Рабочая тетрадь по геометрии 9 класс Погорелов - Мищенко

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 9 класс Погорелов - Мищенко - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ск □ Р- ф ■ □ ▲ ш ♦ ФГОС^ Т. М. Мищенко Рабочая тетрадь по геометрии К учебнику А, В, Погорелова «Геометрия, 7-9 классы» учени_класса_ школы класс (экзамен^ Учебно-методический комплект Т. М. Мищенко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 9 класс Рекомендовано ИСМО Российской Академии Образования Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2015 УДК 373:514 ББК 22.151я72 М71 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части чезвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебного издания «Геомегрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. организаций / А. В. Погорелов. — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Мищенко Т. М. М71 Рабочая тетрадь по геометрии: 9 класс: к учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. учреждений». ФГОС (к новому учебнику) / Т. М. Мищенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2015.— 109, [3] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-08880-6 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является дополнением к переработанному в соответствии со Стандартом второго поколения учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Рабочая тетрадь для 9-го класса рекомендуется для организации учебной деятельности учащихся. Предлагаемые в рабочей тетради задания удовлетворяют гребованиям, предъявляемым Стандартом второго поколения, как к обязательному уровню, так и повыщенному уровню сложности. Форма заданий соответствуют форме заданий Основного государственного экзамена (ГИА-9). Использование рабочей тетради в учебном процессе позволит осуществить: во-первых, достижение каждым учеником уровня обязательной геометрической подготовки, и, во-вторых, сформировать у учащихся умение применять полученные знания, как в стандартных ситуациях, так и в несколько отличных от обязательного уровня. Использование рабочей те'гради позволяет сэкономить время учителя при подготовке к уроку, а также время и на самом уроке и выполнить большее число заданий с записью в тетради. А у школьников будет хороший конспект по курсу 9-го класса, который, несомненно, поможет лучшему усвоению свойств плоских фигур, методов решения задач. Кроме того, рабочая тетрадь будет полезна и родителям, которые смогут следить за уровнем теоретических знаний своего ребенка и его умением решать задачи. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Подписано в печать 16.10.2014. Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 3,04. Уел. печ. л. 9,1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 4270/14. ISBN 978-5-377-08880-6 Мищенко Т. М., 2015 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2015 Содержание §11. Подобие фигур.........................................4 Преобразование подобия. Свойства преобразования подобия. Подобие фигур..........................................4 Признаки подобия треугольников.........................6 Подобие прямоугольных треугольников.................. 13 Углы, вписанные в окружность......................... 18 Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.25 Измерение углов, связанных с окружностью..............27 §12. Решение треугольников................................33 Теорема косинусов.................................... 33 Теорема синусов.......................................36 Соотношения между углами треугольника и противолежащими сторонами...........................39 Решение треугольников.................................43 §13. Многоугольники.......................................50 Ломаная.............................................. 50 Выпуклые многоугольники.............................. 54 Правильные многоугольники. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников........................... 59 Вписанные и описанные четырехугольники................69 Подобие правильных выпуклых многоугольников. Длина окружности. Радианная мера угла................ 73 §14. Площади фигур........................................81 Понятие о площади.....................................81 Площадь прямоугольника................................84 Площадь параллелограмма...............................85 Площадь треугольника..................................87 Равновеликие фигуры...................................94 Площадь трапеции......................................98 Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.................103 Площадь круга........................................105 Повторение...........................................106 11 Подобие фигур Преобразование подобия* Свойства преобразования подобия* Подобие фигур Определите по рисунку вид преобразования и дайте описание его построения. О^нве^н : Преобразование, изображенное на рисунке, является__________________ Определите по рисунку вид преобразования и дайте его определение. Преобразование, изображенное на рисунке, является__________________ Сформулируйте свойства преобразования подобия. 1. Преобразование подобия переводит__________ 2. Преобразование подобия сохраняет 1. Какие фигуры называются подобными? Otfieetfi: Две фигуры называются подобными, если 2. Что означает запись ~ Fg?” Otn£effi: 3. Как относятся соответствующие углы и соответствующие отрезки подобных фигур? У подобных фигур соответствующие углы______________ 1. Какие треугольники называются подобными? : Два треугольника называются подобными, если______________________ 2. ААВС ~ Укажите: как соотно- сятся соответствующие углы и соответствующие стороны этих треугольников. 0/^е/и: В 3. ААВС ~ АА^В^С^. zA = 30°, zB = 85°, zC = 65°. Чему равны zA^; zB^\ _______________________; zB^ =________; zC^ =_______. zC^ О/йве/н: zAj =_____ 4. AABC ~ AA^BjCj. AB = 3 cm, BC = 4 cm, AC = 6 cm, A^B^ = 12 cm. Чему равны BjCj и AjCj^? Bf^,^ =_______CM,=_____________cm. Найдите отношения отрезков KL и MN, если их длины равны 12 см и 18 см. Определите, как изменится это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах. (Сделайте рисунок и дайте развернутый ответ) Otfieetfi: я ьп э W 2 со о Ю > Я W я о » о W п о Я< г» м W > Треугольники ABF и DEF подобны. Запишите отношение соответствующих сторон. O^effi.AF: = FB: =АВ: Треугольники АВС и DEF подобны. Известно, что АС = 15 см. Найдите сторону DF, если коэффициент подобия треугольников равен 3. (Решите устно.) 0fnj6effi: DF = см. признаки подобия треугольников Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте первый при знак подобия треугольников. 8 (21 из учебника) В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD. В силу какого признака подобия треугольников АСОВ ~ AAOD1 t----------- -• • Дан о : ABCD — трапеция; АС и BD — диагонали. Доказать: АСОВ ~ AAOD. Доказательство . Рассмотрим AAOD и АВОС: zAOD = zBOC — вертикальные; I zBCA = zCAD — внутренние накрест лежащие при пересечении i параллельных прямых ВС и AD прямой АС; Следовательно, |! АСОВ ~ AAOD по двим иглам. I V . ----^ в параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Укажите подобные треугольники и определите коэффициент их подобия (Решите устно). 10.............................................................. В равнобедренных треугольниках АВС (АВ = ВС) и EDF (ED = DF) углы при вершинах Ви D равны. Докажите, что треугольники АВС и EDF подобны. Otn€etfi: ^ F А 11 Определите, подобны ли остроугольные равнобедренные треугольники, если они имеют по равному острому углу, (дайте развернутый ответ) О/я^е/н: я ►в со > Я S а о 3=4 О tn Я нО •н tn о я tr л S ж о ю 12................................................................ Определите, подобны ли тупоугольные равнобедренные треугольники, если у них тупые углы равны, (дайте развернутый ответ) OtHJeeffi: 13 Определите, подобны ли равнобедренные треугольники, если угол при вершине одного из них равен 54°, а угол при основании другого — 63°. (Дайте развернутый ответ) Otn£efH: Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте второй при знак подобия треугольников. 14 в треугольниках АБС и EDF углы при вершинах ВиВ равны, а стороны АВ и ВС, заключаюш;ие zB, соответственно больше сторон ED и DF, за-ключаюш,их zD, в три раза. Определите, подобны ли эти треугольники. Дано: _______________________________ Доказать: Тешение Внимательно посмотрите решение задачи №31 (учебное посо бие §11), это поможет при решении следующей задачи. 15 В треугольнике из всех вершин проведены высоты. Докажите, что треугольники, имеющие общую вершину с данным треугольником, подобны между собой. Дано: _____________________________ Доказать: ^Решение Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте третий признак подобия треугольников. 16 Боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника соответственно равны 34 см и 20 см, а другого — 17 см и 10 см. Определите, подобны ли эти треугольники. а S ы К > » о 31=4 О (Л S » HI м о СГ* » S ж о td Дано: Доказать: Реишше Offieeffi. 17........................................................... Треугольники АВС и DFG равносторонние. В силу какого признака подобия треугольников ААВС ~ ADFG7 F На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены отрезки АР = BR = CQ. Докажите, что APRQ подобен ААВС. (дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ______________________________ В Доказать: !Решеяие 10 19 Какие из приведенных пар треугольников являются подобными? г); д); е). 20 В треугольник, у которого основание равно 30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу. HF Дано: zDFG = 90°, DF = GF; АС = 30 см; БЯ= 10 см. DG \\АС Найти:DG Тешение Так как ADFG — прямоугольный равнобедренный, то высота FP = — DG. Так как DG\\AC, то ADBG ~ ААВС. Отсюда следует: 4U АС ВН К ---=--------. Обозначим FP = х, тогда DG = 2х; — = —— DG BH-FP 2х 10-х 30-( 10 - х) = 10'2х; отсюда х = 6. Значит, DG = 2х =12 см. 0^и£е1н: DG =12 см. я d S OJ Я > Ж я Я о за о W я ч m «< О tr я Я эс о со 11 21....................................................... Точки М, N иР лежат соответственно на сторонах АБ, ВС и АС треугольника АВС, причем MN II АС, NP \\АВ. Найдите стороны четырехугольника AMNP, если АВ = 16 см, АС = 24 см, PN : MN = 2:3. Дано: ______________________________ Доказать: !Решеяие Otneetfi: В задаче №15 (учебное пособие §11) доказывается очень важное свойство, которое можно сформулировать так: "Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него подобный треугольник". Используйте его при решении задач. 22 В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 12 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на его боковых сторонах. Дано: _____________________________ Доказать: J^eutenue Otfieeffi: 12 23* ................................................... В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны 12 см и 6 см. Дано: ____________________________ Доказать: ^Решение OffijeetH: Подобие прямоугольных треугольников Сформулируйте признак подобия прямоугольных треугольни ков: 24 Угол одного прямоугольного треугольника равен 30°, а другого 60° Установите, подобны ли данные треугольники, (дайте развернутый ответ) OtfiPetH: я о » о trt X м а » о •< о я tr X нн X н •V м < •TJ о я о- X S ж о ю 13 25 По рисунку определите, чему равен катет, обозначенный буквой х. Для прямоугольных треугольников можно сформулировать еще один признак подобия: "Если катеты двух прямоугольных треугольников пропорциональны, то эти треугольники подобны." 26 Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если их катеты пропорциональны. Дано: _____________________________ Доказать: Тешение 27 Катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны 6 см и 10 см, а катеты другого 9 см и 12 см. Определите, подобны ли данные треугольники. Дано: Доказать: _________________________________________ 14 Решение Gfn€effi: Кроме специфических признаков подобия прямоугольных треугольников равнобедренные и равносторонние треугольники также имеют специфических признаки подобия. В задаче №10 (учебное пособие §11) доказываются признак подобия равнобедренных треугольников: "Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны." Кроме этого признака подобия равнобедренных треугольников можно сформулировать еще два признака подобия: "Если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника пропорциональны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны." Из решения задачи №34 (учебное пособие §11) следует важное утверждение: "Все равносторонние треугольники подобны". Закончите следующие предложения: Катет прямоугольного треугольника есть ________________ Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть___________________________________________________ Я о 3SI о и S W я я S о «< о я tr' я 1Г ►н W *< о я сг* я я Ж о W 15 Биссектриса треугольника Внимательно посмотрите доказательство свойства биссектрисы угла треугольника в учебном пособии ( §11), это поможет при решении следующей задачи. 28* Биссектриса CD внешнего угла треугольника АВС при вершине С пе- AD АС ресекает продолжение стороны АБ в точке D, Докажите, —— - —— . DB СВ Дано: CD — биссектриса внешнего угла ААВС при вершине С AD АС Доказать: ------= DB СВ Утешение Проведем BF _L DC и AG 1 DC. ABCF ~ AACG, так как ______________ Значит, ABDF ~ AADG, так как Значит, Отсюда AD АС DB ~ СВ 29* Если луч, проведенный из вершины треугольника, делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то этот луч является биссектрисой угла при данной вершине треугольника. 16 /Г ^ AD CD Дано: ---= — АВ СВ К Доказать: BD — биссектриса zABC !Решение Проведем через вершину С треугольника АВС прямую CF, параллельную АВ. AABD ~ ACFD, так как у них: zADB = zCDF как вертикальные; zABD = zCFD как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CF и секущей BF. ^ ^ AD CD AD CD ^ ^ CD CD Следовательно,--= — ,апоисловию----=---.Отсюда —— = —— ABCF АВ СВ CF СВ и CF = СВ. Значит, ABCF — равнобедренный и zCBD = zCFD, а значит, и zCBD = zABD. Следовательно, BD — биссектриса. Что и требовалось доказать. Внимательно посмотрите доказательство задачи №29 и реши те следующую задачу аналогично. 30* Прямая FD, проведенная через вершину С треугольника АВС, пересекает продолжение противолежаш;ей стороны АВ в точке D. Докажите, что AD АС если при этом выполняется отношение -=---, то луч CD является DB СВ биссектрисой внешнего угла ВСЕ треугольника АВС. Дано: _______________________________ Найти: Тешение 17 в задачах №№3б и 42 (учебное пособие §11) доказываются свойства подобных треугольников, которые в общем случае можно сформулировать так: "В подобных треугольниках соответствующие отрезки ( например, высоты, медианы, средние линии треугольников и т.д.) пропорциональны соответствующим сторонам". Углы, вписанные в окружность Сформулируйте определение дополнительных углов Углы называются дополнительными _________ 31 Отметьте и заштрихуйте угол, дополнительный данному. 32....................................................... Найдите градусную меру углов, дополнительных углам, изображенным на рисунках. 4) 5) 18 Сформулируйте определение центрального угла, Центральным углом в окружности называется_ 33 Найдите градусную меру центральных углов, обозначенных буквами: а, р, 5, тиф. 34 Каждая из окружностей разделена на равные части. Найдите градусную меру центральных углов, отмеченных на рисунках. GiH£efH: 1) 4) 2) 3) Сформулируйте определение дуги окружности. Дугой окружности называется______________ сг а р « а сг* •—» м W о ж ►о < рг О п м 19 г I I s £ ! g I tOi Сформулируйте определение градусной меры дуги окружности. Градусной мерой дуги окружности называется____________ 35 Найдите градусную меру дуг окружностей, соответствующих углам, отмеченным на рисунках. 1) 4) 2) 5) 3) 36 Окружность разделена на две дуги, причем градусная мера одной из них в три раза больше градусной меры другой. Чему равны соответствующие этим дугам центральные углы? Дано: ____________________________ Доказать: Теисение OtHSerii. 20 Сформулируйте определение вписанного угла Угол называется вписанным в окружность__ 37 1. Нарисуйте несколько вписанных углов, соответствующих данному на рисунке центральному углу. 2. Нарисуйте центральный угол, соответствующий данному на рисунке вписанному углу. Угол, вписанный в окружность, равен XJ3 Я 38 В соответствующей окружности нарисуйте угол, равный: 1. 2а; 2. -Р; 3. у. СУ 56 Я О о 21 39 Найдите градусную меру углов, обозначенных буквами: а, Р, г|, а, т, ^ и ср. 7) 40 Отметьте на рисунках углы, равные данным. 41 Найдите градусную меру углов, обозначенных буквой а. 1) Offi€etH: 1) za =_ 3) za =_ 4) 2) za=. 4) za=_ 22 42...................................................... Вписанный угол на 25° меньше центрального, опираюпцегося на ту же дугу. Найдите градусные меры этих углов. Дано: _____________________________ Найти: J^euieHue Otfieeffi: 43........................................... Найдите градусную меру углов, обозначенных буквой р. 1) Offieefn: 1) zp = 3)zp = 44............. 2)zp = Найдите градусную меру углов, обозначенных буквой у. '< ri О > С" о о н сг* 23 Offieetn: 1) zy = 3) zy = 45.............. 2) zy = 46 1. Вершины четырехугольника лежат на окружности. Запишите правые части равенств: z2a -Ь z2p =___________ za -Ь zp =___________ 2. Вершины четырехугольника лежат на окружности. Запишите правые части равенств: za -f zy =___________ zp -Ь z6 =___________ Прямые тип пересекаются под углом 30°. Как определить, является ли Р{тп) вписанным в окружность, часть которой представлена на рисунке, а остальная часть недоступна? (Дайте развернутый ответ) OfHJeeHi: ________________ 47 На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность. (Внесите обозначения на чертеж и решите задачу.) Дано: ________________________ Найти Решение 24 Gifi£effi: 48 Из точки полуокружности проведены к концам диаметра две хорды. Одна из них равна 17 см и образует с диаметром угол, равный 45°. Найдите длину второй хорды. Дано: ____________________________ Найти: Тешение Пропорционалъностъ отрезков хорд и секущих окружности » о а о jn S о Сформулируйте свойство отрезков хорд окружности 49 Точка А лежит внутри окружности радиуса R на расстоянии а от ее центра — точки О. Хорда ВС проходит через точку А. Докажите, что произведение ВА • АС является величиной постоянной для данной окружности и данной точки в этой окружности и равно - а^. tr* № О п »-5 tr" О *-3 «гч W о ею X о S is: п т Ж < В S X 25 Дано: Точка О — центр окружности; ОА ^ а; R — радиус окружности. Доказать: ВА • АС = Доказательство Сформулируйте свойство отрезков секущих окружности. 50 (задача 62 из учебника) Докажите, что произведение отрезков секущей окружности ВА • АС равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: ВА • АС = AD^. Дано: Точка О — центр окружности; ВА и АС — отрезки секущей; AD — отрезок касательной. Доказать: ВА • АС = AD^. Доказательство 51 Точка А лежит вне окружности радиуса R на расстоянии а от ее центра — точки О. Секущая проходит через точку А и пересекает окруж- 26 ность в точках В и С. Докажите, что произведение ВА ’АС является величиной постоянной для данной окружности и данной точки вне этой окружности и равно - R^. Дано: Точка О — центр окружности; О А = а; R — радиус окружности. Доказать: ВА • АС = - R^ Доказательство 52 Через точку М в окружности с центром в точке О проведены две прямые. Одна из них пересекает окружность в точках А и В, вторая — в точках С и D. При этом AM = 6 см, МВ = 4 см, СМ = 8 см. Найдите MD для случаев М Измерение углов, связанных с окру^ностък> Сформулируйте теорему об измерении углов, вершины кото рых лежат внутри окружности. ас Сд} S W ►d as м S о w n w SQ CJ > s » tr X о о sc ►tJ № О о сг 5 27 Внимательно посмотрите доказательство теоремы об измере^ НИИ углов, вершины которых лежат внутри окружности. Дан о : Точка В лежит внутри окружности. Доказать: zABC = 1 1 = - zAOC + - zDOE. 2 2 Тешение Проведем хорду DC. Рассмотрим ADBC. zABC является внешним углом ADBC при вершине В. В силу теоремы о внешнем угле треугольника: zABC = zBDC + zBCD. Углы zBDC и zBCD, как вписанные, равны половинам соответ- 1 1 ствуюи^их центральных углов, то есть zABC = — zAOC + — zDOE. 2 ^ В свою очередь градусная мера дуги АС равна градусной мере zAOC, а градусная мера дуги DE равна градусной мере zEOD. Следовательно, градусная мера zABC равна полусумме градусных мер дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон. Внимательно посмотрите доказательство теоремы об измерении углов, вершины которых лежат внутри окружности, и докажите теорему об измерении углов, вершины которых лежат вне окружности, и теорему об измерении угла между хордой и касательной. Сформулируйте теорему об измерении углов, вершины которых лежат вне окружности. 28 Докажите теорему об измерении углов, вершины которых ле^ жат вне окружности. Дано: В Доказать: ^Решение Сформулируйте теорему об измерении угла, образованного касательной и хордой окружности. Докажите теорему об измерении угла, образованного каса^ тельной и хордой окружности. Дано: Доказать: Теш£Ш1е S со S m м S S W i о W г> ю » со > S S н: X п о ж TJ № о о •н tr 29 53 Докажите, что градусная мера угла, образованного двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между точками касания. Дано: ______________________________ Доказать: J^euienue 54 Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен 42°. Найдите градусную меру дуг, заключенных между точками касания. (Дайте развернутый ответ) 55 Окружность касается одной из сторон угла, равного 40°, в его вершине — точке А и пересекает другую сторону в точке Б. На меньшей дуге отмечена точка М. Найдите угол АМБ. Дано: ___________________________ Найти: J^emeHue OfHJeetfi. 30 56* .................................................. Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого лежат на окружности, пересекаются в точке М. Известно, что zABC = 72°, PBCD = 102°, zAMD = 110°. Найдите zACD. В Дано: ____________________________ Найти Решение Otn^effi: 57^ Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого лежат на окружности, пересекаются в точке М (смотри рисунок), причем zAMB = 80°. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, причем zAKD = 20°, а прямые ВС и DA пересекаются в точке N и zANB = 40°. Найдите углы четырехугольника ABCZ). Дано: _____________________________ Найти: Решение Обозначим градусную меру дуг АВ, ВС, CD и DA соответственно х^, х^, х^ и х^.___ Gffi€efH: S ы S ' i •тз W S X т < 3 о W гз W in u> > я X SS X о О ж < я о о н ж S 31 58* ....................................................... (задача 69 учебника). Дан треугольник АВС. Найдите геометрическое место точек, из которых отрезок АВ виден под углом, равным углу А этого треугольника. Лоан1гоение 32 12 Решение треугольников Теорема косинусов Сформулируйте теорему косинусов Сделайте краткую запись условия и заключения теоремы. С Дано: _______________________ В Доказать: 59 В треугольнике АБС; АВ = 2 см, АС = 3 см, /.ВАС = б0\ Найдите сторону ВС. (Дайте развернутый ответ.). Oltieeifi: ВС‘ = АВ^ + АС^ - 2АВ ■ ACcos А = 60 (задача 1 из учебника). Стороны треугольника 5 м, б м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника. !Решение •н W о *п м > X о о S S «< г> о txi 33 61....................................................... Стороны треугольника равны 8 см и 6 см. Определите, может ли угол, противолежащий стороне, равной 6 см, быть тупым? Угол, противолежащий стороне, равной 6 см, ______ потому, что______________________________________________ 62....................................................... 1. Дан треугольник со сторонами а, Ь и с. Против стороны с лежит угол у. Сделайте рисунок и запишите формулу для нахождения стороны с в каждом из следующих случаев. Определите знак cos у. 1. zy — острый с^ = а^ + - 2abcosy 2. Zy — прямой 3. Z7 — тупой cosy > о, J 2. Дан треугольник со сторонами a,bvic. Против стороны с лежит угол у. Определите, каким — прямым, тупым или острым — является угол у, если: а) а = 8; Ь = 15; с = 17; б) а = 8; Ь = 6; с = 11; в) а = 7; 5 = 6; с = 8. Решение а) 172 ? 82 + 152. 289 ? 64 + 225; 289 = 289; zy — прямой.___ б) __________________________________________________________ в) __________________________________________________________ Задача 63 была решена в §10 пункт 98 с использованием скалярного произведения. Попробуйте решить ее, используя теорему косинусов. 34 63................................................... (задача 38 §12 учебника) Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Дано: _______________________________________________ Доказать: ___________________________________________ J^euieHue 64 Докажите, что диагональ, соединяющая вершины острых углов параллелограмма, большая. Дано: __________________________ Доказать: !Реш£ние 65 Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 120“. Сторона, лежащая против этого угла, равна 14 см. Найдите третью сторону. Дано: _____________________________ Доказать: ^Решение •н м о w > ж о S » S о ю 35 66.................................................... Сторона треугольника равна 26 см, а две другие стороны образуют угол, равный 120°, и относятся как 7:8. Найдите эти стороны. Дано: ____________________________ Найти: Тешение OfHJeetfi: 67 Основание треугольника равно 7 см, противолежащий ему угол равен 60°, сумма двух других сторон равна 13 см. Найдите эти стороны. ^ Дано: ____________________________ Найти: Решение Offieeffi: Теорема синусов Сформулируйте теорему синусов 36 Выразите высоту CD треугольника АВС через сторону ВС и через сторону АС, если 1) треугольник — остроугольный и 2) треугольник — тупоугольный. 68 В треугольнике АВС: АВ = 8 см, ВС = 12 см. Может ли sin С = 0,7? Otfieetfi: sin С потому, что 69........ Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45°, а противолежащий угол равен 60°. Найдите сторону, противолежащую углу в 45°. Дано: ___________________________ Найти: Решение 1-9 М О •Г» W > о S W < о о О/нё'е/н. 37 70...................................................... Один из углов равнобедренного треугольника 120". Найдите отношение сторон этого треугольника. Дано: _____________________________ Найти: Теишше OfHJeefft: 71 1 Диагональ параллелограмма делит его угол на части, равные 45" и 30° Найдите отношение сторон параллелограмма. Дано: ______________________________ Найти: Реишше 0^п£е{п. 72 Через точку R хорды KQ окружности с центром в точке О проведена прямая, пересекаюш;ая в точках Р и М касательные PQ и КМ соответственно. Докажите, что PQ • RM = КМ • QR. 38 Дано: KQ — хорда; PQ и КМ — касательные; Q и К — точки касания; RgQK и RgPM.__________________________ Доказать: PQ • RM = КМ • PR. Реисение Пусть в AQPR zPRQ = а, а zPQR = р, тог-sin а _ sin р sin а _ PQ PQ ~ Tr ’ sinp " Jr ' В AKMR: zKRM = zPRQ = a, как вертикальные; Так как zPQR и zMKR опираются на дуги, дополняющие друг друга до полной окружности, и в силу теоремы об измерении угла, образо- sin а sin р ванного касательной и хордой: zMKR =180 - р, тогда: КМ RM sin а sinp КМ PQ КМ . Значит, — =-; PQ-RM = KM-PR RM PRRM Otneeffi: PQ'RM = КМ • PR \= Соотношения ме^ду углами треугольника U противолежащими сторонами Сделайте рисунок и сформулируйте утверждения о соотноше НИИ между углами треугольника и противолежащими сторо нами. о о о к о >—< м < 3 о о trj о О- № > 39 40 Сделайте краткую запись условия и заключения прямого и обратного утверждения. Прямое утверждение Дано: __________________ Доказать: Обратное утверждение Дано: ___________________ Доказать: 73 Стороны треугольника равны 8 см; 9 см и 12 см. Определите, против какой стороны лежит: 1) самый большой угол треугольника; самый маленький угол. OtHJeefH: Самый большой угол лежит против стороны, равной_____см. Самый маленький угол лежит против стороны, равной_____________см. 74 (задача 18 из учебника). Углы треугольника равны 40° и 80°. Определите, против какого угла треугольника лежит большая сторона. Большая сторона лежит против угла, равного ________ 75 Определите вид угла а при вершине равнобедренного треугольника, если его основание меньше боковой стороны. Угол а — _________ 76 Определите, что больше, боковая сторона или основание равнобедренного треугольника, если один из его углов — тупой. OfH^efn:_________________________________________________________ больше, так как__________________________________________________ 77 В равнобедренном треугольнике один из углов тупой, одна из сторон равна 15 см, а другая 10 см. Чему равно основание равнобедренного треугольника? Otfieeifi: Основание равнобедренного треугольника равно см. так как Воспользовавшись утверждением о соотношении между углами треугольника и противолежащими сторонами, результатами задач №3 (§12 учебного пособия) и обратной теоремой Пифагора, решите задачу № 78. 78 Определите вид треугольника, не вычисляя его углов, если его стороны равны: 1. а = 7 см; 6 = 8 см; 0/HJeetfi: Треугольник__________________ с = 12 см 2. а = 0,3 см; Ь = 0,4 см; Gfn^ejH: Треугольник с = 0,5 см 3. а — 8 см; 6—14 см; G/fijeetn: Треугольник с = 12 см 79 в треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что если ВС > АВ, то zBDC — тупой. Дано: ____________________________ Найти: Решение При решении задачи 80 воспользуйтесь теоремой о биссектрисе угла. г> о о S о в м S S » «< 3 о ю о н о о X HI *п м •< •-S о isi tr X s 41 80.................................................... В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что если zBDC — тупой, то середина стороны АС принадлежит лучу DC. Дано: ____________________________ Найти: ^Решение OffiPeffi: 81 Докажите, что биссектриса треугольника не больше его медианы, проведенной из той же вершины. Дано: _____________________________ Найти: Теисение 82 (задача 25 из учебника). В треугольнике из одной вершины проведены биссектриса, высота и медиана. Докажите, что основание биссектрисы лежит между основаниями высоты и медианы. Дано: Найти 42 Teuiemie Решение треугольников 83 Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. (Сделайте рисунок каждого шага построения и описание построения). 84 Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу, противоположному основанию (Сделайте рисунок каждого шага построения и описание построения). М В m » X м м й S ь* X X ж о ю 43 85...................................................... Радиус окружности равен 5 см. Из точки, удаленной от центра окружности на 13 см, проведены касательная и секущая, проходящая через центр окружности. Найдите длину касательной. Дано: _____________________________ Найти: ^Решение OffieetH. 86................ Упростите выражение 1 - + tg'^a cos a 87 Найдите sin a, если cos у = 0,6. В учебнике рассматриваются четыре типа задач на решение треугольников. Рассмотрим решение этих типов задач в общем виде. 44 г Дан треугольник АВС. Обозначим его стороны и углы: ВС = а, АС = Ь, АВ = с. /.ВАС = а, /АВС = р, /ВСА = у. Решение треугольника: По двум сторонам и углу По стороне По трем сторонам между ними и прилежа- щим к ней углам Дано: а, by у. Дано: а, ру у Дано: а, by с. Найти: с, а, р. Найти: by Найти: а, Ру у. Су а. с^ = + Ь^ - 2abcos у. а= 180°- Пусть а — наибольшая с - yja^ +Ь^ - - 2аЬcos у ~iP + y)> а Ь сторона, а <Ь + с. I способ + Ь^- II способ 1). Если + Ь‘^ - 2cbcos а. sin а sin р ^ а sin р sin а а с с^+Ь^ ^2 - а - 2cbcos а. /у > 90°, /а и 2сЬ cos а = /Р — острые. I способ II способ +Ь^ - 2). Если sin а sin у Ь'^ = - а Ь 2сЬ /у < 90°, и а sin у - 2accos р. sin а sin Р а < by /а — острый. с — sin а cos р = с" +а^ -Ь^ sinp = fcsina а с 2ас а sin а sin у а sin у sin а = с у5=180° ~{а + у). у= 180°- {а+ Р). J 88..................................................... (задача 27.4). В треугольнике даны стороны а = 14 см и с = 10 см и угол Р = 145° между ними. Найдите остальные углы а и у и сторону Ь. Дано: ________________________ м В м » m HI •та m HI о tr » s ж о ж Найти: 45 Решение Offijeeffi: 89 (задача 26.5) В треугольнике даны сторона с = 14 см и углы а = 64° и Р = 48°, прилежащие к стороне с. Найдите остальные две стороны а и Ь и третий угол у. Дано: _____________________________ Найти: Решение Otfi£eiH: 90..................................................... (задача 29.3) В треугольнике даны три стороны а = 4см,Ь = 5сми с = 7 см. Найдите его углы. Дано:_____________________________ Найти: Решение OtfiSeifi. 46 91..................................................... В треугольнике даны три стороны а = 4 см, Ь = 5смис=12 см. Найдите его углы. Дано: ____________________________ Найти: TeuieHue 0/нве*н: Г, По двум сторонам и углу, лежащему против одной из них. Дано: а,Ь,а. Найти: с, Р^у. , J^etueHMe о . - 6 sin а , значит, sinp =--- . sin р> 1 sin а sin р sin = 1 I О < sin р <1 ния W В W S S W ь-} т < о in S ж о ся 47 92.................................................. (задача 28.4) В треугольнике даны стороны о = 2смиЬ = 4сми угол а = 60°, противолежащий стороне а. Найдите углы /? и у и сторону с. Дано: __________________________ Найти: Тешенме 0^нве*н: 93 в треугольнике даны сторона а и углы а и у. Найдите радиус вписанной окружности г. Дано: _____________________________ Найти: Тешение OffLeetfi: 94 R Докажите, что в любом треугольнике выполняется отношение — > 2 , где R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности. Дано: Найти:__________________________________________________ 48 !Решение В следующей задаче рассматривается важное свойство параллелограмма, которое будет полезно при решении задач. 95 Докажите: в параллелограмме ABCD выполняется соотношение АС2 -Н BD^ = 2 (АБ2 + BD‘% Дано: _____________________________ Найти: Решение W В W S S •н tn »< »n о сг* № S Ж О ш 49 13 Многоугольники Ломаная Сформулируйте определение ломаной. Ломаной называется 96 1. Назовите вершины ломаной. Offt£etn: 2. Назовите звенья ломаной. 97 Укажите на рисунке простые ломаные. Сформулируйте определение длины ломаной. Длиной ломаной называется ______________ >Aq 50 98 99 Аг Найдите длину ломаной где А^, А^, Ад — вершины равностороннего треугольника со стороной, равной 6 см, а А^ — середина стороны AjAg. OfHJeeffi: Длина ломаной A^AgAgA^ равна см. Найдите длину ломаной A^A^AgA^^Ag, где ника, А^ — точка пересечения его диагоналей, Ag — середина отрезка AjAg, если отрезки AjAg и AgAg СоотВетСтвеннО равны 6 см и 8 см. От£е/п : Длина ломаной AjAgAgA^^Ag равна см. Используя неравенство треугольника, решите следующую задачу. 100..................................................... Докажите, что длина ломаной А^AgAgA^g больше длины ломаной AjAgAg. Дано: A^AgAgA^g — ломаная; AjAgAg — ломаная. Доказать: >А,АзА,. !Решение Сформулируйте свойство длины ломаной Длина ломаной ______________________ о 51 101 у ломаной AjAgA^A^: AjAg = 3 см, A^A^ = 4 см, А.^А^ = 2 см. Может ли длина отрезка AjA^ быть равной (Дайте развернутый ответ): а) 7 см; 0/^е/н:_________________________________________________ б) 10 см? Gtfieeffi:______________________________________________ 102 Докажите, что большее основание трапеции меньше суммы длин остальных сторон. Дано: ___________________________ Доказать: Решение 103 Суш;ествует ли четырехугольник со сторонами, равными 13 см, 24 см, 42 см и 79 см (Дайте развернутый ответ)? 104 На сторонах треугольника АВС взяты точки Р, Q и В (по одной на каждой стороне). Докажите что периметр треугольника PQR меньше периметра треугольника АБС. Дано: Доказать: ___________________________________ 52 ^Решение OffieefH: 105 Докажите, что длина ломаной больше длины ломаной AjA^e* Дано: _____________________________ Доказать: Решение 106 Докажите, что длина ломаной А, AgA^A^ больше длины ломаной А^Б2ВдА^ о з; Доказать: ^Решение 53 107*..................................................... Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояние от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А , С иВ лежат на одной прямой (Приведите доказательство от противного). Дано: _____________________________ Доказать: ^Решение Выпуклые многоугольники 108 ..................... По рисунку ответьте на вопросы: 1. Назовите вершины многоугольника. 0^Яве*н : Вершины:_________________ 2. Назовите стороны многоугольника. OtfieetH: Стороны:_________________ Otfi€e/ti: Диагонали 109 54 1. Найдите на рисунке многоугольники и запишите их номера в ответе. Offi£eifi:_________________________________________________________ 2. Объясните, почему фигура под номером 2 не является многоугольником. Offieeffi:_________________________________________________________ 3. Объясните, почему фигура под номером 8 не является многоугольником. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника Многоугольником называется _____________________________ 110 Найдите на рисунке выпуклые многоугольники и запишите их номера в ответе. 111 1. Какие треугольники являются выпуклыми многоугольниками? Otn£etH: 00 cr* ж t=i Е W s я о ►“1 о ><: о :=| от я S Я я 55 2. Приведите примеры известных четырехугольников, которые являются выпуклыми многоугольниками. 0»н£е*н: 112 Сколько диагоналей можно провести из одной вершины л-угольника, если: а) /I = 3; б) я = 4; в) /г = 6; г) д — целое число, я > 2? Gfn£etfi: а) при я = 3 число диагоналей равно___________________ б) при я = 4 число диагоналей равно____________________ в) при я = 6 число диагоналей равно____________________ г) при я — целое число и я > 2 число диагоналей равно 113 Из одной вершины выпуклого я-угольника проводятся все его диагонали. Сколько при этом образуется треугольников, если: а) я = 3; б) я = 4; в) я = 6; г) я — целое число, я > 2? Otn£etn: а) при я = 3 образуется__________________треугольников б) при я = 4 образуется__________________треугольников в) при я = б образуется__________________треугольников г) при я —целое число и я > 2 образуется_треугольников Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. 114 Вычислите сумму углов выпуклого (Дайте развернутый ответ): а) пятиугольника; Offieeffi:_________________________ б) девятиугольника. _______________________ 56 115 .......................................................... Сколько сторон имеет п-угольник, если сумма его внутренних углов равна: а) 1260°; Otfijeeffi:_________________________________________ б) 1980°? 0*п£е*н:____________________________________________ 116 .......................................................... Может ли в д-угольнике сумма его внутренних углов равняться: а) 360°; Ofn£e/fi:_____________________________________ б) 380°? O^etfi:_______________________________________ При решении следующих задач воспользуйтесь утверждением задачи №9 (учебник §13). 117 Сумма углов выпуклого многоугольника в два раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника (Дайте развернутый ответ). О/Абап: 118 Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника (Дайте развернутый ответ). Offtjeetn: 119 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые (Дайте развернутый ответ)? Offi£effi: W Е а »< W 3 а о •-J § •г» О а сг » а а а 57 Посмотрите решение задачи 122 и решите задачу 123. 123 ...................................................... Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°? 58 Дано: Найти: ^Решение Offieeffi: 124 Докажите, что в выпуклом четырехугольнике биссектрисы двух углов, прилежащих к одной стороне, образуют угол, равный полусумме двух других углов. Дано: ____________________________ Доказать: Решение Правильные многоугольники. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников Сформулируйте определение правильного многоугольника Многоугольник называется правильным, если __________ а S ю а а ж хг ни м S ж о >s о о ж tj* ж ж Ж ж 59 125 Укажите на рисунке правильные многоугольники и запишите их номера в ответе. 126 1. Какие треугольники являются правильными многоугольниками? ____________________________________________________ 2. Какие четырехугольники являются правильными многоугольниками? 127 Чему равна градусная мера внутреннего угла правильного: а) треугольника; Otfi£eifi:_______________________ б) четырехугольника; O0l6et^i:________________________ в) /г-угольника? Otfi£efH:________________________ 128 Чему равна градусная мера внешнего угла правильного: а) треугольника; 0tfi6efH:____________________ б) четырехугольника; Offieetti:___________________ в) м-угольника? Offieetfi:___________________ 60 129.................................................................... Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол равен 108 (Дайте развернутый ответ)? Opfieetfi: 130 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внешний угол равен 36 (дайте развернутый ответ)? Olfieeta: 131 Какой многоугольник получится, если последовательно соединить отрезками взятые через одну вершины правильного: а) шестиугольника; Ofn£efH: б) восьмиугольника; Otn€etH: в) восемнадцатиугольника? OtfieetH: 132 Какой многоугольник получится, если последовательно соединить отрезками середины сторон правильного: а) шестиугольника; б) восьмиугольника; ____________________________ в) восемнадцатиугольника? Offieefn:___________________________ 2 ю i=i сг* » Е W X т о о *< •п о tr » ж ж 61 133................................................... Проведите доказательство задачи 132 б): **Если последовательно соединить отрезками взятые через одну вершины правильного восьмиугольника, то получится квадрат”. Дано: ____________________________ Доказать: Решение 134 ^ Сторона правильного шестиугольника равна а. Найдите его большую диагональ (Решите устно). Gfiieetn: 135 Сторона правильного восьмиугольника равна Ь. Найдите его большую диагональ. Дано: _____________________________ Найти: ^Решение OtHPeffi. 62 136................................................... Докажите, что в правильном шестиугольнике противолежаш;ие стороны параллельны. Дано: ____________________________ Доказать: ^Решение 137 Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон. Дано: _____________________________ Доказать: J^eiuenue 138* Диагональ правильного пятиугольника равна d. Его стороны продолжены до пересечения друг с другом так, что получилась пятиконечная звезда. Найдите расстояние между двумя ее вершинами, лежащими на прямой, содержащей одну из сторон пятиугольника. 5 ю X i=t tj* tt Е w S « о »-s о *< о tr » s ж s 63 Дано: Найти: Тешение OffLeetfi: ____________________________ Сформулируйте определения вписанных и описанных много угольников. Многоугольник называется вписанным в окружность, если Многоугольник называется описанным около окружности, если 139 1. Начертите правильный треугольник и постройте вписанную в него и описанную около него окружности. 2. Начертите правильный четырехугольник и постройте вписанную в него и описанную около него окружности. 140 ................................................. Постройте описанные около данных треугольников окружности и укажите, где в каждом случае находится центр полученной окружности. 64 В первом случае треугольник — произвольный, центр описанной окружности лежит внутри треугольника на пересечении перпендикуляров, проведенных к серединам сторон. Otfieetn: Во втором случае треугольник — _____________________ Offi£etH: В третьем случае треугольник — Сформулируйте теорему о вписанных в окружность и описан ных около окружности многоугольниках: В ходе доказательства теоремы о вписанных и описанных многоугольниках устанавливается следующий важный факт: “Для правильного многоугольника центры вписанной в него и описанной около него окружностей совпадают”. Кроме того, в ходе доказательства теоремы о вписанных и описанных многоугольниках устанавливаются правила нахождения общего центра вписанной и описанной окружностей: 1. “Чтобы найти центр описанной около правильного многоугольника окружности, нужно построить точку пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам двух соседних сторон. Радиусом описанной окружности является отрезок, соединяющий точку пересечения перпендикуляров с вершиной многоугольника”. П 5 ю и ХУ* № т S № О *4 о »< о ХУ* » S Ж S 65 2. '‘Чтобы найти центр вписанной в правильный многоугольник окружности, нужно построить точку пересечения биссектрис двух соседних углов. Радиусом вписанной окружности является перпендикуляр, проведенный из точки пересечения биссектрис к стороне многоугольника”. 141*.................................................... Около окружности описан многоугольник, все стороны которого равны. Является ли данный многоугольник правильным (Дайте развернутый ответ)? Дано: О — центр вписанной окружности; АВ = ВС = ... Доказать: Многоугольник ВС ... А правильный. Доказательство 142* Около окружности описан многоугольник, все углы которого равны. Является ли данный многоугольник правильным? Дано: О — центр вписанной окружности; zB = zC = ... = zA Доказать: Многоугольник ВС ... А правильный Доказательство 66 143 ............................................................ Выразите радиусы описанной и вписанной окружностей через сторону /г-угольника. Заполните таблицу. 144 а 2 ю » Е W S S о *-а § О СГ* » S Ж S Выразите сторону д-угольника через радиусы описанной и вписанной окружностей. Заполните таблицу. 67 145 Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус описанной окружности (Решите устно). 146 Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника, равен 2 см. Найдите радиус вписанной окружности. 68 Дано: Найти: J^etdienue Oiiieefii: Вписанные u описанные четырехугольники Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определения четырехугольника, вписанного в окружность, и четырехугольника, описанного около окружности. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если __________________ Четырехугольник называется описанным около окружности, если _____________ 147 Вписанный четырехугольник ABCD является выпуклым, если его вершины А и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей диагональ BD (дайте развернутый ответ). W а X о > X X m S о X X о > X X S W X м •ч г: О и СГ* X X X X 69 148 Два соседних угла zA и zB вписанного четырехугольника ABCD равны 23° и 157°. Найдите два других угла. 149 Два соседних угла zA и zD вписанного четырехугольника ABCZ) равны. Докажите, что четырехугольник АВСИ — трапеция. 70 150 Найдите угол BAD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если внешний угол четырехугольника при вершине С равен 108°. 151 (задача 32 учебника). Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Сформулируйте обратное утверждение. Определите, верно ли обратное утверждение, (дайте развернутый ответ.) Сформулируйте свойство и признак четырехугольника, описанного около окружности. Свойство и признак четырехугольника, описанного около окружности, являются обратными утверждениями. Внимательно изучите приведенную ниже таблицу и доказательство признака четырехугольника, описанного около окружности. 152 В приведенную ниже таблицу запишите условия и заключения теорем о свойстве и признаке четырехугольника, описанного около окружности. ю П S г» > » S Е м S О » ri > S tj* W nC w E •tj w X «< о cr к s ж s 71 ll Свойство четырехугольника, вписанного в окружность Признак четырехугольника, вписанного в окружность Дано: Дано: Доказать: Доказать: % 153 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника 13 см. Найдите периметр четырехугольника. (Решите устно.) 154 В трапецию вписана окружность. Найдите периметр этой трапеции, если ее основания равны 8 см и 12 см (Решите устно). D 155 (задача 5 из § 6 учебника). Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны. D Дано: Доказать: Доказательство 72 156........................................................... Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то прямоугольник — квадрат (дайте развернутый ответ). Ofn£effi: Подобие правильных выпуклых многоугольников. Длина okpyikHocmu. Радианная мера угла Сформулируйте теорему о подобии правильных выпуклых многоугольников. Сформулируйте следствие из теоремы о подобии правильны!? выпуклых многоугольников. о 3=1 о СП » м П S ю УЗ* ж ?т* W 157 (задача 37 учебника). Периметры двух правильных д-угольников отно-. С1 сятся как — . Определите, как относятся радиусы их вписанных и опи-0 санных окружностей. (Решите устно.) ж ж S X ж о § о ж tr* ж ж ж о ж 73 158 Сравните периметры правильных д-угольников, вписанных в окружность, радиус которой равен 2 см, при Д = 3, 6, 12 (запишите ответ в виде неравенства.) Дано: ____________________________ Найти: Тешеиме Сформулируйте теорему об отношении длины окружности к ее диаметру и сделайте краткую запись условия теоремы. Дано: Доказать: Запишите формулу длины окружности 74 159 Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить на k см? (Дг1Йте развернутый ответ.) 160 Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить в k раз? (Дайте развернутый ответ.) Орнверн: 161 Даны две концентрические окружности, длина одной из них равна ЗЗя см, а другой 27л см. Найдите ширину кольца. Дано: _____________________________ Найти: Решение а о » о W S м а 5> в S i=i tr № tr w E a 3: a о •-1 § о a er a a ж о а 75 162 Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 33 см и 56 см. Дано: _____________________________ Найти: !Решенл€е Otfieetfi: " 163 Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а см, а см, а см и 2а см. Дано: ____________________________ Найти: J^euieHue Oifieetfi. 1Ь 164................................................. Большая диагональ ромба равна 24 м, а угол 60°. Найдите длину вписанной окружности. Дано: __________________________ Найти: Решение Запишите формулу длины дуги окружности 165 Дуги AjBj равной длины € принадлежат разным окружностям с ра- диусами и Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствуюш;их этим дугам. Дано: ______________________________ Найти: Теишше о о » о W S м а 5 ш S tr » tx) E s ж ж s s » о •-1 о «< о ж ж » S ж о ж 77 166 По радиусу R = 1 найдите длину дуги, соответствующую центральному углу: а) 30°; I = ___________________________________________ б) 45°; I = ___________________________________________ в) 60°; I = ___________________________________________ г) 90°; I = ___________________________________________ Д) 180°; I = ___________________________________________ 167 Из вершин квадрата со стороной 4 см проведены дуги радиуса 2 см. Определите длину границы заштрихованной фигуры. !Реишше 0»н£е»н. 168 Из вершин правильного треугольника со стороной 4 см проведены дуги радиуса 2 см. Определите длину границы заштрихованной фигуры. ^Решение OffieetH. 78 169 На рисунке изображен поперечный разрез листа гофрированного железа. Его высота равна 10 см. Какой длины нужен плоский лист железа, чтобы сделать 1 м гофрированного железа.? Решение 170 По данным рисунков а) — е) найдите длину границы каждой из заштрихованных фигур. а) а) г) б) д) в) е) Сформулируйте определение радианной меры угла. Радианной мерой угла называется _____________ а о 3=1 о т S м а 2 а а а а а » а а а о •п о «< •-а о а СГ* а а ж о W 79 171 ........... Заполните таблицу. Градусная мера угла 30° 45° 90° 150° 240° Радианная к 2п Зя я мера угла 3 3 4 172 Чему равны градусная и радианная меры дуги, равной: а) половине окруж- градусная мера = радианная мера ности; =______________; =______________ б) третьей части окружности; в) четвертой части окружности; г) шестой части окружности; д) восьмой части окружности? градусная мера = градусная мера = градусная мера = градусная мера = радианная мера = радианная мера = радианная мера = радианная мера 80 14 Площади фигур Понятие о площади Сформулируйте определение простой фигуры 173 Разбейте фигуры, данные на рисунке, на треугольники. а) б) в) г) Сформулируйте понятие площади и свойства площади. Площадь — это_____________________________________ 1. 2. 3. П о S » S W О а о в 81 174...................................................... Дан параллелограмм ABCD. Постройте точку М, симметричную точке D относительно С, и соедините А и М. Докажите, что S ABCD = S AMD' п N 'Ь Дано: ABCD — параллелограмм; Точка М симметрична точке D относительно точки С. Доказать: Доказательство zBNA = zCNM как вертикальные. zABN = zMCN как накрест лежаш,ие углы при параллельных прямых АВ и DM и секущей ВС. zBAN = zCMN в силу теоремы о сумме углов треугольника. CD = СМ, так как точка М симметрична точке D относительно точки С; АВ = CD как противоположные стороны параллелограмма, следовательно, СМ = АВ. Отсюда следует, что AABN = AMCN. по первому основному свойству площади. Четырехугольник ANCD является общей частью параллелограмма ABCD и треугольника AMD. и + + ^AHCD- Следовательно. J Посмотрите внимательно решение задачи 174. Решите задачу 175 и запишите ее решение. 175 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причем точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что = S. ABCD AED' Дано: Доказать: Решение 82 176 Как изменится площадь квадрата, сторона которого равна 3 см, если каждую его сторону: а) увеличить в два раза; б) увеличить на 2 см; в) уменьшить в два раза; площадь квадрата Otfiieefn : площадь квадрата площадь квадрата г) уменьшить на 2 см? Ойг€ейг: площадь квадрата 177 Стороны двух квадратов равны 8 см и 15 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна сумме площадей данных квадратов (Дайте развернутый ответ). 178 Площадь поверхности озера равна 5 870 000 м^. Выразите площадь поверхности озера в квадратных километрах и гектарах (дайте развернутый ответ). Otn£efH: а о я н S W 0 а 1 ё X 83 Площадь прямоугольника Дайте словесную формулировку площади прямоугольника: Запишите формулу площади прямоугольника: 179 Как изменится площадь прямоугольника, если: а) каждую его сторону увеличить в два раза; ^ Offieeffi : площадь прямоугольника _______ б) одну пару противолежащих сторон увеличить в два раза; : площадь прямоугольника __________________ в) одну пару противолежащих сторон увеличить, а другую уменьшить в два раза? площадь прямоугольника ____________________________ 84 180 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника, стороны которого равны 8 см и 18 см (дайте развернутый ответ). OtHJeetfi: 181 Площадь прямоугольника равна 48 см^, а стороны относятся как 1:3. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника. Решение OffieetH: S = см^. Площадь параллелограмма Дайте словесную формулировку площади параллелограмма: а а о В ё tr а а W а S X ж > Запишите формулу площади параллелограмма: 85 182........................................................ Стороны параллелограмма 4 см и б см. Меньшая его высота равна 3 см. Вычислите вторую высоту. Teiuetiue 183 см. Докажите, что стороны параллелограмма обратно пропорциональны со-ответствуюш;им высотам. ^Решение OtHJeeffi: 184 Плош;адь параллелограмма со сторонами 17 см и 28 см равна 420 см^. Найдите диагонали параллелограмма. Дано: ______________________________ Найти: Тешение 86 Площадь треугольника Дайте словесную формулировку площади треугольника: Запишите формулу площади треугольника: 185 ........... Заполните таблицу. а h 7 б 9 63 3 18 а о В ё tr* ►d W »< О 1=1 tr » 186 Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 87 Доказательство 187 Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 8 см и 3 см. ^Решение 188 см. (задача 21 из учебника). Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а. Реишше 88 Дайте словесную формулировку площади треугольника по двум его сторонам и углу между ними: Запишите формулу площади треугольника по двум его сторонам и углу между ними: 189 Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон а, а другая by а угол между ними а, причем: а) а = 4 см, 6 = 6 см, а = 30°; б) а = 12 м, 6 = 5 м, а = 60°. J^euienue а) б) Offieetfi: а) 190 б) Найдите площадь ромба со стороной 12 см и тупым углом, равным 150' J^etueHue п о ё ё н м о i=t tr Я Я G/^e/н: 89 191 В ромбе ABCZ) со стороной, равной 5 см, угол между стороной и диагональю равен 30°. Найдите площадь ромба. Тешекие Otn^eHi: 192 в равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 6 см, а угол при основании — 45 Найдите площадь треугольника (Решите двумя способами). Дано: ______________________________________________ Найти: ______________ J^euieHue Первый способ. Второй способ. 90 ож 193 Докажите справедливость формулы для площади параллелограмма; = AB-AZ) sin zBAD. Дано: Найти: Доказательство 194 Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур. Доказательство а а о В ё •н м »< о а tr а S 91 195 Определите сторону параллелограмма, если другая его сторона 5 см, площадь его 10 см^ и один из углов 30°. Дано: Найти: Решение 0*н£ей1: см. 196 Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Доказательство Запишите формулу Герона площади треугольника: 92 197 Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 17, 65, 80; !Решение 25 29 1) 2) OffieetH: 1) 2) 198 в треугольнике со сторонами 30 см, 25 см и 11 см найдите длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла. Дано: _____________________________ Найти: Решение а а о В ё хг* •н tri О а а а Оньвенг. см. 93 199 Треугольник ABC, стороны которого 13 см; 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника ВМС. Дано: ______________________________ Найти: Tei4ieHue см. Равновеликие фигуры Сформулируйте определения равновеликих и равносостав ленных фигур: Равновеликие фигуры Равносоставленные фигуры 94 200 201 202 203 Нарисуйте параллелограмм. Покажите, на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольник. Покажите, на какие две части нужно разрезать трапецию, чтобы затем сложить из них треугольник. Покажите, на какие части нужно разрезать трапецию, чтобы затем сложить из них прямоугольник. Разрежьте равнобедренный треугольник на такие две части, чтобы затем сложить из них: а) прямоугольник; б) параллелограмм. 2 W » о ю m X я S tri •е- S TJ я 95 204 ......................................................... Нарисуйте прямоугольник, у которого одна сторона в два раза больше другой. а) Покажите, на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольный треугольник. б) Покажите, на какие три части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них квадрат. 205 В треугольнике АВС проведена медиана BD. Докажите, что Дано: _____________________________ с = с Доказать: ___________ Доказательство 96 206 (задача 15 из учебника). Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину. С Тешение 207 Разделите данный треугольник на два треугольника, площади которых относятся как 1 : 2. С Решение 208 Докажите, что каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника. Дано: _____________________________ Найти: Доказательство э ю № О W m :=« X к X W ■е- 97 209 Каждая диагональ четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что данный четырехугольник — параллелограмм. Дано: ____________________________ Найти: Доказательство Площадь трапеции Дайте словесную формулировку площади трапеции Запишите формулу площади трапеции: 210 Найдите площадь трапеции с основаниями а и & и высотой /г, если: а) а = 9 см, Ь = 7 см, Л = 4 см; б) а = 15 см, Ь = Ъ см, Л = 11 см. 98 Решение а) б) Offieefn: а) 211 ...... б) Основания трапеции равны 4 см и 7 см, а боковые стороны равны 5 см и б см. Вычислите площадь трапеции (заполните пропуски). Дано: ABCD — трапеция; ВС = 4 см, AD = 7 см, АВ = 5 см, CD = 6 см. D D Найти: S ABCD Решение Проведем в трапеции ABCD через вершину С прямую СА^ || АВ. В треугольнике А^С£) известны все стороны. Стороны АВ и CD даны по условию, сторона A^D =AD - ВС. Значит, можно найти его площадь AA^CD по формуле____________________ __________________________. Затем найдем высоту CF треугольника. 9 о В > HI г и W J3 S S которая одновременно является и высотой CF =_________________. По формуле____ найдем пло- щадь трапеции ABCZ). OfH^effi: 99 212....................................................... Найдите площадь трапеции, основания которой 16 см и 28 см, а диагонали — 17 см и 39 см. (Закончите решение задачи.) Дано: ABCD — трапеция; ВС = 16 см, AD = 28 см, АС =17 см, D CD = 39 см. Найти: D Тешение Воспользуемся понятием равновеликости. Проведем в трапеции ABCD через вершину В прямую ВА^ Ц АС. 213 Средняя линия трапеции равна 7 см, а ее площадь равна 56 см^. Найдите высоту трапеции. ^Решение OffieetH. 100 214 Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 4 см и 10 см. Найдите площадь этой трапеции. Решенме 0*н£е/п: 215 Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции. Дано: ____________________________ Найти: Тешение Otfi€effi: S = СМ'^. 216 в параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке F. Докажите, что AABF равнобедренный. Найдите площадь четырехугольника AFCZ), если Z.BAD = 60°, АВ =3 см, ВС = 5 см. а 0 В сг н 1 м А X X 101 Дано: Найти: Решение Offi£efH: см^ 217 в равнобокой трапеции, площадь которой равна 27\/3 см^, одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите основания трапеции. Дано: __________________________ Найти: Теисение S = СМ'^ 218 Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам. 102 Дано: Найти: Доказательство Формулы для радиусов вписанной и описанной окру^кностей треугольника Запишите формулу для радиуса описанной окружности треугольника: Запишите формулу для радиуса вписанной окружности треугольника: 219 ............................. Докажите, что площадь треугольника выражается формулой S = sin р sin у 2 sin а Дано: Найти: Доказательство < о tr W Я S г» > я я о я< о я я о > я я о О я я »< я о г» м я< 103 Решите следующую задачу (220), используя результаты решения предыдущей задачи (218) и задачи 1033 из учебника. 220 Докажите, что площадь треугольника выражается формулой 2 S = 2R sin а sin р sin у. Дано: _______________________________ 221 Найти: Доказательство Докажите, что площадь треугольника выражается формулой 2 S = 4R cos а cosp cos у или опровергните это утверждение. Дано: _______________________________ Найти: Доказательство 104 Площадь круга Запишите формулу площади круга: Запишите формулу площади сектора: Запишите формулу площади кругового сегмента: 222 Найдите площади заштрихованных фигур, используя данные рисунков. Я Я о в ё tr « 5 >s 105 Условие 7^ Уг Л Решение Ofn€efH: S = см^ Otfi£etH: S = см^ Offieefft: S = CM'^. 223 .............................................. Два круга радиусами по 5 см имеют обш;ую хорду длины 5л/2 . Найдите площадь общей части этих кругов. Теисекие Ofn€etn: Повторение 224 Запишите формулы площадей данных фигур по заданным на рисунках величинам: 106 1= ПОВТОРЕНИЕ rv о 225 ............................................................. Найдите площади заштрихованных фигур, используя данные рисунков (Внесите обозначения на чертеж.) 108 а о ш »н о ►в W я я m 109 Учебное издание Мищенко Татьяна Михайловна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ 9 класс К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16582 от 08.04.2014 г. Главный редактор Л. Д. Лаппо Редактор И. М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Технический редактор Л. В. Павлова Корректоры Т. И. Шитикова, Е. В. Григорьева Дизайн обложки А. Ю. Солодова Компьютерная верстка А. С. Федотова 107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru По вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).