Рабочая тетрадь по геометрии 9 класс Атанасян - Мищенко

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 9 класс Атанасян - Мищенко - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
Б ФгооЗ Т. М. Мищенко Рабочая тетрадь I I I К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» учени_________класса школы класс в Bi о Учебно-методический комплект Т. М. Мищенко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 9 класс Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2016 УДК 373:514 ББК 22.151я72 М71 Имя автора и название цитируемого и:здания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Мищенко Т. М. М71 Рабочая тетрадь по геометрии: 9 класс: к учебнику Л. С. Аганасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». ФГОС (к новому учебнику) / Т. М. Мищенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2016. — 60, [4] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-09561-3 Данное пособие полностью соответавует федеральному государственному образо-вагельному стандарту (второго поколения). Рабочая тетрадь для 9-го класса к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» рекомендуется для организации учебной деятельности учащихся на уроках и дома. Предлагаемые в рабочей тетради задания удовлетворяют требованиям, предъявляемым ФГОС, как к обязательному уровню, так и повьиненному уровню сложности. Форма заданий соответствует форме заданий Основного государственного экзамена (ОГЭ). Использование рабочей тетради в учебном процессе позволит осуществить: во-первых, достижение каждым учеником уровня обязательной геометрической подготовки, и, во-вторых, сформировать у учащихся умение применять полученные знания как в стандартных ситуациях, так и в несколько отличных от обязательного уровня. Использование рабочей тетради позволяет сэкономить время учителя при подготовке к уроку, а также время и на самом уроке и выполнить большее число заданий с записью в тетради. А у школьников будет хороший конспект по курсу 9-го класса, который, несомненно, поможет лучшему усвоению теоретического курса геометрии, а также, методов решения задач. Кроме того, рабочая тетрадь будет полезна и родителям, которые смогут следить за уровнем теоретических знаний своего ребенка и его умением решать задачи. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Подписано в печать 25.12.2015. Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1,51. Уел. печ. л. 5,2. Тираж 10 000 экз. Заказ № 5699/15. ISBN 978-5-377-09561-3 Мищенко Т. М., 2016 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2016 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава X. Метод координат.....................................4 Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов........................ 10 §1. Синус, косинус и тангенс угла.......................10 §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника...12 §3. Скалярное произведение векторов.....................27 Глава XII. Длина окружности и площадь круга ................33 §1. Правильные многоугольники...........................33 §2. Длина окружности и площадь круга....................43 Глава XIII. Движения........................................54 Глава X. Метод координат Сформулируйте определение координат вектора, суммы и раз ности векторов, произведения вектора на число: Координаты вектора а вычисляют по формулам: Равные векторы имеют Каждая координата суммы векторов Каждая координата разности векторов Каждая координата произведения вектора на число Сторона квадрата ABCD равна 3. Выразите векторы АБ, ВС, CD и DA через координатные векторы. (Решите устно.) У‘ с а А Otfi£efH: АВ = вс =__________ CD =__________ DA = В треугольнике OKL отрезок MN — средняя линия. Найдите координаты вектора KL , если MN {3, -4}. (Решите устно.) Сформулируйте определение координат вектора через координаты его начала и конца: Используя обозначения, данные на рисунке, заполните пропуски в таблице. л Aj Ag = а У1 ^2 У2 «2 3 2 8 14 б 8 6 8 1 -9 12 20 14 17 2 -4 -7 -13 12 27 Даны точки А {1, 2}, В {3, 0}, С {-4, 5} и D {-6, 7}. Определите, какие из векторов АВ, ВС, DC и CD равны. Утешение O^efn: 3 » > X S W н о » ж о о S S 5 Даны точки А {1, -3} и В {2, 0}. Найдите такую точку С {л:, t/}, чтобы векторы АВ и СА были равны. утешение Запишите формулы координат середины отрезка {х, у}, если координаты начала {х^, yj, а координаты конца {х^, уД. X = л В треугольнике ОАВ проведена медиана ОС. Определите координаты точки С, если точки А и В имеют координаты; А {-5, 0} и Б {О, -3}. (Дополните чертеж.) Дано: Найти: ^Решение Oi^etn: Дан треугольник АВС с вершинами А {7, -4}, В {-4, 3} и С {-5, 0}. Определите координаты концов средней линии треугольника, параллельной стороне АБ. Дано: Найти: Тешеяие Otnjeeffi: 8 в окружности с центром в точке С проведен диаметр АВ. а) Определите координаты точки С, если А {-6, -1} и Б {1, 4}. б) Определите координаты точки А, если С {О, 3} и Б { 3, 0}. Дано: а) ____ б) ____ Найти: а) б) !Pet4ienue 3 > ю > X S W •н о О о S S X Й Offieetfi: а) б) Запишите формулу длины вектора а {х, у} по его координатам а = Запишите формулу длины отрезка АВ, если А{х^, yj и В{х^, yj АВ = На окружности с центром в точке С {1, -6} отмечена точка А {10, 6}. Найдите радиус данной окружности. Решение G/fieetfi: 10 Даны точки А {—1, -3}, В (—4, 3} и С {5, 0}. а) Докажите, что АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС. б) Определите длину медианы ВМ. в) Определите длину биссектрисы АХ. VO (Я VO в L- u J ' ■ ? . y. p A:W - ■ « 3 ^ 1( I - 1 - ._ Э V •L S? I . 9 " I in *f г •О '-i z I f. 1^ Я’ V5 I- cr yi . 3 t. ' Ч I f ! >>- О Глава XL Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов § 1. Синус, косинус U тангенс угла Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определения синуса, косинуса и тангенса угла а, если 0° < а < 180°. Для любого угла а из промежутка 0°< а < < 180° синусом угла а называется____ X ш а о X м о о - 11 < в , а косинусом угла а называется Тангенсом угла а называется Заполните таблицу: а 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° sina cosa tga Запишите основное тригонометрическое тождество. 10 12 Найдите cosa и sina, если tga = Vs. Сколько решений имеет задача? ' Так как tga = sma sin а = V3, J^euieHue = V3 mo sina cosa. V cosa cosa По основному тригонометрическому тождеству sin^a + cos^a = 1, отсюда Зсоз^а + cos^a = 1, 4cos^a = 1, cos^ a = -j и tga > 0, mo cosa = s 2 ■ Задача имеет одно решение, так как tga = >/з > 0 . Otn£efH: cosa = ^ ; sina = ^ Так как sin а = >/з cosa, то sin а = 13 Найдите cosa и tga, если sina = 0,8. Сколько решений имеет задача? (Дайте развернутый ответ.) ^Решение Offi£efH: 14 Найдите sina и tga, если cosa = . Сколько решений имеет задача? (Дайте развернутый ответ.) Решение п X » .S ж о п X X м X о < > Offieetfi: 11 15............................................................. Найдите cosa и sina, если tga = 1. Сколько решений имеет задача? (Дайте развернутый ответ.) Решение 0tnj6effi: Запишите формулы для вычисления координат точки S X ы в о X Е-* О О и X < т < 5 X = У = § 2. Соотношения меЖду сторонами и углами треугольника Запишите формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. 16 (№ 1021 из учебника, глава XI, § 2). Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. 12 d Дано: Доказать: Доказательство Запишите формулу площади параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними. 17 Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. а Дано: Доказать: Доказательство п 3 *ГЗ о к О tr 13 18.......................................................... В прямоугольнике даны диагональ d и угол а ее наклона к стороне. Найдите площадь прямоугольника. ■ -^а 1 Дано: Найти: J^euie/ute Otn£efn: S S ы В о » Еч О О CJ X < п < 5 19 Параллелограмм и прямоугольник имеют равные стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника. Дано: Найти: Тешение Gffi€etH. 14 Сформулируйте теорему синусов и запишите ее формулировку, используя данные рисунка. 20 В треугольнике АБС сторона АВ равна 8 см, а сторона ВС — 12 см. Может ли sinC = 0,7? OffieetH: sinC потому что 21 Одна из сторон треугольника равна 10 см, один из углов, прилежащих к данной стороне, равен 45°, а противолежащий ей угол равен 60°. Найдите сторону, противолежащую углу в 45°. (Дополните чертеж.) Дано: Найти: Решение rs г» 3 ns о S |Н ns tr OtHJeetfi: 15 22........................................................... Один из углов равнобедренного треугольника 120°. Найдите отношение сторон этого треугольника. (Сделайте рисунок.) Дано: S К ы В о № н о о и Найти: !PeuieHue OfniSetfi: 23 Диагональ параллелограмма делит его угол на части, равные 45° и 30°. Найдите отношение сторон параллелограмма. (Дополните чертеж.) Дано Найти Т^ешение 16 24 Через точку R хорды KQ окружности с центром в точке О проведена прямая, пересекающая в точках Р иМ касательные PQ и КМ соответственно (см. рисунок). Докажите, что PQ • RM = КМ • QR . л. Дано: KQ — хорда; PQ и КМ — касательные; Q и К — точки касания; RsQK и RePM. Доказать: PQ • RM = КМ • PR. ^Решение Пусть в AQPR zPRQ = а, а zPQR = р, тог-^ sin а _ sin р sing _ PQ PQ ~ PR ’ sin р ” Pi? ■ В AKMR: zKRM = zPRQ = a, как вертикальные; Так как zPQR и zMKR опираются на дуги, дополняющие друг друга до полной окружности, и в силу теоремы об измерении угла, образо- sin а sin р ванного касательной и хордой: zMKR = 180° - р, тогда: КМ RM sin а КМ PQ КМ sin Р RM ■ Значит, = КМ-PR. OlfieeiM.: PQ ■ RM = KM ■ PR о о *TJ о s s 25 В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Докажите, что если ВС >АВу то ZlBDC — тупой. (Дополните чертеж.) Дано: Доказать: ЙГ* 17 Доказательство Посмотрите решение задачи №535 (учебник, глава VII, §1), а теперь решите эту задачу, используя теорему синусов. X X ш В о X н о о и X < < 5 26 (№ 535 из учебника, глава VII, § 1)............... Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 18 При решении задачи №27 воспользуйтесь утверждением задачи №26. 27 В треугольнике АВС проведена биссектриса BD, Докажите, что если Z.BDC — тупой, то середина стороны АС принадлежит лучу DC. (Дополните чертеж.) Дано: __________________________________ Доказать: Доказательство rs m 28 Докажите, что биссектриса треугольника не больше его медианы, проведенной из той же вершины. (Дополните чертеж.) ►ТЗ О S о « 19 29 В треугольнике из одной вершины проведены биссектриса, высота и медиана. Докажите, что основание биссектрисы лежит между основаниями высоты и медианы (Дополните чертеж.) Дано: _____________________________ Доказать: Доказательство Сформулируйте теорему косинусов. л ш В о S н О о о < CQ О О и l-i X < PQ < Ofn£effi: см. см. 37 Сторона треугольника равна 7 см, угол, противолежащий этой стороне, равен 60°, сумма других сторон равна 13 см. Найдите стороны треугольника. (Дополните чертеж.) Дано: Найти: 24 Решение Otfi£ein: см. CM. 38 Три равных квадрата расположены так, как показано на рисунке. Найдите угол АВС. Дано: Найти: м о о Решение S о tr* W Offi£efH: 25 s s Ы В о s §-l о о и нн X < PQ < 5 Решение треугольников. В учебнике рассматриваются три типа задач на решение треугольников. Рассмотрим решение этих типов задач. Дан треугольник АВС. Обозначим его стороны и углы: ВС = а, АС = Ь, АВ = с. ZBAC = а, zABC = р. zBCA = у. Решение треугольника: По стороне и двум углам Дано: а. а. р. Найти: &, с, у. По двум сторонам и углу мелсду ними Дано: а, Ь, у. Найти: с, а, р. По трем сторонам Дано: а. Ь, с. Найти: а, р, у. Единственность решения каждой задачи вытекает из соответствующего признака равенства треугольников. у=180°-(а + Р),а + р< < 180°. а _ Ъ , sin а sinp . asinP значит, о = — sin а а sin а siny ’ а sin у значит,с= sin а ^2 = д2 _|_ ^2 _ 2аЬ cos у, значит. с = у]а^ -2abcosY Если 1) Zy > 90°, значит, za и zp — острые; 2) Zy < 90°, пусть а<Ъ, za — острый. а с sin а siny > значит, а sin у sin а Р = 180°-(«-Ьу). Пусть а — наибольшая сторона, а < Ь + -f- с. д2 == ^2 _ 2cbcosa, cosa = 2cb значит, . n fesina sinp =------- a у = 180° - (a -f p). 26 Рассмотрим решение еще одной задачи. По двум сторонам и углу, лежащему против одной из них. Дано: а. Ь,а. Найти: с, р, у. , TeiueHue , . а о . о sin а , значит, sin р = sin а sin р а sin Р > 1 <1Ч\ Нет решения sin Р = 1 0 < sin р < 1 ь с Р = 90“ = 90° - а г>^ / A^=dZS: 1 Ъ С ь С = b-cos а а>Ъ а<Ь а > р, значит, Существуют два угла zp — острый. pj — острый и у = 180° - (а + р). Pjj — тупой а sin у с ~ (180° -р.) sin а у, = 180°--(а + р,) а sin у, = sin а у, = 180°-- (а + Pg). ^ asinyg Sin а Одно решение Одно решение Два решения § 3. Скалярное произведение векторов Сформулируйте определение перпендикулярных векторов ООП и> П г » о m а о S со » W ftl к S W ю м ж •-3 о ж о 27 Сформулируйте определение скалярного произведения векторов: Скалярным произведением двух векторов называется ______ а-Ь = Сформулируйте условие равенства нулю скалярного произве дения векторов. Скалярное произведение ненулевых векторов ________________ S Я ы В о Я 6-1 о о ИИ X < т < S 39 Найдите скалярное произведение векторов а и Ь, если |л| = 3, |ь| = 1. (Дайте развернутый ответ.)! 1. Векторы аиЬ параллельны и одинаково направлены. OffieetH:__________________________________________________________ 2. Векторы а и 6 параллельны и противоположно направлены. 40......................................................................... При каком расположении векторов аиЬ справедливы соотношения (дайте развернутый ответ)! 1. а-Ь =|a|-|fe|-? 2. а Ъ =-|а|-р|? Ойг£е*н: 28 41.............................................................. При каком расположении векторов а и ^ их скалярное произведение: (дайте развернутые ответы)! 1. положительно. 2. отрицательно. Offi€efn: 3. равно нулю. Otn£efn: Выразите скалярное произведение векторов в координатах. d‘b = Из теоремы о скалярном произведении векторов, заданных координатами, вытекают два следствия. Вторую часть следствия 1 и следствие 2 докажите самостоятельно. ООП Ы 42 Следствие 1. Ненулевые векторы a{ai;a2} и b{bi;b2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда а^‘ Ь^ = 0. 1. Если ненулевые векторы а {а^; ag} иЬ {&i; bg} перпендикулярны, тоа^'Ь^ + + а^‘Ь^ = 0. /Г Дано: а ±ь Доказать: - Ь^ + а^ - Ь^ = О Доказательство С одной стороны, а Ь =|а|ю cos90® = |a|- & -0 = 0 асдругой — й'Ъ =а^Ь-^ -fOg -Ьг* Отсюда • Ь^+ а^'Ь^ = 0. » о м {=> ►в о S ы W W 33 ся CI! S т W m о »ТЗ о W J 29 2. Если а^‘ b^ + а^ - = О, где О, а^Ф О, Ь^ф О, Ь^Ф О, то векторы а[а^\ag} и 6 {bj; ^2} перпендикулярны. Дано: _________________________________________________ Доказать: Доказательство » ш В о » м о о м X < п 5 43 Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами а{а-^\а2) и Ъ{Ъ-^\Ь2] выражается формулой: тяа = -— ^ ^2 Запишите формулу для вычисления косинуса угла между ненулевыми векторами а{х^; b{x2l yj. cos а 44 Определите, какие из векторов а{1; З}, Ь |2; -^|и перпендикулярны. Дано: ______________________________________________ Определить: ________________________________________ ^Решение GtHPetH. 30 45 .................................................... Найдите угол ф между векторами а{1; 3}и fe|2; Решение 0^i£etfi: ф =___________________________________________ 46 .................................................... Найдите угол ф между векторами а{2; 0} и & {-2; 2}. Решение Gtfi£e/fi: ф =__________________________________________ Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов. Для любых векторов а, Ь и с и любого числа к справедливы соотношения: 1°. ____________________________________________________ 2°. Переместительный закон:_____________________________ 3°. Распределительный закон:____________________________ 4°. Сочетательный закон: _______________________________ 47 .................................................... Докажите, что (а + 6)^ = + 2a-ft + Р. Г ^ ^ --------------------------------- Доказательство !' + ={^ал-Ь^{ал-Ъ^ = {а + Ь^а + {а + Ь^Ь = аа + Ьа + аЬ-^bb л-2аЬ-\-Ь^ 48 ................................................^... Докажите, что {а~ь"^ =а^ -2аЬ+Ь^. Доказательство U) п ж > ж ж ж » о т Я ж о S W ю trl » m X s w tn Ж О Ж о ж 31 49 S » ш в о » ы о о U »—I X < (р < Е На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD отмечены точки КиМтак, что SAK= = 2ВМ =АВ. Найдите косинус угла между прямыми DK и AM. Дано: Найти: Решение Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. За начало координат возьмем вершину квадрата А. Ось у определяется стороной квадрата АВ, а ось х определяется стороной квадрата AD. Пусть сторона квадрата равна а, тогда координаты векторов будут Ам|-|а, а| и ~ВК |-а, ^а|- Угол между прямыми AM и DK равен углу между векторами AM и DK. --* ' ' * 1 2 1 2 1 2 Скалярное произведение векторов AM DK = --a +-а =-- а . гг 1т^1 >Яо 17^1 Тб AM-DK л/2 Длины векторов равны:\АМ\ = ^^-—а, ц ; cosa = . I I 3 I I 2 \amV\dk\ J 32 Глава XII. Длина окружности и площадь круга § 1. Правильные многоугольники Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение правильного многоугольника. Многоугольник называется правильным, если Запишите формулу вычисления угла правильного п-угольника. а = 50 Укажите на рисунке правильные многоугольники и запишите их номера в ответе. Я Я tr № SS м з; о •-1 о «< о я tr я S ж я 33 51 ............................................................ 1. Какие треугольники являются правильными многоугольниками? OiHJeeffL:______________________________________________________ 2. Какие четырехугольники являются правильными многоугольниками? Offi£efH:_______________________________________________________ 52 ............................................................ Чему равна градусная мера внутреннего угла правильного: а) треугольника? GtHJ6efii: _____________________________ б) четырехугольника? OtfijSetfi:________________________________ в) /г-угольника? OtHJeetH: ______________________________ ^ При решении задач № 53-55 воспользуйтесь результатом ре шения задачи №1082 из учебника: глава XII, §1. 53 Чему равна градусная мера внешнего угла правильного: а) треугольника? Offt£etfi: ________________ б) четырехугольника? 0*нвейг:_____________________ в) /г-угольника? 54 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол равен 108“? Дано: ________________________ Найти: 34 Тешение OtHJeeffi: 55.......................................................... Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внешний угол равен 36°? Дано: Найти: Теишше OffieefH: 56 1. Какой многоугольник получится, если последовательно соединить отрезками взятые через одну вершины правильного: а) шестиугольника; Offi€etH:_____________________________ б) восьмиугольника; Ofn£eifi:_____________________________ в) восемнадцатиугольника? _____________________________ Я ? ш i=i er* Л Е м з: о *-s о •п о «Г S ж S 35 2. Какой многоугольник получится, если последовательно соединить отрезками середины сторон правильного: а) шестиугольника; _____________________________ б) восьмиугольника; Ойгве/н:_____________________________ в) восемнадцатиугольника? О/неаЛ:______________________________ 57 Проведите доказательство задачи № 56 (1.а): **Если последовательно соединить отрезками взятые через одну вершины правильного восьмиугольника, то получится квадрат*'. (Дополните чертеж.) Дано: _____________________________ Доказать: Доказательство 58 Сторона правильного шестиугольника равна а. Найдите его большую диагональ. (Решите устно.) Offi€efH: ______ 36 59..................................................... Сторона правильного восьмиугольника равна Ь. Найдите его большую диагональ. Дано: ____________________________ Найти: TeuieHue 60 Докажите, что в правильном шестиугольнике противолежаш;ие стороны параллельны. (Дополните чертеж.). Дано: Доказать: Доказательство Н » t=i tj* X Е W X О *1 о о :=! tr X X 37 61.................................................... Докажите, что диагональ правильного пятиугольника паргшлельна одной из его сторон. (Дополните чертеж.) Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство 62* Диагональ правильного пятиугольника ABCDF равна d. Его стороны продолжены до пересечения друг с другом так, что получилась пятиконечная звезда. Найдите расстояние между двумя вершинами построенной звезды, лежаш;ими на прямой АВ. (Дополните чертеж.) Дано: ____________________________ Найти: PetueHue OtfieefFi: 38 в главе VIII §4 учебника были сформулированы определения окружностей: вписанной в многоугольник и описанной около многоугольника. Вспомните эти определения. Окружность называется вписанной в многоугольник. Окружность называется описанной около многоугольника. Кроме того, в ходе доказательства теорем об окружностях: вписанной в треугольник и описанной около треугольника, устанавливаются правила нахождения центра вписанной и описанной окружностей: 1. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника. Радиусом описанной окружности является отрезок, соединяющий точку пересечения перпендикуляров с вершиной треугольника. 2. Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис его углов. Радиусом вписанной окружности является перпендикуляр, проведенный из точки пересечения биссектрис к стороне треугольника. 63 (№ 1033 из учебника, глава XI, § 2).................... Докажите, что в теореме синусов каждое из отношений и Sin а smp sin у равно диаметру окружности, описанной около треугольника. Дано: ________________________________ Доказать: 1=1 S ш S ;=! кг ж н: м S S о *-i о «< о tr S S ж 39 Доказательство Сформулируйте теоремы об окружностях: вписанной в много угольник и описанной около многоугольника. Около любого правильного многоугольника В любой правильный многоугольник Сформулируйте следствия из теорем об окружностях: вписан ной в многоугольник и описанной около многоугольника. 1. 2. В ходе доказательства теорем о вписанных и описанных многоугольниках устанавливаются правила нахождения общего центра вписанной и описанной окружностей: 1. Чтобы найти центр описанной около правильного многоугольника окружности, нужно построить точку пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам двух соседних сторон. Радиусом описанной окружности является отрезок, соединяющий точку пересечения перпендикуляров с вершиной многоугольника. 40 2. Чтобы найти центр вписанной в правильный многоугольник окружности, нужно построить точку пересечения биссектрис двух соседних углов. Радиусом вписанной окружности является перпендикуляр, проведенный из точки пересечения биссектрис к стороне многоугольника, 64* .................................................... Около окружности описан многоугольник, все стороны которого равны. Является ли данный многоугольник правильным? -С тт ^ Дано: О — центр вписанной окружности; ^ ZB = ZC = ... = ZA Доказать: Многоугольник ВС ...А правильный Доказательство 65* Около окружности описан многоугольник, все углы которого равны. Является ли данный многоугольник правильным? ‘ Д а н о : О — центр вписанной окружности: ^ ZB = ZC = ... = ZA I Доказать: Многоугольник ВС ...А правильный Доказательство П S со SC :=> tr » Е W X Я О •п О о «7* Я Я ж я 41 Запишите формулу площади многоугольника 66.............. Заполните таблицу. Число сторон Выражение радиусов вписанной и описанной окружностей через сторону многоугольника мнох иух'ольиика а R г 3 4 ^4 = 6 «в- '*6 = п R = п г = п 67 Заполните таблицу. Число сторон многоугольника п Выражение стороны многоугольника через радиусы вписанной и описанной R^ окружностей R г 3 4 «4 = «4 = 6 «6 = п а = п а = п 42 68........................................................ Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус описанной окружности. (Решите устно.) 69 Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника, равен 2 см. Найдите радиус вписанной окружности. Дано: ______________________________ Найти: Теишше rvj » s s > о Ж ж § 2. Длина okpyjkuocmu и площадь круга 70 Сравните периметры правильных тг-угольников, вписанных в окружность, радиус которой равен 2 см, при: /1 = 3 ___________________________________________________________________ я = б ____________________________________________________________________ я = 12 S О л •н S а а о В > tr ж ж 43 Сформулируйте утверждение об отношении длины окружности к ее диаметру и запишите формулу длины окружности. 71.................................................................. Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить на k см? (Дайте развернутый ответ.) !PeiueHue Otfijeetfi. 72........ Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить в h раз? (Дайте развернутый ответ.) ^Решение 73 Даны две концентрические окружности, длина одной из них равна ЗЗтг см, а другой 27тс см. Найдите ширину кольца. Дано: _____________________________ Найти: Решение 0*н£ейг. см 44 74..................................................... Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 33 см и 56 см. Дано: ____________________________ Найти: Решение см 75 Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а см, а см, а см и 2а см. Решите эту задачу при условии, что а = 7 см. Дано: ____________________________ Найти: го за « > о •те Тешеяие о •-3 к S р р о в > за tj* ж ж S3 Gfn£eiH: см 45 76.................................................... Большая диагональ ромба равна 24 м, а угол 60°. Найдите длину вписанной окружности. (Дополните чертеж.) Дано: ___________________________ Найти: ^Решение OtHPetfi: см Запишите формулу длины дуги окружности 77 в окружности радиуса R=1 найдите длину дуги, соответствующую центральному углу: а) 30°; 1 = б) 45°; 1 = в) 60°; 1 = г) 90°; / = Д) 180°. 1 = 46 78........................................................ Из вершин квадрата со стороной 4 см проведены дуги радиуса 2 см. Определите длину границы заштрихованной фигуры. Утешение Otn£etfi: 79 Из вершин правильного треугольника со стороной 4 см проведены дуги радиуса 2 см. Определите длину границы заштрихованной фигуры. Тешенме 0/нее*н: иоп го » ;=) X X > о X S X о п •н 80 На рисунке изображен поперечный разрез листа волнистого железа. Его высота равна 10 см. Какой длины нужен плоский лист железа, чтобы сделать 1 м волнистого железа? о В > ж ж 47 TeuieHue Otn€etH: 81......................................................... Дуги иА.^В^ равной длины I принадлежат разным окружностям с ра- диусами и Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам. Дано: Найти: Теисение Offi€etn: 82 Найдите длину границы каждой из заштрихованных фигур, используя данные рисунков. (Внесите обозначения на чертеж.) 48 § 2. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА о» «о JJ Условие Решение Otn€e^: I = см. Offt£effi: I = см. J Запишите формулы площадей круга и кругового сектора 83 Найдите площади заштрихованных фигур, используя данные рисунков. 50 § 2. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА 1Л 84 Запишите формулы площадей данных фигур по заданным на рисунках величинам: 52 § 2. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА го LTJ Глава XIII. Движения 85.................................................... Определите по рисунку вид движения, дайте его определение. ^ 2^ 86 Нарисуйте несколько треугольников, обладающих осевой симметрией. 87.............................................................. Какой треугольник имеет три оси симметрии? О^н/ве/н: __________________ 54 88.......................................................... Нарисуйте несколько четырехугольников, обладающих центральной симметрией; осевой симметрией. 89 Докажите, что биссектриса угла является его осью симметрии. Дано: ____________________________ Найти: Доказательство O/fieefH. 3 > W > X 2=i w м S 55 90.......................................................... При симметрии относительно прямой а точки А и В перешли соответственно в точки А' и В'. Докажите, что прямые АВ и А'В' пересекаются в точке, лежащей на прямой а, при условии, что прямые АВ и а не параллельны. (Дайте развернутый ответ.) В' Доказательство: 0tn£effi: 91 На плоскости отмечены 2011 точек. После симметрии относительно некоторой прямой а каждая из этих точек перешла в какую-то из отмеченных точек. Докажите, что прямая а проходит хотя бы через одну из отмеченных точек. (Дайте развернутый ответ.) Доказательство:___________________________________ OfHJee^. 56 92.............................................................. Определите, по какому правилу образована каждая из приведенных на рисунке последовательностей. (Дайте развернутый ответ.) 1) nS2£3MS Теишше: 1. 2. Otn^etn: 93 На листе бумаги проведены две пересекающиеся прямые, но точка их пересечения недоступна. Предложите способ, с помощью которого можно измерить угол между этими прямыми. (Дайте развернутый ответ.) Offieeifi. 94 Треугольник ABjD равнобедренный с основанием БХ), АВ =AD. Постройте точку С, симметричную точке А относительно стороны BD, и докажите, что четырехугольник АБСБ — ромб. > > X » я я я я 57 в 95 Дано: ___ Доказать: Доказательство Точка F — середина стороны АС в треугольнике АБС. Постройте точку D, симметричную точке В относительно точки Б, и докажите, что четырехугольник АБСБ — параллелограмм. Дано: Доказать: Доказательство 58 96......................................................... Нарисуйте равносторонний треугольник АВС. Постройте треугольник AjBjC, симметричный данному относительно вершины С. Докажите, что точки АВА^В^ являются вершинами прямоугольника. Дано: Доказать: Доказательство 97 Фигура переходит в фигуру в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а и Ь. Оси а и Ь пересекаются под углом 90°. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру Fj в фигуру F3. Фигура переходит в фигуру в результате: 1, поворота плоскости около точки О на угол, равный 180°; 2. симметрии относительно точки О. 3 ё > X 3=4 Ю tn 59 98................................................................ Фигура переходит в фигуру в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а иЬ. Оси а иЬ пересекаются под углом 45°. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру Fj в фигуру Fg. Gtfi€efH: 99 Фигура Fj переходит в фигуру Fg в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а тлЬ. Оси а и Ь параллельны. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру F^ в фигуру Fg. Ь d Otfi£effi: 60 Учебное издание Мищенко Татьяна Михайловна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ 9 класс К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16678 от 20.05.2015 г. Главный редактор Л. Д. Лаппо Редактор И. М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Технический редактор Л. В. Павлова Корректоры В. В. Кожуткина, О. Ю. Казанаева Дизайн обложки А. Ю. Солодова Компьютерная верстка К. А. Реутова 107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 8 (495) 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», 170546, Тверская область. Промышленная зона Боровлево-1, комплекс № ЗА. www.pareto-print.ru По вопросам реализации обращаться по тел.: 8 (495) 641-00-30 (многоканальный). УВАЖАЕМЫЕ ПОКУПА ТЕЛИ! Издательство «ЭКЗАМЕН» предлагает вашему вниманию следующие учебные издания: 1. Решение задач и уравнений в целых числах / Ю. В. Садовничий. (Серия «Предпрофильная и профильная подготовка») 2. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии: 9 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» / Т. М. Мищенко. (Серия «Учебно-методический комплект») 3. ОГЭ. Математика. 9 класс. Теория вероятностей и элементы статистики / А. Р. Рязановский, Д. Г. Мухин. (Серия «ОГЭ. 9 класс. Практикум») 4. Рабочая тетрадь он геометрии: 9 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» / Ю. А, Глазков, П. М. Камаев. (Серия «Учебнометодический комплект») 5. Геометрия. 9 класс: экспресс-диагностика / Н. Б. Мельникова. (Серия «Экспресс-диагностика») 6. Рабочая тетрадь по геометрии. 9 класс: к учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» / Т.М. Мищенко. (Серия «Учебно-методический комплект») 1. Промежуточное тестирование. Геометрия. 9 класс / Ю. В. Садовничий. (Серия «Промежуточное тестирование») 8. ОГЭ. Геометрия. Итоговая аттестация. Типовые тестовые задания. 9 класс / А. Р. Рязановский, Д. Г. Мухин. (Серия «Итоговая аттестация») 9. Геометрия: 9 класс: контрольные измерительные материалы / A. Р. Рязановский, Д. Г. Мухин. (Серия «Контрольные измерительные материалы») 10. Контрольные работы по геометрии: 9 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна, B. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7-9 классы» / Н. Б. Мельникова. (Серия «Учебно-методический комплект») 11. Тесты по геометрии: 9 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» / А. В. Фарков. (Серия «Учебно-методический комплект») 12. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия / Е. В. Потоскуев. (Серия «Предпрофильная и профильная подготовка») 13. Дидактические материалы по геометрии: 9 класс / Н. Б. Мельникова, Г. А. Захарова. (Серия «Учебно-методический комплект») 14. ОГЭ. Математика. Задачник. Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, М. Я. Гаиашвили. (Серия «ОГЭ. Задачник») 15. ОГЭ. Математика. Сборник экзаменационных тестов. 3 модуля / А. Р. Рязановский, Д. Г. Мухин. (Серия «ОГЭ. Типовые тестовые задания») Москва ИП Степанов — Тел. 8-926-132-22-35 Луна —Тел. 8-916-145-70-06; (495) 688-59-16 ТД Библио-Глобус - Тел. (495) 781-19-00 Молодая 1"вардия - Тел. (499) 238-00-32 Дом книп! Медведково - Тел. (499) 476-16-90 Дом книги на Ладожской - Тел. (499) 400-41-06 Шаг к пятерке - Тел. (495) 728-33-09; 346-00-10 Сеть магазинов Мир школьника Санкт-Петербург Коллибри - Тел. (812) 703-59-96 Буквоед - Тел. (812) 346-53-27 Век Развития - Тел. (812) 924-04-58 Тандем - Тел. (812) 702-72-94 Виктория - Тел. (812) 292-36-59/60/61 Санкт-Петербургский дом книги - Тел. (812) 448-23-57 Архангельск АВФ-книга - Тел. (8182) 65-41-34 Барнаул Вектор - Тел. (3852) 38-18-72 Благовещенск Калугин - Тел. (4162) 35-25-43 Брянск Буква - Тел. (4832) 61-38-48 ИП Трубко - Тел. (4832) 59-59-39 Волгшрад Кассандра - Тел. (8442) 97-55-55 Владивосток Приморский торговый дом КНИП1 - Тел. (4232) 63-73-18 Воронеж Амиталь - Тел. (4732) 26-77-77 Риокса - Тел. (4732) 21-08-66 Екатеринбург ТЦ Люмна - Тел. (343) 344-40-60 Дом книги - Тел. (343) 253-50-10 Алис-Тел. (343) 255-10-06 Буквариус - Тел. 8-800-700-54-31; (499) 272-69-46 Ессенгуки ЧП Зинченко - Тел. (87961) 5-11-28 Иркутск Продал1ттЪ - Тел. (3952) 24-17-77 Казань Аист-Пресс - Тел. (8435) 25-55-40 Тайс - Тел. (8432) 72-34-55 Киров ИП Шамов «УЛИСС» - Тел. (8332) 57-12-15 Краснодар Ког орта - Тел. (8612) 62-54-97 ОИПЦ Перспективы (збратования - Тел. (8612) 54-25-67 Красноярск Градъ - Тел. (3912) 26-91 -45 Планета-Н - Тел. (391) 215-17-01 Кострома Леонардо - Тел. (4942) 31-53-76 Курск Оптимист - Тел. (4712) 35-16-51 Мурманск Тезей - Тел. (8152) 43-63-75 Нижний Новгород Учебная книга - Тел. (8312) 40-32-13 Пароль-Тел. (8312)43-02-12 Дирижабль - Тел. (8312) 34-03-05 УВАЖАЕМЫЕ ПОКУПАТЕЛИ! Книги издательства ЭКЗАМЕН можно приобрести оптом и в розницу в следующих книготорговых организациях: Нижневартовск Учебная книга - Тел. (3466) 40-71-23 Новокузнецк Книжный магазин Планета - Тел. (3843) 70-35-83 Новосибирск Сибверк-Тел. (383) 2000-155 Библионнк - Тел. (3833) 36-46-01 Планета-Н - Тел. (383) 375-00-75 Омск Форсаж - Тел. (3812) 53-89-67 Оренбург Фолиант - Тел. (3532) 77-25-52 Пенза Лексикон - Тел. (8412) 68-03-79 Учколлектор - (8412) 95-54-59 Пер.мь Азбука-Тел. (3422) 41-11-35 Тигр - Тел. (3422) 45-24-37 Петропавловск-Камчатский Новая книга- Тел. (4152) 11-12-60 Пятигорск ИП Лобанова - Тел. (8793) 98-79-87 Твоя книга - Тел. (8793) 39-02-53 Ростов-на-Дону Фаэтон-пресс - Тел. (8632) 40-74-88 1Ш Ермолаев - Тел. 8-961-321-97-97 Магистр - Тел. (8632) 99-98-96 Рязань ТД Просвещение - Тел. (4912) 44-67-75 ТД Барс - Тел. (4912) 93-29-54 Самара Чакона-Тел. (846) 231-22-33 Метила - Тел. (846) 269-17-17 Саратов Гемера - Тел. (8452) 64-37-37 Умная книга-Тел. (8452)27-37-10 Полиграфист - Тел. (8452) 29-67-20 Стрелец и К - Тел. (8452) 52-25-24 С.молснск Кругозор - Тел. (4812) 65-86-65 Сургут Родник - Тел. (3462) 22-05-02 Тверь Книжная лавка - Тел. (4822) 33-93-03 Тула Система Плюс - Тел. (4872) 70-00-66 Тюмень Знание - Тел. (3452) 25-23-72 Уссурийск Сталкер - Тел. (4234) 32-50-19 Улан-Удэ ПолиНом - Тел. (3012) 55-15-23 Уфа Эдвис - Тел. (3472) 82-89-65 Хабаровск Мире - Тел. (4212) 47-00-47 Че.тябинск Интерсервис ЛТД - Тел. (3512) 47-74-13 Южно-Саха.тинск Всс1ъ - Тел. (4242) 43-62-67 Якутск Книжный маркст - Тел. (4112) 49-12-69 Якутский книжный дом - Тел. (4112) 34-10-12 По вопросам прямых оптовых закупок обращайтесь по тел. (495) 641-00-30 (многоканальный), sale(^examen.biz; www.examen.biz