Учебник Геометрия 9 класс Апостолова

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Геометрия 9 класс Апостолова - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
vaoL/oioouv a j Г. В. АПОСТОЛОВА Геометрия Двухуровневый учебник для общеобразовательных учебных заведений Рекомендовано Министерством образования и науки Украины Перевод с украинского КИЕВ «ГЕНЕЗА» 2009 ББК 22.151я721 А76 Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (приказ МОН Украины № 56 от 02.02.09 г.) Издано за счет государственных средств. Продажа запрещена Перевод Г. В. Апостоловой Независимые эксперты: Хмара Т. М. - ведущий научный сотрудник лаборатории математического и физического образования Института педагогики АПН Украины, кандидат педагогических наук; Шарко В. В. - заведующий отделом топологии Института математики НАН Украины, доктор физ.-мат. наук, профессор; Синюкова Е. Н. - преподаватель кафедры алгебры и геометрии ЮУГПУ им. К. Д. Ушинского, кандидат физ.-мат. наук, доцент; Петечук К. М. - учитель-методист Закарпатского ИППО; Горелова О. В. - учитель-методист ООШ № 10 г. Измаила Одесской обл. Ответственные за подготовку к изданию: Прокопенко Н. С. - главный специалист МОН Украины; Литвиненко О. А. - методист высшей категории Института инновационных технологий и содержания образования Рецензенты: Ясинский В. В. - директор Института мониторинга качества образования НТУУ «КПИ», доктор физ.-мат. наук, профессор, заслуженный работник народного образования Украины; Мирецкая JI. Б. - учитель-методист ООУЗ № 92 г. Киева Систематизация дидактического материала: Барышникова О. И., Вашуленко О. П., Карликова Е. А. Апостолова, Г. В. А76 Геометрия : 9 : двухуровн. учеб. для общеобразоват. учебн. за- вед.: Пер. с укр. / Г. В. Апостолова. - К. : Генеза, 2009. - 304 с. : ил. ISBN 978-966-504-935-7. Соответствует программе как общеобразовательных средних учебных заведений, так и классов с углубленным изучением математики -является двухуровневым. Отличается-, дифференциацией теоретического и дидактического материала; выделением опорных фактов и опорных задач, обобщающих схем; наличием практических работ, исторической информации, заданий логического характера; обширностью дидактического и внепрограммного материала. Может быть использован: в общеобразовательных классах и классах с углубленным изучением математики; для организации внеклассных занятий и самостоятельной учебной деятельности учащихся. Главная цель: предоставить широкий спектр возможностей и учителю, и учащемуся независимо от типа учебного заведения и места его расположения. ББК 22.151я721 ISBN 978-966-504-935-7 (рус.) ISBN 978-966-504-900-5 (укр.) ©Апостолова Г. В., 2008 ©Издательство «Генеза^>, оригинал-макет, 2009 Автор Галина Вадимовна Апостолова -профессор Киевского областного института последипломной подготовки педагогических кадров, кандидат физико-математических наук, учитель-методист. Я благодарна всем своим ученикам за совместный поиск и открытия, за то, что вместе радовались и удивлялись красоте и гармоничности математической модели мира. В этом учебнике есть частичка от встречи с каждым из вас. Уважаемый ученик! Этот учебник завершает курс школьной планиметрии, но на этом ваши встречи с царицей математики -Геометрией не заканчиваются. В старших классах вы будете изучать стереометрию - геометрию фигур в пространстве. Исследуя свойства пространственных фигур, вы будете рассматривать плоскости, в которых доказательства и вычисления опираются на законы планиметрии, т. к. в плоскости выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии. Идеи геометрии живут во всех сферах окружающего мира, они с успехом работают в естественных и технических науках, в том числе и в различных разделах математики. Убедиться в этом вам поможет собственный опыт и последняя глава учебника «Любопытные приложения». О месте геометрии в развитии человека трудно сказать лучше ирландского философа Дж. Беркли: «Давно заметили, что геометрия — это прекрасная логика... Приобретается привычка мыслить точно, последовательно и методично; эта привычка делает наш разум сильнее и острее, помогает в поисках истины и в других сферах жизни». Заметим, что последнее станет для вас актуальным, если работать по учебнику так, как советовал известный психолог Д. Юнг: «Десять страниц математики, которые ты понял, лучше ста страниц, выученных наизусть и неусвоенных, а одна страница, отработанная самостоятельно, - полезнее десяти страниц, усвоенных четко, но пассивно». Желаю вам успешного обучения по методу Юнга, самостоятельных поисков и открытий. Получите эстетическое удовольствие от изучения геометрии! Автор 3 Информация для учащихся Перед началом работы с учебником внимательно прочитайте вступление, в котором обобщается то, что вы уже изучали ранее, и обратите внимание на форзацы и схемы в конце учебника - на них представлены основные опорные факты геометрии за курс седьмого и восьмого классов. Домашнюю работу лучше начинать с выполнения практических работ, которые предлагаются после каждого параграфа. Это поможет вам «почувствовать» геометрию, понять и запомнить учебный материал. На поля учебника вынесена главная (опорная) информация, а в конце учебника предлагаются обобщающие опорные конспекты. Пользуйтесь ими во время подготовки к уроку и при решении задач. Обязательный (минимальный) объем информации отмечен цвет- ной вертикальной полосой. Задания подразделяются на четыре уровня сложности: задания с нуликом возле номера - наиболее простые; задания без обозначений возле номера - несколько сложнее; задания со звездочкой - требуют более глубоких размышлений; задания с двумя звездочками - наиболее сложные, для их выполнения нужны творческие усилия. Задания «Для повторения» и «Готовимся к тематической аттестации» помогут вам повторить изученное, подготовиться к итоговой аттестации. Кроме того, в конце учебника предлагаются задания в тестовой форме «Проверь себя». Их цель - определить уровень ваших умений и знаний, помочь вам адаптироваться к будущим тестированиям. «Ответы и советы» помогут вам убедиться в правильности выполнения заданий, а иногда подскажут путь решения. Задания рубрики «Для любознательных», параграфы с такой же пиктограммой и последний раздел «Любопытные приложения» предназначены для более широкого и глубокого ознакомления с геометрией, чем это требуется программой общеобразовательной школы. В конце учебника вас ожидает «Словарик» новых терминов и незнакомых слов (со ссылками на страницы, где они встречаются). Пиктограммы в учебнике означают: ледствие; $ - материал для ознакомления; - дополнительный материал. Не ждите указаний учителя, работайте самостоятельно - учебник предоставляет вам такую возможность. Помните, что готовиться к внешнему тестированию, к вступительным экзаменам в ВУЗ по определенным темам надо тогда, когда эти темы изучаются. Тот, кто учится самостоятельно, преуспевает в семь раз больше, чем тот, которому все объяснили. Артур Гитерман (поэт) Информация для учителей и родителей Обычно в учебнике объем учебного материала четко ограничен - все, что в нем содержится, учитель должен отработать с классом. Поэтому и создаются разные учебники для общеобразовательных школ и для классов с углубленным изучением математики. А как быть ученику, который может и хочет знать больше? Понятно, что при этом больше возможностей имеют дети в мегаполисах, где есть спецшкол^!. Главная цель этого учебника — предоставить равные возможности всем учащимся, независимо от места их проживания и обучения, а учителю помочь осуществить дифференцированный подход в работе, естественным образом продолжить изучение геометрии на внеклассных занятиях (или предложить некоторым учащимся сделать это самостоятельно). Этот учебник двухуровневый - по нему можно работать как по общеобразовательной программе (ОП), так и в классах с углубленным изучением математики (МК). Можно сказать, что он многоуровневый по объему и спектру представленного дидактического и теоретического материала. Учебник дает возможность одним учащимся плавно идти вверх, другим спуститься и залатать индивидуальные «прорехи». Теоретический материал подразделяется на: • параграфы, обязательные для изучения по ОП, минимум госстандарта отмечен цветной вертикальной полосой; • параграфы для ознакомления (не обязательные для оценивания по ОП); • параграфы, не обязательные для изучения (по ОП); • рубрика «Для любознательных» дополняет параграфы исторической и математической информацией; • раздел «Любопытные приложения» - для МК, кружковой и индивидуальной внеклассной работы, подготовки реферативных работ. Дидактический материал подразделяется на: • практические работы и задачи четырех уровней сложности (задания с цветными номерами рекомендованы для домашней работы); • задания рубрики «Для любознательных»: дополнительные задачи повышенной сложности и не только по программному материалу; • задания раздела «Любопытные приложения» - задачи повышенной сложности по представленным темам; • задания для повторения расположены после разделов и в конце учебника (в тестовой форме); • «Готовимся к тематической аттестации» - ориентировочные задания аттестации по темам (для ОП). Сэкономит учебное время, поможет усвоить, повторить и обобщить учебный материал использование в работе на уроке пособия «Геометрия в опорных схемах и рисунках. Рабочая тетрадь ученика 9 класса^). Это позволит учащимся не носить учебник в школу (работать по нему только дома). Напоследок подчеркну, что невозможно и не нужно отрабатывать в классе весь учебный материал учебника, стремиться решить все предложенные задачи. Обширность дидактического материала предоставляет возможность (без привлечения дополнительных сборников) реализовать дифференцированный подход в работе с классом, иметь «запас» - кому-то для повторения, а кому-то для углубления, для факультативной или самостоятельной работы ученика. Этот учебник предлагает «возможности», а ' вот насколько они будут реализованы - это уже зависит лично от Вас и Ваших детей. • РАДОСТИ ПОИСКА и УСПЕХОВ! С уважением, автор 5 Память - страж всему и сокровищница всего. Цицерон Взгляд на старые проблемы под иным углом зрения требует творческого воображения и дает большие преимущества. Альберт Эйнштейн Вступая в Геометрию 9-го класса, сначала остановитесь и оглянитесь I на то, что изучалось ранее. Рассмотрите этот «пейзажа), ощутите его ! логичность и цельность, красоту маленьких сюжетов опорных задач. Это поможет вам овладеть новыми просторами геометрии в 9-м классе. Структура геометрии: 1) основные понятия; 2) аксиомы; 3) определение других фигур, доказательство свойств фигур, которые отличаются от аксиом. Напомним: утверждением называется предложение, о котором можно сказать или «да», или «нет), т. е. оно может быть или истинным, или ложным. Логический шаг доказательства: 1. Исходное утверждение (несколько утверждений). 2. «Тогда». 3. Утверждение-вывод. I Геометрия - это не просто набор фактов и некото-I рых размышлений, а строгая, целостная и эстетиче-I ская в своей логичности наука. Геометрия как ма. тематическая наука о пространственных формах * опирается на дедуктивный метод - цепочку логи-^ ческих переходов (шагов) от утверждения-условия к I утверждению-выводу. Поэтому так важно обобщить I уже изученное и выделить в этом материале основное. I Используйте: «Словарика), форзацы, схемы в конце учебника, информацию на поле. I | Вопросы для повторения I 1. Какую структуру имеет планиметрия? 2. Из чего состоит логический шаг доказательства? I 3. Объясните, что такое: а) утверждение; б) аксиома; в) тео-| рема; г) следствие; д) определение; е) признак; ж) свой-I ство; з*) теорема, обратная данной; и**) необходимое и достаточное условия. I 4. Что такое «способ доказательства от противного»? Приве-| дите пример доказательства какого-то утверждения этим * способом. * 5. Какие углы называются: а)смежными; б) вертикальными? I Какие свойства этих углов вы знаете? А их биссектрис? | 6. Какие прямые называются параллельными? Сформули-, руйте их: а) свойства; б) признаки. * 7. Какую фигуру называют треугольником? Какие свойства I углов треугольника (внутренних и внешних) и неравенства I для его сторон и углов вы знаете? „ . 8. Какие треугольники называются равнобедренными? * Сформулируйте свойства и признаки равнобедренного I треугольника. 6 9. Какие свойства высот (биссектрис, медиан) треугольника вы знаете? 10. Какую окружность для данного треугольника называют: а) вписанной; б) описанной; в**) вневписанной? Какие свойства этих окружностей вы знаете? 11*. Что такое «геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющее определенному условию»? Сформулируйте свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку как соответствующих ГМТ. Какие еще ГМТ вы знаете? 12. Какая фигура называется окружностью? Какие свойства хорд окружности вы знаете? 13. Сформулируйте определение прямой - касательной к окружности и вспомните ее свойства. 14. Какие виды касания двух окружностей вы знаете? Сформулируйте свойства таких окружностей. 15. Сформулируйте определения вписанного и центрального углов окружности. Какие свойства этих углов и углов, образованных хордами, касательными и секущими окружности, вызнаете? 16. Сформулируйте: а) теорему Фалеса (и обратную к ней); б) обобщенную теорему Фалеса (и обратную к ней). 17. Какие треугольники называются: а) равными; б) подобными; в) равновеликими? 18. Сформулируйте признаки и свойства: а) равных треугольников; б) подобных треугольников; в) равных прямоугольных треугольников; г) подобных прямоугольных треугольников. 19. Какие свойства прямоугольных треугольников вы знаете? (Вспомните метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.) 20. Какая фигура называется: а) многоугольником; б) выпуклым многоугольником; в) правильным многоугольником; г) вписанным многоугольником; д) описанным многоугольником? Какие свойства этих многоугольников вы знаете? 21*. а) В какой многоугольник можно вписать окружность? б) Вокруг какого многоугольника можно описать окружность? 22*. Вспомните свойства и признаки описанного и вписанного четырехугольников. 23. Какие виды четырехугольников вы знаете? Сформулируйте их определения, свойства и признаки. 24**. Какая фигура образуется при пересечении биссектрис: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) внешних углов прямоугольника? 25*. Определите вид четырехугольника с вершинами в серединах сторон: а) произвольного четырехугольника; б) параллелограмма; в) равнобокой трапеции; г) ромба. I Примечание для учителя. Двумя звездочками обозначены вопросы, не обязательные для изучения в общеобразовательных классах (только в МК). Большинство вопросов сформулированы так, чтобы вы имели возможность уточнить их смысловое наполнение опорными фактами. Определение - название (с разъяснением, что именно так называется). Аксиома - принимается без доказательства. Теорема - доказывается определенным логическим рассуждением (доказательством). Доказательство опирается на аксиомы и утверждения, доказанные ранее (состоит из логических шагов). Следствие - непосредственный вывод из теоремы или аксиомы. Прямая и обратная теоремы - меняются местами условие и вывод. ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ТРЕБУЕТ ДОКАЗАТЕЛЬ- СТВА! Множество - совокупность объектов, которые мы представляем как единое целое. Например: множество усатых, множество треугольников. 7 Признак выводом является лежность теорема, которой принад- фигуры определенному множеству (определение которому дано было ранее). Свойство - теорема, выводом которой является выполнение определенных условий, если фигура принадлежит конкретному множеству. Доказательство от противного: 1. Четко сформулировать утверждение, которое надо доказать. 2. Сформулировать утверждение обратное к (i). 3. Предположить, что (2) выполняется. 4. Прийти к логическому противоречию. 5. Вывод: (2) - ложно и выполняется (i). Чтобы установить ложность утверждения, достаточно привести один контрпример. Приведение примеров того, что утверждение выполняется, не является его доказательством! 26. Что такое: а) средняя линия треугольника; б) средняя линия трапеции? Какие свойства этих отрезков вы знаете? 27*. Какие опорные задачи трапеции вы знаете? 28*. Какие опорные задачи равнобедренной трапеции вы знаете? 29. а) Каким свойствам фигуры соответствует понятие площади фигуры? б) Какие фигуры называются равновеликими? в**) Какие многоугольники называются равносоставленными ? 30. Запишите формулы для вычисления площади: а) квадрата; б) прямоугольника; в) параллелограмма; г) треугольника; д) прямоугольного треугольника; е) трапеции; ж**) равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом? 31*. Как относятся площади: а) треугольников с равными основаниями; б) треугольников с равными высотами; в) параллелограммов с парами сторон, лежащими на общих параллельных прямых; г) трапеций с соответственно равными основаниями; д) трапеций, основания которых лежат на общих параллельных прямых? 32. Докажите методом подобия опорные факты: а*) об отрезках, на которые биссектриса треугольника делит его сторону; б**) формулу Лагранжа для биссектрисы треугольника; в*) о произведении отрезков двух пересекающихся хорд; г**) о расстоянии между точкой хорды окружности и ее центром (следствие факта (в)); д*) соотношение между отрезками секущей и касательной, проведенными из одной точки к окружности; е**) теорему Птолемея. 33. Какие опорные задачи вы умеете доказывать методом: а*) подобия; б**) вспомогательной окружности; в**) площадей? 34**. На сторонах АС и ВС треугольника ABC отметили соответственно точки Ми К так, что AM : МС = т : п, ВК : КС =р : t. В каком отношении АК делит отрезок ВМ1 35**. На стороне АВ треугольника ABC отметили точку М, а на стороне ВС - точку К так, что СК : КВ = т : п, а точка пересечения АК и СМ делит СМ в отношении р : t. В каком отношении точка М делит сторону АВ? 36. Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Зависит ли их значение от расположения и размеров прямоугольного треугольника? 37. Запишите соотношения между тригонометрическими функциями: а) одного и того же угла; б) дополняющих углов (углов, сумма мер которых равна 90°). 38*. Как изменяются значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) при изменении градусной меры угла от 0° до 90°? 39. Запишите табличку значений тригонометрических функций углов градусной меры: 0°; 30°; 45°; 60°; 90°. 40. Вспомните ^задачи решения прямоугольных треугольников: а) как по градусной мере одного из острых углов и длине одной из сторон найти второй острый угол и остальные его стороны; б) как, зная длины двух сторон, найти третью сторону и меры острых углов. 41. Что означает «решить задачу на построение»? Какие опорные задачи на построение вы знаете? 8 УГ КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ углов ОТ 0° ДО 180°. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В этой главе вы узнаете ' об открытии французского ученого - Декарта, которое поможет решать ■ задачи - геометрии языком алгебры, а алгебраическим задачам давать геометрическую интерпретацию. Благодаря именно этому открытию мы сможем определить тригонометрические функции тупых углов, значительно упростить - решение некоторых геометрических задач, например - решение , треугольников. Вообще . говоря, современная математика, наверное, не существовала бы без этого открытия Декарта. § 1. Система координат Декарта. Расстояние между двумя точками на координатной плоскости и уравнение окружности. Координаты середины отрезка Так в чем же состоит открытие Декарта (15961650)? Его еще называют аналитическая геометрия. Как и все гениальное, оно гениально простое. Декарт заставил алгебру работать на геометрию. , Базовым понятием аналитической геометрии явля-УЬ ется понятие системы координат. Наи' более простая система координат - это так называемая декартова прямоугольная система координат. Ее задают так: на плоскости выбирают две взаимно Q X перпендикулярные числовые оси - оси координат, пересекающиеся в точке О -Рис. 1.1 начале координат (рис. 1.1). х М У / ОСЬ ординат .ось J абсцисс г 0| X ^ 'начало координат 9 Ук Vaj- м -• I i I xL (х; у) - координаты точки, М(х„; Ум). I абсцисса ордината ® УА [х<0 1у> о х<0 У< О х>0 у> О © х>0 у< О © I Оси координат обычно называют: I • горизонтальную - ось абсцисс (обозначается Ох), • вертикальную - ось ординат (обозначается Оу). Плоскость, на которой введена декартова система координат, называют координатной плоскостью, или плоскостью ху, и записывают это так: (хОу) или просто (ху). Найдем для произвольной точки плоскости М расстояния от осей координат. Числа х и у - абсцисса и ордината точки М - по модулю равны этим расстояниям (рис. 1.1 и рис. на поле). При этом, если точки лежат (рис. 1.2): • правее оси ординат - их абсциссы положительны; • левее оси ординат - их абсциссы отрицательны; • над осью абсцисс - их ординаты положительны; • ниже оси абсцисс - их ординаты отрицательны. Числа хну, именно в такой последовательности, и I I являются декартовыми координатами точки х - абсцисса; у - ордината. Записывают: М(х; у). М: осях относят Оси координат разбивают координатную плоскость на четыре части - четверти (рис. 1.2). Иногда их называют координатными углами. В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются. Замечание. Точки на координатных к соответствующим координатным четвертям. Точки, лежащие на оси Ох, имеют торые равны нулю (у = 0), а точки оси циссы, которые равны нулю (х = 0) (рис. 1.3). Таким образом, каждой точке плоскости I ствует определенная пара чисел, и наоборот, каждой ординаты, Оу имеют ко- абс- соответ- Для любознательных Докажите методом от противного (опираясь на признаки равенства прямоугольных треугольников и аксиомы геометрии) взаимно однозначное соответствие между точкой на координатной плоскости и парой чисел - ее координат (необходимое и достаточное условия). Наследник старинного французского дворянского рода Рене Декарт (1596-1650) был настоящим любимцем судьбы. О таких говорят, что при рождении их поцеловали все музы. Удача сопровождала его не только в науке. Смел^1й и бесстрашный, он побеждал не только интеллектом, но иногда и с оружием в руках. Так, однажды ему удалось с помощью шпаги, которой он владел с д’артаньяновским мастерством, заставить пиратов пристать к берегу и дать высадиться ему самому и его слуге. Наверное, не существует точной закономерности между соотношением смелости научной мысли и личным мужеством ученого. Но именно эти черты присущи большинству известных исследователей (Фалесу, Пифагору, Архимеду, Эйлеру, Лобачевскому, Декарту...). 10 о паре чисел можем поставить в соответствие только одну точку плоскости. Именно это взаимно однозначное соответствие и является прямоугольной системой ко- декартова система коор- ординат Декарта. (Далее динат.) 17^ II д: < о У> о у< 0 III I х>0 У > о х>0 3 yt тВ(о; у в) 0(0; 0) У< о IV А(0;Ха)х Рис. 1.2 Рис. 1.3 А что можно поставить в соответствие линии на I плоскости? Декарт предлагает в соответствие линиям плоскости записывать уравнения с неизвестными х и у, чтобы: • координаты любой точки такой линии удовлетво-I ряли соответствующему уравнению; • координаты точек, не лежащих на заданной линии, не удовлетворяли такому уравнению. Например, для точек прямой линии и только для точек этой линии справедливо равенство у = kx + I (если к и I - постоянные). Это равенство называют уравнением прямой. А как задать уравнением окружность? Мы знаем из курса 7-го класса, что окружность - это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от определенной точки этой плоскости - центра окружности. (Для любой точки плоскости, не принадлежащей окружности, это расстояние будет меньше или больше I Обозначают: Ох -ось абсцисс; Оу - ось ординат. УА 2 / х о (л)^у Прямая (п) - все ее точки имеют координаты (х; х+2). Для любознательных Мать Декарта умерла от туберкулеза через несколько дней после его рождения, а с 8-ми лет он стал воспитанником иезуитской школы, основанной в те времена под личным покровительством Генриха IV. Счастливый случай привел Декарта в математику. Однажды во время прохождения гарнизонной службы в одном из голландских городков Декарт обратил внимание на объявление. Написано оно было на фламандском языке, которого Декарт не знал. С просьбой перевести текст он обратился к прохожему, который также заинтересовался этим объявлением. Незнакомец оказался профессором математики Бекманом, который не без иронии ответил на любопытство молодого солдата, что это публичный вызов - предложение решить геометрическую задачу и что он переведет условие, если юноша возьмется ее решить. На следующий день Декарт принес профессору решение, и это стало началом его занятий математикой под руководством Бекмана, которые продолжались дЁа года. 11 «0 0 1 ''2^2»’ У2) МгМ2 = =''(Xi-X^)2 + (У1-У2)2 I радиуса окружности.) Тогда, чтобы найти уравнение окружности, надо сначала выразить расстояние между двумя точками плоскости через их координаты. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ Нам нужно для двух произвольных точек плоскости | Мх(хх; г/j) и М2(х2; у2) записать длину отрезка МхМ2 через i числа yv Х2, У2 (рис. 1.4). У А Рис. 1.4 Расстояния между проекциями этих точек на оси абсцисс и ординат равны |xt - х2\ и ]г/, - у2\ соответственно. Длины катетов прямоугольного треугольника МуСМ2 равны длинам указанных проекций (как стороны образованных прямоугольников). Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы треугольника МуСМ2 - расстояние между точ- ками Мх(Хх, УХ) и М2(Х2; У2): МгМ2 = ^(хх- х2)2 + (Ух-У2)2- Замечание. Если отрезок М^М2 параллелен одной из координатных осей, то либо |хх - х2\ = о, либо \ух - г/2| = = о и записанная выше формула для вычисления длины отрезка МХМ2 также является правильной. УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ Теперь мы можем записать уравнение окружности как геометрическое место точек М(х; у), расстояние от которых до центра окружности - точки 0(а; Ь) - является величиной постоянной, равной радиусу окружности г: МО = г = У21(х-а)2 + (у-Ь)2. Для любознательных Декарт - математик, влюбленный в поэзию, писал: «Зимними свободными вечерами, сравнивая тайны природы с законами математики, я осмеливаюсь надеяться, что нашел основы этой дивной науки». Литературная деятельность Декарта развивалась на протяжении всего 12 лет. Она промелькнула, как метеор, но оставила блестящий незабываемый след в конструкции современной математики. Основы открытой им аналитической геометрии Декарт опубликовал в 1637 г. в книге «Геометрия». 12 Тогда уравнение окружности радиуса г и с центром 0(а; Ь) имеет вид (х-а)2 + (у-Ь)2 = г2. Например, окружности, изображенной на рисунке 1.5, соответствует уравнение (х - I)2 + (у - З)2 = 22. КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА Выведем формулу, выражающую координаты точки - середины отрезка через координаты его концов. 1) Пусть отрезок с концами А(хх, • ух) и В(х2; не параллелен осям координат, т. е. (рис. 1.6). С(хс; ус>. у2) £ х2 и ух Ш у2 Найдем координаты его середины - точки Xi+X^ Проведем: АК _L Ох, СМ 1 Ox, BN 1 Ох. Тогда АК || BN || СМ. И, учитывая, что АС = СВ, получим КМ = MN, т. е. IjCj - хс| = \х2 - х^. Тогда или (Xj - х^) = (х2 - хс), или (хх - хс) = -(х2- хс). По условию Ф х2 и может выполняться только второе равенство, из которого получаем: yi+y2 . Аналогично ус = - 2 2) Если АВ || Ох, то Ух = У2 = Ус, а хс Если АВ || Оу, то х, = х2 = хс, а ус • И полученные ются. выше соотношения 2 У1+У2 2 также выполня- Таким образом, координаты середины отрезка с концами в точках (xt; ух) и (х2; у2), вычисляются по формулам: -..*с+=2 У1- У2 В(х2; У2) A(xt; i/j) хS 2 £ - Напомним обозначение: - «не совпадает», «не является тождеством»; е - «принадлежит»; [АВ] - отрезок АВ. Для любознательных 1. По полю проложили прямолинейную дорогу. Человек, который стоит на этой дороге в точке А, может двигаться: по полю - со скоростью не более 3 км/ч; по дороге - не более 6 км/ч. Найдите множество точек, до которых этот человек может дойти за i час. 2. В селе Семихатки 7 домов, для любых трех домов расстояние хотя бы между двумя из них равно 50 м. Изобразите план расположения домов в этом селе. 13 0 X^ + у2 + пх + + ту + р = О определяет: или окружность -г2 > О, или точку г2 = О, или пустое множество г2 < О, о Л , /71 г2 = — + — -р УА V .М(х; у) Л О г / X2 + у2 = с2 о(о; о); г= |с| |АВ| = \АС\ + \СВ\ Z А, В, С на одной прямой и Се [АВ] I Замечание. При решении геометрической задачи методом координат нужно не только перевести на язык алгебры ее условие и решить алгебраическую задачу, но еще и дать геометрическое толкование полученного алгебраического результата. Рассмотрим примеры. 1. Уравнение х2 + у2 = с2 описывает окружность радиуса г = \с\с центром в начале координат о(о; о). 2. Уравнение х2 + у2 + пх + ту + р = 0 описывает: или окружность, или точку, или пустое множество (не имеет смысла). Чтобы выяснить, какой именно случай реализуется, в уравнении надо выделить квадраты двучленов относительно хну: х" + ’2iX + 2 X + - ^ п 2 + У +2- -у - л2 пх ^ - V + р=О г У +'- V / п т = — + — -р. 4 V Если правая часть полученного соотношения: • положительна - это уравнение окружности; • равна нулю - это точка; • отрицательна - это пустое множество. Например, уравнение х2 + у2 - 2х + 4у + 1 = 0 преобразуем так: (х2- 2х + 1) + (у2+ 4у + 4) - 1 - 4 + 1 = О, (х- 1)2 + (у + 2)2=22. Рассматриваемое уравнение определяет окружность с центром o(i; -2) и радиусом 2. 3. Согласно аксиоме об измерении отрезков и неравенству для сторон треугольника получим такое утверждение. Если на плоскости задано три точки А, В, С и для расстояний между ними выполняется соотношение '\АВ'\ = \АС\ + |СВ|, то эти точки лежат на одной прямой (при этом точка С расположена между точками А и В). Правильным будет и обратное утверждение. I КООРДИНАТЫ ТОЧКИ, делящей отрезок В ЗАДАННОМ СООТНОШЕНИИ Пусть точка С(х; у) принадлежит отрезку с концами в точках А(х,; уЛ, В(х„; у^) и делит этот отрезок в I соотношении \АС\ : |СВ\ = п : т (рис. 1.7). Найдем I координаты точки С. Для любознательных Термин координата (упорядоченность) латинского происхождения. Творцом аналитической геометрии, одновременно с Декартом, считают любителя математики, автора многочисленных блестящих открытий французского юриста Пьера Ферма (1601-1665). 14 т у к Прямые AAV CCj и ВВ, перпендикулярны оси Ох, т. е. параллельны между собой. Тогда, согласно теореме Фалеса, имеем: АС, АС сл СВ п т' х-Х, п т Возможны два случая: х2 > х > х. Для обоих случаев полученное под выражение положительно. Тогда: X, > X > х2. знаком модуля х-х. п т X-X Аналогично получим, что п + т у - пу2 + ту, Таким образом, отрезок с концами отношении \АС\: |СВ| = п + т координаты точки С, делящей в точках А(Хх; Ух) и В(х2; У2) в п:т, равны _ пх2 + тхх _ пу2 + ту1 х---------------; у------- п+т п+т Ус п + т Щг + ту\ п + т Если = X: (Х = п:тр-^ кх2 + X, хг ---------- Х + 1 ’ Ъу2 + Ух Ус У" х-у 0 х-у> 0 х-у> 0 х-У 0 Для любознательных ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ Проанализируем такую ситуацию. Пусть из пункта А в пункт В проложили 2 туристических маршрута, а из пункта В в пункт С - 3 маршрута. Спрашивается: сколькими способами можно совершить путешествие из А в С? В Так как после преодоления каждого из маршрутов, соединяющих пункты А и В, остается по 3 возможности добраться из В в С, то из А в С можно попасть 2x3 = 6 способами. Обобщением этой простой задачи является основное правило комбинаторики, которое еще называют правилом умножения. Если объект X можно выбрать т способами, а объект У — п способами (независимо от выбора X), то пару X и У можно выбрать m X п способами. 15 х у* ь|— 0(а; Ъ) о|—'-=-' * г = \J а2 + Ь2 ( , -JN'l yi к Ль. ч. -О) \ 1, / г = 12> ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Найдите все точки (л:; у) координатной плоскости, которые удовлетворяют соотношению ху > о. Решение Условие ху > 0 равносильно тому, что числа х и у одного знака: х > о и у > о или х < о и у < 0. Тогда решением будет множество точек I или III коор- динатных четвертей, но осях координат (рис. 1.8). не на Пример 2. Докажите, что середина отрезка с концами в точкахА(5; 7) и Б(8; -7) лежит на оси Ох. Доказательство Пусть С(х(^; у0) - середина отрезка АВ. Тогда 7 +(-7) рис х g , у о = 0. ч. т. д. Пример центром в координат. 3. точке Запишите уравнение окружности с (-1; 3), которая проходит через начало Решение окружности, тогда уравне- 1) Точка (-1; 3) - центр ние этой окружности имеет вид: (х - (-1))2 + (у- З)2 = г2, (х + I)2 + (у - З)2 = г2. 2) Окружность проходит через точку 0(0; 0), тогда значения х = о и у = о удовлетворяют уравнению этой окружности: (о + I)2 + (о - З)2 = г2, г2 = 10. 3) Вывод: уравнение искомой окружности имеет вид: (х + I)2 + (у - З)2 = 10. Ответ: (х + I)2 + (у - З)2 = 10. Замечание. Ответ к последней задаче можно запи-I сать и в другом виде, например (если раскрыть скобки I и привести подобные слагаемые) х2 + у2 + 2х - 6у = 0. Для любознательных Решение геометрических задач иногда связано с комбинаторным перебором конфигураций (см. стр. 15). Целенаправленный перебор возможных вариантов нужен и при составлении расписания движения транспорта, занятий в школе, шифровании и дешифровке письменной информации, в том числе и кодировании. Например, кодами являются числа номерных знаков машин, товарные знаки (штрих-коды) и т. д. 16 Пример 4. Найдите точку на оси ординат, равноудаленную от начала координат и точки А(3; -1). Решение 1) Искомая точка М лежит на оси Оу, т. е. М(0; ум) и \МО\ = Ум,\АМ\ = \j(XA- Хм )2 + (у АI Ум )2 = ^9 + (-1-Ум)2. 2) \МО\2 = \АМ\\ тогдау^2 = 9 + (1 + y^f, Ум = -5. Ответ: (0; -5). Пример 5. Найдите точку на окружности (х - 2)2 + (у - З)2 = 3, равноудаленную от осей координат. Решение Точки С(хс; у^), равноудаленные от осей координат, лежат на биссектрисах координатных углов, т. е. удовлетворяют условию хс = ус или хс = -у^. Окружность с центром 0(2; 3) и радиусом R = \l3 расположена в первой координатной четверти (т. к. R = \fd<2 ий = i/3<3). Тогда искомая точка может принадлежать только биссектрисе I координатной четверти и хс = у^^. (хс-2)2 + (хс-З)2 = 3, 2хс2 - 10хс +13 = 3 х УА© кш , ~У*М(х; у) и<л . ^ “Л I I I I I I I I I I * М(х; У)Г. * _____^ л: I I * I © \*Z. IV 1/И^ч; © Ц+1^ V, „с • 2 - 5х„+ 5 = 0. Корни уравнения - положительные числа 5±л/5 Ответ: 5 + V5 5 + Т51 (5-у/Е 5-У15 2 ’ 2 J’ ( 2 ’ 2 Пример 6. Найдите точку, равноудаленную от осей координат и точки А(-3; -6). Решение Координаты точек С(хс; у^), равноудаленных от осей Ох и Оу, удовлетворяют соотношению |хс| = \ус\. Т. е. надо рассмотреть два случая, когда хс = у^^; хс = -у^. i Точки, равноуда-| ленные от осей ко. ординат, принад-* лежат биссектри-I сам координатных | углов и наоборот. I ‘ „ Умение решать за* дачи - такое же I практическоеискус-| ство, как и умение плавать, бегать или ' танцевать. Этому | можно научиться | только путем подражания и трени-I ровок. I Д. Пойя Для любознательных 1. Из села С к городу М ведет 6 дорог, а из города. М к горо- ду В - 4 дороги (см. рис. А). Сколько существует^способов добраться из С в В? * чО А и' ~ 2. Недалеко от пунктов С, М и В пр^ьадущей- задачи построили поселок Р и несколько новыхжэрбг (см. .рисг' Б). Сколько теперь существует способов добЩЙЛИ^из'СйВ?, , 3. Сколько существует отрезков, длины которых , записы-. ваются (в метрах) двуцифровыми целыми числаэдй 'с /раз-* ными цифрами? ' ' 4. Каждую клеточку квадратной таблицы 5X5 можно раскрасить в желтый или синий цвет. Сколько существует вариантов раскраски этой таблицы? 17 I х i 1) Пусть = ус. Тогда СА2 = (хс + З)2 + (хс + 6)2 = Х2; х2 + 18хс + 45 = 0. Последнее уравнение имеет два решения {-3; -15}. Тогда точки (-3; -3) и (-15; -15) равноудалены от осей координат и точки А. 2) Пусть хс = -ус. Тогда САг = (хс + З)2 + (- хс + 6)2 = х2; х2 - 6хс + 45 = 0. Полученное уравнение не имеет корней. Ответ: (-3; -3), (-15; -15). Пример 7. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин вписанного в нее правильного треугольника не зависит от положения точки на окружности. Доказательство Через центр О окружности, описанной вокруг правильного треугольника ABC, и его вершину В проведем ось Оу, а ось Ох - параллельно АС (рис. 1.9). Координаты произвольной точки окружности М(х; у) удовлетворяют уравнению окружности х2 + у2 = R2. Длина стороны треугольника ABC а = R\l3, поэтому координаты вершин треугольника А а ‘2’ \ rS R а%/3 6 B(0;R), С ал/3 \ ,В о; 3 / / -ЛУ2_, 2'2 а aV3 2 _ Л можно записать в виде: Тогда МА2 = V 7 / дТз 2 ( r\ х + + у + — 2 2 V ) ^ / R МС2 = Rs!3 ; MB2 = х2 + (у - R)2; \2 R У + ■ Искомая сумма имеет вид: МА2 + MB2 + МС2 Г R Y У ^ I - 3(х2 + + ЗД2 = 6Д2, т. е. не зависит от положения точки М на окружности. Ч. т. д. " RyJ3 ' х + — + fi/ + —1 + + (у - R)^ + Г х - Дл/З 2 V 7 [ 2 ) V ' \ 2 7 Для любознательных Опорная задача. Докажите, что координаты центроида треугольника равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин этого треугольника. 18 6 У \ 2 + X - Практическая работа 1 1. Начертите декартову систему координат и в ней отметьте по две точки: а) с абсциссами, равными 3; б) с ординатами, равными -2. Запишите координаты этих точек. 2. Начертите декартову систему координат и в ней отметьте две точки, определите их координаты. Вычислите расстояние между этими точками по соответствующей формуле. Измерьте расстояние между заданными точками и сравните полученные результаты. 3. Начертите декартову систему координат и обозначьте в ней точку. Найдите ее координаты и начертите окружность с центром в этой точке. Измерьте радиус окружности и запишите ее уравнение. Отметьте произвольную точку окружности и определите ее координаты. Должны ли координаты этой точки удовлетворять уравнению окружности? Проверьте свой ответ соответствующим вычислением. 4. Начертите декартову систему координат и треугольник в ней. Запишите координаты вершин треугольника. С помощью линейки отметьте середины его сторон и определите координаты этих точек. Вычислите координаты середин сторон треугольника по соответствующим формулам. Сравните полученные результаты. Задание 1 1°. Запишите координаты точек, отмеченных на координатной плоскости (ху) (рис. 1.10). Рис. 1.10 Рис. 1.11 2°. Отметьте на координатной плоскости точки М(5; 4), N(-5; 4), К(-5; -4), Т(5; -4), А(4; 0), В(-4; 0), С(0; 5), D(0; -5). Для любознательных Аналитическая геометрия играла важную роль в развитии понятия о числе. Отрицательные числа, известные в Индии уже в VI-XI в., европейские математики считали абсурдом. Даже Виет не признавал их. Только благодаря аналитической геометрии Декарта (правило выбора знаков координат точек на координатной плоскости) отрицательные числа полностью утвердились в математике. Интересно, что открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. Древнегреческий математик Аполлоний (III—II в. до н. э., Александрия) фактически уже использовал прямоугольную систему координат, но вместо алгебраической символики (которая тогда не существовала) осуществлял описание уравнений через геометрические понятия. 19 3° Постройте четырехугольник, если известны координаты его вершин А(2; 3), В(3;-5), С(-4;-1),D(-5; 3). 4°. Не выполняя построений, укажите, в каких координатных четвертях лежат точки М(-0,3; 80), ДГ(100; 200), .£(-500; -1000), 7(200; -0,1), L(-100; 0,3), S(120; -5). 5. На какой оси декартовой системы координат находятся точки: а) А(0; 4); б) В(-2; 0); в) С(5; 0); г) D(0; -10)? 6. Через точку К(-4; 1) проведите прямые тип, , параллельные осям координат, а) Лежат ли на прямых тип точки А(-4; 3), В(4; -3), С(2; 1), £)(-2; -1)? б) Укажите на прямых тип точки, расстояние между которыми 2 единицы. 7. По рисунку 1.11 (стр. 19) найдите координаты вершин прямоугольника ABCD, стороны которого параллельны координатным осям. 8. Три вершины прямоугольника расположены в точках (-1; 4), (3; 4), (-1; -2). Найдите координаты четвертой вершины. 9. Проверьте, лежат ли на линии= 7 точки А(1; 8), В(3; 16), С(-5; 4). 10. Какие из точек А(2; -1), В(-1; 3), С(0; -2) принадлежат линии, соответствующей уравнению |дс| + 2у2 = 4? 11*. Сторона квадрата равна 6. Одна его вершина расположена в начале координат, а две - на осях и имеют неотрицательные координаты. Найдите координаты всех вершин квадрата. 12*. Точка пересечения диагоналей ромба совпадает с началом координат. Диагонали ромба лежат на осях координат. Длина одной диагонали - 8 единиц, а второй - 4 единицы. Какие координаты могут иметь вершины ромба? 13. Задана точка А(2; 4). Постройте точку и запишите ее координаты: а) Av симметричную точке А относительно оси Ох; б) А2, симметричную точке А относительно оси Оу; в*) А3, симметричную точке А относительно начала координат; г**) А4, симметричную точке At относительно точкиА2- 14. Задана точка А(-3; 2). Постройте точку: а) Ах, симметричную точке А относи- относительно оси Оу; в*) А3, тельно оси Ох; б) А2, симметричную точке А симметричную точке А относительно начала координат; г**) А4, симметричную точке А3 относительно точки А,. Запишите координаты построенных точек. 15*. Принадлежат ли точки координатной плоскости, удовлетворяющие уравнению у = х, множеству точек, заданных уравнением |(/| + у2 = |я| + х21 Задание 2 ц1°. Найдите расстояние между точками: а) А(3; 2) и В( 1; -7); б) М(-4; -8) и N(2; 0); в) F{2; -1) и D(2; 4); г) G(3; -5) и Я(6; -5). 2°. Найдите расстояние от начала координат до точки: а) А(2; 3); б) В(-7; 5); в) М(-3; 4); г) N(-4;-3). Найдите периметр треугольника АВС, если А(2; -1), В(-1; 3), С(2; 7). Докажите, что треугольник FGH равнобедренный, если F(4; -2), G(-4; 4), Я(-12; 10). Докажите, что точки A, R и Т лежат на одной прямой, если А(-3; -7), R(2; 3), 7X0; 1). Какая из точек лежит между двумя другими? Не выполняя построения точек, определите, лежат ли точки К(0; -4), М(3; -2), N(7; 1) на одной прямой. 3. 4. 6*. Для любознательных Французский математик Орезм в XIV в. использовал прямоугольные координаты для графической иллюстрации зависимости двух переменных. Вместо современных терминов «абсцисса^) и «ордината» он использовал термины «долгота^) и «широта». Идеи Орезма не имели распространения, т. к. понятие функциональной зависимости было еще очень туманным. 20 7. Расстояние между точкамиА(т; -3) иВ(1; 5) равно 10. Найдите значение т. 8*. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек М(-1; 4) и N(5; -7). 9*. На осях координат найдите точку, удаленную от точки Р(6; -8) на: а) 16 единиц; б) 10 единиц; в) 4 единицы. 10*. Найдите точку, равноудаленную от точек К(4; -5) и Т(-7; 8), если: а) искомая точка лежит на оси абсцисс; б) искомая точка лежит на оси ординат; в) абсцисса и ордината искомой точки равны между собой. 11*. Докажите, что четырехугольник с вершинами А(4; 8), 5(7; 3), С(4; -2) и D(l; 3) - ромб. 12**. Координаты всех вершин треугольника - четные числа. Докажите, что площадь этого треугольника выражается натуральным числом. 13**. Координаты вершин А и В квадрата ABCD - целите числа. Докажите, что координаты вершин С и D - тоже целите числа. 14°. Запишите уравнение окружности с центром в точке О, радиус которой равен R, если: а) 0(1; 2), R = 3; б) 0(-3; 4), R = 8; в) 0(-5; -4), R = 1; г> 0(3; 0), R = 4; д) 0(0; -2), R = 6; е) 0(0; 0), Я = 3. 15°. Запишите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением: а) (х - 4)2 + (у + 5)2 = 4; б) (х + З)2 + (у - 7)2 = 16; в) (х - I)2 + = 36; г) х2 + = 100. 16°. На координатной плоскости постройте окружность, заданную уравнением: а) х2 + у2 = 25; б) (х - 1)2 + (у - 2)2 = 9; в) х^ + (у + 4)2 = 16. 17°. Какие из точек А(0; 5), 5(1; 2), С(5; -1), Щ-5; 0), £(-4; 3), F(-3; -4) лежат на окружности х2 + у2 = 25? 18 Какие из точек 0(0; 0), А(0; 3), 5(1; -4), С(-4; -3) принадлежат окружности (х - 1)2 + (у + 2)2 = 26? 19°. На координатной плоскости постройте окружность с центром в точке 5(0; 4), диаметр которой равен 4. Запишите уравнение этой окружности. 20. Запишите уравнение окружности с центром в точке М(-3; 5), которая проходит через точку А( 1; 7). 21. На окружности х2 + у2 = 25 найдите точки: а) с ординатой -2; б) с абсциссой 4; в) такие, которые лежат на оси абсцисс; г) такие, которые лежат на оси ординат. 22*. Найдите центр и радиус окружности: а) х2 + 2х + у2 - 4у = 6; б) х2 + у2 - 6* + 8 = 3. 23. Какой из окружностей рисунка 1.12 соответствует уравнение: а) (х - 2)2 + (у - 2)2 = 4; б) х2 + у2 = 4; в) (х + 2)2 + (у + 2)2 = 4? 24*. Найдите расстояние между центрами окруж- Найдите ностей: а) х2 + у2 б) х2 + у2 • f 6х + 8у = о и х2 + у2- 1ох - 6у = 2; ■ 2х - 2у = 2 и х2 + у2 + 6х + 4у = 3. 25*. Окружность касается координатных осей. Найдите координаты точки касания оси Оу, если оси Ох эта окружность касается в точке М(3; 0). 26*. Запишите уравнение окружности, которая касается координатных осей и проходит через точку с координатами (0; -1). 2 к 'NO J2 X -N2) Рис 1.12 Для любознательных 1. Могут ли три рыцаря, каждый со своим оруженосцем, переправиться через речку на лодке, вмещающей не более двух человек, если оруженосцы отказываются оставаться с незнакомыми рыцарями без своих хозяев? 2. Учитель на уроке геометрии задал «хитрую» задачу. Число мальчиков, которые ее решили, равно числу девочек, которые ее не решили. Кого в классе больше - тех, кто решил задачу, или девочек? 21 27*. Определите координаты центра окружности радиуса 2, которая касается осей координат. 28*. Запишите уравнение окружности, которая касается координатных осей и проходит через точку (i;2). 29°. Найдите координаты середины отрезка с концами в точках А(-4; 7), В( 12; -5). 30. Точка К - середина отрезка NP, К(5; -7), Р(-3; 8). Найдите координаты точки N. 31. Найдите длину медианы AM треугольника ABC, если А(5; 1), В(-3; -2), С(-5; -6). 32. Запишите уравнение окружности диаметраАВ, если А(4; -9), В(-6; 5). 33*. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Найдите координаты точек Cw.D, если известны координаты точек А(-1; 6), В(8; -3), 0(3; -2). 34*. Четырехугольник MNPK - параллелограмм, при этом М( 1; -2), N(2; 3), Р(5; 6). Найдите координаты точки К. 35**. На оси ординат найдите точки, из которых отрезок АВ видно под прямым углом, если: а)А(-4; -1), £(12; 1); б)А(0; 6), В(6; 14). 36** .На оси абсцисс найдите точки, из которых отрезок АВ видно под прямым углом, если: а)А(-4; -1), В(12; 1); б)А(4; 0), В(6; 14). 37*. Отрезок АВ разделили на три равные части: АС = CD = DB. Найдите координаты точек С и D, если А(1; -2), В(4; 4). 38*. Отрезок MN разделили на четыре равные части: МР = РТ = ТК = KN. Найдите координаты точек Р, К, N, если М(7; -13) и Т(-5; 1). 39**. Пусть А(хл; уА), В(хв\у^), М(хм; у^). Известно, что точка М принадлежит ^ -гг ^ х. + Хх„ Ул+Ху„ отрезку АВ и что A^ : MB = к. Докажите, что хм =-; у^ = —-- ----j--~' 40**. Отрезок АВ делится точкой М в отношении 1:2. Найдите координаты точки М, если А(5; 3), В(-1; -3). 41**. По двум заданным точкам - вершине треугольника А(3; -2) и середине противоположной стороны М(-6; 2) найдите координаты центроида треугольника. 42**. Найдите координаты центра масс треугольника ABC, если известны координаты: а) его вершин: А(4; 1), В(2; 1), С(4; 3); б) середины сторон треугольника: М,(-3; 2),Мг(1;0),М3(3;4). 43**. Докажите, что AL - биссектриса внутреннего угла треугольника ABC, если: а) А(4; 1), В(6; 5), С(2; 7), ДЗ; 4); б)А(0; 7), В(-4; -1), С(12; 1), L(2,4; -0,2). 44**. Точки А(9; 4), В(-3; -1), С(3; 4) - вершины треугольника ABC, АК - его биссектриса. Найдите: а) координаты точки К; б) длину биссектрисы АК. 45**. Сколько существует на плоскости точек таких, что сумма расстояний от каждой из них до двух заданных точек А(2; 3) и В(-2; -1) равна 5,5? 46**. Отрезок с концами в точках А(6; -4) и В(15; -2) разделен точками С и D соответственно как 3:2:4 (от А к В). Найдите абсциссу точки, симметричной С относительно оси ординат. Для любознательных 1. Несколько шахматистов целый день играли в шахматы в парке. Так как они имели только один комплект шахмат, то установили следующий порядок игры. Тот, кто выиграл партию, - пропускает две следующие. Тот, кто проиграл партию, - пропускает четыре следующие. В случае ничьей - проигрыш засчитывается тому, кто играл белыми. Сколько было, шахматистов, если эти правила выполнялись? 2. Существуют шахматные доски с бортиками, чтобы фигуры не падали во время игры, например в поезде. Попробуйте разместить на такой доске 28 пластинок домино, каждая из которых занимает две клеточки доски, так, чтобы ни одну из пластинок нельзя было сдвинуть с места в плоскости этой доски. 22 § 2 о Уравнение прямой ки A(Xj5 _ г/,) A(xt; г/j) ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ Из курса алгебры вы уже знаете, что график функции у = kx + l- прямая. Это равенство еще называют уравнением прямой. Выясним, любой ли прямой плоскости соответствует уравнение вида у = kx +1. Для этого найдем уравнение произвольной прямой п декартовой плоскости, используя свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Обозначим на координатной плоскости две точи В(х2; у2) так, чтобы прямая п была серединным перпендикуляром отрезка АВ (рис. 1.13). Тогда, по свойству серединного перпендикуляра к отрезку, произвольная точка М(х; у) прямой п будет равноудалена от точек А и В, т. е. AM = ВМ и АМ2 = ВМ2: (х - Xj)2 + (у - у,)2 = = (х - х2)2 + (у- у2)2. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получим: 2(Xj - х2)х + 2 (г/, - у^у + х22 + у2 - х2 - у2 = 0. j В этом соотношении значения чисел х и у могут меняться (как координаты произвольной точки М прямой п), а числа х,, yv х2, i/гпри этом неизменны. Тогда координаты х и у любой точки прямой п удовлетворяют уравнению ах + by + с = о, где а = 2(Xj - х2), b = 2(j/j - у2) и с = х22 - Xj2 + у2 - у^2 - постоянные величины для данной прямой. Важное замечание. Если некоторая точка К не принадлежит прямой п (рис. 1.13), то АК^ ф ВК2 (по свойству серединного перпендикуляра к отрезку) и координаты этой точки не удовлетворяют уравнению прямой п. Уравнение ах + by уравнением прямой, в обобщенном виде Чх2; У,) Рис. 1.13 + с = 0 называют обобщенным иначе - уравнением прямой (общего вида) или в обобщен- Из всех языков мира наилучший -это искусственный язык, язык лаконичный, язык математики. Н.И. Лобачевский I ах + by + с = 0 обобщенное уравнение прямой, или уравнение прямой в обобщенной (канонической) форме Точка (хо; у„) ПРИНАДЛЕЖИТ прямой ах + by + с = о тогда и только тогда, ЕСЛИ ахо + Ьуо + с = о. ной (канонической) форме. I Для любознательных 1. А можете ли вы ответить на вопрос, почему в алгебре линейную функцию не задают в виде ах + by + с --0? Совет. Вспомните определение функции. 2. Какому множеству точек плоскости соответствует случай а = 0, Ъ = 0 и с* 0? А случай а = 0, £> = 0ис = 0? 23 Напомним: (1)о(2)~ утверждения равносильны, (1) -(2) и (2) =>(1). Уравнение прямой п: ах + Ьу+с = О Ьф О п % Оу можно записать у = kx + I; ax + by+ с = о 6=0 а *0 п!! . Оу имеет вид х = const; ax + by+ с = 0 а = О Ьф О п || Ох имеет вид у = const; ax + by+ с = О с = 0 6*0 а*0 имеет вид у = кх - прямая пропорциональность. Возникает вопрос: являются ли равносильными обобщенное уравнение прямой и уравнение прямой y = kx + l, которое нам известно из курса алгебры? Очевидно, если уравнение ах + by + с = 0 разделить на Ь, то его действительно можно записать в виде y = kx + l. Но это можно сделать только в случае 6^0! Например, прямой, изображенной на рисунке 1.14, соответствуют равносильные уравнения 4х-2г/ + ^13 = 0 и у = 2х + 6,5. (Второе можно получить из первого, разделив его на Ь = -2 ф 0.) Если Ь = 0 иаФ 0. уравнение прямой можно записать в виде х - I. ЕТг’о удовлетворяют точки с произвольной “ а ординатой и постоянной абсциссой. Это прямая, параллельная оси О^ (рис. 1.15). 4х-2у+ 13 = 0 6,^1 у = 2х + 6,5 -3,25 УА -► х х = -5 X = 3 Ff W -5 0 3; ' Рис. 1.14 Рис. 1.15 _ Случай.а = 0 и Ь ф 0 соответствует прямой у=— , b точки которой имеют постоянную ординату и произвольную абсциссу. Это прямая, параллельная оси Ох (рис. 1.16). Если с— 0. то координаты точки (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой и она проходит через начало координат. В этом случае уравнение прямой можно записать в виде прямой пропорциональности y = kx (рис. 1.17). Для любознательных . В процессе научных исследований человек стремится из уже известного получить новые знания, именуемые выводом. В древней Индии логики приводили такой пример. Пусть известно: «там, где дым, там и огонь» и «на холме - дым». На основании этой информации мы получаем новые знания -вывод: «на холме есть огонь». Если исходные данные были истинными, то не надо подниматься на холм, чтобы убедиться, что там есть огонь. 24 0 ВЫВОД. Общий вид уравнения прямой ах + by + с = 0. При этом: • только при условии b * о уравнение прямой можно записать в виде у i kx + I; график прямой не параллелен оси Оу; • при b = О, а Ф О — прямая параллельна оси Оу; ее уравнение х = т нельзя представить в виде у I kx + l; • при а = О, b * 0 — прямая параллельна оси Ох; ее уравнение у = I; • при с = О, а ф о, Ъ ф о — уравнение прямой пропорциональности у = kx. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ Через две точки можно провести прямую и притом только одну - это аксиома геометрии. Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки координатной плоскости А(хх; у,) и В(х2; у2). Возможны два случая: прямая АВ параллельна Оу и прямая АВ не параллельна оси Оу. СЛУЧАЙ 1. Если прямая параллельна оси Оу, то абсциссы ее точек одинаковы. Т. е. это случай, когда хх = х2 Уравнение искомой прямой: х = А. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, абсциссы которых одинаковы, А(Х; ух) и В(Х; у2), имеет вид х = А. . СЛУЧАЙ 2. . Пусть абсциссы заданных точек не собой: ххфх2. Искомая прямая не параллельна оси уравнение можно записать в виде у = kx + l. Точки А и В принадлежат этой прямой. ординаты удовлетворяют уравнению прямой: ух = kxx + 1’ у2 = kx2 + I. оси всех =^А. равны между Оу, тогда ее Тогда их ко- Напомним: = - «обозначили как^>. Уравнение прямой АВ: - если хх = х2 = п х — п; ■ если ух = у2 = т У I т; - если хх * х2 у —■ kx + I, где k и / находим из: \yx=kxx + 1 1 Уг = kx2 +1. Для любознательных Наука о законах и формах мышления называется логикой. Выполнение законов логики - необходимое условие доказательности и истинности наших размышлений. Закон тождества (один из основных четырех законов логики) требует, чтобы одно и то же размышление, которое приводится в данном рассуждении, при повторении имело один и тот же смысл. Закон противоречия состоит в том, что не могут быть одновременно истинными два противоположных утверждения. Закон исключенного третьего (дословно с латыни - «третьего не дано») утверждает, что из двух противоположных высказываний об одном и том же объекте одно обязательно является истинным (вспомните метод доказательства от противного). Закон достаточного основания требует, чтобы каждое истинное утверждение было обосновано. 25 Это система двух линейных уравнений для двух неизвестных коэффициентов к и i . Если от второго уравнения отнять первое, получим Уг~У\~ k(x2 — *i), k= УгУ-. х2-х, Если подставить полученное значение k в одно из двух исходных уравнений системы, получим значение коэффициента I. В рассматриваемом случае на координатной плоскости прямую можно изобразить так, как представлено на рисунке 1.18. Тогда: tga = = к, или tga__= -к. — х,^ Х2 — Xj Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой у = kx + I с точностью до знака равен тангенсу угла, под которым заданная прямая пересекает прямую, совпадающую с осью абсцисс. Поэтому этот коэффициент называют угловым коэффициентом прямой. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ ТРЕХ ТОЧЕК НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ Теорема. Три точки С(х; у), A(xjуу), В(х2; у2) лежат на одной прямой тогда и только тогда, если х,+Ъс2 У1+^у2 ш X = ■ У = 1 + X ' ^ 1 + А, (Т. е. существует такое число А., что указанные соотношения выполняются.) Для любознательных Английский математик Чарльз Лютвидж Доджсон (1832-1898) печатал свои сказки и сборники задач поисковой математики и логики под псевдонимом Льюиса Кэрролла. Какой из законов логики (стр. 25) нарушил в его сказке Чеширский Кот, беседуя с Алисой? - А откуда Вы знаете, что Вы не в своем уме? - спросила Алиса. - Начнем с того, что Пес в своем уме. Согласна? - ответил Кот. - Допустим, - согласилась Алиса. - Далее, - сказал Кот, - Пес рычит, когда сердится, а когда доволен -виляет хвостом. Ну а я мурл^гчу, когда доволен, и виляю хвостом, когда сержусь. Поэтому я не в своем уме. 26 I. Докажем необходимое условие. Если точка С(ж; у) принадлежит прямой, проходящей через точки А(хг; у^) и В(х2; У2), то _Д^1+^2 . _ vi+Kv2 i+x ^у~ i+x • Доказательство Возможны два случая: С е [АВ] и С g [АВ]. _ (1) Точка С принадлежит отре.зку АВ (рис 1.19-а). Этот случай был нами рассмотрен ранее (стр. 15). Если точка С делит отрезок АВ в отношении (АС|: \СВ\ = п : т, то п + т 1 + Xj + ХХ2 1 + А. Аналогично у полняется. Ух + hh 1 + Х '' , и утверждение условия вы- (2~> Точка С не принадлежит отрезкУ-АВ Грис. 1.19-6). Обозначим \АС\: \СВ\--п : т = Х. По теореме Фалеса: АА СЛ АС _ СВ т ~ ’ X - X, = Х. Выражение под знаком модуля положительное (см. стр. 15), тогда х. + Хх х = ■ 9 \ + ’К у. + Ху2 Аналогично у = —7 1 + X и утверждение условия вы- НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО полняется. I I ' Напомним: I е - «принадле-| жит»; i - «не принадле-’ жит»; I [АВ]-отрезок АВ. I I f » i I I I I I I I I I I f I Точки (x;y), I (x2; y2) лежат ^ на одной прямой. I ! I » I I I » I X-- X, + Хх 2 y 1 + X yj+^2 “ 1 + X a Геометрия - познание всего сущего. Платон (IV в. до н. э.) Для любознательных В сказках Льюиса Кэрролла приведены чудесные примеры «доказательств», в которых герои нарушают закон достаточного основания: - Сними свою шляпу, - сказал Король Шляпочнику. - Она не моя, - ответил Шляпочник. - Краденная! - закричал Король и с триумфом повернулся к присяжным. - Я их держу для продажи, - объяснил Шляпочник, - у меня своих нет, я ведь шляпочных дел мастер. 27 тх1 + пх2 х п т У 2~ Ух Х!. . уравнения прямой в отрезках Уз-yj = *з~*1 Уг~У\ х2-х, необходимое и достаточное условия расположения трех точек на одной прямой II. Докажем достаточное условие обратное утверждению I). Если для точек С(х; у), A(Xj; y,), В(х2; (утверждение, у2) выполня- ются соотношения X =- Хг^+Хх2, У!+^У- у- 1 + X. 1 + я, то эти точки лежат на одной прямой. Доказательство Используем метод от противного. Пусть указанные в условии соотношения выполняются, но С г (АВ). Возьмем на прямой АВ такую точку Р, чтобы [АР|: |СР| = X. Тогда (согласно необходимому условию I) координаты точки Р равны: _ Xj + Хх2 _yi+y_ — И Ур 1+Х 1+Х - координатам точки С, т. е. точки Р и что противоречит допущенному. Тогда условия - истинное. Теорема доказана. С совпадают, утверждение С Следствие. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, которая проходит через точки А(х,; i/j) и В(х2; у-) и не параллельна осям координат (Xj ^ х2 и ух ф у-), можно записать в виде y~yi y2~yi х-х. Хп-Х, Согласно теореме, все точки данной прямой (х; у) и только они удовлетворяют соотношениям X Xj + Хх2 Уi X =--------. У =- 'У, 1+Х ' " 1+Х Найдем из каждого соотношения выражения для и приравняем их: =;^ = У2-У1 X х-х. Х„ -X, У~Ух Для любознательных Логика геометров, или методы доказательств, которые вал для теорем, - это распространение общей логики. Евклид использо- Г. Лейбниц Вернемся к закону исключенного третьего (стр. 25). Этот закон сопоставляет два утверждения, одно из которых - общеутверждающее, а второе - частично возражающее. Например: «Вокруг произвольного четырехугольника (вообще говоря) нельзя описать окружность» и «Вокруг ■ некоторых четырехугольников можно описать окружность»; «Все четные числа - составные» и «Некоторые четные числа не являются составными». Заметим, если сопоставлять два противоположных общеутверждающих высказывания, то они оба могут оказаться ложными. Например: «Все четные числа - составные» и «Все четные числа - несоставные» (существует третья возможность: «Некоторое четное число - несоставное» - это простое число 2). 28 Тогда условие расположения трех точек на прямой можно записать в виде Уа~У1 _хз~х1 У.?-У1 ^2 одной I I I I проходя- ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Запишите уравнение прямой, щей через точку А(- 6; 7) параллельно оси ординат. Решение Искомая прямая параллельна оси Оу, тогда абсциссы точек этой прямой одинаковы и равны абсциссе точки А. Уравнение прямой х = -6. Ответ: х = -6. Пример 2. Заданы три точки: А(1;-3); В(-5; С(3; 1). Запишите уравнение прямой, которой надлежит медиана AM треугольника ABC. Решение 1) Координаты середины отрезка ВС - М(хм> Ум) (Рис- 1-2°): -5 + 3 „ 4 + 1 1) 4) и при- точка 2) Уравнения прямых, параллельных осям координат: А(хА;УА)еп п\\О^ х = х, В(хв;ув)еп я || Ох У = Ув Напомним: (AM) - прямая AM. А(1;-3) Ум 2) мой AM. Т.' к. х„ * хА =— = 2,5. I ^ i Найдем уравнение пря- , то * В(-5; 4) уравнение (AM) можно искать в виде у = kx + I. Точки А и М М(хи; ум) лежат на этой прямой, тогда их координаты удовлетворяют искомому уравнению: г = -0,25, к = -2,75. С( 3; 1) Рис. 1.20 J-3 = Ат -1 + 1, [2,5 = *(-1) + 1, Ответ: у = -2,75х - 0,25. Задание 3 1°. Найдите координаты точек пересечения с осями а) 4х - Зу + 12 = 0; б)у = -4.x + 7; в)у = -0,5х - 2,5. Мы никогда не ста-I нем математиками, } даже выучив наи-I зусть все чужие до' казательства, если I наш разум неспосо-I бен самостоятельно I решать проблемы. . Р. Декарт координат прямой: Для любознательных Считая каждое из утверждений истинным, определите, является ли первое из утверждений в каждой паре достаточным основанием (см. стр. 25) для второго. 1. «Треугольник АВС равен треугольнику ABD»\ «Треугольники АВС и ABD равновеликие». 2. «Это интересная книга»; «В этой книге прекрасные иллюстрации». 3. «Диагонали данного четырехугольника взаимно перпендикулярны»; «Данный четырехугольник - ромб». 4. «Из А следует В, и из В следует С»; «Из АследуетС». 5. «Утверждение р —» q истинное»; «Утверждение ~I q —» ^I р истинное». (Знак «~1» означает «противоположноеутверждение».) 29 х м 2°. Прямая задана уравнением х - Ау + 8 = 0. Какие из точек А(0; 2), В(-1; 1), С(2; 0,5), .0(8; 0) принадлежат этой прямой, а какие не принадлежат? 3 Проверьте, проходит ли прямая г/ = 7х - 1 через точки А(1; -1), В(0; -1), С(1; 6), £>(-3; 2). 4°. Постройте на координатной плоскости прямые: а) Зх - 6у + 1 = 0; б) х - у = 7; в) у = 5х; г) у = *х-1; д) у = 3; е) х = -2. 5°. Постройте на координатной плоскости прямые, проходящие через точку К(-4; 3) параллельно осям координат. Запишите их уравнения. 6 .Запишите уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (-6; о). 7. Запишите уравнение прямой, параллельной оси абсцисс, которая отсекает на положительной полуоси ординат отрезок длиной io единиц. 8. Запишите уравнения прямых, параллельных оси абсцисс, каждая из которых отсекает на полуоси ординат отрезок длиной 4 единицы. 9. Известно, что график функции у = ах + 5 проходит через точку М(4; 13). Найдите значение параметра а. 10°. Найдите точки пересечения с осями координат прямой: а) у = Зх - 1; б) 2х + Зу = 7; в) у = 5; г) х = 3; д) 4х - Зу + 12 = 0; е) 5х = 3у. 11. Одна из вершин квадрата совпадает с началом координат, а противоположная вершина имеет координаты (-2; 2). Запишите уравнения прямых, которым принадлежат стороны квадрата. 12. Одна из вершин прямоугольника имеет координаты (0; 0), а противоположная вершина - координаты (5; -3). Запишите уравнения прямых, которым принадлежат стороны прямоугольника, если они параллельны осям координат. 13*. Одна из вершин квадрата лежит в точке (5; 5). Точка пересечения диагоналей квадрата имеет координаты (7; 7). 1) Составьте уравнения прямых, которым принадлежат стороны квадрата. 2) Найдите: а) длину стороны квадрата; б) длины диагоналей квадрата. 14°. Запишите уравнение прямой в виде у = kx + I и найдите ее угловой коэффициент: а) 2х - Ау = 5; б) Зх + у = 7; в) х- 2у - 3 = 0; г) Зх + 4г/ - 1 = 0; д) Зх = 5у, е) 5у = 12. Для любознательных Софизм (от греческого «хитрый выкрутас», «выдумка^), «ложное умозаключение») - размышление, содержащее специально допущенную логическую ошибку и приводящее к ложному выводу. Первым ввел софизмы Протагор изАбдеры (пр. 480-410 гг. до н. э.). Чаще всего софизмы основаны на: внешнем подобии явлений; на специально подобранных ложных посылках; на том, что определенный факт выпадает из общей связи объектов; на двухзначности слов; на подмене понятий и т. п. Попробуйте разгадать софизм Н. Г. Чернышевского, который он предложил в 1846 году своему брату Александру. Квадрат любой стороны тупоугольного треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон этого треугольника. Доказательство В треугольнике ABC угол В тупой. Проведем перпендикуляр CD к прямой АВ. Тогда AC2 =AD2 + CD2 и CD2 = Св2 - BD2. Подставим значение Cd2 из второго равенства в первое: AC2 =AD2 + ВС2 - BD2. Отсюда АС2-ВС2 =AD2-- BD2. HoAD=AB + BD, поэтому AD^ - BD2 = AB2. Тогда AC2 - ВС2 = AB2. Утверждение доказано?! Чернышевский заканчивает письмо с софизмом словами: «Где-то здесь кроется обман; найдя его, ты сделаешь большую услугу любящему тебя брату Николаю Чернышевскому». 30 15. 16. Составьте уравнение прямой, коэффициент которой равен: а)-2; б)^; b)ij; г) -5*. проходящей через точку М( 1; -3), угловой рав- 2); Рис. 1.21 Прямая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент, ный 4. Запишите уравнение этой прямой. Принадлежит ли ей точка М(2; 5)? 17*. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки: а) А(-1; 0) и £(0; бГ А(-5; 16) и £(-5; 12,5); в) А(1; -2) и £(3; 2); г) А(1; -12) и £(23; -12). 18*. Составьте уравнение прямой, график которой проходит через точки А и £: а) А(4; 0), £(0; 5); б) А(1; 1), £(2; 2); в)А(-1; 7), £(-1; 4); г) А(-3; 2), £(-1; 5); д;А(7;-3),£(0; 0). 19*. Запишите уравнения каждой из четырех прямых, графики которых представлены на рисунке 1.21. 20*. Определите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и £: а) А(0; 3), £(8; 1); б) А(-1; 3), £(4;-5); в) А(1; -4), £(-7; 1); г) А(-8; -1), £(-3; -5). 21*. Найдите градусные меры углов, образованных прямой с положительным направлением оси абсцисс: _ _ а)у = х - 2;б) х + у - 3 = 0;в) у[3х - у - л/з = 0. 22*. Найдите коэффициенты а и Ь в уравнении прямой ах + by = 1, проходящей через точки А(1; 2) и £(2; 1). 23*. Составьте уравнение прямой, которая проходит через центры двух заданных окружностей: а) X' + у1 - 4х + 2у = 0 и х2 + у2 - 10х - 6у = 2; б) х2 + у2 + 2х + 2у = 2 и х2 + у2 - 6х - 4у = 3. 24*. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку А(8; 2) и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 135°. 25*. Длины диагоналей ромба равны 8 единиц и 4 единицы. Запишите уравнения прямых, на которых лежат стороны ромба, если его большая диагональ принадлежит оси Ох, а меньшая - оси Оу. 26*. Вершины треугольника имеют координаты М(2; 6), N(-6; 0), К(-3; -4). Составьте: а) уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника; б) уравнения прямых, которым принадлежат медианы треугольника. 27*. Проверьте, лежат ли на одной прямой четыре заданные точки: а) (0; -2), (3; 0), (6; 2), (5; 7); б) (1; -2), (4; 1), (0; -5), (3; 0). 28*. Найдите ординату точки М(10; у), если она принадлежит прямой, проходящей через точки (2; о) и (о; -3). 29*. Найдите абсциссу точки К(х; 4), если она принадлежит прямой, проходящей через точки (5; 0) и (0; 5). 30*. Точка К лежит на одной прямой с точками А(2; 1) и £(-4; -2). Найдите координаты точки К, если известно, что они равны между собой. 31**. Найдите координаты вершины С треугольника ABC и запишите уравнения его сторон, если заданы координаты вершин А(3; 4) и £(-5; 6) и середина стороны ВС - точка М(-5; 3). 32**. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку А(-3; -1) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат). 31 Ук .^3-vV _ai _ bi__cj^ City bty Cry л/ % Л> Лр' -У' '' 't > п\\т ^1 ~ ^2’ ^l ^ ^2 2/Ж гаг 'V-I V" N j t* -\V—\> взаимного ^<0 ,Cv>A^ сг Взаимное расположение двух прямых на координатной плоскости Рассмотрим все три случая возможного расположения двух прямых на плоскости. ПРЯМЫЕ СОВПАДАЮТ Если прямые совпадают, то их уравнения а^х + Ьху + сх = 0 и а2Х + Ь2У + с2 = 0 - равносильны, т. е. описывают одно и то же множество точек координатной плоскости. Тогда они могут отличаться только умножением на некое число X ф о : j/A 1,5, -3 .0 .'0^ .0 X = ^L = h = £l. . а2 Ь2 С2 О Рис. 1.22 Так, уравнения 2х-4у + 6 = 0ил:-2г/ +,_ 3 = 0 равносильны, первое отличается от второго умножением на чиcJ^022 46 = — = —. Они описывают одно и то же мно- 1-2 3 жество точек - одну прямую (рис. 1.22). Замечание. Мы рассмотрели случай, когда ах 2 ф 0, Ьх 2 * 0 и сх 2 * 0. Если же какая-то из этих пар равна нулю, то ее нельзя включать в указанное выше соотношение (делить на нуль нельзя). Например, если сх 2 = 0, ах 2 ф 0 и ъх 2 Ф 0, имеем два уравнения прямой пропорциональности, которые будут описывать одну аг прямую при условии — = —. Я2 ^'2 ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ Пусть прямые не параллельны осям координат. Тогда их уравнения можно записать в виде у = kxx + lxviy = k2x +12. Если эти прямые параллельны, то углы, образованные ими с прямой, лежащей на оси Ох, равны (рис. 1.23). Тогда равны значения тангенсов этих углов, а значит, и угловые коэффициенты прямых тоже равны: k^ = к2 (но ix ф i2). 32 п = т Если такие прямые записаны в общем виде а^х + Ъ^у + Cj = 0 и а2Х + Ъ2У + с2 = 0, то Отсюда «1, K=~ = k2 = -о, ^=“к т.еДЛ _ Ъх Ь2 а2 Ъ2 Эти прямые не совпадают при условии 7 ci ,ci ь, ^ . Z, = —^=1 — - , т. е. — ф1. &1 &2 ^2 ^2 Получили, что прямые параллельны при условии а, 6, с, --= *— Г-^ Qf2 ^2 ^2 Например, прямые 2х-4г/ + 6 = 0их-2i / + 1 = 0 2-46 параллельны, т. к. — = — * —. 1 —2 1 Это означает, что система линейных уравнений [2х-4г/ + 6 = 0, [х-2у + 1 = 0 не имеет решения. Действительно, если в уравнениях этой системы перенести в правые части их свободные члены и разделить первое уравнение на второе, то получим 2(х'2уд~а т —, . е. 2 = 6, х-2 у -1 чего быть не может. Замечание. В случае ах прямые параллельны одной из значит, параллельны между собой. а-,— = 0 или bt Ь2 0 координатных осей, -l|r ' fh •» = ^ ^2 ^2 “l, 2 2^0 ' п\\т а, =0 а2=о Ьх = о ,, =;• п\\т ь2 = о Для любознательных Инспектор Петренко прибыл на место происшествия и опросил свидетелей. Первый из них утверждал, что рядом с «Мерседесом» стояла белая машина, а немного дальше - синяя. Второй свидетель заявил, что он учитель математики и потому хорошо запомнил, что машин было четыре. «Номер одной из них, - продолжил он, - 23-30, и она не желтая и не синяя. Рядом с машиной 32-30 стояла машина 30-23. Вторым в ряду машин был «Москвич», который стоял рядом с машиной красного цвета. А возле машины 23-30 «Мерседеса^) не было». Третий свидетель сказал, что номер белой машины был 32-30 и что сам он стоял возле второй машины. Четвертый запомнил, что рядом с «Москвичом» стоял «Запорожец». Пятый свидетель оказался художником и хорошо запомнил, что единственная синяя машина стояла рядом с красной, при этом синяя машина - не «Москвич». Сопоставив полученные данные, инспектор Петренко установил, какого цвета были «Жигули» и какая машина имела номерной знак 30-23. Попробуйте и вы сделать то же самое. 33 5 \у = kx +1 {(х - af + (y- bf = r2, (x - a)2 + + (kx +1 - b)2 = r2 D > 0 - пересечепие; D = 0 - касание; D < 0 - нет, общих точек. ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ Если прямые пересекаются (имеют только одну общую точку), то они не совпадают и не параллельны (рис. 1.24). Тогда эти прямые образуют неравные углы с осью абсцисс Ох, и значения их угловых коэффициентов различны: kx ф k2. В случае записи уравнения прямых в общем виде это условие означает, что а, а„ а, Ъ. , т. е. -! ф !. Ъх b’ а2 Ь2 Рис. 1.24 Для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, надо решить систему двух линейных уравнений, которые задают эти прямые на координатной плоскости. ВЫВОД Система двух линейных уравнений \а2х + Ь^у = с^, < [а2х + Ь2у = с2 а «X ап. к ^2' б) не имеет решений, если ^1 _ а» в) имеет единственное решение, если а2 Замечание. Для того, чтобы найти координаты общих точек прямой и окружности, надо решить систему уравнений, одно из которых является уравнением данной прямой, а второе - уравнением заданной окружности. Возможны такие случаи: а) система имеет два решения - прямая пересекает окружность; б) система имеет одно решение - прямая касается окружности; в) система не имеет решения - прямая и окружность не имеют общих точек. Для любознательных Дети шалили и случайно разбили вазу. Когда родители вернулись с работы, они спросили, кто именно разбил вазу. Дети ответили так. Анна. Я не разбивала вазу, я сидела и читала. Маша знает, кто виноват. Маша. Я вазу не разбивала, об этом знает Борис, т. к. мы с ним в это время разговаривали. Это сделала Анна. Борис. Я не виноват. Это Данил, а с Машей я давно не дружу. Данил. Я не виноват. Это Маша. Борис обманул, когда сказал, что вазу разбил я. Каждый из детей только дважды сказал правду. Кто же разбил вазу? 34 ф ПРЯМЫЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ Рассмотрим две взаимно УД перпендикулярные прямые, которые не параллельны осям координат: у = k^x + /j и у = k^x + 12 (рис. 1.25). Тангенсы острых углов, которые образуют эти прямые с осью Ох, равны tg oij = ki и tg а 2 = -k2 соответственно (см. стр. 26). Из прямоугольного треугольника АСВ, образованного этими прямыми и осью абсцисс, получаем: а! = 90°-а2; kx =tgOj =tg(90°-a2) = ctga^ =- Рис. 1.25 tga^ -k2 Тогда, если две прямые взаимно перпендикулярны, то ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку Р(-1; 1) параллельно прямой у = 2х - 3. Решение 1) Искомая прямая параллельна прямой с угловым коэффициентом 2. Тогда ее уравнение у = 2х + 1. 2) Эта прямая проходит через точку (-1; 1), тогда: 1 = 2- (-1) +1, 1 = 3. Ответ: у = 2х + 3. Пример 2. На плоскости заданы точки А(0; 0), В( 1; -3), D(-2; 4). Какие координаты должна иметь точка С, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом? Решение Обозначим координаты искомой точки С как х0 и у^^. ABCD - параллелограмм. Тогда (АВ) || (CD) и (AD)\\(CB). Уравнения (АВ) и (AD) - уравнения прямой пропорциональности и имеют вид у = kx. Учитывая, что В(1; -3) е (АВ), D(-2; 4) е (AD), получим уравнения (АВ) и (АВ): у = -Зх и у = -2х соответственно. (CD) || (АВ), а (СВ) || (AD). Тогда уравнения (CD) и (СВ) имеют вид у = -Зх + т и у = -2х + п соответственно. Учитывая, что (CD) проходит через точку D(-2; 4), а (СВ) - через В (1; -3), получим: 4 = -3 • (-2) + т и -3 = -2 • 1 + п; т = -2 и п = -1. 5) (CD) и (СВ) проходят через точку С(хд; у^. Тогда У0=~3*о + (-2) и Уо =2*о + (-1)- 1) 2) 3) 4) Через А(хо; уд) проводим п || т (п): \у = kx + l \yg=kxg + l l = yo-kxo Напомним: е - «принадлежит»; (АВ) - прямая АВ; [АВ] - отрезок АВ. 35 Касательная п к окружности у через точку К: К(хо; Уо) Key (п) I" Оу ищем как ykx + l: У о = Уо = -Тхо + т К Ь-—а + т ft Не забудьте проанализировать случай п || Оу К i у К(хо; Уо) (п) -И" Оу ищем как у = kx + l: \yo=kxo +1 J I b = —a + m; [ k (x - a)2 + + (kx + l-b)2 = r2 имеет одно решение относительно х: .0 = 0. Из последней системы уравнений: х0 = -1, у0 = 1. Ответ: С(-1; 1). Пример 3. Запишите уравнение прямой, которая касается окружности х2 + у2 - 4х - 6у = -8 в точке К( 1; 1). Решение 1) В уравнении окружности выделим квадраты двучленов относительно переменных хии: ^ (х - З)2 + (у - 2)2 = 2. Центр заданной окружности - точка 0(3; 2). 2) Абсциссы точек К и О не равны, тогда уравнение прямой ОК, которая содержит радиус [ОК] окружности, можно искать в виде у = kx + l. 3) Точки 0(3; 2) и 1Ц1; 1) принадлежат (ОК). Тогда 2 = 23 +1, 1 = k+l и 1Ь=1-k 2’ 1 =1. 2 4) Искомая касательная перпендикулярна (ОК), уравнение которой у =|Х+ Тогда уравнение касатель- ной имеет вид у = -2х + п. 5) Точка К(1-, 1) принадлежит касательной, тогда 1 = -2 • 1 + п и п = 3. Ответ: у = -2х + 3. Пример 4. Запишите уравнение прямой, у2 = кото-и про- рая касается окружности (х - I)2 + у2 ходит через точку К(0; 5). Решение 1) Пусть искомая прямая параллельна оси Оу или совпадает с ней, тогда ее уравнение имеет вид х = с = о. Подставим значение х = 0 в уравнение окружности -получим квадратное уравнение относительно у. Если оно имеет одно решение, то прямая х = о - касается окружности. Если это уравнение имеет два решения или не имеет решений, то х = о не является уравнением касательной. Получаем: (0 - I)2 + у2 = 1, 1 + у2 -"^ 1 и у = 0 - единственное решение. Вывод: прямая х = о - касательная. Для любознательных Запишите соотношения, которые описывают: 1) множество точек, равноудаленных от осей координат; 2) множество точек, равноудаленных от оси Оу на 2; 3) все точки плоскости, расположенные ближе к оси Оу, чем к оси Ох; 4) все точки извне квадрата, диагонали которого пересекаются в начале координат, а длина стороны равна 4. 36 2) Пусть искомая прямая не параллельна оси Оу, ее I уравнение можно записать в виде у = kx + l. Учтем, что | точка ПГ(0; 5) принадлежит этой прямой: 5 = 0 + /, т. е. уравнение искомой прямой у = kx + 5. 3) Прямая у = kx + 5 как касательная к окружности имеет с ней только одну общую точку - точку касания. Тогда нужно найти такие значения к, при которых система уравнений | у = kx + 5, 1(*-1)2 + у2 =1 имеет единственное решение. Подставив у из первого уравнения во второе, получим квадратное уравнение относительно х: (1 + k2)x2 - 2(1 - bk)x + 25 = 0. Его дискриминант приравняем к нулю: ! = (1 - 5fe)2 - 25(1 + fe2) = 0, 1 - 10ft-25 = 0, k = -2,4. 4 Вывод: прямая у = -2, 4х + 5 - касательная. Ответ: х = 0;у = -2,4х + 5. Пример 5. Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямой у = х - 3 и касается окружности (х — I)2 + у2 = 1. Решение 1) Искомая прямая параллельна прямой у = х - 3, тогда ее уравнение у = х + I. 2) Точка касания К(хК; ук) - единственная общая точка искомой прямой и заданной окружности. Тогда ее координаты - единственное решение системы ТУк ~хк + ^ \(Хк - I)2 + У2к =1- 3) Эта система имеет единственное решение, если равен нулю дискриминант уравнения (хк - I)2 + (хк +1)2 = i: D = (1-1)2-212 = 0, i-1 = ±У121, 1=-1±у/2. ~ I Имеем две касательные: у = х-1 + 72, у Ответ: у = х-1 + л/2, у= х-1-\12. -- х-1-^2. Касательная к окружности (п) ищем как у = kx + l, k = k0; (х - а)2 + + (k0x + l-b)2 = г2 имеет одно решение относительно х: D = о. I У AM2 + СМ2 = = ВМ2 + DM2 1 1 ИСПОЛЬ-I Пример 6. Докажите самостоятельно, зуя формулу расстояния между двумя точками А координатной плоскости, такую теорему. При * D Для любознательных Запишите соотношения, описывающие такие множества точек: 1) часть плоскости между прямыми у = 3хиу = х- 3 (включая эти прямые); 2) всю полосу между прямыми у = о и у = 1 (без этих прямых); 3) все внутренние точки квадрата с вершинами (о; о), (о; i), (i; i), (включая точки на его сторонах). (i; о) 37 11 этом подумайте, как удобнее расположить оси координат и будет ли зависеть ответ от их расположения. Ш Теорема. Если ABCD прямоугольник, то для произвольной точки М плоскости выполняется соотношение: AM2 + СМ2 = ВМ^ + DM2. Задание 4 1. Определите взаимное расположение прямых (параллельны, совпадают или пересекаются). Если прямые пересекаются, найдите координаты точки их пересечения. а)х + 6г/-1=0их + 2г/-3, = 0; е) 5х + 1 = 0 и 4х - 3(/ + 5 = 0; б) Зх + 6г/ - 1 = 0 и х - 2г/ - 1 = 0; ж)2х-Зг/+1 = 0их + г/-2 = 0; в) Зх + 6у - 4 = 0 и 9х + 18у -3 = 0; з) у = 5х - 7 и у = 5х + 8; г) 2х - у = О и 4х = 2у; и) у = Зх - i и у = 8х + 5; д) х - 5 = 0 и 4х - 20 = 0; й) у = 4х + 2 и у = 8х + 4. 2**. Являются ли взаимно перпендикулярными прямые: а)у = 5х-Зиг/ = 7- 0,2х; г) 7х + 5у - 1 = 0 и 5х - Ту + 4 = 0; б)г/ = 4х + 1 и г/ = -4х + 1; д) 8х + 1у - 3 = 0 и Чу + 8х + 3 = 0? в) 2х - Зг/ = 6 и Зх + 2у = 1; 3*. При каком значении параметра т прямые будут параллельны: а^ i/ = (m - 1)х + 3 и у = Зх - 7; б) тх - Зг/ = 5 и 4х - (тп + 1 )у = 15? 4**. Найдите значения параметра т, при которых прямые, заданные в условии предыдущей задачи, будут взаимно перпендикулярными. 5*. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно заданной прямой: а) у = 7х- 3, А(-1; 4); б) Зх - у = 1, А(1; 1); в) Зх + 2у = 6, А(2; -3). 6**. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно заданной прямой: а) у = 8х - З, В(3; -1); б) 4х - у = 6, В(-2; 6); в) 5х + 35у = 13, Б(-4; -3). 7**. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку М(3; -4): а) перпендикулярно прямой АВ, где А(2; 0), В(0; 2); б) параллельно прямой СВ, где С(1; 1), D(5; 0). а Ъ Для любознательных УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ Теорема. Если прямая пересекает координатные оси в точках (а;0), а * 0 и X и (0; Ь), Ъ * 0, то все точки этой прямой удовлетворяют уравнению — + I =1, которое называют уравнением прямой в отрезках. Доказательство Рассматриваемая прямая не параллельна оси Оу, ее уравнение можно представить в виде у = kx +1. Координаты точек А(а; 0) и В(0; b) принадлежат этой прямой (см. рис.). Получаем систему уравнений \1 = Ъ, о = ka + l, b = k-0 + l; f -fe = --. Тогда уравнение заданной прямой имеет вид у = — х + Ъ, т. е. ау + Ъх = ab. а Если разделить последнее уравнение на произведение аЪ, получим искомое соотношение — + — = 1. а b 38 8*. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку пересечения заданных прямых 2х-7i/=^иг/ = х + 3 параллельно осям координат. 9**. Составьте уравнения прямых, на которых лежат высоты треугольника ABC, если А(4; 5), В(0; 0) и С(-6; 1). 10**. Найдите расстояние от точки М(4; -2) до прямой Зх - 4у = 5. 11**. Найдите расстояние между параллельными прямыми Зх + 4г/ - 8 = 0 и Зх + 4г/ + 12 = 0. 12** . Запишите уравнение серединного перпендикуляра к отрезку прямой 4х - 5у = 20, заключенному между осями координат. 13**. Найдите координаты точки, симметричной точке А(-2; -2) относительно прямой X + у - 3 = 0. 14**, Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, если А(—1; -3), 5(1; 3)иС(0; 6). 15*. Даны точки м(-7; 3), N(5; 2), Р(3; -3), К(-2; -4). Докажите, что четырехугольник с вершинами в серединах сторон четырехугольника MNPK - параллелограмм. 16*. Докажите, что четырехугольник ABCD, где А(-2; 10), 5(1; 3), С(-2; -4), 5(-5; 3), - ромб. 17**. Является ли треугольник с вершинами в точках М(4; -5), N(7; 6), Р(-7; -2) прямоугольным? 18*. В каких точках прямая х - 2г/ .- 4 = 0 пересекает окружность х2 + у2 - 14х - 10у = 11 ? 19*. Две прямые пересекают окружность х2 + у2 = 25 в точках с ординатой 3 и с ординатой -4 соответственно. Запишите уравнения этих прямых. 20*. Уравнение окружности (х - I)2 + (у + З)2 = 36. Найдите длины хорд, которые лежат на координатных осях. 21*. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, касающейся прямой у = х - 3. 22**. Найдите координаты центров окружностей, вписанной в треугольник ABC и описанной вокруг этого треугольника, если: а)А(0; 0), 5(4; 0), С(0; 3); б)А(1; 2), 5(5; 2), С(1; 5). 23**. Две вершины треугольника ABC расположены в точках А(0; -2) и 5(2; 0), а третья С(х; у) лежит на прямой у = -x. Площадь треугольника ABC равна 8. Найдите значение х и у, если х < 0. 24**. Сколько общих точек имеют прямая у = ~х и окружность (х - а)2 + (у + 2)2 = 1 в зависимости от параметра о? Для любознательных 1. Найдите длины отрезков, которые отсекает на координатных осях прямая — + — = 1 (вместе с началом координат). Как а b вы думаете, почему указанное соотношение называют уравнением прямой в отрезках? 2. Перечислите все случаи, когда уравнение прямой нельзя записать в виде уравнения прямой в отрезках. 3. Воспользуйтесь уравнением прямой в виде, предложенном на стр. 28, и запишите его для прямой, проходящей через R точки (а; о) и (о; Ь); преобразуйте его к виду Iх +- — = i. а b 4. Почему уравнение, приведенное на стр. 29, также называют уравнением прямой в отрезках? 5. Воспользовавшись записью уравнения прямой в отрезках, решите такие задачи. 1) Запишите уравнение каждой прямой, изображенной на рисунке А. • 2) Запишите соотношения, которым удовлетворяют все точки окрашенной фигуры на рисунке Б. 39 cos aj!l к - а \ \ \ \ \ % 1 X R=1 / / ✓ _ ^ •• численно sin а~у cos а = X §4 о Тригонометрические функции углов от 0° до 180° До сих пор тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса были определены только для углов от 0° до 90°. Расширим эти понятия. На координатной плоскости с центром в начале координат 0(0; 0) построим в I и II координатных четвертях полуокружность единичного радиу- са. Обозначим через а угол между радиусом ОВ этой полуокружности и направлением (рис. 1.26). Если угол а прямоугольного положительным оси абсцисс острый, то из треугольника ОСВ (рис. 1.26-а) получим: sin а: ВС ■ — , cosa =-R 0(0 R- . 1 Рис. 1.26 Такие соотношения мы знаем с 8-го класса. ПРИ R=1 ЧИСЛЕННО: sin a = ВС = у, cos a = ОС = х, где В(х; у). Подчеркнем, что последние равенства выполняются только численно. Таким образом, если угол ВОС острый, то значение синуса этого угла численно равно ординате точки В(х; у), а косинуса - его абсциссе: sin a = у, cos a = х. Для любознательных Термин синус латинского происхождения и означает «залив». Какая связь между заливом и синусом? Дугу окружности можно уподобить изогнутому луку, а хорду, ее стягивающую, - тетиве этого лука. Индийский математик - составитель таблиц синусов - назвал полухорду тетивой. Один из арабских математиков, переводя индийский текст на арабский язык, перевел его правильно: полухорду назвал тетивой. Но арабский язык имеет такую особенность, что в нем выписываются согласные буквы, а гласные пропускаются. О том, какие именно гласные стоят в слове, пришлось определять из контекста. Слово «залив» на арабском имеет такие же согласные, как и слово «тетива». Переводчик, который позже переводил арабский текст на латинский язык, умудрился прочитать его как «залив», что на латинском звучит как «синус». 40 полуокружности из промежутка Аналогично будем определять синус и косинус для тупого угла (рис. 1.26-6), прямого, развернутого углов и угла, мера которого равна нулю (рис. 1.26-в). Рассматривается конец радиуса единичной полуокружности с центром в начале координат (тот, что лежит на полуокружности); соответствующий угол откладывается от оси Ох против часовой стрелки. Для произвольного угла меры от 0° до 180°: • синус угла - ордината (численно) конца радиуса единичной полуокружности, соответствующего этому углу', • косинус угла - абсцисса (численно) конца радиуса единичной полуокружности, соответствующего этому углу. Координаты (х; у) точек единичной изменяются в пределах: о < г/ < i, -1<лс<1. Поэтому для произвольного угла а 0° < а < 180° выполняются неравенства о < sin а < 1, -1 < cos а < i. При этом: • для острого угла a: sin а = у > о и cos а = х > о; • для тупого угла a: sin а = z/ > о и cos а = х < о. Найдем значение синуса и косинуса углов меры 0°, 90° и 180°. Для этого рассмотрим лучи ОА, ОК и ОМ, соответствующие этим углам (рис. 1.26-в). Учитывая, что А(1; 0), К(0; 1) и М(-1; 0), получаем: sin 0° = 0, cos 0° = 1; sin 90° = 1, cos 90° = 0; sin 180° = 0, cos 180° = -1. Тангенсом угла а будем называть отношение sina к cos a, а котангенсом угла a - отношение cos а к sin а. Как известно, на нуль делить нельзя. Тогда это определение нужно дополнить условием, что число, на которое делят, не равно нулю. Тогда: tga , при a*90 ; ctga = cosa COS CL —при a * 0° и a 180°. sina Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла, которые мы изучали в 8-м классе для острых углов, будут правильными и для углов а с интервала 0° < a < 180°. Докажем это. i sin a > о , cos a > o >0 tea > О s a ' / отличающиеся от декартовых. Примером является У ! полярная система координат, с которой вы сможете ^ ознакомиться в § 20. . ОТ х Мх х 43 4. Пользуясь этой таблицей, найдите приближенные значения: а) sin 165° + cos 120°; в) sin 75° cos 135°; б) 2cos 105° - sin 120°; г) tg 150° : sin 135°. Задание 5 1°. Известно, что 90° < а < 180°. Какой знак имеют значения cos a, sin ос, tg a, ctg а? 2°. Острым или тупым является угол Р треугольника, если значение его: а) косинуса отрицательное; б) тангенса отрицательное; в) котангенса положительное; г) косинуса положительное? 3°. Упростите выражение: a) sin (180° - х); б.) cos (180° - х); в) tg (180° - х). 4°. Упростите выражение: a) sin (90° - Р); б) cos (90° - Р); в) tg (90° - Р). 5. Упростите выражение: а) 2sin (90° - а) - cos (180° - а); в) tg(90° - Р) + 3ctg (180° - Р); б) cos (90° - а) + sin (180° - а); г) ctg(90° — (3) — tg (180° - Р). 6. Упростите выражение: а) 2sin (90° - Р) - sin а + cos (180° - Р) + cos (90° - а); б) cos (90° - а) + cos (180° - а) + sin а - sin (90° - а); в) tg (90° - р) + 3ctg (90° - а) + 2 (tg а + tg р). 7. Упростите выражение: а) 1 - cos2 (90° - а); б) 1 - (cos2 (180° - а) + cos2 (90° - а)). 8*. Упростите выражение: a) l-2sin2(180°-p), sin2(90°-Р) _ ^ sin2p(l-sin2(180°-p))______ а l-2sin2(90°-P) ’ l-cos(90°-P)\ ' sin2(90°-P)(l-cos2(180°-P))’ p)(ctg^(180° и+в г, (i + eg,90- - т * (i + «180- - т д) --------------------- tg Р + 1 9. Используя формулы перехода между значениями тригонометрических функций смежных углов, вычислите значение выражений: a) cos 120°; б) sin 135°; B)tgl50°; г) cos 135°; д) ctg 150°. 10. Найдите значение выражения: г) 3 cos 60° tg 45° tg 60°; д) tg 150° sin 60° cos 40° - ctg 120° cos 150° cos 140°. а) 2 cos 60° + N/3cOS 150°; б) 5 sin 30° + ctg 135°; в) (cos 60° + sin 150°)(sin 30° - cos 150°); 11*. Найдите значение выражения: а) 2 tg2 120° + 4 cos2150°; б) 3 cos2150° + 5 sin2 135°-tg3 135' в) 3 cos2 60° tg 135° tg2 120°; r) tg3 60° sin 120° - ctg2 60° sin 150°; д) sin 157° cos 67° + cos 23° sin 113°. Для любознательных 1. Среди всевозможных прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой найдите треугольник с наибольшей биссектрисой прямого угла. 2. Среди всевозможных прямоугольных треугольников с заданной биссектрисой прямого угла найдите треугольник с наименьшей гипотенузой. 3. Через точку М, принадлежащую биссектрисе прямого угла, проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой ограниченный сторонами угла, был наименьшей длины. 4. Канал шириной 6 м имеет прямоугольный поворот, а) Какой наибольшей длины бревно можно сплавить этим каналом (толщиной бревна пренебрегаем)? б) Какой наибольшей длины бревно можно сплавить этим каналом, если диаметр такого бревна 40 см? в) Какой наибольшей ширины плот длиной 5 м может пройти этим каналом? 5. Коридор общежития, шириной 2 м и высотой 3 м, имеет прямоугольный поворот, а) Какой наибольшей длины доску можно пронести этим коридором, если ее толщина 4 см? Вопросы б) и в) (аналогичные к заданию 4) сформулируйте самостоятельно и ответьте на них. ' 44 12*. Известно, что 0° < а < 180°. Найдите значения sin a, tg а, ctg а, если: a)cos а = -0,3; б) cos а = -0,2; e)cosa=—; rtcosa = —. ^ 3 2 13*. Известно, что 0° < Р < 180°. Найдите значения sin (3, cos р, ctg р, если: а) tg р = -1; б) tg р = -1,5; e)tgp = 3. 14. Найдите значение tg а, если sin a = 0,3. 15. Найдите значения cos a, tg a, ctg a, если: a) a - острый угол и sin a = 0,2; б) a - тупой угол и sin a = 0,4; в) a - тупой угол и sina = —. 3 16*. Постройте угол, косинус которого равен: а) -1; б) —. 17*. Постройте угол, тангенс которого равен: а) -1; б) -3. 18*. Сравните тупые углы ы и р, если: а) sin a < sin р; б) cos a > cos P; в) tg a > tg P; r) ctg a < ctg p. 19*. Сравните: а) sin 130° и sin iso°; B)tgioo° и tg 130°; д) sin 120° и sin so°. б) cos 100° и cos 140°; r) ctg 50° и tg 100°; 20**. Для острого угла a найдите соотношения между тригонометрическими функциями углов 90° + а и а, воспользовавшись тождеством 90° + a = 180° - (90° - a). 21*. Найдите сумму квадратов косинусов углов прямоугольного треугольника. 22*. Найдите сумму квадратов синусов углов прямоугольного треугольника. 23**. Упростите выражение (угол a - острый): а) sin (90° + a) - cos a sin2 a; г) (1 + cos (90° + a))(l + sin a); б) ctg2 (180° - a) - cos2 a ctg2 a; д) (tg2 a + 1) cos2 (180° - a). в) cos2 (90° - a) + ctg2 a cos2 (90° + a); 24**. Упростите выражение (угол a - острый): ч sin(180°-a) tg(a + 90°) 1____1 ____ cos(90°-a)tg(a-90°) ’ 25**. Упростите выражение (угол a - острый): б) l + tg258° + l + tg232°‘ а) б) ctg(90° - a) + ctg(90° - Р) + ctg(90° - у) 3(tgp - tg(180° - a)) - 2(ctg(90° - a) + ctg(90° - P)) - ctg(180° - y) ctg(90° - a)(tgP + ctg(90° - y)) + ctg(90° -P)tgу tg(180° - a)tg(180° - P) + tgptgy + tg(180° - a)tg(180° - y) 26**. Найдите значение выражения, если tg a = 7: а) 3sina + cosa „ «in2™. cosa-3sina 1 +’ cdsa Для любознательных 1. Из пункта, расположенного на берегу реки, отплывает к противоположному ее берегу катер со скоростью 40 км/ч. Скорость течения 5 км/ч. Под каким углом к берегу надо направить катер, чтобы причалить в ближайшей точке противоположного берега? 2. Под каким углом к берегу надо направить лодку, чтобы во время переправы через речку ее снесло течением как можно меньше? Скорость течения 6 км/ч, а лодки (относительно воды) - 3 км/ч. 3. В остроугольном треугольнике высоту, медиану и проведенные из одной вершины, продлили до пересечения вокруг треугольника окружностью. Какая из полученных наибольшей, а какая наименьшей? 4. Через данную точку М, расположенную вне заданной проведите секущую так, чтобы сумма расстояний от точек ее пересечения с окружностью до точки М была: а) наибольшей; б) наименьшей. биссектрису, с описанной хорд будет окружности, 45 5» Теорема синусов Ш Теорема. Площадь треугольника равна полупроизведению двух его сторон на синус угла между ними. Нужно доказать, что для всех возможных случаев -когда угол С треугольника ABC острый (рис. 1.29-а), тупой (рис. 1.29-6) или прямой (рис. 1.29-в) - площадь треугольника АБС можно вычислить по формуле S = ! afesinC. 2 Доказательство I Площадь любого треугольника ABC можно вычис-1 ® лить по формуле S =^— aha, где - высота треугольника, проведенная к стороне а (рис. 1.29). Из прямоугольного треугольника ACD получаем: = fosin С, если угол С - острый (рис. 1.29-а); ha = bsin (180° - С) = isin С, если угол С - тупой (рис. 1.29-6). Тогда S ab sin С и утверждение теоремы выполня- ется. Если угол С - прямой (рис. 1.29-в), то sin С = sin 90° = 1 и площадь прямоугольного треугольника можно записать в виде: S = — ab= S -2 2 ab sin С. Теорема доказана. треугольнике отношение противолежащего угла - Ш Теорема синусов. В длины стороны к синусу величина постоянная. В треугольнике ABC против углов А, Б и С лежат стороны а, Ь и с. Надо доказать, что а Ъ с sin A sin Б sin С Докажем эту теорему двумя способами. 46 ) СПОСОБ I По теореме о площади треугольника: ^ = -at>sinC, S =='-acsinB, S = -£>csinA. 2 2 2 Из первых двух равенств получаем: 1 „ .1 2 a&sinC = -acsinB и 2 sin В sin С Из последних двух равенств получаем: — • Чг csmB—i^CSmA и ■ sin A sin Б Тогда: sin A sin В sin С Теорема доказана. СПОСОБ II ABC окружность и 1.30-1.32). Угол DBC - Опишем вокруг треугольника проведем диаметр CD = 2R (рис. прямой, т. к. опирается на диаметр. 1) Если -угол А - острый (рис. 1.30), он опирается на | ту же дугу, что и угол CDB. Тогда ZCDB = ZA и из | прямоугольного треугольника CBD (ZB = 90°) следует: а = CD • sinD = 2R ■ sin А,---4-2Rr sin А Рис. 1.30 2) »Есди угол-_А - тупо^ ,(рис. 1.31), то ZA + ZCDB = 180° (т. к. четырехугольник ABDC - вписанный) Теорема синусов В sin A sin В sin С Для любознательных Во времена Паскаля (XVI в.) математику обычно называли геометрией. Как-то 12-летний Блез Паскаль (1623-1662) спросил у отца, Этьена Паскаля, что такое «геометрия». Тот, не придавая своим словам особого значения, ответил, что это некая теория, изучающая способы черчения фигур и указывающая на соотношения между их элементами. Спустя некоторое время отец увидел, что сын сосредоточенно размышляет над сложенными из палочек треугольниками. Оказалось, что Блез как раз додумывал доказательство открытого им интересного факта: в любом треугольнике сумма всех трех углов вместе составляет два прямых угла. Тогда Этьен открыл шкаф с книгами и дал Блезу «Начала^) Евклида. За год Блез изучил ее (как увлекательный роман), и вскоре его допустили на заседания научного парижского кружка, на основе которого позже была создана Парижская академия наук. 47 2 = = 2 R sin С а > с и ZCDB = 180° - ZA. Из треугольника CBD (ZB следует: a = 2ii sin(180° -A) = 2i?sinA, a 2R. - sin A 90°) 3) Если угол a - прямой (рис. 1.32). то: а = 2R, sin А = sin 90° =1 и sin А • = 2 R. В Таким образом, для произвольного треугольника ABC о W —— = 2Д. sin А Аналогично доказывается, что --------2R, —с— sin Б sin С 2R. Тогда: sin A 2R = - Ъ sin Б sin С Против стороны угольнике больший наоборот. I большей I в тре-лежит угол и I I I I I Теорема доказана. Полученное выше соотношение, записанное в виде sin A sin Б sin С еще называют расширенной теоремой синусов. ( Iр | Следствие. Площадь треугольника ABC, вписан-^ 1111 ного в окружность радиуса R,° равна: S =о аЪ-с- ника.) 4 R 1 С Следует из формул: S = — absinC и-----------= 2 R. 2 sin С Используя теорему синусов, можно доказать утверждение, известное вам с 7-го класса, - против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Предлагаем сделать это самостоятельно. (Не забудьте рассмотреть случай тупоугольного треуголь- Для любознательных Шахматную доску закрыли 32 пластинками домино, каждая из которых закрывает ровно 2 клеточки. 8 пластинок закрывают 8 клеточек одной диагонали доски, при этом некоторые из них закрывают еще одну клеточку выше диагонали, а некоторые - ниже диагонали. Докажите, что в любом случае пластинок первого и второго указанных видов будет поровну. 48 а a Практическая работа 3 1. Начертите произвольный треугольник. Измерьте длины его сторон. 2. Измерьте градусные меры углов треугольника. Найдите, используя таблицы Брадиса или калькулятор, значения синусов этих углов. 3. Вычислите площадь треугольника через длины двух его сторон и синус угла между ними. 4. Проведите одну из высот треугольника. Измерьте ее длину. Вычислите площадь треугольника через длину этой высоты и сравните с полученным ранее значением площади. 5. Вычислите отношения длин сторон треугольника к значениям синусов противолежащих углов. Сформулируйте вывод. Задание 6 1°. Найдите площадь треугольника* если две его стороны и угол между ними равны: а) >/8 см, 4 см и 45°; б)у/8 см, 4 см и 135°; в) 6 см, 4 см и 150°; г) 6 см, 4 см и 30°. 2. По рисунку 1.33 найдите площади треугольников. 3°. Две стороны треугольника равны 8 см и 4>/2 см. Найдите угол между ними, если площадь треугольника составляет: а) 16 см2; б) 8%/2 см2. 4° Площадь треугольника АВС равна 16 см2, сторона АВ = 8 см, ZABC = 150°. Найдите сторону ВС. 5. Найдите площадь треугольника по двум углам а и Р и радиусу R описанной вокруг него окружности. 6°. Найдите сторону треугольника, лежащую против его угла в 45°, если против второго угла этого треугольника градусной меры 60° расположена сторона длиной: а) 3 см; б) 2л/з см; в)7б см. 7°. Дан треугольник АВС, у которого АС = 42, ВС = 1, /АвС = 45°. Найдите угол ВАС. 8е Дан треугольник АВС, у которого АС = \12, ВС = 1. Найдите угол АВС, если: а) /ВАС = 45°; б) /ВАС = 30°. 9. Сумма двух сторон треугольника равна 18 см. Найдите длины этих сторон, если против них лежат углы: а) 60° и 45°; б) 30° и 135°; в) а и р. 10. Разность двух сторон треугольника равна t. Найдите длины этих сторон, если против них лежат угл^х: а) 60° и 45°; б) 30° и 90°; в) а и р. 11. Сторона треугольника равна Ъ, а прилежащие к ней углы равны а и р. Найдите периметр треугольника. 12. Найдите стороны треугольника, периметр которого равен Р, а два угла - а и р. 13°. Найдите радиус описанной вокруг треугольника окружности, если известно, что в нем против стороны 2 см лежит угол: а) 30°; б) 135°; в) 90°. 14°. Радиус описанной вокруг треугольника окружности раве^Й дм. Найдите длину стороны, которая лежит против угла меры: а) 45°; б) 150°; в) 135°. 15. Найдите радиус окружности, если в ней хорда длиной 12 см стягивает дугу градусной меры: а) 60°; б) 90°; в) 180°. 16. Радиус описанной вокруг трапеции окружности равен V8 дм. Найдите длину ее диагонали, если один из углов трапеции равен: а) 45°; б) 150°; в) 135°. 17. В окружность вписаны две трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагонали этих трапеций равны. 18* Боковая сторона вписанной трапеции равна а, средняя линия — Ъ, а один из углов - 30°. Найдите радиус описанной окружности. 49 19*. Одна из боковых сторон трапеции образует с большим основанием угол а, a вторая боковая сторона, длиной а, образует с меньшим основанием угол (3. Найдите среднюю линию трапеции, если длина ее меньшего основания Ь. 20*. В правильный треугольник ABC вписали правильный треугольник ТРН так, что на сторонах АВ, ВС и АС лежат соответственно точки Т, Р и Н. Найдите отношение сторон этих треугольников, если ZCHP = (3. 21*. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 дм и 4 дм. Найдите радиус окружности, проведенной через вершины острых углов этого треугольника и середину большего из его катетов. 22*. В треугольнике ABC: ZA = а, ZC = у, АВ = с, AD - биссектриса. Найдите BD. 23*. Сторона треугольника равна Ь, а прилежащие к ней углы равны аир. Найдите биссектрису третьего угла. 24*. Острые углы треугольника равны аир. Биссектриса, проведенная из вершины третьего угла, равна I. Найдите периметр треугольника. 25*. Острые углы треугольника равны аир. Биссектриса, проведенная из вершины третьего угла, равна I. Найдите биссектрисы заданных углов. 26*. В треугольнике ABC длина медианы ВМ равна т. Найдите длину стороны АВ, если ZABM = а, ZCBM = р. 27**. В треугольнике ABC: ВМ - медиана, ZABM = а, ZCBM = р. Найдите ВМ, если известно, что ВС = а. 28*. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 16 см, боковая сторона - 5 см. Найдите радиус описанной вокруг этой трапеции окружности. 29**. Внутри острого угла отметили точку А и провели из нее перпендикуляры к сторонам угла. Расстояние между основаниями этих перпендикуляров равно 12 см. Найдите расстояние от точки А до вершины угла, если градусная мера угла: а) 30°; б) а. 30**. Внутри острого угла отметили точку А и провели из нее перпендикуляры к сторонам угла. Расстояние между основаниями этих перпендикуляров равно л/8 дм, а расстояние от А до вершины угла - 4 дм. Найдите градусную меру угла. 31**. Постройте треугольник по углу и радиусам описанной и вписанной окружностей. 32**. Дан отрезок АВ и его точка С, которая не является серединой АВ. Найдите геометрическое место точек пересечения двух окружностей равных радиусов, проходящих: одна через точки А и С, вторая - через точки В и С. Для любознательных Блезу Паскалю не исполнилось еще и 17 лет, когда он открыл теорему, известную сегодня как теорема Паскаля. Об его открытии математики того времени узнали из афиш, напечатанных в количестве 50 экземпляров и расклеенных на стенах домов и церквей Парижа (в то время еще не было научных журналов). Теорема Паскаля. Обозначим на окружности произвольным образом шесть точек и пронумеруем их в произвольном порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (не обязательно в последовательности их расположения на окружности). Соединим эти точки отрезками I, И, III, IV, V согласно последовательности нумерации точек (см. рис.). Последним отрезком под номером VI соединим шестую точку с первой. Три точки пересечения прямых, на которых лежат полученные отрезки, взятые через два номера (I с IV, II с V, III с VI), будут лежать на одной прямой. (Далее см. стр. 53.) 50 ^ Оо Теорема косинусов Ш- Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других I ^ его сторон минус удвоенное произведение этих I сторон на косинус угла между ними. I I Докажем для произвольного треугольника АВС, что I I с2 = а2 + Ь2 — 2аЪ cos С. !i Доказательство Введем систему координат с уд началом в точке С так, как пока-I зано на рисунках 1.34. ' Тогда координаты точек А и В : равны: А(Ъ cos С; Ъ sin С) и В(а; 0). Й Запишем квадрат расстояния ^ между точками А и В: I АВ2 = (Ъ cos С - а)2 + (Ъ sin С - О)2 = = b2cos2 С - 2afrcos С + а2 + b2sin2 С. Сгруппируем в этом выражении первое слагаемое с последним и учтем, что sin2 a + cos2 a = i: с2 = b2(cos2 a + sin2 a) + a2 -- 2afrcos C = Ъ2 + a2 - 2abcos C. Теорема доказана. |C(0;0) А(Ъ cos С; \b sin С) \ , ---^ B{a-, 0) a] А(Ъ cos C; Ъ sin C) Следствие 1. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. ABCD - параллелограмм с длинами сторон а, Ъ и острым углом а (рис. 1.35). Его тупой угол равен 180° - а. Из треугольников ABD и АВС по теореме косинусов получаем: BD2 = а2 + Ь2 - 2аЪ cos a; AC2 = a2 + Ъ2 - 2aЪcos (180° - a) = = a2 + Ъ2 - 2aft(-cos a). Сложив эти равенства, получим искомое соотношение: BD2+AC2 = 2a2 + 2Ъ2. УАА.(Ъ ccsO; Ъ^in С) , с □_ C(0; 0) = ► В x в) Рис. 1.34 Теорема косинусов c2= а2+Ъ2- 2aЪcos С I Для параллелограмма: a d2 + d22 = 2 (a2 + Ъ2) 51 _и^+-с”2 а т„-----^---у; а2 +с2 а "2+ь2 а т=- 2 4 ■ ^ Следствие 2. Квадрат медианы, проведенной к стороне треугольника равен полусумме квадратов двух других его сторон минус четверть квадрата стороны, к которой проводили медиану. Т. е. для медианы тпс треугольника ABC (рис. 1.36) „ (L_+'0С' 1,2 "2 т„~~~2Т~ Рис. 1.36 Доказательство Продолжим медиану тс на отрезок МК = тс. Полученный четырехугольник АСВК - параллелограмм (т. к. СМ = МК, AM = MB). Тогда, согласно следствию 1: с2 + (2 mf = 2 (а2 + Ь2), Теорему а2+ b2 2 4 ' иногда называют Действительно, если Замечание. Теорему косинусов обобщенной теоремой Пифагора. угол С прямой, то cos С = cos 90° = 0, и для гипотенузы с прямоугольного треугольника ABC, из теоремы косинусов, получаем: с2 = Ъ2 + а2 - 2ab cos С = Ъ2 + а2 -утверждение теоремы Пифагора. Для любознательных Теоремы синусов и косинусов в задачах на доказательство Традиционно обозначим в треугольнике ABC: через а, Ъ, с - стороны, лежащие против вершин А, В, С, а медианы и высоты, проведенные к сторонам а, Ь, с, как та, ть, тс и ha, hb, hc соответственно; R и г - радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника; Я - его площадь. ^ аЪс Ьс 1. О п о р н а я задача. Докажите для треугольника ABCrS=----—, па = —,^ 4R 2R 2. Точка D лежит на основании АС равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников AbD и CBD, равны. 3. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты АР и СМ. Точки Р, и Mj - симметричны точкам Р и М относительно середин сторон ВС и АВ соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через вершину В и центр О окружности, описанной вокруг данного треугольника, делит отрезок Р[М, пополам. 3 4. Опорная задача. Докажите, что: m2„ + т2 + т/ =-| (а2 + Ь2 +с2). 5. Докажите, что 4S = (аг-(Ь-с)2) . 1-cosA 6. Длины сторон параллелограмма равны Докажите, что а* + Ь4 = т2п2 тогда параллелограмма равен 45° а и Ь, длины диагоналей -тип. и только тогда, когда острый угол 52 2 т Практическая работа 4 1. Начертите произвольный треугольник и измерьте длины его сторон. 2. Измерьте градусные меры углов треугольника. Найдите с помощью таблиц Брадиса или калькулятора значения косинусов этих углов. 3. С помощью соответствующих вычислений убедитесь, что для вашего треугольника выполняется теорема косинусов. Задание 7 1°. Найдите неизвестную сторону треугольника ABC, если: а) ZC = 60°, АС = 25 дм, СВ = 40 дм; в) /В = 60°, ВС = 6 см, АС = 2л/7 "см; б) ZC = 120°, АС = 3,5 м, СВ = 4 м; г) ZB = 135°, ВС = 4 см, АС = y/lO см. 2°. Найдите длину диагонали BD четырехугольника ABCD, у которого ZC = 60°, ВС = 50 мм, CD = 35 мм. 3. Железный стержень длиной 5 дм согнули посередине под углом 120°. Вычислите расстояние между его концами (с точностью до o,i см). 4*. Найдите равнодействующую двух сил в ЗН и 2Н, приложенных в одной точке под уголом 135°. 5. В параллелограмме ABCD стороны АВ и ВС равны 20 см и 12 см соответственно, a ZD = 120°. Найдите длину диагонали АС. 6. Определите вид треугольника (тупоугольный, остроугольный или прямоугольный), если его стороны равны: а) 3 см, 5 см, 7 см; б) 3 см, 4 см, 3 см; в) 3 см, 4 см, 5 см. 7*.Проверьте, является ли АНРТ тупоугольным, если Щ-2; 5), Р(4; 8), Т(10; 6). 8. В треугольнике ABC стороны АВ, ВС и АС равны 15 см, 13 см и 14 см соответственно. Найдите: а) косинусы наибольшего и наименшего углов треугольника; б) проекции сторон АВ и ВС на прямую АС. 9. Пусть AD и ВС - основания равнобокой трапеции ABCD. Докажите, что АС2 = AD ■ ВС+АВ2. 10. Длина оснований трапеции 3 см и 8 см. Одна из боковых сторон равна 5 см и образует с меньшим основанием угол 120°. Найдите диагонали трапеции. 11. Основания трапеции равны 6 см и 16 см. Одна из боковых сторон равна 10 см и образует с большим основанием угол 60°. Докажите, что трапеция равнобокая. 12. Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а стороны относятся как 2:3. Найдите периметр параллелограмма. 13*. Диагонали параллелограмма равны 24 см и 28 см, а разность сторон - 8 см. Найдите площадь параллелограмма. 14. Стороны параллелограмма равны 6 м и 7 м. Найдите его диагонали, если одна из них длиннее второй на 4 м. 15*. Из одной точки М окружности провели хорды МА = 5 см и MB = 8 см. Хорда АВ стягивает дугу в 120°. Найдите длину отрезка АВ, если он и точка М лежат: а) по разные стороны от центра окружности; б) по одну сторону от центра окружности. Для любознательных 1. Попробуйте поэкспериментировать с условием теоремы Паскаля (стр. 50), исследуя разные размещения точек на окружности и разные способы их нумерации. При этом может получиться, что две прямые, точку пересечения которых мы ищем, - параллельны. Тогда теорему Паскаля надо понимать так: прямая, проходящая через две другие заданные точки, параллельна указанным прямым (см. рис.). 2. В окружность вписана трапеция MNPQ (MQ || NP). Точка А - произвольная точка прямой, которой принадлежит диаметр, параллельный основаниям трапеции. Докажите, что А^ +AQ2 = AN2. + АР2. 53 16*. Из одной точки окружности провели две хорды длиной 2л/2 см и 6 см. Концы этих хорд соединили отрезком, стягивающим дугу в 90°. Найдите длину указанного отрезка, если он и заданная точка окружности лежат: а) по разные стороны от центра окружности; б) по одну сторону от центра окружности. 17*. Медиана AM треугольника АВС образует со стороной ВС угол 60°. Найдите сторону АС, если ВС = 32 см, АВ = 2>/97 см. 18*. Медиана треугольника, проведенная к стороне 20 см, образует с ней угол 60°. Сторона, лежащая против указанного угла, равна 2>/19 см. Найдите третью сторону треугольника. 19*. Биссектриса АР треугольника АВС образует со стороной ВС угол 60°. Стороны АС и АВ равны 6 см и 8 см соответственно. Найдите длину стороны ВС. 20*. Найдите наибольшую медиану треугольника, стороны которого равны 7 см, 6 см и л/26 см. 21*. Разность двух сторон треугольника 8 см, третья сторона - 32 см, а медиана, проведенная к ней, - 28 см. Найдите периметр треугольника. 22*. Одна сторона треугольника больше медианы, проведенной к ней, на 4 см, а две другие стороны равны 28 см и 36 см. Найдите периметр треугольника и его площадь. 23*. Две стороны треугольника равны 6 см и 7 см; медиана, проведенная к меньшей из них, равна 5 см. Найдите третью сторону треугольника. 24**. Медианы треугольника равны 5 см, J52 см и \/73 см. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. 25**. Внутри угла меры 60° расположена точка А, удаленная от сторон этого угла на 2 см и 4 см. Найдите расстояние от точки А до вершины угла. 26**. Докажите, что разность квадратов двух сторон треугольника равна: а) разности квадратов их проекций на третью сторону; б) удвоенному произведению третьей стороны и проекции ее медианы на эту же сторону. 27*. В окружности с центром О хорда АВ пересекает диаметр в точке М под углом 60°. Найдите ОМ, если AM = 10 см, ВМ = 4 см. ' 28**. Докажите, что медианы треугольника АВС, проведенные к сторонам а и Ъ, взаимно перпендикулярны, если выполняется соотношение а2 + Ъ2 = 5с2. 29*. Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ. 30**. Докажите, что в произвольном треугольнике: а) наибольшей стороне соответствует наименьшая из медиан; б) большая из медиан пересекает меньшую из сторон. 31**. Докажите, что для параллелограмма с острым углом в 45° произведение квадратов диагоналей равно сумме четвертых степеней двух его смежных сторон. 32**. По заданным отрезкам а и Ь постройте отрезок \]а4 +Ь4. 33 Известно, что АВ2 + ВС2 = Четырехугольник ABCD вписан в окружность. = AD2 + Cd2. Докажите, что /АВС = 90°. 34**. Докажите с помощью теоремы косинусов теорему Птолемея: если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противолежащих сторон. 35**. Для медиан треугольника выполняется равенство: т2^ + т2 = 5т2. Правильно ли, что этот треугольник прямоугольный? Ответ обоснуйте. 36**. Для медиан треугольника выполняется неравенство: т2^ + т2 > 5т^. Каким _ будет угол С этого треугольника - тупым или острым? Ответ обоснуйте. Для любознательных 1. В треугольнике АВС высота АН равна медиане ВМ. Найдите угол МВС. 2. Установите зависимость между углами треугольника, если одну из его медиан видно из центра описанной окружности под прямым углом. 54 §7. Решение треугольников Решением треугольника называют вычисление всех его основных элементов по трем заданным, если треугольник определен. (Треугольник определен, если по заданным элементам можно построить конкретный треугольник.) Замечание. Набор заданных трех элементов не может быть произвольным. Например, нельзя определить треугольник задав три его угла. Мы уже решали в 8-м классе такие задачи для прямоугольного треугольника. Теперь, пользуясь теоремами синусов и косинусов, можем находить стороны и угл^1 произвольных треугольников. Рассмотрим решение треугольников на примерах. При этом будем использовать традиционные обозначения: в треугольнике ABC против угловА, В и С лежат стороны а, b и с. Пример 1. По двум сторонам и углу между ними I (рис. 1.37) найти все остальные основные элементы треугольника. '' Дано: a, b, ZC. Найти: с, ZA, ZB. I 1) По теореме косинусов c = \la2 + b2 -2abcosC. 2) По теореме косинусов b2 + с2 - а2 cosA = 3) ZB = 180° - 2 be ZA - ZC. a, p, y, a, b, c, -основные элементы треугольника I Треугольник определен, 1 если по данным элементам его можно однозначно построить. Для любознательных Впервые анализ и классификацию софизмов дал Аристотель (384-322 гг. до н. э.) в трактате «О софистических опровержениях» (см.: Аристотель. Собрание сочинений: В 4 т. - М., 1978. - Т.2). Разгадайте софизм Н. Г. Чернышевского. В произвольном тупоугольном треугольнике длина стороны, противолежащей тупому углу, больше суммы длин двух других его сторон. Доказательство 1) Пусть в ААВС угол А - тупой. Тогда ZA > ZB + ZC. а b с „ 2) По теореме синусов:----=------=-----= 2R, где R- радиус описаннои sin A sin В sin С вокруг треугольника ABC окружности. 3) Из предыдущего: sin А : sin В : sin С = а : b : с. 4) Как известно, большему углу соответствует большее значение синуса. Тогда а> b + с?! 55 АВ sin С ВС sin(l80°-(B + C))’ ВС sin С АВ = sin(B + C) I Пример 2. По f углам (рис. 1.38) I менты треугольника. стороне и двум прилежащим к ней найти все остальные основные эле- Дано: а, /С, /В. Найти: /А, Ь, с. 1) ZA = 180° -/В- /С. 2) По теореме синусов Ъ sin В а----- sinA sin С sin А. I Пример 3. Дано длины трех сторон треугольника I (рис. 1.39). Найти все его углы. Дано: а, Ь, с. Найти: ZA, /В, /С. 1) По теореме косинусов cosA.= l2+, „2-„2 cos В 2 Ьс а2 + с2 Ъ2 I 2) ZC = 180° - ZA - ZB. ^ Замечание. Последние два примера имеют смысл I не при произвольных значениях заданных элементов, а I только при условиях: ZC + ZВ < 180° и а + Ь> с, а + с> Ь, с + Ь> а соответственно. Умение решать треугольники может пригодиться и на практике. Например, если надо найти расстояние между двумя пунктами А и В, разделенными I препятствием, можно воспользоваться примером 2. I Надо выбрать на местности доступную точку С (см. рис. I на поле), измерить расстояние СВ, угл^1 С и В, а затем ' по теореме синусов вычислить длину отрезка АВ. Для любознательных Разгадайте софизм. В любом треугольнике все углы равны. Доказательство Пусть АВС - произвольный треугольник, углы и стороны которого обозначим так, как показано на рисунке. " 'BCD = у + АВЕС и ABDC: /Е = ZCBE = Р + —“и ZD = ‘ 2 2 2 2 а по теореме синусов Ъ + с Ь + с sin Р + . а + — sin — 2j 2 Л Отсюда: sin^p + ^ J = sin^y + -*J и р = а. Аналогично доказывается, что а = у?! 56 с = а 2 ас Нельзя обойти вниманием и четвертый случай решения треугольника по двум его сторонам и углом не между ними. Дано: а, Ъ, ZB Найти: с, ZA, ZC. По теореме синусов . . a sin В sin А = -------, Угол А может быть или острым, или тупым, т. к. sin (180° - а) = sin а, и имеем два решения: Aj = а < 90° или А2 = 180° - а > 90° (рис. 1.40). Тогда ZC. ^ = 180° -ZB - а, ZC2 = 180° -ZB - (180° - а) = а - ZB. Понятно, что градусная мера угла треугольника не может быть отрицательной. Тогда второе решение существует, если а > ZB, т. е. когда а > Ъ (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). Если а < Ь, то получим только одно решение, т. е. S треугольник ABC будет определен однозначно. { Очевидно, что эта задача имеет одно решение, если | заданный угол В - тупой. ^ Если заданы а, Ь, ZB, то решение ЛАВС единственно в случаях: 1) а < Ь; 2) ZB - тупой. Задание 8 1°. В треугольнике ABC против углов А, В, С лежат стороны а, Ь, с. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника, если: а) ZA = 25°, ZB = 48°, а = 27 см; е) ZC = 32°, а = 25, Ъ = 40; б) ZC = 30°, ZB = 48°, b = 70; ж) ZB = 81°, ZC = 45°, а = 105 см; в) ZA = 85°, а = 30, Ь = 9,81; з) ZA = 30°, ZB - ZC = 60°, с = 38; г) ZC = 17°, с = 5, Ь = 8; и) ZA = 44°, ZB = 77°, с = 13; д) ZC = 51°, а = 15, Ь = 17,9; й) а = 7, Ъ = 8, с = 6. 2. Чтобы определить расстояние между доступной точкой С и недоступной точкой А (рис. 1.41), выбрали другую доступную точку В. Найдите АС, если СВ = 100 м, ZC = 82°, ZB = 61°. 3. Определите ширину реки для таких геодезических измерений: ZA = 85°, ZC = 81°, АС = 490 м (рис. 1.42-а). 4. Определите длину озера (рис. 1.42-6) по таким данным: ZC = 48°, b = 56,7 м, а = 129 м. 57 5*.Три дороги образуют треугольник ABC: АВ - шоссе, АС и СВ - грунтовые дороги. По шоссе можно ехать в два раза быстрее, чем по грунтовой дороге. Автомобилист хочет как можно быстрее попасть из пункта А в пункт С. Какой маршрут ему лучше выбрать - по прямой или в объезд, если: a) ZCAB = 20°, ZABC = 120°; б) ZACB = 60°, ZCAB = 45°? 6*. В 12.00 нарушитель съехал с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В это время инспектор ГАИ получил сообщение и поехал по грунтовой дороге со скоростью 70 км/ч на перехват нарушителя. В каком случае инспектор успеет остановить нарушителя на перекрестке (рис. 1.43)? магистраль пост ГАИ 7*. К одной точке приложили три силы: Fj = 10 Н, F2 = 10 Н, F3 = 20 Н. Силй; и F2 приложены под уголом 120°, а силы F2 и F3 - под углом 90°. Найдите равнодействующую этих сил. 8. В треугольнике ABC против углов А, В и С лежат стороны а, Ь, с. Высоты и обозначены как h„, hb, hc и та, ть, тс медианы, проведенные к этим сторонам, соответственно; биссектрисы углов - 1а, углы треугольника, если: а) ZA = 58°, ZB = 73°, Ъ-с = 12 см; б) ZA = 81°, ZB = 68°, а + с = 63,4 см; в) ZA = 36°, ZB = 60°, а + Ь + с = 94 см; г) ha = hb = 4 см, hc = 6 см; д) ZB = 48°, ZC = 68°, h^, = 32 см; е) тс = 11 см, а = 9 см, Ь = 19 см; 9*. Длина минутной стрелки 60 мм, а часовой - 54 мм. Через какое время после полудня расстояние между концами стрелок впервые будет равно 90 мм? 10*. Чтобы найти расстояние между двумя недоступными точками АиВ (рис. 1.44), выбрали две доступные точки С и D. Найдите АВ по таким измерениям: CD = 920 м, ZADC = 81°, ZBDC = 62°, ZDCB = 88°, ZACB = 32°. 11*. Стороны треугольника равны 1 см и 2 см, а угол между ними - 60°. Через центр вписанной в этот треугольник окружности и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус этой окружности. 1Ь, 1с. Найдите неизвестные стороны и ж) тс = 8 см, с = 18 см, Ъ= 13 см; з) та = 17 см, а = 24 см, h^^ = 15 см; и) h^^ = 12 см, hb = 15 см, hc = 18 см; й) ZA = 38°, ZB = 63°, J, = 15,6 см; к) h^^ = 24 см, hb = 20 см, а = 24 см; л) а - Ь = 2 см, а - с = 5 см, ZB = 60° . Рис. 1.44 JA, JB, 1С треугольника ABC Для любознательных 1. Докажите такую теорему. Теорема. Для углов А, В, С и биссектрис JA неравенства А < В < С и iд > iB > 1С являются равносильными. Совет. Докажите, что меньшему углу треугольника соответствует большая биссектриса и наоборот. 2. Дано длины сторон треугольника ABC. Найдите длины биссектрис этого треугольника. 58 12*. В треугольнике ABC: AC = b и ZABC = p. Найдите радиус окружности, проходящей через точки: А, С и центр вписанной в треугольник окружности. 13. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. 14**. Высоты треугольника пересекаются в точке Н. Докажите, что радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABC, АВН, ВСН и АСН, равны между собой. 15**. В остроугольном треугольнике АВС: АВ = 2 см, АС = 5 см, ВС = 6 см. Найдите с точностью до сотых расстояние от вершины В до ортоцентра треугольника (точки пересечения его высот). 16**. В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АР и СН. Площадь треугольника АВС равна 18 см2, площадь треугольника ВРН - 2 см2, а PH -2\[2 см. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС. 17**. Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность радиуса г, пересекающая сторону ВС в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, С и D, если АВ = с, а АС = Ь. 18**. Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника АВС пересекают описанную вокруг данного треугольника окружность в точках Р и Q соответственно. Найдите радиус этой окружности, если АС = a, PQ = 1,2а. 19**. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла равна 18 см и образует с медианой гипотенузы угол 10°. Найдите длину гипотенузы. 20**. В треугольник вписаны три равные окружности так, что каждая из них касается двух сторон треугольника и все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиус этих окружностей, если радиусы описанной и вписанной окружностей данного треугольника равны г и R соответственно. 21**. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, если: АВ = 20; АС = 24; через вершину С, инцентр треугольника и точку пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС можно провести окружность с центром на АС. 22**. Докажите, что для углов произвольного треугольника АВС выполняются соотношения: а) cos2 А = cos2 С + sin2 В - 2 sin A sin В cos С; б) sin С = sin A cos В + cos A sin В; в) sin В sin С = cos В cos С + cos А; sinA + sinB cosA + cosB r)- sinC 1-cosC 23**. Докажите, что sin(a + р) = sin a cos Р + cos a sin p, где аир- углы, сумма которых не превышает 180°. Для любознательных 1. С помощью теоремы синусов докажите известный факт, что биссектриса угла треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. 2. Прямая, проходящая через вершину прямого угла треугольника, образует с меньшим катетом угол 30° и делит гипотенузу на отрезки в отношении 1 : 2. Найдите длину гипотенузы, если длина меньшего катета равна >/3. 3. Постройте прямоугольный треугольник по его гипотенузе и биссектрисе острого угла. 4. Постройте треугольник по его стороне, противолежащему углу и биссектрисе этого угла (задача Паппа). 5. Постройте треугольник АВС по: а) ZA, т^, I;, б) ZA, 2р\ в) h^, ft,, 1;, г) ft,, щ,, 59 Описанный многоуп:>льник S=p г где р - полупериметр • hb = b а; 8г,=рг- jA--LabsinC 2 §® о Площадь треугольника и четырехугольника * Вы уже знаете некоторые формулы для вычисления I площади треугольника, параллелограмма и трапеции. I В этом параграфе м^т их повторим и докажем еще несколько формул для вычисления площади плоских фигур. ПЛОЩАДЬ ОПИСАННОГО МНОГОУГОЛЬНИКА Площаль описанного многоугольника Sможно вычислить, зная его полупериметр р и радиус г вписанной окружности: S =р-г. Для доказательства этой формулы соединим центр О вписанной окружности с вершинами заданного многоугольника (рис. 1.45). В образованных треугольниках радиусы окружности, проведенные в точки касания, являются высотами. Площадь многоугольника равна сумме площадей этих треугольников: „11 1 Оу-Г +— ^ •г + ...н—а:,, гр г: Рис. 1.45 2 I ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Для вычисления площади треугольника м^т уже использовали формулы: 1 1а’ — S~ah, S = pr, S = -аЬзьпСи S = L£ , 2 2 4R где p - полупериметр треугольника; г и Л - радиусы его вписанной и описанной окружностей; а и Ъ- длины двух его сторон, а ZC - угол между этими сторонами; длина высоты, проведенной к стороне а. Докажем еще несколько формул площади треугольника: (1) S = 2i?2sinA sinB sinC, для вычисления a^smBsinC (2) =------------ sin A (3) S-yfp(p-a.)(p-b)(p-c) - формула Герона, где a, Ь и с - длины сторон треугольника; А, В и С - ме- __(^ +- Ь + С) -__-----; 1 R - радиус описанной окружности. ры его соответствующих углов (рис. Г.4о); р— Для любознательных Существует ли треугольник со сторонами 8 см и 3 см, у которого высота, проведенная к третьей стороне, равна среднему геометрическому двух других высот? 60 2 Доказательство 1. По расширенной теореме синусов я = 2 R sin А b = 2RsinB. Тогда S = -absinC = 2i?2 sinAsinEsinC. 2 2. После подстановки в форму- с ■ я лу (1) значения R =-----------полу - 2 sin А S = 2- -- sin A sin В sin С - ■ sin В sin С 4sinzA 2 sin А 3. Прежде чем перейти к доказательству формулы Героня, заметим, что -г ■+ яА- Ы:-2с 2р-2= 2 2 2 Ь+с-с с+я-Ь 22 - = p-я ] = р-с; -=р-ь- Докажем формулу (3). Используя теорему косинусов, запишем cosC = я2 -hb2 -С2 2яЬ Найдем теперь sinC из основного тригонометрического тождества, учитывая, что синус углов от 0° до 180° - величина неотрицательная: ’ sin С= |sin С\ =Vl-cos2C = y/l1 - cos С)(1 + cos С). Рассмотрим преобразования каждого из подкоренных множителей отдельно: яР-ЬЬ^-с2 _с2-я 2 Ъ2+2яЬ с2 -(я-b)2 _ 2яЬ 2яЬ (с-я + b)(c + я-b) _ 2р>-я)р)-Ь) ^ 2 яЬ яЬ l-cosC = l 2 яЬ l + cosC = l + Тогда я2 Ч-Ь2 - с2_(я + Ь)2- с2 _ 2p(p-c) 2 яЬ 2 яЬ яЬ srn С = — У1Р1Р- ))(p-Ь)(p-c), яЬ S 2= -2-Ь^^2С=х1 P(P-))(P-Ь)(P-C)■ = 2i?2sinAsinBsinC, a^ sin В sin С Sa = 2 sin A Формуля Героня «л II л/р(р-а)(р-Ь)(р-с), p = (я + Ь + с):2 Для любознательных 1. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место таких точек М, чтобы треугольник АВМбыл равновеликим треугольнику ABC. 2. Три высоты треугольника меньше единицы. Может ли его площадь быть больше 10 квадратных единиц? 3. Среди всех равнобедренных треугольников, описанных вокруг данной окружности, найдите треугольник с наименьшей площадью. 61 чаем: Напомним: [АВ] - отрезок АВ; (АВ) - прямая АВ. стр. 63). Замечание. Формулу Герона легко доказать, пользуясь свойствами вневписанной окружности треугольника. Сделайте это самостоятельно, воспользовавшись следующей теоремой (или загляните на Вневписанная окружность А Теорема. Площадь треугольника АВС можно вычислить по формуле S = (р- а)Га где га - радиус вневписанной окружности у, которая касается стороны а треугольника АВС, р — полупериметр этого треугольника. Доказательство Пусть / и 1а- центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника АВС соответственно; К и Ki - точки касания этих окружностей к (АС); К,и К2~ точки касания у, к [СВ] и (АВ) (рис. 1.47). Центр 1а равноудален от [ВС], (АВ) и (АС). АК1 = АК2= р А Га=Р*>ё-Г р-и Р г р-а SABC = (P ~ аК Рис. 1.47 1) Согласно опорному факту (см. форзац) АК- -р-а. ~~ 2) По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки: АКХ = АКТ; СКХ = СК,; ВКа = ВК. Тогда АКх +АК. =АС + СКа +АВ + ВКа = 2р 1лАК=АК? = р. 3) Из треугольников АК1и АК11а следует: ^ ,А А г = и Га=р tg—. „ A. v Отсюда: tg---- 2 р-а 4) Учтем, что S = рг Тогда S = р Теорема доказана. 2 “ 2 ^ и г (P-)^ae . Р Р -р^а-г, — ^ (р-а)Га- 62 ъ Рис. 1.48 ПЛОЩА ДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА Как известно, диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Тогда из факта, что площадь треугольника равна полупроизведению его сторон на синус угла между ними, следует: площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Например, площадь параллелограмма, изображенного на рисунке 1.48, равна S = ab sin А = ab sin В. Заметим, что по свойству параллелограмма ZA+ZB= 180° и sinB = sin(180° -A) = sinA. ШТ е о р е м а. Если djnd2- диагонали произвольного четырехугольника, а а - угол между ними, то площадь этого четырехугольника равна 1 , . S djd2sina. 2 Доказательство Рассмотрим четырехугольник ABCD (рис. 1.49). Диагонали АС и BD делят его на четыре части - треугольники АВК, ВКС, CKD иАКГ). Тогда площадь этого четырехугольника равна сумме площадей указанных треугольников. I IABCD- ПАРАЛЛЕЛОГРАММ I S = а h II b-hk S=—ACrnBDx 2 „ x sin(AC BD) Для любознательных ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ГЕРОНА На рисунке изображена вневписанная окружность уа треугольника ABC, 1а -центр этой окружности, I- инцентр треугольника ABC, К и К} -точки касания вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC к (АС). 1 ЯО° I /с ZK£Ia = —- - ' ~-щ- = ZKIC. Тогда д/^С CK[^. Из подобия треугольников CKIи 1 ^К^С следует. cKJKadi-: е) KIСК\ ' ' ^-=(9- Ь)(р- с). гр-Ъ “ Запишем такие три равенства. S=pr S = a)r, tta = Перемножим первые два из них и учтем третье. S^ = Р1Р ~ а)(р-Ь)(р - с). получим формулу Герона S = '^рр) - a)(p-b)p> - с). т -т» «от^> «■» «от^> «ют «ют *ют «от «от «от *ют «ют «ют «от «ют «ют «ют «ют «ют «ют «ют «ют тт • Докажите, что площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле ■s=VrWc- 63 S = —\fc^ BKSina + -BKT» tfCsin(180° - a) + + KD sina + -KD * AJl:sln(180° - a). Учтем, что sln(180° - a) = sin a и вынесем общие множители: S = —^K(АК + КС) sSn a + -KD (КС + AfiT)sina = - —(АК + КС)(ВК + KD) sin a = —AC * BDsina. 2 Теорема доказана. Замечание. Полученная формула справедлива для любого четырехугольника, как выпуклого, так и невыпуклого (рис. 1.50). Доказательство этой формулы для невыпуклого четырехугольника предлагаем провести самостоятельно. К Рис. 1.50 Задание 9 1°. Найдите площадь треугольника, если две стороны и угол между ними равны: а) 2 см, 3 см и 30°; б) 5 см, 4 см и 150°; в) 2>/з мм, 6 мм и 60°; г) 4 дм, 2 дм и 135°. 2°. Вычислите площадь параллелограмма, если смежные стороны параллелограмма и угол между ними соответственно равны: а) 6 см, 7 см и 150°; б) 2у/3 мм, 4 мм и 60°. 3°. Вычислите площадь параллелограмма, если диагональ, сторона параллелограмма и угол между ними соответственно равны: а) 6 см, 8 см и 30°; б) 2л/з мм, 8 мм и 60°. 4. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 45 см. Найдите площадь треугольника. 5. Найдите площадь треугольника, если его сторона равна а а прилежащие к ней углы составляют: а) 30° и 45°; б) 45° и 60°. Для любознательных 1. Докажите, что площадь остроугольного треугольника можно вычислить по формуле S = г-рн где г - радиус окружности, вписанной в этот треугольник, а рн - полупериметр ортоцентрического треугольника. Совет. Воспользуйтесь вневписанной окружностью заданного треугольника. 2. Докажите, что точка касания вневписанной окружности треугольника к его стороне, середина высоты, проведенная к этой стороне, и инцентр лежат на одной прямой. ■ 3. Постройте треугольник по трем точкам - центрам его вневписанных окружностей. 4. Постройте треугольник по трем отрезкам - радиусам его вневписанных окружностей. 5. Постройте треугольник по: стороне; радиусу вневписанной окружности, касающейся заданной стороны; биссектрисе угла, лежащего против этой стороны. 64 6°. Вычислите площадь треугольника, стороны которого равны: а) 13 см, 14 см, 15 см; б) 4 см, 13 см, 15 см; в) 9 см, 10 см, 17 см; г) 13 см, 20 см, 21 см. 7. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, если его стороны равны: а) 13 см, 14 см, 15 см; б) 4 см, 13 см, 15 см; в) 9 см, 10 см, 17 см; г) 13 см, 20 см, 21 см. 8*. Вписанная в треугольник АВС окружность касается его сторон в точках D, Е F. Найдите площадь треугольника DEF, если стороны треугольника АВС \ равны 6 см, 8 см, 10 см. 9*. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании делит: а) высоту, проведенную к основанию, на отрезки 15 см и 9 см; б) боковую сторону на отрезки 25 см и 30 см, считая от вершины. 10*. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, равна 24 см. Вычислите площадь треугольника, если: а) высота, опущенная на основание треугольника, равна 20 см; б) боковая сторона относится к основанию как 5:6. 11*. Гипотенуза прямоугольного треугольника относится к одному из катетов как 5:4. Вычислите площади частей треугольника, на которые его делит высота, проведенная к гипотенузе, если: а) разность отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу, равна 7 см; б) разность отрезков, на которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу, равна 5 см; в) разность отрезков, на которые биссектриса острого угла делит катет, равна 2 см. 12**. Инцентр прямоугольного треугольника удален от вершин его острых углов на см и Vl0 ^ см. Найдите площадь треугольника. 13** .В треугольнике АВС известны две стороны: АВ =112 см, АС = 108 см. На АВ отметили такую точку М, что AM = 84 см. Через М провели прямоте, делящие треугольник на части, площади которых (считая от вершины А) относятся как 1:2:3:4:5. Найдите длины частей, на которые эти прямоте делят сторону АС. 14*. На сторонах треугольника АВС отметили точки D, Е F так, что AD : DB = = BE : ЕС = CF : FA =1:2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и DEF. 15*. Стороны треугольника АВС продлили так, что АВ = ВАр ВС = СБу СА = СА,. Найдите отношение площадей треугольников АВС и A^B^Cj.. 16*. Точка О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, стороны которого равны 15 см, 28 см, 41 см. Найдите площади треугольников ABO, АСО, ВСО. 17**. Точка касания, вписанной в прямоугольный треугольник окружности, делит его гипотенузу на отрезки длиной тип Найдите площадь треугольника. 18**. Вписанная в треугольник АВС окружность радиуса г касается его сторон в точках D Е F при этом: AD =АЕ = т BD = BF= п СЕ = CF = t Докажите, _ mnt что площадь треугольника Ь--------. г 19**. Медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна 20 см. Серединный перпендикуляр к этой медиане пересекает больший катет в точке, удаленной от указанной медианы на 7,5 см. Найдите площадь треугольника. 20*. Наибольшая медиана прямоугольного треугольника равна т и наклонена к большему катету под углом 15°. Найдите площадь треугольника. 21**. Через точку М на стороне АВ треугольника АВС проведите прямую, делящую треугольник на две равновеликие части. 22**. Через точку М на стороне АС треугольника АВС проведите две прямые, делящие треугольник на три равновеликие части. Для любознательных Две вершины треугольника АВС лежат в точках А(2; 2) и В(2; 0), а третья вершина С(х, у) принадлежит прямой х= 5. Найдите площадь треугольника АВС и координаты вершины С. 65 23*. 24*. 25*. 26*. 27*. 28*. 29. 30. 31. 32. 33*. 34** 35* 36** 37** 38** 39** 40**. Вычислите площадь трапеции, если: а) ее основания равны 8 см и 26 см, а углы при большем основании - 30° и 60°; б) основания равны 7 см и 55 см, а боковые стороны - 29 см и 35 см; в) высота трапеции равна 18 см, а диагонали - 30 см и 82 см; г) основания равны 10 см и 42 см, а углы при меньшем основании - 105° и 165°. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагональ которой является биссектрисой острого угла, боковая сторона равна а угол при большем основании - 60°. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее диагональ равна d и образует с большим основанием угол а. Три меньшие стороны прямоугольной трапеции равны 8 см, 8 см и 10 см. Найдите ее площадь. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов одной из ее боковых сторон на 3 см и 9 см. Найдите площадь трапеции. Боковые стороны и высота трапеции равны 25 см, 30 см и 24 см соответственно. Вычислите площадь трапеции, если: а) биссектрисы острых углов трапеции пересекаются на меньшем основании; б) биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются на большем основании. Вычислите площадь трапеции, описанной вокруг окружности, если: а) трапеция прямоугольная, ее наименьшая сторона равна 6 см, а острый угол - 30°; б' ; трапеция равнобокая, ее острый угол равен 60°, а радиус вписанной окружности - 4 см. Вокруг окружности радиуса 12 см описана равнобокая трапеция. Ее боковая сторона делится точкой касания в отношении 4:9. Найдите площадь трапеции. В равнобокую трапецию с площадью 200 см2 и высотой, равной половине боковой стороны, вписали окружность. Найдите радиус этой окружности. Площадь равнобокой трапеции равна 20 см2, а радиус окружности, вписанной в эту трапецию, равен 2 см. Найдите все стороны трапеции. Вычислите площадь трапеции, если радиус вписанной в нее окружности равен 5 см, а радиус описанной - 6 см. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен R, расстояние между точками касания этой окружности к боковым сторонам трапеции -8 см. Найдите площадь трапеции. Длина меньшего основания трапеции - 70 см, центр вписанной в трапецию окружности удален от концов этого основания на 65 см и 75 см. Найдите пло- i щадь трапеции. Основания трапеции равны 89 см и 142 см, а диагонали - 120 см и 153 см. Найдите площадь трапеции. Прямые АВ и CD, содержащие боковые стороны равнобокой трапеции ABCD, пересекаются под прям^тм углом. Площадь трапеции равна 12 см2, а ее высота - 2 см. Найдите все стороны трапеции. Основания трапеции равны а и Ь. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции, который делит ее на две равновеликие части. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из ее боковых сторон на расстояние от середины второй ее боковой стороны до первой. Через середину диагонали BD выпуклого четырехугольника ABCD провели прямую, параллельную диагонали АС. Эта прямая пересекает сторону AD в точке Е. Докажите, что отрезок СЕ делит четырехугольник ABCD на у равновеликие фигуры. Для любознательных На шахматной доске расставили 15 фигур так, что в каждом горизонтальном ряду и каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура. Докажите, что с доски можно убрать одну фигуру так, что все остальные все равно будут удовлетворять сформулированному выше правилу. 66 к Метод площадей в теоремах и задачах Понятие площади можно использовать для доказательства теорем и решения задач. При этом в условии задачи может и не упоминаться о площади. В этом случае говорят, что используется метод площадей. При применении метода площадей часто используются известные опорные факты о площади: • медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника; • если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены эти высоты. Из формулы для вычисления площади треугольника | через синус одного из его углов следует опорный . факт: • площади треугольников, имеющие общий угол, относятся как произведения сторон треугольников, содержащих этот угол. Методом площадей можно доказать уже известное * вам свойство биссектрисы треугольника. ® I ж Теорема. Если AL ABC, то CL. LB = ас:: АВ. Доказательство — биссектриса А треугольника Пусть АА = 2а (рис. 1.51). Треугольники ACL имеют общую высоту, ную из вершины А. Тогда CL:ILH — 'S.Aa^L~ /Ъч и ABL проведен- . -1 AC-.AL sina Теорема доказана. ■ AB AL sin a == AC: АВ. ш Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ^ 2.1, считая от вершины. I Пусть AD и BN - медианы треугольника АБС, пересекающиеся в точке ^(рис. 1.52). Нужно доказать: (1) прямая СМделит сторону АВ пополам; (2) AM: MD= 2:1. # I I I В I I I i I I Рассмотрим доказательство (методом площадей) f теоремы о точке пересечения медиан треугольника. I s, = s. л. а А ь VS, а Ъ 67 1 / ВМ\ ММ, = = СМ: ММ2 = = АМ : ММг = 2 :1 Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников площадью: s = -S. 6 ^ I Доказательство Обозначим площади треугольников, на которые медианы AD, BNи прямая СМделят треугольник ABC так, как показано на рисунке 1.52. А 1) ЫОи MN- медианы треугольников СМ В и СМ А, тогда Sj = S2H S3= S4 2) AD и BN- медианы треугольника ABC, тогда IS2 + S3 + S4 = Sj + S6+S5, |S1+S2 + S3=S4 + S5+S6. Отнимем от первого равенства второе: S4 - S = S - S4и S = S4. 3) Имеем: Sj = S2 S3= Бф St = S4. Отсюда: S2= Sj= S4= S^fsr 4) CM - общая сторона треугольников CMB и СМА, а SCMB 2s — SCMA. Тогда соответствующие высоты этих треугольников равны: h~h'. — 5) МК - общая сторона треугольников АМК и ВМК, а соответствующие высоты этих треугольников равны (h — h). 'Г°гда SAMK SBMK т. е. S5 S6-' 6) Для треугольников АМК и ВМК высота, проведен- ная из точки М, общая, a ’AMK = S Bmk Тогда АК — КВ, ’AMC 2 : 1 имеют общую высоту, Sr'b^D 2s : S CMD и утверждение (2) утверждение (i) теорема: доказано. 7) Треугольники АМС и CMD проведенную из вершины С, a S = 2:1. Тогда AM : MD = теоремы доказано. Теорема доказана. Методом площадей можно доказать важную теорему, утверждение которой сформулировал и которую доказал итальянский математик Джованни Чева (1648-1734). Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на его противоположной стороне, называют чевианой (в честь Джованни Чевы). 68 ^ ш Теорема Чевы. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС расположены точки X Y и Z соответственно (рис. 1.53). Для того чтобы чевианы АХ, BY и CZ пересекались в одной точке, необходимо и достаточно,чтобы ВХСУ AZ _ ^ ХС YA ZB " Доказательство I. НЕОБХОДИМОСТЬ Если чевианы АХ ВУи CZпересекаются в одной точке, то выполняется соотношение ВХ CY AZ ^ ХС YA ZB- ■ В треугольнике АВС (рис. 1.53): ВХХС — SABX ■ SAXC = SPBX : (^ллх ~ ^рвх) ~ t' №aXC ~ I Напомним: I =-«обозначили как^>; П - «пересекает^); | £- «не принадле-I жит^>; - —- «совпадает^); Ф- « не совпадает ». Теорема Чевы Тогда: BXXC = t= (sab:x'SPBX- Аналогично CY: YA Перемножим почленно три ВХ CY AZ ХС YA ZB ) • (^ЛХС '-рх,) АВР • ^САР’ AZ: S = f' '^pxc ' Spxc)’ = s вср ' ® Авр и ^ ® са^ ■ 'ВСР' почленно три полученные равенства: ЯЯ ААвр *IABP apCp САР _ . тт ----------------:= 1. Ч. т. д. II. ДОСТАТОЧНОСТЬ Если для чевиан АХ, BY и CZ выполняется соотноше-ВХ CY AZ ХС YA ZB-It Чевианы АХ, BY и CZ пересекаются в ОАНОЙ точке. ние-------------— 1, то они пересекаются в одной точке. \ Р. ХС YA ZB Пусть АХ П чевиану CZVZx BY -Pi CZ. Проведем Z Тогда по доказанному: ВХ CY AZX _ ХС YA ZXB - AZx ХС YA ZB Z,B через точку AZ ZB' С т. е. Zx — Z что противоречит допущенному. Теорема доказана. Следствие. Триюнометрическая форма теоремы Чевы. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС расположены точки X У и Z соответственно. Для того чтобы чевианы АХ, BY и CZ пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы sinACZ sin ВАХ sin CBY Тригонометрическая форма теоремы Чевы: sin . ACZ sin ВАХ sin ZCB sin XAC sin CBY sinZCB sin XAC siaYBA sin YBA - = 1 69 Й 1 BCP 1 1. ЛКуВК2,СКз-пересекаотся в одной точке. АК ^ ВК,7СК- а с пересекаются в оАной точке. По теореме синусов из треугольников ACZ и ZCB получим: sin Б AZ sin ACZ CZ — ------- и — ZC sin A ZB Аналогично BX sin AZ ACZ sin В sin ZCB .B_L^sm С CY ■ -------- и ZB sin ZCB sin A sin CBYsin A sin YBA sin С XC ~ sin XAC sin Б YA Для завершения доказательства осталось перемножить полученные равенства. Следствие. Следствиями теоремы ются такие известные теоремы. с Чевы явля- 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 3. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. 4. Прямые, проходящие через вершины треугольника и делящие его периметр пополам, пересекаются в одной точке. 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания к противолежащей стороне вписанной в треугольник окружности, пересекаются в одной точке. 6. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания к противолежащей стороне вне-вписанной окружности данного треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство этих следствий предлагаем провести I самостоятельно. Для любознательных Французским математиком Жергоном в 1818 г. была доказана такая теорема. Теорема Жергона. Если прямоте AD, BE, CF проходят через вершины А, В, С треугольника ABC и пересекаются внутри треугольника ABC в точке О, то выполняются соотношения (1)- oDq:E^of. ^b^(Cf' Доказательство Площади треугольников АОСи ABC (см. рис.) относятся как их высоты, которые относятся как ОЕ к BE (если из точек В а О провести соответствующие перпендикуляры к АС - получим подобные треуголь- ники). Тогда ■ S . ОЕ S.RC '. Аналогично &B°C=O'D^^AO^ = Сложим ScABC^^ JCBC CF по- лученные равенства: °13 OF- loC h &ВОС^ Saob _ABc = ^ BE AD CF SA -h ..BC ®ABC Sabc j^BC 70 T. e. Опорная задача 1 Докажите, что если на двух пересекающихся в точке А прямых с и Ъ отметить по две точки С и С^. В и В, соответственно (рис. 1.54), то ^S.„rABAC АВ,AC 1 -■ АВ ■ ACsin а 2 ^ABjCj 1 ABj . АСх sin(l 80° - а) АВг ■ АСХ sjjr"a Опорная задача 2 Докажите, что sin 2a = 2sinacosa, (угол а - острый). Дано. ZB = 2а. В Дояазятъ." sin2a = 2sinacosa. 1) АВ= ВС = 1, ВК= 77по построению (рис. 1.55). Тогда ВК 1 АСи \/ АК = ABsina = sina, ВК = АВ cosa = cosa. / 2) "ARC = "АВК SCBK^ ОтСюДа. ^ [ / 1 -1 sin 2а = 22 а\ \1 --sinacosa и sin2a 2 sinacosa. Опорная задача 3 Докажите, что длину биссектрисы угла А треугольника ABC (рис. 1.56) можно вычислить по формуле А 2becos- — _______^ Ь + с _ о + Q l) SA ВС ~ '^АВК ~ '^САК' 1 . --cBs 'rn 2 а тогда: — cl. sina + 2 2^ Рис. 1.56 -Ы. sina. sin2a = 2 sinacosa sin а к sin а Рис. 1.55 1 С I I i I 2accos- a + c 2a6cos- - k:^ a + b Для любознательных 1. Докажите, что для произвольного значения а существует треугольник со сторонами \1я2-я +1, \1я2 +а +1, \14а2 +3, площадь которого не зависит от а 2. Точки Е и F - середины сторон ВС и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми АЕ, ED, BF и FC, если площадь параллелограмма ABGD равна S. 71 ABC / 2) Воспользуемся формулой sin2a — 2sinacosa (0.3.-2): 2bccos' А 2cb sinacosa — (с + b)lA sina. Отсюда lA — b + c Опорная задача 4 Докажите, что в произвольном выпуклом четырех - угольнике ABCD диагональ АС делится точкой О пере - сечения диагоналей в отношении АО: ОС — S '•ССво (рис. 1.57). АО : ОС = SABD : SCSD^ 1) По построению: АК1 DB, CN1DB; АК— h^, CN— h^. I 2) ZAKO =90° — ZONC, ZAOK = = ZCON как вертикальные. Тогда ДАОК ~ ACON и АО: ОС = hxli2- 3) BD - общая сторона треугольников ABDи CBD. Тогда задано отношение | Рис. 1.57 А у? х: у-? Запишите: ^ 1) х • у— SACD ■ SAKD- J 2) "'ACD’ C4DB— — I ^ ' AADK ■ &KDB ~ -■ ' I Опорная задача 5 Точка К делит сторону АВ треугольника ABC в отношении АК: КВ— 2:3 (рис. 1.58). В каком отношении медиана AD делит отрезок СК1 Лоно: АК : КВ — 2:3; AD — т. Няйт: СО: ОК Обозначим площадь треугольника ABC через S. 1) В четырехугольнике AKDCсогласно 0.3.-4: СО :ОК^ аАСао.ако. 4) Поделите (2) на (3). 2) AD - медиана, тогда S 3) АК: КВ— 2:3, тогда 'ACD ~ Sa^b ' 5. 72 Для любознательных Опорная задача. Найдите площадь треугольника А ВСпо его высотам. 1) Площадь треугольника ABCравна: S = и a b _ , _ a ,\ha, L , - cCi, тогда-------/e, c-----h„ =к-^- 2 ' 2 2h” A hb К ' h^aК , 2) Треугольник ABCподобен (с коэффициентом подобия к) треугольнику AjBjCj, стороны которого: ох = h^- bx= ha и Cj -—КК. К 3) Площадь Sj треугольника А1ВСС1 найдем по формуле Герона. Искомая площадь треугольника S — k2S,. Ski • skDb~ 2.3 И 5 4) CO. OK = -S:-S = —. 2 5 2 Ответ: СО: ОК = 5:2. lie = -S 1 = 5U ) _,2 ( 1 ^ 1 * Все исследуй, первоем^сто I I предоставь разуму Пифагор yl : , ) Задание 10 1*. Площадь прямоугольного треугольника в 4 раза меньше площади квадрата, построенного на его гипотенузе. Найдите острые углы треугольника. 2*. Докажите, что для любого треугольника отношение периметра к одной из его сторон равно отношению высоты этого треугольника, опущенной на указанную сторону, к радиусу вписанной в треугольник окружности. 3*. Докажите, что для произвольного треугольника со сторонами а, Ъ, с и площадью Sвыполняется неравенство аЪ + ас + Ъс > 6S. 4**. Докажите, что площадь четырехугольника не превышает произведение полусумм его противоположных сторон. 5**. В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 см и 5 см, одна из диагоналей которого 6 см. Найдите стороны треугольника, если диагонали параллелограмма параллельны двум сторонам треугольника, а меньшая сторона параллелограмма лежит на третьей стороне треугольника. 6**. Докажите, что сумма расстояний от произвольной внутренней точки правильного треугольника до его сторон не зависит от расположения этой точки. 7**. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон - величина постоянная для данного треугольника. 8**. Дан ZAOB = 120°, ОС - его биссектриса. Точка ^расположена внутри угла АОС и удалена на а, Ь, сот ОА ОВ, ОСсоответственно. Докажите, что b = а + с 9*. Две окружности с центрами в точках Ov 02 и радиусами 21 см, 35 см пересекаются в точках А и В, при этом Z0,A02 = 120°. Найдите АВ. 10**. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, являются равновеликими с площадью, равной среднему геометрическому площадей треугольников, прилежащих к основаниям трапеции. 11*. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, в 8 раз больше площади треугольника. Найдите острые углы треугольника. 12**. Докажите: если разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам, то указанные стороны лежат против острых углов. 13**. Каждая из двух высот треугольника не меньше обеих сторон, к которым проведены эти высоты. Найдите углы треугольника. 14** . Каждая из двух высот треугольника делит его на две равновеликие части. Найдите углы треугольника. 15*. Окружность с центром на гипотенузе прямоугольного треугольника касается его катетов, равных 21 см и 28 см. Найдите ее радиус. 16*. Полуокружность с центром на гипотенузе треугольника делит ее на отрезки 30 см и 40 см. Найдите ее радиус. Для любознательных 1. Постройте треугольник по его высотам. Совет. См. опорную задачу на стр. 72. 2. Высоты одного треугольника равны соответственно высотам второго. Докажите равенство этих треугольников. 3. Высоты одного треугольника соответственно пропорциональны высотам второго. Докажите подобие этих треугольников. 73 17**. Полуокружность с центром на одной из сторон треугольника касается двух других его сторон а и Ь. Радиусы полуокружности, проведенные в точки касания, образуют угол а. Найдите расстояние между точками касания и радиус полуокружности. 18** .Точка О - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Площади треугольников ОАВ, ОВС и ОАС равны 30 см2, 52 см2 и 74 см2 соответственно. Найдите стороны треугольника ABC 19**. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Площади треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны р2 и Докажите, что площадь трапеции равна (р + q)2. 20**. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD при пересечении в точке О делят его на четыре треугольника: АОВ, ВОС, COD, AOD. Докажите, что о . с с .с '-'лов °COD -^ВОС AOD' 21**. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и COD равновеликие тогда и только тогда, когда ВС || AD. 22**. Пусть К, L, М, N - середины сторон АВ, ВС, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD соответственно; отрезки КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите, что SakON + SCL0M = SBKOL + SDN0M- Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Р. Даны площади ААвР, АВСРи ACDP. Найдите площадь AADP. Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых выражены целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел является точным квадратом. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Р. При этом + S2cdp = S2ir., + S2ADp. Докажите, что Р - середина одной из диагоналей. Внутри выпуклого четырехугольника ABCD отметили три точки, не лежащие на одной прямой: Pv Р2 и P. При этом сумма площадей ААВРп и ACDPn равна сумме площадей АВСРп и AADPn для каждого п е {1; 2; 3}. Докажите, что ABCD - параллелограмм. 23** 24**. 25**. 26**. Для любознательных 1. Найдите площадь треугольника, если заданы длины всех его медиан. Совет. Вспомните опорную задачу о площади треугольников, на которые делят заданный треугольник его медианы (стр. 68). 2. В треугольнике ABC точка Е - середина стороны ВС, точка D лежит на стороне АС; АС = 1; ZBAC = 60°; ZABC = 100°; ZACB = 20°; ZDEC = 80° (рис. А). Найдите сумму площади ААВСи удвоенной площади ACDE. 3. В треугольник Та = AAjA.yAj вписан треугольник Ть = ABjB2B3, а в треугольник Ть вписан треугольник Т^. = ACi.C2Ca. Стороны треугольников Та и Ть попарно параллельны. Найдите площадь треугольника Т, если известны площади треугольников Та и Тс 4. Точки А,, В, и С^ делят стороны треугольника ABC в отношениях ВЛ,: АрС=р, СВХ: В,А = q; ACj: С;В = f. Точки пересечения отрезков А4.,, ВВ, и СС, расположены и обозначены так, как показано на рисунке Б. Найдите отношение площадей треугольников PQD и ABC. 5. Докажите, что для длин сторон а, Ь, с треугольника ABC, его площади S радиусов г и R вписанной и описанной окружностей треугольника выполняется неравенство 9r 1 1 19 R ____^_1_Н—^-------. 2S а b с 4S В 74 Метод координат как способ решения геометрических задач Чтобы проиллюстрировать эффективность применения метода координат, рассмотрим решение трех задач предложенным методом и геометрическим способом. В каждой из этих задач нужно построить окружность, что, с точки зрения аналитической геометрии, равносильно составлению уравнения искомой окружности или определению ее радиуса и координат центра. Покажем, что применение метода координат может значительно облегчить поиски решения. С этой целью для каждой задачи рассмотрим решение двумя способами: первый - методом координат; второй - используя элементарную геометрию. Характерно, что решения первым способом проводятся по одному плану и идейно похожи, а решения вторым - имеют мало общих черт и основываются на использовании разных теорем. Пример 1. Через произвольную точку Р меньшей из двух концентрических окружностей радиусов йиг, провели прямую, пересекающую большую окружность в точках Б и С. Перпендикуляр к (ВС), проведенный через точку Р, пересекает меньшую окружность в точке А. Найдите |РА|2 + |РБ|2 + \РС\2. Первый способ Через центр О данных окружностей проведем оси Ох || ВС и Оу (рис. 1.59-а). В выбранной системе координат: Р(х1; У]),Л(х,; -ух), 0(х2; у), В(-х2) у^- Запишем искомую сумму: |РА|2 + |РБ|2 + 1РСИ = (2г/1)2 + (Хх + х,)2 + (хх - х2)2 = 2(Xi2 + у2) + 2(х2 + У2) = = 2г2 + 2 R2. Второй способ Проведем через центр окружностей прямоте FO || ВС и OK1 ВС (рис. 1.59-6). Тогда: МК = КР, ВК=КС, PF = FAn РВ = ВК + КР, PC= ВК -- КР, ОК2 + КР2 = г2, ОК2 + ВК2 = R2. Искомая сумма равна: (ВК + КР)2 + (ВК - КР)2 + {2ОК)2 = = 4 ОК2 + 2 ВК2 + 2 КР2 =2 (ОК2 + + ВК2) + 2 (ОК2 + КР2) = 2I2 + 2Б2. Рис. 1.59 Пример 2. Через точки А(4; 1) и Б(11; 8) проведите окружность, касающуюся оси Ох. Что бы ты не изучал, - ты учишься для себя. Гай Петроний (Рим, пр. 66 г.) + Суть коорАинагно-1о метола - выразить зависимости между элементами геометрической фигуры с помощью алгебраических соотношений. 75 Решение задач координатным методом: 1) строим прямоугольную систему координат; 2) находим координаты точек; 3) определяем расстояние между точками, составляем уравнения прямых и т. п.; 4) анализируем полученные соотно- Пр ямоугольную систему координат можно вводить произвольным образом - результат не зависит от выбора систем^! коорди- нат. Однако от того, насколько удачно это сделано, зависит рациональность решения, уровень сложности и время получения искомого результата. I Первый способ | Очевидно, что искомая окружность лежит выше оси Ох. При этом она касается оси Ох. Тогда ордината центра окружности равна ее радиусу: Ъ = г. Поэтому уравнение искомой окружности имеет вид: (х - а)2 + (у - г)2 =г2, или (х - а)2 + у2- 2гу = 0. Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек А и В, получим равенства (4 - а)2 + 1 - 2г = 0, (11 - а)2 + 64 - 16г = 0. Отсюда: ах= 7; а2= -1; Ьх = гх= 5; Ь2= г2 = 13. Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условию задачи: (х- 7)2 + (у-5)2 = 25 и (х+ 1)2 + (у-13)2= 169. Второй способ Анализ Пусть прямая АВ пересекает ось Ох в точке С, а окружность касается этой оси в точке D. Длина отрезка CD - среднее геометрическое (пропорциональное) отрезков касательной СВ и С А. Искомая окружность проходит через три точки: А, В и D. План построения 1. Проводим прямую АВ, получаем С -точку ее пересечения с осью Ох (рис. 1.60). 2. Имея отрезки СВ и СА, строим отрезок t = \/CB CA (как среднее пропорциональное). 76 Для любознательных На прямой п задано три точки А, В и С, Be [АС]. С одной стороны от прямой п построили равносторонние треугольники АМВ и BNC. Докажите, что середины отрезков МС, NA и точка В - вершины правильного треугольника. Совет. Выберите точку В за начало координат, а прямую п - за ось абсцисс. 3. Откладываем на оси Охот точки ^отрезок ^(две возможности) - получаем точки Dx и D^ 4. Строим две окружности у, и у2, которые проходят через точки А, B,Dt и В, А, Несоответственно. Доказательство I По построеншо имеем: CDX - С02 = t — \1СВ ■ СА, окружности ух и у2 проходят через три точки А, В, Dx и А В D2 соответственно. I D, D„ точки касания окружностей Локазять: оси Ох. Закончить доказательство предлагаем гамостоятельно. I Пример 3. Даны две взаимно перпендикулярные прямоте и точка А, удаленная от одной из них на расстояние в два раза большее, чем от другой. Постройте окружность, проходящую через точку А и касающуюся | заданных прямых. Первый способ Направим вдоль заданных прям^тх оси координат Ох и Оу (рис. 1.61). Тогда А(2; 1), искомая окружность лежит в первой четверти координатной плоскости и координаты центра окружности равны ее радиусу: я — Ь — — г Тогда уравнение искомой окружности имеет вид: (X - г)2 + (£/ -J-)2 = Г2. Подставим в это уравнение координаты точки А: (2 - г)2 + (1 - г)2 = г2, или г2 - бг + 5 = 0. Отсюда: tx = 1; г2 = 5. Таким образом имеем две | окружности, удовлетворяющие условию задачи: (х- 1)2 + (у-V)2 = 1 и (х - 5)2 + {у-5')2 = 25. Если построить в первой четверти произвольную окружность, касающуюся осей Ох и Оу, то она будет гомотетичной искомой окружности с центром тетии в точке О. гомо- Применение координатного метода не требует рассмотрения сложных геометрических конфигураций,про-ведения дополнительных построений и их обоснований. Координатный метод позволяет алгоритмизировать решение геометрических задач. Каждая решенная мной задача становилась образцом, служившим далее для решения других задач. Рене Л^еа^>т «Размышления о метоое» 77 План построения 1. Строим окружность у0, касательную к осям Ох и Оу (ее центр К лежит на биссектрисе QL координатного угла). 2. Проводим прямую О А - она пересекает окружность у0 в точках Ми N 3. Через точку А проводим прямые, параллельные прямым KN и КМ - они пересекают биссектрису OL в точках Ти Р соответственно. Точки Ри Т-центры искомых окружностей ух и у2, радиусы которых равны РА и ТА соответственно. Доказательство По построению имеем: OL - биссектриса угла О; К - центр окружности у0, которая касается Охи С>у; AT || KN;AP || КМ;гх = РА; г2 = ТА. Доказать: окружности у, и у2 касаются Ох и Оу. Справедливость построения следует из теорем о подобии фигур. Предлагаем провести доказательство самостоятельно. Опорная задача Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ъ. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей этого треугольника. Как известно, центр вписанной в окружности - инцентр I (точка пересечения сектрис треугольника), а центр описанной прямоугольного треугольника окружности О - дина гипотенузы. Тогда имеем следующую (рис. 1.62). Дано: /С = 90°, СВ = а, АС - Ъ, АО = ОВ, I-ин- треугольник бис-вокруг серезадачу 1) Расположим начало координат в точке С а оси координат направим вдоль катетов треугольника. Тогда: А(0; Ъ), В(а; 0), С(0; 0), 1(г; г). 2) 0(х; Уо) - середина отрезка АВ, тогда: х0--j у0 ' а 2 3) Учитывая, что в прямоугольном треугольнике _ а + Ъ - с г = --------- и с= \/а2 + Ь2, найдем расстояние между точками 1(Г; г) и 0(хо;уо): ОР = (г- хо02+ (г - УоУ =212- 2г(х0 + у0 + х02 + Уо2= 2г (г - х0-Уо> + х02 + у = (а + Ъ - с) „2 1,2 -г 1 ” а о с 1 ^ + — + — = — + -(а2 4 4 24 2 а + Ь 3 t а + Ь +I)2)-------с = — с" --------С. 2 4 2 Для любознательных Вы, безусловно, знаете, что точка, движущаяся по плоскости так, что остается равноудаленной от двух неподвижных точек Ли В, описывает прямую - серединный перпендикуляр к [АВ]. А вот какую кривую опишет точка, если расстояние от нее до неподвижной точки А будет в определенное число раз больше расстояния до неподвижной точки В? Оказывается это будет окружность (окружность Аполлония). Попробуйте это доказать. Если вам это не удастся, загляните в приложение 1. 78 2 Ответ. )g + b) - 2(a + 6)Va2 + b2. Для сравнения попробуйте решить эту задачу без использования метода координат. (Перпендикуляр IK, опущенный из точки /на катет СВ, делит его на отрезки г и а - г Из прямоугольного треугольника IKB можно найти IB и tg—. Теперь из треугольника BOI, по теореме косинусов, найдите 01, В ^ В ^ выразив cos — через tg —.) 2 2 Задание 11 1. Докажите методом координат, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин. 2*. Используя метод координат, докажите теорему о средней линии треугольника. Докажите, что в трапеции: а) отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности оснований; б) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение оснований. В ромб ABCD с углом 45° вписана окружность радиуса R. Докажите, что для произвольной точки окружности .^выполняется равенство МА2 + MB2 + МС2 + + MD2=-AB2. 8°. прямоугольника ABCD равна 48, плоскости прямоугольника выбрали такую а длина точку К, его что от нее 10. 13. вершины пря- диагонали KB = KD- Площадь В Найдите расстояние от точки К до наиболее удаленной моугольника. . Докажите, что в выпуклом четырехугольнике: а) сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон; б) сумма квадратов сторон равна сумме квадратов его диагоналей плюс квадрат удвоенного расстояния между серединами диагоналей. Докажите, что сумм^т квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до противолежащих друг другу вершин прямоугольника равны между собой. Вокруг окружности единичного радиуса описан квадрат ABCD. Докажите, что расстояния а, Ь, с, d от произвольной точки окружности до вершин квадрата А, В, С D связаны соотношением: а) а2 + Ь2 + с2 + d2= 12; б) а2с2 + b2d2 =10. Для любознательных В следующих задачах используются традиционные обозначения для элементов треугольника ABC. 1. Докажите, что среди всех треугольников с фиксированными значениями меры угла А и площадью S наименьшую длину стороны а имеет равнобедренный треугольник с основанием а. 2. Докажите, что среди всех треугольников с фиксированными углом А и полупериметром р найболыпую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием а. Совет. Вспомните опорные задачи вневписанной окружности. 3. Рассмотрите множество всех остроугольных треугольников с заданными стороной а и углом А. Найдите наибольшее значение суммы квадратов длин сторон Ь и с. 4. Пусть О - центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, а точка М - его центроид. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна медиане СКтогда и только тогда, когда а^+ Ь2 =2с2. 79 4 5 6 7 10*. 11*. 12*. 13** 14** 15** 16*. 17** 18** В окружность с центром О вписан четырехугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями, пересекающимися в точке Р. Докажите, что середины сторон АВ, CD и точки Q Р -вершины параллелограмма. Найдите геометрическое место точек плоскости: а) сумма расстояний от которых до двух заданных точек А и В - величина постоянная, равная длине отрезка АВ; б) модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек А и В - величина постоянная, равная длине отрезка АВ. Найдите (методом координат) геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек. Найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек - величина постоянная. Дан равносторонний треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек .Этаких, что МС2 = МА2 + MB2. Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек М для каждой из которых: а)МВ2-МА2= 2АВ2; б) 2АМ2-ВМ2= 2АВ2; в) AM2 + 2ВМ2= 6АВ2. Задан квадрат со стороной 2а. Найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин этого квадрата - величина постоянная и равна 12а2. Найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до заданных точек А(2; -3) и В(2; -1) - величина постоянная, равная 6. Заданы две точки: А и В. Найдите геометрическое место точек М, для которых AM: MB =k,k*0. Постройте геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют соотношению: в)-*/(*-2)2 +{y-If-л](х-2)2 +(у-4)2 =3; е) Y](r-if—JI-(x-f Задания для повторения главы I 1°. Какой четверти принадлежит точка М(х; у), если: а) х >0; у >0; б) Х< 0; у >0; , в) х <о; у <0? 2°. Запишите формулы для вычисления расстояния между точками: а) А(Х;; у^) и В(х, у) ; б)А(х^; уА) и началом координат. 3°. Запишите уравнение окружности радиуса гс центром в: а) точкeQ(я;b); б) начале координат. 4°. Запишите координаты середины отрезка АВ, если: а) А(Х, уА) и В(Х,; у,); б) а(х;уа)„ В(0; 0). ^ I 5°. Запишите уравнение прямой в общем виде. i 6°. Запишите условие параллельности прям^тх: а) а^х + Ъ,у + с, = 0 и Я2Х + Ьгу + с2 = [ = о; б) у — k''x + Ь^иу — к^х + 7°. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла от 0° до 180°. 8°. Запишите основные соотношения между тригонометрическими функциями i одного и того же угла. i 9°. Запишите соотношения между тригонометрическими функциями углов: а) 90° - а и а; б) 180° - а и а. 10°. Сформулируйте теорему: а) синусов; б) косинусов. ^ 11. Докажите теорему: а) синусов; б) косинусов. 12*. Сформулируйте: а) расширенную теорему синусов; б) следствия из теоремы косинусов. 13°. Запишите формулы для вычисления площади треугольника: а) Герона; б) по двум сторонам и углом между ними; в) через радиус вписанной окружности; г) через радиус описанной окружности. 80 14*. Как относятся площади двух треугольников, имеющих: а) одну общую сторону; б) одну общую высоту; в) один общий угол. 15. Как относятся площади двух частей треугольника, на которые его делит: а) медиана; б*) прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая его противолежащую сторону в отношении т: п. 16°. Заданы координаты вершин треугольника: А(-7; 1), В(5; -4), С(5; 1). Найдите: а) координаты середины стороны АВ; б) длину стороны ЛВ; в) уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ; г) проверьте, принадлежит ли указанной окружности точка С. 17. Две окружности заданы уравнениями: х2 + 2х + у2 - 4у= 20 и х2 + у2 - 2х = 0. а) Найдите координаты центров данных окружностей; б) найдите радиусы этих окружностей; в) запишите уравнение окружности с центром в середине отрезка, соединяющего центры заданных окружностей, и радиусом, равным среднему арифметическому радиусов заданных окружностей; г) определите, пересекаются ли заданные окружности. 18*. Как записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, ни абсцисса, ни ордината которых не совпадают? 19. Как записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, у которых равны: а) ординаты; б) абсциссы? 20°. Постройте на координатной плоскости прямую, заданную уравнением: а) у = 4; в) х+ 3 = 0; д) Зх + 2у = 0; ж) Зу - 2х = 1; б) х = -1; т)у=2х-3; е)4у-3х = 0; з)х + у = 0. 21*. Найдите координаты точек пересечения прямой у = ах с окружностью х2 + у2 = 1. 22. При каких значениях параметра а окружность х2 + у2 = 4 касается прямой: а*) у = 2а;б*) х = -4а;в**) у = ах + 2;г) ах+ (а - 2)у+ 4 = 0? 23. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку В(2; 3) и: а) параллельна оси ординат; в) через начало координат; б) параллельна оси абсцисс; г*) через точку А(1; 4). 24. Составьте уравнения прямых, представленных на рисунке 1.63 (стр. 82). 25. Найдите уравнение прямой, которая проходит через точку А(3; 5) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол: а) 45°; б) 135°. 26. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку А(-1; 5) и: а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в*) параллельна биссектрисе I и III координатных углов; г*) параллельна прямой у = 2х; д*) параллельна прямой у = 1 - Зх; е**) перпендикулярна прямой у = 2х. 27. Постройте треугольник ЛВС по координатам его вершин: А(5; 5), В(-5; 6), С(1; -4). Найдите: а) длину стороны АС; б) уравнение прямой АС; в*) площадь треугольника АВС; г) координаты середины стороны АС; д*) уравнение медианы ВМ; е**) уравнение прямой, содержащей высоту ДЯ; ж**) координаты точки Н - основания высоты ВН; з**) длину высоты ВН. 28. Найдите координаты точек пересечения окружности х2 + (у - 2)2 = 4с осью ординат. 29*. Без построения определите, пересекаются ли окружности: (х - I)2 + (у + 2)2 = 4 и х2 + (у -2)2 = 4. 30**. При каких значениях параметра а окружности (х - а)2 + (у + 2)2 = 4 и х2 + (у -2)2 = 4 будут касательными? 31. Стороны параллелограмма равны 2\/з см и 4 см, а один из его углов составляет 30°. Найдите диагонали параллелограмма. 32. Является ли треугольник со сторонами 30 см, 26 см и 28 см тупоугольным? 33**. Биссектриса треугольника пересекает противолежащую сторону под углом 60° и делит ее на отрезки 3 см и 4 см. Найдите длину этой биссектрисы. 34*. Медиана треугольника, проведенная к стороне длиной 32 см, образует с ней угол 120°. Сторона, лежащая против указанного угла, равна 2л/97 см. Найдите третью сторону треугольника. 81 в) У> f / / / / / / / 0 X ^С(-3;-4) 35*. Сторона треугольника равна а а прилежащие к ней углы -аир. Найдите высоту треугольника, проведенную к заданной стороне. 36**. По заданному периметру Р найдите стороны треугольника, если его острые углы равны аир. 37. Найдите радиус описанной окружности, неизвестные стороны и неизвестные углы треугольника ABC, если АВ = 3 см, ZC = 45°, ZB = 30°. 38**. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. 39*. Выведите формулу для вычисления площади четырехугольника через длины его диагоналей. 40**. Диагональ BD делит выпуклый четырехугольник ABCD на два треугольника, площади которых относятся как 2:3. В каком отношении эта диагональ делит отрезок АС? 41. Вычислите площадь треугольника, если: а) две его стороны равны 2 см и 6 см, а угол между ними - 150°; б) стороны треугольника равны 15 см, 26 см и 37 см; в*) две стороны равны 25 см и 40 см, а высота, проведенная к третьей, - 24 см; г) два угла треугольника равны а и р, а высота, проведенная из вершины третьего угла, - й; д*) два угла треугольника равны а и р, а биссектриса третьего угла - I; е*) две стороны треугольника равны 1 и >/l5, а медиана, проведенная к третьей стороне, - 2. 42. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если: а) высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 4 см и 16 см; 82 б) катеты относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 25 см; в) разность катетов равна 2 см, а гипотенуза - 10 см; г*) биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см; д*) высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см и делит ее на отрезки, разность которых - 7 см; е*) биссектриса острого угла делит катет на отрезки 20 см и 16 см. 43. Вычислите площадь параллелограмма, если: а) диагонали параллелограмма равны 15 см и 20 см, а угол между ними - 30°; б) стороны и диагональ равны 13 см, 14 см и 15 см соответственно; в*) две высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 12 дм и 15 дм, а угол между ними - 30°. 44*. Вычислите площадь ромба, если: а) перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба на сторону, делит ее на отрезки 7 см и 18 см, считая от вершины острого угла; б) сумма его диагоналей равна 34 см, а сторона - 13 см; в) разность диагоналей равна 14 см, а сторона - 13 см; г) высота равна 24 мм, а диагонали относятся как 3 : 4. 45*. Вычислите площадь трапеции, если: а) ее основания равны 18 см и 13 см, а боковые стороны - 3 см и 4 см; б) ее основания равны 11 мм и 4 мм, а диагонали - 9 мм и 12 мм. 46*. Вычислите площадь равнобокой трапеции, если: а) ее основания равны 40 дм и 24 дм, а диагонали - взаимно перпендикулярны; б) ее основания равны 50 см и 14 см, а диагональ - 40 см; в) ее основания равны 39 см и 15 см, а диагонали - перпендикулярны к боковым сторонам; г) ее основания равны 50 см и 30 см, а боковая сторона - 26 см; д) ее основания равны 11 см и 25 см, а диагонали являются биссектрисами тупых углов. 47*. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если: а) разность ее оснований равна 7 см, большая боковая сторона - 25 см, а меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла; б) один из ее углов равен 135°, а основания - 2 см и 4 см. 48*. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60°, а сторона АВ - 3 см. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Вычислите площадь треугольника АВЕ. Для любознательных В предлагаем^тх задачах используются традиционные обозначения для элементов треугольника ABC. a2~^fj2+ с 1. Докажите для углов и сторон Л ABC: ctgA + ctgB + ctgC =-------^----. 2. На сторонах треугольника ABC {S^ = S) извне построены квадраты с центрами Av В,, Сг Пусть а.^ bv сх - длины сторон треугольника AjBjCj, а Sj - его площадь. Докажите, что: а) aI+ Ъ2 + с2= я?+ Ь2 + С2 + 63; б) S, - S = {а2 + 3^ + с2): 8. 3. Один из попугаев А В, С всегда говорит правду, один - всегда лжет, а один - хитрит: иногда говорит правду, а иногда неправду. На вопрос: «Кто ты?» - они ответили так: А: - Я врунишка! В: -Я хитрец! С: - Я честный попугай! Кто из них врунишка, а кто хитрец? 83 49**. Медианы AN и ВМ треугольника ABC, равны 6 см и 9 см соответственно,' пересекаются в точке К При этом угол АКБ равен 30°. Найдите площадь треугольника ABC. 50**. В треугольник вписана окружность радиуса 4 дм. Одна из сторон треугольника точкой касания делится на отрезки 6 дм и 8 дм. Найдите две другие стороны. 51**. Вершины треугольника соединили с центром вписанной окружности. Полученные отрезки разделили треугольник на 3 части, площади которых равны 28, 60 и 80 квадратных единиц. Найдите стороны треугольника. 52**. Докажите, если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь можно выразить в виде произведения длин отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон. 53**. Докажите, если отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырехугольника равны, то его площадь можно выразить в виде полупроизведения диагоналей. Готовимся к тематической аттестации № 1 Вариант I 1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(-7; 2), В(-3; 4). 2. Запишите уравнение окружности с центром в точке А(-3; 4), радиус которой равен 5 см. 3. Какие из точек А(3; 6), В(2; 4), С(0; 7), £>(2; 0), К(-5; 5) лежат на прямой 5х + Зу-22 = 0? 4. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением ■ х2 + у2 - 4х+ 6у + 9 = 0. 5. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите наибольшую из высот треугольника. Вариант II 1. Найдите длину отрезка АВ, если А(-7; 9), В(-4; 5). 2. Точка С(0; 1) - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если А(-2; -1). 3. Какие из точек А(1; 2), В(3; 4), С(-4; 3), D(); 5), К(5; -1) лежат на окружности, заданной уравнением х2 + у2= 25? 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку К(-2; 5) параллельно прямой у = 4х - 2. 5. Найдите наименьшую высоту треугольника, стороны которого равны 7 м, 8 м и 9 м. Готовимся к тематической аттестации № 2 Вариант I 1. Постройте угол а, если tg а = -0,4. 2. Стороны треугольника равны 16 см, 6 см и 14 см. Вычислите угол между наибольшей и наименьшей сторонами треугольника. 3. В треугольнике одна из сторон равна 32 см и образует с другой стороной угол 45°, а третья сторона имеет длину 28 см. Найдите неизвестную сторону треугольника. 4. Сторона треугольника равна 9>/з см, а противолежащий ей угол - 60°. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Вариант II 1. Вычислите sin а и tg а, если cos а = -0,8. 2. Существует ли треугольник ABC, у которого: ВС = 0,3; АС = 0,8; sin А = 0,4? 3. Определите вид треугольника, если его стороны равны 8 см, 4 см и 5 см. 4. Диагонали параллелограмма равны 7 см и 11 см, а стороны относятся как 6 : 7. Вычислите периметр параллелограмма. 84 правильные многоугольники ^.^йХЛИНА окружности.* ' ' ПЛОЩАДЬ КРУГА В этой главе мы возвращаемся к рассмотрению многоугольников -будем изучать свойства правильных многоугольников, использовать свойства многоугольников для решения геометрических задач. Кроме того, вы узнаете об одной очень важной в науке и технике постоянной -числе п («пи»), которое связано с измерением длины окружности и площади круга. Чудесным образом число л появляется в разнообразных математических и нематематических исследованиях, ' которые на первый взгляд очень далеки от геометрии. Этот факт еще раз подчеркивает целостность и единство наук, изучающих окружающий мир. §11 Основные свойства правильных многоугольников и вычисление их элементов I Напомним: многоугольник, стороны равны. многоугольников квадрат. Из сказанного правильным называется выпуклый у которого все углы равны и все Простейшие примеры правильных » равносторонний треугольник и j ZA^ и 'А, ... Ап - правиль-| ный * следует, что два вильных многоугольника с равными ны, т. е. их можно совместить наложением. Многоугольник называется вписанным ность, если все его вершины лежат на окружности. Многоугольник называется описанным окружности, если все его стороны касаются окружности. одноименных сторонами - в пра-- рав- окруж- вокруг =ZA. I I aZ = ... ■ » [=AA t Одноименные { многоугольники - * одинаковое число ’ сторон. 85 Ai-.-An - правильный правиль- ный a = b U A,,"-An = B.Bn Правильный многоугольник явля- ется вписанным в окружность и описанным вокруг окружности. Для правильного многоугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Ш Теорема. Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным вокруг окружности. Доказательство Обозначим меру угла рассматриваемого многоугольника через а. Рассмотрим три последовательные вершины Ар А2 и А3 правильного многоугольника (рис .2.1). Точку пересечения биссектрис углов Aj иА2 обозначим через О. Имеем: Рис. 2.1 ZOAjA2 = ZOAjjAj = а : 2. Тогда треугольник А^ОА2 равнобедренный и ОА2 =ОАг У треугольников А^ОА2 и А2ОА3: сторона ОА2 - общая, (X_ ZOA^Ai ■ Z0A2A3 А,А2 = AgAg. Тогда эти треуголь- ники равны и ОА3 = 0А2 = OAv Z0A^A2 = ZOA^A'^ = а ¥ Отсюда: - точка О равноудалена от вершин Av А2, А3; - точка О является пересечением биссектрис углов А^, А2 и Аз. Если провести аналогичные рассуждения для тройки вершин А2, Ад, А4 этого многоугольника и т. д., то в провести .2, ^^4 результате получим, что точка О равноудалена от всех вершин многоугольника и является точкой пересечения биссектрис всех его углов (т. е. равноудалена от всех его сторон). Тогда точка О - центр описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника. Теорема доказана. Замечание. Ралиус описанной окружности - боковая сторона рассматриваемых равнобедзенных / треугольников. Ралиус вписанной окружности - высота, провеленная 3 к основанию этих треугольников (рис. 2.2). Рис. 2.2 86 Для любознательных Квадратный лист бумаги разрезали на шесть частей, каждая из которых имеет форму выпуклого многоугольника. Пять из этих частей потерялись, а та, что сохранилась, имеет форму правильного восьмиугольника. Можно ли по этой части восстановить начальные размеры квадрата? с Следствие 1. Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют общий центр. Его называют центром правильного многоугольника. Отрезок, соединяющий центр правильного многоугольника с серединой его стороны, еще называют апофемой правильного многоугольника. Она равна радиусу вписанной в этот многоугольник окружности. и пСледствие 2. Из центра правильного много___J угольника все его стороны видны под одним и тем 360° же углом, градусная мера которого равна-------------, где п — число сторон (вершин) этого многоугольника. I Угол, под которым из центра правильного многоугольника видна его сторона, называют центральным утлом этого многоугольника. Найдем радиус R описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного л-угольника со стороной а. Пусть ^ и В - две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 2.3). ЯВо° Тогда АВ = а, ZAOB-------, ОА — Rh п ОВ — R,а апофема ОК"— г. В равнобедренном треугольнике АОВ высота ОК -медиана и биссектриса, поэтому ZAOB180° I » A.A,.. Ап - I правильный I I I I I I I I I ♦ I Центр АхА.,...Ап- центр вписанной и описанной окружностей. ¥ О Av ■^п At - апофема I центральный I АК— КВ— -, laAOK = ZBOK =-- Из прямоугольного треугольника АКО (ZK — 90°): . / 180° R — АК: sin ZAOK — а: I 2sin- I I =— ♦ \ I Напомним. — - «совпадает», « тождественное равенство». — АК c\,gZAOK V а, 180° gctg_---- R— 2Sin- 180° Найдем площадь правильного n-угольника. Иско- мая площадь S — п- SAOB. Тогда. S„ ап,^ 2Рпп'> Sn па2 х 180° S, —^-i(!sm-- 360° 2 2 ^ 4 п “ " 2 " z Тут Рп - периметр правильного многоугольника. В частности, при п —3, п — 4, п — ^получим следующие равенства. аА 180° 1 па? А 180° 4 п S — пу„2 ._^360° S«—-;?^i?”sin П Для любознательных А1...Ап - правильный многоугольник. Точка М - точка окружности, описанной вокруг него. Докажите, что МА2 + МА2 + ... + МА2 не зависит от расположения точки М на окружности. 87 2 а ГПРАВИЛЬНЫЙ Запомним для общей описанной окружности радиуса R R Гз~ 2 r=^ = ^R 4 2 2 ^в= ав = 2Г, Правильные А -А,иВi -вп ■ ^ _П Ra Р_^ ^ Ъ г„ Р„ п = 3 а4з Ял/З _ *3 ^^- = 2г^= «3 = а2 л/3 Л 88“ Для ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА п= 3: Я, а ал/з а 2 sin 60° 1 S,---aasinoO = 3 2 3 " 2 а2 a2=V^ 2 2 4 ctg60° ал/3 “Г’ R3 — 2r— Для ПРАВИЛЬНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА п — 4: а а%/2 i?4 = -; Г4 =-ctg45° = -; R4 2г4- S4 = a2. 2sm45° 2 Для ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИУГОЛЬНИКА п = 6: а Ч а%/з д/з А» sc=6- = а: 2sm30° ' a2V3 3a2V3 2 ctg30° А ~ 2^®’ 4 2 Замечание. При решении задач, в том числе и на построение, полезно помнить соотношения: Г,= -тГ; 2R=y[2or, R=a=2r- „ . Отметим еще одно свойство правильных многоугольников с одинаковым числом сторон, вытекающее из подобия равнобедренных треугольников, основания которых - стороны соответствующих многоугольников, а вершины - их центры. Все соответственные линейные элементы подобных треугольников . пропорциональны (коэффициент пропорциональности равен коэффициенту подобия). Тогда для двух правильных одноименных многоугольников: • отношение радиусов описанных окружностей равно отношению радиусов вписанных окружностей, а также отношению сторон этих многоугольников и отношению их периметров, • отношение площадей равно квадрату отношения, о котором говорилось в предыдугцем пункте. Для ПРАВИЛЬНОГО ПЯТИУГОЛЬНИКА п —5: а а R*=---------; Г; = - ctg36°; 2sm36° R^=rb-- sin36°ctg36° cos 36° Найдем значение тригонометрических функций угла меры 36°. Для этого воспользуемся формулой sin2a = 2sina cosa (стр. 71) и sin 18 Имеем: sin 36° = 2 sin 18° cos 18°; 1 --------- 1 л/5-1 (форзац). л/5-1 . _ sin 18° =-----=—лУ(л/5 — 1)2 =—л/б-2л/5; 4 4 4 cosj18° = л/l — sm218° = ./i-6 =-Vle + 2V5; V 16 4 -2^5 1 — :./i-6 =-vle + 2V5; 5° = 2-Ve-: sin36° = 2-V6-2V5-Vie + 2V5 =-V(3-V5)(5 + x/5) 4 4 4 =^2V5-T5; 4 -V5) 1 cos 36° = Vl - sin2 36° = Jl -- 2^5------ - \;6 + 2л/5 = V 16 4 ^±rI(J + yf5)2=\(I + &). 4 4 Тогда для правильного пятиугольника: а • 4 . = i- aV2 Дб /з г • Г 2v 2V 5 - v 5 V 5- V 5 Д6 /з 1Ч Г5 = — (V5 + 1). Теорема. Если ап и a2n — стороны правильных /i-угольника и 2/г-угольника, вписанных в окружность радиуса J?, то выполняется соотношение a'g, =2R(R-rn) = 2Ei-2R^Rz -- Доказательство Пусть АВ - сторона правильного n-угольника, а точка С делит дугу АВ пополам (рис. 2.4). Соединим точки А и С, В и С. Отрезки АС и ВС - стороны правильного i п = 4 R.= I^/2 = >/2г S,=a2 п = 6 aV3 6 = a = Гб За2л/ 3 л = 5 Г5=Д-(>/5 + 1) ^5=- aV2 V 5-л/5 Для любознательных Теорема. НЕРАВЕНСТВО ПТОЛЕМЕЯ. Для произвольного выпуклого четырехугольника ABCD выполняется неравенство АС • BD < АВ • CD + ВС - AD. Доказательство Отложим на лучах АВ, АС и AD отрезки АВ', АС’ и AD', длины которых равны I2: АВ, I2: АС и I2: AD соответственно. 1) Имеем: АВ : АС =АС': АВ', ZCAB -общий, тогда ААВС" ААС'В'. 2) Коэффициент подобия треугольников ABCи J2 12ВС АС2?'равен к =------. Поэтому В'С = ABAC J2 -CD , , Аналогично C D'=-------и В D’= ABAC I2BD ABAD ACAD 3) Для сторон треугольника AD'B': BD'< B'C' + CD'. 4) Умножим последнее неравенство на АВ - AC -AD и используем выражения, найденные для В'С, CD', B'D', - получим искомое неравенство. 89 а 2 Если R —общий: an=2R(R-rJ <=2R2- -2RJR2- 180° I 2л-угольника, вписанного в ту же окружность радиу-I са R. Имеем: I ОА = ОС= ОВ = R, АВ=а^ОМ= г , ,АС = я,, I Из треугольника АОС найдем по теореме косинусов } АС? и учтем, что ОМ = CM cos » I I I I I fn, f. ОМ= \JOA2- AM^ = Jr2 Л2^-^- у ^ n2/ = AC2= 2R2 - 2R ■ R cos 180° n V / = 2R2 - 2Rr=_ = 2R2- 2RjR2- —■ I \ 4 I Теорема доказана. I Используя эту теорему, можно, например, записать I через радиус описанной окружности R длины сторон правильных 8-угольника и 12-угольника. Яб\1Ъ а. = W2, г. = ^-;аб=Л, гб = ■ ,тогда у а8 =2R(R-r,)=2R = 2RRI -г) = 2R R-- V R- RJ2 2 R3 -л =R?(2- y/2); ^-2Rz 1- V 2 Для любознательных МНОГОУГОЛЬНИКИ С ВЕРШИНАМИ В УЗЛАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ РЕШЕТКИ Рассмотрим на координатной плоскости систему прям^тх, заданных уравнениями х = тиу = п, где тип- целые числа. Эти прямые задают решетку из квадратов, или целочисленную решетку. Вершины этих квадратов - точки с целочисленными координатами - называют узлами целочисленной решетки. 1. Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки? 2. Докажите, что при п * 4 правильный /г-угольник нельзя расположить так, чтобы все его вершины оказались в узлах целочисленной решетки. 3. Можно ли прямоугольный треугольник, длины сторон которого выражены целыми числами, расположить так, чтобы его вершинами были узлы целочисленной решетки, а ни одна из сторон не принадлежала линиям решетки? 4. Докажите теорему, которую называют формулой Пика. Теорема. Если вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки, при этом внутри многоугольника содержится п узлов решетки, а на его сторонах - ттаких узлов, то площадь многоугольника равна п + 0,5т - 1. 5. Вершины треугольника расположены в узлах целочисленной решетки, при этом на сторонах треугольника других узлов нет, а внутри него содержится только один узел - точка М Докажите, что М - центроид данного треугольника. Совет. Воспользуйтесь формулой Пика. 90 ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ При построении будем использовать только циркуль (можно чертить окружности и откладывать равные отрезки) и линейку без делений (можно проводить прямоте через две заданные точки). Вспомните опорные задачи построения, которые вы изучали раньше (см. стр. 277-278). Построение правильного треугольника Выполняется как опорная задача построения треугольника по трем его сторонам - нужно соединить две полу- его произвольные точки плоскости и использовать ченный отрезок как сторону правильного треугольника. Замечание. Правильный треугольник, вписаный в заданную окружность, можно построить, воспользовавшись .Яз соотношением г. (рис. 2.5). V г /L, V~^‘ Рис. 2.5 перпенди-квадрата С jrfj \ X г V\ ) ду D Рис. 2.6 В Построение правильного четырехугольника - квадрата Анализ Диагонали квадрата являются взаимно кулярными диаметрами описанной вокруг окружности. План построения 1. Начертим окружность с центром О и проведем диаметр АВ (рис. 2.6). А 2. Строим прямую, перпендикулярную АВ в точке О, - получим диаметр CD. Четырехугольник ACBD искомый. Доказательство По построению имеем. АВ и CD AB1CD. Доказать-. ACBD - квадрат. 1) Углы четырехугольника прямоте диаметры. Тогда ACBD - прямоугольник. 2) Градусные меры дуг АС и СВ равны (составляют по 90°). Тогда хорды АС и СВ равны, ACBD - квадрат. Ч. т. д. А какие еще способы построения квадрата предложить? Построение правильного шестиугольника Способ I Анализ Учтем, что а6 = К. План построения 1. Начертим окружность с центром О (рис. 2.7). диаметры, т. к. опираются на вы можете Дана окружность — строим вписанные правильные: ТРЕУГОЛЬНИК В 1) CD-» OK= KD; 2) AClOD вт К; 3) (OD) П у = В. Напомним: (OD) - прямая OD; П - «пересекает^). КВАДРАТ С 9Ua 1 Дана окружность — строим вписанный правильный ШЕСТИУГОЛЬНИК Из произвольной точки окружности А делаем засечки раствором циркуля R 1) R^y; 2) CD 1АВ через О; 3) КМ - серед, пер. к АО; 4) ККХ± CD, ММ, 1 CD. Рис. 2.7 2. Из произвольной точки окружности А, делаем засечку раствором циркуля, равным радиусу i окружности, - имеем точку А. 3. Аналогично строим точки А3, А4, As, А6. Шестиугольник A^A.jA.Ji^AA^ - искомый. Доказательство По построению имеем: ЛА2—а,Аз—ал—аа—аоЛ—д- Докязать: (1) А7 =Ах, (2)A1A2A3AAAe - правильный. 1) равносто- Треугольники ОА^А^ ОА'"', ..., О.А,Ав ронние по построению, их углы равны по 60°, т. е. ^уАхА2 = wА<Лз — ... — wAgA^ — ^АД — 60°. Тогда ZA,0A7 — 6-60° = 360°. Утверждение (1) доказано. 2) Стороны полученного шестиугольника равны по построению. Его углы равны между собой, т. к. Д0А,А2 — ... — ДОАдА,. Тогда шестиугольник А1А2АзА4АА5 - правильный. Утверждение (2) доказано. Способ II План построения 1. Начертим окружность радиуса R с центром О (рис. 2.8). 2. Проведем диаметр АВ и строим диаметр CD _L АВ, затем серединный перпендикуляр КМк радиусу АО. 3. Строим точки Кх и М,, симметричные точкам К и М относительно CD. АММХВКХК - искомый шестиугольник. Доказательство проведите самостоятельно (учитывая, что а.6 =R = 2г, АК =АМ= R). Замечание. Если построен правильный n-угольник, то легко построить правильный 2п-угольник (например, с помощью серединных перпендикуляров к сторонам правильного п-угольника и описанной вокруг него окружности - см. рис. 2.8). Постройте правильный восьмиугольник и правильный двенадцатиугольник самостоятельно. В Рис. 2.8 Г/'-” 92 Для любознательных 1. Докажите, что в правильном пятиугольнике: а) две диагонали, проведенные не из одной вершины, делятся точкой пересечения в крайнем и среднем отношении (см. стр. 224); б) один из отрезков, образованных при пересечении диагоналей, равен стороне этого пятиугольника. 2. Докажите, что а| — а!2 +е а2, где ап - сторона правильного «-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Построение правильного десятиугольника Анализ 1. Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R равна ° - л/5 a,„'^2i?sin^^-= 2Rsinl8° = ^-''R = --R-^-R. п 10 2 2 ^ .2 , i R ^2Я гипотенуза R 2 План построения 1. Начертим окружность произвольного радиуса R с центром О. 2. На произвольной прямой отложим отрезок, равный R, 2 2. Отрезок длины ~~2^ прямоугольного треугольника с катетами пи с> Дана окружность — R и разделим его пополам - имеем отрезок - 3. Строим прямоугольный треугольник по катетам R и R ---имеем его гипотенузу 1 - 1 2 + cR' V 2 , 'Лп. 2 4. Строим отрезок а]0 = t—R. 1 2 5. Ha окружности от произвольной ее точки Ах делаем засечки раствором циркуля а10 - получаем точки А2, А3 ...,,А^0(точка Ап — совпадает с точкой Aj). Многоугольник AjA2 ... А10 - иском^тй. Докажите это самостоятельно (что Ап ^Aj). строим вписанныи правильный: ДЕСЯТИУГОАЬ- НИК 1 )R 2' 2>!EC\J R R о) ‘ л/5 Д 2 2 Построение правильного пятиугольника Очевидно, если построен правильный десяти- | угольник, то, последовательно соединяя вершины этого | правильный I через одну, получим I многоугольника пятиугольник. Но можно построить правильный пятиугольник и иным способом, исходя из уже известной вам формулы: I I I I А RZ • V2 V 2 V5 Гл/5 —-R —R-R 2 2 Действительно, строить отрезок t = -R V5 (Ri I 2 ‘^V + 1 ^ J ПЯТИУГОЛЬНИК R л/5 1) R—> —; n= — R; >2 2 s 2) т =^ А - R— если задан отрезок R, м^т уже умеем. Осталось .вспом- ^ 3) а5 = \1ат. нить, как строится среднее геометрическое 1/п ■ т двух I заданных отрезков (см. стр. 278). | с равными А2 ■■■ ■ Практическая работа 5 1. Постройте окружность. Проведите хорду окружности АВ, равную ее радиусу, хорду ВС =ЛВ, хорду CD = АВ и т. д. Сколько таких хорд вы смогли провести? Совпадает ли конец последней хорды с точкой Л? Измерьте стороны и углы полученного многоугольника. Является ли он правильным? 2. Постройте окружность и проведите в ней два взаимно перпендикулярных диаметра ЛС и BD. Разделите каждую из дуг АВ, ВС, CD, AD пополам. Середину каждой дуги соедините с ее концами. Измерьте углы и стороны полученного многоугольника. Является ли он правильным? Практическая работа 6 1. С помощью транспортира и линейки постройте многоугольник сторонами и равными углами по 108°. Обозначьте его вершины Av Сколько вершин имеет этот многоугольник? Является ли он правильним? 2. Можно ли было определить до построения многоугольника, сколько у него будет вершин? Сделайте соответствующие вычисления. 3. Постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам многоугольника. Точку пересечения этих перпендикуляров обозначьте через О. 4. Постройте окружность с центром О и радиусом, равным ОЛг Лежат ли вершины многоугольника на этой окружности? 5. Постройте биссектрисы двух внутренних углов многоугольника. Что можно сказать о точке их пересечения I? 6. Опустите из точки О перпендикуляр ОМ на сторону АВ. Постройте окружность с центром в точке О и радиусом, равным ОМ. Каким является многоугольник по отношению к этой окружности? Задание 12 1°. Найдите углы при вершинах и центральные углы правильного: а) восьмиугольника; б) двенадцатиугольника; в) шестнадцатиугольника. 2°. Сколько вершин имеет правильный многоугольник, у которого центральный угол равен: а) 30°; б) 12°; в) 24°? 3°. Сколько вершин имеет правильный многоугольник, внутренний угол которого равен: а) 150°; б) 135°; в) 140°? 4°. Сколько вершин имеет правильный многоугольник, внешний угол которого равен: а) 36°; б) 24°; в) 60°? 5. Может ли правильный многоугольник иметь внутренние углы градусной меры: а) 20°; б) 48°? 6. Впишите в окружность правильный: а) шестиугольник; б) восьмиугольник; в) двенадцатиугольник. 7. Опишите вокруг окружности правильный: а) треугольник; б) шестиугольник; в) квадрат; г) восьмиугольник. Для любознательных 1. Триангуляцией многоугольника называют разделение его на треугольники, имеющие следующие свойства. Эти треугольники или имеют общую сторону или общую вершину, или не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что для любого многоугольника треугольники триангуляции можно покрасить в три цвета так, что треугольники, имеющие общую сторону, будут разного цвета. Совет. Воспользуйтесь методом индукции (см. стр. 246). 2. Многоугольник разделен своими непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что вершины многоугольника можно раскрасить в три цвета так, что вершины каждого из полученных треугольников будут разного цвета. i 94 8. По заданной стороне я постройте правильный: а) восьмиугольник; б) двенадцатиугольник; в) квадрат; г) восьмиугольник. В заляниях 9-14 обозначено: п - число сторон правильного многоугольника (га-угольника); ап - сторона вписанного правильного га-угольника; Ьп - сторона описанного правильного га-угольника; R или Rn - радиус окружности, описанной вокруг правильного га-угольника; г или гл - радиус окружности, вписанной в правильный га-угольник (его апофема). 9. Найдите сторону правильного га-угольника, если: а)га = 3;i? = 12; в) га = 6; i? = 3; д) п = 4; R = 8; ^ б)га = 3;г = 2; г)га = 6;г = 2; е)га = 4;г = 2. 10. По данной стороне ап = а найдите R если: а) га = 3; S) га = 4; в)п = 6; г) п = 8; д) га = 12. 11. По данной стороне ап= а найдите Ьп если: а) га = 3; б) га = 4; в) га = 6; г) га = 8; д) л = 12. 12. По данной стороне ап= а найдите апофему, если: а)га = 3; б) га = 4; в) га = 6; г) га = 8; д)га = 12. 13*. Используя калькулятор или таблицу Брадиса, найдите: а) о7, если R = 12; в) R если а10 = 6; б) ад, если г = 3; г) Ьъ = 14. 14*. Докажите, если шестиугольник и треугольник вписаны в одну окружность, то: а) Г6- 0,5а3; в) г8 =0,5Л8л/2+ л/ 2; д) r12 = 05R^2y2-л/з• г) =1 R\j2 —л/з! 15*. 16*. если дано: если дано: 17 18 б) ад = i?8 л/2 I \ 2; Определите длины диагоналей правильного восьмиугольника, а) радиус Д описанной окружности; б) длина его стороны а. Определите длины диагоналей правильного двенадцатиугольника, а) радиус R его описанной окружности; б) длина его стороны а. В окружность радиуса R вписан правильный га-угольник. Середины его сторон последовательно соединены. Найдите сторону полученного многоугольника, если: а) га = 6; б) га = 8. В окружность вписан правильный восьмиугольник. Найдите его сторону, если сторона квадрата, вписанного в ту же окружность, равна 8 см. 19*. В окружность вписан правильный восьмиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону вписанного в эту окружность: а) квадрата; б) треугольника; в) шестиугольника. В окружность вписан правильный двенадцатиугольник со стороной а. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. В окружность радиуса 12 см вписан правильный четырёхугольник ABCD, в который вписана окружность, а в окружность вписан правильный треугольник KMN. Найдите периметр этого треугольника. Найдите отношение площадей правильных треугольника, четырехугольника и шестиугольника, если: а) они описаны вокруг одной окружности; б) они вписаны в одну окружность; в) стороны их равны. В правильном двенадцатиугольнике середины сторон через одну последовательно соединили. Найдите сторону образовавшегося ' шестиугольника, если сторона двенадцатиугольника равна а. В правильном восьмиугольнике середины сторон через одну последовательно соединили. Найдите сторону образовавшегося квадрата, если сторона двенадцатиугольника равна а. 20 21 22*. 23- 24 Для любознательных Докажите, если А, В, С, D - четыре последовательные вершины правильно- го семиугольника, то выполняется соотношение - _liy2 ____ ■ /1йЗ ^ /IS' Г 95 .а если а 25*. Выразите площадь правильного шестиугольника через: а) его сторону; б) большую диагональ; в) меньшую диагональ. 26**. Из квадратного листа бумаги сделали восьмиугольник. Сначала построили четверти окружностей с центрами в вершинах данного квадрата и радиусом, равным половине диагонали квадрата. Затем точки их пересечения со сторонами квадрата последовательно соединили отрезками. По ним отрезали углы квадрата. Найдите отношение площадей исходного квадратного листа бумаги и полученного восьмиугольника. 27*. Правильный треугольник со стороной а, отрезав углы, превратили в правильный шестиугольник. Найдите сторону шестиугольника. 28*. Сторона правильного треугольника равна Ь. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник, и сторону вписанного в эту окружность: а) треугольника; б) квадрата; в) шестиугольника. 29*. Сторона правильного треугольника ABC равна а. На его сторонах АВ, ВС и СА от вершин А, В и С соответственно отложили отрезки А4, = а : 3; ВВ, = а : 3; СС, = а : 3. Найдите радиус вписанной в треугольник AjSjCj окружности. 30**. Впишите в заданную окружность правильный: а) пятиугольник; б) десятиугольник. 31**. ./V равных окружностей касаются друг друга и заданной окружности радиуса R. Найдите радиус этих окружностей, если: а) N= 3; б) N= 4; в) N= 6. 32*. Правильные треугольник, четырехугольник и шестиугольник имеют равные периметры. Найдите отношение их площадей. 33*. Пол выстилают паркетинами, имеющими форму правильных многоугольников двух видов. Приведите примеры такого паркета. Найдите наименьшее число ромбов, из которых можно сложить правильный шестиугольник. Какую особенность имеют эти ромбы? Дан квадрат со стороной а. Извне квадрата на каждой из его сторон построили по трапеции так, что верхние основания трапеций вместе с их боковыми сторонами образуют правильный двенадцатиугольник. Найдите площадь такого двенадцатиугольника. 36**. Как вписать в правильный шестиугольник правильный треугольник: а) наименьшего периметра; б) наибольшего периметра? 37**. Впишите в заданную окружность правильный пятнадцатиугольник и запишите длину его стороны через радиус данной окружности. 34 35 Для любознательных 1. Известно, что для некоторого выпуклого шестиугольника ABjCAjBCj выполняются равенства: АВ, = BjC, СА, = А,В, ВС, = С,А, ZA + ZB + ZC = = ZA, + ZB, + ZC,. Докажите, что площадь треугольника А^С, равна половине площади шестиугольника. 2. Докажите, что у правильной звезда:, изображенной на рисунке, закрашено ровно половину площади. 3. Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF меньше единицы. Докажите, что длина одной из диагоналей AD, BE и CFменьше единицы. Совет. Воспользуйтесь неравенством Птолемея (стр. 89). 4. Семиугольник A^.-Aj вписан в окружность, притом центр этой окружности расположен внутри семиугольника. Докажите, что сумма углов при вершинах А,, А3 и А меньше, чем 450°. 5. В олимпиаде по математике на первенство района принимает участие 100 школьников. Известно, что среди любых четырех участников всегда есть хотя бы один, знаком^тй с другими тремя. Докажите, что среди этих школьников есть такой участник, который знаком со всеми другими 99 участниками. ш § 12» Длина окружности и дуги окру^сности. Радианная мера угла Представьте себе нитку, сложенную в форме окружности так, что ее концы соединены (рис. 2.9). Возьмем эту нитку за концы и развернем в отрезок. Длина такого отрезка и будет длиной окружности. Если вписать в окружность правильный многоугольник (рис. 2. 10-а) или описать вокруг этой окружности правильный многоугольник (рис. 2.10-6), то длины их периметров будут тем ближе к искомому значению длины окружности, чем больше сторон имеют эти многоугольники. Рис. 2.10 Возьмем две окружности с общим центром и произвольными радиусами. Впишем в них многоугольники с одинаковым числом сторон п так, как показано на рисунке 2.11 (стороны их параллельны). Центральный угол этих много-360° угольников равен-------, а стороны п равны соответственно О о • 180° и 2R2 sin 180° Длина окружности I Для любознательных 1. Дано два правильных треугольника. Разрежьте их на наименьшее число частей так, чтобы из них можно было сложить шестиугольник. 2. Дано четыре одинаковых правильных шестиугольника. Разрежьте их на наименьшее число частей так, чтобы из них можно было сложить правильный шестиугольник. 3. Дано три правильных шестиугольника. Как, сделав наименьшее число разрезов этих фигур, разделить их на части, из которых можно сложить правильный шестиугольник? 4. Тришка отрезал от кафтана квадратный кусок. Потом разрезал его на 9 треугольных латок и сложил в три кучки по три латки. Может ли быть так, что любые две латки из какой-то одной кучки равны между собой, а из разных - не равны? Для одноименных правильных многоугольников: JL=j^= = 2 R 2 1^2 .. 180° зависит только от я к _к 2 Ri 2 1 / «const^> - постоянная Тогда периметры этих многоугольников: „ 180° . Pj = ra ■ ----- и Р2 = ra • 2Д2 sin Отсюда: ■ Я i 21, п _ = 180° ra 180° = га ■ sm-- 2Д^ я Чем больше число га, тем ближе значения ров соответствующих многоугольников к I перимет- длинам окружностей 1г и Получаем: 2Д, 2ii: к --- = ... = const. констант (постоян- Это и есть одна из важнейших ных) математики - число к («пи»). Таким образом, длина окружности радиуса R равна г = 2яй. Если в это выражение подставить R = 1, то получим, что число п численно равно длине единичной полуокружности. Его приблизительное значение 3,14159... '16 9 1 -= 2nR Если R—l, 1 n-----<—численно 2 3,14 или «граница круглого тела^>. Эта постоянная настолько важна в жизни человечества, что на протяжении тысячелетий математики упорно работали над одним ее вычислением. 3. Значение этого числа вычисляли через периметры описанных и вписанных многоугольников еще во времена Древней Греции. Так, Архимед, вписывая в окружность правильные многоугольники, вычислил первые три знака числа п Голландский математик Роумен (XVI в.) нашел 17(!) знаков этого числа. В XX в., когда на помощь пришли ЭВМ, было определено несколько десятков тысяч знаков числа п Знать значение постоянной я с такой точностью вам необязательно, а вот то, что 3,14 < к < 3,15, следует запомнить. Для любознательных 1. Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что радиус этой окружности не меньше радиуса окружности, описанной вокруг данного треугольника. Будет ли такое утверждение правильным для тупоугольного треугольника? Почему? 2. Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше, чем 41. 3. Докажите, что замкнутую ломаную единичной длины можно поместить в окружность, радиус которой равен 0,25. 4. В окружность единичного радиуса вписан многоугольник, длины сторон которого находятся в пределах от 1 до л/2. Сколько сторон имеет этот многоугольник? n Sin- В окружности центральному углу 1° соответствует дуга длиной в 360 длины всей окружности, т. е. Тогда длина дуги градусной меры л'°равна L=- « 180° Рассмотрим общий центральный угол (градусной меры л°) нескольких концентрических окружностей (рис. 2.12). Отношение длины каждой дуги образованных секторов к радиусу соответствующей окруж- ности равно —= пи зависит ^ R180 ° I только от величины угла. Тогда такое отношение можно рассмат- рис 2.12 ривать как меру угла и измерять угол в ралианах. Полному углу градусной меры 360° соответствует 2л радиан. Развернутый угол имеет прадиан: л радиан — 180° —> 1 радиан — 180° — ^радиан —> 1° —- 180° / , -----« 57°18/; 180 радиан * 0,017 радиан. kR Tso Тогда упол гралусной меры п° имеет ралианную меру - прадиан, 180 и171=- а уп9л ралаанной меры к имеет гралусную меру П" 180° ■ к Например: 30° — 30 П _ 71 ^ 3,14 1 _ 180 " 6 ~6~ * 2 раЛ’ R=1R=1 180° радиан : 1 —,л„зрадиан 1 радиан к 57°18' 1° а 0,017 радиан прад — 180° ^ рад — 90° -- рад — 60° П-рад — 45° 4 —рад — 30° Для любознательных Число л численно равно длине единичной полуокружности. Если удваивать число сторон вписанных и описанных многоугольников, можно получать все больше и больше знаков числа п. Удивляют достижения древних геометров, в частности Архимеда (287-212 гг. до н. э.). Он, используя алгебру, хитроумно выпрямляя ломаную из сторон вписанного и описанного 96-угольника, пришел к выводу, что значение п лежит в пределах от 3— до 3^. (Такая разность правой и левой границ числа равна (3-3“^)-, у-есу- щественно отличается от 0,002. Это означает, что Архимед вычислил значение л с погрешностью не более как 0,001! Мы до сих пор пользуемся достижением Архимеда, работая с приближенным значением a'i » 3,14. 10 71 30° *0,52 рад 45° * 0,79 рад 60° » 1,0 рад 90° «1,6 рад п 180° к_ I рад = '"2 - > Зрад - 3 .-^51 ~ з . iE22 » 172е'. п 3,14 к (радиан) л л 2 я 3 п 4 л 6 п° 180° осР 60° 45° 8°о Практическая работа 7 1. Начертите окружность радиуса 8 см. Впишите в окружность правильный четырехугольник. Измерьте его сторону и найдите периметр Р4 2. Постройте правильные восьмиугольник и шестнадцатиугольник, вписанные в окружность радиуса 8 см. Измерьте их стороны, найдите их периметры Pg и Р16. 3. Вычислите отношения периметра каждого многоугольника к диаметру окружности. Полученные результаты запишите в таблицу. П. а 4 П) ннО нно п— 16 Рп Рп d 4*. Выполните задания предыдущих пунктов для описанных правильных многоугольников. 5. Сделайте вывод. Практическая работа 8* 1. Начертите окружность единичного радиуса и впишите в нее правильный восьмиугольник. 2. Опишите вокруг единичной окружности правильный восьмиугольник. 3. Измерьте длины сторон построенных восьмиугольников, вычислите их периметр. 4. Оцените значение числа л, используя полученные значения периметров этих многоугольников и запишите результат в виде: ... < л <... . Задание 13 ' 1°. Вычислите длину окружности, радиус которой: а) 10 см; б) 0,5 м; в) 3,14 мм. 2°. Заполните таблицу, используя формулу для вычисления длины окружности. С 18л 9,42 320,28 R 5 7 0,7 34,5 1/3 3°. Как изменится длина окружности, если ее радиус: а) увеличится вдвое; б) уменьшится втрое; в) уменьшится в ^раз; г) увеличится на 1 см? 4. Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в праз; б) уменьшить в праз? Для любознательных В древности как приближенное значение л использовали такие числа: 3; 22 355 ^ 1о; YY3 — Оцените погрешность использования таких приближений п 5. Найдите длину окружности, описанной вокруг: а) правильного треугольника со стороной я; б) прямоугольного треугольника с катетами а и Ь; в) равнобедренного треугольника с основанием я и боковой стороной Ь; г) прямоугольника со стороной я и острым углом а между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24%/з см2. 6. Стороны прямоугольника равны 5 см и 9 см. Найдите длину окружности, описанной вокруг этого прямоугольника. 7. Найдите длину окружности, вписанной в: а) квадрат со стороной я; б) равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой h, проведенной к основанию. 8. Периметр правильного треугольника равен 24\/3 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 9*. Длина окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, равна 60л см. Вычислите периметр этого треугольника, если длина его основания -48 см. 10**. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удален от вершин его острых углов на >/б см и л/1О см. Найдите длину этой окружности. 11. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный «-угольник со стороной 6 см, если: а) п= 3; б) п = 4;в) п= 6. 12. Диаметр вала колодца равен 32 см, глубина колодца (до уровня воды) - 6,5 м. Сколько раз нужно повернуть ручку вала, чтобы достать ведро воды? 13. Барабан лебедки сделал 5 оборотов. На сколько поднялся при этом груз, если диаметр барабана равен 0,5 м? 14*. Сколько оборотов за 1 с делает колесо электровоза, если скорость электровоза 72 км/ч, радиус колеса 1 м? Колесо катится по рельсам без проскальзывания. 15*. Пять одинаковых труб длиной 50 см каждая и диаметром 200 мм нужно запаковать в ящик прямоугольной формы. Вычислите размеры ящика, на изготовление которого потребуется наименьшее количество материала. 16°. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см градусной меры: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°. 17°. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга 11112 3 окружности составляет: а)—;3 б)—4 5в6 г)—; д)—; ее) — части окружности? 18°. Найдите длину дуги окружности радиуса R = 1 м, если ее градусная мера: а) 45°; б) 30°; ч) 120°; г) 60°30'. 19. Две точки делят окружность на две дуги. Градусная мера одной из них в 11 раз больше, чем второй. Найдите градусные меры этих дуг. 20. Две точки делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 60°. Найдите градусные меры этих дуг. 21. Расстояние между серединами зубцов колеса, измеренное по дуге его окружности, равно 47 мм, диаметр колеса - 60 см. Сколько зубцов имеет колесо? 22*. При повороте дороги на 30° сделали закругление радиусом 500 м. На сколько метров сократилась длина пути? Для любознательных То, что отношение длины окружности к ее диаметру является величиной постоянной, было выдающимся открытием. Еще в старину люди широко использовали это число во время строительства пирамид и оросительных систем, начислении налогов и т. д. В Вавилоне это отношение считали равным 3. Такая неточность приводила к ошибкам в строительстве. Считается, что Вавилонская башня упала потому, что люди прогневили Всевышнего. А может быть, это произошло из-за числа к- расчеты были неточными? 1019 23*. Поезд движется со скоростью 50 км/ч по дуге, радиус которой равен 2 км. На какой угол он повернется за 45 с? 24. Длина хорд^1 равна я. Найдите длину дуги, которую стягивает хорда, если она соответствует центральному углу: а) 60°; б) 90°; в) 120°. 25. По данной длине дуги I найдите стягивающую ее хорду, если градусная мера этой дуги: а) 30°; б) 45°; в) 90°. 26°. Найдите радианную меру углов: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°. 27*. Мотоцикл двигался в течение 45 с по дуге окружности радиуса 2 км. Найдите скорость мотоцикла, если мера этой дуги 0,18 рад. 28**. Сторона квадрата равна я. Каждая вершина квадрата - центр окружности радиуса я. Вычислите периметр криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами этих окружностей (рис. 2.13). 29**. Через две соседние вершины квадрата проходит окружность так, что касательная, проведенная к ней из третьей вершины, равна удвоенной стороне квадрата. Найдите длину этой окружности, если площадь квадрата равна 10 см2. 30**. Сторона правильного шестиугольника равна я. Каждая вершина квадрата - центр окружности радиуса я. Найдите длину линии - розетки, образованной дугами этих окружностей (рис. 2.14). 31*. При пересечении двух окружностей их общая хорда стягивает дуги, равные 45° и 60° соответственно. Какая окружность имеет большую длину? Ответ обоснуйте. Вокруг двух равновеликих прямоугольников описали окружности. Будут ли эти окружности равновеликими? Ответ обоснуйте. Диаметр окружности разделен на п равных частей, и на каждой из них, как на диаметре, построена окружность. Найдите зависимость между длиной данной окружности и суммой длин построенных окружностей. 34**. Докажите, что площадь кольца равна произведению ширины кольца и длины окружности, равноудаленной от внутренней и внешней границ кольца. 35**. Диаметр одного колеса вдвое больше диаметра второго. Первое колесо делает один оборот в 1 с, а второе - в 2 с. На внешней окружности первого колеса зафиксировали точку А, а второго - В. Какая точка быстрее пройдет путь в 1 км (по окружностям), если колеса начали вращаться одновременно? 36**. Окружность радиуса г касается шести окружностей такого же радиуса, которые касаются друг друга. Образованная фигура охвачена концентрическим кольцом, равновеликим сумме площадей заданных семи окружностей. Найдите ширину этого кольца. Рис. 2.13 32- 33 Рис. 2.14 Для любознательных Несмотря на популярность в среде математиков, число, которое м^т сегодня знаем как «число л», на протяжении многих столетий до XVIII в. не имело определенного символического обозначения. Первым обозначил его греческой буквой к в 1706 г. английский учитель Вильям Джонс. Но работы провинциального учителя мало кто читал. И только Леонярл Эйлер -«первая скрипка^) в науке XVIII в. - принял это удобное обозначение и стал использовать его в своих работах. Рекорд докомпьютерной эры вычисления числа к — 707 знаков - установил английский математик Вильям Шенке. В 1937 г. их поместили на купол галереи парижского Дворца Открытий. Но позже компьютерная проверка показала, что в 520-м знаке Шенке допустил ошибку и последние 180 знаков его вычислений неправильные! 102 о Площадь круга, кругового сектора и сегмента Напомним, что кругом называется внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью (вместе с точ- ками окружности). Это - множество точек плоскости, удаленных от центра окружности на расстояние, не I превышающее радиус окружности. Центр соответствующей окружности называется центром круга, а радиус этой окружности - радиусом круга. Рассмотрим круг радиуса R. Опишем вокруг него правильный многоугольник (рис. 2.15). Пусть он имеет п сторон. Площадь правильного я-угольника равна 1 Sn-0~Р!^ где Рп - его периметр. С увеличением числа сторон площади круга. Тогда площадь такого многоугольника I с увеличением п приближается к числу S = ---2nRR^nR2. 2 Такое же значение для площади круга получим, если в заданную окружность будем вписывать правильный многоугольник. Только, если в предыдущем случае с увеличением числа сторон многоугольника п последовательность площадей описанных многоугольников была убывающей, то для вписанных многоугольников она будет возрастающей. Получается: площадь описанного многоугольника больше площади круга и при больших п приближается I к значению nR2; площадь вписанного многоугольника I меньше площади круга и при больших п приближается | к значению nR2. Тогда площадь самого круга равна nR2. | S= nR2 Площадь Найдем круга S^ вычисляется -nR2. по формуле площадь кругового тепер сектора и сегмента. Напомним, что круговым сектором называется часть центрального угла окружности, которая ограничена дугой этой окружности - дугой сектора (рис. 2.16). На рисунке 2.16 представлены два сектора с дугами AM В и ЛМВ. рис .2.16 N 103 V о сектор а о а = ли Фр< ------ 360 71 а = крад S„.K==2 -Л2й / S О i -N А-----------В s = + s, I Рассмотрим сектор круга радиуса R, который соот- | ветствует центральному углу а (рис. 2.17). Площадь I круга равна лi?2, тогда площадь сектора с центральным углом 1 н;1- 360 Площадь сектора с градусной мерой центрального угла а = п° вычисляется по формуле О Л1Г S...= 360 Если соответствующий центральный угол имеет радианную меру а = ^ рад, то s...-iЛ^ t . -R2k. 2 Соментом называется часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 2.18). Указанную хорду называют основанием сегмента, а отрезок диаметра, перпендикулярного ей и расположенного внутри | сегмента, - его высотой (рис. на поле). Рис. 2.18 сегмента, гралусная мера I Для вычисления площали Луги которого меньше 180° (меньше л радиан), его удоб-I но рассматривать как часть сектора. Площадь такого сегмента равна разности площадей сектора и равно- | бедренного треугольника с хордой в основании и боко- I выми сторонами - радиусами окружности (рис. 2.19). . Если рассматривать сегмент, гралусная мера Луги " которого больше 180° (больше л радиан), то его пло- I щадь будет равна сумме площадей сектора и равно- | бедренного треугольника с хордой в основании и боко- /выми сторонами - радиусами окружности (рис. 2.20). I R I Рис. 2.19 104 Практическая работа 9 1. Начертите окружность радиуса 8 см. Вычислите площадь круга S, ограниченного окружностью, по известной вам формуле, приняв за л и 3,1415. 2. Постройте вписанный в окружность правильный четырехугольник и найдите его площадь S4. Постройте правильные вписанные в эту же окружность восьмиугольник и шестнадцатиугольник. Проведите в них апофему. Измерьте апофем^! и стороны восьмиугольника и шестнадцатиугольника, вычислите их площади Sg, S16. 3. Найдите разность между площадью каждого из построенных многоугольников и площадью круга S - Snи заполните таблицу. п = 4 о ьчО ннО п— 16 IS-SJ 4*. Выполните задания пред^тдущих пунктов для правильных описанных многоугольников. 5. Сделайте вывод. Задание 14 1°. Вычислите площадь круга, радиус которого равен: а) 2 см; б) 15 мм; в) л/3. 2°. Используя формулу для вычисления площади круга, заполните таблицу. S 36 144л 3,14 R 3 5 2/7 18,5 7з 3°. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз? 4°. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: а) в 2 раза; б) в 4 раза; в) в граз? Найдите площадь кругового кольца (рис. 2.21), ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов: а) 4 см и 6 см; б) 4,5 м и 6,5 м; в) я и b (а > Ъ). Вычислите площадь круга, если длина окружности равна 16л см. Найдите площадь круга, описанного вокруг: а) прямоугольника со сторонами я и Ь; б) прямоугольного треугольника с Рис. 2.21 катетом я и противоположным углом а; в) равнобедренного треугольника с углом при основании а и высотой h проведенной к основанию. Найдите площадь круга, вписанного в: а) равносторонний треугольник со стороной я; б) прямоугольный треугольник с катетом я и прилежащим к нему острым углом а; в) равнобедренный треугольник с боковой стороной я и углом а между боковыми сторонами; г) равнобокую трапецию с большим из оснований я и острым углом я. 5° 6. 7. 8. Для любознательных Римский архитектор Витрувий (I в. до н. э.) использовал грубое приближение числа л, что привело к просчетам в строительстве и разрушению известного Римского театра. И в наше время некоторые ультрамодные конструкции не выдерживают испытаний на прочность из-за «шалостей» числа л. Например, московский «Аквапарк^) разрушился, возможно, именно по этой причине. 9. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: а) квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шестиугольника. 10. Найдите отношение площади круга к площади описанного вокруг него правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) шестиугольника. 11. Найдите отношение площади кругов, вписанного в правильный треугольник и описанного вокруг него. 12. Найдите отношение площади круга, описанного вокруг квадрата, к площади круга, вписанного в него. 13. Что больше - площадь круга, построенного на отрезке а как на диаметре, или площадь полукруга, построенного на отрезке 2а как на диаметре? Ответ обоснуйте. 14*. Вокруг правильного треугольника площади S описана окружность, а вторая окружность вписана в заданный треугольник. Найдите площадь кольца, образованного окружностями. 15*. Вокруг круга площади S описан ромб с острым углом в 30°. Найдите площадь ромба. 16*. Для ремонта водопроводной сети две водопроводные трубы диаметров 3 дм и 4 дм хотят заменить одной трубой с той же пропускной способностью. Каким должен быть ее диаметр? 17. Длина окружности цирковой арены 41м. Найдите диаметр и площадь арены. 18*. Сколько кругов диаметра 50 см можно вырезать из листа жести прямоугольной формы размеров 130 х 225 см? Какая часть листа останется? 19*. Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки площади сечения 1156 мм2, чтобы проволока прошла сквозь круглое отверстие диаметра 38,5 мм? 20*. Токарь должен обточить вал диаметром 24 см так, чтобы площадь его поперечного сечения стала в 2 раза меньше. На сколько сантиметров ему нужно уменьшить диаметр вала? 21*. Вокруг круглой клумбы радиуса 3 м хотят сделать декоративное кольцо из гальки шириной 0,5 м. Сколько нужно гальки, если на 1 м2 используется 0,7 дм2 гальки? 22°. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: а) 40°; б) 90°; в) 150°; г) 240°; д) 300°; е) 330°. 23°. Найдите площадь сектора круга радиуса 6 см, если соответствующий этому 71 5 сектору центральный угол равен: а) —; б^) 03,75я; в) 1 —я. ^ 24°. Может ли сектор круга быть его сегментом? Ответ обоснуйте. 25. Из круга радиуса 10 см вырезали сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга. 26. Площадь сектора с центральным углом в 72° равна S Найдите радиус сектора. 27. Дан круг радиуса R. Найдите площадь сектора этого круга с длиной дуги, равной: а) R б) I. 28. Найдите площадь кругового сегмента, ограниченного хордой в 7 см и дугой в 90°. I_ л 29*. Найдите площадь кругового сегмента с основанием av3 и высотой —. Для любознательных Знаете ли вы, что третьего месяца четырнадцатого дня кажд^тй год празднуется Всемирный день числа я - фанаты легендарного числа собираются в Интернете? Любой житель Земли может принять участие в глобальном проекте «Pi-Нех». И это не просто игры компьютерных гурманов, а серьезный научный проект. Например, в 2000 г. научная команда планеты Земля вычисляла отдельные знаки записи числа я в двоичной системе. аоб 30*. Дан круг радиуса санного в нее: 31* 32* 33* 34* 35* Рис. 2.22 36* 37* 38* 39* 40* 41* R. Найдите площадь части круга, расположенную вне впи-а) квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шестиугольника. Три равных окружности радиуса 6 см попарно касаются друг друга. Найдите площадь: а) круга, дуга которого проходит через точки касания этих окружностей; б) площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей; в) круга, вписанного в криволинейный треугольник, который ограничивают дуги этих окружностей. Сторона квадрата на рисунке 2.22 равна 8 см. Найдите площадь закрашенной фигуры. На рисунке 2.23 вы видите четверть окружности и полуокружность. Найдите площадь закрашенной фигуры. В прямоугольный треугольник с длинами катетов а и b вписан полукруг так, что его центр располагается на гипотенузе треугольника. Найдите площадь этого полукруга. С центрами в вершинах квадрата построены круги радиусов а. Найдите площадь части плоскости, общей для всех построенных окружностей, если сторона квадрата равна а. Одна хорда полуокружности делит другую ее хорду пополам. Какая из этих хорд отсекает от данной полуокружности сегмент большей площади? Ответ обоснуйте. Две равные полуокружности радиуса г наложили так, что их диаметры параллельны, а середина дуги каждой совпадает с центром другой. Найдите площадь общей части полуокружностей. Высота правильного треугольника равна т и является диаметром окружности. Найдите длину части окружности, расположенную внутри треугольника. В круговой сектор с центральным углом а вписан круг. Найдите отношение площади сектора к площади круга. К двум внешне касающимся друг друга окружностям провели общую касательную. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами окружностей и касательной, если радиусы окружностей равны ги R. Сектор с центральным углом 60° разделен прямой, перпендикулярной к его оси симметрии, на две равновеликие части. Периметр какой из этих частей меньше? Задания для повторения главы II 1. Какую фигуру называют многоугольником? 2. Какой многоугольник называют выпуклым? 3. Какой многоугольник называют правильным? 4. Сформулируйте свойства: а) выпуклых многоугольников; б) правильных 5. многоугольников. Запишите для i 6. 7. 8. правильного гс-угольника формулы вычисления площади, радиусов вписанной и описанной окружностей через длину его стороны. Запишите формулу для определения площади правильного и-угольника через радиус описанной вокруг него окружности. Объясните см^тсл числа я через длину окружности единичного радиуса. Запишите градусную меру угла, равного: а) я радиан; б) 2 радиана; в) 1 радиан; г) традиан. Для любознательных В 1949 г. американский математик Дон фон Нейман вычислил на одной из первых вычислительных машин 2037 знаков числа п. Позже, в 1958 г., было вычислено 10 ООО знаков числа к, в 1961 г. - 100 000, а в 1973 г. - миллион. 107 .1 9. Запишите радианную меру угла, равного: а) 180°; б) 360°; в) 1°; г) п°. 10. Запишите формулы для определения длины окружности и дуги окружности, радиус которой R. Запишите формулы для определения площади круга радиуса R и его круговых сектора и сегмента. Найдите сумму углов выпуклого: а) двадцатиугольника; б) пятнадцатиугольника. Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) 1080°; б) 1980°? Может ли мера угла а правильного многоугольника быть: а) 165°; б) 125°? Вокруг правильного /i-угольника со стороной 3 см описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6. В правильный тг-угольник вписана окружность радиуса 3 см. Найдите сторону n-угольника, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6. 17*. Сколько диагоналей имеет: а) десятиугольник; б) пятнадцатиугольник? 18. Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, у которого: а) все углы по 150°; б*) четыре угла по 125°, а остальные - по 152°? В окружность радиуса R = 12 см вписан правильный четырехугольник ABCD, в который вписана окружность, а в нее - правильный треугольник KMN. Найдите периметр этого треугольника. В окружность вписан правильный треугольник ABC, в который вписана окружность, а в нее - правильный четырехугольник KLMN. Найдите радиус . большей окружности, если периметр четырехугольника равен 16 см. 21*. Окружность касается двух сторон треугольника, а его центр лежит на третьей стороне. Найдите радиус окружности, если: а) две стороны, касающиеся окружности, равны а и а угол между нйми - а; б) треугольник равносто- ронний, длина его высоты - h. 22. Внутри квадрата со стороной 4 см сделано отверстие в виде круга площади 4,5 см2. Найдите площадь образованной фигуры. 23*. Окружности радиуса 4 см внутренним образом касаются п одинаковых окружностей, которые попарно касаются друг друга. Найдите площадь криволинейного многоугольника, ограниченного этими окружностями, если: а) п =3; б) п = 4; в) п =6. 24*. Найдите острый угол ромба, если его площадь равна 32 см2, а длина окружности, вписанной в этот ромб, составляет 4л см. 25. В окружность вписан квадрат, а в квадрат - окружность. Найдите площадь кольца, образованного окружностями, если сторона квадрата равна 4 см. 26*. В окружность вписан правильный шестиугольник, а в него - окружность. Площадь кольца, образованного окружностями, равна 9п см2. Найдите сторону шестиугольника. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 19 20*. Для любознательных Для того чтобы запомнить значение числа л, придум^твали много «правил^). Вот одно из них: «Три я взял с полки^>. В этой фразе номер слова - номер цифры числа, а количество букв в слове - цифра, стоящая в соответствующем разряде. Вот еще одно «правило» (начало XX в.): «Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать, число уже знаетъ». Эта фраза «работает» по тому же принципу, что и пред^тдущая. При этом нужно сохранять старую орфографию, учитывать и твердый знак. Попробуйте и вы придумать свое «правило». Рекорд по запоминанию числа л установил в 2004 г. украинский врач из Львова Андрей Слюсарчук. Он за 10 дней выучил 500 000 знаков числа л. До этого «рекордсменом числа ю> был японец, который выучил 42 000 знаков за 10 лет. 108 27**. Найдите наименьшую и наибольшую диагонали правильного десятиугольника, сторона которого равна 1. 28**. Докажите, если в выпуклом (2л + 1)-угольнике, вписанном в окружность, все углы равны, то этот (2га + 1)-угольник - правильный. 29**. Найдите отношение площади правильного пятиугольника к площади треугольника, образованного стороной этого пятиугольника и двумя диагоналями, выходящими из концов этой стороны. 30**. Диагонали и правильного двадцатиугольника пересекаются в точ- ке В. Докажите, что треугольники А,А2В и AgAgB - правильные, а диагональ AjA6 равна диаметру окружности, вписанной в этот многоугольник. Готовимся к тематической аттестации № 3 Вариант I 1. В правильном многоугольнике сумма внутренних углов равна 5580°. Найдите число сторон и диагоналей многоугольника. 2. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол составляет 144°? 3. Стороны двух правильных пятиугольников относятся как 5:7. Площадь большего пятиугольника равна 98 см2. Найдите площадь меньшего пятиугольника. 4. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна >/б см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту же окружность. Вариант II 1. В правильном многоугольнике 14 диагоналей. Найдите число его сторон и сумму внутренних углов. 2. Вычислите внутренние и внешние углы правильного га-угольника, если л = 15. 3. Площади двух правильных шестиугольников относятся как 4:9. Сторона меньшего шестиугольника равна 12 см. Найдите сторону большего шестиугольника. 4. В квадрат со стороной 8 см вписана окружность. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. Готовимся к тематической аттестации № 4 Вариант I 1. Найдите длину окружности, диаметр которой равен 10 см. 2. Радиус окружности равен 6 см. Найдите длину дуги градусной меры 120°. 3. Найдите радианную меру угла, равного 75°. 4. Найдите площадь сектора круга радиуса 5 см, если соответствующий сектору центральный угол равен 105°. Вариант II 1. Найдите длину окружности, радиус которой равен 4 см. Длина дуги окружности - 15 см, а ее градусная мера - 18°. Найдите радиус окружности. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна л : 12. Найдите площадь сектора круга радиуса 10 см, если дуга сектора равна 210°. Для любознательных Древние египтяне за площадь круга брали число, равное (8с?/9)2, где d -диаметр круга. Это означает, что число л у них равнялось (16/9)2, что точнее, чем у вавилонян (стр. 101). Чтобы получить эту формулу, египтяне приближенно рассматривали круг как квадрат, у которого от каждого угла отрезан прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными третьей части стороны квадрата. Оцените ошибку, если за л взять (16/9)2. В этой главе мы рассмотрим одну из очень важных тем геометрии -преобразование фигур на плоскости (говорят «преобразование плоскости»). Идея преобразования одной фигуры в другую - одна из ведущих идей современной математики. Ее используют в различных разделах математики для доказательства необычных и сложных теорем. Мы только коснемся этой необычайно интересной темы, поскольку она выходит далеко за рамки школьного курса математики. 14 . Геометрические преобразования на плоскости и их свойства / В 7-м классе равные отрезки, углы, треугольники м^1 определили как фигуры, которые можно совместить наложением. Тогда любой точке одной из равных фигур (например, треугольников) м^т можем поставить в соответствие определенную точку второй фигуры. Понятно, что при этом расстояние между двумя точками одного из пары равных треугольников равно расстоянию между соответствующими точками другого треугольника и углы между соответствующими отрезками двух равных треугольников тоже равны. Если рассматривать два подобных треугольника, то и в этом случае любой точке одного из этих треугольников можно поставить в соответствие определенную точку другого. Именно это мы и делали в 8-м классе, например, при увеличении рисунка. Понятно, что теперь расстояние между двумя точками одного 110 треугольника не будет равно расстоянию между соответствующими им точками второго треугольника, а углы - сохраняются. Геометры не могли обойти вниманием такие интересные свойства геометрических фигур. Их изучение и обобщение привело к появлению понятия геометрического преобразования. Говорят, что залано геометрическое преобразование, если указан способ, как каждой точке А одной фигуры поставить в соответствие единственную точку Ах другой фигуры. (При этом разным точкам АиВ соответствуют разные точки А^иВ^.) Исходное множество точек называют прообразом, а полученное - образом. Замечание. Если осуществить второе такое преобразование, в котором прообраз и образ поменяются местами, то такое преобразование называют обратным первому. Геометрические преобразования, сохраняющие расстояния между парами точек, называют движением. При таких преобразованиях не изменяются меры углов; форма и размеры фигуры (т. е. фигуры прообраза и образа равны). Мы будем изучать следующие виды движения: параллельный перенос, поворот, симметрия. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС Sggk Параллельным переносом называется преобразование, при котором две произвольные точки АиВ фигуры-прообраза переходят в точки Ах и Bj фигуры-образа так, что ААХ= ВВ, или ААХ1 1 BBV или точки А, А, В, Вглежат на одной прямой. Если АА^ || ВВ^ и ААХ = BBV то четырехугольник AAjBjB - параллелограмм. Подчеркнем, что точки А и В - произвольные точки I ■н фигуры-прообраза. Для других ее точек С, К ... с; Kv ...) получим параллелограмм^! СС^'В^В, ..., стороны которых ССХ =ААХ = BBX = ... (рис. 3.1). (образы СС^А, А-- '>Д'> > а) ~сГ Рис. 3.1 ААВС=АА1В1С1 В Bj л'' - ' ^1 Cl Преобразование: ААВС—ь АА\В\С\ прообраз ——хзбраз ААВС^ААВС Обратное преобразование: ААВС <—AA^BjCj образ <— прообраз паралле.льный ^ перенос ААх || BBj AAi =BBj A- “'Ai ’♦ Т- . прообраз образ 111 Д ABC-—► АЛфх( поворот а - угол поворота О - центр поворота осевая симметрия^ \п ' Fy п - ось симметрии ПОВОРОТ \ Поворотом с центром в точке О на угол а называется преобразование, при котором произвольная точка Л фигуры-прообраза переходит в точку Лх фигуры-образа так, что Л иЛхрасполо-жены на одном расстоянии от точки О и /ЛОЛх = а. Т. е. точки Л и Лх расположены на окружности с центром в точке О, а центральный угол АОАх этой окружности равен а (рис. 3.2). Подчеркнем, что м^т рассматривали произвольную точку Л фигуры-прообраза. Если взять другую ее точку В, то образ этой точки Вх будет лежать на одной окружности с точкой В, центром которой будет та же точка О, а угол ВОВхтакже равен а (рис. на поле). \) ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Осевой симметрией относительно прямой - оси симметрии - называется преобразование, при котором произвольная точка Л фигуры-прообраза переходит в точку Лх фигуры-образа так, что ось симметрии является серединным перпендикуляром отрезка A A v С осевой симметрией вы знакомы с 7-го класса, и пример, приведенный на рисунке 3.3, вам понятен. Рис. 3.2 Рис. 3.3 ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Центральной симметрией относительно точки О называется преобразование, при котором произвольная точка Л фигуры-прообраза переходит в точку Лх фигуры-образа так, что точки Л, О иЛхлежатна одной прямой иЛхО = ЛО (рис. 3.4). Заметим, что такой вид симметрии является случаем поворота на 180°. 112 ГОМОТЕТИЯ Гомотетией с центром в точке О и коэффициентом к называется преобразование, при котором произвольная точка А фигуры-прообраза переходит в точку Ах фигуры-образа так, что точки А, О, Ах лежат на одной прямой и АхО = 1к\АО (рис. 3.5). Гомотетия сохраняет форму фигуры, но не ее размеры. Коэффициент гомотетии может быть как положительным (рис. 3.5-а), так и отрицательным числом (рис. 3.5-6). Рис. 3.5 При к > 0 точки А и Ах лежат на прямой О А по одну сторону от точки О, а при к <0 - по разные. Пусть фигура F переходит в фигуру Fx преобразованием гомотетии с центром О и коэффициентом к Рассмотрим две произвольные точки АиВ фигуры F Им соответствуют точки Ах и Вх фигуры Fv При этом ОАх : OA = \к\ = OBj : ОВ; ZA^OBj = ZAOB, т. к. эти углы или совпадают (при к > о), либо являются вертикальными (при к < 0). Тогда AAjOB,,^ ААОВ с коэффициентом подобия (к!, и А2В^ : АВ - |й^1' Аналогично получаем: В,Сх : ВС = 1к1, АхСХ : АС = |&^|. Следовательно треугольник-прообраз и треугольник-образ - подобны, т. к. их соответственные стороны пропорциональны. Мы доказали такое свойство гомотетии. Соответственные линейные элементы гомотетичных фигур пропорциональны с коэффициен- том |fe|, а углы при гомотетии не изменяются. Гомотетия с коэффициентом к = -1 является центральной симметрией. Действительно, при гомотетии с центром О и коэффициентом к = -1 любой точке А фигуры-прообраза соответствует (как образ) такая точка А,, чтобы О была серединой отрезка ААХ (см. рис. 3.4). центральная F-----------Fi симметрия1 А/ Г центр симметрии гомотетия центр коэффициент / гомотетии / ОА) ОА = к>0 центр) гомотетии \ А О / OAi ОА В коэффициент гомотетии = \k\0 F С v-'J' ■ 1 FcuF\ V подобны с к ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Преобразованием подобия с коэффициентом к называетея преобразование, при котором отношение расстояния между произвольными двумя точками фигуры-образа к расстоянию между соответствующими двумя точками фигуры-прообраза равно к (рис. 3.6). Если при таком преобразовании точке А соответствует образ Av а точке В - Bv то AjBj : АВ = к Понятно, что коэффициент подобия не может быть отрицательным. Преобразование подобия можно представить как преобразование, полученное послеловательным выпол- нением преобразований гомотетии (с коэффициентом, модуль которого равен к) и движения. Например, на рисунке 3.7 мы использовали гомотетию с коэффициентом 2 и поворот на 30° - оба с центром в точке О. А на рисунке 3.6 треугольникАуВ^ подобный треугольнику АВС с к = 0,8, можно получить выполнив последовательно: гомотетию с центром в точке В и коэффициентом 0,8; преобразование поворот на 10° относительно точки В; параллельный перенос. Рис. 3.6 Рис. 3.7 Если применить преобразование подобия к треугольнику, то получим треугольник, подобный исходному, т. к. стороны этих треугольников пропорциональны (рис. 3.7). Тогда можно сформулировать определение двух треугольников таким образом. Два треугольника подобны, если один получить из другою преобразованием подобия. Аналогично формулируется и определение двух плоских фигур. Две фигуры называются подобными, если одну ■ можно получить из второй преобразованием' подобия.То, что фигура Fподобна фигуре F, записывают как F ™Fр или F Fx (если надо указать коэффициент подобия). подобия * можно подобия 114 рассмотренных преобразований: F = F В подобных фигурах все линейные элементы про- % СВОЙСТВА порциональны с коэффициентом подобия k а углы сохраняются. Теперь м^1 имеем возможность сформулировать определение равенства двух фигур на языке математики. Две фигуры называются равными, если они переходят друг в друга движением. Понятно, что данное определение и определение равенства фигур (отрезков, углов, треугольников), как м^1 понимали его ранее (через совмещение), тождественны. Все рассмотренные нами преобразования имеют | такие СВОЙСТВА: • прямая преобразовывается в прямую, луч - в луч, отрезок - в отрезок; • углы между прям^тми сохраняются; • если точка В принадлежит отрезку АС, то ее образ Вх принадлежит отрезку А,С, (образу отрезка АС); • отношение длин отрезков одной прямой сохраняется. Эти свойства следуют из равенства или подобия соответствующих треугольников фигур образа и прообраза. Замечание. Отношение длин отрезков разных прям^тх, вообще говоря, не сохраняется. Г есси-) Г- движением1 1-(авМАА); [АВ)-> [ДВ,); [АВ]-» [АД]. 2. ZA-> ZA, = ZA. 3. Се[АВ]-»С,е[ДВ,]. 4. АС:СВ = Aj€1 -.С&, если С е (АВ). Практическая работа 10 1. Обозначьте две точки А и С, соедините их отрезком. 2. Через точки А и С проведите параллельные прямые и отложите на них от этих точек (в одном направлении) равные отрезки АА, и СС,. Соедините точки А, и С,. 3. Сравните длины отрезков: АС и А,С,; АА, и СС,. Как называется способ, с помощью которого вы получили из отрезкаАС отрезок А,С,? Сделайте вывод. 4. Вырежьте из бумаги по две фигуры, аналогичные изображенным на рисунке 3.8. J L а) б) Рис. 3.8 в) 5. Наклеивая вырезанные фигуры на лист бумаги, осуществите параллельный перенос каждой из них (подсказка на рисунке 3.9). Объясните свои действия. Для любознательных Из соображений подобия двух произвольных окружностей можно легко получить постоянную я. Действительно, отношение двух линейных элементов подобных фигур равно их коэффициенту подобия: Z, : Z2 = k = Rx . R2 К h .. к _ и ^ Тогда: IIR2 2 Д , 2 R, 2 R ■К = const. 115 Рис. 3.9 Задание 15 1°. В какую фигуру переходит прямая при параллельном переносе? ' 2°. Может ли прямая при параллельном переносе перейти сама в себя? 3 . Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона прямоуголь- ника переходит в другую его сторону? 4. Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона треугольника переходит в другую его сторону? Начертите треугольник ABC. Постройте треугольник ABCv который получается из треугольника ABC параллельным переносом так, чтобы образовалась трапеция ABBjC,. 6*. В равнобокой трапеции острый угол равен 60°. Докажите, используя параллельный перенос, что меньшее основание трапеции равно разности большего основания и боковой стороны. Практическая работа 11 1. Начертите отрезок АВ. Отметьте точку О, не принадлежащую отрезку АВ. 2. Проведите луч ОА и постройте луч ОМ (в правой полуплоскости относительно ОА) так, чтобы ZAOM= 50°. На луче ОМотложите отрезок ОА^равный ОА. 3. Проведите луч ОВ и постройте луч ON (в правой полуплоскости относительно ОВ) так, чтобы Z.BON = 50°. На луче ON отложите отрезок OBv равный ОВ. Соедините точки Aj и Ву Сравните длины отрезков АВ и Ахв^ Как называется способ, с помощью которого вы получили из отрезка АВ отрезок А,В,? Сделайте вывод. Практическая работа 12 1. Вырежьте из бумаги по одной фигуре, из изображенных на рисунке 3.10. Для любознательных Пример Георга Кантора (1845-1918). Множеству точек произвольного отрезка можно поставить в соответствие множество точек всей прямой. Кантор предлагал сделать это так, как показано на рисунке. Можно ли поставить в соответствие множеству точек луча множество точек отрезка? 116 2. С помощью иголки (циркуля), обводя контуры фигур, осуществите поворот каждой из них вокруг: 1) точки А против часовой стрелки на угол: а) 130°; б) 180°; 2) точки О по часовой стрелке на угол: а) 75°; б) 360°; 3*) какой-то точки, не принадлежащей фигуре, на угол: а) 60°; б) 360°. Задание 16 1°. Постройте отрезок AjB, в который переходит отрезок АВ поворотом вокруг заданной точки О на: а) 100° по часовой стрелке; б) 45° против часовой стрелки. 2. Постройте треугольник, в который переходит заданный треугольник АВС поворотом вокруг точки А по часовой стрелке на угол 150°. 3. Постройте окружность, в которую переходит заданная окружность с центром О поворотом вокруг точки А по часовой стрелке на угол 60°, если: а) точки А и О совпадают; б) точки А и О не совпадают. 4*. Докажите, что поворотом квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на 90° квадрат отображается сам на себя. 5*. Точка В - точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника FGH. Докажите, что в результате поворота вокруг точки В на угол 120° треугольник FGH отображается сам на себя. (г-.Назовите фигуры, которые можно отобразить на самих себя поворотом вокруг некоторой точки на угол: а) 45°; б) 60°; в) 120е. Где вы видели такие фигуры в природе и в технике? Практическая работа 13 1. Начертите отрезок АВ. Проведите прямую п так, чтобы она не пересекала отрезок АВ. 2. Из точек А и В опустите перпендикуляры АНи ВКна прямую п 3. На продолжениях отрезков АН и ВК за точки Ни К отложите отрезки НАХ =АН и КВ, = ВК соответственно. 4. Соедините точки Aj и В, отрезком. 5. Сравните длины отрезков АВ и А,ВГ Сделайте вывод. 6. Какие точки отрезков АВ и А,В, симметричны относительно прямой п? 7. Постройте произвольные треугольник и четырехугольник, проведите прямую П не пересекающую их. Постройте фигуры, симметричные треугольнику и четырехугольнику относительно прямой п Задание 17 1. Выполните преобразование осевой симметрии: а) четырехугольника относительно одной из его сторон; б) параллелограмма относительно одной из его диагоналей; в) треугольника относительно его средней линии. 2. Сколько осей симметрии имеют две заданные точки? Сделайте рисунок. 3 . Даны точки А, В и М, не лежащие на одной прямой. Постройте точку, симметричную точке ^относительно прямой АВ. 4*. Сколько осей симметрии имеют две прямоте? Рассмотрите всевозможные случаи размещения этих прям^тх на плоскости относительно друг друга. Для любознательных Докажите такие свойства орюценгрического треугольника (треугольника с вершинами в основаниях высот заданного треугольника). 1. Треугольник, образованный отрезками, соединяющими точки пересечения продолжения высот остроугольного треугольника с описанной вокруг него окружностью, гомотетичен ортоцентрическому треугольнику. (Найдите центр и коэффициент гомотетии соответствующего преобразования.) 2. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вдвое больше радиуса окружности, описанной вокруг его ортоцентрического треугольника. 117 Практическая работа 14 1. Проведите отрезок АВ. Обозначьте точку О, не принадлежащую отрезку АВ. 2. На продолжениях отрезков АО и ВО за точку О отложите отрезки: ОА^ = О А и ОВ, = ОВ. 3. Соедините точки А^ и Ej отрезком. 4. Сравните длины отрезков АВ и А^В^. Сделайте вывод. 5. Какие точки отрезков АВ и Aj Bj симметричны относительно точки О? 6. Начертите произвольные треугольник и четырехугольник, отметьте точку О вне их. Постройте фигуры, симметричные изображенным относительно точки О. Задание 18 1. Выполните преобразование центральной симметрии треугольника относительно: а) точки, не принадлежащей треугольнику; б) одной из его вершин; в) середины одной из его сторон; г) точки пересечения его медиан. Выполните преобразования центральной симметрии: а) четырехугольника относительно точки пересечения его диагоналей; б) трапеции относительно середины одного из ее оснований. Сколько центров симметрии имеют две точки? Сколько центров симметрии имеют две прямоте? Рассмотрите всевозможные случаи размещения этих прямых на плоскости относительно друг друга. 5**. В каком случае три прямоте имеют бесконечное число центров симметрии? 6**. В каком случае имеют один центр симметрии: а) две прямоте; б) три прямоте; в) лпрямих? 2. S. 4* Практическая работа 15 1. Проведите отрезок АВ. Отметьте точку О, не принадлежащую отрезку АВ. 2. Проведите луч ОА (с началом в точке О) и отложите на нем отрезок ОА, = 20А 3. Проведите луч ОВ (с началом в точке В) и отложите на нем отрезок ОВ, = 2ОВ. 4. Соедините точки А, и В, отрезком. Сравните длины отрезков АВ и А,В,. Сделайте вывод. 5. Как называется геометрическое преобразование отрезка АВ в отрезок AjBt? 6. Продолжите лучи ОА и ОВ в другую сторону (за точку О) и отложите на этих продолжениях отрезки ОА2 = 1,5 ОА и. ОВ2 = 1,50В. 7. Соедините точки Аг и В2 отрезком. Сравните длины отрезков АВ и А2В2. Сделайте вывод. 8. С каким коэффициентом гомотетичны отрезки: а) АВ и A,Bj; б) АВ иА2В2? Будут ли гомотетичными отрезки А]В1 и А2В2? Задание 19 1. Выполните гомотетию квадрата ABCD с центром гомотетии в одной из вершин этого квадрата и коэффициентом гомотетии к = 1,2. 2. Постройте фигуру, гомотетичную данному четырехугольнику с коэффициентом Ь-2 и центром гомотетии в точке пересечения диагоналей заданного четырехугольника. 3°. Как расположены гомотетичные точки относительно центра гомотетии, если коэффициент гомотетии - отрицательное число? Для любознательных На поле разметили участок ABCD квадратной формат. Дожди размыли границы участка, остались только колышки в центре участка и по одному колышку на сторонах АВ и CD. Возможно ли по этим данным возобновить границы участка? Можно ли решить эту задачу, если третий колышек будет не на стороне CD, а на стороне ВС? 118 4*. Выполните гомотетию данного треугольника с центром гомотетии в одной из 2 4 его вершин и коэффициентом гомотетии: a) к =—3 б) х= —. 5*. Какая фигура образуется в результате преобразования гомотетии двух пересекающихся прям^тх, если за центр гомотетии взять точку их пересечения? 6*. Постройте фигуру, гомотетичную углу, с центром гомотетии в его вершине. 7**. Отрезки АВ и AjBj параллельны, АВ Являются ли они гомотетичными? Если да, то найдите центр гомотетии. Сколько центров гомотетии имеют эти отрезки? 8** . Треугольник AjBjCj гомотетичен треугольнику ABC с центром гомотетии в вершине В. Докажите, что точки А, С, А^, Сх - вершины трапеции. При каком условии четырехугольник ACA^Cj будет параллелограммом? 9**. Сколько центров гомотетии имеют две окружности разных радиусов, центры которых не совпадают и которые: а) не пересекаются; б) пересекаются; в) касаются друг друга внешне; г) касаются друг друга внутренне? Как найти эти центры? 10**. Сколько центров гомотетии имеют две окружности равных радиусов, центры которых не совпадают и которые: а) не пересекаются; б) пересекаются; в) касаются друг друга внешне? Как найти эти центры? 11**. Сколько центров гомотетии имеют две концентрические окружности? Практическая работа 16 1. Постройте произвольный четырехугольник ABCD. На продолжении отрезка AD за точку D отложите отрезок ААХ-- 1,5AD. На продолжении отрезка DC за точку С отложите отрезок CCj = 1,5DC На продолжении отрезка DB за точку В отложите отрезок BBj = 1,5DB. 2. Соедините (последовательно) точки А,, Вг и С,. Сравните отношение сторон четырехугольников ABCD и А^С^: AD и A^D, DC и DCyAB hAjBj, ВС и B^Cy Что можно сказать про эти четырехугольники? Сделайте вывод. Задание 20 1°. Определите вид фигуры, подобной: а) треугольнику; б) четырехугольнику; в)трапеции. 2. Докажите, что фигура, подобная окружности, будет окружностью. 3. Начертите план участка земли прямоугольной формы длиной 10 м и шириной 4,5 м в масштабе 1 : 100. 4. Определите площадь усадьбы, план которой изображен на рисунке 3.11 в масштабе 1 : 1000. 5*. Подобны ли прямоугольники, если: а) диагональ одного прямоугольника делит его угол в отношении 2 : 1, а в другом - стороны относятся как 2:1; б) сторона одного прямоугольника равна половине диагонали, а в другом прямоугольнике диагональ образует с ■ одной стороной угол в два раза меньше, чем с другой стороной? 6*. Подобны ли ромбы, если: а) тупой угол одного ромба вдвое больше его острого утла, а разность углов второго ромба равна 60°; б) диагональ одного ромба равна его стороне, а сторона второго ромба образует с одной из его диагоналей угол 30°? Практическая работа 17 1. Постройте произвольный треугольник ABC. 2. Выполните поворот треугольника ABC на 100° относительно вершины А по часовой стрелке. Рис. 3.11 119 3. Постройте треугольник, симметричный треугольнику, полученному в п. 2, относительно точки А. 4. Выполните поворот треугольника, полученного в п. 3, на 80° по часовой стрелке. 5. Сравните положение треугольника АВС и треугольника, полученного в п. 4. Практическая работа 18 1. Постройте произвольный треугольник KLM. Отметьте точку О, не принад- й лежащую треугольнику KLM. : 2. Постройте треугольник, гомотетичный треугольнику KLM относительно точ- | ки О с коэффициентом 2. 3. Осуществите поворот треугольника, полученного в п. 2, на 45° относительно точки О по часовой стрелке. 4. Постройте треугольник, симметричный полученному треугольнику в результате выполнения п. 3 относительно одной из его сторон. 5. Подобен ли треугольник, полученный в п. 4, треугольнику KLM1 Ответ обоснуйте. Сделайте вывод. Задание 21 1. Каким еще преобразованием является гомотетия с коэффициентом к- --1? 2*. Докажите, что гомотетию с коэффициентом к можно заменить на гомотетию с коэффициентом -к и поворотом вокруг центра гомотетии на развернутый угол. 3. Могут ли два подобных треугольника быть негомотетичными? Могут ли два гомотетичных треугольника не быть подобными? 4*. Даны два треугольника. Две стороны одного из них параллельны двум сторонам другого. Будут ли эти треугольники гомотетичными? Будут ли эти треугольники подобными? Ответ обоснуйте. 5**. Гомотетия с центром в точке Ох и коэффициентом кх отрезок АВ преобра- зует в отрезок AjBj. Гомотетия с центром 02 и коэффициентом к2 преобразует отрезок AjBj в отрезок А.,В2, который равен отрезку АВ. Докажите, что отрезок А2В2 можно получить из отрезка АВ параллельным переносом или центральной симметрией и что |А1Дг21 = 1. Отрезок АВ преобразован в отрезок AjB1 последовательными преобразованиями центральной симметрии и гомотетии с общим центром О, не принадлежащим отрезку АВ, и коэффициентом гомотетии к. Докажите, что точки А, В, Av Вх - вершины трапеции. В каком отношении делятся диагонали трапеции точкой их пересечения? Точку Р повернули вокруг точки О на 60°, а потом в результате гомотетии с центром в точке О и коэффициентом к =2 полученную ранее точку Р„ преобразовали в Р2 Докажите, что точки Р2, О и Р - вершины прямоугольного треугольника. *. Объясните взаимосвязь между: а) поворотом и центральной симметрией; б) параллельным переносом и осевой симметрией; в) поворотом вокруг некоторой точки и осевой симметрией; г) центральной симметрией и гомотетией. Для любознательных Дан выпуклый четырехугольник. Нужно разделить его на 4 части и сложить из них четырехугольник, равновеликий данному. При этом у полученного четырехугольника два основных элемента (две стороны, или два угла, или сторона и угол) заданы. Совет. Используйте преобразование движения. 120 6 8 Подобие многоугольников Напомним, что две фигуры называются подобными, если одну можно получить из второй преобразованием подобия: Fj~~ F2(CTp. 114). Ш Теорема. Если два одноименных многоугольника имеют соответственно пропорциональные стороны и соответственно равные углы, то эти многоугольники подобны. Пусть у многоугольников А,А,,—А_ iAiA2. (рис. 3.12): ZA, = /В,^ = ZB2, ВВ^1: A^Ai = к, В3В2 : АаА^ = к В^В^В'-Надо доказать, чтоА^.-.А^ ™ ВВ.-Вп ♦ • у Z'AJ “ ^^: п t An 1 _ =к 1 А-Л, Т1^1.В п ♦ Л А 1 ZA:x—ZBx ..., 1 'An =ZB,, и ZA2 = ZB2. Рис. 3.12 Доказательство 1) По условию В2В, : А^, = к = В3В2 : AgA. Тогда AAjA2A3 ~ АВ^В.Вр Откуда В3В, ■ А^Ах = к Z4.A.A = ZA, - ZA АА.„, = ZB4 - ZB.B В = ZB ВВ ^ 2) B3Bj : AgAj = k= В3В4 : АзА4 и ZA A3A' = ZBjB3B4. Тогда AAjAgA, ~ АВ хВзР4 и А1А2А3А4 ~ В,В2В3В4... ■ Повторяя аналогичные логические шаги, получим, что AjA2...A ™B,Bz.-Bn . Ч. т. д. к AjA'"_ A2A3-B,B. ДА в. в. Для любознательных ЗАДАЧА ЭЙНШТЕЙНА. Альберт Эйнштейн считал, что (в его времена) эту головоломку могли решить только 2 % населения. Заметим, что сейчас этот процент несколько выше. Интересно, относитесь ли Вы к нему? Дано: 1) есть пять домов - все разного цвета; 2) в каждом доме живет по одному человеку разных национальностей: немец, англичанин, швед, датчанин и норвежец; 3) кажд^тй из них пьет только один определенный напиток, курит только одну определенную марку сигарет, имеет одно домашнее животное; 4) никто из этих жителей не пьет одинаковый напиток, не курит сигарет одной марки, не держит одинаковых животных. Определите: кто держит дома рыбку. Подсказки. 1) англичанин живет в красном доме; 2) швед держит собаку; 3) датчанин пьет чай; 4) зеленый дом расположен рядом с белым, левее от него; 5) житель зеленого дома пьет кофе; 6) человек, курящий «Pall Mall», держит птицу; 7) житель среднего дома пьет молоко; 8) житель желтого дома курит «Dunhill»; 9) норвежец живет в первом доме; 10) тот, кто курит «Marlboro», живет рядом с тем, кто держит кошку; 11) человек, имеющий лошадь, живет возле того, кто курит «Dunhill»; 12) тот, кто курит «Winfield», пьет пиво; 13) норвежец живет возле голубого дома; 14) немец курит «Rothmans»; 15) тот, кто курит «Marlboro», живет рядом с тем, кто пьет воду. 121 /1 A^hu.. AjAs A,Aj _ В1В2 ^2^3 BR - — к; I СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ I В подобных фигурах все соответственные линейные А ...А ‘^™З...В (элементы пропорциональны с коэффициентом, рав- " "I ным коэффициенту подобия, а угл^1 меж . сохраняются. Тогда: " • подобные многоугольники имеют соответственно I пропорциональные стороны и соответственно рав-| ные углы; ^ | • отношение периметров двух подобных многоуголь. ников равно коэффициенту их подобия; • площади двух подобных многоугольников относят* ся как квадрат их коэффициента подоби ''А- Ап = ^P-Bi'-Bn > I Последнее утверждение следует из отношения пло-S^ ^ =li2S в I щадей треугольников, на которые эти многоугольники ' “ ” | делятся диагоналями, проведенными из соответствен- й ных вершин (рис. 3.12). Практическая работа 19 1. Начертите произвольный многоугольник. Измерьте длины его сторон и градусные меры углов. 2. Постройте подобный ему многоугольник с коэффициентом подобия 2. 3. Сравните с коэффициентом подобия отношения длин соответственных диагоналей этих многоугольников, отношение их периметров. 4. Вычислите площади этих многоугольников и сравните их отношение с коэффициентом подобия. Задание 22 1°. Два многоугольника подобны. Сторона одного из них относится к соответственной стороне другого как 2:3. Найдите коэффициент подобия и отношение мер соответственных углов. 2°. Два шестиугольника подобны с коэффициентом подобия 3. Найдите отношение их: а) периметров; б) площадей. 3°. Отношение площадей двух подобных двенадцатиугольников равно 2. Найдите отношение их периметров. 4°. Стороны многоугольника относятся как 3 :4 : 5 :6 : 2. Найдите стороны подобного ему многоугольника, если его периметр равен: а) 80 см; б) 60 см. 5. На рисунке 3.13 изображены два подобных многоугольника. Найдите х, у г, а ир. Рис. 3.13 6. Дан квадрат ABCD, площадь которого равна 16 см2. Найдите сторону квадрата, площадь которого: а) в 4 раза меньше площади данного квадрата; б) в 9 раз меньше площади данного квадрата; в) в 3 раза больше площади данного квадрата. 7. Стороны прямоугольника равны 8 см и 6 см. Вычислите периметр подобного ему прямоугольника, диагональ которого равна 50 см. 122 8. Одна из сторон и диагональ прямоугольника равны 8 см и 10 см соответственно. Вычислите площадь подобного ему прямоугольника, меньшая сторона которого равна 24 см. 9. Сторона и высота ромба равны 25 см и 24 см соответственно. Вычислите периметр подобного ему ромба, большая диагональ которого равна 90 см. 10. Диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Вычислите площадь подобного ему ромба, высота которого равна 48 см. 11*. Два ромба имеют равные острые углы. Большая диагональ первого равна 40 см. Найдите сторону этого ромба, если: а) диагонали второго ромба относятся как 3 : 4; б) меньшая диагональ и сторона второго ромба относятся как 6 : 5. 12*. Диагональ ромба равна его стороне. Во втором ромбе угол между стороной и диагональю равен 30°. Подобны ли эти ромбы? Ответ обоснуйте. 13*. Сторона одного прямоугольника равна половине его диагонали, а во втором прямоугольнике диагональ делит угол на части, отношение мер которых равно 2:1. Подобны ли эти прямоугольники? Ответ обоснуйте. 14*. На сторонах прямоугольного треугольника построены попарно подобные пятиугольники так, что стороны треугольника являются их соответственными сторонами (рис. 3.14). Докажите, что площадь пятиугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей пятиугольников, построенных на катетах. 15* , В треугольник, образованный сторонами АВ, AD и диагональю BD параллелограмма ABCD, вписан параллелограмм АКРМта^, как показано на рисунке 3.15. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если АК = 3 дм, AM= 5 дм и АК: КВ= 2:3. 16*. Докажите, что ромбы подобны, если: а) отношения соответственных диагоналей этих ромбов равны; б) отношение радиусов вписанных в эти ромбы окружностей равно отношению их сторон. 17*. Докажите, что параллелограммы подобны, если: а) равны их острые углы и отношения соответственных сторон; б) диагонали этих параллелограммов делят их острые углы на соответственно равные углы. 18*. Докажите подобие двух равнобоких трапеций, если: а) их острые углы равны, а диагонали являются биссектрисами этих углов; б) их тупые углы равны, а диагонали являются биссектрисами этих углов. 19*. Дан четырехугольник ABCD. Постройте четырехугольник, площадь которого: а) в 2 раза меньше площади заданного четырехугольника; б) в 3 раза больше площади заданного чет^:рехугольника. 20*. Докажите, что в подобных многоугольниках: а) соответственные диагонали пропорциональны соответственным сторонам; б) диагонали, проведенные из соответственных вершин, делят многоугольники на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников. 21*. Докажите, если два многоугольника делятся соответственными диагоналями на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников, то такие многоугольники подобны. Рис. 3.14 Для любознательных «Крестики-нолики-3» - игра в «крестики-нолики», в которой выигрывает тот, кто первым поставит 3 свои метки на ооной прямой На бумаге в клетку нарисуйте многоугольник с наименьшим числом клеточек, такой, чтобы, играя на нем в крестики-нолики-3, тот, кто начинает игру, всегда выигрывал. Запишите его выигрышную стратегию. 123 ОКРУЖНОСТЬ переходит сама в себя преобразованиями: - осевая симметрия относительно любого диаметра окружности; - центральная симметрия относительно центра окружности; -поворот с центром в центре окружности на произвольный угол. РАВНОСТОРОН- НИЙ ТРЕУГОЛЬНИК переходит сам в себя преобразованиями: - осевая симметрия относительно каждой из высот треугольника; - поворот относительно центра треугольника на 120° и 240°. Группы симметрии фигур \ Фигуру называют центрально-симметричной, а точку О - ее центром симметрии, если преобразованием симметрии относительно точки О фигура переходит сама в себя. Например, окружность - центрально-симметрична, а центром ее симметрии является центр этой окружности. Фигуру называют симметричной относитель- ^ но ее оси симметрии п, если преобразованием симметрии относительно прямой п фигура переходит сама в себя. Например, вы знаете с 7-го класса, что биссектриса угла является осью его симметрии, равнобедренный треугольник симметричен относительно высоты, проведенной к его основанию. Преобразования, переводящие данную фигуру саму в себя, будем называть группой симметрии этой фигуры. Например, для окружности группой симметрии будет: - осевая симметрия относительно произвольного диаметра этой окружности (рис. 3.16-а); - центральная симметрия относительно ее центра (рис. 3.16-6); - поворот с центром в центре окружности на произвольный угол (рис. 3.16-в). Понимание того, какие именно преобразования являются группой симметрии данной фигуры, поможет в поисках решения задачи и очень упростит этот процесс. Группа симметрии равностороннего треугольника: - осевая симметрия относительно каждой из высот треугольника (рис. 3.17-а); — поворот относительно центра треугольника на 120° и 240° (рис. 3.17-6). В к /\к2 а) А к с Рис. 3.17 124 Группа симметрии равнобсАренного треугольника: — осевая симметрия относительно высоты, проведенной к основанию (рис. 3.18). Группа симметрии параллелограмма: - центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей (рис. 3.19). Группа симметрии ромба: Рис. 3.18 - осевая симметрия относительно диагоналей (рис. 3.20); — центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей (как параллелограмм). Группа симметрии прямоугольника: - осевая симметрия относительно прямых, проходящих через середины противолежащих сторон (рис. 3.21); — центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей (как параллелограмм). в к С И с 1 н /1 ---1----и-----/- - ■ Кг аТ ^ б) Рис. 3.21 Группа симметрии квадрата: - осевая симметрия относительно диагоналей (как ромб); - осевая симметрия относительно прямых, проходящих через середины противолежащих сторон (как прямоугольник); - центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей (как параллелограмм). Переходят сами в себя преобразованиями: РАВНОБЕДРЕН- НЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК - осевая симметрия относительно высоты, проведенной к основанию. ПАРАЛЛЕЛО- ГРАММ - центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей. РОМБ - осевая симметрия относительно диагоналей; - центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей. КВАДРАТ - осевая симметрия относительно диагоналей; - осевая симметрия относительно прямых, проходящих через середины противолежащих сторон; - центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей. Для любознательных Как-то американского математика известного своими логическими профессора Реймонда М. Смаллиана, задачами и софизмами, пригласили выступить на заседании студенческого математического клуба. Профессора представил логик Мелвин Фитинг, который когда-то учился у Смаллиана. Речь Фитинга действительно была речью ученика Смаллиана. Он сказал: «Я имею честь представить вам профессора Смаллиана, который докажет вам, что или он не существует, или вы не существуете, но при этом неизвестно, кто именно не существует^). 125 Практическая работа 20 1. Вырежьте из бумаги: круг, квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, равнобокую трапецию, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник. 2. Среди полученных фигур найдите те, вокруг которых можно описать окружность, и отметьте центры этих окружностей. 3. В четырехугольниках отметьте точки пересечения диагоналей, а в круге -центр. Обведите каждую фигуру на листе бумаги. 4. Проверьте, принадлежит ли поворот к группе симметрии каждой из фигур. Для этого: совместите фигуру с ее изображением на бумаге; вставьте иголку (циркуля) в отмеченную точку; поворачивайте фигуру вокруг этой точки. Сделайте вывод и запишите его. 5. Сгибая вырезанные фигуры, проверьте, принадлежит ли осевая симметрия к группе симметрии каждой из фигур. Сделайте вывод и запишите, сколько осей симметрии имеет каждая из ваших фигур. Задание 23 1°. Какие из данных букв имеют ось симметрии: Ф, В, П, О, Т, П1, Е, 3? 2. Сколько осей симметрии имеют: а) отрезок; б) луч; в) две пересекающиеся прямые? 3. Докажите, что прямая, которой принадлежит биссектриса угла, является осью его симметрии. 4°. Какие из известных вам чет^:рехугольников имеют ось симметрии? 5. Сколько осей симметрии имеет: а) круг; б) полуплоскость; в) полукруг; г) часть плоскости между двумя параллельными прямыми? 6. Докажите, что разносторонний треугольник не имеет осей симметрии. 7. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; ^луч; в) две пересекающиеся прямые? 8°. Какие из данных букв имеют центр симметрии: О, М, Ж, X, Ф? 9*. Сколько центров симметрии имеют две параллельные прямые? 10. Может ли треугольник иметь центр симметрии? 11*. Может ли фигура иметь более одного центра симметрии? 12**. Докажите, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то он -параллелограмм. 13**. Придумайте фигуру, которая имеет несколько осей симметрии, но не имеет ни одного центра симметрии. 14**. Докажите: если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то она имеет и центр симметрии. 15*. Назовите фигуры, которые отображаются сами на себя поворотом вокруг некоторой точки на угол: а) 90°; б) 120°; в) 52°. 16*. Назовите преобразование, при котором каждая прямая плоскости переходит в параллельную прямую или сама в себя. 17*. Докажите, что при центральной симметрии каждый луч переходит в луч, противоположный ему. 18**. Найдите группу симметрии выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, у которого две смежные стороны равны и который не является ромбом. Для любознательных 1. На окружности с диаметром А0 отметили произвольную точку X (не совпадает с А и В). С центром в точке X провели окружность, касательную к АВ в точке Н, которая пересекает данную окружность в точках К и Р; точка М-точка пересечения ХНи КР. Докажите, что ХМ = МН. 2. На хорде АВ окружности с центром О отметили произвольным образом точку X (не совпадает с А и В). Через точки X А и О провели вторую окружность, которая пересекает первую в точке Р. Докажите, что РХ = ХВ. 126 « Метод использования свойств геометрических преобразований при решении задач Рассмотрим примеры использования геометрических преобразований. При этом мы будем опираться на их свойства: образом прямой является прямая; образом полупрямой - полупрямая; образом угла -угол, равный данному; образ точки, принадлежащей отрезку, принадлежит образу отрезка; отношения отрезков прямой сохраняются. При этом заметим, что отношение длин отрезков разных прямых, вообще говоря, не сохраняется. Пример 1. Двое друзей по очереди кладут на квадратный стол пятикопеечные монеты (одну за один ход). Монету можно положить только на свободное место. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Докажите, что тот, кто ходит первым, всегда может выиграть. Решение Первый игрок первым ходом кладет монету в центр стола, а потом - симметрично ходу второго игрока (относительно центра стола). Понятно, что при такой стратегии первый игрок всегда имеет возможность сделать ход после хода второго игрока. Пример 2. Через общую точку А двух окружностей у, и у2 проведите прямую так, чтобы эти окружности отсекали на ней равные хорд^:. План построения 1) Строим окружность у3, симметричную окружности у2 относительно точки прямой OjA А03 = А02; с радиусом, равным радиусу окружности у2, проводим окружность у3. 2) Обозначим у3 П ух= В. Прямая АВ - искомая. Доказательство Обозначим (АВ) П у2 = С и докажем, что [АВ] = [АС]. Точки В и С - симметричны относительно центра симметрии А. Тогда отрезки АВ и АС равны. Ч. т. д. Пример 3. В четырехугольнике ABCD углы при вершинах В и D - прямые, АВ = ВС, а высота ВН= 1. Найдите площадь четырехугольника ABCD. Решение Повернем треугольник АВН вокруг точки в на 90° (рис. 3.23). а (рис. 3.22): на отложим отрезок центром в точке 03 Я, CsAi Рис. 3.23 Симметрия, независимо от широта: трактовки понятия, является той идеей, с помощью которой человек на протяжении столетий стремился постичь и сотворить порядок, красоту и совершенство. Г. Вейль Ищите симметрию! СТРОИМ: симметрично к vi относительно т. А М/ Напомним: (АЗ) - прямая АВ; [АВ] - отрезок АВ; П - знак пересечения; =-«обозначили как^>. 127 I Образованный четырехугольник HBHJD - квадрат со стороной 1. Его площадь равна 1. Тогда и площадь четырехугольника ABCD тоже равна 1. Пример 4. Опорная задача. Даны прямая а и две точки А и В с одной стороны от нее. Найдите на прямой а такую точку М, чтобы сумма длин отрезков АМи MB была наименьшей. Решение Рассмотрим точку Вх симметричную точке В относительно заданной прямой а (рис. 3.24). Тогда для произвольной точ ^ t-\ г К ки К е а: КВ = KBV и АК + КВ = = АК + КВХ>АВГ Искомая точка М - точка пересечения АВХ и а. В* 9 • 1 I ^ I Ч Вг Рис. 3.24 Пример 5. Опорная задача. Даны прямая а и две точки А и В по разные стороны от нее. Найдите на значение выражения 1АХ- ХВ\ -наибольшее для Хе а прямой а такую точку М чтобы jAM—МВ\ было наибольшим. Решение Рассмотрим точку Bv симметричную точке В относительно заданной прямой а (рис. 3.25). Тогда для произвольной точки К е а имеем: КВ= КВХ и \АК- КВ\ = \АК-КВ. \ < АВ. = = \АМ-МВ\\^ ' ' Рис. 3.25 Искомая точка М- точка пересечения АВХ и а. I Пример 6. Дан треугольник АВС. Постройте квадрат, две вершины которого лежат на стороне АС данного треугольника и по одной - на сторонах АВ и ВС. План построения Из произвольной точки М0 стороны АВ проведем МоК0 ± АС и построим квадрат К0М0Е0Р0 (рис. 3.26). Проведем прямую АЕ0 до пересечения со стороной ВС в точке Е Строим прямоугольник МЕРК искомый. вписать квадрат $ Доказательство I м. А К о К ро -р С Рис. 3.26 Квадрат К0М0Е0Р0 переходит в прямоугольник КМЕР преобразованием гомотетии относительно АЕ точки А с коэффициентом---. Тогда КМЕР - квадрат. 128 Ml/ V/4 A Dj D i в Рис. 3.27 Пример 7. Опорная задача. Дан отрезок АВ. Докажите, что геометрическим местом точек М, для которых AM2 — ВМ2 = ft2 (к2 < АВ2), будет прямая, перпендикулярная к АВ. Доказательство 1) Найдем на отрезке АВ точку D, для которой AD2 - BD2 = к2 (рис. 3.27). Учитывая, что AD + DB =АВ, получим: (AD - DB)(AD + DB) = к2, 2AD = к2: АВ +AB. 2) Докажем, что для произвольной точки М прямой, проходящей через D перпендикулярно к АВ, выполняется такое же соотношение. Из прямоугольных треугольников AMD и BMD получим: AM^-AD2 = MD2=MB2 - DB2. Отсюда: AM2 - BM2 =AD2 - DB2 = ft2. 3) Докажем (от противного), что не существует иных точек плоскости с таким свойством. Пусть существует точка М^ <£ MD, AM2 - ВМ2 = ft2. Проведем Mpl LAB, £ Тогда AD2 - D^B2 =.AM2 - BM2 = ft2 = AD2 - BD2. Отсюда: (AD^ + BD)(ADj - BDJ = ft2 = (AD + BD)(AD - BD). Учтем, что (AD + BD) =AB = (ADl + BD,): AB (2AD-AB) = ft2 = AB (2AD -АВ), тогда AD, = AD. T. e. Dx= D что противоречит допущенному. Ч. т. д. Пример 8. Опорная задача. Докажите, что ортоцентр треугольника является центром окружности, описанной вокруг треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины заданного треугольника параллельно его сторонам. Мы уже доказывали этот факт раньше и установили, что именно поэтому три высоты треугольника пересекаются в_________ А В1 одной точке. Вернемся к этой задаче, обогащенные знаниями о геометрических преобразованиях. Доказательство Рассмотрим треугольники ABC иЛ^СДрис. 3.28), притом: А м Х \M1 » I I I I I I I ^ i ГМТ, для которых * АХ- ХВ ^ = const I i i I I I для которой I I Напомним: - «не принадле- жит^); - «не совпадает^). BiCi II ВС А,Вх 11 АВ CiAi | | АС ^ Н- центр описанной окружности вокруг AAjBjC) Рис. 3.28 I Для любознательных В центре квадратного пирога есть изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по прямой, пересекающей две его смежные стороны в точках, которые не совпадают с вершинами фигуры. От оставшегося пирога можно таким же образом отрезать следующий кусок и т. д. Можно ли таким образом отрезать кусок пирога с изюминкой? 129 I AlOi || CA, BjC^ || ВСи AjBjll AB. Тогда AA^B^Cj ~ AABC I (2AX = ZA; ZBX = ZB; ZCj = ZC). I Найдем I АВАхС -* СхВ подобия этих треугольников. тогда ВАХ — АС. Аналогич- ■ 2АС и искомый коэффициент коэффициент параллелограмм, но: СХВ =АС. Тогда С^А^ = ® подобия к =2. I Точка В - середина CxAy тогда ВН - серединный (перпендикуляр к стороне CjA) треугольника А^В-хСх-I Аналогично: СН и АН - серединные перпендикуляры , к АХВХ и CjBx. Следовательно Н - центр окружности, описанной вокруг треугольника AxBxCy A ABC -» Л АфхСИ треугольника ABCпересекаются в одной точке. гомотетией с* Преобразованием подобия (k= 2) Д ABC-> АА1В1Си к = -2и центром { при этом: A ->AyВ^Вxi С Сх, О —> Ни т. д. в центроиде М\Например, середина отрезка ВС (точка М^) перейдет треугольника ABC: в ^ (середину отрезка СхВх). Точка М расположенная на АМа вдвое ближе к М,, чем к А, перейдет сама в себя * (рис. на поле). Тогда М- центроид треугольника ABC. ^ Получили: преобразование A ABC— > Л АхВ1С1 — гомо- высот^1 А Ai '% н R -> НВх = 2R | тетией относительно точки Мс коэффициентом к—2. I Отсюда следуют такие опорные факт^:. 1. О -> Н М, —>• А с к = -2относительно точки М тогда НА = 2ОМ;; аналогично НВ = 20МЬ, НС = 2ОМ ,, (М_ иМ-^середины сторон Ьяс треугольника ABC). НА = 21аМ, HB = 20]Ьу, нс = 20МС 2. О -> Н А -> A^ тогда радиус описанной окружности R —> \НАх\ и НАх = 2R; аналогично НВх= НСх= 2R. HA1 = HBj = HC1 = 2R АН= 20М, j АН^ = 4 R2- я2 j Задание 24 I 3. Из ЛНВ.А (рис. на поле): НВ^. АВ^.= __11__ ^АН^= 4R2 - я2. АН2 = 4М2 — я2, ВН2= 4R2 — Ь2, CH2 = 4R2-c2 I 4. Площадь Sj треугольника А1В^С1 равна к^ш S = 4S, где | S - площадь треугольника ABC. 1. Ланы угол и точка Мвнутри этого угла. Постройте отрезок с концами на сторонах заданного угла так, чтобы точка Мделила этот отрезок в отношении 1:2. 2. Населенные пункты А и В расположены на разных берегах реки, берега которой параллельны. При этом прямая АВ не перпендикулярна к берегам. Где надо построить мост, чтобы путь от А до В был наименьшим? 3. Постройте отрезок заданной длины а, параллельный заданной прямой I, с концами на: а) двух данных прямых; б) двух данных окружностях. 4. Постройте трапецию по: а) основаниям и диагоналям; б) боковой стороне, диагоналям и углу между ними. 5. Постройте равносторонний треугольник, у которого центр - заданная точка О а концы одной из сторон лежат на двух данных прямых. 6. Постройте равнобедренный треугольник по заданному углу а между равными сторонами, заданной точке А - вершине этого угла так, чтобы две другие вершины треугольника лежали на: а) двух данных прямых; б) двух данных окружностях. 130 7. Постройте равносторонний треугольник по положению его центра и расстояниям от двух вершин до заданной точки М. 8. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр которой расположен внутри этого четырехугольника. Сумма углов АОВ и COD равна 180°. Докажите, что сумма расстояний от центра окружности до сторон этого четырехугольника равна его полупериметру. 9. Внутри равностороннего треугольника АВСотметили точку М. Докажите, что из отрезков МА, MB и МСвсегда можно построить треугольник. Найдите углы этого треугольника, если ZAMB = фх, ZBMC = ф2, ZAMC = (рг 10. Постройте квадрат, у которого диагональ принадлежит данной прямой, а концы второй диагонали расположены на другой заданной прямой и окружности. 11. Точки К и Улежат на сторонах АВ и АС остроугольного треугольника АВС. На стороне ВС треугольника АВС найдите такую точку Р, чтобы периметр треугольника KPN был наименьшим. 12. Постройте треугольник по вершине А и прямым, на которых лежат биссектрисы углов В и С. 13. Даны три попарно пересекающиеся прямые а, b и с. Постройте такой отрезок, чтобы прямая b пересекала его под прямым углом и делила пополам, а концы этого отрезка лежали на прямых а и с. Всегда ли задача имеет решение? 14. На реке два острова. Туристам на лодке надо с одного острова попасть на второй и побывать (по очереди) на обоих берегах реки. Проложите маршрут для туристов так, чтобы их суммарный путь был наименьшим. Берега реки можно считать параллельными. 15. На сторонах АВ, ВС, CD, DA параллелограмма ABCD отметили соответственно точки К М N и Е так, что kMnE - параллелограмм. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают. 16. Постройте отрезок с серединой в заданной точке и концами на: а) двух заданных окружностях; б) двух заданных прямых. 17. Постройте квадрат с центром в заданной точке О так, чтобы две его параллельные стороны или их продолжения проходили через две заданные точки М и N. 18. Постройте трапецию ABCD по двум данным непараллельным прямым АС и BD, середине боковой стороны и точке на прямой ВС. 19. Постройте треугольник АВСпо положению вершины С и двум прямым, кото-р^1е содержат медианы, проведенные из вершин А и В. 20. Постройте ромб по острому углу и сумме диагоналей. 21. Впишите в заданный угол окружность, проходящую через заданную точку внутри этого угла. 22. Впишите в заданный равнобедренный треугольник: а) квадрат со стороной на основании треугольника и с двумя вершинами на его боковых сторонах; б) прямоугольник со стороной на основании треугольника, двумя вершинами на его боковых сторонах и диагоналями, параллельными равным сторонам треугольника. 23. Найдите геометрическое место точек, делящих пополам хорды данной окружности, проходящие через общую точку А, если: а) А принадлежит окружности; б) А не принадлежит окружности. 24. Найдите геометрическое место точек, делящих в отношении 1 : 3 секущие данной окружности, проведенные из одной точки А. 25. Постройте окружность, проходящую через две заданные точки и касающуюся заданной прямой. 26. Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трех заданных параллельных прямых. Для любознательных В квадрате ABCD провели два взаимно перпендикулярных отрезка MNи PQ (см. рис.). Докажите, что сумма периметров четырехугольников APON и CQOM равна сумме периметров четырехугольников BNOQ и DMOP. В QC N А Р ■М D 131 ь к Параллельный перенос на координатной плоскости I Напомним, что при параллельном переносе все точки фигуры перемещаются в одном и том же ^ направлении на одно и то же расстояние. Т. е. две I произвольные точки А и В фигуры-прообраза перехо-I дят в точки А^ и В^ фигуры-образа так, что точки А В, I Bv Aj или образуют параллелограмм, или лежат на одной прямой. ^ Обозначим координаты точек Л, Av В, Вх (рис. 3.29) * как А(ха;Уа), A'':к',, у^A), В(х,;ув), В(х'в 1 у'в). Имеем: I 1) АВ || AjBx иАК\1 Ох || АХМ, тогда ZBAK = ZB'^M; I 2) АВ =А1В^ и ZBAK = ZB'^M, тогда ААВК = АА^М; I з) хв- Ха=АК■■■ А'^М-^^ - x'a- >Fi параллельным переносом ABEjAj - паралле- | лограмм. I ^Л-^А =х'в-ХВ=к I Уа-УА = Ув-Ув =f Рис. 3.29 Мы рассмотрели случай хв > хА. то согласно предыдущему имеем ха - Если ха > х^ -Хгь А в т. е. соотношение ХА - А х' Параллельный перенос: (*; ^-> (х + к; у+ т) выполняется. Если х, = хА хв' В случае, если лежат на одной - хА = х'в - х'А А то АВ\\Оуи А^ЦАВЦОу, т. е. тогда: * х' точки А, В, Вх, Aj I прямой, очевидно, что соотношение хв I тоже выполняется. I Мы доказали, что при параллельном переносе для двух произвольных точек А и В фигуры-прообраза, * которые переходят в точки Aj и В фигуры-образа, I выполняется соотношение: хв - хА = х'в - х'А. Тогда для | этого преобразования х\ ^ = х\-х^^ ^ величина I постоянная. Обозначим ее через к Зная значение к . можно для данного преобразования по абсциссе точки* прообраза определить абсциссу точки-образа: ^ ^'л = х.+ к х ' = хв+ к ••• . i Аналогично получаем: у'А = уА+ т,у'в-ув + т, — .... 132 свойства параллельного переноса: координатным методом, преобразования порал- 1. Тогда преобразованию параллельный перенос можно дать и такое определение. Параллельным переносом называется преобразование, при котором произвольная точка (*; у) фигуры-прообраза переходит в точку (ж + k; у + т) фигуры-образа. Сравним длины отрезков АВ и А-^Вх = (хв- + (Ув - Уа) = ((хв + к- (хА + к))2 + + ((Ув + т~ (Уа+ т))2 =ац_ - Получили: АВ =А1В1, т. е. расстояния сохраняются, и параллельный перенос является движением, как и отмечалось ранее. Замечание. Пользуясь докажите СВОЙСТВА лельный перенос. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или сама в себя). 2. Если при параллельном переносе точки А, В, Спере-ходят в точки Av Вх, С, и при этом точка С лежит на отрезке АВ, то точка С, лежит на отрезке АХВХ- 3. Углы между прямыми сохраняются. 4. Композиция (т. е. последовательное выполнение) двух параллельных переносов является параллельным переносом. Совет. Воспользуйтесь методом от противного. Практическая работа 21 1. Начертите декартову систему координат и произвольный треугольник в ней. Обозначьте его вершины как А, В, С и запишите их координаты. 2. Запишите координаты точек Av Вх и C.,, абсциссы которых на 3 единицы больше абсцисс точек А, В и С, а ординаты на 2 единицы меньше ординат точек А, В и С соответственно. 3. В той же координатной плоскости (см. п. 1) начертите треугольник бвершинами в точках Ар В,, С, и проверьте: а) равны ли отрезки CCyBByAA-^; б) параллельны ли отрезки СС,, ВВ,, AAj; в) равны ли соответствующие стороны треугольников АВС и A)B)C). Объясните почему. Равны ли треугольники АВС и АДС,? 4. Что можно сказать об углах треугольников АВС и AXBXCX1 Сделайте вывод. 5. Найдите разность между координатами середин соответствующих сторон треугольников АВС и AjBjC,. Сделайте вывод. 6. Проверьте, параллельны ли медианы, проведенные к сторонам АВ и АХВХ треугольников АВСи A)B)C). Сделайте вывод. 1- (АВ)—>(A)B)) I (АВ) 2. С е [АВ] i I С! е [АД] 3. (АВУп = (А1В^Уп^ 4. F -> Fx-> F2 j параллельным переносом JJ F^F2 параллельным переносом Для любознательных 1. Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность. 2. Дан треугольник АВС. Точка М лежит внутри этого треугольника и двигается параллельно его стороне ВС до пересечения со стороной СА, далее - параллельно АВ до пересечения с ВС, потом - параллельно АС до пересечения с АВ и т. д. Докажите, что через какое-то число шагов траектория движения точки замкнется. 133 Задание 25 1°. Выполните параллельный перенос точек А(2; 5), В(0; -7), С(3; 0) на 3 единицы параллельно оси абсцисс в положительном направлении. Запишите координат^! построенных точек. 2°. Выполните параллельный перенос точек А(0; 2), С(-3; 4), 0(0; 0) на 5 единиц параллельно оси ординат в отрицательном направлении. Запишите координата: построенных точек. 3. При параллельном переносе, заданном формулами хх= х - 3, ух= у + 2 точка А отображается в точку А,. Найдите координаты точки Aj, если: а)А(-2; 4); б)А(11; 8); в)А(-3; 0). 4. Существует ли параллельный перенос, при котором: а) точка А(2; 1) переходит в точку Aj(4; 3), а точка В(1; 0) - в точку Bt(0; -1); б) точка С(-2; 1) переходит в точку С)(-1; 0), а точка Р( 1; -3) - в точку РД0; -4)? 5. При параллельном переносе, заданном формулами хх=х + 8, ух = у- 1, точка В отображается в точку Bv Найдите координаты точки В, если: а) ВДО; 4); б)В1(-12;9);в)В1(-5;-4). 6. Запишите формулы параллельного переноса, при котором: а) точка С(-4; 7) отображается в точку С,(8; -3); б) точка £)(0; 5) отображается в точку .0,(7; 8). 7. При параллельном переносе точка А(3; -7) отображается в точку А,(—5; 1). В какую точку отображается точка: а) В(-8; 6); б) F(3; 17)? 8. При параллельном переносе точка 0(0; 0) переходит в точку В(3; 0). Найдите координаты прообраза точек: а)А,(-5; 4); б) В,(-12; 9). 9*. При параллельном переносе вершина А(1; 3) треугольника ABC переходит в вершину К(5; -3) треугольника KLM. Найдите координаты двух других вершин полученного треугольника KLM, если В(6; 1), С(—1; -1). 10. Вершины треугольника ABC имеют координаты: А(1; 1), В(-1; 2), С(0; 9). Найдите координаты вершин образа этого треугольника, полученного параллельным переносом: х, = х + 3; ух = у- 2. 11*. При параллельном переносе центр окружности (х - 2)2 + (у+ З)2 = 16 перешел в точку (-10; 6). Запишите соответствующие формулы этого преобразования. 12*. Даны координаты концов отрезка М(4; -6) и iV(-6; 8). Найдите параллельный перенос, при котором середина отрезка перейдет в начало координат. Найдите координаты концов отрезка-образа при таком преобразовании. 13*. Укажите координаты центра окружности-образа и найдите ее уравнение для параллельного переноса х^ = х-1;г/, = г/ + 2, если уравнение соответствующего прообраза имеет вид: а) х2 + у2 + бх - 8у+ 21 = о; б) х2 + у2 - 10х + 2у+ 1 = о. 14*. Прямая Зх - 2у= 1 после параллельного переноса проходит через точку: а) (0; 3); б) начало координат; в) (-1; 7). Найдите уравнение прямой после переноса. 15**. Постройте отрезок, концы которого принадлежат двум данным параллельным прямым, а середина находится в заданной точке. 16**. Постройте геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных прямых будет величиной постоянной. Для любознательных Параллельный перенос поможет вам в решении следующих задач. 1. Даны угол ABC и прямая I. Постройте прямую, параллельную I на которой стороны заданного угла ABC отсекают отрезок заданной длины а. 2. Даны две окружности и прямая I Постройте прямую lv параллельную /, так, чтобы: а) расстояние между точками пересечения 1х с данными окружностями имело заданное значение а; б) обе данные окружности отсекали на прямой Zj равные хорды; в) обе данные окружности отсекали на прямой Z, хорд^1, сумма (или разность) которых равна заданному отрезку а. 134 У> к МХа^ Уа)^ Мх'а; у'а) 1 1 1 t h--L. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Хд о X Преобразование симметрии на координатной плоскости ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ При преобразовании осевой симметрии удобно направить одну из координатных осей вдоль оси симметрии. Тогда легко найти координаты точки-образа такого преобразования. Если ось симметрии совпадает с осью Оу (рис. 3.30-а), то ординаты соответствующих точек образа и прообраза равны, а их абсциссы противоположны: Уа = Уа'^'а = -^а-Если ось симметрии совпадает с осью Ох (рис. 3.30-6), то абсциссы соответствующих точек образа и прообраза равны, а их ордината — противоположны: х'а = ^а’Уа = -Уа- Убедимся, что расстояние между точками при преобразовании осевой симметрии не изменяется. Выберем осью абсцисс ось симметрии (рис. 3.30-6). Тогда АВ^ = ( Хв^а)2 + (Ув-Уа)2 = = (:в~ ха)2 + ((-УВ).(.Уа))2 =АхВР. А(ху, Уа) О Bl(Xg; Уд) б) Рис. 3.30 Мха; у а) М~Х. ОСЬ симметрии Мха 1 у а) МХа-, -yj ОСЬ симметрии Для любознательных Преобразование осевой симметрии легко записать, если совместить одну из координатных осей с осью симметрии. А как найти координаты точки, симметричной заданной, относительно прямой, не совпадающей с осью координат Оу (или Ох)? Если это прямая х = а (или у = b), т. е. она параллельна одной из осей координат, надо ось Оу (или Ох) параллельным переносом х' = х- а (у1 = у -- Ь) совместить с осью симметрии. Затем выполнить преобразования симметрии и обратного параллельного переноса. Тогда точка, симметричная точке А(хЛ;уЛ) относительно прямой х = а (илиу = Ь), имеет координаты At(-xA + 2а;Уд) (или Ах(ха; -^А + 2Ъ))- А если ось симметрии (и) - прямая у = kx + I не параллельная осям координат? Есть две возможности. 1. Последовательно выполняя параллельный перенос и поворот, совместить одну из осей координат с осью симметрии; после осевой симметрии осуществить обратные преобразования параллельного переноса и поворота. 2. Записать уравнение прямой, перпендикулярной к (/г) и проходящей через заданную точку А; найти координаты Р - точки пересечения этого перепендикуляра с (и); записать условие того, что эта точка Р является серединой отрезка AAV и найти координаты точки А,. 135 Мха\ у а i AA-Xai-VA) У4 А О 4Ai 0(х(0 у 0 - центр симметрии Мха; у а) i А1(-Ха+2Х0 -Уа+у уААа. \А СВОЙСТВА преобразований симметрии: 1. (АВ) -+ (AjBj) 2- [АВ) -> [AjBj) 3- [АВ] —> [AjBJ 4. С е [АВ] I С, е [A)BJ 5. /г"т I Получили: АВ = AхБi. расстояния действительно | сохраняются и рассмотренное преобразование осевой I симметрии является движением. 1 ЦЕНТРААЬНАЯ СИММЕТРИЯ I При преобразовании центральной симметрии удобно I за начало координат выбирать центр симметрии. | Тогда, если точка Л(ха; уА) преобразованием I симметрии относительно точки о(о; о) переходит в точку А,(дс'л; у'А), то и абсцисса, и ордината точки изме- * а_ f _ f няют знак на противоположный х . —Хи у — -уА л I (рис. 3.31-а). Это следует из равенства (по гипотенузе и | острому углу) двух прямоугольных треугольников АОК I илрм (рис. 3.31-6). ► X Убедимся, что расстояние между точками при таком * преобразовании не изменяется. Поместим начало I координат в центр симметрии (рис. 3.31-6): I АВ2 = (хв- хА2 + (в - уа^2— ((-х,) - (-Ха))^ + ^ + ((~Ув) ~ (-Уа)Г= а1в12- I Тогда АВ — AjB,, расстояния действительно сохра- I няются и преобразование центральной симметрии является движением. Пользуясь координатным методом, докажите такие СВОЙСТВА преобразований симметрии. f 1. Прямая переходит в прямую. | 2. Полупрямая переходит в полупрямую. I 3. Отрезок переходит в отрезок. ' 4. Если точки А, В и С переходят в точки Av В^ и ” при этом точка С лежит на отрезке АВ, то точка С^ I лежит на отрезке А^В. | 5. Углы между прямыми сохраняются. I АлЗк Замечание. Если центр симметрии 0(хд;у0) не совпадает с началом координат, то координата: 136 точки А,, симметричной точке Л(хА; уА, несложно получить из условия, что точка О является серединой отрезка ААХ: 2 I Ха + 2х п\ о=Ма±У1 . i/j —- Практическая работа 22 1. Начертите декартову систему координат и отметьте точки А(2; 3), /3(5; 0), С(0; -7). 2. Постройте точки, симметричные точкам А, В, Сотносительно: а) оси Ох; б) оси Оу Запишите координаты полученных точек. Практическая работа 23 1. Начертите декартову систему координат и в ней треугольник с вершинами в точках А(-5; 5), В(-1; 3), С(-5; 1). 2. Постройте треугольники AjBjCj и А^В^С^, полученные преобразованием симметрии треугольника ABC относительно осей Охи Оу соответственно. 3. Найдите координата: вершин треугольников Л^В^С^^г А2В2С2 и сравните их с координатами вершин треугольника ЛВС. Сделайте вывод. Задание 26 1°. Точка А(х; у) отображается осевой симметрией относительно оси Ох в точку А,( 2; -5). Определите координаты точки А. 2. Две точки симметричны относительно оси Ох. Впишите их пропущенные координаты: а)А(5; ...) и А,(...; -2); б)0(...; 4) и 0,(12; ...); в) М(2; 0) иМ,(...; ...). 3. Две точки симметричны относительно оси Оу. Впишите их пропущенные координаты: а) А(...; 7) и А,(3; ...); б) F(A;...) и Fx(...; -2); в)ЛГ(0; ...) и Кх(...; 3). 4°. Относительно какой из координатных осей симметричны две точки: а) А(7; 2) и А,(—7; 2); б) В(-3; -2) и В,(-3; 2)? 5. Среди точек А(1; 5), В(3; -2), С(-1; 5), 0(0; -7), Л(5; -1), F(); 7), G(-2; 3), Я(4; 0), К(); 4), L(2; 1), М( 1; -10) выберите пары точек: а) симметричные относительно оси Ох; б) симметричные относительно оси Оу. 6*. Координатные оси являются осями симметрии квадрата. Точка К(4; -4) - середина одной из его сторон. Найдите координата: вершин квадрата. 7*. Прямые х = -2, у = 3 - оси симметрии прямоугольника ABCD. При этом С(-7; -1). Найдите координата: остальных вершин прямоугольника. 8**. Дана точка А(3; 4). Найдите координаты точки: а) А,, симметричной точке А относительно прямой у = х; б) А2, симметричной точке А относительно прямой у = -х. Для любознательных Олюбимом способе докззательствя «чего угодно» Реймонда Смаллнаня. Этот метод имеет только один недостаток - воспользоваться им может тот, кто хотя бы немного умеет показывать фокус с картами. Продемонстрируем этот метод на примере. Пусть вам нужно доказать кому-то, что вы - граф Дракула. Тогда вы говорите своему оппоненту: «Из всей логики вам необходимо знать всего лишь - если задано два утверждения р и q, при этом р - истинное, то хотя бы одно из утверждений {р, д) -истинное». Это вряд ли кто-то будет оспаривать. «Чудесно, - говорите вы и вынимаете из кармана колоду карт: - Вы видите, эта карта красной масти». И с этими словами вы кладете карту красной масти рисунком вниз на левую руку «жертвы» и просите накрыть эту карту правой рукой. «Пусть р -утверждение о том, что вы держите карту красной масти, a q - о том, что я граф Дракула. Согласны ли вы, что или р, или д истинно?» Ваша «жертвам) соглашается. «А теперь откройте карту!» - приказываете вы. «Жертва^> послушно открывает карту и видит, что она черной масти! «Тогда, - завершаете вы свое «доказательство», - утверждение q - истинно, и я - граф Дракула!» 137 х А а 9**. Даны точки А(~2; 3) и В(4; -3). Запишите уравнение прямой, относительно которой эти точки симметричны. 10**, Точки А(2; 7) и At(4; -1) симметричны относительно некоторой прямой. Составьте уравнение этой прямой. Какой точке будет симметрична точка В(-2; 6) относительно этой прямой? 11**. Даны точки А(-1; 5) и В(4; -6). Найдите координаты точек, симетричних точкам А и В: а) относительно прямой 2х-3у = 0; б) относительно прямой х + 2у = 4. 12**. Запишите уравнение окружности, которая симметрична окружности (х- 4)2 + (у +1)2 = 25 относительно прямой: а) у = х; б) у- х + 2; в) у = 2х - 1. 13**. Вершины ромба лежат на прямых у = х,у = -х. Середина одной из сторон имеет координат^! (1; 2). Найдите координаты всех остальных сторон ромба. 14**. Точки Ми ^расположены в разных полуплоскостях относительно прямой I. Найдите координаты точки X прямой I для которой биссектриса угла MXN принадлежит прямой I 15**. Точки А и В расположены в разных полуплоскостях относительно прямой I Найдите координаты точки X прямой I разность расстояний от которой до точек А и В будет наибольшей. 16**. Точки А и В расположены в одной полуплоскости относительно прямой I Найдите координаты точки Хпрямой I сумма расстояний от которой до точек А и В будет наименьшей. 17**. Постройте треугольник по вершине и двум прямым, на которых лежат биссектрисы двух других углов. 18**. Постройте ромб по острому углу и сумме диагоналей. 19**. Постройте треугольник по точкам, симметричным центру описанной вокруг него окружности относительно его сторон. Практическая работа 24 1. Начертите декартову систему координат и в ней треугольник с вершинами в точках А(1; 1), В(2; 4), С(7; 0). 2. Выполните преобразование симметрии точек А, В, Сотносительно начала координат и обозначьте соответствующие точки как Ар Bv Cv 3. Найдите координаты вершин треугольника А^В^С^ и сравните их с координатами вершин треугольника АВС. Сделайте вывод. Практическая работа 25 1. Начертите декартову систему координат и в ней произвольный треугольник KMN. 2. Постройте треугольники KjM^Nj и K2M2N2, симметричные треугольнику KMN относительно осей Охи Оу соответственно. 3. Постройте треугольник KSM3^3 симметричный треугольнику KMNотносительно начала координат. 4. Какие из треугольников совместились? Сделайте вывод. Задание 27 1°. Постройте точки, симметричные точкам А(3; -2), В(0; 5) и С(-2; -4) относительно начала координат. Запишите их координаты. 2°. Точка А отображена симметрией относительно начала координат в точку Aj(-3; 4). Найдите координата: точки А. Для любознательных 1. Определите координата: точки N, симметричной точке М(2; 3), относительно прямой АВ, если: а)А(2; 1), В(0; 1);б)А(3; 1), В(1; -1). 2. Найдите уравнение прямой, в которую переходит прямая у = 2 при повороте вокруг: а) точки (0; 2) на 30°; б) начала координат на 45°. 3. Сторона квадрата равна 2. Запишите его одним уравнением, если стороны этого квадрата параллельны осям координат, а его центр расположен в точке: а) (0; 0); б) (2; 0); в) (0; -3); г) (-1; 4). 138 3°. Точки В(3; ...) и ВД...; -1) симметричны относительно начала координат. Определите пропущенные координаты точек. 4°. Точка Л имеет координаты (а; Ь). Найдите координаты точки, симметричной точке А относительно начала координат. 5. Среди точек А(-1; 5), В(3; -2), С(0; 0), D(5; 1), F(I; -5), G(7; 0), Н(-3; 2) выберите пары точек, которые симметричны относительно начала координат. 6*. Точка А(-3; 4) отображается осевой симметрией относительно оси Оув точку Аг Точка Ахотображается осевой симметрией относительно оси Охв точку Аг Точка А2 отображается центральной симметрией относительно начала координат в точку А3 Запишите координата: точек А,, А2, А3. 7. Дана точка А(3; ■?). Найдите координаты точки, симметричной точке А относительно: а°) начала координат; б*) точки В(3; 2); в*) точки С(-1; -6). 8* Даны точки А(-3; 8), В(12; -4). Найдите центр симметрии точек А и В. 9. Вершины треугольника расположены в точках А(3; 4), В(-1; 0), С(2; -3). Найдите координата: вершин треугольника, симметричного данному относительно: а) начала координат; б* вершины А; в*) точки М( 1; 1). 10*. Известны три вершины параллелограмма ABCD; А(2; 7), В(-1; 4), С(-3; -5). Найдите координаты центра симметрии параллелограмма и координаты точки D. 11 Запишите уравнение окружности, которая симметрична окружности (х-З)2 + (г/ + 2)2 = 7 относительно точки К(5; 4). 12. Составьте уравнение прямой, симметричной прямой 2х - Зу = 6 относительно: а*) начала координат; б**) точки М( i; 3). 13**. Докажите, что центры симметрии середин противолежащих сторон чет^:рех-утольника совпадают. 14**. Постройте отрезок с серединой в заданной точке и концами на: а) двух данных прямых; б) данной прямой и данной окружности; в) двух данных окружностях. 15**. Постройте параллелограмм с центром симметрии в заданной точке и вершинами на: а) трех данных прямых; б) двух прямых и окружности; в) трех окружностях. 16**. Попробуйте решить задачи 7 и 9, используя параллельный перенос. 17**. Диагонали ромба лежат на прямых у=хяу= -х. Точка (1; 2) - середина одной из его сторон. Найдите координаты вершин ромба. 18**. Найдите координаты концов отрезка, если координаты его середины (3; 4), а концы лежат на прямых: а)г/= 2х + 5иг/ = 0,5* - 1; б) у = 2х + 5 и у = -Зх - 2. Для любознательных Докажите опорные факты. 1. Преобразование симметрии относительно начала координат - композиция преобразований симметрии относительно осей Ох и Оу. 2. Преобразование симметрии относительно точки (ха \ у) - композиция осевых симметрий относительно прямых Х= х0 и у = уо Осевая симметрия - это те «кирпичики», из которых можно «построить» все остальные преобразования движения на плоскости. Убедитесь в этом сами, решая следующие опорные задачи. 3. Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом. 4. Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии является центральной симметрией. 5. Докажите, что композиция двух осевых симметрий является: а) параллельным переносом, если их оси симметрии параллельны; б) поворотом вокруг точки О, если их оси пересекаются в точке О. 6. Докажите, что композиция поворота вокруг точки О и осевой симметрии относительно прямой, проходящей через точку О, является осевой симметрией. 7. Докажите, что любое преобразование движения можно представить как композицию поворота, параллельного переноса и осевой симметрии. 8. Докажите, что любое преобразование движения можно представить в виде не более чем трех осевых симметрий. . 139 о Полярная система координат и преобразование поворот на координатной плоскости В аналитической геометрии (стр. 9, 11, 272) применяются не только прямоугольные системы координат, а и много иных систем. Среди них одна из наиболее популярных - полярная система координат, отличающаяся простотой и удобством, например при описании преобразования поворот. Определим понятие полярных координат точки. На плоскости зададим точку О (полюс) и полупрямую Ох (полярную ось), с началом в точке О. Отметим на плоскости произвольную точку Р, построим отрезок ОР и обозначим длину этого отрезка через р, а угол РОх - через ср (рис. 3.32-а). (Угол отклоняется от Ох против часовой стрелки.) Р Ф Л 'Ф V—374 полюс полярная ось х а) Рис. 3.32 V" б) Полярными координатами точки Р называют радиусом этой точки, а ф - ее полярным углом. . Заметим, что градусная мера полярного угла может р и (р: р по.лярным быть больше 180°, например, если точка расположена относительно полярной оси так, как показано на рисунке 3.32-6. Тот, кто занимался в туристических секциях, легко поймет, что движение по азимуту основывается на том же принципе, что и полярные координат^:. С помощью полярных координат можно задавать на плоскости различные множества точек. Например, очень просто записать уравнение окружности с центром в полюсе. Если радиус окружности равен R, то и полярный радиус произвольной точки окружности (и только для точек этой окружности) равен R. Тогда уравнение этой окружности имеет вид: р = R Рассмотрим пример спиралей. (Заметим, при описании спиралей мера угла ф может превышать полный угол. После того как полярная ось сделает первый полный оборот, мерой полярного угла ф будет сумма радианной меры угла РОХ (рис. 3.32-а) и полного угла, т. е. 2л; после второго оборота к мере угла РОХ прибавляется 2 ■ 2к и т. д.). Уравнение р = ф изображает спираль - с увеличением меры угла (в радианах) увеличивается значение радиуса р. Другую спираль описывает уравнение р = —. Тут малым значениям ф Ф соответствуют большие значения р, и наоборот. При увеличении ф значение р уменьшается - спираль «накручивается^) на точку О. Изобразите эти две спирали амостоятельно. Замечание. Значение угла ф в последних уравнениях удобно подавать не в градусах, а в радианах (см. стр. 99). Уравнение р = аф, где а - постоянное положительное число, определяет бесконечную линию, которую называют спиралью Архимеда {рис. 3.33). 140 Рис. 3.33 Проведем на рисунке 3.33 из точки О луч OL и обозначим точки его пересечения со спиралью Архимеда в порядке их размещения на OL (считая от точки о; как AvA2 А3 .... Пусть угол АгОх (мера его меньше 2л) равен у радиан. Точке Аг будет соответствовать угол у + 2л, А3 - угол (у + 4л) и т. д. Тогда ОАх = ау, 0А2 = а (у + 2л), ОА3 =а (у + 4 л), .... Отсюда: АгА2 = А2А3 = ... = 2ла. Таким образом, расстояние между соседними точками пересечения спирали с лучом OL — величина постоянная. Заметим, что этот вывод не зависит от направления луча OL. От уравнения фигуры в прямоугольных декартовых координатах можно перейти к уравнению этой фигуры в полярньхе координатах и наоборот. Если взять за полярную ось положительную часть оси Ох прямоугольной декартовой системы координат, а за полюс О - начало координат (рис. 3.34), то можно найти зависимость между прямоугольными декартовыми координатами точки (дг; у) и ее полярными координатами (р; ф): х =р cos ф, у = р sin ф. Из прямоугольного треугольника ОРК находим, что ^А U*' О Р./' У К ^ Рис. 3.34 ^х2+у2. '«ф=-У Мы получили формулы для перехода от декартовой системы координат к полярной и наоборот. Замечание. Для того чтобы можно было пользоваться такими зависимостями для произвольного положения точки на плоскости, надо определить тригонометрические функции углов больших 180°. Их определяют аналогично тому, как мы это сделали для углов, не превышающих развернутый угол (стр. 40), т. е. через координаты единичной окружности. I ’Д-А(р; ф) Ф ^полярная ось х полюс А(Р;Ф) полярные координаты Связь между декартовой и полярной системами: УА иг I О -яР Ру У X К х' X = рCOS ф , у = р sin ф. Р = у[:^+у\ tg9 = -. Для любознательных 1. Какое множество точек описывает уравнение ф = а, где а - некоторая постоянная мера угла (например, 45°)? 2. Запишите соотношение, определяющее соответствующее ГМТ плоскости в декартовых координатах: а) ф = 45°; б) р < 5; в) р > 2; г) ф < 30°. 141 ивается конец радиуса единичной окружности с цент' ’ ром в начале координат (тот, что лежит на полуокружности); соответствующий угол откладывается от оси Ох против часовой стрелки. Для произвольного угла: • синус угла - ордината (численно) конца радиуса, соответствующего этому углу; • косинус угла - абсцисса (численно) конца радиуса, соответствующего этому углу. То есть численно (в обозначениях рисунка 3.35): .. sina , cosa х = cos а, у = sin a, tga---, ctga — = —;-. cosa sina ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОВОРОТ Теперь попробуем с помощью полярной системы координат описать преобразование поворот. Для этого за центр поворота возьмем полюс О. Пусть точка А фигуры-прообраза имеет полярные координат^! A^Pj^; срд) (рис. 3.36). После поворота на угол а относительно центра поворота О точка А переходит в точку Aj(pA; фл + а). Таким образом, произвольная точка (р; ф) фигуры-прообраза переходит поворотом на угол а вокруг полюса О в точку (р; ф + а) фигуры-образа. Тогда в декартовой системе координат (начало - О, оси Ох совпадают) координаты соответствующей точки-образа имеют вид: хА — рл cos (фд + а); ^д — Рлз‘п(Фл + а)- Практическая работа 26 1. Начертите полярную ось и постройте точки, заданные полярными координатами: Рис. 3.36 Л 71 ^ 2. Начертите декартову систему координат с началом в полюсе вашей полярной системы координат так, чтобы ось Ох содержала полярную ось. 3. Найдите абсциссы и ординаты точек Р, О, L,Uи S :; г) (7 2; . ( з -п д) S(2; 0). Для любознательных Сейчас вам еще тяжело понять преимущества записи уравнений кривых в полярной системе координат (т. к. вы еще только начинаете изучать тригонометрию). Но иногда полярная система координат значительно удобнее декартовой. Например, цветок, который вы видите на рисунке, задается уравнением р — sin 5<р. Попробуйте построить кардиоиду, которую можно задать уравнением р — 1 - sin ф. Напомним, что эту кривую описывает точка окружности, если последняя катится (без проскальзывания) вдоль равной ей неподвижной окружности (см. «Геометрия-7»). 142 Практическая работа 27 1. Начертите декартову систему координат и в ней треугольник ABC. 2. Постройте треугольник AjBjC,, образованный преобразованием симметрии треугольника ABC относительно начала координат. 3. Постройте треугольник А2В2С2, образованный преобразованием поворот треугольника ABCвокруг начала координат на 90°, и треугольник А^В^С^, образованный преобразованием поворот треугольника ABC вокруг начала координат на 180°. 4. Найдите координаты вершин треугольников ABC, A^BxCt/ А2В2С2 и А^ВСОз и сравните их. Сделайте вывод. Задание 28 1. Найдите декартовы координата: точек, заданных в полярной системе коор- динат: а)0(^я б JE I2; -л \ д) Г(3; я). , 3 J /71 " ч C^I , 8; о I; в) 0 I 4; тг ’ г) М (Ч ', 6J 2. Найдите полярные координата: точек, заданных в декартовой системе координат: а) (0; 3); б) (8; 0); в)(-Т2;Т2); г) (-Тб; -V2); Л)Т3;373). “ 3. В декартовой системе координат заданы точки: А(3; 0), В(-2; 0), С(5; 2), D(-l; -3). Найдите координаты образов этих точек после поворота на 90°: а) по часовой стрелке; б) против часовой стрелки. 4. В декартовой системе координат точка М(2; ...) отображается поворотом вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки в точку М(-5; ...). Найдите пропущенные координаты точек. 5. Найдите пропущенные декартовы координаты точек М(-3; ...) и М,(5; ...), если известно, что точка Мх - образ точки Мпри повороте ее вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке. 6. Найдите декартовы координата: вершин прямоугольника, полученного поворотом прямоугольника с вершинами в точках А(-3; 2), В(3; 2), С(3; -2), D(-3; -2) вокруг начала координат: а) на 90°; б) на 180°. 7. Постройте кривую, заданную в полярной системе координат уравнением: ТС д.2 а)р = 1; б)р = 4; в)ф = 4—;г)<р = 0; д)ф -3— = 0; е) р = 1 - совф. 8. В полярной системе координат заданы точки А i(f —(я .В 4; — . Какие коорди- / V / ^ наты имеют образы этих точек при повороте относительно полюса на: а^ —; 3) — ? 9. Вершины треугольника заданы в полярных координатах: А^З; ^), В^б; ^), (С\ 2^1]. Найдите координата: вершин фигуры-образа А1В^С1 при повороте V 3 у треугольника ABC на -— вокруг полюса. 10. Центр окружности радиуса 3 находится в точке М^5; — I. Постройте образ этой окружности, полученный ее поворотом вокруг полюса на -4-. Укажите координаты центра окружности. 11. Запишите уравнение в полярной системе координат, если в декартовых координатах оно имеет вид: а) :и2+ у2= 4; б) х2 + у2 = 3; в) у= \/Зх; г) у2 - х2= 0. 143 Задания для повторения главы III 1. Какое преобразование фигур на плоскости называется движением? 2. Какое преобразование называется параллельным переносом? 3. Какое преобразование называется: а) центральной симметрией; б) осевой симметрией? 4. Какое преобразование называется поворотом? 5. Какое преобразование называется: а) гомотетией; б) подобием? 6. Какие фигуры называются подобными? Как относятся площади таких фигур? 7. Запишите формулы параллельного переноса на координатной плоскости. 8. Какие свойства параллельного переноса и преобразования подобия вы знаете? 9. Даны: точка, прямая, отрезок, треугольник, чет^1пехугольник. Как выполнить для этих фигур: а) параллельный перенос; б) поворот; в) симметрию относительно точки; г) симметрию относительно прямой? 10. а*) Как выполнить сначала гомотетию, а потом поворот треугольника относи- тельно определенной точки? Какой треугольник вы при этом получите? Можно ли получить такой же треугольник, осуществив только одно преобразование? Какое это преобразование? б**) А если центры поворота и гомотетии - разные точки? в*) А если сначала выполнить поворот, а потом гомотетию? 11*. Докажите: если при параллельном переносе отрезок АВ переходит в отрезок A)B), то и середина отрезка АВ переходит в середину отрезка AjB,. 12*. Уравнение F(x, у) = 0 задает некоторое множество точек на плоскости. Как записать уравнение геометрического места точек, которые симметричны заданным относительно: а) оси ординат; б) оси абсцисс; в) биссектрисы первого и третьего координатных углов; г) биссектрисы второго и четвертого координатных углов? 13*. Уравнение F(x, у) = 0 задает некоторое множество точек на плоскости. Как записать уравнение геометрического места точек, которые симметричны заданным относительно начала координат? 14*. Точка (3; -2) при параллельном переносе перешла в точку (3; 4). В какую точку перейдет при этом преобразовании точка (3; 4)? А точка (0; 0)? 15. Запишите формулу параллельного переноса, при котором из точки В(-3; -7) можно получить точку А(-3; -5). 16. Дана точка А(-3; -1). Найдите: а) координата: точки А,, симметричной точке А относительно оси абсцисс; б) координаты точки А2, симметричной точке А относительно оси ординат; в) координаты точки А3, симметричной точке А относительно начала координат; г*) координаты точки А4, симметричной точке А относительно точки В(1; -5); д*) координаты точки А5, полученной из точки А поворотом на 270° относительно начала координат по часовой стрелке. 17. Найдите координаты точки, симметричной точке А(-2; -2) относительно: а*) биссектрисы первого и третьего координатных углов; б*) биссектрисы второго и четвертого координатных углов; в**) прямой х + у - 3 = 0. 18. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой у = 2х- 2 относительно: а*) начала координат; б*) оси абсцисс; в*) оси ординат; г**) прямой х + у - 3 = о. 19*. Сколько существует преобразований движения, которые преобразовывают сам в себя: а) квадрат; б) правильный шестиугольник? 20*. На координатной плоскости заданы точки А(1; 2) и В(5; 5). Движением эти точки переходят в точки А,(2; 3) и Вх(7; 3) соответственно. В какую точку при этом преобразовании переходит точка М(-2; -3)? 21**. На плоскости заданы две прямые, пересекающиеся под углом 45°. После двух последовательных преобразований симметрии относительно данных прямых точкаА перешла в Ар а точка В - в В,. Найдите угол между прямыми АВ и А,#,. 22**. При параллельном переносе точкаА перешла в А,? а прямая I -в 1у Запишите уравнение прямой lv если: а) А(-2; 5), Ах(3; -4), а уравнение прямой 1имеет вид 2х- Зу —1; б) А(4; 7), Aj(-3; 13), а уравнение прямой 1имеет вид Зх + 4у = 5. 23**. Какое наименьшее число вершин может иметь многоугольник, у которого есть две оси симметрии и они пересекаются под углом: а) 30°; б) 10°; в) 87°? 144 24**. Даны прямая / и точка А. Найдите геометрическое место точек ^плоскости, для которых существует поворот на угол 60° с центром на прямой Z, отображающий точку А в М 25*. Гомотетия с центром О переводит точку А в А,. Постройте точку в которую переходит произвольная точка плоскости В при этом преобразовании. 26*. На плоскости даны два параллельных отрезка. Сколько существует преобразований гомотетии, которые переводят один отрезок во второй? Постройте центры этих гомотетий. 27*. На плоскости даны два параллельных отрезка АВ и КМ Найдите ГМТ центров гомотетий, при которых отрезок АВ переходит в отрезок АхВу принадлежащий КМ 28**. На плоскости заданы окружность и точка А. Какую кривую опишет середина отрезка АВ, если точка В будет двигаться по заданной окружности? 29*. Докажите, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, - параллелограмм. 30*. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что этот шестиугольник имеет центр симметрии. 31**. Докажите, что ни одна фигура не может иметь ровно двух центров симметрии. 32**. Докажите, если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то она имеет и центр симметрии. 33**. Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что этот четырехугольник - или равнобокая трапеция, или он симметричен относительно диагонали. 34**. Докажите, что выпуклый га-угольник будет правильным тогда и только тогда, когда он переходит сам в себя поворотом на угол 360° : ^относительно некоторой точки. 35**. Постройте правильный треугольник так, чтобы его вершины находились на трех заданных параллельных прямых. 36**. Дан угол и точка внутри него. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через заданную точку. 37**. Впишите в данный треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности. 38**. Впишите в заданный треугольник АВСтреугольник A^B^Cy стороны которого параллельны сторонам данного треугольника KLM. Готовимся к тематической аттестации № 5 Вариант I 1. Найдите координаты точки, симметричной точке А( - 2; 1) относительно оси абсцисс. 2. Окружность задана уравнением х2 + у2 - 2х+ 2у= 0. Найдите координаты центра симметрии данной окружности. 3. Постройте трапецию, гомотетичную трапеции ABCD (АВ \ \ CD) с центром гомотетии А и коэффициентом гомотетии 2. Найдите отношение площадей этих трапеций. й В к 4. В какую прямую переходит прямая у = 2х преобразованием симметрии относительно прямой х = 0? Вариант II 1. Найдите координаты точки, симметричной точке В( 1; -3) относительно оси ординат. 2. Даны точки А(2; -3) и В(0; -1). Найдите координаты центра симметрии отрезка АВ. 3. Постройте трапецию, гомотетичную трапеции ABCD (АВ 11 CD) с центром гомотетии А и коэффициентом гомотетии 0,5. Найдите отношение площадей этих трапеций. 4. В какую прямую переходит прямая у = х преобразованием симметрии относительно прямой у= о? 145 ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ В этой главе вы познакомитесь (или продолжите знакомство) с величинами, которые, кроме числового значения, характеризуются еще и направлением в пространстве, - векторами. Векторы широко используются в I физике и математике, особенно в геометрии. При этом открытие Декарта, рассмотренное нами в первой главе, дает возможность значительно упростить описание свойств векторов и их использование при решении задач. ВЕКТОР - направленный отрезок ^ 21 о Понятие вектора1 I Многие физические величины, такие как сила, пе- ремещение материальной “ точки, скорость, ускорение и ^ т. д., характеризуются не только числовым значением, I но и направлением в пространстве. Такие величины | называются векторными величинами, или векторами. I ^ Вектором называется направленный отрезок, т е. отрезок, для которого определены начало и конец (см. рис. на поле). I Замечание. Величины, характеризующиеся толь-| ко числовым значением, - длина, площадь, масса, тем-I пература и другие - называются скалярными величинами, или скалярами. I------------ | 1 Примечание для учителя, Если в 8-м классе вы j работали по учебнику Галины Апостоловой, то материал, ’ представленный в § 21-23 данного учебника, уже знаком I вашим ученикам и требует только повторения. 146 На рисунке 4.1 вы видите векторы АВ и п. Вектор АВ отличается от отрезка АВ тем, что точки А и В, ограничивающие вектор АВ, не равноправны (имеют разный смысл): точка А - начало вектора, а точка В -его конец. Аве точки плоскости А и В задают два разных вектора АВ и ВА. Алины этих векторов равны, а направления - противоположны. Такие векторы называют противоположными. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора АВ - длина отрезка АВ (рис. 4.2), обозначается как |АВ |. Модуль вектора п обозначается как |й|. Нулевым вектором называется вектор, длина которого равна нулю (его начало и конец совпадают). Его обозначают как 0. Он не имеет направления. Коллинеарными называются два вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Например, все векторы, изображенные на рисунке 4.3, - коллинеарны^ Коллинеарность векторов будем обозначать так: а |^ Ъ;с11 т,... Рис. 4.2 Рис. 4.3 Нулевой вектор считают колл.инеарным любому вектору плоскости. Ненулевые коллинеарные векторы бывают или сонаправленные, т. е. одинаково направленные (рис. 4.4), или противоположно направленные (рис. 4.5). I I |а|=АВ Модуль вектора Нулевой вектор 0 не имеет направления: А А = В • |а“| = 0 В I АВ || CD II РЕ Аля любознательных 1. Постройте перпендикуляр к заданной прямой, пользуясь только линейкой с двумя делениями (штрихами). Подчеркнем, что использовать линейку для изображения дуги (вместо циркуля) нельзя. Нельзя также использовать параллельность или перпендикулярность ее сторон. 2. С помощью только линейки (без делений) постройте к диаметру заданной полуокружности перпендикуляр, исходящий из заданной точки: а) вне данной полуокружности; б) на данной полуокружности; в) внутри данной полуокружности. 147 а= b b a tt b и |a| - |Ь| Два коллинеарных вектора, расположенные на одной прямой, соналрзвлены, если их направления совпадают (рис. 4.4-а), и противоположно направлены, если нет (рис. 4.5-а). Два коллинеарных вектора, расположенные на параллельных прямых, сонаправлены, если они лежат в одной полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через начала этих векторов (рис. 4.4-6), и противоположно направлены, если в разных (рис. 4.5-6). На рисунке 4.4 вектор с сонаправлен с вектором е, а вектор а - с вектором Ъ. На ри_сунке 4.5 вектор р противоположно направлен вектору I, а вектор Я - вектору т ~~ Сонаправленность и противоположную направленность векторов будем обозначать так, как показано на рисунках 4.4 и 4.5 соответственно. — параллельным — а—--:-------->Ь переносом СВОЙСТВА: 1. а = а 2. а = Ь и b =с У а = с V // \р’ -2- ^ V ft-;, с Ш^\ / а 11 Ъ а) б) Рис. 4.4 а) I Fill' п / — \) Рис. 4.5 Два ненулевых вектора называются равными, если равны их модули и они сонаправлены. На рисунке 4.6 представлены равные векторы АВ — CD. ж:::1м I а) б) Рис. 4.6 На рисунке 4.6-а четырехугольник ABDC - параллелограмм (ЛВ — CD, АВ || CD). Тогда вектор АВ можно получить из вектора CD (или CD из АВ) параллельным переносом. Заметим, что в случае, когда векторы АВ и CD лежат на одной прямой (рис. 4.6-6), они тоже отображаются друг в друга параллельным переносом. Тогда определение равенства векторов можно сформулировать и так. Два ненулевых вектора называются равными, если их можно совместить параллельным переносом. Из этого определения следуют СВОЙСТВА равных векторов: 1. Любой вектор равен самому себе: а — а " 2. Если а — b и Ъ = с, тоД — с. 148 a т Практическая работа 28 1. Отметьте на листе бумаги три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все векторы с началом или концом в этих точках. Запишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого из них. 2. Отметьте на листе бумаги три точки А, В и С, лежащие на одной прямой. Начертите все векторы с началом или концом в этих точках. Запишите все I полученные векторы и укажите начало и конец каждого из них. 3. Начертите два неколлинеарных вектора а и Ь Изобразите несколько векторов: а) сонаправленных с вектором S; б) сонаправленных с вектором Ь; в) противоположно направленных с вектором а;г) противоположно направленных с вектором Ъ 4. Начертите два вектора, которые: а) имеют равные модули и неколлинеарны; б) имеют равные модули и сонаправлены; в) имеют равные модули и противоположно направлены. 5. Запишите, какие из векторов, полученных в п. 4: а) равные; б) противоположные. Практическая работа 29 1. Начертите векторы АВ, СРи ЕКтак, чтобы: а) АВ, СРиЕК были коллинеарны и |АВ | = 2 см, 1СР1 = 1 см, 1-КЕ1 = 3,5 см; б) АВ и СР были коллинеарны, АВ и КЕ не были коллинеарны и | АВ| = 1 см, \СР\ = 2,5 см, \КЕ\ = 3 см. 2. Используя соответствующий масштаб, начертите вектор, изображающий: а) перемещение туриста из пункта А на 5 км на юг; б) перемещение туриста из пункта А на 10 км на восток; в) перемещение туриста из пункта А на 5>/2 км в юго-западном направлении. 3. Используя соответствующий масштаб, начертите вектор, изображающий движение самолета сначала на 200 км на восток (из пункта А в пункт В), а потом на 300 км на юг (из пункта В в пункт С). Начертите вектор, изображающий движение самолета из исходной точки А в конечную точку С. Практическая работа 30 1. Начертите параллелограмм ABCD и трапецию QWRF. Запишите все пары коллинеарных векторов, определенных сторонами: а) параллелограмма ABCD; б) трапеции QWRF. 2. Начертите параллелограмм КМРЕ и обозначьте через О точку пересечения его диагоналей. Пусть: МК = я, КР = п, МО = d, КО = "с. Выпишите все векторы с началом или концом в точках К М Р Е и О, которые равны вектору: а) а; "б) п^ в) d; г) с. _ 3. Начертите ненулевой векторЯ и отметьте три точки А, В и С. Отложите вектор а от точек А, В и С. 4. Начертите прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 3 см, ВС = 4 см. Обозначьте середину стороны АВ через М. Найдите длины векторов: а) АВ, ВС, DC, МС, МА; б) СВ, ВА^оцАцМцМв. Для любознательных 1. На карте указано положение трех маяков: А, В и С. Маяки А и В с корабля видны под углом а, а маяки В и С - под углом р. Найдите на карте место корабля. 2. Два маяка А и В обозначены на карте и видны с корабля под углом а. После того как корабль прошел некоторое расстояние прямолинейным курсом, эти же самые маяки стали видны с корабля под углом р. Найдите на карте место корабля, если на корабле есть инструменты, с помощью которых можно устанавливать длину пройденного пути и его направление. 149 . /-f ^ Действия над векторами УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО ч Для любого ненулевого вектора а и произвольного числа к произведением Ъ-к = k-a называется вектор Ъ сонаправленный с а если к > 0, и противоположно направленный с а если к < о, модуль которого |Ь| = | к| • |^|. При к= 0 имеем 0. На рисунке 4.7 вы видите несколько произведений вектора на число. i ^ Если к = 0, то произведение к • ~а равно нулевому Ха (Л. <—1) I вектору. Если к=1, получаем вектор а, равный данному. Если к = -], получаем вектор -а, по модулю равный вектору а и противоположно направленный, т. е. противоположный . X а (о<Х<1) S' к а (-1 < X < 0) АВ= Ва СВОЙСТВО (Ра) = (Я • РГа Докажем, что любой вектор Ъл коллинеарный вектору а можно представить в виде Ъ = к • а. “ Если векторы У и & сонаправлены, то они отличаются только длиной: |б|: 1а! = ки b = к •'а. Если векторы противоположно направлены, то аналогично пред^1дущему рассмотрим векторы -а и Ъ Тогда получаем, что Ъ = к^ аГно теперь к <0. ^ Правильным будет и обратное утверждение: если Ъ~-— к • а, то векторы Ъ ~па —коллинеарны. Правильность этого утверждения следует из определения умножения вектора на число. Из определения произведения вектора на число следует такое его СВОЙСТВО: X »(Р а) = (Х^ Р)а Для любознательных 1. Лодка пересекает реку перпендикулярно ее берегам за 30 мин. Ширина реки 3 км, а скорость течения 2,1 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и угол между направлением течения и направлением собственной скорости лодки. (Совет. Найдите тригонометрическую функцию искомого угла и воспользуйтесь единичной окружностью и транспортиром.) 2. Из какой точки земного шара должен вылететь самолет, чтобы, после того как он пролетит 100 км вдоль меридиана на юг, потом 100 км вдоль параллели на восток, потом ioo км вдоль меридиана на север, снова попасть в начальную точку? 150, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ * Понятие равенства векторов дает возможность отло- ^ жить вектор, равный данному, от произвольной точки I ПЛОСКОСТИ. I Пусть имеем ненулевые векторы Отложим от произвольной точки плоскости векто^р | А2 ~ вектор и | A1A2~av потом от точки т. д. (рис. 4.8). В конце концов отложим от точки Лп § вектор AK^n^i =ап. Соединим точки А1 и А^^^. Вектор | ДАд+j будем называть суммой заданных векторов: | АА+1 =dt+d2 + — +dn. I Такой способ получения суммы векторов называется I правилом многоугольника. ( Сумму двух неколлинеарных векторов находят или | по правилу треугольника, или по правилу параллело- j грамма (рис. 4.9). А„+1 о-п Рис. 4.8 Г-ИС. ‘±М g Правило треугольника следует непосредственно из $ правила многоугольника для случая двух слагаемых._ | Например, если искать сумму двух векторов а ~и Ъ . то по правилу многоугольника надо от произвольной точки А (рис. 4.9) отложить вектор АВ = а потом от ® точки В отложить ВС = В. Тогда АС = а + 6. Получили ® треугольник ABC и АВ + ВС = АС. (Обратите внимание: I буква, обозначающая конец одного вектора-слагаемого j и начало второго, повторяется и «исчезает^).) I Таким образом, найти вектор с - сумму двух некол- . линеарных векторов а~и b - можно с помощью такого правила. ^ Правило треугольника. Разместить векторы а и Ъ ^ так, чтобы начало вектора b совпадало с концом век- I юра а~ ^ • началом вектора (а + Ъ) будет начало вектора а; • концом вектора (а + Ь) будет конец вектора Ъ. Чтобы найти сумму двух векторов а К Ъ по правилу параллелограмма, проведем через точки С и А пре-д^1дущего случая прямые, параллельные АВ и ВС ® (рис. 4.9), - получим параллелограмм ABCD. I m=a+b+c+d По правилу многоугольника: с = а + Ь По правилам: треугольника -а а. а + (-а) = О 2 а а + а = 2а АВ+ ВС +С К=АХ 151 о СВОЙСТВА: 1. а + +Ь = Ъ + а; 2. \a+b |< 1а| + | 3. а + (-а) = о; _ 4. а-Ь=а ~ + (-Ь). По правилу , треугольника: I (сга_б) По правилу параллелограмма: V- _ Тогда АВ = Ь а вектор АС совпадает с диагональю параллелограмма ABCD. То есть найти вектор с - сумму двух неколлинеарных векторов а и b - можно с помощью такого правила. ^Правило параллелограмма. Разместить векторы а и Ъ так, чтобы начала векторов а и b совпали; через ’концы векторов провести прямые, параллельные прямым, которые содержат данные векторы: _ • началом вектора (а + Ь) будет начало векторов а и Ь; • концом вектора (а+Ь) будет противоположный этой точке конец диагонали образованною параллелограмма. Понятно, что из определения суммы векторов следуют такие ее СВОЙСТВА: 1 .а + b=b + aj_ 3. а +_(-а)'*= о;_ 2. |а + Ъ | < \а | 4- 1Ъ |; 4. f - b =а+ (~Ъ). Из последнего соотношения следует: чтобы найти разность ветсторов а и Ь, надо к вектору а прибавить вектор (-Ъ) - правило параллелограмма. На рисунке 4.10-а: АК = b, AD = -В, вектор с~= а + + (-Ъ) - по правилу параллелограмма (ADCB - параллелограмм). Соединим точки В и К - получим пар^лело-грамм АСВК (т. к. СВ\\АК и СВ = АК). Тогда КВ = АС и разность векторов а и Ъ (вектор с) можно найти по такому правилу. с = а - Ъ Правило треугольника. Разместить векторы а и Ъ так, чтобы начала векторов а и b совпадали (рис. 4.10-6): • началом вектора (а -~Ь) будет конец вектора Ь; • концом вектора (а - Ъ) будет конец вектора а. ~ Практическая работа 31 1. Начертите ненулевой вектор АВ и постройте векторы 0 • АВ, 1 ■ АВ, -1 • АВ, (1 : \АВ\) ■ АВ. Измерьте длину вектора (1 : \.АВ\) ■ АВи убедитесь, что она равна единице. N — середина отрез-О плоскости выполняется Для любознательных Опорная задача. Докажите: если точка ка АВ, то для произвольной точки равенство: ОА + ОС= 2ON Совет. Продлите отрезок ON на равный ему отрезок и воспользуйтесь правилом параллелограмма сложения векторов. 152 2. Начертите два сонаправленых вектора а“и Ъ. С помощью масштабной линейки найдите Ja| и |б|. Постройте вектор (|б| :^^|) •'*а и убедитесь в том, что он равен вектору Ъ. 3. Начертите два противоположно направленых вектора сир так, чтобы |с| = 2 см, \р\ = 4 см. Постройте вектор’*(-|р"|: |с|) • с и убедитесь, что он равен вектору р. 4. Начертите три ненулевых вектора а, b и с. С помощью циркуля и линейки постройте векторы: а )-Ъ,-Ь,- С; б) 2а, -3 b, 0,5 с; в) измерьте длины этих векторов и убедитесь в том, что: |-^| = |^|, j0,5 •” с\ =0,5|-с |, |2 • а| = 2|а\. 5. Начертите ненулевой вектор ~а. Постройте вектор р = Ла. Постройте векторы: -а, 1,5а, 2а7 6аГ Укажите, как направлен кажд^1й из полученных векторов относительно вектора р, и выразите их длины через jp). Практическая работа 32 1. Начертите попарно коллинеарные векторы а и Ь, Си d. Постройте суммы а +Ъ, С + d а + b + d. 2. Начертите неколлинеарные векторы а, Ъ, С, dи е По правилу многоугольника постройте вектор a+b+c+d + e. 3. Начертите два неколлинеарных вектора а и Ь, начала которых не совпадают: а) отметьте произвольную точку А и по правилу треугольника постройте сумму а +В = АС; б) отметьте другую точку Ми по правилу параллелограмма постройте сумму а + b = МР; в) с помощью чертежных инструментов убедитесь, что АС = МР. 4. Начертите неколлинеарные векторы а, b и С. С помощью циркуля и линейки постройте векторы: а) а + b, Ъ + с~а + (Ъ + с) (а + Ьу+ с; б) убедитесь, что вектор а + (Ь +1;) равен вектору (а + Ь)+ с. Практическая работа 33 1. Начертите два ненулевых вектора а и Ь. Докажите (построением), что |а +~b \ < |aj + |f 2. Начертите два ненулевых вектора г и п. С помощью циркуля и линейки постройте векторы: а) г - П;б) п- г'Какие векторы вы получили? 3. Начертите два ненулевых вектора хи у. Постройте векторы: а) х + 2у; б) 0,5у +~х; в) у - ЗХ; г) - 2у + Х; д) - у-х;е) 0 • у— 2хТж) 15у-0 • х. 4*. Начертите произвольный параллелограмм ABCD. Обозначьте произвольную точку на этом же листе бумаги через X. Постройте векторы ХА + ХС и ХВ + XD. Убедитесь, что полученные векторы равны. Изменится ли результат, если изменить положение точки Xi^Ответ обоснуйте. Для любознательных С помощью произвольной точки X любой вектор можно представить в виде суммы или разности двух векторов: АВ =ах+Хв;аВ =Хв —Ха. Это иногда облегчает решение задач, и такой метод называют методом прокола, а точку X - полюсом. Например, докажем методом прокола, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме их длин. Пусть AJ3CD- трапеция (ВС || AD), а Ми N- середины сторон АВи DC. Тогда MN = XN- ХМ. Учтем (см. стр. 154), что: 2XN =XD> +XC, 2ХМ =Ха + Хв. Тогда MN =— (XD - ХА + ХС- ХВ)— (AD+ ВС). Утверждение доказано. 153 Л ^0 • k.i Любой вектор можно разложить по двум неколлинеар-ным векторам. а %о Ь 4) с = Ха + цЬ, где (X;l4 - единственная пара чисел I § 23. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Если а и Ъ - два неколлинеарных вектора, то любо_й третий вектор С можно представить в виде с = Ха~+ \xb, где X и ц - пара чисел. Таким образом: на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Для доказательства этого утверждения проведем через начало А и конец С вектора С прямые, параллельные векторам а и b (рис. 4.11). Мы получили параллелограмм ABCD. Векторы АВ и ~а коллинеарные. Тогда АВ = Ха. Аналогично AD = \ib. Имеем: С = АС = АВ + AD, что и требовалось доказать. С = Ха + цЬ I Мы доказали, что существует искомая пара чисел X и ц. Докажем (от противного) ее единственность. Пусть существует другая пара чисел Xj и |аг такая, что С = Xfi + \xfi. Тогда: Xi+ |ij£=Ха- - X) а = (ц - цх) Ь Векторы а и Ъ неколлинеарны по условию, тогда последнее равенство возможно лишь, если векторы (Xj - А.)“а и (ц - (ij)?) нулевые, т. е. при Я,х = Xи j= ц, что противоречит предположению. Тогда пара чисел X и ц -единственная. Практическая работа 34 1. Начертите три неколлинеарных вектора а, Ъ и с С помощью чертежных инструментов разложите вектор С по векторам'^аиЬ. Измерьте длины полученных векторов, определите соответствующие коэффициенты и запишите~"с через"*а и Ь. 2. Начертите два ненулевых вектора thw.B, которые лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых. Начертите третий вектор I Разложите (построением) I по тип."Определите соответствующие коэффициента: и запишите /через fh иП. 3*. Постройте произвольный треугольник ABC и проведите его медиану AM. Разложите (построением) вектор АМпо векторам АВ и АС. Запишите соответствующее выражение. Для любознательных Точки М и М2 - середины отрезков AjB) и А^Вг соответственно. Докажите, что МхМ2 = =~(А1А2 + BiB2). 154 (Г <й14. Координаты вектора На каждой из координатных осей от точки О (начала координат) отложим единичный вектор (т. е. вектор, длина которого равна единице) так, чтобы эти векторы лежали на положительных полуосях. Пусть - единичный вектор на оси абсцисс, а - единичный вектор на оси ординат (рис. 4.12-а). Векторы ё, и е2 называют координатными векторами, или ортами. Как мы уже знаем, любой вектор (на плоскости) можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Причем коэффициент^! этого разложения определяются однозначно (т. е. единственно возможным образом). Координатные векторы неколлинеарны, тогда произвольный вектор а на координатной плоскости можно представить в виде а — а1^1 + а^г е2 При этом коэффициенты ах и а2 определяются однозначно. Они называются координатами вектора в данной системе координат УА, I С — -----(ь >Ш б1 х а) Если начало вектора а совмещается с началом координат (рис. 4.12-6), то координаты этого вектора а, и а2 совпадают с координатами его конца. В случае, если начало вектора а не совмещается с началом координат, перенесем оси координат параллельно самим себе и поместим начало координат в начало вектора - точку Р(хр;ур) (рис. 4.13-а). Пусть в новой системе координат конец К вектора а имеет координаты (а,; а2), т. е. числа ах и а2 - координата: вектора а в этой системе координат. Тогда в старой системе координат (после обратного параллельного ^ переноса осей) получим: I, у к I а2 + у ри ах— хк~— а2 — у%> — у р' Замечание. Такой же результат можно получить, если осуществить параллельный перенос не осей координат, а самого вектора (рис. 4.13-6) и воспользоваться Уа kl = 1е,1 — i 1 1Г Ci и С2 - орты, или координатные векторы однозначно ты вектора а I 155 тем, что при параллельном переносе получаем вектор, равный данному. Таким образом, если началом вектора а является точка Р(хр, ур, а концом - точка К(х^; у), то координатами вектора а будут числа: ai ~ ХК ~ ХР' а2-Ук ~ Ур' А записывают это так: К(^к: ук а (а,; а2), или РК (at; а2), или (а^; а2). Для вектора а~ (ах 1 а2) из прямоугольного треугольника PDK (см. рис. 4.13-6) согласно теореме Пифагора получим значение модуля этого вектора: I ! Г72“2 АВ - (Хв-Ха; ув-ул) - 1 + "2* Из сказанного выше такие СВОЙСТВА векторов: следуют СВОЙСТВА векторов: а(а,; а2) = Ь(&,; Ь2 О il а1 -Ь, и а2 = Ъ2 Г 1. Равные векторы имеют равные I координаты. I 2. Если координаты двух векторов I равны, то эти векторы равны. 3. Нулевые векторы имеют нулевые Г координаты. Рис. 4.13 О =(о; о) \а(а^; а2>1 - ^а*+а22 ^ - I - - I i" 4. Модуль вектора a(ax; а2) равен | а | = yaf + q.. I I ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ I Пример 1. Точки А и В имеют координаты А(-1; 6) I иВ(5;-2). Найдите координаты и модуль вектора АВ. I Решение I Пусть АВ (а^; а2). I 1) ау-хв-хА-5 - (-1) = 6; а2 = ув-ул- -2-6 = -8. Г 2) | АВ | = 7^1 "36+64 = 10. Ответ: АВ(6; - 8), | А_В | = 10. Для любознательных Опорная задача. Найдите координаты вектора с началом в точке 0(1; 2) и модулем 3. Решение Конец К(х;у) искомого вектора лежит на окружности радиуса 3 с центром в точке 0(1; 2). Тогда координаты точки Кудовлетворяют уравнению (х - Г)2 + (у -2)2 = З2. Отсюда (у - 2)2 = З2 - (х - Г)2 и |г/-2| = "9-(х-1)2. Т. е. у - 2 — ±"9-(х-1)2 при условии, что 9 - (х - Г)2 > 0. Тогда: <Ж = Гх-1; ±'''/9-(x-l)2 ] для всех |х— 1| < 3, т. е. для х е [-2; 4]. V / 156 Пример 2. Найдите координата: вершины D параллелограмма ABCD, если заданы координата: трех других его вершин: А(2, -3), В(5; -2), С(1; 4). Решение Пусть точка D имеет координата: D(xn;yD (рис. 4.14). 1) ABCD - параллелограмм, тогда АВ = DC. 2) Найдем координаты векторов ABnDC: Ав (5 - 2; -2 - (-3)) = (ЗП)Г DC= (1 - Хд; 4 - j/д). 3) DC = АВ, тогда 1 - xD= 3; 4 - yD = 1. Отсюда: xD = -2 и yD= 3. Ответ: D(-2; 3). 5(5; -2) J С( 1; 4) D{Xjy, А(2;-3) Рис. 4.14 у») Пример 3. Найдите координаты вершины Z) параллелограмма ABCD, если заданы координаты трех других его вершин: А(х,;у), В(х2; у), С(х^;у). Решение Пусть точка D имеет координаты D(xq; yj-). 1) ABCD - параллелограмм, тогда АВ = DC. 2) Запишем координаты векторов АВ и DC: АВ = (х,-х,; г/2-г/|)и£>С = (х3-хв; Уз-Уг)- . 3) Из равенства АВ = Z)C получаем: ^2—х7 — Х3 — хр и У2~У х— Уз~ у D Тогда xD = xrx2 + x3nyo = У1-У2 + уз-Ответ: (хх -х2 + хз; ух-у2 + уз)- Практическая работа 35 ' 1. Начертите прямоугольную систему координат и координатные векторы (орты) 6)(l; 0) и ё^(о; 1). 2. Постройте векторы с началом в точке О, концы которых имеют координат^:: (12; 5), (4; -3) и (-3; -4). Обозначьте эти векторы, запишите их координат^:, I разложите эти векторы по координатным векторам и найдите модули получен-^ ных векторов. 3. Постройте векторы АВ и CD, если А(0; 4), В(2; 4), С(-1; 6), .0(1; 6). Найдите коор-‘ динаты векторов АВ, CD и их модули. _____ 4. Постройте вектор КТ, если К(-1; 4), Т(2; 1). Разложите вектор КТ по координатным векторам. Запишите координаты вектора КТ Задание 29 1°. Запишите через орт^: ёД1; 0) и ё2(0; 1) векторы: а) 5(3; 7); б) Ь(4; -3); в) с(-8; 5); r)d(-3; 0). 2°. Разложите по координатным векторам ёх и ё2 векторы: а) а-(2; 3); б) Б(2;-3)- в) с(-1;-4). 3°. Вектор ^записали через орты ёх и ё2 Найдите координата: вектора я, если: а) а = Зе, + 5ё2; б) Я = 7ё1 - 2ё2; в) я = -4ё,; г) а= 0,5ё2. ГБ7- 11 4°. Найдите координата: вектора АВ и его модуль, если: а)А(3;5),В(1;2); в) А(-3; -5), В(-1; -2); д) А(-3;-5), В(1; 2). б) А(-3; 5), В(-1; 2); г) А(3; 5), В(-1; -2); ______ 5. Найдите координаты точки, которая является началом вектора MN, если: а) MN(-1-, 2) и iV(-3; -2); 6)MiV(ir2) иN(2; 0); вiШ(3; -4) и JV(-2; 0). 6. Найдите координаты конца вектора FG, если: а) FG(2; -3) и F(4; 1); б) FG(1;-2) и В(-3; 0); u)FG(4;1) и В(-3; 0). 7. Заполните таблицу: А (0; 0) ( ; -3) (я; Ь) (2; 4) В (2; 2) (2;-7) (3; 1) АВ (5; ) ("^S; (с; d) (0; 0) 8°. Даны векторы: а(3; -5), Ь(-3; -5), с(5; -3), d(i; 5), £{5; -3), #(-3; 3), h(-5; -3). Какие из этих векторов: а) равны; б) имеют равные модули? 9°. Среди данных векторов найдите единичные: - ~(3 4 о(0;-1), М i: =5- .1 .о_ 3’ 3 : , d 2 10. Даны точки М(3; 5), ЛГ(10; 12), Р(8; 4), К(1; -3). Запишите все возможные векторы, которые имеют начало и конец в заданных точках. Есть ли среди образованных векторов: а) равные; б) равные по модулю? 11°. Даны точки М(7; -4), N(2; 5), Р(-1; 2). Найдите координаты точки К если MN =PK. ___^ 12. Векторы АВ и CD - равны. Найдите: а) координаты точки D, если А(-4; 2), В(-6; -1), Q2; -3); б) координаты точки С, если А(2; -1), В(2; -3), £)(-2; 2). 13. ABCD - параллелограмм. Найдите координаты точки D, если А(-4; 3), В(5; 0), С(5; -3). 14. Модуль вектора Я(5; у) равен 6. Найдите г/. 15. Модуль вектора т(х, -4) равен 8. Найдите х. 16. Модуль векторар(х; равен 5. Известно, что хиу- целые числа. Найдите их. 17. Даны координата: вершин треугольника А(6; -2), В(2; 3) и С(-2; -3)-,AM^ ВМ2, СМз - медианы треугольника. Найдите координаты векторов AM,, ВМ2, СМ. 18. В треугольнике АВСизвестны координаты его вершин А(-1; 3), В(2; 8), С( 7; -5), AM- медиана треугольника. Найдите модуль вектора AM. 19*. Две вершины прямоугольника ABCD - точки А(-1; 6) и В(4; 6). Модуль вектора АС равен 13. Найдите координаты вершин С и В. Для любознательных Опорная задача. Докажите: если М центроид треугольника АВС, 1, а X - произвольная точка его плоскости, то ХМ-(ХА + ХВ + ХС). 1) Пусть в А АВС АК = т. ТогдаМк==-АМГХК -хМ=3--ХК - ХА), Ш=хв+Х:. 2) ZM = 3X3A2 + -(Xb + XC) = i(xA'+ XB +^C). ч. т. д. 158 Л § 25о Действия над векторами, заданными своими координатами Найдем координаты суммы и разности двух векторов, произведения вектора на число. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Пусть дан вектор а(ах; а^). Т. е. а = а''х + а2ё2. Тогда: Ха = Xa'' + а^ё2) = Ха^е^ + Ха^ё2 Следовательно координаты вектора АЛ равны (Aat; Ха). Чтобы умножить вектор на число, надо умножить каждую его координату на это число. Ха = (А."; Ха). На рисунке 4.15 показано произведение вектора а на числа ±2. Как известно (стр. 150), любой вектор Ъ, коллинеарный вектору а, можно представить как b = Ха и наоборот: если В = Ха, то векторы а и В - коллинеарны. Замечание. Указанное число X может быть и положительным, и отрицательным, и нулем (т. к. нулевой вектор коллинеарен любому вектору). Равенство В = Хг означает, что =j Хгх Ь2 = Ха^ I I I Тогда, если а. " 0 и а, / 0: — Х=—. а а2 ВЫВОД: • координаты двух коллинеарных векторов пропорциональны; • если координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны. СУММА ВЕКТОРОВ Пусть даны векторы а(аХ; а2) и ВЬ^{, Ь)), т. е. “а = аД + а2ё2 и В = 6Д + Ь^е), а суммой этих векторов будет вектор c(c)5 с^) = +j С&! + с):2 = ajix + а2е2 + br+ b)^2 = (ах+ Ь)ёх + (а2 + Ъ)ё) Поскольку такое разложение можно осуществить единственно возможным образом, то с^ = а^+ bjw- С2= а2+ Ь2 Понятно, что для координат суммы нескольких векторов получим аналогичные выражения, в которых суммируются соответствующие координаты всех векторов-слагаемых. Координаты вектора-суммы любого числа векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов. Що,; а^) - -■ = (/:а:; Х^„) a\\b, U ft 1= 11X a1 a2 b-Xa * AK = --1) ■ KA X противоположные —a(a,; a) = (-ai^> ~^т] a(a,;a2) + + b(bx, b2) — = (a, + fe^;a2+fe2) 159 а(а,; а2) - -ъ{ъ1,ъ2) = {ai-bia.2-b2 СВОЙСТВА действий над векторами: Х(ца) = , и(/.а); (л. + ц)а = Ха + +. ца; Х(а + 6) I Ха + Xb; а + Ъ I b + а; I I а + (Ь + с) = -^а + Ь) + с. Перед разложением вектора по двум другим векторам проверьте последние на пропорциональность соответствующих координат. Если их координаты пропорциональны - они кол- линеарны и разложение невозможно. РАЗНОСТЬ ДВУХ ВЕКТОРОВ Чтобы найти разность двух векторов а(ах; а2) и нужно к вектору а прибавить вектор (-В). Т. е. с(сс2) = а(аХ; а2) - Ъ(Ьк^ Ь2) =а(аХ’; а2) + Q{-Q^; -Q2), СЛ+ с2ё2 = аА+ Я;ё2 + (—bte)-- Ь;ё2) = (а, - Ъ^)ёх+ (а^ - Ъ.)ёх. Отсюда: сх= ах- Ьх и с2= а2 - Ь^. Координаты вектора-разности двух заданных векторов равны разности соответствующих координат этих векторов. Представление векторов через их координаты значительно упрощает действия над векторами, т. к. они сводятся к действиям над числами - их координатами. Поэтому этот раздел называют векторной алгеброй. Из определений умножения вектора на число, суммы и разности векторов непосредственно вытекают такие СВОЙСТВА действий над векторами 1. Х(ца) = ц(Хл); 4. а + В= b +~а; 2. (X+ ц)а = Ка + Ца; 5. а + (В^+ с)= (а + В) + с. ~~ 3. " К(а + В) = Ка + хВ; ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Разложите вектор с^-б; 0) по векторам а(т; 3) и В(2; 6). Решение Координаты векторов а и В пропорциональны (1 : 2 = 3 : 6). Тогда векторы а, и b коллинеарны (£ = 0,5Q) и выполнить разложение невозможно. Ответ, задача не имеет решения. Пример 2. Разложите вектор с(-6'; 0) по векторам 5(1; 3) и В(2; -6). Для любознательных Интересный пример применения векторного метода На сторонах произвольного треугольника ABC извне построены параллелограммы. АВАхВу ВССКВ2, САА2С2 Докажите, что из отрезков АхА2, В2В2, С2С2 можно сложить треугольник. Доказательство Рассмотрим многоугольник A)B)i^C)C^A,j. Имеем. АКВК + ВКВ2 + В2СК + СХС2 + Q2А, + A)A, = 0. Учтем, что АВ = AjS), ВС = В2СК, СА = С2А^и АВ + ВС+ АС= 0. Тогда ВКВ2 + CtC2 +_А,А, = 0. Т. е. из отрезков AjA2, ВКВ2, СКС2можно сложить тре- угольник, если векторы В,В2, CjC2, А2АЛ неколлинеарны. А могут ли векторы ВКВ2 СКС2^ А2А1 быть коллинеарными? 160 SsJSSWg .. Решение Координаты векторов а и Ъ не пропорциональны, т. е. векторы а и Ъ не являются коллинеарными, поэтому можно выполнить разложение с = Ха + \хЬ = (X; 3^) + (2ц; - 6ц) = (Л + 2ц; 3^-бц). Имеем: с(-6; 0) = (А, + 2ц; ЗЯ-6ц). Отсюда: ' + 2ц = — 6, |Х + 2ц = -6, Г А. = -3, ЗА.-6ц = 0, [А,-2ц = 0, (ц = -1,5. Ответ: с = -За - 1,5Ь Пример 3. В параллелограмме ABCD точки М и Улежат на сторонах АВ и CD соответственно, AM: MB - CN ND = 2:1. Выразите вектор MN через векторы АВ и AD. Решение Обозначим векторы АВ = а и AD = b (рис. 4.16). 1) ABCD - параллелограмм, тогда DC=АВ= а и Вс = AD =ъ. ________^ ^ 2) По правилу многоугольника i№V = МБ + БС + CN. 3) МБ ТТ АВ и AM : MB = 2:1, тогда MB = ■ -а. 4) CiV Т1 ABhCN : ND = 2 ; 1, тогда CW = ■- - ai. 5) MiV = —a = b — a. “ ^ 3 3 3 3 2. Ответ MN = AD----АБ. 3 Разложение вектора с (с,; с2) по A(a,; 12) и &(&,; Ь2), aft В: 1) записать Ха =(Ха^;Ха) и ХЪ =(ц6,; цЬ2); 2) записать Ха + ХЪ=__________ =C/.a, + /?Ь,"; /,а2 + (i62 ); 3) записать с = Ха + ХЬ, из равенства координат jC) = Ха^ + \ibx \с21Ха2 + ЦЪ2 найти Лиц. Для любознательных Теорема. Три точки А, ВиС лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа к, пн ттакие, что к + n + m = 0(k*0, пфо, т# 0), и для произвольной точки О плоскости выполняется соотношение к • ОА + + п • ОВ + т. ■ ОС= 0. Доказательство ____ Необходимость. А, В, Слежат на одной прямой, тогда ВС = ХВА. Отсюда: БО +-QC = ХВО + ОАри XQA + (Г- Х)ОВ + (- 1 )ОС = 0.4. т. д. __ Достаточность. Пусть выполняется равенство к • ОА + п • ОВ + т^ ОС = 0, где к+ п + т= о (к Ф о, п* о, т *о), т. е. п + т = -к. Умножим векторное равенство на — и прибавим к обеим его частям ВО: т т+ ж = ~Ад+—т+Ш-,1''=—Ад+^^^вд =—Ад—вд =—Ав.^^ ^ mm m m m m m Тогда ВС и АВ коллинеарны, и точки А, В, Слежат на одной прямой. 4. т. д. 161 Практическая работа 36 1. Начертите прямоугольную систему координат. 2. Отметьте точки А(-6; -2), В(3; 4), С(1; 1). Постройте векторы АВи ВС. Найдите координат^! этих векторов. ____________________ __ 3. Постройте вектор, который является суммой векторов АВ и ВС. Используя клеточки тетради, найдите его координаты. _^ __ 4. Сравните полученные координаты с координатами векторов АВ и ВС. Сделайте вывод. Практическая работа 37 1. Начертите прямоугольную систему координат. 2. Отметьте точки А(2; 2), В(4; 7), С(9; 6). Постройте векторы АВ и АС. Найдите координаты этих векторов. 3. Постройте вектор, равный разности векторов АВ и АС. Используя клеточки тетради, найдите его координаты. 4. Сравните полученные координаты с координатами векторов АВ и АС. Сделайте вывод. Практическая' работа 38 1. В прямоугольной системе координат постройте вектор АВ, если А(1; 1), В(3; 3). 2. Постройте вектор ЗАВ. Используя клеточки тетради, найдите его координаты. 3. Сравните полученные координаты с координатами вектора АВ. Сделайте вывод. Задание 30 1°. Дан вектор 5(1; 5). Найдите координаты векторов: а) "2а; б) За; в) -5а; г) -12а. 2°. Даны векторы 5(2; -5) и В(-3; 4). Найдите векторы: а) 2Ь; б) -В; в) 4Ь; г) -4В; д) а + В; е) а - В; ж) а + 26; з) 5 - 4Ь. 3°. Найдите координаты векторов 2а и -3-а, если: а) 5(-7; 3); б) а(-3; 9); в) 5(0,5; -2); г) а = ёХ- Зё2; д) а = -6ёх+ 21ё2. 4°. Найдите сумму векторов: а) 5(1; -2) и В(2; -3); б) 5(-3; 4) и В(2; -3); в) а(-5; 4) и b(2;-2). ^ 5°. Найдите вектор а - b, если: а) 5(1; 4), Ь(-1; -3); б) 5(-3; 2), fe(2; -1);Д) 5(5; 3), Ь(-4; 4). “ 6. Найдите модули векторов х +уиХ—у, если: а) *(4;-1),у(-5;8); в)х'(3; 2), уС4;-2); б) Х = 3?! - 2ё2, у = -4ij + ё2; г) х = gj- 222 У = ё, - Зё2. 7. Даны векторы а"= ^ - 6е2, Ь = 2et + Зе2. Найдите координаты и модуль вектора: а) 25 + ЗВ; б) 5 - ЗЬ; в) 0,55 - В; г) 4Ь - 55. 8. Дан |Х5| = 5. Найдите X, если: а) 5(6;-8); б) 5(3;-4); в)5(-7;24); г) 5(5; 12). Для любознательных 1. Векторы а, В, с, "^связаны соотношением 2а + оВ +о • с - 85“= о. Представьте кажд^1й из векторов а, В,Вв виде линейной комбинации других векторов. Правда ли, что вектор с нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов? Почему? 2. Пусть а = 5г - 35, В = 1т - 45, где векторы тиП- неколлинеарны. Разложите векторы йийпо векторам а и В. 9. 10. 11. 12. 13* 14* 15* 16* 17* 18* 19* Даны векторы а^^З; -2), 6(4; 2). Найдите координаты и модуль вектора: а) 2а+ 6; б) а -36; в) 5а-6; г) 26+ 5а. ^ Найдите вектор 4(а - 26) + 3(0,5с “+ 3d), если: а) 5(2; 3), 6~(-3; 4), с(0; -2), d(2l -2); б) а(0; -3), 6(2; -4), с(2; -2), d(l; -1). ^ ^ Какие из векторов коллинеарны: а(8;''4), 6(-1; -0,5), с(4; 4), d(0,5; 0,5), х(-2; l), £/(-l;-l)? Даны четыре точки: А(3; 0), Б(0; 1), С(2; 7) и £>(5; 6). Докажите, что векторы АВ и CD коллинеарны. _ Найдите значение х, при котором векторы Ди 6 сонаправлены, если: а) а-(2; 3), 6(12; х); б) ё{х; 2), 6(3; 4); в) а(-3; 1), 6(4; х). " Найдите значение х, при котором векторы а и 6 коллинеарны, если: а) а(-2; 3), 6(12; х); б) а(х;-2), 643; 4); в) а“(3; 1), 6(4; х). " Дан вектор а(-5; 4). Найдите вектор х(х((; г/0), который в 5 раз длиннее вектора а и направлен с ним: а) одинаково; б) противоположно. Модуль вектора ^хравен 12. Найдите к, если: а) х^!; 3); б) х(-5; -1). Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору х"(6; -8) и одинаково с ним направленный. Найдите среди следующих утверждений правильные: а) если |б| = k\a 1, то 6 = kaj б) если 6 = ka, то |б| = к\а[, в) если а и 6 коллинеарны, то 16[ = к\а 1 и 6 =~ка; г) если аТТ 6 и |б| = к)а\,то 6 = ка. Разложите вектор а по векторам бис, если: а) а(2; 3), 6(-1; 4), с(5;--6); б) а(-3;А), 6(0; 2)4 с(-1; -^. Для любознательных Докажем, следуя Эйлеру, такую теорему. Теорема Эйлера (формула Гамильтона). Если в произвольном треугольнике АЙСобозначить через Него ортоцентр, а через О— центр окружности, описанной вокруг этого треугольника, то ОН = О А + ОВ + ОС. Доказательство Проведем в треугольнике АВС высоты ВВуААХ и перпендикуляры ON и ОМ к сторонам АС и ВС. 1) Из треугольника ВОН ОН = ОВ + ВН 2) О - центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, тогда ON и ОМ - срединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, a MN - средняя линия. 3) MN || АВ (как средняя линия), ON || БВ, (как перпендикуляры к АС), ОМ | |AAj (как перпендикуляры к ВС). Тогда ZABB, = = ZONM, /ВАА^ = ZOMN, ААВН™ AMNO с к = 2 (т. к. АВ = 2MN). 4) ААВН" AMNO ск = 2. Тогда ВН= 2ON. ВН || ONВн =~20N. Тогда”зН= ОВ + 2ON 5) N - середина отрезка АС. Тогда (см. стр. 152): ОА +"'ОС=”T0N те.(Ш =ОвГ оА+ ос. Теорема доказана. 20**. Даны векторы а(3; -1), Ь(1; -2) и с(-1; 7). Разложите вектор р — ~я + Ъ + с по векторам а и b. 21. Даны точки А(1; 0), В(-2; -1), С(0; 3). Найдите точ£уху), если векторы АВ и CD равны. 22*. Сумма векторов АВ и CD равна нулю. Найдите координаты точки D, если А(-1; 2), В(2; -1), С(1; 3). 23*. Каким условиям должны удовлетворять векторы, чтобы выполнялось соотношение: а)\а'+ Ь| — |а| + |Ь|; б)\а-Ъ\— |^| -1&^|; в)\аа+ Ь + с\ — |^| + |Ь| + [с|. 24**. ABCD - трапеция, у которой длина основы AD в 3 раза больше длины ВС. Найдите координаты точки D, если А(-4; 6), Б(-2; -1), С(3; 3). 25**. Даны координаты вершин треугольника: А(7; 3), В(-5; -2), С(4; -1). Найдите: а) векторы АВ и АС; б) единичные векторы, параллельные прямым АВ и АС соответственно; в) вектор AL, если отрезок AL является биссектрисой заданного треугольника. 26*. Проекция вектора а на ось Оят равна 2, проекция вектора b на ось Qsr равна -3, проекция вектора Сна ось Qy равна 4. Найдите проекции на ось Qy векторов: а)-ЗаГ6)8+с; в) с-а; г)За-2Ь; д)-а + 2Ь-2с. "■ ' 27**. Сторона квадрата ABCD равна 1. Точка К - середина AD, точка Е - середина АВ, О - точка пересечения диагоналей квадрата. Найдите проекцию на ось AD вектора: а) СВ; б) АС; в) DB; г) ВК; д) СЁ; е) ЕК. Для любознательных Векторная формула средней линии чет^1рехугольника Докажем для произвольного четырехугольника ABCD , , AB + DC---------- (см. рис.), что----— = MN, где Ми N- середины сто- рон AD и ВС. Эту формулу называют векторной формулой ^ средней линии четырехугольника. Действительно: MN— МА + АВ + BNи MN = MD + DC+ CN Если сложить эти равенства почленно и учесть, что МА — -MD и BN = -CN, то получим искомое равенство. Докажите самостоятельно несколько весьма полезных опорных задач. __'_ A r _ АС 1. Пусть дан треугольник ABC. Докажите для векторов т = -------| и п = ■ |АВ 1 такие утверждения: а) вектор Т + h направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла А треугольника ABC; б) вектор Т-п направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А треугольника ABC. _____ __^ __ 2. Пусть М - центроид треугольника ABC. Докажите, что МА + MB + МС — 0. 3. Докажите, если МА + MB + МС — 0, то М - центроид треугольника ABC. 4. Пусть ABC и A^)C) - два треугольника на плоскости. Докажите, если АА^ + BBj + CCj — 0, то центроиды этих треугольников совпадают. 5. Пусть заданы точки А, В, Си D. Найдите такую точку М, чтобы MA + MB=CD. 6. В треугольнике ABC точка О - центр окружности, описанной вокруг этого треугольника, а Н- ортоцентр. Докажите, что НА + НВ + НС = 2НО Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов a(at; а^) и fc(bj; Ъ)) называется число а^Ь^ + а2b2- Скалярное произведение обозначают a • b. Найдем скалярное произведение двух равных векторов: “a • "a = а^! + а2Я2 = а? + а2= |а'[2. Скалярное произведение вектора самого на себя а ■ а обозначают а2 и называют его скалярным квадратом. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора а2=\а\. Из определения скалярного произведения двух векторов следуют такие его СВОЙСТВА: 1. a b = Ьа; 2. а ■ (Ь + с) = а ■ b+ а ■ с; A^i~i ,12 Для дальнейшего нам надо уметь определять угол между двумя векторами. Углом между векторами АВ и АС называется угол ВАС(рис. 4.17). \ ^Углом между двумя векторами, которые не имеют \ J общею начала, называется угол между равными им векторами, которые имеют общее начало (рис. 4.18). В I Скалярное I произведение: I, ■ + а2г^Т2 def t Скалярный I квадрат: I аа-Д= I I I I I I I |СВОЙСТВА а 8: I i) а ■ 8= 8 ■ а; • 2) а ■ (8+ с) = ^ =а ■ 8+ а ■ с; аТ Напомним: равенство по определению; ■ «обозначили как^>. а) б) Рис. 4.17 d Рис. 4.18 Угол между двумя сонаправленными считают равным нулю. ► Ъ а 8 = 0" Замечание. Угол между двумя прямыми не может быть тупым. Угол между двумя векторами может быть тупым. Докажем еще несколько свойств скалярного произведения векторов. векторами | I ♦ <______ I _______*__ I а Ъ I а~ъ= 180° СВОЙСТВА -а ^Ъ: 4) а • b = = |a^|-|b|cos”(a*bj 1 5) ШЬ~ И и а mb =О, (аё О, b щб). 2 —* —2 ■ а +2а m Ъ + Ъ, Ш Теорема. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними. Доказательство Пусть даны векторы a(axra2) и £(&,; b2). Обозначим угол между ними как а. Надо доказать, что а, • bj + а2- Ь2= |а| ■ |b |cos а. Рассмотрим скалярный квадрат вектора а + Ъи учтем свойства скалярного произведения двух векторов, приведенные выше: 2 (а + Ъ) = (а + Ь) m (а + Ь) ■ | а + bf= |а|2 + \bf+2а I Тогда скалярное_ произведение двух векторов а m b определяется только через длины векторов а^ b и а + Ъ, т. е. оно не зависит от выбора системы координат. Направим ось Ох так, как показано на рисунке 4.19, _и запишем координат^! векторов атлЬ: a(|^|; о), b(|fe|cosa; |fe|sina). Тогда a •' b = |a| -|b|cos a + 0-|fo|sin a = |"а| Теорема доказана. Следствие 1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Следствие 2. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны. |Ь|cos а. С 0 Для любознательных ВЕКТОР-НОРМАЛЬ К ПРЯМОЙ (вектор, перпендикулярный к прямой) Пусть есть прямая Z, уравнение которой имеет вид ах + by + с = 0. Обозначим на этой прямой точки А0(х0; Yq) и А(х; у). Для координат этих точек выполняются соотношения ах + by + с =0 и ах0 + Ьу0 + с = о. Отнимем от первого равенства второе: а(х - х)+ ьу—Уо) =0. yQ). Тогда последнее А(х; у) Ао(х1; yQ Знаем, что АдА (х - х^]; у равенство является скалярным произведением двух перпендикулярных векторов - вектора АдА, который I _ лежит на заданной прямой I и вектора (а; Ь). Вектор, коллинеарный векто ру (а; Ь), и есть искомым вектором-нормалью к прямой ах + by + с = о: П= Х^зТь). Замечание. Из последней теоремы следует, что: 1) для произвольных векторов а иЪ выполняется неравенство а ■ Ъ < Га\^ |£>|; 2) косинус угла а между двумя ненулевыми векторами а г а-Ъ и о равен cosa--=— |а|-|Ь| 3) косинус угла у между двумя прямыми, на которых . Га-Ь\ лежат векторы а и ~Ъ, равен cosy— (т. к. угол, \а\ГЬ | между прямыми не превышает 90°). ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В(2; 4) Пример 1. Треугольник АВСзадан координатами его вершин А(1; 3), В(2; 4) и С(2; 3). Найдите градусную меру угла А этого треугольника. Решение 1) Искомый ZA = АСАВ (рис. 4.20). I cos (Гб) = а Ъ |а 1 • , I угол между А( 1:3) С(2; 3) Рис. 4.20 cosA = 2) АС = (1; 0), АВ= (1; 1). Тогда АСаВ М^011= -?= и ZA = 45°. прямыми не i тупой,cosy > 0 ♦ I I I АС | ■ | АВ | Vr+0-%/2 л/2 Ответ: ZA = 45°. Пример 2. Найдите косинус угла между медианами равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенными к его катетам. Решение Направим оси Ох и Оу вдоль катетов треугольника и обозначим длины его катетов через 2а (рис. 4.21).Тогда: А(0; 2а),В(2а; 0), С(0; 0). 1) Координаты середин катетов: К(а;0), Р(0; а). Ук i А(о; 2а) I Напомним: I проекция вектора а | на направление ti «О: 0) КВ(2а; 0) * Рис. 4.21 2) BP = (-2а; а), АК = (а;~ 2а). 3) Искомый угол является углом между прямыми и не может быть тупым, его косинус - положительное число. Тогда: I I 1 ВР АК1 _ cosa = cos (ВР АК) — —------------— | ВР | ■■ | АК | j Пр ^ а ; 1-1 /------\ п = a cos1а п* ' г • 1ттгт |-2а ■ а+ а »(-2а)| Ответ: J(2a) 2+ а2 ■ Ля/д + а2 4 5’ 4а2 5а2 4 5' 167 Задание 31 1°. Вычислите скалярное произведение векторов аи 6, если: а) а3; -7), 6(4; 3); г) а = 2ех - 3^2, В —50^^ + 0,6ё2 б) а(-3; -5), 6(-1; 2); д) а — 4е, + Зе2, Ь —е, + 0,5ё2- в) а(5; 3), 6(-3; 1); 2. Найдите х, если: а) а ■ В —-13, а(3; 2), В(-5; х);в) а ■ В —"-4, а(х; -3),"6(2; -2); б) а В — -4, а(-3; 2), 6(-i; х); г) а ■ 6 — 4,“а(-2; х), 6(-2; х). 3. Даны векторы а(8; -_2) и 6(4; 3). Найдите вектор х, который удовлетворяет условию Ха = 8 и Х ■ В —о. 4°. Вычислите скалярное произведение векторов аи В, если: а) |а| — 3, |б| — 6, угол между векторами а и В равен 45°; б) |Ъ| — 7, |Ь| — 3, угол между векторами а и В равен 120°; в) |а| — 1, |b| — 12, угол между векторами а и В равен 90°. 5°. Вычислите (а + В)- с и а ш с + В'си сравните полученные результаты, если: а) а(2; 0), Ь(-1; 3), с(4; 0); б) а(2; 1), 6(-3; 2), с(-1; -2). 6°. Вычислите (Аа) • В и А."(а • 6) и сравните полученные результаты, если: а) а‘^(2; 0), Ь(-1; 3), X — 2; б) а(2; 1), 6(-3; 2), А. — -0,5. 7°. Вычислите а ш В и Ь • "а и сравните полученные результаты, если: а) а(2; 0), &-(-1; 3); б) а(2; 1), б(-3; 2). 8°. Найдите а ш В, если: а) |а| — 2, 161 — 3, cos ср — 0,4; д) |а| — 1, |б| — 2, cos ф — -0,5; б) Га| — 4,"|б| — 5, ф — 60°; е) |а| — 6~ |б| — 2, ф — 120°; в) [а\ =7,^Ь| — 5, ф — 90°; ж) \а\ — 3; |Ь| — 4, ф — 180°. г) Га| — 2,"|&| — 5, ф — 30°; 9. Найдите косинус угла между векторами: а) а(3; 4) и b(—1; 5); б) а(-3; 4) и 6(1; 5); в) а(-3; -4) и"6(-1;-5). Для любознательных Расстояние от точки (дс0; уд до прямой ах + by+ с — 0 Будем обозначать такое расстояние, как d((xq;у0); ах + by + с = 0). Заданная прямая пересекает ось Ох в точке 'С? —; 0 I Искомое расстоя- I а ; ние от точки A(xq;у0) до прямой ах + by + с =0 равно длине перпендикуляра АВ, опущенного из точки А на прямую. Из треугольника ABC: | ABj - I АС[ cosa, где cosa — ;!"£и = (а: b), AC = (-x0—•;• ' ^ ^ I ni• 1 Aci ' 0 T. e. I~BUlACl Un • AC 1 _ 1 n" ACI _ 1 -axo- с->Уо To1 a I n I ■ lACI In итак, искомое расстояние \a+b2 d((x0; y); ax + by + c = 0) \axo+byo+c\ Va2+62 10. Точки А(3; 2), В(5; 1), С(1; -2) - вершины треугольника. Найдите внутренний угол при вершине А, косинус внешнего угла при вершине В. 11*. Не выполняя построения точек А, В, С определите вид треугольника АВС (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если: а) А(0; 3), В(2- 0), С(-2; -1); 6)A(1; 1), В(-3; 1), С( 1; 4); в)А(2; 4), В(3; 4), С(-4; 5); г)А(0; 3), В(2; 0), С(-2; 0). 12. Найдите угол между векторами а"и Ь, если: а) 5(0; 2), Ь()3~ 1); в) 5(0; -2), -^jj^l; ^ б) 5(1; 2), Ъ(-4; 2); г)^5(4; -4), fe(0; -1). 13. Докажите, что векторы 5 и Ь перпендикулярны, если: а) 5(0; 3), Ь(-2\ 0); б) 5(-2; 3), Ь(-6;-4);Ъ; а(т; п), Ь(-п; т]. " 14. При каком значении х векторы 5 и b будут перпендикулярными: а) 5(3; д:) и Ь(4; 5); б) 5(4; х) и &(-9; х)? ' 15. Векторы аи1 образуют угол 30°, |5| = 4, jb\ =7. Найдите скалярное произведение: а) (25 - 3fe) (5 + b);б) (35 - 2Ь)(я -2Ь)Гв){65~'- 5t>)(65 + ЪЬ)Г ■ ^ -I _ 2 ТС 16*. Даны |5| = 2, II = 5, угол между векторами а и ft равен —. Найдите, при О каком значении ^векторы р = Еа. + \1Ь и q = За - b взаимно перпендикулярны. 17*. Найдите косинус угла между векторами 5 и (5 + Ь), если |5| = 2, |Ь| = 3, а угол между векторами а и b равен 120°. . 18*. Векторы а и Ьобразуют угол 60°. Найдите: a)|a-b|; б)|За-Ь|; “ в) |25 + ЗЬ|, если |5| = 2, |b| = 1. 19*. Угол между векторами 5 и Ъ равен 30°, |а|^ л/3, |ft| = 1. Вычислите косинус угла между векторами 5 + Ьи 5 - b. 20*. Векторы а~и b образуют угол 120°, |5| = 3, |Ь| = 5. Найдите \а- b\. 21*. Найдите вектор а^коллинеарный вектору b( 1; 2), если а ш~Ъ = 20. 22*. Какой угол образуют единичные векторы а и 6 если известно, что векторы с = а + 2Ь и d= 55 - 4Ъ взаимно перпендикулярны? ■ 23*. Векторы а^ b, с образуют друг с другом углы по 120°. Разложите вектор 5 по векторам b нс, если |й| = 3, |Ь| = 2, |с| = i. 24*. Найдите единичный вектор, который образует тупой угол с ортом н перпендикулярен вектору 5(4;1). 25*. Дан вектор Ь(3; 2). Найдите вектор с модулем 4, перпендикулярный к b н образующий тупой угол с осью Оу. 26. Докажите, что точки А(3; 0), В(0; 1), С(2; 7) и D(5; 6) - вершины прямоугольника ABCD. Для любознательных Воспользовавшись формулой расстояния от точки до прямой, решите такие задачи. 1. Запишите уравнение окружности с центром в точке (1; -2), которая касается прямой у = 2х-5. 2. Найдите наименьшую площадь треугольника, две вершины которого имеют координаты (0; 2) и (-3; 0), а третья лежит на прямой Здг - 2у + 10 = 0. 3. Найдите наименьшую площадь треугольника, две вершины которого имеют координаты (-2; 0) и (0; -4), а третья лежит на параболе у = Х2. 169 27. 28. Докажите, что четырехугольник ABCD- квадрат, если: а) А(0; 0), 5(1; 1), С(0; 2), Д-1; 1); б)А(-3; -1), В(-2; 3), С(2; 2), 0(1; -2). Даны вершины чет^:рехугольника ABCD: А(1; -2), 5( 1; 4), С(-4; 1) и £)(-5; -6). Докажите, что его диагонали взаимно перпендикулярны. 29**. Треугольник задан координатами его вершин А(1; -2), 5(1; 4), С(-4; 1). Найдите вектор ВМ, где точка М- основание высоты, проведенной из вершины В 30**. Три силы ^(3; 4), А^(2; 3), F3(-3; 0) приложены к одной точке. Найдите работу, которую выполнила равнодействующая этих сил, если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из положения М^Ъ; 3) в положение M^(4;-1). __ ^ ^ 31**. Даны векторы 5(-1; 1) и Ъ(3; -5). Найдите проекцию вектора 2^- Ъ на вектор а + Ь 32*. Вектор а,“модуль которого равен 6, направлен под углом а = 30° к оси Ох. Найдите проекции этого вектора на координатные оси. 33**. Даны три взаимно перпендикулярных вектора я, Ь и с, модули которых равны 3, 6 и v^Гcоответственно. Найдите модуль вектора я + Ь + с 34**. Вектор а модуль которого равен 3, образует угол а = 30° с прямой АВ. Под каким углом р к АВ надо расположить вектор Ъ с модулем л/з, чтобы вектор я + Ь был параллелен АВ.>^Найдите модуль вектора я+Ь. 35**. Докажите, если для сторон четырехугольника ABCD выполняется соотношение АВ^ + CD2 = ВС2+ AD2, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Совет. Используйте векторный метод- Рассмотрите векторы, совпадающие со сторонами четырехугольника и его диагоналями, воспользуйтесь свойствами скалярного произведения векторов для скалярного квадрата вектора и признаком перпендикулярности векторов. Для любознательных 1. Докажите утверждение (опорный факт): для того чтобы из трех данных отрезков АВ, ВСи АС можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы АВ + ВС + СА=0, где АВ, ВС, С А —неколли-неа.рны. 2. Воспользовавшись опорным фактом (1), докажите, что: а) из медиан любого треугольника можно построить треугольник; б) можно построить треугольник из половин диагоналей произвольного четырехугольника и любой его средней линии (средней линией четьррехутольникя называют отрезок, соединяющий середины его противоположных сторон). 3. В треугольнике ABC- АА, - биссектриса, АВ = с, СА = Ъ. Докажите, что векторы АА^, и i АВ + - АС коллинеарны. с Ь 4. В плоскости прямоугольника ABCD взяли точку X. Докажите, что xAxc'= xbXDT 5. Какой вид имеет четырехугольник ABCD, если AB-AD + 5A-BC+ C5-CO + OC-OA = 0? 6. Докажите, что для произвольных четырех точек А, В, Си D выполняется равенство АВ • CD + АС • DB + AD • ВС = 0. _ 7. Даны векторы 5(1; 2) иЬ(3; -1). При каком значении ^вектор 5 + к■ Ъ будет наименьшей ^лины? Вычислите для этого значения к скалярное произведение _& • (5 + к »&)д 8. Векторы я,Ъ, к • я + т • Ь попарно перпендикулярны. Докажите, что хотя бы один из них равен нуль-вектору. ^ _ 9. Какому условию должны удовлетворять векторы 5 и Ь, чтобы вектор я + Ь был перпендикулярен вектору 5 - Ь? 170' Till §27. Векторный метод доказательства теорем и решения геометрических задач Применим векторы к решению геометрических задач. Некоторые из таких задач мы уже рассматривали (стр. 167), а некоторые решали раньше другими методами. ПРИМЕРЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ \(ПТ\ Теоремакосинусов. Квадрат стороны треуголь-I ника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Пусть в треугольнике АВС (рис. 4.22) ВС = а АС = Ъ, АВ = с. Надо доказать, что . £ с2 - а2 + Ъ2 - 2abcos С Доказательство Запишем векторное равенство ~Ва =Са-:Вз. Из векторного квадрата этого соотношения ВА2 = СА2 + СВ2- 2СА шСВ «ьтучаем: . I I |ВА|2 = \СА\2+ \СВ12-2|С^| • UT^lcos С, т. е. с2= а?+ Ь2- 2ab cos С. Теорема доказана. Замечание. Если угол Спрямой, то СА1.СБ, тогда С4 СВ- 0 и получим теорему Пифагора: с2= аР+ Ь2. В mn = ^[ac+bd) Для любознательных Опорная задача. Если точки Ми ^принадлежат отрезкам АВи CD соответственно, AAM: MB = CN: ND = n : m, to MN = - A4C+ ■ -BD. mt - 1) CN - ND = n : m-MN m+n m+n Доказательство nMD + mMC m + n 2) MD= MB+ BDи МС = MA + AC, тогда: bD np N mp MNl ==l—-lACh- m + n m + n m + n ImMA + nMB'; 3) AM: MB = n:m -> mAM = nMB и mMA + nMB =0, и искомое равенство выполняется. Суть метоАО- векторов: геометрическое расположение точек, прямых, отрезков записать на языке векторных соотношений; и наоборот, векторным равенствам придать геометрическое звучание. Щ Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. усть ABCD - ромб (рис. 4.23). Надо доказать, что AC1BD. Доказательство Имеем: АС = АВ + АРи BD = AD - АВ. Найдем скалярное произведение AC - BD:____ АСВР = (АВ+ АР) ■ (АР- АВ) = = АР1 - АВ^ = | АР\2 -1 ABf = О, т. к. стороны ромба равны. Мы доказали, что AC BD = О, тогда AC IBP. Теорема доказана. Теорема. Если А(х^; у^), В(х.; у2), С(х^; у^) -вершины треугольника ABC, то три медианы этого треугольника пересекаются в одной точке М *1 + *2 + *3 . yi + У2 + Уз4 3 ’ 3 , которая делит каж- / дую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 4.24-а). А(х1; У,) А(х1^у,) Рис. 4.24 Доказательство Пусть точка К - середина стороны ВС треугольника ABC (рис. 4.24-6) и точка М(х;у) - такая точка ме- Х+Х, +Х3. У,+У,+У3”ед"а“ы AM=2MK- ~ 3 ’ ^ ^ ” I’ Векторы AMи МКимеют : МК имеют координаты: АМ = (х-х^; у-у'' и МК - -Х х, 2 У Тогда из равенства AM = 2МК получаем: х - хг= 2 Отсюда: Х2 + И У~Ут = 2У2 + Уз-у х _ х1+х2+ хз И у^У1±У2+Уз_ 172 Повторяя те же соображения для медиан BD и CF треугольника ABC, получим, что точка с координатами 'XJ+X2 + ха' у\ + У2 + УЯ ‘ , 3 ’ 3 принадлежит всем медианам треугольника ABC и делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Теорема доказана. Следствие. Если АК, BD и CF — медианы треугольника ABC (рис. на поле), то выполняются равенства: (1) АК + BD+ cF= б; (2) МК + MD + ЫР = бу, (3) ~мА + МВ + мс=б. Прежде всего заметим, что МК =ААк, MD = -BD, MF=^CfT 3 3 З С МА — -АК, МВ 3 — BD, МС= 3 -CF. Поэтому для доказательства утверждений следствия достаточно доказать правильность утверждения (i). Рассмотрим первую координату вектора АК + BD + CF. Она равна сумме соответствующих координат векторов I АК. BD. CF. т. е. хх +х3 *1+*2 Х3 = 0. 2 1 2 2 Аналогично доказывается, что и вторая координата «того вектора равна нулю. Вернемся к теореме о делении отрезка в заданном l1 соотношении, которую мы рассматривали в § 1 (стр. 14). ' _/п\ Теорема. Если А(хх;у)и В(Х2; -концы - —I* - I отрезка АВи точка С(х; у) делит отрезок АВ в соотношении АС: СВ = г: то пх\ + гх2 х = А у - пУх + ту2 г+п г+п Доказательство Если АС: СВ = г:п, то | АС\ : | СВ | = тпип- АС = г ■ СВ 'i). АК+ BD + CF= О iWX +^5 + MF = б МА +MB +МС= б Особенность метода векторов не требует рассмотрения сложных геометрических конфигураций, а сводит геометрическую задачу к алгебраической, которую, обычно, легче решить, чем исходную геометрическую. Для любознательных 1. В треугольнике ABC точки Е, F и D - середины сторон АС, АВ и ВС соответственно. Докажите, что ВС■ AD + СА ■ BE + АВ ■ CF = 0. 2. Используя векторную формулу средней линии чет^:рехугольника (стр. 164), найдите длины отрезков, которые соединяют середины противоположных сторон четырехугольника, если заданы длины всех его сторон и градусные меры углов, под которыми пересекаются прямые, содержащие его противоположные стороны. 173 V ' ^ Чч Г. .4 . I Векторы n ■ AC и m ■ СВ имеют A(Xj; г/х) mt I координаты * n ■ AC= (n(x-xt); n(y-yr) и I m + n У= ny.+my2 m + n m" CB= (m(x2 - x); m(y2- y))- Приравняв правые части этих соотношений, получим систему: п(х-х) = Т(Х2-Х), п(у-У1) = Т(У2ГУ), I решением которой относительно I равенства. и у будут искомые I Теорема доказана. С Следствие 1. Если точка С делит отрезок АВ в отношении т:п, считая от точки А, то I ^Int в I ОС = —1—(п ОА+т ОВ). т + п Пусть векторы ОА и ОВ имеют координаты ОА(х^; уА) I и ОВ(х,; у^.. nOA + mOB I Векторы ОС, ОА и ОВ имеют общее начало - точку О (рис. 4.26). m + n Параллельным переносом совместим I точку О с началом координат. (Как I известно, при параллельном переносе Q I получаем вектор, равный данному.) и ОС = I Тогда: 0(0; 0), А(ха 1 у), В(х„;ув). По теореме, доказанной выше, получим ' пхА + ТИвНуА + yyg ■ т+п т+п '\ Рис. 4.26 пуа + Т^. I т+п т+п т + п (п • ОА + т ■ ОВ). Утверждение доказано. С oc=|(oa+ob) Следствие 2. В случае, когда С отрезка АВ, т. е. т= п = 1, середина (BOAO' - параллелограмм) ОС = ^(ОА + ОВ). " Замечание. Последнюю формулу также можно I получить, продолжив медиану ОС треугольника АОВ • (см. рис. на поле и стр. 152). Для любознательных Решите задачу векторным методом. Даны длины двух сторон параллелограмма и одной из его диагоналей. Найдит одну из тригонометрических функций острого угла этого параллелограмма. 17‘ ш Теорема косинусов для четырехугольника. Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других его сторон без удвоенных произведений пар этих сторон на косинусы углов между ними. Доказательство Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник (рис. 4.27). ____ ___ _____ ■ Тогда AD = АВ+ ВС + CD. Если умножить этот вектор сам на себя, получим: у |^Ь|2 =УаВ1 + т+ \Щ'' + 2АВ ■ ВС + + 2ВС ■ CD + 2CD ■ АВ. Отсюда следует утверждение теоремы: AD2 = а2 + Ь2 + с2 + 2afccos (180° - ZB) + + 2bccos (180° - ZC) + 2accos (180° -a'^c) = a2 + b2 + c2- 2afocos В - 2bccos С - 2accos(a~c). В/'ЪС D Рис. 4.27 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Опорная задача. В треугольнике ABC точка К делит сторону АВ в отношении АК : КВ - 2 : 3. В каком отношении отрезок СК делит медиану AD этого тре угольника (рис. 4.28)? Лано-.АК: КВ = 2: 3,BD = DC. Найти: АО: OD. Решение 1) АК.КВ = 2:З^СК =-(зАс+2СВ)(СШ. стр. 174). 5 ^ 2) СОТТСК ^>СО = ~ХСК= ^(ЗСА +~2СВ). 3) АО: OD = х:у=> СО = I (уСА + ~XCd) = Теорема косинусов -для четырехугольника AD^=a-’rn + Ь2^ ■ - 2abcosВ - - 2£>ccos С - - 2accos(a~c). х + у —-—(уСА + хХ—СВ). х + у 2 - 1—•' X —■ — 4) -^—[уСА + х-^^5 = -(ЗСА+2СВ). х+уу У _ЗХ Чем занимаются математики, как не порядком и соотношением? Аристоте.лъ х + у 5 х 2Х 2 (х + у) 5 5) Разделим второе уравнение системы на первое: х 2 t 2у3 ) В Математика - жри- | ца определенности | и ясности. 1) записать СК через АС и СВ; 2 )СР = ХСК; 3) записать СР_ через CD и СА a CD через СВ; 4) приравнять СР из п. 2 и п. 3. И Ф. Гербарт Мое пристрастие к | математическим наукам прежде * всего объясняется i моим отвращением | к лицемерию. Стендаль Отсюда: х:у — 4 : 3 и АО: OD — 4:3. Ответ: 4: 3, считая от вершины А. Пример 2. Медианы, проведенные к сторонам АВ и АСтреугольника ABC, взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между этими сторонами меньше чем 45°. Доказательство Угол А треугольника ABC совпадает с углом между векторами АВ и АС (рис. 4.29). 2) ZBKA > 90° как внешний угол треугольника МКС. Тогда в треугольнике АВК угол А — острый. _________________ 3) Обозначим векторы АВ — с, АС = Ь, СВ =а. Точки Р и К делят отрезки АВ и АС пополам. Поэтому (стр. 174): ^-ВА1 +ВС) = -(-с-а). СР = ^^'^(СА + СВ) 2(_Ь2 + "а), ВК 4) Учитывая, что ^ а-С-Ь, дение СР ■ ВК: найдем скалярное произве - СР Ш = -}^^Ь + )-(-к+ Ь)=-(5Ъ^^-2Ь2-2с2). ^ По условию СР 1 ВК. Тогда СР ■ ВК — 0 и 5Ь с= 2 b2 + + 2с2. Отсюда: , . 2 Ь2+с22 (ЬсА 4 cosA------------— - - + - > — 5 be 5с b .^5 ^ так как среднее арифметическое двух положительных чисел не превышает их среднее геометрическое. 5) Имеем: cos А > — > 5 4 >/2 . Тогда cos А > cos 45°. На про- межутке от 0° до 90° большему углу соответствует меньшее значение косинуса, тогда ZA < 45°. Ч. т. д. Пример 3. Докажите, что сумма квадратов всех сторон четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей плюс квадрат удвоенного расстояния между серединами диагоналей. Лаю: ABCD, BN = ND, AM = МС (рис. 4.30). Доказать: АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 =АС2 + BD2 + (2MN)2. А 176 Для любознательных , Решите задачу векторным методом. В ромбе ABCD диагонали АС = 2а и BD = 2b пересекаются в точке О. На диагоналях АСи BD отметили соответственно точки Ми Ктак, что Ь2 Ъ ОАГ —и ОК = —Найдите угол, который образуют при пересечении пря-2а 2 мые СКи DM. Доказательство I Рассмотрим точку О вне четы- I рехугольника ABCD. Обозначим: ^ ОА = а,Ш ~-Ь, ОС = с ОЙ=£ ^ J 1) В- я'= АВ, с — В = ВС, d-c = CD, I а- dd= DA; 2) с - а = AC, d-B = BD; 3) точки М и N - середины диаго налей АС и BD, тогда ОМ = -(а + с), ON = —(b+ d); I Больше всего мате-I матика полезна тем, что непосредственно способствует развитию четкости мышления и духа открытий. 4) MN = ON - ОМ 2 1 - (Ь + 5)-2 -(а + с), И. Ф. Тербарт тогда 2MN = b + d - а - с; 5) из (1), (2) и (4) следует, что надо доказать соотношение: !В - а\2 + ~| с - b\2 + \d~- с|2 + \а -= \с - а\2 + \d - b\z + \ b - а + d - f!#. е. \c-bfr а- d\2 =Лс - а|2 +* \d b\2+ 2(В - а) ■ (d - с). t Теорема Лейбница I ХА2 + ХВ2 + ХС2 = I = 3 ХМ2+АМ2 + ВМ2 + СМ2 Если использовать то, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то легко убедиться в том, что последнее соотношение выполняется. I Пример 4. Теорема Лейбница. Квадраты J расстояний от любой точки X плоскости тре- | угольника АВС до вершин этого треугольника и | его центроида ^связаны соотношением: ^ ХА2 + ХВ2+ ХС2 = ЗХМ2 + AM2+ ВМ^ + СМ2. Доказательство 1 )ХА = ХМ + МА; ХВ= хМ+ MB; ХС = Хм + МС. 2) Возведем эти равенства в скалярный квадрат и сложим почленно: ХА2 + ХВ2 + ХС2 = ЗХМ2 + МА2 + MB2 + МС2 + + 2ХМ' (Ш. + мВ+ МХ). Учитывая, что МА + MB + МС = 0 (см. стр. 173), лучаем искомое соотношение. Замечание. Попробуйте (для сравнения) доказать . iжгу теорему иным способом. ' Задание 32 1- В окружности с центром О провели две перпендикулярные хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Выразите ОМ через ОА, ОВ, ОС и OD. !L В треугольнике ABC: АА = 90°, АВ = 6, АС = 8, AM, BN - биссектрисы углов А и В. Найдите косинус угла между AM и BN. 3>. ABCD - прямоугольник, у которого АВ = CD = 2а, AD = ВС = 5а. Точка К е AD, АК = а. Докажите, что ZBKC = 90°. 4L Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под уголом 60°. Найдите угол при вершине треугольника. 177 ж... 5. Даны параллелограмм ABCD и точка М в его , плоскости. Известно, что МА + MB+ МС + MD= 0. Докажите, что М - точка пересечения диагоналей параллелограмма. 6. В ромбе ABCD длина стороны равна 6, а угол BAD равен 60°. На стороне ВС отметили точку Е так, что ЕС = 2. Найдите расстояние от точки Е до центра симметрии ромба. 7. В треугольнике ABC дано: АВ = ВС; D- середина стороны AC; DK1 ВС; М- середина отрезка DK. Докажите, что Л1С и ВМвзаимно перпендикулярны. 8. С помощью скалярного произведения векторов докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. 9. Пусть Н - ортоцентр треугольника ABC, О - центр описанной вокруг него окружности. Докажите, что ОН = ОА + ОВ + ОС. 10. Пусть О - центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, а точка Н такая, что выполняется равенство ОН = ОА + ОВ + ОС. Докажите, что Н -ортоцентр треугольника ABC. 11. В равносторонний треугольник вписана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин треугольника не зависит от выбора точки на окружности. 12. Вокруг равностороннего треугольника описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин треугольника не зависит от выбора точки на окружности. 13. В квадрат вписана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора точки на окружности. 14. Вокруг квадрата описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстоя- ний от произвольной точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора точки на окружности. , 15. В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD: CD = = 1 : 2. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису? 16. ABCD - произвольный чет^:рехугольник, KL и ММ - отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, ф - угол между диагоналями. Докажите, что выполняется соотношение (АВ2 + CD2) - (AD2 + ВС^) = 2(KL2 - ММ2) = = 2АС BD cos ф. 17. Скорость течения реки vp. Скорость пловца в стоящей воде - vn. Пловец намеревается переплыть реку так, чтобы его меньше всего снесло течением. Как ему плыть? 18. ... Ап - правильный многоугольник. Точка М- точка вписанной в многоугольник окружности. Докажите, что М42 j+ М42 + ... + М42 не зависит от выбора точки на окружности. 19. AjA.jA.J ... Ап - правильный многоугольник. Точка М- точка описанной вокруг многоугольника окружности. Докажите, что МА2+ МА\ + ... + МА2 не зависит от выбора точки на окружности. 20. Докажите, что сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей вписанного пра- вильного д-угольника равна n^R2, где R - радиус окружности, описанной вокруг этого многоугольника. _ Для любознательных Решите звАЗ-чу векторным методом. В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВСотметили соответственно точки Ки D так, что АК: КВ = 3 : 1 и BD : DC = 3:1. Отрезки AD и СК пересекаются в точке О. Найдите отношение КО: ОС и АО: OD. Задания для повторения главы IV 1°. Приведите примеры векторных и скалярных величин. 2*. Что математики называют вектором и чем их определение вектора отличается от понятия вектора в физике? 3. Какие векторы называют коллинеарными? 4°. Что такое модуль вектора? 5. Всегда ли истинно утверждение: «Если модули двух векторов равны, то эти векторы равный)? Приведите примеры. 6°. Чем отличаются противоположно направленные векторы? Приведите пример. 7°. Приведите пример: а) сонаправленных векторов; б) равных векторов. 8. Сформулируйте определение равенства векторов. 9*. Сформулируйте два определения равенства векторов. Являются ли они равносильными? Ответ обоснуйте. 10°. Приведите пример умножения одного и того же вектора на число: а) 2; б) -2. Будут ли равными модули этих векторов? 11° Приведите примеры суммы двух коллинеарных: а) одинаково направленных векторов; б) противоположно направленных векторов. 12°. Приведите примеры разности двух коллинеарных: а) одинаково направленных векторов; б) противоположно направленных векторов. 13. Приведите примеры: а) суммы двух неколлинеарных векторов; б) разности двух неколлинеарных векторов. ____ ____ 14. Дан параллелограмм КМНР. Найдите: а) разность векторов КМ и PH; б) сумму векторов КМи HP. __^________ ____ Дан четырехугольник ABCD. Найдите сумму векторов АВ, ВС, CD и DA. Найдите сумму векторов АВ, КМ, РА, МР и ВК _____ Дан параллелограмм СМЕТ Разложите вектор СЕ по векторам: а) СМ и СТ; б) МСи ТС; в) МСи ~сТ. 18*. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Разложите по векторам АВ и CD вектор: а) ОА; б) ОС; в) BD; г) ОВ. _ 19. На рисунке 4.31 даны векторы а и В. Постройте вектор: а) а + в; б) а - Ь; ~~ в) а + 0,56; г) В - 0,5аГ д) 0,5а + 1/36. _ _ 20*.На рисунке 4.32 даны векторы а"и 6. Найдите векторы: с, I m,n~k. 21°. Что можно сказать о координатах равных векторов? 22°. Запишите формулу для нахождения модуля вектора, если известны его координаты. 15. 16. 17. А D 23°. Как найти: а) произведение вектора на число, если известны его координаты; б) сумму, разность и скалярное произведение двух векторов, если известны их координаты? Для любознательных Решите задачу векторным методом. В прямоугольном треугольнике ABC (/С= 90°) АС = а, ВС = а'^12. Докажите, что медианы АК и СМ взаимно перпендикулярны. 179 25. 26. 24. Найдите координаты и модуль вектора АВ, запишите его через координатные векторы ё,, ё2, если: а) А(-7; 2), В(5; 7); в)А(0; 5), В(-3; 1); б) А(4; 4), В(7;0); г)А(-2; 1), В(6; 3). При каком значении я векторы аиВ коллинеарны и как они при этом направлены, если: a) a"(n; i) и Ь(3; 9); б) а(п; 4) и В{9; я)? При каком значении (3 векторы а(3; 4) и Ь(Р; -2): а) коллинеарны; б) перпендикулярны; в) имеют одинаковые модули? 27*. Найдите значение х, при котором угол между векторами а И Ъ равен 60°, если 5(4; -3), Ь(1; х). 28*. Докажите, что четырехугольник ABCD - прямоугольник, если: а) А(1; 1), В(2; 3), С(0; 4), £>(-1; 2); б)А(-3; -1), В(-2; ~4), С(4; -2), 0(3; 1). Найдите угол между векторами а(1; -3) и Ь(2; 4). Найдите косинус углаАВС, если А(4; 2), В(3; -1), С(—1; 1). Найдите косинусы углов треугольника с вершинами в точках: 'З.л/if 29. 30. 31. а) А(1; 1),В(4; 1), С(4; 5); б) А(0;"), В(2;л/3), С 2' 2 У 32. Векторы а и В образуют угол 120°. Известно, что \а \ — 4 и 1В\ — 3. Найдите: а) (а + Ь)2; б) (За + 2£>)(а - В)\ в)|4а-ЗЬ|. ^ 33*. Докажите векторным методом, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 34**. Докажите векторным методом, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Готовимся к тематической аттестации № 6 Вариант I 1. Найдите координаты и модуль вектора АВ, если А(0; 2), В(-1; 3). 2. Косинус угла, образованного векторами а(х; 2) и 6(0; 1), равен 0,5. Найдите х. 3. Найдите координаты точки D, если А(-1;-1), В(4; 5), С(-2; 1)и AB = CD. 4. Найдите За - 2Ь и £+ Ь, если: а) а"(2; 4), Ь(>; 2); б) а(-3; 1), Ь(3; -3). 5. Докажите, что четырехугольник ABcD - прямоугольник, если А(-5; -1), В(-3;-4),С(3;0), D(l; 3). Вариант II 1. Найдите координаты и модуль вектора CD, если С(-2; 0), D(l; 2). 2. Найдите косинус угла, образованного векторами а(1; 2) и Ь(-1; 1). 3. Векторы а(-3; 2) и Ь(6; х) коллинеарны. Найдите х. 4. Найдите За - 2Ь и а + Ь, если: а) а(2; -3), В(4; о); б) а’(4; i), В(-2; 5). 5. Докажите, что четырехугольник ABCD - ромб, если А(3; 3), В(~2; 3), С(-5; -1), o(o;-i). «т тт «ж» «м^> «о» «я* «т» «ш» «а^> «в» «ш» <ап» «а^»<ш*«ж- Для любознательных 1. Дан параллелограмм ABCD. Прямая /пересекает прямые АВ, АС и AD соответственно в точках Bv С, и £>,. Докажите, если ABj —feAB, АХ>, =nAD, AC. = тлС, то — —— + —. ' т к п 2. Точка / - инцентр треугольника ABC, Wv W2, Ws - точки пересечения продолжения его биссектрис с описанной вокруг этого треугольника окружностью (с центром в точке О). Докажите, что О/ — OWj +OW2+OW3. ■> ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ В этой главе вы познакомитесь со стереометрией - ' разделом геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве («стереос» в переводе с греческого - пространственный, а «метрио» - ■ измеряю). Подробнее эту науку вы будете изучать в старших классах. Но уже сейчас вы узнаете о ее основах, о том, какими бывают многогранники и тела вращения, о некоторых их свойствах. _ ^ <аОо Основы построения стереометрии | Предметом изучения стереометрии являются | пространственные формы - трехмерные геометричес- | кие фигуры. Как и планиметрия, стереометрия является * математической наукой и изучает фигуры абстракт- I но, т. е. независимо от наполнения их конкретным ( смыслом. Но основа такого абстрагирования - реаль- | ный мир. Об этом свидетельствуют сами названия пространственных геометрических форм. Так, слово сфера происходит от греческого «мяч»; куб от «игральная кость»; цилиндр - от «каток^>; призма - от j «распиленная^); конус - от «сосновая шишкам), «кегля^), «верхушка шлема^>; пирамидой древние египтяне ^ называли свои сооружения - гробницы фараонов. Стереометрия, как и планиметрия, обобщает и абстрагирует практический опыт человека и на I основе дедуктивного метода, т. е. цепочки логических } переходов от условия к выводу, изучает свойства пространственных фигур. I I I Стереометрия изу-| чает фигуры в пространстве абстрактно, на основе дедук-I тивного метода. 181 Логическая схема построения ссерео-метрии: 1) основные понятия; 2) аксиомы; 3) определения других геометрических фигур и доказательства других утверждений. А—1. На плоскости выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии. А-2. В, Сущест- вуют; {А} е а (В.) I а Напомним: { } - знак множества; е - «принадлежит^); Ч- «не принадлежит^); П - «пересекает^); = > — «тогда^). Логическая схема построения стереометрии такая же, как и планиметрии. 1. Принимаем основные понятия. 2. Принимаем аксиомы. 3. Другим геометрическим фигурам даем определения, опираясь на уже известные понятия. 4. Другие утверждения о свойствах геометрических фигур, кроме принятых аксиом, требуют доказательства. Основными фигурами в стереометрии, которые ! принимаются как понятие без определения, являются; точка, прямая, плоскость и пространство. Понятно, j что на рисунках изображают только части плоскости и прямой. Плоскости обозначают греческими буквами: ^ а, (3, 5, у, ф и др. Аксиомы стереометрии, как и планиметрии, не являются свободным произведением математиков, а добыты человечеством в процессе многовекового опыта | и отображают реальную действительность. Первая . аксиома отражает то, что стереометрия основывается на планиметрии. Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. На каждой плоскости выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии. Аксиома 2. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются, и при этом по прямой. Аксиома 4. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Все другие утверждения о свойствах пространственных фигур требуют доказательства. Рассмотрим пример доказательства теоремы в стереометрии. Теорема. Через три точки, которые не лежат на I одной прямой, можно провести плоскость. Даны три точки А, ВиС(рис. 5.1). g. Докажем, что существует плоскость, „ ‘ “ а в которой лежат эти точки. 'Да Доказательство 1) Проведем прямые АВ и АС. По условию точки А, В и С не лежат на одной прямой, тогда прямые АВ и '" - АС не совпадают. ' 2) По аксиоме через прямые АВ и АС можно провести плоскость. ~ Теорема доказана. Рис. 5.2 Рис. 5.1 182 Аналогично доказывают такую теорему. Через пря- I мую и точку, не принадлежащую ей, можно провести | плоскость (рис. 5.2). Плоскость можно провести (и к тому же только одну): • через три точки, которые не лежат на одной прямой (теорема); • через две пересекающиеся прямые (аксиома 4); • через прямую и точку вне нее (теорема); • через две параллельные прямые (из определения параллельных прямых). Аналогично тому, как мы это делали в планиметрии, • решение стереометрических задач осуществляют I логическими шагами, опираясь на аксиомы и теоремы стереометрии и планиметрии, утверждения условия или факты, доказанные в процессе решения. Пример записи такого решения - доказательство теоремы, приведенное выше. I Плоскость провести, и же только через: можно к тому одну, I Практическая работа 39 1. На небольшом листе картона обозначьте две точки А и В Проведите на картоне прямую АВ. В точках А и В вколите (вертикально) две иглы. 2. Попробуйте установить на столе полученную конструкцию так, чтобы она держалась только на иглах. 3. Вколите в картон еще одну иглу вне прямой АВ. 4. Выполните пункт 2. Что вы наблюдаете? 5. Переколите третью иглу так, чтобы она была на прямой АВ. 6. Выполните пункт 2. Сделайте вывод. Задание 33 1°. Стол с четырьмя ножками, который стоит на ровном полу, иногда качается, а стол с тремя ножками всегда устойчив. Как объяснить этот факт? 2°. Какие из приведенных утверждений истинные: а) любые две точки пространства всегда лежат на одной прямой; б) любые три точки пространства всегда лежат на одной прямой; в) стороны прямого угла лежат в одной плоскости? 3. Почему в аксиоме 3 не сказано, что прямая, по которой пересекаются две плоскости, обязательно проходит через их общую точку? 4. Одинаковы ли по смыслу такие высказывания: «плоскости а и (3 пересекаются^); «плоскости аир имеют общую точку^>? 5. Объясните, что означают такие высказывания: «можно провести плоскость»; «можно провести только одну плоскость». 6*.Какие из высказываний равносильны по смыслу: «существует точкам); «существует одна точкам); «существует не менее одной точки»; «существует не более одной точки»? 7. Сколько плоскостей можно провести через: а) данную точку пространства; б) две данные точки пространства; в) три данные точки пространства? Ответ обоснуйте. 8. В каком случае через прямую и точку можно провести более одной плоскости? 9. Три точки в пространстве расположены так, что через них провели 100 разных плоскостей. Что можно сказать об этих точках? 10. Почему дверь, которая крепится на двух петлях, надо фиксировать на замок? 11. Можно ли через две произвольные точки провести плоскость? Почему? 12*. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, которая не лежит с ними в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 183 Прямые а и Ь 1) пересекаются а (ЛЬ точка пересечения (одна) 2)параллельны — уч а II Ь п А 3) аП а /а / ~Г Напомним. П - «пересекает^); Я" - «не пересе-кает^>. § 29о Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикуляр к плоскости , ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ I I Две разные прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны. В просторанстве возможны три слу-' чая взаимного расположения двух разных прямых. i 1. Две прямые пересекаются - имеют одну общую точ-I ку (рис. 5.3). I 2. Две прямые паралле.лъны - не имеют общих точек и лежат в одной плоскости (рис. 5.4). 3.Две прямые не имеют общих точек, и через них i нельзя провести плоскость (рис. 5.5). Их называют I скрещивающимися и обозначают: а — Ъ.' аРгЪ {а; Ь} е а 3) скрещиваются а - Ь [а Я b Ь___-"■[{а-, Ь)£а Прямая а и плоскость а: аД а £ а аПЬ Рис. 5.3 а-Ъ Рис. 5.5 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В пространстве возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости. 1. Прямая лежит в данной плоскости ((рис. 5.6). 2. Прямая параллельна данной плоскости плоскость не имеют общих точек (рис. 5.7). 3. Прямая пересекает плоскость - прямая имеют одну общую точку (рис. 5.8). а - прямая и и плоскость аеа Рис. 5.6 а<£ а айсс Рис. 5.7 аЛа Рис. 5.8 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к ‘ любой прямой этой плоскости I (рис. 5.9). Перпендикуляром, проведенным из точки А на плоскость а (рис. 5.10), называется отрезок перпендику- 184 а лярной к этой плоскости прямой АВ, где В - точка пересечения этой прямой с заданной плоскостью ,-------- (основание перпенАнкуляра)./\ Отрезок, соединяющий точку Ас / вГ / '"'Щ любой другой точкой С плоскости а ^' ---^ (кроме основания перпендикуля- АВ1а pa В), называется наклонной, прове- рИС- 5.10 денной из данной точки А к плоскости а (рис. 5.10). При этом точка Сназывается основанием наклонной, а отрезок ВС - проекцией наклонной АСна плоскость а. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на данную плоскость (длина АВ). Полезно еще знать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Признак. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Возможны два случая: 1. Плоскости параллельны - не имеют общих точек (рис. 5.11). 2. Плоскости пересекаются— по аксиоме они пересекаются по прямой (рис. 5.12). ве плоскости называются перпендикулярны-{// ми, если плоскость, перпендикулярная к линии пересечения данных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис. 5.13). а1р Рис. 5.13 Определение а 1 а: если а 1 п t произвольная в а С - основание наклонной, В - основание перпендикуляра, АВ - расстояние от А до а Плоскости аир: 1) а у р I Для любознательных 1. Представим, что земной шар вдоль экватора плотно обвязали шнуром. Потом шнур удлинили на 1 м так, что он по всей своей длине равноудален от поверхности Земли. Может ли в образованное пространство под шнуром пролезть мышь? 2. А теперь, увеличив длину шнура, как и в предыдущей задаче, в каком-то месте экватора «оттянем» шнур на максимально возможное расстояние от поверхности Земли. Сможет ли теперь под шнуром пройти слон? Замечание. Радиус земного шара приблизительно равен 6400 км. 185 ОПределение a _L (3^ Полезно знать еще и признак перпен-I Аикулярности Авух плоскостей. I Признак. Две плоскости взаимно если у 1 а и с Id (с = уП а; d= уП Р) перпендикулярны, если одна из них ^ содержит прямую, перпендикулярную t ко второй плоскости (рис. 5.14). I На рисунке прямая а принадлежит I плоскости р и а 1 а. Тогда (3 _L а. Рис. 5.14 Практическая работа 40 1. Два угольника совместите по одному из их катетов так, чтобы сами угольники не совместились, и расположите конструкцию на листе бумаги (рис. 5.15). Что можно сказать о прямой, которая содержит общую сторону этих угольников по отношению к листу бумаги? 2. Возьмите два листа картона и один угольник. Попробуйте с помощью угольника разместить один лист перпендикулярно ко второму. Удалось ли вам это сделать? 3. Возьмите два листа картона и два угольника. Попробуйте с помощью угольников разместить один лист перпендикулярно ко второму. Удалось ли вам это сделать? Как? 4. Укажите прямую, которая лежит в плоскости одного листа и перпендикулярна второму листу картона. 5. Сделайте вывод. Рис. 5.15 Для любознательных ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Чертеж фигуры в планиметрии является или точной копией оригинала, или подобной ей фигурой. Совсем иначе изображают пространственные фигуры. К сожалению, не существует «пространственного» карандаша, который оставлял бы линии в пространстве. Нельзя на плоскость бумаги скопировать куб или фигуру, подобную ему, - плоское изображение не может быть точной копией пространственной фигуры. Возникает проблема: по каким правилам строить изображение пространственной фигуры, чтобы оно лучше всего воспроизводило оригинал? Для построения изображений фигур в стереометрии используют метод параллельных проекций. Например, учитель чертит на доске и говорит: «Это куб». Но на доске не куб, а изображение куба. А где сам куб? Он как бы размещен где-то над головами учеников, через его вершины и точки ребер проходят параллельные между собой проектирующие прямые, которые при пересечении с плоскостью доски дают изображение куба. В старших классах вы будете изучать параллельное проектирование, а сейчас мы лишь перечислим его свойства, по которым изображают пространственные фигуры. 1. Изображение прямой — прямая или точка. 2. Параллельные прямые изображаются параллельными прямыми, или совпадающими прямыми, или точками (каждая — одной точкой). 3. Отношения, в котором точка делит отрезок в изображении и оригинале, равны. (Например, середина отрезка изображается серединой отрезка.) Прямые, перпендикулярные заданной плоскости, стараются изображать вертикальными прямыми (см. рис. 5.14, 5.15). 186 Задание 34 1°. Как надо понимать утверждение: «Прямые я и А не параллельны»? 2°. Что можно сказать о прямых я и Ь, если они: а) не скрещивающиеся; б) не пересекаются? 3°. Даны две прямые, но через них нельзя провести плоскость. Пересекаются ли эти прямые? Ответ обоснуйте. 4. Истинно ли утверждение: «Если прямые яиЬ лежат в разных плоскостях и не пересекаются, то они скрещивающиеся^)? 5. Истинно ли утверждение: « Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую»? Ответ проиллюстрируйте на модели. 6. Может ли прямая пересекать две стороны треугольника и не лежать в плоскости этого треугольника? 7*. Докажите: прямые (в пространстве) не могут пересекаться более чем в одной точке. 8. Сколько прямых, параллельных данной плоскости, можно провести через заданную точку вне этой плоскости? Ответ проиллюстрируйте на модели (из карандаша и листочков бумаги). 9. Может ли быть, что десять прямых плоскости а параллельны плоскости р, но плоскости а и р не параллельны? Ответ проиллюстрируйте на модели. 10*. Истинны ли в стереометрии такие утверждения: а) через точку, которая лежит на данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную к заданной прямой; б) прямые, перпендикулярные к заданной прямой, параллельны между собой; в) если две пересекающиеся прямые не параллельны двум данным перпендикулярным прямым, то они не перпендикулярны между собой? 11°. Найдите среди окружающих предметов модели прямых и плоскостей, которые перпендикулярны между собой. 12. Чтобы разрез деревянного бруска был перпендикулярен этому бруску, через точку А его ребра проводят перпендикулярные к ребрам прямые АВ и АС (рис. 5.16). Потом брусок распиливают по этим прямым. Объясните эти действия. 13*. Докажите, что если прямая не лежит в плоскости, то она не может иметь с этой плоскостью двух или больше общих точек. 14*. На рисунке 5.17 точки А, В, Слежат в плоскости а, МА^ а, MB = МС. Докажите, что Ас = АВ. 15*. Существует ли прямая, состоящая из двух полупрямых, одна из которых лежит в плоскости а, а вторая - в плоскости р? Ответ проиллюстрируйте. 16*. Каждая из плоскостей аир проходит через точки А, Д и С. Можно ли сделать вывод, что аир- одна и та же плоскость? Почему? 17*. Истинно ли утверждение: «Две плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой»? 18. Может ли прямая пересекать одну из параллельных плоскостей, но не пересекать вторую плоскость? Ответ проиллюстрируйте моделью из двух листов бумаги и карандаша. 19°. Покажите в окружении два прямых угла с общей стороной, но которые не являются смежными углами. 20. Найдите в окружении: а) две параллельные плоскости; б) две перпендикулярные плоскости и покажите линию их сечения. 21. Правильным ли является утверждение: «Если плоскость перпендикулярна данной плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой этой плоскости»? Ответ проиллюстрируйте моделью (из двух листов бумаги). 22. На двух перпендикулярных плоскостях выбрали по прямой. Могут ли эти прямые быть скрещивающимися? Ответ проиллюстрируйте примером из окружения. 23*. Как практически установить, перпендикулярны ли плоскости стены и пола? 24*. Используя признак перпендикулярности двух плоскостей, докажите, что плоскость дверцы шкафа перпендикулярна плоскости пола. 187 Определение а ± Р: I Полезно знать еще и признак перпен-I Аикулярности Авух плоскостей. I Признак. Две если у 1 а и с 1 d (с =у П а; d = у П Р) плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них ^ содержит прямую, перпендикулярную I ко второй плоскости (рис. 5.14). I На рисунке прямая а принадлежит I плоскости р и а i а . Тогда (З X а. Практическая работа 40 1. Два угольника совместите по одному из их катетов так, чтобы сами угольники не совместились, и расположите конструкцию на листе бумаги (рис. 5.15). Что можно сказать о прямой, которая содержит общую сторону этих угольников по отношению к листу бумаги? 2. Возьмите два листа картона и один угольник. Попробуйте с помощью угольника разместить один лист перпендикулярно ко второму. Удалось ли вам это сделать? 3. Возьмите два листа картона и два угольника. Попробуйте с помощью угольников разместить один лист перпендикулярно ко второму. Удалось ли вам это сделать? Как? 4. Укажите прямую, которая лежит в плоскости одного листа и перпендикулярна второму листу картона. 5. Сделайте вывод. Для любознательных ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Чертеж фигуры в планиметрии является или точной копией оригинала, или подобной ей фигурой. Совсем иначе изображают пространственные фигуры. К сожалению, не существует «пространственного» карандаша, который оставлял бы линии в пространстве. Нельзя на плоскость бумаги скопировать куб или фигуру, подобную ему, - плоское изображение не может быть точной копией пространственной фигуры. Возникает проблема: по каким правилам строить изображение пространственной фигуры, чтобы оно лучше всего воспроизводило оригинал? Для построения изображений фигур в стереометрии используют метод параллелыахс проекций. Например, учитель чертит на доске и говорит: «Это куб». Но на доске не куб, а изображение куба. А где сам куб? Он как бы размещен где-то над головами учеников, через его вершины и точки ребер проходят параллельные между собой проектирующие прямые, которые при пересечении с плоскостью доски дают изображение куба. В старших классах вы будете изучать параллельное проектирование, а сейчас мы лишь перечислим его свойства, по которым изображают пространственные фигуры. 1. Изображение прямой - прямая или точка. 2. Параллельные прямые изображаются параллельными прямыми, или совпадающими прямыми, или точками (каждая — одной точкой). 3. Отношения, в котором точка делит отрезок в изображении и оригинале, равны. (Например, середина отрезка изображается серединой отрезка.) Прямые, перпендикулярные заданной плоскости, стараются изображать вертикальными прямыми (см. рис. 5.14, 5.15). 186 Задание 34 1°. Как надо понимать утверждение: «Прямые а и & не параллельны»? 2°. Что можно сказать о прямых а и Ь, если они: а) не скрещивающиеся; б) не пересекаются? 3°. Даны две прямые, но через них нельзя провести плоскость. Пересекаются ли эти прямые? Ответ обоснуйте. 4. Истинно ли утверждение: «Если прямые аиЬ лежат в разных плоскостях и не пересекаются, то они скрещивающиеся^)? 5. Истинно ли утверждение: « Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую»? Ответ проиллюстрируйте на модели. 6. Может ли прямая пересекать две стороны треугольника и не лежать в плоскости этого треугольника? 7*. Докажите: прямые (в пространстве) не могут пересекаться более чем в одной точке. 8. Сколько прямых, параллельных данной плоскости, можно провести через заданную точку вне этой плоскости? Ответ проиллюстрируйте на модели (из карандаша и листочков бумаги). 9. Может ли быть, что десять прямых плоскости а параллельны плоскости р, но плоскости а и р не параллельны? Ответ проиллюстрируйте на модели. 10*. Истинны ли в стереометрии такие утверждения: а) через точку, которая лежит на данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную к заданной прямой; б) прямые, перпендикулярные к заданной прямой, параллельны между собой; в) если две пересекающиеся прямые не параллельны двум данным перпендикулярным прямым, то они не перпендикулярны между собой? 11°. Найдите среди окружающих предметов модели прямых и плоскостей, которые перпендикулярны между собой. 12. Чтобы разрез деревянного бруска был перпендикулярен этому бруску, через точку А его ребра проводят перпендикулярные к ребрам прямые АВ и АС (рис. 5.16). Потом брусок распиливают по этим прямым. Объясните эти действия. 13*. Докажите, что если прямая не лежит в плоскости, то она не может иметь с этой плоскостью двух или больше общих точек. 14*. На рисунке 5.17 точки А, В, Слежат в плоскости а, МА J_ а, MB =МС. Докажите, что Ас =АВ. 15*. Существует ли прямая, состоящая из двух полупрямых, одна из которых лежит в плоскости а, а вторая - в плоскости р? Ответ проиллюстрируйте. 16*. Каждая из плоскостей аир проходит через точки А, В, и С Можно ли сделать вывод, что аир- одна и та же плоскость? Почему? 17*. Истинно ли утверждение: «Две плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой»? 18. Может ли прямая пересекать одну из параллельных плоскостей, но не пересекать вторую плоскость? Ответ проиллюстрируйте моделью из двух листов бумаги и карандаша. 19 . Покажите в окружении два прямых угла с общей стороной, но которые не являются смежными углами. 20. Найдите в окружении: а) две параллельные плоскости; б) две перпендикулярные плоскости и покажите линию их сечения. 21. Правильным ли является утверждение: «Если плоскость перпендикулярна данной плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой этой плоскости»? Ответ проиллюстрируйте моделью (из двух листов бумаги). 22. На двух перпендикулярных плоскостях выбрали по прямой. Могут ли эти прямые быть скрещивающимися? Ответ проиллюстрируйте примером из окружения. 23*. Как практически установить, перпендикулярны ли плоскости стены и пола? 24*. Используя признак перпендикулярности двух плоскостей, докажите, что плоскость дверцы шкафа перпендикулярна плоскости пола. 187 диагональ выпуклый о Многогранники. Правильные многогранники Еще в 5-6-х классах вы изучали куб, прямоугольный параллелепипед, пирамиду. Все эти фигуры - многогранники. В окружающем мире можно увидеть немало многогранников. Такую геометрическую фигуру можно определить как внутреннюю часть пространства, которая ограничена многоугольниками - гранями многогранника. Стороны каждой грани - ребра многогранника, а вершины - вершины многогранника. Диагоналями многогранника называются отрезки, которые соединяют вершины многогранника и не принадлежат его граням. Указанные элементы многогранника представлены на рисунке 5.18. Поверхность многогранника состоит из плоских многоугольников - его граней. Плоские углы многогранника - углы многоугольников-граней. Рис. 5.18 Угол, образованный двумя ребрами одной грани многогранника, называется его плоским углом. Плоские угл^1 многогранника — это внутренние угл^1 многоугольников его граней. Поверхность многогранника состоит из плоских многоугольников. Понятно, что площадью поверхности любого многогранника будет сумма площадей всех его граней. Многогранники бывают выпукл^1ми (рис. 5.19) и невыпукл^1ми (рис. 5.20). Выпуклым называется многогранник, который полностью лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней (рис. 5.19). Говорят, что выпуклый многогранник правильный, если все его грани - равные межлу собой правильные многоую-льники и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. его 188 Существует лишь пять правильных многогранников: четырехгранник, шестигранник (куб), восьмигранник, двенадцатигранник и двадцатигранник. Правильный четырехгранник (рис. 5.21) ограничивают четыре правильные треугольника. Его еще называют правильным тетряэлром. Он имеет 4 вершины и 6 ребер. На рисунке 5.22 изображен правильный тетраэдр, развернутый в плоскость одной из своих граней. Такое его разверткой. изображение многогранника называют Рис. 5.22 Правильный шестигранник (гексаэдр) имеет 6 граней-квадратов, 8 вершин и 12 ребер (рис. 5.23). Его еще называют кубом. На рисунке 5.24 - развертка куба. Рис. 5.23 Рис. 5.24 ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК всегда выпуклый; все грани равные правильные многоугольники; в каждой вершине сходится одинаковое число ребер; существует пять видов. Поверхность правильного восьмигранника (или октаэАря), как и правильного тетраэдра, образуют правильные треугольники, но в отличие от последнего у восьмигранника их не четыре, а восемь (рис. 5.25). Он имеет 6 вершин и 12 ребер. Его развертка изображена на рисунке 5.26. ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР грани - правильные треугольники: - граней - 4; - вершин - 4; - ребер - 6; - в каждой вершине сходится ребер - 3. КУБ грани - квадзаты: - граней - 6; - вершин - 8; - ребер - 12; - в каждой вершине сходится ребер - 3. Для любознательных Греческое слово «кибос» буквально означает «игральный кубик^>, а тело одинаковой с ним формы было названо кубом. Этот термин встречается у Евклида. 189 Правильный двенадцатигранник (или Аолекаэдр) имеет 12 граней (рис. 5.27). Каждая из них представляет собой правильный пятиугольник. У додекаэдра 20 вершин и 30 ребер. На рисунке 5.28 изображена его развертка. ОКТАЭДР грани - правильные треугольники: - граней - 8; - вершин - 6; - ребер - 12; - в каждой вершине сходится ребер — 4( I ДОДЕКАЭДР трани - правильные пятиугольники: - граней - 12; - вершин - 20; - ребер - 30; - в каждой вершине сходится ребер - 3. ИКОСАЭДР грани- правильные треугольники: - граней - 20; - вершин - 12; - ребер - 30; - в каждой вершине сходится ребер - 5. Правильный двадцатигранник (или икосаэрр) ограничивают 20 равносторонних треугольников, которые сходятся в 12 вершинах (рис. 5.29). Он имеет 30 ребер. Его развертка изображена на рисунке 5.30. Интересно, что вершины каждого из пяти видов правильных многогранников, в том числе и икосаэдра, лежат на поверхности шара. Двенадцать вершин икосаэдра - это максимальное число точек, которые можно нанести на поверхность шара так, чтобы расстояния между любыми двумя соседними точками были одинаковыми. Это свойство икосаэдра использовала одна из американских фирм для изготовления баскетбольных мячей. На поверхности сферической камеры-основания определяют 12 точек, равномерно распределенных по каркасу (вершины икосаэдра). Машина наматывает Для любознательных, Издавна известны пять правильных многогранников (так называемых Платоновых тел): тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. ТетраэАр в переводе с греческого означает четырехугольник («тетра^> -четыре, «эдра^> - сторона, грань). ГексазАр означает шестигранник и происходит от греческого «гекса^> -шесть. Название октазАр происходит от греческого «окто» - восемь. ДоАсказАр означает двенадцатигранник (от греческого «додэка^> -Авсналдять). Название икосазАра происходит от греческого «эйкоси» - лвалдать. 190 нейлоновые нити по кругам, которые содержат каждую I пару указанных точек. | Площадь поверхности правильного многогранника | (площадь его развертки) равна площади правильного | многоугольника его грани, взятой столько раз, сколько граней имеет соответствующий правильный много- ^ гранник. I ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Издавна известны пять правильных многогранников. Число вершин, ребер и граней для этих многогранников приведено в таблице: Название многогранника Число вершин Число ребер Число граней Тетраэдр 4 6 4 Куб 8 12 6 Октаэдр 6 12 8 Додекаэдр 20 30 12 Икосаэдр 12 30 20 I Для любого пра-I бильного многогранника выпол-* няется теорема I Эйлера: I число его граней плюс число его вер-^ шин равно числу I его ребер плюс два: I B + I P t 2 . Рассматривая эту таблицу, легко увидеть, что для каждого из этих многогранников сумма числа вершин В и числа граней Г на 2 больше числа его ребер Р: В + Г - Р = 2. Для любознательных В древние времена геометрическим фигурам, особенно правильным, придавали таинственное философское значение. Так, согласно Платону, все в природе создано взаимодействием огня, воздуха, воды и земли, а основные простейшие элементы этих стихий имеют соответственно формы: тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и куба. Что касается додекаэдра, то Платон считал, что именно такую форму имеет Вселенная - Божественный эфир. В XVI в. знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) предлагал модель построения Вселенной, которая состояла из правильных многогранников и вписанных в них сфер, - так называемый «кубок Кеплера^> (см. рис.). Согласно Кеплеру, внешняя большая сфера соответствует орбите наиболее удаленной из известных к тому времени планет - Сатурна. Если в эту сферу вписать куб, а в куб снова сферу - то это будет сфера орбиты Юпитера. В сферу Юпитера Кеплер вписывает правильный тетраэдр, а вписанная в него сфера соответствует орбите Марса. В сферу Марса вписывается додекаэдр и снова сфера - сфера орбиты Земли. Дальше вписывается икосаэдр и сфера Венеры, а после того - октаэдр и сфера орбиты Меркурия. Позднее именно Кеплер открыл, что траектории движения планет вокруг Солнца - не круги, а эллипсы, и «кубок Кеплера^>, а вместе с ним и правильные многогранники потеряли ореол таинственности. 191 Это соотношение выполняется не только для правильных многогран- 1 3. 4*. 5* 6*. 7* 8. 9* 10 12. 13* 14*. 15*. 16*. 17 18 а) ников, а и для других многогранников, например призм, пирамид и т. д. Эйлер первый заметил и доказал это замечательное свойство многогранников. Поэтому его называют теоремой Эйлера для многогранников. Практическая работа 41 1. Склейте модели выпуклого и невыпуклого многогранников. 2. Посчитайте число: вершин, ребер, плоских углов ваших многогранников. 3. Сравните число ребер и число плоских углов. Сделайте вывод. 4*. Сравните число ребер с суммой числа вершин и числа граней. Сделайте вывод. Задание 35 1°. Найдите вокруг вас примеры объектов, которые имеют форму многогранников. Укажите число их граней, ребер, вершин. 2''К а к о й правильный многогранник имеет: а) 8 вершин; е) 12 ребер; б) 8 граней; ж) 12 граней; в) 20 вершин; з) 30 ребер; г) 20 граней; и) 6 ребер; д) 12 вершин; й) наибольшее число ребер? Приведите примеры (из окружения) выпуклых и невы- пукл^гх многогранников. Многогранник имеет 12 ребер. Сколько он имеет плоских углов? На рисунке 5.31 изображены развертки многогранников. Определите, сколько в них вершин, ребер, граней. Какое наименьшее число ребер может сходиться в одной вершине многогранника? Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник? Определите для куба число: а) его диагоналей; б) диагоналей его граней; в) плоских углов. Какое наименьшее число плоских углов может иметь многогранник? Нарисуйте многогранник, у которого: а) 6 вершин и 5 граней; б) число вершин равно числу граней. Х!*^ Нарисуйте многогранник, у которого все грани -квадраты, но он не является кубом. Диагональ грани куба равна 4 см. Найдите полную поверхность куба. Длина ребра одного куба втрое больше длины ребра второго куба. Во сколько раз площадь полной поверхности первого куба больше площади полной поверхности второго куба? Диагональ куба равна 9 см. Найдите ребро этого куба. Как определить площадь полной поверхности куба, зная длину его диагонали? Два одинаковых правильных тетраэдра склеили по одной из граней. Будет ли образованная фигура правильным многогранником? Почему? Плоскость, которая проходит через середины трех ребер куба, отсекает от него часть так, как показано на рисунке 5.32. Сделайте от руки эскиз развертки образованной фигуры. Площадь поверхности правильного додекаэдра равна 180 см2. Найдите площадь одной грани. 6) Рис. 5.31 192 Рис 5 33 Призмы. Объем пространственной фигуры Среди многогранников выделяют два вида: призмы и пирямиАЫ- Замки средневековой Европы имеют форму призмы (рис. 5.33) -их боковые грани являются параллелограммами. Призма имеет две грани -основания, которые могут быть любыми многоугольниками, но равными между собой и расположены в параллельных плоскостях (рис. 5.34). Дизгональю призмы называется отрезок, который соединяет две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, призма может быть: • треугольная (рис. 5.35); • четырехугольная (рис. 5.36); • пятиугольная (рис. 5.34) и т. д. V п-уюльной призмой называется многогранник, две грани кoтoрюю (основания) равные п-уюль-ники, лежагцие в параллельных плоскостях, а все остальные грани (боковые) - параллелограммы, основание tv - вертина боковое ребро боковая грань Анагональ основание Рис. 5.34 Рис. 5.35 Рис. 5.36 Высотой призмы называется расстояние между ее осно-: ваниями, перпендикуляр из любой точки одного основания на плоскость другого ее основания (Н на рис. 5.35). Призма называется прямой, если все ее боковые грани — прямоугольники. Боковые ребра такой призмы Hep-:s' пендикулярны плоскостям ее оснований (рис. 5.36). Высота прямойпризмы-равна длине ее бокового ребра. Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной. ПараллелепшгеА - это призма, шесть граней которой параллелограммы. Его противоположные грани -параллельны, поэтому любую пару из них можно рассматривать как основания. ПРИЗМА высота - расстояние между основаниями боковые грани -параллелограммы основания параллельны ПРЯМАЯ ПРИЗМА прямоугольники ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА прямая призма основания -правильные многоугольники 193 ПАРАЛЛЕЛЕПИ- ПЕД призма все грани - параллелограммы ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД призма все грани -прямоугольники А/ У- 7 я,Ь, с - измерения! ОБЪЕМ 1) F > о; Fi=2F 2) Fi = F2 И V1 = V2> 3 )F = Fi +...+Fn U F=Fi +... + Fn l iед. 4) куб 1ед. /1ед- F= 1 ед.з I Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, I образованный из шести прямоугольников (рис. 5.37). I Если одну из граней прямоугольного параллелепипеда принять за основание, то противоположная ей ^ грань также будет основанием, а все остальные грани — I боковыми гранями. Длина ребра боковой грани, кото-I рая не принадлежит основаниям, является высотой I прямоугольного параллелепипеда - она перпендикулярна плоскости основания. ^ Длины трех ребер прямоугольного параллелепипе-! да, которые выходят из общей вершины, называют его I измерениями. боковой четырех произ- площади доказать, I I Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда S равна сумме площадей шести прямоугольников (рис. 5.38). Площадь поверхности S6 будет суммой площадей прямоугольников боковых граней. Она равна ведению периметра основания на высоту: S=PH- = 2(а + Ъ)Н, где а и b - длины сторон основания. Площадь полной поверхности равна сумме боковой поверхности и площадей обоих оснований: S = S + 2So = 2(а + Ь)Н + 2 аЪ. Аналогичными рассуждениями нетрудно что формул^! S PH, S 'S. + 2S6 о можно применять для вычисления ности любой прямой призмы. Подобно тому, как мы вводили для ограниченной со всех сторон плоской фигуры, в стереометрии вводится понятие объема для пространственной фигуры. Объем - это число, которое ставится в соответ- ствие ограниченной со всех сторон пространственной фигуре и которое имеет следующие свойства: 1) объем фигуры является числом неотрицательным; 2) объемы равных фигур равны; 3) если фигура разделена на части, которые не перекрываются, то объем фигуры равен сумме объемов этих частей; 4) за едшгицу объема принимают объем куба со стороной, равной единице длины. площади поверх- понятие площади 194 1 / кубический метр Рис. 5.39 Например, объем куба со сторо- I ной 1 м равен одному кубическому | метру (i м3); объем куба со сторо-/ ной 1 фут равен 1 фут3. Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны 6 м, 4 м и 3 м (рис. 5.39). На основании этого параллелепипеда можно разместить 24 кубика с длиной Объем этого ряда кубиков составляет стороны 1 м. 24 м3. Поскольку внутри данной фигуры вмещается три ряда по 24 кубика в каждом, то ее объем равен 24 • 3 = 72 (м3). То есть объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V= S-H. О Можно доказать, что объем любого прямоугольного параллелепипеда вычисляется по приведенной выше формуле (аналогично тому, как мы доказывали формулу для вычисления площади прямоугольника в 8-м классе). Строгое доказательство этого факта вы будете изучать в старших классах. Если а, Ь, с — измерения прямоугольного параллелепипеда, то его объем равен V= а- Ъ- с. Если провести плоскость через параллельные диагонали оснований прямоугольного параллелепипеда (рис. 5.40), то получим две равные треугольные прямые призмы, в основаниях которых лежат прямоугольные треугольники. Понятно, что объем жаждой из этих прямых призм равен воловине объема исходного параллелепипеда, т. е. равен произведению ■дощади треугольника основания на высоту7 призмы. Любую прямую призму можно разделить на прямые призмы, основания шпорых - прямоугольные треуголь-шски. Высоты образованных призм фчтазИ" равны (рис. 5.41). I I Прямоугольный параллелепипед Д 1-./ У- ’? = л ■ Ь • с Прямая призма т площадь основания U Рис. 5.41 Для любознательных Если на гранях куба достроить кубы, получим так называемый «гиперкуб». Именно такую фигуру использовал СаЛЫНЗАОр ДаЛИв картине «Гала перед распятием на гиперкубе». Является ли гиперкуб правильным многогранником? 1—V 195 С а I Объем прямой призмы будет равен сумме объемов I таких треугольных призм, отсюда: I ^ = ? Н, 7 I где S„uH - площадь основания и высота прямой призмы. I Приведем примеры применения полученных в этом I I параграфе формул. Пример 1. Ребра упаковки сока «Садочок^> равны 6 см, 9 см и 20 см. Найдите общую площадь материала, использованного для ее изготовления. Какой объем ^ такой упаковки? ^ Решение I 1) Периметр основания равен 6-2 + 9-2 = 30 (см), а I высота равна 20 см. Тогда площадь боковой поверхности 30 • 20 = 600 (см2). Площадь основания равна 6 ■ 9 = 54 (см2). Тогда площадь полной поверхности упаковки S = 54 • 2 + I + 600 = 708 (см2). ■ I 2) Площадь основания равна 54 (см2), а высота -) I 20 см. Тогда объем V = 54 • 20 = 1080 (см3), т. е. не намного больше чем 1 л. Ответ: 600 см2 и 1080 см3. Пример 2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, площади трех граней которого равны: I 42 см2, 56 см2, 48 см2. Решение 1 1) В прямоугольном параллелепипеде Измеряй все, что ) противоположные грани - равные пря-измере- 1 моугольники. Т. е. заданы площади трех граней, которые имеют обшую вершину (рис. 5.42). Обозначим измерения данного параллелепипеда как х, у, г. Искомый объем равен V= xyz. Гялилео Галмлей ) 2) По условию: поддается нию, и сделай . измеряемым все, * что не поддается | измерению. | У Рис. 5.42 Отсюда: (ху) • (уг) I = 6-7-8 = 336 (см3). I Ответ: 336 см3. ХУ= 42 = 6-7, ■ г/2 = 56 = 7-8, xz = 48 = 6-8. (хг) = х^у^г2 = 6 2'1 72 • 82 и V= хуг = Практическая работа 42 1. Начертите развертку прямого параллелепипеда и сделайте из нее модель прямого параллелепипеда. 2*. Можно ли изготовить такую модель параллелепипеда, чтобы, рассматривая ее с одной стороны, можно было утверждать, что этот параллелепипед прямой, а с другой, что он наклонный? 196 3°. 4. 5. Задание 36 1°. Назовите любые предметы, которые имеют форму параллелепипеда. 2' . Ученик считает, что термины «правильная четырехугольная призма^> и «прямоугольный параллелепипед^) означают одну и ту же фигуру. Прав ли он? Можно ли считать правильным определение: «Кубом называется правильная четырехугольная призма, у которой высота равна стороне основания^)? Могут ли все грани призмы быть треугольниками? А трапециями? Существует ли призма, у которой нет ни одной диагонали? 6*. Призма имеет 18 граней. Какой многоугольник лежит в ее основании? 7. Какие утверждения о призме надо сформулировать, чтобы они были условием того, что она правильная? 8. Что можно сказать о призме, все боковые грани которой квадраты? 9. Истинно ли утверждение: «В каждой призме число ребер всегда кратно 3»? 10*. Можно ли утверждать, что в прямой призме боковое ребро перпендикулярно каждой из диагоналей основания? Ответ обоснуйте. 11**. Может ли параллелограмм быть разверткой боковой поверхности наклонной призмы? Какие дополнительные признаки отличают: а) правильную призму от прямой; б) куб от прямоугольного параллелепипеда? Суммы площадей противоположных боковых граней прямой четырехугольной призмы равны между собой. Какое свойство должен иметь многоугольник основания? Найдите площадь поверхности прямой четырехугольной призмы, боковое ребро которой равно 5 см, а стороны основания - 2 см, 3 см, 2,5 см, 4,5 см. Найдите площадь поверхности и объем прямой призмы, высота которой 10 см, а основание - ромб со стороной 5 см и острым углом 30°. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 10 дм, а высота - 8 дм. Найдите площадь поверхности призмы и ее объем. Можно ли из прямоугольного листа картона размером 52 х 22 см изготовить правильную четырехугольную призму высотой 20 см и со стороной основания 10 см? Могут ли два неравных прямых параллелепипеда с равными высотами иметь равные боковые поверхности? Найдите объем прямой треугольной призмы, у которой все ребра равны 2 м. 20*. Все боковые грани правильной шестиугольной призмы - квадраты со стороной 10 дм. Найдите объем этой призмы. Определите приблизительно объем вашей классной комнаты. Найдите площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, площади трех граней которого равны 10 дм2, 6 дм2 и 15 дм2. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA)B)C)D, (рис. 5.43), у которой BJ) — 5 см, ABj =4 см. Найдите длину ребра основания призмы и ее объем. Мерой для выдачи зерна со склада на корм скоту служат два прямоугольных 12. 13 14) 15. 16: 17. 18 19. 21. 22* 23* 24. 25* 26* ящика с равными основаниями. Один ящик вмещает 50 кг д зерна. Сколько зерна вмещает второй ящик, если его высота в 1,5 раза больше высоты первого? В квартире две комнаты. Кубатура одной комнаты равна 120 м3. Найдите кубатуру второй комнаты, если она в 1,5 раза шире и в 3 раза короче первой. . В правильной шестиугольной призме боковые грани - равные прямоугольники. Сформулируйте обратное утверждение и докажите его ошибочность. 'RI ' / - - г D Рис. 5.43 Для любознательных Первое условие, которого надо придерживаться в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько возможно, простым. Л. Карно 197 ^ 32« Пирамиды | Всем известны знаменитые египетские пирамид^:. I На рисунке 5.44 вы видите пирамида: в Гизе (Египет). I I I I I I ПИРАМИДА боковые грани g треугольники основание S - вершина SK= Н - высота SKL а В основании -п -угольник 'l' пирямиАЯ п-уголъняя Рис. 5.44 Боковую поверхность пирамиды образуют треугольники - боковые грани, которые сходятся в одной точке - вершине и имеют по одной общей стороне с некоторым многоугольником, который называется основанием (рис. 5.45). Высота пирамиды - это расстояние от ее вершины до ее основания (перпендикуляр, опущенный из вершины на основание), вершина - ' " ^ боковое ребро ребро основания Рис. 5.45 В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамида может быть: • треугольная (тетраэдр) (рис. 5.45); • четырехугольная (см. рис. 5.47-а); • пятиугольная (рис. 5.46) и т. д. W п-утолъной пирамидой называется ЩР основании которой лежит п-уюльник. пирамида. Пирамида называется правильной, если: 1) основанием ее является правильный многоугольник; 2) основание перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к ее основанию, совпадает с центром многоугольника основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. 198 Высоту боковой грани, которая проведена к ребру основания в правильной пирамиде, называют апофемой (рис. 5.47-а). ПИРАМИДА ПРАВИЛЬНАЯ а) б) Рис. 5.47 На рисунке 5.47 изображена правильная четырехугольная пирамида и ее развертка. I Площалью боковой поверхности плрамнАы назы- вается сумма площалей всех ее боковых граней. Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, надо к площади ее боковой поверхности прибавить площадь основания: S = S.+ S. б о Для правильной n-угольной пирамиды площадь ' одной боковой грани равна полупроизведению длины I ребра а ее основания на апофему h. Площадь боковой t поверхности будет в п раз больше, т. е. равна произве-^ дению полупериметра основания на апофему: f S6=P'a- Объем пирамид^! равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: 1 F = —SH. 3 ° Доказывать эту формулу вы будете в старших классах, но уже сейчас можно убедиться в ее правильности экспериментальным путем. Например, если склеить из картона прямую призму и пирамиду с одинаковыми основаниями и высотами, наполнить их песком (манной крупой), то выяснится, что песка для наполнения призмы нужно втрое больше, чем для пирамид^:. Для любознательных 1. Четырехгранники еще называют тетраэдрами, (с греческого «тетра^> означает «четыре», а «эдра^> -« грань »). Четырехгранник можно составить только из треугольников. (Почему?) Поэтому треугольные пирамиды называют тетраэдрами. 2. Фигура, изображенная на рисунке, является сплетением двух правильных тетраэдров, открыл ее Леонардо да Винчи. Позднее, через 100 лет, ее «переоткрыл^> Кеплер и дал ей название, которое в переводе означает «восьмиугольная звезда^>. основание -правильный многоугольник, О - его центр, SO Ха, т основание SO=H боковые ребра -равны, боковые грани -равны. Площадь боковой поверхности: S6=P^a ha - апофема, р - полупериметр основания. Пирамида: S = S6 + So So - площадь основания. v—s н 3 0 199 Практическая работа 43 1. По соответствующим разверткам склейте из картона прямую призму и пирамиду с одинаковыми основаниями и высотами. 2. С помощью манной крупы или песка сравните объемы этих фигур. 3. Сделайте вывод. Задание 37 1°. Какая пирамида называется правильной? 2°. Сколько боковых граней в правильной треугольной пирамиде? А в четырехугольной? 3. На рисунке 5.48 найдите три треугольные пирамид^:. 4. Почему правильную четырехугольную пирамиду нельзя 5. назвать правильным многогранником ? С Рис. 5.48 Можно ли склеить такой многогранник, который, если его поставить на одну грань, был бы призмой, а на другую -пирамидой? 6*.Определите без рисунка: а) сколько вершин, ребер и граней имеет гс-угольная пирамида; б) сколько всего плоских углов имеет n-угольная пирамида? 7*. Будет ли правильной пирамида, если ее боковые грани: а) равные треугольники; б) равные равнобедренные треугольники? 8*. Докажите, что число ребер пирамиды - всегда число четное. 9*. Найдите сумму всех плоских углов n-угольной пирамид^:. 10*. Существует ли пирамида, которая имеет: а) 18 плоских углов; б) 20 плоских углов? 11°. В треугольной пирамиде длина каждого из ребер равна а. Найдите полную поверхность пирамид^:. 12. В основании правильной пирамида: лежит шестиугольник со стороной 2 дм. Найдите площадь полной поверхности пирамид^:, если ее апофема равна 1 дм. 13. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна стороне основания и составляет 10 см. Найдите площадь поверхности пирамид^:. 14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды вдвое меньше ее бокового ребра и равна 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды:. 15. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, боковые грани которой правильные треугольники, а апофема равна \/з дм. 16. Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота - 8 см. 17*. Как изменится объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторону ее основания увеличить в 3 раза, а высоту уменьшить в 2 раза? 18*. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, изображенной на рисунке 5.49. Для любознательных 1. На рисунке представлена геометрическая трактовка формулы (а + Ь)3 = а3 + 3а2Ь + 3ab2 + Ь3 для случая а >0, b > 0. Поясните ее. 2. Каждую грань куба разделили на четыре квадрата, каждый из образованных квадратов покрасили в один из трех цветов: синий, желтый и красный так, чтобы квадраты, которые имеют общую сторону, были разных цветов. Докажите, что при таком условии всегда будет 8 синих, 8 желтых и 8 красных квадратов. 200 Рис. 5.50 §<П> ST) О О о Тела вращения Телами вращения называются пространственные фигуры, кото- ^ рые образуются вращением плоской фигуры вокруг некоторой оси. Среди них выделяют: шар, конус, цилинлр. Можно привести много примеров тел вращения: теннисный мяч имеет форму шара, близка к этой форме и наша Земля; в ветряной мельнице можно увидеть цилиндр и конус (рис. 5.50) и т. д. ЦИЛИНДР Когда прямоугольник вращается вокруг прямой, i которой принадлежит одна из его сторон, - образуется i прямой круговой цилинлр (рис. 5.51). В дальнейшем, говоря о цилиндре, будем иметь в виду именно прямой I круговой цилиндр. Прямая, вокруг которой вращается прямоугольник, называется осью цилинлра; параллельная ей противоположная сторона прямоугольника - образующей; круги, описанные двумя другими сторонами прямоугольника, - основаниям? цилиндра. Высота цилинлра Н - это расстояние между его основаниями (перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на второе). Она равна образующей этого цилиндра. На рисунке 5.52 представлена развертка цилиндра. ' Прямоугольник - развертка боковой поверхности, два ^ круга - основания цилиндра. ЦИЛИНДР прямой круговой я; образующая радиус основания образующая высота основание В г' Zc А —2л г- |Я I I I I (OOj) - ось враще-I ния, ось цилиндра; } [oOj = Я - высота; I г - радиус основа’ ния. I I Рис. 5.51 Рис. 5.52 Дл.я любознательных Слово цилинлр происходит от греческого «килиндрос», что означает «вал^>, «каток^>. В школьном курсе геометрии изучают только прямой круговой цилинлр, определение которого мы рассмотрели. В общем цилинлр в геометрии определяют так. Если в некоторой плоскости а задать фигуру F, а из некоторой точки А плоскости а провести отрезок AAy который не принадлежит плоскости а, и из каждой точки X фигуры F провести отрезки XX.^ равные и параллельные AAj (см. рис.), - получим пространственную фигуру, которая называется цилинлром. {XXj - образующие, &Fи Fj - его основания.) 201 ЦИЛИНЛР н S6=2ntH S = 2кгН + 2Ш2 V=к12Н КОНУС прямой круговой (SO) - ось конуса, ось вращения; [*SO^- Н - высота; г - радиус основания. Напомним: (SO) - прямая SO; [SO] - отрезок SO. поверхности поверхности двух одинаковых Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника ABCD, одна сторона которого АВ равна высоте цилиндра Н^ а вторая AD - длине окружности его основания 2лг(см. рис. 5.52), т. е. S6 = 2 кгН. Чтобы получить площадь полной цилиндра, надо к площади боковой прибавить площади оснований кругов, радиусы которых равны г: S = 2кгН + 2KI2. Если в цилиндр вписать правильную я-угольную призму и вообразить, что п стремится к бесконечности, то объем цилиндра будет равен объему такой призмы. Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту: V = к12Н. КОНУС Прямой круговой конус образуется при вращении I прямоугольного треугольника вокруг одного из его I катетов (рис. 5.53). Катет, вокруг которого вращается треугольник, называется высотой конуса; второй катет описывает круг, которы:й называют основанием конуса, гипотенуза треугольника описывает поверхность конуса и назы:вается образующей конуса. боковую Развертка конуса изображена на рисунке 5.54. Боковая поверхность разворачивается в сектор радиуса, равного образующей конуса Z, и длиной дуги, равной длине окружности основания (2кг). Площадь этого секторЗ Jявляется частью площади круга So радиуса / (их отношение — —). 202 Для любознательных Этот футбольный мяч состоит из правильных пятиугольников и шестиугольников. Многогранник, состоящий из разных видов правильны:х многоугольников, в каждой из вершин которого сходится одинаковое число ребер, называют полу-правилъным. Архимед в III в. до н. э. открыл и описал тринадцать видов полуправильных многогранников. S,= ri’2^ 2nl ' nd. Чтобы найти площадь полной поверхности конуса S, к площади боковой поверхности S6 =j надо прибавить площадь круга-основания: S = ntl + ni2 = nr(l+ г). Итак, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса, радиус основания которого г и образующая I равны соответственно: S6 = ntl и S = nt( + г). Если в конус вписать правильную п-угольную пирамиду и вообразить, что п стремится к бесконечности, то объем конуса будет равен объему такой пирамиды. Объем конуса равен трети произведения площади основания конуса на его высоту: V=-пг^Н. 3 ШАР Шар - это фигура вращения, которая образуется при вращении круга вокруг его диаметра (рис. 5.55). Поверхность шара называют сферой. Диаметр круга будет диаметром шара, радиус круга -радиусом шара, а центр круга - центром шара. Шар нельзя представить в виде развертки на плоскости, поэтому вывести формулу для площади его поверхности тяжело. Математики доказали, что площадь поверхности шара, т. е. площадь сферы, в 4 раза больше площади круга, вращением которого ее получим: S = 4пт2. доказательство показывает, что объем шара, радиус которого равен г, в 4 раза больше объема конуса, радиус основания и высота которого равны г: V = -пт3. 3 Рис. 5.55 Строгое КОНУС S6= S = nt (I + r) V= -nr^H 3 ШАР t вращением круга вокруг диаметра S6=47tr2 V - ht3 Для любознательных Кеплер считал, что каждой планете соответствует правильный многогранник, в который вписана сфера орбит планеты (стр. 191). Правильных многогранников существует только 5 - они уже были использованы им как модели Вселенной. Поэтому Кеплер, в поиске других планет, искал и другие гармонические «правильные» формы. Он продлевал ребра и грани правильных многогранников и получал невыпуклые, так называемые «звездные» многогранники. Попробуйте следом за Кеплером и французским математиком Луи Пуансоном (1777-1859) поискать такие фигуры. 203 Практическая работа 44 1. Начертите прямоугольник - развертку боковой поверхности цилиндра. 2. Начертите круг, который будет основанием этого цилиндра. Какие предварительные расчеты надо сделать для этого? 3. Склейте модель цилиндра из полученной развертки. 4. Начертите сектор круга - развертку боковой поверхности конуса. 5. Начертите круг, который будет основанием этого конуса. Какие предварительные расчеты надо сделать для этого? 6. Склейте модель конуса из полученной развертки. Практическая работа 45 Выполнив соответствующие измерения, вычислите объем (в кубических сантиметрах): а) хоккейной шайбы; б) кастрюли цилиндрической формы. Задание 38 1°. Прямоугольный лист бумаги размером а*Ь можно свернуть двумя способами так, что образуется боковая поверхность цилиндра. Определите радиус основания каждого из цилиндров. Вращая прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 2 см и CD = 4 см сначала вокруг стороны АВ, а потом вокруг стороны CD, получили два цилиндра. В каком случае площадь боковой поверхности больше? Радиус цилиндра увеличили в 2 раза, а его высоту уменьшили в 2 раза. Изменилась ли площадь боковой поверхности? Почему? Один цилиндр в 3 раза шире второго, но в 3 раза его короче. Равны ли их объемы? В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет уровень жидкости, если ее перелить в сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? ' Сравните боковые поверхности тел, изображенных на рисунке 5.56. 2. 3. 4. 5. 6. 7*. Вычислите боковую поверхность конусов, изображенных на рисунке 5.57. Рис. 5.56 Для любознательных 1. Арбуз разрезали на 4 части и съели. Может ли при этом остаться 5 корок? 2. Приведите пример линии, которая: а) ни с одной плоскостью не имеет ровно одной общей точки; б) не принадлежит ни одной плоскости. 3. Дан многогранник. С одной стороны - это правильная призма, с другой -неправильный многогранник. Какие свойства многогранника следуют из того, что он правильная призма? Какие свойства следуют из того, что это неправильный многогранник? 4. Может ли многогранник иметьр ребер, гдер - простое число, большее 11? Совет. Если у многогранника «срезать угол^>, то число ребер увеличится на 3. 204 8*. Найдите объемы конусов, изображенных на рисунке 5.58. ■ Что представляет собой тело, которое является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки О на расстояние не меньше чем 3 см, но не больше чем 7 см? 10. Верно ли, что сумма площадей двух сфер, радиусы которых R, равна площади сферы, радиус которой 2R? Вычислите площадь поверхности полушария, радиус которого равен R 12. Краски хватает, чтобы покрасить поверхность шара радиуса R. На сколько R . „ шаров, радиусы которых —, хватит этой краски, если толщина слоя краски 10 в обоих случаях одинакова? 13*. Существует ли такой шар, объем и площадь поверхности которого выражаются одним и тем же числом? 14*. Что вы выбрали бы: съесть арбуз, радиус которого равен 10 см, втроем, или съесть арбуз, радиус которого 20 см, ввосьмером? . Есть свинцовые шарики одинакового размера. Надо переплавить их в шар, радиус которого в 5 раз больше. Сколько маленьких шариков для этого нужно? 16. Выразите радиус шара через его объем. 17*. В цилиндр вписан шар, радиус которого R так, что он касается оснований и боковой поверхности цилиндра (рис. 5.59). Найдите отношение объемов этих тел. 18*. Можно ли в цилиндрический сосуд, изображенный на рисунке 5.60, поместить шар, объем которого в 2 раза меньше объема сосуда? 19**. Три равных конуса лежат на плоскости, и кажд^1е два из них имеют общую образующую единичной длины. Можно ли в образовавшееся между ними углубление поместить такой же конус? Рис 5 60 Для любознательных 1. Какие из кубиков на рисунке А отличаются от первого только расположением в пространстве? 2. На гранях куба написаны цифры 0, 1,4, 5, 6, 8. Определите, какие цифры написаны на противоположных гранях куба по изображению его в трех положениях на рисунке Б. 3. Есть ли на рисунке В куб, который изготовлен по заданной развертке? /v?| /у А А Xc В 205 Задания для повторения главы V 1. Какие утверждения называются «аксиомами стереометрии^)? 2. Какая логическая схема построения стереометрии? 3. Сколько плоскостей можно провести через прямую и точку вне ее? Почему? 4. Через прямую и точку провели 10 плоскостей. В каком случае это возможно? 5. Какие взаимные расположения возможны в пространстве для: а) двух прямых; б) прямой и плоскости; в) двух плоскостей? 6. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости? 7. Объясните, что такое: а) перпендикуляр к плоскости; б) наклонная к плоскости; в) проекция наклонной на плоскость; г) расстояние от точки до плоскости. 8. Какой признак перпендикулярности прямой и плоскости? 9. Какая фигура называется: а) многогранником; б) правильным многогранником? 10. Объясните на примере смысл понятий: а) грани многогранника; б) ребра многогранника; в) вершины многогранника; г) диагонали многогранника; д) площадь поверхности многогранника. 11. Объясните, чем отличаются выпуклые многогранники от невыпукл^гх. 12. Объясните, что такое: а) призма; б) параллелепипед; в) прямая призма; г) правильная призма; д) прямоугольный параллелепипед. 13. Объясните, что такое: а) пирамида; б) правильная пирамида; в) апофема правильной пирамид^!. 14. Какой отрезок называется высотой: а) призмы; б) пирамиды? 15. Какие тела называются телами вращения и почему? 16. Как найти площадь поверхности: а) цилиндра; б) конуса; в) шара? 17. По какой формуле вычисляют объем: а) призмы; б) пирамиды; в) цилиндра; г) конуса; д) шара? 18. Каждая из плоскостей аир проходит черегз точки А В и С Можно ли сделать вывод, что аир- одна и та же плоскость? Ответ обоснуйте. 19. Через три точки провели 15 плоскостей. Что это означает? 20. Задано три точки, через которые можно провести плоскость, но не одну. Что из этого следует? 21. Почему запертые двери нельзя отворить, а незапертые отворяются легко? 22. Правильно ли, что геометрическим местом точек, общим для двух пересекающихся плоскостей, является прямая? Почему? 23*. Дано две прямые, но через них нельзя провести плоскость. Докажите, что эти прямые не пересекаются. 24. Можно ли утверждать, что прямые скрещиваются, если они не пересекаются? Почему? 25. Надо ли доказывать, что через две параллельные прямые можно провести плоскость? Почему? 26°. Найдите вокруг вас такие три прямые: а) две пересекающиеся прямые, а третья - скрещивающаяся с каждой из них; б) две прямые скрещивающиеся, а третья пересекает каждую из них; в) две прямые параллельны, а третья скрещивающаяся с каждой из них. Для любознательных Автомобильная покрышка имеет тороидальную форму. Пончики также имеют тороидальную форму (рис. А). Мяч для игры в регби по форме близок к эллипсоиду (см. рис. Б). 206 31 32*. 33. 34. 35. 36. 27**. Сформулируйте какой-то признак того, что две прямые пересекаются. 28*. На одной из параллельных плоскостей провели прямую. Можно ли утверждать, что эта прямая параллельна второй плоскости? Почему? 29*. Две прямые параллельны одной плоскости. Всегда ли на этой плоскости ' найдется прямая, которая будет одновременно параллельна обеим данным прямым? Почему? 30*. С помощью примера из окружения докажите, что: а) можно провести плоскость, перпендикулярную одновременно к двум пересекающимся прямым; б) две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, не всегда параллельны друг другу. Правильным ли является утверждение: «Если прямая не параллельна плоскости, то на этой плоскости нет ни одной прямой, параллельной заданной прямой»? Почему? Докажите от противного: если четыре точки не принадлежат одной плоскости, то никакие три из них не лежат на одной прямой. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки пространства? Изобразите правильный тетраэдр, его высоту и апофему. Ребро одного куба в 2 раза меньше ребра второго. Сравните их: а) площади поверхностей; б) объемы; в) диагонали; г) диагонали боковых граней. Диагональ куба равна 8 см. Найдите его: а) ребро; б) площадь поверхности; в) объем. 37*. Многогранник имеет 9 ребер. Сколько он имеет плоских углов? 38. Изобразите правильную четырехугольную пирамиду, ее высоту и апофему. 39. Вычислите площадь боковой поверхности правильного тетраэдра, ребро которого равно л/3а см. 40*. Чтобы доказать, что призма правильная, надо рассметреть два пункта, а чтобы доказать, что она неправильная, - один. О каких пунктах идет речь? 41*. Существует ли призма, которая имеет 16 ребер? Почему? 42*. У призмы всего 8 граней. Найдите сумму внутренних углов многоугольника основания. 43**. Можно ли разрезать треугольную призму на две части так, чтобы каждая из частей была пирамидой? 44*. Изобразите многогранник, у которого все грани - треугольники, но который не является треугольной пирамидой. 45. Сравните термины: «правильная треугольная пирамида^) и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они означают одну и ту же фигуру? 46*. Правильно ли проведено рассуждение: «Поскольку все боковые грани данной призмы - квадраты, то эта призма -правильная^)? Почему? 47*. В прямоугольном параллелепипеде, изображенном на рисунке 5.61, найдите длину отрезка BD^. 48**. В основании пирамида: лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 3 см. Основание высоты пирамиды совпадает с вершиной прямого угла этого треугольника и равно 6 см. Найдите площадь поверхности и объем пирамид^!. 49**. Найдите зависимости, по которым, зная, сколько в призме Рис. 5.61 или пирамиде вершин и граней, можно определить количество их ребер. В _ f вХ- - S \ ' \ Сг 2 а а Уа и Для любознательных На кубе отметили все вершины и центры граней, провели диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них только один раз? 207 50**. Докажите от противного: «Если в параллелепипеде с ребрами а Ь с и диагональю d выполняется dP Ф а + Ь + с2, то этот параллелепипед не прямоугольный ». 51*. На рисунке 5.62 изображено тело, которое составляет четвертую часть цилиндра, радиус которого равен R, а высота - Н. Найдите полную поверхность тела и его объем. 52*. Запишите формулы для вычисления объема и площади поверхности цилиндра. Существует ли такой цилиндр, у которого площадь боковой поверхности содержит столько же квадратных единиц, сколько в его объеме кубических единиц? 53. Цилиндр и конус имеют равные основания, а высота конуса в 2 раза больше высоты цилиндра. Сравните: а) площади их боковых поверхностей; б) их объемы. 54. На рисунке 5.63 треугольник ABC - правильный, сторона его равна я. Вычислите объем конуса. 55*. Конус, высота которого равна Н отлит из свинца. Его надо переплавить в цилиндр такого же радиуса. Какой будет высота цилиндра? 56*. На рисунке 5.64 в куб вписан конус. Найдите отношение объемов конуса и куба. 57*. Объем шара уменьшился в 27 раз. Как изменилась площадь его поверхности? 58*. Материал для окраски детского мячика стоит 50 коп. Сколько надо заплатить за материал для окраски мяча, объем которого в 8 раз больше? 59*. На базаре продают арбузы маленькие и большие, диаметры которых в 2 раза больше маленьких. Стоимость маленьких арбузов - 2 грн., а больших - 6 грн. Что выгоднее купить: один большой или три маленьких арбуза? 60*. Площадь круга равна S. Вращением этого круга вокруг его диаметра получили шар. Найдите площадь поверхности шара. 61*. Свинцовый шар переплавили в шарики, радиус которых в 10 раз меньше исходного шара. Сколько таких шариков получилось? Рис. 5.62 Рис. 5.64 Для любознательных Источником геометрических исследований Жерара А^зарга (1591-1662), отставного военного инженера, была его профессиональная деятельность как архитектора и инженера. Дезаргу постоянно приходилось иметь дело с чертежами, которые выполнялись в перспективе. В основе перспективы лежит центральное проектирование, когда заданы фиксированная точка S (центр проекции) и фиксированная плоскость а (плоскость проекции). Через произвольную точку А пространства проводят прямую SA (проектирующая прямая), она пересекает плоскость а в точке Ар которая называется проекцией точки А (см. рис. А). Одной из наиболее оригинальных идей Дезарга было предложение рассматривать так называемые конические сечения как центральные проекции окружности (см. рис. Б). 208 Предлагаемые в этой главе математические миниатюры - рассказы о том, как геометрия помогает алгебре и наоборот; о свойствах золотого сечения; о гармонических четверках точек; об элементах проективной геометрии и что можно сделать с помощью линейки и неподвижной окружности; о построениях Штейнера и других чудесах инверсии и т. д. Цель этого раздела - заинтересовать вас древней, вечно прекрасной наукой - геометрией, полной разгаданных и неразгаданных тайн, уивительных открытий. Приложение 1 Об открытии Декарта и поиске геометрического места точек плоскости Как вам уже известно, Декарт создал аналитическую геометрию - заставил алгебру работать на геометрию, да и не только на нее, а и на физику, химию, биологию, г'еографию, кибернетику и т. д. Теперь тяжело даже вообразить какую-то область знаний, где бы не применялась в той или иной форме аналитическая геометрия, К‘;юрдинаты каждой точки карты штурмана - некоторая функция географических координат (широты и долго-тты:) соответствующей точки земной поверхности. График температуры больного, кардиограмма и другие жс-следования состояния здоровья человека на меди-~инском оборудовании связаны с аналитической гетметрией и т. д. С помощью кибернетики машина у.й.5отает на человека, обрабатывая представленную ей жк!фюрмацию по формальным законам. 209 о I Л *|Н- ГМТ^ V. > \ V •в равноудаленных от Aw. В. Творец аналитической геометрии по праву может быть назван прародителем математической кибернетики. В случаях, которые мы рассмотрим, роль математической машины выполняет алгебра. Приведем несколько примеров, как открытие Декарта помогает в задачах на определение геометрического места точек плоскости. Пример 1. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек? На этот вопрос нетрудно ответить и не зная аналитической геометрии, тем не менее метод, с помощью которого мы решим эту задачу (а именно - метол коор-I линят), полезен и в тех случаях, когда решить задачу I без аналитической геометрии будет тяжело. Пользуясь методом аналитической геометрии, размышляем так: пусть М^(хх, у,) и М2[х2; у2 - две данные точки, М(х; у) - произвольная точка искомого геометрического места точек. Тогда \МХМ\= \ М^\: yjix-xrf + iy-yj2 =у](х-Х2)2 + (у-У2)2- I Первое открытие всегда такое - существуют вещи , которые есть смысл открывать. А- Томсон ГМТ точек М: \АМ\ \вм\ Х*1 ■ окружность Аполлония Любая окружность является окруж - ностью Аполлония. Возведем в квадрат обе части равенства и упростим их: 2х2 - х,)х + 2(У2 - у,)у + л2- + у12 Если обозначить (2____у 2 . ’ *"2 2 У 2 = 0- X X_ ^ ^2 -^1 в. У2-Ух 2(rh- yi) то полученное уравнение приобретает вид у = kx + Ь. Очевидно, что к и b - постоянные, независящие от х и у т. е. искомое геометрическое место точек - прямая. Пример 2. Что представляет собой геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух заданных точек является величиной постоянной? Придерживаясь общей схемы, размышл_яем так: пусть заданы точки А (х>; у^) и В(х2^ у), а М(х; у) - произвольная точек. Тогда точка искомого геометрического места \AM\_ У1&- -x,f + (y-y)2 \ВМ\ -(x-x2f + (y-y?? i где X - значение этого отношения. Возведем обе части I равенства в квадрат и выполним элементарные пре- I образования: , (1 - Х2)(х2+ у2)- 2(хх-Х2,?),- J -2(Ух- Х2у2)у + х/ + у2 - Х^^2 + у2) - 0. 2 Слелует различать два случая: ♦ (*) 1.Х- 1. _Пзлутенное уравнение превращается в уравне-^ ние прямой - серединного перпендикуляра к отрезку АВ: I 2(Xi - х2)х + 2(ух- у2)у- (хх2 + у 2)+ (х22 + у2) - °- 210 2. X ф 1. В этом случае, если разделить уравнение (*) на 1 - X2 и обозначить постоянные, независящие от х и у, через а Ъ и с, а именно a У ^ х 1 +yi -ь 1х/ +vi) ^ xl - X х2 1-Х2 1-X2 получим уравнение х2 + у2 Обозначив а2 + Ъ2 -окружности 2ах - 2Ьу + с — о. = I2, приходим к уравнению (х - а)2 + (у - Ь)2 — г2. Итак, искомым геометрическим местом точек является окружность. Приведенное выше определение окружности получило название окружности Аполлония Пергскою. Очевидно, что любая окружность является окружностью Аполлония. Пример 3. Уравнение эллипса. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов эллипса) является величиной постоянной. Эту величину обозначают как 2а. Расстояние между фокусами обозначают как 2с. Возьмем за ось абсцисс прямую, проходящую через фокусы, а за начало координат - середину отрезка между фокусами (рис. 6.1). Тогда фокусы будут иметь координаты F^-c; 0)и f2(c; 0). ЕслиМ(х; у) - произвольная точка эллипса, то из определения эллипса \FxM\ + |.F2M| — 2а, или J(x + с)2 + у2 + yj(x-c)2 + у2= 2а. Введем обозначение а2 - сг= Ы2. Выполнив несложные преобразования, последнее уравнение можно записать в виде 2 2 — + — = 1. а2Ъ2 Пример 4. Что представляет собой траектория точки отрезка постоянной длины, концы которого перемещаются вдоль двух взаимно перпендикулярных прямых? Возьмем эти взаимно перпендикулярные прямые за оси координат. Обозначим через АВ - отрезок, который движется в определенном направлении, и М(х; у) - точку искомого геометрического места точек. Проведем из точки М прямые, параллельные координатным осям (рис. 6.2). У В2 м(х; у) Ч 4'/х В |FjM| + \FJM\ — 2а F'',F2~ фокусы; Av A2f Bv В2 - вершины. Для любознательных Если бы мне пришлось снова начать свое обучение, то я, по совету Платона, взялся бы сначала за математику - науку, которая требует точности и принимает за правильное только то, что вытекает как следствие из доказанного. Галилео Галилей 211 2 1-х с Очевидно, что NM= хи LM=у. Пусть ВМ = а МА = Ъ ZBMN= ZMAL = я. Заметим, В что при заданном движении отрезка АВ значения а и b не изменяются. Из рисунка видно, что х = я cos а и у = bsin а. Тогда и _ • cos а и--sin а. b Возведем в квадрат левые и правые части последних равенств и сложим их: 124 2 Ь2 ■= 1. Мы получили уравнение эллипса. Итак, искомая траектория - эллипс. Решите самостоятельно методом координат такие задачи. 1. Найдите геометрическое место точек М, для которых МА2 + MB2 = 2МС2, где ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С. (Ответ; прямая, которая проходит через середину гипотенузы.) 2. Вдоль радиуса патефонной пластинки, которая равномерно вращается, равномерно и прямолинейно (относительно пластинки) ползет муха. Найдите траекторию движения мухи. (Ответ; спираль Архимеда р = а(р <=> ti ^-2+У2 ^г/ч X 3. Найдите геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) является величиной постоянной. (Ответ: гипербола: аъ?-ц 4. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки (фокуса) и от некоторой прямой (директрисы). (Ответ-парабола у2 =2рх,р -расстояние между фокусом и директрисой.) 5. Найдите геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) является величиной постоянной. Покажите: а) если отношение меньше 1, то кривая является эллипсом; б) если отношение больше 1, - гиперболой; в) если отношение равно 1, - параболой. (Совет. Воспользуйтесь формулами параллельного переноса.) 6. Точки пересечения с осью абсцисс эллипса, гиперболы и параболы, если брать уравнения кривых в том виде, как они у нас записаны, - вершины этих кривых. Для любознательных Форму эллипса мы часто встречаем в жизни. Если, например, наклонить стакан с водой, то форма поверхности вод^1 будет эллипсом (рис. А). Если от куска колбасы цилиндрической формы отрезать ломтики, ставя нож наискосок, то они будут иметь форму эллипса (рис. Б). Если прямой цилиндр или конус разрезать так, чтобы не зацепить основание, то в разрезе будем иметь эллипс (рис. В). 212 2 2 Вершина параболы совпадает с началом координат. Докажите, что если перенести в начало координат левую вершину эллипса и правую вершину гипербол^:, то уравнения кривых будут иметь вид: Для эллипса Для гипербол^! Для параболы Z у2 = 2 pX^iX а У2=:^Р^+ -X2 а У2=2рх (В случае эллипса и гиперболы введено обозначение р =—.) л Ям, Выписанные в последней задаче уравнения являются уравнениями кривых, относительно вершины (рис. 6.3). Такие уравнения были известны еще Аполлонию Пергскому (262-190 гг. до н. э.) -младшему из трех выдающихся геометров Древней Греции (Евклид, Архимед, Аполлоний). Он известен в первую очередь своими трактатами о конических „ , „ сечениях (эллипс, гипербола, Рис. 6.3 ч парабола), содержащих весьма полный свод знаний об этих кривых. Но, разумеется, никакой символики в те времена не было, свойства кривых, которые мы записали с помощью уравнений, Аполлоний формулировал неуклюжим языком «геометрической алгебры». Например, произведение двух чисел греки называли площадью прямоугольника, длины сторон которого равны этим числам, квадрат числа - площадью квадрата, длина стороны которого равна числу, и т. д. Тогда (учитывая, что ось абсцисс для всех трех кривых является осью симметрии, или просто осью) языком геометрической алгебры записанные выше уравнения читались бы приблизительно так: «Эллипс является геометрическим местом точек, для которых площадь квадрата, построенного на отрезке, опущенном из начала координат на ось под прямым углом, меньше площади прямоугольника, одной стороной которого является отрезок постоянной длины 2р, а второй - отрезок от вершины до основания указанного перпендикуляра». D,-D2 - фиксированная прямая F -фиксированная точка (фокус) NS - длина нитки FM=NM FM + MS = NM+ + MS = const зеркало Для любознательных Интересно, что, как бы мы не поворачивали дуло пушки (в одной вертикальной плоскости), всегда при фиксированной скорости вылета снаряда зону, куда снаряд долететь не может, ограничивает парабола (см. рис.). 213 ГИПЕРБОЛА I Если в приведенном выше сравнении площади I квадрата и прямоугольника заменить слово «меньше» I на слово «больше», получим описание гипербол^:, а если на слово «равно», - параболы. ® Кстати, названия «эллипс», «гипербола^), «парабо- I ла^> дал именно Аполлоний. В переводе с греческого I они приблизительно означают: «эллипс» — нехватка.', I «гипербола^) - из.лишек, «парабола^) -равенство. ^ результате парал- = В заключение заметим, что р2,Р2~ фиксированные точки (фокусы) - длина нитки Мр2 - ЫР2 = = (Ыр2 + MS) -(мр2 + MS = (МР2 + MS) 1 ? const МР2 - МР2 = const ' лельного и центрального проектирования I всегда получается эллипс (см. рис. 6.4). Вы I мились со свойствами параллельного и I центрального проектирования (стр. 186, 208). Такое преобразование фигур еще называют аффинным. Существует отдель-f ный раздел геометрии, изучающий свой-I ства аффинных преобразований - аффин-I нал геометрия. Эллипсу можно дать и такое определение. Эллипсом называется кривая, которая ^ может быть получена из окружности с I помощью аффинного преобразования, или I кривая, которая аффинным преобразованием может быть преобразована в окружность. окружности уже знакоокружность I окруж- ность I Рис. 6.4 Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Берман Г Н. Циклоида. - Г.: Наука, 1980. 2. Гельфанд и др. Метод координат. - Г.: Наука, 1966. 3. Дубнов Я С. Введение в аналитическую геометрию: Пособие для самообразования. - Г.: Физматгиз, 1959. 4. Маркушевич А. И. Замечательные кривые. - Г.: Наука, 1978. 5. Никулин А. В., Кукуш А. Г, Татаренко Ю. С Геометрия на плоскости: Планиметрия. - Минск: ООО «Попурри», 1996. 6. ШарыгинИ Ф. Геометрия 7-9 кл. - М.: Дрофа, 2001. 7. ЯгломИ М.,Ашкинузе В. Г Идеи аффинной и проективной геометрии. -М.: Учпедгиз, 1962. Для любознательных Еще Иоганн Кеплер (1571-1630) выяснил, что планеты вращаются вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в фокусе каждого эллипса (см. рис.). Один раз, на протяжении одного оборота вокруг Солнца, _____ планета бывает в вершине эллипса Av точке ближайшей к Солнцу, - это так / ПланетаЧ называемый перигелий; один раз - в / \ вершине А,, точке наиболее отдален- / Солнце ной от Солнца, - в афелии. Летом Земля находится в зимой - в перигелии (в положения оси вращения по которому движется «сплюснут^) - похож на окружность. Д А афелии, а зависимости Земли). Земля, 'Шт О _О- — iT 'Щг' Р2 I от \ Р1 J Эллипс, \ / ного N. / мнс] А„ 214 Приложение 2 Еще раз об открытии Декарта, благодаря которому геометрия может помогать алгебре Задачи на составление уравнений, или текстовые алгебраические задачи, с одной стороны, представляют собой традиционный раздел элементарной математики, а с другой - их условия являются непосредственным формулированием жизненных задач. Поэтому не удивительно, что геометрия, которая изучает свойства окружающих нас пространственных форм, их взаимное расположение, часто упрощает поиск решения таких задач, особенно задач, связанных с движением тел. И снова посредником между алгеброй и геометрией выступает открытие Декарта. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Поезд движется прямолинейно и равномерно со скоростью v0 км/ч. В некоторый момент времени от него отрывается последний вагон и начинает двигаться равнозамедленно. Найдите отношение расстояний, которые пройдут поезд и вагон за время от момента отделения вагона до полной его остановки. Решение По оси абсцисс будем откладывать время, которое прошло с момента отделения вагона, а по оси ординат -скорости поезда и вагона (рис. 6.5). Путь, который прошел поезд за время Т (от момента отделения вагона до его остановки), равен площади прямоугольника со сторонами Т и о0. Путь, который прошел вагон за время Т равен половине площади этого прямоугольника. Ответ. 2. Рис. 6.5 Пример 2. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А к В. Когда они встретились, выяснилось, что первый прошел на 30 км больше, чем второй, и что через 4 дня он будет в пункте В. Второй прибудет в пунктА через 9 дней после встречи. Найдите расстояние между пунктами Ап В. Решение По оси абсцисс будем отклад^г-вать время, которое прошло с начала путешествия туристов, а по оси ординат — их расстояния от пункта А (рис. 6.6). Тогда прямая АС будет графиком движе-нияпервоготуриста,прямая BD -графиком движения второго, а точка О - моментом их встречи. Применение диаграмм и графиков при решении залач может заменить или значительно облегчить расчеты. \ ^ время начала движения Важная особенность геометрической интерпретации алгебраической задачи в ее наглядности. видны связи между величинами, которые входят в условие задачи. Это дает возможность расширить задачу - поставить и решить более общие вопросы, глубже заглянуть в суть проблемы. 215 Обозначим путь, который прошел второй турист до встречи, через х, а соответствующее время - как я. Имеем: OL = х, О К = х + 30, АК = я, LC = 4, KD = 9. Прямоугольные треугольники АОК и COL - подобны (ZAOK = ZCOL как вертикальные); треугольники DOK и BOL - подобны (ZDOK = ZBOL как вертикальные). Тогда LCOLBL4 * я _____________ АК OkKd яЛ. + 30 ~9‘ Отсюда: я =6, х = 60. Ответ: 60 км. Пример 3. Из пунктов А и В навстречу друг другу идут два пешехода. Первый вышел из пункта А на 6 ч позже, чем второй из пункта В. Когда пешеходы встретились, выяснилось, что первый прошел на 12 км меньше, чем второй. После встречи первый пришел в пункт В через 8 ч, а второй в пунктА - через 9 ч. Найдите скорости пешеходов. Решение По оси абсцисс будем откладывать время, которое прошло с момента выхода второго пешехода из пункта Б, а по оси ординат - расстояние туристов от пункта А (рис. 6.7). Точка М на оси абсцисс соответствует моменту времени начала движения первого пешехода, а точка О - моменту встречи пешеходов; прямая МС будет графиком движения первого пешехода, прямая BD - графиком движения второго. Путь, который прошел первый турист до встречи, обозначим через х а время, которое затратил второй турист на путь до встречи, - через а. Из подобия треугольников OLCи ОКМ, OLB и OKD: LC__OL__BL_ 8 х + 12 я ^_______ _ МК~ ОК~ KD'я-6 х ~ 9* Отсюда, учитывая, что я >0, получаем: я =12, х = 36. Искомые скорости равны: х Л~~ V, =- , х +12 - = = 6, V, = 4. я-6 а Ответ: 6 км/ч и 4 км/ч. Теперь, после знакомства с предыдущими примерами, решение следующих задач на движение не вызовет у вас затруднений. 216 Пример 4. Два приятеля вышли на прогулку: первый из села А в 10 ч 36 мин, а второй из села В в 10 ч 30 мин. В котором часу они встретились, если первый пришел в село В в 16 ч 21 мин, а второй в село А в 15 ч 06 мин? Решение Будем откладывать по оси ординат расстояние от села А, а по оси абсцисс - время, начиная с 10 ч 30 мин (рис. 6.8-а). Обозначим как t0 - время, затраченное вторым приятелем на путь до встречи. 30мин 36мин Обмин 21 мин а) б) Рис. 6.8 Как и раньше, имеем две пары подобных треугольников. Поэтому BQ QO QC Ш=BQ-KF = QC-FM.. Найдем длины отрезков, которые входят в последнее соотношение (рис. 6.8-6). После несложных вычислений получим, что t0 = 2,6 ч, а время встречи приятелей: (10,5 + 2,6) ч = 13,01 ч = 13 ч 6 мин. Ответ: в 13 ч 6 мин. Пример 5. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по прямолинейному шоссе в одном направлении с постоянными скоростями. В момент, когда КС — мотоциклист пешеход и велосипедист находи-АС 1 велосипеАист лись в одной точке, мотоциклист отставал от них на 6 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист опережал мотоциклиста, когда тот догнал пешехода? Решение Построим графики движения путешественников (рис. 6.9). В момент времени t- — велосипедист догнал пешехода, в момент t2 - Рис. 6.9 Равномерное движение навстречу t = 0 - время начала движения № 1; t^ - время начала движения № 2; t2 - время встречи; t3 - № 2 закончил движение А В; t4 - № 1 закончил движение В —> А. Решение задач проводим путем вычислений по эскизам графиков, но на основании точных геометрических соотношений. Равномерное движение в одном направлении ti - время, когда № 2 догнал № 1 21Т велосипедиста. Тогда на рисунке 6.9: АК = 6 км, СМ = 3 км, DB = х искомое расстояние. Из подобия треугольников А0Ки МВСполучаем: КВ АК6 ---2. ВС~СМ~3~ Из подобия треугольников АКСи DBCполучаем: КВ + ВС АК _ 6 КВ 6 _ ^ ВС ,,, КВ6 Тогда-------2------1, отсюда: х =2. ВС х Ответ. 2 км. Пример 6. — И' ' DB~ х ВС ~ х Из пункта О со скоростью 10 км/ч выехал всадник. Одновременно с ним из пункта Q выехал велосипедист со скоростью 20 км/ч. В момент начала движения всадника муха, которая сидела на нем, вылетела навстречу велосипедисту, долетела ' ' до него, мгновенно развернулась и полетела назад к всаднику; прилетев к нему, мгновенно развернулась и полетела к велосипедисту и т. д. - до момента встречи всадника с велосипедистом. Сколько километров пролетела муха, если ее скорость равна 60 км/ч, а расстояние между пунктами О и Q составляет 90 км? Сколько километров пролетит муха в направлении от О к Qи сколько в обратном направлении? Решение На первый вопрос задачи найти ответ легко, если определить время движения мухи - время от начала движения до момента встречи всадника и велосипедиста. 90 ■ = 3(ч); sn= 60 • 3 = 180 (км). 10 + 20 0 Найти ответ на второй вопрос поможет графическое изображение движения всадника, велосипедиста и мухи (рис. 6.10). Точка Р - точка встречи всадника и велосипедиста. Движение мухи изображено цветной ломаной. отрезок О А - движение мухи от всадника до велосипедиста, отрезок АВ - возвращение мухи к всаднику и т. д. Сумма вертикальных проекций этой ломаной равна общему пути, который пролетела муха. Через точки А, В, С ..., сооответствующие поворотам мухи, проведем прямые, параллельные оси ординат. Отрезки ОА и АВ, АВ и ВС, ... пересекают эти вертикали под одним и тем же углом, который обозначим через я. Продолжим отрезок ОА до пересечения с последней вертикалью, проведенной через точку Р Имеем. ААо\\ВВ11 СС1 11 DDy ..., ZOAAg = ZAgAB = ZABBX = ZBXBC= ... = a. Тогда AB = ABV CBBjCj - параллелограмм и ВС = B£^, DCC^Dj - равнобокая трапеция и CD = С^; ... . Т. е. длина ломаной OABCD...P равна длине отрезка OP,^ Длина проекции этого отрезка на ось Os равна 180. Это и есть расстояние, которое пролетела муха. 218 мотоциклист догнал пешехода, а в момент Гз - мотоциклист догнал Если продолжить отрезки CD, ЕК ••• до пересечения с прямой ОА то получим: О А + ВС + DE + ••• • •• = ОР2 (!• к^ все эти отрезки параллельны ОА). Проекция этого отрезка на вертикаль равна сумме расстояний, которые муха пролетела в направлении от О^ Учтем, что BA'jl DC,^ || РР2и ZC2CC^ = а^ ZP2PPiг^=а я = = ZP2PjP, треугольник PP^Pi “ равнобедренный и P^Pj - Р^Р. Отсюда проекция отрезка ОP2 на вертикаль равна LM=LP + PP1:2 = LP+ + (LP, - Lp: 2 = LP: 2 + LP^ : 2^ Учитывая, что LP - это расстояние, которое проехал всадник за 3 ч, a LP^ = 180 км, то LM =3 - 1 0:2 + 90 = 105^ Тогда расстояние, которое пролетела муха в направлении от О к Q, равно разности 180 - 105 = 75 км^ Ответ. 75 км - в направлении от О к Q и 105 км - в направлении от Q к О^ Особенно целесообразно опираться на геометрическую интерпретацию, когда равномерно движутся несколько объектов, когда участники движения изменяют нагр>авление своего движения на грютивоположное, грюисходит несколько встреч (им отвечают точки пересечения графиков движения). Пример 7^ Предприятие выпускает изделия двух типов^ Обработка каждого изделия первого типа длится 5 ч в цехе А и 3 ч в цехе В. Обработка каждого изделия второго типа длится 2 ч в цехе А и 4 ч в цехе В. Цех А может работать не более 150 ч в месяц, а цех В - не более 132 ч в месяц^ От каждого изделия первого и второго типов предприятие получает прибыль в 300 грн^ и 200 грн^ соответственно^ Определите, сколько изделий каждого типа нужно изготовлять ежемесячно, чтобы обеспечить предприятию наибольшую прибыль^ Найдите эту прибыль^ Решение Обозначим через х и у количество изделий первого и второго типа соответственно, изготовляемых за месяц, а через F - прибыль предприятия^ Тогда F(x; у) = ЗООх + 200у При этом Ъх + 2у< 150 i/ <75-2,5Л: Зх + 4у< 132 ^ у < 33 - 0,75х х >0у> о х > 0,у >0^ Построим соответствующее ГМТ на координатной плоскости (рис^ 6•11)• Рис^ 6^10 219 Искомое Fmax > ЗООх + 200у отсюда у< где (лг; у) - точки построенного ГМТ. F 3 200 2 Уравнение У~' опРеДеляет систему парал- х, когда она проходит через точку 0(24; 15) - лел^ьных прямых с угловым коэффициентом к. Значение к=—Fmax будет определять положение прямой F3 2 у-------- 200 2 точку сечения прямых Ъх + 2у - 150 и Зд: + 4у = 132. Итак, F^,^ = 300 • 24 + 200 • 15 = 10 200. Ответ: 24 и 15; 10 200 грн. Пример 8. На школьной олимпиаде было предложено для решения 10 задач. За каждую правильно решенную задачу начислялось 5 баллов, а за каждую нерешенную - снималось 3 балла. Сколько задач ученик решил правильно, если в итоге он получил: а) 34 балла; б) 10 баллов? Решение Будем рассматривать итоговое число баллов как функцию у аргумента х - числа решенных задач. Причем, если балл^: снимаются, будем считать это начислением отрицательных баллов. Понятно, что аргумент может приобретать лишь цел^1е значения от 0 до 10 - всего 11 значений. Тогда и функция у тоже может иметь лишь 11 целых значений. Т. е. графиком данной функции будет не линия, а одиннадцать отдельных точек. Если задача зачтена, число баллов увеличивается на 8 (не снято 3 балла и прибавили 5 баллов). Понятно, равным разностям между значениями аргумента равные разности между соответствующими функции. А это является признаком 30 44 : Рис. 6.11 -10 что отвечают значениями линейной зависимости. Построим соответствующую прямую по двум точкам: • за решение всех 10 задач начисляется 5 • 10 = = 50 баллов - отмечаем точку А(10; 50); • тот, кто не решил ни одной задачи, получает (-3)110 = -30 баллов - получаем точку Б(0; -30). Тепер надо провести прямую АВ (рис. 6.12) и обозначить на ней точки для значения аргумента от 0 до 10. Соответствующие значения функции дают искомый ответ. Ответ: а) 8 задач; б) 5 задач. Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Лурье Б. И, Александров Б. И. Задачи на составление уравнений. - М.: Наука, 1990. 2. Островский А. И, КорАемский Б. А. Геометрия помогает арифметике. — М.: АО «Столетие», 1994. 220 2 ПриложениеЗ Гармонические четверки точек Гармонические четверки точек были известны еще Пяппу Александрийскому. В «Геометрии-8» мы уже доказывали одну из теорем Паппа. Продолжим знакомство с этим знаменит^:м математиком прошлого. Папп был одним из последних выдающихся представителей Александрийской школ^1 геометров. Труды Паппа дошли до нас лишь частично. Но из сохраненного можно узнать много интересного об утраченных произведениях его предшественников, например Евклида, Аполлония, Зенодора. Рассмотрим следом за Паппом в некоторой плоскости четыре точки 0,1,2, 3 (никакие три из которых не лежат на одной прямой) и прямую g которая не содержит ни одной из этих точек (рис. 6.13). Обозначим точки пересечения прямой g с прямыми (01) и (23) через .А и точки пересечения g с прямыми (02) и (31) как В и Bv точки пересечения g с прямыми (03) и (12) - через С и Cv При этом, как доказал Папп, расстояния между этими шестью точками прямой связаны соотношением: АА) ^CAj _ ДА._CjA АВ' СВ ~A)B) ’ ' Cj-Bj Выражение, которое стоит в левой части равенства, называется двойным, или сложным, отношением четырех точек А С В, взятых в этой последовательности: ЩАСА1В) = ^:^. АВ СВ При этом считается, если изменяется направление отрезка на прямой, то знак длины этого отрезка изменяется на противоположный. Т. е. АА, = -АХА. Приведенное выше равенство Паппа означает совпадение двойных отношений WCACAxBJ = \¥{А£аЛВ). Из всех четверок точек прямой гармоническая четверка характеризуется тем, что для нее двойное отношение АС ВС всегда равно или -1, или 2, или —. W(ABCD) . 1 2 AD BD О гармонических четверках точек можно было бы рассказать удивительные вещи. Мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых фактов. ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Напомним (см. Приложение 1), что, согласно Аполлонию, окружность -геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек является величиной постоянной (X). Любая окружность является окружностью Аполлония. Решение задачи Аполлония о построении окружности содержалось в его труде «О касаниях» , который был утерян. Со временем эта задача исследовалась многими .■221 \ учеными. К ней обращались такие выдающиеся математики, как JI. Эйлер и И. Ламберт. Пусть А и В - заданные определением окружности, по Аполлонию, точки, а С и Д - точки пересечения прямой АВ с этой окружностью (рис. 6.14-а). Поскольку для окружности выполняются равенства ACAD , АС АР : А, И - СВ BD -- Л, ТО - СВ во' Тогда, учитывая, что BD —РВ, получим: , АС ВС АС AD W(ABCD ) =----:---= :------- 1, АР ВР СВ РВ а это означает, что четверка точек А, В, С D - гармоническая. Сформулируем вывод. Если окружность Аполлония задана относительно точек А и В, и прямая АВ пересекает эту окружность в точках С и D (при этом: точка А — вне окружности, точка С — между А и В), то четверка точек А, В, С D является гармонической, W(ABCD) = — 1. к окружности и точку Проведем теперь из точки А касательную АР касания Р соединим с точкой В (рис. 6.14-6). Из определения Аполлония следует, что АРАС ВР~ СВ’ а это означает, что PC - биссектриса угла АРВ. Угол АРС измеряется половиной дуги СР, как угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, а угол СРВ - половиной дуги CQ. Тогда дуги СР и CQ равны и прямая РВ (как содержащая диаметр) перпендикулярна АВ. Сформулируем вывод. Если окружность Аполлония задана относительно точек А, В (А - вне окружности) и из точки А проведена касательная АР к этой окружности, то прямые РВ и АВ пересекаются под прямым углом. 6.15), ОС - биссектриса По свойству биссектрис БИССЕКТРИСЫ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Пусть АОВ - произвольный треугольник (рис. его угла, OD - биссектриса его внешнего угла. внутреннего и внешнего углов треугольника: АСАОАРАО _ СВ~ВОИ ВР~ВО' Отсюда: АС АР СВ~ BD' Для любознательных То, что знаешь в детстве, - знаешь на всю жизнь, но и чего не знаешь в детстве - не знаешь на всю жизнь. М. И. Цветаева 222 -1^ Используя равенство BD = -DB, получаем: Щ ABCD) = _= AD BD CB DB Имеем, что W(ABCD) = -1, т. е. Л В C D - гармоническая четверка точек. Следовательно, точки Си!) будут точками окружности Аполлония, определенной относительно точек А и Б. Как известно, биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, тогда отрезок CD - диаметр этой окружности. Сформулируем вывод. 1. Если в треугольнике ЛВО проведены биссектрисы ОС и OD его внутреннего и внешнего углов при вершине О соответственно, то четверка точек Л, В С D является гармонической, W(ABCD) = — 1. 2. Отрезок, соединяющий основания биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника при общей его вершине, является диаметром окружности Аполлония, определенной относительно двух других его вершин. ФОРМУЛА ТОНКОЙ СОБИРАЮЩЕЙ ЛИНЗЫ Вспомним известную в физике формулу тонкой линзы I 1-1 d-f~F’ где d-расстояние от центра линзы О до предмета, f-расстояние от точки О до изображения, F - фокусное расстояние, т. е. расстояние от фокуса линзы до ее центра (рис. 6.16). Пусть К - точка, удаленная от центра линзы на двойное фокусное расстояние. Перепишем представленную выше формулу в виде умножим последнее равенство на так: 2Ff-fd = -2Fd+ fd. Отсюда получим: f Ff + Fd = fd, 2 и сгруппируем d Замечаем, что 2F-f2F-d OAIOA* AK A*K -1. 1, Рис. 6.16 где А*- точка, симметричная точке А относительно центра О. Т. е. четверка точек О, К, Л', Л'^является гармонической. Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Курант Р, Роббинс /.Что такое математика. - М.: Просвещение, 1967. 2. Математична хрестоматiя / За ред. М. I. Кованцова. - К.: Рад. шк., 1970. Для любознательных Математика не только подготовит ученика к изучению естественных наук, научит его мыслить правильно и последовательно; она еще, кроме того, воспитает из него бесстрашного работника, для которого работа и скука станут несовместимыми понятиями. Д И. Писарев 223 Приложение 4 Снова о золотом сечении ------* *- С Рис. 6.17 Принцип золотого сечения использовался и используется в архитектуре, живописи, графике и т. д., выполняется он и в природе, - например, пропорции фигуры человека подчинены этому принципу. Все это вы уже знаете с 7-го класса. Но теперь, когда в вашем распоряжении более широкий математический инструментарий, предлагаем вернуться к рассмотрению золотого сечения. Напомним, что золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части, при котором целое относится к большей части так, как большая часть к меньшей. Попробуем найти значение такого отношения. а Пусть имеем произвольный отрезок АВ и точку С на а х нем (рис. 6.17). Если точка Сделит этот отрезок в J соответствии с принципом золотого сечения, то выполняется соотношение: АВ: АС =АС: СВ. При таком размещении точки С на отрезке АВ говорят, что точка С делит отрезок АВ в крайнем и дзеднем отношении. Обозначим искомое отношение через х, а длину АС - через а. Тогда АВ а а ^а --------х и СВ—, АВ= ах = а+— а СВ х х Получили уравнение относительно х: х = 1+ —, х2 - х- 1 = 0. X Это уравнение имеет два корня 1±S Х1 Геометрическому смыслу соответствует только положительный корень. Таким образом, мы доказали утверждение: точка заданного отрезка делит его по принципу золотого сечения (в крайнем и среднем отношении) тогда и только тогда, когда отношение большей его части к меньшей равно 1+Уб~ 2 Именно это число называют золотым сечением и обозначают буквой (р. Это число иррациональное и приближенно равно ср « 1,61803398. Буква ф, которой обозначают золотое сечение, - первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия (430 г. до н. э.), который в своих скульптурах часто применял золотое сечение. Напомним, что прямоугольник называют золотым,если отношение длин его сторон равно числу ср - золотому сечению. Докажем уже известное Для любознательных Искренний геометр наделен воображением и ощущением формы, красоты геометрического факта. Этим он подобен скульптору. А. Д Александров . 224 вам имперически (т. е. сугубо практически) свойство золотого прямоугольника. Теорема. Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, то прямоугольник, который остался, также будет золотым. Доказательство Пусть ABCD - золотой прямоугольник, ABEF-квадрат (рис. 6.18). Обозначим сторону квадрата как я. Тогда АВ = BE = я, ВС= фа, ЕС = ера - а = а(ф - 1). Найдем отношение сторон прямоугольника ECDF: EFa_l___ ________ ЕС а(ф-1) ф-Г ■ <3 77с1гК____<3“' я F Рис. 6.18 Вспомним, что ф является корнем уравнения х = 1+ —I, поэтому „ , 1 EF ф = 1+— и -= Ф ЕС X == ф. Ф Теорема доказана. Ш Рассмотрим еще одно интересное свойство золотого сечения. Теорема. Отношение радиуса окружности R к I стороне а10 правильного десятиугольника, вписанного в эту окружность, — золотое сечение. Доказательство Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R равна а10 = 2R sin 18° (стр. 88), тогда R1________________111_______________________1 Oj0 2 sin 18° ""2 S-i Тб-i Тб+i ^ Ф-1 2 2 Теорема доказана. Рявнобелренный треугольник нязывяют золотым, если отношение боковой стороны к основянию этою треугольникярявно золотому сечению. Когда в 8-м классе мы выводили формулу для значения синуса 18°, то рассматривали равнобедренный треугольник с углом 36° при вершине. Именно такие треугольники образовываются, если соединить все вершины правильного десятиугольника с его центром. Эти треугольники - золотухе. А СВ АВАС АС~ СВ золотое сечение или С делит АВ в крайнем и среднем отношении тогля и только тогля, когда: я ■= +■ =б Ъ~=Х=2~ 1 золотой □__________U — = ф - золотое ^ сечние ф- корень уравнения х=1+ -X ф=1 + Тб ,62 1 2 Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, останется золотой прямоугольник. Для правильного 10-угольника: Д.0 . ®10 ■ф 225 я 1 1 + 4 Теорема. Равнобедренный треугольник с углом 36° при вершине является золотым. Доказательство Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС) с углом при вершине 36° (рис. 6.19), боковую сторону этого В треугольника примем за 1. Тог/1агргэ основание х--------'Д5—1: ] отношение боковой стороны к основанию равно: >/5-1 - ф. ш Теорема доказана. Докажите самостоятельно такое свойство золотого треугольника. Теорема. Биссектриса угла при основании делит его на два треугольника, из которых основанию заданного треугольника, является золотым золотого тот, что треугольника прилегает к Золотые треугольники появляются и при изучении свойств правильных пятиугольников. ШТ е о р е м а. Отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны равно золотому сечению. Доказательство Опишем вокруг правильного пятиугольника ABCDE окружность (рис. 6.20). В равнобедренном треугольнике АСБугол при вершине С равен половине меры дуги АБ (как вписанный, опирающийся на эту дугу). Тогда 2ACE ==- (J6^! 2 5 -36° золотой и- АС_ еще и такие свойства пра- Т. е. треугольник АСЕ Теорема доказана. Докажите самостоятельно вильного пятиугольника. Ш Теорема. Если ABCDE — правильный пятиугольник, a F и G - точки пересечения его диагонали АС соответственно с диагоналями BE и BD, то точка F делит кажд^:й из отрезков С А и AG в крайнем и среднем отношении (рис. 6.2i). Совет. Проведите прямую OD, которая является осью симметрии данного пятиугольника и проходит через точку F Замечание. Ломаная, которую образовывают диагонали правильного пятиугольника, имеет форму звезды (рис. 6.21). Согласно последней теореме эту звезду отличает такое замечательное свойство: произвольный ее отрезок находит ся в отношении ф золотого сечения к наименьшему соседнему отрезку. Например, для пятиугольника, изображенного на рисунке 6.22, выполняется: AF_AG_CF _ FG~ gC AF ~ф. Рис. 6.20 С Рис. 6.21 226 Рис 6 22 Т. е. мы доказали соотношение, которое нас поражало в 7-м классе и благодаря которому звезде, или пентаграмме, встарину приписывали таинственный философский смысл, а в Древней Греции пентаграмма стала символом школ^1 знаменитого ученого Пифагора. самостоятельно (с помощью только цир- символ школи Пифагора - пяти- Постройте куля и линейки) конечную звезду. Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Апостоловя Г В. Геометрiя-7. - К.: Генеза, 2004. 2. Апостоловя Г В. Геометрия-8. - К.: Генеза, 2008. * 3. Никулин А. В, КукушА. Г, Тятяренко Ю. С Геометрия на I Для правильного 5-угольника: d — = Ф «5 (d - диагональ) С плоскости: Планиметрия. - Минск: ООО «Попурри^), 1996. 4. Хрестоматия по истории математики / Под ред. А. П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976-1977. AC AF AG__ АЕ ~ FG ~ GC ' Приложение 5 Геометрические преобразования приходят на помощь В учебнике для 7-го класса приложения 9 и 10 были посвящены симметрии относительно прямой и ее использованию для решения задач. Теперь мы могли бы назвать их «использованием преобразования симметрии относительно прямой^). Рассмотрим примеры, когда и другие геометрические преобразования помогают решать задачи. Пример 1. В треугольнике АВС проведены медианы АК и СЕ, /ВАК = 2BCE = 30° (рис. 6.23). Докажите, что треугольник АВС - правильный. Доказательство 1) /ВАК = /ВСЕ, тогда через точки С А Е К можно | провести окружность ух с центром Ох и радиуса R. , 2) /КО^Е = 2/ЕАК = 60°, тогда ДО^ЕК - правильный. 3) Точки А и В симметричны относительно точки Е, i тогда через точки В и Е проходит окружность у2, симметричная ух относительно точки Е, и 0,£ = Е02 = R 4) Аналогично через точки К я В проходит окруж- Q ность у3, симметричная у, относи- Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов. И. Д Новиков Ш тельно точки К и ОхК = К0з= R. 5) AOjOgOg - правильный, В общая точка окружностей у2 и у3. : Кроме того, АКЕВ - правильный (ZOj = 60°, Ojfiz = Ojfis = 2R). Тогда ЕВ = R = КВ, /ЕВК = 60°. Отсюда: ААВС — правильный (/В = 60°, Рис. 6.23 AE = EB = R = BK = KQ.4. т. д. | 227 Рис. 6.24 Пример 2. Прямая делит квадрат на две части, которые имеют равные площади. Докажите, что эта прямая проходит через центр квадрата. Доказательство Произвольная прямая, которая проходит через центр квадрата О, делит его на две части, симметричные относительно точки О. Тогда эти части имеют равные площади. Пусть существует некоторая прямая lv которая не проходит через центр квадрата, но делит его на две равновеликие части. Проведем через точку Опрямую 11| ^''(рис. 6.24). Прямая 1делит квадрат на две равновеликие части. Тогда /делит квадрат на фигуры, площади которых равны сумме и разности площадей половины квадрата и закрашенной его части соответственно. Т. е. площади этих фигур не равны, что противоречит допущенному. Утверждение доказано. Пример 3. Две прямые I и т делят квадрат на четыре равновеликие фигуры. Докажите, что эти прямые проходят через центр квадрата перпендикулярно друг другу. Доказательство По предыдущей задаче обе прямые 1и тпроходят через центр квадрата. Пусть эти прямые не перпендикулярны друг другу. Проведем через точку О прямую п ± I (рис. 6.25). Т. к. прямые п и I совпадают при повороте на 90° относительно точки О, то они делят квадрат на четыре равные фигуры (докажите это самостоятельно). Тогда прямая т будет делить фигуру, площадь которой равна половине площади квадрата, на две части. Площади этих частей равны сумме и разности четверти площади квадрата и закрашенной части. (На рисунке S1 - одна из таких частей.) Наше предположение ошибочно и т±1. Утверждение доказано. Пример 4. Две прямые I и т. делят квадрат на четыре равновеликие фигуры. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата - вершины другого квадрата. Доказательство Из пред^1дущей задачи имеем, что заданные прямые проходят через центр квадрата О перпендикулярно друг другу. Пусть они пересекают стороны заданного квадрата HEFG в точках А, В, С и D, как показано на рисунке 6.26. Докажем, что ABCD - квадрат. Рассмотрим поворот квадрата вокруг точки О на 90° против часовой стрелки. Сторона EF перейдет в НЕ, а прямая I - в прямую т перпендикулярную к ней. Т. е. точка А переходит в В поворотом относительно О тогда OA — ОВ. Аналогично: ОА = ОВ = ОС — = OD. Тогда ABCD - параллелограмм, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, т. е. это квадрат. Утверждение доказано. 228 Рис- 6.26 Задания для самостоятельного разрезания (залячи Мартина Гарднера) 1. Разрежьте квадрат на четыре части одинаковых форм и размеров так, чтобы из них можно было сложить новый квадрат большего размера, всередине которого было бы квадратное отверстие. (Найти решение этой задачи помогут рассмотренные нами примеры 2-4 и рисунок 6.27.) 2. Можно ли разрезать квадрат на две части, чтобы из них можно было снова сложить иной квадрат? Сколько способов разрезания вы можете предложить? (Разрез не обязательно осуществлять вдоль прямой линии.) Пример 5. Докажите, что в произвольном треугольнике высота не превышает среднее геометрическое полупериметра треугольника и разности его длины с длиной стороны, к которой проведена эта высота. Доказательство Пусть имеем треугольник ABC. Обозначим его стороны как а, Ъ и с (соответственно обозначению вершин), а высоту к стороне а как h. Надо доказать, что ha СВ^ = ^СВЧВВ*. j 2) Учитывая, что ВВ^ = ССХ = 2ha получим: cC-b>yja2 + (p-h)2, т. е. (с + ь) -а‘' > 4h?и hi < -j— (с + Ъ + о)(с + Ь —а^(р~а), где р -полупериметр треугольника. Ч. т. д. Пример 6. Точка М лежит на диаметре АВ окружности. Хорда CD этой окружности проходит через точку М под углом 45° к АВ. Докажите, что значение СМ2 + DM? не зависит от положения точки Мна диаметре АВ. Доказательство Пусть точки Сх и D-i - симметричны точкам С и D относительно диаметра АВ (рис. 6.29). 1) По условию ZDMB = 45°. Тогда ZDMD^ =2 • 45° = = 90°. Аналогично ZCMCj = 90°, и точки С.^ М, Dj лежат на одной прямой, причем CD _L C^Dy 2) Треугольник CMCj - прямоугольный и равнобедренный. Тогда ZCjCM = 45°, СМ = МСУ 3) СМ? + DM^ = СМ? + DM^ = CXD2. 4) Вписанный Z.C^CD - 45°, тогда Z.CxOD - 90° и CD2 = Cf? + 0D?= 2R2. Т. е. СМ^ + DM? — 2R? и не зависит от расположения точки М на диаметре АВ. Ч. т. д. Пример 7. Равные окружности у, и у2 касаются окружности у внутренним образом в точках А, и А? соответственно. Произвольную точку С окружности у соединили с точками А, и А? Отрезки СА, и С4? пересекают окружности у, и у2 в точках В, и В? соответственно. Докажите, что АхА2 || B,B2 (рис. 6.30). Доказательство Диаметр I окружности у, перпендикулярен линии центров окружностей у, и у2, - ось симметрии ЭТИХ окружностей (рис. 6.30). Построим точку Cj, симметричную С относительно I 1) Имеем пары точек, симметричных относительно I. А, иА2, с и Cj, В2 и 'В? Тогда AjA2 II ВВ^2 II СС^. 2) Окружность у, переходит в окружность у преобразованием гомотетии относительно точки Aj. Причем В, —*■ С, а В2' —*• cj, т. е. В^В? ]| СС,. 3) В^^В2 |21, 1СС, и В2'В, || СС,, тогда точки В? В? и В, прямой и В,В2 ll А,А„ Ч. т. д. принадлежат одной Пример 8. Постройте правильный треугольник, вершины которого лежат на трех заданных параллельных прямых. Даны три прямые а II b Ц с. Надо построить правильный треугольник АВСтак, чтобы А е а, Ве b, С е с (рис. 6.31). Анализ Пусть имеем искомый треугольник. Тогда точка В перейдет в точку С поворотом относительно точки А на 60°. План построения 1) Обозначим на прямой а произвольным образом точку А. 2) Для прямой Ъ строим поворотом относительно точки А на 60° образ bv 3) Точку пересечения прямых Ъх и с обозначаем как С и делаем засечку с центром в точке А радиусом, равным АС, до пересечения с прямой Ь. Получим точку В. Треугольник АВС - искомый. Доказательство проведите самостоятельно. Пример 9. Постройте четырехугольник ABCD, у которого диагональ АС являлась бы биссектрисой внутреннего угла, если задано все его стороны. Дано четыре отрезка. а, Ь, с, t Надо построить четырехугольник ABCD такой, чтобы АВ — а, ВС— Ъ CD — c,AD = t AC — /^(рис. 6.32). Анализ Пусть t > а. Проведем в четырехугольнике ABCD из точки В перпендикуляр к диагонали АС и продолжим его до пересечения со стороной ADв точке В, (рис. 6.32). Как известно, биссектриса угла является осью симметрии этого угла. Тогда. d(B;AC) — — d(B^;AC) и СВ = СВ„ АВ = АВ, \ BXD=AD-АВ,— ^ -AD ~АВ = t —a; AB,CD - базовый. 230 План построения 1) Строим отрезок t - а 2) Строим треугольник CDB1 по трем сторонам (BJO = Ь, CD = с, BXD = t- а). 3) Продолжим отрезок Б,£> на ВХА = a\iсоединим точки А и Oотрезком. 4) Строим точку В, симметричную Вх относительно АС. Четырехугольник ABCD - искомый. Доказательство проведите самостоятельно. Задачи для самостоятельного решения 1. Точка Млежит на биссектрисе внешнего угла треугольника ABC при вершине O (М не совпадает с С). Докажите, что МА + MB > СА + OB. (Совет. Постройте точки Bj и Av симметричные точкам А и В относительно прямой СМ.) 2. Даны прямая и точки А В по одну сторону от нее. Найдите на заданной прямой такую точку X чтобы угол, образованный с ней лучом ХВ, был вдвое меньше угла, образованного лучом ХА. (Совет. Постройте точку Bv симметричную точке В относительно заданной прямой.) 3. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отметили точки М и К соответственно. Причем ZBAM = ZMAK. Докажите, что ВМ + KD=AK (Совет. Воспользуйтесь преобразованием поворот на 90° относительно точки Л.) 4. В параллелограмм вписан квадрат. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из вершин параллелограмма к сторонам квадрата, ограничивают квадрат. (Совет. Воспользуйтесь преобразованием поворот относительно центра квадрата на 90°.) 5. Даны острый угол и точка внутри него. Постройте треугольник, две вершины которого лежат на сторонах угла, а третья совпадает с заданой точкой, чтобы периметр этого треугольника был наименьшим. (Совет. При проведении анализа осуществите преобразование симметрии заданной точки относительно сторон угла.) 6. Через точку пересечения двух заданных окружностей проведите секущую так, чтобы длины хорд, отсекаемые на этой секущей окружностями, относились как: а) 2 : 1; б) т : п. (Совет. Воспользуйтесь преобразованием гомотетии и примером 2 на стр. 127.) 7. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на трех заданных концентрических окружностях. (Совет. Поможет пример 8 на стр. 230.) Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Апостолова Г В. Геометрiя-7. - К.: Генеза, 2004. 2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. - М.: Наука, 1991. - Ч. 1. 3. Полонский В. Б., Рабинович Э. М., Якир М С Учимся решать задачи по геометрии. - К.: Магистр-S, 1996. 4. Бурда М I Розв’язування задач на побудову. - К.: Рад. шк., 1986. Для любознательных Симметрией с древних времен интересовались геометры, художники и архитекторы: геометры, потому что они вообще интересуются любыми свойствами форм, а художники и архитекторы - ради красоты. Однако в XX в. симметрией заинтересовались и физики - они догадались, что симметрия многих предметов вокруг нас обусловлена симметрией законов природы! Тогда физики начали искать новые виды симметрии и нашли их много. Например, у каждой элементарной частицы есть двойник - античастица. Известные слова Галилея о том, что природа говорит с нами языком математики, подтвердились снова. 231 Рис. 6.33 Приложение 6 Элементы проективной геометрии, или что можно сделать с помощью линейки и неподвижной окружности ...Знание законов перспективы является вместе с тем и знанием проективной геометрии, по крайней мере ее элементарных понятий. Может, именно поэтому прекрасными полотнами мастеров эпохи Возрождения мы восторгаемся до сих пор. М. И. Кованцов Вспомните, как вы увеличивали рисунок. Аналогично можно выполнить и уменьшение рисунка. А если оригинал слишком большой или трехмерный? В таких случаях существует довольно простой способ копирования. Возьмите прозрачную пластину и, смотря сквозь нее на предмет, обведите линии оригинала (рис. 6.33). Геометрически получается, что каждая точка предмета изображается точкой пересечения плоскости картины с лучом зрения, который идет от вашего глаза к изображаемой точке. Такое копирование называется центральным проектированием. Ваш глаз является центром проекции, рисунок - проекцией, а пластинка, на которую вы проектируете, - плоскостью проекции. На рисунке 6.34 изображено проектирование квадрата и круга, чертежи которых сделаны в плоскости а, на другую плоскость а'. Рисунок, который образуется на а', похож на оригинал, но есть и отличия. Прямая линия изображается прямой линией, точка - точкой, круг (окружность) превращается в овал (эллипс), длины отрезков изменяются. Таким образом, одни свойства фигуры сохраняются, а другие нет. Проектируя, мы не воспроизволим оригинал а преобразовываем его. Свойства, которые устанавливаются измерением, называют метричес- кими, свойства, которые не изменяются при проектировании , называют занимается проективная Рис. 6.34 Вот ими и свойства центрального проективными, геометрия. Перечислим простейшие проектирования фигур (рис. 6.35): • точка преобразуется в точку; • прямая преобразуется в прямую; • точка, которая принадлежит некоторому отрезку, преобразуется в точку, которая лежит на изображении этого отрезка. Для любознательных Метол центральных проекций дает наглядное изображение, потому что такое построение образа воспроизводится процессом зрения. Глазу все равно - рассматривать оригинал или его центральную проекцию на плоскость. (Однако в сказанном мы кое-что упростили: оригинал человек рассматривает двумя глазами.) 232 V Рис. 6.36 Кстати, при проектировании параллельные прямые могут превращаться в непараллельные (рис. 6.36 и 6.37). Попробуйте самостоятельно найти ответ, почему на рисунке 6.34 параллельные прямые проектируются в параллельные прямые, а на рисунках 6.36 и 6.37 параллельные прямые превращаются в непараллельные. М^1 начали рассмотрение проективной геометрии с проектирования одной плоскости на другую. Дальше мы будем «работать» в плоскости, т. е. рассматривать центральное проектирование одного прямолинейного ряда точек (совокупности точек, которые лежат на одной прямой) на второй ряд. Понятно, что при таких условиях и оригинал, и центр проекции, лежат в одной плоскости (рис. на поле). Такое проектирование имеет важное свойство. Если из какого-то центра спроектировать один прямолинейный ряд на второй, то сложные отношения любой четверки точек не изменяются. Тогда гармонические четверки точек (стр. 221) всегда проектируются в гармонические четверки. Проектирование гармонической четверки точек имеет еще одно интересное и полезное свойство. Пусть на прямой имеем гармоническую четверку точек М R, N Q (рис. 6.38). Если из точки Р спроектировать эту прямую AQ, то получим также гармоническую четверку точек А В, L, Q Если продолжить отрезки RB и AR до пересечения с прямыми РА и РВ в точках F и Е соответственно, то точка пересечения диагоналей четырехугольника AFEB совпадет с точкой R. Попробуйте доказать это амо- С стоятельно. Рис. 6.37 и изображение четверку на А В- оригиналы А', В' - проекции А, В на а а - плоскость проекции О - центр проекции Свойства центрального проектирования: • точка —точку; • прямая —прямую; • А е [а] -» А'е [а']. Центральное ектирование плоскости про- Для любознательных Впервые правильным изображением перспективы серьезно заинтересовались художники эпохи Возрождения, особенно Альбрехт Дюрер (1471-1528) и Леонардо да Винчи (1452-1519). Потом к решению этой задачи приступили математики и создали красивую науку - проективную геометрию. Ее основы были заложены Жераром Дезаргом (1593-1661) и Блезом Паскалем (1623-1662). 233 что бесконечно любого отрезка Итак, если на прямой заданы какие-то три точки А, В я С, то для тою, чтобы построить точку D так, чтобы четверка точек А, В, С, D была гармонической, надо (рис. 6.39): 1) взять какую-то точку Р вне данной прямой и соединить ее с заданными точками А, В и С; 2) взять на отрезке PC произвольную точку Q и соединить ее с точкой А; 3) через точку R (точка пересечения РВ с AQ) и точку С провести прямую до пересечения с АРв точке S; 4) прямая SQ пересечет прямую АС в искомой точке D. Замечание. В случае, когда точка В является серединой отрезка АС, четырехугольник ASQC будет трапецией (докажите это самостоятельно). Поэтому говорят, отдаленная точка прямой гармонически делит середину прямой относительно концов этого отрезка и наоборот. А теперь решите такие задачи самостоятельно. 1. На прямой I заданы три точки Л, В и С, причем известно, что точка В - середина отрезка АС. Пользуясь только линейкой, проведите через точку 3, не принадлежащую I прямую, параллельную I 2. Даны две параллельные прямые I т и на одной из них отрезок АС. Пользуясь только линейкой, разделите этот отрезок пополам. 3. На плоскости даны параллелограмм, точка и прямая, не проходящая через эту точку. Пользуясь только линейкой, проведите через заданную точку прямую, параллельную данной прямой. 4. На плоскости дан параллелограмм и некоторый отрезок. Пользуясь только линейкой, разделите этот отрезок пополам. Швейцарский математик Якоб Штейнер доказал следующее. Если на плоскости дана окружность, причем указан ее центр, то все построения, которые выполняются с помощью циркуля и линейки, можно выполнить с помощью одной линейки. В самом деле, если задана окружность с центром О (рис. 6.40), то, проведя два произвольных диаметра, получим прямоугольник, а потому и параллелограмм. Тогда, если уметь решать четыре задачи, предложенные выше, то можно с помощью линейки: параллельные прямые; делить пополам любые отрезки; проводить взаимно перпендикулярные прямые (надо построить вписанный в данную окружность прямоугольник и провести параллельные его сторонам прямые). Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Бляшке Б. Математическое просвещение. - М.: Изд-во техн. литературы, 1958. 2. Вольберг О. А. Основные идеи проективной геометрии. - М.: Физматгиз, 1949. 3. ИгнацнусГ И. Проективная геометрия. - М.: Знание, 1966. 4. КованцовМ. I Геометричнi перетворення. — К.: Вища пiк., 1972. 5. Математична хрестоматiя: Геометрiя. - К.: Рад. шк., 1970. Рис. 6.40 проводить Для любознательных Художники пользуются только методом центральных проекций. Однако существует еще и метод параллельных проекций. Он отличается от метода центральных проекций только тем, что проектирующие прямые не проходят через фиксированную точку, а параллельны фиксированному направлению (см. рис.). 234 Приложение 7 Инверсия в дивертисменте* геометрических построений Геометрические построения можно выполнять, вообще говоря, чем угодно и как угодно. В математике существует отдельная область, которая называется геометрографией (геометрические построения, которые выполняются с помощью заранее определенных инструментов). Мы уже говорили о так называемых построениях Штейнера (стр. 234). Эти построения выполняются с помощью только линейки при условии, что на плоскости дана окружность с определенным центром. В этом случае с помощью только линейки можно выполнить любые построения, которые выполняются с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим другой пример: построения с помощью циркуля - построения Мора-Маскерони. Следует заметить, что любую задачу на построение, которая решается с помощью циркуля и линейки, можно решить с помощью одного только циркуля. Заметим, что при построении с помощью одного циркуля определяют только концы отрезков. Это утверждение было впервые опубликовано в книге датского математика Георга Мора «Датский Евклид^> (1672), а потом в работе итальянского инженера Георга Лоренцо Маскерони «Геометрия циркуля^) (1797). Для доказательства теоремы Мора-Маскерони достаточно убедиться, что с помощью одного только циркуля можно определить точку пересечения двух прямых (каждая из которых задана двумя точками); точку пересечения заданных прямой и окружности. С этой целью воспользуемся преобразованием инверсии. Все геометрические преобразования школьного курса планиметрии переводили прямые в прямые, а окружность в окружность. Инверсия - это преобразование другого типа, которое может сохранять класс прямых и окружностей, а может перевести прямую в окружность, а окружность в прямую. На этом и других замечательных свойствах инверсии основывается ее впечатляющая эффективность при решении геометрических задач. Одной из интереснейших задач на геометрическое построение является задача Аполлония: постройте окружность, которая касается трех заданных окружностей. В наше время существует много разных способов решения этой задачи. Один из них - решение с помощью преобразования инверсии. Рассмотрим его после того, как ознакомимся с преобразованием инверсии и его свойствами. Рассмотрим вначале две теоремы, которые полезно помнить при решении задач, в том числе и на построение. Пусть имеем окружность у с центром О и точку А, расположенную на расстоянии dот точки 0(рис. 6.41). Радиус окружности равен г. Вел.ичина ст = d^ - i2 называется степенью точки А относительно окружности у. Возможны такие случаи расположения точки и окружности. 1. Точкя. А лежит вне окружности (рис. 6.42). Тогда а > 0 и равняется квадрату касательной, проведенной из точки А к данной окружности. Рис. 6.41 Дивертисмент - концертная программа в эстрадных театрах. 235 А d а = d2 - г степень точки А относительно окружности^. КМ2 - MN2 = const ГМТ - степени которых относительно yt и у2 равны. 2. Точкя. А лежит на окружности, тогда d = г, о = о. 3. Точка, А лежит внутри окружности (рис. 6.43). Тогда а < 0 и |ст| равняется квадрату половины хорды, которая проведена через точку А перпендикулярно к ОА. Рис. 6.42 Ш Теорема 1. Геометрическое место точек, разность квадратов расстояний от которых до двух заданных точек А и В является величиной постоянной, — прямая, перпендикулярная к АВ. Доказать эту теорему нетрудно, если воспользоваться формулой Ар- Рис-химеда («Геометрия-8», стр. 217), или методом координат, или с помощью теоремы Пифагора (стр. 129). Предлагаем это сделать самостоятельно. 6.43 степе- некон- Ш Теорема 2. Геометрическое место точек, ни которых относительно двух данных центрических окружностей равны между собой, — прямая, перпендикулярная к линии центров этих окружностей. Пусть г, и г2 - радиусы даных окружностей, djwd2~ расстояния от точек, которые принадлежат искомому ГМТ, до центров этих окружностей. По условию dP - г2 = ^ = dl - г* и d2 -Jd22 = I2 ^ rl = const. Тогда по теореме 1 утверждение теоремы 2 выполняется. Рассмотренное геометрическое место точек называется ряликальной осью Авух данных окружностей. Возвратимся теперь к рассмотрению инверсии. Пусть дана окружность у радиуса г с центром в точке О. Инверсией относительно окружности у называется преобразование, которое переводит произво.льную точку АшО в точку А*, располо- женную на луче ОА на расстоянии центра окружности (рис. 6.44). Инверсию относительно такой окружности еще называют инверсией с центром О (степень инверсии i2), а окружность у - окружностью инверсии. Возможны три случая размещения точки и окружности (рис. 6.44). Докажем такие свойства преобразования инверсии. ОА^ ОА от 236 свойства инверсии принадлежащей окружности инверсии, является сама эта проходящей через центр инверсии, является сама эта прямых сохраняется, если их инверсии. В последнем случае 1. Образом точки, точка. 2. Образом прямой прямая. 3. Образом прямой I, не проходящей через центр инверсии О, будет окружность, которая проходит через точку О с центром в образе точки, симметричной точке О относительно I 4. Окружность с центром С, проходящая через центр инверсии О, переходит в прямую, перпендикулярную к ОС. 5. Окружность, которая не проходит через центр инверсии О, переходит в окружность, не проходящую через точку О. 6. При инверсии касание окружностей и точка касания не совпадает с центром образами будет пара параллельных прямых. Свойство 1. Докажите амостоятельно. Свойство 2. Доказательство Пусть I - заданная прямая, О - центр инверсии и О е I, А- произвольная точка данной прямой I Тогда I = (ОЛ). По определению инверсии точка А* лежит на прямой ОЛ, т. е. на I Утверждение 2 доказано. Свойство 3. Доказательство Пусть I - заданная прямая, О - центр инверсии и Oil. Проведем О А 1 I Образ А* принадлежит прямой ОЛ (рис. 6.45). 1) Докажем, что для произвольной точки Bel образ 5^лежит на окружности со, диаметр которой равен ОА* По определению инверсии ОВ ■ ОВ* = т2 -~ОА ■ ОА* и ОВ*:ОА* = ОА:ОВ. Точка пересечения луча ОВ с окружностью со удовлетворяет этому условию, т. к. АОАВ~ АОВ*А^ как прямоугольные треугольники с ,2 Рис. 6.45 общим углом О. ОВ* = г ОВ фиксированное число, и на луче ОВ сущест- вует только одна точка В*, которая удовлетворяет этому условию. 2) Докажем, что центр ^окружности со является образом точки, симметричной точке О относительно I Точка К симметричная точке О относительно I лежит на прямой ОА и удалена от нее на расстояние АК = ОА (рис. 6.46). Тогда точка К*как образ точки К по свойству 2 тоже лежит на прямой ОА и ОК* = ОА* ОА = ОА*:2, т. е. K* = W ОК2 ОА Утверждение 3 доказано. Свойство 4. Свойство 4 является следствием свойства 3. Докажите его самостоятельно. (Совет. Воспользуйтесь свойством 1.) Свойство 5. Докажите самостоятельно. (Совет. Воспользуйтесь методом от противного.) ОУ к* К ЛК=ОЛ Рис. 6.46 237 Инверсия относительно окружности у: А-^А* ОА^ ОА (А* О) свойства ИНВЕРСИИ: 1) если А е у, то А -> А* - А; 2) если Ое п то п—п*-= п; 3) если Оч1, то / —► со — окружное с центром W, симметричным О относительно 1\ 4) если О е со, со -окружность с центром С, то со -> п ± ОС; 5) если О ё со, со -окружность, то со--> со* - окруж- ность и О i со*; 6) касание окружностей и прямых сохраняется, если точка касания К* О. Если К= О то образом касательных окружностей, или окружности и прямой, будут параллельные прямые. Свойство 6. Доказательство 1) Если точка касания не совпадает с центром инверсии, то после инверсии окружность и прямая, как и раньше, будут иметь одну общую точку - касание сохраняется. 2) Если две окружности с центрами в точках А и В касаются друг друга в центре инверсии О, то после инверсии, согласно свойству 4, получим их образы -две прямые, перпендикулярные к линии центров АВ (т. к. О е АВ). Имеем две параллельные прямые. 3) Если прямая I касается окружности в точке О с центром А, то после инверсии прямая I переходит сама в себя, а окружность - в прямую, перпендикулярную к ОА. Опять имеем две параллельные прямые. Утверждение б доказано. Вернемся к теореме Мора-Маскерони. Ее доказательство проведем в виде решения задач. Напомним, что при решении можно по-льзоваться только циркулем. Задача 1. Даны три точки А, В, С Постройте точку С,, симметричную точке С относительно прямой АВ. План построения Проводим две дуги радиусами АС и ВС с центрами в точках А и Б соответственно (рис. 6.47). Их пересечение определяет гь ^ искомую точку Cv Доказательство Прямая АВ - линия центров двух окружностей, пересекающихся в точках С и Сг Тогда точки С и Cj симметричны относительно АВ. Ч. т.д. Задача 2. Даны окружность у, ее центр О и произвольная точка А. Постройте точку А*, в которую переходит точка А при инверсии относительно окружности у. План построения 1) Через О проводим окружность со с центром в А. со П у = (В; С} (рис. 6.48). 2) Через О проводим две окружности 5j и 62 с центрами В и С, радиусом, равным радиусу окружности у. 6, П 62 = (О; М}. Мискомая. Доказательство Равнобедренные ДОВМ и АОВА подобны (угол О — _ , ОВ ОА общий)^ ^— = ■yrZ, ОА ■ ОМ = ОВ2 = г2 и М = А*. Рис. 6.48 Ч. т. д. ОМ ОВ 238 Воспользуй-Найдите центр В и С окружности Задача 3. Даны окружность у, ее центр О и произвольные точки А и В. Постройте центр окружности, в которую переходит прямая АВ при инверсии относительно у. ' План построения 1) С симметричная О относительно (АВ) (задача 1). 2) М, в которую переходит С при инверсии относительно у (задача 2). Точка М- искомая. Докажите самостоятельно. (Совет. тесь п. 2 доказательства свойства 3.) Задача 4. Даны три точки А, В и С окружности, проходящей через эти точки. План построения 1) Произвольная окружность у с центром А. 2) Точки М и N в которые переходят точки инверсией относительно построенной (задача 2). 3) Центр окружности, в которую переходит (MN при инверсии относительно у (задача 3), - искомая точка. Докажите самостоятельно. (Совет. Докажите, что окружность, которая проходит через А, Б и С, перейдет при инверсии относительно у в прямую MN.) Задача 5. Найдите точку пересечения данной окружности у с данной прямой MN. План построения 1) Находим центр у (задача 4). Обозначим его как А. 2) Находим центр О окружности, в которую переходит (MN при инверсии относительно у (задача 4). 3) Проводим окружность со с центром О проходящую через точку А (т. е. окружность, в которую при инверсии переходит прямая MN). со П у = (Р; Q} - искомые. Докажите самостоятельно. (Совет. Обратите внимание на комментарий к п. 3 построения.) Задача 6. Даны четыре точки А, В, С и D. Найдите точку пересечения прямых АВи CD. План построения 1) Произвольная окружность у с центром А. 2) При инверсии относительно у (АВ) перейдет в себя, а (CD) - в некоторую окружность со, проходящую через А. ПОСТРОЕНИЕ Мора—^Маскерони 1. Даны: А; В; С. Построить: С,, симметричную С относительно (АВ). 2. Даны: окружность у с центром О; А. ^ Построить: А" инверсией А относительно окружности у. 3. Даны: окружность у с центром О; А; В. Построить: центр W окружности со, в которую перехо- дит (АВ) инверсией относительно окружности у. 1) С - симметричная О относительно (АВ); 2) М в которую переходит С инверсией относительно окружности у; М - искомая (далее см. поле на t стр. 240). Для любознательных Углом между двумя пересекающимися окружностями называется угол между касательными к этим окружностям, проведенными через общую точку окружностей. Аналогично определяется угол между прямой и окружностью. Докажите такое свойство инверсии. При инверсии сохраняются угл^1: между прямыми; между прямой и окружностью; между окружностями. 239 4. Даны: А; В; С I Построить: центр | окружности, нрохо-Аящей через А, В, С. I 1) Произвольная | окружность у с . центром А; * 2) MviN-инверсией | В и С относительно у (задача 2); 3) W (искомая) - I центр окружности, в которую инверсией переходит (MN) относительно у 5. Даны: у; М; N Построить: у Л (MN). 1) А- центр у (зад. 4);| 2) со - инверсией MNотносительно у; i 3) О - центр со (зада-1 ча 4); 4) {Р; Q} = у Л со -искомые. 6. Даны: А; В; С; D. Построить: (АВ) Л (CD). 1) Произвольная | окружность у с центром А; ^ 2) со - инверсией CD\ относительно у; . 3) W- центр со (за- * дача 3); I 4) {А; Р) =со Л (АВ);| 5) искомая Q - ин- версией Р относи- I тельно у I 3) Найдем центр окружности со (задача 3). 4) со Л (АВ) = {А; Р} (задача 5). 5) Q, в которую переходит Р при инверсии относительно у, - искомая точка пересечения прямых АВ и CD. Докажите самостоятельно. (Совет. Обратите внимание на пункт 2 построения). Очевидно, что из решения задач 5 и 6 (с помощью циркуля) и слелует теорема Мора-Мяскерони. Знания об инверсии могут пригодиться и при решении задач на традиционное построение (с использованием циркуля и линейки). Например, теперь мы можем легко решить залачи Аполлония Пергскою. Задача 7. Постройте окружность, которая проходит через две заданные точки А и В и касается данной окружности у. Анализ При инверсии с центром А искомая окружность перейдет в прямую, проходящую через В*, касательную к у*. План построения 1) Инверсия с центром А относительно произвольной окружности. 2) Касательную I к окружности у* через В*. 3) Инверсией 1перейдет в искомую окружность. Доказательство и исследование выполните самостоятельно. Приводим результат исследования, к которому вы должны прийти: . 1) если А и В принадлежат у, или лежат внутри у, или одна из точек содержится внутри у, - задача решения не имеет; 2) если у принадлежит только одна из заданных точек, - имеем одно решение; 3) если обе точки лежат вне у, - имеем два решения. Для любознательных Примените инверсию 1. В сегмент вписывают пары окружностей, касающиеся друг друга. Найдите множество точек их касания. 2. Докажите, что инверсия с центром в вершине А равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) и степенью АВ2 переводит основание ВС треугольника в дугу ВСокружности, описанной вокруг этого треугольника. 3. Найдите множество точек касания пар окружностей, которые касаются сторон заданного угла в данных точках Ап В. 4. Никакие три из четырех точек А, В, С D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между окружностями (см. стр. 239), описанными вокруг треугольников АВС и ABD, равен углу между окружностями, описанными вокруг треугольников АСОи BCD. 5. В сегмент вписывают произвольные пары окружностей, которые пересекаются. Через точки пересечения каждой пары окружностей проводят прямую. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку. 240 Предлагаем для самостоятельной, решения дзугие две задачи Аполлония. Постройте окружность, которая: 1) проходит через заданную точку и касается двух заданных окружностей; 2) касается двух заданных окружностей и заданной прямой. Теперь вернемся к задаче Аполлония (стр. 235). Аполоний сформулировал ее так. ЗАДАЧА АПОЛЛОНИЯ ПЕРГСКОГО (ок. 262-190 гг. до н. э.) Даны три фигуры, каждая из которых может быть точкой, прямой или окружностью. Постройте окружность, проходящую через каждую из данных точек и касающуюся каждой данной прямой или окружности. Случаев расположения трех окружностей на плоскости может быть много, на рисунке 6.49 далеко не все из них, - например, не рассмотрен случай пересечения окружностей. Неужели для решения задачи Аполлония нужно рассматривать кажд^1й из таких случаев отдельно? Совсем не обязательно, если знать инверсию! Рассмотрим сначала все случаи, когда хотя бы две из заданных окружностей касаются друг друга (неважно, внешне или внутренне). Применим инверсию относительно вспомогательной окружности произвольного радиуса с центром в точке касания заданных окружностей. Тогда по шестому свойству инверсии касательные окружности перейдут в параллельные прямые, а третья из заданных окружностей -в окружность или прямую. Рассматриваемые задачи Аполлония свелись к задаче: построить окружность, касательную к двум заданным паралле.льным прямым и окружности (прямой). Ее легко решить с помощью циркуля и линейки. Сделайте это самостоятельно. Замечание. С помощью циркуля и линейки можно легко построить окружность или прямую, в которую превращается окружность (прямая) при инверсии относительно какой-то заданной окружности. Для этого надо на окружности (прямой), являющейся прообразом, взять три точки, построить соответствующие им точки-образы (см. задачу 2 на стр. 238), а после этого через полученные три точки провести окружность (прямую). Для любознательных Выполните построение, используя только циркуль. (Отрезок считается построенным, если построены его концы.) 1. Постройте отрезок вдвое длиннее данного. 2. Постройте отрезок в праз длиннее данного. 3. Постройте середину отрезка с заданными концами. 4. Постройте окружность: а) которая проходит через три заданные точки; б) в которую переходит данная прямая АВ при инверсии относительно заданной окружности с заданным центром О. 241 задаче Аполлония которые произ- переходят Таким образом, ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ окружности в для случая двух заданных касательных окружностей будет таким. 1) Строим параллельные прямые и окружность (или прямую), в преобразуются заданные окружности инверсией относительно вольной вспомогательной окружности с центром в точке касания; 2) строим окружности (решений может быть несколько), касательные полученным прямым и окружности (или прямой); 3) на трех заданных окружностях отмечаем точки, которые в полученные точки касания; 4) для каждой из этих троек восстанавливаем искомые окружности. Случай касания двух окружностей рассмотрен. Во всех остальных случаях задача или не имеет решения, или сводится к вышерассмотренной. Проиллюстрируем последнее на примере трех окружностей, которые не имеют общих точек. Пусть это окружности ур у2, у3 (рис. 6.50), и надо построить окружность у, касательную к окружностям ух и у2 внешним, а к окружности у3 - внутренним образом. Рассмотрим окружности у\ и у'2, концентрические с окружностями Yj и у2, радиусы которых увеличены на 0j02 - расстояние между центрами Ог а — г 1-г ----—-^где а Yi Уз Рис. 6.50 2 а-к-г2 2 ■ и 02 окружностей Yj и у2). Рассмотрим также окружности у'3 и у, концентрические с окружностями Yj и у радиусы которых уменьшены на -■— На рисунке 6.50 окружности у\, у'2 у'3, у' изображены пунктиром. Если окружность у касается окружностей yv у2 уз то и окружность у' касается окружностей у\, у2, у'3 и наоборот (докажите это самостоятельно). Окружности у\ и у'2 касаются друг друга. Мы умеем решать задачу для этого случая - получим окружность у. Искомой будет окружность у, кон- ■-■ - а ~ ^ ^г я г центрическая с построенной у , которая имеет радиус на----------------больше пересекаются, их радиусы надо умень- радиуса окружности у. В случае, если окружности yt и у2 шить. Если при соответствующем уменьшении радиус окружности равен нулю - получим точку (говорят: окружность вырождается в точку). «Касание окружности и точки» будем понимать как «окружность проходит через точкр>. Для любознательных Как поймать льва в пустыне? Вспомним замечательное свойство инверсии: если на плоскости взять окружность и выполнить инверсию относительно этой окружности, то все, что содержалось внутри окружности, окажется вне ее, а все, что было вне ее, попадет внутрь этой окружности. В таком случае достаточно взять клетку круглой формы и посадить туда охотника; выполнить инверсию, и охотник окажется вне клетки, а все, что было вне ее, в том числе и лев, - в клетке! 242 Если соответствующий радиус будет иметь отри- I Использование ин-цательное значение, - строим окружность, радиус | версии дает воз-которой равен модулю полученного числа, причем ^ можность решить изменяется вид касания окружностей (внешний на обобщенную задачу внутренний или наоборот). с Ап°ллония о ^yex Если присоединить к множеству окружностей еще и I 3 ox.pyfk точки - окружности нулевого радиуся, и прямые - » ,0торых j^^ootck НОС ТПЯХ, 0В€ из окружности бесконечно большого радиуса, то можно | другдруга (вну^- обобщить задачу Аполлония, которую мы решили, на ренним или внеш-прямые и точки. ним образом). Задачу Аполлония можно сформулировать так. _ . ^ ттт 1.^1. щ I Во всех ИНЫХ CJIV- , Надо построить окружность или прямую, касательную к: щ ^ J ^ г- .7 ■: jk чаях расположения трех заданн^хх 1) трем данным окружностям; 2) данной прямой и двум данным окружностям; | окружностей зада- 3) двум данным прямым и данной окружности; j ча Аполлония или f Ьсли «касание I окружности и тонки» понимать как 4) трем данным прямым; . не имеет решения, 5) данной точке и двум данным прямым; * или сводится к 6) данной точке, данной прямой и данной окружности; I вышеуказанной 7) данной точке и двум данным прямым; | задаче. 8) двум данным точкам и данной окружности; 9) )^ двум данным точкам и данной прям! ой; “ 10) трем данным точкам. ^ Таким образом, мы решили 10 разных задач (из них * «окружность про- (4) и (10) вам известны со школьного курса математики). | ходит через точ-Задача Аполлония, которую мы рассмотрели, - одна | кр>, а прямую рас-из известнейших задач древности. А слышали ли вы о , сматривать как так называемых трех знаменитых задачах древности? 5 окружность бес-Вот они. I конечно большого 1. ЗАДАЧА О КВАДРАТУРЕ КРУГА. Надо по- I радиуса,торешение строить квадрат, площадь которого равна площади I заДачи Аполлония данной окружности. I . 0 заДанных 2. ЗА ДАЧА .ОБ УДВОЕНИИ КУБА (иначе - делий- J окружностях ме™- .,,, _ I дом инверсии обоб- скаязадача). Надо построить ребро куба, объем которого * щается в задачи о вдвое больше объема заданного куба. I прямых и точках. Для любознательных Описанный выше способ построения окружностей с помощью циркуля и линейки, в которые переходят при инверсии заданные окружности, достаточно громоздкий. А если надо построить образ более сложной фигуры, чем прямая или окружность? Для этого люди создали приборы - их называют инверсорами. На рисунке изображен инверсор Поселъе, который состоит из шести шарнирно закрепленных планок, А М причем: О А = OB, AM = AM = ВМ = ВМ. Этот инверсор работает так: точка О фиксируется; если точка М описывает определенную линию, то точка М' - описывает линию, полученную из первой инверсией с центром в точке О и коэффициентом инверсии АО2 - AM?. Попробуйте сделать такой инверсор (это совсем несложно) и выполнить с его помощью соответствующие построения. 243 3. ЗАДАЧА О ТРИСЕКЦИИ УГЛА. Надо данный произвольный угол, разделить на три равных части. Эти три задачи легко решаются, и решения их давно известны. Но надо решить эти задачи, не используя никаких других инструментов, кроме циркуля и линейки (без метрических пометок). Здесь и начинаются трудности. Оказывается, что сделать это невозможно. Задаче О КВАДРАТУРЕ КРУГА уже 4 тысячи лет. До греков ее старались решить мудрецы Вавилона и Египта, а позже - китайцы и индийцы, но напрасно. Окончательный «удар» по всем иллюзиям решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки был нанесен во второй половине XIX в. Немецкий математик Ф. Линдеман в 1882 г. доказал, что задача о квадратуре круга неразрешима с помощью циркуля и линейки. Этот исторический факт является следствием доказанного Линдеманом утверждения, что число л является иррациональным. Действительно, задача построения квадрата, равновеликого кругу радиуса R, сводится к построению отрезка х = R-Jn, т. е. произведения данного отрезка R на отрезок л/я. (Это построение надо сделать с помощью циркуля и линейки, т. е. путем построения конечного числа кругов и прямых.) В теории геометрических построений установлено, что с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, отличающийся от заданного умножением на действительное число лишь в том случае, если это число рациональное (т. е. его можно представить как отношение двух целых чисел). Поскольку Ф. Линдеман первым доказал, что я - число иррациональное, его называют «победителем числа я», а иногда «победителем в решении задачи о квадратуре круга». Происхождение второй задачи ОБ УДВОЕНИИ КУБА связано с естественным стремлением древних ученых обобщить задачу удвоения квадрата, т. е. построения квадрата, площадь которого вдвое превышет площадь заданного квадрата. Древние греки сравнительно легко решали задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить с помощью циркуля и линейки отрезок л/2. Решение же задачи об удвоении куба сводилось к геометрическому Для любознательных Более простой чем инверсор Поселье - инверсор Гарта (см. рис.). Он состоит лишь из чет^хрех шарнирно соединенных планок, причем АВ = CD, ВС = AD. Фигура, которую образуют эти планки, называется антипараллелограммом. Если некоторую точку О отрезка АВ закрепить на плоскости и отметить точки М и М' на планках AD и ВС, которые лежат на общей прямой, проходящей через точку О параллельно А^С, то движению точки М по определенной фигуре будет отвечать движение точки М' по фигуре-образу, полученному инверсией с центром в точке О и коэффициентом инверсии АО ■ -----b,°(AD2-DC2), АВ2 К ’ > 244 построению отрезка л/2. Но на протяжении многих столетий все ПОПЫТКИ построить отрезок У12 с помощью циркуля и линейки не приводили к успеху. И только в первой половине XIX в. было доказано, что такое построение осуществить невозможно, а значит невозможно решить и задачу об удвоении куба. Неопровержимое доказательство этого нашел французский математик П. Вантцель в 1837 г. Третья задача - О ТРИСЕКЦИИ УГЛА, т. е. о делении произвольного угла на три равные части возникла вследствие потребностей архитектуры и строительства. Пользуясь циркулем и линейкой, древние греки умели делить произвольный угол пополам, а прямой угол - на три равные части. Однако выполнить трисекцию произвольного угла не удавалось. Р. Декарт первым высказал предположение, что трисекцию произвольного угла невозможно выполнить с помощью циркуля и линейки. Строгое доказательство неразрешимости этой задачи сделал П. Вантцель в 1837 г. Таким образом, сегодня мы знаем о невозможности решения трех знаменитых задач древности. Однако кое-кто до сих пор продолжает поиски такого решения. (В этом есть и положительный момент -возможность «параллельного» открытия чего-то важного и интересного.) Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Энциклопедия элементарной математики. - М.: Физмат -гиз, 1963. — Т. 4. 2. Конфорович А. Г. Визначнi математичнi задачi. - К.: Рад. шк., 1981. 3. КостовскийА. Н. Геометрические построения одним цирку лем. - М.: Наука, 1989. 4. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. - М.: Наука, 1991. -Ч. 2. 5. Савин А. В. Математические миниатюры. - М.: Дет. лит., 1991. 6. Тесленко I. Ф. Метод iнверсil та його застосування. - К.: Рад. шк., 1958. 7. Чистяков В. Д. Три знаменит^хе задачи древности. - М.: Учпедгиз, 1963. ТРИ ЗНАМЕНИТЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ 1. Задача о квадра- туре круга. 2. Задача об удвое- нии куба(делий-ская задача). 3. Задача о трисекции угла. Немецкий математик Ф. Линдеман в 1882 г. доказал: 1) я - число иррациональное; 2) задача о квадратуре круга неразрешима с помощью циркуля и линейки. Отрезок х = R ч/л построить невозможно, т. К. 71 - ЧИСЛО иррациональное. Французский математик П. Вантцель в 1837 г. доказал, что задачи об удвоении куба и о трисекции угла неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Для любознательных 1. Через две точки провели три окружности, каждая из которых проходит через эти две точки. В какую фигуру перейдут заданные окружности при инверсии с центром в одной из этих точек? 2. В какую фигуру при инверсии перейдут три параллельные прямые? 3. Постройте окружность, которая проходит через две заданные точки и касается заданной прямой. 4. Докажите, что инверсоры Поселье и Гарта в самом деле выполняют преобразование инверсии. 245 Приложение 8 Индукция в геометрии ...Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции - это весомый критерий зрелости математика. А. Н. Колмогоров Издавна известно, что задать числовую последовательность можно рекурентним способом, когда каждый следующий член последовательности определяется через предыдущий с помощью определенной формулы. В частности, этим способом пользовался еще Архимед при приближении к площади круга площадей вписанных многоугольников. Такие формулы называютрекурентными (от латинского recurro - «бегу назад»). Например, последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, ... можно задать рекурентной формулой: ап + П= ап + 2> ПРИ аП= ^- Действительно, второй член последовательности а2 = а^ + 2 = 1 + 2 = 3, третий а3 = а2 + 2 = 3 + 2 = 5 и т. д. Аналогично можно задать последовательность четных чисел, арифметическую и геометрическую прогрессии и т. д. В XVII в. возникла идея применить аналогичный принцип для доказательства математических утверждений, которые подобно бесконечным последовательностям имеют бесконечное количество отдельных утверждений: Tv Т2, Т3, ... . Рассуждаем так. Пусть мы умеем доказывать, что: (Б) первое утверждение есть правильным; (П) из правильности любого из утверждений ряда {T^} следует правильность следующего утверждения Тк+1. Тогда мы доказали все утверждения ряда 7\, Т2, Т3, ..., т. к. получили цепь теорем: Тх^Т2^Т3^^Т^...->Тк^Тк+1-+... . Мы описали схему метода математической индукции (ММИ). Теорему (Б) называют базой индукции, а теорему (П) - индукционным переходом. Благодаря индукционному переходу мы получили «волну^> доказательств от первого, правильного утверждения, ко второму и т. д. Понятно, что методом математической индукции можно доказывать только утверждения, которые содержат натуральный параметр п. Схема метода математической индукции (ММИ): 1. База индукции (Б). Доказываем правильность первого утверждения (при п = 1). 2. Индукционный переход (П). Доказываем, что из правильности утверждения при п = k следует правильность утверждения при п = k + 1. Рассмотрим несколько примеров доказательства утверждений ММИ. Пример 1. Докажите, что квадрат 2” х 2” без одной клеточки можно разрезать на «уголки» из трех клеточек. 246 Решение В утверждении, которое надо доказать, есть натуральная переменная п. Имеем: Tj~ утверждение о квадрате 2x2; Т2 - утверждение о квадрате 4x4; Т3 - утверждение о квадрате 8x8; Т10 - утверждение о квадрате 210х 210. 1) Утверждение Tj очевидно выполняется, так как после вырезания (произвольно) одной клеточки остается именно искомый «уголок» (рис. 6.51). 2) Попробуем доказать утверждение Т^. Квадрат 4x4 можно разделить на чет^1ре квадрата размером 2x2. Для квадрата, содержащего вырезанную клеточку, условие выполняется (утверждение TJ. Если вырезать «уголок» так, чтобы его точка О совпадала с центром квадрата (рис. 6.52, 6.53), то получим три «уголка». О о Рис. 6.51 Рис. 6.52 Рис. 6.53 3) Теперь предположим истинность утверждения Тк и докажем шаг индукции Тк -» Т^^+ j, т. е. что из утверждения: квадрат 2*х2'! без одной клеточки можно разрезать на «уголки», следует справедливость утверждения: квадрат 2k+1x2k+1 без одной клеточки можно разрезать на «уголки». Доказательство Разделим квадрат размером 2k+lx2k+^ на чет^хре квадрата 2hx2k. В одном из них отсутствующая клеточка. Его, согласно допущению, можно поделить на «уголки». В трех других заберем по одной клеточке так, чтобы из этих клеточек образовался «уголок», точка О которого совпадает с центром данного квадрата 2k+1x2k+1 (аналогично тому, как это мы сделали при доказательстве Т2). После этого воспользуемся утверждением Тк. Утверждение Тк+^^ доказано. Мы доказали Т^ - базу индукции и Тк -» Тк+^^ - индукционный переход. Тогда выполняется любое утверждение Тп и задача решена. Для любознательных Возможно, первый, кто высказал и воплотил идею математической индукции, был французский ученый Блез Паскаль. Позднее эту идею начали называть принципом (то есть правилом, законом) математической индукции (от латинского inductio - «наведение»). В 1838 г. в Британской энциклопедии за подписью известного шотландского математика, первого президента Лондонского математического общества Августа де Моргана (1806-1871) была опубликована статья под названием «Математическая индукция». 247 Пример 2. Докажите, что для каждого натурального п> 4 существует выпукл^1й гс-угольник, который имеет только 3 острых угла. Решение 1) База индукции - справедливость утверждения при п = 4 доказываем прямым построением (рис. 6.54). 2) Индукционный переход доказываем «отрезанием» одного из тупых углов - число сторон увеличивается на одну, а число острых углов сохранится. 3) Тогда для произвольного п > 4 существует выпуклый я-угольник, который имеет ровно 3 острых угла. Что и требовалось доказать. Рис. 6.54 Пример 3. На сколько частей п прямых делят плоскость, если среди них нет параллельных и никакие три из них не пересекаются в одной точке? Решение Воспользуемся ММИ. 1) Теперь вместо последовательности утверждений имеем последовательность вопросов: на сколько частей делит плоскость одна прямая? На сколько частей делят плоскость две прямые? На сколько частей делят плоскость три прямые? и т. д. Ответа! на эти вопросы образуют последовательность утверждений: Тг = 2, Тг = 4 = 2 + 2, Т3 = 7 = 4 + 3, Г4 = 11 = 7 + 4, ... . 2) База индукции Т^ = 2 доказана построением. 3) Для того чтобы доказать индукционный переход, надо записать Тп через п. Используя найденные значения Tv Т^, Т3, ТА, заметим, что ‘^'П 7= ‘^'П i + ,)П-1 Замечание. Мы угадали зависимость, но угадать — еще не означает доказать. Индукционный переход. Пусть правильным является утверждение Тк ~ = Тк1_ + к. Докажем, что тогда Тк+^^ = Tk+ (k + 1). Доказательство Прямая пересекает k прямых в k точках, т. е. делит к + 1 старые части плоскости на две части. Тогда Тк+^ = Тк + (k + 1) и индукционный переход доказан. Ответ: п прямых, среди которых нет параллельных и никакие три не пересекаются в одной точке, делят плоскость на Тп = 2 + 3+ 4 + . .. + п частей. Для любознательных 1. Лист бумаги можно разрезать на 4 или на 6 частей. Докажите, что по этому правилу его можно разрезать на произвольное число частей, начиная с 9. Совет. Если мы делим лист на 4 или 6 частей, ■ то частей становится больше на 3 или на 5. Докажите индукционный переход: если можно разделить лист на k, k + 1, k + 2 частей, т| можно это сделать и для k + 3, k + 4, k + 5 частей. 2. Докажите, что квадрат можно разделить на п квадратов (для произвольного п), начиная с 6. Совет. Учтите, что квадрат можно разделить как на 4, так и на 9 квадратов (см. рис.), и обратите внимание на задачу № 1. 248 Пример 4. Плоскость разделена на части несколькими прямыми. Докажите, что эти части плоскости можно покрасить в два цвета так, что произвольные две смежные (по стороне) части будут разного цвета. Доказательство 1) Для того чтобы воспользоваться методом математической индукции, переформулируем условие задачи: «На плоскости проведено п прямых ...». 2) Теперь можно рассмотреть базу индукции - случай, когда п -— 1. Очевидно, что соответствующее окрашивание можно осуществить. 3) Индукционный переход. Предположим, что для к прямых плоскость можно раскрасить так, что две произвольные смежные части имеют разные цвета. Проводим к + 1 прямую и перекрашиваем в противоположный цвет все области с одной стороны от нее. Имеем искомое окрашивание. Тогда утверждение задачи является правильным для произвольного числа прямых. Пример 5. (Игра «Ханойская башня»). Пусть у нас есть детская пирамидка с п кольцами и два стержня одинаковой высоты (рис. 6.55). Можно перекладывать кольца с одного стержня на другой, но нельзя при этом класть большее кольцо на меньшее. Докажите: а) можно переложить все кольца на один из указанных свободных стержней; б) это, т. е. (а), можно сделать за (2" - 1) перекладываний. Рис. 6.55 Доказательство 1) База индукции. Верхнее кольцо кладем на один из стержней (^о 1), а второе - на другой (^» 2). Потом меньшее кольцо снимаем со стержня № 1 и кладем на стержень № 2. Получаем: меньшее кольцо находится сверху большего, а общее число перекладываний для п - 2 составляет 3 = 22 - 1. 2) Индукционный переход. Пусть имеем k колец на одном из стержней, и сделано это за (2* - 1) шагов. Надо доказать: а) можно k + 1 кольцо переложить на один стержень и б) сделать при этом 2м - 1 перекладываний. Докажем это. 2-1) За (2s - 1) шагов переложим все кольца, кроме последнего (k + 1)-го, на один стержень. 2-2) Последнее (ft + 1)-е кольцо переложим на свободный стержень. 2-3) Потом за 2* - 1 шагов переложим все другие кольца на него (это можно сделать по допущенному). Имеем общее количество шагов (2* - 1) + 1 + (2* - 1) = 2 • 2* - 1 = 2k+^ - 1. Индукционный переход доказан. Тогда: а) можно перенести все п колец на один из указанных свободных стержней согласно условию задачи; б) это можно сделать за (2п - 1) перекладываний. 249 Геометрия как бы символизирует все, что связано с практикой, а поэзия -все, что связано с мечтой. Но в царстве воображения они родственны и должны идти в паре, как драгоценное наследие каждого молодого человека. Флоренс Милнер Задания для самостоятельного решения 1. На сколько треугольников можно разделить п-угольник (не обязательно выпукл^1й) его диагоналями, которые не пересекаются? 2. Определите число диагоналей, которые не пересекаются и делят /г-угольник на треугольники. 3. На сколько частей выпуклый re-угольник делится всеми его диагоналями, если любые три из них не пересекаются 4. 5. 9. в одной точке? ? Рис. 6.56 Докажите, что правильный треугольник можно разделить на п правильных треугольников, начиная с чет^хрех. (Совет. См. рис. 6.56.) Укажите все значения п, для которых квадрат нельзя разрезать на п меньших квадратов. 6. Даны п произвольных квадратов. Докажите, что их можно разрезать на части так, что из полученных частей можно сложить новый квадрат. 7. Плоскость разделена на части несколькими окружностями. Докажите, что эти части плоскости можно раскрасить в два цвета так, что произвольные две смежные (по дуге) части будут иметь разные цвета. 8. На плоскости дано несколько окружностей. В каждой из них проведена хорда. Докажите, что полученную «карту^> можно раскрасить тремя цветами так, что две смежные (по стороне) области будут иметь разные цвета. На плоскости т точек разместили так, что на каждой прямой, которая соединяет две из этих точек, содержится хотя бы еще одна из них. Докажите, что все эти т точек лежат на одной прямой. Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. - Киров: «АСК», 1994. 2. СпивакА. В. Математический кружок. - М.: Посев, 2003. 3. Тадеев В. О. Неформальна математика. 6-9 класи. - Тернопiль: Навчальна книга - Богдан, 2003. 4. Шустеф Ф. М. Сборник олимпиадных задач по математике. - Минск: Вышэйш. шк., 1977. Тот, кто не знает математики, не способен к познанию никакой другой науки, даже не может постичь своего невежества, а потому и не ищет лекарства от него. Роджер Бекон Здоровья вам и удачи, дорогие друзья! 250 ПРОВЕРЬ СЕБЯ ^ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ • В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ Недостаточно иметь хороший ум, главное - правильно его использовать. Рене Декарт Предлагаемые задачи в тестовой форме дадут вам возможность быстро получить информацию о том, действительно ли вы усвоили программу по геометрии для общеобразовательных учебных заведений по определенной теме, и подготовиться к итоговой аттестации и даже независимому внешнему оцениванию (по темам планиметрии). Замечание. Предлагаемые задачи по сложности ориентированы на средний и повышенный уровень требований (вторая часть внешнего оценивания и выпускного оценивания за курс школах II ступени). Звездочкой обозначены задачи более сложные или такие, которые требуют знания фактов, соответствующих программе классов с углубленным изучением математики. Проверить правильность выполнения задач вам помогут ответах, приведенные в разделе «Ответах и советах». В заданиях 1-39 надо из предлагаемых вариантов ответов выбрать ОДИН, который, по вашему мнению, является правильным. 1. Вдоль прямой улицы длиной 800 м от одного ее конца до другого (по прямой) нужно посадить деревья. Сколько для этого надо выкопать квадратных ям (периметр каждой 2 м), чтобы расстояние между деревьями было 5 м? А Б В Г Д 160 158 200 Другой ответ 159 2. В каком отношении нужно разделить отрезок на две части, чтобы середина меньшей из них делила заданный отрезок в отношении 1:3? А Б В Г д 1: 3 1 : 2 1:4 2 : 1 2 : 3 3. Треть угла а равна пятой части угла, смежного с а. Какой угол больше: а или смежный с ним? А Б В Г Д а Эти угл^1 равны Сравнить невозможно Смежный с а Другой ответ 4. Угол между биссектрисой одного из смежных углов и их общей стороной равен трети угла между биссектрисами этих смежных углов. Найдите данные смежные угл^1. А Б В Г Д 60°и 120° 90° и 90° 40° и 120° 30° и 150° Другой ответ 251 5. После построения биссектрис заданных смежных углов получили три прямых угла. Какими были данные смежные угл^1? А Б В Г д 45°и 135° 60° и 120° 30° и 90° 90° и 90° Другой ответ 6. Стороны двух углов взаимно перпендикулярны. Равны ли данные угл^1? А Б В Г д Да, всегда Нет Не всегда Сравнить невозможно Другой ответ 7. Укажите количество правильных утверждений. 1) Нельзя построить вертикальный угол для угла, большего чем развер-нут^1й. 2) Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. 3) Для углов, образованных при пересечении двух прямых, сумма двух смежных углов может быть равна сумме двух вертикальных углов. 4) Градусные меры двух смежных углов могут быть численно представлены четными числами. 5) Градусные меры двух смежных углов могут быть численно представлены только нечетными числами. А Б В Г Д Одно Три Два Чет^1ре Другой ответ 8*. Укажите количество правильных утверждений. 1) Если серединные перпендикуляры ко всем сторонам треугольника проходят через вершины этого треугольника, то такой треугольник равносторонний. 2) В любом треугольнике сумма длин трех его высот больше периметра этого треугольника. 3) В произвольном неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника расположено между основаниями медианы и высота!, проведенными из той же вершины. 4) Если стороны двух углов взаимно перпендикулярны, то такие угл^1 равны. 5) Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие угл^1 или равны, или в сумме составляют 180°. А Б В Г д Одно Два Три Четыре Пять 9. Один из углов треугольника равен 48°. Найдите острый угол, образованный биссектрисами двух других углов этого треугольника. А Б В Г Д 114° 96° 74° 66° Другой ответ 10*. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника образует с его боковой стороной угол, равный углу при основании. Найдите углы треугольника. 252 А Б В Г д 36°, 72°, 72° 30°, 30°, 120° Другой ответ 42°, 42°, 96° Определить невозможно 11*. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают стороны этого треугольника под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника. А Б В 1 36°, 54°, 90° 82°, 800^ feSO 60°, 72°, 48° 30°, 66°, 84° Другой ответ 12*. Треугольник ABC - прямоугольный, ВР и СЕ - биссектрисы его острых углов, отрезки РК и ЕМ - перпендикулярны ВС. Найдите угол К AM. А Б В Г Д 90° 60° Другой ответ 135° 45° 13. Стороны АВ и А^В^ треугольников ABC и AjB^C^ принадлежат одной прямой, а вершины С и Cj лежат на прямой, которая параллельна первой. Найдите отношение площадей треугольников ABC и A^B^C,, если АВ : А1В1 = 2. А Б В Г Д 1/2 4 2 1/4 Другой ответ 14. Точка М делит сторону ВС параллелограмма ABCD в отношении 2 : 3, считая от вершины В. Найдите отношение площади треугольника АВМ к площади чет^трехугольника AMCD. А Б В Г Д 4 4 : 9 1 :4 2:3 Другой ответ 15. Укажите количество правильных утверждений. 1) Существует треугольник с отношением сторон 2:3:6. 2) Существует треугольник с отношением углов 150 : 120 : 35. 3) Длины боковых сторон равнобедренного треугольника могут быть равными по 10 м, а основание - 20,01 м. 4) Длина одного отрезка на 1 см больше длины второго и на 4 см больше длины третьего. Из этих отрезков можно сложить треугольник, периметр которого равен 10 см. 5) Существует вписанный четырехугольник с отношением мер углов (взятых последовательно) 1 : 2 : 4 : 3. 6) Существует описанный чет^трехугольник с отношением длин сторон (взятых последовательно) 1: 6 : 4 : 3. А Б В Г д Одно Три Ни одного Четыре Другой ответ 16. По рисунку Т-1 найдите градусную меру угла DBA С (точка О - центр окружности). А Б В Г д 90° 87° 46° 67° Другой ответ Рис. Т-1 253 17. Один из углов треугольника равен 55°. Стороны треугольника, образующие этот угол, видны из центра окружности, описанной вокруг этого треугольника, под углами, меры которых относятся как 2 : 3. Найдите эти угл^1. А Б В г д 100° и 150° 50° и 75° Определить невозможно 80° и 30° Другой ответ 18*. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 20°. На одной из его боковых сторон как на диаметре построена окружность. Найдите градусные меры дуг, которые отсекаются на этой окружности другими сторонами треугольника. А Б В Г д 40°, 60°, 80° 40°, 40°, 100° 20°, 20°, 120° Другой ответ 20°, 20°, 140° 19*. Из одной точки к окружности провели две касательные. Определите угол между этими касательными, если мера одной из дуг, ограниченной точками касания, равна 120° 36'. А Б В Г Д 60° 18' 59° 24' 239° 24' 60° 36' Другой ответ 20*. На рисунке Т-2 изображены две окружности (с центрами О и Oj). Найдите градусную меру дуги CNK, если KJBMD = 130°, а АВ и AD -касательные к меньшей окружности. А Б В г Д Определить невозможно 260° 100° 50° Другой ответ 21. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 м. Найдите расстояние между ортоцентром (точкой пересечения высот) и центром окружности, описанной вокруг треугольника. А Б В Г д 16 м 4 м Другой ответ 8 м 2 м 22*. Длины сторон треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите радиус окружности с центром на средней по длине стороне треугольника, которая касается двух других его сторон. А Б В г д 6 см 5\^"2 см Определить невозможно 7 см 3 см 23*. Стороны треугольника относятся как 2:3: 4. В него вписан полукруг с диаметром, принадлежащим большей стороне. Найдите отношение площади полукруга к площади треугольника. А Б В Г д Злл/15:50 з73тТ:Л/5 3 : 5 Другой ответ Wl5:12 254 24. В равнобокой трапеции средняя линия равна 5 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции. А Б В Г д 125 см2 25 см2 1 ^25 см2 2 50 см2 Другой ответ 25. В равнобокую трапецию вписана окружность. Сравните отношения длины этой окружности к периметру трапеции и площади круга, ограниченного данной окружностью, к площади трапеции. А Б В Г д 1: 2 2: 1 1 : 4 1: 1 Другой ответ 26. Найдите углы двух подобных треугольников, если каждая сторона одного ИЗ НИХ на 5 см больше соответствуюш;ей стороны другого. А Б В Г д Другой ответ 60°, 30°, 90° 36°, 72°, 72° 45°, 45°, 90° 60°, 60°, 60° 27. В треугольнике через середину одной из сторон провели прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника. Найдите сумму площадей двух образовавшихся треугольников, если площадь заданного треугольника равна 24 см2. А Б В Г Д 6 см2 12 см2 18 см2 20 см2 Другой ответ 28*. В прямоугольном треугольнике длины катетов равны 6 см и 8 см. Через точку пересечения его биссектрис провели прямые, параллельные катетам. Найдите отношение площади образованного прямоугольника к площади заданного треугольника. А Б В Г д Другой ответ 6:1 1:6 1:4 1 : 12 29*. В треугольнике ABC через точку пересечения его медиан М провели отрезок МР, параллельный стороне АС (рис. Т-3). Найдите площадь треугольника СРМ, если площадь треугольника ABC равна S. А Б В Г д 9s 3 2'S Другой ответ 6s В 30*. В прямоугольном треугольнике из точки пересечения медиан провели перпендикуляры к катетам. Найдите площадь образованного прямоугольника, если площадь заданного треугольника равна S. А Б В Г Д is is is is Другой 3 3 9 9 ответ 255 31. Углы трапеции относятся как 3 : 4 : 5 : 6. Какой угол образуют продолжения боковых сторон этой трапеции? А Б В Г д Заданная трапеция не существует 90° 40° 60° Другой ответ 32. Одна из диагоналей ромба равна 4 м, а вторая образует со стороной ромба угол 30°. Найдите площадь ромба. А Б в Г д 32 м2 i6T3 м2 16 м2 8х/3 м2 Другой ответ 33. Найдите на оси абсцисс точку, равноудаленную от точек А (4; 1) и Б (1; 4). А Б в Г Д (1; 0) (0; 0) (0; 1) ^ Другой ответ 34. Найдите расстояние между точкой А(2; -1) и центром окружности, заданной уравнением х2 - 2х + у2 + 2у = -1. А Б в г Д Окружность не существует Я i 7 Другой ответ 35. Укажите количество правильных утверждений. 1) Центр круга - центр его симметрии. 2) Прямоугольник имеет один центр симметрии - точку пересечения диагоналей. 3) Параллелограмм не имеет центра симметрии. 4) Середина отрезка - его центр симметрии. 5) Луч имеет множество центров симметрии. А Б В Г Д Чет^1ре Одно Два Три Другой ответ 36*. Укажите количество правильных утверждений. 1) Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше его полупериметра. 2) Серединные перпендикуляры к двум сторонам правильного многоугольника не могут быть параллельными. 3) Прямые, содержащие биссектрисы двух углов правильного многоугольника, могут быть параллельными. 4) Градусная мера внешнего угла правильного n-угольника равна 360° : п. 5) Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше его периметра. А Б В Г д Одно Два Три Четыре Пять 256 37. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны. Найдите отношение площадей этих фигур. А Б В Г д V3 : 4 : 6л/з 2:3:6 Другой ответ 1:4:6 ^5: 1:в 4 38. Найдите длину окружности, вписанной в ромб, длины диагоналей которого 6 см и 8 см. А Б В Г д 9,6 см 9,6 л см (2,4л)2 см Другой ответ 4,8 л см 39. Найдите сумму тангенсов острых углов прямоугольного треугольника, если отношение площади этого треугольника к площади квадрата, построенного на его гипотенузе, равно k. А Б В Г д 1 1 4k k k ■Jk Другой ответ В заданиях 40-52 выберите правильный, по вашему мнению, ответ. ИХ МОЖЕТ БЫТЬ НЕСКОЛЬКО. 40. Точка О - начало трех лучей: ОА, ОВ, ОС. Известно, что ZAOB = 35° Z.BOC = 50°. Какой может быть градусная мера угла АОСЧ А Б В Г д 325° 15° 275° 345° 41. Лучи аиЪ образуют угол 120°, а прямые а и с пересекаются под углом 30°. Какой может быть градусная мера угла, стороны которого принадлежат прямым b и с, если все три прямые а, Ъ, с пересекаются в одной точке? А Б в Г д 150° 8о° 270° 210° 300° 42. Точки А, В, С расположены на одной прямой. Причем АВ - 5,7 м, ВС — = 730 см. Какой может быть длина отрезка АС в дециметрах? А Б В Г д 16 дм 18 дм 130 дм 148 дм Другой ответ 43. На прямой расположены точки А, В и С. Причем АО АВ и СВ — 2АВ. От точки С отложили отрезок СМ так, что СМ = MB. Сравните отрезки МС и АВ. А Б В Г д МС =АВ МС < АВ МС < АВ Сравнить невозможно МС > АВ 44*. На прямой расположены точки А, В и С. Причем АВ < АС < 1,89АВ. Сравните отрезки ВС и АВ. 257 А Б В Г д АВ> ВС АВ < ВС ВС <0,89 АВ ВС <2,89 АВ Сравнить невозможно 45. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 см и б см. Найдите третью сторону треугольника. А Б В Г д 3\15 м л/з см ЗУЗ см Другой ответ Зл/б см 46. Сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 150 см2. Найдите наибольшую из сторон этого треугольника. А Б В Г д Другой ответ 15л/10 см 10 дм 10 см л/10 дм 10 47. Из точки М провели секущую и касательную к окружности. Точку касания обозначили как D. Секущая пересекает окружность по диаметру АВ. Найдите градусную меру дуги BD, если ZADM = 24°. А Б В Г д 24° 132° 156° о 228° 48. Найдите сумму двух углов, один из которых угол параллелограмма, а второй - угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины первого угла. А Б В Г д 90° или 270° 135° 180° В общем случае определить невозможно Другой ответ 49. Запишите уравнение прямой, которая касается окружности х2 + у2 = 9 в точке пересечения этой окружности с осью абсцисс. А Б В Г д у = 3 х = 3 у = Х * = -3 50*. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку М( 1; 2) и касается окружности (х + 2)г + (у - 2)2 = 4. А Б В Г д 2х + урЬу -- 2 - 2у[Ъ = 0 у = У12х + 3 у = -\12х + 3 2х - \[Ьу - - 2 + 2л/б = 0 Другой ответ 51*. В плоскости прямоугольника ABCD отметили точку М. Найдите ска -лярное произведение МА МС, если MB ■ MD = 3. А Б В Г д -3 3 Определить невозможно Другой ответ 0 258 52*. Дан параллелограмм ABCD. Прямая I пересекает прямые АВ, АС и AD в точках Bv С j и Di соответственно. При этом AD^ = a AD, АД = (ЗАВ, ACj = у АС. Найдите значение у, если а = 2, а (3 = 3. А Б В Г д Определить 5 3 6 5 невозможно 2 5 6 В заданиях 53-60 подберите из правого столбца продолжения к выражениям левого так, чтобы (вместе с выделенными цветом словосочетаниями ) образовались правильные утверждения. ВНИМАНИЕ: • одному выражению левого столбца могут соответствовать несколько выражений правого; • некоторы,е утверждения правого столбца могут бы,ть использованы, несколько раз, а некоторые остаться незадействованными. 53. Сформируйте правильные утверждения. Если A) концы двух диаметров окружности, Б) концы двух неравных отрезков, которые пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, 1) трапеция. 2) прямоугольник. 3) параллелограмм. последо- B) концы двух равных отрезков, образу- ется 4) квадрат. вательно которые делятся точкой их 5) ромб. 6) вписанный соединить сечения пополам, Г)через одну середины сторон правильного восьмиугольника, Д) середины сторон равнобокой тр£ пеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, четырехугольник. 7) точка. 54*. Сформируйте правильные утверждения. А) параллелограмма 1)трапеция. Б) ромба 2) прямоугольник. В)трапеции 3)параллелограмм. При пересечении биссектрис углов Г) прямоугольника Д) вписанного чет^1- 4) квадрат. "Б) ромб. рехугольника 6) вписанный чет^1рех- Е) равнобокой трапе- угольник. ции 7)точка. 55. Сформируйте правильные утверждения. А)вписанная, 1) прямоугольная. Б)описанная, 2)равнобокая. В)равнобокая, 3) имеет равные сум- Г) S качестве биссектрис углов при то она мы длин основа- одном основании - диагонали, ний и длин боко- Д) имеет диагонали, перпенди- вых сторон. кулярные боковым сторонам, 4) вписанная. 259 56*. Сформируйте правильные утверждения. A) выпуклого чет^хрех-угольника, 1) трапеция. 2) прямоугольник. Если после- Б) ромба, 3)параллелограмм. довательно B) трапеции, 4)квадрат. соединить Г) прямоугольника, образуется 5) ромб. середины Д) равнобокой трапеции, 6) вписанный чет^1рех- сторон . Е) параллелограмма, Ж)вписанного четырехугольника, угольник. 7) прямоугольная трапеция. 8) равнобокая трапеция. 57. Сформируйте правильные утверждения. Если A) прямая параллельна оси абсцисс, Б) прямая параллельна оси ординат, B) прямая образует угол а с положительным направлением оси абсцисс, Г) прямая образует угол а с положительным направлением оси ординат, Д) прямая образует угол а с отрицательным направлением оси ___ординат.__________________ 1) ее угловой коэффициент не имеет смысла. 2) ее угловой коэффициент равен (-ctga). 3) ее угловой коэффициент равен нулю. 4) ее угловой коэффициент равен tga. 5) ее угловой коэффициент равен (-tga). 6) ее угловой коэффициент равен ctga. 58*. Сформируйте правильные утверждения. А) прямые пересекают- 1) их угловые коэффициенты равны — 1. ся, 2) их угловые коэффициенты по модулю Б) прямые параллель- равны. ны, 3) в уравнениях прямых свободные чле- В) прямые совпадают, ны равны. Г) прямые перпендику- 4) их угловые коэффициент^! равны. лярны, 5) их угловые коэффициенты равны 1. Д) прямые параллельны 6) прямые имеют вид х = const., биссектрисе III коор- 7) угловой коэффициент одной прямой динатной четверти, равен обратному значению углового Е) прямые перпенди- коэффициента другой прямой, взятого кулярны к биссек- с противоположным знаком. трисе I координатной 8) их угловые коэффициентах не могут четверти, быть равными. 59*. Укажите, воспользовавшись утверждениями правого столбца, как связаны градусные меры углов аир, если выполняется утверждение левого столбца (сумма a + р не превышает 180°). Если B) А) sin a = sin р, Б) cos a = cos p, sin a = cos p, Г) sin p = cos a, Д) sin2 a + cos2 p = 1, 1) a + p = 45°. 2) a + p = 90°. 3) a + p = 180°. 4) a + P = 60°. 5) a = p. 6) a + p = 30°. 260 60. Сформируйте правильные утверждения. 1) векторы а и Ъ не всегда равны, но А) а || Ъ, имеют равные модули. Б )Ъ = ХЬ, _ 2) векторы а и Ъ равны. В) a tt Ъ wa2 = b2, 3) векторы а и Ь перпендикулярны. Если Г) а ■ 6 = 0, то 4) векторы а и Ъ коллинеарны. Д)а^ + 2Ь = 0,_ 5) вектор а является нуль-вектором. е) а || В, а || с, b Ц с, 6) векторы а и & противоположно направлены^ 7) векторы а иЬ сонаправлены. 8) а-ХЪ. В заданиях 61-64 нужно заполнить пустые клеточки таблицы так, чтобы по горизонталям получить правильные утверждения. 61. Заполните таблицу, чтобы образовались правильные утверждения. 1) ГМТ середин равных хорд данной окружности - это 2) ГМТ вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой - это 3) ГМТ центров окружностей, проходящих через заданные две точки, - это 4) ГМТ центров равных окружностей, проходящих через заданную точку, - это 5) ГМТ центров окружностей, касающихся двух данных параллельных прямых, - это 6) ГМТ центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых, - это 62*. Заполните таблицу, чтобы образовались правильные утверждения. 1) Середины сторон четырехугольника последовательно соединили -получили прямоугольник. 2) Середины сторон чет^хрехуголь-ника последовательно соединили -получили ромб. 3) В четырехугольник можно вписать окружность, а две смежные его стороны равны между собой. Тогда заданный четырехугольник отличается тем, что 4) Середины сторон чет^хрехуголь-ника последовательно соединили -получили квадрат. 5) Вокруг чет^хрехугольника можно описать окружность, а один из его углов - прямой. 261 63*. Заполните пуст^хе клеточки таблицы. Фигура Оси симметрии (указать количество и перечислить) 1) Равносторонний треугольник 2) Окружность 3) Две пересекающиеся прямые 4) Квадрат 5) Правильный шестиугольник 64. Заполните пустые клеточки таблицы. Мера внешнего угла правильного многоугольника 18° 4СР 72° 60° Количество сторон правильного многоугольника В заданиях 65-85 допишите условие так, чтобы задача была корректно сформулирована и имела решение или чтобы образованное утверждение было истинным. 65. Докажите, что точка пересечения двух перпендикуляров, проведен- ных к сторонам угла в точках, равноудаленных от его вершины, принадлежит его...................................................... 66. Докажите, что биссектрисы двух равных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей,............................. 67. Докажите, что биссектрисы двух неравных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей,..................... 68. В треугольниках ABC и А^В^С^ высотах СК и СК^ равны. Докажите, что эти треугольники равны, если...................................... 69*. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то такой треугольник................................................ 70. Если сумма двух углов треугольника больше его третьего угла, то такой треугольник......................................................... 71*. Два треугольника равны по двум сторонам и углу не между ними, если заданный угол..................................................... 72*. В равнобокой трапеции высота равна средней линии. Докажите, что ее диагонали ........................................................ 73*. Докажите, если в треугольнике разность двух углов равна 90°, длины биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине третьего угла 74*. Две окружности касаются друг друга в точке К. Через точку К провели прямую, которая пересекает эти окружности в точках А и В. Тогда диаметры окружностей AM и ВР в случае: а) внешнего касания.... ...................; б) внутреннего касания................... 75. Продолжение высотах ВК треугольника ABC пересекает окружность, описанную вокруг этого треугольника, в точке Р; ВМ - диаметр этой окружности. Докажите, что РМ и АС............................. 76*. Две окружности пересекаются в точках А и В, АК и AM - диаметры этих окружностей. Тогда отрезки КВ и ВМ....................... 262 77*. Радиусы круга АО и ОВ взаимно перпендикулярны и ограничивают его четверть. На отрезках АО и ОВ как на диаметрах построены две окружности. Точку их пересечения, расположенную в заданной четверти круга, обозначили как С. Докажите, что точки А, С и В............ 78. Высота трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, которые равны полусумме и полуразности оснований этой трапеции. Тогда данная трапеция................ 79*. Два треугольника подобны. Каждая из сторон одного из них отличается от соответствующей стороны другого на одно и то же число. Докажите, что эти треугольники............................................. 80. Уравнение х2 + у2 + ах + by = с будет уравнением окружности (ненулевого радиуса) при условии................................................ 81*. Уравнение ах2 +Ьу2 + тх + пу - с будет уравнением окружности (ненулевого радиуса) при условии............................................ 82. Из одной вершины выпуклого 16-угольника можно провести не более чем........................................................диагоналей. 83*. Выпукл^1й n-угольник имеет............................диагоналей. 84*. Прямая ах + by + с = 0 касается окружности х2 + у2 = R2 тогда и только тогда, когда выполняется соотношение................................... 85. Если вектор коллинеарен произвольному вектору плоскости, то...... В заданиях 86-132 запишите только ответ. 86. Две биссектрисы треугольника образуют с его сторонами угл^1 99° и 117°. Найдите угл^1 треугольника. 87. На стороне АС треугольника ABC обозначена точка М так, что пло- щадь треугольника АВМ в 2 раза больше площади треугольника ВСМ. Сравните длины отрезков AM и МС. В 88. Площадь треугольника ABD на рисунке Т-4 больше /\. С площади треугольника ACD. Сравните площади тре- / угольников АВО и CDO. 89*. Высота и медиана, проведенные из одной вершины А^--------------- треугольника, делят его угол на три равные части. ^ Найдите угл^1 треугольника. " 90. В равнобедренном треугольнике: боковая сторона больше высотах, проведенной к основанию, на 4 см; расстояние от точки пересечения медиан до основания - 2 см. Вычислите площадь треугольника. 91. В равнобедренном треугольнике периметр равен 120 мм, а одна из его сторон - 28 мм. Какой длины могут быть две другие стороны этого треугольника? 92. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего из катетов - 4 см. Найдите эти стороны треугольника. 93*. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу этого треугольника на отрезки длиной 3 см и 2 см. Найдите площадь заданного треугольника. 94*. Найдите углы равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 8 см, а середина основания удалена от боковой стороны на 2 см. 95. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = АС) серединный перпендикуляр к стороне АС пересекает сторону ВС в точке М. Найдите /.ВАМ, если /АВС = 43°. 96*. В равнобедренном треугольнике АВС: основание АС = 1 м, ZA = 15°. Найдите ограничения на длину стороны АВ. 263 97*. В равнобедренном треугольнике один из углов 120°, а основание -10 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне. 98*. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов 60°, а высота, проведенная к боковой стороне, - 17 см. Найдите основание треугольника. 99*. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) угол при основании равен 75°, AM - биссектриса, ВМ = 10 см. Найдите расстояние от точки М до основания треугольника. 100*. К окружности, описанной вокруг треугольника ABC, провели через ее точки С и В соответственно касательную и секущую, которые пересекаются в точке В. Найдите ZCDB, если ZCAD = 36°, ZCBD = 24°. 101*. Точки А, В, С, D, Е - вершины трех равных квадратов (рис. Т-5). в D Л Е 103. 104. р. с. т-5 Найдите ZBAE + ZCAE + ZDAE. 102*. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а, а радиус вписанной в него окружности - г. Найдите радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника. Даны прямая а и отрезок ВС (рис. Т-6). Найдите на прямой а такую точку А, чтобы треугольник ABC был равнобедренным (с основанием ВС). В Сравните площади квадратов, построенных на катете равнобедренного прямоугольного треугольника и на высоте этого треугольника, проведенной к гипотенузе. 105*. В треугольнике ABC через точку пересечения меди..... ан Мпровели отрезок МР, параллельный стороне АВ Рис. Т-6 (рис. Т-7). Найдите площадь трапеции АРМК, если площадь треугольника ABC равна S, а точка К -середина АВ. 106*. В треугольнике ABC через точку пересечения медиан М параллельно сторонам АВ и СВ провели отрезки МР и МК (рис. Т-8). Найдите площадь трапеции АРМК, если площадь треугольника АБС равна S. 107. Диагонали трапеции с основаниями 12 см и 20 см делят ее среднюю линию на три части. Найдите длины этих частей. 108*. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма, если длины указанных высот 4 см и 10 см. 109*. Сумма длин диагоналей ромба равна 14 см, а длина стороны - 5 см. Найдите площадь ромба. Высота, проведенная из тупого угла равнобокой трапеции, делит ее основание на отрезки 4 см и 8 см. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 2 см. Найдите углы и меньшее основание трапеции. Высота, проведенная из вершины А вписанной трапеции ABCD, делит ее основание на отрезки 4 см и 9 см, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции. Высота, проведенная из тупого угла вписанной трапеции, делит ее основание на отрезки 4 см и 8 см. Найдите длины всех сторон трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность. В 110. 111* 112. 264 113. Площадь равнобокой трапеции 117 см2, длина меньшего основания - 4 см, мера острого угла - 45°. Найдите длину боковой стороны трапеции. 114*. Точки EhF,GhH,KuL, N и М делят соответственно каждую из сторон АВ, ВС, CD, DA квадрата ABCD на три равные части. Отрезки ЕН и МК пересекают отрезок GL в точках Q и R соответственно. Вычислите площадь пятиугольника AEQRM, если АВ = 2^17 см. 115*. Средняя линия трапеции с основаниями а и Ъ (а < Ъ) делит ее на две трапеции. Найдите отношение площадей этих трапеций. 116. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону этой трапеции на отрезки 2 см и 18 см. Найдите высоту трапеции. 117. Точка пересечения диагоналей ромба удалена от одной из его сторон на >/з см. Найдите диагонали ромба, если сторона ромба равна 4 м. 118. Определите, лежат ли точки А(4; -1), 5(-8; -1) и С(5; 1) на одной прямой. 119*. Определите, лежат ли точки А(4; -1), В(-8; 8) и С(-4; 5) на одной прямой. 120. Запишите уравнение окружности, которая касается осей координат и расположена в IV координатной четверти, радиус которой равен 5. 121. Запишите уравнение касательной к окружности (* -1)2 + (у + 2)2 = 1, которая проходит через точку (1; -1). 122. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку М(-11; 5) параллельно прямой х - 3. 123. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку М(-1; 2) параллельно прямой 2х + у = 1. 124*. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку М(-1; 2) перпендикулярно к прямой 2х + у = 1. 125*. Найдите уравнение окружности с центром в точке (-1; 3), которая касается прямой у - 2х -1. 126*. Вершины треугольника имеют координат^!: (0; 0), (а; 0), (Ь; с). Запишите координат^!: а) центра О описанной вокруг этого треугольника окружности; б) ортоцентра треугольника Н; в) центроида треугольника М. 127. Где расположен центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC (относительно ДАВС), если: а) СА ■ СВ < 0; б) ВС ■ АВ > 0? _ 128*. В равнобедренном треугольнике ABC угол В прямой, АС = 2-J2, BD -медиана. Вычислите скалярные произведения векторов: а) BD ■ АС; б) BD ВС; в) BdVbD. 129*. В треугольник ABC вписана окружность с центром О, которая касается сторон треугольника в точках Р, Т и Е. Найдите модуль вектора Ор + ОТ + СЕ,'зсли АВ = 5, ВС = 12, СА = 13. 130*. Определите тип геометрического преобразования, при котором точка А(х; у) переходит в точку АДл^; г/х), если х., = 0,2(2 -I- Зле + 4у), у^ = 0,2(-4 - 4х + Зу). 131*. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, S - точка пересечения продолжений ее боковых сторон, М и N - середины оснований. Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему, если 50S= 12MN. 132*. Точка А(х; у) при параллельном переносе на вектор q(a; b) и гомотетии относительно точки О(Хд; уо) с коэффициентом к переходит в точку АДХр. i/j). Найдите формулы взаимосвязи между координатами точек А и А^. " 265 ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Повторение курса планиметрии советуем начать с вопросов для повторения теоретического материала, которые приводятся в конце каждой главы. Напомним, что вопросы обязательного (минимального) уровня знаний отмечены цветной полосой. Потом хорошо бы поработать с заданиями в тестовой форме (стр. 251), а уже после этого приступить к решению предлагаемых ниже задач. Данная подборка заданий рассчитана на средний и повышенный уровень требова ний к знаниям учащихся ОО1И, содержит задания на применение знаний, полученн! в предыдущие годы обучения, поможет подготовиться к дальнейшим аттестациям и э: заменам. Заметим, что для решения заданий на повторение курса планиметрии обязательного (минимального) уровня знаний можно обратиться к заданиям с нуликами возле номера, которые приводятся после каждого параграфа и в конце каждой главы. Средний уровень сложности Треугольники Ч. В треугольниках АВС и A.fijCji АА = ZA, = 45°, АС = ZC, = 105°, АХСХ = 6 см, АС = 12 см, MN - средняя линия треугольника ABC (М еАВ, N е ВС). По этим данным: а) докажите, что ААВС " ДА^С^; б) докажите, что AA^B^C^ = AMBN; в) сравните BN и А^В^, г) найдите ВС; д) вычислите площадь треугольника АВС. 2. Два отрезка АВ и CD одинаковой длины пересекаются в точке О так, что прямые AD и ВС параллельны, OD = а, ОС = Ь. По этим данным: а) докажите, что ОА = а, ОВ = b; б) найдите отношение периметров треугольников ОАС и ODB; в) найдите длины отрезков СВ и AD; г) найдите площадь треугольника ACD; д) найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AOD; е) найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника ВОС, если ZADO = а. 3. Основание равнобедренного треугольника равно Ь, угол при основании - а. Найдите: а) периметр треугольника; б) площадь треугольника; в) радиус описанной вокруг него окружности; г) радиус вписанной в него окружности; д) медиану и высоту, проведенные к боковой стороне; е*) расстояние между инцентром и центром описанной окружности. 4. Две стороны треугольника равны 4 см и 6 см, угол между ними - 60°. Найдите: а) площадь треугольника; б) периметр треугольника; в) высоту, проведенную к тре тьей стороне; г) радиус описанной окружности; д) радиус вписанной окружности. Четырехугольники 5. Через середину диагонали BD параллелограмма ABCD перпендикулярно к ней проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках МиГ соответственно. По этим данным: а) докажите, что BMDT- ромб; б) найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник BMDT, если BD = 8 см, ТМ = 6 см. 6. Боковую сторону трапеции разделили на п равных частей и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длину отрезков этих прямых, которые лежат между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 23 см и 15 см и: а) п = 2; б) п = 4. 7. Диагональ прямоугольника равна 40 см. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла прямоугольника к его диагонали, делит ее в отношении 2 : 3. Определите: а) длины сторон прямоугольника; б) тангенс угла, образованного стороной и диагональю; в) длину проведенного перпендикуляра. 8. Катет^1 прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Через середину его гипотенузы провели прямые, параллельные катетам. Определите вид образованного чет^1рехугольника и найдите его диагонали. 266 а) Г п Окружность. Многоугольники 9. Треугольник с углами 30°, 60°, 90° описан вокруг окружности. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится точками касания. 10. В угол ABC вписана окружность. Точки касания делят окружность на две части которые относятся как 5:4. Определите меру угла ABC. 11. Через концы хорды, которая делит окружность в отношении 2 : 7, проведены две касательные. Определите угл^1 образованного треугольника. 12. Круг вписан в треугольник. Радиусы, проведенные в точки касания, разделили круг на части, площади которых относятся как 13 : 12 : 11. Найдите угл^1 треугольника. 13. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см, основание - 4 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей. 14. Катет^1 прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей. 15. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 5 см, а основания - 4 см и 10 см. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции. 16. Диаметр ведущего колеса электровоза равен 2 м. Определите ско- /\ рость электровоза, если ведущее колесо делает за 1 мин 100 оборотов. 17. Найдите диаметр круга, площадь которого равна: а) разности пло- /_ \ щадей двух кругов, радиусы которых равны 10 см и 8 см; б) сумме площадей двух кругов, радиусы которых равны 3 см и 4 см. 18. Вокруг правильного и-угольника со стороной 6 см описана окружность. Кроме того, в этот n-угольник вписана окружность. Найдите площадь кольца, образованного двумя окружностями, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6. 19. Сторона правильного л-угольника равна а. От его вершин отрезали круговые секторы (центры секторов совпадают с вершинами, радиусы секторов равны Ъ). Найдите площади образованных фигур, если: а) п = 3 (рис. П. 1-а); б) п = 4 (рис. П. 1-6); в) п = 6. Рис. П.1 Метод координат. Векторы 20. Вершины треугольника расположены в точках: А(-5; 5), В(8; 8), С(5; -5); BD-биссектриса его внутреннего угла. По этим данным:_а) докажите, что треугольник ABC равнобедренный; б) выразите вектор BD через ВА и ВС; в) напишите уравнение окружности, диаметром которой является сторона АС; г) составьте уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника; д) вычислите длину медианы, проведенной к стороне ВС; е) найдите косинусы углов треугольника ABC; ж) вычислите площадь треугольника ABC. 21. Треугольник ABC задан координатами своих вершинА(0; 12), В(9; 0), С(0; -12); К - центр вписанной в треугольник окружности, М - середина стороны АВ. По этим данным: а) найдите длину медианы СМ; б) запишите уравнение вписанной в треугольник окружности; в) запишите уравнение описанной вокруг треугольника окружности; г) выразите вектор КВ через КА и КС; д) найдите косинус угла между векторами КА и КС; е) найдите площадь треугольника АКС; ж) найдите координат^! центроида и ортоцентра треугольника. Построения 22. Постройте прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе прямого угла. 23. Постройте прямоугольник по его стороне и диагонали. 24. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, которое равно 2:3. 25. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними. 26. Постройте ромб, диагонали которого относятся как 3 : 5. 27. Постройте трапецию по основаниям и двум углам. bh б) 267 Повышенный уровень сложности 28. Найдите площадь прямоугольного треугольника, один катет которого - 13 см, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. 29. В прямоугольном треугольнике основание высоты, опущенной на гипотенузу, удалено от боковых сторон на 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу. 30. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет в отношении 5 : 4. Найдите гипотенузу, если периметр треугольника равен 72 см. 31. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены высота длиной 48 см и медиана - 50 см. Найдите периметр треугольника. 32. Периметр прямоугольного треугольника равен 120 мм, а высота, проведенная к гипотенузе, - 24 см. Найдите площадь треугольника. 33. На катете ВС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке Р. Найдите площадь треугольника ВСР, если ВС = а, АС = Ъ. 34. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника относятся как 5 : 13. Вычислите площадь этого треугольника, если сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна 17 см. 35. Докажите, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность точкой касания делит гипотенузу на отрезки, произведение которых равно площади треугольника. 36. К окружности радиуса 7 см из точки, удаленной от центра этой окружности на 25 см, проведены касательные. Найдите расстояние между точками касания. 37. Две стороны треугольника равны 27 см и 18 см. Из вершины угла, который они образовали, проведена биссектриса. Один, из отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону треугольника, равен его боковой стороне. Найдите периметр треугольника. 38. В треугольнике ABC проведена биссектриса ВР. Найдите ее длину, если АВ =10 см, ВС = 15 см и АС = 20 см. 39. В треугольнике две стороны равны 13 см и 15 см, а высота, проведенная к третьей стороне, - 12 см. Найдите диаметр вписанной окружности. 40. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а основание -12 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей. 41. В угол 2а вписана окружность радиуса R. К окружности проведена касательная, перпендикулярная к биссектрисе угла (проходит между вершиной угла и окружностью). Определите периметр треугольника, который отсекает касательная от заданного угла. 42. В равнобедренный треугольник ABC с углом а при основании вписана окружность. Периметр треугольника, который образовался после соединения точек касания, равен Р. Определите периметр исходного треугольника. 43. Две стороны треугольника равны а и Ь, угол между ними - а. Найдите радиус окружности, проведенной через инцентр данного треугольника и концы третьей стороны. 44. В треугольнике ABC угол В равен 140°, сторона АС равна 1, а площадь треугольника - 0,7. Радиус круга с центром в точке В равен у/2. Найдите площадь общей части треугольника ABC и круга. Для любознательных Если записать площадь сегмента через радианную меру его дуги а, то получим выражение S = 0,5В2(а - sina). Отсюда следует, что при всех а имеет место неравенство sin a < a. К 1. Докажите, что при всех 0 < a < выполняется неравенство a < tg a. 2. Возможно ли, чтобы сумма радиусов нескольких кругов была большей 100, а сумма их площадей - меньше 0,01? 268 45. Найдите площадь общей части двух кругов, радиусы которых равны 1 и \/з, а расстояние между их центрами - 2. 46. Вершины правильного шестиугольника, сторона которого равна 2, являются центрами кругов с радиусами, равными у/2. Найдите площадь части шестиугольника, расположенной вне этих кругов. 47. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1, считая от вершины. В каком отношении делит эта прямая две другие стороны треугольника? 48. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см, проведена касательная, параллельная его основанию. Вычислите длину отрезка касательной, ограниченного сторонами треугольника, если длина высотах, проведенной к основанию, 8 см. 49. Сумма острых углов трапеции составляет 90°, высота трапеции равна 2 см, основания - 12 см и 16 см. Найдите боковые стороны трапеции. 50. Большее основание трапеции является диаметром описанной вокруг нее окружности радиуса R. Острый угол трапеции - а. Определите площадь трапеции. 51. Равнобокая трапеция описана вокруг окружности. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 8 см и 18 см. 52. Прямоугольная трапеция описана вокруг круга. Найдите площадь круга, если основания трапеции равны 2 см и 6 см. 53. Центр вписанной в трапецию окружности удален от концов меньшего основания на 156 см и 100 см, а от концов боковой стороны - на 156 см и 65 см. Вычислите площадь трапеции. 54. Диагональ трапеции, вписанной в окружность радиуса R, образует с боковыми сторонами угл^1 а и 2а. Определите площадь трапеции. 55. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 24 см и 25 см, а большая диагональ является биссектрисой острого угла. Вычислите площадь трапеции. 56. Определите острый угол ромба, если его площадь равна 8 см2, а площадь вписанного в него круга - тг см2. 57. Высота ромба равна 6 см, одна из диагоналей - 10 см. Найдите площадь ромба. 58. В параллелограмме биссектриса острого угла, равного 30°, делит противоположную сторону на отрезки 6 см и 4 см, начиная от вершины тупого угла. Вычислите площадь параллелограмма. 59. В окружность вписан квадрат, а в квадрат - окружность. Площадь кольца, ограниченного окружностями, равна 9л см2. Найдите сторону квадрата. 60. Круг и квадрат имеют одинаковые площади. В круг вписали квадрат, а в квадрат - круг. Что больше: площадь квадрата, вписанного в круг, или площадь круга, вписанного в квадрат? 61. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки правильного шестиугольника до прямых, содержащих его стороны, - величина постоянная для данного шестиугольника и не зависит от выбора точки на шестиугольнике. Найдите это расстояние, если сторона шестиугольника равна 4%/3. Для любознательных Докажите, что площадь арбелоса Архимеда (внутренняя часть плоскости, ограниченная тремя полуокружностями, центры которых лежат на одной прямой, а диаметр большей полуокружности равен сумме диаметров меньших полуокружностей - см. рис.) можно вычислить по формуле — nCD2- D 269 62. Шестиугольник вписан в окружность. Три его стороны, взят^хе через одну, равны 5 см каждая, а остальные стороны по 3 см. Найдите длину окружности. 63. Диагонали выпуклого чет^хрехугольника равны 10 см и 12 см. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон этого чет^хрехугольника, равны. Найдите площадь четырехугольника. 64. Диагонали выпуклого чет^хрехугольника равны. Отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны 6 см и 8 см. Найдите площадь четырехугольника. 65. Из точки вне окружности к ней провели секущую и касательную. Сумма их длин равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Вычислите длины секущей и касательной. 66. Касательная и секущая, проведенные к окружности из одной точки, равны 20 см и 40 см соответственно. Секущая удалена от центра окружности на 8 см. Найдите радиус окружности. _ 67. Докажите, что для вписанного четырехугольника произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. 68. Внутри окружности радиуса 13 см задана точка М, удаленная от центра окружности на 5 см. Через точку М проведена хорда АВ = 25 см. Найдите длину большего из отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. 69. В угол вписана окружность с центром О. Она касается сторон угла в точках А и В. Найдите радиус окружности, если точка О удалена от вершины угла на расстояние b и АВ = а. 70. В угол 60° вписаны две окружности, которые касаются друг друга и сторон угла. Найдите отношение радиусов этих окружностей. 71. Найдите внутренние углы чет^хрехугольника, если его внешние угл^1 относятся как 8 : 2 : 5 : 3. 72. Найдите площадь чет^хрехугольника с вершинами в точках пересечения биссектрис углов параллелограмма, если стороны этого параллелограмма равны 3 м и 1 м, а один из его углов равен 150°. 73. В круге радиуса 1 см проведена хорда длиной 1 см. Найдите площади частей круга, на которые он разделен данной хордой. 74. В круговой сектор с центральным углом а вписана окружность. Найдите радиус окружности, если радиус сектора равен R. 75. К окружности радиуса R проведены касательные, угол между которыми равен <р. Найдите площадь фигуры, которую образуют отрезки касательных и меньшая дуга окружности, ограниченная точками касания. 76. Расстояние между центрами двух касающихся внутренним образом окружностей равно d. Касательная, проведенная к меньшей окружности из центра большей, образует с линией центров этих окружностей угол а. Найдите радиус большей окружности. 77. Две окружности с радиусами йиг(Д>г) касаются друг друга внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная - точки касания с окружностями В и С. Найдите: а) длину отрезка ВС; б) длину отрезка общей внутренней касательной данных окружностей, ограниченного ВС и точкой А; в) радиус окружности, касающейся обеих заданных окружностей и ВС; г) расстояние от точки А до прямой ВС; д) меру угла ВАС. 78. Найдите острый угол ромба, сторона которого равна среднему геометрическому его диагоналей. 79. Найдите угол между диагоналями параллелограмма ABCD, еслиА(5; 1), В(1; 2), С(3; 5). 80. Найдите длину отрезка, один из концов которого имеет ординату 8, а второй - абсциссу 6, если точка М(-1; 4) принадлежит отрезку и делит его в отношении 1 : 5. 81. Точки А(1; 5) и В(3; 1) симметричны относительно прямой п. Найдите уравнение прямой п. 82. Найдите расстояние между прямыми 5х - 6у + 11 = 0 и 5х - 6у - 1 = 0. 270 83. Найдите уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки (0; 5) и прямой х = —1,5. 84. Запишите уравнение касательных, проведенных к окружности + (у + I)2 = 6 и , проходящих через точку: а) А(0; 10); б) В(5; 6). 85. Составьте уравнение: а) прямой, симметричной прямой 2х - Зу = 4 относительно точки М(3; -6); б) прямой, полученной поворотом прямой 2х - Зу = 4 вокруг точки (2; 1) на угол 90°; в) окружности, симметричной окружности (х - 3)2 + + (у + I)2 = 7 относительно точки М(3; -6). 86. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) высоты пересекаются в точке Н. Разложите вектор АН по векторам АВ и АС, если ZBAC = а. _______ 87. ABCDE - правильний пятиугольник. Разложите вектор АС по векторам АВ и АЕ. 88. Запишите уравнение прямой, полученной поворотом прямой 2х - Зу + 5 = 0 на 45° против часовой стрелки вокруг начала координат. 89. Составьте уравнение окружности, в которую преобразуется окружность х2 + у2 - 2х + 6у = 6 при повороте вокруг начала координат на 45°. 90. Параллельный перенос переводит кривую х2 + у2 = 2(2 + 2у - х) в кривую х2 +у2 = = 2(2 + 2х + у). Запишите уравнение образа прямой 4х - 5у + 1 = 0, полученной в результате такого преобразования. 91. В треугольнике ABC: АВ = ВС = 6, АС = 4. Найдите ВС ВС, АВ АС, СВ СА. 92. При гомотетии с коэффициентом к < 0 и центром Р окружность х2 + у2 + 4х + + 6у + 9 = 0 отображается в окружность х2 + у2+10х+ 24 = 0. Найдите координат^! точки Р. 93. Постройте параллелограмм по стороне, высоте и диагонали. 94. Постройте треугольник по высоте, отношению отрезков, на которые эта высота делит сторону треугольника, и углу при вершине, из которой высота проведена. 95. Постройте треугольник по стороне, сумме двух других сторон и высоте, опущенной на одну из этих двух сторон. 96. Постройте отрезок заданной длины, параллельный данной прямой с концами на двух данных окружностях. 97. Постройте квадрат с центром в данной точке, чтобы середины двух его соседних сторон принадлежали данной прямой, а двух других - данной окружности. 98. Постройте треугольник по двум заданным сторонам и разности противолежащих углов. 99. Постройте ромб с центром симметрии в данной точке и вершинами на трех данных прямых. 100. Постройте прямоугольник по данному отношению сторон, если задано по одной точке на каждой его стороне. Для любознательных В человеческом обществе, где геометрия занимает исключительное положение, как это наблюдается сегодня, искусство и мысль не могут быть отделены от этого геометрического и математического феномена. Я думаю, что никогда до сих пор мы не жили в такой геометрический период... Все вокруг - геометрия. Никогда мы не видели настолько ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, воплощенных так выразительно, заботливо и уверенно. Модернизм тем особенно ценен, что показал мир в совершенно новом виде - другие века не могли так «украшаться». Ле Корбюзье Архитектурный проект Ле Корбюзье. Капелла Нотр-Дам-дю-0 в г. Роншане (Франция) 271 СЛОВАРИК Аксиомы стереометрии - утверждения стереометрии, которые принимаются без доказательства (стр. 182). Аналитическая геометрия - раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур с помощью системы координат (стр. 9). Аполлония Пергского окружность - геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек является величиной постоянной (любая окружность является окружностью Аполлония) (стр. 78, 211, 221). Гамильтона формула (теорема Эйлера) -выражение ОН = ОА + О В + ОС, где О Н - центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC (стр. 163). Гармоническая четверка точек - чет^1ре точки прямой А, В, С, D, для которых АС ВС „ „ 1 равно 2 или -, отношение ADBD или -1 (стр. 221, 233). 2 Вектор - направленный отрезок (стр. 146); - вектор-нормаль к прямой - вектор, перпендикулярный к прямой (стр. 166) - коллинеарные - векторы, лежа- щие на одной прямой или на параллельных прямых; делятся на противоположно направленные и сонаправ-ленные(стр. 147);__ - модуль вектора АВ - длина отрезка АВ (стр. 147, 156); - нулевой вектор - вектор, начало и конец которого совпадают, его длина и координат^! равны нулю (стр. 147); - произведение вектора на число (стр. 150, 159); - противоположные векторы - векторы, длины которых равны, а направления противоположны (стр. 147); - равные векторы - сонаправленные, равные по модулю векторы (стр. 148, 156), координаты их равны; -разложить вектор по двум некол-линеарным векторам - представление векторов в виде суммы двух векторов (стр. 154); - разность двух векторов - сумма первого вектора и вектора, противоположного второму (стр. 152, 160); - сумма двух векторов - вектор, образованный из этих векторов по правилу треугольника или параллелограмма (стр. 151, 152). Вневписанная окружность - окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжения двух других его сторон (стр. 62, 63, 279, 281). Г Гексаэдр - шестигранник (стр. 190); - правильный гексаэдр - куб (стр. 189) Геометрическое место точек - совокупность (множество) всех точек, которые удовлетворяют определенному условию (форзац, стр. 129, 210). еометрическое преобразование -взаимно однозначное соответствие, которое устанавливается между двумя фигурами как совокупностями точек (стр. 111); - обратное данному - геометрическое преобразование, при котором прообраз и образ меняются местами (стр. 111). Герона формула - формула для вычисления площади треугольника через длины трех его сторон (стр. 60, 63). Гипербола — геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) является величиной постоянной (стр. 213). Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k - геометрическое преобразование, которое переводит произвольную точку А фигуры-прообраза в точку А, фигуры-образа так, что точки А и Aj лежат на одной прямой, причемА!0 = |^|А0(стр. 113). Группа симметрии фигуры - множество геометрических преобразований, которые переводят данную фигуру саму в себя (стр. 124). Движение - геометрическое преобразование, которое сохраняет расстояния между парами точек фигуры (сохраняет форму и размеры фигуры) (стр. 111). Декартова прямоугольная система координат - 1) оси координат, которые пересекаются под прямым углом 272 в начале отсчета и на которых заданы единичные отрезки; 2) взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел - ее координатами (стр. 9, 10). Деление отрезка в крайнем и среднем отношении - деление отрезка по принципу золотого сечения (стр. 92, 224). Додекаэдр - двенадцатигранник (стр. 190). Достаточное условие - признак определенного множества фигур (7 кл.). Жергона теорема - теорема о пересечении трех чевиан треугольника в одной точке (стр. 70). Задача Аполлония - задача о построении окружности, касательной к трем данным элементам из множества: «окружности, прямые, точки» (касание окружности и точки означает, что окружность проходит через эту точку) (стр. 235, 240, 241, 243). Золотое сечение - деление целого на две неравные части, при котором целое относится к большей части так, как большая часть - к меньшей (стр. 224). Икосаэдр - двадцатигранник (стр. 190). Инверсия - преобразование относительно окружности инверсии с центром О (центр инверсии) и радиусом г (г2 -степень инверсии) (стр. 236). Инцентр треугольника - точка пересечения его биссектрис (стр. 279). Конус прямой круговой - пространственная фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (оси конуса) (стр. 202). Координатная плоскость (декартова плоскость, плоскостьл;i/, или (хОу)) -плоскость, на которой задана декартова система координат (стр. 10). Координаты вектора - коэффициент^! разложения вектора по координатным векторам (стр. 155). Координатные векторы (орты) в декартовой системе координат - векторы е~1 и ег - единичные векторы, принадлежащие координатным осям и сонаправленные с ними (стр. 155). Косинусов теорема - теорема, которая доказывает формулу для квадрата длины одной стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (стр. 51). Косинусов теорема для чет^хрехуголь-ника - теорема, которая доказывает формулу для вычисления квадрата стороны чет^хрехугольника через квадрат^! длин его других сторон и косинусы его углов (стр. 175). Круг - внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью (стр. 103). Куб - правильный шестигранник (стр. 189). Лейбница теорема - теорема о сумме квадратов расстояний от произвольной точки плоскости треугольника до вершин этого треугольника и его центроида (стр. 177). Метод векторный - метод решения задач с помощью введения векторов (стр. 160, 170, 171). Метод геометрических преобразований - метод решения задач с помощью геометрических преобразований (стр. 127, 227). Метод инверсии - метод решения задач с помощью преобразования инверсии (стр. 237, 240). Метод координат - метод решения геометрических задач введением системы координат (стр. 75, 210, 215). Метод математической индукции — метод доказательства правильности бесконечной последовательности утверждений (стр. 246). Метод площадей - использование понятия площади как вспомогательного элемента для доказательства теорем и решения задач (стр. 67). Метод прокола - метод представления вектора АВ с помощью произвольной точки X: АХ + ХВ или Хв - ХА (стр. 153). Метрические свойства - свойства, которые устанавливаются измерением (стр. 232). Многогранник - внутренняя часть пространства, ограниченная многоугольниками (гранями) (стр. 188). Многоугольник - внутренняя часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, которая не пересекает сама себя (8 кл.); 273 - одноименные многоугольники — многоугольники с одинаковым числом вершин (стр. 85, 88); - подобные многоугольники — многоугольники, которые переходят друг в друга преобразованием подобия (стр. 121); - правильный - многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны (стр. 85). Мора—Маскерони построение - геометри ческое построение, которое выполняется только циркулем (стр. 235, 238). Наклонная к плоскости - отрезок, который соединяет определенную точку пространства (не лежащую в заданной плоскости) с точкой плоскости и который не является перпендикуляром к этой плоскости (стр. 185). Необходимое условие - свойство определенного множества фигур (7 кл.). Окружность - ГМТ плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра окружности) (7 кл.); - уравнение окружности - уравнение, которому удовлетворяют координат^! всех точек заданной окружности и не удовлетворяют координат^! всех точек, которые не принадлежат ей (стр. 12). Октаэдр - восьмигранник (стр. 190). Ортоцентр треугольника - точка пересечения его высот (стр. 64, 129, 163, 164, 279). Ортоцентрический треугольник - треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника (стр. 117). Осевая симметрия - см. преобразование симметрии относительно прямой. Основные фигуры стереометрии - фигуры, понятия которых принимаются без определения (стр. 182). Основные элементы треугольника — множество его сторон и внутренних углов (стр. 55). Ось абсцисс - ось Ох в декартовой системе координат (стр. 10). Ось ординат - ось Оу в декартовой системе координат (стр. 10). Ось симметрии фигуры - см. преобразование симметрии относительно прямой. Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки (фокуса) и от некоторой прямой (директрисы) (стр. 213). Параллелепипед - призма, образованная шестью параллелограммами, которые попарно равны и параллельны (стр. 193); - прямоугольный - параллелепипед, образованный шестью прямоугольниками (стр. 194). Параллельный перенос - преобразование, при котором две произвольные точки А и В фигуры-прообраза переходят в точки Aj и Вх фигуры-образа так, что чет^1рехугольник АВВ^АХ является параллелограммом или отрезком (стр. 111, 132). Паскаля теорема - теорема о точках пересечения прямых, которые содержат три хорды окружности (стр. 50, 53). Перпендикуляр к плоскости, проведенный из данной точки - отрезок перпендикулярной к этой плоскости прямой, ограниченный заданными точкой и плоскостью (стр. 184). Пика формула - формула для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки (стр. 90). Пирамида - пространственная фигура, образованная треугольниками (боковыми гранями), которые сходятся в определенной точке (вершине) и имеют по одной общей стороне с плоским многоугольником (основанием) (стр. 198). Плоскости параллельные - плоскости, которые не имеют общих точек (стр. 185). Плоскости перпендикулярные - называются плоскости, если плоскость, перпендикулярная к линии пересечения данных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (стр. 185). Подобные треугольники - треугольники, углы которых равны, а против равных углов лежат пропорциональные стороны (стр. 114). Подобные фигуры - фигуры, которые переводятся друг в друга преобразованием подобия (стр. 114). 274 Полярная система координат - система координат на плоскости, заданная полюсом (точкой), полярной осью (полупрямой) и полярным углом (углом между полярной осью и полярным радиусом, который откладывается против часовой стрелки) (стр. 140). Полярные координаты точки - полярный радиус и полярный угол точки в полярной системе координат (стр. 140). Преобразование поворот с центром в точке О на угол а - геометрическое преобразование, которое переводит произвольную точку А фигуры-прообраза в точку А, фигуры-образа так, что А и А, расположены на одном расстоянии от точки О и /АОА^х = а (стр. 112, 141). Преобразование подобия - преобразование одной фигуры в другую, при котором отношение расстояния между двумя произвольными точками одной фигуры к расстоянию между двумя соответствующими точками второй фигуры - постоянно; это число называют коэффициентом подобия (стр. 114). Преобразование симметрии относительно прямой (оси симметрии) - переводит произвольную точку А фигуры-прообраза в точку А^ фигуры-образа так, что точки АиА^ лежат на одной прямой, перпендикулярной к оси симметрии, и на одинаковом расстоянии от нее (стр. 112, 135). Преобразование симметрии относительно точки О (центра симметрии) - геометрическое преобразование, которое переводит произвольную точку А фигуры-прообраза в точку А^ фигуры-образа так, что точки А, 0,А^ лежат на одной прямой и АхО = АО (стр. 112, 136). Призма - многогранник, две грани которого (основания) равные и параллельные плоские многоугольники, а другие грани (боковые) - параллелограммы (стр. 193). Пространственные формы - трехмерные геометрические фигуры (стр. 181). Прямая, перпендикулярная к плоскости - прямая, перпендикулярная к любой прямой этой плоскости (стр. 184). Птолемея неравенство - неравенство для сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника (стр. 89). Птолемея теорема - равенство произведения диагоналей вписанного чет^1-рехугольника сумме произведений его противолежащих сторон (форзац, стр. 54). Равновеликие фигуры - фигуры, которые имеют равные площади (8 кл.). Равносоставленные фигуры - фигуры, которые можно поделить на одно и то же число попарно равных фигур (8 кл.). Равные фигуры - фигуры, которые можно совместить наложением (7, 8кл.); фигуры, которые преобразуются друг в друга движением (стр. 115). Радиан - единица измерения угла, к радиан равно 180° (стр. 99). Радианная мера угла - измерение центрального угла окружности через отношение длины дуги, на которую опирается этот угол, к его диаметру; единица измерения - радиан (стр. 99). Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к заданной плоскости (стр. 185). Расстояние от точки до прямой на координатной плоскости - формула для вычисления длины соответствующего отрезка через координата! заданной точки и коэффициентах прямой, уравнение которой записано в общей форме (стр. 168, 169). Решение треугольника - вычисление сторон и углов треугольника по трем его основным элементам (если треугольник определен) (стр. 55). Сегмент - внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью и ее секущей (стр. 104). Сектор - часть центрального угла окружности, которую ограничивает соответствующая ему дуга (стр. 103). Синусов теорема - теорема об отношении длины стороны треугольника к синусу противоположного этой стороне угла (стр. 46, 52). Скалярное произведение двух векторов - сумма произведений соответ- 275 ствующих координат этих векторов (стр. 165). Скалярный квадрат - скалярное произведение вектора самого на себя (стр. 165). Скрещивающиеся прямые - прямые, которые не имеют общих точек и через которые нельзя провести плоскость (стр. 184). Софизм - специально сформулированное ошибочное умозаключение (стр. 30, 55, 56). Спираль Архимеда - линия, заданная уравнением р = аф в полярной системе координат (стр. 140). Стереометрия - раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве (стр. 181). Сфера - поверхность шара (стр. 203). Тело вращения - пространственная фигура, образованная вращением плоской фигуры вокруг определенной оси (стр. 201). Тетраэдр - четырехгранник (стр. 189, 199). Треугольник определен - если по данным элементам можно построить конкретный треугольник (стр. 55). Три знаменитые геометрические задачи древности - квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла (стр. 243). Угол между двумя векторами - с общим началом — угол между полупрямыми, на которых лежат данные векторы (стр. 165); - не имеющими общего начала, - угол между равными им векторами, которые имеют общее начало (стр. 165). Угол между двумя окружностями (которые пересекаются) - угол между касательными к этим окружностям, проведенными через общую точку окружностей (стр. 239). Условие принадлежности трех точек одной прямой (необходимое и достаточное) — свойство и признак соответствующего ГМТ (стр. 26, 28, 161). Фигура-образ - совокупность точек, которая отвечает фигуре-прообразу при геометрическом преобразовании (стр. 111). Фигура-прообраз - исходная совокупность точек при геометрическом преобразовании (стр. 111). Центр правильного многоугольника -точка, совпадающая с центром вписанной и описанной окружностей этого многоугольника (стр. 87). Центроид треугольника (центр тяжести треугольника) - точк