Рабочая тетрадь по геометрии 7 класс Атанасян - Глазков Камаев

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 7 класс Атанасян - Глазков Камаев - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ФгосЛ Ю.А. Глазков, П.М. Камаев Рабочая тетрадь по геометрии учени класса школы к л асе класс ЭКЗАМЕН Учебно-методический комплект Ю.А. Глазков, П.М. Камаев РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по геометрии К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 7 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издание четвертое, переработанное и дополненное Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2013 УДК 373:514 ББК 22.151Я72 Г52 Имя автора и начвание цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (cm. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебника «Геометрия. 7~9 классы: учеб, для общепбразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др,]. — Л/. ; Просвещение» приведено на обложке данного издания искзючительно в качестве иллюстративного .материшш (cm. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Глазков, Ю.А. Г52 Рабочая тетрадь по геометрии: 7 класс: к учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для обтеобразоват. учреждений» / Ю.А. Глазков, П.М. Ка.масв. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Экзамен», 2013. — 77, [3] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-05201-2 Данное пособие полноегью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к школьному учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Фсдералышш перечень учебников. Основное назначение тетради — обеспечение решения задач учащимися на уроке и дома после ознакомления с новым учебным материалом. Тетрадь окажется полезной и при самостоятельном изучении материала учебника, например, если ученик пропустил занятия из-за болезни. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 2,79. Уел. печ. л. 6,5. Тираж 10 000 экз. Заказ 2755/12. ISBN 978-5-377-05201-2 Глазков Ю.А., Камаев П.М., 2013 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ ‘ 1. Пячйльлые геометрические сведения §1. Прямая и отрезок......................................4 §2. Луч и угол............................................6 §3. Сравнение отрезков и углов............................8 §4. Измерение отрезков...................................12 §5. Измерение углов..................................... 15 §6. Перпендикулярные прямые..............................19 угол лики §1. Первый признак равенства треугольников...............24 §2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника...........29 §3. Второй и третий признаки равенства треугольников.....35 §4. Задачи на построение.................................39 I .1ралле.:ьные прямые §1. Признаки параллельности двух прямых..................42 §2. Аксиома параллельных прямых..........................48 лптно'чепия между сторонами и углами треугольника §1. Сумма углов треугольника.............................57 §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника....61 §3. Прямоугольные треугольники ..........................65 §4. Построение треугольника по трем элементам............72 >=i tn X X м Глава 1 Начальные геометрические сведения Прямая И отрезок Укажите, какие точки на рисунке лежат на прямой т, и какие точки не лежат на прямой т. Otfie&fi: А€ т; В & т; D___т; ___________. D* •А Укажите точки, через которые проходит прямая р, и точки, через которые она не проходит. OtfieeffL: Cep\Dip\E_______р\К____р',А____; ____ • М Отметьте на рисунке точки НиК так, чтобы выполнялись условия Н ^ а, К й а. Запишите, как читаются эти условия. Н е а: точка Н______________на прямой а или прямая а___________________через точку Н. К i а: точка К____________________на прямой а или пря- мая а через Отметьте на прямой ВС точку Т. Как еще можно обозначить прямую ВС? 0^e/fi:CB; ВТ;____________. С В т Через любые две точки провести прямую, и притом v_ Проведите прямые бис так, чтобы выполнялись условия КеЬяМеЬ,КесиМ€С. Каково взаимное расположение прямых бис? Otfieefn: прямые бис___________. М К ■г Две прямые могут иметь общей точки. Прямые а и /г пересекаются в точке О. Точка С лежит ^ на прямой а. Проведите прямые аип. Может ли точка q С лежать на прямой «? • J^euieHue. По условию общая точка прямых аил — точка_________, а две прямые могут иметь_______________одной общей точки. По.этому точка С _____________лежать на прямой п. Offi€effi: точка С__________лежать на прямой л. На прямой т отмечены точки А, С, Е, К, М и Р. Укажите точки, которые а) лежат между точками Е и М; б) принадлежат отрезку ЕМ; в) не лежат на отрезке ЕМ. 0/^etfL: а) б) в). о н м ы о ж 8............................ На рисунке отмечены пять точек. Пересекаются ли: а) прямые АВ и CD-, б) отрезки АВ и CD\ в) отрезки АС и ВБ; г) прямая AF и отрезок СБ; д) отрезок AF и прямая СВ? 01Яв&н: а)______; б)_____; в) А* С* D В г). д). Луч и угол Заполните пропуски в предложениях: а) на луче АС лежат точки________ б) луч АН совпадает с лучами_____; в) продолжениями луча СА являются лучи Е Предложение «точка А лежит между точками Б и М» будем записывать так: Б—А—М или М—А—В. а) Отметьте на прямой ВМ точки С; О и Р так, чтобы выполнялись условия: Б—О—М; В—М-Р; С—В—М; б) Кгикая точка — С, О или Р — лежит между двумя другими? Otfigetfi:_. в) Какие лучи совпадают с лучом МБ? Offt£eAt : лучи______. г) Какой луч является продолжением луча МВ? О/Яв&н : луч__. Начертите луч q так, чтобы он являлся продолжением луча р. Отметьте на луче р точку С, а на луче q точку N. Опишите взаимное расположение точек О, С и N, используя форму записи, введенную в задании 2. 0(яв&н: _____или___________. а) Запишите обозначения всех углов, изображенных на рисунке. б) Какие из углов являются развернутыми? Gtfi£effL: а) Z.km\_________________ б) развернутыми углами являются Z т На рисунке изображен угол ah. Закрасьте внутреннюю область этого угла. Заполните пропуски в предложениях: а) вершиной угла аЬ является точка_; б) другие обозначения угла аЬ: ZAPB-, Z_______; в) на сторонах угла лежат точки_______; г) внутри угла лежат точки_________; д) вне угла лежат точки_____. Какой луч на рисунке делит угол ВОН на два угла? Решение. Луч делит угол на два угла, если он 1) исходит_________________угла и 2) проходит _____________угла. Из вершины угла ВОН, кроме лучей ОВ и ОН, исходят лучи____и ___ . Из них внутри угла ВОН проходит луч___. Следовательно, луч__ делит угол ВОН на два угла. 0/^е/н: луч___делит угол ВОН на два угла. S. о Проведите лучи тип так, чтобы луч т делил угол аЬ на два угла, а луч п не делил угол аЬ на два угла. Закрасьте внутреннюю область угла аЬ. В какой области, внутренней или внешней, лежит лу^1 т? : луч т лежит Сравнение отрезков и углов А. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно_____________________наложением. С помощью прозрачной пленки выясните, какие из фигур на рисунке равны фигуре А. F М А Я В Е D G R 0^яве>а : фигуре А равны фигуры Объясните, почему любые два развернутых угла равны. J^eiaemie. По условию ZABC и ZKMN __________________, значит, луч ВС является продолжением луча ВА, а луч МК является_____________________ К луча М Луч ВС N наложить на лучг МК так, чтобы они совпали. Тогда совместятся лучи ___ и ___, так как они являются _____________________ лучей ВС и ___. Получили, что углы АВС и KMN при наложении _____________________, поэтому они__________. Отметьте на луче ОМ точки Aw. В так, чтобы выполнялись условия О А < ОМ и ОВ > ОМ. Зачеркните записи, которые не соответствуют полученному расположению точек: А—В—М, В—М—А, М—А—В,А—М—В. На луче РА отмечены точки В w С так, что Р—А—В и Р—С—А. Сравните отрезки РВ и PC. Тешеяие. По условию Р—А—В, поэтому точка ____ лежит между точками___и В, и отрезок РА является частью____РВ. По условию Р—С—А, поэтому точка__лежит между точками___и А и отрезок PC является Получили, что отрезок PC — отрезка РА, а отрезок РА — 0*fi^&fi:PC___РВ. 5................. отрезка____, значит, PC__РВ. Используя текст учебника, заполните пропуски в предложениях: § ш ш т ш о и ►в ы Сб о to Б. Если точка М — середина отрезка CD, то__=____; Если точки D,FwK лежат на одной прямой и FK = KD, то точка, середина отрезка___. Отметьте точку N — середину отрезка АВ. Можно ^ q Л - ^ ЛИ совместить наложением отрезки: B.)AN и BN; б) AN и АВ? J^eiueHue. а) Так как точка N —________________отрезка АВ, то AN = ___, а________отрезки__________совместить наложением. б) Так как точка N — середина отрезка АВ, то AN_АВ, а неравные отрезки _________________________________________совместить наложением. 0(н£&н: отрезки AiN и BN совместить наложением________, а отрезки AN-SS.AB Известно, что CD = DE = EF = FG = GH. Закончите предложения: а) точка G является серединой отрезка _ С •- D Е б) серединой отрезка DH является точка_; в) точка Е является серединой отрезков_и F G Я 8 На каком из рисунков неразвернутые утлы 1 и 2 наложены друг на друга так, что можно установить, какой из них больше другого? Сравните эти углы. а) б) г) Решение. Срйвш1ва.я углы, надо наложить их друг на друга так, чтобы: 1) сторона одного из них_________________со стороной другого; 2) две другие стороны оказались______________сторону от совместив- шихся сторон. 10 Первое условие выполняется на рисунках_ Второе условие выполняется на рисунках_ Оба условия выполняются только на рисунке Z2. В. Определение, k называется биссектрисой угла со сторонами рид, если он выходит из_________угла и делит его на__________угла. На каком рисунке луч т является биссектрисой угла АВС? б) в) г) ж) Решение .Отметьте в таблице знаком ♦ -t- ♦ рисунки, на которых выполняется каждое из перечисленных условий: Рисунок а) б) в) г) д) е) ж) 1) луч т выходит из вершины угла АВС 2) луч т делит угол АВС на два угла 3) углы, на которые луч т разделил угол АВС, равны 0 1 « m Ш О т ы Ж о ш о ш : Л5Г4 т является биссектрисой угла АВС на рисунке 11 10.......................................... Известно, что Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z5. Закончите предложения: а) луч MD является биссектрисой угла___; б) биссектрисой угла DMH является луч_; в) луч ME является биссектрисой углов 11 1 Известно, что лучр является биссектрисой угла cd. Зачеркните неверные утверждения. а) Zcp < Zpd‘, б) луч р делит угол cd на два угла; в) Zed > Zpd; г) луч р проходит через середину любого отрезка, концы которого лежат на сторонах угла cd; д) Zdp = Zpc? Измерение отрезков Основные свойства. А. Чтобы измерить длину отрезка, нужно выбрать ___________отрезок. Б. Длина отрезка выражается_____ В. Если отрезки равны, то их длины Г. Если М—N—Ку то_____= MN + числом. Отрезок РМ разделен на восемь равных частей. Р М А В С Е 12 Найдите длины указанных отрезков при различных единичных отрезках. Измеряемый отрезок Единичный отрезок PC РВ РА ВМ PC 1 2 BF 1 4 РМ 2 8 РВ 0,5 1/3 Найдите длину отрезка в сантиметрах. D |iiii|im|iiii|iiii|iiii|im|im|iiii|mi|iiii|i>iirirn|‘ 0 1 Z 3 4 5 6 0in6eifi:A& = ;CZ> = ;EF = Точки A, Б и C лежат на одной прямой. АВ = 7 см, ВС = 3 см. Найдите длину отрезка АС. Сделайте чертеж. ^Решение. 1) Если А—В—С, то АС =АБ +__. __•___ Подставив известные значения длин отрезков, получим АС = -f- 3 =_. 2) Если В—А—С, то ВС = ВА -Ь__. Подставив известные значения длин отрезков, получим___=____+ АС, откуда АС =__7 =____, что противоречит свойству Б. —•- Значит точка А___________между точками В и С. 3) Если А—С—В, то рассуждая аналогично, полу^шм АВ = АС -1- АС =______= . 0»Яв&£: АС =___см или АС = см. S W Х W »т» га П X м га W ж о ю 13 Лежат ли на одной прямой точки М, Р и К, если МР = 2 см, РК — 3 см, а КМ = 4 см? Решение. Если точки М, Р к К лежат на одной прямой, то больший отрезок КМ равен______________двух других, то есть КМ =____. Подставив значения, получим 4 =______ М, РиК________________на одной прямой. , что неверно. Поэтому точки Точка Е делит отрезок СН на два отрезка, СЕ = 3,2 см, а ЕН — 2,9 см. Найдите длину отрезка СН. Сделайте чертеж. !PetueHUe. По свойству В имеем СН = СЕ -f-СН = см. Точка К лежит на отрезке МР, МР = 4,5 см, а КР = 2,8 см. Найдите длину отрезка МК. Сделайте чертеж. J^euienue, По свойству имеем МР — МК + Подставив значения, получим 4,5 = МК + -2,8 =_____. OtfieeffL: МК =____см. _, откуда МК Точки М и Р — середины отрезков АВ и ВС соответственно. Найдите длину отрезка МР, если длина отрезка АС равна т. ^Решение. 1) По условию задачи точка М — _____________отрезка АВ. Поэтому ВМ = 0,5_ В 14 2) По условию задачи точка Р —__________ ВР =____ВС. 3) По свойству ___ имеем МР = МВ + = 0,5(__+_____) = 0,5 =______. отрезка = 0,5 __, поэтому + ВС = Измерение углов угла. Основные свойства измерения углов. А. Единица измерения углов —__________. 1 ° равен_части 1 60 1 60 Б. Развернутый угол равен Неразвернутый угол_____ часть градуса называется часть минуты называется 1'= 1°; 60 . 1"= ^ •!'. 60 180°. V в. Если углы равны, то их градусные меры__________. Г. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна_____________градусных мер____________углов. Используя учебник, дополните таблицу. Виды углов Прямой угол Острый угол угол А А / т 1 Z Б С В С в С ZABC _ 90° ZABC _ 90° < ZABC < 180° S W 3 ся t» S «< 3 S 15 Укажите величины углов: ZAOC =____ ZDOA =. ZAOT =____ ZDOB = ZAOB =____ ZDOT =. ZAOD= ZDOC= 1 Лист бумб1ги согнули по лучу АВ так, что луч АС совместился с его продолжением — лучом AD. Найдите градусные меры углов ВАС и BAD? Теш£ние. 1) Из условия задачи следует, что углы ВАС и BAD при наложении____, поэтому они___________. По свойству В их градусные меры_ 2) Луч АВ делит угол CAD на углы ВАС и BAD. По свойству ZCAD = ZBAC + Z____. 3) Угол CAD —_____________________ ная мера равна 180°. 4) Следовательно, 180° = Z.CAB Н- Z_ ZCAB = ZBAD = и по свойству его градус- 180° = ZCAB. Сравните градусные меры углов CDE и EDF, изображенных на рисунке. J^etueHue. Угол EDE составляет угла CDE. Поэтому градусная мера угла EDF ______________градусной меры угла CDE, что можно записать в виде неравенства ZEDF______ZCDE. 0»fi£etfi: ZCDE ZEDF. Па рисунке угол АОМ равен 30°. Отложите с помощью транспортира от луча ОМ угол МОК, равный 40°. Найдите величину угла AOJiC. 16 ^Решение. От луча ОМ можно отложить угла, равных 40°. Если луч ОМ делит угол АОК на два угла, то по свойству Г ZAOK = Z_+ Z____=___+ 40° =__. Если луч ОА делит угол МОК на два угла, то по свойству /.МОК = /МОА + Z_____, откуда /АОК = /МОК / = 40°- угол АОК равен_____или Луч ОС делит угол КОМ на два угла. Найдите угол КОМ, если а) /КОС = 25°17', /СОМ = 12°43'; б) /КОС = 72°34', /СОМ = 21°39'. J^euiBHUe. Так как луч ОС делит угол КОМ на два угла, то по свойству /КОМ = /КОС + Z_________. а) /КОМ = 25°17' +____________=_________ б) /КОМ = 72°34' +____________=_________ Otfieetd: а) /КОМ =_______; б) /КОМ =, Луч CF делит угол ECD на два угла. Известно, что /FCD — 90°. Какой может быть градусная мера угла ECD1 ^Решение. Так как луч__делит угол _ /ECD = /ECF + Z_____. на два угла, то по свойству Пусть /ECF — острый, то есть /ECF___90°. Тогда 90°__/ECD_____180°, то есть /ECD — _ Пусть /ECF — прямой, то есть /ECF___90°. Тогда /ECD = 90° +______=________, то есть /ECD —_________________________. Пусть /ECF — тупой, то есть 90°_/ECF_____180°. Тогда /ECD____180°, что невозможно по свойству_. Gtfi£etfL: /ECD может быть_________или__________ -ist 3 Bs w » S re >< о 17 pi.. 8................................................. Луч DF — биссектриса угла CDE, равного 45°. Найдите градусную меру угла CDF. J*eUi£Hue. Так как луч DF —_______________________ =___-Z.CDF, то есть 45° = 2-Z___, откуда Z.CDF = Oifieetfi: Z.CDF =________. угла CDE, то ZCDE = Луч DF — биссектриса угла CDE. ZFDE = 63°43'. Найдите градусную меру угла CDE. J^eiu&iue. Так как луч DF —___________________ = Z______=________. По свойству__ZCDE = ZCDF______Z____=___-ZFDE = 2- угла CDE, то ZCDF Otfi£etfL: ZCDE = 10 Угол DEF—развернутый. Луч ЕС делит его на два угла. Постройте биссектрисы ЕН и ЕК углов DEC и CEF. Измерьте угол, образованный биссектрисами построенных углов. Результат измерения проверьте с помощью вычислений. D J^eiuetiUe. Так как ЕН и ЕК — биссектрисы углов DEC и__, то ZHEC = 0,5 Z______, а ZCEK =____ZCEF. По свойству _ ZHEK = ZHEC + Z__________=_____ZDEC + 0,5 Z_ = 0,5Z_____=______. OtfieetfL : угол, образованный биссектрисами смежных углов, равен 18 Перпендикулярные прямые А. Определение. Смежными называются________ рона_________, а две другие являются другой. угла, у которых сто- одна На каком из рисунков углы 1 и 2 смежные? б) в) Тешение. 1) Смежными называются два угла, у которых __________, а две другие являются___________ 2) _______ сторону углы 1 и 2 имеют на рисунках 3) Стороны углов 1 и 2 являются_____________ рисунках__________. 4) Оба условия выполняются на рисунке_. Oifi£e/ri : смежные углы изображены на рисунке_. сторона одна другой. друг друга на 2? а ш Ш ш S ч» » Проведите лз^ч DF, являющийся продолжением луча ПС. Измерьте градусные меры углов CDE и EDF и найдите их сумму. Решение. ZCDE = ZCDE + ZEDF = ZEDF = _ гя 19 Б. Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна____. Действительно, если углы CDE и EDF смежные, то лучи DC и ___являются_______________________друг друга. Поэтому угол____— развернутый, и по свойству измерения углов Z.CDE + ZEDF = Z_=______. J Сумма градусных мер углов CDE и EDF равна 170°. Могут ли эти углы быть смежными? Ответ объясните. OtfLSeift : если бы углы CDE и EDF были смежными, то по свойству смежных углов ZCDE -Ь Z____=_____, что противоречит условию задачи. Сумма градусных мер двух углов равна 180°. Обязательно ли эти углы смежные? Ответ объясните. 0»яе&я : Рассмотрим два прямых угла 1 и 2. Сумма их градусных_______равна_______. Но они являются смежными только на рисунке_. 2 а) Поэтому утверждать, что ♦если сумма градусных мер двух углов равна 180°, то они смежные» —________________. Найдите смежные углы аЬ и Ьс, если: а) Zab в пять раз меньше Zbc", б) Zab больше Zbc на 24°; в) Zab'.Zbc = 2:7. 20 J^euteHue. a) Пусть меньший угол равен X, тогда /Ьс = По свойству смежных углов /.аЬ +____=____. Составим уравнение х +___=______, откуда X = 180: или X =____, то есть /Lab = и Zhc = 5-___=_____. б) Пусть меньший угол___равен ж, тогда /Lab = х По свойству смежных углов АаЬ +_____=____. Составим уравнение (ж + 24) +_=__ 2ж = 180 или ж =_____, откуда то есть АЬс = и /Lab = члены, получим пропор- в) Z.ab\Z.bc = 2:7 — это равенство называется Переставив в этой пропорции______________ цию /Lab\__= /Lbc\_. Пусть каждое из этих отношений равно ж, тогда Z.ab =___, а /.Ьс =__. По свойству смежных углов составим уравнение___ж +__ж = ж = 180 : или ж =____. Значит, Z.ab =_, Zbc =_____. а) Zafe =__, б) /Lab =_________ /.be = ___; /Lbc =____ в) /Lab = Z&c = _, откуда (Г B. Определение. Вертикальными углами называются два угла, стороны которых являются__________________________друг друга. ез 5 с т На каком из рисунков углы 1 и 2 — вертикальные? б) в) д) м а W 21 J^eiueHue. Два угла называются вертикальными, если одно- го угла являются ________________________ условие выполняется на рисунке_. : вертикальные углы изображены на рисунке . сторон другого. Это г. Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы____________. Действительно, если углы 1 и 2 вертикальные, то угол 3 является___________с углом 1 и углом_. По свойству___________________углов: Z1 -Н Z3 =___и Z2 -t- Z3 =__. Отсюда следует, что Zl_ Z2. Прямые pviq пересекаются в точке М и Z1 = 38°. Найдите остальные углы. Тешение. 1) Углы 1 и 3 вертикальные. По свойству вертикальных углов они___________поэтому Z3 =_____. 2) Углы 1 и 2_______________и по свойству смежных углов Z1 -4- Z2 = _. Отсюда Z2 = 180° 3) Углы 2 и 4______________________ углов они_________поэтому Z4__Z2 = ОрЙ€&Я: Z1 = Z3 =__; Z4 = Z2 =___. 8.................................. и по свойству вертикальных При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен 90°. Найдите остгшьные углы. J^eiueHue. Пусть Z1 = 90°. Тогда 1) Z3 = Z1 =____, как__________________углы. 2) Z2 = 180° - Z1 =____, как______________ 3) Z4 = Z2 =____, как_______________________углы. Otn£effi : все углы равны_. углы. 22 г Д. Определение. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют___________________угла. Е. Теорема. Две прямые, пересекаются. к третьей, не Из точки М провели две прямые МР и МО, пересекающие прямую а в точках Р и О. Оказалось, что угол МРО прямой. Может ли угол РОМ равняться 90°? Сделайте чертеж. J^euieHue. 1) Так как АМРО = 90°, то МР 1 а. 2) Предположим, что ZMOP = 90°, тогда МО _ о. 3) TeiK как прямые МО и МР____________________ к прямой а, то они пересекаться______________. ОрЯ£е}Я. : угол РОМ равняться 90° 23 Глава 2 Треугольники Первый признак равенства треугольников Заполните пропуски: а) треугольник CDM можно обозначить так: Д CMD, а можно и так б) против стороны CD лежит угол_, кото- рый можно обозначить также и тремя буквами в) против угла С лежит сторона_; г) углы М и D прилежат к стороне_; д) к стороне МС прилежат углы_______. или а) Измерьте сторону GF и противолежащий ей угол. Otfieetfi: GF =_см;_____=_______. б) Найдите периметр треугольника GEF. Периметром треугольника называется его______________. Так как GF =_______см, FE = _ -Ь____ + = см. _______длин всех см, EG =____см. ^GEF -------- 0(n£e*fi:P^^^ = см. На рисунке изображены равные треугольники АВС и РКМ. а) Укажите соответственно равные элементы этих треугольников: АВ =____; ВС =___; СА =___; ZA = ZB =__; ZC = 24 б) Измерьте длины сторон и градусные меры углов треугольника РКМ: РМ =______; =_____; МК =______; =_____; КР =_______; ZM =____; в) Не измеряя сторон и углов треугольника АВС, укажите: длину стороны, противолежащей углу Б; градусную меру угла, лежащего против стороны БС; длину стороны, к которой прилежат углы А и Б. J^etueHide. В треугольнике АВС против угла Б лежит сторона __, которой в треугольнике РКМ соответствует сторона РМ, поэтому_=__=______. Против стороны ВС в треугольнике АВС лежит угол__, которому в треугольнике РКМ соответствует угол Р, равный___ Углы А и Б прилежат к стороне__, которой в треугольнике РКМ соответствует сторона РК, равная поэтому АБ =____=______. г) Найдите периметр треугольника АВС. Нужно ли для этого измерять длины его сторон? J^euteHue. Так как ААВС = Д___, то АБ = =_____; БС = Поэтому Р^ — АВ +__ Р.„ = + СА =, РК + АВС СМ. Измерять длины сторон треугольника АБС При наложении треугольника АБС на треугольник ORT сторона АБ совместилась со стороной OR, а сторона БС со стороной RT. Совместятся ли при этом наложении стороны АС и ОТ? !Реш£ние. По условию задачи при наложении треугольника АБС на треугольник ___сторона АБ совместилась со стороной_, а сторона БС со стороной___. Поэтому точка Б совместилась с точкой_, точка А — с точкой___, точка С — с точкой_. Тем самым совместились концы отрезков АС и__, значит, совместились и сами отрезки. 0*п£&Я:____, стороны АС и ОТ _____________________________. а с 5 Я X X о я 25 г А. Теорема. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и ___________________________ гольника соответственно равны ________________ углу между ними другого треугольника, то такие треугольники одного треу-и Дано: ААВС и ШРК\АВ = МР;АС = МК\ ZA = Z_. Доказать: ААВС =_____. Доказательство. 1) По условию /л = Z поэтому треугольник АВС наложить на треугольник МРК так, что нало- V (можно; нельзя) вершина А совместится с вершиной____, а стороны АВ и жатся на лучи МР и____соответственно. 2) По условию АВ =____, АС =___, поэтому вершина В треугольни- ка АВС совместится с вершиной треугольника МКР, а вершина С — с вершиной___. Значит, совместятся и стороны ВС и__. 3) Итак, треугольники АВС и МРК полностью ___________________ _____, а потому они________. Что и требовалось доказать. У Точка О — середина отрюзков АВ и CD. Докажите, что ЛАОС = ABOD. Доказательство. По условию задачи 1) точка О — середина отрезка АВ, поэтому АО= ; 26 2) точка О — середина отрезка CD, поэтому СО =_; 3) углы АОС и BOD вертикальные, поэтому ZAOC = _ Поэтому ДАОС = ABOD по двум ___________________ и углу На рисунке CD = FG, DE = EF и Z.CDE = = ZEFG. Докажите, что точка Е — середина отрезка CG. Доказательство. 1) Рассмотрим треугольники CDE и GFE. Они_______________по двум сторонам и углу между ними, так как по и Z.CDE = условию CD = ,DE = _ 2) Из равенства треугольников следует______ П5ИХ сторон. Поэтому СЕ =__. 3) Точка Е_____________на отрезке CG и СЕ = Поэтому точка Е —_________________ их соответствую- отрезка EG. На рисунке МР = NP и ZMPK = ZNPK. Докажите, что МК = NK. Доказательство. 1) ШРК = ANPii: по_________________ МР =_____по условию; РК —_______________сторона; _, так как К ZMPK^ по условию. 2) Соответственные стороны равных треугольников есть МК =____. 8 Дано: AKPR, PR = RK\ ZPRH = ZKRH. Докажите: а) ZPHR = 90°; б) точка Н — середина отрезка РК. _, то с С С8< а ►в ►в m S о •н (Я ы < л S3 ж о W 27 Доказательство. Рассмотрим треугольники PRH и KRH. Они равны по______________________________________, так как по условию PR =___; Z.PRH =____и RH —____________сторона. В равных треугольниках соответственные стороны и углы___, поэтому PH =_______________________________________________и Z.PHR =_. Так как ZPHR =_и они Так какН еРКиРН = _ 9............. ,то точка Н — то ZPHR = РК. Дано: точка О — середина отрезка TN; ОР1 TN. Сделайте чертеж и докажите, что ZNPO = ZTPO. Доказательство. Рассмотрим треугольники NOP и ТОР. ТО =___, так как по условию точка О —____ ОР —_____________сторона; N отрезка TN; ZTOP = , так как по условию ОР_TN. В равных треугольниках соответственные стороны и углы ______________, поэтому__________________. 10 Луч ТХ — биссектриса угла PTS; РТ = TS; точка V лежит на продолжении луча ТХ. Сделайте чертеж и докажите, что отрезки VP и FS равны. Доказательство. Рассмотрим треугольники VTP и VTS. По условию РТ =___; сторона TV —__________; ZVTP = ZVTS, так как равны смежные с ними углы Поэтому треугольники VTP и__равны по_______ и VP =____, так как они являются __________треугольников. сторонами 28 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника гг А. Прямая CD перпендикулярна____ отрезок CD______________________ точка D —______________перпендикуляра прямой I; Г Б. Теорема. Из точки. С' 1.. ___________ на прямой, можно провести к этой прямой, и притом только____. -J а) Установите с помощью чертежного треугольника, какой из отрезков AD, AF или AG является перпендикуляром к прямой РК, проведенным из точки А. б) Проведите из точки А перпендикуляр к прямой РМ. Gtfie&fi: а)___± РК, б) А_ ± РМ. В Е н м г» Q ж о £ СО г г» о HI т fcr* 29 Точка М не лежит на прямой т, а точки В и С лежат на прямой т. Известно, что ZMBC = 80°, а ZMCB = 90°. Какой из отрезков МВ или МС является перпендикуляром, проведенным из точки М к прямой т? Решение. 1) По условию задачи М е_, В___/п, ZMBC =___ МВ_________________перпендикуляром, проведенным из точки 2) По_____ резок МС т из значит, отрезок к задачи М т,Се___, ZMCB = , значит, от- перпендикуляром, проведенным к Дано: В ^ а,С, D е а, BD1 а. Сделайте чертеж и докажите, что ZBCD ^ 90°. Доказательство. 1) По условию точка В_а, BD_а и точка D_а. поэтому отрезок BD является точки В к прямой___. 2) Из точки В,____________ куляр к этой_______ проведенным из _____на прямой а, можно провести перпенди- и притом только____, поэтому ZBCD 90°. В. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной ________________, называется __________________ треугольника. Г. Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой_____стороны, называется ___________________треугольника. 30 г Д. Определение. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к _____________, содержащей противоположную _____________, называется___________треугольника. 1 J Е. В любом треугольнике медианы пересекаются в _ биссектрисы____________ высоты или_____________ точке. точке. в одной точке; _____пересекаются в Какой из отрезков AM, АН и АР является медианой, какой — биссектрисой, а какой — высотой треугольника АВС? Решение. 1) Медианой треугольника АВС является отрезок___, так как точка ___является__________________стороны ВС. 2) Биссектрисой трезп'ольника АВС является отрезок_, так как, АН является биссектрисой угла____треугольника АВС. 3) Высотой треугольника АВС является отрезок ся__________________к стороне ВС. , так как он являет- С помощью чертежных инструментов проведите в треугольнике МРК а) биссектрису из вершины Р; б) высоту из вершины К; в) медиану из вершины М. ш е о Ч J2 3 ш ж 31 в треугольнике ABC медианы AM и СН пересекаются в точке Т. Докажите, что прямая ВТ пересекает сторону АС в ее середине. Доказательство. Так как медианы любого треугольника _______________ в одной точке, то третья медиана лежит на прямой_, то есть прямая ВТ сторону АС в ее В треугольнике CDF провели высоты СК и FH. С помощью только одной линейки постройте третью высоту треугольника CDF. пере- J^euteHUe. Высоты треугольника или их__________________ секаются в__________точке. а) Пусть высоты СК и FH пересекаются в точке О. Проведем прямую DO и обозначим точку пересечения прямой и__________CF буквой М. Отрезок DM —______________треугольника CDF. б) Пусть продолжения высот СК и FH пересекаются в точке О. Проведем прямую DO и обозначим точку пересечения прямой и_____________CF буквой М. Отрезок DM — третья___________треугольника______. Ж. Треугольник называется равнобедренным, если_____его стороны ______________________________________________ . Равные стороны называются сторона —____________ сторонами, а третья равнобедренного треугольника. 32 8.............................................................. Является ли треугольник DEF равнобедренным, если DE = 17, ЕЕ = 6, а периметр треугольника равен 40? Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны_______________. = DE ЕЕ +______, то есть 40 = 17 -t- Значит, треугольник DEE_______ OfHJeetti: треугольник DEE____ 9.............................................................. Найдите периметр равнобедренного треугольника МКР, еслиМР = 7, РК = 4. J^euieHMe. Треугольник называется равнобедренным, если_________ ____________________________, но в условии задачи не сказано, какие -I-___, отсюда ED = _ равнобедренным. _______равнобедренным. стороны треугольника являются Поэтому рассмотрим два случая. а) Пусть стороны МР и МК являются боковыми сторонами треугольника МКР, тогда Рд,рк^ = 7 -f 4 -Ь_=_. б) Пусть стороны РК и___являются боковыми сторонами треугольника МКР, тогда Рц,р^ ■= 7 -t- 4 -Ь_■=_. периметр равнобедренного треугольника МКР равен_______или см. 10 Сколько равнобедренных треугольников изображено на рисунке? Сколько из них равносторонних? SC т Krt X Г) X е аз м К п о Otfi£etfi: на рисунке изображено _ равнобедренных треугольника: Р Равносторонними из них являются_треугольника: 33 г 3. Теорема. В равнобедренном треугольнике углы_______________________ равны. Дано: AFEG; FE =____. Доказать: ZF = Z__. Доказательство. 1) Проведем биссектрису ЕН угла . (Проведите ее на чертеже). 2) AFEH___ AGEH по двум сторонам и ЕН — угла сторона; ZFEH = Z_ ___, FE =___по условию .потому что Eif 3) В ргшных треугольниках соответствующие углы этому ZF = Z_. ПО- 11 34 Является ли треугольник HKN равнобедренным, если ZH = 32°, ZK = 48°, ZN = 100°? Ответ обоснуйте. _____, в равнобедренном треугольнике углы при_________ равны, а в треугольнике HKN равных углов____. 12............................................................ Докажите, что медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит его на два равных треугольника. Дано: AMPQ; МР = MQ; МТ — медиана. Доказать: АМРТ - AMQT. Доказательство. АМРТ = А______по двум сторонам и углу между ними: МР =__по условию; РТ МТ—__________________; ZP = Z как углы при______ равнобедренного треугольника. Q _, так как и. Теорема. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к ____________, является медианой и Дано: ACDE; DC = DE; DH — биссектриса. Доказать: DH — медиана и высота. Доказательство. 1) ACDH = AEDH по двум сторонам и CD =____по условию; DH— = Z_____, так как DH —____ сторона; ZCDH = 2) В равных треугольниках_______________________стороны и углы равны. Поэтому СН =____, то есть DH —___________. ZCHD = Z_____и они являются_______________, поэтому ZCHD = =____, то есть DH —_________. Второй и третий признаки равенства треугольников •ч ы pi А. Теорема. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два __________________________________ к ней_одного треугольника соответственно равны ___________ и двум _________________к ней углам другого треугольника, то такие треугольники g В1 Ш Я ►ч О ХУ т о W 35 Доказательство. 1) Пусть Z£> = ZD,, Z^: = ZK^, DK = D^K^. 2) Наложим треугольник на треугольник____так, чтобы вершина Z), совместилась с вершиной_, вершина — с вершиной __, а вершины О и__оказались по одну сторону от прямой_. 3) Так как ZD, = Z_, ZK^ = Z_, то сторона наложится на луч ___, а сторона — на луч________. Поэтому общая точка сторон и KjOj треугольника____окажется лежащей на лучах DO и ___, то есть совместится с вершиной_треугольника DKO. 4) Итак, вершины треугольников______при наложении, поэтому треугольники_________. J ■■п :Ф-: '■Ф ■ Ш; 4 4 Докажите, что MS = QR. Доказательство. Для доказательства равенства отрезков докажем, что треугольники MSP и QRP__________. М Q По условию задачи ZM = Z____и МР =_____, ZMPS = Z____, как верти- кальные. Поэтому треугольники MSP и______равны по_____признаку равенства треугольников. Значит, MS =_____как соответственные ______________равных треугольников. В треугольниках АВС и NPZ ZA — ZN, АВ = NP. С Z В " AN" Р Какое условие надо добавить, чтобы можно было утверждать, что треугольники равны а) по первому признаку равенства треугольников; б) по второму признаку равенства треугольников? Ottieeffi: а)_=_; б)_=____. 36 Для каждого условия, стоящего в левом столбце, подберите заключение из правого столбца так, чтобы получилось верное предложение. Соедините эти высказывания стрелками. Если в треугольниках АВС и MPQ ZA = ZM, ZB = ZPnAC = MQ, Если в трезч-ольниках АВС и MPQ ZA = ZM, ZC = ZQhAC = MQ, то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Если в треугольниках АВС и MPQ ZA = ZM, АВ = МРиАС = MQ, Если в треугольниках АВС и MPQ ZA = ZQ,AB = MPhAC = MQ, то треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Если треугольники АВС и MPQ равнобедренные и ZA = ZC = ZM, АВ = МР, Если треугольники АВС и MPQ равнобедренные с равными основаниями АВ и МР и ZA = ZQ, то для утверждения о равенстве треугольников не хватает данных. Если треугольники АВС и MPQ равносторонние и АВ = МР, tw т I I m а S Hi ГР г Б. Теорема. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны________сторо- нам другого треугольника, то такие треугольники Доказательство. Пусть у треугольников МРК и М мр = MjPj, рк = и км =_______. Приложим треугольник М^Р^К^ к треугольнику МРАГ так, чтобы сторона совместилась со стороной КМ, а вершины и_оказались ______________стороны от прямой_. о W 37 Возможны три случая: а) прямая РР^ делит отрезок КМ\ б) прямая РР^ проходит через один из концов отрезка в) прямая РР, не пересекает отрезок_. Рассмотрим третий случай. По условию РК =_____и МР =_______поэтому треугольники Р^КР и Р^МР —___________________. Поэтому ZKP^P = Z____и ZMP^P = Z___ по свойству углов при_________________равнобедренного треу- гольника. ZKP^M= ZKP^P - Z_________, а ZKPM= ZMPP^^, поэтому они Значит, треугольники МРК и М^Р^К^ равны по____________при- знаку равенства треугольников. Периметры двух треугольников равны 52 см, а их стороны равны 18 и 12 см и 22 и 12 см. Равны ли эти треугольники? Решение. Обозначим третьи стороны этих треугольников буквами т и т^. Найдем их длины: m = 52 - (_-I-18) =_см; oij =_- (12 -i-_) =__см. Итак, стороны треугольников попарно_______. Значит, эти треугольники_________по_______________________при- знаку равенства треугольников. 38 Дано: AS -- CD; АС = DB. Доказать: ZBAD = ZCDA. Доказательство. AABD = ADCA no ______________ признаку равенства треугольников, так как АВ =_и BD =___по_______________, а сторона AD — Поэтому ZBAD --треугольников. Z как углы Задачи на построение а) Надпишите отмеченные на рисунке фигуры. б) Сколько хорд изображено на рисунке? OfH£eifL: на рисунке изобр£1жено_____хорды. в) Сколько дуг изображено на рисунке? : на рисзшке изображено_______дуг. г) Закончите предложения: Если диаметр окружности равен 13 см, то радиус равен____см. Если радиус окружности равен 15 см, то ее диаметр равен_ Будем обозначать окружность с центром в точке А так: окрА. Дано: А е окрБ; В е окрА; окрВ пересекает окрА в точках С кВ. Сделайте чертеж и докажите, что треугольники АВС и ABD равны и они равносторонние. см. окрА. _ окрВ. Доказательство. 1) АВ=АС = как_______ 2) ВА =__= BD как____ 3) ААВС = AABD по____________признаку равен- ства треугольников. ААВС и AABD равносторонние, так как их стороны_______. Л Ш ш > а 8 S3 о 39 Постройте окружность с центром в точке В так, чтобы она а) не пересекала окружность с центром в точке А; б) имела с окружностью с центром в точке А одну общую точку; в) имела с окружностью с центром в точке А две общие точки. В В Что можно утверждать о величине радиуса окружности с центром в точке В, если радиус окружности с центром в точке А равен 1 см, аАВ = 3 см? а) <____или __________; б) Да = . в) _ или R^ = <^в< Постройте точку С, удаленную от точки D на 2 см и от точки £ на 3 см. Сколько решений имеет задача, если а) DE = 1 см; б) DE = 4 см; в) DE = 5 см? D • D • D • а) б) в) Постройте 5 точек, равноудаленных от точек А и В. А. 40 Постройте угол, величина которого в два раза больше величины данного угла М. Постройте угол, равный четверти развернутого угла if, если построения можно проводить только в нижней полуплоскости относительно прямой т. Н т 41 Глава 3 Параллелъиые прямые SIji Признаки параллельности двух прямых А. Определение. Две прямые______ называются параллельными, если они Заполните прюпуски, используя знаки || (параллельны) или ^ (не параллельны). е На рисунке прямая m перпендикулярна к прямым р и q. Параллельны ли прямые рид? Ответ объясните. 0/п£е*Я :р_9,таккакдвепрямые,перпендикулярныек_ прямой____________________. 42 Точки А, В.С S т; D, F е п. Прямые тип параллельны. Какие из отрезков и лучей параллельны? Рассмотрите рисунок и заполните таблицу, используя знаки || или Лучи АВ ВС DF ВС DF отрезки АВ ВС DF АВ 11 ВС DF Б. Прямая р — секущая для прямых тип. Накрест лежащими углами являются углы 3 и_; 4 и__. Односторонними углами являются углы 3 и ; 4 и Соответственными углами являются углы 1 и 3 и___; 4 и__. ; 2 и П W ta Прямые ЕК и RK пересекаются прямой DN в точках М и Р, причем D-P-M. Сделайте чертеж. Как называются указанные ниже углы? » о г» HI € углы МРК и РМК — углы МРК и ЕМР — углы МРК и NMK — » з: S >м« X 43 г в. Если при пересечении двух прямых секущей ______________углы равны, то прямые_________ Дано: прямые тир и секущая МР. Z1 = Z2hohh ___. 1 Доказать: т\\р. Доказательство. 1-й случай. Если Z1 = 90°, то т_ Тогда и Z2 = ______, то есть _МР. и Р_ к третьей прямой _МР, а две прямые ______________, то есть они отрез- 2-й случай. Пусть 90°. Тогда Z2___90°. Отметим точку Q —_________ ка. МР. Проведем QC__т и отложим на прямой р отрезок PD, равный____(см. рисунок). В треугольниках QMC и QPD: QM =______, так как точка Q середина__ МС =____по__________________; ZQMC = Z_ Поэтому треугольники QMC и знаку_______________________ ,МР; по условию. равны по при- Из равенства треугольников следует, что ZMQC = Z_ поэтому точка D лежит на продолжении____ QhD лежат на одной прямой____. hZC = Z _, то есть точки С, m J___ир___CD. Следовательно, т\\р. J Дано: прямые аиЬи секущая с. Z1 = 117°;Z2 = 63°. Доказать: а||б. Доказательство. Для доказательства параллельности прямых а и___докажем, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны (отметьте угол 3 на рисунке). Действительно, так как углы 3 и 2 являются_ Z3 =____- 63° =___. Итак, Z1 = Z3 поэтому а_Ь , то 44 На рисунке Z1 = 132°, а Z2 = 48°. Докажите, что c||d. Доказательство. Рассмотрим накрест ле-жащиеуглы 2 и 3 (отметьтеугол 3 на рисунке). Углы 1 и 3 являются__________________, поэтому Z3 =____- 132° =____. Так, Z3 = = Z_, а они накрест лежащие, значит с_d. Дано: точка А — середина отрезков BD и CF. Доказать: BC^DF. Доказательство. 1) Из того, что точка А — середина отрезков BD и CF, следует, что АС =_, АВ =__. ZBAC = Z____, так как они_______________. Поэтому ААВС = Д D по 2) Из углы признаку равенства треугольников. ________треугольников следует, что ZC = Z__, но эти __________________, поэтому ВС_DF. Г. Если при ответственные углы Дано: прямая f двух прямых , то прямые_ со- пересекает прямые с и d в точках С и D; Z1 и Z2 соответственные и Z1 = Z2. Доказать: с_d. Доказательство. 1) Рассмотрим вертикальные углы 2 и 3 (отметьте угол 3 на рисунке). 2) Тогда Z2 = Z3___________________ Z1 = Z_______ 3) Z3 и Z_ , следовательно, Z3 = Z_. накрест лежащие, поэтому прямые end J о о X д 45 8 Дано: прямая k пересекает прямые ритв точках Р иМ. Zl = 43°; Z2 = 137°. Доказать: р\\т. Доказательство. 1) Рассмотрим соответственные углы 1 и 3 (отметьте угол 3 на рисунке). 2) Z3 и Z2 —____________, следовательно, Z3 =____-Z2 = 180°-_____=____. 3) Итак, Z3 = Z_, и они являются_____________ , поэтому/»_т. Дано: АС = СВ; ZB = 80°; ZDCB = 160°, СЕ — биссектриса утла DC В. Доказать: СЕ\\АВ. Доказательство. 1)ZDCE = ZDCB : __ =__: 2 =___, так как СЕ —_______________угла DCB. 2) ZA = ZB = , так как треугольник АВС 3) ZDCE = ZA —___и они являются соответственными, поэтому СЕ AR. Д. Если при секущей___ равна__ двух прямых односторонних углов то прямые 10 Дано: ААВС; АС = BC;ZB = 70°; ZBAF = 35°; AD = DF. Доказать: DE||A_B. Доказательство. равенство или соот- ветственных углов. В 46 2) Для угла BAF накрест лежащим углом при пересечении прямых DF и АВ секущей____является угол_____. 3) ADFA является___________________. ПоэтомуZDFA = Z__. 4) ZDAF = ZBAC - Z_ = 70°- 5) Итак, ZDFA = ZBAF = и они при пересечении прямых DF и секу- щей ___, поэтому DF 11 Дaнo:CП = ^:F.•Zl = Z2. Доказать: CF\\DE. Доказательство. 1) В треугольниках CDF и CD = по ; Z1 = Z__по сторона DF - Следовательно, ACDF = AEFD по____________ угольников. Поэтому ZCFD = Z______(отметьте их на рисунке). признаку равенства тре- 2) Углы CFD и EDF являются накрест лежащими при пересечении прямых CF и_____секущей______, а так как они________, то прямые CF и 33 со Ж 12 Почему, перемещая прямоугольный треугольник вдоль неподвижной линейки и проводя прямые по свободному катету или гипотенузе, мы получаем параллельные между собой прямые? OS^sicHeHue. 1) Треугольники 1 и 2 равны, поэтому прямые end_________________________пря- мой Z, поэтому с_d. 2) Треугольники 1 и 2 му равны и__________ W Ы ё О г> -I поэто- углы при пересечении прямых тип се- X кущей I. Следовательно, т п. 47 Аксиома параллельных прямых А. Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой. '■:л Дано: Zab и прямая с. Доказать, что, хотя бы одна из прямых а или Ь пересекает прямую с. Доказательство. Пусть вершина угла находится в точке О. Допустим, что каждая из прямых аиЬ_______________________пря- мую с. Тогда по определению параллельных прямых а_с и Ь_с, следовательно, через точку О проходят__прямые,__________________прямой с. Но это противоречит аксиоме______________прямых. Поэтому прямая с пересекает или прямую а или прямую_. Б. Следствие 1. Если прямая пересекает одну из _____параллельных прямых, то она___________________и другую. Дано: т\\р; прямая к пересекает прямую р. Доказать, что прямая k пересекает прямуюр. 48 (Г Доказательство. По условию прямые кит имеют только одну общую_ значит Обозначим ее буквой А. Допустим, что прямая к не пересекает Тогда прямые к и р прямые {к и_) и через точку А проходят ____прямой р. Но это противо1)ечит этому прямая к______ параллельных прямых, и не- прямую р. V Г В. Следствие 2. Если две прямые параллельны прямой, то они Дано: mlig.-pllg. Доказать: т\\р. Доказательство. Допустим, что прямая т не параллельна _____________ р. Тогда прямые тир____________________в некото- рой точке А. То есть через точку А проходят _____прямые, параллельные прямой____. Но это противоречит параллельных прямых. Поэтому прямые т и р не пересекаются, то есть они 2. 119" Дано:/'lid; Z1 =61°; Z2 Доказать: /||с. Доказательство. 1) Пусть углы 1 и 3 — соответственные углы при пересечении прямых cud секущей____. (Отметьте угол 3 на чертеже). 2) Углы 3 и 2____________, поэтому Z3 =__ 3) Получили, что Z3 = Z_, но они _, поэтому d_с. 4) Имеем f\\d и d||c, значит, по следствию 2 f_с. Дано: Z1 = Z3 = 52°; Z2 = 128°. Определить: взаимное расположение прямых b,cnd. 1) Рассмотрим взаимное расположение прямых Ь и с. Углы 1 и 4 —вертикальные. (Отметьте угол 4 на чертеже). Следовательно, Z4_Z1 =___hZ4 + Z_ =___+____=___, но углы 4 и 2 являются______________________ сечении прямых__и___секущей___, поэтому Ъ_с. 2) Рассмотрим взаимное расположение прямых bvid. Z4 = Z3 =_, а эти углы являются_____________ прямых____и___секущей___. Следовательно, Ь_d. 3) Итак, Ь_с и Ь_d, поэтому по_______________с_ 0(п£&н: прямые Ь, с и d попарно________________ углами при пере- при пересечении d. Дано: А, В,С & D € а\ D — середина отрезков AAj, ВВ,, СС,. Доказать: точки А,, В, и лежат на одной прямой. Доказательство. 1) Допустим, что точки Aj, Bj и не лежат на одной прямой, следовательно, прямые А^В, и ад-______________• 2) Рассмотрим взаимное расположение прямых А,Bj и а. A^D =____; BjB =__по____________; Z____как_____________, следовательно. ZA,DB, AA^B^D = по Поэтому ZB^A^D = Z____ и они _____________ прямых а и_____секущей___. Поэтому А,В^_а. 3) Так же можно доказать, что B^Cj_а. 4) Получили, что через точку Bj проходят _ ________________прямой а, что противоречит _ признаку равенства треугольников. при пересечении прямые А,В, и параллель- ных прямых. Поэтому прямые А,В, и______совпадают, то есть точки Aj, Bj и лежат на 50 части: Г. Во всякой теореме различают_ ___________и______________ Условие теоремы — это то, что известно, дано. Оно, как правило, начинается со слова «если». То, что требуется доказать — писывается после слова «то». , оно, как правило, за- Заполните пропуски и подчеркните условие теоремы одной чертой, а заключение теоремы — волнистой линией. а) «Если прямая пересекает одну из двух____________прямых, то она______________и другую прямую». б) «Сумма смежных углов равна____». Утешение. Чтобы выделить условие и_______ формулировку нужно записать в форме «Если ..., то ... ». Что известно (дано) в этой теореме? — То, что углы_ Что надо доказать? — Нужно доказать, что их_равна Значит, теорему можно записать так: «Если углы________, то их________________». в) «В равнобедренном треугольнике углы_____________ Утешениетеорему в форме «Если ..., то ... ». «Если треугольник________________, то____________ ны*. г) «Медиана равнобедренного треугольника, _________ ____________, является высотой и_____________». в этой теореме, ее равны». рав- к его J^eiueHUeтеорему в форме «Если ..., то ... ». «Если в равнобедренном треугольнике проведена медиана __________, то она является__и______________». Д. Определение. Теоремой, обратной данной, называют теорему, в которой условием является _____________данной теоремы, а заключением — _____________данной теоремы. г» S О м W сг* а 'TJ X 51 Заполните пропуски и подчеркните условие теоремы одной чертой, а заключение теоремы — волнистой линией. Запишите теоремы, обратные данным. а) Теорема: «Если две прямые параллельны третьей прямой, то они ». , то они парал- Обратная теорема: «Если две прямые___________ лельны________________________*. б) Теорема: «Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы_________, то прямые_____________». Обратная теорема: «Если_________________________________, то секущей соответственные углы в) Теорема: «В равнобедренном трезпгольнике углы_ J^euieHUe .^&nvLmeiA теорему в форме «Если ..., то... ». Теорема: «Если треугольник______________________ равны». , то •• ■W Обратная теорема: «Если то треугольник__________ равны». равны. ». г) «Вертикальные углы________». У^еисение .^&\ттеи теорему в форме «Если ..., то... ». Теорема: «Если______________________, то______________». УЩ Ш ш Ч'Ь- Обратная теорема: «Если ______________________ ___________________». В каких случаях обратная теорема также верна? : обратная теорема верна в случаях б) и_. то Е. Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы соответственные углы сумма односторонних углов 52 Дано: /п||р, q — секущая; Z1 и Z2 — накрест лежащие. Доказать: Z1 = Z2. Доказательство. 1) Допустим, что Z1 * Z_. 2) Отложим от луча ВА угол АВС, накрест лежащий с углом 1 и равный ему. Постройте этот угол на рисунке. 3) Получим, что ВС_т, так как ZABC_Z1 и они накрест лежащие при пересечении прямых ВС и____секущей q, 4) ВС_т и р____т, но это противоречит _________________ прямых. Значит, допущение HZ1 Z2. J I Дано:сЦ^;е — секущая; Z1 и Z2 — соответственные. Доказать: Z1 = Z2. Доказательство. 1) Рассмотрим угол 3, вертикальный углу 2. Тогда Z3__Z2. Отметьте этот угол на чертеже. 2) Углы 1 и 3_________углы при параллельных прямых __________________и_и секущей_, поэтому Z1_Z3. 3) Получили Z1_Z3 и Z3_Z2, а значит, Z1_Z2. Дано: fellp и / — секущая; Z1 и Z2 — односторонние. Докажите, что Z1___Z2 = 180°. Доказательство. 1) Рассмотрим угол 3, смежный с углом 2. Отметьте углы 1, 2 и 3 на чертеже. Тогда Z3_Z2______. 2) Углы 3 и 1 являются при параллельных прямых_____и_и секущей Z3_Z1. 3) Получили, что Z3 ■+ Z2 =_и Z3_Z1, поэтому Z1_Z2 = , следовательно. 53 Прямые а и с на рисунке параллельны, а сумма двух соответственных углов равна 110°. Найдите величины всех отмеченных углов. Тешение. 1) Так как о Ц с, то соответственные углы_ и величина каждого из них равна_:2 =___, то есть они___________. Поэтому можно считать, что в условии задачи говорится об углах 1 и_или о вертикальных им углах__и__. 2) Остальные углы являются_____________с углами 1 или___, поэтому их величины равны____-____=_____. Ot^jeetfi: Z1 Z_ = Z_ = Z_ = _; Z3 = Z_ = Z_ = Z_ = . 8 На рисунке изображены параллельные прямые Ь и d, известно,что Z3:Z4 = 1:3. Найдите величины всех отмеченных углов. Решение. 1) Равенство Z3:Z4 = 1:3 является_______. Воспользуемся ___________________ пропорции и запишем ее так: Z3:_ = Z4:_ = х. Отсюда получим, что Z3 = д: и Z4 =_X. 2) По условию h_d, а Z3 и Z4 —_______________ углы, поэтому Z3__Z4 =____. 3) Составим уравнение х +_=180. Откуда х =_ 6tos^.'Z3 = Z =Z ==Z = hZ4 = Z=Z=Z = На рисунке Z1 = 127°, т\\п ирЦт . Найдите величину Z3. J^eiuenue. 1) m II п, а углы 1 и 2 —__________при пересечении прямых___и____секущей___. Поэтому Z1___Z2 =__. Откуда Z2 = 180_Z1 = 54 2) /nil л и pllm, поэтому р_л по следствию_. 3) р||л, а углы 2 и 3_____________при пересечении прямых секущей___, поэтому Z3______Z2 =_. 0)н€е^н: Z3 = и 10 На рисунке прямые АВ и МК параллельны, ZM = 48° и /.К = 32°. Найдите величину угла МРК. Решение. 1) ZAPM = Z_ как__________________ углы при па- раллельных прямых АВ и и секущей . Поэтому ZAPM = Z___=___. 2) ZBPK = Z_как__________________углы при параллельных прямых __и и секущей РК. Поэтому ZBPK = Z = . 3) ZAPB =___, так как это_________________________угол, ZAPB = = ZAPM -I- Z_-t- Z_, 180° = _ + ZMPK + _, ZMPK = 180° - _ = ZMPK = 11 Ha рисунке ZC = 42°, ZM = 54°, прямые CM и EO параллельны. Найдите величину угла СЕМ. ^Решение. 1) Z.OEH = Z__=____, так как это соответственные углы при параллельных прямых__и 2) ZMEO = Z___=____, так как это_________ лельных прямых____и____и секущей___. 3) ZCEH =____, так как это_________угол, -I- Z и секущей___. _____углы при парал- ZCEH = ZCEM Ч- Z Отсюда ZCEM =___ -Z -Z = 180°- О^е/н: ZCEM = о S о X ia з: ач X 5 55 12.............................................. На рисунке биссектриса угла ВСЕ параллельна стороне РЕ треугольника СРЕ. Докажите, что треугольник СРЕ — равнобедренный. Доказательство. 1) Проведем биссектрису СА угла ВСЕ. 2) Z.BCA = Z______, так как СА —________________________. 3) ZBCA = Z__как соответственные углы, а ZECA = Z_ как накрест лежащие углы при параллельных прямых_____и____и секущих___и____. Отсюда следует, что ZP_ZE. Поэтому треугольник СРЕ —______________. 56 Глава 4 Соотношения ме^ду сторонами U углами треугольника Сумма углов треугольника А. Теорема. Сзгмма углов треугольника равна 180°. Дано: ADEF. Доказать: ZD + ZE + ZF =____. Доказательство. 1) Проведем через точку Е прямую GH параллельно прямой_. Обозначим: Z1 — угол, накрест лежащий с углом D, Z2 — угол, накрест лежащий с углом F при пересечении параллельных прямых GH и секущими DE и . (Отметьте их на чертеже). 2) Получим ZD = Z_, ZF = Z_ и Z1 + ZE -I- Z2 =_. Следовательно, ZD -4- ZE + ZF =_. Найдите угол Р треугольника НРМ, если: а) ZЯ = 33°, ZM= 115°; б) ZH в 2 раза больше ZM, а ZP в 3 раза меньше ZM; в) ZЯ:ZP:ZM = 2:3:1. Решение. а) По теореме______________________треугольника ZH\ ZP^ ZM^______. ZP = 180° - (ZЯ -I- ZM) = 180° - (_ .) = . 6) Пусть ZM = X, тогда ZЯ = _ x, a ZP = д По теореме___________________ треугольника, составим уравнение: ___+______X = 180, со ia 57 X=180, X = . ZP = 8 в) Запишем условие в виде ZH:2 = ZP:_= ZM:__. Каждое из отношений равно некоторому числу а. Тогда: ZH =___а, ZP = 3_, ZM =__. По теореме______________________треугольника, составим уравнение: 2а +__+ _ = 180, _а =___, а =___. ZP = 3 = а)____; б)___; в) Г I' Б. Внешний угол треугольника — угол,______________________ с каким-нибудь углом этого треугольника. Построим внешние углы треугольника ACT. При каждой вершине можно построить _______внешних угла — всего____ углов. Но внешние углы, построенные при одной вершине, являются _____________________, а потому________друг другу. J Один из углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите внешние углы этого треугольника. J^eiuenue. 1) Внешний угол, смежный с углом 110°, равен_- 110° =___. 2) По теореме о_____________треугольника, сумма двух других углов этого треугольника равна 180 -__=____. 3) В равнобедренном треугольнике углы при основании_______. Угол 110°__________быть углом при основании равнобедренного треугольника, так как этот угол_______. Значит, углы при основании равны 70°:___=_____. 4) Найдем внешние углы при основании равнобедренного треугольника. По свойству_________углов они равны 180° -___=_____. 0»п€е*й.: ; ; 58 Б. Теорема. Внешний угол треугольника равен _____ треугольника,__________________с ним. углов D Дано: ACDF; ZDFE — внешний угол. Доказать: ZDFE = ZC + Z_. Доказательство. 1) ZDFE + Z1 =_, так как они_ 2)Z1+(Z2 + Z3) = , по теореме о 3) Сравнивая эти равенства, видим, что ZDFE = Z___+ Z____. Докажите, что, если один из углов треугольника двух других его углов равна 90°. Доказательство. 1) Пусть в треугольнике АВС угол А — прямой, а угол 1 — внешний угол треугольника АВС, смежный с углом А. (Сделайте чертеж.) 2) Тогда, по свойству________углов Z1 =___-ZA =_____. По теореме о ________________ угле — прямой, то сумма треугольника Z1 = Z_ -t- Z_. 3) Следовательно, ZB + ZC = . - ZA, ZB^ = 180° - Z_, ZCj =_- Z_. Тогда Q ЭС s I O'- m Найдите, чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине. Утешение. Пусть дан треугольник АВС. Обозначим внешние утлы при его вершинах А, В, С буквами Aj, В,, С, соответственно. Так какзп'лыЛ иА,, В и В,, С и С, —_____________________, то т I ОБ й 59 ш ZAj + ZB, + ZC, = (180° - ZA) + (180° - Z_) + (__- Z_) = 3180° - - (ZA + Z_ + Z___). По теореме о__________углов треугольника, ZA + ZB + Z_ =___, поэтому ZA, ZB, -I- ZC, = 3180°-________________________________=_. Могут ли два внешних угла треугольника, взятых при разных вершинах, быть оба: а) прямыми; б) острыми? Ответ обоснуйте. OtfieeaL а) ___, так как, если бы два внешних угла треугольника были прямыми, то по предыдуш;ей задаче третий внешний угол был бы равен 360° - 2-_= =____, что невозможно. б) ____, ТЕ1К как тогда ______ внешний угол треугольника был бы 180°. г Г. Следствие из теоремы о сумме углов треугольника. в треугольнике может быть только__прямой или_____угол. Действительно, если бы в треугольнике было два прямых или _____угла, то сумма углов треугольника была бы___180°, что f Д. Виды треугольников. Треугольники различают по длинам сторон: а) две стороны равны —______________ б) все стороны равны —______________ в) все стороны разной длины —__ Треугольники различают по углам: а) все углы острые —___________ б) один из углов прямой — в) один из углов_______ треугольник; треугольник. треугольник; _ треугольник; — тупоугольный треугольник. Под каждым рисунком напишите вид треугольника. В прямоугольных треугольниках подпишите названия сторон. 60 прямоугольный неравнобедренный Соотношения между сторонами и углами треугольника г А. Теорема. В треугольнике против большей стороны лежит Дано: АСЕН; СЕ > ЕН. Доказать: /,Н> ZC. Доказательство. 1) Отметьте, на луче ЕС, точку М, так чтобы ЕМ = ЕН. Так как СЕ Л угол. Н ЕН, то точка _ лежит между точками _ и Поэтому угол ЕНМ часть угла то есть ZH___ZEHM. 2) Угол НМЕ — этому ZHME_ угол треугольника СМН, по- ZC. 3) Треугольник ЕМН — равнобедренный, поэтому ZEHM ZHME. 4) Итак, ZH_ZEHM, ZEHM_ZHME, ZHME_ZC. Отсюда: ZH ZC. J MM 1| :61 Известно, что для сторон тупоугольного треугольника САБ выполняются неравенства АС < АЕ < ЕС. Какой из углов треугольника САЕ может быть тупым? Ответ объясните. Орн£&н: угол___. Из доказанной теоремы следует: чем больше сторона треугольника, тем ______________ противолежаш;ий ей угол. Поэтому для углов треугольника выполняются неравенства Z_< Z___< Z____и только больший угол может быть___________________. А. Обратная теорема. Против большего угла треугольника лежит______сторона. Дано: ЛМРБ; ZP > ZM. Доказать: ME > РЕ. Доказательство. Допустим, что ME не больше РЕ, то есть ME < РЕ или ME РЕ. Рассмотрим каждую из этих возможностей. 1) Пусть ME = ____, тогда треугольник МРЕ — __________ ______________________ и ZP = ZM, что противоречит ______________________теоремы. 2) Пусть ME < РЕ, тогда по предыдуш;ей теореме ZP___ZM, что _____________условию теоремы. Следовательно, оба допущения________, поэтому ME__РЕ. Докажите, что сторона треугольника, лежащая против тупого угла, больше каждой из двух других сторон треугольника. Доказательство. Пусть угол М треугольника СЕМ — тупой, тогда углы С и Б — ______________. Поэтому ZC_ZM и ZE_ZM. Против угла С лежит сторона __, против угла М — сторона ___, ZC_ZM. Следовательно, ЕМ__СЕ и СМ____СЕ, так как в треугольнике против большего угла лежит___________сторона. 62 Докажите, что любой отрезок, соединяющий вершину острого угла прямоугольного треугольника с точкой противолежащего катета, меньше гипотенузы, но больше другого катета. Дано: ААВС; ZC = 90°; ЕеСВ. Доказать: АС < АЕ <АВ. Доказательство. 1) ЛАСЕ —______ АЕ. 2) ZBEA —______ VI АЕ — _, поэтому АС угол треугольника АС£ и поэтому ZBEA 90° По предыдущей задаче в треугольнике ВЕА имеем: АЕ АВ. Дано: ШЕЩ МН > НЕ-, НО — высота. Доказать: МО > ОЕ. Доказательство. 1) Так как НЕ__МН, то ZM