Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Атанасян - Глазков Егупова

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Атанасян - Глазков Егупова - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
класс ФГОС^ Ю.А. Глазков, П.М. Камаев Рабочая тетрадь по геометрии учени класса школы класс Учебно-методический комплект Ю.А. Глазков, П.М. Камаев Рабочая тетрадь по геометрии К учебнику л.с. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9» (М.: Просвещение) 8 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издание второе, переработанное и дополненное Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2012 УДК 373:514 ББК 22.151я72 Г52 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (cm. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебника «Геометрия. 7—9: учеб, для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (cm. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Глазков, Ю.А. Г52 Рабочая тетрадь по геометрии: 8 класс: к учебнику Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7-9» / Ю.А. Глазков, П.М. Камаев. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Экзамен», 2012. — 159, [1] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-04899-2 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Рабочая тетрадь является необходимым дополнением к учебнику «Геометрия, 7-9» авторов Л.С. Атанасяна и др., рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Основное назначение тетради — обеспечение решения задач учащимися на уроке после ознакомления с новым учебным материалом. Включение в тетрадь теоретического материала поможет учащимся в его усвоении, более осознанном применении к решению задач. Тетрадь окажется полезной и при самостоятельном изучении материала учебника, например, если ученик пропустил занятия из-за болезни. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Подписано в печать 19.10.2011. Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага газетная. Уч.-изд. л. 6,07. Уел. печ. л. 13. Тираж 10 000 экз. Заказ №8905. ISBN 978-5-377-04899-2 Глазков Ю.А., Камаев П.М., 2012 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2012 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава V. Четырехугольники §1. Многоугольники......................................4 §2. Параллелограмм и трапеция...........................8 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат.......................24 Глава VI. Площадь §1. Площадь многоугольника.............................40 §2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции...48 §3. Теорема Пифагора...................................59 Глава VII. Подобные треугольники §1. Определение подобных треугольников.................63 §2. Признаки подобия треугольников.....................68 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач........................................75 §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника...........................................87 Глава VIII. Окружность §1. Касательная к окружности...........................97 §3. Четыре замечательные точки треугольника...........113 §4. Вписанная и описанная окружности..................122 Глава IX. Векторы §1. Понятие вектора...................................132 §2. Сложение и вычитание векторов.....................139 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач.......................................149 Глава V Четырехугольники §1. Многоугольники 39« Многоугольник 40. Выпуклый многоугольник 41. Четырехугольник А. Многоугольником называют фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, ..., РТ, ТА так, что смежные отрезки ___________ на одной прямой и несмежные отрезки ___________общих точек. 1. Фигуры, изображенные на рисунках, состоят из точек А, В, С, О и Е, 3) последовательно соединенных отрезками. 1) В 2) D А с ^ 5) ^ . к> с D А Е Укажите, на каких рисунках фигура является многоугольником. §1. Многоугольники J^etueHue. Фигуры, у которых смежные отрезки не лежат на одной прямой, изображены на рисунках_______. Фигуры, у которых несмежные отрезки не имеют общих точек, изображены на рисунках________. Фигуры, у которых выполняются оба признака, изображены на рисунках ____________. Otn£etfi: многоугольники изображены на рисунках__. Б. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по от любой прямой, проходящей через две его вершины. 2. Укажите, какой из многоугольников является выпуклым, а какой — невыпуклым. В невыпуклом многоугольнике проведите прямую, которая содержит сторону многоугольника и делит его на части. 1) В С D 0/HJeet^i: многоугольник ABCDE на рисунке 1) является ______________; многоугольник KLMNP на рисунке 2) является ________________, так как, например, прямая____содержит сторону многоугольника и делит его на части. 3. Проведите все диагонали в многоугольниках, изображенных на рисунке. Глава V. Четырехугольники Заполните таблицу: Число вершин многоугольника 3 4 5 6 7 • •• п Число диагоналей, выходяш;их из одной вершины Обпдее число диагоналей В. Теорема Сумма углов многоугольника равна Доказательство. Проведем все диагонали из какой-нибудь вершины этого многоугольника, например из вершины Aj. Диагонали можно провести во все вершины, исключая три: А^, ____. При этом образуется (/г -_) треугольника. Сумма углов данного многоугольника равна_______ углов этих треугольников. Обозначив сумму углов многоугольника буквой получим формулу =_____• (п - 2). 4. Найдите сумму углов выпуклого а) семиугольника, б) 22-угольника. Тешение. а) Подставим в формулу = 180° •_ S,= 180°-(_-2)=180°-_ =__. б) При п =_, получим _______(___ вместо_число 7. Получим 2) = 180°-_=___. OffieetH: а) S. 6)s, = б §1. Многоугольники 5. Сколько вершин имеет многоугольник, если а) = 1080°; б) S„= 10800°. J^euiemie. Подставим в формулу =_______(/г-__) известные значения, получим: а) 1080° = ____________________*(п-2), откуда п-2 = б) 10800° = 180° • (_), откуда п-2 =_, п =_. а)__вершин, б)__вершины. Г. Определение. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, с одним из углов многоугольника. 6. Докажите, что сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360' Доказательство. Обозначим углы многоугольника Тогда его внешние углы будут равны 180°__ZA„ 180°-___, ...,_- ZA„. Сложив эти величины, получим сумму всех внешних углов многоугольника: (180° - ZAj) + (_- ZA^) -Ь ... -f (180°_ ZAJ = 180°п - (ZA^ + ZA^ -Н -Ь ... -Ь ZAJ = 180°п-_(п-2) =_. 7. у какого многоугольника сумма внешних углов равна сумме внутренних углов? J^eUieHUe. Воспользуемся формулой суммы углов_______многоугольника и составим уравнение____________________=_Откуда п-2 = _, п = . OtfLeetfi: ■'У §2. Параллелограмм и трапеция 42. Параллелограмм А. Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны__________параллельны. 1. На каком из рисунков изображен параллелограмм КМРТ? 2) м* Тешение. На рисунке 1) стороны КТ и__четырехугольника КМРТ параллельны, КМ и ТР ____________, следовательно, это На рисунке 2) стороны , км и КТ ТР и МР четырехугольника КМРТ , следовательно. это На рисунке 3) стороны КТ и МР четырехугольника КМРТ , км и ТР , следовательно. это OffLSe/н: параллелограмм КМРТ изображен на рисунках 8 §2. Параллелограмм и трапеция 2. Аня чертила четырехугольник ABCD^ а Боря — четырехугольник KMPN, но они не закончили свои чертежи. Какой из четырехугольников может быть параллелограммом? J^euteHUe. Параллелограмм это четырехугольник, стороны которого попарно В четырехугольнике KMPN противоположные стороны КМ и_______ не параллельны, поэтому этот четырехугольник_______________ параллелограммом. В четырехугольнике ABCD противоположные стороны AD и_______ параллельны, если стороны АВ и____будут_________________, то четырехугольник ABCD будет_______________________. параллелограммом может быть четырехугольник 3. Четырехугольник KLMN — параллелограмм. Найдите сумму его соседних углов К и L. J^etueKUe. Так как четырехугольник KLMN — ____________________, то по_______________его противополож- ___________, значит, углы К и L ___________прямых KN и____и секу- ные стороны KN и LM _______________при_____ щей______, поэтому ZK + ZL =______. Oifieeifi: Глава V. Четырехугольники 4. Является ли параллелограммом четырехугольник АВСЕу если ZA = 70°, ZB = 110° и ZE= 100°? Т^ешение. 1) Так как ZA = 70° и ZB = 110°, то прямые АЕ и ВС________ (сумма________________углов А и В_____180°). 2) Так как ZA — 70° и ZE = 100°, то прямые АБ и ны (углы А и Е односторонние, а их____не равна Следовательно, у четырехугольника АВСЕ только_____ раллельны. Значит, четырехугольник АВСЕ __________ раллелограммом. OtfLeeffi: не параллель- стороны па-па- Б. Свойства параллелограмма. Если четырехугольник — параллелограмм, то 1) противопо- 2) противо- 3) диагонали ложные сторо- и положные и точкой Пересе- ны углы чения делятся Доказательство. 1) Проведем диагональ БМ. В треугольниках СЕМ и НМЕ сторона ЕМ —_______, ZCEM = Z____, как накрест лежащие углы при _______________ прямых СЕ и___и секущей ЕМ. Аналогично, ZCME = Z__. Значит, треугольники СЕМ и_____равны по________при- Н знаку равенства треугольников. 2) Так как АСЕМ = АНМЕ, то: СЕ = ZCME = Z____и ZHME = Z____. Сложив , СМ = ZC^Z два последних равенства почленно, получим ZCME + Z НМЕ = Z____+ Z СЕМ у то есть ZCMH = Z__. Итак, противоположные стороны параллелограмма___, и __________________углы______. 10 §2. Параллелограмм и трапеция 3) Проведем вторую диагональ СН и обозначим точку пересечения СН и ЕМ буквой О. АСЕО = АНМО по__________ признаку равенства треугольников, так как СЕ =__, ZCEO = Z__, ZECO = Z как углы при па- раллельных прямых СЕ и___и секущих СН и____. Поэтому СО =___и ЕО =____. Значит, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся 5. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 32 см, а) одна из его сторон больше другой на 5 см; б) одна из его сторон меньше другой в 3 раза; в) отношение сторон равно 3:5. ^Решение. Противоположные стороны параллелограмма_________, поэтому периметр можно вычислить по формуле Р =_____________(а -Ь Ь), где а и & длины____________сторон параллелограмма, отсюда а + Ь= Р__2 = = _ : 2 = _. а) Пусть меньшая сторона параллелограмма равна а см, тогда другая сторона равна (а_5) см. Составим уравнение: а + (а _ 5) = _, 2 • а =_, а = ___, Ь = а +_=___. б) Пусть меньшая сторона параллелограмма равна а см, тогда другая сторона равна _ а см. Составим уравнение: а + _ а = 16, _ а =_, а = _,Ь^ _ а = 3 _ =_(см). в) По условию задачи известно, что а : Ь = 3:5. Это равенство является __________________. Применив____________свойство пропор- а Ь тг ции, получим, что — = —. Пусть каждое отношение равно х, то- 3 __ гда, а = _-х, Ь = _-х. Составим уравнение: З х + _ х = 16. Далее находим _ х = 16, х = _, а = 3 _ = Ь = 5 _ =_. Offi£efn: стороны параллелограмма равны а) __см; в) и и см. см; б)___и 11 Глава V. Четырехугольники 6. Найдите все углы параллелограмма, если а) один из углов параллелограмма меньше другого на 33°; б) один из углов параллелограмма больше другого в 5 раз; в) два угла параллелограмма пропорциональны числам 2 и 3. Решение. а) Пусть угол А параллелограмма ABCD меньше угла Б на 33°, тогда Z_ = Z_ + 33° и ZA + ZB =__, по свойству________________ углов при параллельных прямых AD и___и секущей__. Подставив выражение для угла В во второе равенство, получим: ZA + (Z________) = 180°, откуда _-ZA =_, ZA =______. ZB = Z_ +____=_______+ 33° =_______. ZC = Z_ и ZD = Z_ no свойству______________________углов па- раллелограмма. б) Пусть угол С параллелограмма ABCD меньше угла Б в 5 раз, то есть Z_ = 5 Z_ и Z_ + Z_ = 180°, по свойству_______________ углов при___________________прямых АВ и______и секущей_____. Подставив выражение для угла Б во второе равенство, получим: ZC + 5 Z_ 180°, откуда _ ZC — 180°, ZC =_____, ZБ = _ ZC = -5 =_____. 'по свойству _____________________ ZC = Z_u ZD = Z параллелограмма. в) Пусть ZA'.ZB = Применив основное свойство получим: ZA:_ — Z_:3. Пусть каждое из этих_ равно Ху тогда, учитывая, что углы А и В___ при параллельных прямых AD и 2х + _х ^ 180°, откуда х -_, ZA^2x = 2-___=____, ZБ =__= _ ZC = Z_ и ZD = Z_ по свойству_ раллелограмма. углов и секущей получим углов па- Oinjeetn: а) два угла по б) два угла по в) два угла по и два угла по и два угла по и два угла по 12 §2. Параллелограмм и трапеция I. Является ли параллелограммом четырехугольник, если три его угла равны: а) 60°, 80° и 100°; б) 60°, 80° и 60°? Решение. Заменшше. Подобная задача была решена на основании определения (см. задачу № 4). Рассмотрим иное решение с использованием свойств параллелограмма. а) Допустим, что четырехугольник является параллелограммом. Тогда его противоположные углы____, но среди данных значений величин углов равных _______. Получили противоречие со ____________ противоположных углов параллелограмма, по- этому четырехугольник быть параллелограммом___________. б) Допустим, что четырехугольник является________________. Тогда его_____________________углы__________. Два равных угла имеются (60° и _ тиволежаш;ий углу в 80°. ____- (60°-Ь___-Ь___) = ). Найдем угол четырехугольника, про- . 80° 7^: 160°. Полученный резуль-_________________углов парал- тат противоречит свойству_________________ лелограмма, поэтому четырехугольник быть параллелограммом 01н£е/п: а)_____; б) 8. Дано: СВЕМ — параллелограмм, СР —биссектриса угла ВСМ. Доказать: АСВР — равнобедренный. В Е Доказательство. 1) Z1 = Z2(CP —_______ 2) Z2 = Z3 (__________ мых см и___и секущей 3) Из 1) и 2) следует, что Z1_Z3, поэтому АСВР — __________________ (____ угла ВСМ). _ углы при параллельных пря- треугольника). равнобедренного 13 Глава V. Четырехугольники 9. Докажите, что а) биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, б) биссектрисы противоположных углов параллельны. J^eiueHUe. а) Пусть АС и ВМ биссектрисы соседних углов А и В параллелограмма АВПР пересекаются в точке Е (выполните построение). Тогда ZBAE = — ZA, ZABE = = — Z__(по определению_________________ 2 В треугольнике АВ£ ZBAE -Ь ZABE + ZBEA угла). , но ZBAE -1- ZABE = , так как углы А и_являются = -Z + -ZB = -(ZA + ZJ = 2 ~ 2 2 _________________углами при параллельных прямых АР и__и се- . Поэтому ZBEA = 180° -_=___, а значит, АС_ВМ. куплей Э^н1/ saqaHJf можно fieuuitHb effUfzuM способом. Треугольник АВС — (смотри задачу № 8). Проведем биссектрису ВМ треугольника АВС, так как этот треугольник _______________, ВМ является и_________, то есть АС ВМ. б) Пусть лучи АС и ПТ — биссектрисы противоположных углов А и __ параллелограмма АВНР. Тогда ZACB = ZCAP как __________________углы при параллельных прямых АР и_____ и секущей___. Поэтому ZACB --ZA, ZBHT = - Z_ 2 2 по бис- сектрисы. ZA ^ Z по свойству углов параллело- грамма. Поэтому ZACB __ ZBHT, а так как они являются ____________________углами при прямых АС и ПТ и секущей ___, то АС ПТ. Э/Н1/ 3a{fU4J>f можно fieuiufnb qfUfzuM способом. По доказанному в пункте а), биссектрисы углов А и П перпендикулярны биссектрисе угла___, а прямые, перпендикулярные к одной прямой, между собою__________________. 14 §2. Параллелограмм и трапеция 10. д а н о: параллелограмм КМНР, О — точка пересечения диагоналей, А G КМ, В G PH, О G АВ. Доказать: АО = ОВ. (Закончите чертеж.) Доказательство. Рассмотрим треугольники AOiiT и ВОН. КО =___(свойство____________ параллелограмма), ZAOK = Z___(________________ ZAKO = Z М углы). (. углы при парал- лельных прямых КМ и и секущей Поэтому ААОК = Л_______ (_______ .). признак равенства тре- угольников), а значит, АО = 43. Признаки параллелограмма А. Если в четырехугольнике 1) две стороны 2) противополож- 3) диагонали и или ные стороны или и попарно равны точкой пересечения делятся то этот четырехугольник — параллелограмм Доказательство. 1) Пусть КМ = PH, КМ II PH. Проведем диагональ МР. Тогда аКМР=аНРМ признаку равенства по__________ треугольников. Действительно, КМ =____по____________, МР —____________сторона, ZKMP = Z_____. как ________________ раллельных прямых КМ и___и секущей Я углы при па- 15 Глава V. Четырехугольники Из равенства треугольников следует КРМи углов Эти углы являются ________ при прямых КР и__________________и секущей_. Поэтому КР || _, а так как КМ ______по___________, то четырехугольник КМНР — па- раллелограмм по параллелограмма. 2) Проведем диагональ СН. Тогда ААСН=аЕНС по признаку равенства треугольников. Действительно, АС = ЕН и АН-^_по , СН —____________сторона, Так как ААСН__АЕНС , то ZACH =Z____, а эти углы являются при прямых АС и__и секущей___. Е Поэтому АС ЕН ( параллельности прямых). Аналогично докажем, что АН Значит, четырехугольник АСЕН — параллелограмм по __________________параллелограмма. 3) Рассмотрим треугольники СОМ и НОВ. СО =____, МО = (по___________ ZCOM = Z_ (_______ углы). Поэтому, АСОМ = аНОВ М по признаку равенства треугольников. Следовательно, ZOCM = Z_ эти углы являются____________________________при пря мых СМ и____и секущей_____. Значит, СМ___ВН. Из равенства треугольников следует СМ =__. , а Поэтому, четырехугольник ВСМН — параллелограмм по предыдущему признаку____________________. 16 §2. Параллелограмм и трапеция 11. В параллелограмме АВСР AM = НС. Докажите, что четырехугольник ВНРМ — параллелограмм. В Н Доказательство. 1) АР = ВС (___ сторон параллелограмма), AM = НС (по_________ то есть МР =____. 2) АР\\ВС(__________ ), следовательно, АР-AM=ВС- параллелограмма), значит, и МР__ВН. Следовательно, ВНРМ лелограмма. 12. В параллелограмме АВСР ОН= -АО,ОМ= -СО. 3 3 Докажите, что четырехугольник ВНРМ — параллелограмм. Доказательство. 1) ВО = ОР и АО = _ грамма АВСР). параллелограмм по парал- В диагоналей параллело- ), следовательно. 2) ОН = _АО, ОМ = _СО {по__________ ОН____ ом значит, четырехугольник ВНРМ является параллелограммом по ___________параллелограмма. 13. На продолжениях сторон параллелограмма АВСР отложены равные отрезки АН, ВМ, СК и РТ так, как показано на рисунке. Докажите, что четырехугольник НМ КТ является параллелограммом. Доказательство. 1) АМКС = А__ по признаку равенства треугольников {КС = АН по 17 Глава V. Четырехугольники МС = ВС +_, АТ ^ АР +_, но ВС _ АР по сторон параллелограмма АВСР, а ВМ___РТ по______________, поэтому МС___АТ, ZMCK = Z_____как углы,______________с противоположными углами параллелограмма). Следовательно, МК__ТН. 2) Аналогично докажем, что аНМВ=А__________ НМ = следовательно, 3) Итак, в четырехугольнике НМ КТ противоположные стороны ___________________, значит, он является параллелограммом по _____________параллелограмма. 14. Докажите, что отрезок, соединяюпдий середины сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине. Дано: А АВС , Н иМ — середины сторон АВ и ВС соответственно. Доказать: НМ\\АС, НМ = —АС . и 2 Доказательство. 1) Отложим на луче НМ от точки М отрезок МРу равный отрезку МН (выполните построение). 2) Рассмотрим четырехугольник СНВР. Точка М — середина отрезка ВС (по _____________) и середина HP (по _____________), следовательно, СНВР В Н L - параллелограмм параллелограмма). Значит, PC ||__и PC =____. 3) В четырехугольнике AffPC Aif || PC и АН АН PC — параллелограмм (_______________ PC, следовательно, параллелограмма). Отсюда следует, что HP АС и HP = Но HP = РМ____НМ, поэтому НМ ^ — Итак, НМ АС и НМ = -2 18 §2. Параллелограмм и трапеция 44. Трапеция А. Определение. Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие________________. 15 . Является ли четырехугольник СЕ HP трапецией, если а) ZC = 80°, ZE = 100°yZH= 110°; б) ZC = 80°, ZE = 90°, ZH= 100°. Решение. а) ZC ^ ZE = 80° -Ь и они являются углами при пересечении прямых СР и ЕН , значит, прямые____и ЕН секущей _ ZE 4- ZH =____+ 110°___180°, и они являются односторонними углами при пересечении прямых СЕ и____секущей____, значит, прямые____и HP_____________________. Итак, в четырехугольнике СЕНР две стороны_______________, а две другие_________________, следовательно, четырехугольник СЕНР — трапеция, по______. б) Аналогично рассуждая, получим ZC + ZE =__+ 90°__180°, значит, прямые___и ЕН______________________, ZE + ZH = -Ь 100° __ 180°, значит, прямые ____и четырехугольник СЕНР_______ и HP трапецией. OtH^etfi: а) б) 16. Может ли в трапеции быть три равных угла? Ответ обоснуйте. J^eiueH.ue. Пусть в трапеции ВНМР стороны ВР и НМ являются основаниями, а углы В, Н иМ равны. Тогда ZB + ZH =_____(свойство __________________________________________________углов при параллельных прямых), а так как по условию они_____________, то ZB = ZH =____. По условию ZM ____ ZH, значит, ZM = _______ и боковые стороны трапеции 19 Глава V, Четырехугольники ___основанию НМ, то есть между собою что противоречит_______________трапеции. OffieefH: 17. Является ли трапецией четырехугольник СНРМ, если две его стороны равны 6 см, а две другие равны 10 см? Утешение. В условии не сказано, являются ли равные стороны четырехугольника смежными или______________________сторонами, поэтому рассмотрим два случая. 1) Пусть равные стороны являются противоположными сторонами четырехугольника СНРМ, тогда четырехугольник СНРМ является ____________________(_____________параллелограмма). 2) Пусть равные стороны являются сторонами четырехугольника СНРМ, например СН = HP = 6, РМ = МС = 10. Проведем диагональ НМ. АСНМ = А_______ (__________ признак равенства треугольников). ZCHM Ф ZHMP (они лежат против__________ лы __________________________, значит. М _____сторон), а эти уг- прямые НС и РМ (. параллельности прямых). Ана- логично докажем, что прямая СМ____________ PH. Следовательно, в четырехугольнике СНРМ лельных сторон, то есть он________________ прямой двух парал- трапециеи. Oifi£ein: четырехугольник СНРМ трапецией 18. в трапеции ВСМР углы В л Р при основании ВР равны 60° и 80° соответственно. Найдите углы С и М. y^eutefuie. ZB + ZC = 180° (свойство_______________ параллельных прямых), отсюда ZC = 180°__ZB = 180° - Аналогично получим ZM = 180° - Z_ = 180° -___=_____. ZC =____, ZM =______. углов при 20 §2. Параллелограмм и трапеция Б. Виды трапеций. В. Свойства равнобедренной трапеции. 1. Углы при основаниях равнобедренной трапеции 2. Диагонали равнобедренной трапеции__________ Доказательство. 1. Проведем отрезок СМ, параллельный отрезку АВ{МеАЕ). Четырехугольник АВСМ — параллелограмм по____ Е АВ____СМ по свойству________ лелограмма. Значит, треугольник MCE — сторон парал- и ZE =Z (. углов при основании равнобедрен- ного треугольника), но ZCME = Z_ (__________________ прямых см и____), поэтому ZE = Z_. углы при паргшлельных 2. Докажем, что диагонали равнобедренной трапеции Рассмотрим треугольники АВЕ и ЕСА. АВ =____как_____________стороны равнобедренной трапеции, АЕ —____________________сторона, ZBAE = Z_по свойству углов при___________________________________равнобедренной трапеции. Таким образом, треугольники равны по_______________признаку равенства треугольников. Значит, BE = _______ как стороны равных треугольников. 21 Глава V. Четырехугольники Г. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько __________ отрезков и через их концы провести ___________________прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на ней________между собой отрезки. Доказательство. Рассмотрим случаи: 1) данные прямые параллельны, 2) данные прямые______________________. 1) Прямые а и 6 параллельны. Четырехугольники ; А^^В^В^; ... являются параллелограммами по_______________. Поэтому AjAg = A^Ag -__ ... как НоАД =AgAg = _____стороны параллелограмма. ... по__________, поэтому В^В^ = БдБд = А„ 2) Прямые аиЬ____________________. Проведем через точку Aj прямую с, параллельную прямой Ь. Рассмотрим треугольники AjAgCj и С^Н^С^, где Cji/j II а. Докажем, что они__________. Действительно, ZAjAgCj = AA^AJ2^ как_____________ углы при параллельных прямых АдС, и ZAjAgCg = ZC^H^C^ как_____________ углы при параллельных прямых а и Следовательно, ZA^A^C^__. ZA./i^C.^ = Z____ как ____________ лельных прямых а и___ А,Ад = AgAg ПО ______ ___и секущей _. и секущей____. __________________ углы при парал- и секущей _. __, AgAg = C,i/j как противоположные стороны параллелограмма ______. Итак, аА^А^С^=аС^Н^С^ по признаку равенства треугольников. Получили, что на прямой с, параллельной прямой _, отложены равные отрезки, то есть выполнены условия первого случая. Значит, =________=_____= ... . 22 §2. Параллелограмм и трапеция 19. Разделите отрезок на три равные части. Утешение .Ъъиюшжж построение. 1) Проведем луч AM, 2) Отложим на луче АМ от точки А три отрезка: АС^ =_= Cfi. 3) Проведем прямую через точки С и _. 4) Через точки Cj и проведем прямые,__________ СВ, пересекающие отрезок___в точках Б, и В^, Докажем, что точки В^ и В^ делят данный отрезок ные части. В прямой на три рав- Доказательство. По теореме Фалеса, если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько_отрезков и через их концы провести_____________прямые, пересе- кающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой _________между собой отрезки. Выполненное построение удовлетворяет условию____Фалеса. Значит, АВ^ =_= В^В. 20.Постройте отрезок, длина которого равна — длины отрезка СЕ, 5 ^Решение. Е равных частей и *^нализ. Чтобы построить отрезок, длина которого равна — длины 5 отрезка СЕ, разделим отрезок СЕ на _____ возьмем____таких части. JloctHfioeHue. 1) Проведем луч СН и отложим на нем пять _ CH=H,H=,„=Hfl,, 2) Соединим точку с точкой___. 3) Проведем через точки Н^,___, прямые,________________ прямой ЕН^ и пересекающие прямую СЕ в точках М^,_, М^, OfH^efH:-CE = 5 ---- отрезков: 23 §3. Прямоугольник^ ромб, квадрат 45. Прямоугольник А. Определение. Прямоугольником называется рого все углы_________. у кото- 1. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть один прямой угол? Ответ обоснуйте. OtH£effi: так как противоположные углы параллелограмма а сумма углов, прилежапдих к одной стороне, равна Поэтому, если один из углов параллелограмма — прямой, то и остальные углы —___________. Б. Свойства прямоугольника. Диагонали прямоугольника_________ Действительно, треугольники ВСН и ВСМ прямоугольные, ВС — общий ________, катеты ВН и___равны как_____________________стороны параллелограмма. Значит, аВСН=А_______по двум_____ ны и их гипотенузы ВМ и 24 В , следовательно, рав- §3. Прямоугольник, ромб, квадрат 2. Периметр прямоугольника ВОКМ равен 14 м, а ВК = 5 м. Найдите периметр треугольника ВОМ. Утешение. По определению прямоугольник является М К значит, ВО + ВМ _ МК +____= 14 : = Диагонали прямоугольника_________(_ прямоуголь- ника), следовательно, ОМ =__м. Периметр треугольника ВОМ равен ВО + ВМ -1-__= + 5 = _ (м). ___м. в. Признак прямоугольника. Признак прямоугольника является теоремой, обратной теореме — свойству прямоугольника. Сформулируйте и докажите признак прямоугольника. Утешение. Формулируя обратную теорему, надо поменять места- ми условие и данной теоремы, а для этого надо сформулировать ее в форме «Если ..., то ...». С€ойс/й€о nftSLiiOlfZOJbHUJca: «Если параллелограмм является _________________________, то его____________равны». JljtUSHXifc h^tSUiOifiOJbtuuca: «Если в параллелограмме _______________равны, то он является__________________________». Доказательство. Пусть в параллелограмме ВСМН диагонали и___равны. Тогда треугольники ВСМ и СВН равны по В признаку равенства треугольников, следовательно, равны их__________________углы ВСМ и_______. 25 Глава V. Четырехугольники Углы ВСМ и СВН являются ванными параллельными прямыми СМ и следовательно, ZBCM + Z______=______, поэтому ZBCM = Z_ Следовательно, параллелограмм является___ что и требовалось доказать. углами, образо-и секущей ____, 3. Равные отрезки АС и BD имеют общую середину. Определите вид четырехугольника ABCD. J^euietiUe. Отрезки АС и BD являются__________________________ четырехугольника ABCD, и эти диагонали точкой пересечения делятся______________, значит, четырехугольник ABCD является ___________________________(признак________________________). Кроме того, по условию задачи АС_BD, следовательно, параллелограмм ABCD является _____________ (признак _____________________). НС — биссектриса угла Н, Се AM и АС=5, СМ=7. Найти: Р АВНМ' ^Решение. 1) Так как АВНМ — ZBHC = Z__как 2) ZBHC _ ZHCM Н М , то ВН , значит. углы. ZCHM = 45°, значит, аНСМ — ___с основанием_____, поэтому НМ = 3) Р^^^ = 2 (АМ +___) = 2 (_-Ь____-I-МЯ) = 2 (5+ _Ч-_) 26 §3. прямоугольник, ромб, квадрат 5. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника. Решение. 1) Пусть СНМР — прямоугольник и СМ = 2 МР. 2) Обозначим точку пересечения диагоналей буквой О, тогда точка О —____отрезков СМ и HP у и СМ______HP (свойство диагоналей ___________________). Следовательно. ОР = ОМ = = -СМ. - 2 3) В равностороннем треугольнике ZPOM= все углы равны__. Итак, Gffi£efn: острый угол между диагоналями равен 3cLU0iCLHUe. Рассмотрим другое решение А данной задачи. 1) Пусть СНМР — прямоугольник и СМ = = 2 • МР. 2) Проведем отрезок СА так, что А - С - Н иАС = СЯ. 3) В прямоугольнике СНМР PH_______СМ = = 2 • ___ = АН у следовательно, треугольник АРН ______________________, поэтому ZA = ZAPH = Z_____=____. 4) АС = РМ и АС_РМу значит, АСМР — _ этому РА 11___, и ZAPH___ZCOH как углы. 5) Итак, угол СОН является острым______ РЯи :ZCOH =___________. Я , по- между диагоналями О/пв&й.: острый угол между диагоналями равен 27 Глава V. Четырехугольники 6. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Доказательство. 1) Проведем медиану СМ и на луче СМ отложим от точки М отрезок МР, равный СМ. (Выполните эти построения на чертеже.) 2) Четырехугольник АСВР — параллелограмм, так как точка пересечения его диагоналей делит их 3) Параллелограмм АСВР является___________ ZC = _____, следовательно, его диагонали СМ = __АВ, что и требовалось доказать. 46. Ромб U квадрат А. Определение. _, так как . Отсюда Ромбом называется , у которого все равны. 7. Сумма трех сторон ромба равна 24 м. Найдите его четвертую сторону. J^euieHUe. По определению ромба все его стороны этому четвертая сторона равна 24 :_=_(м). OfH£ein:__м. Б. Свойство ромба. Диагонали ромба и делят его углы _ , ПО- 28 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат Доказательство. Рассмотрим треугольник АВМ. Он является равнобедренным, так как по_____________ромба А АВ_АМ. АН является медианой треугольника АБМ по свойству диагоналей______________ В равнобедренном __________и________ угол А_________ __________ медиана является . Значит, АС___ВМ и АС делит , что и требовалось доказать. 8. В ромбе СКМО ZCKM = 110°. Найдите угол КМС . J^eUt£HUe. По определению ромб является ____________________, значит, ZKMO =_____-ZCKM =______. Диагональ МС ромба является _______________его угла КМО, следовательно, ZKMC =______2 — 9. Докажите, что параллелограмм, две смежных стороны которого равны, является ромбом. Доказательство. По условию две смежных стороны _____________________равны, а по___________параллелограм- _________________ стороны равны. Следовательно, все ___ такого параллелограмма_____. Поэтому паралле- ма его лограмм является по определению. 10 .Докажите, что четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом. Доказательство. Из условия следует, что противоположные ___________ данного _________________ равны, следовательно, этот четырехугольник является _______________________ по ___________параллелограмма. А параллелограмм, все________ которого равны, является_________по________________. 29 Глава V. Четырехугольники 11. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого делят его углы пополам, является ромбом. Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ВСМН делят его углы ____. Тогда аВСН = Д ______ по ____________ признаку равенства треугольников. Следовательно, ВС =__. Отсюда следует, что параллелограмм ВСМН является__________(задача № 9). 'М Н 12. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Доказательство. Пусть в параллелограмме ВСМН диагонали взаимно BE является и ___________, а зна- чит, треугольник ВСН является _____________________, то есть ВС_____ВН. Значит, две смежные ВСМН____________. Отсюда следует, что параллелограмм ВСМН является _________(задача № 9). Я параллелограмма ЗаМ0ШЛие. Утверждения, доказанные в задачах №№ 9-12, являются признаками ромба и часто используются при решении задач. 13 .Дано: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке Я, ZABЯ + ZБAЯ =90°, АВ = 5см. Найти: периметр параллелограмма АВСЯ. Утешение. В треугольнике АВН ZAЯB = 180°-(ZAБЯ^-Z____) = следовательно, АС_____BD 30 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат Значит, параллелограмм ABCD — АВ=_____=___=____(___________ вен L _______ромба), тогда ромба),а периметр ромба ра- 5 = (см). см. 14.Д а н О : параллелограмм ABCD, ВК — биссектриса угла В, КМ\\АВ. Доказать: четырехугольникАЙГМБ — ромб. Доказательство. Четырехугольник ABCD — параллелограмм, следовательно, АОЦ ___ ( _____________ параллелограм- ма), а значит, иАК ВМ. По условию КМ_ АВ^ следовательно, четырехугольник АКМВ — __________________(____________ D параллелограмма). Так как по условию в параллелограмме АКМВ диагональ ВК является ____________угла Б, то АКМВ —______(__________ромба). В. Определение. 15. Докажите, что ромб, все углы которого равны, является квадратом. Доказательство. Ромб является________________ значит, он является и четырехугольником, следовательно, сумма всех его углов равна__. Тогда каждый______данного ромба равен 360^ то есть мы имеем параллелограмм. углы кото- рого прямые, значит, это —______ угольника равны (по условию — он квадрата). которого равны, является ___. Все стороны прямо- ), а прямоугольник, все __________(определение 31 Глава V. Четырехугольники 16 . Перечислите основные свойства квадрата. Ответ обоснуйте. Otn€etH: так как квадрат является: 1) параллелограммом, то его диагонали, пересекаясь, делятся 2) прямоугольником, то все его углы______, а диагонали_ 3) ромбом, то все его стороны______, а диагонали являются ________________его углов и взаимно____________________ 17. На рисунке изображен квадрат ABCD , ZMAB = ZMBA = 45°. Докажите, что четырехугольник МАО В — квадрат. Доказательство. Четырехугольник ABCD — квадрат, следовательно, АС__BD , то есть ZAOB =____; квадрат является также ромбом, следовательно, его диагонали являются _________________ углов, поэтому ZOAB = ZOBA=______, тогда ZOAM = ZOBM = 45° +__=____. В треугольнике АМВ ZM = 180°-(45°+____) = =____. Итак, в четырехугольнике МАОВ все углы равны В зна- чит, это а потому он является и является ____________. Диагональ АВ параллелограмма МАОВ ______________ его углов А и ___, значит, МАОВ — , поэтому все его стороны_______. Следовательно, четырех- угольник МАОВ — Что и требовалось доказать. 18. Постройте прямоугольник по диагонали т и углу а между диагоналями. т а . Предположим, что задача решена (см. рисунок а). Тогда вершины прямоугольника ABCD удалены от точки пересечения _________________— точки О, на расстояние, равное_т, то есть лежат на окружности с центром в точке_, радиуса__. 32 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат В б) Поэтому можно предложить следующий порядок построения: 1) строим угол XOY, равный углу а ; 2) строим окружность с центром в точке радиуса___; 3) продлим стороны угла XOY за точку О, до пересечения с окружностью; 4) соединим полученные точки пересечения прямых ХО и YO с окружностью; получим искомый_______________________ABCD. Доказательство. 1) Четырехугольник ABCD — параллелограмм, так как его диагонали являются____________________окружности, то есть делятся точкой пересечения____________. 2) Параллелограмм ABCD является прямоугольником, так как длины его диагоналей_______. 3) Прямоугольник ABCD искомый, так как длины его диагоналей равны отрезку т (построение 2) и_)), а угол между ними равен углу а (построение_)). 19. Постройте ромб по углу и диагонали, выходящей из вершины этого угла. d J^euieHUe. Так как по свойству ромба его диагонали делят угол ром- ба то предложим следующий порядок построения: 1) построим угол ХАУ, равный 2) построим биссектрису угла _ 33 Глава V. Четырехугольники 3) отложим на построенной биссектрисе отрезок АС, равный__; 4) через точку С проведем прямые СВ и С£), паргшлельные прямым АХ и___. Четырехугольник АБС£) — искомый ромб. Доказательство. 1) Четырехугольник ABCD — параллелограмм по_ (построение_)). 2) Параллелограмм ABCD — ромб по____________ (смотри построение_)). 3) В ромбе ABCD угол А равен (построение )) и АС = (построение_)). ромба 20 .Постройте квадрат по его диагоналир. jLoctHfioeHMe. 1) Строим отрезок АС, равный___. 2) Строим серединный________________ к отрезку_. Обозначим____________ пересечения серединного перпендикуляра и отрезка АС_______О. 3) Отложим на серединном перпендикуляре от точки О____________ОВ и ОП,_________ ______отрезку ОА. 4) Четырехугольник ABCZ) является искомым квадратом. Доказательство. 1) Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали делятся ___________ точкой пересечения (построение ________________________)). 2) Параллелограмм ABCD является прямоугольником, так как его диагонали________(построение__)). 3) Параллелограмм ABCD является ромбом, так как его диагонали ___________________(построение___)). Следовательно, ABCD —____________, и его диагональ равна отрезку р (построение______________)). 34 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат 47. Осевая и центральная симметрии А. Определение. 1) Точки М и Р называются симметричными относительно прямой Су если с__МР и с делит отрезок МР_______. 2) Каждая точка прямой с симметрична__________. 1. Какие точки, из отмеченных на рисунке, симметричны относительно прямой т? Ответ обоснуйте. Otn€efH. а) Точки А и Б _______ относительно прямой гПу так как АН НВ. б) Точки С и В______________ относительно прямой т, так как отрезок ВС в) Точки В и Е_________ резок BE____________ прямой 771. относительно прямой /н, так как от-____прямую т. Аналогично получа- ем, что точки А и С тоже г) Точки С и В симметричны относительно прямой ттг, так как ЕС______т и прямая т___________отрезок ЕС пополам. 2. Постройте точку, симметричную точке М относительно прямой а: а) с помощью циркуля и чертежного треугольника; б) с помощью только циркуля. а •М а) б) 35 Глава V, Четырехугольники J^euieHue. а) 1. Проведем через точку М прямую Ь, перпендикулярную __________а, обозначим точку пересечения прямых буквой Н. 2. На________Ь отложим отрезок НМравный______. Точка М,_____________точке___относительно прямой___. Действительно, прямая а перпендикулярна отрезку ММ^ (построение _) и проходит через его______(построение__). б) 1. Построим окружность с центром в точке М так, чтобы она пересекалась с прямой а в двух точках, обозначим эти точки буквами В и С. 2. Таким же радиусом построим две____________с центрами в точках В и С. Точки их пересечения М и Mj____________ относительно прямой а. Действительно, четырехугольник МВМ^С — ромб, так как____ его стороны______(радиусы равных________________), а в ром- бе диагонали лятся и точкой пересечения де- Б. Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой т, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно прямой т точка также_______________этой фигуре. 3. Постройте все оси симметрии данных фигур и укажите, сколько осей симметрии имеет каждая из данных фигур. отрезок угол Две прямые пересекающиеся Две прямые параллельные X две оси бесконечно много 36 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат прямоугольник ромб квадрат окружность \\ О 4L Выпишите печатные прописные буквы русского алфавита, которые можно написать так, чтобы они были симметричны относительно 5. На рисунках изображены половины фигур, симметричных относительно прямой а. Достройте эти фигуры. В. Определение. Точки В и Н называются симметричными относительно точки I М, если точка М —__________отрезка ВН, 6. Постройте с помош;ью циркуля и линейки точку, симметричную точке Р относительно точки М: jLoc/fi^eHue: 1) проведем луч РМ, 2) отложим на луче РМ отрезок MPj =____. ^ * Точка Pj симметрична точке Р относительно точки М по М 37 Глава V. Четырехугольники Г. Определение. Фигура называется симметричной относительно точки М, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки М также_______________этой фигуре. 7. Постройте треугольник, вершины которого симметричны вершинам треугольника ЯРМ относительно точки А. Докажите, что = КМ\ ZK^P^M^-ZKPM . jLocinftoeKue. 1) Проведем лучи К А, МА,____. 2) Отложим на лучах КА, МА,_____отрез- р ки AKj, AMj,______, равные соответственно отрезкам АК, AM,____. 3) Соединим отрезками точки К^, . Треугольник K,MjP, — искомый. М Доказательство. Рассмотрим треугольники KjAM^ и КАМ. Они равны по___________признаку равенства треугольников. А в равных треугольниках__________________ элементы______. Следовательно, KjM^ =_и ZK^PjMj =______. 8. Достройте фигуры, если известно, что точка А является их центром симметрии. §3. Прямоугольник, ромб, квадрат 9. Отметьте все центры симметрии данных фигур, если они есть, и укажите, сколько центров симметрии имеет каждая фигура. 10 . Выпишите печатные прописные буквы русского алфавита, которые можно написать так, чтобы они имели центр симметрии: 39 ГЛАВА VI Площадь §1. Площадь многоугольника 48. Понятие площади многоугольника А. Площадь любого многоугольника выражается числом. Основные свойства измерения площадей. 1. Равные многоугольники имеют______ площади. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна________________________этих много- угольников. 3. Площадь квадрата равна_______________его стороны. 1. Найдите площадь треугольника АВС, если сторона квадрата равна единице длины. J^euieHUe. Так как сторона квадрата равна _______________ длины, то его площадь, по свойству _____, равна единице В аавс AADC по признаку равенства треугольников и по ___ свойству измерения площадей их площади _____________. Следовательно, площадь треугольника АВС равна _____________площади квадрата АВСП. АВС 40 §1. Площадь многоугольника 2. Докажите, что внутренний четырехугольник является квадратом, и найдите его сторону, если длины сторон квадратиков сетки равны 1 см. J^eUieHUe. Треугольники AEF, BFK, СКМ, DME ___________________, их соответственные катеты _______, следовательно, треугольники _____, по- этому четырехугольник EFKM является___________. Докажем, что углы ромба EFKM равны В К С Действительно, ZEFK = ZAFB- ZAFE - ZBFK , а ZAFE + ZBFK = —____, следовательно, ZEFK=180°-_____= . Значит, ромб EFKM является Найдем площадь квадрата EFKM. По свойствам измерения площадей площадь каждого из отсекаемых треугольников AFE, BKF, _______, _____ равна _______________ площади прямоугольника со сторонами 2 см и_см, следовательно. ^EFKM~^ABCD ---'^AFE~^'__ 4-0,5- - = СМ . Отсюда, квадрата EFKM равна Vs см. см. 3. Дано: аАВС , точки DnF — середины сторон АВ и ВС соответственно, DM = 2 DF. Доказать: = Доказательство. Из условия задачи следует, что BF =_, FM_DF, ZCFM = Z_ ACFM = А В _ (вертикальные), значит, ____по______________признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что =__________по___свойству площадей. Далее по свойству площадей получаем: ^АВС ~ ^BFD зать. ^ADFC ^ADFc ~ ^ADMC > ^ требовалось дока- 41 ГЛАВА VI. Площадь 4. Дано: параллелограмм К МНР, С — точка пересечения диагоналей. Доказать: а) ~^нрс ’ ^кмн ~^рмн • Доказательство. а) МС_СР и КС_СН по__________ грамма, КМ___PH по свойству Я диагоналей параллело-______________ сторон параллелограмма. Следовательно, аКМС=АНРС по______________ признаку равенства треугольников, значит, по___свойству измерения площадей их площади____________________. б) Треугольник КМН составлен из треугольников КМС и________. Треугольник РМН составлен из треугольников_____и________. По___свойству измерения площадей получим, что И Sn\rZJ .)• 2. Заполните пустые клетки таблицы, где а иЬ — основания трапеции, h — ее высота, а S — площадь. 1 2 3 4 а 7 4 12,4 Ь 13 8 12 h 5 6 5 S 57 72 40 J^eUieHUe. Подставив в формулу площади трапеции известные значения, получим: 1) 5=_____-(7 +___)•__=_________=_____; 2) 57=— {а+____)•__, откуда а-1-8=____, а=___; 2 3) 72=___(4-ь___) h , откуда_____=__Л , Л = 4) 40=___(12,4+___)•___, откуда_______+ ^ = . .^Ь = 57 ГЛАВА VI. Площадь 3. Больший угол прямоугольной трапеции равен 135°, а высота равна меньшему основанию. Найдите площ;адь трапеции, если меньшее основание равно 6 см. J^etuefiUe. Пусть ABCD — данная трапеция, СН — высота и СН = = ВС = 6. Высота делит трапецию на Авен и CDH. Поэтому АН = ZD = 180° -___= _ и ZBCD — треугольник , так как ZD _________при параллельных прямых и , следовательно, треугольник CHD является по и ^ABCD ______равнобедренного треугольника. Поэтому HD = AD ^ АН + ___ = _ + _ = _ и ■(. + Ofn£etn: 4. Диагонали трапеции КИМР пересекаются в точке С. Докажите, что а) ~^рнм ’ ^кне ~^рмс • Доказательство. а) Пусть КВ и РА перпендикуляры, проведенные из вершин К и Р к прямой НМ (проведите их на рисунке). Отрезки КВ и РА являются _____________ трапеции Я М КИМР, следовательно, КВ_____РА. Так как равные отрезки КВ и РА являются ___________треугольников КНМ и РНМ, имеющих общее основание ___, то ’РНМ б) Треугольники КНМ и РНМ составлены из треугольников КНС, НМС и РМС, значит, по свойству ______ измерения площадей _^ ^рнм —^рмс ^ .в пункте а) доказано. ^кнм ~^кнс 'ITO казать. , поэтому Sf^rrr_ если =23 м . линия НМ А ^Решение. 1) Точки Н ш М — середины сторон АВ и ВС ( ней линии). 2) А АВС____аНВМ (___________признак подобия треугольников). , ^нвм S АВС ( 1 Z f \ V J \ — у (теорема площадей подобных треугольников). а) ^нвм ~ б) ^АВС ~ в) ^АНМС ^АЛМС - 4 • S - ■ ^АВС “ ^ -'^НВМ 2 СМ , дм", ^АВС 'НВМ ’ ^АВС /Shbm ’ отсюда получаем: ^нвм ~ — ■ ^нвм OtnPefH.'d^ S нвм см", б) S АВС 2. Основания СН и AM трапеции АСНМ равны 5 см и 9 см соответственно. В треугольнике АНМ провели среднюю линию DF (FeHMf D^AH). Найдите длину отрезка BF, где точка В — точка пересечения прямых DF и АС. Решение. 1) BF = BD + 2) Z)F=— 2 ника). = -L.9: (свойство дм", в) S АНМС 2 м . м линии треуголь- 76 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 3) DF_AM{__________ АМ\\СН (________ DF_CH. 4) AD=DH (определение этому по теореме_ средней линии треугольника), ________ трапеции), следовательно. ния треугольника ACif (по 5) 5D=-2 6) BF=BD + + ______________ треугольника), по- АВ = ВС, то есть BD — средняя ли-_______________). Oifi£e^i: BF= см. 3. Площадь треугольника равна 48 см^. Найдите площадь треугольника, образованного его средними линиями. У^еишше. Пусть дан треугольник АБС, точки Aj, и Cj — середины его сторон ВС, АС и АБ соответственно. (Сделайте чертеж.) По свойству средней линии треуголь- ника получим 1 2 BiC,=- СхА=. следовательно, дAlБ^C^ ~ЛАБС по ____________признаку подобия треугольников. Значит, S ^АВС f—1 V ) 1 — ) ==, откуда Б AjBiCi ==Б АВС '^AiBiCj ~ ’^АВС ~ см . 77 Глава VII. Подобные треугольники 4. Точки А, В,СиВ — середины сторон четырехугольника КИМР. а) Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. б) Найдите отношение плош;адей четырехугольников КИМР и ABCD. Те/иеяие. а) Проведем диагональ МК. является по- этому АВ-=^ МК и АВ______МК . М треугольника Аналогично отрезок CD — ___________________ КМР, поэтому CD =____МК и CD МК . Следовательно, АВ___CD и АВ____CD, а значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм (____параллелограмма). б) ^ABCD ~~ ^КНМР (S Ml в ^вмс + + S ). Треугольники АНВ и КНМ ^ АЯ бия, равным----=^=. , с коэффициентом подо- ^АНВ Следовательно, - ^кнм Аналогично получим ^вмс ■S ^ABCD ~ ^КНМР НМР ’ ( f V-----) '>CPD ~ — , s АНВ ’КНМ • •В ’DKA КНМ — ■ ^нмр ■S =8 КМНР А МН ^ ^НМР ^МРК Так как ^КМН ~^^МРК ~^НМР'^^ = 8 \ ~ J то ^ABCD~^KHMP .■---'^КНМР~--- 4 КИМР • Следовательно, отношение плош;адей четырехугольников равно OfH€effi: : S КИМР ^ABCD- 78 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач В. Свойство медиан треугольника. Медианы любого треугольника а) пересекаются в одной точке; б) точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1 каждая, считая от вершины. Я Доказательство. Пусть медианы ММ, и ЯЯ, треугольника МНР пересекаются в точке А. Тогда — средняя линия треугольника____. По свойству средней линии М,Я, _ МН и М,Я, =____МЯ. Рассмотрим треугольники МАН и М^АНу Они подобны по ___________ признаку подобия треугольников {ZAM^H^ = = Z_____, ZAH^M^ = Z______как________________________ углы при параллельных прямых МН и „ АН AM МН 2 Поэтому----=----=----=— . АН^ _____ ____ _ Аналогично доказывается, что точка В, в которой пересекаются медианы ЯЯ, и РР,, делит их в отношении 2 к 1, считая от вершины. Таким образом, точки А и В делят медиану ЯЯ, в отношении 2 к 1, считая от точки _______, а поэтому точки А и Б 5. Найдите длины отрезков, на которые точка пересечения медиан делит медиану, равную: а) 48 см, б) 6,3 дм. J^eUieHue. По свойству медиан, точка пересечения делит каждую из них в отношении _____, считая ______________. Разделим длину данного отрезка на части, одна из которых составляет__трети, а другая одну_____. а) —48= см, -- = см; 3 — ----- б) А. ДМ, дм. О/нвейь : а)__см и______см, б) дм и _дм. 79 Глава VII. Подобные треугольники 6. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через эту точку провели прямую, параллельную стороне ВС, которая пересекает стороны АВ и АС в точках М иН соответственно. Найдите периметр отсеченного треугольника, если периметр треугольника АВС равен 27см. Решение. 1) [xMHA^lsABC В по признаку подобия, следовательно, отношение их периметров равно коэффициенту ___________, кото- АМ МН НА рыи равен АВ 2) Чтобы найти каждое из этих отношений, рассмотрим треугольники АМО и АВР, где точка Р — середина стороны __________. ААМО____А АВР по____________признаку подобия треугольни- АМ МО ОА ков, и коэффициент подобия равен АВ По свойству АО=2 треугольника АО ОР откуда угольников АМН и , а АР=_ОР . Поэтому коэффициент подобия тре- АМ АО ОР равен АВ •ОР 3) ^МАН _ ^АСВ :=, откуда Рман==-Расв=- см. Oin€etn: см. 7. в параллелограмме ABCD точки В и Р середины сторон AD и ВС соответственно. Найдите длины отрезков ВК, КН и HD, если BD = 12 см. Решение. 1) Проведем диагональ АС. 2) В треугольнике ACD отрезки СЕ и DO являются и по свойству в медиан DH : ОН = 80 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 3) DO = ___BD по DO=- 2------- диагоналей параллелограмма, 4) DH== DO^— 3 3------- 5) Рассматривая треугольник АВС, аналогично найдем, что 2 2 ВК=— ВО=- _ 3 — ---- 6) KH=BD-DH-____=12-_-___=__. 0/^е/н: ВК=_____, КН=____, HD= 63. Пропорциональные отрезки 6 прямоугольном треугольнике А. Определение. Отрезок МР называется средним пропорциональным или средним ________________для отрезков СН и АБ, если верно равен- ство СН МР .,^2 МР или МР =СН- или MP=yJCH 8. Есть ли среди отрезков а, Ь и т отрезок, являющийся средним пропорциональным для двух других, если: а) а=6, Ь=4, т=9, б) а=3, Ь=2, т=6, в) а=5, b=Vl5, m=S. Т^ешение. Отрезок, являющийся средним____________________, не может быть меньше каждого из двух других отрезков. Действительно, если а<Ъ и а<т, то _Ът. Так же доказывается, что среднее геометрическое не может быть __________каждого из двух других отрезков. Поэтому проверку проводим, перемножая наименьшее и _________________из данных чисел, а третье число_________в квадрат. 81 Глава VII. Подобные треугольники а) 4<6<9, 4 ___ б) 2< 3 <_, 2 в) 3<_ = 6^; < OtfieetH: а) есть, отрезок__, б) Б. Теорема. в) В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Средними пропорциональными отрезками являются а) катет — для гипотенузы и отрезка ___, заключенного между этим катетом и___________; б) высота, проведенная из вершины резков, на которые она делит______ До казательство. а) Пусть в треугольнике КРМ угол Р — прямой, а отрезок PH — высота. Тогда аКРН со аКРМ по__________ угла, для от- К признаку подобия (ZKHP = Z____ ZK —___________), следовательно, КР PH кн = 90^ КМ и Из равенства первого отношении следует. что катет КР является средним ______________________для отрезков КМ и б) В треугольниках КРН и РМН по теореме о сумме углов треугольника получаем ZK — 90° - Z____и ZHPM = 90° - Z__. Следовательно, аКРН ^АРМН по____________признаку подобия (ZKHP = Z________=_____, ZK = Z_____), следовательно, КР _ PH КН РМ~ ~ * Из равенства последних отношений вытекает, что высота PH является средним________________________для отрезков НМ и______. 82 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 9. в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С и высотой СН введем обозначения: АВ = с, ВС = а, С А = Ь, СН = h, АН = Ь , ВН = а . Заполните пустые клетки таблицы. 1 2 3 4 5 6 а 5 12 8 Ь 5 с 9 17 h 6 а. 3 4 3 Ь с 6 8 Решение. 1) с = .2 • O' "Н а~=а^-___=__•___=________, а=у[_ ____■ 6=^/I ____, л=т; ь^=ь С =а. ^ ________ 2) Ь=с___а =9-___= а =ас —=——=_» «=/ =а,-__=___•__=____, h=y[_ 3) =а. с , отсюда с = а Ь^=с-=6, _ = sl- 3 =5i. 3 ь h V • 3 3 h^=a^_ =3 16 3- 4- а 83 Глава VII. Подобные треугольники 36 4) h =a-b. , отсюда а=----=—=_______, с=а.+ + 2 Л 9 а =а- =4—‘ =---- 9 2-2 2-2 Ь^=Ь^- =8- — , b=J = ; 5) по теореме с^=а^+ =144+ = , С= 9 а =а с, отсюда 144 о» — — — , Ь=с- -13- h^=a- =11—- " 13 13 13 =, h=, 144- 13 13 13 6) по теореме Пифагора b=\jc^ =\jl7^ - =л/~ 2 я а =а^ с, отсюда =— 17 Ь =Ь^ с , отсюда Ь^ ==^== с с -Ь =3—• с с ^rj 17 h^\= 17 8- 10. Докажите, что а) h=—, б) . с 6 Доказательство. а) Воспользуемся тем, что каждый катет есть циональное между гипотенузой и отрезком заключенным между этим катетом и______ вершины_________ пропор- проведеннои из угла, то есть а = » Ь=у[с~_ . Подставив выражения катетов в правую часть равенства получим —= -4~Ц. аЬ _у[с- '-у1с- ~~ 4. 84 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач Полученное выражение задает отрезок, являющийся _____________ пропорциональным отрезков и . В прямоугольном треугольнике таким отрезком является_______________. Равенство Замечание. Это равенство можно доказать, используя понятие площади. Найдем площадь прямоугольного треугольника, зная его катеты: S==^a-_______. Найдем площадь прямоугольного треугольника, зная его гипотенузу и высоту, проведенную к ней: S== c-_____. Так как вычислена площадь одного и того же треугольника, то произведения __________, то есть а_=с_, откуда h = ~— . б) Каждый катет есть между , заключенным между гипотенузой и отрезком______________ этим____________и высотой, проведенной из вершины угла, то есть =с-____, =с-___. Подставив в обе части равенства выражения кате- тов, получим а. и, после дробей, по- лучим: . с 64. Практические приложения подобия треугольников 11. Построить треугольник по двум данным углам и высоте, проведенной из вершины большего угла. Глава VII. Подобные треугольники JCoanfioeHue. 1) Построим произвольный отрезок АВ. 2) Построим угол ВАХ, равный углу а. 3) Построим угол ABY, равный углу__. 4) Точку пересечения лучей АХ и____обозначим буквой С. 5) В треугольнике АВС проведем высоту ВН. 6) Отложим на луче ВН от точ- ки В отрезок ВМ, равный данному отрезку__. 7) Через точку М проведем прямую Ь, параллельную прямой____. 8) Обозначим буквами Р и Т точки пересечения прямой Ь с лучами ВА и___. АВРТ — искомый. Доказательство. 1) ZP = ZA и как_ ных прямых Ь и Значит, ZP и секущей _______углы при параллель- (построение 6). <2, а ZB =__. 2) ВМ______Ь и ВМ____h (построения____и____). UccA£(fo€a/Uie. Треугольник построить можно, если лучи AX’ и BY _____________________, то есть сумма углов а и р___________180°. 86 §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 66. Синус» косинус U тангенс острого угла прямоугольного треугольника А. Определение. sinP= НМ sinM=- РМ (отношение_________ катета к гипотенузе) cosP= РМ cosM = НМ (отношение прилежащего катета к .) tgP= НМ tgM = нм (отношение противолежащего катета к__________________________) М ЗаМ01ан.ие. Сравнивая значения синусов, косинусов и тангенсов двух острых углов прямоугольного треугольника, можно заме- тить, что sin Р=cos , cosP= М и igP igM=_. Вспомнив, что ZP = 90° - ZM, получим следующие равенства: sin(90°-ZA^)=______М, cos(90°-ZA/) =______М, tg(90°-ZM)=—. 87 Глава VII. Подобные треугольники 1. Найдите синус, косинус и тангенс меньшего острого угла прямоугольного треугольника CDE, со сторонами с=12, d=13 и е=Ъ . Т^ешзнме. Так как___<___< d, то гипотену- зой является отрезок , а катетами — отрезки и (рас- ставьте буквы на чертеже). Меньшим углом треугольника является угол____. Синус угла — это _________________ противолежаш;его катета к ______________и поэтому smE=—* Косинус угла — это отношение , и поэтому cosE==^~ d Тангенс угла — это отношение катета к катета к , и поэтому tg Е==^=^= . с OtHJeefn: sinE-_______, cosE=_______, tg£ = 2. Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника FDH, катеты FD и FH которого равны соответственно 6 см и 8 см. J^etueHUe. Так как FD <___, то большим острым углом прямоугольного треугольника FDH является угол _____ (расставьте буквы на чертеже). Синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение одного из____________к гипоте- нузе. Найдем гипотенузу треугольника по теореме DH=^IfD^+ sin ------(отношение — DH _ ------------ к гипотенузе). катета 88 §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника cosD====^= (отношение tg D=-----=(отношение ____________________катету). Oiii£eifL: sin_=______, cos катета к катета к .» tg. 3'^ . Постройте угол А так, чтобы: а) sinA=—,б) cosA=0,75,b) tgA=3. 3 Т^еишше. Пусть угол А — острый угол __________ тре- угольника АБС с прямым углом с. а) Синус острого угла А прямоугольного треугольника АБС — это отношение______________катета к гипотенузе, то есть . . __ 2 sin А===—. АБ _ Пусть БС = 2 см, тогда АБ =_см, следовательно, нужно построить прямоугольный треугольник АБС по гипотенузе и_. JloafifioeHue. - 1) ZXCy = 90°. ; у 2) BsCX иВС =_см. ^ 3) Окружность с центром Б и радиусом см. 4) А — точка пересечения луча _____ и этой окружности. 5) Угол ВАС — искомый. Действительно, sin А = =. 6) Косинус острого угла_______________ С X треугольника — это cosA=- АБ ______прилежащего катета к__________________. 3 =0,75=—. Значит, надо построить прямоугольный треугольник по катету АС, равному 3 см, и гипотенузе АБ, равной __см. 89 Глава VII. Подобные треугольники jLocffifioeHue, 1) ZXCY = _ 2) AgCYhCA = 3) Окружность с центром___и радиусом ______________________см. 4) __ — точка пересечения окружности с лучом______. 5) Угол ВАС — искомый. Действительно, cosA = С X АС в) Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это ____________противолежащего_________к________________. ВС 3 tgA=-----. Значит, надо построить прямоугольный треугольник по двум_________, BC=S СМИ АС= см. У jLoc/nfioeHue. 1) Z.XCY =___ 2) AgCX иСА = _ 3) Be___ и ВС = 4) Угол ВАС — искомый. Действительно, .А.С 1 X Б. Свойства синуса, косинуса и тангенса острого угла прямо угольного треугольника. 1. Если в треугольниках АВС и МРН ZA = ZM и ZC = ZH = 90°, то sin А=sin_, cosA=____, tgA = tg_. Доказательство. 1. Л ABC ЛМРЯ (по двум 90 §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Из треугольников следует ВС АВ АС Из равенства первых двух отношений получим ВС АВ МР (основное свойство _), но ВС МР М , то есть sin А__sinM . Н Применив основное свойство _________ МН АС двум отношениям, получим --=----, но к последним и А, а АВ МР М , то есть cos А cosM . Применив основное свойство к первому и по- следнему , получим ВС АС , то есть 2. tgM= А =__ sinM М. Действительно, пусть в треугольнике МРН ZH = 90°, тогда sinM=- МР -, cosM=- разделив почленно эти равенства. получим SinM PH МР cosM , что по равно тангенсу острого угла М. 3. Основное тригонометрическое тождество cos^ M-l-sin^ М=_. Действительно, пусть в треугольнике МРН ZH = 90°, тогда cos^M-i-sin^M= Г МР + V МР потому что по теореме МР^ МН^ + =МР^. 91 Глава VIL Подобные треугольники 4. Заполните пустые клетки таблицы, где Р — острый угол прямоугольного треугольника МРН. 1 2 3 4 5 sinP 0,6 5 13 cosP 1 3 0,6 tgP V3 Решение. 1) По основному ______________________________ тождеству sin^ P-t-cos^P=_, откуда cos^P=l__sin^P=___-0,6^=_______, cosP=yf По свойству__tgP= sinP 0,6 2) По _ sin^ P+ = 1, тригонометрическому откуда sin^ Р=1____cos— P , sinP=\jl cos— По свойству___tgP= r \ 1- V «5 у 9 3 3 cosP 3) cos'^P^. cosP-^ 4) sin^P=_ sinP = yf 169 , tgP=- , tgP= 5) По свойству ___ tgP = sinP , no условию задачи tgP= Выразив sinP через cosP , получим, что sinP=__cosP. 92 §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Подставив найденное выражение в тождество. основное получим cos^ Р+_cos^ Р= , откуда cos^ Р= а cosP=J—=____.Значит, sinP=_cosP= 67. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°. 45° U 60° А. Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 30°. Пусть в треугольнике МНР ZP = 90°, ZM = 30° и МН = р. Тогда катет, лежащий против угла в 30°, равен ______________гипотенузы, то есть PH =_• р. Следовательно, sin 30° = sin М=- Из основного _________________ cos^ 30° + тождества =1 следует, что cos30°=Vl_sin^ 30°= По свойству___получим tg30° = sin 30° Н Б. Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 60°. Так как 60° +30° = _ sin 60°=____30°=. tg60°=- _, то по замечанию в п.66 (А) имеем , cos60°=_____=_____, 30° В. Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 45°. Пусть в треугольнике МНР ZP = 90°, ZH = 45° и HP = т. Треугольник МРН является равнобедренным (__________ бедренного треугольника) и РМ_PH. равно- 93 Глава VII. Подобные треугольники Применяя теорему ________ получим МН^=РМ^+ или МЯ^= НР^=2- Отсюда, МН --- гп sin45° =sinH= cos45° =cosH -tg45°=tgH=^ PM m V2- MH mV2 2 ’ COS Я cos 45“^ 1 2 3 30° 45° 60° sin а 1 73 VZ 2 2 cos а 73 1 2 2 tga VZ 1 — 5. Заполните пустые клетки таблицы. Замечание. Чтобы легче запомнить значения синуса и косинуса углов 30°, 45° и 60° обратите внимание на строку синусов: знаменатели дробей равны______, а числители равны________из но- мера столбца. Значения косинуса идут в обратном порядке. 6. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника СЫН с прямым углом Я, если: а) СМ = 10 см, sinC=0,8, б) СМ = 5 см, cosM=0,4, в) МН = 4, tgC^b. J^euieHue. а) По ______________ . ^ МН синуса sinC=--или 0,8 10 Отсюда получаем НМ = 10 •_=___. Катет СН найдем по теореме ________ СН^=СМ^ _НМ^=_______________, СЯ=/ Я 94 §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника б) По косинуса cosM=- ---или 0,4 = = . От- СМ 5 сюда получаем НМ =0,4- Катет СН найдем по теореме СН^=СМ^ _НМ^=_____-_=_____, сн=^1 . в) По определению__________ tgC=—----=5, отсюда получаем СН=_____:tgC=__:5=___. Гипотенузу ____ найдем по теореме см=^1мн^ НС^ =У + =л/ а) ЯМ =_____,СЯ = б) НМ =_____, СЯ = в) СЯ =_____,СМ = _ 1, Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 10 см. J^euieHUe. 1) =___АВ СН, где СН — высота, проведенная к стороне___. 2) Треугольник АСН — прямоугольный, его гипотенуза______равна_____см, а ZA =____. Найдем длину высоты СН, используя определение_________________ угла А: sinA=- АС Отсюда получаем СН=АС ■ 3)5д»с4ю________=_____ А=10- 60° =10 В Otfieetii: см . 95 Глава VII. Подобные треугольники 8. Найдите площадь параллелограмма ABCi), если АВ = 6 см, ВС = 8 см, ZZ)= 135°. J^euiemie. 1) Проведем высоту ВН к стороне AD (выполните построение на чертеже). 2) Треугольник АВН — прямоугольный, ZA =__________Z.D =______. 3) По __________________ ВН=_ ^ABCD ___sin A=6sin45° =6- =AD- =8- sinA=- AB тогда 0/н^е/н: S ABCD CM^. Залеишше. В параллелограмме, отличном от прямоугольника, два противоположных угла являются _____________, а два других ___________. Проведем высоты ВН и ВМ из вершины тупого угла. Тогда в треугольнике АВН BH=AB sm____, а в треугольнике ВСМ ВМ = •sin Найдем площадь параллелограмма ABCD: ^ABCD =ВН-_____= ABsin_-______ ^ABCD ~ '____—____■ sin •___ Так как противоположные углы параллелограмма __________________, поэтому S^rn =AB AD sin_ их синусы Тем самым доказана теорема: «Площадь параллелограмма равна произведению рон на____________острого угла, заключенного_ или то его сто-». 96 Глава VIII ОкруЯсностъ §1. Касательная к окружности 68-69* Взаимное расположение прямой и окруЖноспш. Касательная к окруЖности Пусть даны прямая а и окружность радиуса R с центром в точке М, МР 1 а и МР = d, Asa и А^Р. Рассмотрим три различных случая. а Р А W d> R d = R d + >- ScLUeftcmue. Рассуждения, проведенные при решении задачи справедливы для любых пересекающихся хорд окружности, следовательно, доказана теорема: «Угол между пересекающимися хордами равен_____________двух дуг, заключенных между ними». Г. Задача. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М, лежащую вне окружности. Утешение. Допустим, что задача решена и точка А — точка касания прямой AM и окружности. Тогда радиус О А ____________________к прямой AM (по касательной). Следова- тельно, точка А является вершиной угла ОАМ, который вписан в______ с диаметром ОМ и опирается на этот_______ (следствие__из теоремы о вписанном угле). Значит, чтобы решить задачу надо построить окружность с диаметром ОМ. jLoctnfioeHue. 1) Строим_____________отрезка ОМ — точку С. 2) Строим окр. (С; Я), где R - СО . 3) Обозначим_________пересечения построенной и данной окружностей буквами А и А,. 4) Прямые AM иА^М — искомые___________________. 108 §1. Касательная к окружности Д. Теорема, Если две хорды окружности пересекаются, то____________ отрезков одной хорды_______произведению отрезков второй хорды. ^ Доказательство. Пусть хорды РТ и МН пересекаются в точке А. Тогда треугольники РАН и ТАМ подобны по__________ признаку подобия треугольников (ZPAH=Z_______как вертикальные углы, ZAPH=Z________по следствию из теоремы о угле). Следовательно, лось доказать. РА НА получим РА и по основному свойству ___=НА-______. Что и требова- 8. Постройте отрезок, длина которого равна 7з см. Утешение. Отрезок длиной >/3 см является средним __________________________ отрезков длиной 1 см и 3 см. Про- порциональные отрезки были рассмотрены нами в треугольниках, поэтому можно предложить следующие решения задачи. 1 способ. Высота прямоугольного п треугольника, проведенная из вершины ________________ угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые она___________ гипотенузу. ch=Jah- =Ji- =ч/з . 109 Глава VIII. Окружность JCoctHfi^ оенме. 1) Построим отрезок АВ=АН+НВ=1+ = см. 2) Построим окружность с диаметром АВ. 3) Проведем через точку Н прямую НХ, __________________ к прямой АВ. 4) Точки С и Cj — точки пересечения построенной окружности с прямой НХ. 5) HC=HC^=S. А А 1 Я Доказательство. Л АВС — прямоугольный (следствие из теоремы о__________угле). НС — высота треугольника АВС (построения _____и____), поэтому НС — среднее __________для отрезков АН и _____, то есть ГГС=л/АН- - =л/ГГ = 2 способ. Катет есть среднее пропорциональное для_________ и отрезка ________________, заключенного между катетом и___________, проведенной из вершины__________угла. АС=л/ АВ=л/1- . jLoctnfioeHue. 1) Построим отрезок АВ, АВ = 3 см. 2) НеАВ и АН=____ см. 3) НХ_АВ. 4) Построим окружность с диаметром АВ. А В Н 110 §1. Касательная к окружности 5) Точки С и Cj прямой НХ. 6) АС=АС^=у/г. точки пересечения построенной окружности с Доказательство. ААВС — прямоугольный (следствие из теоремы о_ угле). НС — высота треугольника АВС (построения ____ НС — среднее____________________для отрезков АН и есть HC=^jAH- =____. ), поэтому , то 9. Хорды АВ и СН пересекаются в точке М. Найдите длину хорды АВ, если а) AM = 6 см, СМ = 2 см, МН = 9 см; б) МС = 4 см, ВС = 8 см, ВМ = 6 см, АН = б см. Лшение, &) АВ = AM_____МВ ^ (свойство измерения длин отрезков). По теореме AM •_______=НМ-______. Под- ставив данные длины отрезков, получим 6- =9- . Отсюда МВ=____ АВ=6+ = см. см, следовательно. В б) Треугольники АМН и ВМС подобны по___________ признаку подобия треугольников (ZHAM = Z______по следствию из теоремы о вписанном угле, ZAMH=Z_________как вертикальные углы). Из подобия треугольников следует, что их сходственные стороны AM МН 6 ___________________, то есть----=----=— . Отсюда AM=-0/н€е/н: а)_____ 8 см, б) см и АВ= + см. см. 111 г лава VIII. Окружность 10. Из точки С, лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие. Найдите длину секущей СН, если АС = 10 см, ВС = 2 см, СМ = 4 см. J^euteHUe. Рассмотрим треугольники ACM и НСВ. ZA_____ZH последствию 1 из теоремы о_____________угле, ZC — _____________ угол треугольников. Следовательно, аАСМ____аНСВ по_____________признаку подобия треугольников. Из подобия тре- _______________стороны пропорцио- угольников следует, что их АС СМ нальны, то есть AM СН Воспользовавпгись основным свойством , получим АС ■ =СНСМ Откуда СН - АС- 10- СМ см. OtHJeetH: СН^ см. SciUieHZlHUe. Проведенные нами рассуждения справедливы для отрезков любых секущих. Таким образом, мы доказали теорему: «Если из точки вне окружности провести к ней две_____________, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно ________________второй секущей на ее_____________часть». 112 §3. Четыре замечательные точки треугольника 72. Свойства биссектрисы уела и серединного перпендикуляра к отрезку А. Теорема. Каждая точка биссектрисы __________ лена от его_________. Доказательство. Пусть точка К принадлежит биссектрисе угла DEF и отрезки КН и КМ________________ к его сторонам ED и_. Треугольники КНЕ и КМЕ равны (________________, отрезок ЕК их общая и ZHEK = Z угла равноуда-Е по____________ Следовательно, то есть КН = биссектрисы). их соответствующие катеты Б. Обратная теорема. Каждая точка, лежащая неразвернутого угла и от его сторон, лежит на этого угла. Е Доказательство. Пусть точка К лежит внутри неразвернутого угла DEF и равноудалена от его сторон, то есть КМZEF у КН ED и КМ-_ Соединим вершину угла, точку Е, с точкой К. 113 Глава VIII. Окружность Тогда треугольники КНЕ и КМЕ равны (они___________________, отрезок ЕК их общая катеты КМ и_____равны по_____________). Следовательно, их соответствующие _________ ZDEK = Z_______, а значит, ЕК —____________ и равны, то есть __угла_____. 1. В треугольнике АВС ZC=120% АС=ВС=6. Найдите точку стороны АВ, равноудаленную от сторон АС и ВС, и расстояние от этой точки до стороны АС. J^eUieHUe. 1) Точки, равноудаленные от сторон АС и ВС, лежат на_____________ угла С (теорема ___), значит, искомая точка М есть точка пересечения стороны ____и________________угла__. 2) Расстояние от точки М до стороны АС — это длина____________________ А С В МН, проведенного из точки _к прямой 3) ZABC—___ и ____________, СМ — биссектриса, следовательно, ., ZCAM=(_______-ZC):2=_______. Значит, в прямоугольном треугольнике ACM СМ-—_____-___ 2 (свойство катета лежащего против угла_). 4) Пусть МН — высота прямоугольного треугольника ACM, следовательно, МН-^-______ (свойство катета_______________тре- угольника, противолежащего углу в 30°). 5) AM найдем из треугольника ACM по теореме______________: am = Jac^ mc^^^I Итак, МН^—АМ - 2 OinJeetH. 114 §3. Четыре замечательные точки треугольника 2. Докажите, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Е Доказательство. Пусть биссектрисы СА и НВ — треугольника СНЕ пересекаются в точке М. Проведем перпендикуляры МР, МТ и МО к сторонам Cif, СЕ и__соответственно. Точка М лежит на биссектрисе угла С, следовательно, МТ=_. Точка М лежит на _________________ угла ____, следовательно, МО =_____. Итак, МТ____МР____МОу значит, точка М___________________от всех____________треугольника. В. Следствие (Из задачи № 2 и теоремы Б.). Биссектрисы треугольника пересекаются в точке. 3. В треугольнике АВС ZA = 80°, ZB = 60°, а их биссектрисы пересе- каются в точке Н. Найдите угол АСН. Решение. 1) СН —_____________ угла С (след- ствие В), следовательно, ZACH=_ ZC . 2) ZC=______-(ZA-f-Z_)=180°-(_____-ь60°)=. (терема о__________углов треугольника) 3) ZACH=0y5-______=______. Otneetn: ZACH= 4. Биссектрисы углов А vi В треугольника АВС пересекаются в точке М, ZAMB=123° Найдите угол ACM. !Pei4ieHue. 1) CM —________________угла АСВ (следствие В), поэтому ZACM=___ZC . 2) В треугольнике АВС ZC=180°-(ZABC + Z_______). В Глава VIII. Окружность 3) В треугольнике ABM ZBAM-—Z. AM и ВМ , ZABM=-Z 2 углов А и _______, так как значит, ZABC + ZCAB=_{ZABM + Z_ 4) В треугольнике АВМ ZABM + ZBAM^im^-Z________= следовательно, ZABC + ZCAB= =2 Итак, ZC^180°-______= .) -123' = , а ZACM=— 2 Otn€etfi: ZACM^ 5. Во внутренней области угла, к его сторонам, поочередно, приложили линейку и провели прямые, по второй ее стороне. Докажите, что проведенные прямые пересекаются в точке, лежащей на биссектрисе угла. J^euieHue. Края линейки параллельны, значит, длины перпендикуляров, проведенных из точки А к сторонам угла, оказались ____________, следовательно, точка А на угла (теорема_). Г. Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через ________________ данного отрезка и _______________________к нему. 6. Симметричны ли концы отрезка относительно серединного перпендикуляра к нему? (Ответ обоснуйте.) 0/п€е/н:_____, так как точки симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через___________соединяющего их отрезка и__________________________________к нему. 116 §3. Четыре замечательные точки треугольника Д. Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра ________________от__________этого отрезка. Доказательство. Пусть серединный перпендикуляр а к отрезку СЕ пересекает отрезок в точке М. Значит, точка М — __________отрезка СЕ. Возьмем любую точку серединного перпендикуляра. 1) Если это точка М, то она_______ от точек Си по к отрезку середины отрезка. 2) Если точка отлична от точки___(например, точка А), то в треугольнике САЕ отрезок AM является ________________________ и ______________, следовательно, треугольник САЕ — и СА СЕ. Е. Обратная теорема. Каждая точка, равноудаленная от отрезка лежит на серединном к нему. Доказательство. Пусть п — серединный перпендикуляр к отрезку СЕ у точка В — середина q Р / отрезка СЕ, а точка Р такова, что PC = РЕ. 1) Если РеСЕ , то она ' В п с точкой , то есть Р п . 2) Если Р^СЕ, то треугольник СЕР — по определению, следовательно, его медиана РВ является его , то есть РВ СЕ. Но через точку В, лежащую на прямой СЕ, можно провести перпендикуляр к данной прямой, значит, Р п . 117 Глава VIII. Окружность 7. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 5 см, а прямая, проведенная через середину диагонали и перпендикулярная к ней, проходит через вершину параллелограмма. В С !Реисение. Пусть в параллелограмме ABCi) АВ=5 см, АО = ОС, В01АС. Тогда ВО — _________________ перпендикуляр к отрезку _____, следовательно, ВС =___= 5 см. Противоположные стороны параллелограмма попарно________ =____» то есть =——=__________ А D _, следовательно, AD = ВС — см. Offieetn: периметр параллелограмма равен_см. 8. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. М Доказательство. Пусть прямые тир — серединные _________________к сторонам НС и НМ треугольника СНМ соответственно. Предположим, что они не пересекаются, тогда т_р , но т_НС (определение_______________перпендикуляра). Следовательно, НС_р. Получили, что через точку Н проведены две прямые НС и_, перпендикулярные к прямой Ру что____________________. Значит, предположение неверно, то есть прямые тир______________. 118 §3. Четыре замечательные точки треугольника Ж. Следствие. треугольника Серединные перпендикуляры к ___________________в одной точке. Доказательство. Пусть прямые еис являются серединными перпендикулярами к сторонам СН и М треугольника СЫН соответственно и пересекаются в точке О. С По теореме Д ОН__ОС (Og____) и ОН__0М(0____с), отсюда следует, что ОС_ОМ , значит, по теореме_точка О лежит на се- рединном перпендикуляре к стороне _М, то есть серединные перпендикуляры к сторонам треугольника_________________в _________точке. Что и требовалось доказать. 9. На стороне АВ треугольника АВС найдите точку, равноудаленную от вершин В и С. В Утешение. Точки, равноудаленные от точек Б и С, лежат на____перпендикуляре к отрезку__(теорема_). По условию задачи искомая точка лежит на стороне ___, поэтому эта точка есть точка_______________стороны_____и серединного __________ к отрезку ВС. 10 . Докажите, что если серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке, лежапцей на третьей стороне, то треугольник является прямоугольным. Доказательство. Пусть прямые а и ^ являются серединными перпендикулярами к сторонам ВС и ___треугольника АВС соответственно. Точка О — точка их пересечения, лежит на стороне__. Глава VIII. Окружность По следствию Ж точка О лежит и на серединном к стороне___, то есть является ее_________. Расстояния от точки О до вершин треугольника (теорема ___), следовательно, точка С лежит на окружности с центром в точке ___и отрезок___является ее диаметром. Итак, угол АСВ — _______________, опирающийся на_____________, следовательно, ZACB-______. 73. Теорема о пересечении высот треугольника А. Теорема. Высоты треугольника (или в точке. Доказательство. Пусть отрезки CCj, НН^ и PPj — высоты треугольника СНР. Покажем, что прямые, их содержащие, пересекаются в одной точке. Для этого проведем через________вершину треугольника прямую,____________ ) пересекаются противоположной стороне треугольника. Получим треугольник С^Н^Р^. Четырехугольники СРС Н, СНРН и СРНР^ являются (по ), следовательно. PC, НР2=_____, отсюда, С2Н___НР2, то есть точка Н яв- ____________ стороны CgPg* Так как PC_____С2Р2, то С^Я. ляется НН,_С2Р,. Итак, прямая ЯЯ^ является к отрезку____ перпендикуляром Аналогично доказывается, что и прямые РР^ и являются По перпендикулярами к сторонам С2Я2 и _____ из теоремы о серединном _, получаем, что прямые ЯЯ^, _______ и пересекаются. 120 §3. Четыре замечательные точки треугольника 11. На стороне АВ остроугольного треугольника АВС, как на диаметре, построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках М и Р соответственно. Проведите все высоты треугольника АВС, пользуясь только линейкой. J^&4ienue. 1) Соединим вершины А Vi. В с, точками Р и М (с точками пересечения окружности и сторон треугольника). Углы АР В и AM В являются __________________ и опирающимися на___________окружности, следовательно, они являются ____________ углами, а значит, отрезки АР и___являются_________ 2) Высоты треугольника _________ В треугольника АВС. __ в одной точке (теорема ), поэтому третья высота должна проходить через точку__и точку пересечения_______других высот. Строим третью_______. 121 §4. Вписанная и описанная окружности 74. Вписанная окружность А. Определение. Если окружность касается она называется__________ называется сторон многоугольника, то в многоугольник, а многоугольник около окружности. 1. На каких рисунках изображен многоугольник, описанный около окружности? Ответ обоснуйте. OfH£etH. Многоугольник описан около окружности, если все многоугольника окружности. Все многоугольника окружности на рисунках и • 122 §4. Вписанная и описанная окружности Б. Теорема. В любой треугольник вписать окружность, и притом Доказательство. 1) Докажем, что такую окружность можно построить. Вспомним определение окружности: «Окружностью называется геометрическая ______________, состоящая из __ точек, расположенных _________________________________расстоянии от данной _». Если окружность касается прямой, то расстояние от центра _____________до прямой равно_________окружности. Так как окружность должна_____________всех_________тре- угольника, то надо найти точку, которая должна быть равноудалена от_____ сторон треугольника. Такой точкой является точка пересечения ____________ треугольника. Итак, окружность с центром в точке _____________биссектрис треугольника и радиусом, равным _______________, проведенному к ________ стороне тре- то есть стороны тре-____ к окружности угольника, является ______________ угольника являются _______________ (__________касательной). 2) Докажем, что в треугольник можно вписать только________ок- ружность. Действительно, допустим, что в треугольник можно вписать____^окружности. Тогда их центры___________________ от ___________ треугольника, то есть совпадают с точкой _________________ биссектрис треугольника, а радиусы ___________расстоянию от этой точки до_________треугольника. Таким образом, центры окружностей__________, а ра- диусы следовательно, окружности 2. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник. Глава VIII. Окружность ^Решение. 1) Чтобы найти центр окружности, вписанной в треугольник, найдем точку пересечения__________________треугольника. Для этого построим биссектрисы__________углов треугольника. 2) Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем _________________от центра этой окружности до__________стороны треугольника. Для этого проведем______________________из центра окружности к одной из треугольника. 3. Точки М, Н Е — точки касания сторон треугольника АВС и окружности с центром в точке О. Найдите периметр треугольника АВС, если АН=3 см, ВМ=4 см, СЕ=Ъ см. J^eut£HUe. По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, получим: АЕ-____=____ см, ВЯ = СМ = см, см. Вавс - АВ+ВС-ь =(АЯ-ь_____)+{ВМ +____)-ь(___+____)= =2(АН+ВМ +______)=2(3+_-н_)= 0fnj6ein: см. см. в. Теорема, Если в то суммы четырехугольник можно вписать ___________________сторон_________ окружность. Доказательство. Пусть в четырехугольник ВЕРН вписана окружность. Это означает, что стороны четырехугольника____________ окружности. М с Р « X 124 §4. Вписанная и описанная окружности Пусть точки с, М, Т л X — точки касания сторон четырехугольника и окружности, ВХ = а, ЕМ = Ъ ; РМ =_, НХ =_. По____________отрезков касательных к окружности, проведен- ных из_____ ВС=____, ЕС = точки,получим: ___, РТ=______, ЯТ = Тогда BE + PH = а + Ь +_+ d = a + d +_+с = ВН + Что и требовалось доказать. 4. В параллелограмм вписана окружность. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см. J^euiemie. Пусть стороны параллелограмма равны а и Ь см. Тогда а-ь__=Ъ+____ (теорема___________). Отсюда следует, что а_Ь, то есть параллелограмм является ___________________________, поэтому сторона ромба равна 36 4= см. см. 5. Найдите площадь четырехугольника АВС£, если его периметр равен 60 см, а радиус вписанной окружности равен 5 см. В Утешение. Соединим центр вписанной окружности с вершинами четырехугольника. Получим ____________ тре- угольника. Проведем радиусы в точки касания Я,__,___и___. Отрезки ОЯ, ____, _____ и ___ будут _______________________ к сторонам (. касательной). Тогда ~^Аво '^^всо =-АВ- + ВС 2 ------- — - + + + =__r‘[AB+BC+ bir.P -i -f 2 2 2 CM . 2 CM . 125 Глава VIII. Окружность Замеч^ише. Рассуждения, использованные при решении данной задачи, применимы к любому многоугольнику, в который можно вписать окружность, следовательно, доказана теорема: «Если в многоугольник_______________окружность, то его площадь равна_______________произведения_______________многоугольника на__________________________________________вписанной окружности». 6. Найдите периметр трапеции, описанной около окружности, если три ее последовательно взятые стороны равны 3, 4 и 5 см. !PeiueKUe. Пусть четвертая сторона трапеции равна х см. Так как трапеция____________около окружности, то З-ь___=х-\-_ (теорема ____). Отсюда х=3 +____-___=___ см, а периметр равен 3 +____-ь_+___= = см. см. 75. Описанная окружность А. Определение. Если ____ вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется___________около многоугольника, а многоугольник — в эту окружность. 7. На каких рисунках изображен многоугольник, вписанный в окружность? Ответ обоснуйте. Многоугольник вписан в если все его лежат на окружности. Все вершины многоугольника на окружности на рисунках Б. Теорема. Около треугольника можно окруж- ность, и притом Доказательство. 1) Докажем, что такую окружность можно построить. Окружностью называется________________фигура, состояш;ая из всех________, расположенных на данном_______от данной Так как все треугольника ________рас- лежат на окружности, то они находятся на________ стояниях от центра окружности. Такой точкой является точка пересечения_______________перпендикуляров к сторонам треугольника. Итак, окружность с центром в точке ______________серединных______________________и радиу- _______верши- сом, равным расстоянию от этой точки до ны треугольника, является _____________ треугольника. около данного 2) Докажем, что около треугольника можно описать только _______окружность. Действительно, предположим, что около треугольника можно описать_____окружности. Тогда их центры равноудалены от____________треугольника, то есть совпадают с точкой _______________ серединных _____________________ к сторонам треугольника, а радиусы равны расстоянию от этой точки до любой_____________тре- угольника и,значит, радиусы ружности_______________. и, следовательно, ок- 127 Глава VIII. Окружность 8. Постройте окружности, описанные около каждого из данных треугольников. б) Тешенме. 1) Чтобы найти центр описанной окружности, найдем точку пересечения ________________ перпендикуляров к _______ сторонам треугольника. 2) Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до какой-нибудь_______________треугольника. 9. В окружность вписан треугольник НМР так, что uPi/=98°, иЯМ=102". Определите вид треугольника. ^Решение. Так как окружность Я около треугольника, то ка- ждый угол треугольника является _____________углом, и поэтому имеем: ZM= kjPH=— — 2 ZP=-vj 2 (теорема о угле). Величину угла Я найдем по теореме о ________ ZЯ=180°_(ZM_ZP)=180°-(______+____)=. 0/н^е/н . Треугольник НМР является_ углов треугольника: 128 §4. Вписанная и описанная окружности 10 . Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. Найдите радиус описанной около него окружности. Закончите чертеж. Тешение. 1) Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза (с) является _______________, то есть С —_R , где R — радиус окружности. а 3) Найдем гипотенузу по теореме___________: с‘ Откуда ~-___.у или 2R=____^ R=(_______V2)__2= а см. см. 11, Выразите сторону равностороннего треугольника а через радиус R описанной около него окружности. Сделайте чертеж. ^Решение. 1) Центр описанной окружности — точка __________________ серединных перпендикуляров. В равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры______________ Значит, центр описанной около равностороннего треугольника окружности — точка пересечения______________. 2) Пусть О — центр описанной окружности, ВН — медиана. Тогда О_ВН и ВО:ОН=____:_. Так как R=OB , то ВН = 3) Треугольник ABiT — прямоугольный, ZA=__. R. По определению синуса имеем sinA=- АВ . Подставив значения sin А=sin 2 7з Откуда а=___R:—= 2 . а- , АВ=_, ВЯ = . R- R, получим. 7з R а =R 129 Глава VIIL Окружность В. Теорема, «Если четырехугольник то суммы_________________ вписан в _ углов равны окружность, ». Доказательство. /.Н=_иМРТ , ZP=-KJ 2 (теорема о угле). Сложив эти равенства почленно, получим ZH + ZP- + иМНТ = = -(и + U Что и требовалось доказать. 12. Трапеция ВСНМ с основанием ВМ вписана в окружность. Найдите углы С, Н и М, если ZB=76°, и определите вид трапеции. Закончите построение на чертеже. Решение. 1) Углы Б и С прилежат к стороне трапеции, следовательно, ZB^-ZC-__________ (свойство _________________углов). Значит, М zc= -zB^im 2) ZB + ZH^ Значит, ZH = (теорема___). -ZB=180” 3) ZC___ZH , следовательно, трапеция — этому ZM = Z___=______. и по- OtH^etfi. ZC = Трапеция —____ ZH- , ZM = _ Замечание. Аналогичные рассуждения можно провести для угла В любой градусной меры. Следовательно, любая трапеция вписанная в окружность, является____________________. 130 §4. Вписанная и описанная окружности 13. Можно ли описать около четырехугольника окружность, если его углы, взятые последовательно, равны: а) 40°, 80°, 140° и 100°; б) 40°, 140°, 100° и 80°; в) 75°, 115°, 105° и 65°; г) 27°, 63°, 153° и 117°? Ответ обоснуйте. J^eiueHUe. Так как углы выписаны последова- тельно, то противоположными углами являются первый и____, второй и____________. Если около четырехугольника можно описать окружность, то_противоположных________________равны Проверим выполнение этих условий для каждого случая. а) 40° +______=180°. Равенство верно. 80° + = . Равенство Следовательно, около четырехугольника ружность. б) 40° -I-____=180°. Равенство_________ Следовательно, около четырехугольника ружность. в) 75° +_____=_____. Равенство_________. 115°-ь . Равенство Следовательно, около четырехугольника ружность. г) __________________. Равенство________ . Равенство Следовательно, около четырехугольника ружность. 0/п£е/И .2^ б) в) .» г) описать ок- описать ок- описать ок- описать ок- 131 Глава IX Векторы §1. Понятие вектора 76. Понятие вектора А. Определение. Вектор — отрезок. Р Вектор р или вектор М ^ > вектора Вектор ВВ или вектор. В Нулевой вектор — вектор, начало начало вектора • И , которого , иначе говоря, нулевой вектор — это плоскости. 1. Заполните таблицу: Вектор ^ —* а Ь с d е 0 Начало вектора А А Конец вектора В Вектор АВ В м Е I 132 3. Зачеркните названия величин, не являющихся векторными величинами: скорость, время, расстояние, масса, ускорение, сила, мощность, температура, плотность, вес, длина, площадь. Б. Определение. 1) Длиной ( ) ненулевого вектора МР называется отрезка___, что записывают так: МР 2) Длина нулевого вектора равна б= . , что записывают так 4. Найдите модули векторов, изображенных на рисунке, если длина стороны клетки равна 1 см (ответ обоснуйте). 0»н€е/н: ь а ОА ОВ =ОА = см, см. =^ОА^ _ОВ^ = см. ВА =V—+ (теорема_________ нике ОАВ), =ОС= АВ= т ОС в треуголь- см (свойство прямоугольного треугольника ОАВ). 133 г лава IX. Векторы 5. Длина стороны клетки на рисунке равна 1 см. Изобразите вектор п с началом в точке А и концом в точ- ке Б, С, Еу или Н, если п Сколько решений имеет задача? Ottieeifi: таких векторов можно изобразить____:_____________. 77. Равенство векторов А. Определение. 1 см Е С Я W Я ► А к. м в к Ч W н* W ^ г 1) Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на________прямой или на________________прямых. 2) Нулевой вектор коллинеарен вектору. 6. На рисунке изображена равнобедренная трапеция ЕСНМ. Зачеркните в данном списке пары неколли-неарных векторов. СН и Тм , СЕ иЁС ,СО иОН , СН и МО, СО и МС, ММ и ЕН , ОН м ОМ , ОН VI СО, ОН Vi ОЕ , СЕ и НМ , НМ и МН , МН и ЕО. Б. Определение. Н §1. Понятие вектора что записывается так mtt р 2) Нулевой вектор любому вектору плоскости. 7. На рисунке изображен параллелограмм ВСНМ, точка О — точка пере- сечения диагоналей. Заполните пропуски. используя знаки ТТ и Ti . БС МН, ВМ сн, ВМ МВ, мд МС, мд ОС, МО со. ОМ сс, нн нм Н В. Определение. Векторы тир называются равными, если т______р и что записывают так: т=р . —► т Р ка С — точка пересечения его диагоналей. Вставьте знаки «=» или «i^» между указанными векторами. Ответ обоснуйте. Gfh£eifi: а) МР___НТ, так как МР НТ и МР НТ , б) МН____ТР, так как МН____ТР , в) МН___ТН, так как г) МС____ТС, так как д) МС___СТ, так как е) МС__МТ, так как ж) МС____СР, так как 135 г лава IX. Векторы 9. Дано: АВ=НМ. Доказать: АН-ВМ. Доказательство. Так как векторы равны, то их модули ______и они___________, то есть лежат на_прямой или на прямых. 1) Пусть jFf ^АВ , тогда М_АВиНМ\\_ Четырехугольник АВМН _____________________, так как его сто- роны АВ и равны и (определение равных тельно, АН ВМ. ), следова- 2) Пусть НеАВ, тогда М____АВ и векторы АВ и НМ лежат на _______прямой. Возможны пять различных положений точки М относительно точек А и___. Изобразите точки Н и М на каж- дом рисунке. 1) М-А-В у 4 в М совпадает с А В 3) А-М-В Л. в в А. в Докажем, что АН = ВМ для случая 1) М - А - В. Действительно, АН-НМ +________, ВМ-МА +_______, но АВ = по определению ___ часть отрезков АП и векторов, а отрезок МА — общая , следовательно, АН___ВМ . Аналогично проводятся доказательства и в других случаях. Замечание. Такой метод доказательства, состоящий в переборе всех возможных случаев, называется методом полной индукции. 136 §1. Понятие вектора 78. Откладывание вектора от данной точки А. Теорема. От любой точки Р отложить вектор данному вектору т , и притом Доказательство. 1) Если 7тг=б , то вектор РР искомый, так как РР=_. 2) Если вектор шфО , тогда обозначим начало т вектора т буквой О, а____вектора т — буквой М. • р Через точку Р проведем прямую РХ,___________ прямой ОМ. На прямой РХ отложим от точки Р отрезки РА и РВ, равные отрезку___. Векторы т, РА и РВ _______________. Векторы РА и РВ —______ один из них____________ направлены, значит. с вектором W, например, вектор РВ (сделайте чертеж). 10. Отложите от точек СиМ векторы СА и МВ , равные вектору р . J^ei4ietUie. Пусть точка А — начало вектора р , точка В — его______. Проведем через точки С и М прямые с и /п, параллельные прямой _____. На прямой с отло- жим отрезки СР и CP^, равные отрезку АВ, а на прямой т — отрезки МВ и МВ,,____________ отрезку АВ. Выберем из четырех векторов СР и СР,, МВ и МВ, векторы,_____________________вектору р . Итак,_____= р и_____= р . •М 137 г лава IX. Векторы 11. От каждой вершины треугольника АВС отложили вектор п и получили точки Aj, Ej и Cj. Выполните построение и докажите, что треугольник АВС равен тре- угольнику АВС. Доказательство. Т.к. AAj = ВВ^ = CCj по построению, то отрезки AAj, ВВ^ и ______ равны и параллельны, следовательно, четырехугольники АВВ^А^, ____ ляются______ По и CAAjCj яв- ма его роны _ ВС = параллелограм- сто- , то есть АВ = СА = Следовательно, AAjB^Cj = (по признаку равенства треугольников). 12. Отложите от точки М вектор МА=а, затем постройте векторы АВ=Ь, ВС=с и CD=d. Постройте вектор MD и найдите его длину, если сторона клетки равна 1 см. 0/п£е*н: МП=л/? + 138 §2. Сложение и вычитание векторов 79< Сумма двух векторов А. Определение. Замечание. Сумма векторов не зависит от выбора начальной _____, то есть, если первый вектор суммы отложить не от точки М, а от другой_________, то вектор МН заменится__________ему вектором. 1. Постройте суммы векторов по правилу треугольника, если четырехугольник ABCD является квадратом. В каких случаях модули векторов сумм равны между собою? (Ответ обоснуйте.) а) б) в) г) Д) с л С DC Тешение. а) ал^Ь=АВ+ВС = D 139 г лава IX. Векторы б) с+Ь=ВА + ВС=______+AD = в) d-\-b—AB~\-_______= j г) Ъ-\-€—ВСл-_______= у д) т + п-ВО+________=ВО+___ OfHJeeffi: модули векторов сумм равны в случаях _ длины____________________квадрата, а в случаях______и __________квадрата. и как как длины 80. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма А. Теорема. Законы сложения векторов: 1) т+р=__+__ ( или правило___ закон сложения 2) m + |p + gj=^m + pj + (___ 3) т+0=____ (свойство нулевого закон сложения), Доказательство. 1) Рассмотрим неколлинеарные векторы тир. Отложим от произвольной точки О векторы ОМ-т и ОР = р . Построим параллелограмм ОМНР. По правилу треугольника имеем т + р-ОМ+МН=_ р+т=ОР+______=______. Отсюда следует, что т + р=_-ь_. 2) Отложим от произвольной точки О вектор ОМ-т, от конца вектора ОМ — точки___— отложим вектор МР=р , от точки__отложим вектор PQ=q . По правилу________________получим: 140 §2. Сложение и вычитание векторов m+^p+q^=OM+^MP+____ =ОМ+____=___, ^т+pj+g=|oM+___j+___: +PQ= Отсюда следует, что ^+[р+я)=__________ Замечшше. Сочетательный закон сложения векторов позволяет складывать любые три вектора: т+p+q={m+__________=/п+(___+____). 3) Докажем свойство_____________вектора. Обозначим начало вектора т буквой А, а___ т — буквой М. Нулевой вектор — это любая вектора ____, то есть 0-М Отсюда следует, что т+0=АМ + М_______=А____=___. 2. Упростите суммы векторов, используя законы сложения: З^ешение Обоснование а) СВ+АН+ВА = =сб-к(ан+____)= закон =СВ^[ВА + =СВ+ )- закон правило треугольника б) ВА+АС+НМ+МНл^СМ= =(ЙА +_)+(яМ +__)+_ закон +0 + =БС+ ___________треугольника свойство________вектора правило_________________ 141 Глава IX. Векторы 3. Постройте суммы векторов ОА и Ь по правилу треугольника и по правилу параллелограмма так, чтобы начало вектора суммы находилось в точке О. 81. Сумма нескольких векторов А. Правило многоугольника. Чтобы сложить несколько векторов , «2»• • •» выбирают произвольную _______________________________О и откладывают от нее вектор , от его откладывают вектор , от конца «2 от- кладывают вектор Дд и так далее. Тогда д^-1-Д2... + Д;^ =ON^ +N^N2 + =0 142 §2. Сложенме и вычитание векторов 4, а) Постройте сумму векторов Pi + Р2+ Рг'^Ра правилу многоуголь- ника, отложив вектор Pi от точки А. б) Постройте сумму векторов Р4 Рз -t- Р2 + Pi правилу многоуголь- ника, отложив вектор р^ от точки В. ini i i i i i ! : i S i 1 i ^ 1 i i i i < wr\ ; • 1 i 1 ; : : i : ! i i : : i j ill : i j ^ i i i 1 i i- 1 1 1 I i 1 1 i i i i I : i i i 1 i i ^ ; ^ ; ; I A i i i \ 1 1 i i ; i 1 1 1 ; ; j . , , , Ра t ' \pi \ \ \ Г. ^ ^ . / Рз 1 1/1 1 М M M 1 M M 1 ! МБ1 II M 4 1 i i 1 1 t i i 4 i Ф i t 1 1 1 5. Применяя законы сложения векторов, найдите сумму векторов: а) АВ+с5+Ш+^ ; б) DF+EM + PD+MP+FE . Решение. а) Используя переместительный и законы сло- жения, расположим слагаемые так, чтобы конец предыдущего вектора являлся____________следующего, и применим прави- ло AB+CD + BK+KC=AB+BK + б) DF+EM+PD + MP+FE=DF + + + 82. Вычитание векторов А. Определение. Разностью векторов тир называется такой вектор г, что —♦ —► г+р=____. 143 Глава IX. Векторы Построение разности двух векторов тир. Отложим от произвольной__________О векторы т ОМ = т и ОР=р . По правилу_____ значит, по_____ ОМ = ОР+ М разности векторов т-р=ОМ - О 6. На каждом рисунке изобразите третий вектор так, чтобы один из векторов стал вектором разности двух других, и заполните пропуски Замечание. Если разность векторов находится по правилу треугольника, то начало вектора разности является_______ вычи- таемого вектора, а конец вектора разности — концом _________________вектора. Б. Определение. 1) Ненулевые векторы тир называются противоположными, если 1) т_____________р и 2) —» т Р 144 §2. Сложение и вычитание векторов 2) Вектор, противоположный нулевому вектору, есть _______вектор. Вектор, противоположный вектору т, обозначают_. В. Следствия. 1) Вектор МР является противоположным вектору 2) Если т=ОМ , то т+^-т^=ОМ+_= . Г. Теорема. Для векторов тир справедливо равенство т-р=т + {_). Доказательство. Пусть т-р=г. По___________________разности векторов имеем г+_=т. Подставив в это равенство вместо вектора г его выражение через векторы тир, получим (т-_____)+р=т . Прибавив к___________частям получившегося равенства вектор , получим: (т-р) +_+|-р|=/тг_. Применив_________________закон, получим {т-р)+{р + (_))- = т+{-р) или {т-р)+_____=т+(-р) (следствие _____), отсюда {т-р)-т+(-р) (свойствонулевого___________). Упростите выражения: Решение Обоснования а) АН-ВН+ВМ= Теорема АН+(- ) + ВМ = Следствие =АН+НВ+ВМ= Правило 145 Глава IX. Векторы б) АВ+НЕ-АС-НВ = =АВ+НЁ + (- )+( )= Теорема =АВ+ЯР+СА + Следствие ^СА + АВ+ +НЁ = и сочетательный законы — Правило 8. Найдите вектор х, если а) х-ВА^МВ , б) Ш-х = ВС , в) х+СН=ВН !Peu4£HMe. а) х-МВ_ВА- б) ВА=ВС____X , откуда х=ВА___ВС=ВА +______=СВ+ в) х=ВН_СН=ВН + Д. Построение разности векторов. Построить разность векторов тир Правило треугольника Правило параллелограмма о/ 1) ОМ = т. 2) МР^-р. 3) т-р = т + {-р) = ОМ + о/ 1) ОМ=т. 2) ОР—р. 3) РОМТ — параллелограмм. 4) т-р=т + {-р)= = ОМ + 146 §2. Сложение и вычитание векторов 9. Постройте разность векторов ОА и Ь, используя правило треугольника и правило параллелограмма так, чтобы начало вектора разности находилось в точке О. 10 . Постройте вектор х — разность векторов ОВ и с так, чтобы начало вектора л: находилось в точке О. а) б) в) «'• А А О 0\ I Я в м ....... е. О \ н \ В \ м я в м х=ОВ-с=ОВ+ х=ОВ-с=ОВ+ х=ОВ-с=ОВ+ 147 Глава IX. Векторы 11. Дан параллелограмм ABCD. Постройте указанные суммы и разности векторов, лежащих на его сторонах. В С AB + AD=_ AB-AD= В D 12. Дано: векторы тир неколлинеарны, —► —» т — р Доказать: векторы т + р и т-р лежат на перпендикулярных прямых. Доказательство. Построим векторы т+р и т-р . Для этого отложим от_____________точки О векторы ОМ = т и ОР=р и построим на этих векторах параллелограмм МОРН. Тогда получим т + р=ОМ+_ _=_____(_______ О (правило : т-р=ОМ Параллелограмм МОРН является__________ тельно, по__________ромба его диагонали то есть векторы т + р и т-р лежат на__ прямых. разности векторов). ___по условию, следова- 148 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 83. VMUojkeHue вектора на число А. Определения. 1. Произведением ненулевого вектора р на число х называется __________т такой, что 1) т 2) wiTtр у если X_О или т =\х\ Ру если х<__ Записывают это так: т_хр . 2. л: 0=_для__________числа л:. Б. Следствия. 1. Произведение вектор. 2. Для любого числа х и вектора на число нуль есть ___вектора т векторы т и хт 1. Дан отрезок АВ длины 2 см. Известно, что АС=2^, АП=-0,5АВ, ВМ=АВ, ВР=-1,5^. Отметьте на рисунке точки Су Ну М и Р. Какие из отмеченных точек совпадают? В 149 г лава IX. Векторы коллинеарны вектору З^ешенме. Все данные _____________ (следствие Б__) и имеют с ним общее начало (точку А или_), следовательно, их концы лежат на прямой_____________________. Gtn£efH: совпадают точки Н и__, а также__и___. 2. Отрезки АВ, ВС, СН и НМ равны и лежат на одной прямой. Найдите значение множителя х в равенствах: а) АН=хАВ , б) AM=хВС , в) AM=хАС , г) АН=хВА , д) АН = хМВ , е) НА = хАВ . J^euiefiue. Чтобы найти значе- ние множителя X, надо наити его модуль и______. Из____ Я +- м умножения вектора на число следует, что модуль х равен отношению торов, при этом л:>0, если векторы ___ век-, и X__О, если векторы противоположно направлены. =3:__=___, АН____АБ , следовательно, х_0. АН а) |х| = Итак, х= б) \х\ = АВ AM Итак, х=__ в) |jc|=|_________ =4: , AM_____БС, следовательно, х___0. АС =_:2=_, AM Итак, х = г) \х\=___ Итак, х = Д) |л:| =_ Итак, х = е) |х|=___ Итак, X- _АС , следовательно, х__0. , АН____БА , следовательно, х___0. , АН____МВ , следовательно, х___0 , ЯА. ,следовательно, х Otn€efn: а) х- г)х = , б) х = , д) ^=. , в) X-, е) х = . 150 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач В. Свойства. Для любых векторов m и р и___ верны равенства: 1) (ху)т=х(____) _________ 2) (х+у)р=хр+_____ первый 3) х^т + р^=хт+____ второй чисел хиу закон, закон, закон. 3. Упростите выражение: а) 1,5-(4п), б) 5,2р+6,8р, в) 5с-4(о,5Ь+1,2с), г) 3|2w-l,5^j+0,5 |9g-8wj. JLfieo^lia3o€cuu4Si. О^осно€анил. а) 1,5-|4/г|=(1,5*______)п=_______п закон б) 5,2р+б,8р=(5,2+____)__=_____р распредели- тельный закон в) 5с-4|о,5Ь+1,2с|=5с-_Ь_4,8с= =(5_4,8)с_2_=______с_2Ь тельный закон распредели- распредели- тельныи закон г) з|2т-1,5^|-1-0,5-^9д-8/п|= =__т___4,5^_____________ (——)^+(----------- =___т______q тельный закон т = распредели- распредели- тельныи закон 151 г лава IX. Векторы 4. Постройте вектор с-2а-—Ь по правилу треугольника и по правилу 3 параллелограмма. Построение по правилу треугольника. 1) Отложим от точки О вектор ОА=2а . 2) Отложим от точки _ вектор АВ-____. 3) Построим___________ОАВ 4) с=ОА +__=_____ Построение по правилу параллелограмма. 1) Отложим от точки М вектор МА=2а. 2) Отложим от точки _ вектор МВ = 3) Построим АМВС 4) с=МА + 1 84. Применение векторов к решеник) задач 5. Определите вид четырехугольника АВНМ, если АВ=-0,75НМ. Сделайте чертеж и обоснуйте ответ. Otn£etfi. Четырехугольник АВНМ — __________, так как векторы АВ и НМ_________________, но а; : В 152 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 6. Докажите, что если точка М — середина отрезка БС, то для любой точки X плоскости верно равенство ХМ=—^ХВ+ХС^. Доказательство. Рассмотрим два случая: 1) точка X совпадает с точкой М, 2) точка X_____________с точкой М. Случай 1. Пусть точка X совпадает с точкой М. Тогда ХМ=ММ= В -(ХБ + ХС)=-(МБ+. 2 2 -»4 =-{МВ+{- 2 .)= Итак, в левой и частях равенства стоят векторы, следовательно, равенство____ Случай 2. Пусть точка X_____________с точкой М. Тогда ™=ХВ+_______ ^Ш=Ж+________. Сложив эти равенства почленно, получим 2ХЛ?-^+^ + БМ + X М Векторы ВМ и СМ вектору, поэтому 2ХМ=ХВ+ что ХМ= ХВ+ .)• X и их сумма равна _. Отсюда следует. 7. Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения ее диагоналей лежат на одной прямой. Доказательство. Пусть точка М — середина основания БС, N — середина основания AD, а диагонали пересекаются в Р. М 153 Глава IX. Векторы Треугольники APD и СРВ подобны по _ бия треугольников, следовательно, - PA=k-____, PD=_PB. Векторы РА и PC, а также РВ и______ правлены, поэтому PA=-k___, PD=_ признаку подо- DP =k. Отсюда получим на- РВ РМ=____|PB+Pcj (смотри задачу № 7). Следовательно, векторы PN и РМ __________ них общее__________, то они лежат на_____ + РВ РМ . , а так как у прямой. 8. Докажите, что если точка М — точка пересечения медиан треугольника АВС, а точка О — любая точка плоскости, то верно равенство mi=^i^+OB+ocY О Доказательство. Выразим вектор ОМ через векторы ОА , ОБ и ОС: ОМ=^ + ОМ=ОВ + ОМ= + Сложив эти равенства почленно, получим __т!=Ш+^+Ж + АМ+________+____. Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в _________. Учитывая результат за- отношении 2 к__, считая от_______ дачи № 7, получим: AM ВМ ВА + CM=_CCi = ■). -)• 154 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач Складывая эти равенства почленно, получим + ам+бм+см==(ав+ас+ва+бс+ я V так как слагаемые попарно Итак, ZOM=ОА+ОВ+ или ОМ= векторы. {ОА+______+ .)• 85* Средняя линия трапеции 9. Вспомните определение и свойства средней линии треугольника. Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, со- единяющий______________двух его_________. Теорема. Средняя линия треугольника_________' одной из его__________и равна___________этой стороны. 10 .Докажите теорему о свойствах средней линии В треугольника с помощью векторов. Дано: аАВС , точки М и Р — ____________ сторон АВ и ВС. Доказать: МР\\______и МР=___АС. Доказательство. Рассмотрим векторы ВМ, ВА, ВР и___. Так как точка М дина стороны _ , то ВА = ВМ. Так как точка Р — середина стороны___ _____=_(яр-. МР=ВР_ВМ, АС=1^- =2ЯР- - сере-., то W=_ _)=2-_ Отсюда следует, что векторы АС и МР прямая МР______________________прямой _ , то есть АС , то есть АС = или МВ= АС. А. Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее__________сторон. 155 г лава IX, Векторы 11. На каком рисунке отрезок НМ является средней линией трапеции? Gffi£efH: на рисунках Б. Теорема. Средняя линия трапеции _____ их_____________. Доказательство. Пусть АВ — средняя линия трапеции НМРТ. Выразим вектор АВ по правилу______________. АВ=АН + НТ + основаниям и равна АВ=АМ + + М Сложив эти равенства почленно, получим _ав=(ан+ам)+(яг+_________у{тв+_______). Но векторы АН и AM и ТВ и РВ ____________ их сумма равна____________вектору, поэтому __АВ-_____+_____или АВ=____(____+____). и Векторы НТ и МР с ними и НТ + МР , значит, и вектор АВ НТ + , то есть АВ НТ + или АВ=— ( 2 + .)• 156 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 12. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 15 и 17 см. Утешение. Пусть в трапеции АВСН основаниями являются стороны АВ и______, а отрезок МР — ее средняя линия. _)=_____ (см) (теорема о линии трапеции). Тогда МР=_(АБ+___)=—(15 + . 2 Ofn£ein: см. 13. Д а н о: ВСНМ — трапеция, ВС\\НМ , ВС=10 см, точки А и Р — середины сторон ВМ и СН соответственно, АР=13 см. В ■— .С Найти длину стороны НМ. Т^еш-ение. 1) АР — средняя линия тра- пеции (по 2) АР=^(ВС+ ) (теорема о трапеции). 3) Подставив данные в формулу, получим уравнение _+МЯ). Отсюда МН=2-______-____=_____ (см). Otfi£e^i. МН= см. 14. Найдите среднюю линию трапеции, если ее стороны равны 8, 10,8и14сми трапеция является а) равнобедренной; б) прямоугольной. TetueHue. а) Трапеция равнобедренная, значит, ее________________ стороны равны. Тогда основания трапеции равны 10 и__ няя линия равна (10+______)=______=_____см. см, а ее сред- 157 Глава IX. Векторы б) Трапеция прямоугольная, значит, ее боковые стороны _______________. Основания трапеции также не могут быть __________, поэтому одно из оснований равно 8 см и одна из боковых сторон равна____ см. Пусть Авен — прямоугольная трапеция с основаниями АВ и СЯ, ВС±СН и АВ=ВС=8 см. А В Пусть основание СН равно 10 см. Проведем ВМ\\АН . Тогда четырехуголь- ник АВМН — иВМ= = см. Треугольник ВСМ —___________ с катетами БС= иСМ=СН- Н см. По теореме ____=10-____=____ ВМ^___ВС^___СМ^. Подставив зна- 9 9 чения, получим числовое равенство 14 =8 +___________, которое ___________________ верным. Следовательно, основание СН рав- няться 10 см Пусть основание СН=_ что СМ=СН ЯМ=14- = см. Рассуждая аналогично, получим. см и = + =8" + . Под- ко- ставив значения, получим числовое равенство _ торое_____________верным. Следовательно, основания трапеции равны 14 и____см, а ее сред- няя линия равна (14+____)=— 2 см. Offieein: а) см; б) см. 15. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 6 см, один из ее углов равен 120°, а средняя линия трапеции равна 15 см. Найдите площадь трапеции. J^euieHUe. Пусть АВСН — равнобедренная трапеция, AB=Q см, ZAБC=120°. ^АВеН где ВМ — +____)БМ, ________трапеции. 158 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач Отсюда следует, что площадь трапеции равна произведению ___________________на высоту трапеции. Высоту трапеции найдем из ______________________ треугольника АВМ. ZA=180°____120°=_____(свойство___________________углов). Из БМ=_ ^АВСН •sinА=6 sin =6 синуса следует, см. что 2 СМ . Offtjeetfi: см . 159 Учебное издание Глазков Юрий Александрович Камаев Петр Михайлович РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ 8 класс К учебнику Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7-9» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 15295 от 13.04.2011 г. Главный редактор Л.Д Лаппо Редактор И.М. Бокова Художественный редактор Д.5. Демьянова Технический редактор Т.В. Фатюхина Корректор 5. Полякова Дизайн обложки А.А. Кудрявцев Компьютерная верстка/1.Я. Юскова 105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: info@examen.biz; по вопросам реализации: sale@examen.biz тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брощюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ЗАО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов Ио вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).