Учебник Алгебра 11 класс Никольский

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Алгебра 11 класс Никольский - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
г:: . ■ ■ . ав1!ЯВ1^««1к* ____®______ ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО liVR Я ятя шттш сз °. я г. МГУ-ШКОЛЕ Алгебра и начала математического анализа 11 КЛАСС УЧЕБНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ Базовый и профильный уровни Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 8-е издание Москва «Просвещение » 2009 УДК 373.167.1:[512+517] ББК 22.14я72 А45 Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году Авторы; С. М. Никольский, М. К, Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07) и Российской академии образования (№ 01-208/5/7д от 11,10.07) ■ 1.7* — 1.2 2.5 4.9° 5.4* 111 Условные обозначения: начало материала, необязательного для базового уровня окончание материала, необязательного для базового уровня пункт для профильного уровня факты, свойства, определения, формулы, которые нужно помнить задания для базового уровня задания для профильного уровня задания для устной работы задания повышенной трудности задания для повторения Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб, для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В, Шевкин]. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 464 с. : ил. — (МГУ — школе), — ISBN 978-5-09-021970-9. Дополненное издание соответствует федеральным компонентам Государственного стандарта общего образования по математике и содержит материал как для базового, так и для профильного уровня. По нему можно работать независимо от того, по каким учебникам учились школьники в предыдущие годы. Учебник нацелен на подготовку учащихся к поступлению в вузы. УДК 373.167.1:[512+517] ББК 22.14я72ч-22.161я72 ISBN 978-5-09-021970-9 Издательство «Просвещение», 2002 Издательство «Просвещение», 2008, с изменениями Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2008 Все права защищены Глава I ' --- ■ " " . i - Ч функции. Яроизводные* Интегралы fix) = x' f(x)-2x V J/(x) dx = ^ + C § 1. Функции и их графики 1.1. Элементарные функции Напомним определение функции. Пусть каждому числу х из множества чисел X в силу некоторого (вполне определенного) закона поставлено в соответствие единственное число у. Тогда говорят, что у есть функция от х, определенная на множестве X; при этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией от х, множество X — областью определения функции. Таким образом, чтобы задать функцию, нужно указать способ (закон, правило), с помощью которого для каждого значения аргумента X е X можно найти соответствующее значение у. Обычно этот закон обозначают одной буквой, например Д и тогда пишут у = f(x), X е X. (1) Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, вместо у пишут г/(х), а для сокращения записи (1) пишут у = /(х) или /(х). Закон f также называют функцией f и говорят: задана функция f на множестве чисел X или, коротко, задана функция /. Отметим, что вместо пары букв х и у в определении функции могут участвовать любые другие пары букв. Например, функцию Д определенную на множестве чисел X, можно записать как в виде (1), так и в виде и = /(у), и g X, или даже в виде х = /(у), у е X. Все эти записи характеризуют одну и ту же функцию /. Число, соответствующее Xq е X для данной функции у(х), называют значением функции в точке Хо и обозначают у(хо). Если функция записана в виде (1), то это число обозначают /(Xq). Пусть функция у = F (и) определена на множестве G, а функция и = ф(х) определена на множестве X и множество всех ее значений содержится в множестве G. Тогда любому х g X функция ф ставит □i___________________________________________________________ в соответствие число u б G, а этому числу и функция F ставит в соответствие число г/, т. е. у является функцией от х на множестве X. Другими словами, получена функция у = F((p(x)), определенная на множестве X. Эту функцию называют функцией от функции или сложной функцией. Сложную функцию называют также суперпозицией двух функций ф и F. Например, если у = 2“ и и = л:^, то для любого действительного х определена сложная функция у = 2^ . Можно указать сложную функцию, в образовании которой участвует более двух функций. Сложными будут, например, функции у = + х^у у = cos(2x + 3"^), у = (х - 1)^ + tgjc, у = loggCSx + 4), у = logs (sin X + 2), у = sin(3 + log2X). Ранее уже изучались функции у = х^ (п в N)y у = х“" {п в N), у = Vx, (п в Ny п ^ 2), у = х“ (а G Д+), у = х‘“ (а g R^), у = SinX, у = COSX, у = tgx, у = ctgx, у = {а > Оу а ^ 1)у у = log^x {а> Оу аФ 1). Все эти функции называют основными элементарными функциями. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и применения конечного числа суперпозиций, принято называть элементарными функциями. Элементарными функциями, например, являются функции у = sinx и- COSX, у = -sin2(x - 5). 1.1® а) Сформулируйте определение функции. б) Какую функцию называют сложной? в) Перечислите основные элементарные функции. г) Какие функции называют элементарными? 1.2 Выпишите основные элементарные функции /(х) и g(x), с помощью которых задана сложная функция: а) f{g{x))= ^J\^; б) /^(^(д:)) = 1пдг^. 1.3 Выпишите основные элементарные функции /(х), g(x) и ф(х), с помощью которых задана сложная функция: а) /(^(ф(д:))) = sinVx^; б) /(^(ф(д:))) = (Vsinx)^. 1.4 Даны элементарные функции: f(x) = 7^, (р{х) = х^, g(x) = log^x. Запишите сложную функцию: а) Аф(л:)); б) ф^Сл:)); в) f(g{x)); г) g(g(x)y, Д) ^(ф(/(^с))); е) Ф(я(/(л;))); ж) А^(ф(д:))); з) fig(fix))). ^5 Функции и их графики 1,2. Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции Из определения функции следует, что функция у = f{x) должна задаваться вместе с ее областью определения, которая дальше будет обозначаться X или D{f). При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями. Однако часто, задавая функцию аналитически, т. е. формулой, не указывают явно ее область определения. В таких случаях принято рассматривать функцию на ее полной области определения. Полной областью определения функции у = /(х), заданной аналитически, называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения. Иногда полную область определения называют областью существования функции. В тех случаях, когда функция задана формулой и не указана ее область определения, областью определения функции считают область ее существования. Областью изменения (областью значений) функции f{x) называют множество всех чисел /(х), соответствующих каждому х из области определения функции; область изменения функции /(х) обозначают E{f) или У. ПРИМЕР 1. Пусть дана функция у = ^/log^”shvx. Так как log2 sinx > О лишь при условии sinx = 1 (в этом случае 1о§2 sinx = 0), то область определения (существования) данной функции — мно- жество всех чисел х^ = — + 2nfe, 2 k е Z, т. е. X Mi -ь 2кк, ke Z Область изменения функции состоит из одного числа нуль, т. е. У={0}. ПРИМЕР 2. Пусть дана функция у = yjl- . Область определения (существования) этой функции — отрезок X = [-1; 1] — находится из условия 1 - > 0. Область изменения — отрезок У = [0; 1]- находится следующим образом: так как -1 ^ х ^ 1, то о ^ х^ ^ 1, -1 ^ -х^ ^0, о ^ 1 - х^ ^ 1, значит, 0 ^ л/l - х^ ^ 1. При этом у принимает все значения из промежутка [0; 1]. ПРИМЕР 3. Пусть дана функция у = ^ Область определе- ния (существования) этой функции — интервал X = (-1; 1) — находится из условия 1 - х^ > 0. Область изменения функции — проме- 16 жуток Y = [1; +оо) — находится так: если -1 < лс<1, то О < ^1- < 1, поэтому ^ ^ 1. При этом у принимает все значения из проме- жутка [1; +оо). ПРИМЕР 4. Пусть дана функция у — с областью опреде- ления X — Vl- Ее область изменения есть отрезок Y = [1; 2]. Функцию y = f{x)^ определенную на множестве X, называют ограниченной снизу на множестве X, если существует число А, такое, что А < /(х) для любого X G X. Например, функция у = х^ ограничена снизу на всей области существования Ry так как х^ ^ О для любого действительного х. Функцию у = /(х), определенную на множестве X, называют ограниченной сверху на множестве X, если существует число jB, такое, что f(x) ^ В для любого X 6 X. Например, функция у = Vl - х^ ограничена сверху на всей области существования [-1; 1], так как Vl - х^ ^ 1 для любого х е [-1; 1], Функцию у = /(х), определенную на множестве X, называют ограниченной на множестве X, если существует число М > О, такое, что I fix) I ^ М для любого X G X. Например, функция y = sinx ограничена на всей области существования Д, так как |sinx|< 1 для любого действительного х. Про функцию у = fix) говорят, что она принимает на множестве X наименьшее значение в точке Xq, если Хо € X и /(xq) ^ fix) для всех X е X. Говорят также, что функция у = fix) принимает на множестве X наибольшее значение в точке Xq, если Xq g X и /(xq) ^ fix) для всех X € X. ПРИМЕР 5. Функция у - Vl - х^ на промежутке [-1; 1] принимает наибольшее значение у — 1 при х = О и наименьшее значение у — О при X = -1 и при X = 1. ПРИМЕР 6. Функция I/ = х^ на промежутке (-оо; +оо) принимает наименьшее значение г/ = О при х = О, не принимает наибольшего значения и не ограничена сверху. ПРИМЕР 7. Функция у - 2^ на множестве (-оо; 0] принимает наибольшее значение г/ = 1 при х = 0, не принимает наименьшего значения, но ограничена снизу числом 0. ПРИМЕР 8. Функция у - log2 х на множестве (0; +оо) не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения. '"7 Функции II их графики ПРИМЕР 9, Функция у = [х] — целая часть числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения. ПРИМЕР 10. Функция у = {х} — дробная часть числа х ({х} = = X - [х]) принимает наименьшее значение у = 0 при любом X G Z, не принимает наибольшего значения, но ограничена сверху числом 1. • 1.5® Что такое: а) область существования функции; б) область определения функции; в) область изменения функции? 1.6® Пусть функция у - f(x) определена на множестве X. В каком случае говорят, что на этом множестве она ограничена сверху; ограничена снизу; ограничена? Приведите примеры. 1.7 Докажите, что функция у = 1 — х ограничена на множестве Х = [-1; 1]. Найдите область определения функции: в) у = - 1; 1.8 а) у = ^Jx - 1; , х^-9 т') У = —— - 4 1.9 а) у = log2 I XI; т) у = 2'^; б) у = Р.) У = ^ ■Jx'^ - е) у ^ ^jx^ + X X + 4 б) i/ = |log2x|; д) у = 4^-, в) у = log2 tg х; е) у = 4^^ - 1 + 4l - х^. 1.10 Найдите область изменения функции: а) у = 4l- х^; б) у = 4l - х^, X = «4 в) у = 4l - х^, X = Vi г) у = 30 Vloo - ^2 д) у = . ^ X = ; о1; в) у = log2 4^^ ~ 1? л/1- V 2 X = з) у = log2 4l- х^. , X = [-8; 1]; ж) у = 4iT 1.11* Какая из функций в предыдущем задании на области ее определения является: а) ограниченной снизу; б) ограниченной сверху; в) ограниченной? 8 1.12 Покажите, что на полной области определения функция: а) у = не является ограниченной сверху; б) у = —- не является ограниченной снизу; в) у = \og2^ не является ограниченной. 1.13 Докажите, что если функция у = /(х), определенная на множестве Ху ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то она ограничена на этом множестве. 1.14 Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция: а) у = -Jx- 1; б) г/ = в) г/ = х^; р) У = , ^ ; е) у = ^sinxl т) у = 2'^- Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно достигается. 1.3. Четность, нечетность, периодичность функций Функцию у = f{x) с областью определения X называют четной, если для любого х е X число (-х) е X и справедливо равенство f{-x) ^ fix). Приведем примеры четных функций: у = COSX, у = х^у у = л/l - х2, у = График любой четной функции у = /(х) с областью определения X симметричен относительно оси ординат, так как для любого х е X точки плоскости (х; /(х)) и (-х; /(х)) симметричны относительно оси Оу. Функцию у = /(х) с областью определения X называют нечетной, если для любого х е X число (-х) е X и справедливо равенство /(-х) = -/(х). Приведем примеры нечетных функций: 3 1 X у = Ху y = sinx, У = х^у y = jy y = tgx. График любой нечетной функции у = f(x) с областью определения X симметричен относительно начала координат, так как для любого X е X точки плоскости (х; fix)) и (-х; -fix)) симметричны относительно начала координат. Наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Например, функции у = 2х + 3, у = х^ + 2х + 3, у = л/х, у = Igx, у = 2^ не являются ни четными, ни нечетными. 9 Функции и ич графики Кроме того, есть функции, которые являются одновременно и четными, и нечетными. Например, функция f{x) = О является и четной, и нечетной, так как для любого действительного числа х справедливы равенства: f{-x) = О = fix) и fi-x) = О = -О = -fix). Функцию у = fix) с областью определения X называют периодической, если существует число Т такое, что для любого х е X число ix + Т) е Ху число (л: - Т) € X и справедливо равенство fix+T) = fix). Число Т называют периодом функции fix). Заметим, что для периодической функции имеет место равенство fix-T) = fix). Действительно, функция у = fix) определена в точке х - Т и справедливо равенство fix) = fHx - Т) + Т) = /(х - Т). Если функция fy рассматриваемая на множестве X, принимает действительные значения и имеет период Т Ф ОуНо очевидно, что она имеет также период -Т, поэтому достаточно рассматривать положительные периоды. ПРИМЕР 1. а) Функция i/ = sinx определена на множестве X = (-оо; +оо) и имеет периодом число Т = 2я, так как для любого X € X числа X + 2я и х - 2л принадлежат множеству X и sin(x + 2л) = sinx. б) Функция I/ = tgx определена на множестве X всех х, кроме чисел X/J = + кПу k е Zj и имеет периодом число Т = л, так как для А любого X € X числа х + л и х - л принадлежат множеству X и tg(x + л) = tgx. в) Функция у = {х} (дробная часть числа х) имеет период Т = 1, так как она определена для любых хеДи{х-1-1} = {х}. г) Функция у — sinVx не является периодической, так как ее область определения X = [0; -1-оо) и, например, для числа х = 0 число х - Т (если Г > 0) не принадлежит X — области определения этой функции. д) Функция у = С (константа) имеет периодом любое число Г^О. I Число Т называют главным периодом функции, если оно является наименьшим среди всех ее положительных периодов. ПРИМЕР 2. а) Функция у = sinx имеет главный период Т = 2л. б) Функция у = tgx имеет главный период Т = л. в) Функция у = {х} имеет главный период Т = 1. П JO г) Функция Дирихле, определенная следующим образом: У = 1, если X — любое рациональное число О, если X — любое иррациональное число, имеет периодом любое рациональное число Т ^ О, Она не имеет главного периода. д) Функция у = С (см. пример 1д)) не имеет главного периода. Пусть дана функция у = f{x) с областью определения X, Пусть дано число а, такое, что 0. Тогда функция у = /(ах) имеет область определения Xi, которая характеризуется свойством: для лю-бого X е Xi число ах € X, а для любого х 6 X число — € Хх. При этом если функция у = f(x) имеет период Г, то функция у = /(ах) Т имеет период —, Действительно, для любого х g Хх справедливо ра- венство /(ах + Т) = /(ах), откуда следует, что число — есть период функции у — /(ах), а зна- чит, и число есть период функции у = /(ах). Ш»ИМЕР 3. а) Функция у = sin х имеет область определения X = (-оо; -f*oo) и период 2л, Для любого числа а (а 0) функция у = sin ох имеет область определения Хх = X = (-оо; н-оо) и период ;—г. |а| б) Функция у = tgx имеет область определения X (X — это все X G jR, кроме Xj^ = -ь кПу k е Z) и период л. Для любого числа а (а ^ 0) функция у = tg ах имеет область определения Хх (Хх — это л л л все X, кроме х„ = — + — п, п € Z) и период —г. 2а а |а| Сумма, разность, произведение и частное двух функций, каждая из которых имеет область определения X и период Т, также есть функция с областью определения X и с периодом Т. (Предполагается, что функция-делитель отлична от нуля на множестве X.) Поэтому, например, функция у = sinx + sin2x - sinSx, определенная на множестве (-оо; -Ьоо), имеет период 2л, так как каждое слагаемое имеет область определения (-оо; н-оо) и период 2л. Функция у = sinx + tgx, определенная на множестве X всех х, кроме чисел Xj^ = — + Ал, А g Z, имеет период Т = 2л, так как каждое 2 слагаемое имеет область определения X и период 2л. 11 функции и их графики Однако нельзя утверждать, что если каждая из двух функций имеет главный период Т, то их сумма, разность, произведение и частное имеют всегда главный период Т. Например, каждая из функций у = sinx и г/ = cosx имеет главный период 2тс, но их произведение, т. е. функция г/= sinx cos х = = - sin 2х, имеет главный период тс, а их сумма, т. е. функция у = sinx + COSX = V2 sin^x + -^j, имеет главный период 2тс. • 1,15® а) Какую функцию называют: четной; нечетной? 1.16 Докажите четность функции: а) у = ~ 5х^ + 8 cos х; б) у = 7х® + 6х^ - 5. 1.17 Докажите нечетность функции: - ^5 _ _ л у — 4^7 _ 5д.з _ а) г/ = х^ - 5х - 4 sin х; Определите, является ли четной или нечетной функция (1.18—1.20): х'* + 4 х^ - Зх 1.18 а) у = в) у = 2x3 ’ х'* - cos X 5x3- Зх ’ б) у = г) I/ = х^ + 8 ’ 5x3 ^ gjjj Зх® - X 1.19 а) ^ = |х-4|н-|х + 4|; б) t/ = |x-8| + |x + 8|;___ ь) у = + 2х + 1 + - 2х + 1; г) у = д/х^ + 6х + 9 + д/х^ - 6х + 9; д) у = д/(х- 3)(л: + 2) + д/(л: + 3)(х - 2); е) у = д/(х-1)(л:- 7) + д/(х + 1)(х + 7). - - хЗ - 2х + 4 хЗ + 2х + 4 _ + 5х + 1 _ х^-5х + 1 '^~х^-1х+1 х^+1х+\‘ 1.21 На рисунке 1, а—г изображена часть графика функции у = /(х). Постройте весь график, если известно, что эта функция четная. 1.22 Решите задачу 1.21, если функция у = /(х) нечетная. 12 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 Докажите, что если функция у = f(x) определена на множестве X и для любого X е X число (-х) е X, то функция: f(x) + f{-x) а) ф (х) =---------четная; б) \|/(х) = /(X)- /(-X) нечетная. Докажите, что если функция у = f(x) определена на множестве X и для любого X е X число (-х) € X, то эту функцию можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых четная, а другая нечетная. Представьте функцию у = 2^, определенную на всей числовой оси, в виде суммы четной и нечетной функций. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций есть четная функция на общей части (пересечении) областей определения этих функций. а) Выясните, четной или нечетной функцией является сумма, разность, произведение и частное двух нечетных функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций. ?^13 функции и их графики б) Выясните, является ли четной или нечетной функцией сумма, разность, произведение и частное четной и нечетной функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций. 1.28^ а) Какую функцию называют периодической? б) Какое число называют главным периодом периодической функции? в) Всякая ли периодическая функция имеет главный период? 1.29 Приведите пример периодической функции: а) имеющей главный период тс; 2тс; 1; б) не имеющей главного периода. 1.30 Докажите, что если число Т есть период функции /, то число тГ, где m е Л^, также будет периодом этой функции. 1.31 На рисунке 2, а—г изображена часть графика функции у = f{x). Продолжите построение графика функции, если известно, что период данной функции Г = 2. ■ Рис. 2 14 Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите ее период (1.32—1.35): 1.32 а) у = sin^x; 6) у = cos^ x; b) г) у = 1 + tgx; Д) У = 1 + ctgx; e) ж) у = cos V^^x; 3) у = tgVx; и) 1.33 а) у = sinx |; б) y = | cosx 1; в) г) у = ctgx 1; д) у = sin |х|; e) ж) у = tgkl; з) y = ctglx|. 1.34 а) у = [X]; б) у = {х); в) г) у = {5"}-5 ; Д) У = ^{Н-' ; e) 1.35 а) у = ^sinx]; б) у = {sinx}; в) г) у = {cosx}; Д) У = [sinx] I; e) ж) у = 1 [cos x] 1; 3) У = 1 {cosx} |. 1.36 Определите период функции: а) [/ = sin Зх + cos 8л:; б) г/ = sin 7х cos 5х + sin 5л: cos 7х; п) у = sin 4х + cos 10х; г) г/ = sin 7х cos 5л: - sin 5л* cos 7х. 1Л. Промежутки возрастания» убывания, знакопостоянства и нули функций Функцию у = /(лг), определенную на промежутке X, называют возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел лг^ и ЛГ2 из этого промежутка из неравенства Xi < Х2 следует неравенство f(Xi) < f(X2). ПРИМЕР 1. а) Функция у = X возрастает на промежутке (-оо; +оо). б) Функция у = х^ возрастает на промежутке [0; +оо). в) Функция у = sinx возрастает на промежутке ^ Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х^ и Х2 из этого промежутка из неравенства х^ < Х2 следует неравенство f(x{) > f(X2). 15 Функции и их графики ПРИМЕР 2. а) Функция г/ = убывает на промежутке (-оо; 0]. б) Функция убывает на промежутке (-оо; +оо). в) Функция у = sin X убывает на промежутке Зя X Возрастающие функции и убывающие функции называют строго монотонными функциями. Сумма возрастающих на промежутке X функций, очевидно, является функцией, также возрастающей на X, а сумма убывающих на промежутке X функций является функцией, убывающей на X. ПРИМЕР 3. а) Функции г/ = и у = Гх — возрастающие на полуинтервале [0; +оо). Функция у = 4х + также возрастающая на этом полуинтервале, б) Функции y = log2X и у = 2^ — возрастающие на интервале (0; +оо). Функция у = log2^ + 2^ также возрастающая на этом интервале. в) Функции у = -X и у = 4^ — убывающие на полуинтервале (-оо; 0]. Функция у = -х -ь 4^ также убывающая на этом полуинтервале. г) Функции у = logo,5^: и у = 0,5-^ — убывающие на интервале (0; +оо). Функция у = logo.sX + 0,5^ также убывающая на этом интервале. Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют неубывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел Xi и Х2 из этого промежутка из неравенства Xj < Х2 следует неравенство f(Xi) ^ f{X2)^ I ПРИМЕР 4. а) Функция у = х^ при X ^ о о п и X < о неубывающей на промежутке (-оо; -ноо), _________________ б) Функция у = -/х + |х| является неубывающей на промежутке (—оо; +оо). Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют невозрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х^ и Х2 из этого промежутка из неравенства х^ < Х2 следует неравенство /(Xi) ^ f{X2). х^ при X < о ПРИМЕР 5. а) Функция i,= |- межутке (-оо; н-оо). является невозрастающеи на про- 16 б) функция у = ^\х\ - X является невозрастающей на промежутке (-оо; ч-оо). Возрастающие функции, а также убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными функциями. # Число Xq, принадлежащее области существования функции у =/(jc), называют нулем этой функции, если /(Xq) = 0. Для того чтобы найти все нули функции у = f(x)j надо найти все корни уравнения f{x) = 0. Говорят, что функция у = fix) в точке х имеет знак «+», если в этой точке fix) > 0, и знак «-», если в этой точке fix) < 0. Если для всех х из промежутка, принадлежащего области определения функции у = fix)y соответствующие значения этой функции имеют один и тот же знак, то этот промежуток называют промежутком знакопостоянства этой функции. Промежутки знакопостоянства функции у — fix) — это, во-первых, промежутки, на которых /U)>0, (1) а во-вторых, промежутки, на которых fix) < 0. (2) Поэтому для того, чтобы найти все промежутки знакопостоянства функции у = fix)^ надо найти все решения неравенств (1) и (2). Если найдены все промежутки знакопостоянства функции у = f ix)^ то говорят, что определено распределение знаков этой функции. Далее на рисунках цветными сплошными точками изображены нули функции, а кружками («выколотыми» точками) — точки, в которых функция не определена. ПРИМЕР 6. а) Функция у = определена и положительна на промежутке (-оо; ч-оо), т. е. она имеет знак «ч-» в каждой точке этого промежутка. Нулей у этой функции нет. б) Функция у — \пх определена на промежутке (0; ч-оо), имеет единственный нуль (xq = 1), распределение знаков этой функции изображено на рисунке 3. в) Функция у = 4х определена на промежутке [0; ч-оо), имеет единственный нуль ixQ = 0), имеет знак «ч-» в каждой точке промежутка (0; ч-оо). г) Функция у = ^—7"2Й---4) объединении проме- жутков (-оо; -2) и (-2; 4) U (4; Ч-оо), имеет два нуля ixi = -1 и Х2 = 3). Распределение знаков этой функции изображено на рисунке 4. -XX- Рис. 3 -2 -1 Рис. 4 3 4 17 Функции и их графики д) функция у = {х-1){х-2)Нх-Ъ) Рис< 1 5 2 3 X-Z определена на объединении промежутков (-оо; 3) и (3; +оо), имеет три нуля (xi = 1, ЛГ2 = 2 и лгз = 5). Распределение знаков этой функции изображено на рисунке 5. 1.37" 1.38* 1.39 1.40* 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 Пусть функция у = f{x) определена на промежутке X. В каком случае ее называют: возрастающей, убывающей, строго монотонной на промежутке XI Пусть функция у = f{x) определена на промежутке X. В каком случае ее называют: неубывающей, невозрастающей, монотонной на промежутке X? а) Докажите, что сумма возрастающих на промежутке X функций является функцией, также возрастающей на X. б) Докажите, что сумма убывающих на промежутке X функций является функцией, также убывающей на X. а) Докажите, что если функция у = f{x) определена на промежутке X и возрастает на нем, то для любой пары чисел Xi и Х2 из промежутка X из справедливости неравенства f{xi) > f{x^ следует справедливость неравенства х^ > Х2- б) Докажите, что если функция у = f{x) определена на промежутке X и убывает на нем, то для любой пары чисел Хх и Х2 из промежутка X из справедливости неравенства f(xx) > /(Хз) следует справедливость неравенства Хх < Х2- в) Докажите, что если функция у = f(x) определена и строго монотонна на промежутке X, то для любой пары чисел Хх и Х2 из X из справедливости равенства f(xx) = f(x2) следует справедливость равенства Xj = Хз- Докажите, что функция у = \х \ на промежутке: а) [0; -Ьоо) возрастает; б) (—оо; 0] убывает. Докажите, что функция г/ = х^ - 2х на промежутке: а) [1; +оо) возрастает; б) (-оо; 1] убывает. Докажите, что функция у = -х^ + 4х на промежутке: а) [2; -hoo) убывает; б) (-оо; 2] возрастает. При каких значениях k функция у = кх Ь является: а) возрастающей; б) убывающей? При каких значениях а функция у = а{х — Xq)^ + г/о является: а) возрастающей на промежутке [хо; +оо); б) убывающей на промежутке [xq; +оо); в) возрастающей на промежутке (-оо; х^]; г) убывающей на промежутке (-со; Xq]? 18 stae--------------------------------------------------------------- 1.46 Докажите, что функция: „ а) ^ = logiac; б) г/ = в) г/ = yfx; т) у = х 2 2 строго монотонна на полной области определения. 1.47 Укажите промежутки строгой монотонности функции: а) у = б) г/ = в) у = -^5- 4х; ^ r)i/ = lgcosx; Д) У = ^jclgx; е) у = ---^ + 1? ж) у = \ х^ - Zx + 2\; а) у = yjx^ - 1. 1.48 Укажите промежутки монотонности функции: а) у = X - [л:]; б) г/ = [л:] + х; в) у = |л:-4| + |л: + 41; г) у = 1д:-8|-|л: + 8|; д) у = yjx^ + 2х + 1 + у]х^ -2х + 1; е) у = -yjx^ + бл: + 9 - -Jx^ - 6л: + 9. 1.49 Укажите промежутки знакопостоянства функции: а) у = - 4; б) у - х^ - 4х; в) у = х^ - 5х + 4; т) у = 9 - х^; д) У = + 2х; е) у = -2х^ - Зл: + 5; ж) у=-4-г + 1; з)у=^^-1; и)у = -|л:-2|+2. 1.50 Функция y = sgnx (читается «сигнум икс» — знак числа х) определяется так: если х > О, то у = 1; если х = О, то у = 0; если X < О, то г/ = -1. Определите промежутки монотонности, промежутки знакопостоянства функции: а) y = sgnx; б) у = sgnCjc^ - 4); в) у = sgnOgJc); г) у = sgn|-. 1.51 При каких значениях Ь и с функция у = х^ + Ьх + с принимает отрицательные значения только при х е (-4; -2)? 1.5. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами Если для данной функции у = f(x) изучены перечисленные в пп. 1.2—1.4 свойства, то говорят, что проведено исследование функции у = fix). Таким образом, при исследовании функции необходимо ответить на следующие вопросы: 1) Какова область определения функции? 2) Какова область изменения функции? 19 Функции и их графики 3) 4) 5) 6) 7) 8) Ограниченная ли эта функция? Принимает ли функция наибольшее и наименьшее значения? Является ли эта функция четной (нечетной)? Периодическая ли эта функция? Есть ли у функции промежутки, где она возрастает (убывает)? Есть ли у нее промежутки знакопостоянства? Именно по такой схеме ранее исследовались, по мере их введения, основные элементарные функции. Исходя из свойств функции можно построить ее график, для построения которого полезно также знать точки его пересечения с осями координат. Напомним, что графиком функции у = f{x) называют множество тех и только тех точек А {х\ у) координатной плоскости хОу^ координаты X VI у которых удовлетворяют условию у — f{x). Например, графиком функции у — х является прямая — биссектриса первого и третьего координатных углов. Отметим, что суш;ествуют функции, график которых изобразить невозможно. Такой, например, является функция Дирихле. Если график функции 1/ = /(д:), заданной на промежутке, есть непрерывная линия, полученная непрерывным движением карандаша без отрыва его острия от бумаги, то эту функцию называют непрерывной на этом промежутке. Можно сказать и так: функцию называют непрерывной на промежутке, если в каждой точке этого промежутка она определена и малому изменению аргумента х соответствует малое изменение функции у. Например, функция у = х^ непрерывна на промежутке (-оо; +оо); функция У = ^ непрерывна на промежутке (0; +оо), кроме того, она непрерывна на промежутке (-оо; 0). I Формальное определение непрерывности функции будет дано в § 2. Согласно этому определению каждая из функций у = и у = — непрерывна на любом промежутке из области ее существо- X вания. ПРИМЕР. Исследуем функцию У = + 2 (1) и построим ее график. Из формулы (1) можно вывести основные свойства функции 1) Функция (1) определена для любых действительных чисел, т. е. область ее определения D(f) = (-оо; -ноо). 2) Эта функция четная, так как 6 для любых 2 л:2+ 2 X G D(/). 3) Функция (1) всюду положительна, ограничена снизу числом О, а сверху числом 3, так как f{x) ^ 3 для любых х е D(f). 4) Наибольшее значение 3 функция f{x) достигает в точке О, наименьшего значения функция не имеет. 5) Область изменения функции у = f(x) есть промежуток Е if) = (0; 3], так как у принимает все значения из промежутка (0; 3]. 6) Функция fix) на промежутке [0; +оо) убывающая. Действительно, пусть О ^ Xi < Х2, тогда 0 < xf 2 < х^ + 2. И поскольку функция У убывающая для и > 0, то справедливо неравенство 7) У этой функции нет нулей, но есть точка (0; 3) пересечения с осью Оу, Для построения графика функции вычислим координаты нескольких точек графика для х> X 0 1 2 3 4 у 3 2 1 6 И 1 3 Учитывая перечисленные свойства функции (1), построим ее график сначала для X ^ о, а потом симметрично отразим его (так как функция четная) относительно оси Оу (рис. 6). 6 График иллюстрирует все свойства функции у = 2 1.52° На какие вопросы надо ответить при исследовании функции? 1.53° Что называют графиком функции? 1.54 На рисунке 7, а, б изображен график функции у = fix). Укажите: область определения, нули, промежутки возрастания (убывания), промежутки знакопостоянства этой функции. Исследуйте функцию и постройте ее график (1.55—1.57): 1.55 а) у = \х\ у = г) «/ = 21 ФуикЕ^ии If ИХ графики ■ Рис. 7 1.56* а) у = т) у = а) 2- 1^^'' 2х^-Ъ А + х^' ж) у = у[^; йч - 5 д) у = yfcoTx; в) I/ = 1-2x2 3 + Х2 ’ е) у = -Jtgx; з) у = yjlogz X. 1.57* а) у = sin^ х; б) у = ctg^ х; в) у = j ; т) у = ( \ \oglX 2 > 1.6. Основные способы преобразования графиков 1. Симметрия относительно осей координат. Функции у = f(x) и y = -f(x) имеют одну и ту же область определения. Их графики симметричны относительно оси Ох (рис. 8), так как точки {х; f(x)) 22 и (х; -f(x)) симметричны относительно оси Ох. Поэтому график функции у = -f(x) получается из графика функции у = f{x) симметричным отражением последнего относительно оси Ох. Построим этим способом графики функций у = -х^ (рис. 9) и r/ = -log2^ (рис. 10). Функции у = f{x) и г/ = f{-x) имеют области определения, симметричные относительно точки О. Графики этих функций симметричны относительно оси Оу (рис. 11), поэтому график функции y = f{-x) получается из графика функции y = f{x) симметричным отражением последнего относительно оси Оу. Построим этим способом графики функций у = 2"^ (рис. 12) и У = log2(-x) (рис. 13). 2. Сдвиг вдоль осей координат (параллельный перенос). Функция у = f{x - а), где а 0, определена для всех д:, таких, что {х — а) принадлежит области определения функции у ~ f(x)^ график функции у = f(x - а) получается сдвигом вдоль оси Ох на величину \а\ графика функции у = f{x) вправо, если а > 0, и влево, если а < 0. 23 Функции и их графики I Действительно, пусть некоторая точка Mq (xq; z/q) принадлежит графику функции у = f(x), т. е. пусть yQ = }(Хо). Возьмем точку Mi(xq-\- а; уо). Так как ее координаты удовлетворяют условию У о = /((^0 + fl) - то точка Ml принадлежит графику функции У = f(x - а). Следовательно, каждая точка Mj графика функции у = fix - а) получается из соответствующей точки Mq графика функции у = fix) сдвигом этой точки вдоль оси Ох на величину а. При этом если а > 0, то сдвиг производится вправо на величину а; если а < о, то влево на величину | а |. • Построим этим способом графики функций у = ix - 2)^ (рис. 14), У = log2 ix + 3) (рис. 15) и у = cos j (рис. 16). Рис. 14 Функции у = fix) + Б, где В ^ 0, и у = fix) имеют одну и ту же область определения. График функции у = fix) + В получается сдвигом графика функции у = fix) вдоль оси Оу на величину |Б | вверх, если Б > о, и вниз, если Б < 0. Действительно, пусть некоторая точка Mq (jcq; Уо) принадлежит графику функции у = /(л:), т. е. пусть уо = /(лго). Возьмем точку MiixQi yQ + Б). Ее координаты удовлетворяют условию уо + Б = = fi^Q) + Б. Следовательно, чтобы получить точку М^, надо точ- ^^24 Рис. 17 ку Mq сдвинуть вдоль оси Оу на величину В. При этом если В > О, то сдвиг производится вверх на величину В; если В < О, то вниз на величину |В |. • Построим этим способом графики функций у = - 4 (рис. 17), У = log2 л: - 3 (рис. 18) и [/ = sin х л- 2 (рис. 19). 3. Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат. Функции у = f{x) и г/ = В/(х), где В > О, имеют одну и ту же область определения. График функции у = Bf(x) получается растяжением в В раз, если В > 1, и сжатием в раз, если О < В < 1, вдоль оси Оу графика В функции у = f(x). 25 Функции и их графики I Действительно, пусть некоторая точка у^) принадлежит графику функции у = /(х), т. е. пусть уо = Возьмем точку Ml (xq; -Вуо). Ее координаты удовлетворяют условию Буо = В/(хо), поэтому точка Mi принадлежит графику функции у = В/(х). Рассмотрим возможные случаи в зависимости от числа В. а) В > 1. Точка Mi (Xq; Ву^) получается из точки Mq (xq; Уо) У®®" личением модуля ординаты точки Mq (Xq; Уо) в В раз, и график функции у = В/(х) получается из графика функции у = f(x) увеличением модулей ординат всех точек в В раз, т. е. растяжением в В раз вдоль оси Оу графика функции у = /(х). б) О < В < 1. Точка Ml (xq; Вуо) получается из точки Mq (Xq; уо) уменьшением модуля ординаты точки Mq (-^0» Уо) в — раз, и график функции у = Bf (х) по-В лучается из графика функции у = f(x) уменьшением модулей ординат всех точек в — раз, т. е. сжатием в — раз вдоль оси Оу графика функции у = f(x), • Если В < о, то В = -|В|, и построение графика функции у = Bf(x) разби- построение гра-/(х) по графику вается на два этапа: 1 > фика функции у = |В функции у = /(х); 2) построение графика функции у = -|В|/(х) по графику функции у = |В |f(x). Построим этим способом графики функций у = -2х^ (рис. 20), у = 2sinx (рис. 21) и у = -COSX (рис. 22). 26 Функция у = /(/ex), где /е > О, определена для всех х, таких, что число kx принадлежит области определения функции у — /(х). График функции у = f{kx) получается сжатием в k раз к оси Оу, если /е > 1, и растяжением в -- раз от оси Оу, если О < /е < 1, графика k функции у = /(х). ■ Действительно, пусть некоторая точка Mq (Xq; уо) принадлежит графику функции у =/(х), т. е. пусть Уо = /(^о)- Точка Ml —; Уо принадлежит графику функции у = /(/ех), так как ^ ^ f X л ее координаты удовлетворяют условию уо = ^1 г Рассмотрим возможные случаи в зависимости от числа к. а) /е > 1. Точка yoj получается из точки Мо(хо;уо) уменьшением модуля абсциссы точки Mq в к раз, и график функции у = f (кх) получается из графика функции у = /(х) уменьшением модулей абсцисс всех точек в к раз, т, е. сжатием в к раз к оси Оу графика функции у = /(х). (х \ б) о < к < 1. Точка Ml у^ получается из точки Mq увеличе- \ /^ / нием модуля абсциссы точки Mq в — раз, и график функции к у = f{kx) получается из графика функции у = /(х) увеличением модулей абсцисс всех точек в раз, т. е, растяжением в — раз от оси Оу к к графика функции у = /(х). # Если /г < О, то /г = -| А 1, и построение графика функции у = f{kx) разбивается на два этапа: 1) построение графика функции у = /(|fe|x) по графику функции у = /(х); 2) построение графика функции у = / (-| /г I х) по графику функции у = / (| /г | х). Q 27 Функции II их графики Построим этим способом графики функций i/ = sin2ar (рис. 23), i/ = cos|^|xj (рис. 24) и I/ = log2|^-|^r (рис, 25). 4. Построение графика функции у = Af (к {х - а)) + В по графику функции у = f (х). График функции у = Af(k (х - а)) + В строится по графику функции у = f (х) последовательным применением рассмотренных выше преобразований графиков. Например, так: у = f{x)^ у = f (kx) --- у = Af ihx) ->• у = Af (k {х - а))^ у = Af (k (х - а)) + В. Покажем применение этого способа на нескольких примерах. 28 ПРИМЕР 1. Построим график функции у = --Vx + 3. Наметим этапы построения этого графика: у = Jx у = л/л: + 3 —► у = |Vx + 3 ^ ^ у = -^ТхТз, и построим его (рис. 26). ПРИМЕР 2. Построим график функции у = sinf 2л: - 1 + 1. Наметим этапы построения этого графика: у = sin X ^ у = sin 2х ^ у = sin | 2 и построим его (рис. 27). у = sin 2х -t) + 1, 5. Симметрия относительно прямой у = х. Любые точки А {xq; уо) и В (z/qJ ^о) координатной плоскости симметричны относительно прямой у = х. ■ Действительно, если z/o = ™ точки А и В совпадают и при- надлежат прямой у = Ху так как имеют одинаковые координаты. В этом случае они симметричны относительно прямой у = х. Пусть теперь уо Ф jcq, тогда точки А (xq; z/q) и ^ (Уо5 ^о) различны (на рисунке 28 показан случай, когда Уо> 0)* Рассмотрим треугольник ОАВу где О (0; 0) — начало координат. Этот треугольник равнобедренный (ОА = ОВ), так как ОА = y](xQ - 0)2 + О/о - 0)^ = а/^о + Уо; ОВ = y]i0-yQf + (0- Xof = + Уо • Координаты середины С отрезка АВ равны, так как каждая из них вычис- ляется по формуле - -. Это означает, А что отрезок ОС, принадлежащий прямой у = Ху является медианой равнобедренного треугольника ОАВу проведенной к его основанию, тогда ОС является высотой треугольника ОАВ и точки А и В симметричны относительно прямой у = х. % 29 Функции и их графшси б) в) Рис. 27 130 Пусть дана функция у = f{x) и пусть точка Mq (xq; уо) — произвольная точка графика функции у ~ /(х), тогда уо = /(xq). Рассмотрим точку М] (Xii ух)у координаты которой отличаются от координат точки Mq лишь порядком (т. е. = Уо» Уг = ^о)- По доказанному выше точка симметрична точке Mq относительно прямой у~х. Для координат точки М\ справедливо равенство х^ = /(ух). Так как Mq — произвольная точка графика функции у = /(л:), то каждой такой точке Mq соответствует точка Mj, симметричная точке Mq относительно прямой у = X. Это означает, что график функции x = f(y) симметричен относительно прямой у = л: графику функции у = f(x) (рис. 29). ПРИМЕР 3. В системе координат хОу построим графики функ- ции у = и X = у^ Сначала построим график функции у = затем отразим его симметрично относительно прямой у = х. Получится график функции X = у^ (рис. 30). Замечание. Подчеркнем, что у рассмотренных выше функций ^ = f (у) и X = у^ независимой переменной является у, а зависимой переменной х. В системе координат (1.58—1.64): 1.58 а) у = х^ и у = -х^; в) у = 3^ и у = -3^; д) у = sin X и у = -sin х; хОу постройте графики функций б) у = и у = -х"^; г) у = logj^x и у = -logj_x; 3 3 е) у = tgx и у = -tgx. функции и нх графики 1.59 а) у = х^иу = (-х)З; б) в) у = 3^ и 1/ = 3 г) д) у - sin X и у = sin (-х); е) 1.60 а) у = хЗ и у = (х + 1)3; б) в) у = 3" и у = 3^-2; г) д) у = sin X VI у - sin (х - 1); е) 1.61 а) у = хЗ и у = хЗ + 1; б) в) у = З"" и у = 3* - 2; г) д) у = sin X и у = sin X - 2; е) 1.62 а) у = хЗ и у = 2x3; б) в) у = 3^ и у = -2 • 3^; г) д) у = sin X VI у = Z sin х; е) 1.63 а) у = хЗ и у = (2х)3; б) в) у = 3^ и у = 32^; г) д) У = sin X и у = sin Зх; е) 1.64 а) у = х^ и X = у^; б) в) У = 3^ И X = 3^; г) д) у - sin X И X = sin у; е) 1.65 Постройте график функции: а) у = х2 + 2х + 3; б) в) у = 2 • 3^ + 1 - 6; г) д) у = sin! 2х + - 1; е) = X* и у = (-х)^; = logix и {/ = log,(-x); 3 3 = tgx и у = tg (-Х). = х"* и I/ = (х - 1)^; = logiX и у = logj^(x + 2); 3 3 = tg X и у = tg (х + 2), ' = х'* и г/ = х'* - 1; = logiX и у = log,x + 2; 3 3 = tg X и у = ig X + 2. ' = х^ и у = -2х‘‘; = log,x и у = 21og|X; 3 3 = tg X и I/ = -2 tg X. ' = х‘* и у = i-2x)‘^; = logj^x и у = log, (-2х); 3 3 ' = tg X и I/ = tg (-2х), ' = х"* и X = 1/“*; = log,x и у = log,i/; 3 3 ' = tg X и X = tg г/. г = 2 (х - 1)3 - 3; = 21og, (-2х + 3) - 4; = -2 tg (X - ^ I + 3. 1.66 -I) Дан график функции у = f(x) (рис. 31, а, б). Рис. 31 Щ2_ Постройте график функции: а) y = -f{x); 6)y = fi-x); s)y = f(x-2); r)y = f(x + 3); ц.) у ^ fix + 1) - 2; e) у ^ fix - 2) + 1; ж)г/ = 2/(х); 3) I/ = ^fix); и) I/ = /(2x); K) *'=^54 1.67 Постройте график функции: a) у = |; б) у = ^; Ч 6 3) у =-----;: + l; ж) у = X - 2’ -4 X + 3 в) у = е) у = - + 2; Г -4 л: - 1’ 2; х-3 1.68* Уравнение окружности с центром О (0; 0) радиуса R имеет вид поэтому графиком функции у = ^R^' — является верхняя полуокружность (рис. 32). Постройте график функции: а) у = л/4 - ; б) г/ = - л/4 - х^; в) у = д/9- (х- 1)^; б) у = 4 - yj9- х^ - 8х; г) у = - -у/э - (х + 1)2; Д) У = Vl6 - (х + 2)2 - 2; е) у = -V25- (X- 3)2 +1. 1.69 Постройте график функции: а) I/ = 3 - ^9- х^ + Sx; в) у = 12 - д/125 - - 20х; г) у = -5 + д/б9- + 20х. Укажите область определения, нули, промежутки знакопосто-янства, промежутки возрастания (убывания) этой функции. 1.70 Постройте график функции: а) х = 2у\ б)х = г/2, у^О; в) х = 2^'; г)х=|^^ д) X = sin у, —I ^ г/ ^ е) х = -y/l “ У^- 1.71 Дан график функции у = /(дг) (рис. 33, а—г). Постройте график функции X = /(у). 1.72 Придумайте пример функции у = /(х), график которой совпадает с графиком функции х = /(у) при изображении этих графиков в одной системе координат хОу. mzs Функции и их графики а) б) Рис* 33 в) г) а) б) г) Д) е) Рис. 34 34 1.73 На рисунке 34, а—е изображена полуокружность. Является ли эта полуокружность графиком функции у = f{x) или х = ср(^)? Если да, то задайте эту функцию формулой. 1.74 На рисунке 35, а—е изображена парабола. Является ли эта парабола графиком функции у = f{x) или х = ф(г/)? Если да, то задайте эту функцию формулой. б) в) щ 1 3^ \ / 2- 2- \ / 1- • . . -1 О 1 2^1 д) е) Рис. 35 1.7*. Графики функций, содержащих модули Пусть дан график функции у = f{x). Требуется с его помощью построить график функции у = | f{x) |, Если для всех х из некоторого множества X функция у = f(x) принимает неотрицательные значения (f(x) ^ 0), то на всем этом множестве график функции y = \f(x) \ совпадает с графиком функции у = fix), так как для каждого х из этого множества справедливо равенство | fix) \ = fix). 135 Функции и их графики Если же для всех х из некоторого множества Xi функция у = f(x) принимает отрицательные значения (f(x) < 0), то на этом множестве график функции y = \f(x)\ получается симметричным отражением графика функции у = f{x) относительно оси Од:, так как для каждого X из этого множества справедливо равенство | f{x) \ = -/(х). Таким образом, для построения графика функции у = \ fix) \ надо сохранить ту часть графика функции у = /(х), точки которой находятся на оси Ох или выше этой оси, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции у = /(х), которая расположена ниже оси Ох (рис. 36). Заметим, что график функции у = \ f(x) \ не имеет точек, лежа-ш;их ниже оси Ох. Построим этим способом графики функций у = |х^ - 11 (рис, 37), У = I log2X I (рис. 38), у = I sinx | (рис. 39). Пусть теперь дан график функции у = /(х), определенной на множестве X, и с его помощью требуется построить график функции y^fi\x\). Заметим, что если точка х принадлежит области определения функции у = /(I л:|), то и точка -х также ей принадлежит, так как |-х| = |х|. Тогда для любого х из области определения функции y = f(\x\) справедливо равенство Д!-х |) =/(| д: |), т. е. функция У = f(\x I) четная. Рис. 39 36 Для всех X > Оу X е X график функции у = f{\x |) совпадает с графиком функции у = f(x)y так как для каждого х Oj х s X справедливо равенство f(\x\) = f(x). Это правая часть графика функции у = /(1х|), а левая его часть симметрична правой относительно оси Оуу так как функция у = fi\x |) четная. Таким образом, для построения графика функции y = f(\x\) надо сохранить только ту часть графика функции у = /(х), точки которой находятся на оси Оу или справа от нее, и симметрично отразить эту часть относительно оси Оу (рис. 40). Построим этим способом графики функций г/= 21-^1 (рис. 41), У = log2 I X I (рис. 42), у = sin | х \ (рис. 43). Рис. 43 Теперь построим более сложные графики функций, содержапдих модули. 2 ПРИМЕР 1. Построим график функции у = -----г + 1 Сначала построим график функции (р(х) = X- 2 х-2 +1- Это гипербо- ла, полученная сдвигом гиперболы у = — на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх (рис. 44). Щ37 Функции и их графики Рис. 44 Рис. 45 Для построения графика функции у = + 1 сохраним ту часть графика функции у = cp(x), точки которой находятся на оси Ох или выше ее, и симметрично отразим относительно оси Ох ту часть графика функции у = ф(х), которая расположена ниже оси Ох (рис. 45). ПРИМЕР 2, Построим график функции у = \х\ - 2 + 1. Сначала построим график функции (p(x) = х-2 +1 (см. рис. 44). Для построения графика функции г/ = Ф (| л: |) сохраним ту часть графика функции у = ф (х)у точки которой находятся на оси Оу или справа от нее (рис. 46). Затем симметрично отразим эту часть относительно оси Оу (рис. 47). Рис. 46 ^38 im ПРИМЕР функции у = 3. Построим график -4 + 2 х| + 1 Сначала построим график функ- ции ф(д:) = -4 д: + 1 + 2. Это гипербола, по- -4 лученная сдвигом гиперболы у = — на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх (рис. 48). Затем описанным выше способом с помощью графика функции 1/ = (р(х) построим сначала график функции г/ = ф(х), х ^ О, потом график функции у = <р(\х\) (рис. 49), а с помощью этого графика построим график функции ^/ = |ф(1х|) | (рис. 50). Это и будет график -4 функции у = + 2 \х\ + 1 1,75^ Как построить график функции г/ = |/(х)|, если дан график функции у = /(х)? 1.76 Дан график функции у = /(х) (рис. 51, а, б). Постройте график функции у = I f{x) |. 1.77® Как построить график функции у = /(|х|), если дан график функции у = /(л:)? 1.78 Дан график функции у = f{x) (см. рис. 51). Постройте график функции у = /(|д:|). функции и их графики Рис. 51 Постройте график функции 1.79 а) у - - 4\; б) у = 1-1 X 1.79—1.83): ; в) у = \ \ogz л: I; г) у - 2\ 1.80 а) у = 1 - Д; б) г/ = Д + 2; в) у - г) у = 3~М \х\ \х\ 1.81 а) у = - 5 I л: - 11 + 1; в) у = (л: + 1)(|л:1 - 2); 2х -6 я) У = ----г; е) у = б) у = I - Зл: + 2 1 + 2jc - 3; г) у = 1 + Зд: — 2 1 — I 5х - 2 |; 2| д:| + 1 |3 - хГ ж) у = sin I X |; 1.82 а) у = [sin д:]; г) у = {cos х}; ж) у = I [cos х] ^ sina: 1.83 а) у = б) у = 2 - д: з) у = I cos I д: 11. б) у = {sin д:}; д) у = I [sin х] I; з) у = I {cos х} |. cos X в) у = [cos х]; е) у = I {sin х) I; 1 Sin г) у - sinx + I sinx|; в) У = sin X cos X ------: + --------г I cos XI ’ I sin XI I cos X д) у = cosx + |cosx|. 1.8*. Графики сложных функций 1. График суперпозиции функций* Рассмотрим примеры, показывающие, как построить график сложной функции 1/ = /(ф(х)), если дан график функции гг = ф (х) и известны свойства функции У = /(w). ПРИМЕР 1. Построим график функции у = Область определения функции у = 2^^^ ^ — множество всех действительных чисел. Поскольку функция у = sin х периодическая 40 На промежутке я. Я ~~2" 2 sin ^ в я^ Зя 2" 2 sin X , с периодом 2тс, то функция у = 2®*"^ также периодическая с периодом 2я. Поэтому построим сначала график функции ^ = 2®^" ^ на про-Г я Зя 1 межутке , затем продолжим его периодически. L ^ ^ . На промежутке функция у = sinx возрастает от —1 до 1, зрастает на этом промежутке от ^ до 2. функция у = sinx убывает от 1 до —1, эывает на этом промежутке от 2 до А Перечисленные свойства позволяют построить схематический график у = 2®'*" на отрезке ^ дически (рис. 52). , затем продолжить его перио- ПРИМЕР 2. Построим график функции у = log2Sinx. Область определения функции у — log2 sin х — множество всех действительных чисел х, для каждого из которых sinx>0. Поскольку функция у = sin X периодическая с периодом 2я, то функция у = log2 sinx также периодическая с периодом 2я. Поэтому сначала построим график функции у = log2 sinx на промежутке (0; 2я], затем продолжим его периодически. На промежутке ^0; функция у = sinx возрастает от 0 до 1, значит, функция y = log2Sinx возрастает на этом промежутке от —оо до 0. На промежутке функция у = sinx убывает от 1 до 0, значит, функция y = log2sinx убывает на этом промежутке от 0 до -СХ), 141 Функции и их графики На промежутке [п; 2к] функция y = sinx неположительна, поэтому функция у — log2 sinx на этом промежутке не определена. Перечисленные свойства позволяют построить график функции у = log2sinx на промежутке (0; 2я], затем продолжить его периодически (рис. 53). у = 10g2 sin X ■ Рис. 53 2. График суммы функций. Пусть даны функции у = f{x) и y-g{x). Тогда функция у = f{x) g{x) имеет область существования Ху которая есть общая часть (пересечение) областей существования функций у = f{x) и у = g(x). Пусть Xq е X л точка (х^; ух) принадлежит графику функции у = /(х), а точка М2 (xqI у2) принадлежит графику функции y = g(x). Тогда точка Mq (xq; yi -н г/2) принадлежит графику функции у = f(x) g(x). Значит, для построения графика функции у = f {x) g(x) следует: а) оставить только те точки графиков y = f{x) и y = g{x)j у которых X е X; б) произвести сложение ординат точек графиков у = f(x) и у ^ g(x) для каждого X € X. Построим таким способом графики двух функций у = л/х -h Vl - X (рис. 54) и I/ = X + sin X (рис. 55). 3. График произведения функций. Пусть даны функции y = f(x) и у = g(x). Тогда функция у = f(x) • ^(х) имеет область существования Ху которая есть общая часть (пересечение) областей существования функций у = f(x) и у = g(x). Пусть Xq е X и точка (xq; j/i) принадлежит графику функции г/= f (х), а точка М2 (xq; г/2) принадлежит графику функции y = g(x). Тогда точка Мо(Хо;у1‘У2) 142 принадлежит графику функции у - f(x) • g{x). Значит, для построения графика функции у — f{x) • g(x) следует: а) оставить только те точки графиков у = f{x) и у = g{x)y у которых X е X; б) произвести умножение ординат точек графиков у = f(x) и у = g{x) для каждого х в X. Построим таким способом гра- фики двух функций у = 4х • л/1 - X (рис. 56) и у = xsinx (рис. 57). 4. График кусочно-заданной функции. Простейшим примером кусочно-заданной функции является функция у = |х|, которая определяется так: если х'^ О если X < О, 43 Функции и их графики Еще один пример кусочно-заданной функции — это функция у = sgnx («сигнум» X — знак л:), которая определяется так: sgn^: = 1, если л: > О О, если X = О -1, если X < О, Графики этих функций изображены на рисунках 58 и 59. У1 1 у = sgn X о X “1 Рис. 59 44 Графики более сложных кусочно-заданных функций строятся на каждом промежутке по той формуле, которой задается функция на этом промежутке (см. рис. 60 и 61). У = 4, если -2 ^ X < -1 -4х, если -1 < X < о 2х, если о ^ X < 3 6, если 3 < X < 8 logg X, если о < jc < 5 2^~ ^, если X > 5 Постройте график функции (1.84—1.89): б) у = ylctgx + 1; г) у = (logaVx- 1)3. 1.84 а) у = Ig cos х; в) у = 2‘е^; 1.85 а) у = Чх + ^2 - х; в) у = tg X - logs х; 1.86 а) у = ^ • ^2 - х; в) у = tg X • logg х; 1.87 а) у = у]х^ + 2х + 1 + -Jx^ - 6х + 9; б) у = д/х^ - 2х + 1 - -Jx^ + 6х + 9; в) у = д/х^ - 4х + 4 + д/х^ + 4х + 4; г) у = д/х^ + 4х + 4 - д/х^ - 4х + 4. 1.88 а) у = Vx + 4 - л/х; б) у = Vx - Vx + 9 б) у = 2^ + sin х; г) у = ctg X + б) у = 2^ • sin х; г) у = ctg X • л/х^. 1.89 а) у = ■ 2^, если X < -1 —, если -1 < X < О X х^, если X > 0; Зл -1, если X < —— 2 Зл б) у = COS X, если —— < X ^ О + 1, если О < X < 1 log2(^r + 3), если X ^ 1; 45 Иредсм функции и непрерывность в) У = если X 2 Дг, если -2 < X < О х^ если О ^ X ^ 4 logg если X > 4; г) у = я ^ ^ я cos X, если — ^ X < — 6 4 . п tg X, если — < X < я ® 4 - , Зя sinx, если я < X ^ —. 2 § 2. Предел функции и непрерывность щии Она определена для всех х, кроме 2Л. Понятие предела функции 1 Рассмотрим функцию у = X = 0. ^ Посмотрим, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании х. X 1 2 4 8 10 1Q2 10^ 10*° 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 64 512 1000 10® 10'-> 103о Очевидно, что значения функции у — — стремятся (приближа- Х’^ ются) к нулю, когда независимая переменная х неограниченно возрастает, оставаясь положительной, т. е. 0 при х +оо. Это за- 1 "" 1 писывают так: lim = 0, и говорят, что пределом функции у = — X +00 Х*^ Х*^ при X, стремящемся к +оо (х —► н-оо), является число нуль. Аналогично рассуждая, получим, что ^ 0 при х —► -оо. Это 1 ^ записывают так: lim — = 0. X-»- -ооХ*^ Рассмотрим теперь функцию у = х^. Она определена для всех х. Посмотрим, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании х. X 1 2 4 8 10 10^ 10® 10*° у = х^ 1 8 64 512 10^ 10® 10*® 103° Очевидно, что значения этой функции неограниченно возрастают, т. е. стремятся к +оо, когда независимая переменная х неограни- 46 ченно возрастает, т. е. —>■ +оо при х —>■ +оо. Это записывают так: Ит л:® = +00, и говорят, что пределом функции у = х^ при х +оо X —»• +0О является +00. Аналогично рассуждая, получим, что -оо при х -оо. Это записывается так: lim х^ = -оо, X -*• -оо Рассмотрим теперь функцию у = /(х), определенную для всех X > М, где М — некоторое неотрицательное число. Говорят, что пределом функции у = f{x) при х ^ +оо является А, если из того, что х неограниченно возрастает, следует, что соответствующие значения функции /(х) стремятся к А, т. е. если /(х) ^ А при X +00, Это записывают так: lim f{x) = А. X —* +00 Аналогично определяется lim f{x)= А, X —*■ -оо в этих определениях А может быть или любым числом, или -Ьоо, или -оо. ПРИМЕР 1. Функция У = — определена для всех х > О и для всех X < 0. Нетрудно видеть, что lim — = 0 и lim — = 0. дг^+со^ д:—*•—оо^ ПРИМЕР 2. Функция у - Нетрудно видеть, что lim +оол: 1 1 + 2 определена для всех х ^ 1. + 2 I = 2 и lim п + 2I = 2. — СО Y X — 1 J ПРИМЕР 3. Функция у = х^ определена для всех х. Нетрудно видеть, что lim х^= +оо и lim х^ — -оо. ■ +00 Рассмотрим функцию у = х^. Она определена для всех х, кроме X = о, так как запись 0^ не имеет смысла. Так как для всех х 0 соответствующие значения этой функции равны 1, то очевидно, что когда х стремится к нулю (х —► 0), то соответствующие значения этой функции, равные 1, стремятся к 1, т. е. X® ^ 1 при X ^ 0. Это записывают так: lim х® = 1, и гово- д:-* о рят, что пределом функции у = х^ при х, стремящемся к 0, является число 1. Рассмотрим теперь функцию у = ]--—г. Она определена для всех IX - 2| X, кроме X = 2, Для всех х ^ 2 соответствующие значения этой функции положительны, и при х 2 они неограниченно возрастают, т. е. 1+00 при X ^ 2. Это записывают так: lim ---------г = ч-оо, и го- |х-2| ^ х-^2|х-2| 47 Предел функции и иеирорытюсть ворят, что пределом функции у = |х-2| при Ху стремящемся к 2, является +00. Аналогично рассуждая, получаем, что -1 -оо при X 2. -1 \х-2\ = -оо, и говорят, что пределом функ- Это записывают так: Иш _1 х^2\Х . ции у = I---г при Ху стремящемся к 2, является -оо. Рассмотрим теперь функцию у — f(x). Пусть она определена в некоторой окрестности точки д: = а за исключением, быть может, самой точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а-5<д:<а-1-5 при некотором 5 > О, за исключением, быть может, самой точки а. Говорят, что пределом функции у = f{x) в точке а является А, если из того, что л: -> а, оставаясь в окрестности точки а, следует, что соответствующие значения функции f(x) стремятся к А, т. е, если f(x) А при х —► а. Это записывают так: lim f(x)= А. Х-* а В ЭТОМ определении А может быть или любым числом, или -Ьоо, или -оо. ПРИМЕР 4. Функция у ~ х^ определена для всех х; в частности, она определена в любой окрестности точки 2 (включая саму точку 2), Нетрудно видеть, что если х —► 2, то соответствующие значения функции у = х^ стремятся к 4, Следовательно, пределом функ- 2 является число 4: limx^ = 4. х-^2 ции у = х^ при X ПРИМЕР 5, Функция у = — определена для всех х, кроме х = О, х^ поэтому, в частности, она определена в любой окрестности точки О, за исключением самой точки 0. Ясно, что если х —»• 0, то соответствующие значения функции у — — остаются положительными и не- х^ 1 ограниченно возрастают. Следовательно, пределом функции 1/ = —т 1 ^ при X ^ о является +оо: lim —г = +оо. х->^0 х^ Замечание. Часто вместо слов <<пределом функции является А» говорят «функция имеет предел А» или «предел функции равен А». В частности, говорят «функция у = j---^ при х ^ 2 имеет пре- дел -оо» или «предел функции у = :------г при х^ 2 равен -оо», |х - 2| Так как +оо и -оо не являются действительными числами, то слово ' 48 «равен» применительно к ним употребляется лишь для упрощения речи. Пишут, что X —> оо (не ставя знак «+» или «—» перед символом оо), если известно, что |х|—► -*-оо. Поэтому можно написать: lim — = О, lim [ —-— + 2 ] = 2. Пишут также, что lim f(x) = оо, если известно, что lim|/(x)|= ч-оо. X а Поэтому можно написать: lim х^ = оо, lim х^ = со, lim х® = оо, lim — = оо, lim ---т = оо. Х-» +00 X —* оо 1 х-*0 Х^ х-*2|х - 2| ПРИМЕР 6. Так как lim X —о 1 = +00, то lim — = оо. х-о ^ 2.1 Дана функция /(л:) = 5 -ь —. Заполните таблицу и определите, к какому значению стремятся значения функции при х —>■ а, если: а) а = +оо; б) а = -оо; в) а = 1. а) X 1 10 100 1000 10 000 100 000 у = f(x) X -1 -10 -100 -1000 -10 000 -100 000 у = fix) б) в) X 1,1 0,9 1,01 0,99 1,001 0,999 у = fix) Чему равны пределы: lim [s-f-^], lim [ 5-н-^ ], lim [ 5 + — ]? х-*^+ооу ^ J X—^ J X—^ ) 2,2 Объясните, что означает запись: а) lim |2-i--^l = 2; б) lim х^ = 9; х-*+оо\^ ^ J х-^-3 в) lim ;—-—г = Н-оо; г) lim —-— = оо. x-^sjx - 51 х — 5 X - 5 49 предел функции и непрерывность 2,3 Объясните, почему верно равенство: а) Ит i—Ц-|л: - 1 в) lim ^ -1 = +СХ); б) lim ;-------= -сх>; х-^-г{х ly = сх>; г) lim —^ = оо. i~^2(x-2f ' х~^~-2 X + 2 Определите, чему равен предел (2.4—2.5): 2 2.4 а) lim л®; б) lim sin л:; в) limcosx; г) lim—. х^2 X-*-— х-*п ^ 2 2 2.5* а) lim (-1)^'^^ • х^; б) lim (-1)^^^ ■ х^; в) lim X -*■ +0О г) lim д:-*’0 Х^ [^] д) lim (-2)t"^b X —*■ +00 (-1) [^] X— о X е) lim (-я)^Ч X -* +00 2.2. Односторонние пределы sm X Рассмотрим функцию у =-----. Она определена для всех х Ф Оу ее график изображен на рисунке 62. Посмотрим, как изменяются значения функции при х ^ О, X 0,50 0,10 0,05 sin X X 0,9589 0,9983 0,9996 ^ , sin д: Как видно из таблицы, значения функции у =------- стремятся X к 1, когда независимая переменная х стремится к нулю, оставаясь положительной. 50 Этот факт можно получить из геометрических соображений. На рисунке 63 изображена окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат хОу. Пусть угол АОС равен а радиан, где к О < а < —. Тогда длина дуги АС равна а [уАС = а). Из точки А проведем к окружности касательную. Пусть она пересечет ось Ох в точке D. Опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох, Пусть он пересекает ось Ох в точке Б, а окружность в точке Е. Из треугольников ОАВ и OAD следует, что В А = sin а, AD = tg а. Так как длина дуги окружности больше стягиваемой ею хорды и меньше объемлюш;ей ее ломаной, то 2АВ < 2 ('-'АС) < 2AD. Поэтому 2 sin а < 2а < 2 tg а. Так как sin а > О, то отсюда получаем, что а 1 1 < sin а cos а Так как все члены в этом двойном неравенстве положительны, то sin а cos а < а < 1. Если теперь а устремлять (приближать) к нулю, то cos а будет , тт sin а стремиться к 1. Но числа —— находятся все время между числами а cos а и 1. Это показывает, что sing а стремится к 1, когда а стремится к нулю, оставаясь положительным. sin X Тот факт, что функция у = ■ стремится к 1, когда х стремится к О, оставаясь положительным, записывают так: sin X lim х^о X > о = 1, (1) , sin X и говорят, что предел функции у = ^ , когда х стремится к нулю, принимая положительные значения, равен 1. Но если X О, принимая отрицательные значения, то указанный предел все равно существует и равен 1. Это получается из равенства (1) посредством замены переменной х = -и, в силу которой если д: —► О, л: < О, то U —► О, и > О и sinx .. sini-x) sinu - lim ---= am —;—— = lim -----= 1. x^O X <0 X —0 X < 0 (-X) u —0 ii > 0 (2) 51 Предел функции и непрерывность Равенство (2) означает, что предел функции у = зш X равен 1, когда X стремится к нулю, оставаясь отрицательным. \_ Рассмотрим функцию у = (1 + х)^ для таких значений х, что О < I X 1 < 1. Можно показать, что Ит (1 + х)^ = € х^о X >0 и lim (1 + - е, х-*0 X <0 где е — иррациональное число, приближенно равное 2,71828... . Рассмотрим теперь функцию у = /(х). Пусть она определена в некоторой правой окрестности точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а < х < а + 6, при некотором 6 > 0. Говорят, что эта функция имеет правый предел в точке а, равный А, если из того, что х стремится к а, оставаясь в правой окрестности точки а, следует, что соответствующие значения f{x) стремятся к А. Это записывают так: Ит /(х) = А. X а X > а Пусть функция у = fix) определена в некоторой левой окрестности точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а - 5 < х < а при некотором 5 > 0. Говорят, что эта функция имеет левый предел в точке а, равный Б, если из того, что X стремится к а, оставаясь в левой окрестности а, следует, что соответствующие значения /(х) стремятся к Б. Это записывают так: Ит /(X) = Б. Х-* а X < а В ЭТИХ определениях А и Б могут быть или любыми числами, или +00, или -00. Выше найдены правый и левый пределы функции у = зш X в точке нуль, оба равные 1, и указаны правый и левый пределы функции £/ = (1 + х)^ В точке нуль, оба равные числу е. Легко проверить, что существуют правый и левый пределы функции у = -^ в точке нуль, оба равные +оо, и что существуют пра-^ 1 вый и левый пределы функции у = —- в точке нуль, оба рав- I ^ I ные -оо. Отметим еще, что правый и левый пределы функции в точке а могут и не совпадать. Щ52________________________________________________________ fl, если X > О О, если X = О -1, если X < О правый предел в точке О есть 1, а левый предел есть -1. ПРИМЕР 2. У функции У = ^ правый предел в точке О равен -Ьоо, а левый предел равен -оо. ПРИМЕР 3. У функции г/ = tg X левый предел в точке — равен 2 -foo, а правый предел равен -оо. Наряду с определением предела функции в точке, приведенным в п. 2,1, можно дать и такое определение: Если существуют левый и правый пределы функции у = f (х) в точке а и оба они равны А, то говорят, что эта функция имеет предел в точке а, равный А, и пишут: lim fix) = А, X -* а В этом случае само собой разумеется, что функция у = f(x) определена в некоторой (полной) окрестности а-5<х<а-1-8 точки а за исключением, быть может, самой точки а. ПРИМЕР 4. Функция у - sin X определена для всех значении х за исключением х = 0. Выше показано, что lim ^ = 1 и х-^О X sin X X > о lim ----= 1, следовательно, эта функция при х -> 0 имеет предел, X о X X < о равный 1: , sin X - lim —— = 1. X о ^ Этот предел называют первым замечательным пределом. ПРИМЕР 5. Функция у = (1-1-х)^ определена для таких х, что о < IXI < 1. 1 Выше указано, что lim(l+x)^ =е и lim(l+x)-^ = е. Таким X -♦ о X -► о X > о X < о образом, эта функция имеет предел при х —► 0, равный е\ 1 lim (1 + х)^ = е. x-i-O Этот предел называют вторым замечательным пределом. П53 Предел функции и непрерывность ПРИМЕР в. Функция у = 2^ определена для всех х. Можно доказать, что для любого Xq Ит 2^=2^^ и lim 2^= 2^о. д: JCQ ^0 X > Xq X < Xq Таким образом, для любого Xq эта функция имеет предел при X —>• Хо и он равен 2^о; lim 2^ = 2^0. х^ Xq Отметим, что выше (см. пп. 2.1, 2.2) приведено определение предела функции на интуитивном уровне. Ниже приведены два формальных (принятых в математическом анализе) определения предела в случае, когда А — число (определение «на языке е - 5» и определение «на языке последовательностей»). Говорят, что функция у = fix) имеет предел при х а, равный числу А, если она определена в некоторой окрестности точки а, исключая, быть может, саму точку а, и если для любого положительного числа е найдется такое положительное число 5, что для любого X, такого, что 0 < j х - а | < 5, выполняется неравенство I fix) - А 1 < е. При этом пишут: lim fix) = А. х—>^ а Используя только ЧТО приведенное определение предела «на языке е - 6», докажем, что lim 2^ = 2. дг —1 Так как функция у = 2^ определена для всех х, то она определена и в любой окрестности точки а= 1. Возьмем произвольное по- ложительное число £ и выберем число 5 Очевидно, что 8 > 0. Возьмем теперь любое х, такое, что 0 < | х - 11 < 5, т. е. любое X 1 из промежутка 1-5<х<1-(-5. Ясно, что 2х< 21 + 5 = 2 • 2® = 2 • 2 log2 1 + — 2 = 2- 1-н 2^ > 2^ - ^ = 2 • 2- 2 • 2 - \og2 I 1 + — 1]= 2-ье, 4- 1 £ ^^2 2 + е 2 + е 2-е. Эти неравенства означают, что | 2-*^ - 2 | < е. Итак, для любого е > о нашлось 8 > 0, такое, что | 2^ - 2 | < е для любого х, такого, что о < I X - 11 < 8. По определению это и означает, что lim 2^=2. X Замечание. В только что рассмотренном примере не объяснено, как было найдено 8 = log2 ^ j“ Задача нахождения 8 по заданному е, вообще говоря, довольно трудная. Говорят, что функция у = fix) имеет предел при х а, равный числу А, если она определена в некоторой окрестности точки а, ис- ^54__________________________________________________________ ключая, быть может, саму точку а, и если для любой последовательности {х„}, имеющей предел, равный а, и такой, что а для всех п, соответствующая последовательность {/(х„)} имеет предел, равный А. Используя только что введенное определение, докажем, что функция у = sin-j не имеет предела при х —► О. На рисунке 64 изображен график функции у = sin-^, которая определена для всех значений X 0. Она определена, таким образом, в любой окрестности точки X = о за исключением самой точки х = 0. Эта функция не имеет предела при х —0, потому что последовательность отличных от нуля значении Х;^ = к (2k - 1) (ft = 1, 2, ...) стремится к нулю, а соот- ветствующая им последовательность значений функции yfj = sin — (1, -1, 1, -1, ...) не стремится при ft —► оо ни к какому пределу, ф Замечание. Наряду с определением предела функции в точке, приведенным в п. 2.1, в этом пункте приведены еще три определения предела функции в точке. Очевидно, что пределы функции в точке, найденные по любому из этих определений, совпадают. Найдите левый и правый пределы функции y = f(x) при х^ а, если (2.6—2.8): 2.6 а) f(x) = х^, а = 1; в) f(x) = sin X, а = я; б) fix) = X 2, а = г) f(x) = cos Ху а = 2.7 а) fix) = в) f{x) = X + 2 -3 (X - 1) , а = -2; а = 1; б) Пх)^ г) Пх) = (х-2) ■X, а^2; 2^-1 , а = 0. 2.8 а) f(x) = -------, а = 0; sin х в) f{x) = ctg X, а = 2л; б) fix) = tgx, а= V . 1 Зл г) fix)^ -----, а = COS X 2 Найдите предел функции у = f(x) при х —► а, используя понятия левого и правого пределов, если (2.9—2.10): 2.9 а) f(x) = -х^у а = 0; б) f(x) = х^, а = 1; в) /(дс) = sin| JC +1, а = г) /(х) = соз|^д:-|-j, а = |-. 55 Предел функции и непрерывность 56 2.10 а) f{x) = 1 (дг-2) 2, а = 2; п -1 г, а = 1; в) fix) = |tgx|, а = -; б) fix) = , . |дг - 1| г) fix) = I ctg д: I, а = п. 2.11 Найдите левый и правый пределы функции у = fix) при X а, если: а) fix) = а = 0; б) fix) = -—а = -2; \х\ X + 2 в) fix) = :—7, а = 0; 1^1 г) fix) = j—г, а = 0. \х\ Существует ли предел функции у = fix) при х ^ а? Если существует, то чему он равен? 2,12 Вычислите: х о 3 sin -рг . . sin 2л: 3 V зшлд: а) 1ш1 -----; б) lim --------; в) lim --------. х^о 2х х-^О X х — о пх 2.13* Докажите, используя определение предела «на языке е — 6» или «на языке последовательностей», что: а) lim(3x - 7) = 5; б) lim(5x-9)=l; X 4 в) lim i~x + 2) = 4; X-*- -2 д) lim (Зх + 10) = -2; х—2 г) Иш(-2х + 7)= 1; X— 3 е) lim (2х - 1) = -11. х-^ -5 2.14* Определите, чему равен предел функции у = fix) при х —> а, если: а) fix) = х^, а = 1; б) fix) = х^, а = 2; в) fix) = х~^, а = 2; г) fix) = х~^, а = 3; д) fix) = 3^, а= 1; е) fix) = logg х, а = 2. Докажите правильность своего ответа с помощью определения предела «на языке е - 5» или «на языке последовательностей». 2.3. Свойства пределов функи,ий Если lim fix) и lim ф(х) — действительные числа, то справед- X -* а X -» а ЛИВЫ следующие свойства пределов: lim ifix) + ф(х)) = lim fix) + lim ф(х); х-^а Х-* а X -* а lim ifix) - ф (х)) = lim fix) - lim ф (х); х~*а х-^ а х—*а (1) (2) 57 Предел функции и испрерывность ~ -5.4.......... ‘ итХГ(^Г‘^Ф(х)) = т^^ тшштшити х-^*а ■ а •■ ^тштшшя hm /(х) с. . С. i€< если lim ф(х) ?£: О. jc':;"a ф (х) lim ф (х) ’ . д:-* а :■ : ЧИ' < ^^4; idiViV : :• • ii -s,t‘ (3) 5» S 5 t ^ BL:«t*asawi ' mmmsmmBsp. (4) «;^seeis!3ff в • . a ■ 'S39P Отметим, что если f(x) - С (постоянная), то lim С = С. (5) Замечание. В приведенных равенствах а может быть или числом, или +00, или -оо, или оо. Из свойства (3) следует, что ^ lim (/(х))2 = lim (f(x) • f(x)) = lim f(x) • lim f(x)= ( lim /(x)l (6) X-* a X-*- a x~* a x -* a ) ^ lim (C Ф (x)) = C lim ф (x), (7) X —► a X -* a где C — постоянная. Для функции f(x)f такой, что f(x) ^ О в окрестности точки а, справедливы свойства: если lim fix) = оо, то lim —= О; к?эя;?ч.о X-*# д * iu‘* ^ X’^afix) '^если ‘llm ^(:t) =^0, то lim оо. х~^ а Х-* а fix) ПРИМЕР 1. Если Xq е R то, применяя свойства (1), (5), (6) и (7), имеем lim iax^ bx + с)= lim iax^) lim фх) + lim с = X -► Xq -* JfQ Х~^ Xq Х-* Xq = a lim x\ + b lim x + c = uXq + bxQ -l- c. \X-* Xq ) XQ ПРИМЕР 2. Применяя свойства (4), (1) и (7), имеем lim(x^+ 4) lim + lim Х-* 2 х-*> 2 дг— 2 2 . А lim(x^+ 4) lim х^ + lim 4 а , л lim ^= lii = 2. х^2 X + 2 lim(x + 2) X— 2 lim X + lim 2 2 + 2 X — 2 X — 2 В этих примерах, чтобы вычислить предел функции при х -> а, где а — число, достаточно подставить в нее а вместо х. В частности, в примере 2 это можно сделать, потому что как числитель, так и знаменатель стремятся к конечным пределам и при этом предел знаменателя не равен нулю. □ 58 Приведем примеры вычисления пределов функций, когда отмеченные выше свойства пределов нельзя применить. ПРИМЕР 3. Найдем lim X - 3 Здесь нельзя применить свойство (4), выражающее, что предел частного равен частному пределов, потому что предел знаменателя равен нулю. С другой стороны, можно доказать, что если числитель дроби стремится к конечному числу, не равному нулю, а знаменатель стремится к нулю, то дробь стремится к бесконечности. Поэто-^ + 2 му lim ---- = оо. X - 3 ПРИМЕР 4. Найдем lim х^2 X ~ 2 В данном случае числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю и соображения, приведенные в примере 3, тоже неприменимы. х^ — 4 Но вот как можно поступить. Для любого х ^ 2 имеем----= л: + 2, X - 2 а так как при определении предела при х ^ 2 не принимается во х^ — 4 внимание значение функции в точке л: = 2, то lim-= lim(;c н- 2). х~^2 X - 2 X— 2 Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной -, достаточно вычислить предел более простой функ- функции — X - 2 ции X + 2, Последний при д: ^ 2, очевидно, равен 4, так как lim (х + 2)= lim х + lim 2 = 2 -ь 2 = 4. X—2 X—2 х-^2 Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно записывают следующим образом: lim ——^ = lim(x + 2) = lim х + 2 = 4, х-*2 X - 2 х-^2 X —2 Подчеркнем, что функции f(x) = х^ - 4 и ф (х) = X -I- 2 являются X - 2 разными функциями. Первая из них определена для всех х ^ 2, в то время как вторая определена для всех х без исключений. Графики этих функций изображены на рисунках 65 и 66 соответственно. Однако при вычислении предела функции при х ^ 2 нас совершенно не интересует, определена или не определена эта функция в самой точке X = 2, и так как f(x) = ф (х) для всех х ^ 2, то lim f{x) = = lim ф (х) = ф (2). ^ ^ 59 Предел функции и непрерывность 2.15 Вычислите: а) Ит (sin х + cos х); б) lim (х"^ - 2х^ + д: + 1); - 1 в) lim----- X —1 X - I 8ш(д: + 2) Д) lim Х--0 1 - соз2д: Зд: V tJ = 2.16 Докажите, что: ж) lim 1 + X —о ' г) lim х-*-2 X + 2 е) lim(l + Зх)'; X — о 4 з) lim I x-.ol 2 а) lim = 1; х — О X 6) lim ^=1. X — О sin X Вычислите (2.17—2.19): tgx 2.17 а) lim tg7x о 7х ’ . sin X г) hm ——; X — о 5х ж) lim —: X —о sinx б) lim X —о X д) lim ; х-»0 sin ОХ з) lim tgSx X — о sin X ч г tgSx д:-0 10х ^ sin3x е) hm —------; X-*- О 2х ч Т tg2x и) hm---------. х-*о sin5x 2.18 а) lim Зх в) Ига U + i] 2х б) lim 1 + г) lim -Г • Зх J ’ 160 а) ,, Зх + 7 lim ; X —* оо 2х + 1 б) в) 2х^-Ъх^+1 т“2—;; г 5 X — +00 5х^ + 7х - 5 г) д) х^-8 lim ; X— 2 X - 2 е) 2х-2 Г X —* оо ох + 6 + Ьх - 1 х-^^со2хЗ+Зх2+9х+ Г х^-1 Ит .. ^. X— -1 л:*^ + 1 2.4. Понятие непрерывности функции На рисунке 67 изображен график функции у — f(x). Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним непрерывным движением карандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число) принадлежащую интервалу (а; &). Близкая к ней другая точка х может быть записана в виде X = Xq + АХу где Ах есть число положительное или отрицательное, называемое приращением аргумента в точке Xq, При этом имеется в виду, что Ах такое, что Xq Ах е (а; 6). Разность Af = Ау = f{xo + Ах) - f(XQ) называют приращением функции f в точке XQy соответствующим приращению Ах. На рисунке 67 Ах > О и Ау равно длине отрезка ВС. Будем устремлять Ах непрерывно к нулю, тогда для рассматриваемой функции, очевидно, и Ау будет стремиться к нулю: А^ —► О при Ах -> 0. (1) Рассмотрим теперь график функции у = /(х), изображенный на рисунке 68. Он состоит из двух непрерывных кусков РА и QR. Однако эти куски не соединены непрерывно, и поэтому график естественно назвать разрывным. В точке Хо нам надо как-то определить нашу функцию; условимся, что значение /(xq) равно длине отрезка, со- предел функции и непрерывность единяющего точку А и точку Xq на оси Оху точка А принадлежит графику, она изображена на рисунке 68 жирной точкой. Точка Q не принадлежит графику, она обведена кружком. Если бы точка Q принадлежала графику, то функция у = f (x) принимала бы два значения в точке Xq, что противоречит определению функции, приведенному в п. 1.1, Придадим теперь аргументу Xq приращение Ах и определим соответствующее приращение функции: А/= fixo + Ал;) - f(xo). Если мы будем Дл: устремлять непрерывно к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что Af будет стремиться к нулю. Для отрицательных АХу стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка видно, что если Ах, оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение Af при этом стремится к положительному числу, равному длине отрезка AQ. После рассмотрения этих примеров естественно ввести следующее определение. Функцию у = /(х), определенную на интервале (а; Ь)у называют непрерывной в точке Xq этого интервала, если приращение функции в этой точке, соответствующее приращению аргумента Дх, стремится к нулю при любом способе стремления Ах к нулю (здесь имеется в виду Ах, такое, что (xq + Ах) е (а; Ь)). Это свойство (непрерывности в точке Xq) записывается в виде (1) или в виде lim Ay = 0. (2) Дх —о Запись (2) читается так: предел Ау равен нулю, когда Дх стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любому закону» обычно опускают, подразумевая его. В частности. Ах может пробегать любую стремящуюся к нулю последовательность, члены которой могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Если определенная на интервале (а; 6) функция у = f{x) не является непрерывной в точке Xq этого интервала, т. е. в этой точке для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления Ах к нулю, то она называется разрывной в точке Xq. Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерывна в любой точке X интервала (а; 6), функция же, график которой изображен на рисунке 68, непрерывна в любой точке интервала (а; Ь), за исключением точки Xq, потому что для последней равенство (2) не выполняется, когда Дх —► 0, оставаясь положительным. Из равенства (2) следует, что lim fix) = lim if(xo) + (f(x) - /(xq))) = Jf JfQ XQ = lim fixo) + lim (fix) - f(xo)) = /(xq) + 0 = /{xq), X — Xq X-^ Xq т. e. получилось равенство lim fix) = fixo), X-* Xq (3) которое может служить другим эквивалентным определением непрерывности функции у ~ fix) в точке х^: Функцию у — fix) называют непрерывной в точке jcq, если она определена в окрестности этой точки, в том числе и в самой точке лго, существует предел функции у = fix) в точке Xq и выполняется равенство (3). Равенство (3) можно записать в виде lim f(xQ + Дх) = /■(Хо). Длс-» О Функцию, непрерывную в любой точке интервала (а; Ь), называют непрерывной на этом интервале. Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерывна на интервале (а; Ь), Функция, график которой изображен на рисунке 68, непрерывна на интервале (а; Xq) и на интервале (xq; Ь). I Равенство (3) можно записать еще и так: lim fix)= fi lim x). (4) X—Xq X’-*Xq (5) Приведем пример на применение равенства (4). Докажем, что иш = 1. х-н-0 X Сначала преобразуем дробь: 1п(1 -t- х) _ . In (1 + д:) = In (1 -I- х)^. X X Так как lim (1 + х)^ = е и функция у = In и непрерывна в точке X — о Uq = е, то lim In U = In lim u = Ine = 1. Поэтому lim ^ = lim ln(l -h x)' = In lim(l + x)^ = Ine = 1, x-*0 X x-»‘0 x-»0 В качестве следствия равенства (5) докажем, что - I lim ----- = 1. X— о X 63 предел {|)ункц1П1 м ног^рерыниость Обозначим - 1 = t, тогда - 1 + t > -1, дс = In (1 + ^) и ^ О при X —> 0. Применяя равенство (5), имеем lim------= lim--------- Х-^О X i о 1п(1 + О < О t = т = 1. Приведем теперь определение непрерывности функции в точке «на языке £ - 8». Говорят, что функция у = f{x) непрерывна в точке Xq^ если эта функция определена в окрестности этой точки и в самой точке Xq и для любого положительного числа е найдется такое положительное число 8, что для каждого х^ такого, что | д: - Xq I < 8, выполняется неравенство | f(x) - /(xq) \ < е. Введем понятие непрерывности справа и слева функции в точке. Говорят, что функция у = fix) непрерывна справа в точке Xq, если она определена в правой окрестности этой точки Xq, в том числе и в самой точке Xq, и lim f(x) = fix^). Xq X>Xq Говорят, что функция у = fix) непрерывна слева в точке Xq, если она определена в левой окрестности этой точки Xq, в том числе и в самой точке Xq, и lim fix) = /(Xq). X-*- Xq X то в этой точке непрерывна также функция: а) у = fix)+ (х); б) I/ = fix) - ф (х); fix) в) у = / (х) • Ф (х); г) у = ——- при условии ф (xq) Ф 0. Ф(х) 2.31 Докажите непрерывность функции у = fix) в произвольной точке Хо G Я: а) Дх) = sin х; б) /(x) = cosx. 2.32 Укажите промежутки непрерывности функции: ^ Isinxl Icosxl ^ х^-4 а) у = -г--б) у =------------; в) у = г) у = sin X х2- 9, X- 3 ' cos X Д) г/ = tg х; X ч- 2 е) у = ctg X. 65 Up едел функции и ]]епр(*рывность 2.5. Непрерывность элементарных функций Каждая из рассмотренных ранее основных элементарных функ-ций непрерывна в каждой точке области существования этой функции. Данное свойство означает, в частности, справедливость следующих равенств: 1) lim = Xq (п е Nj Xq е R); Х-* Xq 2) lim = Xq " (п е Nj Xq^ 0); X — XQ 3) lim x°- = x^ (a > 0, xq ^ 0); X-* Xq 4) lim x~^ = Xq^ (a > 0, Xq > 0); X-^ Xo 5) lim (a > Oj a ^ Xq e R); Х-» Xq 6) lim log^x = logдЛ:o (a>0, a Ф I, Xq> 0); X-* Xo 7) lim sinx= sinxo (xq e R); X-^ Xq 8) lim cosx= cosXq (xq e iS); X-* Xo 9) lim tgx= tgxo (Xq k G Z); 10) lim ctgx= ctgXo (xo ^ тип, n g Z). X — xo Из приведенного выше утверждения следует также, что каждая из основных элементарных функций непрерывна на каждом промежутке, содержащемся в области существования этой функции. Так, в частности: а) каждая из функций у = х^ (п е ЛГ), у — (а > 0, аф 1), у = sin Ху у — cos X непрерывна на промежутке (-оо; -ьоо); б) каждая из функций у = х"“ (а > 0), у = log^ х (а > 0, а 1) непрерывна на промежутке (0; +сх>); в) функция у — х^ (а > 0) непрерывна на промежутке [0; -f сх>); г) функция у = х“” (л G iV) непрерывна на каждом из промежутков (-оо; 0) и (0; Н-оо); д) функция у = tg X непрерывна на каждом из промежутков ■^ + лй < X < + л (/? -h 1), й G Z; е) функция у = ctg X непрерывна на каждом из промежутков лл < X < л (п + 1), л G Z. З-Ннкольский, 11 кл. S8j66 I При вычислении пределов функции надо учитывать, что если функция X = (р (и) непрерывна в точке Щу а функция у = f{x) непрерывна в точке Хо = ф (uq), то суперпозиция этих функций, т. е. функция F(u) = /(ф(и)), непрерывна в точке Uq. Ведь, применяя равенство (4) из п. 2.4, можно записать: lim F(u) = lim /(ф(и)) = f( Игпф(и)) = U-*Uq U^Uq U-*Uq = /(ф(Ити))= /(ф(ио))= F{uo). U-^Uq ПРИМЕР 1. Функцию у = sin х^ можно записать как суперпозицию двух непрерывных на R функций у = sin Uy и = х^, поэтому она тоже непрерывна для всех х € (-оо; ч-оо). ПРИМЕР 2. Функцию у = Vl - х^ можно записать как суперпозицию функций у = л/и, и = 1 - V, V = х^. Первая из этих трех функций непрерывна для и> Оу вторая непрерывна для всех и, третья непрерывна для всех X. Это показывает, что исходная функция непрерывна для всех тех х, для которых 1 - х^ О, т. е. для всех х, удовлетворяющих неравенствам -1 < х ^ 1. • Сформулируем теорему о промежуточных значениях непрерывной функции. ТЕОРЕМА. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и пусть /(а) = А, /(Ь) = В, А^В. Тогда для любого числа С, находящегося между числами А и Б, найдется по крайней мере одна точка Xq g (а; Ь), для которой f (xq) = С (рис. 69, а, б). Эту теорему можно сформулировать и так: Непрерывная на отрезке [а; Ь] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка [а; Ь]. Рис. 69 67 Предел функции и непрерывность Доказательство этой теоремы основывается на свойстве непрерывности действительных чисел (см. п. 1.2 учебника 10 класса). Оно выходит за рамки школьной программы и поэтому опускается. 2.33 Определите какой-либо промежуток, на котором непрерывна функция: 3 а) 1/ = 8ш2лг; 6)y=tg|-; в) 1/= л:"2; г) у = logi (х + 1). 2 2.34 Определите все промежутки, на которых непрерывна функция: й) у = 2'^^', б) у = logi tgx; в) у = log2 (х + 1). 2 2.35° а) Сформулируйте теорему о промежуточном значении непрерывной функции. б) Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; &] и f(a) > о, f(b) < 0. На каком основании утверждают, что на интервале (а; Ь) найдется точка с, такая, что f(c) = 0? 2.36 Объясните, почему у функции y = f(x) на указанном отрезке имеется нуль, если: а) f(x) = 5л: + 2, [-1; 2]; б) f(x) = + бд: - 1, [0; 1]; в) f(x) = х^ + 6х^ - 4х - 1, [0; 1]. 2.37* Докажите, что уравнение - 55 = 0 имеет корень на отрезке [2; 4]. 2.38* Докажите, что уравнение х^ -ь 5х^ - 7х - 1 = 0 имеет корень на отрезке [1; 2]. 2.6*. Разрывные ф^пнкции Пусть дана функция у = f(x), определенная во всех точках интервала J. Напомним, что эта функция: 1) непрерывна в точке Xq е J, если в этой точке lim f(x)= f(xo); (1) Х-> Xq 2) непрерывна на интервале «7, если эта функция непрерывна в каждой точке интервала J; 3) разрывна в точке Xq е J, если для нее не выполняется условие (1). 1, если л: > о ПРИМЕР 1. Функция у = • о, если х = 0 определена в каждой -1, если л: < о точке интервала J = (-оо; +оо). Она разрывна в точке х = 0 е J, так □ 68 У. 1 1 о X -1 Рис. 70 как в этой точке не выполнено условие (1). График ее приведен на рисунке 70. На нем очевиден разрыв функции в точке Xq = 0. Разрывные функции описывают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. Например, при ударе скорость тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы сопровождаются скачками. i/ii ПРИМЕР 2. Упругий шарик двигался прямолинейно и равномерно со скоростью Uq. в момент времени ударился о стенку и после этого стал двигаться в противоположном направлении с той же скоростью Vq. Можно считать, что скорость в момент ^o изменилась мгновенно: в момент времени она еще равнялась Uq, а при t > tQ стала равной -Uq* Итак, имеем функцию, определяемую следующим образом: у = I если 0 tQ. Эта функция определена в каждой точке интервала J = (0; н-оо). Она разрывна в точке t = tQ. График этой функции приведен на рисунке 71. На нем очевиден разрыв функции в точке t = tQ. 1 ----, если X ф1 X - 1 определена в каж- О -Vn.. Рис. 71 ПРИМЕР 3. Функция у = 3, если X = 1 дой точке интервала (-со; -ьоо). Так как lim----- дг-1 X - 1 = 2, а у (1) = 3, то очевидно, что эта функция разрывна в точке Xq~1. График ее приведен на рисунке 72. Отметим, что если видоизменить функцию из примера 3 только в одной точке X == Ij положив ее равной числу 2 в этой точке, то получим новую функцию, непрерывную на интервале (—оо; -ьоо): — 1 ^ если X Ф 1 У = х-1 2, если X = 1. 169 Предел функции и непрерывность Рассмотрим теперь функцию, определенную для всех л:, за исключением одной точки Хо, т. е. определенную на объединении двух интервалов (-оо; xq) и {xq; +оо). Вместо этой функции можно рассмотреть новую функцию, определенную уже в каждой точке интервала (-оо; +оо); для этого надо доопределить эту функцию в точке Xq любым способом. ПРИМЕР 4. Функция у = х^ определена для всех X, кроме х = О (рис. 73). Если доопределить эту функцию в точке X = О следующим образом: \ X®, если X Ф О II, если X = О, У У. 1 о X ^ ^ ■ Рис. 73 то полученная функция будет непрерывной на интервале (-оо; -ьоо). Если ее доопределить в точке х = О другим образом: у = с (с ^ 1) при х = О, то новая функция будет разрывна в точке X = 0. ПРИМЕР 5. Функция У ~ — определена для всех х, кроме Xq = 0. Как бы ее ни доопределили в точке Xq = 0, полученная функция I —, если хфО у ^ \ х^ [а, если X = о, где а — любое данное число, будет иметь разрыв в точке Xq = 0 (рис. 74). Рассмотрим функцию, определенную на некотором интервале J, за исключением отдельных точек Xj, Х2, этого интервала. Вместо этой функции можно рассмотреть новую функцию, определенную в каждой точке интервала J, для этого надо доопределить эту функцию в точках Xj, Х2, х„ любым способом. ПРИМЕР 6. Функция у = х^+ 1 определена для всех х, (X + 3)(х - 2) ^ кроме Xi = -3 и Х2 = 2. Как бы ее ни доопределяли в точках Xj = -3 и Х2 = 2, новая функция, определенная в каждой точке интервала (-оо; -Ноо), будет иметь в этих точках разрывы. ПРИМЕР 7. Зависимость Q = f{x) между температурой t одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий находящегося в ней ато_ тепла, когда t изменяется между -10*^ и 10°, выражается следующей формулой: о - ^0,5^ + 5, если -10 < / < 0 У - ; W 85, если о < f < 10. При t = о эта функция оказывается неопределенной. Можно для удобства условиться, что при f = о она принимает вполне определенное значение, например /(0) = 45. Функция 0,5f + 5, если -10 < ^ < 0 Q = f(t) = • 45, если f = о t + 85, если о < ^ < 10 определена в каждой точке интервала (-10; 10), она разрывна в точке f = 0. График ее приведен на рисунке 75, на нем очевиден разрыв в точке ip = 0-Как бы мы ни доопределяли функцию в этой точке, новая функция будет иметь в этой точке разрыв. Замечание. Если функция у = f(x) имеет в точке Xq разрыв и при стремлении х к Xq справа и слева для функции у = f(x) существует один и тот же предел — число А, то говорят, что разрыв функции в этой точке устраним. Для этого достаточно переопределить эту функцию в точке Xq^ положив f{Xo) = А. Новая функция будет непрерывной в точке Xq. Такой разрыв называют устранимым. В примерах 3 и 4 разрывы устранимы. Если при стремлении х к Xq справа и слева для функции у — f{x) не существует одного и того же предела — числа А, то говорят, что в этой точке у функции неустранимый разрыв (она будет иметь разрыв, как бы ее ни доопределяли в этой точке). Функции в примерах 1, 2, 5, 6 и 7 имеют неустранимые разрывы. У. 2 1 ‘ !/ = М -3 -2 -1 О 12 3^ ’-1 0-2- • -3 ■ Рис. 76 //у' У = {х) К///. -3 -2 -1 О 12 3 Рис. 77 71 Предел фу11К1|ни и непрерывность в заключение приведем примеры функций, имеющих бесконечно много разрывов. ПРИМЕР 8. Функция у = [л:] определена для всех д: е Д. В каждой точке X = п в Z она имеет разрыв (рис. 76). ПРИМЕР 9. Функция у = {д:} определена для всех д: е Д. В каждой точке X = п в Z она имеет разрыв (рис. 77). 2.39° Какая функция является: а) непрерывной в точке дго интервала J; б) непрерывной на интервале J; в) разрывной в точке дгр интервала J? 2.40 Имеет ли точки разрыва функция: -j^, если X Ф о о, если д: = 0; sin—, если д: 9^: о X а, если д: = о (а е Д); X • sin —, если д: о д; 1, если д: = 0; б) У- sin X , если X Ф о 1, если д: = 0; ч 1д:-ет—, если д: 9^ 0 т) у = i х’ е) У = о, если д: = 0; {arctg -i, если д: 9^ 0 а, если д: = о (а е Д); . . 1 ж) у = {x} ' ^ 2 ; 3) у = • sm X , если X Ф кп (пв Z) sm X о, если X = кп (пв Z)? 2.41 Можно ли доопределить функцию f(x) в точке дгд (в точках х^) так, чтобы новая функция стала непрерывной на интервале (-оо; +оо)? Если да, то как это сделать? а) /(д:) = в) /(д:) = х‘‘- 5х + 4 , дго = 1; б) f(x) = д: -I- 2 , дго = -2; 12 -, дго = 0; г) f(x) = X - 2 Xq = 2; д) nx) = cosxtgx.x,= j + nk,k^Z, е) fix) = sin X ctg X, Xh = nk, k в Z; ж) fix) = tg д:, ДГ;^ = ^ -I- nk, k в Z; з) fix) = ctg д:, x^ = nk, k в Z. 72 § 3. Обратные функции 3.1. Понятие обратной функции Пусть тело падает с высоты Н м. Тогда, как известно из физики, путь S м, пройденный телом за t с, равен где g ^ 9,8 м/с^. Так ^ 121/ как в момент падения на землю s = Н, то поэтому закон изменения s задается формулой (1) S.2 ^ 2 ^ Отсюда следует, что если известно время движения t, то однозначно находится путь s, пройденный телом за это время. Если же известен путь s, то однозначно находится и время движения и I— [0; Я]. (2) Таким образом, если s есть функция от t, заданная формулой (1), то t есть функция от s, заданная формулой (2). Функцию (2) принято называть функцией, обратной к функции (1). Рассмотрим функцию у от дг, заданную формулой у = х^,хе [0; 2]. (3) Когда X непрерывно возрастает от 0 до 2, то у непрерывно возрастает от о до 4, пробегая все значения из отрезка [0; 4] (рис. 78). Следовательно, областью изменения функции (1) является отрезок [0; 4]. Функция (3) каждому х е [0; 2] ставит в соответствие единственное у G [0; 4], причем разным х — разные yj и для каждого у е [0; 4] существует единственное х € [0; 2], для которого у = х^. Это означает, что х есть функция от у. Выразив из формулы (3) х через у для X е [0; 2] и у ^ [0; 4], найдем эту функцию: ^ = л/У’ е [0; 4]. (4) Функцию (4) называют функцией, обратной к функции (3). Ясно, что графики функций (3) и (4) совпадают (см. рис. 78). 73 Обратные фунющи Теперь рассмотрим функцию у = f{x), X eJ, (5) которая строго монотонна (т. е. возрастает или убывает) и непрерывна на промежутке J и имеет область изменения промежуток Проведя рассуждения, аналогичные проведенным выше, получим, что у функции (5) есть обратная к ней функция. Для нахождения этой обратной функции надо из формулы (5) выразить х через у при X G построенные таким образом, изображены соответственно на рисунках 80 и 81. 3.1 В декартовой системе координат хОу постройте график функции: а) у = 2х + 1; б) г/ = 2х -h 1, х е [-3; 3]; в) у = х^; г) у = х^;хе (0; 1]; д) у = х^; е) у = х^, х & (-1; 2). 3.2 Выполнив построение графиков, убедитесь, что в декартовой системе координат хОу совпадают графики функций: а) у = х+1их = у-1; б)у = 2хих = -у; в) у = х^, X е [0; +оо) и х = у е [0; -ноо); Обратные функции г) у = х^, X е (-оо; 0] и д: = у е [0; +оо); д) у = х^ и X = ^; е) у = 2^ и х = logg у, У ^ (0; +оо). 3.3 В данной формуле замените х па у, у на х, затем выразите из полученной формулы у через х: а) у = Зж + 1; б) у = 2х - 8; в) y = x^,xs [0; 3]; г) у = -х^,х е [0; 3]; д) у = 8х^\ е) у = 0,5 Vx, х е [0; 25]; ж) у = 3=^; а) у = logg х, х е (0; 25). 3.4 Найдите функцию х = (p(z/), обратную к данной функции у = fix), и постройте графики обеих функций в одной системе координат: а) у = х^,хе [-1; 0]; б) у = х^, х е [0; 2]; в) у = ——, д: G [0; +оо); г) у = -----, х е {-оо; -2); 1 + д: д) у = 6х + 5, X п (-схэ; +оо); 1+ X е) у = -X + 1, X е (-оо; +оо). 3.5 В задании 3.4 найдите функцию у = ср(х), обратную к данной функции y = f(x), постройте графики обеих функций в одной системе координат. 3.2*. Взаимно обратные функции Пусть дана функция у = fix), X е [а; Ь], (1) непрерывная и возрастающая на отрезке [а; 6]. Когда х непрерывно возрастает от а до Ь, то у непрерывно возрастает от с до d, пробегая все значения из отрезка [с; d], где с = /(а), d = fib) (рис. 82). Следовательно, областью изменения функции (1) является отрезок [с; d]. Функция (1) каждому х g [а; Ь] ставит в соответствие единственное у е [с; d], причем разным х соответствуют разные у и для каждого г/ 6 [с; d] существует единственное х g [а; Ь], для которого у = fix). Это означает, что х есть функция от у. Выразив из формулы (1) X через у для д: е [а; ft] и у € [с; d], найдем эту функцию: х = (у), у е [с; d]. (2) Функцию (2) называют функцией, обратной к функции (1). Если задать сначала функцию (2) и провести для нее рассуждения, аналогичные только что проведенным, то получим, что функция (1) является функцией, обратной к функции (2). Поэтому функции (1) и (2), т. е. функции / и (р, называют взаимно обратными функциями. 76 Из равенств (1) и (2) следуют свойства взаимно обратных функций / и ф: ф(/(л:)) = X, X € [а; Ь], (3) /(Ф (у)) = Уу У ^ [с; d]. (4) Отметим, что функция ф есть закон, по которому значения зависимой переменной определяются по значениям независимой переменной; при этом совершенно неважно, какими буквами обозначены эти переменные. Поэтому функцию ф, обратную к функции /, можно задать как формулой ^ = Ц>(у)у У е [с; d], (5) так и формулой у = ф(х), X е [с; d]. (6) Поскольку более привычно функцию записывать так, чтобы независимая переменная обозначалась буквой х, а зависимая — буквой Уу то часто функцию ф, обратную к функции /, задают именно формулой (6). Однако здесь есть некоторая тонкость. Графики функций определяются геометрическим соглашением: х выражает абсциссу, а. у — ординату точки графика. В соответствии с этим соглашением функция ф, записанная в виде (5), имеет график — линию у = /(х), а записанная в виде (6) — другой график — линию у = ф(х) (рис. 83). Очевидно, что формула (6) получается из формулы (5) заменой х на г/ и z/ на X, поэтому линия у = ф (х) симметрична линии X = ф (у) относительно прямой у = X. Так как линия х = ф (у) совпадает с линией у = /(х), то графики взаимно обратных функций, заданных в привычном виде (у — функция аргумента х), т. е. в виде (1) и (6), симметричны относительно прямой у = х. В этом выражается свойство графиков взаимно обратных функций. Так как линии х = ф(у) и y = f{x) совпадают, то функция ф также является непрерывной и возрастающей на отрезке [с; d], а областью ее изменения является отрезок [а; Ь]. Отметим, что если функция непрерывна и строго монотонна на промежутке J и имеет область изменения промежуток Jx, то, проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что эта функция имеет обратную функцию с областью определения и областью изменения J. 77 Обратные функции Таким образом, если дана непрерывная функция, то достаточным условием существования обратной к ней функции 51вляется строгая монотонность данной функции. При этом обратная функция также непрерывна. ПРИМЕР, Найдем функцию, обратную к функции 3 у = X € [0; +оо). (7) Так как функция (7) непрерывна и возрастает на полуинтервале [0; +оо), то она имеет своей областью изменения полуинтервал [0; +оо) (рис. 84, а), на котором определена обратная к ней непрерывная функция. Выразив из формулы (7) х через у для у е [0; +оо), х е [0; +оо), получим функцию, обратную к функции (7): 2 х = у^, у е [0; +сх>). (8) Заменив в формуле (8) л: на у, а г/ на д:, получим привычную запись функции, обратной к функции (7): 2 У = д:з, д: € [0; +оо]. (9) Чтобы построить график функции (9) в декартовой системе координат хОу, можно воспользоваться свойством графиков взаимно обратных функций: сначала построить график функции (7), а затем отразить его относительно прямой у — х — получится график функции (9) (рис. 84, б). Рис. 84 78 *' •- " — - -- -------- ----- - 3 2 Функции у = д:2, X s [0; +оо) и у = хз, х е [0; +оо) — взаимно обратные функции. Приведем еще примеры взаимно обратных функций. 1) у = х^, X G [0; +оо) и у = л/х, X G [0; +оо); 2) у = х^, X G (-оо; 0] и у = -л/х, X е [0; Н-оо); 3) у = 3^, X е R и у = logs л:, х е (0; +оо). 3.6 а) Какие функции называют взаимно обратными? Какими свойствами обладают взаимно обратные функции? б) Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций у = fix) и у = ф(х)? в) В чем заключается достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной функции? 3.7 Найдите функцию х = <р(у), обратную к функции: а) у = х‘^,хе [0; +оо); б) у = х‘^; X е (-оо; 0]; в) у = х^'", X е (0; +оо), т е N; т) у = х^’^, X е (-оо; 0], т е N; д) у = х^'^ X & (-оо; +оо), т е N; е) у = а^, X £ (-оо; +оо), а > 0, а 1. Постройте график данной функции у = f(x). Найдите функцию у = Ф (х), обратную к данной функции, и постройте ее график (3.8—3.9): 3.8 а) у = х-2 , X 6 (2; +оо); б) у = -4 х-2 в) у = 1 - Д) У = X + 2 , л: £ (-2; +оо); г) у = 1 + , X £ (-оо; 2); , X £ (-оо; 4); X - 4 1 + х^ X £ [0; +оо); е) У = 1+ Х‘ X е (-оо; 0]. 3.9 а) у - л/4 - х^, X е [-2; 0]; б) у = л/4 - х^, х е [0; 2]; в) у = у]21- х^ + 4х, X £ [-3; 2]; г) у = 4 + y]l6- х^ + бх, х £ [3; 8]; д) у = 8х®; е) у = 0,5л/х; ж) у = 3^~^; fl' 3 з) У = х-1 и) У = logs (х + 2); к) у = logo,2 (х - 1). 79 Обратные функции 3.10 Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных линейных функций у = kiX + li п у = k2X + I2 (ki Ф 0^ k2^ 0) связаны соотношением feg = —• h 3.11 Приведите пример функции, обратной самой себе. 3.12 Функция у = fix) задана на отрезке [а; Ь], На каком отрезке задана обратная к ней функция у = (х)^ если функция у = fix): а) возрастает на отрезке [а; 5]; б) убывает на отрезке [а; 6]? 3.13 Функция у = fix) задана на интервале (а; Ь). На каком интервале задана обратная к ней функция у = ф(д:), если функция у = fix): а) возрастает на интервале (а; Ь); б) убывает на интервале (а; Ь)? 3.14 На рисунке 85, а—г дан грасЪик функции у = fix). Постройте в той же системе координат график функции у = ф(х), обратной к функции у = fix). Рис. 85 80 3.3*, Обратные тригонометрические функции 1. Функция i/ = arcsinx. Если каждому числу х из отрезка [-1; 1] поставлено в соответствие число arcsin х, то говорят, что этим определена функция z/ = arcsin X. (1) Областью существования функции (1) является отрезок [-1; 1], ^ Г ^ ^ а областью изменения — отрезок ; — Перечислим свойства функции (1): 1) функция ограничена; ^ 2) функция принимает наименьшее значение у = при It ^ X = —1 И наибольшее значение У = — при х = 1; 3) функция нечетная; 4) точка (0; 0) — единственная точка пересечения графика функции с осями координат; 5) функция возрастает на всей области существования, т, е. на отрезке [-1; 1]; 6) функция непрерывна на отрезке [-1; 1]. Покажем справедливость этих свойств. Свойства 1—2 вытекают из определения арксинуса числа. Свойство 3 вытекает из следующего свойства арксинуса числа: arcsin (-а) = -arcsin а. Для того чтобы показать справедливость свойств 4—б, рассмотрим функцию тс тс /о\ у = sinx, Х€ ; — , (2) 2 2 которая непрерывна и возрастает на отрезке Т’ ¥ . у этой функ- ции есть обратная к ней функция. Выразив из формулы (2) х через получим функцию X от у\ X = arcsin Уу у ^ [-1; 1]. (3) Эта функция непрерывна и возрастает на [-1; 1], значение х = 0 она принимает при г/ = 0. Заменив в формуле (3) у на х, а х на т/, получим функцию у = arcsin X, X € [-1; 1], (4) которая и есть функция, обратная к функции (2), и записанная в привычном виде. Функция (4) непрерывна и возрастает на отрезке [-1; 1), Значение у = 0 она принимает лишь при х = 0. л 81 Обратные функции Для построения графика функции (1) построим в системе коор- динат хОу график функции х = sin Уу у € 2* 2 , он и будет графи- ком функции (1). График функции (1) изображен на рисунке 86. 2. Функция у = arccos х. Если каждому числу х из отрезка [-1; 1] поставлено в соответствие число arccos л:, то говорят, что этим определена функция у = arccos X. (5) Областью существования функции (5) является отрезок [-1; 1], а областью изменения — отрезок [0; к]. Перечислим свойства функции (5): 1) функция ограничена; 2) принимает наибольшее значение у = тг при х = —1 и наименьшее значение у = 0 при х - 1; 3) функция не является ни четной, ни нечетной; 4) точки 1^0; и (1; 0) являются точками пересечения графика функции с осями координат; 5) фзнкция убывает на отрезке [-1; 1]; 6) функция непрерывна на отрезке [-1; 1]. Справедливость этих свойств показывается так же, как и для функции у = arcsin х. График функции (5) изображен на рисунке 87. И Рис. 87 [82 3. Функция у — arcigx. Если каждому числу х из интервала (-оо; +оо) поставлено в соответствие число arctg л:, то говорят, что этим определена функция у = arctg X. (6) Областью существования функции (6) является множество всех действительных чисел jR, а областью изменения — интервал ^ j- Перечислим свойства функции (6): 1) функция ограничена; п - ^ ■ 2) функция не имеет ни наиббльшего,,ни наименьшего значений; 3) функция нечетная; - ^ . * - 4) точка (О; О) — единственная точка пересечения графика функции с осями координат; ^ 5) функция возрастает на интервале (—сх>;:+оо); , 0 функция непрерывна на интервале (-оо; 4-оо). Справедливость этих свойств доказывается аналогично доказательству свойств функции у = arcsin х. Для построения графика функции (6) построим в системе координат хОу график функции л: = tg г/, г/ G ^ будет графиком функции (6). График функции (6) изображен на рисунке 88. 4. Фзшкция у = arcctg х. Если каждому числу х из интервала (-оо; +оо) поставлено в соответствие число arcctg х, то говорят, что этим определена функция у = arcctg X. (7) Областью существования функции (7) является множество всех действительных чисел Д, а областью изменения — интервал (0; тс). [83 Обратные функции Перечислим свойства функции (7): " 1) функция ограничейа; 2) функция не, имеет ни наибольше1’о, ни наименьшего зна-чений^;. , 3) ф^шйций не является ни четной, ни нечетной; 4) точка ('^11 единственная точка пересечения графика функции с осями координат; 5) функция убывает на интервале (-оо; +оо); 6) функция непрерывна на интервале (-оо; +оо). Справедливость этих свойств доказывается аналогично доказательству свойств функции у = arcsinx. Для построения графика функции (7) построим в системе координат хОу график функции X - ctg Уу у S (0; л), он и будет графиком функции (7). График функции (7) изображен на рисунке 89. Рис. 89 Каждый из графиков обратных тригонометрических функций можно было построить, пользуясь свойством графиков взаимно обратных функций. Например, для функции у = arcsin х, область п 2" ¥ реть обратную к ней функцию значении которой надо рассмот- у = sin Ху X € л ^ л 2" 2 построить график этой обратной функции и симметрично отразить его относительно прямой у = X (рис. 90). 184 Аналогично с помощью графиков основных тригонометрических функций строятся и графики остальных обратных тригонометрических функций. Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х называют основными обратными тригонометрическими функциями. Эти функции также относят к основным элементарным функциям. Кроме основных обратных тригонометрических функций, можно изучать другие (неосновные) обратные функции. ПРИМЕР. Рассмотрим функцию у = sin X, X € Эта функция непрерывна и убывает на отрезке Зп Зк (8) ее об- ласть изменения — отрезок [-1; 1], следовательно, она имеет обратную к ней функцию. п ^ ^ Зп к ^ ^ к п ^ ^ к и < X - л ^ , то — < л - X < —. 2 2 2 2 Так как sin х = sin (л - х), то функцию (8) можно задать формулой Так как — ^ х ^ у = sin (л - х), (л - х) е л 2’ Тогда по определению арксинуса имеем: л - X = arcsin у, у G [-1; 1]. Выразив из последнего равенства х через у, получим функцию, обратную к данной: X = л - arcsin у, у € [-1; 1]. (9) Заменив в формуле (9) х на у, а у на X, получим функцию у от х: у = л - arcsin X, х € [-1; 1], (10) которая и есть функция, обратная к функции (8) и записанная в привычном виде. График функции (10) изображен на рисунке 91. 3.15 Дайте определение функции: а) у = arcsin х; б) у = arccos х; в) у = arctg х; г) у = arcctg х. Сформулируйте ее свойства, постройте ее график. 185 Обратные функции а) у = sin Ху X е б) !/ = cos Ху X S [я; 2я], 3.16 Найдите функцию у = {x)y обратную к функции: в) у = arcsin х; б) у = arccos х; в) у = arctg х; т) у = arcctg х, и постройте их графики в одной системе координат. 3.4*. Примеры использования обратных тригонометрических функций 1. Для любого X е [-1; 1] справедливо равенство я arcsin X + arccos х = —. 2 Действительно, так как О < arccos х ^ я, то я ^ я ^ я — ^------arccos X < —. 2 2 2 Найдем синус числа | ^ — arccos Х^у . (п \ I2 ) ( п \ I — - arccos X I пользуясь свойствами синуса: cos (arccos х) = х. Итак, число I — - arccos X | принадлежит отрезку синус равен х, поэтому по определению арксинуса я -- - arccos X = arcsin х. и его откуда arcsin х + arccos х = —, что и требовалось доказать. 2 2, а) Для любого л: е [-1; 1] справедливы равенства sin (arcsin д:) = х, cos (arcsin х) = Vl - х^. б) Для любого л: е (-1; 1) справедливо равенство X tg (arcsin х) = (1) (2) (3) 86 в) Для любого л: € [-1; 0) и (0; 1] справедливо равенство ctg (arcsin х) = (4) Действительно, по определению арксинуса числа х (|х|^1), п 2" 2 и sin а = X. Поэтому справедливо , то cos а ^ о, поэтому к 2" 2 если а = arcsin л:, то а € равенство (1). Пусть а = arcsin X. Так как а е cos а = л/l - sin^ а. Применяя равенство (1), получаем равенство (2). Из равенств (1) и (2) следует равенство (3) для |х| < 1 и равенство (4) для о < |х| ^ 1. 3. Построим графики функций: у = sin (arcsin х), (5) у = cos (arcsin х), (6) у = tg (arcsin х), (7) У = ctg (arcsin х). (8) Прежде всего найдем область определения каждой из этих функций. Так как arcsin х определен лишь для |х| < 1, то область определения каждой из функций (5) и (6) есть отрезок [-1; 1], область определения функции (7) есть интервал (-1; 1), область определения функции (8) есть объединение двух промежутков [-1; 0) U (0; 1], Применяя равенства (1) — (4), функции (5) — (8) можно переписать соответственно в виде у^х, \х\ ^ 1, (5') // = Vl - х^, |х| < 1, (6') У= , , , к1< 1. (7') ^/Г^ у = . о < |х| ^ 1. (8') Поэтому графики этих функций будут иметь вид, как на рисунке 92, а—г. Приведем пример вычислений с использованием обратных тригонометрических функций. (4 5 16 ПРИМКР. Вычислим cos arcsin - -h arcsin — + arcsin — [5 13 65 Обозначим a - arcsin - , P = arcsin у = arcsin 5 13 65 187 Обратные функции Рис. 92 Каждое из чисел а, Р и у принадлежит промежутку | 0; — |, и по- этому sin а 16 4 5’ cos а = д|1 63 3 5’ sinP = 13 cosP = Тз’ smY = ^, cosY = -. Тогда cos (а + р + y) = cos а cos (р + y) ~ sin а sin (Р + y) = = cos a (cos p cos j - sin p sin y) - sin a (sin p cos у + cos p sin y) = _3p2 63 5 16^ 4Г 5 63 12 ~5ll3’65 ХЗ’бб] 5 [ 13 ’ 65 13 ‘ 65 J “ ‘ 188 3.18 Докажите, что для любого х е R справедливо равенство arctg X + arcctg ^ = ^- 3.19 Докажите, что: а) для любого X е [-1; 1] справедливы равенства cos (arccos х) = х, sin (arccos х) = Vl - х^; б) для любого X е (-1; 1) справедливо равенство ctg (arccos х) = Vl - Х^ в) для любого X е [-1; 0) U (0; 1] справедливо равенство tg (arccos х) = ^ ; г) для любого X е й справедливы равенства X tg (arctg х) = X, sin (arctg х) = Vi + X 2 , cos (arctg x) = Vi + x^ д) для любого X ^ о справедливо равенство ctg (arctg х) = ^; е) для любого X G Д справедливы равенства ctg (arcctg х) = X, sin Tarcctg xi = —- ^ cos (arcctg x) = Vi + x^ Vi + x“ ж) для любого X ^ о справедливо равенство tg (arcctg х) = ^. Постройте график функции (3.20—3.21): 3.20* а) у = cos (arccos х); б) t/ = sin (arccos х); в) У = tg (arccos х); Д) y = tg (arctg х); ж) у = sin (arctg х); и) у = ctg (arcctg х); л) у = sin (arcctg х); 3.21* а) у = arcsin (sin х); в) у = arcsin (tg х); д) у = arccos (cos х); ж) у = arccos (tg х); и) у = arctg (tg х); г) у = ctg (arccos х); е) у = ctg (arctg х); з) у = cos (arctg х); к) у = tg (arcctg х); м) у = cos (arcctg х). б) у = arcsin (cos х); г) у = arcsin (ctg х); е) у - arccos (sin х); з) у = arccos (ctg х); к) у = arctg (ctg х); 89 Пронг^водпая м) у = arctg (cos х); o) у = arcctg (tg х); p) у - arcctg (cos х). л) у = arctg (sin д:); н) г/ = arcctg (ctg х); п) у = arcctg (sin х); 3.22 Вычислите: ч Г 4 12 a) cos arccos — + arccos-ь arccos 5 13 • Г -3 .5 .4'! б) sm arcsin — + arcsin---h arcsin — ; { 5 13 5) b) ctg ^ arctg I + arctg + arctg | j. 1]^ § 4. Производная 4.1. Понятие производной Рассмотрим три задачи. ЗАДАЧА 1. Пусть материальная точка движется по прямой по закону s(^) = 4^2, (1) где S — путь, пройденный точкой за время t {t ^ 0). Путь, время и скорость измеряются соответственно в метрах, секундах и в метрах в секунду. Вычислим сначала среднюю скорость этой точки за промежуток времени от = 2 до ^2 = 5. Путь, пройденный точкой за время ^x = 2, равен s(2) = 4 • 2^ = 16, а путь, пройденный ею за время ^2 = 5, равен s(5) = 4 • 5^ = 100. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени от ^x = 2 до ^2 = 5, равен s(5) - s(2) = 100 - 16 = 84. Средняя скорость точки за промежуток времени от ti = 2 до . ^ s(5)-s(2) 84 = 5 равна и^р = —g—^— = у = 28. Вычислим теперь среднюю скорость этой точки за промежуток времени от ^ до i ч- Л^. Путь, пройденный точкой за время равен s(t) = 4t^j а путь, пройденный ею за время ^ ч-A^, равен s(f ч- At) = 4{t + At)^, Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени от ^ до ^ ч- Atj равен As = s(i ч- At) - s{t) = 4(t A^)^ - 4t^ = = (8/ Ч- 4At)At. Средняя скорость точки за промежуток времени от ^ до ^ Ч- Af равна и^р = As (St + 4A0At — 8^ Ч" 4At, At At Итак, средняя скорость 0(.р есть сумма двух слагаемых. Первое не зависит от At, а второе зависит от Aty и при этом оно мало для малых At, fl90__________________________________________________________ Таким образом, можно считать, что при малых At средняя скорость Уср приближенно равна числу 8f, т. е. у^р — 8t. Число у = 8^ есть, очевидно, предел, к которому стремится у^р при Д^ 0. Его называют мгновенной скоростью точки, движущейся по закону (1), в момент времени t. В общем случае если точка движется по прямой по закону s(t) = f{t)y то ее мгновенной скоростью у в момент времени t называют предел (если он существует), к которому стремится ее средняя скорость на промежутке времени [f; t и- At] при At 0: At + At) - f(t) у = lim y«n = - 0 M lim At Величину At называют приращением времени, a величину Af = f{t + At) - f(t) — приращением пути. Другими словами, мгновенной скоростью движущейся точки в момент времени t называют предел (если он существует) отношения приращения пути к приращению времени, когда последнее стремится к нулю: у = lim —. Af — oAt ЗАДАЧА 2. Пусть кривая Г есть график непрерывной на интервале (а; Ь) функции у = f{x) (рис. 93 или 94). Зададим на кривой Г точку А, имеющую абсциссу х и ординату г/, и точку С, имеющую абсциссу л: -I- Ал: (Ал: ^ 0) и соответствующую ординату у + Ау = = fix) + А/, где Af = fix Н- Ал:) - fix). Секущая S, проходящая через точки А и С, образует с положительным направлением оси Ох угол Р (здесь и далее угол между положительным направлением оси Ох и прямой откладывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки). На рисунках 93и 94 0<Р<*^и—<р<л соответственно. 2 2 Из рисунков 93 и 94 следует, что tg 3 = -^ = + Ах Ах Будем устремлять Ал: к нулю; тогда вследствие непрерывности функции у — fix) также будет стремиться к нулю Ау и точка С, двигаясь по кривой Г, будет стремиться к точке А. Если окажется (а этого может и не быть!), что при этом при любом способе стремле- А ния Ал: к нулю отношение — стремится к одному и тому же пределу Ал (числу) ki k{Ax^ 0), Ал то тогда и угол Р будет стремиться к некоторому, отличному от ^ углу а. Вместе с р и секущая S, вращаясь около точки А, будет стре- :;91 Производная Ах = АВ, Дг/ = ВС Рис. 93 Ах = АВ, At/ = -BC Рис. 94 миться занять в пределе положение прямой Т, проходящей через точку А под углом а к положительному направлению оси Ох. Но тогда прямая Т есть касательная к кривой Г в точке А и lim — = lim tg В = tg а* о Алг Лх о Дх я я На рисунках 93 и 94 0<а<—и—<а<я соответственно. 2 2 Ду Мы установили, что если при Ад: О отношение — стремится Ад: к конечному пределу, то кривая Г имеет в точке А касательную, тангенс угла которой с положительным направлением оси Ох равен этому пределу. ЗАДАЧА 3. Пусть известна функция Q — f{t)^ выражающая количество электричества, прошедшее через фиксированное сечение провода за время t. За период t л- At через сечение протекает количество электричества AQ = /(t + At) - f{t). Средняя сила тока при этом _____г _ _ f(t^At)~f(t) равна /рп — — — . А^ At О дает силу тока в момент Предел этого отношения при А^ * г 1* времени t, равную I = lim —. дг — о At Теперь рассмотрим функцию у = f(x)j определенную в некоторой окрестности точки х. Выберем в этой окрестности произвольную точку (число), отличающуюся от х на Ах, т. е. точку х + Ах. Напомним, что число Ах называют приращением аргумента, а разность значений функции в точках х ч- Ах и х называют приращением функции. Приращение функции y = f(x) в точке х обозначают Af или Ау: Ау = А/ = f{x -Н Ах) - /(х). 92 ПРИМЕР 1. Приращение функции /(х) = Зл: + 2 в любой точке X, соответствующее приращению Ах аргумента, равно А/ = f(x + Ах) - /(х) = (3(х + Ах) + 2) - (Зх + 2) = ЗАх. ПРИМЕР 2. Приращение функции /(х) = х^ в любой точке х, соответствующее приращению Ах аргумента, равно А/ = f{x + Ах) - /(х) = (х + Ах)^ - х^ = (2х + Ах) Ах. Выпзе были рассмотрены три задачи (вычисление мгновенной скорости, тангенса угла наклона касательной к графику функции и силы тока). Несмотря на то что все они относятся к различным областям знания — механике, геометрии, теории электричества, их решение привело нас к одной и той же математической операции, которую нужно произвести над функцией: надо найти предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Число задач, решение которых приводит к той же операции, можно зпвеличить. К ним относятся, например, задачи о скорости химической реакции, о плотности неравномерно распределенной массы и др. Эта операция получила в математике специальное название — дифференцирование функции. Результат ее выполнения называют производной. Производной функции у = /(х), заданной на некотором интервале (а; &), в точке х этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции f(x) при данном х из интервала (а; Ь) (если она в этой точке х существует) есть число. Если производная функции /(х) существует при каждом значении х из интервала (а; &), то производная есть функция от х, определенная на интервале (а; &). Производную функции f{x) обозначают f'{x) и говорят: «эф штрих от икс». Следовательно, f'(x)= lim дл-*^о Ах Широко употребляются и другие обозначения производной: у ’ у dx dx А/ Предел lim — (если он существует) в точке х, когда рассматри- дх—о Ах вается только Ах > О или Ах < О, называют соответственно правой производной и левой производной функции f в точке х. Про функцию /(х), заданную на отрезке [а; 6], принято говорить. Ш93 Производная ЧТО она имеет производную на этом отрезке, если она имеет производную в любой точке интервала (а; Ь) и, кроме того, правую производную в точке а и левую — в точке Ь. • Найдем производные для некоторых функций /(х), определенных на интервале (-оо; +оо). 1. f{x) — X. Для любой точки X приращение функции f равно А/ = f{x + Ал:) - f{x) = (д: + Ах) - х = Ах. Поэтому — = — = 1. Следовательно, производная функции Ах Ах f{x) = X в любой точке х равна 1, т. е. х' = 1. 2. /(х) = С. Постоянную можно рассматривать как такую функцию от X, которая равна одному и тому же числу С для любого х из интервала (-оо; +оо). Тогда для этой функции приращение функции f равно А/ = /(х + Ах) - f(x) = С - С = 0. Поэтому — = — = о. Следовательно, производная функции Ах Ах /(х) = С в любой точке х равна 0, т. е. С' = 0. 3. /(х) = йх -ь &, где А и 6 — данные числа. Для любой точки х приращение функции f равно Af = (А (х + Ах) + 6) - (Ах + 6) = ААх. Поэтому — = = А. Следовательно, производная функции Ах Ах /(х) = Ах + Ь в любой точке х равна А, т. е. (Ах н- ЬУ = А. Это означает, что если точка движется по линейному закону s = A^ -I- А, то ее мгновенная скорость в любой момент времени t постоянна и равна А: V = {kt + ЬУ = А. В данном случае говорят, что тело движется равномерно со скоростью А, при этом скорость точки и ее мгновенная скорость в любой момент времени t есть одно и то же число А. 4. /(х) = х^. Для любой точки х приращение функции f равно А/ = (х + Ах)^ - х^ = (2х + Ах) Ах, Поэтому — = Ах мится к 2х при Ах А/ (2х + Ах)Ах Ах = 2х + Ах. Поскольку 2х + Ах стре- 0, то Г(х) = 2х, т. е. в любой точке х (х^У = 2х. 5. f(x) = ах^ + Ьх + с. Для любой точки х приращение функ-ции f равно А/ = (а (х -ь Ах)^ + А (х + Ах) + с) - (ах^ + 6х + с) = (2ах + Ь + аАх) Ах. Поэтому — = 2ах + А + аАх. Поскольку 2ах + А + аАх стремится Ах к 2ах + Ь при Ах о, то f'(x) = 2ах + 6, т. е. в любой точке х (ах^ + 6х + су = 2ах 4- Ь. (2) ^94 Как следует из рассмотренных в начале данного пункта задач, справедливы следующие утверждения: 1. Если при прямолинейном движении путь з, пройденный точкой, есть функция от времени tj т. е, s = f(t)j то скорость точки есть производная от пути по времени, т, е. u(i) = Этот факт выражает механический смысл производной. 2. Если в точке Xq к графику функции у = /(х) проведена касательная, то число /Ч^о) есть тангенс угла а между этой касательной и положительным направлением оси Ох, т. е. /'(л:о) = = tga. Этот угол называют углом наклона касательной. Данный факт выражает геометрический смысл производной. ПРИМЕР 3. Найдем тангенс угла наклона касательной к графику функции у = 0,5х^ - 2х + 4 в точке с абсциссой X = 0. Найдем производную функции f{x) — 0,5х^ - 2х + 4 в любой точке х, используя равенство (2): (0,5x2-2х +4)' = = 0,5 •2'Х-2 = Х“2. Вычислим значение этой производной в точке X = 0: Г(0) = 0-2 = -2. Следовательно, tga = -2. График функции y = f{x) и касательная к ее графику в точке с абсциссой х = 0 изображены на рисунке 95. yi \ У-Пх) / 1 4^ / 2 \а о 2\ 4 л: Рис. 95 4.1 4.2 4.3 Пусть точка движется прямолинейно по закону s = Найдите: а) приращение времени Af на промежутке времени от = 1 до б) приращение пути Аз на промежутке времени от = 1 до ^2 = 2; в) среднюю скорость на промежутке времени от = 1 до ^2 = 2. В задании 4.1 найдите: а) приращение пути Аз на промежутке времени от ^ до i + Af; б) среднюю скорость на промежутке времени от f до i + Ai; в) мгновенную скорость в момент времени t\ г) мгновенную скорость в момент времени t=l. Пусть точка движется прямолинейно по закону: 1) S = + 5; 2) S = - 6t, Найдите: а) приращение пути Аз на промежутке времени от t до t + A^; 95 Upon, сполна Я 4.4 4.5 б) среднюю скорость на промежутке времени от ^ до t + Л^; в) мгновенную скорость в момент времени t. Для какого из указанных законов мгновенная скорость не зависит от времени и для какого зависит? Дана функция f(x) = Проведите секущую через точки графика этой функции с абсциссами Xi = О, Х2 = 2. Найдите: а) приращение аргумента Ад:; б) приращение функции А/= f{x2) - f(xi); в) тангенс угла наклона секущей tgB = —. Ах Дана функция f(x) = х^. Проведите секущую через точки графика этой функции с абсциссами х и х Ах. Найдите: а) приращение функции А/ = f(x ч- Ах) - f(x); б) тангенс угла наклона секущей; в) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой х; г) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой: X = 0; X = 1; X = -1; х = 2; х = -2. 4.6° а) Что называют приращением аргумента; приращением функции; производной функции? б) Как вычисляют производную функции в точке х? 4.7 Дана функция f(x) = х^. а) Найдите производную в любой точке х е R. б) Вычислите значение производной в точке х = 0; х = 1; X = -1; X = 2; X = -2; х = 3; х = -3. в) При каком значении х производная равна: 0; 1; 3? 4.8 Выполните задание 4.7 для функции: а) /(х) = Зх + 8; б) /(х) = 8х-11; в) /(х) = /гх + 6; г) /(х) = х^ - х + 5; д) f (x) = х^ + Зх - 1; е) f (x) = ах^ + 6х + с. 4.9° а) В чем заключается механический смысл производной? б) В чем заключается геометрический смысл производной? 4.10 4.11 4.12 Точка движется прямолинейно по закону $ = — 4t. а) Выразите скорость точки как функцию времени. б) Вычислите скорость точки в момент времени ^ = 5. в) В какой момент времени скорость была равна нулю? Дана функция f(x) = х^ - бх -I- 11. а) Найдите производную функции. б) Вычислите тангенс угла наклона касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой: х = -1; х = 0; х = 2. в) При каком значении х тангенс угла наклона касательной к графику функции у = f(x) равен: 0; 1; 3? Найдите производную функции у — х^. 96 4.13 На рисунке 96 изображен график непрерывной функции у = /(х), X € (-6; 7). Определите знак тангенса угла наклона касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой: а) -4; б) -3; в) 0; г) 1; д) 3; е) 6. 4.14 В предыдущем задании найдите значения х, при которых: а) Л(л:) = 0; б) Г{х)>0\ в) /'(х)<0. 4.2. Производная суммы. Производная разности ТЕОРЕМА 1. Если функции и (х) и v (х) имеют в точке х производные, то их сумма f (х) = и (х) -f v (х) также имеет в этой точке производную, равную r(x) = u'(x)+v^{x). (1) Коротко равенство (1) записывают так: (и + vY = и' v\ и говорят: производная суммы равна сумме производных. Доказательство. Придадим данному х приращение Ах ^ 0. Ему соответствует приращение функции f в точке х: Af = fix + Ах) - fix) = (п(х + Ах) + у(х + Ах)) - (w(x) + u(x)) = = (u(x -h Ax) - u(x)) + (t;(x + Ax) - o(x)) = Au + Av. Поэтому Af _ Au + Ли _ ^“4-Ax Ax Ax Ax (2) Учитывая, что по условию функции и и v имеют в точке х производную, имеем lim — = u'(x), lim — = v'ix). Переходя в равен-Ддг —оАх ах^оАх стве (2) к пределу при Ах —► 0, получаем /' (х) = lim — “ lim f — -1- —1 = lim — + lim — = u' (x) + u' (x). дх—оАх ax-*o\Ax Ax J ax^oAx Дх-*0АХ Равенство (1) доказано. ПРИМЕР 1, (х2 + 3)' = ix^y + (3)' = 2х + о = 2х. 97 Производная ТЕОРЕМА 2* Если функция и (х) имеет в точке х производную и А — данное число, то функция f{x) = A • и(х) также имеет в этой точке производную, равную Пх)^Аи'(х). (3) Коротко равенство (3) записывают так: (А ' иУ = А • и', и говорят, что постоянный множитель можно выносить за знак производной. Доказательство. Придадим данному х приращение Ах ^ 0. Ему соответствует приращение функции f в точке х: Af - fix + Ах) - fix) = Аи ix + Ах) - Аи (х) = = А (ц (х + Дх) - и (х)) = ААи. Поэтому — = А— и /'(х) = (Аи(х))'= lim — = lim|A—] = Ах Дх Дх —оАх Дх —oV Ах J = А Иш — = Аи' (х). Дх—о Дх Равенство (3) доказано. ПРИМЕР 2. (5x2)' ^ 5(^2у ^ 5(2х) = 10х. Из теорем 1 и 2 следует справедливость следующего утверждения. Если функции и(х) и vix) имеют в точке х производные, то их разность fix) = u(x) - vix) также имеет в этой точке производную, равную f'ix) = u'ix)-v'ix). (4) Коротко равенство (4) записывают так: (и - V)' = и' - и', и говорят: производная разности равна разности производных. В самом деле, f'ix) = iu- vY = (ц + (-1) - vY = и' + ((-1) • vY = ц' + (-1) ' v'=u'- v'. ПРИМЕР 3. (5x2 _ 2ху = (5x2)' _ ^ ^ Юх - 3. ТЕОРЕМА 3. Если каждая из функций (х), U2 (х), и„ (х) имеет в точке х производную и A^j ...» — данные числа, то справедливо равенство (Aiu-i + A2U2 + ... + -f A2U2 + ... + 4-Никольский, 11 кл. Щ98___________________________________________________ Для n = 1 и л = 2 теорема 3 является следствием теорем 1 и 2, для любого п она доказывается методом математической индукции. ПРИМЕР 4. (2х^ + Зх - 4)' = 2(д:2)'+ 3(х)'- 4'= 2 • 2x + 3 - О = 4д: + 3. Обычно эти вычисления записывают короче: {2х^ + Зх - 4)' = 4л: + 3. 4.15 Сформулируйте теорему о производной: а) суммы двух функций; б) функции f(x) = Аи{х)у где А — данное число. 4.16* Докажите теорему 3, 4.17 Найдите производную функции в любой точке х ^ R\ а) у = х^ + х\ 6) у = х^ - х\ в) г/ = + 14; г) у = - 15; д) у^5х^; е) у = -х^; ж) у = 5х^ + Зх; з) у = Зх^ - Зх + 1; и) у = ах^ + Ьх + с. Найдите производную функции в любой точке х е R, используя задание 4.12 (4.18—4.19): б) г/ = X® - х^ - х; г) у = -xh е) у = Зх® - 4х -I- 2; з) у = ах® -I- 6х® -I- сх + d. б) г/ = (X - 4)2; г) у = (х+ 1)®; е) у = (2х + 3)®. 4.18 а) г/ = X® -I- X® -I- х; в) у = 5х®; д) у = 2х® - Зх® -I- х; ж) у = -X® -I- 5х® - 8х + 13; 4.19 а) у = (х + 3)®; в) у = (Зх + 1)2; д) у = (х- 2)®; 4.20 Вычислите значение производной функции f(x) в точке Xq, если: а) fix) = 4х® - Зх® - 2х, Xq - 0; б) fix) = -5х® -I- 7х® -1- X, Хо = 1; в) fix) = -X® -t- 4х -1- 5, Хо = -1; г) fix) = 4х® + X® - Зх 3, Хо = -2. 4.21 Определите, при каких значениях х производная функции: а) у = X® + бх -I- 5; б) у = х® и- Зх® - 17; в) у = ^х® - Зх® -I- 9х - 15; г) у = х® -ь 5х® - 13х + 7 равна нулю; положительна; отрицательна. 4.22* Найдите функцию у = fix), для которой: а) Пх) = 6х; б) Пх) = х^-1; в) fix) = Зх® -ь 2х - 5; г) fix) = 6х® - 4х -ь 7. 99 Производная 4.3*. Непрерывность функции» имеющей производную. Дифференциал ТЕОРЕМА. Если функция имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Если функция у = f{x) имеет производную п О отношение стремится к конечно- в точке X, то для нее при Ах му числу f*(x): 0)- Поэтому fix) (Ах Ах ^ = fix) + а(Дд:), Ах где а(Дл:) стремится к нулю при Ах —> 0. Но тогда приращение функции Ау можно записать в виде суммы Ау = f'(x)Ax + а(Ах)Алг (1) двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при Ajc —► 0. Следовательно, Ит Ау = 0, т. е. функция f непрерывна в точке х. Дх -*-0 Теорема доказана. Обратное утверждение не всегда верно. Если функция непрерывна в точке X, то она может не иметь производной в этой точке. Например, функция у = |х| (рис. 97) непрерывна для всех X, но в точке х = 0 она не имеет производной. В самом деле, в этой точке имеем lim — = 1, если Ах > 0, и Ит — = длг—о Ах дх—о Ах = -1, если Ах < 0. Это означает, что в точке х = 0 не существует lim — при любом стремлении Ах к нулю, т. е. в точке х = 0 функ-дх—о Ах ция не имеет производной. Первое слагаемое в правой части равенства (1) называют дифференциалом функции fix) в точке х, соответствующим приращению Ах аргумента х. Дифференциал функции f(x) обозначают df или dy: df=dy = f'(x)Ax. Так как dx = х' • Ах = Ах, то обычно обозначение приращения аргумента Ах заменяют на dx (Ах = dx), называемый дифференциалом аргумента, и пишут: dy = /'(x)dx или df = f'(x)dx. 4* 100 Следовательно, производную функции можно записать как отношение дифференциалов: ах Если Г(х) Ф О, то говорят, что dy и dx имеют один и тот же порядок. Другое дело — второе слагаемое в правой части равенства (1). При dxо оно стремится к нулю быстрее dx, потому что a(dx), в свою очередь, стремится к нулю при dx —> 0. Поэтому величину a(dx)dx называют бесконечно малой высшего порядка, чем dx, при dx = Ах ^ 0. Итак, если функция /(х) имеет в точке х производную, то ее приращение в этой точке равно сумме дифференциала этой функции и величины, представляющей собой бесконечно малую высшего порядка, чем dx: Ay = dy + a(dx)dx. Это дает основание считать, что при мгшых Ах приращение Ау приближенно равно дифференциалу dy: Ау ^ dy, т. е. Ау — f'(x)dx. ПРИМЕР. Вычислим приближенно приращение функции у = х^ в точке х= 10, соответствующее приращению аргумента Ах = 0,1. В любой точке X имеем Ау — dy = у' • Ах = (х^)' • Ах = 2хАх. Тогда в точке х = 10 получим Ау ^ 2 • 10 • 0,1 = 2. 4,23° а) Сформулируйте теорему о непрерывности функции, имеющей производную в точке х. б) Верно ли обратное утверждение? 4.24 Постройте график функции: а) у = + бд: + 9; б) у = -4х + 1; в) у = sj-x^ + л: + 6; г) у = yj-x^ + 2х + 8. 4.25 Для каждой функции в задании 4.24 ответьте на вопрос: а) Является ли данная функция непрерывной в каждой точке полной области определения? б) В каждой ли точке функция имеет производную? в) Если нет, то в какой точке производная не существует? г) При каких значениях х производная равна нулю; положительна; отрицательна? 4.26 Найдите дифференциал функции: а) у = Зх + 5; б) у = х^ + 2х + 4; в) у = х^ - 5х -I- 11. 101 производная 4.27 Вычислите приближенно приращение Ау функции у = - 4х^ + 2л: - 10 в точке х, если: а) л: = 1, Ах = 0,1; в) X = о. Ах = 0,01; б) X = 1, Ах = -0,1; г) X = о. Ах = -0,01. 4.4. Производная произведения. Производная частного ТЕОРЕМА 1. Если функции и(х) и v{x) имеют производные в точке X, то их произведение f (х) = и (х) • v (х) также имеет в этой точке производную, равную = u'ix) v(x) + u (х) • v'(x). (1) «г «я i« ц. ^ . Коротко равенство (1) записывают так: (ни)'= u'v н- uv'. Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента Ах;^0 и вычислим приращения функций Аи и Аи: Aw = U (х + Ах) - и (х), Ао = о(х + Ах) - о (х), откуда W (х + Ах) = и (х) + Aw, v{x + Ах) = v (х) + Аи. Теперь вычислим приращение функции Af: А/ = W (х + Ах) • U (х + Ах) - W (х) • и (х) = = (w(x) + Aw) • (u(x) + Au) - w(x) • u(x) = = Aw ■ u(x) + w(x) • Au + Aw • Au. Тогда Ax Au . . . . Au Aw . ---u(x) + w (x) • — +---Au. Ax Ax Ax При Ax n 0 имеем — Ax u'(x), — Ax u'(x), Au ^ 0, так как функ- ция u(x) в точке X имеет производную, поэтому она в этой точке непрерывна (см, п. 4.3). Тогда — -► (w'(x) • u(x) + w(x) • u'(x) + w'(x) • 0), Ax следовательно, в точке x f'(x) = w'(x) ■ u(x) + w(x) • u'(x). Теорема 1 доказана. 9 ПРИМЕР 1, (x • (x^ - 1))' = X' • (x^ - 1) + X ‘ (x^ - 1)' = 1 • (x^ - 1) -h X • 3x2 = 4д;3 _ 1 ТЕОРЕМА 2. Если функции и{х) и и(х) имеют производные U (х) в точке дс и о (х) Ф 0, то их частное f (х) = —— также имеет в этой у(дс) точке производную, равную и' (х) ■ V (х) - и (х) • V' (х) г (X) = v^(x) Ш 102 Коротко это равенство записывают так: I Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента Ах ^ о и вычислим приращение функции Af: Af = и(х + Ах) и{х) _ и(х) + Аи и{х) v(x) у(л:+Ал:) v{x) у(д:)+Ау Аи Ау и(х) • v(x) + Аи • v{x) - и(х) • и(дг) - и{х) • Аи _ Ад: и^д:) (и (л:) 4- Аи) • и(х) Дх. (и(х) + Ду) • и(х) Аи , - . - Ау А/ ^ * t;(x) - и(х) •— гг, Af Ах Ах Тогда — = -------------------. Ах (у(х) + Аи) • и(х) При Дх —► О имеем — —*■ и' (х), — —> и' (х), Av О, так как функ-Ах Ах ция и(х) в точке х имеет производную, следовательно, она в этой точ- / А о\ гг и'(х)^ о(х)-u{x)'V'{x) ке непрерывна (см. п. 4,3). Тогда----► ---------^-----------, поэто- му в точке X Г(х) = Теорема 2 доказана, i и’{х) • v(x) - и(х) ■ и'(л:) йЧ^) ■ ПРИМЕР 2. X-IV (лг-1)'(д:+1)-(х-1)(х+1)' х + тГ= {x+lf X + 1 - (х - 1) (X + If (X + ly* ‘ 4.28"^ Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций. 4.29 Из теоремы о производной произведения выведите правило вычисления производной функции у = С/(х), где С — константа. В любой точке X е R найдите производную функции (4.30—4.31): 4.30 а) у = (х^ -ь Зх)(х - 1); б) ^ = (х^ - 8х)(х - 2); в) у = (5x2 _ 3;^: + 2)(3х + 2); т) у = (5х^ -h Зх + 2)(3х - 2); д) у = (“х2 + 2) (3x2 ц. 2х); е) г/ = (4x2 бх - 1) (х^ - 3), 4.31 а) у = х^; б) у = х^; в) у = х®; г) у = х'^. Указание. Представьте данную функцию в виде произведения двух функций. Например, (х^)' = (х^ . х)' = (х^)' ■ х + х^ . (х)' = 3x2 . ^ + х^ • 1 = 4x2. 103 производная 4.32° Сформулируйте теорему о производной частного двух функций. 4.33 Найдите производную функции в любой точке х ее области оп- ределения: . 1 а) у = -; г) J/ = ж) у = л: + 1 х-1" х^+Зх х + 1 ' б) у = — д) у = 3) у = х^+ г х '^ + X - 7 х^+1 ’ в) у = е) У = и) у = X + 1’ 4- х^ X -х^+ 7x-S х^-7х-^Ь ■ 4.34 Вычислите значение производной функции f(x) в указанной точке Хл, если: 5 а) f(x)= Хо = 0; в) /(х) = х'^ч- 1 х^- 1 х^Тз б) fM= » ^0= 1; х^+ 2 , Хо = -1; г) f(x) = х^+ 4 , Хо = -2. 4х 4.35* Дана функция f(x)= Найдите все значения аргумента, при которых: а) Г(х) = 0; б) Г(лг)>0; в) Г(х)<0. 4,36* Вычислите значение производной функции ^ = (х + 1)^® в точке Xq = 0. 4.5. Производные элементарных функций SJJ^TEOPEMA I, Для любого х е R и любого натурального п>2 ■ споавеллива Доомула ______l■ttнввa*н0яяvQBsaL.Jlяг - !■ ■ ж ж ж ^ V. V U..-f « 4 ж—к I Доказательство. Для п = 2 формула (1) уже доказана (см. п. 4.1): (х^у = 2х. Предположим, что формула (1) верна для натурального п = к: (х'‘У = кх>‘-К (2) Тогда, применяя формулу для производной произведения двух функций (см. п. 4.4), имеем (д:* ^)' = (д:* • х)' = (д:*)' • х + дг* • (х)' = = (Ах* “ ^) • X + X* • 1 = Лх* + X* = (fe + 1)х*, откуда на основании принципа математической индукции заключаем, что формула (1) справедлива для любого натурального п ^ 2. Теорема 1 доказана. # Щ 104 ass__________________________________________________________________ ПРИМЕР 1. (лг20)' = 20x^^. ТЕОРЕМА 2. Для любого х е R, кроме д: = О, и любого нату-рального п справедлива формула Щ Доказательство. Воспользуемся формулой производной частного m функций и теоремой 1: (х-^У Г • д:" - 1- (х"У о - лд:« ^2п ^2п -пх -п — I Теорема 2 доказана. # ПРИМЕР 2. (дг-20)' = -20 • дг-21. ТЕОРЕМА 3. Пусть а>0 н 1, тогда для любого х е R справедлива формула (а^У = In а. В частности, (е^У = Щ Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента I Ах о и вычислим приращение функции f(x) = а^: * А/ = - 1) = - 1) = - 1 лДл • In о . = --------;—^ ■ Ajc* Ina = Ах ' та а Ах • 1па, А/ е" - 1 где а = 1па • Ад:. Тогда — = ------In а. Ад: а Очевидно, что а —> 0 при Ад: —> 0 и, как показано в п. 2,4, - 1 ------> 1. Поэтому для любого X имеем а (а^У= Ит — = а-^ 1па. дх о Ад: Теорема 3 доказана, ф ПРИМЕР 3. (20^)'= 20^ In 20, ТЕОРЕМА 4, Пусть а > 0 и а ^ 1, тогда для любого д: > 0 справедлива формула (log„ х)'= ^ х1па В частности, (1пд:)'= —. 105 производная Доказательство. В точке х > 0 зададим приращение аргумента Ах о (jc + Ал: > 0) и вычислим приращение функции f(x) = log„ х: Af = log„ (х + Ах) - log„ X = loga ^ log^ ^ X Ax X , (^ АхЛ Ax , Л Ax ^ЛХ Ax Af 1 Пусть t = —, тогда — = - • log^ (1 + 0' = —;— X Ax ^ X In a ln(l + 0'- Очевидно, что ^ —v 0 при Ax —► 0 и ln(l + —> 1 (cm. n. 2.4). Поэтому для любого X > о имеем (logaX)'= lim -^ = дх-^оАх xlna Теорема 4 доказана. Формулу (log„x)' =-----иногда записывают так: xlna (log„x)' = ^. ПРИМЕР 4. (Ig х)' = (logio х)' = xln 10 ТЕОРЕМА 5. Для любого х е R справедливы формулы (sin х)' = cos X, (3) (cos хУ = -sin X. (4) I Доказательство. Докажем формулу (3). В точке х зададим приращение аргумента Ах 0 и вычислим приращение функции f{x) = sinx: . ».х + Ах-х х + Ах + х Af - sin (х И- Ах) - sin X = 2 sin---cos----= . Ах ^ . Ах ( АхЛ 2 ( Ах V = 2sm —cosi х + —I = —^cosl х + —lAx. 106 При Ах О имеем Ал: sin- Ах 1 (см. п. 2.2), и так как cosx — непрерывная функция, то cos Поэтому (sin д:)'= lim — = cosx. дх —о Ал: со8л:. Тогда ——►cosл:. Ал: Формула (3) доказана. Формула (4) доказывается аналогично. Теорема 5 доказана. ♦ . iUi .'it ТЕОРЕМА в/ДОш любого — + jtfe, k е Z, справедлива фор- инь :!■ (tgAT)'= -r-v-".::, COS^ X (5) Для любого X Ф nk, k eZ, справедлнв^ формула (ctgд:r^-гЛ;:• (6) Sin*^ X I Доказательство. Докажем формулу (5), пользуясь теоремой о производной частного и формулами (3) и (4): (tgx) , _ ( sin orV _ \ cos X ) (sin л:)' • cos X - sin x • (cos x)' cos^ X cos^ X - sin X • (-sin x) 1 cos^ X Формула (5) доказана. Формула (6) доказывается аналогично. Теорема 6 доказана. • Таблица производных элементарных функций приведена в при- ложении 1. 4.37 Запишите формулу для нахождения производной функции: в) у = х^у п е N; б) у = х~", п € N. При каких значениях х справедлива эта формула? Для любого X € R найдите производную функции (4.38—4.39): 4.38 а) у = х^^; б) г/= в) у = х^^^^. 4.39 а) у = 7х^ - 5х^ - х + 25; б) у = -х'^ + 8х^ + 2х - 19; в) у = х^^ - 5х® + бх"^ - 1; г) у = 12х^ - 20х^ - ЗОх^. Для любого X 7^ О найдите производную функции (4.40—4,41): 4.40 а) у = х~^^; б) у = в) y = x~^^^^. 107 Производная 4.41 4.42 а) У = ^21’ б) г/ = ^; в) у = -^. ^20 4.43 Запишите формулу для нахождения производной функции: а) у = а^; б) у = е^; в) y^log^x; г) у = 1пх. При каких значениях х справедлива каждая из формул? Укажите, при каких значениях х функция f(x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.43—4,45): а) /(д:)= 11^; б) /(д:)= 10"; в) Пх) = 4" + 8" - 16"; г) fix) = 3" + 9" - 27". 4.44 а) f(x) = г) f(x) = ж) fix) = б) fj; 3^+ 9^ Igx, Ige ’ Д) f{x) = з) fix) = 2' - 4^ 2' + 4^ ’ In X In 10’ в) f{x) = e) f{x) = И) f(x) = 2'+ 4^ 2^ 3^ - 9^ 3^+9^ Igx lg2‘ 4.45 a) f{x) = log2x; 6) f(x) = lgx; b) fix) = 4 log2 X + 3 Inд: - 2 Igx; r) /(x) = 51og3X - 61nx + 71gx. 4.46 Запишите формулу для нахождения производной функции: а) £/ = sinx; б) i/ = cosx; в) y = tgx\ г) ^ = ctgx. При каких значениях х справедлива каждая из формул? 4.47* Докажите формулы для нахождения производных функций у = cos X и у = ctg X. Укажите, при каких значениях х функция fix) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.48—4.49): 4.48 а) /(х) = х^^ + 12"; б) /(х) = х^® - 3sinx; в) /(х) = 1пх - cosx; г) /(х) = log4X + х"^; д) fix) = х^^ • 12"; е) fix) = х^^ • 4cosx. 4.49* а) fix) = cos 2002хcos 2001х + sin 2001хsin 2002х; б) fix) = sin2002xcos2001x - sin 2001xcos 2002х; tg2002x - tg2001x в) fix) = 4.50 Найдите _ In X ^ ^ X a) равна нулю; 1 + tg2002x tg2001x значения x, при которых производная функции б) положительна; в) отрицательна. 4.51* Докажите справедливость равенства: а) (sin2x)'= 2cos2x; б) (5^")'= 5^" • In 25; в) (cos2x)'=-2sin2x; г) (In 17х)'= —, х > 0. 108 4.6. Производная сложной функции ТЕОРЕМА 1. Пусть сложная функция у = f (ас) = Ф (V (ас)) тако- ! ва, что функция = ф (и) определена на промежутке U, а функция U = ф (ас) определена на промежутке X и множество всех ее значений входит в промежуток U. Пусть фу^ция и = ф (х) имеет производную в каждой точке внутри промежутка X, а функция 2/ = Ф (и) имеет производную в каждой точке внутри промежутка и. Тогда функция у = f (ас) имеет производную в каждой точке внутри промежутка X, вычисляемую по формуле y'x=yi‘ К’ (1) Формулу (1) читают так: производная у по х равна производной у по U, умноженной на производную и по х. Формулу (1) записывают еще так: f (х) = Ф' (и) • Ф' (х), где U = Ф (х). Доказательство. В точке х е X зададим приращение аргумента Ах о, (х + Ах) € X, Тогда функция и = ф(х) получит приращение Ап, а функция у — (^(и) получит приращение Ау. Надо учесть, что так как функция и = ф(х) в точке х имеет производную, то она непрерывна в этой точке и Ап ^ 0 при Ах —»■ 0. При условии, что Аи ^ о, имеем Ау Ау Аи Ах Аи Ах ’ Перейдя в равенстве (2) к пределу при Ах —> 0, получим (2) У: = Ит Ау = lim Ау Дх—о Ах Д|1 —о Аи 1- Ап Дх —о Ах и X » т. е. формулу (1). Теорема 1 доказана. Замечание. При доказательстве теоремы 1 предполагалось, что каждому достаточно малому Ах Ф 0 соответствует Ап Ф 0. Если случится, что Ап = о при некотором Ах, то уже делить и умножать на Ап нельзя и надо доказывать формулу (1) другим способом. Это можно сделать, но соответствующее доказательство здесь не приводится. • ПРИМЕР 1. Для любого X е jR найдем производную функции у = Полагаем i/ = е", и — 2х, поэтому г/;-(с“);-(2х):, = с“-2 = 2еЧ 109 Производная ПРИМЕР 2. Для любого х €. R найдем производную функции у - . Полагаем у = и = поэтому у; = (e^^ )'^ ■ (х^у^ = 0 и любого а 0 справедлива формула I Доказательство. Так как х^ = е" для д > 0 и а 0, то, полагая (р(гг) = и = = а!пд:, получаем, что у = = ф(\|/(х)). При- меняя теорему 1, имеем Ух = * (« Inд);, = • а - -- = ах« ■ - = ах — /V -vCt 1 Теорема 2 доказана. ПРИМЕР 4. Найдем производную функции у = 4х для любого X > 0. Применяя теорему 2, имеем y' = (V^)' = (xb'=ix-^=^. ^ 2л/х ПРИМЕР 5. Найдем производную функции у = для любого X > 0. Применяя теорему 2, имеем i/ = = (х")' = - ПРИМЕР 6, Для каждого х ^ 0 найдем производную функции у = 2 Если X > о, то функцию можно записать в виде у = х^, тогда , 2 2 2 5-V^’ ох ^ Если X < о, то функцию можно записать в виде у = ^(-х)^, а так 2 как -X > о, то в виде у = (-х) . Теперь имеем 110 -5^ где и{х) - -X, Итак, у* (х) ДЛЯ каждого х ^ 0. ПРИМЕР 7* Найдем производную функции у = sin^x^. Полагаем поэтому у — и = sin 2, г = х^. • (sina)^ • {x^Yx = 3w^ • cos2 • 2x = = 3 sin^ x^ • cos x^ • 2x = 6x sin^ x^ cos x^‘. • Укажите, при каких значениях х функция /(х) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.52—4.60): 4.52 а) f{x) = + e^; 6) fix) = : - в) f(x) = -h x^; r) fix) = X^ - 4.53 а) fix) = ^Zx, 6) fix) = : b) f(x) = г) fix) = e~2x+ 7. Д) fix) = : 2^^; e) /(x) = 6-3^; ж) fix) = = 4-^^ " B* 3) fix) = + и) /(x) = 4.54* ^а) fix) = e/X ; 6) fix) = -x'* e ^ : : b) i{x) = 3^; г) fix) = 5-^"; Д) fix) = : gSin ; e) /(x) = 9<=°®^. 4.55 а) fix) = log4(12x) - log2 x; 6) /(x) = log4(-x) + log2(-x); в) fix) = ln(2x); r) f(x) = ln(5x - 10). 4.56* а) fix) = (cos x)'* - (sin x] 6) /(x) = 4 cos 17x cos 13x; в) /(x) = 5 sin lOx cos 8x t r) fix) = 6 sin 7x sin 3x. 4.57 а) fix) = sin 2x; 6) fix) = cos (3x + 1); в) fix) = tg (2x - 3); r) fix) = ctg(-5x). 4.58* ^а) fix) = sin (x^); 6) fix) = cos (x"*); в) fix) = tg {x^y. r) fix) = ctg (x=); д) fix) = (sin x)^; e) fix) = (cos x)"*; ж) fix)-- = (tg хУ; 3) fix) = (ctg xf. 4.59 а) fix) = In (3x); 6) fix) = In (5 - 2x); в) fix) = logs i-Zx - 1); r) fix) = Ig (2x + 4). 4.60 а) fix) = (2x + 1)®: 6) fix) = (-2x - 3)9; в) fix) = (4x - 3)1^ r) fix) = (3x + 4)2^ 4.61 Запишите формулу для вычисления производной функции у = х“, а — нецелое число. При каких значениях х справедлива эта формула? Ill Производная Укажите, при каких значениях х функция f(x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.62—4«65): 4.62 а) fix) = xO’5; 4 6) fix) = X-0.5; 13 b) fix) - x^’2; r) fix) = : X-0-2 16 д) fix) = ; e) fix) = x^; ж) fix) = = X“2>5; 3) fix) = X~^. 4.63 а) fix) = л/х; 6) fix) = в) fix) = r) fix) = 1 д) fix) = 1 e) fix) = 1 ж) fix) = : x2-v/x; з) fix) = X« 4.64« 'а) fix) = 3x -h 10; 6) fix) = ^3x 2 + 5x + 4; в) fix) = Sx -h 2; r) fix) = — 5л: + 1; д) fix)^ 6x + 9; e) fix) = fx2 + 4x + 4; ж) fix) = - 6x + 5; 3) fix) + 4x + 3. 4.65'* 'а) fix) = 4 sin. X cos x; (S' / fix) = cos^ ' Зл: - sin^ 3x; в) fix) = 2tgl000x 1- tg^lOOOx’ r) fix) = ^^sin^ 7л: + cos l2 7x. 4.66* Докажите, что если в каждой точке интервала X функция у = f{x) положительна и имеет производную, то на этом интервале совпадают промежутки знакопостоянства производных функций у = f{x) ну = sjfix). 4.67* Вычислите значение производной функции в указанных точках Xi и Х2- а) у = (х- 2)20, ^ ^ 0. б) у^{х + 5)21, ^ ^ _4j в) у = (2х - 11)100, xi = 5, Х2 = 6; г) у = {2х - 3)1001, = 1^X2 = 2. 4.68* Для любого X > о найдите производную функции: а) у = X*; б) у = X®*" в) у - x^^°^ 4.69 Докажите, что графики функций f{x) = и ф(х) = х*” (х > О) в точке с абсциссой х = е имеют общую касательную. 4.7*. Производная обратной функции Пусть функция у = /(х), X 6 [а; Ь], (1) является обратной к непрерывной и возрастающей на отрезке [с; d] функции = Ф(У), У е [с; d], (2) 112 где с = /(а), d = f(b). Как показано в п. 3.2, функция (1) непрерывна и возрастает на отрезке [а; Ь]. Если функция ф имеет в точке у интервала (с; d) отличную от нуля производную, то функция f имеет в точке х = ц> (у) интервала (а; Ь) производную f'ix)= Ф'(!/) Покажем это. Зададим в фиксированной точке х = (у) интерва- ла (а; Ь) приращение аргумента Ах 0: (х + Ах) е [а; &], тогда функция (1) получит приращение Ау. Так как обе функции (1) и (2) непрерывны на соответствующих отрезках, то из того, что Ах —>■ О, следует, что Аг/ ^ О, а из того, что Ау —> О, следует, что Ах —► 0. Поэтому, учитывая еще, что ф'(у) ^ 0, имеем 1 1 г (л:) = lim ^ = Ит ^ = дх^оАх ду — О Ах lim Аф (у) ф'О/)’ At/ лу — о Ду что И требовалось показать. Из изложенного выше следует, что если функция ф имеет отличную от нуля производную в каждой точке интервала (с; d), то функция f имеет в каждой точке интервала (а; Ь) производную, вычисляемую по формуле fix) = —^ ----. ф'(у) фЧ/Сл:)) Отметим, что аналогичные утверждения справедливы и для функций, непрерывных и строго монотонных на любом промежутке с/. ПРИМЕР 1. Найдем производную функции у = arcsin X, -1 < X < 1. Функция (3) является обратной к функции I 2’ 2, x^siny, у е (3) (4) Поэтому для каждого х е (-1; 1) 1 (arcsin х)' = у'(х) = хЧу) (sinyY cosy Так как ™ cosy>0, и, применив равенство (4), имеем cos у = — sin^ у = л/l - х^. Следовательно, 1 (arcsin х)' = ■^1 - х^ (5) 113 производная ПРИМЕР 2. Найдем производную функции у = arccos -1 < X < 1. Для вычисления производной функции у = arccos х можно провести рассуждения, аналогичные рассуждениям, проведенным при выводе формулы (5). Но можно воспользоваться равенством arcsinx -t-^ тс . _ + arccos X = —, из которого следует, что arccos х = - arcsinx. Тогда м А (arccos л:)' = arcsin х\ = О - Vl - Vl- ПРИМЕР 3, Найдем производную функции у = arctgx, X е R. Функция (6) является обратной к функции я я ^ = tgz/, у е Поэтому для любого X е R 1 2 2 (arctgx)' = г/'(х) = — хЧу) (tgyy cos^ у 1 + t^y‘ (6) (7) in я я Так как < у < —, то, применив равенство (7), получаем, что tg^y = х^. Следовательно, (arctgx)' = 1 + X ,2 • ПРИМЕР 4. Найдем производную функции: а) у = arcsinЗх, х е ^“^5 б) у = arccosx^, х е (-1; 1); в) у = (arctgx)^, X е R, Применяя формулы из примеров 1—3 и формулу производной сложной функции, имеем: а) (arcsin Зх)^ = (arcsin Зх)з^ • (Зх)' = б) (arccosх^)^ = (arccosх^)'2 = “ л/Гм^ 1 (ЗхУ = в) ((arctgx)"^)'j- = 3(arctgx)^ • (arctgx)' = Vl - 3 (arctg хУ 2x = Vl - ’ -2x Vl - X* 1 + x^ 114 4,70° По какой формуле находят производную данной функции, используя производную обратной к ней функции? 4.71 Вычислите производную функции у = /(лг), используя производную обратной к ней функции х = ф(у): а) у = л/х, X е (0; +оо) и х = у ^ (0; +со); б) у - -л/х, X G (0; -hoo) и X ~ у^у у S (-оо; 0); в) у = 1пх, X е (0; +оо) и х = у g R, 4.72 Найдите производную функции у = arcctgx, х е Д. 4.73 Найдите производную данной функции: 1 1 arccos тех, х€ I —; — л л а) у а) у = arcsinSx, хе а) у = arccos(-2х), хе б) г/ = arctgx^, X е Д; 5’ 5У 2’ 2 J’ г) у = (arcctg Зл:)^, х е R; е) у = (arcsin 4х)“, лге - § 5. Применение производной 5.1. Максимум и минимум функции В п. 1.2 было дано определение наибольшего и наименьшего значения функции у = f(x) на множестве. Наибольшее значение функции на отрезке [а; Ь] называют еш;е максимумом функции на отрезке [а; &] и обозначают max /(х). Наименьшее значение функции [а;Ь] на отрезке [а; 6] называют еш;е минимумом функции на отрезке [а; Ь] и обозначают min/(x). [а; Ь] Можно доказать, что если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; &], то суш;ествуют точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения. Мы будем считать это важное утверждение очевидным. Например, на рисунке 98 изображен график непрерывной на отрезке [2; 6] функции г/ = /(х), для которой max f{x) = /(3) = 4, min f{x) = /(2) = 1. [2; 6] [2; 6] Точку отрезка [а; &], в которой функция достигает максимума на этом отрезке, называют точкой максимума. Значение функции в этой точке и есть максимум функции на отрезке. Точку отрезка [а; Ь], в которой функция достигает минимума на этом отрезке, называют точкой минимума. Значение функции в этой точке и есть минимум функции на отрезке. В приведенном выше примере х = 3 — точка максимума, а х = 2 — точка минимума. 115 Применение производной Названия и обозначения максимума и минимума происходят от латинских слов maximum (наибольшее) и minimum (наименьшее)* На рисунке 99 изображен график непрерывной на отрезке [а; 6] функции у = f(x). Точка Х2 есть точка максимума этой функции на отрезке [а; Ь]. Кроме точки дг2, на рисунке отмечены еще три точки лгз, Х4. Точка х^ не является точкой максимума на отрезке [а; 6]. Однако можно указать отрезок [х^ - Ь; х^~\- 5] (5 > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; 6], настолько маленький, что на нем точка х^ есть точка максимума этой функции. Такую точку называют точкой локального максимума (от латинского слова lokalis — местный, свойственный данному месту). Итак, точку Xq отрезка [а; Ь] называют точкой локального максимума функции у = f{x)j если существует отрезок [xq - 5; jcq + б] (5 > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; 6], на котором Xq является точкой максимума. Аналогично точку Xq отрезка [а; Ь] называют точкой локального минимума функции у = /(х), если существует отрезок [xq - 5; jCq + 5] (б > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; &], на котором Xq является точкой минимума. На рисунке 99 Xi и х^ — точки локального минимума функции у = fix), а ЛГ2 и Х4 — точки локального максимума функции у = f(x). При этом Х2, кроме того, есть точка максимума этой функции на всем отрезке [а; Ь]. Точки локального максимума и локального минимума функции у = fix) называют точками локального экстремума этой функции. Подчеркнем, что точки локального экстремума есть внутренние точки отрезка [а; б], т. е. они принадлежат интервгшу (а; fc). Иногда слово «локальный» в словосочетании «локальный экстремум» опускают, но подразумевают его. Очевидно, что в точках локального экстремума функции у = f(x), график которой изображен на рисунке 99, производная этой функции равна нулю: f'ixi) = 0, /'(лгг) = 0, fix^) = 0, /'(^4) = 0 (так как касательные в этих точках параллельны оси Ох и равны нулю тангенсы углов их наклона к оси Ох). 116 Однако надо иметь в виду, что обратное утверждение не всегда верно. Если производная функции у = f{x) равна нулю в некоторой точке Xq, то эта точка может не быть точкой локального экстремума функции f{x). Например, производная функции у = в точке X = О равна нулю, но функция у = х^ в этой точке не имеет локального экстремума (рис. 100). I Дадим формальное доказательство того факта, что если функция у = f (д:) имеет производную в точке Xq, являющейся точкой ее локального экстремума, то производная в этой точке равна нулю. В самом деле, пусть для определенности функция у = f(x) имеет в точке Хо локальный максимум. Тогда выполняется неравенство f(x) ^ /(Xq) для всех X, достаточно близких к Xq, независимо от того, будет ли х больше или меньше Хд. Следовательно, для точек х, достаточно близких к Х(), выполняются неравенства f(x) - /(Хо) X - Хп f{x) - /(Хо) ^ о, если X - Хо > о, ^ о, если X - Хо < 0. (1) (2) По условию функция у = f(x) имеет производную в точке Хо, и поэтому существует предел /(х)-/(хо) , hm ------------= f (хо). -ДГ()- X - Хп Из неравенств (1) следует, что Г(х^) ^ 0, а из неравенств^) следует, что f'{x^) ^ о. Но это возможно, лишь если /'(^о) = 0. • Пусть надо найти наибольшее и наименьшее значения функции У = /(^)» непрерывной на отрезке [а; Ь] и имеющей производную на интервале (а; Ь). Для этого надо найти производную f'(x)y приравнять ее к нулю и найти все корни х^, Х2, ...» х^ уравнения /'(^о) = 0, принадлежащие интервалу (а; Ь) (мы считаем, что число корней конечное). Далее надо вычислить значения функции /■(а), /(ЛГ)), /'(лгг). •••> (3) Наибольшее из чисел (3) есть максимум функции у = f{x) на отрезке [а; &], а соответствующее ему значение х — точка максимума на отрезке [а; Ь], наименьшее из чисел (3) есть минимум функции 117 Применение производной у = f(x) на отрезке [а; Ь], а соответствующее ему значение х — точка минимума на отрезке [а; Ь], Объясним, почему так можно отыскивать наибольшее и наименьшее значения, на примере отыскания максимума. Так как по условию функция у = f{x) непрерывна на отрезке [а; 6], то существует точка дго G [а; Ь], в которой функция достигает максимума на отрезке [а; 6]. Возможны два случая: 1) Xq является одним из концов отрезка [а; Ь], т. е. Xq — а или х^ = Ь\ 2) Xq — внутренняя точка отрезка [а; 6], т. е, х^ е (а; &). Во втором случае, как показано выше, производная функции в точке х^ равна нулю. ПРИМЕР 1. Вычислим максимум и минимум функции f(x) = х^ - Zx^ на отрезке [-1; 4]. 1) Найдем производную f{x): f'{x) = {х^ - Зх^У = Зх^ -6х = 3х{х- 2). 2) Приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение: Зх(х-2) = 0. Точки Xi- О и Х2 = 2 есть точки, в которых f'(x) = 0. Точки Xi и Х2 — критические точки функции, так как обе они принадлежат интервалу (-1; 4). 3) Вычислим значения функции в точках -1, 0, 2, 4: /(-1) = -4, /(0) = о, /(2) = -4, /(4) = 16. 4) Найдем наибольшее и наименьшее из чисел (4): (4) max fix) = /(4) = 16, [-1; 4] min/(X) = /(-!) =/(2) =-4. [-1; 4] Таким образом, функция f(x) на отрезке [-1; 4] достигает максимума (у = 16) в точке X = 4, минимума (г/=-4) в двух точках: х = -1 и X = 2. ПРИМЕР 2. Найдем максимум и минимум функции fix) = |д: - 2| на отрезке [0; 6]. График этой функции на отрезке [0; 6] изображен на рисунке 101. Как видно из графика, тах/(х)= /(6) = 4, [0; 6] min fix) — /(2) = 0. [0;6] Чтобы найти максимум и минимум функции fix) на отрезке [0; 6] без опоры на график, надо разбить отрезок [0; 6] на два отрезка [0; 2] и [2; 6], во внутренних точках этих отрезков производная функции не обращается в нуль (а в точке 2 она не 118 существует). Следовательно, для отыскания максимума и минимума на каждом из отрезков [0; 2] и [2; 6] надо сравнить значения функции на концах этих отрезков, а для отыскания максимума и минимума на всем отрезке [0; 6] надо сравнить значения функции в точках о, 2, 6. Итак, для нахождения максимума и минимума функции у = f{x) на отрезке [а; 6] надо знать значения функции в точках интервала (а; ft), в которых у нее нет производной. Внутренние точки отрезка, в которых производная функции f{x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции f{x) на этом отрезке. Из изложенного выше следует, что при отыскании максимума и минимума функции на отрезке надо найти критические точки, лежащие внутри этого отрезка, и сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках. Аналогично определяются максимум и минимум функции на интервале или полуинтервале. Однако здесь имеется существенная разница. Максимум или минимум функции на интервале или полуинтервале может не достигаться. Например, если считать, что на рисунке 98 изображен график непрерывной функции у = f(x)^ но заданной на полуинтервале (2; 6], то она достигает на этом полуинтервале своего максимума 4 в точке 3, но не достигает минимума ни в одной точке этого полуинтервала, так как точка 2 исключена из рассмотрения. В любой точке Хх, близкой к точке 2, минимум не достигается, так как есть другие значения Х2 е (2; 6], для которых f{X2) < /(лГх). ПРИМЕР 3. Найдем максимум и минимум функции f{x) = \х — 2 \ на интервале (0; 6). Минимум функции f{x) на интервале (0; 6) достигается в точке ^ — 2 * min/(x)=/(2) = 0. (0; 6) Максимум функции f{x) на интервале (0; 6) не существует, так как в точке х = 6 функция f{x) не определена, и поэтому для точек д:, лежащих на оси Ох левее точки б, но сколь угодно близких к ней, среди всех значений f(x) не существует наибольшего. функции у = f(x) на отрезке функции y = f(‘<) на отрезке 5.1° а) Что называют максимумом [а; 6], как его обозначают? б) Что называют минимумом [а; &], как его обозначают? в) Верно ли, что если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то существуют точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения? 119 применение производной 5.2 г) Какую точку отрезка [а; Ь] называют точкой максимума функции у = f(x); точкой минимума функции у = f(x)l Как называют значения функции в этих точках? д) Какую точку отрезка [а; 6] называют точкой локального максимума; локального минимума функции у = /(х)? Как называют значения функции в этих точках? е) Что называют точками локального экстремума функции у = f(x)7 ж) Верно ли, что если производная функции y = f{x) равна нулю в некоторой точке jCq, то эта точка может не быть точкой локального экстремума функции у - f(x)? Приведите пример. з) Какие точки отрезка [а; Ь] называют критическими точками функции? Как найти эти точки? и) Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на отрезке. к) * Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на интервале; полуинтервале. Функция у = fix) определена на отрезке [-4; 4], ее график изображен на рисунке 102, а, б. Найдите критические точки функции на отрезке [-4; 4]. В каких из них производная функции равна нулю; в каких не существует? Рис. 102 5.3 В задании 5.2 укажите: а) точки максимума и минимума; б) точки локального экстремума; в) максимум и минимум; г) локальные экстремумы. 5.4* Выполните задание 5.3, если функция определена: а) на интервале (-4; 4); б) на полуинтервале [-4; 4); в) на полуинтервале (-4; 4], 120 5.5* Укажите наибольшее и наименьшее значения функции у - f{x) на отрезке [-2; 2], если: 1-л:, если д: < -1 f-x + 2, если х < —1 X + 2, если -1^х<1 б) у = i -Зх, если -1 ^ х < 1 -Зх + 6, если х>1; 1х—4, если х > 1; в) у = IX - 11 + 12х + 11; г) у = |х-1|-|2х+1|. Найдите критические точки функции у = f(x) на указанном промежутке, если (5.6—5.9): 5.6 а) у = 2x3 _ 3x2, f_3. 3J. б) 5x3 _ 15^^ [_2; 2]; в) у = Зх'^ + хЗ + 7, [-3; 2]; г) у = x'^ - 4x2, [_4; 4J 5.7 а) у = [■ -1; 1]; б) у = [-2; 2]; в) у = 4л/х - - X, (0; 5]; г) у = 2-v/x - X, (0; 2]. 5.8 а) у = - X, [-3; 2]; б) у ^ - хе, [-2; 2]; в) У = sin 2х - X, [-Л, 7с]; г) у = cos 2х + X, [-Л, л]. 5.9* а) у = - ех^, [-е; е]; б) у = е^-2^ [-Л, л]; в) у = In X X ’ (0; л]; г) у = Т—, (-1; л]. 1 + X Найдите максимум и минимум функции у = /(х) на указанном отрезке, если (5.10—5.11): 5.10 а) у = х^ - Зх^, [-1; 3]; б) у = х^ + Зх, [-1; 2]; в) I/ = 2x3 _ 6^2 + 9^ [_2; 2]; г) у = х^~ Зх, [-2; 3]. б) y = 2f + x, [-1; 1]; г) у = х^ + 6х, [-2; 1]. 5.11 а) у = 2x3 _ д.2^ ц. в) у = 2x3 ^ ^ j_g. 2]; 5.12 Найдите критические точки функции: 7з а) у = cos X + — х; б) у = 2 sin х + л/2 х. 5.13 Определите наибольшее и наименьшее значения функции: а) у = X + 1п(-х) на отрезке [-4; -0,5]; б) у = X + е~^ на отрезке [-In 4; In 2]. Можно считать, что 1п2 « 0,7. Д.4 5.14* Найдите максимум и минимум функции у =--------2х^ на: 4 а) отрезке [-2; 2]; в) полуинтервале (—2; 2]; б) интервале (-2; 2); г) полуинтервале [-2; 2). 5.15* Найдите максимум и минимум функции у = д/|х | на: а) отрезке [-1; 1]; б) интервале (-1; 1); в) полуинтервале [-1; 1); г) полуинтервале (-1; 1]. 121 Применение производной 5.16 5.17 При каком значении а наибольшее значение функции у = \х - а\ на отрезке [-2; 3]: а) равно 4,5; б) равно 3,5; в) достигается в двух точках? Последовательность задана формулой общего члена: а) - 30,5rt + 205; б) х„ = - 40,5л + 305. Найдите наименьший член последовательности. 5.2, Уравнение касательной "" ТЕОРЕМА, Пустъ'функция y = f{x) непрерьшна на интервале (а; Ь) и имеет в тощее хр € (а; Ь) производную. Тогда график згой функции имеет в точке (xq; f (xq)) касательную, равнение кото-рой у-Уо = - *о)» где Уо = / (*о)« * = /' (*о)- Доказательство. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции у = f (x) в точке Xq есть тангенс угла наклона касательной Z, проведенной к графику функции f в точке с абсциссой Xq, т. е. k = tga = f'ix^) — угловой коэффициент прямой I (рис, 103). Поэтому уравнение касательной имеет вид y = kx + by (1) где Ь — некоторое число, которое надо определить. Если (хо; Уо) — точка касания, то выполняется равенство {/о = kx^ + Ь, (2) выражающее, что точка (хо; Уо) принадлежит прямой L Найдя Ь из равенства (2) и подставив его в уравнение (1), получим уравнение прямой с угловым коэффициентом ky проходящей через точку с координатами (xq; i/o)* У - Уо = где * = tga = Г(хо)у у^ = /(xq). Теорема доказана. ПРИМЕР 1. Напишем уравнение касательной к графику функции f(x) = х^у проходящей через точку графика с абсциссой Xq = -2. имеет производную f'{x) = 2х. Отсюда у о = = {Xof = (-2)2 = 4, й = Г(хо) = 2хо = 2 • (-2) =-4. Функция f(x) = дг2 agi22_________________________________________________________ Согласно теореме уравнение касательной имеет вид г/ - 4 = = -4 (х + 2), т. е. г/ = ~4х - 4. Касательная к графику функции f(x) = х^ в точке графика с абсциссой -2 изображена на рисунке 104. ПРИМЕР 2. Напишем уравнение касательной к графику функции f(x) = -х^ + 6х - 7у параллельной прямой у = 4х -h 5, Вычислим угловой коэффициент k = /'(Xq) касательной к графику этой функции в точке с абсциссой Xq. Так как f'(x) = (-х^ -f бд: - 7)' = -2х + 6, то А = f'(xo) = ~2xq + 6- По условию касательная должна быть параллельна прямой г/ = 4х + 5у следовательно, ее угловой коэффициент должен быть равен 4, т. е. -2xq -1-6 = 4, откуда Xq = 1, Вычислим значение функции у = f(x) в точке Xq = 1: Уо = ГШ = /(1) = -12 + 6 . 1 - 7 = -2, тогда согласно теореме уравнение касательной имеет вид I/ + 2 = 4(х - 1), т. е. у = 4х - 6. 123 Применение производной (ПРИМЕР 3. Напишем уравнение касательной к графику функции fix) = проходящей через точку М(-1; -3). Так как /(-1) = (-1)^ ^ ^ точка М не принадлежит графику функции f{x) = х^. Пусть Хо — абсцисса точки касания, тогда Уо = ^(^о) = и так как f*{x) = (х^)' = 2х, то А = /'(^о) = 2xq. Поэтому уравнение касательной имеет вид у - Xq = 2xq(x - Xq), т. е. вид y = 2xox-xg. (3) Точка М(-1; -3) принадлежит касательной, заданной уравнением (3), поэтому, чтобы найти Хо, подставим координаты точки М в уравнение (3). Получим верное равенство -3 = 2хо(-1)-х2. (4) Решив уравнение х^ + 2х - 3 = О, получим, что условию (4) удовлетворяют числа Хо = 1 и Xq = -3. Это означает, что существуют две касательные к графику функции /(х) = х^, проходящие через точку М(-1; -3): у = 2х-1иу = -6х - 9. Эти прямые касаются графика функции f(x) = х^ в точках А{1; 1) и В(-3; 9) (рис. 105). • 5.18 Какими свойствами должна обладать функция у = f(x)j заданная на интервале (а; 6), чтобы в точке с абсциссой Xq е (а; Ь) ее график имел касательную? Каково уравнение этой касательной? Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой Xq, если (5.19—5.30): 5.19 f(x) = х2. а) Хо = 0; б) Хо = 1; в) Хо =: 2; г) Хо = -1. 5.20 Пх) = х^ + 2х - - 3. а) Хо = 0; б) Хо = 1; в) Хо = ■ -1; г) Хо = -2. 5.21 f(x) = х^ - Зх^ + X -1. а) Хо = 0; б) ^0 = 1; в) Хо = ■ -1; г) ^0 = -2. 5.22 f(x) = sinx. я ^ 2' я "2 ’ а) Хо = 0; б) Хо = в) Хо = - г) Хо = п. 5.23 fix) = COSX. я _ 2" я ~~2" а) Хо = 0; б) Хо = в) Хо= - г) ^0 = -л. 124 5.24 f(x) = tgx. a) Xq = 0; 5.25 fix) = ctg X. a) ^0 = 5.26 /(д:) = 1пл:. a) Xq = 1; 5.27 fix) = log2 X. a) xo = 1; 5.28 fix) = 2\ a) дсо = -1; 5.29 fix) = e^. a) Xq = -2; 5.30 a) fix) = 8 V7 б) к хо=~; в) Хо - г) к Xq - —. б) 71 Xq - в) лго = г) К Хс\= ® 6 б) Хо = 2; в) Хо = 3; г) Хо = е. б) Хо = 2; в) Хо = 4; г) Хо = 8. б) Хо = 0; в) Хо = 2; г) Xq = 3. б) Хо = -1; в) Хо = 0; г) Хо = 2. Хо = 4; б) fix)= Хо = 2; VX KX b) fix) = sin — + ln(2 - x), Xq = 1; r) f(x) = COSnX~€^~^yXQ=l, 5.31 В каких точках касательная к графику функции у = /(х) параллельна оси Ох, если: а) fix) = х^ -ь 4х - 12; б) fix) = Зх^ - 12х + 11; в) fix) = х^- 12x2 + Збх - 1; г) fix) = 2х^ + 6x2 - 7? 5.32* Углом пересечения графика функции у = fix) и прямой I называют угол между прямой I и касательной к графику функции, проведенной в точке пересечения. Под каким углом пересекает ось Ох график функции у = fix) в каждой из точек пересечения, если: а) у = х2 + X - 2; б) у = 5x2 4х - 9; в) у = 2х^ - 12x2 + _ g. г) у = Х^ + 6x2 5.33* Под каким углом пересекает ось Оу график функции в предыдущем задании? 5.34 Напишите уравнение касательной к графику функции fix) в точке с абсциссой Xq = е, если: а) /(х) = х''; б) fix) = €^. 5.35 Напишите уравнение общей касательной к графикам функций fix) = х2 - 2х + 1 и ф(х) = -х2 -н 4х - 8. Найдите два способа решения задачи. 125 Применение производной 5.36 а) При каком значении а прямая у = 1х + а является касательной к графику функции у = + Зх? б) При каком значении а прямая г/ = -10х + а является касательной к графику функции у — х^- 4х? 5.3. Приближенные вычисления Пусть функция f(x) имеет производную в точке Xq и требуется найти приближенно значение этой функции в близкой к точке Xq точке X = Xq + Ах. Так как функция /(х) имеет производную в точке Xq, то справедливо равенство дх—О Ах При Ах, близких к нулю, справедливо приближенное равенство (1) ~ /'(^0+ - /(Х„) ’ ---------------------------' которое выполняется тем точнее, чем ближе значение Ах к нулю. Из приближенного равенства (1) получаем приближенное равенство f{xQ +^x)~ f{xo) +f'(XQ)^x. (2) Приведем примеры использования равенства (2) для приближенных вычислений. ПРИМЕР 1. Вычислим приближенно значение функции /(х) = х’® в точке X = 1,01. Имеем X = 1 + 0,01. Примем Хо =1, Ах = 0,01. Тогда так как Г(х) = 10x^, то Ахо) = /(1) = = 1, Г(хо) = Г(1) = 10.1® = 10. Используя равенство (2), имеем /(1,01) = /(1 + 0,01) == /(1) + /'(1) * 0,01 = 1 + 10 • 0,01 = 1,1. ПРИМЕР 2. Вычислим приближенно -^3,96, Рассмотрим функцию /(х) = Vx для х > 0. Примем Xq = 4, Ах = - 1 -- 1 = -0,04. Тогда так как f'(x)= (х2)'= - х 2 = ——, то 2 2л/х Пхо) = /(4) = л/4 = 2, Г(хо) = П4) = -^= i 2V4 4 Используя равенство (2), имеем Д4 - 0,04) * /(4) + Г(4) • (-0,04) = 2 + ^ ■ (-0,04) = 1,99. Итак, = 1,99. 2126 I ПРИМЕР 3, Вычислим приближенно tg46°. Рассмотрим функцию f{x) = tgx. Так как 46°= —+ (ради- 4 180 ан), то положим Xq = Ал: = Тогда так как f{x) = (tgx)' = 4 180 ТО cos^ — = 2. Используя равенство (2), имеем - + —1 ~ f 14 180 J -] + Г [-] • — = 1 + 2 • ~ 1,035. i 4 j М, 4 j 180 180 Итак, tg46° ~ 1,035. 5.37 Напишите формулу для приближенного вычисления значения функции f{x) в точке Хц + Дл:. 5.38 Вычислите приближенно f{,XQ + Ах), если: а) fix) = х^, Xq = 5, Ах = 0,01; б) fix) = х^, Xq = 3, Дх = -0,01; а) fix) - -Jx, Xq = 16, Дд: = 0,02; г) fix) = Inx, Xq = e. Ax - 0,01; Д) fix) - 2^, дго = 2, Дх = -0,02. 5.39 Вычислите приближенно: а) 5,012; Q) 7 982. g) 2,99^; д) д/35,98; е) ж) и) 1,012°; 0,982°; 2,01*°; г) 7^; з) 1пЗ; м) 1,99^^ 5.40 Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближенного вычисления квадратного корня из числа, близко- го к 1: л/l + Ах 1 + -Ал:. 2 Вычислите приближенно с помощью этой формулы: а) yllM; б) в) 70,99; г) 70,98. 5.41 Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближенного вычисления л-й степени числа, близкого к 1: (1 + Ал:)'* ^ 1 + лАл:. 1127 Применение производной Вычислите приближенно с помощью этой формулы: а) (1,001)100; б) (0,998)100; ЛО ^ /_____х15 д) 1000^ 1001 е) '1000 у 998 5.42* Вычислите приближенно: а) sin 1°; б) sin 2°; д) cos 91°; е) cos 61°; 5.43* а) tg47°; б) tg2°; в) (1,003)25; , ч20 ' 1000'i ж) 1003 в) sin 31°; ж) cos 59°; в) ctg46°; г) (0,9997)25; з) г) з) 10 000 9997 J sin 29°; cos 89°. 35 г) ctg88° 5.4*. Теоремы о среднем Ниже доказаны теоремы, имеющие большое значение в математическом анализе, — теорема Ролля и теорема Лагранжа. Их называют теоремами о среднем. •«■■анаявпвя ■ ■■ншнмянааяянвапшмярвжясвя " резке [а; ь], зДДШКИИИИИИВЩ|б111111ВЦ§1К»;||1^ яф S ^ ет равные зяачётая]|КИЯ(Н№В!о^^з1^Д Т^ЬТГУаЖ. Яш'^ f (^)> Р ГДЕ на интервале (<|12|||^И||«ся хотя;б тМсая точка «cfS * в которой произво,{|ц|*|д|ц{ функции равна нулю: тм.^.Жштшшттттшштштштшшштшштшттшшттшштшшшшшшшшштттштшштттшштвт лгтттшшшшшшшштттжштттштшттщттттттттттшттттшттттшшттшттттштшшттт^ттт На рисунках 106 и 107 изображены графики функций, удовлетворяющих условию теоремы Ролля. У первой функции имеется только одна точка с интервала (а; &), в которой ее производная равна нулю if (с) = 0), у второй функции имеются две такие точки Сх и С2 (Г(С1) = Г(С2) = 0). Доказательство. Пусть Хх и Х2 — точки, в которых функция f достигает на отрезке [а*, Ь] соответственно минимума и максимума. 128_______________________________________________________ Если f(Xi) < f(a)^ то тогда f(Xi) < f{b)j так как f{a) = f(b). Это означает, что точка Xi принадлежит интервалу (а; 6) и в ней функция f достигает локального минимума. Но тогда, как мы знаем, /Ч^х) = О и можно считать, что с = Ху. Если f(x^ > Да), то тогда fix^) > /(&), так как /(а) = f{b). Это означает, что точка х^ принадлежит интервалу (а; 6) и в ней функция f достигает локального максимума. Но тогда, как мы знаем, /'(^2) = О и можно считать, что с = Х2* Остается еще один случай, когда f(Xi) = f{x2)- Но тогда так как f(a) = f{b)j то для всех х из отрезка [а; &] значения функции f(x) равны одной и той же константе А = /(а). В этом случае в качестве с можно взять любую точку интервала (а; Ь) — в ней f'(c) = 0. Теорема 1 доказана. таОРЕМА А (Лагранжа). Пусть функция fix) непрерывна на отрезке [а; имеет производную на интервале (а; &). Тогда на интервале (а; Ь) найдется хотя бы одна такая точка с, в которой производная этой функции удовлетворяет равенству = f (с) {а<с<Ь), (1) Ь ~ а или, что то же самое, равенству fib) ~ f (а) = f (с) (Ь " а) (а< с < Ь). (2) Теорема Лагранжа имеет следующий геометрический смысл (рис. 108). Левая часть равенства (1) есть тангенс угла наклона к оси Ох хорды, стягивающей точки (а; /(а)) и (6; fib)) графика функции у = fix)^ а правая есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой точке с абсциссой с, принадлежащей интервалу (а; &). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график функции, непрерывной на отрезке [а; Ь] и имеющей производную на интервале (а; &), то на этой кривой существует точка, имеющая абсциссу с (а < с < 6), такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а; /(а)) и (6; f(b)). Доказательство. Рассмотрим функцию Fix) = ifib) - fia))x -ib- a)fix). Она непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет производную на интервале (а; Ь), равную F'ix) = ifib) - fia)) -ib- а)Пх). 129 Примене>ше производной Кроме того, F(b) = -f(a)b + af(b), F{d) = f(b) a - bf(a), и, следовательно, F (a) = F (6). Ho тогда no теореме Ролля на интервале (а; Ь) существует точка с, для которой F’ (с) = О, т. е. (/(&) - Па)) -ф-а)Г(с) = 0 (а<с< Ь), откуда следует равенство (2). ПРИМЕР. Функция f(x)=4x непрерывна на отрезке [0; 1] и имеет производную по крайней мере на интервале (0; 1). К ней применима теорема Лагранжа. Это означает, что существует точка с е (0; 1), такая, что = (3) Так как f {х) — Г(с) = 1 1-0 то —^ = 1, откуда следует, что с = -. Зна-2л/с 4 чит, в точке с — — справедливо равенство (3). 4 5,44"* Сформулируйте теорему Ролля. 5.45 Не вычисляя производной, объясните, почему внутри указанного отрезка функция f(x) имеет точку, в которой производная этой функции равна нулю, если: а) f(x) = -х^ н- Зх, [-1; 2]; б) f(x) = х^ Зх^у [-3; 0]. 5.46 Сформулируйте теорему Лагранжа. 5.47 Дана функция fix). Внутри отрезка [а; 6] найдите точку с, для fib) - fia) если: которой справедливо равенство /' (с) = Ь ~ а а) fix) - х^у а = -1, 6 = 2; б) fix) = х^у а = -2, 6=1; в) fix) - а = о, 6 = 27; г) fix) = а = -27, 6 = 0. 5.48 Через две точки А и В графика функции у = имеющие соответственно абсциссы а и 6, проведена секущая АВ. Существует ли точка С графика функции с абсциссой с е (а; 6), через которую можно провести касательную к графику этой функции, параллельную секущей АВ1 5.5, Возрастание и убывание функции Пусть функция fix) непрерывна на промежутке I и имеет внутри промежутка производную fix). Тогда: 1) если f*ix) > о внутри промежутка /, то функция f возрастает на промежутке /; 2) если f*ix) < о внутри промежутка J, то функция f убывает на промежутке I. 130 в самом деле, Г{х) = tga, где а — угол между касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х и положительным направлением оси Ох. Но если f'{x) > 0 внутри промежутка /, то всюду внутри него угол а острый, что может быть, только если функция возрастает на промежутке I (рис. 109, а). Рис* 109 Подчеркнем, что при этом на концах промежутка I производная может быть равна нулю или не существовать. Если же Г(х) < о внутри промежутка /, то всюду внутри него угол а тупой, что может быть, только если функция убывает на промежутке I (рис. 109, б). Приведенные здесь рассуждения не являются доказательством утверждений 1 и 2, они лишь дают представление о связи знака производной функции внутри промежутка I и поведения самой функции (возрастания, убывания) на промежутке /. ■ Утверждения 1 и 2 являются следствиями следующей теоремы: " ТЕОРЕМА. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке I ' и имеет производную f{x) в каждой точке внутри промежутка I. Тогда: а) если /'(х)>0 для каждого х внутри промежутка /, то функция f(x) возрастает на промежутке /; б) если f (х) < о для каждого х внутри промежутка /, то функция f(x) убывает на промежутке /; в) если /' (д:) = 0 для каждого х внутри промежутка /, то функция f(x) постоянная (константа) на промежутке I. Доказательство. Пусть Xj и — любые точки промежутка /, такие, что < Х2. Рассмотрим отрезок [Х|; Хг]. Так как [х^; Хг] с /, то функция /(х) непрерывна на отрезке [х^; Хг] и внутри его имеет производную. Применяя теорему Лагранжа, получаем, что на интервале (Xi; Х2) найдется такая точка с, что fiX2)~fix^) = f'(c)(X2-Xi). (1) 1131 Применение производной а) Если Г{х) > О для всех х внутри промежутка то f{c) > О, и тогда из равенства (1) следует, что f{X2) > f{Xx). (2) Так как jcj и Х2 — любые точки промежутка /, то неравенство (2) означает, что функция f возрастает на промежутке б) Если fix) < О для всех х внутри промежутка 7, то f'{c) < О, и тогда из равенства (1) следует, что fiXz) < f{Xi). (3) Так как Хх тл х^ — любые точки промежутка 7, то неравенство (3) означает, что функция f убывает на промежутке 7. в) Если же fix) = О для всех х промежутка 7, то fic) = О, и тогда из равенства (1) следует, что f{X2) = f{Xy). (4) Так как Xi vl Х2 — любые точки промежутка 7, то равенство (4) означает, что функция /(д:) = С для всех х промежутка 7, где с = /(xi). • ПРИМЕР 1. Найдем промежутки возрастания функции fix) = х^. (5) Функция (5) непрерывна и имеет производную для всех х е R. Так как f ix) = (х^)' = Зх^, то fix) = О при х = О и f'ix) > О при х 0. По утверждению 1 функция (5) возрастает на каждом из промежутков (-со; 0] и [0; +оо). Но тогда функция (5) возрастает и на всем интервале (-оо; ч-оо). В самом деле, пусть х^ < Хз, тогда если Х2 е (-оо; 0] или Хх е [0; +оо), то уже доказано, что /(хх) < ДХ2). Остается случай Хх < о < Х2. В этом случае из возрастания функции на промежутках (-оо; 0] и [0; +оо) следует, что fixi) < fiO) и /(0) < /(Х2)» но тогда /(хх) < /(Х2). Таким образом, функция (5) является возрастающей на всем интервале (-оо; н-оо). ПРИМЕР 2, Найдем промежутки возрастания (убывания) функции fix) = 1п(х2 - 3). (6) функция (6) определена при х^ - 3 > 0, т. е. на объединении интервалов (-оо; -л/З) И (л/З; Ч-оо). На каждом из этих интервалов функция (6) имеет производную. Так как (х) =_____—______ ^ (x-S)ix^S) ’ то ни в одной из точек этих интервалов производная функции (6) не обращается в нуль. I.‘i2 Так как f'{x)>0 для любых х > л/з и f'{x)<0 для любых x<-V3, ТО по утверждениям 1 и 2 функция (6) возрастает на промежутке (л/З; +оо) и убывает на промежутке (-оо; -л/З). Она не определена на отрезке [-л/З; л/З]. Утверждения 1 и 2 позволяют определять, является ли критическая точка, в которой производная равна нулю, точкой локального максимума или точкой локального минимума. Пусть функция f(x) имеет производную внутри промежутка I и критическая точка Xq лежит внутри /, тогда: а) если в точке Xq производная меняет знак с на то Xq — точка локального максимума; б) если в точке Xq производная меняет знак с на «+», то Xq — точка локального минимума. Рассмотрим случай «а*. Действительно, так как производная слева от точки Xq (в левой ее полуокрестности, т. е. в интервале (xq - 6; Xq), где 6 > 0) положительна, то функция возрастает на промежутке (xq - 5; Xq]. Так как производная справа от точки Xq (в правой ее полуокрестности, т. е. в интервале (xq; Xq + 5), где 6 > 0) отрицательна, то функция убывает на промежутке [xq; Xq + 5). Значит, в точке Xq она принимает наибольшее значение среди всех значений в ее окрестности, т, е. точка Xq — точка локального максимума. Если обозначить возрастание функции знаком /*, а убывание — знаком то схематически проведенное рассуждение можно изобразить так, как на рисунке 110. Рассуждая аналогично, получим, что в случае «б» точка Xq — точка локального минимума (рис. 111). Пх) т Рис. по max Пх) fix) Риг. Ш min ПРИМЕР о. Найдем промежутки возрастания (убывания) и точки локального экстремума функции fix) = - 6х^ + 9х - 1. Функция fix) имеет производную для всех х е R. Так как f'(x) = (х^ - 6x2 + 9д. _ 1)' = 3x2 - 12х + 9 = 3(х - _ 3)^ f'(x) = о при X = 1 и при X = 3; f ix) > о при X е (-оо; 1) и при х е (3; +оо); f'(x) < о при X е (1; 3). Щ133 III Применение производной fix) " 1 ' max 3 min По утверждениям 1 и 2 функция f'(x) fix) возрастает на каждом из промежутков (-оо; 1] и [3; +оо), убывает на промежутке [1; 3] (рис, 112). * Следовательно, в точке х = I " функция fix) имеет локальный максимум, а в точке х = 3 — локальный минимум. 5.49 Функция fix) непрерывна на промежутке I и имеет внутри промежутка производную f'ix). Объясните, как по знаку производной можно заключить, возрастает или убывает она на промежутке /. 5.50 Докажите, что функция fix) возрастает на указанном промежутке, если; а) fix) = Зх + 4, X G jR; б) fix) = ftx + /, й > 0, х g Д; в) f(x) = X S [0; +оо); г) f(x) = -х^, х е (-оо; 0]; п к д) fix) = sinx, X е ж) fix) = 2^, X G R; 2’ 2 е) fix) = COSX, X G [к; 2к]; з) fix) = log2X, X G (0; +оо). 5.51 Докажите, что функция fix) убывает на указанном промежутке, если: а) fix) = -Зх -ь 8, X е Д; в) fix) = -х^, X е [0; +оо); К Зл д) fix) = sinx, X G 2" 2 ж) fix) = (0,5)^ X G Д; б) fix) = йх + Z, й < о, X G Д; г) fix) ^ х^, X е (-оо; 0]; е) fix) = COSX, X G [0; к]; з) fix) = logo.5 л:, X G (0; +оо). 5.52 Докажите, что функция: а) /(х) = 2х-н cosx; б) /(x) = x + sinx возрастает на промежутке Д. 5.53 Докажите, что функция: а) /(х) =-2х + cosx; б) /(х) = —х-ь sinx убывает на промежутке Д. 5.54 Докажите, что функция /(х) = ^ убывает на каждом из промежутков (-оо; 0) и (0; +оо). 5.55 Докажите, что функция fix) = х^ - бх^ и- 9х - 1 возрастает на каждом из промежутков (-оо; 1] и [3; +оо). 134 5.56 а) Докажите, что функция ^ = 1п(4 - 2х) убывает на полной области определения. б) Докажите, что функция у = 1п(2х - 6) возрастает на полной области определения. 5.57 Найдите критические точки, промежутки возрастания и убывания функции: а) у = 2х^ - Зх^ - 12л: + 6; б) у = х^ - 6х^ 9х + 3; в) у = 5х^-1пх; г) у = 1пх-2х^. 5.58 Для функции f(x) найдите промежутки непрерывности, промежутки возрастания (убывания), если: 2,5 в) f(x) = 2х^ - In х; б) f(x) = X - 5 г) f(x) = lnx-4,5x^. 5.59* Докажите, что функция f(x) = -x^-x^-8x+l на отрезке О [-1; 3] имеет единственный нуль. Сколько нулей на промежутке (-оо; -hoo) имеет функция f(x)? Определите точки локального экстремума функции f(x), 5.60* Определите точки локального экстремума функции: ч ч X .-ч /.у ч —4х а) f(x)=——б) f(x)= . + О Х^ -h 1 Достигает ли функция f(x) в точках локального экстремума своего наибольшего (наименьшего) значения? 5.61* Докажите, что функция f(x) = х^ + 4х^ -ь 28 принимает положительные значения для каждого х е R, 5.6. Производные высших порядков Пусть функция f(x) имеет производную Г(х) в каждой точке интервала I. Тогда f'(x) есть функция, также определенная на интервале I. Если функция f'(x) имеет производную в каждой точке интервала /, то ее называют второй производной функции f(x) и обозначают так: f''(x). Тогда f"(x) также есть функция, определенная на интервале I. Аналогично определяются производные высших порядков f^'^^{x) (п е N, п> 3) функции fix). Отметим, что fix) — производную функции fix) — называют иногда первой производной функции fix). ПРИМЕР 1. Найдем вторую производную функции fix) = х'^ + х^ х^ X + 1. 135 Применение пронпволной Так как функция f{x) определена и имеет производную в каждой точке интервала (-оо; н-оо), то функция fix) = л- л- X л- 1)' = + Zx^ + 2л: + 1 также определена в каждой точке интервала (-оо; +оо). Она имеет в каждой точке этого интервала производную f"ix) = (4x3 3^? + 2х + ly = 12x2 + 6х -н 2. ПРИМЕР 2. Найдем четвертую производную функции fix) - sinx. В каждой точке интервала (-оо; ч-оо) имеем fix) = (sinx)' = cosx, f'ix) = (cosx)' = -sinx, f”'{x) = (-sinx)' = -cosx, f^^ix) = (-cosx)' = sinx. Отметим, что в механике движение называют равномерным, если его скорость постоянна, и движение называют равноускоренным, если его ускорение постоянно. Пусть точка движется по прямой по закону s^fit). (1) Первая производная функции (1) есть скорость точки: з' = Г(0. Вторая же производная функции (1) есть скорость изменения скорости, т. е. ускорение точки: 5"=Г(0. Таким образом, если точка движется по закону (1), то механический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная определяет ускорение этой точки. Если точка движется по прямой по линейному закону S = at + bj где а и & — данные числа и а ^ О, то это движение равномерное, потому что его скорость s' = а постоянна. Если точка движется по прямой по квадратичному закону S = at^ bt + Су где Uy Ь и с — данные числа и а О, то это движение равноускоренное, так как его скорость s' = 2at ч- Ь зависит от времени, а ускорение s"= 2а постоянно. Подчеркнем, что если точка движется по прямой по закону 5 = fit)y то s' и s" есть функции времени. Только в случае если точка движется по прямой по линейному закону, s' есть постоянная, т. е. движение равномерное, и только если точка движется по прямой по квадратичному закону, s" есть постоянная, не равная нулю, т. е. движение равноускоренное. 5.62 а) Что называют второй производной функции f{x)l Как ее обозначают? б) Как находят производные высших порядков? 5.63° а) Какое движение в механике называют равномерным; равноускоренным? б) В чем заключается механический смысл второй производной? в) Точка движется по прямой по закону s(t) = + v^t -к Sq. Какой механический смысл имеют числа а, Vq, Sq? 5.64 Точка движется по прямой по закону s(i). Выразите скорость v точки и ее ускорение а как функцию времени i. Определите и и а в момент времени если: а) s(t) = - 10^ -h 1, ^ = о, ^ = 2, ^ = 4; б) s(t) = 2t^ - н- 1, ^ = о, t = 1, t = 5; в) s(t) = — 2t^ -h f + 1, i = 0, t = 2j i = 3. Определите в каждом случае момент времени, когда скорость точки равна нулю. 5.65* Пусть при прямолинейном движении тела его координата х (в метрах) меняется по закону: а) х(0 = 5^ н-sin3f - 2cos^; б) x(t) = - cos2^-ь 3sin^, A о где t — время (в секундах), t > 0. Найдите начальную скорость и начальное ускорение тела. 5.66 Найдите f"(x)f если: а) f(x) = - х^; б) f(x) = ^x^ + ^x^; в) f(x) = 5х^ - 4х^ -h 7х - 13; г) f(x) = -13д:^ + 4х'^ - х. 5.67* Найдите производные порядков 1, 2, 3 функции f(x) = + а„_ iX^" * + ... + ajX -h Oq, где л ^ 2. Запишите полученный результат для л = 2, л = 3, л = 4. 5.68 Найдите производную порядка 200 функции: а) /(x) = sinx; б) /(x) = cosx; в) f(x) = e^, 5.69* Найдите производные порядков л и (л - 1) функции fix) — а„х" + Лп _ jx"” * -h ... + ауХ 4- Oq, где л ^ 2. 137 Применение производной 5*70* Найдите производную порядка п функции: а) fix) = (х + 2)"; б) fix) = в) fix) = 3^; г) fix) = (X - 2)\ Докажите полученные формулы с помощью метода математической индукции. 5.71* Найдите производную порядка п функции fix) = (х + а)'”, где m е ЛГ, m > л. 5.7*. Выпуклость графика функции Рассмотрим функцию у = fix), имеющую на интервале (а; Ь) вторую производную f"ix). Вторая производная функции fix) есть первая производная функции f'ix), поэтому: 1) если f''ix) > О на интервале (а; Ь), то первая производная f'ix) на этом интервале возрастает; 2) если /"(х) < О на интервале (а; Ь)у то первая производная fix) на этом интервале убывает. На рисунках 113—115 изображены графики функций, соответствующие случаю 1. Объясним это. Для каждого из этих трех графиков при возрастании X от а до 6 тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох возрастает. На рисунке 113 угол а острый для всех значений х из интервала (а; Ь); с возрастанием х угол а увеличивается и его тангенс (положительный) увеличивается. На рисунке 114 угол а тупой; с возрастанием х угол а увеличивается и его тангенс (отрицательный) увеличивается. Наконец, на рисунке 115 тангенс сначала растет, принимая отрицательные значения на интервале (а; с), обращается в нуль в точке х = с, а затем растет, принимая положительные значения на интервале (с; 6). Так как в любой точке х е (а; 6) имеем tga = /'(x), то рост тангенса 138 У <0. / О а Рис. 116 угла а означает, что на интервале (а; 6) функция у = f'(x) возрастает. Возрастание же первой производной, т. е. возрастание tga, вызвано тем, что вторая производная функции f положительна на интервале (а; 6). Во всех трех рассмотренных случаях график расположен выше касательной, проведенной в любой его точке. График функции называют выпуклым вниз на интервале (а; Ь), если он расположен выше касательной, проведенной в любой его точке интервала (а; Ь). На рисунках 113—115 изображены графики функций, выпуклые вниз. График функции называют выпуклым вверх на интервале (а; Ь), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой его точке интервала (а; Ь). На рисунках 116— 118 изображены примеры графиков функций, выпуклых вверх. Справедливо утверждение 1, выражающее геометрический смысл второй производной: если функция f (х) на интервале (а; Ь) имеет положительную вторую производную то на этом интервале график функции y = f(x) имеет выпуклость вниз; если же функция f(x) на интервале (а; Ь) имеет отрицательную вторую производную f'^(x)j то на этом интервале график функции у — f (х) имеет выпуклость вверх. В случае 1 это утверждение уже разъяснено, а в случае 2 его разъяснение следует из рассмотрения графиков на рисунках 116—118. Справедливо утверждение 2. Пусть функция f (х) имеет в окрестности точки л^о непрерывную вторую производную (х). Если f' (Xq) = О, то функция f(x) имеет в точке Xq локальный максимум. Если же /'(л:о) = 0, то функция f (х) имеет в точке Xq локальный минимум. Справедливость утверждения 2 следует из доказанной ниже теоремы, если учесть, что из того, что вторая производная отрицательна в точке Xqj в силу предположения о ее непрерывности следует, что она отрица- 139 llpjiMeiK^Hiie upon :«водной тельна в некоторой окрестности этой точки. Из того что вторая производная положительна в точке Xq, в силу ее непрерывности также следует, что она положительна в некоторой окрестности этой точки. ТЕОРЕМА. Пусть функция f{x) имеет вторую производную f"(x) на интервале (xq - 6; дго + б) (6 > О) и пусть первая производная этой функции в точке Xq равна нулю: (xq) = О. Тогда: а) если f"(^:)>0 на интервале (xq - 6; лго + б), то функция f(x) в точке Xq имеет локальный минимум; б) если f'(x)<0 на интервале (дго - б; jcq + 6), то функция f(x) в точке Xq имеет локальный максимум. Доказательство. а) Пусть f'^ix) > О на интервале (xq - 5; Xq + б) и /'(^о) = Так как вторая производная есть первая производная от первой производной: f''ix) = if'(x))\ то на основании теоремы (п. 5.5) функция f'(x) на интервале {Xq - 5; Xq + б) возрастает, но f'(XQ) = О, поэтому f'(x) < О на интервале (xq - 5; Xq) и f*(x) > О на интервале (Xq; Хо н- б), т, е, первая производная при переходе через точку Xq меняет знак с «-» на «+». Но это означает, что функция f в точке Xq имеет локальный минимум. б) Подобным образом доказывается теорема и в случае f*'{x) < О, приводящем к локальному максимуму в точке Xq. Говорят, что точка Xq есть точка перегиба кривой — графика функции у = f(x)y если существует достаточно малое 8 > О, такое, что для всех X е (xq - б; Xq) кривая находится по одну сторону касательной к кривой в точке с абсциссой Хо, а для всех х € (xq; Xq + б) — по другую. Иными словами, если при переходе х через Xq точка кривой переходит с одной стороны касательной на другую. Если функция /(х) в каждой точке окрестности точки Xq (включая и точку Хо) имеет вторую производную f”{x)^ а в точке Xq вторая производная меняет знак с «+* на или с на то точка Xq является точкой перегиба ее графика. Чтобы найти точки перегиба графика функции у = f{x) на интервале (а; Ь), надо найти вторую производную /"(^) и решить уравнение Пх) = 0. (1) Те корни уравнения (1), которые принадлежат интервалу (а; Ь) и в которых вторая производная меняет знак с «+» на «-» или с «-» на «+», и являются точками перегиба графика функции y = f{x). ПРИМЕР, Найдем промежутки выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба графика функции fix) = - д;2. (2) 140 \ 1 - -1- N. ■ Рис. 119 Функция (2) определена для всех х е Д. Вычислим вторую производную функции (2). Так как f(x) = j =х^- 2х, то Г(лг) = (х2 - 2х)' = 2х - 2 = 2 (х - 1). Очевидно, что вторая производная функции (2) обращается в нуль в единственной точке х= 1, отрицательна на интервале (-оо; 1), положительна на интервале (1; н-оо). Следовательно, точка х = 1 — точка перегиба графика функции (2). На интервале (-оо; 1) график функции (2) имеет выпуклость вверх, а на интервале (1; +оо) — выпуклость вниз. На рисунке 119 изображены график функции (2) в окрестности точки X = 1 и касательная, проведенная к графику в точке с абсциссой X = 1. 5.72® В каком случае график функции у = /(х) на интервале (а; Ь) называют: а) выпуклым вниз; б) выпуклым вверх? 5.73° Объясните, как по знаку второй производной функции у — f{x) на интервале (а; Ь) определить выпуклость вверх (вниз) графика этой функции на интервале (а; 6). 5.74® Объясните, как по знаку второй производной функции у = f{x) в точке Хо, в которой /'(л^о) = 0» определить вид локального экстремума этой функции в точке Xq. 5.75° Какую точку называют точкой перегиба кривой — графика функции у = /(х)? Как найти точку перегиба графика функции у = /(х)? 5.76 Определите промежутки выпуклости вверх (вниз), точки перегиба (если они есть) графика функции у = /(х), если: а) /(х) = х^ -I- 3x2; в) /(х) = -2х^ + Зх2; г) д) f(x) - 5^; е) ж) fix) = log2x; з) к) /(x) = cosx; л) fix) = х^ - 3x2 5х - 4; f ix) = -4х^ - 6x2 7^. fix) = (0,5)^; f(x) = logo,7x; и) /(x) = sinx; fix) = tgx; m) fix) = ctgx. 5.77 Верно ли, что если в некоторой точке вторая производная функции у = fix) равна нулю, то эта точка является точкой перегиба графика функции у = /(х)? 141 Применение производной 5.78 Определите промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции у = /(х), если: а) f{x) = \x^■ - 1\; б) /■(д:) = IsinxI; в) /(дг) = ltgx|. Есть ли у графика этой функции точки перегиба? 5.8*. Экстремум функции с единственной критической точкой Пусть на промежутке I с концами а и Ь определена функция f(x). Требуется найти ее локальные экстремумы на промежутке Промежуток I может быть отрезком, интервалом или полуинтервалом. При этом подразумевается, что а либо действительное число, либо -оо; Ь либо действительное число, либо +оо. Мы знаем, что внутреннюю точку Xq промежутка /, т. е. точку, принадлежащую интервалу (а; 6), называют критической точкой функции fix), если производная f'(x) в этой точке равна нулю или не существует. С другой стороны, если в точке Xq € (а; Ь) функция достигает экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует, т, е. точка Xq критическая. Пусть функция fix) непрерывна на промежутке I вместе со своей производной f'ix). Рассмотрим случай, когда внутри промежутка I нет критических точек. Тогда производная f'ix) на интервале (а; 6) должна иметь один и тот же знак, так как если бы в двух разных точках Xi и Х2 интервала (а; Ь) производная f'ix) имела бы разные знаки, то вследствие ее непрерывности между точками Хх и Х2 нашлась бы точка с, в которой f'ic) = О (см. п. 2.5), что невозможно, так как на интервале (а; Ь) нет критических точек. Но если производная на всем интервале сохраняет один и тот же знак, то функция f ix) возрастает на промежутке /, если /'(х)> О, или убывает на промежутке /, если /'(л:)<0, т. е, функция fix) строго монотонна на промежутке I, Пусть теперь на промежутке I с концами а и Ь функция fix) непрерывна вместе со своей производной f^ix) и на интервале (а; Ь) имеется единственная ее критическая точка Xq. В этом случае промежуток I делится на два промежутка — один с концами а и jcq, другой с концами Xq и Ь (рис. 120). Внутри этих промежутков критических точек нет, поэтому к ним применимы только что приведенные рассуждения. Поскольку точка Xq — критическая, то в ней производная равна нулю. Это возможно только в четырех случаях, они изображены на рисунках 121—124. На рисунке 121 изображен график функции fix), имеющий единст- ^ ^ ^ венную критическую точку Xq на ® промежутке с концами а и 6 и в этой ■ Рис. 120 142 точке достигается минимум на промежутке с концами а и &. При этом f'(x) < О слева от точки Xq, т. е. на интервале (а; Xq), и f'(x) > О справа от точки Xq, т. е. на интервале (xq; Ь). На рисунке 122 изображен график функции fix), которая в точке Xq достигает максимума на всем промежутке с концами а и Ь, при этом f'(x) > О слева от точки Xq и f'{x) < О справа от нее. На рисунках 123 и 124 изображены графики функций, у которых в точке Хо нет ни максимума, ни минимума. Приведенные выше рассуждения говорят о справедливости следующего утверждения 1: Пусть на промежутке / с концами а нЬ функция / (х) непрерывна вместе со своей производной (х) и Xq — единственная точка на интервале (а; Ь), в которой f'(x) = О, Тогда если на интервале (а; Ъ) найдутся точки Xj и Х2, такие, что Xj < Xq < Х2 и: ft) /'(^i)>0, Г(Х2)<0, то в точке Хо функция f(x) достигает своего максимума на промежутке /; б) f'(x2)>0, то в точке Хо функция /(х) достигает своего минимума на промежутке I. Подчеркнем, что этот экстремум единственный. 143 Применение нроизво.хнон ПРИМЕР 1. Найдем максимум функции fix) = X + — — на интерва- Пх) fix) ^ -1 О / лч ле (-оо; 0). Функция f определена для всех X из этого интервала. Найдем первую производную функции /: Рис 125 1)(^ + 1) = ^—• х^ На интервале (-оо; 0) функция f имеет единственную критическую точку X = -1, в которой производная Г{х) обращается в нуль, В этой точке производная fix) меняет знак с «+» на «-» (рис. 125), следовательно, в точке х = -1 функция имеет максимум на интервале (-оо; 0). Таким образом, max fix) = /(-1) = -2. (-оо; 0) Справедливо утверждение 2: Пусть на промежутке I с концами а и Ь функция f ix) непрерывна вместе со своими первой и второй производными п Xq — единственная точка на интервале (а; Ь), в которой f' ix) = 0. Тогда: а) если f'iXo)>0, то точка Xq есть точка минимума функции fix) на промежутке I; б) если f" ixo) < о, то точка Х(у есть точка максимума функции fix) на промежутке /. Доказательство утверждения 2 основано на утверждении 2 из п. 5.7, из которого следует, что при данных условиях в точке Xq функция fix) имеет локальный минимум в случае «а» и локальный максимум в случае «б». Но так как Xq — единственная критическая точка на промежутке /, то в точке Xq функция fix) имеет минимум в случае «а» и максимум в случае «б» на всем промежутке 7. ПРИМЕР 2. Найдем минимум функции fix) = 4х^ -ь на интервале (0; +оо). Функция fix) определена для всех х > 0. Вычислим первую производную функции fix): 1 8х^ - 1 Г(х) 1 1 о,. I _Sx^- На интервале (0; +оо) функция f имеет единственную критиче- в которой производная fix) обращается в нуль. скую точку X Вычислим вторую производную функции f: f"ix) = 8 + 144 Очевидно, что на интервале (0; +оо) вторая производная положительна, т. е. f"(x) > о, следовательно, х = ^ — точка минимума. Таким образом, min f(x) = / | — 1 = 3. (0; +оо) 2 J Выше были рассмотрены случаи, когда в критической точке внутри промежутка производная равна нулю. Если же в критической точке производная не существует, то аналогичными рассуждениями можно доказать, что справедливо утверждение 3: Пусть на промежутке / с концами аиЬ функция f (х) непрерывна, а ее производная f'(x) существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала (а; &), кроме точки Xq, в которой производная не существует. Тогда если на интервале (а; Ь) найдутся точки х^ и ДГ2, такие, что Xi< Х(^< х^ и: а) Г(^2)<0, то в точке Xq функция f(x) достигает своего максимума на промежутке I; б) /'(лг1)<0, f'(x2)>0^ то в точке Xq функция f{x) достигает своего минимума на промежутке /. Подчеркнем, что этот экстремум единственный. 5.79^ Если на промежутке I с концами а и Ь функция f(x) непрерывна вместе со своей производной f'(x) и Xq — единственная ее критическая точка на интервале (а; Ь), то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке? 5.80 Если на промежутке I с концами а и Ь функция f(x) непрерывна, а ее производная f'(x) существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала (а; &), кроме точки Xq, в которой производная не существует, то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке? 5.81 Как с помощью второй производной определить, является ли данная критическая точка точкой максимума (минимума) на промежутке? Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на указанном промежутке (5.82—5.85), если: 5.82 а) f(x)=x + ^, (0; +оо); в) f(x) = 8х^ - (-оо; 0); 4х б) f(x)= Х + -, (-оо; 0); г) f(x) = 8х^ + (0; Ч-оо). 4х «8Й145 Применение производной 5.83 а) f(x)~ -л: + 8шл:, [0; л]; б) f{x)=-x+ sin л:, [л; 2л]; в) f{x)=—дг + созд:, 2 п ^ я ~2 г) f{x)— —д: + созд:, 2 л ^ Зя ~2" ~2 5.84 а) f{x) = - д + 4 д^ + 4 , [0; +оо); ^ “V* + fi 5.85 а) fix) =-2—^+°°)? Д^ + 1 б) fix) б) fix)= д2 - д + 4 д^ + 4 , (-оо; 0]. д2 - 5д + 6 д=^+ 1 , (-оо; 0]. 5.86 Для каждого значения а найдите наименьшее значение функции /(д) = \х - а \ на отрезке [-1; 1]. 5.87 Для каждого значения а найдите наибольшее значение функции f(x) = \х — а \ на отрезке [-1; 1]. 5.88 а) Для каждого значения Ь найдите наименьшее значение функции f(x) = (х - Ь)^ на отрезке [-1; 1]. б) Для каждого значения Ь найдите наибольшее значение функции f(x) = (д - Ь)^ на отрезке [-1; 1]. 5.89* Для каждого положительного значения Ь найдите наибольшее д + Ь значение функции f(x)= =г на отрезке [1; 2]. ^]х^+ 1 5.90* Для каждого отрицательного значения Ь найдите наименьшее Ъ — X значение функции f(x) — на отрезке [1; 2]. 5.9. Задачи на максимум и минимум 3 ЗАДАЧА 1. Из чисел отрезка ; 2 найдем такое, для которо- го разность утроенного числа и его куба наименьшая. Пусть X — любое число из отрезка -^•2 2’ . Составим разность утроенного числа д и его куба: Зд - д^. Требуется найти такое число 3 2 , для которого выражение Зд - д^ достигает наименьше- го значения. Рассмотрим функцию f(x) = Зд — д*^ на отрезке -^•2 2’ . Так как f(x) - (Зд - х^У = -3(д - 1)(д + 1), то Г(х) = о в двух точках -1 и 1, 2 принадлежащих интервалу fi.^) на отрезке имеет две критические точки: д = —1, д = 1. 146 Сравним числа: = ^’ [~|] " [~|] " ^ “ - (-1)3 = -2; ^(1) = 3 • 1 - 13 = 2; f(2) = 3 • 2 - 23 = -2. Функция f{x) достигает своего наименьшего значения на отрезке 2 в двух точках х = -1 и х = 2 (см. п. 5.1). Следовательно, на отрезке 2 2’ имеется два числа -1 и 2, для каждого из которых разность утроенного числа и его куба наименьшая. Ответ. -1 и 2. ЗАДАЧА 2. Дан квадратный лист жести со стороной а см. В его углах вырезают одинаковые квадраты (рис. 126) и, загибая края по пунктирным линиям, делают коробку. Выясним, при каких размерах квадратов объем коробки будет наибольшим, и найдем этот объем. Длину стороны каждого из вырезаемых квадратов обозначим через х см. Тогда объем коробки равен V=x{a-2xf (см3). Рассмотрим функцию V{x) = X{а - 2х)^, О < X < ^. Найдем точки локального экстремума функции V{x) на интерва-ле ^0; Имеем К'(х) = (а - 2х)^ - 4х(а - 2х) = (а - 2х)(а - бх). Приравняв V*{x) к нулю, получим два корня уравнения: х^ = ^ и Х2 = §. Из них только Х2 принадлежит интервалу 6 Очевидно, что при переходе через точку Хо = - производная 6 V\x) V(x) ^ Ш Рис. 127 —I— 6 max 2 функции V'(x) меняет знак с «+» на (рис. 127), следовательно, в точке Х2 функция достигает локального максимума на интервале ^0; 147 Применение производной Критическая точка - на интервале следовательно, по утверждению 1 из п. 5.8 она является точкой максиму- :»II- ма на всем интервале Итак, надо вырезать квадраты со стороной ^ см. Объем коробки равен ~ (см^). I л ^ ^ ^ Ответ. — см, —см*^. 6 27 ЗАДАЧА 3. Из всех прямоугольных параллелепипедов заданного объема F, в основании которых квадрат, выберем параллелепипед, имеющий наименьшую полную поверхность. Пусть длина стороны основания прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, равна х (х > 0). Тогда вы- V сота такого параллелепипеда равна —т, а полная поверхность равна S = 2л:^ + 4л: • -^ = 2х^ + —. X 4V Рассмотрим функцию 5(дг) = 2х^ -ь —, х е (0; ч-оо). Найдем точки локального экстремума функции 5(дг) на интервале (0; ч-оо). Имеем лу х^ - V S'W = 4x-\ = 4-^-^. Х^ х^ приравняв S'(^) к нулю, получим единственный корень уравнения: Xq = W, т. е. интервалу (0; ч-оо) принадлежит единственная критическая точка Xq = ^fv. Вычислим вторую производную S" (х) = 4х - AV = 4 + ?^. так 3/— как S'*{xq) > о для всех х из интервала (0; ч-оо), то Xq = vF есть точка локального минимума, она единственная на интервале (0; ч-оо), следовательно, по утверждению 2 из п. 5.8 в ней функция S(x) достигает минимума на всем интервале (0; ч-оо). Это означает, что прямоугольный параллелепипед заданного объема F, в основании которого квадрат, имеет наименьшую полную поверхность, если сторона его основания равна Vf. Так как высота прямоугольного параллелепипеда в этом случае равна л/У, то указанным свойством обладает куб с ребром yfv. Ответ. Указанным свойством обладает куб с ребром Vf. Ф 118 5.91 Найдите два положительных числа, сумма которых равна 1, а произведение наибольшее. 5.92 а) Число 54 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим? б) Число 48 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим? 5.93 Парабола задана уравнением у = 3 - В нее вписан прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала на оси Ох, а две вершины — на параболе (рис. 128). Определите стороны этого прямоугольника. 5.94 а) Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой с найдите тот, площадь которого наибольшая. б) Докажите, что прямоугольник с данной диагональю d имеет наибольшую площадь, если он квадрат. 5.95 Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием а и высотой Л (рис. 129). При каких значениях а п h площадь сечения балки будет наибольшей? 5.96 Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием а и высотой h (см. рис. 129). При каких значениях а и й прочность балки будет наибольплей, если известно, что прочность балки пропорциональна ah^? 5.97 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна Зл/З, а высота принимает значения, принадлежащие отрезку [1,5; 3,5]. Найдите параллелепипед, имеющий наибольший объем. 5.98* Корабль К стоит в 9 км от ближайшей точки В прямолинейного берега (рис. 130). С корабля нужно послать курьера в лагерь L, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (счи- 149 Применение пронаводной К Рис. 130 тая по берегу) от точки В. В каком пункте Р берега курьер должен пристать, чтобы попасть в лагерь за кратчайшее время, если он идет пешком со скоростью 5 км/ч, а на веслах — 4 км/ч? 5.99 На изготовление открытого бака заданного объема V в форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, хотят затратить наименьшее количество металла. Какова должна быть ширина и высота бака? Решите задачу в общем виде. Получите ответ в случае, если: а) F=4; б) F=32. 5.100 В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом V с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки. 5.101* Статуя высотой а м возвышается на постаменте высотой Ь м (рис. 131). На каком расстоянии от основания статуи должен встать наблюдатель, рост которого до уровня глаз с м, с < 6, чтобы видеть статую под наибольшим углом? Шириной постамента пренебречь. Решите задачу в общем виде, получите ответ в случае, если: а) а = 3, Ь = 2,5, с = 1,5; б) а = 6, Ь = 3,7, с - 1,7. 5.10*. Асимптоты. Дробно-линейная функция Нам уже встречались функции, точки графика которых при удалении в бесконечность неограниченно приближаются к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами графика функции (от греческого слова «асимптотос» — несовпадающий). Например, при X +00 и при X —► -оо точки графика функции у — — 150 неограниченно приближаются к прямой г/ = о, а при X —► О — к прямой X = О, т. е. прямые г/ = О и х = О являются асимптотами графика функции у = \ (рис. 132). Далее приводятся определения наклонной, горизонтальной и вертикальной асимптот. Пусть дана функция y = /(x), имеющая график — кривую Г, и пусть прямая L задана уравнением у = Ах -ь &, где А и Ь — некоторые числа. Пусть функция у — /(х) непрерывна на интервале (М; +оо), где М — некоторое число. Если при X-►+00 расстояние от точки А(х; /(х)) кривой Г до точки Б(х; Ах + Ь) прямой L стремится к нулю, то прямую L называют асимптотой кривой Г (при х —► +оо). Расстояние между точками А(х; /(х)) и В(х; Ах ч- Ь) равно |/(х) - (Ах + 6)|, поэтому если для функции y = f{x) выполняется условие lim (fix) - (Ах + Ь)) = О, (1) Х-* +00 то прямая г/ = Ах + А является асимптотой графика функции у = f(x) при X ^ +00. Приведем способ вычисления коэффициентов А и 6 асимптоты. Если выполнено условие (1), то lim —(Ах ч- Ь) _ (f(x) - (Ах + Ь)) • lim -^ = 0. Х-++00 X X—^+00 X —►+О0 ^ С другой стороны, Hm lim ^ - k. X —*■ +CO X C Л едовате Л ьно, X -► +00 X X+00 ^ X+00 X k = lim X —► +00 X (2) Из равенства (1) также следует, что Ь = lim (fix) - kx). +СО (3) 151 J 1р11>И^тчпго проИцпОЛнОЙ Из сказанного ясно, как найти асимптоту кривой — графика функции у = fix) при X —► +00 — или доказать, что данная кривая не имеет асимптоты при х —> Надо вычислить предел (2). Полученное число k и будет угловым коэффициентом асимптоты. Затем для найденного числа k надо вычислить предел (3), дающий число Ъ. Найденные числа й и 6 и определяют асимптоту у = kx + Ь данной кривой при X —> +00. Но не всегда эти пределы существуют. Если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3), то у графика функции у = f(x) нет асимптоты (при х ч-оо). Аналогично определяется асимптота при х -оо для кривой — графика функции у = /(х), непрерывной на интервале (-оо; N), где N — некоторое число. Если выполнено условие lim (fix) - (kx -f b)) = 0, TO прямую у = kx + b называют асимптотой графика функции у = fix) при X —► -оо. Коэффициенты ктлЬ можно вычислить следующим образом: = Iim --------- Ь = lim if ix) - kx). I Л-* -00 kfti (2') (30 Если не существует хотя бы один из пределов (20 и (30* то у графика функции у = f ix) нет асимптоты (при х -оо). Если k ^ 0^ то асимптоту у = kx Ь называют наклонной. Если й = о, то асимптоту у = kx + Ь называют горизонтальной. Отметим, что если существует предел lim /(х)=6, (4) +00 1 где Ь — конечное число, то тогда lim = lim f{x)- lim — = fe • 0 = 0. д:—►+00 X д:-»+оо jc-*+00 ^ Следовательно, при выполнении условия (4) у графика функции у = fix) есть горизонтальная асимптота г/ = Ь при х —► +оо. Аналогично если существует предел lim /(х)=6, X —► -оо где Ь — конечное число, то тогда у графика функции у = fix) есть горизонтальная асимптота у ~Ь при х —► -оо. ПРИМЕР 1. Выясним, есть ли наклонные и горизонтальные асимптоты у графика функции у = 152 Для этого вычислим пределы: 1 lim X +0О X = lim +оо€* = 0, lim (е ^-0-х)= lim = lim — = 0, д:—►+00 X—»+оо X—*>+оов lim ---= lim — = - lim — = -оо, X —♦ — оо X X —* +00 — X X —*■ +00 X т. е. при X -> +00 имеем ft = 0, & = 0 и уравнение асимптоты имеет вид у = 0 (это горизонтальная асимптота при х —> +оо). Наклонных асимптот у графика этой функции нет, так же как нет и горизонтальной асимптоты при х-^-оо (рис. 133). ПРИМЕР 2. Выясним, есть ли наклонные или горизонтальные асимптоты у графика функции у = х^. х^ х^ Так как lim — = +оо, lim — = —оо, X—^+00 X X—*—оо X ТО у графика этой функции нет ни горизонтальной, ни наклонной асимптот (рис. 134). Если функция у = f(x) непрерывна на интервале (а; Ь) и если lim f(x) = +00 или lim f(x) = -оо. X-*- а х> а X а X > а то говорят, что Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x). Если функция у = f{x) непрерывна на интервале (с; d) и если lim f(x) = +СХ) или lim f{x) = -с», X— d X— d X < d X < d TO говорят, что прямая x = d является вертикальной асимптотой графика функции у = f{x). ПРИМЕР 3. Найдем вертикальные асимптоты графика функции у = logs (л:+ 3). График этой функции имеет вертикальную асимптоту х = -3, так как эта функция непрерывна на интервале (-3; +оо) и lim log2(x + 3) = -оо. X-*- -3 х>-3 153 Применение производной I/ ^ + -ix + 2 ^ X 3 Рис. 136 Других вертикальных асимптот у графика этой функции нет (рис. 135). ПРИМЕР 4. Выясним, есть ли асимптоты у графика функции 4 1 и = — + -Х + 2. ^ X 3 Для этого сначала вычислим пределы: lim X—► +00 -+-Х + 2 X 3 I- Г 4 12^ 1 х-1^ +оо\^ 3 X) 3 lim f—+ +2-^х1 = 2. г^+оо1,Х 3 3 J -+-Х + 2 X 3 1 ,• Г4 1 _ 1 ^ „ = — И lim — +—X + 2 — —X = 2. 3 X—**—ool^X 3 ^ / Аналогично Иш X —*■ — ОО Таким образом, 6 = 2 и ^ = ^х + 2 — уравнение наклон- о о ной асимптоты (при х —► +оо и при х —> -оо). Так как lim | — + ^х + 2| = +оо и lim | — + —х н- 2 1 = -оо, то пря-х->о1^х 3 ) 3 ) X > о X < О мая X = О является вертикальной асимптотой графика этой функции и других вертикальных асимптот нет (рис. 136). ПРИМЕР 5. Найдем асимптоты графика функции 1 У \х+1\- 154 Так как lim i—-—г = lim :—-—г = О, д: —► +00 |д:Г+1| X—»-оо|дС+1| hm I---- Х-^ -l\x + 1\ х> -1 = lim I---------г X -»■ -1 I + 11 X < -1 = +00, ТО график этой функции имеет горизонтальную асимптоту у = О (при X —► +00 и при X —»• -оо) и вертикальную асимптоту д: = -1 и других асимптот не имеет (рис. 137). Замечание. Определение вертикальной асимптоты отличается от определений наклонной и горизонтальной асимптот. Однако если функция у = f{x) непрерывна и строго монотонна на интервале (а; Ь), то тогда зависимость у = f{x) можно задать в виде х = (р(у), где ф — функция, обратная к /. Прямая х = а будет асимптотой графика функции x = (f>{y) в смысле определения горизонтальной асимптоты (только с заменой х на. у и у пв. х). В качестве еще одного примера функций, графики которых имеют асимптоты, рассмотрим дробно-линейные функции. Каждая из них задается формулой ах + Ь у = TT-J. (5) сх + где а, by Су d — данные числа, причем с ^ О и ad - Ьс Ф О, Эти условия существенны, так как если с = О и ad — Ьс ^ Оу то функция (5) линейная: у = 4-^ + 'т* d d Если ad - 6с = О и с = О, то функция постоянная: у = —. d Если же ad - 6с = О и с фО, то функция (5) определена для d ad всех Ху кроме х= —, но она постоянная: а = — для всех хф —. с с с В случае cФOнad-bcФO функцию (5) можно задать формулой У = —^ + !/о. (5') , Ьс - ad d Am где k =--5—, Хл = —, г/n = -- Тогда, используя описанные выше с^ с с приемы, найдем, что график функции (5') имеет горизонтальную асимптоту у = yQ н вертикальную асимптоту х = Xq и других асимптот не имеет. Тот же результат можно получить переносом гипербо-k лы у = — на Хо вдоль оси Ох и на уо вдоль оси Оу. Xq 155 Применение производной ПРИМЕР 6. Найдем асимптоты и построим график функции у = Так как 2x4-5 X + S х + 3 X -ь 3 + 2, то гра- фик этой функции можно получить переносом гиперболы ^ — на 3 еди- ницы влево и на 2 единицы вверх. Тогда новый график будет иметь асимптоты у = 2 и х = -3. Найти эти асимптоты можно и вычислениями. 2х + 5 2х 4- 5 Так как lim X —♦ +00 X 4- 3 = lim X —► —оо JC + 3 = 2, то у графика функции -оо и при у = f{x) есть горизонтальная асимптота у = 2 (при х -X -»• +оо). 2х + 5 2х + 5 Так как lim ------= -оо, lim ------= +оо, то у графика функ- X— -ЗДГ + З Х-.-ЗХ + 3 JC > -3 X < -3 ции у = f(x) есть вертикальная асимптота л: = -3. Других асимптот график функции у = f(x) не имеет (рис. 138). 5.102° 5.103° 5.104 5.105° 5.106 5.107 5.108 Что называют асимптотой кривой? Объясните, как найти асимптоты графика функции у = f{,x). Найдите асимптоты графика функции: 2х^ +1 2x^-1 . 2х^-Ьх + Ъ а) у = г) У = Ъх^+ 2х-1 б) у = R) У = х^-2х+1 в) У = е) У = х-2 + 2л: + 1 дг+1 3JC+1 ^ 2л:-1 Какую функцию называют дробно-линейной функцией? Является ли дробно-линейной функция: У = > б) у = ь) у = , _ ; г) у =-------? 10 4х 4- 10 4х 4х 4- 10 Найдите асимптоты графика функции и постройте этот график (5.107—5.109): X - 3 2х 4- 3 а) у = а) у = л: + 1 X 4- 2 х-2’ б) у = б) У = X - 1 х-2 X 4- 2 ' LJ i 156 5.109 a) у = 4x + 2 X- 2 ' 5.110 Постройте график функции: 1 a) у = б) у = ^нкции б) у = 5.111 Постройте график функции: а) у = -2л: + 12 X - 4 ’ ^ -21x1+12 б) у = г) у = Зх-2 2х + 2 ‘ 1 :|-2--2х + 12 X - 4 -2\х\ + 12 \х\- 4 —Зх — 1 5.112 Дана функция f{x)=-------------. Постройте график функции: X + 1 а) y = f(x); б) y = \f(x)\; в) i/ = /^(|x|); г) i/ = |f(|x|)|. 5.11. Построение графиков функций с применением производных В простых случаях, как, например, при исследовании квадратичной функции или дробно-линейной функции и построении их графиков, можно обойтись без применения производной, так как свойства и графики этих функций легко получаются из свойств и графиков функций у = ах^ (а ^ 0) и у = ^ {к ^ 0). В более сложных случаях исследование функции элементарными средствами можно дополнить нахождением промежутков монотонности (возрастания и убывания), экстремумов, промежутков выпуклости графика вверх (вниз), точек перегиба и асимптот графика. Рассмотрим примеры исследования функций и построения их графиков с применением производных. ПРИМЕР 1, Исследуем функцию у = ijc'* - 4д:^ +1 (1) и построим ее график. Функция f{x) = —х"^ - 4х^ + 1 определена и непрерывна для 2 всех X. Так как П-х) = - 4 + 1 =1д:- - + 1 = Нх), то фувк- ция (1) четная, следовательно, ее график симметричен относительно fe- 157 применение нрои;}водиой ОСИ Оу. На интервале (-оо; +оо) функция имеет производную f(x) = 2x^-Sx = 2х(х + 2)(х - 2). Ясно, что /'(х) = 0 в точках х = 0, х = -2, д* = 2, т. е. у функции (1) имеется три критические точки. Причем Г{х) > О на интервалах (-2; 0) и (2; -1-оо) и f*(x) < О на интервалах (-оо; -2) и (0; 2), следовательно, функция (1) возрастает на промежутках [-2; 0] И [2; +оо) и убывает на промежутках (-оо; -2] и [0; 2]. Функция (1) достигает своего локального максимума в точке X = о и локального минимума в двух точках X — -2 и X = 2 (рис. 139). Вычислим координаты нескольких точек графика: Пх) + 4- X 0 1 2 3 1 -2,5 -7 5,5 Построим график функции (1), учитывая проведенное выше исследование: сначала для х ^ 0, затем симметрично отразим его относительно оси Оу (рис. 140). I ПРИМЕР 2. Исследуем функцию “V (2) У = Х2- 1 И построим ее график. Функция /(х) = х2- 1 определе- -н 4- f(x) \^-2 ^ о \ min max ■ Pwc. 139 4— 2 min на для всех х, кроме х=1 их = -1, она непрерывна на каждом из интервалов (-оо; -1), (-1; 1) и (1; -Hex.). (3) Так как /(-х) = -X (-х)2-1 = “/(х), то функция (2) нечетная, следо- вательно, ее график симметричен относительно начала координат. Так как Ит fix) — lim fix) = 0, то график функции (2) имеет ► +00 горизонтальную асимптоту у — 0 (при х -*■ -Ноо и при х -оо). 158 У графика функции (2) при х > О есть вертикальная асимптота х= 1, так как функция (2) непрерывна на интервалах (0; 1) и (1; ч-оо) и lim/(jc)= -оо и \imf(x)= +оо. Других асимптот на промежутке х-^1 Х<1 I Х>1 [0; н-оо) у графика функции (2) нет. На интервалах (3) функция (2) имеет производную ^ U' -1J -1)' ■ Ясно, что fix) < о при любом значении х из интервалов (3), следовательно, функция (2) убывает на каждом из этих интервалов, поэтому она не имеет точек локального экстремума. Вычислим вторую производную функции (2) на каждом из интервалов (3): 3) ' [ (х^ - If ) (х^ - 1)3 • Вторая производная f*'ix) обращается в нуль в единственной точке л: = 0. Определим знак f"{x) на интервалах (-оо; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; +00): X (-оо; -1) (-1; 0) (0; 1) (1; +оо) Знак f'(x) - + - ч- Вторая производная меняет знак с «-1-» на «-» только в одной точке д: = о, принадлежащей области определения функции, следовательно, график функции (2) имеет только одну точку перегиба Xq. На каждом из интервалов (-оо; -1) и (0; 1) график функции (2) имеет выпуклость вверх, а на каждом из интервалов (-1; 0) и (1; +оо) — выпуклость вниз. Вычислим координаты нескольких точек графика: 1 X 0 2 2 3 fix) 0 2 3 2 3 3 8 Построим график функции (2), учитывая проведенное выше исследование: сначала для д: ^ 0, затем симметрично отразим его относительно точки 0(0; 0) (рис. 141). 159 Цримеиение производной ПРИМЕР 3. Исследуем функцию У = —^77^ + ^- 3 (4) и построим ее график. Функция /(л:) = {X - 1)2 2 н- л: - 3 определена для всех Ху кроме (X- 1) X = 1, она непрерывна на каждом из интервалов (-оо; 1) и (1; +оо). (5) Так как f{-x) Ф f{x) и f(-x) ф -f{x), то функция (4) не является ни четной, ни нечетной. Выясним, есть ли у графика функции (4) наклонные и горизонтальные асимптоты. Так как 4 lim lim +0О X д:-.+оо\^ л:(дг - 1)^ ^ 4 +1 lim (/ (дс) - kx) = lim X +00 X +00 (X - 1)^ - sj = -3, и аналогично llm • —► —ОО X lim if(x) - kx) = -3, TO график функции (4) имеет наклонную асимптоту у = х — 3 (при X —*■ +00 и при X —► -оо). у графика функции (4) есть вертикальная асимптота л: = 1, так как функция (4) непрерывна на интервалах (0; 1) и (1; +оо) и lim /(лс) = lim f(x) = +оо. X—1 х — 1 X < 1 X > 1 Других асимптот у графика функции (4) нет. Вычислим производную функции (4) на интервалах (5): + 1. Приравняв производную к нулю, получим уравнение = 1, X- имеющее единственный корень х = 3. Так как производная f'(x) существует в каждой точке интервалов (5), то функция (4) имеет единственную критическую точку х = 3, Ясно, что (л:) = 1 - д: - 1 X < 1, а f'(x) < о при 1 < X < 3. (X - 3)(х2+ 5) (X- 1)3 > о при X > 3 и при ^ 160__________________________________________________________ Следовательно, функция (4) возрастает на промежутках (-сю; 1) и [3; +оо) и убывает на промежутке (1; 3], в точке х = 3 она имеет локальный минимум. X i-oo; 1) (1; 3) 3 (3; +cxd) Знак f'(x) + - 0 + fix) / \ 1 / min Вычислим вторую производную функции (4) на каждом из интервалов (5): Очевидно, что на каждом из этих интервалов f"(x) > 0, следовательно, на каждом из них график функции (4) имеет выпуклость вниз. Ш 161 Применение производной Вычислим координаты нескольких точек графика: X -1 0 2 3 4 f(x) -3 1 3 1 13 9 и построим график функции (4), учитывая проведенное выше исследование (рис. 142). • 5.113 Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции и постройте ее график: а) у = (х- 4)^; б) ^ = 4х‘^(х - 2)^. 4 5.114 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию и постройте ее график: а) у = х^ ~ Зх^ - 1; б) у = х"^ - 2х^ + 3; в) ^ = -х'^ + Зх + 1; г) у = х'^ - Зд:^ + 1; д) У = з^'’’ Зх^ + 5x -ь 1; е) у = Зх^ - 7х - 2. 5.115 Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции, постройте ее график. Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на указанном отрезке: а) у = -2х^ + 4х^ + 3, [-2; 0,5]; б) у = - Зд: + 3, [-0,5; 3]; в) у = (х- 1)"(2х + 4), [-2,5; 1,5]; г) у = (2х-4)(х+ 1)2, [-1,5; 2,5]; д) у = ^(д: + 3)(л:-3)2, [-2; 1]; е) y = ^(x-3)(x + 3f, [-4;-1]. 4 5.116* а) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, точки перегиба, промежутки выпуклости вверх или вниз графика X функции у = — (4 + х)2. Постройте график этой функции. б) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, асимптоты графика функции у = - 2х и постройте ее график. 5.117* Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = - д2(0,5д2 - 4); б) у = (д2 - 1)2; 4 1 в) у = -д + ----2; г) у = д -ь--------- - 3; 3 - д д - 1 д) у = ж) у = - 4 РТТ’ - 4 е) У = а) у = х^- 4_ х^+ 4’ х^+1 5.118* Найдите множество значений функции и постройте ее график: . х^ - Зх + 1 х^ - 2х + 1 У = —F—;—; б) у = а) у = х^+ 1 х‘ + 3х + 1, х2+ 1 ’ г) !/ = х^+3 х^ + 2х + 1 х^+3 ■ 5.119* Найдите точки перегиба графика функции у = -zx* - + 2. In л: ° 5.120 Исследуйте функцию у =------и постройте ее график. Сравни- те числа: а) 3'' и л®; б) е® и 3®; в) е" и л*'. Исследуйте функцию y=f(x) и постройте ее график, если (5.121—5.122): 5.121 а) f(x) = 1+ д:’ б) f(x) = бх^е Vl - х2 - 1; г) f(x)= л/1-х^ +^. + 21 д:| + 1; б) f(x) = j + 2x + e^-l^h \х\ X — 2х + е^~^; X г) у = X + yjx^ - X + 1. 5.12*. Формула и ряд Тейлора Пусть функция f(x) имеет производную в некоторой окрестности точки лг = 0. Пусть отрезок [0; а], где а > 0, принадлежит этой окрестности. Тогда, применяя теорему Лагранжа (см. п. 5.4), получим, что для любого X 6 [0; а] справедливо равенство f(x) - f(0) = xf'(c), где с — некоторое число из промежутка 0 < с < х. Это равенство можно переписать так: f(x) = /(0) + хГ(с). (1) Пусть теперь функция f(x) имеет не только первую, но и вторую производную в некоторой окрестности точки х = 0. Пусть отрезок [0; а], где а > 0, принадлежит этой окрестности. Тогда для любого х € [0; а] справедливо равенство, которое называют формулой Тейлора: Г(0) „ , Г (с) о f(x) = /(0) -н •X -I- х“. 1 2 где с — некоторое число из промежутка 0 < с < х. (2) -г ie;i Прнм<»н*^нп« ирои,шодиой Выведем формулу (2). Зададим х из отрезка [0; а]. Найдем такое число Р, чтобы выполнялось равенство f(x) = f(0) + n0)x-\-PxK (3) Можно было бы решить это уравнение относительно Р. Но нас интересует другое — мы хотим неизвестное Р выразить через вторую производную от функции fix). Для этого будем рассуждать следующим образом. Заданное значение х определяет при помощи равенства (3) число Р. Введем функцию от переменной ц, заданную на отрезке [0; х]: Р(и) = f(u) -н f'(u){x - и) -н Р{х - и)^. (4) Будем помнить, что здесь л: и Р фиксированы и это выражение есть функция от переменной и. Функция F(u) имеет на отрезке [0; х] производную, потому что по условию f(u) имеет вторую производную, и, следовательно, можно найти производную не только функции f(u), но и функции f'iu). Кроме того, функция F{u) имеет равные значения на концах отрезка [0; х]. Ведь Р(0) = /(0) + f'(0) х + + Рх^ = fix) (см. равенство (3)) и Fix) = fix). Поэтому согласно теореме Ролля (см. п. 5.4) существует точка с, удовлетворяющая неравенствам о < с < д:, в которой производная функции F равна нулю: F'ic) = 0. Нам остается лишь, пользуясь формулой (4), вычислить производную F'iu)^ равную Р'(и) = Пи) - Пи) + f"iu)ix -u)-2ix- п)Р, и положить в ней и = с: F'ic) = f"ic)ix -с)- 2ix - с)Р. f” (с) Так как Р'(с) = 0 и д: - с 0, то /"(с) = 2Р, откуда Р = —-—. Подставляя найденное значение для Р в равенство (3), получим искомую формулу Тейлора (2). Рассуждая аналогично, можно доказать более общее утверждение. Пусть функция fix) имеет производные до порядка п включительно в некоторой окрестности точки д: = 0 и пусть отрезок [0; а], где а > о, принадлежит этой окрестности. Тогда для любого х е [0; а] выполняется равенство (П - 1) 1! 2! I. + (0) In -1 (7t- 1)! + R п* (5) где П1 (0 < с < х) и с — некоторое число, зависящее от X и п € N. Это равенство назыв£1ют формулой Тейлора, Величину R„ называют остаточным членом формулы Тейлора. И>4 Заметим, что, рассуждая аналогично для функции, заданной на отрезке [а; 0], где а < 0, принадлежащем окрестности точки л: = 0, получим, что формулы (1), (2), (5) остаются верными при х е [а; 0], где с — некоторое число из промежутка х < с < 0. Мы не знаем точно, чему равен остаток, потому что про число с известно лишь, что оно находится где-то между 0 и х. Но и этой информации бывает достаточно, чтобы формула Тейлора имела практическое значение. Практический смысл формулы Тейлора заключается в том, что в ряде случаев удается заключить, что ее остаток мал настолько, что им можно пренебречь, и тогда получим приближенное равенство 1! 2! (п - 1)! которое дает возможность вычислить /(х), если можно вычислить /(0), /'(0), Г(0), .... ПРИМЕР 1. Рассмотрим функцию f(x) - sinx. Напишем для нее формулу Тейлора для п-Ъ. Имеем f{x) = sinx, f'(x) = cosx, f'{x) = -sinx, f"'{,x) - -cosx, = sinx, /^®^(x) = cosx; /(0) = 0, Г(0) = 1, /"(0) = 0, ГЧ0) = -1, /<'"40) = 0, = cosc. Поэтому sinx = X - — -f- i?5(x), где J?5(x) = (0(0) = 1, f^^HO) = 0, _ -cosc. 165 Применение производной Поэтому cos ^ W -cos с 6! X® (0<с<х). Для О ^ д: ^ 4 имеем |/L(x)|< ' f“l < ттАл- 4 ' ^ ' 720 (, 4 j 2500 Таким образом, cosx==^l- —+ — 2! 4! (7) с точностью до 2500 ПРИМЕР 3. Напишем формулу Тейлора функции f(x) = для /г = 5. Имеем fix) = е\ Пх) = е\ пх) = Г(х) = f^Hx) = е\ f^Hx) = е^; ПО) = 1, Г(0) = 1, /"(0) = 1, ПО) = 1, /<^>(0) = 1, /<5)(с) = Поэтому = 1 + ^ + + + ^ + ^о(х), где Щ(х) = ^х^ (0<с<х). Для X € [0; 1] имеем | R-,(x)| ^ . Таким образом. 1 + - + — + — + — (O^x^l) 1! 2! 3! 4! ' ^ (8) с точностью до —. 40 ПРИМЕР 4. Вычислим приближенно числа: а) sin — ; б) cos-; в) е. 1U о а) По формуле (6) имеем .....И”. sin- 10 10 3! 10 6000 10 с точностью до 400 б) По формуле (7) имеем cos с точностью до f-f f-i' 1 , U J U J 1 1 1 ^ 49 — ~ 1 — -------f*----- — 1 — — H----------- -- 5 2! 4! 50 6000 50 1 2500 niee в) По формуле (8) имеем е 1 , 1 1 1 1 , , 1 1 1 *~1 + — + — + — + — = 1 + 1 + - + - + — 1! 2! 3! 4! 24 2,7 с точностью до---. 40 Если функция f{x) имеет в некоторой окрестности точки а производные сколь угодно высокого порядка, то для нее формально можно написать ряд /(а) + - а) - af + 1! 2! (9) который называют радом Тейлора функции f(x) по степеням {х — а). Для данных значений а и х он может сходиться или расходиться. Особенно важен случай, когда ряд Тейлора функции f(x) сходится к самой функции, т. е. имеет суммой f{x). Это имеет место тогда и только тогда, когда стремится к нулю при п +оо остаточный член Rn(x) в формуле Тейлора fix) = S„(x) + Д„(х), (10) где S„ (х) = fia) + ^-^(x-a)+^-^(x-af + ... + (^ ~ Д)” Действительно, если lim R^(x)= 0 для некоторого значения х, л —*• 00 то ИЗ равенства (10) следует, что для этого значения х lim S„(x) = л —► оо = /(х), И так как S^j(x) есть сумма первых п членов ряда (9), то ряд (9) сходится и имеет своей суммой fix): fix) = /(a)-h -^^(х- а) + -^^;;^(х- а)2 +----- 1! 2! (11) Обратно, если известно, что для некоторого значения х имеет место равенство (11), т. е. известно, что ряд (9) при этом значении х сходится и имеет своей суммой /(х), то это означает, что для указанного значения lim S;j(x) = fix). л —► оо Но тогда из равенства (10) следует, что i?„(x) —► О при п ^ оо. Можно показать, что для любых х е (-оо; +оо) имеют место следующие разложения в ряд Тейлора: Х^ X® Sinx=x- —+ ^ Х^ X** С08д:=1-^ + --..., ^ . X х‘* ,Х ^ 1 Н-------+---------1---н------- 1! 2! 3! 4! + ... 167 Первообразная и интеграл 5.123 Напишите формулу Тейлора для функции: а) у = sin л: для п = 7; б) у = cosx для п = 7; в) у = tgx для п = 5; г) у = для п = 8; д) у = 1п(1 + х) для л = 5; е) у = ^ ^ ^ для л = 5. 5.124 Вычислите с точностью до 10“^ с помощью формулы Тейлора: а) sin0,2; б) cos0,l; в) tgO.l; г) е; д) е^; е) 1п2. § 6. Первообразная и интеграл ел. Понятие первообразной Мы знаем, что постоянное число С, рассматриваемое как функция от Ху имеет производную, равную нулю для всех х. Обратное утверждение также верно: если про функцию известно, что ее производная равна нулю для всех х, то она есть постоянная. С точки зрения механики это утверждение совершенно очевидно. В самом деле, пусть функция s = f(t) выражает закон движения точки по прямой, причем ее скорость равна нулю: v = f'(t) = 0. Тогда точка стоит на месте и расстояние s от нее до начальной точки равно постоянной при любом ^. Впрочем, это утверждение следует из теоремы Лагранжа (см. п. 5.4). Тот факт, что в этом рассуждении мы х заменили на ty не имеет значения: время тоже можно обозначать через х. Рассмотрим функцию f(x)y непрерывную на интервале (а; 6). Функцию F(x) называют первообразной для функции /(х) на интервале (а; Ь)у если на нем производная функции F равна f: F'(x) = f(x). (Аналогично определяется первообразная для функции /(х) на отрезке [а; Ь]. Нужно только под производной в точке а понимать правую производную, а в точке Ь — левую производную: F'(a)= lim л-^о л >0 F(a + Л) - Р(а) F'(b)= lim л —о л <0 F{b+ h)- F{b) Очевидно, что если функция F(x) есть первообразная для функции fix) на интервале (а; &), а С — фиксированная постоянная, то функция ^'(x)-i-C также есть первообразная для функции f(x) на том же интервале, потому что (Fix) -h су = F*ix) + С' = F'(x) = /(X). Обратно, если F и Fi — первообразные для функции fix) на интервале (а; Ь), то они отличаются друг от друга на всем интервале (а; Ь) на некоторую постоянную С: F,ix) = Fix) + C. (1) И>8 В самом деле, (Fj (л:) - F(x))' = F{{x) - F'(x) = f{x) - f{x) - 0. Ho тогда, как отмечалось выше, существует такая постоянная С, что (л:) “ F(x) = С на интервале (а; &), откуда следует равенство (1). Итак, мы установили важный факт: если функция F (д:) есть какая-либо первообразная для функции f (д:) на интервале (а; Ь), то и функция F (д:) + С, где С — некоторая постоянная, также есть первообразная для функции f{x) на этом интервале. ИРИМЕЕ^ I, Из равенств С' = 0; (д: + су = 1; {х^ + СУ = 2дг; (sin д + СУ — cos д следует, что функции С; д + С; д^ + С; sinx + С, где С — некоторая постоянная, являются первообразными соответственно для функций 0; 1; 2д; созд на интервале (-оо; +оо). Дадим теперь следующее определение. Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (а; Ь) функции f(x) называют некоторую ее первообразную. Неопределенный интеграл от функции f(x) обозначают так: J f{x)dx. В этой записи функцию f{x) называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением. Из сказанного следует, что если функция F (х) есть какая-то первообразная для функции / (д) на интервале (а; Ь), то jfix)dx=Fix) + C, (2) где С — некоторая постоянная. ПРИМЕР 2. Для любых д е (-оо; ч-оо) справедливы равенства: f Idx = д + С, [ д" “ ^dx = — н- С (л = 2, 3, ...), г , sin ад ^ . лч f . . cos ад ^ созадад =-------1- С (а 9^ 0), зшадад =------h С (а 0), (3) •' а а где С — некоторая постоянная, В самом деле, так как х'=1, — =-(х" У =х"~ К Л ) п = — (sin ад)'= - (а cos ад) = cos ад, а а f cosax)' 1. 1, . , ------= — (cos ад) = — (-a sin ax) = sin ад, ( a J a a TO функции, находящиеся в правых частях этих равенств, есть первообразные для подынтегральных функций и поэтому справедливы равенства (3). 169 Псрвообра.зная и интеграл Если функция jF(x) есть первообразная для функции f(x) на интервале (-оо; +оо), то для k ^ О справедливо равенство [ f(kx + b)dx = + b) + C, ^ k где C — некоторая постоянная. В самом деле, -F(kx + b)] = -(F(kx + b)Y = -f(kx + b) • {kx + b)’= f(kx + b). k ) ^ ^ Если fi(x) и f2(x) — непрерывные на интервале (a; b) функции и Ai и A2 — постоянные, то имеет место равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла: I(AJi(x) + A2f2ix))dx ^ Aij fiix)dx + Ag j f2(x)dx + C, (4) где C — некоторая постоянная. В самом деле, по определению неопределенного интеграла слева в равенстве (4) стоит какая-то одна из первообразных для функции + А2/2(^)- с другой стороны, имеет место равенство Ai J fi(x)dx + AgJ f2(x)dx = A, + A J fi(x)dx + Ag J f2(x)dx \f = Ai/i(x)+ A2/2W» потому что интегралы J Дйл: и | f2dx обозначают соответственно некоторые первообразные для функций fi и /2- Поэтому правая часть равенства (4) есть также первообразная для функции Aj/i (дг) + Ag/g(x), НО тогда она отличается от левой части равенства (4) на некоторую постоянную С. Свойство (4) по индукции распространяется на любое конечное Щ число непрерывных на интервале (а; Ь) функций Д, /2» •••» fn — и постоянных Aj, А2, А„: J(Ai/i(x) + А2/2(х) + ... + AJ„{x)) dx = = Ai\f]^{x)dx + Ag j/g(j:)dj: + ... + A„ |/„(х)йд: + C, где C — некоторая постоянная. 170__________________________________________________________ Как следствие при Ai = 1, А2 = ±1, п = 2 получаем равенства + f2)dx = J f^dx + J fzdx + C, J (A - f2)dx = J f^dx - j f^x + C, a при = A и A2 = 0, /i = / — равенство J Afdx = a| fdx + C. где C — некоторая постоянная. • В дальнейшем при рассмотрении неопределенных интегралов будет подразумеваться, что подынтегральная функция непрерывна на некотором интервале (а; Ь), но писать это мы не будем. Таблица основных неопределенных интегралов, составленная непосредственно из формул производных элементарных функций, приведена в приложении 2. 6.1° Какую функцию называют первообразной для функции f{x) на интервале (а; 6)? Докажите, что функция F{x) есть первообразная для функции fix), если (6.2—6.3): 6.2 а) fix) = о. Fix) = С; в) fix) = С, Fix) = Сх; д) fix) = x\Fix) = ^; б) fix) = 1, iJ’(x) = л:; г) fix) = x, Fix) = Y’ е) fix) = x\Fix) = -Л + 1 л + 1 (л 6 N). 6.3 а) /(jc) = sinx, F(x) =-cos л:; б) /(х) = cosx, i^(x) = sinx; -, J’(x) = tgx; r) fix) = —Д—, ■Р’Сл:) = ctg x; b) fix) = COS X bill" X Д) fix) = e^. Fix) = e*. 6.4° Верно ли, что если функция Fix) является первообразной для функции fix), то и функция Fix) + C есть первообразная для функции fix)"} Докажите, что функция Fix) есть первообразная для функции fix), если (6.5—6.6): ,10 (Зх+7)“ 6.5 а) fix) = (Зх + 7)1 i^(x)=3 11 + С; 171 Первообразная и интеграл б) fix) = cos(2x - 1), в) fix) = sin|^7x- 6.6 a) fix) = ■■ cos^ (3x + 11) 6) fix) = . 2, ] ^ sin'^ {-Ax +7) b) /(x) = ^ F (x) = i sin (2x - 1) + C; F (x) = -y cos ^7x - у j + C. ytg(3x + ll) + C; Fix)= - ctg (-4x + 7) + C; 4 F(x)= + + c. 5 1 — ( 2 6.7 Для функции f{x) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А: а) fix) = X, А(2; 0); б) /(х) = х^, А(3; 6); в) /(х) = х®, А(-2; 3); г) /■(x) = sinx, Найдите первообразную для функции fix), если (6.8—6.10): 6.8 а) /(х) = (5х - 2)20; д) /(х)= у!х- 5; в) /(х)=2^; г)Дх)=22^-1; д)/(х)=3^; ^ 3) /(х)= ^ ж) fix) = 6.9 а) fix) = г) fix) = 6.10* а) fix) = г) /(х) = 4х - 2 X"^Vx 1 1 1 + (ЗХ)2 б) fix) = -5х + 2 x^Vx"® е) /(х)= 32^ + 7. и) fix)= ^ в) fix) = X - 4 ХуПс 1/Г’ д) /(х)= ^(7х-9)2; е) fix)=^i5x + l)K б) /(х) = Д) /(Jc) = 1+ Х2’ 1 Vl - 9x2 в) = е) /(х) = Vl - (2х)2 ’ 1 1 + 4х^ ■ 6.11° а) Что называют неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (а; Ь) функции f(x)? б) Как обозначают неопределенный интеграл? в) Как проверить правильность нахождения неопределенного интеграла? г) В чем заключается основное свойство неопределенного интеграла? 13172 Найдите неопределенный интеграл (6.12—6.17): 6.12 а) ^xdx\ б) ^x^dx\ в) г) Jsinxdx; д) fcosxdx; е) [—; ж) ; з) \e^dx\ J J г «1П^ Т J Sin^ X 2 и) Js-^dx; к) J——; л) Jx3dx; м) JVxdx. 6.13 а) J(x + sinjc)dx; б) J(jc^ - cosл:)(/д:; в) -----\-^dx\ 6.14 а) |(5х'* - 4х^ + Зх^ - 2х + l)dx; б) |(10х^ + 5х^ - 2x2 + зд. _ ^)dx\ в) J(3sinx + 4cosx- 5Vx)dx; г) j[—---------5е-*^+3*2^ I Vx dx. 6.15* a) I I 5sin2x - 3cos— |dx; j^Ssii B) J - " j I Sir 6) — dx\ 1)J /(ttt sin^(x + 1) cos^(x r) I Цх^ + 3x2 + 3x + 1 - ^x2 - 6x + 9)dx. 6.16* a) f--—----; 6) [---—----; в) f(cos2x - sin2x)dx; Jl + cos2x Jl-cos2x J r) I sin X cos X dx; д) | (sin 5x cos 4x + sin 4x cos 5x) dx; 6.17* a) j dx ж) j dx ^4x - 4x^ sin2x sin3x)dx. ^ 1 -ь X^ B) J д)| ,-^f ; Vl - (Здг + D’ Д) f . J 4x^+ 12x+ 10 e) j dx yjl - 2x^ dx 1 + (4x - 1)2 ’ 6.18* Докажите справедливость равенства: a) f — = In 1X1 + С (x 0); 6) J dx yjl- = - arccos x + C (-1 < л: < 1). 173 Первообразная м интеграл 6.2*, Замена переменной. Интегрирование по частям При нахождении неопределенных интегралов нередко пользуются методом подстановки или замены переменной. Пусть функция ф(х) имеет непрерывную производную, а функция f {a) — непрерывная функция, тогда |/(ф(л:))ф'(л:)^л: = \f{u)du + С, где и = ф(х). (1) Эту формулу надо понимать так. Если подынтегральное выражение в неопределенном интеграле удалось представить в виде f{iS^(x))v?'ix)dx, то в этом интеграле можно произвести замену переменной и = ф(х), du = ф'(х)^лс, найти первообразную F(u) для функции /(и), а затем заменить и на ф(х). Поясним формулу (1) на примере: I k cos (kx) = I cos udu = sin u + C = sin kx + C. Мы сделали подстановку и = кх^ тогда du = (kxY dx = kdx^ и наш интеграл превратился в табличный. Чтобы доказать формулу (1), найдем производную по х от ее левой части, а затем производную по х от jf{u)du, где и = ф(х): (J /(ф W)Ф' (л:)dx)^= f (ф (л:))Ф' (х), (J/(u)du)^= (J f(u)du)^u'^ = /■(и)ф'(х)= /((р(х))ф'(х). Так как производные равны, то первообразные отличаются на постоянную, что и записано в равенстве (1). Приведем несколько примеров на применение метода подстановки. ПРИМЕР 1. \e^-dt= -\e^dt^ -e^ + C=— + C J J k к ^ к к (подстановка kx = f, откуда kdx = dt и dx = —dt), к ПРИМЕР 2. f = -\dt = -t + C = - Ja^ - x2 + C L2_ ^2 ^ (подстановка t — откуда dt = - xdx 174 ПРИМЕР 3. f cos(kx)dx = -p f cos(kx)kdx = f cos и du = ^ ^ ^ k ^ k ^ = — sin u + C = — sin {kx) + C (подстановка и = kx, откуда du — k dx). k k ПРИМЕР 4. J x-y/l + x^dx = I j д/l + л:2 • 2xdx = ^ J Vu • du = 3 3 1 f 1 -o (1+ ^ / 1 2 = - J u^du = — — + C =-^----h C (подстановка u = 1 + откуда 2 du = 2xdx). ПРИМЕР 5. f—^djc= i f-?^dx = ^ f— = ^ln|u| +C = 2Jl+^:2 2J и 2 '' = -ln|l + I + C (подстановка u = 1 + x^, откуда du = 2xdx). Пусть функции u(x) и u(x) имеют производные, тогда справедливо равенство ^udv^- ^vdu = uv^ Су (2) где С — некоторая постоянная. Действительно, так как dv — v'dXy du = u'dXy то равенство (2) можно записать так: J ии' dx -I-1VU* dx = uv-\- С. (3) Чтобы доказать формулу (3), найдем производные: Q UV* dx -ь J uu' dx) = (J uu' dx)' + (| vu* dx) = uv' + uu'; (uuY = u*v -b uv\ Так как производные равны, то первообразные отличаются на постоянную, что и записано в равенстве (3). Из равенства (3) получим j udu = uv- ^vdu +Су (4) где С — некоторая постоянная. Нахождение интеграла с помощью равенства (4) называют интегрированием по частям. Приведем два примера применения метода интегрирования по частям: ПРИМЕР 6. j X sin X dx = X • (-cos x) - J (-cos x) dx -h C = -x cos x + -I- sinx -t- C (здесь u = x, du = dx; dv = sinxdx, v — -cosx). ПРИМЕР 7. Jxe^dx = X • - J e^dx + C = xe* - + C (здесь и = X, du = dx; dv = dx, v = e^). 175 Первообразная и интеграл Найдите неопределенный интеграл, используя замену переменной (6.19—6.23); 6.19 а) г) jcos4xdx; 6.20 а) I б) в) I sin lxdx\ д) 14lx - 2 dx\ е) J ^(2х + l)^dx. xdx 6) J Zxdx B) J- 2xdx Г) j 6 xdx yj4- 9x^ Г) J xdx 4+^ V9 - 4x2 6.21 a) j xyll + x^ dx; 6) j 5xyjl + 4x^ dx; b) j x^4 + x^ dx; r) j хл]9 + x^ dx. _ . f 4xdx f 2xdx , f xdx J Г71?’ J i Г79^^’ 6.23* a) I л/l - x^dx; 6) j л/4- x^dx; b) j д/l - 4jc^ d:c; r) J ^/l - 9x^dx. Найдите неопределенный интеграл, используя интегрирование по частям (6.24—6.25): 6.24 а) \xcosxdx; б) в) [ ; г) \х^х - 7dx, 6.25* а) ^x^e^dx\ б) ^х^ sin xdx; в) jx^cos^rdx. 6.3. Площадь криволинейной трапеции Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а; 6]. График ее изображен на рисунке 143. Поставим задачу определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой — графиком функции у = /(х), осью Ох, прямыми X = а, X = &, и вычислить площадь этой фигуры, называемой криволинейной трапецией. Поставленную задачу естественно решать так. Произведем разбиение отрезка [а; &] на п частей точками: а = Хо < Xj < ... < х„ = &, (1) выберем на каждом из частичных отрезков [х^; х^^^] (у = 0, 1, ... ..., л - 1) по произвольной точке Cj и составим сумму = f{cQ)AxQ + /(Ci)Axi + ... + /(с„_1)Ддг:„_1, где AXj = JC; + 1 - Xj. Эта сумма, очевидно, равна сумме площадей закрашенных прямоугольников (см. рис. 143). ^176 Устремим теперь все Axj к нулю, неограниченно увеличивая п (л —► +оо), и притом так, чтобы длина самого большого частичного отрезка разбиения стремилась к нулю. Если при этом величина стремится к определенному пределу S, не зависящему от способа разбиения (1) и выбора точек Cj на частичных отрезках, то величину S называют площадью данной криволинейной трапеции. Итак, S= lim (/(Cq)AjCo ++ ... +/(с„_ i)Ax„_ i). max Axj 0 Пусть теперь функция у = f(x) неположительна и непрерывна на отрезке [а; &] (рис. 144). Рассмотрим функцию у = -/(д:). Она непрерывна и неотрицательна на отрезке [а; Ь]. Криволинейные трапеции А^ВСП^ и ABCDy ограниченные соответственно кривыми у = —f{x) и у = /(д:), а также осью Ох и прямыми д: = а и х = 6, симметричны относительно оси Ох, Поэтому естественно считать, что трапеция ABCD имеет площадь Si, равную площади S2 трапеции AiSCPi, т. е. Si = S2= lim (-/(Co)AXo + + ••• + 1) = max AXj -* 0 = - lim (/(Со)Ал:о ++ ...+ f(c„_i)Ax„_i). max Axi Сумму = /(co)AX(j + + ... + /"(Cn. i)Ax„_i (2) называют интегральной суммой. Таким образом, площадь криволинейной трапеции, расположенной: а) над отрезком [а; Ь] оси Ох, есть предел интегральной суммы S„, когда шах Аху ^ 0; б) под отрезком [а; 6] оси Ох, есть взятый со знаком «минус» предел интегральной суммы S,,, когда шах Дху —> 0. ШГ77 Mlf.iT...,, м—. Первообразная к интеграл 6.26 а) Что называют криволинейной трапецией? б) Что такое интегральная сумма? в) Как вычисляют площадь криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм? 6.27 Рассмотрим функцию у = х на отрезке [0; 1], Разделим отрезок [0; 1] на п равных частей и в качестве интегральной суммы возьмем Srt =/(0) • — +/f—1 • —-I-/Г—1 • — и-... н-/f ” ^ п \пJ п \п)п п п / ^123 п-1 0 + — + — + — ч*... н- п п п п \ 1 п' п слагаемых а) Вычислите интегральную сумму: Sj; S2I S3; S4 (рис. 145). б) Упростите формулу для вычисления S„. в) Имеет ли последовательность интегральных сумм S^, S2, S3,..., ... предел при п —► +оо? Если имеет, то чему он равен? г) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = X, у ^ о, X = 1? 6.28 Рассмотрим функцию у = -х. Разделим отрезок [0; 1] на п равных частей и в качестве интегральной суммы возьмем S, = АО) = п \п) п \п J п \ п J п (< = 10+^ + ^ п п ... + -(п-1) 1 п п п п слагаемых 1 п а) Чем отличаются интегральные суммы в заданиях 6.27 и 6.28? 178 б) Чему равен предел интегральной суммы в задании 6.28? в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = -х, г/ = О, X = 1 (рис. 146)? 6.29* а) По плану задания 6.27 вычислите интегральные суммы Sj, S2, S3, S4 для функции у = X + 1, X е [0; 1]. б) Существует ли предел интегральной суммы S„ при п н-оо? Если да, то чему он равен? в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми {/ = X + 1, г/ = о, X = 1? 6.30* Рассмотрим функцию у = на отрезке [0; 1]. Разделим отрезок [0; 1] Рис. 146 на п равных частей и в качестве интегральной суммы возьмем п \п) п \п) п у п ) п 02 + + ... + п - 1 2\ 1 п Р + 22 + ... + (п - 1)2 а) Упростите формулу для вычисления S„, пользуясь ранее до- казанным равенством 1^ + 2^ + ... + =-----------. б) Существует ли предел интегральной суммы S„ при п —► +оо? Если да, то чему он равен? в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^, ^ = о, X = 1? 6.4. Определенный интеграл Рассмотрим функцию у = /(х), непрерывную на отрезке [а; 6]. Она может быть положительной, отрицательной или может менять знак на нем. Рассмотрим предел интегральной суммы S„ (см. формулу (2) из п, 6.3), т. е. выражение I = Ит (/(Со)Ахо + /(Ci)Axi + ... + /(с„ . 1) Ах„ _ j). max Дху —► о Отвлекаясь от задачи нахождения площади, можно смотреть на него как на некоторую операцию, при помощи которой по данной о f(x)dx = S a) (f(x)dx = -S " 6) Рис. 147 функции у = f{x)j заданной на отрезке [а; 6], определяется число I. Эту операцию называют интегрированием функции f(x) на отрезке [а; 6], а результат этой операции называют определенным интегралом от функции fix) на отрезке [а; Ь] и записывают так: ь 1= Ит (f (Со) Axq +f(ci) Axi +... +\ f(x)dx. max Ax: 0 •' ^ a Итак, определенным интегралом от функции f{x) на отрезке [а; 6] называют предел интегральной суммы, когда длина максимального частичного отрезка разбиения стремится к нулю. Число а называют ъ нижним пределом (число Ь — верхним пределом) интеграла | f{x)dx. а В теории определенного интеграла доказывается, что всякая непрерывная на отрезке [а; Ь] функция интегрируема на нем. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что: ^ а) если f{x) ^ О на отрезке [а; Ь], то определенный интеграл I f(x)dx равен плопдади криволинейной трапеции, ограниченной ли-а ниями у = fix), у = о, X — а, х = Ь (рис. 147, а); ^ б) если fix)< О на отрезке [а; Ь], то определенный интеграл jfix)dx равен взятой со знаком «минус» площади криволиней- а ной трапеции, ограниченной линиями у = fix), у = О, х = а, х = Ь (рис. 147, б). ^ ИГИМЕ!’' 1. Вычислим определенный интеграл ^xdx, пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла. n 180 Рассмотрим функцию у = х на отрезке [-2; 0]. На этом отрезке она неположительна (рис. 148). Очевидно, что о определенный интеграл J х dx равен -2 взятой со знаком «минус» площади треугольника АВО, т. е. о \xdx = -S^Bo= - АВАО 2-2 = -2. Рис. 148 Щ ПРИМЕР 2. Вычислим определен- ! ; 2 ный интеграл |V4-x^dx, пользу- -2 ясь геометрическим смыслом определенного интеграла. Рассмотрим функцию у = л/4- х^, (1) Функция (1) определена на отрезке [-2; 2] и принимает неотрицательные значения. Она имеет график — верхнюю половину окружности х^ + = 4, а определенный интеграл J л/4 - x^dx равен площади половины кру- -2 га радиуса 2 (рис. 149), которую вычислим по известной из геометрии формуле S = - тс • 2^ = 2л:, А 2 Итак, I л/4 - x^dx = S = 2тс. 6.31*^ а) Что называют интегрированием функции f(x) на отрезке [а; 6]? б) Как называют результат интегрирования функции /(х) на отрезке [а; 6]? Как его обозначают? в) Что называют определенным интегралом от функции ^(х) на отрезке [а; Ь]7 г) В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 181 первообразная и интеграл Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислите (6.32—6.36): 6.32 а) jxdx; о 4 г) jxdx; 0 4 6.33 а) \{l-x)dx-, 2 1 6.34* а) \^k-x^dx-, -1 О в) J л/э - x^dx; -3 о б) j(-x)dx; 0 3 д) |(1- x)dx; 1 3 б) j(2x + l)dx; в) ^xdx\ -4 1 е) |(2x + 2)dx. -1 3 в) |(3jt:-l)dx. 0 1 б) j(—\/l- x^)dx\ -1 4 г) j(-Vl6- x^)dx. 0 T 6.35* a) J sin^idjc + J sinArdjc; 6) J cos дгйл: + jcos -Л 0 iL iL 2 2 2 3 4 6.36* a) ||x|dx; 6) J|x-2|dx; в) ^\\x - 2\-l\dx. 3k 2 -2 6.5*. Приближенное вычисление определенного интеграла Пусть функция f(x) непрерывна, неотрицательна и возрастает на отрезке [а; Ь]. Вычислим приближенно интеграл / = J f(x)dx. Разобьем отрезок [а; 6] на п равных частей точками: а = дго < < ... < = Ь. Так как функция f(x) возрастает на каждом из частичных отрезков [xji Xy + i], то на каждом из них в точке Xj она принимает наименьшее, а в точке Xj+ i наибольшее значение на этом частичном отрезке. 182 Составим две интегральные суммы, для первой из них в качестве точки Cj возьмем точку а для второй — точку Xj + S„ = (/(Xq) + f(xi) + ... + f(x„ _ i)) Ax, (1) = ifixi) + fixz) + ... + /(x„))Ax, (2) где Ax = b ~ a Суммы (1) и (2) называют соответственно нижней и верхней интегральными суммами. Так как функция f(x) возрастает и неотрицательна на отрезке [а; b]j то на каждом частичном отрезке [xj; Xj^i] истинное значение площади Sj под графиком функции у = f(x) заключено между f(Xj)Ax и f(xj^ г)Д^ и его можно считать приближенно равным среднему арифметическому этих чисел: f{Xj)Ax + f(xj^ i)Ax _ f(Xj) + fjxj^ i) 2 ”2 S; •Ax. (3) Поэтому площадь криволинейной трапеции S, ограниченной графиком функции у = /(х), осью Ох и прямыми х = аих = 6, и равный ей интеграл I заключены между нижней и верхней интегральными суммами S„ и и их можно считать приближенно равными среднему арифметическому этих сумм: S= I ^ или S = / = (/(X,) + ... + /(х„ _ i) + (4) (5) При вычислении площади криволинейной трапеции на каждом частичном отрезке [XjiXj+i] по формуле (3) мы фактически заменяем площадь криволинейной трапеции площадью трапеции ABCD (рис. 150), поэтому описанный здесь метод приближенного вычисления интеграла называют методом трапеций. Мы рассмотрели приближенное вычисление интеграла I для неотрицательной и возрастающей функции. Те же рассуждения можно провести для любой другой непрерывной на отрезке [а; Ь] функции /(х). Только следует учесть, что на каждом частичном отрез- 183 Первообразная и интеграл ке надо брать наименьшее значение функции при вычислении нижней интегральной суммы и наибольшее значение при вычислении верхней интегральной суммы* __ Во всех случаях будет справедливо двойное неравенство S„< / < и определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле (4). Следует учесть также, что если функция f{x) на отрезке [а; Ь] непрерывна и неположительна, то нижняя и верхняя интегральные суммы отрицательны, но все приведенные выше рассуждения, связанные с приближенным вычислением интеграла /, сохраняют силу. Только если в этом случае мы захотим вычислить приближенно площадь криволинейной трапеции описанным методом, то надо учесть, что она равна интегралу, взятому со знаком «минус»: Sn "Ь S= -I ^ ПРИМЕР 1. Вычислим приближенно интеграл о Для этого разобьем отрезок [0; 1] на 10 равных частей точками: о < 0,1 < 0,2 < < 0,9 < 1 и, учитывая, что функция у = на от- резке [0; 1] непрерывна, неотрицательна и возрастает, составим нижнюю и верхнюю интегральные суммы: ^ = (02 + 0,12 ^ 0,22 ^ ^ 0,92) . од = 0,285, ^ = (0,12 + 0,22 ^ + 0,92 + 12) . 0,1 = 0,385. Вычислим интеграл I по формуле (4): S„ + S„ = 0,335. Полученный результат отличается от точного, равного -, не о больше чем на 0,5%. ПРИМЕР 2. Вычислим приближенно интеграл J sinxdx. Для этого разобьем отрезок на 10 равных частей точ- л 7с 2л 9тс ^ ками о < — < — < ... < — и вычислим приближенно интеграл 20 20 20 е, / = J sinxdx по формуле (5), воспользовавшись таблицами значений синуса: 184 ^ ^ sin о + sin — я . 2я . 9я 2 sin — + sin-------!-..• + sin — Н---------------- 20 20 20 2 \ — ^ 0,998. 20 Полученный результат отличается от точного, равного 1, не больше чем на 0,2%. 6.37 6.38 6.39 6.40 6.41 6.42 6.43 Что называют: а) нижней интегральной суммой; б) верхней интегральной суммой? В чем заключается метод приближенного вычисления определенного интеграла? Вычислите приближенно определенный интеграл: 2 4 а) j2xdx; б) JSxdx. 1 3 а) В предыдущем задании вычислите определенный интеграл как площадь треугольника и сравните результаты вычислений. б) Объясните, почему для линейной функции приближенный метод вычисления определенного интеграла дает точный результат. Вычислите приближенно определенный интеграл: 2 2 а) jx^dx; б) j(~x^)dx. 1 1 В предыдущем задании сравните результаты вычислений для функций у = х'^ и у = -х^. Объясните, почему они отличаются только знаком. Чему равна площадь криволинейной трапеции на отрезке [1; 2] в случае в случае «б»? Вычислите приближенно определенный интеграл при заданном Ад:: 1 1 б) J x^dXj Ах = 0,2; -1 а) Jxdx, Ах = 0,2; -1 я Т в) Isinxdx. Ах = ^\3 н г) I cosxdx. Ах = —. ^ J 20 л *2 6.44 Почему в предыдущем задании все определенные интегралы равны нулю? 185 Первообразная и интеграл 6.6. Формула Ньютона—Лейбница ТЕОРЕМА Ньютона—Лейбница. Пусть функция fix) непрерывна на отрезке [а; Ь\ и пусть F (х) есть какая-либо ее первообразная. Тогда справедливо равенство ь jfix)dx==F(b)-Fia). (1) а Это равенство называют формулой Ньютона—Лейбница. г ^ Обычно пишут: I fix)dx = F(x) = F(b) - F(a). ^ /I 2 “ 3 ПРИМЕР l.\x^dx^^ 0 n 0^ _ 8 3 3 “ 3' ПРИМЕР 2. f sinxdA: = (-со8л:) =-cos л - (-cosO) = -(-1)1 = 2. b ° f " ПРИМЕРЗ, sin л: dx = (-cos jc) =-cosO-(-cos(-rt)) = -l - 1 =-2. J —tr Результаты вычисления интегралов в примерах 2 и 3 отличаются знаком. На интервале (0; тс) функция у = sin л: принимает положи- тельные значения и J sinxdx есть площадь криволинейной трапе- ции, ограниченной графиком функции y = sinx, прямыми г/= 0, JC = о, д: = тс (рис. 151). На интервале (-тс; 0) функция y^sinx принимает отрицатель- ные значения и j sinxdx есть взятая со знаком «минус» площадь 186 криволинейном трапеции, ограниченной графиком функции i/ = sinj[: и прямыми у = 0, JC = О, X = -л. ПРИМЕР 4. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^, х = 2, у = 0. Искомая фигура на рисунке 152 закрашена, ее площадь равна S=jx4x=^ ' 23 03 8 , Г У - У = 3 ПРИМЕР 5, Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^uy = x + 2. Сначала определим абсциссы точек пересечения графиков функций у = х^ и у = х 2, решив уравнение х^ = х + 2. Корни этого уравнения Xi= -1, ^2 = 2. Искомая фигура на рисунке 153 закрашена. Ее площадь вычислим как разность площадей трапеции ABCD и криволинейной трапеции ABOCD, где В(-1; 1), С (2; 4). Так как мвсо 2 АВ + CD . ---------AD = - ‘ 3 = 7,5 (кв. ед.), ^ABOCD = \x^dx= — J а 23 (-1)3 8 1 ^ , ■з - —=3 + 3 = 3(кв.ад.). ТО S = 0) аргумента и, есть площадь фигуры, закрашенной серым цветом: и + h Ф (и + h) - Ф(и) = J f{x)dx. Обозначим через т наименьшую ординату, а через М наибольшую ординату точек графика функции у = f(x) на отрезке [и\ и -ь Л]. Очевидно, mh ^ Ф (и + Л) - Ф (п) ^ МЛ, или _ ^ Ф(и -I- Л) - Ф(и) ^ т ^^ h м. 188____________________________ Если h устремить к нулю, то т но, существует производная /(и), М /(и), следователь- lim л-»о Ф(и + Л)-Ф(и) = Ф'(^)= /(и). Мы доказали, что производная интеграла (как функции верхнего предела) равна подынтегральной функции: и I f{x)dx = /(u). Подчеркнем, что это равенство верно в предположении, что подынтегральная функция f{x) непрерывна. Таким образом, Ф(х) есть первообразная для функции fix). Любая другая первообразная отличается от нее на постоянную С. Возьмем какую-либо первообразную F (д:), тогда F (х) = Ф (х) -ь С, откуда Фix) = F(x)-C. Так как Ф (а) = F (а) - С и Ф (а) = О, то получим, что С = F (а). Но ь тогда J f(x)dx = Ф{Ъ) = F{b) - С = F{b) - F(a), и мы доказали форму- лу Ньютона—Лейбница: ]f{x)dx=F{b)-F(,a). Доказательство формулы Ньютона—Лейбница для неположительных функций проводится аналогично. Дадим толкование формулы Ньютона—Лейбница с физической точки зрения. Будем считать, что х есть время, а функция у = F(x) выражает закон движения точки по прямой, т. е. у есть координата точки в момент времени х. Тогда F'(x) = f(x) — скорость этой точки. Путь, пройденный точкой за промежуток времени от х = а до X — by очевидно, равен S = F(b)-F(a). (2) Термин «путь, пройденный точкойне совсем точно выражает данное явление. Если, например, закон движения таков, что точка сначала продвинулась вправо, пройдя путь а затем влево, пройдя путь S2, то S = Si - S2. Но этот путь можно вычислить иначе. Разделим промежуток времени [а; Ь] на части точками: а = Xq < Xi < ... < х„ = Ь. В силу непрерывности функции f(x) скорость точки на отрезке времени [XjyXj+i] можно считать приближенно постоянной, равной числу 189 Первообразная и интеграл f(Xj), Тогда путь, пройденный точкой на этом отрезке времени, будет приближенно равен /(ху)Дху, а весь путь будет приближенно равен сумме f{xQ)/S.XQ + /(xi)Axi + ... + /(х„ _ i)Ax„ _ Если max Аху О, то эта сумма стремится к числу, равному истинной величине пути, пройденного точкой за промежуток времени [а; Ь]. В то же время это число есть, очевидно, определенный интеграл от функции f(x) в пределах от а до Ь: ь S = lim (/■(Хо)АХо + /’(Xi)AXi + ... + /(>:„-i)Ax„ . i) = [ f(x)dx. max Лх;—►О ' a Ho тогда ИЗ последнего равенства и равенства (2) следует равенство (1). 9 6.45° Сформулируйте теорему Ньютона—Лейбница. Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите определенный интеграл (6.46—6.51): 1 4 6.46 а) 1 xdx; б) Jxdx; в) 0 2 1 1 6.47 а) 1x^dx; б) Jx^dx; в) 0 -1 1 1 6.48 а) 1x^dx; б) jx^dx; в) 0 -1 л к Т 6.49 а) J sinxdx; б) j sinx do:; в) 0 Л л Т К 6.50 а) 1 cosxdx; б) J COS X dx в) 0 0 6.51 а) 2 , г dx Т’ « If; в) 1 "" 2 3 2 2 2гс в) J cosxdx; 2 I . ‘ dx X Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.52—6.58): 6.52 а) г/ = х^, х = О, х = 2, у = 0; б) у = sinx, х = 0, х = тс, у = 0; в) у = COSX, X = о, X = у = 0. 190 6.53 а) У = » л: = 3, X = 5, у = 0; б) У = х^, X = 1, X = 2, У = 0; в) У = 1 х' X = 1, . г = 4, у = 0. 6.54 а) У = х^ - 4х + 6 и у = 6; б) У = -х^ -4х + 5 и у - = 5; в) У = х^ + 1 и у = 3-д * • г) У = 4-х^ и у = х + 2 1 6.55 а) У = Х2 -2х + 3 и у = 3 + 2х; б) У = + 2х + 5 и у = 5-2х; в) У = + 2х + 4 и у = 4- 2х; г) У = х^ - 2х + 6 и у = 2х + 6. 6.56 а) г/ = sinx, х = - л, jc = л, у = 0; б) у = sinx, X = о, X = 2л, у = 0; в) у = COSX, X = -, X = —, у = 0; г) у = cos X, X = о, X = 2л, у = 0. 6.57 а) у = х^, X = 1, у = 0; б) у = х^, х =-1, у = 0; в) у = х^, X = -1, X = 1, у = 0. 6.58* а) у - х^ = О к у^ - X = 0; б) у - х^ = О и у^ + х = 0; в) у = (1 - х)(х - 5), у = 4 и X = 1; г) у = (х -{■ 1)(3 - х), у = 4 и X = 3. 6.59* а) Найдите ту первообразную для функции f(x) = 2х + 4, график которой касается прямой у = 6х + 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = 6х + 3иу = 0. б) Найдите ту первообразную для функции /(х) = 2х - 2, график которой касается прямой у = -4х. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = -4х и у = 0. 6.60* Точка движется по прямой. Зависимость ее скорости от времени задана формулой v = fit). График функции v изображен на рисунке 156, а—в. а) Какой физический смысл имеет площадь S фигуры, закрашенной на рисунке? О ^2 ^ О V = at^ ^2 * О V - Vg+at а) Рж:. ^56 б) в) 191 Первообразная ii интеграл б) Определите по рисунку путь, пройденный точкой за промежуток времени: [0; [0; ^2]^ ^2]» считая, что 1 единица на оси Ot соответствует 1 с, 1 единица на оси Ov соответствует 1 м/с. 6.61* В задании 6.60 определите путь S, пройденный точкой за промежуток времени [0; t]. Верно ли, что в каждом случае площадь закрашенной фигуры равна S - S (f 1)? 6.62* На рисунке 157 изображен график функции v = f(t)^ выражающий зависимость скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени движения. а) Определите приближенно путь, пройденный точкой за промежуток времени от 1 до 6. б) Каким способом в задании «а» можно получить ответ, если функция V = f(t) задана формулой? 6.7, Свойства шфеделенного интеграла Основные свойства определенного интеграла выражаются формулами Ь с Ь j f(x)dx = j f{x)dx + j f(x)dx, ' (1) a a c b b J Af{x)dx = Л j f(x)dx, где A — данная постоянная, (2) a a b b b j {f(x) + Ф (x))dx = I f(x)dx + J(p (x)dx. (3) Свойство (1) (для случая a < с < b) означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком [а; 6] равна площади трапеции над отрезком [а; с] плюс площадь трапеции над отрезком [с; Ь] (рис. 158). Свойство (2) означает, что площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией /(ж), увеличивается в А раз {А > 0) для функции Af(x), Свойство (3) означает, что площадь криволинейной трапеции, опреде- 192 ляемой суммой /(х) + ф(х), равна сумме площадей, соответствующих слагаемым f{x) и <р(х). Конечно, в этих пояснениях мы неявно предполагали, что функции f(x) и <р(х), так же как и число А, неотрицательные. Ведь если, ь например, f(x) < О на [а; fc], то интеграл | f{x)dx равен площади со- а ответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком «минуса. Но и в этом, и вообще в других случаях свойства (1) — (3) верны. Из равенства (2) следует, что ь ь \(-f(x))dx= -\f{x)dx, а а а ИЗ равенств (2) и (3) следует, что ь ь ъ ь ь I {Af{x)+ Вф (дс))<^д: = j Af{x)dx + J Вф {x)dx - Aj f(x)dx + в|ф (x)dx, a a a a a где A и В — данные постоянные. Равенство (3) по индукции можно распространить на любое конечное число слагаемых. л. X X J. ПРИМЕР 1. j(х^ -2х + l)dx = Jx^dx - 2jxdx + Jldx - X'^ Y x^ -2 — 2 + X 1 1 . 1 - 1 + 1 = ::• 3 3 ПРИМЕР 2. J (2cosx + 3sinx)djc: = 2 | cos xdx + 3 J sin xdx = = 2sinx - 3cosx = 2-h3= 5. ПРИМЕР 3. J(x2 - 3x + 5)dx - J(x^ - 5x -ь 4)dx = £i "2 = j(x^ - Sx + 5 - x^ + 6x - 4)dx = J(2x + l)dx = (л:^ + jc) | -0 0 ° = (22 + 2) - (Q2 + 0) = 6. Рассмотрим пример вычисления площади фигуры, которую пересекает ось Ох. 193 11ервообра:шая и интеграл ПРИМЕР 4, Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = -х^ + 2 и Z/ = - 2х - 2. I способ. Графики данных функций пересекаются в точках с абсциссами -1 и 2, которые найдены как решения уравнения -х^-\-2 = х^~2х- 2. Графики данных функций изображены на рисунке 159, и, очевидно, сложно вычислить площадь фигуры S обычным способом-Выполним параллельный перенос графиков на 4 единицы вверх, чтобы на отрезке [-1; 2] обе функции принимали положительные значения, т. е. найдем площадь равной фигуры, но ограниченной уже графиками функций у = -х^ + 6иу = х^-2х + 2 (рис. 160), Так как = -|.12 Si = j{-х^ + %)dx = j ^ /3 \ = J(х^ - 2х + 2)dx - + 2xj = 6 (кв. ед.), то S = Si - S2 = 15 - 6 = 9 (кв. ед.). 5-е) ^ 8 . . ( 1 , = 4 + 4- 1- -1 3 1 3 15 (кв. ед.), 2) = II способ. Как видно из первого способа вычисления площади фигуры, эта площадь равна 2 2 S= ^{-х^ + S)dx - ^(х^ - 2х + 2)dx, -1 Рис. 159 194 Применив свойства (2) и (3) определенного интеграла, имеем 2 2 S= Ji-x‘^ + 6)с?лг- J(л:2 -2х + 2)dx = -1 -1 2 2 = J ((-;с2 + 0) _ _ 2д: + 2))сгл: = J ((-х^ + 2) - (х^ - 2х - 2))dx. -1 -1 Таким образом, для вычисления плон^ади фигуры, ограниченной графиками функций у = -х^ 2 и у = - 2х - 2^ можно вычис- лить определенный интеграл: 2 2 S = j((-х2 + 2) - (х2 - 2х - 2))dx = J(-2x2 + 2х + 4))dx = -1 ^ -1 = ^-^х^ -¥ х^ + 4xj = -^ + 4 + 8- ^^ + 1- 4j = 9 (кв. ед.). Аналогичное рассуждение можно провести для функций у = f{x) и у = (р (х), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и 6 (а < Ь), если эти функции непрерывны на отрезке [а; Ь] и /(х)>ф(х) на всем интервале (а; Ь). В этом случае площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = f(x) и е/ = ф(х) (рис. 161), вычисляется по формуле S = |(/'(х)- (p(x))dx. Рассмотрим еще одно свойство определенных интегралов. Пусть функция ф(х) имеет непрерывную производную на отрезке [а; 6], а функция f{u) непрерывна на отрезке [с; d], где с = ф(а), d = ф(&), тогда справедлива формула ь d S = J/(ф(х))ф'(х)йх = J f{u)duy где и = ф(х). Действительно, если функция F{u) — первообразная для функции /(и), то (^(ф(х)));, = /(ф(х))фЧ^), поэтому ^ d ь [ f{u)du = F{u) = F{d) - F(c) = F(i^ib)) - ^(ф(а)) = -Р(ф(х)) = » - л = } /■((p(x))(p'(jc)dx. Первообразная и интеграл Г If 1 ^1 ПРИМЕР 5. \ sin2xdx = - \ sinudu =-(-cosu) =-(1н-1) = 1 J 2 J 2 о 2 о о (подстановка и — 2х, откуда если д: = О, то и = О, если х = —, то и = к). 6.63 Каковы основные свойства определенных интегралов? Примените основные свойства интегралов при вычислении интегралов (6,64—6.66): 13 л 2л 6.64 а) ^xdx-¥^xdx\ б) |sinxdx + Jsinxdx; о 1 "d» Ux 0 1 в) + г) 1^2^ 0 1 2 12л д) J sinxdx + J sinxdx + j sinxdx. 6.65 a) JSxdx; 6) j(-2x^)dx; в) J —. 2x 6.66 a) J(3x-l)dx; 6) j(x2-2x)dx; 1 -2 2 I b) J(2x2 + 5x-6)dx; r) j(-2x=^ - x + 8)dx. 0 -2 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.67—6.71): Х^ f 6.67 а) г/ = —, х=1, х = 3иу = 0; 6)z/ = ^2х, х = 1 и у = 0. ш 2 2 6.68 а)у= — иу = 3- —; б) у = х^ - 6х -I- 10 и у = 6х - х^. 4 2 6.69 а) у = х^-5иу = -0,5х^ + 1; б) у = х^ - 4х н- 1 и у = -2х^ + 8х н- 1. 6.70* а) у = х^ - ях и у = sin х; йч • К 5п б) у = Sinx, у = COSX, X = — и X = -. 4 4 6.71 а) у = 4 - 0,5х^ и у = 4 - 2х; б) у = 0,5х^ -ь 8 и у = 2х -h 8- 196 6.72 а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией ^ = = 4 + 0,5х^, касательной к ней z/ = 2х + 2 и прямыми х = О и х = 3. б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией у = = 8 - 0,5х^, касательной к ней «/ = 2х + 10 и прямыми х = 0 и х = -3. 6.73 Вычислите определенный интеграл, используя замену переменной: а) J cos 2xdx; о 2 г) J V4 - x^dx; Jb б) Jsin-^dx; о я г dx J . ^ 2 > J 4 + 1 в) J л/l - x^dx; -1 я Т е) J dx — л/^ “ 6,74* Вычислите определенный интеграл: к 7 а) J| sin2002x|dx; б) |||||х|-4|-2|-l|dx. о -7 6.8*. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах ПРИМЕР 1. Площадь круга. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале системы координат хОу (рис. 162) имеет вид -{■ у^ = R^. Следовательно, ее часть, расположенная выше оси Ох, есть график функции у = (-Ж X < К). Но тогда площадь круга радиуса R равна R S = 2 J - x^dx. Заменим переменную в этом -я интеграле: х = i?sin0, ^ ^ ^ Тогда при возрастании переменной 0 от до переменная х возрастает от —R до R, При этом COS0 ^ 0 и dx = i?cos0d0. Поэтому получим я я Т __________________________ Y S = 2 j ^R^ - R^ sin^ 0 Дсо8 0 d0 = 2R^ J cos^ 0 d0 = 197 Псрвообра^шая и интеграл = 2Д2 I 1 + COS 20 dQ = 2R^ (|e + lsin2e] = ЯЯ2. Итак, S = kR^. ПРИМЕР 2. Объем тела вращения. Пусть Г есть график непрерывной положительной функции у = f{x) {а ^ х ^Ь) в прямоугольной системе координат хОу. Вычислим объем V тела вращения, ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и плоскостями, проходящими через точки х = а, х = Ь перпендикулярно оси X (рис. 163). Произведем разбиение отрезка [а; Ь] на части точками: а = Xq < Xi < ... < х„ = Ь — и будем считать, что элемент объема AVfi тела вращения, ограниченный плоскостями, проходящими через точки Xf^ и х^^ i перпендикулярно оси х, приближенно равен объему цилиндра высоты Ax^^ = и радиуса основания Ук = fiXk)- Но тогда объем V может быть записан при помощи приближен- л — 1 ного равенства V ^ к ^if(Xf^))^AXf^. Чтобы получить точное равенст- k=0 во, надо взять предел л - 1 Ь V= lim п '^(f(x^)fAx^= K\if{x)fdx, max ^ ^ ^ И МЫ получим формулу для объема тела вращения ь V = nj(nx)fdx. (1) 198 В качестве примера применения формулы (1) докажем, что объем V шара радиуса В равен V = - к В^. 3 В самом деле, окружность радиуса В в плоскости хОу имеет уравнение -h Тогда функция у = ^В^ - х^ (-В х ^ В) имеет графиком верхнюю полуокружность Г. Если вращать полуокружность Г вокруг оси Од:, то получим поверхность шара. Но тогда согласно формуле (1) объем шара ^ ^ / 3 \ F = 71 J - x^fdx = п - x^)dx = п\е^х - -R ~R ^ ' R -Л = -пВ^ 3 Приведем другие примеры практических задач, решение которых сводится к вычислению определенных интегралов. ПРИМЕР 3- Работа. Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой переменная сила F = /(х), где f{x) есть непрерывная функция от х — координаты движущейся точки. Работа силы F при передвижении точки от а до 6 равна и - 1 Ь W= lim Т/(х)Ах:= [/(x)dx, max Ах: -► О J ^ J / ; = и а где а = Хо < Xi < ... < х„ = 6, Axj = Xj + i — Xj. В самом деле, в силу непрерывности функции f(x) произведение f(xj)Axj близко к истинной работе на отрезке [х^; Xj + i], а сумма таких произведений близка к истинной работе на отрезке [а; 6], и притом тем ближе, чем меньше наибольший из всех Axj. ПРИМЕР 4. Масса стержня переменной плотности. Будем считать, что отрезок [а; Ь] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью р(х) ^ О, где р(х) — непрерывная на отрезке [а; Ь] функция. Общая масса этого отрезка п -I ь М — lim max rt - 1 о lim ^ р (Ху)Аху = [р (x)dx. где а = Xq < Xi < ... < x^j = 6, Axj = Xj^i - Xy. ПРИМЕР 5. Работа электрического заряда. Пусть с и Cj — два заряда, находящиеся на прямой на расстоянии г друг от друга. Сила взаимодействия F между ними направлена вдоль этой прямой и рбш- на = -5- (а = ftcci, где k — постоянная). Работу W этой силы, когда заряд с неподвижен, а заряд Cj передвигается по отрезку [i?i; JR2], 199 Первообра:)ная и интеграл можно подсчитать, разбивая отрезок R2] на части длины Агу. На каждой из них приближенно считаем силу постоянной, тогда работа на таком участке равна Делая части разбиения все более ко- rj J роткими, убеждаемся, что работа л -1 ^2 W= lim У-“,-Аг:= { ^dr (0= 1 I у- 1 Эти формулы распространяются на непрерывно распределенные по площади массы. Роль конечных сумм играют тогда интегралы. Найдем центр тяжести сегмента параболы у 1 — х^ с равномерно распределенной по нему массой, ограниченного снизу осью х (рис. 165). Для этого отрезок [-1; 1] оси х разделим на п равных частей длины Ах. Одна такая часть более ярко закрашена на рисунке 165. Ввиду малости Дх можно считать, что масса закрашенного элемента сегмента равна р/(х,)Ах = ру^Дх и она сконцентрирована в точке 2 )■ Здесь р — плотность распределения массы. Ввиду симметрии сегмента абсцисса его центра тяжести равна хо = 0. Ординату же можно приближенно записать в виде л - 1 у л - 1 р I X yf^ ^ 1=1^ _ 1 I = 1 У о л - 1 “ 2 " “ ^ ’ р Т^уАх i > 1 / = 1 где сумма распространена на все частичные отрезки деления [-1; 1]. Точное выражение для ординаты центра тяжести фигуры получим, перейдя к пределу при Ах 0: л - 1 Уа - Ит - ---- дх-о2 "а’ ^ ЪуАх i ш 1 ]y^dx 1 а л Ь • jydx (2) 201 Первообразная и интеграл где в данном случае а = -1, Ь = 1. Таким образом, i ) (1 - х^)Чх Уо= —i- J (1 - x^)dx ii - £ 4 “ 5' 3 Выражение (2) можно рассматривать как общую формулу для ординаты центра тяжести фигуры, изображенной на рисунке 166, с равномерно распределенной по ней массой. Соответствующая формула для Xq имеет вид 1 * -\xydx \ydx 6.75 Множество точек координатной плоскости хОг/, удовлетворяю- щих уравнению ^ -I- ^ = 1 (а Ь), называют эллипсом. Ьг Вычислите площадь фигуры, ограниченной эллипсом: а) = 9 (рис. 167); б) 4х^ + = 4 (рис. 168). 6.7(> Какова формула для вычисления объема тела вращения? 6.77 Используя формулу объема тела вращения, получите формулы для вычисления объемов цилиндра и конуса. 6.78 Вычислите объем тела, полученного вращением кривой — графика функции у - sinx, о < X < 7С, вокруг оси Ох. 6.79 Вычислите объем тела, полученного вращением кривой — графика функции у = х^, -2 ^ X ^ 2, вокруг оси Оу. 6-80 К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой сила F = /(х), где х — координата движу- я 202 6.81 щейся точки. Вычислите работу силы F по перемещению точки от точки л: = а до точки х = fc, если: а) f{x) = 2jc - 1, а = о, 6 = 3; б) f{x) = -х^ + 4, а = О, 6 = 2. Плотность стержня на отрезке [а; 6] есть функция р(х) координаты л: (а ^ л: ^ Вычислите массу стержня, если: а) р(дг) = д: + 1, а = О, & = 2; б) р(д:) = 0,3лс^, а = О, 6=3. у + 16у' - х^ = Оу 3x2 = у" 6,9*, Понятие дифференциального уравнения При решении многих задач, прежде всего физических, встречаются уравнения, в которых неизвестной является некоторая функция. Уравнения, в которые входят производные искомой функции, называют дифференциальными уравнениями. Например, уравнения (1) (2) являются дифференциальными уравнениями, так как в них надо найти функцию у = у(х) и в этих уравнениях содержатся производные этой функции. Если в дифференциальное уравнение входит производная только первого порядка, то такое уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка. Если в дифференциальное уравнение входит производная второго порядка и не входят производные порядка выше второго, то такое уравнение называют дифференциальным уравнением второго порядка и т. д. Поэтому дифференциальное уравнение (1) — первого порядка, а дифференциальное уравнение (2) — второго порядка. Решением дифференциального функцию у = у{х)у при подстановке уравнение получается тождество уравнения называют любую которой в дифференциальное решение дифференциального (3) Например, функция у = х‘‘ есть уравнения у' = 2х. Действительно, у'{х) = (х^у=2х. Отметим, что любая функция вида у = х^ + С, (4) где С — некоторая постоянная, также является решением дифференциального уравнения (3), так как у'{х) = {х^ + С)' = 2х. Никакая другая функция не является решением уравнения (3). Функцию (4) называют общим решением дифференциального уравнения (3). Давая С какие-либо значения, будем получать частные решения дифференциального уравнения (3). ■i 203 Первообразная и интеграл Так, функции у = у = + 14, у = - 200 (при С = 0, С = 14 и С = -200 соответственно) являются частными решениями дифференциального уравнения (3). Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид У' = ф(лг), (5) где ф(л:) — непрерывная на всей оси элементарная функция. Ясно, что решением уравнения (5) будет любая первообразная для функции ф(х): у = J ф (х) dx = f (л:) -f С, (6) где f (х) — некоторая первообразная для функции ф, а С — некоторая постоянная, и никакая другая функция не является решением уравнения (5). В рассмотренном выше примере ф(х) = 2х, и поэтому по формуле (6) общее решение дифференциального уравнения (3) действительно выражается формулой (4). Формула (6) выражает общее решение дифференциального уравнения (5), отдельные частные решения уравнения (5) получаются, если постоянной С придавать различные значения. Если дано дифференциальное уравнение у"= ф(х), то его общее решение всегда можно найти так, как показано в следующем примере. ПРИМЕР 1. Найдем общее решение уравнения У" = 6х. (7) Обозначим у' = 2, тогда уравнение (7) можно переписать в виде 2' = 6х. Его решение есть функция 2 = J6хdx = Зх^ н- Cj, где Cj — некоторая постоянная. Так как функция 2 = у', то получаем уравнение у' = Зх^-ьСх. Его решение, а значит и решение уравнения (7), есть функция у = I (Зх^ + Cl) dx — + CiX + С2, (8) где С2 — некоторая постоянная. Итак, общее решение уравнения (7) есть функция у = + CjX + С2, где Cl и С2 — некоторые постоянные, которые можно задавать независимо друг от друга. Давая Cl и С2 какие-либо значения, будем получать частные решения уравнения (7). Например, функции у = х^, у = х^ — 100, у = х^ - 8х, у = х^ + 10х -1-15 являются частными решениями уравнения (7). Как видно из рассмотренных примеров, дифференциальное уравнение имеет бесконечно много частных решений. Для нахожде- 204 ния какого-либо конкретного частного решения надо задать дополнительные условия. Например, найдем частное решение уравнения (3), т. е. функцию у = у{х)у такую, чтобы точка 0(0; 0) принадлежала графику этой функции. Подставляя в равенство (4) координаты точки О, получим, что С = О, т. е. искомое частное решение есть функция у = х^. Найдем частное решение уравнения (7), т. е. функцию у = у(х), такую, что у(0) = О, у(1) = 2. Из равенства (8) следуют равенства г/(0) = О = О + Cj ■ О + С2; 1/(1) = 2 = 1 + Cj • 1 -hCg, откуда С2 = О, Cj = 1. Следовательно, искомое частное решение есть функция у = ^ х. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида у' • Ф(У) = fix). (9) которое является частным случаем дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Покажем, как можно найти общее решение уравнения (9). Учитывая, что у = у(х) есть функция от х, перепишем уравнение (9) в виде (?(у(х))у'(х) = fix). Если равны функции, то неопределенные интегралы от них отличаются лишь на некоторую постоянную, т. е. j(?(yix))y'ix)dx= jfix)dx + C, (10) где С — некоторая постоянная. Применяя метод замены переменной (т. е, заменяя y'(x)dx на dy), перепишем равенство (10) в виде (11) |ф (j/)cfi/ = I f(x)dx + С. Если функции fix) и ф(г/) — элементарные функции, непрерывные на всей оси, то и интегралы в обеих частях равенства (11) находятся в явном виде, т. е. равенство (11) перепишется в виде iy) = Fix) + C, (12) где Ф(у) — первообразная для функции (р(у), а Fix) — первообразная для функции fix). Теперь из равенства (12) выразим у через х. Полученная функция yix) и будет общим решением уравнения (9). ПРИМЕР 2. Найдем общее решение дифференциального уравнения (13) yY = xil^x^), а затем частное решение дифференциального уравнения (13), удовлетворяющее условию yiO) = 2. ^205 Первообразная и интеграл Применив формулу (11), получим: ly^dy = \x{\ + x^)dx + C\. (14) Так как J ^ ^ J ^(1 + x^)dx = — +-н С3, то из равенства (14) следует равенство —н--------+ С, откуда находим 3 2 4 общее решение уравнения (13): У (15) где С — некоторая постоянная. Для нахождения частного решения уравнения (13), удовлетворяющего условию 1/(0) = 2, подставим в равенство (15) х = 0, у = 2, получим 2=^^, откуда С = —. Следовательно, искомое частное решение есть з/зх^ Зх^^ 7 !.= |—+ —+ 8. Отметим, что выше рассмотрено лишь несколько простейших дифференциальных уравнений. Естественно, что, кроме них, существует много других дифференциальных уравнений. Например, уравнение у' = at/, (16) где а — данное число, имеет решение у = где С — некоторая постоянная. В самом деле, у' — аСе^ = at/, т. е. функция у = Се^ есть решение уравнения (16). Рассмотрим еще одно дифференциальное уравнение t/"+ft^ = 0, (17) где ft > О — данное число. Уравнение (17) имеет решение у = Asinkt + Bcoskt, где Аи В — некоторые постоянные. Действительно, у' = Akcoskt - Bftsin ktj у" = -Ak^sinkt - Bk^coskt. Подставляя выражения для t/ и t/" в уравнение (17), убеждаемся, что функция у = Asinkt + Bcoskt есть решение уравнения (17). 6.82 а) Какое уравнение называют дифференциальным уравнением? б) Какое дифференциальное уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка; второго порядка? в) Что называют решением дифференциального уравнения? г) Что называют общим решением дифференциального уравнения; частным решением дифференциального уравнения? 206 Покажите, что функция у = у (х) является решением дифференциального уравнения, если (6.83—6.84): 6.83 а) у'= х^, у = + Ъ\ б) у'= sinx, у =-COSX - 1; 4 в) у' = cos X - 7^ у = sin X - 7х + 2; г) у' = Ssinx + 4cosx + 7, у = -3cosx + 4sinx + 7х - 3. Укажите общее решение дифференциального уравнения. 6.84 а) у' = Ъу, у = е в) у"= 16у, у^е*^; б) у" = 2Ъу, у - г) у" = -9у, у = sin (Зл: + 5). 6.85 Покажите, что функция у = Ci cos сол: -l- С2 sin сол: является решением дифференциального уравнения у" = -со^у. 6.86 Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию: а) у' = 4х^, у(0) = 1; б) у' = 5sinx, у(0) = 0; в) г/'= 6COSX, у (л) = 5; г) i/'= 7sino: - Scosjc, г/ д) у"= 66х, у(0)= 1, у'(0) = 3; е) у" = -36х, у(0) = 0; у'(0) = 2. 6,87 Для дифференциального уравнения у"+ 4у = 0 найдите решение, удовлетворяющее условиям: а) у(0) = 2, у'(0) = 3; б) у(0) = 2, у'(0) = 0; в) у(0) = 0, у'(0) = 3. ело*. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 1. Нахождение закона движения тела по его скорости. Пусть точка движется по оси х. Ее скорость — заданная функция времени v = f{t)y и надо найти закон движения точки, т. е. зависимость ее координаты X от ^ ^ 0), или, как говорят, зависимость пути от времени. Пусть искомый закон движения определяется формулой x = F(^). Производная от х по f равна v = /(0» где f(t) — непрерывная функция, т. е. F'(t) = f{ty (1) Мы получили дифференциальное уравнение относительно искомой функции F{t). Решить уравнение (1) нетрудно: i^(^) есть первообразная от f(t). Следовательно, F(t)= jf(t)dt + C, 207 Первообразная и интеграл где С — некоторая постоянная. Чтобы найти С для конкретного закона, надо знать дополнительно, где находилась точка в некоторый момент времени, например при < = 0. ПРИМЕР 1. Пусть точка движется по оси х. Ее скорость равна V = Зt^ - 2t (м/с). Найдем закон движения точки х = x(t), если х(0) = 2. Пусть искомый закон движения определяется формулой x = F(t). Тогда F'(t) = 3t^ - 2t и x = F(t) = j(3t^-2t)dt = t^-t^ + C. (2) Подставив ^ = о, х = 2 в равенство (2), получим 0^ - 0^ и- С = 2, откуда С = 2. Итак, X = -h 2 (м). 2. Нахождение закона движения тела по его ускорению. Пусть точка движется по оси х равноускоренно с ускорением, равным данному числу а, и надо найти закон ее движения. Пусть искомый закон движени'^ определяется функцией x = F (t). По условию ее вторая производная равна а: F"(t) = a. Но первая производная есть первообразная для второй производной, поэтому F'(t) = jadt = at -h b, где b — некоторая постоянная. Искомая же функция F(t) есть первообразная для F'(0» поэтому F(t) = J(at + b)dt = ^ bt + С, где С — некоторая постоянная. Итак, общий закон движения выражается формулой X = F (t) — —— -h bt + Су А (3) где Ь и С — некоторые постоянные. Таким образом, имеется бесконечно много законов движения, служащих решениями поставленной задачи — каждой паре Ь и С соответствует свой конкретный закон, Чтобы его найти, надо, например, знать дополнительно, где находилась точка в некоторый момент времени fo и какова была ее скорость в этот момент. ПРИМЕР 2. Из винтовки выстрелили вверх. Напишем закон движения пули, считая, что ускорение земного притяжения приближенно равно 10 м/c^y а скорость вылета пули из винтовки 800 м/с (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Ось X направим вертикально вверх, пусть ее начальная точка совпадает с точкой вылета пули, за единицу длины примем метр. 208 Ускорение силы тяжести и сила тяжести направлены вниз, поэтому в наших расчетах ускорение силы тяжести считаем отрицательным и равным приближенно -10, На основании формулы (3) закон движения выражается функцией X = + at + С. Так как пуля в момент ^ = 0 имела координа- ту jc = 0, то 0 = 0 + 0 + С, откуда С = 0. Поэтому х = И- at. Чтобы определить а, возьмем производную от х по t: — = —10^ -ь а, dt При ^ = о производная равна скорости вылета пули 800 м/с. Поэтому а = 800 и закон движения имеет вид X = -h 800^. 3. Охлаждение тела. Тело, имеющее температуру Tq, помещено в среду с температурой Ti (Tq > Ti). Найдем закон Т = T{t) зависимости его температуры от времени t. Из курса физики известно, что скорость охлаждения тела dT dt пропорциональна разности Т - температур тела и окружаю щей среды. Учитывая, что функция T{t) убывающая, получим dT dt где k — коэффициент пропорциональности. Так как dT — d{T—Ti)y то, обозначив уравнение (4) в виде ? = -kQ. dt (4) Q = Т - Ti, перепишем (5) Мы получили дифференциальное уравнение относительно функции е = Г - Ti от ^ Уравнению (5) удовлетворяет функция е = (6) где А — некоторая постоянная. Можно доказать, что формула (6) исчерпывает все решения уравнения (5). Формула (6) дает бесконечно много решений поставленной задачи, соответствующих разным значениям постоянной А: 0 = г - Ti = Ае-**, откуда Т = Ti + Ае~^К Для нашей задачи Т = Tq при i = 0, поэтому А = То - Ti и решение данной задачи имеет вид 7’ = Ti + (To-Ti)e -kt Из полученной формулы видно, что Т = Tq при ^ = 0, затем с увеличением t температура Т тела весьма быстро уменьшается. При t +00 она стремится к (Т при t -boo). □ 209 Первообразная и интеграл ПРИМЕР 3. Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за 10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколько минут самовар остынет до 25°? Здесь Tq — 100, Ti = 20, поэтому для функции Т = T(t) верно равенство — = -k{T - 20), или at = -k(T - 20). (7) at Уравнению (7) удовлетворяет функция Т = 20 + где А — некоторая постоянная. Из условия задачи следует, что Т(0) = 20 + Ае~^^ = 100 и Г(10) = 20 + = 60. Из первого условия имеем А = 80, тогда из второго условия vO.l ^ = I - I . Теперь для ответа на вопрос задачи надо решить уравне- ние 25 = 20 + Ае относительно t. Так как е * , откуда находим t — 40. =(if’ то получаем 5=80.(j Итак, самовар остынет до 25° через 40 мин. 4, Радиоактивный распад. Радиоактивное вещество в момент времени t = 0 имеет массу /tiq. Требуется найти закон т = m(t) изменения массы этого вещества от времени t. Из курса физики известно, что скорость радиоактивного распа-dm ^ да — пропорциональна имеющейся в данный момент массе вещест-dt ва. Учитывая, что функция m{t) убывающая, получим равенство — = -fem, где k — коэффициент, зависящий от свойств взятого ра- dt диоактивного вещества. Дифференциальное уравнение такого вида мы уже рассматривали (см. уравнение (5)). Этому уравнению удовлетворяет функция т = где А — некоторая постоянная. Значения Айк находят из условия задачи. 5. Гармонические колебания. К висящей пружине снизу прикреплен груз массой /п. Ось х направлена вниз (рис. 169). В неподвижном положении груз находится в начальной точке оси х. Выведем пружину из равновесия, сжав или растянув ее, и отпустим ее в момент времени f = 0. Груз будет колебаться в вертикальном направлении. Требуется найти закон х = х(0 изменения координаты груза от времени t. По закону Ньютона в любой момент произведение массы т на ускорение х" равно силе, действующей на груз в этот момент. Это 210 (х<0) Рис. 169 сила упругости, равная по закону Гука произведению некоторого постоянного коэффициента а на величину отклонения груза от положения равновесия. Силы эти противоположно направлены, поэтому справедливо равенство тх"' = -ах. Обозначив = —, получим дифференциаль-т ное уравнение = (8) Это дифференциальное уравнение второго порядка- Функция x{t) = Asinfe/ + Bcosktj (9) где А и В — некоторые постоянные, является решением дифференциального уравнения (8). Мы видим, что дифференциальное уравнение (8) имеет бесконечно много решений, соответствующих произвольным парам чисел А и В. Каждая конкретная функция x{t) находится заданием двух условий. Обычно в качестве этих условий задают Xq — отклонение груза в момент времени f = 0 и Xq — скорость, сообщенную грузу в момент времени ^ = 0. Например, пусть Xq ^ 0 и Xq = 0 при i = 0, тогда из формулы (9) следует, что Xq = B и x'{t) = kAcoskt - XQksinkty 0 = ftA, A = 0. Поэтому груз колеблется по закону X{t) = XQCOSkt. Формулу (9) (для + В^ > 0) можно записать в виде x{t) = Ccos(ftt - а) (С > 0). (10) Число С = у]а^ + В^ называют амплитудой колебаний. Отклонение груза x{t) удовлетворяет неравенствам —С ^ л:(^) ^ С, и при этом существуют значения f, для которых х — С vl х = —С. Число k назы- вают частотой колебаний. Функция (10) имеет период, равный —. 2к k ^ За единицу времени происходит 1: — = — колебаний. Наконец, k 2к число а называют фазой колебаний. Замечание. Формула (10) моделирует процесс колебания пружины неточно. Она пригодна только для достаточно маленького промежутка времени [0; ^o], при ее выводе не учтены силы трения, возникающие при колебании пружины, и сопротивление воздуха. Выше 211 Первообразная и интеграл установлено, что функция (9) является решением дифференциального уравнения (8), но не показано, как найти такое решение. Нахождение решения уравнения (8) требует знания комплексных чисел. 6.88 Точка движется по оси х со скоростью: а) V = 3; б) V = а; в) и = 2t; г) и = at; д) i? = cos^; е) о = в'. Найдите возможные законы движения точки. Определите среди этих законов тот, для которого л: = О при ^ = О, а также тот, для которого X = 1 при ^ = 1. 6.89 Нарисуйте график функции jc =-5^^ + 800^, задающей закон движения пули, выпущенной вверх, и определите: а) наибольшую высоту, на которую поднимется пуля; б) момент времени, когда пуля достигнет наибольшей высоты; в) момент падения пули на землю; г) скорость пули в момент ее падения на землю. 6.90 Материальная точка падает с высоты 1000 м. Через сколько секунд она упадет на землю и с какой скоростью? Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближенно равным 10 м/с^. 6.91 На высоте 2000 м от земли выстрелили из винтовки вверх. Скорость вылета пули 800 м/с. а) Напишите закон движения пули, нарисуйте его график. б) Какой наибольшей высоты достигнет пуля? в) Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты? г) Через какое время пуля упадет на землю? д) С какой скоростью пуля упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближенно равным 10 м/с^. 6.92 В задаче 6.91 считать, что выстрел направлен вниз и ускорение земного притяжения равно 10 м/с^, а скорость вылета пули из винтовки 800 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. а) Через какое время пуля достигнет земли? б) С какой скоростью пуля упадет на землю? 6.93 Кипящий электрический самовар отключили от сети и вынесли на воздух. За 12 мин он остыл до 52°. Температура воздуха 28°. Какой будет температура самовара через 24 мин? 6.94 Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за 10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколько минут самовар остынет до 30°? 6.95* Первоначально в баке было 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно вливается 5 л чистой воды в минуту, и столько же раствора выливается из бака. Весь процесс происходит при тщательном перемешивании раствора. Сколько килограммов соли останется в баке через 1 ч? П212 Исторические сведения « S S X а В своем сочинении «Квадратура параболы» Архимед пользовался методом исчерпывания для вычисления площади сектора параболы, этот же метод или его варианты он применял для определения площадей и объемов других фигур. Он вычислял площадь сегмента параболы, вписывая в нее подходящие многоугольники с неограниченным возрастанием числа их сторон. Вершины этих многоугольников он выбирал так, чтобы иметь возможность вычисления пределов. Развивая идеи предшественников, Архимед определил длину окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах» он показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема конуса (значит, и объема цилиндра). Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление. Фактически Архимед ввел понятие интегральных сумм (верхних и нижних) и объем полуэллипсоида как общий предел этих сумм при п оо. Используя современный язык, Архимед определил следующие интегралы: jxdx=Y^ \(х^ + bx)dx=^ + а^Ь о п - J sin(pd(p = 1, I sin(х) = h^(x). Если любой корень первого уравнения является корнем второго, а любой корень второго уравнения является корнем первого, то такие два уравнения называют равносильными. Другими словами, два уравнения равносильны, если совпадают множества всех корней^ этих уравнений. В частности, два уравнения равносильны, если каждое из них не имеет корней. Например, уравнения д:^“1 = 0их^-1 = 0 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень 1. Уравнения 4- 1 = О и -I- 1 = О равносильны, так как каждое из них не имеет корней. Уравнения х^-1 = 0ид:2-1 = 0не равносильны, так как первое из них имеет единственный корень 1, а второе — два корня: 1 и -1, т. е. так как не совпадают множества корней этих двух уравнений. Замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения. ^ В дальнейшем слово «всех» во фразе «множество всех корней» для краткости опускаем, но подразумеваем его. 215 Ра в нос ил ьность уравнений и неравенств Если при решении уравнения совершено равносильное преобразование уравнения, то множество корней преобразованного уравнения совпадает с множеством корней исходного уравнения. Перечислим основные равносильные преобразования уравнений. Начнем с преобразований, которые уже применялись ранее. 1. Перенос члена уравнения (с противоположным знаком) из одной части уравнения в другую. 2. Умножение (деление) обеих частей уравнения на отличное от нуля число. 3. Применение тождеств, т. е. равенств, справедливых для каждого X е R, Отметим, что при применении преобразований 1—3 часто даже не пишут, что получилось уравнение, равносильное исходному, а пишут: «перепишем исходное уравнение в виде...». ПРИМЕР 1, Решим уравнение 3 cos 2х = 1 - 2 cos^ X. (1) Применив тождество соз2л: = 2cos^x - 1, перепишем уравнение (1)в виде 3 cos 2х = -cos 2х. (2) Перенеся все члены уравнения (2) в левую часть, а затем разделив обе части полученного уравнения на 4, перепишем уравнение (2) в виде cos 2х = 0. (3) Все корни уравнения (3), а значит, и равносильного ему уравне-ния (1) составляют серию решении Xf^ = « е Z. Ответ. — 4- —, k е Z. 4 2 Замену уравнения f{x) = g{x) уравнением P(x) = g^{x)j где п € 7V и п ^ 2, называют возведением уравнения в степень п. Замену уравнения fix) = g(x) уравнением где п е N и п > 2, называют извлечением корня степени п из обеих частей уравнения. Замену уравнения = где а>0 и уравнением f{x) = g(x) называют логарифмированием показательного уравнения. Перечислим еш;е несколько равносильных преобразований уравнений. 4. Возведение уравнения в нечетную степень. 5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения. 6. Логарифмирование показательного уравнения. 216 Равносильность преобразований 4—6 следует из утверждений: 1. Пусть 2т + 1 (т е iV) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны уравнения fix) = g(x) (4) И /2'” + 1 (X) = Чл:). (5) 2. Пусть 2т + 1 (т g N) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны уравнения 3. Пусть фиксированное число а таково, что а > О и а ^ 1^ тогда равносильны уравнения и f(^x) = Так как доказательства всех этих утверждений аналогичны, то приведем только доказательство утверждения 1, Р Пусть число Xq — любой корень уравнения (4), т. е. пусть существуют числа /(xq) и ^(^о), для которых справедливо числовое -г. равенство /{xq) = gixo). Но если равны числа, то равны и их любые нечетные натуральные степени, т. е. справедливо числовое равенство Полученное равенство означает, что любой корень уравнения (4) является корнем уравнения (5). Докажем обратное. Пусть число Xi — любой корень уравнения (5), т. е. пусть существуют числа и g(xi)y для которых справедливо числовое ра- венство f^"’^Hxi) = g^'"*4xi). Из равенства чисел следует равенство корней любой нечетной натуральной степени, т. е. справедливость числового равенства fix^) — = g{xi). Полученное равенство означает, что любой корень уравнения (5) является корнем уравнения (4). Из доказанного выше следует, что если хотя бы одно из уравнений (4) и (5) имеет корень, то эти уравнения равносильны. Покажем, что если уравнение (4) не имеет корней, то и уравнение (5) не имеет корней. Предположим противное, т. е. предположим, что уравнение (5) имеет хотя бы один корень Х2* Тогда по доказанному выше число Х2 является корнем уравнения (4), что противоречит условию: уравнение (4) не имеет корней. Следовательно, наше предположение неверно, т. е. уравнение (5) не имеет корней. Аналогично показывается, что если уравнение (5) не имеет корней, то и уравнение (4) не имеет корней. 217 Равносильность уравнении и неравенств Следовательно, если хотя бы одно из уравнений (4) и (5) не имеет корней, то эти уравнения равносильны. Итак, утверждение 1 полностью доказано. • ПРИМЕР 2. Решим уравнение ^12x2- 28х + 8 = 2-х. (6) Возведя уравнение (6) в третью степень, получим уравнение 12х^ -28х + 8 = (2- xf, (7) равносильное уравнению (6). Уравнение (7) имеет три корня: -8; 0; 2. Следовательно, равносильное ему уравнение (6) имеет те же корни. Ответ. -8; 0; 2, ПРИМЕР 3. Решим уравнение (X - = (2х-h 4УК (8) Извлекая корень 11-й степени из обеих частей уравнения (8), получим уравнение д: - 5 = 2х + 4, (9) равносильное уравнению (8). Уравнение (9), а значит, и равносильное ему уравнение (8) имеют единственный корень -9. Ответ. -9. ПРИМЕР 4. Решим уравнение - 2х — = 5^ (10) Логарифмируя показательное уравнение (10), получим, что оно равносильно уравнению х2-2х = д:-2, (11) имеющему два корня: 1 и 2. Следовательно, и равносильное уравнению (11) уравнение (10) имеет те же корни. Ответ. 1; 2. При решении уравнений часто приходится применять несколько равносильных преобразований. ПРИМЕР 5. Решим уравнение (х^ - 8^ + 2^ - 1)^ = {х^ -2^ - 1)\ (12) Извлекая корень 7-й степени из обеих частей уравнения (12), получим уравнение - 8^ + 2^ - 1 = - 2^ - 1, (13) равносильное уравнению (12). Перенеся все члены уравнения в левую часть и приведя подобные члены многочлена, перепишем уравнение (13)в виде 2 • 2^ - 8^ = о, (14) 218__________________________________________________________ Так как справедливы тождества 2 • 2^ = 2-^ + ^ и 8-*^ = 2^^, то уравнение (14) можно переписать в виде 2х + 1^23^, (15) Логарифмируя показательное уравнение (15), получим равно- сильное ему уравнение х+1 = 3х, (16) имеющее единственный корень i. Следовательно, и равносильное уравнению (16) уравнение (12) имеет тот же корень. ^ 1 Ответ. (17) (18) Н ПРИМЕР в. Решим уравнение 5ДС + 1 ^ 2^ + 2. Перепишем уравнение (17) в виде 5ДС + 1 _ + 2)log5 2_ Логарифмируя показательное уравнение (18), получим равносильное ему уравнение л: ч- 1 = (д: -ь 2) logs 2. (19) Уравнение (19), а следовательно, и равносильное ему уравнение (17) имеют единственный корень Iog2,s0,8. Ответ. Iog2,s0,8. • 7.1° а) Какие два уравнения называют равносильными? б) Какие преобразования уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных преобразований уравнения. 7.2* Докажите утверждения: а) об извлечении корня нечетной степени из обеих частей уравнения; б) о логарифмировании показательного уравнения. 7.3 Объясните, почему равносильны уравнения: а) X + 5 = 2х-г и X - 2х -1- 5 = -3; б) ^х^+1 2 = х^- X и X 2 + 2 = 2x2 - 2х; в) (X + 1)2 = 2x2 и х2 + 2х + 1 = 2x2; г) Х^ + X + 2 - *-х + 1 = : 0 и х2 - х2 + 3 = 0; д) X = 1 и X® = 1 ; е) х5 = 2 и X = ^2; ж) 2^ + 2 = 2 и X -1- 2 = ] U ч • 3 1 • 1 з) Sin° X = - и 8Ш X = -8 2 219 Ра»11осильность уравнений и неравенств Решите уравнение (7.4—7.12): 7.4 а) COS 2х - cos^ X - sin л: = 0; 6) cos 2x - cos^x -1 - sinx = 0; в) cos 2х + cos^ л: - 0,5 = 0; r) cos 2x - sin^ X 4 0,5 = 0. 7.5 а) + Зле - 15 = jc; 6) ^x^ ' - 3x- 4 = r; в) ^х^ - Зх- 1 = X -1; r) 3/„3 Д/Х - 3x + 1 = X + 1. 7.6 а) ^ = х; 6) 3 ^ = X - 2; в) 4'^х + 2 = X + 2; r) 3 ^x - 2 = X. 7.7 а) (2х - ЗУ = ix + 1У; 6) (3x +1)^ = (x + 9)^ в) (3x2 _ 4д.)9 = (X2 - 8x)«; r) (5x ^ + 4x)^ = (x 2 + 2x)2. 7.8 а) (Ssin^x “ 4)^^ = (sin^x - 1) 11. 9 6) (Scos^x- 1)*^ = (cos^x-t-1)^ в) (4Х _ 5)99 ^ (3 • 2^ - 1)»»; r) (9" - 1)®5 = :(3" 4- 5)9^ 7.9 а) 22х = 2^-^; 6) 42^- 7 _ 4" -1. 9 b) 92" - 4 _ gx + 2. г) ЗЗл- - 1 ^ 37х - 2. > Д) 25" + 1 _ :5"^ + 3x ; e) 16" - 1 _ ^x^ - X 7.10 а) а1 - 2дг 8 . 2‘-2 + 2x- 6) 0,2 . g0,2x 4 3 25"-2 - ' 125 ’ в) 01 4 Зх • 3*-2^; r) ^ .4X- 2 _ 3 83 - 2x ^ 12 ’ д) (0,81)-2^ = rViol 1 3 J 3^2-3 9 e) f-] IsJ x^-1 i. V2 > l,5x 7.11 а) 2^ - ‘ = 3^; 6) 2 " = 3" + i; B) 2"- -2 _ 3"-2; r) 2"-3 = 3"-2 7.12 а) gx + sin X _ g sin X + 2. 9 6) Q^fTTi ^ 9 в) (х2 - sinx)^”* = (х2 + 1)^°^; r) (x^ + cosx] 103 _ (x7 _ 1)103. д) Ijsin^ X -Н 4^ - 6 = = Vsin^ X - 2" 9 е) ^sin2 X + 9^ ■COS^ X -h 3-* + 7. 7.13* При каком значении параметра а уравнение з->^”2х + а_дд имеет единственный корень? 7.2. Равносильные преобразования норавенгтв Пусть даны два неравенства f(x)>g(x) и ф(д:) > \|/(дг). Если любое решение первого неравенства является решением второго, а любое решение второго неравенства является решением первого, то такие два неравенства называют равносильными. Иными слова- 1220 ми, два неравенства равносильны, если совпадают множества всех решений^ этих неравенств. В частности, два неравенства равносильны, если каждое из них не имеет решений. Например, неравенства лс > 1 и > 1 равносильны, так как множество решений каждого из них одно и то же: (1; +оо), а неравенства л:^+1<0и:с'* + 1<0 равносильны, так как каждое из них не имеет решений. Замену одного неравенства другим равносильным ему неравенством называют равносильным преобразованием неравенства. Если при решении неравенства совершено равносильное его преобразование, то множество решений преобразованного неравенства совпадает с множеством решений исходного неравенства. Перечислим основные равносильные преобразования неравенств. Начнем с преобразований, которые уже применялись ранее. 1. Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из одной части неравенства в другую. 2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число. 3. Применение тождеств. Отметим, что применение к неравенству преобразований 1—3 приводит к неравенству с тем же знаком. При этом часто даже не пишут, что получилось неравенство, равносильное исходному, а пишут: «перепишем исходное неравенство в виде...». ПРИМЕР 1. Решим неравенство - 4 > 4х - его Перенеся все члены неравенства в в виде х^ х^ - 4х - 4 > левую часть (1), 0. (1) перепишем (2) Разложим на множители левую часть неравенства (2): х^ + х^ 4JC - 4 = х^(х + 1) - 4(х + 1) = (JC -ь 1)(х - 2)(х + 2). Применяя это тождество, перепишем неравенство (2) в виде: (х + 1)(х - 2){х + 2) > 0. (3) :zY±x: -2 -1 Рис. 170 ---- Применяя метод интервалов (рис. 170), ----^ получим, что множество решений неравенства (3), а значит, и равносильного ему неравенства (1) есть объединение двух промежутков: (-2; -1) U (2; +оо). Ответ. (-2; -1) U (2; +оо). Замену неравенства f(x)>g{x) неравенством /"(х)>^"(х), где п е iV и п ^ 2, называют возведением неравенства в степень л. ^ В дальнейшем слово «всех» во фразе «множество всех решений» для краткости опускаем, но подразумеваем его. 221 PaitifOcii.ibifooTb урнЕженнн ir т'^рав<*тт<‘ти Замену неравенства f(x) > g(x) неравенством 'isff(x) > ^^Jg(x)^ где п е N и п ^ 2^ называют извлечением корня степени п из обеих частей неравенства. Замену неравенства неравенством f(x)>g{x) (при а > 1) или неравенством f(x) < g(x) (при О < а < 1) называют логарифмированием показательного неравенства. Перечислим еще несколько равносильных преобразований неравенств, 4. Возведение неравенства в нечетную степень. 5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей неравенства. 6. Логарифмирование показательного неравенства. Отметим, что применение к неравенству преобразований 4 и 5 приводит к неравенству с тем же знаком; применение преобразования 6 при а > 1 приводит к неравенству с тем же знаком, а при О < а < 1 — к неравенству с противоположным знаком. Равносильность преобразований 4—6 следует из утверждений: 1. Пусть 2т + 1 (т G iV) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны неравенства f{x) > g{x) и ^ (х) > ^ ^ (х). 2. Пусть 2т +1 (лг € ЛГ) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны неравенства f(x) > g(x) и ^ 3. Пусть а — фиксированное число. Тогда если а > 1, то равносильны неравенства и f(x) > g(x); если же О < а < 1, то равносильны неравенства и f{x) < g{x). ПРИМЕР 2. Решим неравенство X - 1 > - 2х'^ + 4х- 7. (4) Возведя неравенство (4) в третью степень, получим неравенство (д: - 1)3 > хЗ - 2x3 + 4х - 7, (5) равносильное неравенству (4). Применив формулу куба разности, перенеся все члены неравенства в правую часть и приведя подобные члены многочлена, получим неравенство х^ + X - б < О, (6) равносильное неравенству (5), а значит, и неравенству (4). Решив квадратное неравенство (6), найдем множество его решений — интервал (-3; 2). Так как неравенство (6) равносильно неравенству (4), то множество решений неравенства (4) составляет тот же интервал. Ответ. (-3; 2). 222 ПРИМЕР 3. Решим неравенство (2х^ -Зх+ ly <(х^ + x-h 1)^ (7) Извлекая корень 7-й степени из обеих частей неравенства (7), получим неравенство 2д:2 - Зд: + 1 < + х + 1, (8) равносильное неравенству (7). Неравенство (8), а значит, и равносильное ему неравенство (7) имеют одно и то же множество решений — интервал (0; 4). Ответ. (0; 4). ПРИМЕР 4. Решим неравенство ЗДГ2_ , < gl_ ^ Неравенство (9) можно переписать в виде Здг2 - < з2(1 - д:) (9) (10) Логарифмируя показательное неравенство (10), полупим, что оно равносильно неравенству х^ - X < 2(1 - х)у множество решений которого есть интервал (-2; 1). Следовательно, этот интервал есть множество решений и неравенства (10), а также равносильного ему неравенства (9). Ответ. (-2; 1). При решении неравенств часто приходится применять несколько равносильных преобразований. ПРИМЕР 5. Решим неравенство п[ (11) Возведя неравенство (11) в 11-ю степень, получим равносильное ему неравенство 9^ - 3^ + 52^ > 9^ - 3^ + 53^. (12) Перенеся члены 9^ и -3^ неравенства (12) в левую часть и пользуясь тождествами 9^ - 9^ = 0 и 3^ - 3^ = 0, получим равносильное ему неравенство 52^ > 5^^. (13) Логарифмируя показательное неравенство (13), получим, что оно равносильно неравенству 2х > Зх, множество решений которого, а значит, и равносильного ему неравенства (11) есть интервал (-оо; 0). Ответ, (-оо; 0). 223 Рнвносильиость уравнений и неравенств Наряду со строгими неравенствами часто встречаются нестрогие неравенства. Для решения нестрогого неравенства f(x) > g(x) (14) надо: 1) решить уравнение f{x)^g{x); (15) 2) решить неравенство f(x)>g{x). (16) и тогда множество решений неравенства (14) есть объединение всех решений уравнения (15) и всех решений неравенства (16). ПРИМЕР 6. Решим неравенство >^1 - 2х / ^ + 5 4, 3 14 Сначала решим уравнение - ч1 - 2дг / „ \ + 5 3 1 Г 3 (17) (18) Логарифмируя показательное уравнение (18), получим, что оно равносильно уравнению 1 - 2л: = -X + 5, имеющему единственное решение Xq = -4. Теперь решим неравенство Логарифмируя показательное неравенство (19), получим, что оно равносильно неравенству 1 - 2jc < -д: + 5, множество решений которого составляют все х > -4. Объединяя решения уравнения (18) и неравенства (19), находим все решения неравенства (17) — они образуют промежуток [-4; +оо). Ответ. [-4; +оо). 7.14° а) Какие два неравенства называют равносильными? б) Какие преобразования неравенства называют равносильными? Приведите примеры равносильных преобразований неравенств. 224 7.15* Докажите утверждения: а) о возведении неравенства в нечетную степень; б) об извлечении корня нечетной степени из обеих частей неравенства; в) о логарифмировании показательного неравенства. 7.16* Докажите, что если число а > О, то неравенства f{x)>g{x) и af{x) > ag(x) равносильны. 7.17* Докажите, что если число а < О, то неравенства f{x)> и af{x) < ag(x) равносильны. 7.18° Объясните, почему равносильны неравенства: а.) х^ - 2х > - 1 W. х^ - 2х + \ > 0-, б) Зл: > 6 и д: > 2; в) х^ < 2х + 1 и -х^ > -2х - 1; г) - 4jc + 4 > О и (х - 2)^ > 0; д) - 4х + 5 + 2х < о и - 2х + 5 < 0; е) ^ > 2 и х > 8; ж) х^ > 3 и X > V3; з) 0,1^^ - 2^ > 0,1^ и х^ - 2х < х; и) ^ и sin X < cos х. Решите неравенство (7.19—7.32): 7.19 а) х^ - 5x2 + 4х>{х- if- б) х^ - 6x2 + 9х > (х - 3)2; в) х2 + 5x2 — Qx - 2 < 3x2 — Зх + 4; г) 2x2 + 3x2 _ 4х - б > Х'2 - 2х. 7.20* а) cos 2х + 3 sin2х + 2 sinх < 4; б) cos 2х - cos2х - 2 cos х < -2. 7.21 а) 4"^ + 2-" + х2 < х2 + 6; б) 27^ + 9^ > 3^ + 6 + 27^. 7.22 а) ^Зх-2 - 3x2 - X + 5 > ^2x® - 4x2 + х + 5; б) ^5x2 - 6x2 + Зх + 1 < ^4х2-х2-Зх + 1. 7.23 а) X + 1 > ^х2 + 2x2 _ Зх _ 4; б) х + 2 < ^х^ + 5x2 + ух + 2. 7.24 а) (5х - 2)^ < (Зх - 14)^; б) (Зх - 7f > (5х - 11)^; в) (х2 - 5х)^* > (2x2 _ 7х)Ч; г) (3x2 JJ.^33 ^ Зх)23. 7.25 а) (6sin2x - 5)12 < (2sin2x - 2)12; б) (6cOs2x - 3)2 > (2cOs2x - 1)2; в) (2^ + 7)^ > (3 • 2^ + l)^; г) (2 • 3"^ - l)2i < (3^ + 8)2*. б) (0,3)2^ +5 >(0,3)^+ 2. г) (0,5)‘1^-'^< (0,5)^"^- ^ 7.26 а) 2^ + 1 > 2^'“- 2; 2х - 9 ^ - 12 в) 52^ - 9 < 5^ 7.27 а) 42^-7 >22^ + 1; б) 52^-1 <25^ + 1; в) 72^ + 1 < 49^ - 2; г) 8"^ + 1 > 64^. 225 Ур^кпеиия-следетиля 7.28 а) в) ,за-2. X + 5 б) г) Г 49 >'| Зх- 1 4х + 1 7.29 а) 5^-* >4^; б) 4* <5^+^; в) 15^-‘‘>3*-^; г) + 7.30 а) 5^, - > 2^ - 2; б) 3^ " * < 2^ “ в) 3^ - ^ > б"' - ^ г) 7^ - < 6® - ^. 7.31* а) 3^"^ + ““ * > 3®‘" * + 2. б) < 16^>/2* + 20 . в) (х2 - sinx)‘^ > (х2 + 0,5)*^; г) (х» + cosx)‘2 < (х» - 0,5)^2. д) ^3sin2 X + 4^ - 3 > ^-3cos2 х + 2-*^; е) ^sin2 X + 12• 3^ - 28 < ^j-cos^lc+^. 7.32 а) л/^-3-«^^ > б) 7^-2-“^ > 8^^; 94 7.33* При каких значениях параметра а все решения неравенства 2^ +2х-а 4JC содержатся в интервале (-1; 1)? '1' Ьх2 ГхГ f 1 4- < г) 125 - < 2 ^ J UJ Ах § 8. Уравнения-следствия 8-1. Понятие уравнения-следствия Пусть даны два уравнения f(x) = g{x) и р(лг) = (р(х). Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого. В частности, если первое уравнение не имеет корней, то любое второе уравнение является его следствием. Например, рассмотрим уравнения ^fx = 1 л х^ = 1. Первое уравнение имеет только один корень — число 1, которое является корнем второго уравнения, поэтому уравнение х^ = 1 есть следствие уравнения Jx = 1. Но уравнение х^ = 1 имеет еще один корень — число -1, которое не является корнем уравнения л/х = 1. Поэтому уравнения 7^ = 1 и = 1 не являются равносильными. Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению-следствию. При переходе к уравнению-следствию возможно появление корней, не являющихся корнями исходного уравнения, т. е. возможно появление корней, посторонних для данного уравнения. 226 В то же время при переходе к уравнению-следствию невозможно потерять корни исходного уравнения (это следует из определения уравнения-следствия). Таким образом, если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения-следствия являются корнями исходного уравнения. Иными словами, при таком способе решения уравнения проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения. Замену уравнения logaf(x) = \ogag(x) {аФ 1 — фиксированное положительное число) уравнением f{x) — g(x) называют потенцированием логарифмического уравнения. f (х) Замену уравнения-----= О уравнением f{x) = О называют осво- g{x) бождением уравнения от знаменателя. Замену разности f(x) - f{x) нулем называют приведением подобных членов. Перечислим некоторые преобразования, которые приводят к уравнению-следствию, а значит, могут привести к появлению посторонних корней. 1. Возведение уравнения в четную степень. Например, при возведении уравнения 4х = 1 в четвертую степень получается уравнение-следствие д:^=1, имеющее корень -1, посторонний для исходного уравнения. 2. Потенцирование логарифмического уравнения iogaf(x) = = ^ogag(x) (а>0, 1). Например, потенцирование логарифмического уравнения \g{x^ - 4) = lg(4x - 7) приводит к уравнению-следствию х^-4 = 4х-7, имеющему корень 1, посторонний для исходного уравнения. 3. Освобождение уравнения от знаменателя. Например, освобождение уравнения х^-Ьх-\- 4 х-1 = О от знаменателя приводит к уравнению-следствию - 5х + 4 = О, имеющему корень 1, посторонний для исходного уравнения. 4. Приведение подобных членов. Например, после приведения подобных членов уравнения \[х + х + {1- л/х) = О получается уравнение д: и- 1 = О, имеющее корень -1, посторонний для исходного уравнения. 227 Уравнения-следствия Замечание. Отметим, что применение формул (логарифмических, тригонометрических и др.) также может привести к уравнению-следствию. Например, если к уравнению л/хл/х + 3 = 2 применить формулу VaVb = л/аЬ^ то получим уравнение д/х (х и- 3) = 2, (1) (2) которое является следствием уравнения (1). Оно имеет корень —4, посторонний для уравнения (1). Если к уравнению loggCx - 1) + log2(^: + 1) = 3 (3) применить формулу log2a + \og2^ — то получим уравнение log2((x - 1)(х + 1)) = 3, (4) которое является следствием уравнения (3). Оно имеет корень —3, посторонний для уравнения (3). Отметим, что если применить те же формулы, но в обратном порядке, к уравнениям (2) и (4), то при таких преобразованиях получаются уравнения, не являющиеся следствиями уравнений (2) и (4), и при этом даже произойдет потеря корней. Так при переходе от уравнения (2) к уравнению (1) происходит потеря корня -4, а при переходе от уравнения (4) к уравнению (3) происходит потеря корня -3. Существуют и другие преобразования уравнений, которые могут привести к потере корней исходного уравнения (см. упражнение 8.5). Ясно, что при решении уравнений нельзя применять преобразования, приводящие к потере корней исходного уравнения. 8.1° а) Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения? б) Являются ли все корни исходного уравнения корнями его уравнения-следствия? в) Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? г) Какие преобразования приводят к уравнениям-следствиям? д) Является ли проверка полученных корней обязательной частью решения уравнения, если в процессе решения был совершен переход от уравнения к уравнению-следствию? Ш228 Объясните, в результате какого преобразования переход от первого ург1внения ко второму приводит к появлению посторонних корней. Подберите корень второго уравнения, посторонний для первого уравнения (8.2—8.4): 8.2 а) X = 2^ = 4; б) logax^ = loggx, = х; в) - 4) - (2х - 3) ^ о, (л: - 4) - {2х - 3) = 0; - 1 г) х^ + Зх + л/х = л/х + 4, х^ + Зх - 4 = о. 8.3* а) л/х - 2 л/х - 3 = о, 2)(х- 3) = 0; ■J2x^ - Эд: + 3 I-----;г [ = л/х + 3, J б) 2x2- 9х + 3 X - 2 — л/х + 3; ■Jx - 2 в) 21og4X = 1, log4X^ = 1; г) З‘°ез X ^ ^ ^ ^2. д) log2X + loga (х + 2) = 3, log2 (х (х + 2)) = 3; е) logax - log2(x + 2) = log2(2x + 10), loga = loga(2x + 10). 8.4* a) = 0, sin 2x = 0; 1 + tg2 X 6) -—= -1, cos 2x = -1. 1 + tg^x 8.5* Объясните, почему преобразование уравнения с применением данной формулы слева направо может привести к появлению посторонних корней (а > 0, а ^ 0):____________ а) ylfix)^jg(x) = yjf(x)g(x); б) л/iW U(x) в) /(х); г) 21og„/‘(x) = log„/2(x); Д) loga/(x) + logag(x) = loga(/(x)g(x)); /■(X). e) log„/(x) - log„g(x) = logo ж) = logofCx); ^(x)’ 3) tgx = Ctgx; и) ctgx = tgx; 2 tgx . k) ^ ,— = sin2x; 1 - tg2 X л) -------5— = cos 2x; m) 1+ tg2x 2 tgx = tg2x. 1 + tg2 X ’ 1 - tg2 X Может ли применение той же формулы справа налево привести к потере корней? 229 У pa в нен и я -сл едств и я 8,2, Возведение уравнения в четную степень Пусть 2т (т е N) — фиксированное четное натуральное число. Тогда следствием уравнения f{x) = g{x) является уравнение Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений, т. е. уравнений, содержаш;их неизвестное х под знаком корня. ПРИМЕР 1. Решим уравнение X + 1 = д/Зх + 7, Возведя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение (X + 1)2 = Зх -f 7, (1) (2) являющееся следствием уравнения (1). Уравнение (2) имеет два корня: Xj = 3 и Х2 = -2. Проверка показывает, что число х^ является корнем уравнения (1), а число Х2 — нет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень Xj. Ответ. 3. I ПРИМЕР 2. Решим уравнение Vl — sinx = cosx. Возведя уравнение (3) в квадрат, получим уравнение 1 - sinx = cos2x. (3) (4) являющееся следствием уравнения (3). Так как cos2x = 1 - sin2x, то уравнение (4) можно переписать в виде sinx (sinx - 1) = 0. Уравнение (5) имеет две серии решений: Xk = яА, k е Z; х„ = — + 2тш, п е Z, 2 (5) Так как ^1 - sinx^^ = 1, созх;^ = (-1)*; д/l - sin х~ = 0, cosx„ = 0, то все числа х„ являются решениями уравнения (3), а из чисел Xj^ решениями уравнения (3) являются только те, для которых k — 2m, m G Z. Ответ. — -ь 2ял, n е Z; 2я/п, т е Z. 2 □ 230________________________________________________________ Возведение в четную степень можно применять и при решении уравнений, содержащих модуль. ПРИМЕР 3. Решим уравнение \х^-Зх-1\ = х^-2х-2. (6) Возведя уравнение (6) в квадрат, получаем уравнение (х2 -Зх- 1)2 = (х^ - 2х - 2)2, (7) являющееся следствием уравнения (6). Перепишем уравнение (7) в виде (лг2 -Зх- 1)2 - (х^ - 2х - 2)2 = О или в виде (х2 - Зд: - 1 - х2 + 2х + 2)(х2 - Зх - 1 + х2 - 2х - 2) = О и найдем его корни х^ = 3, Хз = 1, Хз = -0,5. Проверка показывает, что число х^ является корнем уравнения (6), а числа Хз и Хз — нет. Ответ. 3. # 8.6° а) Объясните, почему возведение уравнения в четную степень может привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения. б) * Докажите утверждение о возведении уравнения в четную степень. в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно решать иррациональное уравнение? 8.7 Возведите уравнение во вторую степень, решите полученное уравнение, проверьте, являются ли корни уравнения-следствия корнями исходного уравнения: а) л/х = X - 2; б) ^/Зх = 2х - 3; в) ^2х — 1 = х; г) ^/Зх - 2 = х. Решите уравнение (8.8—8.11): 8.8 а) 7^2 - 4х + 1 = д/Зх + 1; б) ^j2x^ - 4х + 5 = ^Зх^ - х + 1; в) д/х2 - Зх = д/4х - 10; 8.9 а) д/бх + 2 = хл/З; в) д/2х -ь 5 = X -I-1; д) д/2х2 - 4х + 1 = X -ь 1; г) д/х2 - Зх - 3 = yj2x^ -2x ^9. б) д/Зх + 2 = x^^2\ г) д/Зх н- 7 = 2х -н 3; е) д/3х2 - 4х -ь 1 = X - 1. 231 Урапиенин'следствня 8.10* а) д/logl JC + 3 = log2 X - 1\ б) д/logl х + 5 = 1 - logs х; в) = 2* + 1; г) д/З-4^ - 2^ + 2 = 2^ +1; д) Vl - COSX = sinx; е) Vl + sinx = cosx. 8.11* a) |x2-4x + 2| = x2-6x+10; 6) Ix^ - 2x - 21 = - 4x + 6; b) |21gx-3| = 31gx-2; r) |31gx-4| = 21gx-l; Д) 12^ + 1 - 7| = 5 - 2*; e) |2^+^ = 2^ + 1. 8.12* При каких значениях параметра а уравнение у]х^ + 6х - 2а -= X + 2 имеет единственный корень? 8.3. Потенцирование логарифмических уравнений Пусть а — данное число {а> 0, а ^ 1). Тогда следствием урав- Н0НИЯ V- loga/‘(x)= log„g(x) , (1) является уравнение . ■ . . 'hi -(2),. /(х) = ^(х). ^.дгии“ш52ш*«;= ■ Доказательство, Пусть число Xq — некоторый корень уравне-щ ния (1), т. е. пусть существуют числа log^/(Xo) и logQg(xo), для ^ которых справедливо числовое равенство loga/(xo) = log^g(xo). Но если логарифмы двух чисел по одному основанию равны, то равны и сами числа, т. е. справедливо числовое равенство /(л:о) = ^(^о)* Следовательно, число Xq является корнем уравнения (2). Такое рассуждение можно провести для любого корня уравнения (1), следовательно, любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), т. е, уравнение (2) является следствием уравнения (1). Если же уравнение (1) не имеет корней, то тогда, как отмечено в п. 8Л, уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Утверждение доказано полностью. • ПРИМЕР 1, Решим уравнение log2(x^ + х^ - 4) = log2(x^ + 4х - 7), (3) Потенцируя логарифмическое уравнение (3), получаем уравнение (4) х^ + х^ - 4 = х^ + 4х - 7, являющееся следствием уравнения (3). Перенося все члены уравнения (4) в левую часть и приводя подобные члены многочлена, перепишем уравнение (4) в виде х2 - 4х + 3 = 0. (5) 232 Уравнение (5), а следовательно, и уравнение (4) имеют по два корня Xi = 1 и Х2 = S. Проверка показывает, что число Х2 является корнем уравнения (3), а число — нет. Ответ. 3. (ПРИМЕР 2- Решим уравнение log3 cos 2х = logs sin х. (6) После потенцирования логарифмического уравнения (6) и применения формулы косинуса двойного угла получаем уравнение 1-2 sin^ X = sin X, (7) являющееся следствием уравнения (6). Только корни двух уравнений sinx=— и sinx = -l являются и корнями уравнения (7). Все решения этих простейших тригонометрических уравнений задаются тремя сериями решений; х^ = ^ + 2птпу m G Z; х„ = ^ и- 2лц, /г е Z; Xj^ = -ь 2лЛ, k е Z. Проверка показывает, что все числа серий х^ и х„ являются решениями уравнения (6), а числа серии Xf^ — нет. Следовательно, все решения уравнения (6) задаются сериями х^ и х„. Ответ. — + 2лт, /тг g Z; — н- 2тш, /г g Z. ♦ 6 6 8.13° Объясните, почему переход от уравнения loga/(x) = log^g(x), где а > О, а 1, к уравнению f{x) = g(x) может привести к появлению корней, посторонних для первого уравнения. Решите уравнение (8.14—8.19): 8.14 а) logsCx^ - Зх) = logsCx - 3); б) log4(x^ - 5х) = log4(x - 9); в) log5(x2-b 13x) = log5(9x +5); г) loggCx^ - х) = log6(6x - 10). 8.15 а) logsCx^ - 2х) = 1; в) logjCx^ + 1,5х) = 0; б) logsCJC^ + 2х) = 3; 2 3 г) logs I + 2 8.16* а) logji + 20 j _ loga 41 в) logs л: + 10 log2 11’ logiiS ’ xj = 0. , f ДГ + ll'l log;, 23 6) log,3[—J = r) logy X -h 15 1q^i3 logi3 7 ‘ 233 Ураишч111П'(';к*дс‘1'11Мя 8.17* а) logs(2 • 3^- 5) = log3(3^ + 4); б) log7(2 • 4X _ 3) = log7(4^+ 1); в) logs(4^ - 3 • 2-) = log5(3 ■ 2^-8); г) log4(9^ - 5 • 3^) = log4(7 • 3^-27). 8.18* а) log2(4^ - 2^ + 2) = x; б) logs (9^ - 3^ *^ + 3) = x; в) logs(4^ + 2^ -S) = x + 2; г) logs (25- + 5 ^ -5) = x+ 1. 8.19* а) logs OOS; 2x = logs OOS x; б) logi cos 2x = ■- logi(cosx + sinx); в) 2 logi cos 2x = 2 = log 1 (cos X- sinx); г) 6 logo,2 OOS 2x 3 = logo,2(sinx - cosx). 8.20* При каких значениях параметра а уравнение lg(x^ + Зх + а) = = lg(x + 1)^ не имеет корней? 8.4. Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию 1. Приведение подобных членов уравнения. Следствием уравнения f(x) + ф(х) - ф(х) = 0 является уравнение /(х) = 0. IIFHiMEP 1. Решим уравнение Х^ + log2(X^ + Х-1) = Х + 6 + log2(x^ + X - 1). (1) Перенося все члены уравнения (1) в левую часть и приводя подобные члены, получим уравнение х2 - X - 6 = о, (2) являющееся следствием уравнения (1). Уравнение (2) имеет два корня: Xj = 3 и Х2 = “2. Проверка показывает, что число Xj является корнем уравнения (1), а число Х2 — нет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень 3. Ответ. 3. 2. Освобождение уравнения от знаменателя. Следствием уравнения f(x) g(x) = о является уравнение f(x) = 0. 234 ПРИМЕР 2. Решим уравнение + 2х 6+ л: cos тех - 1 cos пх - 1 (3) Перенеся все члены уравнения в одну часть, перепишем уравнение (3) в виде + X - 6 cos тех — 1 = 0. (4) Освобождаясь от знаменателя в уравнении (4), получаем уравнение + X - 6 = о, (5) являющееся следствием уравнения (3). Уравнение (5) имеет два корня: Xj = -3 и Х2 = 2. Так как cos ях^ = cos (-Зя) = -1, а cos ЯХ2 = cos 2я = О, то число Xi является корнем уравнения (3), а число Х2 — нет, так как делить на нуль нельзя. Ответ, -3, ПРИМЕР 3. Решим уравнение sin2x sin 4х (6) cos2x cos4x Перенося все члены уравнения в левую часть, приводя дроби к обш;ему знаменателю и освобождаясь от знаменателя, получаем уравнение sin 6х = о, (7) являющееся следствием уравнения (6). Уравнение (7) имеет только одну серию решений Xf^ = —у k е Z. Проверка показывает, что все 6 числа х^ являются решениями уравнения (6). Ответ, —, k е Z. 6 Подчеркнем, что хотя проверка и не обнаружила посторонних корней, но она является обязательной частью решения уравнения (6). II 3. Применение формул. * Пусть дана некоторая формула (логарифмическая, тригонометрическая и т. п.), у которой левая часть определена в каждой точке множества М^, а правая часть — в каждой точке множества М2, причем Ml с Мз* Тогда если при решении уравнения применить эту формулу так, что ее левую часть заменить правой, то получится уравнение-следствие исходного. 4М1Р JCP • Запись Ml CZ М2 (множество Mi является подмножеством множества М2) означает, что каждый элемент множества Mi является элементом множества М2. 235 Уравнения-следствия ПРИМЕР 4. Решим уравнение 3log3(x2_ 4х+3) ^ 2х- 5. (8) Применив формулу - 4х + 3, правая часть которой определена для каждого х е Д, а левая часть — не для каждого X S Ry получим уравнение - 4х + 3 = 2х - 5, (9) являющееся следствием уравнения (8). Уравнение (9) имеет два корня: Xi = 4 и Х2 = 2. Проверка показывает, что число Xi является корнем уравнения (8), а число Х2 — нет. Следовательно, уравнение (8) имеет единственный корень Xj. Ответ. 4. ПРИМЕР 5. Решим уравнение ---- 21og2^:= 0. (10) Применяя формулу (log;, 2) 1 = log2 Ху правая часть которой опреде- log^:2 лена для всех х > 0, а левая часть — не для всех х > 0, получаем уравнение (log2 xf - 2 log2 х = 0, (11) являющееся следствием уравнения (10). Уравнение (11) имеет два корня: Xi = 1 и Х2 = 4. Проверка показывает, что число Хх не является корнем уравнения (10), а число Х2 является корнем уравнения (10). Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень Х2-Ответ. 4. ПРИМЕР 6. Решим уравнение 2 tg X .20 ---— = sin^ 2х. 1 + tg^ X (12) Применив формулу = sin2x, правая часть которой опре- 1 -Ь tg^ X делена для каждого х € Д, а левая часть — не для каждого х е Д, получим уравнение sin 2х = sin^ 2х, (13) являющееся следствием уравнения (12). Уравнение (13) имеет две серии решении: х„ = —h ял, л g Z и х^ = , т е Z, Проверка по- 4 2 казывает, что все числа х„ являются решениями уравнения (12), а числа х^ лишь для т = 2k будут являться решениями уравнения (12). Следовательно, уравнение (12) имеет две серии решений: х„ и Х/г = ЯЙ, k е Z, Ответ. — + ял, л € Z; яй, k е Z, Ф 4 1236 8.21° а) Объясните, почему могут привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения, преобразования: 1) приведение подобных членов; 2) освобождение от знаменателя; 3)* применение формул. б)* Докажите утверждения: 1) о приведении подобных членов; 2) об освобождении от знаменателя; 3) о применении формул. Решите уравнение (8.22—8.30): 8.22 а) 5(7-Зл/х)-3(2лг-5л/х)= 41; б) 2(3 - 5у[х) - 5(л: - 2у[х) = х. 8.23 а) (л: + 2л[х)^ - Аху[х = -3; б) (дг + 4х)^ - 2х4х = 6; в) (х — 2-Jx)^ + 4ху[х = 5; г) (х - л/х)^ + 2xVx = 30. 8.24 а) tg ^ + х^ - 7х = tg ^ - 6; J 9 л 1 л . б) ctg — + х“^ - 2х = ctg — + 24; в) х^ + 13 + log2(x^ - 9) = 8х + log2(2x® - 18); г) х^ + 2х + log3(x^ + 4) = 23 + log3(3x^ + 12). 8.25 а) в) 8.26 а) в) X - 1 4х — 8 = -3; = 3; х2 - X - 2 sin 2х sin X cos2x cosx sin X sin 4x 6) 3x + 21 x2 + 5x - 14 = 1; , 5x + 15 Г) » = -1. COS X cos 4x 6) r) sin 2x sin X cos2x cosx sin X sin 4x cosx cos 4x 8.27 a) tg 3x = tg 5x; cos X b) sinx = sin X 8.28* a) 10‘«<^ + = 3x + 2; з) - 1) _ Д.2 _ у. 2 8.29* a) b) (log^ 5)=^ 2 ^ - logs X = 0; (log^ 4) - + log4 X = 0; 6) ctg3x = ctg5x; ^ sin X r) cosx =-----. cos X 6) 10'8(^- 3^ + 1) = X - 2; r) S'ogs ( 3jt2 + 4ДГ - 1) ^ 2x^ - 4. 1 6) r) (log, 3)2 1 (2 log,. 6)2 + log3 X = 0; - loge X = 0. 237 Уравнения-следствия 8,30* а) -—^ = cos X - sin^ х; 1+ tr X 1 - tg^ X 2 б) -----— = cos^ д:+sinx; 1 + tg^ X в) —^ = 2cos^ X- 42 cos х; г) = V2cosx- 2cos^ х. 1 + tg^ X 1+ tg^ X 8.31* При каких значениях параметра а уравнение: а) X - а + ^1х- а = 2х + 1 + Vjc - а; 1 б) ^ = 1; в) ах - 3 ' ' (logj.5)^ имеет единственный корень? - - 2а - logc X + 1 = о 8.5, Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию При решении уравнений часто приходится применять несколько преобразований, приводящих к уравнению-следствию. ПРИМЕР 1. Решим уравнение л/х"+Т + л/х - 4 = ^^х + 1. Возводя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение X + 1 + 2л/х + 1л/х - 4 + X - 4 = Зх + 1, (1) (2) являющееся следствием уравнения (1). Перенося в правую часть уравнения все слагаемые, кроме корней, и приводя подобные члены многочлена, перепишем уравнение (2) в виде 2л/х + 1л/х - 4 = X + 4. (3) Возводя уравнение (3) в квадрат, получим уравнение 4(х + 1)(х - 4) = х2 + 8х + 16, (4) являющееся следствием уравнения (3), а значит, и уравнения (1). 4 Уравнение (4) имеет два корня: х^ = и Х2 = 8- Проверка показыва- о ет, что число Х2 является корнем уравнения (1), а число Х\ — нет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень Х2-Ответ. 8. ПРИМЕР 2. Решим уравнение /2х - 2 У /х - 1 ~ ——т + ctgx = J—-T + ctgjc. ух+4 \х+2 (5) 1238 Возводя уравнение (5) в квадрат, получим уравнение Чх-2 X + 4 + ctg X х-1 X + 2 + ctgx. (6) являющееся следствием уравнения (5). Перенося все члены уравнения в его левую часть и приводя подобные члены, получим уравнение (7) х+ 4 лг + 2 ^ ^ являющееся следствием уравнения (6), а значит, и уравнения (5). Приводя дроби к общему знаменателю и освобождаясь от знаменателя в уравнении (7), получим уравнение (2х - 2)(х + 2) - (х - 1)(х + 4) = О, (8) являющееся следствием уравнения (7), а значит, и уравнения (5). Уравнение (8) имеет два корня: atj = 1 и дг2 = 0. Проверка показывает, что число Хх является корнем уравнения (5), а число Х2 — нет. Следовательно, уравнение (5) имеет единственный корень Ответ, 1. I ПРИМЕР 3. Решим уравнение log2(3x + 1) + log2(x - 1) = 21og2(Jt: + 3). (9) Применяя формулы log2(3x+1) +log2(Jt:-l) = log2(3^:+l)(x - 1) и 2\og2(x + 3) = log2(x + 3)^, получим уравнение log2(3o: + 1)(л: - 1) = logzix + 3)^, (10) являющееся следствием уравнения (9). Потенцируя уравнение (10), получим уравнение (Зх + 1)(х -1) = {х-\- 3)2, (11) являющееся следствием уравнения (10), а значит, и уравнения (9). Уравнение (11) имеет два корня: Xj = 5 и дг2 = -1. Проверка показывает, что число Хх является корнем уравнения (9), а число Х2 — нет. Следовательно, уравнение (9) имеет единственный корень Ответ. 5, # Решите уравнение (8.32—8,41): 8.32 а) д/2х - 3 + ^/4х + 1 = 4; в) -у]4х + 8 - д/Зх - 2 = 2; 8.33 а) Vx + 2 -f- д/2х ~ 3 = -yJSx + З5 в) д/бх + 1 — л/х — 3 = д/ЗхЧ-4; б) д/2х -h 6 = 2-1- Vx -i-1; г) д/Зх - 2 + ■yj2x -}-^ = 5. б) Vx + 1 -f- Vx -f 6 = д^2х + 19j г) д/9— 5x - Vx - 1 = 2V2 — X. 239 Уравнепия-слелствия 8.34 а) б) в) г) 8.35 а) в) г) 8.36* а) б) в) г) Д) + 3 + log2 X = 2 + log2 д:; 12 log2 -------= log2 (1 - д:); “О “ X logi(jt:^ - 17+ log2 х) = logi (19х^ + log2 х); 3 _ ____ 3 ____ logs - 4 + 1) = log3 (х^ - л]х^ - 4 - 6х + 1). б) X - 1 X - 2 6 Vx; V X + 3 л/х; X + 1 ^ , ях ---+ 3 tg — X - 3 ® 4 X - 3 . ях 772-^Т" = уЗх- 4 ^ ^ ях 3 + 3tg-; X - 3 , ях 2773-*«Т- 21og4(jc + 1) = log4(4x + 9); 2 logg (х - 1) = logs (7 - х); log7(x - 2) + logyCx + 3) = log7(2x^ - 4x); loge(x + 2) + loge(x - 3) = loge(2x2 - 5x - 6); lg(x - 2) - lg(x + 3) = Ig e) lg(x + 2) - lg(x - 3) = Ig 5x + 3’ 5x + 4 8.37 a) b) 8.38* a) 6) b) r) 8.39* a) b) 8.40* a) 8.41* a) 6) b) r) — Vx - 2; 6) Vx^^Vx^^ - л/х + 3; V?x - 21 _ ySx - 17 yjx + 2 r) УЗх - 7 _ Vx + 3 = д/з - 4x. Ig 2x - Ig (X + 4) = Ig 0,4; lg(x - 4) + lg(x - 6) = lg8; lg(x + 5) + lg(x - 4) = lg(x + 16); lg(x - 3) + lg(x + 4) = lg(7x - 20). logg Vx + logg Vx + 8 = 1; 6) log2 Vx + 3 + log2 Vx + 6 = 1; logg Vx + 4 + logg Vx - 4 = 1; r) log4 Vx + 3 + log4 yJx-S - 1. log2(x + 1) = log4(5x + 1); 6) logg(x - 2) = log9(3x - 6). Vlogg (x + 2) + logg (x + 1) = Vlogg (X - 2) + logg (2x - 1); ^logg (2x - 1) + logg (x - 4) = ^21ogg(x- 2); ^/log2 sin X + 2 = Vl ~ logg cosx; (-cosx) + 3 = .^2 - logg (-sin x). 240 8.42* Докажите, что при любом значении параметра а уравнение Igx + lg(Jt - 2а) = lg4 имеет единственный корень. § 9. Равносильность уравнений и неравенств системам 9.1. Основные понятия Пусть дано несколько уравнений и несколько неравенств с неизвестным X и пусть требуется найти все числа х, каждое из которых удовлетворяет каждому их этих уравнений и неравенств. Тогда говорят, что дана система уравнений и неравенств, или, коротко, дана система. Чтобы записать систему, обычно записывают друг под другом все входящие в нее уравнения и неравенства и объединяют их слева фигурной скобкой. Ниже записаны примеры систем: \х- 5|= Ig(sinx) ^Jx-3 < 1 1 ^ 2^ < 2. Отметим, что иногда система может состоять только из неравенств или только из уравнений. Иногда вместо какого-либо уравнения или неравенства в системе записывают множество его решений. Так, например, вместо неравенства sinjtr ^ О можно записать х ^ л/г, k е Zy а. вместо уравнения tgx = 2 записать х = arctg2 -ь л/г, /г е Z и т. п. Приведем примеры таких систем: X Ф л/г, /г G Z sin X 7^ 0 X + 2 X + 4 tg = 2 X — 3 X — 5 COS X > 0 log, (2х - 3) = 0, ^ 3 [log5(x2 -1)> 1, л: + 2 X + 4 --->------ X — В X — 5 2х-3= 1, X = arctg2 + л/г, ke Z cos X > О log5(x2 - 1) ^ 1, |д:- 5|= Ig(sinx) Vx- 3 < 1 X G [0; 1]. Иногда решение уравнения или неравенства в системе записывают в виде условий, указывающих, какому числовому множеству принадлежат значения некоторой функции от х. Ниже приведены примеры таких систем: I ctg X > 3 [ Ig (sin х) > О |log5 (х2 - 1) е [0; 1], |2^- ^ +1 - л/х- 3 е (-1; 1). Д 241 Равносильность уравнений и неравенств системам Число Xq называют решением системы, если это число удовлетворяет каждому из уравнений, неравенств и других условий системы. Например, число дго = О является решением системы X ^ кк, ке Z 2 sinx - О *"Si. х-2 Решить систему — значит найти все ее решения или показать, что их нет. Замечание. Так как при решении уравнений, неравенств и систем рассматриваются только случаи, когда решение — действительное число, то обычно условие х g R в системах опускают. Две системы называют равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы, а каждое решение второй системы является решением первой системы. Например, равносильны следующие системы: sin X = О J X = пку к G Z \х-2> О ^ 1x^2. Говорят, что уравнение (неравенство) равносильно системе, если каждое решение уравнения (неравенства) является решением системы, а каждое решение системы является решением уравнения (неравенства). X 2 X ^ 5 Например, уравнение--------=------равносильно системе X - 3 X - 4 (х - 2)(х - 4) = (х + 5)(х - 3) X — 3 ^ О X — 4 5^ О, 1)^1 равносильно системе Зх-1>0 Зх - 1 ^ 2. а неравенство log2(3x (Пусть дано несколько систем с неизвестным х и пусть требуется найти все числа х, каждое из которых является решением хотя бы одной из этих систем. Тогда говорят, что дана совокупность систем, а любое такое число х называют решением совокупности систем. Решить совокупность систем — значит найти все ее решения или показать, что их нет. Отметим, что множество решений совокупности систем есть объединение множеств решений этих систем. Говорят, что уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем, если любое решение уравнения (неравенства) является решением совокупности систем, а любое решение совокуп- 242 ности систем является решением уравнения (неравенства), т. е. если совпадают множества решений уравнения (неравенства) и совокупности систем. ПРИМЕР 1. Уравнение сти систем \х + 1> О х + 1^ 2х-3 д: -f- 11 = 2лг - 3 равносильно совокупно- (1) 1)(д: - 2) > О равносильно совокуп- (2) I х-1-1<0 ** - 1 = 2д: - 3. Гд:-1>0 f |д:-2>0 ^ 1 ПРИМЕР 2. Неравенство (дс ности систем [л:- 1 < О [X - 2 < 0. Иногда для записи совокупности систем их записывают друг под другом и объединяют квадратной скобкой. Так, например, совокупность систем (1) записывают так: \х + 1> о \х + 1=2х-3 х + 1<0 -X - 1 = 2х - 3, а совокупность систем (2) записывают так: [х- 1 > о [х-2>0 [х - 1 < о [X - 2 < 0. Иногда для записи равносильности уравнения (неравенства) совокупности систем применяют знак равносильности <=>. Так, например, равносильность уравнения и совокупности систем в примере 1 записывают так: [х +1 ^ о |х + 1| = 2х - 3 « X + 1 = 2х - 3 ( X -ь 1 < о |-х- 1 = 2х- 3, а равносильность неравенства и совокупности систем в примере 2 записывают так: (х - 1)(х - 2) > о « |х - 1 > о |х-2>0 |х- 1 < о IX - 2 < 0. 243 Рншюсильность уравнений и неравенств системам За1мечание. Понятие совокупности используют не только для систем, но и для уравнений (неравенств). Так, например, говорят, что уравнение |х| = 2 равносильно совокупности уравнений х = 2 и X = -2, т. е. Гу - 9 а неравенство | д: | > 2 равносильно совокупности неравенств х > 2 и X < “2, т. е. 1x1 > 2 <=> X > 2 X < -2. 9.1° а) В каком случае говорят, что дана система уравнений и неравенств? б) Как записывают систему уравнений и неравенств? в) Какое число называют репхением системы? г) Что значит решить систему? 9.2 а) В каком случае говорят, что две системы равносильны? б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно системе? 9.3 Запишите систему неравенств, равносильную неравенству: а) |х| < 5; б) |х| ^ 4. 9.4° а) В каком случае говорят, что дана совокупность нескольких систем? б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем? в) Как записывают равносильность уравнения (неравенства) системе? 9.5 Запишите совокупность уравнений, равносильную уравнению: а) |х| = 5; б) |х| = 4. 9.6 Запишите совокупность неравенств, равносильную неравенству: а) |х| > 5; б) |х| > 4. 9.7 Равносильно ли уравнение |х + 2| = 2х + 3 совокупности систем (х + 2> О [х + 2 = 2х + 3 ^ х+2<0 -X - 2 = 2х + 3? 9.2 Решение уравнений с помощью систем 1. Для любого четного числа 2т (т е N) уравнение ^/(х) =g*(х) равносильно системе (f(x)=(g(x))^ \^(х)^0. в-— «ч .я ьг- ев -t W t. а > f 244___________________________________ ПРИМЕР 1. Решим уравнение yj2x + 29 = 3 - X. Уравнение (1) равносильно системе 2х + 29= (3-х)2 3 - X ^ 0. (1) (2) Решив квадратное уравнение, найдем два его корня: Xi = -2 и Х2 = 10. Очевидно, что первый из них удовлетворяет неравенству 3 - X ^ о, а второй — нет. Следовательно, система (2) имеет единственное решение Xj, которое является единственным решением уравнения (1), равносильного системе (2). Ответ. -2. 2. Для любого четного числа 2/п, т е N уравнение равносильно системе 2т (/"М= g(x) ]^(лг) > о [Пх)>0. Замечание. В этой системе любое из неравенств можно опустить. ПРИМЕР 2. Решим уравнение - 2х - 7 = ^^2х^ - 9х-15. (3) Уравнение (3) равносильно системе [х^ - 2х - 7 = 2x2 - 9х - 15 I х2 - 2х - 7 ^ 0. (4) Система (4) имеет единственное решение Xj = 8. Следовательно, уравнение (3), равносильное системе (4), имеет единственное решение х^. Ответ. 8. 3. Пусть число а таково, что а > 0, а э* 1. Тогда уравнение logaf(x) = logag(x) равносильно системе fix) = gix) g(x)>0 (5) fix)>0. Замечание. В системе (5) любое из неравенств можно опустить. 245 Раииоснльность уравнений и неравенств системам ПРИМЕР 3. Решим уравнение lg(x^ - 4) = lg(6x + 4), Уравнение (6) равносильно системе \х^ - 4 = 6jc + 4 бд: + 4 > 0. (6) (7) Уравнение системы (7) имеет два корня: = 3 + -\/l7 и лг2 = = 3 - Vl7. Так как 6xi + 4 = 22 + &Jl7 > 0, 6x2 + 4 = 22- 6^/l^ < 0, то система (7), а значит, и равносильное ей уравнение (6) имеют по единственному решению х^. Ответ. 3 + л/Г?. I ПРИМЕР 4. Решим уравнение , ( , 1 + cos2x-sin2jc logj^ cos X + - = logj^------—------. 3 V "* / 3 2v2 Уравнение (8) равносильно системе ^ ^ ** + cos 2х - sin 2х cos cos X + \ П "I _ 1 4j"“ 2V2 X + — I > 0. (8) (9) Поскольку для любого а справедливы формулы l+cos2a = = 2 cos^ а, sin 2а = 2 sin а cos а, cos а - sin а = V2 cos + -^ j, то система (9) равносильна системе cos I X + — I (1 - cos х) cos I X + — I > 0. Система (10) равносильна системе \ cos X = 1 ^ cos I X + -^ 1 > 0. (10) (11) Решения уравнения системы (11) задаются серией х„ = 2тш, п е Z. Так как cos ^х„ + -^ j = cos + 2rcn j = cos ^ ^ 0, to все числа Xfj являются решениями системы (11) и, следовательно, равносильного ей уравнения (8). Ответ. 2кПу п е Z. Ф 246 Уравнение f(x) + ф(х) — ф(х) = О равносильно системе “ я«Н№^жа»91яажв81Я(»мЯ1»Я1ЯМШ **“ .48^«|«а’«еш||яя«Якя0»0«0:^^ j / W — U - ?цн> 0С9яасг«я«с««8ЯЯ0Шкая«0 < ^ ^ »*" f*- Х€ jD(Q)>, *ШЬ. 1»1 “Т*1 J**i. где £)(ф) —^область существования фзгнкции ф(х):-;;; ,т’>т^пт=-'-т, ■. iflb. (Ци ъ 4.-. ^ ПРИМЕР 5. Решим уравнение lg(x2 + 2л: - 4) + 4^ + 8 = б • 2^ + lg(x^ + 2х - 4). Уравнение (15) равносильно системе 4^-6-2*+8 = О I л:^ + 2л: - 4 > 0. (12) (13) Уравнение системы (13) имеет два корня: л:х = 2 и Хг = 1. Первый из них удовлетворяет неравенству системы (13), а второй — нет. Следовательно, система (13), а значит, и равносильное ей уравнение (12) имеют по единственному решению Xj. Ответ, 2. 9.8* Докажите справедливость утверждений 1—4. Решите уравнение (9.9—9.14): 9.9 а) ^J2x + 1 = X - 1; б) -J2x - 1 = х - 2; в) д/147 - 2х = X - 2; 9.10 а) х^ - 1 = д/-2х; г) ^-8х + 108 = X - 3. б) д/х^~+"3х = Vx + 1; в) ^jx^ - 7 - д/-2х - 6; г) -Jx^ -ь х = Vl - х. 9.11 а) ^jx^ - 5х^ + 7Х-П = yjx^ - 4х^ - Зх -I- 4; б) - 8x2 - 7х + 2 = _ 7^2 _ 20. 4. 9.12 а) дДо^ТхТТ = д/logl X - 5; б) ^2\og^ х = ^log\ х- 8; в) ^1-4 log 1 X = ^6 - log? х; г) ^2 - logi х = ^log^ х - 9.13 а) lg(x^ - 17) = lg(llx - 45); б) lg(x^-7х+14) = lg(3x - 16); в) lg(25 - х^) = lg(2x - 10); г) lg(x^ - 5х - 24) = lg(8 - х). 9.14 а) lg(x^-x-6)-b4^+16= 17 - 2^-ь Ig(х^ - х- 6); б) ,]х^ - 9 -I- lg(x2 -1- Зх) = 1 -н ^х^ - 9; в) у]-х^ + 4х - 3,5 + 9^ + 243 = 36- 3^ + ^-х^ + 4х-3,5; г) lg(x2 -)-21х)-1- tg^ = 2-1- tg^. 247 Раинисильность уравнений и неравенств системам 9.3. Решение уравнений с помощью систем (продолжение) жij»5. .Множество решений уравнения isisl* fiix) ‘ fzix) = Q й ^ ^ 'U 'А ’л г:«:. i: S * it 1 «1»^ si« PS» ^ . -» .4 3£ ■ есть объединение множеств решений двух систем. (1) f А W = О I |xeD(A) ^ 1 /а (х) = О хе Z>(/i), aisi.«5 (2) где -D(fi) — область существования функции /i(x), а D{f^ область существования функции ПРИМЕР 1. Решим уравнение 7х(х + 1)=0. (3) Множество решений уравнения (3) есть объединение множеств решений двух систем Vx = о ^ |х + 1 = О X ^ R \х> О, Первая из этих систем имеет единственное решение Хх = О, а вторая не имеет решений. Следовательно, уравнение (3) имеет единственное решение Хх. Ответ. 0. ПРИМЕР 2, Решим уравнение (зтд: - l)(tgx - 1) = 0. (4) Множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений двух систем sin л: - 1 = 0 и \х ^ лА, Й 6 Z 2 tg X -1 = о хе R. (5) (6) Уравнение системы (5) имеет серию решений Х;^ = — + 2кк, k е Z. Ни одно из чисел Xf^ не удовлетворяет второму условию этой системы, значит, система (5) не имеет решений. Уравнение системы (6) имеет серию решений л е Z, каждое из которых удовлетворяет второму условию этой системы. Значит, только числа являются решениями системы (6). Следовательно, только числа х„ являются решениями и уравнения (4). Ответ. — + ЯП, п е Z. 4 248 I Отметим, что если использовать понятие совокупности систем, то утверждение 5 можно сформулировать так: Уравнение (1) равносильно совокупности систем (2). Доказательство. Пусть число Xq — любое решение уравнения (1). Это означает, что имеют смысл оба числовых выражения и /2(^0) ^ хотя бы одно из них равно нулю. Иными словами, число Xq есть либо решение уравнения fi (х) = О, входяш;ее в область супдест-вования функции либо решение уравнения /2!^) = О, входящее в область существования функции fi(x). Следовательно, число Xq есть решение хотя бы одной из систем (2). Итак, любое решение уравнения (1) является решением совокупности систем (2). Если же число Xi есть любое решение совокупности систем (2), то либо fi(Xi) = О и выражение /*2(^:1) имеет смысл, либо /^2(^1) = О и выражение fi(xi) имеет смысл. Это означает, что число Xi является решением уравнения (1). Итак, любое решение совокупности систем (2) является решением уравнения (1). Можно показать (методом от противного), что если уравнение (1) не имеет решений, то и совокупность систем (2) не имеет решений, а если не имеет решений совокупность систем (2), то не имеет решений и уравнение (1). Следовательно, во всех рассматриваемых случаях множество решений уравнения (1) совпадает с множеством решений совокупности систем (2). Утверждение 5 доказано полностью. и ПРИМЕР 3. Решим уравнение + 2х - x^)sinVx = 0. Уравнение (7) равносильно совокупности систем Ilog2 (3 + 2л: - х^) = о |л: ^ о sin л/х = о 3 + 2х - > 0. (7) (8) (9) Система (8) равносильна системе [3-ь2х-х^ = 1 [х ^ о, которая имеет единственное решение Xi = 1 + л/з. Поэтому система (8) имеет единственное решение х^. 249 Ракмос-илькость уракксиий н иорац^нс^гп cifcreMaM (10) Система (9) равносильна системе 4х = пПу пе Z -1 < X < S. Для п < о ни одно из уравнений = пп не имеет корней. Для о каждое из уравнений ^fx = пп имеет единственное решение = (пп)^, п = 0; 1; 2; ... . Из этих чисел х^ неравенству системы (10) удовлетворяет лишь одно число Xq = 0. Поэтому система (10), а значит, и равносильная ей система (9) имеют единственное решение Х2^ Следовательно, совокупность систем (8) и (9), а значит, и уравнение (7) имеют по два решения Xj и Xq. Ответ. 1 -h л/З; 0. # 6. Уравнение fix) Six) — о равносильно системе \gix)^0. 1ЕНИМЕР 4. Решим уравнение sin 4х cos 4х sin X cos X (11) Перенося все члены уравнения в левую часть и применяя формулы синуса разности двух углов и синуса двойного угла, перепишем уравнение (11) в виде 4^ = 0. (12) sin 2 л: Уравнение (12) равносильно системе sin Зд: = о sin 2х Ф 0. Все решения уравнения системы (13) задаются серией х^ = k S Z. Так как sin2x/j = sin27tn = 0 при k = Зл, ( 2к \ sin 2Xf^ = sin 2яп + — ^ 0 при k = Зп 1, (13) кк ”з~’ sin2x;^ = sin I 2пп 3; 2п т Ф о при k = Зп - 1, то неравенство системы (13) выполняется лишь при условии k Ф Зл, п е Z. Следовательно, система (13), а значит, и равносильное ей уравнение (11) имеют две серии решений: х^^ = —h яд, д е ^ и 3 250 х„ = -| + пп. п е Zj х„ = ±^+пп. П € Z. Ответ. ± — + ППу . 3 Отметим, что под записью g(x) ^ О понимают множество всех таких чисел X, каждое из которых удовлетворяет условиям: 1) выражение g{x) определено; 2) число g(x) ^ 0. ПРИМЕР 5. Решим уравнение х^- 4х + 3 = 0. ^х-2 Уравнение (14) равносильно системе - 4х -I- 3 = о (14) (15) [Vx- 2 9^0. Уравнение системы (15) имеет два корня: Xi = 3 и Х2 = 1- Так как число Хх - 2 = 1 > О, то определено выражение ^Xi - 2 и - 2 = 1 О, поэтому число Xi является решением системы (15). Так как число лг2 - 2 = -1 < О, то не определено выражение - 2, и поэтому число Xg не является решением системы (15). Следовательно, система (15), а значит, и равносильное ей уравнение (14) имеют по единственному решению Xi. Ответ. 3. (Иногда при решении уравнения приходится применять несколько преобразований, приводящих к системе, равносильной исходному уравнению. Рассмотрим примеры применения нескольких преобразований, приводящих к системам. Решение запишем с помощью знака равносильности (<=>) и знаков совокупности ([) и системы ({). ПРИМЕР 6. Решим уравнение Решение. х=*+ 5 X - 1 = х + 1. '+ 5 + 5 X - 1 = X + 1 <=> X 1х + 1 ^ о = (X -н 1)" 1 <=> ^ хЗ -f- 5 = (X + 1)2(х - 1) <=> 2 X - X -X ^ 1 Х> -1 6=0 X - 1 о х-1-1 ^ о X G {-2; 3} X 1 <=> JC = 3. X ^ -1 Ответ. 3. 251 Равное ил ьность уравнений и неравенств системам ПРИМЕР 7. Решим уравнение (cos2x - 2cos:c + l)^log3 (д: + 5) - 2 = 0. Решение. ____ ______ <=> (cos2jc - 2созд: + l).yiog3(jc + 5j^^ = 0 <=> cos2x - 2cosx + 1 = о - 2cosд: = о log3(x + 5)- 2=0 ^ X е R |2cos^ X [х + 5^ < X + 5 = 9 <=> cos X = о X > 4 cos д: = 1 ^ х^ 4 X = 4 Ответ. 4; — + nk, k е N; 2ял, п е N. X = — + яА, ke N 2 X = 2кПу ns N X = 4. 9.15* Докажите справедливость утверждения 6. Решите уравнение (9.16—9.23): 9.16 а) (Узбх^ + 7 - Узбд:^ + 16)У2- х = 0; б) фвх^ +1 - ^25х^ + П)у/3- X = 0. 9.17 а) (х2 - 7х + 12) loggi (л: + 5) = 0; б) (х^ + 3х- 4) log32 (Зл: + 7) = 0. 9.18 а) sinx logii (4 - л:^) = 0; б) cosx logi2(9-л:^) = 0; в) tg^r logj3(x^ - X - 6) = 0; г) ctgj: logi4(x^ + л: - 12) = О. 9.19 а) (cos 2х - 3cosx - 1) б) (cos 2х -f 7 cos X + 4) logi(x- 2) + 2 = 0; 3 log,(x- 3) + 1 = 0; в) (4^"^-2^ ^)log2X = 0; 9.20 а) sinx(tgx - 1) = 0; в) (tgx ч-l)cosx = 0; 9.21 а) *” - ^* ^ ■* в) д/2х - Ъ х^ - X + 72 Vs - X х^ + 5х - 6 = 0; б) — у1х + 2 , - д: + 72 = 0; г) ^ г) (4^-^- 2^-i)log3X = 0. б) tgx(sinx - 1) = 0; г) (ctgx - l)sinx = 0. = 0; ,____= 0. ■yj2 - X 252 9.22 а) 2х=*+х-15 _ б) Зх=* - Юх - 8 - 2х + 25 ^9х'^ + 12х + 4 в) 2х^ + 9х - 18 _ г) Зх=^- 19х + 20 _ ^ V4x^- 12х + 9 у]9х'^- 24х + 16 9.23 а) sin 2х ^ — и, X б) sin2x cos2x ^ + = 0. sin X cos X 9.24* Докажите, что равносильны уравнение и система: а) loga/(J£:) + log„^(j£:) = log„(/(AJ)-^(x)) и I где а > О, а;* 1. б) log^(^) Ajc) = log,r(^,)(p(x) и f(x)= ф(ЛГ) f(x)>0 ф (х) > О ё'(х) > о 9.25* Докажите, что равносильны уравнение и совокупность двух систем: б) V№) + V?W = V/W + SW; о ” |/(*)>о. Решите уравнение (9.26—9.32): 9.26* а) log2(x - 2) + log2(x - 3) = log2(JC - 5x + 6); б) log3(x - 3) + log3(4 - X) = logs(- x^ + 7x - 12); в) Ig (x^ - 5x + 6) + Ig (5x - x^ -4) = Ig ((x^ - 5x + 6) (5x - x^ - •4)) 9.27* а) log^(2x^ - 2x - 3) = 2; 6) log^(x^ - 5x + 7) = 3; в) log^(x + 2) = 2; r) logд.(x + 6) = 2. 9.28* а) 1 x^ - 4x + 21 = -x^ + 6x - ( 5; 6) 1 jc^ - 2л: - 11 = -Л ;2 + 4x - 1 в) |x2 - 2^ - 8| = x2 + 2^ - 10 ; r) |x2-3^- 1| = X2 + 3^ - 7. 9.29* а) ^Jx + 2 + л1х - 2 = yj2x; 6) Vx + 3 4- Vx — 2 = yj2x + 1; в) л/jc + 3 + Vx - 3 = ^2x; r) Vx + 2 + Vx “ 3 = ■v/2x - 1. 9.30* а) V2^ - 4 + V2^ - 8 = V2^' ' -12; б) 7з^ - 9 + - 3 = V2-3^ -12; 253 Ран1!оеилы1(к‘ть уравнений и пера во нет и системам в) -y/logg х-1 + д/2'^ - 2 = -y/logg X + 2^ - 3; г) ^logg х-1 + -у/З^ - 9 = _^х +3^-10. 9.31* а) logi_jc(7x^ + 2) = logi_;t30; б) log2 _ ^.(Зх^ - 1) = log2 _ 74; в) logg_^(4x2 - 5) = log3_^59; г) log4 _ д^(2х^ + 3) = log4 75. 9.32* а) log^ _ 1 (х^ + 2х) = log;^ _ j (2х^ - 8х + 16); б) log;^_2(2x^ - 9х + 21) = log;r_2(JC^ + л:). 9.33 Сколько корней имеет уравнение: а) sin ^ (Ig (х + 5) + Ig (400 - х)) = 0; б) cos л (X - 3) |£_l)(200-f] = 0; пх в) sin — (Ig (JC + 3) + Ig (300 - x)) = 0; 4 г) cos л(х-2) = о? 9.34* При каких значениях параметра а уравнение 2 .. ^ = ---т имеет единственный корень? X - а X а 9.4*. Уравнения вида /"(cx(jc)) —/(р(лг)) 1. Пусть область существования функции f(u) есть промежуток М и пусть эта функция строго монотонна (т. е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение Па(х)) = Гф(х)) (1) равносильно системе а (х) = р (х) а (х)е М Р(х) е М. (2) Замечание. В системе (2) любое из условий а(х) е М или Р (х) € М можно опустить. Дoкaзaтew^ьcтвo. Если число Xq — решение уравнения (1), то для него имеют смысл числовые выражения Ui = а(хо) и ^2 = Р(^о)» каждое из которых принадлежит области существования функции /(и), т. е. промежутку М, и /(uj) = /(U2). Покажем, что отсюда следует равенство а(дго) = Р(л:о). Пусть функция f{u) возрастает на промежутке М. Тогда если Ui < ^2» то f(ui) < /(^2); если Ui > U2, то /(uj) > /(^2), 1254 что противоречит условию f(ui) = /(^2). Следовательно, действительно Uj = U2» 'Г* ос(хо) = Р(хо). Аналогично показывается, что ol{xq) - Р(хо), если функция f(u) убывает на промежутке М. Сказанное выше означает, что любое решение уравнения (1) является решением системы (2). Пусть теперь число Xi является решением системы (2). Это означает, что имеют смысл числовые выражения Uj = a(xj) и U2 = P(-^i)> причем Ui = U2 ^ М. Тогда так как функция определена на промежутке М, то справедливо равенство f(ui) = /(^2). Справедливость равенства /(a(Xj)) = fi^(xi)) означает, что число Xj есть решение уравнения (1). Сказанное выше означает, что любое решение системы (2) является решением уравнения (1), Таким образом, показано, что уравнение (1) и система (2) равносильны в случае, если известно, что либо уравнение, либо система имеют решения. Покажем, что если уравнение (1) не имеет решений, то и система (2) не имеет решений. Предположим противное, т. е. что система (2) имеет решения, но тогда, по доказанному выше, и уравнение (1) имеет решение, а это противоречит условию, что уравнение (1) не имеет решений. Аналогичными рассуждениями показывается, что если не имеет решений система (2), то и уравнение (1) не имеет решений. Следовательно, и в этом случае уравнение (1) равносильно системе (2). Утверждение полностью доказано. В качестве следствий этого утверждения получим утверждения 2 и 3 из п. 9.2. ПРИМЕР 1. Решим уравнение arccos(x^ - 15) = arccos(x + 5). (3) Область супцествования функции /(u) = arccosu есть промежуток [-1; 1]. Так как функция на этом промежутке убывает, то уравнение (3) равносильно системе - 15 = X -h 5 [-1 ^ х + 5^1. Уравнение системы имеет два решения: Xj = -4 и Х2 = 5. Число Xi удовлетворяет неравенству системы, а число Х2 — нет. Следовательно, система, а значит, и равносильное ей уравнение (3) имеют по единственному решению Xj. Ответ. -4. ПРИМЕР 2. Решим уравнение VsirTx -f- л/sinx + л/sinx = ^cosx + ^cosx + л/cosx. (4) 255 Равносильность уравнений и неравенств системам Область существования функции f{u) = 4й + Vu + л/й есть промежуток [0; +оо). Так как эта функция возрастает на этом промежутке, то уравнение (4) равносильно системе sin X = cos X sinx ^ о. (5) Уравнение системы (5) имеет серию решений = — + лл, п е Z. (к ^ л/2 Так как sinx^ = sini — + ял I = (-1)” —, то при любом п = 2fe, ft € Z, число удовлетворяет неравенству системы (5), а при любом л = 2ft + 1, ft € Z, число не удовлетворяет этому неравенству. Это означает, что система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (4) имеют серию решений = -^ н- 2яЛ, k е Z. Ответ. — + 2я/г, k е Z. 4 Отметим частный случай утверждения 1. 2. Пусть R — область существования функции f(u) и пусть эта функция строго монотонна на R, тогда решносильны уравнения Па(х)) = Гф(х)) и a(jc) = р(х). ^ ПРИМЕР 3. Решим уравнение - 2of + 5 ( 1 ^ X - ^x^-2x + 5 = 1 .2. 2х^ - Зх - 1 - - Зд:- 1. (6) Область существования функции f{u)= +V-u есть R. Так как эта функция убывает на Д, то уравнение (6) равносильно уравнению - 2х + 5 = 2x2 - Зх - I (7) Уравнение (7) имеет два корня: х^ = -2 и Х2 = 3, тогда и равносильное ему уравнение (6) имеет те же корни. Ответ. -2; 3. 9.35 Докажите, что каждое из уравнений arcsin f(x) = arcsing'(х) и arccos f(x) = arccosg'(x) равносильно системе fg(x) -1 < /(X) < 1 [-1^ ^(x)^ 1. 256 9.36° Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить? Почему? 9.37 Докажите, что каждое из уравнений arctg/(x) = arctg^(x) и arcctg/(x) = arcctgg(^‘) равносильно уравнению f(x) = g(x). Решите уравнение (9.38—9.42): 9.38 а) arcsin(jc^ - 80,5) = arcsin(x - 8,5); б) arccos(x^ - 9) = arccos(7x + 21); в) arctg(x^ - 1) = arctg(5x - 5); г) arcctg(x^ “ 1) = arcctg(6x - 6). 9.39 a) logo.5 ^ I 3 I “ = logo.5 ^ I 3 I “ IJctgx; 6) logo,2 sin X - ^ - Vsinx = logo,2 (~cos x) - 5"^^®® ^ - ^-cosx. 9.40 a) + ijx'^ - 3 = Vx"+T + tjx + 3; 6) - x - 3 + - X + 5 = ^2x + 1 + ^y]2x + 9; b) д/sinx - 0,1 + ^sinx + 0,9 = -yjcosx + 0,9 + ^cosx + 1,9; r) ^tgx + д/tg X + 1 = ^2 - ctg X + д/З- ctgx. 9.41 a) -yjx^ + 4 + ^x^ + Ъ + ^x^ + 6 = 7^^ + 7^x"+T + ^4x + 2; 6) л/хТТ + ^12х~^Гз + 73х + 7 = 7^ + 74^ 1 + ^f6x+~i- 9.42 a) - 4д: + 5 + 7jc2 _ 4Д- + 5 = ^2x2 - ЗДГ + 7 + 72x2-3x+7; 6) + д2002л:-1001+75о02Г^П^оГ; д: / \ cos jr - 7sin X = - I - li cosx; r) sin ДГ - (sinx)‘ 2001 _ sin2 a: - (sinx) 4002 9.5. Решение неравенств с помощью систем 1. Для любого четного числа 2т (т g iV) неравенство равносильно системе /и < Дд:) > О ^(д:) > 0. 1^257 Равносильность уравнений и неравенств системам ПРИМЕР 1. Решим неравенство Vs - < д: - 1. Неравенство (1) равносильно системе '5-x^<(x-lf 5-х^^ О X - 1 > О, (1) которая равносильна системе д: - 2 > О 11 < X ^ Vs. (2) Все решения системы (2) составляют промежуток (2; VS]. Следовательно, все решения неравенства (1), равносильного системе (2), составляют тот же промежуток. Ответ. (2; VS], 2. Для любого четного числа 2т (т е N) множество решений неравенства ____ > g(x) (3) есть объединение множеств решений систем J /(л:) > (f(x) ^ О |§'(х)<0. (4) ПРИМЕР 2. Решим неравенство 4Vx + 6 > X +1. (5) Множество решений неравенства (5) есть объединение множеств |1б(х + 6)>(хн-1)2 fx + 6^0 решении двух систем < ^ I X + 1 ^ о X + 1 < 0. Все решения первой системы составляют промежуток [-1; 19), а все решения второй системы составляют промежуток [-6; -1). Следовательно, все решения неравенства (5) составляют множество [-6; -1) и [-1; 19) = [-6; 19). Ответ. [-6; 19). II Используя понятие совокупности систем, утверждение 2 можно I переформулировать так: Для любого четного числа 2т (т е N) неравенство (3) равносильно совокупности систем (4). 258____________________________________ ПРИМЕР 3. Решим неравенство у]5х + 1 > 2х - 2. Решение. ' '5JC + 1 > (2л:- 2)2 ■^Ьх + 1 > 2л: - 2 » <=> 2л: - 2 > О 5л: + 1 ^ О 2л: - 2 < О 1 < л: < 3 -0,2 ^ л: < 1 4л:2 - 13л: + 3 < о л: ^ 1 л: ^ -0,2 л: < 1 <=> -0,2 ^ л: < 3. Ответ. [-0,2; 3). • 3. Для любого четного числа 2т (т е N) неравенство равносильно двойному неравенству 0 о X + 2 ^ 0. Множество решений системы есть объединение двух промежутков: (-3-л/2; -3] и (-3-1-V2; ч-схэ). Следовательно, множество всех решений неравенства (6), равносильного системе, есть множество (-3 - л/2; -3] и (-3 + л/2; +оо). Ответ. (-3 - л/2; -3] U (-3 + л/2; +оо). 259 Ратин'лльиогть уравиекий и исрав1чи*тд системам (7) 4. Неравенство bgo/(x) > \ogag{x) при а > 1 равносильно двойному неравенству fix) > gix) > о, а при О < а < 1 равносильно двойному неравенству О < fix) < gix). ПРИМЕР 5. Решим неравенство logo,5(^:^ - - 2х) > logo,5(JC^ - 3). Неравенство (7) равносильно двойному неравенству О < - 2х < - Зу которое равносильно системе [х2 + 2х-3>0 [х(х^ - X - 2) > 0. Множество решений первого неравенства системы есть объединение двух промежутков: (-оо; -3) и (1; +оо), множество решений второго неравенства системы также является объединением двух промежутков: (-1; 0) и (2; +оо). Поэтому множество решений системы составляет промежуток (2; +оо). Следовательно, множество решений неравенства (5), равносильного системе, составляет тот же промежуток. Ответ. (2; +оо). 5. Неравенство fix) + ф(х) - ф(х) > о равносильно системе \fix)>0 [Х€ D{(p)y где 1)(ф) — область существования функции ф(х). IIPUMliP в. Решим неравенство х^ + 2-Jx - I < i^fx + 1)2. (8) Применяя формулу квадрата суммы, перенося все члены неравенства в левую часть и приводя подобные члены, получим, что Jx^ - X - 2 < о неравенство (8) равносильно системе i ^ > q Множество решений системы, а значит, и равносильного ей неравенства (8) есть промежуток [0; 2). Ответ, [0; 2). 260 9.43* Докажите справедливость утверждений 1—5. Решите неравенство (9.44—9.50); 9.44 а) ^2х ~ 1 < х - 2; б) д/2х^ГТ < д: - 1. 9.45 а) ^2х - 1 > х - 2; б) ^2х + 1 > х - 1, 9.46 а) tjx^ - Их+ 31 > Их-4; б) - 9 > ^^9х + 1; в) - 36 > г) л/^с+Тэ > И49 - х^. 9.47* а) у[х^~+йх > ^5х -4 + Их; б) ^х^ + л/х ^ ^Зх -2 + Их; в) - л[х ^ ^^5х - 4 - -Jx; г) ^^х^ — -Jx ^ 9.48 а) log2(a:^ - 5л: - 34) > log2(^ + 6); б) logo.5(JC^ - 16) > logo,5(3л: + 38); в) log3(x2 - 4) < logs (44 - 2л:); г) logo,5 - 22) < logo 5(3л: + 18). 9.49 а) log2 (л: - 2) + ИЗ- х < 3 + ИЗ - х; б) log2 (лс - 2) + ИЗ- X < log2 (л: - 2) + 2. 9.50 а) 9^ + 1 + ctg-!^ < 10 • 3^ - ^ + ctg^; б) 4^ + 2 + tg-^^ < 9 • 2' - 1 + tg^. А ы пх 9.6. Решение неравенств с помохцью систем (продолжение) 6. Множество решений каждого из неравенств fix) • six) > О и > О gix) есть объединение множеств решений двух систем J/(jc)>0 |/(л:)<0 |g(Af)>0 [g(x)<0. 7. Множество решений каждого из неравенств fix) • gix) < о и < О gix) есть объединение множеств решений двух систем |/(ж)>0 |/(л:)<0 |g(x)<0 |g(x)>0. (1) (2) (3) (4) 261 Равносильность уравнонин и неравенств системам ПРИМЕР 1. Решим неравенство COSX • lg(x + 1) < 0. (5) Множество решений неравенства (5) есть объединение множеств „ [ cos л: > о \ cos X < о решений двух систем | ,g+ ц ^ о ” | Ig (х + 1) > 0. Множество решений первой системы есть интервал (-1; 0), а все решения второй системы составляют серию промежутков о ^ о ----+ 2кп; — + 2пп 2 2 )■" е N. Следовательно, все решения неравенства (5) составляют объединение найденных промежутков. Ответ. (-1; 0); | + 2кп; + 2лп |, п е N. Используя понятие совокупности систем, утверждения б и 7 можно переформулировать так: 6'. Каждое из неравенств (1) равносильно совокупности систем (2). ,> ■= - — 7'. Каждое из неравенств (3) равносильно совокупности сис-г тем (4). ! ПРИМЕР 2. Решим неравенство lg(4T + 7) - IgS 4 + Зх - > 0. (6) Решение. lg(4x + 7) - IgS 4+Зх - > о <=> jlg(4x + 7)-lg8>0 [4 -I- Зд: - > о |lg(4x+7)-lg8<0 ^ [4 + Зх- < о I Ig (4х 7) > Ig 8 |х2 - Зх - 4 < о |lg(4x-b7) о < X < 4 <=> X е — < X < -1 4 Ответ. - 1 и П262 9.51* Докажите справедливость утверждений 6 и 7. 9.52* Докажите справедливость утверждений: а) Неравенство |/(x)| < равносильно двойному неравенству -g{x) < f(x) < g(x). б) Неравенство [ / (дс) | > S'(х) равносильно совокупности двух неравенств f{x) > g(x) и f{x) < -g{x). в) Неравенство log^(;c)/(x) < log^(^)(p(x) равносильно совокупности систем Jo < /(х) < ф (х) J fix) > ф (х) > О |g(x)>l [0 0; г) (4 + x)logo,2(3 - х) > 0. б) (2 - л/9- х)(л/х - 1) > 0; г) (-Ух - l)lg(3- х) < 0. X - 1 / > 0; б) ^ ^ < 0; 2-х в) ^---->0; -2-х г) £*^<0. х-1-2 13 ^ 3^-3 logz (X - 3) logo,5 + 2) logo,2 + 2) logs (3 - x) <0; 6) >0; >0; il- 2^-16 px_ Q <0; B) ^ex r) 2-1 ___2_ W-x) <0. logo 3 (л: - 3) 6) —------------ > 0; ’ lg(x + 4) log4 (x - 4) 9.58* a) |x-I-11 < x^ - 2x-I-1; b) 13-Ух - 5| > -Ух - 1; 9.59* a) 12 logs x - 31 < logg x 1; b) 12 log2 X - 31 > log2 X -I- 3; 6) |x -f- 11 > x^ -t- 4x + 1; r) |2Vx- 7| > VI- 2. 6) |21og3X - 5| < loggx - 1; r) |21gx - 5| < Igx-I-2. 9.60* a) |x|-i-b) \x\ - 3x-7 3 Ъх- 4 9x-20 3x -7 ' lOx - 11 5jc - 4 ’ 6) |x| + r) \X - 2x + 5 4 4x 6x + 17 2x + 5 8л: - 14 4д: - 5 263 Равносгилькость уравнении н нораненсти системам 9.61* а) \х\ + б) |х| + х^+2х -8 х^-Зх- 10 Здг2 + 6л: - 23 лг2 + 2х - 8 ’ ^ 4х^~ 12х - 38 - Зх - 10 ■ 9.62* а) log^.(9x + 1) < log^-l lOx - 11; б) logjf (12х + 1) < log^f ] 13х - 11; в) log;(.(6^: + 1) < log^-l 7х - 11; г) log^(17x + 1) < log^-l 18х - 11. 9.63* а) log2|д^| - 10х + 21) ^ log2|^.| 5; б) log2|^.| (л:2 - 13х +36) ^ log2|^.|6; в) log|^|(x2 + 25)< 2 + log|^|226; г) logj^i {х^ + 361) ^ 2 + log|^| 362. 9.64* а) log в) log 8х - 7 ^ , л ^Т7-Т^ > log 8х + 13 10х-9 6х+11 log 14х - 9. "" 8х + 13’ 20Х-11, бх + 11 ’ б) log. 9х - 8 9х + 14 log , , Их-10 ^ , г) log,.------^ log ' бх + 12 ® 17х - 10 ^ 9х + 14 ’ 17Х-12 5х+12 9.65* При каких значениях параметра а все решения неравенства ■Jx - 2а > V4 - X содержатся в интервале (0; 5)? 9.7* Неравенства вида f (о: (х)) > f ф (х)) Пусть область существования функции f(u) есть промежуток М. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Если функция f(u) возрастает на промежутке М, то неравенство /(а(х)) > /(Р(х)) равносильно системе а(х) > р (х) а (х) е М р(х)е М. 2. Если функция /(и) з^ывает на промежутке М, то неравенство /(а(х)) > /(Р(х)) равносильно системе [ а (х) < р (х) а (х) € М р (х) е М. 2в4 В качестве следствий этого утверждения получим утверждения 3 и 4 из п. 9.5. ИРИМКР 1. Решим неравенство arccos(x + 2) > агссо8(Здг + 6). (1) Так как область существования функции f (и) = arccos и есть промежуток [-1; 1] и на этом промежутке функция f(u) убывает, то неравенство (1) равносильно системе + 2 < Зл: + 6 -1^ л: + 2^ 1 -К Здг + 6^ 1. Множество решений этой системы есть промежуток |^-2; — ^ Следовательно, множество решений неравенства (1), равносильного системе, есть тот же промежуток. Ответ. I -2; -- IIPVIMEP 2. Решим неравенство дг + 2 -2х + 3 •у/х + 2 + logj(jc + 2) + 31 ^ > ^~2х + 3 + + 3) + 31 ^ . (2) б/— - Область существования функции f{u) = vu + log^y и + 31^ есть промежуток (0; +оо). Так как на этом промежутке функция f{u) возрастает, то неравенство (2) равносильно системе х + 2> -2х + 3 X + 2 > о ~2х + 3 > 0. Множество решений этой системы есть промежуток 11. Сле- довательно, множество решений неравенства (2), равносильного системе, есть тот же промежуток. Ответ. 1- ^ 3’ 2 Отметим частный случай утверждений 1 и 2. Пусть R — область существования функции /(и), тогда: 3. Если функция f(u) возрастает на Д, то равносильны неравенства /(а(х)) > /(P(x)) и а(х) > р(л:). 4. Если функция f(u) убывает на Д, то равносильны неравенства Да(д:)) > /(Р(л:)) и а(д:) < Р(д:). 265 Равносильность уравнений и неравенств системам ПРИМЕР 3. Решим неравенство + < Vx + 2 + е^^^. (3) Область существования функции f(u) = ^ + есть Д. На этом множестве функция f(u) возрастает, поэтому неравенство (3) равно- < x-\-2j которое можно переписать в виде сильно неравенству д: - 1 (х + ^^2)^x - л/2) X - 1 >0. (4) Множество всех решений неравенства (4), а значит, и равносильного ему неравенства (3) составляют два промежутка: (-л/2; 1) и (л/2; +оо). Ответ. (-л/З; 1) U (л/2; -ноо). 9.66 Докажите справедливость утверждений 1—4, 9.67 Докажите, что равносильны неравенство и система: fix) > g(x) а) arcsin/(x) > arcsin^(x) и б) arccos/(x) > агссо8Я(л:) и -1^ f(x) arctgg(x) и fix) > gix); б) arcctg/(x) > arcctgg(Ar) и fix) < gix). Решите неравенство (9.70—9.73): 9.70 a) arcsin(x^ - 2x) < arcsin(o:^ + д: - 1); 6) arccos 1 < arccos (x^ - 4л: + 3); в) arctg(2x^ + 1) > arctg(2x^ - x); x- 2 4-x r) arcctg----> arcctg • 2 ° 2 9.71 a) Vloga (x - 3) + 10*°82 - 3) < (^-2 _ g^.) + ю‘"в2 - Зх). 6) Vlog5(x + l) + 3‘°S5 (X +1) < Jlog.j + 3'°®^ i У1266 9-72 а) jiog^^^ + lg|log2^^j<-Jiog^ + lg|log2;|j; б) ^logg J + logg 7 • log7 > ^logg + logg 7 • logy ^ Здг-2 -2x + 3 b) iJSx- 2 + log7 (3jc - 2) + 3 * > ^-2x + 3 + log7 (-2x + 3) + 3 ^ 9.73 a) VxT2 ++ 2 + V 2x 6) (Л - 3)^ - 5 - ^X-5 > (Л - 3)^ - 2x § 10. Равносильность уравнений на множествах 10* 1. Основные понятия Пусть даны два уравнения: f(x) = g(x) и р(х) = <р(х) — и пусть дано некоторое множество чисел М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения, то такие два уравнения называют равносильными на множестве М. При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из этих уравнений не имеет корней на множестве М, то такие два уравнения равносильны на множестве М. Замену одного уравнения другим уравнением, равносильным ему на множестве М, называют равносильным переходом на множестве М от одного уравнения к другому или равносильным на множестве М преобразованием уравнения. Например, рассмотрим уравнения vx = 1 и = 1. Как отмечалось в п. 8.1, эти уравнения не являются равносильными на множестве всех действительных чисел. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных действительных чисел, так как на этом множестве каждое из них имеет только один корень — число 1. Рассмотрим уравнения 21og2X= 1 и log2X^= 1. Первое уравнение имеет единственный корень Xi = л/2, а второе имеет два корня: x,= V^ и ^2 = -V2. Следовательно, эти уравнения не равносильны на множестве всех действительных чисел. Но эти уравнения равносильны на множестве всех положительных чисел, так как на этом множестве каждое из данных уравнений имеет только один корень = V2. Если два уравнения равносильны на множестве всех действительных чисел, то в таких случаях говорят, что уравнения равносильны, опуская слова «на множестве всех действительных чисел». Равносильные преобразования уравнений уже были рассмотрены в § 7. 267 Равносильность уравнений на множествах Перечислим основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел. 1. Возведение уравнения f(x) = g(x) в четную степень 2т {т е N) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором обе функции f g неотрицательны. 2. Умножение (или деление) обеих частей уравнения на функцию (р приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором функция ф определена и отлична от нуля. 3. Потенцирование логарифмического уравнения loga Ах) = logag(x) (а > О, а 1) приводит к уравнению f{x) = g{x)j равносильному исходному на том множестве М, на котором положительны обе функции / и 4. Приведение подобных членов (ф (х) — ф (х) = 0) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве 1)(ф), на котором определена функция ф(л:), т. е. на области существования функции ф(л:). 5. Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором определены обе части применяемой формулы. ЮЛ а) Какие уравнения называют равносильными на множестве М? б) Что называют равносильным на множестве М переходом от одного уравнения к другому? в) Какие преобразования приводят к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве М? г) В каком случае говорят, что уравнения равносильны? 10.2 Определите множество М, на котором равносильны уравнения: а) ^ ^—- = 0их^ + Х“2 = 0; б) ^1х = 1 и х^ = 1; д: + 2 в) х^ + 2х^ - 1 = о и 4х(х^ + 2х^ - 1) = 0; г) + 5х и- л/х = л/х - 4 и х^ + 5х + 4 = 0; д) lg(x^ - 1) = Igx и х2 - 1 = х; е) log2X н-log2(^:-н 2) = 3 и log2x(x + 2) = 3; ж) loggx - log2(x - 3) = 2 и log2 3) 1 ^ д ^х - 2 V 2х-3 X - 3 = 2; = 1. 10.3 Какими условиями задается множество М, на котором равносильны (а > о, а 1) уравнения: а) -^ = ф(х)и А^^) = ^(^с)ф(л:); б) ^f(x) = ф (х) и f(x) = (f>^(x); g(x) 2в« в) = Ф (X) и ^f(x)g{x) = (р (д:); . ^]f(x) lf(x) г) , = ф (х) и J—— = Ф (х); Д) /(х) + Vg(x) = ф(х) + V^(x) и /(х) = ф(х); е) = ф(х) и /(х) = ф(х); ж) log„/(x) = logag(x) и f{x) = g(x); з) \ogJ(x) + log„g(x) = ф(х) и log„(/(x)g(x)) = ф(х); и) log„/(x) - logag(x) = ф(х) и logo /(X) g(x) = Ф(х); к) log, /(х)‘ = ф(х) И logo Ах) = Ф(х); л) l0ga(/(x))2 = ф(х) и 2 legal Ах) I = фМ; м) 21oga/’(x) = ф(х) И loga(/‘(x))2 = ф(х); н) а'®*" = ф(х) и /(х) = ф(х); 1- tg^x о) 1 + tg^x = Ф (х) и cos 2х = ф (х); п) , ^== Ф W и tg2x = ф(х)? 1 - tg‘‘ X 10.2. Возведение уравнения в четную степень Пусть 2т — четное натуральное число (т е ЛГ) и пусть в каждой точке множества М обе функции f{x) и g(x) неотрицательны, тогда на этом множестве равносильны уравнения /(x) = g(x) и (Ах))2'" = (g(x))2'". ПРИМЕР 1. Решим уравнение ^1- 2х = л/1- X. (1) Все корни уравнения (1) содержатся во множестве М, состоящем из чисел, удовлетворяющих неравенствам 1-д:^0и1-2д:^0, т. е. содержатся во множестве М = ^-оо; i , В каждой точке множества М обе функции f{x) — 2х vi g{x)= ^1 — х неотрицательны. Поэтому уравнение (1) равносильно на множестве М уравнению (2) (^1 - 2xf = (л/1 - xf. Уравнение (2) можно переписать в виде х^ - X - 0. (3) 1269 Равносильность уравнений на множествах 704 П -1-V5 -1+л/б Уравнение (3) имеет три корня: Xj = О, Х2 = —-— и лгз = —-—. «и Из них Хх и Х2 принадлежат множеству М, а Х3 — нет. Следовательно, на множестве М уравнение (2) имеет два корня Xi и Хз* Поэтому и равносильное ему на множестве М уравнение (1) имеет те же два корня. -1_ Vs Ответ. 0; -----. I Возведение в четную степень можно применять и при решении уравнений, содержащих модуль, ПРИМЕР 2. Решим уравнение 1 + sin X = I cos X |. (4) Обе части уравнения (4) определены и неотрицательны на множестве всех действительных х. Поэтому после возведения уравнения (4) в квадрат получаем равносильное ему уравнение (1+ sinx)^ = cos^x, которое можно переписать в виде 2sinx(l + sinx) = 0. (5) Уравнение (5) имеет две серии решений: X/J = Tcfe, /е G Z; х„ = + 2лл, п е Z. Все эти числа, и только они, являются решениями уравнения (4), равносильного уравнению (5). Ответ, + 2ппу п е Z; nky к s Z, ф 10.4* Докажите утверждение о возведении уравнения в четную степень. Решите уравнение (10.5—10.13): 10.5 а) ^х + 1 = ij2x - 5; б) Ух-1 = ^2х + 5; в) ^2х + 11 = yj4x + 1; 10.6 а) - 5 = Цбх + 9; в) у13х^ - 13 = V5x- 1; 10.7 а) л1х + 1 = X - 2; в) у1х + 3 = X + 2; 10.8 а) ^J-2x = 1 л; + 11; в) л/2 - X = I л: — 3 |; г) yj2x - 9 = д/4х + 3. б) tj2x^ - 1 = ^Зх - 2; г) yj4x^ - 11 = V13X + 31. б) л/х - 1 = X - 4; г) л/х = X - 1. б) = 1^- 2|; г) л/5 - X = IX - 21. 270 10.9* а) ^2- 2sin| = 1; 6) д/2созЗх -н 2 = 1. 10.10* а) 1 + COSX = 1 sinx|; 6) 1 - sin X = 1 cos х|; в) Vl - cos X = 1: sinx|; г) л/1 + sinx = |cosx|. 10.11 а) Vx - 4 л/х -1- 4 = л/б; б) л/х — 3 Vx + 3 — л/5; в) л/х - 5 Vx -h 5 = л/2; г) л/х • - 2 л/х ч- 2 = л/8. 10.12 а) ^x = Vx - 4; б) = л/2 - х; в) ^X -h 3 = л/х - 1; г) + 2 = л/-х. 10.13* а) ^3- 2x = л/2 “ x; б) ^5. - 2х = л/3 - л:; в) + 1 = Vx - 3; г) С + 3 = Vx + 2. 10.3*. Умножение уравнения на функцию Пусть в каждой точке множества М функция <р (х) определена и отлична от нуля. Тогда на множестве М равносильны зфавнения - ^ fix) = gXx) (1) и /(л:)<р(д:) = ^(д:)(р(л:). (2) Доказа тельство- Пусть Xq — любой корень уравнения (1), принадлежащий множеству М, тогда существуют числа fixo) и gixo) и справедливо числовое равенство /(^о) = ^(^о)- (3) Так как в каждой точке множества М функция <р (х) определена и отлична от нуля, то существует число <р(д:о) 0* поэтому, умножив числовое равенство (3) на число (р(Хо), получим, что справедливо числовое равенство /(хо) ф(л:о) = giXQ), получим, что справедливо числовое равенство f(xi) = g(xi), означающее, что число является корнем Я 271 Ра1ш0снльы0сть уравнений на множествах уравнения (1). Следовательно, любой корень уравнения (2), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения (1). Из доказанного выше следует, что если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) имеет корень, принадлежащий множеству М, то эти уравнения равносильны на множестве М, Методом от противного можно показать, что если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) не имеет корней, принадлежащих множеству М, то эти уравнения равносильны на множестве М. Итак, утверждение доказано полностью. ПРИМЕР 1. Решим уравнение 2 sin X 1 Зх - у14-Зх- (6) Все корни уравнения (6) содержатся во множестве М всех тех для каждого из которых 4 - Зд: - > О, т. е. содержатся во множестве М = (-4; 1). В каждой точке множества М функцияф (х)= ^4-Зх-определена и отлична от нуля, псстому, умножив уравнение (6) на эту функцию, получим, что на множестве М уравнение (6) равносильно уравнению sinx = (7) Уравнение Ьп (7) имеет две серии решений: д:„ = — -ь 2тш, п G Z 6 и Xfc = — + 2лк, ft е Z. Из чисел множеству М принадлежит лишь ® п одно число — (при п = 0), а из чисел Xf^ множеству М принадлежит 6 лишь одно число (при ft = -1). Следовательно, уравнение (7) на о 7Г 7 7С множестве М имеет лишь два корня: — и ——. Поэтому равносиль- О о ное ему на множестве М уравнение (6) имеет те же корни. Ответ. —; . 6 б ПРИМЕР 2. Решим уравнение \x-2\-\x\ ^ |2х - 1| - |х| ^ |2х- 1| + |х| |х-2| + |х| • Так как функция ф (х) = (| 2х - 11 -I-1 х |) (| х - 21 + | х |) определена и не равна нулю при каждом х е Д, то, умножая уравнение (8) на функцию ф(х), получим уравнение (9) (X - 2Y - х^ = (2х - ly - х^ равносильное уравнению (8). Уравнение (9) имеет два корня: Хх = -1 и Х2 = 1. Тогда и равносильное ему уравнение (8) имеет те же корни. Ответ. -1; 1. Ш272 ПРИМЕР 3. Решим уравнение 16 cos X cos 2л: cos 4х cos 8л: = 1. (10) Обе части уравнения (10) имеют смысл на множестве всех х. Функция ф (х) = sin X также определена на этом множестве и отлична от нуля для всех х ^ Xj^, где = яй, k е Z. Так как 16C0SX;eC0S2X;jC0s4XjtC0s8X;e = 16 • (-1)* 1, то числа Xfj не являются решениями уравнения (10). Следовательно, все решения уравнения (10) содержатся во множестве М всех чисел хФх^. В каждой точке множества функция ф(х) = в1пх определена и отлична от нуля, поэтому, умножив уравнение (10) на функцию ф(х), получим уравнение 16sinxcosxcos2xcos4xcos8x = sinx, (11) равносильное уравнению (10) на множестве М. Применяя 4 раза формулу синуса двойного угла, перепишем уравнение (11) в виде sin 16х = sinx. (12) Перенося члены уравнения (12) в левую часть и применяя формулу разности синусов, перепишем уравнение (12) в виде 2 sin — X cos — X = 0. 2 2 (13) 2я Это уравнение имеет две серии решений: х„ = —я, п е Z и х^„ = л 15 = — — тПу т ^ Z. Из этих чисел во множестве М содержатся те х„, для которых я 15Z, Z G Z, и те х^, для которых яг 17/> + 8, р G Z. Поэтому уравнение (13) на множестве М имеет две серии ре- 2п _ 1 7 Л 2я п ^ Z^ п ^ 15Z, I € Z; X, шении: х„ = —я, 15 m = + rnsZ, т Ф Пр + S, р € Z. Следовательно, и равносильное ему на множестве М уравнение (10) имеет те же самые решения. 2л л 2л Ответ. — п, nsZ, пф 15Z, Z € Z;-1--т, meZ, Пр и- 8, р € Z. 15 17 17 10.14 а) Решите уравнение (10.14—10.22); 3 5 1 (2х + 6)(х - 1) (Зх + 5)(х - 1) X - 1 1 7 _ 1 ^ (Зх + 5)(х - 1) (X + 7)(х - 1) “ X - 1‘ 273 ’а внос ИЛЬИ ость уравнении на множествах 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 а) 2^0,5- X _ .у/0,5 - X а) в) а) в) а) в) Д) (х-4)(л:+1) (л:-2)(д: + 2)’ ix + 1)(л:2 + i)(x'‘ + i)ix^ + : (л: - 1)(л;2 + 1)(л:‘‘ + 1)(х8 + ; ix - 1)(х2 + lux'* + 1) = х'; \x-2\-\x\ |2х-1|-|х|. \2х-1\ + \х\ |х-2| + 1хГ yJSx-hb -л/х Jx^ + 1- -Jx ^х^ + 1 + Jx ^Зх + 5 + ^Jx 2 sin X 1 ^j-x^ ^ Ax-S + 4x-3 2 cos X V2 - Ах^ ■yjn^ - 4x^ 27 • 7^ + 2 = 147^; 5А^ + 1 _ 4.6^ = 6"^ - 1 - 5^; 2* + 1 + 2 • 3^ _ 3-2-'+3*+‘, б) 4-^х - 10 Зр 10 ix - 4)(x + 3) " ix - 3)(x - 2) _ - 5x + 3 _ X - 1 _ x'® + x^ + 5x + 3 X + 1 6) (x + l)(x2 + l)(x-^+ 1) = x^ |2x-3|-|x| |3x-2|-|x| |3x-2| + |x| |2x-3| + |x| д/2х+ A-yjx 4x^ + 3-4x д/х^ + 3 + Vx ^2x+ 4 + Vx 2sinx 6) 42 г) 2 cos X - х'^ - х^ б) 6^ • 5^ - 2 = 9 • 2^; г) 52"" - ^ + 22^ = 25^ - 4^-^'; , 2^-^ 2+ 4.0ДГ 2^+6^ ------V------- а) Зсозд: + 4sinx = 0; б) 2sinx - cos:r = 0; в) 2 sin^ X - Z sin x cos x + cos^ x = 0; r) 3 sin^ X - 5 sin x cos x + 2 cos^ л: = 0. a) 4cosx cos2x = 1; b) Scosx cos2x cos4x = 1; 6) 4cosx cos2x =-1; r) Scosx cos2x сов4д: =-1. 10.4". Другие преобразования уравнений 1. Потенцирование и логарифмирование уравнений. Пусть фиксированное число а таково, что а>0иа^1уИ пусть в каждой точке множества М обе функции f(x) и g(x) положительны. Тогда на множестве М равносильны уравнения >«) и ^Oga fix) = logagix) fix) = gix). (1) \2) Переход от уравнения (1) к уравнению (2) называют потенцированием логарифмического уравнения (1), а переход от уравнения (2) к уравнению (1) — логарифмированием уравнения (2). 274 ПРИМЕР 1, Решим уравнение lg(l - х2) = lg2л:. (3) Все решения уравнения (3) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых 1 - > О и 2х > О, т. е. во множестве М = (0; 1). В каждой точке множества М положительны обе функции /(х) = (1 - х^) и ^(х) = 2х. Поэтому уравнение (3) равносильно на множестве М уравнению 1 - х2 = 2х, (4) имеющему два корня: Xj = -л/2 - 1 и Xg = л/2 - 1. Число Х2 принадлежит множеству М, а число Xj нет. Поэтому уравнение (4) на множестве М имеет только один корень Х2- Следовательно, и равносильное ему на множестве М уравнение (3) имеет тот же корень. Ответ. V2 - 1, ПРИМЕР 2. Решим уравнение = (х-1)= Vx - 1 (5) Все корни уравнения (5) содержатся среди тех х, для каждого из которых справедливо неравенство х - 1 > 0, т. е. содержатся во множестве М = (1; ч-оо). В каждой точке этого множества определены и положительны обе функции /(х) = ^ и g(x)= (х- По- Vx - 1 этому, логарифмируя уравнение (5), получим, что оно равносильно на множестве М уравнению ^.............. (6) Ig ^[x^l = \gix~iy Применяя свойства логарифмов, получим, что уравнение (6) рав- [I \ посильно на множестве М уравнению lg(x - 1) - н- sinx = 0, все ре- ^ к шения которого, принадлежащие множеству М: Xq = 2; х^^ =-f- 2я/е, 5я ^ k е N; х^ = - — + 2 ял, пе N. Следовательно, и равносильное на мно-6 жестве М уравнение (5) имеет те же решения. Ответ. 2; + 2nk, k е N; + 2пп, пе N. 6 6 2. Приведение подобных членов. Пусть в каждой точке множества М определена функция О, т. е, принадлежат множеству М = (0; Ч-оо), Так как в каждой точке множества М определена функция (р (д:) = = log2^:, то уравнение (7) равносильно на множестве М уравнению х^ - 2х - 3 = о, (8) Уравнение (8) имеет два корня: = -1 и Х2 = 3. Число Х2 при- надлежит множеству М, а число Xj нет. Следовательно, уравнение (8) на рассматриваемом множестве имеет единственный корень Х2* Так как уравнения (7) и (8) равносильны на множестве М, то уравнение (7) имеет только тот же корень. Отпет. 3. 3. Применение формул. Пусть в каждой точке множества М определены обе части некоторой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.). Тогда, применив эту формулу при решении уравнения, получим уравнение, равносильное на множестве М исходному уравнению. каждого л>г м ПРИМЕР 4. Решим уравнение 3'оез(2х-5)^д.2_4^+(9) Все решения уравнения (9) принадлежат множеству тех х, для из которых 2х - 5 > о, т. е. принадлежат множеству н-оо j, В каждой точке множества М определены обе части формулы 3*^®з (2^ " = 2х - 5. Поэтому на множестве М уравнение (9) равносильно уравнению 2х-5 = х2-4х+1, (10) имеюш;ему два корня: х^ = З-л/З и Х2 = 3 + л/з. Число Х2 принадлежит множеству М, а число х^ нет. Поэтому уравнение (10) на рассматриваемом множестве имеет единственный корень Х2- Следовательно, и равносильное ему на множестве М уравнение (9) имеет только этот корень. Ответ, 3 -ь л/з. ПРИМЕР 5. Решим уравнение 2 ctg X - (11) Все решения уравнения (11) содержатся во множестве М всех X ^ k в Z, Так как в каждой точке множества М определены обе А 276 части формул ctg х = 1 1 tg X ’ COS^ X сильно на множестве М уравнению = 1 + tg^Xy то уравнение (11) равно- tg л: = 1 + tg^ X. (12) А о Так как уравнение у = 1 -ь имеет только один действительный корень ^ = 1, то уравнение (12) равносильно уравнению tgx - 1. Множество решений последнего уравнения составляет серию = -^ -ь кпу п € Z. Так как все эти числа принадлежат множеству М, то все они и будут решениями уравнения (12) на множестве М. Поэтому уравнение (11), равносильное уравнению (12) на множестве М, имеет те же решения. Ответ. — + кпу п S Z, 4 ПРИМЕР 6. Решим уравнение = 1 + 21og^2. (13) Все корни уравнения (13) принадлежат множеству М = (0; 1) U и (1; -hoo). В каждой точке множества М определены обе части , поэтому уравнение (13) равносильно на 2 формулы log^ 2 = ;---- log2 X множестве М уравнению log2 X - logg X -1 = 0. (14) Так как уравнение i - у - 1 = 0имеет только два корня: -1 и 2, то только корни двух уравнений log2X = -1 и log2X = 2 являются корнями уравнения (14). Следовательно, уравнение (14) имеет два корня: Xi = - и Х2 = 4. Числа Xj и Х2 принадлежат множеству М. Поэтому уравнение (14) на множестве М имеет два корня Xi и Х2, но тогда и равносильное ему на множестве М уравнение (13) имеет те же корни. Ответ. 4. 10.23* Докажите справедливость утверждений о потенцировании и логарифмировании уравнений, о приведении подобных членов и о применении формул. Решите уравнение (10.24—10.30): 10.24 а) lg(x^ - 4) = lg(x - 1); б) loggC^^ - 9) = log2(2 - д:) + 1; в) lg3a;2 = lg(2x + 1); г) loggClG - д:^) = loggCl + х) + 1. 277 Ракиосильиость уравнений на множествах 10.25 а) в) Д) 10.26 а) log2 X = log4 (х + 2); б) logg (х + 8) = log., (х + 2); bg25(9x + 7) = log5(3 + х); г) log4(x + 9) = log2(x - 3); log2 (х + 3) - logi (х + 3) = 4; е) logg (х + 2) - log,(х + 2) = 2. 1 ' ' -------= (х - 2)'^”"^; б) (х2 + 2)®^" ^ = (х2 + 2)'=°®^; yjx-2 в) 10.27 а) б) в) г) 10.28 а) в) 10.29 а) в) 10.30 а) в) г) ^2- Ig^jr- Igx^_______= 0. Х^ + 2х + logglx + 1) = 15 + logglx + 1); х^ - 6х - loggCl - х) = 7 - logg(l - х); х^ + log4X = 7х + log4x; - log5(-X) = -6х - log5(-x). 4i°«4(2^ + i) = л:2 + 3х- 5; б1о«бО- = х^ + Зх-20; logg X = 4 - 31ogj logg X- 2 = 31ogj 1 - tg^ д: 1 + tg^ X 2tgx 1+ tg^ X 3; 3; = sinx; = cos л:; 6) 5iog5(x 2) = + 4x - 30; r) 7^°si(2- x'^- 3x- 13. 6) log4 X + 2 = 31og^ 4; r) log2 X + 61ogjr 2=5. 1 - tg^ X o) ^ ^ ^— = cosx-l; r) 1 + tg^ X 2tgx 1 + tg^ X = sinx. 10.5^. Применение нескольких преобразований ПРИЛ1ЕР 1, Решим уравнение 41og4(x + 2) = log2(2x + 1) + loggx, (1) Все корни уравнения (1) принадлежат множеству М = (0; +оо). В каждой точке множества М определены обе части формул 4 log4 (х + 2) = log2(х + 2)^ и log2(2х + 1) + log2X = log2(2х^ + х). Поэтому уравнение (1) равносильно на множестве М уравнению log2(x + 2)2 = logg (2х=^ + х). (2) в каждой точке множества М положительны обе функции f(x) = (х + 2)^ и g(x) = 2х^ + X. Поэтому уравнение (2) равносильно на множестве М уравнению (х + 2)2 = 2x2 + X, (3) имеющему два корня: х^ = 4 и Х2 = -1. Число Xj принадлежит множеству М, а число Х2 — нет. Следовательно, уравнение (3) на множестве М имеет единственный корень Xj, поэтому и равносильное ему на множестве М уравнение (1) имеет тот же корень. Ответ. 4. 1278 ПРИМЕР 2. Решим уравнение = 5 +V45- 4х. (4) Все корни уравнения (4) содержатся во множестве М = [0; 11,25]. Так как в каждой точке множества М обе части уравнения (4) неотрицательны, то возведя уравнение (4) в квадрат, получим уравнение 16л: = 25 + 10д/45 - 4х -Ь 45 — 4х, (5) равносильное уравнению (4) на множестве М. Перепишем уравнение (5)в виде 2д: - 7 = V45 - 4х. (6) На множестве М правая часть уравнения (6) неотрицательна, поэтому корни уравнения (6), принадлежащие множеству М, надо искать среди тех х, для которых справедливо неравенство 2х - 7 ^ 0. Поэтому корни уравнения (6), а значит, и уравнения (4) принадлежат множеству Ml = [3,5; 11,25], причем Mj с М. Следовательно, уравнение (6) равносильно на множестве Mi уравнению (4). Возведя уравнение (б) в квадрат, получаем уравнение 4x2 _ 28х -н 49 = 45 - X, (7) равносильное уравнению (6) на множестве Mi. Уравнение (7) имеет два корня: Xi = 3 -ь 2л/2 и Xg = 3 - 2V2. Так как Xi е Mi, а Х2 ^ М], то число Xi является корнем уравнения (6), а число Х2 — нет. Следовательно, уравнение (6) имеет на множестве Mi единственный корень Xi, поэтому и равносильное ему на множестве Mi уравнение (4) имеет единственный корень Xi- Ответ. 3 + 2V2. ПРИМЕР 3. Решим уравнение X - 1 ---> (8) Все корни уравнения (8) принадлежат множеству тех х, для каждого из которых х(х - 1) > 0, т. е. принадлежат множеству М = (-оо; 0) и (1; -Ноо). _______ В каждой точке множества М функция (р (х) = Jx (х - 1) определена и отлична от нуля. Поэтому, умножив уравнение (8) на эту функцию и применив формулы -Jxix- 1) = и -Jxix- 1) = у1(х - If , обе части каждой из которых определены на множестве М, получим уравнение .— ------- л/х2 + ^{Х - If = 3, (9) равносильное уравнению (8) на множестве М. Равносильность уравнений на множествах Применяя формулу л/а^ = |а|, получим, что на промежутке (-оо; 0) уравнение (9) равносильно уравнению -х - (х - 1) = 3, имеющему единственный корень Xi = -1, принадлежащий этому промежутку. Применяя формулу л/^=|а|, получим, что на промежутке (1;+оо) уравнение (9) равносильно уравнению х + (х - 1) = 3, имеющему единственный корень Х2 = 2, принадлежащий этому промежутку. Следовательно, уравнение (9) имеет на множестве М два корня: Xi = -1 и Х2 = 2. Так как уравнения (8) и (9) равносильны на множестве М, то уравнение (8) имеет те же два корня. Ответ. -1; 2. ПРИМЕР 4. Решим уравнение 1о§х + з(8 - х) = 21og^ + 3(x + 4). (10) Все корни уравнения (10) содержатся во множестве всех тех х, каждого из которых х + 3>0, х + 3 ^ 8-х>0, х + 4>0, содержатся во множестве М = (-3; -2) U (-2; 8). В каждой точке множества М определены обе части формул lg(8- X) ^ lg(x+4f для т. е log;c + 3(8 -х) = lg(x + 3) и 2 log,. 3 (д: + 4) = lg(x + 3) Поэтому уравнение (10) равносильно на множестве М уравнению lg(8 - х) _ lg(x + 4f lg(^: + 3) lg(x + 3) ■ ^ ^ В каждой точке множества М функция <р(х) = lg(x + 3) определена и отлична от нуля. Поэтому уравнение (11) равносильно на множестве М уравнению lg(8-x) = lg(x + 4)2. (12) В каждой точке множества М функции /(х) = 8-х и g(x) = = (х + 4)^ положительны. Поэтому уравнение (12) равносильно на множестве М уравнению 8-х = (х + 4)2, цЗ) имеющему два корня; х^ = -1 и Хз = -8. Так как Xj е М, а Хз й М, то уравнение (13) имеет на множестве М единственный корень Xj. Следовательно, и равносильное ему на этом множестве уравнение (10) имеет тот же корень. Ответ. -1. ПРИМЕР 5. Решим уравнение + ^/jn + S. (14) Все корни уравнения (14) принадлежат множеству М = [1; +оо), В каждой точке множества М определена функция ф(х)= vx^ 1, определены обе части формулы х- Поэтому уравнение (14) равносильно на множестве М уравнению 2log| X + 2\og2 X _ 2^ (15) ^280________________________________________________________ Логарифмируя показательное уравнение (15), получим, что уравнение (15) равносильно уравнению log| х + 21og2 х= 3, имеющему два корня: Xi = 2 и Х2= Так как число Xi принадлежит множе- о ству М, а число Х2 нет, то уравнение (15) на множестве М имеет единственный корень Xi. Поэтому и равносильное ему на множестве М уравнение (14) имеет тот же корень. Ответ. 2. Решите уравнение (10.31—10.47): 10.31 а) ^х^ + хл[х -h 7х + 27л/х + 24 = ^^x + 3; 10.32 б) + Хл/х + 27у[х - 37 = ^fx-3. 10.33 10.34 10.35 10.36 10.37 10.38 10.39 а) у12х + 1 = 2л1х-1 + 1; б) 2yj3x + 7 = 3yj2x + 2 + 2; 3 - 2л/х = 1; г) yj2x - 1 - -Jx = 1. 7 в) -JEx а) V X -3 X 2 '\ X + 2 X - S ^(х + 2Цх- 3) б) -. Vx+1 \х-5 + 1)(X - 5) а) logoix + 2) + logoCSj: + 2) = logo(5x + 22); б) logg(x - 5) + loggU + 1) = log3(3jc + 3); в) log5(A: - 6) + log5(2x + 11) = logsCSx + 4); r) log4(2x + 6) + log4(3x - 14) = log4(3x + 1). a) log5(x - 5)2 = 21og5^; 6) loggCx - 3)^ = 21ogg^; b) lg(o: - 2)2 = 21g73 - X-, r) lg(x - 1)2 = 2\g^2 - x. а) Ig (8л: + 11) + Vx = Ig (л;2 + 2) + Vx; б) Ig (x + 8) + = Ig (x2 + 2) + а) Ig (x - 1) + л/9 - x2 = Ig (x - 1) + Vx + 5; б) Ig (1 - x) + V25 - x2 = Ig (1 - x) + Vx + 16. a) logg X = 2 logg (x - 3) + 2; b) log3(x-2)-31og^_29 = l; 4 1 2 6 a) loggx 6) logs x = 2 logs (6 - x) + 1; r) log2(JC-3) + 31og;r-34 = 5. 6) loggx- 1 + log, 27 8 3 + log3 X 4 2 -b logg X 1 -b log^ 4 281 Равносильность уравнений на множествах 10.40 а) log2(8x^ - х) • log4j.(8x - 1) = 2; б) loggCx-2)-5 = 1; в) logg(x-l)-log^^^ 3 = 1. 10.41 а) loggCSx^ - х) • log3;(.(5x - 1) = 1; б) log4(20x^ - х) • logie^(20x - 1) = 2. 10.42 10.43* а) x'°^v- 2^ = 4; б) jc2 - ^ - 1 = 0. а) (x2 + (2x + 9)V8^- ^=^-15. б) (x2 - 8)^24:*^- 35= - 20) log I (S+ 2x - x‘^) 10.44 a) 6) 10.45 a) b) ■yjx - 1 1 л]2х - 1 1 ^/Г^ 1 •y/2 - x2 = (ЛГ-1) 25 logi (1 + 7л: - 2д:^) = (2x - 1) 4 = (1-X2) (2- x2) sin д: + 1. > б) 1 = (4- х2) . 2 Sin*^ X sin дг +1. г) ■у]4 - х^ 1 = (2- х2) 2 cos JC + 1 . ^«2 Y yj2- X2 10.46 a) logj^i (l + x)= log|^|(x2 - 5); 6) log|^ | (9 + x) = log|^ I (x2 + 7). 10.47 При каких значениях параметра а уравнение -------= 0 имеет единственный корень? ^ ~ 10,6^. Уравнения с дополнительными условиями Довольно часто требуется решить уравнение при некоторых условиях. Дополнительные условия обычно означают, что надо решить уравнение на том или ином множестве. Иногда эти условия облегчают решение уравнения. ПРИМЕР 1. Найдем все корни уравнения I + X - 11 = 2х - 1, V3 удовлетворяюхдие неравенству х < —. (1) Прежде всего заметим, что левая часть уравнения (1) неотрицательна при любом действительном х. Это означает, что корни урав- П282 л/З нения (1) удовлетворяют условиям 2л:-1^0 и л:< —, т. е. при- л. Щ т - надлежат множеству М— — • Так как в каждой точке этого множества квадратный трехчлен + х - 1 принимает только отрицательные значения, то на множестве М уравнение (1) равносильно / 2 14 о 1 -3- Vl7 уравнению -{х^ + x- l) = 2x-l, имеющему два корня: =--------- -3 + л? .. 5этих чисел только Х2 принадлежит множеству М, следовательно, только Х2 удовлетворяет условию задачи. Ответ. — 2 Часто дополнительное условие не облегчает решение уравнения. В таких случаях обычно сначала решают уравнение, а потом отбирают из найденных решений те, которые удовлетворяют условию. ПРИМЕР 2. Найдем все корни уравнения ^cos 2х ^cos^ JC _ g (2) принадлежащие отрезку 7я ^ 2я Т"’ “Т Применив формулу квадрата косинуса угла, перепишем уравнение (2)в виде (2^05 2^)2 ^ 2 . 2х _ 3 ^ 0. (3) Так как уравнение -н 2у - 3 = О имеет два корня: г/j = 1 и //2 = -3, то множество всех решений уравнения (3), а значит, и уравнения (2) есть объединение множеств решений двух уравнений 2COS 2х ^ I 2^^^ 2х ^ _з^ (4) Первое из уравнений (4) имеет серию решений х^^ = — + — ft, ft е Z, 4 2 а второе не имеет решений, так как > О для любого х. Таким образом, уравнение (2) имеет единственную серию решений Х;,, Теперь из этих чисел надо отобрать те, которые принадлежат отрезку 7я^ 2я' "б"’ ^ „ о Так как двойному неравенству-----< ~ -н — ft < —-- удовлетво- 6 4 2 3 ряет единственное целое число ft = -2, то условию задачи удовлетво-ряет лишь одно число х_2 = — + — •(-2)=--. 4 288 Равносильность неравенств на множествах Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку (10.48—10.53): 10.48 а) sin 2х + 2 sin х - л/З cos х = 7з, (0; тс); тс Зтс б) sin 2х - 2 sin X-н л/з cos X = л/з, ^ iy 10.49 а) sin^x - sin2x - Зсоз^х = О, 1^-^;j; б) 5 sin^ X - 2 sin 2х - cos^ х = О, к ^ к 2" 2 10.50 а) lx2-3x-h2| = 2x-2, [3; 5]; б) jx^ - 2х - 8| = х + 2, [0; 4]. 10.51 а) х'* + х^ + х^-3х = 0, [-2; 0]; б) х** + х^ + х^ - 14х = О, [3; 7]. 10.52 а) (х - logs 75) (х - logs 22) = О» [3; 4]; б) (х - log2l7)(x - logs71) = О» [4; 5]. 10.53 а) 3 tg^ ^ях -j = 1,3j; б) 3cos2x - 5cosx = 1, [0; 2я]. § 11, Равносильность неравенств на множествах 11,1, Основные понятия Пусть даны два неравенства: /(x)>g(x) и р(х)>ф(х) и пусть дано некоторое множество чисел М. Если любое решение первого неравенства, принадлежащее множеству М, является решением второго неравенства, а любое решение второго неравенства, принадлежащее множеству М, является решением первого неравенства, то такие два неравенства называют равносильными на множестве М. При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из этих неравенств не имеет решений на множестве М, то такие два неравенства равносильны на множестве М. Замену одного неравенства другим неравенством, равносильным ему на множестве М, называют равносильным переходом на множестве М от одного неравенства к другому, или равносильным на множестве М преобразованием неравенства. Например, неравенства л/х > 1 и х^ > 1 не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, но они равносильны на множестве всех положительных чисел, а неравенства х > 1 и х^ > 1 являются равносильными на множестве всех действительных чисел. Если два неравенства равносильны на множестве всех действительных чисел, то в таких случаях говорят, что неравенства равносильны, опуская слова «на множестве всех действительных чисел». 284 Равносильные преобразования неравенств уже были рассмотрены в § 7. Перечислим основные преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству, равносильному ему на некотором множестве чисел. 1. Возведение неравенства в четную степень, т. е. замена неравенства f(x) > g{x) неравенством (/(х))^"* > m € iV, приво- дит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М, на котором обе функции f{x) и g(x) неотрицательны, 2. Умножение обеих частей неравенства на функцию ф(д:), т. е. замена неравенства f(x)>g{x) неравенством /(x)cp(x) > g’(x)q>(x), приводит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М, на котором функция ф(х) положительна. 3. Потенцирование логарифмического неравенства loga/(x) > log„g(x), т. е. замена этого неравенства при а> 1 неравенством f(x)>g{x)y а при 0<а< 1 неравенством f{x) cos Ху sin^x > cos^x; б) х"^ > о, х > VS; в) loggtgx > logs 7з, tgx > л/З; г) logo,2(-^^ + 3) > logo 2 4л:, + 3 < 4х; 285 Раиносильность норапено.тв на множествах д) sin X + -Ух > sin 2х + -Ух, sin х > sin 2х; , х2-5х -6 е) , > ;—, х^ - 5х > -6; Ig X Ig X ж) х^-5х -6 , х^ - 5х < -6; Igx Igx з) log2X + log2(x + 1) > 1, log2(x^ + x) > 1; и) -Ух -Ух + 1 < -У2, -у/х^ + X < -У2. в каждом случае выясните, на каком множестве равносильны первое и второе неравенства. 11.2. Возведение неравенства в четную степень Пусть 2т - четное натуральное число {т е N) и пусть в каждой точке множества М обе функции /(х) и g(x) неотрицательны, тогда на этом множестве равносильны неравенства fix) > g(x) (1) и (2) ■ Доказательство. Пусть число принадлежит множеству М и является решением неравенства (1), т. е. пусть существуют не-отрицательные числа /(xj) и для которых справедливо чи- словое неравенство fix^) > g(Xi). Но если одно неотрицательное число больше другого, то п-я степень первого числа больше п-й степени другого, т. е. справедливо числовое неравенство Это означает, что число Xj является решением неравенства (2). Такое рассуждение можно провести для любого решения Xi е М неравенства (1), следовательно, любое решение неравенства (1), принадлежащее множеству М, является решением неравенства (2). Покажем теперь обратное. Пусть теперь число Х2 принадлежит множеству М и является решением неравенства (2), т. е. пусть существуют неотрицательные числа /(^2) и ^(Хз), для которых справедливо числовое неравенство (/(хз))^'” > (^(Хз))^"*. Но если одно неотрицательное число больше другого, то корень четной степени 2т из первого числа больше корня той же степени из другого, т. е. справедливо числовое неравенство /(Х2)>^(хз). Это означает, что число Хз является решением неравенства (1). Такое рассуждение можно провести для любого решения Хз е М неравенства (2), следовательно, любое решение неравенства (2), принадлежащее множеству М, является решением неравенства (1). ]28в Таким образом, если хотя бы одно из неравенств (1) или (2) имеет решения, принадлежащие множеству М, то они равносильны на множестве М. Если же число Xi принадлежит множеству М и не является решением неравенства (1), и числа f(Xi) и неотрицательны, то это означает, что выполняется либо равенство flxi) = g(xi)y либо неравенство f{Xi) < Но тогда по доказанному ранее выполняется либо равенство ifixi))^'^ = {g{xi))^'^, либо неравенство if(Xi))^^ И^Х + 1. неравенства (3) содержатся во (3) множестве Все решения М = [-1;-hoo). _1) Очевидно, что все х 6 М, для которых Зх -ь 1 < 0, т. е. все XG -1; I являются решениями неравенства (3). 287 Равносильность неравеиств на множествах 2) В каждой точке множества Mj = ^®е функции ^jc) = л/х + 1 и я(х)= ^Зх + 1 неотрицательны. Поэтому неравенство (3) равносильно на множестве неравенству i^fx+Tf > фх + If, которое можно переписать в виде х{х^ - 6л: - 3) > 0. (4) Все решения неравенства (4) составляют два промежутка: (3 - -Jl2; 0) и (3 + y/l2; +оо). Из них множеству принадлежат все х и (3 + Vl2; +оо). Следовательно, все ре- ИЗ двух промежутков: шения неравенства (4) на множестве Mj составляют два промежутка: oj и (3 л/12; -ьоо). Поэтому и равносильное ему на мно- жестве Ml неравенство (3) имеет на этом множестве те же решения. Объединяя решения, найденные в пп. 1) и 2), получим, что множество решений неравенства (3) составляет два промежутка: [-1; 0) и (3 + Vl2; +оо). Ответ. [-1; 0) U (3 -ь vl2; +оо). I Возведение в четную степень можно применять при решении неравенств с модулями. ПРИМЕР 3. Решим неравенство |х-4|>|х + б|. (5) Обе части неравенства (5) неотрицательны для любых х, поэтому, возведя неравенство (5) в квадрат, получим неравенство (л: - 4)2 > (л: -ь 6)2, (6) равносильное неравенству (5). Множество всех решений неравенства (6), а значит, и равносильного ему неравенства (5) есть множество (-оо; -1), Ответ. (“Оо; -1). # Решите неравенство (11.6—11.16): 11.6 а) д/Зх- 2 <х; б) ^4х- 3 <х; в) ^5х- 4 < х; г) д/бх- 5 <х. 11.7 а) yj2x- 1 <х; б) 2-Ух^П^<х; в) ^6х- 9 <х; г) 2^2х- 4 <х. 288 11.8 а) 4ос + \ < X - 1 11.9 НЛО 11.11 в) + 1 < X + 1 а) л/л: + 1 > X - 1 в 5) д/2х + 1 > X - 1; а) л/З - X > X - 1; в) 4ъ- X > X - 3; а) Тб^^^^>х + 2; в) ^6х - 2 > X + 1; 11.12 а) -/-х^ - 5х > л1~х ~3; в) д/х^ - X > д/3х^1; 11.13 а) в) Зх + 2| > 12х + 3|; > -X- 2 4 2х- -4 11.14 а) д/бл:- 3 < |х + 1|; в) д/5х - 1 > I Зх - 11; 11.15 а) л/х < -Vx + 3; в) л/х + 1 > ^2х + 1; 11,10 а) 1 + sinx > |cosx|; в) 1 - sin X < [cosxl; б) л/х + 4 < X + 2; г) л/х^ + 4 < X - 2. б) л/х + 4 > X - 2; г) д/ЗхТ4 > X - 2. б) л/б^- X > Зх - 4; г) л/4 > 2х - 5. б) д/^х + 6 > X + 2; г) д/5х - 1 > X + 1. б) д/х^ - 6х > л/-х - 1; г) д/х^ - 7х > л/-х - 2. б) 13х- 4[ < |х- 4|; г) 15х - 3| > |х - 3|. б) д/б + Зх > |2х + 1|; г) д/7х + 2 > IX + 2|. б) л/х > ^х + 4; г) л/х < ^Зх^ 2. б) 1 - COSX > |sinx|; г) 1 + COSX < Isinxj. 11.3*. Умножение неравенства на функцию Пусть в каждой точке множества М функция ф(х) определена и положительна. Тогда на этом множестве равносильны неравенства f{x) > 5-(х) и /(х) ф(х) > ^(х) ф(х). ПРИМЕР 1. Решим неравенство 2х + 3 д/4 - х^ yj4 - х^ (1) Все решения неравенства (1) принадлежат множеству тех х, для каждого из которых 4 - х^ > 0, т. е. принадлежат множеству М = (-2; 2). В каждой точке множества М функция ф(х) = л/4 — х^ определена и положительна, поэтому, умножив неравенство (1) на 289 Равкоси»^ьность неравеистп на множествах эту функцию, получим, что на множестве М неравенство (1) равносильно неравенству < 2х + 3. (2) Все решения неравенства (2) составляют интервал (-1; 3). Из них множеству М принадлежат лишь х из интервала (-1; 2). Следовательно, все решения неравенства (2) на множестве М составляют интервал (-1; 2). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (1) имеет те же решения. Ответ. (-1; 2). ПРИМЕР 2. Решим неравенство 4 - 2|д:| ^ л/2^ (3) + \х 4+ 2\х\ Все решения неравенства (3) содержатся во множестве М = (0; н-оо), В каждой точке множества М функция ср (х) = (д/^ + 1-^1)+ 21 д: |) определена и положительна. Поэтому, умножив неравенство (3) на эту функцию, получим, что на множестве М неравенство (3) равносильно неравенству + 4 - 4д:2 > 2х - (4) Множество решений неравенства (4) составляет интервал (-2; 1), из них множеству М принадлежит лишь х из интервала (0; 1), Следовательно, все решения неравенства (4) на множестве М составляют интервал (0; 1). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (3) имеет те же решения. Ответ. (0; 1). ЛД7 Докажите утверждение об умножении неравенства на функцию. Решите неравенство (11.18—11.22): 11Д8 а) 5х - 5 б) 7дг- 3 у1х^ - 16 у1х^~ 16 ’ ^ у15х- х^ ^Ъх- х:^ ’ . х:^ S - 6х . Х^ 11- 4д в) , < — ■■■; г) ....... —- < , — , - - х^ - 2 ^]3х ~ х^ - 2 ^^5 - 4х- х^ - 4х- х^ 9-2\х\ и.19 а)^—^>1; 4+\х\ iSjtiM >1. 5 + 6| х I ’ 10-Иикольский. 11 кл. б) г) 5 + |х| 5 + 3|дг| 3 + 51л:| < 1; < 1. 290 11.20 11.21 11.22 а) в) а) в) а) 1 - cos X 1 - sin X X + 2 1 - cos X ’ 2х + 3 1 - sin X ' 2|х - 3| ^ |х - 5|, |х - 5| 1х - ЗГ 2| JC + 2 I IX + 31 2 1^ |х + 3|. |х + 2|’ __ -V Vsin X л/sin X б) г) б) г) б) cos X - 1 ^2 -X + 2 ^ cos X - 1 ’ X + 2 sin X — 1 sin X — 1 2|х + 1| |х + 3|-|х- 1|. |х + 3| + |х - 1| |х + 1| 2|х + 5| IX + 31 + IX + 7 I 6 х^ + ; Vcos X л/< |х4-3| - |х+7 I IX + 51 cos X 11,4*. Другие преобразования неравенств 1. Потенцирование логарифмических неравенств. Пусть в каждой точке множества М обе функции f{x) и g{x) положительны, тогда на множестве М равносильны неравенства: 1) 1оёа/(л:) > logag(x) И f(x) > g{x)y если а > 1; 2) logaf(x) > logag(x) И f(x) < g(x), если о < а < 1. ПРИМЕР I. Решим неравенство lg4x < lg(l - х^). (1) Все решения уравнения (1) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых 4х > О и 1 - х^ > О, т. е, во множестве М = (0; 1). В каждой точке множества М обе функции /(х) = 4х и g{x) = (1 - х^) положительны. Поэтому неравенство (1) равносильно на множестве М неравенству 4х < 1 - х2. (2) Множество решений неравенства (2) составляет интервал (-2 - VS; -2 4- Vs). Из них множеству М принадлежат лишь х из промежутка (0; -2 + л/б). Следовательно, и равносильное ему на множестве М неравенство (1) имеет те же решения. Ответ (0; -2 + VS). 2. Приведение подобных членов. Пусть в каждой точке множества М определена функция <р(х). Тогда на множестве М равносильны неравенства /(х) 4-ф(х) - ф(х) > о и /(х)>0. 29 i i'*iumocii:ibHocTb неравопстБ иа множествах ПРИМЕР 2. Решим неравенство (л/х + 1)^ > - Зд: + 2л[х. (3) Все решения неравенства (3) содержатся во множестве М = [0; +оо). Применяя формулу квадрата суммы и з^итывая, что в каждой точке множества М определена функция (р (х) = л/^, получим, что неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству 5х^-4х-1< 0. (4) Множество всех решений неравенства (4) есть интервал (-0,2; 1). Из этих чисел множеству М принадлежат лишь х из промежутка [0; 1). Так как неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству (4), то все решения неравенств (3) и (4) на множестве М совпадают. Следовательно, все решения неравенства (3) составляют промежуток [0; 1). Ответ. [0; 1). 3. Применение формул. Пусть в каждой точке множества М определены обе части некоторой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.). Тогда, применив эту формулу при решении неравенства, получим неравенство того же знака, равносильное на множестве М исходному неравенству. ПРИМЕР 3. Решим неравенство log9 х^ -h 21og3 л/х > (5 - (5) Все решения неравенства (5) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых х>0, 5 — х>0и5 — Х5й=1, т. е. содержатся во множестве М = (0; 4) U (4; 5). В каждой точке множества М определены обе части формул log9X^ = log3X, 21og3 л/х = log3 х, (5- = 2. Поэтому неравенство (5) равносильно на множест- ве М неравенству 2 log3X > 2, множество решений которого составляет интервал (3; +оо). Из них множеству М принадлежат лишь х из двух промежутков: (3; 4) и (4; 5). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (5) имеет только те же решения. Ответ. (3; 4) и (4; 5). ПРИМЕР 4. Решим неравенство cos X ctgx + sinx > 0. (6) 10* ^292 Все решения неравенства (б) содержатся во множестве М — всех хФ—у fe е Z. В каждой точке множества М определены обе 2 cos X части формулы------= sin л:. Поэтому на множестве М неравенство cigx (6) равносильно неравенству 2sinx > 0. (7) Множество решений неравенства (7) составляет серию промежутков (2кк; л -ь 2кк)у к е Z. Из них множеству М принадле- + 2кк L к & Z и жат лишь X из двух серии промежутков ^ — + 2пк\ л н- 2лArJ, к е Z. Следовательно, множество решений неравенства (7) на множестве М составляют эти две серии промежутков. Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (6) имеет те же решения. Ответ. 2пк; — + 2кк \; — -I- 2пк; л -I- 2пк |, к е Z, ПРИМЕР 5. Решим неравенство log^3 > 2 - loggx. (8) Все решения неравенства (8) содержатся во множестве М = (0; 1) и (1; н-сю). В каждой точке множества М определены обе части формулы log^ 3 =-------, поэтому неравенство (8) равносильно logg д: на множестве М неравенству >2 - lOgg X, loggX которое можно переписать в виде (lOggX - 1)^ logg X >0. (9) Множество решений неравенства (9) составляет два промежутка: (1; 3) и (3; н-оо). Оба эти промежутка принадлежат множеству М, следовательно, являются решениями неравенства (8) на множестве М. Так как неравенства (8) и (9) равносильны на множестве М, то решения неравенства (8) составляют те же промежутки (1; 3) и (3; +СХ?). Ответ. (1; 3) и (3; +оо). 293 Равносильность неравенств на множествах 11.23 11.24 Докажите утверждение: 1) о потенцировании логарифмического неравенства; 2) о приведении подобных слагаемых; 3) о применении формул. Решите неравенство (11.24—11.33): а) log25(x^ - 7) > log25(x - 1); б) log7(x^ - 4) > log7(3x + 6); в) logi - Зл:) > log 1 (2л: - 4); 7 7 г) logjj^(x^ - 4л:) > logj^(2x- 5). 25 25 11.25 а) log .„(1-3jc)< 2; 3 б) log ^ (2л:- 1) > 2; 11.26 11.27 11.28 в) logo,5(л:2 - 1) > -2; г) logo,5(^^^ + D < -1. а) logg 243 • logo,8 (3^ - 5) > 0; б) < 0; logo,4 0>0о4 logo 2 (2 - 5дс) в) " log, 625 logo.60,216 . logs(5 - 2х) < 0. а) loggi(8x - 9)2 > logзl(9л: - 11)^; б) log 1 (4х - 5)^ > log 1 (5л: - 7)^. зТ Е а) в) 1 1 Ч- X < + 5; 6) 2 2 + X < + 4; 7л: + 2 Vx+ 2 7^ + 3 1 ^ 7л: + 3 3 3 + X > + 3; г) 4 4 4- X ъ + 2. 7^+4 ^]x 4 7x + 5 7л: + 5 11.29 11.30 11.31 11.32 11..33 а) tgл: + < tgл: + 2л: + 3; в) ctgx + < ctgx + X + 6; а) (2Vx + 1)2 > 5x2 + 4л/х - ез; в) (Зл/х + 2)2 > 6x2 i2yfx - 2; а) + sin л: < 0; ctgx в) tgx ctgx > 2sinx; а) 2'“«2(3-2до < 4; а) 41og^3 > loggx - 3; б) tgx + х2 + 2х > tgx + 3; г) ctgx + х2 + X > ctgx + 6. б) (2л/х-1)2<2х2-4л/х-125; г) (Зл/х-2)2 <4х2-12л/х-5. sin X - б)------h COS X > 0; tgx г) tgx ctgx < 2cosX. 6) з1окз(7-4дг) > 27. б) 21og^5 > loggX - 1. 11>5^’> Применение нескольких преобразований ПРИМЕР 1. Решим неравенство log2 2х + log4 (х + 1)^ + л/х - 1 > 2 log2 (х + 1) + (1) Все решения неравенства (1) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых справедливы неравенства 2х > О, х + 1 > О и X - 1 ^ О, т. е. содержатся во множестве М = [1; +оо). В каждой точке множества М определена функция ф (х) = л/х - 1 и определены обе части формул log4(x + If = log2(x + 1) И 21og2(^ + 1) = log2(^: + 1)^. Поэтому неравенство (1) равносильно на множестве М неравенству log2 2x + log2(^: + 1) > log2(JC + 1)^. (2) В каждой точке множества М определены обе части формулы log2 2x + log2(x + 1) = log2 2x(x + 1). Поэтому неравенство (2) равносильно на множестве М неравенству log2 2x(x -f 1) > log2(x + 1)^. (3) В каждой точке множества М положительны обе функции /(х) = 2х(х + 1) и g(x) = (х + 1)^. Поэтому неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству 2х(х+ 1)>(х+ 1)2. (4) Множество решений неравенства (4) составляет интервал (1 -л/б; 1 + л/б), из них множеству М принадлежит лишь х из промежутка [1; 1 + л/б). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (1) имеет те же решения. Ответ. [1; 1 + S). ПРИМЕР 2. Решим неравенство л/х - 1 > ^х2 + Хл/х - 2х -ь Зл/х - 7. Возведя неравенство (б) в куб, получим неравенство (л/х - 1)2 > х^ + хл/х - 2х + Зл/х - 7, (5) (6) равносильное неравенству (б). Обе части неравенства (6) определены для всех X ^ О, т. е. на множестве М = [0; +оо). Следовательно, все решения неравенства (6) принадлежат множеству М. Применяя формулу куба разности, перенося все члены неравенства (6) в правую часть и приводя подобные члены, получим неравенство х2 + - б < о, (7) которое на множестве М равносильно неравенству (6). 295 Равносильность неравенств на множествах Множество всех решений неравенства (7) есть интервал (-3; 2). Из этого интервала множеству М принадлежат лишь х из промежутка [0; 2). Следовательно, эти х и есть все решения неравенства (5). Ответ. [0; 2). ПРИМЕР 3. Решим неравенство 2 \х-3 \х-2 - 2)(х - 3) (8) Все решения неравенства (8) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых справедливо условие (х - 2)(jc - 3) > 0, т. е. принадлежат множеству М = (-оо; 2) U (3; -ноо), В каждой точке множества М функция ф (х) = д/(л: - 2)(х — 3) положительна, поэтому, умножив неравенство (8) на эту функцию и применив формулы ^(Х - 2)(х - 3) = ^/(х - 2f и у1(х - 2)(х - 3) = yjix - 3)^, обе части которых определены на множестве М, получим неравенство 2у1(х - 2)2 - yj(x - 3)2 < 7, (9) равносильное неравенству (8) на множестве М. а) Если X принадлежит множеству = (-оо; 2), то применяя формулу V^=|a|, получим, что неравенство (9) равносильно на множестве неравенству 2(2 - х) - (3 - д:) < 7, (10) решения которого составляют промежуток (—6; ч-оо). Из этих чисел множеству Ml принадлежат лишь х из промежутка (-6; 2). Следовательно, неравенство (10) имеет на множестве Mi решения, составляющие промежуток (-6; 2). Поэтому и равносильное ему на множестве Ml неравенство (8) имеет те же решения на множестве Mi. б) Если X принадлежит множеству Мз = (3; +оо), то применяя формулу л/^ = |а|, получим, что неравенство (9) равносильно на множестве Mi неравенству 2(х-2)-(х-3)<7, (11) решения которого составляют промежуток (-оо; 8). Из этих чисел множеству Мз принадлежат лишь х из промежутка (3; 8). Следовательно, неравенство (11) имеет на множестве Мз решения, составляющие промежуток (3; 8). Поэтому и равносильное ему на множестве Мз неравенство (8) имеет те же решения на множестве М3. Объединяя решения, найденные в случаях а) и б), получаем, что множество решений неравенства (8) есть объединение промежутков (-6; 2) и (3; 8). Ответ. (-6; 2) U (3; 8). St 296 ПРИМЕР 4. Решим неравенство log^_2(9 - х)> log^_2(x + 1). (12) Все решения неравенства (12) содержатся во множестве тех л:, для каждого из которых справедливы неравенства л:-2>0, х-2^1^ 9 —д: > О, д: Н- 1 > О, т. е. содержатся во множестве М = (2; 3) U (3; 9). В каждой точке множества М определены обе части формул log^_2(9- л:) = lg(9 - х) - 2) И logx-2(^ + 1) = lg(a: + 1) Поэтому неравенство (12) равносильно на множестве М неравенству (13) lg(9 - х) ^ lg(x + 1) lg(x-2) lg(x-2)' а) В каждой точке множества Ml = (2; 3) функция/(л:) = lg(j: —2) определена и отрицательна, поэтому неравенство (13) равносильно на множестве М^ неравенству lg(9 - л:) < lg(jc + 1). (14) В каждой точке множества М^ обе функции ф(л:) = 9-л: и g(x) = Jt:+ 1 положительны. Поэтому неравенство (14) равносильно на множестве Mj неравенству 9 - л: < л: + 1. (15) Множество решений неравенства (15) составляет интервал (4; +оо). Ни одно из чисел этого интервала не принадлежит множеству Ml. Поэтому неравенство (15) не имеет решений на множестве Ml. Следовательно, и неравенство (12), равносильное неравенству (15) на множестве Mi, ке имеет решений на множестве Mj. б) В каждой точке множества М2 = (3; 9) функция f(x) = = lg(jc-2) определена и положительна, поэтому неравенство (13) равносильно на множестве М2 неравенству lg(9 - х) > Ig (л: -ь 1). (16) В каждой точке множества Mg обе функции ф (jc) = 9 - х и g(x) = д: -I- 1 положительны. Поэтому неравенство (16) равносильно на множестве М2 неравенству 9 - д: > д: -I- 1. (17) Множество решений неравенства (17) составляет промежуток (-оо; 4), из которых множеству М2 принадлежат лишь х из промежутка (3; 4). Следовательно, неравенство (13) имеет на множестве М2 решения, составляющие промежуток (3; 4). Поэтому и равносильное ему на множестве М2 неравенство (12) имеет те же решения. Ш297 Равносильность неравенств на множествах Так как в случае а) неравенство (12) решений не имеет, то все решения, найденные в случае б), составляют множество решений неравенства (12). Ответ. (3; 4). ПРИМЕР 5. Решим неравенство (18) Все решения неравенства (18) содержатся во множестве М - (0; +оо). В каждой точке множества М определены обе части формул = 2^°^2 и 2^^^2 поэтому неравенство (18) рав- носильно неравенству 2^ log2 X ^ 2^°^2 ^ 3 (19) Логарифмируя показательное неравенство (19), получаем, что оно равносильно неравенству 41og2^: > logi X + 3, (20) решения которого составляют промежуток (1; 3). Все эти числа принадлежат множеству М. Следовательно, неравенство (20) имеет на множестве М решения, составляющие промежуток (1; 3). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (18) имеет те же решения. Ответ. (1; 3). Решите неравенство (11.34—11.46): 11.34 а) л/х - 2 > ^х^ + хТх - 2х + 12^fx - 13; б) ^fx -ь 1 > ^х^ + хл/х -I- X -I- S^^x - 7. ^ 5 11-35 а) 3 11.36 11.37 11.38 X - 1 X - 4 . X + 2 2х-5 ^ - 1 ^(х - 4){х - 1) ’ X + 3 9 ------ >------------------. ^ + 2 ^(х + 2)(х + 3) ^ \-Убх^”-~31]Г+"25 5] б) f 1 36 - 41л: + 36 6j , yjl3x + 25 Vllx + 23 |х-2| "" |;с-2| ’ а) !4zl£^ 2х + 4; б) Ух + 3 Ух + 6 < л: + 4; в) д/2х + 3 УЗх + 7 > 2х + 4; г) у]2х - 1 -у/Зх - 2 < 4х - 3. 11.40 а) lg(x + 1) + lg(x - 8) > lg(2x - 8); б) logo (л: + 1) + logo(3x - 1) > logo(9x + 5); в) log 1 (Зх + 1) + log 1 (2x - 1) < log 1 (5x - 1); r) log 1 (4x + 1) + log 1 (2x - 1) < log 1 (lOx + 7). 3 3 3 11 11 11.41 a) log 1 X—ГГ > log 1 o.. 6) logii , „ > log П 2^-11 Зх-20 4^_7 B) log 1 > log , 7^7^; r) logi3 > logi3 ^ ■^5x-40- 3x-22 4x- 13 11.42 a) 21g(x - 1) < lg(x + 1); ^ „ , Jx^ + 1 - I cos X I y^ - 1 cos X 11.43 a) ^ ______!-----^ > 6) 21g(x + 3) log - 2x- 3 (x2 - 2x- 2)2; ^ > log-:.2,,3.-36(^^-10^ + 32,93)2. 11.46* a) (4-x)^-9-sin2l0°<(4-x)'°«'“'«°'/^; 6) (5 - x)^" - 4- cos2 2002° < (5 - л:)'°««п2002» 11.47 При каких значениях параметра а все решения неравенства loga(x - 2) > loga(8 - х) содержатся в интервале (1; 5)? 11.6*. Неравенства с дополнительными условиями Довольно часто требуется решить неравенство при некоторых условиях. Дополнительные условия обычно означают, что надо решить неравенство на том или ином множестве. Иногда эти условия облегчают решение неравенства. 299 Равносильность неравенств на множествах ПРИМЕР 1. Найдем все решения неравенства j— -^2 sin2x - cosx + v2 sinx > —, (1) принадлежащие отрезку 2л ^ 2я "з”’ "з”. Перенося все члены неравенства в левую часть и применяя формулу синуса двойного угла, перепишем неравенство (1) в виде /— ^2 2sinX cosX - cosx + v2 sinx —— > 0, или в виде а 2| sinjc - 1 cosx + ^ I > 0. (2) Так как для всех х е М = Я 2 венству 2л ^ 2л Т' “з" справедливо неравенство cosx + — > о, то на множестве М неравенство (2) равносильно нера- sinx > 2 (3) Все решения неравенства (3), принадлежащие множеству М, со- ^ л 2л 1 _ - , , Так как на множестве М неравен- ставляют промежуток 6' 3 Ответ. ство (1) равносильно неравенству (3), то искомые решения неравенства (1) составляют тот же промежуток, л ^ 2л 6' ~3 Часто дополнительное условие не облегчает решение неравенства. В таких случаях обычно сначала решают неравенство, а потом отбирают из найденных решений те, которые удовлетворяют условию. ПРИМЕР 2. Найдем все решения неравенства (tgx- 1) tgx + < о. (4) принадлежащие отрезку 9л ^ Зл ~~2^ Перепишем неравенство (4) в виде 1 л/З < tgx < 1. (5) 1300 Все решения неравенства (5) составляют серию промежутков nk < X < — + nky k s Z. 6 4 Из них отрезку ~ 9л^ Зя! принадлежат те, для которых ---+ л/г >----и — + лА ^------. 6 2 4 2 Следовательно, надо найти целые fe, которые удовлетворяют 13 7 двойному неравенству-----^ k< —. Это k — -2, k = -3, k — -4. 3 4 Итак, условию задачи удовлетворяют лишь х из промежутков 25л 11л Ответ. “ 15л \ I 19л ^______ 4 )" [ 6 ' 4 25л ^ 15л ^ и - 13л 7л 4 11л ,,Г 13л 7л "Т Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку (11.48—11.54): б) ( . 1] (■ >0, ( Sin JC - -r sm X H V 2 ^ 1 2 J ( О f V3 > 0, cos x + - cos X — 1 2j 1 2 J V l) 2’ 2 11.49 а) (х - logg75)(x - log2 22) > О, [3; 4]; б) (X - log2 17) (X - log2 71) < О, [4; 5]. 11.50 а) х'* -I- х^ Ч- х^ - Зх > О, [-2; 2]; б) х^ + х^ + х^ - 14х < О, [1; 3]. Ч ■ о г- . г 2л а) sin 2л: + — > cos JC + V2 sinx, —; 2 L ^ г~ б) sin2x—— < V3 зшл: - cos д:, [0; л]> 11.51 4л . ч • гг лл . лх л/з л г 1 (-Т 11.52* а) sin — + v3cos— + sin — + — > О, [-1; 5]; 2 4 4 2 .-ч • /7Т • ■vG ^ г- б) Sin — + v2 cos — + v3 sin — + — < 0, [5; 13]. 3 6 6 2 301 Равносильность неравенств на множествах 11.53 а) ^Jsin^ X + sin2x - 3cos^ х > cosx- sinx, б) д/sin^ X - 2sin2x + 3cos^ л: > sinx - cosx, ^^5 ^]' 11.54 a) cos3x > |cosx|, sin3x > lsinx|, Зл 11,7^. Нестрогие неравенства В п. 7.2 уже рассмотрено утверждение о решении нестрогих неравенств. Используя понятие совокупности, его можно переформулировать так: ^/(х) = ^(х) f(x) > g(x) <=> _f{x)> g{x). ПРИМЕР i. Решим неравенство (х - 2) Vx - 1 > 0. Неравенство (1) равносильно совокупности (х - 2) л/х - 1 = о (х - 2) л/х - 1 > 0. (1) (2) (3) Уравнение (2) имеет два корня: Xi = 2 и Хг = 1. Так как число 1 не является решением неравенства (3), то все решения неравенства (3) содержатся во множестве М = (1; +оо). В каждой точке множества М функция ф (х) = л/х - 1 определена и положительна. Поэто- му, умножив неравенство (3) на функцию Ф(^) , получим, что неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству X - 2 > о. (4) множество всех решений которого составляет промежуток (2; +оо). Все эти X принадлежат множеству М. Следовательно, неравенство (4) имеет на множестве М решения, составляюш;ие промежуток (2; +оо). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (3) имеет те же решения. Объединяя все решения уравнения (2) и неравенства (3), получаем, что все решения совокупности (2) и (3), а значит, и равносильного ей неравенства (1) составляют множество {1} U [2; ч-оо). Ответ. {1} и [2; +оо). itiCiL. 302 ПРИМЕР 2. Решим неравенство logi(2- X- х^) ^ -1. 2 Неравенство (5) равносильно совокупности 'logi(2-x-;c2)^ _1 (5) (6) (7) logi(2-д:-д:2)< -1. 2 Потенцируя логарифмическое уравнение (6), получим уравнение 2-х-х^ = 2, (8) являющееся следствием уравнения (6). Уравнение (8) имеет два корня: ДГ1 = о и ДГ2 = -1. Проверка показывает, что эти числа удовлетворяют уравнению (6). Итак, уравнение (6) имеет корни Xi и Х2. Неравенство (7) равносильно неравенству 2 - X - х^ > 2. (9) Множество всех решений неравенства (9), а значит, и равносильного ему неравенства (7) составляет промежуток (-1; 0). Объединяя все решения уравнения (6) и неравенства (7), получаем, что все решения неравенства (5) составляют промежуток [-1; 0]. Ответ. [-1; 0]. 11.55 Решите неравенство (11.55—11.64): а) (х^ - Ах + 3)sjx - 2 > 0; б) (х^ - Зх - 1())л/3 - х > 0; ^ — - - - —' / щ - - *-7 в) (х^ - 2х- 15) л/х + 4 ^ 0; 11,56 а) ух^-9(х + 8)^ 0; в) ‘yjx^ - 16 (х - 5) ^ 0; 11.57 а) ^fl2 X - ^ ^12 - X - х^ X - 5 2х + 7 - , JlS-Sx-x^ ^ J18-3x-x2 в) ------^ ---:::— ^ 2х + 3 X- 2 „,58 а) S ёТЩ. X - 5 X - 6,6 X — 3 (2х - 7)yjx - 1 9^х - 1 ®) --------;;---^ -------> 5-х г) (х^ + X - 6) л/х + 5 < 0. б) (х - 4) ^х^ - 4 ^ 0; г) {х+7)у1х^ - 25 < 0. г) б) г) ) ^ > ^ 2х + 9 X- 5 ^6 + х-х^ ^ 2х + 5 ^6 + X - х^ X + 4 Зх + 1 1 (2х+ 1)^2- X (х+1)^2-х 4- X ------^----<------------- (х+1)79^-^ (8 - х) -^9 - X 303 Метод промежутков для уравнений и неравенств 11.59 а) 0,0625 • 4*^64'; 11.60 а) 9^^; в) 4 11.61 а) IgA; + lg(jt: + 3) < 1; в) log2 X + log2(A: - 2) < 3; „,62 а) S (x-20| |х-20| в) УЭх + 19 УИж + 31 |x + 2| |а: + 2| ’ 11.63 а) ^41gJt: - 24 ^ 9 - Igx; в) yf4lgjc^^T6 > 7 -\gx; 11.64 а) loge^,(Ac^ - 17д: + 60) < 1; в) logi2^:(^^ - 19х + 84) ^ 1; б) 9-3< 9 У27)' J-llfJ-F 49J U43J ‘ (1 Г1V®"" z\ ; г) 125- ± 12J Is J г) 7^ б) л/^-2-^^^ 8^^; б) logi(A: + 8) + logi JC ^-1; 9 9 г) log 1 (х + 6) + log 1 х > -3. 3 3 б) JlOx + 17 ^ JSx + 11 \х-1\ ^ \х-1\ ’ ^8х + 21 ^ д/Юх + 41 |х+1| |х+1| ■ б) -y/gig^x^^ < 1 - 41gx; г) ^/l2lg^c^^ < 1 - 31gx. б) logea:(Jc^ - 15х + 54) > 1; г) log7j.(x^ - 16х + 60) > 1. § 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств При решении некоторых задач удобно применять метод проме-жутков, заключающийся в том, что по тем или иным соображениям координатная ось разбивается на некоторое количество промежутков, а затем на каждом из них исследуется рассматриваемая задача. В этом параграфе метод промежутков применяется для решения уравнений и неравенств. 12.1. Уравнения с модулями Пусть дано уравнение fix) = О, (1) такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций |/i(jc)|. I/2WI, |/"„(л:)|. 304 Для решения таких уравнений обычно применяют метод промежутков, суть которого заключается в следующем. Пусть дано уравнение (1). Сначала решают каждое из уравнений fi(x) = о, fzix) = о, /„(х) = О, затем отмечают на координатной оси все найденные корни. Таким образом, вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков (каждый из концов промежутка включают в один из двух соседних промежутков). Будем считать, что на каждом промежутке все функции (х) непрерывны, тогда на каждом интервале между точками деления все функции fi(x) знакопостоянны. Поэтому для них на этом промежутке или 1/Дх)|= /Дх), или I fi (х)\= —fi (х). В результате на каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному уравнению на этом промежутке, затем отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается. Наконец, отбираются те из них, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. Все корни уравнения (1) получают, объединяя все его корни, найденные на всех промежутках. ПРИМЕР 1. Решим уравнение 1д:-1|-1-|д:-2|-1-|:с-3| = 6. (2) ---- ---------------—► Сначала решим уравнения л: - 1 = 0, 1 2 3 X х-2 = 0ил:-3 = 0и отметим на коор- ■ Рис. 171 динатной оси полученные корни: Xi = 1, ^2 = 2 и л:з = 3 (рис. 171). Получим четыре числовых промежутка: (-оо; 1), [1; 2), [2; 3) и [3; +оо). Решим уравнение (2) на каждом из этих промежутков. 1) На промежутке (-оо; 1) по определению абсолютной величины IX - 11 = -(х - 1), IX - 21 = -(х - 2), IX - 31 = -(х - 3), следовательно, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению ”(х - 1) - (х - 2) - (х - 3) = 6, имеющему единственный корень х^ = 0. Это число принадлежит промежутку (-оо; 1), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 0. 2) На промежутке [1; 2) по определению абсолютной величины 1х-1| = х-1, [х — 2| = -(х - 2), |х - 31 = -(х - 3), следовательно, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению X - 1 - (х - 2) - (х - 3) = 6, имеющему единственный корень Х2 = -2. Это число не принадлежит промежутку [1; 2), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке не имеет корней. 3) На промежутке [2; 3) по определению абсолютной величины |х-1| = х-1, |х-2| = х-2, |х - 3| =-(х - 3), следовательно, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению х-1 + х- 2-(х-3) = 6, имеющему единственный корень Хз = 6. Это число не принадлежит промежутку [2; 3), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке не имеет корней. 305 Метод промежутков для уравнений н неравенств 4) На промежутке [3; +оо) по определению абсолютной величины |x-ll = x-l, \х - 2 \ = X - 2у |л:-3| = д:-3, поэтому на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению х-1 + х- 2-\-+ X - 3 = б, имеющему единственный корень X4 = 4. Это число принадлежит промежутку [3; +оо), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 4. Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: Xj = 0 и Х2 = 4. Ответ. 0; 4. I ПРИМЕР 2. Решим уравнение (л: + 2)- 22-1^-21 _jc = (x+ 1)|2^-1|+ 2^ + 1. (3) Сначала решим уравнения 2^-1 = 0их-2 = 0и отметим на координатной оси полученные корни х^ = 0, Х2 = 2 (рис. 172). Получим три числовых промежутка: ____________._____^^ (-оо; 0), [0; 2] и (2; +оо). 0 2 х Решим уравнение (3) на каждом из и Ри 172 этих промежутков. 1) На промежутке (-оо; 0) по определению абсолютной величины |х - 2| = 2 - X, 12^ - 11 = 1 - 2^. Поэтому на промежутке (-оо; 0) уравнение (3) равносильно уравнению (х -ь 2) • 2-^ - х = (х + 1) (1 - 2^) + + 2^ -ь 1, которое можно переписать в виде 2(2^ - 1)(х + 1) = 0. Это уравнение имеет два корня: Xj = -1, Х2 = 0, из которых только Xj принадлежит промежутку (-оо; 0). Следовательно, на промежутке (-оо; 0) уравнение (3) имеет единственный корень Xj = -1. 2) На промежутке [0; 2] имеем: |х - 2| = 2 - х, |2^ - 11 = 2-^ — 1. Поэтому на промежутке [0; 2] уравнение (3) равносильно уравнению (х + 2) • 2-*^ - X = (х ч- 1)(2-*^ - 1) -ь 2-^ + 1, решением которого является любое X. Следовательно, любое х из рассматриваемого промежутка является решением уравнения (3). 3) На промежутке (2; ч-оо) имеем: |х- 2| = х- 2, |2-*^ - 11 = 2-*^ — 1. Поэтому на промежутке (2; ч-оо) уравнение (3) равносильно уравнению (х Ч- 2) ■ 2^"^ - X = (х ч- 1)(2^ - 1) ч- 2^ ч- 1, которое можно переписать в виде (2^^ " ^ - 2^) (х ч- 2) = 0. Это уравнение имеет два корня: Хз = 2, Х4 = -2, не принадлежащие рассматриваемому промежутку. Следовательно, на промежутке (2; ч-оо) уравнение (3) не имеет корней. Итак, решением уравнения (3) является Xj = -1 и любое х из промежутка [0; 2]. Ответ. {-1} и [0; 2]. Заметим, что иногда особенности решаемого уравнения могут подсказать более короткий способ решения. ПРИМЕР 3. Решим уравнение |х - 11 = 2|х| - 4. (4) 306 Заметим, что левая часть уравнения (4) неотрицательна для любого корня уравнения (4), поэтому все корни уравнения (4) должны удовлетворять условию 2|jc| - 4 ^ О, т. е. условию |х| ^ 2. Это означает, что все корни уравнения (4) принадлежат множеству М, являющемуся объединением двух промежутков: (-оо; -2] и [2; +оо). Репзим уравнение (4) на каждом из этих промежутков. 1) На промежутке (-оо;-2] имеем |х - 11 =-(х - 1), |х| = -х, следовательно, на этом промежутке уравнение (4) равносильно уравнению -(х - 1) = -2х - 4, имеющему единственный корень Xi = —5. Это число принадлежит промежутку (-оо; -2], поэтому уравнение (2) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень -5. 2) На промежутке [2; +оо) имеем |х-1| = х-1, |х| = х, следовательно, на этом промежутке уравнение (4) равносильно уравнению X - 1 = 2х - 4, имеющему единственный корень Х2 = 3. Это число принадлежит промежутку [2; +оо), следовательно, уравнение (4) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 3. Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: Xi = -5 и Х2 = 3. Ответ. -5; 3. Отметим еще специального типа уравнения с модулями. Их решают с помощью следующего утверждения. Уравнение |/(х)| н- |^(х)1 = f(x) + ^(х) равносильно системе I fix) > О 1^(х) > 0. ПРИМКР 4, Решим уравнение |2^- 4| -h |3х- 15| = 2^ - Зх-h 11. (5) Если обозначить /(х) = 2^-4, g(x) = -Зх -н 15, то f(x) + g{x) = = 2^ - Зх-f 11, т. е. к уравнению (5) можно применить сформулированное утверждение. Поэтому уравнение (5) равносильно системе (в) -Зх +15 > 0. Решения системы (6) составляют промежуток [2; 5]. Следовательно, и уравнение (5), равносильное системе (6), имеет те же решения. Опич . [2; 5]. # Решите уравнение (12.1—12.9): 12.1 а) 1л - 1| = 2л: + 4; б) |л - 21 = 2л-1-1; в) |л-1|-1-|л-1-1| = 4; г) |л-3|ч-|л-1-3| = 8; д) |л-1| + |л-2|-1-|л-3| = 2; е) |л-1-1|-1-|л-3|-н|л-5| = 7. 307 Метод промежутков для уравнений и неравенств 12.2 12.3 12.4 12.5 а) 1X - 11 = - 5д: + 4; в) 1X - 31 = - 6х + 3; а) Iх^ + 4х + 21 = X + 2; в) I х^ - 2х - 21 = -X + 4; а) I х^ - X - 11 = х^ + 2х + 1; в) а) I х^ - 2х - 41 = х^ - 4х + 4; 12.6 12.7 12.8 в) а) в) |2х - 4| + IX - 5 IX - 1| + X - 1 |2х - 5| + |х + 2 IX - 31 + X - 3 \х+1\ ^ |х + 3| X + 1 X + 3 |х - 3| - |х - 2| |х + 1| + X + 1 ^ = 1; -= -0,5; = 0; = 0; б) |х - 2| = х^ - 4х - 2; г) |х - 4| = х^ - 2х - 2. б) I х^ + 6х + 71 = -X - 3; г) I х^ - 4х + 11 = X + 1. б) 1x2 - 2х - 2| = х2 - 4х + 6; г) |х2 - 4х + 2| = х2 - бх + 10. 2х - 1| - |х - 5| б) г) б) г) = -1; = -1. I X + 1] — X - 1 |2х - 3| - |х + 3| IX - 4| - X + 4 |х-1| + |х+4|^_^. X - 1 X 4 \х- 3| - |д: - 2| X - 4-\х - 4\ = 0. а) |9-3^| + |х-6| = 3^-х + 9; б) |27-3^| + |х-5| = 3^-х+14. Докажите, что уравнение |/(х)| + |я(л^)| =/(jc) + равно- lf(x)>0 сильно системе 0. 12.9 Решите уравнение: а) б) 1 7з sin л: 2 + COS X 2 1 7з sin л: + Sin X 2 2 = sin X + cos X - >/з - 1 1+ л/з в) |2^ - 4| + |4- 7^ I = 2^ - Vx; г) llogax - 2| + |х2 - Их + 18| = logaX - х2 + Их - 20. 12.2. Неравенства с модулями Пусть дано неравенство Пх) > о, (1) такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций 1А(^)|. \/2(х)\, ..., |/„W|. Для решения таких неравенств обычно применяют метод промежутков, суть которого заключается в следующем. □ 308 Пусть дано неравенство (1). Сначала решают каждое из уравнений fiix) = О, = 0, /„(х) = О, затем отмечают на координат- ной оси все найденные корни. Таким образом, вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков (каждый из концов промежутка включают в один из двух соседних промежутков). Будем считать, что на каждом промежутке все функции /• (х) непрерывны, тогда на каждом интервале между точками деления все функции (х) знакопостоянны. Поэтому для них на этом промежутке или |/Дх)|= /j(x), или I fi (х)| = —(д:), В результате на каждом таком промежутке неравенство заменяется на другое неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному неравенству на этом промежутке, затем отыскиваются все решения того неравенства, которое на этом промежутке получается. Наконец, отбираются из них те, которые попадают в данный промежуток. Они и составляют множество всех решений исходного неравенства на рассматриваемом промежутке. Для того чтобы выписать множество всех решений исходного неравенства, объединяют все его решения, найденные на всех промежутках. ПРИМЕР 1, Решим неравенство 1x2 - 41 + |х + 1| - 3 > 0. (2) Сначала решим уравнения х^ - 4 = 0 и X + 1 = о и отметим на координатной оси полученные корни: х^ = -2, Х2 = -1 и Хз = 2 (рис. 173). Получим четыре числовых промежутка: (-оо; -2], (-2; —1), [-1; 2), [2; +оо). Решим неравенство (2) на каждом из этих промежутков. 1) На промежутке (-оо; -2] по определению абсолютной величины |х2 - 4| = х2 - 4, |х -ь 11 = -X - 1. Следовательно, на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству х2-4-х-1-3>0. Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество его 1- л/зз 1 ,, f 1+ л/^ ^ -2 -1 Рис. 173 решении есть множество -оо; и -оо Из этого множества в промежутке (-оо; -2] содержится лишь интервал -оо: 1 - л/^ . Следовательно, множество решений неравенства (2) на промежутке (-оо; -2] составляет интервал —оо; Ю309 Метод промежутков для уравнений и неравенств 2) На промежутке (—2;-1) имеем — 4| =+ 4, |х+1| = = -X - 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству -х^ + 4- х-1-3>0. Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество всех его решений составляет интервал (-1; 0). Ни одного числа из этого интервала не содержится в промежутке (-2; —1). Следовательно, на промежутке (-2; -1) неравенство (2) не имеет решений. 3) На промежутке [-1; 2) имеем |х^ — 4| =-ь 4, |х-ь1| = = х-1-1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству -х^ + 4-l-x-i-l-3>0. Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество всех его решений составляет интервал (-1; 2). Все это множество содержится в промежутке [-1; 2). Следовательно, множество всех решений неравенства (2) на промежутке [-1; 2) составляет интервал (-1; 2). 4) На промежутке [2; н-оо) имеем |х^ - 4| = х^ - 4, |х + 11 = = х+ 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству x^-4-hx-i-l-3>0. Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество всех его решений есть множество (-оо; -3) U (2; н-оо). Из этого множества в промежутке [2; н-оо) содержится лишь интервал (2; Н-оо). Следовательно, множество всех решений неравенства (3) на промежутке [2; н-оо) составляет интервал (2; н-оо). Объединяя множества решений, найденные на рассмотренных промежутках, получаем, что все решения неравенства (2) составля-^ 1 — /qq ^ и (-1; 2) и (2;-ноо). ют множество —оо: Ответ. —оо: 2 и (-1; 2) и (2; +оо). ПРИМЕР 2. Решим неравенство (х + 4) • 3^ “ I * “ ^ I - д: < (х + 1) |3^ - 1| + + 1 + 1. Сначала решим уравнения х - 1 = 0 и 3^ - 1 = о и отметим на координатной оси полученные корни: х^ = 1 и Х2 = 0 (рис. 174). о Рис. 174 (3) Получим три числовых промежутка: (-оо; 0), [0; 1], (1; +оо). Решим неравенство (3) на каждом из этих промежутков. 1) На промежутке (-оо; 0) по определению абсолютной величины IX - 11 = 1 - X, 13* - 11 = 1 - 3-^. Поэтому на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству (х + 4) • 3' - X < (х -н 1) (1 - 3^) 3^ + 1 -I- 1, Щ310__________________________________ которое можно переписать в виде 2(х+ 1)(3^- 1)<0. (4) Так как для любого х из рассматриваемого промежутка 3-^ - 1 < О, то все решения неравенства (4) есть решения неравенства X 1 > Oj т. е. все х € (-1; +оо). Из них рассматриваемому промежутку принадлежат только х из интервала (-1; 0). Следовательно, множество всех решений неравенства (3) на промежутке (-оо; 0) составляет интервал (-1; 0). 2) На промежутке [0; 1] имеем \х - 1\ — 1 - х^ |3^-1| = 3^—1. Тогда на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству (х -н 4) • 3-^ - X < (:г + 1) • (3^ - 1) + 3^*^ ^ + 1, которое можно переписать в виде (х + 4) • 3^ < (X + 4) • 3^. (5) Очевидно, что нет ни одного х, удовлетворяющего неравенству (5). Следовательно, на рассматриваемом промежутке неравенство (3) не имеет решений. 3) На промежутке (1; +оо) имеем |х- 11 = х - 1, 13^ - 11 = 3^ — 1. Тогда на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству (X + 4) • 32-"^- X < (X + 1) • (3^ - 1) + 3^^^ + 1, которое можно переписать в виде (х-ь4)-(32-^-3^)<0. (6) Так как для любого х из рассматриваемого промежутка X + 4 > о, то все решения неравенства (6) есть решения неравенства 32 “ ^ < 3^, которое равносильно неравенству 2 - X < X. (7) Множество решений неравенства (7) есть интервал (1; ч-оо). Все эти X принадлежат рассматриваемому промежутку. Следовательно, множество всех решений неравенства (3) на промежутке (1; +оо) есть весь этот промежуток. Объединяя решения, найденные выше, получаем, что множество всех решений неравенства (3) есть объединение двух интервалов: (-1; 0) и (1; +оо). Ответ. (-1; 0) U (1; н-сю), # Решите неравенство (12.10—12.16): 12.10 а) |3х “ 6| > X-ь 2; б) |2х - 5| < х - 1; в) |3х - 7| > 2х - 3; г) |2х-7|<0,5х + 2. 311 Метод промежутков для уравнений и неравенств 12.11 а) в) 12.12 а) в) 12.13* а) в) 12.14 а) в) 12.15 а) б) в) г) 12.16* а) б) |л: - 1| + 10 4\х- 11 + 3 |х - 3| + 6 >2; < 4; 2\х- 3| + 1 |х + l| + |jc + 3|<8; |д: + 3| + |л:-2|>5; |л:^-9| + |л: + 4|^7; |л:^ — 4| + |л:-3|<5; L£:l1! + kjLli > о, X - 1 X - 2 б) г) |х - 2| + 8 3|х - 21 + 1 1х - 21 + 7 <3; > 1. 31х - 21 + 2 б) lx + 2l + lx + 4l<6; г) 1х + 71 + 1х + 11 > 9. б) 1 х^ - 161 + 1X - 51 ^ 9; г) 1х^ - 11 + |х - 21 ^ 3. 1х - б1 б) + X — 6 > 2; г) у ^ 0. х - 8 - |д: - 8| |х-5|-|^-Зи U-2I+ х-2 " ’ 21XI (х^ - 4х + 3) + XI - 4х + 31 > 0; 2|х - 1|(х2 - 4х + 3) + (X - 1)|х2 - 4х + 3|< 0; 21XI (х^ - 5х + 6) + XI х^ - 5х + 61 ^ 0; 21X - 11 (х^ - 5х + 6) + (х - 1) I х^ - 5х + б I < 0. (х + 2) • 22 -1 ^ - 2 I - X < (X + 1) • 12^ - 11 + 2^ + 1; (х + 2) • 4^-1^-11 - X < (х + 1) . |4^ - 1| + 4"^ + 1. 12,3. Метод интервалов для непрерывных функций Пусть надо решить неравенство /(х) > 0 (или /(х) < 0). Пусть М — область существования функции /(х) — состоит из объединения конечного числа промежутков Xf^j ft = 1, 2, л, занумерованных в порядке следования слева направо. При этом если л > 1, то промежутки Xi и Х^ могут быть бесконечными: (-оо; а) или (-оо; а] и (6; +оо) или [Ь; +оо), а промежутки Х2, Х^ _ ^ соответственно могут быть отрезками [с; d], полуинтервалами [с; d), (с; d] и интервалами (с; d), где а, 6, с, d — данные числа и с < d. В случае же л = 1 множество Xi может быть любым из перечисленных промежутков, а также промежутком (-оо; -ьоо). Рассмотрим случай, когда на каждом из промежутков Xfi функция f(x) непрерывна и имеет конечное число нулей. Сначала проверим справедливость неравенства в каждой точке — конце отрезка или полуинтервала X^j /г = 1, 2, л. Затем, исключив из множества М все эти концы отрезков и полуинтервалов и все нули функции /(х), получим множество Mj, состоящее только из интервалов (при этом некоторые из промежутков Xf^ могут разбиться на конечное число интервалов). На каждом из полученных интервалов функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль. Зна- 1312 чит, на каждом из них она сохраняет постоянный знак, т. е. для каждого X из этого интервала она принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения. Выбирая в каждом из них некоторую точку Xq и определяя знак /(xq), этот знак ставят над каждым интервалом. Тогда решения неравенства f{x)>0 на множестве Mi составляют объединение тех интервалов, над которыми поставлен знак «+», а решения неравенства f(x) < О на множестве Ml составляют объединение тех интервалов, над которыми поставлен знак Объединяя решения, найденные на множестве и в точках — концах отрезков и полуинтервалов, получим множество всех решений данного неравенства. ПРИМЕР 1. Решим неравенство 1 (4 - x)log3(3 + д:) > 0. Область суш;ествования функции (1) -3 -2 -1 ■ Рис. 175 /(х)= 2>/^(4-o:)log3(3 + x), (2) множество М, состоит из всех х, одновременно удовлетворяюш;их условиям х^ - 1 ^ о и 3 -h X > о, т. е. множество М есть объединение промежутков (-3;-1] и [1;-ьоо). Так как /(-1) = 51og3 2 > 0, /(1) = 3 logs 4 ^ о, то точки Хх = -1, Хз = 1 — концы полуинтервалов — удовлетворяют неравенству (1). Нули функции (2) есть Хз = 4, Х4 = -2. Исключив их и концы полуинтервалов из множества М, получим множество Ml, состоящее только из интервалов (-3; -2), (-2; —1), (1; 4), (4; ч-оо) (рис. 175). Функция fix) непрерывна на каждом из этих интервалов. Определим знак функции (2) на каждом из этих интервалов. Поскольку -2,5е(-3;-2) и /(-2,5) < 0, -1,5 е (-2;-1) и /(-1,5) > о, 2 е (1; 4) и /(2) > 0, 5 е (4; ч-оо) и /(5) < 0, то на интервалах (-3; -2) и (4; ч-оо) функция принимает отрицательные значения, а на интервалах (-2; -1) и (1; 4) — положительные значения. Следовательно, множество всех решений неравенства (1) есть объединение интервалов (-2; -1) и (1; 4) и точек Хх = —1, Хз = 1. Ответ. (-2; -1] U [1; 4). Если надо решить нестрогое неравенство /(х) > 0 (или /(х) ^ 0), то к полученному описанным выше способом множеству всех решений неравенства /(х) > 0 (или /(х) < 0) надо добавить все нули функции. I ПРИМ ЕР 2- Решим неравенство (2х ч- 5)1 16^- 2 (V-32)^x + 5 ^ 0. (3) Ш313 Метод промежутков для уравнений и неравенств Область существования функции (2х + 5)|^16х- 2j f(x) = (4^- 32) 7л: + 5 —Id -5 -2,5 I Рис. Uk О 2,5 4 СОСТОИТ из всех х, которые одновременно удовлетворяют условиям X > - 5, 4^ 32 и X О, т. е. множество М есть объединение трех ин- тервалов: (-5; 0), (0; 2,5) и (2,5; +оо). Нули функции /(х) есть х^ = -2,5, Х2 = 4. Исключив их из множества М, получим множество М^, состоящее из интервалов (-5; -2,5), (-2,5; 0), (0; 2,5), (2,5; 4) и (4; +оо). Функция /(х) непрерывна на каждом из этих интервалов. Определим знак функции f{x) на каждом из них (рис. 176). Поскольку -3 € (-5; -2,5) и /(-3) < 0, -1 € (-2,5; 0) и /(-1) > 0, 1 е (0; 2,5) и /(1) < 0, 3 б (2,5; 4) и /(3) > 0, 5 е (4; +сх>) и /(5) < 0, то на интервалах (-5; -2,5), (0; 2,5) и (4; +оо) функция принимает отрицательные значения, а на интервалах (-2,5; 0) и (2,5; 4) — положительные значения. Следовательно, множество всех решений неравенства (3) есть объединение интервалов (-2,5; 0), (2,5; 4) и чисел Xi = -2,5 и Х2 = 4 — нулей функции /(х). Ответ. [-2,5; 0) U (2,5; 4]. • 12.17° Объясните на примере, в чем заключается метод интервалов для непрерывных функций. Решите неравенство (12,18—12.23): 12.18 а) ——* ‘Ц > 0; (х-3)(»»-ад:15) ^ X - 4 12.19 (log^ л: + l)y/l2 - X 2 2log2(x- 1). (log + 1) в) ----------у _ ---- > 0; |х - 4I-J6-X 12.20 а) (х^ - 4х)л/9 - х^ ^ 0; в) (х^ - бх -н 8) д/х^ ~9 > 0; б) (^-3)(^^ -^-ь8)^^, г) X + 1 (х + 1)(х^ - ^х + 4) X + 5 <0. б) (3--Bl)(log2X-2)^^^ (logj X + 1)-у]Ь - X 3 10'g|^-«l-(logo^,,A: + 1) (log2 X - 3)VS - X < 0. б) (x^ - X - 30) - 4 < 0; г) (x2 - x-12)-sjx^ -4> 0. 314 12.21 а) в) 12.22 а) (X - 2)“ (1 + logo,5 X) 2х-1 (х - 4)2(2 + logj х) ______________3 х-1 2^-4 6- 4^+ 1 Q _ 1 П . ОХ- 1 _ 05 ^ 0; б) < 0; г) г> -1; б) (Зл - 1)2 (X - 3) < 0; (ж2- Их + 10)(lgx - 1) ^ Q (2'-2)2 5.2^-1- 2- 4* - 26 3 • 4*- 7 • 2^-1- 34 > 1. 12.23 а) - 5) logg (9 - д:) < 0; б) (6 - ^:)log2 (12 + х) > 0. § 13*. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств Имеется довольно много уравнений и неравенств, которые можно (и нужно) решать не описанными выше методами, а с использованием свойств функций, входящих в это уравнение или неравенство. Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью описанных выше методов, а иногда решить их в тех случаях, когда эти методы не дают такой возможности, В данном параграфе приведено несколько методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций. 13,1^. Использование областей существования функций Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения (неравенства), достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства). ПРИМЕР 1. Решим уравнение 3'!^^ = lg(l + V^:2-4) + 3x-x2-l. (1) Обе части уравнения (1) определены лишь для таких д:, которые удовлетворяют системе неравенств \4 - ^ О \4- ^ 0. (2) 315 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств Все решения системы (2) состоят из двух чисел: = 2 и Х2 = -2. Поэтому если уравнение (1) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число Хх удовлетворяет ур€1внению (1), а число Х2 ему не удовлетворяет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень Хх* Ответ. 2. ПРИМЕР 2. Решим неравенство - 6л: + 5 + l)log5 ^ + -(Jl2x - 2х^ - 10 + 1) > 0. (3) 5 X Обе части неравенства (3) определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств д: > о д;2 - бд: + 5 ^ о (4) 12дг- 2х^ - 10^ 0. Системе неравенств (4) удовлетворяют лишь два числа: = 1 и Х2 = 5. Поэтому если неравенство (3) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число Х2 удовлетворяет неравенству (3), а число Хх — нет. Следовательно, неравенство (3) имеет единственное решение Х2- Ответ. 5. Если множество М, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то ответ в таком случае ясен — уравнение (неравенство) не имеет решений. ПРИМЕР 3. Решим неравенство ^h - х^ > Ig(х - 2). (5) Обе части неравенства (5) определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств \1-х^>0 I X - 2 > 0. Эта система неравенств не имеет решений. Поэтому множество, на котором определены обе части неравенства (5), — пустое множество. Следовательно, неравенство (5) не имеет решений. Ответ. Нет решений. Иногда знание множества М, на котором определены обе части уравнения (неравенства), помогает его решать даже в случае, когда множество М — бесконечное множество чисел. ПРИМЕР 4. Решим неравенство 2^созд: -1 _j_ log2(or^ + 1) > SinX Н- 1. (6) I 316 Обе части неравенства (6) определены лишь для таких х, для которых COSX > 1. Учитывая, что cosx < 1 для любого х, получаем, что обе части неравенства (6) определены лишь для таких х, для которых COSX = 1, т. е, для Xjt = 2я/г, k е Z. Поэтому если неравенство (6) имеет решения, то они могут быть только среди этих чисел х^^. Так как 2-s/cosJc* -1 ^ log2(x| -I- 1) = 1 -t- log2(4*^K^ + 1), а sinXfi +1 = 1, то остается выяснить, для каких k справедливо неравенство log2(4fe^^^ + 1) > 0. (7) Очевидно, что для ft = 0 неравенство (7) не выполняется, а для любого k Ф Q выполняется. Следовательно, все решения неравенства (6) составляют числа Х/, = 2яй, ft е Z, k фО. Ответ. 2я/е, к е Z, k Ф 0. ПРИМЕР 5. Решим уравнение = 1. (8) Обе части уравнения (8) определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств \х^ + 2> о \х^-2> о, т. е. на множестве М = [V2; +оо). Поэтому если уравнение (8) имеет решения, то они принадлежат множеству М, _____ Для каждого х € М имеем - 2 ^ -^х^ + 2 ^ 2, т. е. любое X G М не удовлетворяет уравнению (8). Следовательно, уравнение (8) не имеет решений. Ответ. Нет решений. Решите уравнение (13.1—13.2): ях 13.1 а) 5д/“Х^ + 9х - 14 - 2^х^ - 5х - 14 - 1 = sin —, ____________ ^ б) 3-J-x^ + 11л: - 30 - - 7х + 6 = sin их; в) 200lijx^ - 9 + 2002л/9 - = cos —; 2 г) 2003ijx^ - 4 + 2004л/4 - = tg^. А 13.2 а) 5л/1б-Аг" + 3^ \g(l + yjx^ -16) + х; б) - 2 = ig(i + -1) + в) и -- Xg \Х Г X/ I .V, + \]х^ - 8 = 2; г) - 32 + ^х“ + 32 = 2. ап HcTio.tipiiouaiiuc cuoifvTU ф>пкднй при ))«чпегпти у|>акпе»М11< и uepiuirktcns Решите неравенство (13.3—13.5): 13.3 а) - 7л: - 8 > -6; б) тг + у]х^ - х ~ 6 > 6; в) - 4х - 5 + Ig (1 + д/Sx - 2х^ + 10) ^ 6; г) ^c2^^T^ + 10>/^^ + 51g(12 + x)^ 6. 13.4 а) (^л:^ - 81 + 2)1о0з1 л: | + | (Vsi - jc2 + 1) > 4; б) (д/л:^ - 16 + l)log3(x2 - 7) - -(Vl6-x2 + 3) < 0; в) V^2T7^Tl^>lg(^/7jr^2Tio + 2); г) д/д:^ + 7л: + 10 < Ig (- 5х + д/-х^ - 5х - 6). 13.5 а) 3^""' ^ 1 + log3 (д:2 + 3) > cos д: + 2; б) 4л/созд:-1 +log3^ > COSJC + 1. 2т1 13.2*. Использование неотрицахслыюст11 функций Пусть функция F(x) есть сумма нескольких функций F(x) = fiix) + ... + f„{x), каждая из которых неотрицательна для любого х из области ее существования. Тогда справедливы следующие утверждения: а) Уравнение F(x) = 0 равносильно системе уравнений fi(x)=0 h(x)= о (1) fn W = О- б) Неравенство F (дс) < 0 равносильно системе уравнений (1). Например, уравнение f\(x) + /|W + • • • + f\{x)= 0 и неравенство 1Л(Д^)1 + 1/2(^)1 + ••• + 1/п(-*^)1 ^ о равносильны системе уравнений (1). ПРИМЕР 1. Решим уравнение + 5 • 4^ + 4x2 . 2^ - 2 • 2^ + 1 = 0. Перепишем уравнение (2) в виде (х2 + 2 • 2^)2 + (2^ - 1)2 = 0. (2) (3) 1318 Каждая из функций (х^ + 2 • 2^)^ и (2^ - 1)^ неотрицательна для любого X е R, поэтому уравнение (3) равносильно системе уравнений = ^ (4) х2 + 22^ = 0. ^ Первое уравнение системы (4) имеет единственное решение Xi = о, которое не удовлетворяет второму уравнению системы (4). Следовательно, система (4), а значит, и равносильное ей уравнение (2) не имеют решений. Ответ. Нет решений. ПРИМЕР 2. Решим уравнение 1 - + log2(l + = 0. (5) Каждая из функций 1 - д/l - и log2(l + х^) неотрицатель- на для любого X из области ее существования. Поэтому уравнение (5) равносильно системе уравнений yJl-X^- г4 _ = 1 (6) [log2(l + x2)= о, имеющей единственное решение Xi = 0. Следовательно, уравнение (5), равносильное системе (6), имеет единственное решение Xi, Ответ. 0. ПРИМЕР 3. Решим неравенство yjx^ - 7х + 12 ч- lg2(o:2 - 4л: + 1) ^ 0. (7) Каждая из функций у = - 7jc +12 и z/ = lg^(x^ — 4x -f- 1) неот- рицательна для любого X из области ее существования. Поэтому неравенство (7) равносильно системе уравнений - 7л: + 12 = о (8) ,lg^{x^ - 4х + 1)= 0. Первое уравнение системы (8) имеет два решения: Xi = 3 тл ЛГ2 = 4. Из этих чисел только число лг2 удовлетворяет второму уравнению системы (8). Следовательно, система (8), а значит, и равносильное ей уравнение (7) имеют единственное решение ЛГ2-Ответ. 4. Решите уравнение (13.6—13.9): 13.6 а) (1о§2(л: - 5) - вшлл:)^ -t- (х - 6)^ = 0; б) logs (х - 2) - sin ^ j +{х- 5)^ = 0. 319 [1ст»ль:ю»апие CBoiicTu функций решении урапнени1г и иеравеист» 13.7 а) 9^ - 2 • 6^ + 2 • 4^ - 2 • 2^ + 1 = 0; б) 25^ - 5 • 10^ + 29 • 4^- * - 4 • 2^ + 4 = 0. 13.8 а) - 5х - 14 + ” 14х + 50) | = 0; б) ^jx^ - 8л: + 15 + |logo,7(x^ - Юх + 26)| = 0. 13.9 а) log2(^:^ + 2л: + 2) + log3(o:® + 2л:® + л:^ + 1) = 0; б) log4(л:^ + 4л: + 5) + logs (л:® + ^л:® + 4л:‘‘ + 1) = 0; в) log6(л:^ + 6л: + 10) + logf (^х + 2 + 2) = 0; г) log8(л:2 + 8л: + 17) + logl&x^^ + 3) = 0. Решите неравенство (13.10—13.11): 13.10 а) (х^ + 4х — 21)^ + lg(л:^ - блс + 10) < 0; б) (х^ -Зх- 4)2 + lg(л:2 -8х+ 17) < 0. 13.11 а) 7^2 - 8л-+ 15 + lg(л:2 - Юх + 26) < 0; б) -^х^ - 6х + 8 + lg(x2 - 8х + 17) < 0. 13.12 Докажите, что не имеет корней уравнение: а) X® + 2х® + Зх"* + 2x2 ^ 2х^ + 2х + 2 = 0; б) X® + 2х® + 2х'* + 2х® + 2x2 + 4jc + 4 = 0. 13.3". Испольаопан>ге ограниченноети^фулкции Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого х е М справедливы неравенства f{x) > А и g{x) ^ А, где А - некоторое число. Тогда справедливы следующие утверждения: а) Уравнение /(х) = g(x) равносильно системе уравнений lfix)=A 1^W=A. б) Неравенство f(x) ^ g(x) равносильно системе уравнений (1). ПРИМЕР 1. Решим уравнение 4х2 + 4х+ 17 = 12 х^ - л: + 1 (2) Обе части уравнения (2) определены для всех х. Перепишем уравнение (2) в виде f 4 х + -\+4=—----гг—. (3) if.-i з1, 2 + 1 Ш320 Очевидно, что для любого х справедливы неравенства f(x)^ 1х + -j +4> 4; g(x)^- Следовательно, уравнение (3) равносильно системе уравнений 1)^ и А х+- +4=4 I) = 4. + 1 Эта система не имеет решений. Следовательно, и равносильное ей уравнение (2) не имеет решений. Ответ. Нет решений. ПРИМЕР 2. Решим уравнение cos^(o:sin д:) = 1 + |log5(x^ - д: + 1)|. (4) Пусть множество М есть общая часть областей существования функций cos^(xsinx) и 1 + \ log^(x^ - X + 1)1, тогда для любого д: G М имеем cos^(xsin дг) ^1; 1 -f- |log5(x^ - х + 1)| > 1. Следовательно, уравнение (4) равносильно системе уравнений I cos^(xsinx) = 1 [|log5(x2-X + l)|=0. (5) Второе уравнение системы (5) имеет два корня: Xj = О и Х2 = 1. Из этих чисел только число Xj удовлетворяет первому уравнению системы (5). Следовательно, система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (4) имеют единственное решение х^. Ответ. 0. ПРИМЕР 3. Решим неравенство lg(x2 + 2х + 2) -н 5 ^ 4 - 2х - х2. (6) Обе части неравенства (6) определены для всех действительных чисел X. Для любого х имеем lg(x^ -t- 2х + 2) = lg((x + 1)^ + 1) ^ 0, поэтому lg(x^ + 2х + 2) + 5 ^ 5; 4 - 2х - х^ = 5 - (х -н 1)^ < 5. Следовательно, неравенство (6) равносильно системе уравнений jlg(x2 + 2x + 2) + 5= 5 [4-2х-х2= 5, 321 Иснользованш» (‘нойоти функций при решении уравн^^иий и нераио13отв которая, В СВОЮ очередь, равносильна системе уравнений llg(x^ + 2х + 2)= О \{х + 1)2 = 0. (7) Единственное решение второго уравнения системы (7) есть Xi=-1. Это число удовлетворяет первому уравнению этой же системы. Следовательно, система (7), а значит, и равносильное ей неравенство (6) имеют единственное решение Xi. Ответ, -1. ПРИМЕР 4. Решим неравенство I Ig (х - 2) I + 1 ^ -cos кх. (8) Обе части неравенства (8) определены на множестве М = (2; -Ьоо). Для любого X е М имеем \lg{X - 2)1 + 1 > 1, -COS7CX ^ 1. Поэтому неравенство (8) равносильно системе уравнений |lg(x-2)=0 1 cos их = -1. (9) Первое уравнение системы (9) имеет единственное решение Xq = 3, которое удовлетворяет второму уравнению этой системы. Следовательно, система (9), а значит, и равносильное ей неравенство (8) имеют единственное решение Xq. Ответ. 3. При решении уравнений (или неравенств) часто применяют различные числовые неравенства. Например, неравенство а + - ^ 2, а справедливое для любого положительного числа а. ПРИМЕР 5. Решим уравнение 4- Л! 2^ + 2"^ = 2cos^^-^. (10) (11) Обе части уравнения (11) определены для всех х. Для любого х, применяя неравенство (10), получаем, что справедливо неравенство 2^ + 2-^ ^ 2. Для любого X справедливо неравенство 2 cos + X 6 < 2. (12) (13) 11~Никольский, 11 кл. 322 Из справедливости неравенств (12) и (13) следует, что уравнение (11) равносильно системе уравнений 2^ + 2-^ = 2 + X ICOS---— = 1. 6 (14) Решим ее. Первое уравнение системы (14) имеет единственное решение Xi = О, которое удовлетворяет и второму уравнению этой же системы. Поэтому система (14), а значит, и равносильное ей уравнение (11) имеют единственное решение Xj. Ответ. 0. ПРИМЕР 6. Решим неравенство tg^ X + ctg^ X ^ 2 cos^ - х^. V 16 (15) Пусть М — общая часть областей существования функций tg^or, ctg^x и cos^ Тогда для любого х е М, применяя неравен- cos'^ х2 = 1. (16) 1 R : V16 ^ ство (10), имеем tg^x -I- ctg^x ^ 2. Очевидно, что для любого х е М 2cos^,/^ - х^ < 2. V16 Следовательно, неравенство (15) равносильно системе уравнений tg^ X + ctg^ X = 2 '.iz: Vi6 Из последнего уравнения системы (16) находим его решения х, = — и Хо = —Подставляя эти числа в первое уравнение систе-4 4 мы (16), получаем, что они являются его решениями. Поэтому числа Xi и Х2 являются решениями системы (16). Следовательно, неравенство (15), равносильное системе (16), имеет те же решения. Ответ. —; . 4 4 Ограниченность функций на том или ином множестве — части области существования функции — также может использоваться при решении уравнения или неравенства. ПРИМЕР 7. Решим неравенство log2(x + 2)> X + 0,5 (17) 32il Испо-чьзование свойств функций ир« решении уравнений и «ераисиств Обе части неравенства (17) определены для всех х, удовлетворяю- |х + 2>0 -- , „ л сч II щих системе неравенств i ^ _q 5 т. е. на множестве М = (-2; -0,5) U и (-0,5; +оо). Следовательно, все решения неравенства (17) содержатся во множестве М. Рассмотрим неравенство (17) сначала на множестве Ml = (-2; -0,5). Для любого х е имеем log,(^r + 2) log2 2 > Следовательно, любое х из множества М2 является решением неравенства (17). Наконец, рассмотрим неравенство (17) на множестве = [0; н-оо). Для любого х € М3 имеем log2(x-H 2) > 1; = 1- < 1. X + 0,5 2х + 1 Следовательно, любое х из множества М3 является решением неравенства (17). Объединяя все полученные выше решения, получаем, что все решения неравенства (17) составляют промежуток (-0,5; +оо). Ответ. (-0,5; +оо). Решите уравнение (13.13—13.17): 13,13 а) lg(x^ -ь 1) -i- 1 = cosTix; б) lg(l + |х - 2|) + 2 = 11 + со8Лх|; в) 3 - lg(x^ - 10х + 26) = д/х^ - 10х -ь 34; г) 2 - lg(l + |х - 6|) = ^Jx^ - 12х и- 40. jj2 13.14 а) х^ - ях и- — = sinx - 1; б) х^ - 4ях + 4я^ = cosx - 1; 4 в) х^ + 2ях + = sinx - 1; г) х^ - 2ях + = cosx - 1. 13.15 а) 2 cos^ (х sin ях) = 2 + log2(^:^ - 4х + 5); б) 3sin^ ^ - 6х + 10). 11* 324 13.16 a) llg(A: - 3)1 + 2 = |со8ЛХ + 11; 6) 1 Ig (x - 2) I + 1 = -cos nx; b) |lg(x - 5)1 + 2 = -y/4 - (x - 6)2; r) llg(x - 4)1 + 3 = V9- (JC- 5)2. 13.17 a) 2cos^(xsinx) = 2 + |log2(x^ - 4x + 1)|; 6) 3sin^ nx . nx ^ T" j ~ 3 + log3(x^ - 6x + 10). Решите неравенство (13.18—13.20): „2 13.18 a) - nx--------^3sinx-3; 4 6) -x^ + 2nx - ^ 2cosx + 2; b) log2(^:^ + 4x + 5) ^ -4 - 4x - x^; r) logo,e(JC^ - 6x + 10) ^ - 6x + 9. 13.19 a) log2(^: + 2) > 1 - x; 6) log2(^: + 4) < -1 - x; b) logo,5(x - 2) > X - 3; r) logo.sCx + 2) < x - 1. 13.20 a) logo,2(-^:^ + 6x - 8) < -9 + 6x - x^; 6) 3cos^x > 3 + I logs (x^ - 4x + 1)|. Решите уравнение (13.21—13.23): 13.21 a) [-1 +f-l =2-sin2^^; 1,2 J 2002 nx + к 6) (log2 3)" + (loga2)^ = 2 - cos^ ■нГЧГ = 1 + cos2nx; 11 x + l x + l = 1 - cos KX, 13.22 a) , у,зш^д^ + 5)(соа^* + 4); Jsin^ x+ sin x + 5 + Jsin x + 6 al . 9 , . IT 6) ----------------------------= yjisin^ X + sinx + 5)(sinx + 6); b) ^/31og| X + 5 + ^log| x + l = 2 ^(31og| X + 5)(log2 + 1); Г) ^2 - ilg^ . + . H. i = 2^2 - |lg^ .] (ig^ . 4 1]. 325 Использование свойств функций при решсини ypaiiHciiifii и керавонств 13.23* а) tg^JC + ctg^A: = х^; б) cos^2x sin^ д: sin' ‘ X cos^ 2х = 2cos^ - Х*'. Решите неравенство (13.24—13.26) 13.24* а) + X + 1 + ^ yjx^ + X + 1 б) ^х^ - 3,5х + 3,5 + ^ 2 - + X + 1); ^ 2 - sin^ лх. 7^2 - 3,5х + 3.5 i о ОК Ч у1^пх + 2 + д/cos X + 2 ^ 4Г~^---^7-:------------- -- 13.25 а) --------—=------------^ vsinxcosx + 2sinx + 2cosx + 4; _______ _________ Jsin х + 2 + д/cos X + 3 4Г":----:---------------- -х 6) --------^^ vsinxcosx + 3sinx + 2cosx + 6. 13,26* а) 1 sin XI + ]—-—г ^ 2 “ х^ - лх - —; I sin X I 4 б) I cos X I + I—~—г ^ 2 - х^ + 2лх - л ^; cos X ч I X I 1^0 о лх л2 г) I ctg X 1 + , , ^ 2 - х^ - . |ctgx| 2 16 13,4*. Использование монотонности и экстремумов функций При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются следующим утверждением. Пусть функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает на промежутке М — общей части (пересечении) областей существования этих функций. Если число Хо € М и справедливо равенство /(хо) = g(xo), то Хо — единственный корень уравнения /(x) = g(x). (1) Доказательство. Пусть число Xj е М. Тогда: если Xi < Хо, то /(xi) Хо, то /"(xi) >/(хо) = ^(хо) > g(xi), т, е. /(Xi)>g(Xi). Это означает, что ни одно из чисел х Ф Xq из промежутка М не может быть корнем уравнения (1), а так как справедливо равенство /(^о) = то Xq — единственный корень уравнения (1). Тем са- мым утверждение доказано. ПРИМЕР 1. Решим уравнение ^2х + 7 = л/19 - X. (2) Функция f{x) = ^2х + 7 возрастает, а функция g{x) = ^Il9 — х убывает на промежутке М = (-оо; 19] — общей части областей существования этих функций. Проверка показывает, что число 10 G М и является корнем уравнения (2). Тогда в силу доказанного утверждения этот корень единственный. Ответ. 10. Для доказательства возрастания (убывания) на некотором промежутке функции, входящей в уравнение (неравенство), часто используют производную этой функции. ПРИМЕР 2. Решим неравенство 20х^ + 28х^ -н 210:с - 35sin2x > 0. (3) Перепишем неравенство (3) в виде 20д:^ + 28jc^ > 35 sin 2х - 210х. (4) Рассмотрим функции f(x) = 20jc^ + 28лг^ и g(x) = 35sin2a: - 210л: на R — области существования этих функций. Функция f(x) возрастает на R как сумма функций, возрастающих на JR. Функция g(x) убывает на /г, так как ее производная g'(x) = 70 cos 2л: - 210 отрицательна на R, Следовательно, уравнение 20х^ + 28л:^ = 35sin2x - 210х (5) имеет не более одного корня. Число лг^ = 0 удовлетворяет уравнению (5), следовательно, это уравнение имеет единственный корень лг1. Поскольку функция f{x) возрастает на Д, а функция g(x) убывает на Д, то для каждого х > 0 справедливы неравенства f(x) > /(0) = 0, ^(х)<^(0) = 0, откуда следует, что f{x)>g(x) для каждого л: > 0. Аналогично показывается, что f(x) О для любого X из интервалов ^-оо; -ij и (1; +оо), то на каждом из ^ и [1, 1-оо) функция f{x) возрастает. Так как промежутков | -оо; -~ о /'(•^) < о для любого X из интервала и® промежутке ^ " функция f{x) убывает. 3’ ^ Так как Ит f(x)= lim х^ X—►-СО X —► — оо од = -оо и f > О, ложительного числа f (4)- ТО на интервале = | -оо; -- | функция f{x) возрастает от -оо до по- Поскольку функция f{x) еще и непре- рывна на интервале /j, то каждое свое значение она принимает только в одной точке. Следовательно, на интервале Jj есть единственная точка, в которой эта функция обращается в нуль. Аналогично показывается, что функция f{x) обращается в нуль в единственной точке на интервале И В единственной точке на интервале (1; +оо). Следовательно, функция f{x) имеет три нуля, а это означает, что уравнение (6) имеет три корня. Ответ. Уравнение имеет три корня. ПРИМЕР 4. Решим уравнение - 1 - X = 0. (7) Функция f(x)-e^-\-x имеет производную f{x) = - 1 на интервале R, Причем f'(x) = 0 только для Хх = 0, f'(x) < 0 для каждого л: < 0 и Г(х) > о для каждого д: > 0. Следовательно, функция убывает на промежутке (-оо; 0], возрастает на промежз^тке [0; ч-оо) и точка Хх = о — единственная точка минимума этой функции на й. Поэтому f{x) > f(xx) = о для каждого х и fixi) — 0 только для X = Хх> Следовательно, уравнение (7) имеет единственный корень Ответ. 0. ПРИМЕР 5. Решим уравнение ijx-2 + ^4- X -2=0. (8) Рассмотрим функцию f{x) = tlx - 2 + у/4 - х - 2. Область су-ществования этой функции есть отрезок [2; 4]. Найдем максимум 328 и минимум этой функции на отрезке [2; 4]. Функция f{x) — - ijx- 2 + ifi - X — 2 на интервале (2; 4) имеет производную f{x)= —------------------, которая обращается в нуль в единст- 4V(^^-2f 4V(4- xf венной точке х^ - 3. Так как функция непрерывна на отрезке [2; 4], то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Они находятся среди чисел /(2) = л/2 - 2, /(3) = О, /(4) = л/2 — 2. Так как /(3) > /(2) = /(4), то наибольшее значение О на отрезке [2; 4] функция принимает в точке Xq = 3, а наименьшее значение л/2 — 2 на отрезке [2; 4] функция принимает в двух точках: = 2 и Х2 = 4. Следовательно, функция обращается в нуль в единственной точке Xq. Поэтому уравнение (8) имеет единственный корень Xq. Ответ. 3. Решите уравнение (13-27—13.31): 13.27 а) log2X = 1 - х; 6) loggx = 4 - x; в) logo.sX = л: - 3; r) logo,3X = X - 1. 13.28 а) ^Зх - 1 - ^19- ж = = 0; 6) ^9x + 5 - ^25 - 3x = 0. 13.29 а) -7 + ^x'^ -8 -- = 3; 6) ^x3 + 5 + ^x^-17 = 6; в) ^Jx^ + 8 + Vs - = = 4; r) л/х - 1 + л/З - X - 2, 13.30 а) x^ + x^ + 1 - VlO - X = 0; б) x5 + x^ - 37 - - 8x = 0. 13.31 а) x^-l = 2lnx; 6) x^(l- ln(x + l). Решите неравенство ( [13.32- -13.33): 13.32 а) 12x^+ 10x3 + 35x - 17 sin 2x > 0; б) 10x5 + 25x3 + 39x +11 - 11 cos2x > 0. 13.33 а) Зх^ + 10x3 + 15^: + Igx - 28 > 0; б) Х^ + хЗ + 10х + log2^ - 61 > 0. 13.34 Сколько действительных корней имеет уравнение: а) 2х^ - 4x2 + 1 = 0; g) 2х^ - 8х + 1 = 0? 13.5^ Использование свойств синуса и косинуса Достаточно много уравнений (и неравенств) можно решить, если использовать ограниченность тригонометрических функций sin ах и cosPx. Для решения таких уравнений (и неравенств) часто применяют способ «рассуждения с числовыми значениями». 329 Исполт>;>ование свойств фуикци» при ренимпш ypaBnoiniii н неравенств ПРИМЕР 1. Решим уравнение зшл: cos4x = 1. (1) Если число Xq - решение уравнения (1), то либо sinxo = 1, либо sin^o = -1. Действительно, если бы было справедливо числовое неравенство jsinxol < 1, то из числового равенства sinxo • cos4xq = 1 следовало бы, что lcos4xo|>l, что, естественно, невозможно. Но если sinxo= 1, то cos4xo = 1; если же sinxo = -1, то cos4xq = -1. Следовательно, любое решение уравнения (1) является решением совокупности двух систем уравнений ■sinx=l ^2) и cos4x = 1 sinx = -1 cos4x = -1. (3) Легко видеть, что любое решение системы (2) и любое решение системы (3) есть решение уравнения (1). Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности систем (2) и (3). Решим эти системы. Первое уравнение системы (2) имеет серию решений Xf^= 2кк, А € Z. Все они удовлетворяют второму уравнению сис- темы (2), т. е. являются решениями системы (2). Первое уравнение системы (3) имеет серию решений Xfft = -h 2тст, т е Z. Ни одно из этих чисел не удовлетворяет вто- рому уравнению системы (3). Поэтому система (3) не имеет решений. Итак, все решения уравнения (1) совпадают со всеми решениями системы (2). Ответ. — + 2яА, k е N, 2 ПРИМЕР 2. Решим уравнение 3^cos4x - 2^sinx = 5. (4) Если число Xq — решение уравнения (4), то справедливо числовое равенство 2^sinxo = 3 ^cos 4xq - 5. (5) Так как cos4xq< 1, то из числового равенства (5) следует, что ^sinxo ^ -1. Так как sinxo ^ -1, то из этих двух неравенств следует, что sinxo = -1, но тогда cos4xq = 1. Поэтому любое решение уравнения (4) является решением системы (6) cos 4л: =1. 1330 Легко видеть, что любое решение системы (6) есть решение уравнения (4). Следовательно, уравнение (4) равносильно системе (6). Решим эту систему. к Первое уравнение системы (6) имеет серию решений + 2nky fe € Z. Все они удовлетворяют второму уравнению системы (6), т. е. составляют множество решений системы (6), а значит, и равносильного ей уравнения (4). Ответ. + 2тсй, k в Z. 2 Рассуждения, аналогичные приведенным выше, могут применяться и при решении неравенств. ПРИМЕР 3. Решим неравенство sin^ 2л: -h 4 cos Ъх > 5. (7) Если число Х(у — решение неравенства (7), то cosSxq = 1, так как в противном случае было бы справедливо неравенство |sin2^:o| > 1, что невозможно. Но тогда |sin2A:o| = 1. Поэтому любое решение неравенства (7) является решением системы уравнений I sin 2л: I = 1 cos 8л: = 1. (8) Легко видеть, что любое решение системы (8) есть решение неравенства (7). Следовательно, неравенство (7) равносильно системе (8), Решим эту систему. ТТ у п\ V ^ Tzk Первое уравнение системы (8) имеет серию решении х^= k е Z, Очевидно, что все эти х^ удовлетворяют второму уравнению системы (8), так как cos 8 п nk — н--- 4 2 = 1. Итак, всеми решениями системы (8), а значит, и равносильного ей неравенства (7) являются числа Ответ. — + —, k е Z. 4 2 Решите уравнение (13.35—13.36): 13.35 а) sin л: cos 8л: = 1; б) sin бл: cos 4л; =-1; в) sin Зле cos 12л: = 1; г) sin 4л: cos 16л: =-1 13.36 а) 2sin®2л: - 5соа^4л: = 7; в) Звш®2л: - 7сов^4л: =-10; б) бвш^Злл + 2соа^2л: = 7; г) 7sin^ Зле + 4соз®2л: = 11. 331 Системы уравнений с несколькими неизвестными Решите неравенство (13.37—13.38): 13.37 а) 3sin®2x - 8cos^4x ^ 11; б) 11 sin^3x - 2008^^ 2х <-13; в) 5sin^2x - 9cos**4x <-14; г) 13sin^3x + 2cos®2x ^ 15. 13.38 а) 7sin^2x - 10cos®4x + 13cos^8x > 30; б) 3sin^—+ llcos®2x + 16cos^4x > 30. 2 § 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными в этом параграфе рассматриваются системы уравнений с несколькими неизвестными. Ранее рассматривались лишь системы рациональных уравнений, теперь к ним добавятся системы, содержащие корни, степени, логарифмы, тригонометрические функции. Для простоты изложения будем рассматривать в основном системы двух уравнений с двумя неизвестными. 14.1. Равносильность систем Основные понятия. Напомним основные понятия, необходимые при решении систем уравнений с несколькими неизвестными. Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными IА (х; у) = gi (х; у) \ А (л:; у) = ёч (Jf; у) называют такую упорядоченную пару чисел (xq; z/q), при подстановке которой (xq вместо х, а z/o вместо у) в каждое из уравнений системы справедливы числовые равенства fi (^0* Уо) ~ Si (^0» Уо)» /2(^0» yo) = S2(^o^ Уо)> Отметим, что справедливость рассматриваемых числовых равенств предполагает, что обе их части определены для указанных значений неизвестных. Аналогично определяется решение системы п уравнений с п неизвестными {п ^ Nj п > 3). Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений. Заметим, что это множество может быть и пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений или что система несовместна. Две системы уравнений называют равносильными, если совпадают множества всех их решений. Равносильность систем обозначают знаком <=>. 332 Утверждений о равносильности систем много. Поэтому приведем здесь лишь несколько простейших утверждений о равносильности систем, которыми особенно часто приходится пользоваться. 1. Если уравнения системы поменять местами, то получится система, равносильная исходной. 2. Если в одном из уравнений системы перенести члены уравнения (с противоположными знаками) из одной части уравнения в другую, то получится система, равносильная исходной. 3. Если обе части одного из уравнений системы умножить на не равное нулю число, то получится система, равносильная исходной. 4. Если одно из уравнений системы заменить суммой этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы, то получится система, равносильная исходной. 5. Система, равносильная исходной системе, получается также, если в одном из уравнений: а) привести подобные члены многочлена; б) применить (]^рмулы сокращенного умножения многочленов; в) применить формулы 4f^ = \fl = af^^ = afa^, af~^= {afy = af^ (a > 0, a ^ 1). В дальнейшем при применении этих преобразований часто не будем писать о равносильности систем, а будем писать: «перепишем систему в виде». Метод подстановки — основной для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Для систем двух уравнений с двумя неизвестными этот метод основывается на утверждении: 6, Если в одном из уравнений системы выразить одно неизвестное через другое и подставить полученное выражение вместо первого неизвестного во второе уравнение, то получится система, равносильная исходной. При решении систем этим методом с помощью утверждений 1—5 система приводится к виду, где одно из уравнений есть, например, у = F(x) (т. е. в одном из уравнений у выражен через д:), после чего применяется утверждение 6 и задача сводится к решению уравнения f(XjF(x)) = g(x^F(x)) с одним неизвестным х. Решив это уравнение, т. е. найдя его корни (их может быть и бесконечно много), подставим их в уравнение у = Р(х). Тем самым для каждого Xi найдем соответствующее ему значение у,-. Все пары чисел (х,-; у,) и составят все решения исходной системы уравнений. Аналогично метод подстановки применяется для решения систем п уравнений с п неизвестными (п € А, п ^ 3). Отметим, что ранее этим способом уже решались системы рациональных уравнений. S3S Системы уравиеипй с иесколькими т¥0известными ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений х-}-у = 1 — = 200. 5^ (1) Выразив X через у из первого уравнения, перепишем систему (1) в виде X = 1 - г/ = 200. 5^ Применяя утверждение 6, получаем систему уравнений [х = 1- г/ 2У 5^-У = 200, (3) равносильную системе (2). Систему (3) можно переписать так: \х=1- у ЮУ = 1000. Из второго уравнения этой системы находим, что у = 3. Подставляя 3 в первое уравнение вместо г/, находим, что х = -2. Следовательно, система (1) имеет единственное решение (-2; 3). Ответ. (-2; 3). ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений \х + у = 1 loggX= log3(l-y). Выразив у через х из первого уравнения системы и подставляя 1-х вместо у во второе уравнение, получаем уравнение log3 х = = log3X. Решениями этого уравнения являются все положительные числа. Каждому такому значению х = а (а > 0) соответствует значение у = 1 - а. Следовательно, решениями исходной системы являются все пары чисел (а; 1 - а), где а — любое положительное число. Ответ, (а; 1 - а), а > 0. ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений tgxtgj/ = 5- 2л/б 71 (4) х + г/ = -. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = — х. Подставляя — - х вместо у в первое уравнение, получаем уравнение 4 .V (5) tgx tg - xj = 5 - 2л/б. «*334 Так как tgxtg Sin X sin к \ ^ ^ ---X cos \ 2x------------ cos — 4 J _ I 4j 4 cos X cos X (f-"] “*("*-7) 7C + cos — 4 TO уравнение (5) перепишется в виде А-----iJ—^ = 6-2Тб. л/2 cos cos (-7)4 (6) 2 - Л Уравнение----^ = 5 - 2л/б имеет единственный корень z - V2 2 л/З Z + следовательно, уравнение (6) равносильно уравнению cos 2х - 2 ’ Это уравнение имеет две серии решений: 71 я _ Я Я _ 8 12 ^ ^ = 3 - е Теперь находим соответствующие значения у: я я _ я я _ 8 " 12 ” ^ ^ Ут = g + Y2 " ^ Следовательно, все решения системы (4) составляют пары (^л* ^/л)» (^т» Ут)* Ответ, 5я я 1 ^ I я 5я , ^ — + ял;------ял , л е Z; — + ят; -— ялг , т е Z. 24 24 J I 24 24 ‘ Линейные преобразования систем. При решении систем уравнений часто помогает метод линейных преобразований систем. Он основан на утверждениях 3 и 4 и заключен в следующем. Одно из уравнений системы заменяют суммой этого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число, и какого-либо другого уравнения системы, умноженного на отличное от нуля число. Применение этого утверждения иногда позволяет привести систему к такой системе, равносильной исходной, решение которой уже не представляет трудностей. 1335 Системы уравнений с несколькими неизвестными (7) (8) ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений fx2-3|i/l + |x| = 12 [у2 + з|х| + |у| = 9. Заменяя второе уравнение системы (7) суммой этого уравнения и первого уравнения, умноженного на -1, т. е. вычитая из второго уравнения первое, получаем систему - 3|i/| + |д:| = 12 [г/2 _ Д.2 + з(|д.| + |у|) + |у| _ |д.| = _з^ равносильную системе (7). Так как = i\y\ — \x\)i\y\ + \x\)j то можно переписать второе уравнение системы в виде (\у\- \х\ + 3)i\y\ + |х|+ 1) = 0. Поскольку 1^1 + 1у I + 1 о для любой пары чисел (jc; у), то система (8) равносильна системе уравнений - 3\у\ н- |х1 = 12 \\у\ - |х| + 3 = 0. Умножая второе уравнение на 3 и складывая его с первым, получим систему, равносильную исходной системе: х2-2|х|-3=0 \у\ - 1х| +3= 0. Корни первого уравнения последней системы: Xj = 3 и Хз = -3. Подставляя их во второе уравнение последней системы, находим У\ — Уг — о* Следовательно, решениями исходной системы являются две пары чисел: (3; 0) и (-3; 0). Ответ, (3; 0), (-3; 0). 14.1° а) Что называют решением системы уравнений? б) Какие системы уравнений называют равносильными? в) Какие преобразования уравнений системы приводят к системе, равносильной исходной? Приведите примеры. Является ли пара чисел (1; 2) решением системы: -1 I хг/ + х^ = 6 14.2 а) X- у х^ - ху = 1; б) 2х-ьг/ = 4? 14.3 Среди трех пар чисел (1; 1), (1; 5) и (5; 1) найдите решения системы: _____ л/2-х + ^2-у = х + у б) Ux^ +у^ -1 = 5 л/л: - 1 -h ^у - 1 + X - у = 0; \ху х + у = 11, а) 336 Докажите, что система уравнений не имеет действительных ху = 3 у2 _ 4^ решений (14.4—14.5): 14.4 а) 1 д: - 2у = 3 |л:2+у2 + 1 = 0; б) 14.5 а) [л/2-х + 7 = х + у |log2(x- 2)+ yjy -1 = 0; б) 14.6 Равносильны ли системы: cos X + COS^ у = 1 sin^ X + sin у = 2. а) б) в) г) sin X = cos у tgx= tgy 2л: + Зу = 1 X- 4у = 5 ух-З 1 ^^x - sin у = 1 sin^ X = у cos^ X = у^ + 1 и и и и tgx = tgy sinx = cosy; 2x + Зу = 1 X = 4y + 5; |2^ + 8y = 1 [л/х = siny + 1; sin^ X = у у2 + у = 0? 14.7 Решите систему уравнений методом подстановки: г) ^П2х + 3у = 1; ^П2х + 3у = 2; I 2* = 24 • Зг'; ^ X - У = — ^ 2 sin X sin у = 14.8 Решите систему уравнений, используя сложение уравнений: б) а) в) Д) sin^ X + д/у - 2 = 2 I cos^ X + д/у - 2 = 3; sin X cos X + cos у = 1 sinxcosx - cosy = 0; sin^ (2 cos x) + у ^ = 5 cos^(2cosx) + 2y = 4. r) |1о&з(лг- 2) + у1у + 1 = 2 [loggCx- 2)- Vy + 1 = -2; sin X cos jc - -y/y = 1 sin у cos X + л/у = 0; Решите систему уравнений (14.9—14.17): 2 2 х^ + 7х-у + 11 = 0 149 а) J^=^-4x-2^/-1 = 0 ^ li/2-2x + 6y + 14= 0; g . - 4х + 4у + 27 = о ^ *1/2 + 2л: + 8у + 10= 0; . 1 дс2 _ бх - Зу - 1 = о * |i/2 + 2л: + 9у + 14 = 0; г) у2 + Зх - у + 15 = 0. 337 Системы уравнений с несколькими иеи^шестными 14.10 14.11 |3" н \у- . +х=10 j2^ + j/ = 5 , /2^ = 12 ^ loggX=2; |x-log2i/ = 2; ® | log2 у - х = 2. б) 14.12 а) 14.13 а) 14.14 а) 14.15* а) 14.16* а) . \x + 2y = lZ 12log4 X - log4 {2у - 1) = 0,5; |2х-J/ = 19 I logg {2х - 1) - logg у = -0,5. \y + x^^Z |l + 21og3(x + l)= logg у; |д;2 +д:у +у2= 13 [х + у = А', \ 2х^ у^ - Ах + 2у = 1 [Зх^ - 2у2 -6х-Ау = 5; \Зx^ + 2ху — 9х - Ау = -6 [ Ьх^ + 2ху - 12х - Ау = -А; б) J^ + V = 3 [21og2(y + l)= 2 + log2 X. 5п Т б) sin л: = 2 siny; \х- у б) б) б) tgxtgy = - х^ - ху + у^ = 7 х-у = 1. х^ + 2х-5у = -5 х^ + у^ + 2х - 10у = -9. Зх^ + 2у^ - Зх + Ъу = 3 А,5х^ + Зу2 - Зл: + 8у = 7. х-у = ~; 14.17* [ л: + log2 у = у log2 3 + log2 X [xloga 72 + log2 X = 2y + log2 y. b) sin^ X + sin^ У = T 4 5я x + у = —. ^ 12 14.2. Система-следствие Основные понятия. Систему уравнений IФ1 (х\ y)=hy (х; у) l О, аф # Если в процессе решения системы уравнений выполнялись только указанные выше преобразования, то все решения исходной системы уравнений содержатся среди решений последней в цепочке преобразований системы. Чтобы отобрать решения исходной системы, нужно определить, какие из найденных пар чисел удовлетворяют ей. Поэтому проверка полученных решений обязательна при таком методе решения систем уравнений. Приведение подобных. ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений \х + у = 1 2х^ + 24х- х = у^ -1 + 20- + yfx). (3) Эта система на основании утверждений 2 и 6 равносильна системе \у = 1-х [2х^+ 2^^x - х = а-х)^-1 + 2Q. + ^^x). Перенеся во втором уравнении все члены в левую часть и приведя подобные члены, получим систему у = 1- X -н X - 2 = О, являющуюся по утверждению 7а следствием системы (3). Решением последней системы являются две пары чисел: (1; 0) и (-2; 3). Проверка показывает, что пара (1; 0) является решением системы (3), а пара (-2; 3) не является решением системы (3). Ответ. (1; 0). 1339 Системы уравнений с несколькими неизвестными Возведение в четную степень. ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений Ux + y-l = 1 (4) [■Jy - X + 2 = 2х- 2. Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим систему \х + у-\ = \ \у - х + 2= Ах^ - 8х + 4, являющуюся на основании утверждения 76 следствием исходной системы (4). Решениями системы (5) являются пары чисел (0; 2) и I —; — 1, Про- верка показывает, что системе (4) удовлетворяет только пара Ответ. 1- 1 2’ 2 1,2’ 2 Освобождение от знаменателей. ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений Х^ + у^ ху Х^- у^ ху = 2 = 1. (6) Перейдем от системы (6) к системе \х^ + = 2ху - у^ = ху. (7) которая является по утверждению 7в следствием исходной системы. Поскольку х^ + у^ - 2ху = (х - у)^, то система (7) равносильна системе х = у д;3 _ у2 _ (8) Решениями системы (8) являются пары чисел (0; 0) и (2; 2). Проверка показывает, что из них системе (6) удовлетворяет только пара (2; 2). Ответ. (2; 2). Потенцирование. ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений logg ху = logg -У х^у^+у*= 2. (9) 1340 Потенцируя первое уравнение системы (9), получим систему уравнений X ху = - (10) 2, являющуюся следствием системы (9) по утверждению 7г. Система уравнений ху^ = X х^у^ + = 2 (11) является по утверждению 7в следствием системы (10). Множество всех решений системы (11) есть объединение всех решений двух систем: (12) и Х^у^+у^= 2 1/2=1 ,49 а о (13) [x^y^ + y'^ = 2. Решениями системы (12) являются пары чисел (0; ^2) и (0; -V2). Решениями системы (13) являются пары чисел (1; 1) и (1; -1). Проверка показывает, что исходной системе удовлетворяет только пара (1; 1). Ответ. (1; 1). I Применение формул. ПРИМЕР 5. Решим систему уравнений 121082 ^г/ ^ х2у_ 2 I Зх^у^ = х^у + 2. Применяя формулу “ = а, получим систему \ху = х^у-2 [Зх^у^ = х^у + 2, (14) (15) являющуюся (см. замечание) следствием системы (14). Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем систему \ху = х^у-2 [Зх^у^ - ху - 4 = о. (16) которая равносильна системе (15). Поскольку Зх^у^ - ху - 4 = = {Зху - 4){ху + 1), то множество всех решений системы (16) есть объединение множеств всех решений двух систем: [ Зху -4=0 [ху = х^у - 2 (17) 341 Системы уравнений с несколькими исиячысстиымн И лгу + 1 = о ху = - 2. (18) Решением системы (17) является пара чисел J- Решением системы (18) является пара чисел (-1; 1). Проверка показывает, 5 8 что пара | т» 77 | является решением исходной системы, а пара ^ X о (-1; 1) — нет. Ответ. (|; ^ ПРИМЕР 6. Решим систему уравнений д/х2 - J/2 = {X- 5)J- X + г/ х-У 1/^ + - 1 = 2ху. Используя формулы = л1\х-у\-у1\х + у\ и у1\х+^ \х-у перейдем от системы (19) к системе у/\х + у1 y/lx-yj- X - 5 •J\x - у\ = О (х - yf = 1, (19) (20) являющейся следствием системы (19), Перепишем систему (20) в виде 4\х + у\ 4\х-у\ - X - Ъ у1\х - у\ = о (21) \х-у\ = 1. Подставляя 1 вместо \ х - у\в первое уравнение системы (21), получим систему I ^J\x + y\ (х - 6) = о \\х-у\ = 1, (22) ii42 равносильную системе (21). Множество всех решений системы (22) есть объединение множеств решений двух систем и \у1\х + у\ = о [\х-у\^ 1 [д: - 6 = О Пд:- t/| = 1, (23) (24) так как все функции в системах (23) и (24) определены при всех хну. Решая каждую из этих систем, получаем решения системы (20): (6; 5), (6; 7), | LL I] '[ 2' 2 У Проверка показывает, что из этих пар чисел системе (19) удовлетворяют только пары (6; 5), j> ^ I' Ответ, (б; 5), [1; (-1; 1 14.18 а) Объясните, какие преобразования уравнений системы приводят к системе-следствию. б) Почему после перехода к системе-следствию необходима проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия? 14.19 Является ли вторая система следствием первой системы: а) + 2у + Ig X = 5 н- Ig X J -h 2у = 5 х + у = 1 ^1х + у = 1; б) л/ х + 1 = у ~ X и в) 2ху-у^=55 Ух ^ у X 36 '/х + у1у = у - X X + 1 = у^ - 2ху + 2ху - J/2 = 55; И < 36 4х + Уу = у - х\ хУх+у4у = —ху г) I loga (х + 2у) = loga (2х + у) jx + 2y = 2х + у \х^ - у - 2 = о Д)* log7 (х + у) + log7 (х - I/) = 1 М-= 1. у X 12 х^-у-2=0-log^i(x + у)(х - у)) = 1 и 'i У X 12 843 Системы уравнений с несколькими неизвестными Решите систему уравнений (14.20—14.26): 14.20 а). х + 1/ = 2 2х^ - 4-Jx + х=1/2 + 13 + (2- ч х + у = 3 ^Зх^-6у[х + х= 1/2 + 2 + (3- л/х)2; =)■ х + у = 4 \g(3x + y) + 2x^ + 7 = (у - 2) 2 + lg(3x + i/); r)j ЛГ +г/ = 5 yjx + Зу +х^ - 40= (2у + 1)2 + y]x + 3y. 14.21 а). yjx- у + 3 = 2 ^у - х + 10 = у + 1; 5). px-3y = 1 ■yj2y - 3x+ 10 = у - 2; .)■ ^х + у + 4 = х-у Г). yjx + y + 4 = y- x ^J2x + y = ^J3x- Зу; ^x + y = yl2x- 3y. 1А 99* , у1у + 7х + ■^у + 2х = 5 «• ■yjlx + y+^y+x = 6 yjy + 2х - у + X = 1; y]y + X - у + X = 2; =). ^2у - X + х + у = 3 .)■ ^J3y - X + X + у = 2 у]5у - X + JC = 3; yjSy - X + X = 2. 14.23 а) ■ logs ху = lOgg ^ 6) - log4 xy = log4 ^ х2 - Зху =1/2-1; [x2 - 3y = 1/2 _ Sx; в) ■ logs = loga ^ r) - logs XZ/2 = logg - ху = - 19; 4x2 _ _ 2xy + y^. 14.24* а) ■ 'З108з(*- J/) = 1 logg(2x- j/) + logg I/ = 1; 6) ^ '2>°82(^- tf) = 1 logg (2x - 1/) + logg у = в) < '2I+ \og2ix-2y) _ ^ D- ox^ + xy ^ 1 ^х^-ву ^ ду. 2\оШ2У = log2(Jc + 6). 14.25* а) 2^ + iog2(x +(/) _ 24 21ogo,5 I/- logo.5A:= -1; 6) <*'-'>= 0,8 loggl/- 2l0ggX= -1. 344 14.26* а) б) I 3I + Iog3(x- 2j/) _ g [loggCx- 2y) + log^ix + 2y)= l + 21og3 5; [5I + log5(2x+*/) _ 25 [ logs (2^ - y)-^ logs(2x + y) = 1 + 2 logs 3- 14.3. Метод замены неизвестных В некоторых случаях с введением новых неизвестных система сводится к системе, которую можно решить изложенными выше методами. Метод замены неизвестных основан на следующем утверждении, которое мы приведем только для систем двух уравнений с двумя неизвестными. (1) 8. Пусть дана система уравнений |/(а(д:; у), ^(х; у)) = О |g(a(x; у), р(х; у)) = О и пусть система f(u; и) = О [g(u; v)=0 имеет k различных решений: (Uj; i?i), (1X2; U2)» Тогда множество решений системы (1) есть объединение всех решений каждой из k систем: fa(x;y)=wi ja(x;y)=i/2 \а(х;у)=и,, |Р(х; у)= yj, 1р(х; у) = |р(х; у) = ПРИМЕР I, Решим систему уравнений З^х + у = log3 9х 2Цх + у = logs 27 (2) Сделаем замену неизвестных: и = ^х + у, v = log;jX. Так как 27 logsQx = 2 + log3X, log3 — = 3 - log3X, то получим систему |3ц = 2 + V |2г/ = 3- U. Эта система имеет единственное решение и = 1, у = 1, Поэтому на основании утверждения 8 система (2) равносильна системе [log3X= 1 ifxVy=l. (3) {345 Системы уравнений с несколькими иеизвестиыми Система (3), а значит, и система (2) имеют по единственному решению (3; -2). Ответ. (3; -2). ПРИМЕР 2, Решим систему уравнений 3^ -2^ = 14 £ 32 - 2^^ = 7, (4) Сделав замену неизвестных: и= 3^, и = 2 2 , получим систему уравнений /2 _ ,,2 _ 77 Гл# _ тЛЛ/ _L — 77 Г _ Q (и - v)(u + о) = 77 _ S _ w-o=7 ц-о=7 {U + и = а - о = 7 1 у = 2. По утверждению 8 система (4) равносильна системе 32 = 9 id 22=2. (5) Система (5), а значит, и система (4) имеют по два решения: (4; V2) И (4; -л/2). Ответ, (4; л/2); (4; -л/2). ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений - 2х^ + X = - у (6) [у'^ - 2у^ у = х^ - X Сделав замену неизвестных: и = у^ - у, v = х^ — Ху получим сис тему уравнений - V = и - и = V. Вычтя из второго уравнения первое, получим систему (7) - V = и и^-и^ = о, равносильную системе (7). Из второго уравнения следует, что либо и = U, либо V = -и. Следовательно, множество всех решений системы (7) есть объединение множеств решений двух систем: jv^ - V = V j - V = -V [и = u |u = -u. Первая система имеет два решения: = О, Ux = О и 1/2 = 2, 1?2 = 2, а вторая — одно решение: = 0, = 0. Это означает, что 346 система (7) имеет два решения: = О, = О и U2 = 2^ V2 = 2, Для отыскания всех решений системы (6) надо объединить все решения двух систем У^-У = 0 „ \у^-у = 2 х^-х = О и х^-х = 2. Это будут пары (-1; -1), (-1; 2), (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), (2; -1), (2; 2). Ответ. (-1; -1), (-1; 2), (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), (2; -1), (2; 2). ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений |4sint/ - 6л/2со8д: = 5 + 4cos^i/ [cos 2л: = 0. Обозначим COSX через и, а sin у через и. Тогда cos2x = 2cos^x - 1 = 2и^ - 1, cos^y = 1 - sin^y = 1 -и систему (8) можно переписать в виде + 4и - 6^^2u -9=0 [2^2-1 = 0. 1 (8) (9) 1 5 гл 1 з' ' 1 5' Это значит, что пары чисел Из второго уравнения этой системы находим Ui = , U2 = — V2 V2 Подставляя = —— в первое уравнение системы (9), получаем V2 g уравнение 4и^ + 4и - 15 = 0. Это уравнение имеет два корня: Oj = являются ре- шениями системы (9). Подставляя Ug =-----в первое уравнение, получаем уравнение V2 1 3 4и^ + 4и - 3 = 0. Это уравнение имеет два корня: = -, v^= /С ш ( 1 1 ^ Значит, система (9) имеет еще два решения: Множество решений системы (8) есть объединение множеств решений следующих четырех систем уравнений: [ 1 1' ( 1 ’ rV2’"2^ 1 1 f 1 1 COS X = — л/2 cos X = — л/2 . COS X = V2 . cos X = 3 5 1 3 sin у = smy = sin у = siny = -1 ^ 2 347 Системы уравнений с несколькими неизвестными Так как числа не принадлежат области значений функции sin г/, то первая, вторая и четвертая из этих систем уравнений не имеют решений. Следовательно, множество решений системы уравнений (8) совпадает с множеством решений третьей систе- мы, откуда следует, что система (8) имеет решения х = ±-------1- 2тш, 4 п S Z', у = (-1)'" — + пт, т & Z. Зтс® л Ответ. I ± — + 2пп; 1> п е Z-, т & Z. tj, п & Z-, Решите систему уравнений (14.27—14.37): 14.27 а). ■|л: + 1| + |у+ 11= 5 |л: + 1| = 4у + 4; 6). ■|х- 11 + |у - 5|= 1 у = 5 + lx + ll. 14.28 а). л:у + X - у = 13 ху - х + у = 7; 6). х2 - у = 23 х2у = 50; в)- ху2 = 12 ,х + у2= 7; -)• ' ху{х + у) = 30 X® + у2 = 35. f ^ + ^ --1 [2 3 1 14.29 а) ^ Зх - 2у 7 X - Зу — 7* б) • У — 2х - у ' X - 2у 2 2 1.1 Зх — 2у 7 X - Зу 2х - у X ~ 2у 18 14.30 а). ■}j2x — 1 + ‘Jy + 3 = 3 2ху - 1/ + бх - 3 = 4; б) д/5х - 6 + д/^ + 6 = 5 5хг/ - 6г/ + ЗОх = 72. 14.31 а) 14.32 а) 15 + 8 10 6 12 3 ,jx + 8 ^5у + 1 42!/ + з2д: ^ 82 3^ - 4«' = 8; = 3; б) б) 12 10 ■^х - \ ,]4у + 1 4 10 + yjx - 1 ,j4y + 1 = 5 = 3. 3^^ + 52^ = 26 5^ _ 30.5!/ ^ 4. в) [З2х _ 22 = 25 32дг _ 2г/ = 23. 14.33 + [v8i/ - ctgx = 1; б) л/Зл: + ^/12 tgy — 9 4^х —^ tgy = 8. ■Jz 348 14.34* а) ху х-2у 14.35* а) 14.36* а) Х + 2у ху ху 1 х + 2у х-2у ' ху tjx + y - ^Х-у ^Jx + y - л1х-у 14 15 14 3 ’ ху X + 2у „ +------- = 2 14.37* X-Jy + у4х = 6 х^у + = 20; у]х + у + ^х - у = 8 б) б) б) X + 2у ху ху X - 2у - 4. X - 2у ху ^jx + yfjx-^ = 8 у]х + у + ^х - у = 6. ^ ^ = 3 tjx^ + х^у - ху^ - у^ = 12. 14*4"* Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений При решении систем уравнений с несколькими неизвестными часто бывает трудно следить за равносильностью преобразований уравнений системы. В таких случаях помогают рассуждения с числовыми значениями. При этом иногда используют такие же свойства (неотрицательность, ограниченность и т. п.), как и при решении уравнений с одним неизвестным методами с использованием свойств функций. ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений \х^у^ - 2х + о 2х^ - 4х + 3 + у® = 0. Пусть пара чисел (х^; уо) есть решение системы (1), т. е. пусть справедливы числовые равенства Xq Уо - 2хо + 1/^ = о (2) И 2х^ - 4хо + 3 + у^= 0. (3) (1) Запишем равенство (2) в виде 2 2Xq Уо = 1 + х§ ■ (4) Из справедливости неравенства (1 - Xq)^ > 0 следует справедливость неравенства---^ 1. Учитывая это неравенство, из равенст- 1+ xg ва (4) заключаем, что i/q ^ 1, т. е. что |i/o| ^ 1. Снстсмм ypaniioinin с иеско.'зьктш ноилиостпымн (5) Запишем теперь равенство (3) в виде 2(:со-1)2+1+1/3 = 0. Так как |уо1 ^ 1» то 1 + i/q ^ 1 - ^ Теперь очевидно, что левая часть равенства (5) есть сумма двух неотрицательных чисел 2{xq - 1)2 и 1 + но их сумма равна нулю лишь тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, т. е. для Xq= 1 и i/o = -1. Итак, показано, что если система (1) имеет решения, то это может быть только пара чисел (1; -1). Проверкой легко установить, что эта пара чисел обращает каждое из уравнений системы (1) в верное равенство. Следовательно, система (1) имеет единственное решение (1; -1). Ответ. (1; -1). ПРИМЕР 2, Решим систему уравнений У' -9д:2 + 27д:-27 = 0 23-91/2+ 271/-27 = о хЗ - 9гЗ + 272 - 27 = 0. (6) Пусть тройка чисел (Xq; г/о» ^о) есть решение системы (6), т. е. пусть справедливы числовые равенства Уо = ^^0 “ 27хо + 27, 2о = ^Уо - 27г/о +27, (7) гЗ _ 92q - 27zq + 27. Поскольку ^2-3^ + з=:l^--l + _>о для любого числа i, то из равенств (7) следует, что z/q > 0, 2q > 0, х^ > 0, т. е. что z/q > 0, 2q > 0, Xq > 0. Складывая равенства (7), получим, что справедливо равенство (Хо - 3f + (Уо - 3f + (Zo - 3f = 0. (8) Сначала рассмотрим случай, когда Xq ^ 3. Тогда из последнего равенства (7) получим, что 2^ - 32q ^ 0, откуда, учитывая, что Zq > о, получим, что Zq > 3. Теперь из второго равенства (7), рассуждая аналогично, получим, что z/o ^ 3. Итак, в рассматриваемом случае Xq ^ 3, z/q ^ 3, Zq ^ 3. Таким образом, левая часть равенства (8) есть сумма трех неотрицательных чисел, поэтому равенство (8) возможно лишь тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, т. е. лишь для Xq = у^~ Zq — 3. Если же Хо < 3, то, рассуждая, как выше, получим, что Уо<^ и 2q < 3. Но тогда в равенстве (8) слева сумма трех отрицательных чисел, а справа нуль, что невозможно. Итак, если система (6) имеет решение (Хо; Уо\ Zq)^ то это может быть только в случае = Уо = = 3. Проверка показывает, что эта а 350 тройка чисел обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Следовательно, система (6) имеет единственное решение (3; 3; 3). Ответ. (3; 3; 3). ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений I/ + 2 = (3 - ж)® (22-г/)0/ + 2)= 9 + 41/ + (л/г)"* = 4л:. (9) Пусть тройка чисел (xq; у^\ Zq) есть решение системы (9), т. е. пусть справедливы числовые равенства 1/0 + го = (3 - дго)®, (22о - Уо)(Уо + 2) = 9 + 4уо, х1 + = 4xq. (10) Перепишем третье из равенств (10) в виде (л:о - 2)2 = 4 - (7^)^ откуда следует, что 2о ^ о и 4 - 2q ^ 0. Перепишем второе из равенств (10) в виде (Уо - го + 3)2 = zl~ 2zq, откуда следует, что 2л - 2zn > 0. (11) (12) (13) (14) Неравенствам (12) и (14) удовлетворяют только два числа: Zq = 0 и 2q = 2. Если Zq = 2, то из равенств (11) и (13) найдем, что Xq = 2 и Уо = -1. Если Zq = о, то ИЗ равенства (13) найдем, что Уо = -3, а из равенства (11), что xq = 0 или Xq = 4. Итак, если система (9) имеет решения, то они содержатся только среди трех троек чисел: (2; -1; 2), (4; -3; 0), (0; -3; 0). Проверка показывает, что первая и вторая тройки чисел обращают каждое уравнение системы (9) в верное равенство, а последняя тройка чисел не удовлетворяет уже первому уравнению системы (9). Следовательно, система (9) имеет два решения: (2; -1; 2), (4; -3; 0). Ответ. (2; -1; 2), (4; -3; 0). Отметим, что рассуждения с числовыми значениями позволяют перейти от данной системы к более простой, являющейся ее следствием. ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений ^(l + 21og^J,2)•log^ + J,л:г/ = 1 [х-у = 1. (15) J351 Системы уравнений с несколькими неизвестными Пусть пара чисел (xq; уо) есть решение системы (15), т, е, пусть справедливы числовые равенства (1 + 2 2) • log^^ + ХоУо = 1, (16) л^о-г/о = 1- (17) Из справедливости равенства (16) следует, что имеют смысл выражения 2 и log^^ + дгоУо» но тогда числа Xq и уо удовлетворя- ют условиям ХаУо > О, ХоУо ^ Xq + уо> О, Xq + г/о ^ 1-Для таких чисел Xq и i/q справедливо равенство и поэтому равенство (16) можно переписать в виде (Хо + Уо). откуда следует, что 4лгоУо = л:о + Уо- (18) Из равенств (17) и (18) следует, что каждое решение системы уравнений (15) является решением системы уравнений I Аху = х-\-у \х-у = 1, т. е. система (19) является следствием системы (15). Система (19) имеет два решения {xi; z/i), (X2I 1/2)? 3+V5 -I+V5 З-л/5 -I-VS Xi = —-—, У1 = ------, JC2 = ^—, У2 = ----^----- (19) Следовательно, все решения системы (15), если они есть, содер- 1 - л/5 жатся среди этих пар чисел. Так как Х2 + Уг= —g— пара чи- сел (Х2', у2) не удовлетворяет первому уравнению системы (15). Проверка показывает, что пара чисел (х^; yj) удовлетворяет каждому уравнению системы (15). Следовательно, система (15) имеет единственное решение (лг^; yj). ^г + 4ъ -\ + 4ъ^ Ответ. ^4 4 ^ ПРИМЕР 5. Решим систему уравнений 1 + -1о5д.у rOogx!/)^ + 1 У ^ = Х^ l + log^f-jc+^l = log^2. (20) Пусть пара чисел {xq; уо) есть решение системы (20), т. е. пусть справедливы числовые равенства l + rdog;, i/o)2 + l Уо 1 + log Г ^0 = ДГл -^0 + ^ 1 = 2- (21) (22) Так как мы предположили, что имеют смысл выражения logxol/o И log Хо -ДГп + %0 Хп , то это означает, что ^0 >0у Уо> о, хо ^ 1, Зуо > х^. (23) Но при условиях (23) для чисел Xq и z/q равенства (21) и (22) можно записать в виде logA^O S'o (1 + i'°Sxo ^'о) +1 = Хп (24) (25) log;,o^-A:| + 3i/o) = log^^2. Так как число Xq > 0 и дго 1, то из равенств (24) и (25) следует справедливость равенств logxo Уо = 1’ (26) -х^+ Зуо= 2. (27) Из справедливости равенства (26) следует справедливость равенства Хо = Уо- (28) Из равенств (28) и (27) следует, что каждое решение системы уравнений (20) является решением системы уравнений \х = у l-x2 + 3z/ = 2. (29) т. е. система (29) является следствием системы (20). Система (29) имеет два решения (xi, z/i), (xg; Уг), где Xi = yj = 2 и Xg = Уг = 1- Следовательно, все решения системы (20), если они есть, содержатся среди этих пар чисел. Так как Х2 = 1, то пара чисел (1; 1) не удовлетворяет ни одному из уравнений системы (20). Проверка показывает, что пара чисел (2; 2) удовлетворяет каждому уравнению системы (20). Следовательно, система (20) имеет единственное решение (2; 2). Ответ. (2; 2). Иногда бывают системы, в которых число уравнений меньше числа неизвестных. В таких слз^аях обычно структура уравнения скрывает какие-либо дополнительные ограничения на неизвестные, которые и позволяют решить эту систему уравнений. Щ353 Системы уравнений с несколькими неизвестными ПРИМЕР 6. Решим систему уравнений [ 8 cos д: cos у cos (х- у)+ 1 = О [г = х + у. (30) Пусть тройка чисел (Xq; Уо1 ^о) есть решение системы (30), т. е. пусть справедливы равенства 8 cos Xq cos Уо cos (Xq - Z/q) + 1 = 0, = Xq + Уо- (31) Применяя формулу 2 cos a cos P = cos (a + P) + cos (a - p), получим, что тогда справедливы и равенства 8 cos Xq cos г/о cos (xq - z/q) + 1 = = 4 cos2 (Xo - t/o) + 4 cos (Xo - Уо) cos (Xo + l/o) + 1 = = (2 cos (лго - у о) + cos (Xo + Уо))'^ + (1 - cos2 (Xo + J/o)) = = (2cos(xo - Уо) + cos(xo + г/о))2 + sin2(xo + Уо)- Поэтому равенства (31) можно переписать в виде (2cos(xo - Уо) + cos(xo + Уо))^ + sin^(xo + у о) = 0, Zq = Xq + Уо, откуда следует, что рассматриваемая тройка чисел (Xq; yQ; Zq) одновременно удовлетворяет равенствам 2cos(xo - у о) + COS(Xo + у о) = о, sin2(xo + Уо) = о, го = Хо + Уо- (32) (33) (34) Из равенства (33) получаем, что числа Xq и z/o удовлетворяют условию Xq + z/o = яй, k ^ Z. Но тогда, подставляя г/о = яй - Xq, k е Z (35) в левую часть равенства (32), получим, что она равна 2cos(2xq - k%) + cos/гя = (-1)^(2 cos 2xq + 1). Поэтому равенство (32) означает, что cos2xq=-—, т. е, что 2 Xq = ± — + ЯЛ, Л е Z. 3 Подставляя эти значения Xq в равенство (35), а затем в равенство (34), получим, что любое решение системы уравнений (30) содержится среди троек чисел J Уо + я (fe - л), Zq = я/г, п S Z^ к е Z; или Xq = + ялг, Уо = ^ + л (к - /л), Zq = пк^ т е Zy к ^ Z. 3 3 12-Никольский, 11 кл. 354 Проверка показывает, что все эти тройки чисел удовлетворяют системе уравнений (30). Следовательно, все они являются ее решениями. Ответ. ( ^ + пп; -■!- + д (ft - л); nky I + тст; ^ + я (ft - m); reft 1, п ^ Zj т ^ k е Z, Решите систему уравнений (14.38—14.45): 14.38 a). 2x2 + 1 = у - 1 sin X1 tg2x + y2 = 1; 2l^l + |х| = у+ x2 Х2 +у2 = 1; ")■ x2 + z/2 _ 1 X® + y^ = 1. у2-бх2 + 12х-8 = 0 (х + 3)2 = 3 - 2у 14.39 a) ■ 22-бу2 + 12у-8 = 0 б) (л/^)4 + 4у2 = 8у X» - 6^2 + 122 - 8 = 0; (2г - л:)(лг + 3) = 5л: + 16. 14.40 a). (x2 +xy +у2)7х2 +у2 = 185 (x2 - xy + у2)7х2 +у2 = 65; 14.41 б) в) (х2 + ху + 2z/2) 7^2 + ^ = 145 (2x2 -ху + j/2)7x2 +у2 = 230; (3x2 ^ 2ху + 1/2)7х2 + у^ = 6л/2 (х2 - 2ху + 3z/2)7x2 + J^2 = 2V2; х-у + у1х^-4у^ = 2 г) [ (х + у) 7^с2+^ = 221 [(x-y)V^2+y2 ^ 91_ [х® • 7^^ - 4у2 = 0. 14 42 ^ |21ogi_;,(-xy-2x + y + 2) + log2 + j,(A:2-2x + l)= 6 |logi_^(i/ + 5)-log2,j,(x + 4)=l; g. Ilogi + X (у^-2у + 1) + logi_ у (x2 + 2x + 1) = 4 [logi + ;,(2y+ l) + Iogi_j,(2x + l)= 2; |21og3+^(xy + x + 3y + 3) + logi + j,(x2 + 6x + 9)= 6 ^ [log3+^.(0,5-y) +logi + j^(3x +8) = 1. 355 Уравнения» неравенства и системы с параметрами 14.43 1 + log^ 1 -f) = log^ 4. 14.44 a) + sin'll/ + 008*^2 = 1; 6) Гу Igx 2^= 1. 14.45 = V3 + 2x-x2 cos2 + Sin2 ^ 2 ^ 2 2 z^ + 2x^-2z-l = 4(x-l). § 15*. Уравнения, неравенства и системы с параметрами Задачи с параметрами нередки в школьном курсе математики. Так, например, задача решить (относительно х) квадратное уравнение общего вида ах^ + + с = О является примером задачи с тремя параметрами а, & и с. В этом случае говорят, что надо решить уравнение с параметрами а, 5 и с. Задача решить (относительно х) линейное неравенство общего вида а;с + & > О является примером задачи с двумя параметрами а и Ь. В этом случае говорят, что надо решить неравенство с параметрами а и 5. Задача решить (относительно хну) систему уравнений ix^+y^=l \х + у = а является примером задачи с одним параметром а. В этом случае говорят, что надо решить систему уравнений с параметром а. В данном параграфе рассматриваются уравнения, неравенства и системы с одним параметром. 15,1*. Уравнения с параметром Решить уравнение с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения (это множество может быть и пустым). Основной принцип решения уравнения с параметром можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра на каждом П356 из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же методом. Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые для этого приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами. Поскольку каждый из методов представляет собой последовательность определенных действий, которые могут выполняться по-разному в зависимости от значений параметра, то выбранные первоначально участки его изменения в процессе решения могут дробиться, с тем чтобы на каждом из них рассуждения проводились единообразно. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого участка всех корней уравнения. Сложность задач с параметром заключается в том, что, как правило, вместе с изменением параметра меняются не только коэффициенты, но и ряд других характеристик, связанных с параметром. Обычно это приводит к тому, что при разных значениях параметра приходится использовать различные методы решения. IIPHMF2P 1. Для каждого значения параметра а решим уравнение (о+1)х = а2-1. (1) Рассмотрим два случая: а = -1 и а ^ -1. Пусть а = -1, тогда уравнение (1) имеет вид О • д: = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное число. Пусть аФ-1, тогда уравнение (1) является уравнением первой степени и его единственное решение, так как а + 1 Ф 0, есть Xq = а - 1. Ответ. Для а = -1 любое число есть корень; для каждого а ^ -1 единственный корень: Xq = а — 1. ПРИМЕР 2. Решим уравнение с параметром а X + 1 Х2+ 1 = а. (2) Многочлен + 1 положителен при любом х. Поэтому для каждого значения параметра а уравнение (2) равносильно уравнению X + 1 = а(х^ + 1), или уравнению - X + а - 1 ах^ 0. (3) Если а = о, то уравнение (3) становится линейным: -х —1 = 0 — и имеет единственный корень Xq = -1- При а ^ о уравнение (3) есть квадратное уравнение, и в зависимости от знака дискриминанта D = 1 + 4а - 4а^ оно имеет решения или не имеет их. Для всех значений а, удовлетворяющих неравенству J5 = 1 + 4а - 4а2 < о, (4) 357 Уравнения, неравенства и системы с параметрами уравнение (3) решений не имеет. Множество чисел а, удовлетворяю* ( I-V2' щих неравенству (4), состоит из двух промежутков: -оо; —~— и 1+ л/2 +00 , _ I-V2 I+V2 _ Если а = ----или а = —-—, то дискриминант D равен нулю и 2 2 ^ уравнение (3) имеет единственный корень jcq = —. 4ыи . 1-V2 ^ Для каждого значения а из промежутков | —;;—; О и 1 + л/2 ' 0; —— I справедливо неравенство D > 0, и уравнение (3) имеет два 1- Vd 1 + Vd корня: Xi = —г---и Хо = 2а 2а / Ответ. Для каждого а е —со: 1- л/2 и 1+ л/2 ; н-оо корней нет; l-^/2 1+ л/2 „ 1 „ для а = —-— или а = —-— единственный корень Xq = —; для а = 0 ^ ^ ^а 'I-V2 1+л/2^ единственный корень Xq = -1; для каждого а € S о 1-Vd 1 + Vd гл 1 ^ ^2 два корня: х^ = — -и JC2 = —;;-, где Z) = 1 + 4а — 4а^. и 0; 2а 2а ПРИМЕР 3. Решим уравнение с параметром а а - 1 2ах + 3 Перепишем уравнение (5) в виде 2ах + 4 - а 2ах + 3 = 1. = 0. (5) (6) Пусть а = о, тогда уравнение (6) принимает вид ^ ^ ^ ^ = 0 и не и • X + о имеет решений. Пусть а ^ 0. Сначала решим уравнение 2ах + 4 - а = 0. Оно имеет единственный корень Xq = —. Выясним, при каких 2а значениях а число Xq обраш;ает в нуль знаменатель дроби в уравнении (6), т. е. найдем, для каких а справедливо равенство 2ахго + 3 = 0. (7) Щ358________________________________________________________ Равенство (7) справедливо только для а = 1. Следовательно, при а = 1 число Xq не является корнем уравнения (6). При а ^ О и а Ф 1 уравнение (6) имеет единственный корень Xq. Ответ. Для а = О и а = 1 корней нет; для каждого а Ф О и а ^ 1 „ а - 4 единственный корень Xq = ——. ПРИМЕР 4. Для каждого значения параметра а решим уравнение л/х - а = ^2х - 1 (8) При каждом значении параметра а уравнение х-а = 2х-1 + а (9) будет следствием уравнения (8). Осталось выяснить, при каких условиях для параметра а единственное решение Xq = 1 — 2а уравнения (9) будет решением уравнения (8). Подставляя дго = 1 - 2а в обе части уравнения (8), находим, что его левая часть равна ^/(1 - 2а) -а = ^/l - За, правая часть равна ^2(1 - 2а)- 1 + а = - За. Конечно же, было бы неправильным за- ключить в этот момент, что Xq = 1 - 2а будет решением уравнения (8) при каждом значении параметра а. Ведь при се > -^ выраже-ние 1 - За, стоящее под корнем, будет отрицательным. Это значит, что при каждом ^ найденный корень Xq = 1 - 2а уравнения (9) о не является корнем уравнения (8). При каждом а ^ — выражение 3 - За имеет смысл, поэтому число xq = 1 - 2а будет корнем уравнения (8) при каждом таком значении параметра а. Ответ. Для каждого а < — единственное решение Xq = 1 - 2а; для 1 „ ^ каждого а > - решении нет. о ПРИМЕР 5. Выясним, сколько действительных корней для каждого значения параметра а имеет уравнение 2х^ - 3x2 _ 12х = а. (10) Рассмотрим функцию f(x) = 2х^ - Зх^ - 12х. Она непрерывна и имеет производную на интервале (-оо; ч-схз). Найдем точки локального максимума и локального минимума этой функции, для этого сначала найдем производную функции /(х): f’(x) = 6x^ - 6х - 12 1359 Уравнения, неравенства и системы с параметрами -1 max \ 2 X min 'И приравняем ее к нулю: Пх) 6jc2 - 6л: - 12 = 0. (11) fix) Уравнение (11) имеет два корня: Xj = -1 и ^2 = 2. Так как функция f{x) Ш Рис. 177 непрерывна на интервале (-оо; +оо) и Г{х) > о на интервалах (-сх>; -1) и (2; +оо), /'(х) < О на интервале (-1; 2) (рис. 177), то точка Xj = -1 есть точка локального максимума, а Х2 = 2 — точка локального минимума функции /(х). Найдем/(-1) = 7,/(2) =-20, lim /(х) = lim х^^2-—-=+оо и lim f{x) = -оо. ► +00 > +00 Используя все написанное выше, получим, что схематический график функции у = /(х) будет таким, как на рисунке 178. Функция у = /(х) на промежутке (-оо; -1] возрастает, принимая все значения от -оо до 7 только один раз, на промежутке [-1; 2] убывает, принимая все значения от 7 до -20 только один раз, а на промежутке [2; +оо) возрастает, принимая все значения от -20 до +00 только один раз. Поэтому: 1) если а < -20 или а > 7, то прямая у = а пересекает график функции у = f{x) только в одной точке; 2) если а = 7 или а — -20, то прямая у - а пересекает график функции у = f{x) только в двух точках; 3) если -20<а<7, то прямая у = а пересекает график функции у = f(x) только в трех точках. Следовательно, уравнение (10) имеет единственный действительный корень при а е (-оо; -20) U (7; -1-оо); только два действительных корня при а = 7 и при а = -20; только три действительных корня при а е (-20; 7). Ответ. Для каждого а е (-оо; -20) U (7; +оо) единственный действительный корень; для а = 7 и для а = -20 два действительных корня; для каждого а s (-20; 7) три действительных корня. Для каждого значения параметра а решите уравнение (15.1—15.8): 15.1 а) (а - 2)х = - 4; в) (а + 3)х = - 9; б) г) (а + 2)х = - 4; (а - 4)х = - 16. 360 15.2 а) в) 15.3 а) в) 15.4 а) в) х-1 х^- 4 X + 2 х-1 Х-- 1 X + 2 х^ - 4 а+ 10 ах + 5 а + 1 ах + 4 15.5 а) |х-1|-а|х+1| = 2; в) |х + 3| - а|х--11 = 4; 15.6 а) —- ^ - 1; 4ах + 1 а - 3 2ах + 1 а х^-1 = а; б) г = а; X + 1 = а + 1; г) х^ - 4 ^ X - 2 = а; б) X + 1 2 1 = Х^ - 1 = а - 1; г) х-2 = “ + = 2; б) =2; ах — 4 = 1; г) “-2 =1. ах - 3 = 3; б) |лг-2|-а|х+1| = 3; г) |л: + 2|-а|л:-3|==5. б) = 2; ' Зах+1 г) ----г = 4. + 17 б) ах + 1 X X - а X + а = 0. в) 15.8 а) д/х^ - бх - а = х - 3; 15.9 Для каждого значения параметра а определите, сколько корней имеет уравнение: а) х^ - Зх^ + а = 0; б) х'* - 2х^ + а = 0. б) + 2х + а = X ч-1. 15.2*. Неравенства с пара.метром Решить неравенство с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства (это множество может быть и пустым). При решении неравенств с параметром используются те же соображения, что и при решении уравнений с параметром. ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим неравенство ах2<1. (1) Рассмотрим три случая: а = 0, а>0иа<0. При а = о неравенство (1) превращается в неравенство 0 * х^ < 1, верное при любом действительном х. 8 361 Уравнения, неравенства и системы с параметрами При а > О неравенство (1) равносильно неравенству все решения которого составляют промежуток л/^ При а < О неравенство (1) равносильно неравенству спра- ведливому при любом действительном х. Ответ. Для каждого а ^ О любое х е R; для каждого а > О любое 1 1 X € ПРИМЕР 2. Для каждого значения параметра а найдем все решения неравенства + ах + 1 ^ 0. (2) 4. Дискриминант квадратного неравенства (2) D — Рассмотрим три случая: D < 0, D = 0, D > 0. При каждом а е (-2; 2) дискриминант О < 0, поэтому решением неравенства (2) является любое действительное число. При а = 2 и при а = -2 дискриминант Z) = 0, поэтому решением неравенства (2) является любое действительное число. При каждом а € (-оо; -2) U (2; -1-оо) дискриминант Z) > 0, поэтому множество решений неравенства (2) имеет вид (-оо; Xi\ U [Х2\ -а - Ja^ - 4 -а + Ja^ - 4 где Xj =----1----, Х2 =----^----. Ответ. Для каждого а е [-2; 2] любое х е R; для каждого а € (-оо;-2) и (2;+оо) любое хе —оо -а--Уа^-4 2 и -а + +00 ПРИМЕР 3. Решим неравенство с параметром а log^ (7 - X) > 2 log^ (X - 1). (3) По определению логарифма при а = 1 и каждом а ^ 0 не имеют смысла обе части неравенства (3), поэтому при каждом из этих значений а неравенство (3) не имеет решений. Остается рассмотреть все возможные значения параметра а из двух промежутков: 0 < а < 1 и а > 1. При каждом значении а из этих промежутков обе части неравенства (3) имеют смысл только на интервале (1; 7) и на этом интервале неравенство (3) равносильно неравенству logo (7 - х)> logo {х - 1)2. (4) Если о < а < 1, то функция у = logof убывает на своей области определения и на интервале (1; 7) неравенство (4) равносильно неравенству 7 - X < (х - 1)^, т. е. неравенству х^ - х - 6 > 0. Множест- 862 во всех решений последнего неравенства есть множество (-оо; -2) U и (3; +оо). Из этих чисел интервалу (1; 7) принадлежат лишь числа из интервала (3; 7). Эти числа и составляют множество решений неравенства (4) при О < а < 1. Если а > 1, то функция y-\oga^ возрастает на своей области определения. Поэтому неравенство (4) равносильно на интервале (1; 7) неравенству 1 - х> {х — 1)^, т. е. неравенству - х - б < 0. Множество всех решений последнего неравенства есть интервал (-2; 3). Из этих чисел интервалу (1; 7) принадлежат лишь числа из интервала (1; 3). Эти числа и составляют множество решений неравенства (4) при а > 1. Ответ. Для а = 1 и для каждого а ^ 0 нет решений; для каждого о < а < 1 любое х € (3; 7); для каждого а > 1 любое х е (1; 3). Для каждого значения параметра а решите неравенство 4; (15.10—15.23): 15.10 а) (а - \)х > - 1', б) в) (а + 3)л: ^ - 9; г) 15.11 а) ах^ < 4; б) в) ах^ ^ -9; г) 15.12 а) а{х^ - л:) > 0; б) в) а (х^ + дг) ^ 0; г) 15.13 а) ах^ - л: < 0; б) в) ах^ + X > 0; г) 15.14 а) х^ + ах + 4 > 0; б) в) х^ - ах + 4 > 0; г) Z2 ,2 ах^ > -4; ах^ - X > 0; 2 + х^О. ах х^ + ах + 9 < 0; х^ - ах + 9 ^ о. 15.15 а) х^ + (а -ь 1)х + а ^ 0; в) х^ + (а - 3)х - За > 0; 15.16 а) X - 1 X - а >0; б) X - а X + 2 >0; 15.17 15.18 15.19 а) х2-а2 >0; б) х^ - <0; б) г) в) в) х^ + (а + 2)х + 2а ^ 0; х^ -h (а - 4) X - 4а < 0. X + 3 X + а X - 3 X - 1 ' X + 2 а) (х - а) л/х - 1 ^ 0; б) (х - а) л/х- 2 ^ 0; ^ 0; г) > 0; г) X + а X - 4 X + 4 х2-а2 < о. < 0. в) (х- 3)л/х- а ^ 0; - а г) (х - 4) ^Jx■ а) > 0; б) < 0; X - 1 X + 2 в) ^ 0; г) -—=г ^ 0. yjx - а ‘Jx - а а < 0. 363 Урапнеиия, аерааенства и системы с параметрами 15.20 а) л/х - а V3- x; 6) Vx + a > Vi3- л:; в) л/дг - а - x; r) - a < V33- X, 15.21 а) log2(JC a) > log2(13 - x); 6) logs (Jc - - a) ^loggCll - -X); в) log4(^: — a) ^ log4(9 - X); r) logs(^: - ■ a) ^ logs (7 - x). 15.22 а) loga (д? — 2) ^ loga(13 -X); 6) loga{X - -3) ^ log„(15- -2x); в) loga(4 - x)^ log„ (3x - 15); r) log„(5- ■X) ^ log„(4x- -35). 15.23 а) loga (ДС — 21og„(3 -X); 6) log„(X - -3) ^ 2loga(5 -X); в) loga(7 - x)> 21og„(^: -5); r) loga(13 -x)^ 21oga(дt: -1). 15.3*. Системы уравнений с параметром Решить систему уравнений с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данной системы (это множество может быть и пустым), ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим систему уравнений {ах-^-2у = а-\-2 [ 2ах -н (а + 1) у = 2а + 4, т, /14 а + 2 - ах Из первого уравнения системы (1) находим, что у —---------. „ а 2 - ах Подставляя у =----^----вместо у во второе уравнение системы, по- лучаем, что для каждого значения параметра а система (1) равносильна системе а + 2 - ах 11/ =-------- (1) [а(а - 3)х = (а -ь 2)(а - 3). (2) Если а = О, то система (2) несовместна, так как второе уравнение этой системы запишется в виде О • х = - 6, Если а = 3, то система (2) имеет бесконечно много решений вида х = d, у = —-—, где d — лю-бое число. Если а О и а 3, то система (2) имеет единственное решение ^ 4 I O' ) Ответ. Для каждого а О и а Ф Z единственное решение а + 2 ; О , для а = 3 бесконечно много решений вида d; 5 - 3d , где del?; для а = О нет решений. 364 ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений с параметром а у>2 _^у2 - ^2 х +г/ = 1. (3) Из второго уравнения системы (3) находим, что у = \ — х. Подставляя 1 — X вместо у в первое уравнение, получаем квадратное уравнение 2х^ - 2л: + 1 - = О, которое: а) не имеет корней, если его дискриминант D = 8а^ — 4 < О, т. е. I I если а < —; 2 ’ ^ , , л/^ б) имеет один корень = —, если D = О, т. е. если |а | = —; 2 ___ ___________ 2 , 2-4d 2 + 4d ^ _ в) имеет два корня: Xj =-----, х^ =------» если £) > О, т. е. I I ^ если \ а\> —. ^ л/2 Следовательно, если \ а\ < —, то система (3) не имеет решений; 11^ /04 ("1 если |а| = —, то система (3) имеет одно решение — U если 2 12 2/ I I \а\> —, то система имеет два решения: 2 1- 42а^~ 1. 1+ “ 1 2 ’ 2 и 1+ 42а^- 1. 1 - ^]2d^ - 1 Ответ. Для каждого 1 1 ^ нет решений; ДЛЯ 1 1 ^ одно решение (1^ 1]^ для каждого 1 1 ^ |а|>^ два решения: 1 - д/2а^ - 1 1 + д/2о^ - 1 и 1+-у/2о2-1 1 - ^j2a^ - 1 ’ 1 2 ’ 2 1 2 ’ 2 J (4) ПРИМЕР 3. Для каждого значения параметра а решим систему уравнений sinxcos2y = + 1 sin 2у COSX = а. Так как + 1 > 1 для любого значения а, а sinx cos2i/ < 1 для любых X и у, то система (4) имеет решения только в случае а = 0. При а = О система (4) перепишется в виде sinx cos 2у = 1 sin 2г/COSX = О, (5) Ш365 Уравыенин, неравенства и системы с параметрами (6) Складывая и вычитая уравнения системы (5), получим, что она равносильна системе В1п(х + 2у) = 1 sin(x - 2у) = 1. Система (6) имеет решения х = -^ + тс (fe + л); у = ^(k - n)j ft g Z, n e Z, Следовательно, все эти решения являются решениями системы (4). Ответ. Для а = О решения + тс (ft + л); ^)j» ft е Z, л g Z; для каждого а Ф О нет решений. ПРИМЕР 4. Для каждого значения параметра а решим систему уравнений + у^ = X + у (7) [(2^+l)2i'+i = a. Возведя первое уравнение системы (7) в квадрат, получим, что для каждого значения а система \х^ + у^ ^{х + yf [(2^ +1)2^^ + ^ = а является следствием системы (7). Множество решений системы (8) для каждого значения а есть объединение всех решений двух систем |х= О 1(2^ + 1)2^'*^! = а и [у = 0 [(2^ + 1)2«' + 1 = а. Система (9) равносильна системе [х= о I2-V + 2 ^ (8) (8) гем (9) (10) (11) Система (11) при каждом а ^ 0 не имеет решений, а при каждом а > о имеет единственное решение: х = 0, у = log2a - 2. Система (10) равносильна системе 1у = 0 12^^1 = а-2. (12) Система (12) при каждом а ^ 2 не имеет решений, а при каждом а > 2 имеет единственное решение: х = log2(^^ - 2) - 1, у = 0. Итак, система (8) при каждом а ^ 0 не имеет решений; при каждом а G (0; 2] имеет единственное решение (0; log2a - 2); при каж- SE^ дом a> 2 имеет два решения: (0; log2a - 2) и (log2(a - 2) - 1; 0). Так как система (8) есть следствие системы (7), то теперь надо проверить, какие из найденных решений системы (8) являются решениями системы (7). Подставляя пару чисел (0; log2« - 2) в первое уравнение системы (7), получаем, что равенство ^/(log2a - 2)^ = log2a - 2 справедливо лишь если log2a - 2 ^ 0, т. е. если а > 4. Подставляя пару чисел (log2 (а - 2) - 1; 0) в первое уравнение системы (7), получаем, что равенство ^/(log2(a - 2) - 1)^ = log2(a - 2) - 1 справедливо лишь в том случае, если log2(a - 2) - 1 ^ 0, т. е. если а > 4. Проверка показывает, что обе пары чисел при любом а ^ 4 удовлетворяют второму уравнению системы (7), причем при а = 4 эти пары чисел совпадают. Следовательно, система (7) при каждом а < 4 не имеет решений, при а = 4 имеет единственное решение (0; 0), а при каждом а > 4 имеет два решения. Ответ. Для каждого а < 4 нет решений; для а = 4 единствен- ное решение (0; 0), для каждого а > 4 два решения: 0; logs и log2 о Для каждого значения параметра а решите систему уравнений (15.24—15.29): 15.24 а) в) 15.25 а) в) 15.26 а) 15.27 а) 15.28 а) (а - 1)у - а+ 1 х + у = а; (а - 1)у = а + 3 X- у ^ а; (а - 1)г/ = - 1 х + у ^ а; (а -1)у = -1 X-у = а; х^ + у^ = а х + у = 1; х^ + у^ = а х + у = -1; sin 2л: cos у = -а^ - 1 sin у cos 2л: = а; б) г) б) г) б) б) б) (а + 1)у = а + 2 х + у = а; {а + 1)у = а + 4 X - у = а. (а + 1)у = - 1 х + у = а; (а + 1)у = - 1 X - у = а. х^ + у^ = а X- у = 1. х^ + у^ = а X-у = -1. J зтЗл:со8 21/ = -а^ - 1 I sin 2у cos Зл: = а -f 1. аб7 Урайнрния, нераиепства и системы с параметрами 15.29 а) б) (а^ - а)sin — + 2cos i/ = а + 5 г, • ^ 3sm— + cosy = 4; (а^ + a)sin^ + 2cosx = За + 1 3 sin “ + cos X = -4. 15.4". гЗадачи с условиями В этом пункте рассматриваются задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполнено некоторое условие. ПРИМЕР 1. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых любое действительное число является корнем уравнения + а + 1 + 2а ~ ~ 2а). Пусть число а удовлетворяет условию задачи. Тогда решениями заданного уравнения будут все действительные числа. В частности, и число д: = 1 является решением этого уравнения. Значит, верно равенство log^ + 2 + 2) = 2 logy + 2а (5 - т. е. равенство ^7 + 2а = 5 - ^6 - 2а. Рассматривая это равенство - 3 как уравнение относительно а, находим его корни а^ = 1 и а2 = — Таким образом, все возможные значения а, удовлетворяющие условию задачи, содержатся среди этих чисел. Проверим, какие из них действительно являются решениями задачи. Подставляя а = 1 в исходное уравнение, получаем уравнение log^2^2^^^ -ь 2) = 21og9 3, которому удовлетворяют все действительные числа, так что а = 1 является решением задачи. При а = -^ исходное уравнение имеет вид log . i[2--x^| = l. 2 2 V 2 / Этому уравнению, в частности, не удовлетворяет число х = О, так 3 что а = -- не является решением задачи. Ответ, а = 1, ПРИМЕР 2. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых неравенство X - а <0 X - 8а выполняется для всех х, принадлежащих отрезку [2; 4]. (1) п 368 Задача заключается в нахождении таких значений а, при каждом из которых множество решений неравенства (1) содержит отрезок [2; 4], Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого надо нанести на ось Ох точки д: = аих = 8а.В зависимости от того, каким может быть число а, эти точки будут по-разному располагаться на оси Ох, а в зависимости от этого будут по-разному записываться и решения неравенства (1) (рис. 179, а, б). Если а = О, то неравенство (1) перепишется в виде — < О и оно не имеет решений. Если а > О, то множество решений неравенства (1) есть интервал а < X < 8а (см. рис. 179, а). Если а < О, то множество решений неравенства (1) есть интервал 8а < X < а (см, рис. 179, б). а > О а < О -Н----------1— а 8а а) Н-----------1- 8а а б) Рис* 179 В случае а < О неравенству (1) удовлетворяют только отрицательные числа. Поэтому ни одно из этих а не удовлетворяет условию задачи. В случае а > О множество решений содержит отрезок 2 ^ х < 4 только тогда, когда одновременно а < 2 и 8а > 4, т. е. если 0,5 < а < 2. Ответ. Любое а е (0,5; 2). ПРИМЕР 3. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений \х^ + у^= 1 [х + у = а имеет единственное решение. Пусть а — некоторое число, удовлетворяющее условию задачи, и (Xq; Уо) — решение данной системы уравнений при этом а. Очевидно, пара чисел (уо» ^о) также будет решением системы. Так как решение единственное, то уо = Xq, и из первого уравнения получаем, что либо Xq = Уо = — и тогда Ui = — = V2, либо лго = Уо = —-хг и то-^42 42 гда U2 = -л/2. Таким образом, все возможные значения а, удовлетворяющие условию задачи, содержатся среди чисел aj = л/2 и а2 = —л12. Решая систему уравнений при а^ = л/2 и а2 = -л/2, убеждаемся, что и в том и в другом случае она не имеет решений, отличных от уже указанных. Ответ, а - V2, а = -V2. 369 Уравыеиня, неравенства и системы с параметрами ПРИМЕР 4. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых равносильны уравнения . 2 sin^x = — и (2) (3) 288Ш^л: = 2а + 9 + (2а - 5) cos 4л: Применяя формулу косинуса двойного угла, получаем: cos 4л: = 2 cos^ 2л:-1 = 2(1-2 sin^ л:)^ -1 = 8 sin"* л: - 8 sin^ л: + 1. Учитывая это равенство, уравнение (3) можно переписать в виде 2 (2а - 5)вт^л: - (4а - 3)зш^л: + (а + 1) = 0. (4) Рассмотрим два случая: а = ^ и а 5 . 7 1) Если а = —, то уравнение (4) перепишется в виде -7 sin^ х + — = 0, 2 2 т. е. уравнения (2) и (3) совпадают. 5 2) Если а Ф -у то рассмотрим квадратное уравнение А 2(2а - 5)1/2 _ (4а - 3)1/ + (а + 1) = 0, которое имеет два корня: f/i = -^ и i/g = Следовательно, уравне- 2 2а — 5 ние (4) равносильно совокупности двух уравнений .0 1 .9 а + 1 sin^x = - и Sin^ X = 2 2а - 5 Легко видеть, что не существует значения а, при котором 1 2 а + 1 2а - 5 . Отсюда следует, что, для того чтобы уравнения (2) и (3) были равносильны, надо, чтобы уравнение sin^x = решений. А это возможно в двух случаях: а + 1 а + 1 2а - 5 не имело или или 2а- 5 а + 1 2а - 5 <0, >1. (5) (6) Неравенству (5) удовлетворяют все а, такие, что -1 < а < —, а не- 5 ^ равенству (6) — все а, такие, что — < а < 6. Следовательно, уравнения (2) и (3) равносильны для каждого а е ( -1; ^ | ® 1370 Объединяя случаи 1 и 2, получаем решение рассматриваемой задачи: (-1; 6). Ответ. Любое а е (-1; 6). ПРИМЕР 5. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств л:2 + 2ху - 7i/2 ^ 1 + а Зл:^ + Юху - ^ -2 имеет хотя бы одно решение. Пусть По есть то значение параметра, при котором система имеет решение, и пусть (xq; ^q) — это ее решение. Тогда справедливы неравенства -х% - 2хоУо + 7у^^1 3x1 + Юлгог/о - 5уо ^ -2. 1 + ап Умножим первое неравенство на 2 и прибавим ко второму. По- лучим, что справедливо неравенство Xq -н 6xqJ/q + 9«/q -4 oo+r т. е. неравенство (xq -ь Зг/о) Отсюда следует, что -4 > о, т. е. Oq + 1 Oq -н 1 что ао < -1. Итак, все искомые значения параметра лежат в области а < -1. Докажем теперь, что для каждого а, удовлетворяющего неравенству а < -1, система имеет решение. Так как при каждом а < -1 выполнено неравенство -1 > -1 н- ^ , то достаточно доказать, что 1 + а система уравнении (7) х^ -1- 2ху - 7у^ = -1 Зх^-\-10ху-5у^=-2 имеет решение, поскольку каждое решение системы уравнений (7) будет также и решением исходной системы неравенств. Решим теперь систему (7). Умножив первое уравнение на -2 и прибавив ко второму, получим уравнение (х + 3^^)^ = 0, откуда X ~ -Зг/. Подставляя -Зу вместо х в любое из уравнений системы (7), получаем одно и то же уравнение 4у^ = 1, которое имеет два корня: = 2 ^ ^2 = - 2* тогда х^ = 3 3 — и ^2 = —. Проверкой убеждаемся, 2 2 что обе пары чисел 3 1 —; — I и 2 2 2 являются решениями систе- мы (7), а значит, и исходной системы неравенств (при а < -1). Ответ. Любое а < -1. 371 Уравнения, неравенства и системы с параметрами ПРИМЕР 6. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4^ - а • 2^ + 1 - За2 4 4а = О имеет единственный корень. Так как множество значений функции у — 2^ есть все у > О и каждое из этих значений принимается только в единственной точке X, то задача эквивалентна следующей: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение у^ - 2ау - За^ + 4а = О имеет единственный положительный корень. Квадратный трехчлен f{y) = у^ - 2ау - За^ + 4а имеет дискриминант D = 16а (а - 1). При а = О соответствующее квадратное уравнение имеет единственный корень у = Оу не принадлежащий множеству положительных чисел. Следовательно, а = О не удовлетворяет условию задачи. При а = 1 дискриминант D также равен О и соответствующее квадратное уравнение имеет единственный корень у = 1у являющийся положительным числом. Так что значение а = 1 удовлетворяет условию задачи. Если выполнено условие D < О, то квадратный трехчлен f(y) вообще не имеет действительных корней, так что среди таких значений параметра искомые значения не содержатся. Если параметр а удовлетворяет условию D > О, т, е, неравенству а^ - а > О, то квадратный трехчлен f(y) имеет два различных действительных корня. Обозначим эти корни через Ух и j/2* Рассмотрим отдельно случай, когда среди этих корней есть равные нулю. Это возможно лишь в случае -За^ + 4а = 0. Значение а = 0 уже рассмотрено 4 нами. В случае о = - квадратное уравнение /(^) = 0 имеет единствен- о 8 4 ныи положительный корень у = —, так что значение а = — удовлетворяет условию задачи. Наконец, если квадратный трехчлен f(y) имеет ненулевые корни Ух и У2у то он будет иметь единственный положительный корень тогда и только тогда, когда произведение ух • «/г» равное, согласно теореме Виета, -За^ + 4а, отрицательно. Итак, в этом случае все искомые значения параметра а есть решения системы неравенств |а^- а > о |-За^ + 4а < о, множество решений которой состоит из двух промежутков: а < 0 и 4 а > -. ^ 4 Присоединяя к этим значениям найденные ранее а = 1 и а = —, 3 получаем решение задачи. 4 Ответ. Любое а < 0, а = 1, любое а ^ 3 ^372 15.30 При каких значениях параметра: а) а ^ -3 уравнение 2з1п2д: = --не имеет корней; а + 3 а + 5 б) а 2 уравнение Зсозх =----не имеет корней? а - 2 15.31 При каких значениях параметра а уравнение: а) х + 2~а\х-1\; б) а|л:-3| = х+1 имеет единственное решение? Найдите это решение. 15.32 Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение: а) |х + 2| = ах+1; б) \х-4\ = ах + 2? 15.33 При каких значениях параметра а уравнение: а) - (За - 1) |х| + 2а^ - а = 0 имеет четыре различных корня; б) х^ - (4а - 2) |х| + За^ - 2а = 0 имеет ровно два различных корня? 15.34 При каких значениях параметра а число:________ а) о является корнем уравнения cos 2х — 3 sin 2х = cosx; б) является корнем уравнения ^2 sin 2х - а cos 2х = -sinx? 2 Для каждого такого значения а решите уравнение. 15.35 При каких значениях параметра а уравнение: а) Vx + 1 = X + а; б) л/х + а = х + 3 имеет единственный корень? 15.36 При каких значениях параметра а уравнение: а) 4^ - (5а - 3)2^ + 4а^ - За = О имеет единственный корень; б) 9^-2 (За - 2) 3^ + 5а^ - 4а = О имеет два различных корня? 15.37 При каких значениях параметра Ь уравнение: а) log2^: + 1 (Зх^ - Ьх - 0,256) = 2 имеет два различных корня; б) \ogx - ь (0,75х^ - X + 6^ - 6) = 2 имеет единственный корень? 15.38 При каких значениях параметра а: а) все X > 3 являются решениями неравенства (а-2)х2-2х-а>0; б) все X > 1,5 являются решениями неравенства (а - 2)х2 - 2х - За + 10 > о? 1373 Уравнения, неравенства и системы с параметрами 15.39 При каких значениях параметра а неравенство: а) yjx^ - 10х + 26 > 4а 3 - 2а - 8 выполняется для всех х; 15.40 15.41 15.42 15.43 15.44 б) Jx^ + 8дг + 20 < ——- не имеет решений? Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство: а) + а - sin^x - 2а cos х > 1; б) 13 sin^ X н- 2а sin х cos х + cos^ х + а | ^ 3 выполняется для любого значения х. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых множество всех решений неравенства (р - х)^(р + х - 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства х^ < 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых 7а^ - а - 2 „ „ - неравенство х +--------< -7а не имеет решении х, боль- X - 2 ших 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства 2х^ - Зх + а + 12 ^ 0 не пусто и содержится среди решений неравенства х^ н- 10х + а ^ 0. При каких значениях параметра а система уравнений: а) б) в) г) [х + - а - 2 = о [у^ - = а(2х + а) У у + 2{х + а)^ = jc + 2а + 4 1^1 имеет два различных решения; имеет единственное решение; у = log, 1 + ^—• ' XI имеет единственное решение; ix-af + (y- af = 1 2 + log2l/ = log2(x + 3i/) у = X + 2a - 4 + 2(x - a)^ имеет два различных решения? 15.45 При каких значениях параметра а система уравнений: 2х^ У= У = а) л: + 1лг| (X - 2(а + 2))2 + {y-af б) 2л/3 дг-дг + |jc| 8; имеет хотя бы одно решение? X - 2а + 1 л/З + (у - а)2 = 4 И74 Исторические сведения Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В ♦Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней такая задача: «Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96». Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + X и 10 - л: (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100 - = 96, для которого указывал лишь положи- тельный корень 2. Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э. Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и ал му кабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787 — ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительные корни уравнений. В работах европейских математиков XIII—XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487—1567), который рассматривал уже и отрицательные корни. В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них: «Некий генерал хочет с 5000 человек батгшию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им в затылок? В древневавилонских текстах (3000—2000 лет до н. э.) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них: «Площади двух своих квадратов я сложил: 25 — . Сторона второ- 12 го квадрата равна — стороны первого и еще 5». Соответствующая система в современной записи имеет вид: + Z/2 = 25 = - X + 5. 3 12 1375 Исторические сведения S т е Эту задачу вавилонский автор решает правильно методом, который мы теперь называем методом подстановки, но он еще не пользовался алгебраической символикой. В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540—1603), служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е, коэффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита л:, у и 2, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами JC, у и 2. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавал только положительные корни. Лишь в XVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид. Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болонского университета Сципион дель Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида + рх = <7, (1) где р и q — числа положительные. Это открытие, по обычаям того времени, профессор держгш в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе некий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач. После смерти профессора дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тар-талья (1499 —1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиоре уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благо- 370 л ц, О) \о < о > ц о даря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока». Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете. Другой итальянский математик Джероламо Кардано (1501— 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения (1) и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора дель Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1). После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Ферро и Тартгьль-ей, и по сей день называется формулой Кардано. Такова полная драматизма история открытия формулы корней кубического уравнения (1). В той же книге Кардано привел алгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учеников Лудовико Феррари (1522—1565). После этого начались настойчивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в начале XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802—1829) и французский ученый Эварист Галуа (1811—1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой в общем случае в радикалах не решаются. Выше речь шла об алгебраических уравнениях, т. е. уравнениях f{x) = о, где f(x) — многочлен относительно х. j 377 ПетоpII'Iecr? e cno.ii» н Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств существенно опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно. Особое место среди алгебраических уравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, в которых неизвестные предполагаются целыми числами. Наиболее известными из них являются линейные диофантовы уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым уравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен. Вот эта задача: «100 шеффелей (денежных единиц) разделили между мужчинами, женщинами и детьми (число персон 100) и дали при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по — шеффеля. Сколь- ко было мужчин, женщин и детей?» Обозначив количество мужчин за х, количество женщин за у, мы придем к уравнению Zx + 2у + ^(100 - х — у)= 100. Общего решения линейных диофантовых уравнений в те времена еще не знали и довольствовались лишь несколькими решениями, удовлетворяющими условию задачи, У самого Алькуина было приведено лишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и детей было 11, 15 и 74, а задача имеет 784 решения в натуральных числах. Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180—1240), в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого. Диофантовы уравнения играют важную роль в математике. Л. Эйлер писал: «Диофантовых уравнений анализ немало служит изощрению разума начинающих и большое проворство в искусстве приносит». Известное диофантово уравнение Пифагора (VI в. до н. э.) х^ л- у^ = 2^ решают в натуральных числах. Его решениями служат тройки чисел (х; у; г): X = (т^ - п^)1у у = 2тп1у z = (т^ + /г"^)/, где гПу Пу I — любые натуральные числа (т > п). Эти формулы помогают находить прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются натуральными числами. a. о b. U X п щ 378 X а X Cl в 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601—1665) сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение х" + у" = г" для натурального л ^ 3 не имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «...невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвертую степень — в виде суммы таких же степеней, или вообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы для /г = 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теорему Ферма. В 1770 г. Л. Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3, в 1825 г. Адриен Лежандр (1752—1833) и Петер Густав Лежен Дирихле (1805—1859) — для п = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1993 г. Эндрю Вайле доказал эту теорему. SS _ Глава III 7SS3SW3S5fir KoNiilainiMe числа Л. . i • |*r " ^ ._. P ’ «■ л;ЗИС--f; iirJiitifca:' ■’■„j f * •' i ~ V >S 'Г’ V Я>':^т-’' Г = -I >ЯЩ|Й№ДЯ) 1’-“' ,лв1?е -1 При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что во множестве действительных чисел нельзя, например, найти число, квадрат которого равен (-1). При рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами также отмечалось, что такие уравнения не имеют корней, которые были бы действительными числами. Чтобы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа — комплексные числа. § 16*. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел 16.1*. Алгебраическая форма комплексного числа Приведем формальное определение комплексных чисел. Пусть а и Ь — действительные числа, i — некоторый специальный знак. Множеством комплексных чисел называют множество выражений вида а + 6i, если они подчинены правилам: а) выражения а + Ы и с di считают равными тогда и только тогда, когда а = с и Ь = dy при этом пишут: а + Ы = с di; б) суммой выражений а + 6i и с + di называют выражение (а + с) + (6 + d)i, при этом пишут: (а + Ы) + (с + di) = (а + с) + (6 + d) i; в) произведением выражений а + и с + di называют выражение (ас - bd) + (ad + &c)i, при этом пишут: (а + Ы) • (с + di) = (ас - bd) + (ad + bc)i; г) каждое выражение вида а -н Oi отождествляют с действительным числом а, т. е. выражение вида а + О/ и число а не различают. 1380 при этом пишут: а + Oi = а; в частности, выражение О + 0/ и число О не различают и пишут: О + О/ = 0; д) каждое выражение вида О Ы отождествляют с выражением Ы и пишут: О + Ы = Ы; в частности, выражение 0+1/ отождествляют с выражением i и пишут: О + 1/ = /. ПРИМЕР 1. а) (3 + 2i) + (-1 + 3/) = (3 - 1) + (2 + 3)/ = 2 + 5/; б) (-1 + 50 + (-1 + (-5)0 = (-1 - 1) + (5 - 5)г = -2 + о/ = -2; в) (7 + 20 + (-7 + 10 = (7 - 7) + (2 + 1)/ = О + 3/ = 3/; г) (4 + (-3)/) + (-4 + 3/) = (4 - 4) + (-3 + 3)1 = 0 + 01 = 0. ПРИМЕР 2. а) (3 + 20(-1 + 3i) = (-3 - 6) + (9 - 2)/ = -9 + 7i; б) (-1 + 50(-1 + (-5)0 = (1 + 25) + (5 - 5)/ = 26 + 0i = 26. Каждый элемент множества комплексных чисел называют комплексным числом. Комплексное число i называют мнимой единицей. Покажем, что мнимая единица обладает свойством /^ = -1. Действительно, на основании правил ♦а» — «д» имеем /2 = (0 + 10^ = (0 + 10(0 + 10 = (0 • о - 1 • 1) + (0 • 1 + 1 • 0)/ = = -1 + 0 •/ = -!. Комплексные числа вида Ы называют мнимыми числами. Покажем, что Ы есть произведение действительного числа Ь и мнимой единицы L На основании правил «а» — ♦д* имеем Ь • i = {b + 0i)(0 + 10 = (6 • о - о • 1) + (6 • 1 + о • 0)i = о + 6i = 6/. Любое комплексное число а + Ы есть сумма действительного числа а и мнимого числа Ы. Действительно, (а + 00 + (0 + &0 = (а + 0) + (0 + 6) i = а + Ы. Комплексное число а + Ы часто обозначают одной буквой z и пишут: 2 = а + Ы. Правую часть этого равенства называют алгебраической формой комплексного числа z. Число а называют действительной частью числа 2 = а + Ы и обозначают Кег = а, а число Ь называют мнимой частью числа z и обозначают Imz = Ь (от франц. reel — реальный, действительный, imaginaire — мнимый, воображаемый). Пусть даны комплексные числа 23 = аг + ^2^ 2з = аз + 63/, 2„ = а„ + b^i. Чтобы найти сумму комплексных чи- сел 2j, 23, 23, ..., 2„, надо найти сумму первых двух чисел, к полученной сумме прибавить третье число, к ползгченной сумме прибавить четвертое число и т. д., пока не переберем все слагаемые. Аналогично определяется и произведение нескольких комплексных чисел. Ш381 Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация Если комплексное число z взято множителем п раз {п ^ 2), то произведение z • z •- z называют п.-й степенью числа z и обознача- п раз ют т. е. по определению z • z • z = z'‘ Кроме того, по определе- п раз нию = 2, а если z ^ 0^ то 2^ = 1. Для операций сложения и умножения существуют обратные операции. Разностью комплексных чисел 2j и 22 называют такое комплексное число 2з = X + i/i, которое в сумме с 23 дает Zi. Покажем, что для любых комплексных чисел Zy = Ui + bii и 22 = U2 + 62^ разность 03 = 2i - 23 существует, единственна и вычисляется по правилу 2з = (ai - аг) + (&i - 62) i- По определению суммы комплексных чисел 23 + 23 = (аз + х) + + + По определению равенства комплексных чисел числа 23 + 2з и 2j равны тогда и только тогда, когда одновременно справедливы равенства аз + х = а^, Ь2 + у = bi. Из этих равенств действительные числа х у определяются, и притом единственным образом: х = ai - аз, у = bi~ 63, т. е. существует, и притом единственное, комплексное число 2з = (aj — аз) + (bi — b2)ij которое и является разностью комплексных чисел 2^ и 23. ПРИМЕР 3. а) (3 + 20 - (-1 ч- 30 = (3 + 1) + (2 - 3)/ = 4 -I- (-1)г = 4-0 б) (-1 + 50 - (-1 + (-5)0 = (“1 + 1) + (5 -h 5)г = о + 10/ = 10/; в) (4 + (-3)0 - (-4 + 3/) = (4 + 4) + (-3 - 3)/ = 8 ч- (-6)/ = 8-6/. Частным от деления комплексного числа 2j на комплексное число 2з (2з ^ 0) называют такое комплексное число 23 = х + yiy которое при умножении на 23 дает Zi. Можно показать, что для любых комплексных чисел 2^ = а^ ч- Ь^/ и 2з = аз ч- 63/ (2з 0) их частное существует, единственно и вычис- ляется по правилу 2j aj + b^i (aj ч- bii)(u2 - b^i) ^3 = - “ a^a2+ bib2 b^a2- a^b2 , +-------------3---—l- Ч ^2^ (^2 + ^20(«2 “ ^2^ a| + b'2 al+ bl ПРИМЕР 4. 1 Ч- 2/ 1*3+2 4 2*3- 1- 4 . Ч" —гг;-—— / 11 2 . ----i----1. 25 25 3+4/ 32+42 32+42 Каждое комплексное число z = a + bi имеет единственное противоположное ему число, обозначаемое -2, которое в сумме с числом 2 дает 0. Число -2 есть -а - bl. В самом деле, 2 + (-2) = (а + bi) + (-а - 6/) = (а - а) + (fe - Ь) / = 0. 382 Разность комплексных чисел и 22 равна сумме чисел и (-22). В самом деле, пусть Zi~ а л- Ы и 23 = с + di, тогда 2i - 22 = (а - с) + (& - d)i = (а + (-с)) + (6 + (-d))i = + (-22). В частности, а - Ы = (а + Oi) - (О + Ы) = {а - 0) (О — b)i = а + (—Ь)I. Каждое отличное от нуля комплексное число z — а + Ы имеет единственное обратное ему число, обозначаемое -i, которое при умножении на число z дает 1. По правилу деления комплексных чисел если 2 = а + bi {z ^ 0) есть любое комплексное число, то 1_1_ а - Ы _ ^ ^ 2 а + Ьг (а + Ы){а - Ы) +6^ I. ПРИМЕР 5. 3+4/ 32+42 32+42^ 25 25 Таким образом, сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел (делить на нуль нельзя) являются комплексными числами. Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Для комплексных чисел справедливы основные законы арифметических действий (проверьте самостоятельно). Из изложенного выше вытекает, что все равенства, связанные с арифметическими действиями, приведенные в п. 1.2 учебника для 10 класса для действительных чисел, а также все тождества, доказанные ранее для действительных чисел, остаются справедливыми и для комплексных чисел. Поэтому арифметические действия с комплексными числами можно проводить так же, как они проводятся с алгебраическими выражениями, заменяя на -1 и объединяя затем члены, содержащие и не содержащие г. ПРИМЕР 6. (2 + 30^ = 4 -н 12/ + 9/2 = 4 - 9 + 12г = -5 12/; (5 + 3/)(5 - 3/) = 25 - 9/2 = 25 + 9 = 34. Если числа 2j и 22 различные, то пишут: 2^ ^ 23. •I. 16.1" В каком случае выражения а + Ы и с di считаются: а) равными; б) различными? 16.2® Что называют множеством комплексных чисел; комплексным числом? 16.3" При каком условии комплексное число а + Ы отождествляется с действительным числом а? 16.4® Какое комплексное число называют мнимым числом? 16.5® Какое комплексное число называют мнимой единицей? 383 Ллгебраич<ч‘]%ая форма н 1Ч*пметричоская ннт^^риретапия 16.6 Что называют действительной частью, мнимой частью числа 2 = а + Ы? Как обозначают действительную часть, мнимую часть числа г = а + Ы7 16.7 Что называют суммой комплексных чисел а + и с + di? 16.8 Что называют произведением комплексных чисел а + Ы и с + di? 16.9'' Как вычисляют сумму, произведение нескольких комплексных чисел? 16.10 Что называют п-й степенью (л е N) комплексного числа г? 16.11 Запишите основные законы сложения и умножения комплексных чисел, сформулируйте их. 16.12 Докажите справедливость основных законов сложения и умножения комплексных чисел. 16.13 Что называют разностью комплексных чисел Zi = Ui + b^i и 22 = «2 + ^2^? Докажите, что для любых комплексных чисел Zi и 22 их разность существует, единственна и вычисляется по правилу 2з = (Ui - а2) + (&i - йгИ- 16.14 Что называют частным от деления комплексного числа 2i = ai + bit на комплексное число 22 = Л2 + 62^ (22 0 + 0/)? Докажите, что для любых комплексных чисел 2j и 22 их частное — существует и единственно. Вычислите (16.15—16.20): 16.15 а) (3 + 2i) 4 (1 ■ 5i); 6) (3 - 110 + (4 + 150; в) (-5 4- 0 + (1 - 4i); r) (8 - 0 + (-8 + i); д) (-5 4- 7i) + (5 - i); e) (8 - 0 4- (4 + 0- 16.16 а) (3 4- 2i) - (1 -f 5i); 6) (3 - 110 - (4 + 150; в) (-5 + /) - (1 - ■ 4i); r) (8 + 0 - (-8 4- 0; д) (5 + 7i) - (5- ■ 0; e) (8 - 0 - (8 - 0- 16.17 а) (3 4- 2i) • (1 + 50; 6) (3 — 0 • (4 4- 50; в) (-5 4- i) • (1 - 4i); r) (8 + 0 • (-8 4- i); д) (5 4- 2i) • (5- 0; e) (8 - 0 • (8 4- i). 16.18 а) (3 4- 2i) : (1 + 50; 6) (3 - 110 : (4 4- 150; в) (-5 + i) : (1 - 40; r) (8 + 0 : (-8 4- 0; д) (5 4- 7i) : (5- 0; e) (8 - 0 : (8 - 0- 16.19 а) (5 + 2if; 6) (3 - 20"; B) (4 + 0"; г) (3 - 3i)2; Д) (4 + 4i)2; e) (5 - 5if; ж) (1 + if; 3) (1 - 20"; и) (2 + 0". 16.20 а) (3 + if + (3- 0"; 6) (3 - 20" - (3 + 20"; в) (-5 + if -(5 -if; r) (6 + 0" - (-6 + 0"; д) (3 4- if + (3- if; e) (1 - 20" - (1 + 20". :i84 16.21 16.22 16.23 16.24 16.25 16.26 16.27 16.28 16.29 16.30 Упростите выражение: а) (х + i)(x - i); в) (Зх + yi){3x - yi); д) i-5x + 4уЧ)(5х - 4уЧ); Разложите на множители: б) (х + yi)(x - yi); г) {х - 2yi){x + 2yi); е) (6х® + 1/0 (-6x3 + у1^ а) х2 + 1; б) х2 + у2; в) 16x2 + J/2; г) 25x3 + 9уЗ; д) 25х'* + 16г/3; е) Збх® + 16у^. Пусть дано комплексное число г = а + Ы, Какое комплексное число называют: а) противоположным числу г; б) обратным числу г {г Ф 0)? Пусть дано комплексное число г = 12 + 5/. Укажите число: а) противоположное числу г; б) обратное числу 2. Пусть а и Ь — действительные числа. Приведите к виду а + bi выражение: а) j; б) -j; в) ^ 1 + / г) Д) 1+/ 1-г ;80 + + г + г"' + i. :7 е) - 2i^ + i - 1; ж) Для какого действительного числа х выражение (3 + xi)^ — — (4х + 2) i является: а) действительным числом; б) мнимым числом? Для какого действительного числа х выражение (х + 2£)^ + + (5 + х)г является: а) действительным числом; б) мнимым числом? Определите все действительные числа а, при каждом из которых является действительным числом выражение: а) (1 + 40^ + а + lOOi 1+i ' б) (2 - 50^ - (а + 40 П2 Определите все пары {х; у) действительных чисел х и у, для каждой из которых выполняется равенство: а) (2 + хг)^ = -46 + yi; б) (у -ь Ы)(2у + 3i) = х - хг. Найдите все комплексные числа 2, удовлетворяющие двум условиям: а) 2^ = -15 ч- 8г и 1ш2 > 0; лч -,2 _ б) 2^ = 5 -ь 12г и Re2 < 0- 16.2^. Сопряженные комплексные числа Если 2 = а -ь Ьг есть комплексное число, то комплексное число а~Ы обозначают z и называют сопряженным с числом 2 пишут: 2 = а — bi. Легко видеть, что число, сопряженное числу 2, есть 2, т. е. 2 = 2, и поэтому числа 2 и 2 называют взаимно сопряженными- 885 Алгебр»Ifч<4'кая форма и геомстрнчепч»» интерпретация Если 2 ~ а — действительное число, то 2 = а, т. е. если z — действительное число, то 2 — 2. Верно и обратное утверждение: если 2 =_2, ТО 2 — действительное число. Действительно, если z = а Ы, то 2 = а - 6i. Условие 2 = 2 означает, что а + Ы = а - Ыу откуда следует, что Ь = О, т. е. 2 — действительное число. Можно доказать следующие свойства, связанные с сопряженными числами: 1) Сумма и произведение взаимно сопряженных чисел есть действительное число. 2) Число, сопряженное с суммой двух любых комплексных чисел, равно сумме сопряженных чисел. 3) Число, сопряженное с разностью двух комплексных чисел, равно разности сопряженных чисел. 4) Число, сопряженное с произведением двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных чисел. 5) Число, сопряженное с частным двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел. 6) Число, сопряженное с п-й степенью (п е N) комплексного числа 2, равно п-й степени сопряженного числа. В качестве следствия этих свойств имеем следующее утверждение: Если число 2 выражено через комплексное число а при помощи произведения, суммы и разности натуральных степеней этого числа, то, заменяя в этом выражении число а на сопряженное ему число а, получим число 2, сопряженное с числом 2. 16.31 16.32 16,33 16.34 Пусть дано комплексное число z — а + Ы. Какое комплексное число называют сопряженным с числом 2? Для каких чисел равны само число и число, ему сопряженное? Укажите число, сопряженное комплексному числу: а) 2 = 12 -н 5/; б) 2 = -1 - 2/; в) 2 = 2 - Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряженных чисел — действительные числа. Пусть U и U — произвольные комплексные числа. Докажите, что: ” " . й ” а) и + V = и о; г) б) и ~ и = и - v; в) и • V если V 0; д) (ы'*) = (и)", п е N. о; 16.35 Выполните деление комплексных чисел: а) (1 + 21) : (2 + i); б) (1 - 2i) : (2 - /); в) (3 + 2i) : (1 - 0; г) (3 - 5/): (3 -h 40; Д) (10 + i): (3 + 50; е) (10 - /): (13 - 5г). 13-Иикольский. i 386 16.36 16.37 16.38 16.39 16.40 Упростите выражение: . 1 + 2i 1 - 2t 3 + 2i а) о . .. - о—7т; б) 3+ 4i 4i 3-2г 12-5/ 12 + 5/ Найдите пару комплексных чисел z а и, для которой выполняются соотношения; а) 2г и = 11/ и 2г - Зй/ = 17; б) 3z - 2й = 1 и z - iu = —6/. Укажите число, сопряженное с комплексным числом z: а) 2 = (3 + 2/) + (1 -/); б) г = (3 + 2/) - (1 -/); в) 2 = (1 + 3/)^; г) Z ~ {1 - 2/)^; д) г = (3 + /)^ + (1 - /)^ - (1 + /). Найдите все комплексные числа 2, удовлетворяюпдие условию (16.39—16.40): а) + 2г + 1 = 0; б) а) Z Re 2 + i Im 2 = 3 - 2/; б) 2 (2 + 2) + 4 = 0. 2z = 2(1 + 2/). Rez Imz 16.3^. Геометрическая интерпретация комплексного числа Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат хОу. Каждому комплексному числу 2 = а + &/ поставим в соответствие точку А (а; Ь) (рис. 180). Тем самым между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости установлено взаимно однозначное соответствие, при котором каждому комплексному числу соответствует единственная точка, различным числам соответствуют различные точки и нет такой точки, которая бы не соответствовала какому-нибудь комплексному числу. Поэтому можно считать, что комплексное число 2 = а + 6/ есть точка (точка z) на координатной плоскости. В силу этого соответствия между точками плоскости и комплексными числами координатную плоскость называют комплексной плоскостью. Модулем комплексного числа z = а-\-Ы называют неотрицательное число yja^ + равное расстоянию от точки z до начала координат. Таким образом, каждое комплексное число z = а + Ы имеет свой модуль, обозначаемый \z\: I 2 1 = А{а;Ь) В частности, если 2 есть действительное число, то модуль 2 есть абсолютная величина действительного числа а: \z\ = yja^ + = а i Рис. 180 Для чисел 2 и 2 справедливы следующие свойства: 1) |2| = |2|; 2) |2р = 2-2. 387 Алгебраическан форма и геометрическан интерпретация Действительно, |г | = , \z \ = д/а^ + (-Ь)^ = д/а^ + , т. е. |JI = l^l; г • J = (а + bi)(^ - bi) = = |2|^. ПРИМЕР 1, Найдем множество точек z комплексной плоскости, таких, что: а) |z| = 1; б) 2 < |z| < 3, Согласно геометрическому смыслу модуля комплексного числа это будут точки: а) удаленные от начала координат на расстояние 1, т. е. точки окружности радиуса 1 с центром 0(0; 0) (рис. 181, а); б) находящиеся внутри кольца, образованного окружностями с радиусами 2 и 3 и с центром 0(0; 0), включая окружность радиуса 2 (рис. 181, б). а) Рис. 181 Комплексное отличное от нуля число z = а Ы можно рассматривать также как вектор (вектор г), начало которого находится в начале координат, а конец — в точке А (а; Ь)у изображающей это число. На рисунке 182 вектор ОА изображает комплексное отличное от нуля число 2 = а ^ Ы. Рассмотрим геометрическую интерпретацию сложения и вычитания двух комплексных чисел = а + бг и Z2 — с + di в том случае, когда точки О (0; 0), Ai(a; Ь) и А2{с\ d) не лежат на одной прямой. 13* 1388 Сумма чисел = а + &/, Z2 = с di есть число 2з = (а + с) + (6 + d) i. Рассмотрим векторы 2i, конец которого находится в точке Ai(a; 6), ?2, конец которого находится в точке А2(с; d), и 2з, конец которого находится в точке Аз(а + с; 6 + d). Вектор является диагональю параллелограмма ОА1А3А2 (рис. 183). Таким образом, сложение комплексных чисел Zi и 22 можно интерпретировать как сложение по правилу параллелограмма соответствующих им векторов 2^ и 22. Векторы, изображающие противоположные комплексные числа Z — а + Ы и —Z = -а — симметричны относительно начала координат, поскольку концы этих векторов — точки М (а; Ь) и N (-а; -Ь) — симметричны относительно начала координат (рис. 184). Пусть даны числа 2^ = а + Ь/ и 23 = с + di. Так как 2^ - 23 = 2i -ь + (~^2)у то вычитание из числа 2j числа 23 можно заменить прибавлением к числу Zi числа, противоположного числу Z2- Рассмотрим векторы 2j, конец которого находится в точке Alia; fe), 23, конец которого находится в точке Аз (с; d), и 23, конец которого находится в точке A3 (-с; -d). Построим параллелограмм А1ОА3А4 (рис. 185). Тогда ОА4 = = 2i + (-23), т. е. вектор ОА4 изображает разность комплексных чисел Zi - 2з- Так как четырехугольник А1А2ОА4 также является параллелограммом, то А1А2 = ОА4 = |2i - 2з|. Это означает, что длина отрезка А^Аз, соединяющего точки, соответствующие комплексным числам 2j и 2з, равна |2i - 2з| и модуль разности двух комплексных чисел Zi и 2з представляет собой расстояние между точками Aj и Аз, изображающими эти числа. 1389 Алгебраическая форма и геометрическая иытсрдретация Такое геометрическое толкование суммы и модуля разности двух комплексных чисел часто применяется при решении задач. ПРИМЕР 2. Найдем множество точек комплексной плоскости, соответствующих комплексным числам 2, таким, что \z - i\ = \z 2\. Расстояния от каждой искомой точки z до точек i и -2 равны. Значит, искомое множество точек есть серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках (0; 1) и (-2; 0) (рис. 186). Его уравнение у = —2х — 1,5. ПРИМЕР 3, Найдем точки z комплексной плоскости, удовлетворяющие условию \z- 1| = |2-2| = |2-/|. Точки, соответствующие числам 1, 2 и i, образуют треугольник с вершинами (1; 0), (2; 0) и (0; 1) (рис. 187). Условию задачи удовлетворяет единственная точка — центр окружности, описанной около этого треугольника. Так как она равноудалена от точек (1; 0) и (2; 0), то ее абсцисса х= 1,5. Так как она равноудалена от точек (1; 0) и (0; 1), то ее абсцисса равна ординате: х = у. Условию задачи удовлетворяет единственная точка комплексной плоскости 3^ 3^ 2’ 2 У 3 3 т. е. точка (комплексное число) — и—i (рис. 187). 2 2 Отметим, что справедливы следующие свойства модулей комплексных чисел: \zi + 22I ^ l^il -ь |22|, (1) 1^1 “ ^2! ^ N1 I + |2^2l- (2) Если 2j ^ 022, неравенство (1) следует из того, что длина диагонали параллелограмма, построенного на векторах Zi и 22» превышает суммы длин этих векторов. Доказательство неравенства (1) для случая 2i = 02 и неравенства (2) проведите самостоятельно. Щ390 16.41^^ 16.42=^ 16.43° 16.44 16.45 16.46 Каким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и комплексными числами? Что называют комплексной плоскостью? Что называют модулем комплексного числа? Найдите на комплексной плоскости точку, соответствующую комплексному числу: а) 2; б) -2; в) £; г) -t; д) 2 + £; е) 2 - i; ж) -2 + г; з) -2 - г. Какому комплексному числу соответствует точка комплексной плоскости: а) (1; 0); б) (0; 1); в) (-1; 0); г) (0; -1); д) (-2; 4); е) (4; -2); ж) (1; 1); з) (-1; -1)? Какое геометрическое истолкование можно дать сумме и модулю разности комплексных чисел? Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию (16.47—16.50): 16.47 а) |2| = 4; б) |2| ^ 4; в) \z\> 4. 16.48 а) |2 - 3| = 2; б) |2 - 3| ^ 2; в) |2 - 3| ^ 2; г) |2 - i| = 2; д) |2 - / | < 2; е) |2 - г| ^ 2; ж) 1 < |г + 11 ^ 3; з) 1<|2-/|<4; и) 1<|2-1- 16.49 а) |2 - 4| = |г + 4il; б) |2 + 2| = |2 + 2t|. 16.50 а) > 0,5; 2-2 6) \2- i\ 16.51 16.52 Найдите комплексное число 2, удовлетворяющее следующему условию, и соответствующую ему точку комплексной плоскости (16.51—16.52): в) zi = 5 — 2i; б) -3 + г = 2(1 + i). а) 2(-3 ч- 2/) = 5 - 55z; б) -7 + 1,5г = 2(5 - 4/)- § 17*. Тригонометрическая форма комплексных чисел 17.1*. Тригонометрическая форма комплексного числа В системе координат хОу вектор ОА изображает комплексное отличное от нуля число z = а Ы (рис. 188, а — г). Главным аргументом этого комплексного числа 2 называют угол из промежутка о ^ Фо < 2я, образуемый вектором ОА с единичным вектором оси Ох, отсчитываемый в положительном направлении (против часовой S^391 Тригонометрическая форма комплексных чисел в) г) Рис. 188 стрелки). На рисунке 188 показан главный аргумент числа г. Главный аргумент числа z обозначают фо = argz. Если угол Фо есть главный аргумент числа 2, то угол фо + 2лл, где п — любое целое число, называют аргументом числа 2, аргумент для любого комплексного числа определяется неоднозначно: любой аргумент ф числа 2 О вычисляется по формуле Ф = Фо + 2лА, где k — некоторое целое число, фо = arg2. Аргумент ф комплексного числа z = а Ы {г ^ 0) можно найти как угол, одновременно удовлетворяющий двум равенствам: а . Ь С08ф = и 81Пф = ;— (1) yja^ + ПРИМЕР 1. Найдем аргумент комплексного числа 2 = 3 + 4г. Напишем равенства созф = — и 81пф = Ясно, что угол 4 5 5 Фо = arcsin— им удовлетворяет, и так как О ^ фо < 2тс, то фо — глав- 5 ный аргумент числа 2. Следовательно, аргументом числа 2 является любой из углов 4 Ф = arc8in— -ь 2nky ft € Z. 5 П392 Пусть 2 - а ^ Ы — некоторое отличное от нуля комплексное число. Обозначим через г его модуль, а через ср один из его аргументов. Тогда, как следует из равенств (1), число z можно записать в виде 2 - r(cos(p + /sincp). (2) Правую часть равенства (2) называют тригонометрической формой комплексного числа z. Тригонометрическая форма отличного от нуля комплексного числа есть запись комплексного числа z в виде (2), где г — положительное число, равное модулю числа 2, косинус и синус берутся от одного и того же угла ср, равного одному из аргументов числа 2, при этом между coscp и /sincp стоит знак «плюс». Например, число 2j = 3 ^cos ^ + I sin j записано в тригонометри- ческой форме, а следующие комплексные числа не записаны в три- гонометрической форме: 22 = -2 71 . . Я 2 а = COS-ISin—. ^44 Я . . я cos----hi Sin — 3 3 . я . я 2о = Sin— + 1 COS—, ^ й л ’ Запишем те же числа в тригонометрической форме: of . 4п\ 22 = 2 COS — -h I Sin U 2:3 = V 3 3 ; я . . я 7я . . 7я COS — + I Sin—, 2a - COS-+ I Sin-. 3 3 ^ 4 4 Действия умножения, деления и возведения в целую степень над любыми комплексными числами удобнее производить, если они записаны в тригонометрической форме. В следующих теоремах под аргументом числа 2 (2 ^5= 0) понимается любой из его аргументов. ТЕОРЕМА 1. Если Zi^O, 22 5^ О и 2х = Г| (cos cpi + £ sin —. 4 4 2 2 Запишите формулу Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа 2 = r(cos(p + isin(p) в степень с целым показателем п. Возведите в степень 3 комплексное число: ^ 5л . . 5л а) cos—-hisin —; 3 3 2л в) 3 cos I 3 2л т б) ^ 5л . . 5л +1 sin — 4 г) ^ ( ' 7л . . 7л 4 cos — -h 1 sin ( . 6 б 17.14 17.15 Возведите в степень с показателем л = 1, 2, 3, 4, 5 данное комплексное число 2 и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам: а) 2=1; б) 2 = -1; в) 2 = i; г) 2 =-i; д) 2 = 1 + /; е) 2 = 1 - i; ж) 2 = -1 н- i; з) 2 = -1 — i. Возведите в степень с показателем п = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 комплексное число 2 и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам: , л/з 1 . 1 . , л/з 1 . ' 22 22 22 , л/31. , 1л/3. , 1л/3. г) 2 =------1; д) 2 = — н----1; е) 2 =--------1. 2 2 2 2 2 2 396 17.16 Докажите, что для любых комплексных чисел 2^ и 22 справедливо неравенство: а) Ni + 22I < I21I + jzal; б) \zi - Zzl ^\zi\ + {zzl; в) Ibil - Izall < |zi + zai; r) \\zi\ - {zzW^lzi - Zzl 17Л7 Выразите через sinx и cosx: a) sin4,r и соз4д:; б) sin 5л: и cos 5л:; в) sin6x и cos 6л:. 17.18 Вычислите: а) (1 + tV3)7 + (1 - iSf; 17.19 Вычислите: ^ . п" 16^ sin---zcos — I 3 3, б) (Vs + if + (Vs - if. a) 16i (Vs + 0“ 6) / К к sin — + «cos — 6 6 0V3 - 0" 17.20 a) Пусть z — комплексное число: |2| = 2, arg2 = —. Найдите и модуль и один из аргументов числа 2^ - 8i. б) Пусть 2 — комплексное число: |2| = ^, arg2 = Найдите модуль и один из аргументов числа 322^ + 2->IZi. 17.21 а) Найдите множество точек 2 комплексной плоскости, удов- летворяющих условию 2 • 2 = (2 + /)^ + 17 Среди этих то- 1 + 4г чек найдите такие, для которых выполняется равенство I2I = |2 - 2г|, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме. б) Найдите множество точек 2 комплексной плоскости, удовлетворяющих условию 2 • 2 = (4- г)^ + Среди этих то- чек найдите такие, для которых выполняется равенство |г| = |2 + 4|, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме. 17,2*. Корни из комплексных чисел и их свойства TEOPEiVIA. Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое натуральное число, п ^ 2. Существует п различных комплексных чисел а|, а.2, а^, а„, таких, что а" = а, где / = 1, 2, ..., TV» Эти числа называют корнями степени п из комплексного числа 2. Для обозначения этих корней нет специальных символов, подобных символу, которым обозначается арифметический корень. 1 397 Тригонометрическая форма комплексных чисел Доказательство. Пусть г = r(cos(p + isincp), z Будем искать комплексное число а = p(cosv|/ + isin\|f), а О, такое, что а" = 2, где п — любое натуральное число, п ^ 2. Покажем, что такое число а существует. Более того, покажем, что таких различных между собой чисел только л. По формуле Муавра г = а'* = p”(cos л\|/ + isinn\\f). По определению модуля комплексного числа \ z\ = р'*, т, е. г = р", откуда р = Vr (по определению модуля комплексного числа для Z Ф О числа риг положительны, поэтому символ арифметического корня здесь употреблен правильно). Применяя определение равенства двух комплексных чисел, получаем, что одновременно справедливы равенства cos л\|/ = cos ф sin Л\|/ = 5Шф. Эти равенства одновременно выполнены тогда и только тогда, когда лф = ф + 2л/е, где k — любое целое число, т. е. только для Ф + 2кк ф = -, где k — любое целое число. Значит, числа а, такие, что каждое из них удовлетворяет равенству ществуют и могут быть записаны в виде г(созф + /81пф), су- а nf~( Ц> + л = vr cos ------ 1 п 2nk . . ф + 2nk . , ^ + I sin----I, keZ. (1) Обозначая через корень, вычисляемый по формуле (1) для k = р, получаем: ао = Vr ^cos^ + isin^j, пг ( Ф + 2л .. ф+2л^ а 1 = л/г I cos —з;— + I sin —-— I, а 2 = 'Vr cos п Ф + 2тс • 2 п + I sin Ф + 2л * 2 п/— { ф + 2л (л - 1) . . ф + 2л (л - 1) _ 1 = л/г I cos ------------------+ I sin а )■ пг( ф + 2лл . . ф+2лл'\ а„ = л/г cos-^^------+ isin-^^------ = Oq, \ п п ) пГ ( ф + 2л (л + 1) . . ф + 2л (л + 1) ^ «+1= vrlcos-^^------------^ISin--------------- I = Oti, a_ a„ + 2 ~ ^2n ~ - 1» ^-2 — - 2» Л ^0’ в 398 Отсюда легко видеть, что для любого целого р справедливы равенства ао = tti = + 1, = а^„ + 2. - 1 = - 1- Итак, различных корней ровно л: ocq, Oi, а2, ct„ . Они могут быть вычислены по формуле пг ( Ф + 2яАг 'Vr COS ----------- V л + i sin ^ ^ I, где Л = 0, 1, 2, л — 1. (2) ПРИМЕР 1* Найдем корни третьей степени из числа г = л/З + Поскольку для числа г имеем г=2, аф = —, то 6 а^ = V2 — + 2яй + 2яАг 6 . . 6 cos----------+ I sin---------- , где л = О, 1, 2, sin- 13я т. е. tto= ^fcos^ + isin^l, tti = ^fcos^ + i_... a,= ^f 25л cos V 18 +1 sm 25я 18 Рассмотрим частный случай: отыскание корней степени л, л ^ 2, из единицы, т. е. найдем все числа a^j, такие, что = 1. Рассмотрим число 2=1 + 0/. Поскольку для него г = 1 и <р = 0, то afj =cos—^ + tsin-^, где ft = 0, 1, 2, л - 1. Если л = 2т (четное число), то среди этих корней существуют только два действительных корня: ао = 1 и = -1. Если же л = 2л1 + 1 (нечетное число), то существует только один действительный корень ао = 1. Приведем еще геометрическую интерпретацию корней степени л (л > 3) из единицы: - 2я . . 2я 4я . . 4я ао = 1, ai = cos — + I sin —, a? = cos-1- z sin —, " ’ ^ n n ^ n n 6я . . 6я 2я(л-2) . . 2я(л-2) а о =cos--hi sin—, ... , а„_р = cos---------+ zsin----, n n ^ ^ n n 2я(л - 1) . . 2я(л - 1) a„ _ 1 = cos----+ i sin--------. Л — 1 n FI Очевидно, что точки Oo, aj, 02, 03, ..., a„ _ 2, a„ _ 1 являются вершинами правильного л-угольника, вписанного в единичную окружность, одна из вершин которого — точка Ао(1; 0). 399 Тригонометрическая форма комплексных чисел 2к 2тс ПРИМЕР 2, Пусть л = 3, тогда olq= 1, а, = cos — + i sin — = о о 1 .V3 4л . . 4Tt 1 .л/з „ и /1 лч = -- + I—, ag = cos— + ism— = ~ ^о(1; 0)> ^ (л 2’ 2 , Ап 1 2’ 2 являются вершинами правильного тре- угольника А0А1А2, вписанного в единичную окружность (рис, 189). Ао(1;0) Рис. 190 ПРИМЕР 3, Пусть п = 4, тогда ао = 1, aj = i, 03 = -1, аз = -i. Точки Ао(1; 0), Ах(0; 1), АзС-!; 0), Аз(0; -1) являются вершинами квадрата АоАхАзАз, вписанного в единичную окружность (рис. 190). Приведем теперь формулу для корня степени п (п ^ 2) из -1. Рассмотрим число 2 = -1 + Oi. Так как для него г = 1 и ф = л, то ttfe = cos----+ isin------, где fe = О, 1, 2, n - 1. (3) п п Отсюда видно, что если п = 2т (четное число), то среди нет ни одного действительного корня. Если же п = 2т + 1 (нечетное число), то существует только один действительный корень = -1. Отметим, что при п > 3 точки Oq, ttj, 03, а„ _ з» а„ _ i, вычисленные по формуле (3), также являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в единичную окружность. ПРИМЕР 4, Пусть /г = 3, тогда ttQ = cos ^ + г sin— н-i , 3 3 2 2 1 5л . . 5л 1 . л/з ^ f 1 ч/з' tti = -1, ttg = cos — + г sin — = - - I —. Точки 2’ “i" '1 АЛЛ —— являются вершинами правильного треугольника АоА^Аз, ш 2 / , Ai(-1;0), вписанного в единичную окружность (рис. 191). 400 /g /о /р /р ПРИМЕР 5. Пусть л = 4, тогда Оо = ^ + «1= V2 .л/2 ^ . rV2 V2'i ^ f Л V2 ^ а.,= —-г —. Точки Ао —; — , Aj -—; — л/2 . л/2 0^2 = —:г““ л о о ^ , л/2 л/2 ЯВЛЯЮТСЯ вершинами квадрата 2 2 _л^ 2 ' 2 j’ 2 ’ 2 AoAiA2^3, вписанного в единичную окружность (рис. 192). Вообще для любого положительного числа а и любого четного натурального числа п существует только два действительных числа bi и таких, что ■= Ь^ = о,. Действительно, поскольку для любого положительного числа а = Ia|(cos0 + /sinO), то все корни степени п из этого числа вычис- ляются по формуле b/j ='^/[о] l^cos 2nk . . 2nk \ -----h I sin-- . n n j Если n = 2m, TO среди этих корней только два действительных корня: а \ и = -Vw. ЧТО и требовалось доказать. Аналогично можно доказать справедливость следующих утверждений: 1) Для любого положительного числа а и любого нечетного натурального числа п существует только одно действительное число Ь = такое, что = а. 2) Для любого отрицательного числа а и любого нечетного нату-рального числа п существует только одно действительное число Ь = -'^|а|, такое, что Ь" = а. 3) Для любого отрицательного числа а и любого четного натурального числа п не существует ни одного действительного числа &, такого, что = а. 401 Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел 17.22 17.23 17.24 17.25 17.26 17.27 Сколько существует различных корней степени п (п ^ 2) из комплексного числа 2 = r(cos(p + isin О, то Xi = + J—, Х2 - - J— и оба корня дейст- вительные и разные; о\ ^ л Р ' I ^ Р . I ^ .г 2) если — < О» то + Ч~~^9 ^2 — ~2 ~ Ч—4 ^ корня комплексные и различные (сопряженные числа); 3) если ^ = О» то ^1 = ^2=-^ и оба корня действительные Р и совпавшие, поэтому корень Xi = и называют корнем крат-ности 2. ТЕОРЕМА 3. Если многочлен Р„ (ж) = а„л:" + а„ _ - ^ + а„ _ 2Д:" ■ ^ + ... + aiX + (а„ О) С действительными коэффициентами а„, O'n-i^ •••9 ^0 имеет комплексный корень а + Ы (Ь^ О), то он обязательно имеет и корень а - Ь£. Доказательство. Пусть число Zq = а л- Ы (Ь ^ 0) — корень многочлена P^ix). Тогда = т. е. справедливо равенство “ 1^0 + ••• + CIiZq + Uq = 0. Возьмем теперь сопряженные числа от левой и правой частей равенства, получим, что P„(zo)=0. Теперь учтем, что сопряженное число к сумме равно сумме сопряженных чисел к слагаемым, а также тот факт, что для действительных чисел Uj справедливы равенства UjZq = ajzjy = UjizQy, Поэтому получим равенство Р„(2о) = a„(2o)'" +a„-i(2o)" ^ +ai(2o) + ao= P„(2q)= 0. Мы получили, что число 2q, сопряженное к Zq, есть корень многочлена Р„(х). Теорема 3 доказана. ПРИМЕР 1. Найдем все корни многочлена Р2(х) = -ь х + 1. D 1 3 Так как — = — 1= —,то многочлен Ро(л:) имеет два комплекс-4 4 4 ных корня: 1 .V3 1 .л/з ^ 2 2 2 2 Эти корни являются сопряженными числами. 14* 404 ПРИМЕР 2, Найдем все корни многочлена Рз(лс:) = + x^ + 2х ~ 4. Из теоремы 3 следует, что многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Если этот корень рациональный, то он целый и является делителем числа -4. Проверкой убеждаемся, что Xi = 1 является корнем многочлена Рз(х). Разложим многочлен Рз(х) на множители: Рз(а:) = (х - 1)(х^ 2х 4). Найдем корни многочлена х^ + 2х + 4: Х2 = —1 + Хз= -1 — /л/з. Таким образом, многочлен (х) имеет три корня: Xi = 1, ЛГ2 = -1 + iV3, Х3 = -1 - i^/з, Рассмотрим уравнение Р„(х) = 0, (4) левая часть которого многочлен (1) степени п (п е ЛГ, л ^ 1), а все коэффициенты — действительные числа. Ясно, что любой корень многочлена (1) является корнем уравнения (4). Если п — четное число, то уравнение (4) либо не имеет действительных корней, либо имеет только четное число действительных корней (с учетом их кратности). Если п — нечетное число, то уравнение (4) обязательно имеет хотя бы один действительный корень (число действительных корней может быть только нечетным). Эти утверждения следуют из теоремы 3. 18.1 Убедитесь в том, что числа: а) 1 + i и 1 - I являются корнями многочлена х^ — 2х + 2; 1 7з. 1 л/з . 2.1 б) - + — г И — —— I являются корнями многочлена х^ ~ х + 1. ^ ^ ^ А Найдите все корни уравнения (18.2—18.4): 18.2 18.3 18.4 а) в) Д) а) в) - 5л: + 2 = 0; х^ + 3х + 6,25 = 0; + Зх + 3 0; 2х^ + 5х + 2 = 0; 2х^ + 2х + 1 = 0; д) 5x2 + 7х + 3 = Q. а) х^ - 5x2 + 8х - 4 = в) X® - 1 = 0; д) х'* + 2x2 + 3 = 0; б) г) е) б) г) е) б) г) е) х2 + X + 1 = 0; х2 - 2х + 5 = 0; х2 + 2х + 2 = 0. 3x2 - X + 2 = 0; 2x2 - 2х + 1 = 0; 6x2 - 2х + 1 = 0. х2 - 3x2 + 4 = 0; X® + 1 = 0; х2 + 5x2 + 17^ + 13 = 0. ^405 Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел 18,2*. Показательная форма комплексного числа Ранее уже было дано определение действительной степени положительного числа. Теперь определим комплексную степень только одного числа е = 2,7182818284590... . Пусть а + pi — данное комплексное число, где а и Р — некоторые действительные числа, тогда под числом е® понимают число e^^CcosP + isinp), т. е. + Pi _ gO р + £ sin (1) Пусть 2 = а + Ы — некоторое комплексное число, такое, что + = 1. Это число можно записать в тригонометрической форме Z = cos ф -h i sin ф. (2) Согласно определению (1) правую часть в формуле (2) можно записать в виде и тем самым получить формулу = cos ф + i sin ф. (3) Формулу (3) называют формулой Эйлера, который впервые записал ее в XVII в. Возникает вопрос: почему в левой части формулы (3) написано число Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Разложим в ряд Тейлора каждую из функций у = cosx, у = sin^:, у — ^2 ^4 ^6 ^2к (4) (5) (6) cos ^£=1-- + --- + ... + (-!)* sin X = X л-1 i2k)l ^2k-l (2k- 1)! ^ . х^ х^ х" — 1 + X + —— + Н—— + ... ^-- + 21 3! 4! п1 Если в формуле (6) вместо х формально поставим iXj то получим х^ * (7) . Х^ , Х^ х^ , Х^ Х^ = 1 + IX--------I-----1-----hi----------h.... 2! 3! 41 51 6! Если теперь в правой части формулы (7) написать отдельно действительную и мнимую части, то окажется, что правая часть равенства (7) равна сумме правой части равенства (4) и правой части равенства (5), умноженной на число i. Но тогда такое же равенство должно выполняться и для левых частей равенств (4), (5), (7), а это и дает формальный повод записать формулу Эйлера е'ф = созф + 181Пф. Отметим частный случай формулы Эйлера: е*^ = -1. Действительно, = cos л + isinjc = -1 + 0 • i = -1. 406 Отметим важные свойства величины I I = I cos (р + J sin ф I = д/со8^ф + зш^ф = 1 при любом ф. Это показывает, что точка г — комплексной плоскости находится на единичной окружности, т, е. на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. На рисунке 193 единичная окружность разделена на 12 равных частей. При этом точка, соответствующая фо = о, входит в число точек деления. Ниже приведена таблица комплексных чисел, соответствующих этим точкам. ф 0 п 6 к 3 п 2 2к ~3 ... 11л 6 е«р 1 7з 1. 2 2 ^ 1 >/з . 2 2 ^ i 1 л/З . 2 2 ^ ... л/З 1 . 2 " 2^ „ ,л/з1.17з..1л/з. л/з1. Числа 1, — + - + —1у i, —...» записанные 2 2 2 2 2 2 2 2 во второй строке таблицы, есть корни степени 12 из 1. Если ф непрерывно возрастает от 0 до 2л, то в комплексной плоскости точка описывает единичную окружность, а при дальнейшем возрастании ф точка будет продолжать движение по окружности. Докажем для любых фх и ф2 формулу Ф2) = Действительно, = (со8ф1 + 1зтф1)(созф2 + isin(p2) = = соз(ф1 + Ф2) + ^8ш(фх + Ф2) = что и требовалось доказать. Аналогично показывается, что ^ЦФ1- Ф2) = Пусть теперь z = а + Ы — некоторое отличное от нуля комплексное число. Запишем его в тригонометрической форме Z = а + Ы = г(со8ф + isimp). 407 Корни многочлонов. Иока,')»тельная форма комплексных чисел Используя формулу Эйлера, число z можно записать в более компактной форме 2 = (8) Правую часть равенства (8) называют показательной формой комплексного числа z. ПРИМЕР* Запишем комплексное число 2 = 3 + 4i в показательной форме. ------ Сначала найдем модуль числа z: \z\= + 4^ =5. Теперь запишем его в показательной форме: 5 (cos а + i sin а) = где а — угол, для которого 3 4 cos а = —, sin а = —. 5 5 (9) Будем искать а среди углов, удовлетворяюш;их двойному неравенству о ^ а < 2тс. Так как в данном случае cos а > О, sin а > О, то а находится в первой четверти. Из равенств (9) следует, что 3 а = arccos--. ^ 3 Ответ. 2 = где а = arccos —. 5 Рассмотрим теперь отличные от нуля комплексные числа, записанные в показательной форме: г = г - = Г1 • 2g = rg • Тогда, учитывая написанное ранее, получаем формулы: . 22 = Г1 • Г2 • + fa), ; 22 = Г1 ; Г2 • 2" = г" • е'Ч’" (п е Z). Показательная форма комплексного числа позволяет записать комплексное число очень компактно, формулы умножения, деления, возведения в целую степень для такой формы записи очень просты. Поэтому показательная форма записи комплексного числа употребляется в различных приложениях, в особенности в физике. Замечание. Определение (1) означает, что на самом деле введена функция Пг) = е- (10) комплексного аргумента z следующим образом: каждому комплексному числу Z = X + yi поставлено в соответствие комплексное число f{z) = e^icosy + isiny). 408 Укажем некоторые свойства функции (10): 1) При у = о функция (10) является показательной функцией fix) - е^, изученной ранее. 2) Функция (10) является периодической с периодом 2ni. Действительно, для комплексного числа х + yi имеем: fiz + 2Ш) = ^ gx + / (J/ + 2к) ^ - e^icosiy + 2л) + {sin(^ + 2л)) = e^(cosi/ + isiny) = s'' = f{z). Представьте в показательной форме комплексное число (18.5—18.6): 18.5 а) 3 - 4i; б) 1 + i; в) 1 - i; г) 1 + 2i; д) 5; е) -3; ж) 5t; з) -3/. 18.6 а) 3 (cos а + i sin а); б) -4 (cos а + i sin а); в) 5 (cos а - i sin а); г) -6(cosa - isina). 18.7 Запишите в алгебраической форме комплексное число: in in in а) € 4; б) 2е 3 ; в) 4е 2; г) 5€^^; Sin 2in Sin д) 6е 4 ; е) 7е 2 ; ж) 8е~; з) 18.8 Для комплексных чисел Zi = г^е'***' и 22 = Г2в'***2 докажите равенство: а) Z^Z2= Г1Г2е'<‘Р* + ‘Р2); б) — = — e‘(4>i - фз). Го 18.9 Вычислите: in 4 in а) е 5 . 2е 5 ; in б) Зе* in 4е 3 ; в) Зе*-* • 4е 7; г) 6е 2е 7 д) 14е in / \ 4 : 7е 6 ; in е) 12^ 2 : 8е 6 Исторические сведения До введения отрицательных чисел можно было говорить, что уравнение х + 3 = 2 не имеет корней, так как не существовало неотрицательного числа, которое обращало бы это уравнение в верное числовое равенство- Однако после введения отрицательных чисел это уравнение стало разрешимым. Точно так же уравнение = -9, не имеющее корней среди действительных чисел, становится разрешимым после введения новых чисел — комплексных чисел. Эти числа были впервые введены итальянским математиком Кардано в середине XVI в. в связи с решением кубического уравнения, он назвал их «софистическими>> (т. е. «мудреными»). Назва- 1409 Исторические сведения н а о ж & ние «мнимые» (imaginaires) в 1637 г. ввел французский математик и философ Рене Декарт (1596—1650). Еще в древности математики в процессе решения задач сталкивались с извлечением корня квадратного из отрицательного числа; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенно выяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действительных числах, получает простое объяснение при помощи выражений а + &i, где = -1, которые в конце концов тоже стали называть числами, но уже комплексными (см. § 16). Первое обоснование простейших действий над комплексными числами дал итальянский математик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530—1572) в 1572 г., хотя еще долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному. Академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707—1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплексных чисел. После его работ комплексные числа получили окончательное признание как предмет и средство изучения. Само название «комплексное число» было предложено в 1831 г. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855), первое открытие которого — способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника — было связано с извлечением корней 17-й степени из единицы. Слово «комплексный» означает «сложный», «составной», «совокупный». Рене Декарт впервые сформулировал в своей книге «Геометрия» основную теорему алгебры о числе корней уравнения л-й степени (см. п. 18.1). При этом Декарт допускал существование не только истинных (положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е, меньших нуля — отрицательных) корней, но и воображаемых, мнимых, т. е. комплексных корней. Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно было бы выполнять действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами, в частности правилу £^ = -1. Отсюда названия «мнимая единица», «мнимое число». В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа применяются не только в математике, но также в физике и технике (теория упругости, электротехника, аэродинамика и т. д.). Задания для повторения Данный раздел предназначен для повторения изученного в одиннадцатилетней школе. В разделе использованы задачи школьных выпускных экзаменов и конкурсных экзаменов в вузы страны. Список принятых сокраш;ений приведен в конце раздела. Число Вычислите (1—3): 1 (МГУЭСИ). а) 3 + 4,2 :0,1 :0,3- 2|j-0, б) 0,134 + 0,05 3125 г) 78 6 14 7 15 {5 14j 6 (11- 1,25): 2,5 13-- 2^- 10-\ 4: 21 6 3 (МГУЭСИ). а) 90- 230:^- 41-+ 2001 25 4 г ^/2 д/2+ V3 3. б) ■Jl + V2 л/7 - л/2 14 25’ в) д/2 - д/2 + V2 + 73 • -\/2 + д/з + л/2 + Vf • V2 + • V2 + л/З. 4 а) Делится ли число 679®^® на число 2001? Ответ обоснуйте, б) Делится ли на 679 число 2001'* - 1322^? 5 а) Натуральные числа с 1 по 2001 записали подряд без запятых: 123456789101112131415161718...20002001, Делится ли полученное число на 3; на 9? б) Натуральные числа, начиная с 1, выписали подряд без запятых: 123456789101112131415161718192021.... Какая цифра стоит на 2001-м месте? в Сколько натуральных чисел от 1 до 2001 не делятся ни на 2, ни на 7? 7 Докажите, что sin 10° — иррациональное число. 8 (СПбГПУ). Найдите натуральные числа п, для каждого из которых (НОД (л; 4))^ = л, где НОД (л; 4) — наибольший общий делитель чисел л и 4. 9 Докажите, что число: а) V7- 4л/3 + V4- 2л/3; б) Vs- 4л/б + Vl4 - бл/б является целым, и найдите это число. 411 Задания для повторения Вычислите без таблиц и калькулятора (10—15): 10 а) arccos(sin 5) 4* arcsin(cos 5); б) arctg(ctg4) + arcctg(-tg4). 11 (МГУ, геол. ф-т). а) tg8x, если tg2x = —; б) tg4ar, если tgx = - . 4 3 12 (МПГУ). а) tg20° + tg25° + ctg70°ctg245°; б) 2 + log2sin 7°30'+ Iog2sin82°30'- logons sin 75°; в) sin I arccos - - arctg 2 13 (МГИЭТ). cos Sk sin- y 2 sin—tg— + соз(-я) - sin — 6 4 4 14 a) 101og3(5+2V6) + log3(V2 +V3) + 211og3(V3-V2); 6) 121og2(8 + 2Vl5) + log2(V5 +V3) + 251og2(V5- VS). 15 (СП6ГПУ). a) 3'og2 5.5-iog2 3. g) (log^ 9)(logg 3)4 16 (МГУ, почв. ф-т). Определите, что больше: -Ctg а) arccos | J • loggj | — ИЛИ sin- 43я б) arcctg 1 7з 1 о 31я . 29я . -г- • tg • tg или cos 4я ^ 11я 17 (МГУ, геогр. ф-т). Сравните два числа: . Зя 4 -- 2я 3 а) — и arccos-; б) —- и arccos — -10 5 ^ 10 10 18 Известно, что: _____ а) ctg а = л/з. Сравните arccos -3 sin а - - и 19я 24 б) tga = л/з. Сравните arccos (-л/-3 sin а — 1) и 19я 19 (МГУ, мехмат). Известно, что для некоторой тройки чисел х, у, z {х Ф у) выражения: б) log. ^^2 и log, 2 и log (x-Jyz) X ) \ ^ равны одному и тому же числу. Найдите это число. 412 20 (МГУ, ФНМ). Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1; при делении на 19 дает остаток 3, делится нацело на 7. Алгебраические выражения Упростите выражение (21—24): 2-562 21 + а - Ь а — Ь + ^2 \ 5д2 а + Ь + б2 22 (МГУЭСИ). а) ~ ~ » + (с - а)(с - 5) (а - с)(а - 6) (6 - с)(Ь - а) (а + 6)2 - а6 f а^- 44(а - 6)' б) в) f 4(а + 6)2 аЬ -16 ад 11а6 ад '■} 1 ^ 1 а 6 + с 6с (а + 6 а 6 + с + с)2 2Ьс У j -(a + fe)4 а + 6 ад ’ а“2 + 6 2 /"а2 + б2 а"^ + 6"^ его значение при а = —. 3 _ |^(а + 2)2-а2 3 W-3 23 —— ----------5-- : -3—найдите 4а^-4 а^-а) а'^-\ 24 (МГУ, ИСАиА). , 3ab-by/ab + a4ab-3b^ ^ ^ LI . п а) — —-----2а6 - ба2б2, где а > 6 > 0; ^2-2(а6'Ч а-^6)- 0,5 б) хл[а (л/а + л/х)^ - (x^^a)^ + ayf^-Sd^ (ах ' + 4^fa + 4х) 2 J— дг^л/а - 1, где а > 0, д; > 0; в) 1-У + Л)у[ху+ {3-у-^)Ух^ I -i л л -----®, где д > о, I/ > 0. 25 (МИСиС). Сократите дробь и вычислите значение полученного выражения при указанном значении xi ^ дг2 + 4^2 - 9х - 36 ^ х^+7x2+16х + 12 а) я ■ —77-—т;;^ л: = 3; б) ^ ^ , ^ , , л: = -2. + 2x2- Их - 12’ 26 (СПбГПУ). Упростите выражение: х2 + 5x2 + 8х + 4 а) а - 24а л/а + 2 4а + -^; б) а — а 1 + а" а - а 1- а -1' 413 Задания для повторения 27 (МЭИ). Упростите выражение: f 1 1 X + + -Ух + 2а 1 + а'* ^ 1 + а'^х"^ j 28 (РЭА). Вычислите: а) V25 - + Vl3 - , если л/25 - - Vl3 - = 2; б) л/34 + - л/т + , если л/34 + + V7 + = 6; в) ^(2 +6)2(21+ &)- ^(2 + 6)(21 + 6)2, если ^21 + 6- ^2 + 6= 4; г) ^(3-26)2(26-1)- ^(3- 26)(1- 26)2, если ^3-26- ^1-26- 2. 29 (РЭА). Вычислите: (а - Ь)^ (л/а + Vb)"^ + 2aVa + Ьл/б а) , если а = log| 8, & = log^ 4; а-\/а + Ьл/fcf б) с + d 2>/^ - cd /с^ + cd + с + d с - d , если с = 171og2 3, d = 2 logons 81; в) {(.tfp-tfq) ^ + (Vp + t/?) : ^p-'f ’ p=log|3, 9 = log| 9. Последовотвльности 30 a) В геометрической прогрессии первый член равен л/З, а пятый л/243. Найдите шестой член прогрессии. б) В геометрической прогрессии первый член равен V2, а седьмой Vl28. Найдите восьмой член прогрессии. 31 (МГУ, социол. ф-т). а) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых пяти членов с нечетными номерами на единицу больше суммы первых пяти членов с четными номерами и равна квадрату первого члена. б) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых четырех членов с нечетными номерами на единицу меньше суммы первых четырех членов с четными номерами и равна взятому с отрицательным знаком квадрату первого члена. 32 (МГУ, ФНМ). а) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии отрицателен- Найдите все целые числа т, для каждого из которых сумма ее членов с нечетными номерами больше суммы ее членов с четными номерами на величину, равную произведению ее второго члена и числа вида + 10т + 20. б) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии положителен. Найдите все целые числа п, для каждого из 414 которых сумма ее членов с нечетными номерами больше суммы ее членов с четными номерами на величину, равную произведению ее второго члена и числа вида 6п - - 7,5. 33 (МГУ, мехмат), а) О первых шести членах возрастающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвертых степеней равна 49. Найдите первый член этой прогрессии. б) О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвертых степеней равна 51. Найдите седьмой член этой прогрессии. 34 (МГУ, почв. ф-т). а) Первый, второй и четвертый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии. б) Первый, четвертый и пятый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии. 35 (МГУ, почв. ф-т). а) Найдите арифметическую прогрессию, в которой сумма членов, сколько бы, начиная с первого, их ни взять, всегда равна утроенному квадрату числа этих же членов. б) Найдите сумму п первых членов ряда 7-1- 77-1- 777 -ь ... . 36 (МГУ, хим. ф-т). а) Последовательность чисел а^, а2, «з ... устроена следующим образом: aj = 1, каждое последующее число равно удвоенной сумме предыдущих чисел, т. е. а2 = 2ai, аз = 2 (а^ н- а2) и т. д. Найдите произведение всех чисел от до a2ooi* б) Последовательность чисел а^, а2, аз, ... устроена следующим образом: а^ = 1, каждое последующее число равно утроенной сумме предыдущих чисел, т. е. аз = За^, аз = 3(ai + аз) и т. д. Найдите произведение всех чисел от а^ до азоох* Постройте график функции (37—46): 37 а) у = |1 - 2д:1 + 12л: + 3|; б) у = 12л: - 31 + 11 - л:|. 38 а) у = 2-л:-|л:-2| + 2|х|; б) у = 2 + л:-3|2-х| + 2|х1; в) у = 5 + 2л:-|л:-2|-|л:+11; г) у = |л: + 2|-2|л:-1|-л:. 39 а) у = у1(х - 3)2 + д/(5 - xf; б) у = -Jix - if + V(3 - xf. 40 у = yjix + 2)2 + yjix - 2f. 41 a) у = sinx + |sinA:|; 6) у =-cosx|cosx|. 1415 Задания для повторения 42 а) у - sin д: - д/sin^x; б) у — cos л: - ^jcos^x. 43 г/ = sin XI sin х \ - cos х \ cos х j. 44 у = cosx^cos^x - sinjc^sin^x. 45 у = 4sin^хcos^х - cos^x + sin^x. 46 у = фт^2х + 2 sin х cos х. 47 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: а) (у - 1)(х2 - Зх - 18) = 0; б) (у + 1)(х2 + Зх - 10) = 0. Укажите область определения функции (48—55): 48 а) у = X - 2 х2- 4’ 49 а) у = Vcos"x^n[; лч ^ + 3 б) у = Vsinjc-T. 50 а) у = Jl7 - 15х - 2х^ ' х + 3 б) У = -4х^ + 4х + 3 51 а) у = -^20 + 8х - - 4; б) у = 52 (ВШЭ), а) у = -^(х* - 4^^ + 3) • 12л: - 31; \у/2х^- 7х + 3 УЗЗ + 8х- х^ "^х - 5 б) у = - 11х^ + 18) • 12л: - 51. 1 53 а) у = lg(2x - 5)’ б) у = lg(2x + 3)’ в) у = л]2х^ - 7х + г) у = ^J2x^ - 5х + lg(2a: + 3)’ lg(2x+ 1)' 54 (ВШЭ), а) у = yjlogz{х^ - 2х - 2); б) у = yjlog^ix^ - 4х- 4). 55 (МГУ, геогр. ф-т). а) у = - х - 2 + logs + дг (9 “ б) у = ^12-х-х^ • logg _ - ^^)* 56 Найдите координаты общих точек графиков функции: а) у = л/л: + 7 и прямой у - л: - 1 = 0; б) у = л/л: - 4 и прямой у - 2л: + 9 = 0. 57 (МГИЭТ). а) Найдите наименьшее значение функции _ д;'* - 2х^ + Зх^ - 2дг + 2 ^ ~ х^ - X + 1 ■ *3й41в б) Найдите наибольшее значение функции _ - 2х^ + - 4х + 5 ^ X - 2 - 58 (МГУ, хим, ф-т). Функция f{x) удовлетворяет следующему условию: для любых чисел а и & выполняется равенство а + 2^? f{a) + 2/(6) значение функции /(1999), если: б) /(1) = 2 и /(4) = 8. 59 3 ; 3 а) /(1)=1и/(4) = 7; Докажите, что: а) > 4?, если известно, что 1 р + q < 0; б) > 4аСу если известно, что (а + 6 + с)(а - 6 + с) < 0. 60 (МГУ, почв. ф-т). а) Пусть f{x) — периодическая функция с периодом 8, такая, что f(x) = 8х - х^ при х е [0; 8). Решите уравнение f(2x + 16) -I- 23 = 5/(jc). б) Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 1, такая, что fix) = х^ при X S [0; 1). Решите уравнение f(2x + 5) + 2f{x) = 1. 61 (МГУ, хим, ф-т). Найдите /(2001), если функция f(x) для всех х удовлетворяет уравнению: а) fix + 1) = fix) 2х + Ij и известно, что /(0) = 0; б) fix + 1) = fix) + 2л: + 3, и известно, что /(0) = 1. 93 Линейные и кводратные уравнения Решите уравнение (62—65): 62 ^ 2. 7 10 63 (2 - Sxf + (1 + 4xf = (5х + l)(5x - 1). 64 (МИРЭА). а) (21х + 44)2 _ 25 (21х + 44) + 46 = 0; б) (19л: + 40)2 - 23(19х + 40) + 42 = 0; в) (17л: + 36)2 _ 21 (17х + 36) + 38 = 0; г) (15л: + 32)2 _ 19(15д. + 32) + 34 = 0. 65 (МИРЭА). а) (л: + 97)2 + 34(jc + 97) + 120 = 0; б) (X + 79)2 + 43(д: + 79) + 120 = 0; в) (л: + 93)2 + 35(jc + 9З) + 150 = 0; г) (л: + 86)2 + 44(д; + 86) + 160 = 0. 66 Докажите, что при нечетных р w. q уравнение л:2 + рл: + g = О не имеет рациональных корней. 67 При каких целых значениях k являются рациональными числами корни уравнения kx^ — il — 2k)х + fe - 2 = 0? 68 Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее корень: а) л: = 4 - л/З; б) х = 2 + л/З. 417 градация дли повторения Рациональные уравнения. Решите уравнение (69—76): 17 7 69 а) — = 2 - 5д: X ^ Зх-6 4х в) —г--- + б) - 3 • + 2=0; Д) 2х X - 2 х^ + 8 х^ + 4х^ + 4х 70 (РЭА). а) 6 -5=0; 2 ^ ч 3 г) X + 2 i Q 1 X 2 J |(х-2)-=- > 1 18 л: + 1 X - 1 2х-1 2х + 1 б) в) г) 7л:-21 л:2-6л: + 9 л:^ - 9 = 0; 1 л: - 3 „ + ------г = 0; 4х-1 1-16д:2 12л:+ 3 4 11 х^ - Юл: + 25 25 - X + 5 = 0. X + 1 х^ + Зх + 2 ’ 9x2-16 8-6х 3x2+4х’ 1 1 71 (МИРЭА). а) 1 + ч 1 10 в) 1 + —5----- х2-8х+15 72 (МИРЭА). а) 1 х2-9х + 18 х-6’ 5 X - 5 ’ 11 в) X - 5 х2 - 20х + 75 ’ 19 х-7 х2-20х + 91’ 30 13 73 (МИСиС) .х-1 х-2 74 а) --+ 18х + 7 х-1 75 (МИРЭА). а) б) т.--------ГТ + Х2 + X + 1 X - 10 X + х=*- 1 б) 1 + г) 1 + х2 - 8х + 7 X - 7 ’ 6 3 б) г) х2 - 6х + 8 X - 4’ 1 13 х-6 х2-20х + 84’ 1 17 X - 8 х2 - 20х + 96 х + 1 х-1 х+5 X—7 б) ---+-----= ----+-----. х-9 х+1 X х-2 х+1 х-6 1 7 1 (Зх + 5)(х-1) (х+7)(х-1) 17 3 1' в) г) (4х + 3)(х-1) (2х + 5)(х-1) х-1’ 3 2 1 . (2х + 7)(х - 1) ^ (4х - 1)(х - 1) “ х-1’ 3 5 2 (4х + 5)(х - 1) (X + 2)(х - 1) ~ X - 1 ■ 418 76 (ИКСИ АФСБ). а) (10х - 5)2 (Юх - 4)(10х - 6) = 72; б) (3x + 5)j^|x + lj (Зх + 7)= Иррациональные уравнения Решите уравнение (77—91): 77 (МИРЭА). а) X = yjSx + 40; в) X = yjbx + 36; 78 а) л/Ю - X = 4 - х; в) Vl + X = 2х - 4; д) X + Зл/х - 5 = 5; ж) yjx^^ - Зх - 1 = х2- 1; и) ^х(х - 2)(х + 3) = 3 - х; б) X = Т^ОхТ^; г) X = -у/Зх + 28. б) л/х - 1 = X - 3; г) Ух + 7 = 4х - 5; е) X + 2л/х - б = 6; з) 7^“* + - 9 = х2- 1; к) + 4)(х - 3) = 6-х. 79 (МГУ, геогр. ф-т). а) ^JsjcTз = 2х - 3; б) ^Sx + 2 = 2х - 4. 80 а) X + 1 = 2 - Ух - 1; б) 1 - Ух - 2 = х - 1. 81 (МИРЭА). а) х2 - 13х + 30 = (73х- 18)2; g) л;2 - 9х + 13 = (^5х - 35)2; в) х2 - 8х + 10 = (У7х - 40)2; j,) ^2 _ + 55 = (Уд: - 8)2. 82 (МИРЭА). а) 7^х - 5 = 3 - 2х; б) -JAx^ + 4х + 1 = х2 + х - 1; в) 7-^^ + X + 4 + 7^:^ + X + 1 = 72x2 + 2х + 9; г) Уб29 - X + УттТх = 8. 83 (МИРЭА). а) 7^:® - 5x2 + 7д._ 17 = 7^3 _ 4^2 _ 3^; + 4; б) 7л:^ - 8x2 - 7х + 2 ^ 7д;3 _ _ 18х + 20; в) 7л:® - 4x2 20д: - 81 = 7л:® - 3x2 + 6х- 41; г) 7л:® - 5x2 + 15х- 77 ^ 7л:® - 4x2 + 2х- 37. 84 (МГУ, социол. ф-т). а) 7*/ ~ 1 = 6 - у; б) Ух -I-1 = 4 - х. 85 (МГУ, геогр. ф-т). а) -J2x^ - 8х-1- 5 = х - 2; б) ^2х^~ 8x-t-6 = х - 2. 86 а) бУх- 2 -I- ЗУх-hl -н 2х = 17; б) ^2х-2 -1- 2Ух- 1 н- 5х = 14. 87 а) 73лг- 15 - 720- 4х -I- 7х= 35; б) ^JSx+b--0,5х = 1; в) 72л: - 12 + 730 - 5х + 1,5х = 10. 419 Задания длн иокторения 88 (МИРЭА). а) ^297- Зх + yjx-lS = 9; б) ^200 + 2х + ^300-х = 20; в) ^6 + х + yjS5 - jc = 6; г) ^192 + 4л: + ^-32 - х = 4. 89 (МИРЭА). а) ^Sx + 20 + ^5л: + 4 = ^2х + 19 + ^6х + 5; б) ^х + 6 + ^7х + 10 = ^2х + 15 + ^6х + и в) ^2л: + 5 + ^5х + 16 = + 8 + ^6х + 13; г) ^4л: + 6 + ^5х + 12 = +10 + ^бл: + 8. 90 а) ^д:- 2 + ^д: + 5 = ^30 - ж; б) ^д:- 1 + ^2х + 4 = ^31 - 2д:. 91 а) (МГУ, почв. ф-т). 7б - х^ = 1- х; б) (МГУ, псих. ф-т). Jx + 2 + -J8 - X = УГб; в) (МГУ, хим. ф-т). -J4x - х^ -I- -JAx - х^ - 3 = 3-1- ^2х - х^. Показательные и логарифмические уравнения Решите уравнение (92—100): 92 а) 3^^ + 1° = 3®^ - 2; б) 7 в) + 1 = 25^ д) 32^ = 27^+®; ж) 4-* + 1 = 8*; ДЗ - 0.2х 93 а) -------= 0,5- 2®’'»- 3^; 8 в) 4^+1+ 4^ + 2 = 40; д) 9* + 1 + 32^ + '* = 30; 94 а) 22^ + 1.3* = 2 • 12'‘"^; в)9.|- 2х^ - Зх + 1 _ А. 7’ г) 42^= 102^+ 5. е) 3®^ + 1 = 9®^-^; з) 64"^ +1 =8^^^. б) 0,2. 5®-®--“ = 250.2-х. г) 3^-1 - 3^-2 = 18; е) 4^ + 1 _ 22* - 2 = 60. б) 22*- 1 . 3^ = 0,5 • 12^-*; 125 - 18- + 9=0. 95 а) 7*3^+1-3 x + 4-_gx + 2_ga: + 3. б) 2^ - 2^ + 2 + 2*-1 = (3^ + 1 - 3^ + 2 + зх) . ^ 96 а) loga log д (д:2 - 4х + 3) = 0; б) log27 log5(Aj2 - 2д: - 3) = 0; Тб тт в) logs ^og^ix^ - 2х - S) = 0; г) logs logi (д;2 - д: - 5) = 0. 7 3 2 97 (МИРЭА). а) 41og9(x- 2) + log3(x - 4)2 = 0; б) log2l82- 41og4>/5- X = log2(ll - д:) -I- 1; в) log^ л/з - log^ л/з = logg 27 - log^. (3x). 420 98 а) 5'8 ^ = 50 - (10*г ^уг б) ^ = 54 - (10‘е зуе д^. 99 а) (МГУ, физ. ф-т). 18^ - 9^ + ‘ - 2^ + 2 ц. 35 ^ 0; б) (МГУ, хим. ф-т) + ^ + + logy}^(V2 + Vs - VS) = I + log^(2V6). 100 a) log3;,4 - logg^2 = 1; 6) log2^:9 + logg^rS = 3. Тригонометрические уравнения Решите уравнение (101—107): 101 а) sin2x = VScosjc; б) sin2jc = л/2созд:. 102 а) sin 2jc + V2 sin дг = 0. Укажите все корни уравнения, принад- Г Зл Зл1 лежащие отрезку ——; — . б) зш2д: + л/Зсозх = 0. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-п; 2л]. 103 а) зш(0,5я + д:) + sin2x = 0; б) соз (0,5л + д:) + sin 2х = 0. 104 а) sin 4х + л/з sin Зд: + sin 2д: = 0; б) cos Зх + sin 5х = sin х. 105 (МИРЭА). а) sin2x-ь tgx = 2; б) sinx н-sin3x = 4cos^x; в) ctg^x + tg^x = 16cos2x. 106 (МГУ, почв. ф-т). а) sin2x = cosx; б) cos2x = sinx. 107 а) VSsin^x + 0,5sin(л + 2х) = 0; б) л/Зсоз^х - 0,5cos + 2xj = 0. J08 а) Найдите все решения уравнения cos2x = 2tg^x - cos^x, удовлетворяющие неравенству cosx < —. А б) Найдите все решения уравнения 4sin'*x + sin^2x = 2ctg^x, удовлетворяющие неравенству cosx < “2* 109 (МИРЭА). Найдите все решения уравнения: а) cosx + cos5x - cos2x = 0, принадлежащие отрезку [-л; л]; ctg2x ctgx б) + 2=0, принадлежащие отрезку [0; 2л]. ctgx ctg2x Решите уравнение (110—118): 110 (МГУ, филол. ф-т). 3cos2x + 4sinx = 1. 111 (МГУ, геол. ф-т). cosx - cos2x - sin2x = 1, х g л/З 1 112 (МГУ, физ. ф-т). cos3x= — cosx-—sin X. Зл ^ л 1 ~2 " “ej* Ш 421 Задания для повторе1гия 113 (МГУ, ИСАиА). 5(sin2a:)^ + 8(cosx)^ = 8cosx, х е Т’ 114 (МГУ, хим. ф-т). tgjc + tg2x + tgx tg2o: tg3x = tg3x + tg4x. 115 (МГУ, биол. ф-т). cos^2x- j ” sinx= lie (МГУ, почв, ф-т), sinx = 2ctgx. 117 (МГУ, псих, ф-т), - Зсозл: - 6sino: + 2sin2x + 3 = 0. 118 (МГУ, экон, ф-т), COSX + cos3:t = л/Зсоз2д:. Уравнения с модулями Решите уравнение (119—129): 119 а) 3 ^ 7 = б) 5 ^ 8 3 5' 120 (МИРЭА). а) \ Ы- х\ = - 196; в) |19-л:| = л:2-361; 121 (МГУ, хим. ф-т) а) -ь 1 + |л: - 1| = 2\х\; 122 а) х2 - 6|х| -2 = 0; в) |х2 - 2х - 1| - X + 1 = 0; д) + X = х^ + 1; \х\ 123 (МГУ, экон. ф-т). Iх2 - 8х + 15| = 115 - х2|. 124 (МГУ, почв. ф-т). |2х -ь 3| = х^. |х-1| 1х + 1| б) 116 - XI = х^ - 256; г) |17-х| = х2- 289. б) х2 ч- 1 + |х -I- 11 = 2|х|. б) х^ -I- 4lx| - 1 = 0; г) I х^ - 2х - 11 + X - 4 = 0; е) ^ + 2х = х2 -1-1. X 125 (МГУ, хим. ф-т). , IX - 2 126 (М а) 127 а) д/12x4-11 = 1- 2|х|; 128 (МГУ, мехмат) |х+2Г ^У, почв. ф-т) 1 1 1 cos X = sinx- б) sin X - - 2 2 2 1 = cosx: - 2 б) VFl- Зх| = 1- 3|х|. 5т1 X . X . X X cos -г sin — 6 2 + sin — cos — 6 2 = sin- 17 129 (МГУ, геогр. ф-т). |cosx| - VSsin^^ + xj = 1. 422 Распадающиеся уравнения Решите уравнение (130—134): 130 а) (2х - 7)д/3лг2 - 5л:- 2 = 0; б) (2х - 3)д/4х2^^5х^ = 0; в) (3x2 _ 8х- ll)V3x- 5 = 0; г) (4х^ + 8х - 22) у/Зх -15 = 0. 131 (МГУ, ФНМ). а) (7sinx-4V3)(7sinx-5л/2)= 0; б) (5 cos X - Зл/З) (5 cos X - 2-^6) = 0. 132 (МГУ, хим. ф-т). а) (sinх + cos х - V2)-y/-llx - - 30 = 0; б) (cos X + sin X + л/2) д/-х2 - 7х - 12 = 0. 133 (МГУ, мехмат), а) (2 sin^ х - 3 sin х + l)yjtgx = 0; б) (Зсоз^х - COSX - l)-yctgx = 0. 134 ^4х - х2 - 3 (л/2 cos X - -y/l + cos 2х) = 0. Разные уравнения Решите уравнение (135—158): 135 ai + >/21 X ^ 21, Q) 2 4/i2£^-3 4^131 = 5. V21+ X - V21- X ^ \х-1 \40х + 1 136 (МФТИ), а) - J5x- 3 = 0; б) Г^ - Vx + 4 = 0. \2х+1 \3х + 5 137 (МИРЭА). а) в) |х|-1 = ^; б) |х|-1 1 Vl7x2+ 8-5 ^ 2-3 ^ XI-1 1 . |х|-1 1 г) ^Юх'^+6 - 4 ^ +7-4 2 138 а) ТЗхТб = ^бх - 3 - V3x + 5 - 3 б) V7x + 1002 - V8x - 1000 = -----^------------------: 7?х + 1002 - 1000 •^2х + 3 ^2х — 0,5 ^х + 2 л/х в) 7х + 2 г) yjx^ + 3 + Vx2+ 3 д/2х + 3 ^2х — 0,5 = ^х2 + X + 2 + -у/х^ + X + 2 423 д) yjx^ + 1 - - 4х + 5 = Задания для повторения 1 е) ^jx^ + 1 - у12х^ -9х + 21 = у]2х^ - 4х + 5 .Jx^+1 1 1 - 9д: + 21 yjx^ + 1 12- 139 (МГУ, почв. ф-т). 140 а) 2^-^ + 2^-^ = -х^ + 6х-7; б) 2^"^ + 2^-^ =-д:^ + 4х - 2. 141 (МГУ, псих, ф-т) а) ^ + 5 - ^-4=0; б) + 7 . ^\ogs ^ _ ц = 0. 142 (МГУ, хим. ф-т) . , д: + 2 * ' 5 . а) loga—— + loga - = 1; О X , дг -I- 3 , 5 , б) loga—g— + loga = 1. б) logs _ ax - бд: -I- 8) = 1. 143 (МГУ, геогр. ф-т) а) log4^._8(j:^ - 2д: - 3) = 1; 144 (МГУ, почв. ф-т). log„|x^- l| = log^|x|. 145 а) logia(JC-3)-1-7б--”^ + л:= 5; б) logo,3(10-5д:)-1-д/Зх^^-дг= 2. 146 (МГУ, мехмат) а) ^ №4 - " Дм - 11 - cos 4х 147 (МГТУ), а) |5-д:| + |д:+l| = 6sinx; б) |д: - 2|-н |д: - 8| = бвшд:; в) |д:-(-5|-I-|х - 11 = 6sinx. 148 (МГУ, геогр. ф-т). а) + 14л: -ь 47| - 1 = |д:-+- 7| - 1; б) д/|л:^-12л: + 34|-1 = |д:-б|-1. 149 (МГУ, ВМиК). cos (л {х -I- 2^^x))cos{к (2х - ^fx)) - -1. 150 (МГУ, геол. ф-т). log9(-5x - 4) = 1. 151 (МГУ, геол. ф-т). 2 rr^Y-l 125 343' 152 (МГУ, физ. ф-т). 2sin2x соз(5д:^) - sin(5x^ + 2х) = 0. 153 (МГУ, экон. ф-т) VScos - X - 4 j -f 3i Ism KX J4---i] = vi2. \ x^ X П424 154 (МГУ, мехмат), 4х — 3\х - 1\ = 4д/бх + 14 - 3^5х - 14 - 1. ^ “ 7 155 (МГУ, хим. ф-т). arcsin------= 2к — кх. 2х 3 156 (МГУ, биол. ф-т). х^ — сов2х^ +1 = 0. 157 (МГУ, геогр. ф-т). 4 arcsin (2^ - 7) - arccos(5^ - 124) = 67С 158 а) logsijj j:(3sinx - cosx) = 0; б) 2-6х = 1. 159 (РЭА). Найдите больший корень уравнения: а) ?4-Vis + f \ X \ J ( \ б) Уз + 2л/2 К J - ^3- 2л/2 < / = 8; = 2; в) (2л/3-2Г+ 2^ + 1 = 2(л/3 + 1)*; г) З^'ч- iVVio- = 2 ■у/лЯО + 1 Рациональные неравенство Решите неравенство (160—169): 2л: + 5 6л: - 1 . , 160 —-------------^ л: + 1. 3 4 161 а) Зл:^ + 2л: + 1 ^ 0; б) -х^ + 2л: - 3 > 0. 162 а) л:® - Зл: - 2 < 0; б) - Зх^ + 4 > 0. 163 (МИРЭА). + 3) ^ (х+ 4)(3 - х)(2х + 1) . х2 - 5х + 6 - 164 а) —--------- < 0; 165 а) х^ + 5х + 6 3 х'^ - 6х + 18 - б) -----S----> 0. -х2 + 8х- 12 > х; б) X ^ 5 X - 2 166 (МФТИ), а) > 1 + 2 . 3 X - 1 3 2 - X ' * X + 2' в) б) x^-l в) > 1- x-h 2' г) :с + 5 <1 + X + 5 5 X + 4 2 < 1; <1 + 2х - 1 г) -----— < X + 3. 5-х . . X + 1 3 167 а) ------>----- X - 2 1 X + 4 2 6)-------.< 1 ------- 'V---------1---. X + 2 X + 2 7 1:425 Залания для понторспия l-i 1+2 ^_4 j_5 168 а) -^ < 0; б) --1- > 0; в) -^ < 0; г) -^ ^ 0. 1 + 1 X 1+1 X 169 (МГУ, филол, ф-т) ,1.1 а) х^+8х 3^2 - 5х + 2 1 + 1 X 1-1 X ; б) Зх^+ Их + 10 X - X 2 ' Иррациональные неровенства Решите неравенство (170—175): 170 (МИРЗА), а) Vl2ar- 11 < у/Юх - 9; б) yjllx-9< yj9x- 7; в) yjlOx - 7 < yj9x - 5; г) ^lOx - 9 < 171 (МФТИ), а) yjx^ -9<Ы-2х; б) у1х^-6х <8 + 2х; в) 2 - Зл: < -у/4 + 9х - 9х^; г) 4 - 5л: < д/16 + ЗОх - 25л:^. 172 (МИРЗА), а) л/З-л: > л: - 2; б) + yjx + 2yfx- 1 -^х-2-Jx- 1 Су _ О Оу _ 9 173 (МГУ, псих. ф-т). а) < 1; б) < 1. yjlx - 4 у15х - 2 174 а) yjx^ + 5х + -у/-х^ - 7л: - 10 < л/20- х - 5; б) д/л:^ - 1 + д/-л:2 - л: + 2 > 1 - л/х. 175 (МГУ, геол. ф-т). yjx^ - 8л: + 12 ^ х - 5. > 2. Показательные и логарифмические неравенство Решите нергшенство (176—184): 176 а) logo s (3 - 2л:) >-logo,5 3; б) Iog2(2л: - 5) <-log2 3. 177 а) 31og8(Зл: + 2) < 2; б) 4 log,6(4x + 3) < 3; в) log^(l - Зл:) < 2; г) log^(2л: - 1) > 2; 3 3 д) logo.5(3 - 2х) > -logo,5 3; е) log2(2л: - 5) < -logg 3. 178 а) logo,4 (3,5 “ бд:) > 21ogo,4 0,2 - 1; б) 1 + 21og2 0,3 > log2(l,5 - Зл:). 179 а) logo,5(2 - 7х) > -2; б) log2 (0,5 - Зл:) < -3. 180 а) log^ (5^ + ^ - 250 ^ 4; б) log^ (7^ + i - 49^) < 2; в) log (6^ + * - 36*) > -2; г) log_j^ (2* + 2 _ 4^^ ^ _2. У5 у/з __________________________________________________________________ 181 log2X + log2(j:: + 1) < log2(2x + 6). 182 (МГУ, почв. ф-т). -iloggX^ > ^loggC-JC^). 2 Q 183 (МГУ, физ. ф-т). log3(a:^ + - 2х) - 21ogg(x^ - Jc) < loggS. 184 (МГУ, геогр. ф-т). log^^_ -9)> 0. Тригонометрические неравенства Решите неравенство (185—189): 185 а) tg3x>0; б) tg -f-j < 1; в) r)ctg2o:^0; д) ctg |^2л: - > л/З; е) ctg j >-1. 186 а) 5 sin л: - sin 2л: > 0; б) 5 cos ж + sin 2л: < 0. 187 (МГУ, ИСАиА). 2 sin л: - 1 ^ V^sin^o: - 6sinx - 12. 188 (МГУ, геол. ф-т) а) 16зш^л: + ctg^л: ^ 7; б) 16зш^л: + 9ctg^л: < 15. 189 (МГУ, ВМиК). а) л/б - Юсозл^ - sinjc < sin л: - cos л:, х е [-д; п]; б) >/бсо8л: - sin л: + 4 < sin л: + cosx, х е [0; 2л]. Неравенства с модулями Решите неравенство (190—193): 190 а) 2л:>|л:|+1; б) л:^-6^|л:|. 191 (МГУ, биол. ф-т). а) ^ 3 - х; б) 1Х + 2Г'' '1х-Ц 192 (МГУ, социол. ф-т) 193 (МГУ, экон. ф-т). |х2-8х-И5|<|15-х2|. ^ 2л: + 5. Разные неравенства Решите неравенство (194—220): 1 1 Лх ^ А 2^ ^ 2 2^^—2 194 (МГТУ), а) < 0; б) -—> 0; в) ------< 0. 2 + л л - 2 X ч- 2 427 Задания для постороння 1Q5 15 -|7х + 8| ^ п* 13- -|6х + 7| ^ Зх^ -14х + 17 5x2 - Их -1- 7 ’ в) 18 - 1 4х + 5 1 —! !- > 0; г) 17 - -111ЧЧ61 4д:^ - 13д:+ 11 6x2 - 15х +10 196 а) (х2 - - 9)-\/д: + 6 > 0; б) (16 - х^)У8 - X < 0; в) - 9 (X -I- 8) > 0; г) {X- 4)Ух2 - 4 < 0. 197 а) {х- 2)(х- 3)Ух -1^0; б) (дг + 2) (х + 3) л/х + 11 ^ О5 в) {х- 4)(хч-3)У^ > 0; г) (X- 8)(х-ь 7)Ух 5: 0. 198 (МГУ, почв. ф-т). > ^[у^- 199 (МГТУ) ^6 + 5х - а) ^-----------< 0; г) х-2 1-х ^3 + 2х - х^ д/4- Зх - х^ ^ б) -!!----------< 0; в) -2-------—------> 0; Х-2 X 3 V2 < 0; д) Зх + 2 + X - Х^ yj2 - X - > 0; е) X - 1 7з + 2х - х^ < о. 200 а) > 0; б) < 0. (3*- 8)(х'' + 4х + 20) (2*- 5)(х‘‘- 2х + 10) ^ -1 201 (МГУ, геол. ф-т). а) ^ ^ 0; б) -— ----^ 0. |2х - 3|- 5 1- X - 7 202 (МИФИ) а) (9х^ - 9х -t- 2) • log2 Зх > 0; б) (20х - 25х^ - 3) • logs 5х ^ 0. 203 а) (МГУ, ИСАиА). У2х^ - 5х - 3 ^ 0; 6 + зУЗх- 2х^ б) (МГУ, биол. ф-т). > 0. X - 7 2(М а) J 0; 4-yjlO - X + д: - 13 в) 1^-^!-'^ S 0; б) £:iilW!3I<0; I д: - 1| - 7^+1 г) 2^11- X + X- 12 205 (ВШЭ), а) 1^ + б|-н УГ^-5 ^ \х-3\-2^х+ 4+ 1 ^ |х - 3| - Ух + 3 ,_____ < . . ,______________________ |х - 2| - ЗУх +5 + 3 |х -t- 5| - 2У2 - х -н 1 в) « 0; I д: “ 4| - ^х 3 - 1 г) ^ д IX + 3| - 2^4 - X + 1 П428______________________ 206 а) 2^ + 2l ^ I ^ 2л/2; 207 (МГУ, почв, ф-т) а) 3-4>/^+3< 10-2>/^; lg(8 - X) 208 (ГУУ). а) - 2) б) 3^ + з1 ^ U 3. б) 2-9'^+2< 5-3>^. \g(2x + 9) б) lg(2x + 3)‘ < 1; lg[f + 9 в) —^ 1; ig|f.3 Ig I-H5 г) —^ 1. >41-‘) 209 (МГИЭМ). а) fciiLj:».!; л1х + 6 ^^ < 1; ■ + 2 2д: - 3 д) -д:^ + д: + 8 > 21л: + 11; 210 (МГУ, физ. ф-т). а) [ - 1- X 16£±3|z21<0; X - 1 ^ у12х- 1 , г) -—^<1; е) -л2-2д: + 33>3|л:-1|. 1 2*-ь 5л -I- 8 ^ _ 25 ' х-2 в) ^/21ogg(3x^ - 4) > logg-y/Зд:^ - 4. 211 (МГУ, хим. ф-т) а) ^ 12-х л + 1 2л ^ 0; б) ^ 0. 1 - л л + 2 J л + 1 2л -н 2 212 а) (МГУ, филол. ф-т). ----—- > —— -I- ——; logj (2л^ - 1) logj л logj л 2 4 3 б) (МГУ, экон. ф-т). logg (2* - 3) • log^ (4^ + 2 _ 12.2^ + 3 + 144) < 32. 213 (МГУ, ИСАиА). (1 ч- loggx) < 2. Oi.4 /АДПЛГ Ч Ч 10&<24-2х-х2)(л: + 6) 1 214 (МГУ, мехмат), а) ------------^ logi4 - х)(24-2л - л^) 4 б) 27^ -I- 24 > 2(7 -f- + 12(7 - л/Иу; в) л < Iog5(16 • 15^ - 151 + 2Х) _ iog3(16 • 5^ - 3^ + ^ • 5^ + 2х) 215 (МГУ, хим. ф-т). 2>s(^-i)^ (л + 1)'«2. ^429 Задания для повторения 216 (МГУ, биол. ф-т). ^ ^ 2. 61og^2 - 1 217 (МГУ, почв. ф-т). а) log(^._2)^r ^ log(^._2)4; б) 2 logjt sin X • log^ sin 2x - log| sin 2x < log| sin x. 218 (МГУ, геогр. ф-т). |jc- б| + ^Зх + 1 < 5. 219 (МГУ, псих. ф-т). log2 logi ^ t ^ 0. 220 (МГУ, геогр. ф-т). Системы уравнений и неравенств 4х + 8 ^ 0. л: + 1 |х| Решите систему уравнений (221—234): 221 (МИРЭА) -Зу^=8 + 4у2= 15; х-Ъу^= 10 лг + 31/2= 18; в) 71/2= 9 [x + 2t/2 = 18; 222 (МИРЭА). а) 2)“^ +У ' [х +у = 6; 2 _ = 10 в) 223 (МИСиС) ix - 6)2 + у2 = 10 x + у = 10; ' х^ + ху + у^ + X + у = 57 (X + у)^ + (х- у)^ 1025 б) U-21/2 =12 ^ \х + 7у^= 21. б) 1х +I/ = 8; (х - 5)2 + £/2=10 х + у = 5 2 _ г) = 5 (X + £/)5 -(X- £/) = 1023 224 225 f Х^- Ху _ (X - у)2 ^ Г у2__^ _ [у^+ху х^+ху) Х + у) + ху х^ 2 - £/2 ^ 3. У) -2 _ X ¥ 226 а) 227 а) V¥ + V2 2х - у + -Jxy — 10. 421, + 32Х ^ 82 f 1 -1- JC£/ -Ь 3 ф 1 ,л/^ + 3^ -1 = б 3^ - 4^^ = 8; 3Jc2 - 2ху — 21ogg(£/ + 2)= 1о&з(5х- 2); б) б) 134' + 52* = 2 [5^ - 3“-^4' = = 26 4. 2£/2 _ ЗЖ{/ _ 2 logg (х + 1) = logg (3£/ - 5). П430 228 ч|2^'-з=8*-2 j2J'=4^-3 |21og3(j/- л:)-log3X= 1; ’ \21og2(x- i/)- loggг/= 1. 229 (МГУ, ФНМ). a) if 2 + log|i/ = 504 6) Zx flY~2 J 4^-2^ 1 log^ у + log| у = 84; + \ogly = 702 9"" - 3"" 4og3^ I/+ log| I/= 117. 230 Jl^ + yl+ logi(l^l-1/ + 5)-12= 0 |(x + t/)2- 5(x + y)-log2(|x| -y + 5) + 41og|(|j:| - ^ + 5) = 0. 231 (МГУ, ВМиК). a) 232 (МГУ, физ. ф-т). 233 (МГУ, геол. ф-т). [log2>/y = -3^ (З^ + log2i/ = 1; I . I |созл;| sin у sm у = ----------- 1 cos л: - 11^ -I-1 sin у\^ = 4 f 3 sin X -I- cos у = 0 ^ jOcosx - 2 siny = 7. xy = 5 2 2x + у - xy о 10 ^ 2x + y -----= 4-1- xy. xy 234 (МГУ, геогр. ф-т) 235 Решите систему неравенств: а) 5j/_5.3j/+x^ 3^:.5j/ Зу-ж + 1.51-г/^ 7х 11(х и- 3) ^ Зх - 1 13-л: 3 6 5 (1 - xf ^{х + 5)(х - 1); б) 3 + 15 о ,1 5 12-д: V3 51-Зд: V д/х^^-~Зх^-То ^ 2х + 4. > -2 236 (МГУ, мехмат). Решите систему: .,2^^^=^х^ + 4 _ а) i 4 б) 2^ + 2_ 4^ д;2(14_ 2^ + 2).2^; Зх + 1 ^ ^х^ + 3 3 3^ + ^ - 3< х2(14-3"^ + 1)-3^ 1431 Задания для повторения 237 (МГУ, псих, ф-т). Решите систему: а) sin^ X + cos^u - -4 cos X ^ О . 7б cos х sin 1/ = —; ^ 4 б) cos^ д: + sin^ I/ = sin X cos у = 4 239 240 Задачи с параметрами 238 (МИФИ). При каких значениях с е R для действительных корней Xi и Х2 уравнения х^ н- (4с - с^ - 1)х н- 2с^ -1 = 0 выполняется равенство Xi + Х2 = 6? а) Постройте график квадратного трехчлена г/ = н- Зх + а, если известно, что его корни связаны соотношением xf -н х| = 5. б) Постройте график квадратного трехчлена г/ = х^ - х - а, если известно, что его корни связаны соотношением Xj^ -I- х| = 4. (ВШЭ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение: а) 2|х-1-1|-2|х-2| + |х-б| = х4-За имеет ровно один корень; б) 2|х + 3|-2|х — 2|н-|х-4| = хч-2а имеет ровно два корня; в) |х^-8х-а| = 4х имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 11,5; г) I х^ - 4х + а I = X имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 4. (ВШЭ ), Для каждого значения параметра Ь найдите число корней уравнения: а) 2х^ + 10х -h 16х + 301 = 6; б) 6х^ н- 18х -h 112х + 361 = 6; в) 4х^ -ь 12х и- 18х -h 241 = 6; г) 4х^ -н 8х + 124х + 481 = 6. (МИФИ). Для каждого значения параметра с решите уравнение: а) 241 242 V - + 2 = с +J- - 3; 4 V 4 б) 4х н- 4 = с д/х^ 4- бх ч- 9; = 0,5; 243 в) sin cVx^ 1 + — \ б г) (2-^ 4- 4 + Зс)(5 - с - 2-^) = 0. (МИФИ). При каких значениях параметра Ь уравнение 12 cosX - 4& + 31 = 13 cosX - Ы имеет на промежутке | ^ только одно решение? [432 245 246 247 248 249 250 244 (МИФИ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х - 1 = д/(1 - а)х - 1 + За + 2а^ на промежутке (-оо; 5] имеет только одно решение. (МГТУ). Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение 8 -н 4р (д: - 2) = (х - | х |) л: имеет единственное решение. Найдите все решения при каждом р. (ИКСИ АФСБ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 144"^ 2х - 11 _ 2 . i2~\ 2х - 11 ^ j2a = О имеет хотя бы один корень. Для каждого значения параметра а решите неравенство (247—248): (МГУ, ВМиК). 12х н- а I ^ X -h 2. (МГУ, физ. ф-т). 3(2х - а) + 5а^2х - а — 2а^ > 0. (МГУ, хим. ф-т). Для каждого значения параметра а решите уравнение sin^ х -ь sin^ 2х -ь sin^ Зх - 2а (sin х и- sin 2х -I- sin Зх) + -ь cos X - cos Зх + 2а^ = 0. (МГУ, геол. ф-т). При каких значениях параметра а> 1 уравнение sin ^^xj tgx = о имеет ровно 6 различных корней на отрезке [2ал; (а^ -h 1)тс]? Укажите эти корни. При каких значениях параметра а имеет единственное решение уравнение |2х -h 6| + |2х - 8| = ах -I- 12? (МГУ, мехмат). Найдите все значения параметра а, при каждом \ах^ - 2(а + 1)х -н а + 5 ^ 0 из которых система неравенств < о ^ 1(а + 1)х^ - 2(а + 2)х + а + 2 ^ о имеет единственное решение. (МГУ, хим. ф-т). Найдите все значения параметра а, при каждом - (а -н 3)х^ -h(3a -н 2)х- 2а ^ 0 (а -I- 3)х^ + Зах< 0 имеет единственное решение. (МГУ, биол. ф-т). Найдите все значения параметра а, при каждом sinx = со8(д/б - 2а^х) из которых система уравнений \ f 2\ i-----------^ cos X = I ^ “ 3 I (V® - 2а^х) имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2тс]. 251 252 253 254 из которых система неравенств |хЗ-. [x^-l 433 Задания для повторення Текстовые задачи 255 (МГУ, почв. ф-т). а) Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел? б) Сумма двенадцати чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма четвертых степеней этих чисел? 256 Старинная задача. У торговца имеется два бочонка вина: емкостью 40 л, ценою 7 р. за литр, и емкостью 10 л, ценою 5 р. за литр. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась? 257 Решите предыдущую задачу, если известно, что цены вина за литр различны, но неизвестны. 258 У торговца имеется два бочонка вина разной цены за литр емкостью т я Vi п я. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась? 259 Имеются две бочки бензина разной цены. В одной бочке находится 220 л бензина, а в другой — 180 л. Из каждой бочки берут по одинаковому количеству литров бензина и переливают в другую, после чего цена литра бензина в бочках стала одинаковой. По скольку литров бензина перелили из каждой бочки? 260 Имеются два сосуда, содержащие растворы кислоты разной концентрации. В первом т л раствора, во втором п л раствора. Из каждого сосуда взяли по одинаковому количеству раствора и перелили в другой сосуд, после чего концентрация кислоты в растворах сравнялась. По скольку литров раствора перелили из каждого сосуда? Решите задачу в общем виде. Получите ответ, если: а) /п = 20, п - 30; б) m = 10, п = 30, 261 (МГУ, почв. ф-т). а) Какое количество воды надо добавить в 1 литр 10%-ного водного раствора спирта, чтобы получить 6%-ный раствор? б) Имеется 1 литр 6%-ного раствора спирта. Сколько литров 3%-ного раствора спирта нужно добавить в первый раствор, чтобы получить 5%-ный раствор? 262 а) Из пункта А выехал колесный трактор со скоростью 25 км/ч. Через час вслед за ним одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость грузовика постоянна и составляет - скорости легкового автомобиля. Найдите скорость 4 грузовика, если известно, что он догнал трактор на 10 мин позже, чем легковой автомобиль. 15 Никольский. 11 I П434 б) От пристани по водохранилищу со скоростью 10 км/ч начала двигаться яхта. Спустя полтора часа от той же пристани за яхтой последовали два катера с постоянными скоростями, при- 4 чем скорость первого катера составляла — скорости второго. Найдите скорость первого катера, если известно, что он догнал яхту на 15 мин раньше, чем второй. 263 а) Из пункта А в одном направлении одновременно отправились пешеход и велосипедист. Через 2 ч вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист, скорость которого равна 30 км/ч. Найдите скорость пешехода, если она постоянна и со- 2 ставляет - скорости велосипедиста и мотоциклист догнал пеше-5 хода на 1,5 ч раньше, чем велосипедиста. б) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет - скорости грузовика. Че- 5 рез 30 мин вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 ч раньше, чем легковой автомобиль. 264 а) В озеро впадают две реки. На первой реке, в 35 км от устья, расположен пункт А. На второй реке, в 60 км от устья, расположен пункт С. Расстояние между устьями рек 15 км. Моторная лодка прошла путь от А до С за 10 ч 25 мин, а обратно за 8 ч 45 мин. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения во второй реке в 1,5 раза больше скорости течения в первой реке? б) Из порта вышли два корабля. Они двигаются с постоянной скоростью, причем первый в 2 раза быстрее второго. Через некоторое время от второго корабля отошел быстроходный катер, догнал первый корабль и возвратился обратно, затратив на путь в оба конца 5 ч. Затем он снова догнал первый корабль и возвратился, затратив всего 9 ч. Сколько времени догонял катер первый корабль в свой первый рейс? 265 В озеро впадают две реки. Теплоход выходит из порта М на первой реке, плывет вниз по течению до озера, затем через озеро (где нет течения) и по второй реке вверх (против течения) до порта N. Затем теплоход возвращается обратно. Скорость теплохода в озере равна и, скорость течения первой реки второй реки время движения теплохода от М до iV равно t, а длина пути от М до ЛГ равна s. Время обратного движения от N до М также равно Какое расстояние теплоход идет по озеру в одном направлении? 435 Задания для повторения 266 (МГУ, биол. ф-т). а) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, второй из точки В — и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их первых 15 встреч на трассе после старта только первая и пятнадцатая состоялись в точке В. Найдите отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга, б) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, второй из точки В — и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их первых 13 встреч на трассе после старта только третья и тринадцатая состоялись в точке А. Найдите отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга. 267 а) Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, движутся с постоянными скоростями в одном направлении по кольцевому шоссе. В момент старта гонщик В находился перед гонщиком А на расстоянии - длины шоссе, а гонщик С — перед гонщиком В 3 на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал гонщика В в тот момент, когда гонщик В закончил свой первый круг, а еще через 10 мин гонщик А впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик С. Сколько времени тратит на круг гонщик А? б) Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной точке старта, а через полчаса после этого он вторично (не считая момента старта) обогнал третьего гонщика. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 мин? 268 (МГУ, ФНМ). а) Из города в деревню одновременно отправились бегун Б и пешеход Hj, а в тот же момент из деревни в город вышел пешеход П2. Скорости пешеходов были равны. Встретившись, Б и П2 некоторое время стояли на месте, а затем направились в деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью, равной 12 км/ч, а П2 уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи Б и П2, одновременно пришли оба пешехода. Найдите скорость пешехода П^. б) Из города в деревню одновременно выехали велосипедист В и мотоциклист Ml, а в тот же момент из деревни в город выехал второй мотоциклист М2. Скорости Ml и М2 были равны 30 км/ч. 15* 486 Встретившись, В и М2 некоторое время стояли на месте, а затем оба направились в деревню. При этом В поехал с прежней скоростью, а М2 уменьшил свою скорость в три раза. В результате М^ и М2 прибыли в деревню одновременно, а через промежуток времени, в десять раз больший длительности встречи Б и М2, в деревню приехал В. Найдите скорость велосипедиста В. Список принятых сокращений ВШЭ — Высшая школа экономики ГУУ — Государственный университет управления ИКСИ АФСБ — Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ РФ МГИЭМ — Московский государственный институт электроники и математики МГИЭТ — Московский государственный институт электронной техники (технический университет) МГТУ — Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана МГУ — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова: биол. ф-т — биологический факультет ВМиК — факультет вычислительной математики и кибернетики геогр. ф-т — географический факультет геол. ф-т — геологический факультет ИСАиА — институт стран Азии и Африки мехмат — механико-математический факультет почв, ф-т — факультет почвоведения псих, ф-т — факультет психологии социол. ф-т — социологический факультет физ. ф-т — физический факультет филол. ф-т — филологический факультет хим. ф-т — химический факультет ФНМ — факультет наук о материалах экон. ф-т — экономический факультет МГУЭСИ— Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) МИСиС — Московский государственный институт стали и сплавов (технологический университет) — Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет) — Московский педагогический государственный университет — Московский физико-технический институт (государственный университет) — Московский энергетический институт — Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова СПбГПУ— Санкт-Петербургский государственный политехнический университет МИРЭА МИФИ МПГУ МФТИ МЭИ РЭА Приложения 1. Таблица производных 1. (С)' = 0. 2. {х)'= 1 {х е R). 3. (л:")' = пх”-^ (п^ 2, 3, 4, 5, X е R). 4. (х~’‘У = -пх~" ~ ^ (п € N, X Ф 0). 5. (л:“)' = ах" “ ^ (а — нецелое число, х > 0) 6. (е^У = е^ (х е R). 7. (а^У = а^\па (а > 0, 1, х € R). 8. (1пх)' = — (х > 0). 9. (log„x)' = 1 xlna 10. (sin х)'= cosx (х € iJ). 11. (cosx)'=-sinx (х е/?) (a > о, a 1, X > 0). 12. (tgx)' = —^— [ X — + nk, keZ cos^x [ 2 13. (ctgx)' = — (x ^ nk, k e Z). I 14. (arcsinx)' = 1 Vb 15. (arccosx)' = - 16. (arctgx)' = 1 ^1 - x -^ (“1 < X < 1). (-1 < X < 1). 1 + X 7 (x e R). 17. (arcctgx)' =-----5- (x G R). О 1 + X^ После каждой формулы указаны параметры ее применения. Отметим, что формулы 2—5 часто объединяют в одну: (хР)'= рхР-1 (Ряй 0), но применяется она для каждого конкретного случая для тех значений X, которые указаны в скобках после каждой из формул 2—5. 438 2. Таблица интегралов 1. IOdx = С, 2. J1 dx = X + С (х € R). 3. [ x^dx - — + С (п G TV, X е Д), J л + 1 4. f x~"dx = ----+ С (л = 2, 3, 4, 5, х 0). J -л + 1 г X® * 5. x®dx =------+ С (а — нецелое число, х > 0). J а + 1 6. I dx = In I X I + С (Х 0). 7. I e-^dx = + С (х е R). 8. f a^dx = + С (а > Оу а ^ 1у X е R), ^ 1па 9. Jsinxdx =-COSX + С (х G Д). 10. jcosxdx = sinx + С (х е Д), г dx 11. ----- =tgX + C X7^:— + nky А G Z cos^ X 2 I 12. J si 13. J ““ = -ctg X + C (x ППу n G Z). Sin^ X = arcsinx + C (-1 < X < 1). 14. f ■ = arctgx + C (x G Д). 1 + x^ После каждой формулы указаны параметры ее применения. Отметим, что формулы 2—5 часто объединяют в одну: но применяется она для каждого конкретного случая для тех значений X, которые указаны в скобках после каждой из формул 2—5. 3. Свойства логарифмов Если а > Ь > о, а Ф Ь Ф 1, М > о, N > о, у ^ R, то: 1. log„ (М • iV) = loga М + loga N. 2. logo ^ = logaM - logaN. 3. logoM^ = ylogoM. 4. logo M = 439 Приложения 4. Основные формулы тригонометрии 1, sin^a + cos^a = 1, 2. sin (-а) =-sin а. 3. cos (-а) = cos а. 4. tg(-a) = -tga. 5. ctg(-a) =-ctga. 6. sin (a + 2nk) = sin a, k e Z, 7. cos (a + 2nk) = cos a, k e Z. 8. tg(a + nk) = tga, k s Z. 9. ctg(a + nk) = ctga, k & Z, 10. cos (a - p) = cos a cos p + sin a sin p. 11. cos (a + P) = cos a cos P - sin a sin p. 12. sin (a - P) = sin a cos P - cos a sin p. 13. sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin p. 14. cos2a = cos^a - sin^a. 15. sin 2a = 2 sin a cos a. • -o o-ot + P a-B 16. sin a + sinp = 2 sin-cos 17. sin a - sinp = 2 sin-^-cos ^ 2 Ю о о a + p 18. cos a + cos p = 2 cos —-— cos ^ 2 10 r> о • « + P • 19. cos a - cos p = -2 sin —sin 2 a + p 2 * a - p 2 ‘ a - P 5. Простейшие тригонометрические уравнения 1. sin X = 1, X = — 2я/г, n e Z, sin^: - -1, X =------h 2ял, n e Z. 2 3. sinд: = 0, д: = яп, n e Z, 4. sin^: = a, \a\ < 1, 0, Xi = arcsina + 2яп, n e Zj X2 = Tt — arcsina + 2я/г, n e Z. 5. cos д: = 1, д: = 2яд, n g Z. 6. cosx = -1, д: = я + 2яа, n g Z. 7. cosx = 0, д: = — + яд, n G Z, 2 8. cosx = a, |a| < 1, a ^ 0, Xi = arccosa + 2яд, n g Z^ X2 = -arccos a + 2я/г, n g Z. 9. tgx = a, a G X = arctga + ЯЛ, n g Z, 10. ctgx = a, a G Ry X = arcctga + яп, n e Z. Предметный указатель и Амплитуда колебаний 210 аргумент 3 асимптота 149, 150 — вертикальная 152 — горизонтальная 151 — наклонная 151 В Возведение неравенства в степень 220 — уравнения в степень 215 Интегральная сумма 176 — — нижняя (верхняя) 182 исследование функции 18 К Комплексная плоскость 386 комплексного числа аргумент 391 — — главный аргумент 390 — — действительная часть 380 — — мнимая часть 380 — — модуль 386 — — п-я степень 381 Л Геометрический смысл второй производной 138 — — определенного интеграла 179 — — производной 94 график, выпуклый вверх 138 — — вниз 138 график функции 19 — — разрывный 60 Д Движение равномерное 135 — равноускоренное 135 дифференциал аргумента 99 — функции 99 дифференцирование функции 92 дифференциальное уравнение 202 — — второго порядка 202 — — первого порядка 202 — — с разделяющимися переменными 204 Логарифмирование показательного уравнения 215 — уравнения 273 — показательного неравенства 221 М Максимум функции на отрезке 114 мгновенная скорость 90 метод подстановки 173 — промежутков 307 — трапеций 182 механический смысл производной 94 — — второй производной 135 минимум функции на отрезке 114 мнимая единица 380 Н__________________________ Наибольшее значение функции 6 наименьшее значение функции 6 неопределенный интеграл 168 441 JiSSSi метныи указатель неравенства равносильные 219 — — на множестве 283 — с параметрами 355 неравенство, равносильное системе 242 — — совокупности систем 242 О__________________________ Область изменения функции 5 — определения функции 3 — существования функции 5 определенный интеграл 179 освобождение уравнения от знаменателя 226 П__________________________ Параметр 357 первообразная 167 период функции 9 — — главный 9 площадь криволинейной трапеции 176 посторонние корни 225 потенцирование логарифмического уравнения 226, 273 предел замечательный первый 52 — — второй 52 предел функции 46, 47, 52, 53 приведение подобных членов 226 приращение аргумента 60, 91 — функции 60, 91 производная 92 — вторая 134 — левая (правая) 92 — обратной функции 111 — сложной функции 108 промежуток знакопостоянства функции 16 разрыв неустранимый 70 — устранимый 70 решение дифференциального уравнения 202 — — — общее 202 — — — частное 202 — системы 242, 331 ряд Тейлора 166 Свойство графиков взаимно обратных функций 76 система-следствие 337 системы равносильные 242 суперпозиция двух функций 4 Теорема Лагранжа 127 — Ролля 127 точка критическая 118 — локального максимума 115 — — минимума 115 — — экстремума 115 точка максимума 114 — минимума 114 — перегиба 139 трапеция криволинейная 175 У_______________________ Угол наклона касательной 94 уравнение иррациональное 229 — равносильное системе 242 — — совокупности систем 242 — с параметрами 355 уравнение-следствие 225 уравнения равносильные 214 — — на множестве 266 Ф Равносильное преобразование неравенства 220 — — уравнения 214 равносильный переход на множестве 266, 283 Фаза колебаний 210 форма комплексного числа алгебраическая 380 — — — показательная 407 — — — тригонометрическая 392 П442 формула Муавра 393 — Ньютона—Лейбница 185 — Тейлора 162, 163 — Эйлера 405 функции взаимно обратные 75 — основные обратные тригонометрические 84 — — элементарные 4 — элементарные 4 функция 3 — возрастающая 14 — дробно-линейная 154 — монотонная 16 — невозрастающая 15 — непрерывная в точке 61, 63 — — на отрезке 63 — — на промежутке 19 — — справа (слева) в точке 63 — неубывающая 15 — нечетная 8 — обратная 72, 75 ограниченная 6 — сверху (снизу) 6 периодическая 9 разрывная в точке 61 сложная 4 строго монотонная 15 убывающая 14 четная 8 Частота колебаний 210 числа комплексные взаимно сопряженные 384 — мнимые 380 число комплексное 380 — обратное комплексному 382 — противоположное комплексному 381 — сопряженное с комплексным числом 384 Ответы § 1 1.2. &) f (х) = 4х, g{x) = \gx. 1.3. а)/(лг) = sinx, g(x) = Jx, ц>(х) = х^. 1.4. а) /((р(д:)) = 7^^; б) ip(g(x)) = (log^xf. 1.8. а) [1; +оо); б) R, в) (-оо; -1] U и [1; +OD); г) (-С»; -2) U (-2; 2) U (2; +аз); д) (-с»; 0) U (1; +£»); е) (-оо; -4) U и (-4; -1] и [0; +оо). 1.9. а) (-оо; 0) U (0; +оо); б) (0; +оо); в) тел; — + лп L I 2 ) /I е Z; г) [0; -\-оо); д) R; е) {-1; 1}. 1.10. а) [0; 1]; б) [0,5; 1]; в) (0; 1]; г) [3; 5]; д) (1; у/2У, е) R; ж) [1; 2]; з) (-оо; 0]. 1.18. а) Нечетная; б) нечетная. 1,19. а) Четная; б) четная. 1.20. а) Четная; б) нечетная. 1.29. а) sin 2jc, cosx, з1п2лх; б) функция Дирихле. 1.32. а) Да, Т = к; в) да, Т = к; г) да, 7" = л, е) нет; ж) нет, 1.33, а) Да, Т = я; б) да, Т = я; в) да, Т = я; г) да, Т = п; д) нет; е) да, Т = 2я; ж) нет; з) нет, 1.34. а) Нет; б) да, Т = 1; в) да, Т = 1; г) да, Т=2; д) да, Т = 2; е) да, Т = 4. 1.35. а) Да, Т = 2я; б) да, Т = 2я. 1.36. а) 2я; б) —; в) я; г) я. 1.47. в) Функция убывает на промежутке (-оо; 1,25]; г) функция возрастает на промежутках I 2яА;; 2кк убывает на промежутках 2кк; —-\-2кк 2 к eZ, keZ. 1.48. а) Функция возрастает на промежутках [к; к 1), к е Z; б) функция возрастает на Д; в) функция убывает на промежутке (-оо; -4], постоянная на промежутке [-4; 4], возрастает на промежутке [4; +оо), 1.49. а) у>0 при jcg(-oo;-2)U (2; +оо); у < 0 при X Е (-2; 2); б) у > 0 при х е (-оо; 0) U (4; +оо); у < 0 при х е (0; 4); в) у > о при X € (-оо; 1) и (4; +оо); у < 0 при х е (1; 4); ж) у > 0 при X Е (-оо; -7) и (-3; +оо); г/ < 0 при х е (-7; -3); з) I/ > 0 при х е (0; 2); у <0 при X Е (-оо; 0) и (2; +оо); и) у > 0 при х е (0; 4); у < 0 при х е (-оо; 0) U и (4; +оо). 1.50. а) На промежутках (-оо; 0) и (0; +оо) функция монотонна (постоянна), у <0 при х е (-оо; 0), у > 0 при х е (0; н-оо); б) на промежутках (-оо; -2), (-2; 2) и (0; -1-оо) функция монотонна (постоянна), у < 0 при X Е (-2; 2), у > о при х е (-оо; -2) U (2; +оо), 1,74. а.) у = 2х^; б) у = -2х^; в) JC = 2i/2; г) дс = -2{/2; д) I/ = 2 (х - 1)^ + 1; е) у = -2 (а: - 1)^ + 2. §2 2.4. а) 8; б) 1; в) -1; г) 4. 2.5. а) оо; б) оо; в) оо; г) оо; д) оо; е) оо. 2.6. а) 1 и 1; б) 4 и 4; в) о и 0; г) о и 0. 2.7. а) -оо и +оо; б) +оо и +оо; в) -оо и -оо; г) —оо и +00, 2.8. а) -оо и +оо; б) +оо и -оо; в) -оо и +оо; г) -оо и +оо. 2.12. а) 1; б) 1; в) 1, 2.15. а) 1; б) 1; в) 3; г) 1; д) 2; е) 2.17. а) Ь б) 7; в) i; г) i; д) 1; 444 Ч ? . ^ -i 4 2 е)—; ж) 1; з) 5; и)—. 2.18. а) б)^**'*; в)е'*; г) е 2.19. а)—; б)-; 2 5 2 5 в) +оо; г) -оо; д) 12; е) - —. 2.22, а) 0,2; б) -0,4; в) 0,2; г) 0,02. 2.24. а) 0,01; 3 б) 0,21; в) -0,19; г) 0,41. 2.32, а) (кп; к + тип), п е Z; в) (-оо; -2) U (-2; +оо); д) ^ Tin; лл j, п El Z, 2.34. а) [2лл; л + 2лл], л е Z; б) ^ лл; -^+ лл j, л gZ; в) (-1; +оо). 2.41. а) Да, f(x)=\''~ б) да, f{x) = f (-0, Xq — 1, [ fl, Х()— ii, в) нет; г) нет. §3 3.3. а)у = б) у ■■ д: + 8 ; в) у = у[х, X е [0; 9]; г) у = 7^. х е [-9; 0]; 3 2 д)у=-—; е)у = 4х^, д: е [0; 2,5]; ж)^/ = logзX; з) г/= 5', х е {-оо; 2). а 3.7. а) у = Vx, X е [0; +оо); в) у = ^"'4х, х б (0; +оо); а) у = log„x, х е (0; +оо). 3.11. у = 5-х. 3.12. а) [/(а); /(Ь)]; б) [/(6); /(а)]. 3.22. а) - А; б) в) 1. 13 1о §4 4.1. а) At = 1; б) As = 3; в) ~ 3. 4.2. а) (2f + At)At; б) 2< + At, в) 2t; г) 2. 4.3. 2) а) (2t - 6 + At)At; б) 2t - 6 + At; в) 2t - 6, мгновенная скорость зависит от времени. 4.5. а) Af = {2х + Дх) Ах; б) 2х + Дх; в) 2х, г) 0; 2; -2; 4; -4. 4.7. а) 2х; б) 0; 2; -2; 4; -4; 6; -6; в) 0; 0,5; 1,5. 4.10. а) и = 2« - 4; б) 6; в) при t = 2. 4.14. а) -2; 4; б) (-6; -2) U (4; 7); в) (-2; 4). 4.17. а) 2х -ь 1; б) 2х - 1; в) 2х; г) 2х; д) 10х; е) -2х; ж) 10х + 3; з) 6х - 3; и) 2ах н- Ь. 4.18. а) Зх^ + 2х + 1; б) Зх^ - 2х - 1; в) 15х; г) -Зх; д) 6х^ - 6х + 1; з) Зах^ + + 2Ьх + с. 4.19. а) 2х и- 6; б) 2х - 8; в) 18х + 6. 4.20. а) -2; б) 0; в) 1; г) 41. 4.21. а) у' = О при X = -3; у' > О при х е (-3; +оо); у' <0 при х е (-оо; -3); в) (/' = О при X = 3; у' > О при х е (-оо; 3) U (3; +оо). 4,26. а) dy = 3dx; б) dy = (2х + 2)dx; в) dy = {Зх^ - 5)dx. 4.27. а) -0,3; б) 0,3; в) 0,02; г) -0,02. 4.30. а) Зх^ + 4х - 3; в) 45х^ + 2х; д) -12х^ - бх^ + 12х + 4. 4.31. а) 4х^ б) 5х"; в) бд:''; г) 1х^. 4.33. а) б) в) ^ г) ^ ; д) ^ ; х^ Х’^ (х+1)-* (х-1у (х2+1)2 х^+16х+1 , 6х-21 е) -х2-4 ж) х^ + 2х + 3, (х + 1)^ ’ з) (х^+1) 2 и) (х^ - 7х + 5)^ 4.34. а) 0; б) -|; B)-i; r)-i. 4.35. а)-1;1; б) (-1; 1); в) (-оо;-1) U (1;-(-оо). ^ ^ ^ 4.36.10. 4.39. а) 28д;^ - 15x2 - 1; б)-4х^ н- 16х-I-2. 4.43. а) 11'• In 11; в) (2-4^ + 3-8^-4-16^)1п2. 4.45. а) —; б)—-—; в)—---------------------—; х1п2 xlnlO х1п2 X xlnlO ^.3 445 Ответы г) —-----— + —~—. 4.48. а) + 12-^ In 12, х е й, в) — + sinx, х е (0; +сх)). х1пЗ X xInlO ^ 4.50. а) е; б) (0; е); в) (е; +оо). 4.52. а) * 1пя + б) ех^~ ^ - дх'^*^; в) д^ • 1пд + дх*" г) ex'” * - 4.54. а) х е Д, Зх^е^; д) х е Д, е®‘" • cosx. 4.55. а) X 6 (0; +оо), --—; б) х е (-оо; 0), ^ ^ ^. 4.56. а) х е Д, -2sin2x; 2х1п2 2х1п2 б) X € Д, -60sin30x - 8siii4x. 4.57. в) х ^ 6 + д + 2nk ^ ^ cos^ (2х - 3) ’ -. 4.62. а) X G (0; +оо), 0,5х в) х е Д, 4,2х^’^. г) k€ Z, — . 5 sin^ 5х 112—1 4.63. а) —i= при X > 0; б) —j= при х Ф 0; в) при х Ф 0; г)-= при 2Vx 3'Vx2 3^ 2xVx X е (0; +оо); е) ---■!= при X 0; з) — X vx^ при х е (0; +оо). Указание. 3xVx^ 3 б) При X > о имеем: (Vx)' = = (_3VT7y = _ л-=су _ 1 и (2; +00), ( х" V ) — X '^= —i=; при X < о имеем: (VxV = 3 3^^^ о у _ о . 4.64. а) X е Д, —, ; в) х € (-оо; 1) U 2-^х^-Зх+10 S^yji-xf 3'if^ , ~ ^ ; Д.)хе (-оо; 3) и (3; +сх>), ^ . 4.65. а) л: е Д, 2^х'^-Зх + 2 3VX-3 4 cos 2x; б) ;с € Д, -6 sin 6л:, в) х , ke Z,---1222---; г) х € Д, 0. 4000 2000 cos2 2000x 4.67. а) Г(1) = -20, Г(3) = 20; б) /'(-6) = Г(-4) = 21; в) /'(5) = -200, Г(6) = 200. 4.68. а) х^(1пх + 1); б) х“‘" ^cos хIn х + ®) ^^-sin xln х + ^cos х 4.72. -^. 4.73. а) б) в) -7=^==; г) -15(arcct|^)^ ^ 1 + х^ Vl- Ti^x^ 1+ Vl - 25x2 1 + 9х^ . 2 . 20(arcsin 4х)'' Д) “г=----Г’ —Т-------=г^- VI-4x2 VI-16x2 §5 5.6. а) 0; 1; б) -1; 1. 5.7. а) 0; б) 0; в) 4; г) 1. 5.8. а) 0; б) 1; в) -—, --, -, 6 6 6 5л. Пл _Тк ^ g g Q J gj J Q g jg д) 0 И ~4; 12 12 12 12 У71 , V _ . _____ ________ "б"’ l2’ 12’ 12 б) 14 и -4. 5.11. а) 1 и -3; , , , интервале (-2; 2) (-2: 2) ; в) о и -4; г) 0 и -4. 5.15. а) 1 и 0; 6) min f(x) = 0, максимум (-1; I) 6 12 12 12 12 и -4. 5.11. а) 1 и -3; б) -3 и 3. 5.13. а) -1 и 21п2 - 4; б) 4 - 21п2 и 1 5.14. а) о и -4; б) maxf(x) = 0, минимум функции на интервале (-2; 2 (-2: 2) не достигается; 446 функции на интервале (-1; 1) не достигается. 5.16. а) При а =-1,5 и а = 2,5; б) при а - -0,5 и а = 1,5; в) при а = 0,5. 5.17. а) = -27,5 — наименьший член последовательности; б) Xgo = -105 — наименьший член последовательности. 5.19. а) I/ = 0; б) у = 2х ~ 1; в) у — 4х - 4; г) у = -2х - 1. 5.20. а) у = 2х - 3; б) у = 4х - 4; в) г/ = -4; г) у = -2х - 7. 5.22. а) у = х; б) у= 1; в) у = -1; г) у = к- X. 5.24. а) у = х; б) у = 2х - ^ + 1; в) у = 2х + + — - 1; г) у = — X - — + —. 5.26. а) у = х- 1; б) г/ = —х-1 + 1п2; в) у = —х -2 3 9 3 ' ’ ^ 2 ^ 3 -1 + 1пЗ; т)у = ~. 5.27. а)у = -— е ^ 1п2 x-2,i , X - 4 , „ б)у= ^ + 1; в)у= .■.-+2; 21п2 41п2 г)1/=^у^ + 3. 5.28. а) у = ^ ^ ^; б) i/= х1п2 + 1; в)у = 4{х-2)х х1п2 + 4; г) J/= 8(л: - 3)1п2 + 8. 5.29. а) i/= б) у = в) у = х; г) у = е^{х - 1). 5.30. а) г/ = + 6; б) у = 3>/2; в) у = -х + 2; г) у = = X — 3. 5.31. а) В точке х = —2; б) в точках х = 2 и х = 6. 5.32. а) В точках д: = 1 и дг =-2, под углом arctgS; в) в точке д: = 6, под углом arctg73. 5.33. а)—; б) —-arctg4; в)—; г) —-arctg5. 5.34. а) г/= е^’Сд: - е + 1); 4 2 4 2 б) е**(д: - е -ь 1). 5.35, а) у = ~2х -ь 1; б) у = 4д: - 8. 5.36. а) При а = -3; б) при а = -5. 5.38. а) 25,1; б) 26,73; в) 4,01; г) 1,00; д) 3,94. 5.39. а) 25,1; в) 26,7; д) 5,998; ж) 5,99; з) 1,1; и) 1,2; к) 0,6. 5.40. а) 1,005; в) 0,995. 5.41. а) 1,1; б) 0,8; д) 0,990; е) 1,03. 5.42. а) 0,0175; г) 0,4848; д)-0,0175; ж) 0,515. 5.43. а) 1,07. 5.47. а) 1; б) -1; в) Зл/З; г) -Зл/З. 5.57. в) Критическая точка X = 1; (0; 1] — промежуток убывания, [1; +оо) — промежуток возрастания. 5.58. а) (-оо; -2), (-2; 2), (2; +оо) — промежутки непрерывности функции, [-1; 1] — промежуток возрастания, (-оо; -2), (-2; -1], [1; 2), (2; +оо) — промежутки убывания; в) (0; +оо) — промежуток непрерывности функции, (0; 0,5] — промежуток убывания, [0,5; +оо) — промежуток возрастания. 5.60. а) -Vs — точка локального минимума, в этой точке функция дости- VS Г7 гает своего наименьшего значения---, V5 10 точка локального максиму- ма, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения 5.64. а) о(0 = 10^ - 10, а(0 = 10; у(0) = -10, а(0) = 10; u(f) = 0 при ^ = 1. 5.65. а) о(0) = 8 м/с, а(0) = 0,5 м/с^. 5.68. а) sinx; б) cosx; в) е'. 5.69. = а„ • п1; • х • п1 + а„ _ ^ • {п - 1)!. 5.70. а) л!; б) е^; в) 3^(1п 3)". 5.71. ^ 5.76. а) (-оо; -1) — промежуток выпукло- сти вверх, (-1; +оо) — промежуток выпуклости вниз графика функции. 1447 Ответы X = -1 — точка перегиба; и) (2'кп\ % + 2лл), л е Z — промежутки выпуклости вверх, (д + 2лл; 2л + 2лл), п ^ Z — промежутки выпуклости вниз графика функции, X = лл, п Е. Z — точки перегиба; л) ял^, п е Z — промежутки выпуклости ввех, ^лл; + ллj, п е Z — промежутки выпуклости вниз графика функции, х = лл, п е Z — точки перегиба. 5.77. Нет, например, для функции f (х) = д:'* вторая производная равна нулю при д: = О, но д: = О не является точкой перегиба графика функции. 5.78. а) (-1; 1) — промежуток выпуклости вверх, (-оо; -1) и (1; +оо) — промежутки выпуклости вниз графика функции, точек перегиба нет; б) (лл; л -ь лл), п е Z — промежутки выпуклости вверх, промежутков выпуклости вниз и точек - . (пп к , пп\ rw перегиба нет; в) —; —h — , л € Z — промежутки выпуклости вниз гра- V 2 2 2 / фика функции, промежутков выпуклости вверх и точек перегиба нет. 3 3 ^ оо . 71 , л/з 5.82. а) = 4; б) -4; в) у max 2 ' Уоип 2 " Утах g ^ 2л ■'J2 3 5 ^^min “ ^^шах “ Уппп ~ 5*84. а) ^/щах “ Утт ~~ "Т’ ^тах Т’ 3 2 4 4 Утт = 1- 5.85. а) = 6, !/„i„ = ~2^^? 5) = 6. 5.86. Если а < -1, то = -1 - а; если -1 < а ^ 1, то = 0; если а > 1, то i/min = -1 + Л. 5.87. Если Л < 0, то = 1 - а; если а > 0, то = 1 + л-5.88. а) Если Ь <-1, то y^^in = (Ь + 1)^; если -1 ^ Ь ^ 1, то = 0; если Ь>1, то I/,nin = ©ели & < о, то Утах “ 1)^! еСЛИ Ь > 0, ТО ^шах - —если 0,5 ^ ^ 1, то - 1)^ Утах = (^^ + 1)^* 5.89. Если о < Ь < 0,5, то у„ ^ Ш1П \2 л У« , = ^jb^ + 1; если Ь > 1, то 5.90. Если Ь < -1, то y^ni^ = V2 Ь- 1 л ’ если -1 < 5<-0,5, то = -^Jb^ + 1; если -0,5 < 6 < 0, то y^j„ = . 5.91. 0,5 л/5 и 0,5. 5.92, а) 24, 12, 18; б) 16, 16, 16. 5.93. Это квадрат со стороной 2. 5.94, а) 5.96. а = ^ ^ ребром 3. 5.98. На рассто- янии 12 км от пункта В, 5,99. Ширина V2V, высота а) 2 и 1; б) 4 и 2. 5.100. Диаметр и высота цилиндра равны 5.101. ^J{a + 5 - с){Ь - с) м; а) 2 м; б) 4 м. 5.104. а) у = 2дг, в)у = 2д:-1; д)у=~х-—. 5.119.0 и —. 3 9 3 5.120. а) 3" > л^ б)е^>3^; в) е" > л". 448 §6 6.7. а) х‘- 2; б)—-3; в)—-1; г)-cosx + 2. 6.8. а) 2 3 4 2, ^ ч З-' . ^ , 2»^-' „ .1,1. „1.^.1 (ох - 2)=^1 105 + С; б) -(x-5f+C; в) —+ С; г) ^----+ С; ж) -1п|4д:-2| + С; з) ~1п|5дг-2|+С. 3 In 2 3 In 2 4 5 6.10. а) arcsinx + С; б) arctgx + С; в) —arcsin2х + С; г)—arctg3x + C 2 3 д) —arcsin3x + С; е) — arctg2x + С. 6.12. а)—+ С; б)—+ С; в) — + С 3 2 2 3 4 8^ r)-cosx + C; A)sinjt: + C; e)tgx + C; ж)-ctgx + C; з)е^ + С; и)-+С In 8 3 г 2 - S к) 1п|х| + С; л) — + С; м) — х^ + С. 6.15. а) —cos2х — 6sin -4-С; б) 51п|х + 11 — 5 3 2 2 5 5 -IgU^-i+C; в)-3ctg(x+ 1) + 7tg(x-1) + С; г)-(х + 1)2 --(х - 3)^ + С. 5 5 5 6.16. а)—tgx + С; 6)--ctgx + С; B)isin2x + С; г)-—cos2x + С; 2 2 2 4 д) cos9x + С; е) — sin 5х + С. 6.17. в) arcsin л/2х + С; г) arctg л/Зх + С; 9 5 V2 V3 д)—arcsin(3x + 1) + С; е)—arctg(4x - 1) + С; ж)—arcsin (2х - 1) + С; 3 4 2 3) iarctg(2x + 3) + C. 6.19. а)+ С; б)-^^ + С. 6.20. а) -л/4- х^ + С. 2 3 21п9 3 6.21. а)-(1+ х^)2 + С. 6.22, а) 2 In(1 + х^) + С. 6.23. а) ^arcsin х + ^xJl~ х^ + С. 3 2 2 Указание. Сделайте замену x = sin(p, . 6.24. а) xsinx + 2 2 2 ” + cos X + С; б) X tg X + In 1 cos х | + С; в) -х ctg х + In | sin х | + С; г) — х (х - 7)^ - 3 (х-7)2 + С. 6.25. а) (х^-2х + 2)е' + С; б)-х^созхч-2xsinx + 2cosx + С; 15 в) x^sinx + 2xcosx - 2sinx + С. 6.27. а) S, = 0, 50=—, So=—, 5.,= —; ’^438 б) в) lim S„=i; г)—. 6.28. а) Только знаком; б)--; в) i. 2/г 2 2 2 2 6.29. а) S, = 1, Sa = S., = S. = —; б) lim S„ = в) -. ' ^4 '*3 '8 2л „-+СС " 2 2 6.30. а) S„ = ~ б) lim S =-; в)-. 6.32. а) 2; б)-2; в)-8; П-+О0 3 3 г) 8; д) -2; е) 4. 6.33. а) -4; б) 12; в) 6,5. 6.34. а) б) в) —; г) -4л. 2 2 4 449 Отвоты 6.35. а) 0; б) 0. 6.36. а) 4; б) 2,5; в) 2. 6.39. а) 3; б) 10,5. 6.41. а) ~ 2,2; б) = -2,2. 6.46. а) i; б) 6; в) 20. 6.47. а) i; б) -; в) 3. 6.48. а) -; б) 0; 2 3 3 4 в) 16,25. 6.49. а) 2; 6)0; в) 0. 6.50. а) 1; 6)0; в) 2. 6.51. а) 1п2; б) In 1,5; в)1пЗ. 6.54. а) 10-; 6)10-; в) 4,5; г) 4,5. 6.58. а) i; в) 2-. 3 3 3 3 6.59. а) F(x) = + 4х + 4; S = 2,25. 6.62. sl) S ^ 25. 6.64. а) 4.5; 6) 0; в) 1; г) е* - 1; д) 2. 6.67. а) 4-; б) —. 6.68. а) 8; б) 21-. 6.70. а) 2 + —; б) 2^2. 3 3 3 6 6.72. а) 1,5; б) 1,5. 6.73. а) 0; 6) 1,5; в) —; г) тс; д) arctg —; е) 2arcsin —. 2 4 6 6.74. а) 0; б) 7. 6.75. а) Зд; б) 2л. 6.78. —. 6.79. 12,8л. 6.86. а) у = x‘^ + 1; 2 б) у =-ЬcosX + 5; в) г/= 6sinx + 5; г) г/=-7cosx - 8sinл: + 8; д)т/ = 11д:^ + Sx + 1; е) у = -6х^ + 2л:. 6.93. 36°. 6.94. За 30 мин. 6.95. 0,5 кг. 7.4. а) лк, к е Z; --+ 2кк, к е Z; в) - + —, к е Z. 7.5. а) 5; б) в) О; 2; 2 4 2 3 г)-2;0. 7.6. а)-1; 0; 1; б)-1;8; в)-10;-2; 6; г)-6; 3. 7.7. а) 4; 6)4; в) -2;0; г)0. 7.8. а)±-+лл, п е Z; 6)-+—, к в Z; в) 2; г) 1. 2 3 4 2 7.10. а) -0,2; б) -2—. 7.11. а)----; б)----------. 7.12. а) 2; б) 2; в) --+ 2лА, 11 l-log2 3 log3 2-l 2 k s Z; г) Л + 2л/г, k e Z; д) 1; e) 1. 7,13. При a = 4. 7.19. a) 6) (-oo;-2) и (-V3; л/з). 7.20. a) + 2лл;+ 2лл j, n в Z; 6) Нет решений. 7.21. a) (-00; 1); 6) (1;+00). 7.23. a) (-00;-5) U (-1;+00). 7.29. a) 1 1 - logr, 4 ; +00 ; b) (4 + log5 3; +00). 7.30. a) (-00; log5 2) U(2; +00). 7.31. ^^5 +00 j; 6) (-00; 70); в) 2лл; 2nn^, n e Z; r) + ^ + 2nraj, mbZ; д)(0;+oo); e) (-00; 1) U (2;+oo). 7.33. [-1; 0) U (0; 1]. S8 8.2. 6) 0; B)-l; r)-4. 8.3. a) 2; 6)1; в)-2; г) 0; д)-4; e)-4, -2,5. 8.4. a) — + 2лк, к в Z; в) — + лк, к в Z; д) — + лк, к в Z; е) — + лк, к в Z. 2 2 2 2 8.8. а) 0; 7; 6) -4; 1; в) 5; г) нет корней. 8.9. а) 2; 6) 2; в) 2; г) -0,25; д) О; 6; е) 1. 8.10. а) Нет корней; 6)i; в) 1; г)-1;0; д)—+ 2л/г, 2nk, k е Z, д 2 8.11. а) 2; 3; 4; б) 1; 2; 4; в) 10; г) 10; 1000; д) 1; 2; е) 1; 3. 8.12. При а > -4. 8.14. а) Нет корней; б) нет корней; в) 1; г) 2; 5. 8.15. а) -1; 3; б) -4; 2; в) -2; г) -3; 8.16. в) -. 8.17. а) 2; б) 1; в) 2; г) 2. 8.18. а) 0; 1; 2 3 2 б) 0; 1; в) 2; г) 1. 8.19. а) 2кк, k е Z; б) 2лй, k е Z, 8.20, При а = 2. 8.22. а) Нет корней; б) 1. 8.23. а) Нет корней; б) 2; в) 1; г) 5. 8.24. а) 6; б) -4; в) 6; г) 4. 8.25. а) б) 5; в) г) -2. 8.28. а) 1; б) 3; в) -3; г) -3. 3 3 тс 7 тс 8.30. а) 2ппу п е Z; б) пп, п е Z; в) — + 2кп, п е Z; —— + 2кт, т е. Z\ 12 12 тс 7 тс 1 г)----+ 2лп, /I е Z; —+ 2лт, m^Z. 8.31. а) При а<—; б) при а ^ О, 12 12 " ^ 2 а 2; в) при а = 1, а = -1. 8.32. а) 2; б) —1; 15; в) 2; 34; г) 2. 8.33. а) 2; б) 3; в) 4; г) 1. 8.34. а) 1; б) -5; в) 6; г) -2; 3. 8.35. а) 1; б) 5; 6; в) 1; г) 3. 8.36. а) 4; б) 3; в) 3; г) 4; д) 3; е) 4. 8.37. а) 8; б) 9; в) 5; г) нет корней. 8.38. в) 6; г) 4. 8.39. а) 1; б) -2; в) 5; г) 5. 8.40. а) 0; 3; б) 5. 8.41. а) 8; б) 5; в)—+ 2л^?, п 6 Z; г)-—+ 2л/г, k е Z, 4 4 §9 9.7. Да. 9.9. а) 4; в) 13. 9.11. а) 7. 9.12. а) 27. 9.14. а) 4; б) -5; в) 2; г) 4. 9.16. а) -3; 2. 9.17. а) -4; 3; 4; б) 1; -2. 9.18. а) S; 0; л/З; в) 1 ±; л*, fe 6 Z, * 0. 9.23. а) —, ft 6 2Г, ft ^ 0; б) ±- + nft, ft е Z. 2 2 ' 3 9.26. а) (3; +оо); б) (3; 4). 9.27. а) 3; б) 1,4. 9.28. а) 2; 4; б) 1; 3; в) 3; г) 2. 9.29. а) 2; б) 2; в) 3; г) 3. 9.30. а) 3; б) 2; в) 5; г) 6. 9.31. а) -2; б) -5. 9.32. а) 8. 9.33. а) 137. 9.34. При а = 1, а =-3. 9.38. а) 9; б) -3; в) 1; 4; г) 1; 5. 9.39. а) - + Ttft, ft е Z; б) — + 2Kft, ft е Z. 9.40. а) 3; б) 4; в) - + 2кк, 4 4 2 k в Z; г) — + ппу п в Z. 9.42. а) Нет корней; б) 1; 2001; в) — + nky k в Z; 4 4 г) Kk, - + Hft, ft е Z. 9.44. а) (5; +оо); б) (4; +оо). 9.45. а) [0,5; 5); б) [-0,5; 4). 2 ’1Ё. .25’ и [4; +00); г) {1} U [2; +оо). 9.48. а) (-6; -4) U (10; +оо); б) (-6; -4) U (4; 9). 9.49. а) (2; 3]; б) (2; 3]. 9.50. а) (-1; 0) U (0; 1); б) (-1; 1) U (1; 2). 9.53. а) (-2; -1) U и (1; +00); б) (-3; -2) U (2; +оо); в) (-оо; 3) U (4; 5); г) (-сю; -4) U (2; 3). 9.54. в) (0; 1) и (2; 3]; г) [0; 1) U (2; 3). 9.55. а) [0; 1) U (4; +оо); б) [0; 2) U и (9; +оо); в) (-оо; -4) U (-2; 0]; г) (-оо; -9) U (-2; 0]. 9.56. а) (—оо; -1) U (1; +оо); б) (-оо; -2) и (4; +00); в) (0; 1) U (3; +оо); г) (-оо; -1) U (2; 3). 9.59. а) (4; 4096). 9.46. а) [4; 5) U (7; +оо). 9.47. а) ll и[4; +00); ► J б) и [2; +СЮ); в) {1} и 451 Ответы 9.60. а) . 9.61. а) [-3; 2) U (2; 3]. 9.62. а) (0; 0,1) U (0,1; 1) U и (2; +оо). 9.63. а) (-0,5; О) U (0; 0,5) U [2; 3) U (7; 8]; в) (-оо; -1) U oj U и|о;| U(l;+c3o). 9.64. а) ij. 9.65. а) При а€[-2;2). 9.70. а) ^|;1 б) (1; 3]. 9.71. а) [4; +оо), 9.72. а) Нет решений . 6)(l;|], В) (1; 1,5]. 9.73. а) 1^-1; U (0; +оо). §10 10.5. а) 6; б) нет корней; в) 5; г) нет корней. 10.6. а) 7; б) 1; в) 3 г) -2; 5,25. 10.7. а) б) в) г) ю.8. а) -2 + л/з 2 2 2 2 б)4-2>/3; 4+2л/3; в) нет корней; г) ^3_+_V^^ 10.9. а) — + 4я/г 2 2 3 — + Акк, к eZ. 10.11. а) л/22; б) Vl4. 10.12. а) 8; б) 1; в) 5; г) -1. 10.13. а) 1 3 б) 2; в) 7; г) -1; ю.14. а) -2,5; б) 10.15. а) -4; 0,5 2 2 2 3 б) 10; 12. 10.16. а) 4. 10.17. а) Нет корней. 10.18. а) -1; 1; в) 4. 10.19. а) — 6 6)4; в)-4; 4? 10.20. а) 3; 6)2; в) 2; г) 1; д) 1; е) 2. 4 4 4 3 3 10.21. а) -arctg0,75 + nk, k е Z; д) arctg0,5 + nky k е Z; в) — + кк, arctg0,5 + 4 + nky k e Z; r)—arctg—+л/г, keZ. 10.22. a) ±—+ 2л^г, ±—+2лй, 4 3 3 5 ±— + 2лк, keZ; 6)±-+ 2nk, ±- + 2nk-, +— + 2nk, k&Z. 10.24. a) 5 3 5 5 2 б) -l->/l4. 10.25. Д) 1; e) 1. 10.26. a) 3; —+ 2лл; —+2nn, neZ, n^O. 3 3 10.27. a) 3; 6) -1. 10.28. a) 2; 6) 4; в) -7; г) -3. 10.29. a) 3; 27; 6) —; 4; 64 в) —; 27; г) 4; 8. 10.30. a) — + 2ятг, n s Z; —+ 2лт, m € Z; 6)±—+2л/п, 3 6 6 3 m € Z; в) — 4- 2лп, /г e Z; — + 2кт, m e Z; г) ± — + 2лт; лт, m e Z. 10.31. a) 3, 6 6 3 ' 10.32. a) 4-2V2; в)4+2л/з. 10.33. a)-3; 4. 10.35. a) 6) ^ 10.36. a) 9; 6)-2. 10.37. a) 1; 6) ~1~ 10.38. a) 4; 6) 5; в) 29; 2-. 10.39. a) 9. 10.43. a) 3; 4; 5; 6) 3; 3,5. 10.44. a) 2; 3; 9 452 6)i;7_+j^ 10.45. a) 0;6)-V3; 0; VS; в)-1; 1; r)-l;0;l. 4 6 6 10.46. a) 3; 6) 2. 10.47. При a = 0, a = -4, a = 4. 10.48. a) ; 6) ; 0; 3 3 3 4тг —. 10.51. a) 0; 6) нет корней. 10.52. a) logaTS. 3 s 11 U.6.a)[|,l] U (2; +oo); в) U(2; +oo); 6) U(3; +oo). 11.7. a) U (!;+«)); 6)[1; 2) U |; 3j U (3; +oo). 11.8. a) (3; +oo); 6) (0; +oo). 11.9. a) [-1; 3); 6) [-4; 5). 11.10. a) (-oo; 2); 6) (-oo; 2). 11.12. a) (-2 - V?; -3]; 6) (-oo; -1]. 11.13. a) (-oo; -1)U(1; +oo); 6) (0; 2). 11.14. a) [0,5; 2) U (2; +oo); 6) (-1,25; 1). 11.15. a) 0; 1 + л/Тз) 6) 1+ VT7 + O0 ; в) [-1; 0) и 1 + л + oo 11.18. а) (-oo; -4) U (4; +oo); 6) U ^0; . 11.19. a) (-1; 1); 6)(-c»;-|ju |^|;+ooj. 11.20. a) (-1;0)U(0; 2). 11.21. a) (1 -VS; 3)U(3; 1 + VS); 6) (-1; 3); B) (-1-л/2;-2) U (-2;-1+V2); r) (-9;-5). 11.22. a) (0; 2); 11.24. a) (3; +); в) (3; 4). 11.26. a) (l|; з]; 6) (l|; l|). H-27. a) U U 2j; 6) ^|; U 2J. 11.28. a) (-2; 5); 6) (-3; 4). 11.29. a) J-1; U u|^|-;3j; b) (-2; 0) U (0; 3). 11.30. a) [0; 4). 11.31. a) ^-7t + 2яй;-^+2Tt* j U U 2Ttfe; 27t*j, keZ. 11.32. a) (-0,5; 1,5). 11.33. a) ^0; ^ j U (1; 81); 6) 1^0; U (1; 25). 11.34. a) [0; 1); 6) [0; 4). 11.35. a) (-3; 1); 6) (-00; -4) U U (-0,4; +00). 11.38. a) (0; 1,6) U (2,5; +00). 11.39. a) [-3; 1). 11.40. a) (9; +00); 6) (3; +00); B) (1; +00); r) (2; +00). 11.42. a) (1; 3); 6) (-3; -1). 11.44. a) (0,5; 1) U U (2; +00). 11.45. a) (3; 1 + Vs) 11.47. При a e (0; 1). 11.48. 6) Ij. 11.49. a) [3; log30,75). 11.50. a) [-2; 0) U (1; 2]. 11.51. a) ^j; б)^^;л .11.52. a) -1; 2|j. 11.53. a) л - arctg3 . 11.54. a) -|-j U ^ ( 2 ’ ^)’ ^ 4)' ^ ^ 453 OrUit'Tbi в) {-4} и [-3; 5]; г) {-5} U [-3; 2]. 11.56. а) [-8; -3] U [3; +оо); б) {-2} U [2; 4]; в) {-4; 4} и [5; +оо); г) (-оо; -7] U {-5; 5}. 11.57. а) [-4; -3,5) U {3}; в) [-4; 2]. 11.58. а) [2; 5) и (6,6;+0О); б) j^-1;-ij U {0}. 11.61. а) (0; 2]; б) (0; 1]; в) (2; 4]; г) (0; 3]. 11.63. а) [10^;+сзо). 11.64. а) (о; U [3; 5) U (12; 20]. S 12 12.1. а) -1; в) -2; 2; д) 2. 12.2. а) 1; 5; б) -1; 5; в) 0; 6; г) -2; 3. 12.3. а) -1; 0; б) -5; -4. 12.4. а) 0; в) 0; 3. 12.5. а) 3; 7; б) -2; в) 5; г) 2; д) 3; 3 2 о е) -2. 12.6. а) (-3; -1); б) (-оо; -4); в) 2,5. 12.7. а) 1; 12; б) 2; 23. 2 12.9. а) -+2лА. k eZ; б) 6 - + 2кк; - + 2кк 6 3 к е Z; в) [2; 4]; г) 9. 12.10. а) (-оо; 1) U (4; +оо); б) (0; 6); в) (-оо; 2) U (4; +оо); г) (2; 6). 12.11. а) ^ |; у j; б) (-0,5; 4,5). 12.12. а) (-6; 2); б) (-6; 0); в) (-оо; -3) U (2; +оо); г) (-оо; -8,5) U и (0,5; +оо). 12.13. а) (-оо; -4] U [-2; +оо); б) (-оо; 3] U [5; +оо); в) {-2} U [1; 3]; г) {-1} и [0; 2]. 12.14. а) (1; 2) U (2; +оо); б) (6; +оо); в) (2; 4]; г) [5; 8). 12.15. а) (-оо; 0) и (0; 1) и (3;+оо); б) (1; 3); в) {0} U [2; 3]; г) {1} U [2; 3]. 12.16. а) (-1; 0) и (2; +оо); б) (-1; 0) U (1; +оо). 12.18. а) (-оо; 2) U (7; +оо); б) (-1; 3); в) (-оо; -3) U (4; +оо); г) (-5; -1). 12.19. а) (0; 2) U (3; 10); б) (3; 4) U и (4; 5); в) (1; 4) U (4; 5); г) (0; 3) U (3; 4); д) (-2; -1) U (0; 0,5); е) (0; 0,5) U и (0,5; 2). 12.20. а) {-3} U [0; 3]; б) [-5; -2] U [2; 6]; в) (-оо; -3] U {3} U [4; +со); г) (-оо; -3] и (-2; 2} U [4; +оо). 12.22. а) (-оо; 1] U (2; +оо). 12.23. б) (-11; -4] U[4; 6). й 13 13.1. а) 7; б) 6; в) -3; 3; г) -2; 2. 13.2. а) 4; б) -1; в) 2; г) 2. 13.3. а) -1; б) нет решений; в) -1; 5; г) -2. 13.4. а) 9; б) 4; в) нет решений; г) -2. 13.5. а) — + 2кку k е Z; б) 2кку k е Z, ^ 4. 13.6. а) 6; б) 5; в) 4; г) 3. 2 13.7. а) 0; б) 1. 13.8. а) 7; б) 5. 13.9. а) -1; б) -2. 13.10. а) 3; б) 4. 13.11. а) 5; б) 4. 13.13. а) 0; б) 2; в) 5; г) 6. 13.14. а) —; б) 2л; в) нет решений; г) нет ре- 2 шений. 13.15. а) 2; 6)3. 13.16. а) - + 2лА:, 2пк, к в Z. 13.17. а) 0; 6)3. 2 13.18. а) -; б) п; в) -2; г) 3. 13.20. а) 3; б) 0. 13.21. а) 0; б) 0; в) 1; г) -1. 2 13.22. а) кк, к eZ-, б)-+пк, к е Z; в) 4; г) 10; 0,1. 13.23. а) --; -; 2 4 4 4 б) 21. 13.24. а) -1; 0; б) 1. 13.25. а)-+пк, кв Z-, 6)-+2пк-, к + 2пк, 2 2 4 2 454 keZ. 13.26. a) 6) тс; в) г) 13.27. а) 1; б) 3; в) 2; г) 1. 13.28. а) 3; 2 4 4 б) 3. 13.29. а) 2; б) 3. 13.30. а) 1; б) 2. 13.31. а) 1; б) 0,6; в) 0. 13.32. а) (0; +оо); б) (0; +с»). 13.33. а) (1; +оо); б) (2; +сзо). 13.34. а) 4; б) 2. 13.35. а) - + 2пк, 2 ksZ\ 6)--+nfe, k&Z. 13.36. а)-+—, 4 4 2 k е Z; б) —- + 2nky k ^ Z; 2 в) -- + nk, k e Z; г)-+ nk, k e Z. 13.37. a) - +k e Z; 6) - + 2nk, k e Z. 4 2 4 2 2 13.38. a) — + nk, k & Z; 6) тс + 2nk, k s Z. 4 § 14 14.2. a) Нет; 6) да. 14.3. a) (1; 1); 6) (1; 5); (5; 1). 14.6. a) Да; 6) да; в) да; г) да. 14.7. а) (1,4; 0,6); б) Aj; в) (3; -1); г) кк-, кк^, к в Z; f^+Tcft; fteZ. 14.8. а) (тс*, 6), feeZ; б) (3; 3); в)|^^+дл; ±^+2n*j, пе Z, к е Z; г) ^^ + 2пп; oj, и е Z; д) ^±arccos-^+ пк; 2 j, keZ. 14.9. а) (3; -2); б)(1;-6); в)(2;-3); г) (-5; 1). 14.10. а) (1; 2); б) (2; 1); в) (log^ 12; 48). 14.11. а) (4; 4,5); б) нет решений, 14.12. aUO; 3); б) (1; 1). 14.13. а) (1; 3); (3; 1); б)(3;2); (-2;-3). 14.14. а) (1 - -1); (1 + V2; -1); б) (0; 1); (-2; 1); (-5; 4); (3; 4). 14.15. а) |j; (2; f). t s R, б) -ij; (2; -1). 14.16. a) — + nk; + Л*], к s Z; 6) [ — - arctg— + nn; -arctg 2 6 ; I 4 3 I*”"} (71 X X ^ f 2л/3 “ 3 ---arctg — + nk; —arctg — + nkU k s Z; в) arctg---^ + nn; 4 2 2 J I 3 2>/3-3 3 + TCrt , Л € Z; £ + nft; £_ Л* I, * G Z. 14.17. (log4,s2; log4,5 4). 4 D 14.20. a) (3; -1); 6) (2; 1); в) (-1; 5); г) (7; -2). 14.21. a) (3; 2); 6) (5; 3); в) (4; 1); г) нет решений. 14.22. а) (1; 2); б) (2; 2); в) (1; 1); г) (-1; 1). 14.23. а) (3; 1); (-3; -1); б) (1; 1); 1-1; -1); (-2; -1); в) (1; (-1; 4); г) (1; 1); (-1; -1). 14.24. а) (2; 1); б) (73; 7з - 1); в) (2; 0,5); г) (0; S); (-2; 2). 14.25. а) (8; 4); б) (4; 8). 14.26. а) (14; 5,5); б) (3,5; -2). 14.27. а) (3; 0); (-5; 0); б) (0,5; 5,5); (1,5; 5,5). 14.28. а) (-2; -5); (5; 2); б) (5; 2); (-5; 2); в) (4; л/З); (4; -л/З); (3; 2); (3; -2); г) (2; 3); (3; 2). 14.29. а) (1; 2); б) (5; -2). 14.30. а) (1; 1); (2,5; -2); б) (3; 2); (2; 3). 14.31. а) (17; 7); б) (17; 6). 14.32. а) (2; 0); б)(1;0); в) (1,5; 2). 14.33. а) |-+ л*; V2 j, *eZ; б) л/З; j. 455 Ответы k в Z. 14.34. а) (3; 1); | - 3 9 ; б) 2-2л/3; Vs-1 л/З ; [2 + 2л/3;^^^ 14.35. а) (41; 40); б) (12; 4); (34; -30); (103-19Vl7; -77 + 25Vl7). 14.36. а) (1; 4); (4; 1); б) (1; 8); (8; 1). 14.37. (650; -646); (26; 10). 14.38. а) (0; 1); б) (0; 1). 14.39. а) (2; 2; 2); б) (-4; 2; 0); (-2; 1; 2). 14.40. а) (3; 4); (4; 3); (-3; -4); (-4; -3). 14.41. а) (4; 2); 14.43. (16; 4). 14.44. а) |; -| . 14.42. а) (-2; 1); б) (-0,4; 0,4); в) (-2,5; -0,5). О О у — + —; — + я/; — + %т 1, й е Z, I в Z, т ^ Z; 4 2 2 2 б) (10; 1; 0). 14.45. а) 1; 1+ — + пт; 1 , т е Z, 2 §15 15.1. а) X S R при а = 2; X = а + 2 при а Ф 2, 15.2. а) Нет решений при а = 2; X - а - 1 при а Ф 2. 15.3. а) Нет решений при а = 0, а = 0,5; х - -—- при а а Ф Оу а Ф 0,5. 15.4. а) х е R при а = 0; нет решений при а = -10; х - 0,5 при аф Оу а Ф -10. 15.5. а) д: = -1 при а < 1 или а > 1; х s (-оо; -1] при а = 1; X = -1, X = при -1 < а < 1; X е [-1; 1] при а = -1. 15.6. а) Нет решений 1 - а при а = о, а = 5; х = а — 6 4а при а 9^ о, а Ф Б. 15.7. а) Нет решений при 17 17 7<а<11; х = -2 при а = 7; х = -4 при а =11; х =--------при а=—; ----------- 6 6 -а-3 ± - 18а+77 17 17 „ ч го ч X =--------------------при а < —, — < а < 7, а > 11. 15.8. а) х € [3; +оо) 2 6 6 при а = -9; нет решений при а Ф -9; б) х е [-1; +оо) при а = 1; нет решений при аФ1. 15.9. а) Единственный корень при а < 0 и а > 4; два корня при а = 0, а = 4; три корня при 0 < а < 4. 15.10. а) Нет решений при а=1; х>а + 1 -2 2 при а>1; х<а+1 при а < 1. 15,11. а) х & R при а < 0; < х < при л/а л/а —2 2 а > 0; б) X € jR при а ^ 0; . < х < . при а < 0; в) х ^ 0 при а = 0; х < 0, /-а v-a X > — при а>0;—^х<0 при а < 0. 15.12. а) Нет решений при а = 0; х < 0, а а X > 1 при а>0; 0<х<1 при а < 0. 15.13. а) х > 0 при а = 0; 0<х< — при а > 0; X < i при а < 0; в) х ^ 0 при а - 0; х < , х ^ 0 при а > 0; 0 ^ х ^ а а _ ________а I . ^ ^ 4^^ - 16 . -а + 4<^^ “ 16 а < 4; X <---^------, X >--------- ' ‘ 2 2 при |а| > 4. 15.15. а)х 6 jR при а = 1; х ^ -а, х ^ -1 при а>1;х^-1,х^-а при а < 0. 15.14. а) X е R при Й456 при а < 1. 15,16, а) X е (-оо; 1) U (1; +оо) при а = 1; х > а, х < 1 при а > 1; X < а, X > 1 при а < 1. 15,17. а)-1<х<1 их>1 при а = ±1; -а < х < 1 и X > а при а>1;-а<х<аих>1 при 0<а<1;а<х<-аих>1 при а < 0; X > 1 при а = 0. 15.18. а)х^аих=1 при а > 1; х =