Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Погорелов - Мищенко

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Погорелов - Мищенко - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ск rJ О nssU Q по геометрии □ ФГОС^ Т. М, Мищенко Рабочая тетрадь К учебнику А, В, Погорелова «Геометрия, 7-9 классы» учени класса школы класс Учебно-методический комплект Т. М. Мищенко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 8 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2014 УДК 373:514 ББК 22.151я72 М71 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебного издания «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. организаций / А. В. Погорелов. — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Мищенко Т. М. М71 Рабочая тетрадь по геометрии: 8 класс: к учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. учреждений» / Т. М. Мищенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2014.— 1И,[1] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-07769-5 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является дополнением к переработанному в соответствии со Стандартом второго поколения учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Рабочая тетрадь для 8-го класса рекомендуется для организации учебной деятельности учащихся. Предлагаемые в рабочей тетради задания удовлетворяют требованиям, предъявляемым Стандартом второго поколения, как к обязательному уровню, так и повыщенному уровню сложности. Форма заданий соответствуют форме заданий Государственной Итоговой Аттестации (ГИА). Использование рабочей тетради в учебном процессе позволит осуществить: во-первых, достижение каждым учеником уровня обязательной геометрической подготовки, и, во-вторых, сформировать у учащихся умение применять полученные знания, как в стандартных ситуациях, так и в несколько отличных от обязательного уровня. Использование рабочей тетради позволяет сэкономить врюмя учителя при подготовке к уроку, а также время и на самом уроке и выполнить больщее число заданий с записью в тетради. А у щкольников будет хорощий конспект по курсу 8-го класса, который, несомненно, поможет лучшему усвоению свойств плоских фигур, методов решения задач. Кроме того, рабочая тетрадь будет полезна и родителям, которые смогут следить за уровнем теоретических знаний своего ребенка и его умением решать задачи. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1,95. Уел. печ. л. 9,1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 6228/13. ISBN 978-5-377-07769-5 Мищенко Т.М., 2014 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2014 Содержание §6 Четырехугольники........................................4 50. Определение четырехугольника.......................4 51. Параллелограмм................................... 17 52. Свойство диагоналей параллелограмма...............22 53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма.......................................25 54. Прямоугольник.....................................31 55. Ромб..............................................40 56. Квадрат...........................................45 57. Теорема Фалеса....................................49 58. Средняя линия треугольника....................... 51 59. Трапеция..........................................54 §7 Теорема Пифагора...................................... 61 60. Косинус угла......................................61 63. Теорема Пифагора..................................64 65. Перпендикуляр и наклонная........................ 70 66. Неравенство треугольника......................... 72 67. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.......................... 73 69. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов...................................... 75 §8 Декартовы координаты на плоскости..................... 79 71. Определение декартовых координат................. 79 72. Координаты середины отрезка.......................80 73. Расстояние между точками..........................82 74. Уравнение окружности..............................83 75. Уравнение прямой..................................86 81. Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180°.........................98 §9 Движение.............................................. 90 84. Симметрия относительно точки......................90 85. Симметрия относительно прямой. Поворот............91 86. Параллельный перенос..............................93 Геометрические преобразования на практике.............94 §10 Векторы.............................................. 99 91-92. Определение вектора. Абсолютная величина и направление вектора. Равенство векторов............ 99 93. Координаты вектора...............................103 94-95. Сложение векторов.............................104 96. Умножение вектора на число.......................106 98. Скалярное произведение векторов..................107 Примеры заданий повышенного уровня сложности.........110 Четырехугольники 50. Определение четырехугольника В четырехугольнике ABCD соседние стороны АВ и AD равны. Диагональ АС образует с этими сторонами равные углы. Докажите равенство треугольников ААВС и AADC. (Запишите условие и решите задачу.) Дано: _____________________________ Доказать: _____ Доказательство В четырехугольнике ABCD диагональ АС образует со сторонами четырехугольника равные углы: ABAC = ZBCA = ABAC = ADCA. Докажите равенство треугольников ААВС и AADC. (Запишите условие и решите задачу.) Дано: _____________________________ Доказать: _____ Доказательство Известно, что в четырехугольнике ABCD: АВ = AD и ВС = CD, Докажите равенство треугольников ААВС и AADC. (Запишите условие и решите задачу.) Дано: _____________________________ Доказать: _____ Доказательство Диагонали четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам. Одна из сторон четырехугольника равна 7 см. Чему равна противолежащая ей сторона четырехугольника? (сделайте рисунок, запишите условие и решите задачу.) Дано: _____________________ Доказать: _________________ Доказательство иг о * о Я ►d т 34 м Я м я Я W Я т trt О tr* » Я По рисунку ответьте на вопросы: 1. Параллельны ли прямые а и если Z1+ Z2 = 180°? OtfieeiH: Прямые а и Ъ ________________ 2. Параллельны ли прямые а и Ь, если Z1+ Z2 180°? Прямые а и Ь _____________ 3. Параллельны ли прямые bug, если Z2 = 58°, а Z4 = 74°? Offi£e*fi: Прямые Ь и g ___________________________ Известно, что в четырехугольнике ABCD прямые ВС и AD параллельны, ZA = 53°. Найдите градусную меру ZB. Offijeetn:___________________________ 7........................................ Из одной точки окружности проведены хорда, равная радиусу данной окружности, и диаметр. Найдите угол между ними. Сделайте рисунок. 0й1ве^н:___________________________ 8.................................... Три окружности с центрами в точках О^, и Од касаются друг друга так, как показано на рисунке. Радиусы окружностей равны 12 см, 7 см и 5см. Найдите периметр треугольника OjOgOg. Offieeffi: Окружность с центром в точке О касается сторон угла ВАС (В л С - точки касания). Касательная MN к этой окружности пересекает стороны угла АВ и АС соответственно в точках N л М. Найдите длину отрезка АС, если периметр треугольника AMN равен 24 см, а касательная MN равна 7 см. OffieefH: 10*..................................... Определите, что является геометрическим местом точек центров окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых. Сделайте рисунок. OtHJeeifi: Сформулируйте определение четырехугольника. Четырехугольником называется________________ 11 Какие из приведенных фигур являются четырехугольниками? 0^н£е»н: а); б); в); г); д); е); ж); з). U1 о О п *т» m W ist m № S w Л S3 г trt О № S в 12.................................... Дан четырехугольник ABCD. В следующих вопросах выберите и подчеркните правильные ответы. 1. Какие пары вершин являются соседними? Ofn£etH: а) А и В; б) А и С; в) А и D; г) В и С; д) В и £); е) С и D. 2. Какие пары вершин являются противолежащими? Offi£efK: а) А и В; б) А и С; в) А и В; г) В и С; д) В л D; е) С и В. 3. Какие пары сторон являются соседними? Ofn€effi: а) АВ и ВС; б) АВ и СВ; в) АВ и ВА; г) ВС и СВ; д) ВС и ВА; е) СВ и ВА. 4. Какие пары сторон являются противолежащими? Ofn£effL: а) АВ и ВС; б) АВ и СВ; в) АВ и ВА; г) ВС и СВ; д) ВС и ВА; е) СВ и ВА. Сформулируйте определение диагоналей четырехугольника. 13......................................................... Дан четырехугольник АВСВ.Какие из приведенных обозначений четырехугольника являются ПраВИЛЬНЫМИ?(Подчеркните верные обозначения.) а) АВВС; б) АВСВ; в) АСВВ; г) АВСВ; д) ВАВС; е) ВСАВ; ж) ВСВА; Диагоналями четырехугольника называются ___________________ 14. Начертите четырехугольник. Обозначьте его вершины 1. Укажите противолежащие вершины. 0/н£е*н: 2. Укажите две пары смежных сторон. 0*нве*н:____________________________ 3. Проведите диагонали. 0/п£е*п: ___________________________ Перед решением задачи 15 посмотрите решение задачи 1, а перед решением задачи 16 — решение задачи 2. 15. в четырехугольнике ABCD: стороны АВ и AD равны, а диагональ АС, равная 9 см, образует со сторонами АВ и AD равные углы: ZBAC = ZDAC. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если периметр треугольника ADC равен23 см. О/ЯееЛ: 16. В четырехугольнике ABCD диагональ АС образует со сторонами четырехугольника равные углы: ZBAC = ^ ZBCA = ZDAC = ZDCA. Найдите периметр четырехугольника ABCD^ если сторона АВ = 5 см. Предлагаемые ниже задачи решите дома. 17.................................. в четырехугольнике KLMN, все стороны которого равны, проведена диагональ LN. Найдите градусную меру угла KLN, если угол MLN равен 90°. Дано: _________________________ Найти: ________________________ Решение: и» о * о и W » W « « и А W »-§ W о сг* П S 18................................ В четырехугольнике ABCD, две стороны которого ВС и AD параллельны, проведена диагональ АС. Найдите градусную меру угла CAD, если угол ВСА равен 30°. Дано: _________________________ Найти: Тешение: 19. Диагонали АС и BD четырехугольника ABCD являются диаметрами окружности с центром в точке О. Докажите, что прямые, содержащие стороны ВС и AD, параллельны. Дано: _________________________ Доказать: _____ Доказательство 10 20 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. Дано: ________________________ Найти: Тешение: В Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние четырехугольника, вписанного в окружность. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если 21 Диаметры окружности с центром в точке О являются диагоналями вписанного четырехугольника ABCD. Сторона АВ четырехугольника ABCD равна 7 см, а сторона ВС равна 9 см. Найдите периметр четырехугольника ABCD. (Сделайте рисунок, запишите условие и решите задачу.) о • о н W m m Л W Н[ г о йч tr* ж S г 11 Дано: Доказать: _____ Доказательство Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние четырехугольника, описанного около окружности. Четырехугольник называется описанным около окружности, если ______ 22(задача 5 учебника). Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны. Дано: ____________________ Доказать: ________________ Доказательство 12 23................................ Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника 13 см. Найдите периметр четырехугольника. OffieetH: D Ниже приведенный материал является дополнительным. Сформулируйте признак четырехугольника, описанного около окружности. Свойство и признак четырехугольника, описанного около окружности, являются обратными утверждениями. Внимательно изучите приведенную ниже таблицу и доказательство признака четырехугольника, описанного около окружности. Свойство четырехугольника, описанного около окружности. Признак четырехугольника, описанного около окружности. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Дано: ABCD - четырехугольник; О - центр окружности, _____вписанной в ABCD,______ Доказать: АВ + CD = ВС + AD. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Дан о : ABCD - четырехугольник; АВ + CD = БС + AD.__________________ Доказать: О - центр окружности, вписанной в ABCD. on р о я 15 м 3=1 W iSt т ж ж W Л m HI S •п м X о 9* ж ж 13 Доказательство признака описанного четырехугольника а) б) в) В четырехугольнике ABCD: АО - биссектриса ZBAD и DO биссектриса ZADC (рис. а). Следовательно, ON = OK = ОМ. Таким образом, в четырехугольнике ABCD окружность с центром в точке О касается трех сторон. Докажем, что тогда она касается и стороны ВС. Предположим, что это не так. Тогда 1. Сторона ВС не имеет общих точек с окружностью (рис. б); 2. Прямая, содержащая сторону ВС, является секущей (рис. в). Рассмотрим второй случай. Проведем касательную В^С^ к окружности, параллельную стороне ВС. Четырехугольник AB^C^D - описанный около окружности по определению, значит, ABj + BCj = AD + BjCj, при этом АВ^ = АВ -Ь BjB и DCj = DC + СС^. Отсюда АВ + В^В + DC + СС^ = AD + Bfi^; АВ + -Ь DC - AD = BjCj - BjB - СС^. По условию АВ + DC = AD + ВС, AD = АВ + DC - ВС. Значит, АВ + DC - АВ - DC + ВС = В^С^ - В^В - СС^; ВС = Bfi^ - BjB - CCj. Отсюда Bfi^ = ВС + BjB + СС^. Противоречие: в четырехугольнике AB^C^D сторона В^С^ не может равняться сумме трех других сторон. Аналогично доказывается первый случай. С. 14 Следовательно, окружность касается стороны ВС и четырехугольник ABCD - описанный около окружности. 24*.............................................. Докажите признак описанного четырехугольника в случае, когда прямая, содержапдая сторону БС, не имеет общих точек с окружностью. Доказательство Предлагаемые ниже задачи решите дома 25................................ В четырехугольнике ABCD углы при соседних вершинах А и Б равны 75° и 105°. Докажите, что прямые, содержащие стороны БС и AD, параллельны. Дано: ____________________ Доказать: ________________ Доказательство U1 о О W m m » S w Л tn ►4 E м ц о хг S S ж > 15i 26................................................. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны 14 см. Перпендикуляр NM, проведенный к стороне АВ через ее середину - точку N, пересекает сторону ВС в точке М. Найдите основание треугольника АВСу если периметр треугольника АМС равен 22 см. Дано; ________________________ в Найти: Решение: 27 Медиана СМ и высота СН треугольника АВС делят угол АС В на три равные части. Найдите медиану СМ угла, если сторона АВ равна 18 см. Дано: _________________________ Я М Найти: Решение: 16 28. К окружности с центром в точке О проведены касательные DC (В - точка касания) и FC {А - точка касания). Определите угол АСВ треугольника АВС, если треугольник ВО А - равносторонний. Дано: __________________________ Найти: PeuieHue: 51. Параллелограмм Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние параллелограмма. Параллелограммом называется__________________________ Решите устно задачу №29 и обведите в ответе букву, соответ' ствующую правильному ответу. 29. При пересечении двух прямых а и Ь пря-мыми с и d образуется четырехугольник ABCD. Определите, в каком случае четы- S______^ рехугольник является параллелограммом. D Gffieetfi: а) а\\Ь, c^lfd; б) а\\Ь, c\\d; в) а^Ь, dd. 17 30................................ в треугольнике АВС параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые DG и FG. Определите вид четырехугольника ^ AFGD. 0/fWef^i: Четырехугольник AFGD - 31. в параллелограмме ABCD параллельно стороне АВ проведена прямая FG. Определите вид четырехугольника ABFG, Четырехугольник ABFG - 32............................ в D В параллелограмме ABCD прове- в дена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный. Дано: _________________________ Доказать: _____ Доказательство В решении задачи №33 можно использовать результат задачи №3 2. 18 33.......................... в параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если BF = 5 см и FC = 3 см. Дано: ______________________ Найти: !PeiueH44e: 34. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам. До- а кажите, что треугольники АОВ и COD равны. Дано: ____________________ Доказать: ________________ Доказательство U1 > 59 м о g 19 35.......................... В четырехугольнике ABCD проведены диагонали, которые пересекаются в точке О. Докажите, что стороны АВ и CD параллельны, если треугольники АО В и COD равны. Дано: ______________________ Доказать: Доказательство Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте признак па раллелограмма. 36. В четырехугольнике ABCD: АС = = 12 см; BD = 8 см; ВО = 4см; АО = = 6 см. Определите вид четырехугольника ABCD. 0^пве1н: Четырехугольник ABCD - 20 37. В треугольнике АВС проведена медиана BF. На ее продолжении за точку F отложен отрезок FD, равный BF. Докажите, что четырехугольник ABCD - параллелограмм. Дан О : BF - медиана ААВС. FD = BF Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство AF = CF, так как BF - медиана ААВС. FD = BF по условию. Значит, в четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются и точкой пересечения F делятся пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник ABCD - параллелограмм. Внимательно посмотрите решение задачи №37. Решите задачи №38, 39 самостоятельно. 38. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС продолжены за точку В. На их продолжении отложены отрезки: BF = АВ и BD = СВ. Докажите, что четырехугольник AJDFC - параллелограмм. Дано: ____________________ Доказать: ________________ Доказательство ЦГ1 н* и & W :si о 3S 21 39........................................ В каждой из двух концентрических окружностях проведены диаметры АС и BD соответственно. Докажите, что четырехугольник ABCD -параллелограмм. Дано: О - центр концентрических окружностей. АС - диаметр большей окружности; ______BD_ -^диаметр меньшей окружности. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство 52. Свойство диагоналей параллелограмма Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство диагоналей параллелограмма. Теорема о свойстве диагоналей параллелограмма является обратной к теореме о признаке па раллелограмма, сформулируйте признак параллелограмма. 22 Сделайте краткую запись условия прямой и обратной теорем Прямая теорема Обратная теорема Дано: ; Дано: ABCD - параллелограмм; Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказать: ; Используя доказательство, данное в учебнике, запишите оТ' веты на вопросы в краткой записи доказательства теоремы 1. Построение: точка О {ВО = OD), отрезки АО и ОС^, АО = ОС^. 2. ABC^D - параллелограмм (почему?) по ____________________ 3. В параллелограмме ABCD: ВС || AD, DC || АВ (почему?) по_ 4. В параллелограмме ABCJ): ВС^ || AD, DC^ || АВ (почему?) по _ 5. ВС II AD и ВС^ II AD, значит, ВС^ совпадает с прямой ВС (почему?) по________________________________________________________ 6. DC II АВ и DC^ II АВ, DC^ совпадает с прямой DC (почему?) по 7. Значит, точка совпадает с точкой С, параллелограмм ABCJ) совпадает с параллелограммом ABCD. 8. Вывод: в параллелограмме ABCD: АО = ОС, ВО = OD. 40.......................................................... В параллелограмме ABCD диагональ BD равна 12 см, точка О -точка пересечения диагоналей параллелограмма. Чему равен отрезок DO. (Решите устно.) Offi€etfi: DO = см. «л JSJ о Ш О » о ш о X > 0 X > W 1 т О 5 X > 23 41.............................................................. Точка О является точкой пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Чему равна диагональ АС, если отрезок АО = 9 см. (Решите устно.) Otn€etH: АС = см. 42. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. Точка О является точкой пересечения диагоналей. Чему равен периметр AAOD? (Решите устно.) Offi£efH: Р. = см. АЛОВ 43, в параллелограмме ABCD диагонали равны, точка О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что AAOD - равнобедренный. Дано: _________________________ Доказать: Доказательство Внимательно посмотрите решение задачи №6 (учебник §6), это поможет при решении задачи 44. 44. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке К, а сторону СВ в точке L. Докажите, что АК = CL. (Дополните рисунок.) Я. в 24 Дано: Доказать: _____ Доказательство 53. Свойство противоле^кащих сторон и углов параллелограмма 45. В параллелограмме ABCD проведены диагонали, которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и COD равны. Дано: _____________________ Доказать: _____ Доказательство 46. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD, Докажите, что треугольники ABD и CDA равны. сд ы W о » Q о о HI S ю о > в S X О >-s о о » ;=> о 25 Дано: ________ Доказать: ____ Доказательство Сформулируйте свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма и сделайте рисунок. 47. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см. Чему равны стороны CD и AD? (Решите устно.) Offi£ein: CD =________см; AD =______ см. 48. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см. Чему равен периметр параллелограмма ABCD? (Решите устно.) Offi£e^i: Периметр параллелограмма ABCD =_______ см. 49 Периметр параллелограмма ABCD равен 28 см, одна из сторон параллелограмма равна 9 см. Определите все стороны параллелограмма. (Решите устно.) G/н^е/н: АВ =_________см; ВС =________см; CD =_____ ___см; AD =________см. 26 50. Периметр параллелограмма равен 38 см. Чему равна сумма двух соседних сторон параллелограмма? (Решите устно.) Oin£efH: _________________________ 51......................................................... В параллелограмме ABCD ZA = 43°. Найдите градусную меру остальных углов параллелограмма. (Решите устно.) О/н^е/н: /.В =______; ZC =_________; ZD =________ 52 в параллелограмме сумма двух противоположных углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов. (Решите устно.) Offieein: ___________________________ 53............................................................. в параллелограмме сумма двух углов равна 120°. Могут ли эти углы прилежать к одной стороне параллелограмма, (дайте развернутый ответ ) OifiSeifi: 1Л W о ш о X^ о ♦-3 о » *га о •н я to о m Ы 54. Известно, что в параллелограмме один угол на 12° меньше другого. Могут ли эти углы быть противоположными. (Дайте развернутый ответ) G/^e/н: я X п о о я я Я о W 27: в задаче №18 (учебное пособие §6) сформулирован еще один признак параллелограмма. Запишите его формулировку. Ниже приведено краткое доказательство признака параллелограмма. Используя доказательство, данное в учебнике, запишите ответы на вопросы в краткой записи доказательства теоремы. 1. Построение: прямая 6, точка С^еХ)С. 2. ВС^ II AD по построению DC^ || АВ по условию (DC || АВ)/ 3. ABC^D - параллелограмм (почему?) по __________________ 4. В четырехугольнике ABCD: DC = АВ. 5. В параллелограмме ABCJ): DC^ = АВ. 6. DC = АВ и DC^ = АВ, тогда совпадает с С (почему?) по _ 7. Четырехугольник ABCD совпадает с параллелограммом ABC^D. 8. Вывод: в параллелограмме ABCD: АО = ОС, ВО = OD. Используя сформулированный признак параллелограмма, решите следуюш;ую задачу. 55....................................................... На сторонах AD и ВС параллелограмма ABCD отложены равные отрезки АЕ и FC. Докажите, что четырехугольник AFCE - параллелограмм . Дано: ______________________ R Доказать: ____ Доказательство 7) 28 56..................................................... Сделайте необходимые рисунки и запишите условия, при выполнении которых четырехугольник является параллелограммом. 1. По определению параллелограмма четырехугольник является параллелограммом, если ____________ По признаку параллелограмма четырехугольник является параллелограммом, если __________________ По признаку параллелограмма, данному в задаче 18, четырехугольник является параллелограммом, если Г ш о » о is^ Q W о Ы о HI т О W в •XI о » ж < S о ш 29 57........................................................ Сделайте необходимые рисунки и запишите свойства параллелограмма. 1. У параллелограмма противолежащие стороны:____________________________ 1.__________________________________ 2. 2. У параллелограмма противолежащие углы ____________________________ 3. У параллелограмма диагонали 58* В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. ^ Дано: ________________________ Доказать: J^euienue: 30 54. Прямоугольник Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние прямоугольника: Прямоугольником называется ___________________________ Прямоугольник является параллелограммом по определению, поэтому все свойства параллелограмма справедливы и для прямоугольника.Сформулируйте эти свойства. 59. В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует со стороной AD угол, равный 37°. Найдите градусную меру ZACD, (Решите устно.) Oideeifi: ^ACD = 60. в параллелограмме из вершин двух углов на противоположные стороны опуш;ены перпендикуляры. Докажите, что полученный четырехугольник — прямоугольник. Дан о ; GBFD - параллелограмм; _____BALGD\____DC1BF_______ Доказать: ABCD - прямоугольник. in а а IS о й о а » ж 31' Доказательство ВС II AD, так как GBFD - параллелограмм; ВА II DC, так как они перпендикулярны прямой GD. ZBAD = 90°, так как BALGD. ZBCD = 90°, так как DC_L BF. ZABC = 90°, так как ZBAD и ZABC - односторонние углы при BF II GD и секущей АВ. ZCDA = 90°, так как ZCDA и ZBCD - односторонние углы при BF II GD и секущей DC. Следовательно, ABCD - параллелограмм, у которого все углы равны. Значит, ABCD - прямоугольник. При доказательстве следующей задачи воспользуйтесь следствиями из признака параллельности прямых: «две прямые^ перпендикулярные третьей, параллельны» и свойством углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей: «если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой». 61. Докажите, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником. Дано: ZBAD = ZCDA^^^CD = 90!. Доказать: ABCD - прямоугольник. Доказательство ВА II DC, так как_____________ ВС II AD, так как Следовательно, ABCD - 32 г "П| ZABC = 90°, так как ZBAD = ZCDA = ZBCD = ZABC = 90° Следовательно, ABCD -_______________ 62. Периметр прямоугольника равен 17 см. Найдите сумму расстояний от точки К до всех его сторон. Дано: ________________________ Найти: Решение: OtHJeetH: Сформулируйте свойство диагоналей прямоугольника, 63. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что АЛОВ - равнобедренный. Дано: _________________________ Доказать: _____ Доказательство ш Н ►и о ;=) tr » ж 33 64. Меньшая сторона прямоугольника равна В 6 см. Найдите длины диагоналей, если они пересекаются под углом 60°. (Решите устно.) Offieeffi: ^ 65 в прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что отрезок ВО является медианой треугольника АВС, Дано: ABCD - прямоугольник _____О - точка пересечения диагоналей Доказать: ВО - медиана ААВС Доказательство D Результат, полученный при решении задачи № 65, используй те при решении следующей задачи. 66. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Дано: _______________________ __________________ Л. Доказать 34 Доказательство Сформулируйте утверждение, обратное свойству диагоналей прямоугольника. Это утверждение сформулировано в задаче 26 (учебник §6) и является признаком прямоугольника. Докажите его. Дано; АС = BD. ___________________ Доказать: ABCD - прямоугольник. Доказательство В треугольниках BAD и CDA: ВА = CD, как АС = BD, по условию; AD - Следовательно, ABAD = ACDA по____________________________ Отсюда ZBAD = ZCDA; при этом ZBAD и ZCDA - внутренние односторонние углы при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD. Следовательно ZBAD = ZCDA = 90° Следовательно, ABCD -____________________________в силу за- дачи Alb 25 из учебника. U1 4S S=l S о о tr* » ж При решении следующей задачи используйте признак прямоугольника, который сформулирован в задаче №26 (учебник §6). 35 67................................................. В параллелограмме KLMN диагонали пересекаются в точке О и при этом отрезки LO и МО равны. Определите, является ли параллелограмм KLMN прямоугольником. Дано: ________________________ Доказать: Доказательство В задачах № 24, 25 (учебник §6) сформулированы два признака прямоугольника, доказательство которых опирается на ^ определение прямоугольника. Используйте их при решении следующих задач 68............ В параллелограмме KLMN каждый из углов LKM и MNL равен 57°. Определите, является ли параллелограмм KLMN прямоугольником. ^ Дано: _________________________ Доказать: Тешение: 36 69............................. В параллелограмме KLMN диагональ КМ образует со сторонами KL и ML углы, соответственно равные 32°и 58°. Докажите, что KLMN — прямоугольник. Дано: ______________________ Доказать: __________________ Доказательство При решении следующей задачи полезно воспользоваться свойствами биссектрис накрест лежащих и внутренних односторонних углов при параллельных прямых. 70. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. (При решении дополните чертеж.) Дано: ______________________ ----------------------^С Доказать: Решение: № .4S а 15 » § м с5 а tr » ж 37 71 (№ 31 учебник §6). В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противо-лежаш;его угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника. (Запишите условие и решите задачу.) Дано: Доказать: Решение: При решении следующих задач следует использовать резуль' тат решения задачи 28: биссектриса угла прямоугольника оТ' секает от него прямоугольный равнобедренный треугольник. 72. Стороны прямоугольника равны 11 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей. (Дополните рисунок.) Дано: _____________________ С|------------------iD Найти: ^Решение: 38 OfH£eifi: ___________________________ Задача № 73 является вариантом задачи № 72, поэтому обра тите внимание на выполнение чертежа. 73. Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей. (Дополните рисунок.) Дано: _______________________ Найти: ^Решение: 0*пРе*н: 74..... Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектрисы его углов А и В делят сторону CD на три равные части, длина каждой — 4 см. (Дополните рисунок.) Дано: _____________________________ я Я X I о я я я ж Найти: 39 утешение: Ofn€e^i: 75.................................................... В условии задачи № 74 длины сторон измените так, чтобы длина среднего отрезка равнялась нулю, запишите новую формулировку условия задачи и сделайте чертеж. В.-------------------,С 55. Ромб Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние ромба. Ромбом называется Так как ромб является параллелограммом по определению, поэтому все свойства параллелограмма справедливы и для ромба: — диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам^ -противоположные стороны ромба равны и параллельны. 40 76.................................................. 1. Периметр ромба ABCD равен 56 см. Найдите его сторону. (Решите устно.) 0*н€е*н: ______________________________. 2. Один из углов ромба ABCjD равен 72°. Найдите углы ромба. (Решите устно.) OtfLeetfi: ZA = _____; Z.B =_______; ZC = _______; AD =________ 3. Диагонали ромба ABCD равны: АС = 16 см и BD = 12 см. Найдите отрезки OD и ОС. (Решите устно.) Otfijeeffi: OD =_____см; ОС =________см. 77 в ромбе ABCD проведена диагональ АС. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный. Дано: _________________________ Доказать: _____ Доказательство Сформулируйте свойства диагоналей ромба и сделайте рисунок, иллюстрирующий перпендикулярность диагоналей ромба, и рисунок, иллюстрирующий свойство одной из диагоналей ромба быть биссектрисой соответствующих углов. U1 VI *xf о т 41 78............................................................ В ромбе ABCD угол BAD равен 50°. Найдите углы треугольника ABD. (Решите устно.) ОрЯееЛ: ZABD =_______________; ZBDA =________________; /ПАП = 79. В ромбе ABCD угол BAD равен 46°. Найдите углы треугольника AOD. (Решите устно.) Oifieeid: ZADO =________; ZOAB =_________; ZDOA =_________ 80............................................................. (№ 33, учебник §6) Сформулируйте и докажите утверждение, обратное свойству перпендикулярности диагоналей ромба. Дано: Доказать: _____ Доказательство 81. (№ 34, учебник §6) Сформулируйте утверждение, обратное свойству диагоналей ромба быть бессектрисами соответствующих углов. 42 Дано: Доказать: _____ Доказательство В вышеприведенных задачах № 61 и 62 (№33, 34, §6 учебника) сформулированы два признака ромба. Используйте их при решении задач. 82. Начертите четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны, но который не является ромбом. В задаче №36 (учебник, §6) сформулирован еще один признак ромба: "Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом". Используйте этот признак при решении следующей задачи. 83.................................................. Две окружности с центрами в точках О и и равными радиусами пересекаются в точках А и В. Докажите, что четырехугольник АО^ВО - ромб. Дано: _________________________ Доказать: _____ Доказательство tn О за W 43 > При решении задачи № 84 полезно воспользоваться результатом, доказанным в задаче № 43 (учебник §4). В задаче № 43 (пункт 35) доказано свойство катета, лежащего против угла в 30°. 84. Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 150°. Найдите расстояние между его противолежащими сторонами. Дано: _______________________ Найти: Решение: Offieetfl: 85....... Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон. Дано: _________________________ Доказать: Решение: 44 Из доказанного в задаче №65 следует: В ромб можно вписать окружность. 56. Квадрат Сформулируйте определение квадрата: Квадратом называется ____________ Так как квадрат является одновременно и прямоугольником,и ромбом по определению, то все свойства параллелограмма и ромба справедливы для квадрата: - все углы квадрата прямые; - диагонали квадрата равны; - диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам; - диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. 86. Периметр квадрата равен 28 см. Найдите его сторону. (Решите устно.) 87............................................................ в квадрате ABCD проведена диагональ BD. Определите: 1. Вид треугольника ABD. (Решите устно.) Ofn£eifi: isABD -___________________ 2. Углы AABD. (Решите устно.) 01й£еЛ: Z.ABD =_______; г^ВОА =_____; /ОЛВ = D U1 СП § н 45 88.......................................... В квадрате ABCD проведены диагонали BD и АС. 1.Определите вид треугольника AOD (решите устно) OtfieetH: AAOD - __________________ 2. Определите углы AAOD. (р ешите устно) D О/ЯбаЯ: глоо =_______; ZODA =______; ZDAO =________ 3. Найдите диагональ BD, если диагональ АС = 6 см. (Решите устно.) 0>Я£аЯ: BD = ______________________ в задаче № 40 (учебное пособие §6) и задаче № 89 сформулированы признаки квадрата. 89. Докажите, что ромб, у которого один угол квадратом. прямой, является Дано: ABCD - ромб; ______ZABC - прямой._ Доказать: ABCD - квадрат Доказательство Так как ABCD - ромб, значит ABCD - параллелограмм, у которого /АВС - прямой. Следовательно, в силу результата решения задачи М25 (учебник §6), параллелограмм ABCD является прямоугольником. А прямоугольник, у которого все стороны равны (ABCD - ромб), по определению является квадратом. Следовательно, ABCD - квадрат. 90» Определите, вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его. 46 Дано: ABCD - па- pCLJlJlBJlOZpCLMM \ AFEB, BSRC, CGHD и ADQJ - ____________квадраты Определить вид четырехугольника KLMN Решение: Рассмотрим AKBL и AMLC : ZEBS = ZBCD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: SBZBC и EBlABy а АВ || DC, значит, EB1DC. ZKBE = ZSBL = ZLCB = ZMCD = 45°, как углы, образованные сторонами и диагоналями соответствующих квадратов. ZKBL = ZEBS + ZKBE + ZSBL; ZLCM = ZBCD + ZLCB + ZMCD Следовательно, ZKBL =ZLCM, АВ = CD как противолежащие стороны параллелограмма ABCD. Следовательно, квадраты AFEB и CGHD имеют равные стороны. Отсюда следует, что ААКВ = ACMD как равнобедренные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами. Значит, КВ = СМ. BL = LC как диагонали квадрата BSRC Следовательно, AKBL = AMLC по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует KL = LM. Аналогично доказывается: LM = MN и MN = KN. Значит, у четырехугольника KLMN все стороны равны, а в силу доказанного в задаче № 36 {учебное пособие §6) KLMN - ромб. Из AKBL = AMLC следует ZKLB = ZCLM. ZBLC = 90°, так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. ZKLM = ZKLB + ZBLC - ZCLM = 90°. Значит, KLMN - ромб, у которого один угол прямой. Следовательно, по доказанному в задаче № 65 KLMN - квадрат. ж Об 47. 91* Определите, вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах ромба вне его? (внесите обозначения на чертеж и решите задачу.) Дано: _________________________ Определите вид четырехугольника Тешение: 92* Определите, вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах прямоугольника вне его? Дано: ______________________ Определите вид четырехугольника !Реишше: 48 57< Теорема Фалеса Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте теорему Фалеса. Следующие задачи решите устно, используя данные чертежа. 93. Дано: ОА, = = А^Ад = АдА^ A,BJlAgBg|^4gBз|kl,B,; _____ОВз,^_2к_см__________ Найти: OBj; ОВ^; ОВд О/ЯееЛ: ОВ. = ОВ,= ОВ,- см; см; см. 94. Дано: ZDCG = ZBAG = 90°; _____GB_=_BD = .7 сщ^С = 4 см. Найти: AG. OfH£effi: AG = см. G <л • Ы с М 3! > g м п > 49 95................ Дано: ZKMO = ZLNO _____OM = MN = S cm; Найти: KL. 0^н€е^н: KL = cm. 116°; = 13 CM. 96. Дано: AB \\CD \\FG; _____CG = 4 cm; DF = 5 cm: BD = 10 cm. Найти: AC. Ot^effi: AC = CM. 97* Точка К - середина медианы BF треугольника ABC. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке D. Докажите, что BD = i ВС. Дано: BF - медиана; ВК = KF; _____DeBC________________ Доказать: BD = — ВС. 3 Доказательство Через точку F проведем прямую, параллельную AD. Пусть она пересечет сторону ВС в точке Е. Тогда, так как AF = FC, то СЕ = ED (по теореме Фалеса для угла АСВ). Так как ВК = KF, то BD = DE (по теореме Фалеса для угла FBC). Следовательно, BD = i вс. 3 Внимательно посмотрите решение задачи № 97. Решите задачу №98 самостоятельно. 98* Точки к и L - середины сторон AD и ВС параллелограмма АВС£). Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части. 50 Дано: Доказать Решение: 58. Средняя линия треугольника Сформулируйте определение средней линии треугольника, Средняя линия треугольника _______________________ 99. Среди треугольников, приведенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведена средняя линия треугольника. .А 00 <-> S и ж S •н *х» m »< О кг* ш ж 51 100................................. в треугольнике QRP проведены средние линии ST и SO. Определите: является ли отрезок ОТ средней линией данного треугольника? (дайте развернутый ответ.) 0*н£е*н: 101. Постройте среднюю линию данного треугольника. Сколько средних линий можно построить в данном треугольнике? OffieetH: Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте теорему о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника 102. в треугольнике QRP проведены средние линии ST, ОТ и OS. Докажите, что треугольники QSO, SRT, ОТР и TOS равны и каждый из них подобен треугольнику QRP. Дано: ______________________ Доказать: __________________ Доказательство 52 103. в треугольнике QRP отмечены точки Sy Т и О, которые являются серединами сторон QRy RP и QP соответственно. Докажите, что QSTO - параллелограмм. Дано: _______________________ ^ Доказать: Доказательство 104. В равностороннем треугольнике QRP отмечены точки S, Т и О, которые являются серединами сторон Qi?, RP и QP соответственно. Найдите периметр параллелограмма QSTO, если периметр треугольника SRT равен 27 см. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: _________________________ Найти ^Решение: п m № ж ж » » X ж •и W о ж tr* X IS GffieefH: 53 105............................................... Диагональ квадрата равна 26 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон квадрата. Дано: ________________________ Найти: ^Решение: 59. Трапеция Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ния трапеции и связанных с трапецией понятий. Трапецией называется Основаниями трапеции называются Боковыми сторонами трапеции называются 54 106............................... Начертите трапецию, внесите обозначения на чертеж и запишите ее основания и боковые стороны. Ofn£efH: Основания трапеции: _____ и Боковые стороны трапеции: и 107. В трапеции ABCD проведите прямую CF, параллельную АВ. Определите вид четырехугольника ABCF. Ofitjeetfi: Четырехугольник ABCF - _ 108. В трапеции ABCD углы, прилежаш,ие к стороне AD, равны 74° и 81°. Определите углы, ПрИЛеЖаПДИе к стороне ВС. (Решите устно.) OiOeeifi: ZABC =_______; ZBCD =_________ Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение равнобокой трапеции. Равнобокой трапецией называется 109. Докажите, что в равнобокой трапеции ABCD высоты ВК и CL отсекают на большем основании AD равные отрезки АК и LD. Дано: ____________________________ JO н 2 а т 13 « id Доказать: _____ Доказательство 55 в задаче №60 из §6 учебника доказывается равенство углов при основании равнобокой трапеции. 110................................................. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи 60 из учебника. (Это утверждение является признаком равнобокой трапеции.) Дано: _________________________ Доказать: _____ Доказательство Рассмотрим еще одно свойство равнобокой трапеции. 111............................................ Докажите, что в равнобокой трапеции диагонали равны. Дано: Доказать: _____ До казательство 112. Ссформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи 111. (Это утверждение является признаком равнобокой трапеции). 56 Дано: Доказать: _____ Доказательство 113............................................... В равнобокой трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найдите высоту трапеции, если основания равны 13 см и 27 см. Дано: ________________________ Найти: Решение Offt£etn: Ниже приведены свойства трапеции, полученные в результате решения задач. Эти свойства полезно применять при решении задач. 1. Для любой трапеции перпендикуляры, опущенные из вершин одного основания на другое, - высоты трапеции - равны, так как являются расстоянием между параллельными прямыми. 2. В равнобокой трапеции перпендикуляры, проведенные из вершин меньшего основания к большему, отсекают от трапеции два прямоугольных треугольника, равных по катету и гипотенузе. 3. В равнобокой трапеции перпендикуляры, проведенные из вершин меньшего основания к большему, делят большее основание на два равных между собой отрезка и отрезок, равный меньшему основанию. 1Л ю Hi I W т X X 57 4. В равнобокой трапеции углы при основании равны. 5. Прямая, проходящая через вершину меньшего основания параллельно боковой стороне, разбивает любую трапецию на параллелограмм и треугольник. 6. В равнобокой трапеции этот треугольник является равнобедренным. Сформулируйте определение средней линии трапеции. Средней линией трапеции называется ____________________ Сформулируйте теорему о средней линии трапеции. 114. ^ В трапеции ABCZ) стороны равны: АВ = 8 см, ВС = 13 см, CD = 10 см, AD = 19 см. Отрезок FG - средняя линия трапеции. Найдите стороны трапеции AFGD. ^ AF = см, FG = см, GD = см, AD = см. 115. В трапеции, одно из оснований которой равно 5 см, проведена средняя линия, длина которой равна 6 см. Чему равно другое основание трапеции? (Решите устно.) см. 116. В трапеции ABCD с основаниями AD =12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Чему равны отрезки МК и KL? (Решите устно.) 0й1£аЯ: МК = см, KL = СМ. 58 117.............................................. Диагонали трапеции ABCD пересекают среднюю линию RP в точках М и N. Докажите, что RM = NP. Дано: ___________________ Доказать: ____ Доказательство 118. Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три равные части. Определите, как относятся основания этой трапеции. Дано: _____________________ Найти: Тешение: Otn£etfi: 119..... Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований. Дано: _____________________ 1Я ю m J=3 59 Доказать: _____ Доказательство 120. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. Дано: ____________________ Доказать: _____ Доказательство В задаче №74 из §6 учебника дано очень важное свойство треугольников: «Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершин». Используйте это свойство медиан треугольника при решении следующей задачи. 121. В треугольнике АВС проведены медианы AL = 15 см и ВК = 12 см. Чему равны стороны AKOL, если АВ = 14 см? (Решите устно.) Gtn€efn: OL =_______см, КО =_________см, KL =_________см. В 60 SIj Теорема Пифагора 60. Косинус угла Сформулируйте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется Следующие задачи решите устно. 122 Дан прямоугольный треугольник АВС. В ответах на предложенные вопросы выберите и подчеркните правильные. 1. Какое отношение верно? ^ АВ СВ Utn€e/n: а) cos А = ; б) cos А = ; ./Ю J\ о АС СВ в) сов А = —: г) сов А . 2. Чему равен cos А? ^ 8 8 17 и/нсе/н: а) cos А = ; б) cos А =—; в) cos А = —г 15 17 15 3. Чему равен cos В? ^ 8 8 17 15 Ufftbeht: а) cos В = ; б) cos В ; в) cos В = —г) cos В = 15 17 15 8 123......................................................... В прямоугольном треугольнике катет равен 8 см, а косинус прилежащего угла равен 0,8. Чему равна гипотенуза? Ofn£etn: см. р ж о 61 124 На сторонах угла BflA^ отложены отрезки ОВ^ = 5 см, ОВ^ = 6,25 см, ОВ^ = 8 см. Из точек В^ и Бд опущены перпендикуляры на другую сторону угла, причем ОА^ = 3 см, QAg = 3,75 см, ОАд = 4,8 см. 1. Найдите cos О из AAfiB^. Offi£efH: cos О = ___________________ 2. Найдите cos О из AAfiB^ Ofitjeeffi: cos О = ________ 3. Найдите cos О из AAfiB^ Otfi£effL: cos О = Сформулируйте теорему о косинусе острого угла прямоуголь ного треугольника. Косинус угла зависит только от 125. в треугольниках АВС и MLK: ZC = ZK = 90°, ZA = ZM, АВ = 18 см, ML = 6 см, МК = 3 см. Чему равен катет АС? Дано: ZC = ZK = 90°, ZA = ZM; Найти: АС. Теишше AMLK и ААВС - прямоугольные треугольники, так как ZC = ZK = 90°. МК АС cos М = —— и cos А =—— по определению ко-ML АВ ^ синуса острого угла прямоугольного треуголь-ника. 62- 126. В треугольниках АВС и MLK: ZC = ZK = 90°, ZA = ZM, АВ = 15 см, АС = 5 см, МК = 8 см. Чему равна гипотенуза ML? Дано: ____________________________ Найти: !Решение: OfHJeefn: ML = 127 ........... см. В треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу АВ на отрезки AD = 5 см и DB = 4 см. Чему равен катет ВС? Дано: _________________________ OV О • Ж О о S § > Найти: 63. Тешенме Otfieetfi: ВС = см. Теорема Пифагора Сформулируйте теорему Пифагора: 1 В учебном пособии приведены два следствия из теоремы Пифагора. Посмотрите решение задачи 128 и аналогично докажите задачу 129. 128. Следствие 1, В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Дан о ; ААВС - прямоугольный треугольнику ZC = 90!. Доказать: АВ > ВС; АВ > АС. Решение Так как ААВС - прямоугольный, то по теореме Пифагора АВ^ = АС^ + ВС^. Так как ВС^ > 0, то АС^ < АВ^, то есть АС < АВ, что и требовалось доказать. Для катета ВС доказательство аналогично. 64 129 ............................................. Следствие 2. В прямоугольном треугольнике cos а < 1 для любого острого угла. Дано: _______________________ Доказать: ___________________ TeuieHue 130. в прямоугольном треугольнике один из катетов равен 20 см, а гипотенуза больше второго катета на 8 см. Вычислите периметр треугольника. Дано: ________________________ Найти: ^Решение Ofn£eiH. 131... см. в треугольнике АВС высота CD у опуш;енная из вершины прямого угла Су делит гипотенузу АВ на отрезки AD = 9 см и DB = 16 см. Катет ВС равен 20 см. Найдите катет АС и высоту CD этого треугольника. Дано: _________________________ о» CU •-3 м о W ж > а § О 2 65 Найти: Решение Oin£etfi: АС = 132........... см, CD = см. Найдите отношение диагонали квадрата к его стороне. Дано: __________________________ Найти: ^Решение G/ftPetfi: 133...... Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 3 см. Определите сторону квадрата. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ______________________________ Найти: Теишше 66 0»н£ан:____________________________см. 134 ..................................................... Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. (Решите устно.) OfitJeetfi:________________________см. 135 ..................................................... к окружности радиуса 10 см проведена касательная, на которой взята точка М на расстоянии 24 см от точки касания. Найдите расстояние от точки М до центра окружности. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: _____________________________ Найти: ^Решение 0»нРе*н: 136.... Из точки М, отстоящей от центра окружности на расстоянии 29 см, проведена касательная КМ = 21 см, где К - точка касания. Найдите радиус окружности. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: _____________________________ о> и> т о W а X о г Найти: 67 !Решение OfHj6ejn: 137..... в окружности радиуса 17 см проведена хорда, равная 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ________________________ Найти Теишше В 138.. Две окружности, радиусы которых равны 20 см и 5 см, касаются внешним образом и имеют обш;ую касательную АВ. Найдите длину отрезка АВ. (Дополните чертеж и решите задачу.) Дано: ____________________________ Найти: Тешение 68 0»н€е*н: _______________________ При решении задачи 139 следует применить следствие 1. 139................................................... Докажите, что в тупоугольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона Дано: __________________________ Доказать: ____ Доказательство 140-141 Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то АВ2 + CD^ = ВС^ + ADK (Рассмотрите два случая для двух типов четырехугольника.) Дано: _______________ Доказать: ___________ Доказательство В В D D ы н W о *ГЗ m » X > •п О 2 69 OffieeiH: _______________________ 65. Перпендикуляр u наклонная По рисунку объясните понятия перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной. 1. Отрезок АВ - В 2. Отрезок ВС - 2. Отрезок АС - ____________ В задачах № 128 и 129 были доказаны два следствия из теоремы Пифагора. В следующих задачах №№ 142-144 докажем еще три следствия из теоремы Пифагора, сформулированные для перпендикуляра и наклонной. 142. Следствие 3^ Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная больше перпендикуляра. Дано: ________________________ Доказать; _____ Доказательство 70 143........................................... Следствие 4. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то равные наклонные имеют равные проекции. Дано: _____________________ Доказать: _________________ Доказательство 144........................................ Следствие 5, Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. Дано: ___________________ Доказать: _______________ Доказательство 145. К прямой ИЗ одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, которая образует с данной прямой угол, равный 45°. Найдите перпендикуляр, если проекция наклонной равна 11 см. 7Т ^ Дано: __________________________ Найти: Теишше 0\ 1Л « п т •п а W а 3=1 а I а X » > о а а > а Ойг£е^н: 71 146............................................... К прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, которая образует с данной прямой угол, равный 30°. Найдите перпендикуляр, если наклонная равна 18 см. Дано: ________________________ Найти: _______________________ В Утешение 0*н€е*н: 147. к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, которая образует с данной прямой угол, равный 60°. Найдите проекцию наклонной, если наклонная равна 16 см. Дано: ________________________ Найти: _______________________ J^eiueHue 66. Неравенство треугольника Сформулируйте неравенство треугольника 72 148. Определите, существует ли такой треугольник, у которого периметр равен 18 см, а одна из сторон 14 см? Г Дано: Периметр, треугольника равен 18 см; _____Сторона треугольника рлвна 14 см_____ Определите: Может ли существовать такой треугольник! TeuieHue Предположим, что такой треугольник существует. Тогда сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны. Одна сторона данного треугольника равна 14 см, а сумма двух других сторон равна 4 см ("18 см - 14 см = 4 см^, то есть одна из сторон больше суммы двух других. Пришли к противоречию. Следовательно, такой треугольник не существует. При решении следующей задачи воспользуемся утверждением, сформулированным в задаче № 41 из §7 учебника, в котором доказывается существование такого треугольника. 149. Определите, существует ли треугольник со сторонами 13 см, 11 см, 4 см? о» о о о на S О в W № » X м 67. Соотношения ме^ду сторонами и углами прямоугольного треугольника Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ния синуса, тангенса и косинуса острого угла прямоугольно го треугольника. о на о о № is! is; 73 Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется _________________________________________________________ Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется 150. Дан прямоугольный треугольник АВС, В ответах на предложенные вопросы выберите и подчеркните правильные. 1. Какое отношение верно? 1. а) sin А =-; б) sin А =-; в) sin А =--; г) sin А =-. АС АВ АВ АС о л ^ ^ч^ л С-В ^ АС ^ СВ 2. а) tg А =--; б) tg А =--; в) tg А =--; г) tg А =-. АС АВ АВ АС 3. ctg А =--; б) ctg А =---; в) ctg А =-; г) ctg А = АС 2. Чему равен sin В? АВ ВС АС 8 8 а) sin В =—; б) sin В = —; 15 17 в) sin в = —; г) sin В = —. 15 17 3. Чему равен tg В? а) tg в = —; б) tg В = —; 15 17 17 15 в) tg Б = —; г) tg Б = —. 15 17 4. Чему равен ctg В? 8 ^ 8 17 15 а) ctg Б = —; б) ctg Б = —; в) ctg Б = г) ctg В =—. JLD L ( ±0 Х| 74 151.................................................... В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а синус одного из острых углов равен 0,7. Чему равен катет, противоле-жаш,ий данному острому углу? ОМ£е*н:______________см. Из теоремы Пифагора и определений косинуса, синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника следуют правила нахождения сторон прямоугольного треугольника. 0\ *н| о 69. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов Сформулируйте теорему об отношении синусов и косинусов углов, дополняющих друг друга до 90° (теорема 7.4): ж о о ж t-i w » п ж W ж о HI о ж ж о ж 75 152............. Заполните таблицу: а 30° 45° 60° sina cos а tga ctga 153. Углы при основании трапеции равны 60° и 30°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции. Дано: ________________________ Найти: J^euienue 154.. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника равна 14 см. Определите медиану треугольника, проведенную к гипотенузе. Дано: _________________________ Найти: IPeuteHue 76 155 ................................ Диагональ ромба равна его стороне, ее длина вторую диагональ и углы ромба. Дано: ________________________ 10 см. Найдите Найти: Решение 156.. Сторона ромба равна а, а один из его углов равен 120°. Найдите диагонали ромба. Дано: ________________________ Найти: Теишше 157.. Диагональ параллелограмма равна а и перпендикулярна его стороне. Найдите стороны параллелограмма, если один из углов параллелограмма равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°. (Решите сначала задачу в общем виде, а затем подставьте значения угла). at ы % S 5 в 'ж о о X X ё W » о » m Ж S о ж ж я о ю 77 Дано: Найти Решение Otnjeeifi: 158..... Доказать, что в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу относятся как квадраты катетов. Дано: ________________________ Доказать: _____ Доказательство О^нвет. 78 Декартовы координаты на плоскости _______ 71. Определение декартовых координат По рисунку запишите названия осей координат, Ось X называется осью ______________________ Ось у называется осью_____________________ 159. 1. Определите, чему равны координаты начала координат. О (х; уУ, X = _______ У =______О (_______;____); 2. По рисунку определите координаты точек А, В, С и D. А (х^; уУ): х^ = _______ У^ =______А (______;____); В (х^; у^У х^ = ________ У 2 = ____ ^ (_____» ^ (^3» Уз)’ ^3 — --- D (х^; yj: х^= _____ f «С yi 1Г if Уг = У,= С(_ D{_ 160. ► X IV На рисунке постройте точки координаты точки Е (-3; 7), F (5; 6), G (-2; -5), Я (6; -4). 161. По рисунку определите, какие знаки имеют координаты точек, лежащих в одной координатной четверти. (Выполните по образцу I четверти.) --- -^2 ’--- У2* X ;_____Z/ ; IV четверть:_________х^ ;_____у^. I четверть:____+____х^ ;__+___у^; II четверть: III четверть: о » м 3=1 m т ж iS W м я ж о о S S 5 79 Из решения задач 159 - 161 можно сделать вывод: В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются. После решения задач 4 и 7 из учебника можно сделать выводы: 1. Если прямая перпендикулярна оси х и пересекает ее в точке (а; О), то все точки этой прямой имеют абсциссу, равную а; 2. Если прямая перпендикулярна оси у и пересекает ее в точке (0; Ь), то все точки этой прямой имеют ординату, равную Ь. 162.................................................... По рисунку определите координаты точек N, М, L и К. N (х,; i/j): Xj = ________ !/, =_____N (________;_____); L (Х3; 1/3): Х3 = ______ Уз =________L (_______;_____); М (х^; Уз): Хз = 1 J/2 =___________^ (- К (х^; yj: = Уз =_________К (_ П и £ i г 7 J. т X 1: 1 Г г а г п t 1 L ► X т 163. Прямая п перпендикулярна оси х. Определите координаты точки Р. Oin£etH: _______________________ 164.................................................... Прямая т перпендикулярна оси у. Определите координаты точки Я. 72. Координаты середины отрезка Запишите формулы для вычисления координат середины отрезка АВ. если А (х^; у^) и В{х^\ yj. 80 Кратко запишите решения следующих задач. 165. 1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если: А(-6, 2) и В(4, 4). Решение 166 Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (4, -2) и Б (1, 3). Решение 167................................................... в треугольнике АВС проведена медиана CD. Определите координаты точки Б, если А (-5, 0), В (0, -3). Решение Г* о о S « 168.................................................... Дан треугольник АВС с вершинами А (7, -4), В (-4, 3) и С (5, 0). Определите координаты концов средней линии треугольника, параллельной стороне АВ. Решение о W ns m 3=( SS! » S О HI nj w ы 81 73. Расстояние ме^ду точками 169......................... Докажите, что расстояние между точками 0) и 0) оси х при любых х^ и х^ определяется по формуле d = \х^- х^ \. Доказательство 170. Докажите, что расстояние между точками (Xj, а) и (Xg, а) оси х при любых Xj и Xg определяется по формуле d = I Xg - X J . Доказательство т ■Ai X, ;а) Ь;ь iJ- г tr- Aoi [л а) А [Ь;у,) -■1 171. Докажите, что расстояние между точками (6; у^) и (Ь; у^,) при любых у^ и у^ определяется по формуле d = I i/g ~ ^ J • Доказательство Запишите формулу для вычисления длины отрезка АВ, если А (х^; yj и В{х^) yj. 82 172..................................................... Найдите расстояние между точками А и В, если А(4, -3), Б(-2, 5). Тешение 173. Докажите, что треугольник CDE с вершинами в точках С (3, 4), D (6, 8), Е (10, 5) - равнобедренный. Тешение 74. Уравнение окруЯсности Сформулируйте понятие уравнения фигуры, •VI 174 Найдите геометрическое место точек плоскости хОу^ для которых X = у. У^еисение yi -^х > » W ж S W о ж ж »< ж о о и ж 83 Запишите уравнение окружности с центром в точке (х^; yj и радиусом R. 175. Окружность задана уравнением - Sax + 2ау = & (а > О, & > 0). Определите, в каком координатном угле расположен центр окружности. Тешение 176. Определите координаты центра и радиус окружности, изображенной на рисунке, и составьте ее уравнение. Tet4ieHue 177. Две окружности заданы уравнениями х^ + у^ = 1S VL х'^ -\- {у + 1Y = 25. Постройте их на координатной плоскости. Укажите координаты центров и радиусы. Теишше ¥к 84 178............................ Определите координаты центров и радиусы окружностей, изображенных на рисунке, и составьте их уравнения. Найдите координаты точек пересечений этих окружностей. Teuienue 0»н£е^н: 179.................................................... Заданы точки А (1; 2) и Б (3; 0). Найдите геометрическое место точек М таких, что АМ2 -ь БМ^ = АБ2. Решение 180.............................. Точка М принадлежит окружности, заданной уравнением = Ъ. Точка N принадлежит окружности, заданной уравнением {х — 5)^ + (z/ — 1)^ = 1. Найдите наибольшее и наименьшее расстояние между точками М и N. i% > т » m т W о ж 85 Указание: Поскольку точки М и N лежат на окружностях, то, как наибольшее, так и наименьшее расстояние между ними находятся на линии центров. J^euieHue 181*............................ Составьте уравнение окружности, описанной вокруг треугольника АВС, если заданы координаты его вершин А(0, 3), Б(4, 0) С(4, 3). Дано: Треугольник АВС; _________ Б(4; DJlA:{4^) ____ Составьте уравнение окружности TeuieHue 7 5. Уравнение прямой 182 Составьте уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек (0, 1) и (1, 2). 86 Решение Запишите уравнение прямой 183 Какие из точек А (0; -2), В (4, 2), С (-4, -5) принадлежат прямой hy заданной уравнением; Зл: - 4z/ - 8 = о? Решение 184 Даны координаты точек А(-1, 1), Б(0, 3), С(2, 7) Z>(-2, -1). Определите взаимное расположение прямых АВ и CD. Решение 'ч! 1Л 185 Напишите уравнения касательных к окружности - 9 = 0, параллельных биссектрисе первого координатного угла. Решение to № W W S m а •ТЗ м г о 87 186*. Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник ОАВ, если его вершины имеют координаты О (О, 0), А(0, 3), Б(4, 0). Дано: ________________________ Составить Тешение В 7 классе при изучении §5 уже систематизировались знания о взаимном расположении прямой и окружности. Теперь вопрос о взаимном расположении прямой и окружности будем исследовать с помощью координатного метода. Ниже приведена таблица, в которой систематизированы знания о взаимном расположении прямой и окружности (где d - расстояние прямой от центра окружности, г - радиус окружности). Если d = г, то прямая и окружность имеют одну общую точку {прямая р -касательная к окружности). Если d < г, то прямая и окружность имеют две общие точки {прямая р -секущая). М Я Если d > г, то прямая и окружность не имеют общих точек. 88 81. Определение синуса, косинуса и тангенса для л1обоео угла от 0° до ISO"" Запишите формулы приведения: sina cosa tga _ ctga 187. sina cosa tga _ _ ctga для a для a_ Заполните таблицу: а 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° sina cos а tga ctga 188 Докажите, что окружность (х - 5)^ + (у + 3)^ = 25: а) касается оси у; б) пересекается с осью х; в) не пересекается с прямой у = -9» Решение 00 ь* « 0 X 1 Ж о о X X м ш а > о >-а о 3st О ь* 00 О о 89 Движение 84. Симметрия относительно точки 189 1. Дана точка О. Постройте точку А’, симметричную А точке А относительно точки О. 2. Какая точка симметрична точке А' относительно точки О? 0fHj6etH: •о 190 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Назовите точку, симметричную точке А относительно точки О. 1. Точка Z); 2. Точка С; 3. Точка Б; 4. Точка А. 191..................................................... Нарисуйте несколько четырехугольников, обладающих центральной симметрией. 192. Точка F - середина стороны АС в треугольнике АВС. Постройте точку £>, симметричную точке В относительно точки F. Определите вид четырехугольника ABCD. 90 Дано: ____________ Определить вид ABCD. Тешение 85. Симметрия относительно прямой. Поворот 193 1. Дана прямая g. Постройте точку А’, симметричную точке А относительно прямой g. 2. Какая точка симметрична точке А' относительно прямой g? 0»н£е1н:_________________________ 194..................................... А Нарисуйте несколько треугольников, обладаюгцих осевой симметрией. 195. Какой треугольник имеет три оси симметрии? 0гн1ве/н: со U1 г> » S X и и X о X о п X HI м 23 tj* X О X X X о x^ X о ю о н» о »-3 91 196..................................................... Точки А и в при симметрии относительно прямой п переходят в точки А' и В\ Чему равна длина отрезка А'В\ если отрезок АВ равен 3,5 см. G/^e/л: 197. Треугольник ABD равносторонний, АВ = AD. Постройте точку С, симметричную точке А относительно стороны BD, и докажите, что четырехугольник ABCD - ромб. Дано: ________________________ ______________________________ А^ Доказать: ____________________ ^Решение 198. Докажите, что биссектриса угла является его осью симметрии. Дано: ______________________________ Доказать: Решение 92 86. ПаралАедъный перенос 199 Параллельный перенос задан формулами X = X + Ij у = у - 2. Постройте фигуру, в которую перейдет треугольник с вершинами А (3, 3), В (О, 1), С (- 1, 2) при этом параллельном переносе. Запишите координаты точек, в которые переходят вершины треугольника. Ж 200 При параллельном переносе, заданном формулами лс' = х + 4, I/’ = ^ + 3, вершина А квадрата АВСП переходит в точку В. Найдите диагональ этого квадрата. Решение 0/n£effi: 201 Параллельный перенос переводит конец А отрезка АВ в точку А', принадлежа-ш;ую прямой АВ. Постройте отрезок, в который перейдет отрезок АВ при этом параллельном переносе. 202 00 а\ -• а > а м а tr* » г: а W ♦tl til а о о Точка М отрезка АВ при некотором параллельном переносе переходит в точку М\ Постройте отрезок, в который переходит отрезок АВ при этом параллельном переносе. 93 Геометрические преобразования на практике 203 Две деревни А и В находятся по одну сторону от шоссе а. Где на шоссе а надо расположить остановку автобуса чтобы сумма расстояний АК + КВ была наименьшей? Замечание. Шоссе считаются прямой линией. Л *5 а а) б) в) г) J^euienue Условие задачи отражено на рис. а), где прямая а - шоссе. Предположим, что задача решена и остановка находится в некоторой точке Ху рис. б), значит, надо минимизировать сумму АХ + ХВ. Построим точку В\ симметричную точке В относительно прямой а, рис. в). По определению осевой симметрии ВХ = В'Х. Поэтому АХ + ХВ = АХ + ХВ\ Сумма АХ + ХВ' становится наименьшей, когда точка X попадает в точку пересечения отрезка АВ' с прямой а. Соединим точки А и В'. Отрезок А'В пересекает прямую а в точке К, рис. в). Эта точка К и дает решение задачи, рис. г). Следующая задача на нахождение кратчайшего расстояния более сложная, при ее решении кроме непосредственного применения осевой симметрии требуются знания свойств серединного перпендикуляра или равнобедренного треугольника. 204 Две деревни А и В находятся по одну сторону от шоссе а. Где на шоссе надо расположить остановку автобуса Ку чтобы расстояния от каждой из деревень до остановки были равными? Замечание. Шоссе считаются прямой линией. 94 •в •в а) г) в) е) ^Решение. Условие задачи отражено на рисунке а), где прямая а - шоссе. Построим точку В’, симметричную точке В относительно прямой а б). Соединим точки А ж В' в). Построим серединный перпендикуляр к отрезку АВ', который пересекает прямую а в точке К г). Соединим точку К с точками А и В' д). По свойству серединного перпендикуляра АК = КВ\ а по свойству осевой симметрии КВ' = ВК, следовательно АК = ВК. Результат решения представлен на рисунке е). 205. Определите по рисунку вид движения и опишите его. W о X м н s ai м п ж S м а ж W о ш ? ы о Ш > » X ж ш > п 5 ж •ч X ж W 95 206. Фигура переходит в фигуру в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а и Ь. Оси а и 6 пересекаются под углом 90°. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру F^ в фигуру Fg. Фигура^ F^^nejtexodMni в фигуру F^ в результате: 1, поворота плоскости около лючки (1на^игол^4>шный 180f; 2, симметрии относительно точки О^ 96 207.......................................... Фигура переходит в фигуру в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а и fe. Оси а и & пересекаются под углом 45°. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру F^ в фигуру Fg. OffieetH: 208. Фигура F^ переходит в фигуру F^ в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а vl Ъ. Оси а и Ъ параллельны. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру F^ в фигуру Fg. Offi€effi: Рассмотрим задачу на построение, при решении которой используется поворот. При этом при ее решении кроме непосредственного применения осевой симметрии требуются знания свойств серединного перпендикуляра. 209 Постройте равносторонний треугольник, у которого одна вершина находится в точке О , а две другие вершины лежат на двух данных прямых а и Ь. W о т HI •V X М tn п ж S м Я S S 0 ш > я X ?У% g я 1 н 3S 97 Решение. Условие задачи отражено на рис. а), где фиксированная точка О - одна из вершин искомого треугольника и данные прямые а и Ь. Так как искомый треугольник - равносторонний, то угол при вершине О равен 60°. Выполним поворот прямой Ь относительно точки О на угол, равный 60°, и получим прямую которая пересекает прямую а в точке А, рис. б). Соединим точки О и А, рис. в) и построим серединный перпендикуляр к отрезку ОА, который пересекает прямую Ь в точке В, рис. г). Соединим точку В с точками А и О, рис. г), получим треугольник АОВ. Результат решения представлен на рис. д). 98 10 ВЕКТОРЫ 91-92. Определение вектора. Абсол1отная величина и направление вектора. Равенство векторов Сформулируйте определения вектора и направления вектора, Вектором называется_________________________________ Направлением вектора называется 210. 211. Изобразите векторы АС, AG, НЦ ОЕ В. Н* *0 •F •G Е Сформулируйте определения векторов одинаково направленных и противоположно направленных. Векторы называются одинаково направленными, __________ Векторы называются противоположно направленными. го * > 01 о О » в й g ш W и л а 31 « S m tja м Ж HI о 99 212. в. Четырехугольник ABCD - трапеция. Используя обозначения, данные на рисунке: 1. Укажите пары одинаково направленных ____________ векторов. G ___________________________ 2. Укажите пары противоположно направленных векторов. 0/^е/н:____________________________ 3. Являются ли векторы АВ и DC одинаково направленными? (Дайте развернутый ответ) 0*пве»н: Сформулируйте определение абсолютной величины вектора, Абсолютной величиной вектора называется_____________ 1 213 .. В прямоугольнике ABCD стороны АВ и AD соответственно равны 8 см и 15 см. 1.Чему равны абсолютные величины векто-ров DAf АВ^ АС и ВС. DA АВ АС ВС 2. Укажите пару одинаково направленных векторов. Ofn£etfi: Сформулируйте определения нулевого вектора и равных век торов. Вектор называется нулевым^ __________________________ Два вектора называются равными Сформулируйте следствия из определения равных векторов 100 214. дайте развернутые ответы на следующие вопросы: 1. Почему в каждой из пар АВ и DC, ВС и AD, ВО и OD векторы равны? 2. Модули векторов АВ и CD равны. Почему векторы АВ и CD не равны? OfHjeeffi: 3. Почему в каждой из пар АВ и AD , ВО и ОС векторы не равны? 0/^е/н: 4. Почему в каждой из пар АВ и АС , AD и DB векторы не равны? VO VO JvJ ез л о g т tn S X X » > X X > w &i:i w Ж Ж tn 101 215. Отрезок DF - средняя линия треугольника АВС, сторона которого равна 6 см. (в ответах дайте развернутый ответ.) 1. Докажите, что векторы ВС и DF одинаково направлены. 0/^е/н: В 2. Докажите, что векторы ВС и FD противоположно направлены. 0/Fi£effi: 3. Докажите, что векторы ^ DB равны. 0»нв&н: 4. Чему равны абсолютные величины векторов DA, АВ, DF, АС и БС? OfHJeeffii DF DA АВ АС ВС 216. 1. ABCD - квадрат. От точки --------------►jC G отложите векторы,______равные соответственно АВ, ВС, АС и СА. G 2. АВС - треугольник. От точки В отложите векторы, равные соответственно АВ, ВС, АС и СА. В 102 93. Координаты вектора 217.................. Используя данные рисунка, заполните пропуски: Началом вектора а является точка Концом вектора а является точка Координаты вектора авычисляется по формулам:____________________ Абсолютная величина вектора а вычисляют по формуле: Векторы равны, если___________________________ Равные векторы имеют 218. Используя обозначения, данные на рисунке, заполните пропуски в таблице. л = а а У, ^2 У2 ^2 3 2 8 14 6 8 8 10 -7 13 -15 8 1 -9 12 20 14 17 2 -4 12 27 10 26 УО ы ж О О 3=> » г; S W м ж •-1 о SS 103 219............................................... Даны точки А(1,_^ Б(3, 0), С(-4, 5), и D(-6, 7). Определите, какие из векторов АВ, БС, СБ и DC равны? Дано: ________________________ Найти: J^euieHMe O^Hjeetfi: 220....... Даны точки А(1, -3) и Б(2, 0). Найдите такую точку С(х, [/), чтобы векторы АВ и СА были равны? Дано: _______________________ Найти: ______________________ ^Решение Otn^eetfi: 94-95* Сложение векторов Сформулируйте следствие определения суммы двух векторов 104 Суммой векторов а и Ь с координатами (а^, а^ и (Ь^, Ь^) называется вектор с_______________________________________ Сформулируйте свойства суммы векторов: Разностью векторов а и Ъ с координатами (а^, а^) и Ь^) называется вектор с___________________________________ 221. Какой из рисунков соответствует: 1) Ь Ъ 2) 1. Правилу параллелограмма сложения векторов? Огн£е*н: Рисунок____________________ 2. Правилу треугольника сложения векторов? GfHJeefn: Рисунок___________________ 222 VO I у» г» о ы м » ж т W гп ж *ГЗ о 105 1. Постройте сумму векторов а и Ь по правилу параллелограмма сложения векторов 1. 2. Постройте сумму векторов л и & по правилу треугольника сложения векторов? 2. 3. Постройте разность векторов а и Ъ . 3. 96. Умножение вектора на число Сформулируйте определение произведения вектора на число X. Произведением вектора на число X называется вектор Сформулируйте свойства произведения вектора на число Абсолютная величина вектора Ха равна Направление вектора Ха при а ^ О __ 223 Вектор NO = а. В квадрате ABCD выразите векторы ВС, CByAD и DA через вектор и. (Решите устно.) N Ofn£e^: ВС = ; СВ = ; DA = ; AD = . ^ 106 224 Векторы АВ = а и DA = Ь. В параллелограмме ABCD выразите векторы СД АС и BD через векторы dab. (Решите устно.) О/л^е/н: ВС = ; CD = ; BD = 225. Векторы АВ = а, ВС = с и DA = Ь. В трапеции ABCD выразите векторы СД АС и BD через векторы ci Ь и с. Дано: _______________________ Найти: Решение Ofn£etH: CD = ; АС = ; BD = 98. Скалярное произведение векторов Сформулируйте определение скалярного произведения векторов. Скалярным произведением векторов а ад и Ъ {bi\bd называется__________________________________________ Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов: Для любых векторов а (а^; а^), Ъ (Ъ^; Ь^) и с (с^; с^) __ ю 00 » о м Я о S О) W м м » IS W S ж я о п» о W 107 226. -2 Докажите, что (а + bf = + 2о,Ь + Ь . (Дайте развернутый ответ.) 0/^е/л: (а + Ь)^= {а + Ь)(а + Ь) = (а + Ь)а + (а + Ь)Ь = = Ш + Ьа + аЬ+ЬЬ =а^+ 2аЬ + 227. Докажите, что (я ~ 6)^ — — 2cib + Ъ , (Дайте развернутый ответ.) Ofn£effi: - -2 228. -2 Докажите, что (а - Ъ){а -\-Ъ) = -Ъ . (Дайте развернутый ответ.) ОМе^н: Сформулируйте определение угла между векторами Углом между векторами называется Сформулируйте теорему 10.3. Скалярное произведение векторов 229 Следствие 1^, Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Дано: aLb Доказать: а^Ь = О 108 Решение a-b = Н • [Й cos 90° = Н • га -0. = 0. Offijeeffi: а-Ъ =0. 230. Следстви.е__2^ Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Дано: ______________________ Доказать: __________________ Решение Otfi£efH:__________________________ 231 ..................................................... Найдите угол (р между векторами cl (1;л/3) и Ъ •^^—). (Решите устно.) O/fieeffi: Z(p = ________________ . 232 ............................................................... S _ — о Найдите угол ср между векторами а (2;0) и Ъ (—2;2).(Решите устно.) ^ Otfi£effi: Z(p = ________________ . ^ ts 233 ............................................................... I — — 1 — 1 ^ Определите, какие из векторов d (1;3), Ъ (2;-—) и с(—-;-3) § 3 2 09 перпендикулярны. т _w Дано: ^ ^ а Определить :________________________ ® Решение Я 3 о ♦ч о т OfHJeefti: 109 примеры заданий повышенного уровня сдоЯ^ности 234 Упростите выражение МВ + AM + ВА. Решение. В силу переместительного закона МВ + AM + ВА = AM + МВ + + В А = АБ + ВА. Векторы АБ и ВА равны по модулю, но противоположно направлены, значит АБ + ВА = О 235 ---- ---- -------- 2 5 Выразите вектор СК через вектор-КА, если ОК=—ОА + —ОСу ^ 7 7 где О - произвольная точка. Решение. ^ 2 5 — Вычтем из обеих частей вектор ОС, тогда ОК - ОС = —OA + —ОС - — 2______ 2____ __________ 2____ ^ ^ - ОС = —ОА - —ОС^ то есть СК = —СА. Отсюда следует, что эти векторы коллинеарны, то есть точка К лежит на отрезке СА и -- 2------ делит его в отношении 2:5. С К = —KA ___ 2____ ^ Of^etfi: СК =-КА. 5 236 Дан прямоугольник ABCD. Найти длину вектора ОА + ОБ -I- ОС -ь + ОБ, где точка О является точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Решение. От произвольной точки плоскости отложим вектор о А. От точки А(0) отложим вектор, равный ОБ. Затем отложим векторы, соответственно равные ОС и ОБ_ Векторы ОА и ОС лежат на диагонали АС, а векторы ОБ и ОБ лежат на диагонали ББ, следовательно, они попарно коллинеарны. Отсюда следует, что у полученного 110 четырехугольника стороны попарно параллельны. Значит, полученный четырехугольник - параллелограмм. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то стороны полученного параллелограмма равны. Следовательно, полученный параллелограмм - ромб. По правилу сложения векторов ОА + ОБ + ОС + OD = 0. б - нулевой вектор. Векторы а и Ъ направлены из вершины равнобедренного треугольника к вершинам основания. 237 Найдите угол между векторами ^ ^ и —___^ Олеан: 90°. ^ ^ !Решение. . а+ Ь а-Ь (а + Ь)(а-Ь) -Ь Перемножим: I |2 |ГР а - Ь По 2 2 4 4 4 условию векторы а и Ь имеют общее начало в вершине равнобедренного треугольника, а их концы находятся в вершинах при основании этого треугольника, значит, модули этих векторов равны, так как отрезки а и. Ь являются сторонами равнобедренного треугольника. Следовательно, скалярное произведение а + Ь а-Ъ _ векторов .= 0. По следствию из теоремы о скалярном 2 2 произведении векторов, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между векторами ^ ^ ^ а-Ь р^вен 90°. я •п Я X м Е ё IS я о ю Е Б м Я Я о о о ю я я о я о т я о п HI я 111 Учебное издание Мищенко Татьяна Михайловна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ 8 класс К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16466 от 25.03.2013 г. Главный редактор Л. Д. Лаппо Редактор И. М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Технический редактор Т.В. Фатюхина Корректор И. В. Русанова Дизайн обложки Л. В. Демьянова Компьютерная верстка О. В. Самойлова 107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брощюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru По вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).