45 • 16: 1) на 10; 2) на 25? ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 76. Посчитайте, сколько лет в сумме составляет возраст учеников вашего класса. Делится ли полученное число: 1) на 2; 2) на 5; 3)на 10? 77. Ученики б-А класса сдали 400 кг макулатуры и получили в подарок по одной коробке конфет за каждый центнер макулатуры. В каждой коробке 25 конфет. Можно ли конфеты поделить поровну между всеми учениками, если в 6-А классе 20 учеников? Г ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 78. Вычислите: 1) 376,486 + 4,114; 2) 0,9879 + 359,0121; 3) 8,62 + 901,28. 79. Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 250 см. Длины рёбер параллелепипеда составляют 5%, 8 % и 12 % от суммы. Вычислите объём параллелепипеда. ^ § 3. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 9, 3 ^ Запишем ряд чисел, кратных числу 9: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108... Как видим, признак делимости на 9 не связан с последней цифрой в записи числа. Он связан с сумой цифр в этой записи. Позже вы сможете это обосновать. Запомните! Признакделимости на 9 На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Например, число 1476 делится на 9, поскольку 1+4 + 7 + 6 = 18, а число 18 делится на 9. Число 1239 не делится на 9, поскольку 1 + 2 + 3 + 9=15,а число 15 не делится на 9. ? Как. выяснить, делится ли число на 3? Для этого пользуются признаком делимости на 3. J . Глава 1 Запомните! Признак делимости на 3 На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например, в числе 237 сумма цифр равна: 2 + 3 + + 7 = 12. Число 12 делитсл на 3, поэтому и число 237 делится на 3. Действительно, 237 :3 = 79. ? Можно ли считать, что числа, которые делятся на 9, делятся и наЗ? Да. Поскольку сумма цифр чисел, кратных числу 9, делится на9, ?о он а делится и наЗ. Однако обратное утверждение не будет верным: числа, которые делятся на 3, не всегда делятся на 9. Например, числа 12, 33, 213 делятся на 3, но не делятся на 9. 1> Задача . Найдите dco трохэмачиые чиола, которые содержат цифры 5 и 1 и делятся на 9. Решение. Обозначим неизвестную цифру звёздочкой. Сумма цифр искомого числа равна: 5 + 1 + *= б + *. Эта сумма должна делиться на 9. поэтому вместо звёздочки можно подставить только цифру 3. А далее из цифр1.3.5 составляем все возможные трёхзначные числа: 135; 153; 315; 351; 513; 531. fp Узнайте больше У вас мог возникнуть вопрос: «Как объяснить, почему сумма цифр в записи числа может показывать, делится ли число на 9?» Разберёмся на примерах. Числа 99 и 999 делятся на 9. а числа 100 и 1000 на 9 не делятся. Представим эти числа в виде сумм: 99-90 + 9; 100-99 +1; 999 = 900 +90 + 9; 1000 = 999 +1. Проанализируем полученные суммы. В столбике слева каждое слагаемое суммы делится на 9. а в столбике справа — нет. Вообще, если каждое слагаемое делится на данное число, то их сумма делится на данное число; если одно из слагаемых не делится на данное число, а сумма всех остальных слагаемых делится на данное число, то сумма не делится на данное число. Запишем число 351 в виде суммы разрядных слагаемых и преобразуем её: ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 351 = 3- 100+ 5- 10+1 = = 3-(99+1) + 5-(9+1) + 1 = = 3 - 99 + 3 -1+5-9 + 5-1 + 1 = =3-99+5-9+3+5+1= = 3-99 + 5-9 + 9. В полученной сумме каждое слагаемое делится на 9, поэтому число 351 делится на 9. Как видим, результат зависит от последнего слагаемого, которое получили как сумму: 3 + 5 + 1 = 9. Эта сумма — не что иное, как сумма цифр данного числа. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Сформулируйте признак делимости на 9. 2. Сформулируйте признак делимости на 3. 3. Можно ли утверждать, что числа, которые делятся на 9, делятся и на 3? ш РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 80'. Назовите любые три числа, которые делятся: 1) на 9; 2) на 3. 81Верно ли закончено утверждение: «На 9 делятся те и только те числа... : 1) произведение цифр которых делится на 9»; 2) сумма цифр которых делится на 9»; 3) последней цифрой которых является цифра 9»? 82'. Верно ли закончено утверждение: «На 3 делятся те и только те числа... : 1) последней цифрой которых является цифра 3»; 2) последней цифрой которых является цифра 9»; 3) сумма цифр которых делится на 3»? 83°, Даны числа: 35; 44; 49; 53; 66; 111; 126; 135. Сколько среди этих чисел: 1) делятся на 9; 2) не делятся на 9? 84°. Даны натуральные числа от семидесяти до ста двадцати. Выпишите те из них, которые делятся на 9. 85°. Даны натуральные числа от девяноста до ста тридцати трёх. Выпишите те из них, которые делятся на 9. 86°, Даны числа: 23; 24; 37; 39; 44; 48; 56; 59; 63; 73. Выпишите те из них, которые делятся на 3. 87°, Даны числа: 17; 23; 35; 43; 45; 51; 71; 88. Сколько среди этих чисел: 1) делятся наЗ; 2) не делятся на 3? 88°. Даны натуральные числа от сорока одного до шестидесяти. Выпишите те из них, которые делятся на 3. ё ё ё ё ё Глава 1 89^. Даны натуральные числа от семидесяти семи до ста двух. Выпишите те из них, которые делятся на 3. 90°. Назовите любые четыре трёхзначных числа, которые: 1) делятся на 9; 2) делятся на 3. 91°. Назовите любые три четырёхзначных числа, которые: 1) делятся на 9; 2) делятся на 3. 92°. На координатном луче отметьте точки, координатами которых являются числа от одного до тринадцати, кратные числу: 1) 9; 2) 3. 93\ На координатном луче отметьте пять точек, координатами которых являются числа, кратные числу 9 или числу 3. 94°. Допишите слева к числу 70 такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1) на 9; 2) на 3. 95°. Допишите справа к числу 131 такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1) на 9; 2) на 3. 96°. Допишите слева к числу 128 такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1) на 9; 2) на 3. 97°. В числе 1*21 вместо звёздочки вставьте такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1) на 9; 2) на 3. 98°. В числе 50*9 вместо звёздочки вставьте такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1) на 9; 2) на 3. 99°. Найдите значение выражения S-IO^ + S- IO^ + y- IO+in укажите, делится ли полученное число: 1) на 9; 2) на 3. /00°, Найдите значение выражения 2 - 10^ + 5* 10^ + 8 *10 + Зи укажите, делится ли полученное число: 1) на 9; 2) на 3. 101. На фабрике расфасовывают конфеты в коробки по 9 штук в каждую. Может ли так случиться, что в ящике с коробками окажется: 1) 243 конфеты; 2) 424 конфеты; 3) 513 конфет? 102. Сколько из чисел от ста до двухсот таких, что делятся: 1)на9; 2)наЗ. 103. Можно ли, используя только цифры 2 и 3, записать числа, которые делятся: 1) на 9; 2) на 3? Если да, то приведите пример. 104. Запишите наибольшее трёхзначное число, делящееся: 1)на9; 2)наЗ. 105. Запишите наименьшее четырёхзначное число, делящееся: 1)на9; 2)наЗ. 106. Используя только одинаковые цифры, запишите все возможные трёхзначные числа, делящиеся: 1) на 9; 2) на 3; 3) и на 3, и на 5. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 107. В числе 1 **37 вместо звёздочек вставьте такие цифры, чтобы полученное число делилось: 1) на 9; 2) на 3. 108. В числе 8*5*0 вместо звёздочек вставьте такие цифры, чтобы полученное число делилось: 1) на 9; 2) на 3. 109. Составьте все возможные пятизначные числа, которые содержат три пятёрки и делятся на 9. 110. Составьте все возможные четырёхзначные числа, которые содержат две пятёрки и делятся на 3. 111*. Андрей задумал трёхзначное число, которое делится на 9, каждая его цифра делится на 3, а сумма первых двух его цифр равна третьей цифре. Какое число задумал Андрей? Сколько решений имеет задача? 112*. Сколько чисел первой сотни не делятся ни на 9, ни на 3? 113*. Среди всех четырёхзначных чисел, запись которых содержит только цифры 1,3 и О, выпишите те, что делятся: 1) на 18; 2) на 6. 114*. Серёжа забыл первую цифру кода *85228, но помнил, что всё шестизначное число делится наЗ. Сколько вариантов кодов нужно перебрать мальчику, чтобы открыть дверцу камеры хранения? 115*. Запишите наименьшее и наибольшее четырёхзначные числа, делящиеся и на 3, и на 5. ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 116. Юра победил в конкурсе чтецов и получил награду в размере 822 грн. Сколько денег достанется Юре, папе и маме, если они решат разделить премию поровну? 117. Мама поручила Тане купить 3 кг яблок и дала ей 25 грн. Таня принесла домой яблоки и сдачу — 1 грн 62 к. Верно ли ей дали сдачу? 118. Найдите сумму своих годовых оценок за 5-й класс. Делится ли полученное число: 1) на 9; 2) на 3? S ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 119. На сколько сумма чисел 104,72 и 13,16 меньше числа 154,36 и больше числа 89,28? 120. Из одного порта в другой одновременно вышли пароход и катер. Скорость парохода — 32,4 км/ч, а скорость катера — 35,8 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4,5 ч после начала движения? 20 ‘Г" Глава 1 Л § 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА МНОЖИТЕЛИ. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ Вы знаете, что каждое натуральное число, большее 1, имеет несколько делителей, поэтому его можно представить в виде произведения своих делителей. Например: 5=1 • 5;6 = 1 • 6, или б = 2 • 3; 18 = 1 • 18, 18 = 2-9, или 18 = 3 • 6.0 таких равенствах говорят, что данное число разложили на множителиу а само равенство называют разложением числа на множители. Число 5 — простое. Его можно разложить на множители только одним способом. Числа б и 18 — составные. Для них суш;ествует два и более разложений на множители. Однако эти разложения отличаются. В разложении 6 = 2-3 оба множителя являются простыми числами, а в разложении 18 = 2 - 9 первый множитель — простое число, а второй — составное, и его тоже можно разложить на множители: 18 = 2 - 9 = 2 - 3 - З.А уже в этом разложении все множители являются простыми числами. Запомните* Разложение числа на множители, в котором все множители — простые числа, называется разложением числа на простые множители. ? Является ли разложением на простые множители равенство 5 = 1 - 5? Нет. В этом разложении один из множителей не является простым. Это число 1. Однако будем считать, что для любого простого числа также можно записать разложение на простые множители. Для этого достаточно записать в разложении само это число. Например, для данного простого числа 5 получим такое разложение: 5 = 5. с помощью разложения числа на простые множители ищут общие делители двух чисел. Например, у чисел 12 и 30 есть два общих делителя — простые числа 2 и 3. Но числа 12 и 30 делятся и на число б, то есть на произведение своих общих делителей. Число б — наибольшее число, на которое одновременно делится и число 12, и число 30. Такое число называют наибольшим общим делителем двух чисел 12и30. Записывают: НОД (12; 30) = б и говорят: «Наибольшим общим делителем чисел 12 и 30 является число б>>. ^Задача 2. Найдите НОД чисел 18 и 45. ♦ 1> Решение. m2 4S\ 3 m=2-3-3 = 2-f 9 3 IS 3 45^3 3-5^3^ 5 3 3 s s m(m;4s)=^f=9 / / ШХ1) (Ш; 45) ~ 3^ ~ 9. - Глава 1 Запомните! общим делителем двух чисел называется наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Запомните! Правило нахождения НОД Чтобы найти НОД двух чисел: 1) разложите данные числа на простые множители; 2) найдите произведение общихделителей даиньос чисел. ? Можно ли найти НОД двух чисел, не имеющих общих делителей, кроме числа 1? Да. Но НОД таких чисел равен 1. Два числа, НОД которых равен 1, называют взаимно простыми, Например, НОД (8; 21) = 1. Значит, числа8 и 21 — взаимнопросгые.Дваразных простых числа также являЕот-ся взаимно простыми. Например, НОД (7; 13) = 1, поэтому простые числа 7 и 13 являеотся взаимно простыми. ? Можно ли найти НОД нескольких чисел? Да. Для этого выполняют те же действия, что и в задаче 2, но для нескольких чисел. Например, найдём НОД (9; 12; 30). Имеем: 9 = 3 • 3 = 3^ 12 = 2 - 2 • 3 = 2^ • 3, 30 = 2 - 3 • 5. Следовательно, НОД (9; 12;30) = 3. Узнайте больше Интересный способ нахождения НОД двух чисел описал Евклид (около 365 - 300 лет до н. э.) в своей книге «Начала». В честь учёного этот способ называется «алгоритмом Евклида». Пусть нужно найти НОД двух чисел й и &. ще й > &. Из данных чисел образуем пары; а иЪ и а - Ъ иЪ. Заметим, что НОД для каждой пары один и тот же: НОД (а. Ъ) = НОД (а -Ъ.Ъ). Число й - Ь обозначим как е. Из чисел с и Ь снова берём большее, пусть это будет число Ь. Вычтем из большего числа меньшее: Ъ- е. Тогда имеем: НОД (й; Ъ)= НОД {а -Ь\Ъ) = = НОД (с; Ь) = НОД (&: е) = НОД (Ъ-е\ е). Повторяем эту цепочку рассуждений, пока не получим пару одинаковых чисел {d\d). Число d и есть НОД чисел av\h. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Например, НОД (56; 16) = НОД (56 - 16; 16) = НОД (40; 16) = = НОД(40-16:16) = НОД(24; 16)=НОД(24-16:16) = НОД(8; 16) = = НОД (16: 8) = НОД (16-8; 8) = НОД (8; 8) = 8. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что называется разложением числа на простые множители? 2. Можно ли разложить на простые множители простое число? 3. Как разложить составное число на простые множители? 4. Какое число называется наибольшим общим делителем двух чисел? 5. Как найти наибольший общий делитель двух чисел? 6. Какие два числа называются взаимно простыми? S РЕШИТЕ ЗАДАЧИ А 121', Является ли разложением на простые множители равенство: 1)10 = 2-5; 2)10=10; 3)10 = 2,5-4? 122', Верно ли, что общим делителем чисел 12 и 8 является число: 1)8; 2)4; 3)12; 4)2? 123', Верно ли, что наибольшим общим делителем чисел 12 и 8 является число: 1)8; 2)4; 3)12; 4)2? 124', Верно ли, что число 7 является взаимно простым с числом: 1)3; 2)14; 3)16; 4)42? На какие простые числа делится число: 1)15; 2)32; 3)36; 4)44? На сколько простых множителей можно разложить число: 1)17; 2)18; 3)22; Разложите на простые множители число: 1)28; 2)48; 3)64; Разложите на простые множители число: 1)42; 2)54; 3)84; 125' 126' 127' 125' 4) 56? 4)72. 4) 96. 129', Найдите все делители числа — значения числового выражения 3-5-7. 130°, Верно ли, что число 4 является общим делителем чисел: 1)16и22; 2)24и30; 3)36и64; 4) 44 и 96? 131°. Из натуральных чисел от десяти до шестидесяти выпишите те, что делятся: 1) на 6; 2) на 9; 3) на 12. й ________________ Глава 1 I I 132°. На координатном луче отметьте точки с координатами — делителями числа 16. 133 . На координатном луче отметьте точки з координатами — делителями числа 12. 134°. Верно ли, что наибольшим обицим делителем чисел 24 и 18 является число: 1) 72; 2) 4; 3) 6; 4) 8? 135°. Найдите наибольший обилий делитель чисел: 1)28и42; 2)34и51; 3)64и48; 4)75и125. 136°. Найдите наибольший обилий делитель чисел: 1)24и36; 2)2би65; 3)70и105; 4)96и144. 137°. Найдите наибольший обиций делитель числителя и знаменателя дроби: 1)45. 7^. _К. ^ ’ 75 ’ ^ 156’ 156’ ^ 132 ■ 138°. Найдите наибольший обиций делитель числителя и знаменателя дроби: 35 48 34 .. 42 1) 2) 3) 4) й 55 112 136 154 139. Найдите наименьшее число, наибольшим обицим делителем которого и числа 24 является число: 1) 6; 2) 8; 3) 12. 140°. Верно ли, что взаимно простыми являются числа: 1)6и21; 2)27и111; 3)36и117; 4)44и95? 141°. Даны числа: 5; 12; 18; 25; 26; 33; 37. Выпишите все возможные пары взаимно простых чисел. 142°. Запишите все двузначные числа, меньшие двадцати, которые являются взаимно простыми с числом 20. 143°. Запишите все двузначные числа, большие двадцати, но меньшие тридцати, которые являются взаимно простыми с числом 25. 144. Найдите все числа, которые раскладываются на два простых однозначных множителя. 4) 126 и 378. 4) 270 и 495. 145. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1)204 и 420; 2) 144 и 324; 3)625 и 875; 146. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1)162 и 270; 2) 154 и 396; 3)279 и 496; 147. Какое наибольшее количество одинаковых наборов можно составить из 150 ручек и 315 карандашей? 148. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 540 тюльпанов и 405 нарциссов? А й ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 149. Даны натуральные числа отдвадцати до тридцати. Выпишите из них все возможные пары взаимно простых чисел. 150. Даны натуральные числа от сорока до пятидесяти. Выпишите из них все возможные пары взаимно простых чисел. 151. Найдите наибольший обиций делитель чисел: 1)15,45и80; 2)16,28и36; 3)34,36и90; 4)42,70и98. 152. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1)8,12и20; 2)25, 40 и 100; 3)32, 36 и 60; 4)44,66и132. 153. Какое наибольшее количество одинаковых новогодних подарков можно составить из 135 мандаринов, 189 яблок и 243 конфет? 154. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 336 белых роз, 528 красных роз и 720 жёлтых роз? 155*. Запишите наименьшее трёхзначное число, наибольшим общим делителем которого и числа 312 является число 39. 156*. Запишите наибольшее трёхзначное число, наибольшим общим делителем которого и числа 252 является число 42. 157*. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 54, 108, 162 и 378; 2)405, 630, 945 и 1350. ^ ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 158. Прямоугольный металлический лист размером 52 х 78 см нужно разрезать на наименьшее количество одинаковых квадратов. Сколько таких квадратов можно получить и какие размеры имеет каждый из них? 159. Папа решил облицевать три стены ванной комнаты плиткой квадратной формы так, чтобы её не разрезать. Все стены комнаты имеют форму прямоугольника и размеры: 240 см и 140 см; 240 см и 220 см; 240 см и 140 см. Каким может быть наибольший возможный размер одной плитки? Сколько таких плиток нужно для облицовки ванной комнаты? ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 160. Решите уравнение: 1)(х + б,5)-7,9=18,4; 2)(х-13,8) • 2,6 = 39,52. 161. Сплав золота и серебра содержит 33 % золота. Сколько золота и серебра содержится в сплаве массой 2,6 кг? г §5. ПАИМБПЬШББ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Глава 1 Найдём кратные числа 4 Для этого достаточно умножить число 4 на числа натурального ряда: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44,.. Аналогично найдём кратные числа 6: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66... Среди кратных числа 4 и числа 6 есть такие числа, которые делятся на оба данных числа: 12; 24; 36; 48... Эти числа являются общими кратными чисел 4 и 6. Наименьшим среди них является число 12. Это — наименьшее общее кратное двух чисел 4 и 6. W Записывают: НОК (4; 6) = 12 и говорят: «Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 12»>. Запомните! Наименьшим общим храгяым двух чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел. Общие кратные нескольких чисел можно находить при помощи разложений данных чисел на простые множители. ^Задача 1. Найдите НОКчисел 18 и45. ♦ \> Решение. /5=£ - J - д 4S=J-SS. ШЖ(т; Щ-^2 - 3 - 3 - 5^90. (Ыт,: т (т. 4S) = 90. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 27 Запомните! Правило находжения НОК Чтобы найти НОК двух чисел: 1) разложите данные числа на простые множители; 2) запишите разложение одного из данных чисел; 3) допишите котому разложению такие множители из разложения другого числа, которые ещё не вошли в произведение; 4) вычислите полученное произведение. ? Как найти НОК двух взаимно простых чисел? Нескольких чисел? Поскольку у взаимно простых чисел нет других общих делителей, кроме 1, то НОК взаимно простых чисел равно их произведению. Например, НОК (8; 21) = = 8 • 21 = 168. НОК нескольких чисел находят так же, как и двух чисел. Например, найдём НОК (9; 12; 15). Имеем: 9 = 3-3 = 32, 12=2-2-3 = 22-3, 15 = 3 • 5. Отсюда НОК (9; 12; 15)= 2^ • 3^ • 5 = 180. Узнайте больше Оказывается, между НОК и НОД чисел а и & существует связь: НОК(й::&) • ИОД{а\Ъ) = а • Ь. Например, для чисел 54и48получим: 54 = 2 •Зз.48 = 2‘** 3. Отсюда НОД (54; 48) = 6. НОК (54; 48)=432. А теперь воспользуемся формулой. Имеем: НОК (54; 48) • НОД (54;48) =432 -6 = 2592 = 54 -48. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какое число называется общим кратным двух чисел? 2. Какое число называется наименьшим общим кратным двух чисел? 3. Как найти наименьшее общее кратное двух чисел? 4. Как найти наименьшее общее кратное двух взаимно простьк чисел? Глава 1 1: РЕШИТЕ ЗАДАЧИ й й 162'. Назовите любые три числа, являющиеся общими кратными чисел 4 и 10. Есть ли среди них НОК (4; 10)? 163'. Верно ли, что наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел является их: 1) сумма; 2) разность; 3) произведение; 4)частное? 164'. Верно ли, что наименьшим общим кратным чисел 5 и 3 является число: 1) 8; 2) 15; 3) 30? 165®. Из чисел от десяти до тридцати пяти выпишите те, что являются общими кратными чисел; 1) 2 и 5; 2) 4 и 8; 3) 4 и 12. 166°. Из чисел от двенадцати до сорока выпишите те, что являются общими кратными чисел: 1) 3 и 5; 2) 3 и 6; 3) 3 и 12. 167°. На координатном луче отметьте две точки, у которых координаты являются общими кратными чисел 2 и 3. (За единичный отрезок примите клеточку тетради.) 168°. На координатном луче отметьте три точки, у которых координаты являются общими кратными чисел 3 и 4. (За единичный отрезок примите пол клеточки тетради.) 169°. Найдите НОК чисел а\лЬ, если; 1)а=2 • 3 • 7, Ь=3 *5*7; 2) а=2 • 2 • 3 • 5, Ь=2 • 3 • 3 • 5; 3)а=2 • 3 • 3 • 7, Ь=3 • 3 • 5 • 7. 170°. Найдите НОК чисел: 1) 12 и 18; 2) 15 и 18; 3) 14 и 21. 171°. Найдите НОК чисел: 1)24 и 28; 2) 24 и 32; 3) 24 и 36. 172°. Найдите НОК числителя и знаменателя дроби: 1) |5 25 2) _9_ 25 3) 96 144 4) 173= Найдите НОК знаменателей дробей 1) —и—; 2)-и—; 3) - и 12 64 9 33 1 54 1 8 112 4) — и — 45 75 /74= Найдите НОК знаменателей дробей: 1) —и^; 2) —и—; 3) ^ 45 105 20 75 112 и j\_ 84 175° 176. Известно, что НОК (х; у)=ху. Что можно сказать об этих числах? Известно, что в ящике меньше, чем 80 яблок, и что их количество делится на 3, на 4, на 5 и на 6. Сколько яблок в ящике? 177. Мама испекла пирожки. Сколько пирожков испекла мама, если известно, что это число меньше 50 и делится на 4, 6 и 9? ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 178. Юриному дедушке меньше 90 лет, но число его лет делится на 6, 8, 9 и 12. Сколько лет дедушке? 179. Найдите НОК чисел: 5) 168 и 140; 6) 144 и 324; 7) 125 и 225: 8) 185и 111. й 3)252 и 189; 4) 264 и 300. 1) 64и54; 3) ЮОи 125; 2) 95 и 114; 4) 121 и 88; 180. Найдите НОК чисел: 1) 162 и 243; 2) 192 и 256; 181. Найдите НОК чисел: 1) 8,12и18; 3)33,44и121; 5)18,24и32; 7)21,28и42; 2) 16,32и48; 4)35,84и105; 6)25,45и60; 8)11,13и23. 182. Найдите НОК чисел: 1)22,33и55; 2)16,20иЗб; 3)10,25и35; 4)11,17и19. 183. Решите данную пару уравнений и найдите НОК(х; у): 1) 4,12л: + 11,68 = 160 и 3,34у- 20,64 = 300; 2) 2,36л:-7,2 = 99и 1,55i/ + 7,25= 170. 184. Даны числа от десяти до двадцати. Выпишите все возможные пары взаимно простых чисел и найдите их НОК. 185*. Какое наименьшее четырёхзначное число делится и на 31, и наЗ? 186*. Какое наибольшее трёхзначное число делится и на 28, и на 5? 187*. Каждое из двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится на 9. Найдите все возможные пары таких чисел и их НОК. Е ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 188. Вдоль дороги от города N стояли столбы на расстоянии 30 м друг от друга. Эти столбы решили заменить новыми и поставить их на расстоянии 45 м друг от друга. Найдите расстояние от города А/до второго нового столба. 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 189. Длина отрезка ВС равна 24 см. ОтрезокАО длиннее отрезка ВС на 5 см и короче отрезка MN на 7 см. Найдите сумму длин отрезков ВС, AD и MlSf. 190. Найдите три числа, если их среднее арифметическое равно 12, а второе число вдвое больше первого и второе меньше третьего. ГЛАВА S is Бы ухаете; « об основном свойстве дроби; Ф как сокращать дроби; как приводить дроби к общему знаменателю; т как сравнивать дроби с разными знаменателями; как выполнять арифметические действия с дробями; * что такое десятичные приближения обыкновенной дроби; Щ как применить изученный материал на практике 1=2 = 4 2 4 8 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 31 Г I г I § 6. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ. СОКРАЩЕНИЕ ДРОБИ Посмотрите на рисунки 2 и 8. Вы видите, что два равных квадрата разделены на две части: первый квадрат — на 4 равные доли (рис. 2), а второй — на 8 равных долей (рис. 3). На обоих рисунках закрашена одна и та же часть квадрата. Но на 1 первом рисунке такая часть составляет — квадрата, а 4 Рис. 2 Рис. 3 на втором — квадрата. Значит, дробь — можем заме-8 4 нить дробью — потому, что значения этих дробей рав-8 1 2 ны: — = —. 4 8 Чтобы понять, как из дроби — можно получить дробь 4 8 , будем рассуждать так. Второй квадрат разделили на количество долей, вдвое большее, чем первый квадрат (это показывают знаменатели дробей). Поэтому, если во втором квадрате взять во столько же раз больше долей, то получим равенство — одна доля первого квадрата п 112 2 равна двум долям второго квадрата. Отсюда: — =-= —. 4 4 2 8 Рассуждая в обратном порядке, получим: 2 2:2 1 8 8:2 4 Такое свойство называют основным свойством дроби. Глава 2 Запомните! Основное свойство дроби Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля. а Ъ Ъ'С а - с date , если с # 0; — =-, если с # 0. Ь bic Задача 1. Мама купила детям молочный шоколад, состоящий из 18 долек. Таня сказала, что съела — плитки шоколада. 6 3 а Ваня сказал, что съел — плитки. Мама сказала, что каждый 18 из детей съел одинаковую часть плитки шоколада. Так ли это? ^ Решение. Таня и Ваня меряли плитку шоколада разными мерками: Таня меряла шестыми частями, а Ваня — восемнад- 1 3 цатыми частями. По основному свойству дроби: -= —. Значит. 6 18 Таня и Ваня действительно съели одинаковые части плитки шоколада. Мама была права. Ф Обратите внимание: если дроби равны, то их считают разными записями одного числа. По основному свойству дроби, можем записать: — = —. Здесь числитель к знаменатель дроби — мы 16 8 16 разделили на 2 и получили дробь с меньшим знаменателем 8 и меньшим числителем 8. Такое преобразование дроби называют сокращением дроби. ? Каждую ли дробь можно сократить? Нет. Например, числитель и знаменатель дроби у не имеют других общих делителей, кроме числа 1. Числа 5 и 7 являются взаимно простыми, поэтому дробь у сократить нельзя. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И И 22 Такие дроби называют нееократшкими. Например» ^ 5 20 19 дроби — несократимые, о Z1 со Запомните! Правило сокращения дроби Чтобы сократить дробь, нужно: 1) для числителя и знаменателя дроби найти общий делитель, не равный 1; 2) разделить знаменатель дроби на общий делитель и результат записать в знамена теле новой; 3) разделить числитель дроби на общий делитель и результат записать в числителе новой дроби. Например: S Если после сокращения дроби получили дробь» которую можно ещё сократить» то действие сокращения повторяют» пока не получат несократимую дробь. Например: 24“l2“4* Ф Обратите внимание: если дробь сократить на НОД числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь. Узнайте больше В Древнем Риме система дробей была достаточно интересной. В её основу было положено деление на 12 частей единицы массы. которую называли асе. асса называли «унцией». Путь. Глава 2 время И другие величины римляне также сравнивали с массой. Например, они говорили, что прошли семь унций пути или прочитали три унции книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Римляне имели в виду, что пройдено 7 3 — пути или прочитано — книги. 12 12 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Сформулируйте основное свойство дроби. 2. Объясните, изменится ли значение дроби, если только его числитель умножить на некоторое натуральное число. 3. Объясните, изменится ли значение дроби, если только его знаменатель умножить на некоторое натуральное число. 4. Объясните, что такое сокращение дроби. 5. Каждую ли дробь можно сократить? 6. Сформулируйте правило сокращения дроби. 7. Какие дроби называют несократимыми? 8. На какое число нужно сократить дробь, чтобы получить несократимую дробь? ш. РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 191' 192' 193' Верно ли, что значение дроби не изменится, если: 1) числитель дроби умножить на 5; 2) знаменатель дроби умножить на 5; 3) числитель и знаменатель дроби умножить на 5? Верно ли, что значение дроби не изменится, если: 1) числитель дроби разделить на 7; 2) знаменатель дроби разделить на 7; 3) числитель и знаменатель дроби разделить на 7? Ира утверждает, что верно применила основное свойство дроби к числу — и получила дробь: 7 4 1) 2) ^7 М4 Права ли девочка? 4 2 4 — : 31 —: 4) — 14 28 194'. Андрей утверждает, что записал равенство согласно основному свойству дроби: 10 10:2 .. 10 10:2 .. 10 10:5 1) 2) 16 16:4 16 Прав ли мальчик? 16:2 3) 16 16:4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Г 35 I г I 5 20 195°. Дано: — = — . На какое число умножили числитель и знаме- 9 36 натель первой дроби, чтобы получить вторую дробь 1)на2; 2) на 4; 3) на 5 1 4) на -? 196°. Умножьте числитель и знаменатель дроби 1) на 2; 2) на 3; 3) на 4; 4) на 5. Запишите соответствующие равенства. 197°. Вставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: 5-* 30 ?•* 28 15-* 45 .. 10-* 70 1) 2) 3) 4) й 8-* 48 9'* 36 17-* 51 1Т* 77 196°. Вставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: 3-* 15 11-* 66 1) 2) 10-* 50 12-* 72 199°. Каким должен быть числитель дроби, равной данной? Начертите в тетради таблицу 2 и заполните её. Таблица 2 2 5 То 65 3 8 24 40 56 96 8 9 81 117 200°. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину десяти клеточек тетради. Отметьте на этом луче точки (Л А UJ UJ Какими ещё дробями можно выразить координаты этих точек? Запишите по два таких равенства. 24 201 °. Зерно ли, что НОД числителя и знаменателя дроби — является число: 1) 4; 2)8; 3)12; 4)16? 202°. Применив основное свойство дроби, выясните, верно ли. Глава 2 203®. Является ли несократимой дробь: D-; 2)^; 3):^ 15 27 11 22 4) —? 35 204°. Вставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: . АлиЛ ^ 8 32 ’ ^ * 42 ’ ^ 5 35 ’ ^ * 88 ' Ж 205°. Вставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство:: * 25 1)- = — 9 45 2) 4 16 3) 28 206°. 64 207°. 208° 44 12 48 Разделите числитель и знаменатель дробей на 8. Запишите соответствующие равенства. 4) Ю 24 10 _70 "91 ■ 40’ 56 Д 209°. Воспользуйтесь циферблатом часов и объясните равенства: 15_1, 4)12-1 60 4 ’ 60 12 ’ 60 3 ’ 60 5' Сократите дробь, применив её основное свойство: D—■ 2)—' 3)—- 4) — ’из’ Чв' Ч2Г ’l12' Сократите дробь, применив её основное свойство: 1) 26 2) 32 3) 38 4) 125 с координатами: 65 96 171 675 210°. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину 16 клеточек тетради. Отметьте на этом луче точки 2 . 4 , 6 , 8 . 12. 1 . 2. 3. 4. 6. 1 . 3. 1 16’ 16’ 16’ 16’ 16’ 8’ 8’ 8’ 8’ 8’ 4’ 4’ 2' Каким из этих чисел соответствует одна и та же точка на координатной прямой? Запишите соответствующие равенства. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину 18 клеточек тетради. Отметьте на этом луче точки 2 . 4 . 6 . 10. 12. 16. 1 . 2. 3. 6. 1 . 2 Т8’Т8’Т8’Т8’Т8’18’9’9’9’9’3’3' Каким из этих чисел соответствует одна и та же точка на координатной прямой? Запишите соответствующие равенства. 212°. Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби: 1)0,1; 2)0,05: 3)0,24; 4)0,125. с координатами: ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Г 37 213°. Какое число нужно умножить на 4, чтобы получить: 0,4; 0,44; 1,2; 3,6; 1,44? Запишите такие равенства обыкновенными дробями. 214°. Запишите все натуральные значения а, при которых дробь а 16 является правильной несократимой. 215°. Запишите все натуральные значения Ъ, при которых дробь Ъ 18 является правильной несократимой. 216. Запишите каждую из дробей 5 11 а & в виде дроби со 121889 знаменателем: 1) 72; 2) 144; 3) 504. Числитель и знаменатель какой дроби умножили на наибольшее число? 217. Запишите каждую из дробей .5 11 а Ь в виде дроби со А 15 25 3 5 знаменателем: 1) 900; 2) 1350; 3) 2700. Числитель и знаменатель какой дроби умножили на наименьшее число? 5 3 5 33 35 218. Даны числа: - , 1 —, 1—, —,--. Запишите каждое число в 8 4 16 64 128 виде дроби со знаменателем: 1) 25ба; 2) 512а; 3) 1024а, где а — натуральное число. 3 ’ 9 ’ "^27 ’ 81’ 18 в виде дроби со знаменателем: 1) 162&; 2) 324&; 3) 648&, где Ь — натуральное число. 220. Сократите дробь: 219. Даны числа: Запишите каждое число 1) 192 2) 175 448 385 221. Сократите дробь: 1) 135 216 2) 3) 108 288 625 750 4) 3) 243 . 567 ’ 625 1125 5) 135 495 6) 448 512 4) 132 308 222. Представьте число в виде неправильной дроби и сократите её: 2)l“; 3)3^; 4)4^, 105 99 250 144 223. Выразите в килограммах и представьте несократимой дробью: 1)15г; 2)125г; 3)250г; 4) 640 г. 224. Выразите в минутах и представьте в виде смешанного числа с несократимой дробной частью: 1)640 с; 2) 355 с; 3)425 с; 4) 244 с. Глава 2 225. Выразите в часах и представьте в виде смешанного числа с несократимой дробной частью: 1)370 мин; 2) 450 мин; 3)552 мин; 4) 636 мин. 226. Сократите дробь, если буквами обозначены натуральные числа: 1) 2аЪ 2) ЗаЬс 3) 15x1/ 4) 16^5! ё 4а ^Sc 25х 24xz 227. Сократите дробь, если буквами обозначены натуральные числа: 1) 2аЬс 2) 12а& 3) 14х^ 4) 32Z 6Ь ' 16ас' ■' 23у ' ' 24xyz 228. При каком значении х верным является равенство: 1) X 26 2) X 48 3) 12 72 4) 10 70 13 26 12 48 X 114 13х 229. При каком значении х верным является равенство: х-2_ 8 . х + 1_15 5 25 .. 9 6 1) 25 3) 2х-3 35 4) 91 ■ 36 9 2х + 1 44 ё 230. Сумма числителя и знаменателя дроби равна 105. После её сокращения получили дробь ^. Найдите исходную дробь. 231. Сумма числителя и знаменателя дроби равна 136. После её g сокращения получили дробь —. Найдите исходную дробь. 9 232*. Можно ли сократить дробь, дополняющую до единицы несократимую дробь? Рассмотрите несколько примеров и выявите некоторую закономерность. ООО* и « 1-2-3 + 2-4-6 + 4-8-12 + 7-14-21 _ 233*. Чему равна дробь-----------------------------? 1-3-5 + 2-6-10 + 4-12-20 + 7-21-35 234*. Сократите дроби или докажите, что они являются несократимыми: 1197 1) 4273 2) 1089 3025 3) 805 1236 4) 777 11 211 Е ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 235. Марина сказала, что решила контрольную работу быстрее Кати. Выясните, была ли права девочка, если Марина затратила на решение контрольной работы ^ Катя — 35 мин. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 39 I I 236. Запишите в минутах время, в течение которого длится: 1) 1 урок; 2) 2 урока; 3) 4 урока; 4) 6 уроков. Полученное число преобразуйте в часы и представьте в виде несократимой дроби. 237. Папа купил 2 арбуза обиден массой 12 кг. Оба арбуза разделили поровну между всеми членами семьи: папой, мамой, двумя бабушками, двумя дедушками, Леной и её братом Назаром. Какова масса (в килограммах) той части арбузов, которая достанется каждому члену семьи? Полученное число сократите. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ Г %, I — * 238. Решите уравнение: 1) (7х - 24): 6 + 26 = 29; 2) (99 - 9у) • 8 + 14 = 86. 239. Одна сторона прямоугольника втрое больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 72 см. ^------------------------------------------> § 7. ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ. СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ Вы уже знаете, что дробь — можно заменить дробью 4 4 14 потому, что значения этих дробей равны: 16 4 16 О таком равенстве говорят, что дробь — привели к ново- 4 му знаменателю 16. Для приведения дроби к новому знаменателю применяют основное свойство дроби. Часто заранее известно, к какому именно знаменате- 3 ЛЮ нужно привести данную дробь. Например, дробь — нужно привести к знаменателю 50. Для этого сначала следует узнать, во сколько раз новый знаменатель 50 больше знаменателя данной дроби: 50 : 10 = 5 (раз). Затем — во столько раз нужно увеличить числитель __________________ Глава 2 3 3-5 15 данной дроби: 3 • 5 = 15. Следовательно, — =--= —. ^ 10 10-5 50 Число 5 называют дополнительным множителем. т Обратите внимание: дополнительный множитель является натуральным числом; чтобы найти дополнительный множитель, разделите новый знаменатель на знаменатель данной дроби. ? К любому ли знаменателю можно привести данную 7 дробь? Нет. Например, дробь — нельзя привести к знаменателю 11 или 25, поскольку ни число 11, ни число 25 не делятся на число 10. Запомните! Правило приведения дроби к новому знаменателю Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно: 1) записать новый знаменатель в знаменателе новой дроби; 2) определить дополнительный множитель как частное нового знаменателя и знаменателя данной дроби; 3) умножить числитель данной дроби на дополнительный множитель и результат записать в числителе новой дроби. Например: А-А1 8 ~ 24 - 9 24 Если дроби привели к новым знаменателям, равным между собой, то говорят, что эти дроби привели к общему знаменателю. Иногда заранее известно, к какому именно обгцему знаменателю иу^жно привести дроби. Тогда каждую дробь отдельно приводят к заданному знаменателю по известному правилу. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И Д^СТВИЯ НД НИМЙ~ —=f=T Чаще всего новый знаменатель заранее не задан. Тогда нужно сначала выяснить, к какому общему знаменателю можно привести данные дроби. Как правило, дроби приводят к такому общему знаменателю, который является наименьшим из всех возможных. Такой знаменатель называют наименьшим, общим знаменателем данных дробей. Запомните Иатюньштг общим зиам&иагалем дробей является число, равное наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей данных дробей. Запомните! Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно: 1) найти НОКзнаменателей данных дробей; 2) найти дополнительный множитель для первой дроби; 3) привести первую дробь кновомузнаменателю; 4) найтидополнительный множитель для второйдроби; 5) привести вторую дробь к новому знаменателю. Сформулируем правило приведения двух дробей к наименьшему общему знаменателю. ^Задача 2 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби — и —. ^ 12 16 Решение. :■ /е) = 48. Ч -±4_-4 ■ 48 ~М' /6~ 48 ~ 48 Глава 2 Вы уже умеете сравнивать две дроби с одинаковыми Ь 7 знаменателями. Например: —< —, поскольку 3 < 7; YY >—, поскольку 10 > 7. ? Можно ли сравнить две дроби с разными знаменателями? Да. Рассмотрим пример. 5 5 Задача 3 Сравните дроби — и Решение. Приведём данные дроби к наименьшему общему о. т 5 10 5 15 „ знаменателю 24. Тогда — = —. а — = —. Поскольку знамена- 12 24 8 24 ^ тели полученных дробей равны, можем сравнить их числители: 1015 55 10 < 15. Отсюда: ■ Следовательно, Узнайте больше Если две дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, то их можно сравнить, не приводя к общему знаменателю. Для этого пользуются правилом: из двух дробей с одинаковыми числителями большей является та. у которой знаменатель меньше. Например. —> —. поскольку 10 < 15. Попробуйте 10 15 самостоятельно объяснить этот вывод по рисункам 4 и 5. Рис.4 Н—I—I—I—I—I—1^—1—I—I—I—I—I----1 Рис. 5 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что значит привести дробь к новому знаменателю? 2. Какое число называют дополнительным множителем? 3. Объясните, как найти дополнительный множитель. 4. Сформулируйте правило приведения дроби к новому знаменателю. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ I I 5. Какое число называют наименьшим обидим знаменателем дробей? 6. Сформулируйте правило приведения двух дробей к об-идему знаменателю. 7. Как сравнить две дроби с разными знаменателями? РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 240'. Можно ли привести дробь — к знаменателю: 1)15: 2)21; 241Верно ли, что: 1)- = —: 2)-^ ^ 3)27; 3)^ = 1°? 5 15 4) 42? 5 15 5 15 242', Верно ли, что наименьшим общим знаменателем дробей - и — является число: 1) 9; 2) 6; 3) 54; 4) 18? 9 6 олоо п 3 6 5 15 6 30 243°. Даны равенства: 1) — = —; 2) — = —; 3) — = —. Какой до- 7 14 9 27 11 55 полнительный множитель использовали, чтобы из первой дроби получить вторую дробь? 244°. На какой дополнительный множитель нужно умножить дробь —, чтобы привести её к знаменателю: 1) 24; 2) 48; 3) 96; 4) 120? 245°. Приведите дробь — к знаменателю: 1) 12; 2) 18; 3) 24; 4) 48. 6 1 5 7 1 416168 1 22 19 4 к знаменателю 32. 1 246°. Приведите дроби ▲ 247°. Приведите дроби — , —, —, — , - к знаменателю 100. ® 4 25 20 5 2 248°. К какому наименьшему общему знаменателю можно привести данные дроби? Выполните действия. ^,2 5 7) — и — ^ 11 7 5 5 1) — и — 17 34 их 3 9 4) - и — 7 28 . 3 5 10) — и -10 8 ох 2) — и — 12 36 ох 2 13 3) — и —; 5 20 Г.Х 2 4 5) - и — 3 5 «X 5 3 6) -и- o^ 3 1 8) — И - 4 6 ох 5 7 9) — и — 6 8 ,,х 11 3 12)11иА 24 28 й 'll 5 13) — и —: 12 18 них 3 7 14) — и — 60 50 нс-х 5 2 15) - и —: 9 15 нсх 6 5 16) — и —: 9 21 нтх 4 7 17) — и — 15 25 нох 5 6 18) — и — 21 35 19) ^ и А; 9 24 20) А и А 14 21 21) ^иА; 15 40 22) — и —; 18 27 23) — и ^ 42 105 оих 7 19 45 60 Глава 2 25) — и — 81 72 26) ^ и А 12 35 27) А, 11 16 21 28) ^и1^ 10 27 249°, К какому наименьшему общему знаменателю можно привести данные дроби? Выполните действия. 7 4 .. 5 19 1) — и — 6 36 ох 3 16 2) — и — 5 25 3) - и 2 5 их 2 4 3 11 Р.Х 1 9 5) — и —; 4 10 «X 5 7 6 10 ^,11 5 7) — и — 16 28 ох 5 8) — и — 18 24 250°. Сравните дроби: . X 1 5 6 18 ох 7 11 2) — и — 9 27 ох 3 4 3) - и —; Ч 15 их 11 17 4) — и — 21 28 1 4 ^251°. Сравните дроби: 1) 2 у 9) — и , 15 21 н лх 3 9 10) — и — 15 35 них 7 5 11) — и — 15 18 2 19 12) — и — 15 50 пгх 31 18 5) — и — 40 35 «X 5 12 6) — и —. 9 39 7 17 ох 9 24 25 13) — и — 36 27 них 13 11 14) — и — 50 75 нр;х 13 4 15) — и — 20 21 н«х 7 19 16) — и — 15 26 А 2) т: и 77т:3) — и —. 2 7 13 2 23 9’ 18’ 27’ 3’ 27 3 1 11 1 5 8 ’ 3 ’ 12 ’ 6 ’ М' 254. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: 252°. Разместите в порядке возрастания числа: 253°. Разместите в порядке убывания числа: нх 5 11 24 40 ох 5 7 2) — и—; 36 90 ох 17 11 3) ^^и их 11 19 4) — и — 64 56 f:x12 11 5) —и 7х 5 11 7) и 100 250 81 135 «X 19 22 6)^^ и 189 315 0x125 19 8) — и нох 23 31 10) и 315 735 169 221 пх 7 11 9) —и 126 441 ,,,37 11 11) —и 90 135 150 375 324 405 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Г 45 255. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби; ,,13 11 ^,117 11 12 23 5 15 1) — и—; 3)---и----; 5) — и---; 7)---и---- 24 64 300 250 81 180 189 441 04 5 7 2) — и------- 72 108 4) 11 19 и 140 42 .,19 25 6) — и----- 81 297 0, 105 21 8) и 117 195 256. Какие дроби со знаменателем 12 лежат между числами — и — ? 3 2 2 5 Д 257. Какие дроби со знаменателем 18 лежат между числами ^ 0 10 кле-'2^ 258. Начертите координатный луч (единичный отрезок точек тетради). Отметьте на этом луче точки А - \л В а также все точки с координатами вида а То где а — натуральное число. Каким числам соответствует одна и та же точка? Запишите соответствующие равенства. ^259. Начертите координатный луч (единичный отрезок — 8 клеточек тетради). Отметьте на этом луче точки ПТ и D а также все точки с координатами вида а А”' где а — натуральное число. Каким числам соответствует одна и та же точка? Запишите соответствующие равенства. 260. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: 4 7 22 11 5 25 ^,23 17 13 15 10 75 16 8 36 48 64 80 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби; 4 1 22 .. 5 9 17 23 17 13 1) 1) 9 и 6 27 2) 36 й 5 9 262. Сравните числа: 1) 1— и 1—; 18 16 7 5 263. Сравните числа; 1) 1— и 1 — 16 12 20 48 ’ ;2) 2— и 2^; 75 125 4 17 2) 3— и 3-^ 35 140 24 и 96 16 3) 3— и 3— 72 24 04 п 11 47 ’ 81 9 264. Через первую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через вторую — за 6 ч. Из какой трубы вытечет больше воды: из первой за 4 ч или из второй за 3 ч? 265. Ткань красного цвета длиной 15 м разрезали на 6 равных частей, а ткань зелёного цвета длиной 24 м — на 9 равных частей. Одна часть ткани какого цвета длиннее? Глава 2 Ж 266. В продуктовом магазине — всего товара — это хлебобулоч ч* ■! RR 66 ные изделия, ^ — конфеты и печенье, ^ — вода и соки. Каких продуктов в магазине больше всего? 267^ 268’ Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю: ..11 19 79 41 101 245 ^ 1) — и —; 2)-----и-----; 3) — и------. Ответ обоснуйте. 38 25 123 117 153 601 Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю; 84 118 145 227 605 786 1) — и-----; 2)---и------: 3)---и-----. 37 45 116 143 321 605 Ответ обоснуйте. 7 7 269* больше? одного числа равны — другого числа. Какое из чисел 0-7Л* « « lOOO 1001 _ 270*. Какая дробь больше: .,. . или------^ 271*. Докажите, что 23 1001 1002 2323 232323... 75 7575 757575. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 272. Папа проходит за 10 шагов 9 м, а мама за 14 шагов —10 м. Чей шаг длиннее? 273. Летом на даче Настя собрала 2 ведра огурцов за 40 мин, а её бабушка — 4 ведра огурцов за 30 мин. Кто из них быстрее собирал одно ведро огурцов? 274. Мама за 10 мин слепила 60 пельменей, а дочка за 15 мин — 90 пельменей. Кто из них лепил больше пельменей за 1 мин? LL ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 275. В числе 347* вместо звёздочки вставьте такую цифру, чтобы полученное число делилось: 1)на9; 2)наЗ; 3) на 5. 276. Найдите площадь наибольшей грани прямоугольного параллелепипеда, если его объём составляет 360 см^ а два ребра равны 12 см и 40 мм. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБЙ ЙГ£ШСТВИЯ НИМИ Ж 47 ^§8. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕйГ Вы уже знаете, как складывать и вычитать натуральные числа, а также дроби с одинаковыми знаменателями. Дроби с разными знаменателями тоже можно складывать и вычитать. Рис. б Рассмотрим задачу. Задача 1. Мама куп ила детям молочный шоколад, в котором 18 долек. Таня сказала, что съела бы — часть 6 плитки шоколада, а Ваня сказал, что съел бы i её часть (рис. 6). Какую часть плитки шоколада съели быТаня и Ваня вместе? ij Решение. Таня и Ваня меряли плитку шоколада разными мерками: Таня меряла шестыми частями, а Ваня — девятыми. Чтобы 1 1 наити сумму —+—. нужно каждое слагаемое представить в одних б 9 и тех же единицах измерения. Понятно, что для плитки шоколада 1 .р 1 такой меркой является долька, или — плитки. Тогда — плитки со- 18 6 о - 1 держит 3 дольки, то есть равна — плитки шоколада, а — плитки 18 9 2 содержит 2 ДОЛЬКИ. ТО есть равна — плитки шоколада. Вместе это 18 составляет 5 долек, или — плитки шоколада. 18 5 Ответ: дети съели бы — плитки шоколада. 18 Решая задачу, мы, по сути, выполнили действие сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Попробуйте самостоятельно сформулировать соответствующее правило и сравните его с представленным в учебнике. Глава 2 Запомните! Правило сложения дробей с разными знаменателями Чтобы найти сугл му двух дробей с разными знаменателями, нужно: 1) привести данные дроби к общему знаменателю; 2} общий знаменатель записать взнамена теле суммы; 3) сложить новые числители и результат записать в числителе суммы; 4) если возможно, то сократить полученную в сумме дробь и выделить из неё целую часть. Например: ''5 , % - 25Ш . 51 -П T^ls~ 30 ~зо~ю~^ ю При сло^кении дробей с разными знаменателями, так же, как и при сложении натуральных чисел, справедливы перешешишельный и сочешашельный законы сложения, 2 ^ Задача 2. Таня и Ваня съели — плитки шоколада, в которой всего 18 долек. Таня съела ^ плитки шоколада, а другую часть съел Ваня. Какую часть плитк<1 съел Ваня? А Решение. Чтобы решить задачу, нужно найти разность ■ 2 1 2 дробей — и —. Поскольку — плитки содержат 12 долек, то есть 3 2 3 12 1 равны — плитки, а — плитки содержит 9 долек, то есть равна 18 ? 9 1293 1 — ПЛИТКИ, то---=— ил/1 — плитки шоколада. 18 181818 б Ответ: Ваня съел — плитки шоколада. 6 Сформулируем правило вычитания дробей с разными знаменателями. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ Й“ДЩС1ВИЯ НИМИ Запомните! Правило вычитания дробей с разными знаменателями Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, нужно: 1) привести данные дроби к общему знаменателю; 2) общий знаменатель записать в знаменателе разности; 3) найти разность новых числителей и результат записать в числителе разности; 4) если возможно, то полученную в разности дробь сократить и выделить из неё целую часть. Задача 3. Вычислите;(-+—|— [в eJ 12 IJ Решение. Задачу можно решить двумя способами. 7 { 3 20^ 14 23 14 9 3 Способ 1. , {в В) 1? I, Способ 2. 1Д Is eJ 12 8 6 12 3^201 24 24 J 14 24 23 24 14 24 1 /10 7^ 3 _ ~ 1 8 ll2 12; 1 8 12 24 В 1 1 1 8 4 i=i 8^8"8' ? Можно ли складывать (вычитать) два смешанных числа, у которых знаменатели дробных частей разные? Да. При этом дробные части приводят к общему знаменателю. Рассмотрим пример. 9 5 2 4 9 Задача 4 . Вычислите:1) 1—+3— ; 2) 3—1—. ^ 6 5 W 14 Решение. 1. Задачу можно решить двум я способами. ^ ,5 ^2 11 17 55 102 Способ 1.1—+3—=—+—=—+--- 6 5 6 5 30 30 Способ 2. —=5— 30 ”^30' q2_v. -V (5 2\_. (25 12^_, 37_, . 7 __ 7 6 5 ^ 1б 5j 1^30 30j 30 30 30 2. Воспользуемся вторым способом: Д - Д -pS-9 - V /4+S-9 - j11 J т 7 ц -С Ц ~ ‘ ~ ' ‘I* п 14 Глава 2 Узнайте больше Существует много р^2иьк математических фокусов, которые вы можете предложить своим друзьям или знакомым. Вот один из них. Задание. Нужно задумать любое натуральное число, затем прибавить к нему следующее по порядку, затем к сумме прибавить 9. разделить полученное число пополам и из полученного результата вычесть задуманное число. Какое получим число? Вы легко можете назвать число, получившееся в результате этихдействий — это число 5. Попытайтесь придумать свой математический фокус и предложите его друзьям. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Сформулируйте правило сложения двух дробей с разными знаменателями. 2. Сформулируйте правило вычитания двух дробей с разными знаменателями. 3. Объясните, как сложить или вычесть два смешанных числа, дробные части которых имеют разные знаменатели. 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 3 3 277'. Если к — прибавить —. то получим дробь, у которой: 8 4 1) знаменатель равен: а)4; б) 2; в) 8; г) 12; 2) числитель равен: а) 6; б) 9; в) 12; г) 16. 278'. Верно ли. что суммой дробей 1 и — является дробь: 6 3 3)i; 279'. Если из — вычесть 1. то в результате получим дробь. 8 2 у которой: 1) знаменатель равен: а) 2; 6)4; в) 6; г) 8; 2) числитель равен: а) 6; б) 3; в) 8; г) 1. 280'. Верно ли. что ——— равно: 1) —; 2) —; 3) — ;4) —? ^ 4 12 ^ 8 3 6 24 А оооо 1 2 ^9 1 2 5 2 8 15 283°. Сравните: 1) —+ — и —; 2) —+ - и —; 3) — + — и —. 5 7 35 6 9 18 11 33 33 284°. Сравните: 1) —+— и —; 2) - + — и —. 3 7 21 8 12 24 285°. Отметьте на координатном луче точки, координаты которых равны значениям выражений: 1 1 ----1---- 6 3 1 2 ----1--- 4 3 1_ ^ 12*^6 2 ^ 3*^12 286°. Отметьте на координатном луче точки, координаты которых равны значениям выражений: 11 13 11 2 1 ----1--- 2 5 5 "^10 10 2 5’^Ю 13 287°. Найдите уменьшаемое, если разность равна —, а вычи- таемое и_ 42 13 288°. Найдите сумму, если первое слагаемое равно —, а вто- 25 рое 20 289°. Решите уравнение: л: 2 1 1) й 36 9 4 290°. Решите уравнение: X 4 11 1) 4 9 36 291°. Вычислите: 11_1- 12 3 ’ 16__^. 21 14 ’ 2) 2) X 4 _ 1 3) 5 4_ 52 13 4’ 18 X 1 _ _ 11 . 3) 5 4- 75 15 25 ’ 16 13 X 90 X 1) 2) 3) 4) 17 2 . 72 9’ 21 8 ^ 15 5) 6) 16 16’ ’ 24 7) - - — 9 27 8) 14 Глава 2 292\ Вычислите: 19 2 1) 21 3 2) 64 16 3) 22 11 293°. Сравните: ,,3 1 1 7 3 21 ох 5 2 13 6 9 18 Ж 294°. Сравните: ® .X 2 3 7 3 8 24 ох lO 13 3)----------и 11 44 44 их 17 2 4)-------и 36 9 36 ох 3 7 13 2)-------и — 9 12 36 39 26 25 4 7 4) 17_13 20 25 295°. Отметьте на координатном луче точки, координаты которых равны значениям выражений: !_!• 1-1 39’ 93’ 39’ 9 3‘ Ж 296°. Отметьте на координатном луче точки, координаты которых равны значениям выражении: 31. 13. 71 42’ 28’ 84 1-1 8 2 2 29 297°. Сумма двух дробей равна 1—, а одно из слагаемых------ 11 55 Найдите другое слагаемое. 11 3 298°. Уменьшаемое равно 1—, а разность-- 65 26 Ж 299°, Сумма трёх дробей равна 2—, а две из этих дробей — это Найдите вычитаемое. 2 3 числа g Найдите неизвестную дробь. ё 300°. Вычислите: 1) 2-5-1^; 21 3 301°. Вычислите: 1) 2 7 1-24 8 2) 4^-2-^ 16 24 2) 4II-3A 16 18 3)ll2-^ 13 65 4) 5^-2!^ 20 15 7 302°. За один день в магазине продали — т фруктов. Из них — т составляли яблоки, а остальное продали в магазине? сливы. Сколько тонн слив ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 24 3 ^ 303°. От куска ткани длиной 5— м отрезали 3— м. Сколько метров ткани осталось? 304°. 3 кг бананов стоят 35 грн, а 5 кг апельсинов — 37 грн. Насколько 1 кг бананов дороже, чем 1 кг апельсинов? 305°. Найдите среднее арифметическое данных наборов чисел: 4, 5, 7 и 3, 5, 8, 9. Какое из полученных средних арифметических больше и на сколько? 306. Вычислите: А 1 2 3, 2 3 4 307. Вычислите: ,,936 1) — + - + — 10 5 7 ох 9 11 3 2) —н—+— 14 21 4 ох 1 1 1 2) —+ — 3 4 5 ..537 3) —I-1— 6 16 12 ох 7 2 1 3) —I----i— 8 3 6 308. Разместите данные суммы в порядке возрастания их значений: 5 5 4’^12 1 1 ----1--- 6 3 12 6 ^ 2_ б"^12 309. Разместите данные суммы в порядке убывания их значений: 1 5 4*^24 1 3 ----1--- 3 8 310. Решите уравнение: ,, 3 5 4. 1) X--— —I— , 20 12 9 311. Решите уравнение: ,, 5 7 5 8 12 9 2)у- А 1 12"^8 1 1 8 —I----1--- 9 54 27 1 3 ----1---- 6 4 15 1 1 7 312. Вычислите: 1) ® ' й 313. 24 60 Вычислите: 11 1 40 1) 314. _________ 12 20 30’ Вычислите: ^ f 9 3 2) 2) ¥- 32 4 ' 64 ‘ 16 ■ 2 5 49 . 3) 4 7 9 3 18 180’ 5 15 35 2 5 3 3) 4 4 7 3 24 10’ 5 45 25 1)2 7 128 14 2)1 9 3) 4 11 ^ 15 3- ^ 13 V 33 22 Глава 2 315. Вычислите 1 /^19 1)з^-Г^ 1 .21 14^ 316. Решите уравнение 1) 2) 2--9 —+ 1- = 2—; 2) 1 28 7 28 3 _ 1 3 . 8 ^ 4 20’ 5)( 6 12 Л з)зА_ Г415_зД] 1, 33 55 j 4) 317. Решите уравнение: 5 X 81 Л -У 81 ’ 3) - + - = 1— 6 8 24 10 1) —+ 1— 32 32 16 2) 1 5 X _43 7“^“^ 3)1J3 л 4-^ 2 5' 10 318. Отрезок АВ разделён на части точками М и Мтак, что отре- зок ЛМ составляет — отрезка ЛВ, а отрезок MN 13 78 ё отрезкаАВ. Какую часть отрезка АВ составляет отрезок NB? 319. Отрезок MN разделён на части точками А и С так, что отре- 5 7 зок МА составляет — отрезка MN, а отрезок АС — — отрезка MN. Какую часть отрезка MN составляет отрезок САГ? 13 5 97 320. На сколько разность 36 48 меньше числа 144 и больше разности 15 1 72 16 321. Маша задумала некоторое число. Сначала она увеличила его 15 ..14 „11 на —, затем 26 еще на — ив результате получила 2—. Какое 39 13 ё число задумала Маша? 322. Андрей задумал некоторое число. Сначала он увеличил его на 2_ 33 19 2 затем уменьшил на — и в результате получил 1— Какое число задумал Андрей? 323*. Докажите, что 1111 1 1 , м -+—+—+—+— + — <1. На сколько значе-2 4 8 16 32 64 ние левой части неравенства меньше значения правой? 324*. Дано натуральное число а. Что больше: a-fl а 1)----или а a+l a + ^ a-j-3 „ 2)-----или--------^ а а-\-2 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ^ 55 ' ' ' ^ ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 325. Таня отдала Маше 3^ грн, и у ка>кдой из них стало по 18^ грн. Сколько денег было у каждой девочки сначала? 326. На соревнованиях Юра пробежал 1 км за 3 мин 5 с, а Илья — за 3 мин 10 с. Чья скорость больше и на сколько (в метрах за секунду)? ш ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ [ 327. Вычислите: 1)4%от24; 2) 15%от54; 3)30%от3,6. 328. Каков периметр пятиугольника, если его наименьшая сторона равна 3,4 см, а каждая следуюидая — на 1,8 см больше предыдущей? ^ § 9. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕН, НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА Дроби, как и натуральные числа, можно умножать. Например, чтобы найти площадь прямоугольвонка со сторонами 3 см и 4 см, нужно умножить эти числа: 3 • 4 = = 12 (см^). Выразив стороны в дециметрах, получим: 3 см ^ дм, 4 см = ^ дм. Значит, в квадратных деци- 10 10 метрах площадь данного прямоугольника равна произведению дробей — и —. Но как вычислить такое 10 10 произведение? Поразмышляем. Поскольку 12 см^ = 12 100 дм^, то 3 4 12 10 10 100 Несложно заметить, что знаменатель произведения равен произведению знаменателей: 100= 10 • 10, а числитель произведения равен произведению числителей: 12 = 3 • 4. В этом и состоит правило умножения дробей. Глава 2 Запомните* Правило умножения обыкновенных дробей Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей, нужно: 1) найти произведение знаменателей данных дробей и записать его в знаменателе произведения; 2) найти произведение числителей данных дробей и записать его в числителе произведения. а с ас Ъ d bd Например: .? .г - j..r _ /.г 8 7 ~ 8-7 - S6 Умножение дробей подчиняется переместительному и сочетательному законам умножения^ а также распределительному закону умножения относительно сложения. ? Как умножить натуральное (смешанное) число на дробь? Сначала натуральное (смешанное) число преобразуют в неправильную дробь, а затем выполняют умножение по приведённому выше правилу. Аналогично умножают два смешанных числа. 4 7474-7 28 9 19 19 9 31; 9 3 7 3 7 % _ 16 2-. 7 ? Что получим в результате умножения дроби на 1? 2 12 12 Ту же дробь. Например: — 1 = 5 1 5 1 ? Что получим в результате умножения дроби на О? 3 3-0 о Число 0. Например: — 0 =---= — = 0. 8 8 8 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И Д^СТВИЯ НД НИМЙ~ Ж 57 ---=f ^ Существуют ли такие числа, произведение которых ^4 1 равно 1 ? Да, Например: — и —; 7 и у * „ . S 4 ,,171 '/Л , Действительно:--- —= 1; 1 • — =--- —-г- = 1. 4 S J-Л^ 7 17 !■/, Запомните Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно o^amhfMH. ? Как записать число, обратное данному? Для этого достаточно представить данное число в виде дроби и в полученной дроби поменять местами числитель и знамена- 2 S тель. Например, для числа — получим обратное число —. 3 2 Для натурального числа обратной является дробь, у которой числитель — 1, а знаменатель — данное натуральное число, Например, для чисел 5,14 и 29 обратны- 1 1 1 ми являются соответственно числа —, — и — ♦ 5 14 29 # Обратите внимание: — для числа 1 обратным является число 1; — для числа О обратного числа не существует. На практике нередко нужно выяснить, какая величина приходится на часть данного числа. Вы знаете, что это задачи на нахождение дроби ош чХ1спа. Все они сводятся к действию умножения числа на дробь. Рассмотрим задачу. % Задача 1 . Мама испекла рулет длиной 30 см. Таня и Ваня со своими друзьями решили его попробовать, но оказалось, что 5 5 они съели — рулета. Сколько сантиметров составляют — длины 6 6 рулета? 1 ‘ . . . - Глава 2 13- Решение. Длина всего рулета равна 30 см (рис. 7). Если разделить его на 6 частей, то длина одной его части составит 5 см. Дети съели 5 таких частей, это значит, что они съели 5 • 5 = 25 (см) рулета. Но такую запись получим и тогда, когда 5 число 30 умножим на дробь —, то есть: 30- 5 ^-5 5-5 25 6 : 25 . Значит; — 6 Рис. 7 6 1-^, 1 1 длины рулета составляют 25 см. Можем сформулировать правило. Запомните! Правило нахождения дроби от числа Чтобы найти дробь от числа, нужно данное число умножить на эту дробь. „ Узнайте больше t. ,*}.i Математический папирус Ринда — древнеегипетское учебное пособие по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом на свиток папируса длиной 5,25 м и шириной 33 см (рис. 8). Папирус был найден в 1858 году. В 1870 г. его расшифровали, перевели и издали. Ныне большая часть рукописи хранится в Британском музее в Лондоне, а остальная — в Нью-Йорке. Папирус Ринда содержит условия и решения 84 задач и является самым полным египетским задачником, дошедшим до нас. * йу Г" i-in птточмтг _ _ _ • .Я)у>иии .17 n l! tl T ar- UJ, 5=jCL= Рис. 8 \r ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Сформулируйте правило умножения двух дробей. 2. Как умножить натуральное (смешанное) число на дробь? 3. Как н айти дробь от ч исла? 1) 99 2) 11 3) —? 33 330'. Верно ли, что —'1 = 1) 2) 9 3) 9 4) 1 331Верно ли, что 1) 11 2) 11 3)1 4) О? 332'. Верно ли, что число — является взаимно обратным с числом: А "1^ 2) А; 49 4) 1. 3 ■ 2 333'. Правильно ли Марина находила — от числа 12: О 12 2 1) — 12 3 2) — 12 3 3)12.|; 4) 12 2^ 1 'з ■ 334°. Вычислите: 3 7 3) 7 9 ’ 5) ^37’ 7) 1 3 . з'п ’ 5 7 4)1^: 5 11 4 3. 5'4' 8) 3 7 7‘8 ■ 335°. Вычислите: 1)5-^; 8 7 2) ; 3 13 3) 4) 11 3 1б’и ■ 336°. Найдите значение выражения: 1) ; 5 10 3) ® 3 7 ’ 5) 1^' ° 5 12 ’ 7) 5 6 . 12’7 ’ 5 10 9 11 ■'0 7 , 13 10 8) 4 3 7'8 ■ Глава 2 ЗЗТ\ Найдите значение выражения: 2)”.1; 3)116. 1112 14 8 8 17 338°. Найдите произведение дробей: 7 o^ 7 2 c■^ 2 7 1) —и—; 3) —и—; 5) —и — 7 9 9 7 7 8 4) А А 1312 2) ? и 6 11 ,,11 25 4) — и — 25 27 5 9 6) — и — 9 10 339°. Найдите произведение дробей: 1) - и 8 11 ох 5 2 2) - и -^ 7 5 3) I и 340°. Вычислите: 4 |5. 5'l6’ 10 13 40 ’ j^l341°. Вычислите: 26 15 1) 2) 3) 4) 2) А А 12'25 11 А 12‘33 7_ 11'49’ 5) 6) 3) 15 А 15’28’ ^ М. Зб'55 ’ 15 58 -7Х 4 9 9 16 ох ■'8 5 8) — и — 25 18 их "Ч 9 4) — и — 27 11 7) 8) А А- 14‘бЗ’ 22 63 342°. Найдитеошибку в вычислениях: 29 105 5 12 5-12 4) 35 121 21 39 26 84 1-3 3 18 25 18-25 4-5 20 343°. Вставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: iA- = A. 9А1 = А- яАА = А А 5 15’ ^ * 7 28 ’ А 11 77‘ Ж 344°. Вставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное 2 4 8 * 4 32 равенство: 4 * 4 1) — 9 3 27 2)--- = —: 3) 7 * 35 9 11 99 345°. Найдите значение выражения если: 1)а = 2; 2)а = 3; 3)а = 4; 3 1 Ж 346°. Найдите значение выражения-, если: ^ Ь Ъ 1)&=9: 2)&=15; 3)&=18; 4) а = 6. 4)Ь = 36. 347°. Найдите значение произведения > если: 1)а = 5, с/ = 35; 2) а = 7, d = 49; 3) а = 9, с? = 45; 4)а = 3, (^ = 4. Jl349°. Решите уравнение ® .. 4 28 1) х\ — = —; 7 29 2) X 5 12 6 35 350°. Найдите делимое, если делитель равен 3) X 13 8 13 а частное 16 39 7_ 14' 65’ ^351°. Найдите произведение, если первый множитель равен 13 а второй Ё5 66 352°. Вычислите; 1)14; 3,7.1: 9 7)f0. 2)^3; ‘•'■S' 8)0.1® 16 Вычислите: „1.: 2) 5~; 15 3)1.1®; 41 4) ^ 0 44 354°. В магазине конфеты расфасовывают в небольшие упаковки 2 по - кг конфет в каждой. Сколько килограммов конфет содер-5 жится: 1) в 5 упаковках; 2) в 75 упаковках; 3) в 150 упаковках? 355°. Каждая сторона пятиугольника равна — см. Найдите его 25 периметр. Д 356°. Найдите периметр квадрата со стороной ^ см. 357°. Решите уравнение: 1) х: —= 8; 16 4 2) х:- = 1; 5 Д 353°. Решите уравнение: 1)х: —= 1; 41 3) х: —= 22 11 4) х:12: 7_ 24 5) х:9 = 6) х:24 7_, 36 ’ _Л_ ~ 32 2) х: —= 32 16 3) х:25 = 11 45 Глава 2 359°. Вычислите: ё 1)14; 6 5 3)2-- — ; 7 25 »!■ '1^ 7)3-~; 3 25 2)1.4; 11 8 4) 2^.13. 11 24 8)3^.^. 7 54 Вычислите: 1)14; 7 6 2)^-2l; 9 4 3)lf 14 . 4) 2—• — 26 36 39’ й 361°. Решите уравнение: б ^2 4 5 1) х: — = 5—; 2) х:—=5— 17 3 15 8 362°. Решите уравнение: о\ 9.5 3) х: —= 1-11 6 ич ,23 4) х: — = 1— 17 28 10 ,19 1) х: — = 1— 13 20 2) X 11 12 11 11 363°. Найдите делимое, если делитель равен —, а частное — 1-^ ^ 364°. Найдите произведение, если первый множитель равен 1_ 11 7 15 а второй — 1 49 365°. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 16 .17 — см и 3— см. 23 48 Ж 366°. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны ® 17 ^10 — см и 2— см. 28 51 __о п 57 61 10 699 10 76^ 367°. Даны числа: —; —; —; —; —; —; —; —; —; —. Есть ли 6 9 10 7 61 10 7 61 5 5 среди них взаимно обратные? Если есть, то выпишите их. 368°. Вычислите: 1)1б; 5 4) llo,75; 7) —-1—: 19 17 10) 4.21 16 7 2) —•12; 12 5)^.4. ^'95' 8) 5|-0,18; 11) 124 8 3 3) 4-0,25; 6) l4.1; 11 21 9) |.3,5; 12) ^•1,16 29 5 2 Вычислите: 1)2.11.1; 7 2 2)U1 7 3 2) 5.5.11 11 5 Я Q 3)-.0,3.- 3) ^.1,3. 7 4) lile 9 8 4)10.1,1.12 ' 11 372'=. Найдите число, взаимно обратное с числом: 1) |;2) ^;3) 4^; 4) 5^; 5) 1,7; 6) 3,25; 7) 5,9; 8)1,125. 8 9 7 6 373°. Найдите число, взаимно обратное с числом: Э 3 2 2)3-; 3)1,2; 4)2,25. 374°. Верно ли, что - от числа 25 равны: 5 1)75; 2)25; 3)15; 4)125? 375°. Начертите координатный луч (единичный отрезок Г1^ 6 клеточек тетради). Отметьте на этом луче точку А — v6. и точки с координатами, равными двум, трём, шести и девяти расстояниям от точки А до начала координат. Какие числа соответствуют этим точкам? ^ 376°. Начертите координатный луч (единичный отрезок — ГО 8 клеточек тетради). Отметьте на этом луче точку В Ш ■! И точки с координатами, равными двум, четырём, пяти и двенадцати расстояниям от точки В до начала координат. Какие числа соответствуют этим точкам? R 4 41 3 14 377°. Найдите: 1) - от 21; 2) — от 60; 3) —от14; 4)-от—. 7 15 42 7 27 378°. Площадь квадрата равна 45 см^. Чему равна площадь: 1 2 12 1) — квадрата; 2) - квадрата; 3) — квадрата? 5 9 35 ▲ 379°. Площадь прямоугольника равна 54 см^. Чему равна площадь: ^ 1 7 11 1) — прямоугольника; 2) — прямоугольника; 3) — прямоугольника? 6 9 36 Глава 2 380. Вычислите: 9 7 4 Ж 38/. Вычислите: ^ 4 14 1 1) —• —-3-1115 7 2) —.2-~ 21 6 26 2)^22.i1 8 9 5 3) 1 5 3 б’22‘4 382. Найдите значение выражения: 2)21 6 _25 7 20 21 9 11 27 383. Решите уравнение: 3) 2- 3) 3^.21^ 6 5 42 1) X — 15J‘18 25 2) (3,6-л:):1—= 1— ^ ’ ^3 55 ^384. Решите уравнение: 2) U- 5 V 16^^;17 27 64 18 385. Длины сторон прямоугольника — взаимно обратные числа. Одна из них равна — см. Найдите периметр и площадь прямоугольника. 4 386. Первая сторона треугольника равна 1— м, вторая — в 4 раза 15 больше первой, а третья — на — м меньше второй. Найдите пе- 5 риметр треугольника. 3 ^ 387. Первая сторона треугольника равна 2— м, вторая — в 5 раз 3 больше первой, а третья — на — м больше второй. Найдите периметр треугольника. 388. Один спортсмен пробегает один круг на стадионе за 5 5 1—мин, а другой — за 1— мин. Сколько времени потребуется каждому спортсмену, чтобы пробежать 8 таких кругов? 4 389. Мама купила на праздник 5 кг конфет по 20— грн за кило- 5 грамм и 3 кг печенья по '^3— грн за килограмм. Сколько денег потратила мама? ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 65 I Г I 390. Серёжа за три дня прочитал книгу, в которой 270 страниц. 2 4 В первый день он прочитал — книги, а во второй-того, что 9 3 прочитал в первый день. Сколько страниц книги прочитал мальчик в третий день? 391. Турист в первый день прошёл 15 км, во второй — 1— пути, пройденного в первый день, а в третий 5 9 пути. пройденного во второй день. Какой путь прошёл турист за три дня? 392. Вычислите: 7 VI 8 ^ 1) 2- + 1 4 9 15 2) 7*^49 f4® 3 + 51 к 7 28 14 j 4■135j 393*. Найдите значение произведения ^ IV. iv^_v^r. V ^ , 16 1- V ■у 1- 9 т V 25 Т V 100 7 394*. Представьте дробь — в виде произведения трёх разных 8 дробей. Сколько таких выражений можно составить? 395*. Произведение цифр двузначного числа равно 9. Если первую цифру этого числа увеличить на 5, то произведение его 2 цифр увеличится в 2— раза. Найдите это число. 3 396*. Вычислите произведение числа, равного значению выраже- и числа, взаимно обратного со значением выра- ния 2 + —+— I 3 5. жения 1 1 2---3 397*. Длины сторон прямоугольника являются взаимно обратными числами. Сумма цифр одного из них равна 11. Найдите периметр прямоугольника. Сколько случаев нужно рассмотреть? 398*. Пло1дади двух квадратов — взаимно обратные числа. Сумма длин стороны первого и стороны второго квадрата равна 2,5 см. Найдите периметры обоих квадратов. Глава 2 399*. Среднее арифметическое двух взаимно обратных дробей равно 1—. Найдите эти дроби, если они несократимые. 84 400*. Среднее арифметическое двух взаимно обратных дробей и 41 числа 3 равно 1— . Найдите эти дроби, если они несократимые. 60 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 401. Папа решил перепланировать на даче комнату размером 13 9 3 — X 6— м. Большую сторону он решил уменьшить на — м, 5 7 14 а меньшую — увеличить на 1^ м. Какова плоицадь пола новой комнаты? 402. Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда раз- 5 1 22 мером — X 1— X — м. Поместится ли в этот бак 500 л бензина? 6 11 25 403. Пол в комнате имеет форму прямоугольника со сторонами 2 5 7— м и 5— м. Сколько метров плинтуса понадобится папе для 3 б отделки пола в комнате? 5 404. Для строительных работ папе нужно купить 12— м^ облицо- а. войной плитки для стен и А— м^ плитки для пола. Сколько заплатит папа за всю покупку, если 1 м^ плитки для стен стоит 84 грн, а 1 м2 плитки для пола стоит 119 грн? ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 405. В дев яти процентном растворе содержится 16,2 г йода. Какова масса всего раствора? 406. Известно, что в ящике больше, чем 110 и меньше, чем 130 яблок, а всё количество яблок делится на 12 и на 5. Сколько яблок в ящике? 407. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 125 белых, 75 розовых и 175 жёлтых роз? ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 67 Г I г I § 10. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ Вы знаете, что неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Например, 82 у прямоугольника площадью — дм*^ и одной стороной 9 дм (рис. 9) вторая сторона дм равна частному от деления 8 2 дроби — на дробь —. 9 3 Рис. 9 Пусть искомое частное — а 2 а 8 дробь —. Тогда можем записать:------= —. Видим, что Ъ 3 Ь 9 а = 4, & = 3, поскольку 2 • 4 = 8, 3 • 3 = 9. Значит, а _ 4 3 S 2 4 Л ^ . то есть * Такой же результат получим, когда 8 3 2 дробь — умножим на дробь —, обратную дроби —. Дей- 9 2 3 8 3 ^0 0' 4 , 1 ствительно: 9 2 0 ^ Получается, что дей- ствие деления дроби на дробь можно заменить действием умножения данной дроби на число, обратное делителю: 8 2_ 8 3 9’3" 9 2 * В этом и состоит правило деления дроби на дробь. L Глава 2 Запомните! Пра вило деления обыкновенных дробей Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно: 1) найти дробь, обратную делителю; 2) делимоеумножить на дробь, обратную делителю. а е _а d Ъ d Ъ е 5 5 Задача 1. Разделите дро бь — на дробь —. 6 12 % [> Решение. 6 42- 6 S LlL-2. ii - i ? Как разделить натуральное (смешанное) число на дробь? Сначала нужно данное натуральное (смешанное) число преобразовать в неправильную дробь, а затем применить правило деления дробей. 2 14 Задача 2. Найдите частное чисел: 1) 2 и2) 4-и —. 3 5 5 ♦ i Решение. 1) 2-2Л-2Л.1 = :43^1 = 3- ^ 3 1 3 1 2 1/, 1 2) 4-'-=—■-=— 5-21-X'-21-g1 5 '5~ 5 4~ " 4 "^4 ' ^ Что получим, если 1 разделим на некоторую дробь? Получим дробь, обратную данной. Например: 5 ♦ S Ф Обратите внимание: — если 1 разделить на обыкновенную дробь, то получим обыкновенную дробь, обратную данной. ,315 1: —-- 5 1 3 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И Д^СТВИЯ НД НИМЙ~ Ж 69 ----=f ^ Что получим, если О разделим на обыкновенную дробь? Й 5 и 5 и Получим ноль. Например: О: — = О ■ — =-=—= О, 5 3 S S 7 Можно ли разделить дробь на О? Нет, поскольку на нуль делить нельзя. На практике нередко приходится по известной части величины находить саму величину. Вы знаете, что это задачина нахождение числа тьо его дроби* В 5 классе вы научились решать такие задачи различными способами. Оказывается, что все они сводятся к действию деления числа на дробь. Рассмотрим пример. Задача 3. Мама испекла рулет. Таня и Ваня измеряли рулет и отрезали часть длиной 30 см. Оказалось, что они отделили 5 — рулета. Сколько сантиметров составляла длина целого рулета? IJ Решение. Если разделить весь рулет на 6 частей (рис. 10). то длина пяти таких частей равна 30 см. Значит, длина одной его части составляет 30 : 5 = б (см), адлина всего рулета — б • б = 36 (см). Следовательно. Рис. 10 чтобы по условию задачи найти длину всего 5 рулета, можно число 30 разделить на дробь -. то есть: 6 30:i=30.®=^=^=^=36 (ОМ). 6 5 11 Можем сформулировать правило нахождения числа по его дроби. Запомните Правило нахождения числа по его дроби Чтобы найти число по его дроби, нужно данное число, выражающее часть искомого, разделить на дту дробь. Глава 2 Узнайте больше Пусть даны два таких натуральных числа, что сумма всех делителей первого (за исключением самого числа) равна второму числу, а сумма всех делителей второго числа (за исключением самого числа) равна первому числу. Числа, обладающие таким свойством, называют дружественными числами. Например, число 220 имеет такие делители: 1.2.4.5.10.11.20.22.44.55. 11 о. Их сум м а равна 284. Ч исло 2 84 и м еет следующи е дели те-ли: 1. 2. 4. 71.142. Их сумма равна 220. Итак, числа 220 и 284 являются парой дружественных чисел. Это пара наименьших дружественных чисел. Вот другие пары дружественных чисел: 1184 и 1210. 2620 и 2924. 5020 И 5564. 6232 и 6368. 10 744 и 10 856.12 285 и 14 595.17296 и 18 416.63 020 и 76 084. 1. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Сформулируйте правило деления обыкновенной дроби на обыкновенную дробь. 2. Как найти частное натурального числа и дроби? смешанного числа и дроби? 3. Как найти число по его дроби? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 408'. Верно ЛИ. что для дроби у обратной является дробь: 5 5 7 1 1 7 1)£; 2)-: з)-\ 4)-: 5)-: 6)-^-? 7 1 1 5 7 5 5 2 409'. Верно ЛИ. что —:—= ... ^ 9 7 9 2 2) : 9 7 2 1 410'. Верно ли. что частное чисел и — равно: 1)2.1Л- N 2 9 ■ 2 2 2 ^ 9 2 9 ■ 1 411'. Прав ли Серёжа в том. что —:2= ... 6 9 2 2 2 4 3) -•-=-? N 1 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ' 71 1) 1 ?-=! б' 1 "з 2) 1 2 1 6 2 6 3) -■- = — ? 6 2 12 7 412\ Верно ли, что 1 : — равно: 9 1)1ТЛ; 9 9 2) 1-у=1: 3)i|=i; 9 4) 1j = 7 ■ Вычислите: 2 2 4) ^ 15‘45’ 10) А 24 .15 '64 2)ЗД; 4 12 5) А. ^ 5'25’ т ^3.26. 15'ЭТ' 11)—: 81 , 11 , '45’ 4 4 ® 4'12 ’ 9) 7'2Г 12) А: 38 5 19 ■ й 414^. Найдите частное чисел: 5 5 1) — и — ^ 7 14 04 3 3 2) — и — 11 22 3) 415°. Найдите ошибку в вычислениях: 7 14 и —; 4) 81 3 27 25 ‘ 5 . 25._ 5-25 _ 125 18' 36 18-36 648 и 11 75 7 14 416'^. Найдите значение выражения —:—, если: 18 а 1)а = 3; 2)а = 9; ^417^. Найдите значение выражения 1)?? = 9: 2)&=15; 3)а=12 3._^ 5'45 3)&=18 если: 4)а = 36. 4)Ь = 33. 418°. Вставьте вместо 3 такое число, чтобы получить верное равенство: 9 * 1) 15 45 4 419°. Решите уравнение: 1) —:х = —; 4 16 Ж 420°. Решите уравнение: ® ,.111 1) —:х = — ; 8 16 2) 2) X *‘17 6’ 5 25 3) 18.54_17 * '85"63' 21 28 04 28 2) Х- —= — 9 45 04 9 27 3) —х = — 11 44 04 8 32 3) —х = — 13 65 421°. Найдите множитель, если другой множитель равен 5 25 —, а произведение — —. Глава 2 422°. Вычислите: й 14 4)1^; 21 10) 2:|; 2)1:1^; ^ 17 5) 2:у; 11)4:1°; ^ 11 9 3) 1:—; 14 6)3:15; 16 9) 3:|; 21 12) 14: — 22 Вычислите: "'Ф 2)1:^; 15 3) 2: — ; 11 24 4) 8:—. 25 424°. Решите уравнение: 1) 1:х = —; 2) 2:х = — 3) 3:х = 15 17 ^ 425°. Решите уравнение: 1)1:х = -; 2)4:х = - 7 9 3) 4:х: 40 11 25 426°. У пятиугольника с периметром — см все стороны равны. Какова длина одной стороны? 427°. В магазин привезли 53- кг мандаринов в п одинаковых я иди- 3 ках. Сколько килограммов мандаринов в каждом яадике, если: 1)п = 4; 2)п = 5; 3)я = 8? 428°. Вычислите: 1)2;з1 7 2 2)I:li 4 4 3) 2 7 23 7 1 11 20 1 24 ^429°. Вычислите: 1) ^:2^; 2) 37г:^;4) 4:1 9 3 19 57 8‘24 5'35 4) 1 5.^ 8‘40 11 ■ 5 3 5 430°. Решите уравнение: 1) 1:х = 1-; 2) 2:х=1-; 3) 3:х = 1-. 6 5 7 2 4 2 ^431°. Решите уравнение: 1) 1:х = 2—;2) 13:х = 1—;3) б:х = 2 7 9 5 частное. 13 9 432°. Найдите делитель, если 1— — делимое, а — 0 433°. Найдите сторону квадрата с периметром 2у см. 434°. Найдите сторону прямоугольника, если его площадь равна о"' 2 2 3— см% а одна из сторон--см. 5 5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ^435°. Найдите сторону прямоугольника, если его площадь равна 1^ 2 2 2— см^, а одна из сторон — 1— см. 9 3 436°. Начертите координатный луч (единичный отрезок / 2^ 5 клеточек тетради). Отметьте на этом луче точку А 2 V 5у Раз- делите отрезок ОА на четыре равные части и отметьте соответствующие точки. Запишите их координаты. ^437°. Начертите координатный луч (единичный отрезок 7 клеточек тетради). Отметьте на этом луче точку А 1- V Раз- делите отрезок ОА на три равные части и отметьте соответствующие точки. Запишите их координаты. 438°. Известно, что — некоторого числа равна 2. Верно ли, что ис- 3 комое число равно: 1)2.1=|; 2) 2:1=6; 3) 2:3 = -? 1 5 439°. Найдите число, если: 1) его - равна -; 3 0 2 4 2) его — равны — 7 21 5 25 3) его - равны — 6 42 440°. Чему равна длина отрезка АВ, если: 2 1) — его длины равны 18 см; 3 5 2) — его длины равны 35 см? 441 Чему равен угол, если: 1) его — равны прямому углу; 6 1 2) его 2— равны развёрнутому углу? 4 9 ^442°. Чему равен угол, если: 1) его — равны прямому углу; 2) его 1— равна прямому углу? 9 Глава 2 443. Вычислите: 5.15.2 . 7‘28‘9’ А-А-А 11■33■27 14.^.^ Ж 444, Вычислите: ® .^^3 21 48 1) 2) 3) 4) 5 5) 7 6) 13: 39‘72 ’ 63 110 7) 2 L1-1 4‘8'2 80 117 К.95 57’96 2) 1 Г 9 54' 8 32 49 445. Найдите значение выражения 3) 7 22'77 9 27 64 2 4 3 5 4 4 19 3) 1-:2—:1 — 5 25 66 1 2 2 1) 2--1-:3-6 9 3 2V MY 9 2) 4- /7 Q 10 5 4) 5 Г15 2 7 28 9 5) 2- 6) 1- 3.^ 8'2 Г ll:l2 4 3 Ж 446. Вычислите: 1)1^:Гз^-1А' 45 I 5 15. 2) 6 3\48'32. 1 3) 1 7 9 15 447. Площадь прямоугольника равна 3- см^. Найдите периметр 3 прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см. 2 448. Периметр прямоугольника равен 2— см. Найдите площадь 3 5 прямоугольника, если одна из его сторон равна - см. 6 9 ^449. У прямоугольника одна из сторон равна 3— см, а другая — 3 в 2— раза меньше. Найдите периметр и площадь прямо-5 угольника. 450. Первая сторона треугольника равна 2— м, вторая 5 в 1— раза меньше первой, а третья — 5 второй. Найдите периметр треугольника. в 1— раза меньше ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ' 75 451. Первый спортсмен пробегает пять кругов на стадионе за 2 9 1— мин, а второй — семь кругов за 1— мин. Какое время понадобится каждому спортсмену, чтобы пробежать 13 таких кругов? 452. Серёжа в первый день прочитал 90 страниц книги. Это составляет того, что мальчик прочитал во второй день, и того, что он прочитал в третий день. Сколько всего страниц прочитал мальчик за эти три дня? 453. Турист в первый день прошёл 18 км. Это составляет 6 „ X, . 2 „ — пути, пройденного им во второй день, и пути, пройденного им в третий день. Какой путь прошёл турист за эти три дня? 454*. Найдите значение выражения: 3 ^ 1 + 1 1) 2) 1+- 1 3) 2- 1 1+- 1+- 1+- 2- 455*. Решите уравнение: 1) 15- оЗ cS'l 2—х+5— 4 6j 1 = 1 2 4 2) 4,5: 47,375- 1 л 26--х-0,75 -2,4:0,88 3 j 11 456*. Мама разделила 72 ореха между своими детьми так, что сред- 3 1 ний сын получил — того, что получил младший, а старший-то- 4 3 го, что получил средний. Сколько орехов получил каждый сын? 457*. Задача Бехаэддина. Если число увеличить на свои две трети и еш,ё на единицу, то получится 10. Найдите это число. 458*. Задача Бхаскары. Если некоторое число умножить на 5, из произведения вычесть его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому последовательно 2 ^ ^ начального числа, то получим 68. Какое число было сначала? Глава 2 4Б9*. Древняя задача. Крестьянин в первый день продал половину ..... .1 привезенных гусей и еще по л гуся, во второй день-остатка 3 1 ..1 — остатка и еще - гуся, а в четвер-5 5 тый — остальные 19 гусей. Сколько гусей было у крестьянина? .. 1 и еще — гуся, в третий 3 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 460. Согласно нормам освещения комнаты, площадь окон должна составлять не меньше ^ площади пола. Достаточно ли света в комнате, если в ней есть два прямоугольных окна размером 1 2 1 1— X 2 м, а размеры прямоугольного пола ~ ^ "^5 461. Одна стена комнаты имеет прямоугольную форму размерами 6,6 м и 3— м. Сколько рулонов обоев нужно купить, чтобы об-3 клеить такую стену, если ширина обоев — 53 см, а длина одного рулона —Юм? 462. Для приготовления фруктового салата маме нужно взять — кг бананов, что составляет 1— массы яблок и — массы киви. 5 32 е: Сколько яблок и киви нужно для приготовления салата? ЗАДАЧИ^^АПОВТОРЕ^ 463. Существует ли треугольник, у которого углы равны: 1) 90°, 80°, 70°; 2) 75°, 70°, 45°; 3) 60°, 70°, 80°? 464. Чтобы проплыть от одного причала к другому, лодке требуется 1,2 ч, а чтобы вернуться назад — 2 ч. Собственная скорость лодки — 11,2 км/ч, а скорость течения реки составляет 25 % скорости лодки. Каково расстояние между причалами? ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 77 I I ^^ § 11, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ, ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ Из курса математики 5 класса вы знаете, что любую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби. Например, 0,75 = 75 100 3 4 0,135 = 135 27 1000 200 Такое действие иначе называют преобразованием десятичной дроби в обыкновенную. Обратное действие называют преобразованием обыкновенной дроби в десятичную. 7 2 5 Пусть дроби —, — и — нужно преобразовать в деся-25 3 6 тичные. Для этого числитель разделим на знаменатель. Тогда получим: — = 0,28; - = 0,666666...; - = 0,83333333.... 25 3 6 Разделив 7 на 25, мы получили десятичную дробь 0,28. А в двух других случаях деление закончить было невозможно, поскольку остаток всё время повторялся. Поэтому мы прекратили деление и поставили многоточие. Дробь 0,28 называют конечной десятичной дробью у а дроби 0,6666... и 0,8333... называют бесконечными десятичными периодическими дробями. Такие дроби имеют период — это число, которое в записи десятичной периодической дроби повторяется бесконечно. Для 2 5 дроби — периодом является число 6, а для дроби---- 3 6 число 3. Период может начинаться сразу после де- сятичной запятой, как у дроби —, а может 3 после некоторого числа, как у дроби —. 6 ^____________________________Глава 2 Бесконечную десятичную периодическую дробь - кратко записывают так: 0,83333838... = 0,8(3). Читают - так: «Ноль целых восемь десятых и три в периоде». ? Верно ли, что в периоде должна быть только одна цифра? Нет. Период может содержать несколько цифр. Например, период дроби 5,4121121121... содержит три цифры: 5,4(121). Ф Обратите внимание: при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную всегда получаем либо конечную дробь, либо бесконечную периодическую дробь. ? Можно ли сравнивать бесконечные периодические дроби, выполнять с ними действия? Да. Но для этого нужно предварительно округлить их. Рассмотрим пример. 5 Представим число — в виде десятичной дроби: 12 12 = 5:12 = 0,4166666... =0,41(6). Округлим эту дробь до единиц, десятых, сотых, тысячных ИТ. д. по правилам, известным вам из курса математики 5 класса. Получили следующую последовательность чисел: 0; 0,4; 0,42; 0,417; 0,4167; .... В ней первое и второе значения являются округлением с недостатком, а третье, четвёртое и пятое — с избытком. Значит, такая последовательность не даёт однозначной характеристики полученной дроби. Для более точной её оценки применяют специальные процедуры. Запишем для числа 0,41(6) последовательность десятичных приближений с недостатком (до единиц, десятых, сотых, ТЫС51ЧНЫХ и Т.Д.). Для этого не округлим данное число, а отбросим все последующие цифры после указанного разряда: 0; 0,4; 0,41; 0,416; 0,4166;.... Запишем для числа 0,41(6) последовательность десятичных приближений с избытком (до единиц, десятых, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И И 79 сотых» тысячных и т.д.)‘ Для этого добавим единицу до соответствующего разрядаи отбросим все последующие цифры после него: 1; 0»5; 0»42; 0»417; 0»41б7;. Несложно заметить» что для числа 0»41(б)» а значит» и для обыкновенной дроби —» справедливы неравенства: 12 5 5 5 О < — <1; 0>4 < — < 0»5; 0»41 < — < 0»42 и т. д, 12 12 12 Крайние члены таких неравенств называют дееятич-нымиприближениями обыкновенной дроби. Такие приближения используют» чтобы оценишь обыкновенную дробь е определённой шочносшьЮу например» до десятых или до сотых. Посмотрите на неравенства» записанные выше. Первое из них показывает десятичные приближения дроби — с точностью до единиц» второе — с 12 точностью до десятых» третье — с точностью до сотых. Иначе можно сказать» например» о первом неравенстве 5 5 0< — <1: <сДробь — оценили с точностью до единиц». 12 12 Узнайте больше У вас мог возникнуть вопрос: в каком случае обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь? Порассуждаем. 3 8 3 7 Представим, например, дроби ^ ® деся- тичныхдробей. 3:1 б = 0,1875; 16 ^=8:25=0,32: Как видим, первые три дроби можно представить в виде конечных десятичных дробей, а четвёртую — только в виде бесконеч- ^=3:20=0,15; ^=7:12 = 0,58(3). _________ Глава 2 НОЙ десятичной периодической дроби. Разложим их знаменатели на простые множители: 25 = 5-5; 16 = 2-2-2-2; 20 = 2-2-5: 12 = 2-2-3. В первых трёх разложениях содержатся только числа 2 и 5, в третьем — и число 2, и число 5. В четвёртом же разложении есть и иной множитель — число 3. Это и является причиной того, что дробь ^ нельзя представить в виде конечной десятичной периодической дроби. Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной периодической дроби тогда и только тогда, когда разложение её знаменателя на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Объясните, как преобразовать обыкновенную дробь в десятичную. 2. Приведите пример конечной десятичной дроби. 3. Приведите пример бесконечной десятичной периодической дроби. Назовите её период. 4. Как округлить десятичную дробь с недостатком? С избытком? 5. Что такое десятичное приближение обыкновенной дроби? 6. Как оценить обыкновенную дробь с некоторой точностью? ш РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 465'. Верно ли, что среди чисел 0,23; 0,2333...; 1 ,(3); 2,25; 6,5(7); 7,812 есть: 1) конечные десятичные дроби; 2) бесконечные десятичные периодические дроби? Назовите их. 466'. Прав ли Серёжа, утверждая, что период бесконечной периодической десятичной дроби может содержать: 1) 0 цифр; 2) 1 цифру; 3) 2 цифры; 4) 3 цифры; 5) 1000 цифр; 6) бесконечно много цифр? 467'. Верно ли записана последовательность десятичных приближений данного числа с недостатком? Ответ объясните. 1)5,555... 2)6,333... 3) 1,666... 5:5,5:5,55:5,555; 6; 6,3; 6,33; 6,334; 2; 1,6; 1,66; 1,666. 468'. Верно ли записана последовательность десятичных приближений данного числа с избытком? Ответ объясните. 1)5,555... 2)6,333... 3) 1,666... 6: 5,6; 5,56: 5,556: 6: 6,3: 6,33: 6,333: 2; 1,7; 1,67; 1,667. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 469°. Можно ли преобразовать дробь — в: 1) конечную десятич-ную дробь; 2) бесконечную десятичную периодическую дробь? 470' 472' Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной: «|: =.|; Какую дробь получили: конечную или бесконечную? Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной: Какую дробь получили: конечную или бесконечную? Проверьте, является ли верным равенство: 7 1) 1) — = 0,636363. 2) 15 0,533333. 473' А 474' 475' Назовите период бесконечной десятичной дроби. Запишите дробь в развёрнутом виде: 1) 0,(7); 3) 1,5(3); 5)4,(17); 7)0,(298); 2) 3,(2); 4)0,(35); 6)5,1(62); 8)1,(314). Запишите дробь в развёрнутом виде: 1)0,(6); 2) 0,(19); 3)4,32(7). Представьте дробь в виде десятичной дроби: 7 ..9 ..8 4 „.1 ... 1 1) 2) 16' ”>9' .. 12 11 ... 22 ... 2 ... 41 32 4) 6) 8) 10) 12) 125 12 75 5 50 Какую дробь получили: конечную или бесконечную? Если возможно, то укажите период дроби. А 476°. Представьте дробь в виде десятичной дроби: 5 13 1 24 D-: 2)—; 3)—; 4)—. 6 16 12 25 Какую дробь получили: конечную или бесконечную? Если возможно, то укажите период дроби. 477'". Какое число нужно вставить вместо *, чтобы получить верное равенство: 4 . ... .. 12 .... 7 1) д = о>(*): 3) 33 о,(*); 5) 24 0,291 (*); 2) ff = 0,(*); 4)^ = 0,2(*); 6) ^ = 0,(*)? Глава 2 ^478^. Какое число нужно вставить вместо *, чтобы получить верное Q -1 О -i-i Q равенство: 1) ^=0,(*);2) -| = 0,8(*);3) —=0,458(*);4) ;^=0,(*)? 479°. Для дроби 2,3456 выберите соседние: 1)2,2 и 2,3: 2) 2,33 и 2,34; 3)2,4 и 2,5; 4) 2,34 и 2,35. 480°. Для дроби 0,121212... выберите соседние: 1)0,1 иО,2; 2)0,21 и0,22; 3)0,11 и0,12; 4) 0,122 и 0,123. фк 481°. Для дроби 0,212121... выберите соседними: И 1)0,26и0,27; 2)0,1 и0,2; 3) 0,277 и 0,278; 4)0,27и0,28. 482°. Для дроби 0,5(71) выберите соседние: 1)0,56и0,57; 2)0,5и0,6; 3) 0,570 и 0,571; 4) 0,516 и 0,517. 483°. Для дроби 1,3(47) выберите соседние: ^ 1)1,4 и 1,5; 2) 1,35 и 1,36; 3) 1,347 и 1,348; 4) 1,37 и 1,38. 484°. Сравните числа: 1)0,22(23) и 0,2223; 2) 2- и 2,67; 3) - и0,1428(57). 3 7 ^ 485°. Сравните числа: 1) 0,34(56) и 0,3457; 2) 7^ и 7,1112. 486°. Преобразуйте дробь в десятичную и округлите её до десятых: D-; 3)^; 4>:^. 7 25 15 75 487°. Преобразуйте дробь в десятичную и округлите её до сотых: 3 16 11 .. 17 1) 2) 3) 4) 7 125 45 32 Д 488°. Преобразуйте дробь в десятичную и округлите её до сотых: 1) 9 2) 21 3) 13 4) 15 11 125 40 32 489°. Одна сторона прямоугольника равна 4,2 см, а другая — 4 2— см. Найдите периметр прямоугольника. Ответ запишите десятичной дробью и округлите её до сотых. 3 Д 490°. Одна сторона прямоугольника равна 3— см, а другая — 3,25 см. Найдите периметр прямоугольника. Ответ запишите десятичной дробью и округлите её до десятых. 491°. Для дроби — выберите соседние: 16 1)0,6и0,7; 2) 0,06 и 0,07; 3) 0,5 и 0,6; 4) 0,8 и 0,9. ^ й 492= 493^ П I I Для дроби ^ выберите соседние: 1) 0,3 и 0,4; 2) 0,04 и 0,05; 3) 0,4 и 0,5; 4) 0,41 и 0,42. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной: 1) -; 2) — 9 12 4 3 3) —; 4) —. Постройте десятичные приближе-25 16 ^494 ния данной дроби с точностью до десятых. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной: 8 11 16 ,, 9 „ „ - 9 ’ ^ ^ ^ Тб ' десятичные приближе- ния данной дроби с точностью до десятых. 495°. Запишите в порядке возрастания числа: й 496°. Запишите в порядке убывания числа: 15 4 5 3 7 6 7 0,96; 0,88. 14 0,56; 0,69. 497. Может ли период дроби содержать: 1) две одинаковые цифры; 2) три одинаковые цифры; 3) все одинаковые цифры? Ответ обоснуйте. 498. Верно ли, что в конечную десятичную дробь можно преобразовать только такую обыкновенную дробь, у которой знаменатель является: 1) чётным; 2) нечётным? Ответ обоснуйте. 499. Верно ли, что в бесконечную десятичную периодическую дробь можно преобразовать только такую обыкновенную дробь, у которой знаменатель является: 1) чётным; 2) нечётным? Ответ обоснуйте. 500. Изменится ли дробь, если: 1) число в периоде дроби умножить на 2; 2) число в периоде дроби разделить на 1; 3) к числу в периоде дроби прибавить число 0; 4) к числу в периоде дроби справа приписать цифру 0? Ответ обоснуйте. Ж 501. Изменится ли количество цифр в периоде дроби, если: 1) дробь умножить на 2; 2) дробь разделить на 2; 3) к дроби прибавить 2? Ответ обоснуйте. 502. Какое из чисел наибольшее: 1)0,0(73), 0,073 или 55 2) ^, 0,358974 или 0,3589(74)? ОУ й 503. Какое из чисел наименьшее: 5 1)0,121(95), 0,12195 или 41 2) 27 1,15или 1,(14)? Глава 2 504. Укажите порядок расположения точек А\ 22 В(1,2(3)) С(1,23), d(1,(27)), £(1,227) по возрастанию их координат. Какая из них находится дальше всех от начала координат? /41\ ^505. Укажите порядок расположения точек А —J, В(1,2(4)), С(1,24), d(1,2(43)), £(1,243) по возрастанию их координат. Какая из них находится дальше всех от начала координат? 506. Вычислите и представьте ответ десятичной дробью 7 74 ^ f ^ 7 ^ 1) 1—+ 1,05-3—+ 6—; 3)3- ^ 16 12 15 8 1—+ 6 64 32 0,404 2) 1 12 17 51 •1- 9 4) I 25 125 Л 2,212 + 5 1 Ж 507. Вычислите и представьте ответ десятичной дробью: 1^ OQ 11 1Q 1 /^3 7^ 2 1) з23_,_7 45_^Д_413 15 25 75 508. Решите уравнение: 9 ^ 11 2) 3 13 15 1) 1,1- 5х- 28 105 2) Г о29 13 2—х + — 30 42 26 0,125 = Г7 56 Решение уравнения представьте в виде десятичной дроби. Округлите её до сотых: а) с недостатком; б) с избытком. ^ 509. Решите уравнение: 44 .>1 Гп 5 15 ^ 1) 1,4- 9—X------------ I 12 164 14 2) х-4 19 0,375 = 75 104 ,123 Ч 39. Решение уравнения представьте в виде десятичной дроби. Округлите её до десятых: а) с недостатком; б) с избытком. 510. Постройте десятичные приближения данной дроби с точностью до сотых и сравните со второй дробью: 12 1)-^и0,61 19 2) — и 0,29; 41 98 14 3) ^ и 0,85; 4) 2-^ и 2,18. 119 75 Ж 5//. Постройте десятичные приближения обыкновенной дроби ^ с точностью до сотых и сравните со второй дробью: 1)^ и 0,45; 2)^ и о, 25; оо 3) ^ и 0,61 123 23 4)3^ И 3,23. I г I 43 512. Первая сторона треугольника равна 6— см, вторая — 76 7 . . _125 на — см больше первой, а третья — на 2----см меньше пер- 38 н > н 228 вой. Найдите периметр треугольника и постройте десятичные приближения полученного числа с точностью до сотых. ^513. Первая сторона треугольника равна 8^ см, вторая — на 13 23 1— см меньше первой, а третья — на 3— см больше первой. Найдите периметр треугольника и постройте десятичные приближения полученного числа с точностью до тысячных. 514*. Найдите среднее арифметическое дробей —, — и —. 17 2^^ 1 Представьте его в виде десятичной дроби, округлённой до сотых. Затем преобразуйте данные дроби в десятичные, округлите их до сотых и найдите среднее арифметическое округлённых чисел. Сравните полученные результаты. 515*. Какое из чисел наибольшее: 1 ,(036), 1,036, 1,03(6) или 171 165 516*. Расположите точки: А\ '211' 210 Б(1,0047619), С(1,0047(619)) 3 X)(1,0(47619)), Е(1,(047619)) по убыванию их координат. Какая из них находится ближе всех к началу координат? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 517. Измерьте свой рост, рост мамы и папы в сантиметрах. Найдите отношение своего роста к росту мамы и папы, результаты округлите до сотых с недостатком и с избытком. 518. Найдите площадь своей комнаты в квадратных метрах. Результат округлите до сотых с недостатком и с избытком. _ ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 519. Найдите НОК чисел: 1) 26 и 65; 2) 45 и 105; 3) 21 и 28. 520. Объём одного куба равен 27 см^ и составляет 21,6% объёма другого куба. Найдите периметр грани большего куба. птя I I T f f Бы ухаете; об отношении и его свойствах; Щ что такое пропорция; « какие бывают пропорциональные зависимости величин; Ф как разделить число в данном отношении; « что такое масштаб; ф об окружности, круге, круговом секторе и пространственных фигурах вращения; « какие бывают виды диаграмм и как строить диаграммы; Ф как выполнять процентные рассчёты; Ф что такое вероятность случайного события и как её находить; Ф как применить изученный материал на практике Мальчики 40% Девочки лл о/ ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ г----------- § 12. ОТНОШЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА Вам, наверное, приходилось слышать фразы: «Шанс победить в игре — 50 на 50», «Для приготовления гречневой каши крупу и воду нужно взять в отношении 1 к 2», «Прибыль разделили, как 3 к 2». Каждая из этих фраз подводит к сравнению двух чисел: 50и50, 1и2, Зи2. Для этого нужно составить выражение, являюгцееся частным данных чисел, и вычислить его значение. Итак, из первой фразы получим выражение 50:50, значение которого равно 1. Это означает, что шанс выиграть — такой же, как и проиграть. Из второй фразы получим выражение 1:2, значение которого равно 0,5. Это означает, что крупы нужно взять вдвое меньше, чем воды. Подумайте самостоятельно, как объяснить третью фразу. Запомните! Выражение, являющееся частным чисел а и Ь, отличных от нуля, называется отношением чисел аиЬ. Записывают: а: Ь или —. Читают: «а относится к Ъ». Ъ Числа а и & называют членами отношения. Если выполнить деление первого члена отношения на второй, то получим число, являюгцееся значением отношения. Например, 25 : 2 — отношение чисел 25 и 2, а 12,5 — значение этого отношения. Отношение показывает, какие числа сравнивают. Значение отношения показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть второго числа составляет первое число. Например, значение отношения 7 — показывает, что число 7 больше числа 2 в 8,5 раза. L Глава 3 А !значение отношения у показывает, какую именно часть числа 7 составляет число 2, Отношения 7 к 2 и 7 2 2 к 7, как и дроби — и —, называют взаимно обратными, 2 7 Обратите внимание: — если а > Ъ. 10 значение отношения а кЬ показывает, во сколько раз число а больше числа Ъ\ — если а <Ъ,10 значение отношения а к Ь показывает, какую часть числа Ь составляет число а. Для вычисления значения отношения используют все свойстваделения* Запомните! Основное свойство отношения Значение отношения не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля: а:Ъ = (а-е):(Ъ-е), или —=----, если е^О; Ь Ъ'С а:Ъ = {а: е):{Ъ:е), или — =----, если ctO . Ь Ъ:с Решая задачи, составляют отношения и находят их значения как для одноимённых величин, так и для величин с разными нго-хменованиями, 1^3адача 1. Длина самой кэупной рыбы — луны-рыбы — со-” ставляет около 3 м. а дли на сам ой мелкой рыбы — гоби — около 16 мм. Сравните длины этих рыб. D Решение. Способ 1. Можно найти, во сколько раз длина луны-рыбы больше длины рыбы гоби. Для этого составим отношение длины большей рыбы к длине меньшей, выразим эти величины в одних наименованиях и найдём значение отношения; ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРУК Ям • 16 мм = ЯООО мм • 16 мм = 2222. = _ -|й7 5 (paiiia) 16 2 ■ f Способ 2. Можно найти, какую часть длины луны-рыбы состав-ляетдлина рыбы гоби. Для этого составим обратное отношение длин и найдём его значение; 16 2 16мм:3м = 16мм: 3000 мм = 3000 375 Ф Обратите внимание: значение отношения одноимённых величин является числом без наименования. tj Задача 2. Найдите скорость гепарда, если за 2 с он преодолевает около 55 м. Решение. Для нахождения скорости движения нужно составить отношение расстояния ко вэемени движения и вычислить его значение: 55 м : 2 с = 2/.о м/с. Ф Обратите внимание: значение отношения разноимённых величин является новой величиной, наименование которой отличается от наименований данных величин. fp Узнайте больше Пентаграмма (рис. 11) всегда гривле-кала внимание совершенством формы. Особенность данной фигуры состоит в том. что отношения отрезков, из которых она состоит, имеют равные значения: AD:AC=AC\CD = =AB:BC=AD:AE=AE :£Ситд. Древнегреческий математик Пифагор (570—490 гг. до н.э.) и его ученики избрали пентаграмму символом своего союза. В наши дни пятиконечная звезда пентограммы украшает флаги и гербы многих стран. Е Глава 3 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что называется отношением двух чисел? значением отношения? 2. Что показывает отношение двух чисел? 3. Какие отношения называют взаимно обратными? Приведите примеры. 4. Сформулируйте основное свойство отношения. 5. Чему равно значение отношения одноимённых величин? разноимённых величин? I ч РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 521Верно ли, что отношением является; 1) число; 2) выражение: 3) равенство; 4) неравенство? 522'. Верно ли, что значением отношения является: 1) число; 2) выражение; 3) равенство; 4) неравенство? 523'. Прочитайте отношения: 1) 8 : 5; 2) 3) 0,7 : Назовите члены отношения. Что показывает отношение этих чисел? 524'. Верно ли, что значение отношения не изменится, если его члены: 1) умножить на 2; 4) разделить на 3; 2) увеличить на 2; 5) уменьшить на 3; 3) увеличить в 2 раза; 6) уменьшить в 2 раза? 525°. Юра утверждает, что значением отношения 15:10 является 3 число —, а Петя — что число 1,5. Кто из мальчиков прав? и 526°. Является ли число 0,5 значением отношения: 1)4:8; 2)||; 3)14:7; 527°. Найдите значение отношения: 1)16:4; 2) 1,8: 0,9; 3) 525°. Найдите значение отношения 12’ ^63’ 0,48 1)5: 15; 2) 2,5: 0,5; 3) 0.2 4)^9 10 6)2,8:49. 3,4 4) 17 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 529' Являются ли взаимно обратными отношения: Р я 14 Q Я 1)-и-; 2) —и—; 3) 8 : 11 и 11 : 8; 4) - и и 9 14 ^530' Являются ли взаимно обратными отношения: 1) - и — ; 2) 5: 0,2 и 2 ; 0,5? 7 9 531Какое отношение нужно вставить вместо *, чтобы получить пару взаимно обратных отношений: 1)4:9и*; 2)10:3и*; 3) 13 и 4) 3- и *? 4 й 532°. Составьте несколько отношений, значения которых равны 0 значению отношения —. Какое свойство вы использовали? 40 533°. Составьте несколько отношений, значения которых равны значению отношения 5:15. Какое свойство вы использовали? 534°. Чему равно значение отношения: 1) 12 см : б см; 2) 0,2 м : 5 м; 3) 4 км : 60 мин; 4) 20 м : 5 с? ^ 535°. Чему равно значение отношения: ^ 1)30дм : 5дм; 2) Юм : 2с? 536°. В 6-А классе — 32 ученика. Из них — 14 мальчиков. Во сколько раз девочек в 6-А классе больше, чем мальчиков? Какую часть учеников класса составляют мальчики, а какую — девочки? ▲ 537°'. Верёвку длиной 14 м разрезали на две части. Длина первой ^ части равна 8 м. Во сколько раз длина первой части больше длины второй? Какую часть длины верёвки составляет длина её первой части, а какую — длина второй? 538. Найдите значение отношения: 1)5 к 22,5; 2) 1,8к81; й o^ 5 1 3) — к — 63 2 4)5,5к 11 12 539. Найдите значение отношения: 1)45до1,5; 2) з| до 1,1. 540. Найдите скорость автомобиля, если расстояние 100 км он проезжает за: 1) 1 ч; 2) 0,8 ч; 3) 1— ч; 4) 30 мин. 3 541. Первая бригада маляров за 5 ч покрасила 52 м^ стены, а вторая бригада за 4 ч — 43 м^. У какой бригады продуктивность труда выше? Глава 3 542. Первая бригада швей за 4 дня может сшить 42 костюма, а вторая бригада за б дней — 63 костюма. У какой бригады продуктивность труда выше? 543. Какое число нужно вставить вместо а, если значение отношения равно 5: 1)а : 2,5; 2) 3—:а? 3 Ж 544. Какое число нужно вставить вместо&, если значение отноше- “ 1 3 ния равно —:1)0,8:&;2)&:3—? 5 4 545*. От верёвки отрезали часть длиной 15 м. Найдите длину верёвки, если отношение длины отрезанной части к длине верёвки равно 1 : 5. 546*. Два числа относятся, как 2 : 5. На какое число нужно разделить второе число, чтобы получить отношение 2 ; 3? 547*. Цена книги снизилась на — её стоимости. Можно ли оце- 5 нить, во сколько раз предыдуицая цена выше новой? L ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 548. Объясните следующие фразы: 1) для приготовления варенья ягод и сахара нужно взять в отношении 1 к 2; 2) стороны забора прямоугольной формы находятся в отношении 1 кЗ. 549. Измерьте длину и ширину двух комнат у себя дома. Найдите значение отношения площади пола одной комнаты к площади пола другой комнаты. Какой вывод можно сделать, исходя из полученного результата? l] ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 550. Составьте числовое выражение и найдите его значение: утроить разность удвоенной суммы чисел 10,5 и 11,4 и произведения чисел 3,5 и 2,8. 551. Сумма двух чисел равна 10,5, а их разность — 2,5. Найдите эти числа. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ § 13. ПРОПОРЦИЯ И ЕЕ свойства Вы знаете, что два выражения с равными значениями можно приравнять. Например, можно приравнять отношения 1,2 : 0,3 и 16 : 4, поскольку их значения равны 4. Можем записать равенство: 1,2 : 0,3 = 16 : 4 1.2 16 _ —. Такие равенства имеют специальное или 0,3 название пропорция. Запомните! Пропорцией называется равенство двух отношений. €> Обратите внимание: пропорция утверждает, что отношения в левой и правой её частях имеют равные значения. Записывают: а:Ь = - :d или а г< г d Читают: «Отно- шение а к Ь равно отношению с к d» или «а так относится к Ь, как с относится к d». Числа and называют крайними членами пропорции^ а числа & и с — средними членами пропорции (рис. 12). а L Средние I—\ Ь = с : d i Крайние Рис. 12 Обратите внимание: пропорции от нуля. составляют только для чисел, отличных Вычислим произведения крайних и средних членов пропорции 1,2 : 0,3 = 16 : 4. Для крайних членов получим 1,2 • 4 = 4,8, а для средних членов — 0,3 • 16 = 4,8. Следовательно, эти произведения равны между собой: 1,2 • 4 = 0,3 • 16. В этом состоит основное свойство пропорции. Глава 3 Запомните! Основное свойство пропорции Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: если -^ = —, то ad=hc. Ь d И наоборот: если ad = be и числа а, Ь, с и d не равны а с нулю, то — = — ♦ Ъ d 1 ^1 ^ Задача 1. Явля ется ли равенство 3:5=1 -: 2— пропорцией? О Решение. 3 Способ 1. Применим определение пропорции: 3:5=— и 5 ^1^135 3-2 3^ ^1^1 1-:2-=-:-=—=-. Значения отношении 3:5 и 1—:2— рав-2222 2-5 5 22 ны. следовательно, равенство 3:5=1-1:2-1 — пропорция. Способ 2. Проверим, выполняется ли основное свойство пропор- ..,1 3-5 15 .^,1 5-3 15 „ ции: 3-2-=—=— и 5-1-=—= —. Получили, что произведе-2 1-2 2 2 1-2 2 ' ■=« ние крайних членов 3 -2-1 равно произведению средних членов 5-11.Следовательно.равенс1ВО 3:5=1-1:2-1 — пропорция. В пропорции 1,2:0,3 = 16 : 4 поменяем местами крайние члены 1,2 и 4. Получим: 4 : 0,3 = 16 : 1,2. Это равенство также является пропорцией. Действительно, от перестановки крайних членов 1,2 и 4 ни их произведение, ни произведение средних членов не изменилось, поэтому новое равенство — пропорция. Так же произведения крайних членов и средних членов не изменятся, если в пропорции поменять местами средние члены: 1,2:16 = 0,3: 4. Неполученные пропорции 1,2:16 = 0,3 : 4 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ и 4 : 0,3 = 16 : 1,2 отличаются от данной пропорции 1,2 : 0,3 = 16 : 4, поскольку имеют другие значения отношений. В данной пропорции оно равно 4, а в получен- 3 40 ных пропорциях - 40 и соответственно. Иначе говорят: пропорциональное соотношение чисел изменилось. В пропорциях 1,2:16 = 0,3:4 и 4:0,3 = 16:1,2 значе- 3 40 ния их отношении — это взаимно обратвые числа — и 40 3 Поэтому такие пропорции называют взаимно обратными. Во взаимно обратных пропорциях пропорциональное соотношение чисел является одинаковым с точностью до порядка сравнения. Действительно, в обеих пропорциях сравниваются две какие-то величины — меньшая и большая, например, толпдина линейки и толгцина учебника. Но в первой пропорции сопоставляют меньшую величину с большей, а во второй, наоборот, — большую с меньшей, причём одни и те же величины. Можно сказать и так: вторая пропорция — это первая пропорция, которую записали справа налево. В ней одновременно поменяли местами и средние, и крайние члены. Будем считать, что при переходе от данной пропорции к обратной и наоборот пропорциональное соотношение чисел не меняется. ? Изменится ли пропорциональное соотношение чисел, если средние члены пропорции поменять местами с соответствуюгцими крайними членами? Нет. В самом а с деле, если в каждом отношении пропорции — = — помеси d нять местами его члены — ас&исс^, то получим равенство обратных отношений: — = —. А такое равенство а является пропорцией, взаимно обратной с данной. _______-____________ Глава 3 Опираясь на основное свойство пропорции, можно находить неизвестный член пропорции. ♦ Задача 2. Найдите неизвестный член пропорции; 1) л::28 = 3:12; 2)30:v=5:8. Решение. 1. Неизвестным является крайний член пропорции X ; 28 = 3 :12. По основному свойству пропорции: 12х= 28 • 3. Отсюда х=- 12 •=7. 2. Неизвестным является средний член пропорции 30 : у = 5 :8.По 30'8 основномусвойствупропорции:51/ = 30 • 8.Отсюда у=——=48. Запомните* Правила нахождения неизвестного члена пропорции 1. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение ее средних членов разделить на известный крайний член пропорции. 2. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции. Узнайте больше 1. Термин «пропорция» происходит от латинского ргороШо — «соотношение». 2. Золотым сечением называют деление отрезка е на две неравные части а иЪ (рис. 13). при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему отрезку, то есть й :Ь=&: с. Значениеэтого отношения приблизительно равно 0.618. а Ь Рис.13 Считают, что понятие золотого сечения было известно в Древнем Египте. И в самом деле, пропорции пирамиды Хеопса, храмов. барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют о том. что при их создании египетские мастера использовали отношение золотого сечения. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что такое пропорция? Приведите примеры. 2. Запишите пропорцию с помо1дью букв. Назовите крайние и средние члены пропорции. 3. Сформулируйте основное свойство пропорции. 4. Запишите основное свойство пропорции с помощью букв. 5. Какие пропорции называют взаимно обратными? 6. Изменится ли пропорция, если в ней поменять местами только средние члены или только крайние члены? 7. Как найти неизвестный член пропорции? РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 552', Является ли данное равенство пропорцией 1)12 + 8=15 + 5; 3)4:2 = 12:6; 5)3 = Ф 5 10 2) 14-4 = 20- 10; 4)2 • 9 = 6 • 3; 6) 8 : 2 = 4 • 1? Ответ объясните. 553'. Прочитайте пропорцию: 2 04 45 9 1) 24 : 8 = 9 :3; 2) 3:2 = 0,15: 0,1; 3) ^^ = ^;4) ^ = 15 3 5 10 Назовите крайние и средние члены пропорции. 554'. Как проверить, является ли равенство 5:4 = 1,5:1,2 пропорцией, с помощью: 1) определения пропорции; 2) основного свойства пропорции? 555'. Верно ли, что взаимно обратными являются пропорции: 3 2 9 6 1) — = — и - = 9 6 3 2 2)3:9 = 2:6и6:2 = 9:3? 556'. Прочитайте справа налево пропорцию: 1) 33:11=18:6 2) 0,5:4 = 1,5:12. Какими являются данная и полученная пропорции? Почему? 557°. Из каких отношений можно составить пропорцию: 1)4:8; 2) 0,2: 4; 3)5:10; 4) ^? Ответ объясните. Д 558°. Из каких отношений можно составить пропорцию 1)6:2; 2)1,8:0,6; 3)12:3; 4)15? 5 Глава 3 559°. Можно ЛИ составить пропорцию из чисел: 1)3,6,9,12; 2)1,2,4,8: 3)0,1,2,3; 4)4,0,5,17 560°. Составьте пропорцию из чисел: 1) 1, 2, 4, 8; 2) 2, 3, 6, 9; 3) 0,5, 1,2, 4; 4) Ответ запишите двумя способами. 2’3’4’6 й 1 1 561°, Составьте пропорцию из чисел: 1) 2, 4, б, 12; 2) —, -, 3, 5. 5 3 Ответ запишите двумя способами. 562°. Проверьте, выполняется ли основное свойство пропорции: 0,2 0,15 1)18:9 = 30: 15; 2)2:25 = 3:37,5; 3) 0,5:3 = 10:60 4) 2 ^ 9 31,5 5) 6) 3 60 0,2 1,5 й 563°, Проверьте, выполняется ли основное свойство пропорции: 4 R 3 я ? 4 6 1)40:8 = 15:3;2)5:0,4 = 25:2;3)^ = ^^;4)^ = ^. У I и, 4 и, о 564°. Составьте пропорцию, используя равенство: 1)3 • 6 = 2 -9; 2)5 • 2 = 0,4 • 25; 3) f -2 = |-3 й Сколько пропорций можно составить? Ответ объясните. 565°, Составьте четыре пропорции, используя равенство: 1)8 • 0,2 = 0,4 • 4; 2) 1,3'10 = 2--6 566°. Проверьте двумя способами, является ли пропорцией равенство: |6^14. 3 1,5 14 12 ’ 0,8 _ 4 2’ 1)18:3 = 30:5; 2)2,5: 6,25 = 3:7,5; 3) 4) 5) 6) 0,4 0,2 2 5 й 4 2 1,2 3 567°, Проверьте двумя способами, является ли пропорцией равенство: 1)28 : 7 = 2 : 0,5; 2) -:5 = 0,1:-;3) ^ = -;4) ^ = 3 4 24 3 20 4 568°. Являются ли взаимно обратными пропорции: 1) 15:3 = 2:0,4 и 3:15 = 0,4:2; 3) 15:3 = 2:0,4 и 15:10 = 3:2; 2) 15 2 15_ 3 3 0,4 2 0,4 4) 15 2 0,4 3 „ — и — = — ? 3 0,4 2 15 Ответ объясните. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ ▲ 569°. Являются ли взаимно обратными пропорции: ^ 4 16 2 1) 4:0,5 = 16:2 и 4:16 = 0,5:2; 2) т^ = -^ и 16 0,5 2 0,5 4 570°. Составьте пропорцию со значением отношений: 1)3; 2) 0,2. Запишите пропорции, взаимно обратные с составленными. Ж 571°. Составьте пропорцию, в которой значение отношений равно ^ 5. Запишите пропорцию, взаимно обратную с составленной. 572°. Найдите неизвестный член пропорции: 1 1) 12:х = 4:5: 2) 5: 8=15: у; 3) 8:3=16:2;; 4) 2,4:л: = 0,8:5; 5) 0,8:^ = 2:1 4 9) 6)^:4,2 = 9: 10,8; yv X ^ о, 5 . 7 0,3 ’ 8) 48 у 5,1 3,4 ^ 573°. Найдите неизвестный член пропорции 1) 15:л: = 5:7; 2) 9 : 3 = у : 0,5; 574. Дана пропорция а равенство: ^)a\c = Ъ^.d■, 2)d\b = c :а; Ответ объясните. 3) 39: 1,5 = 52: .г; 4) ^ ^-3 5) 6) 12 _ 80 . 0,5 Z )) ^ - 1 1,8 0,3 ' , 0,7 2,1, У 33 ' п 04 Z 7 4,2 3 _ 60 , 0,8 f У 7 Z 10,5 0,3 10 1,5 Ь = с . d. Является ли пропорцией 3) ba\bb = c\d] 4) 4а: 2& = 8c:4d? А d 575. Дана пропорция — = —. Является ли пропорцией равенство: Ь d а АХ ^ и пх ^ г. 04 6^ .14 4а 12с ^ ^)a:d = b■.c;2)d■.c = b■.a;3) ^ = ^;4 ^ = Qb d b 3d Ответ объясните. 576. Крайние члены пропорции равны 15 и 7, а один из средних её членов равен 3. Найдите другой средний член пропорции. Запишите все возможные пропорции сданными членами. Ж 577. Крайние члены пропорции равны 9 и 24, а один из средних ^ её членов равен 36. Найдите другой средний член пропорции. Запишите все возможные пропорции с данными членами. 100 Глава 3 578. Средние члены пропорции равны 1,25 и 8, а один из крайних членов равен 2,5. Найдите другой крайний член пропорции. 579. Средние члены пропорции равны 4,5 и 4, а один из крайних членов равен 12,5. Найдите другой крайний член пропорции. 580. Решите уравнение: 4 8 5) 6^:84 = 1) х:4,5 = 3-:2-5 4 11 11 2) 1,2:у = 1-:1-3 7 6) 27 21 3)22;iI 3 9 4) 0.2 "5' 0,5 [х - 0,6) 7) (2x-1,5):2l=l| 14 х-5 2,5 8) 0,84 0,5^ + 2,5 й 1_ 15 1 581. Решите уравнение: 1) 1-:х = 2-:3-: 9 3 5 1 3) 6х:3- = 2,4 12 2) 1,25 ^0,6 у + 2 2,4 4) 2 _ 4^-2 0,6 4 9 582*. Задуманное число удвоили, а затем уменьшили на 6. В результате оказалось, что полученное число так относится к числу 9, как 4 относится к 4,5. Какое число задумали? 583^ 584^ 585’ , Известно, чтох: у=5: S и у. z = :7. Найдите z, если х = 2,4. , Известно, что х\у = у\ z = 2. Найдите отношение xkz. , Найдите значение х, если: 1) X : 1/ = 3 : 2, у : 2; = 2 : 1, а:: 1 = 1 : 0,25; ох 1 11 1111 2) У' -2'. , 4 5 2\ — - , 3 5 4 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 586. В 1855 году немецкий исследователь золотого сечения профессор А. Цейзинг опубликовал книгу «Эстетичные исследования». В ней учёный абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства. Вслед за учёными и художниками Древнего мира и эпохи Возрождения он подчёркивал, например, что пропорции золотого сече- ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦЙ!! 101 ния проявляются в отношении разных частей лица и тела человека. На рисунках 14 -15 вы видите отдельные его расчёты. О Рис. 14 Выясните, какие отрезки на рисунках 14-15 образуют пропорцию золотого сечения. Проверьте, выполнив соответствующие измерения своей ладони или ладони друга, подтверждается ли пропорциональность отрезков, изображённых на рисунке 15. ЗАДАЧИНАП^^ 587. Найдите отношение величин; 1)1,6ми20см; 2)2кг и 750г; 3)1чи40мин. 588. В одном классе учится менее 40 учеников. На улице Смелян-ской проживает у учеников этого класса, на Рождественской — у, на Благовестной — у и на бульваре Шевченко — остальные ученики. Сколько учеников учится в этом классе? ^ § 14. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ^ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ С помощью пропорций можно решать задачи. Вы знаете, например, что стоимость товара зависит от его количества: чем большее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Такие величины называют прямо пропорциональными. 102 Глава 3 Запомните! Две величины называются прямо щюпорциояаль-яыми, если при увеличении {уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается {уменьшается) в такое же количество раз. Задача 1. За2кг конфет заплатили 72 грн. Сколько будут стоить 4.5 кг этих конфет? Реш ение. 2 - 72 ifm 4,Sm - <х> J^-72 4.S^ ^ ф = f62. ОтЛст: 4,S т ширет 162 Ф Обратите внимание: если две величины прян/о пропорциональны, то пропорцию образуют отношения соответствующих значений этих величин. На практике, кроме прямой пропорциональной зависимости величин, встречается и обратная пропорциональная зависимость. Например, по пути в школу, когда времени маловато, вы увеличиваете скорость своего движения, чтобы нз опоздать на урок. Значит, скорость вашего движения зависит от времени движения: чем меньше время движения, тем большей будет ваша скорость. Такие величины называют обратно пропорциона лъныжи. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРУК 10S Запомните! Две величины называются обрат(ю пропорционал(ь-яыми, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз. ^Задача 2. Автомобиль, двигаясь со скоростью 90 км/ч. ’ проехал расстояние от Черкасс до Киева за 2 ч. С какой скоростью он двигался в обратном направлении, если расстояние от Киева до Черкасс он преодолел за 2.5 ч? Решение. 90 - 2'tf -Z.S'U <х> ^ г - 90 2 <2> = 72. От&ет: отрлшл аЛтоишТйал В й^штом напр/^Влтш - 72 Обратите внимание: если две величины обратно пропорциональны, то пропорцию образуют взаимно обратные отношения соответствующих значений этихвеличин. Всегда ли две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными? Порассуждаем. Например, во время болезни температура ребёнка может то возрастать, то понижаться на протяжении нескольких дней. И здесь нет зависимости, следовательно, не может быть и пропорциональности. А вот рост ребёнка постоянно увеличивается с увеличением его возраста. Значит, существует зависимость между величинами и есть основания анализировать, пропорциональны ли данные величины. Понятно, что 1 104 Глава 3 пропорциональной зависимости здесь нет, поэтому выяснять, как именно пропорциональны эти величины — прямо или обратно, — не надо. Если же две величины пропорциональны, то возможны лишь два варианта, взаимно исключаюш;ие друг друга, — или прямая пропорциональность, или обратная пропорциональность. Узнайте больше С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика и монаха Леонардо из Пизы (1180-1240 гг), более известного как Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышла в свет его математическая работа «Книга об абаках» (счётные доски), в которой были собраны все известные к тому времени задачи. Одна из задач была такой: «Сколько пар кроликов за один год от одной пары родится?». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд чисел: о, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55. Сегодня эта последовательность чисел известна как ряд Фибоначчи. Особенность данной последовательности чисел заключается в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 0-И = 1; 1-И=2; 1-н2 = 3; 2-гЗ = 5; 3-г5 = 8; 5-н8=13; 8+13 = 21; 13 + 21=34 и Т.Д., а отношение соседних чисел ряда приближается к отношению золотого сечения. Например, 21 :34 = 0,617, а 34:55 = 0,618. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какие величины называются прямо пропорциональными? Приведите примеры. 2. Как решают задачи на прямую пpoпoplJ|^^oнaльность? 3. Какие величины называются обратно пропорциональными? Приведите примеры. 4. Как решают задачи на обратную пропорциональность? 5. Всегда лидвевеличиныя в ляются пропорцион а л ьн ы ми? ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ РЕШИТЕЗАДАЧ^ ш 589'. Две величины прямо пропорциональны. Как изменится одна величина, если другую: а) увеличить в 5 раз; б) уменьшить в 2 раза? Ответ объясните. 590'. По условию задачи составили краткую запись: 1) 3-36, 2) 70 — 3, 3)2- 100, 4—48; 60 — 2; 4 — 50. Являются ли данные величины прямо пропорциональными? 591'. Две величины обратно пропорциональны. Как изменится одна величина, если другая: а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 6 раз? Ответ объясните. 592'. По условию задачи составили краткую запись: 1) 80-4, 2) 3 — 18, 3) 10-8, 160 — 2; 5 — 30; 4 — 20. Являются ли данные величины обратно пропорциональными? 593°. Определите, является ли прямо пропорциональной данная зависимость величин: 1) стоимость товара, купленного по одной цене, и количество товара; 2) масса коробки конфет и количество одинаковых конфет в коробке; 3) путь, который проехал автомобиль с постоянной скоростью, и время движения; 4) скорость движения и время движения для преодоления определённого расстояния; 5) вес человека и его рост; 6) масса ягод и масса сахара для приготовления варенья; 7) периметр прямоугольника и длина одной из его сторон; 8) длина стороны квадрата и его периметр. 594°. По краткой записи задачи найдите х, если величины являются прямо пропорциональными. 1) 3 кг конфет —36 грн, 2) 15 деталей — 3 ч, 6 кг конфет — х; х — 2 ч. 595°. Сколько стоит 10 кг конфет, если за 4 кг таких конфет заплатили 128 грн? ^ 596 \ За 3 кг яблок заплатили 24 грн. Сколько стоит 7 кг таких яблок? 597°. За 4 ч катер проплыл 80 км. Какое расстояние проплывёт катер за 2 ч, двигаясь с такой же скоростью? 106 Глава 3 й ё й ё 598°, Турист прошёл 20 км за 5 ч. За сколько часов турист преодолеет расстояние 28 км, двигаясь с такой же скоростью? 599°. При выпечке хлеба из 1 кг ржаной муки получают 1,4 кг хлеба. Сколько муки потребуется для выпечки 42 ц хлеба? 600°. Из 3 кг сырых кофейных зёрен получают 2,5 кг жареных зёрен. Сколько килограммов сырых кофейных зёрен нужно взять, чтобы получить 10 кг жареных? 601°, Расстояние 210 км автомобиль проехал за 3 ч. Какое расстояние проедет автомобиль за 2 ч, двигаясь с такой же скоростью? 602°, Бесхвостая обезьяна гиббон, прыгая с дерева на дерево, за 2 ч может преодолеть расстояние 32 км. Какое расстояние может преодолеть гиббон за 3 ч? 603°. Определите, является ли обратно пропорциональной данная зависимость величин: 1) цена товара и стоимость покупки; 2) масса коробки конфет и её стоимость; 3) скорость движения и время движения для преодоления определённого расстояния; 4) скорость движения автомобиля и путь, который он проехал с постоянной скоростью; 5) объём выполненной работы и время её выполнения; 6) продуктивность труда и время выполнения определённого объёма работы; 7) количество автомобилей и груз, который они перевезут за определённое время; 8) длина стороны квадрата и его площадь. 604°. По краткой записи задачи найдите х, если величины являются обратно пропорциональными. 1) Зч —80 км/ч, 2) 5 работников — 8 дней, 4 ч —х; X—10 дней. 605°. Заказ на изготовление мебели 3 столяра выполнили за 12 дней. За сколько дней смогут выполнить этот заказ 6 столяров, если их производительность труда будет одинаковой? 606°, За сколько дней выполнят задание 6 работников, если 2 работника могут выполнить это задание за 9 дней? 607°. Красный кенгуру двигался 3 ч со скоростью 55 км/ч. Какой должна быть скорость кенгуру, чтобы это расстояние он смог преодолеть за 2,5 ч? 608°. Какой должна быть скорость поезда по новому расписанию, чтобы проехать расстояние между двумя станциями за 4 ч, если ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 107' I в соответствии со старым расписанием, двигаясь со скоростью 100 км/ч, он преодолевал его за 5 ч? 609. За 4 кг печенья заплатили 56 грн. Сколько будут стоить 3 кг конфет, цена которых на 2 грн больше, чем цена печенья? Ж 6/0. 5 кг яблок стоят 40 грн. Найдите стоимость 2 кг груш, цена ^ которых на 4 грн больше, чем цена яблок. 611. Маятник настенных часов выполняет 730 колебаний за 15 мин. Сколько колебаний он выполнит за 1 ч? За сколько времени маятник выполнит 2190 колебаний? ▲ 612. За 24 тетради Наташа заплатила 60 грн. Сколько стоят 20 таких ^ тетрадей? Сколько таких тетрадей можно купить за 45 грн? 613. В бидоне 12 л молока. Его разлили поровну в 6 банок. Сколько литров молока в каждой банке? Сколько трёхлитровых банок можно наполнить молоком из этого бидона? Ж 6/4. Через водопроводный кран вытекает за минуту 6 л воды. ^ Сколько воды вытечет через кран за полчаса? За какое время через кран вытечет 27 л воды? 615. Расстояние между станциями составляет 360 км. За какое время проедет это расстояние поезд, который за час преодолевает 90 км? Какой должна быть скорость поезда, чтобы он смог преодолеть это расстояние за4ч30мин? Ж 6/6. Расстояние между сёлами — 18 км. За какое время проедет ^ это расстояние велосипедист со скоростью 12 км/ч? С какой скоростью нужно двигаться пешеходу, чтобы пройти это расстояние за 6 ч? 617. Два трактора вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора, если будут работать с такой же производительностью труда? Сколько тракторов нужно, чтобы вспахать поле за 2 дня? Ж 618. Восемь грузовиков могут перевезти груз за 3 дня. За сколько ^ дней смогут перевезти груз 6 таких грузовиков? Сколько грузовиков потребуется, чтобы перевезти груз за 2 дня? 619. Составьте и решите задачу на: 1) прямую пропорциональность. для решения которой понадобится пропорция 3 36 2) обрат- X 60 ную пропорциональность, для решения которой понадобится пропорция л:: 4 = 120 : 160. Ж 620. Составьте и решите задачу на: 1) прямую пропорциональность, ^ для решения которой понадобится пропорция 5 : х = 60 : 72; 108 Глава 3 2) обратную пропорциональность, для решения которой пона- « 3 90 добится пропорция — = —. X 60 621*. Тарас может пройти путь от железнодорожной станции до села за 20 мин. За какое время он доедет на велосипеде от станции до села, если скорость его движения на велосипеде в 2 раза больше, чем скорость движения пешком? 622*. Мастер, работая самостоятельно, выполняет работу за 3 дня, а вместе с учеником — за 2 дня. За сколько дней ученик может выполнить эту работу самостоятельно? 623*. Дима пробегает 4 круга по беговой дорожке за то же время, за которое Катя пробегает 3 круга. Катя пробежала 12 кругов. Сколько кругов за это время пробежал Дима? 624*. Из бассейна могут выкачать воду за 1 ч 15 мин. Через какое время после начала работы в бассейне останется 0,2 начального количества воды? 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 625. Для печатания книги предполагалось размещать на каждой странице по 28 строк, в каждой строке — по 40 букв. Однако оказалось, что целесообразнее размещать на каждой странице по 35 строк. Сколько в таком случае будет размещено в каждой строке букв, если при печатании этой книги количество букв на страницах не изменится? 626. Для приготовления 12 пирожных понадобится белок одного яйца и 3 столовые ложки сахара. Сколько этих продуктов нужно взять для приготовления 24 таких пирожных? Сколько таких пирожных выйдет на основе 3 яиц? 1 Ц ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 627. Какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки? -5 628. Решите уравнение: 1) 15- ^ 1 3 . 04 о 1 Г. 1 ^ 2—х+5- 2 3— 4-х + х 1 4 6j ~ 2“ 4 ’ 3 1 5 ) 7 15 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 109' I "Л § 15. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ. МАСШТАБ 1. Пропорциональное деление На практике часто встречаются задачи с требованием разделить некоторую величину в заданном отношении: распределение прибылей, приготовление разных смесей или блюд и т.п. Чтобы решить такие задачи, нужно выполнить пропорциональное деление данной величины. На рисунке 16 вы видите отрезок АВ, который точка С делит в отношении 2:3. Можем составить пропорцию: АС 2 АС ВС ---= —. Из этой пропорции следует, что -=----. ВС 3 2 3 Пусть значение отношений этой пропорции равно й, тогда АС ВС ^ ^ АС ^ ВС = k. Отсюда = k ж h то есть АС = 2^ и 2 3 2 3 ВС = Sk, Итак, мы осуществили пропорциональное деление отрезка АВ в отношении 2 : 3 и выразили длины его частей АС и ВС через число k (рис. 17). 2k ^ Зй JTX. т 1 • 1 1- Ai 1 ;; ^ 1 iB 5 см 5 CM Рис. 16 Рис.17 -^Запомните! J Число, равное значению отношений пропорции, назы- вается коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности обозначают буквой k. Иногда приходится пропорционально делить величину более чем на две части. И тут снова на помощь приходит коэффициент пропорциональности. no Глава 3 Задача 1. Разделите число 60 в отношении 3:4:5 . Решение. Пусть h — коэффициент пропорциональности. Тогда первая часть данного числа равна Zh. вторая — 4/^, а третья — 5h. Поскольку число, которое нужно разделить, равно 60. то можем составить уравнение: zh-^Ah-^5h = 60. Отсюда: Ь. Следовательно, первая часть числа равна 3 • 5 = 15, вторая — 4 • 5 = 20. а третья — 5 • 5 = 25. 2. Масштаб Для изображения на бумаге предметов окружающего мира нужно менять их реальные размеры: большие предметы приходится уменьшать, а маленькие — наоборот, увеличивать. Но для того, чтобы чертёж или план давали представление о предметах, необходимо изменять их размеры пропорционально. Для этого используют масштаб изображения. Чаще всего масштаб применяют для создания географических карт. Запомните! Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом картм. Обозначают: М: 1 : 1 000 000. Эта запись показывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. 1^ Задача 2 . Расстояние между Черкассами и Харьковом на карте равно 4.1 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1:10 000 000. Реш ение. На карте: 4.1 см —1 см. На местности: х —10 000 000 см. Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 4.1 : х. Значение данного отношения равно значению масштаба карты, следовательно. 4.1 :х=1 :10 000 000. Отсюда ооо 000(см) =410 (км). Следовательно, расстояние ст Черкасс до Харькова — 410 км. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ. 111 7 Как залисать масштаб изображения» если на нём нужно увеличить размеры реального предмета» например» в 1000 раз. В этом случае масштаб записывают наоборот: 1000 : 1. Такой масштаб понадобится для того» чтобы изобразить» например» детали часов. Узнайте больше 1. Слово «коэффициент» происходит от латинского Coefficiens, состоящего из двух слов: Со — «вместе» и eff/c/ens — «вырабатывающий». Обозначает множитель, который обычно выражают числом.Термин ввёл Ф. Виет. 2. Слово «масштаб» происходит от немецкого Ma/Ssfab — «линейка», состоящего из двух слов: Л^/3 — «мера» та Stab — «веха». ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Какие задачи относятся к задачам на пропорциональное деление? Приведите примеры. 2. Что такое коэффициент пропорциональности? 3. Как решают задачи на пропорциональное деление? 4. Что называется масштабом карты? 5. Как решают задачи с использованием масштаба? ш РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J 629'.Назовите части отрезка АВ (рис. 18 -19). А В В А N М Рис. 18 Рис. 19 630'. Верно ли. что коэффициент пропорциональности равен: 1) пропорции: 2) отношению; 3) значению отношения; 4) значению отношений пропорции? 631'. Верно ли. что м асштаб карты — это: 1)число; 2) величина: 3)выражение? 632'. Что показывает масштаб карты: 1)1:100000; 2)1:5000000; 3)1:500; 4)1:2000? 633'. Что показывает масштаб изображения: 1)4:1; 2)10:1; 3)50:1; 4)400:1? 112 Глава 3 М N Рис. 20 Рис. 21 Рис. 22 Рис.23 634°. Каков коэффициент пропорциональности закрашенной и незакрашенной частей: 1) шестиугольника (рис. 20); 2) треугольника (рис. 21)? 635°. Каков коэффициент пропорциональности: 1) закрашенной и незакрашенной частей квадрата (рис. 22); 2) двух частей отрезка MiV (рис. 23)? 636= 3 й й 637° 633° 639° 640°, , Для нахождения частей числа 21, разделённого в отношении 4, Серёжа составил уравнение: 1)3х + 4х = 7: 2)3 + 4 = 21х; 3)3х + 4x = 2i. Правильно ли он это сделал? , Разделите число 24 в отношении: 1)1:3; 2)3:5; 3) 1 : 2 : 5; 4) 2 : 2 : 4. , Разделите число 30 в отношении: 1)1:2; 2) 3 : 4 : 8. Два числа относятся, как 5 1) их сумма равна 40; Два числа относятся, как 4 1) их сумма равна 25; 1 Найдите эти числа, если: 2) их разность равна 16. Найдите эти числа, если: 2) их разность равна 21. 641° 2 : й й Отрезок AjB длиной 18 см разделён точкой С в отношении 7. Найдите длину каждой части. 642°. Отрезок АС длиной 24 см разделён точкой В в отношении 3 : 5. Найдите длину каждой части. 643°. Два отреза одинаковой ткани стоят 320 грн. Длина первого отреза составляет 5 м, а второго — 3 м. Сколько стоит каждый отрез ткани? 644°, Две школы закупили билеты в театр и заплатили за них 12 200 грн. Сколько заплатила каждая школа, если театр посетили 286 учеников первой школы и 324 ученика — второй? 645°. Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько граммов меди и сколько граммов олова содержит 270 г латуни, если для сплава нужно взять 1 часть олова и 2 части меди? 646°. Для сплава берут одну часть свинца и три части олова. Сколько граммов свинца и олова содержится в 600 г сплава? А й й й й ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 113 ~| i I 647°. Каков масштаб карты, если длина отрезка АВ: 1) на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности; 2) на местности в 400 раз больше, чем на карте? 648°. Каков масштаб карты, если длина отрезка CD: 1) на карте в 50 000 раз меньше, чем на местности; 2) на местности в 1000 раз больше, чем на карте? 649°. Какова длина отрезка АВ на местности, если отрезок АВ=1 см изображён на карте с масштабом 1:100 000? 650°. Какова длина отрезка CD на местности, если отрезок CD=1 см изображён на карте с масштабом 1:10 000? 651°. Масштаб карты 1 : 500 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком: 1)1 см; 2) 3 см; 3)4,5 см; 4) б см 2 мм. 652°. Масштаб карты 1 : 4 000 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком: 1)2см; 2)5см5мм. 653°. Расстояние между Киевом и Винницей равно 260 км. Каково расстояние между этими городами на карте с масштабом: 1) 1 : 10000000; 2) 1 : 40 000 000? 654°. Расстояние между Донецком и Житомиром равно 880 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте с масштабом 1:10 000 000? 655. Отрезок SC точкой А разделён в отношении 3 : 8, причём одна из частей на 5 см больше другой. Найдите длину каждой части. 656. Отрезок АВ точкой С разделён в отношении 4:7, причём одна из частей на 9 см меньше другой. Найдите длину каждой части. 657. Отрезок CD длиной 48 см точками А\лВ разделён в отношении 5:3:4. Найдите длину каждой части. 658. Отрезок АВ длиной 36 см точками Си!) разделён в отношении 4:3:2. Найдите длину каждой части. 659. Некоторое расстояние пассажирский поезд преодолевает за 10 ч 30 мин, а товарный — за 12 ч. Какое расстояние проедут до встречи поезда, если они отправятся одновременно из двух городов, расстояние между которыми — 465 км? 660. Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 с, а второй — за 13 с. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если они начнут бежать одновременно навстречу друг другу, разойдясь сначала на 200 м? Глава 3 й А А 661. Первый оператор компьютерного набора может набрать 90 страниц за 8 ч. а второй — за 7 ч. Как операторам распределить между собой 90 страниц, чтобы они набрали их в кратчайший срок? 662. Первая бригада может изготовить 70 деталей за4 ч. а вторая — за 3 ч. Как бригадам распределить между собой 70 деталей, чтобы они выполнили задание в кратчайший срок? 663. Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0.8 частей воды. Сколько килограммов строительного раствора можно получить из 100 кг цемента? 664. Для приготовления напитка берут 2 части вишнёвого сока. 3 части воды и 1 часть мёда. Сколько напитка можно получить из 400 г вишневого сока? 665. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого равна 360 м. а ширина — 240 м. Каковы будут размеры изображения этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1 :500? 666. План комнаты имеет форму прямоугольника со сторонами 20мм и 30 мм. Какие размеры имеет комната, если план выполнен в масштабе 1 : 300? ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 115 I 667. По карте (рис. 24) определите расстояние между городами: 1) Николаевом и Ровно; 2) Киевом и Ужгородом; 3) Черниговом и Одессой; 4) Луганском и Черновцами. ^668. По карте (рис. 24) определите расстояние между городами: ^ 1) Черкассами и Львовом; 2) Харьковом и Ивано-Франковском. 669*. Сумма четырёх чисел равна 4,2. Первые три числа относятся, как 1,2 : 4 : 0,8, а четвёртое число составляет 0,6 от второго. Найдите первое число. 670*. Число 144 разделено натри части х, у, ;гтак, что х\у = 3:2, y:z = 4:b. Найдите части данного числа. 2 671 *. Три числа относятся, как 0,2: —: 0,5. Найдите эти числа, если 3 первое число меньше половины второго числа на 32. 672*. Определите масштаб плана, если лес плоидадью 4 га на плане занимает 1 см^. о ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 673. Для пошива платья Таня сделала выкройку по чертежу в журнале. Длина изделия на выкройке платья равна 75 см. Каков масштаб чертежа в журнале, если на нём длина платья равна 15см. 674. Длина детали — 30 мм. Какой использовали масштаб, если на чертеже длина детали равна 60 мм? 675. Начертите в масштабе 1 : 50 план: 1) классной комнаты; 2) одной из комнат своего жилища. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ I 676. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки: 2 1 1 677. Найдите: 1) —от 30 грн; 2)1—от 24 км; 3) 6—от 520 г. 678. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из посёлка к станции. Велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч и через полчаса обогнал пешехода на 7 км. С какой скоростью шёл пешеход? 116 Глава 3 Г--------------------------------> § 16. ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ, круговой сектор Из всех замкнутых кривых линий на плоскости самой совершенной считается окружность. Если закрепить один конец отрезка в какой-либо точке, а затем поворачивать отрезок, то другой его конец будет двигаться именно по окружности. Поэтому окружности изображают с помош;ью циркуля (рис. 25). Рис. 25 Запомните! Окружность — это фигура, все точки которой находятся на плоскости на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности. На рисунке 26 вы видите окружность с центром в точке О. Если какую-либо точку окружности и её центр О соединить отрезком, то получим радиус окружности. На рисунке 26 отрезки ОА и ОВ — это радиусы окружности с центром в точке О. Следовательно, ОА = ОВ. Радиус обозначают буквой R. Записывают: ОА = R. Ф Обратите внимание: все радиусы окружности равны между собой. Проведём радиусы ОА и ОВ окружности так, чтобы они лежали на одной прямой (рис. 27). Получили отрезок АВу который называют диаметром окружности. Диаметр АВ окружности вдвое длиннее радиуса ОА, а радиус ОА является половиной диаметра АБ. Следовательно, АВ = 2 • ОА. ОТНОШЕНИЯ И пропорЩй; 117 ) t Диаметр обозначают буквой D. Записывают: AS = Z). Запомните! Формула диаметра окружности Диаметр окружности равенудвоенному радиусу: i) = 2S. Задача 1 . Найдите радиус окружности с диаметром 8 см. Рис. 28 [J Решение. Диаметр окружнссти вдвое длиннее радиуса. • Следовательно. S = Z): 2 = 8 : 2=4 (см). ? Можно ли найти длину окружности? г Да, поскольку окружность — это линия. Но линейкой окружность не измерить. Проведём опыт. Возьмём стакан, поставим его на лист бумаги и обведём карандашом (рис. 28). Получили окружность. Если обвязать стакан ниткой, а затем распрямить её, то длина нитки будет равна длине изображённой окружности. Длину окружности обозначают буквой С. Выполнив несколько таких измерений, заметим закономерность: чем больше диаметр окружности, тем больше её длина. То есть длина окружности прямо пропорциональна длине диаметра. Отношение длины окружности к длине её диаметра равно одному и тому же числу для всех окружностей. ХХ Это число обозначают гречестюй буквой тс, читают: -<ши>>. Число тс — бесконечная десятичная дробь. ТС = 3,14159265358979... Поэтому при вычислениях его округляют: тс« 3,14. Запомните Формула длины окружности Длина окружности равна удвоенному произведению числами радиуса: C=2tt:J?. 118 Глава 3 Задача 2. Найдите длину окружности с диаметром 10 см. \> Решение. Способ 1. Диаметр окружности вдвое длиннее радиуса. Следовательно. Б = Z) : 2 = 10 : 2 = 5 (см). С=2кЕ = 2 -3.14 -5 = 31.4 (см). Способ 2. Поскольку!) = 2Б, то C=2kR=k{2R) = kJ:>. Поэтому С= 3,14 • 10 = 31.4 (см). Г Обратите внимание: поскольку !) = 2Б. то C'=7ci). Окружность делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю (рис, 29). О внутренней части говоря?, что окружность ограничивает атучастьп.поск.ости. Окружность вместе с частью плоскости, которую она ограничивает, образует известную вам фигуру — круг (рис. 30). Центр окружности считак-т и центром круга, радиус и диаметр окружности — радиусом и диаметром круга. В отличие от окружности, центр круга является точкой круга. ймшнл» О0ЛОСШ Рис Запомните! Формула площади круга Площадь круга равна произведению числа тс и квадрата радиуса: Задача 3. Найдите площадь круга с диаметром 8 см. 5 Решение. Диаметр круга вдвое длиннее радиуса. Поэтому: Б = Х»;2 = 8:2 = 4(см): S=7zM^=3,14 -42 = = 3.14 -16 = 50.24 (см2). Следовательно, площадь данного круга равна 50.24 см^. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРУК 119 Если в круге провести два радиуса О А и О В, то круг будет разделён на две части (рис, 51). Такие части круга называют секторами. На рисунке 32 показан сектор СОХ) с углом 60®. Диаметр CI) круга разделяет круг на два равных сектора (рис. 33). Такие секторы являются половинами круга. Угол каждого из таких секторов равен 180®. Если каждую половину круга разделить пополам, то получим 4 равных сектора (рис. 34). Угол каждого из них равен 90®. рис. 31 Рис.32 \ Рис.34 Ф Обратите внимание: — у равных секторов — равные углы; — сумма углов всех секторов, на которые разделён круп равна ЗбО®. Задача 4 , сектора. Круг разделён на 3 равных сектора. Найдите угол Решение. Сумма углов всех данных секторов равна 360®. Круг разделён на 3 равных сектора, поэтому ЗбО® : 3 = 120®. Итак, угол сектора равен 120®. ^Задача 5. Круг разделён на 3 сектора с углами 80®. 120® у и 160®. Какую часть круга составляет каждый сектор? 1> Решение. Каждый из данньх секторов составляет такую часть круга, какую его угол составляет от 360®. Отсюда: 80® _2. 120®_1. 160®_4 360® ”9' 360®" 3' 360® ”9’ Глава 3 Узнайте больше 1. Самые первые известные записи приближений числа к датируют около 256 1900 г до Н.Э.: ^ «3,160 (Египет) 81 25 ВильямДжоис и — = 3,125 (Вавилон). Считают, что 8 Архимед (287—212 гг. до н.э.) первым предложил математический способ вычисления числа к. О сути этого способа вы узнаете в курсе геометрии. 2. Общепринятое обозначение к впервые применил в своих работах Вильям Джонс в 1706 г, взяв первую букву греческих слов lEpicpspaa — окружность и — периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Л. Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Какую фигуру называют окружностью? 2. Что такое радиус окружности? диам етр окружности? 3. Что показывает числом? 4. Чемуравна длина окружности? 5. Какую фигуру называют кругом? 6. Чемуравна площадь круга? 7. Объясните, как можно получить сектор круга. 8. Чему равна сумма углов всех секторов, на которые разделён круг? ш РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 079'. По рисунку 35 назовите: 1) центр круга; 2) радиус круга; 3) диаметр круга. 680'. Чему равно значение отнощения длины круга к длине его диам етра? 681'. Верно ли, что круг ббльщего диаметра имеет ббльщую длину? Ответ объясните. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 121 682'. По рисунку 36 назовите: 1) центр круга; 2) радиус круга; 3) диаметр круга. 683'. На сколько секторов можно разделить круг? 684'. Верно ли, что сумма углов всех секторов, на которые разделён круг, равна: 1)90°; 2) 180°; 3)360°? 685°. Радиус окружности — R, диаметр окружности окружности — С. Какими данными нужно дополнить таблицу 3? Таблица 3 Рис. 36 — D, длина R 2 см 0,5 м D 4 см 0,2дм С 6,28 мм 31,4 дм 686°. Как изменится длина окружности, если: 1) её радиус увеличить в 2 раза; 2) её диаметр уменьшить в 4 раза? ▲ 687°. Как изменится радиус окружности, если длину окружности: ^ 1) увеличить в 3 раза; 2) уменьшить в 2 раза? 688°. Радиус окружности — R, диаметр окружности — D, длина окружности — С, пло1дадь круга — S. Какими данными нужно дополнить таблицу 4? Таблица 4 R 4 см 0,06 м D 2 см 0,4 дм С 37,68 см 25,12 мм S 689°. Как изменится пло1цадь круга, если: 1) его радиус увеличить в 3 раза; 2) его диаметр уменьшить в 4 раза? й 690°. 691°. 692°. Как изменится радиус круга, если его площадь: 1) увеличить в 4 раза; 2) уменьшить в 9 раз? На сколько секторов разделяют окружность 2 диаметра? Найдите угол сектора, если круг разделён: 1) на 5 равных секторов; 2) на б равных секторов. Д 693°. Круг разделён на 10 равных секторов. Найдите угол сектора. 694. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна: 1)37,б8см; 2)31,4дм. 122 ^_______________________________Глава 3 695. Какова площадь круга, если длина окружности равна 8тс см? 696. Вычислите длину окружности, если площадь круга равна: 1)28,26 см2; 2) 78,5 дм2. Д 697. Какова длина окружности, если площадь круга равна 50,24 см2? "" 698. Как изменится площадь круга, если длину окружности, ограничивающую его: 1) увеличить в 2 раза; 2) уменьшить в 3 раза? 699. Как изменится длина окружности, ограничивающей круп если площадь круга: 1) увеличить в 4 раза; 2) уменьшить в 9 раз? 700. Диаметр круглого диска равен 12 см. Найдите длину окружности, ограничивающую этот диск, и площадь этого диска. 701. Колесо на расстоянии 240 м сделало 400 оборотов. Найдите диаметр колеса {п « 3). Ж 702. Диаметр колеса равен 80 см. Сколько полных оборотов сде-^ лает колесо, если автомобиль проедет 150 км (тс« 3)? 703. Круг разделён на секторы. Найдите углы этих секторов, если они относятся, как: 1) 2 : 3 : 4; 2) 2 : 4 : 5 : 7. Д 704. Найдите углы секторов круга, если они относятся, как 3:4:5. 705. Можно ли утверждать, что равные секторы имеют равные площади? 706*. Существует ли круг, у которого площадь выражается тем же числом, что и длина окружности, ограничивающая этот круг (наименования величин не учитывать)? 707*. Можно ли вырезать из квадрата со стороной 2 дм круг, длина окружности которого равна 9,42 дм? 708*. Вычислите площадь закрашенных фигур на рисунках 37-38. ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 709. Из листа бумаги вырезан круг. Как, сгибая лист, найти центр этого круга? 710. У какой клумбы для цветов площадь больше: в форме квадрата со стороной 4 м или в форме круга с диаметром 4 м? 6 см 2) 2,5- 1,725- 1,25- 0,8 -4+ 12,75. 712. С трёх яблонь собрали 100 кг яблок. С первой яблони собрали 3 56 кг яблок, а со второй — - массы яблок, собранных с первой яблони. Сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони? г § 17. ДИАГРАММЫ Для наглядного изображения частей целого или со отношения величин используют диаграммы. Они могут быть круговыми (рис. 39) или столбчатыми (рис. 40). Для построения круговой диаграммы целое изображают кругом, а отдельные части целого — секторами круга. Например, на рисунке 39 круговая диаграмма показывает соотношение площадей частей света. По этой диаграмме можно ответить, например, на такие вопросы. 1. Сколько частей света на нашей планете? 2. Какая часть света самая большая? 3. Какая часть света самая маленькая? 4. Какая из двух частей све- та больше: Антарктида или Австралия? 4Q 124 Глава 3 Задача 1. Среди учеников б-А класса провали опрос, в результате которого оказалось, что 20 шестиклассников больше всего любят мороженое, б учеников класса — конфеты, а остальные 4 ученика — предпочитают пирожные. Постройте круговую диаграмму любимых лакомств учеников б-А класса. Решение. Для построения круговой диаграммы нужно круг разделить на три сектора пропорционально количеству лакомок, то есть выполнить пропорциональное деление 20 : б: 4. Пусть h — коэффициент пропорциональности, тогда 20h + 6h +Ah = 360°. Отсюда /& = 12°. а 20/& = 20 • 12° = 240°. 6h=6- i2°=72°.4/t=4 • 12°=48°. Следовательно, круг нужно разделить на секторы с углам и: 240=*. 72° и 48°. По этим данным с помощью транспортира строим круговуюдиаграмму(рис.41—43). Конфеты М<90жтошу Рис.43 20- Для построения столбчатой диаграммы сравниваемые величины изображают в виде столбиков, высота которых либо равна данным величинам, либо пропорциональна им. Например, на рисунке 44 столбчатая диаграмма показывает соотношение любимых лакомств учеников 6-Л класса. Для сс построения изобразили три столбика, высота которых пропорциональна количеству учеников, предпочитающих мороженое, конфеты и пирожные: 20 • 0,25 (см), б • 0,25 (см) и 4 • 0,25 (см). Для удобства слева проводят вертикальную прямую для обозначения количестваучеников. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ. 125 Узнайте больше Слово «диаграмма» происходит от греческого Wagramma, что означает изображение, чертёж. Благодаря наглядности диаграммы часто используют в презентациях. Например, на уроках природоведения, пользуясь данными календаря погоды, вы можете строить диаграммы выпадения осадков и анализировать их. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Для чего используют диаграммы? 2. Объясните, как строят круговую диаграмму. 3. Объясните, как строят столбчатую диаграмму. S РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 713'. Какой фигурой на круговой диаграмме изображают: 1) целое; 2) часть целого? 714'. С помощью круговой диаграммы нужно сравнить 5 частей целого. На сколько секторов нужно разделить круг? 715'. На круговой диаграмме (рис. 45) показано распределение питательных веществ в молочном щоколаде. Верно ли, что по диаграмме можно определить, содержание каких веществ: 1) преобладает: 2) является наименьшим? ЗбО 1 — бвлхи ^ ^ 2 —жиры- 4: — друте вещества Рис. 45 2 3 4 Рис.46 б Дни 716'. Какими фигурами на столбчатой диаграмме изображают сравниваемые величины? 717'. С помощью столбчатой диаграммы нужно сравнить б величин. Сколько столбиков нужно изобразить? 718'. На столбчатой диаграмме (рис. 46) показаны расстояния, которые преодолел турист в течение 5 дней. Верно ли, что по 126 Глава 3 диаграмме можно определить, в какой день турист преодолел: 1) наибольшее расстояние; 2) наименьшее расстояние? 719°. Какими должны быть углы секторов на круговой диаграмме, если по условию задачи: 1) в классе учатся 13 мальчиков и 17 девочек; 2) в магазин завезли 20 ящиков яблок и 16 ящиков груш? 720°. По круговой диаграмме (рис. 47) определите, сколько в б-А классе: 1) мальчиков; 2) девочек; 3) учеников. мальчики девочки ]-груши ]-яблоки Ж 721°. По круговой диаграмме (рис. 48) определите, сколько кило-^ граммов фруктов каждого вида завезли в магазин. 722°. В одном саду растут фруктовые деревья, среди которых — 50 яблонь, 30 груш и 40 слив. По этим данным постройте круговую диаграмму. Ж 723°. В селе 120 домов, 35 из которых — под железной крышей, ™ 50 — под черепичной, а остальные — под шифером. По этим данным постройте круговую диаграмму. 2 9 3 724 всех шестиклассников посещают литературный кружок. 5 9 — хореографический, а 9 вокальный. По этим данным й построите круговую диаграмму. 725°. Вода занимает ^ поверхности Земли, а суша только — ее 10 поверхности. Постройте круговую диаграмму, показывающую соотношение между площадями воды и суши на Земле. 726°. Какой высоты могут быть столбики столбчатой диаграммы, если по условию задачи: 1) в классе учатся 15 мальчиков и 13 девочек; 2) в магазин завезли 25 ящиков яблок и 20 ящиков груш? 727°. По столбчатой диаграмме (рис. 49) определите, сколько в 6-Б классе: 1) мальчиков; 2) девочек; 3) учеников. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 127 мальчики девочки 53 500 400 300 200 100 Учащиеся класса Рис. 49 — яблоки — груши Фрукты Рис. 50 А й 728°. По столбчатой диаграмме (рис. 50) определите, сколько килограммов фруктов каждого вида завезли в магазин. 729°. В 6-В классе после уроков 12 учеников посещают спортивную секцию, б учеников — музыкальную школу, 5 учеников — художественную школу, 8 учеников — танцевальный кружок, а 3 ученика — проводят время дома. По этим данным постройте столбчатую диаграмму. 730°. В фруктовом саду растут 150 фруктовых деревьев, из них яблонь — 60, груш — 45, слив — 35, а остальные — вишни. По этим данным постройте столбчатую диаграмму. 731. Круговая диаграмма показывает цветочные предпочтения девочек б-Б класса: розы, гвоздики, тюльпаны и нарциссы (рис. 51). Известно, что: 1) большинство девочек предпочитают розы; 2) гвоздики и тюльпаны предпочитает одинаковое количество девочек. Сколько девочек в классе выбрали розы? гвоздики? тюльпаны? нарциссы? й 732. Круговая диаграмма показывает предпочтения мальчиков 6-В класса относительно кинофильмов: приключения, фантастика 128 Глава 3 ё И боевики (рис. 52). Известно, что: 1) большинство мальчиков предпочитают приключения; 2) фантастику любят меньше всего. Сколько мальчиков в классе с удовольствием смотрят приключения? фантастику? боевики? 733. В дневнике наблюдений Таня отметила, что в сентябре было солнечных дней — 16, облачных — 8, а дождливых — 6. По этим данным постройте круговую диаграмму. 734. При опросе девочек 6-А класса установлено, что 6 из них предпочитают белый цвет, 4 — розовый, а 2 — голубой. По этим данным постройте круговую диаграмму. 735. Известно, что для школьников наиболее рациональным является четырёхразовый режим питания. Первый завтрак состав- 1 . 3^2 1 ляет — , второй завтрак — —, обед ~ ^ ужин — — рациона. По этим данным постройте круговую диаграмму. 3 1 736. Вода составляет — массы тела человека, белки-, жиры — 5 5 дневного По этим данным ё ё 3 1 —, углеводы и другие вещества — — постройте круговую диаграмму. 737. В ноябре количество солнечных, облачных и дождливых дней относятся, как 6:5:4 соответственно. Сколько было солнечных, облачных и дождливых дней в ноябре? По этим данным постройте столбчатую диаграмму. 738. В магазин завезли 30 ящиков конфет, печенья и вафель в отношении 8:4:3. Сколько ящиков конфет, печенья и вафель завезли в магазин? По этим данным постройте столбчатую диаграмму. 739. Столбчатая диаграмма показывает уровень учебных достижений учеников 6-А класса (рис. 53). Подписи уровней отсутствуют. Известно, что: 1) большинство учеников учатся на достаточном уровне; 2) на высоком и начальном уровнях учится одинаковое количество учеников. Сколько учеников 6-А класса учится на каждом уровне учебных достижений? 740. Определите, пользуясь столбчатой диаграммой (рис. 54), сколько медалей каждого вида завоевала спортивная команда на олимпиаде. Постройте круговую диаграмму распределения завоёванных медалей по их видам. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ н — начальный с — средний д — достаточный в — высокий 129 й §12 ^11 Эю * 9 3^ О 50 'О а» й о 8 7 б 5 4 3 2 1 5-С-Б - '§20 ^ 18 -14 о 50 золотые серебряные бронзовые 5J 50 3^ Й "=^ О 12 10 8 6 4 2 н с д в Уровень учебных достижений Рис. 53 зев Медали избирателей Рис. 55 Рис. 54 741. Определите, пользуясь столбчатой диаграммой (рис. 55), сколько процентов голосов набрали на выборах два кандидата на пост мэра города. Постройте круговую диаграмму распределения голосов избирателей на этих выборах. 742*. В школе подвели итоги контрольной работы по математике в б-х классах. Постройте круговую диаграмму, если: 1) в школе 120 шестиклассников; 2) больше половины учеников написали работу на достаточном уровне; 3) четверть учеников написали работу на высоком уровне; 4) низкий уровень показали 3 ученика; 5) отсутствали на контрольной работе 4 ученика. 743*. По данным Географической энциклопедии Украины, наибольшую протяжённость на территории Украины имеют пять рек: Днепр — 981 км. Южный Буг — 806 км, Псёл — 717 км, Днестр — 705 км, Северский Донец — 672 км. По этим данным постройте столбчатую диаграмму. 744*. Украинские Карпаты — часть горной системы Карпат, расположенная на западе Украины. Самые высокие горы в Карпатах: Говерла — 2061 м (наивысшая точка Украины), Бребенескул — 2032 м, Поп-Иван — 2020,5 м, Петрос — 2020 м, Гутин-Том-натик — 2016 м. Ребра — 2010 м. По этим данным постройте столбчатую диаграмму. Глава 3 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 746. Запишите, какое время в течение суток вы тратите на: 1) пребывание в школе; 2) выполнение домашнего задания; 3) занятие любимым делом (спортом, танцами, музыкой ит.п.);4) сон; 5) другие дела. По этим данным постройте круговую и столбчатую диаграммы. 746. Проведите опрос одноклассников на выбранную вами тему. Например. «Является ли математика вашим любимым предметом?». Ответы могут быть такими: 1) да; 2) нет; 3) затрудняюсь ответить. По этим данным постройте либо круго вую. ли бо столбчатую ди аграм м у. а ЗДДАЧ(|ЖЛПОВ7^^ 747. Стороны прямоугольника равны 30 см и 40 см. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если длину каждой из его сторон увеличить на 20 %? 15 5 5 748. Найдите среднее арифметическое дробей: 1—.—. 1— и —. 3 18 6 9 § 18. ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР В 5 классе вы уже ознакомились с пространственными фигурами: прямоугольным параллелепипедом и кубом. Посмотрите на рисунок 56. Вы видите разнообразные предметы» используемые в быту. Все они имеют одну и ту же форму — цилиндра (рис. 57). Рис. 56 Рис.58 Цилиндр получим при вращении прямоугольникаАВСТ вокруг одной из его сторон» например» стороны OD (рис. 58). ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ. Рис.59 Рис.60 Рис. 61 Эту сторону прямоугольника считают осью цилиндра^ а противоположную ей сторону AS — образующейцишндра. Ось и образующая цилиндраимеют равные длины: AS=СД У цилиндра есть два — равные круги раииусаБ. При вращении образующая цилиндра описывает поверхность» которую называют боковой поверхностью цилиндра. Полную поверхность цилиндра составляют его боковая поверхность и два круга оснований. На рисунке 59 вы видите индейское жилище <(ТЙпи»» имеющее форму конуса (рис. 60). Конус можно получить» вращая прямоугольный треугольник ASC вокруг одной из сторон» образующей прямой угол С» например» вокруг стороны ВС (рис. 61). Эту сторону считают осью конуса^ а сторону AS» лежащую против прямого угла» — образующей конуса. Ось конуса всегда меньше его образующей. В отличие от цилиндра» у конусатолько одно основание — круг радиуса S. При вращении образующая конуса описывает поверхность — боковую поверхность конуса. Полную поверхность конуса составляют его боковая поверхность и круг основания. На рисунке 62 вы видите предметы» имеющие форму шара (рис. 63). Шар можно получить» вращая круг вокруг его диаме-TpaAS (рис. 6 4). Этот диаметр считают осью шара. Радиус шара S = ОА, Он равен половине диаметра AS круга. Глава 3 Рис. 62 Рис.63 Поверхность шара имеет особое название — сфера* Цилиндр» конус и шар называют телами вращения, поскольку их можна получить при вращении прямоугольника» прямоугольного треугольника и круга. Больше об этих фигурах вы узнаете в курсе геометрии. т Узнайте больше Бумажную модель пространственной фигуры делают из её развёртки. Чтобы получить развёртку цилиндра (рис. 65). отделяют основание, а боковую поверхность разрезают вдоль образующей и разворачивают на плоскости. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник. одна сторона которого равна образующей, а вторая — имеет длину окружности основания. Развёртка цилиндра состоит из этого прямоугольника и двух кругов оснований. Аналогично получают развёртку конуса (рис. 66). Его боковая поверхность разворачивается в сектор. Развёртка конус а состоит из этого сектора и круга основания конуса. Для шара изготовить традиционную развёртку невозм ожно. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Какие фигуры относятся к телам вращения? Объясните, как получить цилиндр. Назовите основные характеристики цилиндра. Объясните, как получить конус. Назовите основные характеристики конуса. Объясните, как получить шар. Назовите основные характеристики шара. о РЕШИТЕ ЗАДАЧИ А 749'. По рисунку 67 назовите: 1) ось цилиндра; 2) образующую цилиндра; 3) радиус основания цилиндра. 750'. Можно ли получить цилиндр вращением квадрата вокруг его стороны? 751'. По рисунку 68 назовите: 1) ось конуса; 2) образующую конуса; 3) радиус основания конуса. 752'. На рисунке 69 изображён прямоугольный треугольник MNP. Вокруг каких сторон можно вращать треугольник MNP, чтобы получить конус? 753'. По рисунку 70 назовите: 1) ось шара; 2) радиус шара. 754'. Прав ли Андрей, утверждая, что шар можно получить вращением окружности? 755°. Образующая цилиндра равна 10 см. Чему равна высота этого цилиндра? 756°. Высота цилиндра равна 8 см. Какова длина образующей этого цилиндра? 757°. Перенесите в тетрадь рисунок 71 и дорисуйте изображение цилиндра. Отметьте на рисунке ось, образующую и радиус нижнего основания цилиндра. Рис. 69 134 Глава 3 758^. Схематически нарисуйте цилиндр. От-^ метьте на рисунке ось, образующую и радиус верхнего основания цилиндра. 759°. Перенесите в тетрадь рисунок 72 и дорисуйте изображение конуса. Отметьте на рисунке ось, образующую и радиус основания конуса. Ж 760°. Схематически нарисуйте конус. Отметьте ^ на рисунке ось, образующую и радиус основания конуса. 761°. Перенесите в тетрадь рисунок 73 и дорисуйте изображение шара. Отметьте на рисунке радиус ОА шара. Ж 762°. Схематически нарисуйте шар. Отметьте ^ на рисунке радиус ОВ шара. 763. Всегда ли равны цилиндры, у которых равны: 1) радиусы основания; 2) высоты; 3) образующие? 764. В цилиндре длины радиуса основания и высоты относятся, как 2 : 5. Найдите, чему равны радиус основания и высота этого цилиндра, если высота на 3 см больше радиуса основания. Ж 765. В цилиндре длины радиуса основания и ^ образующей относятся, как 4 : 6. Найдите, чему равны радиус основания и высота этого цилиндра, если радиус основания на 8 см меньше образующей. 766. Всегда ли равны конусы, у которых равны: 1) радиусы оснований; 2) высоты; 3) образующие? 767. В конусе длины высоты и радиуса основания относятся, как 7 : 3. Найдите, чему равны радиус основания и высота этого конуса, если радиус основания на 4 см меньше высоты. Ж 768. В конусе длины образующей и радиуса основания относятся, как ^ 5:2. Найдите, чему равны радиус основания и образующая этого конуса, если образующая на б см больше радиуса основания. 769. Всегда ли равны шары, у которых равны: 1) радиусы; 2) диаметры? 770. Даны два шара, радиусы которых относятся, как 2 : 3. Найдите радиус большего шара, если радиус меньшего равен 5 см. Рис. 72 Рис. 73 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ А Рис.74 Рис. 75 771. Даны два шара, радиусы которых относятся, как 8 : 5. Найдите радиус меньшего шара, если радиус большего равен 12см. 772*. Плоидадь основания цилиндра равна 12,56см2. Найдите его образующую, если высота на 5 см больше радиуса основания. 773*. Длина окружности основания конуса равна 37,68 см. Найдите высоту и образующую конуса, если радиус основания, высота и образующая конуса относятся, как 3 : 4 : 5. 774*. Диаметр земного шара приблизительно равен 12,7 тыс. км. Найдите радиус Земли и длину экватора. 775*. Земной шар стянули обручем вдоль экватора. Затем увеличили длину обруча на 1 м. Сможет ли кошка пролезть в образовавшуюся щель? L ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 776. Приведите примеры предметов окружающей среды, имеющих форму: 1) цилиндра; 2) конуса; 3) шара. 777. Изготовьте модели цилиндра и конуса с помощью чертежей развёрток на рисунках 74 и 75. а ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 778. Решите уравнение: 1) 25-24 : (х+ 12,2) = 24,4; 2) (х+12):0,25+16 = 1б6. 779. Серёжа купил 6 тетрадей в клеточку по 4,5 грн за штуку и 8 тетрадей в линейку по 4 грн за штуку. Сколько денег осталось у Серёжи, если мамадалаему 80грн? 1S6 Г" § 19. ПР0ЦЕ1га1ЫЕ РАСЧЁТЫ Глава 3 -----N В 5 классе вы узнали, что такое процент и как решать задачи на нахождение процента от числа и числа по его проценту. Рассмотрим, как решать такие задачи с помощью пропорций, и познакомимся с другими видами задач на процентные расчёты. 1. Нахождение процента от числа ^ Задача 1. Мама Малыша испекла 25 ватрушек. Карлсон ^ съел 40 % ватрушек. Сколько ватрушек съел Карлсон? 1> Решение. 2шо: 2S $. ~ iOO % ? -40% Щйт а> - MutwteomSo SamfifUim, (уьв^ешшло Кармсшш. 25- = 100 40, <х> = (2S- 40) • Щ = 1000 ■ 100, а> = 10. 0пъ8епь: Кариоон (Уыи 10 ёатр,ушел. ш Обратите внимание: чтобы найти число х. равное d процентам числа а, составляют пропорцию: й —100% X — d %, если то а : х= 100 : d* 2. Нахождение числа по его проценту Задача 2. В б-А классе высокий уровень учебных достижений имеют 6 учеников, что составляет 20 % учеников класса. Сколько учеников учится в б-А классе? ОТНОШЕНИЯ И пропорЩй; 1S7 1^ Решение. По условию задачи, б отличников — это 20 % учащихся класса. D задаче нужно узнать, сколько учащихся составляют 100 %. Составим краткую запись данных задачи. Учащихся в классе: ? —100% Отличников: буч. —20% Пусть X — количество учащихся в б-А классе. Тогда составим 100 ^ 6-100 пропорцию: Отсюда: х= . х = 30. Значит, в б-А классе —30 учащихся. Ф Обратите внимание: чтобы найти число х по его части Ъ. равной d процентам, составляют пропорцию: X—100% b — d%. если то xtb=100:d* 3. Нахождение процентного отношения двух чисел Задача 3. Из 30 учеников б-Б^:лacca в спортивных соревнованиях приняли участие 18 учеников. Сколько процентов учащихся класса приняли участие в спортивных соревнованиях? Реш еии е. По условию задачи, в классе 30 учеников, что составляет 100 %. В задаче нужно узнать, сколько процентов составляют 18 учеников. Составим краткую запись данных задачи. В классе: ЗОуч. —100% Приняли участие: 18уч.— ? Пусть X — процент учеников, принявших участие в соревнованиях. Тогда составим пропорцию: 30 :18 = 100 : х. Отсюда: х= (18 • 100): 30. х=б0. Значит, 60 % учащихся б-Б класса приняли участие в спортивных соревнованиях. Ф Обратите внимание: чтобы найти процентное отношение двух чисел й и Ь. составляют пропорцию: й — 100% Ь — X %, если то а :Ь = 100 : х. 7 Верно ли, что процентное отношение чисел а и & можно найти, умножив на 100 обратное отношение этих чисел? Да. Эго следует из основного свойства пропорции. 138 Глава 3 Рассмотрим более сложные задачи. 4. Нахождение изменения процента по изменению числа Задача 4. Пчёлы за день пои несли в улей 2 кг мёда. На следующий день они работали лучше и собрали 2.5 кг мёда. На сколько процентов больше мёда собрали пчёлы во второй день? Решение. По условию задачи, за день пчёлы принесли в улей 2 кг мёда, что составляет 100 %. В задаче нужно выяснить, на сколько процентов 2.5 кг мёда больше, чем 2 кг Составим краткую запись данных3адач/1. 1день; 2 кг —100% II день: 2.5 кг-(100+?)% Пусть X — количество процентов, на которое увеличилась 2 100 ^ масса меда. Составим пропорцию: —=-----------. Отсюда. 2.5 100+а: 100+jc= 2.5 100 . х = 125 - 100. х = 25. Значит, во второй день т пчёлы собрали мёда на 25 % больше. Обратите внимание: чтобы найти, на сколько изменится процент х при изменении числа а до числа Ь, составляют пропорцию: а — 100 % а:Ъ = & —(100 + х)%, ™ =100 : (100 +х). если 7 Можно ли аналогично решать задачи на уменьшение числа? Да. В таком случае нужно составить пропорцию а : Ъ= 100 : (100 - х). 4 5. Нахождение числа пи еш процентному изменению Задача 5. В10летВанинрост составлял 130 см. Каким был рост Вани в 9 лет. если за год он подрос на 4 %? Решение. По условию задачи, рост Вани в 10 лет составлял 130 см. что на 4% больше, чем в 9 лет. Значит, росту Вани в 9 лет соответствует 100 %. авЮлет-(100 +4) %. Составим краткую запись данных задачи. Рост в 9 лет: ? —100%. Рост в 10 лет: 130 см — (ЮС+ 4) %. ОТНОШЕНИЯ И пропорЩй; 1S9 Пусть X — рост Вани в 9 лет. Тогда составим пропорцию: X 100 ^ 130-100 ^ . Отсюда х=——. х = 125. Значит, рост Вани в 130 104 9 лет составлял 125 см. 104 М01ЖН0 ли рост Вани в 10 лет принять за 100 % ? Да. Будут ли соответствовать тогда (100 - 4) % росту Вани в 9 лет? Нет, поскольку 4 % от ISO см не равны 4 % от 125 см. Обратите внимание: чтобы найти число х. изменившееся до числа Ъ. по его процентному изменению а. составляют пропорцию: X — 100 % X: Ь = & —(100 + ft)%, ™ =100: (100 + ft). если 6. Нахождение процентного отношения двух чисел по изменению числа ^Задача 6. В первый день Маиа прочитала 20 страниц книж-' ки, а во второй — на 5 страниц больше. Сколько в процентах прочитала Маша во второй день по сравнению с первым днём? Реш еии е. По условию задачи, в первый день Маша прочи-[J тала 20 страниц, что составляет 100 %. В задаче нужно узнать, сколько процентов составляют (20 + 5) страниц. Составим краткую запись данных задачи. 1день: 20 с. —100% IIдень: (20 +5)с. — ? Пусть X — количество страниц в процентах, прочитанных Машей во второй день. Тогда составим пропорцию: 20 : (20 + + 5)=100 :х. Отсюда. х= (25 • ЮС): 20. х=125. Значит, во второй день Маша прочитала 125 % прочитанного в первый день. Обратите внимание: чтобы найти процентное отношение двух чисел а иа + п по изменению числа а на п. составляют пропорцию: а—100% а:{а + п) = а + п — х%, =100 :х. L Глава 3 ? Можно ли аналогично решать задачи на уменьшение числа? Да. В таком случае нужно составить пропорцию а: {а-п)=100: X, т Узнайте больше В параграфе вы рассмотрели решение задач с помощью алгебраического способа. Но каждую из них можно решить и арифметически, к тому же. не одним способом. Обратимся к задаче 1 данного параграфа. ^ Задача . Мама Малыша испекла 25 ватрушек. Карлсон съел X 40 % всех ватрушек. Сколько ватрушек съел Карлсон? : Решение. ^ Арифметический способ 1. 1) Сколько ватрушек составляет 1 %? 25 : 100-0,25 (в.). 2) Сколько ватрушек составляют 40 %? 40 • 0.25 = 10 (в.). Значит, Карлсон съел 10 ватрушек. Арифметический способ 2. 1) Как выразить40 % дробью? 40% = 0.4. 2) Сколько ватрушек составляют 40 %? 25 • 0.4 = 10 (в.). Значит, Карлсон съел 10 ватрушек. \Г ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какую пропорцию составляют, чтобы найти процент от числа? 2. Какую пропорцию составляют, чтобы найти число по его проценту? 3. Какую пропорцию составляют, чтобы найти процентное отношение двух чисел? 4. Какую пропорцию составляют, чтобы найти изменение процента по изменению числа? 5. Какую пропорцию составляют, чтобы найти число по его процентному изменению? 6. Какую пропорцию составляют, чтобы найти процентное отношение двух чисел по изменению числа? ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ РЕШИТЕЗАДА^ 141 780'. Как найти: 1)1% числа а; 2) 25 % числа а; 3) п % числа а? 781Петя утверждает, что для нахождения 10 % от числа а нужно число а разделить на 10. Прав ли Петя? Ответ объясните. 782'. К задаче составили краткую запись: 1) 120— 100%, 2) 70 — 100%, 3)20— 100%, ? —30%; ? —50%: ?—150%. Какую пропорцию нужно составить для решения задачи? 783'. Как найти число Ь, если известно значение его 1 %? 784'. Катя утверждает, что для нахождения числа &, 50% котого равны 60, нужно 60 умножить на 2. Права ли Катя? Ответ объясните. 785'. Как найти число по значению: 1)10% этого числа; 2) 25 % этого числа? 786'. Составили краткую запись задачи: 1)?—100%, 2)? —100%, 3)?—100%, 40—10%; 50 — 25%; 450 — 50%. Какую пропорцию нужно составить для решения задачи? 787'. С помощью какого выражения можно найти процентное отно- 5 30 шение чисел 5 и 30: —100 или —100? Ответ объясните. 30 5 788'. Составили краткую запись задачи: 1) 160— 100%, 2) 250— 100%, 3) 600— 100%, 40—?%; 50 — ?%: 450—?%. Какую пропорцию нужно составить для решения задачи? Для числа 450 найдите его: 1) 2 %; 2) 20 %; 3) 75 %; 4) 120 %. Для числа 240 найдите его: 1) 30 %; 2) 150 %. В магазин завезли 2000 кг яблок. В первый день продали 35 % всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в первый день? 792^. В школе 800 учеников. Девочки составляют 54 % всех учащихся. Сколько девочек учится в школе? 793°. Найдите число, 45 % которого равны: 1)90; 2)180; 3)36; 4)4,5. Д 794°. Найдите число, 30 % которого равны:1)15; 2) 60. 795°. Туристы в первый день похода преодолели 30 км, что составляет 15 % запланированного пути. Какое расстояние планируют преодолеть туристы? 789° А 790° ^791° 142 Глава 3 й А ё ё ё ё 796Р. На тетради Маша потратила 25 грн, что составляет 20 % всех её денег. Сколько денег было у Маши сначала? 797°. Сколько процентов составляет число 5 от числа: 1)20; 2) 25: 3) 50; 4)150? 795°. Сколько процентов составляет число 7 от числа: 1)14; 2)56? 799°. На год семья заготовила 10 мешков картошки. За три осенних месяца съели 2,5 мешка картошки. Сколько процентов картошки использовала семья осенью? 800°. В аквариуме у Саши 24 рыбки, из них 6 — скалярии. Сколько процентов всех рыбок в аквариуме составляют скалярии? 801 °. В 6-Б классе учатся 32 ученика, 10 из которых посеидают спортивные секции. Сколько процентов спортсменов в 6-Б классе? 802°. В цветочный магазин завезли 80 роз, среди них — 30 белых. Сколько процентов составляют белые розы? 803°. Число 30 увеличили на 40 %. Какое число получили? 804°. Число 50 увеличили на 20 %. Какое число получили? 805°. Уменьшите число 32 на: 1) 20 %; 2) 25 %; 3) 50 %; 4) 75 %. 506°, Уменьшите число 60 на: 1) 30 %; 2) 75 %. 807°. Увеличьте число 60 на: 1) 10 %; 2) 25 %; 3) 50 %; 4) 120 %. 505°. Увеличьте число 125 на: 1) 40 %; 2) 150 %. 809°. В первый улей пчёлы принесли за день 2 кг мёда, а во второй — на 15 % больше. Сколько мёда принесли пчёлы во второй улей? 510°. Серёжин сотовый телефон стоит 500 грн, а Мишин — на 20 % дороже. Сколько стоит Мишин сотовый телефон? 811°. За первый месяц магазин продал товаров на сумму 10 000 грн, а за второй — на 8 % меньше. На какую сумму продал товаров магазин за второй месяц? 512°, Билет в цирк стоил 25 грн, а через месяц билеты подорожали на 20 %. Какова новая цена билета? 813°. Найдите число, после увеличения которого на 20 % получилось число: 1) 84; 2) 240. 514°. Найдите число, после увеличения которого на 60 % получилось число 640. 815°. Найдите число, после уменьшения которого на 80 % получилось число: 1) 60; 2) 140. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ й А ё ё 143 I 816'^. Найдите число, после уменьшения которого на 30 % получилось число 28. 817°. Сколько стоил товар, если после повышения его цены на 15 % он стал стоить 345 грн? 818°. В банке на вклады граждан насчитывают 7 % годовых. Сколько гривен положили на счёт в банк, если через год на счету стало 5350 грн? 819°. В результате сушки виноград теряет 70 % своей массы. Сколько килограммов изюма получат из 10 кг винограда? Сколько килограммов винограда нужно взять, чтобы получить 10 кг изюма? 820°. Из посаженных семян подсолнуха взошло 180 зёрен, что составляет 90 % посаженных семян. Сколько семян подсолнуха было посажено? Сколько зёрен взойдёт, если посадить 350 семян подсолнуха? 821°. Число 50 увеличили на 20. На сколько процентов увеличилось число? 822°. Число 45 увеличили на 15. На сколько процентов увеличилось число? 823°. Число 40 уменьшили на 10. На сколько процентов уменьшилось число? 824°. Число 80 уменьшили на 20. На сколько процентов уменьшилось число? 825°. Число 50 увеличили на а. Найдите процентное отношение числа 50 и полученного числа, если: 1) а = 10; 2) а = 5. Ж 826°. Число 25 увеличили на а. Найдите процентное отношение ^ полученного числа и числа 25, если а = 15. 827°. Число 24 уменьшили на Ь. Найдите процентное отношение полученного числа и числа 24, если: 1) & = 12; 2) 6 = 16. Л^82&°. Число 36 уменьшили на Ъ. Найдите процентное отношение ^ числа 36 и полученного числа, если & = 9. 829°. Винни-Пух купил 15 банок сгущённого молока. За день он съел 3 банки. Сколько процентов сгущённого молока осталось у Винни-Пуха? Ж 830°. Мама купила 25 кг муки. За одну неделю она использовала ^ 3 кг муки. Сколько процентов муки осталось у мамы? 831°. Магазин в первый день продал 150 кг арбузов, а во второй — на 90 кг больше, чем в первый. Сколько процентов арбузов продал магазин во второй день по сравнению с первым днём? 144 ____________________________Глава 3 ' i I 832^, Оксана на прошлой неделе получила 8 оценок «10», а на этой ^ неделе — на 2 такие оценки больше. Какой процент оценок «10» получила девочка на этой неделе по сравнению с прошлой неделей? 833. Что больше: 1) 20 % числа 50 или 50 % числа 20; 2) 10 % числа 120 или 50 % числа 24? Д 834. Что меньше: 10 % числа 25 или 25 % числа 10? ^ 835. В городском парке посадили 50 деревьев, из которых 20% составляют ёлки, а остальные — сосны. Сколько деревьев каждого вида посадили в парке? Ж 836. В цеху работают 400 рабочих. Мужчины составляют 75 % всех ™ рабочих цеха. Сколько женщин работает в цеху? 837. Какое из двух чисел меньше: 1) 15% которого равны 30 или 30 % которого равны 15; 2) 25 % которого равны 100 или 10 % которого равны 40? Ж 838. Какое из двух чисел больше: 50 % которого равны 10 или ^ 1 о % которого равны 50? 839. В магазин привезли фрукты. Среди них было 400 кг яблок, что составляет 20 % общего количества фруктов. Груш было на 100 кг меньше, чем яблок. Остальные фрукты — сливы. Сколько килограммов фруктов привезли в магазин? Сколько килограммов слив привезли в магазин? Ж 840. В первом цеху трудится 180 рабочих, что составляет 45 % ® всех рабочих завода. Во втором цеху рабочих на 50 меньше, чем в первом. Остальные рабочие трудятся в третьем цеху. Сколько всего рабочих на заводе? Сколько рабочих в третьем цеху? 841. Таня прочитала 80 страниц книги, после чего ей осталось прочитать ещё 120 страниц. Сколько процентов всех страниц прочитала Таня? Ж 842. Токарь до обеда выточил 13 деталей, а после обеда — осталь-^ ные 12 деталей. Сколько процентов всех деталей выточил токарь после обеда? 843. Сравните процентные отношения пар чисел: 1)12и4; 15иЗ; 2) 8 и 40; 5и25. Д 844. Сравните процентные отношения пар чисел: 15 и 10; 9 и 6. 845. Стороны прямоугольника равны 8 см и 10 см. Каждую сторону увеличили на 50 %. Как изменился периметр прямоугольника? Ответ представьте в дециметрах. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ й й А 145 ~| i I 846. Стороны прямоугольника равны 16 дм и 24 дм. Каждую сторону увеличили на 40 %. Как изменился периметр прямоугольника? Ответ представьте в метрах. 847. Стороны треугольника равны 14см, 18 см и 20 см. Каждую сторону уменьшили на 25 %. Как изменился периметр треугольника? 848. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 12 см и 8 см. Каждое ребро уменьшили на 50 %. Как изменилась сумма длин всех рёбер параллелепипеда? 849. Можно ли утверждать, что при изменении каждой стороны квадрата на п %, периметр квадрата также изменится на п %? 850. Число 60 увеличили на 25 %, а затем — егцё на 15 %. Какое число получили? 851. Число 64 уменьшили на 25 %, а затем — ещё на 35 %. Какое число получили? 852. Число 48 увеличили на 55 %, а затем — уменьшили на 15%. Какое число получили? 853. Число 150 уменьшили на 75 %, а затем — увеличили на 40 %. Какое число получили? 854. Число а уменьшили на 20 %. На сколько процентов нужно увеличить полученное число, чтобы получить данное число а? 855. Число Ь уменьшили на 30 %, а затем увеличили на 30 %. Как изменилось число Ь? 856. В прямоугольнике стороны равны 4 см и 12 см. На сколько процентов увеличится периметр прямоугольника, если каждую его сторону: 1) увеличить вдвое; 2) увеличить в 4 раза; 3) уменьшить в 4 раза? 857. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 5 см, 8 см и 7 см. На сколько процентов увеличится сумма длин всех рёбер параллелепипеда, если каждое его ребро: 1) увеличить на 1 см; 2) уменьшить на 1 см; 3) увеличить на 2 см? 858. В треугольнике со сторонами 5 см, 5 см и 8 см каждую сторону увеличили на 3 см. На сколько процентов увеличился периметр треугольника? 859. Николай Петрович положил в банк 5000 грн на три года. Каждый год банк насчитывает 5 % годовых. Сколько денег получит вкладчик через три года? 860. Банк предоставляет кредит 30 000 грн со ставкой 10 % годовых. Какую сумму нужно вернуть банку через два года? 146 Глава 3 861. В первый день похода автотуристы преодолели 30 % запланированного пути, во второй — 20 %, а в третий — оставшийся путь — 90 км. Найдите расстояние, которое должны преодолеть туристы за три дня похода. Ж 862. Первый рассказ занимает 35 % книжки, второй — 25 %, атре-" тий — оставшиеся 80 страниц. Сколько страниц в книжке? 863. Папа получал зарплату в размере 4000 грн. Затем ему повысили зарплату, и он стал получать 4800 грн. На сколько процентов папе повысили зарплату? Ж ^64. Спортсмен на тренировке пробегает 12 км в день. Тренер ^ предложил ему пробегать в день 15 км. На сколько процентов увеличилась нагрузка спортсмена в день? 865. Мама надень рождения купила 2 кг конфет, 3 кг яблок, 2,5 кг винограда, 1,5 кг персиков и 1 кг печенья. Сколько процентов этой покупки составляли фрукты? Ж 866. Таня потратила на выполнение домашнего задания 1,5 ч. Домашнее задание по украинскому языку она выполняла 18 мин, по истории — 27 мин, а по изобразительному искусству — оставшееся время. Сколько процентов всего времени заняло выполнение домашнего задания по каждому предмету? 867*. До просушивания влажность зерна составляла 23 %, а после просушивания —12%. На сколько процентов уменьшилась масса зерна после просушивания? 868*. На сколько процентов снизится цена товара, если сначала её снизить на 20 %, а затем — ещё на 10 %? 869*. Число увеличили на 25 %, а затем результат уменьшили на 25 %. Какое число получили — больше или меньше исходного? На сколько процентов? 870*. Какой будет концентрация раствора соли, если в 1 кг воды растворить: 1) 200 г соли; 2) 500 г соли? 871*. Сколько воды нужно долить к 7,5 кг 12 %-го раствора соли, чтобы получить 1 о %-й раствор? 872*. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 40 %, а ширину — на 30 %? 873*. Как изменится значение дроби, если его числитель увеличить на 100 %, а знаменатель — уменьшить на 50 %? ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 147 ш I I ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 874. В понедельник в школьной столовой Ира потратила на обед 7 грн. Сколько процентов своего бюджета израсходовала Ира, если мама выдаёт ей на неделю 50 грн? 875. Оксана тратит на дорогу в школу 20 мин. Но однажды она опаздывала и шла быстрее, чем обычно. При этом она затратила на дорогу на 15 % меньше времени. Сколько времени затратила девочка на дорогу в школу? 876. Марина за год выросла на 5 см. На сколько процентов выросла девочка, если её рост составлял 125 см? 877. Вычислите концентрацию сахара в стакане чая, который вы выпиваете за завтраком, если масса чая в стакане — 200 г, а масса сахара в одной чайной ложке — 10 г. 878. Помоги дедушке вычислить, что выгоднее: положить в банк 2000 грн под 5 % годовых на 3 года или 1000 грн под 10 % годовых на 2 года. ' ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ [ 879. Расставьте скобки в выражении 35 : 5 + 2 • 16 - 4 так, чтобы его значение было равно 60. 880. Решите уравнение: 1)121 :(х-19) = 11; 2)х • 14 + 25= 109. 881. Периметр прямоугольника равен 80 см. Найдите плоицадь этого прямоугольника, если его ширина равна 16 см. 2 3 882. Турист шёл 3 ч со скоростью 4— км/ч и 2 ч со скоростью 4— км/ч. 5 4 Вычислите путь, пройденный туристом. 20. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ В повседневной жизни часто планируются разные события, о которых можно сказать, произойдут они или нет. Примером таких событий могут быть: празднование дня рождения, поход в школу, получение хорошей оценки, поездка с родителями за город и др. 148 Глава 3 Запомните! Событие, о котором можно сказать, что оно произойдёт или не произойдёт при определённь!х условиях, называется случайшм co6bsnf&M, или (кратко) событием. События обозначают буквами: А, В, С* Читают: событие А, событие В, событие С. Математики считают, что любое случайное событие происходит (или не происходит) вследствие проведения некоторого эксперимента. Такой эксперимент называют с/ц/чайным, или ешохаешичееким. Он является испытанием. Условия проведения испытания являются неизменными. Возможные результаты испытания известны, но нельзя заранее знать, какой именно из них будет иметь место. Например, если мы будем подбрасывать монету один раз, то возможны два следствия: выпадет или «герб>>, или «цифра» (рис. 76), однако нельзя точно сказать, что именно выпадет. Поэтому подбрасывание монеты является испытанием, а появление «герба» или «цифры» — это события А и В. ? Сколько событий могут произойти вследствие подбрасывания игрального кубика (рис. 77)? У кубика шесть граней, поэтому событий может быть шесть — выпадает 1 очко, 2 очка, В очка, 4 очка, 5 очков или б очков. Ф Обратите внимание: все возможные результаты испытания образуют совокупность событий. однако испытание завершается наступлением ли шь одного и 3 этих событий. Рис.76 • * # • У Рис.77 Например, в результате одного подбрасывания игрального кубика из шести возможных событий произойдёт лишь одно событие — или выпадет 1 очко, или 2 очка, или 3 очка, или 4 очка, или 5 очков, или б очков. Иначе говорят: «Появлению 1 очка, благоприятетеуеттольно одно событие». ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 149 Событие, которое в результате испытания непременно должно произойти, называют достоверным. Например, событие А — «появление от 1 до б очков» в результате подбрасывания игрального кубика является достоверным событием. Событие, которое вследствие данного испытания не может произойти, называют невозможным. Например, событие В — «появление на одной из граней игрального кубика 7 очков» является невозможным. События называют несовместимыми у если наступление одного из них исключает наступление другого. Такие события не могут наступить одновременно. Например, событие С — «появление 3 очков» и событие D — «появление 5 очков» являются несовместимыми событиями в результате одного подбрасывания игрального кубика. События называют равновозможными у если в результате испытания появление каждого из них одинаково возможно по сравнению с другими. Например, при подбрасывании игрального кубика все шесть событий («появление 1 очка» и т.д.) являются равновозможными. Вероятность события — это количественная характеристика возможности наступления этого события в ходе испытания. ^ Обозначают: Р(А)у Р{В). Читают: «вероятность события А» у « вероятность события В ». Для испытания, в котором все возможные события являются несовместимыми и равновозможными, вероятность события можно вычислить по формуле. Запомните! Вероятностью события А называется отношение количества т благоприятных для А событий к количеству п всех равновозможных в данном испытании событий: т)=^- п ? Верно ли, что количество испытаний т всегда меньше общего количества испытаний я? Нет. Числа тип 150 Глава 3 могут быть и равными. Например, вероятность достоверного события «появление от 1 до б очков»> в результате одного подбрасывания игрального кубика равна 1, ш б , поскольку — =—= 1. и б Обратите внимание: вероятность события может принимать значения только от о до 1. Вероятность достоверного события равна 1. а вероятность невозможного события — 0. Задача 1. Из коробки, где находятся 3 чёрных и 5 белых шариков. достали наугад один шарик. Какова вероятность того, что шарик: 1) чёрный; 2) бельй? Реш ение. 1. Co6biTM6j4 — «вынули чёрный шарик». Общее количество шариков. которые можно достать из коробки, равно 8. поэтому П- = 8. Чёрных шариков — 3. поэтому ?л.= 3. Вероятность события А равна отношению кол1чества ш возможностей вынуть чёрный шарик к общему количеству п возможностей вынуть какой-либо шарик, поэтому: ?(а)=—=-. Значит, вероятность п 8 3 вынуть черный шарик равна -. 2. Cadmui* В - ’SunfAit имрлт Р(£) = ОтВт^: в рассмотренной задаче возможными были два события: событие А — «вынули чёрный шарик» и событие ОТНОШЕНИЯ И пропорЩй; в — «вынули белый шарик» ♦ Вероятность события А равна а события В — -I-, Сумма вероятностей этих событий равна —+—= 1 * 8 8 Запомните! Сумма вероятностей всех возможных событий испытания равна 1. 7 Можно ли определить вероятность одного из двух возможных событий испытания, зная вероятность другого события? Да. Вероятность извлечения белого шарика в рассмотренной задаче можно было найти и по-другому: 1 — = —. 8 8 ^Задача 2. Бросают два игральных кубика. Какова вероят-I ностьтого, что в сумме выпадет б очков? tj Решение. Событие С — «на двух кубиках в сумме выпало 6 очков». Появление события С связано с такими парами чисел на двух игральных кубиках: 1и5.2и4,3и3.4и2.5и1. Значит, т = 5. Общее количество вариантов, когда на первом кубике выпало число от 1 до 6 и для кахдого из них на втором кубике выпало одно из шести чисел, равно 36. Итак. п-=36. Вероятность события с равна отношению чисел лги п: Р(С)=—=—. fP Узнайте больше 1. Стохастичность (от греческого сгт6хо(; — цель, предположение) означает случайность. 2. Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных событий. Как самостоятельная наука теория вероятностей возникла в середине XVII века. Тогда были распространены азартные игры, то есть игры, в которых результат зависел от S Якоб Бернулли 152 Глава 3 случая (игры С кубиками, игра в «орлянку», некоторые карточные игры). Они и способствовали анализу случайных событий. Считают, что история теории вероятностей начинается с работы Я. Бернулли (1654—1705) «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»), опубликованной в 1713 году. Обозначение Р{А) происходит от первой буквы французского слова probabilite — вероятность. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что такое случайное событие, или (кратко) событие? 2. Какое событие называют достоверным? невозможным? 3. Какие события называют несовместимыми? равновозможными? 4. Что такое вероятность события? Как найти вероятность события? 5. Какие значения может принимать вероятность события? РЕШИТЕ ЗАДАЧИ й 883'. Какие события могут произойти в ходе испытания: 1) монету подбрасывают один раз; 2) игральный кубик бросают один раз; 3) стреляют по мишени один раз; 4) из коробки, в которой лежат белый и чёрный шарики, вынимают шарик? 884'. В коробке лежат 4 шарика: белый, чёрный, зелёный и синий. Вынимают один шарик. Для этого испытания назовите: 1) все равновозможные события; 2) пример невозможного события; 3) пример несовместимых событий. 885'. Могла ли Наташа правильно решить задачу, если в ответе вероятность искомого события равна 1? Можно ли сказать, вероятность какого события искала Наташа? 886°. В корзине лежат одинаковые на вид красные яблоки. Из неё вынули одно яблоко. Каким является событие: 1) «вынули красное яблоко»; 2) «вынули зелёное яблоко»? 557°. В коробке находятся синие шарики. Из неё вынут один шарик. Каким является событие: 1) «вынут синий шарик»; 2) «вынут красный шарик»? 888°. Монету подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что выпадет «цифра»? 559°. Монету подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что выпадет «герб»? ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 153 ~| i I 890°. Тарас загадал двузначное простое число. Какова вероятность того, что это число: 1) 13; 2) больше 20? ^ 891^. Катя загадала однозначное число. Какова вероятность того, ^ что это число: 1) 8; 2) чётное? 892°. Игральный кубик бросают один раз. Подсчитайте вероятность события: 1) «выпадет 2 очка»; 2) «выпадет 5 очков»; 3) «выпадет чётное количество очков»; 4) «выпадет количество очков, кратное числу 3». Ж 593°. Игральный кубик бросают один раз. Подсчитайте вероят-^ ность события: 1) «выпадет 3 очка»; 2) «выпадет нечётное количество очков». 894°. В классе учатся 14 мальчиков и 16 девочек. Во время эпидемии гриппа один ученик заболел. Какова вероятность того, что это: 1) мальчик; 2) девочка? Ж 395°. В соревнованиях принимали участие 17 мальчиков и 15 де-^ вочек, имеюицих равные шансы на победу. Какова вероятность того, что первое место завоюет: 1) мальчик; 2) девочка? 896°. Из коробки, где находятся 6 красных и 4 белых шарика, вынут наугад один шарик. Какова вероятность того, что вынутый шарик: 1) красный; 2) белый? Ж 397°. Из коробки, где находятся 4 синих и 5 зелёных шариков, вы-^ нут наугад один шарик. Какова вероятность того, что вынутый шарик: 1) синий; 2) зелёный? 898. В семье двое детей. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики, если рождение мальчика и девочки считать равновозможными событиями? Жбдд> В семье двое детей. Какова вероятность того, что в семье ^ есть мальчик и девочка, если рождение мальчика и девочки считать равновозможными событиями? 900. Монету подбрасывают два раза. Какова вероятность того, что выпадут: 1) две «цифры»; 2) два «герба»? 901. Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, что монеты упадут одинаковой стороной кверху? 902. В соревнованиях по толканию ядра принимают участие 9спортсменов издании, 3 спортсмена — из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Финляндии. 154 ^______________________________Глава 3 903. в соревнованиях по плаванию принимают участие 4 спортсме-на из Польши, 8 спортсменов — из Болгарии, 7 спортсменов — из Румынии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Польши. 904. На завод привезли партию, состоящую из 1000 подшипников, 30 из которых не соответствуют стандарту. Определите вероятность того, что взятый наугад подшипник окажется стандартным. ▲ 905. На фабрике изготавливают сумки. За день было изготовле-^ но 170 сумок, 5 из которых оказались со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная в магазине сумка из этой партии окажется качественной. 906. Синоптики прогнозируют на следующую неделю 3 солнечных дня и 4 пасмурных. Какое событие наиболее вероятно: «понедельник — солнечный день» или «понедельник — пасмурный день»? 907. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. 908. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что на кубиках выпадут одинаковые очки. 909*. В случайном эксперименте бросают три игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. 910*. В случайном эксперименте монету подбрасывают трижды. Найдите вероятность того, что «герб» выпадет все три раза. 911*. В шестом классе — 30 учеников. Из списка учеников случайно выбирают одного. Вероятность того, что возраст наугад выбранного ученика меньше 12 лет, равна —. Сколько учеников этого 5 класса моложе 12 лет? 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 912. Петя и Серёжа придумали игру, в которой бросают два игральных кубика. Если сумма очков равна 11, то выигрывает Петя, а если сумма очков равна 12, то Серёжа. У кого из мальчиков больше шансов выиграть? 913. Проведите испытание с подбрасыванием трёх монет и укажите, какие из следующих событий состоялись в этом испытании, а какие — нет: 1) событие А — «гербов и цифр выпало поровну»; ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ. Г'155Ж 2) событие в — «гербов выпало больше»; 3) событие С —«цифр выпало больше». S ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 914. Вычислите удобным способом; 1) (8.73 • (4.85 +5.15)-3,53 • (3,15 +6.85)): 26; 2) 430-2,55 - 8 • 20 -0,05 -12,5. 1 915. На уроке присутствуют 30 учеников, а отсутствует — общего 16 количества учеников класса. Сколько учеников в этом классе? 916. Верёвку длиной 20 м разрезали на две части. Длина первой части равна 12 м. Во сколько раз длина первой части больше длины второй? Какую часть длины верёвки составляет длина её первой части, а какую — длина второй? 917. Автобус проехал задень 500 км. До обеда он проехал 240 км за 4 ч. После обеда автобус был в дороге ещё 4 ч. Когда скорость движения автобуса была большей: до или после обеда? 918. Сколько стоят 6 кг печенья, если за 3 кг такого печенья заплатили 48 грн? 919. Турист прошёл 15 км за 5 ч. За сколько часов турист преодолеет расстояние, равное 12 км. двигаясь с такой же скоростью? ГЛАВА РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Б главе узнаете: ЦЦ о положительных и отрицательных числах; Ф что такое координатная прямая; что такое модуль числа; Hf какие числа называют целыми; Ф что такое рациональные числа; ^ как сравнивать рациональные числа; • как выполнять арифметические действия над рациональными числами; Щ как применить изученный материал на практике т 15?"; I t РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕРК?ТВЙЯ Ш1 НИМИ ~ /------------------------------------> § 21. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЧИСЛО НУЛЬ Рассмотрите рисунок 78. Вы видите эскиз улицы» на которой расположена школа. Саша сказал» что он вышел из школы и прошёл мимо трёх домов вдоль этой улицы. Рис. 78 ^ Можно ли определить» где оказался Саша? Нет. Точно ответить мы не сможем» поскольку не знаем» в каком направлении от школы двигался Саша. Если Саша пошёл от школы налево» то оказался возле бассейна» а если направо — то возле библиотеки. Итак» чтобы определить новое местонахождение на прямолинейном участке дороги» нужно указывать не только расстояние» но и направление движения от некоторой начальной точки. Рассмотрим ещё один пример. Определяя температуру воздуха с помощью термометра» мы фиксируем не только значение» на котором остановился столбик термометра» но и обращаем внимание на то, где именно находится это значение на шкале термометра: ниже нуля или выше нуля (рис. 79). Например» если температура поднялась на 10® выше нуля» то мы говорим: <стемпература воздуха — плюс 10®». Если температура отпустилась на 10® ниже нуля» то мы говорим: <«температура воздуха— минус 10®». 30 'Ч 30 20 -3 S JP 1 J0 0 J _0 =10 J -10 1 г Рис. 79 158 Глава 4 Обозначают: +10°, -10°. Показатели термометра со знаком «+» определяют на его шкале одно направление (выше нуля), а показатели со знаком «-» — противоположное направление (ниже нуля). Проведём прямую и отметим на ней точку О (рис. 80). На прямой по разные стороны от точки О на расстоянии 5 клеточек от неё отметим точки А и В, Чтобы отличать их положение относительно точки О, вместо слова «справа» будем писать знак «+», а вместо слова «слева» — знак «-». Тогда положение точки А относительно точки О показывает число +5, а точки В — число -5 (рис. 81). Вообгце, всем точкам на прямой, расположенным справа от точки О, соответствуют числа со знаком «+», а слева от неё — со знаком «-». Рис.80 В 5 5 Л Рис. 81 Числа со знаком «+» называют положительными числами. Например, число +5 является положительным. Положительное число +5 кратко записывают 5. Числа со знаком «-» называют отрицательными числами. Например, число - 5 является отрицательным (читают: «минус пять»). Запомните! Любое натуральное число является положительным. ? Положительным или отрицательным является число 0? Ни тем, ни другим. Число 0 отделяет положительные числа от отрицательных. Неотрицательные числа — это положительные числа вместе с числом 0, а неположительные числа — это отрицательные числа вместе с числом 0. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД Узнайте больше Для математических вычислений в древности использовали палочки. Палочками красного цвета изображали положительные числа, чёрного — отрицательные. В Индии отрицательные числа толковали как долг, а положительные — как имущество. Многие математики называли отрицательные числа ложными числами, поскольку не могли понять существования чисел, меньших чем «ничто» (нуль). Только с XVIII в. отрицательные числа стали использовать наравне с положительными числами. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какие характеристики определяют положение точки на прямой относительно некоторой точки? 2. Как обозначают положительные числа? отрицательные числа? 3. Каким является натуральное число — положительным или отрицательным? 4. Назовите число, не являющееся ни положительным, ни отрицательным. 5. Какие числа относят к неотрицательным? неположительным? РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Рис. 82 920'. На рисунке 82 изображён эскиз улицы. Верно ли утверждение; чтобы попасть от школы до музея, нужно: 1) двигаться вправо: 2) двигаться влево; 3) пройти мимо трёх домов? 92Г. Какую температуру показывает термометр (рис. 83—84)? Рис. 83 Рис. 84 160 Глава 4 Магазин Школа Д Банк Дом М8 m ■O' Г' I г Аптека Дом Мя5 Щ Кинотеатр + Больница Рис.85 922'. 1) — 21 2)-5 Верно ли утверждение: — положительное число; 4) 0 — отрицательное число; неположительное число; 5) положительное число; 17 3) -11 — отрицательное число; 6) -0,9 — неотрицательное число? 923°. На рисунке 85 изображён план улицы. Одному делению соответствует 100 м. Что расположено от светофора слева на расстоянии: 1) 300 м; 2) 500 м? Можно ли дать однозначный ответ? Ж 924°. На рисунке 85 изображён план улицы. Одному делению соот-^ ветствует 100 м. Что расположено от светофора на расстоянии: 1) 100 м; 2) 200 м? Можно ли дать однозначный ответ? 925°. На термометрах показана температура в 8 ч (рис. 86, а) и в 10 ч (рис. 86, б). Выясните: 1) в каком направлении двигался столбик термометра от 8 ч до 10 ч; 2) на сколько градусов изменилась температура? Ж 926°. Нарисуйте термометр. На нём отметьте ^ температуру: -20°; -10°; +5°; +10°. 927°. Перерисуйте в тетрадь прямую (рис. 87). Отметьте на этой прямой точку В, находящуюся отточки О на расстоянии: 1) 4 клеточки; 2) 6 клеточек. Сколько точек вы получили? Ж 928°. Перерисуйте в тетрадь прямую (рис. 87). Отметьте на этой ^ прямой точку А, отдалённую от точки О: 1) на 4 клеточки влево; 2) на 6 клеточек вправо. Сколько точек вы получили? -10 -20 а б Рис.86 ж 930 га 929°. С помощью положительных и отрицательных чисел запишите утверждение: 1) температура воздуха — двенадцать градусов ниже нуля; 2) температура воздуха — десять градусов выше нуля; 3) глубина моря — один километр ниже уровня океана; 4) высота горы — один километр триста метров выше уровня океана; 5) прибыль за май составляет 4500 грн; 6) долг за апрель составляет 670 грн; 7) 560 лет до нашей эры; 8) 2013 лет нашей эры. С помощью положительных и отрицательных чисел запишите утверждение: 1) температура воздуха — три градуса ниже нуля; 2) температура воздуха — одиннадцать градусов выше нуля; 3) глубина моря — три километра ниже уровня океана; 4) высота горы — два километра триста метров выше уровня океана; 5) прибыль за неделю составляет 7000 грн; 6) долг за прошлый год составляет 854 000 грн; 7) 45 лет до нашей эры; 8) 65 лет нашей эры. Какие из утверждений являются верными: 1) каждое натуральное число является положительным; 2) каждое натуральное число является неотрицательным; 3) каждое дробное число является отрицательным; 4) о является положительным числом? Прочитайте числа: 3 931 932^ 9;-8; 0;-4,6; 7,8; 475; 114; -1- -5,45; 18,7;-96; 489. А 933°. Прочитайте числа: 0,99; -11; —; 102; 0; -35,9. Выберите среди них: 1) отрицательные числа, не являющиеся дробными; 2) неположительные дробные числа. -; 102; 0; -2 5 Какие из них являются: 1) отрицательными; 3) неотрицательными; 2) положительными; 4) неположительными? 162 Глава 4 i 934. Галя записывала показатели термометра каждое утро в течение недели. В понедельник она записала показатель -4°. Во вторник и среду температура понижалась на 1° ежедневно, а в четверг и пятницу — на 2° ежедневно. В субботу потеплело и температура повысилась на 4°. В воскресенье температура не изменилась. Какие показатели термометра записала Галя? 935. На прямой отмечены точки О, А, В. Точка А лежит правее точки О на 7 клеточек, а точка О — правее точки Б на 10 клеточек. Сколько клеточек содержит отрезок AJ5? Как расположена точка О относительно точки: 1)А; 2) В? 936. На прямой отмечены точки О, А, В. Точка А лежит левее точки о на 15 клеточек, а точка В — правее точки О на 5 клеточек. Сколько клеточек содержит отрезок АБ? Как расположена точка О относительно точки: 1)А; 2) Б? 937*. На прямой отмечены точки О, А, Б, С. Точка А лежит правее точки О на столько клеточек, на сколько точка О лежит правее точки Б. Точка С находится правее точки Б на 8 клеточек, а точка О лежит на 3 клеточки левее точки С. Сколько клеточек содержит отрезок АБ? Как расположена точка О относительно точки: 1) А; 2) Б? Выполните рисунок к задаче. 938*. На прямой отмечены точки О, А, Б, С. Точка А лежит правее точки О на столько клеточек, на сколько точка Б лежит левее точки С. Точка С находится правее точки О на 12 клеточек и левее точки А на 23 клеточки. Сколько клеточек содержит отрезок АБ? Как расположена точка О относительно точки: 1) А; 2) Б? Выполните рисунок к задаче. ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 939. Нарисуйте в тетради один из приборов для измерения величин, которые могут иметь как положительные, так и отрицательные значения. 940. Поверхность Земли разделена на 24 часовых пояса (с номерами от -12 до 12). Поясное время в смежных поясах отличается на 1 ч. Начертите в тетради и заполните таблицу 5. Таблица 5 Город Чикаго Дакар Париж Киев Астана Токио Часовой пояс -6 -1 0 2 6 9 Время (ч) 14 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 163 ш ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ Л 941. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной клеточки тетради. Отметьте на этом луче точки A{0),B{3),C{5),D{6),K{7). 942. Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче междуточками: 1)А(1) иБ(8); 2)М(5) niV(10)? 943. Найдите расстояние междуточками; 1)А(23)иБ(28): 2)С (31) hjD(41). Г § 22. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ Л в пятом классе положительные числа и число О вы отмечали на координатном луче (рис. 88). Продлим координатный луч ОХ влево от его начала. На построенном луче нанесём такую же шкалу, как и на луче ОХ (рис. 89). Получили координатную прямую. Точка О называется началом отсчёта на координатной прямой. О X о 1 Рис. 88 О -f-----^— X о 1 Рис. 89 Запомните! Прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называется координатной прямой. Стрелкой на координатной прямой указывают положительное направление. На луче ОХ отмечают положительные числа, а на противоположном ему луче — 164 Глава4 отрицательные числа. Обычно координатную прямую изображают горизонтально (рис. 90). При необходимости её можно изобразить и вертикально, и наискосок. отрицательные числа q -Ч----1----1---1---f- положительные числа X !-► Н---^^^^--------- о 1 Рис. 90 Посмотрите на рисунок 91. Вы видите, что точке D соответствует число 5, а точке Е — число -5. Началу отсчёта О — соответствует число 0. Е О В X Ч----h -5 + + + ч- + + + + ч- о 1 Рис. 91 Кратко записывают:!) (5), (—5), О (0). Читают: «Точ- ка !) с координатой 5»>, «Точка Е с координатой -5»>, «Точка О с координатой 0>>. ? Что показывает координата точки на координатной прямой с началом отсчета О? Расстояние от этой точки до точки О и направление, в котором искали это расстояние: если в направлении стрелки, то координата имеет знак «+>> (как у точки !)); если против направления стрелки, то координата имеет знак «-»> (как у точки £). Ф Обратите внимание: каждой точке на координатной прямой соответствует единственная координата. % Ф Задача 1. На координатной прямой отметьте точки: 1)А(2);2)В(-4). Реш ение. 1. Координата 2 точки А — положительное число, поэтому на координатной прямой (рис. 92) точка А размещена справа от начала отсчёта О иОА = 2 ед. 2. Координата -4 точки В — отрицательное число, поэтому на координатной прямой (рис. 92) точка В размещена слева от начала отсчёта О и ОВ = 4 ед. Узнайте больше Парад планет — астрономическое явление, когда несколько планет Солнечной системы оказывается по одну сторону от Солнца и почти на одном луче (рис. 93). Иногда говорят: «Планеты выстроились в одну линию». Во время большого парада планет в одну линию выстраиваются 6 планет — Венера. Земля. Марс. Юпитер, Сатурн.Уран. Если считатьпланету точкой на координатной прямой, а нашу планету Земля — началом отсчёта, то какие знаки будут иметь координаты других планет во время большого парада планет? Поразмышляйте самостоятельно. Венера Марс Юпитер к г. Земля Сатурн Рис. 93 Уран ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какая прямая называется координатной? 2. Как построить координатную прямую? 3. Что показывает координата точки на координатной прямой? 4. Где на координатной прямой размещают точки с отрицательной координатой? положительной координатой? 5. Как определить размещение точки на координатной прямой по её координате? 6. Как определить координату точки на координатной прямой? 7 Какую координату имеет начало отсчёта? 166 Глава 4 РЕШИТ^ЗАД^ 944'. На рисунке 94 назовите: 1) начало отсчёта на координатной прямой; 2) единичный отрезок; 3) координату точки В, 4) координату точки С; 5) координату точки D. В -t- ■4 D Н- -2 о о м ч- 1 с ч- X 945'. Какие из чисел 10; -145; 0,54; -12,1; -4- 1205; Рис.94 12 5 ' ■' 3 ' ' 7 -125; 0,128 расположены на координатной прямой справа от начала отсчёта, а какие — слева? 946'. Определите расстояние от точки А до начала отсчёта, если: 1)А(1); 2)А(3); 3)А(-1); 4)А(23); 5)А(456); б)А(-23). 947'. На сколько единичных отрезков и в каком направлении нужно двигаться от начала отсчёта, чтобы добраться до точки: 1)А(8); 2)Б(-5)? 948°. Начертите координатную прямую. За единичный отрезок примите длину одной клеточки тетради. Отметьте точки А(-3), В{2), С(-5), D{S), К{-9), Е{-2). Найдите расстояния от данных точек до начала отсчёта. ^ 949°. Начертите координатную прямую. За единичный отрезок примите длину двух клеточек тетради. Отметьте точки М(-1), N{4), F{-3), К{2,5), Ь{-4), Р(5). Найдите расстояния от данных точек до начала отсчёта. А 950°. На координатной прямой постройте точку, расположенную: 1) слева от начала отсчёта на расстоянии 2 ед.; 2) справа от начала отсчёта на расстоянии 2 ед. Определите координаты полученных точек. 951°, На координатной прямой постройте точку, расположенную: 1) слева от начала отсчёта на расстоянии 4 ед.; 2) справа от начала отсчёта на расстоянии б ед. Определите координаты полученных точек. 952°. Запишите координаты точек, удалённых от начала отсчёта на: 1) 2,5 ед.; 2) 7 ед.; 3) 8 ед. На координатной прямой постройте эти точки. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 167' ▲ 953°. Запишите координаты точек, удаленных от начала отсчёта ^ на: 1)5 ед.; 2) 10 ед. На координатной прямой постройте эти точки. 954°. Отметьте на координатной прямой три точки с положительными координатами, л ежа иди е между точками: 1)А(1)иБ(8); 2)С(-5)иБ(10). 955°. Определите координаты точек (рис. 95). Е D С О А ВХ -4- -Ч- -ч- ч- ч- 0 1 Рис. 95 Ж 956°. Определите координаты точек (рис. 96). Ч-^ В о Е М X ч- ч- ч- ч- ч- 0 1 Рис. 96 957°. Каковы единичный отрезок и координаты точек (рис. 97)? ЕЕ DO А В СХ н------ч^ ч- ч- ч- 0 ч- ч- Рис. 97 958°. Каковы единичный отрезок и координаты точек (рис. 98)? N D А О ВС MX Ч- ч- ч- ч- ч- ч- ч-^ Рис. 98 959°. Отметьте на координатной прямой четыре точки с отрицательными координатами, лежащие между точками: 1) С(-5) и jD(-1 0); 2)М(-5) \лN{^0). Ж 960°. Отметьте на координатной прямой четыре точки с дробными ^ отрицательными координатами, лежащие между точками: 1) С(-5) и Б( 12,9); 2) М(-3,2) и iV(10). 961 °. Какая из точек расположена на координатной прямой левее: 1)А(-6)илиБ(-4); 2)С(-2) илиБ(1); 3) М(-3) или iV(-5)? Ж 962°. Какая из точек расположена на координатной прямой правее: 1)А(6)илиАГ(10): 2)Б(-4) илиМ(-8): 3) С(-4) или jST(3)? 168 Глава 4 963. Начертите координатную прямую. За единичный отрезок примите отрезок длиной 3 см. Отметьте точки А(-0,5), В{2), С 1 ej V 5 6 £rf-l|j,£(1,5). Ж 964. Начертите координатную прямую. За единичный отрезок ™ примите отрезок длиной 5 см. Отметьте точки М(-1), N{0,5), П ...... W J ^ F -V К{0,2),Ь \ с/ ё 965. Отметьте на координатной прямой точку с координатой: 3 q й 1)0,2; 2)--: 3)—; 4)--. ^ ^5 10 5 Сколько клеточек удобнее принять за единичный отрезок? 966. Отметьте на координатной прямой точку с координатой: 1 • 2) • б’ 3 ’ Сколько клеточек удобнее принять за единичный отрезок? 967. Определите координаты точек (рис. 99). 1) 3)-1,5. F -f- L -4- N -Ч- М -Ч- о ч- о А -ч- в ч- с -ч- D -ч- ЕХ -Ч->^ Рис.99 ▲ 968. Определите координаты точек (рис. 100). \Ш ■! NF -ЧН- L -Ч- М -Ч-t к ч- ов чч- с -ч- А ч J0 ч- ч>- 1 Рис.100 969. Каковы единичный отрезок и координаты точек (рис. 101)? Е ч- D ч- с ч- О А ч—ч в ч- ч- X о Рис. 101 970. Запишите координаты точек, удалённых на: 1) 2 ед. от точки А(б); 2) 4 ед. от точки В(-9); 3) 3 ед. от точки С(-2,5). Jl 971. Запишите координаты точек, находяидихся на расстоянии: ® 1) 1,5ед. отточкиМ(-7); 2) 5ед. отточки N{1,2). РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 169 972. Найдите координату точки, удалённой на 5,5 ед. от точки А(-3,5) и на 3 ед. от точки В(-12). 973. На координатной прямой найдите такую точку, расстояния от которой до точек А и В равны, если: 1) А(12),В(18); 4)А(-10),Б(6); 2) А(1),В(8): 5) А(-7), В(4). 3) А(-2),Б(9): Ж 974. На координатной прямой найдите такую точку, расстояния от которой до точек А и В равны, если: 1) А(26),Б(32); 2) А(-5),Б(5): 3) А(-6),Б(-9). 975*. На координатной прямой отметьте точки на расстоянии 2 ед. от точки А(-3), а затем — точки на расстоянии 6 ед. от построенных точек. Какие точки получили? 976*. На координатной прямой отметьте точки на расстоянии 1,3 ед. от точки А(2,3), а затем — точку на расстоянии 2 ед. от построенных точек. Какие точки получили? 977*. На координатной прямой найдите такую точку, расстояния от которой доточекАиВ равны, если известно, чтоточкиАиБ делят отрезок МДГ на три равных отрезка, а координаты концов этого отрезка: М(-3), N (6,6). 978*. На координатной прямой отметили точкуА(5). От этой точки справа отложили 2 ед., от новой точки слева — 3 ед., а затем справа — 4 ед., слева — 5 ед. и так ещё шесть раз. Какую точку получили? ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 979. Вася начертил план улицы Школьной (рис. 102). По этому плану объясните, где расположена школа относительно: 1) дома № 5; 2) кинотеатра; 3) банка. Кинотеатр 9 Школа _п_ Банк ул. Школьная Рис. 102 170 Глава 4 980. На плане — улица Богдана Хмельницкого (рис. 103). По этому плану объясните, как относительно дома № 38 расположен дом: 1)№40; 2) №34. 42 40 Зв ул. Богдана 35 36 Хмельницного 33 34 31 37 Рис. 103 Ц ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 981. Вычислите: 1) (424-25 • 12)- 156: 4; 2)360 : 15 + 5 • (500-34 • 12). 982. В магазин привезли по 5 ящиков мандаринов, апельсинов и бананов. Один ящик вмещает либо 12,4 кг мандаринов, либо 14,6 кг бананов, либо 17,3 кг апельсинов. Задень продали по 3,5 ящика мандаринов и апельсинов и 3 ящика бананов. Сколько килограммов фруктов привезли в магазин? продали? осталось? Г § 23. МОДУЛЬ ЧИСЛА Отметим на координатной прямой точки А (-6), В (-2) и С (2) (рис. 104). Какая точка расположена дальше всего от начала отсчёта О? Точка А, поскольку ОА = б ед., а ОВ = ОС = 2 ед. А -f В -Ф О -f- с -f- X —>■ -6 -2 о 1 Рис. 104 Сравнивая расстояния от точек А, В и С до начала отсчёта, мы искали длины соответствуюш;их отрезков ОАу ОВ и ОС. Говорят: мы искали модуль каждого из чисел -6, -2 и 2. Итак, модуль числа -6 равен б, а модуль числа -2 так же, как и модуль числа 2, равен 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ S171 Модуль числа обозначают двумя вертикальными чёрточками: 11. Запись |а| читают: «Модуль числа а». Для чисел -6, -2 и 2 можем записать: |-б| = б, |-2| = 2, |2| = 2. Ф Обратите внимание: модуль числа показывает, на каком расстоянии от начала отсчёта находится данное число на координатной прямой. В этом заключается геометрический смысл модуля числа. Значит, модуль числа не может быть отрицательным числом, а фраза «модуль числа равен -24» не имеет смысла. ? Чему равен модуль числа О? Нулю: |0| = 0. Точки В (-2) и С (2) (см. рис. 104) расположены по-особому. Они находятся на одном и том же расстоянии от начала отсчёта О, но по разные стороны от него. Можно сказать и так: чтобы попасть в эти точки из начала отсчёта, нужно отправиться в противоположных направлениях и переместиться на одинаковое расстояние — 2 единицы. Такие числа, как -2 и 2, называют противоположными числами. Они имеют противоположные знаки, но равные модули: |-2| = |2| = 2. Запомните! Два числа, имеющие равные модули, но противоположные знаки, называются противоположными числами. Число О противоположно самому себе. ? Как записать число, противоположное данному числу? Для этого достаточно изменить знак данного числа на противоположный. Например, для числа 5 противоположным является число -5, а для числа -5 противоположным является число -f-5 = 5. 172 Глава4 ♦ 1> Задача 1 . Чему равен модуль: 1) положительного числа; 2) отрицательного числа? Решение. 1. Пусть й — положительное число. На координатной прямой такое число расположено справа от начала отсчёта О (рис. 105). Расстояние от него до начала отсчёта показывает само это число. Значит, модуль положительного числа а равен самому числу й: \а\ = а, если а — положительное число. + + + + О -ь 0 + а + X fl*- Рис. 105 2. Пусть а — отрицательное число. На координатной прямой такое число расположено слева от начала отсчёта О (рис. 106). Расстояние от него до начала отсчёта равно расстоянию до точки О от противоположного ему числа: -й. Это означает, что-й — положительное, если а — отрицательное. Итак, модуль отрицательного числа а равен противоположному числу, те. -а: \а I =-й. если а — отрицательное число. + + + а + О 1 -й Рис. 106 + + + + X Запомните! Свойства модуля числа 1. Модуль положительного числа равен самому числу. 2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. 3. Модуль числа О равен нулю. Кратко записывают: а, если а — положительное число, \а\ = <-а, если а — отрицательное число, о, если а = 0* ^Задача 3. Найдите расстояние между точками: 1) А (2) ^ и В (-7): 2) А (2) и С (7): 3)D{-2) и В (-7). РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 173 [решение. 1. На координатной прямой отметим точки А (2) и В (-7) (рис. 107). Имеем: ОА = 2 ед., ОВ = 1 ед. Поскольку данные точки расположены по разные стороны от точки О, 10АВ = ОВ + ОА = 1 + 2 = 9 (ед.). Значит, искомое расстояние равно сумме модулей координат этих точек. 7ед. 2ед, Рис. 107 2. На координатной прямой отметим точки А (2) и С (7) (рис. 108). Имеем: ОА= 2 ед., ОС = 7 ед. Поскольку данные точки расположены по одну сторону от точки О, то АС=ОС-ОА=7-2 = 5(ед.). Значит, искомое расстояние равно разности большего и меньшего модулей координат этих точек. 7ед. О X Рис. 108 3. На координатной прямой отметим точки D (-2) и В (-7) (рис. 109). Имеем: OD = 2 ед., ОВ = 7 ед. Поскольку данные точки расположены по одну сторону от точки О, то DB = = ОВ - OD = 7-2 = 5 (ед.). Значит, искомое расстояние равно разности большего и меньшего модулей координат этих точек. 7ед. В К X -7 Рис. 109 Ф Обратите внимание: чтобы найти расстояние между двум я точками по их координатам, нужно: — прибавить модули координат, если координаты имеют разные знаки; — из большего модуля координаты вычесть меньший модуль координаты, если координаты имеют одинаковые знаки. Глава4 Узнайте больше Слово «модуль» — латинского происхождения; /noc/c//as — мера. До недавнего времени вместо «модуль числа» говорили абсолютная величина. Так раньше называли «числа без знаков», противопоставляя им так называемые «относительные числа» — числа со знаками. Сейчас термины «относительные числа» и «абсолютная величина числа» считают устаревшим и и их не используют. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Что такое модуль числа? 2. Какие значения может принимать модуль числа? 3. Чему равен модуль числа О? 4. Какие числа называются противоположными? 6. Какова особенность расположения противоположных чисел на координатной прямой? 6. Что можно сказать о модулях противоположных чисел? 7. Чему равен модуль положительного числа? 8. Чему равен модуль отрицательно го числа? ш РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 983'. На каком расстоянии от начала отсчёта расположена каждая точка (рис. 110)? Чему равен модуль её координаты? Д СОА В FX -4-------\-------\------4-------\-------4- + ■4- Н------h О 1 Рис.110 984'. Может ли модуль числа быть равным: 1)0;2)-2:3)^:4)157,2:5)-зо:б) ~л) ^;8)-ioi ,i? О S) о 986'. Являются ли противоположными числа: 1)6и-6; 2)15и0; 3)28и82; 4)-56и56; 5)119и-191? 986'. Правильно ли. что противоположным числу-10 является число: 1)0; 2)-10; 3)10? 987®. На координатной прямой отметьте точку с координатой: 1)3.5; 2)-7; 3)3; 4)-6. Найдите модуль координаты этой точки. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ I I ▲ 988^. На координатной прямой отметьте точку с координатой: ^ 1) 0; 2) -5; 3) 8. Найдите модуль координаты этой точки. 989"-’. Модуль координаты точки равен: 1) 2; 2) 4; 3) 3. Какую координату может иметь точка? 990°. Модуль координаты точки равен: 1) 5; 2) 8. Какую координату может иметь точка? 991°. На координатной прямой отметьте две точки, у каждой из которых модуль координаты равен: 1) 5; 2) 4,5; 3) 2,5; 4) 1. Ж 992°. На координатной прямой отметьте две точки, у каждой ^ из которых модуль координаты равен: 1) 4; 2) 3,5; 3) 3; 4) 1,5. 993°. Каково расстояние от точки А{а) до начала отсчёта на координатной прямой, если: 4 1) I а| = 1 2)|а| = 12; 3) | а| 9 994°. Являются ли противоположными числа: 1)0,6и-|; 2)-1,4и|-; 3)1,5и|; О О 2 Ж 995°. Являются ли противоположными числа: ^ 5 2 2 5 ..2 2 _ 1)-и-; 2-и —; 3)-и — ? 2 5 5 2 '5 5 4) I а\ =3,8? 4)-2,2и-—? 5 996°. Среди чисел 32; 3 1 -0,4; -32; 4 4 ' "5 ' 4 выберите пары противоположных чисел. 997°. Какими данными нужно дополнить таблицу 6? 3 4 7= 3-6: 6,4 4 5 Таблица 6 Число 13 -6 5,7 0 -8,7 -213 14 Противоположное число -30 0,8 -2,6 998°. Запишите число, если противоположное ему число равно: 1)5,6; 2)|; 3)0; 4)-5. О Д 999°. Запишите число, противоположное числу: 1)41; 2)-7,2; 3)2^; 4)-8,09. О 1000°. Найдитер, если: 1)-/? = 9; 2)-р = -20; 3)-р = 0,4] 4)-р = 0. 176 Глава 4 :Ж 1001°. Найдите-X, если: И 1)х = 9,5; 2)х = -6: 4)х = 38. 3)х = -30; 1002°. Решите уравнение: 1)-х = 34; 2)-х = 5; 3)-х = -65; 4)-х = -8. Ж 1003°. Решите уравнение: ^ 1)-х = 28; 2)-х = 2; 3)-х = -8б; 4)-х = -5. 1004°. Какими данными нужно дополнить таблицу 7? Таблица 7 Число 13 -6 5,7 0 -8,7 4? 9 -211 14 -0,8 -2,6 700 Модуль числа й 1005°. Найдите модуль числа: 1)7; 4) 0; 7) 100; 10)0,01 2)-8; 5)- -1; 8) -250; 11)2,8; 3)-42; о. 6) - 9) } 12)-l| { 17 3 °. Вычислите: 1)|-ЗИ-4| 3) |0| 1-5|; 5) 8 9 ■ I-9I; 2)|28|; |7|; 4) 1 2 + |2|; 6)1 144| : |-12|. °. Найдите сумму и произведение модулей чисел: 1)-0,6иЗ; 3)44 и-12; 5)- -22 и 5; 2)-24 и 12; 4) -15 и-5; 6)- -6и 16. Ж 1008°. Найдите сумму и произведение модулей чисел: Н 1)6и-3; 2)24и-12; 3)-44и12; 4)-Зи-25. 1009°. Укажите числа, модуль которых равен: 1)18; 2)5,4; 3)12,1; 4)254; 5) |; 6) 7^. ж 1010°. Укажите отрицательное число, модуль которого равен: И 1)24; 2)0,4; 3)14,25; 4)311. 1011°. Решите уравнение: 1) |л:| = 15; 3)|ж|=4,5; 2) 1x1 = 100; 4) |х 1=7,2; 5) I X I = 1 6) |х| =0. 6 7 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ_______ 1012°. Решите уравнение: ^)\x\ = ^] 2)|х| = 125; 3)|х|=7,8: 4) |л:| 1013°. Вычислите значение выражения: 1) 5 + 8 • I X I, если: а) х = 0,4; б) х = - 0,4; 2) 17-16 - I X |,если:а)х = |; б)х = -|. 1014°. Найдите число, противоположное значению суммы: 1) |15| + |38|; 3)|43|+|-28|: 2) I-16I +|11|; 4)|-101| + |-6|. ^ 1015°. Найдите число, противоположное значению разности: ^ 1)|14|-|12|; з)|61|-1-31|; 2)1-21 |-|21|; 1016°. Какими данными нужно дополнить таблицу 8? Таблица 8 а 15 7,8 90 0 -23,4 1 9 -2^ 7 -0,01 -200 -а а -а - а - -а\ Какую закономерность вы заметили? 1017°. Сравните модули чисел: 1)-41 и 41 2)-2,5 и 2,5; 3)0,2и- 1 4)-1,5и 1,5. 1018°. Пользуясь координатной прямой, обоснуйте, что: |а|= |-а|. 1019°. Найдите расстояние между точками: 1) А(25) и В(23); 2) С(-2) и В(8); 3) М(-14) и N{-4). 1020. Определите единичный отрезок координатной прямой на рисунке 111, если модуль координаты точки А равен: 1) 3; 2) 2. А -f- О -ч- X О Рис. 111 178 Глава 4 1021. Определите единичный отрезок координатной прямой на рисунке 112, если модуль координаты точки В равен: 1) 4; 2) 6. О вх ■4--^^^^^^^^^^---------------------------1--- О Рис.112 1022. Пользуясь координатной прямой, объясните суть утверждения; 1) число, противоположное положительному числу, является отрицательным; 2) число, противоположное отрицательному числу, является положительным. 1023. Найдите число, противоположное числу, которое является противоположным числу: 1) 36; 2)217; 3)-96; 4)-127. 1024. Чему равно \а\ + а, если-а = -5,002? 1025. Начертите в тетради и заполните таблицу 9. Таблица 9 X 13 0 -8,7 23 -0,5 -8 -2,6 -7 у 5 0 0 -23 2 3 -7,4 -23 \х\ + |l/ Какую закономерность вы заметили? Д 1026. Вычислите: 1)(|-11|-|-12|:3): 1(21 : |-7| + 1,6)1 2) 1-251 : 1-51 + + 1-0,51 1027. Верно ли, что: 1) противоположным числу |-3| является число-3; 2) противоположным числу 4 является число-|-4|? 1028. Существует ли такое число а, что: 1) |а I = -|а|; 2) |-а| =-|а|? Если да, то приведите пример. 1029. Решите уравнение: 1) |х|-70 = 30; 3) |х|-32 = 79; Ь)\-х\ =-4; 2) |х|+55 = 68; 4)|-х| =54,9; 6)-|х| =-12. Д 1030. Решите уравнение 1)|-х|=4,2; 2)|-х|=-115; 3)|-х|=0; 4)11 + |х|=43. 1031. Найдите: 1) 20 % от числа |-1001; 2) 75 % от числа |-2501 + 112501. А 1033. Во сколько раз расстояние между точками А (-62) и М (-7) больше расстояния между точками В (1,4) и С 1034*. При каком значении а число, равное значению выражения 2а- 8, является противоположным себе? 1035*. Решите уравнение: 1) ||х|+2| =0; 3) I 4-х I + 128 = 0; 2) ||х|-5| =0; 4) |-x| +3=125. 1036*. Решите уравнение: 1)3 •|х| + 4= |л:|+8: 2)2 •|x|-6 = i-x|: 3)4 •|л:-2|= |2-л:|. 1037*. На координатной прямой (рис. 113) отмечены точки, со-ответствуюицие числам 1 и а. Перерисуйте рисунок в тетрадь и отметьте точки, соответствующие числам | а |, 2 ] а |. -4- -4- X ->■ а 0 1 Рис. 113 1038*. Найдите расстояние между точками: 1) А(|а-1|+4)иВ(|-а+1|); 2) А (-|а|) и В (|2а|), если расстояние между точками М (а) \aN (-5а) равно 6 и а — положительное число. 1039*. Упростите выражение: |а I + |а + 21 - 2, если а — положительное число. з ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1040. Из пункта А в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Первый выехал вправо от пункта А и двигался со скоростью 60 км/ч. Второй за 2 ч проехал 100 км влево. Каким будет расстояние между автомобилями через 2 ч после начала движения? 1041. Из пункта А в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Первый из них проехал 15 км влево от пункта А. Второй проехал 23 км вправо, но потом вернулся на 5 км назад. Какой велосипедист оказался на меньшем расстоянии от пункта А? 180 Глава 4 67 1 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ Q 1042. Назовите натуральные числа, меньшие 23 и большие 15. 1043. Назовите наибольшее натуральное число, которое меньше 1044. Выполните действия: 1) 217 м 7 дм 6 см + 95 м 34 см; 2) 734 кг88бг-115кг 978 г; 3) 1 сут 23 ч 56 мин + 4 сут 1 ч 24 мин; 4) 4 сут 6 ч 15 мин 45 с - 2 сут 23 ч 54 мин 20 с. 24. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИС В 5 классе вы изучали натуральные числа. Это числа, используемые для счёта: 1; 2; 3; 4; ... . Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел. Его обозначают буквой N. Множество N содержит бесконечно много элементов^ поскольку натуральных чисел бесконечно много. Кратко это записывают так :ДГ = {1;2;3;4;...}. Кроме множества натуральных чисел, существуют и другие числовые множества. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел. Его обозначают буквой Z. Множество целых чисел также содержит бесконечно много элементов. ^ Кратко это записывают так: Z = {... - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; ...}. Каким бы ни было натуральное число, оно является элементом множества целых чисел. Однако не каждое целое число является элементом множества натуральных чисел. Действительно, любое отрицательное число, противоположное натуральному числу, является элементом множества целых чисел. Но такое число не является натуральным. Соотношение между целыми и натуральными числами показано на рисунке 114. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 181 I I ? Можно ли считать, что положительные целые числа являются натуральными числами? Да. Кроме целых чисел, вы знаете ещё и дробные числа. Некоторые из дробей обозначают целые числа, а некоторые — нет. Например, дробь равна целому числу 4 -2. Считают, что — и -2 — это разные записи одного 2 4 числа. Можно также сказать, что — это число -2, за- 2 писанное в виде дроби. А вот число — даже после со- 4 кращения дроби останется дробным. Ф Обратите внимание; не все числа, записанные в виде дроби, являются дробными. Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел. Его обозначают буквой Q. Множество рациональных чисел также имеет бесконечно много элементов. Соотногиение между натуральными, целыми и рациональными числами показано на рисунке 115. 1 R9. Глава4 63 1 Залача 1. СррдичиоапR. — ,-3, — укяжитр' 21 5 1) натуральные числа; 2) целые числа; 3) рациональные числа. [> Решение. 63 63 1. Натуральными являются числа 5 и —. поскольку — = 3. 63 2. Целыми являются числа 5. -3 и —. 63 1 3. Рациональными являются числа 5. Ф Обратите внимание: — каждое натуральное число является и целым числом, и рациональным числом — каждое целое число является рациональным числом; — не каждое рациональное число является целым числом; — не каждое рациональное число является натуральным числом. А Задача 2. На координатной прямой отметьте такую точку ' между точками А (2) и В (-4). у которой координата является: 1) отрицательным целым числом; 2) положительным рациональным числом, tj Решение. Построим координатную прямую и отметим на ней точки А и В (рис. 116). £ М -ЬЧ—^—h О 4- £ А 4- Н—^^^^ X -4 -3-2-10 1 2 Рис.116 1. Между точками А (2) и В (-4) всего пять точек имеют целые координаты:-3.-2,-1,0.1. Искомая точка, у которой координата — отрицательное целое число, лежит между точкам и В и О. Это, например, точкаМ(-3). 2. Вообще, между точками А (2) и В (-4) находится бесконечно много точек с рациональными координатами. Искомая точка, у которой координата — положительное рациональное число, лежит между точкам и О и А. Это. например, точка В (1,5). Ф Обратите внимание: между двумя числами на координатной прямой лежит бесконечно много рациональных чисел. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД 183 Узнайте больше Понятие «множество» — одно из первичных понятий математики. Множество можно создавать не только из чисел, но и любых других объектов. Например, конфеты в коробке тоже образуют множество, и каждая конфета — его элемент. Для обозначения множеств обычно используют большие латинские буквы Л В, С... .Множество, которое не содержит ни одно го элемента, называется пустым множеством. Для его обозначения используют специальный знак: 0. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Какие числа относятся к натуральным? 2. Как обозначают множество натуральных чисел? 3. Какие числа относятся к целым? 4. Как обозначают множество целых чисел? 5. Какие числа составляют множество рациональных чисел? 6. Как обозначают множество рациональных чисел? 7. Какое целое число не является отрицательным и не относится к натуральным числам? 8. Как связаны между собой натуральные, целые и рациональные числа? РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J 1046'. Назовите четыре; 1) натуральных числа; 3) рациональных числа; 2) целых числа; 4) дробных числа. 1046'. Верно ли утверждение 1) -11 — целое число; 2) 5 — рациональное число; 3) -11 — натуральное число; 4) 5 —натуральное число; luju —цслис '1иили. 5) -11 — рациональное число; 11)-9,4 — натуральное число; 6) 5 —целое число; 12) О — натуральное число? 1047'. Права ли Ира. утверждая, что: 1 5 1)-——рациональноечисло; 3)3— — 7) -9.4 —целое число; 8) О — рациональное число; 9) -9.4 — рациональное число; 10) О —целое число; 21 45 2)—-—целое число; • рациональное число; 0 4)----натуральное число? 184 Глава 4 1048°. Какое из утверждений верно: 1) каждое натуральное число является целым числом; 2) каждое натуральное число является рациональным числом; 3) каждое целое число является рациональным числом? 1049°. Среди чисел 9; -8; 0; -4,6; 7,8; -475; 1143; -2-; -5,45; -96 5 выберите: 1) натуральные числа; 2) целые числа; 3) положительные числа; 4) целые отрицательные числа; 5) неположительные рациональные числа. й 1 96,3; 0; -25; 283; 4,78; 11 и ~6 ё ё 1050°. Среди чисел 1; —; 3 56; -85; 7^ ; 2577 выберите: 1) целые числа; 2) целые положительные числа; 3) целые отрицательные числа; 4) дробные числа; 5) рациональные числа; 6) дробные отрицательные числа. 3 1051°. Среди чисел 534; -2,02; 0; — ; 33,01 выберите: 4 1) натуральные числа; 2) целые числа; 3) рациональные числа. 1052°. Приведите пример числа, которое: 1) является целым, но не является натуральным; 2) является рациональным, но не является целым и не является положительным. 1053°. Сколько целых чисел и сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами: 1)-12и12; 2)-62и62? 1054°. Сколько натуральных чисел и сколько целых чисел можно отметить на координатной прямой между точками: 1)А(12)иБ(28); 2) С(-3,5) и D(-12,9); 3)М(-3,2) и АГ(10)? Назовите эти числа. 1055°. Сколько целых чисел можно отметить на координатной прямой между точками: 1 )А{2) и В(2,5); 2) С(-5) и 7)(-12,9)? 1056°. На координатной прямой отметьте все положительные ^2 целые числа, лежащие левее числа 7 —. 5 1057°. На координатной прямой отметьте все натуральные числа, лежащие левее числа 5, а также числа, противоположные им. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 185 1058®. Запишите все целые числа, модуль которых меньше числа: 1)3; 2)4,5: 3)1,25. 9._6. ^._15 3’ 2’ 8 ’ 5 являются: 1) целыми; 2) дробными; 3) натуральными; 4) рациональными? 1 1059. Какие из чисел 6; -11; —; 0,8; -1004; -1 -; 3 - 6 9 2 й 1060. Среди чисел, противоположных числам 15; -71; 0; -1,1; 4,05; выберите: 1) натуральные числа; 3) целые неположительные числа; 2) целые числа; 4) рациональные числа. _7_ 7 ’ 35’ 7 ’ 35 1) целыми, но не натуральными; 2) дробными, но не положительными; 3) рациональными, но не целыми? 1062. Модули каких целых чисел заключены между числами: 1)12и15; 3)-10и1; 5)58,би59,1; 7 1061. Какие из чисел-3; 1230; -- -2,8 являются: 2)-2 и 2; 4) 19 и 22; 17 17 1063. Верно ли равенство: 1) I а I = -а, если а — рациональное число; 2) I а I = а, если а — натуральное число; 3) I X I = -X, если X — целое число; 4) I X I = -X, если X — натуральное число? 1064. Верно ли равенство: 1) I а I = а, если а — рациональное число; 2) I X I = X, если X — целое число? 1065. Укажите такие целые значения а, при которых между числами -а и а заключено только одно целое число. 1066*. Существует ли такое значение а, при котором между числами -2а и а на координатной прямой: 1) лежит ровно сто целых чисел; 2) не лежит ни одного числа? Приведите пример. 1067*. Для каких натуральных чисел х\лу верно равенство: |л| + | 1/1=6? 1068*. Для каких целых чисел х\лу верно равенство: |л 1 + 1 у 1=8? 186 Глава 4 L ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1069. Может ли существовать класс, в котором половина учащихся изучаеттолько испанский язык, четверть —только немецкий, седьмая часть — только французский язык, кроме того, есть ещё три ученика, изучающих только китайский язык? 1070. Может ли существовать класс, в котором треть учеников играет только в футбол, четверть — только в баскетбол, восьмая часть — только в теннис, кроме того, есть ещё пять учеников, которые не занимаются спортом? Ill ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 1071. Сравните значения числовых выражений: 1) 400 094-20900 + 6И401 543-11 267 + 190; 2) 300 005-23000 + 5И3230005 : 5 + 2. 1072. Сравните числа: 1) 1,713 и 1,709; 2)0,25и -;3) - и 8 6 7 1073. Саша задумал три числа. Сумма этих чисел равна 61,5. Сумма первого и второго чисел равна 40,2, а сумма первого и третьего — 29,8. Какие числа задумал Саша? г § 25. СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Со сравнением рациональных чисел вы встречаетесь едва ли не ежедневно. Например, зимой, когда на улице мороз -15°, о температуре воздуха говорят, что она меньше нуля: -15° < 0°. В оттепель, когда воздух прогрелся до +5°, говорят, что температура стала больше нуля: +5° > 0°. Понятно, что температура -15° ниже (меньше), чем температура +5° (рис. 117): -15° < +5°. Вообгце, любая отрицательная температура всегда Рис. 117 меньше положительной. 10 ^0 -20 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ HAQ НИМИ Т 187 Сравним числа 9, -4 и -2,5 с помощью координатной прямой. Для этого отметим на ней точки А, В и С, соответствующие этим числам (рис. 118). Как видим, правее всех расположена точка А (9). Значит, число 9 — наибольшее. Левее всех расположена точка Б(-4), поэтому число -4 — наименьшее. Можем записать данные числа в порядке возрастания: -4; -2,5; 9. £ С О АХ -Ь-+—h—b Ч- -4 -2,5 о 1 н—^^—h -4- Рис. 118 Запомните! 1. Сравнить два рациональнык числа — значит установи 1ь, какое из них больше, а какое — меньше. 2. Из двух рациональных чисел большим является то число, которому соответствует точка на координатной прямой, расположенная правее. Результат сравнения рациональных чисел записывают с помощью числовых неравенств. Например: -4 < 9; 9 > -2,5; -4 < -2,5 < 9. Задача 1 . Какие целые числа больше-5 и меньше 6,8? Решение. Отметим точки А (-5) и В (6.8) на координатной прямой (рис. 119). На ней искомые числа расположены между координатами точекА и В. Это числа-4. -3. -2. -1.0.1.2. 3.4. 5,6. АО £ X ■i—I-1--1-1—4—I---1--1-1--1-1—Н--h .-3 -2 -1 О 1 2 S Рис. 119 4 5 8 6,8 Какую закономерность заметим, сравнивая с числом -5 отрицательные числа-4, -3, -2, -1? Числа от -5 до -1 увеличиваются, но их модуль уменьшается. Для положительных чисел 1, 2, 3, 4, 5, б закономерность иная — и числа увеличиваются, и их модули увеличиваются. - Глава4 Но число О всегда больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного числа. Вообще» для сравнения чисел не обязательно строить координатную прямую. Запомните! Правила сравнения рациональных чисел 1. Отрицательное число всегда меньше положительного числа. 2. Число О меньше положительного числа, но больше отрицательного числа. 3. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. 4. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. iJ' Если число а положительное, то записывают: й > 0. Если число а отрицательное, то записывают: й < 0. Если число а неположительное, то записывают: й < 0. Если число а неотрицательное, то записывают: й > 0. ? Верно ли, что любое рациональное число всегда больше противоположного ему числа? Нет. Например, для числа-5 противоположным является число 5, но-5 <5. т Обратите внимание: чтобы опровергнуть некоторое утверждение, достаточно одного примера. IP Узнайте больше Древнейшей математической деятельностью был счёт. Число 0 не использовали. Индейцы племени Майя первыми применяли специальный символ для обозначения нуля. но он имел не то толкование. к которому мы привыкли. Нуль у Майя означал начало. Цифра нуль, которой мы сейчас пользуемся, пришла к нам из Индии. Нуль записывали кружочком. Индийские учёные осуществили революцию в математике, определив нуль не как отсутствие числа, а как число. Первая запись с использованием нуля датируется 876 годом. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 189 I I ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Что значит — сравнить два рациональных числа? Как сравнить числа с помощью координатной прямой? Как сравнить отрицательное и положительное числа? Какие числа больше нуля? меньше нуля? Какое из двух положительных чисел больше? меньше? Какое из двух отрицательных чисел меньше? больше? Как записать, что число является положительным? отрицательным? неположительным? неотрицательным? РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1074'. На координатной прямой отмечены числа 5 и -7 (рис. 120). Какое из них расположено правее? Какое изданных неравенств является верным; 1) 5 > -7; 2) 5 < -7? О X —н- -7 -I- -4- 1 о Рис. 120 1075'. На координатной прямой отмечены числа-3 и-6 (рис. 121). Какое из них расположено левее? Какое из данных неравенств является верным; 1) -3 > -6; 2) -3 < -6? О X -f -6 -3 ч- 1 о Рис. 121 1076'. Является ли верным утверждение; 1) отрицательное число всегда больше положительного 2) положительное число всегда больше отрицательного 3) число О больше положительного числа; 4) число О меньше отрицательного числа? 12 5 0,128 расположены на координатной прямой справа от числа О а какие — слева? 1078°. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней три точки координата каждой из которых — рациональное число, лежащее; 1) правее числа-2; 2) левее числа-2. Запишите соответствующие неравенства. 1077°. Какие из чисел 1 -89: |;0,54; -52,8;-4|; 245;-95; 190 Глава 4 :Ж 1079°. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней три ^ точки, координата каждой из которых — натуральное число, лежащее от числа 5,2: 1) справа; 2) слева. Запишите соответствующие неравенства. 1080°. Опираясь на координатную прямую, сравните числа: 1)-2 и 0; 2) 2,5и 0; 3)-8 и 6; 4) 2 и-9; 5) 1 и 0; 6)-5и 0,5. 1081°. Приведите пример целого числа, которое: 1) меньше числа -9; 2) меньше числа 23; 3) меньше числа -5 и больше числа -9. Ж 1082°. Приведите пример натурального числа, которое: 1) больше И числа 79; 2) меньше числа 58; 3) меньше числа 4 и больше числа -1. 1083°. Составьте неравенство для чисел: 1) 2 и -4; 2) -45 и 6; 3) -3,45 и 3,4; 4) 2,3 и -3,2; 5) | и -0,2. Д 1084°. Составьте неравенство для чисел: 1)77 и-99; 2)-0,004 и 0,00003; 1085°. Сравните с нулём число: 3)-- и -2 5 1)4,4; 2)-3,1; 3)438; 4)-438; 5)0,005; 6)- Запишите соответствующее неравенство. 5 1086°. Сравните с нулём число: 1) 6,04; 2) - 0,0001; 3) -1у. Запишите соответствующее неравенство. 1087°. Сравните числа: ё 1) -72 и-32; 2) -4,2и-4,201; 3) -1,2и-|; 5 1088°. Сравните числа: 4) -0,25и- 5) -0,25и- 6) -5,6 и- 2 ~4 'з’ 32 7)-6,4 и 32 1 1) -34,2 и -9,99; 2) -3,5 и ; 3) -- и 2 5 8) -0,6 и 5 9) — и — ^ 3 7 9 —; 4) — и 3 2 9 1089°. Сравните числа: 1) 5,6 и 5,01; 2) -5,6 и 5,01; 3) 5,6 и -5,01; 4) -5,6 и -5,01. 1090°. Расположите числа-10; 9; 45; - 6,7; -31,4; 0,08; 0; -12,5 в порядке: 1) возрастания их модулей; 2) их возрастания. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ й 1091°. Расположите числа -72: 13: 0,79: 10 -14: 0: -1,07 А и в порядке: 1) убывания их модулей: 2) их убывания. 1092. Запишите все натуральные значения х, при которых: \)2>х\ 2)2>х\ 3)-5<х<10: 4)л:>6их<7. 1093. Найдите все целые значения х, при которых: 1 3 1)-0,5 < X < 0,6: 2)-56 <х<-41: 3)х>-1- их< - . 1094. Запишите все натуральные числа, модуль которых не боль- 3 ше числа: 1)8:2) 4,3: 3)2—. 5 1095. Запишите все целые числа, модуль которых не больше числа: 1)4,9: 2)10. 1096. Приведите пример рационального числа, которое: 1) меньше 0,1 и больше 0,01: 2) меньше----и больше -14—. ^ 7 7 1097. Найдите все целые числа, которые: 1) больше -28,9 и меньше -21: 2) меньше 1 - и больше -0,6. 5 1098. Найдите все целые значения х, для которых: 1)-12<х<4и-4,5<х<8:2)-5<х<10и-6<х<0. 1099. Отметьте на координатной прямой все целые значения х, при которых верным является неравенство: 1)|х|<7: 2)|х|<7: 3)|х|<7,2. 1100. Найдите все натуральные значения х, при которых верным является неравенство [х] < 10. 1101. Отметьте на координатной прямой все целые значения х, при которых верным является неравенство: 1)1- <х<5,8: 2)1- < |х| <5,8. 5 5 1102. Расположите в порядке убывания числа: -2,6;-10,721;-62; |-4,2|;4,3; ^;-0,2; -2^ ;-1,25; |4,29| 1103. Расположите в порядке возрастания числа: 0,75;-1-0,21;^,3; |-4,2|;4,3; 1:;-0,21 •1,25;-|1,1|; |0| 192 Глава 4 1104, Расположите в порядке возрастания корни уравнений: 1)-х = 4,2: 3)-х = -35; 5)-x=-|; 2)-х = -18,4; 4)-x = -^0; 6) -X = 4 ё 9 1105. Расположите в порядке убывания корни уравнений: 1) -х = 2,7; 3)-х = -3,01; 2) -х = -2,4; 4)-х = 0. 1106. Верно ли, что любое рациональное число всегда больше числа, обратного ему? 1107*. Найдите наименьшее целое значение х, для которого верным является неравенство: 1)-1,3< |х| <73,8; 2)0,5< |х| <22,2. 1108*. Что больше: 1) число или модуль данного числа; 2) число или противоположное ему число? 1109*. Отметьте на координатной прямой шесть чисел, для которых верным является неравенство: 1) I х+2 I >4; 2) I х + 5 I > 10. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1110. Запишите показатели уличного термометра за неделю. Расположите полученные данные в порядке возрастания. 1111. У Лены было 15 грн 85 к. Придя в магазин, она растерялась: «Что купить?» Помогите девочке посчитать, хватит ли у неё денег на: 1) 4 пачки мороженого по цене 3,85 грн; 2) 300 г конфет по цене 54 грн 70 к. за килограмм. Какая из покупок будет стоить больше? 2 ЗАДАЧИ^НАПОВТОР^^ 1112. Какая из сумм меньше: 48 577 + 5877 + 3 или 9653 + 4988 + 5207? 1113. Вычислите: 1) 16 2 2l’^3 1- 7 2) 7 8'^16 Л 24 30 1114. Вычислите: 1) 6,8 + 7,4 + 0,78 + 13 + 0,62; 2) 3,4 + 0,876 + 4,6 + 0,824 + 36. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Г § 26, СЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ I I ■> Каждое рациональное число характеризует его модуль и знак. Поэтому для сложения двух рациональных чисел важно выяснить, каким будет модуль и знак суммы в зависимости от модулей и знаков слагаемых. Для положительных чисел эта связь очевидна, поскольку сумма двух положительных чисел является числом положительным. ? Как к отрицательному числу прибавить положительное число? Поразмышляем, опираясь на координатную прямую. Пусть нужно сложить числа -4 и 5. На координатной прямой отметим точку, соответствуюш;ую числу -4, и отложим от неё вправо 5 единиц (рис. 122). Видим, что в результате получили точку с координатой 1. Значит: -4 + 5 = 1. Пусть нужно сложить числа -5 и 4. На координатной прямой отметим точку, соответствуюплую числу -5, и отложим от неё вправо 4 единицы (рис. 123). Видим, что в результате получили точку с координатой -1. Значит: -5+4 = -1. +4 X -5 1 -1 о Рис. 123 Получается, что при сложении чисел -4 и 5 и чисел -5 и 4 модули слагаемых мы не прибавляли, а вычитали, причём из большего модуля вычитали меньший. А знак суммы получили такой же, как у слагаемого с большим модулем. 194 Глава 4 ? Изменится ли сумма чисел с разными знаками, если их складывать в другом порядке — к положительному числу прибавлять отрицательное? Нет, сумма не изменится. Используя координатную прямую, попробуем поразмышлять по-другому. Пусть к числу 4 нужно прибавить число -5. На координатной прямой отметим число 4. Число -5 противоположно числу 5, поэтому и откладывать его на координатной прямой нужно не вправо, а в противоположном направлении, то есть влево. Отложим от числа 4 влево 5 единиц. Получили число-1 (рис. 124). Значит: 4 -ь(-5) = -1. +(-5) X -1 о 1 4 Рис.124 Сравним этот результат и результат, полученный в предыдущем примере. Видим, что: -5 + 4 = 4+(- 5) = -1. Запомните! Правило сложения чисел с разными знаками Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, нужно: 1) найти модули слагаемых; 2) из большего модуля вычесть меньший модуль; 3) перед полученным числом поставить знак того из слагаемых, модуль которого больше. ? Как сложить два отрицательных числа? Будем рассуждать аналогично последнему примеру. Пусть к числу -4 нужно прибавить число -5. На координатной прямой отметим число -4. Отложим от него в направлении, противоположном направлению стрелки, то есть влево, 5 единиц. Получили число -9 (рис. 125). Значит: -4 + (-5) = -9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ +(-5) -К -4 Рис. 125 О 1 -9 Запомните! Правило сложения чисел с одинаковыми знаками Чтобы найти сумму двух чисел с одинаковыми знаками, нужно: 1) найти модули слагаемых; 2) сложить модули слагаемых; 3) перед полученным числом поставить знак слагаемых. X ? В чём особенность сложения противоположных чисел? Поразмышляем. Посмотрите на рисунки 126 и 127. Вы видите, как складывали противоположные числа - 3 и 3. Когда к числу -3 прибавили число 3 (рис. 126) или к числу 3 прибавили число -3 (рис. 127), то получили число 0. Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки. Поэтому, по правилу сложения чисел с разными знаками, модуль суммы противоположных чисел -3 и 3 — это разность модулей этих чисел, а она равна 0. Можем записать: -3 + 3 = |-3|-|3| = 3-3 = 0 или 3 + (-3) +3 3 - -3 =3-3 = 0. -3 X о 1 Рис. 126 о 1 Рис. 127 X 196 Глава4 Ф Обратите внимание: сумма двух противоположных чисел равна 0: -а + а = 0 или а + {-а) = 0. Задача 1. Вычислите: 1)-2.5 + 5.7; 2)-2.5 + (-5.7). [> Решение. 1) -2.5 + 5.7= + (5.7-2.5) = 3,2. 2) -2.5 + (-5.7) = -(2.5 + 5.7)=-8.2. Ф Обратите внимание: изменение числа зависит оттого, какое число к нему прибавляют; — если прибавляют положительное число, то данное число увеличивается; — если прибавляют отрицательное число, то данное число уменьшается. ? Справедливы ли переместительный и сочетательный законы сложения для рациональных чисел? Да. Для любых рациональных чисел а,Ъи е: а-\-Ъ = Ь-\- а — перемееШ1сшельный закон сложения; (й + Ь)+с=й + (Ы- (?) — еочешашельный закон сложения. Задача 2. Найдите сумму-2.8 + 3.2+(-1.2)+5.8. ij Решение. Задачу можно решить двум я способами. Способ 1. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаками и вычислим сумму: -2.8 +3.2 +(-1.2)+ 5.8 = = (-2.8+(-1.2))+(3.2+ 5.8) = = -4 + 9=5. Способ 2. Сгруппируем слагаемые с разными знаками и вычислим сумму: -2.8 +3.2 +(-1.2)+ 5.8 = = (-2.8 + 5.8)+(3.2+(-1.2)) = = 3 + 2 = 5. Если одно из слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому: й + 0 = 3 + (г = (г. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД Узнайте больше 197 Индийский математик Брахмагупта (VII в.) использовал следующие правила для сложения положительных и отрицательных чисел. Рассуждение Современное правило сложения Сумма имущества и имущества является имуществом Сум м а двух положи тельных чисел является числом положительным Сумма долга и долга является долгом Сум м а двух отри цательных чисел является числом отрицательным Сумма имущества и долга равна их разности Сумма двух чисел с разными знаками равна разности их модулей и имеет знак большего по модулю слагаемого Сумма имущества и такого же долга равна нулю Сумма двух противоположных чисел равна нулю ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Как СЛОЖИТЬ два числа с одинаковыми знаками? 2. Как сложить два числа с разными знаками? 3. Какой знак имеет сумма двух отрицательных чисел? двух положительных чисел? 4. Запишите переместительный закон сложения. Приведите пример. 5. Запишите сочетательный закон сложения. Приведите пример. 6. Чему равна сумма противоположных чисел? 7. Чему равна сумма, если одно из слагаемых равно нулю? а РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1116'. Нужно сложить числа-18 и 3. 1) Чему равен модуль числа-18: а) 18; б) -18? 2) Чему равен модуль числа 3: а) 3; б)-3? 3) Модули чисел нужно: а) сложить; б) вычесть? 4) Модуль какого числа больше: а) -18; б) 3? 5) Каким будет модуль сум мы: а) 21; б) -21; в) 15; г) -15? 6) Каким будет знак суммы: а)«+» ; б)«-»? 7) Назовите число, являющееся суммой данных чисел. 198 Глава 4 1116'. К числу 3 прибавили число - 6. Верно ли это показано на координатной прямой: 1) рис. 128; 2) рис. 129? 6 ед. ~ X Рис.128 6 ед. X ^^-------- О 1 3 Рис.129 1117'. Нужно сложить два числа -5 и -25. 1) Чему равен модуль числа -5: а) 5; б) -5? 2) Чему равен модуль числа -25: а) 25; б) -25? 3) Модули чисел нужно: а) сложить; б) вычесть? 4) Нужно ли определять, модуль какого числа больше? 5) Каким будет модуль суммы: а) 30; б) -20; в) 20; г) -30? 6) Каким будет знак суммы: а) «+» ; б) «-»? 7) Назовите число, являющееся суммой данных чисел. 1118'. Дима рассуждает так: поскольку |-10| = 10, |-12| = 12, то сумма -10 + (-12) является положительной. Прав ли Дима? 1119'. Нужно сложить два числа 21 и -21. 1) Какими являются эти числа: а) равными; б) противоположными? 2) Сумма данных чисел равна: а) 42; б) -42; в) 0? 1120'. Верно ли утверждение: 1) число 56 увеличится, если к нему прибавить -45; 2) число 71 увеличится, если к нему прибавить 45; 3) число 4,1 уменьшится, если к нему прибавить-0,1; 4) число 23 уменьшится, если к нему прибавить -4,1 ? 1121'. Верно ли, что: 1)-57 + 0 = 57; 2) 0+ (-34) = -34? 1122°. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней число -10. Покажите на координатной прямой, как увеличить данное число: 1) на 4; 2) на 6; 3) на 10. Какое число получили? 1123°. По данным таблицы 10 найдите сумму. Таблица 10 Первое слагаемое 10 -20 11 -9 -20 Второе слагаемое -70 13 -42 6 33 Сумма ▲ 1125°. Найдите сумму: ^ 1)10 + (-6): 2)99 + (-1); 3) 23 + (-7); 4) -2,08+ 0,92; 1126°. По данным таблицы 11 найдите сумму 5) 84,09+(-4): 6) 5,6 +(-8,7). Таблица 11 Первое слагаемое -10 -20 -11 -9 -20 Второе слагаемое -70 -13 -42 -6 -33 Сумма 1 А' А' 127°. Найдите сумму 1) -44 + (-б); 2) -207+ (-97): 3) -12 + (-11); 128°. Найдите сумму 1) -634+ (-43): 2) -100+ (-567); 129°. Вычислите: D-1 +(-5): 2) -1 +5; 3) 1 + (-5); 4) 1 + 5: 130°. Вычислите: 1) 45 + 5,2; 2) -45+ (-5,2): 4) -78+ (-13); 5) -5+ (-8,15); 6) -6,89+ (-68,9): 3) -9+ (-4,231): 4) -2,39+ (-2,01): 5) 8,05 + 2,95; 6) -8,05+ (-2,95); 7) -8,05+ 2,95; 8) 8,05+ (-2,95). 7) -0,02+ (-0,2); 8) -7,7+ (-8,7): 9) -0,89+ (-0,01). 5) -7,9+(-0,1); 6) -53,07+(-46,93). 1 1 1 3) -45+ 5,2; 4) 45+ (-5,2). 131°. Найдите значение суммы а + с, если; 1) а= 10, с = -28; 2) а = -0,25, с = -0,75. Чему равна сумма с + а? 132°. Найдите значение суммы а+ ф + с), если: 1) а = -22, b = 2,c = -Q; 2) а = 6, Ь = -6, с = -4. Чему равна сумма (а + &) + с? 133°. Используя переместительный и сочетательный законы, выполните сложение удобным способом: 1) -2 + (-3) + (-8) + (-7): 3) -119 + 19,7 + (-91): 2) 13 + 26 + (-3) + (-16); 4) 78,2 + (-105) + 1 1,8. 200 Глава 4 1134°. Выполните сложение удобным способом: 1) -13,6 + (-15,333) + (-6,4) + (-4,667): 2) -71,4 + 31,8 + 25,2 + (-38,6); 3) 25,3 + (- 45,13) + (-20,3) + (-60,87). Какими законами сложения вы воспользовались? Ж 1135°. Вычислите: ^ 1) 27,56 + 36 + (-28,56) + (-12); 2) -39,126+ 12,1 + 18 + 21,026; 3) 46+ (-13,03) + 111 +(-32,97); 4) -103,77 + 24,609 + (-6,33) + 85,391. 1136°. Найдите сумму: 1) -11 + 11; 3)-1,5+|: 2) -1452 + 1452; 4) -2,75 + 46 + (-46) + 2,75. ^ 1137°. Найдите сумму: 1) 6,72 + (-6,72); 2) ^ +(-0,25). 1138°. Вычислите: 1 )-3,8 + 0 + 9; 2) 0 + Ж 1139°. Вычислите: ® 1)-5,6 + 0 + 9; 2)-13,75 + 0 + 28,25; 3)-27,07 + 0 + 46,4. 1140°. Определите знак суммы чисел: 1) 25и-97; 3)2^^ 2) -49 и 22; 4)-58 и 101; Д 1141°. Определите знак суммы чисел: 5) 3,5 и (-3,6); 6) -- и - . 3 5 1)23 437 и 0,97; 2)-89 и-87; 3)-- И--4 3 1142°. Сравните значения числовых выражений 1) -153 000 + (-345) и 22 + 15 000; 2) -12 056 + 6078 и 6078 + (-1256); 3) -1,86 + (-0,385) и 0,5642 + 0,4231. 1143°. Решите уравнение: 1)х-3,9 = -8; 2)5х-^ = ^] Д 1144°. Решите уравнение: 1)х-5,6 = -2; 2) л:-1,51 =0,89; 3) X-0,89 = 6,9. 3)х--=0,2. 5 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 201 1145°. Найдите сумму; 1) а + (-а) + а; 2)b + {-b) + b + {-b) + {-b). 1146°. Увеличится ли число 6,7, если к нему прибавить число: 1)-67; 2)-6,7; 3)0,01 4) -? 2 1147°. Уменьшится ли число -51, если к нему прибавить число: 1)-51; 2)51; 3)-100; 4)0,2? 1148°. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 2 1) к сумме чисел 5,6 и — прибавьте число -6,89; 5 1 2) к сумме чисел 1,2 и 6- прибавьте сумму чисел-6,4 и -1 —. 5 9 149°. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 1) к сумме чисел 1 и прибавьте число ^; -2— прибавьте сумму чисел 3,2 и --5 2 2) к сумме чисел 7,4 и 1 А' 1 150°. В 6 классе в течение года количество учеников изменялось: за осень на +4, за зиму — на -5, за весну — на +6. Как изменилось количество учеников за весь период? 151°. Считают, что город Рим основан в 753 г. до н.э. Каков нынешний «возраст» Рима? 152°. Сколько прошло лет от середины 3-го года до н.э. до середины 3-го года Н.Э.? Покажите на координатной прямой. 153. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней точки А{Ъ) и В(-6). Постройте точку С, координата которой равна сумме координат данных точек. 154. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней точку А(5,2). Постройте точку, координата которой на 4,5 больше координаты точки А. 155. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней точки А(-1,5) и В{-6). Постройте точку С, координата которой равна сумме координат данных точек. 156. Вычислите: 1) -4 +(-2,5)+ (-3,7); 2)4. 11 21^1 + 33 V 10^ 11 202 4 12 3) -- +1^ + (-о,2): 5 17 4) --+- +2; 9 3 1Я 9 ( 7) 15:^+ (-21,34)+14^+ -6 15 15 5)-о, 109+ 86- + 9 V 6)- 50 10 145 261 -80 29 Глава 4 891 ^ 1000 8)10— + 19 1157. Вычислите; 1 13 1)3- + — +(-3,5); 2 39 Г .л. 8^ 4 Г г-л. 5 ^ -43-^ + 12— + -56— 1 13j 19 1 13j 3)3,71 +(-13,6) + 71 ^ у 100 2) Г / + (-0,35); V эу 4)-8.5-. 3^ 4j 1158. Вычислите: 1) |-2,5|+(-3,7) + Н-7,5|); 2) -7|+|-5,1|+|-|-2,9||; 5 3)-0,35 + 4) -2,5 + (-3,7)+ |-7,5|; 5) -7|+(-5,1)+|-2,Э|, 5 -1^ + 50 100 ^ /159. Решите уравнение: 1)|x-2| = 12: 2)|х-5| = 18. 1160, Какие числа нужно вписать в пустые клеточки квадрата (рис. 130), чтобы суммы чисел каждой вертикали, горизонтали и диагонали были равны между собой? 1161. Найдите сумму наибольшего целого четы рёхзначного числа и наименьшего целого дву значного числа. Д 1162. Найдите сумму наибольшего целого отри цательного трехзначного числа и наименьшего целого положительного двузначного числа. -2 0 -7 2 Рис.130 А 1163. Найдите сумму: 1) 6а + (-5П) + (-5) + (-4а) + 14 m + 9т +(-28); 2) -c + {-bd)-¥2c + id. 1164. Представьте число-18 в виде суммы двух слагаемых с разными знаками так, чтобы: 1) оба слагаемых были целыми числами; 2) одно из слагаемых было десятичной дробью, меньшей единицы. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 203 1165. Сравните значения выражений \ х-^у\\л\х\ + \у\, если; ^) X = -2, у = 3, 2) X = -2, у = -3] 3) X = 2, у = 3] А) X = -2, у = 0. 1166. Найдите сумму всех целых чисел, которые: 1) меньше числа 3 и больше числа -3 —; 3 2) меньше числа 5- и больше числа-8—. 5 4 1167*. Даны 25 чисел. Сумма любых четырёх из них положительна. Покажите, что сумма всех чисел также положительна. 1168*. Найдите сумму всех целых трёхзначных чисел. 1169*. В таблице 3 строки и 4 столбца. Можно ли в ней разместить числа -1 и 1 так, чтобы все семь сумм чисел, стоящих в одной строке или одном столбце, были разными? 1170*. Решите уравнение: 1) | |х1-4| = 1; 2) | |х|-2] = 3. 1171*. На координатной прямой между точками А (-6) и В (3) отметьте чётное количество точек с целыми координатами, сумма которых равна нулю. Сколько решений имеет задача? 1172*. Каковы знаки чисел х\лу, если: \х + у\ = \х\+\у\? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1173. Утром температура воздуха составляла 8 °С. В течение первой половины дня температура изменилась на +1,5 °С, а в течение второй — на -3,5 °С. Какая температура воздуха была вечером? 1174. За первый день уровень воды в реке изменился на -6 см, за второй — на +8 см, а за третий — на +5 см. На сколько сантиметров и как именно изменился уровень воды за три дня? 3 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 1175. Выполните вычитание: 1) 134 км 87 м - 67 км 83 м; 3) 73 т 806 г - 115 кг 994 г; 2) 64 кг 344 г - 7 кг 786 г; 4) 15 ч 40 мин 50 с - 6 ч 19 мин. 1176. Вычислите: 1) 12,9- 5,7 - 1,5: 3) 256,7 - 70,08 - 0,48; 3 1 . . 1 ...1.11 2) - - - +2 8 6 12 4)4- -3- -4 3 6 1177. Сколько граммов соли нужно добавить к 90 г воды, чтобы получить 1 о %-й раствор соли? _204 Г" Глава 4 § 27, ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Л Вы уже умеете вычитать положительные числа и можете найти разность, когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему. ? Можно ли из меньшего числа вычесть большее? Да, если выполняем действия с рациональными числами. Поразмышляем, опираясь на координатную прямую. Пусть нужно найти разность чисел 4 и 5. На координатной прямой отметим точку с координатой 4 и отложим от неё влево 5 единиц (рис. 131). Получили точку с координатой -1. Значит: 4-5 = -1. X -1 О 1 Рис.131 Обратите внимание: при вычитании рациональных чисел уменьшаемое может быть меньше вычитаемого. ? Можно ли находить разность рациональных чисел без помотци координатной прямой? Да. Для этого нужно знать правила вычитания рациональных чисел. В предыдугцем параграфе вы узнали, как выполнять сложение чисел с разными знаками. Действие вычитания числа Ъ из числа а можно свести к действию сложения числа а и числа, противоположного числу 6, то есть -Ъ. Чтобы убедиться в этом, сравним рисунки 181 и 132. На первом из них видим, как находили разность чисел 4 и 5, а на втором — сумму чисел 4 и -5. В обоих примерах получили число -1. Значит: 4-5 = 4+ (-5). Рис. 132 Запомните! Правило зам<»ны вычитания сложением Чтобы из одного числа вычесть другое, можно куменьша- емому прибавить число, противоположное вычитаемому: O’-b^O'+i-b). ^Задача 1 . Вычислите: 1)6,5-1.4; 2)6.5-(-1.4); Т 3)-6.5-1.4; 4)-6.5-(-1,4): 5)-6,5-0. Решение. О 6,5- 1.4 = 6.5^ (-1.4) = 5.1 2) 6.5- (-1.4) = 6,55 1.4 = 7,5. i) -6,5- 1.4 = -6,55 (-1,4) =-7,9. 4) -6,5- (-1,4) =-6,55 1,4 = -5.1 5) -6.5- 0 = -6,55 0 = -6,5. 7 Верно ли, что вследствие вычитания рациональных чисел уменьшаемое всегда уменьшается? Нет. В задаче 1 в примерах 1 и S уменьшаемое уменьшилось, поскольку вычитаемое — положительное число. В примерах 2 и 4, наоборот, уменьшаемое увеличилось, поскольку вычитаемое — отрицательное число. А в примере 5 уменьшаемое не изменилось, поскольку вычитаемое равно 0. # Обратите внимание: 1) в результате вычитания рациональных чисел уменьшаемое; — уменьшается, если вычитаемое является положительным; — увеличивается, если вычитаеуюе является отрицательным; — не изменяется, если вычитаемое равно 0; 206 Глава4 2) о вычитании рационального числа а из числа & говорят: число Ь изменили иа число а. 7 Как найти разность нескольких чисел? Рассмотрим пример. ♦ Задача 2. Вычислите разность-2.8-(-3,2)-1.2-(-5.8). Решение. Заменим действие вычитания действием сложения; -2.8-(-3.2)-1.2-(-5.8) = = -2.8 + 3.2 + (-1.2)+5.8. В полученной сумме можно сгруппировать слагаемые одним из двух способов так. как псказано в задаче 2 параграфа 26. Используем первый из них.Тогда получим: -2.8 +3.2 +(-1.2)+ 5.8 = = (-2.8+(-1.2))+(3.2+ 5.8) = = -4 + 9 = 5. Следовательно. -2.8- (-3.2)-1.2- (-5.8) = 5. EI Узнайте больше Натуральные числа, а также положительные дробные числа возникли в древности при решении практических задач. Потребность ввести целые числа быга обусловлена развитием математики, в частности, необходим сетью решатьуравнения. Поскольку вычитать натуральные числа было возможно лишь при условии, что уменьшаемое больше вычитаемого, то множество натуральных чисел требовало расширения. Целые числа и являются расширением множества натуральньх чисел. В множестве целых чисел всегда можно выполнить вычитание. Теорию отрицательного числа наиболее содержательно разработал немецкий математик М. Штифель (1487—1567). Свою теорию он изложил в книге «Полная арифм етика» которая увидела свет в 1544 г. V/ ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что значит вычесть из одного числа другое? 2. Может ли уменьшаемое быть меньше вычитаемого? 3. Как вычесть из данного числа другое, используя координатную прямую? 4. Сформулируйте правило замены вычитания сложением. Приведите пример. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ РЕШИТЕЗАДАЧИ^^^^^^ 207' ш I I I 1178'. Из числа 2 вычли число?. Верно ли это показано на координатной прямой: 1)рис. 133; 2) рис. 134? 7 ед. -4- 0 X ч- Рис. 133 7ед> X о 1 2 Рис. 134 1179'. Прав ли Юра, утверждая, что из меньшего рационального числа нельзя вычесть большее рациональное число? 1180'. Из числа -2 вычли число -5. Верно ли это показано на координатной прямой: 1) рис. 135; 2) рис. 136? бед. -2 -4- X О Рис. 135 5 ед. X -2 о 1 Рис. 136 1181'. Правильно ли Катя применила правило замены вычитания сложением: 1) -12 - 34 = -12 + 34; 2) -12 - 34 = -12 + (-34)? 1182'. Верно ли утверждение: 1) число 38 уменьшится, если из него вычесть 22; 2) число -74 увеличится, если из него вычесть 65? 1183'. Верно ли, что: 1)-6,9-0 = 6,9; 2) 0-(-25) = -25? 1184°. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней число 7. Покажите на координатной прямой, как уменьшить данное число: 1) на 2; 2) на 7; 3) на 13. Какое число получили? 208 Глава 4 185^. Число 25 уменьшили: 1) на 5; 2) на 55; 3) на 7,5; 4) на 3,8. Какое число получили? 186°. Прав ли Виталик, утверждая, что разностью меньшего и большего натуральных чисел является: 1) натуральное число; 2) целое число; 3) рациональное число? 187°. Вычислите: 4) 51-51; 7)0,99-2,54; 5) 1 -4,9; 8)4,89-9,43; 6) 0,1 -5; 9) 4,9-5,4; 1) 37-62; 2) 96-32; 3) 87-62; 188°. Вычислите: 1)85-27; 10) 37,5-42,5; 11) 0,01-0,1; 12) 1,89-0,39. 2) 13-31 4)2,34-0,4. 1 1 1 1 3)5,09-42,1 189°. Смолотили 9 т пшеницы и получили 8200 кг муки. Остальное составляли отруби. На сколько килограммов больше получили муки, чем отрубей? 190°. Найдите значение выражения: 1) -12-64; 5)-1 -6,23; 2) -46-33; 6)-0,04-8; 3) -12-23; 7)-0,09-0,9; 4) -91 -91; 8)-0,9-0,09; 191°. Найдите значение выражения: 1)_43_34; 2)-572-300; 192°. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней число 3. Покажите на координатной прямой, как изменить данное число на: 1) -2; 2) -3; 3) -10. Какое число получили? 193°. Вычислите: 5) -745-(-425); 6) -30-(-282); 7) -5-(-32,7); 8) -1,4-(-22,9); 9) -5,04-0,04; 10) -93,7-4,7; 11) -0,02-0,1; 12)-54,5-65,5. 3)-6,04-2,14. 1) -8-(-70); 2) -53-(-53); 3) -820-(-20); 4) -419-(-519); 194°. Вычислите: 1) -56-(-27); 2) -103-(-513); 9) -5,6-(-1,1); 10) -0,05-(-1); 11) -^,67-(-2,07); 12) -348-(-56). 3) -2,3-(-23); 4) -4,09-(-3,003). 195°. Начертите координатную прямую. Отметьте на ней число 6. Покажите на координатной прямой, как изменить данное число на: 1) - 4; 2) 6; 3) - 6. Какое число получили? 196°. Вычислите: 1) -34-(-51); 4)34-51; 7)-2,3-2,9; 2) -34-51; 5)2,3-2,9; 8) 2,3-(-2,9); 3) 34 - (-51); 6) -2,3 - (-2,9); 9) 3,5- (-3,2). Уменьшаемое 56 -34 -71 -9,45 12 -45 Вычитаемое 25 26 -14 4,05 -7 11 Разность 1199°. По данным таблицы 13 найдите вычитаемое. Таблица 13 Уменьшаемое 39,6 -179 -15 19 -51,8 45,7 Вычитаемое Разность -13,2 54 -6,5 -6 21,5 -4,3 1200°. Найдите разность данного числа и числа, противоположного ему: 1)21; 2)-345; 3)-2500; 4) у. 1201 °. Найдите значение разности а - с и разности с-а, если; 1) а= 12, с = -38; 2) а = -3,45, с = -5,55. Какую закономерность вы заметили? 1202°. Вычислите: 1)0-37; 2)12-12; 3)0-(-12); 4)-11-0. 1203°. Найдите значение разности а - ф-с), если: 1)а = -35, Ь=14, с = 21; 2) а = -16,& = -7, с = -9. 1204°. Как изменится число 6,7, если из него вычесть число: 1) -6; 3)6,7; 5)37-62; 7)0,99-2,54; 2) -6,7; 4)--; 6)51-51; 8)37,5-42,5? А 1205°. Решите уравнение: 1)4,2-л: = -2; 2)3- -л: = --; 3)34,31 - л: = 11,86. 3 3 1206°. Решите уравнение: 1)0,09-х = -1,2; 2)--х = -—] 3) 1--х = 0,25. 6 12 4 1207°. Высота горы Эверест составляет 8848 м, а самая глубокая точка Марианской впадины в Тихом океане находится на 19 842 м ниже вершины Эвереста. Какова глубина Марианской впадины? 210 1208. Вычислите: 1) 1000-5627-23112-0; 2) -4040-762-3030; 1209, Вычислите: Глава 4 3) -25,1 -7,2-4,9; 4) 234-24,8-675,2. 1) 2)-2 ё J\_ ’16 ^ _ 6 1 12 2 3)2 1_ 10 4)1,4- 1 10 1,3; 2 5' 1210. Вычислите: 1)4,25-9,05- 1 2) 24 6 2 4 1211. Вычислите; 1) 2503-(-831)-(-1169) 2) -743-(-395)-(-1043) 1212. Выполните вычитание удобным способом 1) -19-11-(-32,5); 2) 8,2-(-12,8)-5; 3) -23,5 - 36,5 - 24,2 - (-39,8); 4) 2,348 - (-5,652) - (-10,3) - (-35,7). 5) -3,8-(-5,3)-(-1,8)-(-4,7); 6) 7) 3) -72,62 -(-51,15)- (-56,47); 4) 405,2-(-2,91)-(-6,7). 5 2^ { Н 10 \ sj 1 2) 2- 100 6 у )) -(-2,44); ё 8) 7,52-|-(-2,08). О 1213. Вычислите; 1) -5-15-(-28)-14; 2) 2-29-(-8)-11; 3) 27,56-36-27,56-(-12); 4) 39,126- 12,1 + 18-21,026; 5) -3-(-2,2)- 6)10-- ( Л ( 2Л -4;^ -37- 1 9j 1 3 j 1214. С помощью координатной прямой покажите, что расстояние между точками А(а) и В{Ь) равно \а-Ъ\. 1215. Найдите расстояние между точками А и В, если; 1) А (20) и В (12); 3) А (-18,5) и В (-4); 5) А (-24) и В (6); 2) А (-2) и В (15); 4) А (4,9) и В (0,5); 6) А (-2,5) и В (-6). РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 211 1216. Решите уравнение: 1)|x + 5| = 1: 2)|х + 4|=3: 3)|х|+б=1; 4)|х|+12 = 8. 1217. Составьте числовое выражение и найдите его значение; 1) из разности чисел 4,09 и —— вычтите 4,1; 50 2 2) из разности чисел 0,0072 и -6,9928 вычтите сумму чисел 7,4 и —. 5 1218. Составьте числовое выражение и вычислите его значение: 1) из разности чисел 6,7 и ^ вычтите 8,8; 2) из разности чисел 27,3 и -12 вычтите число, противоположное числу 18,7. 1219. Вычислите: 1)3| +(-8,5)-(-4,42); 4)4- 15 ( .0 f -1- + 1 3j V 1 2)-6,02+ 23,6 I 50 J 1 3)---—+ (-0,25) -5 10 2 5) 0,25-1-3,61+(-5)- 6) 12,4-1-63,41-1-6,01 I А 1220. Найдите разность наибольшего целого двузначного и наименьшего целого четырёхзначного чисел. 1221. Найдите разность наименьшего целого двузначного и наибольшего целого трёхзначного чисел. 1222. Оля задумала число, которое сначала изменила на -35, затем — на 90 и получила -140. Какое число задумала Оля? 1223. Ваня задумал число, которое сначала изменил на -25,3, затем — на 145- и получил -4- . Какое число задумал Ваня? 2 5 1224*. В банке лежит 3500 грн. За первый месяц со счёта сняли 200 грн, за второй — в 2,5 раза больше. За третий — 20% оставшейся суммы. Сколько денег осталось на счету? 1225*. Вычислите: ri 1^ f 1 1 ^ --1 + +. + U j U 2) tlOO 99 J 1226*. Вместо каждой звёздочки поставьте «+» или «-» так, чтобы было верным равенство: 1 *2*3*4*5*6*7*8*9 = - 21. 1227*. Вместо каждой звёздочки поставьте «+» или «-» так, чтобы было верным равенство: 2*4*6*8*10*12 = 2. 212 Глава 4 1228*. Витя написал на доске 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 21, поставив вместо каждой звёздочки или «+», или «-». Вика изменила некоторые знаки на противоположные и в результате вместо числа 21 записала число 20. Докажите, что кто-то из детей ошибся. Е ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1229. В понедельник температура составляла 15,5 °С. В течение каждого последующего дня температура снижалась на 1,5 °С. Определите, какая температура была в пятницу вечером. 1230. После засухи уровень воды в озере понизился на 15,5 см. Вследствие ливня уровень воды поднялся на 34,7 см, после чего составил 697 см. Определите уровень воды в озере до засухи. 1231. Количество забитых мячей записывали со знаком «+», а количество пропущенных — со знаком «-». Сколько мячей пропустила команда, если забила 12 голов, а сумма забитых и пропущенных мячей равна -3? Ц ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 1232. Вычислите: 1) 63 ■ 78 + 78 • 37; 2) 136- 23-136- 13. 1233. Вычислите: 1) 1,2 • 3,5 - 0,25 • 0,02; 2) 1,01 • 6,2 • 100; 3) 0,4 • 1,8 • 6,25. 1234. Найдите значение выражения: 1)5.16 3 ^3 2^ 3) 3--345-0-7,89 8 19 11 15 5 8 15 7 8 19 11 15 1235. Произведение двух чисел равно 5,13. Один из множителей равен 0,3. Найдите второй множитель. '§ 28. УМНОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИCEJ^ Вы знаете, что сложение нескольких равных положительных чисел можно заменить действием умножения. Например, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 5 = 10. Рассуждая аналогично, найдём произведение -2-5: -2 • 5 = -2 + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -10. Полученное число -10 является противоположным числу 10 = 2 • 5. Но 2 = |-2|,5 = |5|. Следовательно, произ- РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ HAQ НИМИ 213 ведение чисел - 2 и 5 равно произведению модулей этих чисел, взятому со знаком «->>: -2- 5 = -(|-2|* |5|) = -(2 • 5) = -10* ? Как умножить числа 5 и -2? Поразмышляем. Пусть число -2 — изменение температуры воздуха за час, а 5 — количество часов наблюдения. Тогда и произведение-2* 5, и произведение 5 *(-2) показывает, на сколько град^'сов изменилась температура за 5 ч и в какую именно сторону — повышения или понижения. Ясно, что похолодало на 10 *С. то есть температура изменилась на-10 *С(рис. 137). Получили, что 5 • (-2) = -2*5= -10. Значит, произведение чисел 5 и -2 можно найти так же, как и произведение чисел -2 и 5: 5 • (-2) = -(|5| • |-2|) = -(5* 2) = -10. Рис. 137 Запомните! Правило умножения чисел о разными знаками Произведение двух чисел с разными знаками — число отрицательное. Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-». 7 Как умножить два отрицательных числа? Рассмотрим задачу. 4 \> щ 4 4 4 4 4 4 4 Задача 1. Температура воздуха каждый час изменялась на - 2 X. Какой была температура 5 ч назад? Реш ени е. Если число 5 — это количество часов наблюдения, то число-5 —это время «5 ч назад». Значит, в задаче нужно найти произведение (-2) • (-5). Понятно, что 5 ч назад бьло теплее на ЮХ.То есть-2 *(-5) = 10. Получили, что произведение двух отрицательных чисел — число положительное. Например: -2 ■ (-б) = |-2| • |-5| = 2 • 6 = 10. 214 Глава 4 Запомните* Правило умножения двух отрицательных чисел Произведение двух отрицательных чисел — число положительное. Чтобы умножить два отрицательных числа, достаточно умножить их модули. Вообще, знак произведения двух рациональных чисел определяется знаками множителей. ? Можно ли по знаку произведения двух чисел определить, одинаковые или разные знаки у множителей? Да. Например, число б равно произведению чисел с одинаковыми знаками: 2 и 3 или -2 и -3. А вот число -6 равно произведению чисел с разными знаками: -2 и 3 или 2 и -3. Свойства умножения на О рациональных чисел аналогичны таким же свойствам умножения положительных чисел. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю: а • 0 = 0 • а = 0. В дальнейшем будем рассматривать рациональные числа, отличные от нуля, а случаи, связанные с числом 0, будем анализировать отдельно. Ф Обратите внимание: — если произведение аЬ положительно, то числа а v\ Ь имеют одинаковые знаки, и наоборот; — если произведение аЬ отрицательно, то числа а и & имеют разные знаки, и наоборот; — если произведение аЬ равно нулю, то хотя бы одно из чисел, а или Ь, равно нулю, и наоборот. Если один из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю: а • 1 = 1 • а = а. Умножение числа на -1 имеет свои особенности. Если некоторое число умножить на -1, то в произведении получим противоположное ему число. Например: 5 * (-1) = -5. Рассуждая наоборот, получим, что любое РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ HAQ НИМИ Т 215 t I число можно представить в вице произведения -1 и числа, противоположного данному. Например,-2 =-1 * 2, а 2 = -1 ‘ (-2) или 2 = -(-2). О такой записи говорят: знак минус вынесяи за скобки. Итак: а ' (-1) = -1 • а - -а. Для рациональных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы умножения, а также распределительный закон умножения относительно сложения. Задача 2. Найдите произведение: 1)-0.2 • (-564) • 5; 2)-2 *(-1.5 + 5). Решение. 1. Переставим множители и сгруппируем их так. чтобы вычисления упростились: -0.2 *(-564) *5 = -0.2 -5 *(-564) = -1 *(-564) = 564. 2. Применим распределительный закон умножения, а также правила умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками: -2 *(-1,5 + 5) = -2 *(-1,5)+(-2) -5 = 3-10 = -7. 7 Можно ли, не вычисляя произведения нескольких рациональных чисел, определить знак этого произведения? Да. При этом нужно учесть, что положительные множители не влияют на знак произведения. ^Задача 3. Положительным или отрицательным является ^ произведение: 1)-2 • 2 • (-1'i • (-5) • (-4) • 5 • 10; 2) -6 • (-5) • (-0.2) • (-1) • 7 • 10 • (-3)? С- Решение. 1.В данном произведении — четыре отрицательных множителя: -2. -1, -5. -4. Произведение первой пары этих чисел положительно, второй пары — тоже, поэтому произведение всех четырёх чисел — положительно. Следовательно: -2 ■ 2 • (-1) • (-5) - {-А) -5 -10 > 0. 2. в данном произведении 5 отрицательных множителей, поэтому: _6 ■ (-5) • (-0.2) • (-1) • 7 • 10 • (-3) < 0. Ф Обратите внимание: — произведение чётного количества множителей — положительно; — произведение нечётного количества м ножителей — отрицательно. отрицательных отрицательных 216 Глава4 Узнайте больше Индийские математики сформулировали правила умножения, деления, сложения, вычитания рациональных чисел. В таблице 14 вы видите, какими суждениями они пользовались при умножении рациональных чисел. Таблица 14 Друг м оего друга — м ой друг С+1).(+1) = +1 Враг м оего друга — мой враг С-1).(+1) = С-1) Враг м оего врага — м ой друг С-1).(-1) = +1 Друг моего врага — мой враг (+1).(-1) = (-1) ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Назовите компоненты действия умножения. 2. Как умножить два положительных числа? 3. Сформулируйте правило умножения чисел с разными знаками. 4. Сформулируйте правило умножения двух отрицательных чисел. 5. Как определить знак произведения по знакам множителей? 6. Чемуравно произведение отличного от нуля числа и числа О? числа 1? числа-1? 7. Что можно сказать о множителях, если их произведение равно нулю? 8. Сформулируйте и запишите переместительный закон умножения. 9. Сформулируйте и запишите сочетательный закон умножения. 10. Сформулируйте и запишите распределительный закон умножения относительно сложения. 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1236'. Даны два числа с разными знаками. Верно ли утверждение; 1) произведение данных чисел — число положительное; 2) произведение данных чисел — число отрицательное? 1237'. Даны два отрицательных числа. Верно ли утверждение: 1) произведение данных чисел — число отрицательное; 2) произведение данных чисел — число положительное? РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 217 1238'. Серёжа рассуждает так: если произведение а • Ь положительно, то числа а и Смогут быть только положительными. Прав ли Серёжа? 1239'. Витя рассуждает так: если произведение а ■ Ъ отрицательно, а — положительное число, то число Ь может быть только отрицательным. Прав ли Витя? 1240'. Верно ли утверждение: если произведение а ■ Ъ равно нулю, то: 1) или а, или равно нулю; 2) одновременно а\лЪ равны нулю; 3) а и & не равны нулю? 1241'. Верно ли, что: 1)-5-0 = 5; 2)0-(-3) = 0? 1242°. Замените сумму произведением и вычислите: 1) 15+15+ 15+15+ 15+15; 2) -7 +(-7)+ (-?) +(-7) +(-7). 1243°. Замените сумму произведением и вычислите: 1) 1,2+ 1,2 + 1,2+ 1,2 + 1,2+ 1,2 + 1,2+ 1,2 + 1,2+ 1,2; 2) -5 + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5). 1244°. Найдите сумму восемнадцати слагаемых, каждое из которых равно: 1)1: 2)-2; 1245°. Выполните умножение 1) 10-(-4); 2) -25-6; 3)- 36 й 1246°. Вычислите: 1)-4-0,25; 3)-7- 0,3; 5) -|-5; 5 7) 2,з{-1 4)-2,8-0,6; 7 ( 4^ 8) -Д.®. 9 8 2) 5,6-(-0,5); 3)-7,3 • 20; 4) -5-4|. 5 1247°. По данным таблицы 15 найдите значение выражения. Таблица 15 X -25 -12 -4 -2 -4,5 -1,1 -0,5 Зх 1248°. Выполните умножение: 1) -4-(-25); 3)-0,04.(-2,5); 2) -12.(-100); 4)-1,3-(-0,01); 5) -0,6-(-б); 6) -0,01 • (-130). 218 Глава 4 :Ж 1249^. Вычислите: И 1)_2.(-44); 2)-0,8-(-5); 3) -0,21 .(-3) 4) 7 I 18 1250°. По данным таблицы 16 найдите значение выражения. Таблица 16 X -25 -12 -4 -2 -4,5 -1,1 -0,5 -4х Ж 1251°. Выполните умножение: ® 1)10-(-4); 2)-10-4; 1252°. Вычислите: 1)-3,65-0; 2) ---О 9 3)-10-(-4) .5^ 4) 10-4. 3) О- V 7у 4)-0,б- 0. 1253°. По данным таблицы 17 определите знак числа Ь. Таблица 17 Знак числа а — — + Знак числа Ь Знак числа аЬ — + — + й 1254°. По данным таблицы 18 определите знак числа Ь. Таблица 18 Число а -3 -0,8 9 -6 17 -2 Знак числа Ъ Знак числа аЪ — + — + — — 1255°. Найдите х, если: 1)2-х = 0; 2)-7-х = 0] 3)0,84-x = 0; 4)--•х = 0 8 Д 1256°. Решите уравнение: 3)-----х = 0 7 1)-5-х = 0; 2)0,47-х = 0; 1257°. Вычислите: 1)-5б-(-1); 3)-1-бб; 5) 0,92-1; 7)-1 4^ 2) 1 • 56; 4) 0,92-(-1); 6)-1-(-53,9); 8)-1-(-1045) • (-1). 1259°, Сравните значения выражений: 1)-8-2и2-(-8): 2)3-(-1б)и-1б-3. Ж 1260Р. Сравните значения выражений: ^ 1)-4-9и9'(-4); 2) 11 • (-22) и-22 • 11 1261°. Вычислите удобным способом: 1) -0,5-(-31)-(-2): 2) 1 (-0,12). (-10); 3) 2,5-(-32)-(-0,4); 4) -|.(-3)-14; 5) 11,8 • (-3,324) • 0; 6) _А.(_27).1^; 13 ^ М5 7) -25-0,3-4: 8) 11-(-3)- _6_ 55 1262^. Вычислите: 1)-0,2 4 7 (-5) • 7; 2) --о,Г 3 / 4 (-12) 1263°. Убедитесь в справедливости равенства {а + Ь) ■ = ас + Ьс, если: 1) а = -3, & = -5, с = 8; 2) а = 4,5, b = -^,6,c=2. 1264°. Вычислите, опираясь на распределительный закон: 2) 3) 15 f О ^1 2 4) 100 • (-0,1 +0,01 -0,001); ^1 1^ 5) 6 3 (-18): 5 3 6)-24 5 3 5^ —-+ ^ J 12 4 6 Ж 1265°. Вычислите, опираясь на распределительный закон: ^ 1 .. Г7 5^ 1) (6,3-7).^; 2) 15*^9 45; 3)-1 ООО. (0,3-0,031). 220 1266°. Определите знак произведения: 1) -4- 1 • (-11) • (-34780): 2) 5 • (-17) • (-2) • (-578) • 121. (-15) • (-7) • (-2); 3) -3,98 • (-13) • 3 • (-0,4)- (-94) • 45,6; 4 f 1 ^ -б7^|-(-0,34)-28. Глава 4 4) 7- 7 23 Ж 126Т^. Положительным или отрицательным является произведение: ® 1) 14 • (-124) • (-5) • (-1) • (-9) • 25 • 48 • (-888) • (-43) • 68; 2)-12,76-(-35)- 19-(-0,0054)-7-61 -358? Ж 1268°. Сравните значения выражений: И 1)-8- (-2)и8- 2; 2) 30 - (-10) и-10 - 30; 3)-15 - (-6) и-15 - 6. 1269°. Решите уравнение: 1)х:(-8) = 0,6: 2)х\ 12 = -2; 3) х : (-0,5) =-6. Ж 1270°. Решите уравнение: ® 1)х:(-10) = 3,4; 2)х:3 = -9; 3) х: (-0,1) =-2. 1271. Найдите сумму восемнадцати слагаемых, каждое из которых равно: 5 1)-5-4; 2)-1 + 1272. Вычислите: 1) -12-35-34-(-2): 2) -3,4 + 7-(-0,5): 4) 6 3) -Дт.Г-2^ ^2 I 14 3)-2,6- 2 1 / 1 Л 7 ^ 7273. Вычислите: 1)9-32-32; 2)-13 - 14 +5 - (-10); 3)-6-15-4. "" 1274. Даны числа: 0; 1; -2; 3; 4; 5; -6; 7; 8 и -9. Что больше: произведение этих чисел или их сумма? Д 1275. Даны числа: 1; -2; 3; 4; 5; -6; 7; 8 и -9. Что больше: произ- ведение этих чисел или их сумма? 1276. Вычислите: 2) _А/_А|71.(_6).40 1U 15j 3 ^ ^ 3)-5-(-4)-(-3)-(-1) 1 1 3 4 5. 7) (5-(-7) + 4)- I-0.9 + 5-0,15|. 1277. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений: 1)-2,5-(-3,2)-4 и 1,9-(-9,5)-2; 4 2) 5 7 ( г-7 ^4 ( и 5^ ( -2- •5— и 3— -4- -0- 1 4j V 3, 4 5 1 7) . 5, й 3) -7,5 • (-4) • (-2) • (-18) • 5 и -6 • (-15) • (-1376); 4) _49 • (-45) • О • 318 и -1 • 23 • (-5) • 629. 1278. Найдите произведение всех натуральных чисел, которые больше числа - 9 и меньше числа 9. 1279. Найдите произведение всех целых чисел, которые больше числа -4 и меньше числа 11. 1280. На сколько произведение чисел 3,7 и -5,6 меньше; 1) меньшего из них; 2) большего из них; 3) их суммы? 1281. На сколько произведение чисел -3 и -4 больше: 1) большего из них; 2) меньшего из них; 3) их суммы? 1282. Вычислите удобным способом; 1) -24' 3) 153' 12 4'^2 б' 2) 10 210; 1 1 9'^17 Л 51 •18' Г4 9 А 1283. Запишите каждое из чисел-3; -1,7; 8; -0,64; 0,3 в виде произведения двух множителей, один из которых равен: 1) -1; 2) 1. 1284. Запишите в виде произведения двух одинаковых множителей число: 1) 1; 2) 25; 3) 64; 4) 121. Сколькими способами это можно сделать? 1285. Запишите в виде произведения двух противоположных чисел число: 1) -9; 2) -36; 3) -81; 4) -100. 1286. Решите уравнение: 1) -2 • (х-4) = 0; 3)23,4- |x|=0; 5)(8-х)- |-0,72|=0; 2) 12 ■ (7,8 + л:) = 0; 4) | л:-5| • (-6) = 0; 6) (х-234) • (-234) = 0. 222 Глава 4 1287. Решите уравнение: 1)41 . (х-41) = 0; 2)-77 • (0,25 + х) = 0; 3) |-57| • | х | =0. 1288. Положительным или отрицательным является числом, если: 1)-3d<0; 2)1<^<0; 3)4,З.М)>0; 4)-3-М)>0? 1289. Положительным или отрицательным является произведение целых чисел, отличных от нуля, которые больше числа -100 и меньше числа 50? 1290. О числах k, I, т\л п известно, что Ы < 0, 1т > 0, тп <0. Определите знак произведения kn. Ж 1291. Положительным или отрицательным является значение ^ выражения: ^) аЬ - 1с, если а,Ъ \л с — отрицательные числа; 2) Ы-тп, если 1,т\лп — отрицательные числа? 1292*. Найдите 20 % числа х, если: 1 г 1 ^ [ S) -г 1 9lJ [ S) 1)х=9б,4' 2)л:=-10,5-2;|+(-5,4)-3^ 15 9 108 285 19 144 3)х=1,8' ( .2^ ^5 " 6" -4- + 6— 1 3j 6 1293*. Что нужно вставить вместо звёздочек, чтобы получить верное равенство: 1)(*-*) • 11 =-88-ббт; 2)(-15 + *) • 4 = *-4а? 1294*. Решите уравнение: 1) x(x - 3,7)(х + 9,2) = 0; 3){\х\-0,3)(5-x)(x-16,5) = 0; 2) |х-23| • (х + 12,7) = 0; 4)(|х| + 4) х (6,7-х) = 0. 1295*. Среди трёх разных чисел а,Ьис число а является наименьшим, а число с — наибольшим. Определите знак числа Ь, если: 1) аЬс < о и о 0; 2) аЪс < 0 и а& < 0; 3) аЬс >0иа + с = 0. 1296*. Вычислите: ^ П Л Г. П П Л Г. О 1 + - -1 1 + -1 1+- 6 9 3) |х-2| =3. V ^ 1297*. Решите уравнение: 1) |х-4|=1; 2)3-Ix + I I =6; Отметьте на координатной прямой точки, координаты которых являются корнями уравнения. Найдите произведение корней уравнения. Найдите расстояние между отмеченными точками и координаты середины отрезка, соединяюидего эти точки. Какую закономерность вы заметили? РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 223 1298*. На доске записаны десять плюсов и семнадцать минусов. Разрешается стереть одновременно любые два знака, записав вместо одинаковых знаков плюс, а вместо разных — минус. Какой знак останется на доске после двадцати шести таких операций? ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1299. Друзья выехали на велосипедах из города со скоростью 10 км/ч и проехали с такой скоростью 2,5 ч. Затем они проехали 1— ч, увеличив скорость на 2 км/ч. Какое расстояние проехали 3 друзья за всё время путешествия? 1300. Ширина комнаты — 3,75 м, а её длина — 5,2 м. Пол в этой комнате решили покрыть линолеумом. Его цена — 104 грн за квадратный метр. Сколько потребуется линолеума для этой комнаты и какова его стоимость? 1301. Мама попросила Олега купить 2 л молока, 1 батон и 1,5 кг печенья и дала ему 90 грн. В магазине молоко стоит 8,45 грн за литр, батон — 4,3 грн, а печенье — 25,8 грн за килограмм. Сколько денег осталось у Олега после того, как он совершил покупки? ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1302. Вычислите: 1) (72 ; 9 +(680-34): 17): 23; 2)(11 +64): 25 ■ 11 -225: 15. 1303. Найдите значение выражения: 3 2)-/— 4'16 ’ 7\14 1304. Выполните деление с остатком: 1) 3784 : 63; 2) 6731 : 62. 1305. Число 116 разделили на некоторое число и получили в неполном частном и остатке число 2. Найдите делитель. § 29. ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ^ 1) 12:3--1- 5^ 6 Вы знаете, что для положительных чисел действие деления можно свести к действию умножения на число, обратное делителю. Пусть нужно разделить число 20 на 5 число . Это означает, что число 20 можно умножить 224 Глава 4 5 на число, обратное числу —, то есть на число —: 5 20: f 5^ v'O = 20- V Тогда, по правилу умножения чисел с разными зна- ками, получим: 20-1 - f ЬЛ Итак, 20: 5 -24. л |20|. Л ( 0^ 20 - у V D у 5у = -24. V У Видим, что частное чисел 20 и — равно частному их 6 модулей, взятому со знаком «-»: 20: - 5^ 6 Г У V |20|: 5 6 У 20:- V ej = -24. Аналогично, частное чисел -20 и — равно частному 6 их модулей, взятому со знаком «-»: -20: 6 / V -20|: 20:-' V 6 -24. У Запомните! Правило деления чисел с разными знаками Частное двух чисел с разными знаками — число отрицательное. Чтобы найти частное чисел с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя и перед полученным частным поставить знак «-». ? Как разделить одно отрицательное число на другое? Рассуждая аналогично предыдущему случаю, для чисел -20 и -— получим: -20: ( у 5 л к 6^ = -+- |-20|: 1 ”б у = 20:-=24. 6 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 225 I I Запомните! Правило деления двух отрицательных чисел Частное двух отрицательных чисел — число положительное. Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, достаточно разделить модуль делимого на модуль делителя. Вообще, знак частного рациональных чисел определяется знаками делимого и делителя. Например: 4 = 8:2 или 4 = -8 : (-2); -4 = -8 : 2 или -4 = 8: (-2). Если число О разделить на любое рациональное число, отличное от нуля, то в частном получим 0: о : а = о для а 0. Действие деления на 0 не имеет смысла и для рациональных чисел. Поэтому: на О делить нельзя! #> Обратите внимание; — в частном а : Ь число Ъ не может быть равным нулю; — если частное а : Ъ положительно, то числа а \лЪ имеют одинаковые знаки, и наоборот; — если частное а ; Ъ отрицательно, то числа а \лЪ имеют разные знаки, и наоборот; — если частное а : Ъ равно нулю, то а равно нулю, и наоборот. Поскольку а • 1 = а, то: а : 1 = а для любого а; а : а = 1 для 0. Если число, отличное от нуля, разделить на -1, то в частном получим противоположное ему число. Например, 5 : (-1) = -5. Частное двух противоположных чисел, отличных от нуля, равно -1: -а: а = а\ (-а) = -1 для а ^ 0, Глава4 Узнайте больше Название рациональных чисел происходит от латинского «ratio» — «отношение», поскольку эти числа с момента своего появления представляют с помощью отношения целого числа к натуральном у числу. Если разделить рациональное число на рациональное число, отличное от нуля, то частное всегда будет рациональным числом. Аесли разделить целое число на целое число, отличное от нуля, то в частном не всегда получим целое число. Например, частное чисел 2 и 3 не является целым числом. Интересно, что исторически проблема деления чисел была решена значительно раньше, чем проблема, связанная с их вычитанием. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Как раз делить два положительных числа? два отрицательных числа? два числа с разными знаками? 2. Какие знаки имеют два числа, если их частное положительно? отрицательно? 3. Что будет результатом деления, если делимое равно О? 4. Что будет результатом деления, если делитель равен делимому? 5. Что будет результатом деления, если делитель равен 1 ?-1 ? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1306'. Даны два числа с разными знаками. Верно ли утверждение; 1) частное данных чисел является числом положительным; 2) частное данных чисел является числом отрицательным? 1307'. Нужно разделить число-24 на 8. 1) Чему равен модуль числа-24: а) 24; б)-24? 2) Чему равен модуль числа 8; а) 8; б) -8? 3) Чему равно частное модулей: а) 3; б) 1? 3 4) Каким будет знак частно го: а)«+» ; б)«-»? 5) Назовите число, являющееся частным данных чисел. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 227 1308'. Даны два отрицательных числа. Верно ли утверждение: 1) частное данных чисел является числом положительным; 2) частное данных чисел является числом отрицательным? 1309'. Нужно разделить число -40 на -5. 1) Чему равен модуль числа -40: а) 40; б) -40? 2) Чему равен модуль числа -5: а) 5; б) -5? 3) Чему равно частное модулей: а) 8; б) — ? 8 4) Каким будет знак частного: а) «+» ; б) «-»? 5) Назовите число, являющееся частным данных чисел. 1310'. Верно ли, что: 1) 5 : 5 = 0; 2) 0 : (-3) = -3; 3) 0: 4 = 0? 1311'. Верно ли утверждение: если частное а : Ь равно нулю, то: 1) или а, или Ъ равно нулю; 2) одновременно а\лЪ равны нулю; 3) только а равно нулю? 1312'. Верно ли, что: 1) 8:1=8; 3)-7:7=-1; 5)б:(-6) = 1; 2) -8:1=8; 4)12:12 = 1; 6)-14:14 = -1? 1313°. Прав ли Виталик, утверждая, что частным двух натуральных чисел всегда является: 1) натуральное число; 2) целое число; 3) рациональное число? 1314°. Какой знак имеет частное: 1)5: (-2); 2)-4: 2; 3)14: (-7); 1315°. Вычислите: 6) 56: (-8); 7) -96: 4; 8) 45: (-15); 9) 6: (-12); 10) 0,1 :(-2,5); А 1) 63: (-9); 2) -44 : 4; 3) -3 : 12; 4) -10: 25; 5) 544: (-16); 1316°. Вычислите: 1) 196: (-4); 2) -42 : 6; 4) 1,344: (-0,5)? 11) 0,84: (-1,2); 12) -313,1 : 1,01; 13) 0,82: (-2); 14) -16,9: 13; 15) -2: 0,002. 3) -0,6:2; 4) -12:6; 5) 22,5: (-0,25); 6) -14,4:0,32. 1317°. Является ли верным неравенство: 1)-2,3:(-7)<0; 2)-42 : (-5,4) > 0; 1318°. Вычислите: 1) -48:(-12); 2) -42: (-6); 3) -65:(-5); 1319°. Вычислите: 1)-124:(-4); 4) -8:(-56); 5) -459: (-9); 6) -1,25: (-0,5); 2)-80: (-160); 3) -2 : (-8) < о? 7) -8,1 :(-0,9); 8) -4,41 :(-2,1); 9) -0,404: (-0,04). 3)-84,25:(-2,5). 228 1320°. По данным таблицы 20 определите знак числа Ъ. Глава 4 Таблица 20 Знак числа а + — — + Знак числа Ъ Знак частного а : Ь — + — + й 1321°. Сравните с нулём выражение: 1) -3:(-32)-б5; 3)-3б:(-6); 2) 42 : (-4,4) • (-2,9): (-7,08); 4) 64: (-0,8) • (-9): (-3,3). 1322°. По данным таблицы 21 определите знак выражения. Таблица 21 Число а 90 -42 -6,8 -1 Число Ъ -10 2,1 1 -1,2 Знак частного а : Ь Знак произведения а • Ъ Знак суммы а + Ъ 1323°. Вычислите: 1) -6:1; 3)0:6; 2) -3,67: 1; 4)0: (-5,98); 5)51 :(-1); 6) 1 7 (-0,33) :(-1). Ж 1324°. Вычислите: ® 1)-13:1; 2) -56:(-1); 3) 187:(-1); 4) о: 6; 5) 8,92: 1 :(-0,2):(-1); 6) 1 : ^ :(-1).(-2,5). 1325°. Найдите JC, если 1) х:2 = 0; 2) х:(-34) = 0; Д 1326°. Найдите х, если 3) X: 0,09 = 0; 4) л:: (-34) = 0. 1)л::4 = 0; 1327°. Вычислите: 2) л:: (-0,4) = 0; 1)15: (-15); 2)-0,9: 0,9; 3)1:(-1); 3)х:(-4) = 4. 1 ( О 4) 'У РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1328®. Начертите в тетради и заполните таблицу 22. Таблица 22 а -32 -8 -1 1 5 24 1: а а: 1 а:(-1) -1 : а 0: а а: (-а) 1329®. Вычислите: 1)-5,05:(-5): 2)5,05:5: 3)-5,05: 5; 4) 5,05: (-5). Ж 1330°. Вычислите: ^ 1)-84:(-2): 2) 84:2; 3) 84: (-2); 4)-84: 2. 1331°. Вычислите: 1) -0,6 : (-2)-2-(-3): (-2,4)+ (-2,3): 2) 6,4-2-(-16): (-0,1): 400: 3) -7,7: 11+(-5,8):(26:(-13)); 4) 56: (-0,08): f--l : 3. V 9у й 1332°. Вычислите: 1) -1,2: I .(-2):4,5: 2) 0,1 : (-10) +81 : (-0,9): (-3)-(-0,01): 3) 4,4-2,4: (-0,24) + (-1212): (-12). 1333°. Верно ли сравнили выражения: 1)-5,6: (-2,8) > 4^; 2)0,5- < (-6,6) 7 1334°. Сравните значения выражений: 1)-8:(-2)и8:2 ( 1 2)30 и-15:30: 3) -15: (-6)и-15: 6: 4) 128:(-2)и-8: -. ▲ 1335°. Сравните значения выражений: ^ 1) -100 : (-2) и 100 : 2; 3) -6 • (-3) и -6 : (-3); 2)-7,2: (-10) и 7,2: 10; 1336°. Решите уравнение: 4) 45 : (-9) и -9 : 45. 1)л::3 = 0: 2)-1,2:х = 4; 3) 0,3 : л: = 0,6: 4)--х = 15 230 Глава 4 1337°. Решите уравнение: 1)л:: (-7,1) = 0; 2)-5: х = 6; 3)0,42 : х = -0,01 (-6): 1338. Вычислите 2 3 4 1) 2) Г 8 "i V 13 3) -2 4) 5 ■ 5’ 12 f 15 77 V 33 5) 8 6) - "sj 0,4 1339. Найдите значение выражения: 1) -16 • (14+ (-240): 120)-960: (-24); 2) -2450: 35-(-49)-50702 : (-101). Ж 1340. Найдите значение выражения: ® 1)-67928: 1213-625: (-25); 2) -512 : 256 + (-201): 67 - 968 : (-22). 1341. Является ли значение выражения целым числом: 1)1,2: (-2,8): 2 ' 2)-1:^:4; 3) 3 3 1 3,2: 24? 3 3 3 2 1342. Какой знак нужно поставить между выражениями: f П 1)-8-0,4+0,6 и 4,2: (-2,1)+1 V 1 2) 1-0,3: (-1,2) и 1- :(-2,5)? Запишите соответствующее неравенство. 1343. Вычислите: 1)-д :(-18); 2)-^: (-0,2); 3) J\_ 24 Л 12 5) 12 V 15 4)-^ : (-0,36); 40 6)-7 1344. Найдите значение выражения: 1) 15* (-6): (-120) - (-80): (-1600); 2) -175 : (-35) -0:348- 78309 : (-78309). Ж 1345. Найдите значение выражения: ® 1) -8679 : (-789) + (-2025): (-45); 2) -3564 : (-9): (-11 • 2 - 0 : (-34)). Ж 1346. Является ли значение выражения целым отрицательным ^ числом: 1)-0,05: (-0,002); 2)-| 2) (-8)? РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 231 1347. Какой знак нужно поставить между выражениями ^ 2V Г .3W 1П . . Г П 1)-8,5 V оу V 4 V 20 и -5,2 0.02: V оу 2)0: (-9^1 и -б| :(-2,5) + (-5,5):(-1,1)? {7) 4 Запишите соответствующее неравенство. 1348. Вычислите: ^ 5^ 1)-5,805: 'У 2) -6,4 -2 2^ 3) -18,2: -8 15 2 + 9,016:(-7): f -(-5,2): -3- V 15у/ + (-5,4): [ sj + у 1 2) (-1,7) + з|:(-0,1б)-4,14:23, 1349. Решите уравнение: 1) (х-4):7 = 0: 2) (-1,1 +х): 8,8 = 0: 3) (-1,8 + x): 1-0,241 = 0: Д 1350. Решите уравнение: 4) |л:| :(-5) = 0: 5) |д:-5| : 0,3 = 0. 6) ||x|-111|:(-111) = 0. 1)(х-36):54 = 0: 2) (0,2 + х):(-14) = 0: 3) | х | : |-10|=0. 1351. Положительным или отрицательным является число а, если: 1)-5:а<0: 2);|^:а<0: 3)-0,3 : (-а) > 0? 1352. Вычислите: 1)(-7,7-7,3) 7 4 V ^^(-6,3) + (-2,6):1 1Ь о ( 1 2) [1 + 5,6:1,4 1: --.(-2,1)+(-1,5):(-0,75) v5 ) \ 1 3)-3,2:(-0,8) + (-1,4) 1 2 1 1 1353. С числами-0,7: —: —: -2— выполните такие действия: 5 10 3 1) разделите произведение наибольшего и наименьшего из данных чисел на число -2: 2) произведение данного положительного числа и наибольшего из данных отрицательных чисел разделите на число, противоположное числу-4. 282 Глава 4 1354, Запишите каждое из чисел -4, -1,5, 0,6, 8,2 в виде частного, делитель которого равен: 1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0,1; 5) -4. 3 1355. Число 4,6 разделили на , затем прибавили половину X начального числа и получили —. Найдите значение х. Д 1356. Число -3 разделили на затем прибавили четвёртую X часть числа 98 и получили — . Найдите значение х. 1357. Частное двух чисел равно -25. Найдите делитель, если делимое является наибольшим целым отрицательным двузначным числом. 1358. Число 5— два раза разделили на -2,5, а потом ещё два раза — на модуль числа, противоположного сумме чисел 2,04 и -— . Какое число получили? Д 1359. Число-4,5 три раза разделили на-3, а потом квадрат полученного числа умножили на произведение чисел 10,8 и -1—. 3 Какое число получили? 1360. Найдите сумму всех целых чисел, меньших числа 84,78 и больших числа -96 и которые делятся на 5. 1361 *. Найдите значение выражения; 1) 6—+5-:(-4)-— 22 11 132 "Т! 6 18 2) 3) 4) -41^. 21^ 11 5 г \ 17 25 -1 19 48 Г -6:2- г -7-ь5- V 29 Г4 9 "i 15*^75 40: г -2— -25-15J 7 1 ( 35 7 л -21-:4--ь1 9 3 Л 11 -9-ь2 V 3 --Il2,5.ll3 16 30 (-0,23)-о, 005-1050 7 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 233 1362*. Найдите значение выражения; 1) Т2-3-4-5-6-7-8-9 2) 5Т52-53-54-50-51-52-53 7-8-9-1-2-3-4-5-6 52-53-54-55-5Т52-53-54 1363*. Алёна задумала целое число. Если к его половине прибавить его четвёртую часть, то получим -18. Какое число задумала Алёна? 1364*. Найдите частное, если делимое является произведением целых чисел от -12 до 45, а делитель — произведением всех чётных двузначных чисел. 1365*. Найдите частное, если делимое является произведением целых чисел от 5 до 55, а делитель — произведением противоположных им чисел. 1366*. Решите уравнение: 1) х: (х-2,6) = 0; 2) |x-23|'(x + 12,7):x = 0; 3) {х-3){4-х): {х-5) = 0; 4) {X + 0,4) • X : (0,1 - JC) = 0. ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1367. Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проезжает весь путь за 4,5 ч. С какой скоростью нужно двигаться автомобилю, чтобы преодолеть этот путь за 4 ч? 1368. 2 кг клубники содержит 1200 мг витамина С. Суточная норма витамина С для четырёх детей составляет 240 мг. Сколько граммов клубники нужно съесть трём детям, чтобы обеспечить ^ суточную норму витамина С? 1 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 1369. Найдите: 1)20% от |-120|; 2) 10% от 0,35. 1370. Сколько разных чисел можно составить из цифр 1,2 и 0? 1371. Найдите НОК и НОД чисел: 1) 120и48; 2)35и 105. 1372. Сколько двузначных чисел делится на б без остатка? 1373. Какова последняя цифра в записи числа, равного значению выражения: 1)(22)2; 2) (33)3; 3) (23)2; 4) (33)з? шш v^ Б главе узнаете: ^ о выражениях и их упрощении; Щ каковы свойства равенств; Ц как решать уравнения на основе свойств равенств; Ф какие виды задач решают с помощью уравнений; Ф что такое перпендикулярные прямые и как их строить; Ф какие прямые называются параллельными и как их строить; ф что такое координатная плоскость; Ф как определить координаты точки на плоскости; Ф что такое график зависимости между величинами и как его построить; Ф как применять изученный материал на практике ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 235 ----------------------------S, § 30, ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ УПРОЩЕНИЕ Вы уже знаете, что такое буквенные выражения, и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например, 2й • (-4Ь) =-8лЬ. В полученном выражении число -8 называют 'коэффищекшом выражения. 7 Есть ли коэффициент в выражении cd'7 Да. Он равен 1, поскольку cd- \ ' cd* Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок нэ.вывэ.ется раскрытием скобок. Например: 5(2х+ 4) = 10х+ 20. Обратным действием в этом примере является вынесение общего множителя за скобки. Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки сводят подобные слагаемые: бх-\-у-\-А-2х-\-ву-9 = = (5x-2x) + (j/ + 6j/) + (4-9) = = (5-2)‘X + (l+6)-i/-5 = = 3х+ 7jy-5. Запомнит^}! Правила раскрытия скобок 1. Если перед скобками стоит знак«+», топри раскрытии скобокзнаки слагаемых в скобках сохраняют; 2. Если перед скобками стоит знак«-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках изменяют на противоположные. ♦ Задача 1 . Упростите выражение: 1) 4х +(-7х + 5); 2)i5j/-(-8 + 7j/). Решение. 1. Перед скобками стоит знак «+». поэтому при раскрытии скобокзнаки всех слагаемых сохраняются: Ах + {-7х + 5) = Ах-7х + 5= -Зх + 5. 2. Перед скобками стоит знакпоэтому при раскрытии скобокзнаки всех слагаемых изменяются на противоположные: 15y-(-8 + 7l/) = 15j/ + 8-7l/ = 8l/ +8. 236 Глава 5 Для раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: а(Ь с) = аЬ ас. Если а > О, то знаки слагаемых & и с не изменяют. Если а < О, то знаки слагаемых Ькс изменяют на противоположные. «^Задача 2. Упростите выражение: 1)2(6г/-8) +7г/; У 2)-5(2-5х) + 12. !> Решение. 1. Множитель 2 перед скобками является положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем: 2(6г/-8) + 7г/= 12z/- 16 + 7у= 19г/-16. 2. Множитель -5 перед скобками является отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяем на противоположные: -5(2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х. 9% ----1 > fcnObcr&cftgUy# 4" 30 (3)СП/в9ГиГП1ПГ —“'Р WejotetnerenO 4* +4 1ЬсппЪша«аи9 4" ^entner j——I • U> nu»b5f<9^r<^ 4-50 ЬсптпЪюстЬеп ----*6 Ce« + 44 jCTiOnief 4“ 29 5dtbgotwtdKte —^afitmn&945 / 4" 9 ЪаГ}021д9йг(|^^опО>^ mma*. tTiurt foUOa aUo» «nOmad)C| I xtt>beT}ftabbicrbar —■ ttonbwcrbcn Siy. crabber von 44 3 р.ЮпО №rjbm 4 (9 r tt-.ПилГрыф I oo U)tiaei(l ein5iefnmen414» tkonbfDTTiJ I > I ^4^(сг^Юп1^1шЫдтАфо Узнайте больше 1. Слово «сумма» происходит от латинского sumn?a, что значит «итог», «общее количество». 2. Слово «плюс» происходит от латинского plus, что значит «больше», а слово «минус» — от латинского minus, что значит «меньше». Знаки «+» и «-» используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввёл чешский учёный И. Видман в 1489 г в книге «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев» (рис. 138). 5 3 J- Э 4- 3 > 3 ? V Рис. 138 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какие слагаемые называют подобными? Как приводят подобные слагаемые? 2. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «+»? 3. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «-»? 4. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит положительный множитель? 5. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит отрицательный множитель? ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ш 237 I I РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1374'. Назовите коэффициент выражения: 1)12а; 2)АЪ\ 3)-5,6ху; 4)-с. 1375'. Назовите слагаемые, отличающиеся только коэффициентом: 1) 10а + 7д-2Ь + а; 3) 5п + 5т-4п + 4; 2) 5c-4d-5с + 4d; 4) 5х + 4у-х + у. Как называются такие слагаемые? 1376'. Являются ли подобными слагаемые в выражении: 1) 11а + 10а; 3)6п + 15п; 5) 25р - Юр + 15р; 2) 14с-12; 4)12m + m; 6) 8^+10^-я? 1377'. Нужно ли изменять знаки слагаемых в скобках, раскрывая скобки в выражении: 1)4 + (а + 3&); 2)-c + (5-d:): 3) 16-(5т-8п)? 1378°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент: 1) -4а ■ 6Ь; 4) л: • (-у) ■ (-2); 2) 1,5с • (-4d); 5) ^ ' 3) -Зп ■ 5т ■ (-2); а---12Ь 3 2 1 6) --х-(-4у)-(-г). й 1379°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент: 1)5а • (-6&); 3) -0,2n■[^0m)■, 1 ^ 2)-4с • 5d • (-4); 4) 15х- 30 У й 1380°. Приведите подобные слагаемые: 1) 4а-3а + 6а-2а; 4)^0-4d-^2 +4d\ 2) 4&-5& + 4 + 5&: 5)5а- 12&-7а + 5&: 3) -7с +5-ЗС +2; 6) 14п-12m-4n-Зт. 1381°. Приведите подобные слагаемые: 1) 6а-5а + 8а-7а; 3) 5с +4-2с-3с; 2) 9&+12-8-4&; 4)-7n + 8m-13n-3m. 1382°. Вынесите общий множитель за скобки: 1) 1,2а+1,2&; 3)-3n-1,8m; 5)-5p + 2,5^-0,5f; 2) 0,5с + 5rf; 4) 1,2я - 1,8m; 6) -8р - 10^ - 6t. 1383°. Вынесите общий множитель за скобки: 1) 6а-12&; 3)-1,8n-3,6m; 2) -0,2с+ 1,4rf; 4)3p-0,9k + 2Jt. 238 Глава 5 1384°. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые; 1) 5 + (4а -4): 4)-{5c-d) + {4d + 5с)\ 2) 17х-(4х-5); Ь) {п - т) - {-2т - Зп)] 3) (7& - 4) - {4Ъ +2); 6) (-5х + у)~ {-2у + 4х) + {7х - Зу). ^ 1385°. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: ^ 1) 10а + (4-4а): 3) {с-5d) - {-d + 5с)] 2) ~{4Ь- 10) + (4- 5&): 4)-{5п + т) + {-4п + 8т)-{2т-5п). 1386°. Раскройте скобки и найдите значение выражения; 1) 15+ (-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5): 2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 +2,8) + (2,8-13). Ж 1387°. Раскройте скобки и найдите значение выражения: ^ 1)(14-15,8)-(5,8 + 4); 2)-(18+ 22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12). 1388°. Раскройте скобки: 4) {п-т) • {-2,4рУ, 5) 3 • {-^,5p + k-0,2t)] 6) {4,2p-3,5k-6t) • (-2а). 1) 0,5- (а + 4); 2) -с-(2,7-1,2d); 3) 1,6 • (2я + т); Ж 1389°. Раскройте скобки: ^ 1)2,2-(х-4); 2)-2 • (1,2п-т); 1390. Упростите выражение: 1) 1,5а • 4&; 3)-Зп • 0,8т • 2 3) (4c-d).(-o,5i/); 4) 6 ■ (-p + 0,3fe- 1,2f). 5) la.|fe.(-9) 1 2) 0,5c • (-2d); 4) 2л: ■ (-у) ■ (-0,25); 6) -4х.(-5у).2,4г 8 Д /39/. Упростите выражение: 1) 4,5а • {-2Ь)] 2) -2с • (-0,1d) • 5; 3) -0,5n-6-(-5m)-1 4) -Зх.(-5,2^) 1 3 ^ I"» ^ 2 •/ 13 ■Z 1392. Приведите подобные слагаемые; ,,1 2,5 .1, их.о 1) -а + -Ъ—a-^-Ъ, 4) -12р+—fe-5—k-3—р, 3 3 6 3 7 14 5 2) -c + 0,5d + -c-2-d\ 3 6 4 5) —х-1,8 + 5х-2,8х; 5 1 3 3) -2,5m + 4a—т-Х4п\ 6) 5,6i/ + 10,4-2—^ + 6,3-3^ + 4,1 2 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 239 ▲ 1393. Приведите подобные слагаемые: “21 1 1) 0,5а +—&-2—а-1,4&; 3) -4,5/?г + 4/?г-2—/?г-1,4п; 2) 0,24c-0,2Ьd + ^,^6c-2-d; 4) -3-^? + --5—-3,2р. 4 5 5 15 1394. Упростите выражение: 1) 2,8-(0,5а + 4)-2,5-(2а-6); 2) -12-(8-2,5р) + 4,5*(-б1/-3,2): 3) (2,7c+1,8d)- ^ + (2,8c-4,9d)- |-Л; У \ и 4) (-12,8m + 24,8n) • (-0,5)-(3,5п-4,05m) • 2. Ж 1395. Упростите выражение: ^ 1)0,4'(2 + а)-1,5-(а-6): ^2 1 ^ .Г.. 1 ^ 2) 15- X — у 3 6^ •6' 0,5у—X ^ 3 1396. Найдите значение выражения: 1) 4• (о,2а-3)-(5,8а-16), если а = -5; 2) 2-(7-56) + 15Ь-3-(2& + 5), еслиЬ = -0,8; (2 1 ^ 3)-3.-с-1-Д ( 1 ^ + 8- 2,5с?-5—С , если с = 0,5, с? =-2; V 4 j 4) 1,6. -m+: •2,5aj- 4,5a-1^mj-(-2)-(-12m + 14a), если m = 0,25, я = 5,7. ▲ 1397. Найдите значение выражения: ^ 1) -4-(х-2) + 2-(6х-1), если х =-0,25; 2) 15- а- 1 & -18- &■ 1 а если а = -12, & = 0,5. 3 ; 9 18 , 1398*. Найдите ошибку в решении: 1) 5- (а-2,4)-7 • (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6; 2) -4 • (2,За-&) + 4,2 • (-&-3,5а) = -9,2а + 4& +4,2&-- 14,7а = -5,5а + 8,2&. 1399*. Раскройте скобки и упростите выражение: \)2аЪ- Зф{Аа - 1) - &(6 - 10а)) + 1Ь\ г г о\ \ 2) 20-5с 2d- V 4- V + 2(3d-4) У 240 Глава 5 1400*. Расставьте скобки так, чтобы получить верное равенство; 1) а-&-а +Ь = 2а; 2)а-2Ъ-2а + Ъ = За-ЗЪ. 1401 *. Докажите, что для любых чисел а\лЪ, если а>Ь,ю выполняется равенство: 1) (а + &) + (а - &) = 2а; 2){а-^Ъ)-{а-Ь) = 2Ь. Будет ли верным данное равенство, если: а) а < Ъ]6) а = Ъ2 1402*. Докажите, что для любого натурального числа а среднее арифметическое его предыдущего и последующего за ним чисел равно числу а. ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1403. Для приготовления фруктового десерта для трёх человек нужно: 2 яблока, 1 апельсин, 2 банана и 1 киви. Как составить буквенное выражение для определения количества фруктов, необходимых для приготовления десерта для я гостей? Помогите Марине подсчитать, сколько фруктов нужно приобрести, если к ней в гости прийдут: 1) 5 друзей; 2) 8 друзей. 1404. Составьте буквенное выражение для определения времени, необходимого на выполнение домашнего задания по математике, если на решение задач затрачено а мин, а на упрощение выражений — в 2 раза больше, чем на решение задач. Сколько времени выполнял домашнее задание Вася, если на решение задач он затратил 15 мин? 1405. Обед в школьной столовой состоит из салата, борща, голубцов и компота. Стоимость салата составляет 20 %, борща — 30 %, голубцов — 45 %, компота — 5 % общей стоимости обеда. Составьте выражение для нахождения стоимости обеда в школьной столовой. Сколько стоит весь обед, если цена салата —2 грн? Н ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 1406. Решите уравнение: 1) ' ;2) ^ 5 9-2л: \-2у 8 1 1407. На мороженое Таня потратила — всех имеющихся денег, а на конфеты — — того, что осталось. Сколько денег осталось 3 у Тани, если конфеты стоят 12 грн? ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 241 Г------------------------------N § 31. УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ Вы уже знаете, что такое уравнение, корень уравнения, Вспомним основные формулировки. Запомните! Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти. Неизвестное число в уравнении обозначают буквой х, или у, или Z и т.п. Например, запись 4х + 7 = 15 является уравнением, где х — неизвестное и является искомым. Запомните! Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Так, корнем уравнения 4л: + 7 = 15 является число 2, поскольку 4 • 2 + 7 = 15. Уравнение может иметь больше одного корня. Например, уравнение О • х = О имеет бесконечно много корней, так как любое число обрагцает уравнение в верное числовое равенство. С уравнениями, имеюгцими два, три или более корней, вы ознакомитесь позднее. Уравнение может и не иметь корней. Например, уравнение О • X = -12 не имеет корней, так как не сувдествует числа, которое в произведении с числом О даёт число -12. Запомните! Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что уравнение не имеет ни одного корня. В 5 классе вы находили корень уравнения как неизвестный компонент арифметического действия. При 242 fjid ва 5 решении более сложных уравнений опираются на свойства равенств. Рассмотрим основные из них. Посмотрите на рисунок 139, Вы видите, что на левой чаше весов находится арбуз неизвестной массы, а на правой — гири массой 6 кг и 3 кг. Если на обе чаши весов положить по гире массой 3 кг, то весы останутся в равновесии (рис, 140), Понятно, что, сняв эти гири или поставив навесы одинаковые гири другой массы, снова получим равновесие на весах. Этот пример иллюстрирует следующее ееойешеораеенеше. Запомните! Если к обеим частям равенства прибавить (из обеих частей равенства вычесть) одно и то же число, то равенство не изменится. Рис.139 Рис.140 Задача 1. Решитеуравнечие: 1) х-12 = 20. (3* Решение. К левой и правой частям уравнения прибавим число 12иупростим полученное равенство: х-12 = 20. х-12 + 12 = 20 + 12. х=20 + 12, х=32. Решая уравнение, в левой его части «уединили неизвестное», Такой же результат получим, если число 12 перенесём из левой части в правую, изменив при этом его знак. ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 2 43 Запомните! Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак этого слагаемого на противоположный. 7 Можно ли переносить в другую часть уравнения слагаемое, содержащее неизвестное? Да. Посмотрите на рисунок 141. Вы видите, что масса пакета муки равна 2 кг. Понятно, что масса трёх таких пакетов втрое больше (рис. 142). Этот пример иллюстрирует другое свойство равенств. Запомните! Если обе части равенства умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то равенство не изменится. Рис.141 Рис. 142 Данное свойство используют для решения уравнений. Рассмотрим пример. ^Задача 2. Решите уравнение-^x+l U=x. 4 Решение. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим на 3 обе части уравнения: у<» Ю \'S а> + JO = За>, 244 [ла еа S с& “ За> = “Jft \(-2) а> ^15. : 15^. i I I I I I • • ■ L ■ 'ill Запомните! Основные свойства уравнений 1. Корни уравнения не изм енятся, если к обеим ча стям уравнения прибавить (из обеих частей уравнения вычесть) одно и тоже число. 2. Корни уравнения не изменятся, если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля. Узнайте больше Считают, что язык алгебры — это уравнения. «Чтобы решить вопросы. относящиеся к числам или к абстрактным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический». — писал великий И. Ньютон (1643-1727) в своём учебнике по алгебре, названном «Общая арифметика». ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что такое уравнение? корень уравнения? 2. Что означает «решитьуравнение»? 3. Сколько корней может иметьуравнение? 4. Сформулируйте основные свойства уравнений. 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1408'. Какая из записей является уравнением: 1)14-4 = 56; 2)5х-10 = 0; 3)(/+7>21 Ответ объясните. 4)15 = 4г + 1? ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 245 1409'. Петя утверждает, что корнем уравнения является число, подстановка которого в уравнение преобразует его в равенство. Прав ли Петя? 1410'. Сколько корней может иметь уравнение? Приведите пример уравнения, которое: 1) не имеет корней; 2) имеет бесконечно много корней. 1411'. На любое ли число можно умножить обе части уравнения при его решении? А разделить? Ответ объясните. 1412°. Является ли число 3 корнем уравнения: 1) 2л:-6 = 0: 3)3x-1=5: 2) 5i/+15 = 0; 4)4x = 9 + jc? Ответ объясните. 1413°. Верно ли, что число О является корнем уравнения: 1) -6х = 0; 3)5x = 0; 2) 0: ^ = -25; 4)1,2:у=0? 1414°. Назовите шаги решения уравнения: 1) 2х + i0 = -3x] 3) 5х + 4 = -2х-10; 2) -4у-5 = 3; 4) 12-Зг/=8 + у. Какие свойства уравнений вы при этом использовали? 1415°. Решите уравнение: 7) Ьх + 4 = 3х- 12; 8) -у + 25=121/-1; 9) 10 = 42-2-22:; 10) -2 = Зх + 14 + х; 11) 10i/+6=12y-8; 12) 112-3 = -3-122. й 1) 9х-1б = 2; 2) 4-2у = 24; 3) бх = 32 - 2х; 4) -2у = 4у + 24] 5) Зх-8 = х; 6) -20 = 4у+8; 1416°. Решите уравнение: 1) 5х-1б=14; 2) 8у=10 + 3у; 3) 24х-16 = 8+ 12х; 1417°. Найдите корень уравнения: 1) 0,8х+1 = 1,7х + 0,1; 2) 0,2^-4 = 20-0,2^; 3) 0,2-2 = 0,1+0,52; 4) 12-у=2у + б; 5) Зх + 3 = 27 - 5х; Q)-3y-3 = 2y + l. 5) —у-\ = — у — у , 14^ 4^ 7^ 1 5 1 6) 4z-4- = -3 — -1-z 6 18 3 7) -2х + 4 1 х-21; 4) —х + 5' 3 :3 +—X 9 2 1 1 8) -у + 2 = -у--у-3 2^ 4^ ■3 . 246 Глава 5 -Ж 1418°. Найдите корень уравнения; 1) 1,1 -0,12; = -1,9-0,72; 2)-0,2х + 4=-2 + 0,1х; 3) -0-7 = 1--^: 2 6 4) -у + 2,3 =—у-3,2 J 5^ 10^ 1419°. Составьте уравнение, содержащее неизвестное в обеих частях, корнем которого является число: 1) 8; 2) 14. Ж 1420°. Составьте уравнение, содержащее неизвестное в обеих ^ частях, корнем которого является число: 1) 5; 2) 9. 1421. Решите уравнение: 1) 5(х-4) = Зх-10: 2) 4у + 2 = 3(10-у); 3) 7(x-4) = 5(x + 4): 4) 3(1/+1) = 6(1-1/) + 6 5) 2(х-3)-3(4-л:) = 5 6) 7 + 4(3-1/) = 5(^ + 2) Ж 1422. Решите уравнение: ^ 1)7(х + 2) = -14: 2) 8i/ = 2(5-y): 3) 2(3x-4) = 4(x-3); 7) 12-5(x+ 1) = 7 + 3x-2x; 8) -0,2(3-i/) + 1,2 = -0,2(i/-1): 9) 1 -4з:-3(1 -z)=-5{z + 2y, 10) (18 - л:) - 7{2х - 4) = 5x + 20; 11) 3(0,4i/+3)-0,6i/ = 8: 12) 2(2 + x) + (4x- 1) • 3 = 10x-7. 4) 7(x + 3)-2(x-5) = 8; 5) 5 + 3(2|/-1) = 2(i/-3): 6) -x-5,2 = 12-2(x + 0,6)- 10. 1423. Найдите корень уравнения / 2^ 1) 0,6 о, 5x+■ 2,25 + 5,Зх: V 1 2) 5-^ = 8--(4,5у-5); 3) ^(х-4) + 6х = 5-1^х; 4) 3,2(1-2г/) = 0,7(Зу-1,5); 5) ^(2-3) = 1(22-7)+2; 1 1 7) —у- 0,5+—у \ = — у-6^ 9^) 9^ ■^У V' 8) |(3-20) = |-(9-2;)-О,3(-г-9) 5 5 Д 1424. Найдите корень уравнения: 1) i-|(i-f)=-o,2(f+i); 2) 0,5т,5х-|1=3,5ж + 1,5; 1425. Решите уравнение: л К = ^-9— ^ 3 4 3’ 4 5 10 3)4-4,5у = 2у--(8у-10) 4) 3- 1 -у + - = —v + 1,5 V3^ 2) 3^ 5х X . . 2у 3)—+— = 14; 4)21—-=у 6 3 5 ^ ▲ u - 7 + x 5 + x 1,5-4y -8 + 8,1/ ▲ 1428. Найдите корень уравнения: 1) ^ ^ ; 2) —^ 4 1429*. Какими могут быть значения х и г/, если: 1)x + 3y=11 и 2x + 3i/=13; 2)х + у=18 и х-у=6? 1430*. Решите уравнение: 1) x + ^ ■2х = 5-Зх х+- х-3^ Зх + 1 , х + 4 Л 5х-Л 2 3 I 6 J 3) 4,5:f8|2T + 4|l = 0,6:f45;-2^ 4) 66- / 4 Л . —0,8х 5_______ 5' 0,5 5 + 3 •7 —= -20 4 1431*. Дано уравнение: 1) х+2 = а; 4) 3(х-2) = 2х-а; 2) 5х-а=10; 5) 12-5х = 8(а +4х); 3) 4(х + 2) = а + 8; 6)7х-2(а-6) = 5х-2. Найдите: а) X, если а = 3; б)а, еслих=1. ' ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1432. Тарас демонстрирует друзьям математический фокус «Отгадай дату рождения». Он предлагает одному из них произвести такие действия (в уме): 1) день своего рождения умножить на 2; 2) к результату прибавить 5; 3) полученный результат умножить на 50; 4) прибавить номер месяца, в котором тот родился. Затем просит назвать число. После этого Тарас вычитает из 248 fjid ва 5 полученного числа 250. У него получается четырёхзначное или трёхзначное число: первые две или одна цифра — день рождения друга, а две последние — месяц его рождения. В чём секрет фокуса? 1433. Придумайте свой математический фокус. о ЗДДАЧИ_НАПОВ1^^ 1434. Вычислите устно значение выражения 12Ь - 7Ь - 4& - 9Ь. если: 1)Ь=0,8: 2)& = -20. 1435. Длина садового участка грямоугольной формы равна 75 м. а ширина составляет 0,3 длины. Найдите длину забора, ограждающего этот участок. § 32. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К РЕИВЕНИЮ ЗАДАЧ В 5 классе с помощью уравнений вы решали задачи на нахождение суммы двух величин или их разности. В б классе будем рассматривать особый вид задач — на раеенешео двух величин* В таких задачах тоже сравнивают две величины, например, количество книг на первой и второй полках. Значения же выражений с этими двумя величинами приравшваюш* Задача . На первой полке книг в 3 раза больше, чем на второй. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на обеих полках их станет поровну. Сколько книг на каждой полке? Решение. Составим краткую запись задачи в виде таблицы 23. Таблица 23 Полка Количество книг Сравнение Имеется книг Станет книг I Зх Зх-12 5 = II X X + 12 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 249 Пусть X — количество книг на второй полке, тогда Зл: — количество книг на первой полке. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на первой полке их станет Здс - 12, а на второй — л: и- 12. По условию, ато количество книг одинаково. Составим уравнение: Зж - 12 = л: -г 12. Решим уравнение: Зх-х=12+12,2х = 24,х=12. Тогда3л: = 3 • 12 = 36. Следовательно, на первой полке 36 книг, а на второй — 12 книг. Узнайте больше Первым произведением, содержащим исследование алгебраических вопросов, считают трактат «Арифметика» Диофанта (середина iV в.). Из 13 книг, составляющих полное собрание трудов Диофанта, до нас дошло только 6. В них предложено решение сложных алгебраических задач. Основная часть трактата — сборник задач (в первых шести книгах их 189) с решениями и удачно подобранными иллюстрациями к способам решения. DIOPHANTI ALEXANITRINI AKITHMETICORVM LIBft.1 sex. /г or НГЫГГП Л/rLTJSgrLlt irllA XT' у—c.^ avetoki c • «дстто LVTETIAE PARISIORVW. bepbgjbbCKW* >1 ftc XXI O'-м 'PMintteio лж<И ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какие задачи относят к задачам на нахождение суммы двух величин? разности двух величин? Приведите примеры. 2. Какие задачи относят к задачам на равенство двух величин? Приведите примеры. 3. Как решить задачу с помощью уравнения? п РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1436'. К задаче составили краткую запись: 1) Корзина Количество яблок Сравнение 1 корзина X ^ на 12ябл. < II корзина 4х Корзина Количество яблок Сравнение 1 корзина дм-9 II корзина Лх 2) Глава 5 Корзина Количество яблок Сумма 1 корзина X 1 30 ябл. II корзина 4х й Относится ли данная задача к задачам: 1) на нахождение суммы двух величин; 2) на нахождение разности двух величин; 3) на равенство двух величин? Какое уравнение можно составить к данной задаче? 1437'. Составьте уравнение к задаче. 1) В первой корзине яблок в 3 раза больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине, если в обеих корзинах — 24 яблока? 2) В первой корзине яблок в 4 раза меньше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине, если во второй — на 12 яблок больше, чем в первой? 3) В первой корзине яблок в 2 раза больше, чем во второй. После того, как из первой корзины переложили 8 яблок во вторую, в обеих корзинах яблок стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине изначально? 1438'. Ученики 6-Б класса решали алгебраическим способом задачу: «В первом бидоне молока в 5 раз больше, чем во втором. Если из первого бидона перелить во второй бидон 10 л, то молока в бидонах станет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?» У Наташи получилось уравнение 5x-10 = x+io, ау Сони — 5х - х = 10 • 2. Кто из девочек составил уравнение правильно? Ствет объясните. 1439°. Первое число в 3 раза больше второго. Найдите эти числа, если: 1) второе число на 24 меньше первого; 2) разность первого числа и числа 18 равна второму числу; 3) разность первого числа и числа 10 равна сумме второго числа и числа 6. 1440°. Первое число в 4 раза больше второго. Найдите эти числа, если: 1) сумма второго числа и числа 12 равна первому числу; 2) разность первого числа и числа 11 равна сумме второго числа и числа 10. 1441°. Разность двух чисел равна 2,2. Найдите эти числа, если их сумма равна 22,2. 1442°. Сумма двух чисел равна 33,5. Найдите эти числа, если их разность равна 3,5. 1443°. За б тетрадей и 4 ручки заплатили 27 грн. Сколько стоит тетрадь и сколько ручка, если тетрадь дешевле ручки на 50 к.? ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 251 А 1444°. За 2 кг печенья и 3 кг конфет заплатили 128 грн. Сколько стоит килограмм печенья и сколько — килограмм конфет, если конфеты дороже печенья на 11 грн? 1445°. Во фруктовом саду нужно посадить 18 деревьев. Первый работник может выполнить это задание за 6 ч. Какое время понадобится второму работнику для выполнения этого задания, если за час он садит на 1 дерево меньше, чем первый работник? 1446°. На фабрике нужно сшить 60 платьев. Первая мастерица может выполнить это задание за 30 дней. За сколько дней сможет выполнить это задание вторая мастерица, если за день она шьёт на 1 платье больше, чем первая? 1447°. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 325 км, и встретились через 2,5 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. 1448°. Расстояние между пунктами А и В равно 290 км. Одновременно навстречу друг другу из этих пунктов выехали два автомобиля и встретились через 2 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 5 км/ч меньше, чем скорость другого. 1449°. Автомобили выехали одновременно из пункта А в противоположных направлениях. Первый автомобиль ехал со скоростью на 1 о км/ч больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если через 2 ч расстояние между ними составляло 300 км. На каком расстоянии друг от друга будут находиться автомобили через 4,5 ч после выезда? 1450°. Два автобуса одновременно в противоположных направлениях выехали из сёл, удалённых друг от друга на 30 км. Скорость первого автобуса на 10 км/ч меньше скорости второго. Найдите скорость каждого автобуса, если через 2 ч расстояние между ними составляло 250 км. 1451. Мама купила 6 кг конфет двух видов по цене 20 грн и 24 грн. Сколько килограммов конфет каждого вида купила мама, если покупка стоит 136 грн? 1452. Купили 15 тетрадей: в линейку по цене 2 грн, и в клеточку по цене 3 грн. Сколько купили тетрадей в линейку и сколько в клеточку, если за покупку заплатили 38 грн? 1453. Мотоциклист за 4 ч проезжает то же расстояние, что автомобилист за 2 ч. Найдите скорость мотоцикла и скорость ав- 252 Глава 5 й томобиля, если известно, что скорость автомобиля на 40 км/ч больше скорости мотоцикла. 1454. Велосипедист за 2 часа проезжает то же расстояние, какое турист проходит за 6 ч. Найдите скорость велосипедиста и скорость туриста, если известно, что скорость велосипедиста на 8 км/ч больше, чем скорость туриста. 1455. На двух полках — 39 книг. Если с первой полки переставить на вторую 4 книги, то на первой полке книг станет в 2 раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? 1456. На двух полках — 30 книг. Если с первой полки переставить 2 книги на вторую, то на первой полке книг станет в 2 раза меньше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? 1457. На контрольной работе по математике из всех учеников 6-А класса лишь 18 справились с задачей, 25%учаидихся допустили ошибки, а 15 % не решили задачу. Сколько учеников 6-А класса писали контрольную работу? 1458. На олимпиаде по математике 17 % учащихся правильно решили только 3 задачи, 35 % учащихся — 4 задачи, а остальные, 12 учеников, — все 5 задач. Сколько учеников принимали участие в олимпиаде по математике? 1459. Туристы путешествовали 3 дня. В первый день они прошли 7 . 1 всего пути, во второй - ^ оставшегося пути, а в третий й оставшегося пути, а в третий последние 32,5 км. Какой путь преодолели туристы затри дня? 1460. Автобус ехал из пункта А в пункт В. В первый час он проехал 1 . 3 — всего пути, во второй--- 3 8 последние 100 км. Найдите расстояние между пунктами А и В. 1461. В школе три шестых класса. В б-А классе учится 30 % общего количества шестиклассников, в б-Б — на 6учеников больше, 2 классов вместе, сколько всего шестиклассников в этой школе? чем в 6-А, а в 6-В классе -вместе. Сколько количества учеников 6-А и 6-Б 1462. В трёх шестых классах школы — 81 ученик. Количество учащихся 6-Б класса составляет 80 % количества учащихся 6-А класса, а количество учеников 6-В класса — 50 % всех учеников 6-А и 6-Б классов. Сколько учащихся в каждом классе? ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 253 й А 1463. Тарас прочитал книгу за три дня. За первый день он прочитал 0,2 всей книги и ещё 6 страниц, за второй — 0,3 книги и ещё 8 страниц, а за третий — остальные 16 страниц. Сколько страниц в книге? 1464. Лена прочитала книгу за три дня. За первый день она про- 1 4 читала — всей книги и ещё 4 страницы, за второй день-кни- 3 9 ги и ещё 2 страницы, а за третий день — остальные 8 страниц. Сколько страниц в книге? 1465. Саша прочитал книгу за четыре дня. За первый день он прочитал 0,2 всей книги и ещё 8 страниц, за второй — 0,3 остального и ещё б страниц, за третий — 0,5 того, что осталось и ещё 1 страницу, а за четвёртый день — последние 10 страниц. Сколько страниц в книге? 1466. Петя съел ^ всех конфет и ещё 2 конфеты, Саша съел ^ всех конфет и ещё 1 конфету, а Коля — половину того, что осталось. После этого осталась ^ первоначального количества конфет. Сколько конфет было сначала? 4 1467. Найдите дробь, равную дроби —, если разность знаменателя и числителя этой дроби равна 21. 5 1468. Найдите дробь, равную дроби —, если сумма его числителя 8 и знаменателя равна 39. 1469. Если турист проедет расстояние между посёлками А и Б на велосипеде, то он затратит на 2 ч 30 мин меньше, чем если пройдёт этот же путь пешком. Каково расстояние между посёлками А и В, если на велосипеде турист едет со скоростью 12 км/ч, а пешком идёт со скоростью 4 км/ч? 1470. Автомобиль едет из пункта А в пункт В. Если он будет двигаться со скоростью 60 км/ч, то опоздает на 1 ч, а если со скоростью 80 км/ч, то прибудет на час раньше, чем нужно. Найдите расстояние между пунктами А и В. 1471. Два туриста двигались с одинаковой скоростью. Первый прошёл 8 км, а второй — 12 км. Первый турист находился в пути на 40 мин меньше, чем второй. Какое время находился в пути первый турист? 254 Глава 5 й СВОИХ денег До покупки у первого 1472. Количество книг на первой полке вдвое меньше, чем на второй. Если с первой полки снять 9 книг, а на вторую — поставить 12, то на первой полке книг станет в 7 раз меньше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? 1473. На четырёх полках — 180 книг. На первой полке книг в 2 раза больше, чем на второй, а количество книг на третьей полке 2 составляет 60 % количества книг на второй и - количества книг на четвёртой полке. Сколько книг на каждой полке? 1474. Количество книг на первой полке втрое больше, чем на второй. Если с первой полки снять 8 книг, а на вторую поставить 2 книги, то на первой полке книг станет в 2 раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? 1475*. Два ученика купили себе по книге. Первый потратил на это 5 . 2 — своих денег, а второй- 9 3 было на 12 грн меньше, чем у второго, а после покупки денег стало поровну. Сколько денег было у каждого мальчика сначала? 1476*. Юра взял книгу в библиотеке на 3 дня. За первый день он прочитал половину книги, за второй — треть оставшихся страниц, а за третий — вдвое меньше страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Юра прочитать книгу за 3 дня? 1477*. Старинная задача. Некто имеет чай двух сортов; цейлонский по 5 монет за фунт и индийский по 8 монет за фунт. В каких долях нужно смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью б монет за фунт? 1478*. Таня взяла из коробки сначала 4 конфеты, а затем четвёртую часть оставшихся конфет. После этого в коробке осталось 2 - начального количества конфет. Сколько конфет было в коробке сначала? 1479*. Верёвка длиной 4,9 м разрезана на 3 части так, что длина второй части составляет 75 % длины первой, а длина третьей— 75 % длины первых двух частей вместе. Найдите длины всех трёх частей верёвки. 1480*. Сумма двух чисел равна 7-, а удвоенное первое число равно утроенному второму. Найдите эти числа. ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 3 255 I I ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1481. Составьте и решите задачу о своём возрасте и возрасте других членов вашей семьи. 1482. Составьте и решите задачу о количестве мальчиков и девочек в вашем классе. 3 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1483. Какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки? 15,4 л :0,1 О J V J V У X 1484. Найдите значение I/, если х-у = Ъ и ^ = 3 г § 33. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Вы знаете, что прямая — это геометрическая фигура. Две прямые могут по-разному размещаться на плоскости. В б классе вы узнаете о перпендикулярных и параллельных прямых. 1. Перпендикулярные прямые Посмотрите на перекрёсток на рисунке 143. Вы видите, что дороги напоминают пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом. В тетради по математике клеточки образуются перпендикулярными прямыми. Рис. 143 Запомните! Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. 256 Глава 5 На рисунке 144 изображены пря- - мые АВ и CD, которые пересекаются - в точке О под прямым углом, то есть являются перпендикулярными. \) Записывают: АВ _L CD у а на рисунке обозначают знаком прямого угла “I (см. рис. 144). Говорят: «Прямая АВ перпендикулярна к прямой CD». Если прямая АВ перпендикулярна к прямой CD, то и прямая CD перпендикулярна к прямой AjB. Иначе говорят: прямые АВ и CD — взаимно перпендикулярны. ? Бывают ли перпендикулярными отрезки? лучи? Да, если они являются частями соответствующих перпендикулярных прямых (рис. 145-146). Для построения перпендикулярных прямых используют транспортир или угольник. На рисунке 147 вы видите, как строили прямую CD, перпендикулярную к прямой AjB, с помощью транспортира, а на рисунке рис. 148 — с помопщю угольника. D п А О в С Рис.144 D >Р Н П м А * О *Б С Рис.145 D П М А О в С Рис.146 D Л® Гл Ой у ■= "■'tb ъ 90^ В I I 4 ^ 4 ^ • f 111 П W D В Рис. 147 Рис.148 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 2. Параллельные прямые Посмотрите на рисунок 149. Вы видите рельсы трамвайных путей, напоминающие прямые, которые лежат в одной плоскости и не перееекаюшея* Это пример параллельных прямых. Вокруг нас много других примеров параллельных прямых. Так, в тетради в клеточку горизонтальные линии параллельны. То же самое можно сказать и о вертикальных линиях. Противоположные края парты, противоположные стороны оконной рамы, троллейбусные штанги также параллельны. Рис.149 Запомните! Две прямые на плоскости называются пapaлл&л^>ньs-ми, если они не пересекаются. На рисунке 150 изображены параллельные прямые АВ и CD. УкХ Записывают: АВ | CD. Говорят: чсПрямая jiS параллельна прямой CD»* Если прямая АВ параллельна прямой CDy то и прямая CD параллельна прямой .AS. Однако для параллельных прямых термин <1Взаимно параллельные» не используют. ? Бывают ли параллельными лучи? отрезки? Да, если они — части соответствующих параллельных прямых. На рисунке 151 вы видите, как с помощью линейки и D ГГТПТГГрГГТ' Рис. 151 258 [ла еа S угольника через точку О провели прямую CZ)> параллельную прямой АВ, Узнайте больше 1. Название «перпендикулярный» происходит от латинского слова «perpendicularis», означающего «отвесный». Знак 1 предложил Пьер Еригон (1580—1643) — французский математик и астроном. 2. Название «параллельный» происходит от греческого слова «paralelos» — «идущий рядом». Символ параллельности || известен с античных времён. Его использовали Герои и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынещний знак равенства, но с появлением последнего, чтобы избежать путаницы, сим вол был повёрнут вертикально Уилья мом Отредом в 1677 году ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Какие прямые называются перпендикулярными? какие отрезки? лучи? 2. Как обозначают перпендикулярные прямые в записям? на рисунке? 3. Как построить прямую, перпендикулярную к данной прямой с помощью: 1) транспортира и линейки; 2)угольника? 4. Какие прямые называются параллельными? какие отрезки? лучи? 5. Как записать, что данные прямые параллельны? 6. Как построить пря мую. параллельную данной пря м ой? ш РЕШИТЕ ЗАДАЧИ I486'. Прав ЛИ Коля, утверждая, что при пересечении двух прямых всегда образуются равные углы? I486'. По рисунку 152 определите перпендикулярные прямые: 1) «на глаз»: 2) с помощью угольника. 1487'. Таня изобразила в тетради два непересекающихся отрезка. Могут ли быть параллельными две прямые, частями которых являются данные отрезки? 1488'. По рисунку 153 определите параллельные прямые: 1) «на глаз»: 2) с помощью линейки и угольника. ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ й й й Рис.152 1489°. На рисунке 154 изображён прямоугольник ABCD. Запишите все пары перпендикулярных отрезков. 1490Р. На рисунке 155 изображён квадрат MNPK. Запишите все пары перпендикулярных отрезков. 1491°. Постройте в тетради прямую АВ (рис. 156). Проведите по клеточкам три прямые, перпендикулярные к прямой АВ. 1492°. Постройте в тетради прямую CD (рис. 157). Проведите по клеточкам две прямые, перпендикулярные к прямой CD. 1493°. Проведите прямую CD. Постройте прямую MN, перпендикулярную к прямой CD, с помоидью: 1) транспортира; 2) угольника. 1494°. Проведите прямую АВ. Постройте прямую КР, перпендикулярную к прямой АВ, с помоидью: 1) транспортира; 2) угольника. 1495°. На рисунке 155 изображён квадрат MNPK. Запишите все пары параллельных отрезков. 1496°. На рисунке 154 изображён прямоугольник ABCD. Запишите все пары параллельных отрезков. 1497°. Постройте в тетради прямую CD (рис. 157). Проведите по клеточкам три прямые, параллельные прямой CD. 1498°. Постройте в тетради прямую АВ (рис. 156). Проведите по клеточкам две прямые, параллельные прямой АВ. 1499°. Проведите прямую АВ. С помоидью линейки и угольника постройте прямую КР, параллельную прямой АВ. м к Рис. 155 Рис. 156 С, Рис. 157 260 Глава 5 ^ 1500^. Проведите прямую CD. С помощью ли-нейки и угольника постройте прямую MN, параллельную прямой CD. 1501. Постройте в тетради прямые .<4jB и CD (рис. 158). Через точку их пересечения проведите по клеточкам прямую MN, перпендикулярную к прямой АВ, Al 1502. Постройте в тетради прямые AJB и CD ^ (рис. 158). Через точку их пересечения проведите по клеточкам прямую MN, перпендикулярную к прямой CD. 1503. Постройте угол АОВ, равный 80°. Отметьте точку С на стороне ОА. Проведите через точку С прямую: 1) перпендикулярную к стороне ОА, 2) перпендикулярную к стороне ОВ. Ж 1504. Постройте угол COD, равный 120°. От-^ метьте точку А на стороне ОС. Проведите через точкуА прямую: 1) перпендикулярную к стороне ОС; 2) перпендикулярную к стороне OD. 1505. Прямые АВ и CD на рисунке 159 — перпендикулярны. Найдите неизвестный угол. Ж 1506. Прямые MN и РК на рисунке 160 — ^ перпендикулярны. Найдите неизвестный угол. 1507. Постройте в тетради параллельные прямые АВ и CD так, как показано на рисунке 161. Через точку К проведите прямую MN, параллельную прямой АВ. С помощью линейки и угольника проверьте, являются ли параллельными прямые MN и CD. Ж 1508. Постройте в тетради параллельные пря-™ мые АВ и CD так, как показано на рисунке 161. Через точку О проведите прямую PL, параллельную прямой CD. С помощью линейки и угольника проверьте, являются ли параллельными прямые PL \лАВ. Рис. 160 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 261 1509. Начертите прямую CD и отметьте точку М вне прямой. Постройте прямую, параллельную прямой CD, которая: 1) проходит через точку М; 2) не проходит через точку М. 1510. Начертите прямую АВ и отметьте точку С вне прямой. Постройте прямую, параллельную прямой АВ, которая: 1) проходит через точку С; 2) не проходит через точку С. 1511. Постройте угол COD, равный 110°. Отметьте точку А на стороне ОС. Проведите через точку А прямую, параллельную стороне OD. 1512. Постройте угол АОВ, равный 80°. Отметьте точку С на стороне ОВ. Проведите через точку С прямую, параллельную стороне ОА. 1513*. Постройте угол АОВ, равный 90°. Отметьте точку С внутри этого угла. Проведите через точку С прямые, перпендикулярные к сторонам угла. Какая фигура получилась вследствие пересечения этих прямых и сторон угла? 1514*. Постройте перпендикулярные прямые АВ и CD. Постройте ещё две перпендикулярные прямые MN и РК так, чтобы MN II АВ, РК II CD. Какая фигура получилась вследствие пересечения этих прямых? 1515*. Постройте четыре прямые так, чтобы: 1) они не пересекались; 2) образовалось 2 точки пересечения; 3) образовалось 4 точки пересечения; 4) образовалось 5 точек пересечения. ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1516. Приведите примеры предметов окружающей среды, напоминающих: 1) перпендикулярные прямые; 2) параллельные прямые. 1517. Улица Благовестная, на которой живёт Аня, проходит в направлении с юга на север. В каком направлении проходит улица Цветочная, на которой живёт Таня, если она параллельна улице Благовестной? В каком направлении проходит улица Молодёжная, на которой живёт Серёжа, если она перпендикулярна к улице Благовестной? Сделайте соответствующие рисунки возможного размещения этих улиц, считая верхний край тетрадного листа направлением на север. 1518. Во время прогулки Тарас и Петя сначала прошли от своего дома 200 м прямо по улице, на которой стоит их дом. Затем повернули налево под прямым углом и прошли 200 м, а затем повернули направо и прошли ещё 200 м. Определите, на какой 262 Глава 5 улице сейчас находятся мальчики; на той, что перпендикулярна к улице, на которой они живут, или параллельной ей? Ц ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ [ 1519. Решите уравнение: 1)4,8: 0,4=12: (0,4 +Зх); 2)-18 • (х +2,5) = 18,54. 1520. Стороны прямоугольника относятся, как 2 : 4. Найдите их длину, если периметр прямоугольника равен 60 см. ^ § 34. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ ^ Вы уже знаете, что такое координатная прямая (рис. 162). На ней точка О — начало отсчёта, стрелка показывает направление возрастания чисел, а цена деления составляет одну единицу. О X Н----1---1---^^^^-----------1---1---^ о 1 Рис.162 Однако на практике часто приходится пользоваться ориентирами не только вдоль прямой, но и на плоскости. Вы знаете, что в игре «Морской бой» положение корабля определяют с помощью «координат» из цифр и «координат» из букв (рис. 163). В зависимости от выбранной буквы передвигаются на определённое количество клеточек вправо или влево, а цифра указывает, на сколько клеточек нужно сместиться вверх или вниз. Это означает, что место корабля на поле боя определяют двумя «координатами». Чтобы определить место в зале кинотеатра, также нужно знать две «координаты»: номер ряда и номер кресла в этом ряду (рис. 164). Причём порядок «координат» в такой паре является строго определённым. Действительно, например, пары чисел Зи12и12иЗ направят нас в совершенно разные места зала: в 3-й ряд на 12-е место или в 12-й ряд на 3-е место. В отличие от предыдущего примера, для ориентирования в зале кинотеатра порядок координат не меняют, ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ_ А Б 8 Г Д ЖЗ И КЛ — - - и А ТТ”1“ГГ1Т штшштш - - - — i J Ц- Рис. 163 mmmmwm шштттт вяшямя яяяяпя шшштшшшттшшшшш яяяппяяяяяяшян ■яяввяяяяяяяяя ■ЯЯМЯЯЕЯЯЯЯВЖЯ ■TT4»'rTTTTT'«"ff4rWV Рис. 164 263 1 2 3 4 5 6 7 8 |9 |ю 111 112 |13 н—Р О 1 Н---1--1--!-► 1 X Рис.165 поскольку неудобно сначала ис- Y- ^ кать номер места в раду» а лишь затем — сам ред. Итак> чтобы охарактеризовать размещение точки на плоскости» нужно задать две взаимно перпендикулярные координатные прямые с равными единичными отрезками и так» чтобы начала отсчёта на них совпадали (рис. 165). Одна из них задаёт направление вправо-влево» а вторая — вверх-вниз. Одну из этих прямых (как правило» горизонтальную) считают первой» а другую — второй. Такая пара координатных прямых образует Прямоугольную систему координат. Первую координатную прямую называют осью абсцисс* Её обозначают ОХ* Вторую координатную прямую называют осью ординат* Её обозначают ОТ* Общее начало отсчёта координатных прямых называют началом координат (рис* 166). ось абсцис начАлс Hoopdwmm X Рис.166 264 fjid ва 5 Плоскость С заданной на ней системой координат называют координатной плоскостью. Каждой точке на плоскости можно поставить в соответствие пару чисел, взятых в определённом порядке, и наоборот, каждой паре чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Такая упорядоченная пара чисел называется координатами точкив данной системе координат. Координата по оси абсцисс называется абсциссой точки, а координата по оси ординат — ординатой точки. Кратко записывают: М (х; у),А(Ь; 2). Читают: «Точка М с координатами х и у>>, «Точка А с координатами 3 и 2»> или «3 — абсцисса точки А, 2 — её ордината». 1> Задача 1. На координатной плоскости постройте точку: 1)В(3:2):2)А(5;0). Решение. Введём прямоугольную систему координат на плоскости (рис. 167). 1. У точки В (3; 2) абсцисса равна 3. а ордината — 2. На оси абсцисс отметим точку, соответствующую числу 3, а на оси ординат — точку, соответствующую числу 2. Через точки, построенные на осях координат, проведём две прямые, параллельные осям (рис. 167). Точка пересечения построенных прямых—искомая точка В (3 2). 2. Поскольку ордината точки А(5; 0) равна о, то эта точка лежит на оси абсцисс и соответствует числу 5 на этой оси. Yi , 2 В 1 1 1 А X 1 А 'о 1 3 —»— 5 Рис.167 Ф Обратите внимание: точка лежит на оси абсцисс, если ос ордиматарасмамулю. и наоборот; точка лежит на оси ординат, если её абсцисса равна нулю, и наоборот: начало координат — точка О. имеет координаты (0; 0). ^ Как определить коордиыаты точки на координатной плоскости, например, точки А на рисунке 168? Для этого нужно через данную точку провести прямые, парал- Рис. 168 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ лельные осям координат. Прямая, параллельная оси ординат, пересекает ось абсцисс в точке, соответствующей числу 5. Значит, первой координатой точки Л является число 5. Прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает ось ординат в точке, соответствующей числу -4. Значит, второй координатой точки А является число -4. Итак, точка А имеет координаты 5 и -4, то есть А (5; -4). Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части. Их называют координатными четвертями и обозначают так: I четверть, II четверть, III четверть, IV четверть (рис. 169). Точки I четверти имеют положительную абсциссу и положительную ординату. И наоборот, если абсцисса и ордината точки положительные, то она лежит в I четверти, как, например, точка В (3; 2). Аналогично рассуждая, получим: точки II четверти имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату, точки III четверти — отрицательную абсциссу и отрицательную ординату, а точки IV четверти — положительную абсциссу и отрицательную ординату. На рисунке 170 показаны знаки координат точек, лежащих в соответствующих четвертях. у "^четверть 1- к "Т^четверть X Yi - -f- к + + X О \ ^ 1 О Щ^четверть ^четверть — — + - Рис. 169 Рис.170 266 [ла еа S Узнайте больше Положение любой точки на поверхности Земли задаётся такими двумя координатами: географической широтой и географической долготой. Географические координаты ввёл древнегреческий учёный Гиппарх во II в. до н.э. Их применяют для определения положения точек земной поверхности относительно экватора и начального (нулевого) меридиана. Например. Киев имеет следующие географические координаты: 30®30' восточной долготы. 50®27' северной широты. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Объясните, как построить прямоугольную систему координат на плоскости. 2. Какие названия имеют оси координат? точка ихпересечения? 3. Что называется координатной плоскостью? 4. Как определить координаты точки в прямоугольной системе координат? 5. Какие координаты имеет начало отсчёта? 6. Какие особенности имеют координаты точек, лежащих на осях координат? Приведите примеры. 7. Насколько координатных четвертей разбивают плоскость координатные оси? Какие знаки имеют координаты точек в каждой из них? в РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1521'. Сколько координатных прямых нужно задать, чтобы охарактеризовать размещение точки на плоскости: 1)одну: 2) две; 3)три? 1522'. Верно л и. что упрямоугольной систем ы координат на плоскости: 1) две оси координат; 2) оси координат не пересекаются; 3) оси координат взаимно перпендикулярны; 4) на осях координат заданы равные единичные отрезки; 5) первой считают ось ординат? 1523'. Верно ли. что абсцисса точки А (-4; 9) равна: 1)4; 2)9; 3)-4; 4)-9? ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 267 1524'. Верно ли, что ордината точки А (-4; 9) равна: 1) 4; 3)-4; 2) 9: 4)-9? 1525'. Какая точка лежит одновременно и на оси ординат, и на оси абсцисс? 1526'. Верно ли Денис определил координаты точки (рис. 171): 1) М(3;0); 2) N{0] -1); 3) Р(-2;0); Рис. 171 4) К (0; 4)? 1527°. Начертите в тетради таблицу 24 и запишите координаты точки М. Таблица 24 i К 1 р N м О 1 Абсцисса точки М -2 12 69 Ордината точки М 5 4 -51 Координаты точки М 1528°. Начертите в тетради таблицу 25 и запишите абсциссу и ординату точки М. Таблица 25 Координаты точки М (4; 5) (0,2;-8,9) (-45;-12) Абсцисса точки М Ордината точки М А 1529°. Начертите систему координат. На оси ОХ отметьте точку с абсциссой: 1) 2; 2)-2; 3) 4,5; 4)-4,5. Назовите отмеченную точку. Какова её ордината? Запишите координаты этой точки. 1530°. Начертите систему координат. На оси OY отметьте точку с ординатой: 1) 2; 2) -2; 3) 4,5; 4) -4,5. Назовите отмеченную точку. Какова её абсцисса? Запишите координаты этой точки. 1531°.КакиеизточекА(-45;0),Б(8; 1),С(0;30),2)(1;-1),Е(3,1;0), F (0; -3), К (0; 0) лежат на оси: 1) абсцисс; 2) ординат? 1532°. Задайте прямоугольную систему координат на плоскости и постройте в ней точки: 1) А (2; 4), В (3; -2), С (-2; 7), Z) (2; 2); 2) А (3; 5), В (5; 3), С (-3; -5), D (-5; -3); 3) А(-7; 7), В (-4; 4), С (-3; 3), D (-5; 5). 268 Глава 5 Yi к В к N L С G А Н F 1 Е С X Е 1 О 1 D А X О 1 F G D К Н в N Рис. 172 Рис. 173 ё 1533°. Задайте прямоугольную систему координат на плоскости и постройте в ней точки: 1) А(1; i),S(1;-1),C(-1;-1),D(-1; 1); 2) А (1; 2), В (1; -2), С (-2; -1), D (-2; 1). 1534°. Начертите систему координат. За единичный отрезок примите 3 клеточки тетради. Постройте точки А и II ,в (2 Л -; 1 3j 1з J Ж 1535°. Начертите систему координат. За единичный отрезок при-^ мите 5 клеточек тетради. Постройте точки А(-1; -0,2), / о ^ В 2. л 0 ,с f-4; 3" V 5’ У 1 5’ Ъ) ё 1536°. Каковы координаты точек, изображённых на рисунке 172? 1537°. Каковы координаты точек, изображённых на рисунке 173? 1538°. Не выполняя построений, выясните, в какой координатной четверти расположена точка: А (-15; 20), В (3,9; -4,2), С (218; 30), D (-19; -47), Е (-71; 8), F (2; 23), К (3; -12), L (-401; -477). 1539°. Начертите в тетради и заполните таблицу 26. Таблица 26 Знак абсциссы точки Знак ординаты точки Четверть, в которой лежит точка IV II III 1 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 269 ё ё ё 1540®. Постройте точки и соедините их последовательно; 1) а) (-1; 2), (7; 2), (7; -5), (-1; -5), (-1; 2); б) (0; 1), (2; 1), (2; -2), (0; -2), (0; 1); в) (4; 1), (6; 1), (6; -2), (4; -2), (4; 1); г) (-1; 2), (3; 5), (7; 2); д) (7; -2), (8; -1), (9; -2), (9; -5), (7; -5); е) (9; -2), (10; -1), (11; -2), (11; -5), (9; -5); ж) (-10; -5), (-7; -2), (-9; -2), (-6; 1), (-8; 1), (-6; 3), (-4; 1), (-6; 1), (-3; -2), (-5; -2), (-2;-5), (-10;-5); 2) а)(-1;-4),(-1;6),(1;9),(3;6),(3;-4),(-1;^);б)(-1;-3),(-3;-5), (-3; -7), (-2; -6), (-1; -4); в) (3; -в), (5; -5), (5; -7), (4; - 6), (3; -4); г) (1; -4), (0; -6), (2; -6), (1; -4); д) (0; 5), (1; 6), (2; 5), (1; 4), (0; 5); 3) а) (4; 13), (8; 15), (9; 17), (10; 10), (16; 10), (18; 12), (16; 0), (14;0),(15;6),(11;6),(12;0),(10;0),(8;12),(5;11),(4;13);б)(8;14); в) (4,5; 11,5), (7; 13). 1541. Запишите координаты точек, расположенных на координатных осях и удалённых от начала координат на: 1) 2 единицы; 2) 7 единиц; 3) 45 единиц. 1542. Запишите координаты точек, расположенных на координатных осях и находяицихся от начала координат на расстоянии; 1) 3 единицы: 2) 2,5 единицы. 1543. Запишите координаты точки В, если с точкой А (3; 4) она имеет: 1) равные абсциссы, но противоположные ординаты; 2) равные ординаты, но противоположные абсциссы; 3) противоположные и абсциссы, и ординаты: 4) равные и абсциссы, и ординаты. 1544. Дана точка А (3; 4). Запишите координаты точки В, у которой абсцисса и ордината: 1) соответственно равны ординате и абсциссе точки А; 2) вдвое больше абсциссы и ординаты точки А; 3) на 3 меньше абсциссы и ординаты точки А. 1545. Запишите координаты точек, расположенных на оси ОХ и находящихся от точки А(-6; 0) на расстоянии: 1)3 единицы: 2) 2,5 единицы. 1546. Запишите координаты точек, расположенных на оси OY и находящихся от точки А (0; 5) на расстоянии: 1) 1,5 единицы: 2) 10 единиц. 1547. Через точку А (3; 2) проведите прямую, параллельную оси: 1) абсцисс; 2) ординат. Выясните, лежат ли на этой прямой точки В (-3; 2), С (2; 3), D (3; -2). 1548. По трём точкам А (0; 0), В (2; 0), D (0; 3) постройте прямоугольник ABCD. Каковы координаты точки С? Вычислите площадь и периметр прямоугольника. 270 Глава 5 :iL 1549. По трём точкам А (0; 0), В (2; 0), D (0; 2) постройте ^ квадрат ABCD. Каковы координаты точки С? Вычислите площадь и периметр квадрата. 1550. Постройте прямую AS, если А (-2; 2), В (4; -4). Определите координаты ещё трёх точек этой прямой. 1551. Найдите площадь квадрата, зная координаты двух соседних его вершин: 1) (3; 5), (8; 5); 2) (4; -3), (1; -3). 1552. Дана вершина А(0; 4) квадрата ABCS. Абсцисса вершины В равна абсциссе точки А, а ордината точки В в 1,5 раза больше ординаты точки А. Найдите координаты вершин квадрата и постройте его. Сколько решений имеет задача? Вычислите площадь и периметр квадрата. 1553. В какой четверти может лежать точка М {х\ у), если: ^)x< 1, 1/> 2; 2)х = -4, у > 2,6? 1554*. Постройте множество точек М {Х] у), если -3 < х < 1, \у \ <2,ахи у: 1) целые числа; 2) натуральные числа; 3) рациональные числа. 1555*. Постройте точки с координатами (х; у), если |х| < 6, \у\ <7 и: 1) ордината каждой точки равна её абсциссе; 2) модуль абсциссы каждой точки равен её ординате; 3) абсцисса каждой точки вдвое больше её ординаты. 1556*. Постройте точки с целыми координатами (х; у), для которых выполняется условие: 1)ху<0; 2)ху = 0; 3) |ху| <0. 1557*. Постройте точки с целыми координатами (х; у), для которых выполняется условие | х | + | у | < 2. 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1558. Нарисуйте план зала кинотеатра. Определите, где будут сидеть дети, если в билетах указано: 2-й ряд 6-е место, 3-й ряд 7-е место, 12-й ряд 4-е место. Ill ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 1559. Найдите значение выражения: 1) 19 " 13" 30. ох Г5 2Г 1 38 J 19 ’ 249- 33; ^ 1lJ 1560. Вычислите: 1) 109,04 • (-0,05); 2) (-45,3-6,29) ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 271 I I 1561. Умножьте сумму чисел -3,5 и 7,4 на: 1) меньшее из них; 2) большее из них; 3) их разность. 1562. Умножьте разность чисел -9,3 и 6,8 на: 1) меньшее из них; 2) большее из них; 3) их сумму. Г . л ^ § 35, ГРАФИКИ зависимостей МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ Вы знаете, что стоимость товара зависит от его количества: чем больитее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Например, если цена одного килограмма конфет составляет 35 грн, то за 2 кг нужно заплатить 7О грн, за 3 кг — 105 грн и т.п. Вы знаете, что такое соответствие можно наглядно отобразить на диаграмме (рис. 174). Однако по диаграмме трудно определить, сколько стоит 2,5 кг конфет или другое их количество. Изобразим данные о стоимости конфет не в виде столбиков, а вертикальными отрезками в системе координат (рис. 175). Поскольку величины «масса конфет» и «стоимость покупки» являются прямо пропорциональными, то верхние концы столбиков диаграммы можно соединить отрезками. Получим линию, показывающую, как изменяется стоимость покупки в зависимости от массы конфет. Такую линию называют графиком зависимости величины «стоимость покупки» от величины «массаконфет». 1 ке 2 кг 3 кг Рис.174 fjid ва 5 Ф Обратите внимание: все точки графика зависимости прямо пропорциональных величин лежат на одной прямой. Вы знаете, что расстояние и время на его преодоление являются прямо пропорциональными величинами. Поэтому все точки графика движения лежат на одной прямой. и Задача 1. Поез д Харьков — Львов выходит из Харькова около 19 ч и прибывает во Львов около 13 ч. Скорость поезда — 50 км/ч. На маршруте он делает 5 остановок через каждые 3 часа (рис. 176). 1) В котором часу новых суток поезд делает первую остановку? Какая это станция? 2) Что показывает число -5 на оси абсцисс? А число -2? 3) На каких расстояниях от первой остановки поезд останавливается на других станциях? 4) Что показывает число -ЗОС на оси ординат? А число -150? 5) Каковы координаты конечных точек м аршрута? Реш ение. 1. Начало новых суток поезд встречает недалеко от станции Лубны, а первую остановку делает в 1 ч именно на этой станции. 2. Поскольку движение поезда началось в предыдущие сутки, то по оси абсцисс время егс отправления из Харькова можно выразить отрицательным числом -5. таккакс 19 ч предыдущих суток до начала новых суток должно пройти именно 5 ч. Аналогично. времени остановки поезда в Полтаве на оси абсцисс соответствует отрицательное число -2. 3. Остановки запланированы через каждые 3 ч. Поскольку скорость поезда — 50 км/ч. то за 3 ч он преодолевает 150 км. Значит. поезд останавливается на таких расстояниях от Полтавы: 150 км; 300 км;450 км; бОО км ; 750 км . 4. С ПОМОЩЬЮ отрицательных чисел -300 и -150 на оси ординат показано, что в19 ч предыдущих суток поезд находился на расстоянии 300 км. не доезжая до станции Лубны. а в22 ч предыдущих суток — на расстоянии 150 км. не доезжая до этой станции. 5. Конечные точки маршрута поезда имеют координаты (_5;-300): (13; 600). ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 273 а Л «J З' «» © Размещение ка маршруте относительно ет.Лубны {км) 600 450 Львов Здолбунов -2 о Полтобй^ Харьков 4 7 10 13 Времл относительно времени смены суток (ч) 1-300 Рис. 176 ? Обязательно ли выбирать конечные точки маршрута для построения графика движения? Нет. График можно построить по любым двум его точкам. Но концы маршрута нужно отметить обязательно. # Обратите внимание графиком движения является прямая (или её часть), поэтому такой график можно построить по любым двум его точкам. Узнайте больше и ♦ 4 С помощью I рафиков можно рела1ь целый класс аадач. Рас-см отрим задачу. Задача 2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 420 км. навстречу друг другу выехали два автомобиля. Красный автомобиль выехал в б ч из пунк’а А и прибыл в пункт В в 15 ч. Синий автомобиль выехал в 5 ч кз пункта В и прибыл в пункт А в11 ч. В котором часу встретятся автомобили? Решение. Построим в прямоугольной системе координат графики движения автомобилей (рис. 177). Красный отрезок — 274 Глава 5 график движения красного автомобиля, синий — синего автомобиля. Точке пересечения этих отрезков соответствует время — 9 ч. Значит, автомобили встретятся в 9 ч. Рис.177 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Объясните, что такое график зависимости. 2. Как построить график зависимости стоимости покупки от количества купленного товара? Что показывают абсциссы на этом графике? А ординаты? 3. Какой линией является график движения поезда? Е РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1563'. По рисунку 175 определите, какова стоимость покупки, если куплено конфет: 1) 2 кг; 2) 3 кг; 3) 4 кг. 1564'. По рисунку 175 определите, какую массу конфет куплено, если за покупку заплатили: 1) 70 грн; 2) 140 грн; 3) 105 грн. 1565'. По рисунку 176 определите, в котором часу поезд находился на станции Яблонец. 1566°. На рисунке 178 изображён график изменения скорости автомобиля. Верно ли, что автомобиль: 1) увеличивал скорость на протяжении первых четырёх часов; 2) не изменял скорость на протяжении трёх часов; 3) в 3 ч ехал со скоростью 40 км/ч; 4) остановился в 4 ч? ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 275 I I 1567°. На рисунке 179 изображён график изменения температуры в течение семи часов. Правильно ли заполнили таблицу 27? Таблица 27 Время (ч) 1 2 3 4 5 6 7 Температура (°С) 21 -22 20 18 17 19 22 й 1568°. В таблице 28 показан рост ребёнка в первый год жизни. Постройте график зависимости роста ребёнка от его возраста. Таблица 28 Возраст (месяцы) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Рост (см) 54 57 60 62 64 66 67 68 70 71 73 74 TeMi ра и Рис. 179 276 Глава 5 Определите: 1) в каком месяце рост ребёнка составлял: 57 см, 64 см, 74 см; 2) каким был рост ребёнка: в 2 месяца, 6 месяцев, 10 месяцев; 3) в какой период рост ребёнка был от 60 см до 70 см. 1569°. На рисунке 180 изображён графи к движения велосипедиста. Расстояние Определите: 1) на каком расстоянии от начальной точки движения находился велосипедист: в 8 ч; в 13 ч; в 15ч; 2) сколько раз велосипедист делал передышку: 3) в котором часу велосипедист остановился впервые и сколько времени он отдыхал; 4) сколько километров проехал велосипедист за первые 2 ч движения: с 9 ч до 11 ч; 5) в котором часу велосипедист завершил путешествие. 1570°. Начертите в тетради и заполните таблицу 29. Постройте график зависимости периметра квадрата от его стороны. Таблица 29 Сторона квадрата (см) 1 3 5 Периметр квадрата (см) й Определите: 1) чему равен периметр квадрата, если его сторона равна 2 см; 4 см; 2) на сколько изменится периметр квадрата, если его сторону увеличить с 2 см до 4 см. 1571°. Стороны прямоугольника равны а и &. Начертите в тетради и заполните таблицу 30, если & = 2 см. ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 277' I I Таблица 30 Сторона а (см) 1 2 3 4 5 Периметр прямоугольника (см) Площадь прямоугольника (см^) Постройте график зависимости: 1) периметра прямоугольника от его стороны; 2) площади прямоугольника от его стороны. 1572. На рисунке 181 изображён график зависимости между сторонами а и & прямоугольника с площадью 4 см^. Определите: 1) чему равна сторона а, если сторона Ь равна: 1 см, 2 см; 2) чему равна сторона Ь, если сторона а равна: 4 см, 8 см; 3) на сколько изменилась сторона а, если сторона Ъ увеличилась с 2 см до 4 см. Ж 1573. На рисунке 182 изображён график изменения температуры ^ воздуха в течение недели. Определите: 1) в какой день температура воздуха была самой высокой; 2) какой была самая высокая температура; 3) в какие дни температура воздуха была самой низкой; 4) в течение скольких дней температура не изменялась; 5) в какие дни температура была ниже нуля; 6) какой была температура во вторник, в среду; 7) в какой день температура была выше: в четверг или субботу. Начертите в тетради и заполните таблицу 31. 278 Глава 5 Таблица 31 Время (день недели) Поне- дель- ник Втор- ник Сре- да Чет- верг Пят- ница Суб- бота Вос- кресе- нье Температура воздуха (°С) й 1574. Утром в понедельник температура воздуха составляла 8 °С. Во вторник температура понизилась на 3 °С, в среду — на 2 °С, а с четверга по субботу — повышалась на 1 °С ежедневно. Какая температура воздуха была в воскресенье утром? Постройте график изменения температуры в течение недели. 1575. На рисунке 183 изображены графики изменения скоростей Андрея и Серёжи. 1) у кого из мальчиков скорость была большей в 10 ч; 2) в котором часу скорость Андрея была равна 3 км/ч; 3) какова скорость Серёжи: в 9 ч, в 13 ч; 4) в котором часу Серёжа остановился; ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 279 5) кто из мальчиков затратил на путешествие больше времени и на сколько; 6) останавливались ли мальчики передохнуть; 7) сколько километров прошёл Серёжа с 10 ч до 12 ч. 1576*. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми составляет 60 км, в 13 ч выехал первый велосипедист, а через два часа в том же направлении выехал второй велосипедист. В котором часу каждый из велосипедистов прибудет в пункт В, если второй догнал первого в 17 ч на расстоянии 40 км от пункта А? Решите задачу графически. 1577*. Из пунктаАв пунктБ, расстояние между которыми составляет 300 км, в 8 ч выехал автобус. Через час в том же направлении выехал автомобиль. В котором часу автомобиль догнал автобус, если в пункт В автобус приехал в 13 ч, а автомобиль — в 12 ч? Решите задачу графически. 1578*. Дима пробегает 2 круга по беговой дорожке за такое же время, за которое Катя пробегает 3 круга. Катя пробежала б кругов. Сколько кругов за это время пробежал Дима? Постройте график зависимости данных величин. 1579*. За 3 кг мандаринов заплатили в 2 раза больше, чем за 5 кг яблок. Постройте график зависимости стоимости мандаринов от их массы, если 1 кг яблок стоит на 14 грн меньше, чем 1 кг мандаринов. ш ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1580. Постройте график изменения температуры за неделю. Определите, в какой день температура была: 1) наивысшей; 2) наинизшей. 1581. Постройте график зависимости вашего роста от возраста за некоторый промежуток времени. ш ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1582. Вычислите: 1) |48|:|-6| + V 9 у у / 2) |-54|. V '-Л I 9j + 2,25-|-0,8| 1 у 6 10 J 5 1583. Вычислите: 1)3,71 +(-13,6) + / 71 1 100 2)-о, 109+ 86- + ^ 891 ^ -80^^ V lOOOj *280' ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВАМ ГЛАВА 1 Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин. 1°. Какую цифру нужно вставить вместо звёздочки, чтобы число 1754* делилось на 10? Б. 0. В. 5. А. 1 Г. 2. 2°. Какую цифру нужно приписать слева к числу 56, чтобы оно делилось на 9? А. 5. Б. 1. В. 3. Г. 7. 3°. Найдите НОК чисел 32 и 36. А. 144. Б. 288. В. 4. Г. 1152. 4. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 36 белых гвоздик и 126 розовых гвоздик? А. 9. Б. 18. В. 36. Г. 4. 5*. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое содержит цифру 7 и делится и на 2, и на 3, и на 5. А. 1710. Б. 1470. В. 1740. Г. 1170. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВАМ ■281‘; ГЛАВА 2 Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин. №1 . Какая из дробей —, —, —, — является несократимой? 15 42 63 23 63 и_ 23 D 11 2 3 Вычислите:-------+ — 12 3 4 В. 15 7_ 42 А. 1- 3°. Какое из чисел Б. 1. 2 5 11 1 9’18’ 27’ 3 В. 2. наибольшее? А. -. Б. А. В. 2 Г.^ 3 18 9 27 Сократите дробь 15г/ ЗЬху^ (л: 9^: 0; у 9^: 0) . л 5 ^ 3 В. Зл: ^ 1 А. —. Б. -7,.2 ■ Г. Зху 5*. Одна сторона треугольника равна — м. Она на — м больше второй стороны и на ^ меньше третьей стороны. Найдите периметр треугольника. А. 2-^ см. 20 Б. 1— см. 5 В. 3-^ см. 20 г ^3 Г. 1— см. 4 *282 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВАМ №2 1°. Вычислите: 6 12'72 11 Б. 1- В. 72 11 55 Вычислите: —-1,2 6 72 Б. 1 В. 12 Г. 10. 5 3 Найдите значение выражения: 7 42 В. J\_ 84 4. Найдите площадь квадрата с периметром 2— см. А. 11 — см^ 7 7 СМ" в. 5*. Найдите корень уравнения 16 X — 49 5 ^ 18 СМ" 7 J_ 21 Г. 8— см2 49 24 Какому из нера- венств удовлетворяет полученный корень? А. 0,36 < X < 0,37. Б. 0,74 < л: <0,75. В. 0,29 <х < 0,3. Г. 1,21 < X < 1,22. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВАМ ГЛАВА 3 283 ■; Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10 -15 мин. №1 1°. Найдите значение отношения 0,18 : 3,6. А. 0,2. Б. 0,5. В. 0,05. Г. 5. 2°. Найдите неизвестный член пропорции 6,4 : х = 4 : 0,5. А. 8. Б. 0,8. В. 5,12. Г. 0,2. 3°. Сколько стоят 9 кг конфет, если за 4 кг таких конфет заплатили 110 грн? А. 27,5грн. Б. 220 грн. В. 247,5 грн. Г. 275 грн. 4. Масштаб карты 1 : 600 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком 3 см. А. 18 км. Б. 1,8 км. В. 180 м. Г. 18 м. 5*. За сколько дней выполнят задание 8 работников, если 4 работника могут выполнить это задание за 6 дней? А. 3. Б. 4. В. 5. Г. 6. №2 1°. Вычислите длину окружности, радиус которой равен 7 см. А. 14см. Б. 21,98 см. В. 43,96 см. Г. 439,6см. 2°. Бросают игральный кубик. Вычислите вероятность события «выпадет 4 очка». А 1 т 2 в 1 г 1 А. — . Б. — . В. —. Г. — . 3 3 6 2 3°. Вычислите площадь круга, диаметр которого равен 8 см. А.25,12см2. Б. 200,96см2. В. 50,24см. Г. 50,24см^. 4. Число 12 увеличили на 25 %, а затем ещё на 15 %. Какое число получили? А. 172,5. Б. 17,25. В. 168. Г. 16,8. 5*. В городском парке посадили деревья. Из них хвойные деревья составляют 60 %. Сколько деревьев посадили в парке, если хвойных деревьев посадили на 25 больше, чем лиственных? А. 500. Б. 450. В. 250. Г. 125. 2843 л ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВАМ ГЛАВА 4 Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин. №1 0 1 1°. Сколько среди чисел 4; 12; —; 0; 18; -2—; -19; 111; 3 3 -2,4; -91; -14 отрицательных целых чисел? А. 6. Б. 4. В.З. 2°. Найдите число, противоположное числу 0,5. А. 0,5. 1 В. - 1 Г. 8. Г.-1,5. 3°. Расставьте числа 0,6; —; -1,9 в порядке возрастания. 4 А. 0,6; --; - 1,9. 4 Б. - 1,9; 0,6. 4 В. 0,6; -1,9; — Г. -1,9; --; 0,6. 4 4. Вычислите: |- 9 | • |- 2 | - | - 36 | : 6. А. 24. Б.-12. В.-24. Г. 12. 5*. Найдите расстояние междуточками Аи В, если А —середина отрезка с концами в точках С(-2) иВ(4), аВ — середина отрезка с концами в точках М(-3) и N{-5). А. 5ед. Б. бед. В.Зед. Г. 2 ед. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВАМ 1 Вычислите: -2,8 + 0,2. А.-3. Б.-2,6. 2°. Вычислите:-15-17. А. -32. Б. 32. №2 В. 3. В. 2. 285 ;" 3°. Решите уравнение: х - 1,5 = -3,4. А. 1,9. Б.-4,9. В. 4,9. Г. 2,6. Г. -33. Г.-1,9. 4. Вычислите: А. -6. 1 Г г- л + -5- 5 " V 9. 1 з] + - -0,2. 9 2 4 Б.-4-. В.-5— 3 45 1 Г. 6. 5*. Из суммы чисел 5,6 вычли некоторое число. В результате получили-0,605. Найдите это число. А. 3,98. Б. 5,08. В.-3,88. Г.-4 1 №3 1°. Какое из неравенств является верным? А. -2 ■ (-5) <0. В. 2 ■ 5 < 0. Б. 2 • (-5) <0. Г. -2 • 5 > 0. 2°. Вычислите: -50 • (-0,001) ■ 27,28 • (-2). А.-2,728. Б. 54,56. В. 27,28. 3°. Решите уравнение: -8 • х = 6,4. А. 0,8. Б.-8. В.-0,8. 4. Вычислите: -0,2 • (-100 : 4). А. -4. Б. -5. В. 12,5. Г.-272,8. Г.-71,2. Г. 5. 5*. Вычислите: -А. 0. Г 13 V 11 Б.-15 78 : + 3- ЗЗ; 1, 15 5 В. -30. [ 34) Г. 15. *286 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВАМ ГЛАВА 5 Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин. № 1 . Упростите выражение: 6 • (а + 0,5) - 4 • (а - 2,8). А. 6а + 4,2. Б. 2а-8,2. В. 2а-14,2. Г. 2а+14,2. . Решите уравнение: 2,5х + 12 = 2х - 13. А. 5. Б. -5. В. 50. Г. -50. 3°. Сумма двух чисел равна 30. Одно из чисел в 1,5 раза больше другого. Найдите эти числа. А. 16 и 14. Б. 18 и 12. В. 15,75и14,25. Г. 20 и 10. 4. Решите уравнение 2 • (i/-3,5) = 7 + 3,6 • {2у- 1). А. 2. Б.-2. В. 0,5. Г.-0,5. 5*. На двух полках стояло 18 книг. После того как с первой полки переставили на вторую 2 книги, на первой полке книг стало в 2 раза больше, чем на второй. Сколько книг было на каждой полке сначала? А.12и6. Б.14и4. В.10и8. Г.15иЗ. №2 1°. Какая прямая на рисунке 1 перпендикулярна к прямой AS? к. КМ. Б.ОК. В. СВ. V.CD. 2°. Чему равен Z. АОС на рисунке 1 ? А. 90= Б. 60= В. 30= Г. 180= D с А г, г, А м в К . Какой пример всегда иллюстрирует параллельные прямые? A. Стороны треугольника. Рис. 1 Б. Стороны прямоугольника. B. Противоположные стороны квадрата. Г. Два карандаша. Три вершины квадрата ABCD имеют координаты: А(-2; 4), S(5; 4) и С(5; -3). Найдите координаты вершины D. А. (5:3). Б.(2;-3). В. (-2;-4). Г.(-2;-3). . Отрезок AS разделён точкой С в отношении 5:1, считая от точки А. Найдите координаты точки С, еслиА(1;-6) mS(-5;-6). А. (-4; -6). Б. (-3: -6). В. (0; -6). Г. (-1; -6). ОТВЕТЫ 287 ОТВЕТЫ ГЛАВА 1 §1 10. 1) 12; 16; 20;3) 12; 18. 11. 1) 18; 24; 30; 3) 30. 12. 1) 4; 3) 7. 15. 1) 11; 13; 23.16.1) 29; 37.17.1) 7; 13; 19; 31; 37; 43. 18.1) 4. 21.1) Да, 3 коробки; 3) да, 6 коробок. 22. 1) Да, по 18 человек; 3) нет. 23. 3) 16; 32; 48; 64; 80; 96; 4) 22; 44; 66; 88. 24. 3) 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 4) 15; 30; 45; 60; 75; 90. 25.105; 140; 175; 210; 245; 280; 315; 350; 385.26. 24; 48; 72; 96.27. 1) Нет; 2) нет; 3) да. 28. Например, 4; 9; 25; 49. 29. Например, 6; 10; 14; 21. 30.13 и 11.31.1) Да, 45 монет; 3) да, 9 монет. 32.15 лет, 33 года, 55 лет. .10 20 33.1) б—; 2) — 11 21 34. На 50 %. §2 41. 1) 4; 2) 6. 44. 1) 6. 47. 1) 5. 50. 1) 6; 3) 2. 52. 3) 30; 40; 50. 56. 2) 110 355; 180; 650; 780; 4) 110; 180; 650; 780. 57. 1) 252; 160; 210; 336; 520 890; 3) 160; 210; 520; 890. 58. 2)330 или 335; 3) 330. 59. 2) 1230 или 1235 3) 1230. 60. 2) 1350 или 1355; 3) 1350. 61. 1) Нет; 3) нет. 62. 1) Да; 3) да 64. 3) 10; 4) 11.65. 1) Да. Например, 76 и 66; 2) да. Например, 67 и 77 3) нет; 4) нет. 66.1) Нет; 3) да. 67. Нет. 68. Да. 69. Да. 70.1) 15; 25; 35; 45 50; 55; 65; 75; 85; 95; 2) 50; 3) 50; 4) 51; 53; 57; 59.71.1) 40; 45; 2) 40; 3) 40 4) 41; 43; 47; 49. 72. 1) 160; 3) 290. 73. 1) 960; 3) 985. 74. 1) 2000; 2025 2050; 2200; 2225; 2250; 2500; 2550; 5000; 5025; 5050; 5200; 5225; 5250 5500; 5525; 5550. 77. Да, по 5 конфет. 78.1) 380,6; 3) 909,9. 79. 7500 см\ §3 83. 1) 2. 84. 72; 81; 90; 99; 108; 117. 85. 90; 99; 108; 117; 126. 86. 24; 39 48; 63. 87. 1) 2. 88. 42; 45;48; 51; 54; 57; 60. 89 . 78; 81; 84; 87; 90; 93 96; 99; 102. 94. 1) 270; 2) 270; 570; 870. 95. 1) 1314; 2) 1311; 1314; 1317 96.1) 7128; 2) 1128; 4128; 7128.97.1) 1521; 2) 1221; 1521; 1821.98.1) 5049 2) 5019; 5049; 5079 . 99. 1) Нет; 2) да. 100. 1) Да; 2) да. 101. 1) Да 2) нет; 3) да. 102. 1) 11; 3) 33. 103. 1) Да. Например, 2223. 104. 1) 999 2) 999. 105. 1) 1008; 2) 1002. 106. 1) 333; 666; 999; 2) 111; 222; 333; 444 555; 666; 777; 888; 999; 3) 555. 107. 1) 10 737; 11 637; 12 537; 13 437 14 327; 15 237; 16 137; 17 037; 17 937; 18 837; 19 737.108.1) 80 550; 81 540 82 530; 83 520; 84 510; 85 500; 85 590; 86 580; 87 570; 88 560; 89 550 111. 369; 639; 909. 112. 67. 113. 1) 3330; 2) 1110; 3000; 3300; 3330 114.3 варианта: 285 228; 585 228; 885228. 115.1005 и 9990. 116. Да, по 274 грн. 117. Нет. 119. На 36,48 меньше и на 28,6 больше. 120. 15,3 км. §4 129.3; 5; 7; 15; 21; 35; 105.130.1) Нет; 2) нет; 3)да; 4)да. 134.1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) нет. 135. 1) 14; 2) 17; 3) 16; 4) 25. 136. 1) 12; 2) 13; 3) 35; 4) 48. 288 ОТВЕТЫ 137.1) 15:3)52.138.1)5:3)34.139.1)6:3)12.140.1) Нет: 2) нет: 3) нет: 4) да. 142.11:13: 17:19.143. 21: 22: 23: 24: 26: 27: 28: 29.144. 6:10: 14: 15: 21: 35. 145. 1) 12; 3) 125. 146. 1) 54; 3) 31. 147. 15 наборов. 148. 135 букетов. 151. 1) 5; 2) 4; 3) 2; 4) 14. 152. 1) 4; 2) 5; 3) 4; 4) 22. 153. 27 подарков. 154. 48 букетов. 155. 117. 156. 966. 157. 1) 54; 2) 45. 158. 6 квадратов со стороной 26 см. 160. 1) 19,8; 2) 29. 161.0,858 кг золота и 1,742 кг серебра. §5 169. 1) 210; 2) 180; 3) 630. 170. 1) 36; 2) 90; 3) 42. 171. 1) 168; 2) 96; 3) 72.172.1) 75; 2) 225; 3) 288; 4) 864.173.1) 192; 2) 99; 3) 112.174.1) 315; 2) 300; 3) 336.175. Взаимно простые числа. 176.60 яблок. 177.36 пирожков. 178. 72 года. 179.1) 1728; 2)570; 3) 500; 4) 968; 5) 840; 6) 1 296; 7) 1125; 8) 555. 180. 1) 486; 2) 768; 3) 756; 4) 6600. 181. 1) 72; 2) 96; 3) 1452; 4) 420; 5) 288; 6) 900; 7) 84; 8) 3289. 182. 1) 330; 2) 720; 3) 350; 4) 3553. 183.1) 288; 2) 315. 185. 1023. 186. 980. 187. 18 и 81; 27 и 72; 36 и 63; 45 и 54. 188.90 м. 189. 89 см. 190.4; 8; 24. ГЛАВА 2 §6 197. 1) 6; 2) 4; 3) 3; 4) 7. 198. 1) 5; 2) 6. 201. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 202.1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) нет. 203.1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) да. 204.1) 5; 2) 7; Q *7 /1 Л О 3) 4;4)11.205.1)5;2)11;3)7;4)13.208.1)^;2)—;3)—;4)§.209.1)-; 4 15 11 7 5 О Сч Н 'I л ^ 2) -;3) - ; 4) —. 212.1) —; 2) —; 3) — ;4) -. 213. 0,1; 0,11; 0,3; 0,9; 3 9 27 10 20 25 8 0,36.214. 1;3; 5; 7; 9; 11; 13; 15.215. 1; 5; 7; 11; 13; 17.220. 1) |;3) 7 6 3 5 5 7 33 3 1 5) —.221. 1) -; 3) -. 222. 1) -; 3) —. 223. 1) ^ кг; 3) - кг. 11 8 9 5 10 200 4 224. 1) 10- мин; 3) 7— мин. 225. 1) 6- ч; 3) 9- ч. 226. 1) -; 3) 3 12 6 5 2 5 ПС X 227. 1) —; 3) -. 228. 1) 3; 2) 5; 3) 19; 4) 1.229. 1) 4; 2) 2; 3) 5; 4) 5. О ^ 35 64 2 9 230. —. 231. — . 232. Нет. 233. -. 234. 1) Несократимая; 2) —; 70 72 5 *^ 25 3) несократимая; 4) . 236. 1) ^ ч; 2) ч; 3) 3 ч; 4) ^ ч. 237. ^ кг. 238. 1)6; 2) 10.239. 9 см и 27 см. ОТВЕТЫ 289 §7 244.1, З; 2) 6; 3) 12; 4,15. 245.1) ^; 3) |. 248.1) 34; 3) 20; 5) 15; 7) 77; 9)24; 11)24; 13) 36; 15)45; 17)75; 19) 72; 21) 120; 23) 210; 25) 648; 27) 336. 249. 1)36; 3) 10; 5) 20; 7) 112; 9) 105; 11)90; 13) 108; 15) 420. 250. 1) <; 25 33 85 22 60 33 3)>; 5) >. 251.1)<;3)<.254. 1) 3) 5) 120 120 500 500 405 405 25 33 21 22 ,,,185 22 , 104 33 585 7)----и----; 9)---и-----; 11)--и-----. 255.1)---и-----; 3) 945 945 66 270 270 1500 240 207 35 5) тт::г:г и —— 7) 750 750 45 192 192 1500 1620 1620 1323 ----. 256. —. 257. —, — 1323 12 18 18 260.1)^,1^5,il;3)^,^,M.261.1)^,A,^l;3)?^ 150 150 150 960 960 960 ' 54 54 54 96 17 78 96’ 96 . 262. 1) <; 3) <. 263. 1) >; 3) <. 264. Со второй. 265. Зелёного. 267. 1) <; 2) >; 3) >. 268. 1) <; 2) <; 3) >. 269. Второе. 270. 274. Одинаково. 275.1) 4; 2) 1,4 или 7; 3) 0 или 5. 276. 90 см'^. 1001 1002 §8 7 5 9 10 7 1 281. 1) —; 3) -; 5) —; 7) —. 282. 1) —; 3) 1-. 283. 1) <; 3) <. 10 6 14 27 12 9 284. 1) <; 2) =. 287. 1—. 288. ^. 289. 1) 17; 3) 51. 290. 1) 3; 3) 31. 21 100 7 1 11 291. 1) —; 3) —; 5) —; 7) —. 292. 1) —; 3) —. 293. 1) >; 3) >. 12 72 16 27 21 78 294. 1) =; 2) <. 297. —. 298. 1-^. 299. 1—. 300. 1) 3) 1— 55 130 20 7 65 11 59 4 81 301. 1) —; 2) 1^. 302. — т. 303. 2-^- 12 144 27 100 м. 304. На 4— грн. 15 305. Второе, на —. 306.1) 1—; 3) 1—. 307.1) 2— ; 3) 1—. 310.1) 1— ^ 12 12 48 ^ 14 24 90 55 1 8 1 97 1 7 311.1) 1—,312. 1) -;3) ^.313. 1) -;3) ^.314.1) 2—; 3) 3— 72 6 105 6 225 28 22 13 2 11 29 43 315. 1) 2—; 3) 3—.316. 1) 25; 3) 7; 5) —. 317. 1) 17; 3) —.318. — 42 55 15 ^ ^ 40 78 "151 ,71 53 319. -----. 321. 1—. 322. 1------- 192 78 132 "I «л- ® + "1 323. На —. 324. 1) ----; 2) --- 64 а а 325. 21 грн 75 к. и 15 грн 75 к. 327.1) 0,96; 3) 1,08. 328. 35 см. 290 ОТВЕТЫ §9 334.1) —; 3) —; 5) -; 7) —. 335. 1) —; 3) -, 336.1) —; 3) - ; 5) —; 21 63 7 11 56 5 25 7 15 5 7 14 4211 31 14 ^ 44 17 ' 9 ’ ^ 9 ’ ^ 4 4 115 о 4 I” 4 НО 340. 1) - ; 3) —; 5) — ; 7) -, 341. 1) -; 3) -. 343. 1) 1; 2) 4; 3) 5. 4 10 21 2 6 7 344. 1) 1; 2) 5; 3) 8. 345. 1) —; 3) -. 346. 1) —; 3) —. 347. 1) — ; 12 6 15 30 21 3) —. 348. 1) —; 3) —; 5) — . 349. 1) —; 3) 350. —. 351. 15 34 30 14 29 6 10 11 О Сч Н Н 352. 1) 1; 3) 1^; 5) 7) 0. 353. 1) 4; 3) 354. 1) 2 кг; 3) 60 кг. 3 43 '4 41 355. 3- см. 356. 1- см. 357. 1) 1- ; 3) 10; 5) 1-. 358. 1) —; 3) 10-. 5 4 2 4 41 9 358.1) Тз) |;5) |;7) 4.360. 1) Тз) |.361.1)2;3) 4.362.1) 4; ОООО DO 2 2 2) 1-. 363. 1.364. - . 365. 2- см2. зее_ -|1 см2. 308.1) 1; 3) 1; 5) 1; 7) 1; 4 7 3 3 9) 1; 11) 1. 368. 1) 1; 3) 1.370. 1) 5; 3) 0,3. 371. 1) 11; 3) 1,3. 372. 1)1-; 3) Т-;5) 7) ^.373. 1) з|;3) |.374. 1)Нет; 2) нет; 3) да; 4) нет. 32 17 59 3 6 377. 1) 18; 3) 13-. 378. 1) 9 см2; 3) 15З ^^^2 379^ -j) 9 см2; 3) ^q1 см2. 3 7 2 380.1) -; 3) —. 381.1) 1—; 2) 1.382. 1) —; 3) 5-. 383. 1) —; 2) 1,2. 9 16 15 42 2 15 1 19 1 19 384.1) 10; 2) 1— .385. 6— см, 1 см2.336.11- м.387. 23— м. 389.160грн 36 51 5 20 10 к. 390. 130 страниц. 391. 41 км. 392. 1) 1-; 2) 1^. 393. —. 3 135 20 395.33.398.8 см и 2 см. 399. - и -. 400. - и - . 401. 28— м2.402. Да. 7 6 5 4 20 403. 27 м. 404. 1548 грн. 405. 180 г. 406. 120 яблок. 407. 25 букетов. §10 413.1) 3; 3)3; 5) l|;7) 4 ; 9) |; 11) l|. 414.1) 2; 3) 4.416. D^;3) 417. 1) 3; 3) 4. 418. 1) 8; 2) 34. 419. 1) -; 3) -• 420. 1) —;3) -. 2 '74 115 ОТВЕТЫ 5 291 2 421. -. 422. 1) 1—; 3) 1- ; 5) 3- ; 7) 7-; 9) 3- ; 11) 4- . 423. 1)1 , 6 13 9 2 2 2 5 7 3) 2-. 424. 1) 1-; 3) 3-. 425. 1) 3-; 3) 8-. 426. —.427. 1) 13- кг; 4 3 5 2 3 43 3 О /1 'I о л Q V 3) 6- кг. 428. 1) —; 3) 3. 429. 1) -; 3) 4- . 430. 1) —; 3) 1-. 431.1) —; 3 49 3 3 '114 16 3) 2-. 432. 6. 433. - см. 434. 8 см. 435. 1- см. 439. 1) 2-; 3) -. 2 7 3 2 7 440.1) 27см; 2)49 см. 441.1) 108°; 2) 80°. 442.1) 100°; 2) 162°. 443. 1)6; 3) |;5) 9:^; 7) 12; 9) |.444. 1) -^;3) ^.445. 1) ; 3) 10^; 5)3. 4 11 5 1217 6 2 2 15 4 17 14 446.1) -; 3) 1.447. 11- см. 448. — см2.449^ ^ q- см, 5— см2.459. 4i_ м. 3 3 12 5 20 15 5 1 451.3 мин; 2,5 мин. 452. 222 страницы. 453. 53 км. 454.1) 1; 2) 1— ; 3) 1— . 8 5 4 455. 1) —; 2) 18. 456. Младший получил 36, средний — 27, старший — 9 орехов. 457. 6. 458. 48. 459. 74 гусака. 460. Да. 461. 5 рулонов. 5 8 462. — кг яблок и — кг киви. 463.1) Нет; 2) нет; 3) нет. 464.16,8 км. 8 9 §11 470.1) 0,(3); 2) 0,6; 3) 0,625; 4) 0,(571428). 471.1) 0,1(6); 2) 0,15; 3) 0,875 4) 0,(285714). 472. 1) Да; 2) да. 473. 1) 0,777777...; 3) 1,5333333... 5) 4,171717...; 7) 0,298298.... 474. 1) 0,666666...; 3) 4,327777... 475. 1) 0,4375; 3) 0,36; 5) 0,(8); 7) 0,2(6); 9) 0,(3); 11) 0,(1) 476.1) 0,8(3); 2) 0,8125; 3) 0,08(3); 4) 0,96. 477.1) 4; 3) 36. 478.1) 81; 3) 3 479. 4) 2,34 и 2,35. 480. 1) 0,1 и 0,2. 481.4) 0,27 и 0,28. 482. 2) 0,5 и 0,6 483. 3) 1,347 и 1,348. 484. 1) >; 3) <. 485. 1) <; 2) <. 486. 1) 0,1; 2) 0,6 3) 0,5; 4) 0,3.487.1) 0,43; 2) 0,13; 3) 0,24; 4) 0,53.488.1) 0,82; 2) 0,17; 3) 0,33 4) 0,47. 489. 13,54 см. 490. 14 см. 491. 1) 0,6 и 0,7. 492. 3) 0,4 и 0,5 493. 1) 0,5 < 0,(5) < 0,6; 3) 0,1 < 0,16 < 0,2. 494. 1) 0,8 < 0,(8) < 0,9 3)0,6 <0,64< 0,7. 502. 1)0,0(73); 2) 0,3589(74). 503. 1)0,121(95); 2) 1,15 506. 1) 5,1708(3). 507. 1) 6,37; 2) 3,(461538). 508. 1) а) 0,08; б) 0,09 2) а) 0,71; б) 0,72.509.1) а) 0,0; б) 0,1; 2) а) 6,4; б) 6,5. 510.1) 0,63 < — < 0,64 '1 9 1 ? Q8 Qft Я Я > 0,61; 3) 0,82 < ^ < 0,83; ^ < 0,85.511.1) 0,47< ^ < 0,48; ^ >0,45; 19 3) 0,62 <7^< 0,63 123 119 77 119 17 17 1 >0,61.512. 17--17,(3) см; 17,33< 17,(3) <17,34. 123 3 292 14 ОТВЕТЫ 130 513. 26—«26,1609 см; 26,160 < 26,1609 < 26,161.514. 0,40. 515.1) 87 111 2) 1,03(6). 519.1) 130; 2) 315; 3) 84. 520. 20 см. ГЛАВА 3 §12 527. 1)4; 2) 2; 3) 4) Тб) Тб) 4.528. 1) 2) 5; 3) Т; 4)0,2. 35 2 7 4 3 25 534. 1) 2; 2) Т; 3) 4 км/ч; 4) 4 м/с. 535. 1) 6; 2) 5 м/с. 536. l|,T,T, 25 7 16 16 537. 1-,-,-. 538. 1) -; 2) —; 3) —; 4) 539. 1) 30; 2) 3-. 3 7 7 9 45 63 133 3 540. 1) 100; 2) 125; 3) 75; 4) 200. 541. У второй бригады. 542. Одинакова. 543. 1) 12,5; 2) -. 544. 1) 4; 2) - . 545. 75 м. 546. 1-. 547. В 1- раза. 3 4 3 4 550. 102. 551.4 и 6,5. §13 572.1) 15; 2) 24; 3)6; 4) 15; 5) 0,5; 6) 3,5; 7) 1l|; 8) 32; 9) 3^; 10) 6; 11) 11 О о 12) 0,24. 573. 1) 21; 2) 1,5; 3) 2; 4) 8|; 5) 16; 6) 0,2. 576. 35. 577. 6. О 578. 4. 579. 1,44. 580. 1) 6,4; 2) l|; 3) |; 4) 6; 5) 7; 6) 0,5; 7) 3,75; f vj 8) 7. 581. 1) 1- ; 2) 3; 3) 16; 4) 1-. 582. 7. 583. 1,68. 584. 4. 585. 1)12; 2 3 2) -. 587.1) 8; 2) 2- ; 3) 1,5. 588. 36 или 18. 2 3 §14 594. 1) 72 грн; 2) 10 деталей. 595. 320 грн. 596. 56 грн. 597. 40 км. 598. 7 ч. 599. 3000 кг. 600. 12 кг. 601. 140 км. 602. 48 км. 604. 1) 60 км/ч; 2) 4 работника. 605. 6 дней. 606. 3 дня. 607. 66 км/ч. 608.125 км/ч. 609. 48 грн. 610. 24 грн. 611. 2920; 45. 612. 50 грн; 18. 613. 2; 4. 614. 180 л; 4,5 мин. 615. 4 ч; 80 км/ч. 616. 1,5 ч; 3 км/ч. 617. 3 дня; 6. 618. 4 дня; 12. 621. 10 мин. 622. 6 дней. 623. 16 кругов. 624. 1 ч. 625. 32 буквы. 628. 1) ^ ; 2) 3. §15 637.1)6и18;2)9и15;3)3,6и15;4)6,6и12.638.1)10и20;2)6,8и16.641.4см, 14 см. 642. 9 см, 15 см. 643. 200 грн, 120 грн. 644. 5720 грн, 6480 грн. ОТВЕТЫ 29Я 645. 90 г; 180 г. 646. 150 г; 450 г. 649. 1 км. 650. 100 м. 651. 1) 5 км; 2) 15 км; 3) 22,5 км; 4) 31 км. 652. 1) 80 км; 2) 220 км. 653. 1) 2,6 см; 2)0,65см. 654.8,8см.655.3см, 8см. 656.12см, 21 см. 657. 20см, 12см, 16 см. 658. 16 см, 12 см, 8 см. 659. 248 км, 217 км. 660. 104 м, 96 м. 661.42 страницы, 48 страниц. 662.30 дет., 40 дет. 663. 240 кг. 664.1200 г. 665. 72см, 48 см. 666. 6 м, 9 м. 669. 0,5. 670.150,100 и 60. 671.48,160, 120. 677. 1) 20; 2) 28; 3) 3250. 678. 4 км/ч. § 16 685. 1) 4 см и 12,56 см; 2) 1 м и 3,14 м. 686. 1) Увеличится в 2 раза 2) уменьшится в 4 раза. 688. 1) 8 см, 25,12 см, 50,24 cм^; 2) 1 см, 6,28 см 3,14 см2. 689. 1) Увеличится в 9 раз; 2) уменьшится в 16 раз 692.1) 72°; 2) 60°. 693.36°. 694.1)113,04см2; 2) 78,5 см2. ^96.1) 18,84 см 2) 31,4 см. 697. 25,12 см. 700. 37,68 см; 113,04 см2, jqi . q,2 м 702. 625. 703. 1) 80°, 120°, 160°; 2) 40°, 80°, 100°, 140°. 704. 90° 120°, 150°. 706. Да. 707. Нет. 711. 1) 286; 2) 30. 712. 23. §17 722. Указание: 50 — 150°, 30 — 90°, 40 — 120°. 723. Указание: 35 — 105°, 50 — 150°, 35 — 105°. 724. Указание: 40°, 200°, 120°. 725. Указание: 252° и 108°. 735. Указание: 90°, 54°, 144° и 72°. 736. Указание: 216°, 72°, 54° и 18°. 747. 44%. 748. 1. § 18 755. 10 см. 756. 8 см. 764. 2 см, 5 см. 765. 16 см, 24 см. 767. 7см, 3 см. 768. 10 см, 4 см. 770. 7,5 см. 771. 7,5 см. 772. 7 см. 773. 8 см, 10 см. 774. 6,35 тыс. км; 39,88 тыс. км. 778. 1) 27,8; 2) 25,5. 779. 21 грн. § 19 789. 1) 9; 2) 90; 3) 337,5; 4) 540. 790. 1) 72; 2) 360. 791.700 кг. 792. 432. 793. 1)200; 2) 400; 3) 80; 4) 10. 794.1) 50; 2) 200.795. 200 км. 796. 125 грн. 797.1) 25 %; 2) 20 %; 3) 10 %; 4) 3- %. 798.1) 50 %; 2) 12,5 %. 799. 25 %. 3 800. 25%.801.31,25%. 802. 37,5%. 803. 42. 804.60. 805.1) 25,6; 2) 24; 3) 16; 4) 8. 806. 1) 42; 2) 15. 807. 1) 66; 2) 75; 3) 90; 4) 132. 808. 1) 175; 2)312,5.809. 2,3 кг. 810. 600 грн. 811.9200 грн. 812. 30 грн. 813. 1) 70; 2)200.814.400.815. 1)300; 2) 700. 816.40.817.300 грн. 818. 5000 грн. 819. 3 кг, 33- % кг. 820. 200, 315. 821 3 40 %. 822. 33^ %. 3 823. 25 %. 824. 25 %. 825. 1) 120 %; 2) 110%. 826. 60 %. 827. 1) 200 %; 2) 300 %. 828. 75 %. 829. 80 %. 830. 88 %. 831. 160 %. 832. 125 %. 835. 10 ёлок, 40 сосен. 836.100. 839. 2000 кг, 1300 кг. 840. 400 раб., 90 раб. 841.40 %. 842. 48 %. 845. Увеличится на 1,8 дм. 846. Увеличится на 0,32 м. 847. Уменьшится на 13 см. 848. Уменьшится на 46 см. 849. Да. 850. 86,25. 851.31,2. 852. 63,24. 853. 52,5. 854. Увеличить на 25 %. 855. Уменьшилось на 9 %. 858. На 15 %. 860. 36 300 грн. 861. 180 км. 294 ОТВЕТЫ 862. 200 страниц. 863. На 20 ®/о. 864. На 25 ®/о. 865. 70 %. 866. 20 30 %, 50 %. 868. Снизилась на 18 %. 869. Уменьшилось на 6,25 %. 870.1) 20 %; 2) 50 %. 872. На 82 %. 873. Увеличится в 4 раза. 874. 14 %. 875. 17 мин. 876. 4 %. 880. 1) 30; 2) 6. 881.384 см^. 882. 22,7 км. §20 888. ^. 889. . 890. Указание: двузначных простых чисел — 21. 1) ^ ; 1 2) — . 891. 1) - ; 2) - . 892. 1) - ; 2) - ; 3) -; 4) -. 893. 1) -; 2) 21 9 9 6 6 2 3 6 2 2 1 1 894. — и —. 895. — и —. 896. - и -. 897. - и -. 898. - . 899 15 15 32 32 5 5 9 9 4 2 11111 33 34 900. 1) - ; 2) -. 901. -. 902. -. 903. -. 904.0,97. 905. — . 906. - < - 4 4 2 5 6 34 77 907. —.908. - .910. - .911.6. 914. 1) 2; 2) 175. 915.32. 36 6 8 ГЛАВА 4 §21 922.1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет. 924. 1) Банк и школа. 930.1) -3 °С; 2) + 11 °С; 2 1 1 3) -3 (км); 4) + 2,3 (км). 931. 1) Да; 3) нет; 4) нет. 933. 1) -11 -35,9; 2) 0,99, 102, -; 3) 0,99, 102, 0, 5 5 934.-4°, -5°, -6°, -8°, -10°, -6°, -6°. 936. 20 клеточек. Точка О лежит справа от точки А и слева от точки В. 937. 10 клеточек. Точка О лежит справа от точки В и слева от точки А. 938. 58 клеточек. 942.1) 6; 2)4.943. 1)5; 2) 10. §22 951.1)А(-4); 2)Б(6).952. 1)А(-2,5) иБ(2,5); 2)А(-7) иБ(7). 953. 1)А(-5) иБ(5); 2)А(-10) иБ(10). 955. А(2), Б(5), С(-2), Б(-4), Б(-5). 956.А(-1), Б(-3), С(-5), М(4), Е{2). 957. Б(4), С(6), Б(-1), Б(-3), Б(-4). 958. Б(3),С(4),Б(-4),М(5),ЛГ(-5). 961.1) А; 2) С; 3) iV. 962. 1)N] 2) Б; 3) К. 967. А 1 ,Б '2^ -1 1 6 ( 2Л 968. Б(0,1), С(0,4), Б(1,5), Е{2), К{-0А), М(-0,7), Б(-0,9), Б(-1,1), iV(-1,2). 969. А(0,5), Б(1,5), С(-0,5), Б(-1,5), Б(-2,5). 970. 1) М(8), N (4); 2) 3). 971.1)А(-8,5), Б(-5,5); 2)А(6,2),Б(-3,8). 973.1)М(15); 3) М(3,5); 4) М{-2). 974. 2) М(0); 3) М{-7,5). 975. М{-7), N (5), Б{1), С(-11). 976. М(5,6), iV(1,6), Б(3), С(-1). 977. С(1,8). 981. 1) 85; 2) 484. 982. Привезли 221,5 кг, продали 147,75 кг, осталось 73,75 кг. ОТВЕТЫ 295 I I §23 989. 1) 2 или -2; 2) 4 или -4; 3) 3 или -3. 990. 1) 5 или -5; 2) 8 или -8. 993. 2) 12; 3) - ; 4) 3,8. 994. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет. 995. 1) Нет; 2) нет; 9 3) да. 998.1) -5,6; 3) 0; 4) 5.999.1 )-41; 4) 8,09.1000.1) -9; 2) 20; 4) 0.1001.1 )-9,5; 2) 6; 4) -38. 1002. 1) -34; 2) -5; 3) 65; 4) 8. 1003. 1) -28; 2) -2; 3) 86; 4) 5. 1005.1) 7; 2) 8; 4) 0; 5) 1; 8) 250.1006.1) 12; 3) 0; 5) 8.1007.1) 3,6; 1,8; 3) 56; 528. 1008. 2) 36; 288; 3) 56; 528. 1009. 1) 18 и -18; 2) 5,4 и -5,4. 1010. 1) -24; 2) -0,4; 3) -14,25. 1011. 1) -15; 15; 2) 100; -100; 6) 0. 1012. 1) 1; -1; 2) 125; -125; 3) 7,8; -7,8. 1013. 1) а) 8,2, б) 8,2. 1014. 1) -53; 3) -71. 1015. 1) -2; 2) 0; 3) -30. 1019. 1) 2; 2) 10; 3) 10. 1023.1) 36; 3) -96; 4) -127.1024.10,004.1027.1) Да; 2) да. 1029. 1) -100; -100; 2) -13; 13; 5) корней нет; 6) -12; 12.1030.1) -4,2; 4,2; 2) корней нет; 3) 0; 4)-32; 32.1031.1) 20.1032. 1)5; 2) 2,9. 1033. В 11 раз. 1034. а = 4. 1042. 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22. 1043. 16. 1044. 2) 618 кг 908 г; 3) 6 сут 1 ч 20 мин. §24 1048.1) Да; 2) да; 3)да. 1051.1)534; 2)534; 0. 1053. 1) 23 целых числа, 11 натуральных чисел. 1054. 1) 15 целых чисел, 15 натуральных чисел; 2) 9 целых чисел, О натуральных чисел. 1055. 1) О чисел; 2) 7 чисел. 1057. 1; 2; 3; 4; -1; -2; -3; -4. 1058. 1) -1; -2; 0; 1; 2; 3) -1; 0; 1. 35 1061. 1) -3; 7 1062. 1) -13; -14; 13; 14; 5) -59; 59. 1063. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 1065.1; -1.1067. х= 1, у=5; х = 2, у=4; л: = 3, у=3; х=4, у = 2]х = 5,у=1. 1069. 28 учеников. 1070. Нет. §25 1080. 1) -2 < 0; 2) 2,5 > 0. 1083. 1) 2 >-4; 2) -45 < 6. 1084. 1) 77 >-99; 2)-0,004<0,00003; 3) -|<|. 1085.1) 4,4>0; 2)-3,1 <0.1086.1) 6,04>0; 2 5 2)-0,0001 <0;3) -l|<0.1087. 1)-72<-32; 2)-4,2 >-4,201; 3)-1,2 = -|; 7 5 4) -0,25 4 1088. 1) -34,2 < -9,99; 2) -3,5 7, 2’ 3) 1 1 5^ 3’ 4) -§<-§■ 1089. 1) 5,6 > 5,01; 2) -5,6 < 5,01; 4) -5,6 < -5,01 1090. 1) 0; 0,08; -6,7; 9; -10; -12,5; -31,4; 45; 2) -31,4; -12,5; -10; -6,7 0; 0,08; 9; 45. 1092. 1) 2; 1; 2) 1; 3) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. 1093. 1) О 3) 0; 1; -1. 1097. 1) -28; -27; -26; -25; -24; -23; -22; 2) 0; 1 1098. 1) -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4. 1099. 1) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; -1 -2; -3; -4; -5; -6; 2) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 0; -1; -2; -3; -4; -5; -6; -7. 1100. 1; 2 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.1101.1) 2; 3; 4; 5; 2) -2; -3; -4; -5; 2; 3; 4; 5.1105.3,01; 2,4; 296 ОТВЕТЫ 0;-2,7. 1107. 1)-73, 1111. 1) Да; 2) нет. 1113.1) 1; 2) 1114. 1) 28,6. §26 1122.1) -6; 2) -4. 1124.1) -4; 2) -98; 3) -16; 4) -80; 5) 4,6; 6) -3,5; 7) 6,59 8) -1,94; 9) -0,12; 10) -50,8; 11) 6,75; 12) 3,22. 1125. 1) 4; 2) 98; 3) 16 5) 80,09; 6)-3,1. 1127. 1)-50; 2)-304; 3)-23; 4) -91; 5)-13,15; 6)-75,79 7) -0,22; 8) -16,4; 9) -0,9. 1128. 3) -13,231; 4) -4,4; 5) -8; 6) -100 1129. 1)-6; 2) 4; 3) -4; 4) 6; 5) 11; 6)-11; 7) -5,1; 8) 5,1. 1130. 1) 50,2 2) -50,2; 3) -39,8; 4) 39,8. 1131. 1) -18; 2) -1. 1132. 1) -26; 2) -4 1133. 1) -20; 2) 20. 1134. 1) -40; 2) -53. 1135. 1) 23; 2) 12; 4) -0,1 1136. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0. 1137. 1) 0; 2) 0. 1138. 1) 5,2; 2) 2^ 1139. 2) 14,5. 1143.1)-4,1; 3) 7,79.1144.1) 3,6; 2) 2,4; 3) 0,4.1145.1)а; 2)-Ь. 1146.1) Нет; 2) нет; 3)да. 1147.1) Да; 2) нет; 3) да. 1150.Увеличи-лось на 5 учеников. 1153. С(-1). 1154. С(9,7). 1155. С(-7,5). 1156.1 )-7,7; 2) -1—; 7) 2. 1157. 1) -; 3) -10,6. 1158. 1) -8,7; 2) 0,4; 3) 3,5. 11 3 1159.1) 14; -10; 2)-13; 23.1161.9900.1162.-90.1163.1) 2а-5и+23т-33; 2) с + 2d. 1166. 1) -3; 2) -21. 1168. 0. 1174. Увеличился на 7 см. 1175. 1) 67 км 4 м; 2) 56 кг 558 г; 3) 72 т 884 кг 812 г; 4) 9 ч 21 мин 50 с. 1176.3) 186,14. 1177. Юг. §27 1184.1) 5; 2)0.1185.1)20; 2)-30.1186.1) Нет; 2) да; 3) да. 1187.1)-25 2) 64; 3) 25; 4)0; 5) -3,9; 6) -4,9; 7) -1,55; 8) -4,54; 9) -0,5. 1188. 1) 58 2) -18; 3) -37,01. 1190. 1) -76; 2) -79; 3) -35; 4) -182; 5) -7,23; 6) -8,04 1191. 1) -77; 2) -872. 1192. 1) 5; 2) 6. 1193. 1) 62; 2) 0; 3) -800; 4) 100 5)-320; 6) 252; 9)-4,5; 12) -292. 1194. 1)-29; 2) 410; 3) 20,7. 1195. 3) 12 1196.1) 17; 2)-85;3)85;4)-17;5)-0,6;6)0,6;7)-5,2;8)5,2.1197.1)2,2 2) -2,2; 3) -9,8; 4) 9,8. 1200. 1) 42; 2) -690. 1202. 1) -37; 2) 0; 3) 12 1203. 1) -28; 2) -18. 1205. 1) 6,2; 3) 22,45. 1206. 1) 1,29; 2) 0,25; 3) 1 24 1211.1) 4503; 2) 695. 1212. 6) 1,4; 7) 4,5; 8) 9. 1213. 1) -6; 2) -30; 3) -24 1215.1) 8;2)17;3)14,5;4)4,4;5)30.1216.1)-4;-6; 2)-1;-7.1217.1)0,01 2) -0,8. 1218. 1) -2,8; 2) 58. 1219. 1) -0,58; 2) 19,2; 3) -1,25 1220. 10098. 1221. -1098. 1222. -85. 1225. -0,99. 1232. 1) 7800 2) 1360. 1233.1)4,195; 3)4,5. 1234. 1) |; 3)0. 1235.17,1. 1208. 1) -27739; 2) -7832. 1209. 3) 0; 4) 0,9. 1210. 1) -5; 2) ОТВЕТЫ 297 I I §28 1242. 1) 90; 2) -35. 1243. 1) 12; 2) -30. 1244. 1) 18; 2) -36; 3) -2,5 1245. 1)-40; 3) -2,1; 5) -3; 6) -0,5. 1246. 1) -1; 2) -2,8; 3)-146; 4) -23 1248.1) 100; 2) 1200; 5)3. 1249.1) 88; 3) 0,63.1251.1)-40; 2)-40; 3)40 4) 40.1252.1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.1255.1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.1256.1) 0; 2) 0; 3) 0 1257.1) 56; 3) -56; 5) 0,92; 7) 0,8.1261.1)-31; 2) 0,24; 4) 12; 7)-30; 8) 3,6 1262. 2) 0,1. 1264. 1)-19; 2)-10,8; 3) -7; 6) -12. 1265. 1)-0,1; 3)-269 1266. 1) Отрицательный; 2) положительный. 1267. 1) Положительный 2) отрицательный. 1269.1 )-4,8; 2)-24;3)3.1270.1 )-34; 2)-27.1271.1 )-360 2) -3.1272.1) -352; 2)-6,9; 4)-6.1273.1) 256; 2)-232.1274. Суммачисел 1275. Сумма чисел. 1276. 1) 1; 2) -64; 3) 1; 7) -4,65. 1278. 40320 1279. 0. 1280. 1) На 15,12; 3) на 18,82. 1281. 1) На 15; 2) на 16 3) на 19. 1282. 1) 16; 2) 23; 3) -19. 1286. 1)4; 2) -7,8; 3) 0; 4) 5 1287.1) 41; 2)-0,25; 3)0.1290. Положительный. 1291.1) Положительным 2) отрицательным. 1292. 2) -8,55; 3) -1,88. 1293. 1) -8; 6т; 2) -а; -60 1294. 1) 0; 3,7; -9,2; 2) 23; -12,7; 3) -0,3; 0,3; 5; 16,5; 4) 0; 6,7 1295.1) &>0; 2)&>0; 3)&<0. 1301.30,1 грн; 1302.1) 2; 2) 18. 1305.57. §29 1313. 1) Нет; 2) нет; 3) да. 1315. 1) -7; 2) -11; 3) -0,25; 5) -34; 6) -7; 7) -24; 8) -3; 9) -0,5; 10) -0,04; 11) -0,7; 12) -310; 13) -0,41; 14) -1,3; 15) -1000. 1316. 1)-49; 2)-7; 3)-0,3; 5)-90; 6)-45. 1317. 1) Нет; 2) да; 3) нет. 1318. 2) 7; 3) 13; 5) 51; 6) 2,5; 7) 9; 8) 2,1; 9) 10,1. 1319. 1) 31; 2) 0,5; 3) 33,7. 1323. 1) -6; 2) -3,67; 3) 0; 4) 0; 5) -51. 1324.1) -13; 2)56; 3)-187; 4)0.1325.1)0; 2) 0; 3)0; 4)0.1326.1)0; 2) 0; 3)-16. 1327. 1) -1; 2) -1; 3) -1. 1329. 1) 1,01; 2) 1,01; 3) -1,01; 4) -1,01. 1330.1) 42; 2) 42; 3) -42; 4) -42. 1331.1) -4,5; 2) 5,6; 3) 2,2. 1332. 1) 1,6; 2) -0,31; 3) 115,4. 1336. 1) 0; 2) -0,3; 3) 0,5; 4) -40. 1337. 1) 0; 3) -42. 1338. 1) ; 3)-11; 5)-64. 1339. 1)-152; 2) 481. 1340. 1)-31; 2) 39. 1341.1) Нет; 2) нет. 1343.5)0,625; 6)98. 1344. 1)0,7; 2)6. 1345. 1)56 1349. 1) 4; 2) 1,1; 4) 0; 5) 5. 1350. 1) 36; 2) -0,2; 3) 0. 1355. -11,5 1356.362,5. 1357.0,4. 1358. 0,23. 1359.-0,5. 1360.-270. 1362. 1)-1 2) —. 1363. 18 -24. 1364. 0. 1365. -1. 1366. 1)0; 2) 23; -12,7; 3) 4; 3 4)0;-0,4. 1367.90 км/ч. 1369. 1)24; 2)0,035.1373.1)6; 2)3. ГЛАВА 5 §30 1378. 1) -2АаЪ] 2) -бсс?; 3) ЗОшл; 4) хуг\ 5) -2аЬ ; 6) -2хуг. 1379. 1) -ЗОаЬ] 2) 30cd \ 3) -2пт\ 4) -^ху . 1380. 1) 5а; 2) 4Ь + 4; 298 ОТВЕТЫ 3) -10с+ 7; 4) -2; 5) -2а-1Ъ\ 6) 10?г - 1381. 1) 2а; 2) 5& + 4; 3) 4; 4) -20и + 5т. 1386. 1) 7,5; 2) 22,4; 3) 2; 4) 2,8. 1387. 1) -11,6; 2) -23. 1390.1) баЬ; 2) -cd ; 3) -4, Ъпт; 4) 0,5ху ; 5) -2аЬ; 6) 1,5хуг. 1391.1) -Qab; 12 3 2) cd ; 3) 20пт ] 4)-0,6xyz. 1392. 1) c — ^—d^,3) -Зт + 2,6л; 4) -^5,2p-5^h■, 5) Зх -1,8; 6) 20,8. 1393. 1) -2а - &; 2) 1,4с - 2,5d\ 3) -Зт - 1,4п; 4) -7р-4—. 1394. 1) -3,6а + 26,2; 2) 3^-110,4; 15 3) -0,1c+0,9i; 4) 14,5m-19,4a. 1395. 1) -1,1а + 9,8; 2) 12х-5,5^. 1396.1) 29; 2)-0,2; 3)-69; 4)-3,4.1397.1)4; 2)-84,5.1403. 1)4; 2; 4 и 2; 2)6;3;6 иЗ. 1406.1) 12; 2)-2,7. 1407. 24грн. §31 1415. 1)2; 2)-10; 3)4; 4)-4; 5) 4; 6)-7; 7)-8; 8) 2; 9) 6; 10)-4; 11) 7; 12)0. 1416. 1) 6; 2) 2; 3)2; 4) 2; 5)3; 6)-3. 1417.1) 1; 2) 60; 3) -^;4) 18;5)-28; 15 6) ^;7) 15; 8)-12.1418.1)-5;2) 20; 3) 12; 4) 11.1421.1) 5; 2) 4; 3) 24; 4) 1; 6 5) 4,6; 6) 1; 7) 0; 8)-1; 9) -2; 10) 1,3; 11) -1-; 12) -2. 1422. 1)-4; 2) 1; 3) -2; 4) -4,6; 5) -2; 6) 6. 1423.1) -0,37; 2) 9^; 3) 4) 0,5; 5) 25; 6) 0,4; О о 7)1; 8)-9.1424.1)-1;2) -у;3) -2|; 4) 2,4.1425.1) 8; 2) 14; 3) 12; 4) 15. 1426. 1) -; 2) -12. 1427. 1) -2; 2) -3-; 3) 3; 4) 2. 1428. 1) -9; 2) 0,5. 9 3 1429.1)2 иЗ; 2) 12 и 6.1430.1) 3; 2)-1; 3) 11,5; 4) 1.1434.1)-6,4; 2) 160. 1435.195 м. §32 1439. 1)36 и 12; 2) 27 и 9; 3) 24 и 8. 1440. 1) 16 и 4; 2) 28 и 7. 1441. 10 и 12,2. 1442. 15 и 18,5. 1443. 2,5 грн, Згрн. 1444. 19грн,30 грн. 1445.9 ч. 1446. 20 дней. 1447. 60 км/ч, 70 км/ч. 1448. 70 км/ч, 75 км/ч. 1449. 80 км/ч, 70 км/ч, 675 км. 1450. 50 км/ч, 60 км/ч. 1451. 2 кг, 4 кг. 1452. 7 и 8. 1453. 40 км/ч, 80 км/ч. 1454. 12 км/ч, 4 км/ч. 1455. 30 и 9. 1456. 12 и 18. 1457. 30. 1458. 25. 1459. 100 км. 1460. 240 км. 1461.90. 1462. 30, 24 и 27. 1463. 60. 1464. 63. 1465. 60. 1466. 36. 1467. —. 1468. —. 1469. 15 км. 1470. 480 км. 1471.2 ч. 49 24 1472. 15 и 30. 1473. 80, 40, 24 и 36. 1474. 30 и 10. 1475. 36 грн, 48 грн. 1505 1520 1514. Прямоугольник. 1519. 1) 0,2; 2) -3,53. 30". 1506. 65° 10 см, 20 см. §34 1) (2; 0); 2) (-2; 0). 1530. 1) (0 С, К. 1536. А (3; 3), В (6; 5), А (5; 0), В (0; -4), F(3; 3), Е (-2 (-2; 0); 2) (0; 7), (0; -7), (7; 0), (-7; 0). 1542.1) (0; 3), (0 2) (0; 2,5), (0; -2,5), (2,5; 0), (-2,5; 0). 1543. 1) Б (3 1529 2) F, 1537 2); 2) (0; -2). 1531. ^)A,E,K С (5; 0), Е{ -2; -3), N (0; -7) 1). 1541. 1) (0; 2), (0; -2), (2; 0) 3), (3; 0),(-3; 0) -4); 2) Б (-3; 4) 3)Б(-3;-4);4)Б(3;4). 1544.1 )Б (4; 3); 2) Б (6; 8). 1545.1) (-9; 0), (-3; 0) 1546. 1) (0; 3,5), (0; 6,5); 2) (0; 15), (0;-5). 1548. С(2; 3), 6 кв. ед., 10 ед 1549. С(2; 2), 4 кв. ед., 8 ед. 1551. 1) 25 кв. ед.; 2) 9 кв. ед 1552. 8 ед., 4 кв. ед. Задача имеет два решения. 1553. 1) I или II; 2) II 1561.1) -13,65; 2) 28,86. 1562.1) 149,73; 2)-109,48; 3) 40,25. §35 1566.1) Нет;2)да;3)нет;4)нет.1567.Нет.1568.1)2м.,5м.,12м.;2)57см 66 см, 71 см. 1569. 2) 4 раза; 3) о 8 ч, 1 ч; 4) 20 км, 20 км; 5) 21 ч 1572.1) 4см, 2см; 2) 1 см,0,5см;3) на 1 см. 1573.1 )Ввоскресенье; 2)4°С 3) со среды до пятницы; 4)3 дня; 7) в субботу. 1574.6 °С. 1575.1)УСерёжи 4) в 17ч; 7) 8 км. 1582. 1)-6; 2) 10.1583. 1)-10,6; 2)5,25. 300 предметный указатель Величины обратно пропорциональные 103 — прямо пропорциональные 102 вероятность события 149 Г рафик зависимости 271 — движения 272 Деление пропорциональное 109 делитель натурального числа 5 диаграмма круговая 123 — столбчатая 123 дроби взаимно обратные 57 дробь бесконечная периодическая 77 — конечная 77 — обыкновенная несократимая 33 Знаменатель общий 40 ----наименьший 41 Испытания 148 Конус 131 коэффициент выражения 235 — пропорциональности 109 кратное натурального числа 5 круг 118 Масштаб 110 множество чисел натуральных 180 ----рациональных 181 ----целых 180 множитель дополнительный 40 модуль числа 171 Наибольший общий делитель 21 наименьшее общее кратное 26 начало координат 263 — отсчёта на координатной прямой 163 Окружности диаметр 116 — радиус 116 — центр 116 окружность 116 отношение 87 отношения взаимно обратные 88 — значение 87 — члены 87 ось абсцисс 263 — ординат 263 Правила нахождения неизвестного члена пропорции 96 — раскрытия скобок 235 правило вычитания дробей с разными знаменателями 49 — деления двух отрицательных чисел 225 ----обыкновенных дробей 68 ----чисел с разными знаками 224 — замены вычитания сложением 205 — нахождения дроби от числа 58 НОД двух чисел 22 ----НОК двух чисел 27 ----числа по его дроби 69 — приведения дробей к наименьшему общему знаменателю 41 ----дроби к новому знаменателю 40 — сложения дробей с разными знаменателями 48 ----чисел с одинаковыми знаками 195 ------с разными знаками 194 — сокращения дроби 33 — сравнения рациональных чисел 188 — умножения двух отрицательных чисел 214 ----обыкновенных дробей 56 ----чисел с разными знаками 213 приближения десятичные обыкновенной дроби 79 ----с избытком 78 ------недостатком 78 привести дробь к новому знаменателю 39 признак деления на 2 10 ------3 16 ------5 10 ------9 16 ------10 10 пропорции взаимно обратные 95 — члены крайние 93 ----средние 93 пропорция 93 прямая координатная 163 прямые параллельные 257 — перпендикулярные 255 Разложение числа на простые множители 20 раскрытие скобок 235 Свойства модуля числа 172 — основные уравнений 244 — равенств 242, 243 свойство основное дроби 32 отношения 88 ----пропорции 94 сектор круга 119 система координат прямоугольная 263 801 слагаемые подобные 235 событие 148 — достоверное 149 — невозможное 149 — случайное 148 события несовместимые 149 — равновозможные 149 сокращение дроби 32 сфера 132 Тела вращения 132 точки абсцисса 264 — координата на координатной прямой 164 — координаты в системе координат 264 — ордината 264 Уравнение 241 — решить 241 уравнения корень 241 Формула — диаметра окружности 117 — длины окружности 117 — площади круга 118 Четверти координатные 265 числа взаимно обратные 57 ----простые 22 — противоположные 171 число нечётное 9 — отрицательное 164 — положительное 163 — простое 6 — составное 6 — чётное 9 Шар 131 Эксперимент случайный 148 — стохастический 148 302 ОГЛАВЛЕНИЕ Дорогие ученики!.............................. Глава 1. I Делимость натуральных чисел...... * § 1, Делители и кратные натурального числа. Простые числа s . . В - § 2. Признаки делимости на 2» 10 i 5 . . .. s . . § 2. ПрИЗНаКИ ДеЛИМОСТИ На 9 i S . § 4. Разложение чисел на множители* Наибольший общий делитель ********* § 5* Наименьшее общее кратное* *..* * * Глава 2 > ■ Обьжновенные дроби и действия над ними* * § 6* Основное свойство дроби* Сокращение дроби § Приведение дробей к общему знаменателю* Сравнение дробей ********************** § 8* Сложение и вычитание дробей *********** § 9* Умножение дробей* Нахождение дроби от числа ******* ч ********************* * § 10* Деление дробей* Нахождение числа по его дроби* ************************* §11* Преобразование обыкновенной дроби в десятичную* Десятичные приближения обыкновенной дроби ****************** Глава 8 Отношения и пропорции.............. § 12* Отношение и его свойства *********** § 18 * Пропорция и её свойства ************ § 14* Прямая и обратная пропорциональные зависимости .................* * * § 15* Деление числа в данном отношении* Масштаб.......................... § 16* Окружность и круг* Круговой сектор * * § 17* Диаграммы *********************** § 18* Цилиндр* Конус * Шар ************** § 19* Процентные расчёты *************** § 20* Вероятность случайного события * * * * * ** * 8 ** * 4 ** * 5 *** 9 ** 15 ** 20 ** 26 ** 80 * 81 * 89 * 47 * 55 * 67 * 77 * 86 * 87 * 98 101 109 116 128 180 186 147 Глава 4 Рациональные числа и действия над higvih . §21. Положительные и отрицательные числа. Число нуль.. ........................ § 22. Координатная прямая ................ § 28. Модуль числа ....................... § 24. Целые числа. Рациональные числа...... § 25. Сравнение рациональных чисел ........ § 26ч Сложение рациональных чисел.. §27. Вычитание рациональных чисел. § 28. Умножение рациональных чисел § 29. Деление рациональных чисел . . . 157 168 170 180 186 193 204 212 223 Глава 5 i. ___Вырз5{гения и уравнения.................234 § 30. Выражения и их упрощение ............. 235 § 31. Уравнения. Основные свойства уравнений. . 241 § 32. Применение уравнений к решению задач ................................ 248 §33. Перпендикулярные и параллельные прямые .............................. 255 § 34. Координатная плоскость ................ 262 § 35. Графики зависимостей между величинами . 271 Тестовые задания............................. 280 Ответы.........................................287 Предметный указатель..................... 300 Сведения о состоянии учебника № Фамилия и имя Учебный год Состояние учебника Оценка в начале года в конце года 1 2 3 4 5 Навчальне видання ТАРАСЕНКОВА Н'та Анатол'ивна БОГАТИРЬОВА !рина Миколатна К0Л0М16ЦЬ Оксана Микола тна СЕРДЮК Зоя Олекстна МАТЕМАТИКА Пщручник для 6 класу загальноосв1тн1х навчальних заклад1в 3 навчанням рос!йською мовою {Ростською мовою) Рекомендовано Мтютерством освт / науки Украти ВИДАНО ЗА РАХУНОКДЕРЖАВНИХ КОШТ1В. ПРОДАЖ ЗАБОРОНЕНО Вщповщальний за в и пуск К. О. Дмитренко Редактор О. В. Попович Переклад Б. М, Шченко Художн1й редактор/4. М. Вксенко Техн1чний редактор Л, I. Аленша Ко ректор Л. А. Еско, С. В. Войтенко Малюнки О. /. Дядика На обкладинц! використано фото Jacek Chabraszewski Формат 60x90 Ум. друк. арк. 19,0 + 0,25 форзац. Обл.-вид. арк. 18,0 + 0,44 форзац. Наклад 65 450 пр. Зам. № ТОВ «ВИДАВНИЧИИ Д1М «ОСВ1ТА» Свщоцтво «Про внесения суб’екга видавничо! справи до державного реестру видавц1в, вигот1вник1в i розповсюджувач1в видавничо! продукцЛ» Сер1я ДК № 4483 в1д 12.02.2013 р. Адреса видавництва: 04053, м. Ки1в, вул. Обсерваторна, 25 WWW.OS vita-dim .com .ua Вщдруковано ТОВ «ПЕТ» Св. ДК № 4526 вщ 18. 04. 2013 р. 61024, м. XapKiB, вул. Ольм1нського, 17 Н.А.ТАРАСЕНКОВА,........................ И. Н. БОГАТИРЁВА, О. Н. КОЛОМИЕЦ, 3. А. СЕРДЮК