Рабочая тетрадь по геометрии 7 класс Атанасян - Глазков Егупова

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по геометрии 7 класс Атанасян - Глазков Егупова - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
\ ч / ФГОС|| Ю. А. Глазков, М. В. Егупова УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ ДЕЙСТВИЯ I Рабочая тетрадь по геометрии к учебнику л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» учени класса школы класс ЭКЗАМЕН Учебно-методический комплект Ю. А. Глазков, М. В. Егупова УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ ДЕЙСТВИЯ Рабочая тетрадь по ГЕОМЕТРИИ к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение) 7 класс Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2017 УДК 373:514 ББК 22.151я72 Г52 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Глазков Ю. А. Г52 Универсальные учебные действия. Рабочая тетрадь по геометрии: 7 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». ФГОС (к новому учебнику) / Ю. А. Глазков, М. В. Егупова. — М. : Издательство «Экзамен», 2017. — 77, [3] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-10864-1 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Учебное пособие предназначено для формирования универсальных учебных действий (УУД) учащихся 7 класса на уроках геометрии. Представлены 12 работ (каждая в двух вариантах), которые способствуют формированию основных групп УУД. К большинству работ даны подробные указания. Тематика и содержание заданий соответствуют базовому курсу геометрии 7 класса. Задания могут быть использованы как самостоятельно, так и в качестве дополнения к содержанию плановых самостоятельных и контрольных работ, а также в домашней работе учащихся. Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях. УДК 373:514 ББК 22.151я72 Подписано в печать 12.07.2016. Формат 60x90/8. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 2,77. Уел. печ. л. 10. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1721/16. ISBN 978-5-377-10864-1 Глазков Ю. А,, Егупова М. В., 2017 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2017 Содержание Предисловие ..............................................................4 1. Точки, отрезки, прямые, лучи...........................................6 2. Угол. Биссектриса угла................................................12 3. Смежные и вертикальные углы...........................................17 4. Треугольники. Первый признак равенства треугольников..................21 5. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник............................................................25 6. Второй и третий признаки равенства треугольников......................32 7. Окружность. Задачи на построение......................................38 8. Параллельные прямые...................................................42 9. Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника..................................................48 10. Прямоугольные треугольники...........................................52 11. Построение треугольника по трем элементам............................59 12. Проверь себя (итоговая работа).......................................64 Подсказки................................................................70 Приложение...............................................................75 Предисловие а> S ш о ц о S d 0) а С I Уважаемые коллеги! Предлагаемое пособие посвящено реализации одного из основных положений ФГОС 00 — формированию универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. При этом знания, умения и навыки рассматриваются как производные от соответствующих видов действий учащихся. Тематика работ соответствует материалу базового курса геометрии 7 класса. Все работы представлены в двух вариантах, по 5-6 заданий в каждом. Некоторые задания одинаковы в обоих вариантах. Такие задания направлены на формирование коммуникативных УУД и предназначены для выполнения в парах. Шестые задания (присутствуют не во всех работах) являются либо заданиями повышенной сложности, либо заданиями, связанными с обучением элементам математического моделирования, и рекомендованы для выполнения дома. Первые задания соответствуют заданию в контрольно-измерительных материалах ОГЭ на выбор верного утверждения. Разнообразие форм требований позволяет избежать выработки шаблонного подхода к выполнению задания. Количество утверждений для анализа постепенно увеличивается. Вторые задания направлены на обучение анализу готового решения. Несложные задания различного содержания уже выполнены, но в их решениях намеренно сделаны ошибки. Задача ученика — обнаружить и исправить эти ошибки, обосновав свои действия. Третьи задания предусматривают установление соответствия между графической и текстовой информацией, составление и анализ комбинаций фигур, нахождение нужного объекта, удаление лишнего и др. Четвертые задания — на обоснование некоторого факта, составление «памяток», формулирование правил, на работу с «шагами» доказательств. Пятые задания содержат задачи на приложения геометрии, на поиск ошибок в доказательствах, составление задач по чертежу. Шестые задания требуют от учащихся проверить схему доказательства, дополнить ее или решить задачу, связанную с практическими приложениями геометрии. Эти задания есть не во всех работах. К большинству заданий составлен шаблон решения или ответа, в котором ученику необходимо заполнить пропуски. К ряду заданий даны указания (подсказки). Они помещены в конце пособия. В помощь учителю составлена таблица, показывающая, на формирование каких групп УУД преимущественно направлено выполнение конкретного задания (см. Приложение). Уважаемые школьники! В этом учебном году начинается изучениё нового предмета — геометрии. Геометрия уже много веков приносит людям огромную пользу, которая состоит не только в удобных формулах для вычислений площадей, способах измерений и построении геометрических фигур. Геометрия полезна еще и тем, что учит искусству применения математических идей в разрешении разного рода затруднений, возникающих в повседневной жизни, при изучении других наук. Задания этой книги помогут научиться сравнивать и классифицировать разные объекты; анализировать готовые решения, находить в них ошибки; составлять памятки, правила. Выполнение некоторых заданий потребует не только и не столько знаний геометрии, сколько умений применять их в обыденной ситуации. При выполнении заданий важно быть внимательным. В случае затруднений можно воспользоваться подсказками, которые даны в конце книги. Последние задания в каждой работе особенно трудные, они предназначены для сообразительных и трудолюбивых учеников. Авторы 13 ■о (D 33 S о ь о ш S ф “ 'ч I |lj ii I Ш** i0‘. ^^'^ \" s T > Ц oT 2 2 R a s fO 0) Q. s T о ■J Ш ч1 Точки, отрезки, прямые, лучи Вариант 1 1. Выпишите номера НЕВЕРНЫХ утверждений. 1) Если точка С лежит на прямой АВ, то она лежит на луче АВ. 2) Если точка С лежит на луче АВ, то она лежит на прямой АВ. 3) На прямой а точка М лежит между точками К и 7. Тогда КМ > КТ. Ответ: ________________________________________________________ 2. Ваня записал все отрезки, изображенные на рисунке. Проверьте, верно ли он выполнил задание. Если неверно, то исправьте его запись. В Ответ Вани; АВ, АС, ВС, BD, CD, СО. Ответ. Ваня выполнил задание___ верно/неверно Верная запись: 3. Изобразите на рисунке четыре различные прямые, которые пересекаются в трех различных точках. Ответ: или 4. На веревке завязали пять узелков. На сколько частей эти узелки разделили веревку? Сколько надо завязать узелков, чтобы разделить веревку на семь частей? Сформулируйте общие правила для решения этой задачи и дайте ответы на вопросы задачи. Ответ: 1) Если_________________________________________________________________, то количество узелков __________________________________________________. На веревке завязано 5 узелков, узелки разделили веревку на_____ частей. Веревка разделена на 7 частей, на веревке завязано ______ узелков. 2) Если________________________________________________________________ то количество узелков _________________________________________________ На веревке завязано 5 узелков, узелки разделили веревку на Веревка разделена на 7 частей, на веревке завязано ___ 3) Если_______________________________________________ частей. узелков. то количество узелков На веревке завязано 5 узелков, узелки разделили веревку на_____ части. Веревка разделена на 7 частей, на веревке завязано _____узелков. о 4 ■о ф (*} 5 э тз 20 S о* ф *< £ 5. На листе бумаги отмечены две точки А и В. Как с помощью перегибания этого листа разделить отрезок АВ пополам? Ответ. Перегнем лист бумаги по прямой линии, проходящей через точки_и___ так, чтобы точки остались на видимой стороне бумаги после перегибания. Тогда, ________________________________________, на месте сгиба середину отрезка АВ. 6. Установите соответствия, составив пару из геометрической фигуры и реального объекта. Одной фигуре может соответствовать только один объект. В ответе запишите все возможные такие пары, указывая их номера. Например, так: 1-Б. Точки, отрезки, прямые, лучи '"'"к Р Н ш (D Н СЮ СлЗ N3 DD из СП Вариант 2 1. Выпишите номера НЕВЕРНЫХ утверждений. 1) Если точка С лежит на луче АВ, то она лежит на луче ВА. 2) Если точка С лежит на отрезке АВ, то она лежит на луче АВ. 3) На прямой а точки F и Е лежат по разные стороны от точки М. Тогда FM > EF. Ответ: 2. Таня записала все отрезки, изображенные на рисунке. Проверьте, верно ли она выполнила задание. Если неверно, то исправьте ее запись. В D Запись Тани: АВ, АС, ВС, BE, АЕ, СЕ, ED. Ответ. Таня выполнила задание_______ Верная запись_______________________ о £ S О н ■о (D С<} ■D а Z г jD JC верно/неверно 3. Изобразите на рисунке четыре различные прямые, которые пересекают-ся в пяти различных точках. Ответ: или |||йЙЙш1|- S Т >% е; « (О и S а Ф и о S ш § Угол. Биссектриса угла 2 Вариант 1 1. Все записанные утверждения — НЕВЕРНЫ. Исправьте их так, чтобы они стали верными. 1) Градусная мера угла между минутной и часовой стрелкой в 15.00 равна 120°. 2) Развернутый угол равен 360°. 3) Если угол в 30° рассматривать через лупу, увеличивающую в 2 раза, то градусная мера этого угла будет равна 60°. Ответ: 1) Градусная мера угла между минутной и часовой стрелкой в 2) Развернутый угол равен________. равна 120°. 3) Если угол в 30° рассматривать через лупу, увеличивающую в 2 раза, то градусная мера этого угла _______. 2. Катя разделила углы, изображенные на рисунке, на две группы и записала: I. ZAOB, ZVPG, ZAOC, ZHEN, ZBOC, ZCOD, ZRTM, ZKLE II. ZBOD, ZKEH, ZSVP, ZAOD, ZLEN 1) Дайте название каждой группе углов. I. . II. 2) Проверьте, все ли углы названы верно. Запишите ответ Кати без ошибок. I. _________________________________________________________________________________. II. ________________________________________________________________________________. 3) Какие углы Катя не отнесла ни к одной группе? Перечислите их и назовите получившуюся группу углов. 12 3. Артем нарисовал на классной доске угол и построил его биссектрису. Лена случайно стерла стороны угла, но биссектриса осталась. Сможет ли Лена восстановить рисунок? А если бы на доске осталась не только биссектриса, но и одна точка на стороне угла? А в случае, если бы осталась часть биссектрисы без вершины угла и точка на стороне угла? Заполните таблицу по тексту задания. Отметьте, в каком случае Лена сможет восстановить рисунок, закрасив номер 1, 2 или 3 в таблице. Нарисовал Артем Осталось на доске А / ^ О В ш 2 3 4. Почему биссектриса угла, отличного от развернутого, делит его на два острых угла? Ответ. Градусная мера развернутого угла равна______. Биссектриса делит развернутый угол на___________________________________. Если биссектриса разделит угол с градусной мерой ___________, то получатся два равных угла, каждый из которых_____, т.е. два острых угла. 5. На листе бумаги нарисован угол АСВ. Как с помощью перегибания этого листа построить его биссектрису? Ответ. Наметим на бумаге сгибами лучи лучи ____________________________ Совместим ____, прижи- мая их друг к другу и складывая при этом лист бумаги. Разгладим лист и на месте последнего сгиба получим_____. 6. Опишите рисунок, заполнив пропуски. в Со На рисунке_ Z______, Z_ углов. Из них острые: Z____, Z_ Z______, прямые: Z______, Z_ тупые: Z_ , развернутые: Z_ 13 ЕЖ, ' Вариант 2 ■S ^J? s^,- re E >» re о s a 0) о 0 s Ш 1 1. Bee записанные утверждения — НЕВЕРНЫ. Исправьте их таи, чтобы они стали верными. 1) Градусная мера угла между минутной и часовой стрелкой в 21.00 равна 60°. 2) Неразвернутый угол меньше 360°. 3) Если угол в 10° рассматривать через лупу, увеличивающую в 3 раза, то градусная мера этого угла будет равна 30°. Ответ: 1) Градусная мера угла между минутной и часовой стрелкой в 2) Неразвернутый угол меньше________. равна 60°. 3) Если угол в 10° рассматривать через лупу, увеличивающую в 3 раза, то градусная мера этого угла______. 2. Оля разделила углы, изображенные на рисунке, на две группы и записала: I. ZAOB, ZVPG, ZHEN, ZBOC, ZCOD, ZMLE II. ZBOD, ZAOC, ZMHE, ZSPV, ZAOD, ZLEN, ZRTK 1) Дайте название каждой группе углов. 2) Проверьте, все ли углы названы верно. Запишите ответ Оли без ошибок. 3) Какие углы Оля не отнесла ни к одной группе? Перечислите их и назовите получившуюся группу углов. 14 3. Антон нарисовал на классной доске угол и построил его биссектрису. Света случайно стерла угол, но биссектриса осталась. Сможет ли Света восстановить рисунок? А если бы на доске остались вершина угла и две точки — одна на биссектрисе, а другая — на стороне угла? А в случае если бы осталась часть биссектрисы без вершины угла и точка на стороне угла? Заполните таблицу по тексту задания. Отметьте, в каком случае Света сможет восстановить рисунок, закрасив номер 1, 2 или 3 в таблице. Нарисовал Антон Осталось на доске А / ^ 0 В ш 2 3 4. Почему биссектрисы двух прямых углов (см. рисунок) также образуют прямой угол? 0 |3 01 S о о (D 5 ■о о О) О) Ответ. Градусная мера прямого угла равна______. Биссектриса делит прямой угол на два угла по_______. Угол между биссектрисами прямых углов на рисунке составлен из двух углов по_. Значит, мера такого угла равна_________, т.е. угол явля- ется 5. На листе бумаги нарисован угол МЕК. Как с помощью перегибания этого листа построить его биссектрису? Ответ. Наметим на бумаге сгибами лучи _________ и _________. Совместим лучи__________и___________, прижимая их друг к другу и складывая при этом лист бумаги. Разгладим лист и на месте последнего сгиба лолучим____________ 15 6. Опишите рисунок, заполнив пропуски. На рисунке_ Z______, Z_ Z углов. Из них острые: Z___, Z_______, Z Z_______, Z______, прямые: Z_______, Z_ тупые: Z_ развернутые: (О о S а О) о о S ш с; о 16 I Смежные и вертикальные углы 3 Вариант 1 1. Укажите номера ВЕРНЫХ утверждений. НЕВЕРНОЕ утверждение исправьте так, чтобы оно стало верным. 1) Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют вместе прямую. 2) При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, среди которых есть смежные. 3) Смежные углы равны. Ответ. Верные утверждения:_________. Неверно утверждение_____. Исправим его так: «Смежные углы_____________ равны». 2. Таня записала все пары смежных углов, изображенных на рисунке. Верно ли она выполнила задание? Если неверно, то исправьте ее ответ. Запись Тани: ZMTF, ZFTE; ZFTE, ZETD; ZCNF, ZFNA; ZDNC, ZCNF; ZMAB, ZBAE; ZBAE, ZEAC; ZFTA, ZETN. О Z ф Z о* (5 S ю ф ■D 4 5 •к Q) Ь O’ X г ф •< 3 о- Ответ: Z_T_ ^_7_; z_ N_, Z_A/_; Z_ A_, Z : Z ,Z ; z Z : Z ,Z ; z Z Z .Z ; z ,Z 17 u'ti" 'i‘W 3. Какой рисунок лишний? Почему? >' »toU г» ; 1) Ответ. Лишний — рисунок 3) 4) , т.к. на нем нет углов. 4. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. Ответ: ________________________________________ 5. Составьте задачу по рисунку (у — градусная мера угла АОВ). Ответ: Задача по рисунку: Z_ Найдите ___________ и Z — смежные. б. Если под рукой не оказалось чертежного угольника, то прямой угол можно получить двукратным перегибанием листа бумаги любой формы. Объясните, почему в данном случае получаются прямые углы? Ответ. Углы прямые, т.к.____________________________________________. л Е >* Ф 2 X л с; (О X ь а ф 0Q X Ф 2 X ф 2 О Вариант 2 1. Укажите номера ВЕРНЫХ утверждений. НЕВЕРНОЕ утверждение исправь-те так, чтобы оно стало верным. 1) Любые два развернутых угла равны. 2) При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, среди которых есть вертикальные. 3) Если два угла смежные, то их сумма больше 180°. Ответ. Верные утверждения:_________________________________________. Неверно утверждение_____. Исправим его так: «Если два угла смежные, то их сумма _____________________180°». 18 2. Ира записала все пары вертикальных углов, изображенных на рисунке. Верно ли она выполнила задание? Если неверно, то исправьте ее запись. Запись Иры: ZMTF, ZETD; ZFTE, ZMND; ZCNF, ZBND; ZBAE, ZMAC; ZDNB, ZCNF Ответ: Z_T_ Z______, Z___ Z_N_, Z_N_\ z____, Z__; Z____, Z___; 3. Какой рисунок лишний? Почему? 3) 4) Ответ. Лишний — рисунок , т.к. на нем нет углов. 4. Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов. Ответ: ________________________________________________ 5. Составьте задачу по рисунку (х — градусная мера угла АОВ). Ответ: Задача по рисунку: Z_ Найдите ____________ и Z — смежные. Щ- 19 О г (D X 1Г (5 ш (D ■о ч X X ол 1Г X г ф < 3 г 6. Как проверить правильность чертежного угольника, т.е. убедиться в том, что с его помощью можно строить прямые углы? А Ответ. Необходимо обвести прямой угол чертежного угольника на листе бумаги _____________ так, чтобы ______________________________________. Если ________________________угол получен, то чертежный угольник правильный. л Е >* 0> л X л с; <0 X I- а ф m X Ф л X ф S О 20 4 Л^реу голь ники. Первый признак равенства треугольников Вариант 1 1. Сравните два утверждения слева и справа, подчеркните ОШИБОЧНОЕ. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. В треугольнике MEF угол EMF образован сторонами ЕМ и EF. В треугольнике MEF угол EMF образован сторонами ЕМ и MF. В треугольнике MEF углами, прилежащими к стороне ME, являются углы FME и FEM. В треугольнике MEF углами, прилежащими к стороне ME, являются углы MFE и FEM. В треугольнике MEF углом, противолежащим стороне ME, является угол MFE. В треугольнике MEF углом, противолежащим стороне MF, является угол MFE. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Саша измерил стороны FG, LT, GH, LN; углы FGH, TLN, GFH, LTN треугольников, изображенных на рисунке. Оказалось, что GF = LT, GH = LN, а ZFGH = = ZTLN, ZGFH = ZLTN. Сможет ли он доказать равенство этих треугольников по первому признаку? Свой ответ обоснуйте. Н L Ответ. , т.к. среди измеренных да, сможет/ нет, не сможет элементов 21 3 (D ■О ш г i< э ■D S (•) X 0) ■О &) ш х 2 со а Ф с. X i£ Л ц о 1_ >» ф о. 3. Проведите на рисунке 1 и рисунке 2 отрезки так, чтобы получились треугольники, равные по первому признаку. Запишите получившиеся пары равных треугольников. Ответ: 1. А_ 2. А = А = А ./А = А .;А = А 4. Два отрезка АВ и МК длиной 6 см и 7 см соответственно пересекаются в точке О, являющейся серединой этих отрезков. Найдите длину отрезка АК, если длина отрезка ВМ равна 5 см. Обоснуйте свой ответ. Запишите все пары соответственных элементов получившихся треугольников. Ответ: АК =____см, т.к. А = А — по признаку: 5. Чтобы измерить на местности расстояние между точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку С, из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмечают вехами точки D и Е так, что CD = АС, ЕС = ВС. Тогда ED равно искомому расстоянию. Сделайте рисунок и объясните, почему этот способ верен. Кратко опишите ситуацию, когда этим способом измерения расстояний вы могли бы воспользоваться. Ответ. Т.к. А = А (по____признаку), то_____= АВ. Этим способом измерения расстояний можно воспользоваться, когда, например, необходимо измерить___________________________________________. К М 22 Вариант 2 1. Сравните два утверждения слева и справа, подчеркните ОШИБОЧНОЕ. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, не лежащих на одной прямой. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. В треугольнике МРО стороны, образующие угол РМО, — это РМ и РО. В треугольнике МРО стороны, образующие угол РМО, — это РМ и МО. В треугольнике МРО углами, прилежащими к стороне МР, являются углы РМО и МРО. В треугольнике МРО углами, прилежащими к стороне МР, являются углы РОМ и МРО. В треугольнике МРО углом, противолежащим стороне МР, является угол МОР. В треугольнике МРО углом, противолежащим стороне МР, является угол МРО. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны. 2. Катя измерила стороны АВ, МР, АС, МК; углы КМР, ВАС, МРК, АВС треугольников. Оказалось, что АВ = МК, АС = МР, а ZBAC = ZKMP, ZABC= ZMKP. Сможет ли она доказать равенство этих треугольников по первому признаку? Свой ответ обоснуйте. В К Ответ. , т.к. среди измеренных да, сможет/ нет, не сможет элементов 3. Проведите на рисунке 1 и рисунке 2 отрезки так, чтобы получились треугольники, равные по первому признаку. Запишите получившиеся пары равных треугольников. 1) 2) 23 ■О (D “1 О Ь 1Г X S X ф ■о 0D D[ S< э тз S W X 0) ■о й) ш ф X о н ш 0) н ■о ф «< п о г X X У^ о т Ответ: 1. А_ 2. А = А = А ■ I -п ; .;А = А ;А = А Ш 4. Два отрезка ВС и ЕК длиной 4 см и 9 см соответственно пересекаются в точке О, являющейся серединой этих отрезков. Найдите длину отрезка ВК, если длина отрезка ЕС равна 6 см. Обоснуйте свой ответ. Запишите все пары соответственных элементов получившихся треугольников. Ответ: ВК = см, т.к. А____= А____ — по признаку: со 0 S X л 1 >^ о о. н (Q Ш I- о X 0> 0Q (О Q. iC со X со X а 5. Чтобы измерить на местности расстояние между точками К и М, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку О, из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояния КО и МО, продолжают их за точку О и отмечают вехами точки К и М так, что РО = КО, ТО = МО. Тог-да ТР равно искомому расстоянию. Сделайте рисунок и объясните почему этот способ верен. Кратко опишите ситуацию, когда этим способом измерения расстояний вы могли бы воспользоваться. Ответ. Т.к. А______= А________(по____признаку), то___= ТР. Этим способом измерения расстояний можно воспользоваться, когда, например, необходимо измерить_________________________________________. К М л т а Ф S S X л § |_ >. ф а 24 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник 5 Вариант 1 1. Закончите предложение. 1. Две прямые называются перпендикулярными, если они 2. Если при пересечении двух прямых один из получившихся углов равен 90°, то остальные углы____________________________. 3. В любом треугольнике можно провести____медианы. 4. В треугольнике АВС медианой является отрезок__, высотой —_____, биссектри- сой — 5. Высотой треугольника называется ___________ треугольника к______, содержащей противолежащую сторону. 6. Биссектриса треугольника является___________________ , проведенный из вершины прямой /лучом / отрезком 2. В изображенных на рисунках четырехугольниках проведите диагонали (отрезки, соединяющие две несоседние вершины). Проверьте с помощью чертежных инструментов, в каких четырехугольниках диагонали ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. Результаты запишите в таблицу. Ф За S О) Z г а\ S о о ф 3 ■о S о т S ю о* о 3 г ■D 0) ш Z о а\ ф За ■о ф Z Z г 4 "С ф *< ■п О г Z 5 к Л § L_ >* й> а I- л X X О) а Ч О) ю о X а (О Q. Л & и 2 ш i) о X а 0) о о X ю (О X EI Ф в квадрате диагонали О В ромбе диагонали 3. В треугольнике с помощью чертежных инструментов проведите на рис. 1 — все медианы; на рис. 2 — все высоты; на рис. 3 — все биссектрисы. Установите соответствия, записав пары «номер рисунка» — «номер текста». Например, так: 2-1. 1. Соединить отрезком вершину треугольника с противоположной стороной, разделив угол при этой вершине пополам. 2. Провести перпендикуляр из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону. 3. Соединить отрезком вершину треугольника и середину противоположной стороны. Ответ: — 4. Из бумаги вырежьте остроугольный треугольник. Обозначьте вершины буквами А, В, С. С помощью перегибаний постройте медиану этого треугольника, проведенную к стороне АС. Обоснуйте свои действия. Ответ. Найдем перегибанием______________стороны АС, совместив вершины ___и____. Линия сгиба, соединяющая__________стороны АС с вершиной___, и будет медианой треугольника АВС. 5. Найдите ошибку в доказательстве. В Любой треугольник — равносторонний. Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник. Отметим на стороне ВС точку D, так что BD = DC и AD1 SC; на стороне АС — точку Е, так что АЕ = СЕ и БЕ1 АС. 26 pi Тогда AADB = AADC и ААЕВ = АСЕВ (по I признаку). Это значит, что АВ = АС = ВС, то есть ААВС — равносторонний. Ответ. В произвольном треугольнике________________________________________ Поэтому в данном случае доказательство неверно. 6. Ваня, разбирая решение задачи, составил и ней схему. Составьте свою схему, рассмотрев вместо треугольников ABD и KML другую пару треугольников и их медианы. Если два треугольника равны, то их медианы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. Рассмотрим два равных треугольника АВС и КМР. У этих треугольников соответственно равные стороны АВ и КМ, ВС и МР, АС и КР. На стороне ВС отметим ее середину — точку D, а на равной ей стороне МР треугольника КМР — ее середину — точку L. Проведем медианы AD и KL. Заметим, что медианы AD и KL являются сторонами треугольников ABD и KML Докажем, что эти треугольники равны. Стороны АВ и КМ равны как равные стороны треугольников АВС и КМР. Отрезки BD и ML равны как половины равных отрезков ВС и МР. Найдем в этих треугольниках равные углы. Заметим, что углы Б и /W лежат не только в треугольниках ABD и KML, но и в равных треугольниках АВС и КМР. И в этих треугольниках они лежат против равных сторон АС и КР. Значит, угол В равен углу М. Поэтому треугольники ABD и KML равны (по первому признаку) и AD = KL. Таким образом, равенство медиан доказано. В М С Схема Вани '« 27 о\ S о S 3 ■а о т S ш г о о 4 г ■D О) ш Z о о\ ф 13 ■о ф X X D" ■о ф к: “1 о O’ X X Ответ: Вариант 2 S X JQ £ оГ Q. Н >Х 2 X X 0) Q. Ч 0) ю о X 00 со о. 2 и 2 00 л о X о. 0) о о X ю 2 X со X п 0) у. Закончите предложение. 1. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а________________________________________. 2. При пересечении двух перпендикулярных прямых получается__прямых угла. 3. В любом треугольнике можно провести______высоты. 4. В АМРК медианой является________, высотой является ляется биссектрисой яв- 5. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с_______________________________________ 6. Высота треугольника является 28 прямой /лучом / отрезком 2. В изображенных на рисунках четырехугольниках проведите диагонали (отрезки, соединяющие две несоседние вершины). Проверьте с помощью чертежных инструментов, в каких четырехугольниках диагонали ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. Результаты запишите в таблицу. 3. В треугольнике с помощью чертежных инструментов (транспортира и линейки) проведите на рис. 1 — все медианы; на рис. 2 — все биссектрисы; на рис. 3 — все высоты. Установите соответствия, записав пары «номер рисунка» — «номер текста». Например, так: 2-1. Рис. 2. Биссектриса 1. Соединить отрезком вершину треугольника с противолежащей стороной, разделив угол при этой вершине пополам. 2. Провести перпендикуляр из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону. 3. Соединить отрезком вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Ответ: — 4. Из бумаги вырежьте остроугольный треугольник. Обозначьте вершины буквами А, В, С. С помощью перегибаний постройте биссектрису этого треугольника, проведенную из вершины А. Обоснуйте свои действия. '’*■) ■ / ^ . л.< 29 (D 1Э S О) Z г а\ S о о ф 5 X» S о ш о* о 3 г "О О) ю X о СП ф За ■о ф X X г Х( н ■о ф -1 о а O’ X S Л I О) о. н X 0> Q. CI Ф ю о X 0 ф о. 1 I- о о 15 ш J) о X а ф о о S ю 2 X ф X И ф Ответ. Для построения биссектрисы угла А перегнем лист бумаги так, чтобы стороны ______и_________оказались на одной______________. Тогда линия сгиба разделит угол А (его две стороны точно наложатся друг на друга), а значит, будет его биссектрисой. 5. Найдите ошибку в доказательстве. В Любой треугольник — равнобедренный. Доказательство: Пусть АВС — данный треугольник. Отметим на стороне ВС такую точку D, чтобы BD = DC и AD JL ВС. Тогда AADB = AADC (по I признаку), это значит, что АВ = уАС, отсюда по определению ААВС — равнобедренный. Ответ. По признаку равнобедренного треугольника:_______________________ В доказательстве использован этот признак. Утверждается, что в треугольнике АВС Поэтому приведенное доказательство ошибочно. 6. Максим, разбирая решение задачи, составил к ней схему. Составьте свою схему, рассмотрев случай, когда две медианы треугольника совпадают с его высотами. Какой вид имеет такой треугольник? Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. Рассмотрим треугольник АВС. На стороне АС отметим ее середину, точку D. Проведем медиану BD. По условию BD является и его высотой. Значит, отрезок BD перпендикулярен к стороне АС. Для доказательства того, что треугольник АВС — равнобедренный, необходимо убедиться в равенстве сторон АВ и СВ. Заметим, что эти стороны являются сторонами треугольников ABD и CBD. Докажем, что эти треугольники равны. Сторона BD у них общая, отрезки AD и CD равны, т.к. медиана BD делит сторону АС пополам. Углы BDA и BDC равны 90°, т.к. BD — высота треугольника АВС. Поэтому треугольники ABD и CBD равны (по первому признаку) и отсюда АВ = СВ. Следовательно, треугольник/\БС — равнобедренный. 30 Схема Максима Ответ: 31 (D Ь S 0) Z т а\ S о о (D 5 ■о S о сг (D O’ О о ■D а> D X о о\ ф 1э ■о ф X X т х< н ■о ф “1 о ь O’ X X 7i m о s X Л 1^ 2 Ф Q. I- (0 Ш I- u X 0) Ш (0 a X iC (0 X CO X H 0> Q. I- o Q. О I- OQ 6 Второй и третий признаки равенства треугольников Вариант 1 1. Подчеркните ВЕРНЫЕ утверждения. 1. Треугольник, равный остроугольному треугольнику, не является тупоугольным. 2. Треугольник, равный равнобедренному треугольнику, может быть прямоугольным. 3. Существуют два равных треугольника, один из которых — прямоугольный, а другой — тупоугольный. 4. Второй признак равенства треугольников — это признак равенства по стороне и двум углам. 5. Третий признак равенства треугольников — это признак равенства по трем сторонам. 6. Если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны. 2. Отметьте знаком «+» рисунки, на которых выполняются условия, записанные справа. □ В D ААВО = ADCO, по II признаку равенства треугольников. С М □ ААВС = АМКТ, ПО II признаку равенства треугольников. Недостаточно данных, чтобы установить равенство треугольников АВС и МКТ. ААВО = ACBD, по III признаку равенства треугольников. 32 Недостаточно данных, чтобы установить равенство треугольников АВС и СОА. О 3. На рис. 1 изображен тетраэдр — простейший из многогранников, гранями которого являются треугольники (невидимое ребро тетраэдра отмечено штриховой линией). Похожую форму имеет известная головоломка — пирамидка Рубика, изображенная на рис. 2. Какие грани тетраэдра являются равными? О Ответ: А Рис. 1. Тетраэдр = А Рис. 2. Пирамидка Рубика 4. Составьте таблицу, помогающую запомнить признаки равенства треугольников. В первой строке таблицы указан порядковый номер признака (от одного до трех). Во второй строке начертите пару равных треугольников и отметьте у них соответственно равные элементы с учетом номера признака. т н о •о о Sc ■D (D Н S s< 3 ■о S и> X О) S ■о О) ш ф X о 4 D 0) 4 ■о ф •< “1 о 3 г X 5 о о 5. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают прямую АВ и на продолжении отрезка АВ откладывают произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку D, из которой видна точка А, и можно пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDQ и EDF и отмеряют DQ = DB и DF = DE. Затем идут по прямой FQ, глядя на точку А, пока не найдут точку Н, которая лежит и на прямой AD. Тогда HQ равно искомому расстоянию. Объясните почему. Кратко опишите ситуацию, когда этим способом измерения расстояния вы могли бы воспользоваться. 33 Ответ: А = А (по___признаку), А = А (по___признаку). Этим способом удобно воспользоваться, например, если точки Лив находятся ш о >с S X л § >1 й> Q. У- (0 ш ь о X ф ш (О а X ф X со S о. с S I- ф о. I- >х о о. о I- ш 6. Определите, на какой табурет, слева или справа (см. рис.), можно сесть без риска упасть? Обоснуйте свой выбор. Ответ. Можно сесть на табурет на ______________табурета образуют _ рисунке. Сиденье и ___, что обеспечива- ет конструкции. Вариант 2 1. Подчеркните ВЕРНЫЕ утверждения. 1. Треугольник, равный равнобедренному треугольнику, может быть тупоугольным. 2. Треугольник, равный прямоугольному треугольнику, является прямоугольным. 3. Существуют два равных треугольника, один из которых остроугольный, а другой — тупоугольный. 4. Второй признак равенства треугольников — это признак равенства по стороне и двум углам. 5. Третий признак равенства треугольников — это признак равенства по трем сторонам. 6. Если два треугольника равны, то и периметры этих треугольников равны. 34 2. Отметьте знаком к+» рисунки, на которых выполняются условия, запи-санные справа. □ ААВС = AACD, по 111 признаку равенства треугольников. К С ААВС = АМКТ, по II признаку равенства треугольников. Т м Недостаточно данных, чтобы установить равенство треугольников АВС и МКТ. Т AABD = ACBD, по III признаку равенства треугольников. ААВС = ACDA, по III признаку равенства треугольников. D 3. На рис. 1 изображен тетраэдр — простейший из многогранников, гранями которого являются треугольники (невидимое ребро тетраэдра отмечено штриховой линией). Похожую форму имеет известная головоломка — пирамидка Рубика, изображенная на рис. 2. Какие грани тетраэдра являются равными? 35 i А н “О о 4 5 U X О) X X ■о О) ш ф X о ч ш О) ч ■о ф § O’ о го ' """fl -‘.7 m о iC s X Л c; о u >» Ф Q. »- <0 m b o z Ф m Ф a s iC (Q Z Г) Z Q. C >z z Ф Q. I- Z >z о Q. О H Ш Ответ: A Рис. 1. Тетраэдр = A Рис. 2. Пирамидка Рубика 4. Составьте таблицу, помогающую запомнить признаки равенства треугольников. В первой строке таблицы указан порядковый номер признака (от одного до трех). Во второй строке начертите пару равных треугольников и отметьте у них соответственно равные элементы с учетом номера признака. 5. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают прямую АВ и на продолжении отрезка АВ откладывают произвольный отрезок BN. Выбирают на местности точку О, из которой видна точка А, и можно пройти к точкам Ви N. Провешивают прямые ВОМ и NOG и отмеряют GO = ON и ОМ = ВО. Затем идут по прямой GM, глядя на точку А, пока не найдут точку R, которая лежит и на прямой АО. Тогда RM равно искомому расстоянию. Объясните почему. Кратко опишите ситуацию, когда этим способом измерения расстояния вы могли бы воспользоваться. N Ответ: А = А (по___признаку), А = А (по___признаку). Этим способом удобно воспользоваться, например, если точки Лив находятся 36 6. Какая калитка, справа или слева, со временем не расшатается, а сохранит первоначальную форму? Свой ответ обоснуйте. •yrr - 7^ 1 п t щ J L V '“А г- -V к* « ] с • — Ответ. Калитка на _________________ рисунке не расшатается. Прибитая планка обеспечивает____________________конструкции. 37 Окружность. Задачи на построение Вариант 1 1. Закончите предложения. 1. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на________________________________________от данной точки. 2. Радиус окружности всегда диаметра в раза. 3. Расстояние от любой точки окружности до ее центра равно_________. 4. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется___________. 5. Любые две точки окружности делят ее на____части. Эти части называются Ф S X ф о о. н о 0 с (Q X X т <0 q: <0 го 1 к и о X а о 2. Прочитайте сказку. На месте пропусков впишите подходящие по смыслу слова. Сказка о путешествии точки^ На одной Окружности в стране Гзометрия жила-была Точка А, подданная герцогини Точки. Каждый день, просыпаясь, она смотрела в центр Окружности на яркую и величественную точку О и мечтала, что настанет день, когда они познакомятся. И вот однажды она решилась отправиться в путешествие. Путь по Окружности был очень долгим. Она встретила множество других точек, но так и не сумела приблизиться к своей мечте. Через много дней Точка А обнаружила, что снова оказалась у порога своего дома. Она очень удивилась: — Как же так? Я уверенно шла по Окружности в одном и том же направлении, но лочему-то опять оказалась там, откуда вышла. И в это время она с удивлением заметила, как к ней приблизился какой-то отрезок, вышедший прямо из точки О. — Кто вы? — удивленно спросила она. — Меня зовут___________, — ответил незнакомец. — Я соединяю центр Окружности с любой ее точкой. — Ты и меня можешь соединить с точкой О? — с надеждой спросила наша Точка А. — С легкостью, — ответил он. — Тогда мое имя будет______АО. Если же ты захочешь пройти по прямой дальше, до нового пересечения с Окружностью, в этом тебе поможет другой________, например, ОВ. Если же мы объединимся с ним, мы образуем новый отрезок, который соединяет точки А и В Окружности и проходит через центр. Имя его —______________ * Едуш О.Ю. Геометрия: 7 кл.: Подсказки на каждый день. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. —176 с. 38 — А почему я не смогла дойти до точки О, ведь я обошла всю Окружность? — спросила точка А. — Ты не знала свойств Окружности. Она не имеет ни начала, ни конца, т.е. является_____________. А все ее точки находятся на__________________ от центра — точки О. Поэтому ты можешь обойти ее множество раз, но так и не дойдешь до центра. 3. На рисунке выделены элементы окружности и круга. Подпишите их. 4. Лена составила план решения задачи на построение. План содержит лишние пункты. Подчеркните их. Задача. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник MKN, у которого угол М равен углу А, сторона МК в два раза меньше АВ, а сторона MN в четыре раза меньше АС. План решения Лены 1. Разделить сторону АВ пополам. 2. Измерить градусную меру угла В. 3. Разделить сторону АС на четыре равные части. 4. Построить угол М, равный углу А. 5. Построить угол К, равный углу В. 6. Отложить на стороне угла М отрезок МК, равный половине АВ. 7. Отложить на другой стороне угла М отрезок MN, в четыре раза меньший >АС. 8. Соединить точки К и Л/. 5. Как отметить середину прямолинейной дорожки, если у вас есть только веревка, которая короче дорожки? Ответ. Откладываем поочередно отрезки, .. от расстояние между ними будет дорожки. Когда отрезки «встретятся», т.е. __________________________длине веревки. то оставшееся расстояние легко поделить пополам. В случае когда длина веревки больше длины половины дорожки, достаточно отложить_______________________с каждой стороны дорожки. Эти отрезки будут иметь______________часть. Именно эту часть дорожки и надо разделить пополам с помощью веревки. 39 О ■О X о о со &> за О) £ S X fi) а о о н •а о (D X X ч о. о 2. Прочитайте сказку. На месте пропусков впишите подходящие по смыслу слова. Сказка о путешествии точки^ На одной Окружности в стране Гзометрия жила-была Точка А, подданная герцогини Точки. Каждый день, просыпаясь, она смотрела в центр Окружности на яркую и величественную точку О и мечтала, что настанет день, когда они познакомятся. И вот однажды она решилась отправиться в путешествие. Путь по Окружности был очень долгим. Она встретила множество других точек, но так и не сумела приблизиться к своей мечте. Через много дней Точка А обнаружила, что снова оказалась у порога своего дома. Она очень удивилась: — Как же так? Я уверенно шла по Окружности в одном и том же направлении, но почему-то опять оказалась там, откуда вышла. И в это время она с удивлением заметила, как к ней приблизился какой-то отрезок, вышедший прямо из точки О. — Кто вы? — удивленно спросила она. — Меня зовут_______, — ответил незнакомец. — Я соединяю центр Окруж- ности с любой ее точкой. — Ты и меня можешь соединить с точкой О? — с надеждой спросила наша Точка А. — С легкостью, — ответил он. — Тогда мое имя будет______АО. Если же ты захочешь пройти по прямой дальше, до нового пересечения с Окружностью, в этом тебе поможет другой________, например, ОВ. Если же мы объединимся с ним, мы образуем новый отрезок, который соединяет точки А и В Окружности и проходит через центр. Имя его —____ — А почему я не смогла дойти до точки О, ведь я обошла всю Окружность? — спросила точка А. — Ты не знала свойств Окружности. Она не имеет ни начала, ни конца, т.е. является________________. А все ее точки находятся на_______________ от центра — точки О. Поэтому ты можешь обойти ее множество раз, но так и не дойдешь до центра. ^ Едуил О.Ю. Геометрия: 7 кл.: Подсказки на каждый день. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. —176 с. 40 3. На рисунке выделены элементы окружности и круга. Подпишите их. 4. Катя составила план решения задачи на построение. План содержит лишние пункты. Подчеркните их. Задача. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник LRT, у которого угол L равен углу А, сторона LR в четыре раза меньше АВ, а сторона LT в два раза меньше АС. План решения Кати 1. Разделить сторону АВ на четыре равные части. 2. Разделить сторону АС на две равные части. 3. Измерить градусную меру угла С. 4. Построить угол L, равный углу А. 5. Построить угол Т, равный углу С. 6. Отложить отрезок LR, в четыре раза меньший АВ. 7. Отложить отрезок LT, равный половине АС. 8. Соединить точки R и 7. 5. Как построить на земле угол, равный данному, если у вас в руках один кусок веревки? Ответ. Приложите веревку к углу так, чтобы она образовала сторонах данного___________. При этом одна из вершин _ на должна совпасть с вершиной_________. Пусть это вершина О. Затем отметьте на веревке узелками вершины получившегося _____________________ и восстановите такой _______________________на другом месте. Это возможно согласно третьему при- ______________. Угол с вершиной О будет равным данному. знаку равенства (D 41 I Параллельные прямые 8 0) 2 s Оч Q. С Ф 2 X л с; ф ц с; (О о. (О CZ Вариант 1 1. Заполните пропуски. 1. В любой теореме различают две части. Они называются__и_________. 2. Теоремой, обратной данной, называют такую теорему, в которой условием является _________данной теоремы, а заключением —________данной теоремы. 3. Если доказана некоторая теорема, то обратное утверждение верно /не верно / может быть верно ЩШ:.. % 2. Заполните пустые ячейки в таблице и пропуски в предложениях. Ищите подсказки на рисунках. Признаки параллельности и свойства параллельных прямых Признак Если при пересечении двух прямых секущей углы равны, то прямые параллельны. Если две прямые кулярны то эти перпенди-к третьей, две прямые Рисунок / Свойство Если прямая к одной из двух параллельных прямых, то она к другой. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то_______________ углы равны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углов равна 180°. 42 3. Исправьте подпись к рисунку, верно указав изображенные на нем параллельные прямые. «На рисунке прямая п пересечена прямыми а, Ь, с, d, е. При этом а||с, d||e». Ответ. «На рисунке прямая п пересечена прямыми а, Ь, с, d, е. При этом а||_, сУ||_». 4. Запишите условие и заключение признака параллельности прямых. Используйте рисунок. Условие: ZAMN + Заключение: Запишите в скобках обоснование каждого шага доказательства этого признака: 1. ZAMN + ZCNM = 180° (_________________________________________) 2. ZAMN + ZBMN = 180° (_________________________________________) 3. ZBMN = ZCNM (________________________________________________) 4. АВ II CD ( __________________________________________________) 5. На плоскости обозначены три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Постройте прямую, проходящую через точку А и параллельную ВС, используя признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов. Запишите построение по шагам, заполняя пропуски в тексте. 43 .,1 ' ii, ■ ■ ■D 2й г (Г (D ■0/Ю1Л M< Iv^ 0) 2 s R a c 0) 2 X Л c; (D Q R (П Q. (0 1) Проведем лучи CA и Б _. Получим угол АСВ. 2) Отложим от прямой СА в полуплоскость, не содержащую точку В, угол САЕ, равный углу__________. 3) _____II_____по признаку параллельных прямых (так как внутренние накрест лежащие углы при прямых_____и______и секущей_________равны по построению). 6. Пусть А, В, С — точки, не лежащие на одной прямой. С помощью линей-ки и чертежного угольника начертите прямую, проходящую через точку А и параллельную ВС. Опишите способ построения, заполнив пропуски. Воспользуйтесь рисунком. С помощью проведем прямую ВС. Чертежный треугольник имеет форму ___________треугольника. Поэтому соответствующие стороны чертежного угольника можно считать катетами и гипотенузой. Приложим к прямой ВС______________чер- тежного _. Далее приложим линейку к одному из его . Удержи- вая линейку, передвигаем по ней треугольник так, чтобы точка_оказалась на его _________. Проводим прямую____, которая и будет искомой. _, заключение теоремы — это Вариант 2 1. Заполните пропуски. 1. Условие теоремы — это то, что________ то, что_______________________. 2. Если условие первой теоремы является заключением второй теоремы, а заклю- чение первой теоремы является условием второй теоремы, то первую теорему называют _________________, а вторую___________________. 44 3. Если доказана некоторая теорема, то обратное утверждение верно /не верно / может быть верно 2. Заполните пустые ячейки в таблице и пропуски в предложениях. Ищите подсказки на рисунках. Признаки параллельности и свойства параллельных прямых Признак Если при пересечении двух прямых секущей углы равны, то прямые параллельны. Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей, то и другая ________________ к этой прямой. Если при пересечении двух прямых секущей _________________ углов равна 180°, то прямые параллельны. Рисунок ■7^ Свойство Если прямая __________ к одной из двух параллельных прямых, то она _____________к другой. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то_____________ углы равны. 3. Исправьте подпись к рисунку, верно указав изображенные на нем параллельные прямые. 45 Z3 fi) ■а 0) ь (D Ь т X (Г ф э •о а г г ф «На рисунке прямая п пересечена прямыми а, Ь, с, d, е. При этом Ь||е, с||а». Ответ. «На рисунке прямая п пересечена прямыми а, Ь, с, d, е. При этом Ь II_, с||_». 4. Запишите условие и заключение признака параллельности прямых. Ис~ пользуйте рисунок. К Условие: ZAMK = Заключение: Запишите в скобках обоснование каждого шага доказательства этого признака: 1. ZAMK=ZCNK ( __________________________________________) 2. ZAMK = ZBMN (___________________________________________) 3. ZBMN = ZCNM (___________________________________________) 4. AB II CD (______________________________________________) 5. Ha плоскости обозначены три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Проведите через точку А прямую, параллельную ВС, используя утверждение: две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Запишите построение по шагам, заполняя пропуски в тексте. В С 1) Из точки А проведем перпендикуляр AD к прямой 2) В точке А построим________________________ 3) ___II___, т.к. прямые ВС и___перпендикулярны к прямой AD. АЕ к прямой AD. 6. Пусть А, В, С — точки, не лежащие на одной прямой. С помощью линейки и чертежного угольника начертите прямую, проходящую через точку А и параллельную ВС. Опишите способ построения, заполнив пропуски. Воспользуйтесь рисунком. 46 с помощью му_______ проведем прямую ВС. Чертежный угольник имеет фор- _________треугольника. Поэтому соответствующие стороны угольника можно считать катетами и гипотенузой. Приложим к прямой ВС______________чертежного .. Далее приложим линейку к одному из его Удерживая ли- нейку, передвигаем по ней угольник так, чтобы точка_оказалась на его Проводим прямую_____, которая и будет искомой. •jfefe... г ■ и -я Ш' ==-^ f&aJi (О iC S z J) c; о u >« 0) Q. I- S 2 (0 c s 2 ra z О a о t- o >4 g 0) 2 z 0) в о z I- o о о (d s z Л c; о L_ > Ф a. H m о E > Ш 2 2 >* О Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника Вариант 1 1. Выпишите номера ОШИБОЧНЫХ утверждений: 1. У равностороннего треугольника с длиной стороны 10 см все углы в два раза больше, чем у равностороннего треугольника с длиной стороны 5 см. 2. Если в равнобедренном треугольнике угол при основании равен 55°, то угол между боковыми сторонами равен 75°. 3. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. 4. Для каждого угла треугольника можно построить только один смежный с ним внешний угол. 5. Для каждого угла треугольника можно построить два смежных с ним внешних угла. 6. Внешний угол треугольника равен смежному с ним углу треугольника. 7. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов этого треугольника. 8. Если угол при основании равнобедренного треугольника равен 32°, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию, равен 64°. 9. В любом равнобедренном треугольнике внешние углы при основании острые. 10. В любом равнобедренном треугольнике внешние углы при основании тупые. Ответ: __________________________________________________________ 2. Аня вычислила величины неизвестных углов треугольников, изображенных на рисунках. Полученные результаты она подписала под каждым треугольником, но не в том порядке. Исправьте работу Ани, подписав ВЕРНЫЕ ответы в свободных ячейках под рисунками. 63° 72° 40° 45° 153° 3. Какой треугольник НЕ существует? Отметьте его знаком «-» в рамке около номера задания. Ответ обоснуйте. □ 1. В А7\БС: АС= 12, ЛБ= 18, БС = 24. 48 □ 2. в ДЛ8С; АС = 22, AB=^8,BC = 52. □ 3. В ААВС: ZC = 90°. АВ = 16, АС = 20, БС = 12. □ 4.В ААВС: ZC = 90», AB=^Z,AC = 5, БС = 12. □ 5.В ААВС: ZA = ZC = 25°, /\Б = 14, ЛС = 8. □ 6. В ДЛБС; ZC = 90°, ЛБ = ЛС = БС = 10. 4. Заполните таблицу по образцу. рисунок классиХ^^^ фикация треу гол ьн и ковч Л А —^ по сторонам разно- сторон- ний по углам остро- уголь- ный 5. После раскроя платья остался лоскут ткани в форме треугольника. Как, перегибая ткань, установить, является ли этот треугольник равносторонним или хотя бы равнобедренным? Заполните пропуски в тексте. -к-к-к Лоскут ткани представляет собой треугольник, обозначим его АВС. Для того, чтобы треугольник являлся равнобедренным, нужно убедиться в равенстве_________сторон, равносторонним —___________________________________________________сторон. Для установления равенства сторон АВ и ВС достаточно перегнуть треугольник по угла АВС и проверить, со- вмещаются ли при этом точки____и__. Аналогично проверяется равенство остальных сторон. 49 о »< г fi) •< 3 о ш н ■а 0 *< 1 т р о о о н X о Е (D S (D »< О 4 о •и о X О) 5 S S < 3 fi> S S 4 ■о (D »< “1 О ь о- X 5 &) да» Вариант 2 (О S X л ц S S' а н S S га Е >« X S S (О X о а о н о >« о S к X X ф 3 о X Ё» о о (6 X X л ц о U > ф а I- DQ О Е >. (0 : 2 >* о f. Выпишите номера ОШИБОЧНЫХ утверждений: 1. Сумма углов треугольника равна 180®. 2. В любом равностороннем треугольнике все углы по 60®. 3. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. 4. Для каждого угла треугольника можно построить сколько угодно смежных с ним внешних углов. 5. Внешний угол треугольника равен не смежному с ним углу треугольника. 6. Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним углов этого треугольника. 7. В любом равнобедренном треугольнике внешние углы при основании острые. 8. В любом равнобедренном треугольнике внешние углы при основании прямые. 9. Равнобедренный треугольник не может быть прямоугольным. 10. Равносторонний треугольник не может быть прямоугольным. Ответ: __________________________________________________________________ 2. Артем вычислил величины неизвестных углов треугольников, изобра-женных на рисунках. Полученные результаты он подписал под каждым треугольником, но не в том порядке. Исправьте работу Артема, подписав ВЕРНЫЕ ответы в свободных ячейках под рисунками. 45° 40° 62° 41° 64° 3. Какой треугольник НЕ существует? Отметьте его знаком в рамке около номера задания. Ответ обоснуйте. □ 1. В АЛБС: ЛС= 16, АВ = 8, БС= 10. □ 2. В А7\БС; АС= 16,ЛБ = 9, ВС = 25. □ З. В АЛБС: ZC = 90°, АВ = 12, ЛС = 9, БС = 15. 50 □ 4. в ААВС: ZC = 90°, АВ = 20, АС = 16, ВС = 12. □ 5. В ААВС: ZA = ZC = 30°, AS = 10, ЛС = 6. □ 6. В ДЛВС: ZC = 90°, АВ = АС = ВС = 20. 5. После раскроя платья остался лоскут ткани в форме треугольника. Как, перегибая ткань, установить, является ли этот треугольник равносторонним или хотя бы равнобедренным? Заполните пропуски в тексте. *** Лоскут ткани представляет собой треугольник, обозначим его АВС. Для того, чтобы треугольник являлся равнобедренным, нужно убедиться в равенстве____углов, равносторонним —_________углов. Для установления равенства углов ВАС и АВС достаточно совместить вершины___и___треугольника и проверить, совмещаются ли при этом лучи__и___, а также лучи_и___. Аналогично проверяется равенство остальных углов. О < Z Z О) *< 3 о ш н ■о ф »< “1 § tr Z S ф о о о н Z о Е ф ф *< о н о ■D 0 Z й> S Z S *< 3 0) г Z н ■о ф *< 1 г 51 ф Прямоугольные треугольники 10 Вариант 1 1. Подчеркните ОШИБОЧНЫЕ утверждения. 1. Прямоугольным называется треугольник, у которого углы при основании прямые. 2. В любом прямоугольном треугольнике может быть только один прямой угол. 3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180°. 4. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами. 5. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются гипотенузами. 6. В любом прямоугольном треугольнике только один катет. 7. Треугольник, сумма двух углов которого равна 90°, является прямоугольным. 8. В любом прямоугольном треугольнике может быть только одна гипотенуза. 9. В любом равностороннем треугольнике имеются два катета и гипотенуза. 10. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. ж S X ц, о >ч 0) Q. I- 0) 2 X л с 2 >» о к Q. П. 2. На классной доске сделан рисунок и записано доказательство свойства прямоугольного треугольника. 1) Проверьте: а) достаточны ли обоснования, приведенные в доказательстве; б) не пропущены ли шаги доказательства; в) нет ли на рисунке и в тексте доказательства ошибок. 2) Внесите нужные исправления. Свойство прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: Д АВС, ZACB = 90°, ZABC = 30°. Доказать: АС =—АВ. В Доказательство: 1. Z/A = 90° - 30° = 60° (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, 52 2. Построим CD, так что 3. ААВС = ADBC (___ Соединим точки S и D (дополнительное построение). _)■ 4. ZCBD = ZCBA (из п. 3). 5. ZCBD + ZCBA = 60" (_ .)• 6. ZD = ZA = 60° (из п. 1 и 3). 7. AB = AD = BD (из п. 5 и 6). 8. AC = ^AD = ^AB (из п. 2 и 7). Ответьте на вопросы (свой ответ обоснуйте): 1. Можно ли пункт 1 доказательства вставить между 3 и 4 пунктами? ; fe 2. Можно ли пункт 1 доказательства вставить между 6 и 7 пунктами? 3. Вычеркните лишнюю фигуру. Ответ. Лишняя фигура — 4. Сергей дополнил свою памятку для запоминания признаков равенства произвольных треугольников признаками равенства прямоугольных треугольников. 1) Объясните, почему он именно в таком порядке разместил в таблице эти признаки равенства треугольников. 2) Сформулируйте самостоятельно признак равенства равнобедренных треугольников, воспользовавшись вторым признаком равенства произвольных треугольников. т s iC s X Л § >* 0) Q. I- 0) 2 c; о >» о 2 к Q. С 1) Сергей составил таблицу, сравнив_________ прямоугольных треугольников. 2) Признак равенства равнобедренных треугольников. Если ______________ элементы у пар произвольных и одного равнобедренного треугольника соответственно равны другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 5. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, одна из которых (точка А) недоступна, из точки В провешивают прямую т, перпендикулярную к АВ, и отмечают на прямой т точки Е и D так, что BE = ED. Из точки D перпендикулярно к BD провешивают прямую DC. Причем точку С выбирают так, чтобы точки А, Е и С оказались на одной прямой. Тогда АВ = CD. Объясните, почему выполняется это равенство. Когда этим способом измерения расстояний воспользоваться невозможно? 54 Ответ. AB = CD, т.к. Д_ по построению, Z___ = А С .. Z. = z = z как вертикальные). Построения могут быть невозможны, например. Вариант 2 1. Подчеркните ОШИБОЧНЫЕ утверждения. 1. В прямоугольном треугольнике может быть только один прямой угол. 2. В прямоугольном треугольнике может быть два прямых угла. 3. В прямоугольном треугольнике всегда три прямых угла. 4. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 5. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. 6. В прямоугольном треугольнике только один катет. 7. В прямоугольном треугольнике всегда три катета. 8. В прямоугольном треугольнике всегда одна гипотенуза. 9. В равнобедренном треугольнике одна гипотенуза и два катета. 10. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузе. 2. На классной доске сделан рисунок и записано доказательство свойства прямоугольного треугольника. 1) Проверьте: а) достаточны ли обоснования, приведенные в доказательстве; б) не пропущены ли шаги доказательства; в) нет ли на рисунке и в тексте доказательства ошибок. 2) Внесите нужные исправления. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Дано; ААВС, ZACB = 90°, АС = -АВ. Доказать: ZABC = 30°. ^ Доказательство: 1. Построим CD, так что__= _ ение). 2. ААВС = ADBC (____________ ,, соединим точки Б и D (дополнительное постро- 3. АВ = 2АС = AD (из п. 1 и условия). 4. АВ = BD (__________________________ 5. ABD — равносторонний (из п. 3 и п. 4). 6. ZBAD = Z.ABD = ZADB = 60° (______ .)• 7. ZABC = 90° - 60° = 30° (из п. 4 и т.к. сумма углов треугольника равна 180°, .)• 55 :□ тз 20 Z О ч: -1 0 о- Z г 0 н •и <0 чс 1 0" Z Z ’шЛ в D Ответьте на вопросы (свой ответ обоснуйте): 1. Возможно ли поменять местами пункты 3 и 4 доказательства? 2. Возможно ли поменять местами пункты 5 и 6 доказательства? S S X л с 2 ф* а. н 0) 2 X л ц, 2 >% о г X а с 3. Вычеркните лишнюю фигуру. Ответ. Лишняя фигура — 4. Андрей дополнил свою памятку признаков равенства прямоугольных треугольников признаками равенства произвольных треугольников. 1) Объясните, почему он именно в таком порядке разместил в таблице эти признаки равенства треугольников? 2) Сформулируйте самостоятельно признак равенства равнобедренных треугольников, воспользовавшись третьим признаком равенства произвольных треугольников. 56 1) Андрей составил таблицу, сравнив у пар прямоугольных и произвольных треугольников. 2) Признак равенства равнобедренного треугольника. Если одного равнобедренного треугольника соответственно равны другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 5. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками М и К, одна из которых (точка К) недоступна, из точки М провешивают прямую т, перпендикулярную к МК, и отмечают на прямой т точки О и Р так, что МО = ОР. Из точки Р перпендикулярно к МР провешивают прямую PN. Причем точку N отмечают вешкой так, чтобы точки К, О и N оказались на одной прямой. Тогда МК = PN. Объясните, почему выполняется это равенство. ■о 20 S О »< “1 о г Z г (D н ■о (D < § о- X \1Г 57 Когда этим способом измерения расстояний воспользоваться невозможно? Ответ. МК = PN, т.к. А_ по построению, Z____ = А С Z. = z = Z — как вертикальные). Построения могут быть невозможны, например. S X J) ц о |_ >» о Q. I- 0) 2 X л ц. 2 >» о 2 К Q. С 58 Построение треугольника по трем элементам Вариант 1 1. Заполните пропуски в предложениях. 1. Расстоянием между двумя точками называется няющего эти точки. 2. На рисунке отрезок РМ называется___ 11 соеди- к прямой п. 3. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, ________________________ меньше/равен/больше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой. 4. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от до другой прямой. 5. Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, представляет собой две прямые, __________________________________ 2. Оля составила памятку для построения треугольника по двум сторонам и углу между ними, пронумеровав этапы построения. Однако она не смогла описать 1 и 2 этапы. Помогите ей, заполнив пустые ячейки таблицы. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними Дано К Требуется построить В Построение А 1) 1. 2) 2. 3. Построить отрезок АВ, равный отрезку с. 4. Достроить ААВС, соединив точки S и С. 59 о о н ■о о (D (D 4 ■О (D 1 § Г X 5 7^ 0) 3 о 4 •а (D г и ь ф 5 (D X 4 fi) 5 РГ; s (О ф 2 ф Ц о 2 Ф О. Ь 0 с со к S Z л 1 >. ф о. н ф S X ф о о. н о о 1= 3. Даны два элемента треугольника: стороны Ь и с. Можно ли по эти»^Данным построить прямоугольный треугольник? Свой ответ обоснуйте. Ответ. Построить прямоугольный треугольник. Заданные отрезки могут быть____________ жет быть ________________, а меньший — можно/нельзя или больший отрезок мо- 4. Составьте памятку построения равнобедренного треугольника по боковой стороне и углу при основании. Образец памятки смотрите в задании 2. Построение равнобедренного треугольника по боковой стороне и углу при основании Дано Требуется построить Построение 1) 2) 3) С 4) 1. 2. 3. 4. Алас — искомый. 5. Требуется произвести съемку плана земельного участка, имеющего форму произвольного четырехугольника, обозначенного ABCD. Для этого измерили все стороны и одну диагональ четырехугольника ABCD. Начертите план участка в масштабе 1:1000, если его стороны и диагональ имеют следующие размеры: АВ = 30 м, ВС = 47 м, CD = 20 м, AD = 52 м, АС = 56 м. Ответ. Масштаб 1:1000 означает, что 1 мм на плане соответствует расстоянию 1 м на местности. Построение 1. Строим__ 2. На стороне АС строим______________________ В результате получим план земельного участка. 60 (по трем сторонам). ________________(по трем сторонам). Вариант 2 1. Заполните пропуски в предложениях. 1. Расстоянием от точки до прямой называется 3. Наклонная, проведенная из точки к прямой, __________________________ меньше/равна/больше любого перпендикуляра, проведенного из той же точки к этой прямой. 4. Расстояние между параллельными прямыми равно________________________ наименьшему/наибольшему ИЗ расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой. 5. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, представляет собой прямую,______________________________________________. 2. Таня составила памятку для построения треугольника по стороне и прилежащим к ней углам, пронумеровав этапы построения. Однако она не смогла описать 2 и 3 этапы. Помогите ей, заполнив пустые ячейки таблицы. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам Дано к Требуется построить с Построение 1) 1. Построить ZXAY, равный ZK. X Z X ^ с е 2) А —^^ Y с В 3) ^ с в 4) 2. 3. 4. Найти точку пересечения лучей АХ и BZ — точку С. ААВС — искомый. а о ч ■а (О г и а (D г (D Z Н 0) г 61 Ш s (Q I- z a> S 0) о s 0) Q. I- o c (0 c; о u >» 0) Q. H Ф s z 0) о Q. H о о п. 3. Даны два элемента треугольника: боковая сторона и прилежащий к~ней тупой угол. Можно ли по этим данным построить равнобедренный треугольник? Свой ответ обоснуйте. Ответ. Построить равнобедренный треугольник Заданный тупой угол может быть только при можно/нельзя ______ равнобедренного треугольника. Т.к. углы при основании такого треугольника равны, а сумма углов треугольника — 180°, то двух ____________________ углов при основании быть не может тупых/острых (их сумма больше 180°). Это означает, что заданный угол лежит против —__________. Т.к. у равнобедренного треугольника ____________________________________________ равны, то для построения одной стороны достаточно. 4. Составьте памятку построения прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу. Образец памятки смотрите в задании 2. Построение прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу Дано М Требуется построить Построение X У 1) 1. Построить ZXCY, равный 90°. 2) 2. 3) 3. 4) 4. ААВС — искомый. 5. Требуется произвести съемку плана земельного участка, имеющего форму произвольного четырехугольника. Обозначим его ABCD. Для этого измерили все его стороны и одну диагональ четырехугольника. Начертите план участка в масштабе 1:1000, если его стороны и диагональ имеют следующие размеры: АВ = 22 м, ВС = 50 м, CD = 30 м, AD = 56 м, BD = 60 м. 62 Ответ. Масштаб 1:1000 означает, что 1 мм на плане соответствует расстоянию 1 м на местности. Ш' Построение 1. Строим__ 2. На стороне АС строим (по трем сторонам). ________________(по трем сторонам). В результате получим план земельного участка. 63 Проверь себя (итоговая работа) 12 Вариант 1 г ■ (О ю (О Q. К (О ш о U О I- к ю О) о л Q. 0) m о Q. С 1. Все записанные в таблице слева утверждения — НЕВЕРНЫЕ. Исправьте их так, чтобы они стали верными, заполнив пропуски справа. 1. Планиметрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Планиметрия — раздел в котором изучаются свойства фигур 2. Через любые три точки можно провести прямую, и притом только одну. Черезлюбые точ-ки можно провести прямую, и притом 3. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются вертикальными. Два угла, у которых одна сторона , а две другие явля-ются продолжениями одна другой, называются 4. Периметром треугольника называется произведение длин всех его сторон. Периметром треугольника называется длин его сторон. 5. Треугольник называется равносторонним, если у него две стороны равны. Треугольник называется равносторонним, если V него равны. 6. В равных треугольниках биссектрисы, проведенные к сторонам, равны. В равных треугольниках биссектрисы. проведенные к сто-ронам, равны. 7. Две прямые, перпендикулярные к третьей, перпендикулярны. Две прямые, перпендикулярные к третьей. 8. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, смежных с ним. Внешний угол треугольника равен двух углов треугольника, смежных с ним. 9. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 60°, равен половине гипотенузы. Катет прямоугольного треугольника, лежаший против угла в , ра-вен гипотенузы. 10. Если в треугольнике три высоты равны, то он прямоугольный. Если в треугольнике вы-соты равны, то он 64 2. а) Назовите выделенные дугами углы, сделав подписи под рисунками. Пример: Смежные углы 6) Назовите выделенные штриховой линией отрезки, сделав подписи под рисунками. 3. Укажите номера рисунков, на которых изображены прямоугольные треугольники. 4. На уроках геометрии в 7 классе вы познакомились с различными инструментами, необходимыми для разметки деталей в столярном деле, для измерения расстояний на местности и т.д. Подпишите их названия под рисунками. 65 S О 3 ш 0) 20 ■о 0) а\ 3 0) Слова для справок: штангенциркуль, рейсшина, астролябия. _________________________— универсальный инструмент, предназначенный для высокоточных измерений наружных и внутренних размеров, а также глубин отверстий. _— чертежная линейка с перпендикулярной переклади- ной на одном конце, используется для проведения параллельных линий. __________________________— прибор для определения географической широты. один из старейших астрономических инструментов. Состоит из двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). (О I- о ю (О Q. К (О 00 о U О н о; ю Ф о л а ф 00 о о. п. ш I 5. Выберите верный рисунок к задаче и решите ее. Расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн. км, а до Луны — 400 тыс. км. Чему равно расстояние от Луны до Солнца во время полного солнечного затмения? С Л 3 а) Л б) Место для вычислений Ответ. Верный рисунок — Расстояние от Луны до Солнца во время полного солнечного затмения равно 66 Вариант 2 1. Все записанные в таблице слева утверждения — НЕВЕРНЫЕ. Исправьте их так, чтобы они стали верными, заполнив пропуски справа. 1. Теоремой называют утверждение, которое принимают без доказательства. называют доказательство, которое принимают без 2. 1 Один градус — угол, равный части прямого угла. Один градус — угол, равный ^ ча-сти угла. 3. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Если стороны и угол одного треугольника соответственно равны сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 4. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. , соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется треугольника. 5. Высота треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Высота треугольника, проведенная к основанию, является медианой и 6. Радиус — это отрезок, соединяющий две точки окружности. — это отрезок, соеди- няющий точки окружности. 7. Если при пересечении двух прямых сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых сум-ма углов равна 180°, то прямые параллельны. 8. Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон. Каждая сторона треугольника двух других сторон. 9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна четверти гипотенузы. Медиана треугольника, проведенная к гипотенузе, равна гипотенузы. 10. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, больше любой наклонной, проведенной из той же точки к прямой. Перпендикуляр, проведенный из к ПРЯМОЙ. любой наклонной. проведенной из той же к прямой. fA: 67 О 3 ш О) 20 ■О О) о\ о н 0) 2. а) Назовите выделенные дугами углы, сделав подписи под рисунками. Пример: га ю го Q. R Л СО О U О ь- R Ю 0> О ja о. 0) а о о. с Смежные углы б) Назовите выделенные штриховой линией отрезки, сделав подписи под рисунками. 3. Укажите номера рисунков, на которых изображены прямоугольные треугольники. 4. На уроках геометрии в 7 классе вы познакомились с различными инструментами, необходимыми для разметки деталей в столярном деле, для измерения расстояний на местности и т.д. Подпишите их названия в пропусках в тексте и под рисунками. 68 Слова для справок: транспортир, малка, рейсмус. ________________________— инструмент для разметки и измерения углов, черчения параллельных линий. Состоит из двух частей, скрепленных между собой зажимным винтом. Более толстая часть прижимается к заготовке, по тонкой части (линейке) производится разметка. ________________________— инструмент для проведения на заготовке разметоч- ных линий, параллельных выбранной базовой линии, или перенесения размеров с чертежей на заготовку. Представляет собой стойку с зажимом, в котором закрепляется металлическая игла для прочерчивания линий. _________________________— инструмент для построения и измерения углов. Со- стоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы), разделенного на градусы от О до 180. 5. Выберите верный рисунок к задаче и решите ее. Расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн. км, а до Луны — 400 тыс. км. Чему равно расстояние от Луны до Солнца во время полного лунного затмения? С Л 3 а) Л б) Место для вычислений Z] ■D О ш (D тз O’ о о а\ 20 's" н о -I о ш ш 20 ■О О) о\ о н О) Ответ. Верный рисунок —__________ Расстояние от Луны до Солнца во время лолного лунного затмения равно 69 -шт t: IfSi! Подсказки s iC CO (0 и 5 1. Точки, отрезки, прямые, лучи Вариант 1 К заданию 1. Требуется указать номера двух неверных утверждений. К заданию 2. В ответе Вани две ошибки: отрезка СО на рисунке нет, пропущен отрезок AD. К заданию 3. Например, на рисунке можно изобразить три параллельные прямые, пересеченные четвертой. К заданию 4. Узелки можно завязывать тремя способами. Во-первых, не завязывать узелки на концах веревки (рис. 1), во-вторых, завязать один из узлов на конце веревки (рис. 2), в-третьих, завязать два узла на обоих концах веревки (рис. 3) рис. 3 К заданию 5. Перегнув лист, совместите точки Лив. Вариант 2 К заданию 1. К заданию 2. К заданию 3. К заданию 4. Требуется указать номера двух неверных утверждений. В ответе Тани две ошибки: отрезка АС на рисунке нет, пропущен отрезок AD. Например, на рисунке можно изобразить две параллельные прямые, пересеченные двумя пересекающимися прямыми. Узелки можно завязывать тремя способами. Во-первых, не завязывать узелки на концах веревки (рис. 1), во-вторых, завязать один из узлов на конце веревки (рис. 2), в-третьих, завязать два узла на обоих концах веревки (рис. 3). рис. 2 К заданию 5. Перегнув лист, совместите точки Л и Б. 70 рис. 3 2. Угол. Биссектриса угла Вариант 1 К заданию 2. В ответе Кати две ошибки. К заданию 4. 1) Вспомните, какова градусная мера развернутого угла 2) Какова градусная мера половины развернутого угла? 3) Какие углы называют острыми? К заданию 5. Перегнув лист, совместите лучи СА и СВ. К заданию 6. Для выполнения задания воспользуйтесь транспортиром или прямым углом чертежного угольника. Вариант 2 К заданию 2. К заданию 4. К заданию 5. К заданию 6. В ответе Оли две ошибки. 1) Какова градусная мера прямого угла? 2) Какова градусная мера половины прямого угла? 3) Угол между биссектрисами прямых углов составлен из двух углов. Каковы их градусные меры? Перегнув лист, совместите лучи ЕМ и ЕК. Для выполнения задания воспользуйтесь транспортиром или прямым углом чертежного угольника. К заданию 3. К заданию 4. 3. Смежные и вертикальные углы Вариант 1 К заданию 2. 1) Проверьте, все ли пары смежных углов перечислены. Нет ли лишних. 2) Сколько пар смежных углов с вершинами в точках Т, А \л N изображено на рисунке? Углы каких видов изображены на рисунках 1-4? 1) Вспомните, чему равна сумма смежных углов. 2) Биссектрисы делят каждый из смежных углов на два равных угла. К заданию б. 1) Лист бумаги перегибается по прямой. Однократно перегните лист и отметьте на линии сгиба точку А. Получим развернутый угол с вершиной в точке А. 2) Согните лист бумаги, совместив стороны полученного развернутого угла. Вариант 2 К заданию 2. 1) Проверьте, все ли пары вертикальных углов перечислены. Нет ли лишних. 2) Сколько пар вертикальных углов с вершинами в точках Т, Av\ N изображено на рисунке? К заданию 3. Углы каких видов изображены на рисунках 1-4? К заданию 4. 1) Равны ли вертикальные углы? 2) Биссектрисы делят каждый из вертикальных углов на два равных угла. К заданию 6. Вспомните, чему равна сумма двух прямых углов. 71 Z2 О 13 о О) U) 9^ 4. Треугольники. Первый признак равенства треугольников Вариант 1 К заданию 1. Необходимо подчеркнуть пять утверждений. щщ к заданию 4. Сделайте рисунок к задаче. К заданию 5. Найдите на рисунке два равных треугольника. к :> - : Вариант 2 К заданию 1. Необходимо подчеркнуть пять утверждений. К заданию 4. Сделайте рисунок к задаче. К заданию 5. Найдите на рисунке два равных треугольника. Oil iC n (0 о d о c 5. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник 'Ы‘ -g Вариант 1 К заданию 2. Для выполнения задания используйте чертежный угольник или транс-лортир. К заданию 5. 1) Проверьте, верно ли применен признак равнобедренного треугольника. 2) Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный. Вариант 2 К заданию 2. Для выполнения задания используйте чертежный угольник или транспортир. К заданию 5. Проверьте, верно ли применен признак равнобедренного треугольника. 6. Второй и третий признаки равенства треугольников Вариант 1 К заданию 1. Необходимо подчеркнуть три утверждения. К заданию 2. Необходимо отметить три рисунка. К заданию 6. Используйте свойство жесткости треугольника, которое следует из признака равенства треугольников по трем сторонам. Свойство жесткости треугольника: существует единственный треугольник с заданными длинами сторон. Вариант 2 К заданию 1. Необходимо подчеркнуть четыре утверждения. К заданию 2. Необходимо отметить три рисунка. К заданию б. Используйте свойство жесткости треугольника, которое следует из признака равенства треугольников по трем сторонам. Свойство жесткости треугольника: существует единственный треугольник с заданными длинами сторон. 72 7. Окружность. Задачи на построение 1 к7 ■ Вариант 1 К заданию 3. Слова для справок: сектор, точка, сегмент, дуга, радиус, диаметр, хорда, луч, отрезок, полуокружность, полукруг. К заданию 4. План содержит два лишних пункта. К заданию 5. 1) Откладывайте отрезки, равные длине веревки, от противоположных концов дорожки. 2) Рассмотрите два случая — когда веревка короче половины дорожки и когда веревка длиннее половины дорожки. Вариант 2 К заданию 3. Слова для справок: сектор, точка, сегмент, дуга, радиус, диаметр, хорда, луч, отрезок, полуокружность, полукруг. К заданию 4. План содержит два лишних пункта. К заданию 5. 1) Воспользуйтесь третьим признаком равенства треугольников. 2) Отмечайте на веревке нужные длины отрезков узелками. 8. Параллельные прямые Вариант 1 К заданию 2. Слова для справок: накрест лежащие, внутренние, внешние, соответственные, односторонние, сумма, параллельные, перпендикулярные. К заданию 3. 1) Найдите углы, удовлетворяющие признаку параллельности прямых. 2) Вычислите смежные углы для нахождения параллельных прямых. В признаке говорится о сумме внутренних односторонних углов. Сделайте рисунок, соответствующий шагам построения. К заданию 4. К заданию 5. Вариант 2 К заданию 2. Слова для справок: накрест лежащие, перпендикулярные, параллельные, соответственные, односторонние, сумма, внутренние, внешние. К заданию 3. 1) Найдите углы, удовлетворяющие признаку параллельности прямых. 2) Вычислите смежные углы для нахождения параллельных прямых. В признаке говорится о равенстве соответственных углов. Сделайте рисунок, соответствующий шагам построения. К заданию 4. К заданию 5. 9. Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника Вариант 1 К заданию 1. Необходимо выписать шесть номеров. К заданию 3. Не существует четырех треугольников. Вариант 2 К заданию 1. Необходимо выписать шесть номеров. К заданию 3. Не существует четырех треугольников. 73 13 S о и 0J 10. Прямоугольные треугольники Вариант 1 К заданию 1. К заданию 3. Необходимо подчеркнуть пять утверждений. Какого вида треугольники преобладают на рисунке? Для ответа на вопрос воспользуйтесь чертежными инструментами. К заданию 4. (к п. 2). Обратите внимание, что во втором признаке равенства произвольных треугольников говорится о стороне и прилежащих к ней углам. Какие элементы достаточно сравнить в равнобедренном треугольнике? Вариант 2 К заданию 1. К заданию 3. Необходимо подчеркнуть шесть утверждений. Какого вида треугольники преобладают на рисунке? Для ответа на вопрос воспользуйтесь чертежными инструментами. К заданию 4. (к п. 2). Обратите внимание, что в третьем признаке равенства произвольных треугольников говорится о трех сторонах. Какие элементы достаточно сравнить в равнобедренном треугольнике? 11. Построение треугольника по трем элементам Варианты 1 и 2. К заданию 5. Воспользуйтесь способом построения треугольника по трем сторонам. 12. Проверь себя (итоговая работа) Варианты 1 и 2. К заданию 1. Необходимо заменить только одно слово, чтобы утверждение стало верным. (О о d о с 74 Приложение Соответствие видов заданий формируемым УУД Виды УУД Познавательные: общеучебные сл Содержание УУД Виды заданий Номер темы и задания в теме поиск и выделение необходимой информации Среди данных утверждений найдите верное/ неверное утверждение 6.1, 10.1 структурирование имеющихся фактов, предметных знаний Среди данных утверждений найдите неверные утверждения, исправьте их так, чтобы они стали верными 1.1,2.1,3.1. Сравните два утверждения, установите, какое из них верное (ошибочное) 4.1 осознанное и произвольное построение речевого высказывания в письменной форме Закончите предложение. Заполните пропуски в предложениях 5.1, 7.1, 7.2, 8.1, 8.2, 9.6, 11.1 выбор рациональных способов решения задач в зависимости от конкретных условий Укажите способ разрешения практической проблемы 1.5, 2.5, 3.6, 4.5, 6.5, 6.6, 7.5, 8.6, 9.5, 10.5 рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности Верно ли данное решение? Если нет — исправьте ошибки 2.1, 2.2, 3.2, 6.2, 8.3, 9.2 самостоятельное создание алгоритмов деятельности Сформулируйте правило 1.4 Составьте памятку 6.4, 11.4 Укажите способ разрешения практической проблемы 1.5, 2.5, 3.6, 4.5, 6.5, 6.6, 7.5, 8.6, 9.5, 10.5, 11.5 Составьте задачу по чертежу 3.5 эинэжоиис^и Приложение Ч"-' - О) Виды УУД Содержание УУД Виды заданий Номер темы и задания в теме анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных) Совершите требуемые действия по преобразованию объектов. Сделайте выводы 5.2, 5.3, 6.3 синтез — составление целого из частей, в том числе и самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов Изобразите требуемую комбинацию фигур, восстановите утраченную часть фигуры I. 3, 2.3, 3.3, 8.5, II. 3 выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов Озаглавьте группы объектов 2.2 Заполните таблицу согласно заданию 9.4 Опишите чертеж, заполнив пропуски 2.6 Установите соответствие 1.6 подведение под понятие, выведение следствий Укажите лишний объект 3.3, 4.3, 10.3 Подпишите названия частей фигуры 7.3 Какие фигуры не существуют? 9.3 установление причинно-следственных связей Завершите работу по составлению памятки 10.4, 11.2 построение логической цепи рассуждений; доказательство Заполните пропуски в предложениях. Продолжите рассуждения (доказательство) 10.2 Выделите условие и заключение теоремы. Обоснуйте шаги доказательства 8.4 Найдите ошибку в доказательстве 5.5 выдвижение гипотез и их обоснование Верно ли данное решение? Обоснуйте 2.4, 3.4, 4.2, 4.4, 5.4, 6.6, 10.2, 11.3 Познавательные логические Виды УУД Содержание УУД Виды заданий Номер темы и задания в теме Познавательные: исследовательские УД постановка проблемы, создание проблемной ситуации, обеспечивающей возникновение вопроса, аргументирование актуальности проблемы Укажите способ разрешения практической проблемы 1.5, 2.5, 3.6, 4.5, 6.5, 6.6, 7.5, 8.6, 9.5, 10.5, 11.5 Регулятивные планирование, составление плана и последовательности действий Оцените и скорректируйте заданный план действий. Составьте свой план по образцу 5.6, 7.4 коррекция Верно ли? Если нет — исправьте ошибки 1.2, 2.2, 3.2,10.2 Оцените и скорректируйте заданный план действий 7.4 Личностные самоопределение; смыслообразование Укажите способ разрешения практической проблемы 1.5, 2.5, 3.6, 4.5, 6.5, 6.6, 7.5, 8.6, 9.5, 10.5, 11.5 эинэжоиис1и кич&сжч sesKffifc’^^ >■•■*»'*:;:;= Учебное издание Глазков Юрий Александрович Ёгупова Марина Викторовна Универсальные учебные действия РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ГЕОМЕТРИИ К учебнику Л. с. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» 7 класс Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС Ки.ПЩ01.Н00199 от 19.05.2016 г. Главный редактор Л. Д. Л anno Редактор И. М. Бокова Технический редактор 77. В. Павлова Корректоры О. Ю. Казанаева, Т. И. Шитикова Дизайн обложки О. А. Хрусталева Компьютерная верстка М В. Горькова 107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 8(495)641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брощюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», 170546, Тверская область, Промыщленная зона Боровлево-1, комплекс № ЗА, www.pareto-print.ru. По вопросам реализации обращаться по тел.: 8(495)641-00-30 (многоканальный).