Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Атанасян Глазков Камаев

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 8 класс Атанасян Глазков Камаев - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
в г Ч' ’/ ПО геометрии Н учебнинуЛ, С. Атанасяна и др. «Гэометрия. 7~9 нлассы» учени класса школы Учебно-методический комплект Ю. А. Глазков, П. М. Камаев РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 8 класс Издание восьмое, переработанное и дополненное Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2017 УДК 373:514 ББК 22.151я72 Г52 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (cm. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Глазков Ю. А. Г52 Рабочая тетрадь по геометрии: 8 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». ФГОС (к новому учебнику) / Ю. А. Глазков, П. М. Камаев. — 8-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство «Экзамен», 2017. — 95, [1] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-11670-7 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Рабочая тетрадь является необходимым дополнением к учебнику «Геометрия. 7-9 классы» авторов Л. С. Атанасяна и др., рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Основное назначение тетради — обеспечение решения задач учащимися на уроке после ознакомления с новым учебным материалом. Включение в тетрадь теоретического материала поможет учащимся в его усвоении, более осознанном применении к решению задач. Тетрадь окажется полезной и при самостоятельном изучении материала учебника. Приказом № 699 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Подписано в печать 11.10.2016. Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага газетная. Уч.-изд. л. 6,07. Уел. печ. л. 7,8. Тираж 10 000 экз. Заказ №4605/16. ISBN 978-5-377-11670-7 Глазков Ю. А., Камаев П. М., 2017 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2017 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава V. Четырехугольники §1. Многоугольники......................................4 §2. Параллелограмм и трапеция...........................7 §3. Прямоугольник, ромб, квадрат.......................15 Глава VI. Площадь §1. Площадь многоугольника.............................25 §2. Площади параллелограмма треугольника и трапеции....28 §3. Теорема Пифагора...................................34 Глава VII. Подобные треугольники §1. Определение подобных треугольников.................38 §2. Признаки подобия треугольников.....................41 §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.....................................44 §4. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.........................50 Глава VIII. Окружность §1. Касательная к окружности...........................57 §2. Центральные и вписанные углы.......................59 §3. Четыре замечательные точки треугольника............65 §4. Вписанная и описанная окружности...................70 Глава IX. Векторы §1. Понятие вектора....................................77 §2. Сложение и вычитание векторов......................82 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач.....................................89 о 3 > М X X м Глава V Четырехугольники Многоугольники 59. Многоугольник 40. Выпуклый многоугольник 41. Четырехугольник Г А. Многоугольником называют фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС,..., РГ, ТА так, что смежные отрезки_______на одной прямой и несмежные отрезки___________общих точек. J Фигуры, изображенные на рисунках, состоят из точек А, В, С, В и Е, последовательно соединенных отрезками. 1) В 2) 4) В С D 5) Е ^ К>' D Укажите, на каких рисунках фигура является многоугольником. J^euieHUe. Фигуры, у которых смежные отрезки не лежат на одной прямой, изображены на рисунках_______. Фигуры, у которых несмежные отрезки не имеют общих точек, изображены на рисунках________. Фигуры, у которых выполняются оба признака, изображены на рисунках Ой1ве01 : многоугольники изображены на рисунках (Г Б. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по _________________от любой прямой, проходящей через две его ________вершины. J Укажите, какой из многоугольников является выпуклым, а какой — невыпуклым. В невыпуклом многоугольнике проведите прямую, которая содержит сторону многоугольника и делит его на части. 1) D OffieefH : многоугольник ABCDE на рисунке 1) является многоугольник KLMNP на рисунке 2) является ______ так как, например, прямая__ делит его на части. К содержит сторону многоугольника и Проведите все диагонали в многоугольниках, изображенных на рисунке. Заполните таблицу: Число вершин многоугольника 3 4 5 6 7 п Число диагоналей, выходящих из одной вершины Общее число диагоналей » о •п § •п о ist tr* « S Ж X г В. Теорема. Сумма углов многоугольника равна J Найдите сумму углов выпуклого а) семиугольника, б) 22-угольника. J^euieHUe. а) Подставим в формулу 180° ■_________вместо__число 7. Получим = 180° ♦ (___- 2) = 180° •_=_____. б) При п = , получим Sg2 =______( “ 2) = 180° • =________. Oifi€etfL: а) =____; б) =_______. Сколько вершин имеет многоугольник, если а) 1080°; б) S^ = 10800°. J^eiueHUe. Подставим в формулу =________■ {п - ) известные значе- ния, получим: а) 1080° =___• {п - 2), откуда п-2 =_, п =_; б) 10800° = 180° ♦ (_), откуда п-2=__, п =_. OtfiJeetfi : а)____вершин, б)_______вершины. (Г V г. Определение. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, ___________с одним из углов многоугольника. J многоугольника, взя- Докажите, что сумма внешних углов___________ тых по одному при каждой вершине, равна 360°. Доказательство. Обозначим углы многоугольника Aj,Ag, •••» А^. Тогда его внешние углы будут равны 180° ZA^, 180°-____,...,_- ZA^. Сложив эти величины, получим сумму всех внешних углов многоугольника: (180° - ZAj) -Ь (_- ZA^) + ... -Ь (180°_ ZAJ = 180°тг - (ZA^ + ZA^ + ... -Ь ZAJ = 180°/г -_(п - 2) =_. Параллелограмм и трапеция 42. Параллелограмм Г А. Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого про- тивоположные стороны параллельны. J На каком из рисунков изображен параллелограмм КМРТ1 1) Т 2) М J^eiueHue. На рисунке 1) стороны КТ и КМРТ параллельны, КМ и ТР _______________ четырехугольника , следовательно, это На рисунке 2) стороны КТ и МР четырехугольника КМРТ ________________, КМ и ТР ____________________, следовательно, это На рисунке 3) стороны КТ и МР четырехугольника КМРТ ________________, КМ и ТР ____________________, следовательно, это Otfi£etfi: параллелограмм КМРТ изображен на рисунках Аня чертила четырехугольник ABCD^ а Боря — четырехугольник KMPNf но они не згпсончили свои чертежи. Какой из четырехугольников может быть параллелограммом? а > м О 2 X X а W S м J^euieHUe. Параллелограмм — это четырехугольник, ________стороны которого попарно_________________ не В четырехугольнике KMPN противоположные стороны КМ и_____ параллельны, поэтому этот четырехугольник_______________парал- лелограммом. В четырехугольнике АВСП противоположные стороны AD и____параллельны, если стороны АВ и_______________________________будут__________________________, то четырехугольник ABCD будет______________________________________. 0/^е/н: параллелограммом может быть четырехугольник Четырехугольник KLMN — параллелограмм. Найдите сумму его соседних углов К и L. J^eiueHUe. Так как четырехугольник KLMN —____________________, то по ________________ его противоположные стороны KN и LM ____________, значит, углы К L ______________ при ___________ прямых KN и_____и секущей______, поэтому ZK -Ь Z.L = Ofn€effi: Является ли параллелограммом четырехугольник ABCjB, если ZA = 70°, ZB = 110° и Z£ = 100°? J^euieHue. 1) Так как ZA = 70° и ZB = 110°, то прямые АЕ и ВС _______________(сумма__________________углов АиВ_________180°). не параллельны 2) Так как ZA = 70° и ZE = 100°, то прямые AS и (углы А и Е односторонние, а их____не равна___). Следовательно, у четырехугольника ABCiJ только_стороны параллельны. Значит, четырехугольник ABCS'______________параллелограммом. f Б. Свойства параллелограмма, •Если четырехугольник — параллелограмм, то 1) противоположные стороны и 2) противоположные углы и 3) диагонали точкой пересечения делятся J Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 32см, а) одна из его сторон больше другой на 5 см; б) одна из его сторон меньше другой в 3 раза. J^euieHUe. Противоположные стороны параллелограмма_______, поэто- му периметр можно вычислить по формуле Р = '{а + Ь), где аиЬ длины ___________сторон параллелограмма, отсюда а + Ь = Р_2 =__:2 =__. а) Пусть меньшая сторона параллелограмма равна а см, тогда другая сторона равна (а_5) см. Составим уравнение: а + (а_5) =_, 2 • а =_, а =____, Ь = а +_=_____. б) Пусть меньшая сторона параллелограмма равна а см, тогда другая сторона равна _ • а см. Составим уравнение: а + _ • а = 16, а =_, а = _, Ь = а = 3 ' _ = (см). : а)__и_____см; б)_и___см. Найдите все углы параллелограмма, если а) один из углов параллелограмма меньше другого на 33°; б) один из углов параллелограмма больше другого в 5 раз. J^eute/iue. а) Пусть угол А параллелограмма ABCD меньше угла В на 33°, тогда Z_ = Z_ + 33° и ZA + /LB =_, по свойству_________________ углов при параллельных прямых AD и___и секущей____. Подставив выражение для угла В во второе равенство, получим: ZA -I- (Z_____) = 180°, откуда _ • ZA =_, ZA =____. /В = / + = -Ь33° = а > а м о g IS a tn J=3 S ZC = Z_ и ZD = Z_ no свойству лограмма. углов паралле- б) Пусть угол с параллелограмма ABCD меньше угла Б в 5 раз, то есть Z_ = 5 • Z_ и Z_ + Z_ = 180°, по свойству______________углов при __________________прямых АВ и______и секуш;ей____. Подставив выражение для угла В во второе равенство, получим: ZC + 5 • Z_ = 180°, откуда _ • ZC = 180°, ZC =____, ZB = _ • ZC = 5 •_=____. ZC = Z_ и ZD = Z_ по свойству______________________углов паралле- лограмма. : а) два угла по____и два угла по______; б) два угла по__ и два угла по Дано: СВЕМ — параллелограмм, СР —биссектриса угла ВСМ. Доказать: АСВР — равнобедренный. Доказательство. ^ 1) Z1 = Z2 (СР —______________угла ВСМ). 2) Z2 = Z3 (__________________углы при параллельных прямых СМ и____и секущей___). 3) Из 1) и 2) следует, что Z1_Z3, поэтому АСВР —_____________ (___________равнобедренного треугольника). 8 Докажите, что а) биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны. Решение. а) Пусть АС и ВМ биссектрисы соседних углов А и Б параллелограмма АВНР пересекаются в точке Е (выполните построение). Тогда ZBAE = —ZA, ZABE = —Z__(по определению 2 2 угла). В треугольнике АВЕ ZBAE + ZABE + ZBEA = _ С. Н = iz -Н -ZB = i(ZA + Z ) = 2 2 2 _, но ZBAE + ZABE = , так как углы А и _ являются щей __________углами при параллельных прямых АР и и секу- . Поэтому ZBEA = 180° -_=____, а значит, АС_ВМ. 10 difUf 3oqa4if можм fteuaitfib q/ttftUM cnocoJcui. Треугольник ABC —________________________(смотри задачу № 7). Проведем биссектрису ВЫ треугольника АВС, так как этот треугольник __________________, ВЫ является и_____________, то есть АС_ВМ. 43. Признаки параллелограмма {Г А. Бели в четырехугольнике 2) противоположные стоили роны попарно или равны Л 3) диагонали и точкой пересечения делятся то этот четырехугольник — параллелограмм В Н параллело- ), следовательно, АР - AM = ВС — В параллелограмме АВСР A/Vf = НС. Докажите, что четырехугольник ВНРМ — параллелограмм. Доказательство. 1) АР = ВС (__________ грамма), AM = НС (по___________ то есть МР =____. 2) АРЦВС (______________параллелограмма), значит, и МР_ВН. Следовательно, ВНРМ — параллелограмм по____________параллело- грамма. 10........................................................... В параллелограмме АВСР AM = КС,АН = CL. Докажите, что четырехугольник HKLM — параллелограмм. Доказательство. 1) В параллелограмме АВСР ZA == Z_(____________параллелограмма), AM =______________________________, СК =_(по_задачи), значит. а > г а м а о г г г и г 1=1 trt s а 11 ААНМ = А (по сторонам и между ними), следовательно, НМ =_. 2) В параллелограмме АВСР АВ = ______, АР = _____ (_______________ параллелограмма), поэтому Bi/ =АВ-АН = СР-___= = Р1иВК = ВС-_____= АР-______= РМ. ZHBK = Р ( параллелограмма). Следовательно, АНВК = Л между ними), значит, НК = _ (по сторонам и 3) Итак, в четырехугольнике HKLM противоположные стороны попарно ___________, значит, он является _____________________ (по _____________параллелограмма). 11 Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине. Дано: ААВС, Н и М — середины сторон АВ и ВС соответственно. Я Доказать: НМ\\АС, НМ =—АС. 2 Доказательство. 1) Отложим на луче НМ от точки М отрезок МР, равный отрезку МН (выполните построение). 2) Рассмотрим четырехугольник СНВР. Точка М — середина отрезка ВС (по_______) и середина HP (по________), следовательно, СНВР — параллелограмм (_______________________параллелограмма). Значит, РС||_и PC =_. 3) В четырехугольнике АНPC АН\\РС и АН _____ PC, следовательно, АНРС — параллелограмм (______________параллелограмма). Отсюда следует, что НР\\АС и ЯР =_. Но ЯР = РМ___ЯМ, поэтому НМ = . Итак, ЯМ АСиНМ = -2“ 44. Трапеция /Г к J А. Определение. Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие________________. 12 12 Является ли четырехугольник СЕНР трапецией, если а) ZC = 80°, ZE = 100°, ZЯ = 110°; б) ZC = 80°, Z£ = 90°, ZH = 100°? !PeU4^Hue. а) ZC + ZE = 80° + ___ = ______, и они являются ________углами при пересечении прямых СР и ЕН секущей ____, значит, прямые__и ЕН__________________. ZE -I- ZH =___+ 110°___180°, и они являются односторонними углами при пересечении прямых СЕ и___секущей_____, значит, прямые__и HP_____________________. Итак, в четырехугольнике СЕНР две стороны_______________, а две другие_________________, следовательно, четырехугольник СЕНР — трапеция, по________________. б) Аналогично рассуждая, получим ZC + ZE = ________ + 90° ___ 180°, значит, прямые ______ и ЕН ________________________, ZE + ZH = =____+ 100°__180°, значит, прямые_____и HP_______________° и четырехугольник СЕНР___________________________________________трапецией. OiHJeetn: а)___; б)______. 13 в трапеции ВСМР углы В и Р при основании ВР равны 60° и 80° соответственно. Найдите углы С и М. TetueHUe. ZB л- ZC = 180° (свойство____углов при параллельных прямых), отсюда ZC = 180°___ZB = 180° -___=______. Аналогично получим; ZM = 180° - Z_ = 180° -___=______. Otfiiee^i: ZC =__, ZM =_______. я > Я m Я о г s IS н г а m а S 13 г к в. Свойства равнобедренной трапеции. 1. Углы при основаниях равнобедренной трапеции 2. Диагонали равнобедренной трапеции______ J Г. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько ____________ отрезков и через их концы провести ____________________прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на ней___________между собой отрезки. 14 Разделите отрезок АВ на три равные а в части. ' J^euieHUe. Выполним построение. 1) Проведем луч AM. 2) Отложим на луче AM от точки А три отрезка: АС^ =__= CgC. 3) Проведем прямую через точки С и . 4) Через точки и проведем прямые,__________________прямой СВ^ пересекающие отрезок___. Точки пересечения обозначим: В^ и В^. Докажем, что точки В^ и В^ делят отрезок АВ на_равные части. Доказательство. Выполненное построение удовлетворяет условию _________ Фалеса: ACj =___= С^С и С^В^\\С^В^_СВ. Значит, ABj = _ 14 Прямоугольник, ромб, квадрат г к 45. Прямоугольник А. Определение. Прямоугольником называется рого все углы________. , у кото- J Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть один прямой угол? Ответ обоснуйте. Otn£etH: __, так как противоположные углы параллелограмма ________, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна_. Поэтому, если один из углов параллелограмма — прямой, то и остальные углы —___________. Периметр прямоугольника ВОКМ равен 14 м, а В ВК = 5 м. Найдите периметр треугольника ВОМ. J^eiueHUe. По определению прямоугольник является ____________,значит, ВОЛ- ВМ_МК +_____=14:__=____(м). ^ Диагонали прямоугольника______(__________ Л ff Б. Свойства прямоугольника. С м Диагонали прямоугольника Если параллелограмм ВСМН — прямоугольник, то ВМ = СН. В п я К прямоугольни- ка), следовательно, ОМ =____м. Периметр треугольника ВОМ равен ВО -1- ВМ -I-___= -Ь 5 =______(м). Otfi€efH: м. 9 •г» з; о «< О 9 ег* 9 S Ж ж о з; W ж ш ё § 15 г в. Признак прямоугольника. Признак прямоугольника является теоремой, обратной теореме — свойству прямоугольника. Сформулируйте и докажите признак прямоугольника. J^eiueHue. Формулируя обратную теорему, надо поменять местами условие и________________данной теоремы, а для этого надо сфор- мулировать ее в форме «Если ..., то ...». CeouCfft£o itfiSLUOlftOUbHUica: «Если параллелограмм является _______________________, то его___________равны». Л^шзнак hftsuioificubHwca: «Если ] ___________равны, то он является_______ парЕшлелограмме ». J Равные отрезки АС и BD имеют общую середину. Определите вид четырехугольника ABCD. J^eiueHUe. Отрезки АС и BD являются _____________________________ четырехугольника ABCD, и эти диагонали точкой пересечения делятся _______________________________________, значит, четырехугольник ABCD является ___________________________(признак________________________). Кроме того, по условию задачи АС BDj следовательно, параллелограмм ABCD является _ (признак ____________________). Дано: прямоугольник ABi/M, НС — биссектриса угла iJ, С^АМ и АС = 5, СМ = 7. Найти:Р АВНМ' Решение. 1) Так как АВНМ — /.вне = / как 2) /вне _ /нем_______/СНМ = 45^ значит, /НСМ — _______________с основанием_____, поэтому НМ = 3) ^л.ял. = 2-(АМ +__) = 2*(____-Ь_ -Ь МЯ) = 2 • (5 + _-Ь _) = OtfieeiH.'P 16 Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника. Решение. С 1) Пусть СНМР — прямоугольник и СМ = 2 * МР. 2) Обозначим точку пересечения диагоналей буквой О, тогда точка О — __________________ отрез- ков СМ и HP, и СМ HP (свойство диагоналей ________________________). Следовательно. ОР = ОМ = = ^М. - 2 все углы равны 3) В равностороннем треугольнике _ ___. Итак, ZPOM =___. Otfi£efH: острый угол между диагоналями равен Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Доказательство. 1) Проведем медиану СМ и на луче СМ отложим от точки М отрезок МР, равный СМ. (Выполните построения) 2) Четырехугольник АСВР — параллелограмм, так как точка пересечения его диагоналей делит их___________. В 3) Параллелограмм АСВР является ____________ ZC =____, следовательно, его диагонали_____. Отсюда СМ = __АВ, что и требовалось доказать. так как 46. Ромб U квадрат /Г А. Определение. Ромбом называется _, у которого все равны. а м X о •-i О tr* к S ж ж о X W ж ж ё § J' 17 Сумма трех сторон ромба равна 24 м. Найдите его четвертую сторону. J^eUieHUe. По определению ромба все его стороны____________, поэтому четвертая сторона равна 24 :_=____(м). Otfieeffi: м. (Г Б. Свойство ромба. Диагонали ромба___ и де- лят его углы J 8 в ромбе СКМО ZCKM = 110°. Найдите угол КМС. ^Решение. По определению ромб является значит, ZKMO =______- ZCKM =_____. Диагональ МС ромба является_______ ______его угла К МО у следовательно, ZKMC =______: 2 =____. OfftPetfi: Докажите, что параллелограмм, две смежных стороны которого равны, является ромбом. Доказательство. По условию две смежных стороны ___________________________ равны, а по __________ параллелограмма его _______________ стороны равны. Следовательно, все _____________ лограмма _________. Поэтому параллелограмм является (по_______________ромба). такого паралле- 10 Докажите, что четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом. 18 Доказательство. Из условия следует, что противоположные данного является ма). А параллелограмм, все ____________(по____________ равны, следовательно, этот четырехугольник ________ (по _____________ параллелограм- _________ которого равны, является ромба). 11 'М Я Докажите, что параллелограмм, диагонали которого делят его углы пополам, является ромбом. Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ВСМН делят его углы_________. Тогда Авен = А______по__________признаку равенства треугольников. Следовательно, ВС =_. Отсюда следует, что параллелограмм ВСМН является ___________ (задача № 9). 12.......................................................... Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Доказательство. Пусть в параллелограмме ВСМН (см. рис. к задаче 11) диагонали взаимно __________________. Тогда в треугольнике ВСН медиана BE является и , а значит, треугольник ВСН является то есть ВС__ВН. Значит, две смежные параллелограмма ВСМН ___________. Отсюда следует, что параллелограмм ВСМН является __________(задача № 9). Замечание. Утверждения, доказанные в задачах №№ 9-12, являются признаками ромба и часто используются при решении задач. Г В. Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны J а ►в а S о *< •п о и ег X S Ж О S W ж U ё Е 19 13.......................................................... Докажите, что ромб, все углы которого равны, является квадратом. Доказательство. Ромб является______________________, значит, он является и четырехугольником, следовательно, сумма всех его углов равна _. Тогда каждый_____данного ромба равен 360° :_=__, то есть мы имеем параллелограмм. углы которого прямые, значит, это он _________. Все стороны прямоугольника равны (по условию — ), а прямоугольник, все__________которого равны, является ______(определение квадрата). 14 Перечислите основные свойства квадрата. Ответ обоснуйте. Gtfi£efH: так как квадрат является: 1) параллелограммом, то его диагонали, пересекаясь, делятся_ 2) прямоугольником, то все его углы_____, а диагонали _ 3) ромбом, то все его стороны___, а диагонали являются ________________его углов и взаимно__________________ 15 Докажите, что прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является квадратом. Доказательство. Пусть дан прямоугольник ABCD. По условию задачи АС_BD. Так как прямоугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения _____________ _______________. Следовательно, АО =_. Значит, прямоугольные ВОА и вое по двум катетам, поэтому АВ______ВС. Итак, смежные стороны АВ и______параллелограмма ABCD___________, следо- вательно, все его стороны равны, поэтому четырехугольник ABCD является ____________(___________________ромба). Что и требовалось доказать. 20 16 Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом. Доказательство. По условию задачи диагонали ромба_______, а по определению ромб является__________________, следовательно, имеем параллелограмм, диагонали которого _________. Значит, это — ________________ (____________прямоугольника). Итак, имеем прямоугольник, все сто- роны которого (______________ , следовательно, это квадрата). 47. Осевая и центральная симметрии Г А. Определение. 1) Точки М и Р называются симметричными относительно прямой с, если с МР и с делит отрезок МР______. 2) Каждая точка прямой с симметрична___________. 17 Какие точки, из отмеченных на рисунке, симметричны относительно прямой т? Ответ обоснуйте. Gffi£effi. а) Точки А и В__________ _________ относительно прямой /п, так как АН___НВ. б) Точки С и Б ____________________ ВС в) Точки Б и Б BE относительно прямой т, так как отрезок ___________прямой т. __________относительно прямой т, так как отрезок прямую т. Аналогично получаем, что точки А и С тоже г) Точки С и Б симметричны относительно прямой /тг, так как ЕС_ прямая т____________отрезок ЕС пополам. т и » •г» о бг* » Ж *п о S W ж ю > 3=4 21 г Б. Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой т, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно прямой ш точка также_______________этой фигуре. ^ J 18 Постройте все оси симметрии данных фигур и укажите, сколько осей симметрии имеет каждая из данных фигур. Г В. Определение. Точки В и Н называются симметричными относительно точки М, если точка М —_________отрезка ВН. Л J> 22 19..................................................... Постройте с помощью циркуля и линейки точку, симметричную точке Р относительно точки М: М 7й>ап1гоение: 1) проведем луч РМ, 2) отложим на луче РМ отрезок МР^ =___. Точка Р. симметрична точке Р относительно точки М по /Г г. Определение. Фигура называется симметричной относительно точки М, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки М также_______________этой фигуре. J 20 Постройте треугольник К^Р^М^, вершины которого симметричны вершинам треугольника КРМ относительно точки А. Докажите, что = КМ\ ZK^M^P^ = ZKPM. ЛосЩюение. 1) Проведем лучи КА, МА,__. 2) Отложим на лучах КА, МА^_отрезки AiCj, АМ^,_____, равные соответственно отрезкам АК,АМ,_____. 3) Соединим отрезками точки К^, М^, Треугольник К^М^Р^ — искомый. Доказательство. Рассмотрим треугольники К^АМ^ и КАМ, Они равны по____________ признаку равенства треугольников. А в равных треугольниках ___________________элементы_________. Следовательно, К^М^ = а з: I о а ег" S а ж о X и « ю и ZK^P^M^ = 23 21 Отметьте все центры симметрии данных фигур, если они есть, и укажите, сколько центров симметрии имеет каждая фигура. 24 Глава VI Площадь Площадь многоугольника 48« Понятие площади многоугольника Г А. Площадь любого многоугольника выражается числом. J Основные свойства измерения площадей. 1. Равные многоугольники имеют______ площади. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна______________________этих многоугольников. 3. Площадь квадрата равна______________его стороны. Найдите площадь треугольника АВС, если сторона квадрата равна единице длины. J^euieHMe. Так как сторона квадрата равна ______________длины, то его площадь, по свойству ___, равна единице ЬЛВС ЬЛВС по признаку ра- венства треугольников и по площадей их площади________ ника АВС равна_____________ Offieetfi: aS . = ABQ ----- свойству измерения ___. Следовательно, площадь треуголь- площади квадрата АВСВ. Дано: параллелограмм КМ HP, С — точка пересечения диагоналей. Доказать, а) б) — Sp^^^. М Н н о В ё tr з; S о •п о о ег « S 25 Доказательство. а) МС_СР и КС_СН по ма, КМ PH по _____ ___________диагоналей параллелограм- ___________ сторон параллелограмма. Следовательно, АКМС = АНРС по_________________признаку равенства треугольников, значит, по__свойству измерения площадей их площади_________________________. б) Треугольник КМН составлен из треугольников КМС и_______. Треугольник РМН составлен из треугольников______и_________. По___свойству измерения площадей получим, что ^ КМН ~ ^КМС-^МСН ^ ^ РМН ~ ^-------• Следовательно, S, КМН- S РМН' 49* Площадь квадрата За единицу измерения площади принимают квадрат, сторона которого равна___________измерения отрезков. 3 Вычислите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 13 см; б) 2,4 м; Зл/2 дм. J^euieHue. Площадь квадрата равна___________его__________, поэтому: а) S =___^ =____см^; 6)S =________=______м^; в)5 = ^Зл/2|^ =____дм^. OtfieetH: а)____см^; б)_____м^; в) _ _дм^. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 196 мм^; б) 2,89 см^; в) 18 м^. !Реишше. а) Площадь квадрата равна________________его стороны. Решим уравнение =__________, где а — сторона квадрата. Получим, что а =___мм. б) =______, следовательно, а =___см. в) _= 18, следовательно, а = л/ = Зл/ м. Otfieetfi: а)__мм; б)______см; b)^^_V2m. 26 Середины сторон квадрата на рисунке соединены отрезками. Докажите, что внутренний четырехугольник является квадратом, и найдите его площадь, если сторона внешнего квадрата равна 2 см. J^eUieHUe. 1) Отсеченные треугольники являются ____________________и равнобедренными, значит, их острые углы равны_____. Поэтому каждый угол внутреннего четырехугольника равен 180° - (45“ Л- _ этот четырехугольник —__________________. 2) Отсеченные прямоугольные треугольники _______________Следовательно, их гипотенузы___ ) =___. Значит, равны по двум _____, поэтому все , и по определению он яв- стороны внутреннего прямоугольника____ ляется______________. 3) Диагонали внутреннего квадрата разделят его на___треугольни- ка, равных четырем отсеченным треугольникам. Площадь внешнего квадрата равна___=___см^. Следовательно, площадь внутреннего квадрата равна площади внешнего квадрата, то есть равна___см см" 50. Площадь прямоугольника Г К А. Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. J Заполните таблицу, где а и Ь — стороны прямоугольника в сантиметрах, а S и Р — его площадь и периметр. а о в > tr* X О •-а § О ;=! tr X X 1 2 3 4 5 6 7 а 1,5 5 4 Ъ 4 3,6 5 2л/2 S 20 16 8 12 Р 14 12 14 27 ^Решение. Подставляя известные значения, получим: 1) S = a-_ =__-4 =________,Р = _-(а_Ь) = 2-(_ + 4) = 2) 5 =________=_______,Р =__________=_________= . 3) 20 = 4 •_откуда Ь = 20_4 =_. Р =_____________ 4) 14 = 2 ♦ (5 +_). Откуда Ъ =_. 5 =________ 5) а =_________________________________, Р =_________________________________. 6) 8 = аЬ и 12 = 2 (а + Ь), то есть получим систему Решив систему, получим: а =____->Ь = _ 7) _________________________________ аЪ = Ъ а + Ъ =_ или а =___, Ь = Площади параллелограмма, треугольника и трапеции 51. Пдощадъ параллелограмма В параллелограмме ABCD проведите три высоты к основанию AD. J^eiueHue. Высотой параллелограмма ABCDy проведенной к основанию _______, является _____________, проведенный из любой__________стороны ВС к прямой __________________. Проведем три таких перпендику- ляра. 2.................................... Заполните пустые клетки таблицы, в которой буквами а и Ь обозначены стороны параллелограмма, — проведенные к ним высоты, а S — плопцадь параллелограмма. 28 1 2 3 4 5 a 5 3,6 h a 2,4 4 3 4 b 4 6 6,4 к 4i 3 3 4,8 s 18 24 32 Теисение. Подставив в формулу площади параллелограмма известные значения, получим: 1) S = _‘___=_____; \ = __=_________=______; 2) S = _*___=_____; a = S:___=_________=______; 3) 18 =___• откуда =________: 3,6 =_; b = S :_=________=_____; 4) 24 = a •_, откуда a =___: 3 =_; 24 = b ‘_, откуда b =___:____=______; 5) 32 = a •_, откуда a =____=___; 32 =_____Л., откуда h. =_____=______. Найдите площади изображенных на рисунке параллелограммов, если сторона клетки равна 1 см. а 0 В ё S g 1 HI о § >-а м ч 0 tx* is: g s 1 w a s s 29 Найдите площадь параллелограмма со сторонами 6 см и 7 см и углом 150°. Теишше. 1) Пусть АБ = Q,BC= 7, ZB = 150°. 2) Опустим высоту ВН на большую сторону параллелограмма___. 3) В треугольнике АВН, ZAHB = _ ZA = 180° -____=____, так как углыАи В — , так как ВН — при параллельных прямых AD и_____. Катет ВН лежит против угла в 30°, поэтому он равен__________гипотенузы АВ, то есть ВН =____• АВ =__•__=___см. ^)^ABCD=^'______= _•_ =------см2. ___см2. Замечхише. Если опустить высоту В К на меньшую сторону, то, рассуждая аналогично, мы получили бы, что ВК = i • ВС и <8^^^ = CD ♦ ВК = 2 см'^ 52. Площадь треугольника /Г А. Теорема. Площадь треугольника равна нования на произведения его ос- Г Б. Следствия. 1. Площадь прямоугольного треугольника равна__________произведения его__________. 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади как основания. J J 30 Заполните пустые клетки таблицы, где буквами а и Ь обозначены стороны треугольника, — соответствующие им высоты, а S — его площадь. 1 2 3 4 5 а 4 9 h а 6 3 Ь 2,5 2 к 4 0,8 6 S 18 2,8 Утешение. Подставив в формулу площади треугольника известные значения, получим: 1) «4---------= 2) S = _-2,5-_ = _; 3) 18 =_• 9 • Лд, откуда =_• 18 :_=_; 4) 2,8 = 'Ь'__, откуда Ь = 2 •_:____= ; 5) S =__• 6 •_или S —__• <2 •_, следовательно,_• 2 =_’3, откуда а = Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади. Дано: ЬЛВС, ВМ — медиана. Доказать: = Доказательство. Треугольники АВМ и ____ имеют общую высоту, проведенную из вершины__. По следствию 2 площадей этих треугольников равно отношению их_ __= АМ:______. __МС по______________медианы, то ^лвм ■ ^ВМС^ —- следовательно, ToecTbS^„: Так как AM я я о В ё S я > я W Я о SS IS з: > HI м о я ег" я я я I W а я я 31 Как изменится площадь треугольника, если: а) две его стороны увеличить в 3 раза; б) одну сторону увеличить в 2 раза, а другую уменьшить в 4 раза? Теишше. Пусть стороны треугольника равны а и Ь, а его площадь равна S. По условию задачи углы между сторонами____________. Тогда по теореме_ , S а-Ь имеем: а)—=- Si 3а-3_ _ Oin£eifi: а) площадь треугольника б) площадь треугольника ==^ или S^ = S; б)—=-==—=_или Sj = 2 ’-Ь — 4 в___раз; в___раза. Площадь трапеции А. Вычисление площади многоугольника. 8 На клетчатой бумаге со стороной клетки, равной 1 см, нарисованы два многоугольника. Докажите, что их площади равны. J^eiuenue. Чтобы найти площадь многоугольника ABCDS, разобьем его на треугольники. Для этого проведем диагонали DA и DB. Тогда о =: о _1_ С С ‘^ABSDE ‘^BCD *^ABD ---------* Чтобы найти площадь многоу-гoльникaAJБ^ClZ)^JБl, разобьемего на треугольники. Для этого проведем диагонали и D^B^. Тогда 32 SscD = _BD‘CH, где BD =____, a высота CH = ___, и поэтому BCD -- -- -- ----* S^=-AB ABD 2 BjDi • С1Я1, где , a высота = = и поэтому S =-^A 2 ^ ^ Сравнивая результаты, видим, что площади многоугольников f Б. Определение. Высотой трапеции называется , проведенный из точки одного из к прямой, содержащей другое J Г В. Теорема. Площадь трапеции равна произведению ний на ее основа- J Заполните пустые клетки таблицы, где а и Ь — основания трапеции, h — ее высота, а S — площадь. 1 2 3 4 а 7 4 12,4 Ь 13 8 12 h 5 6 5 S 57 72 40 а о В S а > а м а о 3 X > |Н W о а кг » S S из I m а S а J^eidieHUe. Подставив в формулу площади трапеции известные значения, получим: 1) S =______• (7 +____) •___=_________=______; 2)57 = -*(а+ ) 2 ~ , откуда а + 8 = .»а = 3) 72 =___* (4 +__) • h, откуда__=___• Л, Л = 4) 40 =___• (12,4 +_) •_, откуда______+ ^ _ .,Ь = 33 10 Диагонали трапеции КИМР пересекаются в точке С. Докажите, что а) — Sp^^, б) — ^рмс' Доказательство. а) Пусть КВ и РА перпендикуляры, проведенные из вершин КиРк прямой НМ (проведите их на рисунке). Отрезки КВ и РА являются__________ трапеции КИМР, следовательно, КВ_РА. Так как равные отрезки КВ и РА являются____ Я М , то S кнм- треугольни- ков КНМ и РНМ, имеюш;их общее основание б) Треугольники КНМ и РНМ составлены из треугольников КНС, НМС и РМС, значит, по свойству _______ измерения площадей = ^кис—^снм и SpHM = ^РМС + ®----• в пункте а) доказано, что ^кнм ^ ’ поэтому ____Spj^^ . Что и требовалось доказать. Теорема Пифагора 54. Теорема Пифагора Заполните пустые клетки таблицы, где аиЬ катеты, ас — гипотену-за прямоугольного треугольника. 1 2 3 4 а 3 5 8 Ъ 4 7 5 с 17 13 34 J^euieHMe. Применим теорему Пифагора, подставив известные значения в формулу: 1) = 3^ +_=______, откуда с=^1 =____; 2) =____+7^ =____, откуда с=^ ; 3) 17^ =__+ Ь^, откуда Ы =____-_____= (17 - 8)(__+___), b=j9- =3- =_____; 4) ____=____+ откуда g=,/l3^- =,j(l3- ^(13+ _____. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 6 см, а один из острых углов равен 45°. Утешение. По теореме о сумме ________________ треугольника второй острый угол равен _______________________ и, значит, треугольник является _____________________. Пусть катеты равны х см, тогда по теореме _, х=^ ______. Ofn£etfi: 3....... получим 6^ = +____или 36 = 2 см. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 6 см, а один из острых углов равен 30°. J^eidieuue. По свойству прямоугольного треугольника с углом 30° противолежащий этому углу катет равен_______________гипотенузы. Пусть катет а лежит против угла в 30°, тогда а =_• 6 =_см. По теореме___________получим 6^ =___-I- откуда &=л/И^ =1 и см. Докажите, что площадь равностороннего треугольни- В ка можно вычислять по формуле рона треугольника. , где а — сто- не м о m X > n s •e* > ►1 о 35 Доказательство. Пусть ААВС — равносторонний иАВ = а. Высота ВН равностороннего треугольника является его _________ и ____________________ (проведите её). Поэтому треугольник АВН___________________,АВ= ,АП= -АВ= -а. По тереме вААВНАВ^=АН^ + BH=4J¥Z^=P-—=J=^= 2 Итак,5^с = 2'“' . Что и требовалось доказать. 55. Теорема, обратная теореме Пифагора /Г А. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если одной стороны треугольника равен квадратов двух других сторон, то треугольник J Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны: а)3;4;5; б) 15; 9; 11; в)73;2;ч/5; г)5;6;7Г1? J^eUieHUe. Так как гипотенуза больше __________ катета, то треугольник будет прямоугольным, если по теореме___теореме Пифагора, квадрат _________ стороны треугольника _______ сумме ______________двух других сторон. а) Большая сторона равна 5,5^_3^+4^, значит, треугольник______ прямоугольным. б) Большая сторона равна __, 15^ ^ 9^ + __, значит, треугольник _____________прямоугольным. в) Большая сторона равна ^/5, ____________, значит, треугольник _____________прямоугольным. г) Большая сторона равна __, _____________, значит, треугольник __________прямоугольным. : треугольники прямоугольные в случаях 36 Дано: AjBCZ) — прямоугольная трапеция, AD = 17, CD = 8, АС — 15. Найдите: площадь трапеции. J^eiueHue. 1) Так как 17^____15^ + 8^, то треугольник ACD — 2) ^ACD ~ л =_15_ = 1 С другой стороны, =—_________сн , 2 где СН — высота треугольника (она же — высота трапеции). Отсюда ---’^АСР ------ _ AD 3) в треугольнике АВС по теореме ВС2 = АС2___АВ\ ноАВ = СН =______, следовательно, ВС=^15^ - =___________ 4) По формуле площади трапеции получаем: ^ABCD ~'2 ---)’---“--------“--------- 1-3 m о m з: > n s •e< > •n о 37 Глава VII Подобные треугольники Определение подобных треугольников 56. Пропорциональные отрезки а) Найдите отношение отрезков АС и МН, если АС = 24 см, МН =72 см. б) Изменится ли отношение отрезков, если их длины выразить в метрах? ^Решение. а) МН б) АС = 24 см =_ м, МН = 72 см = м. АС 0,24 _ Offi£efH: а) ==^; б) отношение отрезков МН МН Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежапдую сторону на отрезки, пропорциональные прилежаш;им сторонам. Доказательство. Пусть DL — биссектриса треугольника CDF. Рассмотрим треугольники DCL и DLF. 1) Высота DH —___________и по следствию Sr D из теоремы о плош;ади треугольника получим *^r>CL _ (i) Sdlf LF 2) ZCDL = Z______ HO ____________________________________, следова- тельно, HO теореме об отношении плош;адей треугольников, имеющих S, S CD • угол, получим - : DL- :. То есть = 9Р-. (2) ’DLF 'DLF 3) Приравнивая правые части (1) и (2), получим CL DF 38 57-$S< Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников Подобны ли треугольники АВС и РНМ^ если ZA = 28°, ZB = 99°, АВ = 8,5 м, ВС = 5 м, АС = 10,5 м, и ZP = 28°, ZM = 53°, PH = 17 м, НМ = 10 м, РМ = 21 м? Решение. По определению_________________________подобны, если их углы_____________________равны, а сходственные______________про- порциональны . Углам А, В иС треугольника соответствуют углы Р,__и М треу- гольника РНМ. Найдем неизвестные величины углов: ZC = 180° - (28° -Ь_) =__, ZH =_____- (28° -Н__) = Итак, ZA = 28° = Z_, ZB = 99° = Z_, ZC = Сходственными сторонами треугольников АВ и PH, ВС и___,____и РМ. = Z и РНМ являются: Найдем отношения АВ 1 сторон: АС PH 17 __ЯМ Итак, отношения__ 21 , следовательно, по определению треугольни- ки АВС и НМР являются Otn£etH : треугольники_ Треугольники АВС и ВЕР подобны. Найдите периметр треугольника ВЕР, если АВ = 7 см, ВС = 8 см, АС = 9 см и АВ = 2ВЕ. J^euiemie. ЬАВС ^ АВЕР, значит, ZA = ZB, ZB = Z___, Z__= ZP, и ВС АС ЕР BE о •73 м W м S S W я о 33 0 01 я tr м •-1 о я от* я я я о я 39 Найдем стороны треугольника DEF. ^ АВ 2DE Так как--------- , то DE= 'АВ = DE ____ ____ — ---- Аналогично рассуждая, получим: DF =_• АС =_, FE =_• Откуда, = DE + _ + + + 3ciM0UiHue. Задачу можно решить иначе, если заметить, что отношение периметров подобных треугольников ____________ отношению сторон, то есть ^АВС DEF следовательно, Р = ’ Р = -(7+ + ) = DEF ---- АВС ------ ' 0ffi£3fH: Р Г.Г.Г, = см. DEF Б. Теорема. /Г Отношение площадей подобных треугольников ______________коэффициента подобия. равно Площади двух подобных треугольников равны 45 см^ и 180 см^, одна из сторон второго треугольника равна 28 см. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника. J^etueKue. По теореме об _______________площадей подобных треу- ., откуда А: СМ' см‘ = гольников = S^:______= Искомая сторона первого треугольника меньше сходственной стороны второго треугольника в____раза, то есть равна 28 :__=_____см. Offteeffi: см. Дано: AAjBjCj ~ ААВС;АВ = 13; ВС = 5; АС = 12; меньшая сторона треугольника А^Б^С^ равна 10. Найти: стороны треугольника А^Б^С^ и его площадь. З^етение. Меньшей стороне треугольника А^В^С^ соответствует __________сторона треугольника АБС, равная_____. Найдем коэффици- ент подобия А: АВ ВС ________ 13 5 12 • 13 =__, А^С^ =___=____. ,откуда А.В,= 40 Найдем площадь треугольника АВС. Так как равенство 13^ = 12^ +_верно, то по теореме, ме Пифагора, треугольник АВС — ._____________ ___, следовательно, =_____•___•____=_______. По теореме об отношении площадей откуда =----------•- -’ “-----’ ^А,В,С,' _________теоре- с катетами 12 и треугольников Признаки подобия теугольников Г 59* Первый признак подобия треугольников А. Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно двум углам второго, то такие треугольники_____ J В треугольнике КМР МР = 9. Точки А и В лежат соответственно на сторонах КМ и КР так, что КА = 4, AM = КВ = 2, АКАВ = ZKPM. Найдите периметр треугольника КАВ. J^euteHue. 1) АКАВ ^ АКРМ (по двум ___________), следовательно, К А : КВ = КР :_. Отсюда получаем: КАКМ _ КР ■(4+_) 2) Так как АКАВ АКРМ, то АВ ав==^=2:^= . км 6 — 3) Периметр треугольника_ МР = к КМу значит. Я S со я > Я Я я о » о м я я 3 о я XJ* я я ж о ю :АК+ +АВ= + + 3 = 41 Дано: ЛАВС; ZC = 90°; АС = 6;СВ = 8; СН1АВ. а) Доказать: ААСН ^ АСВН. З^ешение. а) ZCHA = ZCHB по__________________высоты. В ААСН ZACH = 90° - Z__. В АСВН ZB =_____- ZA. Отсюда следует, что ZACH ZB и треугольни- ки подобны по____ б) По теореме об ков имеем 8, 8. ^свн ^ k =АС : свн’ По свойствам площадей S признаку подобия треугольников. _________ площадей подобных треугольни- = 6 : с = ‘^АСН J- С = с 'лея евн - е = ‘^евн ^евн • с = ‘^АСН с = евн - . О = , отсюда с J- о = Z евн евн 2 60. Второй признак подобия треугольников Отрезки АВ и МР пересекаются в точке С и АС : ВС = СР : СМ. Докажите, что АР || ВМ. 42 Доказательство. В треугольниках АСР и ВСМ ZACP = ZBCM как _________________, стороны АС и СР треугольника АСР_________сторонам ВС и треугольника ВСМ по__________. Следовательно, ААСР__ЛБСМ по___________призна- ку подобия треугольников. Угол РАС лежит против стороны СР, а угол МВС — против стороны ________, которые являются _____________________сторонами_________________ треугольников, поэтому ZPAC____ZMBC. Так как углы РАС и МВС являются накрест_______________ при пересечении прямых АР и______прямой АВ, то АР___ВМ^ что и требовалось_____________. 61. Третий признак подобия треугольников Подобны ли треугольники, если стороны одного из них равны 4,8 см, 10,4 см и 7,2 см, а другого: 18 см, 12 см и 26 см? Т^еисение. Чтобы доказать подобие данных треугольников, докажем _____________________их сторон. При этом меньшей стороне первого треугольника должна соответствовать________________сторона второго, а большей стороне первого треугольника — __________________сторона второго. Рассмотрим отношения сторон: 12 5 26 _ ___ _ 4,8" ’ " 2 ‘ " ‘ ____ 2 7,2 Так как все три отношения то треугольники а т» а СаЗ а а а о » о (Л а а •н •л п »< о » хг а а а о U 43 Выясните взаимное расположение прямых АС и ВН на рисунке, если АВ = 2 см, ВС = 4 см, СА — 5 см, ВН = 17,5 см, НМ = 7 см, МВ = 14 см. Теишше. Найдем отношения наименьших,______________ и средних по длине сторон треугольников НМВ . 7 ^ * 2 “ и 17,5 —— =_______, ^==____. Эти отно- шения следовательно, треугольники Из подобия треугольников следует, что ZBCA ____ ZMBH __________. Но они являются _______________________углами при прямых АС и ВН и секуш;ей__ 0*^Ше»н:АС ВН. , поэтому АС ВН. Н Применение подобия к доказательству теорем и решению задач г 62. Средняя линия треугольника А. Определение. Средней линей треугольника называется отрезок, соединяюш;ий ^ двух его сторон. ^ (Г к Б. Теорема. Средняя линия треугольника треугольника и равна______ одной из сторон этой стороны. J 44 в треугольнике АБС проведена средняя линия НМ {Н^АВу М^ВС). Найдите: а) если = 25 см^; б) если = 12 дм^; в)®лямс> е'=ли5„з„ = 23 м^. J^euieHue. 1) Точки Н и М — середины сторон АВ и ВС (_______________средней линии). 2) /\АВС___АНВМ (__________признак подобия треугольников). ^нвм _ 'АВС ( нв] f \ )~ 1—) (теорема гольников). ^нвм ~ — б)5^с = _ ^АНМС ~ ^АВС ^АНМС ^ ^ -- площадей подобных треу- . с = _ ^АВС ^ ^явм = 4- см^, с с = НВМ^ АВС _дм •Б нвм отсюда получаем: _ с = - нвм с = нвм Offi€efH: а) Б 2........ нвм см2, б)Б^^ = _дм2, в) Б АНМС М“. Площадь треугольника равна 48 см^. Найдите площадь треугольника, образованного его средними линиями. Утешение. Пусть дан треугольник АВС, точки Aj, В^ и С^ — середины его сторон ВС, АС и АВ соответственно. (Сделайте чертеж.) По свойству средней линии треугольника получим А^В,=—’ , 2 ----- -• С.А. = , следовательно, АА^В^С^^^ААВС по признаку подобия треугольников. Б. Значит, -AiEi£l= ’АВС А,В, откуда “ ’^АВС* —■ Offi£efH: СМ'^. АВС Н ►тз S м » W ж S tn а о » о W ж ж о g со в м о •н » *< •-3 м о »ТЗ m Ж 45 (Г к. в. Свойство медиан треугольника. Медианы любого треугольника а) пересекаются в одной точке; б) точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1 каждая, считая от вершины. J Найдите длины отрезков, на которые точка пересечения медиан делит медиану, равную: а) 48 см, б) 6,3 дм. J^eut£HUe. По свойству медиан, точка пересечения делит каждую из них в отношении______, считая____________. Разделим длину данного отрезка ___трети, а другая одну_____. на части, одна из которых составляет а) -.48= 3 б) А. см. 1 дм. OffieetH: а) 4.......... см и 3 см, б) см; дм и дм. _дм. В параллелограмме ABCZ) точки £ и F середины сторон AD и ВС соответственно. Найдите длины отрезков ВК^ КН и i/£>, если BD = 12 см. Утешение. 1) Проведем диагональ АС. 2) В треугольнике ACD отрезки СЕ и DO являются_____________и по свойству медиан DH : ОН =__:__. 3) DO =____BD по______________ диагоналей параллелограмма. 2)0=-. 2 4) DH== DO=— 3 3 — ------ 5) Рассматривая треугольник АБС, анало- 2 2 гично найдем, что в К= ВО=— = _ 3 — ------ 6) KH = BD-DH-____= 12-___-___=_____. OfftSeifi: ВК =_см, КН =___см, HD =____см. 46 65. Пропорциональные отрезки 6 прямоугольном треугольнике Г А. Определение. Отрезок МР называется средним пропорциональным (средним _______________) для отрезков СН и АЕ, если МР=^СН‘ V ^ ЗамеЧ41Ние. По основному свойству пропорции из равенства — = — Ь с получаем: = а '__. По определению квадратного корня из полученного равенства следует: Ъ = Таким образом, любое из этих трех равенств означает, что число Ъ является средним пропорциональным (_____________геометрическим) для чисел_и__. Есть ли среди отрезков пир отрезок, являющийся средним пропорциональным для двух других, если m = 9, /г = 4, р = 6? З^ешение. Проверим выполнение равенств: 1)т} = П'_, 2)п^ =_•___, 3)___=тп'п. 9"^_б, 42_9-6,____________9-4. Таким образом, отрезок_является______________пропорциональным для отрезков_и_____. : есть, это отрезок_. (Г Б. Теорема. в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Средними пропорциональными отрезками являются а) катет — для гипотенузы и отрезка_, заключенного между этим катетом и_____________; б) высота, проведенная из вершины ков, на которые она делит_______ угла, для отрез- J а ►в S X м » m » trl » о » О W S а 3=1 о а м tr* п •н «< •н m о м X 47 Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и высотой СН. Введем обозначения: АВ = с, ВС = а, СА = Ь, СН = h,AH = Ь^, ВН = а^. Заполните пустые клетки таблицы. 1 2 3 4 5 6 a 5 12 8 b 5 c 9 17 h 6 3 4 3 b, 6 8 !Реш£ние. 1)с = а +__=___+____= = а ' = __ ____» Д—\/ 62 = 6^. _ = ____,(, = 71 '' =___•_____=_________. Л=^/^ 2) = с___= 9 -_______=___, а^ = а^'_____=___•_____=_________, а=у1_ Ъ^ = Ь^‘_ = =___, b=i_ h^ = CLa'__=_____*_____=___’ В п\ 2 ^ 3)а^ = а - с, отсюда с=—= ’ —= V- = b^=.h. =5— 16- b = h^ = а ' =3 3 3 3- 16- 3-3 л=-1. 36 4) h^ = a^' b^y отсюда=-=—=_,c = + 9 + a =a„- =4—_________=----- b^ = b' =8 2-2 , a= 2-2 5) no теореме -¥ = 144 + .yC = 48 а" 144 = а ‘С, отсюда а. =—=- = а -Ь_ =11 -hr = 13 13- 6) по теореме Пифагора Ь=у[с а^ = а -с,отсюда—=' 17 h’‘ =а-Ь=зШ----' с с jb^ = с -____= 13 12 :h = J= 13 =Vl7 -____=^. _yb^ = b • с, отсюда ь =^=-=- 17 17 17- ,Л = 17 64. Практические придоЯ^ения подобия треугольников Постройте треугольник по двум данным углам и высоте, проведенной из вершины большего угла. JloctHfioeHue. 1) Построим произвольный отрезок АВ. 2) Построим угол ВАХ, равный углу а. 3) Построим угол АБУ, равный углу_. 4) Точку пересечения лучей АХ и___обо- значим буквой С. 5) В треугольнике АВС проведем высоту ВН. 6) Отложим на луче ВН от точки В отрезок ВМ, равный данному отрезку__. 7) Через точку М проведем прямую Ь, па- ргшлельную прямой____. 8) Обозначим буквами РиТ точки пересечения прямой Ь с лучами ВА и АВРУ — искомый. Я ►те з; м S м S S m Я о » о W X я о г 5 м я tr Г5 *Н Ю «< HI М О ►Ь m 3 49 Доказательство. 1) ZP = ZA и как _ углы при параллельных прямых Ъ и___и секущей _____(построение 6). Значит, ZP___а, а ZB =__. 2) ВМ____Ь и ВМ____h (построения__и___). UccxecfO^OHUe. Треугольник построить можно, если лучи АХ и BY ___________________, то есть сумма углов а и Р________180°. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника 66. Синус, косинус U тангенс острого угла прямоугольного треугольника Г А. Определение. Л sinP= ЯМ (отношение гипотенузе) sinM=- РМ катета к cosP=- РМ (отношение cosM =- прилежащего _) РМ катета к tgP= НМ tgM = нм (отношение противолежащего катета к _________________________) М Зимеч,акие. Сравнивая значения синусов, косинусов и тангенсов двух острых углов прямоугольного треугольника, можно заметить, что sinP = cos_, cosP =___М и tgP • tgM =_. 50 Вспомнив, что ZP = 90° - ZM, получим следующие равенства: sin(90° -ZM)=_________М, cos(90° -ZM)=__________М, tg(90° -ZM)=—- М Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника FDH, катеты FD и FH которого равны соответственно 6 см и 8 см. J^eUieHUe. Так как FD <___, то большим острым углом прямоугольного треугольника FDH является угол___ Синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение одного из ___________ к гипо- тенузе. Найдем гипотенузу треугольника по теореме _ dh=^Ifd^+ =л/бЧ =/ sin =- DH гипотенузе). (отношение катета к COSjD=- (отношение _Г). катета к tgD=^ == (отношение катету). Otfijeeffi: si : sm = cos__=______, tg__=_ катета к Постройте угол А так, чтобы: а) sinA = — , б) cosA = 0,75, в) tgA = 3. 3 J^eut£HUe. Пусть угол А — острый угол_______________треугольни- ка АВС с прямым углом с. а) Синус острого угла А прямоугольного треугольника АВС — это отношение_____________________катета к гипотенузе, то есть sinA=^^^=-^. Пусть ВС = 2 см, тогда АВ = см, следовательно, нужно построить прямоугольный треугольник АВС по гипотенузе и_____________. п о о 1-а S о В м № S м S m о •н о о » > г > X S 51 JloafifioeHue. 1) ZXCy = 90°. 2) B^CX и ВС =___см. 3) Окружность с центром В и радиусом_см. 4) А — точка пересечения луча ____ и этой окружности. 5) Угол ВАС — искомый. ВС Действительно, sin А=_—• ____3 ■ 6) Косинус острого угла ________________ Г"У ki- — г — т 1 i с X прилежащего катета к треугольника — это cosA=“=0 75=— Значит, надо построить прямоугольный треу-АВ ’ гольник по катету АС, равному 3 см, и гипотенузе АБ, равной_см. JloaHftoeHue. 1) ZXCY =___. 2) А G СУиСА =___. 3) Окружность с центром_и радиусом __см. 4) __— точка пересечения окружности с лучом____. 5) Угол ВАС — искомый. АС Действительно, cosA=---- ! X в) Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это противолежащего___________к_________ tgA=------=—• Значит, надо построить прямоугольный треугольник по двум ВС = 3 см и АС = см. JloctfifioeHue. 1) zxcy =___. 2) Ag СХиСА =____. 3) Б_____иБС =___. 4) Угол ВАС — искомый. 3 Действительно, tg А===—=_________. .^.С V 1 : г : : 1 1 1 i 1 1 1 1 I Г" с ] \х i 52 Заполните пустые клетки таблицы, где Р — острый угол прямоугольного треугольника МРН. 1 2 3 4 5 sinP 0,6 5 13 cosP 1 3 0,6 tgP s Тешение. 1) По основному тождеству sin^P Ч- cos^P =_, откуда cos^P = 1 sin^P = -0,6^ =____, cos P=yf sinP 0,6 __ По свойству___tg P=- 2) По тригонометрическому sin^P + = 1, откуда sin^P = 1_cos^ P, smP=\jl cos^ P=^l-По свойству___tg P= =T. 3 J ^ 9 3 cosP 3)cos^P = cosP=, 169 4) sin^P =_ sinP=^ , tgP=- , tgP=- n о о •н № о в м S S га га ►н I о га о g ! й 3 > S 53 5) По свойству__igP= sinP по условию задачи tgP . Выразив sin Р через cos Р, получим, что sinP = cosP. Подставив найденное выражение в основное_____________ тождество, получим cos^P +___• cos^P =_, откуда cos^P = acosP=.— = . Значит, sin Р = cos Р = 67. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 50°, 45° и 60° А. Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 30°. Пусть в треугольнике МНР ZP = 90°, ZM = 30° и МН = р. ^ Тогда катет, лежащий против угла в 30°, равен ______________гипотенузы, то есть PH =__• р. Следовательно, sin30° =sinM=-----=___. Из основного______________________тождества cos^30° +_______= 1 следует, что cos 30° =^1 sin^30°= По свойству___получим tg30° = sin 30' Б. Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 60°. Так как 60° + 30° = sin 60° = 30° = , то по замечанию в п.66 (А) имеем 1 , cos 60 = ,tg60°=- 30° В. Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 45°. Пусть в треугольнике МНР ZP — 90°, ZH = 45° и HP = т. Треугольник МРН является равнобедренным (______________равнобедренного треугольника) и РМ__________________________PH. Применяя теорему___________получим МН^ = РМ^ -Н_____или 54 мн^ = _ sin 45° = sin if = ЯР2 = 2 • PM Отсюда, МН = m m 42- cos45° =cosH=- MH m ■s tg45°=tgH=^ COS Я cos45° Заполните пустые клетки таблицы. Замечание. Чтобы легче запомнить значения синуса и косинуса углов 30°, 45°и 60°, обратите внимание на строку синусов: знаменатели дробей равны ____, а числители равны квадратному __________из номера столбца. Значения косинуса идут в обратном порядке. 1 2 3 30“ 45“ 60“ sina 1 2 4Z 2 s cosa JZ 2 1 2 tga 1 Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника СМН с прямым углом Я, если: а) СМ — 10 см, sin С = 0,8, б) СМ = 5 см, cos М = 0,4, в) МН = 4, tg С = 5. !Реишше. а) По_____________синуса . ^ МН ^о sinC=---или 0,8 = =. Отсюда получаем ЯМ = 10 •_=___. Катет СЯ найдем по теореме_______: СН^=СМ^_НМ^=_______________, CH=yJ б) По______________косинуса cosM= Я СМ или 0,4 = Отсюда получаем ЯМ = 0,4 •_=__. Катет СЯ найдем по теореме______ СН^=СМ^_НМ^=_____-_=_____, сн=4. п о о »н № о в м к W |з: w % 3=4 о О О К > S »< 3 > 55 в) По определению _ СН=_____:tgC=____:5= tgC=^ •=5, отсюда получаем Гипотенузу найдем по теореме см=4мн^ НС^ =./~ + =/ / Ofn£e*H:b) НМ =_____, СН =______, б) НМ = в) СН =_____, СМ =______. ся = Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 10 см. Решение. 1) = - ♦ АВ • СН, где СН — высота, проведенная к стороне__. 2) Треугольник АСЯ — прямоугольный, его гипотенуза ____равна_______см, а ZA =___. Найдем длину высоты СН, используя определение_________________угла А: sinA =___. Отсюда получаем СН=АС • 3) '^АВС ~2 А=10- 60° =10- 0/^е/н: 7...... СМ'^. в Найдите площадь параллелограмма ABCD, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, ZD = 135°. Решение. 1) Проведем высоту ВН к стороне AD (вы- ^ полните построение на чертеже). 2) Треугольник АВЯ — прямоугольный, ZA = _ ZD = 3)По ВН = sinA=- АВ ,тогда sinA = 6 • sin45° = 6 4)S,„..=AB- =8 'ABCD CM^. 56 Глава YllI ОкруАностъ Касательная к окружности 68-69. Взаимное расположение прямой и окруЖности. Касательная к окруЖности Пусть даны прямая а и окружность радиуса R с центром в точке М, МР1а и МР = d, А^а иАт^Р. Рассмотрим три различных случая. I tr* » « о ж ж »< ж о г» ►н S /Г А. Определение. обпдую точку, на- Прямая, имеюш;ая с окружностью только___ зывается___________________к окружности, а их общая точка на- зывается точкой /Г Б. Свойство касательной. Касательная к окружности_ к радиусу, проведенному в точку J 57 гг к SauieHxiHU^. Это свойство касательной можно сформулировать в форме «Если то ... ь двумя способами: 1. Е]сли прямая является _____________ к окружности, то она _________________к радиусу, проведенному в______касания. 2. Если прямая является__________ проведенный в_______касания,______ к окружности, то радиус, к касательной. Г в. Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки,_______ и образуют _________углы с прямой, проходящей через эту точку и _______ окружности. J Отрезки касательных, проведенных из точки С к окружности с центром О, равны радиусу окружности. Найдите угол между касательными. J^euteHue. Пусть точки АнЕ — точки касания, тогда в четырехугольнике ОАСЕ ЕС = СА = ОА =_____, следовательно, (_____________ он является ромба). ZOAC = по ляется касательной. Значит, ромб ОАСЕ яв-__________, и /АСЕ =______. : угол между 2............... равен Найдите длины отрезков касательных, проведенных из точки А к окружности с центром в точке О радиуса 6 см, если О А = 10 см. J^euteHUe. Пусть отрезки АВ и АС (дополнить чертеж) — искомые отрезки касательных, тогда АВ__АС. По _______________ касательной ра- диус, проведенный в точку касания. 58 ка Б — точка По теореме___ OtH^efn: к касательной, поэтому треугольник ОАВ, где точ-____, является__________________. AB=yjoA^__ОВ^ =yjl0^__6^=. см. Через точку, лежащую на окружности, проведите касательную к этой окружности. ^Решение. Чтобы прямая q касалась окружности с центром А в ее точке Б, достаточно, чтобы B^q и АБ___q (_________касательной). Поэтому выполним следующие построения: 1) проведем радиус АБ; 2) через точку В проведем прямую q к прямой АБ. Построенная прямая является касательной к данной окружности. Действительно, точка Б лежит на данной окружности, Б€^ (построение 1) и qlAB (построение___), значит, по признаку___________прямая q является искомой касательной к данной______________. Центральные и вписаные углы 70. Градусная мера дуги okpyjkuocmu Г К А. Определение. Центральный угол — угол с вершиной в окружности. J а м к •н tr » Е ш S W я S п > Я я Е m •< 3 59 г Б. Градусная мера дуги. J Замечхшие. Как известно, величина любого угла А удовлетворяет двойному неравенству____< ZA <_____. Значит, градусная мера любого центрального угла М удовлетворяет двойному неравенству___< ZM < 180°. Запишите двойное неравенство, справедливое для градусной меры любой дуги окружности:___< иСР <_________. Найдите градусные меры дуг, на которые центральный угол АМС разбивает окружность, если его величина равна: а) 73°, б) 168°, в) 180°. З^ешение. Центральный угол разбивает окружность на_дуги. Если дуга_________ или равна ________________, то ее градусная мера равна величине угла. Если дуга полуокружности, то ее градусная мера будет равна___— ZAMC. 0/п£еРн: градусная мера дуги может быть равна в случае а)____или 360° -______=______, б)____или______________, в)__ Найдите градусную меру центрального угла СМР, изображенного на рисунке. Ответ обоснуйте. 60 Offi£efH: a) ZCMP =______, так как дуга_________ б) ZCMP =______° -215° =________, так как дуга ности, полуокружности, ________полуокруж- в) ZCMP =_, так как дуга полуокружности. Докажите, что если две дуги окружности равны и меньше полуокружности, то равны и стягивающие их хорды. Доказательство. Пусть дуги АВ и СЕ равны. Чтобы доказать равенство хорд, рассмотрим треугольники АОВ и СОЕ. Они равны по_________признаку равенства треугольников, так как являются ______________, их боковые стороны___________________, и углы, лежащие между___________сторонами________. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих _________, то есть АВ СЕ. 71« Теорема о вписанном угле /Г А. Определение. Угол, вершина которого ________ на окружности, а стороны ее, называется вписанным углом. а Н! к tii На каком рисунке изображен вписанный угол АВС? Ответ обоснуйте. а) В W а S Р X X tn < Е 61 г) J^eiueHUe. Угол является вписанным, если, во-первых, его вершина лежит _____________________. Это условие выполнено на рисунках И, во-вторых, его стороны выполнено на рисунках____ ках_________. Ofn£effi: на рисунках____ _______окружность. Это условие Оба условия выполнены на рисун- г Б. Теорема'о вписанном угле. Вписанный угол измеряется_____ дуги, на которую он Возможны три случая расположения центра окружности относительно вписанного угла. 1) Центр окружности лежит_________ угла. ZP = иСЯ 3) Центр окружности лежит_________ угла. ZP = иСЯ 62 г в. Следствие 2 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, Вписанный угол, опирающийся на полуокружность является J Заполните пустые клетки таблицы: Градусная мера дуги 58° 90° 130° Величина вписанного угла 68° 90° 110° Найдите неизвестную величину, используя данные на рисунке, а) J^etueHUe. Вписанный угол измеряется дуги, на которую он опирается. Сумма градусных мер трех дуг равна Составим уравнение: а) 42 -Ь 64 +_=_________, 2х =________, х =______; б) 82 -Ь г/ -Ь_ а)_ У = + -Ы10 = , 2z = .>2 = а)х =______, б) I/ =__, в) 2 = J=J tn » t-i 2 tr S tr tn s S ! s > I S S ' tr M 63 Докажите, что градусные меры дуг, заключенных между параллельными хордами, равны. Доказательство. Проведем хорду АС, тогда получим что ZBCA ZCAD, как _______________________ углы при параллельных прямых ВС и_и секущей ____________________________. 1 ZBCA =__иАБ, ZCAD = по теореме о угле. Отсюда имеем —и 8.............. = U , ТО есть дуги АВ и равны. Градусная мера дуги АВ равна 80°, а дуги CD — 20°. Хорды АС и BD пересекаются в точке М. Найдите острый угол между хордами. Утешение. Проведем хорду ВС. В треугольнике ВМС найдем углы МСВ и______. ZMCB = —U 2 - (по теореме о , ZCBM = -KJ 2 - угле). D Искомый угол AM в является углом треугольника ВСМ, следовательно, ZAMB = ZMCB 1 1 + -U 2 - =i S tn 5 М tr я н: м •н о я ж S •н ж м »< »-1 о ж ж » S 65 г Б. Обратная теорема. Каждая точка, лежащая неразвернутого угла и _ от его сторон, лежит на _ этого угла. к. В треугольнике АВС ZC = 120°, АС = ВС = 6. Найдите на стороне АВ точку М, равноудаленную от сторон АС и ВС; вычислите расстояние от точки М до вершины С. J^euieHUe. 1) Точки, равноудаленные от сторон АС и ВС, лежат на___________угла С (теоре- ма Б), значит, искомая точка М есть точка В пересечения стороны 2) ЛАВС —__________ и_______________угла (постройте точку М). ________________, СМ — его биссектриса, следовательно, и ., АСАМ = (_____- ZC): 2 =______. Значит, в прямоугольном треугольнике ACM СМ = — •_=___ (ка- тет, лежащий против угла 30°). 0/^е/н: Е Докажите, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Доказательство. Пусть биссектрисы СА и НВ — треугольника СНЕ пересекаются в точке М. Проведем перпендикуляры МВ, МТ и МО к сторонам СН, СЕ и_____соответственно. Точка М лежит на биссектрисе угла С, следовательно, МТ =___. Точка М лежит на_______________угла , следовательно, МО =______. Итак, МТ____МВ_____МО, значит, точка М___________________от всех ____________треугольника. 66 г в. Следствие (Из задачи № 2 и теоремы Б.). Биссектрисы треугольника пересекаются в_____ точке. J В треугольнике АВС ZA = 80°, ZB = 60°, а их биссектрисы пересекаются в точке Н. Найдите угол АСН. J^eiueHue. 1) СН —_______________угла С (следствие В), следовательно, ZACH =____• ZC. 2) ZC =______- (ZA + Z_) = 180“ - (_____+ 60“) =_____ (терема о________ 3) ZACH = 0,5 •_ Otfijee/Я: ZACH = (Г углов треугольника) Г. Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через ______________ данного отрезка и ____________________к нему. J Симметричны ли концы отрезка относительно серединного перпендикуляра к нему? (Ответ обоснуйте.) Gtftieefpi:_ _, так как точки симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через____________соединяющего их отрезка и к нему. (Г Д. Теор ема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку________________от____________это- го отрезка. I—А м а Е К л т н Е т ы > зе; м Ji м сг* » Е м |Н о ж ж *-3 ж W v< *-1 О ж tr X 67 г Е. Обратная теорема. Каждая точка, равноудаленная от отрезка, лежит на серединном _________к нему. Е J Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 5 см, а прямая, проведенная через середину диагонали и перпендикулярная к ней, проходит через вершину параллелограмма. J^ei4ieHt4£. Пусть в параллелограмме АБС!) АВ = 5 о,тл,АО = ОС, В01АС. Тогда ВО —___________________перпендикуляр к отрезку____ ^ тельно, ВС = = 5 см. Противоположные стороны параллелограмма попарно довательно, АВ = ВС =_=____, то есть =____•__= 0*н£е^н: периметр параллелограмма равен_см. следова- сле- см. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. Доказательство. Пусть прямые тир — серединные _______________к сторонам НС и НМ треугольника СНМ соответственно. Предположим, что они не пересекаются, тогда т_р, но т НС (определение ________перпендикуляра). М Следовательно, НС___р. Получили, что через точку Н проведены две прямые НС и__, перпендикулярные к прямой р, что_______________. Значит, предположение неверно, то есть прямые тир________________. 68 % Ж. Следствие. Н Серединные перпендикуляры к треугольника /Ч в одной точке. с/" ><с N J На стороне АВ треугольника АВС найдите точку, равноудаленную от вершин Б и С. ^Решение. Точки, равноудаленные от точек Б и С, лежат на ______________ перпендикуляре к отрезку___(теорема___). По условию задачи искомая точка лежит на стороне ______, поэтому эта точка есть точка________________________________ стороны_и серединного к отрезку ВС. 73. Теорема о пересечении высот треугольника 8 На стороне АВ остроугольного треугольника АБС, как на диаметре, построена окружность, пересекаюш;ая стороны АС и ВС в точках М иР соответственно. Проведите все высоты треугольника АВС, пользуясь только линейкой. Л m н М 00 > 31 W л 5 m СГ* К tr* 1-4 т н о Л ж S S3 •ч О ж ж » 69 J^euieHue. 1) Соединим вершины А и Б с точками Б и М (с точками пересечения окружности и сторон треугольника). Углы АР В и AM В являются ____________________ и опираются на ________________ окружности, поэтому , а значит, отрезки ____________ треу- Б ZAPB = ZAMB = АР и ____ являются __ гольника АБС. 2) Высоты треугольника поэтому третья высота должна проходить через вершину_и точку пересечения двух других______________________________. Строим третью высоту. в одной точке (теорема___), Вписанная и описанная окружности 74. Вписанная окружность /Г А. Определение. Если окружность касается она называется_________ называется Л ________ сторон многоугольника, то __в многоугольник, а многоугольник около окружности. J На каких рисунках изображен многоугольник, описанный около окружности? Ответ обоснуйте. 70 Oifi£etfi . Многоугольник описан около окружности, если все__ многоугольника___окружности. Все__________многоугольника ____________окружности на рисунках___и____. Найдите площадь четырехугольника АВСЕ, если его периметр равен 60 см, а радиус вписанной окружности равен 5 см. J^eiueHUe. Соединим центр вписанной окружности с вершинами четырехугольника. Получим __________треугольника. Проведем радиусы в точки касания П,__,__и___. Отрезки ОН,____,_____и_____будут _(__________ нам АВ, ВС, и Тогда ^Аво ^всо ___касательной). -Ь =-АВ 2 -ь = -г-Р АВСЕ + 1 2 г • (АВ + ВС + + + _вс _)= + см' см' 0*н€е*н:_____ ЗамеЧ41ние, Рассуждения, использованные при решении данной задачи, применимы к любому многоугольнику, в который можно вписать окружность, следовательно, доказана теорема: «Если в многоугольник_____________окружность, то его площадь равна ______________ произведения ___ многоугольника на вписанной окружности». Г Б. Теорема. В любой треугольник вписать окружность, и притом а S п > X X > о 1=1 S Г5 > X X > X о 3 % X о о 1-3 J 71 Постройте окружность, вписанную в данный треугольник. J^euieHUe. 1) Чтобы найти центр окружности вписанной в треугольник, найдем точку пересечения___треугольника. Для этого построим биссектрисы ________углов треугольника. 2) Чтобы найти радиус окружности проведем перпендикуляр из ___________окружности к одной из________треугольника. Точки М, Н VI Е — точки касания сторон треугольника АВС и окружности с центром в точке О. Найдите периметр треугольника АВС, если АН = 3 см, ВМ = 4 см, СЕ = 5 см. J^eiueHUe. По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, получим: АЕ =_____=_____см, ВН =_____=_____см, см. .) + (_ см. см =_____=____ Рлвс=^ + В(^ + -= 2 • (АН + ВМ + _ G/HJeetfi: см. = (АН +__) -Ь (ВМ + _) = 2-(3 + _ + _) = + Г В. Теорема. Если в четырехугольник то суммы его_____________ В .) = можно вписать окружность, ____сторон_________. Найдите периметр четырехугольника ABCD, описанного около окружности, если АВ = 3 см, CD = 5 см. 72 J^eiuefiue. Так как четырехугольник_________ АВ +_____= ВС +______=__+ 5 =_____(теорема__) Следовательно, периметр равен 2 •_=___(см). см. около окружности, то в параллелограмм вписана окружность. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см. J^euieHUe. Пусть стороны параллелограмма равны а и Ь см. Тогда а +________= Ь +___(теорема_). Значит, а_Ь, то есть параллелограмм является _______________________________. Сторона ромба равна 36_4 =_см. 0/п£е*н: см. 75. Описанная окружность Г А. Определение. Если ____ вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется_____________около многоугольника, а многоугольник в эту окружность. J На каких рисунках изображен многоугольник, вписанный в окружность? Ответ обоснуйте. № П S о > » ж О я ж г> > Ж ж > ж о ж ж о а •н ж 73 Offi£efH. Многоугольник вписан в если все его лежат на окружности. Все вершины многоугольника на окружности на рисунках Г Б. Теорема. Около треугольника можно окружность, и притом J 8 Постройте окружности, описанные около каждого из данных треугольников. а) б) J^eiueHUe. 1) Чтобы найти центр описанной окружности, найдем точку пересечения_______________перпендикуляров к_______сторонам треу- гольника. 2) Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до какой-нибудь_____________треугольника. В окружность вписан треугольник НМР так, что иРЯ = 98°, иЯМ = 102°. Определите вид треугольника. J^euieHue. Так как окружность____________около треугольника, то каждый угол треугольника является ______________углом, и поэтому имеем: ZM = иРЯ = -2 ZP = -U 2 (теорема о Я угле). Величину угла Я найдем по теореме о_ ZЯ = 180° _(ZM_ZP) = 180° - (_ . Треугольник НМР является _ углов треугольника: +_____) =____. 74 10 Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. Найдите радиус описанной около него окружности. Закончите чертеж. ^Решение. 1) Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза (с) является _____________, то есть с =_Я, где Я — радиус окружности. 2) Так как треугольник равнобедренный, то его катеты______. 3) Найдем гипотенузу по теореме___________: ___а^. Откуда с=^1 ~=__-у/ или 2Я=_____yj , Я=(___л/2)_2=_____см. Otn£effi. см. 11 Трапеция ВСНМ с основанием ВМ вписана в окружность. Найдите углы С, Н и М, если ZB = 76% и определите вид трапеции. Закончите построение на чертеже. J^euieHUe. 1) Углы В и С прилежат к _______________ стороне трапеции, следовательно , ZB -Ь ZC=_(свойство___________________ углов). Значит, ZC = - ZB = 180° - 2) ZB -1- ZH =______ (теорема__). Значит, ZH =_______- ZB = 180° -_____= 3) ZC___ZH, следовательно, трапеция — и поэтому ZM = Z = z OtfieefH. ZC Трапеция — , ZM = № а s о > а а > а о а а г» > а а > а о а а о о а 75 Замечхялие. Аналогичные рассуждения можно провести для угла В любой градусной меры. Следовательно, любая трапеция, вписанная в окружность, являете*_____________________. 12 Можно ли описать около четырехугольника окружность, если его углы, взятые последовательно, равны: а) 40°, 80°, 140° и 100°; б) 40°, 140°, 100° и 80°. Ответ обоснуйте. J^eUie/Uie. Так как углы_______________выписаны последовательно, то противоположными углами являются первый и_______, второй и______________. Если около четырехугольника можно описать окружность, то______противоположных___________равны______. Проверим выполнение этих условий для каждого случая. а) 40‘ +__= 180°. Равенство верно. 80° -Ь____=____. Равенство_________. Следовательно, около этого четырехугольника описать окружность б) 40° -Ь = 180°. Равенство Следовательно, около этого четырехугольника описать окружность Ofn£etfi. а) б) 76 Глава IX Векторы Понятие вектора 76. Понятие вектора А. Определение. Вектор — отрезок. Р Вектор р или вектор Вектор ВВ или вектор. вектора Нулевой вектор — вектор, начало и , которого > В иначе говоря, нулевой вектор — это начало вектора • плоскости. J Заполните таблицу: Вектор а Ь с d е 0 Начало вектора А А Конец вектора В Вектор АВ Укажите на рисунке стрелками векторы: DE, HF, FK, КН и DF. Н а о » н S м W W Ж |Н о 77 Зачеркните названия величин, не являющихся векторными величинами: скорость, время, расстояние, масса, ускорение, сила, мощность, температура, плотность, вес, длина, площадь. Б, Определение. 1) Длиной (____ ) ненулевого вектора МР называется отрезка___, что записывают так: \МР\ = 2) Длина нулевого вектора равна , что записывают так |01 = Найдите модули векторов, изображенных на рисунке, если длина стороны клетки равна 1 см (ответ обоснуйте). Длина стороны клетки на рисунке | равна 1 см. Изобразите вектор п с началом в точке А и концом в точке Б, С, Б, или ЬГ, если =^5. Сколько решений имеет задача? : таких векторов можно изобразить ___:______________. I i I i I il см I 1 I \В Ai . \E H\ 78 77. Равенство векторов Г А. Определение. 1) Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они ле- жат на прямой или на прямых. 2) Нулевой вектор коллинеарен вектору. J На рисунке изображена равнобедренная трапеция ЕСНМ. Зачеркните в данном списке пары неколлинеарных векторов. а) СН и ЕМ у СЕ и ЕС, СО и ОН, Н б) СН и МО у СО и МС у ММ и ЕН, в) ОЯиОМ,ОЯиСО,ОЯиОЕ, г) СЕ и НМ у ЯМ и Щ} у Ш} и ЁО. /Г Б. Определение. 1) Ненулевые коллинеарные векторы ттг и р, не лежащие на одной ____________направленными прямой, называются тТТ р 2) Нулевой вектор _ что записывается так m't-lp любому вектору плоскости. Н о » н S tn ы м ж ►н о г =J 79 На рисунке изображен параллелограмм ВСНМ, точка О — точка пере- сечения диагоналей. Запол ВС МН у вм СН у вм МВ у МО МСу мд ос у мд со у ом ССу нн нм Я /Г р и \т\_____\р |, что В. Определение. Векторы тир называются равными, если т _ записывают так: т = р . Замечание. Из определения следует, что равные векторы коллине-арны, т.е. т ||_. V 8 На рисунке изображен квадрат НМРТу точка С — точка пересечения его диагоналей. Вставьте знаки «=» или i i r ' 1 i h j 0 ol !ai 1 1 L— I 1 ; 1 1 L Д) 1 i i Э A 1 1 b f 1 Л... ^ е) О Ь I 81. Сумма нескольких векторов А. Правило многоугольника. а) Постройте сумму векторов Pi+ Р2+Р3+ Р4 по правилу многоугольника, отложив вектор Pi от точки А, б) Постройте сумму векторов Р4+Р3+Р2+ Pi по правилу многоугольника, отложив вектор р^ от точки В. 84 Применяя законы сложения векторов, найдите сумму векторов: Si)AB+CD + BK + KC\ ‘ ^ ‘ б) DF + EM + PD + MP + FE J^euieHUe. а) Используя переместительный и_ за- коны сложения, переставим слагаемые так, чтобы конец предыдупце-го вектора являлся ______________ следующего, и применим правило AB+CD + BK + KC=AB+BK + + б) DF + EM + PD + MP+FE=DF + -f -Ь -I- 82. Вычитание векторов /Г А. Определение. Разностью векторов тир называется такой вектор г, что r-f р=_. Построение разности двух векторов тир , Отложим от произвольной_______О векторы ОМ=тиОР=р. По правилу__________ значит, по__________ т М ОМ=ОР + о разности векторов к т-р=ОМ - На каждом рисунке изобразите третий вектор так, чтобы один из векторов стал вектором разности двух других, и заполните пропуски в записях. о » о ва tti ж S tn м г: ж ж ж ж м » м ж •н о ж о » 85 ЗамеН41Ние. Если разность векторов находится по правилу треугольника, то начало вектора разности является_____вычитаемого вектора, а конец вектора разности — концом_______вектора. Г Б. Определение. 1) Ненулевые векторы ттл.р называются противоположными, если1)т7г_р и 2) —► —* т Р V вектор. Вектор, противоположный вектору т-» обозначают J Г в. Следствия. V. 1) Вектор МР является противоположным вектору 2) Если т=ОМу то т+(^-т^=ОМ+__=__. Г г. Теорема. Для _______ векторов т 'О. р справедливо равенство V m-p=i7i + (__). 86 # Упростите выражения: Решение Обоснования ^)ан-вн+вм= АН+(- )+ВМ = =АН+НВ+ВМ = Теорема Следствие Правило ^)^+НЕ-^-НВ= =АВ+НЕ + (- )+( )= Теорема Следствие и сочетательный законы =^+НЕ+СА + Правило =СА+АВ+ +НЕ= 8 Найдите вектор jc, если а) дс-BA=МБ , б) ВА-х=ВС , в) х+СН=ВН . J^etdieHue. 2^ х=МВ______ВА=_______, б) ВА=ВС л:, откуда х=ВА ВС=ВА+____________=СБ + в) х=ВН__СН=ВН+ Г Л Д. Построение разности векторов. Построить разность векторов тир. Правило треугольника Правило параллелограмма У м т о7 о7 Р 1) ОМ=т^. 2) МР=-р. 3) m-p=m + (-p)= =ОМ + 1) ОМ=т. 2) ОР=-р. 3) РОМТ — параллелограмм. А)т-р=т + {-р)= =ОМ + \= п и о * щ S S м ео § S S м Ю ьп Ж о ж о ю J 87 Постройте разность векторов ОА и S, используя правило треугольника и правило параллелограмма так, чтобы начало вектора разности находилось в точке О. 10 " Постройте вектор х — разность векторов ОБ и с так, чтобы начало вектора X находилось в точке О. а) с о ь г в Л йГ б) с 6 I. ]\ I х=ОВ-с=ОВ+ х=ОВ-с=ОВ+ 11 Дан параллелограмм ABCD. Постройте указанные суммы и разности векторов, лежащих на его сторонах. А D АВ+АБ=___ ав-а5= А св+с5=_ св-с5= D 88 Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 83< Умножение вектора на число Г А. Определения. 1. Произведением ненулевого вектора р на число х называется _________т такой, что , б) m tT р, если X_О или т _ а) т =\х\ р , если X < Записывают это так: т_хр .. числа X. К. 2. JC • о = для J (Г к Б. Следствия. 1. Произведение_________ вектор. 2. Для любого числа х и хт вектора и числа О есть вектора т векторы т и J Отрезки АВ, ВС^ СН и НМ равны и лежат на одной прямой. Найдите значение множителя х в равенствах: а) АН=хАВ, б) АМ=хВС, в) АН=хВА, г) АН=хМВ. В + я 4- м +- J^eiueHUe, Чтобы найти значение множителя jc, надо найти его модуль и________. Из________________умножения вектора на число следует, ___________векторов, при этом л: > О, что модуль X равен отношению если векторы____________ _, и л: < О, если векторы противо- положно направлены. ч; з; ж о 36 м Ж Ж м U W Ж м о S ж > ж ж о ж о 89 а) |^:|=Aff Итак, X = б) |л:| = АВ =3:__=____, АН_____АВ , следовательно, л:_0. =4:___=__, AM______ВС, следовательно, JC__0. АМ:\_ Итак, X =_____, в) |д:|=__:___=____:__=___, АН_____ВА, следовательно, х___0. Итак, X =_____, г) Н=_______ , АН_____МВ , следовательно, х 0. Итак, X = а)х =____, б)х =____, в)х =____, г) д: = Г Для любых векторов m и р и 1){ху)т=х(____)_________ чисел хиу верны равенства: закон. 2) (^х+у)р=хр+__первый 3) х^т+р^=хт+___второй закон, закон. J Упростите выражение: а) 1,5-(4п), б) 5,2р+б,8р , в) 5с-4(о,56+1,2с) • О^осно^анил а) 1,5 • (4Я) = (1,5 • )п= п закон б)5,2р+6,8р=Г5,2+ 1 = Б 1-й распределительный в) 5с-4^0,56+1,2с)=5с- Ъ 4,8с= =(5 4,8)с 2 = с 26 распредели- тельный закон распредели- тельный закон 90 Постройте вектор с=2а—Ь по правилу треугольника и по правилу па- 3 раллелограмма. Построение по правилу треугольника. 1) Отложим от точки О вектор ОА=2а . 2) Отложим от точки _ вектор АВ=____. 3) Построим 4) с=ОА+__ ОАВ а) Построение по правилу параллелограмма. 1) Отложим от точки М вектор б) МА=2а. 2) Отложим от точки _ вектор МВ=_____. 3) Построим АМВС 4)с=МА + . < » о п ж S m U tn Ж •н о г ж > ж г> Ж О 84. Применение векторов к peuieuulo задач Определите вид четырехугольника ABiifM, еслп АВ=—0,75НМ . Сделайте чертеж и обоснуйте ответ. Четырехугольник АВНМ — ___________, так как векторы АВ и НМ _________________, но_________. А В г 1 1 Я ! 1 ! 91 Докажите, что если точка М — середина отрезка БС, то для любой точки X плоскости верно равенство ХМ=—{ХВ+ХС^. Доказательство. Случай 1. Точка X совпадает с точкой М. Тогда ХМ=ММ=__, ХС =МС=ВМ. _ 1 Значит, ^(ХВ + ХС) = ^(МВ + ВМ) = j- 1 Итак,ХМ = -(ХБ+ 2 Случай 2. Точка X с точкой М. Тогда ХМ=ХВ+ ХМ=+ СМ . Сложив равенства почленно, получим 2ХМ=ХВ+ХС+ВМ+_ Т.к. то 2ХМ = ХВ+ . Т.е. ХМ =-( ХВ+ X -4- = ^{МВ + {- м -»4 X поэтому -)• Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения ее диагоналей лежат на одной прямой. Доказательство. Пусть точка М — середина основания БС, N — середина основания AD, а диагонали пересекаются в________Р. М Треугольники APD и СРВ подобны по ___________ признаку подобия треуголь- ников, следовательно. РА DP =k. Отсюда получим РА = k PD = _- РВ. Векторы РА и РСу а также РВ и__ этомуPA=-k_____, PD=____РВ.РМ направлены, по- =___|бБ + БС| (смотри задачу № 6). 92 PN =\{PA^______________)4(-*)(_+PB)=—PM. Следовательно, векторы PN и РМ общее___________, то они лежат на , а так как у них прямой. Докажите, что если точка М — точка пересечения медиан треугольника АВС, а точка О — любая точка плоскости, то верно равенство ОМ=|(ш-ьОБ-нОС). Доказательство. Пусть точка — середина стороны ______ треугольникаАВС, а его медианы пересекаются в_______М. Тогда ОМ = Ов1_В^М ; ОВ[ = ^{оА -Ь (задача 6). По свойству медиан 1 /— 1 — 1 В Б,М = |^В = -(ОВ_0^)=-ОБ-=.-(_+ОС) = -_--(ОА + Подставим в первое равенство вместо ОВ^ и_полученные выражения: ОМ = -[ОА + 2 + -0В--10А ОС 3 1 1 1 1 ОА + -ОВ + .2 6, 2 “б. = -ОА+- -Ь—ОС = 3 3 — -Ь___, что и требовалось 85. Средняя линия трапеции •< X » о S м W м J3C н о г S > л S о 93 8 На каких рисунках отрезок НМ является средней линией трапеции? OtfijeefH : на рисунках (Г Б. Теорема. Средняя линия трапеции основаниям и равна их Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 15 и 17 см. J^eiueHUe. Пусть в трапеции АВСН основаниями являются стороны АВ и_____, а отрезок МР — ее средняя линия. ___(см)(теоремао___________ ТогдаМР=____(АВ+______)=-*(15+_____)=. 2 линии трапеции). G/fi£e/^: см. 10 Дано: ВСНМ — трапеция, БСЦНМ, ВС = 10 см, точки А VL Р — середины сторон ВМ и СН соответственно, АР =13 см. Найти длину стороны jRTM. J^euieHUe. 1) АР — средняя линия трапеции (по___________________). Н 94 2) AP=—i^BC+___) (теорема о 2 трапеции). 3) Подставив данные в формулу, получим уравнение ^=~{ВС+ Отсюда МН = 2 0/яе&я.мн= 11......... (см). см. Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции, если ее стороны равны 8, 10, 8 и 14 см. ^^ешение. а) Трапеция равнобедренная, значит, ее__стороны равны. Тогда основания трапеции равны 10 и___см, а ее средняя линия равна___• (10 -Н__) =____=______см. О^кве/й: см. 11 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 6 см, один из ее углов равен 120°, а средняя линия трапеции равна 15 см. Найдите площадь трапеции. J^eiueHUe. Пусть АВСН — равнобедренная трапеция, ЛВ = б см, /ЛВС = 120'. •( + )'ВМуГдеВМ — _ площадь 'Авен * (— Отсюда следует что площадь трапеции на высоту тргшеции. равна Н трапеции. произведению Высоту трапеции найдем из_____ ZA = 180°__120° =____(свойство Из треугольника АВМ. __углов). ВМ =____ с = Авен - ____________синуса следует, что sinA = 6 • sin__= 6____=______см. = см^. см^ «< » о m Я S м » m Ж н о я > я я 95 Учебное издание Глазков Юрий Александрович Камаев Петр Михайлович РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ГЕОМЕТРИИ 8 класс К учебнику л. с. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7-9 классы» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС Ри.ПЩ01.Н00199 от 19.05.2016 г. Главный редактор Л. Д. Лаппо Редактор И. М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Технический редактор Т. В. Фатюхина Корректоры А. В. Полякова, Л. И. Иванова Дизайн обложки С. М. Кривенкина Компьютерная верстка О. И. Яшкина, М. А. Серова 107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 8(495)641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru По вопросам реализации обращаться по тел.: 8(495)641-00-30 (многоканальный).