Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Атанасян - Мищенко

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Атанасян - Мищенко - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ФГОС|| Т. М. Мищенко Рабочая тетрадь по геометрии К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» учени_________класса_______ школы класс Учебно-методический комплект Т. М. Мищенко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 8 класс Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2016 УДК 373:514 ББК 22.151я72 М71 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. I части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебного издания «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. организаций / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] — 5-е изд. — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Г ражданского кодекса Российской Федерации). Мищенко Т. М. М71 Рабочая тетрадь по геометрии: 8 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». ФГСХГ (к новому учебнику) / Т. М. Мищенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2016. — 110, [2] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-09920-8 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Рабочая тетрадь для 8-го класса к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» рекомендуется для организации учебной деятельности учащихся на уроках и дома. Предлагаемые в рабочей тетради задания удовлетворяют требованиям, предъявляемым ФГОС, как к обязательному уровню, так и повыщенному уровню сложности. Форма заданий соответствует форме заданий основного государственного экзамена (ОГЭ). Использование рабочей тетради в учебном процессе позволит осуществить: во-первых, достижение каждым учеником уровня обязательной геометрической подготовки, и, во-вторых, сформировать у учащихся умение применять полученные знания как в стандартных ситуациях, так и в несколько отличных от обязательного уровня. Использование рабочей тетради позволяет сэкономить время учителя при подготовке к уроку, а также время и на самом уроке и выполнить больщее число заданий с записью в тетради. А у щкольников будет хорощий конспект по курсу 8-го класса, который, несомненно, поможет лучщему усвоению свойств плоских фигур, методов рещения задач. Кроме того, рабочая тетрадь будет полезна и родителям, которые смогут следить за уровнем теоретических знаний своего ребенка и его умением рещать задачи. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Подписано в печать 09.12.2015. Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсе-гная. Уч.-изд. л. 4,17. Уел. печ. л. 9,1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 5507/15. ISBN 978-5-377-09920-8 Мищенко Т. М., 2016 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2016 Оглавление Глава V. Четырехугольники §1. Многоугольники......................................4 §2. Параллелограмм и трапеция ..........................9 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат.......................21 Глава VI. Площадь §1. Площадь многоугольника ........................... 39 §2. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции ..41 §3. Теорема Пифагора ..................................48 Глава VII. Подобные треугольники §1. Определение подобных треугольников.................53 §2. Признаки подобия треугольников ....................56 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач .......................................65 §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника........................... 71 Глава VIII. Окружность §1. Касательная к окружности.......................... 75 §2. Центральные и вписанные углы.......................81 §3. Четыре замечательные точки треугольника............90 §4. Вписанная и описанная окружности...................93 Глава IX. Векторы §1. Понятие вектора...................................101 §2. Сложение и вычитание векторов ....................105 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач ...................106 Глава V. Четырехугольники Многоугольники ________ По рисунку ответьте на вопросы: 1. Назовите вершины многоугольника. OtfieetH: Вершины:________________ 2. Назовите стороны многоугольника. Стороны: ________________ 3. Проведите три диагонали. Gth£e^: Диагонали:________________ Сформулируйте определение периметра многоугольника Периметром многоугольника называется______________________ Найдите периметр многоугольника гдеА^ Ag и Ад— вершины прямоугольника, стороны которого равны 6 см и 8 см, А^ — точка пересечения диагоналей. А, — середина стороны. Теишше Используя неравенство треугольника, решите следующие задачи. Докажите, что периметр многоугольника больпю периметра многоугольника f Дано: A^AgA^g — многоугольник; AjAjAg —_многоугольник. Доказать: P....>P.aa-Доказательство Сделаем дополнительное построение Продлим сторону AjAg до пересечения со стороной А^^ в точке В, и соединим точку В с вершиной А^. Из АА^А^В в силу неравенства треугольника: А^А^ + А^В > А^Ад + АдВ; из АА^ВА^ следует А^В + ВА^> А^Ад. Сложим почленно полученные неравенства АдВ + ВА. + А,Ад + АдВ > AgAg Ч" А^Ад 4" АдВ. Отсюда ВА^ + AjAg 4- АдВ > > AgAg + АДд. Из ДА^ВАд следует А + АДд> > ВАд. Значит, Afi + АДд + АДд + AJB > > АДз + АДд, т.е, АДд + АД^ + АД^ > АДд + +АДд. Таким образом, АДд + АД^ + АДд + +АДд > АДд + АДд 4" А^А^, т.е. Р >Р ^ Докажите, что периметр многоугольника АД ДДДд больше периметра многоугольника А ДДд. Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство S X о •г» О »< •-J о ы* X X W X Сформулируйте определение п-угольника. N-угольником называется______________ Укажите на рисунке выпуклые многоугольники и запишите их номера Сформулируйте утверждения: о сумме углов выпуклого мно гоугольника и о сумме внешних углов выпуклого многоуголь ника. Сумма углов выпуклого л-угольника равна Вычислите сумму углов выпуклого (Дайте развернутый ответ)! а) пятиугольника; Otfieetfl: ______________ OfHJeetfi: б) девятиугольника. 7................. Сколько сторон имеет «-угольник, если сумма его внутренних углов равна: а) 1260°; Otn£effi: ______________________________ Offieetn: б) 1980°? 8....... Может ли в «-угольнике сумма его внутренних углов равняться: а) 360°; Ofn€efn: _____________________ б) 380°? G/n€etn: Начертите четырехугольник. Обозначьте его вершины. Четырехугольник_______________________ 1. Укажите противолежаш,ие вершины. Offieetfi: 2. Укажите две пары смежных сторон. 3. Проведите диагонали. Otfieetfi:Диагонали ___ 10..................... в четырехугольнике АВСП соседние стороны АВ и AD равны. Диагональ АС образует с этими сторонами равные углы. По какому признаку равенства треугольников ААВС = AADC? 11 В четырехугольнике АВСП диагональ АС образует со сторонами четырехугольника равные углы. По какому признаку равенства треугольников ААВС = AADC? 5 Otn£effi. зе: S о м о «< •п о tr » S ж S 12 Известно, что в четырехугольнике ABCZ) АВ = АП и ВС = СП. По какому признаку равенства треугольников ААВС = ААПС? GtfieefH: 13.......................................................... Диагонали четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам. Одна из сторон четырехугольника равна 3 см. Чему равна противоположная ей сторона четырехугольника? ^Решение Oriieafi: 14 По рисунку ответьте на вопросы: 1. Параллельны ли прямые а и Ь, если Z1 + Z2 = 180°? : Прямые а и Ь______ 2. Параллельны ли прямые а и g", если Z1 + Z4 = 180°? Ofn€etH: Прямые а и g _______ 3. Параллельны ли прямые bug, если Z2 = 58 , а Z4 = 74 ? OfftPeifi: Прямые 6 и g 15 Известно, что в четырехугольнике АВСП прямые ВС и AD параллельны, О ZA = 53 . Найдите градусную меру Z.B. Дано: _____________________________ ^ Найти: PeuieHue Параллелограмм и трапеция Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние параллелограмма. Параллелограммом называется___ 16 При пересечении двух прямых аиЬ прямыми end образуется четырехугольник АВСП. Определите, в каком случае четырехугольник является параллелограммом. ^ ^ 0/^е/н: а) а\\Ь, с)/( d; б)а||б, c||d; в) a!f( Ь, с d. 17 ........................................................ В треугольнике АВС параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые DG и FG. Определите вид четырехугольника В AFGD. Offi£efH: Четырехугольник AFGD — __________________________. А^-------^ С 18 ........................................................ В параллелограмме АВСП параллельно стороне АВ проведена прямая FG. Определите вид четырехугольника ABFG. В,— ____С Otn£etH: Четырехугольник ABFG — uyi ГЧ) g w о г з: s •н г я W J=J S Я 19..................................................... В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный. Дано: __________________________ В ^------------.С Доказать: Доказательство 20 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке F и делятся ею пополам. Докажите равенство треугольников ACF и BDF. Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство противоположных сторон и углов параллелограмма. 10 21................................................................ Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см. Чему равны стороны CD и AD? (Решите устно.) Offi£effi: CD =_______см; AD =_________см. 22 Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9 см и б см. Чему равен периметр параллелограмма ABCD1 (Решите устно.) 0»яе&н: =--------------------- 23 Периметр параллелограмма равен 28 см, одна из сторон параллелограмма равна 9 см. Определите все стороны параллелограмма. (Решите устно.) OfH£etri: АВ = __________см; ВС = ____________см; CD = __________см; AD = см. 24 Периметр параллелограмма равен 38 см. Чему равна сумма двух соседних сторон параллелограмма? (Решите устно.) 0/^е/н: 25 в параллелограмме ABCD ZA = 43 . Найдите градусную меру остальных углов параллелограмма. (Решите устно.) в 0/^е/н: ZB = 26......... ; ZC = .; ZD = В параллелограмме сумма двух противоположных углов равна 132 Найдите градусную меру каждого из этих углов. (Решите устно.) слг» го • > м о г X X S *-3 g а т .а а а Offieeffi: 11 27............................................................. О в параллелограмме сумма двух углов равна 120 . Могут ли эти углы прилежать к одной стороне параллелограмма? (Дайте развернутый ответ.) OiHeei^: 28 Известно, что в параллелограмме один угол на 12 меньше другого. Могут ли эти углы быть противоположными? (Дайте развернутый ответ.) Ofn£effi: 29* в равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противоположного угла лежит на основании треугольника. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. ^ Дано; Доказать: Доказательство 12 Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство диагоналей параллелограмма. 30 в параллелограмме АВС£> диагональ BD равна 12 см. О — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Чему равен отрезок D01 (Решите устно.) 0)Яее1л:ТЮ = 31......... см. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Чему равна диагональ АС, если отрезок АО = 9 см? (Решите устно.) OtfieefH: АС =_________см. 32.............................................................. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14сми10см.О — точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр AAOD7 (Решите устно.) Otn£ein: =_____________см. 33 в параллелограмме АБСО диагонали равны, О — точка пересечения диагоналей. Докажите, что AAOZ) — равнобедренный. Дано: ___________________________ го я > Я W о ? S S ч g м J=i Я » Доказать: 13 Доказательство 34 Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВС£> проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке а сторону СВ в точке L. Докажите, что АК = CL. (Дополните рисунок.) Дано: ___________________________ в Доказать: Доказательство Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте признаки параллелограмма. 2. 14 3. 35......................................................... На сторонах AD и ВС параллелограмма ABCD отложены равные отрезки АЕ и FC. Докажите, что четырехугольник AFCE — параллелограмм. В.------------- Дано: Доказать:_____ Доказательство 36 Два равных равнобедренных треугольника ADD с основанием AD и BDC с основанием ВС имеют общую боковую сторону. Докажите, что четырехугольник ABCZ> — параллелограмм. Дано: ____________________________ Доказать: Доказательство иап го Я > м о *1 5 X X S ►н г н m а а 15 Внимательно посмотрите решение задачи № 38. Решите задачи № 39, 40 самостоятельно. 39 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС продолжены за точку Б. На их продолжении отложены отрезки; BF = АВ и BD = СВ. Докажите, что четырехугольник ADFC — параллелограмм. Дано: ____________________________ 16 Доказать:_____ Доказательство 40 В каждой из двух концентрических окружностей проведены диаметры АС и BD соответственно. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Дано: О — центр концентрических окружностей. АС — диаметр большей окружности; BD — диаметр меньшей окружности. Доказать: ABCD — параллелограмм. Доказательство Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определе ния трапеции и связанных с трапецией понятий. con rvj а > W i=i о •-1 г X X Трапецией называется •н г я m а X Равнобедренной трапецией называется Прямоугольной трапецией называется 17 41.................................................................. Начертите трапецию, внесите обозначения на чертеж и запишите ее основания и боковые стороны. 0/HJeeifi: Основания трапеции:__ Боковые стороны трапеции: и и 42......................................................... В трапеции ABCZ) проведите прямую CF, параллельную АВ. Определите вид четырехугольника ABCF. OffieeiH: Четырехугольник ABCF —__________________________ 43........................................................ О О в трапеции ABCD углы, прилежаш;ие к стороне AD, равны 74 и 81 . Определите углы, прилежаш;ие к стороне ВС. (Решите устно.) /ЛВС =_______; /BCD =_______ Задачи №388 и 389 из учебника (глава V, §2) содержат обратные утверждения. Используйте результаты их решения в ходе решения следующей задачи. 44 В равнобедренной трапеции ABCD к основанию AD проведены перпендикуляры ВМ и СК. Докажите, что треугольники АВМ и DCK равны. (Дополните рисунок.) Дано: ________________________________ Доказать: Доказательство 18 45.......................................................... Диагональ трапеции является биссектрисой одного из ее углов. Докажите, что две стороны этой трапеции равны. (Дополните рисунок.). Дано: _____________________________ Доказать: Доказательство Внимательно посмотрите формулировку задачи № 385 из учебника (глава V, §2) и решите устно следующие задачи, используя данные чертежа. 46 47 Дано: ZOCG = ZBAG = 90 ; GB = BD = 7 см; АС = 4 см. Найти: AG. Otn€etfi: AG = см. 48 Дано: АКМО = ZLNO = 116 ; ОМ = MN = S см; ОК = 13 см. Найти: KL. KL = см. ивп 1чг Р :> 2 р р tn Р о »-1 Р *-а I tn Jd s р 19 49 Д а н о : АВ II CD II fG; CG = 4 см: DF = 5 см: BD = 10 см. Найти: АС. АС = см. Внимательно посмотрите решение задачи №50*(№ 431 из учебника (глава V, §2)), это поможет при решении задачи № 432 из учебника (глава V, §2). 50* ...................................................... (№ 431 учебника). Точка К — середина медианы BF треугольника АВС. Прямая А_йГ пересекает сторону ВС в точке D. Докажите, что BD = ^ ВС. Дано: BF De ВС медиана; ВК = KF; Доказать: BD = к ВС. 3 Доказательство Сделаем дополнительные построения. Продолжим медиану BF за точку F так, что FM = KF. Соединим точки А,К,СиМ. А AF = FC, так как BF — медиана; FM = KF по построению. Следовательно, полученный четырехугольник является параллелограммом, так как его диагонали АС и КМ точкой пересечения делятся пополам. Значит, по свойству сторон параллелограмма АК || МС. ^ Через точку F проведем прямую FL, параллельную АК. Параллельные прямые AD, FL и МС пересекают стороны ZMBC и отсекают на стороне ВМ равные отрезки ВК = KF = FM. Значит, они отсекают и равные отрезки BD = DL = LC на стороне ВС. Отсюда следует, что BD = -^BC. ВВ = кВС. 3 J 20 Прямоугольник, ромб, квадрат Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние прямоугольника: Прямоугольником называется________ Так как прямоугольник является параллелограммом по определению, то все свойства параллелограмма справедливы и для прямоугольника: - диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; - противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны. 51 В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует со стороной AD угол, О равный 37 . Найдите градусную меру ZACD. (Решите устно.) Gxi^eid: ZACD = 52 В параллелограмме из вершин двух противоположных углов на противоположные стороны опущены перпендикуляры. Докажите, что полученный четырехугольник — прямоугольник. 00Г> W а а X о •< •-J о и СГ* а а ж ж о з; ж > 3=4 21 Дано: GBFD — параллелограмм; BA II GD; DC || BF Доказать: ABCD — прямоугольник. Доказательство ВС II AD, так как GBFD — параллелограмм; BA II DC, так как они перпендикулярны прямой GD. ZBAD = 90°, так как ВА || GD. ZBCD = 90°, так как DC || BF. О ZABC = 90 , так как ZBAD и ZABC — односторонние углы при BF || GD и секущей АВ. О ZCDA = 90 , так как ZCDA и ZBCD — односторонние углы при BF || GD и секущей DC. Следовательно, ABCD — параллелограмм, у которого все углы равны. Значит, ABCD — прямоугольник. 53 Докажите что если в четырехугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником. л Дано: ZBAD = ZCDA = ZBCD = 90 Доказать: ABCD — прямоугольник. Доказательство В АII DC, так как_________________ ВС IIAD, так как Следовательно, ABCD — ZABC = 90 , так как ZBAD = ZCDA = ZBCD = ZABC = 90 Следовательно, ABCD — 22 54.......................................................... О в параллелограмме KLMN каждый из углов LKM и MNL равен 57 . Определите, является ли параллелограмм KLMN прямоугольником. Дано: Найти: Утешение 55 Периметр прямоугольника равен 17 см. Найдите сумму расстояний от точки К до всех его сторон. Б|------------^C Дано: ___________________________ Найти: Решение 0^н£е/н: Сформулируйте свойство диагоналей прямоугольника, LO а § •-1 о ;=> tr S S ж ж 0 01 ж ю > 1=> I 23 56.......................................................... Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что АЛОВ — равнобедренный. Brz----------С Дано: Доказать: Доказательство 57 Меньшая сторона прямоугольника равна б см. Найдите длины диагона- О лей, если они пересекаются под углом 60 . (Решите устно.) Вг^----------- 58 Четырехугольник ABCD — прямоугольник. О — точка пересечения диагоналей. Докажите, что отрезок ВО является медианой ААВС. Дан о : ABCD — прямоугольник, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: ВО — медианаААВС. Доказательство 24 Результат, полученный при решении задачи № 58, используйте при решении задачи № 404 из учебника (глава V, §3). 59 (№404 учебника)................................... Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Дано: _________________________ Доказать: Доказательство Сформулируйте признак прямоугольника 60 в параллелограмме KLMN отрезки LO и МО равны. Определите, является ли параллелограмм KLMN прямоугольником. Дано: ___________________________ Доказать: COrt СО П пз IS о о ХУ* X .ж hd О IS ся ж ю & S а 25 Доказательство В задачах № 399 и 400 из учебника (глава V, §3) сформулированы два признака прямоугольника, доказательство которых опирается на определение прямоугольника. Используйте их при решении следующих задач. 61 В параллелограмме KLMN диагональ КМ образует со сторонами KL и О О ML углы, соответственно равные 32 и 58 . Докажите, что KLMN — прямоугольник. jL Дано: ______________________________ Доказать: Доказательство При решении задачи №428 учебника (глава V, §3) полезно воспользоваться свойствами биссектрис накрест лежащих и внутренних односторонних углов при параллельных прямых. 26 62...................................................... (№ 428 учебника). В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство 63* В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противоположного угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника. Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство В ООП ы а а S о < о а tr а а ж ж о а W ж > з=а 5 27 64* ......................................................... Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектрисы его углов А II В делят сторону CD на три равные части, длина каждой — 4 см. (Дополните рисунок.) Дано: _____________________________ Найти: Утешение Ofn€effi : Периметр прямоугольника АВС£) = 65 Стороны прямоугольника равны 11 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей. Дано: ___________________;_____ Найти: ^Решение 28 Gtti£eiH:_____________________________________ Задача № 66 является вариантом задачи № 65, поэтому обратите внимание на выполнение чертежа. 66* .................................................... Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей. Дано: ___________________________ Найти: J^euieHue 67* ... в условии задачи № 66 измените длины сторон так, чтобы длина среднего отрезка равнялась О см, запишите новое условие задачи. Дано: ________________________ Найти: _______________________ Решение U) я (q О о ы S S pi о з: и ж td 5 29 Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние ромба. Ромбом называется Так как ромб является параллелограммом по определению, поэтому все свойства параллелограмма справедливы и для ромба: - диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; - противоположные стороны ромба параллельны. 68 ^ Решите устно: а) Периметр ромба ABCZ) равен 56 см. Найдите его сторону. GfHJeeffi:___________________. о б) Один из углов ромба ABCZ) равен 72 . Найдите углы ромба. 0/н£е^н: ZA =___ zn = ; ZB =__; ZC = в) Диагонали ромба АВСВ равны: АС = 16 см и BD = 12 см. Найдите отрезки OD и ОС. OD =_______см; ОС =_ см. 69 В ромбе АВСВ проведена диагональ АС. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. Дано: __________________________ Доказать: _______________________________________ 30 Доказательство 70 Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Дано: _____________________________ Доказать: Доказательство Используйте сформулированный в задаче № 70 признак ромба при решении следующей задачи. В задаче № 408 из учебника (глава V, §3) сформулированы еще два признака ромба. Используйте их при решении задач. 71 ООП ы я •па I о Я о- я S я О S W X 03 > 2=3 g Две окружности с центрами в точках О и Oj и равными радиусами пересекаются в точках А и В. Докажите, что четырехугольник АО^БО — параллелограмм . 31 Дано: Доказать: Доказательство Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство диагоналей ромба. 32 72................................................................ В ромбе ABCD угол BAD равен 50°. Найдите углы треугольника ABD. (Решите устно.) OtHj6etfi:/LABD = 73.............. ; /.EDA = ;ABDA= В ромбе ABCD угол BAD равен 46 . Найдите углы треугольника AOD. (Решите устно.) 0й1бе*н: ZADO = ; ZOAD= ;ZDOA= При решении следующей задачи полезно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника (глава IV, §3 пункт 34, 2*). 74................................................... О Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 150 . Найдите расстояние между его противоположными сторонами. Дано: _________________________ Найти: Тешение 75... Нарисуйте четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны, но который не является ромбом. Сформулируйте определение квадрата: Квадратом называется Так как квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом по определению, то все свойства параллелограмма и ромба справедливы для квадрата: - все углы квадрата прямые; - диагонали квадрата равны; Я ►tJ з; о »< о tr tn S •те о D1 Ж » > § 33 - диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пе ресечения делятся пополам; - диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. 76 Периметр квадрата равен 28 см. Найдите его сторону. (Решите устно.) Oifieeifi: 77 1. Вид треугольника ABD. (Решите устно.) Offi£etH: AABD — 2. Углы AABD. (Решите устно.) ZABD =_______; ZBDA =______; ADAB = 78 D В квадрате ABCZ) проведены диагонали BD и АС. 1. Определите вид треугольника АОП. (Решите устно.) Offi£ef^: bAOD — _________________ 2. Определите углы bAOD. (Решите устно) OfiijeetH: AAOD =____; Z.ODA =____; ZHAO = 3. Найдите диагональ ВН, если диагональ АС = 6 см. (Решите устно.) 0/n€etfi: BD = _______. 34 79 (№ 409 из учебника, глава V, § 3). Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. Дано: ABCD — ромб; ZABC — прямой. Доказать: ABCD — квадрат Доказательство Так как ABCD — ромб, значит, ABCD — параллелограмм, у которого ZABC — прямой. Следовательно, в силу результата решения задачи № 399 (учебник, глава V, § 3), параллелограмм ABCD является прямоугольником. А прямоугольник, у которого все стороны равны {ABCD — ромб), по определению является квадратом. Следовательно, ABCD — квадрат. J В задаче № 408 (учебник, глава V, §3) сформулированы признаки ромба, используйте один из них при решении следующей задачи. 80.................................................... Докажите, что прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является квадратом. Дано: __________________________ Доказать: Доказательство СОТ) СО а § О и ег а S ж о S W ж ж ё 35 81 Нарисуйте несколько треугольников и четырехугольников, обладающих осевой симметрией. 82 Какой треугольник имеет три оси симметрии? 83 Нарисуйте несколько четырехугольников, обладающих центральной симметрией. 84 Сколько осей симметрии имеет окружность? Offtieeffi: 85 Нарисуйте несколько фигур, не имеющих: а) центральной симметрии; б) осевой симметрии. 36 а) б) 86 Докажите, что биссектриса угла является его осью симметрии. Дано: ________________________________ Доказать: Доказательство 87 Треугольник ABZ) равнобедренный, АВ =AD. Постройте точку С, симметричную точке А относительно стороны BD, и докажите, что четырехугольник АВСВ — ромб. Дано: ___________________________ Доказать: ип ы а а S о •< •1 о а tr* » S Ж ж о з: и ж ю > § 37 Доказательство 88 В треугольнике АВС точка F является серединой стороны АС. Постройте точку D, симметричную точке В относительно точки F, и докажите, что четырехугольник АВСП — параллелограмм. Дано: ____________________ Доказать: Доказательство 38 Глава VI. Площадь Площадь многоугольника Сформулируйте свойства площади 1. 2. 3. 89 (№447 учебника, глава VI, § 1) Дан параллелогргиим ABCD. Постройте точку М, симметричную точке D относительно точки С, и соедините точки А и М. Докажите, что Дано: ABCD — параллелограмм. Точка М симметрична точке D относительно точки С.__________________________ Доказать: = Доказательство ZBNA =ZCNM как вертикальные. ZABN = ZMCN как накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DM и секущей ВС, CD = СМ, так как точка М симметрична точке D относительно точки С; АВ = CDy как противоположные стороны параллелограмма, следовательно, СМ =АВ. Отсюда следует, что AABN = AMCN. ^AABN первому основному свойству площади. Четырехугольник ANCD является общей частью параллелограмма ABCD и треугольника AMD. ^ABCD ~ ^AABN ^ANCD ^ ^AAMD ~ ^AMCN ^ANCD' Следовательно, = я о в tr* о о о » ы- S 39 Внимательно посмотрите решение задачи № 89 и используйте аналогичные доказательные рассуждения при решении задачи № 448 (учебнник, глава, VI, §1). 90 Как изменится площадь квадрата, сторона которого равна 3 см, если каждую его сторону: а) увеличить в два раза; Ofn£effi: площадь квадрата_________ б) увеличить на 2 см; Otfi£effi: площадь квадрата___________ в) уменьшить в два раза; Ofn£efn: площадь квадрата__________ г) уменьшить на 2 см? OtnieetH: площадь квадрата____________ 91.......................................................... Как изменится сторона квадрата, если его площадь: а) увеличить в 16 раз; OiH€etfL : сторона квадрата__________ б) уменьшить в 9 раз? 09н£ей1: сторона квадрата_____________ 92 Стороны двух квадратов равны 8 см и 15 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна сумме площадей данных квадратов. (Дайте развернутый ответ.) O/fijeefH: Запишите формулу площади прямоугольника. 93(№453y4e6HHKa,maBaVI,§10). Как изменится площадь прямоугольника, если: а) каждую его сторону увеличить в два раза? Otfieeifi : площадь прямоугольника _______ б) одну пару противолежащих сторон увеличить в два раза? : площадь прямоугольника ___________________ 40 в) одну пару противолежащих сторон увеличить в два раза, а другую уменьшить в два раза? площадь прямоугольника ____________________________ . 94 (№ 457 учебника, глава VI, § 1.) Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника, стороны которого равны 8 см и 18 см. (Дайте развернутый ответ.) 95......................................................... Площадь прямоугольника равна 48 см^, а стороны относятся как 1:3. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника. ^Решение Ofn£etn: S = см^ Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции Запишите формулу площади параллелограмма. 96 Стороны параллелограмма 4 см и 6 см. Меньшая его высота равна 3 см. Вычислите вторую высоту. Bi tr Я х> £ м я о re > о я ЗС н г 41 Решение см. 97............................... Докажите, что стороны параллелограмма обратно пропорциональны соответствующим высотам. Дано: ______________________ Доказать: Доказательство 98 1. Постройте параллелограмм с основанием AD, равновеликий данному. 2. Сколько таких параллелограммов существует? В/-----------)С Ofn€efH: 99 Диагонали прямоугольника, равные 2а, пересекаются под углом 60 Определите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна Ь. Дано: ____________________ Найти 42 Teuienue Otfi£efH: Запишите формулу площади треугольника: Перед решением следующей задачи решите задачу № 473 (учебник, глава VI, §2). 100 в треугольнике АВС через вершину В проведена прямая BZ), где D — середина стороны АС. Докажите, что Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство Решение задачи № 474 (учебник, глава VI, §2) аналогично ре шению задачи № 100. Перед решением следующей задачи ре шите задачу № 475 (учебник, глава VI, §2). иу> N П о В & tr > i=i tn i=t о г se '*-3 СП о d- S нЗ СП j=: 43 101 Разделите данный треугольник на два треугольника, площади которых относятся как 1:2. J^eui£Hue 102 Дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе. Сравните площади прямоугольников, сторонами одного из них являются катеты данного треугольника, а сторонами второго — гипотенуза и проведенный к ней перпендикуляр, равный высоте. (Внесите обозначения на чертеж, сделайте необходимые рисунки, запишите условие и решите задачу.) Дано: Найти: Тешение ОрЯ£е9н: 103 (№509 учебника, глава VI.). Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до всех его сторон равна высоте треугольника. (Дополните рисунок). 44 Дано: _________ Доказать:______ Доказательство В Перед решением следующей задачи решите задачу № 476 (учебник, глава VI, §21). 104 Докажите, что площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. (Дополните рисунок.) Дано: ________________________________ Доказать: В Доказательство 105 Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 14 см и 8 см. Найдите площадь трапеции. (Дополните рисунок.) Теисение иоп го Н о в > СГ< а > m о X X > •-1 о £=< tr X S S = см^. г S а S S 45 Задача № 478 (учебник, глава VI, §2) является обобщением (утверждением в общем случае) задач № 476 (учебник, глава VI, §2) и №104 и 105. Запишите формулу площади трапеции. 106 Запишите формулы площадей данных фигур по заданным на рисунках величинам: 46 107 Найдите площади заштрихованных фигур, используя данные рисунков. (Внесите обозначения на чертежи.) иоп гч» h о В ё tr* а а а W а о »-а г зе ►ч W О М S S F м SS я .а S 47 Теорема Пифагора Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте теорему Пи фагора. 108 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 20 см, а гипотенуза больше второго катета на 8 см. Вычислите периметр треугольника. (Дополните рисунок.) Дано: _______________________________ Найти: Теишше Otfi£etH:P сж-. 109 в треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу АВ на отрезки AD = 9 см и DB = 16 см. Катет ВС равен 20 см. Найдите катет АС и высоту CD этого треугольника. (Дополните рисунок.) Дано: ____________________________ Найти 48 Решение АС = см, CD = см. При решении следующей задачи полезно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника (глава IV, §3 пункт 35, 2°) 110 в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см. Вычислите ка- О теты треугольника, если один из острых углов равен 30 . (Дополните рисунок.) Дано: _____________________________ Q Найти: !Решеиме 111 .... Найдите отношение диагонали квадрата к его стороне. (Дополните рисунок.) Дано: ____________________________________________ ^ Найти: Ы н W о ►в W > S г о g 49 Решение Offi€eifi: 112 ... в равнобедренной трапеции основания равны 30 см и 72 см, боковая сторона — 75 см. Найдите высоту трапеции. (Дополните рисунок.) Дано: Найти Решение Otfi^efn: 113 Основания равнобедренной трапеции равны 22 см и 42 см, боковая сторона — 26 см. Найдите диагонали трапеции. (Дополните рисунок.) Дано: Найти: 50 !Решение Ofn^eetn:_____________________________ 114 Основания трапеции равны 13 см и 53 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см. Найдите высоту трапеции. (Дополните рисунок.) Дано: ________________________________ Найти: ^Решение О/ЯвеЛ: 115 В окружности радиуса 17 см проведена хорда, равная 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды. (Дополните чертеж.) Дано: _______________________ Найти: СО) и> *н m о W > а S 6* > о 51 ^Решение Otfi€effi:________________________ 116 (№ 521 учебника, глава VI, § 3.)- Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то + CD^ = ВС^ + АВ^. (Рассмотрите для двух типов четырех-Зпгольника.) Дано: Доказать: Доказательство 52 Глава VII. Подобные треугольники Определение подобных треугольников___ Сформулируйте, что называется отношением отрезков, и ка кие отрезки называются пропорциональными. Отношением отрезков называется Отрезки называются пропорциональными отрезкам , если 117 Найдите отношения отрезков KL и MNy если их длины равны 12 см и 18 см. Определите, как изменится это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах. (Сделайте необходимый рисунок и дайте развернутый ответ.) Otfieofi: Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными о Я m 3=4 м м X S W Я о 3=4 О W № tr н »id m о Я tr* » Я Ж о W 53 Объясните, какие стороны подобных треугольников называются сходственными. Объясните, что означает запись «ААВС 118 Треугольники ABi^ и DEF подобны. Запишите отношение соответствую-ш;их сторон. " ^ 0/^e^:AF: 119 = FB: Опираясь на определение подобных треугольников, докажите, что равносторонние треугольники подобны. Доказательство Сформулируйте определение коэффициента подобия Коэффициентом подобия называется______________ 54 120.............................................................. Треугольники ABC и MNL подобны и имеют коэффициент подобия 5. А и М, В и С л L — вершины соответственных углов данных треугольников. Выразите стороны: дг а) треугольника АВС через сходственные стороны треугольника MNL; б) треугольника MNL через сходственные стороны треугольника АВС. (Дайте развернутый ответ.) Теисение а)________________________________ б) 121 Треугольники АВС и DEF подобны. Известно, что АС =15 см. Найдите длину сходственной ей стороны DF, если коэффициент подобия треугольников равен 3. (Решите устно.) 0fn€efH:DF = см. 122 (№ 547 учебника.) Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Доказательство о П trt М tn a s tn a о » о » E X HI m о tr ЯЗ S Ж о u 55 Сформулируйте теорему об отношении площадей подобных треугольников. Признаки подобия треугольников Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте признаки подобия треугольников. 1. 56 123 Какие из приведенных пар треугольников являются подобными? Gffi£etn: а)____ е)__________; ж) ;б) в) ; г) ; д) 124 В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD. Докажите, что треугольники СОВ и AOD подобны, _____JC Доказательство D иоп го а g > S* в задаче № 119, опираясь на определение подобных треугольников, было доказано, что все равносторонние треугольники подобны. Теперь докажем этот же факт, опираясь на один из признаков равенства треугольников. 125 Треугольники АВС и DFG равносторонние. Докажите, что треугольники АВС и DFG подобны. t-j •п L.1 •-1 О 13 tr к S Ж о се 57 Доказательство G 126 В равнобедренных треугольниках АВС {АВ = ВС) и EDF {ED = DF) углы при вершинах ВиВ равны. Докажите, что треугольники АВС и EDF подобны. Доказательство 127............................................................ Определите, подобны ли остроугольные равнобедренные треугольники, если они имеют по равному острому углу. (Дайте развернутый ответ.) Offie&fi: 128 Определите, подобны ли тупоугольные равнобедренные треугольники, если у них тупые углы равны. (Дайте развернутый ответ.) Offieeffi: 58 129 Определите, подобны ли равнобедренные треугольники, если угол при О О вершине одного из них равен 54 , а угол при основании другого — 63 . (Дайте развернутый ответ.) О/яе&а: 130 Боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника соответственно равны 34 см и 20 см, а другого — 17 см и 10 см. Определите, подобны ли эти треугольники. 131 в треугольниках АВС и EDF углы при вершинах ВиВ равны, а стороны АВ и ВС, заключаюш;ие В, соответственно больше сторон ED и DF, заключающие В, в три раза. Определите, подобны ли эти треугольники. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: _____________________________ Найти: ьоо го а ы g ж S п о 3=1 о и S ж *н *ГЗ м о ж сг S X ж о ж 59 ^Решение 132 На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены отрезки АР = BR = CQ. Докажите, что треугольники PRQ и АВС подобны. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) „ В Дано: _______________________________ ^ Доказать: Доказательство 133 Докажите, что прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него подобный треугольник. Дано: Доказать: 60 Доказательство 134 В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Определите, какие треугольники подобны, и найдите коэффициент их подобия. Дано: ___________________________ Найти: В задаче № 135 доказывается очень важное свойство треугольников. Используйте его при решении задач. 135 Докажите, что в подобных треугольниках отношение сходственных сторон равно отношению медиан, проведенных к данным сторонам. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: _______________________________ ивп го а S U) > ж к я о » о т S ко н ►о W »-а о Я ВТ" Я S ж о » 61 в задачах №135 и 543 (учебник, глава VII, §1) доказываются свойства подобных треугольников, которые в общем случае можно сформулировать так: "В подобных треугольниках отношение сходственных сторон равно отношению соответствующих отрезков (высот, медиан, биссектрис треугольников и т.Д.)"* 136 в треугольник, у которого основание равно 30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника. В Дано: ZDFG = 90°, DF = GF; АС = 30 см; ВН = 10 см; DG \\АС Найти: DG. Решение Так как ADFG — прямоугольный равнобедренный, то высота FP =—DG. 2 АО ВМ Так как DG || АС, то ADBG ААВС. Отсюда следует:-=----. 10 BH-FP Обозначим FP = д:, тогда DG = 2х; — --; 30 (10-д:) =10-2д: отсюда „ 2д: 10-д: д: = 6. Значит, DC = 2jc =12 см. DG = 12 см. 137 (№ 555, учебник, глава VII, §1). Точки М, N и Р лежат на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС соответственно, причем MN Ц АС, NP || II АВ. Найдите стороны четырехугольника AMNP, если АВ = 16 см, АС = 24 см, PN : MN = 2:3. 62 Дано: Найти: Утешение 0>яее1н: АМ = 138*. СМ, MN = см, PN = см, АР = см. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны 12 см и 6 см. Г ^ - ■ ■■ ^ Дано: ABCD — параллелограмм; EGHF — ромб; GH || АС и GE || BD; АС = 12 см и PD = 6 см. г, Е п Найти: сторону ромба. ^Решение. Пусть ЕЕ = GH = НЕ = GE = 2а. Четырехугольник GHKL — параллелограмм, так как его противоположные стороны параллельны соответствующим диагоналям. Поэтому KL = HG= 2а. АО является медианой AABD. Из подобия треугольников АВП иАЕН следует, что АК"—медиана треугольника АРП". Аналогично доказывается, что DM — медиана треугольника DHG. Поэтому КН = ОК = а. АК = 6 - а. Рассмотрим ААОП, где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма: АО = 6 см, OD = 3 см. Из подобия треугольников APif и АОП: а = 2. ЕЕ = 2а = 4 см. OtfLeeifi: ЕЕ = 4 см. ит го а *ГЗ S ы № S Я о 1=1 о СП м й о » S ж о 00 63 139................................................... В треугольнике АВС проведены высоты АЕ и BD. Докажите, что треугольники АВС и EDC подобны, если угол С — острый. Дано: __________________________ Доказать: Доказательство Решение задачи №140 аналогично решению задачи №139. 140 ................................................... В остроугольном треугольнике из всех вершин проведены высоты. Докажите, что треугольники, имеюш;ие обш;ую вершину с данным треугольником, подобны между собой. Дано: __________________________ Доказать: Доказательство Из решения задач №119 и 125 следует важное утверждение: "Все равносторонние треугольники подобны". В задачах №103, 122 и 127 (рабочая тетрадь для 7-го класса) были даны формулировки и доказательства признаков равенства треугольников для равнобедренных треугольников. Теперь сформулируем признаки подобия равнобедренных треугольников . 64 141 Докажите, что если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны. Дано: ____________________________ Доказать: Доказательство Решение задачи № 126 (рабочая тетрадь для 8-го класса) дает признак подобия равнобедренных треугольников: "Если в равнобедренных треугольниках углы при вершинах равны, то треугольники подобны". Из решения задачи № 132 (рабочая тетрадь для 8-го класса) следует еще один признак подобия равнобедренных треугольников: "Если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника пропорциональны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны". Применение подобия к доказательству теорем и решению задач________________________________________ Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение средней линии треугольника и теорему о средней линии треугольника. Средней линией треугольника _ ивп U) Я is; S trt Я tn n s rt Я О » о (Л я 65 Средняя линия треугольника 142 Среди треугольников, приведенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведена средняя линия треугольника. L В 0»п£&\ в) 143 в треугольнике QRP проведены средние линии ST и SO. Определите, является ли отрезок ОТ средней линией данного треугольника. (Дайте развернутый ответ.) R Oifieeiti: 144 Постройте среднюю линию данного треугольника. Сколько средних линий можно построить в данном треугольнике? 66 OtHjeeffi: 145 в треугольнике QRP проведены средние линии ST, ОТ и OS. Докажите, что треугольники QSO, SRT^ OTP и TOS равны и каждый из них подобен треугольнику QRP. Дано: ________________________ Доказать: ____________________ Доказательство 146 В треугольнике QRP отмечены точки S, Т и О^ которые являются серединами сторон Q7?, RP и QP соответственно. Докажите, что QSTO — параллелограмм . Дано: _____________________________ R Доказать: СОТ) Ы п X X tn X т X X tn Я о 2=t О (Л X &Q 67 Доказательство 147 В равностороннем треугольнике QRP отмечены точки Sy Т иО^ которые являются серединами сторон QRy RP и QP соответственно. Найдите периметр параллелограмма QSTO, если периметр треугольника SRT равен 27 см. (Дополните чертеж, згшишите условие и решите задачу.) Дано: _________________________________ Найти: !Решеиме 148 .. Диагональ квадрата равна 26 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон квадрата. Дано: ______________________ Найти 68 J'etumue Ooieeifi:_________________________ Из решения задач №126, 133 и 141 следуют признаки подобия равнобедренных треугольников. Теперь сформулируем признаки подобия прямоугольных треугольников. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому первый признак подобия треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать так: "Если два прямоугольных треугольника имеют равные острые углы, то они подобны". 149 Угол одного прямоугольного треугольника равен 30 , а другого 60 Определите, подобны ли данные треугольники. (Дайте развернутый ответ.) Otn£eifi: 150 По рисунку определите, чему равен катет, обозначенный буквой х. U) я S S tri » W » S м я о » о СП я я Gfn€&n: 69 Для прямоугольных треугольников можно сформулировать еще один признак подобия: "Если катеты двух прямоугольных треугольников пропорциональны, то эти треугольники подобны". 151 Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если их катеты пропорциональны. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: Доказать: Доказательство 152 Катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны 6 см и 10 см, а катеты другого 9 см и 12 см. Определите, подобны ли данные треугольники. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ___________________________ Найти: ^Решенме 70 Закончите следующие предложения: Катет прямоугольного треугольника есть Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть________________________________________________________ Я Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Сформулируйте определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется_ Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется иу> « о о о HI о в м S S » м о ►н о о S > SS S 71 153 .................................................. Дан прямоугольный треугольник АВС. В ответах на предложенные вопросы выберите и подчеркните правильные. ^ 1. Какое отношение верно? 1. а) cos А = ; б) cos А = ; B)cosA-—;r)cosA=^. „ . . . АВ ^ч . . СВ ч . д АС 2. a)smA = ^;6)sinA = ^;B)sinA = ^ ; ... СВ г) sinA = ^. 3. а) tg А = ^ ; б) tg А = — ; в) tg А = ^ ; г) tg А = ^ . 4. Чему равен cos В? в) cos В = ^ ; г) cos В = Щ . 5. Чему равен sin В? в) sin В = ^ ; г) sin В = 6. Чему равен tg В? B)tgB = i|;r)tgB = ^. 154 ................ АС Offi£e^i: а) cos В = ^ ; б) cos В = OfHJeeffi: а) sin В = ^; б) sin В = ^ ; а) tg В = б) tg В = ^ ; В прямоугольном треугольнике катет равен 8 см, а косинус прилежащего угла равен 0,8. Чему равна гипотенуза? 0»п£&н: см. 155 в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а синус одного из острых углов равен 0,7. Чему равен катет, противолежащий данному острому углу? Огн€е^й: см. 156 На сторонах угла BJDA^ отложены отрезки ОВ^ = В^В^ = В^В^ = 5 см. Из точек Bj, В2 и Вд опущены перпендикуляры на другую сторону угла, причем OAj = 4 см. 72 1. Найдите cos О из АА^ОВ^. Otn£etfi: cos о = 2. Найдите sin О vlqA^OB^. O/gge^; sin О = 3. Найдите tg О из А3ОБ3. tg о =________ Из теоремы Пифагора и определений косинуса, синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника следуют правила нахождения сторон прямоугольного треугольника. 157 О О Углы при основании трапеции равны 60 и 30 , высота трапеции равна б см. Найдите боковые стороны трапеции. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ______________________________ Найти: J^euiefuie cor, о О О 41 и о m с О X S *3 < 3 > 73 ОЛбеЛ: 158 ... Диагональ параллелограмма равна а и перпендикулярна его стороне. Найдите стороны параллелограмма, если один из углов параллелограмма равен 60 . (Решите сначала задачу в общем виде, а затем подставьте значение угла.) Дано: ____________________________ Найти: !PeuieHue 159 ... Заполните таблицу: а 0° 30° 45° 60° 90° sin а cos а tga 74 Глава VIII. Окружность Касательная к окружности Сделайте необходимые рисунки, исследуйте взаимное расположение прямой и окружности и сформулируйте полученные выводы. Сформулируйте определения секущей окружности и касательной к окружности. 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < г), то ______________________ Прям^ая называется 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности {d= г), то _______________________________________ Прямая называется касательной к окружности. Точкой касания называется 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d> г), то_________________________________________ г» 5 м ;=! V S > hQ Ж О ж ж »< » о о HI 75 160............................................................... Объясните, почему часть секущей, заключенная внутри окружности, больше у той секущей, которая проходит через центр окружности. (Дайте развернутый ответ.) 0tn6etn: Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство касательной и признак касательной. Свойство касательной. Касательная к окружности Признак касательной. Если прямая 161 К окружности радиуса 10 см проведена касательная, на которой взята точка М на расстоянии 24 см от точки касания. Найдите расстояние от точки М до центра окружности. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ____________________________ Найти: ^Решение 76 О^нве^н:__________________________ 162 Из точки М, отстоящей от центра окружности на расстоянии 29 см, проведена касательная КМ = 21 см, где К — точка касания. Найдите радиус окружности. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ____________________________ Найти: J^euienue 0^нве*н: 163 ... Из точки С к окружности с центром в точке О проведены касательная СА {А — точка касания) и секущая СВ, АВ — диаметр, ZACB = 39°. Определите два других угла АСАВ. Дано: ___________________________ Найти: rs 5 м о* № > РС о « о Г5 •Н 77 Решение Offi^e/н: ZABC = ZBAC = Задачи №164 и 635 (учебник, глава VIII, §1) являются аналогичными задачами. После их решения полезно решить задачу № 636 (учебник, глава VIII, §1). 164 К окружности с центром в точке О проведена касательная DC (В — точка касания), АВОА — равносторонний. Определите угол АВВ. (Решите устно.) Oifieet^: lABD = __________ 165 К окружности с центром в точке О, проведена касательная АС (В — точка касания), АВ = СВ. В силу какого признака равенства треугольников ААОВ = АСОВ? (Отметьте на чертеже равные элементы и решите задачу устно.) Ofn£e^: ААОВ = АСОВ по_________________ 78 166.................................................... Из точки А к окружности с центром в точке О проведены две касательные АС и АВ (В и С — точки касания). Докажите, что АС = АВ и ZOAC = = ZBAO. (Отметьте на чертеже равные элементы.) Дано: АС и АВ — касательные; В и С — точки касания. Доказать: АС = АВ; ( Oi ZOAC =ZBAO. Доказательство Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте следствие из свойства касательной. Отрезки касательных к окружности При решении задачи № 167 воспользуйтесь следствием из свойства касательной. 167 Из одной точки А к двум касающимся внешним образом окружностям с центрами в точках О и проведены три касательные АБ, АС и AZ>, причем АС проходит через точку касания окружностей С. Докажите, что AB=AC=AD. (Сделайте дополнительные построения.) Дано: __________________________________ о tii tr а > ж о ж •X» ж о Г5 •-3 79 Доказать: _____ Доказательство 168 Две окружности, радиусы которых равны 20 см и 5 см, касаются внешним образом и имеют общую касательную АВ. Найдите длину отрезка AJB. (Дополните чертеж.) Дано: ________________________________ Найти: Тешеяие Gtnjeeffi. 80 Центральные и вписанные углы Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние центрального угла окружности. Объясните, как измеряет ся дуга окружности: Центральным углом окружности называется Если дугаАВ окружности 169 Найдите градусную меру центральных углов, обозначенных буквами: а, (3,5, тиф. 170 Каждая из данных окружностей разделена на равные части. Найдите градусную меру центральных углов, отмеченных на рисунках. ЬОП гчз а tri » iH g tr « S w S u a X n > X X tn I 81 1) Oin£efH: 1)_______ 3)_______ 2) 3) 4) 2). 4). 171 Найдите градусную меру дуг окружностей, соответствующих углам, отмеченным на рисунках. 172 Окружность разделена на две дуги, причем градусная мера одной из них в три раза больше градусной меры другой. Чему равны соответствующие этим дугам центральные углы? (Дополните чертеж.) Дано: ___________________________ Найти: ^Решение 82 Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение угла, вписанного в окружность, и теорему о вписанном угле. Угол называется вписанным в окружность, если Вписанный угол измеряется 173 1. Нарисуйте несколько вписанных углов, соответствующих данному на рисунке центральному углу. 2. Нарисуйте центральный угол, соответствующий данному на рисунке вписанному углу. Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте следствия из теоремы о вписанном угле. Следствие 1. Вписанные углы. 000 Д W •н «т* № Е w iS ш а S 0 > е: м 1 83 Следствие 2. Вписанный угол. 174 в соответствующей окружности нарисуйте угол, равный: 1) 2а; 2) р; 3)у. 175 Найдите градусную меру углов, обозначенных буквами: а, р, г|, а, т, ^ и (р. 3) Otn£etH: 1)____; 2)___; 3)___; 4)___; 5)____; 6) 176 .................................... 7) Отметьте на рисунках углы, равные данным. 84 177 Найдите градусную меру углов, обозначенных буквой а. O/neetfi: 1) а =__ 178 ... 1) 2)а = 3)а = 4) а = Вписанный угол на 25 меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Найдите градусную меру этих углов. (Дополните чертеж.) Дано: _________________________ Найти: ________________________ Решение ККГ го а W » •н g ег* S сг нн W SS » р р о > р » tr* м tr Otfi£etfi: 179 ... Найдите градусную меру углов, обозначенных буквой р. 1)Р = 2)р = 3) р= 85 180 Найдите градусную меру углов, обозначенных буквой у. OffieetH: 1)у = 3)у = 2)у= 181 1. Вершины четырехугольника лежат на окружности. Запишите правые части равенств: 2а + 2р = а + р = 2. Вершины четырехугольника лежат на окружности. Запишите правые части равенств: а + у = Р+5 = 182 Прямые тип пересекаются под углом 30 , в некоторой точке С плоскости. Как определить, является ли ZACB вписанным в окружность, часть которой представлена на рисунке, а остальная часть недоступна? (Дайте развернутый ответ.) 86 183 На диаметре окружности АС построен равносторонний треугольник АВС, стороны которого делят полуокружность на три дуги. Определите градусную меру дуги DF. тт в Дано: _____________________________ Найти: J^euieHue OtHjeefn: 184 ... Из точки полуокружности проведены к концам диаметра две хор- О ды. Одна из них равна 17 см и образует с диаметром угол, равный 45 . Найдите длину второй хорды. (Дополните чертеж.) Дано: Найти: Тешение иап го tn X н % «г Е W S ш а S п > а а Е м < а 87 185 Докажите, что градусная мера угла, вершина которого лежит внутри окружности, равна полусумме градусных мер дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон. Дано; Точка В лежит внутри окружности. Найти: /ЛВС Тешение Проведем хорду DC. Рассмотрим /ВВС. /АВС является внешним углом ADBC при вершине В. В силу теоремы о внешнем угле треугольника /АВС = /ВВС +/ВСВ. Углы ВВС и ВСВ, как вписанные, равны половинам соответствуюпдих центральных углов, то есть /АВС = ^ /АОС + ^ /ВОЕ. В свою очередь градусная мера дуги АС равна градусной мере /АОС, а градусная мера дуги BE равна градусной мере /ЕОВ. Следовательно, градусная мера /АВС равна полусумме градусных мер дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон. Otfieetfi: /АВС = I /АОС +1 /ВОЕ Внимательно посмотрите решение задачи № 185, это поможет при решении задач № 186-188. 186 Докажите, что градусная мера угла, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают окружность, равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между его сторонами. Дано: ________________________ Найти: _______________________ Утешение 88 187 Докажите, что градусная мера угла, образованного касательной и хордой, равна половине градусной меры дуги, заключенной внутри него. (Дополните чертеж.) Дано: ________________________________ Доказать: Доказательство: 188 Докажите, что градусная мера угла, образованного двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между точками касания. (Дополните чертеж.) Дано: ____________________________ Доказать: Доказательство: гчл J=5 W S н г а кг* К S W S W •-1 о > X X кг* нн м КТ* 89 189 Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точ- О ки к окружности, равен 42 . Найдите градусную меру дуг, заключенных между точками касания. (Дайте развернутый ответ.) Of$i£effi: Четыре замечательные точки треугольника Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте теорему о биссектрисе угла и следствие из нее. Прямая теорема. Обратная теорема. Следствие из теоремы о биссектрисе угла. Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте теорему о серединном перпендикуляре и следствие из нее. Прямая теорема. 90 Обратная теорема. Следствие из теоремы о серединном перпендикуляре. 190 Определите, может ли вершина треугольника быть точкой пересечения высот данного треугольника. (Дайте развернутый ответ.) Otfie&H: 191 Определите, как расположена точка пересечения серединных перпендикуляров для: 1) произвольного треугольника. (Дайте развернутый ответ.) OffieeiH: 2) тупоугольного треугольника. (Дайте развернутый ответ.) OfHJeeffi: 3) прямоугольного треугольника. (Дайте развернутый ответ.) Otn€e*H. 192 Определите вид треугольника и найдите его углы, если его стороны из точки пересечения серединных перпендикуляров видны под углами ы м •н •та W > м Л 5 m tr » SC tn •н о л ж •н ►о м о ж кг » 91 о о о 110 , 130 и 120 (Дополните чертеж.) Дано: Найти: Тетеяие 0/н£е^Я: 193 В треугольнике соединены середины его сторон. Докажите, что точка пересечения медиан полученного треугольника совпадает с точкой пересечения медиан исходного треугольника. Дано: ____________________________ Доказать: Доказательство 92 я Вписанная и описанная окружности Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние окружности, вписанной в многоугольник. Окружность называется вписанной в треугольник, если Многоугольник называется Сформулируйте теорему об окружности, вписанной в тре- угольник Сколько окружностей можно вписать в треугольник? OtfL6etfi: 194 ... Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведенной к его основанию. (Сделайте дополнительные построения.) Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство а а S г> > № g о Н S п > а tn g о ж < 56 S о о н S 93 Решение задачи №194 поможет при решении задач № 689, 690 (учебник глава, VIII, §4). При решении задач № 195 и 691 (учебник, глава VIII, §4) полезно воспользоваться результатом, доказанным в задаче №166. 195 В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. (Дополните чертеж.) Дано: ________________________________ ^ Найти: Решение Gtn£etfi: Сформулируйте свойство описанного четырехугольника, Сформулируйте признак описанного четырехугольника 94 196......................................................... Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите диагональ квадрата. (Решите устно.) OiH6eiH: 197 (№ 700 учебника)................ Докажите, что в ромб можно вписать окружность. D /- ~ ------------------------------------- Дано: ABCD — ромб. О — точка пересечения диагоналей ромба. Доказать: О — центр вписанной окружности. Доказательство Треугольники АВО, ADO, СВО и CDO, как прямоугольные треугольники, так как ABCD — ромб, равны по гипотенузе и катету. Следовательно, и высоты, проведенные из вершин прямых углов, равны. Значит, основания высот лежат на окружности с центром О. Так как высоты, проведенные из вершин прямых углов, перпендикулярны сторонам ромба, то окружность с центром О — точкой пересечения диагоналей ромба и радиусом, равным расстоянию от точки О до сторон ромба, касается сторон ромба. Значит, в ромб можно вписать окружность. 198.................................................... Около окружности описана равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции. А Дано: Найти: «У) 4S М а S п > g S о а S а > а а > а о а а а о о »н а 95 J^eiueHue Otn£efH: S = CM'^. Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе ние окружности, описанной около многоугольника. Окружность называется описанной около треугольника, если___ Многоугольник называется Сформулируйте теорему об окружности, описанной около тре угольника. Сколько окружностей можно описать около треугольника? 199 Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию. (Сделайте дополнительные построения.) Дан о : ААВС — равнобедренный; BD — медиана. Доказать: Ое BD. 96 Доказательство 200 Объясните, как расположен центр описанной около треугольника окружности, если его углы относятся: (Дайте развернутый ответ.) 1) как 1:2:3; ______________________________________ 2) как 3:4:5; 3) как 1:1:4. Oftieeifi: Решение задачи № 201 будет полезно при решении задачи № 706 из учебника. 201 Докажите, что в равностороннем треугольнике высота треугольника равна трем радиусам вписанной окружности. Дано: ___________________________ Доказать: Доказательство а а S о > Я S о а S п а > О Ж *TJ а о о »-з а 97 Сформулируйте свойство вписанного четырехугольника. Сформулируйте признак вписанного четырехугольника. 202 Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 3 см. Определите сторону квадрата. (Дополните чертеж.) Дано: ________________________________ Найти: Теишше OfHJeetn: 203 Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. (Решите устно.) OtfieeiH: см. 98 Решение задачи № 192 будет полезно при решении задачи № 204. 204 ............................................. Найдите углы треугольника, если из центра описан- О ной окружности его стороны видны под углами 100 , О О 120 и 140 . (Дополните чертеж.) Темение OifigeiH: СМ. Перед решением задачи № 205 внимательно посмотрите реше ние задачи № 166. 205 ................................................... Два угла треугольника равны 80° и 70°. Под каким углом видна каждая его сторона из центра вписанной в него окружности? (Дополните чертеж.) ( О Тешеяие иоп W Я X п > X X ё о X X п > X Offieeffi: 206 ... Определите вид треугольника, если центр вписанной в него окружности совпадает с центром описанной около него окружности. о ж т» X о о HI S 99 о о ГЛАВА VIII. ОКРУЖНОСТЬ д to Sc н S 90 Л О Глава IX. Векторы Понятие вектора Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определе ния вектора, нулевого вектора, длин вектора. Вектором или ___________________ называется f-1 I I -•*- 4 . -1 .1 ! i Т 4 Г Такой вектор называется нулевым. Длиной вектора или_____________ называется 4 Длина вектора АВ обозначается 207 Запишите все векторы, изображенные на рисунке. В Otfieeffi:_____________ 208 ..................................... Изобразите векторы АС, АС, HD и OF- иоп к-к Я о » М S tn ю гя Л •н о Б* -D I* *о *Б . ‘С? Е 101 209 В прямоугольнике ABCD стороны АВ и AD равны 8 см и 15 см соответственно. Чему равны длины векторов DA,AB, АС и ВС? А 0/^^е/н:\ш\=______; \ав\=_____; \ас\=____ Сделайте необходимые рисунки и сформулируйте определения сонаправленных и противоположно направленных векторов: Ненулевым вектором называется_________________________ Нулевой вектор Векторы называются сонаправлен- ными, если _____________________ в противном случае они называются Сонаправленностъ векторов а иЪ обозначается. а противоположно направленные векторы а и Ь обозначается 210 ABCD — трапеция. Используя обозначения, данные на рисунке'. 1. Укажите пары сонаправленных векторов. q_______г G 102 2. Укажите пары противоположно направленных векторов. Ofn£efH: 3. Являются ли векторы АВ и DC сонаправленными? (Дайте развернутый ответ.) 0/й€е/н:________________________________________________ Сформулируйте определение равных векторов: Два вектора называются равными, если ___________________ 211 веты на следующие вопросы: 1. Почему в каждой из пар АВ и DC, ВС и AD,BO и OD векторы равны? D 2. Модули векторов АВ и DC равны. Почему векторы АВ и CD не равны? 3. Почему в каждой из пар АВ и AD, ВО и ОС векторы не равны? Ofn£etfi: ________________________________________________ 4. Почему векторы ВО и BD не равны? О^е/н: 212 в равностороннем треугольнике АВС, сторона которого равна 6 см, проведена средняя линия DF. На вопросы дайте развернутые ответы. 1. Докажите, что векторы ВС и DF сонаправлены. 0/н€е*Я: ОО) Н-» а о н S т ш m ж Н! о 103 2. Докажите, что векторы ВС и FD противоположно направлены. Otfieefn: 3. Докажите, что векторы AD и DB равны. OffieefH: ________________________________________________ 4. Чему равны абсолютные величины векторов DA,AB^ DF, АС и ВС 7 0^е^:\Ш\ =_______;\Ш\ =____;И =_______;И =______ Сформулируйте свойство откладывания векторов. От любой точки можно отложить_______________________________ 213 1.ABCD — квадрат. От точки G отложите векторы, равные соответственно АВ, ВС, CD и DA. ^ 2. АВС — треугольник. От точки В отложите векторы, равные соответ- ственно АВ, ВС, АС, и СА. 1. 2. В D 104 Сложение и вычитание векторов Сформулируйте законы сложения векторов: Для любых векторов а, Ь ис справедливы равенства: О 1 . ________________________________________ О 2 . 214 ................... Какой из рисунков соответствует: 1) ь 2) 1. Правилу параллелограмма сложения векторов? Otneetfi: Рисунок_ 2. Правилу треугольника сложения векторов? Ofn€efH: Рисунок_____ 215 1. Постройте сумму векторов а и Ь по правилу параллелограмма сложения векторов. 2. Постройте сумму векторов а и & по правилу треугольника сложения векторов; 3. Постройте разность векторов а и Ь. (AD го п о W S S W ю г: л X i S т » W Ж »н о ж о м 105 Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач Сформулируйте определение произведения вектора на число Произведением ненулевого вектора а на число k называется _ Сформулируйте следствия из определения произведения век тора на число. Произведение ненулевого вектора а на число нуль__________ Для любого числа k и любого вектора а Сформулируйте свойства умножение вектора на число. Для любых чисел /е и / и любых векторов а и Ь справедливы равенства: 1 . О 2 . О 3 . 106 216 Вектор NO = а . В квадрате ABCZ) выразите векторы ВС,СВ, AD и DA через вектор а. Offi€effi: ВС = ; СВ = D AD= DA= 217 Векторы АО = a и DA =b. В параллелограмме ABCD выразите векторы CD и BD через векторы а и Ь . q Offi£etfi: CD = ;BD = 218 Векторы AB = a , ВС = с и DA = ft . В трапеции ABCD выразите векторы CD у АС и BD через векторы а , Ь и с. Дано: _________________________ Найти: ^Решение соо с з; S о м » м № М Ж 1-3 о г S > из S п Ж О Offieetfi: CD = ; АС ; BD = 107 Сформулируйте теорему о средней линии трапеции: 219 В трапеции ABCD стороны равны: АВ = 8 см, ВС = 13 см, CD = 10 см, AD = 19 см. FG — средняя линия трапеции. Найдите стороны трапеции AFGD. OfHJeeffi: AF = 220 .......... см, AD = см. В трапеции, одно из оснований которой равно 5 см, проведена средняя линия, длина которой равна 6 см. Чему равно другое основание трапе- ^ ЦИИ? (Решите устно.) OtHeeffi: 221 ... см. в трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Чему равны 222 Диагонали трапеции ABCD пересекают среднюю линию RP в точках М hN. Докажите, что RM = NP. Дано: __________________________ 108 Найти: Доказательство 223 Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три равные части. Определите, как относятся основания этой трапеции. Дано: __________________________ Найти: Teiueuue Otfieetfi. 224 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований. Дано: __________________________ и» и> »< X о ы W X X m W W Ж о г X > л X п Ж о Доказать 109 Доказательство 110 Учебное издание Мищенко Татьяна Михайловна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ 8 класс К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16678 от 20.05.2015 г. Главный редактор Л. Д. Л anno Редактор И. М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Корректоры Г. Б. Абудеева, И. Д. Баранская Дизайн обложки А. Ю. Беляева Компьютерная верстка О. Н. Савина 107045, Москва, Луков пер,, д. 8. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 8(495)641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брощюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», 170546, Тверская область, Промыщленная зона Боровлево-1, комплекс № ЗА, www.pareto-print.ru. По вопросам реализации обращаться по тел.: 8(495)641-00-30 (многоканальный). Москва ИП Степанов — Тел. 8-926-132-22-35 Луна — Тел. 8-916-145-70-06; (495) 688-59-16 ТД Библио-Глобус - Тел. (495) 781-19-00 Молодая гвардия - Тел. (499) 238-00-32 Дом книги Медведково - Тел. (499) 476-16-90 Дом книги на Ладожской - Тел. (499) 400-41 -06 Шаг к пятерке - Тел. (495) 728-33-09; 346-00-10 Г ешь магазинов Мир школьника Санкт-Петербург Коллибри - Тел. (812) 703-59-96 Буквоед - Тел. (812) 346-53-27 Век Развития - Тел. (812) 924-04-58 Танде.м-Тел (812)702-72-94 Виктория - Тел. (812) 292-36-59/60/61 Санкт-Петербургский дом книш - Тел. (812) 448-23-57 Архангельск АВФ-книга - Тел. (8182)65-41-34 Барнаул Вектор - Тел. (3852) 38-18-72 Благовещенск Калугин - Тел. (4162) 35-25-43 Брянск Буква - Тел. (4832) 61-38-48 ИП Трубко - Тел. (4832) 59-59-39 Волгоград Кассандра - Тел. (8442) 97-55-55 Владивосток Приморский торговый дом книги - Тел. (4232) 63-73-18 Воронеж Амиталь - Тел. (4732) 26-77-77 Риокса - Тел. (4732) 21-08-66 Екатеринбург ТЦ Люмна - Тел. (343) 344-40-60 Дом книги - Тел. (343) 253-50-10 Алис - Тел. (343) 255-10-06 Буквариус - Тел. 8-800-700-54-31; (499) 272-69-46 Есссггту'кн ЧП Зинченко - Тел. (87961) 5-11-28 Ирк-утск ПродалитЪ - Тел. (3952) 24-17-77 Казань Аист-Пресс - Тел. (8435) 25-55-40 Тайс - Тел. (8432) 72-34-55 Киров ИП Шамов «УЛИСС» - Тел. (8332) 57-12-15 Краснодар Когорта - Тел. (8612) 62-54-97 ОИП11 Перспективы образования - Тел. (8612) 54-25-67 Красноярск Градъ - Тел. (3912) 26-91-45 Планета-Н - Тел. (391) 215-17-01 Кострома Леонардо - Тел. (4942) 31-53-76 Курск Оптимист - Тел. (4712) 35-16-51 .Мурманск Тезей - Тел. (8152) 43-63-75 Нижний Новгород Учебная книга-Тел. (8312) 40-32-13 Пароль-Тел. (8312)43-02-12 Дирижабль - Тел. (8312) 34-03-05 УВАЖАЕМЫЕ ПОКУПАТЕЛИ! Книги издательства ЭКЗАМЕН можно приобрести оптом и в розницу в следующих книготорговых ор1 анизациях; Нижневартовск Учебная книга - Тел. (3466) 40-71-23 Новокузнецк Книжный магазин Планета - Тел. (3843) 70-35-83 Новосибирск Сибверк - Тел. (383) 2000-155 Библионик - Тел. (3833) 36-46-01 Планета-Н - Тел. (383) 375-00-75 Омск Форсаж - Тел. (3812) 53-89-67 Оренбург- Фолиант - Тел. (3532) 77-25-52 Пенза Лексикон - Тел. (8412) 68-03-79 Учколлектор - (8412) 95-54-59 Пермь Азбука-Тел. (3422) 41-11-35 Тигр - Тел. (3422) 45-24-37 Петропавловск-Камчатский Новая книга - Тел. (4152) 11 -12-60 Пятигорск ИП Лобанова - Тел. (8793) 98-79-87 Твоя книга - Тел. (8793) 39-02-53 Ростов-гга-Доггу Фаэтон-пресс - Тел. (8632) 40-74-88 ИП Ермолаев - Тел. 8-961-321-97-97 Маг истр - Тел. (8632) 99-98-96 Рязань ТД Просвещение - Тел. (4912) 44-67-75 ТД Барс - Тел. (4912) 93-29-54 Самара Чакона - Тел. (846) 231-22-33 Мепгда - Тел. (846) 269-17-17 Саратов Гемера - Тел. (8452) 64-37-37 Умная книга - Тел. (8452) 27-37-10 Полиграфист - Тел. (8452) 29-67-20 Стрелец и К - Тел. (8452) 52-25-24 Смолеггск Кругозор - Тел. (4812) 65-86-65 Сургут Родник - Тел. (3462) 22-05-02 Тверь Книжная лавка - Тел. (4822) Ъ-93-03 Тула Система Плюс - Тел. (4872) 70-00-66 Тюмеггь Знание - Тел. (3452) 25-23-72 Уссурийск Сталкер - Тел. (4234) 32-50-19 Улагг-Улэ ПолиНом - Тел. (3012) 55-15-23 Уфа Эдвис - Тел. (3472) 82-89-65 Хабаровск Мире - Тел. (4212) 47-00-47 Челябггнск Интерсервис ЛТД - Тел. (3512) 47-74-13 Южчго-Сяхалинск Весть - Тел. (4242) 43-62-67 Ягсутск Книжный маркет- Тел. (4112) 49-12-69 Якутский книжный дом - Тел. (4112)34-10-12 11о вопросам прямых оптовых закупок обращайтесь потел. (495) 641-00-30 (многоканальный), [email protected]; www.examen.biz