Учебник Алгебра 8 класс Муравин Муравин Муравина

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Алгебра 8 класс Муравин Муравин Муравина - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
г. к. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина АЛГЕБРА г. к. Муравин, К. С Муравин, О. В. Муравина АЛГЕБРА класс Учебник для общеобразовательных учреждений Рекомендовано Миниаеравом образования и науки Российской Федерации 15-е издание, стереотипное Москва D р О ф а 2013 УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М91 Муравин, Г. К. М91 Алгебра. 8 кл. : учеб, для общеобразоват. учреждений / Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. — 15-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2013. — 254, [2] с. : ил. ISBN 978-5-358-11837-9 Учебник является частью комплекса по алгебре для 7—9 классов. Дифференцированная по уровню сложности система упражнений позволяет работать с разным составом класса. Теоретический материал разбит на обязательный и дополнительный, четко сформулированы алгоритмы решения стандартных задач. Дополнительные материалы, включающие практикум по решению задач, исследовательские работы, домашние контрольные работы, а также контрольные вопросы и задания, помогут организовать разнообразную деятельность учащихся на уроке и дома. Учебник (13-е издание) имеет новое художественное оформление. Учебник рекомендован Министерством образования и науки Российской Федерации, включен в Федеральный перечень учебников. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 ISBN 978-5-358-11837-9 ООО «Дрофа», 1999 ООО «Дрофа», 2011, с изменениями ОГЛАВЛЕНИЕ От авторов................................... 5 Глава 1. Рациональные выражения § 1. Формулы сокращенного умножения................. 7 1. Формулы куба двучлена........................ 7 2. Формулы суммы и разности кубов........ 14 §2. Дробные выражения ............................. 19 3. Допустимые значения. Сокращение дробей ... 19 4. Умножение, деление и возведение дробей в степень................................... 25 5. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями............................... 31 6. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями............................... 35 7. Упрощение рациональных выражений............ 44 8. Дробные уравнения с одной переменной ....... 48 Глава 2. Степень с целым показателем § 3. Функция I/= J................................. 53 9. Прямая и обратная пропорциональность величин..................................... 53 10. Функция У = ^ и ее график.................. 61 § 4. Степени с целыми показателями и их свойства ... 67 11. Определение степени с целым отрицательным показателем................................. 67 12. Свойства степеней с целыми показателями ... 70 13. Стандартный вид числа...................... 74 Глава 3. Квадратные корни § 5. Действительные числа..................... 79 14. Рациональные и иррациональные числа .. 79 15. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби............. 83 §6. Квадратные корни................................. 89 16. Функция г/= и ее график............... 89 17. Понятие квадратного корня.................... 93 18. Свойства арифметических квадратных корней 99 19. Внесение и вынесение множителя из-под знака корня............................. 105 20. Действия с квадратными корнями ........ 108 Глава 4. Квадратные уравнения § 7. Формулы корней квадратного уравнения .......... 116 21. Выделение полного квадрата............. 116 22. Решение квадратного уравнения в общем виде 121 23. Теорема Виета.......................... 126 24. Частные случаи квадратных уравнений.... 133 25. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям 138 § 8. Системы двух уравнений с двумя переменными . . . 149 26. Решение систем уравнений способом подстановки ............................ 149 27. Решение задач с помощью систем уравнений . . 155 Глава 5. Вероятность 28. Вычисление вероятностей................ 160 29. Вероятности вокруг нас................. 166 Глава 6. Повторение 30. Числа и числовые выражения............. 172 31. Рациональные выражения................. 174 32. Квадратные корни ...................... 178 33. Квадратные уравнения................... 185 Практикум по решению задач.......................... 194 Исследовательские работы....................... 202 Проверь себя! Домашние контрольные работы...... 206 Ответы......................................... 210 Советы и решения .............................. 223 Справочные материалы................................ 249 Предметный указатель................................ 254 л V > -N / Уважаемые восьмиклассники! В этом году вы продолжаете изучать школьный курс алгебры. Как и в прошлом году, авторы учебника постарались помочь вам как в изучении нового материала, так и в повторении изученного ранее. Знать математику — это значит уметь решать задачи. Задач в учебнике много, и они разной степени трудности. В решении задач, номера которых не имеют обозначений, вы не должны испытать затруднений. Значком «о» отмечены задания, в которых путь к ответу, как правило, связан с небольшими техническими сложностями. Задачи, над которыми следует подумать, имеют обозначение «• ». Символом «'’*» обозначены самые трудные задачи. Если у вас есть компьютер или микрокалькулятор, то вы сможете выполнить специальные вычислительные задания, отмеченные значком «■». Вместе с основным материалом, изучение которого обязательно, в учебнике помещен и дополнительный материал, знакомство с которым желательно. Начало дополнительного материала обозначается значком « ▼ », а конец — « Л ». В разделах «Ответы», «Советы и решения» вы найдете ответы к большинству заданий, а к некоторым из них — советы и решения. ; — %r: ^ :=^rv П/ Каждый пункт учебника завершается контрольными вопросами и заданиями, а к каждой главе предлагается домашняя контрольная работа. Если вы можете ответить на все контрольные вопросы, справляетесь со всеми контрольными заданиями и выполнили домашнюю контрольную работу, — вы заслуживаете зачета по теме! Желаем вам успехов! Авторы А Глава 1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ о § 1. Формулы сокращенного умножения 1. Формулы куба двучлена в курсе алгебры 7 класса много внимания уделялось преобразованию произведения многочленов в многочлен стандартного вида. При таком преобразовании каждый из членов первого многочлена умножается на каждый из членов второго (обычно, чтобы не потерять слагаемые, сначала первый член первого многочлена умножают на все члены второго многочлена, затем второй член первого многочлена умножают на все члены второго многочлена и т. д.), после чего приводят подобные слагаемые. Пример 1. Привести к многочлену стандартного вида (а2 -f- 2аЬ - 62 + Ь^)(аЬ - 3). Решение. (о2 -1- 2аЬ - 62 + ь^)(аЬ - 3) = = а^Ь - За2 -I- 2а2б2 - баб - аЬ^ + 362 + _ 3^,3. После раскрытия скобок у нас сразу получился многочлен стандартного вида, так как в нем не оказалось подобных членов. Каждый член этого многочлена является произведением одного из членов первого множителя на один из членов второго множителя. Число слагаемых при этом можно найти по правилу произведения, известному вам из 7 класса. Первый множитель содержит 4 члена, значит, выбрать один из них можно четырьмя способами. Для каждого из них есть по 2 варианта выбора второго множителя. Таким образом, после раскрытия скобок получается 4*2 = 8 слагаемых. К умножению многочлена на многочлен можно свести и возведение многочлена в степень. Возведение двучлена в -"'Ч ‘ О , fi. —, 3 s \ —. / квадрат в 7 классе дало нам две формулы сокращенного умножения: квадрат суммы (а + Ь)^ = + 2аЬ и квадрат разности (а - Ь)^ = а^+Ь^ - 2аЬ. Чтобы получить формулу куба двучлена, его можно представить как произведение двучлена на его квадрат: (а + 6)3 = (а + Ь)(а + 6)2 = (а + 6)(а2 -f 2аЬ + 62) = = аЗ -ь 2а2б -I- аЬ^ + а^Ь -i- 2аЬ^ + = а^ + За^Ь + ЗаЪ^ + 63. К формуле куба разности приходим, заменив в формуле куба суммы 6 на -6: (а -Н (-6))3 = а За2(-6) -I- За(-6)2 + (-б)З = = аЗ - За2б 4- Заб2 - 63. Мы получили еще две формулы сокращенного умножения. Куб суммы Куб разности (а -I- Ь)3 = аЗ -I- За^Ь + ЗаЬ^ -I- ЬЗ (а — 6)3 = аЗ — За^Ь -f- ЗаЬ^ — Таким же путем, рассматривая четвертую степень двучлена как произведение двучлена и его куба: (а -I- 6)^ = (а -Ь 6)(а -i- 6)3, можно преобразовать ее в многочлен стандартного вида. ▼ Существует другой подход к решению этой задачи. Пример 2. Привести к многочлену стандартного вида выражение (а -I- 6)'*. Решение. Представим четвертую степень двучлена как произведение двучленов: (а + 6)‘‘ = (а + 6)(а -Ь 6)(а + Ъ){а + 6). После раскрытия скобок (до приведения подобных слагаемых) должен получиться многочлен, каждый из членов которого является произведением четырех множителей, выбираемых по одному из каждой скобки. При этом может получиться 5 различных одночленов: а^, а^Ъ, а^Ъ^, аЬ^ и 6^. Если во всех скобках выбрать первый член, то получится а^, если же первый член выбрать только в третьей скобке, а в остальных трех скобках — второй, то ползгчится аЬ^. Такие же одночлены получатся, если выбрать а только в первой, только во вто- /Ь' ^rrjf 'Lj f 11 'in рой ИЛИ только в четвертой скобке. Значит, после раскрытия скобок образуется четыре одинаковых одночлена аЬ^. После приведения подобных слагаемых они образуют член 4а6^. Коэффициент этого члена равен числу способов выбора одной скобки (в которой выбирается а) из четырех. Аналогично коэффициент одночлена с буквенной частью окажется равным числу способов выбора двух скобок из четырех!. Порядок выбора скобок роли не играет, важно лишь, из скольких скобок в одночлен идет множитель а. Таким образом, речь идет о сочетаниях. Как мы уже говорили, одночлен получается при выборе всех четырех скобок из четырех, одночлен аЬ^ — при выборе одной скобки из четырех и т. д. Член Ь* получится, если ни в одной из скобок не брать а. После приведения подобных слагаемых каждый коэффициент многочлена стандартного вида окажется равным числу соот-ветствуюш;их сочетаний из четырех элементов: (а -Ь bY = С|а4 -4- С\аЧ -I- С\аЧ^ + С\аЬ^ -Ь С\Ь^. Формула числа сочетаний из п элементов по т была выведена в 7 классе. С Спг п п1 т\(п — т)1 3 По этой формуле: С| = = 1; ^ = |^ = 4; 41 4 • 3 • 2 С2 = . 4 2!-(4-2)! 2-2 = 6. Заметим, что С" = так как при замене т на п - т в формуле числа сочетаний меняется только порядок сомно- я п! жителей в знаменателе дроби тЦп - m)V Значит, С! = С|-! = С| = 4 и С» = = q = 1. ! В 7 классе вы познакомились с двумя видами составляемых из выбранных элементов комбинаций. Те из них, которые определялись не только составом элементов, но и порядком их расположения, получили название размещений, а комбинации, при составлении которых порядок следования элементов не важен, были названы сочетаниями. Окончательно имеем: (а + Ь)* = + 4а^Ь + ба^б^ + 4а^з + ^4 Г (а + Ь)^^ = С^а" + С" - »а'‘ - ^Ы- С™ - 2 + ... ... + С2а2Ь" - 2 + Ciab" -1 + COfe" Это равенство называют формулой бинома^ Ньютона2, а коэффициенты в правой ее части называют биномиальными. Пример 3. Используя формулу бинома Ньютона, определить, какой коэффициент будет иметь член многочлена (л: -I- 2)^®, содержащий седьмую степень переменной х. Решение. Подставим в формулу бинома Ньютона х вместо а, 2 вместо 6 и 10 вместо п. Нас интересует член многочлена стандартного вида, содержащий х^. Поскольку х?= д,10-з^ имеем: CIO - 3 Д.10 - 3.23 = СТпх7.8 = х7 == х7 = 40 7!-(10-7)! 7! • 3! = х^ = 10• 3 • 4 • 8x7 = 960x7. О * А Ответ: 960. Л Упражнения 1. Сколько слагаемых получится после раскрытия скобок, если не приводить подобные члены: 1) (ас + 2а^с - Zac^)(a - 2с); 2) (а%^ - 4аЬ -I- аЬ^)(аЬ -+- а^Ь - аЬ^); 3) (аЬс + ЗЬс - а2)2; 4) (3dW + 2ca2d)3? * Вином — двучлен. 2 Исаак Ньютон (1643—1727) — великий английский физик и математик. За многочисленные изобретения и открытия Ньютону была присвоена степень магистра. В дальнейшем он был избран членом Лондонского королевского общества. А г П” 2Г 3." 4. 6. 7. Найдите член, не содержащий х, и член, содержащий х в наибольшей степени, после приведения выражения к многочлену стандартного вида: 1) (д:® + х^ + х + 5)(х^ - X + 2); 2) (2х-3)3(х2+ 1)4; 3) (1 -х2-х4)2003. __^4^2004» 5) (х + 1)(х + 2)(х + 3)...(х + 100); 6) (х - 1)(х - 2)(х - 3)...(х - п). Не преобразовывая в многочлен стандартного вида выражение (3x4 + 5д;3 _ 0Д.2 -2х + 8)(2х2 - 7x2 _ Зх - 3), назовите его член, содержащий х в наибольшей степени, и член, не содержащий х. 1) Приведите к многочлену стандартного вида выражение: а) (х -Ь у)2; б) (х - у)2. 2) Прочитайте полученные формулы. 3) Чем эти формулы отличаются друг от друга? 4) Какие еще формулы сокращенного умножения вы знаете? Приведите к многочлену стандартного вида выражение: 1) (1 + 5)3; 4) (с - 4d)3; 7) (1а + аб)'; 2) (а - 2)3; 5) (а + 0,36с)3; 8) (X Х2 '^З . I2 3 J ’ 3) (За + 6)3; 6)(х2-0,1«/)3; 9)(0,5х2-0,2х3)3. Докажите тождество: 1)(-а-&)3 = -(а + Ь)3; 2) (а - Ь)3 = -(Ь - а)3. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество: 1) (о -1- ...)2 = а® -Ь За2х + 2) (... - 6)3 = ... - Зс2& -f ... - 63; 3) (... -1- 2fl)3 = 64 + ... -ь ... -1-...; 4) (аЗ - ...)3 = -ь За3с2 - ...; 5) (2x3-f ...)3 = ... -t- 12x8+ ... + .... 6) (... - 562)3 = ... - 15а2б8 + ... - ...; 7)* (... + ...)3 = ... + 12х^у + 48x1/2 ^ 8)* (... - ...)3 = ... - 144а4бЗ + 108а2б® + 'О; 8. Докажите тождество: 1) (2a + 6)3 - (a - 6)2(8a + 6) = 27a4; 2) (a - 26)3 _ (a + ^,)2(д _ щ = 27абЗ; 3) (5x + г/)3 - у(5д: — у)^~ 25х(х + у)^ = ЮОдсЗ; 4) 5(x - у)3 4- 5у{х + yY - х(х - 5yY = 4д:3. эР Решите уравнение: 1) (У + 1)^- |(2j/ + 3)2 = 7; 2) (8x-3)2x-(4x- 1)3 = 7; 3) (2дг-|)’-л:(2д:-1)“-0; 4) (4s-3)3-j,(8!/-9)2-0; 5) • хз + Зд:2 + Зх + 1 = 0; 6) • 8г/3 - 36у2 + 54у - 27 = 0. 10* 1) Если из куба некоторого нечетного числа вычесть произведение трех последовательных нечетных чисел, среднее из которых равно данному числу, то получится 28. Найдите эти числа. 2) Если к произведению трех последовательных четных чисел прибавить их удвоенную сумму и вычесть куб среднего из них, то получится 20. Найдите эти числа. 1 lP 1) Преобразуйте квадрат трехчлена (а -I- 6 -Ь с)2 в многочлен стандартного вида. 2) Какие изменения нужно внести, чтобы получилось разложение квадрата трехчлена (а -Ь 6 - с)2? 3) Используя полученную формулу, преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) (2x + 3i/-l)2; б)(х-4у-7)2. 12? Представьте в виде степени двучлена: 1) |a2-f 4а6-ь 962; 2) 0,25с4 - 0,2с2^з + 0,04d<5; 3) сЗ + ЗсЧ + 3crf2 + dH 4) 8п^т^ - 12n2m'* + бпт^ - m®; 5) * а"* -f 4аЗ + 6о2 -Ь 4а -Ь 1; б) • с^* - 8сЗ -ь 24с2 - 32с -ь 16. Ш f */ л * --/I -7 J i 1 13j^ Найдите сумму коэффициентов многочлена стандартного вида, к которому приводится выражение: 14^ 1) (х-ьу)11; 2) (X - 2l/)37; Вычислите: 1) 592; 2) 622 3) 313 4) 393 3) (2х + Зу)20; 4) (Зх - 2г/)20. 5) 2562-442; 6) 43-57; 1812-712 . ^ 3122- 2022’ 8) 203-197-201-199. 15^ Известно, что х + у = 5, ху = 3. Найдите: 1) Х^у -I- Х1/2; 5) хЗ + Зх^у + 3X1/2 ^^3. 2) х2 -f 1/2; 0) 4хЗу + 4x1/3; 3) хЗу® 4- Х®уЗ; 7) Jf4 4- 4д;3у 0x2^2 ^ 4хуЗ ц. J^4. 4) хЗ 4-1/ 3. 8) хЗ 4-1/3. 16.' 1) Найдите третий член разложения бинома Ньютона: а) (с 4- d)3; в) (с 4- d)^; б) (с - d)‘^; г) (2с - Зс?)3. 2) Найдите коэффициент члена, содержащего d^. 17? По формуле (а 4- Ь)" = С"а" 4-С^“^а'*~^&4- 4- С" -2а" -252 + ... + С2а2&"-2 4- С^аЬ" ~ ^ + С^Ь'’ представьте в виде многочлена стандартного вида: 1) (c4-d)6; 3)(2А-Зп)3; 2) (Ь + 2с)3; 4) (т 4- пУ. 18?^ Преобразуйте в многочлен стандартного вида: 1) (х-2)б; 3)(3 + у)7; 5) (х + 2)3-ь (х - 2)3; 2) (X-4 2)6; 4)(3-уУ; 6) (3 + уУ - (3 - уУ. 19?' Докажите равенство: 1) С» 4- q 4- С§ 4- С| 4- СЗ 4- С| = 25; 2) СО _ С1 4- С2 - СЗ 4- ... + (-1)*С* + ... -4 (-1)"-1СГ ^ + 4- (-1)"C;| = о. 20? Не приводя к многочлену стандартного вида бином (х - 3)*2, найдите: 1) член этого многочлена: а) содержащий х®; б) содержащий х^О; в) не содержащий х (т. е. свободный член); 2) сумму коэффициентов многочлена стандартного вида, к которому приводится данное выражение. 21. Найдите шестой член разложения (у^ + х^)", если коэффициент третьего члена равен 45. 22V' Докажите, что т^ + = Зтпр, если т + п + р = 0. 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Докажите, что — Зх^у + Зху^ - у^ = (х - у)®. Представьте в виде многочлена стандартного вида: 1) (2а-3)3; 2)(л:-ьЗ)^ Вычислите: 1) 413; 2)583. 2. Формулы суммы и разности кубов Формулу куба суммы (а -I- 6)3 = а^ + За^Ь + ЗаЬ^ + Ь^, с которой вы познакомились в предыдущем пункте, часто бывает удобно записывать иначе. (а + Ь)3 = аЗ 4- ЬЗ + ЗаЬ(а + Ь) Куб суммы двух выражений равен сумме их кубов и утроенного произведения этих выражений на их сумму. Во-первых, в таком виде ее удобнее читать. Во-вторых, выражение, стоящее в левой части формулы, и последнее слагаемое ее правой части имеют общий множитель а + Ь, что наводит на мысль попробовать сгруппировать эти выражения в одной части и вынести общий множитель за скобки: аЗ + = (а + й)3 _ ЗаЬ(а 6) = (а + 6)((а + bf - ЗаЬ) = = (а + 6)(аЗ -ь + 2аЬ - ЗаЬ) = (а + Ь)(а^ - аЬ + Ь^). Выражению, стоящему в последней скобке, не хватает коэффициента 2 у одночлена аЬ, чтобы стать равным квадрату разности, поэтому трехчлен - аЬ + называют неполным квадратом разности. # ф' \ Выполненное преобразование привело нас к еще одной формуле сокращенного умножения — формуле суммы кубов. а^ + Ъ^ = (а + Ь)(а^ — аЬ + Ъ^) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Для получения формулы разности кубов заменим Ь на -Ъ. — Ь^ = {а — Ь)(а^ + аЬ + Ь^) Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. Формулы сокращенного умножения применяют для решения двух основных задач: приведения выражения к многочлену стандартного вида и разложения многочлена на множители. Пример 1. Разложить на множители выражение (Зл:-Ь 2i/)3 - 1251/3. бов: Решение. Данное выражение является разностью ку- (Зх + 2i/)3 - (5i/)3 = (Зх + 2у- 5у)((3х + 2у)^ + 5г/(3х + 2у) + + 25г/2) = (Зх - 3i/)(9x2 + 12ху + 4у^ + 15ху + 10у^ + 25у^) = = 3(х - у)(9х2 + 27ху -ь 39у2) = 9(де - у)(3х^ + 9ху + 13у^). При разложении на множители могут также использоваться вынесение общего множителя за скобки и группировка. Пример 2. Разложить на множители выражение 8уЗ-26г/2- 13z/-hl. Решение. Сгруппируем первый с четвертым и второй с третьим члены данного многочлена: 8j/3 - 26i/2 - 13j/ -t- 1 = (8t/3 + 1) - (26y2 + I3y) = = (2y + 1)(V - 2y + 1) - 13y{2y + 1) = (2y + l)(4y2 - I5y + 1). 'Ф; 'iLj"+r1 *• Упражнения 23. Преобразуйте формулу куба разности, группируя члены в ее правой части и вынося общий множитель за скобки. Предложите вариант чтения формулы куба разности. 24. Выведите формулу разности кубов, преобразуя формулу куба разности. 25. Разложите на множители выражение: 1)л:3 + 27; 4)с^+125Ь^; 7)8а^-Ь^; 2) 8-i/3; 3) 1 + 0,064аЗ; 5) 1000 + Ь^сЗ; 8) 3 сЗ - О 6) 1 - a®c3; 9)0,001p6-^zi2. 26. 1) Представьте в виде многочлена стандартного вида: а) (х + 3)(х^ -Зх + 9); г) (6 - о)(36 -ь 6а -ь а2); б) (6-5)(Ь2 + 56 + 25); д) -с) +|c + c2j; в) (а - 2)(а2 - 4а + 4); е) (а2 - 2Ь)(а* + 2аЧ -f- 4Ь2); ж) (2с + Зр)(4с2 - 12ср -I- 9р2); з) (0,3л: + 41/)(0,09л:2 - \,2ху^ + 16i/'‘); и) ^5d3 + I с"* j ^25d® - ^ -I- ^ с® j; к) (0,2а2& - 0,5fe3)(0,04a'‘fe2 + 0,1а2&4 + 0,25Ь®). 2) Какие формулы сокращенного умножения вы использовали? 27. Разложите на множители: 1) а® 4- fe3 _ аЬ(а + Ь); 2) 6® - с® 4- Ьс(Ь - с); 3) л:® - р® - Зху(х - у); 4) 6® - 8-ь &2(Ь _ 2); 5) с®4-27-с2(с4-3); 6) * а2 - 9 - 2(а® 4-27); 7) * 56(62 _ 4) + 2(6® - 8); 8) а® - 6®; 9) л:®-1/12. 10) с1®-б21. 28.^ Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество: 1) ... -н ... = (... -h ...)(25а2 - 15а6 -ь 962); 2) - ...)(49с2 4- 14сх 4- 4x2); 3) ... 4- 125рЗ = (... 4- ...)(... - ЗОху 4- ...); 4) 1000га® -... = (...- ...)(... 4- ... 4- 9р2); § ш/ \ Л -^/ J "1|-Г Zj ' 11 £?г э' 5) ... - ... = (2с - ...)(... + 0,4сс(2 + ...); 6) ... + ... = (... + 0,7Л)(... - 0,21п^т^ + ...). 29Р Вычислите наиболее простым способом: 5Q3 _ 413 1) + 59-41; 2)( 18 973 + 833 180 -97-8з) : (352- 282); 3) (36,52-27,52): _57.33j; 4) 773-693 773+ 413 702 - 622 1252-49 2 ■ ЗОР 1) Докажите, что: а) 412 + 193 делится на 60; б) 792 - 292 делится на 50; в) " 662 + 34З делится на 400; г) ‘л' 54З _ 243 делится на 1080. 2) Составьте аналогичное задание. 31 Докажите, что: 1) 12 + 22 + 32 + ... + 92 не делится на 10; 2) 12 + 22 + 32 + ... + 992 делится на 100. 32.* Разложите на множители: 1) (у-2)2-27; 2) (а + 1)2 + 0,08; 3) 1000 + (Ь- 8)2; 4) 0,027-(а-6)2; 5) (х- 1)2-64; 6) 1 - (у + 2)6; 7) 3x4 _ 24x1/2; 8) 2Ьа^ + 54а&2; 9) 8Z/2 ~(у + 3)2; 10) а2-(2а-3)2; 11) (х+ 1)2 + (х- 1)2; 12) (г-2)2 + (2+ 1)2. 33. Решите уравнение: 1) (х- 1)2-(х+ 1)2 = -8; 2) (X + 2)2 - (X - 2)2 = 64; 3) (X - 2)2 - (X + 1)2 + (Зх + 2)2 = 2; 4) (х + 2)2 - (х - 1)2 - (Зх - 1)2 = 23. 34.~ Верно ли утверждение: 1) сумма кубов двух натуральных чисел, не равных одновременно единице, является составным числом; 2) разность кубов двух натуральных чисел, из которых первое больше, чем второе, является составным числом? 35. Докажите тождество: 1) (*Х)3 -Ь {kyf = k\x -Ь у){Х^ -Ху + 1/2). [ъ Г " (л Г = Р 3) л:® - (л: -1- 5г/)(л:2 - Ъу{\ - Ъу)) = -125у2; 4) (а - 36)3 _ (2а - 36)(3а6 -Н (а - 36)2) = _дЗ. 5) (2с - df + (2d - с)3 = 3(с - d)(3c2 + 1 led + 3d2); 6) (4а - 6)3 -н (46 - а)3 = 9(а -I- 6)(7а2 - 11а6 -1- 762). 36. Упростите выражение и найдите его значение: 1) 8аЗ + 12а2б + 6аб2 + 63 при а = 3,5, 6 = -5; 2) 27сЗ - 54c2d + 36cd2 - 8d3 при с = 1 i , d = 0,5; О 3) (а + 36)(а2 - Заб -Ь 962) при а = 2, 6 = ; О 4) (4с - 3d)(16c2 -h 12cd -i- 9d2) при с = -0,25, d = 2,15. 37* 1) Натуральное число при делении на 8 дает в остатке 7. Докажите, что куб этого числа при делении на 8 тоже дает в остатке 7. 2) Некоторое натуральное число при делении на 7 дает в остатке 2, а другое число при делении на 7 дает в остатке 3. Докажите, что сумма кубов этих чисел делится на 7. 3) Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел кратна 3. 38Г Найдите а® + Za^b^ -Ь 6®, если = \. 39i‘ Найдите все натуральные значения п, для которых число п® -Н п -f- 1 является простым. И Контрольные вопросы и задания 1. Выведите формулу для разложения на множители суммы кубов двух выражений. 2. Разложите на множители выражение: 1)27д:3-ЮООуЗ; 2) аЗ1-t-За(а1). 3. Докажите, что бЗЗ -I- 3?з делится на 100. ■#/ * 7-^i Ю § 2. Дробные выражения 3. Допустимые значения. Сокращение дробей Одночлены, многочлены, их произведения и степени, т. е. выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, умножения и возведения в степень, имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных. Такие выражения называют целыми. Наличие деления на выражение с переменной — особенность дробного выражения, например: 1 а 2х (х-5):х^, у- — . За + Ь Ь+5 И+У)^ ЮОу Подобно тому как целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел, целые и дробные выражения имеют общее название — рациональные выражения. Понятно, что на значения переменных в дробных выражениях накладывается ограничение: знаменатель не может об- гг. За -Ь Ь ращаться в нуль. Так, выражение теряет смысл при ъ + ъ Ъ = -5, а все другие значения Ъ являются допустимыми. Множество допустимых значений переменных может измениться при сокращении дроби — делении ее числителя и знаменателя на их общий множитель. Пример 1. Сократить дробь 24а^х^ 42а^х^ Решение. Общий множитель числителя и знаменателя этой дроби равен ба^х^. 24аЗд;3 6а^х^’4х 4х Та^' Имеем: 42а^х^ 6а^х^’7а^ В исходной дроби допустимы все значения переменных а и X, кроме а = 0их = 0, а после сокращения получилась дробь, для которой нулевое значение переменной х допустимо. Сокращение дробей, как и большинство других преобразований дробных выражений, приводит к их упрощению. Так, после сокращения дроби 24аЗхЗ 42а^х^ мы получаем возможность т X"— 4x использовать дробь —т, не забывая при этом, что случай 7а^ л: = О следует исключить из рассмотрения. При сокращении дробей часто приходится раскладывать на множители их числители и знаменатели. Пример 2. Сократить дробь - 9а 27-аЗ Решение. дЗ - 9а _ а(дЗ - 9) _ а{а - 3)(д + 3) 27-дЗ (3-a)(9 + 3a + g2) (3 - g)(9 + За + дЗ) ‘ Множители (а - 3) и (3 - а) отличаются друг от друга только знаком а - 3 = -(3 - а), поэтому, сокращая дробь на 3 - а, получим: а(а - 3)(а + 3) ^ а(-1)(а + 3) _ -а(а + 3) (3 — д)(9 + За + дЗ) 9 -I- За + дЗ 9 -ь За + дЗ Ответ: 9 -t- За -ь дЗ Замечание. Исходная дробь не имеет смысла при а = 3, а сокращенная дробь при этом значении а равна -- . Поэтому иног- О да рядом с сокращенной дробью дополнительно указывают, какие значения могут (или не могут) принимать переменные. Ответ к за- данию примера 2 можно записать так: —Д(Д + 3) ^ а^З. 9 + За + дЗ Упражнения 40. 1) Какие выражения вы бы назвали целыми, дробными. рациональными: а) у^ + 2у + 3; б)?+ 3 а а + 3' в) (fe2 + 3):Ь; г) Д) е) хЗ - 9 х + 3 ’ 7 , лгз хз ^ 2 сЗ-49’ 5х . rf3 + 16’ з) - и) За -ь 2Ь а(Ь -Н 6)(с - 1) ’ хЗ + 2х-Зо Г--- 2) Для каждого выражения укажите допустимые значения переменных. 41. При каких значениях переменной не имеет смысла дробь: Ь2 + 5 1) 2) 3) 2л:-6 дг-1-5 ’ Зу + 5. 4) Ь{Ь-6)' 7) 2л: л;2-1б’ 41/-8’ д2 - 1 а(а + 1) ’ 5) 6) Ь(Ь+4) . Ь^-2Ь ’ 2-8 8) Зу (2-1)(2 + 2)’ 9) у2 + 16 ’ /12 а® - 4а 42. Укажите две пары значений переменных, при которых не имеет смысла дробь: 1) ® • ’ 2х-у’ 3) о\ ^ . с + 5d’ 4) а + Ь а(6-7)’ Р-Ч {p + 2){q-l) 43. Найдите значение дроби: За - 2Ь 1) 2а + 36 при а = 0,6, Ь = -0,24; 04 5л: + 2 у л л л 0,96. 44.^ Составьте формулу для решения задачи. 1) Длина эскалатора метрополитена Z м. За сколько секунд (f) пассажир, ступивший на эскалатор, будет поднят в вестибюль станции, если скорость эскалатора V м/с? Вычислите t при I = 120, и = 0,8. 2) За сколько секунд (t) пассажир, идущий по эскалатору длиной I м, будет поднят в вестибюль станции, если скорость эскалатора v м/с, а скорость пассажира относительно эскалатора равна и м/с? Вычислите t при I = 120, и = 0,8, и = 0,4. 3) ^ Расстояние между Одессой и Батуми равно d км. Два танкера вышли одновременно навстречу друг другу из этих портов. Танкер, вышедший из Батуми, пришел в Одесский порт через f ч, а танкер, вышедший из Одессы, пришел в Батуми через Т ч. На каком расстоянии (s км) от Одессы были танкеры в момент встречи? Вычислите s при d = 1000, t = 28, Т = 32. О ЗГ— 4)* Из Владивостока в Александровск-Сахалинский со скоростью и км/ч вышел теплоход. Через t ч вслед за ним вышел дизель-электроход, скорость которого была и км/ч. Через сколько часов (Т) дизель-электроход догонит теплоход? Вычислите Т при v = 30, и = 36, t = 6. Зная, что расстояние от Владивостока до Александ-ровска равно 3600 км, определите, догонит ли дизель-электроход теплоход до прибытия в Александровский порт. 45. Сократите дробь, выделив общий множитель числителя 108аЗ{>4сТ и знаменателя: 1 ч am ап ’ „ч 4Ъа^Ь* . 54а®5^’ 5) 2)^; d^c .. 26а2&б 65а®5®’ 6) 90ас®Ь® 315x6j/20 46. Сократите дробь, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: 27а^Ь‘* - 1) 2) 3) 4) Ъ\а*Ь^ -21аЧ^' \бх^у^ - 24ху* . сч (х-4у)2 , -.9 1 ^-,2 ’ Х^ - 16l/2 24х®г/2 _ Z&x^y^ ’ (а-Ь)^ 6) 9 - 6а -ь - 9 Ь^-а^ ’ 2а + 6с 7)' ,0 8с^ + 12c^d + 6cd^ -f- d® 4c^ + 4cd -(- d^ - 9c^’ 8)' ,0 27d3 - 27d2fc + 9db^ - 9d^-6bd + b^ 47. Сократите дробь и укажите множество допустимых значений переменных: 1) 2) 3) 4) а^ -1- 2а + 4 5) аЗ-8 ’ д;2 -н Зх -t- 9 6) хз - 27 ’ уЗ - 4^2 _ уЗ - 8гЗ’ 7) сЗ -ь 1000*3 8) 100*3 -с2 ’ (а - с)^ ”3 — пЗ Л® - 64 (4 - л)2 ’ (Qj2-5d)^- 625 . d3 -I- 125 + 100)2- lOOm^ щз +1000 48. Впишите пропущенное выражение так, чтобы получилось тождество: 2 ... с 1) 2) Зху2 18x3i/3’ а ЪЬ^с^ 45fe®c®’ 3) 4) п — т Зу _ ’ X - 1 X® - 1 49. Найдите значение дроби, предварительно сократив ее: 15аЗ - 10af> 1) 2) 3ab-2b^ 9с^ - 4рЗ при а = -2, Ь = -0,1; 18с2р-12срЗ 3’^ 2’ „чО - 4fe2 - 5d-Ь 106 . , о п кк (d +26)2-25 при d = Ь9, 6 = 0,55; 4) О (х - 2р)2 - 49 х2 _ 4у2 + 7д- 14у при X = 3,5, у = 0,75. 50.* 1) Докажите, что если у дроби 2x2 - уЗ заменить хЗ + д;2у - Sxj/2 переменные х и у соответственно на kx и ky, где k — не равное нулю число, то получится дробь, тождественно равная первоначальной. 2) Используя свойство данной дроби, найдите ее значе-3 2 ние при Yi^y= ii 51Р Сократите дробь: х^ - су + сх - у2 х^ + су - сх - у^' + Ьх - Ь^ + ах 1) 2) 3) 4) ф g2(t> — с) - б2(а — с), а(6 - с)2 - Ь(а - с)2 ’ а6 -I- х2 + ах - 62 ’ i Х(р + 1)2 - у{х + 1)2 , х2(1/ + 1) - у"^(х -I- 1) ’ 5) щ (а + 1)2 + 1 _ а2 - 1 6) • (X- 1)2-1 Х2+ 1 52. Найдите значение числового выражения: 2412 3) 920 4) 359 ’ 840 5) 2121 ’ 18в 61-32’ 6) 611.224 ’ 572 + 572.225 -н 171 • 752 + 752 832 + 492 + 166.49 1572 - 982 157-98 -1- 982 + 1572' 'О. 53. Докажите тождество: ,, fe(9a-86)2 + (3a-4fc)3 , 04 (л: + у)^ - у(3х + 2i/)2 _ д; , ---------3 +У’ 3) 0 (а + &)3 - iEl±^ + ^ а Ь 4) 0 _ у)3 _ (£^££)f + = 4^у2. 549 Решите уравнение: X® - 24дг® ''3 2) = 4; 3^ (у+ 4)3-(Зу + 8)2 4) (Зу-8)2-(4-у)3 ^ 55* Составьте выражение и найдите допустимые значения переменных. 1) В равнобедренном треугольнике угол при основании относится к углу при вершине как т : п. Найдите угол при основании. 2) В равнобедренном треугольнике угол при основании относится к углу при вершине как х : 2у. Найдите угол при вершине. 56. 1) Выразите X из равенства: а) 7л: - 6 = с; в)^=3; б) Зй - 2х = а - 6; г) с - ал: = 9. 2) Какие из полученных выражений: а) целые; б) дробные? ДД Контрольные вопросы и задания 1. Запишите дробь, при сокращении которой следует указать, что а ^2. О К' »__________________________/J 2. Какие значения x не являются допустимыми для выражения X + 5 о 16 - 3. Сократите дробь —----^ . 1 - 4у^ 4. Умножение, деление и возведение дробей в степень Действия с алгебраическими дробями основываются на тех же правилах, что и действия с обыкновенными дробями. Правило умножения обыкновенных дробей Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой — произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. Л а с Ъ ’ d ас bd Это равенство верно при любых значениях а, Ь, с и d, кроме &=0исЛ=0,т.е. оно является тождеством. Рассмотрим примеры умножения рациональных дробей. ОлЗ 10^^ Пример 1 . Умножить дроби -7 5с^ За® ■ п 2а® Юс® 2аЗ-10сЗ Решение. • 5с* За® 5С* • За® За®с О h Пример 2. Умножить 15Ьу^ на —г • 5у^ Р е ш е н и е. 153.2^ = . 26 ^ ^ ^ 51/* 1 5у* Ъу* у Если перед дробью стоит знак «минус», то, пользуясь правилом умножения дробей, можно записать: а _ 1 а_-1*а_-а Ь Ь Ь Т т Дробь не изменится, если одновременно изменить знак у числителя и знаменателя, — это следует из основного свойства дроби -а _ -а • (-1) _ а Т Ь •(.-!) -Ь ■ С а _ —а _ а Ь~~Ь~^ ) Попросту говоря, знак «минус», стоящий перед дробью, можно перенести в числитель или в знаменатель. Можно также переносить «минус» из числителя в знаменатель или наоборот. А можно из числителя или знаменателя вынести «минус» и поставить его перед всей дробью. Это преобразование при действиях с дробями оказывается очень полезным. Например: с2 _ 49 _ (с - 7)(с + 7) 7-с -(с-7) -(с + 7) = -с-7. Г Правило деления обыкновенных дробей а с _ ad Ъ ' d Ьс Это равенство верно при любых значениях а, Ь, с и d, кро-ме fe = О, d = О и с = О, т. е. оно является тождеством. я « ^ 12аЗ - 18а2 Пример 3. Разделить дробь ^ ^ на дробь 5с^ 25с2 Решение. 12аЗ . 18а2 _ 12аЗ. 25с2 _ 10а 5С* ■ 25с2 5с'‘-18а2 3^2’ Пример 4. Представить частное : (~2\х^у) в виде 31/2 дроби. * t/ / < Решение. 28x‘^ 3l/2 . oi 3 Ч 28x‘‘ 21x3i/ 28л:'‘-(-1) -4x : (_21^3y) = _ : ^ = 3,3.21.3; = ^ • Пример 5. Упростить выражение 72a*b : 60аЗ&2 7сЗ Решение. бОаЗ^з 72a‘*fe бОаЗ^з 72а*Ь-7с^ 42асЗ 7сЗ 7сЗ 1 •бОаЗ^з ЪЬ Дробь можно возвести в степень, т. е. преобразовать степень дроби в дробь. Действительно, по определению степени (aY а а а UJ b‘b''"‘b‘ п множителей По правилу умножения дробей а а • а •• а а" а ^ а ь‘ Ь ь • ь • ... • ь Ь" п множителей Правило возведения обыкновенной дроби в степень (tX = — UJ Упражнения 57. 1) Представьте произведение дробей г * ^ в виде дроби. Ь а 2) Сформулируйте правило умножения дробей. 3) Представьте произведение в виде дроби и, если возможно, сократите эту дробь: ч а Ь ч За 10ft =*Т'-9-’ дч . 8 ч 14. За ">-Г -35I’ ч 7. , _ V©; г— Л' — > 3 5а2 и) к) 50а^х^ 14х^ 7у* 75а^у' 8а2 л) -0,9а^с^ • Щ ; с‘‘ 21х^ 35ах^; м)-7^ -(-4&л)2. 32пб 58. Из выражений —^ , --^, —о о —о -а ■ Ь ’ -Ь выберите те, которые: 1) тождественно равны дроби ^ ; 2) противоположны дроби ^ . 59. 1) Представьте частное 2 : £ в виде дроби. С? О 2) Сформулируйте правило деления дробей. 3) Представьте частное дробей в виде дроби и упростите: X в) : } (’ .2 а Д^з“=б’ и) 18 . > У ч 5. г>2 8^* 16’ к) 25 . &2 ’ ж) -35а^& ; 22аЗ ■ &2 ’ л) 25 Ь2 ’ з) 26ху5 : ^ 39х ) уЮ )’ м) ЗбаЗ 5&2 7^2 : (0,9а2&); - : (-0,7x1/2); : (ТахЗу); 20у 21ах2 32уЗ Збс^ 60. Воспользуйтесь правилами умножения и деления дробей для упрощения выражения: 28а2&7 -81x4 1) 2) 3) 4) 27x3 140afc6’ 54х-*у^ 22(ах)3, 77аЗ (-31/2)3 ’ б5(аЗЬ2)2 52дЗЬ2 44с® ■33(с'*)3' 69х*у , 4бхЗу^ 5) ^ 6) ^ 7)^ 88г5 ■ 552® ’ 8Г 6fe2ra2 49п‘1 5Л‘*р2 _ 35р4 fe0p3 42лб ’ 39х‘*23 _ 16i/22‘‘ 9хЗуЗ 40i/3 27х^^ б5г1 335» . 995‘* . 4fe2 _ Ша» ■ 74а2 ■ 27а0’ 521/0 _ 39уЗ . 34у2 84x10 ‘ 102x2 • 45лг9* » у --2—.* ' 5^=^" ^ 1 61, Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество: ... 10л:9 “Г ’ “2 ""------' У‘‘ 10 4) и: . Ж = 49z2 7z® За'* 2) = ■' С 1.Я 3) 40п® 10&9’ 10л:9 27k‘^ 9k’’ 5) 6) ба^ 14г>2 4 . Зай’ 24Й'* 4й 62. Упростите выражение: а -Ь 12а® 1) 2) 3) 4) 5) 4а'* й2 - ай ’ х2 - у2 18x2 27x3 У^~ ху' (а - й)2 _ 25ай ■ 30а2 ’ (х-5)2 . 25-х2. 48х2у2 36хЗу2’ хЗ + 27 . х2 - Зх -ь 9 6) 7) 8) 9) + аЬ + &2 д2 _ 4^2 6а -I- 12Й а® — й® by - 5у2 й2 - 5йу. Зйга Й4-С* 45пу -Ьс + с2 16x3 8x2 10) йЗ + сЗ й2 + с2 ’ О У® - 27z3 . у - Зг . 6у - 6z ' 72z - 72у ’ 0 75d-75n d^ + 2dn 11) 12) О 5с* d3 + 8лЗ 40“* - 9с2 5d - 5га 4с2 + 9 + 12с ■ 8сЗ + 36с2 + 54с + 27 ’ О 64d3 - 24^2 + 12d - 1 25с2 - 9 bed + 3d 16d2-8d-t- 1 ■ 63.* Представьте дробь в виде произведения двух дробей: 1) 55аЗ 64. 332® ’ 2) 120Й* — П 2 91а® 3)-^; 4) - , X !)• Запишите произведение двух каких-либо дробей, тождественно равное: а) 1; б)-1; в) а; г)бЗ. 2)Запишите произведение трех каких-либо дробей, тождественно равное: а)1; б)-0,5; в)а2, г)-&2. 65.* Предполагая, что данные дроби несократимы, замените переменные х и у одночленами так, чтобы получилось тождество: Ъа^Ь 1) —^ = Зс* 2а^Ь 2) 35а2гаЗ у _ 2ай 8й* 5га® ш 66? Представьте дробь в виде частного двух одночленов: 2) ь 5 4n^k а 2а ’ 3) п 5п ’ 5) 9р . 2re*2 ’ аЬ 4^ х^У . 6) х^у ЗЬ ’ х^у 4x2 2а 10 Зу2 67. Представьте в виде частного степеней: 68. Представьте в виде дроби: 3)(1^Ч 69* Замените переменную х таким выражением, чтобы по- 4-5 «>РрГ- 7)0 ( " -2аЬ^с^ . . 3x4 J ’ 8)0 ( ^ 3d^ \4 , -4а^^Ьу^ ) ' 9)0 ( . х15г/14 j • лучилось тождество: Ч^Г 04 ( За2 \3 70^ Представьте дробь в виде произведения дроби на квадрат другой дроби: 67 = ^=I8' 3)х2 : 100л5 п 4fe2’ 6а -10 • х2 = 36 С2 • 1) 25а^Ь^, 36с ' 04 49р^х’’. 04 18ху8 . 04 _S > г I.Q » 4) 10ог>1° ш f 1 71. Не выписывая всего разложения выражения I х 4- —^ 1 по формуле бинома Ньютона, найдите: 1) пятый член разложения; 2) число членов разложения, являющихся одночленами. .0 , f- 7Г Cl 3- Lian m Контрольные вопросы и задания 1. Запишите формулой правило деления дроби на дробь. 2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень. 2а2 81fe‘s 3. Упростите выражение J 80а1 5. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями а , с _ а + с а с Ь Ъ~ Ъ Ъ Ь а — с Эти равенства являются тождествами, так как они верны при любых значениях переменных а,Ьис, кроме & = 0. С помощью этих тождеств сумму и разность дробей, имеющих равные знаменатели, легко преобразовать в дробь. Пример 1. Представить в виде дроби сумму дробей 14х - у х + бу Юд: Юд: Решение. -ь = (14д: - у) + (х + бу) ^ Шг Юдг 1Пг Юд: 15ДС -t- 5у _ 5(3дг + у) _ Юх Юд: Юд: Зх + у 2х Пример 2. Упростить выражение х^ + у^ _ ху д^з + „3 х^ + у^' -1_ |(2 Решение, -г—^ - ху _ д;2 -Ь у2 - ху _ ДгЗ + J/3 Д'З + уЗ ^3 ^ уЗ х^ — ху + у^ _ 1 {X + у){х^ - ху + у^) Х + у' т Пример 3. Представить сумму дробей в виде дроби а2 , 62 2а - 26 26- 2а Решение. Знаменатели данных дробей — противоположные выражения. Чтобы получить дроби с равными знаменателями, вынесем минус из знаменателя второй дроби: + 62 62 2а - 26 26 - 2а 2а - 26 2а - 26 _ (а - 6)(а + 6) _ а + Ь 2(а - 6) 2 а2 - б2 2а - 26 Упражнения 72. 1) Преобразуйте сумму дробей с равными знаменателями т + г в дробь. 6 6 2) Сформулируйте правило сложения дробей с равными знаменателями. 3) Сформулируйте правило вычитания дробей с равными знаменателями. 4) Преобразуйте выражение в дробь и, если возможно, упростите: S а , 6 5 5 ’ 7 с . X X ч 2а , 7а ч 11л: _ 4л: . 21j/’ ча-ь5 . 7 - а Д) + 66 e)i^ + 66 ’ с -2 Зп ж) з) fe2 -Ц _ fe + 1 4 - z2 2 + 4 5г 5z ч 2x , 3 л: и) — +-------. а а а 73. Докажите, что равенство является тождеством: . ч (а + <7)2 _ (а - 6)2 ^ ^ а6 а6 „ч (а + &)2 (а - &)2 ^ 2 -'а2 + б2 а2 + б2 74. Упростите выражение: ,ч Зл: + 2у 4л: - у _ 2л: + у . ’ Юс Юс Юс ’ 2) 5а-1 7а -8 9а+ 7 14а 14а 14а #/ # -С-2 . 3) 5c — 7 ^ 6c - 1 16c- 8 16c-8 16c-8’ 6i/ -4 .4 9i/ + 4 7j/ - 16 , ^ 3i/ + 6 3i/ + 6 3j/ 4- 6 ■ 75. Найдите значение выражения: Ь2 - 7 2 1) 2) fc + 3 & + 3 аЗ - 13 при Ь = 123; 14 + За + 9 аЗ + За + 9 при а = 12,5. 76. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при всех допустимых значениях переменной: 13-7ЛГ 17Х-23 Их- 19 ^ 19х -26 2х- 3 2х- 3 2) 20л: - 30 20х - 30 ' 77" Впишите пропущенное выражение так, чтобы получилось тождество: 9/1-5 1) За - 2 За - 2 2) 7в9 Используя тождество ^ 4/г - 1 1 = 3. Ь - с с - Ь жение в виде дроби и сократите ее: 4/1-1 , представьте выра- 1) ~ ^ 2л; - 11 х-7 7-х ' 11у-8 ^ 12 + 7у. у2_25 25-i/2 ’ 3) 4) аЗ — 13а 36 -I- а а2 -36 36 -а2’ + 86 66 4- 49 49 - 62 62 - 49 -тпО тт а4-б4-са,6,с 79. Пользуясь тождеством--- ’ представь d d d d те дробь в виде суммы дробей и, если возможно, сократите их: 1) 2) а 4- 6 4- 2с аЬс ’ Зл; 4- 2у - 6 бху 3) 4) d2-4dc4-3c2 6dc //2 + 15А/1 - 10ft2 5) (л;2 - у)2 _ 5k^n^ 6) (а - 6)3 62 80. Найдите все натуральные значения п, при которых зна- чение выражения — натуральное число: 1) /14-12 п 2) /14-15 3) 18-5/1 4) 48 - 7п V0 815' Зная, что - = 3, найдите значение выражения: 1)|; 3)":^ 2,-3». X X X у ’ .. 2дг -1- За 4) ^ У; м2 6)^ У . ху 82^ Упростите выражение значение. 83.® Докажите, что: 1)А” = /п!С^, гдеА* = 84.* Вычислите: 10! + 8! 5! ___________ ^ (т + 1)! т{т + 1) (т - 1)13! и найдите его 1) 2) 8! 7!-5!, 4! ! А* = л! (п -к)Г С* = п1 (п - -k)\k\' 3) 50! 48! 30!. 28! ’ 5) л1-а1 , Р2 Pi' 4) 100! : 99! 6) А\ А?о 99! 98!’ Pi ТРь' 85. Составьте выражение по условию задачи. В 7 классе раздали а тетрадей, а в 8 — на 6 тетрадей больше. Каждый ученик получил по т тетрадей. Сколько было учеников в обоих классах? 86. ^ Докажите, что значение выражения неотрицательно при всех допустимых значениях переменных: а® + 6а^ ^ 12а -t- 8 . 2) а -t- 2 а -ь 2 ’ Ь* + 6b^d^ -I- d* 4b^d -ь 4bd^ b* b* 87;* Докажите тождество, предложенное знаменитым математиком, членом Петербургской академии наук Л. Эйлером (1707—1783): f С/ > — 'L^“+r ' • •' 11 'in Контрольные вопросы и задания 1. 2. Запишите формулой правило сложения дробей с равными знаменателями. Как сложить две дроби, знаменатели которых — противоположные выражения? 3. -t- 5а 9а Упростите выражение —^—тт и 16 а® -(-64 а® -t- 64 6. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями При сложении и вычитании дробей с неравными знаменателями их сначала заменяют дробями, знаменатели которых равны, — приводят к общему знаменателю. Это преобразование, в котором используется основное свойство дроби, мы поясним на примерах. O/t р\ Пример 1. Сложить дроби ^ и - , 4о а Решение. 4о а 4аЬ -f 4&2 Зд2 + 4^2 а 4а0 АаЬ 4аЬ В рассмотренном примере за общий знаменатель дробей взяли произведение их знаменателей, часто, однако, удается найти более простой общий знаменатель. О 5 Пример 2. Сложить дроби —^ и —= 4а^Ь 6Ь® Общий знаменатель данных дробей должен содержать буквенные множители а^ и Ь^. Кроме того, числовым множителем удобно взять наименьшее общее кратное чисел 4 и 6, равное 12. Полученное таким образом выражение 12а^Ь^ является общим знаменателем данных дробей. Разделив общий знаменатель на каждый из знаменателей, найдем дополнительные множители к каждой из дробей: 12aV_3j,. 12^.2аг. 4а^Ь 662 3---- Умножив числители и знаменатели на дополнительные множители, получим дроби с одинаковыми знаменателями. Решение можно оформить так: 4a2fc 6fc3 3-3i»2 , 5-2а2 9б2 + 10а2 12о2&з 12д2{,3 12а2&з Пример 3. Упростить выражение 1 1 а2 — 6а 6а — 36 Решение. Разложим знаменатели дробей на множители: а2 - 6а = а(а — 6); 6а - 36 = 6(а - 6). В знаменатели входят множители: а, а - 6 и 6. Тогда выражение 6а(а - 6) будет общим знаменателем. Дополнительные множители к дробям равны соответственно 6 и а. Имеем: 1 6 - а а2 - 6а 6а - 36 а(а - 6) 6(а - 6) 6а(а - 6) 6а Из рассмотренных примеров ясно, что складывать или вычитать дроби целесообразно по следующему алгоритму. (l) Разложить (если возможно) знаменатели дробей на множители. Найти и записать общий знаменатель. Найти и записать дополнительные множители. (4) Записать в числитель дроби произведения числителей и дополнительных множителей дробей, учитывая знаки перед дробями. (§) Упростить (если возможно) полученную дробь. ▼ Умение складывать дроби с разными знаменателями позволяет обосновать обнаруженную знаменитым ученым Блезом Паскалем^ зависимость между коэффициентами, которая проявляется при возведении в степень бинома. * Блез Паскаль (1623—1662) — французский математик, физик, философ и писатель. Родился в семье юриста, который увлекался математикой. Таланты Паскаля проявились довольно рано, уже в 17 лет он опубликовал математический трактат, а в 18 лет изобрел суммирующую машину. ■Ш Запишем слева уже известные формулы степеней бинома а + Ь, а справа от них выпишем коэффициенты соответствующих многочленов: (а + Ь)0 = 1 1 {а + Ъ)^ = а + Ъ 11 (а -1- 6)2 = + 2аЬ + 6^ 12 1 (а + 6)2 = а2 -I- За^б -I- Заб^ -I- 6^ 13 3 1 (а + 6)^ = а"* -I- 4а®6 + ба^б^ -ь 4аб2 -ь 6^ 1 4 6 4 1 Паскаль заметил, что коэффициенты многочленов образуют треугольник, в строках которого слева и справа стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух соседних с ним сверху чисел. Используя треугольник Паскаля, можно довольно легко находить биномиальные коэффициенты. Так, например, следующая строка треугольника будет: 1 5 10 10 5 1, значит, (а -I- 6)2 = а® -1- 5а*Ь -Ь Юа^б^ + Юа^Ь^ + ЬаЪ^ -Ь Ъ*. В обнаруженной Паскалем закономерности легко разобраться, вспомнив формулу бинома Ньютона: (а -ь 6)" = С"а"-1- С" -1 а" -16 -I- С" - 2 а" - 262 + ... + С2 аЧ" ~ 2 -ь -ЬС1а6"-1-1-С9б". Так, например, в строке, соответствующей 10-й степени бинома, на 4-м месте стоит С}§“2, а соседние с ним сверху коэффициенты — С| ~ 2 и С|" 2, Имеем: C9-2 + c9-2=cZ-f С6= + 9! 217! 316! 9!-3 -I-91-7 _ 9!(3 + 1) _ 3!7! 3!7! _ /^7 = pio - 3 3!7! 317! ^"19 ^"19 ■ Вообще, для любого внутреннего элемента треугольника Пас- каля ^ 1 и двух его соседей сверху имеем: Г<т J. гчп + 1 _ 1)! ] ^п-1+^n-i - т\{п-1-т)1 ^ (п- 1)! I)! (п- 1)! ,т + 1 ч- (то + 1)1(п - 1 - (т + 1))! (л - 1)! ^"-"' + 1 лг!(л-лг-1)! ’ (Л1 ч-1)!(л - m - 2)! _ (л - 1)!(л1 Ч-1Ч-Л-Л1-1) _ (л - 1)!» л (лг ч- 1)!(л - лг - 1)! л! (лг Ч- 1)!(л - лг - 1)! _____ = г*т + 1 д (лгч-1)!(л-(лг Ч-1))! " ‘ а Упражнения 88. Найдите общий знаменатель дробей, знаменатели которых: 1) 5л: и 6л:; 5) с® и с^; 2) 7х и 9г/; 6) у* и у®; 3) 12а и 18а; 7) и 3de; 4) 356 и 145; 8)15пи5ти2. 89. Приведите дробь ^ к знаменателю: 1о 1)146; 2)356; 3)216с; 4) 28б2(с + 1). 90. ^ Представьте выражение а - 2с в виде дроби со знамена- телем: 1)1; 2)3; 3) а; 4) 2х; 5) 5у^г; 6) ЗОабс. Преобразуйте в дробь выражение: l)a2-f|; 5)^^^-?^+х; 2)6с-£!; 7) "V®-’“,2®+■>-!; 4) 04 01. о 76-9 96- 7. 9)х-у- 2х -Зу ^ Зх - 2у ^ 14 21 ’ 1 4а - 26 , 96 + 7а „ , и. 10) —— + —iq-:---------а -f- 6; 11)а- 9 24 7а - 46 4а + 76 12 18 + 26; 92. Сформулируйте алгоритм сложения дробей с разными знаменателями. Преобразуйте выражение в дробь: 8 5с 6 X За 4) 76 36 7) а 6 4 ’ 12а + 4^’ Ьсу асу ’ С . 5) 7с + А; 8) У + -^; 2 ’ баб За’ аЬс асу 2л . 27у’ 6) 11 5л ‘ Зу . 15ал’ 9) 36 2а2 _ _5_ 4а® 93. Преобразуйте выражение в дробь и, если возможно, сократите ее: 1) 2) ах + Ь Ьх Ьх - а, ах ’ 4) {х-у)^ ху X У У . л:’ с + пу п-су , 5) а + ft ^ а + с ft + c су пу ’ 2аЬ 2ас 2ftc ’ т ^ п (rai - га)2 6) у + г х-у X - г п т тп уг ху XZ 94. Упростите выражение: 1) ^ ~ ^ + Д ~ ft ^ а -f- Ь ft2 аЪ 2) ~ ^ ас - &2 ^ aft - с2 аЪ Ьс ас 95.* Учащиеся получили задание: «Представить дробь х^~6х + 21 1) -6-Ь 2) х- в виде суммы целого выражения и дроби». Ъх + 21 X- 3 Были получены четыре ответа: Х^ + 3. 04 .,2 х-3 ’ Здг- 21 х-3 ’ Какие ответы правильные? 3) - л: -^- 4) л: - 3 -I- х-3 12 х-3' 96. Представьте в виде дроби и, если возможно, сократите ее: 1) 2) 1 1 + 2 3) 2а + 1 1 а2- 2 1 АаЬ^ 21a2ft 14а2 ’ 4а® а* а2 2 3 5 4) 1 - 5ft2 ft - 5 1 ЗЗаЧ 55аЬ^ 44ft3’ ft® b* ft3' 97. Упростите выражение: 1) 2) 3) 4) 2ra + Л , n + 2k + —;—; 7) 11а + 13ft + 15a -1- 17ft . n - k k 3(а - ■ft) 4(ft-a) ’ 3b-2c b + c _ 8л: + 14у + 14x -1- 22y . ft ft-2c’ О) 3(2у- ■ л:) 5(x-2y) ’ 5 4 9) 17а- 13ft + 16ft-21a. x-y X + y' 4(а - ft) 5(a-ft) ’ 9 7 1 пл 4у ft2 ' - 4fty . 2x-y 2л: + у ’ 6-2у y(2y-ft)’ g. 5х + Зу _ 7х + 4у 2(х + у) 3(х + у) 11) х + 4у У - 4x 2a;(jc + у) 2х(у - х) ’ 6) -I- х{а — х) X - а' J2J ага - bk ^ ап + bk 2nk(k + п) 2nk(k-n)’ --------------ф " 3=^11 98. Докажите, что равенство является тождеством: 5а -b ^ За + 7b 19 2) За + ЗЬ 2а + 2Ь 6 ’ Зд: + 12у _ X + Пу ^ 7_ 5х - 5у 4х - 4у 20 ’ 99. Представьте в виде дроби и, если возможно, упростите выражение: 1) п2-9га 9-п’ 2) ^ + 4л 3) 4) 5) 6) 7) п + 7 7п + 49 ’ 1 1 — 5а 25 — 5а ’ 1+1 д:2-3а: 9 - 3jc ’ 1 + 1 1/2+51/ 25 + 51/’ 1 + 1 - 16 — 4с с2 - 4с ’ 16а- 15 _ 13 За2-2а 4-6а’ Q4 11 . 9х + 5 о) ------:г + 2JC-5 5х-2л;2’ О ^)2 10) И) 12) 13) 14) 15) 16) 95 4а а2 - ЗаЬ 2а5- 352’ 4х 25у . 5t/2 _ 2ху 5ху - 2x2 ’ 3 6 а2 + 4ас а2 — 16с2’ 12 2 9а2- 1652 За2 - 4а5 ’ 1 4. 1 а2 - х2 2ах + 2x2 ’ 4 1 С2 - 4р2 ср - 2р2 ’ 1 ^ 1 10x1/+ 501/2 х^-25у 1 1 12ас —8с2 4с2 - 9а2 ' 100. 1)^ Докажите, что если кип — натуральные числа, то при п> к значением выражения: 1,1 .. 1 а) б) к^ + кп + кп' кп- к^ — кп является обыкновенная дробь с числителем, равным единице. 2)* Представьте дроби ^ ^ ® виде суммы и в виде разности двух дробей с числителями, равными единице. 101. Найдите значение выражения: + г—„ при X = -0,125, у = -0,24; 1) 2) 9 4x2 + 4д,|/ + 3j/2 12 18 _ 3 ._о4 За^-2аЬ ЗаЬ - 2&2 “ 35’^ ^5‘ ^ э / 102. Упростите выражение: п + k ^ п2 -*2 п — К 4а 3 2 а - ь а + Ь’ 1 + 3 с + 1 2) 3) ОС “Г U *±0' — о С“ — 4 4) 1 + 2 1 . х^-2ху 4у^ - х^ х^ + 2ху’ gvQ 2х + 3 2х - 3___________16а: . ’ 2x2 - За: 2л:2 + За: 4x^-9’ За-5 За + 5 gjO 36а 7) 0 8) 0 9) ® 10) < 103. Найдите значение выражения: 9а2-25 4fe 3g2 + 5a 3g2 + 5a’ a-b , a + ft . а^-Ъ^ g2 + aft b^ - ab’ k-3 ft + 3 12 3ft + 9 ft2 - 3ft ft2-9’ 3a2 + 6 3 1 + 1 a2-a + l a + 1’ • ^ + 3ft2 + ® b-3 27-ft3 ft2 + 3ft + 9’ 1) х + у х-у У = 0,8; 2) —^ + Р + ^--------5^^ при а = 1,45, Ъ = 0,55, х = 1,2, •V _ " _ уг а - Ь ' а + Ь -Ь^ Р = -2,1. 104. Докажите тождество: а + при а = 7,25, Ь = 0,65, п = 9,3, 1) ^-----+------------- а а — Ь а2 — аЬ ^-1; 2) 36______х_ 6 _ _1. х2-6х Х-6 X 3) 0 afc(x + у) _ аЬ - ху _ afc + ху _ у - х . ху(а + Ь) ах + Ьх ау + by а + Ь’ У_ У .^О afc + ху _ аЬ _ ху - gfe _ у - х , х2 + а:)/ ху ху + у^ У + х ’ Ф/ 5)0 а Ь 2{а -ь Ь) _ be - ad с2 - cd rf2 - cd с2 - d2 cd{c + d) ’ 6)0 k + ^ 2{k - п) _ an - bk а2 + аЬ &2 + аЬ fl2 - {>2 ab{a - b)' 105* Найдите такие значения переменных а и Ь, при кото- рых равенство является тождеством: ах + Ь X - 5 Зх - 5 1) 2) х-1-10 2х + 20 2(х + 10)’ а , Ь 16х -t- 18 д: -Ь 3 д: - 3 х^ -9 106"Задание из «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта (III в.). Проверьте равенство: 60 60x2 + 2520 1) 2) 144 ЯП -1- X* + 900 - 60x2 X 96 12 x^ -1- 36 - 12x2 6-x2 Ю х'* -t- 900 - 60x2 ’ 12x2 + 24 х< + 36 - 12x2" 107. Выразите х из равенства: l)x-5=l; 2)x-(- - = 2; c 3)2x-5 =“; q b 7)0*- 4)^+1=^. ’ k 3 a’ 8)0- + Ь’ а 108* Составьте формулу для решения задачи. 1) Лыжник прошел расстояние s км от пункта А до пункта В со скоростью v км/ч, а обратно двигался со скоростью и км/ч, затратив на путь туда и обратно 3 ч. Сколько километров между пунктами А и В? Найдите значение s, если v = 8, и = 12. 2) Маршрут от пункта К до пункта М турист прошел со скоростью с км/ч, а обратный путь — со скоростью и км/ч, причем на обратный путь он затратил на 1 ч меньше. Сколько километров между пунктами К и М? Вычислите расстояние КМ, если с = 4, и = 6. э riV 109. Упростите выражение: >^98 I ^^998 ^ Ч '^100 ^^1000 . Г2 + Г2 ’ ^'ЮОО ^ *"100 3)1 о\ ^ п + 1 4n-3)U2 (га+ 2)1’ 4)1 110* Докажите тождество: 2) C*:l=C* + C* + »; 3) C* + 2C*-i +C*-2=c*:|. Ill.' Найдите все натуральные значения переменной га, удовлетворяющие равенству: 1)А^ + С\ = 256; 3) А2 ^ 1 + С";! = 18(га + 1); ^2л” 1 _ 13 . 7 ’ 2) /^л + 1 *^2л 4)АЗ + С;|-2 = 7,5га. 112. ' Используя треугольник Паскаля, раскройте скобки и упростите: \8 / 1 \б 3)(x+i)“. 113* Не приводя выражение к многочлену стандартного вида, найдите члены многочлена, имеющие наибольщие по модулю коэффициенты: 1)(а-Ьас)13; 2)(52-с&)21. 114. Сравните числа 99! и 50^^. 1. 2. Контрольные вопросы и задания Как представить в виде дроби сумму или разность двух дробей с неравными знаменателями? Найдите общий знаменатель дробей: 1 1 1 \гa^b'^ ’ 3. Упростите выражение 18а«Ь' 1 - 2аЬ 2Ь^ - аЬ‘ ш "2^ ту 7. Упрощение рациональных выражений в предыдущих пунктах вы научились преобразовывать в дробь сумму, произведение и частное дробей, а также степень дроби. Значит, и любое рациональное выражение, содержащее эти действия, можно преобразовать в дробь. Пример. Преобразовать в дробь выражение 1 а + 8 f а а - 8 _ а а- 8 2а - 8 f — U2- 64 а2 + 8а )• Решение. Обычно такие задания выполняют по действиям. 1) а — 8 а-8 — 64 а2 + 8а (а — 8)(а + 8) а(а + 8) 12 _ с /I _ (а-8)2 _ (а - (а - 8))(а-ь (а - 8)) _ 8(2а - 8) 2) а(а - 8)(а-I-8) а(а - 8)(а-I-8) а(а - 8)(а + 8) ’ а + 8 , 8(2а - 8) ^ (а-ь 8) • 8 • (2а - 8) __ 8 . 2а - 8 а(а - 8)(а-ь 8) (2а - 8)а(а - 8)(а-(■ 8) а(а - 8) ’ 3) 8^ а-8 а —8 а(а - 8) а(а-8) Ответ: -. а ЩХ Замечание. Мы существенно упростили исходное выражение. Однако при этом изменилось множество допустимых значений входящей в него переменной а. Так, например, после упрощения стгшо допустимым значение а = 8, при котором знаменатель первой дроби исходного выражения равен нулю. Поэтому, если предполагается в дальнейшем пользоваться дробью ^ вместо исходного выражения, следует иметь в виду, что значения а, равные -8, 4 и 8, использовать нельзя. Упражнения 115. Представьте выражение в виде дроби: Ь - X .Л &2 _ Д.2 4х^ 04 (Р + Я)^ . ( Р - 3g , р Y 9Пйп fX +У _2];(2£:lM; \у X ) ху г,^ - ах + х^ , ( _i_ V ’ (ал:)2 • д: а j’ а2 _1_ КА _1_ ОК 8) (ал:)2 62 + 55 + 25 .( 25 106 f 62 _ 25 V 4 5 6 j’ j 2 + п2 Р б2 + с2 ~2Ь~ 116. Упростите выражение: л;2-2лг + 7 х2- 25 ) X + 5 10х+ 15 ’ 2) У^ + 4j/ f — U- y^-2j/+ 12 9j/- 18 I.J/-4 16 - j/2 4)( 6)f 8)^ 5 М -Г 2 1 V 6 + 3 Ь + 5) ■ 1 6-2 б + з;’ 2а + 6 1 3(а-6) , а - 46' \ . а6 а2 аЬ 62 , J (а -6)2 2д:-3 л; + 3 1 ^ + 124 Зх . Jf2 X 9 j 9-х2’ > (а-1 а-ЗЛ_ а + 4 , а U + 4 a-4j За-8 2а-8’ )(Ь + 5 6 - 10^ .66 + 10 6 U + 3 6-3 ) ■ 6 + 3 26 - 6 ■ 117. Упростите выражение: с2 + ху - ^ -гЗ _ „3 72 + 3) 5) /а2 + 62 > \. д2 + 6® 1 а6 '' аб2 а + 6’ (а + 6)2 д2 - 62 ( а2 63 \ а д2 + а6 + б2 Va + 6 д2 + аЬ)’ 1' х^ !/ 3 Л д: 2 _ у2 (л:-1/)3. [х-у ху - - х^) х^ - ■ху + у^ л: ’ о а® - 8 а-3 7- 2а gvO 6^ + 27 ,(b-3)^ + 3b 2b + 3 , ’ (3fe + 6)2 ■ 6 + 2 96+18’ (6a+l ^ 6a - 1 ^ , g2 - 36 . va2 - 6a g2 + 6aJ g2 + 1 ’ 8)0 ( +у ^ 5x-y A , - 25j/2 1л:2 _ 5j£.j^ Д.2 + 5xy) x^ + y^ 11sP Упростите выражение: 1) fi-6a-58>| +-i-V Ч a2-49j la- 7 a + 7j’ ОЛ r 5 , 3 ^ ^ , 153-12л: V 04 1 - 16x /'2 1 ^2 2д:-24 ‘^2-16 (x-4)2j’ л\( 3 1 '\.a + 66 a - b , 4(36-a)2 g2 - 962j ■ g26- 963 a-3b ’ (а -Ь За + 6 J 36 а ^ 1 2а + 26 2а 1 а6 аЬ - -62 аЬ - д2 j ' ' а6 6-< 6 аЬ X + а ^ X + 6 X \ х-Ь X — а ах - аЬ Ь^ - Ьх аЬ}' "■ + а - Ь -ь + il; а + Ь ) 1а2 — б2 J’ х + у х-у + У -y2j 11ЭР Докажите, что равенство является тождеством: 1) Зл:- х + у 2х-3у •\©/' 2) ( ху +, У— + длу 4- у2 'I. _Ё£-У— = 5ху, V5x2-5xj/ ^ ^ ) х +у х-у 120. Докажите, что значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных (значение выражения одно и то же при всех допустимых значениях входящих в него переменных): 5) 2ай + а - Ь ' ) . 2а ^ Ь а^ - 2а + 2bj 1 а + Ь Ь - а ’ Ь Ь-6 \ , 2Ь-6 ь Ь^-36 г»2 + бь) ' Ь^ + 6Ь ь-6’ Ь + 8 -J- Ь -1- 24 'j . 1 Ь Ь^-8Ь 64 - b^J Ь ь + 8 > а + 6 18 ' \ а + 6 1,5а - 12 . 2а- 12 а2 - 36. ) а + 12 ^ а-6 ’ 1 у - 13х х2 - уЗ + ху + у2 , 5у — 15х 9х^ — ху ' Зх^ + ху ’ • - 4ал:^ ^ - ах + х^ ^ а - х а® + х^ - 2ах 2а + 2х’ 121 г Подставьте вместо х заданное выражение и упростите: , ч д: - а аЬ 1) -—г , где JC = X - Ь а + Ь' пч а^ - аЬх а - Ь 2) г^--—г- , где X = + аЬх а + Ь' 04 ах Ьх аЬ 3) Z^ 7—i:. где X = X - а X - Ь а + Ь’ аЬ .4 Ьх , ах 4)----- +-----г , где X =----г . 'X - а X -Ь а + Ь Контрольные вопросы и задания 1. 2. Любое ли рациональное выражение можно преобразовать в дробь? Упростите выражение 9х^ - 16у2 / Зу -Ах _ Зу + 4х \ \4у^-3ху 4y^-3xyJ‘ 7х I — 8. Дробные уравнения с одной переменной Дробные выражения часто встречаются при решении задач на совместную работу и на движение. Задача. Мама может слепить 30 пельменей на 2 мин быстрее, чем дочка, так как за 1 мин она лепит на 4 пельменя больше. Сколько пельменей может слепить мама за 1 мин? Решение. Число пельменей, которые может слепить мама за 1 мин, обозначим буквой х, тогда дочка может слепить за 1 мин X - 4 пельменей. На 30 пельменей у мамы уйдет 30 30 гг — мин, а у дочки — —— мин. По условию задачи: 30 _ 30 _ 2 X - 4 X Левая часть полученного уравнения — дробное выражение. Избавимся от дробей, умножив на их общий знаменатель х(х - 4) обе части уравнения: ЗОх - 30(х - 4) = 2х(х - 4), 120 = 2х(х - 4), х{х - 4) = 60. По условию задачи значение х должно быть натуральным числом. Попробуем подобрать натуральный корень этого уравнения. Нам нужно найти два натуральных числа, отличающихся на 4, зная, что их произведение равно 60. Это числа 6 и 10. Значит, X = 10. Ответ: 10 пельменей. Перевод условия задачи на математический язык привел к уравнению с дробными выражениями. Такие рациональные уравнения называют дробными. Решая дробное уравнение, мы первым делом избавляемся от дробей, т. е. заменяем исходное дробное уравнение целым уравнением. Однако при такой замене могут возникнуть определенные трудности. _4 Пример 1. Решить уравнение-----^ = 4. Сокращая дробь, стоящую в левой части уравнения, получим целое уравнение х -1- 2 = 4. Корень его х = 2. X -lL-г Однако число 2 не является допустимым значением и, конечно, не является корнем исходного уравнения, так как при X = 2 знаменатель дроби исходного уравнения обращается в нуль. Причина здесь в том, что, освободившись от знаменателя (в данном случае сократив дробь), мы расширили множество допустимых значений. При решении дробных уравнений подобная ситуация встречается довольно часто. Поэтому, освободившись от знаменателей и найдя корни полученного целого уравнения, следует проверить, не обращают ли они в нуль знаменатели исходного дробного уравнения, являясь, как говорят, посторонними корнями. Рассмотрим еще один пример решения дробного рационального уравнения. Пример 2. Решить уравнение Зл:-1 , 15 -I- 2х -ь 1 12д:-15 32x2-50 8х-НО ’ Решение. (?) Освобождаемся от знаменателей. Для этого сначала найдем общий знаменатель: Зх-1 , 15 2х + 1 -ь 3(4х-5) 2(4х - 5)(4х-(-5) 2(4х + 5)' Общий знаменатель дробей равен 6(4x - 5)(4х -I- 5). Умножив на него обе части уравнения, получим целое уравнение: 2(4х -f 5)(3х - 1) -Ь 3 • 15 = 3(4х - 5)(2х -f 1). Решаем полученное целое уравнение. 24x2 22х - 10 -Ь 45 = 24x2 - 18х - 15, 40х = -50, х = -§ . 4 (5) Проверим, является ли найденное число корнем исход- ного уравнения. Подставляем число-Ц в общий знаменатель: 4 Значит, найденный корень целого уравнения является посторонним. Ответ: уравнение не имеет корней. ш Упражнения 122. При каком значении переменной значение дроби равно нулю: ^ 312 ’ 54 4х-8. 9)р-^; (X - 5)2 бх + 3 . х-5 ’ х2 + 4х ^ X + 5 ’ 4,»-49 ’ 4x2- 14х 4>xIV 100-х2 х-8 ’ 104 25x2-16 5x2+ 4х 123. Решите уравнение: 1) 15+25^ X X 2) 1® - = 1,8; X X 3) 4) 1,2х 10 5 X 1 . 6’ 5 ^ _9_ 1,6дг X 20' 124. При каком значении переменной выполняется равенство: 1) 2) 1 1 Юд: - 1 3 5х -2 5 8 - 5л: 2 - 7д: = 0; = 0; 3) ^ - х= 1; 4)3х- 2л:- 1 Зл:2 . 7) 8) 9) 1 + 4х 2 2л:-1 5лс - 1 1 - 4л: ^ 1 + 6х . 1 + бх 2л: + 1 л: + 5 5 = 4; 4 у у-2 у-3' 6) + 2-2 2 + 2 10 , 2 ' Зх-1 2х + 5 ч 5х + 13 1 бх - 4 ^ 5х + 4 Зх - 1 4 I/ + 5 у + 3 . ^2у + 6 Зу-6 4 1/ + 5 + У-\ 3 Зл:-1 6 = 2; = 3; Ъу-20 Зу-6 6 ’ -ь 125. Решите уравнение: 1) 2) 3) + 2л:- 5 1 4х-6 18-8x2 2x2+ 3х’ Зх -1 _ 1 ^ X . бх-3 1-4x2 2х + 1’ 2х - 2 _ X - 2 ^ X - 1 х2 - 36 х2 - бх х2 + бх = 0; °/t\' 4) 5) X + 6 x2 - 7x ' • у + 5 (7-x)2 x-7’ У - 5 _ t/ + 25 ,2_ 5{/ 2i/2+i0i, 21/2-50’ 0ч4Ь 4(j/ + 9) ^ У+ 3 ^ y-3 ^ 5i/2 -45 5j/2 - I5y y^ + 3y' 126. Существует ли такое значение переменной, при котором: д„х-7 2х + 6 1) сумма дробей ^ ^ и ^ равна 1; 2) разность дробей ~ ^ и ~ равна 1; би -I- 5 2м - 1 3)* сумма и произведение дробей и у-3 I/ -I-1 равны; 4)* произведение и разность дробей равны? й ^Р-1 2р - 1 и 5р -f-1 7р-3 12ТР 1) Найдите число, которое при делении на 5 и на 7 дает в остатках соответственно 1 и 5, а сумма полученных частных равна 32. 2) Найдите число, которое при делении на 13 дает в остатке 10, при делении на 5 дает в остатке 1, а сумма полученных частных составляет одну четвертую искомого числа. 128. 1) Задумана дробь, знаменатель которой на 11 больше ее числителя. Если к числителю и знаменателю прибавить по 7, то значение дроби будет равно |. Какая дробь задумана? 2) Сумма числителя и знаменателя задуманной дроби равна 40. Если из числителя и знаменателя вычесть 2 по 5, то значение дроби будет равно ^ . Какая дробь заду-мана? 129. 1) Катер прошел 24 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь маршрут 2 ч 20 мин. Какова скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 21 км/ч? ш _______i 2) Лодка прошла 7 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 24 мин больше, чем на путь по течению реки. Зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите скорость лодки в стоячей воде. 130. 1) На полет из Москвы в Новосибирск самолет тратит по расписанию столько же времени, сколько и на обратный путь. В Новосибирск из-за встречного ветра самолет летел со скоростью на 60 км/ч меньше, чем по расписанию. Когда самолет возвращался в Москву, то увеличил скорость по сравнению с обычной на 70 км/ч. В результате на оба рейса было затрачено в сумме столько времени, сколько требовалось по расписанию. Какова скорость самолета по расписанию? 2) Мотоциклист выехал из города А в город В. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает на 2 ч; если же он будет ехать со скоростью 50 км/ч, то приедет в город В на 1 ч раньше срока. Каково расстояние между городами А и В? 1. 2. Контрольные вопросы и задания Объясните, почему при решении дробного рационального уравнения могут появиться посторонние корни. Приведите пример уравнения с переменной в знаменателе дроби, которое не имеет корней. 1,1 4 3. Решите уравнение J/ + 2 1/-2 Г' СТЕПЕНЬ с ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ _ k X 3. функция у 9. Прямая и обратная пропорциональность величин При равномерном движении со скоростью v пройденный за время t путь S вычисляется по формуле s = ut. Рассматривая в этой формуле S и t как переменные, мы обнаруживаем, что их соответствующие друг другу значения Sj, и Sg, t2 образуют а, ™ пропорцию — = — . Такие переменные называют пропорцио- Sn Го >2 *^2 нальными — вы изучали их в 7 классе. Кроме пути и времени, к числу пропорциональных величин относятся, например, стоимость и количество товара, объем и масса вещества, периметр квадрата и длина его стороны. При увеличении значения одной из пропорциональных переменных в несколько раз значение другой увеличивается во столько же раз. 3 Понятно, что речь идет о положительных значениях переменных. Так, например, при увеличении времени равномерного движения в 2 раза пройденный путь окажется в 2 раза длиннее. С простыми задачами на пропорциональность величин вы познакомились в 7 классе, поэтому здесь мы рассмотрим более сложный пример. Пример 1. Двое друзей, живущих на противоположных концах улицы, занимаются бегом трусцой. Каждое утро в 7 часов утра они выходят из своих домов и бегут навстречу друг другу. Добежав до конца улицы, друзья разворачиваются и бегут обратно. Найдите длину улицы, если первый раз друзья встречаются в 400 м от дома первого, а второй раз — в 300 м от дома второго из друзей. б) V 300 м а) Решение. В задачах на движение бывает полезно делать рисунки. На рисунке 1 верхние стрелочки изобра-400 м ^ жают продвижение первого из друзей, а нижние — второго. С 7 часов до первой встречи (рис. 1, а) друзья в сумме пробежали всю улицу, а в промежутке между встречами (рис. б) — в 2 раза больше. Значит, с 7 часов до второй встречи друзья пробежали в 3 раза больше, чем до первой 300 м встречи. Рис. 1 Сумма расстояний, которые про- бегают друзья, пропорциональна времени их бега. Значит, с 7 часов до второй встречи прошло в 3 раза больше времени, чем с 7 часов до первой встречи друзей. На рисунке 1, в мы видим, что за время с 7 часов до второй встречи первый из друзей пробежал расстояние, равное длине улицы и еще 300 м. На это у него ушло в 3 раза больше времени, чем на 400 м до первой встречи. Значит, это расстояние в 3 раза больше, чем 400 м, т. е. оно равно 400 • 3 = 1200 (м). Длина улицы на 300 м меньше 1200-300 = 900 (м). Ответ; длина улицы 900 м. Рассмотрим теперь ситуацию, которая возникает, если в формуле S = vt рассматривать в качестве переменных v и t, т. е. рассматривать зависимость между скоростью и временем равномерного движения при одной и той же величине пути. Пример 2. Через 1,5 мин после выезда из дома велосипедист проколол шину. Сколько времени он шел с велосипедом назад, если на обратном пути его скорость была в 6 раз меньше? Решение. Пусть Oj — скорость езды велосипедиста, а U2 — скорость, с которой велосипедист шел с велосипедом домой. Соответствующее каждой из этих скоростей время обозначим как и ig- Поскольку путь из дома и домой один и 5 3' TOT же, имеем: = Оз^г- Разделив это равенство на произве- V, to дение t^V2, получим пропорцию — = — . ^2 ‘1 Из условия задачи = 1,5 мин и Uj = Подставим эти данные в пропорцию: бУо to „ л , — = —,6 = — ,<2 = 9 (мин). 1,5 Ответ: 9 мин. а 1 < 2 В пропорции — = — соответствующие друг другу значе- V2 <1 ния и и < стоят в разных частях дробей. Можно сказать, что отношение значений v обратно отношению соответствующих им значений t. Такие величины называют обратно пропорциональными. Чтобы подчеркнуть разницу между пропорциональными и обратно пропорциональными величинами, пропорциональные величины часто называют прямо пропорциональными. К обратно пропорциональным величинам относятся, например, объем и плотность вещества при постоянной массе, количество купленного товара и его цена при постоянной стоимости покупки, время и производительность труда при одном и том же объеме работы, высота и основание треугольника, имеющего данную площадь. В задачах, где обратно пропорциональные переменные принимают только положительные значения, часто используют их свойство: с увеличением значения одной из переменных в несколько раз соответствующее значение другой уменьшается во столько же раз. В примере 2 это свойство позволило бы сразу получить ответ. Поскольку скорость в 6 раз уменьшилась, время должно в 6 раз увеличиться: 1,5 *6 = 9 (мин). Пример 3. Две трубы, работая вместе, могут наполнить бассейн за 15 мин. Если бы первая труба работала одна, то наполнение бассейна заняло бы 20 мин. Сколько времени понадобится одной второй трубе, чтобы наполнить бассейн? 12нт' Решение 1. Обозначим буквами х w. у производительности труб, т. е. объемы воды, которые поступают в бассейн за 1 мин соответственно через первую и вторую трубы. Тогда через обе трубы в бассейн за 1 мин поступает х-\- у воды. По условию задачи имеем: (х + у)'1Ь = X' 20. Раскрывая скобки и упрощая, получаем х = Zy. Значит, производительность второй трубы в 3 раза меньше, чем первой. Поскольку производительность и время работы обратно пропорциональны, второй трубе для заполнения бассейна понадобится в 3 раза больше времени, чем первой: 20 • 3 = 60 (мин). Ответ: 1ч. Можно решить эту задачу и без уравнений. Решение 2. Поскольку весь бассейн первая труба запол- g няет за 20 мин, то за 15 мин она заполняет - бассейна. При 4 этом на долю второй трубы остается ^ часть бассейна. Значит, производительность второй трубы в 3 раза меньше, чем первой, и на заполнение бассейна ей понадобится в 3 раза больше времени, т. е. 60 мин, или 1 ч. В следующей задаче используются свойства и прямой, и обратной пропорциональности. V Пример 4. Из пунктов Аи В одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. К моменту встречи мотоциклист проехал на 15 км больше, чем велосипедист. Продолжая движение, мотоциклист и велосипедист прибыли соответственно в пункты А и В, причем путь после встречи занял у велосипедиста в 9 раз больше времени, чем у мотоциклиста. Сколько километров между пунктами А и В? Решение. Пусть скорость мотоциклиста в k раз больше, чем скорость велосипедиста. Поскольку при фиксированном времени скорость и путь прямо пропорциональны, то мотоциклист до встречи с велосипедистом (отрезок ВС на рис. 2) проехал в k раз больший путь, чем после встречи (отрезок СА на рис. 2). Ф. /У f fc' ^ — iV fi Так как при постоянной скорости путь и время прямо пропорци-он£1льны, путь после встречи занял у мотоциклиста в k раз меньше времени, чем путь до встречи. С другой стороны, у велосипедиста на путь после встречи ушло в k раз больше времени, чем на путь до встречи. Значит, после встречи велосипедист затратил в раз больше времени, чем мотоциклист. По условию задачи = 9, откуда находим, что А = 3. Значит, скорость мотоциклиста в 3 раза больше, чем скорость велосипедиста, и до встречи мотоциклист проехал в 3 раза больше, чем велосипедист, т. е. больше на половину всего пути. По условию задачи 'О ВС = к-АС Рис. 2 это составляет 15 км, но тогда на весь путь приходится 30 км. Ответ: 30км. Д Упражнения 131. Какие из следующих пар величин являются пропорциональными, обратно пропорциональными, не являются ни теми, ни другими: 1) количество товара и его стоимость; 2) скорость движения и время, необходимое для преодоления данного расстояния; 3) производительность труда и время выполнения определенной работы; 4) масса воды и ее объем; 5) скорость движения и длина пути, пройденного за определенное время; 6) длина и ширина прямоугольника данной площади; 7) сторона квадрата и его площадь; 8) ребро куба и его объем; 9) рост человека и его возраст; 10) масса коробки с конфетами и число конфет в этой коробке; 11) число решенных дома примеров и оценка, полученная за контрольную работу; 12) число верно решенных заданий контрольной работы и отметка, полученная за нее; О 13) длина окружности и ее радиус; 14) площадь круга и его радиус; 15) длина окружности и площадь круга? 132. 1) Велосипедист должен проехать 3600 м за f мин. С какой скоростью V м/мин он должен двигаться? Заполните таблицу соответствующих друг другу значений переменных ^ и U. t, мин 30 25 24 20 18 15 12 10 8 у, м/мин 2) Площадь прямоугольного треугольника с катетами дс см и у см равна 72 см^. Выразите у через х. Заполните таблицу. X, см 1 2 3 4 6 8 12 24 36 48 72 144 у, см 133.'*'Заполняя таблицу значений обратно пропорциональных переменных, ученик допустил в нижней строке ошибку. Найдите и исправьте ее. 1) 4 7,5 50 1,55 0,8 0,12 0,5 0,25 0,125 16 35 70 2) 134. Решите задачи. 1) Скользя на лыжах, опорная поверхность которых 0,4 м^, спортсмен оказывает на снег давление, равное 1800 Па. Какое давление будет оказывать он на снег, сняв лыжи, если площадь подошвы каждого из его ботинок равна 160 см^? 2) В ботинках, площадь подошв которых 300 см^, ученик оказывает на пол давление, равное 15 кПа. Какое давление на лед будет оказывать этот ученик, стоя на коньках, если площадь лезвия одного конька равна 4 cм^? <9ti - -7^' ‘'иГ' It/ ft 135. 1) Два шкива связаны ременной передачей (рис. 3). Длина окружности одного шкива 528 см, а другого — 225 см. Первый шкив делает 60 оборотов в минуту. С какой скоростью вращается второй шкив? 2) Зубчатое колесо имеет 75 зубцов и делает 92 оборота в минуту. Сколько оборотов в минуту делает колесо с 15 зубцами, сцепленное с первым? 136. 1) Расстояние между двумя городами автобус проходит за 2,5 ч. Если увеличить скорость движения автобуса на 10 км/ч, то это же расстояние он пройдет за 2 ч. Найдите расстояние между городами. 2) Туристы планировали пройти маршрут за 6 дней, но из-за плохой погоды им пришлось двигаться медленнее, и вместо предполагаемых 30 км в день они проходили только 20 км. За сколько дней они совершили весь переход? 3) За 6 ч автомобиль проехал некоторое расстояние. То же расстояние он мог бы проехать за 5 ч, если бы увеличил свою скорость на 10 км/ч. Какое расстояние проехал автомобиль? 4) ® Из пунктов Ап. В одновременно навстречу друг другу отправились мотоциклист и велосипедист. Через 16 мин они встретились. Сколько времени ушло у велосипедиста на весь путь из В в А, если у мотоциклиста путь из пункта Ав В занял 20 мин? 137. ® 1) Из пунктов М nN одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход. Велосипедисту на путь из М в N требуется 40 мин, а пешеходу — 2 ч. Через сколько минут после выезда из М велосипедист повстречает пешехода? 2) Два поезда отправились одновременно навстречу друг другу от двух станций. Первый поезд проходит расстояние между станциями за 24 мин, второй — за 36 мин. Через сколько минут после отправления поезда встретятся? 138. 1) Две трубы, работая вместе, могут наполнить бассейн за 10 мин. Если бы первая труба работала одна, то наполнение бассейна заняло бы 15 мин. Сколько времени понадобится одной второй трубе, чтобы наполнить бассейн? ш 2)^ Один насос может откачать воду из бассейна за 1,5 ч, другой — за 2i ч. За сколько минут смогут осушить бассейн оба насоса, работая вместе? 139* Определите, в каком отношении смешали чай первого и второго сорта, если стоимость 100 г чая первого сорта равна 20 р., 100 г чая второго сорта стоит 15 р., а стоимость 100 г смеси оказалась равной 17 р. 1409 1) В каком отношении надо смешать чай двух сортов, по 540 р. за 1 кг и по 380 р. за 1 кг, чтобы цена 1 кг получившейся смеси равнялась 480 р.? 2) Продано 34 кг яблок и хурмы. Определите, сколько килограммов яблок и сколько килограммов хурмы продано, если известно, что яблоки дешевле хурмы в 2,4 раза и за все яблоки выручено столько же денег, сколько за хурму. 141. !)• Из пунктов Aw. в одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист. К моменту встречи велосипедист проехал расстояние в 3 раза большее, чем прошел пешеход. Сколько времени затратил велосипедист на путь из пункта В в А, если пешеход пришел в пункт В через 45 мин после встречи с велосипедистом? 2)*^ Пассажирский поезд, двигаясь со скоростью 90 км/ч, за 3 ч прохо-3 дит - расстояния между городами. Какова средняя скорость пассажирского поезда, если весь путь между этими городами он проходит за 4,5 ч? Найдите среднюю скорость товарного поезда, у которого этот путь занимает 6 ч. 1. 2. L0 Контрольные вопросы и задания Приведите пример обратно пропорциональных величин. Какая формула задает зависимость между ними? Каким свойством обладают обратно пропорциональные переменные, принимающие только положительные значения? # 1/л 3. Найдите значение k и заполните таблицу. X 0,6 1,8 к У=х 0,32 0,036 к 10. Функция у = - и ее график ОС в предыдущем пункте вы познакомились с обратно пропорциональными переменными и использовали свойство неизменности (постоянства) их произведения. Обозначив переменные буквами X и у, мы можем записать это свойство в виде равенства ху = к,в котором k отлично от нуля. Выразив из этого равенства у, получим У ^ ~ Для любого отличного от нуля значения х по этой формуле можно найти единственное соответствующее ему значение у. Переменную у называют функцией переменной х, если каждому допустимому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Переменную х называют аргументом функции у. Значит, формула У ^ ^ задает функцию у, аргументом ко- торой является переменная х. ( Множество допустимых значений аргумента называют областью определения функции. ) У одних функций допустимы все значения аргумента, у других — на аргумент накладываются некоторые ограниче- ния. Так, у функции У = - » которой посвящен этот пункт, ар- гумент не может быть равен нулю. Это ограничение вытекает из самой формулы, задающей функцию. Можно сказать, что область определения функции у = - — все числа, кроме О нуля, или что функция у = - определена при всех значениях X, кроме л: = 0. Для знаком! график, взяв, например, k = 12. Для знакомства со свойствами функции У = - построим ее График функции — это множество точек, абсциссы которых являются допустимыми значениями аргумента, а ординаты — соответствующими им значениями функции. 12 Составим таблицу некоторых значений функции у = — . X 1 1,5 2 2,5 3 4 5 8 10 12 12 12 8 6 4,8 4 3 2,4 1,5 1,2 1 Чтобы получить координаты точек графика с отрицательными абсциссами, нет необходимости снова производить вычисления. Действительно, при перемене знака у любого из значений аргумента переменит знак и соответствующее ему значение функции. X -1 -1,5 -2 -2,5 -3 -4 -5 -8 -10 -12 y=i^ X -12 -8 -6 -4,8 -4 -3 -2,4 -1,5 -1,2 -1 Отметим на координатной плоскости точки с найденными координатами (рис. 4). Точки, координаты которых — противоположные числа, симметричны относительно начала координат, например точки А(2; 6) и -6); S(4; 3) и Si(-4; -3). Через отмеченные точки проходят две ветви гра- 12 фика функции У = — (рис. 5). На рисунке 6 изображены графики функции У = - при не- которых не равных нулю k. Сформулируем некоторые свойства, общие для графиков функций У = - ft/ a) 6) Рис. 6 '0 x~ СВОЙСТВ01. Графики функций y = - не имеют с осями ко- ( k ординат общих точек при д; = О выражение - не имеет смысла, а значение у не равно нулю ни при каком значении х j. k Свойство 2. График функции У^~ состоит из двух ветвей, расположенных симметрично относительно начала координат: при k> О в I и III координатных четвертях. при А < О во II и IV координатных четвертях. График функции У = - при любом k, отличном от нуля. называют гиперболой. Упражнения т- -4 142. Найдите область определения функции: 1)1/ = 2х-5; 3) I/= 2x2 4-6х + 9; ^‘)У = h 4)г/ = 12 (х-3)(х + 7)- 143. Используя график функции У ^ — (см. рис. 5), найдите: 1) расстояние от оси Ох до точки графика с абсциссой, равной: а) -5; в)-2; д)0,5; ж) 2; б) -4; г)-1; е)1; з) 6. 2) расстояние от оси Оу до точки графика, имеющей ординату, равную: а)-8; б)-5; в) 2; г) 5. 3) Проверьте свои ответы с помощью вычислений. 0 144. 1) Постройте график функции У = - • Принадлежит ли графику этой функции точка: а)А(5;1,2); б) В(-4;-1,5); в) С(24; 0,25)? “+Г‘'’P^rr^-’rv I йп _0 2) Постройте график функции у = — . Принадлежит ли этому графику точка: а) А(8; -0,75); б) В(-0,4; -15); в) С(2,5; -2,4)? 3) Как расположены друг относительно друга графики G ”6 функций 1/= - иу=-^? 145. Найдите число k, если известно, что график функции k У — - проходит через точку: 1)М(10; 0,4); 2)£(-1,2; 15). О k 146. График функции У = - проходит через точку А(16; 2,5). Проходит ли он через точку: 1) Р(-8; -5); 2) М(12,5; 3,2)? 147* Точка С(а; Ь) принадлежит графику функции: 14 10 1)У= —; 04 -10 Принадлежит ли этому графику точка: а) Л(-а; -6); в) ЩО, 1а; 106); д) Р(6; а); б) в(2а;|б^; г) М(3а; 36); е)в(|а;-26^? Имеет ли график ось симметрии? 148. При постоянной температуре давление газа обратно пропорционально его объему. На рисунке 7 изображен график зависимости давления р (кПа) газа от его объема V (м^). Определите по графику: 1) давление газа, занимающего объем: а) 2 м®; б) 4,5 м^; в) 7 м3; 2) объем, при котором давление газа равно: а) 110 кПа; б) 150 кПа; в) 180 кПа; 3) объем, который займет газ при нормальном давлении (нормальное давление приближенно равно 100 кПа). 149. 1) Постройте в одной системе координат графики функций: а) у = хиу=^; б) у =-л; и у =-i ; г)у = -2д:иу = --; д) у = 2х - 2 и у = 2 4 в)у = 2л:иу =-; е) у = 0,5д:-f-1 и у = - . 2) Укажите координаты точек пересечения графиков. 150. 1) Постройте в одной системе координат графики уравнений: а) 5у - JC = 30 и у = ; б) 10у -Ь л: = 25 и у = . 2) Сколько точек пересечения имеют построенные графики? 151. *"' Сколько общих точек могут иметь графики линейной k функции и функции у ^ Ответы подтвердите схематическими рисунками. * k 152. ' 1) Что представляет собой график функции У = - при k = 0? 2) В чем отличие этого графика от графика линейной функции у = о? 153. * На рисунке 8 изображены несколько случаев взаимно- го расположения на координатной прямой точек А(х), Б(л:2) и j. При этом допущено несколько ошибок. а) в) д) &/ А(х) В(х^) А(х) В(х^) О) • В{х^) А(х) , В(х^) г^ А(х) А(.х) В(х^) В(х^) А(х) Рис. 8 г В случаях, когда указанное взаимное расположение точек А, В и С возможно, укажите, где примерно расположены точки 0(0) и £(1). ВД Контрольные вопросы и задания 1. Постройте графики функций ^ ^ ~ ' k 2. Укажите свойства, общие для графиков функций У “ - • 24 3. Проходит ли график функции У ^ через точку А(0,048; 500)? О § 4. Степени с целыми показателями и их свойства 11. Определение степени с целым отрицательным показателем Вам известны свойства степеней с натуральными показателями. ^ а’^ • a^^ = а"*; а'^ = а"* ~ ^ ^ Два первых равенства выполняются при любых натуральных значениях ти п, а третье верно только в том случае, когда показатель степени делимого больше или равен показателю степени делителя. Напомним, что при т = пв левой части равенства o'" : а" = а"* “ " получаем единицу o'" : а"* = 1, а в правой части — степень с показателем, равным нулю а®. На этом основывалось определение степени с нулевым показателем. С а® = 1 при а о Если т<п,то показатель степени а"*" " отрицателен. Найдем, например, частное степеней а® и а®: 5 9 а® 1 »— X— С другой стороны, а®“® = а“^. Естественно так определить степень с целым отрицательным показателем, чтобы вы- полнялось равенство а~^ = — . Для этого условились считать. что при а ^ Он натуральном п следующее. С = а" 3 Например, 7-7 = _L. 77’ (-0,65) -3 = _ 1 _ 3. (-0,65)3 0.653’ Поскольку деление на нуль невозможно, такие выражения, как 0"*, не имеют смысла. Упражнения 154. Используя определение степени с нулевым и целым от- рицательным ния: показателем, найдите значение выраже- 1) 10-3; 5)1,210; 2) 3-3; 6) 7,020; 3) 10-4; 7)(-4)-4; 4) 12-2; 8)(-6)-3; 155. Найдите значение выражения: 1) 2-3-3-2; 4) 5« - 5-1 4-5-2; 7) 0,4-3 • 0,7<>; 2) 4-2-3-3; 5)16-2-5; 3) 20-2-2 + 2-1; 6)9-3-3; 8) 0,5-4-1,50; 9) 7-5-75. т f > f 156. Запишите в виде степени с отрицательным показателем: 1) 1 1. 1 . 1 1 1 1 1 Д.10’ у*’ 53’ 104’ аЬс' Х2у2’ 4а2’ -64^2’ 2) 1 . 1 1 . 1 1 1 1 1 7 * с13’ 29 ’ 1003’ -knp ’ fe3(,3 ’ 161/4’ -21d^' 157? 1) Докажите, что ^ ^ j ^ ( а ) ’ ^ — целое число. 2) Воспользуйтесь доказанным тождеством и вычислите: \-б / О \“4 в) Д) 0,01-2; е)1,2-4 158. Каждое из чисел: а) 16; 6)8; в) 4; г) 2; д) 1; е) 1 1 ж)±; з)|: и) 16 представьте в виде степени числа: 1) 2; 2) - . А 159. Каждое из чисел: а) 100; 6)10; в) 1; г) 0,1; д)0,01; е) 0,001 представьте в виде степени числа: 1) 10; 2) 0,1. 160. Найдите значение выражения хР, если: 1) л: = 11,р = 2; 3) JC =-2,р =-5; 2) л: = 4,р =-3; 4) х =-198,р = 0. 161. Представьте в виде дроби выражение: 1) 5а-4; 6)-964xV^; 2) 6&-7; 7) (с + d)-2; 3) 6c-2fc3; 8)(х-г/)-4 4) -7rf2c-8; 9) s{t + р)-3; 5) 8xV®z-4; 10) fe-‘(n - m)-2. 162. Запишите без отрицательных показателей и представьте в виде дроби выражение: 1)а-1 + & -1. 2) с-2 - 1/-2; 3) х +y-i; 4) п~^ - m2; 5) (х - уУН 6) (п +р)-3; 7) аг-з + а~^г\ 8) 2с-2 + ac-id-2; 9) 2х-1 + ху-2; 10) -5ап-з - Зап-2 + ап^', 11) (х-1 -1/-1)(х-1/)-2; 12) (х+ 1)-1 + (1 -х)-1. ш —i 163. Сравните значения выражений: 1) x~^ + и (дг + i/)"i при д: = -2, i/ = 3; 2) а”2 + и (а + &)~2 при а = ^ , Ь = - з О 5 Контрольные вопросы и задания 1. Чему равно произведение а" и а“", где а О и п — натуральное число? 2. Известно, что а" = Найдите а“". 3. Сравните значения выражений 2"^ + 2~^ + 2 ^ + 2 * и 2°. 12. Свойства степеней с целыми показателями Из курса 7 класса вы знакомы с пятью свойствами степеней с натуральными показателями. дт . jjrt _ дШ + п (дт)п = дшп а"*: а” = а"*" " (аЬ)" = / а ^ U J Ь" Проверим, можно ли пользоваться этими свойствами в преобразованиях степеней с целыми показателями (основания степеней будем считать отличными от нуля). Для проверки будем брать конкретные целые значения тип. 1)а"‘-а" = а'” + ". При т= -7, п = 4 должно быть а"'^ • = а Используя определение степени с целым отрицательным показателем, получим: 7 4 1 4 ^ ' • Я/* = — ' а* = — = а~‘ - а ■ 7-4 = ^ = а-з. а** 2) (а'")" = o'"". При т = -5, п = -2 должно быть (а”3)-2 = = а*°: I а& J а 10 ,10 0; 3) а"*: а" = o'" “ ". При m = -3, п = -8 должно быть а"^ : а~® = = а“® “ = а®. а~^ : а“® = ; ^ = £_ = д5 аЗ а» аЗ 4) (ад)" = а"6". При п = -7 должно быть {аЬУ^ = а~'^ • Ь~’^. (аЬГ 7 _ 1 _ 1 _ 1 1 аг’^ • Ь~'^. (ab)’’ Ь’’ 5)(; г а" ь) ь" ■ При п = = -4 должно быть ^ а у* а~* ь) ь-*' f?r - 1 1 _ 1 . 1 = а~* : 6-'* = — . а* а* Ь* UJ b‘^ Мы проверили свойства степеней на конкретных примерах. Примем без доказательства, что степени с любыми целыми показателями обладают рассмотренными пятью свойствами. В преобразованиях выражений обычно стараются заменить отрицательные показатели степени натуральными показателями. Пример. Упростить выражение (а~^ - : (а~^ - Решение. (о"3 - 6-2)- 1 : (a~* - 6"^)-2 = ( 1 1' Г*. Г1 1 ' \-2 _ _ д2 yl < b - a y2 1 аЗ ь2^ 1 V а b . I [ a2fc2 ) • \ ^ ab ) а^Ь^ Jb-a f - a^b^ (6 - a)3 _ b - a - аЗ V ab J (6 - a)(6 -1- a)a^b^ b + a’ Упражнения 164. 1) Запишите свойства произведения и частного степеней. 2) Сформулируйте эти свойства. 3) Воспользуйтесь свойствами произведения и частного степеней для нахождения значения выражения: а) 2-7.211; r)2-H:2-i5; б) 3-6. ЗЗ; в) 5"б : 5-“*; д) 0,4-6: 0,4-8; з)(^3 .j'ly. е) 0,5-7: 0,5-16; и) 3-7-96. 165. Представьте в виде степени с основанием 3: 1) 3" •32'»; 4)81 : 32"-3; 2) 3":3" + 1; 5) 27 • 3"-1 * 3-"-3; 3) (3")2.(3")-3; 6)3*33"-з : 32П-1. 166. Используя отрицательные показатели степени, представьте в виде произведения: 5а2 сч 45а®с8 _ ^ 0,9^409’ &2с4’ 28с5 , аЗ^и ’ „ч 2,4аЮЬ . ^ 10a2“c ’ 2Ы*х . a5j/7 04 4,2x8j/6 _ ^ 20x6j/8 ’ 33х7у. 1,1x10’ 9)^ '"Г; X" 12а*Ь^ . 0,6a5fe7 ’ 10)* ' а" + 1 2) 3) 4) 5) 167. Представьте в виде степеней с одинаковыми основаниями и вычислите значение выражения: 25-5.5-25 _ 125-12 ’ 1000-16 1)4-6: 2-9; 4)816.3-23; 7) 2) 3-16.9-9. 5)16-9.812; 8) 3) 27-7.320. 6)32-6.167; 9) 100-8. 10-15’ 16°. (-6-2)7 (362)- 168. Упростите выражение: 1) (л:-1 - 1/-1). (X - у)-2; 2) (а-Ь Ь)-2. (а-1 И-6-1); 3) ^ (л:-2 - а-2). (а-1 - x-i)-i; 4) ** (а-1б2 + а2&-1): (а-з ч- &-3); -ш b — 're^TL 5) (a - c)”2(a2 - c^); 6) (a + 6)(p - g)-i + (a - b)(p + q)-^; 7) ^ {x^ + ix^y + 3x1/2 + y^)(2xy + x2 + l/2)-l; 8) 0 (c3 - 3c2 + 3c - 1)(1 - 2c + c2)-i. 169. 1) Запишите свойство возведения степени в степень. 2) Сформулируйте данное свойство. 3) Примените свойство возведения степени в степень для вычисления значения выражения: а) (2-5)-з. (2-4)4; г) (1,5®)0 • (1,5-9)0; б) (5-4)-2 : (5-3)-3; д) (3-6)2 . (3-4)2.3-22. в) (100)25 ; (10-7)0; в) (4б)-2..4-29, 170. Представьте выражение а~^^: 1) в виде степени с основанием а-®; 2) в виде степени с основанием а®; 3) в виде произведения двух степеней тремя способами; 4) в виде частного степеней двумя способами. 171. Представьте в виде степени с основанием х: 4) ^1999 . д;2004. 2) х99 • х2б; ^2п *+- 3 • ~ 3) * д 4) * (х2” - 1)-з • л:3 : (х" - 2)-2. 172. 1) Запишите свойство степени произведения. 2) Сформулируйте данное свойство. 3) Представьте степень в виде произведения: а) (а-2&)2; г) (-0,5x7i/-7)-2; б) (d3c-l)6; д) 2-9/8 j . в) (0,1п-Зтб)-4; е) (8x-46i/-37)-2, 173. Представьте в виде степени произведения: 1) 0,0016а-4; 3)0,0081c«d-i2; 2) 326-6; 4) 10'^x~'^y^", где п — целое число. 174. 1) Запишите свойство степени дроби. 2) Сформулируйте данное свойство. 3) Представьте степень в виде дроби: 2 в)| (3x2 V® д) (9а-2б4у2 5 l4y ] ’ 1 2с-з ) ’ 1 9 г) е)| ('2d5b-4y3 < 5а2 J • 0 175. Сравните значения выражений: и (-0,1)4; М-!Г"(-!Г^ ^>Н) -Н)^ ^'НГ"Н) -3 176. Упростите выражение: 1) 2) 26 а 17 г>-8 13(ft5)5 ’ 12ДГ-Ч у 3)(0,25x-V¥*f V 4i/2 д-13^18 \-2 / 5 ^-3 1/-9 48(л:-3)3’ Контрольные вопросы и задания 2. 3. Покажите на примере выражения (о"®)'*, что для степени с целым показателем выполняется свойство (o'")" = o'"". Докажите, что ^ ^ j ^ ( а ) ' Упростите выражение (а^ - 6^)"* • (а~^ — Ь~^). 13. Стандартный вид числа в физике, астрономии и технике для записи больших чисел часто используют степени числа 10 с натуральными показателями. Масса Земли, например, приближенно равна 5,98 *1024 кг, а путь, который проходит луч света за 1 год (световой год), приближенно равен 9,46 • м. Определив степень с целым отрицательным показателем, мы получили возможность использовать степени числа 10 и для записи малых чисел. Так, например, массу атома водорода 0,0000000000000000000000000017 кг (27 нулей, включая нуль целых) можно записать более компактно: 1,7 • 10~^^ кг. Во всех трех примерах числа записывались в виде а • 10". С Запись числа а • 10", где 1 < |а| < 10 и п — целое, называют стандартным видом числа; п называют порядком числа. Число 0,000...00091 (31 нуль), выражающее массу электрона в килограммах, в стандартном виде выглядит так: 9,1 • 10“®4. Порядок данного числа равен -31. О; «г 2n ^ Когда результат не помещается в окошке, калькулятор «выдает* его в стандартном виде. На рисунке 9 калькулятор Справка Щ *ЗЭ1: числа -0,00000000000015 (12 нулей): (-0,00000000000015)3 = -3,375 • Ю-з». 3J75e-39l; показывает результат возведения в куб Рис. 9 В стандартном виде можно записать не только большое или малое, но и любое число: 278 900 = 2,789 • Ю^; 1000 = 1 • 103; 0,00452 = 4,52 • Ю-З; 57 = 5,7 • 101; 3^3 = 33 . iqo и т. п. Упражнения 177. Назовите числа, которые представлены в стандартном виде: 1) 2,3-103; 3)9,89-10-11; 2) 56,7-107; 4)0,02-103; 5) 7,0-10°; 6) -3,7-1019. 178. Укажите порядок числа: 1) 2,7-109; 3)* 0,7-10-13; 2) 3400; 4)^0,051-1011; 5) * 5. 6) "" 0,002. 179. Запишите число в стандартном виде и укажите его порядок: 1) 26 000; 5)0,000785; 2) 78 000; 6)0,00107; 3) 45 000 000; 7)* 36,23 - Ю-З; 4) 290 000 000; 8)* 0,27 -10^. 180. Используя стандартный вид числа, запишите, что: 1) в сутках 86 400 с; 2) атмосферное давление на высоте 100 км равно 0,00024 мм рт. ст.; 3) 1 кал равна 0,00419 кДж; 4) теплота сгорания бензина равна 10 500—11 200 ккал/кг; 5) 1 с составляет: 0,01667 мин; 0,0002778 ч; 0,00001157 сут. 181.1) Bo сколько раз масса орбитального комплекса МКС (международной космической станции), равная 4,2 ♦ 10^ кг, больше массы первого искусственного спутника Земли, равной 83,6 кг? 2) Построенная рабами пира- _ ____ МИДа египетского фараона Хеопса имеет массу, приближенно равную 7,231 • 10® т. Сколько вагонов грузоподъемностью 64 т каждый потребовалось бы для перевозки такой массы? 182.* Порядок числа а равен 10^®. Найдите порядок числа: 1) 10 000а; 3) 2) 0,001а; 4) 1015’ 10-11' 183. " Найдите порядок произведения, частного, суммы и разности чисел: 1) 3,272-10® и 2,165-10»; 2) 6,514 • 10-7 и 4,395 • 10-7; 3) 2,4165 • 10® и 9,3854 • 10“*; 4) 8,389 • 10-* и 5,6734 • 10-®. 184. Выполните действия: 1) 3,2-107-1- 7,8-107; 2) 9,6-1011-8,9-1011; 3) (4,2-10-17)2; 4) (5 - 10-34)-2; 5) (6,32-10-32); (2-10-19); 6) (3,5-10*7): (5-10-21); 7) (5,3-10-21)-(2,1-10*7); 8) (3,8-10)-(3-10-19). 185. “ Порядок числа а равен 11, а порядок числа Ь равен 5. Каким может быть порядок: 1) произведения аЬ\ 2) частного ^ ? т Г' ‘f fr\ 186. Представьте числа в стандартном виде и вычислите: 1) 430 000-30 000; 2) 78 000-0,0003; 3) 0,0000033 : 11 000; 4) 450 000 : 0,00015; 5) (0,000012)2; 6) (4 000 000)2. 187. Сравните числа: 1) 2,3-1022 и 3,2- 1022; 2) 5,4-100 и 5,4; 3) 9,8-1020 и 970 < 1012 и 9,8-10-27 и 9 - 10-26; 10-22 и 0,32-10-24. 4) 6,4 5) 8,3' 6) 1,3 1017; 10-20; 188.”^ Верно ли утверждение: 1) порядок любого положительного числа в 2 раза меньше порядка квадрата этого числа; 2) порядок произведения положительных чисел равен сумме порядков этих чисел; 3) порядок частного двух положительных чисел равен разности порядков делимого и делителя? 189. Указаны расстояния в километрах от Солнца до планет Солнечной системы; Венера — 1,082-102, Земля — 1,495 -10®, Марс — 2,280 -10®, Меркурий — 5,790 -107, Нептун — 4,497-10®, Сатурн — 1,427-10®, Уран — 2,871 -10®, Юпитер — 7,78 - Ю». Какая планета ближе всего к Солнцу? Составьте таблицу, расположив названия планет в порядке увеличения удаленности от Солнца. 190. Решите задачи. 1) Территория России составляет 1,7-107 км2. Определите плотность населения России (среднее число жителей на 1 км2), если численность населения России по результатам переписи населения 2002 г. равна 145 млн человек. 2) Расстояние от Солнца до Земли равно примерно 1,495-10® км. За какое время доходит свет от Солнца до Земли? (Скорость света равна 300 000 км/с.) 'О; 19lP В разделе «Справочные материбшы» в таблице даны обозначения кратных и дольных приставок и соответствующие им множители. Используя таблицу, выразите: 1) 3,6 • 10^ Мт в тоннах; 2) 4,3 • 10^ мг в килограммах; 3) 7,2 • 10“® гл в литрах; 4) 6 • 10“®м в микрометрах; 5) 9,1 • 10"“* ккал в калориях; 6) 1,7 • 10“^ м в сантиметрах. 192.В 1 ккал содержится 4,2 Дж. Сколько килокалорий в 1 Дж? Число запишите в стандартном виде. 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Что значит представить какое-либо положительное число в стандартном виде? Что называют порядком числа? Приведите пример какого-либо числа, порядок которого равен: 1) 7; 2) -5. Представьте в стандартном виде число: 1)67 873 000; 2)0,000000047692. JK' "V 4,-!% ‘ii^’ ■ :i w:) om КВАДРАТНЫЕ КОРНИ ю § 5. Действительные числа 14. Рациональные и иррациональные числа До изобретения десятичной системы счисления арифметические действия были очень трудоемкими. Наверное, поэтому математики древности предпочитали заниматься геометрией. Больших успехов в геометрии добились ученые Древней Греции. Вместо чисел они работали с длинами отрезков. Так, например, квадрат длины отрезка был у них плош;адью соответствующего квадрата (с тех пор вторую степень называют квадратом). Чтобы найти отношение длин двух ^ отрезков, они искали их общую меру — '—' отрезок, который мог точно уложиться целое число раз и в одном, и в другом отрезках. На рисунке 10 отрезок длиной х укладывается в отрезке АВ 3 раза и в отрезке CD — 5 раз. Соответственно отно- ^ В X X X X D шение отрезков АВ к CD равно § . 5 Рис. 10 Вообще, если два отрезка имеют общую меру, которая т раз укладывается в одном отрезке и п раз в другом, то их от- т ношение равно — , т. е. является рациональным числом, п Долгое время считалось, что для любых двух отрезков можно подобрать третий отрезок (пусть и очень маленький), который целое число раз уложится и в одном, и в другом отрезках. Выяснилось, однако, что отрезки могут и не иметь общей меры. Чтобы убедиться в этом, мы не будем воспроизводить геометрические построения древних греков, а применим средства алгебры к изображенным на рисунке 11 квадратам ABCD и ACPQ. 'О; в 1 а/ 1 D \ \ 1 Q Рис. 11 Длина стороны квадрата ABCD равна 1. Обозначим длину его диагонали — стороны квадрата ACPQ — буквой d. Тогда площадь квадрата ABCD равна 1, а площадь квадрата ACPQ равна d'^. С другой стороны, квадрат ACPQ составлен из четырех, а квадрат ABCD — из двух треугольников, равных треугольнику ADC. Значит, площадь квадрата ACPQ в 2 раза больше площади квадрата ABCD, т. е. равна 2. Получаем равенство d^ = 2. Все числа, с которыми вы до сих пор встречались, оказывались либо целыми, либо дробными. Рассматривая треугольник ADC, можно сделать вывод, что 1 < d < 2. Значит, d не является целым числом. Попробуем найти дробное число, квадрат которого равен 2. Как вы знаете, любое положительное дробное число можно - - m представить в виде несократимой дроби — , где тип — натуга ральные числа, причем га ^ 1. Тогда должно быть d^ = ( ч 2 2 — I =2. Отсюда ^ = 2. Знаменатель дроби, стоящей в ле-п J п‘‘ вой части равенства, отличен от единицы, поэтому, чтобы дробь оказалась равной целому числу, она должна сокращаться на га^. Но натуральные числа гаг и га не имеют общих простых делителей. Не будут их иметь и квадраты чисел и га^, так как возведение натурального числа в квадрат не добавляет ему новых простых делителей. Значит, равенство m2 — = 2 неверно, т. е. число d дробным не является. Мы доказали, что число d не является ни целым, ни дробным, т. е. не является рациональным числом. На геометрическом языке это означает, что диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной. Рассмотренный пример показал, что кроме рациональных есть и другие числа, которые назвали иррациональными (что переводится как «нерациональные»). За время обучения в школе ваши знания о числах постепенно расширяются. Начинали вы с натуральных чисел, затем познакомились с дробными, отрицательными, а вот теперь и новые, иррациональные числа. ^ / Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. Упражнения 193. Даны числа: 3; 0; ^ ; -0,27; -2|; 23 540; 3,6 • 10®; -67. Назовите, какие из этих чисел: 1) натуральные; 3) дробные; 2) целые; 4) действительные. 194. Представьте несколькими способами в виде частного це лого и натурального чисел: 1)7; 3)0; 2)-12; 4)0,7; 6)1. 195. Представьте в виде несократимой дроби - , где р — це лое, aq — натуральное число: 1)9; 7)0,65; 2)-8; 5)-2|; 8)4,25; 34 123 . б)-9|; 9)-0,032. 196.“ Докажите, что: 1) сумма рациональных чисел есть число рациональное; 2) частное рациональных чисел есть число рациональное. 197. Вычислите: 1) ^ 3,75+2g 2j + 1.5 ' ^ 21-1,875 2,75-ll, 12 11 ’ 2) (1б|-71).(1б| + 71)-0,01 ('IT- 4 4 2•1-•-+ 9 9 (ir 198. Сравните рациональные числа: 1)0,034 и 0,304; 5)-342 и-401; 2)-3 и 0,001; 6) I и 0,597; 5 3) (-0,245)-б и (-38)-5; 4) 3,4-10-23 и 6,1-10-22; -74 10 11 . 11 ” 12 ’ 8)(0,34)2 и 0,34. 199. 1) Найдите дробь со знаменателем 63, заключенную 11 между числами тт; и . 1о 2) Найдите несократимую дробь со знаменателем 42, за- 7 11 ключенную между числами ^5^18' 200. 1) Может ли сумма (разность, произведение, частное) двух рациональных чисел не быть рациональным числом? 2) Может ли сумма (разность, произведение, частное) отличного от нуля рационального и иррационального чисел оказаться числом рациональным? 201Р Докажите, что число, квадрат которого равен 5, не является рациональным. 202* Верно ли, что: 1) разность натуральных чисел является натуральным числом; 2) произведение натуральных чисел является натуральным числом; 3) частное натуральных чисел является натуральным числом; 4) разность целых чисел является целым числом; 5) частное целых чисел является целым числом; .Ф; 41.V дг—J/ 6) частное рационгшьных чисел является рациональным числом; 7) степень рационального числа является рациональным числом? Контрольные вопросы и задания 1. 2. Из каких чисел состоит множество действительных чисел? Может ли сумма, разность, произведение или частное раци- ональных чисел быть иррациональным числом? Представьте в виде — , где m — целое, ал — натуральное, чис-п ла: 1)7; 2)1,7; 3)-9,15. 15. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби в предыдущем параграфе попытка вычислить длину диагонали квадрата d со стороной 1 привела к «открытию» иррациональных чисел. Однако саму длину мы так и не нашли. Измеряя длину отрезка, выясняют сначала, сколько в ней единиц, т. е. сколько отрезков длиной 1 укладывается в данном отрезке, затем единичный отрезок уменьшают в 10 раз, затем в 100 и т. д., пока не будет достигнута необходимая точность измерения. На рисунке 12 мы видим, что число d на координатной прямой располагается где-то между числами 1 и 2 (заметим, кстати, что точка D до знакомства с иррациональными числами была у нас как бы без координаты). Применим подход постепенного уточнения длины к измерению диагонали d. Учитывая, что 2, будем сравнивать квадраты приближений с числом 2. Поскольку 1,4^ = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,5^, делаем вывод о том, что 1,4 < d < 1,5. Основанием для такого вывода служит очевидное утверждение о том, что, чем больше площадь квадрата, тем больше его сторона. Значит, чем больше квадрат положительного числа, тем больше само число. Верно и обратное утверждение: чем больше положительное число, тем больше его квадрат. Продолжая уточнять число d, получим последовательно: 1,412 < < 1,422, откуда d ~ 1,41; 1,4142 < (3^2 < 1,4152^ откуда d ~ 1,414; 1,41422 < rf2 < 1,41432^ откуда d « 1,4142; 1,414212 < rf2< 1,414222, откуда d « 1,41421; 1,4142132 19’ 27 ■ -ф,. '>Li4« 11 205P Представьте в виде ^ , где р — целое, q — натуральное число, бесконечную периодическую дробь: 1)0,(2); 2) 0,(7); 3) 0,(47); 4) -0,(13); 5) 7,(8); 6) 2,(23); 7) «^ 0,2(6); 8) ® 0,12(4). 3) 1,(329) и 1,3(29); 4) 5,(452) и 5,4(52). 206. Сравните: 1) 0,(627) и 0,(62); 2) 0,(814) и 0,(81); 207. Укажите какую-нибудь периодическую дробь, расположенную между числами: 5 6 1) 0,(3) И 0,(31); 2) 1,(27) и 1,(271); 4^9 “И 208.^ Докажите, что число, квадрат которого является натуральным числом, либо целое, либо иррациональное. 209:*' 1) По какому правилу составлена следующая бесконечная десятичная дробь: а) 0,13579111315...; г) 0,13311331133113...; б) 0,1248163264...; д) 0,10200300040000...; в) 0,14916253649...; е) 0,03815243548...? 2) Как вы думаете, дробь, указанная в задании, периодическая или непериодическая? Если периодическая — укажите ее период, если нет — попробуйте обосновать свое мнение. 3) Являются ли эти числа: а) рациональными; б) иррациональными; в) действительными? 210.* Может ли оказаться периодической дробью: 1) сумма; 2) произведение: а) двух периодических дробей; б) двух непериодических дробей; в) периодической и непериодической дробей? V®/' # ^+r' ^ ^^3=^ 11 'йп 211* Выполните действия: 1) 2,4+ 0,(1); 3) 5,(7)-2,5; 5) 0,(12) + 0,(5); 2) 2,(4)+ 0,1; 4) 5,(4)-2,7; 6) 0,(7) + 0,(2). 212. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число, квадрат которого равен: 1)3; 2) 5; 3)7; 4) 33. Контрольные вопросы и задания 1. 2. Что такое период десятичной дроби? Какое число называют иррациональным? Может ли сумма, разность, произведение или частное двух рациональных чисел быть иррациональным числом? Обратите число ^ в десятичную дробь. u7 О § 6. Квадратные корни 16. Функция у = x^vxee график Формула у = задает функцию, аргумент х которой может принимать любые действительные значения, так как любое число можно возвести в квадрат. Для знакомства со свойствами этой функции построим ее график. График функции у = х^ — это множество точек плоскости, координаты которых имеют вид (д;; х^), где х — любое действительное число. Ясно, что построить график «целиком» невозможно, и поэтому строят такую его часть, которая отражает важнейшие свойства всего графика. Для построения графика будем брать значения аргумента X и вычислять соответствующие им значения функции у. При этом удобно составить таблицу. X -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 у = х^ 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 Отметим на координатной плоскости (рис. 13) точки, координаты которых указаны в таблице. Ф. I —-I Из приведенной таблицы или из расположения соответствующих точек на координатной плоскости можно заметить, что точки с противоположными абсциссами имеют одинаковые ординаты. Это понятно, ведь для любого х верно равенство (-х)2 = х^, значит, если точка (х; х^) лежит на графике функции у = х^, то и точка (-х; х^), симметричная ей относительно оси ординат, принадлежит графику. Сам график представляет собой кривую, соединяющую уже построенные точки. Для более точного построения графика можно вычислить значения функции в нескольких дополнительных точках (рис. 14). Соединяя эти точки плавной линией, мы получаем график функции у = х^ (рис. 15). График представляет собой непрерывную кривую линию. С График функции у = х^ называют параболой. ) Глядя на графики, можно судить о свойствах функций, и наоборот, говоря о свойствах функций, представляют себе их графики. BE Примечание. На рисунке 15 изображена только часть графика функции у = х^, поэтому по графику мы можем только догадаться о том, что любая вертикальная или горизонтальная прямая пересекает график. ! -2 О -2 Рис. 13 Рис. 14 ш 0. Г' /: График функции у = Функция у = Всякая вертикальная прямая пересекает график Область определения — множество действительных чисел Любая горизонтальная прямая верхней координатной полуплоскости пересекает график Область значений — множество неотрицательных действительных чисел В правой координатной полуплоскости график поднимается вверх При положительных значениях X большему значению аргумента соответствует большее значение функции — функция возрастает В левой координатной полуплоскости график опускается вниз При отрицательных значениях д: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции — функция убывает Упражнения 213. 1) Составьте таблицу значений функции у = с шагом, равным 0,1, от Xi до Х2: а) JCj = о, лга = 1,5; б) х^ =-1,5, Х2 = 0. 2) Постройте график функции у = х^, взяв за единицу на координатных осях 5 см. 3) Найдите по графику значения х, при которых функция принимает значения, равные: а) 0,1; 6)0,3; в) 0,5; г) 0,8; д) 1,2. 214. По графику функции у = х^ (рис. 15) найдите приближенно: 1) значение функции у при х, равном: а) 2,3; б)-1,3; в)-1,7; г) 3,2; 2) значение аргумента х, при котором у равно: а) 3,5; 6)6; в) 8; г) 11. 215. Проходит ли график функции у = х^ через точку: 1) А(-2;4); 3)С(23;529); 5)£:(l|;2^]; 2) В(-3,5; 12); 4) П(-6,5; 42,25); 6)в(-^;И4^? M(x) a) a) B(x) A(x^) 6) 0 1 M(x) B(x) A(x^) 0 lx Рис. 16 0 Рис. 17 216. Сравните числа: 1) 56,782 и 572; 2) (-3,24)2 и 3,242; 4) (-93)2 и (-89)2. 217? Функция у = f{x) задана формулой f(x) = х^. Не вычис- ляя значений функции, расположите в порядке возрастания: 1)/(-6,5); Я-3,3); /(4,7); /(0,4); 2) Я-0,89); Я-3,1); /(0,78); /(0,2); ^(!> 218? 1) На рисунке 16 показано положение точки М(х) на координатной прямой. Покажите, где примерно расположена точка А(х2). 2) На рисунке 17 показано положение точек А(х^) и В(х) на координатной прямой. Покажите, где примерно расположена точка С(1). 219? Парабола у = х^ проходит через точку А{Ь; с). Проходит ли она через точку: 1) В(-6; с); 3) D{-b; -с); 5) F(2b; 4с); 2) С{Ь; -с); 4) Е(2Ь; 2с); 6) М(-0,1Ь; 0,01с)? 220. 1) Постройте в одной системе координат параболу у = х^ и прямую 2х - 3i/ -I- 3 = 0. В скольких точках эта прямая пересекает параболу? 2) Решите графически систему уравнений: J у = х2, 12х - Зу + 3 = 0; б) \и = _э ___А -* +L 5: 221.1) Постройте в одной системе координат параболу у = и прямую 2х + Зу - 3 = 0. В скольких точках эта прямая пересекает параболу? 2) Решите графически систему уравнений: а)|у = х2, б) \у = х^, \2х + Зу - 3 = 0; 222. Постройте в одной системе координат параболу у = х^ и прямую у = 2х + 3. Решите графически уравнение х2 = 2х + 3. 223.* Укажите какие-нибудь значения а, Ь и с, при которых прямая ах + by + с = 0: 1) пересекает параболу у = х^ в двух точках; 2) имеет с параболой у = х^ единственную общую точку; 3) не имеет с параболой у = х^ ни одной общей точки. 224. Сколько общих точек имеет парабола у = х^ и прямая у=10х + 5? 225. Сколько общих точек имеют парабола у = х^ и гипербола Контрольные вопросы и задания 1. 2. 3. Изобразите схематически график функции у = х^. Как называется эта кривая? Назовите свойства этой функции. Проходит ли график функции у = через точку А(-3,4; 11,56)? С помощью графика функции у = х^ найдите приближенно числа, квадраты которых равны 7. 17. Понятие квадратного корня Построенный в предыдущем пункте график функции у = х^ обладает важным свойством: каждая горизонтальная прямая, расположенная выше оси абсцисс, пересекает его в двух точках, одна из которых имеет положительную, а другая отрицательную абсциссу (рис. 18). Это означает, что уравнение х^ = а при а > о имеет два корня. Один из этих корней положительный, а другой отрицательный. с Корни уравнения х^ = а называются квадратными корнями из числа а. J Например, числа 3 и -3 — квадратные корни из числа 9. Существует единственный положительный квадратный корень из положительного числа, а у нуля есть всего один квадратный корень, равный нулю. Неотрицательное число, квадрат которого равен а, называют арифметическим квадратным корнем из а и обозначают Ja. Знак « 7” » называют радикалом. Он появился в результате схематизации латинской буквы г — первой буквы латинского слова radix — «корень». По определению, при а > О имеем (Та )^ = а- Запись Jx = у означает, что одновременно должны выполняться два условия: 1)1/>0; 2)у^ = х. Мы видели, что из любого положительного числа а можно, как принято говорить, извлечь два квадратных корня: один из них положительный и равен Ja , другой ему противоположен и равен - Ja . В то же время из отрицательного числа нельзя извлечь ни одного квадратного корня. Можно сказать, что уравнение х^ = а при а > О имеет два корня Xj = Та и Xg = -Та, при а = О имеет единственный корень X = О и не имеет корней при а < 0. Ф , Г' 5 • 77 ' £j Пример. Вычислить VH 025 . Решение. Разложим число 11025 на простые множители: 11025 = 3^ • 5^ • 7^. Представив подкоренное выражение в виде квадрата, получим: 711 025 = 732.52.72 = = 7(3.5.7)2 =3.5.7=105. Qpwci &иа £npiae*c8 I 1.41421356237309504880168672420971 ii j(1A ТмГ 7'^ K-j Рис. 19 ■ Калькулятор, который не раз упоминался на страницах учебника, «умеет» вычислять арифметические квадратные корни. Для этой операции у него есть специальная клавиша, обозначенная «sqrt», от сокращения английских слов square root {квадратный корень). Найдем с помощью калькулятора, например, 72 — число, квадрат которого равен 2. Как вы помните, поиск этого числа привел к открытию иррациональных чисел. После нажатия клавиш [2], [sqrt] в окошке калькулятора (рис. 19) появится очень точное приближение J2: 1,4142135623730950488016887242097. ■ Упражнения 226. 1) Сколько корней имеет уравнение: а)лг2 = 4; в)л:2 = о,09; д,)х^ = 0; е)х2 = -1; з)л:2 = 2? ж).2=49. б)л;2 = 121; г)л:2=108; 2) Решите уравнение. 3) Какой из корней называют арифметическим квадратным корнем? Как его обозначают? 4) Запишите корни последнего уравнения с помощью знака арифметического квадратного корня. 227. Запишите арифметический квадратный корень из числа: 1)2; 2)100; 3)0; 4)д:, гдех>0. 228. 1) Что означает запись Ja =Ы 2) Верно ли равенство: а) Лб = 4; г) ЛбО = 40; б) 7^ = -6; ж) 7(-15)'‘ = 152; з) = 750; rr^ 16 _ 4 . J25 5’ в) 75:9 =0,7; e)jij=l|; и) 7(-П)б =-Ц3. 229. При каких значениях х верно равенство: 1) 7i =0,2; 4) 7л =-|; 2) 7х = 0,4; 5) 7i = -9,8; 3) 7х = 1; 6)7i =l|? 230. Какие из данных выражений имеют смысл: 1) 764; 3)7^; 2) -74; 4) 7(-0,5)2; 231. Найдите значение выражения: 1)Ж49; S)JI; 5) fil, 5) 70; 6) 75? 2) ТОЛЭ ; 4) ; 6) pi:. а/ 144 ’ 7) 7(-3-2)2; 8) * 7(7-5)4. 232Р Вычислите, представив подкоренное выражение в виде квадрата: 1)7^; 2) 7648; 3) 71225; 4) 75625. 233* Вычислите: 1) 73,6-103; 2) 76,4-105; 3) 74,9*10-5; 4) 71,6-10-7. 234. Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел (раздел «Справочные материалы*), найдите: 1) 72304 ; 3) 74489 ; 5)* 782,81; 2) 73136 ; 4) 79409 ; 6)* 767,24 . .0 "L * —ILJ“+Г* 235. с ПОМОЩЬЮ таблицы квадратов двузначных чисел (раздел «Справочные материалы») вычислите значение выражения: 1) Л444 - л/Ш - 74; 3)73^- 7324 - 749; 2) ТГт - JHb - Ш; 4) 7^ - 7б^ - 756^. 236У Можно ли по последней цифре или по последним двум цифрам записи числа: 1) 288; 5) 12 569; 2) 3882; 6)44 410; 3) 47 983; 7)5625; 4) 677 547; 8)3115 установить, что арифметический квадратный корень из этого числа не является натуральным числом? 237* Округлите до тысячных значение выражения: 1) 75; 4) 7^; 7)|; 10)0,17^; 2) 7б; 5) Тб9; 8)|; 3) 7^; 6) 7^; 9)|73; 12) (7^)^ 238. В каких координатных четвертях расположен график функции: 1) 1/ = (1-72)д:; 2) J/= (ТП-3,5)х? 239. l)'^ Докажите, что 7^ — иррациональное число. 2) ® Найдите рациональное число а такое, что 7^ -0,1 <а< 7^ -1-0,1. 240* 1) Известно, что число л, входящее в формулу длины окружности С = 2kR и площади круга S = лЯ^, где R — радиус окружности, является иррациональным. Докажите, что числа 7л и 3 7л иррациональные. 2) Выразите из формулы площади круга радиус. 3) Запишите формулу для вычисления площади круга по его диаметру d. Выразите диаметр из этой формулы. 4) Вычислите диаметр круга, если его площадь равна: а)36лмм^; б)81лсм2; в)7лдм2; г)13лм2. 'О; г-- 'Z-(+f Я"—, a) 6) e) А В С В А X С С А X В г) d) e) А С в В С X А С В X А Рис. 20 241. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: 1)64 см2; 2) 1,21 м2; 3) 5 дм2; 4) 17 см2. 242.'^ На координатной прямой (рис. 20) расположены точки А(х), В(х^) nCiJx). Какие из этих вариантов невозможны? Ответ обоснуйте. 243. Решите уравнение: 1)л:2 = 81; 7)0 0,0102 = 9; 2)л:2 = 0,25; 8)0 0,09x2 = 25; 3)1/2=11; 9)0 (2х-5)2 = 4; 4)02 = 0,4; 10)0 (51/+ 3)2 = 4; 5)25x2= 16; 11)^(02-5)2 = 16; 6) 36г/2 = 49; 12)* (1/2-4)2 = 25. 244.*Найдите корни уравнения: 1)х“- 16 = 0; 3)х4 :х-б = (10-2)-5; 2) (х2)3 = 64; 4) x^^ = -392». 245. Сравните числа: 1) л/М и V56; 3) л/0,5 и 0; 2) -л/5,2 и -л/5,3 ; 4) Л и То . 246. ’’Упростите выражение: 1) 3). J_. (/ 7250 ’ 5) 713251.13 2) л/5-120; 4). 11187 ^ V Ц31 ’ 6) 7(31-50)-2 b 247PСравните значения выражений: 1) Ja^ + 7^ , , V(a + Ъ)^ при a = 3 и b = 4; 2) Ja ■¥ Jb ,2 Jab, Ja + b при а = 1биЬ = 9. 248. '"' Упростите выражение: 1) J{a + 1)2 при а > -1; 2) 7(о - 2)2 при а>2\ 3) 4{а - 3)2 + 4{а - 2)2 при а < 2; 4) 4{а - 3)2 + 4{а - 2)2 при 2 < а < 3. 249. Принадлежит ли графику функции у = х^ точка: 1) А(-72;2); 3)С(-75;-5); 2) В(73;-3); 4)В(79;9)? П Контрольные вопросы и задания 1. Чем по смыслу отличаются предложения: *Ь — квадратный корень из а» и *Ь = Ja *? 2. Верно ли, что если а> Ь> 0,то Ja > Jb 7 3. Используя график функции у = х^, найдите приближенные значения 4б и V0,5 . 18. Свойства арифметических квадратных корней Выражения, содержащие радикалы, во многих случаях можно существенно упростить. Мы уже говорили, что по определению арифметического квадратного корня из неотрицательного числа а: Q iJa)^ = a ) Познакомимся с другими свойствами неотрицательных квадратных корней. Свойство 1. ^ 7^ = |а| для любого числа о ^ -'@Л *-1 Доказательство. Как мы уже отмечали в предыдущем пункте, для того чтобы убедиться в справедливости равенства Jx = у, достаточно проверить выполнение двух условий: 1) г/ > О и 2) 1/2 = л:. В нашем случае должно быть: 1) |а| > О и 2) |о|2 = а^. Оба эти условия выполняются для любого числа а, что и требовалось доказать. Пример 1. Упростить: 1) 7(2 - 4Ъ)^ ; 2) , Решение. 1) 7(2 - Jb)^ = |2 - 751 = 75 - 2, поскольку 2-75 < 0; 2) 7^ = 7(&5)2 = |Ь®1. Свойство 2. ^ Jab = Ja Jb для любых неотрицательных чисел а и & ^ Доказательство. Для неотрицательных а и Ь Ja > 0 и Jb >0, значит: Ja • Jb > о (условие 1); (Ja • Jb)^ = (Ja)^ • (Jb)^ = аЬ (условие 2). Оба условия выполняются, значит. Jab = Ja • Jb . Если подкоренное выражение содержит несколько неотрицательных множителей, то и в этом случае корень из произведения равен произведению корней из множителей. Пример 2. Вычислить л/0,64 • 16 • 625 . Решение. 70,б4• 16• 625 = 70,64 • 7Тб • V625 = = 0,8-4-25 = 80. Свойство 3. ^ ~ ^ а>0и&>0 ^ фг Ш I/ у Проверка выполнения условий 1 и 2 приводит к выводу о том, что если числитель дроби неотрицателен, а знаменатель положителен, то корень из дроби равен частному корней из ее числителя и знаменателя. 16 Пример 3. Вычислить — А/49 Решение. /Ц = | V49 749 7 127. Пример 4. Найти значение выражения J— 48 Решение. Разложим числа 27 и 48 на простые множители. 27 = 3®, 48 = 2'*’3. Отсюда 27*48 = 2‘‘’3'*. Значит, Г- 27*48 _ /2^ * 3-* _ 72^ • 3-* 25 52 7(22)2- 7(32)2 _ 22-32 ТР 5 = ^ ^ =72 5 Упражнения 250- 1) Найдите значения переменной с, для которых верно равенство: а) |с| = с; в)(7с)2 = с; б) |с| = -с; г)(7с)2 = -с, 2) Запишите пропущенную часть тождества Jc^ = ... . 3) Докажите полученное тождество. 251Является ли тождеством равенство: 1) 7^ = х; 3) 7^ = х^; 2) 7^=л:2; 4) 7^1°= л:»? 252/' Упростите выражение: 1) 7^; 2) 7^; 3) 7^; 4) Tni^: 5) 7i /П 2/г 6) 7)й", '0 253. Упростите выражение: 1)0 a) 7(a-l)2; 6) 7(2a -3)2; r) 79d2 - 6d + 1; Д) 7(a + 1)2 - 4a; e) V(a -3)2 + 12a; B) V(73-V2)2; r) 7(723-7^)2; b) 7c^ - 2c + 1; 2) 0 a) 7(1-72)2; 6) 7(715-4)2; 3) * a) 7(&- 2)2 + 7(b- 1)2 при & < 1; 6) 7(2c-6)2 - 7(3c - 6)2 при c> 3; 4) * a) при 0 < X < 3; 6) при у > 5. 254. Найдите значение выражения: +2iTl44; 5)0,247^ -0,427169; 3) l| 7^ +3,5764; 6) 0,3672401 - 0,637Ю24. О 255. 1) Сформулируйте словами свойство 7^ = Ja ' Jb. 2) Докажите данное свойство. 3) Вычислите: 1) i7l00 -i7^; 2) 0,47^ - I 749; а) 781 • 121; б) 70,64 • 0,36 ; в) 7225 • 49 ; д) 7з • 7з; е) 7^ • 75 ; ж) Л'Ж2; I г) 70,09 • 0,25; 4) Чем отличаются выражения в столбцах? 256. Найдите значение выражения, представив подкоренное выражение в виде произведения квадратов: 1) 732-98; 2) 7162-128; 3) 70,03 • 75 ; 4) 70,12-192; 5) 0 733-15-55; 6) 0 742 -35-30; b I 9)0 V(2'‘-54)5; 7) 0 763-91-52; 8) 0 740 • 85 • 34 ; 10)0 7(34.76)3, 257. Найдите значение выражения, представив произведение корней в виде корня: 1) ^/P•73; 3)71^-7Ш; 2) 725-7 • 714 ; 4) ДЬО • 740 . 258. 1) Сформулируйте словами свойство 1^ = ^ . 7ь 2) Докажите, что данное свойство является тождеством. 3) Используя данное свойство, вычислите: ч 7бз 3® • ^25’ ж)^; 7П г) 1Ш. ' V169’ l“- ^25’ , Т4;05 ^ 75 ■ 4) В каких выражениях используется свойство корня из частного, а в каких — свойство частного корней? 259. Найдите значение выражения: 1) ’ V 625 ’ /72 -162 . 36 ’ 260.^ Вычислите: 1) 73132- 3122; 2) 7732 - 482; 3) 716Q2 - 962 . 3) О /(3^-8)3. V32 • 31^ ’ 4)' О /(125-121)-10 25-13. 11-16 • 4) 72932- 682; 5) 7386,52 -97,52; 6) 7548,52 _ 292,52 261. 1) Проверьте истинность равенства: а) 7l^-l- 23+ 33 =1 + 2 + 3; б) 713 + 23 + 33 + 43 =1 + 2 + 3 +4. 2) Продолжите закономерность и проверьте ее. ш г—; L\ Jr- 262. Верно ли равенство: 1) 7l52 + 202 = 772 + 242 ; 2) 71132-1122 = 7122 + 92 ? 263.* Можно ли, выполнив устные расчеты, утверждать, что число не является рациональным: 1) 732 108; 3) 7543 210; 5) 723,419; 2) 779 353 ; 4) 7160 285 ; 6) 713,525 ? 264* Может ли при каких- •нибудь положительных а и 5 быть верным равенство: 1) Ja + Ь = Ja + Jb; 3)J^=ab-, 5) J 1; 2) Ja - b = Ja - Jb; 4)7^=аТ&; 6)J=^? 265:*' При каких значениях x верно равенство: 1) = X + 10; 4) 7^2 = Зх + 16; 2) 7x2 = 12 - х; 5) 7(л: - 6)2 = X + 20; 3) = X - 8; 6) 7(л: + 10)2 =_2x- 44? 266.*^ Найдите множество допустимых значений переменной в выражении: 1) 7^; 7) 72^^; 2) 7^; 3) 7л: + 6 ; 4) 7л: - 7; 10)* 710 - X -f 7л:-7 ; II)» * ; 7х - 5 6) 75 - 10у ; 12)* ■ 1 - 267. Вычислите: 1) 77056 ; 3) 760 025; 2) 79801; 4) 7102 400. .Ф Г' /: Л э ' --iLf 1 Ire 3^ 1. 2. Контрольные вопросы и задания Как установить, что равенство Jx = у верно? Запишите в виде формулы правило извлечения корня из произведения, частного. 3. Найдите значение квадратного корня !■ 1822-742 75 19. Внесение и вынесение множителя из-под знака корня Рассмотрим корень из произведения, в котором один из множителей является квадратом некоторого числа. Например, ^/^ = V49 • 2 = • J2 = 7 л/2 . Мы вынесли множитель 7 из-под знака корня, т. е. представили число V98 в виде произведения числа 7 на ^/2 . Вообще, при неотрицательных значениях Ь Ja^b = • Jb =\а\4ъ. Пример 1. Вынести множитель из-под знака корня в выражении 7120 • 90. Решение. Разложим числа 120 и 90 на простые множители: 120 = 2^ • 3 • 5, 90 = 2 • 3^ • 5. Отсюда 120 • 90 = 2'* • 3^ • 5^. 7120 • 90 = 72'* • 32- 52- 3 = 22.3 • 5 • 73 = 6073. Пример 2. Упростить выражение , 712 Решение. Щ = = Щ = ^ = 2,5. 712 74^ 273 2 В некоторых случаях бывает удобно выполнить обратное преобразование — внесение множителя под знак корня. Ф, Пример 3. Внести множитель под знак корня: 1)5VM; 2)-2073. Решение. 1) 570^ = 752-0,4 = 725-0,4 = TiO; 2) -2073 =-1-2073 =-7202-3 =-71200, Внесение множителя под знак корня можно использовать для сравнения значений выражений. Пример 4. Сравнить значения выражений 372 и 273, Решение. Внесем множители под знак корня: 372 = 7^ = 718 и 273 = 74^ =712. Вы знаете, что больший квадрат у большего числа. Применительно к квадратным корням это можно сформулировать так: чем больше подкоренное число, тем больше корень. В нашем случае 18 > 12, значит, 7l8 > 7l2 , т. е. 3 72 > 2 73 . Упражнения 268. 1) Докажите тождество 75- 2) Вынесите множитель из-под знака корня: а) 772 - 3 ; е) 745; л) 7Ю8; б) 7Ц2-3; ж) 7200; м) 71^; в) 724-32-7; з) 73000; н)|7^; г) 73® - 22 - 5 ; и) 7125 ; 0)0,27675 ; Р)Ш-, к) 7147; п) 1,571728. 3) Вынесите множитель из-под знака корня: 18. ч /50 г) '300 121 --0 in ^ 269. Считая, что переменные принимают только положительные значения, вынесите множитель из-под знака корня: 1) а) ; б) л/о^; в) Ja^b^; г) Jb 5-4 д) J25a^z; и) 7бЗа®у^; е) J36by^; к) 7т2^; ж) JSa^b » л) 7288*11^10 9 з) JlSx'^y; м) 7320р0гд12 » (-Ч /ас® . в) /l6ra®mii ч J 25*3 ; rt, /9x13 б) 7а^"6^"; в) /а2п + 2. Лгп + з' I’l la*"' 270Р Вынесите множитель из-под знака корня: 1) tjd^b при (X ^ Oj 4) 7^ при у < 0; 2) J9xy^ при у <0; 5)* Ja^b^ при а < 0; 3) Jx^y при л: < 0; 6)* Jp'^q^ при р < 0. 271. Представьте выражение в виде аЛ, где а — целое, аЬ — натуральное число: 1) 78-ь718; 4)Л2-748; 2) j50 + j32; 5)л/99-4л/44; 3) J75-J^; 6)3763-2ЛТ2. 272. Внесите множитель под знак корня: 1) 277; 4)7Т10; 7)10Т0^; 2) 375; 5)бТ^; 8)0,47^; 10) -0,7 710; 2 11)-|7^; 3)1073; 6)зД; 9)0,9/^; 12) I 7^. 273. Сравните значения выражений: 5) 573 иЗТВ; 6) -2Т7 и-772; 1) 7и 272; 2) 7^ иЗТЗ; 3) 5и2Тб; 4) 573 и 7; 7) 1 72 и i 73 ; 8)0,375 и 17з Ш 274P Расположите выражения в порядке возрастания их значений: 1)5Тб; 7V3; 2737; 275.® У простите выражение: 2)37l9;47l0; 13. 1) 7(10- 2j^f; 4) 7(7б1 - 377)2; 2) 7(375-44)2; 5)® 77-473; 3) 7(275 - 7^)2; 6)* 75-276. 276.® Внесите множитель под знак корня: 1) а) а Л при а < 0; д)* аТа; б) 2Ь73 при Ь <0; е)* ЬЛ-Ь; в) ; ж) ® 7ё; г) у Л при у <0; з)* . 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания На каком свойстве квадратного корня основано вынесение множителя из-под знака корня? Является ли тождеством равенство J2a^ = а V2? Сравните значения выражений | ТЗО и 3 . 20. Действия с квадратными корнями Свойства квадратных корней часто используются в различных преобразованиях числовых выражений и в тождественных преобразованиях выражений с переменными. Л Пример 1. Преобразовать дробь так, чтобы ее знаме- V54 натель не содержал радикала. ф. f#lr\ bs ___Л Решение. Заменим частное корней квадратным корнем из частного их подкоренных выражений: 72 _ /Т _ /Т _ /Т 754 V54 V27 V33' Для того чтобы из знаменателя извлекался корень, он должен содержать степень с четным показателем. Умножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на 3: /1= /I V33 ^34 3 _ 7з _ 7з 32 9 ' Мы получили дробь, знаменатель которой не содержит радикала. Подобные преобразования иногда называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе. Пример 2. Упростить выражение Решение. Разложим числа, стоящие под радикалами, на простые множители: 7!^ = 752* 2-3 =5Тб; 7^ = 725-3 = 724-2-3 =4Тб. Избавимся от иррациональности в знаменателях дробей: ^ _7б_1/^ 1_7б_7б_1/Б 3 7 32 3 3 ’ 7б (J6f 6 6 • Следовательно, Л50 - V96-J-i-576 -476 - iVe-iVe-.(5 - 4-1 -1)76 =176. Пример 3. Освободить дробь 71з - ТТо от иррациональ- ности в знаменателе. фу jr— Решение. В знаменателе дроби стоит разность корней. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на сумму тех же корней, чтобы получить в знаменателе разность их квадратов: 6 Лз - лДо б(Лз -ь Ло) _ б(Лз + Ло) (Лз - Ло)(Лз + Ло) (Лз)"'-(Ло)2 = = 2(Лз -н Ло). 1о “ 1U Пример 4. Упростить выражение faJa + ьЛ У Ja + Jb ' \ Ja - Jb ' Решение. Конечно, можно выполнять преобразования с радикалами, удобнее, однако, ввести новые переменные — обозначить Ja , например, буквой х, а. Jb — буквой у. Тогда aja = х^, bjb=y^ и Jab = ху. Упрощаем полученное рациональное выражение: ^3 4- уЗ \ f г.З — ;уЗ {X -ь у){х^ -ху + у^) х + у ху j - у)(х^ + ху + у^) ^ j ^ = (х^ -ху + у^- ху)(х^ + ху + у^ + ху) -= (х2 - 2ху + J/2)(x2 -f 2ху -Ь у2) = (ЛГ - у)Чх -1- у)^ = = ((л: - у)(х -I- 1/))2 = (х^ - 1/2)2. Теперь можно вернуться к исходным радикалам: (д;2 - у2)2 = ((J^)2^(Jb )2)2 = (а _ Ь)2, Упражнения 277. Преобразуйте в дробь , используя основное свойство дроби так, чтобы ее знаменатель не содержал радикала. 278. Представьте в виде дроби, знаменатель которой — натуральное число: 5) jl 12 13’ ^чЬ «75^ 7)- Д1-V18’ 279. Упростите выражение: 1) J2 + Л - Л8; 2) 73 + Л2 - 748; 3) 7l8 + 750 - 7^; 4) 0,572 - 7^ - 7^; 5) 7Ш -3748 +3JI; 7) V72 +278 -1вД; 8) 7l2 + 7^ - 7^; «>£¥з- 25 13) Тоз; 14) 70^; 11)^; 724 15)^; 875 12)-^; 16) з720‘ 9) 7^ - 748 - 7108; 10) Tiooo - 790 - Tieo; 11) 7^ -г,ъ4Т2 +27^; 12)47^ + ^ 745 - 7^; о 13) 0 А + |7Ш-12Д; 14) 0 2^ - 2,ъШо -30 /|; 75 V5 15) 0 1,5|+27Г5-зД; 16)0,57^ + ^ 7Ш -7^. 280. Выполните действия: 1) (7l2 -2718)- 72; 2) (715 - 7^)- 75; 3) (273 + 75)- 73 - 7б0; 4) (5 72 + 2 75)- 75 - 7^; 5) 75 + 710 -(275 -0,572); 6) 72 -76* (з72 + |V3); 7) (7^ - 7l2-77)*T7+27^; 8) (7^ - 718-7П)*7П + з7^. 281. Вычислите: 1) 72 + 73 • 72 - 73 ; 2) 7з - ТВ • 7з + ТВ. 282. Используя при необходимости формулы сокращенного умножения, упростите: 1) (473 -272)(473 +272); 5) (372 - ТВ )2 - ТЗбО; 2) (7ТЗ +872)(7ТЗ-872); 6) 7^ -(2ТВ + 710)2; 3) (73 - 1)2+712; 7)* (72 - ТВ)(7+710); 4) (ТВ + 1)2+7^; 8)* (72 + 73)(5 - 7б); 9) (7^ + 77 )2 + (7^ - 77 )2; 10) (7^ + 7зз)2-(7зз - 7^)2; !!)• (1 + 72)2 *(3-272); 12)* (3- 73)2*(12 + б73). 283. Выберите правильный ответ. Чтобы получить целое число, нужно умножить: 1) 5 - 7П на: а) 7П ; б) 5 - 7П ; в) 5 + 7П ; 2) 27iO - 4 на: а) 2710-4; 6)271^+4; в) TlO ; 3) 7 + 4ТЗ на: а)7-4ТЗ; б) 7з ; в)7 + 4ТЗ; 4) 5-372 на: а) ТВ; б) 72; в) ТВ • 72 ; г)5 + зТ2; д)5-ЗТ2. 284. Докажите, что значение выражения есть число рациональное: 5 + 2J3 ^ 5-2J3 5-2J3 5 + 2J3' 2J 3 + 2-72 ^3-272 5-72 Ъ+ 42 ' ~Л 3 285. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: 10 1 гтч 14 1) 2) 3) 3-75’ 12 4 + ЛТ ’ 4 з72-Ло’ 4) 5) 6) 572 + 7’ 75 - 7з. 75 + 7з ’ 277 + ТВ 277- ТВ ’ 7) 8) 9) зТз - 27В’ 3 47з - зТВ’ 5 277 - з7б 286. Проверьте равенства, составленные в XII в. индийским математиком Бхаскарой: 1) 7б+ 7^ = 72 + 73; 2) ^ = 72 + 7з + ТВ. 5+ 7з 287. Установите, какие из чисел рациональны, а какие иррациональны: 1) 7з - 72 • 7з + 72; 2) (2 + ТВ )(2 - ТВ); 3)* 7б + 7П - 7б - 7П; 4)* 77 + 47з + 77 - 47з . 288. Выполните действия: 1) (72 + 78)2; 2) (745 - 73)2; 3) (1- 72)3; 4) (73 + 72)3. 289.*® Упростите выражение, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата: 1) 74 + 273; 3) 79-47В; 2) 7з - 272; 290. Вычислите: 1) 74 + 27з + 74 - 27з ; 2) 78 + 277 - 78 - 277; 4) 7i2 + б7з. 3) (7з + ТВ - 7з -ТВ 4) (72 + 72 - 72 - 72 291 .• 1) Разложите по формуле бинома Ньютона и упростите: а)(72 + ТЗ)б; б)(73 - 72)^ 2) Сколько в разложении рациональных членов? 'Ф; 292. Решите уравнение: 1) jc73-76=3; 4)2x72 +6 = Зл/2; 2) 7 - 3x2 = 0; 5p ^ = 0; 3) x2 - 6 = 0; 6) X + J2 X - 72 >0 5 2 + X- Л х + 7з 293.® Найдите значение выражения: 1) а2 - 4а + 11 при а = 2 + Тб ; 2) &2 + _ 1 при Ь = ТТО - 3; 3) х2 - Зх + 7 при X - ^ ; 4) 1/2 + 5у _ 5 при у = ^ ’ 5) а® + 8а2 + 8а + 7 при а = 73 - 4; 6) с® - Зс2 - 2с + 8 при с = ^ . = 0. 294. Представьте в виде произведения: 1) а) 714 - 72 ; б) 7з + 7б; 2) а) а + Та ; б) 7^ - bjb; 295. Сократите дробь: 1) 2) 3) в) 3+ 7l2 - 73; г) 5 - ТВ + ТГб ; в) с2- 18; г) а - 1. 4) 7^ - 27a 5) x+7i3 . 7B-2 ’ x2- 13 ’ X + ТЗх. 6) a2- 8 7з + -Jx aja + 2j2^ у - . 7) - 12 Л-3 ’ 2j3b-bji>’ Jc + Л. 8) c - 6jc + 9 c + 7^' c -9 9) 10) 11) 12)' а + 27а + 1 . а - 1 Ja + Jb . a-b ’ 5 x-Jx — 1 Лс-l ’ • yjy+ 1 ^ 7y +1 11 296? Упростите выражение: Ja.Jb 2jab 1) yja + Jb Ja - Jb a - b ) \ +Ji) ) 2) aja + bjb 2jb Jab (a-b)(Ja+Jb) Ja+Jb a-b 297. Решите задачи. 1) Если от квадрата отрезать треугольник площадью 47 см^, то площадь оставшейся части будет равна 74 см^. Найдите сторону квадрата. 2) Найдите радиус круга, площадь которого равна 4 дм^. Контрольные вопросы и задания 1. 2. Может ли значение выражения а + Ь - 2 Jab быть отрицательным? 1) Примените формулу разности квадратов к выражению а - 4. 3. 2) Примените формулу суммы кубов к выражению 8 + bJb. Л Освободите дробь —----- от иррациональности в знамена- 272-11 теле. Глава 4 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ О § 7. Формулы корней квадратного уравнения 21. Выделение полного квадрата Многие математические задачи сводятся к нахождению значений переменной, обращающих в нуль многочлен, т. е. к решению уравнений вида Р(х) = О, где Р(х) — многочлен от переменной х. Являясь целым выражением, многочлен Р(х) дает название и уравнению Р(х) = 0 — такое уравнение называют целым и считают его степень равной степени многочлена Р{х). Степенью же многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней составляющих его одночленов, а сам этот одночлен и его числовой коэффициент называют старшими. Так, например, многочлен 2лг® + х^ — -6х - 3 имеет третью степень, а многочлен 2х^ - + 24л:^ - -х^ + 8х - 12 — шестую. Член многочлена, который не содержит переменной, называют свободным. Уравнение ах + Ь = 0, где а 0, имеет первую степень, ах^ -ь -ь с = о, где а ^ 0, — уравнение второй степени, или квадратное уравнение, ах^ + Ъх^ + сд: + d = 0, где а ^ 0, — уравнение третьей степени, или кубическое, и т. д. Коэффициенты и свободный член многочлена Р{х) могут быть любыми действительными числами, и только старший коэффициент должен отличаться от нуля. Один из основных способов решения целых уравнений с одной переменной — разложение левой части на множители с последующим приравниванием к нулю каждого множителя по отдельности. Пример 1. Решить кубическое уравнение 2х^ + - бх - 3 = 0. TV nrin 7 Решение. Постараемся разложить левую часть уравнения на множители: 2х^ + - 6х - 3 = (2х^ + х^) - (бдс + 3) = = хЦ2х -Ы) - 3(2х 4-1) = (2х + 1)(л:2 - 3). Произведение многочленов равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, т. е. 2х -1- 1 = О или - 3 = 0. Линейное уравнение 2д: + 1 = 0 имеет единственный ко- рень , а у квадратного уравнения - 3 = 0 есть два корня: -ч/З и -л/З Ответ: ; ±7з , Р 3 амечание. Для нахождения корней уравнения д;^ - 3 = 0 мы могли разложить выражение - 3 по формуле разности квадратов: - 3 = = (х - J3)(x + 7з), лучше, однако, переписав уравнение - 3 = 0 в виде д^ = 3, воспользоваться определением квадратного корня. Пример 2. Решить уравнение -f 2д - 5 = 0. Решение. Первым двум членам левой части равенства не хватает слагаемого 1, чтобы «свернуться» в квадрат суммы (д -I-1)2. Однако нехватку легко восполнить: д2 -f 2д - 5 = д2 -Ь 2д -f 1 - 1 - 5 = (д -f 1)2 - 6. Мы представили квадратный трехчлен д2 4- 2д - 5 в виде суммы квадрата двучлена и числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена или выделением полного квадрата. Завершаем решение уравнения: (д 4- 1)2 - 6 = о, (д 4- 1)2 = 6, д -Ы = ±7б , Д1.2 = -1 ± 7б , От в ет: -1 ± 7б. Пример 3. Решить уравнение Зд2 - 4д 4- 5 = 0. ^2 п'‘ -^1Ггтфу Решение. Старший член Зл:^ можно представить в виде квадрата (V3 х)^, однако в этом случае нам и дальше придется иметь дело с радикалами. Поэтому лучше сначала умножить все уравнение на 3: 9х^ -12х-1-15 = 0, и только после этого выделять полный квадрат: 9x2 _ 12л: -Ы5 = (Зх)2 - 2 • Зх • 2 -f 22 - 22 и- 15 = = (3х-2)2-1- 11. Свое наименьшее значение выражение (Зх - 2)2 -1-11 при-нимает, когда (Зх - 2)2 = 0, т. е. при ^ “ g • При этом х значение выражения равно 11. Все другие значения выражения больше 11. Таким образом, выражение (Зх -2)2-1-11 при любом значении х является положительным числом. Следовательно, уравнение (Зх - 2)2 ч- 11 = 0, а вместе с ним и исходное уравнение корней не имеют. Ответ: корней нет. Пример 4. Решить уравнение 3x2 + _ 5 = о. Решение. Умножим, как и в предыдущем примере, уравнение на 3: 9x2 + Зл: - 15 = 0. Теперь, однако, представление второго члена в виде удвоенного произведения: Зх = 2 • Зх • I — приводит к дробям. Если же умножить уравнение 9x2 + Зх - 15 = о на 2: 18x2 + бх - 30 = 0, то «испортится» первый член. Чтобы этого не случилось, умножим уравнение 9x2 + Зх - 15 = о на 4: 36x2 + i2x - 60 = 0. Теперь полный квадрат легко выделяется: 36x2 + 12х - 60 = (6х)2 -f2-6x *1-1-1-1-60 = = (6x4-1)2-61. Конечно, вместо двух последовательных умножений на 3 и на 4 лучше было бы сразу умножить исходное уравнение на 12, т. е. на учетверенный старший коэффициент. Завершаем решение: (6х + 1)2 - 61 = о, (6х + 1)2 = 61, 6х -Ы = ±7б1, -1± 7б1 ^1;2 = Ответ: -1±7б1 Упражнения 298. Какие из уравнений являются целыми: А)х^ + 2х-г = хЗ; 5) +7 = 0; 1) =0; X- 1 2) Зх + 5 = 2х - 10; 3) 4x2 + 4х + 1 = 0; 6) + 2у _ Ъу* - 5 ^ 3^ 73 + 2 3-7? 299. Представьте уравнение в виде Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен, и определите степень полученного уравнения: 1) (X - 1)(х + 2) = (х - 3)(х + 3); 2) 2-(j/-2)2 = j/(y + 2)2; 3) 0 (2 - 2)3 + (2 + 2)3 = (2 + 3)2; 4) 0 (2р + 3)4 = р2(2р - 5)(2р + 5). 300. Решите уравнение, раскладывая на множители много- член 1. 1) 3x3 +2x2-21х- 14 = 0; 2) 10X3 _ 0Д.2 = 5д; _ 3; 3) х2(6х - 5) - 99 = (х - 18)4х + 9; 4) ЗхЗ - ?х2-|х + 4 = 0. А О 301. Назовите старший коэффициент и свободный член в уравнении: 1) 7х2 + 6х +11 = 0; 5)6р2+7р = 0; 2) -5р2 + 41/ + 1 = 0; 6) IZt - 9«2 = 0; 3) -72 + 72 + 222 = 0; 7)«2 + 5 = 0; 4) 0,3u2-11+ о,25и = 0; 8)х2 = 0. 302. Выделите полный квадрат и решите уравнение: 1) х2-18х + 80 = 0; 3)х2-5х-24 = 0; 2) х2+16х + 73 = 0; 4)х2 +17х-42 = 0; 1 Математики научились решать любые целые уравнения с одной переменной до четвертой степени включительно, а вот из уравнений высших степеней решить можно лишь некоторые. Причем, когда левую часть целого уравнения не удается разложить на множители, а поиск целых корней оказывается безрезультатным, шансов решить уравнение довольно мало. #; x‘~ 5) 4x2 + 12л:-55 = 0; 6) 9x2-12x + 21 =0; 7) 15x2 + 7x-2 = 0; 8) 3x2+ 16x + 21 = 0. 303. Решите уравнение: 1) 3x2+ 7x-5 = 0; 2) 7x2 - X + 3 = 0; 3) 2x2 + 5x- 11 = 0; 4) 6x2 - llx +8 = 0. 304. Найдите наименьшее значение, которое может принять выражение: 1) 2+ 3x2; 3)* 9x2+18х+121; 2) (7х +12)2 +27; 4)* 5x2 + 7х - 21. 305. Найдите наибольшее значение, которое может принять выражение: 1) 2- 3x2; 3)# 123 - 4x2 + 2) 23-(9х-12)2; 4)* 32 +Их-5x2. 306. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, периметр которого равен: 1) 40 см; 2) 50 см? 307. Решите задачи. 1) Одно из положительных чисел на 3 больше другого, а произведение этих чисел на 97 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа. 2) ® Сумма двух положительных чисел равна 29. Квадрат одного из них меньше квадрата другого на 87. Найдите эти числа. 3) Сумма квадратов двух отрицательных чисел равна 137. Найдите большее из этих чисел, зная, что они отличаются друг от друга на 7. 308. ^ Решите задачи, составив по их условиям квадратные уравнения. 1) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из его катетов на 9 см и больше другого катета на 32 см. Найдите стороны треугольника. 2) Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого на 89 см и меньше гипотенузы на 9 см. Найдите стороны треугольника. 309. * При каком к уравнение: 1) (к - 2)х + ЗА + 2 = о не является уравнением первой степени; 2) (А + 3)х2 - 5Ах - 4 = о не является квадратным? f ^ :• L ---h ‘vr* ^ ’4=> 11 in s ' Контрольные вопросы и задания 1. 2. Во всяком ли квадратном трехчлене можно выделить полный квадрат? Приведите к виду ах^ + Ьх + с = О уравнение 5-(2-*)-|(з+т)- Выделите полный квадрат и решите уравнение 5х^ - X + 1 = 0. 22. Решение квадратного уравнения в общем виде Каждое квадратное уравнение, как вы убедились в предыдущем пункте, можно решить с помощью выделения полного квадрата. Однако решать квадратные уравнения вам предстоит еще много раз, поэтому имеет смысл решить квадратное уравнение в общем виде, а затем спокойно пользоваться результатами этого решения. Любое квадратное уравнение можно записать в виде ах^ + Ьх + с = О, где Ь и с могут оказаться любыми действительными числами, а старший коэффициент а — любое действительное число, кроме нуля. Выделим в левой части уравнения полный квадрат. Для этого предварительно умножим, как и в примере 4 предыдущего пункта, обе части уравнения на число, которое одновременно сделает старший член «удобным» квадратом, а коэффициент при X — четным. Таким множителем является, например, число 4а: т. е. 4а^х^ + 4аЬх + 4ас = 0. 4а^х^ -I- 4аЬх + 4ас = (2ах)^ + 2 • (2ах) 'Ь + Ь^ - Ь^ + 4ас = = (2ах + 6)2 -Ь^ + 4ас. (2ах + 6)2 - 62 Ч- 4ас = 0, (2ал: -I- 6)2 = - 4ас. Теперь из числа 62 - 4ас будем извлекать квадратный корень. Являясь квадратом, левая часть полученного уравнения не может принимать отрицательных значений. Поэтому если 62 - 4ас < о, то наше уравнение корней не имеет. Если 62 - 4ас = о, то (2ал: -f 6)2 = 0, 2ах Ч- 6 = 0 и уравнение имеет единственный корень, равный . ^ и Когда - 4ac > 0, существуют два квадратных корня из числа - 4ас. В этом случае имеем: 2ах + fe = - Аас или 2ах + Ь = -Jb^ - 4ас . Из этих равенств находим корни уравнения: _ -Ь + - 4ас . _ -Ь - Jb^ - 4ас ЛГ1 = 2а ; ^2 = 2а Таким образом, число корней квадратного уравнения зависит от знака числа Ь^ - 4ас. Это число называют дискриминантом и обозначают буквой D^. Квадратное уравнение ах^ -Ь Ьл: -f с = 0 (а 0): — при D <0 корней не имеет; — при D = о имеет единственный корень ^ ^ ! -Ь ± — 4ас — при D > о имеет два корня Xj. g = 2а Блок-схема алгоритма решения квадратного уравнения приведена на рисунке 21. Рис. 21 1 D — первая буква латинского глагола discriminare — «разделять, различать». г Р' \ —«у ли 4 Пример 1. Решить уравнение х 73 + 5х^ -2 = 0. Решение. Выпишем сначала старший коэффициент (а), коэффициент при х (&) и свободный член (с): а = 5, Ь= JS ,с = -2. Найдем дискриминант данного квадратного уравнения: £> = _ 4ас = (73 )2 - 4 • 5 • (-2) = 3 + 40 = 43. Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле корней: ^1;2 “ _ -b±jD _ -Л ± -Дз 2а 2а Ответ: .Л*М М-Л 10 ’ 10 Ив Примечание. Вместо того чтобы выписывать значения коэффициентов, можно записать уравнение в виде ах^ + 6х + с = 0, т. е. по убыванию степеней х: 5х^ + хЛ - 2 = 0. В этом случае практически нет опасности перепутать коэффициенты. Пример 2. Найдите все значения а, при которых уравнение 2х^ - ах -I- 1 = о имеет единственный корень. Решение. Единственный корень это квадратное уравнение имеет тогда, когда его дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант и приравняем его нулю: D = (-а)2 - 4 • 2 • 1 = а2 - 8. а2-8 = 0, а2 = 8, а^.2^±Л =±2j2 Ответ: 2j2 и-2л/2. Упражнения 310. Выделяя полный квадрат, решите уравнение: 1)Зх2-Ь 5х+1 = 0; 2)Оах2-1-Зх-1-1 = 0. Л —. 311. Приведите пример квадратного уравнения ах^ + Ьл: + с = О, у которого: 1) а > О, fe < О, с < 0; 4) а > 0, & > О, с = 0; 2) а < О, Ь > О, с < 0; 5) а < О, & = О, О 0; 3) а > о, 6 < о, с = 0; 6) а > О, & = О, с = 0. 312. Приведите уравнение к виду ах^ 4- Ьлг + с = О и определите а, & и с: 1) Зх-5 + 4x2 - I3x + 2 = 7x2 - X - 9; 2) -6 + 4х - 5x2 = _9^2 _ 11л; + 13; 3) 2х + 3x2 - 5 = 7 + 5л-2 _ 12л; _ 5; 4) 9 - 7х - 13x2 = -7х - 10x2 _ 4. 5) 4х(5 - Зх) = (х - 1)(2 - 5х); 6) 2х(3 - 4х) = (5х - 5)(3х -I- 2). 313. Приведите уравнение к виду ах^ + Ьх + с = О, где а туральное, а 6 и с — целые числа: X- 2 на- 1)| -3-Ц^ =0; 2^ - X — + -I- = О’ Ч 3 15 ’ 3) 4) 3 7 - 2х л; - + 1 = 0- ^ 2 9 ’ 12 X 5 п • X - - - - =0. 314. 1) Запишите в виде ах2 -Н 6х -ь с = О и назовите старший коэффициент (а), коэффициент при х (Ь) и свободный член (с) в квадратном уравнении: а) 7x2 _ 13л; -2 = 0; д) 12х + 9x2 + 4 = О; б) 6 - 5x2 + хТЗ = 0; е) 13х - 9x2 = q. в) 10 - Хл/7 + 2x2 = 0; ж) х2-1-11 = 0; г) 3x2 + 4 - 8х = 0; з)5х2-9х = 0. 2) Найдите дискриминант по формуле D = b^ - Аас и укажите число корней уравнения. 3) Найдите корни тех уравнений, у которых они есть. 315. ^ Является ли число k корнем уравнения: 1) х2 - 6х -Ь 2 = о, = 3 -f V7 ; 2) 3x2 + 5х -f 1 = О, ft = S—S . 3) * 4x2 - Их -f 2 = О, ft = л/7 ; 4) 12x2 - б1х 4- 26 = О, ft = 3 - 2 л/7 ; 5) * 5x2 _ 16л; -ь 1324 = О, ft = 5; 6) 2х2-х4-5 = 0. ft = 34-2л/l3? I */• ft. 3- 316^ Найдите корни уравнения с точностью до сотых: 1) 5x2 - 11д: - 1 = 0; 3) 2,3^2 + 14,8х - 6,4 = 0; 2) 3x2 + 13л: + 5 = 0; 4) 4,7x2 - 23,9х + 8,7 = 0. 317. Сколько корней может иметь уравнение (ах2 + 6х + с)(рх2 + ^х + г) = о при условии, что а о и р 5* о? 318. *^ Докажите, что если в квадратном уравнении старший коэффициент и свободный член имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня. 319. Имеет ли корни уравнение 2009x2 + 2010х - 2011 =0? 320.* Найдите все значения к, при которых имеет единственный корень уравнение: 1) ftx2 - Зх 4- ft = 0; 2) (ft - 2)х2 + 2ftx 4- ft -t- 2 = 0, 321 У* При каких ft имеют единственную общую точку графики функций: 1) г/ = х2 и I/ = ftx 4- 1; 2) j/ = x2Hi/ = ftx- 1; 1 3)у=- иу = кх-1; 4)у = - и у = кх + 1? 3227 Двое игроков по очереди ставят в квадратное уравнение ...х2 4- ...X 4- ... = о вместо многоточий действительные числа (не обязательно сначала заполнять первое многоточие). Условия игры. 1) Первый игрок выигрывает, если на последнем ходу получится квадратное уравнение, не имеющее корней, а второй — когда получится квадратное уравнение, имеющее хотя бы один корень. 2) Первый игрок выигрывает, если на последнем ходу получится уравнение, имеющее хотя бы один корень, а второй — когда получится квадратное уравнение, не имеющее корней. 3) Первый игрок выигрывает, если на последнем ходу получится уравнение, имеющее единственный корень. 4) Первый игрок выигрывает, если на последнем ходу получится уравнение, у которого число 2 является корнем. а) Может ли один из игроков выиграть при любой игре другого? 3=^11 X —, 6) Может ли один из игроков выиграть при любой игре другого, если разрешается подставлять только целые числа (только натуральные числа)? 323. Составьте блок-схему решения линейного уравнения ах + Ь = 0, где а и & — любые числа. 324. Решите уравнения из «Книги абака» итальянского математика Л. Фибоначчи (1180—1240), который, путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики и способствовал распространению их в Европе: 60 1 \ 36 о _ 36 , - л: ^ л: 2) — - X = ll х + 2 2* 325.^ Обозначив число рядов буквой х, решите задачи. 1) В зрительном зале сельского клуба было 120 мест. При расширении зала число мест в каждом ряду увеличилось на одно, а число рядов было увеличено на 4. В результате число мест в зале увеличилось на 56. Сколько рядов было в зале до реконструкции? 2) В зрительном зале Дворца культуры 550 мест. При расширении зала число мест в каждом ряду было увеличено на 2, а число рядов на 3. В результате в зале прибавилось 122 места. Сколько рядов стало в зрительном зале? 1. 2. Контрольные вопросы и задания Как установить, сколько корней имеет квадратное уравнение? При каком значении с уравнение Zx'^ -t- блс + с = 0 имеет единст- 3. венный корень? Решите квадратное уравнение Зх^ -(- бд: - 5 = 0. 23. Теорема Виета в предыдущем пункте вы познакомились с общей формулой „ " тл + Jd —Ь —Jd корней квадратных уравнении. Корни —^— и —^— квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0 отличаются только f ^ V ^ знаками перед радикалами, a значит, ни произведение корней, ни их сумма радикалов не содержат: V .г - -b+JD .-b-jD _ (-b)^-(jDf _b^-D ^ * ^ 2a 2a 4a^ 4a^ _ b^ - (b^ - 4ac) _ 4ac ^ c 4a^ 4a^ a ’ V + V = -fe+УД 4. -b-jB _-2b_ b ^ ^ 2a 2a 2a a Мы доказали теорему Виета^. Теорема Виета Если квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 имеет корни. Ь с то их сумма равна —, а произведение равно -. а а Теорему Виета иногда удобно использовать для решения квадратных уравнений. Пример 1. Решить квадратное уравнение 7д;2 - 23х -1-16 = 0. Решение. Сумма коэффициентов и свободного члена этого уравнения равна нулю: 7-23-1-16 = 0. Поскольку сумма коэффициентов и свободного члена многочлена Р{х) — это значение многочлена при х = 1, равенство этой суммы нулю означает, что уравнение имеет корень = 1. Второй корень находим из равенства х^ X с ■ Хо = - , ^ а * Франсуа Виёт (1540—1603), юрист по образованию, жил во Франции во времена, описанные в романе А. Дюма «Королева Марго». Враги Генриха Наваррского, ставшего королем Франции Генрихом IV, несколько раз пытались убить вредного юриста после того, как он расшифровал их секретную переписку. К счастью для последнего и для математики, им это не удалось. Ф. Виет внес большой вклад в развитие математики. Так, в частности, он предложил использовать буквы для обозначения коэффициентов. Самым важным своим открытием Виет считал установление связи между корнями и коэффициентами уравнений. 5> /1^ Откуда Xo = адг, 16 7-1 15 7 ' Ответ: 1; y* Когда старший коэффициент квадратного уравнения равен 1, уравнение называют приведенным. Формулы Виета для приведенного уравнения + рх + q = 0 Xi + X2 = -P Xj • ДС2 = g Сумма корней приведенного квадратного уравнения противоположна коэффициенту при х, а произведение корней равно свободному члену. Замечание. В доказательстве и формулировке теоремы Виета предполагается, что квадратное уравнение имеет два корня, т. е. его дискриминант положителен. Однако теорему Виета легко распространить и на случай нулевого дискриминанта, если считать, что при этом квадратное уравнение имеет два равных корня. Тогда, например, уравнение + бх + 9 = О будет иметь два корня JCj = лгз = = -3. Их сумма противоположна числу 6, а произведение равно 9. Пример 2. Один из корней уравнения х^ 4- 17x -t- g = О равен -21, Найти второй корень и свободный член этого уравнения. Решение. Применим формулы Виета: -21 -I- дгз = -17, ^2 = -17 4- 21 = 4; g = jCj • ^2 = (-21) • 4 = -84, Ответ: Xg = 4, g = -84. О сумме и произведении корней квадратного уравнения можно говорить, когда известно, что уравнение имеет корни. Так, например, нельзя утверждать, что сумма корней уравне- С ния Зх^ - 5х 4- 4 = О равна - , поскольку дискриминант этого О уравнения отрицателен и, следовательно, корней нет. С помощью теоремы Виета легко составить квадратное уравнение, имеющее заданные корни. %• * --у i‘tLT'--ye'‘^rr 1 Zn Пример 3. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5 и - ^ . О Решение. Составим приведенное уравнение. Коэффи- к 2 циент при X в нем противоположен сумме чисел 5 и , О а свободный член равен произведению этих чисел: Избавляясь от дробей, получим уравнение 3x2- 13д:- 10 = 0. Ответ: 3x2 _ _ ю = 0. Сформулируем теперь утверждение, обратное теореме Ви-ета. С Любые два числа Xj и Xg являются корнями уравнения х2 — (Xj + Х^Х + Xj • Xg = о 3 Для доказательства этого утверждения достаточно убедиться в том, что подстановка чисел Xj и Xg в это уравнение обращает его в верное равенство: xf - (Xj Xg)Xi Xj • Xg = xf - X 2 _ • Xg -b Xi Xg = 0. Аналогично проверяется подстановка числа Xg. Доказанное утверждение (его часто называют обратной теоремой Виета) удобно использовать при отыскании корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Пример 4. Решить уравнение х2 -Ь 9х - 22 = 0. Решение. Попробуем подобрать два целых числа так, чтобы их сумма оказалась равной -9, а произведение -22. Представляя число -22 в виде произведения двух целых множителей и каждый раз вычисляя сумму этих множителей, находим числа -11 и 2, которые и являются корнями данного уравнения. Ответ: -11; 2. ,±^П:1"2П"» ет---- 1^ Примечание. Когда корни уравнения не удается подобрать, следует найти дискриминант уравнения и т. д. Упражнения 326. 1) По формуле корней решите квадратное уравнение: а) - бд: -I- 8 = О б) -ь 6х + 8 = О в) х^ - 2х - 5 = О г) х^ -Ь 4х -1- 2 = О д) 3x2 _ д. _ 2 = 0; е) 3x2 -f X - 2 = 0; ж) 3x2 _ 0Д. _ 2 = 0; з) 3x2 + бх - 2 = 0. 2) Найдите сумму и произведение корней уравнения. 3) Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами соответствующего уравнения. Какую гипотезу о соотношении корней и коэффициентов можно высказать? 327. Найдите сумму и произведение выражений: 3)3-^/xиЗ-^7^; 1, 1 + V2 „ 1 - 72 . 3 3 ’ 04 ~2 -ь 73 —2 — л/з -----5---- И -----5----- 4)x-Jynx+Jy. 328. 329 330 331 1) Назовите уравнение, корнем которого является число 1 или -1: а) х2-I-19х - 20 = 0; в) 3x2 - 18х - 21 = 0; б) 2x2-1-18х-Ы6 = 0; г)5х2-32х-37 = 0. 2) Найдите второй корень, воспользовавшись теоремой Виета, . Составьте квадратное уравнение, у которого: 1) сумма корней равна 13, а произведение равно -75; 2) сумма корней равна -17, а произведение равно 27. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если: 2 7 1) сумма корней равна ^ , а произведение равно -- ; О О 04 - 1 11 2) сумма корней равна - ^ , а произведение равно q-jr. о . Даны числа: a)2-t- 73 и2-73;б)72 иЗТз. 1) Являются ли эти числа корнями какого-нибудь квадратного уравнения? 2)* Являются ли эти числа корнями какого-нибудь квадратного уравнения с рациональными коэффициентами? 332. Составьте квадратное уравнение, зная его корни: 1) -7и-11; 4) Д и2Д; 2) 0и-3; 7з - 1 7з + 1. ^ -у- ’ 3)-Л и Л; &)• Л - Ли -^Л-= Л-л 333. Корни уравнения ах‘^ + Ьх с = О равны Xj и JCg. Заполните таблицу. а Ь С ^1 ^2 1) 5 0,4 6 2) 11 3 2,5 3)* 20 4 7 5 8 4)* -5 12 3 5)* 6 1 2 3 6)* 9 -7 1 . Докажите обратную теорему Виета: «J Xj и Х2 являются корнями уравнения Х^ - (Xj -I- Х^Х + Ху' Х2 = 0*. 335. Используя обратную теорему Виета, постарайтесь подобрать корни квадратного уравнения. Если подобрать корни не удается, решите уравнение по формуле корней: 1) л;2 - Зл:-f-2 = 0; 7) л:2-l-5л: + 14 = 0; 2) л:2-Зл:-2 = 0; 8) л;2 + 16л:-I-55 = 0; 3) х2 + х-12 = 0; 9)л:2 - 4л: - 77 = 0; 4) х2-2л:-35 = 0; 10) л:2-Ь 20л: + 91 = 0; 5) л:2-(-5л: - 4 = 0; 11) л:2 - 20х + 91 = 0; 6) л:2-I-5л: - 36 = 0; 12) л:2 - 18л:-Ь 45 = 0. 336. * 1) Один из корней уравнения 4x2 - 28х -I- с = 0 больше другого на 6. Найдите с. XT 2) Разность корней уравнения + 20л: + g = 0 равна 2. Найдите q. 337* Найдите коэффициент Ь, если частное корней уравнения: 1) 5х^ + Ьх - 60 = о равно -3; 2) 20x2 + Ьх 4- 2 = о равно |. О 338."^ Не решая уравнения х^ - 13х 4-5 = 0, корнями которого являются числа Xj и Xg, составьте новое квадратное уравнение, корнями которого являются числа i/j и i/g такие, что: 1) j/i = 2xi, 1/2 = 2х2; 2) i/i = 0,5xj, У2 = 0,5x2; 3) у1 = Xi 4- 1, i/2 = JC2 4- 1; ^)У1 = Х1-2,У2 = Х2~2; сл* 1 1 5) У1 = - >У2 = - 6) " £/i - — . Уг ~ ~; *2 *1 7) *i/i = xf 4- 1, 1/2 = л:|4- 1; 2 2 8) " Ух “ :г’ ’ ^2 ~ IT • 339. 1) Известно, что уравнение ах^ + Ьх + с = 0 (с ф 0) имеет отличные от нуля корни Xj и Х2- Какие корни имеет уравнение: а) * ах2 - Ьх 4- с = 0; б) *" сх2 4- Ьх 4- а = 0; в) ” сх2 - Ьх 4- а = о? 2) Известно, что квадратное уравнение ох^ 4- Ьх 4- с = 0 не имеет корней. Имеет ли корни уравнение: а) ах2 - Ьх 4- с = 0; б) сх2 4- Ьх 4- а = 0; в) сх2 - Ьх 4- а = о? 340. * Докажите, что квадратные уравнения ах^ 4- Ьх 4- с = 0 и сх2 4- Ьх 4- а = о либо оба имеют корни, либо оба не имеют корней. 341 .* Периметр прямоугольника равен 94 м, а его диагональ равна 37 м. Не вычисляя длины сторон прямоугольника, найдите его площадь. X': 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания На сколько сумма корней уравнения 2х^ - 15х - 6 = О больше произведения его корней? Составьте квадратное уравнение, корни которого 4 и -7. Определите, при каком условии один из корней уравнения ах^ + Ьх + с = О равен нулю. При каком условии корни уравнения — противоположные числа? 24. Частные случаи квадратных уравнений Квадратные уравнения ах^ -f- = О и ах^ + с = О называют неполными. Такие уравнения вы решали еще до того, как узнали, что они называются квадратными. При этом вам не требовался ни дискриминант, ни теорема Виета. Пример 1. Решить уравнение -f 5л: = 0. Решение. Зл:^ -f- 5л: = 0, (Зх + 5)х = 0, х = 0 или Зл: -Ь 5 = о, ЛГ1 = о, л:д = . О Ответ: 0; -5. О Пример 2. Решить уравнение Зл:^ -5 = 0. Решение. Зл:2-5 = 0, |, Xj = ; л:г = - . Один из корней квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0 иногда удается подобрать, тогда второй легко находится из формулы Х2 = ---. Обычно при подборе корней квадратного ах уравнения ограничиваются проверкой чисел 1 и -1. Пример 3. Решить квадратное уравнение 27л:2-1- 17л:- 10 = 0. ш 'n^ \ \ ш Решение. Подставив x = -1, получим верное равенство 27 - 17 - 10 = О, значит, Xj = -1. Находим второй корень: Ха = ^ . Ответ: -1; Если уравнение приведенное, можно попытаться подобрать сразу оба его целых корня. Пример 4. Решить уравнение х^ - 7х -Ь 6 = 0. Решение. Попытаемся представить число 6 в виде произведения двух множителей, сумма которых равна 7. Такими множителями являются числа 1 и 6, значит, по обратной теореме Виета они являются корнями данного уравнения. Ответ: 1; 6. Когда корни подобрать не удается, вычисляют дискриминант квадратного уравнения и используют формулу корней. Однако для квадратных уравнений, имеющих четный коэффициент при X, решение можно несколько упростить. Пусть нужно решить уравнение ах^ -Ь 2kx + с = 0. Найдем дискриминант этого уравнения: D = (2/г)2 - 4ас = 4k^ - 4ас = 4(/г^ - ас). Знак дискриминанта, определяющий число корней уравнения, совпадает со знаком выражения - ас, которое равно ^ и называется сокращенным дискриминантом. Если ^ < о, то корней у уравнения ах^ -I- 2kx -Ь с = 0 нет; Dr. при = о уравнение имеет единственный корень ^ 2а а’ D г. когда -- > о, уравнение имеет два корня 4 ^1;2 _ -2k ± 2jk^ - ас ^ -к ± - ас 2а а ф ч я- Пример 5. Решить уравнение 5x^ - 16x +7 = 0. Решение. Найдем сокращенный дискриминант дан- D ного уравнения — = (-8)^ - 5 • 7 = 64 - 35 = 29. Уравнение 8 ± V29 имеет корни л:,, о =---^— 1, Л ^ Ответ: 5 При решении квадратных уравнений неудобно иметь дело с дробными коэффициентами и с отрицательным старшим коэффициентом. Поэтому следует сначала преобразовать уравнение к более удобному виду. 2 5 Пример 6. Решить уравнение | + х — 0. О 7 Решение. Перепишем уравнение в более удобном для решения виде, умножив его на число -21 и расположив члены по убыванию степеней х: 15л:2-21л:- 14 = 0. Уравнение имеет корни, поскольку его дискриминант положителен; X _ 21 ± 7212-(-4-15-14 _ 21 ± V441 + 840 _ 21 ± ДШ. 1=2 2-15 2-15 30 Ответ: оО Мы рассмотрели различные способы решения квадратных уравнений. Старайтесь всегда выбирать наименее трудоемкий. Упражнения 342. 1) Решите неполные квадратные уравнения: а) 4л:2-9 = 0; д)9л:2=1; б) 25л;2 - 16 = 0; е)-24л: = 6л:2; в) 11л;2 + 5х = 0; ж) Зл:2 +1 = 0; г) -7л:2+9л: = 0; з) 5л:2 + 7 = 0. 2) Как вы думаете, почему такие квадратные уравнения называют неполными? Ф, 343. Подберите корни уравнения: 1) 3л:2 +22л:-25 = 0; 3) л:^ - 8л: + 15 = 0; 2) 17х2 + 32х+15 = 0; 4) л:2 + 6л: + 8 = 0. 344. Используя формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, решите уравнение: 1) - 16л: + 63 = 0; 5) 5р^ + 6р - 8 = 0; 2) 141/+ + 48 = 0; 6) 7*2 _ 20А + 14 = 0; 3) 22 + 242 + 150 = 0 ; 7) 15i2 - 22f - 37 = 0; 4) л:2-20л:-125 = 0; 8) 1 + 36т + 35^2 = 0. 345. Решите уравнение наиболее рациональным способом: 1) ^л:2 = Зл: - 4; 2) 2л:(12л:+ 5) = 8; 3) 11л:2 = 18л: + 511; 4) 0,7л;2 = 1,3л:+ 2; 5) 81л:2 - 13 = 0; 6) 9л:2 + 2х - 8 = 0; 7)5 + 13х2-16х = 0; 3 12 9) -13х2-25х = 0; 10) |х-5+|х2 = 0; 11) 8-90х + 43х2 = 0; ^с\ х^ X _ 8х - 7 о ч 346. " Найдите корни уравнения с точностью до 0,01: 1)х2-8х + 9 = 0; 2)2y2-8i/ + 5 = 0. 347. Найдите значения переменной, при которых верно равенство: 1) (5х + 3)2 = 5х + 3; 3) (5х + 3)2 = (Зх + 5)2; 2) (5х + 3)2 = 5(х + 3); 4) 4(5х + 3)2 = (10х + 6)2. 348. Решите задачу из «Книги абака» итальянского матема- 19 тика Л. Фибоначчи: «Найти число, ^ которого равны квадрату самого числа». 349. Решите уравнение: 1)5х2 = 7х + 24; 2) 12х = 7x2 _ 4; 3) (2i/-3)2 = 10i/-l; 4) (32 + 2)2 = 72-9; 5) |с2 = (с-4)(с-6); 6) |d2 = (2d-3)(d-3); 7) (0,5*-2)2 = 0,25*- 1; 8) (1,5m+ 8)2 = 3m + 16. Ж I’ ' # V Д ‘3- - 350. Решите уравнение: 1) -1 6 2) 1/^ + 1 _ 10 3) = 2х - 6; 4) Зу-2 5 10 ’ = у - 2; сч (JC-t-l)2 7-х _ у. 12 4 2 ’ г+ 4 я. 4 -ч 3 - 2 2 - 2 , (2 - 2) ^5 4 8 351. Верно ли решено уравнение: 1) + 4 5х х-1 X — 1 ' 1, ^2 2) ——^ =0,х=1? X + 5 352. Решите уравнение: 3x2 5х-2 1) 2) х-1 X- 1 ’ 5у2 - 23 _ 8у - 13 . У-2 2-у ’ 3) 1 + 22-5 1 42- 6 18 - 822 222 + 32 ’ 4) а а2 - 5а 5а - 25 5а + ^ = 0; 5л _8______5_ __. у2-4 у+ 2 у-2' 6) 952-1 35 + 1 1-35 = 0; 7) 0 8) 0 9)* 4х - 1 1 - 16x2 + - 0* 12х + 3 ’ с -1- 56 + 1 - 18 9с2 - 16 8-6с Зс^ + 4с’ у + 5 У - 5 _ У + 25 . У^ - 5у 2J/2+ 10у 2у2_50’ 1 4(х -ь 9) , X 3 X - 3 353. Существуют ли такие значения переменной, при которых: X ” 3 X 34 1) сумма дробей , „ и ^ равна 1; X + 2 2х - 5 2) разность дробей и ^ равна 1; 2л: - 1 л: - 3 о\0 =• - V — 1 ц + З 3) сумма дробей “ и -—^ равна их произведению; ,«\0 c“3i/—1 llu + 5 4) разность дробей —- и ^ ^ равна их произве- 2у + 5 Ъу - 10 дению? 354. 1) Корень уравнения ах^ - Их + 6 = 0 равен 3. Найдите а и второй корень уравнения. 2) Корень уравнения 4х^ - 29л: + с = 0 равен 7. Найдите с и второй корень уравнения. 355. Квадратное уравнение л:^ + рл: + 1 = 0 имеет два различ- ных положительных корня. Каким из чисел — 1, 2, 6 может быть сумма его корней? 356. 1) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше произведения этих чисел на 307. Найдите эти числа. 2) Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 84. Найдите эти числа. 3) Длина прямоугольника на 1 м больше его ширины, а диагональ равна 29 м. Найдите площадь прямоугольника. Контрольные вопросы и задания 1. Приведите примеры квадратных уравнений, при решении которых пользоваться общей формулой нерационально. 2. Решите уравнение (у-3)2 1-у 20 = 1. 25. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям Решение многих текстовых задач с различными сюжетами приводит к квадратным уравнениям. Как мы видели, решение квадратных уравнений особых трудностей не вызывает, поэтому основное внимание при решении задач нужно обратить на перевод их условий на математический язык. I X' •ГУ/ 1 Ш"£' Рассмотрим задачу с «физическим» сюжетом. При решении таких задач, в том числе и на движение, принято пренебрегать некоторыми, пусть важными, но не упомянутыми в условии характеристиками реальных процессов. Задача 1. Тело брошено вверх с начальной скоростью 60 м/с. Через сколько секунд оно будет на высоте 100 м? Решение. Для перевода условия задачи на математический язык используем формулу пути при равноускоренном движении из курса физики: где Н — высота подъема тела, Vq — начальная скорость тела, g — ускорение свободного падения {g ~ 10 м/с^), t — время движения тела. Предполагается, что сопротивление воздуха можно не учитывать. По условию задачи высота Н равна 100 м, а начальная ско- 10f2 рость Vq равна 60 м/с. Значит, 100 = 60^--— . Это уравне- ние легко приводится к виду - \2t -f 20 = 0. Его корни = 2,t2~ 10 соответствуют условию задачи: через 2 с полета тело поднялось на высоту 100 м, продолжая далее подниматься, достигло максимальной высоты подъема, затем стало опускаться и через 10 с после начала движения снова оказалось на высоте 100 м. Ответ: через 2 с и через 10 с. Задача 2. От пристани А к пристани В, находящейся от А на 21 км ниже по реке, отправилась лодка. Через 1 ч вслед за ней вышел катер, собственная скорость которого 10 км/ч. Догнав лодку, катер немедленно повернул назад и причалил к пристани А в то же самое время, когда лодка прибыла в В. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Решение. В задачах на движение полезно использовать схемы. Составим схему к нашей задаче. 'Ф; jr-— К, К^ — точка, в которой находилась лодка в момент, когда катер отошел от пристани А, К2 — точка, в которой катер догнал лодку (рис. 22). Из текста задачи следует, что лодка находилась в пути на 1 ч больше, чем катер (катер стартовал через 1 ч после лодки, а вернулся одновременно с прибытием лодки в В), и что скорость катера по течению равна 12 км/ч, а против течения — 8 км/ч. Обозначим собственную скорость лодки буквой х. Тогда по течению реки лодка двигалась со скоростью (л: -1- 2) км/ч, т. е. = (л: -ь 2) км. Скорость сближения катера с лодкой (10 - х) км/ч, а значит, время, которое потребовалось катеру, X + 2 Рис. 22 чтобы догнать лодку, равно 10-х Возвраш,ался катер в пункт А со скоростью 8 км/ч. Значит, тот же путь, т. е. расстояние К2А, катер преодолел за X -н 2 12' время 10-х _ 3(х + 2) (ч). 8 2(10-X) Весь путь от А до В, равный 21 км, лодка прошла за 21 X -ь 2 ч. Как уже отмечалось, катер был в пути на 1 ч меньше. „ X -ь 2 , 3(х -I- 2) Получаем уравнение: ------ -I- ---^ = 21 Решаем его: „ 2 10-х 10-х 2(10-х) X + 2 19-х X + 2 - 1. х-(- 2 ’ 5(х -1 2)2 = 2(10 - х)(19 - х), 3x2 + 73^ _ 36О = 0, х2 26х - 120 = о, Xj = 4, Х2 = -30. Отрицательный корень не имеет смысла, так как скорость лодки должна быть положительна. Ответ: собственная скорость лодки равна 4 км/ч. Задача 3. Мастер и его ученик должны были выполнить работу к определенному сроку. Когда была сделана половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 9 дней. За сколько дней мог бы выполнить всю работу мастер, работая один, и за сколько дней — ученик, которому на это потребовалось бы на 14 дней больше, чем мастеру? ш Г~“ ---'i +Г'‘'5^=^* zG Решение. Обозначим количество дней, необходимых мастеру для выполнения работы, буквой х, тогда ученику потребуется (х -I- 14) дней. Заметим, что отставание приходится на вторую половину работы, значит, половину работы мастер и ученик могут выполнить на 9 дней быстрее, чем один мастер. Следовательно, всю работу они могут выполнить вместе на 18 дней быстрее, чем один мастер. Мастер, которому на всю работу требуется х дней, выполняет за 1 день ^ ее часть. Часть работы, выполняемую за единицу времени, называют производительностью. Таким об- 1 разом, производительность мастера равна - . Ученик, которому на всю работу требуется (х -t- 14) дней, 1 выполняет за 1 день 1 ее часть, т. е. его производитель- ность равна X -f- 14 . Вместе мастер и ученик могут выполнить 1 д; -I- 14 работу за (х - 18) дней, значит, за день они выполняют X - 18 часть работы. Это их совместная производительность. При решении задач принято считать, что совместная производительность всех работаюш;их равна сумме производи- 1,1 1 тельностеи каждого из них: - +-— =---^ . X X 14 X - 18 Далее имеем: (х -I- 14)(х - 18) + х(х - 18) = х(х + 14), х^ - Збх -14*18 = 0, х2-(42-6)х-42*6 = 0. Корни этого уравнения 42 и -6. Отрицательный корень по условию задачи не имеет смысла, и значит, мастер может выполнить работу за 42 дня. Ученик может выполнить работу за 56 дней. Ответ: 42 дня, 56 дней. Задача 4. Сплав меди и цинка содержит 4 кг цинка. После добавления в сплав 10 кг меди процентное содержание цинка в нем понизилось на 2%. Какой была масса сплава первоначально? Решение. Процентное содержание цинка в сплаве — это выраженное в процентах отношение массы цинка к массе всего сплава. Обозначим буквой x (кг) первоначальную массу сплава. Тогда процентное содержание цинка до добавления меди рав- 4 4 но - • 100%, а после добавления------- • 100%, так как от X X + 10 добавления 10 кг меди масса сплава увеличилась на 10 кг. По условию задачи: i . 100% - X л: + 10 100% = 2%, х^ + Юд: - 2000 = о, Xj = -50, Xg = 40. Отрицательный корень по условию задачи не имеет смысла, значит, масса сплава первоначально была равна 40 кг. Ответ: 40кг. Мы решили несколько текстовых задач, подробно комментируя решения. Заметим, что оформлять решения задач можно значительно короче — необходимо только показать, какое неизвестное обозначается буквой, записать уравнение, решить его и сделать вывод о том, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи. Ну и, конечно, не забыть ответить на вопрос задачи. Упражнения 357. Тело брошено вертикально вверх и движется по закону gt^ H(t) = VqI - ^ (м) с начальной скоростью 100 м/с (g^ 10 м/с^). 1) Через сколько секунд оно будет на высоте 50 м? 2)* Какова максимальная высота, на которую поднимется тело? 358. Объясните, как составлено уравнение к задаче. 1) Моторная лодка прошла по течению реки 42 км, а затем 45 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. -Ь^=5. л: + 3 д - 3 м 2) Турист проплыл на байдарке 25 км по озеру и 9 км по впадающей в озеро реке за такое же время, какое понадобилось бы ему, чтобы проплыть по течению реки 56 км. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч? 56 ^ + 9 X х-2 X + 2 359. 1) Составьте уравнение к задаче. а) Спортсмен проплыл на лодке 45 км против течения реки и вернулся обратно, затратив на весь маршрут 5 ч 30 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1,5 км/ч. б) Моторная лодка прошла 39 км по течению реки и 28 км против течения за то же время, что она проходит 70 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 2) Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи. 360. Какое неизвестное обозначено буквой х в уравнении: 11.. М 1 4- = JL 15 а) i -Ь - X X ^ X +16 16 15 ’ К задаче на совместную работу: «Мастер и его ученик вместе могут выполнить некоторую работу за 15 ч. За сколько часов ученик один сможет выполнить работу, если на это ему понадобится на 16 ч больше, чем мастеру?» 361 1) Составьте уравнение к задаче. а) Один комбайн убирал с поля картофель в течение 19 ч, а затем в помощь ему был направлен другой комбайн. Проработав вместе 13 ч, оба комбайна закончили уборку. За сколько часов каждый из комбайнов мог бы убрать картофель с этого поля, если известно, что второму комбайну на это потребовалось бы на 9 ч меньше, чем первому? б) Два насоса, работая одновременно, могут осушить котлован за 20 ч. Первый насос мог бы откачать из котлована воду на 9 ч быстрее, чем второй насос. За сколько часов мог бы откачать воду из котлована каждый из насосов, работая отдельно? I — b)® При постройке плотины электростанции требовалось вынуть 40 000 грунта к определенному сроку. Работа была закончена на 8 дней раньше срока, так как ежедневно вынималось на 250 м^ грунта больше, чем планировалось. За сколько дней была выполнена работа, и на сколько процентов ежедневно перевыполнялся план? г) Для очистки пруда, содержащего 2800 м^ воды, предполагалось к определенному сроку выкачать из него воду при помощи насосов. Но так как насосов было прислано меньше, чем ожидалось, ежедневно выкачивали на 20 м® воды меньше, чем предполагалось. Через 14 дней после истечения срока оставалось выкачать еще 2100 м^ воды. За сколько дней предполагалось выкачать воду? 2) Решите составленное уравнение и ответьте на вопрос задачи. 362. Что обозначено буквой х в уравнении: 1) 2) • 100% - — • 100% = 20%; X + 100 X 100% - 100% = 20% лг-1-80 д:-1- 180 к задаче на сплавы: «Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен с 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве? » 363.*^ 1) Составьте уравнение к задаче. а) В сплав золота с серебром, содержащий 60 г золота, добавили 100 г серебра. В результате содержание золота в сплаве уменьшилось на 10%. Сколько граммов серебра было в сплаве? б) В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего процентное содержание цинка в сплаве повысилось на 30%. Какова первоначальная масса сплава? 2) Решите составленное уравнение и ответьте на вопрос задачи. г 364. 1) Составьте уравнение к задаче. а) Два автобуса вышли одновременно из пункта А в пункт В, расстояние до которого 48 км. Один из автобусов, двигаясь на 4 км/ч быстрее другого, прибыл в Б на 10 мин раньше. Найдите скорости автобусов, б) Пассажирский поезд был задержан на станции М на 6 мин. Чтобы прибыть в К без опоздания, машинист увеличил скорость поезда на перегоне МК на 5 км/ч. Сколько времени затрачивает поезд на прохождение перегона МК по расписанию, если длина перегона 120 км? в) Велосипедист проехал 27 км по шоссе из А в Б. Возвращался он по проселочной дороге длиной 28 км со скоростью на 2 км/ч меньшей. Обратный путь оказался на 15 мин дольше, чем путь из А в Б. С какой скоростью возвращался велосипедист из Б? г) Двигаясь по маршруту АБС, где АБ = 140 км, БС= 175 км, мотоциклист на участке ВС развил скорость, на 5 км/ч большую, чем на участке АБ, но все же затратил на этом участке пути на 20 мин больше. Найдите скорость мотоциклиста на каждом из двух участков его маршрута, если на весь путь у него ушло менее 8 ч. 2) Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи. 365. 1) Для расширения сцены при реконструкции зрительного зала один ряд убрали. Однако число мест осталось равным 480, так как за счет ликвидации центрального прохода в каждый ряд добавили по 2 кресла. Сколько рядов стало в зале после реконструкции? 2) Принятых на первый курс института 210 студентов распределили по учебным группам поровну. В связи с введением новой специальности была дополнительно открыта еще одна группа, в которую записались некоторые из первокурсников. Причем студентов во всех образовавшихся учебных группах снова оказалось поровну. Зная, что каждая группа уменьшилась на 5 студентов, определите, сколько первокурсников стало обучаться новой специальности. 3) '-* Сравните с предыдущей и решите устно задачу: «Принятых на первый курс института 210 студентов распределили по учебным группам поровну. В связи с введением новой специальности была дополнительно открыта еще одна группа, в которую записались некото- 'Ф; рые из первокурсников. Причем студентов во всех образовавшихся учебных группах снова оказалось поровну. Сколько первокурсников стало обучаться новой специальности, если по уставу института в группе студентов должно быть не меньше 20, но не больше 40?» 366. 1) При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по 420 ц пшеницы. Плош,адь первого участка на 0,5 га меньше площади второго, но урожай пшеницы на нем был на 2 ц с 1 га выше, чем на втором участке. Сколько центнеров пшеницы собрали с 1 га на каждом участке? 2) С каждого из двух полей собрано по 240 т картофеля. Площадь второго поля на 2 га больше площади первого, но урожай картофеля на нем был на 2 ц с 1 га меньше, чем на первом поле. Сколько тонн картофеля было собрано с 1 га на каждом поле? 367. 1) Автобус, следующий по маршруту АЬ, был задержан на 5 мин у шлагбаума в 60 км от В. Чтобы прибыть в JB по расписанию, водитель увеличил скорость автобуса на 3 км/ч. С какой скоростью стал двигаться автобус? 2) Поезд был задержан у семафора на 24 мин и, чтобы прибыть на станцию назначения по расписанию, должен был оставшиеся 195 км проходить со скоростью, на 10 км/ч превышающей начальную. Найдите начальную скорость поезда. 3687^ 1) Через 2 ч после выхода из А автобус был задержан на 30 мин и, чтобы прибыть в В по расписанию, должен был увеличить скорость на 5 км/ч. Найдите начальную скорость автобуса, если известно, что расстояние АВ равно 260 км. 2) Велосипедист проехал 30 км от города до турбазы. На обратном пути он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 3 км/ч, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из города до турбазы. Сколько времени затратил велосипедист на обратный путь? ■iSf: § V ' - г 369P 1) Один вал делает в минуту на 400 оборотов больше другого, соединенного с ним ременной передачей, и на каждые 5 оборотов затрачивает на 1 с меньше, чем второй. Сколько оборотов делает каждый вал в минуту? 2) На расстоянии 80 м переднее колесо повозки сделало на 8 оборотов больше заднего. Найдите длину окружности каждого колеса, если у переднего она на 0,5 м меньше, чем у заднего. 370Р 1) 40 кг воды разлили в два сосуда. При нагревании оба сосуда получили по 48 ккал, после чего температура в первом сосуде оказалась на 1°С выше, чем во втором. Сколько килограммов воды находилось в каждом из сосудов? (Теплообмен с окружающей средой не учитывать.) 2) В один сосуд налили на 2 кг больше воды, чем в другой. При нагревании вода в обоих сосудах получила по 240 ккал, а разность температур достигла 4°С. Сколько килограммов воды было налито в каждый из сосудов? (Теплообмен с окружающей средой не учитывать.) А 371. 1) Мотоциклист проехал из А в В за 5 ч. Возвращаясь, он первые 48 км проехал с той же скоростью, а затем увеличил ее на 4 км/ч. На обратный путь мотоциклист затратил на 15 мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал мотоциклист из А в В? 2) Поезд проходит перегон между станциями М w. N по расписанию за 5 ч. Однажды, не пройдя и половины этого перегона, поезд был задержан на 25 мин в 100 км от М, и, чтобы прибыть bN по расписанию, он должен был увеличить скорость на 10 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на перегоне MN. 372. * 1) Бригада рабочих должна была к определенному сро- ку изготовить 272 детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за один день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей в день должна была изготавливать бригада по плану? 2) Бригаде рабочих было поручено изготовить к определенному сроку 400 деталей. В течение первых пяти дней бригада перевыполняла дневную норму на 20%, а в по- Ф. X— 5> следующие дни изготовляла на 15 деталей больше дневной нормы. Уже за два дня до срока было изготовлено 405 деталей. Сколько деталей в день должна была изготовлять бригада по плану? 373:'’' После смешивания двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой — 20 г йодистого калия, получили 200 г нового раствора. Зная, что концентрация иода в первом растворе была на 15% выше, чем во втором, найдите первоначальные концентрации иода в каждом из растворов. Контрольные вопросы и задания 1) Что обозначено буквой х в уравнении: -)-0,lj(x-(-5) = 52; 52 в) -i^+o.i = 52, X - 5 X составленном по условию задачи: «Бригада учащихся должна была за рабочий день прополоть овощные культуры на площади в 42 а. Поскольку в бригаду направили еще 5 школьников, и каждый из работавших школьников прополол в среднем на 0,1 а больше, чем предполагалось первоначально, то к концу рабочего дня было прополото 52 а овощных культур. Сколько учащихся работало на прополке? » 2) Дайте ответ на вопрос задачи. Группа школьников, собираясь в поход, рассчитывала истратить 340 р. Однако в поход пошло на 3 человека больше, чем предполагалось, и расходы на каждого участника оказались ниже расчетных на 1 р., поэтому было истрачено 380 р. Сколько было участников похода? 1) Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой х: а) число участников похода; б) количество школьников, собиравшихся в поход; в) планировавшийся расход на каждого участника похода; г) реальный расход на каждого участника похода. 2) Решите уравнение и дайте ответ на вопрос задачи. ? f/ -V/ Ci. 11^^ § 8. Системы двух уравнений с двумя переменными 26. Решение систем уравнений способом подстановки При решении системы уравнений с двумя переменными нужно найти все пары значений этих переменных, которые одновременно обращают уравнения системы в верные числовые равенства. Каждая из таких пар называется решением системы. Обычно одну из переменных стараются исключить, т. е. получить уравнение с одной переменной. Когда система составлена из уравнений первой степени, этого всегда можно добиться способом сложения, с которым вы познакомились в 7 классе. В способе сложения используются возможности: 1) умножать уравнение системы на отличное от нуля число; 2) заменять уравнение его суммой или разностью с другим ii уравнением этой системы^ Пример 1. Решить систему уравнений fl3x + 7м = 137, \х-9у = 1. Решение 1. (Т) Перед тем как складывать уравнения системы, уравняем коэффициенты при переменной х. Для этого умножим второе уравнение системы на 13: J 13лг-Ь 7г/= 137, |13jc- 117г/ = 13. @ Заменим теперь первое уравнение системы его разностью со вторым уравнением и найдем решения системы: 124i/=124, Ji/=1, Jy = l, Jy=l. 13x - 117i/= 13, |д!:-9г/ = 1, [x-9 = l, [л:=10. Ответ: (10; 1). ^ Результатом перечисленных преобразований является система, равносильная исходной, т. е. система, имеющая те же самые решения, что и исходная. Можно было исключить переменную х иначе: выразить х из второго уравнения системы и подставить полученное выражение вместо X в первое уравнение. Решение 2. 13x-f7y=137, 113л: + 7г/= 137, х-9//=1, jx = 9i/-t-l, J 13(9f/ -t-1) + 7i/ = 137, J 117у -н 13 -ь 7y = 137, |л: = 9|/+1, |л: = 91/-1-1, г/=1. л: = 9-1 + 1, 1л:=10. ]124у = 124, \х = 9у+ 1, Способ, использованный в решении 2, называют способом подстановки. Выражая переменную из одного уравнения системы и подставляя полученное выражение в другое, мы получаем систему уравнений, равносильную исходной. Пример 2. Решить систему уравнений ]2х-3у=15, 12л:^ + 2ху - Ъу^ -f 7л: - 9г/ = 3. Решение. (j) Выразим переменную л: из первого уравнения системы и подставим полученное выражение во второе: J 2л: - Зг/ = 15, [ 2х^ + 2ху - Ъу^ -Ь 7л: - 9j/ = 3, _ 15 -ь Зу ^ 2 ’ З!'15^ .y-5y2 + 7-ii^ -9у = 3. Решим полученное уравнение с одной переменной у. +(15 + 3y)y-5y2+7-ii^ -9у-3 = 0, 2 v*- -гг/;, -г, ■ 2 (15 -Ь Зу)2 + 2(15 -ь Зу)у - 10у2 + 7(15 -ь Зу) - 18у - 6 = О, 225 -Ь 9у2 -I- 90у 4- ЗОу -Ь 6у2 - 10у2 -Н 105 4- 21у - 18у - 6 = 0, 5у2-Ы23у 4-324 = 0. £) = 1232-4-5*324 = 8649. 'f _ -123 ± 78649 _ -123 ± 93 10 10 i/l = -3, У2 = -21,6. (З) Найдем соответствующие значения переменной х: „ _ 15 + 3-(-3) _о. 9 л:, = ^ 15 +3 >(-21,6) _ 15-64,8 _ -49,8 _ 2 2 2 2 Ответ; JCj = 3, i/j = -3; Х2 = -24,9, г/2 = -21,6. = -24,9. ▼ Некоторые системы уравнений можно решить, используя теорему Виета. Пример 3. Решить систему уравнений „ ]д:-(-г/ = 6, ^\ху = -5. Решение. Эта система легко решается способом подстановки. Можно, однако, заметить, что нам нужно найти два числа, зная их сумму и произведение. Но тогда эти числа (если, конечно, они существуют) должны быть корнями квадратного уравнения 2^ - 62 - 5 = 0. Решим это уравнение. D j=9-b5 = 14, 2i = 3- 714,22 = 3-1-714. Найденные корни дают нам две пары решений исходной системы уравнений. Ответ; j:j = 3- J14 ,у^ = 3+ 7l4 ; = 3 -f Jl4 , У2 = 3 — 7l4 . Д Упражнения 374. Является ли пара (2; -1) решением системы; \х^ — 2ху = 3, \3х->г 2у = Ъ, 1) 2х-у = 5; 2) + у2 = 57 375. Являются ли равносильными системы уравнений: 1)^ Зд: + 1 2х - у _ 2у - X 1 2 8 ^ 4д: - 2 \у-Ъх _хЛ-у 3 2 ~5~ Зх + 2у = 13, Зх-2у = 5; 'Ш 2x + 5y = 2, _ j2x = 2- by. 1)- |л + Зу = 6, 12л + у = 7; 3) 2)- |3л + 4у = 18, |2л + у = 7; 4) ^^\2x^+i0xy+17y^ = 20^ ]i/2_4 = 0? 376. Решите способом сложения систему уравнений: 2х-7у = 13, Зх + 5у = 35; 5х + 4у = 12, 25х-12у = -20. 377. Решите способом подстановки систему линейных урав- 8х+ 5у = -1, Юл -Зу = 8; 11л + Зу = 20, 5х -6у = 14. 378. Решите способом подстановки систему уравнений: нений: ]5л-у = 4, ^^19л-2у = 5; 3) ]6л+ 11у = 14, ^^|л + 2у = 3; 4) 1) г) б) в) 2) а) л - 18у = 6, ху = 4; у - 5л = 3, Зу = 2л2 + 16; и - v = 2, 3u2 + u2 + 8u + 13и = 28; Д) е) л + 7у = 6, -2л + 5л2= 12; л - 2у = 3, л2 - Зл - 5у = 18; л2 - 5л + 7у = 20, 2л - у = 10; gj |2у2 _ 3^2 _ 5р _ 2у = 26, Лл2-3лу + 2у2 П2у-л-6 = 0; + 6л - 5у - 8 = о. г) у2 + 2уг - з2 + 5у + Зг + 54 = о, у + 2z = 6. 379? Используя теорему Виета, решите систему уравнений: \ху = 2, [2х + 2у = 9; |лу = -3, [л + лу + у = -5. 1) ]л + у = 5, [ху = 4; 3) 2) |л + у = -7, 1лу = 16; 4) ft-' 380P Решите систему уравнений: 1)^ 11^6 X у 5’ 3) 2х + у = 5; 1-12+3=1. X ху у Х-у=1', 2) 1+1=1, л: У — + — = 3 А)-{х^ ху 1/2' х-у = 2,1‘, [х + г/ = 3. ^ык 381. Решите систему уравнений рациональным способом: . Лх2 + 1/2 Мх2 + 1/2 '2= 10, 1/2 _ 2ху - 16; 2)\х^ + У^ = 5, '[х^ + у^ + Зху = -1; 3) 4) 5) 6) Х^ + ЗлГ1/2 = 36, уЗ + Зх^у = 28; х + у = 3. д:3 + 1/3 = 9; л:2 - 1/2 = 15^ ь- х^-ху - X - •у = 2, [х-у = 2; 8)J ху + л: -Зу = = 15, [х + у = 5; 2х-2 + У -"-2. 9) Х + У X - -У х-1 х + 1 у + 1 у + 5’ х-у = 3; х-у = 6. 10)^ ху = -5; х + 2у _ у- X ^ „ л: - 2 л: + 3 ’ У + 3 ^ у - 1 X - \ X - 5’ 382. 1) Составьте систему уравнений по условию. а) Разность двух чисел равна 7, а произведение этих чисел больше их утроенной суммы на 21. б) Сумма двух целых чисел равна 46, а сумма их квадратов ИЗО. в) Разность двух натуральных чисел равна 24, а их произведение 481. г) Разность двух натуральных чисел равна 16, а их произведение на 553 меньше суммы квадратов этих чисел. д) Сумма двух чисел равна 50, а произведение этих чисел на 11 меньше, чем разность их квадратов. 2) Найдите эти числа. Ф. 383* 1) Если к задуманному двузначному числу прибавить двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 143, а если сложить квадраты цифр задуманного числа, то получится 97. Какое число задумано? 2) Если задуманное двузначное число умножить на цифру его единиц, то получится 376, а если из задуманного числа вычесть двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 45. Какое число задумано? 3) Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое число разделить на второе, то и в частном, и в остатке получится 3. Какие числа задуманы? 4) Задуманы два натуральных числа, разность квадратов которых равна 1000. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 2, а в остатке 5. Какие числа задуманы? 384.* Решите задачу из «Арифметики» Диофанта. 1) Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208. 2) Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а разность их квадратов — 80. 385. Решите систему уравнений из «Арифметики» Диофанта: 1) 2) х = 3у, х^ + у^=- Ъ(х + у); 3) X = Зу, х^ + у^= 10(ж - у); 4) х = 3у, х^ — у^ 12{х-уУ, У = 2, х^ — у^ ix-y) + 20. 1. Контрольные вопросы и задания 2х-1/ = 7, 2. Решите систему уравнений Дана система линейных уравнений х^-ху=\2. Ах-Ъу = -\, 2х + Ъу = 6. Решите эту систему: 1) способом подстановки; 2) способом сложения. 27. Решение задач с помощью систем уравнений Задача 1. Периметр прямоугольного треугольника равен 30 м, а гипотенуза 13 м. Найти катеты этого треугольника. Решение. Обозначим длины катетов в метрах через х и у. Тогда периметр треугольника будет равен {х + у + 13) м. По условию задачи л: Ч- у -Ь 13 = 30. По теореме Пифагора х^ + y^ = lS^. „ \х + у = 11. Мы получили систему уравнении 4. ^2 = jgg решив которую найдем: Ху = 12, уу = 5; ^2 = 5, У2 = 12. Обе пары чисел определяют равные треугольники с большим катетом, равным 12 м, и меньшим катетом, равным 5 м. О т в е т: 12 м и 5 м. Задача 2. Электрическое сопротивление одного проводника на 1 Ом больше, чем сопротивление другого. Напряжение и = 20 В вызывает в параллельно соединенных проводниках ток силой / = 9 А. Найти сопротивление каждого из проводников. Решение. Обозначим сопротивления проводников в омах соответственно буквами хну, тогда х- у = 1. Из курса физики вы знаете, что при параллельном соединении проводников зависимость между общим сопротивлением участка цепи (R) и сопротивлениями проводников (Ry и R2) вы- ражается формулой 4 = 4- + -5-. R R, Ro и 9С\ Q 1 1 По закону Ома R= -j = -^ (Ом), значит, ^ = - + - • 1 X у Мы получили систему уравнений Решив эту систему, найдем: У = 1, 1 У 9^ 20 П А 5 5,г/1 = 4;х2= д,У2 = -о- 'Ш *V Отбросив пару значений переменных, не имеющую смысла в данной задаче, получим х = 5, у = 4. Ответ; сопротивления проводников 5 Ом и 4 Ом. Задача 3. Катер, курсирующий между отстоящими друг от друга на 28 км пристанями А и В, через 2 ч после отправления из А встретил плот, отправленный из В по течению реки за 6 ч до этой встречи. Найти скорость течения реки и собственную скорость катера, если известно, что путь от А до В и обратно катер проходит за 5 ч 50 мин. Решение. Пусть скорость течения х км/ч, а собственная скорость катера (скорость катера в стоячей воде) у км/ч, тогда до встречи с плотом катер за 2 ч прошел против течения 2(у - х) км, а плот до встречи с катером за 6 ч прошел по течению 6х км (рис. 23). Сумма расстояний, пройденных катером и плотом, равна расстоянию между пристанями А и В: 2{у -x) + bx = 2S,y + 2x= 14. 28 Путь из А в В катер проходит против течения за У- X ч. а обратно по течению за 28 , 28 28 х + у 35 ч. По условию задачи 35 28 ^ 28 35 35 Л ------ + -------- = — 5 Ч 50 мин = -т;- ч . у - X X + у о \ о J Разделив это уравнение почленно на 7, получим: 4,4 5 4- 2({/ - х) 6х ■^В у - X х + у 6 ■ Из системы уравнений у + 2х = 14, 4 ^ 4 _ 5 6 28 км у-х найдем х + у = 2, У1 = 10; Рис. 23 1 л ^ д 8 ^2=10—, У2 = -6т^. 15 Условию задачи удовлетворяет только пара положительных значений хи у. Ответ: скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость катера 10 км/ч. —А Задача 4. Равнодействующая двух сил, приложенных к телу под прямым углом, равна 29 Н. Если большую из приложенных сил уменьшить на 1 Н, а меньшую — на 5 Н, то равнодействующая сил станет равной 25 Н. Найти эти силы. Решение. Обозначим большую из двух сил буквой х, а меньшую — буквой у (рис. 24), тогда по теореме Пифагора = 29^. После уменьшения сил соответственно на 1 Н и 5 Н зависимость между ними и равнодействующей выразится равенством (jc - 1)2 + (у — 5)2 = 252, упростив которое получим х^ + у^ — 2х - 10у — 599. Система уравнений ^ не содержит линейного уравнения, однако легко получить равносильную ей систему, одно из уравнений которой линейное. Заменим для этого второе уравнение системы его разностью с первым уравнением: х2 -f 1/2 = 841, -2х - Юг/ = -242, л:2 -I-1/2 = 841, х + Ьу=121. Способом подстановки легко найти решения полученной системы: Xj = 21, г/i = 20; Х2 = -ll:j^ , 1/2 = 26:^ “13' Условию задачи удовлетворяет только первая пара значений переменных. Ответ: 21Ни20Н. Упражнения 386. 1) Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 119 м, а его гипотенуза— 89 м. Найдите площадь треугольника с помощью: а) уравнения; б) системы уравне- ний; в)* формул сокращенного умножения. ш 2) Разность катетов прямоугольного треугольника равна 85 дм, а его гипотенуза — 171 дм. Найдите площадь треугольника с помощью: а) уравнения; б) системы уравне- ний; в)* формул сокращенного умножения. 387. 1) Если к числителю обыкновенной дроби прибавить 5, а к знаменателю 2, то дробь будет равна -, а если ело- э жить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 1145. Найдите эту дробь. 2) Разность квадратов числителя и знаменателя обыкновенной дроби равна 120. Если из числителя и из знаме- нателя дроби вычесть по 1, то дробь станет равной - О Найдите эту дробь. 388* 1) Сопротивление одного проводника на 24 Ом больше. чем сопротивление другого, а сопротивление в цепи при их параллельном соединении равно 35 Ом. Найдите сопротивление каждого проводника. 2) При последовательном соединении двух проводников сопротивление в цепи равно 160 Ом, а при параллельном 30 Ом. Найдите сопротивление каждого проводника. 389* При последовательном соединении проводников напряжение 24 В вызывает в цепи ток силой 2,4 А. Если же эти проводники соединены параллельно, то это же напряжение вызывает суммарный ток силой 10 А. Найдите сопротивление каждого проводника. 390* 1) Два тракториста, работая одновременно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину — другой, то работа была бы выполнена за 98 ч. За сколько часов смог бы вспахать поле каждый из трактористов, работая в одиночку? 2) Работая вместе, двое рабочих могут выполнить задание за 2 ч. Если один из них выполнит 40% задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания уйдет 4 ч. За какое время сможет выполнить все задание каждый из рабочих, работая в одиночку? /I' 391 . 1)® Из пунктов A и в, расстояние между которыми 80 км, одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста, один из которых прибывает в В через 1 ч 20 мин, а другой — в А через 3 ч после встречи. Найдите скорости велосипедистов. 2)^ Два поезда выходят одновременно навстречу друг другу из пунктов М и N, расстояние между которыми 45 км, и встречаются через 20 мин. Найдите скорости поездов, если известно, что поезд, вышедший из М, прибывает в iV на 9 мин раньше, чем второй поезд в М. Контрольные вопросы и задания По условию задачи: «Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и встретились через час. С какой скоростью двигался каждый велосипедист, если один из них прибыл в пункт В на 35 мин позже, чем другой в пункт А» — ученики составили системы уравнений: 1)1 2) ‘^1 + У2 = 28, 28 _ ^ = 35 ^2 + V2 = 28, 28 28 7 , ‘'1 ^’2 12 3)1 4)1 28 _ 28 = 1, V2 28 28 7 ^’l «^2 12 28 = 1, 1>1 + 1 ^2 28 7 _ 28 12 Какие из систем составлены правильно? Ответьте на вопрос задачи. Решите задачу. Две трубы вместе могут наполнить бассейн за 6 ч. Если же треть бассейна заполнит первая, а оставшуюся часть — вторая труба, то на заполнение бассейна уйдет 11 ч 40 мин. За сколько часов одна первая труба может заполнить весь бассейн? ВЕРОЯТНОСТЬ 28. Вычисление вероятностей Каждый из нас хотел бы, наверное, уметь предвидеть события будущего. Так, зная, какой вопрос задаст учитель на следующем уроке алгебры, нетрудно было бы подготовить на него ответ и получить отличную отметку. В жизни, однако, мы, как правило, не знаем точно, какое из возможных событий произойдет. Тем не менее ожидать одних событий обычно больше оснований, чем других. Так, например, вытаскивая карту из хорошо перетасованной колоды, лучше рассчитывать на то, что эта карта не окажется тузом, чем на то, что будет вытащен туз. Таким образом, оба события возможны, хотя их возможности имеют как бы разную степень. Для оценки степени возможностей различных событий математики разработали понятие вероятности, о котором мы говорили в учебнике 7 класса. Пусть некоторое действие обязательно приведет к одному из п равновероятных результатов (элементарных исходов) и в т из них происходит интересующее нас событие А (эти исходы будем называть благоприятными). Формула вероятности Р(А)=^ Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновероятных исходов. Если все исходы благоприятны для события А, то его вероятность равна 1. В этом случае событие называют достоверным. Если же благоприятных исходов нет, то вероятность события равна О и его называют невозможным. ‘ --"+Г'Z '^=^11 йпs' Пример 1. Найти вероятность того, что первая же карта, вытащенная из колоды, в которой 36 карт, окажется тузом. Решение. При вытаскивании карты первой с равной вероятностью может оказаться любая из 36 карт колоды, значит, всего у этого действия 36 равновероятных исходов. В каждой из четырех карточных мастей есть свой туз, таким образом, имеется четыре благоприятных исхода. Вероят- 4 1 1 ность вытащить туза Р(туз) = — = ^г.Ответ: оЬ У 9 Во многих случаях нахождение как числа всех возможных, так и числа благоприятных исходов сводится к подсчету числа комбинаций, которые можно составить из элементов одного или нескольких множеств. Решением таких задач занимается специальный раздел математики — комбинаторика. Одно из основных правил комбинаторики — правило произведения. Правило произведения Если первый из элементов комбинации можно выбрать п способами, каждому из которых соответствует т возможностей выбрать второй, то эти два элемента можно выбрать пт способами. Пример 2. Из города А в город В можно доехать на поезде или на автобусе, а из города В в город С идут поезда, автобусы и теплоходы. Считая все маршруты равновероятными, найдите вероятность поездки из А в С на одном виде транспорта. Решение. Есть всего две возможности добраться из А в С, не меняя вида транспорта: на поезде или на автобусе. Поездка из А в С состоит из двух частей. В первой ее части есть две возможности выбрать вид транспорта, а во второй части — возможностей выбора три. По правилу произведения находим число различных маршрутов 2*3 = 6. Ш,. По условию задачи все маршруты равновероятны, значит, вероятность поездки из А в С на одном виде транспорта рав- на:| -1.Ответ: 1. В этой задаче мы выбирали первый элемент комбинации из числа маршрутов, ведущих из А в В, а второй элемент из числа маршрутов из В в С. Часто комбинации составляются из элементов одного множества. В зависимости от того, важен ли порядок, в котором размещаются элементы в комбинации, или достаточно знать только, какие элементы выбраны, комбинации называют размещениями или сочетаниями. В 7 классе были выведены формулы числа размещений А” и числа сочетаний С™, которые могут быть составлены при выборе т элементов из п при условии, что все п элементов различны. Формула числа размещений п1 a:= Формула числа сочетаний п\ (п - т)1 с:= т\(п - т)1 Пример 3. Чтобы открыть кодовый замок двери подъезда, нужно нажать 3 из 10 кнопок. Сколько подъездов можно оборудовать такими замками, если все входные коды должны быть различны? Рассмотреть два случая: 1) кнопки следует нажимать одновременно; 2) кнопки следует нажимать в определенном порядке. Решение. 1) Выбираются 3 элемента из 10, причем порядок выбора роли не играет. Значит, комбинации выбираемых элементов являются сочетаниями. Число этих сочетаний находим по . л-з 10! 10! 10-9-8 формуле: С?„ - " дУТг! " -2Т3- ‘ 2) Выбираются 3 элемента из 10, причем изменение порядка выбора приводит к новому входному коду. Значит, комбинации выбираемых элементов являются размещениями. Число их находим по формуле: ...3 _ 10! 10 (10-3)! - -Ю.9-8-720. в 7 классе вы познакомились с перестановками — комбинациями, которые получаются в результате перестановки элементов множества. Число перестановок, состоящих из п различных элементов, находится по следующей формуле. С Формула числа перестановок Р„ = п! 3 Пример 4. На книжную полку случайным образом ставят десять книг, среди которых две книги А. Дюма «Три мушкетера» и «20 лет спустя». Найти вероятность того, что эти книги окажутся рядом. Решение. Книги расставляют случайным образом, значит, все Pjq ^ Ю* возможных расстановок книг на полке равновероятны. Будем теперь искать число благоприятных исходов, в которых книги Дюма окажутся рядом. Нам совершенно не важно, какую книгу взяли первой, чтобы поставить на полку, а какую — последней. Представим себе, что, когда дошла очередь до книги «Три мушкетера», остальные 9 книг уже стояли на полке. Разместить там эти 9 книг можно было Рд = 9! способами. В каждом из них книгу «Три мушкетера» можно поставить либо слева, либо справа от книги «20 лет спустя». По правилу произведения получаем 9!*2 благоприятных исходов. Теперь можно найти вероятность того, что книги А. Дюма окажутся рядом: 9! • 2 _ 2 _ 1 10 5 ■ 101 Упражнения 392. Какова вероятность того, что карта, наугад вытащенная из карточной колоды, в которой 36 карт, окажется: 1) червой; 2) картинкой; 3) валетом или королем? 393. Какова вероятность того, что число очков, выпавших при бросании игральной кости, окажется: 1) больше 2; 2) простым числом; 3) числом, кратным 3? 394. Из пункта А в пункт В ведут четыре дороги, а из пункта В в пункт С — три дороги. Сколько различных маршрутов, проходящих через В, ведет из пункта А в пункт С? ш / —■ 395. Сколькими способами можно развесить 4 пальто на 7 вешалках, если не вешать на одну вешалку больше одного пальто? 396. В автобусе 20 мест. 1) Сколькими способами: а) могут занять места три пассажира в этом автобусе; б) можно рассадить 20 пассажиров в этом автобусе? 2) 0 С какой вероятностью при случайной рассадке в автобусе Саша и Коля окажутся соседями, если в автобусе сдвоенные сиденья? 397. Сколькими способами можно разложить 5 поздравлений: 1) по 5 конвертам; 2) по 6 конвертам? 398. В четыре подписанных конверта случайным образом кладут четыре письма. Найдите вероятность того, что: 1) все письма окажутся в «правильных» конвертах; 2) 0 письмо г-ну Иванову окажется в «правильном» конверте; 3) 0 только одно из писем окажется в своем конверте; 4) # два письма окажутся в своих конвертах, а два других — в чужих. 399. * 11 мальчиков случайным образом выстраиваются в шеренгу. С какой вероятностью Коля и Саша окажутся соседями? 400. * Сколько существует точек пересечения диагоналей выпуклого семнадцатиугольника, если никакие три из диагоналей не пересекаются в одной и той же точке? 401. Сколькими способами четыре девушки могут создать команды для парной игры в теннис? 402. Сколькими способами 22 ученика спортивной школы могут создать команды для игры в футбол? 403. *^ Сколькими способами 22 ученика спортивной школы могут создать команды для игры в футбол, если только двое могут стоять в воротах? 404. Сколькими способами 6 мальчиков можно разделить: 1) на две равные по численности группы; 2) на группы, в одной из которых 2, а в другой 4 мальчика? 405. Сколькими способами 10 школьников можно разделить: 1) на две равные по численности группы; ш*/ у 2) на три группы, в одной из которых 5, в другой — 3, а в третьей — 2 школьника? 406. Из колоды в 36 карт случайным образом берется сначала одна карта, а затем другая. Какова при этом вероятность того, что: 1) обе карты одной масти; 2) обе карты одного достоинства; 3) вторая карта «старше» первой? 407. Из карточной колоды, в которой 52 карты, наугад вынимают две карты. Какова вероятность того, что: 1) только одна из карт: а) бубна; б) туз; в) картинка; 2) обе эти карты: а) бубны; б) тузы; в) картинки; 3) 0 хотя бы одна из карт: а) бубна; б) туз; в) картинка? 408. Из колоды в 36 карт случайным образом вынимают 6 карт. Найдите вероятность того, что среди этих 6 карт будет: 1) только один туз; 2) хотя бы один туз; 3) все четыре туза. 409. 25 учеников класса разыгрывают между собой 15 билетов в театр. Найдите вероятность того, что: 1) Коле достанется билет; 2) Коле и Саше достанутся билеты; 3) ни Коле, ни Саше билетов не достанется. 410. В ящике лежат носки: а) 7 черных и 4 синих; б) 7 черных, 6 красных и 5 серых. 1) Саша наугад берет из ящика два носка. С какой вероятностью из них можно будет составить пару? 2) Какое наименьшее число носков нужно вынуть из ящика, чтобы среди них обязательно оказалась пара носков одного цвета? 411 ;■ В ящике лежат черные и серые носки. Коля наугад берет из ящика два носка. Какое наименьшее количество черных носков может находиться в ящике, если вероятность того, что Коля вытащит два серых носка, равна 0,5? Контрольные вопросы и задания 1. Сколько разных составов может иметь комитет из двух мужчин и трех женщин, если его избирают из 5 мужчин и 7 женщин, среди которых есть Колины родители? Если все составы равновероятны, то какова вероятность, что Колины папа и мама будут избраны в комитет? -ft,- ^у j 3. Сколькими способами 6 учеников можно разбить: 1) на две; 2) на три равные по численности группы? Какова вероятность, что Коля и Саша окажутся при этом в одной группе? Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на 32 черных клетках шахматной доски? 29. Вероятности вокруг нас Мы научились находить вероятность в тех случаях, когда некоторое действие может завершиться равновероятными исходами. Однако часто возможные исходы не равновероятны. Так, например, если уронить бутерброд, то вероятность, что он упадет маслом вниз, больше. Это известный из жизни закон бутерброда, согласно которому из двух возможных вариантов чаще реализуется наименее приятный. Вы, наверное, замечали, что на уроках чаще спрашивают не совсем то, что вы выучили, и не тогда, когда вы готовы к ответу. Закон бутерброда объясняется тем, что неприятные события лучше запоминаются, чем приятные. Рассмотрим следующую ситуацию. Пример 1. Петя решил отправиться в гости к Саше. От Петиного дома до Сашиного можно или проехать одну остановку на автобусе № 2, или две остановки на автобусе № 5. Петя ездит на том автобусе, который подойдет раньше. Как вы думаете, если Петя подойдет к остановке между 15 и 16 часами, будут ли равновероятны для него возможности сесть в автобусы № 2 и № 5? Фрагмент расписания от 15 часов до 16 часов выглядит так: № 2; 15-00, 15-20, 15-40, 16-00; № 5: 15-15, 15-35, 15-55. Решение. Предположим, что автобусы производят посадку и высадку пассажиров на остановке в течение одной минуты. Рассмотрим фрагмент расписания движения автобусов. В автобус № 5 Петя сядет, если придет на остановку с 15-01 по 15-16, с 15-21 по 15-36 и с 15-41 по 15-56. Мы видим, что с 15-00 по 16-00 есть 45 мин, когда приход на остановку влечет за собой поездку в автобусе № 5, а попав на остановку в остальные 15 мин, Петя поедет в автобусе № 2. Значит, вероятность сесть в автобус № 5 больше. ■д 3 -V r e* тш-^ Если возможности прийти на остановку в ту или иную минуту указанного временного промежутка для Пети равновероятны, то вероятность сесть в автобус № 5 -^№5= =0,75, а в автобус № 2 ^ =0,25. Иногда, чтобы найти вероятности события, приходится проводить серию испытаний. Пример 2. Пусть, например, нужно найти вероятность того, что подброшенная пуговица упадет выпуклой стороной вверх. Решение. Когда подбрасывается монета, она с равной вероятностью может упасть орлом или решкой вверх. Однако, в отличие от монеты, у пуговицы стороны разные, что не позволяет считать возможные исходы равновероятными. На помощь в таких случаях приходит статистический эксперимент^. Возьмем пуговицу, будем подбрасывать ее и считать, сколько раз она ляжет выпуклой стороной вверх (можно сократить время эксперимента, если бросать одновременно несколько одинаковых пуговиц). Результаты проведенной серии испытаний занесены в таблицу. Число бросков(п) 10 50 100 200 300 Выпуклость вверх (т) 7 31 59 122 178 Отношение тк п j 0,7 0,62 0,59 0,61 0,59 Отношение числа случаев, когда пуговица оказывалась выпуклостью вверх, к общему числу случаев называют частотой соответствующего исхода. Можно заметить, что частота падения пуговицы выпуклостью вверх, к общему числу подбрасываний с увеличением числа п, менялась незначительно, оставаясь приближенно равной 0,6. То есть пуговица падала выпуклой стороной вверх в среднем 6 раз из 10. Значит, вероятность того, что подброшенная пуговица упадет выпуклой стороной вверх, приближенно равна: ■^выпуклость вверх ~ ^^>6. ^ Математическая статистика ды обработки результатов наблюдения. — наука, изучающая мето- Рассмотрим еще один статистический эксперимент. Пример 3. Наблюдая из окна за проезжающими по улице легковыми автомашинами, Саша решил выяснить, какой цвет кузова встречается чаще всего. Результаты своих наблюдений Саша заносил в таблицу, по которой затем составил круговую диаграмму, изображенную на рисунке 25. 12% 17% ^***-*-~>.._ 5% 10% Рис. 25 25% — бежевая 23% — серая 17% —зеленая 12% — синяя 10% — черная 8% — белая 5% — красная Когда Саша за своим рабочим столом заканчивал рисовать диаграмму, он задумался о том, как определить вероятность того, что следующая машина будет зеленой. Пользуясь диаграммой, найти вероятность того, что следующая машина, которая проедет за Сашиным окном, будет: 1) зеленая; 2) белая или черная. Решение. 1) Вероятность того, что следующая машина будет зеленой, приближенно равна частоте проезда зеленых машин, т. е. отношению числа зеленых машин к числу всех проехавших автомашин. Именно эту частоту и показывают проставленные на диаграмме 17% — процент зеленых автомашин, поскольку за 100% Саша принял число всех проехавших за время наблюдения машин. Значит, из 100 проезжающих автомашин примерно 17 — зеленые. Таким образом, вероятность, что мимо Сашиного дома проедет зеленая машина, приближенно равна: Р -0 17 2) Рассуждая аналогично, находим по диаграмме, что примерно 5% всех автомашин белые, а 10% — черные. Значит, такие автомашины составляют примерно 15% от числа всех — К Г- /• проехавших за время наблюдения автомашин. Вероятность часто указывают в процентах, значит. ,= 15%. ^ белая или черная До сих пор в учебнике мы ни разу не использовали букву «ё». А что можно сказать о других 32 буквах русского алфавита? Какая из них самая «трудолюбивая»? О О Пример 4. Какова вероятность того, что выбранная наугад буква в первом абзаце этого пункта окажется буквой «е»? tSD>: Решение. Всего в первом абзаце 475 букв, буква «е» среди них встречается 41 раз, значит, вероятность того, что выбранная наугад в первом абзаце буква является буквой 41 «е», равна , т. е. примерно 8,6%. 475 Упражнения 412. Найдите вероятности Р(№ 2) и Р(№ 5) (пример 1 данного пункта), используя расписание движения автобусов: 1) № 2: 15-10, 15-30, 15-50, 16-10; № 5: 15-15, 15-35, 15-55, 16-15; 2) № 2: 15-10, 15-30, 15-50, 16-10; № 5: 15-00, 15-20, 15-40, 16-00. 413. Автобус отходит от остановки каждые 20 мин. Какова вероятность того, что, придя на остановку, вы будете ждать автобус не больше 5 мин? 414. Вероятность часто выражают в процентах, принимая вероятность достоверного события за 100%. Выразите в процентах вероятности Pj^g^ P^g и Рвыпуклость вверх из примера 1 и примера 2 этого пункта. 415. Проведите статистический эксперимент и найдите приближенное значение вероятности того, что подброшенная канцелярская кнопка упадет острием вверх. 416. С какой вероятностью выбранная наугад буква в первом абзаце этого пункта окажется буквой: 1)«а»; 2)«б»? ф. I — 417. Раньше при передаче сообщений по телеграфу использовалась азбука, предложенная в 1838 г. изобретателем электрического телеграфа американцем Морзе. Каждая буква азбуки Морзе записывается в виде последовательности точек и тире. Объясните, почему в азбуке Морзе буква «е» передается одной точкой, а буква «э» — набором из пяти символов « • • - • • ». 418. В примере 4 этого пункта была найдена вероятность того, что наугад выбранная буква текста окажется буквой «е*. Выполните аналогичные расчеты для всех букв русского алфавита, взяв страницу своей любимой книги. (Распределите буквы между учениками своего класса.) 1)Заполните таблицу. Буква а б в ... ю я Сколько раз буква встретилась на странице(т) Р~ — , где п — общее количество п букв на странице 2) Какая буква чаще всего используется в русском языке? 3) Какова вероятность, что эта буква окажется в наугад выбранном месте текста? 4) Выберите наугад букву (закрыв глаза и ткнув пальцем). Повторите этот эксперимент 100 раз. По результатам вашего эксперимента определите, подтверждается ли найденная вами оценка вероятности. 419. Вы наверняка видели клавиатуру компьютера или пишущей машинки. Как вы думаете, почему буквы на ней расположены не в алфавитном порядке? Почему в разных местах расположена на русской и английской клавиатуре буква «о», одинаковая в этих двух алфавитах? 420. При контрольной оценке всхожести зерен пшеницы из 1000 зерен 27 оказались невсхожими. Какова вероятность, что наугад взятое зерно из этой же партии окажется всхожим? 421 .Из коробки, в которой лежат 10 шаров, наугад вынимают один шар, затем кладут его обратно в коробку и пере- мешивают шары. Этот эксперимент проделали 100 раз, и в результате 72 раза был вытащен белый, а 28 раз черный шар. Выскажите наиболее вероятную гипотезу о числе черных шаров в коробке. 422. В таблице приведены данные о годовом надое 100 коров. Надой указан в тысячах литров, величина разбиения — 600 л. Группы по надою, тыс. л 1,6- 2,2 2,2— 2,8 2,8— 3,4 3,4- 4,0 4,0- 4,6 4,6- 5,2 5,2— 5,8 5,8— 6,2 Число коров 4 14 17 37 15 6 4 3 1) Каких коров больше: коров с надоем большим 5,2 тыс. л, коров с малым надоем (меньше 2,8 тыс. л) или со средним надоем (от 2,8 до 5,2 тыс. л)? 2) Какова вероятность, что первая попавшаяся корова окажется рекордисткой? 423Г В городе, где живет Алеша, примерно равное количество ясных и пасмурных дней в году. Однажды во время урока математики, когда за окном шел дождь, учитель задал классу вопрос: «Какова вероятность, что через 88 ч в нашем городе будет солнечно? » Как бы вы ответили на этот вопрос на месте Алеши? Контрольные вопросы и задания 1. 2. Приведите пример достоверного события, которое не складывается из равновероятных возможностей. Подброшенный над столом спичечный коробок, упав, иногда остается стоять на грани, покрытой серой. Найдите экспериментально приближенное значение вероятности такого собы- ПОВТОРЕНИЕ 30.Числа и числовые выражения 424. Найдите значение выражения: 1) (2,25. 411 : 2): 27,74; 3) 9,4 - 5^(0,51 + 3,234 : 3,08) ,0 ______13__________________ 4) ,о 169 37 11 360 63 70 f 32 71 3 1^5 ■ 88 80 j : 0,59-0,19 22 2^ : (25, 344 : 3,6 - 5,24) - 1,24 25 425. Вычислите наиболее рациональным способом: 14,4 • 5,7 - 5,6 • (18,48 - 5,3244 : 1,305). 1) 2) 3) 4) 5,762 + 5,76-4,24 (136,143 : 2,25 - 50,108)2 + Ю4 • 0,96 . 70,2 : (3,6-2,19 + 3,6-0,81) 3,6 : (68,1 : 7,5 - 8,83) + 0,29 - 40 . 3,27-0,11 + 3,27-1,89-3,94 ’ 5,362-5,36-4,11-0,7 60,368 : 3,08 + 0,125 - 64,128 : 20,04 ' 426. Вычислите: 1) (9,126 : 0,65 + 0,46) - 7,18 + 1,45 - 28,2; 2) 0,35 - 388 - 28,8 - (20,56 - 14,501 : 0,85); 3) (1,6 + 154,66 : 70,3): 1,9 + 0,5 - 0,91 - 6,6; 4) ((64,516 : 12,7 - 1,28)2 _ i 22): 0,052 - 2,5. -Mr- I 427. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число: 1\1. Q4 20. кл 43. ^>7’ ^)-l5’ ®>1б- 428. Назовите три каких-нибудь числа, заключенных между: 1)1,3 и 1,4; 3)ЗизЬ 04 1 1 2)-зИ--; 4) л/2 и /Уз . 429. Сравните числа: 1) а) 4,5-107 и 0,36-103; б) 0,0023-10-Зи123-10- в) 9,7-10100 и 1,3- 1098; г) 324-10-11 и 325-10-10. -6. 2) а) (2,7)3 и (2,6)5; Д)НГ-. б) (-4,3)8 и (4,1)8; в) (-6,9)11 и (-2,3)4; r) (1,01)100 и 1; 3) (If Г 4^! Г- 430. Найдите значение выражения: 1) 0,2-3 _ 0,4-2 _ 0,25-3 - 0,5-3; 2) 0,04-2 _ 0,008-1 + 0,08-2 _ о,£-4; 3) 3,5 *10-3-(2-10-1)2; 4) -5-104. (3- 104)2 431. Вычислите: ’ 924 ’ 3) О) 502 •' (22)3.56’ 4) 332 _ 3 . gl4 26-2710 ’ 310 + 30 + 33 (92)2 432. Приведите пример: 1) двух натуральных чисел, разность которых не является натуральным числом; 'Ф ; - 2) двух дробных чисел, частное которых — натуральное число; 3) двух иррациональных чисел, сумма которых есть число рациональное; 4) двух иррациональных чисел, произведение которых есть число рациональное; 5) * рационального и иррационального чисел, произведением которых является рациональное число. 31. Рациональные выражения Преобразования дробных выражений встречаются уже в трудах одного из выдающихся ученых древности Диофанта. В книге «Арифметика» Диофант рассматривает такие преобразования, как 96 12 12x2 + 24 х'» + 36-12х2 6-х2 х“ + 36-12х2’ Зх + 4х 7x2 -24х X - 3 X - 4 х2 + 12- 7х Диофант пользовался значительно менее удобной символикой, чем та, которую применили мы. Так, например, х2 он записывал в виде А^, ах* — в виде АуА. Символика Диофанта, конечно, не идет в сравнение с современной, тем не менее, именно Диофант первым ввел специальные обозначения для переменных, для обратных величин, для знака вычитания. Черта дроби для обозначения и деления, и дроби была введена И. Ньютоном. Впервые она встречается в его труде «Всеобщая арифметика» (1707). Нулевой показатель степени ввел в употребление аль-Каши — знаменитый математик и астроном, живший в Самарканде в первой половине XV в. Его современник, французский математик Никола Шюке, ввел целые отрицательные показатели степени. Упражнения 433. Укажите допустимые значения переменной: 2) у + 2' 3) 4) а2 - {,2 ’ 32 |2| + 2’ 5) 6) га + 3 |п|-2’ т 5 - \т\ - J A 434. Сократите дробь: .. 42fe2y- 242 + 2b 3 - 6b 3 438. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение принимает одно и то же значение: ^■.^4(с + 3) |_ с \ + Зс 15 Чс2-3с 9^^ j ' с + 6 с-3’ 2)^ 3)< 6)« d - 5 , 4(d + 1) . f 9d d + 4 V 6 - 3d d2 + 4d Ч d2 - 16 d2 - 4d : J’ Зл -1- 14 _ f g - 4 f Ч Л + 21 Л л + 4 1 Л + 6 J 1 л2 - 8л -t- 16 16 ^ лг -ь 5 1 m + 7 \ ^ m -b 3 Y 2 -1- 1лг2 - 81 - 18m + 81 J 4m-9 J Г^) -1- 1 - 1 12Ь-4Ь^ ■+ 1 .( 4 [ 6b - 9 2Ь + 3 2b- 3 Ч 4b2 -9 8b3 + 27 л -н 3 V - Л2 J’ т 9 + т’ )• 439. 1) Докажите, что при всех отрицательных а значение выражения 2а _л.( а -ь 1 _1________10 А а-4 'I (а-3)2-1 д2 - 2а д2 - 4а J (а-3)2 есть число положительное. ,0, 2) Докажите, что при всех допустимых значениях Ь значение выражения 6 2 ^ , 2 (в^ -I- Ь Ь^-АЬ 1-(Ь-5)2 есть число отрицательное. 440Р Упростите выражение: 1 \ (х -ь и)^ , 1 1 1) - при х = а + 1,у = а-1; 2) при X = 6 + 2, у = 6 - 2; 3) ах а + X Ъ - X Ьх аЬ при X = -—г ; а — о ... ху ху аЬ аЪ 4) — --------— при X =-------г , У = ——L • 'X - у у + X а -Ь ^ а + Ь 4419 Сократите дробь: yn+l_ jn 1) 2) 3) 5* + 2 _ 5* 24 2П+ 2 + 2П+1 4- 2" 2" - 2"-з 4) 5) 6) 3* _ з*-1 _ з*-2 3*_ЗА-1 • (-Зп+3«-1)2_ gn-l • 25*^-! - 25* (5*+ 5*-1)2 442. Упростите выражение: 1) ^ Х-4 - х-5 ’ 4) - Ь ,-2п 2) ^'з ; чО 1 ■______II- ■ аЬ~^ - а~^Ь 3) у-^-у- а"2п _ д-л д-2л _ Д-Зл ’ Ь-2п 4- ft-л ’ 5) *^ аЬ~^ -Ь а”^6 -f --, a~^ — о~* 6) *^ (а~^ -I- Ь~^)^ : (ab“^ - а~^Ь)^. 443. Найдите значение выражения: 1) — - при X = 2,45, у = 2,55; (х-1 - у-1)2 ra~^ + p~^) (л + р)-2 2) Т~-ч-4~' при п = 0,08, р = 250. 444. Упростите выражение: 1) ху •2 _ ,,2 , где X = a■^ + &"Ч у = а~* - 6~^; 2) , где л: = 1 + а'^, г/ = 1 - а"!. 445. 1) Из формулы S = выразите: 4x1 а) переменную а; б) переменную R. 2) Из формулы ~ ~ ~ ^ “ выразите: а) переменную х; б) переменную у. 446. При каких значениях а значение дроби равно нулю: 1) а + 1 2) - 3 а 3) |g| - 1 . а2 + 1’ 4)’ |g| - 2 , а2 - 2а ' 32. Квадратные корни с задачей извлечения корня люди встретились еще на заре цивилизации при решении практической задачи определения длины стороны квадрата заданной площади. В Древней Персии (VI—IV вв. до н. э.) использовались таблицы квадратных корней, вычисленных с большой точностью. При вычислении квадратных корней использовалось приближенное равенство Va^ -I- Ь ~ а + , где Ь мало по сравнению с а^. ы d Найдем с помощью этого приближенного равенства, например, л/1650. Представим число 1650 в виде суммы точного квадрата и числа: 1650 = 402 + 50. Тогда получим: 7402 + 50 = 40 + = 40,625. 2 • 40 Для сравнения найдем 71650 с помощью микрокалькулятора: 71650 «40,620... . Ваши дедушки и бабушки, изучавшие алгебру по учебнику А. П. Киселева, вычисляли квадратные корни по другому правилу, которое мы проиллюстрируем извлечением корня из числа 7 873 636. V7 873 636 = V7'87'36'36 = 2806 49'8 М 56@6 387 384 33636 'ззбзб «Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его от правой руки к левой на грани по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть одна цифра. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получающегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию. Испытание это производится так: за вертикальной чертой (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему с правой стороны приписывают испытываемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится, и надо испытать следующую меньшую цифру. Следующие цифры корня находятся тем же приемом. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т. е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше». Итальянские математики (XIII в.) обозначали корень латинским словом radix или сокращенно г. (И сейчас в математической литературе корни часто называют радикалами.) Позднее буква г превратилась в знак V. В начале XVII в. к обозначению корня стали добавлять горизонтальную черту. ш jr например V (a + b - 1) (черта сверху в то время заменяла круглые скобки). Современный вид знак корня получил только в конце XVII в. Для решения различных практических задач достаточно рациональных чисел. Однако уже греческие математики обнаружили, что если принять сторону квадрата за единицу длины, то длину диагонали квадрата нельзя выразить рациональным числом. Были обнаружены и другие пары несоизмеримых отрезков (два отрезка называют несоизмеримыми, если не существует такого третьего отрезка, который содержался бы в каждом из данных отрезков целое число раз без остатка). Корень квадратный из числа, не являющегося точным квадратом, греки называли «алогос», что означает «невыразимое словами». Знаменитые среднеазиатские ученые Омар Хайям (XII в.) и Насир ад-Дин-ат-Туси (XIII в.) расширили понятие числа и использовали иррациональные числа наравне с числами рациональными. Ат-Туси в своем труде «Сборник по арифметике с помощью доски и пыли» изложил правила приближенного извлечения корней. Десятичные дроби для записи любых действительных чисел в Европе начал применять С. Стевин (1548—1620). Строгое математическое определение понятие действительного числа получило только во второй половине XIX в. в работах немецких ученых Р. Дедекинда и Г. Кантора. Упражнения 447* 1) Может ли квадратный корень из числа быть больше самого числа? 2) Может ли сумма двух квадратных корней быть меньше их разности? 3) Может ли сумма (разность, произведение, частное) двух иррациональных чисел быть рациональным числом? Если может, приведите пример. 448. Имеет ли смысл выражение: 1) ^Ш; 3)-л/т; 2) Т^т; 4) 7(-11)2; 5) V(-11)(-11); 6) 7-11 • 11 ? 44ЭР Найдите множество допустимых значений перемен- 7) 4х^ - 8х + 16 ; ной: 1) Vx - 15 ; 2) л/7 + дг; 3) 7лг2 + 100 ; 8) 4- бх - 9 ; 4) 781 - л:2; 5) 7аг^ + 4 ; 6) 7(х-1)2; 9) ® 10) 11) 12) 3 — 7^ 1 3 + 75' д: + 2 7а: - 4 ’ 1 - д: 7а:2 + 25 - Юд:' 450. Упростите выражение: 1)57з -|7^ +iT48 -7^; 3 2 2) 7^ + 0,57^ + i 745 - 7Ш ; зр I.a[I -3[1-1,7-Гб-iJTTs; 4)0 5jI+3|7o;6-l,2jT|-AVl35; ЙЧ# n Q 1152-152 , 1 2732- 162 0)* 0,3 j------- + — 130 257 451. Упростите выражение: 1) (7ТЗ -577)(Тб - i 7^); 2) (з75 +57з)(^715 3) [|ТЗ +б)" - (2+ 73)2; 4) (275 - 710)2-(710 - 72)2. ,7*1.- 452P Найдите значение выражения: 1) 2а^ - 6а + 1 при а = ^ ^ ; 2) 3x2 _ Зд, _ 1 при д; = ^ ; 3) 4x2 4- 4д,2 - 15д; - 10 при х = ; 4) 25x2 + 15x2 _ 17х - 8 при х = 1 + 2^2 453? Найдите значение выражения: 3) л/л/П - 72 • VTnTvl; 3 + 272 3-272 . ^ 3 - 272 3 + 272 ’ 2^ 7 + 473 7 - 473 . 7-4ТЗ 7 + 4ТЗ 454.' Докажите, что значение выражения: 4) Vi3 - 473 • 7i3 + 473 1) (7n-77)- —^ + 7^ равно 4; V 7П - 77 2) (713 + 7з)- /13^ + зТз _ ^ \ ТТз + 7з 455. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1)^- ^7з’ 3) 4) 5) 5 - 2Тб . 572-473’ 9) ъ- Ш' 1 . 4 + 715 ’ g.Q 275 + 7^ . 2715 + з77 ’ 7) ^ ■ 8) Ja - Ь 4 . 7с + 10) 11) 12) 7л - X 1 Jx- Jy’ 5 . Та +7fe ’ 7 X - Ту 456. Докажите, что если а и 5 — рациональные числа, то сумма, разность, произведение и частное чисел вида а + б7б есть число такого же вида. 457.® Сравните значения выражений: 1) 73 -Ь 77 и 275; 2) 713 + 7^ и 8,5. 458:''* Используя правило вычисления квадратного корня в «столбик», найдите с точностью до сотых: 1)7^; 3) 71^; 2) 78; 4) 729,5. 459? 1) Вычислите корни по формуле 7^2 + Ь ~ а + ^ , где Ь ь С1 М£1л6 по сравнению с а^: а) 7^; в) 73606; б) 72532; г) 74909 . 2) Проверьте точность вычисления с помощью кальку- лятора. 460. Сравните числа: 1) 1,(56) и 1,65; 4) 3,(14) и л; 2)-3,(25) и-3,(52); 5) 73 и 1,73; 3)ли3,1415; 6)-72 и-1,41. 461. Сравните значение выражений: 1) 752+ 122 и 5 + 12; 2) 7102 -62 и 10-6. 462. Сократите дробь: 2jx - зТу . ^ 9у-4х ’ х+ J2 Ja + а , ^ Га ’ 1) 5 + 7с бТс + с 4631* Сумма двух чисел равна J\0, а их разность 7б . Дока- жите, что произведение этих чисел равно 1. 464.1) Докажите, что значение выражения является рациональным числом: а) (л/5 -Ь 27б -Ь j5-2j6f; б) (7б + 2Л + 7б -275)2. 2) Составьте аналогичное выражение, значением которого будет рациональное число. .Упроститевыражение |-^== + 71 - j + ij- 465.: 466? При каких значениях переменной верно равенство: 1) 7а2 - 2а + 1 = а- 1; 3) J4b^ + 46 + 1 = 1 + 2&; 2) 7с2 - 6с + 9 = 3 - с; 4) Td^+~2d2TT = + 1? 467? Замените выражение тождественно равным ему выражением, не содержащим знака радикала: 1) 74а2- 12а-ь 9; 2) 710062 + 20Ь + 1 , если Ь < -0,1; 3) 749 - 14с -Н с2 , если О 7; 4) 79-6п + п2 , если л < 3. 468. Представьте в виде ajb, где а— рациональное число, Ь — натуральное число, выражение: 2 7б’ 3)-^; 475 5)i 70:9; 6 27з’ 6)-4 7!^ 469?Решите задачу, сформулированную индийским математиком Бхаскарой (XII в.). «Назови мне число, которое, 3 будучи умноженное на 3, сложенное с ^ произведения, разделенное на 7, уменьшенное на | частного, умноженное само на себя, уменьшенное на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, будет равняться 2 ». 470? Используя правило вычисления квадратного корня «в столбик», найдите: 1) 77 338 681; 3) 745 010 681; 5)* 714,508481; 2) 71 185 921; 4) 776 667 536 ; 6)* 733,686416 , -Vi 'ft 33. Квадратные уравнения 4000 лет тому назад в двуречье Тигра и Евфрата возникло могучее государство Вавилон. Многочисленные документы той эпохи (глиняные плитки с нанесенными на них клинописными знаками, расшифрованные только в начале XX в.) свидетельствуют о том, что вавилоняне использовали таблицы умножения, таблицы обратных чисел и квадратных корней. Все задачи в вавилонских текстах сформулированы только для конкретных числовых данных, но применявшиеся методы решения свидетельствуют о том, что были известны и общие правила решения. В отличие от более поздней греческой математики, в вавилонских текстах нигде нет каких-либо попыток обоснования решения. Все объяснения сводятся только к указанию, какие действия над данными надо произвести, чтобы получить ответ. В Греции математики овладели искусством решать квадратные уравнения путем использования геометрической алгебры. Примеры задач, приводящих к квадратным уравнениям, рассмотрены в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Примеры геометрического решения квадратных уравнений приводятся и в знаменитой «Алгебре» Мухаммеда аль-Хорезми, в которой он систематизировал результаты, полученные математиками предшествующей эпохи. Рассмотрим один пример. Решить уравнение + Юл: = 39. Построим квадрат ABCD со стороной л: и на его сторонах ВС и CD построим равные прямоугольники с высотой 5 (рис. 26). Дополнив полученную фигуру до квадрата AMFN, выразим его площадь через площади составляющих его частей: ^ABCD ^^CDNL ^CKFL ~~ -х^ + 2х'5 + 25. Так как S AMFN = (л: -Н 5)^, то (д:-Ь 5)2 = л:2-ЫОх-Н 25. Учитывая, что по д:2 + Юл: = 39, имеем условию (л: -Н 5)2 = 39 + 25, т. е. (д: + 5)2 = 64. Отсюда JC -ь 5 = 8; д: = 3. Рис. 26 #; Впервые отрицательные корни уравнений стал находить выдающийся индийский математик Бхаскара (XII в.)> книга которого «Лилавати» в течение многих веков оставалась на Востоке главным источником арифметико-алгебраических знаний. В Европе решение квадратных уравнений было изложено итальянским ученым Леонардо Фибоначчи в «Книге абака» (начало XIII в.). Автор разработал некоторые новые способы решения квадратных уравнений и впервые в Европе стал использовать отрицательные числа. В середине XVI в. общее правило решения квадратных уравнений при любых знаках коэффициентов было дано немецким математиком М. Штифелем. Упражнения 471. Решите уравнение: 1 1 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Ч" —= — 0 х^ - 5х 5л: + 25 х2 - 25 X + 2 1 х^ - 16 х^ + 4х 16 - 4х’ 6 1 о. 7 х^ - 9 (Х-3)2 (X -ь 3)2 2 9 + ^ (2х-5) 2 2л:2 - i 5х Юх - 25 Зх - 1 1 X 6л: - 3 1 — 4x2 2х + 1 ’ 2л: - 2 X - 2 ^-1 _А. л;2 - 36 х2 - 6х х2 + 6Х X + 6 4 1 л:2 - 7х (7-х)2 X - 7’ 3 1 _ X -1- 3 = 0; 8л:3 + 1 2х + 1 4х^-2х + 1' А72Р При каких значениях х сумма дробей: 1 -I- 1 10 1)---------р и 2) —^ и X -5 X + 5' у + 2 “ у - А и их произведение принимают равные значения? * J 71 473.1) При каком значении а один из корней уравнения - Зх - 5 = О равен 1? 2) Докажите, что один из корней уравнения ах^ - (а + с)х + с = О равен 1. 474.'‘ В уравнении Зх^ - 6х + 6 = О найдите какое-нибудь значение Ь, при котором левая часть уравнения является: 1) суммой двух квадратов; 2) разностью двух квадратов; 3) точным квадратом. 475. Решите уравнение и выполните проверку по теореме Виета: 1) х2-Зл/2х-Ы2 = 0; 2) у2 + 2ТЗг/- 72 = 0; 3) 22 - б2 -f 7 = 0; 4) р^-10р + 7 = 0. 476. 1) Найдите с, если число 3 корень уравнения: а) 3x2 + сх + 24 = 0; б) (с - 1)х2 - (с -Ь 1)х = 72. 2) Решите полученное уравнение. 477.* Найдите корни уравнения: Хл/З + J2 Хл/З - ^/2 _ 10х х73 - л/2 хТз + л/2 1 - у4ъ ^1-1- г/Тб _ 1 + yjb 3x2-2’ 9у \-уЛ 1-5J/2' 478. При каких значениях х значение /(х) равно нулю, если: 1) fix) = -0,4х + 1,2; 3) fix) = 3x2 -f Их - 4; 2) Ях) = ЮОх - 0,21; 4) /(х) = 4x2 + 5^: + 12. 479.' 1) При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 4- (а - 1)х - 2а = о равна 9? 2) Сумма квадратов корней уравнения х2 + рх -Ь 1 = 0 равна 254. Найдите коэффициентр. 480. ' Не решая квадратное уравнение, найдите знаки его корней (если корни существуют): 1) х2 + 25х-7 = 0; 3) х2 - 6х л/5 -Ы1 = 0; 2) х2-ь37х-Ы7 = 0; 4) х2 - 2х-Ь 71 - 3 = 0. 481. Найдите область определения функции: 1 1) 1/= 3x2 +4л:-7; 2) у = J3x + 2 ; 3) у = 4) У = 5x2-Зх-2’ 1 1 2х + 3 2х2-5х-3‘ 482Р 1) При каком значении а уравнение 3x2 _ 2х - 7а = О имеет: а) два корня; б) один корень; в) ни одного корня? 2) При каком значении Ь уравнение х2 - бх + 16 = О имеет один корень? 483. Решите систему уравнений: х-1/ = 4, ,х2 + у2= 730; 'Зу-х = 4, x2-j/2= 720; 1) 2) ]ху=12, ^Мх2 + у2 = 25; 3) 4) 2х + 5у - ху = 8, X + 10у - ху = 16; Зх - Ъу - ху = о, 4х + Зу - 2ху = 6; х2 + у2 = 29, 1х2_у2 = 21; I X + у = 10, 1+1.-А. х у 12' |х-у = 6, 8) i 1 _ 1 = i. у X 20 ■ 6) 7) Решите задачи. 484. 1) Для перевозки 180 туристов было заказано несколько автобусов. Но два автобуса не прибыли, а туристов приехало на 8 человек больше, чем ожидалось. Поэтому пришлось в каждом автобусе разместить на 17 человек больше, чем предполагалось. Сколько туристов было размещено в каждом автобусе? 2) Бригада трактористов к определенному сроку должна была вспахать 1800 га. Ежедневно перевыполняя норму на 25 га, уже за 4 дня до срока бригада не только выполнила задание, но и вспахала дополнительно 200 га. Сколько гектаров должна была ежедневно вспахивать бригада по плану? 485. 1) За определенный срок одна бригада должна была изготовить 420 деталей, а другая — 500 деталей. Первая закончила работу на 4 дня, а вторая — на 7 дней раньше г-----\ ш э ‘ срока. Сколько деталей изготовляла в день каждая бригада, если вторая ежедневно изготовляла на 5 деталей больше, чем первая? 2) Одна фабрика должна была пошить 5400 костюмов, а другая за тот же срок 6000 костюмов. Первая закончила выполнение заказа за 2 дня, а вторая — за 4 дня до срока. Сколько костюмов шилось в день на каждой фабрике, если вторая фабрика ежедневно шила на 40 костюмов больше, чем первая? 486. 1) На огороженном участке прямоугольной формы длиной 150 м и шириной 110 м разбит прямоугольный газон, одинаково отстоящий от ограды. Найдите длину и ширину газона, если известно, что его площадь состав-4 ляет — площади участка. 2) Участок прямоугольной формы имел площадь 1200 м^. После увеличения длины участка на 4 м, а ширины на 5 м его площадь увеличилась на треть. Найдите первоначальные размеры участка. 487."' 1) Прямая, параллельная меньшей стороне прямоугольника и отстоящая от нее на 9 см, делит прямоугольник на два подобных (но не равных) прямоугольника. Найдите площади полученных частей, если периметр данного прямоугольника равен 74 см. 2) Прямая, параллельная стороне прямоугольника и отсекающая на другой стороне отрезок, длина которого 18 м, делит его на два прямоугольника так, что один из них подобен данному прямоугольнику. Зная, что периметр данного прямоугольника равен 160 м, найдите его площадь. М 488: 1) Через вершину С прямоугольника ABCD проведена прямая, отсекающая на продолжениях сторон АВ и AD отрезки, равные 15 и 40 см (рис. 27). Найдите стороны и площадь прямоугольника, если его периметр равен 98 см. N Рис.28 2) Прямая, проходящая через вершину В параллелограмма ABCD, отсекает на продолжениях сторон DA и DC отрезки, равные 16 м и 15 м (рис. 28). Зная, что периметр параллелограмма равен 64 м, найдите его стороны. 489. 1) Увеличив скорость поезда на 6 км/ч, удалось сократить время, затрачиваемое поездом на прохождение пути в 240 км, на 10 мин. С какой скоростью стал двигаться поезд? 2) Лыжник прошел от пункта А до пункта В, отстоящего от А на 20 км. Обратный путь он проделал по другому маршруту, который был на 4 км длиннее, но, поскольку дорога шла под уклон, он двигался на 3 км/ч быстрее и затратил на 1 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью двигался лыжник из А в В? 490. * 1) Расстояние между городами А и В равно 120 км. Че- рез 2 ч после отправления из А мотоциклист был задержан у железнодорожного переезда на 6 мин. Чтобы прибыть в В в намеченный срок, он увеличил скорость на 12 км/ч. С какой скоростью стал двигаться мотоциклист? 2) Велосипедист проехал 40 км от города до совхоза. Возвращаясь, он сначала 2 ч ехал с той же скоростью, а затем сделал остановку на 20 мин. После остановки велосипедист увеличил скорость на 4 км/ч и затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь от города до совхоза. С какой скоростью двигался велосипедист после остановки? 491. *!) Велосипедист рассчитывал проехать маршрут ВС за 2 ч. Однако, когда до пункта С оставалось 6 км, он из-за встречного ветра снизил скорость на 3 км/ч и прибыл в пункт С на 6 мин позже, чем рассчитывал. Сколько километров между В и С? 2) Пешеход прошел расстояние между С и М за 3 ч. Возвращаясь, он первые 16 км шел с той же скоростью. a затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из С в М. Сколько километров между С и М? 492. 1) Из пункта К со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним вышел второй турист, проходивший в час 5 км, а спустя час после него из К выехал велосипедист, который обогнал одного из туристов, а затем через 10 мин и другого. Найдите скорость велосипедиста. 2) Из М в А, расстояние до которого 41 км, вышел турист, проходивший в час 5 км. Спустя 2 ч вслед за ним выехал всадник, который, обогнав туриста, прибыл в А и, не останавливаясь, повернул назад. Найдите скорость всадника, если известно, что на обратном пути он встретил туриста через 2 ч 45 мин после того, как его обогнал. 493. 1) С аэродрома одновременно вылетели два самолета: один на север, другой на запад. Через 24 мин расстояние между самолетами было равно 400 км. Найдите скорости самолетов, если скорость одного из них составляла 75% скорости другого. 2) Из порта одновременно вышли два теплохода: один на восток, другой на юг. Спустя 2 ч 30 мин расстояние между ними было 125 км. Найдите скорости теплоходов, если известно, что скорость одного из них была на треть больше, чем скорость другого. 494;'“' По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся в направлении перекрестка велосипедист и мотоцик- лист. В некоторый момент времени велосипедист находится в 8 км, а мотоциклист — в 15 км от перекрестка. Через сколько минут после этого расстояние между ними будет равно 5 км, если скорость велосипедиста равна 5 км/мин, а скорость мотоциклиста 1 км/мин? <5 495.^ 1) Рыболов отправился на лодке от пункта А вверх по реке. Проплыв 9 км, он бросил весла, и через 8 ч после отправления из А течение снова снесло его к пункту А. Зная, что скорость лодки в стоячей воде равна 6 км/ч, найдите скорость течения. N 2) От пристани В вниз по течению реки отошла лодка, развивающая в стоячей воде скорость 6 км/ч. Через час от пристани С, отстоящей от В на 61 км, вверх по течению отправился катер, скорость которого в стоячей воде равна 20 км/ч. Пройдя 34 км, катер встретился с лодкой. Найдите скорость течения реки. 496. 1) Два комбайнера, из которых второй начал работу на 2 ч позже первого, убрали урожай с участка за 6 ч, считая от начала работы первого. За сколько часов мог бы убрать урожай с участка каждый из них, работая в одиночку, если первому на это понадобилось бы на 4 ч больше, чем второму? 2) Два тракториста могут вспахать зябь на 18 ч быстрее, чем один первый тракторист, и на 32 ч быстрее, чем один второй тракторист. За сколько часов может вспахать зябь каждый тракторист, работая в одиночку? 497. *^ 1) Одна труба может наполнить бассейн на 72 мин быстрее, чем другая. Если сначала половину бассейна наполнит первая труба, а затем половину бассейна — вторая, то понадобится на 1 ч больше времени, чем при одновременном действии труб. За сколько минут может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно? 2) Для перевозки стройматериалов первому самосвалу нужно на 24 ч меньше, чем второму, менее мощному. Если сначала две трети всех материалов перевезет первый самосвал, а затем оставшуюся часть — второй, то понадобится на 33 ч больше, чем при одновременной работе самосвалов. За сколько часов может перевезти стройматериалы каждый самосвал, работая в одиночку? 498. * Мастер и его ученик должны были выполнить работу к определенному сроку. Однако, когда была выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мог бы выполнить работу каждый из них, работая в одиночку, если ученику на это потребовалось бы на 5 дней больше, чем мастеру? 499. *^ 1) В сплав меди и цинка, содержащий меди на 16 кг больше, чем цинка, добавили 10 кг меди. В результате процентное содержание цинка в сплаве понизилось на 6%. Сколько цинка и сколько меди стало содержаться в сплаве? IL^n 2) В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия, добавили 15 кг магния, после чего процентное содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Какова была первоначальная масса этого сплава? 500* В 360 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 160 кг примесей, содержавших в среднем 12,5% железа, процент содержания железа в оставшейся руде повысился на 12%. Какое количество железа содержалось в руде до ее обогащения (т. е. до удаления примесей)? 501. Решите задачу индийского математика Бхаскары. Обезьянок резвых стая. Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам Стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок. Ты скажи мне, в этой стае? -4Г-ГГ- ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Задачи на движение Задача 1 Моторная лодка прошла 20 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 4 ч 30 мин. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч? Обозначив искомую собственную скорость лодки буквой х (км/ч), запишите; 1) а) скорость лодки по течению; б) скорость лодки против течения; в) время, затраченное на путь по течению; 2) а) время, затраченное лодкой на путь против течения; б) все затраченное на движение время; в) дробное уравнение по условию задачи; 3) а) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; б) корни квадратного уравнения; в) ответ на вопрос задачи. 2. 3. Дополнительные вопросы Какое расстояние проплыла бы лодка за это время, если бы она не поворачивала назад? Какова средняя скорость лодки (с точностью до 0,1 км/ч)? На сколько процентов больше времени затратила лодка на обратный путь, чем на путь по течению? Задача 2 Моторная лодка прошла 45 км по течению реки и 22 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость г- гГ" ♦ ■* ■3 Л' .—/1 VK Г р TipH5:yYY^-;^Y лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч. Обозначив скорость лодки в стоячей воде буквой х (км/ч), запишите: 1) а) скорость лодки по течению реки; б) скорость лодки против течения реки; в) время, затраченное на путь по течению реки; 2) а) время, затраченное на путь против течения реки; б) время, затраченное на весь путь; в) дробное уравнение по условию задачи; 3) а) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; б) корни этого квадратного уравнения; в) ответ на вопрос задачи. 1. 2. 3. Дополнительные вопросы Какое расстояние прошла лодка в оба конца? Какова средняя скорость лодки (с точностью до 0,1 км/ч)? Сколько времени понадобилось бы лодке на такой же путь в стоячей воде? Задача 3 Турист проплыл на лодке 12 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 30 мин. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч? Обозначив искомую скорость лодки буквой х (км/ч), запишите: 1) а) скорость лодки по течению; б) скорость лодки против течения; в) время, затраченное на путь по течению; 2) а) время, затраченное лодкой на путь против течения; б) время, затраченное на весь путь; в) дробное уравнение по условию задачи; 3) а) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; б) корни квадратного уравнения; в) ответ на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы Какое расстояние проплыла лодка по реке в оба конца? Какова средняя скорость лодки (с точностью до 0,1 км/ч)? -r-iO 5 • Ztn\ Л" 3. На сколько процентов скорость лодки по течению реки больше, чем ее скорость против течения? Задача 4 Байдарка проплыла 18 км по течению и 15 км против течения реки, затратив на путь по течению на 30 мин меньше. Зная, что скорость течения равна 1,5 км/ч, найдите скорость байдарки в стоячей воде. Обозначив искомую скорость байдарки х (км/ч), запишите: 1) а) скорость байдарки по течению; б) скорость байдарки против течения; в) время, затраченное байдаркой на путь по течению; 2) а) время, затраченное байдаркой на путь против течения; б) на сколько больше времени занял путь против течения; в) дробное уравнение по условию задачи; 3) а) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; б) корни этого квадратного уравнения; в) ответ на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. Сколько времени затратила байдарка на путь в оба конца? 2. Какова средняя скорость байдарки (с точностью до 0,1 км/ч)? 3. Сколько времени затратила бы байдарка на обратный путь, если бы двигалась в стоячей воде? Задача 5 Мотоциклист проехал из пункта А в пункт В за 5 ч. Возвращаясь, он первые 48 км проехал с прежней скоростью, а затем увеличил ее на 4 км/ч. В итоге обратный путь занял у него на 15 мин меньше. С какой скоростью ехал мотоциклист из пункта А в В? Обозначив буквой х (км/ч) первоначальную скорость мотоциклиста, запишите: 1) а) расстояние между А и В; б) расстояние, которое мотоциклист проехал на обратном пути с увеличенной скоростью; в) скорость, которая была у мотоциклиста на последнем участке пути из В в А; 4 ^ > 2) а) время, которое мотоциклист затратил на путь из А в В; б) время, которое затратил мотоциклист на первые 48 км обратного пути; в) время, которое затратил мотоциклист на последнюю часть пути; 3) а) время, затраченное мотоциклистом на весь обратный путь; б) дробное уравнение по условию задачи; в) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; 4) а) корни этого квадратного уравнения; б) ответ на вопрос задачи. Дополнительный вопрос На сколько меньше времени (в процентах) занял у мото- циклиста обратный путь, чем путь из пункта А в В? Задача 6 Расстояние между городами А и В велосипедист проехал за 3 ч с некоторой скоростью. Возвращаясь, он первые 24 км ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 2 км/ч и возвратился в город А, затратив на обратный путь на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько километров между городами А и В7 Обозначив скорость велосипедиста на пути из А в В буквой X (км/ч), запишите: 1) а) расстояние между городами А и В; б) скорость, с которой ехал велосипедист на последнем участке пути из В в А; в) расстояние, которое проехал велосипедист, увеличив скорость; 2) а) время, которое велосипедист потратил на путь после увеличения скорости; б) время, которое затратил бы велосипедист на этом участке, если бы не увеличивал скорость; в) дробное уравнение по условию задачи; 3) а) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; б) корни этого квадратного уравнения; в) скорость, с которой ехал велосипедист из А в В; г) ответ на вопрос задачи. 'fir Л’ ^n ^•ilb%- Дополнительные вопросы 1. Сколько времени затратил велосипедист на весь маршрут? 2. С какой средней скоростью проехал велосипедист весь путь? (Ответ округлите до 0,1 км/ч.) Задача 7 Расстояние между городами А к В, равное 220 км, автобус проходит по расписанию за определенное время. Однажды через 2 ч после выхода из города А автобус был задержан на 10 мин. Чтобы прибыть в город В по расписанию, водитель должен был увеличить обычную скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость автобуса. Обозначив буквой х (км/ч) первоначальную скорость автобуса, запишите: 1) а) расстояние, которое проехал автобус за первые 2 ч пути; б) расстояние, которое оставгшось проехать автобусу после остановки; в) скорость, с которой ехал автобус после остановки; 2) а) время, затраченное автобусом до города В после остановки; б) время, затраченное автобусом на путь из А в В, считая время остановки; в) время, которое должен затратить автобус на путь из А в В по расписанию; 3) а) дробное уравнение по условию задачи; б) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; в) корни этого квадратного уравнения; г) ответ на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. Сколько часов занимает путь из А в В по расписанию? 2. На сколько процентов первоначальная скорость автобуса меньше, чем скорость автобуса после остановки? Задачи на совместную работу Задача 8 Один комбайн убирал с поля картофель в течение 19 ч, а затем к работе подключился другой комбайн. Через 13 ч совместной работы уборка была закончена. Определите, за сколько часов смог бы убрать все поле каждый комбайн I. Тй^ Э* в отдельности, если второму на это потребовалось бы на 9 ч меньше, чем первому. Обозначив время, которое потребовалось бы на уборку всего поля второму комбайну, буквой х (ч), запишите; 1) а) время, которое нужно первому комбайну, чтобы убрать поле; б) часть поля, которую убирает второй комбайн за 1 ч; в) часть поля, которую убирает первый комбайн за 1 ч; 2) а) время, в течение которого работал первый комбайн; б) время, в течение которого работал второй комбайн; в) часть поля, которую убрал первый комбайн; 3) а) часть поля, которую убрал второй комбайн; б) дробное уравнение по условию задачи; в) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; 4) а) корни этого квадратного уравнения; б) ответ на вопрос задачи. Дополнительный вопрос Какую часть поля убирают оба комбайна, работая совместно, за 1 ч? Задача 9 Два комбайнера, из которых второй начал работу на 4 ч позже, чем первый, убрали урожай с поля за 12 ч. За сколько часов мог бы убрать урожай каждый комбайнер, работая в одиночку, если известно, что первому на это понадобилось бы на 8 ч больше, чем второму? Обозначив время, которое понадобилось бы на уборку урожая второму комбайнеру, буквой х (ч), запишите: 1) а) время, которое понадобилось бы на выполнение этой работы первому комбайнеру; б) часть всей работы, которую выполняет второй комбайнер за 1 ч; в) часть всей работы, которую выполняет первый комбайнер за 1 ч; 2) а) время, которое проработал первый комбайнер; б) время, которое проработал второй комбайнер; в) часть всей работы, которую выполнил первый комбайнер за все время своей работы; 3) а) часть урожая, которую убрал второй комбайнер за все время своей работы; б) дробное уравнение по условию задачи; ■i X' в) квадратное уравнение, к которому приводит дробное; 4) а) корни квадратного уравнения; б) ответ на вопрос задачи. Дополнительный вопрос Сколько времени понадобилось бы на уборку урожая, если бы комбайнеры с самого начала работали вместе? Задача 10 Кран с холодной водой наполняет бак на 7 мин быстрее, чем кран с горячей. Если одновременно открыть оба крана, то бак наполнится за 12 мин. Сколько времени потребовалось бы каждому крану в отдельности, чтобы наполнить бак? Обозначив время, которое потребовалось бы для наполнения бака холодной водой, буквой х (мин), запишите: 1) а) время, за которое бак может быть наполнен горячей водой; б) часть объема бака, которую заполняет кран с холодной водой за 1 мин; в) часть объема бака, которую заполняет кран с горячей водой за 1 мин; 2) а) часть объема бака, которую заполняет кран с холодной водой за 12 мин; б) часть объема бака, которую заполняет кран с горячей водой за 12 мин; в) дробное уравнение по условию задачи; 3) а) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; б) корни этого квадратного уравнения; в) какой из этих корней удовлетворяет условию задачи; г) ответ на вопрос задачи. Дополнительный вопрос Какой процент объема заполняют оба крана за 1 мин? Задача 11 Мастер и его ученик могут совместно выполнить некоторую работу за 15 ч. За сколько часов ученик, работая один, может выполнить эту работу, если на ее выполнение ему понадобится на 16 ч больше, чем мастеру? Обозначив время, необходимое ученику на выполнение всей работы, буквой х (ч), запишите: г—“ 1. 2. 3. 4. 1) а) время, которое понадобилось бы мастеру на выполнение всей работы; б) часть работы, которую может выполнить каждый из них за 15 ч; в) работу, которую мастер и ученик вместе могут выполнить за 15 ч; 2) а) дробное уравнение по условию задачи; б) квадратное уравнение, к которому приводит полученное дробное; в) корни этого квадратного уравнения; 3) а) какой из корней не имеет смысла в данной задаче; б) ответ на вопрос задачи. Дополнительные вопросы За сколько часов мог бы выполнить всю работу мастер? Во сколько раз производительность труда мастера больше, чем ученика? Кто выполнит больший объем работы — мастер за 9 ч или ученик за 16 ч? Сколько времени понадобилось бы мастеру и ученику, если бы сначала половину работы выполнил мастер, а затем половину — ученик? -* -f, ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ РАБОТЫ Работа 1 Прямоугольники данной площади Указания к работе 1. Площадь прямоугольника равна 144 см^, а его основание X см. Найдите высоту прямоугольника h (см) и его периметр Р (см). Заполните таблицу. X 6 8 9 10 12 13 15 18 24 36 48 h р 2. При каком значении х получился прямоугольник наименьшего периметра? 3. Сформулируйте гипотезу о прямоугольнике данной площади, имеющем наименьший периметр. Работа 2 Изменение величины дроби Указания к работе 1 1. К числителю и знаменателю дроби - прибавьте одно и то же положительное число х. Заполните таблицу, округляя значение у. X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -1- л: У~2 + х ф ■л»* \ X 2. Постройте график функции у = ^ ^ ^ при д: > О 2 + X 3. Как изменяется значение у при возрастании х? 4. Проведите аналогичное исследование, взяв неправиль- ную дробь, например - А 5. Сформулируйте гипотезу об изменении значений правильной и неправильной дробей при увеличении числителя и знаменателя на одно и то же положительное число. Работа 3 Изменение площади треугольника, отсекаемого от угла прямой Указания к работе 1. На рисунке 29 через точку С(5; 4) проведена прямая, пересекающая полуоси Ох и Оу соответственно в точках А(х; 0) и В(0; у). Проведите через точку С другие прямые так, чтобы они пересекали полуось Ох в точках с указанными в таблице абсциссами. Запишите в таблицу соответствующие значения у. X 7 8 9 9,5 10 10,5 11 12 14 16 20 у ^АОВ 2. Для каждой пары соответствующих значений х и у вычислите площадь треугольника АОВ и запишите в таблицу. 3. Какая наименьшая площадь у вас получилась? При каких значениях хну получилась наименьшая площадь? Как связаны координаты точки С с этими значениями х и г/? Ш I — 'UM Работа 4 Зависимость между отрезками пересекающихся хорд Указания к работе 1. Постройте окружность радиусом 50 мм. Отметьте точку К на расстоянии 40 мм от центра. Обозначив длину одного из отрезков хорды, проходящей через точку К, буквой х (мм), а другого отрезка хорды буквой у (мм), постройте хорды, для которых в таблице указано значение х. X 10 12 16 20 24 26 28 30 32 36 40 у 2. Измерьте длину второго отрезка хорды и заполните таблицу. 3. Вычислите произведение ху для каждой пары отрезков одной и той же хорды. 4. Заметили ли вы какую-либо закономерность? Сформулируйте гипотезу. Какую длину имеет наименьшая из хорд, отрезки которой указаны в таблице? Каковы длины отрезков этой хорды? 5. Используя зависимость у от х, указанную в таблице, постройте график этой зависимости для множества всех хорд, проходящих через точку К. Работа 5 Статистический эксперимент по определению вероятности Приборы и материалы, одна или две выпуклые пуговицы. Указания к работе 1. Проведите 50 экспериментов по подбрасыванию выпуклой пуговицы. Результаты подбрасывания оформите в таблицу. 2. Представьте графически зависимость частоты появления события А от количества экспериментов. 3. Найдите приближенное значение вероятности выпадения пуговицы выпуклостью вверх. Событие Число экспериментов 10 20 30 40 50 А: выпуклость вверх В: выпуклость вниз ■ГГ» ПРОВЕРЬ СЕБЯ! Домашние контрольные работы Работа 1 Тема «Рациональные выражения» 1. Представьте выражение в виде алгебраической дроби и, если возможно, сократите эту дробь: 2) 4дг® - X ( ЗаЗ V [2х2-х ) 2. Упростите выражение ЗаЗ - 81&3 + 72аЗ 81аЧ-54аЬ^ + 9Ь^ ISb^a + баЧ + 2а^ 2аЬ^ - 12Ьа^ + 18а^ ' 3. Докажите тождество Ь ( а + Ь . Ь _ _i V(а - Ь)3 ) 1,3 5 а-Ъ а + 8Ь 4. Решите уравнение 2х - 10 5х + 25 х^-25 ' 5. Решите задачу. Катер проходит одинаковое расстояние за 5 ч по течению реки и за 6 ч 15 мин против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч. Работа 2 Тема «Функция У — 1. Переменные хну обратно пропорциональны. Заполните таблицу. X 2,4 18 28,8 у 2,5 2 1,44 0,6 —у 10 2. Постройте график функции у = ^. Принадлежит ли этому графику точка: 1)А(25;0,4); 2) В(-1,25;-8)? 3. ® Известно, что число а больше своего квадрата. Распо- 1 2 ложите в порядке возрастания числа а, - , а^. 4. • Скорость грузового автомобиля на пути из деревни в город была на 20% меньше, и ушло на него на 45 мин больше, чем на обратный путь. Найдите время, затраченное грузовым автомобилем на обратный путь. Работа 3 Тема «Степень с целым показателем» 1. Найдите значение выражения: 1) (0,8-2 + 0,6-2)-1; 2) (5 • 2-2 - 20 • 5-2) = ( | ^ а"2 - а~^ 2. Упростите выражение а-"* - а-2 ' 3. Преобразуйте в алгебраическую дробь выражение (л:-1 - 1/-^)-2 : (х-2 - 1/-2)-1. 4. 1) Представьте в стандартном виде числа 675 000 и 0,004. 2) Запишите в стандартном виде произведение и частное этих чисел. Работа 4 Тема «Квадратные корни» 1. Найдите значение корня, представив подкоренное выражение в виде произведения квадратов: 2) 792,52 _ 28,52. 1) V27-14-21-32; 2. Укажите два допустимых и два недопустимых значения переменной для выражения: 1) J12x - 6; 04 1 . 04 1 2) 3) -I- 9 10 - Jx 3. Упростите выражение 1,1 - 9 /| - Jl,b —^ . /3 Ш; 4. Уничтожьте иррациональность в знаменателе дроби: 1) 2) 8 + Зл/7 Л^’ '8-ЗЛ 5. • Существует ли такое значение а, при котором верно равенство Ja^ - а = 10? Работа 5 Тема «Квадратные уравнения» 1. Проверьте, является ли число корнем уравне- ния Зл:^ - 1 lx -1- 9 = 0. 2. Решите уравнение + = 0. х2-36 (х + 6)2 2Х-И2 3. Решите задачу. Турист выехал на мопеде из пункта А в пункт В, расстояние до которого 30 км. Обратно он ехал по другой дороге, которая была на 6 км длиннее, и, хотя он увеличил скорость на 3 км/ч, все же затратил на обратный путь на 5 мин больше, чем на путь из А в В. С какой скоростью возвращался турист? 4.0 Один из корней уравнения 5х^ -I- Ьх - 12 = 0 равен -3. Найдите коэффициент Ь и другой корень уравнения. 5. • Числа Xj и Xg являются корнями квадратного уравнения ох^ -Ь &х -f с = 0. Выразите через а,Ьис значение выраже- X ния — -I- — . "1 Работа 6 Тема «Вероятность и комбинаторика» 1. Решите систему уравнений: 1,1 1 2)/ л: ,2х — у = 10, I 2x2 - Зху-Ь J/2 = 10; у 6’ X - 2у = -5. 2. Решите задачу. Периметр прямоугольника равен 34 м, а его диагональ 13 м. Найдите площадь прямоугольника. 3. Сколько разных составов может иметь комитет, состоящий из двух мужчин и трех женщин, если его избирают из 5 мужчин и 7 женщин? 4. Сколькими способами можно выбрать стартовую шестерку баскетболистов из команды в 12 человек? Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если Иванов и Петров обязательно должны входить в стартовый состав? 5. Из карточной колоды в 36 карт наугад вытаскивают три карты. С какой вероятностью среди них окажется: 1) только один король; 2) хотя бы одна бубна? Вероятность укажите в процентах. Работа 7 Итоговая контрольная работа 1. Найдите значение выражения 2-17,46 8-3 ■ 2. Упростите выражение а -л/^ _ а - 3 Ju — .Уз -Ju -ь /Уз 3. Выполните действия: Зс — Ad Зс -(- Ad (Зс - Uc - 4сЗ - 2cd 3d Ac + 3d)'Ac + 3d ' Ac - 3d 14 + 4. Решите систему уравнений \у-х=1, = 41. 5. Решите задачу. При уборке картофеля с двух полей, имеющих общую площадь 20 га, с первого поля собрали 550 т, а со второго — 540 т картофеля. Сколько тонн картофеля собирали с 1 га каждого поля, если с 1 га первого поля собирали на 10 т меньше, чем с 1 га второго поля? 4-Г'1'»V ОТВЕТЫ Глава 1 Рациональные выражения 1. 1) 6; 2) 9; 3) 9; 4) 4. 2. 1) 10 и л:®; 2) -27 и вл:*!; 3) 1 и -x8<»2; 4) 1 и 5) 100! и 6) л!, если п — четное, -л1, если л — нечетное натуральное число и л:". 3. бх"^ и -24. 6. 1) (-а - Ь)®= (-1 • (а + fe))® = = -{а + fc)3. 7. 7) (X + 4i/)3; 8) (4а2 - Зб3)3 = б4а® - 144а<Ь* + 108a2fc6 --27ft9. 9. 5)х = -1; 6) у = 1,5. 10. 1)5, 7, 9; 2)8, 10, 12. 11.2)(а + + 5 - с)2 = о2 + Ь2 + ^2 + 2{аЬ - ас - Ьс). 12. 5) (а + 1)-*; 6) (с - 2)‘«. 13. 1)2*1; 2)-1; 3 ) 520. 4)4, -,5. 1)45. 2)19; 3)2160; 4)80; 5)125; б) 228; 7) 625; 8) 343. 16. 2) г) 2160c‘*d2. 20. 1) а) 40 095дГ; б) 594х*0; в) 3*2; 2) 2*2. 21. Л = 10. Шестой член разложения бинома имеет ко- эффициент Cjo = 252. 25. 8) с - d® j ^ (о,1р2 - j (о,01р‘* -ь ^ p2^4 + А г» j. 26.1) в) а® - 6а2 -ь 12а - 8; и) 125rf9 + - 2 5-4 -ь^с*2; K)0,008a6ft3 _ 0,1256®. 27. 6) (а + 3)(7а - 2а2 - 21); 7) (6 - 2)(7б2 -f 146 ч- 8); 9)(хЗ - у'*)(х® -(- xV + !/®); 10)(с^- 6^)х х(с10+ с&6^ + foi4). 29.1)10 000; 2) |; 3)1; 4)87. 32. 1)(у - 5)х Х(у2_у + 7); 11)2х(х2-(-3). 33. 1)- 1, 1; 2)-2, 2; 3) i . 34. 1) Да, так как в этом случае сумма кубов равна произведению двух натуральных чисел, отличных от 1; 2) нет, например 2* - 1. 36. 1)8; 2) 27; 3) 0; 4) -0,936. 38. 1. 39. л = 1. 40. 2) а) Все числа; в)Ьч^0; а)с^7 и с 4* -7; з) а ^0, 6 4* -6, с 4* 1. 41.1) Дробь не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю х -I- 5 = 0, х = -5; 5) 6 = 0, 6 = 2; 8) дробь имеет смысл при всех значениях переменной. 42. 1) Например, х = 0, у = 0 и X = 1, у = 2; 3) например, а = 0, 6=1иа = 5,6 = 7. 43. 1) 4,75; 2) 19. фг- 44. 1) t = ^ = 150 (с); 2) t = = 100 (с); 3) s = = 467 (км); Т + t 4)7’= _J^ = 30 (ч). 36 • 30 < 3600 — дизель-электроход догонит теп- лоход. 45. 5) ; 6) . 46. 3) ; 7) 2с -ь d; 8) 3d - Ь. е ..S а + О 5Ь“ 5i/= ол ^ -v ^ лч ^ л, 5d 25 » , f- 47.2)^^,лс ^ 3; 6)--4; 7) ^ ^ д- . d -5; Л - 4 d + 5 8) -10. 48. 1) 12x^y; 2)9ab^ch ^)Ъу(х^ + x + 1). 49. 1)100; 2)0; 3)0,1; 4)-l. 50.2) 5^. 51.1)J^^^; 3) „ ! : 4) ; 5) ^ ; 6) ^ . 52. 1) 3; 3) 0,5; 4) 6; X + I/ + Jci/ c* - ab X + 1 5)132; 6)59. 54. l)x = 3; 3)u = -4. 55. 1) 130°m . g) 1®0°J/ Zm + n X + у 56. 1) a) X = ^ ; 6) X = — ■ ° ; в) x = — ; r) x = ^^ . 2) Целые вы- I ^ с a g„3 25ft® ражения: a) и 6), дробные: в) и г). 57. 3) л)— 59.3) г) А; д)4; е)^. 60.1)-^; 3) ; 5)1; 6)0,08; 10) 8) ; 8) 2 Ixy. 61. 1) ^ ^ . 62. 9) -12(1/2 -ь Зуг + 9z^); 2 7 у^ 64a®ft*®c’2 Jx^'* з_з \2 у - 175,.„«. 66. 5) Ig; 6) 5^ . 67. 4) ^; 8) . 68. 7) ; 81d28 256a*2ft4j/8 • 10ft® 69.8,IS. 4,^. 70.2,|.(Z|!f?)S зЬ • 2) 4. 74.2, -li ; 3) I; 4) 2|. 75.1) ft + 7 2)9,5. 78.D-3; 2)^; 3)^; 4) ,, j. c. a + о 1120 у + 5 79.3)^ - I Л 2d 5) X - ^ -I- ^ . 80. 1) га = 1; 2; 3; 4; 6; 12; 3) n = 1; 2; 3; 4) n = 1; 2; 3 X 4; 6. 81.2)4; 3) |; 4)9; 5)1; 6)2? 82.20. 84.4)1; 5)80; 6)46. 85. —^-- . 88. l)30x; 2)63xy, 4) 70ft; 6) j/®; 8) 15mn2. 91.5)ii^; 7) 25a-26; 9) 42x_^ . ц) 7a+^ 92. 2) |; ---------------------------------------Ф X— 4)|^; 8) . 93. 1)^1±^; 3)2; 5) ^^_t££_L*£; 6)-, 3a obey ab abc x 94.1)^; 2)0. 96.1)2i^i^i^^; 3)1^. 97.5) i; 6)?Jl^; ll)J(£i±^. 99. l)-i; 3)-^; 5)^.; 7)^; 9)_2o + 36. 2x(i/2 - x2) 3 ab a(4c - a) ; 13) 2x{a - x) 2)25. 102. 1) n - k ; 3) 1 • 5) —-12(c + 2)’ ^ л: 5a 15) 1 10i/(x-5v) 5y’ ’’ 2a . 101. 1)100; 7\ + Ь . g. k-2 . Q. 2 3fe a + 1 2a 103. 1) 1; 2) 1. 105. l)a = 2, 6 = -5; 2)a = 5, fc = 11. 107. 5) ^; 7) . 108. l)s = , 14,4 km; 2) s = и + V и-c , 12 KM. 109. 1) 1, 70 A 77O ^ поскольку Cjoo = Cjoo и Cjooo = Ciooo ; 2) 100 '1000 '1000 ^ Л + 2 ;3) П + 1 ; 4) m + 2. 111. l)ra = 16; 2) Л = 19; 3)ra = 12; 4) л = 4. 112. 1) 7c®d 128 64 21cSd^ _ 35c"2- 117.D-1; 3)46; 5) |; 7) . 118.1)^^; 3)-l; 5)1; 6)^; 4 a / X — a 7) (a - 6)2 !• “I- a® + 6® a-b+l’~'x + y+l' ' " '62’ '6’ '* ' ' ab 122. 7) При л: = -3 и при x= 3; 9) при л: = 0; 11) при х = -3,5; 12) при X = 0,8. 123. 3) л: = 15; 4)х = 25. 124. 1) л: = ^ ; 3) не выполняется ни 1 9 при каком значении переменной; 5)г/ = -3; Ч)х = 11)у = 6 ’ 8 ■ 125. 1) Корней нет; 2) корней нет; 3) корней нет; 4) х = 21; 5) корней нет; 6) I/ = 0,5. 126. 1) Да, х = 7;3) не существует; 4) не существует. 127.1)96; 2)36. 128.1) 2)Ц. 129. 1)3 км/ч; 2) 6 км/ч. 130. 1) 840 км/ч; 2) 350 км. Ф, Г‘ ■) Глава 2 Степень с целым показателем 131. Пропорциональны: 1, 4, 5, 13; обратно пропорциональны: 2, 3, 6. 134. 1) 22 500 Па; 2) 562,5 кПа. 135. 1) 140,8 оборотов в минуту; 2) 460 оборотов в минуту. 136. 1) 100 км; 2) 9 дней; 3) 300 км; 4) 80 мин. 137. 1) 30 мин; 2) через 14,4 мин. 138. 1) 0,5 ч; 2) 54 мин. 139. Первый и второй сорта смешаны в отношении 2:3. 140. 1) 5 частей чая по 540 р. за килограмм и 3 части чая по 380 р. за килограмм; 2) 24 кг яблок и 10 кг хурмы. 141.1)20 мин; 2) 80 км/ч, 60 км/ч. 142. 1) Все числа; 2) хэ^О; 3) все числа; 4) х =5^ 3 и X ^ -7. 144. 1) Точки А, В, С принадлежат графику; 2) а) принадлежит; б) не принадлежит; в) принадлежит. 145. 1) /е = 4; 2) /г = -18. 146. 1) — 2) Да. 147. 1) В заданиях а), б), в) и д) принадлежит графику; в задании г) не принадлежит графику. 149. 2) д) Координаты точек пересечения: (2; 2) и (-1; -4). 150. 2) а) Две точки пересечения; б) две точки пересечения. 151. Одну, две или ни одной общей точки. 152. 1) Прямая, которая совпадает с осью Ох, с «выколотой* из нее точкой х = 0; 2) отличие графиков в «выколотой» точке х = 0. 153. а) Невозможно; б) возможно при х < -1, точки О и £ расположены между С и В; в) возможно при 0 < х < 1, точка Е расположена между точками А и С; г) невозможно; д) возможно; е) невозможно. 154.6)1; 9)-1,5; 10)^; 11)25; 12)-216. 155. 4) 7)15|;8)16. V ZO о 156. 1)х -10. ,-8. 2)(-3d2)-3. 157. 2) г)д) 10 000; е) |, 158.1) д)2°; е)2-1; 2)в)[1]’% 160.1)121; 4)1. 161.1) -^; 6)-^^; 10) а’ у 11) 1 «со о\ jcy + 1 . Q^2d^ + ac, kHn-m)^- 162.3)-^, 8)^^, xy(h^)- ■'64.3)6)^; г) 16; д)0,16; е) i; ж) 2,25; з)1^ 165.1)33"; 4)37-2п. 5)3-1. 6)3"-1. 166. 2) 28c5a-3fe-ii; 9)3x 2; 10)5а-2. 167.1)0,5; 3) i ; 5)1; 7)5. 168.3)=^-^; 4)а^Ь^; 7)х + у, 8)с-1. 169.3)6)i; г)1; е) 4-з. 170. 1) (а~5)3; 2)(ц5)-3; 3) напри- мер, а"2 • а'12 = д-7. q-8 = д-1. д-14 171.3)х1°~"; 4)х"'*"^з_ 172. 3) в) ЮдЗт-З; ц)-27. 173. 1) (0,2a-i)'‘ или (5а)-‘‘; #3 4) (10X-V)". 174. 3) в) ; д) . 176. 3) 4х; ЗаЗ 4)т^- 177. 1),3),5), 6). 178.1)9; 2)3; 3)-16; 4)9; 5)0. 179. 1)2,6-104; 6)1,07-10-3; 7)3,623-10-1; 8)2,7-106. 181. 1) При- мерно в 5000 раз; 2) примерно 113 000 вагонов. 182. 1) 14; 2) 7; 3) -5 4) 21. 183. 1)18, о, 9, 9. 184. 1)1,1-108; 4)4-10бб; 5)3,16-10-18 7)1,113-10-3. 185. 1) 16 или 17; 2) 5 или 6. 186.2)2,34-10 5) 1,44 -10-1°; 6) 6,4 - Ю'®. 187. 3) 9,8 - Ю®» > 970 - 5) 8,3 - < <9 -10-36. 188. 1)Нет, например порядок числа 3 и его квадрата равен 1; 2) не всегда, например порядок каждого из чисел 2 и 3 равен порядку их произведения; 3) не всегда, например для чисел 20 и 2 это не так. 189. Ближайшая к Солнцу планета — Меркурий. 190. 2) Примерно 8 мин. 192. 1 Дж « 2,4 - lO'i ккал. Глава 3 Квадратные корни 1000 195.2)-?; 8)П. 197.1)6; 2) 37 38 о\ 23 63 63 ’ 42 25 или . 200. 1) Если нет деления на нуль, то любое арифметическое действие (сложение, вычитание, умножение и деление) с рациональными числами дает в результате рациональное число. 2) Нет. Если бы, например, сумма рационального числа г и иррационального числа а была рациональным числом, то число а = (г -ь а) - г оказалось бы рациональным как разность двух рациональных чисел. 202. Верные утверждения: 2), 4), 6), 7). Неверные утверждения: 1), например 5-5 = 0 или 4 - 5 = -1; 3), например 2 : 3; 5), например 4:5. 204. 2)0,175(0); 6)0,(894736842105263157); 8)-0,(740). 205.2)^; 4)-Ц; 6)2|?; 8)^8 206. 3) 1,(329) > 1,3(29); 99 ’ ^ 225 4) 5,(452) < 5,4(52). 207. 2) Например, 1,27171717... = 1,27(17); 4) например, 0,85(0). 209. 1)6) После десятичной запятой последовательно записываются все степени числа 2 с показателями: 0, 1,2, 3,...; г) после десятичной запятой поочередно записываются 13 и 31 (или повторяется число 1331); е) после десятичной запятой записаны подряд уменьшенные на 1 квадраты последовательных натуральных чисел. 2) Все дроби, кроме г), непериодические. 211. 1) 2,5(1); 4) 2,7(4); 5) 0,(67); 6) 0,(9). 212.1)1 и 2; 3) 2 и 3; 4) 5 и 6. 215. График проходит через точки А, С, D, Е, F; не проходит через точку В. 216. 2)(-3,24)3 = 3 242; 4)(-93)3 > (-89)3. 217. 3) /(-|). I I )’ )• 218. 1) а) Справа от точки М(дг); б) между о и 1; 2) а) между нулем и точкой В; б) справа от точки А. 219. Проходит через точки В, F и М. 220. 1)В двух точках: Xj » -0,7; ~ 0,5 и X2~1,4;i/2 = 2.221.1)л:, = -1,4;у1«2ид:2= 0,7; 1/2 = 0,5; 2) б) (4;-2). 222. X, = -1; Хо - 3. 223. 1) Например, а = 0, i? = 1, с = -3; 2) например, a = 1, b = 0, c= 0; 3) например, a= 0, b = 1, c = 3. 224. Две точки. 225. Одну точку. 226. 1) б) Два; д) один; е) ни одного. 228. 2) Верны равенства а), д), ж), з). 229. 2) х = 0,16; 4) ни при 25 каких значениях х; 6) jc = — . 230. Имеют смысл выражения: 1), 2), 4), 5), 6). 231.6) 8)1225. 232.1)30; 3)35. 233.2)800; 4)4-10-“. 234.5)9,1; 6)8,2. 235.4) -95. 237.2)2,449; 4)5,385; 6)9,327; 8)0,577; 10)0,837. 238. 1) Во II и IV; 2) в I и III. 239. 2) Например, 4,8. 240. 1) Если бы число Jn было рациональным, то его квадрат также был бы рациональным числом; 2) i? = = 3)S = , d = /^ ; 4) б) 18 см; г) V^cm. 242. Варианты \ X 4 у Л а), г), д) и е) невозможны. Например, в г) одновременно х < Jx п X < х^, первое выполняется только при 0 < х < 1, второе при х > 1. 243. 8) -1б|, 1б|; 9) 3,5 и 1,5; 11) -3, -1, 1, 3. 244. 3) 10 и -10; О о 4) -1. 245. 2)-75^2 > 4) Л > 76. 246. 1)3'«>; 3)7*125; 5) 1312“; 6) 31“®. 248. 1) а -I- 1; 3) 5 - 2а; 4) 1. 249. Графику принадлежат точки А, D. 251. Не являются равенства 1), 3) и 4), так как они не выполняются, например, при х = -1; 2) является. 252.1)с2 2)|Ь2| = №; 5) И". 253.1) в) |с - 1|; е) ^-н 3|; 2) а) 72 - 1; в) 73 - 72 3)а)3 2Ь; 4)а)?—254.2) 1; 4)46; 6)-2,52. 255.3)6) 0,48 г) 0,15; е) 10; з) 1,2. 256. 5) 165; 7) 546; 9) Ю*». 257. 1) 243; 3) 144 4)100. 258.3)6)2; д) 2,25; е)2,1; з)0,9. 259.4) 3025 260. 1)25 3) 128; 4) 285; 5) 374; 6) 464. 264. 1) Не может, так как если бы это равенство было верным, то после возведения его в квадрат и упрощения получилось бы равенство аЬ = 0; 2) может, например при а = Ь; 6) может, например при Ь= 1. 265. 5) х = -7; 6)х = -34. 266. 10) 7 < X < 10; 11) X > о, хч^ 25; 12) х > 3, х 4. 267. 3) 245; 4)320. 268. 2)3) 10736; о)373; р)4Т2; г) ^ 7з. <5 11 269. 1)и)За21/77Н^; k)6xVV^; 2)г)^ 3)г)^. уЛ 1^у 270. l)-ajb\ 3) х^Тху ; 5)-ab^Jab ; 6) -p^q*J^q. 271.2)9 J2 ; 6) 77. 272.8) 73^; 10) -74^; 12)750. 274.1)7ТЗ < 2Т37 < ЪЛ\ 2)47Т6 < 13 < ЗТГЭ. 275. 1)27^ - 10; 5) 2 - 73; 6) 7з -72. 276. 1) а) -72а2 ; в)75х“; е) -7-Ь®; ж) 7^; з) -J-x^; 2) а) 7х - 1; Ф. 6) /^ + г/ при y>0, -J^ + у при I/ < 0; в) Jx^ - у ; г) Vf/'^ + г/® + У® • 277. • 278. 6) ^ ; 10) ^ ; 14) ; 16) ^ . 279. 8) 0; О 7 Z4 10 15 10)ЗЛ0; 12)0; 13)13,5^/2; 14)775. 280.3)6-715; 5)10.у^; 7) 7. 281.1) 1; 2) 2. 282. 2) 19; 3) 4; 5) 23; 7) 272 - бТВ ; 8) 2j2 + + 373; 9)56; 11)1; 12)36. 285. 1) 15+^57з. 3) 372 + 7Т0. 5)4-715; 7)2(ЗТЗ + 275). 287. 1)Иррациональное; 2) рациональное; 3) иррациональное; 4) рациональное. 288. 1) 18; 3) 7 - 572 . 289. 1) 1 + 73 ; 2) 72 - 1; 3) 75 - 2; 4) 3 -н 73.290. 1) 2ТЗ ; 2) 2; 3)2; 4)4 - 272. 291.1)а)485 -I- 198Тб; б)881ТЗ - 107972; 2) а) 4 члена; б) нет рациональных членов. 292. 1) л: = 73 -ь 72 ; 2)л:= +^; 5)д:------6)д: = 5 - зТз. 293.4)0; 5)7; 6)8. О 5 294. 1)а) 72(77 - 1); г) 75(75 - 1 -I- 73); 2)6) Л (.Л - ЬУ, г) (Та - 1)(7а -ь 1). 295. 1) 7^; 3) Ту; 6) ^; П)х+ Jx + U Ja 12) у - Ли +1. 296. 1) Та + Л; 2)1. 297. 1) 11 см; 2) дм. Л Глава 4 Квадратные уравнения 298. Все уравнения, кроме 1) и 5), целые. 299. 3) Кубическое уравнение; 4)уравнение четвертой степени. 300. 1)—77, 77, -g; 2) , g; 3)1,5; 4)-^; 1,5. 302.3)-3 и 8; 5)-5,5 и 2,5; 7)-| и 0,2. 303. 2) Нет корней; 3) 4) нет корней. 304.1)2; 2)27; 3)112; 4)-23,45. 305.1)2; 2)23; 3)124^; 4) 38,05. 306. 1) 100 см2; 2) 156,25 см2. 397. 1) х(х -Н 3) -Ь 97 = л:2 + -I- (л: -I- 3)2, 8 и 11; 2) 13 и 16. 308. 1) 65 см, 56 см, 33 см; 2) 51 см, 140 см и 149 см. 309. 1) Л = 2; 2) Л = -3. 313. 2) 25^2 _ - 7 = 0; 4)6^2 - 15л: -I- 20 = 0. 315. Заданное число не является корнем в уравнениях 3), 4), 5), 6). 319. Да, так как дискриминант данного Ш' уравнения является суммой положительных чисел, и, следовательно, положителен. 320. 1) 0; -1,5; 1,5; 2) 2. 321.1) Ни при каких значениях k\ 2)2, -2; 3)-0,25; 0; 4)-0,25; 0. 322. Исход игры определяется значением полученного дискриминанта - 4ас. 1)а) и б) В случае, когда можно подставлять любые числа или любые целые числа, второй игрок всегда может выиграть. Если же рассматриваются только натуральные числа, то всегда может выиграть первый игрок. 2) В случае, когда можно подставлять любые числа или любые целые числа, первый игрок всегда может выиграть. В случае натуральных чисел всегда может выиграть второй игрок. 3) В общем случае и в случае целых чисел второй игрок всегда может выиграть. В случае натуральных чисел второй всегда может выиграть. 4) В общем случае первый игрок всегда может на третьем шаге добиться выполнения этого равенства. В случае целых чисел второй может выиграть. 324. 1) -20, 6; 2) 8, -10. 325. 1) (х + 4) “ - 120 = 56. 12 или 40 рядов (если в зале 40 рядов, то всего по 3 места (550 Л = 122, 33 или 25 рядов. 326. 1) а) 2, 4; б) -2, -4; в) 1 ± 7б ; г) -2 ± 72 ; д)1,-|;е)-1,|;жП±41;з)-1±41.327.1)|,-1;2)-|,1; 37 3) 6, 9 - д:; 4) 2х, х^ - у. 328. а) 1, -20; б) -1, -8; в) -1, 7; г) -1, ^ о 329. 1) Например, х^ - 13д: - 75 = 0; 2) например, х^ + Пх + 27 = 0. 330.1) Например, 15^;^ - lOjc- 21 =0; 2) например, 12^:^ 2д: + 11 =0. 331.1) а) Да, например для уравнения - 4х -I-1 = 0; б) данные числа являются корнями уравнения (72 +Sj2)x + J2 • ЗТЗ = 0, т. е. — 472х-н6 = 0.2)6) Корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами эти числа не являются, в противном случае их сумма была бы рациональным числом. 332. 6) х^ - 2 4Ъх + 1 =0. 333. 1)5 = -32; с = 12; 3) а = -56; 5 = -3; 6) 5 = -2, = 336. 1) с = = 13; 2)q = 99. 337. 1)5 = ±20; 2) 5 = ±13. 338. 2) 4i/2 - 26г/ ± 5 = 0; 3) 1/2 - \Ъу -1-19 = 0; 5) 5x2 _ 13д: + i = О; 6) 5x2 _ 159^ -1-5 = 0; 7) у2 _ 1б1у -I- 185 = 0; 8) Ъу^ - 2002у -I- 25 = 0. 339. 1) а) -х^ и -Xg; б) ^ и ; в) —и ; 2) не имеет. 341.420 м2. 342. 1) а) ±1,5; 5 2 1 б) ±0,8; в) о, - jj-; г) о, 1 - ; д) ± - ; е) 0, -4; ж) нет корней; з) нет корней. 344.1)7, 9; 2)-8, -6; 3) нет корней; 4)25, -5; 5)-2, 0,8; , *^“ - б) i£±-:^ ; 7) II, -1; 8) -1, . 346, 1) 1,35; 6,65; 2) 0,78; 3,22. 347. 1)-0,6; -0,4; 2)-1,2; 0,2; 3)±1; 4) при всех значениях х. 348.0; 1^. 349.2)2; -|; 4)нет корней; 6)l|; 6; 8)-5|; -4. 350. 2) 3; 7; 4) 9; -3; 6) 2,4; -2. 351. Нет. 352. 1) |; 2) -3,6; 3) нет корней; 4)-3; 6)1; 2§; 7)0; 8)12; -12; 9)нет корней; 10)0,5. 2 353. 1) Да, при д; = -1 и при х = 43; 2) да, при д: = 9 ^ и при д: = 4; 3) да, при у = -1; 4) да, при у = -0,1. 354. 1) а = 5, = 0,4; 2) с = 7, Х2 — 0,25. 355. Сумма корней может быть равна 6. 356. 1) 17 и 18; 2) 6 и 7; 3) 420 м^. 357. 1) 10 - 7^ ~ 0,5 с и 10 + 7^ ~ 19,5 с; 2) 500 м. 359. 2)6) 10 км/ч. 361.2) а) За 48 ч и 39 ч; в) 40 дней, 25%; г) за 40 дней. 363,2) а) 120 г; б) 10 кг или 25 кг. 364. 2) а) 36 км/ч, 32 км/ч; в) 16 км/ч; г) 70 км/ч и 75 км/ч. 365.1) 15 рядов; 2) 30 первокурсников; 3)30 первокурсников. 366. 1)42 ц, 40 ц; 2) 5 т, 4,8 т. 367. 1) 48 км/ч; 2) 65 км/ч. 368. 1) 40 км/ч; 2) 3 ч. 369. 1) 200 оборотов, 600 оборотов; 2) 2 м, 2,5 м. 370, 1) 16 кг и 24 кг. 371.1) 12 км/ч или 64 км/ч; 2) 80 км/ч. 372.1) 16 деталей; 2)40 деталей. 373. 40% и 25%. 374. 1) Да; 2) нет. 375. 1) Нет; 2) да. 376. 2) (2; 3); 3)(10; 1). 377. 1)(3; 11); 3) (0,5; -1); 4) (2; ). 378. 1)а)дг1 = -3, у^ = -5, Хг = 2,5, у^ = 6; в) Xj = 0,5, ~ 5,5, ^2 “ 7, 1/2 “ 38; д) Ху — —1,5, 2,25, Х2 7, 1/2= 2; 2) a)Ui = -б|, о, = -8^ , 1/2= 2, i>2 = 0; в) д: = 10, I/= 8; т)у^ = = -4, = 5, 1/2 = 54, 22 = -24. 379. 3)(0,5; 4), (4; 0,5); 4)(1; -3), (-3; 1). 380. 1)д;1 = l\, t/i = 2,5, х^ = у^ = if; 3)х = 4, I/ = 3. 381.1) (1; -3), (-1; 3), (3; -1), (-3; 1); 2)(-1; 2), (- 2; 1); 3)(3; 1); 5) (4; 1); 6) (1; -5), (5; -1); 7) (д:; х - 2), где х — любое число; 8) нет решений; 9) (2,7; 2,4); 10) (7; 3). 382.2)6)17 и 29; г) 27 и 11. 383. 1) 94 и 49; 3) 48 и 15. 384. 1) 8 и 12; 2) 8 и 12. 385. 1) и 2) (0; 0), (6; 2); 3) (0; 0), (9; 3); 4) (6,5; 4,5). 386. 1) в) S = 0,5ху = 0,25 • 2ху = = 0,25((д: + у)2 - (дг2 + у2)) - 0,25(1192 - 892) = 1560 м2; 2)в)5-^0,5ху = 0,25-2x1/ = 0,25((х2 + у^) - (х - уУ) = 0,25(1712 _ 352) = = 5504 дм2. 387.1)^; 2)^. 388. 1)84 Ом и 60 Ом; 2) 120 Ом и 2о 1о 40 Ом. 389. 6 Ом и 4 Ом. 390. 1) 112 ч и 84 ч; 2) 5 ч и 3 ч 20 мин или 4 ч и 4 ч. 391. 1) 36 км/ч и 24 км/ч; 2) 75 км/ч и 60 км/ч. ---7 ^ в «7 Г» Глава 5 Вероятность 392. 1) i ; 2) ^ ; 3) ? . 393. 1) |; 2) |; 3) |. 394. 12. 395. 840. 396. 1) а) Aio ; б) Рго; 2) ^ . 397. 1) 120; 2) 6! = 720. 398. 1) ± ; 2) 1; 3) i ; 4) i . 399. ^ . 400. C\^ • 401. i С| . 403. СЩ. 404. D | С|; 2)С|. 405. l)icfo; 2) Cf„ • С|. 406. 1) А; 2) А; З) g . о . 1) а) , б) 22^ , в) 22J . 2) а) , б) , в) 34 ’ ^ ’ B)|lf. 408. 1)-^; 2) л6 у-?2 '^36 ” ^ *^зв 3) ^. 409. 1) I ; 2) ^ ; зв -■2 '■'Ь 3,|. 4,0. „a,%£5, '-11 *-18 ; 2) а) три; б) четыре. 411. Один черный носок. 412. 1)Р №2 0,75, №5 0,25; 2) ^*№5 ~ ^№2 ~ 413. С равной вероятностью можно ожидать автобус любое количество минут от О до 20. Вероятность ожида- 5 ния автобуса не больше 5 мин равна ^ = 0,25. 414. 75%, « 60%. 416. Всего в первом абзаце, как уже говори- выпуклость вверх 34 7 лось в тексте пункта, 475 букв. 1)Р,а, = ~ 7%; 2)P,g. ^ 475 ~ ~ 1,5%. 420. Частота всхожести примерно равна 97%. 421. Скорее всего в коробке 3 черных шара. 423. Через 88 ч будет ночь. Глава 6 Повторение 424. 1) ^ ; 2) I; 3) 2; 4) 2^ . 425. 1) 0,025; 2) 32; 3) 10; 4) 0,3. 426. 1)145; 2)35; 3)5,003; 4)247,5. 427. 1)0,(3); 2)0,(142857); 3)-2,(2); 4)-0,5(3); 5)-1,075(0); 6)1,5625(0). 428. 2) Например, К 7 1 о ~Тб’ ~24’ ~48’ 4) например, 1,5; 1,6; 1,7. 430. 2)31,25; 4)200. 431. 3) i; 4) 13. 432. 5) 0 и, например, д. 433. 3) а Ф ± Ь; 4) все действительные числа; 5)га?^±2. 434. 2)^; 6) —° ^ ; 4а а - о #; Q4 10&С + ЮОс^ 1 о X у t л ЛЧ о "t" с >10С 1 л о. о\ о. 8)-^2 + lOfec + 100с2 ’ а - X + у ’ • 435. 1)2, 2)-2. 3) ^ ; 4) ^ ; 5) -1; 6) -1; 7) i ; 8) -i . 436. 1) 1; 2) - b^-, 3) 3; 4) —^; 5)1; 6)1. 438. 1)3; 2)1; 3)3; 4)1; 5)-l; 6)3. (x + yY 6 440.1)^; 2)^5^^; 3)a + fc; 4) . 441. 3)8; 4) |; 5)4 6) 16? . 442. 1) -x2; 2) ; 4) ; 5) -1; 6) ^ У Ь2п (a - 6)2 443. 1) 50 2) 400. 444. 1) f ; 2) . 445. 1) a) a = ; 6) Д = ^ 4a6 2a be 4i 2) a) X = _ гу ; 6)y = . 446. 2)a = ±73; 3)a = ±1; 4) a = -2. у + г' ■ " 2-х 447.1) Да, если это число между нулем и единицей (О < а < 1); 2) нет; 3) могут, например (л + 1) + (-л), (л + 1) - л, (72 - 1)(Т2 + 1) = = 1, 712 : 73 = 2. 448. Имеет смысл 1), 3), 4), 5). 449. 9)х > О, х^9; 11)х>4; 12)х ^ 5. 450. 1)0; 2)О; 3)-3,7Тб ; 4)0,2Tl5 ; 5) 1 75; 6)4. 451. l)2lT2 - 5742 - | 7? + 73; 3) 291; 4) 18 - О о о -20 72 +475.452. 1)-2;2) 7,25; 3) 4; 4)-1. 453. 1)34; 2) 194; 3) 3; 4) 11. 455. 3) 5 + 723 ; 4) 4 - 7l5 ; 5) 0,572 ; 6) 1 . 457. 1) 73 + + 77<275;2)713+T^ <8,5.460. 5) 7з > 1,73; 6)-72 <-1,41. 461. 2) 7102-62 > 10-6. 462. 2) 1 + 7^ ; 4) ^ . 464. 1) 12; 2) 20. Jc 465. Jl - X . 466. 1) а > 1; 2) с < 3; 3) 6 > -0,5; 4) при любых значениях d. 467. 1) |2а - 3|; 2) -106 - 1; 3) с - 7; 4) 3 - п. 468. 2) 73 ; 4) 375 ; 6) -4,4 ТГо . 469. 28 — искомое число. 470. 1) 2709; 2) 1089; 3)6709; 4)8756; 5)3,809; 6)5,804. 471. 1) Корней нет; 2)х = 1,6; 3)0 и 4; 4)3 и 7I; 8)-1; -1. 472. 1)-11; 2)-6. 473. 1)а = 8. ^ О А 474.1) Например, 6 = 9, (72 х)2 + (х - 3)2; 2) 6 = О, (2х - 1)2 - (х + 1)2; 3)6 = 3, (ТЗх- 73)2. 475. 2)у1 = -673, У2 = 473; 4)pi = 5 - 372, Р2 = 5 + 372.476. 1)а)с = -17; б) с = 14; 2) а) 3 и 2? ; б) 3 и -1 ^ . О 1 477.1) 1 и ^ ; 2) 0,4 и 0,5. 478. 3) -4 и ^ ; 4) ни при каких значениях х. 3 о -М, f с/ л 3 479. 1) 2; 2) -16 и 16. 481. 1) Все действительные числа; 2)х> -^ ; 3)х=^1,х* -0,4; 4) д: чь -1,5, х ^ -0,5, х=^3. 482. 1) а) а > -^ ; б) а = = - Д : в) а < -^ ; 2) Ь = -8, 5 = 8. 483. 1) = -17, = -21, JCg = 21, 1/2 = 17; 4)ДГ1 = 10, i/i = 2, JC2 = у^= 484, 1)47 туристов; 2) 75 га. 485. 1) 15 деталей и 20 деталей; 2) 200 костюмов и 240 костюмов. 486, 1) 100 м и 60 м; 2) 60 м и 20 м. 487. 1) 108 м^ и 192 м^; 2) 1500 м^. 488. 1)24 см, 25 см, 600 см^; 2) 12 м и 20 м. 489. 1) 96 км/ч; 2) 5 км/ч. 490. 1) 60 км/ч; 2) 16 км/ч. 491.1) 30 км; 2) 18 км. 492. 1) 7 км/ч, или 20 км/ч, или ~6,5 км/ч, если второй турист уже обогнал первого; 2) 13 км/ч или =9,5 км/ч. 493, 1) 800 км/ч, 600 км/ч; 2) 30 км/ч, 40 км/ч. 494. Через 12 мин и через 19,8 мин. 495. 1) 1,5 км/ч или 4,5 км/ч; 2) 3 км/ч. 496, 1) За 12 ч и за 8 ч; 2) за 42 ч и за 56 ч. 497. 1) За 72 мин и за 144 мин; 2) за 60 ч и за 84 ч. 498. За 10 дней и за 15 дней. 499. 1)12 кг и 38 кг или 8~ кг и 34^ кг; 2) 25 кг. 500. 99 кг. 3 о 501. 16 или 48 обезьян. Практикум по решению задач 1. 9 км/ч. 2. 13 км/ч. 3. 6 км/ч. 4. 7,5 км/ч. 5. 12 км/ч или 64 км/ч. 6. 48 км. 7. 55 км/ч. 8. За 48 ч уберет поле первый комбайн, за 39 ч — второй. 9. 24 ч потребуется первому комбайнеру, 16 ч — второму. 10. За 21 мин наполнит бак кран с холодной водой, за 28 мин — кран с горячей водой. 11. За 40 ч. Проверь себя! Домашние контрольные работы Работа!. 1.1)^; 2) . 2.li. 4.Корнейнет. 5. 21,6 км/ч. Работа 2. 2. Точки А п В принадлежат графику. 3. < а < i . а 4. Зч. Работа 3. 1. 1) Щ ; 2) |. 2. -1. 3. . 4. 6,75-105; 4-Ю-З; 0^0 о а У ~ X 2,7-103; 1,6875-108. Работа 4. 1. 1)504; 2)88. 2. Допустимы, например, числа 1 и 2. Не допустимы, например, в 1)-1 и 0; в 2)-5 и -6; ,0,. W 'lrV' -ЧГ®?"?- в 3) -2 и -1. 3. -2л/3.4. 1) ^ ; 2) 127 + 48V? . 5. Да, 1о а = -5. Работа 5. 2. -12 ± 6jb. 3. 27 км/ч или 48 км/ч. 4. Ь = 11, ^2 = 0,8. 5. Ё!л2££. ^ ас Работа 6, 1. 1) х = 9, у = S; 2) = 15, — 10, Xg = -2, i/g = 1,5. 2. 60 м2. 3. Cj - С? = 350. 4. Cfa = 924; cJq = 210. 5.1)^'одинкороль=^ =^28%; 2)P хотя бы одна бубна лЗ лЗ ^36 ~ ^^27 СЗ 36 59%. Работа 7. 1. 16. 2. 7з . 3. с. 4. = -5, i/i - -4, д:2 = 4, i/j “ 5. 5. 50 т и 60 т. СОВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Глава 1 Рациональные выражения 9. 5) (х + 1)3 = 0. X = -1; 6) (2у - З)3 = 0, 2у - 3 = 0, г/ = 1,5. 10. 1) Обозначим среднее нечетное число 2п - 1, тогда его соседи 2га - 3 и 2п + 1. Составим уравнение (2га - 1)3 - - (2га - 3)(2га - 1)(2га + 1) = 28. Решив уравнение, найдем его корень га = 4. Теперь получим искомые числа 5, 7, 9. 2) Если среднее четное число обозначить через 2га, три последовательных четных числа будут равны 2га - 2, 2га, 2га -I- 2. Составим уравнение (2га - 2) • 2га • (2га -Ь 2) -I- 2(2га -2-1-2га-1--ь 2га + 2) - (2га)3 = 20. 2га • (4га2 - 4) + 12га - (2га)3 = 20, 8гаЗ - - 8га -н 12га - 8га^ = 20, 4га = 20, га = 5. Искомые числа — это 8, 10, 12. 15. 1) Х'^у -f ху^ = ху(х -f- г/) = 3 • 5 = 15; 2) л;2 -t- J/2 = JJ.2 4- у2 + 2ху - 2ху = (х -I-1/)2 - 2ху = = 52-2*3 = 19; 4) д:3 + 1/3 = ^3 ч- уЗ + Зх^у -Ь 3x1/2 _ Sx^y - Зху^ = = (х j/)3 - Зху(х 4-1/) = 53- 3*3*5 = 80; 5) (х 4- t/)3 = 53 = 125; 8) Х'^ + у“* = Х'^ + 4х^у + 6х2у2 4- 4д;уЗ + 1/4 - 4х^у - 6x2l/2 _ - 4x1/3 = (д: + у)4 _ 4х1/(х2 -t- у^) - 6(xi/)2 = 5‘* - 2 * 3 * 19 - 6 * 32 = = 343. 16. 2) г) (2c)4(-3d)2 =15*16* 9сЧ^ = 2160с^2. 19. Левая часть равенства — сумма коэффициентов: 1) двучлена а + Ьв пятой степени; 2) двучлена а-Ъв степени га. Из формулы бинома Ньютона при а = & = 1 получим доказываемое равенство. Ш 'U л \^Пг +L 3=^11 X 20. 1) а) Ci2(-3)‘*x8 = 495 • Six» = 40095x8; б) Cfa (-3)2x10 = 594x4 21. Имеем С2 = = 45, п = 10. Шестой член разложения бинома (у^ + х^)Ю имеет коэффициент: 101 = ^10 5!-5! = 252. 22. Выразим из второго равенства р = -т -пи подставим в первое равенство: /п8 + -{т + п)8 = - от® - - Зтп(т + п) = = -Зтп(-р) = Зтпр, что и требовалось доказать. 27. 7) 56(&2 _ 4) + 2(53 - 8) = 55(5 - 2)(5 -Ь 2) -1- 2(5 - 2) х X (52 -Ь 25 -h 4) = (5 - 2)(552 + 105 -Ь 252 + 46 + 8) = = (5 - 2)(752 + 145 + 8). 9) X® - 1/12 = (jc3)3 _ (у4)3 = (j|f3 _ + ^Зу4 + 30. 1) в) 663 -ь 343 = (06 + 34)(662 - 66-34 + 342) = = 100 • 4(332 - 33.17 + 172). Один из множителей равен 400, значит, число делится на 400. 31.2) Сгруппируем члены следующим образом: (13 + 99З) + (23 + 983) + ... + (49З + 513) + 5Q3. Разложив слагаемые, стоящие в скобках, на множители по формуле суммы кубов, получим, что каждое слагаемое содержит множитель, равный 100, следовательно, вся сумма делится на 100. 32. 1) (у - 2)3 - 27 = (у - 2 - 3)((у - 2)2 + 3(у - 2) + 9) = = (у - 5)(у2 - у 4- 7); 11)(х-Ь 1)3 + (х- 1)3 = = (х -I- 1 + X - 1)((х -ь 1)2 - (Х + 1)(х - 1) -ь (Х - 1)2) = 2х(х2 + 3). 33. 1)(х- 1)3-(х+ 1)3 = -8, (Х - 1 - X - 1)((х - 1)2 + (X + 1)(х - 1) 4- (X + 1)2) = -8, -2(3x2 + 1) = _8, ;с2 = 1, X = ±1. —V 3) Используем формулы сокращенного умножения: (X - 2)3 ~{х+ 1)3 + (Зх + 2)2 = 2, лгЗ - 6х^ + 12х - 8 - дгЗ - 3x2 _ Зд. _ i + дх^ + \2х + 4 = 2. Приведем подобные слагаемые: 21д; = 1, х = \ . О 36. 1) 8аЗ + 12о2Ь + 6afe2 + г,з = (2а + Ь)3, (2 • 3,5 - 5)3 = 8. 37. 1) Обозначим число буквой а, тогда а = 8п + 7, где п — частное от деления числа а на 8. Запишем куб этого числа: аЗ = (8п + 7)3 = (8п)3 + 3 • 64 • 7«2 + 3 • 8 • 49п + 73. Видно, что каждый член многочлена, кроме свободного, делится на 8, а 73 = 343 при делении на 8 дает в остатке 7. 38. Способ 1.а^ + 3a2fe2 + &б = = (а2 + &2)(д4 _ д2(,2 -I- + За2&2 = а“* - а2&2 + &■* + 3q2^2 = = + 2а2&2 + ^4 = (д2 + (,2)2 = 1, Способ 2. Так как б2 = i _ .j,q а® + 3a2&2 + (,6 = q6 4- 3q2(j _ д2) + (1 - а2)3 = = a® + 3a2 - 3a4 + 1 - 3a2 + 3a^ - a® = 1. 39. Разложим данное выражение на множители: п® + га + 1 = (га® - га2) + (га2 + га + 1) = = га2(га - 1)(га2 + га + 1) + (га2 + га + 1) = (га2 + га + 1)(гаЗ - га2 + 1). Данное число будет простым, когда один из полученных множителей равен 1, а другой множитель— простое число. Так как га2 + га + 1 > 1 при всех натуральных значениях га, то должно быть гаЗ - га2 + 1 = 1, т. е. п\п - 1) = 0. Это уравнение имеет единственное натуральное решение га = 1. При этом первый множитель равен 3, и значение данного выражения является простым числом. 51 1) - с) - fc2(g - с) ^ а(Ь — е)2 —Ь{а — с)2 ^ _____Ьд2 - сд2 - аЬ^ + сЬ^____ _ gfe2 — 2аЬс + дс2 - Ьа^ + 2аЬс — Ьс^ _ (д - Ь)аЬ - с(д - Ь){а + Ь) _ {а - Ь)(аЬ - ас - Ьс) _ (д - Ь){-аЬ) + (д - Ь)с^ (д - Ь)(с^ - аЪ) _ аЬ - ас - Ьс с^ - аЬ 52. 5) 573 + 572 • 225 + 171 • 752 + 753 8З2 + 492+ 166*49 ^ 573 + 753 + 3 • 572 • 75(57 + 75) ^ (57 + 75)3 ^ 832 + 492 + 2*83*49 (83 +49)2 54. 1) Умножив уравнение - 2^ 132. хЗ- 18л:‘* 27л:2 = 4 на 27x2, получим х2(х - 6)3 - хЗ + 18х‘‘ = 108x2. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим 108х2(х - 3) = 0, Xj = 0 и Xg = 3. Значение х = 0 не входит в область допустимых значений дроби, следовательно, уравнению удовлетворяет только X = 3. 63. 1) Например, 55дЗ ЗЗ26 5а lla^ llz3 ЗгЗ . 4) “ = ii: . ±_ ’ ^ г уГ „4- сс о\ 35а2дЗ ^ _ 2аЬ ЗЪа^п^ 8Ь* _ 2аЬ DO. 2) ^ ^ ^^5, 280а^пЧ* 2аЬ ху = ЫООа^пЧ* , ху = ЮОапЧ^. ху 5пЗ ’ 2аЬ Пусть X = lab, у = (10п‘*6)2. 69. 4) Выразим переменную хЗ из равенства 9i)3 о ЗЬ о _______ ■ хЗ = — . хЗ = — ЗЬ 963 3_27fc3 ’ * ,12 ’ 362 ,10 71. 2) Каждый член разложения имеет вид СП уП 10* где _;j.2(10 - П) п = 1, 2, 3, ..., 10. Чтобы член разложения оказался одночленом, должно быть га > 2(10 - п). Это неравенство верно при га, равном: 10, 9, 8, 7. Значит, в разложении окажется четыре одночлена. 80. Разделите почленно числитель на знаменатель. 4) ~ ~ ” = — - 7. Натуральные делители числа 48 — это га га 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16 и 48. Последние четыре числа не подходят, так как значение выражения окажется отрицательным. Значит, га может быть равно только 1, 2, 3, 4 и 6. 81. Разделите почленно числитель на знаменатель. 6) *2 -J^ ^ X _ у ^з_1 = 2?. ху Г-! f 83. 1) Можно использовать формулы числа комбинаций: л! . п! = ml- , но можно вспомнить, что из каждо- (п - т)1 "~'(п-т)\т\ го сочетания из п элементов по т можно получить т\ размещений. 2) Понятно, что, выбрав k элементов из п, мы тем самым выбираем, какие п - k элементов остаются. 100. 1) а) Докажите тождество 1 -I- 1 k(k -f п) n{k + п) kn ' 2) Например, чтобы представить — в виде суммы двух дро- о5 бей с числителем 1, возьмите вместо кип числа, произведе-ние которых равно 35: i ^ i + i. 105. 2) Сложим дроби в левой части равенства ^х-3 .ле -1- 3 + л: + 3 X - 3 ах - За + Ьх + ЗЬ ^ 16х +18 х^ - 9 _______________ _ 16х -ь 18 х^ - 9 х^ - 9 ’ х{а + Ь) + 3(fc - а) _ 16х -I- 18 х^ - 9 х^ - 9 ' Решим систему уравнений 0 = 5,6= 11. о -I- 6 = 16, 1)-а = 6 " найдем, что 110.3) Для доказательства тождества С* -I- 2С* ^ -f С* "^ ^ = = + 2 воспользуемся формулами числа сочетаний и сложим получившиеся дроби. Лк+ l)(fe + 2) Хп - k)(k + 2) л! + 2 л! -I- (л - k)lkl ■ (л - 6 - 1)!(А + 1)! ^J^-fe)(л-^г- 1) ^ (л - k~2)\(k + 2)\ _ n\(k + l)(fe -ь 2) + 2л!(л - k)(k + 2) -н л!(л -к -1)(л -к) _ (л-6)!(6-(-2)! _ л!(л2 + Зл-I-2) _ л!(л-ь 1)(л + 2) _ (л-ь 2)1 я (л-6)!(6 + 2)! (л - А)!(* ч-2)! (л - 6)!(6 + 2)! '^п + 2' Что и требовалось доказать. Ф; 111. 3) Для решения уравнения -A^^ j + C"~^ = 18(n + 1) воспользуемся формулами комбинаторики. (ге + 1)! (п + 1)! + (п + 1 - 2)! (п - 1)!(п + 1 - п + 1)! п! п! = 18(п+ 1), (п-1)! ■ = 4) + п! + ?! = 7,5п, (п - 1)(п - 2) + п-1 = 7,5, (п - 3)! 2(п - 2)! ’ ’ ' " 2 2(п - 1)(п - 2) + (п - 1) = 15, (п - 1)(2п - 3) = 15. Подбором находим натуральный корень этого уравнения: п = 4. 114. 99! = 1-2-...-49-50-51 •...•99 = = (50 - 49)(50 + 49)(50 - 48)(50 + 48) •... • (50 - 1)(50 + 1) • 50 = = (502 _ 492)(5q2 _ 482)..... (592 - 1) • 50 < < 502.502.,,,. 5Q2.50 = 5099. 127. 1) Обозначим искомое число буквой х, тогда х = = Ъп+ \ тл X = 7т + 5, п + т = 32. Из первых двух равенств имеем: 5п + 1 = 7т + 5. Выразим п из третьего равенства и подставим в первое: п = 32 - т, 5^(32 - т) + 1 = 7т + 5, т = 13. Найдем число х: х = 7 • 13 + 5 = 96. 128. 1) Запишем искомую дробь как X + 11 . Прибавив по 7 к числителю и знаменателю, получим новую дробь: X + 7 X + 18 = - . Решив полученное уравнение, найдем х = 4. Значит, ис- А комая дробь — 15 130. 2) Пусть X км — расстояние между городами А к В, тогда ч — это время, которое затратит мотоциклист, дви-о5 гаясь со скоростью 35 км/ч, ^ ч — время, которое он затра- 5U ТИТ, двигаясь со скоростью 50 км/ч. Зная, что разница во вре- X X мени составляет 3 ч, составим уравнение ^ = 3. Решив ОЭ 5U данное уравнение, найдем ответ к задаче. м f —/i Глава 2 Степень с целым показателем 136. 2) Скорость уменьшилась в 1,5 раза, значит, во столько же раз увеличилась продолжительность похода 6*1,5 = = 9 (дней). 3) Увеличенная скорость в l| раза, т. е. на \ часть больше 5 5 реальной. Поскольку ^ часть скорости равна 10 км/ч, то ско- 5 рость, с которой ехал автомобиль, равна 50 км/ч. За 6 ч автомобиль проехал 50*6 = 300 (км). 4) Мотоциклист ехал после встречи 4 мин, а у велосипедиста этот же путь занял 16 мин, значит, скорость мотоциклиста в 4 раза больше (см. пример 4 пункта 9), чем скорость велосипедиста. У мотоциклиста весь путь занял 20 мин, а у велосипедиста в 4 раза больше, т. е. 20 • 4 = 80 (мин). 137. 1). Поскольку на один и тот же путь пешеходу нужно в 3 раза больше времени, то его скорость в 3 раза меньше, значит, до встречи он пройдет всего 0,25NM и затратит на это четверть всего времени на маршрут: 0,25 • 2 = 0,5 ч. 138. 1) Поскольку весь бассейн первая труба наполняет за 15 мин, то за 10 мин она наполнит | бассейна, а второй трубе О при этом придется заполнить ^ . Значит, производительность О второй трубы в 2 раза меньше, и ей потребуется в 2 раза больше времени, чем первой: 15 • 2 = 30 (мин). 2) За одну минуту первый насос откачивает — часть бас- сейна, а второй насос за одну минуту откачивает часть 1о5 ^1,5 ч = 90 мин, 2i ч = 135 мин j. За одну минуту оба насоса откачивают iv3 + ^ ^ часть бассейна. Значит, на 0*45 54 90 135 осушение всего бассейна им потребуется 54 мин. ф 139. Пачка смеси на 3 р. дешевле пачки чая первого сорта. 1 г чая первого сорта стоит 20 к., а 1 г второго — 15 к. Замена 1 г первого сорта на 1 г второго уменьшает стоимость на 5 к. Чтобы уменьшить стоимость пачки первого сорта на Зр., нужно заменить 300 : 5 = 60 (г). Значит, в пачке смеси содержится 60 г чая второго и 40 г чая первого сорта. Первый и второй сорта смешаны в отношении 2:3. 140. 1) Пусть в смеси х кг чая по 540 р. и I/ кг чая по 380 р. Тогда 540х + 380i/ = 480(л: 4- г/). Отсюда бОх = ЮОу, - = ^ = | • у oU о 2) При одной и той же стоимости покупки масса купленного товара и его цена обратно пропорциональны. Поскольку цена яблок в 2,4 раза меньше, чем цена хурмы, масса яблок должна оказаться в 2,4 раза больше. Таким образом, если куплено X кг хурмы, то яблок 2,4д: кг. Имеем: х + 2,4х = 34, 3,4л: = 34, д: = 10 (кг). Яблок куплено 2,4 • 10 = 24 (кг). 141.1) Поскольку после встречи пешеход прошел в 3 раза больше, чем до встречи, то до встречи он шел в 3 раза меньшее время, чем после: 45 : 3 = 15 (мин). Всего же пешеход затратил 15 -I- 45 = 60 (мин). Поскольку до встречи велосипедист проехал в 3 раза больше, чем прошел пешеход, то его скорость в 3 раза больше скорости пешехода. На один и тот же путь у велосипедиста уходит в 3 раза меньше времени, чем у пешехода: 60 : 3 = 20 (мин). 3 2) - части пути равно 270 км, значит, весь путь 360 км. Средняя скорость пассажирского поезда равна 360 : 4,5 = 80 (км/ч), а товарного — 360 : 6 = 60 (км/ч). 144. 1) Лучше отвечать на этот вопрос не по графику, а пользуясь функцией: произведение координат любой точки графика равно 6. 147. 1)в)Так как точка С(а; Ь) принадлежит графику ^ 10 функции у = —, ее координаты удовлетворяют уравнению 10 = ух. При подстановке координат получим: 10 = аЬ. Равенство (0,1а)(106) = аЬ верно, следовательно, точка К принадлежит графику. f tf \ ft "ft J- 162. 3) x^ + ; 8) 4"^ + -^ = 5 у у c^ cd^ c^d^ ii)ff-i'-'l^______ \x у J(x-y)^ xyix- - X ^ 1 (X-J/)2 xy(x-y)^ xy(y-x)' 164. 3) Д) 0,4-6 + 8 = 0,42 = 0,16. 168. 4) (0-1^2 + аЧ-^): (a~^ + b~^) = J> n пЗ fl2^ Л f t~ .l^A Ь^ + дЗ a^b^ = ( ^ 4- ^ 1 . Г ir + J. 1 = la fc J ■ I аЗ &3 ) ab a® + b® = a2&2. 171.4) (x2" - ^)-3 . : (x"“ 2)-2 = x~6n + 3 . j|j3 . д(.4 -2n — — 6n + 3 + 3 — 4 -*- 2л = — 4л 178. 3) Чтобы число 0,7 • lO'^® записать в стандартном виде, умножим 0,7 на 10 и разделим 10-^® на 10. Получим 0,7 • 10-16 = 0,7 • 10 : 10 • 10-16 = 7 . ю-1б. Глава 3 Квадратные корни 7 X 11 199. Найдите целые значения х такие, что 77: < ^ < тв . 1Z Оо 1о 9 8 5 8 207. 4) Обратите внимание на то, что — < < - . 208. Рассуждайте так же, как при доказательстве иррациональности числа J2. 209. 1)е) Число записанных подряд девяток ((10")^ - 1 = = 999...99) с увеличением п неограниченно возрастает, поэтому, сколько бы цифр ни входило в период, он должен будет целиком попасть в соответствующий «девяточный» промежуток. Но тогда период должен целиком состоять из девяток, а ведь кроме девяток как угодно далеко от начала дроби будет встречаться, например, цифра 4 (число, оканчивающееся на 5, возводится в квадрат и из него вычитается 1). Значит, период не может состоять из девяток, и нам остается признать, что периода у этой бесконечной десятичной дроби нет. Ш; 210. Используйте тот факт, что периодическими дробями выражаются рациональные, а непериодическими — иррациональные числа. 236. Подумайте, какой цифрой (или двумя цифрами) может оканчиваться квадрат натурального числа. 243. 8) 0,09.3.25, .3 . ^ - ±1б| 9) (2л: - 5)2 = 4; 2л: - 5 = 2 или 2лг - 5 = -2, х = 3,5 или л: = 1,5. 11) (z2 - 5)2 = 16, ^2 - 5 = 4 или г2 - 5 = -4, з2 = 9 или z^= 1, 2 = 3, 2 = -3, 2 = 1, 2 = -1. 247. Сравните квадраты данных выражений. 263. Воспользуйтесь тем, что квадрат рационального чис- ла является рациональным числом, и подумайте о том, какими цифрами может оканчиваться квадрат натурального числа. 275. 5) - 473 = = 2 - л/З ; 6) 7б - 2Тб = 7(73 - J2f = л/З - 72 . 291. 1)а)(72 + 73)« = (72)®+ 6(72)^73 + + 15(72)'‘(73)2-1-20(72)3(73)3+15(72)2(73)'‘ + + 6 72 (73 )5-ь (7з )® = 8-н 24 76-1-180-1-120 7б -Ь270-1-547б-1-+ 27 = 485+ 19876. Глава 4 Квадратные уравнения 302. 3)(2л: - 5)2 - 121 = 0, 2л: - 5 = 11 или 2л: - 5 = -11, л: = -3 или л: = 8. 5) (2л: + 3)2 - 64 = о, 2л: + 3 = 8 или 2х + 3 = -8, л: = -5,5 или X = 2,5. 7) (30л: + 7)2 - 169 = 0, 30л: + 7 = 13 или 30л: + 7 = -13, X = 0,2 или х = - - . О 306. 1) Пусть стороны прямоугольника л: см и (20 - л:) см. Тогда его площадь равна х(20 - л:) = 20л: - д:2 = 100 - 100 + ф Г' t ■*'3 4; + 20x - = 100 - (x - 10)2 ^ 100. Наибольшее значение, рав- ное 100 см2, имеет квадрат со стороной 10 см. 307. 2) Обозначим искомые числа буквами х и у. Тогда X -I- у = 29 и д:2 - J/2 = 87 Поскольку х^ - у^ = {х - у)(х + у) = 29(х - у), имеем после сокращения на 29; X + у = 29, х-у = 3, х = 16,у=13. 308. 1)Если хсм длина гипотенузы, тогда (х - 9) см — длина одного катета, (х - 32) см — длина другого катета. Запишем соотношение для сторон прямоугольного треугольни- ка (х - 9)2 -I- (х - 32)2 = ^2 315. Решите квадратные уравнения в заданиях 1) и 2). Подставьте в левую часть уравнения 3). Если уравнение 4) имеет корни, то по теореме Виета они положительные, а число 3 - 2л/7 отрицательное и, следовательно, оно не является корнем уравнения. 5) После подстановки числа 5 в левую часть уравнения получится сумма трех слагаемых, в которых первые два слагаемых делятся на 5, а третье не делится, и поэтому сумма не равна 0. Уравнение 6) не имеет корней, так как его дискриминант отрицателен. 317. Число корней может быть от нуля до четырех. Например, один корень имеет уравнение х2(х2 -I-1) = 0. 318. Определите знак дискриминанта. 322. Исход игры определяется значением полученного дискриминанта - 4ас. 1) В случае, когда можно подставлять любые числа или любые целые числа, второй игрок всегда может выиграть: а) если первый выбирает а или Ь, то второй может взять с = 0; б) если первый игрок выбирает с, то второй возьмет а, противоположное по знаку. Если же рассматриваются только натуральные числа, то всегда может выиграть первый игрок: если первым ходом он выберет коэффициент Ь, то, выбрав на третьем ходу а или с так, чтобы 4ас стало больше, чем Ь^, он получит отрицательный дискриминант. -\-L, К ' — i- 2) В случае, когда можно подставлять любые числа или любые целые числа, первый игрок всегда может выиграть, выбрав с = 0. В случае натуральных чисел всегда может выиграть второй игрок: если первый поставил коэффициент Ь, то второй может поставить а = 6^, а в противном случае поставить Ь= 1. 3) В общем случае и в случае целых чисел второй игрок всегда может выиграть. В самом деле, если первый поставит а или с ?<= 0, то второй может поставить соответственно с или а так, чтобы произведение ас было отрицательным; если же первый взял с = 0, то второй ставит Ь=^0; если первый поставит Ь*0,то второй может поставить с = 0; наконец, если первый поставит Ь = 0, то второй может поставить с 0. В случае натуральных чисел второй также всегда может выиграть, получив, как в 2), отрицательный дискриминант. 4) Число 2 является корнем уравнения, если 4а + 2Ь + с = = 0. В общем случае первый игрок всегда может на третьем шаге добиться выполнения этого равенства. В случае целых чисел второй может выиграть: если первый поставит а или Ь, то второй может поставить с = 1; если первый поставит с, кратное 4, то второй может выбрать Ь = 1; если же первый поставит с, не кратное 4, то второй может выбрать 6 = 4. Наконец, в случае натуральных чисел второй выигрывает при любой игре, так как сумма 4а -Ь 26 -f- с > 0 при любых натуральных а, 6, с. 337. 1) Имеем: х^’Х2 = -12 и — = -3. Отсюда Xj = 6, ^2 Xg = -2 или Xj = -6, Xg = 2. Найдем значение 6 из равенства Xj -Ь Xg = -- , 6 = 20 или 6 ^ -20. 1 5 2) Имеем: х,‘Хо=гг^ и — =3. Перемножая равенства, 1Q “v _ X найдем Xj = • Подставив это значение в первое равенство, ,2 „ Ь .1,2 ,13 . ,1о найдем Xg = ±- . Далее, = ±-±-=±33,6 = ±13. 20 20 338. 3) Коэффициент при х уменьшится на 2, а свободный член будет равен: (Xj + l)(Xg ± 1) = JCjXg ± Xj ± Xg ± 1 = 5 ± 13 ± ± 1 = 19. Получаем уравнение х^ - 15х ± 19 = 0. ^/’41 к L ' < i —il 340. Воспользуйтесь результатами задачи 339 или сравните дискриминанты этих уравнений. 341. Пусть стороны прямоугольника л: м и I/ м. Тогда по теореме Пифагора = 37^, а по условию х + у = 47. Имеем: с 2ху (х S = = ^ = — у)2-д.2-у2 _ 472,372 10-84 = 420. 343. В заданиях 1) и 2) проверьте ±1; в заданиях 3) и 4) используйте теорему Виета. 344. В заданиях 7) и 8) проверьте ±1. 345. Запишите сначала уравнение без дробей, сделайте старший коэффициент положительным и расположите члены левой части в порядке убывания степеней х. 347. В заданиях 1) и 2) не раскрывайте скобки. В задании 3) используйте формулу разности квадратов. В задании 4) в правой части вынесите общий множитель за скобки. 355. Поскольку сумма корней равна -р, проверим данные числа, находя дискриминанты соответствующих квадратных уравнений: р = -1,П = 1- 4<0 — уравнение не имеет корней; р = -2, П = 4- 4 = 0 — уравнение имеет один корень, а не два, как сказано в условии; р = -6, Z) = 36-4>0 — уравнение имеет два положительных корня. 365. Когда по смыслу задачи ясно, что ответ должен быть натуральным числом, полезно попробовать его подобрать. Так, в задаче 1) число мест зрительного зала должно делиться без остатка на число рядов как до, так и после реконструкции. Эти натуральные числа отличаются на 1, значит, нужно найти пары соседних натуральных чисел, являющихся делителями 480. Есть несколько таких пар: 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6, 15 и 16. Результаты деления 480 на числа искомой пары отличаются на 2 (напомним, что произведение числа мест на число рядов дает общее число мест). Этому условию удовлетворяет только последняя пара. 3) Эту задачу проще всего решить, используя делимость. Число студентов в группе должно быть делителем 210, причем этот делитель не меньше 20, но не больше 40. Ясно, что подходят только числа 21, 30 и 35. Этим числам соответствуют числа 10, 7 и 6, из которых на 1 отличаются 6 и 7. Значит, новой специальности стало обучаться 210 : 7 = 30 студентов. ш 372. Способ 1. 1) Можно обозначить буквой х число дней, за которые предполагалось изготовление 272 деталей. Тогда в течение каждого из первых десяти дней бригада изго- товляла деталей, после чего она работала еще х - 11 = = (х - 1 - 10) дней, изготовляя в день по + 4 деталей. Всего бригада изготовила 280 деталей, значит. 10-272 + 280. Способ 2. 1)Обозначим буквой х дневную плановую норму, тогда 272- 10х 280- 10х = 1. X X + 4 2) Обозначив буквой х число деталей, которые должна была изготовлять бригада за один день, заметим, что за каждый из первых пяти дней изготовлялось по - х деталей, а затем 5 по X ч- 15 деталей. Работу планировалось выполнить за 400 дней. По условию задачи: 5 • | х -ь - 7 j(x Ч-15) = 405. 373. Обозначим буквой х количество граммов первого раствора, вошедшее в смесь, тогда второго раствора вошло (200 - х) г. Концентрация йодистого калия в первом растворе 48 20 равна , а во втором — —- , По условию задачи имеем: X 20 = 0,15, откуда 0,15х^ - 98х Ч- 48* 200 = 0. Полу- ^\J\) X ЧИЛИ довольно редкий случай, когда при решении уравнения лучше не освобождаться от дробного коэффициента, х = 120 — единственный корень этого уравнения, подходящий по смыслу задачи (х < 200). Концентрация йодистого калия в первом 48 растворе = 0,4, или 40%. Концентрация во втором растворе • 100% = 25%. oU 374. Проще всего подставить данные числа в систему. f ^ 375. Решите вторую систему и подставьте найденные значения переменных в первую систему. 379. 3) Поскольку 2х'2у = 8, проще составить квадратное уравнение с корнями 2х и 2г/: - 9г -Ь 8 = О, Zj = 1, = 8. 4) Замените ху во втором уравнении его значением из первого уравнения. 381. 1) Сначала замените выражение х^ + у^ во втором уравнении его значением из первого. Затем получите в первом уравнении выражение (х + у)^, прибавив 2ху из второго уравнения. 3) Складывая уравнения, получите куб суммы, а вычитая, — куб разности XVI у. 4) Возведите в куб первое уравнение, записав его левую часть в виде х^ + у^ + Зху(х -ь у) или -I- + 9ху, поскольку X + у = 3. Найдите разность первого и второго уравнений, это позволит вычислить значение ху. По произведению и сумме найдите решения. 5) Разложите на множители разность квадратов первого уравнения и замените один из множителей его значением из второго. По сумме и разности найдите решения. 6) Поскольку х{-у) = 5, составьте уравнение, корнями которого будут X и-у. 7) Представьте выражение х^ - ху в виде х(х - у) и, подставив значение х - у из второго уравнения, приведите первое уравнение к виду х - у = 2. Система будет состоять из двух одинаковых уравнений, значит, она равносильна уравнению у = х-2. 8) Выразите х из второго уравнения и подставьте в первое. 9) Освободитесь от дробей, выразите у из второго уравнения и подставьте в первое. 390.2) Пусть на выполнение всего задания первому нужно X ч, а второму — У ч. Тогда часть работы, кото- 1 I , I X + у рую они вместе выполняют за 1 ч, равна - Ч- - = --- ^ X у ху По условию задачи имеем: -i ху _ дг + у = 2, -I- Зу 5 5 f ху = 2(х + у), I 2у + Зх = 20, xy = 2(x + y). у = 10 - I л:, откуда -Зх^ + 20л: = -2х + 40, Зх^ - 22х 4- 40 = О, Xj = ^ , дгз = 4, У| = 5, У2 = 4 391.1) Пусть скорость первого велосипедиста UjKM/n, а скорость второго велосипедиста Оз^м/ч. В примере 4 пункта 9 было показано, что время, затраченное после встречи. Vf обратно пропорционально квадрату скорости. Значит, -5 = = -^ = J . Отсюда — = I. Поскольку при одной и той же ско- я X 4 Vo 6 'з рости путь пропорционален времени, получаем, что до встречи первый велосипедист проехал в 1,5 раза больше, чем вто- 1 8 рой. Следовательно, после встречи у него ушло 1 - : 1,5 = - ч, О ^ 1 8 20 а всего на путь из Ав В I- -Ь - = -— ч. Скорость первого вело- О У У 20 сипедиста равна 80 : = 36 (км/ч). Скорость второго велоси- педиста в 1,5 раза меньше, чем первого, значит, она равна 36 : 1,5 = 24 (км/ч). 2) Пусть скорость поезда, вышедшего из М, равна х км/ч, а скорость другого поезда у км/ч. Тогда по условию задачи имеем: 45 ____ _ 1 X + у 3 ’ 15 _ = А . у X 20' ]х + у = 135, [ 300(х - у) = ху; ]х = 135-у, 1300(135-2у)-(135-у)у; у2- 735у-(-300-135 = 0. У1 = 675, у2 = 60; Xj = -540, Xg = 75. Смыслу задачи отрицательное значение скорости не удовлетворяет, значит, скорость первого поезда 75 км/ч, а второго — 60 км/ч. I у I ; Г" 1 епъ^ Глава 5 Вероятность 392. Есть 36 равновероятных возможностей вытащить одну карту. В 9 из них карта окажется червой, в 16 — картинкой, в 8 — валетом или королем. 393. Всего имеется 6 равновероятных исходов при бросании кости. В четырех из них число выпавших очков больше 2, в трех — число очков простое, в двух — кратно 3. 394. Задача аналогична примеру 2 из текста пункта 28. Есть четыре возможности выбрать дорогу из пункта А в пункт В. Каждому варианту этого выбора соответствует три возможности выбрать дорогу из В в С. По правилу произведения 4 • 3 = 12. 395. Если пальто перевесить, получится другой вариант. значит, речь идет о размещениях. Число их равно = 840. 396. 2) Саша с Колей могут оказаться на любых двух местах из 20. Поскольку важно, на каком месте сидит Коля, а на каком Саша, то общее число вариантов равно A|q. На каком бы из 20 мест ни оказался Коля, рядом с ним будет только одно место для Саши. Значит, есть всего 20 вариантов для мальчиков оказаться соседями. Вероятность этого равна 20 _ 1 20-19 19' 398. 1) Всего есть равновероятных исходов, и только в одном из них все письма попадут в свои конверты. Следовательно, вероятность того, что все письма окажутся в нужных 1 1 конвертах, равна -5- = ^ • 2) Положим письмо Иванову в правильный конверт. Останется 3 письма, которые можно положить в 3 конверта л О JL Рд способами. Вероятность данного события равна р~ ^ 3) Письмо для правильного конверта можно выбрать четырьмя способами. Первое из оставшихся трех в неправильный конверт можно положить двумя способами, в каждом из них второе и третье можно положить в неправильные конвер- V®. ltr\ X--- ты одним-единственным способом. Получаем всего 4 • 2 • 1 = 8 8 1 способов. Вероятность события равна ^ = 5 • Р4 3 4) Два письма, которые положат в правильные конверты, можно выбрать С| способами, так как важно, какие это письма, а не в каком порядке их выбирают. После того как будут выбраны два правильных конверта, останется только один-единственный способ положить оставшиеся два в неправильные конверты. Вероятность этого равна ^ = т • Р4 4 399. Задача аналогична примеру 4 пункта 28. Всего Рц способов построиться. Представим себе, что Саша будет становиться в шеренгу последним. Без Саши мальчики могут построиться PjQ способами. В каждом из них Саша может встать либо справа, либо слева от Коли. Значит, есть всего 2 • Pj0 вариантов построения, при которых Саша и Коля стоят рядом. Вероятность этого равна 2Р 10 11 11 400. Выбрав любые 4 вершины, получим четырехугольник с одной точкой пересечения диагоналей, значит, число таких точек равно 401. Достаточно выбрать одну пару, поскольку тем самым определится и вторая пара теннисисток. 402. В футбольной команде 11 игроков, включая вратаря. Выбор игроков в первую команду полностью определяет, какие ученики будут играть во второй команде. При этом каждый выбор некоторых 11 игроков дает точно такое разбиение на команды, что и выбор остальных одиннадцати, поэтому биноминальный коэффициент нужно поделить на 2. 405. 2) Пять школьников можно выбрать Cfg способами. Трех из оставшихся после этого 5 школьников можно выбрать С| способами. Оставшиеся два школьника войдут в третью группу. По правилу произведения получаем Cfo * С\. О 406. 1) Всего может быть Agg равновероятных исходов. Поскольку в одной масти 9 карт, есть Ад способа вытащить ф---------------------------------------------------- f S' л f«- /fc две карты этой масти, но масть может быть любая из 4, зна- о чит, всего есть 4Ад благоприятных исходов. Искомая вероят-. 2 АА ность равна 9 4-9! _ 34! ’ 36! 4-S-9 7! 35 • 36 35 ■ 2) Первую карту можно вытащить 36 способами. После этого в колоде останется еще три карты того же достоинства в других мастях. Значит, число благоприятных исходов равно 36 • 3, а вероятность вытащить карты одного достоинства равна 36 • 3 _ 36 • 3 • 34! _ ■^36 36! 0,09. 3) Достоинства карт равны, как мы видели в задании 2), в 36 • 3 случаях, В остальных A|g -36*3 случаях одна из карт старше другой. В половине этих случаев вторая карта стар- ше, Искомая вероятность равна Азб -36-3 35 407. События, вероятность которых требуется найти в этой задаче, определяются не порядком вытаскивания карт из колоды, а только тем, какие две карты вытащены. Таким образом, комбинации вытащенных карт являются сочетаниями. Все возможные сочетания при вытаскивании карт равновероятны. Их число равно Cfg. 1) а) В колоде по 13 карт каждой из четырех мастей. Одну из карт выбираем из 13 бубен, а другую из 39 карт других мастей. По правилу произведения число благоприятных исходов 13 * 39 равно 13 • 39, и вероятность события равна — ~ 0,38. ^12 б) В колоде есть 4 туза и 48 других карт, значит, число возможных благоприятных сочетаний равно 4 • 48. Вероятность 4*48 _ ^ . вытащить только одного туза равна — ~ 0,14. f 2 '-'52 в) Картинки — это валеты, дамы, короли и тузы. Всего в колоде 16 картинок, значит, одну из них можно выбрать 16 способами, а для выбора другой карты остается 36 возможностей. Число благоприятных исходов 16 • 36, а соответ- 16-36 ствующая вероятность равна С1 0,43. 52 Ш; ?— 2) a) Обе карты выбираются из 13 бубен, значит, число благоприятных исходов равно С?,. Искомая вероятность равна С?, р^-0,06. ^52 3) а) Число возможностей складывается из числа вариантов, когда среди карт есть только одна бубна, и из числа вариантов, в которых вытаскиваются две бубны. Эти числа были найдены в заданиях 1) и 2): 13»39 -t- Cfg. Число благоприятных исходов можно найти иначе: вычитая из общего числа исходов С|з число «неблагоприятных» исходов С|д, когда обе карты выбираются из 39 карт других мастей: С§2 - С|д. Искомая вероятность равна 13 • 39 + cfg р2 _ р2 ^52 *^39 ^52 0,44. 408. Комбинации, число которых нужно найти, чтобы ответить на вопросы задачи, связаны только с составом вытащенной из колоды шестерки карт. Значит, комбинации карт являются сочетаниями. 1) Туза можно выбрать 4 способами, а остальные 5 карт придется выбирать из 32 карт, которые не являются тузами. 2) Чтобы найти число возможностей вытащить хотя бы одного туза, можно из общего числа всех вариантов вычесть число тех из них, в которых среди шести карт нет ни одного туза. 3) Если из колоды вынуть всех четырех тузов, то остается добрать 2 карты из оставшихся 32. 409. Чтобы разыграть билеты между учениками, можно взять 25 одинаковых конвертов и положить в 15 из них билеты. 1) У Коли есть 25 вариантов выбрать конверт и в 15 из них конверт окажется с билетом. Значит, вероятность по- лучить билет у Коли - . 2) У Коли и Саши есть всего Cfg воз- э можности выбрать конверты. Из них в Cfg случаях в обоих конвертах окажутся билеты. Значит, вероятность получить билеты у Коли и Саши равна С1 15 15-14 ^25 — . 3) Число 25-24 вариантов, в которых ни в Колином, ни в Сашином конвертах не окажется билетов, равно Cfg. Значит, вероятность, что им - -'Ю 10-9 не достанется билетов, равна —— = ——^ Cfs 25 - 24 20' ш. г 411. Пусть в ящике п серых и т черных носков, тогда всего носков в ящике п + т,и вытащить два из них Коля может ^ ^ способами. Возможностей вытащить два серых носка у Коли , а вероятность этого С^п f 2 '^п + т 1 2 ■ Составим таблицу значений в зависимости от п. п 2 3 4 5 6 CS 1 3 6 10 15 3 Мы видим, что i . Возьмем л = 3, ап-1-?п = 4, тогда Cl т=\. 420. Из выбранной 1000 зерен всхожими оказались 1000 -- 27 = 973 зерна, значит, частота всхожести равна примерно 97%, Это значение и принимаем за приближенную вероятность того, что наугад взятое зерно окажется всхожим. 421. Частота выемки черного шара примерно равна 70%. Считая вероятность вытащить черный шар равной примерно 70%, можно с большой степенью уверенности (но не наверняка, конечно) сказать, что в коробке 7 черных шаров. 423. Это задача-шутка. Если, конечно, Алеша не живет за полярным кругом, где солнце иногда и вовсе не заходит, то через 88 ч будет ночь. Глава 6 Повторение 463. Обозначим числа хиу. Тогда Аху = (л: -Ь уУ' - (д: - уУ = 10-6 = 4. Отсюда ху = 1. 468. в)-4ТГ2Д - -4Л^--Л0 . -_±Ж . . Ло Ло 10 -^11^ --4.4Л0 469. Будем искать положительное число. Учитывая, что 3 7 прибавление - числа — то же самое, что умножение на -, С'Т. 1 2 уменьшение на ^ — то же самое, что умножение на ^, а ум О О ножение на себя — это возведение в квадрат, составим урав- нение и( ^ 5 ^ ■ I ) ~ ^ 2. Отсюда (I] -52=2*10-8,(1) -52 = 144, I =14, х = 28. 479. Если D > о, то xf + = (Xj -f- Xg)^ - 2xjXg = (1 - a)^ - - 2(-2a) = 1 + 2a + == (a + 1)2, (a + 1)2 = 9, Oj = -4, ag = 2. Проверка. 1) При a = -4: £) = 25 - 32 < 0 корней нет; 2) при а = 2:£)=1-ь8>0 корни есть, значит, сумма их квадратов равна 9. 480. Сначала убедитесь, что корни существуют, а затем, зная знаки их произведения и суммы, дайте ответ на вопрос задачи. 484. Способ 1. Если X — предполагавшееся число автобусов, а у — предполагавшееся число туристов, размещав- [ху=180, |(х-2)(у+17)=188. шихся в одном автобусе, то Из второ- го уравнения с учетом значения ху из первого уравнения имеем: 180 -Ь 17х - 2у - 34 = 188, у = 0,5(17х - 42). Подставляем в первое уравнение: 17x2 - 42х - 360 = 0. Натуральный корень уравнения равен 6. Соответствующее значение у равно 30. Способ 2. Из смысла задачи следует, что число туристов, размещенных в одном автобусе, является делителем числа 188, и этот делитель должен быть на 17 больше, чем какой-то из делителей числа 180. 188 делится на 188, 94, 47, 4, 2 и 1. Проверять имеет смысл только числа 94 и 47. 94 - 17 = 77 — это число не является делителем 180; 47 - 17 = = 30 — это число является делителем 180. Значит, в автобусах было размещено по 47 туристов. 485. 1) Пусть X— число деталей, которые изготавливает первая бригада, t — число дней, за которое бригады должны были выполнить задание. Тогда получаем систему уравнений x(f-4) = 420, (х + 5)(t - 7) = 500 Выражая t из второго уравнения и подставляя в первое, после преобразований приходим к уравне- Ф. »7'tr ДГ'— НИЮ 3x^ + 95л: - 2100 = 0. Воспользуемся тем, что значение х должно быть натуральным. Так как 95х = 2100 - Зл:^ делится на 3, а 95 не делится на 3, то х делится на 3. Так как Зл:^ = = 2100 - 95х делится на 5, то л: делится на 5 и, следовательно, X делится на 15. Проверка значения л: = 15 показывает, что 15 является корнем уравнения, а второй его корень по теореме Виета отрицателен. Таким образом, л: = 15,х-1-5 = 20. 486. 1) Обозначив буквой л: расстояние от границы газона до ограды и заметив сразу же, что 2л: < 110, т. е. л; < 55, по условию задачи составляем уравнение 11 • (150 - 2л:)(110 - 2л:) = 4 • 110 • 150, (150 - 2л:)(110 - 2л:) = 40 • 150, (75 - х)(55 - л:) = 1500. Таким образом, число 1500 представлено в виде произведения двух положительных чисел, разность которых равна 20. Поэтому нетрудно догадаться, что эти множители равны соответственно 50 и 30, значит, одним из корней полученного уравнения является 25. Так как это уравнение в стандартном виде имеет коэффициент при х, равный -75 - 55 = -130, то его второй корень равен 105, т. е. больше 55. Следовательно, л: = 25. Можно рассуждать иначе: при л: = 25 равенство (75 - л:)(55 - л:) = 1500 верно, а при увеличении или уменьшении X в промежутке от 0 до 55 оба множителя в левой части соответственно уменьшаются или увеличиваются, а стало быть, уменьшается или увеличивается их произведение. Следовательно, при X * 25 рассматриваемое равенство не выполняется. 2) Если хну стороны участка, то получаем систему урав-\ху = 1200, нений 5) = 4600. Попробуем найти натуральные решения этой системы. Если у не делится на 5, то у -f 5 также не делится на 5, а тогда и X, и X + 4 оба делятся на 5, чего не может быть, поскольку их разность равна 4. Положив у = 5г, получим систему XZ = 240, {х + 4)(г+ 1) = 320. Раскрывая скобки и вычитая из второго уравнения первое, получаем уравнение л: -ь 42 = 76, из которого следует, что X делится на 4, X = 4t, t + z = 19, а уравнение xz = 240 принимает вид tz = 60. Ясно теперь, что t = 15, 2 = 4 или t = 4, Z = 15. В первом случае х = 60, у = 20, во втором случае X = 16, у = 75. Считая, как это принято на практике, что дли- на прямоугольника всегда больше его ширины, оставляем только первый вариант. 487. 1) Пусть X и у — стороны данного прямоугольника, по условию X + у = 37. Стороны прямоугольников, на которые его разделили, равны соответственно 9 и у, л: - 9 и у, и из Q и ( д X ~ 9 их подобия имеем равенство - = —в случае - =------- эти у X-9 У у у прямоугольники равны, что противоречит условиюj, или 9(лг - 9) = Подставив х = 37 - у ь это уравнение, получаем 9 • (28 - у) = у^. Нетрудно подобрать целый корень этого уравнения: у должен делиться на 3, и после трех (максимум) неудачных попыток получаем корень 12. Второй корень этого уравнения отрицателен, так что у = 12, х = 25. 488. 2) Обозначим сторону AD параллелограмма буквой х, а смежную сторону АВ буквой у. Тогда х + у = 32 (полупери-метр параллелограмма). Из подобия треугольников АМВ и {х + у — 32, гчз\т AM СВ гг ■< 16 X CBN запишем: . Получаем систему: ] _ = ^. АВ BN у 15 X = 32 - у. Далее • ' у 15 у 15 У1 = 12, У2 - 20, Xj = 20, Х2 = 12. 490. 2) Обозначим буквой х начальную скорость велосипедиста и рассмотрим отрезок пути после остановки: 12-2- ^*0- = 1 X X + 4 3 ‘ 491. 1) Указанные 6 мин, или 0,1 ч, велосипедист потерял на последних 6 км. Поэтому если v — его первоначальная 6 скорость, то по условию задачи составляется уравнение-- — У О 0 - - = 0,1. После умножения его обеих частей на 10у(и- 3) уравнение принимает вид v(u — 3) — 180. Один корень этого уравнения легко находится: о = 15, а поскольку оно может быть записано в виде квадратного со свободным членом -180, TO второй его корень по теореме Виета отрицателен, т. е. не может являться решением задачи. 492. 1) Пусть скорость велосипедиста х км/ч. Тогда второ- 5 2-4 го туриста он догнал через -= ч, а первого — через _ ч. X О X ^ Имеем 2-4 1 6 X - А X - 5 2) Пусть скорость всадника х км/ч. Тогда он догонял ту- 2 • 5 10х риста----= ч и проехал за это время-= км. До пункта А ему “ О X - 5 оставалось еще 41 - Юл: X - 5 км. За время между встречами ту- рист и всадник в сумме преодолели 2 |^41 - j км, на что у них ушло 2^ ч. Значит, 2 ^41 - j ^ (х -I- 5). 493. Данное расстояние является гипотенузой соответствующего прямоугольного треугольника и выражается по теореме Пифагора. 494. Первый ответ найдите устно, обратив внимание на то, что гипотенуза соответствующего треугольника равна 5, и проверьте, не египетский ли это треугольник (треугольник со сторонами 3, 4 и 5). Второй ответ соответствует ситуации, когда мотоциклист уже проехал перекресток. При решении уравнения -1-(15 - х)^ = 5^ удобно обозначить I буквой у, тогда х = Зу. О 498. Пусть мастеру для выполнения всей работы нужно х дней, тогда ученику потребуется на это (х -I- 5) дней. За день мастер выполняет - часть, ученик —часть всей работы, X X I & а вместе они выполняют за день ^ ^ часть работы. Вмес- х(х + 5) те мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 2х + 5 х(X Ч* 5^ 1 :----— = ^ дней. Работая один, мастер затратил на х(х + 5) 2х + о выполнение половины работы на 2 дня больше, а значит, на --------------------------------------ф Ш всю работу он затратил бы на 4 дня больше, чем при совмест- ной с учеником деятельности: х —5——^ = 4. Это уравнение 4У I D имеет единственный натуральный корень — число 10. 500. Пусть в руде содержалось х кг железа. Тогда после обогащения в руде осталось х - 160 *0,125 кг железа. Процентное содержание железа в руде до обогащения было равно • 100% , а после обогащения ^ * Ю0%. оои ooU — I0U Получаем уравиение: *=~зео_'1У^ “ 5S5 501. Обозначив число обезьянок в стае буквой х, составим уравнение по условию задачи: X = ^ ^ j -I- 12, х^ - 64х -I- 12 • 64 = о, Xj = 16, Х2 = 48. -Г' ^ ^ ^*3==^ 11 СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Законы арифметических действий Переместительный закон сложения а + Ь = Ь + а Переместительный закон умножения а’Ъ = Ъ’ а Сочетательный закон сложения (а -1- Ь) -1- с = а + (& -Ь с) Сочетательный закон умножения (а'Ь)’С = а‘(Ь‘с) Распределительный закон умножения относительно сложения {а + Ь)’С = а-с + Ь‘с Распределительный закон умножения относительно вычитания (а-Ь)"С = а’с-Ь'С Формулы сокращенного умножения (а ± &)2 = ± 2а& (Cj + ag + ... + а„)2 = = af + а| + ... + + 2{а^а2 + + ... + а„_ ia„) -Ь^ = (а- Ь){а + Ь) (а + 6)^ = + За^б + ЗаЙ + + Ь^ + ЗаЬ(а + Ь) (а - Ь)^ = а® - За^Ь + ЗаЬ^ -Ь^ = -Ъ^ + ЗаЬ{а - Ь) + 6^ = (а + Ь)(а^ — аЬ + Ь^) = (а- Ь)(а^ + аЬ + Ь^) Пропорции в пропорции ^ — 2 числа and называют крайними члена- ми, Ьис — средними членами. ф. Основное свойство пропорции Произведение крайних членов равно произведению средних, т. е. ad = be. Основное свойство дроби ^ ^ , если Ь^О, с¥=0 О ос Действия со степенями (дШ)п = дтп (аьг = д/п . дП = дт + п gm . дП = gm - П а° = 1, = а. а-" = — Комбинаторика Число перестановок п элементов = 1 • 2 • 3 •• (п - 1) • п = п! Число размещений из п элементов по т п\ = п(п - 1)(га - 2) •... • (п - m + 1) = (/I - т)! Число сочетаний из п элементов по т С" = — = " Р„ т\{п - т)\ Бином Ньютона (а + Ь)" = С"а" + Су^а''-^Ь + С'^-^а''-Ч^ + ... + С1аЧ’'~^ + + С\аЬ"-'^ + С^Ь" Свойства биномиальных коэффициентов Г'т Г'п - т Свойства квадратных корней 7^ = |д;| Jab = Ja ' Jb, если а> 0,b> О ^ , если а ^ О, 6 > О ^щ,у Квадратные уравнения Дискриминант D = Ь^ — 4ас ах^ + Ьх + с = О (а 0), D> О ах^ + Ьх + с = О {а ^ 0), D = 0 ах^ + 2kx + с = О (а ^ 0), ^ > О ах^ + Ьл: + с = 0(а=!*0), а + Ы-с = 0 ах^ + Ьх + с = 0(a*Q), а -Ь + с = О •^1; 2 -Ь ± Jb^ - 4ас 2а Ь ^ 2а ^1; 2 “ -к ± Jk^~-~ac 1 t X, = 1, дг, = -^ ^ а 1 ^- X, = -1, Хр = -- ^ ‘‘а Формулы Виета х^ + рх + q = 0, D> О X, + Х2 = -р, Xj • Xg = 9 Квадраты и кубы однозначных чисел а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1 8 27 64 125 216 343 512 729 Латинский алфавит Аа вь Сс Dd Ее Ff Gg Hh и Jj Кк L1 Mm а бэ цэ ДЭ е эф же аш и жи ка ЭЛ ЭМ Nn Оо Рр Qq Кг Ss Tt Uu Vv Ww Хх Yy Zz ЭН О пэ ку эр эс ТЭ У вэ дубль- вэ ИКС иг- рек зэт ^ / Таблица простых чисел первой тысячи 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 • %-Г' “■'^=>11 Таблица квадратов двузначных чисел 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 Приставки СИ и множители для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований Приставка Обозначение приставки Множитель международное русское экса Е э 1018 пета Р п 1015 тера Т т 1012 гига G г 10® мега М м 106 кило к к 103 гекто h Г 102 дека da да 101 деци d Д 10-1 санти С С 10-2 милли m м 10-3 микро ц мк 10-6 нано n н 10-® пико р п 10-12 фемто f ф 10-16 атто а а 10-18 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумент функции 61 Бином 10 — Ньютона 10, 250 Биномиальные коэффициенты 10 Величины пропорциональные 53 — прямо пропорциональные 55 — обратно пропорциональные 55 Возведение в степень 27 Выделение полного квадрата 117 Выражение дробное 19 — рациональное 19,174 — целое 19 Гипербола 64 График функции 62 Действия со степенями 250 Десятичная дробь бесконечная 84 — конечная 84 — периодическая 84 Дискриминант 122, 251 — сокращенный 134 Законы арифметических действий 249 Квадрат разности 8 — суммы 8 Комбинаторика 161 Корень квадратный 94, 178 ----арифметический 94 Корни квадратного уравнения 251 Куб разности 8 — суммы 8, 14 Математическая статистика 167 Область определения функции 61 Освобождение дроби от иррациональности в знаменателе 109 Основное свойство дроби 250 ----пропорции 250 Парабола 90 Период десятичной дроби 84 Показатель степени натуральный 67 ----нулевой 67, 174 ----целый 68, 174 Порядок числа стандартного вида 74 Правило произведения 7, 161 — возведения дроби в степень 27 — вычитания дробей 31, 35 # I/ ч- I I 4/ « — деления дробей 26 — приведения дроби к общему знаменателю 35 — сложения дробей 31 — умножения дробей 25 Разность кубов 15 Решение системы уравнений 149 Свободный член многочлена 116 Свойства квадратных корней 99,100,250 — степеней 67, 68, 70 Свойство функции у = 91 Событие достоверное 160 — невозможное 160 Способ подстановки 150 — сложения 149 Стандартный вид числа 74 Степень многочлена 116 — уравнения 116 Сумма кубов 15 Таблица квадратов 253 — простых чисел 252 Теорема Виета 127 Треугольник Паскаля 37 Уравнение дробное 48 — квадратное 116 ----неполное 133 ----приведенное 128 — целое 48, 116 Формула вероятности 160 — разности кубов 15 — суммы кубов 15 Формулы Виета 128, 251 — комбинаторики 162, 163, 250 — корней квадратного уравнения 122, 185 — сокращенного умножения 249 Функция 61 — возрастающая 91 — убывающая 91 Число действительное 87 81, иррациональное 80, 86, 87 — рациональное 79,85,87 Учебное издание Муравин Георгий Константинович Муравин Константин Соломонович Муравина Ольга Викторовна АЛГЕБРА 8 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Зав. редакцией О. В. Муравина Редактор Т. С. Зельдман Художественный редактор А. Л. Шувалова Технический редактор Л. В. Коновалова Компьютерная верстка С. Л. Мамедова Корректор Г. И. Мосякина В соответствии с Федеральным законом от 29.12.2010 г. Лй 436-ФЗ знак информационной продукции на данное издание не ставится Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16238. Подписано к печати 18.03.13. Формат 60 х 90 */„■ Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная*. Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,0. Тираж 1000 экз. Заказ № 2465. ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (493) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Сайт ООО «Дрофа»: www.drofa.ru Электронная почта: sales@drofa.ru Тел.: 8-800-200-05-50 (звонок по России бесплатный) Отпечатано в ОАО «.Можайский полиграфический комбинат* 143200, г. .Можайск, ул. Мира, 93 www.oaompk.ru, «тто,()ломпк,рф тел.; (495) 745-84-28. (49638) 20-685