Учебник Геометрия 7 - 9 класс Атанасян

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Геометрия 7 - 9 класс Атанасян - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ первый признак Если AB = AiBi, АС = AiCi, /LA = AAi, то ААВС = AAiBiCi L i. .r-i ТТ~5Г1 второй признак С Если ВС = В,Cl, АВ = ZBi, АС = АСу, то ААВС = A-4iBiCi третий признак Cl Если АВ = А^В„ ВС = ВуС^, АС = А^С^, то AABC = AA^BiCi > ,:/q ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ третий признак то AABC^AAiBiCi ФГОС Геометрия КЛАССЫ Учебник для общеобразовательных организаций 2-е издание Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Г36 А в т о р ы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина Издание подготовлено под научным руководством академика А. Н. Тихонова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/583 от 14 10.11) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-346 от 17.10.11) Геометрия. 7—9 классы : учеб, для общеобразоват. органи-Г36 заций / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2014. — 383 с. : ил. — ISBN 978-5-09-032008-5. Содержание учебника позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС основного общего образования. Учебник включает трёхступенчатую систему задач, а также исследовательские задачи, темы рефератов, список рекомендуемой литературы, что позволит учащимся расширить и углубить свои знания по геометрии. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 ISBN 978-5-09-032008-5 Издательство «Просвещение», 2013 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены I Дорогие семиклассники! Вы начинаете изучать новый предмет — геометрию и будете заниматься ею пять лет. Что это такое — геометрия? Геометрия — одна из самых древних наук, она возникла очень давно, ещё до нашей эры. В переводе с греческого слово ♦ геометрия» означает «землемерие» («гео» —по-гречески земля, а «метрео» — мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей, а в дальнейшем сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур. На уроках математики вы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол (рис. 1), как они могут быть расположены относительно друг друга. Вы знакомы с такими фигурами, как треугольник, прямоугольник, окружность, круг и др. (рис. 2); знаете, как измеряются отрезки с помощью линейки с миллиметровыми делениями и как измеряются углы с помощью транспортира. Но всё это лишь самые первые геометрические сведения. Теперь вам предстоит расширить и углубить ваши знания о геометрических фигурах. Вы познакомитесь с новыми фигурами и со многими важными и интересными свойствами уже известных вам фигур. Вы узнаете о том, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности. Во всём этом вам поможет учебник и, конечно, учитель. Точка Луч Отрезок Угол Рис. 1 Треугольник Окружность Прямоугольник Круг Рис. 2 Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких, как параллелепипед, шар, цилиндр (рис. 3). Мы начнём изучение геометрии с планиметрии. В процессе изучения геометрии вы будете доказывать теоремы и решать задачи. Что такое «теорема» и что значит «доказать теорему» — об этом вы скоро узнаете. Ну а что такое задача — вам известно, на уроках математики вы решали разные задачи. В нашем учебнике геометрии много задач: есть задачи и практические задания к каждому параграфу, дополнительные задачи к каждой главе и, наконец, задачи повышенной трудности. Основными являются задачи к параграфу. Более трудные задачи отмечены звёздочкой. Задачи, отмеченные знаком □, имеют электронную версию Ч В конце книги к задачам даны ответы и указания. Всем, кто проявит интерес к геометрии, кому понравится решать задачи и доказывать теоремы, мы советуем порешать не только обязательные задачи, но и задачи со звёздочкой, дополнительные задачи и задачи повышенной трудности. Решать такие задачи непросто, но интересно. Не всегда удаётся сразу найти решение. В таком случае не унывайте, а проявите терпение и настойчивость. Радость от решения трудной задачи будет вам наградой за упорство. Не бойтесь заглядывать вперёд, читать те параграфы, которые ещё не проходили в классе. Задавайте вопросы учителю, товарищам, родителям. Доброго вам пути, ребята! Прямоугольный параллелепипед * Единая коллекция ЦОР. Набор ЦОР к учебнику «Геометрия. 7—9 классы» авторов Л. С. Атанасяна и др. Электронный адрес school-collection.edu.ru. Глава I Начальные геометрические сведения В этой главе речь пойдёт о простейших геометрических фигурах-точках, прямых, отрезках, лучах, углах. С ними вы познакомились на уроках математики в 5 и 6 классах. К тому, что вы знаете об этих фигурах, мы добавим новые сведения, и они послужат нам опорой для изучения в следующих главах свойств более сложных фигур. Ещё мы расскажем о практических приложениях геометрии — о том, как геометрия помогает прокладывать прямолинейные дороги и как проводится измерение углов на местности. Прямая и отрезок 1 Точки, прямые, отрезки Вспомним, что нам известно о точках и прямых. Мы знаем, что для изображения прямых на чертеже пользуются линейкой (рис. 4), но при этом можно изобразить лишь часть прямой, а всю прямую мы представляем себе простирающейся бесконечно в обе стороны. Обычно прямые обозначают малыми латинскими буквами, а точки — большими латинскими буквами. На рисунке 5 изображены прямая а и точки А, В, С и D. Точки А и В лежат на прямой а, а точки С и Z) не лежат на этой прямой. Можно сказать, что прямая а проходит через точки А и jB, но не проходит через точки С и D. Отметим, что через точки А и В нельзя провести другую прямую, не совпадающую с прямой а. Вообще, Р. I . I / I I I Рис. 4 Прямая и I Рис. 5 через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну *. ^ Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти точки, прямые различны. Начальные 5 геометрические сведения Рассмотрим теперь две прямые. Если они имеют общую точку, то говорят, что эти прямые пересекаются. На рисунке 6 прямые а и Ь пересекаются в точке О, а прямые р и q не пересекаются. Две прямые не могут иметь двух и более общих точек. В самом деле, если бы две прямые имели две общие точки, то каждая из прямых проходила бы через эти точки. Но через две точки проходит только одна прямая. Таким образом, можно сделать вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек. Прямую, на которой отмечены две точки, например Л и В, иногда обозначают двумя буквами: АВ или В А. Для краткости вместо слов «точка А лежит на прямой а» используют запись Аеа, а вместо слов «точка В не лежит на прямой а» — запись В^а, На рисунке 7, а выделена часть прямой, ограниченная двумя точками. Такая часть прямой называется отрезком. Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами. На рисунке 7, б изображён отрезок с концами А и В. Такой отрезок обозначается АВ или В А. Отрезок АВ содержит точки А и В и все точки прямой АВ, лежащие между Л и В. Рис. 6 а) Отрезок АВ б) Рис. 7 ,В 2 Провешивание прямой на местности Решим такую задачу: с помощью данной линейки построить отрезок более длинный, чем сама линейка. С этой целью приложим к листу бумаги линейку, отметим точки А и В и какую-нибудь точку С, лежащую между А и В (рис. 8, а). Затем В В D F 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 /■■i'-T—1—1—1—r-r f 1 1 1 I -т—1—h 0 1 2 3 4 5 в 7 8 9 10 11 12 13 14 16 0 1 2 3 4 6 в 7 8 9 10 11 12 13 14 16 а) б) Рис. 8 Глава I передвинем линейку вправо так, чтобы её левый конец оказался около точки С, и отметим точку D около правого конца линейки (рис. 8, б). Точки А, В, С и D лежат на одной прямой. Если мы проведём теперь отрезок АВ, а затем отрезок BD, то получим отрезок AD, более длинный, чем линейка. Аналогичный приём используется для «проведения» длинных отрезков прямых на местности. Этот приём заключается в следующем. Сначала отмечают какие-нибудь точки А и В. Для этой цели используют две вехи — шесты длиной около 2 м, заострённые на одном конце для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Третью веху ставят так, чтобы вехи, стоящие в точках А и В, закрывали её от наблюдателя, находящегося в точке А (точка С на рисунке 9). Следующую веху ставят так, чтобы её закрывали вехи, стоящие в точках В и С, и т. д. Описанный приём называется провешиванием прямой (от слова «веха»). Он широко используется на практике, например при рубке лесных просек, при прокладывании шоссейных или железных дорог, линий высоковольтных передач и т. д. Рис. 9 Практические задания Проведите прямую, обозначьте её буквой а и отметьте точки А и В, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и прямой а, используя символы е и ё. ^ Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и проведите прямые АВ, ВС и СА. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи. Начальные 7 геометрические сведения Отметьте точки А, Б, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых? Проведите прямую а и отметьте на ней точки А и В. Отметьте: а) точки М -а N, лежащие на отрезке АВ\ б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке АВ\ в) точки Б и S, не лежащие на’прямой а. Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой? □ На рисунке 10 изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С к D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на которых не лежит точка Б. В С Рис. 10 D Луч и угол 3 Луч Проведём прямую а и отметим на ней точку О (рис. 11). Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки о (на рисунке 11 один из лучей выделен цветной линией). Точка О называется началом каждого из лучей. Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч h на рисунке 12, а), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче (например, луч О А на рисунке 12, б). О -о~ Точка О разделяет прямую на два луча Рис. 1 1 4 Угол Напомним, что угол—^ это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. О о— Луч h а) Луч ОА 6) Рис. 12 8 Глава I На рисунке 13 изображён угол с вершиной О и сторонами кик. На сторонах отмечены точки А и Б. Этот угол обозначают так: Zhk, или ZAOB, или ZO. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны. На рисунке 14 изображён развёрнутый угол с вершиной С и сторонами р и д. Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол неразвёрнутый, то одна из частей называется внутренней, а другая — внешней областью этого угла (рис. 15, а). На рисунке 15, б изображён неразвёрнутый угол. Точки А, В, С лежат внутри этого угла (т. е. во внутренней области угла), точки D и Е — на сторонах угла, а точки Р и Q — вне угла (т. е. во внешней области угла). Если угол развёрнутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом. Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке 16, а луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Если угол АОВ развёрнутый, то любой луч ОС, не совпадающий с лучами ОА и ОБ, делит этот угол на два угла: АОС и СОВ (рис. 16, б). Угол Рис. 13 Развёрнутый угол Рис. 14 Внешняя область угла Рис. 15 Рис. 16 а) Луч ОС делит угол АОВ на два угла: г АОС и Z СОВ Начальные 9 геометрические сведения Практические задания 8 Проведите прямую, отметьте на ней точки А и В и на отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей АВ, ВС, СА, АС и ВА назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который является продолжением луча С А. 9 Начертите три неразвёрнутых угла и обозначьте их так: ZAOB, Zhk, ZM. 10 Начертите два развёрнутых угла и обозначьте их буквами. 11 Начертите три луча h, k и I с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами. 12 Начертите неразвёрнутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла. 13 Начертите неразвёрнутый угол. Отметьте точки А, В, М и N так, чтобы все точки отрезка АВ лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла. 14 Начертите неразвёрнутый угол АОВ и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла. 15 □ Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении двух прямых? 16 □ Какие из точек, изображённых на рисунке 17, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла? 17 Какие из лучей, изображённых на рисунке 18, делят угол АОВ на два угла? Рис. 18 Сравнение отрезков и углов 5 Равенство геометрических фигур Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Например, два одинаковых листа бумаги, две одинаковые книги, два одинаковых автомобиля. В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными. 10 Глава I На рисунке 19 изображены фигуры Ф, и Фа- Чтобы установить, равны они или нет, поступим так. Скопируем фигуру Фх на кальку. Передвигая кальку и накладывая её на фигуру Фг той или другой стороной, попытаемся совместить копию фигуры Ф1 с фигурой Фг. Если они совместятся, то фигура Ф1 равна фигуре Фг. Мы можем представить себе, что на фи-гуру Фг накладывается не копия фигуры Ф1, равная этой фигуре, а сама фигура Ф1. Поэтому в дальнейшем будем говорить о наложении самой фигуры (а не копии) на другую фигуру. Итак, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Рис. 19 6 Сравнение отрезков и углов На рисунке 20, а изображены два отрезка. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рис. 20, б). Если при этом два других конца также совместятся, то отрезки полностью совместятся и, значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке 20, в отрезок АС составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС < АВ). Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка. На рисунке 21 точка С — середина отрезка АВ. На рисунке 22, о изображены неразвёрнутые углы 1 и 2. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон (рис. 22, б). II а) б) В АС<АВ в) Рис. 20 В АС = СВ Точка С-середина отрезка АВ Рис. 21 Начальные геометрические сведения Рис. 22 Рис. 23 Неразвёрнутый угол СОВ составляет часть развёрнутого угла АОВ Если две другие стороны также совместятся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке 22,6 угол 1 составляет часть угла 2, поэтому Z1 90° (cm. рис. 116, 6). Проведём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла AiOjBi. Следовательно, либо .ZAOC-I-ZAiOiBj = = 180°, либо ZAOC = ZA,OiBi. В первом случае ZAOB = ZA,OiBi, во втором случае ZAOB + + ZAiOiBi = 180°. Теорема доказана. Рис. 116 64 Глава III Задачи 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С? Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи. Прямые а и 6 перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую Ы Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р. □ На рисунке 117 AD\\p и PQ\\BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ. □ Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы. □ На рисунке 118 прямые а, Ь и с пересечены прямой d, Zl = 42°, Z2 = 140°, Z3 = 138°. Какие из прямых а, Ь и с параллельны? □ Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и Ь секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого. □ Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и Ь. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и 6 в точках С и D. Докажите, что CO = OD. □ По данным рисунка 119 найдите Z1. Q ZABC = 70°, а ZBCD= 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися? □ Ответьте на вопросы задачи 206, если ZABC = 65°, а ZBCD= 105°. 3 Лтанасян. 7—9 1 Рис. 118 65 Рис. 119 Параллельные прямые 208 □ Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых се-куш;ей равна 50°. Найдите эти углы. 209 □ На рисунке 120 а || Ь, с || d, Z4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3. 210 Два тела и Pg подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А vi В (рис. 121). Третье тело подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р^ и Р^. (При этом АРу II ВРг II СР3.) Докажите, что ZACB = ZCAPy -I- ZCBP2. 211 □ Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны. 212 Прямые, содержащие высоты ААу и ВВу треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, ZC = 20°. Найдите угол АН В. Рис. 120 В Вопросы для повторения к главе III 1 Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными? 2 Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 3 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 4 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 5 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 6 Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых. 7 Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом. 8 Докажите, что через дацную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной. 9 Сформулируйте аксиому параллельных прямых. 10 Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую. 66 Глава III 11 Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. 12 Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным. 13 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 14 Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. 15 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°. 16 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами. 17 , Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. Дополнительные задачи 213 □ На рисунке 122 CE = ED, BE = EF и КЕ II AD. Докажите, что КЕ || ВС. 214 □ Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD II АВ. 215 □ По данным рисунка 123 найдите угол 1. 216 □ На рисунке 124 DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE. 217 □ Прямые а тл Ь параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую Ь. 218 Прямые а и Ь пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой 6? Ответ обоснуйте. 219* □ Даны две прямые а и Ь. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую Ь, то прямые а и Ь параллельны. Рис. 124 3* 67 Параллельные прялгые 220 □ Докажите, что если при пересечении двух прямых а и Ь секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и Ь пересекаются. 221 □ Даны треугольник АВС и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой. 222 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку А проведите прямую, параллельную прямой а. л * Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника В этой главе мы снова обращаемся к треугольникам и будем обсуждать различные их свойства, при этом большое внимание уделим прямоугольным треугольникам, т. е. таким треугольникам, у которых один угол прямой. Некоторые свойства прямоугольных треугольников находят практическое применение, например, в конструкциях уголковых отражателей, которые широко используются в различных устройствах — от велосипедов до космических аппаратов. Об этом также будет рассказано в данной главе. Сумма углов треугольника_________________ 31 Теорема о сумме углов треугольника Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему о сумме углов треугольника. Теорема Сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что ZA-l-Z5-l-ZC=180°. Проведём через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис. 125, а). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей ^•6, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому Z4 = Z1, Z5 = Z3. (1) Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, т. е. 69 в Рис. 125 Соотношения между сторонами и углами треугол ьн и ка Z4 + Z2 + Z5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: Z1 + Z2 + Z3 = 180°, или ZA + ZB ZC = 180°. Теорема доказана. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Обратимся к рисунку 125, б, на котором угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Так как Z4 -I- Z3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника (Z1+ Z2) + Z3 = 180°, то Z4 = Zl-l-Z2, что и требовалось доказать. 32 Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов не превосходит 90°, и поэтому каждый из них острый. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рис. 126, а). Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным (рис. 126, б). Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. На рисунке 126, в изображён прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Остроугольный треугольник а) Тупоугольный треугольник б) В Прямоугольный треугольник в) Рис. 126 223 Задачи □ Найдите угол С треугольника АВС, если: а) ZA = 65°, ZB = 57°; б) ZA = 24°, ZB = 130°; в) ZA = а, ZB = 2а; г) ZA = 60° + а, ZB = 60° - а. 70 Глава IV 224 □ Найдите углы треугольника АВС, если Z.A : ZB : ZC = = 2:3:4. 225 Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. 226 Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые. 227 □ Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним. 228 й Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°. 229 □ В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ZADC, если ZC = 50°. 230 □ Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ZAMB, если ZA = 58°, ZB = 96°. 231 □ Медиана AM треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. 232 Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом? 233 □ Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию. 234 □ Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника. 235 □ В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ZADB = 110°. Соотношения между сторонами и углами треугольника________ 33 Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника Теорема '.V . i -»'.l - ■ • *V В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. Соотношения между 71 сторонами и углами треугольника Доказательство 1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС (рис. 127, а). Докажем, что ZC > ZB. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 127,6). Так как ADZ1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z2>ZB. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ZC>Z1, Z1 = Z2, Z2>ZB. Отсюда следует, что ZC>ZB. 2) Пусть в треугольнике АВС ZC > ZB. Докажем, что АВ > АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ<АС. В первом случае треугольник АВС — равнобедренный, и, значит, ZC = ZB. Во втором случае ZB > ZC (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: ZC>ZB. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Теорема доказана. Следствие 1 В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета. Следствие 2 Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника). Докажем этот признак. Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если Рис. 127 72 Глава IV предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против неё, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный. 34 Неравенство треугольника Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АВ<АС + СВ. Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный стороне СВ (рис. 128). В равнобедренном треугольнике BCD Z1 = Z2, а в треугольнике ABD ZABD> Z1 и, значит, ZABD> Z2. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то АВ < AD. Но AD = AC + CD = AC + CB, поэтому АВ<АС + СВ. Теорема доказана. Следствие Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<АС + СВ, АС<АВ + ВС, ВС<ВА+ АС. Каждое из этих неравенств неравенством треугольника. называется В Задачи 236 Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ> ВС> АС; б) АВ = АС <ВС. 237 Сравните стороны треугольника АВС, если: а) ZA > ZB > ZC; б) ZA>ZB = ZC. Соотношения между 73 сторонами и углами треугольника 238 □ Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны. 239 □ Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины. 240 □ В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный. 241 □ Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный. 242 □ Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный. 243 □ Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА^ и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что AC = AD. 244 □ Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE — равнобедренный. 245 □ Через точку пересечения биссектрис ^ BBi и CCi треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = BM + CN. 246 □ На рисунке 129 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника АВС, ОЕ II АВ, OD II АС. Докажите, что периметр AEDO равен длине отрезка ВС. 247 □ На рисунке 130 АВ = АС, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС — равнобедренный; б) прямая О А проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему. 248 Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм? 249 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием? 250 □ Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см. 74 Глава IV 251 252 253 □ Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Решение Докажем, например, что в треугольнике АВС АВ>АС-ВС. Так как АВ + ВС > АС, то АВ > АС - ВС. □ Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника. □ Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника. Прямоугольные треугольники 35 Некоторые свойства прямоугольных треугольников Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников, которые устанавливаются с помощью теоремы о сумме углов треугольника. 1”. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. В самом деле, сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 2°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против утла в 30°, равен половине гипотенузы. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол А — прямой, ZB = 30° и, значит, ZC = 60° (рис. 131, а). Докажем, что АС = -ВС. 2 Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 131, (5. Получим треугольник BCD, в котором ZB = ZD = 60°, поэтому DC = BC. Но 75 в б) Рис. 131 Соотношения между сторонами и углами треугольника АС = Следовательно, АС = что и тре- бовалось доказать. 3°. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС (рис. 132, а). Докажем, что ZAEC = 30°. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 132, б. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (объясните почему), поэтому каждый из них равен 60°. В частности, ZDBC = 60°. Но ZDBC = 2ZABC. Следовательно, ZABC = 30°, что и требовалось доказать. б) Рис. 132 36 Признаки равенства прямоугольных треугольников Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. Далее, из второго признака равенства треугольников следует: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников. 76 Глава IV Теорема Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. Доказательство Из свойства 1“ п. 35 следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана. Теорема Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Доказательство Рассмотрим треугольники АВС и у которых углы С и Cl — прямые, АВ = АуВу, ВС = ВуСу (рис. 133, а, б). Докажем, что ААВС = = AAyBiCy. Так как ZC = ZCy, то треугольник АВС можно наложить на треугольник АуВуСу так, что вершина С совместится с вершиной Су, а стороны С А и СВ наложатся соответственно на лучи СуАу и CiB,. Поскольку СВ = СуВу, то вершина В совместится с вершиной By. Но тогда вершины А и А, также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой Аг луча СуАу, то получим равнобедренный треугольник АуВуА2, в котором углы при основании АуА.^ не равны (на рисунке 133, б ZA^ — острый, а ZAy — тупой как смежный с острым углом ВуАуСу). Но это невозможно, поэтому вершины А и Ai совместятся. а) 77 Рис. 133 Соотношения между сторонами и углами треугольника Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и AiBiCi, т. е. они равны. Теорема доказана. 37* Уголковый отражатель Мы знаем, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Это свойство лежит в основе конструкции простейшего уголкового отражателя. Прежде чем описать его устройство, рассмотрим следующую задачу. Задача Угол между зеркалами О А и ОВ равен 90°. Луч света, падающий на зеркало О А под углом а, отражается от него, а затем отражается от зеркала ОВ (рис. 134). Доказать, что падающий и отражённый лучи параллельны. Решение По закону отражения света падающий луч SM и луч MN составляют с прямой ОА равные углы а. Так как треугольник MON прямоугольный, то угол MNO равен 90° - а. Применяя опять закон отражения света, получаем, что луч MN и отражённый луч NT составляют с прямой ОВ равные углы. Обращаясь к рисунку 134, мы видим, что ZSMN = 180° - 2а, ZMNT = 180° - 2 (90° - а) = 2а, поэтому ZSMN + ZMNT = 180°. Следовательно, падающий луч SM и отражённый луч NT параллельны, что и требовалось доказать. Простейший уголковый отражатель представляет собой несколько зеркал, составленных так, что соседние зеркала образуют угол в 90°. На рисунке 135 в виде ломаной линии схематически изображён такой отражатель. Представим Рис. 134 * Здесь и в дальнейшем пункты, отмеченные звёздочкой, не являются обязательными. 78 Глава IV себе, что на этот отражатель падает пучок параллельных лучей (на рисунке эти лучи изображены чёрными линиями со стрелками). Тогда отражённые лучи будут параллельны падающим лучам (эти лучи изображены цветными линиями со стрелками). Таким образом, уголковый отражатель «возвращает назад» падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей. Это свойство уголкового отражателя используется в технике. Так, уголковый отражатель устанавливается на заднем крыле велосипеда для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар. Это даёт возможность водителю автомобиля видеть ночью идущий впереди велосипед. Отметим, что уголковый отражатель, используемый на практике, устроен более сложно, чем описанный простейший, но принцип его действия тот же, что и у простейшего уголкового отражателя. Уголковый отражатель был установлен на одной из отечественных автоматических станций, запущенных на Луну. С поверхности Земли участок Луны, на котором находилась автоматическая станция с уголковым отражателем, был освещён лучом лазера. Луч «вернулся» в то же место, где находился лазер. Измерив точное время от момента включения лазера до момента возвращения сигнала, удалось с весьма высокой точностью найти расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны. Задачи 254 Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника. 255 □ В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ про- ведена высота CF. Найдите ZECF, если ZD = 54°. Соотношения между сторонами и углами треугольника 79 256 U Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника. 257 □ В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+ АВ = 18 см. Найдите АС и АВ. 258 Li Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если АВ= 12 см. 259 U Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника. 260 □ Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника. 261 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны. 262 В треугольниках АВС и A,BiC, углы А и А, — прямые, BD и B^D^ — биссектрисы. Докажите, что ААВС = АА^В^Сх, если ZB = ZBi и BD = ByDx. 263 Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ZBMC = 140°. 264 Высоты AAi и ВБ, треугольника АБС пересекаются в точке М. Найдите ZAMB, если ZA = 55°, ZB = &1°. 265 В равнобедренном треугольнике АБС с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ZB= 112°. 266 На сторонах угла О отмечены точки А и Б так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О. 267 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника. 268 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу. 269 Докажите, что ЛАБС = ЛА,Б,С,, если ZA = ZA,, ZB = ZB, и ВН — ВхНх, где ВН и Б,//, — высоты ААВС и AA,B,Ci. 270 Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки. 80 Глава IV Построение треугольника по трём элементам 38 Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми Расстоянием между двумя точками мы назвали длину отрезка, соединяющего эти точки. Введём теперь понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми. Пусть отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М — любая точка прямой а, отличная от Н (рис. 136). Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы AM. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой. На рисунке 137 расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см. Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых. Теорема ■ ■■mill llllillilllil III Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Отрезок AM — наклонная к прямой а Рис. 136 81 Соотношения между сторонами и углами треугольника Доказательство Рассмотрим параллельные прямые а и Ь. Отметим на прямой а точку А и проведём из этой точки перпендикуляр АВ к прямой Ь (рис. 138). Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой Ь равно АВ. Проведём из точки X перпендикуляр XY к прямой Ь. Так как XY1Ь, то XY ±а. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (АУ — общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и Ь секущей АУ). Следовательно, XY = АВ. Итак, любая точка X прямой а находится на расстоянии АВ от прямой Ь. Очевидно, все точки прямой Ь находятся на таком же расстоянии от прямой а. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, всё время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми. Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой. Замечание 1 Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. (Докажите это самостоятельно.) Замечание 2 Из доказанной теоремы и ей обратной следует, что множество всех точек плоскости, на- 82 X а X 3— ^ В Рис. 138 Глава IV холящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. В самом деле, пусть а — данная прямая, d — данное расстояние. Отметим на прямой а произвольную точку А и проведём отрезок АВ длины d, перпендикулярный к прямой а; через точку В проведём прямую &, параллельную прямой а (сделайте соответствующий рисунок). По доказанной теореме все точки прямой Ь находятся на расстоянии d от прямой а, т. е. все они принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой Ъ. Таким образом, искомым множеством является прямая Ъ. Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, иногда называют геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать тем самым, что геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. На этом факте основано устройство инструмента, называемого рейсмусом (рис. 139, а). Рейсмус используется в столярном деле для разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллельный краю бруска (рис. 139, б). 39 Построение треугольника по трём элементам Задача 1 Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. 83 а) б) Рис. 139 Соотношения между сторонами и углами треугольника Решение Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить. Даны отрезки P\Qi, P2Q2 и угол hk (рис. 140, а). Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам PiQi и ^2^2» а угол А между этими сторонами равен данному углу hk. Проведём прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку PiQi (рис. 140, б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk (как это сделать, мы знаем). На луче AM отложим отрезок АС, равный отрезку ^2^2» и проведём отрезок ВС. Построенный треугольник АВС — искомый. В самом деле, по построению АВ = P^Q^, АС = P2Q2J ZA = Zhk. Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках P\Q\, P2Q2 и данном неразвёрнутом угле hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение. Задача 2 Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Решите эту задачу самостоятельно. Задача 3 Построить треугольник по трём его сторонам. I 4 I Р, Яг А В б) Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними Рис. 140 84 Глава IV Решение Пусть даны отрезки PiQ,, P2Q2 и P3Q3 (рис. 141, а). Требуется построить треугольник АВС, в котором AB = P^Q^, BC = P2Q2, CA = P3Qs. Проведём прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку PiQ\ (рис. 141,6). Затем построим две окружности: одну — с центром А и радиусом P3Q3, а другую — с центром В и радиусом РзЯз- Пусть точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС. В самом деле, по построению AB = PiQ^, ВС^РзЯз^ СА = РзЯз, т. е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам. Задача 3 не всегда имеет решение. Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам. Л|- -jQ, Р,Л- Рз I—ш—1Q3 IQ2 а) Построение треугольника по трём сторонам Рис. 141 Задачи 271 U Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой. 272 LI В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС. 273 и Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE. 274 Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон. 275 На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС. 276 и Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой. Соотношения между о5 сторонами и углами треугольника 277 Расстояние между параллельными прямыми а и Ь равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми Ь и с. 278 □ Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ZADC = 30°, AD = 6 см. 279* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. 280 Даны неразвёрнутый угол АВС и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ7 281 Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых? 282 Прямые а и Ь параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где X еа, Y еЬ, лежат на прямой, параллельной прямым а и & и равноудалённой от этих прямых. 283 Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой? А В Задачи на построение 284 □ Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми аир было равно АВ. Решение Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую Ь, перпендикулярную к прямой а (рис. 142). Затем на одном из лучей прямой Ь, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой Ъ. Прямая р — искомая (объясните почему). Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и на рисунке 143). 285 □ Даны пересекающиеся прямые а и Ъ и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой Ь на расстояние PQ. 286 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла. Рис. 143 D Ь Р L г а с Рис. 142 D Р ' С . а о] . Pi 86 Глава IV 287 □ Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой. 288 □ Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС так, чтобы: а) AB = PQ, ZABC = Zhk, ZB АС = ^Zhk; б) AB = PQ, ZABC = Zhk, ZB АС = -Zhk. 4 289 Даны два угла hk и и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы AB = PQ, ZA = Zhk, ZB = ^Zhjk^ 290 □ Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу. 291 □ Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой сто-рбне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию. 292 □ Даны отрезки P^Qi, P2Q2 и P3Q3. Постройте треугольник АВС так, чтобы: а) AB = PiQi, ВС = P2Q2f С А = 2P3Q3; б) AB = 2P,Q„ BC = P^Q2, СА = IP3Q3. Всегда ли задача имеет решение? 293 □ Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне. Решение Даны отрезки PiQi и P2Q2 и угол hk (рис. 144, а). Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, скажем АВ, равна отрезку PiQi, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку Рзвг-Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку P\Qi (рис. 144, б). Ях ^2 I___^___I Q2 Рис. 144 а) Соотношения между 87 сторонами и углами треугольника 294 295 Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от прямой ABj что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой АВ и находящаяся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ. Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 284. Очевидно, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: AB = PiQi, СН = P2Q2, ZA-Zhk. □ Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон. Вопросы для повторения к главе IV 1 Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника. 2 Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. 3 Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. 4 Какой треугольник называется остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным? 5 Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? 6 Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. 7 Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. 8 Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. 9 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника? 10 Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 11 Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 12 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 88 Глава IV 13 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 14 Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведённой из данной точки к данной прямой. 15 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. 16 Что называется расстоянием от точки до прямой? 17 Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. 18 Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми? 19 Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. 20 Что такое геометрическое место точек? Приведите пример. 21 Объясните, как построить треугольник: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам. 22 Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение? Дополнительные задачи 296 Р В равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол вое равен внешнему углу треугольника при вершине В. 297 На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС. 298 На рисунке 145 AD\\BE, АС-AD и ВС = ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой. 299 На рисунке 146 АВ = АС, АР = PQ = QR = = RB = BC. Найдите угол А. 300 Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон. 89 Рис.145 Рис.146 Соотношения между сторонами и углами треугол ьн и к а 301 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные AMj и АМг. Докажите, что: а) если НМ у = НМ^, то АМ^ = AM 2, б) если НМх < HMz, то АМ^ < АМг. 302 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные AMj и AMg. Докажите, что: а) если АМ^ = AMz, то HMi = HM2', б) если AMi< AMz, то НМ^<НМ2- 303* Докажите; что в треугольнике АВС медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС. 304* Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника АВС, то МВ + МС<АВ + АС. 305 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника. 306 Докажите, что если АВ = АС + СВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой. 307 В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы. 308 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ. 309 В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С. 310 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны. 311 Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудгшена от двух данных пересекающихся прямых? 312 Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон. 313* □ Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне. 314 Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и острому.углу; б) катету и противолежащему углу; в) гипотенузе и катету. 315 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°. 90 Глава IV 316* □ Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон. 317 □ Дан треугольник АВС. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE = AD + СЕ. 318 Дан равносторонний треугольник АВС и точка на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А^ и Cj так, чтобы треугольник AiB^C^ был равносторонним, 319* Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла. 320* Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне. 321* Дан треугольник АВС с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС. Задачи повышенной трудности 322 323 324 325 326 327 Задачи к главе 1 Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, а Ь — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой числа а и Ь? Длина отрезка АВ при единице измерения EiF^ выражается числом т, а при единице измерения E2F2 — числом п. Каким числом выражается длина отрезка при единице измере- ния E2F27 Пусть Zhk — меньший из двух смежных углов hk и М. Докажите, что 1 Рис. 147 Zhk = 90° - ^{Zhl - Zhk), Zhl = Ж + ^{Zhl - Zhk). □ Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 147). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой. Задачи к главе II 328 Точки Cl и С2 лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что АСу = ВС2 и ZBACi = ZABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка АВ. 329 Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны. 330 Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными? 331 Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными? Задачи повышенной, 92 трудности :iS2 Отрезки AB и CD пересекаются в точке О. Докажите, что OC = OD, если AC = AO = BO = BD. Задачи к главам III и IV 333 Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол вое, если угол А равен а. 334 Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны. 335 В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; ' б) каждый угол меньше суммы двух других углов. 3:?6 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны. 337 Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята такая точка М, что ZMBC = 30°, ZMCB = 10°. Найдите угол АМС, если ZBAC = 30°. 338 Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника. 339 Отрезок ВВ, — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что ВА>В^А и BC>BiC. 340 Внутри треугольника АВС взята такая точка D, что AD = АВ. Докажите, что АС>АВ. 341 В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ZADB> ZADC и BD>CD. 342 Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный. 343 Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол. 344 В треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, отрезок AM соединяет вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу. 345 Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что Задачи повышенной 93 трудности периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника АВС. 346 В треугольнике АВС, где АВ < АС, отрезок AD — биссектриса, отрезок АН — высота. Докажите, что точка Н лежит на луче DB. 347 Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины. 348 Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам. 349 Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный. 350 В треугольнике АВС высота АА^ не меньше стороны ВС, а высота BBi не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный. Задачи на построение Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на построение циркулем и линейкой. Она состоит из четырёх частей: 1) Отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть называется анализом задачи. Ангшиз даёт возможность составить план решения задачи на построение. 2) Выполнение построения по намеченному плану. 3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи. 4) Исследование задачи, т. е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений. В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, опускаются. Так мы поступали при решении простейших задач на построение. Рассмотрим теперь более сложные задачи. 351 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне. Решение Даны три отрезка MiN^, M2N2, M^Ng (рис. 148, а). Требуется, построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам и M2N2, а высота АН равна отрезку M^N^. Проведём решение задачи по описанной схеме. м. —I ЛГ, N3 а) б) Рис. 148 94 Задачи повышенной трудности Анализ Допустим, что искомый треугольник АВС построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника АВН. Поэтому построение треугольника АВС можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник АВН, а затем достроить его до всего треугольника АВС. Построение Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза АВ равна отрезку M^Ni, а катет АН равен данному отрезку M3N3. Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображён построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность радиуса M2N2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник АВС (рис. 149, б). Доказательство Треугольник АВС действительно искомый, так как по построению сторона АВ равна M^N^, сторона АС равна M2N2, а высота АН равна M^N^, т. е. треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Исследование Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M^Ni, M2N2, MaNg. В самом деле, если хотя бы один из отрезков M^Ni и M2N2 меньше M3N3, то задача не имеет решения, так как наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет а) в) Рис. 149 г) _ Задачи повышенной 95 трудности решения и в том случае, когда M^N^= M2N2 = (объясни- те почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если M^Ni > M3N2, а M2N2 = M3N2, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если MiiV, >МзЛ^з, а = то задача также име- ет единственное решение: в этом случае треугольник АВС равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если MiNi>M2N2, M2N2 > M3N3 и M^Ni Ф M2N2, то задача имеет два решения — треугольники АВС и АВС^ на рисунке 149, д. 352 Даны две точки А и В и прямая а, не проходяш;ая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудалённую от точек А и В. Всегда ли задача имеет решение? 353 □ Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача? 354 □ Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение? 355 □ Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма AM + МВ имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы АХ + ХВ, где X — любая точка прямой а, отличная от М. 356 й Постройте прямоугольный треугольник АВС, если даны острый угол В и биссектриса BD. 357 □ На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача? 358 □ Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача? 359 □ Дана окружность с центром О и точка А вне её. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и С таких, что АВ = ВС. 360 □ Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла. 361 S Постройте треугольник по периметру и двум углам. 362 Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон. Глава V Четырёхугольники До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников — треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов — фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев. Многоугольники 40 Многоугольник Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной. Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной. Концы ломаной ABCD ... FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой, и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника. Многоугольник с п вершинами называется п.-угольником; он имеет п сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и Рис.150 ^"“Лтпнасян. 7—9 кл. 97 Четырёхугольники в Рис. 151 Рис, 152 шестиугольник А1А2АзА4А^А^. Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки CxCj и С2С3 (а также С3С4 и CjCg) имеют общую точку. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника. На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником. 41 Выпуклый многоугольник Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рисунке 154 многоугольник Fi является выпуклым, а многоугольник F2 — невыпуклым. Рассмотрим выпуклый п-угольник, изображённый на рисунке 155,-а. Углы A„AiA2., А1А2А3, A„_iA„Ai называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму. Для этого соединим диагоналями вершину Aj с другими вершинами. В результате полу- Рис. 153 98 Глава V чим п-2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов п-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника А-^А^... А„ равна (л-2)-180°. Итак, сумма углов выпуклого п-угольника равна (л - 2) • 180°. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А1А2... А„ взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной 180° - Ai + 180° - Аг + ... + 180° - А„ = ' = л • 180° — (Aj -f А2 "I"... -l- A„) = = n ■ 180° - (n - 2) • 180° = 360°. Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°. а) б) Рис. 155 42 Четырёхугольник Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными. Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, а изображён выпуклый четырёхугольник, а на рисунке 156,6 — невыпуклый. Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 156, б). Так как сумма углов выпуклого п-угольника равна (л - 2) • 180°, то сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Рис. 156 4* 99 Четырёхугольники Задачи 363 Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагон£1ли. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник? 364 Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника. 365 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°? 366 Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм. 367 Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая — в три раза больше второй. 368 Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу. 369 Найдите углы А, Б и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ZA = ZB = ZC, а ZD = 135°. 370 Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5. Параллелограмм и трапеция 43 Параллелограмм Определение Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 157 изображён параллелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 378). Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма. 1“. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. А Рис. 157 100 Глава V Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона, Z1 = Z2 и Z3 = Z4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому AB = CD, AD = BC и ZB = ZD. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем ZA = Z1 + Z3 = Z2 + Z4: = ZC. В 2'*. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам {AB = CD как противоположные стороны параллелограмма, Z1=Z2 и Z3 = Z4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС и ОВ - OD, что и требовалось доказать. Рисунок 160 иллюстрирует все рассмотренные свойства. 44 Признаки параллелограмма Рассмотрим три признака параллелограмма. 1“. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны А В VI CD параллельны и AB = CD (см. рис. 158). Проведём диагональ АС, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: АВС и CDA. Эти треугольники равны по двум D Рис.158 В D Рис. 159 ги Свойства параллелограмма Рис. 160 101 Четырёхугольники сторонам и углу между ними (АС — общая сторона, AB = CD по условию, Z1 = Z2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому Z3 = Z4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD II ВС. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырёхугольник ABCD — параллелограмм. 2°. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники АВС и CDA (см. рис. 158). Эти треугольники равны по трём сторонам (АС — общая сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому Z1 = Z2. Отсюда следует, что AB\\CD. Так как AB = CD и АВ \\CD, то по признаку 1° четырёхугольник ABCD — параллелограмм. 3°. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ZAOB = ZCOD как вертикальные углы), поэтому AB = CD и Z1=Z2. Из равенства углов 1 и 2 следует’, что АВ || CD. Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1° четырёхугольник ABCD — параллелограмм. 102 Глава V 45 Трапеция Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 161). Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны (рис. 162, а). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 162, б). Основание Задачи 371 372 373 374 375 376 377 378 Прямоугольная трапеция б) Рис. 162 □ Докажите, что выпуклый четырёхуголь- трапеция ник ABCD является паргиллелограммом, а) если: а) ZBAC = ZACD и ZBCA = ZDAC\ б) АВ II СП, ZA = ZC. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в два раза больше другой. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ZC = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК =15 см, КС = 9 см. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Найдите углы параллелограмм;. ЛВСП, -^ли: а) ZA = 84°; б) ZA-ZB = 5o°; в) ZA¥ZC= 142 , . д) ZCAD = 16°, ZACD = 37°. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ZMNH = 30°. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. 703 Четырёхугольники Решение Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ II CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ. 379 й Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВфВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм. 380 На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что AM = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы. 381 На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы OiA и О2В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О1О2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и ОхО^ либо параллельны, либо лежат на одной прямой. 382 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A^B^CiD^, вершинами которого являются середины отрезков О А, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм. 383 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм. 384 Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC. Решение Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 164). Так как АМ = МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму при- 104 Глава V Рис. 163 В Рис. 165 знаку равенства треугольников (AM = CD, Z1=Z2 и Z3 = Z4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC. 385 Докажите теорему Фалеса^: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Решение Пусть на прямой li отложены равные отрезки A^Az, А2А3, А3А4, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую 1^ в точках Bj, В2, В3, В4, ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, ... равны друг другу. Докажем, например, что Рассмотрим сначала случай, когда прямые 1^ и Iz параллельны (рис. 165, а). Тогда A^Az = B^Bz и AzAz = BzBz как противоположные стороны параллелограммов A^B^BzAz и А2В2В3А3. Так как AiA2 = A2A3, то и B^Bz = BzB^. Если прямые Zj и ^ не параллельны, то через точку В, проведём прямую Z, параллельную прямой Zj (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и Z). Так как А,А2 = А2Аз, то по доказанному B^C = CD. Отсюда получаем: B^Bz = BzB^ (задача 384). Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т. д. 386 Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции. 387 Найдите углы В и В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ZA = 36°, ZC= 117°. 388 Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны. 389 Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны. * Фалес Милетский — древнегреческий учёный (ок. 625—547 гг. до н. э.). 705 Четырёхугольники 390 Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции. 391 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости. 392 □ Основания прямоугольной трапеции равны а и &, один из углов равен а. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, Ь = 7см, а = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, & = 15см, а = 45°. 393 □ Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали. Решение в) Даны три отрезка M2N2, (рис. 166, а). Требу- ется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам MiNi и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M^N^. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94. Анализ Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам MyN^, M2N2 и M^N^. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD. Построение Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам MyNy, M2N2 и (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм. Мг 1 Ny Мз Ш N, а) Рис. 166 в В 106 Глава V Доказательство По построению АВ || CD и ВС || AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам M^Ni и M2N2, а диагональ BD равна отрезку М3ЛГ3, т. е. паргшлелограмм ABCZ) — искомый. Исследование Ясно, что если по трём данным отрезкам MiNi, M2N2 и М^Мз можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39). 394 Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить? .395 Даны острый угол hk и два отрезка PiQi и Вз^г* Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между парал-прямыми АВ и DC равнялось BiQi, AB = P2Q2 и 396 397 398 лельными ZA = Z hk. Разделите данный отрезок АВ на п равных частей. Решение Проведём луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нём от точки А отложим последовательно п равных отрезков АА^, А^Аз, ..., ■^п-1-^п (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рисунке 167 п = 5). Проведём прямую А„В (точка А„ — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки Aj, Аз, ..., А„_1 и параллельные прямой А„В. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точ- ках Bj, В 2» В„_1, которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на п равных частей. □ Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD. □ Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям. 107 Четырёхугольники Прямоугольник, ромб, квадрат 46 Прямоугольник Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим особое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны. Действительно, обратимся к рисунку 168, на котором изображён прямоугольник ABCD с диагоналями АС и BD. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD = В А, AD — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т. е. АС = BD, что и требовалось доказать. Докажем обратное утверждение (признак прямоугольника). Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Пусть в параллелограмме ABCD диагонали АС и BD равны (см. рис. 168). Треугольники ABD и DC А равны по трём сторонам (AB = DC, BD = CA, AD — общая сторона). Отсюда следует, что ZA = ZD. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ZA = ZC и ZB = ZD. Таким образом, >ZA = ZB = ZC = ZD. Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, поэтому ZA +ZB + ZC + ZD = 360°. Следовательно, ZA = ZB = ZC = ZD = 90°, т. е. параллелограмм ABCD является прямоугольником. В 108 Глава V 47 Ромб и квадрат Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Наряду с ними ромб обладает особым свойством. Рассмотрим его. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Рассмотрим ромб ABCD (рис. 169). Требуется доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что ZBAC = ZDAC. По определению ромба все его стороны равны, в частности AB = AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, проведённая к основанию, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому АС 1BD и ZBAC = ZDAC, что и требовалось доказать. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные свойства квадрата. 1. Все углы квадрата прямые (рис. 170, а). 2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам (рис. 170, б). D Рис. 169 Г п С а) Свойства квадрата Рис. 170 709 Четырёхугольники 48 Осевая и центральная симметрии Две точки А и Ai называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА^ и перпендикулярна к нему (рис. 171, а). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. На рисунке 171, <5 точки М и М^, N и Ni симметричны относительно прямой Ь, а точка Р симметрична самой себе относительно этой прямой. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией. Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией (рис. 172). У неразвёрнутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат — четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба, разносторонний треугольник. Две точки А и Ai называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка AAi (рис. 173, а). Точка О считается симметричной самой себе. На рисунке 173, б точки М и Ml, N и Ni симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигу- >1. а) Рис. 171 Фигуры, обладающие осевой симметрией Рис. 172 по Глава V ры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис. 174). Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке 174), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник. Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля (рис. 175). С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией (рис. 176). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса. Рис. 173 Фигуры, обладающие центральной симметрией Рис. 174 Рис. 175 Игг Ir^ll т"”." 1 - II т Тг"Ч1' Рис. 176 111 Четырёхугольники }\ Задачи 399 □ Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником. 400 □ Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник. 401 Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм. 402 □ Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные. 403 В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если ZCAZ) = 30°, АС= 12 см. 404 □ Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 405 □ В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами. 406 Найдите периметр ромба ABCD, в котором Z.B = 60°, АС= 10,5 см. 407 Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если ОДИ1.' из углов ромба равен 45°. 408 Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам. 409 □ Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. 410 □ Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину? 411 □ В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат. 412 Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС=12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата. 413 □ Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями. 414 □ Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу. 7 72 Глава V 415 U Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали. 416 □ Даны две точки А w. В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой. 417 Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч? 418 Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е О, F? 419 □ Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии. 420 □ Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника. 421 □ Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ. 422 Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) лзгч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат? 423 Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К? Вопросы для повторения к главе V 1 Объясните, какая фигура называется ломаной. Что тат ое звенья, вершины и длина ломаной? 2 Объясните, какая ломаная называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, периметр и диагонали многоугольника? 3 Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника. 4 Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого л-угольника. 5 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. 6 Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины. 7 Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника? 8 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником? 9 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 10 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 11 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма. пз Четырёхугольники 12 Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции? 13 Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной? 14 Какой четырёхугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 15 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником. 16 Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 17 Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата. 18 Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой? 19 Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? 20 Какие две точки называются симметричными относительно данной точки? 21 Какая фигура называется симметричной относительно данной точки? 22 Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией. Дополнительные задачи 424 Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой. 425 Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении. 426 Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки. 427 Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. 428 В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. 429 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. П4 Глава V 430 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны. 431 Точка К — середина медианы AM треугольника АВС. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D, Докажите, что AD = -АС. 3 432 Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части. 433 Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла КВМ. 434 Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон. 435 Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон. 436 Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN. 437 На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС. 4^18 В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, ZB АС = ZCAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ZjD = 60°. 439* □ Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. 440* □ На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины. 441 Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии. 442 Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. 443 Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых? 444* □ Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры. 115 Четырёхугольники г. Глава VI Площадь Что такое площадь комнаты и как её вычислить, если пол в комнате имеет форму прямоугольника, понятно каждому. В этой главе речь пойдёт об измерении площадей многоугольников и будут выведены формулы, по которым можно вычислить площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Эти формулы нужны не только в геометрии, но и в практической деятельности. Кроме того, используя формулы площадей, мы докажем одну из важнейших и самых знаменитых теорем геометрии — теорему Пифагора. Площадь многоугольника 49 Понятие площади многоугольника Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, площадь садового участка — восьми соткам и т. д. В этой главе мы рассмотрим вопрос о площадях многоугольников. Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см^. Аналогично определяется квадратный метр (м^), квадратный миллиметр (мм^) и т. д. 7 76 Глава VI При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выра-укается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике. Рассмотрим примеры. На рисунке 177, а изображён прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равна 6 см^. В трапеции ABCD, изображённой на рисунке 177,6, квадратный сантиметр укладывается два раза и остаётся часть трапеции — треугольник CDE, в котором квадратный сантиметр не укладывается целиком. Для измерения площади этого треугольника нужно использовать доли квадратного сантиметра, например квадратный миллиметр. Он составляет 0,01 часть квадратного сантиметра. Это показано на рисунке 177,в, где квадратный сантиметр разбит на 100 квадратных миллиметров (этот рисунок, а также рисунок 177, г для большей наглядности даны в увеличенном масштабе). На рисунке 177, г видно, что квадратный миллиметр укладывается в треугольнике CDE 14 раз, и остаётся часть этого треугольника (она закрашена на рисунке), в которой квадратный миллиметр не укладывается целиком. Поэтому можно сказать, что площадь трапеции ABCD приближённо равна 2,14 см^. Оставшуюся часть треугольника CDE можно измерить с помощью более мелкой доли квадратного сантиметра и получить более точное значение площади трапеции. Описанный процесс измерения можно продолжить далее, однако на практике он неудобен. Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определённым формулам. Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас рассмотрим. 1 см в -t \ А 1 см Е D б) ... г г г : } -к 4— -j— 1 см в) Рис. 177 П7 Площадь Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и её части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т. е. имеет место следующее свойство: 1“, Равные многоугольники имеют равные площади. Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек, как показано на рисунке 178. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак: 2®. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Свойства 1° и 2° называют основными свойствами площадей. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков. Наряду с этими свойствами нам понадобится ещё одно свойство площадей. 3®. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а^. На рисунке 179 изображён квадрат, сторона которого равна 2,1 см. Он состоит из четырёх квадратных сантиметров и сорока одного квадратного миллиметра. Таким образом, площадь квадрата равна 4,41см^, что равно квадрату его стороны: 4,41 = (2,1)^. Доказательство утверждения 3° приведено в следующем пункте. ^ABODE ~ Sj? + Sq Р / \ А А М Q Smnpq- Sf + Sf + Sf^ Рис. 178 2,1 см 1 см 1. S = (2,1 смУ = 4.41 см^ Рис. 179 118 Глава VI Если площади двух многоугольников равны, то эти многоугольники называются равновеликими. Если один многоугольник разрезан на несколько многоугольников и из них составлен другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными. Например, прямоугольник со сторонами, равными 2 см и 3 см (см. рис. 177, а), равносоставлен с прямоугольником со сторонами, равными 1 см и 6 см. Ясно, что любые два равносоставленных многоугольника равновеликие (см. основные свойства площадей). Оказывается, что верно и обратное утверждение: если два многоугольника равновеликие, то они равносоставленные. Это утверждение называется теоремой Бойяи — Гервина. Венгерский математик Ф. Бойяи доказгш эту теорему в 1832 г., а немецкий математик-любитель П. Гер-вин независимо от Ф. Бойяи доказал её в 1833 г. 50* Площадь квадрата Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а^. ^ Начнём с того случая, когда а = —, где п — п целое число. Возьмём квадрат со стороной 1 и разобьём его на равных квадратов так, как показано на рисунке 180, а (на этом рисунке п = 5). Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна ^. Сторона каждого маленького квадрата рав-1 ” на —, т. е. равна а. Итак, п S = J,=fiY=a‘ \п) (1) Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую п знаков после запятой (в частности, число а может быть целым, и тогда п = 0). Тогда число т = а- 10" целое. Разобьём данный квадрат со стороной а на 119 а) 4-|- 1- _1_ 10" б) ■ о , а Л в) 10" Рис. 180 Площадь равных квадратов так, как показано на рисунке 180, б (на этом рисунке т = 7). При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на т равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна а _ а _ 1 m “ а-10" “ По формуле (1) площадь маленького квад- рата равна — I Ю" ) Следовательно, площадь S данного квадрата равна \2 / \2 т 1,10" j 1,10" ) I 10" J Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а„, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (п + 1)-го. Так как число а отличается от а„ не более чем на то а„ ^ а ^ а„ -f- 7^, откуда а 10" 2 ^ 1 Г и +----- 10" ) (2) Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со сторо- , 1 НОИ а„ и площадью квадрата со стороной а„ + / 1 N2 (рис. 180, в), т. е. между и 10" 10" (3) Будем неограниченно увеличивать число п. Тогда число будет становиться сколь угодно \2 малым, и, значит, число I, " 10" будет сколь угодно мало отличаться от числа а^. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно 120 Глава VI мало отличается от числа а^. Следовательно, эти числа равны: S = a^, что и требовалось доказать. 51 Площадь прямоугольника Теорема Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Доказательство Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, Ь и площадью iS (рис. 181, а). Докажем, что S = ab. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + Ь, как показано на рисунке 181, б. По свойству 3° площадь этого квадрата равна (а + &)^. С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1“ площадей) и двух квадратов с площадями и Ь'^ (свойство 3® площадей). По свойству 2° имеем: (а -I- 6)^ = S + S -f- -I- Ь^, или а2 + 2а6-1-Ь2 = 25 + а2 + 62. Отсюда ползгчаем: S = аЬ. Теорема доказана. а а) 2 а S S б) Рис. 181 Задачи 445 □ Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур. 446 □ Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числом 2. 447 Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что ^ABCD — ^AMD- 448 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что Sabcd = ^ade- 121 Площадь 449 Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см; б) — дм; в) Зл/2 м. 4 450 Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см^; б) 2,25 дм^; в) 12 м^. 451 Площадь квадрата равна 24 см^. Выразите площадь этого квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах. 452 Пусть а и 6 — смежные стороны прямоугольника, а S — его площадь. Вычислите: а) S, если а = 8,5 см, Ь = 3,2см; б) S, если а = 2у/2 см, 6 = 3 см; в) 6, если а = 32 см, S = 684,8 см*; г) а, если 6 = 4,5 см, 5 = 12,15 см*. 453 □ Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза? 454 й Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см*, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м*, а периметр равен 12 м. 455 Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина — 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола? 456 Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м? 457 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м. 458 Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько? Площади параллелограмма, треугольника и трапеции 52 Площадь параллелограмма Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной сторо- 122 Глава VI ны к прямой, содержащей основание, — высотой параллелограмма. Теорема нт'Н'’гпмп' Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Доказательство Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведём высоты ВН и СК (рис. 182). Докажем, что S = AD-BH. Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей AD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S = BC • ВН, а так как ВС = AD, то 8 = AD • ВН. Теорема доказана. 53 Площадь треугольника Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведённую к основанию. Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. 123 Площадь Доказательство Пусть S — площадь треугольника АВС (рис. 183). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведём высоту СН. Докажем, что S = ^АВ 2 СН. Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке 183. Треугольники АВС и DCB равны по трём сторонам (ВС — их общая сторона, АВ = CD и АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. S = ^ АВ • СН. Теорема доказана. Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следствие 2 Если высоты двух треугольников равны, то и площади относятся как основания. Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Теорема Рис. 183 а) Рис. 184 Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Доказательство Пусть S VI Si — площади треугольников АВС и AiBiCi, у которых ZA = ZA, (рис. 184, а). Докажем, что 724 Глава VI S, АВ-АС A,Bj- AjC, Наложим треугольник AiBfii на треугольник АВС так, чтобы вершина Aj совместилась с вершиной А, а стороны AjBi и AjCj наложились соответственно на лучи АВ и АС (рис. 184, б). Треугольники АВС и ABfi имеют общую высоту S АВ СН, поэтому------=-----. Треугольники АВ^С и AB\Ci также имеют общую высоту — B\Hi, по- этому ^ABiC АС ‘-’aBiCi венства, находим: S АВ-АС . Перемножая полученные ра- АВ. ‘-’ABiCi Теорема доказана. или — ACi ' Sj АВ ■ АС AiSj • AjCj 54 Площадь трапеции Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 185, а). Используя этот приём, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 185, б отрезок ВН (а также отрезок DH^) — высота трапеции ABCD. а) Рис. 185 Теорема Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. 125 Площадь Доказательство Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадью S (см. рис. 185, б). Докажем, что S = -|(AZ) + ВС) • ВН. Диагонгшь BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = + Вдсд- Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DHi за основание и высоту треугольника BCD. Тогда 5лвд = \aD . ВН, = \ВС • DH,. Так как DH^ =ВН, то и Таким образом, S = ]-AD • ВН -I- -ВС ■ ВН = -(AD + ВС) • ВН. 2 2 2 Теорема доказана. Задачи 459 Пусть а — основание, h — высота, а В — площадь параллелограмма. Найдите: а) В, если а = 15 см, Л = 12 см; б) а, если В = 34см^, Л = 8,5 см; в) а, если В=162см^, h = ^a', г) h, если h = 3a, В = 27. 460 Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма. 461 Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма. 462 Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба. 463 Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма. 464 □ Пусть а и Ь — смежные стороны параллелограмма, В — площадь, а hi и hz — его высоты. Найдите: а) Лг, если а = 18 см, 5 = 30 см, /ii = 6cM, h2>hi, б) hi, если а =10 см, 6= 15 см, Ла = 6 см, Ла > hi, в) hi и Ла, если В = 54 см^, а = 4,5 см, 5 = 6 см. 126 Глава VI 465 Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма. 466 Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°. 467 Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур. 468 Пусть а — основание, h — высота, а S — площадь треугольника. Найдите: а) S, если а = 7 см, й = 11 см; б) S, если а = 2>/3 см, Л = 5см; в) й, если 5 = 37,8см^, а = 14 см; г) а, если S = 12cm^, й = 3\/2 см. 469 Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС. 470 Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон. 471 Д Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм. 472 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см^. Найди- 7 те его катеты, если отношение их длин равно — • 473 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая т, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой т и основанием АВ имеют равные площади. 474 Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой. 475 □ Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади. 476 Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм. 477 Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см^. 478 В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей. 479 Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Найдите: а) S^de^ если АВ = 5 см, АС = 6 см, АП = 3 см, АП = 2 см, S^Bc=10cM^; б) АП, если АВ = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см, Sy^вc = 10 см^, = 2 см^. 127 Площадь 480 481 482 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 21 см, CD= 17 см, высота ВН равна 7 см; б) ZD = 30°, АВ = 2 см, Ci) = 10 см, DA = 8 см; в) ВС J. АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны б см, а больший угол равен 135°. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции. Теорема Пифагора 55 Теорема Пифагора Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии. Теорема Г’'-' в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, Ь и гипотенузой с (рис. 186, а). Докажем, что с^ = а^ + Ъ^. Достроим треугольник до квадрата со стороной а + Ь так, как показано на рисунке 186, б. Площадь S этого квадрата равна (а -ь 6)^. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь а) каждого из которых равна и квадрата со стороной с, поэтому 5 = 4- ^аЬ + = 2аЬ -)- с^. (а+6)“=4(| б) Рис. 186 аЬ) + с 128 Глава VI Таким образом, (а + 6)^ = 2аЬ + с^, откуда с^ = а^ + Ь^. Теорема доказана. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакомились, ещё с одним познакомимся в следующей главе (задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки. Пифагор — древнегреческий учёный (VI в. до н. э.) 56 Теорема, обратная теореме Пифагора Теорема Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Доказательство Пусть в треугольнике АВС АВ'^ = АС^ + ВС^. Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник AiBfi^ с прямым углом С,, у которого AjCi = AC и Bfii = BC. По теореме Пифагора AiBf = AiCf + BiCf, и, значит. 5 Атннасян, 7—9 i 129 Площадь Аф1 = АС^ + ВС^. Но АС^ + ВС^ = АВ^ по условию теоремы. Следовательно, А^В^ = АВ^, откуда AyBi = AB. Треугольники АВС и A^BiC^ равны по трём сторонам, поэтому ZC = ZCi, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: 5^ = 3^ -f- 4^. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему). Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты а, & и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами a = 2k ■ т • п, Ь = k (т^ - п^), c = k(m^ + n^), где k, т и п — любые натуральные числа, такие, что пг>п. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на верёвке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы верёвки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым. 57 Формула Герона Теорема а.С»П:,ч!Ц1ГИИИП1 Площадь S треугольника со сторонами а, Ь, с выражается формулой S‘= - a)ip - Ь){р - с), где р = ^{а + Ь + с) — полупериметр треуголь-ника. 130 Глава VI Доказательство Рассмотрим треугольник АВС, в котором д5 = с, ВС = а, АС = Ь. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введём обозначения: CH = h, АН = у, НВ = х (рис. 187). По теореме Пифагора а^- x^ = h^ = b^ - у^, откуда у^ - х^ = Ы - а^, или {у - х)(у + х) = Ь^ - а^. Так как у + х = с, то у - X = - а^). Сложив два последних равен- ства и разделив на 2, ползшим: Ь^+с^-а^ У = 2с Поэтому = Ь-Ь h^ = b^-y^ = {b + y) {Ъ-у) = ь-~ ■: = Ь^+с^- 2с А 2с (Ь + с)^-а^ а^-ф-с)^ 2с 2с _ Ф + С + а)(Ь + с -а)(а-Ь + с)(а + Ь-с) _ 4с^ _ 2р(2р - 2а)(2р - 2Ь) (2р - 2с) _ 4с^ _ 4pip-a)(p-b)(p-c) Г.2 Следовательно, h = Д)(Р Ь)(р с) ь/ V Н 1 I ^ с ^ Рис. 187 Но S = -^hc, откуда и получаем: Ct S = Vp(p-a)(p-&)(p-c). Теорема доказана. Выведенную нами формулу обычно называют формулой Герона, по имени древнегреческого математика Герона Александрийского, жившего предположительно в I в. н. э. 5* 731 Площадь Задачи 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 □ Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам а и Ь: а) а = 6, 6 = 8; б) 0 = 5, 6 = 6; ч 3.4 в) о = у, 6 = у; г) о = 8, 6 = 8>/з. В прямоугольном треугольнике о и 6 — катеты, с — гипотенуза. Найдите 6, если: а) о= 12, с= 13; б) о = 7, с = 9; в) о = 12, с = 26; г) о = 2ч/з, с = 26; д) о = 36, с = 2ч/Ш. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с. В прямоугольнике ABCD найдите: а) AD, если АВ = 5, АС =13; б) ВС, если CD = 1,5, АС = 2,5; в) CD, если BD= 17, ВС= 15. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычис- ляется по формуле S = а^лУз , где а — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2ч/2 дм. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см. □ По данным катетам а и 6 прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) 0 = 5, 6=12; б) о=12, 6 = 16. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. 132 Глава VI 493 Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. 494 Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см. 495 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) ЛВ=10см, БС = ВА = 13 см, СВ = 20 см; б) ZC = ZD = = 60°, АВ = ВС = 8 см; в) ZC = ZD = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9>/2 см. 496 Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, а CD = >/з. 497 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см. 498 Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте. 499 Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см. Вопросы для повторения к главе VI 1 Расскажите, как измеряются площади многоугольников. 2 Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников. 3 Какие многоугольники называются равновеликими и какие равносоставленными? 4 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника. 5 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма. 6 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам? 7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу. 8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции. 9 Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 10 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора. 11 Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников. 12 Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу. 133 Площадь Дополнительные задачи 500 Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе. 501 Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах. 502 Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма. 503 Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см^, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см. 504 Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма. 505 Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — Ь, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны. 506 □ Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны? 507* Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника? 508* й Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки. 509 Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки. 510* Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е к F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие. 511 В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке О. а) Сравните площади треугольников ABD и ACD. б) Сравните площади треугольников АВО и CDO. в) Докажите, что выполняется равенство О А • ОВ = ОС • OD. 512* Основания трапеции равны а i/i Ъ. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка. 734 Глава VI 513 Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами. 514 Площадь ромба равна 540 см^, а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба. 515 Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°. 516 В треугольнике АВС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и А/^С=15см. Найдите площадь треугольника АВС. 517 Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA - 15 см, АС = 12 см. 518 Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. 519 Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна /г, а диагонали взаимно перпендикулярны. 520 Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции. 521 Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD^ + ВС^ = АВ^+ CD'^. 522 В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной АВ = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM. 523 Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов. 524 Стороны треуголъьижа равны "'Зсм, 5 см и 12 см. Найдите площадь этого треу: ольника. 525 Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС =15 см. 526 В ромбе высота, равная см, составляет -§■ большей диаго- 6 3 нали. Найдите площадь ромба. 135 Площадь 527 В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции. 528 В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см. 529 Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника. 530 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника АВС, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см. 531 Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD в точке М, а диагональ BD — в точке К. Найдите площадь четырёхугольника АВКМ. 532 В треугольнике АВС проведена высота ВН. Докажите, что если: а) угол А острый, то ВС^ = АВ^ -1- АС^ - 2 АС • АН; б) угол А тупой, то ВС^ = АВ^ + АС^ + 2АС • АН. Глава VII Подобные треугольники Вокруг нас немало предметов, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Самый простой пример — большой и маленький мячи. В геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными. Данная глава посвящена изучению подобных треугольников и признаков их подобия. Эти признаки широко используются в геометрии, в частности с их помощью будет доказано утверждение, сформулированное ещё при изучении геометрии в 7 классе: медианы треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, будет рассказано об использовании свойств подобных треугольников при проведении измерительных работ на местности. Определение подобных треугольников 58 Пропорциональные отрезки Отношением отрезков АВ и СВ называется АВ отношение их длин, т. е. CD Говорят, что отрезки АВ и CD пропорцио- л П тл АВ CD нальны отрезкам AiBi и CiDi, если = . Например, отрезки АВ и СП, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам АуВ^ и CiHi, длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле, АВ _ CD _ 2 3’ ДА Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например, три отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трём отрезкам А^В^, CiH, и HiA, если справедливо равенство АВ CD EF Л, А ДА АД 137 Подобные треугол ьники 59 Определение подобных треугольников В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и тен- ^ нисный мячи, круглая тарелка и боль- ^ шое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Введём понятие подобных треугольников. Пусть у двух треугольников АВС и углы соответственно равны: ZA = ZA^, ZB = ZBi, ZC = ZCi. В этом случае стороны АВ и АуВ^, ВС и BjCj, СА и CiAi называются сходственными (рис. 188). Определение Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения АВС и AiBiCi так, что ZA = ZAi, ZB = ZBy, ZC = Cl, (1) AB BC CA = k. (2) AjBi BiCj CjAi Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Подобие треугольников АВС и А^В^С^ обозначается так: ААВС со AAiBiC^. На рисунке 188 изображены подобные треугольники. Оказывается, что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2). В следующем параграфе мы рассмотрим три признака подобия треугольников. В АВ и A^B^, ВС и B^Ci, CAuCAi- сходственные стороны Рис. 188 138 Глава VII 60 Отношение плош;адей подобных треугольников Теорема Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство Пусть треугольники АВС и подоб- ны, причём коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и Si площади этих треугольников. Так как ZA = ZA,, то -^ = (по ^ Si AiBi-AjCi тереме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, п. 53). По формулам AJ3 АС _______ S у 2 (2) имеем: AiBi Теорема доказана. = k, АС S —— = к, поэтому AiOj г>1 Задачи 533 □ Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах? 534 Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) АС, CD и М1М2, MMi, б) АВ, ВС, CD и ММ2, MMi, М1М2; в) АВ, BD и MMi, М1М2? 535 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Решение Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что BD CD —— = —— (рис. 190). Треугольники ABD и ACD имеют общую Рис. 189 высоту АН, поэтому f ABD, _ ^ACD BD CD С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу (Z1=Z2), поэтому ^ABD АВ • AD АВ jjf =-------= — Из двух равенств для отношения пло- .АО ^ACD АС-AD щадеи получаем BD АВ BD CD я или -----=----, что и требовгилось А.В А.С 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 CD АС' доказать. □ Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. а) Найдите АВ, если БС = 9 см, AD=7,5cm, ОС = 4,5 см. б) Найдите DC, если АВ = 30, АО = 20, БС= 16. □ Отрезок АО является биссектрисой треугольника АВС. Найдите БО и ОС, если АВ = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см. U Биссектриса АО треугольника АБС делит сторону ВС на отрезки CD и БО, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АБС равен 42 см. □ В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN= 7 см, NK = 6 см, МК = Ъ см. Периметр треугольника CDE равен 55 см, В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах СО, СЕ и DE. Найдите стороны СО и DE, если СО = 8 см, ББ=12см. Подобны ли треугольники АБС и DEF, если ZA = 106°, ZB = 34°, ZO = 106°, ZF = 40°, АС = 4,4 см, АБ = 5,2 см, БС = = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см? LJ В подобных треугольниках АБС и KMN стороны АВ и КМ, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треуголь- ника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, С А = 7 см. КМ АВ = 2,1. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам. □ Площади двух подобных треугольников равны 75 м^ и 300 м^. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника. У Треугольники АБС и А,Б1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника АБС больше площади треугольника А1Б1С, на 77 см^. Найдите площади треугольников. 140 Глава VII 546 □ План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённого на плане треугольника равна 87,5 см^. Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1:100 000. 547 Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 548 U Треугольники АВС и подобны. Сходственные сто- роны ВС и Bfii соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и A^Bfi^. 549 и Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см. Признаки подобия треугольников 61 Первый признак подобия треугольников Теорема Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Доказательство Пусть ЛЛВС и AAiBjCj — два треугольника, у которых = Z.B = /.B^ (рис. 191). Докажем, что Л АВС со AA]B,Ci. По теореме о сумме углов треугольника = 180°-ZA-ZB, ZCi = 180°-ZAi-ZBi, и, значит, ZC = ZCi. Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника AjBiCi. Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника AjBiC,. Так как ZA = ZA, и ZC = ZCj, ^ АВС то -П. 53). АВ-АС и ’АВС САСВ Ai-B, • AjCj -SajBiCi C]Aj • CjBj 747 (cm. Рис. 191 Подобные треугольники Из этих равенств следует, что АВ ВС AjSi Аналогично, используя равенства ZA = ZAi, . „ . „ ВС С А Z5 = ZBi, получаем —— = — iJlCi C^Ai Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника AiBjCi. Теорема доказана. 62 Второй признак подобия треугольников Теорема Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство Рассмотрим два AjBiCi, у которых треугольника АВ АС и АВС А,В, = (рис. 192, а). Докажем, что ААВС AA^B-fii. Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что ZB = ZB^. Рассмотрим треугольник АВС^, у которого Zl = ZAi, Z2 = ZBi (рис. 192, б). Треугольники АБСг и AiBjCi подобны по первому признаку по- АВ _ АС^ добия треугольников, поэтому С другой стороны, по условию AjBj AjCj АВ АС А,В, AjCj Из этих двух равенств получаем АС = АСг. Треугольники АВС и АВС^ равны по двум сторонам и углу между ними (АВ — общая сторона, АС = АСг и ZA = Z1, поскольку ZA = ZAj и Zl=ZAi). Отсюда следует, что ZB = Z2, а так как Z2 = ZB|, то ZB = ZBj. Теорема доказана. Z^ Bi в М2 Глава VII 63 Третий признак подобия треугольников Теорема ^1шшшташтшштяяштяшштятштшттттпятшя>1ттяв№ч: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. Доказательство Пусть стороны треугольников АВС и AiBiCi пропорциональны: АВ АВг ВС СА BiCi CjAi Докажем, что ААВС w AAiB^C^. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что ZA = ZAi. Рассмотрим треугольник ABCz, у которого Zl=ZAi, Z2 = ZBi (см. рис. 192,6). Треугольники АВС^ и A,BiCi подобны по первому признаку подобия АВ ВС 2 _ С^А треугольников, поэтому ^ ^ ^ • С^А.^ Сравнивая эти равенства с равенствами (1), получаем: ВС = ВСг, СА = СгА. Треугольники АВС и АВСг равны по трём сторонам. Отсюда следует, что ZA = Z1, а так как Z\=ZAi, то ZA = ZAi. Теорема доказана. Задачи 550 □ По данным рисунка 193 найдите х и у. 551 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е, Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите: а) ЕЕ и ЕС, если ПЕ = 8см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10см; б) DE и ЕС, если АВ = 8 см, AD = 5 см, СЕ = 2 см. 552 Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ = 4 см, OZ) = 10 см, ВС = 25 см; б) и если АВ = а, DC = b; в) АО, если ОС ^ OD' АВ = 9,6 дм, ВС = 24 см, АС = 15 см. 743 Подобные треугольники I 553 554 555 556 557 558 559 560 561 Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте. и Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания. У Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и С А треугольника АВС, причём MN || АС, NP || АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) АВ = 10 см, АС=15см, PN:MN = 2: 3; б) АМ = АР, АВ = а, АС = Ь. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезки О А и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 194). Решение Проведём через точку А прямую АС^, параллельную прямой BD (Cl — точка пересечения этой прямой с прямой CD). Тогда АОАВ 00 AACCi по первому признаку подобия треугольников (ZO = ZCACi, ZOAB = ZC), следовательно. OA АС OB ACi OA . Так AC как AC I = BD (объясните почему), то = во ’ требова- лось доказать. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и Е — на другой. Найдите: а) АС, если СБ = 10см, AD = 22 см, BD = 8 см; б) BD и DE, если АВ = 10 см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если АВ : BD = 2 : 1 и DE = 12 см. □ Прямые а и Ь пересечены параллельными прямыми AAi, BBi, CCi, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки А], Bi и Cl — на прямой Ь. Докажите, что . На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки АВ = 8см и АВ=10см. Подобны ли треугольники ACD и AFB2 Ответ обоснуйте. Подобны ли треугольники АВС и AiBiCi, если: а) АВ = 3 см, ВС = 5 см, С А — 7 см. А,В/ = 4,5 см, BiCi = 7,5 см, Cj Ai = 10,5 см; б) АВ = 1,7 см, ВС = 3 см, С А = 4,2 см, AiBi = 34 дм, BiCi = 60 дм, CiAi = 84 дм? Докажите, что два равносторонних треугольника подобны. 744 Глава VII 562 В треугольнике АВС сторона АВ равна а, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне АВ, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС. 563 □ Через точку М, взятую на медиане AD треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение если: а) М — середина от- КС резка AD; б) AM MD J. 2' Применение подобия к доказательству теорем и решению задач____________ 64 Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажем теорему о средней линии треугольника. Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Доказательство Пусть MN — средняя линия треугольника АВС (рис. 195). Докажем, что MN || АС и MN = -АС. 2 Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (ZE — об- „ .. ВМ BN 1. /1 .о MN 1 щии,-----=----= —), поэтому Z1 = Z2 и----= —. ВА ВС 2'’ ' ЛС 2 Из равенства Z1 = Z2 следует, что MN\\AC (объясните почему), а из второго равенства — что MN = — АС. Теорема доказана. 2 Пользуясь этой теоремой, решим следующую задачу: 745 в Подобные треугольники Задача 1 Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Решение Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА^ и ВВ^ и проведём среднюю линию AjEi этого треугольника (рис. 196). Отрезок AiBi параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А^В^ секущими АА^ и ВВ^. Следовательно, треугольники АОВ и АхОВ^ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: АО ^ ^ АВ AjO BjO AjBj " Но AB = 2AiBx, поэтому AO = 2AiO и ВО = = 2ВхО. Таким образом, точка О пересечения медиан ААх и ВВх делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВх и CCj делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. 65 Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Задача 2 Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. 146 Глава VII Решение Пусть ААВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С, CD — высота, проведённая из вершины С к гипотенузе АВ (рис. 197). Докажем, что ААВС w AACD, ААВС со ACBD, ^ACD со ACBD, Треугольники АВС и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников (ZA — общий, ZACB = ZADC = 90°). Точно так же подобны треугольники АВС и CBD (ZB — общий и ZACB = ZBDC = 90°), поэтому ZA = ZBCD. Наконец, треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и ZA = ZBCD), что и требовалось доказать. Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY = y/AB-CD. Исходя из задачи 2, докажем следующие утверждения: 1**. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Действительно, AADCc^ACBD (см. рис. 197), AD CD поэтому вательно. CD DB' откуда С£)^ = AD • DB, следо- CD = ylAD-DB. 2®. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла. В самом деле, ААВС w AACD (см. рис. 197), АВ АС Поэтому АС AD' и, следовательно. АС = yjAB-AD. Подобные 147 треугольники 66 Практические приложения подобия треугольников Задачи на построение При решении многих задач на построение треугольников применяют так называемый метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник. Рассмотрим пример. Задача 3 Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла. Решение На рисунке 198, а изображены два данных угла и данный отрезок. Требуется построить треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а биссектриса при вершине третьего угла равна данному отрезку. Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок и построим треугольник AiBiC, у которого углы А^ и В, соответственно равны данным углам (рис. 198, б). Далее построим биссектрису угла С и отложим на ней отрезок CD, равный данному отрезку. Черюз точку D проведём прямую, параллельную AjBj. Она пересекает стороны угла С в некоторых точках А и В (см. рис. 198, б). Треугольник АВС искомый. В самом деле, так как АВ || А^В^, то ZA = ZAj, ZB = ZBj, и, следовательно, два угла треугольника АВС соответственно равны данным углам. По построению биссектриса CD треугольника АВС равна данному отрезку. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Очевидно, задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 180°. Так б) Рис. 198 148 Глава VII как отрезок можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу (объясните почему), поэтому задача имеет единственное решение. Измерительные работы на местности Свойства подобных треугольников могут быть использованы при проведении различных измерительных работ на местности. Мы рассмотрим две задачи: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки. Определение высоты предмета. Предположим, что нам нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту телеграфного столба AiCi, изображённого на рисунке 199. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А^ столба, как показано на рисунке. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А^А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники AjCjB и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (ZCj = ZC = 90°, ZB — общий). Из подобия треугольников следует: А,С. ВС, ic=-^C^ откуда АС ■ ВС, А,С,= ВС Измерив расстояния BCi и ВС и зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту AiCi телеграфного столба. Если, например, jBCi = 6,3m, ВС = 2,1м, ас = 1,7 м, то Л,С, = 1,7.6,3 = 5,1 м. 2,1 Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В (рис. 200). Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. 149 Рис. 199 Рис. 200 Подобные треугольники Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник AiBiCi, у которого ZAj = ZA, ZCi = ZC, и измеряем длины сторон А^В^ и А^С^ этого треугольника. Так как треугольники АВС и AjBiCi подобны (по первому признаку подобия треугольни-АВ АС ков), то откуда получаем АВ = АА’ Эта формула позволя- AjBi _ AC-A^i AjCi ет по известным расстояниям АС, AjCi и AjBi найти расстояние АВ. Для упрощения вычислений удобно построить треугольник AjBiCi таким образом, чтобы AjCi: АС = 1 : 1000. Например, если АС= 130 м, то расстояние AjCj возьмём равным 130 мм. АС В этом случае АВ = А,С, AjBi = 1000 • AjBi, по- этому, измерив расстояние A^Bi в миллиметрах, мы сразу получим расстояние АВ в метрах. Пример Пусть АС = 130 м, ZA = 73°, ZC = 58° (см. рис. 200). На бумаге строим треугольник А^В^С^ так, чтобы ZAj = 73°, ZCi = 58°, AiCi = 130mm, и измеряем отрезок AjBi. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м. 67 О подобии произвольных фигур Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур. Фигуры F тл называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры Fi так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек Mi и MN фигуры Fi выполняется равенство MiNi = k, где 150 Глава VII ^ — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точ-5<а фигуры Fi оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подобия фигур F и Fy. Сопоставление точек подобных фигур хорошо знакомо нам из повседневного опыта. Так, при проектировании киноленты на экран каждой точке изображения на кинокадре сопоставляется точка на экране, причём все расстояния увеличиваются в одинаковое число раз. На рисунке 201 представлен способ построения фигуры Fi, подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопоставляется точка Ml плоскости так, что точки М и Mj лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причём ОМ = k • OMi (на рисунке 201 k = i). О В результате такого сопоставления получается фигура F^, подобная фигуре F. В этом случае фигуры F VL Fy называются центрально-подобными, а само описанное сопоставление называется центральным подобием или гомотетией. Можно доказать, что для треугольников общее определение подобия равносильно определению, данному в п. 59. Примерами подобных четырёхугольников являются любые два квадрата (рис. 202, а), а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис. 202, б). Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах, а также фотографии одного и того же предмета, сделанные в разных увеличениях. Замечание В п. 60 мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Из этого следует, 151 Рис. 201 ь~ □ Ъ, б) Рис. 202 Подобные треугольники что такое же утверждение справедливо для двух подобных многоугольников (чтобы доказать это, можно разбить многоугольник на треугольники). 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 Задачи □ Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. □ Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника. □ Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции. □ Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований. □ Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM. й В треугольнике АВС медианы АА^ и ВВ^ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S. В задачах 572—574 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и высотой СН: ВС = а, С А = Ь, АВ = с, СН = Л, АН = Ъ^, НВ = а^. Найдите: а) А, а и Ь, если Ьс = 25, а^=16; б) h, а и Ь, если Ьс = 3б, а,. = 64; в) а, с и а^, если 6 = 12, 6^ = 6; г) 6, с и Ь^, если а = 8, а<. = 4; д) Л, 6, и 6,, если а = 6, с = 9. Выразите а,, и 6<. через а, Ь и с. 2 ^ . Ь/ U Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла. □ Докажите, что: а) Л = ^; б) — с а, 152 Глава VII 576 Я Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5. 577 □ В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону. 578 Используя утверждение 2°, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С выполняется равенство АС^ + ВС^ = АВ^. Решение Пусть CD — высота треугольника АВС (см. рис. 197). На основании утверждения 2°, п. 65, имеем АС = VAD • АВ, или АС^ = AD • АВ. Аналогично ВС^ = BD • АВ. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD -I- BD = АВ, получаем: АС2 -I- ВС2 = AD AB + BD-AB = {AD + BD) • АВ = АВ^. 579 Для определения высоты столба А^С^, изображённого на рисунке 199, использован шест с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если BCi = 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС= 1,7 м? 580 Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева. 581 Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 203. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС=165см, ВС= 12 см, AD = 120 см, DE - 4,8 м, Z1 = Z2. 582 Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник AiBjCi, подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если АС = 42 м, AjCi = 6,3 см, AjBj = 7,2 см. 583 На рисунке 204 показано, как можно определить ширину ВВ^ реки, рассматривая два подобных треугольника АВС и ABjCj. Определите BBi, если АС = 100 м, ACj = 32 м, АВ, = 34 м. Рис. 204 Подобные 153 треугольники Задачи на построение 584 □ Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам PiQi и Решение Проведём какой-нибудь луч AM, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам PiQi и P2Q2 (рис. 205). Затем проведём прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она пересечёт отрезок АВ в искомой точке X (см. задачу 556). 585 Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2:5; б) 3 : 7; в) 4 : 3. 586 Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов. 587 Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла. 588 □ Постройте треугольник АВС по углу А и медиане AM, если известно, что АВ : АС = 2:3. 589 Постройте треугольник АВС по углу А и стороне ВС, если известно, что АВ : АС = 2:1. 590 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 68 Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 206). Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношецие противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 754 Глава VII Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противоле-5кащего катета к прилежащему катету. Синус, косинус и тангенс угла, равного а, обозначаются символами sin а, cos а и tg а (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке 206 . ВС sin А = , (1) АВ л АС cosA = —, (2) (3) Из формул (1) и (2) получаем: sin А cos А ВС АВ ВС = —• —— = ——. Сравнивая с АВ АС АС формулой (3), находим: . . sin А tg А = -, cos А (4) т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. В самом деле, пусть АВС и А^В^Сх — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и Cl и равными острыми углами А и Ai. Треугольники АВС и A^BiCi подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому АВ ^ ВС ^ АС А^Вх -^1^1 -^1^1 ВС в с Из этих равенств следует, что ^ ^ , АВ АС А С т. е. sinA = sinAi. Аналогично —;г = — ^ АВ АхВх cos А = cos Ах, и т. е. tg А = tg Aj. 155 АхВх т. е. Подобные треугольники Докажем теперь справедливость равенства sin^ А + cos^ А = 1. (5) Из формул (1) и (2) получаем . 2 ^ , 2 ^ ВС^ , АС^ ВС^ + АС^ sin^ А + cos'’ А = ^ ^--. АВ^ АВ^ АВ^ По теореме Пифагора ВС^ + АС^ = АВ^, поэтому sin^ А + cos^ А = 1. Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождествомЧ 69 Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° Найдём сначала значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого ZA = 30°, ZB = 60° (рис. 207). Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то = —. Но = sin А = sin 30°. С другой сторо-АВ 2 АВ ны. ВС АВ = cos В = cos 60°. Итак, sin 30° = cos 60° = 2 2 Из основного тригонометрического тождества получаем: 2 2 По формуле (4) находим: sin 30° ^ J_ ^ cos 30° 3 ’ tg60° = ^^^ = V3. cos60° cos 30° = Vl - sin^ 30° = yjl-j = sin 60° = >/l - cos^60° = ^1 - = tg 30° = В Рис. 207 ' Слово «тригонометрия» в переводе с греческого языка означает «измерение треугольников». 156 Глава VII Найдём теперь sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 208). В этом треугольнике АС = ВС, ZA = ZB = 45°. По теореме Пифагора АВ^ = АС^ + ВС^ = 2АС^ = 2ВС^, откуда АС = ВС = ^. V2 Следовательно, В sin 45° = sin А = ВС _ 1 _ V2 АВ >/2 2 ’ cos 45° = cos А = АС _ 1 _ >/2 АВ л/2 2 ’ tg45° = tgA = || = l. Составим таблицу значений sin а, cos а, tg а для углов а, равных 30°, 45°, 60°: а 30° 45° 60° sin а 1 V2 7з 2 2 2 cos а ^/3 72 1 2 2 2 tga 7з 1 7з 3 Задачи 591 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС=1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25. 1 3 592 Постройте угол а, если: а) tga =—; б) tga =—; в) cos а = 0,2; 2 1 2 4 г) cos 01. = —; д) sin а =—; е) sin а = 0,4. 3 А 593 Найдите: а) sin а и tga, если cosa = i; б) sin а и tga, если 2 cosa =—; в) cos а и tga, если sina = -—; г) cos а и tga, если О 2 Sin а = -7« 4 Подобные 15# треугольники 60 594 □ В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь, а противолежащий угол равен р. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через Ь и р. б) Найдите их значения, если &=10см, Р = 50°. 595 □ В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь, а прилежащий к нему угол равен а. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через Ь и а. б) Найдите их значения, если Ь=12см, а = 42°. 596 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен а. Выразите второй острый угол и катеты через с и а и найдите их значения, если с = 24 см, а а = 35°. 597 Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Выразите через а и 6 гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, & =15. 598 Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании, если: а) боковая сторона равна Ь; б) основание равно а. 599 Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен а. 600 Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209)? 601 □ Найдите углы ромба с диагоналями 2^/3 и 2. Рис. 209 602 □ Стороны прямоугольника равны 3 см и \[3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника. 603 □ В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Вопросы для повторения к главе VII 1 Что называется отношением двух отрезков? 2 В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам AjBi и CyDi? 3 Дайте определение подобных треугольников. 4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. 5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников. 6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников. \2м J 60° 60°\ 158 Глава VII 7 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников. 8 Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника. 9 Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 10 Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники. 11 Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. 12 Приведите пример решения задачи на построение методом подобия. 13 Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки. 14 Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур? 15 Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? 16 Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. 17 Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? 18 Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте. Дополнительные задачи 604 □ Треугольники АВС и подобны, АВ = 6см, ВС = 9 см, СА = 10 см. Наибольшая сторона треугольника AjBiCi равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника A^BjCi. 605 Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС^ = U'b, где а и Ь — основания трапеции. 606 □ Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK’.ON, если MN = 5cm, JNP = 3 см, МР = 7 см. 607 □ Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию. _ Подобные 159 треугольники 608 609 610 611 612 613 614 615* 616 617 равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании. На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника АОВ с основанием АВ взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что AM < МС. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что . Докажите, что AD — биссектриса треугольника АВС, АВ АС Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит сторону АС в отношении 2 : 7, считая от вершины А. Найдите стороны отсечённого треугольника, если АВ=10см, ВС = 18 см, С А = 21,6 см. Докажите, что медиана AM треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС. Два шеста АВ и CD разной длины а и 6 установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А vi D, В i/i С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что: а) — = do а а а Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD. Докажите, что треугольники АВС и A^fii подобны, если: АВ АС ВМ а) —— = —— =-------—, где ВМ и В.М, — медианы треуголь- AjBj A^Ci В^М^ ников; б) ZA = ZAi, X X ^ — + — = 1, ь АС вн в,н. где ВН и BiHy — высоты AjCj треугольников АВС и А^ВуС^. □ Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и Ь. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. 160 Глава VII 618 Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. 619 □ Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD ^ D£ АВ АС’ 620 В треугольнике АВС {АВ Ф АС) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD-CE. 621 В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна Ь, диагональ АС равна а, ZACB = a. Найдите площадь трапеции. 622 □ На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что АК = —KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекают-4 ся в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см^. 623 □ В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ZA = ZB = 90°, ZACD = 90°, ВС = 4 см, А1)= 16 см. Найдите углы С и В трапеции. 624 Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны. 625 □ Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см^. Найдите площадь трапеции ABCD. 626* Докажите, что треугольники АВС и А^В^С^ подобны, если АВ АС AD -----=-----= ——, где AD и AiB, — биссектрисы треуголь- AjBi ников. AlCi AiDi Задачи на построение 627 Дан треугольник АВС. Постройте треугольник AjBiCj, подобный треугольнику АВС, площадь которого в два раза больше площади треугольника АВС. 628 Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, Ь и с. Постройте отрезок, длина которого равна —. с 629 □ Постройте треугольник, если даны середины его сторон. 630 □ Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам. ®~Атанасян, 7—9 i 167 Подобные треугольники Глава VIII Окружность В этой главе мы вернёмся к одной из основных геометрических фигур — к окружности. Будут доказаны различные теоремы, связанные с окружностями, в том числе теоремы об окружностях, вписанных в треугольник, четырёхугольник, и окружностях, описанных около этих фигур. Кроме того, будут доказаны три утверждения о замечательных точках треугольника — точке пересечения биссектрис треугольника, точке пересечения его высот и точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Первые два утверждения были сформулированы ещё в 7 классе, и вот теперь мы сможем провести их доказательства. Касательная к окружности 70 Взаимное расположение прямой и окружности Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой. Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса г. Проведём перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 211). Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и г. Возможны три случая. 1) d ОН = г (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. 3) d > г. В этом случае ОН > г, поэтому для любой точки М прямой р ОМ ^ ОН > г (рис. 211, в). Следовательно, точка М не лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окружно-<=ти до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. о) Рис.211 6* 163 Окружность 71 Касательная к окружности Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну обп^ую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 212 прямая р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания. Докажем теорему о свойстве касательной к окружности. Теорема Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Доказательство Пусть р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания (см. рис. 212). Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу О А. Предположим, что это не так. Тогда радиус О А является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р — касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу О А. Теорема доказана. Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 213). Отрезки АВ и АС назовём отрезками касательных, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством: 164 Глава VIII Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 213. По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты О В и ОС. Следовательно, АВ = АС и Z3 = Z4, что и требовалось доказать. Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной). Теорема Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Доказательство Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана. На этой теореме основано решение задач на построение касательной. Решим одну из таких задач. Задача Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности. Решение Проведём прямую О А, а затем построим прямую р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА. По признаку касательной прямая р является искомой касательной. 765 Окружность Задачи 631 Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса г до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) г=1бсм, й = 12см; б) г=5см, й = 4,2см; в) г=7,2дм, й = 3,7дм; г) г = 8см, с? = 1,2дм; д) г=5см, с/ = 50мм? 632 □ Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности. 633 Даны квадрат О АВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых О А, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности? 634 □ Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ. 635 □ Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. 636 □ Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ. 637 □ Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный. 638 □ Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АВ, если ОА = 2см, а г=1,5см. 639 □ Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АВ, если ZAOB = 60°, а г = 12 см. 640 Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А, Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если О А = 9 см. 641 □ Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности. 642 □ На рисунке 213 ОВ = 3 см, ОЛ = 6см. Найдите АВ, АС, Z3 и Z4. 643 □ Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ZOAB = 30°, АВ = 5 см. 644 □ Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А та. В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ZAMC = 3ZBMC. 645 Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры AAi и SSi к касательной, которая не перпенди- 166 Глава VIII кулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка 646 В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ', б) прямая АВ является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами ВА и ВС. 647 Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОЛ = 5см, АН = 4 см; б) ZHAO = 45°, ОА = 4 см; в) ZHAO = 30°, ОА = 6 см? 648 □ Постройте касательную к окружности с центром О: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой. Центральные и вписанные углы 72 Градусная мера дуги окружности Отметим на окружности две точки А и В. Они разделяют окружность на две дуги. Чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку, например L и М (рис. 214). Обозначают дуги так: ^АЬВ и ^АМВ. Иногда используется обозначение без промежуточной точки: ^АВ (когда ясно, о какой из двух дуг идёт речь). Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности. На рисунке 215, а изображены две полуокружности, одна из которых выделена цветом. Рис. 215 L 'ALB = 180° а) 'ALB = ZAOB б) М в) 167 Окружность Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают её в точках А и В. Центргшьному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В (рис. 215). Если ZAOB развёрнутый, то ему соответствуют две полуокружности (рис. 215, а). Если ZAOB неразвёрнутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. На рисунке 215, б эта дуга выделена цветом. Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности (дуга ALB на рисунке 215, в). Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ (см. рис. 215, а, б). Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной 360°-ZAOB (см. рис. 215, в). Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с обпщми концами равна 360°. Градусная мера дуги АВ (дуги ALB), как и сама дуга, обозначается символом wAB (wALB). На рисунке 216 градусная мера дуги САВ равна 145°. Обычно говорят кратко: «Дуга САВ равна 145°» и пишут: wCAB= 145°. На этом же рисунке ^ADB = 360° -115° = 245°, ^CDB = 360° - 145° = 215°, wBB = 180°. В 73 Теорема о вписанном угле Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают, окружность, называется вписанным углом. На рисунке 217 угол АВС вписанный, дуга АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опира- В 168 Глава VIII ется на дугу АМС. Докажем теорему о вписан-fioM угле. Теорема -гяшннааимнняннвннннввшншшвнвнаннвнш Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство Пусть ZABC — вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис. 218). Докажем, что ZAOC = ^ ч-/АС. Рассмот- 2 ^ J5 рим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС, 1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис. 218, а). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому ZAOC = wAC. Так как угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то ZAOC = Zl-l-Z2 = 2Zl. Отсюда следует, что 2Z1 = wAC или ZABC = Z\=^ wAC. 2 2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 218, б). Точка D разделяет дугу АС на две дуги: ^AD и wDC. По доказанному в п. 1) ZABD = ^^AD и ZDBC = ^ y^DC. Скла-дывая эти равенства, получаем: ZABD + ZDBC = \ ^AD + ^ ^DC, или ZABC = ^АС. и 3) Луч ВО не делит угол ЛВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла. Для этого случая, пользуясь рисунком 218, в, проведите доказательство самостоятельно. Рис.218 В 169 Окружность Следствие 1 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 219). Следствие 2 Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой (рис. 220). Используя следствие 1, докажем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд. Теорема Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Рис. 219 Доказательство Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е (рис. 221). Докажем, что АЕ-ВЕ = СЕ- DE. Рассмотрим треугольники ADE и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикгшьные. По первому признаку подобия треугольников АЕ DE Рис. 220 AADE 00 АСВЕ. Отсюда следует, что СЕ BE’ Рис.221 или АЕ • BE = СЕ • DE. Теорема доказана. Задачи 649 й Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: а) ZAOB = 60°; б) ZAOB = 90°; в) ZAOB = 120°; г) ZAOB = 180°. 650 □ Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: а) ZAOB = 60°; б) ZAOB = 00°; в) ZAOB =160°. 651 Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если ZAOB = 112°. 170 Глава VIH 652 ^ На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что ^АС = 37°, ^BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см. 653 Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°. 654 J По данным рисунка 222 найдите х. 655 шЛ Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опираюЕцегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов. 656 Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС. 657 Точки А VI В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ. 658 Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ {В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (Z) — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите Z.BAD и ZADB, если wBZ)= 110°20'. 659 Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны. 660 aJ Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу. 661 J Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 140° и 52°. 662 J Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ^AD = 54°, ч_/БС = 70°. 663 Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что ZMAB = ZACB. 664 Прямая AM — касательная к окружности, АВ — хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ. 665 Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то ZC > ZA и ZC > ZB. 171 Окружность 666 Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ = 9, CE = ED; в) АЕ = 0,2, BE = 0,5, СЕ = 0,4. 667 й Диаметр ЛА, окружности перпендикулярен к хорде ВВ^ и пересекает её в точке С. Найдите BBi, если АС = 4 см, CAi = 8 см. 668 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр. 669 Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков. 670 Через точку А проведены касательная АВ {В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ^ = АР • AQ. 671 □ Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, AD= 10 см. 672 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Bi и Cl, а другая — в точках Bj и Сз. Докажите, что ABj • ACi = АВз • АСз. 673 □ К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности. Решение Пусть даны окружность с центром О и точка А вне этой окружности. Допустим, что задача решена и АВ — искомая касательная (рис. 223). Так как прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОВ, то решение задачи сводится к построению точки В окружности, для которой ZABO прямой. Эту точку можно построить следующим образом: проводим отрезок О А и строим его середину Oi. Затем проводим окружность с центром в точке Oi радиуса OjA. Эта окружность пересекает данную окружность в двух точках: В и Bj. Прямые АВ и ABi — искомые касательные, так как АВ i. ОВ и ABi J. ОВ^. Действительно, углы АВО и АВ^О, вписанные в окружность с центром Ох, опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Очевидно, задача имеет два решения. 772 Глава VIII Четыре замечательные точки’ треугольника___________________ 74 Свойства биссектрисы угла Докажем сначала теорему о биссектрисе угла. Теорема Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон'. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Доказательство 1) Возьмём произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС и докажем, что МК = ML (рис. 224). Рассмотрим прямоугольные треугольники АМК и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу (AM — общая гипотенуза, Z1 = Z2 по условию). Следовательно, MK = ML. 2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч AM — биссектриса угла ВАС (см. рис. 224). Проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и AML равны по гипотенузе и катету (AM — общая гипотенуза, MK = ML по условию). Следовательно, Z1 = Z2. Но это и означает, что луч AM — биссектриса угла ВАС. Теорема доказана. Следствие 1 Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвёрнутого угла и равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла. ' То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла. 173 Окружность Следствие 2 Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА^ и BBi треугольника АВС и проведём из этой точки перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА (рис. 225). По доказанной теореме ОК = ОМ и OK = OL. Поэтому ОМ = ОЬ, т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе CCi этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать. 75 Свойства серединного перпендикуляра к отрезку Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. А____^ На рисунке 226 прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем теорему о серединном перпенди- Рис. 226 куляре к отрезку. Теорема Каждая точка серединного перпендикуляра к от-, резку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Доказательство Пусть прямая т — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О — середина этого отрезка (рис. 227, а). 1) Рассмотрим произвольную точку М прямой т и докажем, что АМ = ВМ. Если точ- В 174 Глава VIII М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О — середина отрезка АВ. Пусть j\j я О — различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам (ОА = ОВ, ОМ — общий катет), поэтому ДМ = ВМ. 2) Рассмотрим произвольную точку N, равноудалённую от концов отрезка АВ, и докажем, что точка N лежит на прямой т. Если дг — точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой т. Если же точка N не лежит на прямой АВ, то треугольник ANB равнобедренный, так как AN = BN (рис. 227, б). Отрезок NO — медиана этого треугольника, а значит, и высота. Таким образом, N01 АВ, поэтому прямые ON и m совпадают, т. е. N — точка прямой т. Теорема доказана. Следствие 1 Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку. Рис. 227 Следствие 2 Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Для доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры т и п к сторонам АВ и ВС треугольника АВС (рис. 228). Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т. е. что т II п, то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой т, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой п, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой п, что невозможно. По доказанной теореме ОВ = О А и ОВ = ОС. Поэтому О А = ОС, т. е. точка О равноудалена от В Рис. 228 175 Окружность концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра т, п и р к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. 76 Теорема о пересечении высот треугольника Мы доказ£1ли, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Ранее было доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (п. 64). Оказывается, аналогичным свойством обладают и высоты треугольника. Теорема Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА^, BBi и CCj, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (рис. 229). Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ-А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому AzC = CB2. Аналогично С2А = АВ2 и CzB = BA2. Кроме того, как следует из построения, СС^ L А2В2, АА^ ± В2С2 и ВВ, J.A2C2. Таким образом, прямые ААу, BBj и CCi являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, Рис. 229 776 Глава VIII дни пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника. Задачи 674 Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что АВ ± ОМ. 675 Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой О А. 676 □ Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса г. Найдите: а) О А, если г=5см, ZA = 60°; б) г, если ОА = 14 дм, ZA = 90°. 677 Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС. 678 □ Биссектрисы AAi и BBi треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы ACM и ВСМ, если: а) ZAMB = 136°; б) ZAMB = 111°. 679 □ Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите: а) AD и CD, если BD = 5 см, АС = 8,5 см; б) АС, если BD= 11,4 см, AD = 3,2 см. 680 Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) ZA = ZB + ZC. 681 □ Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ = 18 см. 682 Равнобедренные треугольники АВС и ABD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ. 683 Докажите, что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, то медиана AM треугольника не является высотой. 177 Окружность 684 685 686 ! 687 688 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного тре угольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что пря мая СМ перпендикулярна к прямой АВ. Высоты AAi и BBi равнобедренного треугольника АВС, про-; ведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. □ Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку. Решение Пусть АВ — данный отрезок. Построим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (рис. 230). Эти окружности пересекаются в двух точках Ml и Mj. Отрезки AMj, AM2, BMi, ВМ2 равны друг другу как радиусы этих окружностей. Проведём прямую M^Mz. Она является искомым серединным перпендикуляром к отрезку АВ. В самом деле, точки Му и Mg равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, прямая MjMj и есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ. □ Даны прямая а и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. На прямой а постройте точку М, равноудалённую от точек А и В. □ Даны угол и отрезок. Постройте точку, лежащую внутри данного угла, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от концов данного отрезка. Рио. 230 Вписанная и описанная окружности 77 Вписанная окружность к Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. На рисунке 231 четырёхугольник EFMN описан около окружности с центром О, а четырёхугольник DKMN не является описанным около этой окружности, так как сторона DK не касается окружности. На ри- 178 Глава VIII сунке 232 треугольник АВС описан около окружности с центром О. Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник. Теорема В любой треугольник можно вписать окружность. Доказательство Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и С А (см. рис. 232). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = OL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана. Замечание 1 Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. Замечание 2 Обратимся к рисунку 232. Мы видим, что треугольник АВС составлен из трёх треугольников: АВО, ВСО и САО. Если в каждом из этих треугольников принять за основание сторону треугольника АВС, то высотой окажется 179 Окружность радиус г окружности, вписанной в треугольник АВС. Поэтому площадь S треугольника АВС выражается формулой S = \аВ . г + |вС • г + \СА ■ г = ^ А АВ + ВС+СА г. Таким образом. площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. Замечание 3 В отличие от треугольника не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трёх его сторон (рис. 233, а), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырёх его сторон, т. е. нельзя вписать окружность. Если же в четырёхугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством: В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. , Это свойство легко установить, используя рисунок 233, б, на котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных. В самом деле, AB + CD = a + b + c + d, ВС -I- AD = a + b + c + d, поэтому АВ + CD = ВС -f AD. Оказывается, верно и обратное утверждение: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность (см. задачу 724). а) Рис. 233 180 Глава VIII 78 Описанная окружность Если все вершины многоугольника ле-л<ат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. На рисунке 234 четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром О, а четырёхугольник AECD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности. Треугольник АВС на рисунке 235 является вписанным в окружность с центром О. Докажем теорему об окружности, описанной около треугольника. Теорема !«нмжмминаяшанпмяп Около любого окружность. треугольника можно описать Доказательство Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки О А, ОВ и ОС (рис. 235). Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то О А = ОБ = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса О А проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана. Замечание 1 Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудалён от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точ-ки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. Рис. 235 181 Окружность Замечание 2 В отличие от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность. Например, нельзя описать окружность около ромба, не являюпдегося квадратом (объясните почему). Если же около четырёхугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством: В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Это свойство легко установить, если обратиться к рисунку 236 и воспользоваться теоремой о вписанном угле. В самом деле, ZA = - ^BCD, ZC = - <^BAD, 2 2 откуда следует ZA + ZC = - (^BCD + ^BAD) = - • 360° = 180°. 2 2 Оказывается, верно и обратное: Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (см. задачу 729). Задачи 689 □ В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 690 □ Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см. 691 □ Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. 692 □ В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, С А = 5 см. 182 Глава VIII 693 3 В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, г = 4см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. 694 Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна т. 695 □ Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхугольника. 696 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб. 697 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. 698 □ Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника. 699 □ Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см^. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник. 700 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. 701 □ Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность. 702 □ В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ^ВС = 134°; б) ^АС= 70°. 703 В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если wBC= 102°. 704 Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. а) Докажите, что точка О — середина гипотенузы. б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен а. 705 □ Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ZB = 30°. 706 □ Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см. 707 й Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. 183 Окружность 708 Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции. 709 Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник. 710 Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная. 711 й Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность. Вопросы для повторения к главе VIII 1 Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы. 2 Какая прямая называется секущей по отношению к окружности? 3 Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности? 4 Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной. 5 Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. 6 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной. 7 Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности. 8 Какой угол называется центральным углом окружности? 9 Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности. 10 Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается? 11 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 12 Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 13 Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. 14 Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд. 184 Глава VIII 15 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла. 16 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 17 Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? 18 Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку. 19 Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 20 Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника. 21 Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности? 22 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник? 23 Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности? 24 Какая окружность называется описанной около многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в окружность? 25 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника? 26 Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность? Дополнительные задачи 712 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются. 713 Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника АМН и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС. 714* Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ. 185 Окружность 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 Диаметр AAi окружности перпендикулярен к хорде ВВ-^. Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ^, меньших полуокружности, равны. Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если wAB = <^CD, то АВ = CD. Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром. По данным рисунка 237 докажите, что ZAMB = ^ i^CLD + ^АКВ). Решение Проведём хорду ВС. Так как ZAMB — внешний угол треугольника ВМС, то ZAMB = = Z1 +Z2. По теореме о вписанном угле Z1 = = -^CLD, 2 Z2 = ^^AKB, А поэтому ZAMB = = ^(^CLD + ^AKB). Рис. 237 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразно-стью дуг, заключённых внутри угла. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат. Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса г. Известно, что АВ : CD = 2:3, AD : ВС = 2:1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S. Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность. Решение Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD AB + CD = BC + AD. (1) Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон AD, АВ и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 238, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD. 186 Глава VIII Рис.238 Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 238, б). Проведём касательную CD', параллельную стороне CD (С и П' — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABCD' — описанный четырёхугольник, то по свойству его сторон AB + C'D' = BC' + AD'. (2) Но ВС' = ВС-С'С, AD' = AD-D'D, поэтому из равенства (2) получаем: CD' + СС + D'D = BC + AD- АВ. Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству C'D' + C'C + D'D = CD, т. е. в четырёхугольнике CCDD' одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать. 725 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и Ь. 726 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. 727 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром Oi и около него описана окружность с центром Og. Докажите, что точки Oj и О2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника. 728 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат. 729* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Решение Пусть в четырёхугольнике ABCD ZA + ZC= 180°. (1) Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. 239, о) — и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёх- 187 Окружность угольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. 239, б). В этом случае ZC = — {^DAB + \^EF) (см. задачу 718), и, сле-2 довательно. ZC> — ^DAB. Так как ZA = 2 В D б) Рис. 239 =—'^BED, то ZA + ZC >—(^BED -Ь ^DAB) = 2 2 = -•360°= 180°. 2 Итак, мы получили, что ZA -t- ZC > 180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать (опираясь на задачу 719), что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать. 730 Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекаюш;иеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность. 731 Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность. 732 В прямоугольном треугольнике АВС из точки М стороны АС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны. 733 й Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см. 734 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат. 735 В трапецию с основаниями а и Ь можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности. 736 □ Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А. 737 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых. 188 Глава VIII Глава IX Векторы Эта глава посвящена разработке векторного аппарата геометрии. С помощью векторов можно доказывать теоремы и решать геометрические задачи. Примеры такого применения векторов приведены в данной главе. Но изучение векторов полезно ещё и потому, что они широко используются в физике для описания различных физических величин, таких, например, как скорость, ускорение, сила. Понятие вектора 79 Понятие вектора Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами). Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила в 8 Н. На рисунке силу изображают отрезком со стрелкой (рис. 240). Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует в выбранном масштабе числовому значению силы. Так, на рисунке 240 сила в 1 Н изображена отрезком длиной 0,6 см, поэтому сила в 8 Н изображена отрезком длиной 4,8 см. Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора. Рассмотрим произвольный отрезок. Его концы называются также граничными точками отрезка. На отрезке можно указать два направления: от одной граничной точки к другой и наоборот (рис. 241). Чтобы выбрать одно из этих направлений, одну граничную точку отрезка назовём началом -- 8Н 1Н, в- Рис. 240 Рис. 241 189 Векторы отрезка, а другую — концом отрезка и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Определение Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором. На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например АВ. Первая буква обозначает начало вектора, вторая — конец (рис. 242). На рисунке 243, а изображены векторы АВ, CD, EF; точки А, С, Е — начала этих векторов, а В, D, F — их концы. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской ^ буквой со стрелкой над ней: а, Ь, с (рис. 243, б). Для дальнейшего целесообразно условиться, что любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. На рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: ММ (рис. 243, а). Нулевой вектор обозначается также символом 0. На рисунке 243 векторы АВ, CD, EF ненулевые, а вектор ММ нулевой. Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обозначается так: | АВ | (| а |). Длина нулевого вектора считается равной нулю: 101 = 0. Длины векторов, изображённых на рисунках 243, а и 243,6, таковы:’| АВ | = 6, |С1)| = 5, \EF\ = 2,5, \ММ\ = 0, |a| = Vl3, |б| = 4,5, |с| = 3 (каждая клетка на рисунке 243 имеет сторону, равную единице измерения отрезков). Рис. 243 190 Глава IX 80 Равенство векторов Прежде чем дать определение равных векторов, обратимся к примеру. Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела является векторной величиной, поэтому её можно изобразить направленным отрезком, начало которого совпадает с точкой М (рис. 244). Так как все точки тела движутся с одной и той же скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости этих точек, имеют одно и то же направление и длины их равны. Этот пример подсказывает нам, как определить равенство векторов. Предварительно введём понятие коллине-арных векторов. Ненулевые векторы называются коллине-арными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. На рисунке 245 векторы а, Ь, АВ, CD, ММ (вектор ММ нулевой) коллинеарны, а векторы АВ и EF, а также CD и EF не коллинеарны. Если два ненулевых вектора а и Ь коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы а и Ь называются сонаправленными, а во втором — противоположно направленными^ Сонаправленность векторов а и Ь обозначается Е Рис. 245 ^ Нетрудно дать и точное определение этих понятий. Например, два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными), если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала. Как сформулировать аналогичное определение для ненулевых векторов, лежащих на одной прямой? 191 Векторы ж ж следующим образом: а ТТ 6. Если же векторы а и Ь противоположно направлены, то это обозначают так: а Ub. На рисунке 245 изображены как сонаправленные, так и противоположно направленные векторы: а It Ь, а ft CD, а ti АВ, Ь ТТ CD, Ь Ti АВ, АВ Ti CD. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определённого направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Таким образом, на рисунке 245 ММ ТТ АВ, ММ ТТ а и т. д. Ненулевые коллинеарные векторы обладают свойствами, которые проиллюстрированы на рисунке 246, а — в. Дадим теперь определение равных векторов. Определение Векторы называются равными, если они сона-правлены и их длины равны. Таким образом, векторы а и Ь равны, если а ТТ & и I а I = I 5 |. Равенство векторов а и Ь обозна-чается так: а = Ь. 81 Откладывание вектора от данной точки Если точка А — начало вектора а, то гово-рят, что вектор а отложен от точки А (рис. 247). Докажем следующее утверждение: от любой точки М можно отложить век-тор, равный данному вектору 'а, и притом только один. В самом деле, если а — нулевой вектор. iScviu affcl 6f)c] moaft6(c^0) a) Если at|ci 6f|c] mo о It i> 6) Если a ||c;6||c; тоаЦЬ в) Рис. 246 Вектор а отложен от точки А ТО ИСКОМЫМ вектором является вектор ММ. Рис. 247 192 Глава IX Допустим, что вектор а ненулевой, а точки А и — его начало и конец. Проведём через точку jVf прямую р, параллельную АВ (рис. 248; если Vf — точка прямой АВ, то в качестве прямой р уозьмём саму прямую АВ). На прямой р отло-}ким отрезки MN и MN', равные отрезку АВ, и выберем из векторов MN и MN' тот, который сонаправлен с вектором а (на рисунке 248 вектор MN). Этот вектор и является искомым век-тором, равным вектору а. Из построения следует, что такой вектор только один. Замечание Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Так обозначены, например, равные векторы скорости различных точек на рисунке 244. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек. Практические задания 738 Отметьте точки А, В а С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора. 739 Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор АС, который изображает перемещение из начальной точки в конечную. 740 Начертите векторы АВ, CD и EF так, чтобы: а) АВ, CD и EF были коллинеарны и | АВ \ = 1 см, | CD \ = 2,5 см, |£;F]= 4,5дм; ^ б) АВ и EF были коллинеарны, АВ и CD были не коллинеарны и I АВ I = 3 см, I CD I = 1,5 см, | EF \ = 1 см. ^41 Начертите два неколлинеарных вектора а и Ь. Изобразите не-сколько векторов: а) сонаправленных с вектором а; б) сона-правленных с вектором Ь; в) противоположно направленных вектору Ь; г) противоположно направленных вектору а. V-. Лтанасян, 7—9 кл. 193 Векторы 742 Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и некод. линеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные; в) имеющие равные длины и противоположно направленные. В каком случае полученные векторы равны? -► 743 Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости три точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, рав- ные а. Задачи 744 Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа? 745 В прямоугольнике ABCD АВ = 3 см, ВС = 4 см, М — середина стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, DC, МС, МА, СВ, АС. 746 Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, ZD = 45°. Найдите длины векторов BD, CD и АС. 747 Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов. 748 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) АВ и ВС; б) ВС и ВА; в) АО и ОС; г) АС и ВВ? Ответ обоснуйте. 749 □ Точки В и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: &) NL W. KL-, б) MS и SN-, в) MN и KL-, г) TS и КМ-, д) TL и АТ? 750 Докажите, что если векторы АВ и СВ равны, то середины резков АВ и ВС совпадают. Докажите обратное утвержден^: если середины отрезков АВ и ВС совпадают, то АВ = СВ. 751 Определите вид четырёхугольника ABCD, если: а) AB = DC и |АВ| = |ВС|; б) АВ\\ DC, а векторы АВ и ВС не колл^' неарны. 752 Верно ли утверждение: а) если а = Ь, то а ТТ 6; б) если а = Ь^° а и Ь коллинеарны; в) если а = Ь, то а U 6; г) если а ТТ а = Ь; д) если а = 0, то а tt 6? 194 Глава IX Сложение и вычитание векторов 82 Сумма двух векторов Рассмотрим пример. Пусть материальная В точка переместилась из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами АВ и ВС, материальная точка переместилась из точки А в точку С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором АС. Поскольку перемещение из точки А в точку С складывается из перемещения из А в В и перемещения из В в С, то вектор АС естественно назвать суммой векторов АВ и ВС: АС = АВ + ВС. Рассмотренный пример приводит нас к понятию суммы двух векторов. Пусть а и Ъ — два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а (рис. 250). Затем от точки В отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС назы-вается суммой векторов а и Ъ. Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 250 поясняет это название. Докажем, что если при сложении векторов а и Ь точку А, от которой откладывается вектор АВ = а, заменить другой точкой Aj, то век-тор АС заменится равным ему вектором AjCj. Иными словами, докажем, что если АВ = AjBj и BC = BiCi. то АС = AiCi (рис. 251). Допустим, что точки А, В, Aj, точки В, С, Bi и точки А, С, Ai не лежат на одной прямой (остальные случаи рассмотрите самостоятельно). Рис. 251 Из равенства AB = AiBi следует, что стороны АВ и AjBi четырёхугольника АВВ^А^ равны и параллельны, поэтому этот четырёхугольник — Рис. 250 В 7* 195 Векторы параллелограмм. Следовательно, AAi=BBi. Аналогично из равенства BC = BiCi следует, что четырёхугольник BCCiBi — параллелограмм. Поэтому BBi = CCi. На рснове полученных равенств заключаем, что AAi = CCj. Поэтому AAiCiC — параллелограмм, и, значит, AC = AiCi, что и требовалось доказать. Сумма векторов а и Ь обозначается так: а + Ь. Складывая по правилу треугольника произ- вольный вектор а с нулевым вектором, получаем, ->■ что для любого вектора а справедливо равенство a-fO = a. Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С — произвольные точки, то АВ + ВС = АС. Подчеркнём, что это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случае, когда две из них или даже все три совпадают. 83 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма Теорема Для любых векторов а, Ь п с справедливы равенства: . 1". а + Ь = Ь + а (переместительный закон). 2°. (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сочетательный закон). Доказательство 1®. Рассмотрим случай, когда векторы а и Ь не коллинеарны (случай коллинеарных векто- ров а VI Ь рассмотрите самостоятельно). От про- ' ' ^ —► извольной точки А отложим векторы АВ = а и AD = b и на этих векторах построим параллело- 196 Глава IX i paMM ABCD, как показано на рисунке 252. По правилу треугольника АС = АВ + ВС = а + Ь. Аналогично АС = AD + DC = b + а. Отсюда следует, ЧТО d Ь — Ь (1щ 2®. От произвольной точки А отложим век- тор АВ = а, от точки В — вектор ВС = Ь, а от точ-■ ^ кй С — вектор CD = с (рис. 253). Применяя правило треугольника, получим: (а ч-Ь) ч-с = ВС) + сВ = АС + СП = AD, ач-(6ч-с) = ^ч-(ВСч-сВ) = ^ + ВП = АП. Отсюда следует, что (а ч- 6) ч- с = а ч- (6 ч- с). Теорема доказана. ,При доказательстве утверждения 1° мы обосновали так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы а и Ь, нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы АВ = а и AD = Ь и построить параллелограмм ABCD (см. рис. 252). Тогда вектор АС равен а + Ъ. Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил. 84 Сумма нескольких векторов Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. На рисунке 253 показано постро-ение суммы векторов а, Ь, с: от произвольной точки А отложен вектор АВ = а, затем от точки ^ отложен вектор ВС = Ь и, наконец, от точки С отложен вектор CD = c. В результате получается вектор AD = а ч- 6 ч- с. 197 Векторы Аналогично можно построить сумму четырёх, пяти и вообще любого числа векторов. На рисунке 254 показано построение суммы шести векторов. Это правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника. Рисунок 254 поясняет название. Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если Ai, А2, А„ — произвольные точки плоско- сти, то А1Л2 + А2А3-I-... + A„_iA„ = AiA„ (на рисунке 255, а п = 7). Это равенство справедливо для любых точек Aj, А2, ..., А„, в частности в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору (рис. 255, б). 85 Вычитание векторов Разностью векторов а и Ь называется такой вектор, сумма которого с вектором Ь равна век-тору а. Разность векторов а и Ь обозначается так: а-Ъ. Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов. Задача Даны векторы а и Ь. Построить вектор а-Ь. Решение Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки векторы ОА = а и ОВ = Ь (рис. 256). По правилу треугольника ОВ -f- В А = О А или Ь -I- В А = а. Таким образом, сум-► “► -► ма векторов ВА и Ъ равна а. По определению раз-ности векторов это означает, что ВА = а-Ъ, т. е. вектор В А искомый. Задачу о построении разно- 198 Рис. 254 6J Рис. 255 Глава IX i сти двух векторов можно решить и другим способом. Прежде чем указать этот способ, введём понятие вектора, противоположного данному. Пусть а — произвольный ненулевой вектор. Вектор Hi называется противоположным -► -*• —► вектору а, если векторы а и aj имеют равные длины и противоположно направлены. На рисунке 257 вектор a^ = BA является противоположным вектору а = АВ. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Вектор, противоположный вектору а, обозначается так: -а. Очевидно, а-1-(-а) = 0. Докажем теперь теорему о разности двух векторов. Теорема Рис. 256 В АВ + ВА=АА = 0 Рис. 257 Для любых векторов а и Ь справедливо равен-ство а-Ь = а + (-Ь). Доказательство По определению разности векторов (а - &) -I-+ Ь = а. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (-6), получим: (а - 6) -I- 6 -I- {-$) = а + (-5), или (а - 5) + О = а -I- (-Ь), откуда а-Ь = а + (-Ь). Теорема доказана. Приведём теперь другое решение зада-чи о построении разности векторов а и Ь. Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор ОА = а (рис. 258). Затем от точки А отложим вектор АВ = -Ъ. “► —► По теореме о разности векторов а-5 = а-)-(-&), поэтому а-Ь = О А + АВ = ОВ, т. е. вектор ОВ искомый. Рис. 258 199 Векторы Практические задания 753 Турист прошёл 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы АВ и ВС. Равны ли векторы АВ + ВС и АС7 754 Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и по-стройте векторы х + у, х + г, г + у. —► -► 755 Начертите попарно неколлинеарные векторы а, Ь, с, d, е и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор a + b + c + d + e. 756 Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z w. по-стройте векторы л:-у, г-у, х-2, -л:, -у, -г. 757 Начертите векторы л:, у и г так, чтобы л:ТТ у, х Н z. Постройте векторы х + у, y-z, x + z. 758 Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а та Ь так, чтобы I а I I 61. Постройте векторы: а) а - Ь; б) 6 - а; в) -а + Ь. Выполните ещё раз построение для случая, когда | а | = | 5 |. Задачи 759 Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: а) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP. 760 Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство |л:-|-у|<|л:|-1-|у|. 761 Докажите, что если А, В, С, и D — произвольные точки, то AB-(-BC-l-CZ) + Z)A = 0. 762 Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Найдите: а) |АВ-1-ВС|; б) |АВ + АС|; в) |АВ + СВ|; г) |ВА-ВС|; д) |АВ-АС|. 763 □ В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, ZB = 90°. Найдите: а) |ВА|-|ВС| и 1ВА-ВС|; б) |А^-1-|ВС| и |АВ-нВС|; в) |ВА|-|-|ВС| и |ВА-1-ВС|; г) I АВ|-|ВС| и I АВ-ВС|. 764 □ Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) {AB + BC-MC) + {MD-KDY, б) iCB + AC + BD)-{MK + KD). 200 Глава IX 765 Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы р = XY + ZX + YZ, q = (XY-XZ) + YZ и r = (ZY-XY)-^ нулевые. 766 □ На рисунке 259 изображены векторы а, ■ ► --------------------► Ь, с, d, XY. Представьте вектор XY в виде суммы остальных или им противоположных векторов. 767 Дан треугольник АВС. Выразите через векторы а = АВ и Ь = АС следующие векторы: а) В А; б) СВ; в) СВ + ВА. Решение а) Векторы В А и АВ — противоположные, поэтому ВА = -АВ, или ВА = -а. б) По правилу треугольника СВ = СА + АВ. Но СА = -АС, поэтому СВ = АВ + (-АС) = АВ - АС = а-Ъ. 768 □ Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а = АМ и b = AN. 769 □ Отрезок BBi — медиана треугольника АВС. Выразите векторы Bfi, BBi, BA, ВС через x = ABi и у = АВ. 770 □ Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и Ь, если: а) а = АВ, Ь = ВС; б) а = СВ, b = CD; в) а = АВ, b = DA. 771 □ Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Выразите через векторы а = АВ и b = AD векторы: DC + CB, ВО + ОС, во-ос, BA-DA. 772 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА -f ХС = ХВ + XD, где X — произвольная точка плоскости. 773 Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо неравенство |дс-1/|^|.зс| + |у|. В каком случае |jc-i/| = |x| + |i/|? 774 Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Порывом ветра его начинает относить в сторону со скоростью зТз м/с. Под каким углом к вертикали спускается парашютист? 201 Векторы Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 86 Произведение вектора на число Прежде чем ввести ещё одно действие — умножение вектора на число, обратимся к примеру. Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй автомобиль движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т. е. в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля. Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором v (рис. 260, а), то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление такое же, как у вектора v, а длина в два раза больше, и обозначить этот вектор 2v. Скорость третьего автомобиля изобразится векто-ром, противоположным вектору 2и, т. е. вектором -2v (см. рис. 260, а). Естественно считать, что век-тор 2v получается умножением вектора v на число 2, а вектор -2v получается умножением вектора v на число -2. Этот пример подсказывает, каким образом следует ввести умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор Ь, длина кото-рого равна | й | • | а |, причём векторы а и Ь сона-правлены при й ^ 0 и противоположно направлены при й < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение вектора а на число й обозначается так: йа. На рисунке 260, б изображены вектор а и векторы За, -1,5а, V2a. V 2v -2v а) Рис.260 202 Глава IX Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что: 1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор; 2) для любого числа к и любого вектора а векторы а к ка коллинеарны. Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами: Для любых чисел к, I и любых векто-ров а, Ь справедливы равенства: 1®. (Ы) а = к (1а) (сочетательный закон). 2*^. (к + 1)а = ка + 1а (первый распределительный закон). З". к(а + Ъ) = ка + кЬ (второй распределительный закон). Рисунок 261 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда к = 2, 1 = 3. Рисунок 262 иллюстрирует первый распределительный закон. Этот рисунок соответствует случаю, когда к = 3, 1 = 2. Рисунок 263 иллюстрирует второй распределительный закон. На этом рисунке треугольники ОАВ и OAyBi подобны с коэффициентом по- ► * *' >* —► ' ■ ► -+■ —► добия к, поэтому О А = ка, АВ = кЬ, ОВ = к(а + Ь). С другой стороны, ОВ = ОА + АВ = ка + кЬ. Таким образом, к(а + Ь) = ка-^ кЬ. Замечание Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражени- -► —► —► ях. Например, выражение р = 2(а-Ь) + (с + а)~ - о (Ь - с -1- а) можно преобразовать так: р = 2а - 26 -1- с ч- а - 36 -I- Зс - За = -56 -I- Ас. ( t ( ОВ = 204 = 2(3а) ^ = 6а"=(2-3)а Рис.261 ОА = ка\ АВ = /а ОВ = (кН)а = fia+ta Рис. 262 ^ 2+6 бв = к{а+Ь)=ка+кЬ Рис. 263 203 Векторы 87 Применение векторов к решению задач Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем. Приведём примеры. Рассмотрим сначала вспомогательную задачу. Задача 1 Точка С — середина отрезка АВ, а О — произвольная точка плоскости (рис. 264). Доказать, что ОС = ^ (ОА + ОВ), Решение По правилу треугольника ОС = О А + АС, ОС = ОВ + ВС. Складывая эти равенства, получаем: 20С = О А + ОВ + (АС + ВС). Так как точка С — середина отрезка АВ, то АС + ВС = 0. Таким образом, 20С = О А + ОВ, или дС = ^{ОА + ОВ). Задача 2 Доказать, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон. Решение Пусть ABCD — данная трапеция, М и N — середины оснований ВС и AD, а О — точка пересечения прямых АВ и CD (рис. 265). Докажем, что точка О лежит на прямой MN. Треугольники OAD и ОВС подобны по первому признаку подобия треугольников (докажите . ОА OD , это), поэтому — = — = k. Так как ОВ tT ОА и ОС ТТ OD, то OA = k OB, OD = k 6c. (1) Точка М — середина отрезка ВС, поэтому ОМ = ^(ОВ + ОС). Аналогично ON = — (ОА + OD). 2 204 Подставив в это равенство выражения (1) для ОА и OD, получим: ON = k- (OB + OC) = k-OM. Отсюда следует, что векторы ON и ОМ коллинеарны, и, значит, точка О лежит на прямой MN. 88 Средняя линия трапеции Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажем теорему о средней линии трапеции. Теорема штттштяш! * : Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD (рис. 266). Докажем, что MN || AD и AD + BC MN = 2 ________________________^ ^ По правилу многоугольника MN = МВ + + ВС + CN и MN = МА + AD + DN. Сложив эти равенства, получим: 2MN = (МВ + МА) + (ВС -I- AD) + (CN + DN). Но М и N — середины сторон АВ и CD, поэтому МВ + МА = О и CN и- DN = 0. Следовательно, 2MN = AD + BC, откуда MN = -(AD + BC). 2 Так как векторы AD и ВС сонаправлены, то векторы MN и AD также сонаправлены, а длина вектора (AD + BC) равна AD + BC. Отсюда следует, что MN\\AD и MN - . а Теорема доказана. 205 Векторы Практические задания 775 Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точки О -► 1 -► отложите векторы, равные 2р и —д. 2 776 Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: а) х + 2у; б) ^У + х; в) Ъх + ^у\ г) д) Ох + Ау\ е) -2х + Оу. Выполните задания а) — е) для двух коллинеар-ных ненулевых векторов х и у. 777 Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых —► —► -*■ —► не совпадают. Постройте векторы т = 2р —q, п=р + Зд, l = -2p--q, s = -q-p. -► -*• -► 778 Начертите попарно неколлинеарные векторы а, Ь и с. -► ^ “► ^ ^ ^ Постройте векторы: а) 2а + 36-4с; б) -а-Ь + — с. 2 3 Задачи 779 □ Дан вектор р = За, где афб. Как направлен каждый из век- торов а, -а, — а, -2а, 6а по отношению к вектору р7 Выразите 2 длины этих векторов через | р |. Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства: а)1-а = а; б)(-1)-а = -а. 780 781 782 783 784 □ Пусть х = т + п, у = т-п. Выразите через тип векторы: а)2х-2у; б)2х + ^у; и)-х-\у. □ в параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG через векторы DC = а и ВС = Ь. □ Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причём ВМ : МС = 3 : 1.-Выразите векторы AM и MD через векторы a = AD и Ь = АВ. □ В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что AM = ^MD. 2 206 Глава IX Выразите через векторы x = AD, у = АВ следующие векторы: а) ^ АО, СО, DO, AD + BC, AD + CO, СО + ОА; б) AM, МС, ВМ, ОМ. 785 Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что MN = ^(AD + CB). 786 □ Отрезки AAj, ВВ^ и CCi — медианы треугольника АВС. Выразите векторы AAj, BBj, CCj через векторы а = АС и Ь = АВ. 787 □ Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через векторы а = ED и Ь = EF. Применение векторов к решению задач 788 Дан произвольный треугольник АВС. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС. Решение Пусть AAi, BBj, CCi — медианы треугольника АВС. Тогда аХ = -(АВ + АС), BB^ = i(^ + BA), С^1 = ^(СА + СВ) (см. за-2 2 2 дачу 1, п. 87). Сложив эти равенства, получим AAj + ВВ^ -I- CCj = = - ((^ + ВА)-I--I-ОА)-I-(СВ + ВС)) = 0. 2 Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов ААх, BBj, CCi по правилу многоугольника (п. 84), то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник MNF на рисунке 267). 789 На сторонах треугольника АВС построены параллелограммы АВВ1А2, ВСС1В2, ACCgAj. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А1А2, В1В2 и С1С2. N MN=AA^, NP = BB„ m=cc, 207 Векторы 790 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований. 791 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам. 792 Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64). Средняя линия трапеции 793 □ Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции. 794 □ Сторона АВ треугольника АВС разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка. 795 □ Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см. 796 □ Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС, и DDi к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD^, если СС, = 11 см, а CD = 21 см. 797 Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей. 798 □ Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции. 799 □ Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. Вопросы для повторения к главе IX 1 Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики. 2 Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым. 3 Что называется длиной ненулевого вектора? Чему равна длина нулевого вектора? . 4 Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы а и 6 и противоположно на-правленные векторы end. 5 Дайте определение равных векторов. 208 Глава IX 6 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Объясните смысл выражения: «Вектор а отложен от точки А». Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов? Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство а + 0 = а. Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов. В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов? В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов? Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте разность двух данных векторов. Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число? Чему равно произведение ha, если: а) а = 0; б) А = 0? Могут ли векторы а и ha быть неколлинеарными? Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число. Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач. Какой отрезок называется средней линией трапеции? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции. Дополнительные задачи ^ —► 8(Ю Докажите, что если векторы тип сонаправлены, то |m + n| = |m|-l-|nl, а если тип противоположно направлены, причём |m|^|n|, то |m-l-n| = |m|-|n|. **► 801 Докажите, что для любых векторов х и у справедливы неравенства |x|-|t/|<|x + i/|<|ji:|-l-|j/|. 802 На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = В А иЬ = ВС. 209 Векторы 804 803 На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответ- V MX 3 NY Z ^ ственно точки Л и У так, что —— = -г и . Выразите Л /V ^ 1л А векторы ХУ и МР через векторы a = NM и b = NP. Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена такая точка X, что АК = \aD. Выразите векторы СК, KD и ВС через векторы а = ВА и b = CD. Три точки А, В та. С расположены так, что ВС = —АВ. 2 Докажите, что для любой точки О справедливо равенство Ш = -ОА + -ОС. 3 3 Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство п . т 805 806 ОС = ОА + ОВ. 807 808* т + п т + п Отрезки AAi, ВВ^ и CCj — медианы треугольника АВС, О — произвольная точка. Докажите, что 809 810 О А + ОВ -1- ОС = OAi + OBi OCj. Точки А та С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В та D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство OA + OC = OB-(-dD. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны а. Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции. Задачи повышенной трудности Задачи к главе V 811 Дан выпуклый шестиугольник А^АгАзА^А^Ав, все углы которого равны. Докажите, что А1А2 — А4А5 = A^Ag — А2А3 = А3А4 — AgA^. 812 Положительные числа Oi, 02, Пд, 04, Ug и Og удовлетворяют условиям Ох - 04 = ag-02 = 03- Og. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник А1А2А3А4А5А6, все углы которого равны, причём AiA2 = ai, ^2^3 = 02, АзА4 = аз, ^4^5 = 04, AgAg = Og и AgAx = Og. 813 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости. 814 Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. 815 Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины. 816 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = о. 817 Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра. 818 Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб. 819 Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку. 820 Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 821 При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат. 822 На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата. Задачи повышенной 211 трудности 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что AM = BK + DM. На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму ZBAE + ZCAE + ZDAE. Внутри квадрата ABCD взята такая точка М, что ZMAB = 60°, ZMCD = 15°. Найдите ZMBC. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, АСТМ, ВАНК, а затем параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали. Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний. Задачи к главе VI Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М W. К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВК равны соответственно Sj, S2, S3. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, а на отрезке МК — точка Р так, что AM СК МР . Найди- МС КВ РК те площадь треугольника АВС, если площади треугольников АМР и ВКР равны Sj и Sg. Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону. _ Задачи повышенной 212 трудности 834 Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Плопдади треугольников ВОС и AOD равны Si и S2. Найдите площадь трапеции. 835 Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции. 836 Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АКВ равны. 837 Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В ^ на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕОК равны. 838 Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника. 839 Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и МВ соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС. 840 Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны а и Ь. Найдите расстояние от точки А до вершины угла. 841 Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно Si и S^. 842 Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны. Задачи повышенной 213 трудности 843 Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах В А и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если ZBAC = а. 844 Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно, что МВ = а, МС = Ъ и MD = c. Найдите длину отрезка МА. 845 В треугольнике АВС проведена высота BD. Отрезок КА перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки МВ и КВ равны. 846 Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенство Sqab = ^оас = ^овс' Докажите, что справедливо равенство ОА^ + ОВ^ = 50С^. 847 848 849 850 851 852 Задачи к главе VII в На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: а) AAEDcoAAFE; б) ^ DF AF В треугольнике АВС {АВ Ф АС) через середину М стороны ВС проведена прямая. Рис. 269 параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE. Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами. Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника АВС, причём точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треугольника АВС, проведённой к стороне АВ. Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а. В треугольнике АВС ZA = ВС АС АВ 180° и ZB = 360° Докажите, что _ _ Задачи повышенной Jt трудности Из точки М внутренней области угла АОВ проведены перпендикуляры МР и MQ к его сторонам О А и ОВ. Из точек Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОВ и О А. Докажите, что RS1 ОМ. й54 В равнобедренном треугольнике АВС из середины D основания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ _L АН. 855 Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки П — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что: а) С£>з = АВ-АЕ- BF; б) АЕ^ + BF^ + ЗС£>2 = ЛВ2; в) = ^АВК 856 Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что Z.ADP = ^/.PDC, ZADP = ^ ZPAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника, б) Докажите, что АВ^ = ВР • BD. 857 Точка М не лежит на прямых, содержаш;их стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р и Q, расположенные так, что А, В, С и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM. 858 Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон. 859 Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 860 Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм. 861 Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторонний. 862 Из вершины А треугольника АВС проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника АВС. Задачи повышенной 215 трудности 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 Отрезки AAi, ВВ^ и CCi соединяют вершины треугольника АВС с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой. Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. В треугольнике АВС, сторона АС которого в два раза больше стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую АВ в точке К. Докажите, что <г —А<ч —-Lq —-Lq ‘^ВСМ ~ 2 ACM ~ 3 ^^ABC ~ 2 ^СМК' Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам S 3 треугольника АВС. Докажите, что ^АВС В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВМ в отношении 1 : 2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников АВК и АВС. Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между MN и МР. Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в п раз дальше, чем от другой (п = 2, 3, 4). Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой AD АС АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы Всегда ли задача имеет решение? Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними. Постройте треугольник АВС, если даны /.А, Z.C и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН. Постройте треугольник по трём высотам. Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон. Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков. . Задачи повышенной JL IО трудности Задачи к главе VIII 877 878 879 880 881 882 883 884 Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и Ai, а. другую — в точках В к В^. Докажите, что AAi II BBj. Прямая АС — касательная к окружности с центром Oj, а прямая BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 270). Докажите, что: а) AD II ВС; б) AB^ = AD‘BC; в) BD^: AC^ = AD:BC. Точки Bi и Cj — середины дуг АВ и АС (рис. 271). Докажите, что AM = AN. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой. Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величи-АВ^ где AD — расстояние от точки А до касательной в на AD точке В, имеет одно и то же значение. Через точку А пересечения двух окружностей с центрами в точках Oj и О2 проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отрезок ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой 0j02. Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой АВ. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков. Внутри угла АВС равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что ZBMC = 30°, ZBMA = 17°. Найдите углы ВАМ и ВСМ. Рис. Рис. 271 Задачи повышенной 217 трудности 885 Через каждую вершину треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника АВС. 886 Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты! треугольника АВС, а А', В', С — точки, симметричные точ-| ке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А', В', С лежат на окружности, описанной около треугольника АВС. 887 Отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что BD^ = AB‘BC-AD-DC. 888 Из вершины В треугольника АВС проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН. 889 Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков. 890 Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности. 891 В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD. 892 Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований. 893 Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея). 894 Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус г вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d^ = R2- 2Rr (формула Эйлера). 895 Для неравностороннего треугольника АВС точка О является центром описанной окружности, Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты AAi, BBj и CCj, точки Аг, Вг, Сг — середины отрезков АН, ВН, СН, а точки Ад, Вд, Сд — середины сторон треугольника АВС. Докажите, что точки Aj, Bj, Cl, Ag, Bg, Cg, Ag, Bg, Cg ложат Ha одной окружности (окружность Эйлера). _ _ Задачи повышенной 21о трудности 896 897 898 899 !Ю0 901 902 Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона). Постройте общую касательную к двум данным окружностям. Даны окружность с центром О, точка М и отрезки PjQ, и ^2^2* Постройте прямую р так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную PiQi, и расстояние от точки М до прямой р равнялось P2Q2- Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку. Постройте треугольник: а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне; б) по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки А, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача? Задачи к главе IX 903 Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86). Решение 1. Докажем, что для любых чисел k, I и любого вектора а справедливо равенство {Ы) a = k (la). Если а = О, то справедли-вость этого равенства очевидна. Пусть афО. Имеем: | (Ы) а \ = = |ftZ||a| = |A||Z||a| = |/e|Ua| = |/f {la) |. Далее, если то {М)а tt а и k{la) tt а; если же kl<0, то (kl) а ti а и А (1а) ti а. И в том и в другом случае (kl) а tt А (1а). Следовательно, (kl) a = k (la), 2. Докажем, что для любого числа k и любых векто- ров а и Ь справедливо равенство k(a + b) = ka + kb. Если А = О, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть кФО. Задачи повышенной 219 трудности Рис. 272 ОВ = А(в + b)-ka + kb а) ОВ = к(а + Ь) = ка + кЬ б) Рассмотрим случай, когда векторы а и Ь не коллинеарны (случай а II & рассмотрите самостоятельно). Отложим от ка-кой-нибудь точки о векторы OAj = а и О А = ka, а от точек Ai и А — векторы AiBi = 6 и AB = kb (рис. 272, а, б). Треугольники OAiBj и ОАВ подобны с коэффициентом подобия I к |. Следовательно, ОВ = кОВу = к{а + Ь). С другой стороны, ОВ = О А -I- АВ = ка + кЬ. Итак, к{а + Ь) = ка + кЬ. 3. Докажем, что для любых чисел к, I и любого вектора а ^ ^ “► справедливо равенство (к + 1)а = ка + 1а. Если к = 1 = 0, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из чисел к, I отлично от нуля. Для определённости будем считать, что I ft I ^ I /1, и, следовательно, ft О и — ^1. ft Рассмотрим вектор а + —а. Очевидно, (a-f- —а)ТТа. Далее, а -ь |а-1--а| = | Следовательно, согласно определению произведения вектора ца число, а + —а = \ 1 + — ft ( ft 904 905 = Умножая обе части этого равен- ства на ft, получим, что справедливо равенство ка + 1а = {к +1) а. Даны четырёхугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырёхугольник, если ON - ОМ = ОР - OQ7 Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н симметричны точке О относительно середин сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёхугольник EFGH? _ _ _ Задачи повышенной jCjiU трудности f)()6 Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор -45: + ^45 на- \АВ\ \АС\ правлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор — вдоль \АВ\ \^\ биссектрисы внешнего угла при вершине А. ‘Ю7 Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, I и т, одновременно не равные нулю, такие, что k + I + т = 0 и для произвольной точки О выполняется равенство kOA -I- ЮВ -I- тОС = 0. ‘Ю8 Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой. 5Ю9 Биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах ' А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках Ai, Bi и С^, Используя векторы, докажите, что точки Ai, Bj и Cl лежат на одной прямой. 910 Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника АВС, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1, HG считая от точки Н, т. е. — = 2. GO Глава X Метод координат С понятием декартовой прямоугольной системы координат вы знакомы по курсу алгебры. Введение системы координат позволяет описывать геометрические фигуры, в частности окружности и прямые, с помощью уравнений, что даёт возможность применять в геометрии алгебраические методы. Так, например, написав уравнения двух данных окружностей, можно с их помощью исследовать взаимное расположение этих окружностей Наряду с координатами точек будут введены координаты векторов и тем самым будет расширен координатно-векторный аппарат геометрии. Координаты вектора 89 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Докажем сначала лемму^ о коллинеарных векторах. Лемма ka i i пин i -♦ -*■ -► -*■ Если векторы а и Ь коллинеарны и а^О, то существует такое число fe, что Ь = ka. а) 6 Доказательство Возможны два случая: \ Ъ и а lift. Рас- смотрим эти случаи в отдельности. -¥■ А А ^ I & I 1) а ТТ Ь. Возьмём число k = Так как \а\ k>0, то векторы ka и Ь сонаправлены (рис. 273, а). Кроме того, их длины равны: I /га I = I й I • I а I = • | а I = | & I. Поэтому b = ka. \а\ ka k= |а б) Рис. 273 ' Леммой называется вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем. 222 Глава X А I I О I 2) а\\Ь. Возьмём число k = Так как |а| k<0, то векторы ka и Ь снова сонаправлены (рис. 273, б). Их длины также равны: \ka\ = z=\k\\a\ = 7^ • I а I = I Ь |. Поэтому Ь = На. Лемма |а| доказана. Пусть а и Ь — два данных вектора. Если вектор р представлен в виде р = ха + уЬ, где х и у — некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а и Ь. Числа х -а у называются коэффициентами разложения. Докажем теорему о разложении вектора по двум неколли-неарным векторам. Теорема miiMiniiiiMiiiniiffai— тштя1шитшттвкшшййт:ш > ? ~ vi'i На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство Пусть а и Ь — данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор р можно разложить по векторам а и Ь. Возможны два случая. 1) Вектор р коллинеарен одному из векто-ров а и Ь, например вектору о. В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор р можно представить в виде р = уЪ, где у — некоторое чис-ло, и, следовательно, р = 0 • а + у • о, т. е. вектор р разложен по векторам а w. Ь. 2) Вектор р не коллинеарен ни вектору а, ни вектору Ь. Отметим какую-нибудь точку О и отложим от неё векторы О А = а, ОВ = Ь, ОР = р (рис. 274). Через точку Р проведём прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через Ai 223 Метод координат точку пересечения этой прямой с прямой О А. По правилу треугольника р = ОАу + А^Р, Но векторы OAi и AiP коллинеарны соответственно векторам а и Ь, поэтому супцествуют такие числа л: и i/, что OAi = ха, А^Р = хЬ. Следователь-но, р = ха + уЬ, т. е. вектор р разложен по некто-рам а VI Ь. Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением р = ха + уЬ имеет место другое разложение р = XiU + yib. Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, “► получаем 0 — {x-Xi)a + (y-yi)b. Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х- Xi и у-ух равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х-ХхФО, то из полученного равенства найдём а = -——Ь, а значит, векторы о и о коллинеарны. X- Хх Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, X - Хх = 0 VI у - ух = 0, откуда x = XxVi у = ух. Это и означает, что коэффициенты разложения вектора р определяются единственным образом. Теорема доказана. 90 Координаты вектора Понятие прямоугольной системы координат (или, как иногда говорят, декартовой системы координат) нам известно из курса алгебры. Напомним, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. 224 Глава X в дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число. Отложим от начала координат О единичные векторы (т. е. векторы, длины которых равны единице) i и j так, чтобы направление вектора i совпало с направлением оси Ох, а направление вектора j — с направлением оси Оу (рис. 275). Векторы i тл i назовём координатными векторами. Координатные векторы не коллинеар-ны, поэтому любой вектор р можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде p = xi + yj, причём коэффициенты разложения (числа X VI у) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения век-тора р по координатным векторам называются координатами вектора р в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: р {х\ у). На рисунке 275 О А {2; 1} и М3;-2}. Так как нулевой вектор можно предста-вить в виде О = О • / ч- О • у, то его координаты рав-ны нулю: О {0; 0}. Если векторы a = Xii + yJ и b = x2i + yJ равны, то jCj = дса и i/i = i/g* Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны. Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число. 1'*. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Докажем это утверждение для двух век- ^ торов. Рассмотрим векторы и Ь {х2", Уг}- ^нк как а = JCji -i- yJ и 5 = JCgt -i- yJ, то, пользуясь ^' Атанасян, 7—9 кл. 22S Метод координат свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим: a + b = xJ+yJ+X2i + У2] = (xi + Х2) i + {уI + у2)/• Отсюда следует, что координаты вектора а + Ъ равны {х^ + Х2', Ух + 1/2}. Аналогично доказывается следующее утверждение: 2*^. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Иными словами, если а {Ху\ ух) и Ъ {х2\ 1/2} — данные векторы, то вектор а-Ь имеет координаты {хх - Х2; Ух - У г}’ Проведите доказательство самостоятельно. 3°. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. -*• В самом деле, пусть вектор а имеет коор-динаты {х; у}. Найдём координаты вектора ka, где k — произвольное число. Так как a = xi + yj, то ka = kxi + kyj. Отсюда следует, что координаты вектора ka равны [kx’, ky). Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами. Пусть, например, требуется найти координаты вектора р = 2а-^Ъ + с, О если известно, что а{1;-2}. Ь {0; 3}, с {-2; 3}. По правилу 3° вектор 2а имеет координаты {2; -4}, а вектор Ь координаты {0; -1}. Так как О -► . _ 1 р = (2а) + (“— Ь) + с, то координаты вектора р мож-о но найти по правилу 1®: {2-I-0 - 2;-4 - 1-I-3}. Итак, вектор р имеет координаты {0; -2}. 226 Глава X 911 912 915 916 917 918 8* 913 914 т а / J / i О X а) Задачи □ Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство п = km, если известно, что: а) векторы тип противоположно направлены и |щ| = 0,5см, |п| = 2см; б) векторы тип сона-правлены и | m | = 12 см, | п | = 24 дм; в) векторы тип противоположно направлены и | m | = 400 мм, | п | = 4 дм; г) векторы тип сонаправлены и \т\ = у[2 см, | п | = см, □ Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрез ка АО. Найдите, если это возможно, та кое число к, чтобы выполнялось равенство а) ^ = б) BO = kBD; в) OC = kCA г) AB = kDC; д) B^=kD^ е) ^=^А ж) MC = kAM; з) AC = kCM; и) AO = kBD. □ Векторы а и Ь коллинеарны. Коллинеар- ны ли векторы: а) а-1-ЗЬ и а; б) &-2а и а? Ответ обоснуйте. Докажите, что если векторы а и 6 не кол-линеарны, то: а) векторы а + Ь и а-Ъ не коллинеарны; б) векторы 2а-Ъ и а + Ь не коллинеарны; в) векторы а + Ь и а -I- ЗЬ не коллинеарны. Точка М лежит на диеигонали АС параллелограмма ABCD, причём AM: МС = 4:1. Разложите вектор AM по векторам а = АВ и Ь = AD. Векторы а и & не коллинеарны. Найдите числа X и у, удовлетворяющие равенству: а) За - хЬ = уа + Ь; б) 4а - ха + 5Ь + уЬ = 0; в) ха + ЗЬ-уЬ = 0; т) а + Ь-Зуа + хЬ = б. Начертите прямоугольную систему коорди- -► ____ нат Оху и координатные векторы i и у. Постройте векторы с началом в точке О, задан- ные координатами а {3; 0}, Ь {2; -1}, с {0; -3}, d{l;l}, e{2;V2}. Разложите векторы а, Ъ, с, а, е и /, изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координат- — ' ■ ' ” Ь ( 7, — — “Ч к- ■г С X б) в) Рис. 276 ным векторам i и j и найдите их координаты. 227 Метод координат -♦ -► X ** 919 □ Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, b = -—i + 2j c = 8i, d = i-j, e = -2j, f=-i. 920 □ Запишите разложение по координатным векторам i и J вектора: а)л{-3:-|}; б)у{-2;-3}; в) 2 {-1:0}; г) и {0:31. д)г{0;1). " 921 □ Найдите числа х и у, удовлетворяюш;ие условию: а) xi + yj = = 5i-2j; б) -3i + yj = xi + 7J; в) xi + yj = -4i; г) xi + yj = 0. 922 □ Найдите координаты вектора a + b, если: a) a {3; 2}, b {2; 5}; 6) a {3; -4}, b {1; 5}; в) a {-4; -2}, b {5; 3}; r) a {2; 7}, b {-3; -7}. 923 □ Найдите координаты вектора a-b, если: a) a {5; 3}, b {2; 1}; б) a {3; 2}, b {-3; 2}; в) a {3; 6}, b {4; -3}; r) a {-5; -6}, b {2; -4}. “► “► —► 924 □ Найдите координаты векторов 2a, За, -a, -За, если а {3; 2}. 925 Даны векторы а {2; 4}, 6 {-2; 0}, с {0; 0}, d{-2;-3}, е(2;-3}, 7 {0, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным. 926 □ Найдите координаты вектора и, если: а) у = За - ЗЬ, а {2; -5}, Ь {-5; 2}; б) v = 2a-3b + 4с, а {4; 1}, Ь {1; 2}, с (2; 7); в) д=За-2Ь--с, а{-7;-1}, &{-1;7}, с{4;-6}; г) у = а-Ь-с, а {7; -2}, Ь {2; 5}, с {-3; 3}. 927 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 928 й Даны векторы а {3; 7}, 6 {-2; 1}, с (6; 14}, d{2;-l}, с {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы. Простейшие задачи в координатах 91 Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца' Рассмотрим прямоугольную систему координат и какую-нибудь точку М с координатами (л:; у). Напомним, как определяются числа х w. у. 228 Глава X Проведём через точку М прямые, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М, и Мг точки пересечения этих прямых с осями Ох и Оу (рис. 277). Число х (абсцисса точки М) определяется так: х = ОМ^, если Mj — точка положительной полуоси (рис. 277, а), x = -OMi, если Ml — точка отрицательной полуоси (рис. 277, б); х = 0, если Му совпадает с точкой О. Аналогично определяется число у (ордината точки М). На рисунке 278 изображена прямоугольная система координат Оху и отмечены точки А (3; 2), В (-4; 3), С (-2,5; 0). Вектор ОМ назовём радиус-вектором точки М. Докажем, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора. Воспользуемся равенством ОМ = ОМу + ОМ2 (см. рис. 277) и докажем, что ОМу = xi и ОМ2 = yj. Если д: > о (как на рисун- ---► -► ке 277, а), то х = ОМу, а векторы ОМу и i сона- __ ’ ■- > -► правлены. Поэтому ОМу = ОМу- i = xi. Если д:<0 (как на рисунке 277,6), то х = -ОМу, а векторы ----► ОМу и i противоположно направлены. Поэто- му ОМу = -ОМу' i = xi. Наконец, если х = 0, то --► -► --------------► -*■ ОМу = о и равенство ОМу = xi в этом случае также справедливо. Таким образом, в любом случае ОМу = xi. Аналогично доказывается, что OMg = yj. Следовательно, ОМ = ОМ у + ОМ 2 = xi + yj. Отсюда следует, что координаты радиус-вектора ОМ равны {дс; у}, т. е. равны соответствующим координатам точки М, что и требовалось доказать. Пользуясь доказанным утверждением, выразим координаты вектора АВ через координаты его начала А и конца В. Пусть точка А име-бт координаты (ДС1; уу), а точка В — координаты (^2; Уг)- Вектор АВ равен разности векторов ОВ и О А (рис. 279), поэтому его координаты равны Разностям соответствующих координат векторов Рис. 277 |(-4;3) ^ Л(3;2) С(-2;5;'0) О' ' ж Рис.278 229 Метод координат OB ТА о A. Но OB и О А — радиус-векторы точек Б и А, и, значит, ОБ имеет координаты {Xg; 1/2}. а О А имеет координаты {jCj; у^). Следовательно, вектор АБ имеет координаты {Xz-Xil J/2-l/l}. Таким образом, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. На рисунке 275 точки Б и С имеют координаты (1; 4) и (4; 2), поэтому координаты вектора ВС равны {3; -2}. 92 Простейшие задачи в координатах Введение системы координат даёт возможность изз^ать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат. Решим три вспомогательные задачи а) — в). а) Координаты середины отрезка. Пусть в системе координат Оху точка А имеет координаты (Xii j/i}, а точка Б — координаты {Xz', У2)- Выразим координаты (;с; у) середины С отрезка АБ через координаты его концов. Так как точка С — середина отрезка АБ, то ОС = ^{ОА + ОВ). (1) (Это равенство было доказано в п. 87.) Координаты векторов ОС, ОА и ОБ равны соответствующим координатам точек С, А и Б: ОС {ж; у), О А {jCi; у^}, ОВ {Х2’, 1/2}. Записывая равенство (1) в координатах, получим: X = — -ч X, + Хо у = У1 + Уг ^ 2 Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. У,: к 230 Глава X б) Вычисление длины вектора по его координатам. Докажем, что длина вектора а{х\у) вычисляется по формуле \a\ = yjx^+y^. Отложим от начала координат вектор - -—► -♦ ОА = а и проведём через точку А перпендикуляры AAi и ААг к осям Ох и Оу (рис. 280). Координаты точки А равны координатам вектора ОА, т. е. (х; у). Поэтому OAi = | л: |, AAj = ОА2 = 11/1 (мы рассматриваем случаи, когда хфО и уф0\ другие случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме Пифагора О А = Joa[+AA[ = ,Jx^ + yK Но I а I = I О А I = ОА, поэтому | а | = yjx^ + у^, что и требовалось доказать. в) Расстояние между двумя точками. Пусть точка Ml имеет координаты (Xii у^), а точка М2 — координаты (Х2; Уг)- Выразим расстояние d между точками Mi и Мг через их координаты. Рассмотрим вектор MiMg. Его координаты равны {Х2~ Xi, У2~ Ух). Следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле \MiM2\ = yliX2-Xi)^ +(У2-У1^. Но |MiM2| = d. Таким образом, расстояние d между точками Mi (xn i/i) и М2 (Х2', Уг) выражается формулой d = sl(X2~Xif +(У2~У1)^. Задачи 929 □ Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если: а) ОА = 5, ОВ = 3\ б) ОА = а, ОВ = Ь. 930 □ Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСВ, если: а) ОА = 6,5, ОВ = 3; б) ОА = а, ОВ = Ь. 231 Метод координат 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат, Найдите координаты точек М, N и Q. Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника АВС, изображённого на рисунке 281, если АВ = 2а, а высота СО равна h. □ Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), В (5; 0), С (12; -3.). □ Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; 27); в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0). □ Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и найдите х и у: А (0; 0) {Х-, -3) {а-,Ь) (1;2) В (1;1) (2; -7) (3; 1) АВ {5;*/} {-3;-|} {с; d) {0; 0} □ Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины М отрезка АВ, заполните пустые клетки: А (2;-3) (0; 1) (0; 0) (с; d) (3; 5) (3^-1-5; 7) (1;3) В (-3; 1) (4; 7) (-3; 7) (3; 8) (t + 7; -7) м (-3;-2) (3; -5) (а; Ь) (0; 0) □ Даны точки А (0; 1) и В (5; -3). Найдите координаты точек С и В, если известно, что точка В — середина отрезка АС, а точка D — середина отрезка ВС. □ Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) Ь {-3; 4}; в) с {-10; -10}; г) d {10; 17}; д) е {11; -11}; е) f{10; 0}. □ Найдите расстояние от точки М (3; -2): а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат. □ Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; -7); в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0). □ Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0)» iV(12; -2), Р(5;-9). 232 Глава X 942 □ Найдите медиану AM треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2). 943 Точки В и С лежат соответственно на положительных полуосях Ох и Оу, а точка А лежит на отрицательной полуоси Ох, причём О А = а, ОВ = Ь, ОС = h. Найдите стороны АС и ВС треугольника АВС. 944 Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (Ь; с), а ОА = а. Найдите: а) координаты вершины С; б) сторону АС и диагональ СО. 945 Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с основаниями О А = а и ВС = d, если точка А лежит на положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (6; с). 946 Найдите х, если: а) расстояние между точками А (2; 3) и В (д:; 1) равно 2; б) расстояние между точками Mi(-l;x) и Мг (2х; 3) равно 7. 947 Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С (0; 1). 948 На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (-3; 5) и В (6; 4); б) С (4; -3) и D (8; 1). 949 На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (1; 2) и В (-3; 4); б) С (1; 1) и В (3; 5). 950 Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) М (1; 1), N (6; 1), Р (7; 4), Q (2; 4); б) М (-5; 1), N (-4; 4), Р (-1; 5), Q (-2; 2). 951 Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А (-3; -1), В (1; -1), С (1; -3), D (-3; -3); б) А (4; 1), В (3; 5), С (-1; 4), В (0; 0). Применение метода координат к решению задач Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений. 952 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин. Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Обозначим буквой М середину гипотенузы АВ. 233 Метод координат Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 282. Если ВС = а, АС = Ь, то вершины треугольника имеют координаты С (0; 0), В (а; 0), А (0; Ь). По формулам координат середины отрезка находим координаты точки М: Ml Афф) М С(0;0) Рис. 282 В(а;0) X В(Ь\с) С(а+Ь;с) Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдём длины отрезков МС и МА: Таким образом, МА = МВ = МС, что и требовалось доказать. 953 Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Решение Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 283. Если AD = BC = a, а точка В имеет координаты (Ь; с), то точка D имеет координаты (а; 0), а точка С — координаты (а + Ь; с). Используя формулу расстояния между двумя точками, находим: АВ2 = + с2, АП2 = аК АС^ = (а + bf + с^, BD^ = (а - bf -t- c^. Отсюда получаем: ЛВ2 + ВС2 -(- CZ)2 + DA^ = 2 (ЛВ2 + aD^) = 2{а^ + Ь^ + c^), AC^ + BD^ = (a + bf + c^ + {a-bf + c^ = 2 (a^-1-62 + c% Таким образом, AB2 + ВС^ -I- CZ)2 -I- BA2 = AC2 + B£>2, что и требовалось доказать. 954 Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. 955 Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон. 956 Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны-Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Л(0;0) Z)(a;0) * Рис. 283 234 Глава X 957 Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником. 958 Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство АМ2 + СМ2 = + DM\ Рис. 284 Уравнения окружности и прямой 93 Уравнение линии на плоскости При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат, например график функции у = х. Известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через точки О (0; 0) и А(1;1) (рис. 284). Координаты любой точки М(х; у), лежащей на прямой О А, удовлетворяют уравнению у = х (так как MMi = ММ^, а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у = х является уравнением прямой О А. Введём теперь понятие уравнения произвольной линии. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху и дана некоторая линия L (рис. 285). Уравнение с двумя переменными х и г/ называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства. L О Рис. 285 В следующем пункте мы рассмотрим первую из этих задач применительно к окружности. Вторая задача рассматривалась в курсе алгебры при построении графиков функций. 235 Метод координат 94 Уравнение окружности Выведем уравнение окружности радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (Xq; Уо) (рис. 286). Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле МС = ^(х - ХоУ + (у- Уо)^- Если точка М лежит на данной окружности, то МС = г, МС^ = г^, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению {х-ХоУ + (у-УоУ = 1^- (1) Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС^ Ф г^, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса г с центром в точке С (хо; Уо) имеет вид: (X-Xi)2-b(l/-yo)^ = r2. в частности, уравнение окружности радиуса г с центром в начале координат имеет вид: х^ + у^ = г^. Задача Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат. Решение Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде (х + 3)^ + {у- 4)^ = г^, где г — пока неизвестный радиус окружности. Найдём его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т. е. координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому уравнению: (0-f 3)^-I-(0 - 4)^ = г^. Отсюда г^ = 25, и, значит, г=5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид (х + ЗУ + (у- 4у = 25. Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение х^ + у^ + + 6х — 8у = 0, которое также является уравнением данной окружности. 236 Глава X 95 Уравнение прямой Выведем уравнение данной прямой I в заданной прямоугольной системе координат. Отметим две точки А (х^; у^) и В (xg; у2) так, чтобы прямая I была серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рис. 287, а). Если точка М (х; у) лежит на прямой I, то АМ = ВМ, или АМ^ = ВМ^, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению (х - Xi)2 + (у- i/i)2 = (х - Хг)2 + (у- угУ. (2) Если же точка М (х; у) не лежит на прямой /, то АМ^фВМ^, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой I в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение (2) принимает вид ах + Ъу + с = 0, (3) где а = 2(х,-Х2), & = 2 (г/i -1/2), с = х| +г/f-xf-z/f. Так как А (Xj; 1/1) и В (Хг; z/2) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (xj - Х2) и {у^ - у2) не равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов а VI Ь отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени. Если в уравнении (3) коэффициент Ь отличен от нуля, то это уравнение можно записать так: y = kx + d. а) У, 1 1 Уо л/(хо;Уо) О Хо ж б) Рис. 287 где k = d = Число k называется угловым Ь Ь коэффициентом прямой, заданной этим уравнением. Докажите самостоятельно, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые ко-эффициенты, то эти прямые параллельны. 237 Метод координат Выведем уравнение прямой I, проходящей через точку Mq (Жо! Уо) и параллельной оси Оу (рис. 287, б). Абсцисса любой точки М (х; у) прямой I равна Xq, т. е. координаты любой точки М (х; у) прямой I удовлетворяют уравнению x = Xq. в то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой I, этому уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение x = Xq является уравнением прямой I. Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = 0, а ось Оу — уравнение х = 0. 96 Взаимное расположение двух окружностей Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов г, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что г^Д. Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а). Пусть d>0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами {d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид . x^ + y^ = R^, {х-dY ■\-у^ = т^. (4) Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = Хо, у = Уо> то точка Mq (Xq; Уо) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если Mq (Xq; Уо) — общая точка данных окружностей, то пара чисел x = Xq, у = Уо является решением системы уравнений (4). Пусть система (4) имеет решением пару чисел X = Хо, у = Уо, т. е. справедливы числовые равенства 238 Глава X xg + i/g = J?2, {xQ-dY + yl = r^. (5) Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2xqCL -d^ = R^-r^, откуда x, = ^(R^ + d^-r% (6) Заметим, что лго> О, поскольку R> г и d>0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), Xf, = 7^^ ” Уо ^ т. е. для величин R, г и d должно выполняться неравенство {R^ + d^-r^)<:R или R^ + d^- 2dR. Последнее неравенство за- пишем в виде (d-RY^r^. Отсюда следует, что -rR + r (рис. 288, г). В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой. Если неравенства (7) выполнены, то возможны три случая: 3) d = R- г, при этом R> г, поскольку d>0. Как уже было отмечено, в этом случае Xq = R, поэтому из первого из равенств (5) следует, что Уо = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку, и их взаимное расположение изображено на рисунке 288, д. Говорят, что окружности касаются Изнутри. Рис. 288 239 Метод координат I 4) d = R + г. В этом случае также Xq = R, поэтому Уо = 0, и непосредственно проверяется, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае, как и в случае 3, окружности имеют ровно одну общую точку, но их взаимное расположение иное (рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются извне. 5) R- r у = -^jR^ - Xq. Следовательно, окружности пересекаются в двух точках (см. рис. 288, б). Таким образом, если d^Q, то возможны пять случаев взаимного расположения двух окружностей (см. рис. 288, б—е). Задачи 959 Начертите окружность, заданную уравнением: а) х2 + 1/2 = 9; б) (л:-1)2 + (1/ + 2)2 = 4; в) (х + 5)^+ (у-3f = 25; г) {х-1У + у^ = 4\ д) х^ + (у + 2У = 2. 960 □ Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением: а) х^ + у^ = 25; б) (х-1)2-ь (г/-ь 3)^ = 9; в) \^х - - у^ = 961 □Окружность задана уравнением (л:5)2-1-(у-1)2= 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и Z) (1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью. 962 Даны окружность л:2-1-у2_25 и две точки А(3;4) и В(4;-3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности. 963 На окружности, заданной уравнением x2 + ^2_25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3. 240 Глава X 964 □ На окружности, заданной уравнением (дс - 3)* + (i/- 5)^ = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5. 965 Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами = 3, = у[2, t)66 Напишите уравнение окружности радиуса г с центром А, если: а) А (0; 5), г=3; б) А(-1;2), г=2; в) А (-3;-7), г = ^-, г) А(4;-3), г=10. 967 □ Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В(-1; 3). 968 □ Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; б), проходящей через точку В (-3; 2). 969 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3). 970 Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей? 971 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат. 972 Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и Z) (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5). Решение а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + Ьу + с = 0. Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению: а-1 + b • (-1) + с = о, а • (-3) -I- 6 • 2 -I- с = 0, или а - 6 -I- с = о, -За + 26 + с = 0. Из этих уравнений выразим коэффициенты а и 6 через с: а = 3с, 6 = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим Зел: + Асу с = 0. При любом сфО это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде Зх + Ау + 1= 0. 973 □ Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ. 974 □ Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В(-3;1), С (7; 7) и В(3;1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции. 247 Метод координат 975 Найдите координаты точек пересечения прямой Зл: - 4г/ + 12 = О с осями координат. Начертите эту прямую. 976 □ Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + Sy-6 = 0 и 2х + у-4 = 0. 977 □ Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М(2; 5) и параллельных осям координат. 978 Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у = -4; г) х = 7. 979 S Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5. 980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат. Использование уравнений окружности и прямой при решении задач 981 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В. Решение Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289, а. Тогда точки А и В имеют координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В: AM = yjx^ + у\ ВМ = ^{х - а)^ -I- у^. Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ = 2ВМ, или АМ^ = 4ВМ^. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению х^ + у^ = 4 ((х - аУ + у^). (8) Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе М(х-,у) б) Рис.289 242 Глава X координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду (-Н + У" = ■а Таким образом, искомым множеством точек является окруж- ность радиуса —а с центром в точке С О Эта окружность изображена на рисунке 289, б. Замечание Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса ka с центром в точке кЧ Эти окружности, соответствующие различным значениям кФ1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э. Если k = l, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А 1/1 В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 982 Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) АМ2 -I- BJVf2 -t- СМ2 = 50; б) АМ^ + 2ВМ^ + ЗСМ^ = 4. 983 Даны две точки А is. В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ^ -t- ВМ^ = k^, где k — данное число. 984 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM^-BM^ = k, где k — данное число. Решение Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (л:; у) до точек А и В: AM = yjx^ + , ВМ = у1(х - а)^ + . Если точка М (х\ у) принадлежит искомому множеству, то AM^-BM^ = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х’^ + у^-(х- а)^ -у^ = к, или 2ал: - - k = 0. Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если а^ + кФО, и сама ось Оу, если -ьА = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ. 243 Метод координат / 985 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ^ — АМ^ = 2АВ^. 986 Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых (АМ2 + DM2) _ СМ2) = 2АВ2. 987* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 26. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых 9 10 11 12 13 14 15 16 АМ2 + DM2 = + СМ'^. 1 2 3 4 5 6 8 Вопросы для повторения к главе X Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах. Что значит разложить вектор по двум данным векторам? Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. Объясните, как вводится прямоугольная система координат. Что такое координатные векторы? Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам. Что такое координаты вектора? Чему равны координаты координатных векторов? Как связаны между собой координаты равных векторов? Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов. Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора. Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца. Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам. Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат. Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке. 244 Глава X 17 Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат. 18 Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат. 19 Что такое угловой коэффициент прямой? 20 Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны. 21 Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку Mq (Xq; i/o) и параллельных осям координат. 22 Напишите уравнения осей координат. 23 Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы. 24 Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач. Дополнительные задачи _ —► 988 Векторы а и Ь не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и д были коллинеарны: а) р = 2а-Ь, д = а + хЬ; б) р = ха-Ь, д = а + хЬ; -*■ -► -► в) р = а + хЬ, д = а — 26; -► -*■ -*■ г) р = 2а + Ь, д = ха + Ь. 989 Найдите координаты вектора р и его длину, если: а) р = 7а-36, а{1;-1}, 6 {5;-2}; б) р = 4а - 26, а {6; 3}, 6 {5; 4}; в) р = 5а- 46, а |-|; -||, 6 {6; -1}; г) р = 3(-2^-46), а{1; 5}, 6{-1;-1}. 990 Даны векторы а {3; 4}, 6 {6; -8}, с {1; 5}. а) Найдите координаты векторовp = a + b,q = b + c,r=2a-b + c, s = a-b-c. б) Найдите |а|, |б|, |р|, | 7 |. ^^91 Докажите, что расстояние между любыми двумя точками Ml (Xi; 0) и Мг (дсг; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = I Xi - Х2 |. 245 Метод координат 992 Докажите, что треугольник АВС, вершины которого имевдт координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедрен, ным, но не равносторонним. 993 Докажите, что углы А и С треугольника АВС равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17). 994 Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если* а) D (1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5); б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6). 995 На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек М, (-2; 4) и Мг (6; 8). 996 Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С (-3; -1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника. 997 Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом. 998 Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А(-2;-3), В(1;4), С (8; 7), В(5;0), является ромбом. Найдите его площадь. 999 Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмм* по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача? 10СЮ Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности: а) (л:-1)2 + (1/ + 2)2 = 25; б) x2 + (z/ +7)2 = 1; в) л:2 + 1/2 + 8л: - 4i/+ 40 = 0; г) л:2 + 1/2-2л: + 41/-20 = 0; д) л:2 + J/2 - 4л: - 2г/ + 1 = 0. 1001 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2. 1СЮ2 Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А (1;-4), В (4; 5), С(3;-2); б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2). КЮЗ Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-7;5)> В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА» в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника. 1004 Докажите, что прямые, заданные уравнениями Зл: - l,5y + 1 = 0 и 2л: - г/ - 3 = о, параллельны. 246 Глава X 1(Ю5 Докажите, что точки А, В и С лежат на одной 'прямой, если: а) А (-2; 0), В 2|J, С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6); в) А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31). Применение метода координат к решению задач 1(Ю6 Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника. 1(Ю7 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований. 1008 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (АМ^ + СМ^) - (ВМ^ + DM^) имеет одно и то же значение. 1009 Докажите, что медиану AAi треугольника АВС можно вычислить по формуле AAi = ^yj2AC^ + 2АВ^ - ВС^. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный. 1010 Даны две точки А-а. В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) 2АМ2 - ВМ2 = 2АВ2; б) 2АМ^ + 2ВМ^ = бАВ^. Глава XI Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов В этой главе получит дальнейшее развитие тригонометрические аппарат геометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс бу' дут определены для углов от 0° до 180°. Это даст возможносп вывести формулы, связывающие между собой стороны и угль произвольного треугольника. Утверждения об этих формулах называются теоремой синусов и теоремой косинусов. Они широко используются как в самой геометрии, так и в её приложениях, частности при проведении измерительных работ на местности; Кроме того, в этой главе вводится ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов. С одной стороны, оно расширяет наши возможности в применении координатно-векторного метода при решении геометрических задач, а с другой — используется в физике для описания физических величин, Синус, косинус, тангенс, котангенс угла_________ 97 Синус, косинус, тангенс, котангенс В(-1;0) О Рис. 290 Введём прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах (рис. 290). Назовём её единичной полуокружностью. Из точки О проведём луч л, пересекающий единичную полуокружность в точке М (х; у). Обозначим буквой а угол между лучом Л и положительной полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что а = 0°). Если угол а острый, то из прямоугольного треугольника DOM (см. рис. 290) имеем D Л(1;0) sm а = MD ОМ ’ cos а = OD ОМ 248 Глава XI Но ОМ = 1, MD = у, OD = X, поэтому sin а = у, cos а = х. (1) Итак, синус острого угла а равен ординате у точки М, а косинус утла а — абсциссе х точки М. Если угол а прямой, тупой или развёрнутый (углы АОС, AON и АОВ на рисунке 290) или а = 0°, то синус и косинус угла а также определим по формулам (1). Таким образом, для любого угла а из промежутка 0° < а ^ 180° синусом угла а называется ордината у точки М, а косинусом угла а — абсцисса х точки М. Так как координаты (дс; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0<у<1, -Kx^l, то для любого а из промежутка 0°<а^180° справедливы неравенства O^sin 1, -1 /2 см, ZB = 45°; в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ZC = 48°. 1021 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. 1022 □ Площадь треугольника АВС равна 60 см^. Найдите сторону АВ, если АС = 15 см, ZA = 30°. 1023 □ Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°. 1024 Найдите площадь треугольника АВС, если: а) ZA = a, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hi, и he", б) ZA = a, ZB = P, а высота, проведённая из вершины В, равна Л. 1025 □ С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС, если: а) ZA = 60°, ZB = 40°, с = 14; в) ZA = 80°, 0=16, 6 = 10; д) ZA = 60°, 0=10, 6 = 7; ж) 6 = 32, с = 45, ZA = 87°; и) о = 6, 6 = 7,3, с = 4,8. 1026 □ В треугольнике АВС АС= 12 см, ZA = 75°, ZC = 60°. Найдите АВ и Вдвс- 1027 LI Найдите стороны треугольника АВС, ZC = 30°, а высота AD равна 3 м. б) ZA = 30°, ZC = 75°, 6 = 4,5; г) ZB = 45°, ZC = 70°, 0 = 24,6; е) 0 = 6,3, 6 = 6,3, ZC = 54°; з) 0 = 14, 6=18, с = 20; если ZA = 45° •^'Лтанасян, 7- 257 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное прои.шедение векторов 1028 □ В параллелограмме ABCD AD = 7— м, BD = 4,4 м, ZA = 22°30'. Найдите ZBDC и ZDBC. ^ 1029 Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны а и р. 1030 Смежные стороны параллелограмма равны а и &, а один из его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними. 1031 □ Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6. 1032 □ Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг. 1033 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Решение Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольни- ВС ка АВС. Докажем, что-----= 2R, или BC = 2R sin А. sin А Проведём диаметр ВА^ (рис. 297) и рассмотрим треугольник AiBC (случай, когда точки Ai и С совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол С этого треугольника прямой, поэтому ВС = ВАх • sin Aj. Но sinAi = sinA. Действительно, если точка Ах лежит на дуге ВАС (рис. 297, о), то ZAi = ZA, а если на дуге BDC (рис. 297, б), то ZAx = 180°-ZA. И в том, и в другом случае sin Ах = sin А. Следовательно, ВС = ВАх • sin А, или ВС = 2В sin А, 1034 □ В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции. 1035 В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13 см, СВ = 9 см, ВВ = 4см и расстояние между точками В vl D равно 4%/3 см. 1036 □ Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни? Рис. 297 а) 258 Глава XI Рис. 299 1037 □ Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ZCAB = 12°80', ZABC = 72°42\ Найдите ширину реки. 1038 □ На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы. Скалярное произведение векторов 105 Угол между векторами Пусть а и Ь — два данных вектора. Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а ► ^ ^ ^ и ОВ = Ь. Если векторы а и fc не являются сона- правленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ (рис. 300). Градусную меру этого угла обозначим буквой а и будем говорить, что угол меж-Ду векторами а и Ь равен а. Ясно, что а не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы атлЬ (пользуясь рисунком 300, докажите зто). Если векторы а тя. Ь сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между векторами а и Ь равен 9» 259 Рис. 300 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов 0°. Угол между векторами а w. Ь обозначается так: аЬ. На рисунке 301 углы между векторами равны соответственно: afe = 30°, ас= 120°, &с = 90°, 3,1=0°, Зс=\Ъ0°. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. На рисунке 301 Ъ Lc, Ь Ld, Ь Lf. 106 Скалярное произведение векторов Мы знаем, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь -► -► -*■ обозначается так: а • Ь или аЬ. По определению I I I ** t а • 6 = | а I • I 6 I cos (а6). (1) Если векторы а и Ь перпендикулярны, т. е. аЬ = 90°, то cos (а6) = 0, и поэтому а-Ь = 0. Обратно: если а-Ь = 0 и векторы а тлЪ ненулевые, то из равенства (1) получаем cos(ad) = 0, и, еле- довательно, аЪ = 90°, т. е. векторы а и Ь перпендикулярны. Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Из формулы (1) также следует, что скаляр-ное произведение ненулевых векторов а и 6 положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда аЬ<90° (аЬ>90°). 260 Глава XI На рисунке 302 аЬ= 35°, ас= 90°, 125°, поэтому а -Ь>0, а • с = 0, Ь • с<0. Если а tt Ь, то по формуле (1) получаем д.Ь = |а|-|Ь|. В частности, а • а = 1 а I . Скалярное произведение а • а называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а^. Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы F при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы F и перемещения MN на косинус угла между ними: A = |/|-|iv^|-cos(p. Правая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов F и ---► —^ MN, т. е. работа А силы F равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: A = F-MN. о-Ь>0, а-с = 0, Ь-с<0 Рис. 302 \Ф М Рис. 303 N 107 Скалярное произведение в координатах Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Теорема В прямоугольной системе координат ска-лярное произведение векторов a{xi',yi) и Ь У2} выражается формулой ab = XiX2 + yiy2- (2) Соотношения между ОХ J сторонами и углами ■ треугольника. Скалярное произведение векторов Доказательство Если хотя бы один из векторов а и Ь нулевой, то справедливость равенства (2) очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда векторы а и 6 ненулевые. Отложим от произвольной точки О векторы О А = а и О В = Ь. Если векторы а и 6 не коллинеар-ны (рис. 304, а), то по теореме косинусов АВ^ = ОА^ + ОВ^-20А-ОБ-cos а. (3) Это равенство верно и в том случае, когда векторы а и Ь коллинеарны (рис. 304, б, в). Так как АВ = Ь- а, ОА = а, ОВ = Ь, то ра-венство (3) можно записать так: \а-Ь \ =|а| -I--I-1 6 I -2аЪ, откуда t 1 /I -*|2 I Г-|2 I ?-i2, ... a-b = -i\a\ +|б| -|а-Ь| ). (4) -> -*• -*■ -► Векторы а, Ъ и Ъ-а имеют координаты {xi;yj}, {xziyz} и {xz-Xiiyz-yi}, поэтому \а I j= xf + yl, \ bf = xl + yl, I 6 - a 1^ = (^2 - Xi)^ + (i/2 - z/i)2. Подставив эти выражения в правую часть равенства (4), после несложных преобразований получим формулу (2). Теорема доказана. Следствие 1 Ненулевые векторы a,{xiiyi} и bixziyz) перпендикулярны тогда и только тогда, когда XiXz + У1У2 = о. Рис. 304 а) В О В А созо = 1, • АВ^= (ОА-ОВ)^= = ОА^+ОВ^-20А-ОВ = = Оа\ов‘^-20А-ОВсова б) а ВО А cosa=-l, АвЫ0А+0в/= =0А^ЮВ'‘+20А-0В= =ОА^+ОВ -204- ОВсоа а 262 в) Глава XI Следствие 2 Косинус угла а между ненулевыми векторами а {xi. Ух) и Ь {xzi у2} выражается формулой cos а = yjxf + У^ . у]х^ + р| ■ (5) cos а = В самом деле, так как а-Ъ = \а\\Ъ \ cos а, то а • Ь а|*| &| Подставив сюда выражения для а-Ь, | а | и IЬI через координаты векторов а тл Ъ, получим формулу (5). 108 Свойства скалярного произведения векторов Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: Для любых векторов а, Ь, с п любого числа к справедливы соотношения: "^2 "^2 ^ Р. а ^0, причём а >0 при а^О. 2*’. а • Ь = Ъ • а (переместительный закон). 3**. (а + Ь) • с = а • с + Ь • с (распределительный закон). 4". (ка) ‘Ь = к(а-Ъ) (сочетательный закон). Утверждение 1“ непосредственно следует из формулы a-a = \af, а утверждение 2° — из определения скалярного произведения. Докажем утверждения 3° и 4®. Введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов а, Ь п с так: а {xi; 1/1}, Ь {xz; 1/2}, с {хз‘, у^}. Используя формулу (2), получаем (a + b)-c = (xi + Х2) Хз + (i/i +J/2) Уз= ^ = {Х1Х3 + у^уз) + (ХзХз + УгУз) = а-с + ь-с. Утверждение 3° доказано. 263 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное проигведение векторов Докажем теперь утверждение 4°. Вектор ka имеет координаты {kXi\ кух), поэтому {ка) • Ь = = (кХх) Xz + (кух) у2 = к (лгхдгг + УхУ2) = к(а- Ь). Замечание Ясно, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например, {а + Ъ + с) • d = a • d + b • d + с • d. Задачи 1039 □ Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС. 1040 □ Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) АВ и AD; б) АВ и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) АВ и DA; е) АВ и CD. 1041 □ Вычислите скалярное произведение векторов а и 6, если I а I = 2, I fc I = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°. 1042 □ В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ ■ АС; б) АС ■ СВ; в) АС • BD; г) АС ■ АС. 1043 й К одной и той же точке приложены две силы Р W.Q, действующие под углом 120° друг к другу, причём |Р| = 8, |Q| = 15. Найдите величину равнодействующей силы R. 1044 □ Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если: а) а {1; -l}, Ь {2; 3}; б) а {-5; 6}, Ь {6; 5}; в) а {1,5; 2}, 5 {4;-0,5}. 1045 Докажите, что ненулевые векторы а {л:; у} и Ь {-у; х} перпендикулярны. 1046 Докажите, что векторы i + j и i-j перпендикулярны, если i и j — координатные BeKTopfj. 1047 □ При каком значении х векторы а и Ь перпендикулярны, если: а) а {4; 5), &{х;-6}; б) а{х;-1}, 6 {3; 2}; в) а (0;-3}» 6{5;х}7 264 Глава XI 1048 □ Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), В(-1;5), С(3; 1). 1049 □ Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; VS), В(1; 1050 □ Вычислите |а + 6| и |а-б|, если |а| = 5, |б| = 8, аЬ = 60°. 1051 □Известно, что ас = 6с = 60°, |а|=1, |&| = |с| = 2. Вычислите (а + 6) • с. 1052 □ Вычислите скалярное произведение векторов р = а - Ь - с и q = a-b + Cy если |а| = 5, |Ь| = 2, |с| = 4 и alb, 1053 □ Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если -► ^ -*■ a = 3p-2q и Ь=р + 4q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы. Применение скалярного произведения векторов к решению задач 1054 □ Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то 4АМ^ = АВ^ + АС^ + 2АВ • АС • cos А, Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны. Решение Точка М — середина отрезка ВС, поэтому 2AM = АВ -t- АС. Отсюда получаем (2AM)j^2^) = i.^+^)-j^^AC)= "" = АВ-АВ + 2АВ • АС + АС-АС = = АВ^ -I- 2АВ • АС • cos А + АС^, или 4АМ^ = АВ^ -I- АС^ + 2АВ • АС • cos А. Второе утверждение задачи докажите самостоятельно. 1055 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Решение Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и AAj, ВВ^ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения СА^ = а, Рис. 305 265 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов _______________^ J CBi = b, CAi = CBi = a. Тогда AAi = CA^ -CA = a-2b,BB^ = CB^ -CS4 = b- 2a, поэтому AAi • BBi = (a - 2b) • (6 - 2a) = 5a • b - 2a • a - 2b • b. (6) По условию задачи АА^ 1 BBj и, следовательно, AAi • BBj = 0. Далее, а-b = a^ cos С, а-а = а^, b‘b = a^, поэтому равенство (б) принимает вид 0 = 5а^ cos С - 4а^. Отсюда получаем cos С = -i, ZC «Зб°52'. 1056 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Вопросы для повторения к главе XI 1 Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность. 2 Объясните, что такое синус и косинус угла а из промежутка 0°<а^180°. 3 Что называется тангенсом угла а? Для какого значения а тангенс не определён и почему? 4 Что называется котангенсом угла а? Для каких значений а котангенс не определён и почему? 5 Докажите основное тригонометрическое тождество. 6 Напишите формулы приведения. 7 Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка О А и угол между лучом О А и положительной полуосью Ох. 8 Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними). 9 Сформулируйте и докажите теорему синусов. 10 Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 11 Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются. 12 Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно. 13 Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки. • -► 14 Объясните, что означают слова «угол между векторами а и Ь равен а». В каком случае угол между векторами считается равным 0°? 15 Какие два вектора называются перпендикулярными? 266 Глава XI 16 Что такое скалярное произведение двух векторов? 17 В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0? . 18 Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты. 19 Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {jCi; уу) и {xz; г/г}- 20 Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты. 21 Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скалярного произведения векторов. 22 Приведите пример использования скалярного произведения векторов при решении геометрических задач. Дополнительные задачи 10.57 В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС = Ь, ZA = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС. 1058 □ Найдите площадь треугольника АВС, если: а) ВС = 4,125 м, ZB = 44°, ZC= 72°; б) ВС = 4100 м, ZA = 32°, ZC = 120°. 1059 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. 1060 □ Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если: а) АВ = 8 см, ZA = 30°, ZB = 45°; б) АВ = 5 см, ZB = 45°, ZC = 60°; в) АВ = 3 см, ВС = 3,3 см, ZA = 48°30'; г) АС =10,4 см, ВС = 5,2 см, ZB = 62°48'. 1061 □ Используя теорему косинусов, решите треугольник АВС, если: а) АВ = 5 см, АС = 7,5 см, ZA = 135°; б) АВ = 2л/2 дм, ВС = 3 дм, ZB = 45°; /о в) АС = 0,6 м, ВС = ^ дм, ZC = 150°. 4 1062 □ В треугольнике DEF ВВ = 4,5дм, ЕЕ = 9,9 цм, DF= 70 см. Найдите углы треугольника. 1063 Найдите биссектрису AD треугольника АВС, если ZA = a, АВ = с, АС = Ъ. 1064 Чтобы определить расстояние между точками А и В, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите АВ, если АС = Ъ, СВ = а, ZACB = а. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов 1065 □ Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла. ^ ^ 1066 □ Найдите длину вектора a = 3i-4j, где i и j — координатные векторы. 1067 □ Найдите диагонали параллелограмма, построенного на век- -► -► I I !— I I торах a = bp + 2q и Ь=р- 3q, если |p| = 2V2, |9| = 3 и pq = 45°. —► -► —> —► ^ 1068 □ При каком значении х векторы р = ха + 17Ь и q = 3a-b перпендикулярны, если |а| = 2, |Ь| = 5 и аЬ= 120°? 1069 □ В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами. 1070 □ В трапеции ABCD с основаниями АВ=16см и ВС = 8 см боковая сторона равна 4у/7 см, а ZABC = 60°. Через вершину С проведена прямая I, деляш;ая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой I, заключённого внутри трапеции. 1071 □ В треугольнике АВС, площадь которого равна Зл/З, угол А острый, АВ = 4у/3, АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. 1072 □ Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ZNMQ = 4а, FQ-a. Найдите площадь данного ромба. Применение скалярного произведения векторов к решению задач 1073 Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (-1; 2), В(1;-2), С (2; 0), В(1;6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь. Решение _^ Векторы AD и ВС имеют координаты: AD {2; 4}, ВС {1; 2}. Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. По координатам векторов AD и ВС находим их длины: AD = л/^, ВС = л/5. Таким образом, AD\\BC и AD>BC, следовательно, ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС. Пусть S — площадь трапеции ABCD. Согласно утверждению задачи 1059, S = —АС • BD • sin а, где а — угол между АС и BD. По формуле (5) § 3 найдём сначала cos (АС ВП)^Так как АС{3;—2}, ВЛ {0; 8}, то АС = Vl^, BD = 8 и cos (АС BD) — 268 Глава XI 3 0-16 2 „ . . 3 —Отсюда следует, что sin а = ,____________________ >Яз-8 у/Тз Лз Таким образом, S = — • л/Гз • 8 • 2 Лз = 12. 1074 Точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС и ВМ = кМС. Докажите, что (1 + kY АМ^ = + 2bck cos А + с^, где Ь = АС, с = АВ. Решение По условию задачи М лежит на отрезке ВС и ВМ = кМС, поэтому ВМ = кМС или ВМ = к (ВС - ВМ). Следовательно, к к ВМ = -^ВС = \ Л- к \ + к (АС - АВ). По правилу треугольника сложения векторов АМ = АВ + ВМ, * (АС-АВ) = -^АВ + - * или АМ = АВ + - АС. Таким 1 + А 1 + к 1 + к образом, (1 + к)^Ш = АВ + кАС. Отсюда получаем: (1 + /г)2 (AM ■ АМ) = (АВ + кАС) (АВ + кАС) = = АВ-АВ + 2кАВ • АС + к^АС • АС. Так как АМ‘АМ = А^, АВ-АВ = сК АС • АС = Ь^, АВ • АС = Ьс cos А, то полученная формула совпадает с искомой формулой. 1075 В треугольнике АВС отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, Ь = АС, с = АВ. Докажите, что: 2Ьс а) AD = Ь + с Г- + cos А б) AM = ^yjb^ + + 2Ьс cos А. 1076 Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом. 1077 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники. 269 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов Глава XII Длина окружности и площадь круга Вы знаете, как измеряются отрезки и как измеряются площади многоугольников. Вам известны формулы, по которым можно вычислить площади треугольника и некоторых четырёхугольников. А как вычислить длину окружности и площадь круга, если известен их радиус? Ответ на этот вопрос вы найдёте в этой главе. Но сначала нам предстоит познакомиться с красивыми геометрическими фигурами — правильными многоугольниками, вывести для них важные формулы, а затем уже с их помощью мы получим формулы длины окружности и площади круга. Правильные многоугольники 109 Правильный многоугольник Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 306 изображены правильные пятиугольник, семиугольник и восьмиугольник. Выведем формулу для вычисления угла а„ правильного л-угольника. Сумма всех углов такого л-угольника равна (л - 2) • 180°, причём все его углы равны, поэтому ■2 а„ = 180° 110 Окружность, описанная около правильного многоугольника Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. 270 Глава XII г Теорема СЛНВННН Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Доказательство Пусть AjAgAs-.-An — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А, и Aj (рис. 307). Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что OA^ = OAz= ... = ОА„. Так как Z.A^ = АА^, то Z\=Z.Z, поэтому треугольник AjAgO равнобедренный: в нём OAi = OA2. Треугольники А1А2О и А2А3О равны по двум сторонам и углу между ними (AiА2 = А3А2, А2О — общая сторона и Z3 = Z4), следовательно, ОАз = ОА1. Точно так же можно доказать, что ОА^ = ОА2, ОА^ = ОА^ и т. д. Итак, OAi = OA2= ... = ОАп, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом OAj является описанной около многоугольника. Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например Aj, А2, A3. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника AiA2A3...A„ можно описать только одну окружность. Теорема доказана. 111 Окружность, вписанная в правильный многоугольник Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все сторо-ЯЬ1 многоугольника касаются этой окружности. 271 Длина окружности и площадь круга Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Теорема В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Доказательство Пусть AjA2...A„ — правильный многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ДОА1А2 = ЛОА2А3 = ... = АОА„Ау, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: OHi = ОН2 = ... = ОН„. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом OHi проходит через точки Н^, Н Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Рис. 308 2, ..., Нп И касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник. Докажем теперь, что вписанная окружность только одна. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН^ есть и другая окружность, вписанная в многоугольник AjA2...A„. Тогда её центр Oj равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка Oj лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен OHi. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана. Следствие 1 272 Глава XII Следствие 2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника. 112 Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности Пусть S — площадь правильного «-угольника, а„ — его сторона, Р — периметр, а г и R — радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что S = -Рг. 2 (1) Соединим центр данного многоугольника с его вершинами (см. рис. 308). Тогда многоугольник разобьётся на п равных треугольников, площадь каждого из которых будет равна Сле- довательно, S = n- -|а„г = -|(naj г = -|Рг. Выведем далее формулы: 180° а_ = 2R sin г = R cos п 180° п (2) (3) Для вывода этих формул воспользуемся рисунком 308. В прямоугольном треугольнике А^Н^О 180° ZA = ^= * 2 2п Следовательно, 180° = 90°- а„ = 2A^H^ = 2R cos 90° - j = 2R sin 180° 273 Длина окружности и площадь круга = ОН^ = /?sin(^90°-^^j = R cos 180° Полагая в формуле (2) л = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника: а, = 2R sin = 2R sin 60° = 2R-^ ® 3 = 2R sin = 2R sin 45° = 2Д • ^ = R-J2, Об = 2R sin = 2R sin 30° = 2Д • = R. (4) 6 2 2 V2 = лТз, 113 Построение правильных многоугольников Рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Построения правильного треугольника и правильного четырёхугольника, т. е. квадрата, рассматривались ранее. Для построения правильных п-угольников при п > 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника. Задача 1 Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку. Решение Для решения задачи воспользуемся формулой (4). Пусть PQ — данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку Aj (рис. 309). Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки Az, Аз, А4, Ag, Ag так, чтобы выполнялись равенства AiA2 = АгАз = АзА4 = A4Ag = AgAg. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник AjA2A3A4AgAg. Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача: Рис. 309 274 Глава XII Задача 2 Дан правильный п-угольник. Построить правильный 2п-угольник. Решение Пусть AiAz...A„ — данный правильный п-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов Ai и Ag и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса OAj (см. рис. 307). Для решения задачи достаточно разделить дуги А1А2, А2А3, ..., A„Ai пополам и каждую из точек деления Вц В2, ..., В„ соединить отрезками с концами соответствующей дуги (рис! 310, на этом рисунке л = 6). Для построения точек Bi, В2, ..., В„ можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного л-угольника. На рисунке 310 таким способом построен правильный двенадцатиугольник А1В1А2В2... AgBg. Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2*-угольник, где k — любое целое число, большее двух. Замечание Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семна-ДЦатиугольник. 275 Длина окружности и площадь круга Задачи 1078 1079 Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом. □ Найдите углы правильного п-угольника, если: а) л = 3; б) п = 5; в) л = 6; г) п = 10; д) л = 18. Чему равна сумма внешних углов правильного л-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу? □ Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°? □ Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°? Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают. 1087 □ На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (п4 — сторона квадрата, Р — периметр квадра- г — радиус вписанной 1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 та, S — его площадь, окружности). Рис. 311 N R Г 04 Р S 1 6 2 •2 3 4 4 28 5 16 276 Глава XII j088 J Ha рисунке 311, 6 изображён правильный .треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (Оз — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, г — радиус вписанной окружности). N R Г Дз Р 1 3 2 10 3 2 4 5 5 6 1089 1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 1098 □ Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. □ Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль? □ Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска. й Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см. □ Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где г—радиус окружности, вписанной в этот треугольник. □ Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, i? = Зл/2 см; б) п = 3, Р = 24см; в) п = 6, г=9см; г) п = 8, г = 5л/з см. □ Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания. □ Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников. □ Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё. □ Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности. 277 Длина окружности и площадь круга 1099 1100 Правильный восьмиугольник А^А2...А^ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A^A^AjA^ является прямоугольником, и выразите его площадь через R. □ С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник. Длина окружности и площадь круга 114 Длина окружности Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим её, то получим отрезок AAi, длина которого и есть длина окружности (рис. 312). Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности (рис. 313). Точное значение длины окружности — это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон. Выведем формулу, выражающую длину окружности через её радиус. Пусть С и С' — длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный л-угольник и обозначим через Р„ и Р„' их периметры, а через а„ и — их стороны. Используя формулу (2) из §1, получаем: 'l80° Р = п • а„ = п • 2R sin Р'=п а^ = п 2R' sin п 180° п Q Рис. 312 278 Глава XII Следовательно, PL 2R'' (1) Это равенство справедливо при любом значении п. Будем теперь неограниченно увеличивать число п. Так как Р„ -*■ С, PL-* С при п -»• оо, Р С то предел отношения равен —. С другой сто- °п С /14 2Л роны, в силу равенства (1) этот предел равен . 2хх Таким образом, С дует, что £ С С 2R 2R' Из этого равенства сле- т. е. отношение длины окруж- 2R 2R' ’ ности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой к (читается «пи»). Из равенства — = я получаем формулу для 2/1 вычисления длины окружности радиуса R: С = 2nR. Доказано, что л является бесконечной непериодической десятичной дробью, т. е. иррацио- 22 нальным числом. Рациональное число — является приближённым значением числа п с точностью до 0,002. Это приближённое значение было найдено ещё в III в. до н. э. великим греческим учёным Архимедом. При решении задач обычно пользуются приближённым значением л с точностью до 0,01: л = 3,14. Выведем теперь формулу для вычисления длины I дуги окружности с градусной мерой а. Так как длина всей окружности равна 2nR, то длина дуги в 1° равна 2nR kR 360 180 . Поэтому дли- на I выражается формулой nR I = 180 а. _ Длина окружности 279 и площадь круга 115 Площадь круга Напомним, что кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R. Выведем формулу для вычисления площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный л-угольник АуА2...А„, вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. 314). Очевидно, площадь S данного круга больше площади S„ многоугольника A^Az-.-A^, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь S!, круга, вписанного в многоугольник, меньше S„, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак, S;• 1, поэтому r„^R. Иными словами. при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, поэтому S при п-^ оо. Отсюда и из неравенств (2) следует, что S„ -► S при л —► оо. По формуле (1) § 1 S„ = где — пе- риметр многоугольника А^А^.-.А^. что г„ R, Р„^ 2itR, S„~* S при л Учитывая, ->■ оо, получаем S = ^ 2kR- R = nR^. Итак/ для вычисления площади S круга радиуса R мы получили формулу S = nR\ 280 Глава XII Замечание В течение веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название задача о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Только в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно. 116 Площадь кругового сектора Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги" с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора. На рисунке 315, а изображены два сектора с дугами ALB и AM В. Первый из этих секторов закрашен. Выведем формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой а. Так как площадь всего круга равна то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°, равна--. Поэтому площадь S выражается формулой 360 S = 360 а. Круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги (рис. 315, б). Если градусная мера дуги меньше 180°, то площадь сегмента можно найти, вычитая из площади сектора площадь равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента. Рис. 315 _ _ Длина окружности 20 I и площадь круга Задачи 1101 □ Перечертите таблицу и, используя формулу длины С округе-ности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Воспользуйтесь значением л = 3,14. С 82 18л 6,28 2V2 R 4 3 0,7 101,5 4 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 □ Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз? Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз? □ Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и 6; в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь; г) прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом а между диагоналями; д) правильного шестиугольника, плош;адь которого равна 24>/3 см^. □ Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой Л, проведённой к основанию. □ Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало 500 оборотов. □ Метр составляет приближённо ---------- часть земного 40 000 000 экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что Земля имеет форму шара. й Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от поверхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км. □ Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°. □ Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,1 мм. Диаметр'колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо? □ Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен 58 см, дуга 282 Глава XII незащищённой его части равна 117°. Найдите длину дуги незащищённой части камня. XI12 □ Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см. 1113 □ Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления? 1114 □ Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением д = 3,14. 1118 1119 1120 1121 1122 1123 S 9 49я 6,25 R 2 5 2 7 54,3 Уз 1115 1116 1117 Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз? □ Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и 6; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведённой к основанию. □ Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а. □ Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола. □ Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены. □ Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами и R2, Вычис- лите площадь кольца, если R^ = 1,5 см, R2 = 2,5 см. □ Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм^, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм? □ Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м^ дорожки требуется 0,8 дм^ песка? □ Из круга радиуса г вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга. _ Длина окружности 283 и площадь круга 1 1124 □ На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трёх колец мишени. 1125 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах. 1126 □ Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга. 1127 □ Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора. 1128 U Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры. 13 Рис. 317 Вопросы для повторения к главе XII 8 9 10 11 12 Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников. Выведите формулу для вычисления угла правильного п-угольника. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности. Выведите формулы для вычисления стороны правильного л-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности. Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности? Выведите формулу для вычисления длины окружности. Объясните, какое число обозначается буквой л и чему равно его приближённое значение. Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности. Выведите формулу для вычисления площади круга. Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора. Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь. 284 Глава XII Дополнительные задачи 1129 □ Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°? Ц30 □ На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата. 1131 □ Найдите периметр правильного шестиугольника AiAzAsA^A^Aq, если AiA^ = 2,24 см. 1132 □ Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности. 1133 Диагонали AiA^ и AgAg правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и AqAqB равносторонние; б) AiAg = 2r, где г — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности. 1134' Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника А1А2...А10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: а) A2Aj = 2R; б) АА1А2В и АВА^О — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4 - А1А2-R. 1135 й В круг, площадь которого равна 36л см^, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь. 1136 й Квадрат А1А2А3А4 вписан в окружность радиуса R (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что AiBi = А2В2 = А3В3 = А4В4 = AjCj = А2С2 = А3С3 = А4С4 = R. Докажите, что восьмиугольник В1С3В2С4В3С1В4С2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R. 1137 □ За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370 км? Рис. 319 Рис. 320 Длина окружности 2S5 и площадь круга 1138 □ Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны б см и 8 см; б) сторона ромба равна о и острый угол равен а. 1139 □ Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка. 1140 В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника. 1141 □ Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг. 1142 □ Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности. 1143 Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников. Задачи на построение 1144*0 Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку. 1145*0 Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов. 1146 О Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник. 1147 О Около данной окружности опишите: а) правильный четырёхугольник; б) правильный восьмиугольник. Глава XIII Движения • Слово «движение» вам знакомо. Но в геометрии оно имеет особый смысл. Какой именно, об этом вы узнаете из данной главы. А пока отметим, что с помощью движений удаётся находить красивые решения многих геометрических задач. Примеры таких решений вы найдёте в этой главе. Понятие движения 117 Отображение плоскости на себя , Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя. Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя — вспомним осевую симметрию (см. п. 48). Она даёт нам пример такого отображения. В самом деле, пусть а — ось симметрии (рис. 321). Возьмём произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку относительно прямой а. Для этого нужно провести перпендикуляр МР к прямой а и отложить на прямой МР отрезок РМ^, равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 321. Точка Mi и будет искомой. Если же точка М лежит на прямой а, то симметричная ей точка Mj совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка этой же плоскости. При этом любая точка Mj оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 321. Итак, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя. М Ml Рис. 321 287 Движения о Рассмотрим теперь центральную симмет- М рию плоскости (см. п. 48). Пусть О — центр * ' * симметрии. Каждой точке М плоскости сопо- Рис. 322 ставляется точка Мц симметричная точке М относительно точки О (рис. 322). Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плоскости на себя. 118 Понятие движения Осевая симметрия обладает следующим важным свойством — это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками. Поясним, что это значит. Пусть М и N — какие-либо точки, а Mi и Ni — симметричные им точки относительно прямой а (рис. 323). Из точек N и Ni проведём перпендикуляры NP и NiPi к прямой MMj. Прямоугольные треугольники MNP и MiNiPi равны по двум катетам: MP = MiPi и NP = NiPi (объясните, почему эти катеты равны). Поэтому гипотенузы MN и MiNi также равны. Следовательно, расстояние Рис. 323 между точками М н N равно расстоянию между симметричными им точками Mi и ATj. Другие случаи расположения точек М, N и Mj, iVj рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что и в этих случаях MN = MiNi (рис. 324). Таким об- М. л / \ Рис. 325 288 Глава XIII м разом, осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением (или перемещением). Итак, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Почему отображение, сохраня1дщее расстояния, называют движением (или перемещением), можно пояснить на примере осевой симметрии. Её можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси а. На рисунке 325 показано, каким образом происходит такой поворот. Отметим, что центральная симметрия плоскости также является движением (пользуясь рисунком 326, убедитесь в этом самостоятельно). Докажем следующую теорему: Теорема При движении отрезок отображается на отрезок. Доказательство Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки Mi и ATj (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок MyN^. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то MiATi = MN, MiPi = МР и N,Pi = NP. (1) ! Из равенств (1) получаем, что MjPj -l-PiiVi = \ = и, значит, точка Р^ лежит на отрезке MiNi (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство MjPi + PiNi > М^М^). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка Нужно ещё доказать, что в каждую точку Pi отрезка M^Ni отображается какая-нибудь точ- 10—Атанасян, 7—9 i 289 Движения ка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть — произвольная точка отрезка M^Ni, и точка Р при заданном движении отображается в точку Pj. Из соотношений (1) и равенства MiNi = MiPi + PiNi следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана. Следствие При движении треугольник отображается равный ему треугольник. на В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник. Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол. 119* Наложения и движения Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Ф1, если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1. Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точ- 290 Глава XIII ку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя. Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения __это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки. В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф;, состоящая из точек А и В, равна фигуре Фг, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Фг = Фх (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Фг отображается в фигуру Фх. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости. Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки Ai и Вр Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А^В^ (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку AjBj. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости. Докажем, что верно и обратное утверждение. Теорема Любое движение является наложением. 10* 291 Движения Доказательство Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник По определе- нию равных треугольников существует наложение f, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки Ац В^ и Ci. Докажем, что движение g совпадает с наложением Л Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку Ml, а при наложении f—в другую точку Mg. Так как при отображениях f w. g сохраняются расстояния, то AM = AiMi, АМ = А1М2, поэтому AjMi = А1М2, т. е. точка А^ равноудалена от точек Ml и Mg (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки El и Cl равноудалены от точек Mi и Мг. Отсюда следует, что точки Ai, Ej и Ci лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М^М^. Но это невозможно, так как вершины треугольника AiEiCi не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения f w. g совпадают, т. е. движение g является наложением. Теорема доказана. Следствие В м с Рис. 328 При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру. Задачи 1148 Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя. 1149 Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. 292 Глава XIII 1150 Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол. Решение Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол AfiiBi, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки Ai, Oi, Bj. Так как при движении сохраняются расстояния, то oA = OiAi, OB = OiBi. Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А^О^В^ равны по трём сторонам, и, следовательно, /LAOB = АА^О^В^. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол AiOiBi развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны. 1151 Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые. 1152 Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат. 1153 Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса. 1154 Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением. 1155 АВС и AiBjCi — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки Aj, Bj, Cj. 1156 В треугольниках АВС и АуВуС^ АВ = AiB^, AC = AiCi, ВС = = BiCi. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки Aj, Bj и Cj, и притом только одно. Решение По условию задачи треугольники АВС и AjBjCj равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки Ai, Bj и Cj. Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки Aj, Bi и Cl (задача 1155). 1157 Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма. 1158 Даны две прямые а и Ь. Постройте прямую, на которую отображается прямая Ь при осевой симметрии с осью а. 1159 □ Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру Fy на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F7 293 Движения 1160 й Даны точка О и прямая Ь. Постройте прямую, на которую отображается прямая Ь при центральной симметрии с центром О. 1161 □ Даны точка О и треугольник АВС. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник АВС при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура FI Параллельный перенос и поворот 120 Параллельный перенос Пусть а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку Mj, что вектор MMj равен вектору а (рис. 329). Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Докажем это. Пусть при параллельном переносе на вектор о точки М и N отображаются в точки Mj и Ni (см. рис. 329). Так как MMj = а, NN^ = а, то MMi = NN^. Отсюда следует, что MMi\\ NN^ и MM^ = NN^, поэтому четырёхугольник MMiN^N — параллелограмм. Следовательно, MN = MiNi, т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками Ml и Ni (случаи, когда точки М и N рас-положены на прямой, параллельной вектору а, рассмотрите самостоятельно). Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на £го длину. 121 Поворот Отметим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол а (угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол а на- 294 Глава XIII зывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку Mj, что ОМ = OMi и угол МОМ^ равен а (рис, 330). При этом точка О остаётся на месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении — по часовой ‘стрелке или против часовой стрелки. На рисунке 330 изображён поворот против часовой стрелки. Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Докажем это. Пусть О — центр поворота, а — угол поворота против часовой стрелки (случай поворота по часовой стрелке рассматривается аналогично). Допустим, что при этом повороте точки М и N отображаются в точки и Ni (рис. 331). Треугольники OMN и OM^Ni равны по двум сторонам и углу между ними: OM = OMi, ON = ONi и ZMON = ZMiONi (для случая, изображённого на рисунке 331, каждый из этих углов равен сумме угла а и угла MjOiV). Из равенства этих треугольников следует, что MN = MiNi, т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками и (случай, когда точки О, М и N расположены на одной прямой, рассмотрите самостоятельно). Итак, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки О на данный угол а. Задачи 1162 Начертите отрезок АВ и вектор MMj. Постройте отрезок AiBi, который получается из отрезка АВ параллельным переносом на вектор ММ^. 1163 □ Начертите треугольник АВС, вектор MMj, который не па-раллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, парал- 295 Движения дельный стороне АС. Постройте треугольник который получается из треугольника АВС параллельным переносом: а) на вектор ММ^, б) на вектор а. 1164 □ Даны равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и такая точка D на прямой АС, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок B^D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырёхугольник ABBiD — равнобедренная трапеция. 1165 Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным пере- носом на данный вектор а. 1166 □ Постройте отрезок AiB^, который получается из данного отрезка АВ поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°. 1167 Постройте треугольник, который получается из данного треугольника АВС поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки. 1168 Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника АВС. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник АВС отображается на себя. 1169 Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя. 1170 □ Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают; б) точки О и С совпадают. , t 1171 □ Постройте прямую а,, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О. Решение а) Построим окружность с центром О, которая касается прямой а (объясните, как это сделать). Пусть М — точка касания. При повороте вокруг точки О эта окружность отображается на себя, а касательная а отображается на некоторую касательную Oj (объясните почему). Для построения прямой Ui построим сначала точку Mj, в которую отображается точка М при повороте вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, а затем проведём касательную aj к окружности в • точке Ml. 296 Глава XIII Вопросы для повторения к главе XIII 1 Объясните, что такое отображение плоскости на себя. 2 Какое отображение плоскости называется: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией? 3 Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя. 4 Что такое движение (или перемещение) плоскости? 5 Докажите, что осевая симметрия является движением. 6 Является ли центральная симметрия движением? 7 Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок. 8 Докажите, что при движении треугольник отображается на равный ему треугольник. 9 Объясните, что такое наложение. 10 Докажите, что при наложении различные точки отображаются в различные точки. 11 Докажите, что нгшожение является движением плоскости. 12 Докажите, что любое движение является наложением. 13 Верно ли утверждение, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру? 14 Какое отображение плоскости называется параллельным переносом на данный вектор? 15 Докажите, что параллельный перенос является движением. 16 Какое отображение плоскости называется поворотом? 17 Докажите, что поворот является движением. Дополнительные задачи 1172 При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя. 1173 При данном движении каждая из вершин треугольника АВС отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя. 1174 Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого. 1175 □ Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение. 297 Движения 1176 □ Даны острый угол АВС и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр. 1177 Медианы АА^, ВВ^ и CCj треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и Cg являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что AAjBiCi = АА2В2С2. Решение Так как М — точка пересечения медиан треугольника АВС, то AM = 2МАу. Отсюда, учитывая, что точка А2 — середина отрезка AM, получаем МА^ = МА2, т. е. точки Aj и Ag симметричны относительно точки М. Аналогично точки Bj и Вг, а также точки С^ и Cg симметричны относительно точки М. Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М. При этой симметрии точки Aj, Bj, Cj отображаются в точки Aj, В2, С2, поэтому треугольник AjBjCx отображается на треугольник А2В2С2, и, следовательно, АА2В2С2 = AAiBiCj. 1178 На сторонах АВ и CD параллелограмма / ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD. 1179* На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS так, как показано на рисунке 333: CCjlAS, DD^LBS. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны. 1180 В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника АВС и AjBiCi, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге AjBjCj от точки А] к точке Cl. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые AAj, BBi и CCj либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник. 1181 □ Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам. Рис. 332 298 Глава XIII и82 Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям. 1183 □ Даны параллельные прямые 6 и с и точка А, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник АВС так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых бис. Сколько решений имеет задача? Решение Допустим, что задача решена и искомый треугольник АВС построен (рис. 334, а). При повороте плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке вершина В отображается в вершину С, поэтому прямая Ъ отображается на прямую Ъ^, проходящую через точку С. Прямую легко построить, не пользуясь точками В и С (см. задачу 1171). Построив прямую 6i, находим точку С, в которой прямая bi пересекается с прямой с. Затем, построив окружность с центром А радиуса АС, находим точку В. На рисунке 334, а выполнено построение. Задача имеет два решения, одно из которых получается при повороте плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке (ААВС на рисунке 334, о), а другое — при повороте плоскости на угол 60° против часовой стрелки (ААВ'С' на рисунке 334, б). Глава XIV Начальные сведения из стереометрии Последняя глава является введением в стереометрию — это тот раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Более основательно вы будете заниматься стереометрией в старших классах, а здесь мы познакомим вас с некоторыми пространственными фигурами и формулами для вычисления их объёмов и площадей поверхностей. Многогранники 122 Предмет стереометрии До сих пор мы занимались планиметрией — изучали свойства плоских геометрических фигур, т. е. фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве своём не являются плоскими, они расположены в пространстве и не умещаются в какой-то одной плоскости. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией. Это слово происходит от греческих слов «стерео» — объёмный, пространственный и «метрео» — измерять. В стереометрии наряду с простейшими фигурами — точками, прямыми и плоскостями рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (рис. 335, а). Он составлен из шести равных квадратов. Капли жидкости в невесомо- Цилиндр в) Рис.335 300 Глава XIV сти принимают форму геометрического тела, называемого шаром (рис. 335, б). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (рис. 335, в). В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделённую от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и боковой поверхности. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела. Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью (т. е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела. Так, например, сечением шара является круг (рис. 336). При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит её проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирают то из них, которое создаёт правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования её свойств. На рисунках 337, а, б изображены два многогранника — параллелепипед и пирамида, а на рисунке 337, в — конус. Невидимые части фигур изображены штриховыми линиями. В этой главе мы рассмотрим некоторые виды многогранников и тела вращения — цилиндр, конус, шар, приведём формулы, по которым вычисляются их объёмы и площади поверхностей. При этом мы будем опираться в основном на наглядные представления. Более полное обос- 301 Заштрихованный круг - сечение шара плоскостью а. Рис. 336 а) Параллелепипед Рис. 337 Начальные сведения из стереометрии нование описанных фактов и формул будет дано в систематическом курсе стереометрии, изучаемом в 10—11 классах. 123 Многогранник Напомним, что в планиметрии при изучении многоугольников мы рассматривали многоугольник либо как замкнутую линию, составленную из отрезков и не имеющую самопересечений (рис. 338, а), либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая её саму (рис. 338, б). При изучении многогранников мы будем пользоваться вторым толкованием многоугольника. I С одним из самых простых многогранников — прямоугольным параллелепипедом — вы знакомы давно. Этот многогранник составлен из шести прямоугольников (рис. 339, а). Форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы. На рисунках 339, б, в, г изображены другие многогранники: куб (это прямоугольный параллелепипед, составленный из шести равных квадратов), тетраэдр, октаэдр. Можно сказать, что многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называется многогранником. В Многоугольник ABCDE - фигура, составленная из отрезков а) В Многоугольник ABODE - часть плоскости, ограниченная линией ABODE б) Рис. 338 302 Глава XIV Тетраэдр и октаэдр (рис. 339, в, г) составлены соответственно из четырёх и восьми треугольников, что отражено в названии этих многогранников: по-гречески «тетра» — четыре, а «окто» — восемь. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, а гранями тетраэдра и октаэдра — треугольники. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. На рисунке 339, а отрезок MN — диагональ прямоугольного параллелепипеда. Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке 339 изображены выпуклые многогранники, а на рисунке 340 — невыпуклый многогранник. Невыпуклый многогранник, составленный из квадратов. Плоскость грани, указанной стрелкой, разрезает этот многогранник -он расположен по разные стороны от этой плоскости Рис. 340 124 Призма Многогранник, называемый призмой, можно построить следующим образом. Рассмотрим параллельные плоскости а и Р, т. е. такие плоскости, которые не имеют общих точек. В плоскости а возьмём какой-нибудь многоугольник AiA2...A„, а в плоскости Р — равный ему многоугольник причём так, чтобы равные стороны А1А2 и В1В2, А2А3 и В2В2, ..., A„Ai и B„Bi этих многоугольников были параллельными сторонами четырёхугольников А1А2В2В1, (рис. 341). 303 Начальные сведения из стереометрии Поясним, что понимается под параллельностью прямых в пространстве. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Указанные четырёхугольники являются параллелограммами. В самом деле, например, в четырёхугольнике А1А2В2В1 противоположные стороны А1А2 и В1В2 по построению равны и параллельны, поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм. п-угольной призмой называется многогранник AiA2...A„BiB2...B„, составленный из двух равных л-угольников А^А2...А„ и BiBz...B„ — оснований призмы и п параллелограммов AiAjBjBi, ... ..., A„AiBiB„ — боковых граней призмы. Отрезки AiBi, ..., А„В„ называются боковыми рёбрами призмы. Все они равны и параллельны друг другу. Призмы бывают прямыми и наклонными. Чтобы дать определение прямой призмы, введём понятие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая а, пересекающая плоскость а в некоторой точке Н (рис. 342), называется перпендикулярной к этой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости а и проходящей через точку Н. Перпендикулярность прямой а и плоскости а обозначается так: а ±а. 304 Глава XIV Прямая пятиугольная призма а) Если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований, то призма называется прямой (рис. 343, а); в противном случае призма называется наклонной (рис. 343, б). Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной (рис. 343, в). Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведём через неё прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую её в точке В (рис. 344). Отрезок А В называется высотой призмы. В курсе стереометрии 10—11 классов доказывается, что все высоты призмы равны и параллельны друг другу. 125 Параллелепипед Четырёхугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы. Если параллелепипед прямой, т. е. его боковые рёбра перпендикулярны к плоскостям оснований, то боковые грани — прямоугольники. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный. Мы знаем, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Оказывается, что аналогичным свойством обладают диагонали параллелепипеда: Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Доказательство этого утверждения основано на следующем факте: если две прямые в про- 305 Наклонная четырехугольная призма б) Правильная шестиугольная призма в) Рис. 343 Отрезок АВ -высота призмы Рис. 344 Параллелепипед Рис. 345 Начальные сведения из стереометрии странстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. В том случае, когда все три прямые лежат в одной плоскости, это утверждение было доказано в п. 28. В общем случае оно будет доказано в курсе стереометрии 10—11 классов. Обратимся к рисунку 346, а, на котором изображён параллелепипед ABCDA^B-fiiD^. Поскольку грани ABCD и ADD^A^ — параллелограммы, то ВС II АО, BC = AD, AjOJIAO, AiOi = AO. Из этого следует, что BC = AiDi и BCWA^Dx, поэтому четырёхугольник А^В^СВ — параллелограмм, а значит, его диагонали AjC и OjB, являющиеся также диагоналями параллелепипеда, пересекаются в некоторой точке О и делятся этой точкой пополам. Аналогично доказывается, что четырёхугольник ADiCiB — параллелограмм (рис. 346, б), и, следовательно, его диагонали ACj и В^В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали BiB является точка О. Таким образом, диагонали AjC, ВуВ и ACj параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Наконец, рассматривая четырёхугольник AiBiCB (рис. 346, в), точно так же устанавливаем, что и четвёртая диагональ ВВ^ проходит через точку О и делится ею пополам. а) 126 Объём тела Понятие объёма тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Как мы помним, каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объём, который можно измерить с помощью выбранной единицы 306 Глава XIV измерения объёмов. За единицу измерения объёмов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см®. Аналогично определяются кубический метр (м®), кубический миллиметр (мм®) и т. д. Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле. Ясно, что число, выражающее объём тела, зависит от выбора единицы измерения объёмов. Поэтому единица измерения объёмов указывается после этого числа. Нгшример, если в качестве единицы измерения объёмов взят 1 см®, и при этом объём V некоторого тела оказался равным 2, то пишут: V=2 см®. Если два тела равны, то каждое из них содержит столько же единиц измерения объёмов и её частей, сколько и другое тело. Таким образом. 1°. Равные тела имеют равные объёмы. Рассмотрим тело, составленное из нескольких тел так, что внутренние области этих тел не имеют общих точек (рис. 347). Ясно, что объём всего тела складывается из объёмов составляющих его тел. Итак, З**. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел. Свойства 1° и 2° называются основными свойствами объёмов. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников. Для нахождения объёмов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип КавальериЧ Поясним, в чём Рис. 347 ^ Кавальери Бонавентура (1598—1647) — итальянский математик. Начальные сведения OUx из стереометрии S,=feS, V,=kV^ Рис. 348 состоит этот принцип. Рассмотрим два тела, заключённые между двумя параллельными плоскостями tti и (рис. 348). Допустим, что любая плоскость, расположенная между плоскостями а, и аг и параллельная им, пересекает оба тела так, что площадь сечения первого тела в k раз больше площади сечения второго тела, причём число k — одно и то же для любой такой секущей плоскости. В этом случае, согласно принципу Кавальери, объём первого тела в k раз больше объёма второго тела. Доказательство теоремы, выражающей принцип Кавальери, основано на понятии определённого интеграла, которое будет введено в 11 классе в курсе алгебры и начал математического анализа. Мы примем эту теорему без доказательства. 127 Свойства прямоугольного параллелепипеда Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трёх рёбер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда. Так, у прямоугольного параллелепипеда, изображённого на 308 Глава XIV рисунке 349, в качестве измерений можно взять длины рёбер АВ, AD и АА^. У прямоугольника два измерения — длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. В самом деле, обратимся к рисунку 349, на котором изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA^BiCiDi, и докажем, что АС\ = АВ^ + AD^ + АА\. Ребро CCi перпендикулярно к плоскости грани ABCD, т. е. перпендикулярно к любой прямой, лежаш;ей в плоскости этой грани и проходящей через точку С. Поэтому угол ACCi — прямой. Из прямоугольного треугольника ACCi по теореме Пифагора получаем: АС^^ = АС^ + СС\. Но АС — диагональ прямоугольника ABCD, поэтому АС^ = АВ^ + AD^. Кроме того, CCj = ВВ^ = = AAi. Следовательно, АС\ = АВ^ + AD^ + АА\, что и требовалось доказать. Остановимся ещё на одном свойстве, иллюстрирующем аналогию между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. Оказывается, что аналогичное утверждение справедливо и для прямоугольного параллелепипеда: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим сначала прямоугольный параллелепипед с измерениями а, 6, 1 и куб с ребром 1, «стоящие» на плоскости а (рис. 350, а). Этот куб является еди- 309 с. в, /ь 7 * \ ‘ \ ' \ ' \ ' \ 7 D, D В А Прямоугольный параллелепипед Рис. 349 Начальные сведения из стереометрии Рис. 350 ницей измерения объёмов, т. е. его объём равен 1. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости а, даёт в качестве сечения куба квадрат площади 1, а в качестве сечения рассматриваемого параллелепипеда — прямоугольник площади аЬ (см. рис. 350, а). Следовательно, согласно принципу Кавальери, объём этого параллелепипеда в аЬ раз больше объёма куба, т. е. равен аЬ. Рассмотрим теперь два прямоугольных параллелепипеда: один с измерениями а, Ь, 1, а другой — с измерениями а, Ь, с, «стоящие» на плоскости а так, как показано на рисунке 350, б. Объём первого параллелепипеда, как было доказано, равен аЬ. Докажем, что объём второго параллелепипеда равен аЬс. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости а, даёт в качестве сечения первого параллелепипеда прямоугольник площади а, а в качестве сечения второго — прямоугольник площади ас (см. рис. 350, б). Поэтому объём V второго 310 Глава XIV параллелепипеда в с раз больше объёма первого и, следовательно, равен V=abc, что и требовалось доказать. В прямоугольном параллелепипеде с измерениями а, Ь, с, изображённом на рисунке 350, б, площадь S основания равна ас, а высота h равна боковому ребру: h = b. Поэтому формулу V=abc можно записать в виде F=SA, т. е. объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Оказывается, что в точности такая же формула имеет место для любой призмы: объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Это утверждение нетрудно доказать с помощью принципа Кавальери (см. задачу 1198). 128 Пирамида Рассмотрим многоугольник А^А2...А„ и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника (рис. 351), ползучим п треугольников PA^Az, РА2А3, ..., PA„Ai. Многогранник, составленный из л-угольника AiA2-..A„ и этих треугольников, называется п-угольная пирамида РАуА,...А, Рис. 351 Начальные сведения из стереометрии пирамидой. Многоугольник AjAg.-.An называется основанием пирамиды, а указанные треугольники — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА^, РА^, ..., РА„ — её боковыми рёбрами. Пирамиду с вершиной Р и основанием AiA2...A„ называют п.-угольной пирамидой и обозначают так: PAiAa...A„. На рисунке 352 изображены четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Треугольную пирамиду часто называют тетраэдром. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды. На рисунке 351 отрезок PH — высота пирамиды. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой. На рисунке 353 отрезок РЕ — одна из апофем. Можно доказать, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу (задача 1205). Рассмотрим куб со стороной а и проведём его диагонали (рис. 354). В результате куб окажется разбитым на шесть равных друг другу правильных четырёхугольных пирамид с общей вершиной в точке пересечения диагоналей куба. У каждой из этих пирамид основанием является квадрат со стороной а, высота равна а объём в шесть раз мень- ше объёма куба, т. е. равен —. Но Рис. 353 Рис. 354 ЗТ2 h = \a Глава XIV а ~в ^ • ^ = ^Sh, где S = a^ — площадь осно- 3 2 3 вания пирамиды, Л = — её высота. Таким об- разом, объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h равен одной трети произведения площади основания на высоту. Основываясь на этом факте, можно доказать (см. задачу 1210), что аналогичное утверждение справедливо и для произвольной пирамиды: объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Задачи 1184 Сколько граней, рёбер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр? 1185 Докажите, что число вершин любой призмы чётно, а число рёбер кратно 3. 1186 Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро. 1187 Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней? 1188 На трёх рёбрах параллелепипеда даны точки А, В и С. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки. Решение При построении сечений параллелепипеда нужно руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии в 10 классе): отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны. 1) Рассмотрим сначала случай расположения точек А, В и С, изображённый на рисунке 355, а. Проведём отрезки АВ и ВС. а) 313 Рис.355 Начальные сведения U.I стереометрии Далее, руководствуясь указанным правилом, через точку А проведём в плоскости «передней» грани прямую, парбшлель-ную J3C, а через точку С в плоскости боковой грани проведём прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки Е и D (рис. 355, б). Остаётся провести отрезок DE, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено. 2) Обратимся теперь к случаю, представленному на рисунке 356,а. Этот случай более трудный, чем предыдущий. Можно провести отрезки АВ и ВС (см. рис. 356, а), но что делать дальше? Поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания параллелепипеда. С этой целью продолжим отрезок АВ и нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и отрезок АВ, до пересечения в точке М (рис. 356, б). Далее, через точку М проведём в плоскости нижнего основания прямую, параллельную ВС. Это и есть та прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведём прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проведём отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено. 1189 Изобразите параллелепипед АВСВА^В^С^Вх и постройте его сечение плocкocтью^: а) АВСх’, б) АСС^. Докажите, что построенные сечения — параллелограммы. 1190 Изобразите параллелепипед ABCDAiB^C^Di и отметьте точки М и N соответственно на рёбрах BBi и CCj. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью АВС; б) прямой AM с плоскостью AiBiC^. 1191 Изобразите параллелепипед ABCDAiBiCiDi и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В^, и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция. Рис. 356 ^ Для краткости записи плоскость, проходящую через точки А, В и Cl, мы называем плоскостью ABCi; аналогичные обозначения плоскостей используются и в других задачах. 374 Глава XIV 1192 Изобразите параллелепипед ABCDA^B^C^Di и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N w. К лежат соответственно на рёбрах: а) ВВ^, АА^ AD; б) CCi, AD, ВВ,. 1193 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) 7, 9. 1194 Ребро куба равно а. Найдите диагональ этого куба. 1195 Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объёмы Pj и Рг* Выразите объём Р тела R через Pi и Рг, если: а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек; б) тела Р и Q имеют общую часть, объём которой равен -^Pi. 3 1196 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда. 1197 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA^BiCiD^, если ACi = 13 см, BD= 12 см и BCi = 11 см. 1198 Докажите, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Решение Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим призму и прямоугольный параллелепипед с площадями оснований, равными S, и высотами, равными к, «стоящие» на одной плоскости (рис. 357). Докажем, что объём призмы равен Sh. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости оснований, даёт в качестве сечения призмы равный её основанию многоугольник площади S, а в качестве сечения прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник площади S. Следовательно, объём призмы равен объёму параллелепипеда. Но объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т. е. равен Sh. Поэтому и объём призмы равен Sh. Рис. 357 Начальные сведения 315 из стереометрии 1199 Найдите объём прямой призмы АВСА,В,С,, если ZBAC= 120'', АВ = 5 см, АС = 3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см^. 1200 Найдите объём правильной л-угольной призмы, все рёбра которой равны а, если: а) п-3; б) л = 4; в) п — 6; г) л = 8. 1201 Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней — прямые? 1202 Изобразите тетраэдр DABC и на рёбрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD. 1203 Изобразите тетраэдр KLMN и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. 1204 Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точки М и N на. рёбрах BD и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. 1205 Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. 1206 Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему. 1207 Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см. 1208 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания. 1209*Через точку высоты PH пирамиды РА^А2...А„ проведена секущая плоскость р, параллельная плоскости а её основания. ( PH Докажите, что площадь полученного сечения равна --• S, где S — площадь основания пирамиды. v ) Решение Докажем это утверждение сначала для треугольной пирамиды, а затем — для произвольной пирамиды. Рассмотрим треугольную пирамиду РА1А2А3 и докажем, что рассматриваемое сечение представляет собой треугольник BiBzBg, подобный треугольнику AiAjAg с коэффициентом подобия k = _ PH, PH (рис. 358, а). Прямоугольные треугольники PH А, и PH,В, подобны по двум углам (угол Р — общий; ZPH,B, = ZPHA, = 90°, так как в противном случае прямые 316 Глава XIV HAi и a значит, и плоскости а и Р пересекались бы, что противоречит условию), поэтому PBi _ PHi _ РА PH k. Аналогично из подобия треугольников РНА2 и PH^Bz находим: . РВ2 _ PH, Таким образом. РВ РВ Р^2 РР^ ^ = k, откуда следует, что треуголь-РА, РА2 ники PB,Bz и РА,А2 подобны по второму признаку подобия треугольников. Поэтому = k. Точно так же доказывает- А,А2 В S в в ся, что = k и —= k. Таким образом, треугольники А2А3 А3Л1 В1В2В3 и А1А2А3 подобны с коэффициентом подобия k =--- PH и, следовательно, площадь треугольника В1В2В2 равна PH, У PH Рассмотрим теперь произвольную пирамиду. Её можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой PH (на рисунке 358, б показано разбиение выпуклой пятиугольной пирамиды). Поэтому площадь сечения равна -(PH, PH (S A,A2As + ••• + - PH s. 1210 Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Решение Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим две пирамиды, «стоящие» на одной плоскости: произвольную пирами- Начальные сведения 31Ж из стереометрии ду с площадью основания S и высотой PH = h и правильную четырёхугольную пирамиду с высотой QO = Л и стороной основания 2h (рис. 359). Согласно доказанному в п. 128 объём вто- рой пирамиды равен —(2hr • h = ~h^. Требуется доказать, что о 3 объём V первой пирамиды равен \sh. О Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости оснований пирамид и пересекающую высоты PH и QO в точках и Oi соответственно. Площадь сечения первой пирамиды рав- ^ с „ f QOi • S, а площадь сечения второй • ' ^ ^ , PH, на I---1- • 4Л^ (см. за- Э ) PH) " yqo дачу 1209). По условию PH = QO = h. Интуитивно ясно также, что PHi = QOi (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов). О Следовательно, площадь сечения первой пирамиды в раз больше площади сечения второй пирамиды. Поэтому и её'объ-S ._________________ S ём И в —5- раз больше, т. е. F = бовалось доказать. h = \sh, что и тре-3 3 1211 Найдите объём пирамиды с высотой Л, если: а) Л = 2м, а основанием является квадрат со стороной 3 м; б) Л = 2,2 м, а основанием является треугольник АВС, в котором АВ = 20 см, ВС= 13,5 см, ZABC = 30°. 1212 Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна т, а плоский угол (т. е. угол грани) при вершине равен а. 318 Глава XIV Тела и поверхности вращения 129 Цилиндр Возьмём прямоугольник ABCD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром. Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ — его высотой. При вращении сторон AD и ВС образуются два равных круга — они называются основаниями цилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны CD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Её называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, — образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр — это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу 1213), что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. На рисунке 361, а изображён цилиндр с радиусом г и высотой h. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей Ось цилиндра Образующие цилиндра параллельны друг другу Рис. 360 Радиус цилиндра / _ Основание I у цилиндра С Боковая поверхность цилиндра получена вращением стороны CD Основание цилиндра 319 Цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ Начальные сведения из стереометрии ч. А I i i —i — г Л — Рис. 361 а) АВ и развернули таким образом, что получился прямоугольник АВВ'А', стороны АВ и А'В' которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра (рис. 361, б). Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра. Сторона АА' прямоугольника равна длине окружности основания, а сторона АВ равна высоте цилиндра, т. е. АА' = 2кг, AB = h. Площадь Sqqk боковой поверхности цилиндра равна площади её развёртки, т. е. = 2лг/1. 130 Конус Возьмём прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362). В результате получится тело, которое называется конусом. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ — его высотой. При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется Отрезок АВ -высота конуса Боковая поверхность конуса получена вращением гипотенузы АС Образующие конуса Рис. 362 Ось конуса Вершина конуса Основание конуса 'получено вращением катета ВС Конус получен вращением прямоугол ьного треугольника АВС вокруг катета АВ 320 Глава XIV поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А. Её называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, — образующими конуса. Таким образом, конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу 1219), что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Иначе говоря, объём V конуса выражается формулой V = —nr^h, О где г — радиус основания конуса, Л — его высота. Рассмотрим теперь конус, у которого радиус основания равен г, а образующая равна I (рис. 363, а). Его боковую поверхность можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор (рис. 363, б). Радиус этого сектора равен образующей конуса, т. е. равен Z, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т. е. равна 2лг. Площадь боковой поверхности конуса равна площади её развёртки, т. е. 360 ’ где а — градусная мера дуги сектора (см. рис. 363, б). Длина дуги окружности с градусной мерой а и радиусом I равна С другой сторо- 180 л1а ны, длина этой дуги равна 2лг, т. е. = 2лг, 180 поэтому = п1а I 180 — = 2пг 2 — = кг1. 2 Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей I и радиусом основания г выражается формулой: ^бок ~ J Х^Атавасвв^ 321 а) б) Рис. 363 Начальные сведения из стереометрии 131 Сфера и шар Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 364). Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 364), а данное расстояние — радиусом сферы (на рисунке 364 радиус сферы обозначен буквой R). Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо её точкой, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Ясно, что диаметр сферы радиуса R равен 2R. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Ясно, что шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и саму точку О), и не содержит других точек. Отметим также, что шар может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра (рис. 365). При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объём шара радиуса R равен (см. задачу 1224). В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура. Поэтому для сферы непригоден способ вычисления площади с помощью развёртки. Вопрос о том, что понимать под площадью сферы и как её вычислить, будет рассмотрен в курсе стереометрии в 11 классе. Здесь же отметим, что для площади S сферы радиуса R получается формула: S = 4kR^. Шар получен враще наем полукруга АСВ вокруг диаметра АВ Рис. 365 322 Глава XIV Один из возможных способов получения этой формулы даёт задача 1225. Задачи 1213 Докажите, что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Решение Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными Л, «стоящие» на одной плоскости (рис. 366). Любая секущая плоскость, параллельная этой плоскости, даёт в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объём цилиндра равен объёму призмы. Но объём призмы равен Sh. Поэтому и объём цилиндра равен Sh. 1214 Пусть V, г и h — соответственно объём, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если г = 2\[2 см, Л = 3 см; б) г, если F=120cM^, Л = 3,6 см; в) h, если r=h, У=8лсм®. 1215 В цилиндр вписана правильная п-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) л = 3; б) л = 4; в) л = 6; г) л = 8; д) л — произвольное натуральное число. 1216 Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 1217 Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности? 1218 Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если АВ = а, ВС = Ь. 1219*Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Решение Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований S и высотами PH = h и QO = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости а (рис. 367). Докажем, что объём конуса равен О Проведём секущую плоскость Р, параллельную плоскости а и пересекающую высоты PH и QO в точках Hi и Oi соответственно. В сечении конуса плоскостью Р получится круг радиуса HiAi. Треугольники PHiAi и PH А подобны по двум углам (ZP — общий, ZPHiAi = ZPHA = 90°, так как в противном случае прямые НА и HiAi, а значит, и плоскости а и Р пере- секались бы, что противоречит условию). Поэтому HiAi НА = PH ZJ л tr л откуда я jAj =---- • НА, и площадь сечения конуса равна PH kHiA^, (^Г Площадь сечения пирамиды равна S (см. задачу 1209). По условию PH = QO = h. Интуитивно ясно также, что PHi = QOi (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов). Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объём равен объёму пирамиды, т. е. равен что и требовалось доказать. , 1 1220 Пусть Л, г и V — соответственно высота, радиус основания и объём конуса. Найдите: а) V, если Л = 3см, г=1,5см; б) Л, если г = 4см, V=48kcm-^; в) г, если h = m, V = p. 1221 Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р. 1222 Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм^. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объём конуса. 1223 Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса. 1224*Докажите, что объём шара радиуса R равен Решение Рассмотрим два тела: половину шара радиуса R и тело Т, представляющее собой цилиндр радиуса R с высотой R, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой R. Представим себе, что оба тела «стоят* на плоскости а так, как показано на рисунке 368. Проведём секущую плоскость р, параллельную плоскости а и пересекающую радиус шара О А, перпендикулярный к плоскости а, в точке А^, а высоту ВН конуса — в точке By. Сечение половины шара представляет собой круг радиуса ylR^-OA^ (см. рис. 368). Поэтому площадь этого круга равна л(Я2-ОА2). Сечение тела Т представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса R и круга радиуса ВуВ2 (см. рис. 368), т. е. равна п (Я^ - ВуВ1). Но ВуВ2 = ВВу (объясните почему) и, кроме того, ВВу = ОАу (доказательство этого наглядно очевидного факта будет приведено в курсе стереометрии 10—11 классов). Таким образом, площадь сечения половины шара равна площади сечения тела Т. Поэтому и объём половины шара равен Рис. 368 Накальные сведения 32S из стереометрии объёму этого тела. В свою очередь, объём V тела Т можно вычислить как разность объёмов цилиндра и конуса: V = -R- . д = 2 Итак, объём половины шара равен — лД® и, следовательно, 4 ^ объём всего шара равен 1225 Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника. Решение Если толщина слоя краски равна d, то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса R + d w. шара радиуса R, т. е. равен (Д -и d)® - ^лД® = ^nd (ЗД® -I- ЗД<^ -t- d®). О О О При покраске многоугольника площади S слоем толщины d объём затраченной краски равен Sd, поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Приравнивая эти два объёма и сокращая на d, находим S: S = -я(ЗД2-l-ЗДd-^-d2). Замечание ^ Если толщина d слоя краски очень мала по сравнению с радиусом Д сферы, то величина S приблизительно равна 4 о 4 о — я • ЗД = — яД®. Основываясь на проведённых рассуждениях, 3 3 естественно принять за площадь сферы величину 4яД®. 1226 Пусть V — объём шара радиуса Д, S — площадь его поверхности. Найдите: а) S и F, если Д = 4см; б) Д и S, если V = 113,04 см®; в) Д и F, если S = 64я см®. 1227 Диаметр Луны составляет (приближённо) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами. 1228 Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает? 1229 Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см (на швы добавить 8% от площади поверхности мяча)? 1230 Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса. 326 Глава XIV 1231 Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей? 3 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Вопросы для повторения к главе XIV Объясните, что такое многогранник; что такое грани, рёбра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников. Объясните, как построить многогранник, называемый п-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, боковые рёбра и высота призмы. Какая призма называется: а) прямой; б) правильной? Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда. Докажите, что четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Объясните, как измеряются объёмы тел; что показывает число, выражающее объём тела при выбранной единице измерения объёмов. Сформулируйте основные свойства объёмов. Объясните, в чём заключается принцип Кавальери. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Докажите, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Какой формулой выражается объём призмы? Объясните, какой многогранник называется л-угольной пирамидой; что такое основания, боковые грани, вершина, боковые рёбра и высота пирамиды. Объясните, какая пирамида называется правильной; что такое апофема правильной пирамиды. Какой формулой выражается объём пирамиды? Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра. Какой формулой выражается объём цилиндра? Объясните, как получается и что представляет собой развёртка боковой поверхности цилиндра. Какой формулой выражается площадь боковой поверхности цилиндра? Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основания, боковая поверхность, образующие конуса. Начальные сведения 327 u.i стереометрии 20 Какой формулой выражается объём конуса? 21 Объясните, как получается и что представляет собой развёртка боковой поверхности конуса. 22 Какой формулой выражается площадь боковой поверхности конуса? 23 Что называется сферой и что такое её центр, радиус и диаметр? 24 Какое тело называется шаром и что такое его центр, радиус и диаметр? 25 Какой формулой выражается объём шара? 26 Какой формулой выражается площадь сферы? Дополнительные задачи 1232 Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину. 1233 Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер. 1234 Изобразите параллелепипед ABCDA^B^CiDi и постройте: а) его сечения плоскостями АВС^ и DCB^, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются; б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро СС, и точку пересечения диагоналей грани AA^D^D. 1235 Изобразите параллелепипед ABCDA^B^CiDi и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра АА^, а L — середина ребра CCi. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм . 1236 Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм^, а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда. 1237 Найдите объём куба АВСВА^ВхС^В^, если: а) АС= 12 см; б) ACj = 3>/2; в) £>£ = 1 см, где Е — середина ребра АВ. 1238 Найдите объём прямой призмы АВСА^В^С^, если АВ = ВС = т, ZABC = <р и BBi = ВВ, где ВВ — высота треугольника АВС. 1239 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы. 1240 Изобразите тетраэдр ВАВС, отметьте точку К на ребре ВС и точки М и N граней АВС и АСВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. 1241 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды 328 Глава XIV проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех её граней. 1242 Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см. 1243 В правильной л-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды. 1244 Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия равна 2,6 г/см^). 1245 Свинцовая труба (плотность свинца равна 11,4 г/см®) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если её длина равна 25 м? 1246 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288л см®. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. 1247 Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра. 1248 Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса равен 24 см®. 1249 Высота конуса равна 12см, а его объём равен 324л см®. Найдите дугу развёртки боковой поверхности этого конуса. 1250 Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°. 1251 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна т, а угол при основании равен ф, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при этом вращении. 1252 Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара. 1253 В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке? 1254 Вода покрывает приблизительно — земной поверхности. 4 Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша (радиус Земли считать равным 6375 км)? 1255 В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как т® : л®? Начальные сведения 329 из стереометрии Задачи повышенной трудности Задачи к главе X 1256 Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты В{Х2,У2), С(лгз;г/з) и В{х^;у^). Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х^ +Хз = Х2 +х^ и у^ +уз = у2 + у^. 1257 Даны две точки А (Xj; у^) и В (jCg; 1/2)- Докажите, что координаты {х\ у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении Х / АС л . , Х, + кХ2 У1 + A.J/2 (т. е. = А), выражаются формулами х = У = ■ СВ 1 + А. 1 + Л 1258 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: {х-^\ у^), (Х2', у2), (лгз; Уз). 1259 Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-3; 0), В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Найдите координаты точки D. 1260 В треугольнике АВС АС = 9 см, ВС =12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ. 1261 Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс т,, m2 и Шз, сосредоточенных соответственно в точках А^ (д:,; у^). Аз (Хз; Уг), Аз (Хз; Уз). 1262 В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма её расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А(2;3), В (4;-5); б) А (-2; 4), В (3; 1). 1263 Докажите, что: а) уравнение Ах + By + С = 0, где А и В одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение х^-ху-2 = 0 не является уравнением окружности. 1264 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (д: - 1)^ + (j/- 2)^ = 4 и х^ + у^=1, и вычислите длину их общей хорды. 1265 Даны три точки А, В, С и три числа а, Р, у. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма аАМ^ + ^ВМ^ + уСМ^ имеет постоянное значение, если: а) a-f-p-t-y^tO; б) a-i-p-t-y=0. 1266 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки Ml прямой а на луче AM, взята такая точка М, что AMi - AM = k, где k — данное положительное число. Найдите , множество всех точек М. __ _ Задачи повышенной ЗЗи трудности 1267 Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки Ml окружности на луче OMj взята такая точка М, что ОМ = к • OMi, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М. 1268 Пусть А тл В — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию AM = кВМ, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны. N Задачи к главе XI 1269 На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А тл. В так, что NA = —MN, QB = ^MN 2 3 (рис. 369). Докажите, что ZAMB = 45°. 1270 Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм. 1271 Докажите, что площадь S произвольного четырёхугольника со сторонами а, Ъ, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству S ^ \iflc -I- bd). 1272 Докажите, что в треугольнике АВС биссектриса АА^ вычис- Рис. 369 2Ьссоз— ляется по формуле AAj = Ь + с —, где Ь = АС, с = АВ. 1273 1274 Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле 1275 S = V(P - а)(р - Ь)(р - с)(р - d), где р — полупериметр, а, Ь, с, d — стороны четырёхугольника. Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника. Задачи повышенной 331 трудности 1276 В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD, угол СВЕ равен а. Найдите площадь трапеции ABCD. 1277 В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол АВС равен р, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС. 1278 В треугольнике АВС прюведены высота АН длиной h, медиана AM длиной I, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника АВС. Задачи к главе XII 1279 На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла ОАВ. Докажите, что: а) А АВС АОАВ; б) АВ = АС = ОС = ^ R. 1280 Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центрюм О. * 1281 Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника АВС являются середины сторон А1А2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр Oj окружности, вписанной в треугольник АВС, симметричны относительно прямой АС. 1282*В данную окружность впишите правильный десятиугольник. 1283 В данную окружность впишите правильный пятиугольник. 1284 В данную окружность впишите пятиконечную звезду. 1285 Пусть М — прюизвольная точка, лежащая внутри правильного л-угольника. Докажите, что сумма перпендикулярюв, прюведённых из точки М к прямым, содержащим сторюны • п-угольника, равна пг, где г — радиус вписанной окружности. — Задачи повышенной трудности 1286 1287 1288 1289 1290 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника. Пусть ABCD — квадрат, а — пра- вильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма АВ + А^В^ равна длине полуокружности с точностью до 0,01/2. По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001/2. На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причём AC = DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре. Постройте границу круга, площадь которого равна: а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°. Задачи к главе XIII 1291 1292 1293 1294 1295 Е Рис.373 При данном движении g точка А отображается в точку В, а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная симметрия или осевая симметрия. Даны два равных отрезка АВ и А^В^. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки А и В отображаются соответственно в точки Ау и В^. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого. Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой. Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого. Задачи повышенной 333 трудности 1296 Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают. 1297 □ Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой. 1298 Э На стороне угла АОВ с недоступной вершиной дана точка М. Постройте отрезок, равный отрезку ОМ. 1299 Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей. 1300 Постройте треугольник по трём медианам. 1301 Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам. 1302 □ Даны точки А и В и две пересекающиеся прямые end. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D лежали соответственно на прямых end. 1303 S Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. Постройте квадрат ABCD так, чтобы вершина В лежала на данной прямой, а вершина D — на данной окружности. Задачи к главе XIV 1304 Все плоские углы тетраэдра О АВС при вершине О — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника АВС равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора). 1305 Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник. 1306 Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от него вершин куба. Как должен двигаться паук? 1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров. 1308 Плоскости ABiCi и А^ВС разбивают правильную треугольную призму ABCAjBiCi на четыре части. Найдите объёмы этих частей, если объём призмы равен V. 1309 Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны. 1310 Правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания а и плоским углом а при вершине вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела. _ _ Задачи повышенной 334 трудности Исследовательские задачи Предлагаемые задачи ориентированы на проведение исследований, связанных как с решением некоторых задач из учебника, так и с постановкой новых задач. 7 класс 1 Сформулируйте новые признаки равенства треугольников, используя не только стороны и углы, но также медианы, биссектрисы и высоты треугольников. Примеры таких признаков дают задачи 161, 176, 329. Эта задача может быть поставлена перед группой учащихся: создать банк признаков равенства треугольников; может использоваться как предмет интеллектуального соревнования между двумя или несколькими группами учащихся. 2 Сформулируйте признаки равенства равнобедренных треугольников. 3 Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. 4 Для каждого из новых признаков равенства треугольников рассмотрите задачу на построение: построить с помощью циркуля и линейки треугольник по тем элементам, которые фигурируют в признаке. 8 класс Задача 813 и её обобщение на случай невыпуклого четырёхугольника. (Предложите способ решения, применимый для любого четырёхугольника.) Теорема Птолемея и ряд задач, решаемых с её помощью (задачи 852, 889, 893, 1286). Предложите свои задачи на применение этой теоремы. Окружность Эйлера (задача 895). Дополнительно исследуйте, сколько точек, указанных в згщаче 895, могут быть различными. Прямая Симеона (задача 896). Исследуйте все возможные случаи. Прямая Эйлера: докажите, что в любом неравностороннем треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений), центр описанной около треугольника окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой. Установите, в каком отношении эти точки разделяют отрезок с концами в крайних точках. Исследовательские задачи 2 3 9 класс Проведите полное исследование задачи на построение треугольника АВС по углу А и сторонам АВ и ВС. При каких условиях задача: а) имеет решение; б) имеет единственное решение; в) имеет не единственное решение (и сколько решений); г) не имеет решений? Окружности Аполлония и их свойства (задачи 981, 1286). Использование движений в задачах на доказательство (задачи 1178—1180, 1291—1296). Использование движений в задачах на построение (задачи 1181—1183, 1297—1303). Темы рефератов 1 Характеристическое свойство фигуры. Характеристические свойства прямоугольника, ромба, квадрата, окружности. 2 Формулы площадей различных четырёхугольников. 3 Многоугольники на решётке. Формула Пика. 4 Изопериметрические задачи. 5 Теоремы Чевы и Менелая. 6 Прямая и окружность Эйлера. 7 Различные средние для нескольких отрезков. 8 Методы решения задач на построение (метод подобия, метод геометрических мест точек, использование движений). 9 Радикальная ось двух окружностей, радикальный центр трёх окружностей. ^ ; 10 Вневписанные окружности. 11 Теорема Морли. 12 Использование движений при решении задач. 13 Центральное подобие и его применения (теорема Наполеона, прямая и окружность Эйлера, прямая Симеона). 14 Инверсия и её применения (теорема Птолемея и обратная ей, формула Эйлера для квадрата расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника, теорема Фейербаха, задача Аполлония). 336 Темы рефератов Приложения Ц Об аксиомах планиметрии При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в • качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первыми основными понятиями, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даём определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур. Отметим, что не все аксиомы, необходимые для построения планиметрии, были приведены в нашем курсе — для упрощения изложения некоторые из них мы не формулировали, хотя ими и пользовались. Здесь мы приведём все аксиомы планиметрии. Первые три аксиомы характеризуют взаимное расположение точек и прямых. ВЯ1 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точкиЧ 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Для точек, лежащих на одной прямой, мы использовали понятие «лежать между», которое относим к основным понятиям геометрии. Свойство этого понятия выражено в следующей аксиоме: 4. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Подчеркнём, что, говоря «точка В лежит между точками А и С», мы имеем в виду, что А, В, С — различные точки прямой и точка В лежит также между С и А. Иногда вместо этих слов мы говорим, что точки А и В лежат по одну сторону от точки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки А) или точки А и С лежат по разные стороны от точки В. * Такие понятия, как «принадлежать», «множество», «число» и т. д., относятся не только к геометрии, но и к другим разделам математики. Поэтому мы считаем их известными и не относим к числу основных понятий планиметрии. 337 Приложени ■шишамаяапгдгмтти 5. Каждая точка О прямой разделяет её на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей. Напомним, что отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между А и В. Коротко можно сказать так: отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересекается с прямой а (в некоторой точке С, лежащей между А и В), то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой а. Ю№»Ш'<гШШ1ть&9,ё'П1тяи ^таа1яшттшашк1ял‘.т<‘^'шттявтвти1кятштта!: 6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. Прямая а называется границей каждой из указанных полуплоскостей; её точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей. Следующие аксиомы связаны с понятиями наложения и равенства фигур. Понятие наложения относится в нашем курсе к основным понятиям геометрии. В главе I мы определили равенство геометрических фигур, используя понятие наложения. Мы опирались на наглядные представления о наложении фигур и допускали, что всякая геометрическая фигура может перемещаться как единое целое, наподобие того как перемещаются материальные тела. Но геометрические фигуры — не материальные тела, а воображаемые объекты, поэтому наложение геометрических фигур следует понимать в особом смысле. Чтобы выяснить этот смысл, заметим, что при наложении фигуры Ф на равную ей фигуру Фх, как мы представляем его наглядно, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую точку фигуры Ф1. Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф сопоставляется некоторой точке фигуры Ф1. Но мы можем сопоставить каждую точку фигуры Ф некоторой точке фигуры <Е>1 и без непосредственного наложения Ф на Ф1 (рис. 374). Такое сопоставление называется отображением фигуры Ф на фигуру Ф1 (при этом подразумевается, что каждая точка фигуры Фх оказывается сопоставленной не- Рис. 374 338 Приложения которой точке фигуры Ф). Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф, мы понимаем отображение Ф на Фх. Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается на определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя. Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. ниже аксиомы 7—13). Чтобы сформулировать эти аксиомы, введём понятие равенства фигур. Пусть Ф и Фх — две фигуры. Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Фх, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Фх, или фигура Ф равна фигуре Фх. Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений. 7. 8. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой-то луч Л с началом в точке О, то на луче Л существует, и притом только одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС, 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. Это означает, что если даны какой-то луч ОА и какой-то неразвёрнутый угол СОЕ, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОА существует, и притом только один, луч ОВ, такой, что угол СВВ равен углу АОВ. 10. 11. 12. 13. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h^ki двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом й-х, а луч к — с лучом 2) так, что луч h совместится с лучом к^, а луч к — с лучом hi. Любая фигура равна самой себе. Если фигура Ф равна фигуре Фх, то фигура Фх равна фигуре Ф. Если фигура Фх равна фигуре Фа, а фигура Фа равна фигуре Фз, то фигура Фх равна фигуре Ф3. Как видно, все приведённые аксиомы соответствуют нашим наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур и поэтому не вызывают сомнений. Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки. 339 Приложения Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок АА^ = PQ, на луче AiB — отрезок AiAz = PQ и т. д. до тех пор, пока точка А„ не совпадёт с точкой В либо точка В не окажется лежащей между А„ и A„ + j. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом п (или что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ п раз). Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближённо выражается числом п. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток А„В. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то её также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы предполагаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформулируем так: 14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины. 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. Систему аксиом планиметрии завершает аксиома параллельных прямых. 16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Отметим, что для построения геометрии можно использовать различные системы аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных прямых можно принять в качестве аксиомы утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Тогда утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной» можно доказать как теорему (попробуйте провести такое доказательство самостоятельно). От различных систем аксиом требуется лишь, чтобы они были эквивалентны, т. е. приводили бы к одним и тем же выводам. Иногда стремятся к тому, чтобы аксиомы были независимы, т. е. ни одну из них нельзя было вывести из остальных. Мы не ставили перед собой такой цели. Например, утверждение аксиомы 5 340 Приложения может быть доказано на основе остальных аксиом, т. е. фактически это утверждение является теоремой, а не аксиомой. Однако для упрощения изложения мы приняли его в качестве аксиомы. В заключение рассмотрим одну из самых первых теорем нашего курса — теорему, выражающую первый признак равенства треугольников (п. 15). Её доказательство опиралось на наглядные представления о наложении и равенстве фигур, понятие аксиомы тогда ещё не было введено. Напомним это доказательство и рассмотрим его с точки зрения принятых нами аксиом. Нужно было доказать, что если AB = A^Bi, АС = Л,С, и ZA = ZA,, то треугольники АВС и A,B,Ci равны. С этой целью мы рассматривали такое наложение, при котором вершина А совмещается с вершиной А,, а стороны АВ и АС треугольника АВС накладываются соответственно на лучи AjC, и AjBi. При этом мы опирались на наглядно очевидный факт, что такое наложение существует, поскольку углы А и А, равны. Теперь можно сказать, что существование такого наложения следует из аксиомы 10. Далее мы рассуждали так: поскольку AB = A^Bi, AC = AjC,, то сторона АВ совместится со стороной A^Bi, а сторона АС — со стороной AjC,, в частности совместятся точки В и Bi, С и Cj. Как обосновать этот факт, опираясь на аксиомы? Очень прюсто. По аксиоме 8 на луче A,J5, от точки Aj можно отложить только один отрезок, равный отрезку АВ. Но по условию теоремы АВ = AjBjf поэтому при нашем наложении точка В совместится с точкой Аналогично точка С совместится с точкой Cj. Остаётся сослаться на аксиому 7, чтобы обосновать тот факт, что сторона ВС совместится со стороной BiC,. Теперь можно сделать вывод, что треугольники АВС и А,Б,С, полностью совместились и, значит, они равны. Как видим, само доказательство теоремы о первом признаке равенства треугольников, по существу, не изменилось, только теперь мы опирались уже не на наглядно очевидные факты, а на аксиомы, в которых эти факты выражены. Некоторые сведения о развитии геометрии Первое сочинение, содержащее простейшие геометрические сведения, дошло до нас из Древнего Египта. Оно относится к XVII в. до н. э. В нём содержатся правила вычисления площадей и объёмов некоторых фигур и тел. Эти правила были получены практическим путем, без какого-либо логического доказательства их справедливости. Становление геометрии как математической науки произошло позднее и связано с именами греческих учёных Фалеса (ок. 625— 547 гг. до н. э.), Пифагора (ок. 580—500 гг. до н. э.), Демокрита (ок. 460—370 гг. до н. э.), Евклида (III в. до н. э.) и др. 341 Приложения в знаменитом сочинении Евклида «Начала» были систематизированы основные известные в то время геометрические сведения. Главное же — в «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы)!. Полученные результаты используются как на практике, так и в дальнейших научных исследованиях. Некоторые из аксиом, предложенных Евклидом, и сейчас используются в курсах геометрии. Часть из них в современной формулировке имеется в нашем курсе. Например: «Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна». Большой вклад в дальнейшее исследование различных вопросов геометрии внесли Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.), Аполлоний (III в. до н. э.) и другие древнегреческие учёные. Качественно новый этап в развитии геометрии начался лишь много веков спустя — в XVII в. н. э. — и был связан с накопленными к этому времени достижениями алгебры. Выдающийся французский математик и философ Р. Декарт (1596—1650) предложил новый подход к решению геометрических задач. В своей «Геометрии» (1637) он ввёл метод координат, связав геометрию и алгебру, что позволило решать многие геометрические задачи алгебраическими методами. В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая в «Началах» Евклида называлась пятым постулатом. Формулировка пятого постулата у Евклида весьма сложна Поэтому обычно его заменяют эквивалентной ему аксиомой параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Много веков усилия большого числа учёных были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Учёные думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные аксиомы. В конце XVIII в. у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792—1856). На возможность такого подхода впервые указал древнегреческий учёный Аристотель (ок. 384—322 гг. до н. э.). Пятый постулат: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». 342 Прилс Вся творческая жизнь нашего выдающегося соотечественника была связана с Казанским университетом, где он учился, затем был профессором, а с 1827 г. — ректором университета. Его очень рано заинтересовала геометрия, и он, как и многие его предшественники, пытался доказать пятый постулат Евклида. Лобачевский предпринял попытку доказать пятый постулат от противного: он предположил, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести несколько прямых, не пересекающих данную. Исходя из этого, он попытался получить утверждение, которое противоречило бы аксиомам или полученным из них теоремам. Если бы такое утверждение удалось получить, то это означало бы, что предположение неверно, а верно противоположное утверждение: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную. Тем самым пятый постулат Евклида был бы доказан. Но Лобачевский не получил противоречивых утверждений. На основании этого им был сделан замечательный вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. Такая геометрия им была построена. Её называют теперь геометрией Лобачевского. Сообщение об открытии новой геометрии было сделано Лобачевским в 1826 г. К аналогичным выводам пришёл венгерский математик Я. Бойяи (1802—1860), но он свои результаты опубликовал несколько позже, в 1832 г. В рукописях великого немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777—1855) высказывались идеи, близкие к идеям Лобачевского и Бойяи. Однако он, опасаясь критики, не решился их обнародовать. Открытие нашим великим соотечественником новой геометрии оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Лобачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо влияние новой геометрии на развитие самой геометрии. Наиболее ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших представлений о пространстве: ведь до Лобачевского казалось, что геометрией окружающего нас пространства может быть только евклидова геометрия. Но так как возможна другая геометрия, то истинность той или иной геометрии может быть проверена лишь опытным путём. Современной наукой установлено, что евклидова геометрия лишь приближённо, хотя и с весьма большой точностью, описывает окружающее нас пространство, а в космических масштабах она имеет заметное отличие от геометрии реального пространства. Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замечательных открытий в геометрии. Так, выдающимся немецким математиком Б. Риманом (1826—1866) была создана новая геометрия, обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского. Читатель вправе спросить: а являются ли геометрия Евклида и геометрия Лобачевского непротиворечивыми? Не может ли так случиться, что при дальнейшем развитии как той, так и другой геометрии получатся противоречивые выводы? Уже в конце XIX века 343 Приложения было доказано, что если непротиворечива геометрия Евклида, то непротиворечива и геометрия Лобачевского. Непрютиворечивость той или иной геометрии доказывается с помощью какой-либо интерпретации (модели) её основных понятий и аксиом. Например, одной из известных интерпретаций евклидовой геометрии является арифметическая модель, в которой точка есть пара чисел (х; у), записанная в определённом порядке, а прямая есть множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению ах + Ьх + с = 0, где а и Ь — некоторые числа (а^ + О). С помощью этой модели вопрос о непротиворючивости евклидовой геометрии сводится к вопрюсу о непрютиворючивости арифметики, имеющей дело с вещественными числами. О моделях, реализующих систему аксиом геометрии Лобачевского, можно прючитать в различных книгах, например в книге В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, С. А. Шестакова, И. И. Юдиной «Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математики» (М.: Физматлит, 2005). Вопрюс о непрютиворечивости той или иной системы аксиом связан с важными прюблемами непрютиворечивости, полноты и независимости систем аксиом, определяющих ту или иную геометрию. Перечисленные прюблемы относятся к предмету, называемому «Основания геометрии». Крупнейший вклад в решение этих проблем внёс великий немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943). Отметим, что в настоящее время геометрия ширюко используется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, химии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии широко применяются практически во всех разделах науки и техники и, конечно же, в самой математике. Ответы и указания Глава I 3. Три точки или одна точка. 4. Четыре прямые. 6. Три отрезка. 15. Четыре угла. 17. Ли/. 18. ОВ<ОА; ОС>ОА; ОВ<ОС. 19. а) Да; б) нет. 21. ZAOC < ZAOB. 22. а) Да; б) нет. 29. Две точки. 30. 10,3 см. 31. а) 3,5 см; б) 36 мм. 32. 25,5 см цли 1,5 см. 33. 9 см или 23 см. 34. ВЛ = 47см, £)А = 17см. 35. 480км. 37. а) АС= 1см, СВ= 1см, АО = 0,5см, ОВ=1,5см; б) АВ = 6,4м, АС = 3,2м, АО=1,6м, ОВ = 4,8м. 38. а) 10,5 см; б) 1,5 см. 39. ^-40. 4 см. 44. Нет. Построение выполнимо, когда ZAOB острый или прямой. 45. Да. 47. а) 121°; б) 121°2'. 48. 48°. 49. 85°. 50. 81°. 51. 60°. 52. 160°. 53. Нет. 58. а) 69°; б) 90°; в) 165°. 59. Прямой. 60. Да. 61. а) 70° и 110°; б) 150° и 30°; в) 113°39' и 66°21'; г) 135° и 45°; д) 100° и 80°. 62. 106°. 63. Да. 64. а) Z1=Z3 = 63°, Z4=117°; б) Zl=43°27', Z2 = Z4 = 136°33'. 65. а) 57°, 57°, 123°, 123°; б) 40°, 40°, 140°, 140°. 66. а) Z2 = Z4 = 110°, Z1 = Z3 = 70°; б) Z1=Z3 = 45°, Z2 = Z4=135°; в) Z1 = Z3 = 75°, Z2 = Z4=105°. 67. 180°. 68. ZAOC =120°, ZBOD=\Z0°, ZCOE= 110°, ZCOD = 00°. 69. Нет. 71. Шесть прямых. 72. Шесть точек. 73. Двенадцать углов. 74. а) 8 см; б) 16 см. 75. 16 см 7 5 2 4 или 4см. 76. а) —а; б) —а. 77. а) — т; б) —т. 78. 12см. 79. Указание. 8 8 3 5 Рассмотреть два возможных случая: точки В к С лежат по разные стороны или по одну сторону от точки А. 80. 85° или 15°. 81. 30° или 90°. 82. а) 67°30' и 112°30'; б) 72°30' и 107°30'. 83. 90°. 85. Указание. Доказать, что угол ABD развёрнутый. 86. Указание. Предположить, что прямые тип совпадают, и воспользоваться утверждением п. 12. Глава II 90. 75см. 91. 12,7см и 17,3 см. 92. Нет. 93. б) 42°, 47°. 94. б) В2)=5см, АВ= 15 см. 95. б) АВ=14см, ВС =17 см. 96. б) 110°. 105. б) 46°. 106. б) 96°. 107. 10 см, 20 см и 20 см. 108. АВ = 12,5 см и ВС =15 см. 109. 8 см. 112. 50°. 113. б) 37°30'. 115. ZA = ZB + ZC. 119. KF = 8 см, ZDEK = 86°, ZEFD = 90°. 121. б) ВС = 15 см, СО = 13 см. 122. б) АВ= 11 см, ВС =19см. 126. 13см. 136. 25°. 142. Указание. Рассмотреть два случая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО. 145. 90°. 146. 29см. 149. Нет. 150. Нет. 152. Указание. Сначала построить биссектрису угла АОВ. 155. Указание. Сначала построить прямой угол. 156. АВ = 4 см, АС = 5 см, ВС = 6 см. 157. 7 см, 5 см и 5 см. 158. 10 см или 6 см. 160. б) Указание. Пусть М — точка, равноудалённая от точек А и В и не лежащая на прямой АВ. Воспользоваться утверждением: медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой. 165. б) Указание. Сначала доказать, что ZAOK = ZBOK^. 166. Указание. Воспользоваться задачей 165. 167. Указание. Сначала доказать равенство треугольников DBF, FCE и EAD. 168. 40°. 169. Указание. Доказать, что ААВО = AFEO. 170. Указание. Сначала доказать Ответы 3^5 и указания равенство треугольников ABD и A^B^Di. 171. Указание. Сначала доказать равенство треугольников АВС и ADC. 172. Указание. Сначала доказать равенство треугольников АВС и ABD. 173. Указание. Пусть угол BAD — смежный с углом А треугольника АВС. Для доказательства неравенства ZBAD > ZB отметить середину О стороны АВ и на продолжении отрезка СО отложить отрезок ОЕ, равный СО. Затем доказать, что угол ВАЕ равен углу В треугольника АВС и воспользоваться неравенством ZBAD > ZBAE. 174. Указание. Наложить треугольник АВС на треугольник AiBjCj, так, чтобы сторона ВС совместилась со стороной BjC,, а сторона В А наложилась на луч ВА^. Для доказательства того, что точка А совместится с точкой А^, воспользоваться задачей 173. 175. Указание. Сначала доказать, что AAOD = АВОС, а затем, что AEBD = АЕАС. 176. Указание. Рассмотреть треугольники ABD и Аф^В^, где точки D и £>1 такие, что М и — середины отрезков AD и A^D^. 178. Указание. Пусть точка В лежит на отрезке АС. Предположить, что AD = BD = CD, Используя свойство углов при основании равнобедренного треугольника, сначала доказать, что ZABD = ZCBD = 90°. 179. Указание. Сначала доказать, что ВР = CQ. 184, Указание. Воспользоваться задачей 160. Глава III 196. Одну прямую. 197. Три или четыре. 198, Да. 201. 105°, 105°. 202. а II с. 203. б) Четыре угла по 55°, четыре других угла по 125°. 205. 92°. 206. а) Да; б) да. 207. а) Нет; б) да. 208. 115° и 65°. 209. Zl = = 135°, Z2 = 45°, Z3 = 135°. 210. Указание. Рассмотреть продолжение луча СРз. 215. 59°. Указание. Сначала доказать, что а || Ь. 216. 48°, 66°, 66°. 218. Да. 219. Указание. Доказать методом от противного. 220. Указание. Доказать методом от противного. 221, Указание. Сначала доказать, что AM || ВС и AN || ВС. Глава IV 223. а) 58°; б) 26°; в) 180°-За; г) 60°. 224. ZA = 40°, ZB = 60°, ZC = 80°. 227. а) 36°, 72° и 72°; б) 45°, 45° и 90°. 228. а) 40°, 40° и 100° или 40°, 70° и 70°; б) 60°, 60° и 60°; в) 100°, 40° и 40°. 229. 105°. 230. 103°. 231. Указание. Воспользоваться свойством углов при основании равнобедренного треугольника. 232. Да. 233. Указание. Учесть, что внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, в два раза больше угла при основании. 234. 57°30', 57°30', 65° или 65°, 65°, 50°. 235. 73°20', 73°20' и 33°20'. 248. а) Нет; б) нет. 249. Сторона, равная 10 см. 250. а) 7 см; б) 8 см; в) 10 см. 252, 29 см и 29 см. 253. 7 см, 7 см и 11см. 254. 45°, 45° и 90°. 255. 27°. 256. 17,6 см. 257. АС = 6 см, АВ= 12 см. 258. 9 см. 259. 18 см. 260. 30°, 30° и 120°. 261. Указание. Воспользоваться первой теоремой п. 36. 262. Указание. Воспользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников. 263. 70°, 70° и 40°. 264. 122°. 265. 90°, 39° и 51°. 267. Указание. Сначала доказать, что углы, прилежащие к равным сторонам данных треугольников, равны. 269. Указание. Воспользоваться задачей 268. 346 Ответы и ука.тния 270. Указание. Сначала провести биссектрису угла и воспользоваться задачей 133. 271. 8см. 272. 12см. 273. 14см. 275. Указание. Сначала доказать, что СМ — медиана треугольника АВС. 277. 2 см или 8 см. 278. 3 см. 279. Указание. Через одну из точек, удовлетворяющих условию задачи, провести прямую, параллельную данной, и доказать, что любая другая точка, удовлетворяющая условию задачи, лежит на этой прямой. 280. Луч с началом на стороне ВА, параллельный стороне ВС. Указание. Воспользоваться задачей. 279. 281. Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них. 282. Указание. Воспользоваться задачей 281. 283. Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё. 285. Указание. Воспользоваться задачей 284. 299. 20°. 300. Указание. Доказательство провести методом от противного. 302. Указание, а) Допустить, что ifMjФНМ2, и воспользоваться задачей 301; б) допустить, что НМ^>НМ2 или HMi = НМ2, и воспользоваться задачей 301. 303. Указание. Продолжить медиану AM за точку М на отрезок MD, равный AM, и рассмотреть треугольник ABD. 304. Указание. Пусть N — точка пересечения прямой ВМ и отрезка АС. Применить теорему о неравенстве треугольника к треугольникам ABN и MNC. 305. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 306. Указание. Доказать методом от противного. 308. 18,5 см. 311. Две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых. 312. Указание. Пусть в треугольнике АВС АС > АВ, а AM — данный отрезок. Учесть, что в треугольнике ACM ZC < ZM. 313. Указание. Пусть ААВС — искомый, ВМ — его данная медиана. Сначала построить АВВ^С, в котором точка М — середина стороны BBi. 314. б) Указание. Построить угол, равный данному, а затем воспользоваться задачей 284. 315. а) Указание. Воспользоваться свойством 3 п. 35 и задачей 314, в. 316. Указание. Воспользоваться задачей 282. 317. Указание. Воспользоваться задачей 245. 318. Указание. На сторонах ВС и АВ построить точки А, и Cl, так, чтобы BAi = ACi^CBi. 319. Указание. Если данные отрезки не равны друг другу, то сначала построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна данной биссектрисе, а катет — данной высоте. 320. Указание. Сначала построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна данной медиане, а катет — данной высоте. 321. Указание. Сначала построить биссектрису угла С. Задачи повышенной трудности 322. а& = 1. 323. —. т 324. Указание. Воспользоваться свойством смеж- ных углов: Zhk + Zhl = 180°. 325. 180°. 326. Указание. Пусть три из данных прямых проходят через точку А. Используя метод от противного, доказать, что каждая из оставшихся трёх прямых проходит через эту точку. 327. Указание. Пусть три из данных точек лежат на прямой d. Используя метод от противного, доказать, что каждая из оставшихся четырёх точек лежит на прямой d. 328. Указание. Сначала доказать, что _ Ответы З^У и указания ЛАОС, = АВОС2, где О — середина отрезка АВ. 329. Указание. Пусть в треугольниках АВС и А,В,С, ZA = ZA,, AC = A,Ci и АВ + ВС = А,В,+BiC,. Продолжить стороны АВ и А,В, на отрезки BD = BC и В,£), =В,С, и рассмотреть треугольники ADC и А,В,С,. 330. Могут. Например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и треугольник ABD, где Z) — такая точка на стороне ВС, что АВ = АВ. 331. Могут. Рассмотрим, например, равнобедрюнный треугольник АВС с основанием АВ и отметим какую-нибудь точку В на продолжении стороны АВ. Тогда треугольники AZX7 и ВВС обладают указанным свойством, но не являются равными. 332. У казание. Воспользоваться задачей 174. 333. 90°-—.335. а) Остро- 2 угольный; б) остроугольный. 336. Указание. Воспользоваться соотношениями между сторонами и углами треугольника и теоремой о сумме углов треугольника. 337. 70°. Указание. Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла А и прямой ВМ. Сначала доказать равенство треугольников АОС и МОС. 338. Указание. Соединить один из концов отрезка с вершиной треугольника и воспользоваться задачей 312. 339. Указание. Воспользоваться задачей 173, а также соотношениями между сторонами и углами треугольника. 340. Указание. Продолжить отрезок АВ до пересечения с ВС и воспользоваться задачей 312. 341. Указание. Отметить на стороне АВ такую точку С„ что ACj = АС, и рассмотреть треугольник ВС,В. 342. Указание. Доказать методом от противного. 343. Указание. Пусть АВС — данный треугольник, АВ > ВС, ВМ — медиана. Отметить такую точку Е, что М является серединой отрезка BE, и рассмотреть треугольник АВЕ. 344. Указание. Воспользоваться задачей 173. 345. Указание. Продолжить отрезок В А на отрезок АВ = АС и, рассмотрев ADHB, воспользоваться неравенством треугольника. 346. Указание. Воспользоваться задачей 341. 347. Указание. Воспользоваться задачами 343 и 346. 349. Указание. Пусть в треугольнике АВС медиана AM и высота АН делят угол А на три равных угла ВАН, НАМ и MAC. Провести перпендикуляр МВ к стороне АС и доказать сначала, что МВ = —МС. 350. Указание. Учесть, что в прямоугольном треугольнике 2 гипотенуза больше катета. 352. Нет. Указание. Воспользоваться задачей 160. 353. Два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться задачей 160. 354. Задача имеет одно решение, если данные точки не лежат на одной прямой, и не имеет решения, если эти точки лежат на одной прямой. Указание. Воспользоваться задачей 160. 355. Указание. Сначала построить такую точку А,, что прямая а проходит через середину отрезка АА, перпендикулярно к нему, а затем провести отрезок А,В. 357. Четыре, три, два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться задачей 311. 358. Четыре. У казание. Воспользоваться задачей 311. 359. Указание. Сначала построить треугольник ОАВ, в котором АВ = В и ОВ = 2R, где R — радиус данной окружности. 360. Указание. Пусть даны острый угол А, высота ВН искомого треугольника АВС и отрезок PQ, равный его периметру. Построить сначала ААВН, а затем такую точку В на луче АН, что АВ-(-АВ = PQ. 361. Указание. Построить сначала треугольник, у которого сторона равна данному периметру, а углы, прилежащие к ней. 348 Ответы и указания равны половинам данных углов. 362. Указание. Пусть ВС, АС + АВ, - ZC — данные элементы искомого треугольника АВС. На продолжении стороны СА за точку А отложить отрезок АА,, равный отрезку АВ. Построить сначала АСНА,. Глава V 364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°. 365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять. 366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм. 367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см. 368. 90°. 369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°. 372. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см. 373. 13 см, 12 см, 13 см, 12 см. 374. 78 см. 375. 56 см или 70 см. 376. а) ZB = ZD = 96°, ZC = 84°; б) ZA = ZC = 117°30'; ZB = Zr» = 62°30'; в) ZA = ZC= 71°, ZB = ZD =109°; г) ZA = ZC= 120°, ZB = = ZD = 60°; д) ZA = ZC = 53°, ZB = ZD =127°. 377. MN = PQ = 6cm, NP = = QM = 8cm, ZM = ZP = 60°, ZN = ZQ= 120°. 379. Указание. Сначала доказать, что ВК = DM. 380. Указание. Воспользоваться признаком 2®, п. 44. 382. Указание. Воспользоваться признаком 3®, п. 44. 383. Указание. Воспользоваться признаком 2®, п. 44. 386. Указание. Через середину боковой стороны провести прямую, параллельную основаниям, и воспользоваться задачей 385. 387. ZB=144°, ZD = 63°. 388. Указание. а) Через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную боковой стороне. 389. Указание, а) Воспользоваться указанием к задаче 388, а; б) через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную диагонали. 390. 68°, 112°, 112°. Указание. Воспользоваться задачей 388, а. 391. Указание. Приложить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, меньшее основание одной плитки лежало на одной прямой с большим основанием другой плитки. 392. а) 6 см; б) 5см. 394. Три. 395. Указание. Воспользоваться задачей 284. 401. а) 198,1см или 122,6 см; б) 23,4 дм или 19,8 дм. 403. 18 см. 404. Указание. Пусть ВМ — медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АС. Рассмотреть четырёхугольник ABCD, где D — точка, симметричная точке В относительно точки М. 405. а) 60° и 120°; б) 30° и 60°. 406. 42 см. 407. 22°30' и 67°30'. 410. а) Нет; б) нет; в) да. 412. 24 см. 417. а) Две; б) бесконечное множество: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; в) одну. 418. А, Е, О. 422. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 423. О и X. 425. Пересекает сторону CD; 9 см и 5 см. 426. 3 см, 4 см, 3 см. 428. Указание. Воспользоваться задачей 400. 430. Указание. Воспользоваться теоремой о сумме углов выпуклого четырёхугольника и задачей 429. 431. Указание. Через точку М провести прямую, параллельную ВК, и воспользоваться задачей 385. 432. Указание. Воспользоваться задачей 385. 433. Указание. Сначала доказать, что ABKD = ABMD. 435. Указание. Воспользоваться задачей 384. 436. 36,8 см. Указание. Использовать диагональ BD. 437. Указание. Сначала доказать, что ААВН = ААМН. 438. 8см. Указание. Воспользоваться задачей 389, а. 439. Указание. Через середину меньшего основания провести прямые, параллельные боковым сторонам, и воспользоваться задачей 404. 440. Указание. Пусть EF — отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из вершины А треугольника 349 Ответы и указания ABC. Рассмотреть точку D, симметричную точке А относительно середины стороны ВС, и доказать, что AABD = AEAF. 441. Указание. Воспользоваться задачей 420. 443. Бесконечное множество. 444. Указание. Пусть а и Ь — взаимно перпендикулярные оси симметрии фигуры и О — точка их пересечения. Сначала доказать, что если точки М и симметричны относительно прямой о, а М, и Мг симметричны относительно прямой Ь, то М и Mj симметричны относительно точки О. Глава VI 447. Указание. Пусть О — точка пересечения отрезков AM и ВС. Сначала доказать равенство треугольников АВО и МСО. 448. Указание. Провести перпендикуляр EF к прямой ВС и сначала доказать равенство треугольников АВМ и EFM, DCN и EFN. 449. а) 1,44 см^; б) ^^дм^; 16 в) 18 м^. 450. а) 4 см; б) 1,5 дм; в) 2>/3 м. 451. а) 2400 мм^; б) 0,24 дм^. 452. а) 27,2 см^; б) 6V2 см^; в) 21,4 см; г) 2,7 см. 453. а) Увеличится в два раза; б) увеличится в четыре раза; в) не изменится. 454. а) 25 см и 10 см; б) каждая сторона равна 3 м. 455. 2200. 456. 360. 457. 12 м. 458. Площадь участка квадратной формы больше на 900 м^. 459. а) 180 см^; б) 4 см; в) 18 см; г) 9.460. 156 см^. 461. 84 см^. 462. IScM^. 463. 56,7 см^. 464. а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см и 9 см. 465. 12 см^. 466. 115,52 см^. 467. Площадь квадрата больше. 468. а) 38,5 см^; б) б-Уз см^; в) 5,4 см; г) 4V2 см. 469. 8 см. 470. 5,625 см. 471. а) 22 см^; б) 1,8 дм^. 472. 14 см и 24 см. 473. Указание. Воспользоваться теоремой п. 38. 474. Площади треугольников равны. 475. Указание. Сначала разделить сторону ВС на три равные части. 476. а) 224 см^; б) 4,6 дм^. Указание. Учесть, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 477. 6 см и 9 см. 479. а) 2 см^; б) 2,4см. Указание. Воспользоваться второй теоремой п. 53. 480. а) 133 см2; 5) 24 см^; в) 72 см^. 481. 54 см^. 482. 4,76 см^. 483. а) 10; б) 7бТ; в) г) 16. 484. а) 5; б) 4V2; в) 4>/3; г) 2; д) 2. 485. 7 2 486. а) 12; б) 2; в) 8.487. 15 см. 488. а) 3>/3см;б) см. 489. а) ^^см^; 3 4 б) 0,36-Уз см2; з) 2-УЗдм2. 490. а) 10 см и 48 см2; 5) 6-Уз см и 27'Уз см2; в) 7у[2 см и 49 см2. 4gj 3) 4—; б) 9,6. 492. 8 см, 9,6 см, 9,6 см. 493. 13 см 13 и 120 см2. 494 96 см2 ^ 16 см. 495. а) 180 см2; б) 48>/3 см2; 3) 135 см2. 496. ^/7. 497. 5 см. 498. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да. 499. а) 6,72 см; б) 7-i-см. 501. а) 270 000 м2; б) 0,27 км2. 592. 46-см2. 17 3 503. 20 см, 504. 900 см^. 505. Указание. Воспользоваться тем, что перпендикуляр меньше наклонной. 506. На сторонах ВС и DC квадрата ABCD 2 2 нужно взять точки М 1л N так, чтобы ВМ — —ВС, DN = —DC, и провести 3 3 350 Ответы и указания прямые AM и AN. 507. Нет. Указание. Сравнить, например, площади треугольников со сторонами 13, 13, 24 и 12, 12, 12. 508. Указание. Соединить точку на основании с вершиной, противолежащей основанию, и воспользоваться тем, что сумма площадей двух получившихся треугольников равна площади данного треугольника. 509. Указание. Задача решается аналогично задаче 508. 510. Указание. Доказать, что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма AEDF. 511. а) и б) Площади треугольников равны, в) Указание. Воспользо- 513. 60 м, 14,4 м. ваться задачей б) и второй теоремой п. 53. 512. 514. 10|усм. 515. а) ЮОл/З см^; б) 18 см^. 516. 320 см^. 517. 84 см^. Указание. Доказать, что ААВС и ДАС£> — прямоугольные треуголь- ники. 518. а) 243 см2; 523. (72-1)0^ 524. 30 см^. б) 529 см2. 519, 30 7 525. см. 526. 520. 472 СМ‘‘ 522. 48 см2. 527. 48 см2. 528. 30см2. 529. 80см2. 530. 64Тз см2. 531. 19Д4 см2. 532. Указание. Воспользоваться теоремой Пифагора. Глава VII 533. —; нет. 534. а) Да; б) да; в) нет. 536. а) 15 см; б) Ю^. 537. BD = 4 3 = 8 см, DC = 12 см. 538. АВ = 18 см, АС = 6 см. 539. NE = 3,5 см, ЕК = 2,5 см. 540. CD = 14 см, D£ = 21cM. 541. Да. 542. 8,4 см, 10,5 см, 14,7 см. 544. 4,5 м. 545. 175 см2 jj 252 см2. 545 87,5 км2. 543 2,5. 549. 6 см, 8 см, 12 см. 550. л: = 9, у = 21. 551. а) ЕЕ =5 см, ЕС = 3,5 см; б) DD = 5yCM, DC = 2—см. 552. а) 10 см; б) = = —: в) 12 см. 553. а) Не всегда; 7 ^/0 Ь б) да; в) да. 554. 6 см и 6,5 см. 555. а) 5 см, 5 см, 7,5 см, 7,5 см; б) все четыре стороны равны - . 557. а) 17,5 см; б) BD = 5 см, DE = 6 см; а + Ь в) 8 см. 558. Указание. Если прямые а и 5 не параллельны, то через точку А провести прямую, параллельную прямой Ь. 559. Да. 560. а) Да; б) да. 562. . Указание. Воспользоваться задачей 543. 563. а) a + h 2 б) —. Указание. Через точку D провести прямую, параллельную ВК. 4 564. 10см. 565. 5см. 566. 42см. 567. Указание. Провести диагональ данного четырёхугольника. 568. Указание. Воспользоваться задачей 567. 569. Указание. Сначала доказать, что середина боковой стороны трапеции лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей. 570. 6 см и 12 см. 571. 3S. 572. а) Л = 20, а = 4741, 6 = 5741; б) Л = 48, а = 80, 6 = 60; в) а = 12ТЗ, с = 24, а^=18; г) 6 = 8ТЗ, с=16, 6<,= 12; 357 Ответы и указания д) h = 24b, Ь = Зу/Е, а, = 4, Ь, = 5. 573. а =—, Ь=—. 574. Указание. с с а) Воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника. б) Воспользоваться задачей 573. 575. 32 мм, 18 мм. 576. 61 см. 577. 1—см, 11—см. 579. 3,15 м. 580. 6,936 м. 581. 6,12 м. 582. 48 м. 13 13 583. 72,25м. 586. Указание. Сначала построить треугольник, подобный искомому. 587. Указание. См. указание к задаче 586. 588. Указание. См. указание к задаче 586. 589. Указание. См. указание к задаче 586. 590. Указание. См. указание к задаче 586. 593. а) и -УЗ; б) и 2 3 в) I и >/3; г) и 594. а) 90°-р, б) ==8,39 см, 40°, 2 2 4 15 tgp sinp = 13,05 см. 595. а) btga, 90°-а,—-—; б) ~ 11 см, 48°, ~ 16 см. 596. 90°-а. cos а с sin а, с cos а; 55°, ~ 14 см, ~20см. 597. Ja^+ , tga=—, tgp = —; ~19, Ь а ~38°39', ~51°21'. 598. а) 5^ sin а cos а; б) -^a^tga. 599. 8tgacM*. 600. =74м. 601. 60°, 120°, 60° и 120°. 602. 60° и 30°. 603. =72см2. 7 604. AijBi = 4,5cm, BiCi = 6,75cM. 606. —. 607. 18см, 12см. 608. Указа- 8 ние. Воспользоваться задачей 535. 609. Указание. Воспользоваться задачей 535. 610. 16,8см, 14см, 7— см. 612. х = . 613. Указание. 9 а + Ь Сначала доказать, что: а) ^АВМ ^ AAiBjMi; б) ААВН <х> АА^В^Ну. 614. DC = 2— см, DB = 2>/Т¥см, СВ = —-УбГсм. Указание. Сначала дока- зать, что AADC сч ABAD. 615. 2аЬ . 619. Указание. Пусть точка В а + Ь лежит между С и П. К треугольникам ABD и ACD дважды применить следствие 2 из первой теоремы п. 53. 620. Указание. Воспользоваться задачей 535. 621. ^sinot. 622. 60 см^. 623. ZC= 150°, ZD = 30°. А 625. 18см^. 626. Указание. Воспользоваться задачей 535. 630. Указание. Воспользоваться задачей 1, п. 64. Глава VIII 633. о А и АС. 635. 30°. 636. 120°. 637. Указание. Сначала доказать, ZADC = 30°. 638. —см. 639. 12-Д см. 640. 60°. 641. 60°. 642. зУз см; ЧТО зУз см; 30°, 30°. 643. 5см. 647. а) Да; б) нет; в) да. 648. а) Указание. Сначала построить прямую, проходящую через центр окружности и пер- Ответы и указания 352 пендикулярную к данной прямой. 650. а) 16; б) 16\/2; в) 32. 651. 112° и 248°. 652. 15у/3 см. 654. а) 64°; б) 175°; в) 34°; г) 105°. 655. 60° и 30° или 140° и 110°. 656. 101° или 36°. 657. 50°. 658. 20°20', 34°50'. 660. 36°. 661. 44°. 662. 62°. 664. Указание. Воспользоваться задачей 663. 666. а) 4; б) 12; в) 0,25. 667. 8>/2 см. 670. Указание. Сначала доказать, что AABPc\^AAQB. 671. а) 6см; б) 7,5см. 672. Указание. Воспользоваться задачей 670. 674. Указание. Сначала доказать, что треугольник АОВ равнобедренный. 676. а) 10 см; б) 7-У2 дм. 678. а) 46° и 46°; б) 21° и 21°. 679. а) AD = 3,5 см, CD =5 см; б) АС = 14,6 см. 681. 9 см. 683. Указание. Воспользоваться методом доказательства от противного. 687. Указание. Воспользоваться теоремой п. 75. 688. Указание. Учесть, что искомая точка лежит на биссектрисе данного угла. 689. 3^ см. 690. 50 см. 691. 20 см. 692. АР =1,5 см, РВ = 8,5см, BQ = 8,5cm, QC = 3,5cM, СЛ= 3,5 см, ВА = 1,5 см. 693. а) 60см; б) 40см. 694. т-с. 695. 30 см. 698. 60 см2. 599 1^2 см. 702. а) ZA = 67°, ZB = 23°, ZC = 90°; б) ZA = 55°, ZB = 35°, ZC = 90°. 703. ZA = 51°, ZB = ZC = 64°30' или ZA = 129°, ZB = ZC = 25°30'. 704. 6) d, dsina, dcosa. 705. a) 5 см; 6) 18CM. Указание. Воспользоваться задачей 704. 706. 10\/3 см. 707. 16см. 709. Указание. Воспользоваться свойством углов вписанного четырёхугольника. 710. Указание. Воспользоваться задачей 659. 712. Указание. Воспользоваться задачей 664. 713. Указание. Учесть, что ВМ = МХ и CN = NX. 714. Указание. Пусть К — точка пересечения общей касательной, проходящей через точку М, и прямой АВ. Сначала 2S ^ 3S 2S аЬ Зг’ доказать, что КА = КМ = КВ. 720. Нет. 722. 725. 5г Зг 5г Зг а + Ь 726. Указание. Использовать серединный перпендикуляр к той стороне, к которой проведена медиана. 728. Указание. Воспользоваться свойством углов вписанного четырёхугольника. 730. Указание. Воспользоваться задачей 729. 731. Указание. Воспользоваться задачей 729. 732. Указание. Сначала доказать, что около четырёхугольника МНВС можно описать окружность. 733. 5см. 734. Указание. Воспользоваться задачами 709 и 721. 735. sfab . 736. Указание. Использовать середин- ный перпендикуляр к отрезку АВ. 737. Указание. Воспользоваться задачей 281. Глава IX 742. В случае б). 744. Скорость, сила. 745. | а | = 3 см, | ВС | = 4 см, |Г>С| = Зсм, |МС| = л/18,25 см, |МА|=1,5см, |СВ| = 4см, |АС| = 5см. 746. |ВВ|=13см, I CD I = 5>/2 см, 1 АС 1 = 74 см. 748. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 749. а) Нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да. 751. а) Ромб; б) трапеция. 752. а) Да; б) да; в) нет; г) нет; д) да. 753. Да. 760. Указание. Воспользоваться неравенством треугольника. 762. а) а; б) aj3; в) а43; 12—Атанасян, 7—9 i 353 Ответы и указания г) а; д) а. 763. а) -2 и 10; б) 14 и 10; в) 14 и 10; г) -2 и 10. 764. а) АК\ б) AM. 766. XY = -a + (-b) + c + d. 767. в) -Ъ. 768. ВМ = -а, NC = b, MN = Ъ - а, BN = (Ь - а) — а. 769. ВС^ = х, ВВ^=х-у, ВА = -у, ВС = х - у + х. 770. а) АС = а + Ь; б) АС = -а-Ь; в) АС = а-Ь. 771. DC + CB = a-b, ВО + ОС = ft, ВО - ОС = -а, В А - DA =-а + Ь. 773. Равенство \ х-у\ = \х\ + \у\ справедливо, если х\[у или хотя бы один из векторов х w. у нулевой. 774. 60°. 781. а) 4га; б) |т + |га; в) -|т-|га. 782. ЁС = а-^Ь, AG = = а--|ь. 783. АМ = ^а + Ь, MD = ^a-b. 784. а) АС = х + у, АО = ^{х + у), СО = ~{х + у), DO = ^{y-x), AD + BC = 2x, АО + СО = -(х-у), СО + о2 = 2 2 2 = -х-у,&) АМ = —х,МС =—х + у,ВМ = —х-у,ОМ = -—х-—у. 786. AA,= 3 3 3 6 2 = ^(a + ft), BBi=^a-b, CCi=-a + -^b. 787. -^a + -jfc. 790. Указание. Воспользоваться задачей 785. 793. 10 см. 794. 6,8 см и 10,2 см. 795. 30 см. 796. 16см. 798. 60°, 60°, 120°, 120°. 799. 7см. 801. Указание. Если векторы X и у не коллинеарны, то воспользоваться правилом треугольника -► 2 - сложения векторов, и если они коллинеарны — задачей 800. 802. -а + —Ь. О 803. ^ = --а + -Ь, МР = -а + Ъ. 804. CK = Z, KD = b-a, BC = -b--a. 3^ 5 5 22 809. —а. 810. Указание. Воспользоваться теоремой п. 74. Задачи повышенной трудности 811. Указание. Продолжив через одну стороны данного шестиугольника, получить равносторонний треугольник. 812. Указание. Сначала доказать, что а^ + 02 + аз = йз + 04 + а^ = а^ + а^ + Oi- Затем построить равносторонний треугольник, сторона которого равна О1 + О2 + а^, и воспользоваться задачей 811. 814. Указание. Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник. Учесть, что вершина С лежит внутри угла BAD, поэтому луч АС проходит внутри этого угла и, следовательно, пересекает отрезок BD. Аналогично рассмотреть луч BD и угол АВС. 815. Указание. Если данный четырёхугольник ABCD выпуклый, то воспользоваться задачей 814. Если ABCD — невыпуклый четырёхугольник и, например, прямая АВ пересекает сторону CD в точке М, то рассмотреть два случая: А — точка отрезка МВ и В — точка отрезка AM. 816. Указание. Пусть Р — точка пересечения прямых DE и АВ, DO || АС и О € АВ. Сначала доказать, что АРЕ, AOD и POD — равнобедренные треугольники. 817. Указание. Сначала Ь+с Ь+с-о доказать неравенства ------- и >-----------, где о, ft, с — стороны 354 Ответы и указания треугольника, — медиана, проведённая к стороне а. 818. Указание. Сначала доказать, что диагонали данного четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. 819. Прямая, параллельная данной прямой. 820. Указание. Воспользоваться задачами 388, а и 389, а. 821. Указание. Воспользоваться задачей 428. 822. Указание. Пусть Oj, О2, О3, О4 — точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах АВ, ВС, CD и DA данного параллелограмма ABCD. Сначала доказать равенство треугольников АО^О^, ВО^О^, COjOg, DO3O4. 823. Указание. На луче АВ отложить отрезок AN, равный отрезку AM, провести отрезок MN и провести высоту NS треугольника AMN. Затем доказать, что ^ANS = AM AD и ААКВ = ANMS. 824. 90°. Указание. Пусть П, — точка, симметричная точке D относительно точки Е. Сначала доказать, что AACDi — равнобедренный прямоугольный треугольник. 825. 30°. Указание. На луче AM отложить отрезок АК = АВ и, рассмотрев АВКС, доказать, что точка К совпадает с точкой М. 826. Указание. Сначала доказать, что АВКР = ААВС = ACQT. 827. Указание. Сначала построить равнобедренный треугольник, основание которого равно сумме оснований трапеции, а боковая сторона равна диагонали трапеции. 828. а) Указание. Сначала доказать, что ось симметрии пересекает одну из сторон треугольника. 829. Указание. Воспользоваться равенством треугольников АВС и ADC, АРМ и АТМ, MQC и MRC. Для доказательства обратного утверждения предположить, что точка М не лежит на АС, и доказать, что тогда площади параллелограммов не равны. 830. ^l'S'3 (S; + S2)(S2 + S3) S2(S|-S,S3) Указание. Воспользоваться следствием 2, п. 53. 831. {y[s[ Ука- зание. Воспользоваться второй теоремой п. 53. 832. — Пусть АВ пеции ABCD 833. Указание, боковая сторона, а М — середина другой боковой стороны тра- Сначала доказать, что 834. Указание. Сначала доказать, что • 835. Указание. Сначала доказать, что площадь параллелограмма, стороной которого является меньшее основание трапеции, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к этому основанию и к боковым сторонам трапеции. 836. Указание. Сначала доказать, что Scmk и Sbkm = Зрмк- 837. Указание. Сначала доказать, что и Здок = Зсок- 838. Ука- зание. В каждом из трёх получившихся четырёхугольников провести диагонали так, чтобы никакие две диагонали не имели общего конца, и доказать, что площадь каждого из двух средних треугольников равна полусумме площадей соответствующих крайних треугольников. 839. Указание. Сначала доказать, что i — S AI\lf + S KCB- 840. 2 a^ + ab + b^ Указание. Пусть АВ и AD — перпендикуляры, проведённые к прямым, содержащим стороны данного угла О, а С — точка пересечения прямых АВ и OD. Рассмотреть прямоугольные треугольники ADC и ОВС. 841. 12* 355 Ответы и указания Указание. Учесть, что треугольники ВКС и MCD имеют по равному углу, и воспользоваться второй теоремой п. 53. 842. Указание. Сначала (X доказать, что площади треугольников ВТС и ЕТС равны. 843. —. Указа- 2 н и е. Сначала доказать, что площади треугольников DCK и DCM равны, а затем доказать, что КМ || DC. 844. yja^ + с^ -Ь^. Указание. Через точку М провести прямые, параллельные сторонам прямоугольника, и рассмотреть образовавшиеся прямоугольные треугольники. 845. Указание. Пусть АВ = с, ВС = а, BD = h. Используя теорему Пифагора, доказать, что МВ = и КВ = +с^ -Л^. 846. Указание. Провести пер- пендикуляры ОМ и ON к сторонам АС и СВ и доказать, что ОМ = -^СВ, 1 ^ ON = —АС. Далее воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников 3 АОМ, BON и СОМ. 847. б) Указание. Сначала доказать, что DF=DE и AF = FE. Затем воспользоваться подобием треугольников AED и AFE. 848. Указание. Пусть АК — биссектриса треугольника АВС и, например, АС>АВ. Пользуясь задачей 535, сначала доказать, что точка М лежит между точками К и С. Затем воспользоваться задачей 556. 849. Указание. Воспользоваться утверждением: отрезок, соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный этому треугольнику. 850. Указание. Сначала доказать, что ЛМВС со AMFK и AM АС АМЕК, где М — точка пересечения прямых 42 СК и АВ. 851. Указание. Пусть АВС — данный треугольник, & D — точка пересечения диагоналей квадрата, построенного на гипотенузе ВС. На продолжении луча С А отметить точку Е так, чтобы ZCDE = ZADB. Сначала доказать, что AABD = AECD. 852. Указание. Пусть BD и СЕ — биссектрисы треугольника АВС. Сначала доказать, что ZC = 2ZB, ZB = 2ZA, а затем доказать, что AABCcoABDC и ААВСсоААСЕ. 853. Указание. Пусть Е и F — точки пересечения МР и MQ с ОВ и О А. Воспользоваться подобием треугольников OPR и OFQ, OQS и ОЕР для доказательства того, что треугольники OEF и ORS подобны. 854. Ук'аза-ние. Воспользоваться тем, что АН — медиана треугольника, подобного треугольнику BDH. 855. Указание, а) Рассматривая подобные треугольники, сначала доказать, что AD^ = AC-AE, DB^ = BC-BF и CD^ = AD ■ DB. б) Применить теорему Пифагора к треугольникам AED и DFB. в) Воспользоваться подобием треугольников AED и АСВ. 856. а) ZA = 75°, ZB=135°, ZC = 60°, ZD = 90°. б) Указание. Учесть, что треугольники АВР и DAB подобны. 857. Указание. Воспользоваться задачей 567. 858. Указание. Пусть MN — отрезок, соединяющий середины сторон AD и ВС данного четырёхугольника ABCD. Отметить точку Z)j, симметричную точке D относительно точки N, и рассмотреть ДАВВ,. 859. Указание. Воспользоваться задачей 858. 860. Указание. Воспользоваться задачей 858. 861. Указание. Воспользоваться теоремой о средней линии треугольника и задачами 404 и 820. 862. Указание. Продолжить перпендикуляры AM и АК до пересечения с прямой ВС в точках D и Е к . Ответы ООО и указания сначала доказать, что МК — средняя линия треугольника DAE. 863. Указание. Воспользоваться задачей 435. 864. Указание. Воспользоваться задачей 863. 865. Указание. Пусть точка N — середина АС. Доказать сначала, что треугольники МВС и MNC равны и BN — средняя линия треугольника АКС. Далее воспользоваться следствием 2, п. 53. 866. Указание. Через концы одной из медиан треугольника АВС провести прямые, параллельные двум другим медианам, и воспользоваться тем, что образовавшийся при этом треугольник равен треугольнику EFG. 867. 868. Указание. Воспользоваться подобием треугольников MND 5 и МАВ, MAD и МРВ. 869. Указание. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, X — искомая точка большего основания AD, а АВ — данная бо- ковая сторюна. Сначала доказать, что АХ XD = л, и воспользоваться зада- чей 584. 870. Решение. На произвольном луче с началом в точке А откладываем отрезок АС,, равный отрезку АС, и на луче С,А от точки С, — отрезок С,В,, равный отрезку СВ (сделайте рисунок). Убедитесь в том, что прямая, проходящая через точку С,, и параллельная прямой ВВ,, пересекает прямую АВ в искомой точке D. Задача не имеет решения, если С — середина отрезка АВ. 871. Указание. Сначала построить какой-нибудь равнобедренный треугольник по данному углу. 872. Указание. Пусть АВС — искомый треугольник, у которого даны стороны АВ, АС и биссектриса AD. На прямой AD отметить точку Е так, чтобы BE || АС. Воспользовавшись подобием треугольников ADC и EDB и задачей 535, построить сначала отрезок DE, а затем треугольник АВЕ по трём сторонам. 873. Указание. Сначала построить какой-нибудь треугольник, подобный искомому треугольнику АВС. 874. Указание. Пусть h^, h,, и — данные высоты. Воспользоваться тем, что стороны а, Ь и с искомого треугольника h * Н пропорциональны отрезкам и ——-. 875. Указание. Пусть К ABCD — искомая трапеция, у которой известны ZA, боковая сторона АВ и большее основание AD. Сначала построить AABD, а затем ABCD по углу В, стороне BD и отношению двух других сторон. 876. Указание. Сначала выразить диагонали искомого ромба через сторону данного квадрата и данные отрезки. 877. Указание. Использовать общую касательную к данным окружностям. 878. Указание. Сначала доказать, что AABCcoABAD. 879. Указание. Воспользоваться задачей 718. 880. Указание. Рассмотреть два случая: точка пересечения прямых лежит внутри круга и вне круга. В первом случае воспользоваться теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд. 881. Указание. Доказать, что эта величина равна диаметру данной окружности. 882. Указание. Из точек О, и Ог провести перпендикуляры 0,i/, и О2Н2 к прямой ВС и сравнить расстояние между параллельными прямыми О,Л, и О2Н2 с длиной отрезка 0,0г. 883. Пусть CD является диаметром, перпендикулярным к диаметру АВ данной окружности. Искомое множество точек состоит из двух окружностей, построенных на отрезках ОС и OD как на диаметрах. 884. 146° и 107°. Указание. Сначала доказать, что точка М лежит на Ответы 35/ и указания окружности с центром А радиуса АВ. 885. Указание. Сначала доказать, что проведённые прямые, которые образуют новый треугольник, являются биссектрисами внешних углов треугольника, и воспользоваться теоремой о биссектрисе угла (п. 74). 886. Указание. Для того чтобы доказать, что А' лежит на описанной окружности, сначала надо установить равенство ZA’CB = ZBAA’. 887. Указание. Пусть Е — точка пересечения луча BD с окружностью, описанной около треугольника АВС. Воспользоваться подобием треугольников АВЕ и BCD. 888. Указание. Сначала доказать, что ОЕ — серединный перпендикуляр к отрезку АС. 889. Указание. Пусть ХС>ХА и ХС>ХВ. Отложить на отрезке ХС отрезок XD, равный отрезку ХА, учесть, что ZAXC = &0°, и доказать равенство треугольников АХВ и ADC. 890. Указание. Пусть ABCD — данный четырёхугольник. Провести диаметр ВВ^ и сначала доказать, что АВ^ = CD. 891. Указание. Через точку пересечения указанных биссектрис провести прямую, параллельную АВ, до пересечения с прямыми AD и ВС в точках £ и F и доказать, что ЕЕ = DC. 892. Указание. Пусть ABCD — данная трапеция, описанная около окружности радиуса г, а AD = a, ВС = Ь — её основания. аЬ Сначала доказать, что г =----. 893. Указание. В четырёхугольнике а + Ъ ABCD на диагонали АС взять такую точку К, что ZABK = ZCBD, и далее использовать подобие треугольников АВК и DBC, ВСК и ABD. 894. Указание. Через центр М вписанной окружности провести диаметр PQ описанной окружности и сначала доказать, что РМ ■ MQ = 2Rr. 895. Указание. Доказать, что точки А,, Bj, Ci, Aj, В2, Cj, A3, B3, C3 лежат на н окружности с центром в середине отрезка ОН радиуса —, где R — радиус 2 окружности, описанной около треугольника АВС. 896. Указание. Пусть АВС — данный треугольник, а Н, К и М — основания перпендикуляров, проведённых из точки D описанной окружности к прямым АВ, АС и ВС. Допустим, что луч DK лежит внутри угла HDM. Сначала доказать, что ZAKH = ZADH = ZMDC = ZMKC. 897. Указание. Пусть О, и Оз — центры данных окружностей, а r^vi — их радиусы, причём Г) > rj. Построить две окружности с центрами и О2 радиусов соответственно Г] - Гз, г, и- Гз и воспользоваться решением задачи 673. 898. Указание. Сначала построить две окружности радиуса B3Q3 с центром М и радиуса О А с центром О, где А — середина какой-нибудь хорды данной окружности, равной отрезку PiQ\. Затем воспользоваться задачей 897. 899. Указание. Сначала доказать, что наименьшей будет хорда, перпендикулярная к диаметру, проходящему через данную точку. 900. а) Указание. Сначала построить какой-нибудь треугольник по данной стороне и противолежащему углу, затем описать около него окружность и воспользоваться следствием 1, п. 73. б) Указание. Пусть АВС — искомый треугольник, ZB — данный угол. На продолжении луча АС отложить отрезок AA^ = АВ, а на продолжении луча С А — отрезок СВ^ = ВС. Пользуясь задачей 900, а, сначала построить AAiBBi. 901. Указание. Пусть PQR — искомый треугольник, Р — вер-щина, из которой проведены высота, биссектриса и медиана треугольника, а О — центр описанной около треугольника окружности. Учесть, что ___ Ответы 35о и указания во LQR. 902. Четыре решения. Указание. Воспользоваться задачей 885. 904. Параллелограмм. 905. Параллелограмм. Указание. Воспользовать- ся задачей 1, п. 87. 906. Указание. Учесть, что длины векторов АВ 1^1 равны. 907. Указание. Пусть точки А, В vi С лежат на одной пря- АС |ЛС| мой. Сначала доказать, что в этом случае ,АВ = пАС, где п — некоторое число. В качестве k, I, т можно взять, например, числа k = n-l, 1=1, т = -п. При доказательстве обратного утверждения взять точку О, совпадающую с точкой А. 908. Указание. Пусть в четырёхугольнике ABCD точки Е и F — середины диагоналей АС и BD, а G — точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. Используя задачу 791, для произвольной точки О выразить векторы ОЕ, OF и OG через ОА, ОВ, ОС, OD и воспользоваться задачей 907. 909. Указание. Воспользоваться задачами 619 и 907. 910. Указание. Пусть А,, В^ и Ci — середины сто-рон ВС, СА и АВ треугольника АВС. Пользуясь тем, что GA=~2GAi, GB = -2GB^ и GC = -2GCj, доказать, что GH = -2GO. Глава X 911. а) -4; б) 20; в) -1; г) 5. 912. а) 2; б) в) г) 1; д) -1; е) 4 ж) 3; з) —; и) число к не существует. 913. а) Да; б) да. 914. Указа-3 н и е. Доказательство провести методом от противного и воспользоваться —► 4 4 леммой о коллинеарных векторах. 915. AM = —а + —Ь. 916. а) дс = -1, у = 3; 5 5 б) х = 4, у = -Ъ\ в) лг = 0, г/ = 3; г) дс = -1, г/ = -^. 918. а) а {2; 3}; б) 6 {-2; 3}, О с{2-,0}; в) d{-3;-4}, ^{2;-2}, ?{-4;-5}. 919. а) а{2;3}, Ь{-\-,-2), ?{8;0}, А d{l;-l}, е{0;-2}, /{-1;0}. 920. а) x = -Zi-¥\j\ б) y = -2i-3j; в) z = -i; 5 г) u = 3j; д) v = J. 921. а) х = 5, у = -2; б) х = -3, у = 1\ в) х = -4, у = 0; г) х = 0, у = 0. 922. а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {-1; 0). 923. {3; 2}; б) {6;0}; в) {-1;9}; г) {-7;-2}. 924. 2а {6; 4}, 3^{9;6}, -^{-3;-2}, -3^{-9;-6}. 925. {-2;-4}, {2; 0}, {0; 0}, {2; 3}, {-2; 3}, {0;-5}. 926. а) {21;-21}; б) (13; 24); в) {-21;-14}; г) {8;-10}. 927. Указание. Воспользоваться леммой о коллинеарных векторах. 928. а и с, Ь тл d. 929. а) А (5; 0), В (0; 3), О(0;0); б) А (а; 0), В(0;Ь), О(0;0). 930. а) О(0;0), А(6,5;0), С(6,5;3), В(0;3); б) О(0;0), А (а; 0), С (а; Ь), В(0;Ь). 931. М(3;-3), N{3;3), Q(-3;-3) или М(3;-3), iV(-3;-3), G(3;3). 932. А(-а;0), В (а; 0), С(0;Л)^933. (7;-3). 934. а) {-4; 0}; б) {0; 26}; в) {3;4}; г) {-4;-3}. 935. 1) АВ {1; 1}; 2) х = -3, у = -4-, 3) А (6; 1,5); Ответы 359 и указания 4) B(a + c\b + dy, 5) В(1;2). 936. 1) 2) A(-10;-ll); 3) S(6;-ll); 4) M(-l,5;3,5); 5) B(2a-c; 2b-dy, 6) M(3;6,5); 7) Af(2t + 6;0); 8) B(-l;-3). 937. C(10;-7), D(7,5;-5). 938. a) -ЛОб; 6) 5; в) 1(К/2; г) Л89; д) 11^2; е) 10.939. а) 2; б) 3; в) Лз. 940. а) 4; б) 8; в) 5; г) 5. 941. Л2 + 2Лт + 7Л. 942. ЛЗ. 943. АС = ^/a^+Л^ BC = yfb^Th^. 944. а) С(а + Ь;с); б) АС = = Vb^Tc2, СО = ^(а + bf + с^. 945. АС = yjib + d -af + , ОС = л](Ь + df + . 946. а) 2; б) 3 или -2,6. 947. а) 13; б) 6. 948. а) (0; -9); б) (0; 5). 949. а) (-2,5; 0); б) (8; 0). 950. а) МР = зЛ, NQ=5; б) МР = 4^/2, NQ = 2-J2. 951. Указание. Доказать, что отрезки АС и BD равны и их середины совпадают, а) 8; б) 17. 954. 100см, 100см. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 281. 955. 13 см. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы основание треугольника лежало на оси Ох, а высота — на оси Оу. 956. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы одно из оснований трапеции лежало на оси Ох, а его концы были симметричны относительно начала координат. 957. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 283, и доказать, что 6 = 0. 958. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы лучи АВ и AD были положительными полуосями. 960. а) А и С; б) В; в) В и D. 961. а) С; б) В; в) А и D. 963. а) (-4; -3), (-А;3);б) (4; 3), (^; 3). 964. а) (3; 0), (3; 10); б) (-2; 5), (8; 5). 965. 1) х^ + у^ = 9; 2) х^ + у^ = 2-, 3) х^ + у^=—. 966. а) х^ + (у-5У = 9; б) (х+1У + (у-2У = 4; 1 4 в) (х + ЗУ + (у + 7У = --, г) (л: - 4)2-f (г/4-3)2 =100. 967. х^ + у^=10. 4 968. л:2-!-(//-6)2 = 25. 969. а) (л:-2)2 +(г/-1)2 = 41; б) (л:-3)2 +(г/-1)2 = 5. 970. (x-5)2+j/2 = 25, (х + 3)2 +1/2 = 25; две окружности. 971. ^2 +(у-4)2 = 25. 972. б) х + у-7 = 0; в) Зх-2у + 2 = 0. 973. 7л:-у+ 3 = 0. 974. а) х-у = 0, у-1 = 0; б) Зх-5у + 5 = 0. 975. (-4; 0) и (0; 3). 976. (3;-2). 977. х = 2 и у = 5. 979. 7. 980. 5х + 2у-10 = 0, 5х-2у-10 = 0, 5х + 2у + 10 = 0, 5х-2у+10 = 0 или 2х + 5у-10 = 0, 2х-5у—10 = 0, 2х + 5у+10 = 0, 2х - 5у + 10 = 0. 982. а) Окружность радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса с центром D, лежащим на отрезке ВС, причём BD = ^ 1*2 -2ц2 ^ 983. Окружность с центром в точке О радиуса J--------, если k^>2a^, и точка О, если = 2а^, где О АВ середина отрезка АВ и а = ——. Если < 2а^, то точек, удовлетворяющих условию задачи, не существует. 985. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ', где В' и В — точки, симметричные относительно точки А. 986. Прямая ВС. Указание. Выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и D лежали на оси Ох и были симметричны относительно оси Оу. 987. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба. 988. а) = б) не существует; в) х = -2; г) х = 2. 989. а) {-8;-1}, •/б5; 360 Ответы и указания б) {14; 4}, 2л/53; в) (-21; 5}, >/466; г) {6;-18}, бТТО. 990. а) (9;-1}, {7;-3}, {1; 21}, {-4; 7}; б) 5, 10, 4^, >/б8. 991. Указание. Ввести вектор М,М2 {лгг-лс,; 0}, отложить от начала координат вектор ОА, равный М,М2, и воспользоваться тем, что абсцисса точки А равна ^2 —Х|. 993. Указание. Сначала доказать, что АВ = ВС. 995. (5; 9). 996. а) (-1; 9), (0; 2), (-4; 6); б) 5л/2; в) 3>/2, 4>/2, 5>/2. 998. 40. 999. (0; 8) или (-2; 2) или (-8; 0); три решения. 1000. Окружности: а>, б), г), д). 1001. (х-З)^-»- + {у-ЪУ=^2Ъ. 1002. а) + = б) (л:-3)2-1-(у+ 2)2 = 25. 1003. а) 5х —Зу+16 = 0, лг + 21/ —6 = 0, 6jc —у+10 = 0; б) Зд: + 5у —4 = 0, 2х-у-1 = 0, x + 6j/-23 = 0; в) 3x + 5i/-17 = 0, 2х-у + 6 = 0, х + 6«/-10 = 0. 1006. 19,5 см, 7^ см, 2/2529 12,5 см, ТтОЭ см, — ^21 2 2 1008. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 283. 1009. Указание. На продолжении отрезка АЛ, отложить отрезок А,А2, равный АА,. Далее воспользоваться задачей 953. 1010. а) Окружность радиуса 2АВ с центром в точке В', симметричной 4 точке В относительно точки А; б) окружность радиуса — АВ с центром в 3 2 точке С, лежащей на отрезке АВ, причём АС = —АВ. 3 Глава XI 1013. а) —; б) —; в) 0. 1014. а) ±~; б) ±2^ 2 2 2 ' 4 б) -2^; в) 1; г) 1016 в) ±1. 1015. а) 0; 7з 1 /^. 72 72.1 7з 7з > л’ vOj , л > л» л » 2 ' 2 2 2 2 2 3 1018. а) х = у = ^^; б) х = 0, у=1,5; в) х = -^~, «/ = 2,5; г) х = -1, у = 0; д) х = 7з, у=1. 1019. а) 45°; б) 90°; в) 150°; г) 135°. 1020. а) 12Тб см2; б) 27 см2; gj а; 3g (,jj2 • sinP 1022. 16 см. 1023. 25 см2. Ю24. а) А.-Л, б) 2sina ’ 1025. а) ZC = 80°, а «12,3, б «9,1; б) ZB = 75°, 2 sin а • sin (а + р) с «4.5, а «2,3; в) ZB « 37,989° « 37°59', ZC «62°01', с «14; г) ZA = 65°, 6 «19,2, с«25,5; д) ZB« 37,317°«37°19', ZC«82°41', с«11; е) с«5,7, ZA = ZB = 63°; ж) а «53,84, ZB« 36,296° «36°18', ZC «56°42'; з) ZA = = 42,833° «42°50', ZB « 60,941° « 60°57', ZC «76°13'; и) ZA« 54,883° « «54°52', ZB« 84,270° «84°16', ZC «40°52'. 1026. АВ«15см, 8^дс~87см2. 1027. АС = 6 м, АВ«Зм, ВС«4м. 1028. «39°38', «117°52' или «140°22', а sin а asinp а sin а sin р 17°08'. 1029. . ( pv . /о , aV sin(a + p)cosY 361 a - p , где Y = —если Ответы и указания а>р, и Y = Р если р>а. 1030. yja^ + Ь^ + 2aftcosa, А cos Y = -6^ ■, где Y — угол между диагоналями паралле- ■у/(а^ + - 4а^Ь^ cos^ а лограмма. 1031. а) Остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. 1032. «74,2 кг. 1034. «28см. 1035. 60° или «47,112°«47°07'. 1036. «52 м. 1037. «14,5 м. 1038. 50 м. 1039. а) 45°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 0°. 1040. а) 60°; б) 120°; в) 120°; г) 90°; д) 0°; е) 180°. 1041. а) 3^/2; б) 0; в) -3^2. 1042. а) -а^; б) --а^; в) 0; г) а^. 1043. 13. 2 2 1044. а) -2,5; б) 0; в) 5. 1047. а) л: =7,5; б) л: =-; в) х = 0. 1048. cosA = -, 3 5 cos В = о, cosC = -i. 1049. ZA = 60°, ZB«21°47', ZC «98°13'. 1050. Vl29 и 7. 5 1051. 3. 1052. 13. 1053. -5. 1057. В£ = |, AD = -^2 + 4b, АЕ = ^-Д, 2 2 2 ВС = -|(2-ТЗ), BC = b^j2--j3. 1058. а) «6,254 м^; б) «6 449 073 м^. 1060. а) ZC= 105°, АС «6 см, ВС «4 см; б) ZA « 75°, ВС «6 см, АС «4 см; в) ZC «42°55', ZB «88°35', АС «4 см; г) ZA « 26°22', ZC «90°50', АВ«11,7см. 1061. а) ВС«12см, ZC«17°45', ZB«27°15'; б) АС = V5 дм, ZA «71°34', ZC «63°26'; в) АВ« 6,4 дм, ZA«2°, ZB «28°. 1062. ZB« а «117°10', ZB«38°59', ZB«23°51'. 1063. 2bccos -b + c -. Указание. Восполь- зоваться формулой площади треугольника (п. 100). 1064. + Ь^ - 2аЬ cosa. 1065. 1066. 5. 1067. 15 и «24,4. 1068. л: = 40. 1069. 36°51'. 34 1070. 72-Уз см^; 12см. 1071. у[^. Указание. Воспользоваться зада-a^sin^3asin 4а чей 1033. 1072. sin^ а 1075. Указание, а) Воспользоваться задачами 535 и 1074; б) воспользоваться задачей 1074. 1077. Указание, а) Воспользоваться задачей 1033; б) пусть A,B,Ci и А2В2С2 — данные подобные треугольники, а Oj и О2 — центры вписанных окружностей. Сначала доказать, что АА^О^Ву w АА2О2В2. Глава XII 1078. а) Да; б) нет. 1079. б), в). 1081. а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°. 1082. 360°. 1083. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12. 1084. а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5. 1085. Указание. Воспользоваться тем, что серединный перпендикуляр к любой стороне правильного многоугольника проходит через центр описанной окружности. 1086. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит 362 Ответы и указания через центр вписанной окружности. 1087. 1) R=3-J2, г=3, Р = 24, S = 36; 2) R = 2y[2, а^ = 4, Р=16, S=16; 3) r = 2-j2, a^=4-j2, Р = 16^2, S = 32; 4) Д = 3,572, г=3,5, а^ = 7, S = 49; 5) R = 2-j2, r=2, 04 = 4, Р=16. 1088. 1) r= 1,5, Оз = ЗТЗ, Р = ЭТЗ, S = 2) R = |7ю7з, г = ^7ю7з, _____ 4 3 3 “з = 2P = 6^i^; 3) Л = 4, ,Оз=47з, Р = 127з, 8 = 1273; 4) R = ^, г = ^, Р=15, S = 5) R = ^\ r = ^, а, = 2, S = 7з. ^ О 4 о о 1089. 2Тб СМ. 1090. 27з см. 1091. 6 см. 1092. 3273 см. 1094. а) 36 см^; б) 1б73 см2; в) 162ТЗ см2; р) =248,52 см2. ю95. см2. Ю96. S3: S4: Se = 8 = 7з : 4 : б7з. 1097. З : 4. 1098. а) 2ТЗг, б73г, зТЗг^; б) ТЗД, ЗТЗР, 1099. 72Д^ 1100. в), г) Указание. Воспользоваться задачей 2, п. 113. 1101. 1) 25,12; 2) 18,84; 3) 13,06; 4) 9; 5) 4,40; 6) 1; 7) 637,42; 8) 14,65; 9) 0,45. 1102. а) Увеличится в три раза; б) уменьшится в два раза; в) увеличится в k раз; г) уменьшится в k раз. 1103. а) Увеличится в k раз; б) уменьшится в k раз. 1104. а) ; б) Ку]а^ + Ь^; О в) 2я&2 yj4b^ - ц2 sin — 2 а ;г) ----;д) 8я. 1105. а) ш;б) яс(Т2-1);в) то (sin а-t-cos а -1); г) 2яЛtg—ctga. 1106. 63 см. 1107. ~12 739 км. 1108. ~42 013 км. 2 о 1109. а) я см; б) —я см; в) 2я см; г) Зя см. 1110. 30. 1111. «59,2 см. 1112. «36,2 см. 1113. «4°35'. 1114. 1) 12,56; 2) 78,5; 3) 1,69; 4) 0,26; 5) 7; 6) 9258,26; 7) 9,42; 8) 1,41. 1115. а) Увеличится в ft2 раз; па I.!. то ^ п(а^ + Ь^) б) уменьшится в раз. 1116. а) -----------;----; б) , 4 4sin2a ; в) я(д2-ь 4h^) 64Р 1117. а) па“ 12 б) яа^вш2а (cos а + sin а + 1)^ ’ в) яa2sin^a 4(l + 3in|] . яа“ ^ 2 сс г)— 1U8. ^34,2м^. 1119. D=13,06m, S = 133,84m^. 1120. 4ясм*. 1121. 0.75мм. 1122. 5,6ядм2и 17,6 дм®. 1123. г2(я-2). 1124. Площадь наименьшего круга равна я, а площади колец равны Зя, 5я, 7я. 1126. «262 см®. 4-я 1127. . 1128. я 4 1129. а) 20; б) 9; в) 5; г) 6. ИЗО. З7б дм. л З'ч/^ 1131. 6,72 см. 1132. а) б) 1135. 6 см; 54Тз см®. 1137. 330 км. 8 4 1138. а)«15,1 см; б) яasina. 1139. «4,4 км. 1141. —(20-1-972) см. А ^ _ Ответы ЗоЗ и указания 65 1142. —к см. 1144. Указание. Пусть ABCDEFGH — искомый восьми-4 угольник, а О —центр описанной окружности. Сначала построить равнобедренный треугольник АВО. 1145. Указание. Использовать теорему Пифагора. 1146. Указание. Сначала вписать в окружность правильный треугольник и правильный шестиугольник. Глава XIII 1151. Указание. Доказать методом от противного. 1154. Указание. Воспользоваться теоремой п. 119. 1155. Указание. Доказательство прю-вести методом от претивного (см. доказательство теоремы п. 119). 1157. Указание. Воспользоваться задачами 1156 и 1051. 1158. Указание. Сначала пострюить образы каких-нибудь двух точек прямой Ь. 1159. F — четырёхугольник. 1160. Указание. Задача решается аналогично задаче 1158. 1161. F — треугольник. 1172. Указание. Пусть М — произвольная точка прямой АВ, а М' — её образ. Используя равенства AM = АМ\ ВМ = ВМ', доказать, что точки М и М' совпадают. 1173. Указание. Воспользоваться задачей 1155. 1174. а) Указание. Воспользоваться задачей 1157. 1175. Указание. Использовать симметрию относительно прямой а. 1176. Указание. Использовать точки X), и D2, симметричные точке D относительно прямых АВ и ВС. 1178. Указание. Использовать параллельный перенос на вектор AD. 1179. Указание. Учесть, что высоты треугольника, на который отображается треугольник ABS при параллельном переносе на вектор ВС, пересекаются в одной точке. 1180. Указание. Использовать поворот вокруг точки О на угол в 120°. 1181. Указание. Сначала пострюить прямую, симметричную одной из данных прямых относительно точки О. 1182. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция с основаниями AD и ВС. Сначала пострюить треугольник ACDi, где Z), — точка, в которую отображается точка D при параллельном переносе на вектор ВС. Глава XIV 1184. а) 6, 12, 8; б) 4, 6, 4; в) 8, 12, 6. 1187. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет. 1189. а) Параллелограмм АВС,£),; б) параллелограмм АСС,А,. 1190. Искомой точкой является точка пересечения прямых: а) MN и ВС; б) AM и А,В,. 1191. Указание. Сначала через середину ребра CD прюве-сти прямую, параллельную 1192. Указание, а) Сначала через точ- ку М провести прямую, параллельную NK, и далее рассмотреть отдельно случаи, когда эта прямая пересекается с ребром ВС и когда она пересекается с ребром СС,; б) сначала через точку N провести прямую а, параллельную МК, и далее рассмотреть отдельно три случая: прямая а пересекает ребрю АА,; прямая а пересекает ребрю ОП,; прямая а совпадает с AD. 1193. а) 7б; б) 17; в) 13. 1194. аТз. 1195. а) V=V, + V2; б) V=^V^+V2. О 1196. 12 см. 1197. 240>/2смЗ. 1199. СМ* 75л/3 J200. а) б) а=*; 4 ^ _ Ответы ООЦ и указания в) Зу/З а^; г) 2a^ctg22°30'. 1201. Нет. 1207. 7^ см, 7^ см, Тб5 см. Тб5см. 1208. ЗаК 1211. а) 6 м^; б) 4950 см\ 1212. lm^Jctg^j-1. 101.4 4 0.. 3 10 , „ , ЗТЗ ,, 2 , ЗТЗ , 272 1214. а) 24л см®; б) —— см; в) 2 см. 1215. а) ——; б) —; в) —; г) -; у/Зк 4л л 2л л д) 1216. л®м®. 1217. -2,58 м®. 1218. б) —. 1220. а) 2,25лсм®; 2к п а б) 9см; в) J-^. 1221. i 1222. ^лдм®. 1223. 5в„„ = 80лсм2, V пт 3 V л 7 = 144л см®. 1226. а) 64л см®, 256 256 л см®; б) ~3 см, =36л см®; в) 4 см. л см®. 1227. Объём Земли в 64 раза больше объёма Луны. 1228. Нет. О 1229. 432лсм® —1357см®. 1231. 4:1. 1232. Указание. Воспользоваться неравенством треугольника. 1233. Указание. Воспользоваться тем, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 1234. б) Указание. Сначала построить отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань AA^DiD. 1235. Параллелограмм BKDiL. 1236. 27122 дм. 1237. а) 43272 см®; б) б7б; в) 0,3275 см». 1238. i/n^sin(pcos^. 1239. 72 см®. 1241. (27^ + 22) м®. 1242. 16972 см®. 180° 1243. — ctg 24 ® 80° /ТТа Г~ —^ctg^--ctg' 180° 1244. -208 м. 1245. —61 кг. 1246. бТ2 см, 18 см. 1247. 1248. 375 см®. 1249. 216°. 1250. 9л см®, 8л 4 6 см. 1251. 2лт® sin ср. 1252. Н = —R, где Н — высота цилиндра, R — ради- ^ 32 ус шара. 1253. Уровень воды повысится на —см. 1254. 6375®лкм®~ 75 « 1,28 • 10® км®. 1255. т®: л®. Задачи повышенной трудности 1256. Указание. Использовать координаты середин диагоналей АС и BD. 1257. Указание. Воспользоваться тем, что отношение соответствую- щих координат векторов АС и СВ равно X. 1258. . i/i + Уг + Уз 1 \ 3 3 J Указание. Воспользоваться задачей 1257. 1259. £)(—;—]. Ука- Ul ii; зание. Воспользоваться задачами 535 и 1257. 1260. зТ5 см. Указание. Принять за оси координат прямые AM и ^ XjTra, + Xg/rag + Х3ТО3 . j/1^1 + + Уя^а Ш2+ Л1з т^+ Ш2 + /Из Ответы Зо5 и указания BN. 1261. -]■ 1262. а) М б) М (2; 0). у к а 3 а н и е. Воспользоваться тем, что если две точки лежат по разные стороны от оси абсцисс, то искомая точка является точкой пересечения отрезка с концами в этих точках и оси абсцисс. 1263. Указание. а) Пусть L — линия, заданная данным уравнением, а Mq (д^о? Уо) — некоторая её точка. Написать уравнение серединного перпендикуляра к отрезку MjMj, где Mi(xo-A;yo~B), M2(Xf, + А; уо + В), и убедиться в том, что оно совпадает с данным уравнением, б) Учесть, что уравнение любой окружности не содержит членов вида kxy, где k — число, кФО. 1264. (1; 0), (-0,6; 0,8), . 1265. а) Окружность, точка или пустое множество. 5 б) Прямая, вся плоскость или пустое множество. Указание. Вывести уравнение искомого множества точек. 1266. Окружность без одной точки. Указание. Вывести уравнение искомого множества точек, задав систему координат так, чтобы прямая а совпала с одной из осей координат, а точка А лежала на другой оси. 1267. Окружность радиуса kR, где R — радиус данной окружности. Указание. Ввести систему координат с началом О и вывести уравнение искомого множества. 1268. б) Указание. Воспользоваться теоремой, обратной теореме Пифагора. 1269. Указание. Положив MN = a, сначала найти площадь треугольника АМВ и стороны AM и ВМ. 1270. Указание. Доказать, что в любом выпуклом четырёхугольнике ABCD имеет место равенство Sqdc ' ^олв = -^овс • Sqad (О — точка пересечения диагоналей). 1271. Указание. Доказать утверждение сначала для выпуклого четырёхугольника. Для этого провести диагональ, соединяющую общий конец сторон а и d с общим концом сторон Ь и с, и найти площади получившихся треугольников. 1272. Указание. Воспользо- ваться тем, что S АВС ~ ^AAiB ‘^^AiC 1273. a^bc + d^bc +b^ad -ь c^ad ad + bc c^ab + d^ab + a^dc + b^dc , где a, b, c, d — стороны вписанного четырёх- aft + dc угольника. 1274. Указание. Пользуясь теоремой косинусов, доказать, что синус угла, заключённого между сторонами а и Ь, равен 2yjip - а)(р -Ь){р- с){р - d) —-------------------------, где р — полупериметр. 1275. Указание. aft -I- cd Доказать сначала, что прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис тогда и только тогда, когда вписанная окружность касается одной из сторон треугольника в точке, равноудалённой от середины этой стороны и основания высоты, I---- /2_ь2 проведённой к этой стороне. 1276. 72 sin а cos'* а. 1277. 2^Stg^. 1278. -. 2h 1279. Указание. Сначала найти и сравнить углы ВАС и АОВ. 1280. Указание. Воспользоваться задачей 1279. 1281. Указание. Пусть М — середина отрезка А^А^. Доказать, что треугольник АА^М равнобедренный, и, пользуясь этим, установить, что центр описанной около пятиугольника окружности совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ACM. 1282. Указание. Воспользоваться задачей 1280. 1283. Указание. 366 Ответы и указания Воспользоваться задачей 1282. 1284. Указание. Воспользоваться задачей 1283. 1285. Указание. Соединить точку М отрезками с вершинами многоугольника и представить площадь многоугольника в виде суммы площадей полученных треугольников. 1286. Указание. Воспользоваться задачей 895. 1291. Указание. Воспользоваться задачей 1155. 1292. Указание. Построить равные равнобедренные треугольники АВС и с прямыми углами А и А, и воспользоваться задачей 1156. 1294. Указание. Пусть ABCD и A^Bfi^Dy — данные трапеции с больщими основаниями АВ и AjBi. На лучах АВ и A,Si отложить отрезки AE = DC и AiE^=D^C^ и к треугольникам ВСЕ и BfiiEi применить утверждение задачи 1156. 1295. Указание. Пусть АВС и AiBjCi—данные треугольники, AB = AiB,, AC = AiC,, ZB-ZC = ZBj-ZCj. Рассмотреть две осевые симметрии относительно прямых, содержащих высоты АН и А^Н-^ данных треугольников. 1296. Указание. Использовать центральную симметрию относительно точки пересечения диагоналей одного из параллелограммов. 1297. Указание. Использовать осевую симметрию относительно данной прямой. 1298. Указание. Если точка М лежит на стороне ОВ, то сначала построить прямую, симметричную прямой АО относительно точки М. 1300. Указание. Пусть О — точка пересечения медиан искомого треугольника АВС, а Oj — точка, симметричная точке О относительно середины стороны АС. Сначала построить AAOOi. 1301. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция с основаниями АВ и CD. Использовать параллельный перенос на вектор АВ. 1302. Указание. Использовать параллельный перенос на вектор АВ. 1303. Указание. Использовать поворот вокруг точки А на угол 90°. 1304. Указание. Пользуясь теоремой о площади треугольника (п. 100) и теоремой косинусов, выразить квадрат площади треугольника АВС через квадраты его сторон, а затем воспользоваться теоремой Пифагора. 1306. Указание. Разрезать куб по некоторым рёбрам и развернуть его таким образом, чтобы получилась плоская фигура. 1307. Указание. Взять в качестве оси отверстия диагональ куба и сначала доказать, что проекцией куба на плоскость, перпендикулярную к этой оси, является правильный шестиугольник со стороной V6 а, где а — длина ребра куба. 1308. 12 4 iy. А,.. 4 12 1309. Указание. Доказать, что полученные две части являются тетраэдра- ми с общим основанием и равными высотами. 1310. 2 + tg**— . а Предметный указатель Абсцисса точки 229 Аксиома 57 — параллельных прямых 59 Аксиомы плгшиметрии 337 Апофема 312 Астролябия 19 Биссектриса треугольника 33 — угла 12 Боковая поверхность конуса 321 — — цилиндра 319 Боковая сторона равнобедренного треугольника 34 — — трапеции 103 Боковые грани пирамиды 312 — — призмы 304 Боковые рёбра пирамиды 312 — — призмы 304 В Вектор 190 — нулевой 190 —, противоположный данному 199 Векторы коллинеарные 191 — противоположно направленные 191 — сонаправленные 191 Вершина угла 8 — пирамиды 312 Вершины ломаной 97 — многогранника 303 — многоугольника 97 — треугольника 28 — четырёхугольника 99 — четырёхугольника, противоположные 99 Взаимное расположение двух окружностей 238 — — прямой и окружности 162 Внешний угол треугольника 70 — — выпуклого многоугольника 99 на Внешняя (внутренняя) область многоугольника 98 — — — угла 9 Вписанные углы, опирающиеся одну и ту же дугу 170 — — — — полуокружность 170 Вписанный треугольник 181 — угол 168 Выпуклый многоугольник 98 — четырёхугольник 99 Высота конуса 320 — параллелограмма 122 — пирамиды 312 — призмы 305 — трапеции 125 — треугольника 34 — цилиндра 319 Вычитание векторов 198 Геометрическое место точек 83 — тело 300 Гипотенуза прямоугольного треугольника 70 Гомотетия 151 Градус 18 Градусная мера дуги окружности 167 — — угла 18 Граница тела 301 ' Грань 303 д Движение 289 Деление отрезка в данном отношении 154 Дециметр 15 Диагональ многогранника 303 — многоугольника 98 Диаметр окружности 42 — сферы 322 Длина (модуль) вектора 190 — дуги окружности 279 — ломаной 97 _ _ _ Предметный ООо указатель Длина окружности 279 — отрезка 13 Доказательство теоремы 29 — методом от противного 61 Дуга, большая полуокружности 168 —, меньшая полуокружности 168 — окружности 42 Е Евклидова геометрия 58 Единица измерения отрезков 13 — — площадей 116 Задача о квадратуре круга 281 Задачи на построение 44 Законы сложения векторов 196 — умножения вектора на число 203 И Измерение высоты предмета 256 — отрезков 13 — расстояния до недоступной точки 256 — углов 18 Измерения прямоугольного параллелепипеда 308 Измерительные работы на местности 149 К Касательная к окружности 164 Катет прямоугольного треугольника 70 Квадрат 109 Километр 15 Концы отрезка 6 Координатные векторы 225 Координаты вектора 225 — середины отрезка 230 — точки 229 Коническая поверхность 321 Конус 301, 320 Косинус угла 249 Котангенс угла 249 Коэффициент подобия треугольников 138 Круг 43 Круговой сегмент 281 — сектор 281 Куб 300 Кубический метр 307 — миллиметр 307 — сантиметр 307 Л ' Лемма 222 — о коллинеарных векторах 222 Ломаная 97 — замкнутая 97 Луч 8 — делит угол на два угла 9 м Малка 55 Медиана треугольника 33 Метод координат 230 — подобия при решении задач на построение 148 Метр 15 Миллиметр 15 Минута 18 Многогранник 302 — выпуклый 303 — невыпуклый 303 Многоугольник 97 —, вписанный в окружность 181 — выпуклый 98 —, описанный около окружности 181 — правильный 270 Многоугольники равновеликие 119 — равносоставленные 119 н Наклонная 81 Наложение 291 Начало вектора 190 — луча 8 Неравенство треугольника 73 О Обратная теорема 60 Образующие конуса 321 — цилиндра 319 Предметный 369 указатель Объём конуса 321 — пирамиды 313 — призмы 311 — прямоугольного параллелепипеда 309, 311 — цилиндра 319 — шара 322 Окружность 42 — Аполлония 243 —, вписанная в многоугольник 178 —, описанная около многоугольника 181 Октаэдр 302 Описанный треугольник 179 Определение 42 Ордината точки 229 Осевая симметрия 110 Основание конуса 320 — параллелограмма 122 — перпендикуляра 32 — пирамиды 312 — равнобедренного треугольника 34 Основания призмы 304 — трапеции 103 — цилиндра 319 Основное тригонометрическое тождество 156, 250 Ось симметрии фигуры 110 Откладывание вектора от данной точки 192 Отношение отрезков 137 Отображение плоскости на себя 287 Отрезки параллельные 52 Отрезок 6 —, отложенный на луче от его начала 57 п Параллелограмм 100 Параллелепипед 301, 305 — прямой 305 — прямоугольный 305 Параллельные плоскости 303 — прямые в пространстве 303 Параллельный перенос 294 Периметр многоугольника 97 — треугольника 28 Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой 32 Перпендикулярные прямые 22 Пирамида 301, 312 — правильная 312 — п-угольная 312 Планиметрия 4 Площадь боковой поверхности конуса 321 — — — цилиндра 320 Площадь квадрата 119 — круга 280 — кругового сектора 281 — многоугольника 116 — —, основные свойства 118 — параллелограмма 123 — прямоугольника 121 — прямоугольного треугольника 124 — трапеции 125 — треугольника 123 Поверхность 300 Поворот 294 Подобие произвольных фигур 150 Подобные треугольники 138 Полуокружность 167 — единичная 248 Построение биссектрисы угла 45 — касательной к окружности 165, 172 — отрезка, равного данному 43 — параллельных прямых 55 '' — перпендикулярных прямых 46 — правильного многоугольника 274 — прямой, перпендикулярной к данной 46 — прямых углов на местности 23 — разности векторов 198 — середины отрезка 46 — точек, делящих отрезок в данном отношении 154 — точек, делящих отрезок на п равных частей 105 — треугольника по двум сторонам и углу между ними 84 ___ Предметный 3/0 указатель Построение треугольника по сторюне и прилежащим к ней углам 84 — — — трём сторонам 85 — угла, равного данному 44 Построения циркулем и линейкой 43 Правило многоугольника сложения векторов 198 — параллелограмма сложения неколлинеарных векторов 197 — треугольника сложения векторов 195 Практические приложения подобия треугольников 148 — способы построения отрезков параллельных прямых 55 Призма 303 — наклонная 305 — правильная 305 — прямая 305 — п-угольная 304 Признак касательной 165 — прямоугольника 108 Признаки параллелограмма 101, 102 — параллельности двух прямых 53, 54 — подобия треугольников 141, 142, 143 — равенства треугольников 29, 37, 38 — — прямоугольных треугольников 76, 77 Применение векторов к решению задач 204 — метода координат к решению задач 233 Принцип Кавальери 307 Провешивание прямой на местности 7 Произведение вектора на число 202 Пропорциональные отрезки 137 — — в прямоугольном треугольнике 146 Прямая 5 Прямоугольная система координат 224 Прямоугольник 108 Прямые не пересекаются 6 — параллельные 52 — пересекаются 6 Р Равные векторы 192 — отрезки 11 — углы 12 — фигуры 11 Радиус-вектор точки 229 Радиус окружности 42 — сферы 322 — цилиндра 319 Развёртка боковой поверхности конуса 321 — — — цилиндра 320 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 222 Разность векторов 198 Расстояние между двумя точками 231 — — параллельными прямыми 82 — от точки до прямой 81 Рёбра многогранника 303 Рейсмус 83 Рейсшина 55 Решение треугольников 254 Ромб 109 Рулетка 16 С Сантиметр 15 Свойства квадрата 109 — параллелограмма 100, 101 — параллельных прямых 61, 62 — прямоугольника 108 — прямоугольных треугольников 75, 76 — ромба 109 Свойство описанного четырёхугольника 180 — отрезков касательных, проведённых из одной точки 165 — углов вписанного четырёхугольника 182 — углов равнобедренного треугольника 34 Предметный 371 указатель Секунда 18 Секущая 53 — плоскость 301 Середина отрезка 11 Серединный перпендикуляр к отрезку 174 Сечение 301 Симметричные точки 110 — фигуры 110 Симметрия фигур 110 Синус угла 249 Скалярное произведение векторов 260 Следствие 59 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 155 — — — — — треугольника 71 Сравнение отрезков 11 — углов 12 Средняя линия трапеции 205 — — треугольника 145 Стереометрия 300 Стороны многоугольника 97 — треугольника 28 — угла 8 — четырёхугольника 99 — —, противоположные 99 Сумма двух векторов 195 — нескольких векторов 197 — углов выпуклого многоугольника 99 — — треугольника 69 Сфера 322 Тангенс угла 249 Теодолит 24 Теорема 29 — косинусов 253 — об отношении площадей подобных треугольников 139 — — — треугольников, имеющих по равному углу 124 — — окружности, вписанной в треугольник 179 — — —, описанной около треугольника 181 Теорема об углах равнобедренного треугольника 34 — о биссектрисе равнобедренного треугольника 35 — — — угла 173 — — вписанном угле 168 — — пересечении высот треугольника 176 — — перпендикуляре к прямой 32 — — произведении отрезков пересекающихся хорд 170 — — расстоянии между параллельными прямыми 81 — — свойстве касательной 164 — — серединном перпендикуляре к отрезку 174 — — соотношениях между сторонами и углами треугольника 71 — — средней линии трапеции 205 — — — — треугольника 145 — — сумме углов треугольника 69 —, обратная теореме о свойстве касательной 165 — Пифагора 128 —, обратная теореме Пифагора 129 — синусов 252 — Фалеса 105 Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей 61, 62 Тетраэдр 302, 312 ^ Точка 5 — касания 164 — пересечения биссектрис треугольника 174 — — медиан треугольника 146 — — серединных перпендикуляров к сторонам треугольника 175 Транспортир 18 Трапеция 103 — прямоугольная 103 — равнобедренная 103 Треугольник 28 — египетский 130 — остроугольный 70 — прямоугольный 70 _ __ Предметный 'it А указатель Треугольник равнобедренный 34 — равносторонний 34 — тупоугольный 70 Треугольники пифагоровы 130 У Угловой коэффициент прямой 237 Углы вертикальные 22 — накрест лежащие 53 — односторюнние 53 — смежные 22 — соответственные 53 — с соответственно параллельными сторонами 63 — — — перпендикулярными сторюнами 64 — треугольника 28 Угол 8 — выпуклого многоугольника 98 — между векторами 259 — неразвёрнутый 9 — острый 19 — прямой 19 — развёрнутый 9 — тупой 19 — центральный 168 Уголковый отражатель 78 Умножение вектора на число 202 Уравнение линии на плоскости 235 — окружности 236 — прямой 237 Ф Формула Герона 130 — для вычисления угла правильного л-угольника 270 Формулы для вычисления координат точки 250 — — — сторюны правильного ‘ многоугольника и радиуса вписанной окружности 273 X Хорда окружности 42 ц Центр окружности 42 — превильного многоугольника 273 — симметрии фигуры 111 — сферы 322 Центральная симметрия 111 Центрально-подобные фигуры 151 Цилиндр 319 Цилиндрическая поверхность 319 Четыре замечательные точки треугольника 177 Четырёхугольник 99 ш Шар 322 Штангенциркуль 16 э Экер 23 Элементы треугольника 29 Список литературы Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математики. — М.: Физматлит, 2005. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С. А., Юдина И. И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл. — М.: Вита — Пресс, 2006. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 кл. — М.: Вита — Пресс, 2002. 374 Список литературы Оглавление Дорогие семиклассники!............................... 3 Глава I Начальные геометрические сведения....................... 5 § 1. Прямая и отрезок..................................... — 1. Точки, прямые, отрезки............................ — 2. Провешивание прямой на местности.................. 6 Практические задания................................. 7 § 2. Луч и угол........................................... 8 3. Луч............................................... — 4. Угол.............................................. — Практические задания................................ 10 § 3. Сравнение отрезков и углов........................... — 5. Равенство геометрических фигур.................... — 6. Сравнение отрезков и углов ...................... 11 Задачи.............................................. 12 § 4. Измерение отрезков.................................. 13 7. Длина отрезка..................................... — 8. Единицы измерения. Измерительные инструменты.... 15 Практические задания................................ 16 Задачи.............................................. 17 § 5. Измерение углов..................................... 18 9. Градусная мера угла............................... — 10. Измерение углов на местности.................... 19 Практические задания................................ 20 Задачи.............................................. 21 § 6. Перпендикулярные прямые............................. 22 11. Смежные и вертикальные углы...................... — 12. Перпендикулярные прямые.......................... — 13. Построение прямых углов на местности............ 23 Практические задания................................ 24 Задачи............................................... — Вопросы для повторения к главе I.................... 25 Дополнительные задачи............................... 26 375 Оглавление Глава II Треугольники.............................................. 28 § 1.'Первый признак равенства треугольников................ — 14. Треугольник....................................... — 15. Первый признак равенства треугольников........... 29 Практические задания................................. 30 Задачи............................................... 31 § 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника........... 32 16. Перпендикуляр к прямой............................ — 17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника....... 33 18. Свойства равнобедренного треугольника............ 34 Практические задания................................. 36 Задачи................................................ — § 3. Второй и третий признаки равенства треугольников..... 37 19. Второй признак равенства треугольников............ — 20. Третий признак равенства треугольников........... 38 Задачи............................................... 40 § 4. Задачи на построение................................. 42 21. Окружность........................................ — 22. Построения циркулем и линейкой................... 43 23. Примеры задач на построение...................... 44 Задачи............................................... 47 Вопросы для повторения к главе II.................... 48 Дополнительные задачи................................ 49 Глава III Параллельные прямые....................................... 52 § 1. Признаки параллельности двух прямых.................. — 24. Определение параллельных прямых................... — 25. Признаки параллельности двух прямых.............. 53 26. Практические способы построения параллельных прямых............................................... 55 Задачи............................................... 56 § 2. Аксиома параллельных прямых.......................... 57 27. Об аксиомах геометрии............................. — 28. Аксиома параллельных прямых...................... 58 29. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей...................... 60 30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.......................... 63 • Задачи................................................ 65 376 Оглавление Вопросы для повторения к главе III................... 66 Дополнительные задачи................................ 67 Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника......... 69 § 1. Сумма углов треугольника.............................. — 31. Теорема о сумме углов треугольника................ — 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники......................................... 70 Задачи................................................ — § 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника......................................... 71 33. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника................................. — 34. Неравенство треугольника......................... 73 Задачи................................................ — § 3. Прямоугольные треугольники........................... 75 35. Некоторые свойства прямоугольных треугольников......................................... — 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников........................................ 76 37*. Уголковый отражатель............................ 78 Задачи............................................... 79 § 4. Построение треугольника по трём элементам............ 81 38. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми........................... — 39. Построение треугольника по трём элементам........ 83 Задачи............................................... 85 Вопросы для повторения к главе IV.................... 88 Дополнительные задачи................................ 89 Задачи повышенной трудности............................... 92 Задачи к главе I...................................... — Задачи к главе II..................................... — Задачи к главам III и IV............................. 93 Глава V Четырёхугольники.......................................... 97 § 1. Многоугольники........................................ — 40. Многоугольник..................................... — 41. Выпуклый многоугольник........................... 98 377 Оглавление 42. Четырёхугольник................................. 99 Задачи..............................................100 § 2. Паргшлелограмм и трапеция............................ — 43. Параллелограмм................................... — 44. Признаки параллелограмма........................101 45. Трапеция........................................103 Задачи............................................... — § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат........................108 46. Прямоугольник.................................... — 47. Ромб и квадрат..................................109 48. Осевая и центральная симметрии..................110 Задачи..............................................112 Вопросы для повторения к главе V....................113 Дополнительные задачи...............................114 Глава VI Площадь..................................................116 § 1. Площадь многоугольника............................... — 49. Понятие площади многоугольника................... — 50*. Площадь квадрата...............................119 51. Площадь прямоугольника..........................121 Задачи............................................... — § 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции .... 122 52. Площадь параллелограмма.......................... — 53. Площадь треугольника............................123 54. Площадь трапеции................................125 Задачи..............................................126 § 3. Теорема Пифагора..................................^.128 55. Теорема Пифагора..............................^ — 56. Теорема, обратная теореме Пифагора..............129 57. Формула Герона..................................130 Задачи..............................................132 Вопросы для повторения к главе VI...................133 Дополнительные задачи...............................134 Глава VII Подобные треугольники................................... 137 § 1. Определение подобных треугольников................... — 58. Пропорциональные отрезки......................... — 59. Определение подобных треугольников..............138 378 Оглавление 60. Отношение площадей подобных треугольников........139 Задачи................................................ — §2. Признаки подобия треугольников........................141 61. Первый признак подобия треугольников............ ... 62. Второй признак подобия треугольников.............142 63. Третий признак подобия треугольников.............143 Задачи................................................ — § 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач......................................145 64. Средняя линия треугольника........................ — 65. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.........................................146 66. Практические приложения подобия треугольников . . . 148 67. О подобии произвольных фигур.....................150 Задачи...............................................152 § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника..........................154 68. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника........................... — 69. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°.............................156 Задачи...............................................157 Вопросы для повторения к главе VII...................158 Дополнительные задачи................................159 Глава VIII Окружность...............................................162 § 1. Касательная к окружности.............................. — 70. Взаимное расположение прямой и окружности......... — 71. Касательная к окружности.........................164 Задачи...............................................166 § 2. Центральные и вписанные углы.........................167 72. Градусная мера дуги окружности.................... — 73. Теорема о вписанном угле.........................168 Задачи...............................................170 § 3. Четыре замечательные точки треугольника..............173 74. Свойства биссектрисы угла......................... — 75. Свойства серединного перпенди