Рабочая тетрадь по геометрии 7 класс Погорелов - Мищенко

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 7 класс Погорелов - Мищенко - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ш СК Г] ФГОСЙ Т. М. Мищенко и ♦ Рабочая ц тетрадь по геометрии К учебнику А, В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» учени_________класса_____ школы класс [ЭКЗАМЕН J Учебно-методический комплект J, М. Мищенко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 7 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2014 УДК 373:514 ББК 22.151я72 М71 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебного издания «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. организаций / А. В. Погорелов. — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Мищенко Т. М. М71 Рабочая тезрадь по геометрии: 7 класс: к учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. организаций» / Т. М. Мищенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2014.— 1П,[1] с. (Серия «Учебно-методический ком-ruieicD)) ISBN 978-5-377-07768-8 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к переработанному в соответствии со Стандартом второго поколения учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Рабочая тетрадь для 7-го класса рекомендуется для организации учебной деятельности учащихся на уроках. Предлагаемые в рабочей тетради задания удовлетворяют требованиям, предъявляемым Стандартом второго поколения, как к обязательному уровню, так и повышенному уровню сложности. Форма заданий соответствуют форме заданий Государственной Итоговой Аттестации (ГИА). Использование рабочей тетради в учебном процессе позволит осуществить: во-первых, достижение каждым учеником уровня обязательной геометрической подготовки, и, во-вторых, сформировать у >щашихся умение применять полученные знания, как в стандартных ситуациях, так и в несколько отличных от обязательного уровня. Использование рабочей тетради позволяет сэкономить время учителя при подготовке к уроку, а также время и на самом уроке и выполнить большее число заданий с записью в зетради. А у школьников будет хороший конспект по курсу 7-го класса, который, несомненно, поможет лучшему усвоению свойств плоских фигур, методов решения задач. Кроме того, рабочая тетрадь будет полезна и родителям, которые смогут следить за уровнем теоретических знаний своего ребенка и его умением решать задачи. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 3,53. Уел. печ. л. 9,1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 5676/13. ISBN 978-5-377-07768-8 Мищенко Т. М., 2014 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2014 СОДЕРЖАНИЕ §1. Основные свойства простейших геометрических фигур 1-2. Геометрические функции. Точка и прямая..............4 3. Отрезок...............................................9 4. Измерение отрезков.................................. 10 5. Полуплоскости....................................... 19 6. Полупрямая...........................................21 7. Угол.................................................22 8. Откладывание отрезков и углов........................26 9. Треугольник..........................................29 §2. Смежные и вертикальные углы 14. Смежные углы........................................33 15. Вертикальные углы...................................37 16. 17, 18. Перпендикулярные прямые.....................41 Доказательство от противного. Биссектриса угла..........41 §3. Признаки равенства треугольников 20. Первый признак равенства треугольников..............44 22. Второй признак равенства треугольников..............47 23. Равнобедренный треугольник..........................50 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника..........59 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника.......59 27. Третий признак равенства треугольников..............63 §4. Сумма углов треугольника 29. Параллельность прямых...............................66 33. Сумма углов треугольника............................72 34. Внешний угол треугольника...........................72 35. Прямоугольный треугольник...........................77 §5. Геометрические построения 38. Окружность..........................................84 39 Окружность, описанная около треугольника............87 40. Касательная.........................................87 41. Окружность, вписанная в треугольник.................87 42-47. Задачи на построение.............................95 48. Геометрическое место точек.........................101 49. Метод геометрических мест..........................101 Систематизация и обобщение знаний..........................103 Основные свойства простейших геометрических фигур________ 1-2< Геометрические функции. Точка и прямая Какие фигуры составляют орнамент на рисунке? OtHJeetfi: Назовите пространственные фигуры на рисунке. 0^н£е*н: По рисунку ответьте на вопросы: 1. На каких прямых лежит точка А? 2. Каким прямым принадлежит точка Б? 3. Лежит ли точка Б на прямой п? Offieeffi: 1. Точка А лежит на прямых тип. 2. Точка В принадлежит прямым т и k. 3. Точка В лежит на прямой к. Внимательно прочитайте ответы на вопросы задачи № 2, и по образцу ответьте на вопросы задач № 3-5. По рисунку ответьте на вопросы: 1. На каких прямых лежит точка А? 2. Каким прямым принадлежит точка Б? 3. Лежит ли точка В на прямой я? OffieeiH: 1. Точка А лежит на прямых _ 2. Точка В принадлежит _______________ 3. Точка В По рисунку ответьте на вопросы: 1. Через какие точки проходит прямая яг? 2. Какие точки лежат на прямой я? 3. Каким прямым принадлежит точка G? 1. Прямая т проходит через точки 2. На прямой я ________________ 3. Точка G По рисунку ответьте на вопросы: 1. Через какие точки проходит прямая gl 2. Какие точки лежат на прямой /? 3. Каким прямым принадлежит точка Q? 4. Каким прямым принадлежит точка С? 5. На каких прямых лежит точка D1 OfHJeeffi: 1. Прямая g проходит через точки _____ .А т. .В С D .Е F .G I го *-а m о м Hi « о ж S м § S3 ж J=i S X ч о из а ж ж X > ж 2. На прямой f лежат точки 3. Точка Q________________ 4. Точка С принадлежит прямым 5. Точка D лежит на прямых _ Проведите прямую q. Отметьте точку П, лежащую на прямой q. Проведите прямую /, проходящую через точку D. Отметьте на прямой f точку Н, не принадлежащую прямой q. Через точку Н проведите прямую е, пересекающую прямую q. Обозначьте точку пересечения прямых е и q буквой F. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости: I. Какова бы ни была прямая, существуют точки,__________ Через любые две точки можно 8 Через точки А и В проведите прямую. 1. Всегда ли можно провести прямую? Ofn€efH : Прямую можно провести____ .А 2. Сколько прямых можно провести через точки А и В? 0/ft^effi: Через точки А и В можно провести_____________ В Обозначьте прямую АВ какой-нибудь строчной латинской буквой. Otn£etfi: Прямая_________________• А В 10 Обозначьте прямую k двумя прописными латинскими буквами. Прямая_______________________. 11 Обозначьте прямую на рисунке двумя способами. 0^н£е1н: Прямая___________ или 12 Точка А принадлежит прямой СВ. Различны ли прямые АВ и СВ? (Сделайте рисунок к задаче.) к Решение По условию задачи точка А принадлежит прямой СВ. Значит прямые АВ и СВ проходят через две общие точки А и С, а по основному свойству принадлежности точек и прямых на плоскости через две точки можно провести только одну прямую. Значит прямые АВ и СВ не могут быть различными. Otfi£etH: АВ и СВ — разные обозначения одной прямой. Л J Внимательно посмотрите решение задачи №12. Решение задачи №13 аналогично. I •-а и о з; м 1-3 is: «Хц о ж S W 13 Точки А ш В принадлежат прямой q. Различны ли прямые АВ и q? (сделайте рисунок к задаче.) Решение проходят По условию задачи прямые _______________________ через две____________, а по основному свойству принадлежности S S HI о л ж > ж ж ж S £ 7. точек и прямых на плоскости через OfHj6etH. . Значит, прямые 14 Различные прямые f и h пересекаются в точке G. Прямая f проходит через точку В. Проходит ли прямая h через точку Б? (Сделайте рисунок к задаче.) ^Решение 1гЙ_СПОСОб. Если бы прямая h проходила через точку Б, то через точки G и В проходили бы две прямые ______и______. А по основному свойству принадлежности точек и прямых на плоскости через _____________ точки может провести __________________________________. По условию задачи прямые f __________проходит через точку и h различные. Значит, прямая Прямая h не проходит через точку_________________________ 2-й способ. Прямая h не проходит через точку В, так как две различные прямые могут пересекаться только в одной точке (задача №3 §1 учебного пособия.) OtnjSetn: Прямая h не проходит через точку В. Внимательно посмотрите решение задач №№ 12-14. Решите задачу №15 самостоятельно. 15 Одна из двух пересекающихся прямых проходит через точку Б, принадлежащую другой прямой. Различны ли точка Б и точка пересечения данных прямых? (сделайте рисунок к задаче.) Тешекие OtHJeeffi: 3. Отрезок 16 Проведите прямую q. Отметьте на прямой точки А и В. 1. Отметьте точку С так, чтобы точка А лежала между точками С и В. 2. Отметьте точку D так, чтобы точка В разделяла точки А и D. 3. Отметьте точку F так, чтобы точка F лежала между точками А и В. 4. Отметьте точку Е так, чтобы точки А и С лежали по одну сторону от точки Е. 5. Отметьте точку G так, чтобы точки В и D лежали по разные стороны от точки G. Сформулируйте определение отрезка и его концов: I. Отрезком называется_______________________________________ концами отрезка. 17 Назовите все отрезки, изображенные на рисунке, у которых один конец находится в точке F. и> О н trl Ы О ж OtHJeeffi: 18..................................... По рисунку ответьте на вопросы: 1. Каким отрезкам принадлежит точка А? 2. Какие точки принадлежат отрезку BD1 3. Принадлежит ли точка С отрезку БП? 4. Принадлежит ли точка Е отрезку AF1 1. 2. _______________________________ 3. Точка С принадлежит отрезку BD, так как она лежит между точками___________и____ 4. Тонка Е___________отреши_______ между точками________и___________. , так как она Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой: II. Из трех точек на прямой лежит 4. Измерение отрезков Сформулируйте основные свойства измерения отрезков III. Каждый отрезок______________________________ . Длина отрезка равна 10 19 Найдите ошибку в записи длин отрезков: а) АВ = 37 см; б) CD = -7 см; в) ЕЕ = 3 см; г) GЯ = 9 см; д) RQ = -13 см; е) NM = -4 см; ж) VU = 21 см; з) KL = 1 см; и) LM = 8 см. Otii€e/H : Ошибка допуи^ена в записи длин отрезков так как длина отрезка ____________________________ 20....................................... На прямой последовательно отмечены точки А, В, и С. Запишите отрезок АС в виде суммы двух отрезков. (Сделайте рисунок к задаче.) 21............................................ На прямой последовательно отмечены точки А, By С и D. Запишите отрезок AD в виде суммы двух отрезков. (Сделайте рисунок к задаче.) GtHjeeffi: 22 На прямой последовательно отмечены точки А, В, С и D. Представьте сумму отрезков АВ и CD в виде разности двух отрезков. (Сделайте рисунок к задаче.) Offieeffi: 23....................................... На прямой последовательно отмечены точки А, Б, С и D. Запишите отрезок ВС в виде разности двух отрезков, (сделайте рисунок к задаче.) Otn€e^: 24 На прямой отмечены три точки Е и Dy так что точка Е лежит между точками F VI Dy при этом ЕЕ = 8 см, ED = 5 см. Найдите длину отрезка FD, X ы X m W X X м О w Сл7 Ж О W 11 Решение OtHJeetfi: FD = см. 25............................. На прямой отмечены три точки S, Т и Ry так что точка Т лежит между точками S и Д, при этом SR = 8 см, TR = 5 см Найдите длину отрезка ST. Решение Oin£eifi: ST = 26............ CM. По рисунку определите длину отрезка СЕу если DE = 10 см, CD = 7 см. Решение 0fHj6effi: FD = см. 27 Точка В лежит на прямой п между точками А и F, Известно, что АВ =3 см, BF = 7 см. Определите длину отрезка AF. (Сделайте рисунок к задаче.) Дано: В € AF; АВ = BF = 7 см. Найти: AF. Решение OfftSeffl: AF = см. 12 28.................................. Точка В лежит на прямой AF между точками А и F. Известно, что АВ = 3 см, AF = 7 см. Определите длину отрезка BF, (запишите условие задачи и сделайте рисунок.) Дано: _________________________ Найти: Решение 0^i£efH: BF = см. На примере следующей задачи покажем, как надо правильно оформлять решение задачи по геометрии. 29 Точка Е принадлежит отрезку FD. Найдите длину отрезка FD, если FE = 7 см, ED = 4 см. (Г Дано: Ее FD\ 1 FE = 7 см, ED = 4 см. F .Е D Найти: FD Так мы рассуждаем при решении Так мы записываем задачи решение задачи в Так как точка Е принадлежит отрезку тетради FD, то она разбивает его на два отрезка Решение. FE и ED. Значит, по основному свойству Е е FD, измерения отрезков («Длина отрезки FD = FE + ED (по основ- равна ермшЛаин частей, на которые ш ному свойству III) разбивается любой его точкой»)-. FD = 7 см + 4 см = FD = FE + ED. = 11 см. Подставляя значения длин отрезков 0^e^:FD = 11см. ED = 4 см и FE = 7 см, данные в уело- вии задачи, получим: FD = 7 см + 4 см = = 11 см. Jj ьо 'S. W ►TJ W » W о t-i т CJ 54 О W 13 Внимательно посмотрите решение задачи №29. Решите задачи №№30, 31 самостоятельно. Оформите решение задачи так, как оформлено решениие задачи в правом столбце. Записывать подробные рассуждения, которые мы делаем по ходу решения задачи, не надо. 30 Точка К принадлежит отрезку LM, равному 23 см. Найдите длины отрезков KL и КМ, если отрезок KL на 5 см короче отрезка КМ. Дано: _________________________ Найти: Т^ешенме Offieetn: KL = ; КМ = см. 31 Точка Q принадлежит отрезку PR, равному 21 см. Найдите отрезки QP и QR, если длины отрезков QP и QR относятся как 4:3. (Сделайте рисунок.) Дано: QePR; PR = 21 см; РО Найти: PQ и QR. J^euteH4ie QR =A ; 3. 14 0»п£е*н: PQ = см; QR =_ см. Внимательно посмотрите решение задачи №32. Попробуйте решить задачи №№ 9-13 из §1 учебного пособия самостоятельно. Записывать рассуждения, которые мы делаем по ходу решения задачи, не надо. 32.......................................................... Точки А, в и с лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 5 см, а АВ = 7 см? /Г Дано: АС = 5 см, АВ = 7 см. Определить: Разделяет ли точка В точки А и С? Так мы рассуждаем при решении задачи 1) Предположим, что точка В разделяет точки А и С, тогда она принадлежит отрезку АС и по основному свойству измерения отрезков (длина отрезка- рлвна сумме длин частей, на каторме он разбивает-, ся любой его точкой): АС =АВ + ВС. 2) Подставляя значения длин отрезков АС = 5 см иАВ = 7 см, данные в условии задачи, получим: 5 см = = 7 см + ВС. По основному свойству измерения отрезков (каждый отрезок имеет, опр-едежниую длину, бильшую нуля) длина отрезка ВС больше нуля, т.е. 5 см ^ 7 см + ВС. Значит, АС ^ АВ + ВС. Получили противоречие. Значит, точка В не разделяет точки А и С._ В Так мы записываем решение задачи в тетради Тешение 1) ПустиВ-^.А£^. тогда АС = АВ -\- ВС (по основ-ному свойству 1LI) 2) ВС > О (по основному свойству III), поэтому 5 см Ф 7 см -\- ВС. Значит, АС Ф АВ + ВС. GffieefH: Точка В не разделяет точки А и С. Решите задачу № 33 по своим рассуждениям аналогично задаче 32. Самостоятельно, оформите решение задачи в правом столбце так, как оформлено решениие задачи в правом столбце задачи 32. В левом столбце записаны подробные рассуждения, которые помогут правильно записать решение задачи. S ш IS m м » W о ►ч W со ж о ю 15 33............................................................ На прямой а отмечены точки А, В и С так, что АВ = 12 см, АС = 3 см, ВС = 15 см. Определите последовательность точек. /Г Дано: А е а; В е а; С G а; АВ = 12 см, АС = 3 см, ВС = 15 см. Определить: последовательность точек А, В и С. Так мы записываем решение задачи в тетради Так мы рассуждаем при решении задачи Тешение По условию точки А, Б и с лежат на одной прямой, тогда по основному свойству II одна и только одна из точек А, Б и С лежит между двумя другими. С В 1) Пусть CgAB, тогда по основному свойству измерения отрезков (длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой): АВ = АС + СВ, По условию АБ = 12 см, аАС + СВ = = 3+15 = 18 (см), то есть АВ <АС + БС, значит, АБ ^ АС + БС. Следовательно, С^АВ. В С 2) ^ . Пусть ВеАС, тогда по основному свойству измерения отрезков: АС = АБ + СВ. По условию АС = 3 см, а АБ + БС= = 12 +15 = 27 (см), то есть АС < АБ+ + БС, значит, АС ^ АВ + ВС. Следовательно, В ^АС. 1) 2) V 16 (Г 3) в Пусть АеВС, тогда по основному свойству измерения отрезков: СВ = = АВ + АС. По условию ВС = 15 см, а. АС +АВ = 3+12 = 15 (см), значит, ВС = АС + АВ. Следовательно, точка А принадлежит отрезку ВС. Мы проверили все возможные расположения точек А, Б и С на прямой а. При этом только одна последовательность точек удовлетворяет условию задачи, а именно последовательность точек Б, А, С. 0>яе&а: 3) в решениях задач №№30 и 31 заполните пропуски. 34 На отрезке HG, длина которого равна 2а, отмечена точка Б, Найдите расстояние между серединами отрезков DB и BG. U W *Х1 » S W о ♦-3 м ж о W 17 35*...................................................... Отрезок, равный 45 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 27 см. Найдите длину среднего отрезка. 'Г Дано: С^АВ; DeAB; АВ = 45 ом; OQj_^2_7 см,„О — середина ЛС; О^-середина BD, Найти: CD Решение CgAB;DgAB, значит: АВ= ас + + CD + DB (по основному свойству III); О € АС W Oj € DB, значит: АВ = АО + ОО^ + О^В (________________________________); отсюда АО + ВО^ = АВ - 00^ = 45 см - 27 см = 18 см, так как АВ = 45 см W 00^ = 27 см; По условию АО = ОС и DO^ = О^В; тогда АО + ВО^ = DO^ + СО = = 18 см; (закончите решение задачи.) Л OOj = (. .); OtfLeetfi: CD = см. 36*............................ На прямой от одной точки в одном направлении отложены три отрезка, сумма длин которых равна 28 см, так, что конец первого отрезка служит серединой второго, а конец второго — серединой третьего. Найдите длину большего отрезка. Дано: _______________________ Найти: __________ 18 ^Решение см. 5. Полуплоскости Сформулируйте основное свойство расположения точек отно сительно прямой: IV. Прямая __________________________________________ 37 .......................................... а) По рисунку назовите отрезки, у которых один конец находится в точке А, а другой в одной из обозначенных на рисунке точек, и которые при этом не пересекают прямую т. (нарисуйте все отрезки, удовлетворяющие условию задачи.) 0*п£е*н: Qmp e djcu____________________________ б) По рисунку назовите отрезки, у которых один конец находится в точке А, а другой в одной из обозначенных на рисунке точек, и которые при этом пересекают прямую т, (нарисуйте все отрезки, удовлетворяющие условию задачи.) Отрезки______________________________ 38 .......................................... Проведите прямую q. Концы отрезка АБ принадлежат одной полуплоскости. Пересекает ли отрезок АВ прямую ql G/fi£e/H: Отрезок АВ________________________ прямую q. б) Концы отрезка АБ не принадлежат одной полуплоскости. Пересекает ли отрезок АБ прямую 9? Ofn£efn: Отрезок АВ_________________________прямую q. ЦП О а о о « о Г5 19 39........................................................... а) На сколько частей разделят плоскость две пересекающиеся прямые? OtHjSeifi: Две пересекающиеся в одной точке прямые разделят плоскость на___________________________. б) На сколько частей разделят плоскость три прямые, пересекающиеся в одной точке? OtHJeeffi: Три пересекающиеся в одной точке прямые разделят плоскость на 40 На сколько частей разделят плоскость три попарно пересекающиеся прямые? (Сделайте рисунок.) Три попарно пересекающиеся прямые разделят плоскость на______________________ 41* Торт, украшенный семью розочками, тремя прямолинейными разрезами разделили на куски так, чтобы на каждом куске оказалось ровно по одной розочке. Покажите на рисунке, как это можно сделать? 42.............................. На листе бумаги проведена извилистая замкнутая линия, которая делит лист на две части (внутреннюю и внешнюю.) От листа бумаги остался небольшой клочок, на котором отмечены две точки А и В. Определите, принадлежат эти точки одной части листа или разным. OtHJeetti : Точки принадлежат_____ 20 6. Полупрямая Сформулируйте определение полупрямой (луча), начала полупрямой и дополнительных полупрямых. Полупрямой или лучом называется Эта точка называется Различные полупрямые , называются дополнительными. 43 Назовите все лучи, изображенные на рисунке, с началом в точке N. Offieeifi: Лучи:______________________________ К -N L Ж 44....................................... Обозначьте полупрямую АВ какой-либо строчной латинской буквой. Какая точка является начальной для данной полупрямой? Ofn£effi: Луч________с начальной точкой__ В 45 Обозначьте луч k прописными латинскими буквами. Какая точка является начальной для данной полупрямой? Ofn£effi: Луч_________с начальной точкой_____ а р> а о Ж > 46 По рисунку назовите все пары дополнительных полупрямых с началом в точке L. Of^effi: Дополнительные полупрямые_____ К /V ,1 д/ 21 47....................... Сколькими способами можно отложить отрезок ЯР, равный 2 см, на прямой п от точки R. Л 48.. Сколькими способами можно отложить отрезок GP, равный 2 см, на луче т с началом в точке G. OtHjSetfi: т 49 Определите, сколько решений имеет следуюш;ая задача. Решать задачу не надо. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка АС, если: АВ = 4,2 см; ВС = 5,2 см. 1. одно; 2. два; 3. три; 4. решений нет. 50 Определите, сколько решений имеет следующая задача. Решать задачу не надо. Точки А, В и С лежат на луче с началом в точке В. Найдите длину отрезка АС, если: АВ = 2,8 см; ВС = 2,1 см. 1. одно; 2. два; 3. три; 4. решений нет. 7. Угол 22 Сформулируйте определения: угла, начала полупрямой и дополнительных полупрямых: Углом называется фигура,_______________________________ — вершина угла, и — стороны угла. Угол называется развернутым. Луч проходит между сторонами данного угла. 51 Начертите три неразвернутых угла и обозначьте каждый из их одним из трех возможных способов. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых. Otnjeeffi : При пересечении двух прямых образуется неразвернутых угла. 53 В каждом из данных углов проведите луч, проходящий между сторонами угла и обозначьте его. Offi£e/fi: Между сторонами Z______проходит луч______, а^ожду сторонами Z________ проходит____________________________ < ~5 О 23 54 ......................... Между сторонами каких углов проходит луч т ? Луч т проходит между сторонами углов_______________. 55 ......................... Какие лучи проходят между сторонами угла {kq)l OfHJeetfi: Между сторонами угла (kq) проходят лучи:___________ Сформулируйте основные свойства измерения отрезков и углов: 56 Чему равна градусная мера развернутого угла? Градусная мера развернутого угла равна 24 57.......................................... На рисунке ZABC = 17°, а ZCBD = 31°. Найдите величину угла ABD. (Решите устно.) Йлййгв»/ ZABD = 58 На рисунке ZABD = 63°, а ZCBD =15*^ личину угла АВС. (Решите устно.) OtHJeetfi: ZABC = Найдите ве- 59 Между сторонами угла (аЬ), равного 85°, проходит луч с. Найдите углы (ас) и (с5), если угол (сЬ) в четыре раза больше угла (ас.) (внесите обозначения на чертеж и запишите решение.) Дано: Z(ab) = 85°; Луч с проходит между сторонами Z(ab); _____Z(cb) = 4Z(ac.)_____________ Найти: Решение Z(ac) и Z(cb.) O/HJeetn: Z(ac) = ; Acb) = Внимательно посмотрите решение задачи №60. Попробуйте решить задачу №25 из §1 учебного пособия самостоятельно. Записывать рассуждения, которые мы делаем по ходу решения задачи, не надо. *п о 60* Может ли луч с проходить между сторонами угла (ад), если Z(ac) = 27°, Z(cb) = 73°, Z(ab) = 70°? 25 1 л а н о :Z(ac) = 27°. Z(cb) = 73°, Z(ab) = = 70° Определить: Проходит ли луч с меж- / ду сторонами угла {аЬ)1 Так мы рассуждаем при решении за- Так мы записываем дачи решение задачи в 1 1) Если бы луч с проходил между сторо- тетради нами угла (аЬ), тогда по основному свои- J^eiuenue ству измерения углов {«Градусная мера 1) Пусть луч с про- угла равна сумме градусных мер углов, на ходил между сторо- которые он разбивается любым лучом. нами угла {аЬ), тог- проходящим между его сторонами»): да Z(ac) + Z(cb) = Z(ab). Z(ac) + Z(cb) = Z(ab) 2) Подставляя значения градусных мер (по основному свой- углов Z{ac) = 27°, Z{cb) = 73°, Z{ab) =70°, ству V) данные в условии задачи, получим: 27° + 2) 27° + 73° Ф 70°. + 73° = 70°. 3) Значит, Z(ac) + Но 27° + 73° ^ 70°. + Z(cb) Ф Z(ab). 3) Значит, Z(ac) + Z(cb) ф Z{ab), Otfiee^: Луч с не про- Получили противоречие. Значит луч с не ходит между сторо- проходит между сторонами угла {аЬ). нами угла (аЬ). J 8. Откладывание отрезков и углов Cd)ODMvnHDviiTe основные свойства откладывания отоезков и углов: VI. На любой полипрямой от VII. От любой полипрямой 26 61 Сколько отрезков данной длины можно отложить на данной полупрямой от ее начальной точки? (Сделайте рисунок.) Oriieeifi: На данной полупрямой от ее на- чалъной точки можно отложить____________ __________________________данной длины. 62 Сколько отрезков данной длины можно отложить на данной прямой от данной ТОЧКИ?(Сделайте рисунок.) Ofn£etfi: На данной прямой от данной точ- ка можно отложить_________________________ ___________________данной длины. 63 Сколько углов данной градусной меры можно отложить от данной полупрямой в заданную полуплоскость (Сделайте рисунок.) Offi^e/н: От данной полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить__________ _________________________ тиной гра- дусной меры. 64 Сколько углов данной градусной меры можно отложить от данной полупрямой? (сделайте рисунок.) Ofh£efH: Отданной полупрямой можно отложить_________________________________ данной градусной меры. оэ л о >-3 ё й t0 > tn О н W Ы Ж о ж и о ш 27 65........................................... На прямой от точки А отложены отрезки АВ = 13 см и АС = 8 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача? (Сделайте рисунок и запишите решение.) Дано: АВ = 13 см; АС_^ _8_сж, Найти: ВС. J^etdieHue OritgeiH: ВС = 66............ ОШ На полупрямой от её начальной точки А отложены отрезки АВ = 13 см и АС = 8 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача? (Сделайте рисунок и запишите решение.) Д а н о : АВ =13 см; АС ^8 £м._ Найти: ВС. Тешение 0>й£еЛ: ВС = 67......... СМ. От данной полупрямой в одну полуплоскость отложены /АВС = 56° и ZABD = 43°. Найдите /ВВС. Сколько решений имеет задача? (Сделайте рисунок и запишите решение.) ! Дан о : /АВС и /АВВ отложены в одну полуплоскость /АВС = 56!jj ZABII^_43! Найти: /ВВС 28 TeuieHue Otfieeffi: ZDBC = 68................ От данной полупрямой отложены ZABC = 56° и ZABD = 43°. Найдите ZDBC. Сколько решений имеет задача? (Сделайте рисунок и запишите решение.) Дано: ZABC = 56° и ZABD = 43°. Найти: ZDBC. Тешение ZDBC = 9. Треугольник Сформулируйте определение треугольника: Треугольником называется фигура. Сформулируйте определение равных отрезков, углов и треугольников: ю * •н ►d о tr is: ж Два отрезка называются равными, если Два угла называются равными, если 29 Два треугольника называются равными, если 69 Найдите среди данных отрезков равные: АВ = 3 см; CD = 5 см; EF = 3 см; GH = б см; KN = 9 см; LM = 7 см; QR = 3 см; SP = 6 см; ZV = 2 см. Gtn£efH: 70.................................... Найдите среди данных углов равные: ZABC = 30°; Z.DEF = 23°; ZGHQ = 36°; ZKNL = 29°; ZLOM = 29°; ZQRT = 23°; ZSPR = 46°; ZZVY = 21°; ZDSG = 30°. О^пве/н: 71........................... В треугольниках CDF и GHB: ZDCF = ZHGB; ZCFD = ZGBH; ZCDF = ZGHB; DC = HG; CF = GB; DF = НВ. Какое из следующих равенств являются верным: ACDF = AHGB; ADFC = AHGB; ACDF = AGHB; AFDC = ABGH? Oin£eifi: _____ 72 Даны равные треугольники АВС и А^В^С^. Запишите соответственно равные стороны и углы. 0/^е/н: ВС =________; СА = ________; АВ = ______. ZABC = Z ; ZBCA = Z_ .; ZCAB = 30 73 Среди пар данных треугольников найдите равные и запипзите их номера в ответе. 74 Треугольники DFG и PQR равны. Известно, что DF = 7 см, DG = 14 см. Чему равны соответствующие стороны треугольника PQR? (Сделайте рисунок, отметьте равные элементы и решите задачу устно.) см; см. 75 Треугольники DFG и PQR равны. Известно, что ZG = 36°, Z.F = 72°. Чему равны соответствующие углы треугольника PQR? (Сделайте рисунок, отметьте равные элементы и решите задачу устно.) OfftJeeffi: Z__________=_____________; Z «о нг Ч О ;=i tr* » is; ж 76 Треугольники АВС и FED равны. Известно, что АВ = 7 см, ВС = 9 см, FD = 6 см. Найдите стороны каждого треугольника. (Сделайте рисунок, отметьте равные элементы и решите устно.) 31 OffieeiH: В ААБС: АВ = ВС = АС = В AFEDiFE ~ ED = FD = см, см, см. см, см. см. 77 Треугольники АВС и MNL равны. Известно, что ZA = 36°, ZN = 62°, Z.L = 82°. Найдите углы каждого треугольника. (Сделайте рисунок, отметьте равные элементы и решите устно) OffieetH: В ААВС: ZA =____________, ^В =____________, ZC =____________. в AMNL: ZM =____________, ZN =____________, ZL = Сформулируйте основное свойство существования треугольника. равного данному: VIII. Каков бы ни был треугольник________________________ 32 Смежные и вертикальные углы 14. СмеЯшые углы Сформулируйте определение смежных углов Два угла называются смежными _______ 78 Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все смежные углы и запишите их номера в ответе. Oifieeffi: 79 Начертите угол, смежный с углом CGD. Сколько таких углов можно построить? Oifieeift:___________________________ Сформулируйте теорему о смежных углах: В учебном пособии приведены три следствия из теоремы о смежных углах. Следствием из данной теоремы называют такое утверждение, которое доказывается со ссылкой только на данную теорему. Внимательно посмотрите доказательство первого следствия и докажите два других аналогично. о Ж tp* М I tr 33 Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны. I Дано: ZAFK = ZBGN. Доказать: ZAFC = ZBGD. Доказательство Пусть ZAFK = ZBGN = а. ZAFC = 180°— а; ZBGD = 180°— а. {по теореме о смежных углах). Значит, ZAFC = ZBGD. Что и требовалось доказать. Следствие 2. Если угол не развернутый, то его градусная мера J Дано: Доказать: ^ Доказательство Дополните определения углов Угол, равный 50°, называется_ Что и требовалось доказать. Угол, меньший 90°, называется_________________ Угол, больший 90°, называется_________________ Следстдие_3_. 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Дано: __________________________ Доказать:______________________ Доказательство _______________ Что и требовалось доказать. 2. Если один из смежных углов — острый, то другой угол —_____________________. углом. углом. углом. 34 3. Если один из смежных углов — тупой, то другой угол — 80 Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все острые углы и запишите их номера в ответе. О/Ябай: 81 Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все прямые углы и запишите их номера в ответе. OfHJe&n: 82..... Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все тупые углы и запишите их номера в ответе. Ofn€efH: 83 Углы DAB и DAB — смежные. Угол DAB равен 57°. Чему равен ZDAF7 к гг X ь: •ЗС Jr S Jr* 35 Внимательно посмотрите решение задачи №83. Решите задачи №№84 и 85 самостоятельно. 84 Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите больший угол. (Внесите обозначения на чертеж, запишите условие и решите задачу.). Дано: ____________________________ Найти: ___________________________ Теишше Oth£e/H. 85...... Один из смежных углов на 100° меньше другого. Найдите меньший угол. (Внесите обозначения на чертеж зешишите условие и решение задачи..) Дано; __________________________________ Найти: Реишше 86... Могут ли быть смежными прямой и острый углы? (Ответ обосновать.) 36 (Г Дано: Za — прямой; Zp — острый. Определить: Za и Zp — смежные углы? | ^Решение j Если бы Za и zp были смежными углами, то по теореме о смеж- \ ных углах Za + zp = 180°. Но по условию задачи Za = 90°, а Zp <90°, значит, Za + Zp < 180°. Отсюда Za и Zp не могут быть смежными углами. 0/H€etfl: Za и zp не могут быть смежными углами. Внимательно посмотрите решение задачи № 86. Решите задачу № 87 самостоятельно. 87 Могут ли быть смежными прямой и тупой углы? Ответ обосновать. Дано: Za — прямой; Zp — тупой. Определить: Za а Zp — смежные углы? Решение 0/ft^eifl: Za u Zp быть смежными углами. 15. Вертикальные углы Сформулируйте определение вертикальных углов Два угла называются вертикальным о» W W *-3 сг W 5! 37 88 На плоскости проведены три попарно пересекающиеся прямые. Укажите две пары вертикальных углов. Offieetfi: Z и /. калъные углы Z______ и Z углы. 89.......... — верти- — вертикальные Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых, (сделайте рисунок) При пересечении двух прямых образуется ______________________________ _____________пары вертикальных углов. 90 Начертите угол, вертикальный углу {kh.) Сколько таких углов можно построить? Gfn£eiH\ Z_______ и Z______ углы. 91 — вертикальные Угол (flj&g) равен 147°. Найдите углы и (Запишите условие и ре- шите задачу.) Л Дано; Найти: Решение OtfieetH: Z{af>^ = и Z(aM = 38 Сформулируйте теорему о вертикальных углах: 92 Угол DAF равен 27°. Чему равен ZGAE1 (Решите устно.) 0»нве/н: ZGAE =_______________________ 93 Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых равен 20°. Найдите остальные углы. (Сделайте рисунок и устно решите задачу.) Otfi£eifi: 94 Разность двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 36°. Найдите эти углы, (ответ обосновать.) /Г Дано: Za - zp = 36°. Н а й д и т е : Za и zp. ^Решение Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные углы. Углы Za и не могут быть вертикальными, так как по условию они не равны: их разность равна 36°. Значит Za и zp - смежные углы. По теореме о смежных углах Za + Zp = 180°, а по условию задачи Za - zp = 36°. Отсюда: Za = 36° + ZP; 36° + Zp + zp = 180°; 2Zp = 144; zp = 77°; Za = 36° + p = 36° + 77°, Za = 113°. 0/Hjeetfi:Za = 113°w Zp = 77°. m isi tr X rr »—« m Внимательно посмотрите решение задачи №94. Решите задачи №№10-12 из §2 учебного пособия самостоятельно. 39 16,17,18, Перпендикулярные прямые. Доказательство от противного. Биссектриса угла 95 Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых мой. Найдите остальные углы. (Решите устно.) Ofneetfi: — пря- Сформулируйте определение перпендикулярных прямых: Две прямые называются перпендикулярными, Сформулируйте теорему о перпендикулярных прямых: В учебном пособии эта теорема доказывается методом от противного. Этот метод уже применялся нами при решении задач №№ 29, 60 и 86, 87. Внимательно ещё раз посмотрите решение этих задач, а также решение задачи №96. 96 Сумма двух углов равна 148°. Докажите, что эти углы не могут быть смежными. Дано: ^ = 148°, Определите: Za и zp — смежные"^ ^Решение 1) Предположим, что углы Za и Zp — смежные углы. 2) По теореме о смежных углах Za + Zp = 180°, а по условию задачи Za + zp = 148°. 3) Приходим к противоречию. Значит, Za и Zp не являются смежными углами. I Offi£effi:Za и Z^ не являются смежными углами. V . - ZJ 40 Во всех приведенных выше доказательствах можно проследить такую последовательность логических шагов: 1) делаем предположение, противоположное тому, что хотим доказать; 2) проводим рассуждения, опираясь на аксиомы и теоремы; 3) приходим к противоречию либо с условием задачи (теоремы), либо с одной из аксиом или ранее доказанных теорем. 97 Сумма двух углов равна 64°. Докажите, что эти углы не могут быть смежными. (Запишите условие и решите задачу методом от противного.) Дано: ______________________________ Найти: _________________________ J^etueHue Otfieeffi: о 98 Разность двух углов равна 78°. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными. (Згшишите условие и решите задачу методом от противного.) Д а н о ; ________________________ Найти: _______________________ J^euieHue w It* r> HI Ю о о н я о н я ю » о я о о W ж и я о > я > Otfijeetn: Сформулируйте определение биссектрисы угла: Биссектрисой угла называется 41 99............................................................ Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равно-Г01 а) 40°; б) 84°; в) 92°; г) 76°. (Решите устно.) 0»н€е/н: а)_______; б)______; в)_______; г)_______. 100 Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: а) 17°; б) 53°; в) 29°; г) 41°. (Решите устно.) OfH€effi: а)______; б)_______; в)_______; г)_______. Внимательно посмотрите решение задач №34* и 35*, и попро буйте решить задачи №101 и 102. 101 Луч h проходит между сторонами угла (ё’Л), градусная мера которого равна 2а. Найдите градусную меру угла, образованного биссектрисами углов и (^Л.) (Сделайте чертеж, запишите условие и решите задачу) Дано: ____________________________ Найти: ^Решение 42 102 Лучи k VI t проходят между сторонами угла {gh)y градусная мера которого равна 70°. Угол, образованный биссектрисами углов {gk) и {th), равен 47°. Найдите градусную меру угла {kt,) (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: _______________________________ Найти: J^etueHue Oifi£effi: о В W is» tr* о ш о о HI а о *•9 W а о н р W а о о W ж HI S Г5 > g 43 Признаки равенства треугольников 20. Первый признак равенства треугольников Сформулируйте первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: 1 103 Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера в ответе. 44 104 Луч AD является биссектрисой ZABC, на сторонах которого отложены равные отрезки АВ и АС. Докажите равенство треугольников BAD и CAD. г Дано: AD — биссектриса ZBAC; АВ = АС Доказать: ABAD = ACAD. Теишше Рассмотрим ABAD и ACAD: АВ = АС по условию; ZBAD = ZDAC, так как AD биссектриса; AD — общая сторона. Значит, ABAD = ACAD по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать. OffieetH: ABAD = ACAD. Внимательно посмотрите решение задачи №104, решите задачу №105 и запишите ее решение аналогично. 105 В треугольниках BAD и CDA стороны BD и АС, а также углы ADB и DAC — равны. Докажите равенство треугольников BAD и CDA. Дано: BD = АС; ZADB = ZDAC.__ Доказать ABAD = ACDA. Решение Рассмотрим ABAD и ACDA: 106 Луч АС — биссектриса ZBAD, АВ = AD. Докажите равенство треугольников ВАС и DAC. го р m Ш г » X X 5> Ж ? W W X й ш > 1-3 ►tJ о сг* X X X о to 45 Дано: ______________ Доказать:___________ Решение Рассмотрим ABAC и ABAC: OtH^effi: 107 Докажите, что если ААВС = AADC, то и AAKD = ААКВ. Дано: ААВС = AADC____ Доказать: AAKD = ААКВ, Решение Рассмотрим AAKD и ААКВ: АВ = ADy так как ААВС = AADC. ZBAK = ZDAK, так как ААВС = AADC. АК - общая сторона. Следовательно, AAKD = ААКВ по двум сторонам и углу между ними. J 108 В треугольнике АВС отрезок BD соединяет вершину В с точкой D, принадлежаидей стороне АС. Докажите, что если треугольники ABD и CBD равны, то BD перпендикулярен стороне АС. Дано: Доказать: Решение 46 OtfijSeffi:_________________________ 109 Отрезки АС и BD пересекаются в точке которая является серединой каждого из отрезков АС и BD. Найдите длину отрезка АВ, если FC = 9 см, СВ = 7 см. (Сделайте рисунок и решите задачу устно.) Otfi£ejH:___________________________ 22. Второй признак равенства треугольников Сформулируйте второй признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам: 110 Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера в ответе. го го ш HI о о № а S ы № *х» > W W о н W > н *Xi m •< н о и » S Р5 О W 47 Ill...................................................... Лучи AF и CD являются биссектрисами углов CAD и ACF соответственно, ZCAD = ZACF. Докажите равенство треугольников ADC и CFA. V Дано: AF — биссектриса ZCAD; CD — биссектриса ZACF; ZCAD =.ZACF__________ Доказать: AADC = ACFA. Доказательство ZCAF = ZFAD, так как AF — биссектриса ZCAD; ZACD = ZDCF, так как CD — биссектриса ZACF; ZCAF = ZFAD = ZACD = ZDCF, так как ZCAD = ZACF, отсюда ZCAF = ZACD. Рассмотрим AADC и ACFA: ZCAF = ZACD no доказанному выше; ZCAD = ZACF no условию; AC — общая сторона. Следовательно, AADC = ACFA no стороне и прилежащим jk нш углам. J 112 Докажите равенство треугольников ВАС и DCA, если ZCAB = ZACD, ZCAD = ZACB. (Отметьте на рисунке равные элементы треугольников, данные в условии, и решите задачу.) Дано: ZCAR =^ZJiCD; ZCAD = ZACB._____ Доказать: ABAC = ADCA. ^ J^eiuenue 48 113 в треугольнике FGD GE — биссектриса ZFGD; ZLEG = ZKEG. Докажите равенство треугольников LEG и KEG. (Отметьте на чертеже равные элементы, запишите условие и решите задачу.) Дано: ___________________________ G Доказать: J^euiefuie Otft£e/H: 114 ... На стороне СВ треугольника АСВ, взята точка D, так что AD1CB и ZBAD = ZCAD, Докажите равенство треугольников BDK и CDK, где К — произвольная точка отрезка AD. (Г Д а н о : G СВ ; К s AD; ADZCB; ZBAD = ZCAD___________ Доказать: ABDK = ACDK J^eutenue Рассмотрим AADB и AADC: ZBDA = ZCDA, так как AD _L CB; ZBAD = ZCAD no условию; AD — общая сторона. Следовательно, AADB = AADC no стороне и прилежащим к ней углам. Рассмотрим AKDB и AKDC: ZBDA = ZCDA, так как AD 1 СВ; BD = CD, так как AADB = AADC; KD — общая сторона. Следовательно, ABDK = ACDK по двум сторонам и углу между ними. J м го се i-i О о g К со S g 5 ш W S о HI ш > •н м •-1 о ;=| tr X X X о ш 49 115 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, при этом ZOBD = ZOCA и ОС = ОВ. Найдите угол САОу если ZODB = 56°, ZOBD = 42°. (Сделайте рисунок.) 23. Равнобедренный треугольник Сформулируйте определение равнобедренного треугольника: Треугольник называется равнобедренным, _______________ 116 В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 9 см, а основа-ние — 5 см. Вычислите периметр треугольника. (Решите устно.) 117 В равнобедренном треугольнике основание равно 7 см, а периметр равен 17 см. Вычислите боковую сторону треугольника. (Решите устно.) О/Ябе/Я: 118 В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 7 см, а периметр равен 17 см. Вычислите основание треугольника. (Решите устно.) 01Я£е1Я: 119 В равностороннем треугольнике сторона равна 7 см. Вычислите периметр треугольника. (Решите устно.) Offiee/fi: _____________ 50 120 На рисунке треугольники DEA и FEB равны. Докажите, что треугольник АЕВ — равнобедренный. /Г V Дано: = ^ЕВ_____________ Доказать: ААЕВ — равнобедренный. Доказательство По условию ADEA = AFEB^ значит, ЕА = ЕВ. Откуда ААЕВ — равнобедренный по определению. Внимательно посмотрите решение задачи №120 и решите за дачу №121 аналогично. 121 На рисунке треугольники KOL и NOM равны. Докажите, что треугольник КОМ — равнобедренный. Дано: __________________________ Доказать: ______________________ J^eiueHue В задачах №№122 и 123 даны формулировки первого и второго признаков равенства треугольников для равнобедренных треугольников. Внимательно посмотрите доказательство первого признака и докажите второй самостоятельно. 122 Первый признак равенства равнобедренных треугольников: Если боковая сторона и угол при вершине, противолежагцей основанию, одно- го U) 5 W » о (71 W за W а а Е а< н а о а а а а а 51 го равнобедренного треугольника равны боковой стороне и углу при вершине, противолежащей основанию, другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ААВС — равнобедренный; -равнобедренный; АВ = ZABC ________ Доказать: ААВС = АА^В^С^ Доказательство АВ = БС, так как по условию ААВС — равнобедренный; л,в, = в,с„ так как по условию АА^В^С^ — равнобедренный; ВС = Б^C^, так как по условию АВ = А^В^; Рассмотрим ААВС и AAfifi^: АВ = А^В^ по условию; ZABC = ZA^B^C^ по условию; ВС = В^С^ по доказанному выше. Следовательно, ААВС = AA^Bfi^ по двум сторонам и углу между ними. J 123 Второй признак равенства равнобедренных треугольников: Если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ААВС — равнобедренный; AAjBjC^ — равнобедренный; АС = Afi^; _____ZBCA = ZBfi^A^___________ Доказать: ААВС = AA^Bfi^ Доказательство. Следовательно, ААВС = АА1В1С1 по 52 Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника: 124 В равнобедренном треугольнике А£С с основанием АС угол ВАС равен 67°. Определите ZBCA. (Решите устно.) 0/н^е/н: ZBAC = Используя свойства и признаки равнобедренного треугольника, а также свойства смежных и вертикальных углов, решите самостоятельно задачи № 125-128. 125 На рисунке треугольник RST — равнобедренный. Определите Z1, если Z2 = 106°. /Г Дано: RST — равнобедренный; Z2 = 106°___________ Найти: Z1 Тешекие ZSTR и ZSTP (Z2), — смежные^ значит, ZSTR + Z2 = 180° по теореме о смежных углах. Отсюда ZSTR = 180° — ZSTP = 180° - 106° = 74°. ZSTR и (Zl) равны по свойству углов равнобедренного треугольника. Значит, ZSRT = 74°. OfH€effi: Z1 = 74° го ш 5 W S О «л •л W № » S is» н •л W *< •п о » ж 53 126 Треугольник DGH если Z1 = 63°. Дано: _______ Найти: ____ Решение равнобедренный. Определите Z2, Gtfi£etfi: 127 .... в равнобедренном треугольнике FBG\ FG — основание. Докажите, что ZBFA = ZBGD. Дано: ________________________ Доказать:_____________________ Решение Offi€efH: 128 ... На сторонах угла Q отложены равные отрезки QR и QP. Через точки ВлР проведена прямая. Докажите, что Za = Zp. Дано :_______________________ Доказать:____________________ Решение OffieeiH. 54 129 Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны (Внесите обозначения на чертеж.) Дано: _________________________ Доказать:______________________ ^Решение Otfieetfi: 130 ... в треугольнике АВС: AD = BD = DC, ZA = 53°, ZC = 37°. Найдите ZABC. Дано: AD = BD = DC; ZA = 53°. ZC = 37°. Найти: ZABC. Тешение ZBAD = ZABD, так как AD = BD; ZBCD = ZDBC, так как BD = DC; ZABC = ZABD + ZCBD, так как точка D £ АС; ZABC = 53° + 37° = 90° 0/fiPe^: ZABC = 90°. С 131 в треугольнике АВС: ZABC = 90°, AD = BD = DC, ZBAD = 64°. Найдите ZDCB. Дано: AD = BD = DC; ZABC = Найти: ZDCB. Teuiefiue IVJ Ы i m 0 w tn » «tJ w » я E я< *-3 w 1 tr № Я Ж 55 Oifi£etH: ZDCB = Сформулируйте признак равнобедренного треугольника: Посмотрите решение задачи №120. Применяя признак равнобедренного треугольника эту задачу можно решить другим способом. 132 (120).............................................. Треугольники DEA и FEB равны. Докажите, что ААЕВ — равнобедрен- ный. Дано; AJ)EA = AFEB_____________. Доказать: ААЕВ — равнобедренный. ^Решение По условию ADEA = AFEB, значит ZEAD = ZEBF. Отсюда ААЕВ — равнобедренный в силу признака равнобедренного треугольника. 133 в треугольнике. FBG\ FG = BG, ZBFG = ZBAC. Докажите, что ААВС — равнобедренный. Д_а_н о ;____________________ Доказать:____________________ 56 ^Решение 134 в треугольнике. FBG\ ABFA = ZBGD. Докажите, что AFBG — равнобедренный. Дано :________________________ Доказать:_____________________ Тешение 135 Используя данные рисунка докажите, что. если Za = Zp, то QR = QP Дано :_________________________ Доказать:______________________ Tei4ieHue Гч> и> г ю Ж о tn tri 3=1 *т» W ж Ж й ж< Теоремы «Свойство углов равнобедренного треугольника», «Признак равнобедренного треугольника» являются обратными теоремами. m < о 1st tr Ж Ж Ж 57 Утверждения, сформулированные в задачах №№134 и 135 является обратными утверждениям задач №№127 и 128 соответственно. 136 Сформулируйте утверждение, обратное следующему: «Если один из смежных углов — острый, то другой — тупой». 137 Сформулируем утверждение задачи №129 по — другому: «Если треугольник — равносторон ний, то у него все углы равны.» Сформулируйте обратное утверждение и докажите его. (внесите обозначения на чертеж.) Дано: Доказать: ^Решение Решение задачи №137 приведено в учебнике п.24, задача 16 58 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника 138 Среди треугольников, изображенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены высоты, и запишите их номера в ответе. 0/н€ерн:__________________________ 139 ............................ Среди треугольников, изображенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены медианы, и запишите их номера в ответе. Offi£etH:_________________________ 140 ............................ Среди треугольников, изображенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены биссектрисы, и запишите их номера в ответе. OtitJeetfi: Решите устно задачи №№141-143 и обведите в ответе букву, соответствующую правильному ответу. 141 в треугольнике ABD отрезок AF является медианой. Сравните длины отрезков BF и FD. Of^£etfi: а) BF > FD\ б) BF < FD\ в) BF = FD. го ю н: о о g ся » о о W ж •н ж X о > X X W X > X > ж 5 о ж сг* X X 59 142 ................................ В треугольнике АВС отрезок BD является высотой. Определите взаимное расположение прямых BD и АС. Ofn€efH : а) BD перпендикулярна АС; б) BD параллельна АС; в) BD и АС пересекаются под острым углом. 143 ................................ В треугольнике ABD отрезок BG является биссектрисой. Сравните градусную меру углов ABG и GBD. Otn£effi: а) ZABG > Z.GBD; ^ б) ZABG = Z.GBD; в) ZABG < ZGBD. 144 ................................. (задача 27 учебника) В равнобедренном треугольнике АВС проведена медиана BD. Найдите её длину, если периметр треугольника АВС равен 50 см, а периметр AABD равен 30 см. (Сделайте чертеж и решите задачу.) Дан о : ААВС — равнобедренный; BD — медиана ААВС; периметр ААВС равен 50 см; _____периметр AABD равен 30 см. Найти:BD Теишше 0»нве*н: 60 145 В равнобедренном треугольнике KLM с основанием КМ, проведены биссектрисы углов при основании KN и МР, которые пересекаются в точке О. Докажите, что АКОМ — равнобедренный. (Сделайте чертеж и решите задачу) Дано; AKLM — равнобедренный; KN — биссектриса Z.LKM; _____МР — биссектриса..^МЬ, Доказать; АКОМ — равнобедренный. Утешение Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треуголь ника; 146 В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена медиана ВК. Найдите ZABK и ZBKA, если ZABC = 46° (Решите устно.) В OfH£etfL:ZABK = ?' о ш о » о •н ю о S W X ё tr* 2 № О m т » » Ж о 3 о id tr* » Ж > 61 147 В равнобедренном треугольнике ВВС к основанию СВ проведена медиана DA. Найдите углы треугольника АВС, если ZBBC = 120°, ZBBC = 30°. (Отметьте на чертеже равные элементы) Дано :___________________ Найти: ZBCA; ZABC; ZCAB. ^Решение OffieetH: ZBCA = 148 ............ ZABC = ZCAB = ВК — медиана равнобедренного треугольника АВС, проведенная к основанию АС. На сторо-нах АВ и ВС отмечены точки В и F , так что ZBKB = ZBKF. Докажите, АВКВ = AFKB. Г Дан о : ААВС — равнобедренный; ВК — медиана; _____ZBKB = ZBKF__________ Доказать: АВКВ = AFKB. Решение Рассмотрим АВКВ и AFKB. Так как ВК — медиана равнобедренного ААВС, то по свойству медианы равнобедренного треугольника ZBBK = ZFBK . ZBKB = ZBKF — по условию; ВК — общая сторона. Следовательно, АВКВ = AFKB по стороне и прилежащим к ней углам. С 62 П 4 Третий признак равенства треугольников Сформулируйте третий признак равенства треугольников 149 Определите на каких рисунках есть равные треугольники и запишите их номера в ответе. 150 ... На рисунке в треугольниках ВАС и ВАС АВ = = AD, ВС = DC. Докажите равенство треугольников ВАС и ВАС. Дано: АВ = АВ, ВС = ВС. Доказать: ABAC = ABAC. Тешение Рассмотрим ABAC = ABAC. АВ = АВ — по условию; ВС = ВС — по условию; АС — общая сторона. Следовательно, ABAC = ABAC по трем сторонам. ю W 1-3 » я я ол Я Э ш м « г> 1"3 ю > W о я я я ж о я 63 Посмотрите решение задачи №150. Применяя третий признак равенства треугольников, решите задачи 151 и 152 аналогично. 151 Стороны АВ и ВС треугольника ВАС равны соответственно сторонам CD и DA треугольника DCA, Определите градусную меру ZABCf если Z.CDA = 127°. (отметьте на рисунке равные элементы.) Дано: АВ = CD и ВС = DA; ____ZCDA = 127°_____ Найти: /АВС. Решение 152 Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка О так, что АО = ВО = СО. Докажите, что ААОВ = АВОС — ААОС. (дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ____________________________ Доказать: Решение 64 В задачах №№122 и 123 даны формулировки первого и второго признаков равенства треугольников для равнобедренных треугольников. Теперь переформулируем третий признак равенства треугольников для равнобедренных треугольников (задача №153.) Доказажите его самостоятельно. 153 Третий признак равенства равнобедренных треугольников: Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ___________________ Доказать: Тешеиме 154 Сформулируйте третий признак равенства треугольников для равно-стороннх треугольников: га м О X со X Ж 5 W ж X гз н U > Н 4J Ж О S4 Ж X S ж о ш 65 Сумма углов треугольника 29* Параддедъностъ прямых Сформулируйте признак параллельности прямых Две прямые,________________________________ 155 Дано AD||fG, ВС\\ЕН и FG\\EH. Какие ИЗ прямых AZ), FA, BE, ВС, СН параллельны? (Решите устно.) 156 ... Назовите угол, который образует с углом САВ пару внутренних односторонних углов. 157 ................................. Назовите угол, который образует с углом САВ пару внутренних накрест лежащих ^ углов. Otfieetfi:__________________________ 158 ................................. Назовите угол, который образует с углом САВ пару соответственных углов. 66 Сформулируйте признаки параллельности прямых: Если внутршние накрест лежащие углы прямые параллельны^ то Если сумма внутренних односторонних углов равна!80°^ то прямые 159 Используя данные рисунка, определите: какие из прямых Су а, Ъ параллельны? (Решите задачу устно.) 160 ... Дополните запись: укажите углы в соответствии с рисунком 1. внутренние односторонние углы: Z ^^____________и Z______; и 2. внутренние накрест лежащие углы: Z_и ^____; Z___и Z____; 3. соответственные углы: Z____ и Z_____; Z_____и Z_____; Z_____и Z_____; Z_____и Z_____. го I *si tr » о о HI tr* ►d m S E X 67 161.................................. Дано Z1 = Z2, Z3 + Z4 ^ 180°. Какие из прямых с, d, е параллельны? (Решите задачу устно.) Gtnjeetfi: Теоремы «Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей«, являются обратными теоремам «Признаки параллельности прямых«. Сформулируйте эти теоремы. 162 На рисунке угол АВС равен 58°, DK || GC найдите градусную меру: 1. угла, который образует с углом АВС пару односторонних углов. Z_______ 2. угла, который образует с углом АВС, равным 58°, пару накрест лежащих углов (Решите устно.) OtfWeffi: Z______ 3. угла, который образует пару соответственных углов (Решите устно.) OfHeefn: Z_______ 163 Дано: d II /; / || h\ Z1 = 24°. Чему равны Z2 и Z3? (р ешите устно.) Otn€eifi: Z2 =____________; Z3 = 68 164 Найдите градусную меру углов: DAB, АВС, BCD и CDA, если ZABF = 29°, aAD II BCvlAB || DC. Дано: ________________________ Найти: ^Решение Otfiee/n: ZDAB = 165 ............ ZABC =___; ZBCD =_ ; ZCZ)A Равные отрезки KL и NM лежат на параллельных прямых, КМ — секущая. Докажите, что AKLM = AMNK. (Отметьте на чертеже равные элементы и решите задачу.) Л я Я о : KL II NM, KL = NM\ Доказать: AKLM = AMNK. Утешение 166 В задаче 17 из учебника продолжается исследование вопроса о перпендикулярности и параллельности прямых. Поэтому после ее решения вспомните, что вы знаете о перпендикулярности и параллельности прямых: существование и единственность перпендикуляра, проведенного через данную точку к данной прямой, признаки параллельности прямых и заполните таблицу. I4i VO а % а м а tr* ffi о rs ►4 tr n S S 69 VJ о СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА 167 В треугольниках ADB и AFB стороны AD, DB, BF и AF равны. Докажите, что AD||BF и АРЦ1)В. (Отметьте на чертеже равные элементы, Згшишите условие и решите задачу.) Дано: ___________________________ Доказать:________________________ Тешение 168 в треугольниках ADB и AFC: AD = DB, AF = FC соответственно. Докажите, что DB\\FC. Дано: AD = Х)Б, AF = FC. Доказать: DB\\FC. Утешение С го VO » 169 Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М VI N, Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный. (Сделайте чертеж и решите задачу.) М О гз 14 гг а 71 Дано: ААВС — равнобедренный; ______MN\\BC______________ Доказать: AMBN — равнобедренный. Тешение 5 Сумма углов треугольника 54. Внешний угол треугольника Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника: 170 В треугольнике один из углов равен 29°, другой 91°. Найдите его третий угол. (Решите устно.) Offieeffi: _____________________________________________________________ 171 Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника. (Решите устно.) Offijeeffi: 172 Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника. (Решите устно.) OtfieefH: 173 в равностороннем треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите углы AABD. Огп£е»н: ZADB =______; ZDAB =______; ZABD =______. 72 174 В прямоугольном треугольнике ADB {ZADB — прямой) проведена высота DF. Укажите соответственно равные углы в треугольниках ADF и ADB. (Решите устно.) 0/п£егн: ZADB =________; ZDAB = ; ZABD = 175 Медиана BD треугольника АБС, отсекает от него равносторонний треугольник DAB. Определите углы ACDB. Otneetn: ZCBD =______; ZBDC =______; ZBCD = 176 Может ли равносторонний треугольник быть прямоугольным? /Г Дано: АС = СВ = АВ.______________ Определить: Может ли ZACB = 90°? Решение Так как ААСВ — равносторонний, то по свойству равнобедренного треугольника _________\(^ ZACB = ZCBA = ZBAC. По теореме о сумме углов треугольника: ZACB + ZCBA + ZBAC = 180°; Предположим, что ZACB = 90°. Тогда по предположению ZACB + ZCBA + ZBAC = 270°. Получили противоречие. Значит ZACB не может быть равен 90°. Решение задачи №177 аналогично решению задачи №176, решите ее самостоятельно. 1 ы Q > «< о Ш н tn О tr » is: 177 Может ли равносторонний треугольник быть тупоугольным? 73 Дано: _____________________ Определить: Может ли ZACB > 90°? Тешение В решении задачи №178 можно использовать результат задачи №173. 178 В равностороннем треугольнике АВС проведены высоты AD и BF, которые пересекаются в точке Q. (Решите устно) а) Найдите углы треугольника AQF. О/ЯеаЯ: ^QAF =_______; ZQFA =_______; ZAQF =_______. б) Найдите углы треугольника AQB. O^e/ft: ZQAB =_______; ZQBA = _ ZAQB = В решении задачи №179 можно использовать результат задачи №171. 179 прямоугольного треугольника, (дополните рисунок и решите устно) Offi£e/H: Z 74 180 Определите на рисунках, для каких треугольников есть внешний угол и запишите их номера в ответе OffieetH: Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника: 181 Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°. (Решите устно.) OtftJeetfi: ы ----------------------------- 182 ............................................. I Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольни- § s Ка. (Решите устно. ) S' OiOeeifi: й 183 ............................................. S Найдите внешний угол при основании прямоугольного равнобедренно- g го треугольника. д 0iHj6efH:_________________________ g 184 ........................................................... Могут ли у треугольника быть два внешних угла — прямыми? 75 г ^Решение Нет, не могут, так как в этом случае в данном треугольнике было бы два прямых угла, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. J 185 Могут ли у треугольника быть два внешних угла — острыми? Решение 186 Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше внутреннего не смежного с ним угла, то треугольник — равнобедренный. (р ешите самостоятельно.) Решение В решении задачи №187 можно использовать результат задачи №120 (132.) 187 в равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС), от вершин при основании отложены равные отрезки AD = CF. Определите углы ADBF, если ZBFC = 110°. Дано: ___________________________ Найти: 76 !Решение Otfi£efH. 3 5. Прямоугольный треугольник 188 ........................ Укажите, на каких рисунках есть равные треугольники и запишите их номера в ответе. Q Otii€effi: Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников: 1. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: 2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и про-тиволежащ;ему углу: 3. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: и> U1 » »тэ § о tr » Or* HI *т» £3 н о от* ж 77 в задачах №№122, 123 и 153 были даны формулировки признаков равенства равнобедренных треугольников, в которых учитывались их свойства. Кроме трех признаков равенства прямоугольных треугольников, доказанных в учебнике, в задачах 189 и 190 сформулированы еще два признака равенства прямоугольных треугольников. Докажите их самостоятельно. 189 Докажите, что если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны. Дано: ___________________________ Найти: Решение 190 Докажите, что если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответствующим катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны. Дано: ___________________________ Найти: Решение Утверждение, сформулированное в задаче №191, может быть доказано с опорой на признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу. В задаче №192 доказательство проводится с использованием признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 78 191 Докажите равенство двух равнобедренных треугольников по углу при основании и высоте, проведенной к основанию. Дано: _________________________ Найти: ^Решение 192 Докажите равенство двух равнобедренных треугольников по боковой стороне и высоте, проведенной к основанию. Дано: ___________________________ Найти: Решение Сформулируйте свойство прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30°: 193 W СП ♦ а *43 X о 5 tr Ж а нз W •< о Ж Ж ж в равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12 см, а угол при верп1ине 120° Определите высоту треугольника. 79 Дано: Найти: ^Решение GtHjeeffi: 194 в прямоугольном треугольнике АВС (ZC прямой) проведена высота СВ. Найдите длины отрезков АВ и ВВ, если гипотенуза равна 12 см, а ZCAB = 30°. Дано: __________________________ Найти: TeuieHue В Ofti£e/H: Утверждение: «медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы» сформулированное в задаче №195, является обратным утверждению задачи 47 из учебника. Докажите его. 80 195 ..................................................... Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы. Г Дано: CD — медиана ААВС ZACB = 90° Доказать: CD = — АВ. ^ 2 196* J^eiueHue Продолжим медиану CD за точку D, DF = CD. Соединим точку D с вершинами А и В. AADC = ABDF по двум сторонам и углу между ними: AD = BD, так как CD - медиана, CD — DF по построению, ZADE = = ZBDF, как вертикальные. Из равенства треугольников AADC и ABDF следует: АС = BF и ZDCA = ZDFB. Отсюда АС || BF, так как накрест лежащие углы ZDCA и ZDFB при прямых АС и BF и секущей FC равны. Углы АС В и FBN равны, как соответственные при паралельных прямых АС и BF и секущей СВ, значит, ZFBN = 90°. Аналогично доказывается, что ZFAC = 90°. Прямоугольные треугольники АСВ и FBC равны по двум катетам: АС = BF по доказанному, СВ - общий. Следовательно, ZFCB = ZABC. Отсюда, в треугольнике CDB: ZFCB = ZABC, значит DC = DB, то есть CD = — АВ. 2 (задача 47 учебника.) В треугольнике АВС проведена медиана CD. Докажите, что ZACB = 90°, если CD = — АВ. 2 U1 а SQ X I о tr й HI И *< •-3 О tr ж ж ж 81 Дано: Найти: Решение С 197* В прямоугольном треугольнике АВС (ZC — прямой) проведена высота CD. Докажите, что, если ZCBA = 30°, то АВ : BD = 4:1. Дано: __________________________ А Найти: J^etuenue В В решении задачи №198 может быть использован промежуточный результат решения задачи №48 из учебника: точка пере сечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника. 198* Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины. 82 - . - О Л ce X H Л Геометрические построения 58. ОкруЯ^ностъ Сформулируйте определение окружности 199 Дана окружность с центром в точке О. По рисунку определите вид АВОА. (Решите устно.) АВОА — _____________________ 200 Дана окружность с центром в точке О. По рисунку опре-^ делите вид АВОА, если хорда АВ равна радиусу, (р ешите устно.) GfHeeifi: йРОА —_____________________ 201 Определите, на каких рисунках есть равные треугольники и запишите их номера в ответе. 84 202 В окружности с центром в точке О проведен диаметр АС. Определите углы АВОС, если ZAOB = 124°. (Решите устно.) OtHJeetn: ZCOB =_______; ZOBC =_________; ZOCB = 203 Радиус окружности с центром в точке О равен 7 см, ZBAO = 60°. Найдите хорду АВ. (Решите устно.) АВ = см. 204 В окружности с центром в точке О проведены диаметры АВ и CD. Докажите, что треугольники DO А и СОВ равны. Дан о : АВ и CD — диаметры окружности; _____О — центр окружности.___________ Докажите: ADOA = АСОВ. Решение AO=OB=CO=ODy как______ одной окружности. ZDOA = ZCOB — как С Значит, ADOA = АСОВ по 205 ................ Две окружности с центрами О и пересекаются в точках А и В. Докажите, что AQAOj = AOjBOj. (дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ________________________________ и> 00 о О о ьЗ Найти: Утешение 85 206 Даны две концентрические окружности. АС и ВВ — диаметры этих окружностей. Докажите, что ААВО = АС ВО, (Отметьте по ходу решения задачи на чертеже равные элементы.) Дано: АС и ВВ — диаметры. Доказать: ААВО = АСВО. ^Решение 207 (13. 1) из учебника) Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров, (дополните чертеж по ходу решения задачи.) Дано:АиВ — точки пересечения двух окружностей; ________00^ — линия центров_________ Доказать: АВ ± ОО^ Решение ААОВ и AAOjB — равнобедренные, так как и_______ = ________, как ___________ окружностей, АОАО^ = АОВО^ в силу задачи № 205. Поэтому ZAOC = ZBOC, а ZAO^C = ZBO^C. Значит ОС и О^С — биссектрисы ZAOB и ZAO^B соответственно. В равнобедренных треугольниках биссектриса угла при вершине является___________, значит ОС _LAB и О^С_АВ. По теореме о единственности перпендикуляра, проведенного_____ ___________________________________________, АВ _L OOj. J 86 39* Окружность, описанная около треугольника 40. Касательная 41* ОкруЖность, вписанная в треугольник Сформулируйте определение окружности, описанной около треугольника: Окружность называется описанной около треугольника, ___ Сформулируйте определение серединного перпендикуляра Серединным перпендикуляром называется ______________________ 208 Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию, (сделайте дополнительные построения и решите задачу.) Дано : ААВС — равнобедренный; ____BD — медиана,_________ Доказать: OeBD. Доказательство Сформулируйте определение касательной к окружности: Прямая, проходящая через точку окружности, ______ U) кО • о ж •т» » о *~3 от* О » О > ж Ж о ж о ж о HI w »< HI о Ж Ж ж ж 87 209 К окружности с центром в точке О, проведена касательная АС {В — точка касания), АВ = СВ. Докажите равенство треугольников ААОВ и АСОВ. (Отметьте на чертеже равные элементы и решите задачу устно.) Тр£и^ольмиш ЛОВ и СОВ по_____ 210 Из точки А к окружности с центром в точке О, проведены две касательные АС и АВ (В и С — точки касания.) Докажите ДАОС = ААОВ. (Отметьте на чертеже равные элементы и решите задачу.) Дано: АС и АВ — касательные^________Б и С — точки касания.__ Доказать ААОС = ААОВ. ^Решение 211 Из точки с к окружности с центром в точке О проведены касательная СА (А — точка касания) и секущая СВ, АВ — диаметр, ZACB = 39°. Определите другие углы АСАВ. (запишите условие задачи и решите устно) Дано :___________________________ Найти Gfft^e/н: ZABC = , ZBAC = 88 212 Прямая DC — касательная к окружности с центром в точке О, точка В — точка касания, треугольник ВО А — равносторонний. Определите угол ABD. (Решите устно.) Otn£effi: ZABD = При решении задачи №213 используйте результат, доказанный в задаче №210. 213 Из одной точки к двум касающимся внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны. (Сделайте дополнительные построения.) D Дано: Найти: Tei4ieHM£ 214 Стороны угла А, равного 60°, касаются окружности с центром в точке О. Найдите отрезок АО, если радиус окружности равен 6 см. (сделайте дополнительные построения, запишите условие и решите задачу.) Дано :___________________________________ Найти: 0 1 m № > 89 ^Решение Otn£efH: АО = см. Сформулируйте определение окружности, вписанной в треу' гольник: Окружность называется вписанной в треугольник, 215 Определите вид треугольника, если центр вписанной в него окружности совпадает с центром описанной около него окружности. ^ Дано :_____________________________ Найти: J^euceHue При решении следующей задачи используйте результат, доказанный в задаче №211. 216 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольника, делит боковую сторону на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. 90 Дано: Найти: J^eu4£Hue 0*fi£e*fi:__________________________ 217 (задача 13.2 учебника) Определите, может ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках. Дано :______________________________ Найти: Решение 218 (задача 14.2 из учебника) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках. Дано :___________________________ Найти: S о о HI tr* а а о ё а ё ы W О а IT* а а ж 91 Тешеяие После доказательства теорем о признаках и свойствах параллельности прямых мы провели исследование вопроса о перпендикулярности и параллельности прямых. Ниже приведены две таблицы, в которых систематизированы знания о взаимном расположении прямой и окружности и двух окружностей. Прямая и окружность не имеют общих точек. Прямая и окружность имеют только одну общую точку - точку касания (задача 8 из §5, п.40). Через две произвольные точки окружности по аксиоме принадлежности точек и прямых на плоскости можно провести единственную прямую. Значит, прямая и окружность могут иметь две общие точки. В силу решения задачи 13 (2) (§5, п.40) прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек. 92 (Г Взаимное расположение двух окружностей. \= Две окружности не имеют общих точек. Концентрические окружности — две окружности разных радиусов с общим центром. Если две окружности имеют одну общую точку и общую касательную в этой точке, то они касаются. Если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, то касание - вну-трекнее (рис. а). Если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, то касание - вмешнее (рис. б). Две окружности имеют две общие точки и общую хорду. В силу решения задачи 14 (2) (§5, п.40) две окружности не могут иметь более двух общих точек. 219 Окружности, радиусы которых равны 5 см и 2 см, касаются. Найдите расстояние между центрами в случае внешнего и внутреннего касания. (Решите устно.) GffieefH: В случае внутреннего каса- ния ОО. = см. 4S 4 О ж » о о HI tr* w » .X » to HI £3 HI о ж tr » в случае внешнего касания OOj = см. 93 Сформулируйте определение окружности, вневписанной в треугольник. 220 Определите, сколько вневписанных окружностей может быть у треугольника. (Решите устно и сделайте чертеж.) ОМеЛ: 1. одна; 2. две; 3. три; 4. четыре. 221 ...................................... Точка К - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Докажите, что отрезок АК равен по-лупериметру треугольника АВС. Дано :__________________________ Найти: Тешенме 111 Точка G - точка касания вневписанной окружности прямоугольного равнобедренного треугольника PNL. Докажите, что радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника PNL. Дано :____________________________ 94 Найти: ^Решение 42-47. Задачи на построение Нарисуйте все шаги алгоритма построения треугольника по трем сторонам. Условие Построение Дано: Построить треугольник 1) 2) 3) 4) 223 Постройте равносторонний треугольник по его стороне (сделайте рисунок каждого шага построения.) 4S NJ I •*«4 ё Ё > и о г> И ►тз о м » W 95 224 Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне (Сделайте рисунок каждого шага построения.) 225 Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к основанию, (сделайте рисунок каждого шага построения.) Нарисуйте все шаги алгоритма построения угла, равного дан ному. 96 Условие Построение Дано: Построить угол, равный Za 1) 2) 3) 4) 226 Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, прилежащему к основанию (сделайте рисунок каждого шага построения.) 227 Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу, противоположному основанию (Сделайте рисунок каждого шага построения.) 4S гч> I JS' ы {32* > а о о и •п о W » X til 97 228 .............................................. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон и углу между данными стороной и медианой. 229 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла. Нарисуйте все шаги алгоритма построения биссектрисы угла. Условие Построение Дано: Построить биссектрису ZA 1) 2) 3) 98 230 ............................... (28 из учебника) Постройте углы 30° и 60°. Нарисуйте все шаги алгоритма деления отрезка пополам, Условие Построение Дано: Построить точку о так, чтобы АО = О В ц 2) 3) 4S I > 231 (29 из учебника) Дан треугольник. Постройте его медианы (Сделайте рисунок каждого шага построения.) » О О •тз о W а W 99 Нарисуйте все шаги алгоритма построения с помощью циркуля и линейки прямой, перпендикулярной данной. Рассмотрите два случая. 1. Прямая, перпендикулярная данной, проходит через точку, лежащую на данной прямой. Условие I. Построение Дано: Построить прямую, перпендикулярную прямой п. 1) 2) Ш 4) 2. Прямая, перпендикулярная данной, проходит через точку, не лежащую на данной прямой. Условие II. Построение Дано: Построить прямую, перпендикулярную прямой п. 1) 2) Ш 41 232 Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам (сделайте рисунок каждого шага построения.) 100 233 ......................................................... Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла (сделайте рисунок каждого шага построения.) 48. Геометрическое место точек 49. Метод геометрических мест Сформулируйте определение геометрического места точек: Геометрическим местом точек называется фигура, которая Сформулируйте теорему о геометрическом месте точек, рав ноудаленных от двух данных: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных _ .fs 00 W О S т HI s JS tn о Ж о w 3 w о *-3 о о кС W ж 101 234 Докажите, что окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Доказательство 235 Докажите, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла Доказательство 236 Определите, какая фигура является геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на расстояние h. Доказательство 102 Систематизация и обобщение знаний Отрезок, Угол 237 Отрезок, равный 45 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 28 см. Найдите длину среднего отрезка. 1. 45 см; 2. 11 см; 3. 28 см; 17 см. OfftJeetfi: 238 На прямой отмечены точки А и В. Точка D - середина отрезка АВ, точка К - середина отрезка BD. Найдите длину отрезка АВ, если KD = = 5 см. Сделайте рисунок. 1. 5 см; 2. 10 см; 3. 20 см; 15 см. 239* На прямой расположены пять точек А, В, Су D и Е так, что АС = 5 см, АЕ = = 4 см; ВС = 14 см, BD = 2 см, DE = 3 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD, Сделайте рисунок. о HI ►d m ы О Ж '»< н» О Ж 240 Луч k - биссектриса угла (gh.) Луч t - биссектриса угла (kh.) Найдите градусную меру угла (gh)y если градусная мера угла (th) равна 17°. 103 241 .................................. Лучи k t проходят между сторонами угла (^Л.)Угол, образованный биссектрисами углов {gk) и {th)y равен 47°. Найдите градусную меру угла {kt), если градусная мера угла {gh) равна 70°. 0*п£е*н:___________________________ 242=к ................................ Какое наибольшее число лучей может выходить из одной точки, чтобы все образованные ими углы были тупые? Otfi£e^: 243* ....................................................... Какое наименьшее число лучей может выходить из одной точки, чтобы все образованные ими углы были острые? 0/п£е*н: Признаки равенства треуеодъни£ов 244 Окружность с центром в точке О касается сторон угла А (В и - точки касания.) Расстояние между точками А и О равно 12 см и в два раза больше радиуса окружности. Найдите угол А. 1. 60°; 2. 30°; 3. 90°; 4. 120°. GfH£etfi: 104 245 ................................. Прямые АС и BD пересекаются в точке О. В треугольниках ВОС иАОВ: ВС=AD; ZBCO = = ZOAD. Найдите БО, если BD = 5 см. ^ 1. 5 см; 2. 10 см; 3. 2, 5 см; 15 см. О^нве^н:___________________________ 246 ................................. На сторонах угла В отложены равные отрезки ВА и ВС и отмечены точки Е и D так, что ZBAD = ZBCE. Найдите длину ЕС, если AF = 4 см, ВА = 7 см. Otfi£etfi: 247 в четырехугольнике ABCD соседние стороны АВ = ВС и CD = AD. Определите ZCBA, если ZABD = = 21°. С Равнобедренный треугольник 248 Треугольник АВС - равнобедренный (основание треугольника АС.) Определите угол 2, если Z1 = 49°. Otfieeffi: С § » о m м 3:4 *ГЗ м » » ь4 *Xt W О ОТ* ш *sj 5»! 105 249 ..................................... Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка D такая, что ZBAD = ZBCD =15°. Найдите угол ADC. 250 ... в в треугольнике АВС на стороне АС отмечены точки D vlF так, что AD = BD, BF = FC. Найдите ZABC^ если ZBDF = 60°; ZBFD = 40°. Биссектриса, высота, медиана 251 В треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка D такая, что АВ = BD = DC. Отрезок DF — медиана треугольника BDC. Найдите ZFDC, если ZBAC = 70°. 1. 110°; 2. 70°; 3. 45°; 4. 55°. OfftJeefH: 252 Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит ее пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4 см. С 106 253 ..................................... Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите АВ, если АС = 12 см. 0/^е/н: 254 ... В треугольнике АВС угол ВВС между биссектрисами углов В и С равен 122°. Найдите угол ВАС. В Параллельные прямые 255 ................. На рисунке: Z1 = 74°; Z3 = 74°; Z5 = 135' Найдите Z4. 1. 74°; 2. 135°; 3. 148°; 4. 45°. 256 ... На рисунке: Z1 = 108°; Z2 = 72°; Z5 = 83°. Найдите Z4. 1. 97°; 2. 72°; 3. 108°; 4. 83°. 0^п£е*к: а > г W tr X sc w и :aci г s: w 107 257 Дано Z1 = Z5, Z4 Ф Z5. Определите, какие из трех прямых с, d и f параллельны. 1. cWdl/if; 3. с II / It d; 2. е It d II f; 4. e It d Ц f. О/Лве/Я:_____________________________ '258 .................................. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса BE внешнего угла при вершине В. Определите взаимное расположение прямых BE и АС. 1. прямые BE и АС перпендикулярны; 2. прямые BE и АС пересекаются, но не перпендикулярны; 3. прямые BE и АС параллельны. 259 .......................................... Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых п и т секуш,ей k, равна 90°. Определите взаимное расположение прямых пит. 1. прямые пит перпендикулярны; 2. прямые пит пересекаются, но не перпендикулярны; 3. прямые пит параллельны; 4. такая ситуация невозможна. Сумма углов треугольника 260 .............................................. в треугольнике АВС углы ВАС и ВС А равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD. GffieefH: ^ D Н 108 261 .......................... На стороне АС треугольника АВС отмечена точка F так, что ZABF = ZCAB. Прямая DF, параллельная стороне А8, пересекает сторону ВС в ее середине - точке D. Найдите величину угла АВС. 262 В треугольнике АВС биссектрисы внешних углов при вершинах В и А пересекаются в точке D. Найдите ZBCA, если ZBDA =70°. Ofn€effi:____________________________ 263 ................................... Определите вид треугольника, если сумма двух его углов меньше третьего угла. 1. треугольник - остроугольный; 2. треугольник - прямоугольный; 3. треугольник - тупоугольный; Прямоугольный треугольник 264 ...................... В треугольнике АВС проведены медиана AF и высота CD. Найдите DF, если ВС = 10 см. 1. 5 см; 2. 20 см; 3. 10 см; 4. 15 см. 265 .................................. в прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота CD. Найдите гипотенузу АВ, если ВС = б см, BD = 3 см. 1. 12 см; 2. 6 см; 3. 24 см; 4. 3 см. Otn£effi: » rxk щ о tr >Xt £ » HI w »< Н» о » ir s ж 109 266 В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена высота ВН, равная 6 см, точка М — середина боковой стороны ВС. Найдите отрезок МН, если /АВС = 120°. 1. 12 см; 2. 6 см; 3. 24 см; 4. 3 см С 267 Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведены медиана СМ и высота СН. Найдите угол нем у если /ВАС = 56°. 0»н€е/н: Окружность 268 Радиусы двух окружностей равны 4 см и 7 см, а расстояние между их центрами равно 12 см. Определите, сколько общих точек имеют эти окружности. 1. одну; 2. две; 3. три; 4. ни одной. 269 Расстояние от центра окружности до прямой равно 11 см, а диаметр окружности равен 20 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая. 1. одну; 2. две; 3. три; 4. ни одной. Otfieefn: 110 270 В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ и ВС в точках Е и F. Касательная МК к этой окружности, пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и К. Найдите периметр треугольника ВМКу если BE = 6 см. Gtn€effi:_____________________________ 271 ........................................ Точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Известно, что ZBOC = 160°, ZCOA = 130°. Найдите угол С треугольника ВСА. Gfn£et^,:___________________________ 272 .................................... Точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Известно, что ZAOB = 60°, ZBOC = 120°. Найдите угол В треугольника АВС. GfH^e/н: 273 ... В треугольнике АВС АВ = ВС = 9 см. Высоты AD и СЕ пересекаются в точке Н, причем ZAHC = 120°. Найдите длину стороны АС. Gffi£effi: В о ж » О о •-§ с 111 Учебное издание Мищенко Татьяна Михайловна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по ГЕОМЕТРИИ 7 класс К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16466 от 25.03.2013 г. Главный редактор Л. Д. Лаппо Редактор И. М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Технический редактор Л. В. Павлова Корректор И. В. Русанова Дизайн обложки А. Ю. Беляева Компьютерная верстка О. В. Самойлова 107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru По вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).