Рабочая тетрадь по геометрии 9 класс Атанасян - Глазков Камаев

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 9 класс Атанасян - Глазков Камаев - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
о ФЮС^ Ю.А. Глазков, П.М. Камаев Рабочая тетрадь по геометрии учени класса школы I ГЕОМЕТРИЯ & н класс ЭКЗАМЕН Учебно-методический комплект Ю.А. Глазков, П.М. Камаев РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 9 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издание третье, переработанное и дополненное Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2013 УДК 373:514 ББК 22.151я72 Г52 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (cm. 1274 п. / части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебника «Гео.иетрия. 7-9 кпассы: учеб, д.зя общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадо.щев и dp.J. М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного .материала (cm. 1274 п. I части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Глазков, Ю.А. Г52 Рабочая тетрадь по геометрии: 9 класс: к учебнику Л.С. Аганасяна и др. «Геомсгрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. учреждений» / Ю.А. Глазков, II.М. Камаев. — Зч: изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Экзамен», 2013. — 79, [1] с. (Серия «Учебно-.методический комплект») ISBN 978-5-377-05355-2 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к школьному учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Основное назначение тетради — обеспечение решения задач учащимися на уроке и дома после ознакомления с новым учебным материалом. Теградь окажется полезной и при самостоятельном изучении материала учебника, например, если ученик пропустил занятия из-за болезни. Приказом № 729 Минисгсрства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издагельсгва «Экзамен» допущены к использованию в обшеоб-разователып>1Х учреждениях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изл. л. 2,79. Уел. печ. л. 6,5. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3543/12. ISBN 978-5-377-05355-2 © Глазков Ю.А., Камаев П.М., 2013 © Издательство «ЭКЗАМЕН», 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава X. Метод координат §1. Координаты вектора..................................4 §2. Простейшие задачи в координатах....................10 §3. Уравнения окружности и прямой..................... 18 Глава XI. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов §1. Синус, косинус, тангенс угла.......................26 §2. Соотношение между сторонами и углами треугольника..35 §3. Скалярное произведение векторов....................43 Глава XII. Длина окружности и площадь круга §1. Правильные многоугольники..........................51 §2. Длина окружности и площадь круга...................61 Глава XIII. Движения §1. Понятие движения...................................66 §2. Параллельный перенос и поворот.....................73 Приложение.................................................79 о (0 ia м Ж Ж m Глава X Метод координат Координаты вектора 86. РаздоЯ^ение вектора по двум некоддинеарным векторам Отрезок АЕ разделен на шесть равных частей. I-1-1-1--1-1-1 А В С НЕ Найдите значение числового множителя в каждом равенстве: &)'аН=хАВ, б)СН = уСВ, b)^ = z^, T)AC = tEH. ^Решение. а) Так как АН ТТ АВ, то х>___. |х| = Следовательно, х =____. б) Так как СН___СВ, то у____0. |у| = Следовательно, у =____. в) Так как АВ___АН, то z 0. |z| = Следовательно, г =____. АН СН = 5: = :2 = г) Так как АС___ЕН, то t___0. |<| = Следовательно, t = ___. 0»нвеМ: а) X =___, б) у =__, в) z =__, г) f = (Г ———■■ \ А. Лемма. | Если векторы тир коллинеарны и то существует число х такое, что т = л:-_. V _______________ (Г Доказательство. Векторы т и. р коллинеарны, следовательно, они или сонаправлены или _________ на- правлены. Рассмотрим каждый случай отдельно. 1 случай. Пусть /пТТ 5 и Тогда хр____р, так как х > ____ ( ния вектора на число), щТТр по т____хр. Найдем длину вектора хр : |дгр| = |д:|-_ Значит, векторы ти хр_____________ умноже- , следовательно. \Р\ = . 2_случай. Пусть mit р и д: = -Тогда хр____р, так как х___О ( т умножения век- тора на число), т___р по условию, следовательно, т_____хр. Найдем длину вектора хр: \х р1 = |^|-_ Значит, векторы m и_______равны. Лемма доказана. ж о о т Дгшо: трапеция ВСЕН, СЕ\\ВН, СЕ = 3 см, ВН = 5 см, точки М, Р — середины сторон ВС п ЕН. Выразите вектор МР через вектор: а) СЕ; б) НВ. TeuieHue. 1)Отрезок МР — средняя линия трапеции, поэтому отрезок МР________________основаниям. •ч о 5 и, по МР = хСЕ и МР = у, Так как МР_____СЕ, то х__О, а так как МР___НВ, то у__0. 2)Средняя линия трапеции равна________________оснований, поэтому МР 0,5(3 + _) х=- ■ = =, a|i/| = = = =. Следовательно, МР_____СЕ МР______НВ. Otfieetfi: а) МР_______СЕ, б) МР________НВ, { Дано: параллелограмм НМРТ, точки А и В Р| — середины сторон РМ и МН. Выразите через векторы МР и МН векторы: а) РА; б) МТ; в) PH; г) НА. ___ J^eiueHue. М а) РА =--МР (_______________), 0-МЯ =___ (___________умножения вектора па число), РА = -0,Ъ- б) МТ = МР +___(правило______________); в) РН = М _-М___ г) НА = НМ +__ (правило ние ___________ НА = В \ II ■МН. ____________), НМ =_____МН (определе- векторов), МА =_____-МР (______________), отсюда ■МН + ■МР- Otfi£effL: а) -РА =____________; б) М7’ = . в) ^ =_______________; г) liA =___________ Векторы т и Р не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 2т + ур = хт -р, б) Ып + Зп-х m-i-у п = 0, в) х т + 4 р - у р = 0. J^etueHue. Соберем слагаемые, содержащие вектор т, слева от знака равенства, а слагаемые с вектором Р справа от знака______________. Тогда мы получим: a)2m_______xm =______p-p, (2________л^)/п = (_ _ =_____Р — УР, (5-_______)/n = (_ __________. _m = (____________)p. 6)5 m-______= B)xrh =_______ Так как векторы m и P___ должны быть равны_______ Gffieeifi: а) X =__, у = -)Р^ -)Р* ____________, то коэффициенты перед ними . Отсюда получаем искомые значения х и у. б) X =______, у =__, в) X =__, у =___. Диагонали параллелограмма Докажите, что если векторы Р и Я не коллинеарны, то векторы Р + Я и Р~Я тоже не коллинеарны. Доказательство. Отложим от произвольной точки о векторы OQ = q и ОР = р, так как векторы р н q_______, то точки О, Р и Q______на одной прямой. Построим параллелограмм OPMQ и найдем сумму и разность векторов по правилу________ p + q=OP +___=____, p-q~OP-____=____. Q то есть векторы, лежащие на них 87. Координаты вектора А. Система координат. Выберем произвольную точку О. Проведем через точку О две взаимно перпендикулярные прямые: Ох и Оу. На каждой из них выберем направление и единичный отрезок. Введем координатные векторы i и j следующим образом: i направление вектора совпадает с направлением оси _, а направление вектора__ совпадает с направлением оси ж о 0 1 ш ш W ж ►ч о ►в Отложите данные векторы от указанных точек. а) OA=2i + 4j, б) ВС = -з1+2], в) ВМ^З]^ г) DE {2; 4}. д) ^{-5; -1}, е) ^{-3; 0}. 7............................ Заполните пустые клетки таблицы. 1 } -|”ГП yi T "T П i ! ! —J—^ 1 1 1 1 1 i 1 ) iT Jfi 1 ! 1 1 1 i i \ 1 1 1 lB „ 1 i i j, ill' wl 1 X 1 I 'o ^ 1 1 1 1 J |У7 i 1 i i i ) ] 1 1 1 i 1 1 1 1 ' i i J ГГ"! t;"i Вектор Разложение вектора по координатным векторам Координаты вектора a 3i + j 2} b c d e g i CC Б. Действия с координатами векторов. 1. ЬСоординаты равных векторов (это следует из п. 86). 2. Каждая координата сзпимы двух или более векторов равна ________менных________________этих векторов. Действительно, если у,}, 1/2} ^ с = т + р, то /n = Xii + j/i р = Х2_+ Уг], c=m + p = xj + yj + Х2_ + У2_ = (х^+__)i* + (t/i+__)/. J 8 то есть с {xj +_;________}. 3. Каждая координата разности двух векторов равна________ одноименных координат этих векторов. 4. Каждая координата произведения вектора на число равна соответствующей координаты вектора на это 5. Координаты коллинеарных векторов_________________. Действительно, если rh{xi; у^}, р{х2', У2] и ш\\р, причем т_О, то найдется число k такое, что p = k_(_____п. 86). Следовательно, kin {Ах,;__} (см. п.__) и х.^ = kx^ (см. п._). От- сюда, — =___, У1 ... - , значит, —____- Хо К У г' 8 Векторы а и Ь равны. Найдите числа дг и у, если: - - - - , - - 2-a)a = l,5i + 2y б)а{-3,7;у} B)a = xi--j b = xi + yj b{x\2,S} ^|f ’ ^ Ответ объясните. Так как векторы равны, то их ____________, следовательно, х= х= . дс = а) б) У = . в) У- координаты Найдите координаты суммы векторов а и Ь, если: а) 0 = 3,3i-1-2,7;, & = -0,8i+ 0,7;; б) о {-5,4; 7,2}, &{-0,6; -0,2}; в) о {4,6; -1,8}, 6 = 1,4t +1,3;; Oni£eifL: а) {_____;______}; б) {_____;______}; в) {_ ж о о ta ю м ж ►-# О 10................................................. Найдите координаты разности векторов а и Ь, если: а) a = 3,3i + 2,7/, & = -0,8i + 0,7/; б) а {-5,4; 7,2}, Ь (-0,6;-0.2}; в) а{4,6; -1,8}, & = 1,41 + 1,3;; а) {_____;_____}; б) {____;_______}; в) {_ 11 Заполните пропуски в равенствах так, чтобы они стали верными; а) 2 • {3,5; -1,25} = {_;____}; в)____• {0,3;____} = {-12; 48}; б) -^ (-6,ЗТ+З,9у)={____;____]; г) 0,2 • {_; 25} = {7,2;__}. 12........................................................... Заполните пропуски, зная, что векторы а и Ь коллинеарны. ^ а) a=6i-4j, Ь=______i + 2j; б) а{7;_______}, б{3,5; -4}; в) a=l,5i-0,75y, Ь{_____; З}; г) о{-б;4,2}, Ь=____i + 1,4;. Простейшие задачи в координатах 88. Связь меЯ^ду координатами вектора и координатами еео начала и конца Г А. Радиус-вектор точки Р(х; у) — вектор ОР, где точка О — начало координат. ОР=оЦ + Ш^=х1+у], ОР{х;_}. Координаты точки Р равны________________ координатам ее радиус-_____________. У\ 1 — ; ! 1 н ! i о. :^йгГ : м гт^ S 1 1 I 1 1 10 Диагонали параллелограмма ВСЕН пересекаются в начале координат. Найдите радиус-векторы его вершин, если В{-3; 2), ОС{1;-4}. Начертите параллелограмм ВСЕН. Тешение. Радиус-векторы ОВ и ОЕ, а также ОС и ____являются ______________, следова- ... 1 b t 1 1 t i 1 ! I i О “x. 1 i ГТТ ; j тельно, их координаты противоположны. Otfi£eifi: ОВ ОС (_; ОЕ {_; _}, ОН Начертите квадрат НМРТ, если Щ-1; -4), а диагонали пересекаются в точке 0(0; 0). Найдите координаты радиус векторов ОМ, ОРкОТ. Ш ОР (_; ОТ Г Б. Каждая координата вектора равна ________ одноименных координат его конца и________. Действительно. Рассмотрим вектор HP. Пусть H(Xf^; и Р(х^; у^). Векторы ОН и _______являются радиус-___________ точек Н и Р, поэтому их координаты равны одноименным______ _точек Н и Р, то есть ОН {xjj; } и ОР{_; ур }. Так как НР=ОР___ОН и координаты вектора разности HP равны разности__________координат векторов ОР и___( п.87 Б, свой- а о о m В m со Дч Ж W ж § I ство___),то HP {дГр -__; Ур__у„ }. 11 Заполните пустые ячейки таблицы. а б в г Д В (0; 0) (-1; -2) (-3; 6) (-2; 3) с (5; 2) (4; 0) (_; 6) (1; 4) а=ВС {0; } {5; 2} {-2; 5} Тешеиме. Подставляя в формулы, доказанные в теореме_, координаты точек получим: а)^а=5_0=_, Уг ___)=_, у„-=0_2=_, в) 0=х--(-3), {/з=6_6=_, отсюда х-=_, у^=__, г) _____________________________________________________, Д) _____________________________________________________. 89. Простейшие задачи в координатах /Г А. Координаты середины отрезка. Каждая координата середины отрезка равна __________одноименных координат его____________. Если — середина отрезка PH,то Хр +Xfj _ур—у и ^А = Уа=- yit^ н J Заполните пустые ячейки таблицы, если точки А и В ка, а точка С — его середина. — концы отрез- 12 а б в г А (3; -4) (0; 0) (7; -8) В (5; 8) (-3; -2) С (3; 2) (0; 0) (5; 6) Теишше. Подставим координаты точек в формулы координат резка: 3 5 ___+___ а) Ус=----7,--=—5 от- дс+0 I/ О б) 3=----, 2= — , отсюда X =____, у =___; 2 в) г) Подставим координаты векторов в формулу вектора: = >/(-12)" +______________ =/. =4- Oiti£e)H: |а|=_____, Ъ =_____, 1с|= Найдите длины векторов а {-12; 5}, Ъ {-3; -7}, c-8i -15;. Решение. а ►в о в а» В X м W Л » W ж о 0 S а 1 13 в. Расстояние между двумя точками. Если А(х^; у^), у^), то АВ=^{хд - f +(у^_у^ f. % 1 Действительно, длина отрезка равна вектора, начало и которого совпадают с данными точками. Найдем коорди-_______^{хв~___________; У в У а)' наты_________ Тогда АВ= АВ =^(хд f _(уд _у^ f. Таким образом, расстояние между двумя точками равно______ из суммы____________разностей_________________координат. Найдите расстояние между точками: а) А(7; 10) и В(4; 6), б) С(-1; 2) и D(3; -5). J^euienue. Подставим координаты точек в формулу расстояния __________ двумя а) AB=j(4-7f+(6 б) СР=]( )Ч( OttieeffL: в)АВ = ., б) CD = Найдите неизвестные координаты точки А, если а) А(х; 11), В(10; -1), АВ = 13; б) А(-2; у), В(-3; -1), AB=Vl7. Тешение. Подставив данные в формулу___________ получим уравнение между двумя а)13=^(х-____)Ч. выражение равно _ \2 , из которого следует, что подкоренное _ числа 13, то есть получим уравнение .=(х__10) +________, (х-10)^=___, следовательно, х - 10 = _, значит, X =____или х - ____. или X - 10 = 14 6)717=л/( __________ (1 + j/)^ =___, следовательно, 1 + у чит, у =______или у =______. Ofn£e*H: а) лг =____, Ъ) у =____. ) , отсюда __= 1 + (-1 - уУ, то есть или 1 + у =________, зна- 8 Докажите, что точки А(-1; 1), Б(-2; 3) и С(1; -3) лежат на одной прямой. Доказательство. Если точки лежат на одной прямой, то векторы, определяемые этими точками, _________по_______________. Следовательно, координаты этих векторов ___________(п. 88, Б__). _ Найдем координаты векторов АВ и ВС: ^{-2_(-1); 3_1}={-1;__}, ВС{_+_;____-_}={_____; -6}. ГГ f - 1. — - — —1 , -1 J г 1 X о 1 J J i i -1 Составим пропорцию ___ -6 , она верна, значит, векторы , и точки А, В и С_________на одной прямой. Выясните, является ли параллелограммом четырехугольник ВСНМ, если В{-5; 0), С(-2; 4), Я(5; 2), М(2; -2). Решение. 1 способ. Четырехугольник является па-ргшлелограммом, если две его стороны равны и______________(признак парал- лелограмма), то ость векторы, заданные противоположными сторонами, равны или______________. Тогда их координаты также________________или противоположны. 1 1 — X Q [l I i » о и ы из л к ю ж о 0 X аа 1 Найдем координаты векторов ВС и МН: 15 5С{-2_(-5); 4_0}={__; мн{______;_____}={__;__ }• , следовательно, векторы Координаты векторов____ то есть ВС\\МН и ВС____мн, значит, четырехугольник ВСНМ — 2 способ. Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали _________________и точкой пересечения делятся___________ (_________параллелограмма). Найдем координаты середин диагоналей ВН и____. Пусть точка А — середина диагонали ВН, а точка Е — середина диа- -5 5 гонали____, тогда ____, у^= ----=___, Хе=^ Уе=^ Координаты точек А и Е ___________, следовательно, точки А и Е , значит, диагонали четырехугольника____________и де- лятся точкой пересечения гольник ВСНМ следовательно, четыреху- параллел ограм мом. 10 Точки А и В находятся на расстоянии 5 единичных отрезков от точки С(3; 5). Точка А лежит на оси Ох, а точка В — на оси Оу, Найдите координаты точек А и В и отметьте их на чертеже. Тетение. 1)АеОх, поэтому точка А имеет координаты (х; _). Подставив данные в формулу ___________ между двумя ___________, 1 i ! f 1 I 1 1 M )' "1" i ! ! i ' f i 1 ! M ^ i ttrti I'h i 1 i i ; 1 '7 1 ■■jyi-j 1 i 1 TT 1 i ! i 1 ■ I i i • 1 ! ' ! !o 1 1 i 1 1 \ X' 5=,/(а:_з/_(0-_/ , следовательно, (х - 3)^ + (х - 3)^ =_, то есть X =_. получим уравнение _____ = 25, значит. 16 2)В&0у, следовательно, х = ____. Подставив данные в формулу между двумя _________, получим уравнение ) , откуда {у-ЪУ_=___, значит, г/-5=_ или р-5=______, следовательно, у =____или у —______. Otfieeta: а) А(__; 0), б) Б(0;_____) или Б(0;_______). 11 Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если А(0; -3), В(-2; 3), С(2; 1). Сделайте чертеж. Тешение. 1)Докажем, что стороны АС и ________ равны, для этого найдем их длины: АС=^(2_0/_(. BC=.jCl /_с Итак, АС____ВС, следовательно, треугольник —________________. 2)S^„^, = АВ • СН, где СН — высота, проведенная к основанию АВ. Так как треугольник равнобедренный, то высота СН является и ___________, то есть точка Н —____________стороны АВ. 3) Найдем координаты точки 4) Найдем длины основания . —-—f-(— о (-2) Я: ^ ____, у=- и высоты СН = /_ -)=v_=_v: ^)‘®авс~2-------- о i-i tn » В s tn Ы X га w sc о о s X KB. ед. 17 Уравнения окружности и прямой 90. Уравнение линии на плоскости Линия L задана уравнением - х = 4. а) Какие из точек А(-4; 0), В{-5; 3), С(0; -2) принадлежат линии L? б) Точки Е{х; 1), F(-4; у) и G{x; 2) лежат на линии L. Найдите их неизвестные координаты. Тешение. Точка лежит па линии, заданной уравнением г/^ - х = 4, если ее _____________удовлетворяют .этому____________. Если же координаты точки не удовлетворяют уравнению - х = 4, то точка______на этой линии, а) Подставим_______ точки А в уравнение - х = 4. Числовое равенство 0^__4 = 4 верно. Следовательно, точка А(-4;0) данной линии______________. Подставим координаты точки В в уравнение у^ - х = 4. Числовое_______________3^ - ___) = 4 неверно. Следовательно, точка В(-о; 3) данной линии______________. Подставим координаты точки С в _____________ равенство ____-__ = 4 г/^ - X = 4. _____. Следовательно, точка С(0; -2) данной линии___________. б) Подставив известные координаты точек Е, F, G и Н в уравнение линии - X = 4, получим следующие уравнения: для абсциссы точки Е__- х =4, откуда х =_, для ординаты точки F у'^ -_= 4, откуда у^ =_, и у =____, для____________________________________________________, 0»н£&н: а) б) Е(-3;___), FC 18 Пересекаются ли линии, заданные уравнениями л: = 3 и у = пересекаются, то укажите координаты точки пересечения. Тешение. Построим линию а, заданную уравнением X = 3. Точка М принадлежит линии а, если абсцисса точки М равна__, при этом ордината точки М может быть равна_______числу. Все точки с абсциссой, равной__, лежат на прямой, перпендикулярной оси О___. -2? Если У1 1 i -- -- 1 0 1 г г Построим эту прямую а в системе координат. Построим линию Ь, заданную уравнением у = -2. Точка N принадлежит линии Ь, если ___________точки N равна -2, а абсцисса точки N может быть равна числу. Все точки, ординаты которых равны лежат на парал- лельной оси О_. Постройте эту прямую Ь в системе координат. Прямые а и 6__________в точке с координатами х =_и___= -2. Otfi£eitL: линии, заданные уравнениями х = ____ и ___= -2 ______________в точке (__;____). 91. Уравнение окружности А. В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса R с центром в точке М{х^\ t/„) имеет вид (x_x^f_iy__y^f =____. V. Какие из точек А(0; 3), Б(-9; 0), С(-4; 3) лежат на окружности радиуса 5 с центром в точке Q(-5; 3)? I ш m » м о ш о и S S са "О X о 19 Решение. Точка лежит на окружности, если ее координаты _______________ уравнению окружности. Уравнение данной окружности имеет вид: (д:_(-5))^ + (у_3)^ =__или (х +_____)^+(у_____3)^ = 25. Подставим координаты точек в полученное______________ и проверим, обращается ли оно в верное___________. >1(0; 3) : (_-I- 5)^ -+• (_- 3)^ = 25, откуда_+_= 25, что верно. Следовательно, точка А(0; 3) _ Б(-9; 0); (_-1- 5)^ + (_- 3)=* = . Следовательно, точка Б(-9; 0) С(-4; 3): ___________________ ______окружности. откуда____-f-_= 25, что Следовательно, точка С(-4; 3)_________ Otfi£eifi: окружности принадлежат точки ______данной окружности. откуда ____+___ = 25, что _______данной окружности. Заполните пропуски в таблице. Радиус окружности Координаты центра окружности Уравнение окружности а) 3 А(3; 5) (X f + (у f = б) 4 Б(-2; ) (X У + (у- ЗУ = в) С( ; -6) (X + 5)^ + (у = 4 г) 7 D( ; ) (х - 4У -1- (у + ly = д) Ei ; ) (X -t- 3)2 + {у- 5)2 = 36 Окружность задана уравнением (х - 3)^ + (у + 2)^ = 9. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А(0; -2), В(2; 3), С(5; -3) и 0(0; 0) лежат: а) на окружности; б) вне круга, ограниченного данной окружностью; в) внутри круга, ограниченного данной окружностью. 20 Решение. Из уравнения окружности следует, что ее радиус R = _, а центр — точка N у имеет координаты (_; ___). Сравним расстояние от данных точек до_____ окружности с ее Так как при возведении в квадрат________________________чисел, большему числу соответствует ___________________________ значение степени, то можно сравнивать квадрат _____________от точки до центра окружности с____________радиуса. А(0; -2): AN^ = (О___3)^ + (-2________2)^ =_, то есть следовательно, точка А лежит_____________________________________окружности. 5(2; 3): ВК^ = (_- 3)^ + (_+ 2)^ =__________, то есть BW_Л^, следовательно, точка В лежит__________________________________окружности. С(5; -3): = (_-_________f________(_+_f =_, то есть С№_Л^ следовательно, точка С лежит_________________________________. 0(0; 0): ОА2 =______________________________=_ , то есть ON^_В}, следо- вательно, точка О лежит окружности. Offi£effL: на окружности лежит — точка ________; вне круга лежат точки _______, внутри круга лежит точка_______. Запишите уравнение окружности с диаметром АВ, если А(-3; 1), В(5; -5). Постройте эту окружность. Решение. Если АВ — диаметр окружности, то ее центр является __________ отрезка АВ, а радиус равен _________ отрезка АВ. Найдем коор- динаты центра окружности точки С(х^; у^) по формулам координат ___________отрезка АВ. 21 *с “ -3 Ус- + 1 + Найдем длину отрезка АВ по формуле =V(-3-____/ +(l_Sy =------ Следовательно, радиус окружности равен R = АВ = 0,5 Уравнение окружности имеет вид (х -____Y__{у______Y = _ Otfieeifi: (х -___(у +____У =____. 92. Уравнение прямой А. Уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение степени. Б. Частные случаи уравнения прямой Пусть прямая а проходит через точку Т(т; п), тогда она задается уравнением: 1) если а II Ох:_= п; 2) если а || Оу: х = _ 3) Уравнения оси Ох: у =_; оси Оу:_= 0, Прямая а задана уравнением 5х + Зу - 15 = 0. Найдите координаты точек пересечения прямой а с осями координат. Решение. Пусть прямая а пересекает ось абсцисс в точке А(х; у). Так как АеОх, то ее_________равна нулю, то есть А{х:__). Подставив у = 0 в уравнение прямой а, получим уравнение 5 •___ -Ь 3 • _— 15 = 0, откуда 5х =__или X =____. Значит, А(__;_). Пусть прямая а пересекает ось ординат в точке В(х; у). Так как ВеОу, то____= 0. Подставив х =_в уравнение прямой а, получим уравнение 22 5 •_+ 3 •_-15 = О, откуда Зу =___или у =____. Значит, В{_;_). прямая а пересекает ось Ох в точке А{_;_), а ось Оу в точке В(_; _). 8 Запишите в виде у = kx + т уравнение 3jc + 2у - 5 = 0. !Pei4ieHue. Перенесем слагаемые Зх и___в правую__________уравнения, изменив их знаки на противоположные: 2у —_________. Разделим обе части получившегося уравнения на коэффициент при переменной__________________________. Получим: у=-1,5х______. 0/н^е/н: ___________. Запишите в виде ах + by + с = 0 уравнение: у = 0, 6х - 2. ^^ешение. Перенесем слагаемые из правой _ их знаки па _______________: у все коэффициенты целыми_______ уравнения в , изменив = 0. Можно сделать _____. Для этого умножим обе уравнения на 5 и получим уравнение: Ьу -_______= 0. 10 Запишите уравнения прямых, проходящих через точки: а) £(0; 3) и F(4; 3); б) А(3; 5) и В(-2; -5); в) С(-2; 2) и D(l; 1); г) Я(0; 3) и С(-2; 2). J^eutenue. а) Из условия видно, что у точек Е и F равны __________, то есть прямая EF параллельна оси О уравнение прямой EF имеет вид____=___или у____= 0. 1 1 0 1 — JC . 1 i } 1 nznz I значит. I т tn о » о о и S8 S сз м X о а» 23 б) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + Ь_ + с =_, где коэффициенты а и _ одновременно не равны_______________. Подставив координаты точек Ли____в____________прямой, получим систему уравнений |За + 5Ь+_=0 |-2а__ЪЬ + с=___ Вычитая из первого уравнения системы____, получим_а -I-_Ь = О, откуда а =__Ь. Подставив полученное выражение вместо а в первое уравнение системы, получим 3 • (-2_+___Ь -Ь с = О, откуда с =_. Заменим в уравнении прямой АВ коэффициенты а и с их выражениями через коэффициент Ь, тогда уравнение прямой примет вид -26л: +_у +___= 0. Так как Ь__0 (если 6 = 0, то и а =_, что противоречит_____об уравнении прямой), разделим__части уравнения на (-6) и получим уравнение прямой АВ: 2х + у_1 = 0. в) Используем другой способ. Пусть М{х\ y)eCD. Рассмотрим векторы CD и СМ, Т£1к как они ___________, то их координаты _________________. Найдем координаты векторов: СП{1 + 2;1 2}={__;___} и СМ{х_2; у_2}. г, ^ + у 2 (JocTBBHM прюпорцию: —-—=-----и по_________свойству пропорции о __ получим -(л:_2) =__• (у__2) или х +_у -____=0. г) Используем еще один способ. Соответственные координаты точек С и Е различны, следовательно, прямая СЕ не параллельна __________ из осей координат, то есть ее можно задать уравнением у =_х + т. Подставляя координаты точек Е(0; 3) и С(-2; 2) в это уравнение, полу- чим систему уравнении k + m равносильную систем! [т= [2k=_____ . Следовательно, уравнение прямой СЕ имеет вид: _х +__. Представим его в виде ах + by + с = 0:_-2у____= 0. а) __________= 0, в)_________________= 0, б) __________= О, г)_________________= 0. 24 11 Составьте уравнение прямой т, которая проходит через точку М(-2; -4) и параллельна прямой: а) Зх = 12; б) X - г/ = 0; в) д: + 2i/ - 4 = 0. Постройте эти прямые. ^Решение. а) Упростив заданное уравнение прямой, получим: X =__. Следовательно, эта прямая параллельна оси О___ и уравнение прямой т будет иметь вид х =____. 1 1 1 1 i 1 j ; -- 1 i 1 jo 1 1 1 i — :: 1 i 1 ■ji Г' - - 4 1 i L Построим прямую т на координатной плоскости. б) Выберем на заданной прямой точки А(-1;_) и В(_; 2), а на прямой т — точки М(-2; -4) и Р(х\ у). Прямая т_______________заданной прямой, поэтому векторы МР и АВ ты этих векторов__________________ , значит, координа- Найдем координаты векторов: АВ{2_1;__+!}={_ ___ у____4 МР{х___2; у_4} и составим пропорцию откуда X +__=_____или х - у____= 0. Изобразим прямую т на ри- сунке. в) Выберем на заданной две точки (удобно взять точки, лежа- щие на осях координат), например С(_; 0) и Я(0;__). ___ Пусть точка Е{х\ у) лежит на прямой т. Тогда векторы СН и ME ____________, а их координаты____________________. Найдем координаты векторов: СЯ{0-_;_-0}={__ Составим пропорцию: ___}, МЕ{х_2;у_4}. х +_ у__4 откуда по _____________________________________________________ свойству пропорции получим уравнение 2(х +___) =__(у_4) или х +_=_____{у__4). Итак, уравнение прямой m имеет вид х + 2у_______ а)__________= о, б)_______________= о. = 0. Построим ее. в)__________= 0. 25 Глава XI Соотношение ме^ду сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс угла 93. Cuuyc, косинус, тангенс А. Единичная полуокружность: 1) центр находится в точке 0(_;_); 2) радиус равен___ 3) лежит в первом и квадрантах. а) Отметьте на единичной полуокружности точки А, В и С, соответствующие углам 0°, 90" и 180", и заполните таблицу. а 0" 90" 180" Координаты точки (1; 0) (0; _) (_; _) cos а 1 sin а 0 tgu не существует 26 б) На единичной полуокружности отмечены точки Е, Н и Р. Измерьте углы, соответствующие этим точкам, и заполните таблицу. Точка Величина угла Координаты точки соза sin а tga Е (0,9; ) Н Р ( ; 0,4) С помощью единичной полуокружности определите вид угла а и его величину, если: 2 4 а) cosa=0,6, б) cosa=—-, в) sina=0,5, г) sina=—. 5 о о аз Р ж о г> а; *-) m 0Q о > 27 точки единич- J^eiueHUe. а) Косинусом угла а называется______ ной________________, соответствующей этому углу. Все точки с абсциссой 0,6 лежат на прямой а, перпендикулярной оси О__и проходящей через точку М(______; 0). Искомая точка А — точка_____________прямой а и_____________по- луокружности — имеет координаты (0,6; _), ААОХ- АОХ - угол б) Найдем на оси Ох точку. которой равна или - 0,_____. 5 Проведем через эту точку прямую 6, параллельную оси О_. Искомая точка Е —_____точка прямой Ь и единичной____________, имеет координаты (-0,4; _____), ZBOXa_______, угол BOX - в) Синусом угла а называется точки полуо- кружности, соответствующей этому углу. Все точки с__________0,5 лежат на прямой с, параллельной оси 0_ и проходящей через точку N(_; 0,5). Искомые точки — точки — имеют координаты С(-_ ZCOX« _, угол сох — прямой с и единичной ___; 0,5) и П(___; 0,5). ____, угол DOX , ZDOX’^ г) Найдем на оси Оу точку. которой равна — или 0, 5 Проведем через эту точку прямую d, перпендикулярную оси О_. Искомые точки —_______точки прямой d и__________полуокруж- ности — имеют координаты Е{-_ ZEOX»_____, угол ЕОХ —___ ZFOX» 0,8) и F(_ 0,8), ., угол FOX — '■W- I В. Свойства синуса и косинуса. 1. Для любого угла а верны неравенства: ______ Ш м в п 29 Следовательно, такой угол а___________ г) Условие 1 —____________. Условие 2 — , так как 1. ------------ 2 — Проверим выполнение тригонометрического тождества: V—у \ — / Итак, условие 3 —_______________. Следовательно, такой угол а_______ Otfieeifi: а)__, б)____, в)___, г) V2 Найдите sina и tga, если cosa=---. 2 J^euieHue. 1) Подставим в основное __________ тождество данное значе- ние -i-sin'^ а= . Отсюда sin а=1----------------=—, а так как 2 ] — 4 _^sina<— -го sina = ./=■==. V- 2 sina . 2)tga=--------С тангенса), отсюда tga=-----: %\xi(x=______, tga = Найдите cosa и tga, если sina=-i. Тешение. данное зна- 1) Подставим в основное тригонометрическое_________ чение __________: cos^u-h__=___. Отсюда cos^a = l-___=_____, а так как___' ’ ав" /■- А. Пусть в прямоугольной системе координат Оху дана произвольная точка М(х„; i/g), причем __ 0. Обозначим величину угла, образованного______ ОМ и положительной _______________ Ох, буквой а. Тогда, X = ОМ • cos____, у = ОМ • 1 . « 33 8 Найдите координаты точки М(х;_у), зная угол между положительной полуосью Ох и лучом ОМ и расстояние от начала координат до точки М. Воспользуйтесь таблицей, данной в приложении: а) ОМ = 6, а=60°, б) ОМ = 5, а=25°, в) ОМ=у/3, а=150°. ^Решение. vX=6cos60°=6-=^= а) 2 ■ sin60°=6-=-= у _ 2 . б)ж=5-_ .25° ==5-. 25° ^5- В)л: = >/3-_150° = n/3cos(180°-____)=-7з-_____30“=-73-^^= 2 I/=^/3•8in_____= >/3sin(l80°-_____У=у/3-____30° = 73-==_ 0(п£е*н: а) М(_ в) М(_______ 9.............. J, б) М(. Определите угол между положительной полуосью Ох и лучом, проведенным из начала координат через точку а) А(-5; 5), б) В(2; 4), в) С(-4; 0), г) Я(0; 2). Решение. -5_____ 5 _ УН ^/ 2 ’ а) х=ОАcosa, откуда сова=- ОА JZZ по таблице в задаче №8 найдем, что а = X 2 б) х=ОВ cos а, откуда cosa=- ■Г. J 10 по таблицам Брадиса или по таблице, данной в приложении, получим, что а=______. в) Точка С(-4; 0) лежит на отрицательной полуоси Ох, следовательно. а =____. г) Точка Я(0; 2) лежит на а = ____. а) а ., б) а = _, в) а полуоси ох, следовательно. ., г) а = 34 Соотношение между сторонами и углами треугольника _____ 96. Теорема о пдохцади треуеодъыика Г' А. Теорема. Площадь треугольника равна______ _______на______ угла между ними: произведения двух его S = сЬ sin V. Найдите площадь треугольника CDE, если; а) с=4лУз, d = 5, Z£=60°; б) d = б, е=42, Z.C = 135°; в) с = d = е = 8. Теишше. По формуле площади треугольника, получаем г> О о а a)S=—с sin • ^sinGO” = / 2 ------ ------ ----------- X W 6)S=—de c=L • 2 ■ sm sin ^180° -____^ = sm Г) 3 2 в)Так как стороны треугольника равны, то и углы треугольника ______, значит, /.C = ZD=/._=______:3=____ X X и S= се D= __ _______ ___________sin 60°: OtfLe&fi: а)________; б)________; в) _ X > 35 Постройте треугольник наибольшей площади, две стороны которого равны сторонам АВ и АС треугольника АВС. Каким должен быть угол между этими сторонами, чтобы площадь треугольника была наибольшей? Ответ обоснуйте. так как площадь треугольника можно вычислить по формуле S=—AjEj-2 •sinа и для любого угла а sina < , причем sina = l при а =_, то есть угол между сторонами ___и ВС должен быть________. Ж Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. 7 Доказательство. Проведем диагональ BD. Тогда +_ sin А. Так как ACBD___aABD, то Scbd__^abd ______ Следовательно, =___________. Замечание. Из задачи №3 следует, что площадь ромба равна квадрату ________, умноженному на_______его утла.. 36 97. Теорема cuuycoB Г А. Теорема. Стороны треугольника. синусам углов. Замечание. Теорему синусов часто формулируют так: «В любом треугольнике отношение ________________ к синусу _______________угла равно диаметру___________окружности». Найдите периметр трезчюльника АВС, если АВ = 5, ZA = 60 , ZB= 45°. Тешеяие. 1)Р = АВ +. + 2) Найдем стороны ВС и АС. По теореме АВ _____ имеем: sin sin В sin . Подставив известные значения в формулу, получим 5 АС _________ sin С sin 45° sin___. Угол С найдем по теореме о___________углов треугольника: ZC =_ (ZA + Z_) = 180° - (60° +____) =_____. По таблице синусов (см. приложение) найдем sin75°w0,966, sin45°«__________, sin60° »___ Итак, ВС=- 0,966 “ 3)Р = 5 +_______+_ АС=- 0,966 Найдите площадь треугольника АВС, если ZB = 30', ZC = 45°, а = 20. а -3 as i 37 Teutenue. 1) По теореме о 2) По теореме_ треугольника а ________ ____ , откуда sin_ sin В sin__. b=- •sinB sinA=sin^80°-(30°+____=sin 7 5. sin Тогда b=—asin 2 3)Следовательно, S^ac=----o.—___•sin75° = =—a^sin «—-20^ 4 ------ 4 OtitSeifL: 98. Теорема косинусов A. Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме __________ двух других его сторон____удвоенное произведение этих сторон на _________угла________ними. Замечание. Если угол М — прямой, то cos М = ________________________сторон на_______ и удвоенное угла равно_ , то есть получаем теорему Поэтому теорему косинусов также называют ____теоремой_______________________. Дано: дАВС, АВ = 2,5, ВС = 4, Найти длину АС, если а) ZABC = 60°, б) ZABC = 120° 38 Решение. Угол ABC заключен между сторонами АВ и ВС, по теореме________ АС^ = АВ^ +____- 2АВ •____• ZABC. Подставив данные значе- ния в формулу, получим: а) АС^=2,5^+____________________________________________-2-2,5- •cos60''»_ AC=yj_ б)АС^ = 2,5^+___-2 = 22,25 10 =______ _____cos(180° J= АС=/_ Орй£е*й.: а) .. б) Определите вид треугольника ВСЕ, если Ь = 10, с = 8, е = 14. ^Решение. 1)Так как с <__<__, то Z__ < /.В < Z__. Следовательно, вид треу- гольника определяется величиной угла___. 2) По теореме косинусов =____+____-_____cos_ откуда cosE= Ь^ + 3) Подставив известные значения в формулу, полу'шм: 10Ч cosE=- 210_ 160 OttiPetH : треугольник ВСЕ _ -, так как cos Е__0, то угол Е — 99. Решение треугольников /Г I А. Решить треугольник — значит найти все_______его элементов, по каким-нибудь ____ данным элементам, определяющим треугольник. J п g и о в т а ш СП о 3 ►о о » 3t. X о 39 Б. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними ^ а Л Д а н о: а, Z___. Найти:______, ZA, Z._. (Обозначьте на чертеже вершины треугольника). ^Решение. 1)По теореме косинусов + ~ 2)По теореме а* = Ь" -Ь , откуда cosA = 2Ь Величину угла А найдем по таблице. 3)ZB = 180 - (ZA - Z_). (теорема о _________ углов треу- гольника). Дано: ДАВС, ВС = 12, АС = 7, ZC = 42°. Найти:_____, ZA, Z__. Решение. 1)По теореме_______ ав=^/ас^ =л/4^ = ^/ZZ 2)ВС___АС, значит, ZA Z.B, По теореме косинусов найдем меньший из углов, то есть угол АС" = ВС" + cosB=- ВС% ВС- 144+ 212- 198 ZB= 3)ZA«180° -(42° +_)==. J 40 в. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам Дано: а, ZB, ZC. Н а й т и: ft,_, Z_. Теш£ние. 1) ZA = 180 - (ZB_Z_^ 2) По теореме синусов, а Ъ sin А sin откуда ft= а sin А •sin с=- •sin sm Дано: /\АВС, АВ = 10, ZA = 24°12’, ZB = 50'24’ Найти: АС, ВС, Z__. Решение. \)ZC = 180. (2412’_50°24') =_ 2) По теореме____ 10 sm АС sin sin 105'24’ = sin(180 -_____) = = sin74°36' *0,961_0,003«0,_ АС*^^^—О,. о,. sin50°24'* о, 766 _0,004 = sin24°12'«__________*___ 10 ВС« о,. •о,. г> о о is «1 о о о 5 S «с ri t> 41 г. Решение треугольника по трем сторонам г- Д а н о: а, 6, с. Найти: ZA, ZB, Z___, J^eiueHue. 1)По тереме косинусов + _ cos__, откуда cosC= 2Ь Величину угла С найдем по таблице. 2) Аналогично по теореме найдем угол В. 3) Z_ = 180°_(ZC_ZB). Дано: аАВС, АВ =9, ВС = 8, СА = 5. Найти: ZA, ZB, Z_. Тешение. 1)По теореме , най- дем косинусы меньших углов треугольника АВС, то есть углов В и__ совА^-^--^--- = 2 9 _ *0,____ cos А » о, 470_о, 003, ZAa62° 12'* 2)cosB= 94 - 2-9- ^0, cos в * о, 829_о, 004 ZB*34® _24'«________ 3)ZC«180“ -(____+______)* J 42 Скалярное произведение векторов 101. Угод меЖду векторами А. Определение. Отложим от произвольной точки о векторы тир. а) Если тТТ р. б) Если mtip, в) Если векторы тир неколл инеарны, т т ^ р ^ Р Д \ О м р МОР ) ^^ л то тр= . Л то тр= . л то тр = /МОР. /Г Б. Угол между векторами не зависит от выбора точки О. ‘Л /Г В. Определение. Если тр = 90”, то векторы , т.е. ся в точке О и /ЛОВ = 60°. Найдите углы между векторами: С D ’•а П О m S W ю W й ж ж m т W I О ю 43 а) BA и ВС; б) АВ и ВС; в) ДА и BD; г) АО и 0D; д) АО и ВО; е) АВ и DC; ж) АВ и CD; з) DO и СВ. Тешение. а) Векторы ВА и отложены от одной точки, поэтому Л ВАВС^А________=___. б) Начала векторов ВА и_— разные точки. Найдем векторы, равные данным и____________от одной______: АВВС= AD = Z b)BABD = Z_ В треугольнике АОВ АО___ВО, значит, ZABO = Z___= ZAOB = 60°, то есть ВА BD=__. г) Начала ________ АО и OD — ________ точки. Найдем векторы. _____данным и___ Л ___Л__ AOOD= OD = Z_ ные. от одной _, т.к. углы COD и вертикаль- д) АО ВО=0_0_=ZC0D=180°-Z_ Л е) ABDC= , так как АВ DC. Л ж) ABCD=__, так как АВ_CD. -60° = г) DOCB = DO D_, так как СВ=____, следовательно, А __ Л DO^=DOD~Z=‘^__________=60°____=______. Otti£eiti: а)__; б)___; в)____; г)___; Д)____; е)___; ж)____; з)_____. 102. Скалярное произведение векторов Г А. Определение. Скалярным произведением векторов называется произве- дение их на угла между ними: т- р = |т|-|____I'cos (_______). J 44 Заполните пустые ячейки таблицы. а б в г д е ж 3 а 3 6 7 2 2 8 3 7 Ь 4 2 8 5 5 3 8 1 Л аЬ 60° 150° 90° 0° 180° аЬ 12 -12 0 ^Решение. а) а Ь=3 •_cos____= б) а-Ь-___cos 150° =_ в) а-Ь=___cos____=_ 12 _cos(180° J= 12 г) a b=_ • 5____0° = 10 • _=____; Д) a b=_ ■ 5____180 = 10 • (__)=_ е) 12 =_-3_____а, отсюда cos а = 12: = 0,. Величину угла а найдем по таблицам (см. приложение) ж) -12=__-8____Р, отсюда cosP=____:____=_____; Величину угла Р найдем по таблицам р=180°-_ з) 0=71cosy, отсюда cosy=_:_-__; Величину угла у найдем по таблицам у=__. Г Б. Для любых двух ненулевых векторов верно: 'I Если 0°<тр< 90° (угол между________________острый), то ______0. Если тТТ р, то /п-р=|т|-|_|. Если 90° <т р<180° (угол между векторами___________), то т р__0. Если т р, то т-р=-|_____|-|_|. Скалярное произведение ненулевых равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы 1 О т а ¥ i w ж 3 о ш 45 в. Определение. Скалярное произведение т т называется скалярным вектора т. Обозначение: т т = т . m • /п =|т[ • I_I cos ^тт ^ |/п|^ • cos_= |_ Итак, пг^ = \_|^. В ромбе ВСНМ ZB = 60°. Найдите скалярное произведение векторов: г) ВС и ЯМ, д) СМ и ЯЯ; е) НМ и СМ. а) ВС и ВМ; б) МЯ и ВМ; в) СВ и ВМ; Тешение. Обозначим длину стороны ромба буквой а. I cos В=л • &)ВС ВМ = ВС cos 60° = ■=•-2 Я м б) Начала векторов МН и_— разные точки. Найдем векторы, равные данными_______________ отодной :МН ВМ = ВС- , т.к. ВС - Следовательно, МЯ ■ ВМ =а- -cos_____= —. в)СВ ВМ =____ СЯ, так как СЯ =____. В ромбе ВСНМ ZC =_____-ZB = 180“ Следовательно, СВ • ВМ = а ■_• cos 120° ----. (-1)=_____• г) ВСНМ = ВС нм cos = а- Я)СМ-ВН = \ cos 90°(диагонали ромба J. Но cos 90“=_, поэтому СМ ■ ВН =__ 46 е) НМ ■ СМ - СВ ■_, так как СВ = В треугольнике СВМ ZB = 60“, СВ =__, следовательно, СМ=_ и ZBCM =____. 1 = ВМ Тогда НМ ■ СМ = |СБ| •_• cos 60° = а ■--= - a)BC mi =________; б)МЯ ВМ = . ____; г)____________ в) св вм = _ д)_____________ ; е) 103. Скалярное произведение в координатах /Г А. Теорема. Скалярное произведение векторов т [х-; и Р ^р> Ур} вычисляется по формуле т р = х^^-_+ •___. Заполните пустые ячейки таблицы. а б в г д е а {4; 2} {7; -3} 2i-4/ бТ-З/ {3; 2} {-12; 4} Ь {-2; 5} i + Sj {6; 10} {9; 6} {3; -1} а-Ъ Вид угла между векторами О *в § m О П9 0 S со се 1 Ш Ж' м Замечание. В пункте д) и е) видно, что координаты векторов ___________, то есть векторы____, более того в пункте д) они ___________, а в пункте е)__________направлены. Поэтому угол между векторами в пункте д) равен__, а в пункте е) т W 3 47 Б. Следствия. 1-_____________векторы т {дг-; } и р {г^; } перпендикулярны тогда и только тогда, когда __• Если ^ Р ^р» J/p}’^ " ^тХ-_у-у- COS (т р) = •^/4—4 При каком значении х перпендикулярны векторы т а Р: а) т{5; 4}, р {х; З}, в) m = xi -6j, p = 4i + xj, б) rh {7; д:}, p {2; - 4}, r)m = xi -4j, p {x; 9}. Тешение. По следствию___векторы перпендикулярны, если х^х-__УтУр ~__• Подставляя известные координаты векторов, получим: а)5х + 4 • 3 =_, откуда х =___; б) 7 • 2_4 • X = О, откуда х =_; в) координаты вектора являются его ___________ вектора по координатным ___________, поэтому 4х____6х =_, т.е. X = : в разложении г) х^__4 •__= О, откуда х =_ OtfLe&fi: а) X =_____; б) X = в) X =_ г) X =_ 48 Найдите угол между векторами а {З; -1} и с {-1; 3}. Решение. ад±Мг По следствию получим: С08 (ас)= у14+—-€—^у? 4Z-4IZ поэтому ас «180°___(53°__6'^» 0/Я^е/н: ас = значит, а с и 104. Свойства скалярного произведения векторов Г А. Для любых векторов т, Р, Я к любого числа k верно: 1. /л ■ Р_р-т (_________________закон). 2 т(р + дУт-р + _ (. закон). 3 (km)p = k(-)( закон). Упростите выражение (т-рУд + д (т + р), найдите его значение, если |лг| = 5, TeiueKU£. Раскроем _ = 2. = 3, тд = т° и приведем слагаемые {т-рУд+д {т + р^- тд - in • + д • +___= 2 • ( • ) = р^ д + д (т + р'^2(т д"^2-\тп\ = 2- 8 Докажите, что векторы а+Ь и а-Ь перпендикулярны, если а Доказательство. Найдем скалярное ____ ^ + b^-Q-by^a -_= таккака =|_f,b =|_f. векторов а по а I Et о ш т W п м ш а = 2, = 1, аЬ = 120°. Найдите длину вектора а + Ь, если ^Решение. Воспользуемся тождеством /п^_[тпР, тогда |/п| = 7^ т» о W 49 'Шт Подставим вместо вектора т вектор а + Ь, ползучим = + =^/a^ + а + Ь = у12^ _2-_ Oinjeeiti: ал-Ь 10 Докажите, что вектор п {а; перпендикулярен любому вектору, лежащему на прямой т, заданной уравнением ах + by с = 0. Доказательство. Возьмем точки А(х^; и B(x^; у^), лежащие на прямой т. Подставив их координаты в уравнение прямой, получим два________равенства: ах^ + Ьу^ +_= 0 и ах^ +_______= 0. Вычтем из первого равенства______, получим ах^_ах,_Ьу^_Ьуд = 0. Это равенство можно рассматривать как скалярное_______________ вектора п [а; ft} и вектора _Уа~Ув\ лежащего на пря- мой т. Отсюда следует, что п_ВА. Что и требовалось доказать. 11 Проведите через точку М(-2; 5) прямую р, перпендикулярную прямой а, заданной уравнением 2х - у - 1 = 0. Утешение. 1) По задаче №10 п (2;_} -L а, следовательно, любой вектор, лежащий на прямой р, ____________ вектору Я и их координаты___________________. 2) Пусть А {х\ у)е р, значит, МА_п. Найдем координаты вектора МА (х__2; у__5}. X___2 у____5 Составим пропорцию мой р\____(дг_2) = {у 5) • OfH£etfL: отсюда получаем уравнение пря- _________= 0. 50 Глава XII Длина окружности и площадь круга Правильные многоугольники 105. Правильный многоугольник f V А. Определение. Правильным многоугольником называется____ гольник, у которого все углы_______и все Л многоу- равпы. Какие из изображенных многоугольников являются правильными? D 0 Теишше. Многоугольник называется правильным, если выполнены _ усло- вия: 1)он —_______ 3) все его___ Заполним таблицу, проверив выполнение условий для каждого многоугольника. _, 2)__его углы _ равны. I Ш S I ►ч Q Ж Ж 51 Много- угольник А В С D Е F G Н 1)выпуклый ч- 2)все рав-ны ■f 3)все стороны правильный да Ой1е&Я: правильными являются многоугольники Б. Формула для вычисления величины угла правильного ^__2 многоугольника а„ =180°--. V 2 Найдите величину угла правильного а) девятиугольника, б) 18-угольника. Теисение. По формуле пункта получим: а) ад =180° ^20° •_ =______, б) ai8 =180°----------------=_____. OtfieetfL: а) ttg = 3................. б) ajg = Существует ли правильный многоугольник, если а) а„=120°, б) а„=130°. Если правильный многоугольник существует, то сколько у него сторон? Тешение. Подставив в формулу _ известные значения, получим: 52 а)120°=_ п- п Отсюда, 120”п = 180°(_-__) или_____п = 360°. Следовательно, п =___и это правильный_______^угольник. б) 130° =180° Отсюда, 130°п =_ или л = 360°. Следовательно, п = - — это число натуральным, поэтому такого правильного многоугольника Otn£eifi: а)__,_____сторон, б)___ (Г В. Определение. Внешним углом треугольника называется угол, из углов треугольника. Так же определим и внешний угол для любого_ угольника. с одним много- Определение. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол,________с одним из углов многоугольника. Г г. Формула для вычисления величины внешнего угла правиль- 360° кого многоугольника Рп “' п Замечание. Из формулы Р„ = 360° следует, что сумма внешних углов любого правильного многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна ____°. Это утверждение верно не только для правильного, но и для любого_________многоугольника. J| Найдите число сторон правильного многоугольника, если р^ — внешний угол, а — угол многоугольника: а) р„ =24°, б) р„ =48°, в) а„ =168°. а ев а V » а ш М О I т 53 Тешение. По формуле _ получим: ч 360° а)____=----, откуда п = 360 : п 6)48° =- п S откуда п = 360”: но 7,5_N, поэтому такого многоугольника______________, в) найдем внешний угол =______-168°=_____. По формуле _ имеем 360° откуда п = 360° : п Oin£etfi: а)__сторон, б) многоугольник , в)____сторон. У какого многоугольника сумма внешних углов равна сумме внутренних углов? Тешение. Воспользуемся формулой суммы углов_________многоугольника, получим уравнение______=______-(п-__). Откуда га-2 =_, га =_. 0»Яее{Я: у_______угольника. 106. Окружность, описанная около правильного многоугольника Г А. Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все________многоугольника лежат на этой окружности. Б. Теорема. Около любого правильного многоугольника можно VV ность, и притом окруж- 54 Опишите окружности около правильных многоугольников. а) б) В D а) Центр описанной около правильного треугольника окружности — точка пересечения_____________. Проведем биссектрисы ______ углов треугольника, например АН и СМ, точка их____________(точка О) и есть____описанной окружности. Радиус окружности равен отрезку б) Проведем диагонали AD и BE. Они являются и описанной окружности. Действительно, дуги, заключенные между двумя соседними вершинами правильного многоугольника______, так как равны стягивающие их хорды (________________ правильного многоугольника). Значит, дуги ABD, AED, ВСЕ, ВАЕ______________полуокружности и стягивающие их_______________являются_____________окружности. Закончите построение правильного восьмиугольника. Решение. 1)По теореме___около правильного многоугольника _______ описать окружность и притом 2) Построим окружность, проходящую через точки А, В и С, для чего проведем__________пер- пендикуляры к отрезкам АВ и_. а I- S S м S т- I-I О а О* » 55 3) Измерим циркулем отрезок АВ и построим на этой окружности точки D, Е, F, G и Н так, чтобы были верны равенства CD = DE =_________=____= = АВ. 4)Соединив последовательно полученные точки, получим искомый правильный восьмиугольник. 107. ОкруЯ(ностъ, вписанная в правильный многоугольник А. Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если Л все его стороны этой окружности. Б. Теорема. в любой правильный многоугольник Л вписать окружность. и притом J в. Следствия: 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касает- ся его сторон в их 2. Центр окружности. I ______________________________около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности,____________в этот мно- гоугольник. Эта точка называется________правильного многоугольника. J' 8 Впишите окружность в правильный многоугольник. 56 Темение. 1) Так как центры вписанной и описанной окружностей__________, то центр О вписанной окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата (они являются _______________ его углов). 2) Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра О до_______квадрата. D 1) Центр О вписанной окружности равноудален от _____________ правильно- го пятиугольника, следовательно, совпадает с точкой пересечения серединных _______________к двум его сторонам. 2) Радиус вписанной окружности равен _______________________ от центра О до любой ________________ пятиуголь- ника, то есть равен, например, длине отрезка ОМ, где М — _____________ сто- роны АВ. D 108. Формулы для вычисдеиия площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной okpy^iHocmu Г А. Пусть — площадь правильного многоугольника, — его сторона, Рд — периметр, г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Тогда справедливы следующие формулы: I (1) S„= — Р„г. (2) a„=2Psin- п (3) r = Rcos 180° » т Ш 3 Ж о о bt ь* ш к 57 Найдите площадь правильного восемнадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 10 см. Тешенме. По формулам (1) — (3) получим: с 1 D 180° „ 180° *18 ----г, Pjg =__• a,g, r = _cos--, Oi8=_i?-________. Подставив выражения Pjg, Ojg и ______ в формулу ____, получим 1 1 ОГ)0 Si8=-18- 10sin^!^10 — 2 — ___________ _______ 18 = _____•sinl0°-cos wl800- Gtn£etfi: 10 в окружность вписаны правильные шестиугольник и треугольник. Во сколько раз площадь шестиугольника больше площади треугольника. J^euteHue. Найдем______________площадей данных многоугольников. 1 ^6 _ 6- •Л cos 180" ^ =-Рз'1 2 ® ^ •а. cos 2 ■ cos 30° rS cos Oftieetfi: в____раза. iT Б. Три частных случая. 1. Если л = 3, то Од = 2Л_ 2. Если л = 4, то 04 =2_sin- 3. Если л = 6, то Og = sin- = = 2R sin = 2R ■ = = rJ . ---- 2 ^ — = 2Л 4:5°=2R = = rJ . ---- 2 — = = sin =2i?-=- = 2 58^ 11............... Заполните таблицу. Я г Р* ^3 а) 4 б) 6 в) 6 г) 36 д) 27^3 Тетение. &)С1^=Иу1 ~ — Vs, /д = •Дз=3‘ • л/з =___л/з> D 180° . r = Rcos-----= 4-cos «3- —^з_ = —•_V3_ = . ^3 ~ -Гз б)6 = Д a^ = R 6 = R cos______, откуда i? = 6 : _у/3, Р, =__и,. =3 ■________=____ 8.=-- 1 •г = —• 2 S —“'з •6= в) Р, -“з=- 6 — откуда P = 6_V3=_VS, г = Р 180° =27з cos ,8о=-Ро- =-18- 3 2 3 — 2 г) 36 = ЗОд, откуда = Я_____, откуда R =, г = Я cos =____________=____ , .=_7Z, 5з=- Рд- =--36-■^2 — 2 180° Я д)27ч/3=—Рд-__, Рд =_а^, a^=Ry[Zl> r = R_ Подставив выражения Р^ и г в первое равенство, получим 27\/з = ^—-ЗЯ\/3откуда имеем Я^ =__, значит, Я =_. П i 91 м S Ш 0 1 г tr п 59 12.............. Заполните таблицу. Teuienue. а) a^ = Ryf^ =_73. Рл=_^4=___\/3. 54=а|=(_\/3| =_____, r^R____45°=6- б) 4 = R_ п. т 04=Д73 = . л =-<^4 =- _45°, отсюда д = 4,;Х=.= 2 ____ 72 = S4=af=(_/=____. в)а4 =д73. отсюда R = 2_72=. S^=al= ( ) =__, r = R cos .* -P4 =_«4 =- г) =___O j, отсюда _4 =16 :___=__, f = ^4 = ДТЗ. отсюда i? = 4 72 =___, r = Д cos____= д) 54 =a|, отсюда a. = 7 ___, =_____=_____=_____, <*4 = Д7 . отсюда Д =______=___ д г «4 Л «4 а) 6 б) 4 в) 2 г) 16 д) 36 .. f’ =_ 109. Построение правильных многоугольников 13..................................................... Постройте правильный шестиугольник ABCDEF, если хорда АВ является его стороной. На получившемся рисунке, постройте правильный 60 двенадцатиугольник, вписанный в ту же окружность Решение. Как известно, сторона правильного шестиугольника равна_______описанной около него окружности (смотри п. 108 ). Установим раствор циркуля равным АВ и отметим на окружности точки С, D, Е и F так, чтобы АВ = ВС = С = = = А. Длина окружности и площадь круга 110. Длина okpyjkuocmu Г А. Отношение длины окружности к ее __ ____для________окружностей. Л есть одно и то же = я = 3,14159. Отсюда С = я_=___TiR. Число я является бесконечной непериодической десятичной дробью, то есть является _______________________________ чис- лом. Десятичное приближенное значение числа я «3,14 (с точностью до о,______). V Заполните таблицу. R 15 1,75 С 6,28 За ;а S ЕС > о J5ti *v » о о fi :Ей п » о 5 61 Периметр правильного шестиугольника на 14 см меньше длины описанной около него окружности. Найдите длину окружности. Тешение. Составим уравнение по условию задачи: С_=_____. Воспользовавшись формулами длины окружности и периметра правильного ___________________________, получим: 2л__-6____= 14, откуда Р = - 14 14 л- 0,. Следовательно, С = 2_В = 2 •______•_____=__ ОрЯ£е*Я: длина окружности приближенно равна см. Диаметр колеса легкового автомобиля равен 58 см. Сколько полных оборотов оно сделает, преодолевая путь в 1 км? Теисенме. Будем считать, что колесо вращается без проскальзывания, тогда за один оборот оно пройдет путь, равный длине__________, то есть С = 2л_= л__. Число оборотов найдем, _________ весь путь на длину окружности л = 1000: (л-_____)=_____________* 0>аеей1:_____ __полных оборотов. Б. Длина дуги с градусной мерой а. Длина всей окружности С = 2_, поэтомудлина дуги в 1° равна С 2л л 360 -, следовательно, длина дуги с градусной ме- рой а равна I = - ■а. 62 Заполните пустые ячейки таблицы, если радиус окружности равен 1. Градусная мера дуги 30° 45° 90° 120° 180° Длина дуги % 3 Зл 4 5л ”б~ Найдите длину маятника стенных часов, если угол его отклонения от положения покоя равен 12°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 18 см. J^euteHue. Подставив в формулу длины дуги известные значения, получим урав- D 18- нение ------24 =_____. Откуда i? = — п длина маятника равна__см. 111. Площадь круга А. 5 = Заполните пустые ячейки таблицы. R ^fl0 3,5 S 628 Сколько пятикилограммовых банок краски потребуется для покраски пола на круглой танцплощадке, длина окружности которой равна 44 м при расходе краски 120 г/м^? § пз > о ж т> О о 3 S 63 Решение. Найдем площадь пола танцплощадки, для этого найдем радиус площадки, решив уравнение: 2п_=_____, откуда Д = — - =_м. Рассчитаем требуемую массу краски: т = S Найдем требуемое количество банок: ________: 5 = 3,____. GfHeefn: потребуется__банок краски. 112. Площадь круеовоео сектора О, А. Определение. Сектором (круговым сектором) называется ________________ круга, ограниченная дугой J) и двумя__________________, соединяющими _____________дуги с______________круга. Закрасьте на рисунке сектор, ограниченный дугой CED. i}. йЩ'- Г \ Б ч 8.. Б. Площадь сектора. •а, где а- величина центрального угла. кг. Заполните пустые ячейки таблицы, где п — число вершин правильного многоугольника, а — градусная мера центрального угла правильного многоугольника, к — отношение площади сектора к площади круга. п 3 6 а 45° 36° k 1 : 5 1 : 12 64 Вычислите площади незакрашенных фигур, вырезанных из одинаковых квадратов, и докажите, что они равны. Тешеяие. Пусть сторона квадрата равна т, тогдарадиусы вырезаемых секторов будут равны т_2, а площади фигур равны «л ____. 2 2 = т--==--т ^квадр. -"^90° 360° 10 Сколько кубометров бетона потребуется уложить в основание кольцевой велотрассы шириной 7 м, если радиус внутренней окружности равен 19 м, а на 1м^ расходуется 0,2 м'^ бетона? Тешение. 1) Найдем площадь велотрассы: ^кольца -п----= = "(--------)= = п(_- 2)Найдем требуемый объем бетона: 0.2 • S = = м» ' кольца -------------- ■' Otfi£ejn: м=^ м‘ о Яй •в ш о ta а о «г 65 Глава XIII ДвиЯсения Понятие движения 114. Понятие двиЯ(ения А. Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая- то _____плоскости, причем_______точка плоскости соответствует некоторой ______, то говорят, что дано__________ плоскости на V J В каждом из следующих случаев постройте точки, соответствующие точкам А, В и С. 1. На плоскости дана прямая тп. 2. На плоскости дана прямая т. Каждой точке прямой т, соот- Каждой точке прямой ставится в ветствует она же. соответствие она же. Точке X, не лежащей на прямой Точке X, не лежащей на прямой. т, соответствует точка такая. соответствует середина перпен- что XXjlm и отрезок XX, делит- дикуляра, проведенного из точ- ся прямой т пополам. ки X к прямой. V. С В о» • С • Вт т ' ♦ А • А 66 3. На плоскости выбрана 4. На плоскости дан вектор а- точка О. Точке О ставится Каждой точке Р плоскости ставится в соответствие точка О. в соответствие точка — конец век- Точке М, отличной от точ- тора а» отложенного от точки Р. ки О, соответствует точка такая, что М - О -и ОМ, = 20М. С • • ^ А в О • • *с А в* в каждом из случаев а) — д) постройте точки и симметричные точкам А и В относительно прямой т. Сравните расстояния А^В^ и АВ. ^Решение. а) Так как АВ 1 то по осевой симметрии точки А^ и В^ лежат на прямой_и А,М =_______, BjM =______. Значит, А^В, = А Итак, AjS^__АВ. AjBj = А^М = АМ_ВМ = АВ. а О X W W X Так как А е т, то точке А симметрична точка _. Построим точку Bj, симметричную точке В. По ____________осевой__________ВВ^ 1____• Пусть прямая BBj пересекает прямую m в точке М, тогда ВМ_МВу Значит, прямоугольные ______________АВМ и АВ^М равны по двум_________ Отсюда следует, что AjBj_АВ. 67 в) Пусть точки с и D — точки пересечения оси симметрии и отрезков АА^ и____. В треугольниках АМА^ и ВМВ^ отрезки МС и______являются высотами и________________________. Следовательно, эти треугольники —___________ _________________, поэтому AjM =_______ и В,М =_____. Следовательно, А^В^ = А^М_В^М= = АМ_ВМ = АВ. Итак, А,В,_АВ. г) т А" Во д) т А В ААу ±____, ВВ,___т, значит, АА^___ВВ^. Так как АВ || т, то и А,В,__т Следовательно, четырехугольник АВВ^А^ является _________________, поэтому А,В, =__. Так как точки А и В симметричны_______ _ на прямой т, то они _, значит, A,Bj__АВ. Б. Движение плоскости — это сохраняющее___________. плоскости на себя. При движении плоскости точка А отображается в точку М. В какую из обозначенных на рисунке точек может отобразиться при этом движении точка В? Решение. Пусть при данном движении ____________ В отобразится в какую-то __________ X. с, >1, ,к м D 68 Тогда по определению движения MX АВ. На рисунке расстояние АВ ргшно диагонали__________________, состоящего из______клеток. На и В. таком расстоянии от М находятся точки Следовательно, точка В может отобразиться в точки__,__и Из задачи №2 и определения осевой симметрии следует: Гв. Осевая сохраняет расстояния, то есть является Постройте точки и В^ симметричные относительно точки О. Сравните расстояния A^B^ и АВ. ^Решение. Рассмотрим всевозможные случаи взаимного расположения точки О и отрезка АВ. а) А ♦- В О А^В^ = А,О BjO, но вр =____(. А,0 = _____центральной симметрии), поэтому AjBj = АО -__, а значит, А,В^ АВ. б) А О В Аналогично рассуждая, получим, что А,в, = А,О _ то есть AjBj вр = АО +_ АВ. а о п ia и S за ео » в) А О В aAjB(0___аАВО (___________признак равенства трезпюльников): Ар = и вр = (. централь- ной симметрии), ZApB^ = ZAOB (свойство ___________________ углов). Значит, А,В, АВ. 69 Из задачи №4 и определения центральной симметрии следует: Г. Центральная есть является сохраняет расстояния, то V Д. Теорема. При движении отрезок отображается на____________ Следствия: 1) При любом движении треугольник отображается на ему_____________________________________________ 2) прямая отображается на_______________________ 3) параллельные прямые отображаются на__________ прямые; 4) луч отображается на_______________; 5) угол отображается на ему .V Постройте образы прямой АВ, луча РМ и отрезка СЕ при симметрии с осью о. Через точку Н проведите прямую, которая при этой симметрии отображается на себя. Утешение. 1) Осевая симметрия является_ АВ отображается на некоторую ки проходит ________________ • Значит,_____________ . Так как через две точ- прямая, то для построения пря- 70 мои достаточно указать ее точки. Отметим на АВ ______ точки X и Y и построим точки X, и симметричные им относительно прямой а. Прямые и АВ ____________________ относительно_________________. Замечание. В качестве одной из точек X или У удобно взять точку________________________прямых АВ и а, так как она отображает- ся в 2) Осевая РМ является .Значит, на некоторый Для построения искомого луча достаточно построить точку Р^, симметричную началу _____ РМ. Построим луч с ________ проходящий через точку___________лу^1а РМ с прямой а. Получим искомый____. 3) Осевая _____________является________________________. Значит, _________________________ СЕ отображается на некоторый _________________. Для построения искомого отрезка построим точки С, и £,, симметричные концам____________________СЕ. Отрезок С,£, ____________________отрезку СЕ относительно прямой а. 4) При осевой симметрии отображаются на себя_________симметрии и любая прямая,______________________________________к оси сим- метрии. Точка Н на оси симметрии, поэтому искомая перпендикулярна к прямой а. Существуют ли прямые, относительно которых симметричны данные на рисунке фигуры (пары прямых или отрезков)? Если «да», то сколько? Изобразите эти прямые. Если «нет», объясните почему. а о g н S м » ш X 56 m m 71 Постройте фигуры, симметричные отрезку АВ, лучу СЕ и прямой НМ относительно точки О. Через точку Р проведите прямую, которая при этой симметрии отображается на себя. В О 8 Существует ли точка, относительно которой симметричны данные пары отрезков? Если существует, отметьте ее на рисунке. Если не существует, объясните почему. Е Offi£etfL : а) центр симметрии ки_________________________ б) центр симметрии ______ сечения прямых АЕ и_____; в) центр симметрии ______ ки _____ , так как отрез- , это точка пере- так как, отрез- 72 Параллельный перенос и поворот 116. Паралдедъный перенос А. Определение. Параллельным переносом на _____ т называется такое плоскости на себя, при котором _______ точка X отображается в такую точку Х^, что XXj = Постройте точку, в которую отображается точка X при параллельном переносе на вектор т. Укажите точку, которая отобразилась в точку А, при этом параллельном переносе. -Г Б. Свойства параллельного переноса. 1. Параллельный перенос является___ V Постройте фигуры, которые получаются из отрезка А£, луча СЕ и прямой НМ при параллельном переносе на вектор Я, S (7* и м Ш О п Ж а о » о >тз о ♦-I 73 Проведите через точку Р прямую, которая при этом параллельном переносе отображается на себя. л- Б. (Продолжение.) Закончите формулировки свойств параллельного переноса. 2. При параллельном переносе любая прямая отображается на _________________ей прямую или сама______________________. 3. При параллельном переносе любой луч___________________ на_______________________с ним луч. 4. При параллельном переносе любой отрезок отображается на _________________ ему отрезок, который параллелен данному _________________или лежит на с ним. Какие из данных на рисунке треугольников могут быть получены из треугольника АВС с помощью параллельного переноса? Укажите вектор, задающий этот перенос. Если треугольник не может быть получен из треугольника АВС с помощью параллельного переноса, то объясните почему. М, Gtfi£e*H: из треугольника АВС с помощью параллельного переноса можно получить треугольники _____и_________; из треугольника АВС с помощью параллельного переноса нельзя получить треугольник________, так как________его стороны попарно ____________сторонам треугольника АВС, и треугольник_______, так как он_________треугольнику АВС. 74 в Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и равны б и 8 соответственно. Найдите длину средней линии трапеции. J^euieHue. 1) Рассмотрим параллельный перенос, отображающий точку А в точку В. Пусть при этом точка С отображается в точку Су. Тогда по определению параллельного переноса СС, || __, но АВ____ СВ, значит, точка Су лежит на прямой ________, поэтому ВС у =_+ ССу. Из определения параллельного переноса следует также, что ССу =___, значит, ВСу =__+ АВ. Поэтому средняя линия трапеции равна половине отрезка ВСу. 2) Так как точки А и С отображаются в точки _ и _, то прямая АС __________________на прямую____, значит, по свойству 2 параллельного __________________________АС_ВСу. Следовательно, ZBBCy = Z_ = 90° (соответственные углы при параллельных прямых АС и __________________ и секущей _____). По свойству 3 ___________________________ переноса отрезки АС и ВСу___________, следовательно, ВСу=_____. 3)В прямоугольном треугольнике ВВС у BCj = ВВ^ +____=___+ 6^ =___, значит, ВСу =___, поэтому средняя линия трапеции равна________. Oiti£efH: 117. Поворот А. Определение. Поворотом плоскости вокруг точки о на угол а называется такое ___________________плоскости на себя, при котором точка О отображается в___________, а__________точка X, отличная от__________ О, в такую точку Ху, что ОХу = и ZXOX. = ьа W » V W Е » ы *« W Ш О о о О) о *в о 75 гм \'У/ "MSL, 1C' -:kM 4^:'- Постройте точку, в которую отображается точка А при повороте вокруг точки О на 90° по часовой стрелке. Укажите точку, которая при этом повороте отобразится в точку В,. 5.. Утешение. 1. а) Проведем луч б) Отлож и м от луча _ в направлении движения стрелки угол АОХ, равный в) По ресечения __________ точку А, на рисунке. 2. а) Проведем луч _ б) Отложим от лзгча _ ния __поворота искомая точка А^ — это точка пе- ОХ и ________________ радиуса ОА. Отметим в направлении движе- стрелки угол В,ОУ, равный в) По. луча поворота искомая точка В — это точка и радиуса ОВ^. Отметим точку В на рисунке. Постройте фигуры, на которые отображаются отрезок АВ, луч СЕ и прямая НМ при повороте вокруг точки О на 70° почасовой стрелке. 76 (Г Б. Свойство поворота. Поворот является______ 1 J Постройте фигуры, на которые отображается треугольник АВС при повороте вокруг точки М: а) на 50° по часовой стрелке; б) на 40° против часовой стрелки. м и о* Ш •г» ш » о л X а о W о 77 Можно ли отобразить первый из построенных треугольников на второй при помощи некоторого поворота вокруг точки М, если можно, то укажите угол этого поворота и его направление. Otfieetfi:__________________________________________________. 8............................................................... Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя. (Задача 1169 учебника.) Тешение. Диагонали квадрата равны, взаимно _______________________ и делятся точкой пере- _______. Следовательно, при по- _____________ О на 90° каждая В сечения вороте вокруг _____________ вершина квадрата ABCD отображается в соседнюю __________________, поэтому каждая сторона ______________переходит в _______________квадрата, следовательно, квадрат отображается на_____________________. 78 Синусы IIpuAOikeuue X в 1 1 « с ГРАДУСЫ * ^ 11 « £• МИНУТЫ ' Л. Л. Л, ТГГГ 1' 1F ~W Г "TRT й“ М. <)1й 031) 062 070 0Й7 104 122 130 30“ 6 7^ Г ГГ ЛЗ" 10" 174 191 208 225 242 259 276 292 309 326 342 70' 2 3 5 7 8 10 12 13 15 20 342 358 375 391 407 423 438 454 470 485 500 60" 1 3 5 8 8 9 11 13 14 30 500 515 530 545 559 574 588 602 616 629 643 50 1 3 4 6 7 8 10 11 13 40" 643 656 669 682 695 707 719 731 743 755 766 40" 1 3 4 5 6 8 9 10 11 50 766 777 788 799 809 819 829 839 848 857 866 30" 1 2 3 4 5 6 7 8 9 60" 866 875 883 891 899 906 914 920 927 934 940 20' 1 1 2 3 3 4 5 5 6 70' 940 946 951 956 961 966 970 974 978 982 985 10‘ 0 1 1 2 3 3 4 5 5 80" 985 988 990 992 994 996 998 999 999 0" 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1,000 1,000 0" 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10' 9’ &■ 7" 6’ 5° 4" 3 2 Г 0" 1' 12' 18' 24' 30' 36' 7' 8' 9' ГРАДУСЫ МИНУТЫ Найдем sinI3": в левом столбце «Десятки градусов» ищем 10 , в верхней строке «Градусы» ищем 3', на пересечении строки 10' и столбца 3’ стоит число 225. sin 13 = 0,225. Найдем sin 13’36'. Ищем поправку для 36': в левом столбце «Десятки градусов» ищем 10°, в верхней строке части «Минуты» ищем 36’, на пересечении строки 10 и столбца 36' стоит число 10. sin 13 36’ = 0,225 + 0,010 = 0,235. При увеличении аргумента синуса поправка прибавляется! Косинусы Найдем соз76': в правом столбце «Десятки градусов» ищем 70', в нижней стрюке «Градусы» ищем 6', на пересечении строки 70" и столбца 6' стоит число 242. cos 76° = 0,242. Найдем С08 76'24'. Ищем поправку для 24': в правом столбце «Десятки градусов» ищем строку 70", в нижней строке правой части «Минуты» ищем 24', на пересечении строки 70" и столбца 24' находим 7. cos 76’24’ = 0,242 - 0,007 = 0,235. При увеличении аргумента косинуса поправка вычитается! 'nI VO ЗЯНЭЖ01ГИ^П Учебное издание Глазков Юрий Александрович Камаев Петр Михайлович РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ 9 класс к учебнику л.с. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7-9 классы» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. AE5I. Н 16054 от 28.02.2012 г. Главный редактор У7Д Лаппо Редактор И М. Бокова Художественный редактор Л.В. Демьянова Технический редактор Т.В. Фатюхина Корректор И. В. Русанова Дизайн обложки Л.В. Демьянова Компьютерная верстка О.В. Самойлова 105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: info@examen.biz; но вопросам реализации: sale@examen.biz тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парсто-Принт», г. Тверь, www.pareto-prinl.ru По вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).