Учебник Алгебра 11 класс Нелин Лазарев

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Алгебра 11 класс Нелин Лазарев - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
Е.П. Нелин, В.А. Лазарев АЛГЕБРА и НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 11 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый и профильный уровни Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации Москва ИЛЕКСА 2012 УДК 373.167.1: [512 + 517] ББК 22.14я72 Н49 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/637 от 14.10.2011) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-77 от 20.10.2010) Условные обозначения в учебнике I главное в учебном материале ^ начало решения задачи <1 окончание решения задачи • начало обоснования утверждения О окончание обоснования утверждения Нелин Е.П., Лазарев В.А. Н49 Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб, для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. — М.: Илекса, 2012, — 432 с.: ил. ISBN 978-5-89237-351-7 Содержание учебника соответствует федеральным компонентам государственного стандарта общего образования по математике и содержит материал как базового, так и профильного уровня. Учебник ориентирован на подготовку учащихся к успешной сдаче Е^дивого государственного экзамена и вступительных экзаменов в ВУЗы. УДК 373.167.1: [512 + 517] ББК 22.14я72 ISBN 978-5-89237-351-7 © Нелин Е.П., Лазарев В.А., 2012 © Издательство ИЛЕКСА, 2012 © Издательство ИЛЕКСА: оригинал-макет, художественное оформление, 2012 Предисловие для учащихся Предлагаемый учебник для 11 класса является продолжением учебника «Алгебра и начала математического анализа* для 10 класса. В 11 классе рассматривается принципиально новая часть курса — начала математического анализа. Математический анализ — отрасль математики, сформированная в XVIII в., которая сыграла значительную роль в развитии естествознания: появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Также в 11 классе будут рассмотрены элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики, которые находят широкое применение в различных отраслях знаний. Несколько замечаний о том, как пользоваться учебником. Система учебного материала учебника по каждой теме представлена на двух уровнях. Основной материал приведен в параграфах, номера которых в содержании напечатаны на белом фоне. Дополнительный материал (номера параграфов в содержании напечатаны на синем фоне, а в тексте учебника номера таких параграфов и пунктов помещены в овальную синюю рамку) предназначен для овладения темой на более глубоком уровне и может осваиваться учеником самостоятельно или под руководством учителя при изучении математики на базовом уровне, а может использоваться для систематического изучения курса алгебры и начал анализа на профильном уровне. В начале большинства параграфов приведены справочные таблицы, содержащие основные определения, свойства и ориентиры по поиску плана решения задач по теме. Для ознакомления с основными идеями решения задач приводятся примеры, в которых, кроме самого решения, содержится комментарий, помогающий составить план решения аналогичного задания. С целью закрепления, контроля и самоконтроля усвоения учебного материала после каждого параграфа предлагается система вопросов и упражнений. Ответы на эти вопросы и примеры решения аналогичных упражнений можно найти в тексте параграфа. Система упражнений к основному материалу дана на трех уровнях. Задачи обязательного уровня обозначены символом ♦’*, более сложные задачи достаточного уровня даны без обозначений, а задачи высокого уровня сложности обозначены символом ♦**. Заметим, что в учебнике и для многих задач углубленного уровня предлагаются специальные ориентиры, которые позволяют освоить методы их решения. (Многие из приведенных задач предлагались в заданиях ЕГЭ по математике и на вступительных экзаменах в различные вузы страны. Список принятых сокращений названий вузов приведен на с. 425.) Ответы и указания для большинства упражнений приводятся в соответствующем разделе. О происхождении понятий, терминов и символов вы сможете узнать, прочитав «Сведения из истории». 4 Предисловие Предисловие для учителя Предлагаемый учебник направлен на реализацию основных положений концепции профильного обучения в старшей школе, организацию личностноориентированного обучения математике, создание условий для дифференциации содержания обучения старшеклассников, для построения индивидуальных образовательных программ. Учебник подготовлен в соответствии со стгшдартом среднего (полного) общего образовгшия по математике (базового и профильного уровней). Как известно, в обучении учебник выполняет две основные функции: 1) является источником учебной информации, которая раскрывает в доступной для учащихся форме предусмотренное образовательным стандартом содержание; 2) выступает средством обучения, с помощью которого осуществляется организация учебного процесса, в том числе и самообразование учащихся. Укажем основные отличия предложенного учебника от других учебников по алгебре и началам анализа в выполнении этих функций. Это двухуровневый учебник, содержащий общий материал для классов, в которых учащиеся изучают математику на базовом или профильном уровне, и дополнительный материал для классов, которые изучают математику на профильном уровне. В каждом разделе наряду с параграфами, которые предназначены для овладения учениками стандартом математического образования на базовом уровне, есть систематический материал, предназначенный для организации индивидуальной работы с учениками, которые интересуются математикой. Предложенный дополнительный материал может использоваться и для организации обучения алгебре и началам математического анализа в классах физико-математического (или другого) профиля, учебные планы которых предусматривают повышенный уровень овладения материгиюм курса. Основной материал, который должны усвоить учащиеся, структурирован в форме справочных таблиц в начале параграфа, которые содержат систематизацию теоретического материала и способы деятельности с этим материалом в форме специальных ориентиров по решению задач. В первую очередь ученики должны усвоить материал, который содержится в таблицах. Поэтому при объяснении нового материала целесообразно применить работу с учебником по соответствующим таблицам и рисункам. Все необходимые объяснения и обоснования тоже приведены в учебнике, но каждый ученик может выбирать свой собственный уровень ознакомления с этими обоснованиями. Подчеркнем, что любой учебник алгебры и начал математического анализа должен обеспечить не только ознакомление учащихся с основными алгебраическими понятиями и их свойствами, но и формирование способов деятельности с этими понятиями. Систему условий, на которую реально опирается учащийся при выполнении действия, психологи называют ориентировочной основой деятельности. Если учащимся предлагают достаточно общие ориентировочные основы для выполнения соответствующих заданий в виде специальных правил и алгоритмов, то говорят, что им предлагаются ориентировочные основы второго и третьего типов. Как правило, в учебниках алгебры и начал математического анализа для 10-11 классов учащимся предлагаются только образцы выполнения заданий, а затем учащиеся приступают к самостоятельной деятель- Предисловие 5 ности, ориентируясь на эти образцы (в этом случае говорят, что учащимся предлагаются ориентировочные основы первого типа). Такое обучение предполагает, что учащийся самостоятельно выполнит систематизацию и обобщение способов деятельности, ориентируясь на предложенные образцы, и выделит для себя ориентировочную основу выполнения рассмотренных заданий. Как правило, в этом случае ориентировочная основа, которая образуется у учащегося, неполная и, кроме того, часто не осознана, так как учащийся не может объяснить, почему при выполнении задания он выполнил именно такие преобразования, а не другие. По этой причине одним из принципов построения данного учебника было выделение для учащихся ориентировочных основ соответствующей деятельности по выполнению алгебраических заданий непосредственно в учебнике. В каждом разделе решению упражнений предшествует выделение общих ориентиров по решению таких задач. Поэтому важной составляющей работы с предложенным учебником является обсуждение выбора соответствующих ориентиров и планов решения задач. Объяснение методов решения ведется по схеме: Решение Комментарий Как можно записать решение задачи Как можно рассуждать при решении такой задачи При такой подаче учебного материала комментарий, в котором объясняется решение, не мешает восприятию основной идеи и плана решения задач определенного вида. Это позволяет ученику, который уже усвоил способ решения, с помощью приведенного примера вспомнить, как решать задания, а ученику, которому необходима консультация по решению, — получить такую детальную консультацию, которая содержится в комментарии. За счет четкого выделения общих ориентиров работы с практическими заданиями курса удается часть «нестандартных* (с точки зрения традиционных учебников) задач перевести в разряд «стандартных* (например, уравнения, для решения которых приходится применить свойства функций). Это позволяет уменьшить разрыв между уровнем требований традиционной государственной итоговой аттестации по алгебре и началгш математического анализа и уровнем требований по этому курсу на вступительных экзаменах в вузы и в заданиях Единого государственного экзамена (ЕГЭ), а также ознакомить учеников с методами решения задач, которые предлагаются на вступительных экзаменах в вузы и в заданиях ЕГЭ. В частности, даже если ученик изучает математику на базовом уровне, ему предоставляется возможность ознакомиться с методами и идеями решения заданий вступительных экзаменов по математике, а также с методами решения и оформлением заданий второй части (С) ЕГЭ по математике. Авторы выражают огромную благодарность рецензентам учебника: членгии предметных экспертных комисий РАН и РАО по анализу и оценке содержания учебной литературы, а также кандидату физико-математических наук, доценту МГУ им. М. В. Ломоносова Александру Борисовичу Будаку и Надежде Анатольевне Шиховой за детальный анализ рукописи и сделанные ценные конструктивные замечания и предложения. Раздел 1 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА Таблица 1 1. Числовые множества * В разделе 4 § 20 будет рассмотрено еще одно числовое множество — комплексные числа, которое включает в себя множество действительных чисел. § 1. Дейавительные числа и их свойава 7 Продолж. табл. 1 2. Модуль дейавительного числа и его свойава Определение Геометрический смысл модуля Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю О -t- а -4- О = а при а > О, О при а = О, -а при а < О В О АХ |а| = ОЛ\Ь\ = ОВ \а-Ь\=АВ На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число. Модуль разности двух чисел а и Ь — это расстояние между точками а и Ь на координатной прямой Свойства 1. 1 а 1 > 0 Модуль любого числа — неотрицательное число 2. 1-а| = |а Модули противоположных чисел равны 3. а < 1 а 1 , то есть -| а 1 < а < 1 а 1 Каждое число не больше своего модуля 4. 5. При Ь>0|о|<Ьо-Ь<а<Ь При 6>0|a|>b<=>a<-6 или а > Ь 6. a-fe| = |a|'|ft| Модуль произведения равен произведению модулей множителей 7. Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю) 8. I а" 1 = I а I" I а = о" о + Ь|<|а| + |б| а, + Ог + ... + а„| < I о, I -г I Ог I -1- ... + I о J Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых 10. II а I - I <) II < 1 а ± Ь I < I а I -Ь IЬ I 8 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Объяснение и обоснование 1. Числовые множества. В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью счета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос ♦Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел N = {1; 2; 3; ...} недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству N натуральных чисел число О, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают Z+={0; 1; 2; 3; ...}. Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа п противоположным считается число -п, а для числа -п противоположным считается число п. Нуль считают противоположным самому себе. Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество Z целых чисел. Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Курске составляет -7,3 °С, длитель- ..с 3 ность урока — 45 минут, или - часа. 4 Выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных. Целые и дробные числа составляют множество Q рациональных чисел. Любое рациональное число можно записать в виде дроби —, где те Z, п п е N (то есть числитель т является целым числом, а знаменатель п — натуральным). Рациональное число может быть записано разными дробями. Например, ]__2_3_10 12 = - = - = — 5 = - = — = — 2 4 6 20’ 7 7 28 35 ’ ’ 10 5 100* 1 2 10‘ Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь* (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1). т ‘ Напомним, что дрюбь —, где т б Z (т 0), ге б N, называют несократимой, если п наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел I /п I и /г равен 1. § 1. Дейавительные числа и их свойства 9 Обратим внимание, что рациональное число, записгшное в виде дроби —, п где т е Z, п е N, можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической* десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, - = 0,75,- = 0,3333... . 4 3 Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, напри- мер, - = 0,75 = 0,75000... 4 Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например, 13 = 13,000... . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом. При записи периодической дроби период записывают в скобках. Например, - = 0,3333... = 0,(3), -^ = 0,136363636... = 0,1(36). 3 22 Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и, наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число. Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби 0,2(9) и 0,3(0) являются записью одного и того же рационального числа —. Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом о, и знаменателем q вычисляется по формуле S = 9 9 имеем 0,2(9) = 0,2999... = 0,2-1--^ + —^ 100 1000 + ... = 0,2 + -^^ = 10 000 10 = 0,2-н-^ = 0,3 = 0,3(0). 10 ^ ' * Периодичность получаемой десятичной дроби следует из того, что при делении на натуральное число п (л ^ 1) мы можем получить не более п различных остатков: 0; 1; 2; ...; (л - 1). Поэтому начиная с (л + 1)-го шага деления (или даже раньше) остатки обязательно начнут повторяться, а если учитывать однозначность нахождения неполного частного и остатка на каждом шаге деления, то будут повторяться и полученные десятичные знаки. 10 Раздет. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти. Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положитель- _____^ ное направление и единица измере- X ния). Например, на рисунке 1 изображены несколько рациональных чисел —I--1- _1 о 2 2,5 Рис. 1 2,5 . Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число -J2 не является рациональным. Это так называемое иррациональное число (см. также пример 2 на с. 15). Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой х (рис. 2), то его диагональ будет равна л/2. Тогда, проведя дугу окружности радиуса ОМ = >/2 с центром в точке О, получим точку М, координата которой равна у/2. Кроме числа V2 , вы также встречались с иррациональными числами >/3, VlO, л, е, Ig 2 и др. Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел* Д. На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие). Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого при- * Более детально о множестве действительных чисел и действиях над ними см. с. 193. Свойства действий над действительными числами рассматриваются также в § 20. § 1. Действительные числа и их свойства 11 ближенное значение больше, и считается большим. Например, если а = ^/з = 1,7320508..., Р = 1— = 1,7500000..., то а < р (поскольку 1,73 < 1,75). 4 Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел а и Р последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью. а Р а + Р оф 1 < а< 2 К Р< 2 2 < а Р< 4 1 < оф< 4 1,7 < а< 1,8 1.7 < Р< 1,8 3,4 < а -ь р< 3,6 2,89 < ар < 3,24 1,73 < а< 1,74 1,75 < Р< 1,76 3,48 < а Р < 3,50 3,0275 < оф < 3,0624 1,732 < а< 1,733 1,750 < Р< 1,751 3,482 < а -Н Р < 3,84 3,031 < ар < 3,034483 ... ... ... Как видим, а Н- р = 3,48..., оф = 3,03... . В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел а и Р последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., значения суммы а + р с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы а -ь Р (аналогично определяется я произведение оф). 2. Модуль действительного числа и его свойства. Напомним определение модуля. Модулем положительного числа называется само зто число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю. Это определение можно коротко збшисать несколькими способами. а при а > о, г ^ „ г ^ , , , , fa при а > о, I , а при а >0, а = 0приа = 0, или а ^ или а = ' ' [-а при а < о, [-а при а < о, -а при а < О, а при а> О, -а при а < 0. При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения | а |, согласно определению, необходимо знать знак числа а и использовать соответствующую формулу. Например, I 5 1 = 5,1 -3 I = -(-3) = 3, |л/3-2| = -(7з-2) = 2-л/з. На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, нзображаю1цей это число. или а = Действительно, если а > 0 (рис. 3), то расстояние ОА = а = I а |. Если 6 < 0, то расстояние ОВ = -Ь = \Ь\. о -I- а В О Рис. 3 12 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В -I— О ч— О А —I— Рис. 4 С --1-- а-Ь ■ Модуль разности двух чисел а и Ь — это расстояние между точками а и Ь на координатной прямой. Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на Ь единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на Ь: к абсциссе данной точки прибавляется число Ь, то есть при Ь> О точка переносится вправо, а при Ь < О — влево. Обозначим на координатной прямой числа а, Ь, а - Ь соответственно точками А, В, С. На рисунке 4 эти точки изображены для случая а > О и fc < О, хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков а и Ь. *■ При параллельном переносе вдоль оси Ох на Ь единиц точка О перейдет в точку В, а точка С (с координатой а - Ь) в точку с координатой а — Ь + Ь = а, то есть в точку А. Тогда СО = АВ. Но расстояние СО — это расстояние от точки а - Ь до начала координат, следовательно, СО = (а - fe |, а значит, и АВ = | а - Ь | . Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 1. Например, учитывая, что | а | — это расстояние от точки а до точки О, а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем: |п| о, то есть модуль любого числа является неотрицательным числом. Учитывая, что точки а и -а находятся на одинаковом расстоянии от точки О, получаем: i -а . , а 1* Это означает, что модули противоположных чисел равны. Если а > О, то I а I = а, а если а < О, то а < | а |. Следовательно, всегда а I а |, то есть каждое число не превышает его модуль. Если в последнее неравенство вместо а подставить -а и учесть, что I -а I = I а |, то получаем неравенство -а < | а |. Отсюда а > -\а \, что вместе с неравенством а < | а | свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство - |а I < а !« I, (1) При Ь> О неравенство | а | < Ь означает, что число а на координатной прямой находится от точки О на расстоянии, которое не превышает Ь (рис, 5), то есть в промежутке [-6; Ь]. Наоборот, если число а находится в этом промежутке, то есть -Ь < а < б, то I а I < б. Следовательно, при б>0;а| Ь ^ —Ь а h. (2) Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при 6 = 0 (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение а = 0). Аналогично при Ь > 0 неравенство \а \ > Ь означает, что число а на координатной прямой находится от точки О на расстоянии, которое боль- § 1. Дейавительные числа и их свойава 13 ше или равно Ь (рис. 5), то есть в этом случае а < -Ь или а > Ь. Наоборот, если число а удовлетворяет одному из этих неравенств, то \а\ > Ь. Следовательно, при Ь> О неравенство I а I > Ь равносильно совокупности неравенств а < -Ь или а > Ь, что можно записать так: при Ь > О I а I ' б <=> а < -i> или а Ь. Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками*: модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть |в-Ь| = |а |'1Ь|; модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть (//1^0). I Ц I _ I д I 1г.1 |М Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей а, - а. ‘ а. = а, а.. и. (3) и обосновать с помощью метода математической индукции*. • Действительно, формула (3) справедлива при л = 2: I «I'aj = М “2I (4) (как отмечалось выше, это следует из правил действий над числами с одинаковыми и разными знаками). Предположим, что эта формула справедлива при п= к, то есть допустим, что I “Г “2 • — • о* I = I fli I • I ^21 • — ■ I а* I • (5) С помощью формул (4) и (5) получаем, что и для следующего значения л = А + 1 формула (3) также выполняется, поскольку ' о. • щ ■ а») • I = *+1 >1 £Z« * С1л **+1 I ~ I (^1 ' ®2 ' ~ I I * I ®2 I ’ ••• " I 1 * I ^*+1 !• Тогда согласно методу математической индукции формула (3) справедлива для всех натуральных значений л, больших или равных 2.0 Если в формуле (3) взять а,= Л2= ... = о„ = а, получаем формулу [а" I = |а I". Используя последнюю формулу справа налево при л = 2А и учитывая, что а“ > О при всех значениях а, получаем | а | “ = I 2* _ „2* а“ I = а“. Следовательно, а I" = а' Для обоснования неравенства |а-1-б|<|а| + 1& | запишем неравенство (1) для чисел о и ft: -|а|<а<|а|;-Ь|<б<|б| (6) ’ См. также с. 193-194. ** См. учебник для 10 класса, § 8. 14 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Складывая почленно эти неравенства, получаем: -(I а I + I 6 I) < а 4- Ь < I а I + IЬ |. Учитывая неравенство (2), имеем |а + Ь|<|а| + |Ь|, то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. С помощью метода математической индукции это свойство можно доказать и для случая п слагаемых (где п > 2): I а, + Пг + ... -Р а„ I < I а, I 4-1 Сг I + ... -I-1 а, |. Если в неравенстве (6) заменить Ь на -Ь и учесть, что | -Ь | = | 6 |, то получим неравенство |a-fe|<|a|4-|b|. (7) Если записать число а так; а = Ь + (а - Ь) н использовать неравенство (6), то получим неравенство |а|<|б|4-|а-й|. Отсюда I а I - I Ь I < I а - Ь (. (8) Если в неравенстве (8) заменить ft на -Ь и учесть, что | -ft | = | ft |, то получим неравенство |о| -|ЬК |а 4-ft|, (9) то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей. Меняя местами буквы а и ft в неравенствах (8) и (9) и учитывая, что |a-ft| = |ft-a|, имеем также неравенства |fe|-|a|/!о<з), то л/з и л/То — иррациональные числа. Задача 3* Докажите, что ч/з + ^ — число иррациональное. Решение ► Допустим, что число л/з + ^ = г — рациональное. Тогда Vs = г - Тз. Комментарий Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: допустить, что заданное При m = 1 условимся, что ^ = Vn =п. 16 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Возведя обе части последнего равенства в куб, имеем 5 = - 3 >/Зг^ + 9г - 3 >/з. Отсюда ■\/з(Зг^ + 3) = г^ + 9г-5. Следователь- но . 7з = г^ + 9г-5 Зг^ + 3 Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению г — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число 7з+^ — иррациональное. <. действительное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что -Уз — иррациональное число. При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число г — рациональное, то числа г^+ 9г - 5 и Зг^ + 3 и их частное тоже будут рациональными. Заметим, что при любом рациональном г знаменатель полученной дроби ЗН -ь 3 7^ 0. Задача 4 Решите уравнение* \2х + 5\ = 7. I способ Решение ► 2х + 5 = 7 или 2х + 5 = 2д: = 2 или 2х = -12, X = 1 или X = -6. Ответ: 1;.-6.<] -7, Комментарий Заданное уравнение имеет вид I ^ I = 7 (в данном случае t = 2х + 5). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: 1 2х -Ь 5 I — это расстояние от точки о до точки 2х + 5. Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство \ 2х + Ъ | = 7 возможно тогда и только тогда, ког-да 2х -Ь 5 = 7 или 2х + 5 = -7. II способ Решение Комментарий С геометрической точки зрения I а - 6 I — это расстояние между точками а и 6 на координатной прямой. Запишем заданное уравнение так: 1 2х - (-5) | = 7. Тогда равенство 12х - (-5) I = 7 означает, что расстоя- ' Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, рассмотрено в учебнике для 10 класса — § 5 (см. также с. 372-373 учебника для 11 класса). § 1. Действительные числа и их свойства 17 2х = 2 или 2х = -12, X = 1 или X = -6. Ответ: 1; -6.<1 ние от точки 2х до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 6). Следовательно, данное равенство вьгаол-няется тогда и только тогда, когда 2х = 2 или 2х = -12, то есть заданное уравнение равносильно этой совокупности уравнений. Задача 5 Решите неравенство ( - 5д: | < 6. Решение ► -6 < - 5х < 6, - 5х < 6, |х* - 5х - 6 < О, х^-5х>-6, |х^-5х-1-6 > о, (х-1-1)(х-6)<0, (х-2)(х-3)> 0. Решая эти неравенства (рис. 7), получаем: J-Kx<6, [х < 2 или X >3. Следовательно, -1 < X < 2 или 3 < X < 6. Ответ: [-1; 2] U [3; 6] . Комментарий Данное неравенство имеет вид I < I < 6 (в данном случае t = х^ - 5х), и его можно решить, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, 111 — это расстояние от точки 0 до точки t. На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6. Тогда неравенству I < I < 6 удовлетворяют те и только те точки, которые находятся в промежутке [-6; 6], то есть в промежутке -6 < < < 6. Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой. Вопросы для контроля 1. Объясните, какие числа входят в множества целых, рациональных и действительных чисел. Приведите примеры. Изобразите соответствующие точки на координатной прямой. 2. Объясните, чем отличаются записи в виде бесконечной десятичной дроби рационального и иррационального чисел. 3. а) Дайте определение модуля действительного числа. Сформулируйте свойства модуля. б*) Обоснуйте свойства модуля действительного числа. 18 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Упражнения 1. Объясните, почему данное число не может быть рациональным: 1) 1 + л/2; 2) у/З-5; 3) VlO. 2*. Докажите, что сумма (разность, произведение и частное) рационального и иррационального чисел всегда есть число иррациональное (произведение и частное только в том случае, когда заданное рациональное число не равно нулю). 3*. Докажите, что данное число является иррациональным: 1) n/2 + ^УЗ; 2) >/5 + ^; 3) Ig 2; 4) log» 3. 4. Пользуясь геометрическим смыслом модуля, изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству: 1°)|д:|<2; 2°)1л:|>5; 3) |д: - 3 I < 0,5; 4) | х + 1 | < 0,3. 5. Решите уравнение: 1) I Зх + 1 I = 4; 3*) (СПбУЭФ) II X - 1 I - 2 I = 1; 6 (МАДИ). Решите неравенство: 1)|2х-7|<1: 2) |3х-I-5 I > 7; 2) I 4х - 2 I = 6; 4‘) II 2х -I- 3 I - 51 = 3. 3*) II 2х - 11 -ь 3 I > 5; 4*) II 4х -Н 7 I -11 I < 4. § 2. ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ Таблица 2 1. Понятие предела функции в точке Пусть задана некоторая функция, например / (х) = 2х - 1. Рассмотрим график этой функции и таблицу ее значений в точках, ко-торые на числовой прямой расположены достаточно близко к числу 2. i/= 2дг - 1 f(x) 1,9 2,8 1,99 2,98 1,999 2,998 2,001 3,002 2,01 3,02 2.1 3,2 Из таблицы и графика видно, что чем ближе аргумент х к числу 2 (это обозначают так: х —> 2 и говорят, что х стремится к 2), тем ближе значение функции / (х) = 2х - 1 к числу 3 (обозначают / (х) —> 3 и говорят, что f (х) стремится к 3). Это записывают также так: lim(2x-l) = 3 (читается: «Лимит х-*2 2х - 1 при X, стремящемся к 2, равен 3*) и говорят, что предел функции 2х - 1 при X, стремящемся к 2 (или предел функции в точке 2), равен 3. § 2. Понятия предела функции в точке и непрерывности функции 19 Продолж. табл. 2 В общем случае запись lim f{x)~ В обозначает, что при х а f(x) —» В, J - ‘ а то есть В — число, к которому стрюмится значение функции f{x), когда X стремится к а. 2. Запись обозначений x^av\f(x)—>Bc помощью знака модуля Обозначение и его смысл Иллюстрация Запись с помощью знака модуля X а На числовой прямой точка X находится от точки а на малом расстоянии (меньше 5). 6 6 1 X - а 1 < 6* а-5 аЧ-5 х f{x)-> В Значение f (д:) на числовой прямой находится на малом расстоянии от В (меньше е). е е 1 Мл:) - й 1 < F В-е ^ В + е у 3. Определение предела функции в точке" Число В называется пределом функции f (д;) в точке а (при X, стремящемся к а), если для любого положительного ит/(дг)=Б ццсла е найдется такое положительное число 5, что при всех хФ а, удовлетворяющих неравенству | х - а [ < 5, выполняется неравенство | / (х) - В | < е. 4. Свойства предела функции Смысл правил предельного перехода Запись и формулировка правил предельного перехода Если f (х) = с, то при X а f (х) ^ с Итс = с X- ' fl Предел постоянной функции равен самой постоянной. Если при X ^ а f (х)^Аи g (х) ^ В, то: f (xi ± g (X) А ± В Iim(/(x) ± g(x)) = lim/(x) + lim^(x) JC ' U JT— /1 Д -• 0 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют. * Если значение х удовлетворяет неравенству | л — а | < 6, то говорят, что точка х находится в 6-окрестности точки а. ~ Это определение обязательно только для классов физико-математического профиля. 20 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продол ж. табл. 2 f {x)-g (X) ^ А-В lim(/'(x) • (дг)) = Иш/(дг) • linig(jc) X -• а дг— и X—* и Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют. с- f (х) —* с - А lim (с-Дд-)) = c liin f(x) Г-* а U Постоянный множитель можно выносить за знак предела. lim Пх) fix) lim / (д) (гдеИт^(д:);^0) iim ^ (дг) \ х-*а } « и(х) Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы, числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. 5. Непрерывность функции в точке Определение. Функция fix) называется непрерывной в точке а, если при X ^ а / (х) —» / (а), то есть hmf {x) = f{a). Если функция f (х) непрерывна в каждой точке некоторого промежут-ка I, то ее называют непрерывной на промежутке I.__________ Если функции f (х) и g (дс) непрерывны в точке а, то сумма, произведение и частное непрерывны.х в точке о функций непрерывны в точке а {частное в случае, когда делитель g (а) Ф 0)._________ График функции, непрерывной на промежутке, — неразрывная линия на этом промежутке. Все элементарные функции' непрерывны в каждой точке своей области определения, поэтому на каждом промежутке из области опреде-ления их графики — неразрывные линии.______________________ Если на интервале (а, Ь) функция f (х) непрерывна и не обращается в нуль, то она сохраняет постоянный знак на этом интервале._ ’ Элементарными функциями обычно называют функции; у = с (с = const); у = х", пе N; у = Vx, л е N; у = а* {а > 0); у = log„ х (а > 0, а 1); у = sin х;у = cos х; у = tg х; у = ctg х; у = arcsin х; у = агссоз х; у = arctg х; у = arcctg х и все функции, которые получаются из перечисленных выше с помощью конечного количества действий сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (функции от функции). § 2, Понятия предела функции в точке и непрерывноаи функции 21 Продол ж. табл. 2 6. Метод интервалов (решение неравенав вида f (а:) ^ 0) План Пример 1. Ианти ОДЗ неравенства. 2. Иайтн нули функции: f (X) = О. 3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции f (дг) в каждом из промежутков, на которые разбиваетсл ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак .танного неравенства. log2(x + 3)-2 Решите неравенство —j=--------< 0. yJx + b-2 ► Пусть = Vx+5-2 Поскольку функция f (jc) непрерывна на каждом из промежутков своей области определения (как частное двух непрерывных функций), то можно использовать метод интервалов. 1. ОДЗ: JC -н 3 > о, JC-I-5 > о, х>-3, X > -5, Тогда х>-3, ХФ-\. \1х + 5 ф2. 2. Нули функции: f (х) = 0. = log,(x + 3) - 2 = о, Vx+5-2 log^ (дс -t- 3) = 2, X -I- 3 = 2^, X = 1 (входит в ОДЗ). 3*. -3 -1 Ответ: (-1; 1). <1 Объяснение и обоснование 1. Понятие предела функции в точке. Простейшее представление о пределе функции можно получить, рассматривая график функции у = 2х - \ (рис. 8). Из этого графика видно: чем ближе выбираются на оси Ох значения аргумента к числу 2 (это обозначается X 2 и читается: «х стремится к 2»), тем ближе будет значение /(х) на оси Оу к числу 3. Это можно записать так: f (х) —> 3 при X 2, или lim(2x-l) = 3. 1-*2 Знак lim (читается: «Лимит») — краткая запись латинского слова limes (лимес), что в переводе означает «предел». * Для определения знаков функции на каждом из выделенных интервалов использованы свойства непрерывной функции, приведенные в пункте 5 таблицы 2 (см. тгпсже рассуждения на с. 24). 22 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В общем виде запись Ига f (х) = В означает, что при л- —> « значение * U f (х) —> В, то есть В — число, к которому стремится значение функции f (х), когда X стремится к а. Чтобы дать определение предела функции f (х) в точке а, напомним, что расстояние между точками х и о на координатной оси Ох — это модуль разности IX - а I, а расстояние между точками f {х) и В на координатной оси Оу — это модуль разности \ f(x) - В \. Тогда запись х-^а означает, что на числовой прямой точка х находится от точки а на малом расстоянии — например, меньше какого-то положительного числа5(рис.9).Этоможнозаписатьтак:| X - а |<б.Обратимвнимание,чтозапись X ) а означает, что х стремится к а, но не обязательно х достигает значения о, поэтому в определении предела функции в точке а рассматриваются значения х * а. Также обратим внимание, что в этом случае, когда значение X удовлетворяет неравенству | х - а ( < 5, говорят, что точка х находится в 5-окрестности точки а. Рис. 9 Рис. 10 Аналогично запись / (х) В означает, что значение f (х) на числовой прямой находится на малом расстоянии от В — например, меньше какого-то положительного числа е (рис. 10). Это можно записать так: | / (х) - В | < е. Тогда можно дать следующее определение предела функции в точке: число В называется пределом функции f (х) в точке а (при х, стремящемся к а), если для любого положительного числа е найдется такое положительное число" 5, что при всех х Ф а, удовлетворяющих неравенству I X - о I < 5, выполняется неравенство \ f (х) - В | < е. Нахождение числа В по функции f называют предельным переходом. При выполнении предельных переходов можно пользоваться такими правилами": Если нам известны пределы функций f (х) я g (х), то для выполнения предельного перехода над суммой, произведением или частным этих функций достаточно выполнить соответствующие операции над пределами * Заметим, что 6, вообще говоря, зависит от е и поэтому его часто обозначают 5(e). ** Обоснование правил предельного перехода приведено в § 7, там же приведены примеры использования определения для доказательства того, что число В является пределом функции f (х) при х —» а. Отметим, что правила предельного перехода можно использовать и в тех случаях, когда рассматриваются три (или больше) слагаемых или множителей (для обоснования достаточно воспользоваться принципом математической индукции). § 2. Понятия предела функции в точке и непрерывности функции 23 этих функций (для частного только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю). (где В * 0). Отметим также, что в случае, когда функция f (х) является постоянной, то есть f (х) = с, то при всех значениях х значение f (х) равно с, следовательно, и при X —» а значение f (х) —» с. То есть предел постоянной равен самой постоянной. Обратим внимание, что согласно определению предел функции f (х) при X, стремящемся к а, можно вычислить и в том случае, когда значение х = а не входит в область определения функции f (х). Например, областью определения функции Дх) = — являются все действительные числа, кроме числа 0. X Для всех X Ф о выполняется равенство — = 1. Тогда при х 0 значение X — ^ 1, то есть lim — = 1. X 1-»0 X 2. Понятие непрерывности функции. Если значение х = а входит в область определения функции f (х), то при х —> а для многих функций значение Дх) f (а), то есть lim f (x) = f (а). Такие функции называются непрерывны- Х-*0 ми в точке* а. Если функция f (х) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I. Графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом прюмежутке, который полностью входит в область определения. На этом и основывается способ пострхения графиков «по точкам», которым мы постоянно пользовались. Стрюго говоря, при этом необходимо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция является непрерывной. Например, прюизвольный многочлен f (х) = ЬдХ" b^x'^ * -н ... -f является непрерывной функцией на всей области определения (то есть на R), поскольку, используя правила предельного перехода, получаем: lim/(x) = lim(6„x" +б.х"'’ -f...-i-6„) = lim(boX'*)+ lim(6,x'‘ ')-b... + lim6„ = х~*а х~*а х-*а х-*а х->а = боИпгх" +Ь. limx""' +.,.-^Iimб„ =б„а" +Ь.а" ‘ =f(a). х-*а х-*а х->о ” в куреах математического анализа доказывается, что все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения (см. также § 7), и это можно использовать при построении графиков и вычислении пределов функций. Например, поскольку многочлен является непрерывной функцией, то lim(x^-3x-bl) = /(2) = 2*-3-2 + l = 3. х-*2 * Если в точке х = а не выполняется условие lim f(x) = f(a)^ то функция f (х) назы- х-*ш вается разрывной в точке а (а сама точка а называется точкой разрыва функции f (х)). 24 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Из правил предельного перехода следует, что в случае, когда функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, сумма, пронзвеленне н частное непре- f (^) рывных в точке а функций непрерывны в точке и (частное в случае, когда g (а) Ф 0). Например, функция f(x) = x'^ + ^ непрерывна как сумма двух непрерывных функций. (Действительно, lim/(x) = lim (д:^ + ^) = lim + lim ^ = + ^ = /(а), из х-^а х-*а х-»а х-*в этого следует, что функция f (х) — непрерывная.) Отметим еще одно важное свойство непрерывных функций, полное доказательство которого приводится в курсах математического анализа. Если на интервале (а, Ь) функция / (х) непрерывна н не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак. Это свойство имеет простую наглядную иллюстрацию. Допустим, что функция f (х) на заданном интервале изменила свой знак (например, *-* на ♦-f-»). Это означает, что в какой-то точке х, значение функции отрицательно (/(:с,) < 0), и тогда соответствующая точка М гр>афика функции находится ниже оси Ох. В некоторой точке х^ значение функции положительно (/ (Xj) > 0), и соответствующая точка N графика находится выше оси Ох. Но если график функции (который является неразрывной линией) перешел из нижней полуплоскости относительно оси Ох в верхнюю, то он обязательно хотя бы один раз на заданном интервале пересек ось Ох, например в точке Xq (рис. 11). Тогда /(Xq) = о, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и на заданном интервале функция не может изменить свой знак. На последнем свойстве непрерывных функций основывается метод решения неравенств с одной переменной, называемый методом интервалов, который мы применяли в 10 классе. Действительно, если функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала, то по сформулированному выше свойству непрерывных функций интервал I разбивается этими точками на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в любой точке каждого из таких интервалов. Схема решения неравенств вида / (х) i 0 методом интервалов приведена в учебнике для 10 класса (§ 4) и в пункте 6 таблицы 2. § 2. Понятия предела функции в точке и непрерывности функции 25 Задача 1 Примеры решения задач Является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка: 1) f(.x) = + 2, (-С»; +оо); 2) ^(х) = [5; +оо); 2лг-6 Решение ► 1) Областью определения функции f(x) является множество всех действительных чисел R. Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения, поэтому в каждой точке промежутка (-с»; Ч-оо) функция f (х) непрерывна. 2), 3) Область определения функции g(x): X ^ 3, то есть D (g) = (-оо; 3) и (3; -f оо). Дробно-рациональная функция g(x) является непрерывной в каждой точке ее области определения. Промежуток [5; -f-oo) полностью входит в область определения этой функции, поэтому в каждой точке промежутка [5; ч-схз) функция g (х) непрерывна. Промежуток (0; -f-oo) содержит точку 3, которая не входит в область определения функции g (х). Следовательно, в этой точке функция g (л) не может быть непрерывной (не существует значение g (3)), поэтому функция g (л) не является непре- 3) g(x) = p^, (0;+оо)? 2х-о Комментарий Многочлен fix) и дробно-рациональная функция g (х) являются непрерывными в каждой точке их области определения (в частности, функция g (л) непрерывна как частное двух многочленов — непрерывных функций, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю). Поэтому в каждом из заданий необходимо найти область определения данной функции и сравнить ее с заданным промежутком. Если этот промежуток полностью входит в область определения соответствующей функции, то эта функция будет непрерывной в каждой точке заданного промежутка, а если нет, то функция не будет непрерывной в тех точках, которые не входят в ее область определения. Заметим, что при рассмотрении промежутка [5; ■+• оо) мы воспользовались тем, что его начальная точка 5 является внутренней точкой области определения заданной функции (она входит в область определения вместе рывнои в каждой точке промежутка ^ некоторой своей окрестностью). По- скольку Итя(л:) = ^(5), то функция х-*Ь g{x) непрерывна в точке 5. В случае, когда начальная точка промежутка не является внутренней точкой области определения заданной функции (но входит в нее), непрерывность в этой точке приходится определять с помощью так называемых односторонних пределов (см. с. 124). 26 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Задача 2 Выясните, к какому числу стремится функция f {х) = при л: —> 0. Решение ► Дробно-рациональная функция f(x) является непрерывной в каждой точке ее области определения (лг ^ 5). Число о входит в область определения этой функции, поэтому при л: -> о значение 0^-1 _ 1 0-5 5' х^-1 х-6 f(x)^f(0) = Ответ'. -.О 5 Комментарий Фактически в условии задачи говорится о нахождении предела функции f {х) при X ^ 0. Учитывая, что дробно-рациональная функция f (х) является непрерывной в каждой точке ее области определения: X ^ 5 (как частное двух непрерывных функций — многочленов), получаем, что при X —> о значение / (х) —> / (0). То есть Ит f (x) = f (0). Х-+0 Задача 3* Найдите: 1) lim (х^-I-2х -1); х->3 х^-9 2) Иш х^1 л-5 3) Ит x-tl Х-1 Решение ► 1) Многочлен /(х) = X® -t- 2х - 1 является непрерывной функцией в каждой точке числовой прямой, поэтому Urn (хЧ2х-1) = /(3) = 3*-(-2-3-1 = 32. х->3 2) Дробно-рациональная функция f(x) = л^-9 л-5 является непрерывной в каждой точке ее области определения (х ^ 5). Число 1 входит в область определения этой функции, поэтому Ит =/(1) = = 2. х-»1 л-5 3) При X ^ 1 л^-1 (л-1)(л + 1) 1-5 л-1 Тогда л-1 = х-ь1 = ф(х). х-*1 л-1 х-»1 Л-1 = Ит (х + 1) = ф(1) = 1 +1 = 2.<] Комментарий Многочлены и дробно-рациональные функции являются непрерывными в каждой точке их областей определения. Это означает, что в том случае, когда число а (к которому стремится х) входит в область определения функции f (х) (задания 1 и 2), получаем: Ит / (х) = /■ (а). Г—»а Если же число а не входит в область определения функции f (х) (задание 3), то пытаемся выполнить тождественные преобразования выражения f (х) при X Ф а. получить функцию, определенную при х = а, а затем использовать непрерывность полученной функции при х = а (в данном случае функции ф (х) = х + 1 при X = 1). Напомним, что обозначение х —> а означает только то, что х стремится к а (но не обязательно х принимает значение а), и поэтому при х —» 1 значение х-н1—>l-fl = 2. § 2. Понятия предела функции в точке и непрерывности функции 27 Задача 4* Решите неравенство > 1. log,^3 (jr + 5) Решение ^ Заданное неравенство равносиль- но неравенству log,,,(x"+3) -1 >0. >°Кх+3 Поскольку функция , - . 'овх+З + 3) f (дг) = ——-------1 непрерывна в log^*3 (д; + 5) каждом из промежутков своей области определения, то можно применить метод интервалов. 1. ОДЗ. Поскольку -ь 3 > О всегда, то ОДЗ задается условиями: X -т 3 > О, X -т 3 1, X -1- 5 > О, log;,,.a (x + 5)?t0. Тогда х>-3, X * -2, х>-5, х-т5^1. То есть X > -3, X Ф -2. 2. Нули /(х): +3) -1 = 0. На •°вх*з ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям: log^, 3 (х^ -f 3) = log, * 3 (X -ь 5), х^ -f 3 = X -f 5, х^ - X - 2 = о, х,= -1, Xj= 2 (оба корня входят в ОДЗ). Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак f (х) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 12). -3 -2 -1 Рис. 12 Ответ: (-3; -2) и (-2; -1] U [2; +оо). Комментарий Заданное неравенство можно решить или с помощью равносильных преобразований, или методом интервалов. Если мы выберем метод интервалов, то сначала неравенство необходимо привести к виду f (х) > 0. Для того чтобы решить неравенство методом интервалов, достаточно убедиться, что функция /(х) непрерывна (это требование всегда выполняется для всех элементарных функций /(х)), и использовать известную схему решения: 1) Найти ОДЗ неравенства. 2) Найти нули функции: f (х) = 0. 3) Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции f(x) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4) Записать ответ, учитывая знак данного неравенства. При нахождении нулей f{x) можно следить за равносильностью выполненных (на ОДЗ) преобразований полученного уравнения, а можно использовать уравнения-следствия и в конце выполнить проверку найденных корней. Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа -1 и 2). Чтобы найти знак функции /(х) в каждом из полученных промежутков, достаточно сравнить величину й log з(х^ + 3) дроби —--------- с единицей в лю- log,„3(x + 5) бой точке из выбранного промежутка. (Для этого можно изобразить график функции у = log„ t при а > 1 и при о < а < 1 и воспользоваться соответствующими свойствами этой функции.) 28 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Вопросы для контроля 1. Объясните, что обозначают записи х а vi f (x) —> В. 2. Объясните, что обозначает запись lim f{x) = B. х~^ а 3. Если при X —> а f {х) А к g (х) ^ В, то к каким числам при х будут стремиться функции: f (х) ± g (х); f (x)‘g (дг); f(x) g(x) (если В * 0)? 4. Когда функция f{x) называется непрерывной в точке о? Приведите примеры. 5. Какая функция называется непрерывной на промежутке? Что можно сказать о графике такой функции на рассмотренном промежутке? 6. На каком свойстве непрерывной функции основывается метод решения неравенств вида / (л:) ^ 0? Объясните, опираясь на графическую иллюстрацию, справедливость этого свойства. 7. Охарактеризуйте план решения неравенства вида f {х)^0 методом интервалов. Приведите пример решения неравенства методом интервалов. Упражнения 1°. Является ли непрерывной в каждой из точек х = -1, х = 1, а: = 3 функция, график которой изображен на рисунке 13? Рис. 13 § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 29 2. Является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка: х^-1 2) = (0; +<»); х-2 1) fix) = - Зх, (-скз; +оо); 3) /■W = frf’ [2; +0О)? 3. Выясните, к какому числу стремится функция f (д:), если: 1) f ix) = х^ - 5х + 1 при X —> 1; , ч 2а:+ 5 2) f (л:) = “з—- при X 3) / (х) = при X -1; 4) Пх) = х“-1 2х х^-х при X 2; 3. 4*. Найдите: 1) lim(x^ + x + 5); 2) lim х^+2х. 3) lim i *-*2 ' х-»-1 4а:+ 1 5 (РЭА). Решите неравенство методом интервалов: „<'П. ол 2*-1 аг^-16 х-»-4 ас + 4 4) lim 3) < 0; 1) (х -4)log,x<0; 2) —i>0; 2 2х-1 logglx-l) 6 (ВолГТУ). Найдите область определения функции: 4) V24II22 > 0. а:*-16 1) /log3(x-fl). х-1 ’ 3) у = -у/(л:^ - 4х^ + 3)| 2х - 31; 2) i/ = log5(x-V2x-l); § 3. ПОНЯТИЕ производной. ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Таблица 3 1. Понятия приращения аргумента и приращения функции в точке Пусть X — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фик-_______сированной точки Хр из области определения функции f (х)___ Приращение аргумента Приращение функции Дх - X — д/- !(х^, + Дх) - fiXa) Ах > 0 у» y = fix) Л > /(х„+Дх) Af Хо X fix,У Дх < 0 /1 ! ^ ^ 1 Ах • X х„ 0 Хо Хо+Дх X 30 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 3 2. Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции Функция f (х) будет непрерывной в точке тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке отвечают малые изменения значений функции, то есть Функция f (х) непрерывна в точке .Гр » При Дх —» О Af —» О 3. Задачи, приводящие к понятию производной I. Мгновенная скорость движения точки по прямой Дх x(h) х(<о+ДО ^ (х (<) — координата х точки в момент времени f) x{to + At ~ At’ Ax = lim — Д.-.0 At Касательная к графику функции Касательной к графику функции в данной точке М называется предельное положение секущей MN (когда точка N стремится к точке М). У = Нх) /■(Xp+Ax) fix,) Хр Хр+Дх X Когда точка N приближается к точке М (перемещаясь по графику функции у = f (х)), то величина угла NMT приближается к величине угла ф наклона касательной МА к оси Ох. Поскольку tgZNMT = -^ = —,то ’ ^ мт Ах tg ф = lim — ДХ-.0 Ах 4. Определение производной y = f(x) у = lim — Хг -*0 Дх , /(Хр +Дх)-/’(Хр) у = hm —--------------— Дх-»0 Дд: Производной функции у - f (х) в точке х„ называется предел отношения приращения функции в точке х„ к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Операция нахождения производной назы-________вается дифференцированием.______ § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 31 ______________________________________________Продол ж. табл. 3 5. Производные некоторых элементарных Функций с = О (с — посто-янная) (д:) = I = 2.x iyfx) (х> 0) 2V.T 6. Геометрический смысл производной и уравнение касательной _________________к графику функции у = f(x)_______________ /' (■««) = tg ф угловой коэффициент касательной А = tg ф = /' (jc„) У = f{Xn) + f'{Xu)(x - дго) — уравнение касательной к графику функции у = fix) ь точке с абсциссой х„ Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой дГц и угловому коэффициенту этой касательной. {Угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки.) 7. Механический смысл производной Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента S = S Ц) — зависимость пройденного пути от времени V = s' (О — скорость прямолинейного движения а = о' (t) — ускорение прямолинейного движения В частности, производная по вре мени является мерой скорости изменения соответствующей функции. Производную по времени используют для описания различных физических величин. Например, мгновенная скорость v неравномерного прямолинейного движения — это производная функции, выражающей зависимость процденно-го пущ 8 от времени t._________ 8. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции Если функция f (х) дифференцируема в точке х^, то она непрерывна в этой точке. Если функция f <х) дифференцируема па промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке. 32 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Объяснение и обоснование 1. Понятия приращения аргумента и приращения функции. Часто нас интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины, работа — это изменение энергии и т. д. Приращение аргумента или функции традиционно обозначгпот большой буквой греческого алфавита Д (дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции. Пусть X — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Хд из области определения функции f (х). Разность дг дг„ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке дгц и обозначается С\х (читается: «Дельта икс»). Таким образом, Ах X - х„. Из этого равенства имеем X = Хо+ Ах, (1) то есть первоначальное значение аргумента Xq получило приращение Ах. Отметим, что при Дх > О значение х больше, чем х^, а при Дх < О значение X меньше, чем Хд (рис. 14). Тогда при переходе аргумента от точки х„ к точке х значение функции изменилось на величину Af = f (х) - f (Хд). Учитывая равенство (1), получаем, что функция изменилась на величину А/ = f (х„ + Дх) - f (х„) (2) (рис. 15), которая называется приращением функции f а точке х„, соответствующим приращению аргумента Дх (символ Д/ читается: «Дельта эф»). Из равенства (2) получаем f (х„ -Ь Дх) = f (Хд) + Af. Обратим внимание на то, что при фиксированном Хд приращение Af является функцией от приращения Дх. Если функция задается формулой у = f (х), то Af называют также приращением зависимой переменной у и обозначают через Ау. Например, если у = f(x) = х^, то приращение Ау, соответствующее приращению Ах, равно: Ау = f(Xg + Дх) - f(Xg) = (Хо + Axf - х^ = х^ + 2Хд ■ Ах + {Axf -х^=2хд-Ах + (Ах)^ Дх > О Дх < О Рис. 14 § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 33 2. Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции. Напомним, что функция f (jc) является непрерывной в точке Хд, если при X Хд f (х) -^f(Xg), то есть limf(x) = f(Xg). Но если х ^ Хд, то х - Хд ^ О, *-»*о то есть Ах —> О (и наоборот, если Ах О, то лс - jTq —> О, то есть х —> Хд). Следовательно, условие х—>Хд эквивалентно условию Дх -> 0. Аналогично утверждение f {х)—^ f (Хо) эквивалентно условию f (х) - f (х^) —> О, то есть Af —> 0. Таким образом, функция /(х) будет непрерывной в точке Хд тогда и только тогда, когда при Ах -^0 Д/ —> 0, то есть если малым изменениям аргумента в точке Хд соответствуют малые изменения значений функции. Именно вследствие этого свойства графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, которые полностью входят в область определения функции. 3. Задачи, приводгицие к понятию производной I. Мгновенная скорость движения точки по прямой. Рассмотрим задачу, известную из курса физики,— движение материальной точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна х Ц). Как и в курсе физики, будем считать, что движение происходит непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости х (t) определить скорость, с которой точка движется в момент времени tg (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим промежуток времени от tg рр t = tg+ At (рис. 16). Определим среднюю скорость на промежутке [^о> ^0 отношение пройденного пути к времени движения: _ х-(<д + ДГ)-лг(Гд) _ рх “ м д» ■ Для определения мгновенной скорости точки в момент времени tg сделаем так, как вы делали на ухюках физики: возьмем промежуток времени продолжительностью At, вычислим среднюю скорость на этом промежутке и начнем уменьшать промежуток At до нуля (то есть уменьшать отрезок [f,,; i] и приближать t к to). Мы заметим, что значение средней скорости при стремлении At к нулю будет стремиться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени tg. Иными словг1ми, мгновенной скоростью в момент времени tg называется предел отношения —, если At —> 0 , то есть At Дх Т“- Л<ч0 At Например, рассмотрим свободное падение тела. Из курса физики известно, что в этом случае зависимость пути от времени задается формулой 40= f. 34 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 1) Найдем сначала Да: As = s(to + M)-s(to) = g{t^ -t- до^ gtl _ g{tl + 2tp&t -I- (AQ^ - tg) _ g(2 О, то = >0, а поскольку gt„ — величина постоянная, gAt „ то gtg + ——> gtg. Последнее число и является значением мгновенной скорости точки в момент времени t^. Мы получили известную из физики формулу V = gt (тогда v (<о) = gt„). Используя понятие предела, это можно А о записать так: u(t„) = lim — = gtn- II. Касательная к графику функции. Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного материала (например, из проволоки) и прикладывая к кривой линейку в выбранной точке (рис. 17). Если мы изобразим кривую на бумаге, а затем будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направлены по касательной к кривой. Попробуем перевести наглядное представление о касательной на более точный язык. Пусть задана некоторая кривая и точка М на ней (рис. 18). Возьмем на этой кривой другую точку N и проведем прямую через точки М я N. Эту прямую обычно называют секущей. Начнем приближать точку N к точке М. Положение секущей MN будет изменяться, но при приближении точки N к точке М оно начнет стабилизироваться. Касательной к кривой в лаиной точке М называется преде.зыюе положение секущей M/V. Чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функции у = f (х), а точка М, находящаяся на гра- § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 35 фике, задана своими координатами (•^о! Уо) = f (^о))- Касательной является некоторая прямая, проходящая через точку М (рис. 19). Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол ф наклона касательной' к оси Ох. Пусть точка N (через которую проходит секущая MN) имеет абсциссу Хд + Ах. Когда точка N, перемещаясь по графику функции у = f (х), приближается к точке М (это будет при Ах 0), величина угла NMT приближается к величине угла ф наклона касательной МА к оси Ох. Поскольку tg ZNMT = -^ = —, то при Ах МТ Дд: К tg ф, ТО есть —» о значение tg Z NMT приближается tg ф = lim — ^ ^ ДХ-.0 Дх Фактически мы пришли к той же задаче, что и при нахождении мгновенной скорости: найти предел отношения выражения вида ^ (где у = f (х) — заданная функция) при Ах —> 0. Найденное таким образом число называют производной функции у = f (х) в точке Хд. 4. Определение производной Производной функции у = f (дг) в точке Хд называется предел отношения приращения функции в точке дг„ к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции у = f(x) в точке Хд обозначается f' (Xq) (или у' (х^)) и читается: «Эф штрих в точке Хд*. Коротко определение производной функции y = f (х) можно записать так: у - Ит —. 41-.11 \х Учитывая определение приращения функции у = f(x) в точке Хд, соответствующего приращению Дх, определение производной можно записать также следующим образом: f(Xg \X)-/Ul|) lim u-«u Vr функцию f (x), имеющую производную в точке Хо, называют дифференцируемой в этой точке. Если функция / (х) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на * Будем рассматривать вевертикальную касательную (то есть ф * 90°). 36 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Для нахождения производной функции у = f {х) согласно определению можно пользоваться такой схемой’. 1. Найти приращение функции Ау = f {х„ + Ах) - f(Xg), соответствующее приращению аргумента Ах. 2. Найти отношение —. 3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение — при Ах —> 0. Это и будет производной данной функции. 5. Производные некоторых элементарных функций. Обоснуем, пользуясь предложенной схемой, формулы, приведенные в пункте 5 таблицы 3. 1. Вычислим производную функции у = с (то есть f (д:) = с), где с — постоянная. • 1) Найдем приращение функции, соответствующее приращению аргумента Ах: Ay = f (Хо + Ах) - f (Х(,) = с - с = 0. 2) Найдем отношение — = —= 0. Дх Лх 3) Поскольку отношение — постоянно и равно нулю, то и предел этого от- Дх ношения при Дх 0 также равен нулю. Следовательно, у' = 0, то есть = о. 2. Вычислим производную функции у = X (то есть f (х) = х). • 1) Ay = f (Хо + Дх) - f (Хо) = Хо + Дх - Хд = Дх. 2) = Дх Дх 3) Поскольку отношение —постоянно и ргшно 1, то и предел этого отноше- Дх ния при Ах о также равен единице. Следовательно, у' = 1, то есть X - I. С 3. Вычислим производную функции у = х^ (то есть f (х) = х^). • 1) А1/ = Дхо + Дх)-/’(Хо) = (Хо-1-Ах)^-х^ = х^-|-2Хо-Ах-1-(/1х)^-х^ = = 2хд ■ Ах (Ах)^. 2) Ai/=if!L^ll<:^ = 2x„.HAx. Дх Ах 3) При Дх о значение ^ = 2xq Ах —» 2хд. Это означает, что у' (х^) = 2хд. Тогда производная функции у = х^ в произвольной точке х равна: у' (х) = 2х. Таким образом, (х^) = 2х. § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 37 4. Вычислим производную функции у = - |тоесть/(х) = — • 1) Ai/ = f(Xo + Ax)-f(Xo) = 1 Хр - (ЛГр + Дх) -Дх 2) -&х ^ = - Ах {Хр + Длс)Хо - Ах (Хр + Дх)Хо ' Хц + Дх Хр (Хо + Дх)Х(, (Х() + Дх)Хо -1 3) При Дх —» О значение х„ + Дх —> Хд. Тогда ^ = —т* Это озна- ^ ^0 ■ *0 -^0 чает, что у'(Хр) = —К. Тогда производная функции у = — в произволь- Хо X ной точке X из ее области определения (то есть при х ^ 0) равна: у'(х) = —Следовательно, X ^ Л f Ж 5. Вычислим производную функции y = 'fx (то есть /(х) = -Ух). • 1) Дг/=/(Хо+ Дх)-/'(Хо) = ^Хо +Ах-.у/х^. Умножим и разделим получен- ное выражение на сумму ^х^ + Дх + ^/х^ и запишем tAy следующим обра- зом: Ау = 2) ^ = _{\lxp + Ax-ylx^){^Xp + Ax + yf^) _ Хр+Ах-: ;0____ Дх yjxp + Дх + -sjx^ ^Xq +Дх +у[х^ -Jxp + Ах Ах 1 ^ {у]хр + Ах+^)ах у]хр + Ах + 7^ 3) При Дх —> о значение Хр + Дх —з Хр. Тогда ——» -т=- ^ ^ ^ \■*0 ■’■о Это означает, что у'(Хр) = —\= (при Хр Ф 0). Тогда производная функ- 2yjxp ции У = ^ в произвольной точке х из области определения функции, кроме х = 0 (то есть при х>0), равна: 1/'(^) = ~т=* Следовательно, 2Vx (Jx ) =— 2Vx О 6. Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции у = /(х). Учитывая определение производной функции у = f(x), запишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции (с. 35). 38 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Как было обосновано выше, тангенс угла ф наклона касательной в точке М с абсциссой зГо (рис. 20) вычисляется по формуле tg ф = lim —. С другой сторо- Дх->0 Ддг ны, lim — = тогда Дх-»о Дд: Г U.,) tg ф. Напомним, что в уравнении прямой y = kx + b угловой коэффициент k равен тангенсу угла ф наклона прямой к оси Ох (угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки). Следовательно, если k — угловой коэффициент касательной, то А = tg ф = /' (Хц). То есть эиаченме проиэволной в точке .г„ равно гаигемс> уг.ти наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х^ и равно угловому коэф-||1ициенту этой касателы1011 (угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки). Таким образом, если у = kx Ь — уравнение касательной к графику функции y=f(x)B точке М с абсциссой х^ (и ординатой /(х^)), то А = f' (х^). Тогда уравнение касательной можно записать так: у = f' (Хд) • х -I- А. Чтобы найти значение А, учтем, что эта касательная проходит через точку М (х^; f (Xq)). Следовательно, координаты точки М удовлетворяют последнему уравнению, то есть f (л^о) = f' i^o) ’ ^0 + Ь. Отсюда Ь = f (Хц) - f (х,,) * х„, и уравнение касательной имеет вид у = f (Х(,) • X -I- / (Хд) - f (Хд) • Хд. Его удобно записать так: У = [ -I- Г (хдК-х - х„). Это уравнение касательной к графику функции у f (х) в точке с абсциссой Хд. Замечание. Угол ф, который образует невертикальная касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хд с положительным направлением оси Ох, может быть нулевым, острым или тупым. Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что в случае, когда /' (Хд) > 0 (то есть tgф > 0), угол ф будет острым, а в случае, когда f'(x^ < 0 (то есть tgф < 0), угол ф будет тупым. Если f (Хд) = 0 (то есть tg ф = 0), то ф = 0 (то есть касательная параллельна оси Ох или совпадает с ней). И наоборот, если касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хд образует с положительным направлением оси Ох острый угол ф, то f (Хд) > о, если тупой угол — то f (Хд) < 0, о если касательная параллельна оси Ох или совпадает с ней (ф = О), то f (Хд) = 0. Если же касательная образует с осью Ох прямой угол (ф = 90°), то функция f (х) производной в точке Хд не имеет (tg 90° не существует). § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 39 7. Механический смысл производной. Записывая определение производной в точке tg для функции х (t): 4(-.0ДТ и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения: можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента. В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, что может применяться к разнообразнейшим физическим величинам. Например, мгновенная скорость v неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость пройденного пути s от времени t; ускорение а неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость скорости о от времени t. Если S = S Н) — зависимость пройденного пути от времени, то V = s' (О — скорость прямолинейного движения (и = и (О); а = о' (t) — ускорение прямолинейного движения. 8. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции Если функция у = f (х) дифференцируема в точке х^, то в этой точке существует ее производная f'ix^) = Ига То есть при Дх О значение Дх-»0 Дх ^^Г(ДГо)- Для обоснования непрерывности функции у = f (х) достаточно обосновать, что при Ах -4 О значение Лу 0. Действительно, при Ах о получаем: Ау = ^-Ах- >/'(дГо)-0 = 0. Из этого следует, что функция у = f(x) непрерывна в точке Хд. Таким образом, если функция fix) дифференцируема в точке Хд, то она непрерывна в этой точке. Из этого утверждения следует: если функция f (дг) дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом про.межутке. О Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция у = \х \ (рис. 21) непрерывна при всех значениях х, но она не имеет производной в точке х = 0. Действительно, если Xq = 0 и Ду ^/(Хо + дх)-Дх„) |0^дх|-|0| _|ддг| ^ [1. еслиАх>0, Дх Дх Дх Дх 1-1, еслиДх<0. I/= / (х) = I X I, то 40 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Рис. 21 о отношение ^ не имеет предела, а значит, и функ- Поэтому при Дх ция I/ = I X I не имеет производной в точке 0. Замечание. Тот факт, что непрерывная функция f (х) не имеет производной в точке Xq, означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой Хд нельзя провести касательную (или соответствующая касательная перпендикулярна к оси Ох). График в этой точке может иметь излом (рис. 21), а может иметь значительно более сложный вид*. Например, к графику непрерывной функции у = | log2 х | (рис. 22) в точке М с абсциссой X = 1 нельзя провести касательную (а значит, эта функция не имеет производной в точке 1). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка N будет приближаться к точке М по левой части графика, то секущая MN займет предельное положение МА. Если же точка К будет приближаться к точке М по правой части графика, то секущая МК займет предельное положение МВ. Но это две разные прямые, следовательно, в точке М касательной к графику данной функции не существует. Примеры решения задач Задача 1 Найдите тангенс угла ф наклона касательной, проведенной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хд, к оси Ох, если: 1) f(x) = ~, Х(,= 1; 2) f{x) = yfx, Хд = 25. Решение i Комментарий 1) ► По геометрическому смыслу | По геометрическому смыслу пропроизводной tg ф = /' (Хд). Учиты-1 изводной f (Хо> = tg ф, / J * где ф — угол наклона касательной, вая, что “—2’ получаем: | проведенной к графику функции ' Например, в курсе математического анализа приведены примеры функций, которые являются непрерывными, но ни в одной точке не имеют производной. § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 41 Г(х,)=П1)=-^=-1. Следовательно, tg ф = /' (1) = -!.<] 2) ► Поскольку /'(x) = (Vjc) 2-Jx то /'(лГо) = Г(25) = метрическому смыслу производной tg Ф = Г (Хо). Следовательно, tg ф = /' (25) = 0,1. < ^ у = f (х) в точке с абсциссой Хд, I к оси Ох. Поэтому для нахождения tg ф достаточно найти производную функции / (х), а затем найти значение производной в точке Хд. Для нахождения производных заданных функций отметим, что соответствующие формулы производных приведены в пункте 5 таблицы 3 (и обоснованы на с. 36-37). Поэтому далее при решении задач мы будем использовать эти формулы как табличные значения. Задача 2 Используя формулу запишите уравнение касатель- ной к графику функции у = - в точке с абсциссой Xq=^. X U Решение ► Если /(х) = —, X то /(Хо) = /- =2. Тогда f'(Xg) = f' j = -4. Подставляя эти значения в уравнение касательной У = fixo) + fi.Xg'^x - Хд), получаем; , = 2-4(х-1). То есть у = -4х + 4 — искомое урав-нениек асательной. О Комментарий Уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хд в общем виде записывается так: У = f (*„) + f'ix„)(x - х„). Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти значение f (х^), производную f' (х) и значение f (Х(,). Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через f (х) и использовать табличное значение производной: (il Вопросы для контроля 1. Объясните на примерах и дайте определения приращения аргумента и приращения функции в точке Хд. 2. а) Охарактеризуйте понятие непрерывности функции в точке, пользуясь понятиями приращения аргумента и функции, б*) Обоснуйте запись непрерывности функпии в точке через приращение аргумента и функции. 42 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 4. 5. 6. 7. 8. Объясните, как можно вычислить мгновенную скорость точки при движении точки по прямой. Объясните, какая прямая считается касательной к графику функции. Как вычислить тангенс угла наклона секущей, проходящей через две точки графика некоторой функции, к оси 0x1 Объясните, как можно определить тангенс угла ф наклона касательной к оси Ох. а) Дайте определение производной. Как обозначается производная функции f в точке х^1 б*) Опишите схему нахождения производной функции у = f (х). а) Запишите, чему равна производная функции: 1) с (где с — постоянная); 2) х; 3) х^; 4) У~~'^ 5) у = '/х. б*) Обоснуйте формулы для нахождения производных функций, приведенных в пункте а). 9. Что такое производная с геометрической точки зрения? 10. Что такое производная с механической точки зрения? 11. а) Запишите уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хд. б*) Обоснуйте уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хф. 12. а) Объясните связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. б”) Обоснуйте связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. 1°. Упражнения Для функции у = 2х найдите приращение Ау, соответствующее приращению аргумента Дх в точке Хц, если: 1) Хд - 2 и Ах = 3; 2) х^ = 1,5 и Дх = 3,5; 3) х^ = 0,5 и Дх = 2,5. Найдите приращение Ау, соответствующее приращению аргумента Дх в точке Хр для функции: 1) у = Зх; 2)у = х^-, 3) t/ = x^- X 4) у = х + ~. 3. Закон движения точки по прямой задается формулой х = х (0» где х — координата точки в момент времени t. Найдите: а) среднюю скорость движения точки на отрезке [2; 4]; б) мгновенную скорость движения точки при t = 2; если: 1) х(0 = 4; 2)x(0 = -2t+l; 3) х (0 = 5t - 7; 4) x(t) =-3t - 2. 4. Пользуясь схемой вычисления производной, приведенной на с. 36, найдите производную функции: l)j/ = 3x; 2)у = -5х; 3*) у = х=>; 4')у = х^-2х. 5°. На рисунке 23, а-г изображен график функции у = f(x) и касательные к нему в точках с абсциссами х, и х,. Пользуясь геометрическим смыслом производной, запишите значения f (х,) и f (Xj). § 3. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл 43 Используя формулы, приведенные в пункте 5 таблицы 3, и геометрический смысл производной, запишите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Xq, если: 1) f (х) = х\ Хо= S; 2) f (х) = X, Хо= 8; 3) /(х) = ^Хо=-1; X 4) f{x) = 4x, Xo = -j. 4 8. Используя формулу (х^У = 2х, запишите уравнение касательной к графику функции у = х^ в точке с абсциссой х^, если: 1)Хо=1; 2)Хо = 0; 3)Хо = 0,5; 4) Хо =-3. Изобразите график данной функции и соответствующую касательную. Используя формулу (Vx) =—^, запишите уравнение касательной к гра- 2Vx фику функции у = -Ух в точке с абсциссой х^, если: 1) Хо =1; 2) х„ = 0,25; 3) Хо = 4; 4) х^ = 9. 44 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 9. Используя механический смысл производной, найдите скорость тела, которое движется по закону s = s (t), в момент времени t, если: 1) s(t) = t, t = 7; 2) s (t) = t\t = 6,5; 3) s (t) = t = 5; 4) s(t) = 'Jt, ^ = 4. 10. Закон движения точки задан графиком зависимости пути s от времени t (рис. 24). 1) Найдите среднюю скорость точки с момента t = 2 до t = 3. 2) Сравните скорости точки в моменты времени = 2 и = 3. 3) Изменяла ли точка направление движения? Если изменяла, то в какой момент времени? 11. На рисунке 25 изображен график функции у = f (х) на промежутке [-4; 7]. Используя геометрический смысл производной, укажите на промежутке (-4; 7): 1) Значения аргумента, в которых производная f (д:) равна нулю. 2) Значения аргумента, в которых производная f (х) не существует. Существует ли в каждой точке с найденными абсциссами касательная к графику функции y=f (х)? 3*) Промежутки, в которых производная /' (х) положительна. Охарактеризуйте поведение функции на каждом из этих промежутков. 4‘) Промежутки, в которых производная f (х) отрицательна. Охарактеризуйте поведение функции на каждом из этих промежутков. § 4. Правила вычисления производных. Производная сложной функции 45 § 4. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Таблица 4 1. Производные некоторых элементарных функций с' = 0 (*,0) (с — посто- (X)' = 1 (х" )'-гах" ' явная) = (X > 0) 2-sJx 2. Правила дифференцирования Правило Пример (си) = си Постоянный множитель можно выносить за знак производной (5х®)' = 5{х^У = 5 • Зл:^ - ‘ = 15л:2 (и + о)' = и' + V Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных U+>/jc) =ix) +(7х) =1+—^ 2Vx (цц) = и V -ь V и ((х + 2) x^y = (JC + 2)' + (х^)'(х + 2) = = (х' + 2') х‘ + 2х (д: + 2) = = (1 + 0) х" + 2х (X + 2) = Зх^ + 4х / и \ UV- UU U/ “ о" О-х-1-1 -1 .2 ~ .2 “ г 3. Производная сложной функции (функции от функции) Если у = f (и) и и = и (х), то есть y = f(u (х)), то if{u(x)))' = f^(u) • u;,(x). Коротко это можно записать так*: у>г:< ((Зх - 1)®)' = 5 (Зх - 1)^ (Зх - 1)' = = 5 (Зх - 1)М(Зх)' - 1') = = 5 (Зх - 1)МЗ - 0) = 15 (Зх - 1)^ (Если и = Зх - 1, тогда (и®), =5u*uJ.) Объяснение и обоснование 1. Правила дифференцирования. Используя определение производной, в пункте 5 § 3 были найдены производные некоторых элементарных функций: * В обозначениях у'^, f', и' нижний индекс указывает, по какому аргументу берется производная. 46 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ с' = О (с — постоянная). (X)’ = 1 Для нахождения производных в более сложных случаях целесообразно помнить правила дифференцирования — специальные правила нахождения производной от суммы, произведения и частного тех функций, для которых мы уже знаем значения производных, и правило нахождения производной сложной функции (функции от функции). Обоснуем эти правила. Для сокращения записей используем такие обозначения функций и их производных в точке и (xj = и, и (Хо) = о, и' (Хд) = и', и' (Хо) = о'. Правило 1. Если функции и и v дифференцируемы в точке Хд, то их сумма дифференцируема в этой точке и (и + = и " и. Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных. • Для доказательства обозначим у (х) = и (х) + о (х) и используем план нахождения у по определению производной в точке х^ (с. 36). 1) Приращение функции в точке Хд : АУ = г/ iXg + ^X)- у (Хд) = и (Хд+ ДХ) + и (Хо -I- Ах) - (и (Хд) -Р V (Хд)) = = (и (Хо -Р Ах) - и (х„)) -Р (и (Хо + Дх) - V (xj) = Дц -Р До. Ду _ Дш- Дс _ Дц ^ Ау Лх Лх Лх Лх 3) Выясним, к какому пределу стремится отношение — при Дх Дд: 0. Поскольку функции и и V дифференцируемы в точке Хд, то при Дх —> 0 Ли — ~)и'(Хд) = и', а ——>v'(Xg) = v' (то есть lim —= и'и lim Ли Ли Лх Лх ДХ-.0 Ддг Дх-<0 Дх Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых, получаем: А Л Д*/ Ди Д1> / / т» t f , г при Дх —>0 —^ = — -Р---->и +и.Из этого следует, что у = и + v Лх Лх Лх (то есть у' = lim ^ = lim ^ + lim = u' + v' Д1-.0ДХ дх-*оДх д*->оДх Следовательно, (и + и)' = и' + и’. О Правило 1 можно расширить на любое конечное количество слагаемых* (п G N): (и, +U2 + “3 + — + “n) =u; + u'2 + Ug + ... + u'„ Правило 2. Если функции и и о дифференцируемы в точке х„. то их произведение дифференцируемо в этой точке и (иг) = Ц'и + VU. 1) Обозначим у(х) = и (х) • v (х). Сначала запишем приращения функций и и у в точке Хд\ Аи = и (Хд + Дх) - и (Хд), Аи = и (Хд + Ах) - о (Хд). " Для обоснования того, что эта формула верна для любого натурального п, необходимо применить метод математической индукции (см. учебник для 10 класса, § 8). § 4. Правила вычисления производных. Производная сложной функции 47 Из этих равенств получаем: и (дго + Дх) = и (Хо) + Ли = U + Дц, V (Хд + Дх) = v (Хд) + До = и + Ди. (1) Учитывая равенства (1), имеем Ду = I/ (Хо + Дх) - у (Хо) = и (Хд + Дх) V (Хо + Дх) - U (Xg)v (Хц) = = (и + Ди)(о + Ди) - UV = ии + vAu + иЛи + Ди • До - ии = = оДи + иДо + ДиДо. _ 1)Ди + иЛи + Ли • Ли ^ Лх ~ Лх Ли , Ли , Ли л V' — + U-----1- — • До. Лх Лх Лх Дх —>0 — = v — + U' — + —‘Av—^V'u' + U‘u' + u'-0 = V'U' + U‘V'. 3) Поскольку функции U и о дифференцируемы в точке Хд, то при Дх —> 0 — —>и'(Хд) = и\ а — —»о'(Хо) = о'(то есть lim —= и'и lim^ = o'). Лх ^ о/ » V о/ V Дх-*0Дл Дх-»0Д1 Поскольку функция о дифференцируема в точке х^, а значит, и непрерывна в этой точке, то при Дх —> 0 значение До —> 0. Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых (и постоянные множители U и о можно выносить за знак предела), получаем, что при ^ = i Лх Лх Лх Лх Из этого следует, что у' = u'v -f- v'u (то есть |/'=lira —= 0- lim —+ ц- lim —-i-lim—• lim До = u'o-t-o'u) Ajf-M) Дх Дх-»0 Лх Дг->0 Дх Дх-»0 Дх Дх->0 Следовательно, (ио)' = u'v + v'u. С Следствие (правило 3). Если функция и дифференцируема в точке Хд, ас — постоянная ("с = const j, то функция си дифференцируема в этой точке и (сц) си. Коротко говорят: ппетояпньгй множитель можно выносить за знак производной. # Для доказательства используем правило 2 и известный из § 3 факт, что с' = 0: (си)' = с'и и'с = о • U -Ь и'с = си'. Правило 4. Если функции и и v дифференцируемы в точке Хд и функция V не равна нулю в этой точке, то их частное — также дифференцируемо в точке Хд и * - U I U !• п и ^ • • Эту формулу можно получить аналогично производной произведения. Но можно использовать более простые рассуждения, если принять без доказательства, что производная данного частного существует. Обозначим функцию - через t. Тогда - = t,u = vt. Найдем производную функции и V V по правилу дифференцирования произведения: и' = v't t'v. 48 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Выразим из этого равенства t', а вместо t подставим его значение По- , £ лучим; t' = ^ =-----ц _ ц и- ц ц Следовательно, (-) = “ ~ . и V V \vl и Используя правило нахождения производной произведения и формулу л' = 1, обоснуем, что производная функции у = х" при натуральном п > 1 вычисляется по формуле (дг") = пдг" (2) • При п = 2 получаем: (х^)' = (х • х)' = х' • х + х' • х = 1 • х + 1 • х = 2х. Тот же результат дает и применение формулы (2): (х^)' = 2х^"’ = 2х* = 2х. При п = 3 получаем: (х®)' = (х^ • х) = (х^)' • х + х' • х^ = 2х • х + 1 • х^ = Зх^. Тот же результат дает и применение формулы (2): (х®)' = Зх®*' = Зх^. Как видим, приведенные соображения позволяют, опираясь на предыдущий результат, обосновать формулу для следующего значения п. Допустим, что формула (2) выполняется для п = k {h > \), то есть (х*)' = fex*"4 Покажем, что тогда формула (2) верна и для следующего значения п = k + 1. Действительно, (х* ^)' = (х* • х)' = (х*У • X + х' • X* = Ах* ■ ‘ • X -I- 1 • X* = А • X* + X* = (А + 1)х*. То есть, если формула (2) выполняется при л = 2, то она выполняется и для следующего значения л = 3. Но тогда формула (2) выполняется и для следующего значения л = 4, а следовательно, и для л = 5 и т. д. для любого* натурального л > 1. Можно обосновать (см. с. 57), что формула (х")' = пх"'^ верна для любого действительного показателя степени п (но только при тех значениях х. при которых определена ее правая часть). • Например, если л = 1 или л = О, то при х ^ О эта формула также верна. Действительно, если х / О, то по формуле (2): (х‘)' = 1>х*-‘ = 1-х'>= 1. (х®)' = о • х®‘* = о, что совпадает со значениями производных функций х и 1, полученных в пункте 1.3. Если л — целое отрицательное число, то л = -т, где т — натуральное число. Тогда при х О __Л1-1 __т-1 (x")'=(x-")'=(^J = — о- (х-Г 2т = -т* = -Л1 • X ‘ = л *х * в приведенном обосновании фактически неявно использован метод математической индукции (см. учебник для 10 класса, § 8), который позволяет аргументированно сделать вывод, что рассмотренное утверждение выполняется для любого натурального л (в данном случае п > 1). § 4. Правила вычисления производных. Производная сложной функции 49 Следовательно, формула (2) выполняется и для любого целого показателя степени. Если п = ~, то при л: > О имеем =4х. Как известно из § 3, (Vx) ^ 2 2Vx / i\ t 1_1 1 -- 1 1 1 (при X > 0). Но по формуле (2): \х^) =~'Х^ ~о'^ —Т- То есть 2 2 ^ формула (2) верна и при п = О 2. Производная сложной функции. Сложной функцией обычно называют функцию от функции. Если переменная у является функцией от и: у = f (и), а ц, в свою очередь, функцией от х: и = и (х), то у является сложной функцией от X, то есть y = f{u (х)). В таком случае говорят, что у является сложной функцией независимого аргумента х, а и называют промежуточным аргументом. ____ Например, если y = f(u) = yfu, и = и (х) = х - 2, то у{х) - f{u{x)) = л/х - 2 — сложная функция, которая определена только при тех значениях х, для которых X - 2 > о, то есть при х > 2 (промежуточный аргумент и = х — 2). Правило 5 (производная сложной функции). Если функция и (х) имеет производную в точке х^, а функция f (и) — производную в точке и„ = и (Хд), то сложная функция у = f (и (х)) также имеет производную в точке Xq, причем {f(u(x))) =f'Ju) и'^(х). • Поскольку по условию функция и (х) имеет производную в точке х^, то она является непрерывной в этой точке (с. 31), и тогда малому изменению аргумента в точке Хд соответствуют малые изменения значений функции, то есть при Дх —> 0 Дц 0 (с. 30). Из равенства Аи = и (х^ -f- Дх) - и (Хд) имеем и (Хо -1- Дх) = и (Хд) -Ь Дц = Uo + Аи. Тогда А«/ = У (^0 + Дх) - у (Хо) = / (и (Хо -ь Дх)) - f (и (Хо)) = = /■ (и„ + Ди) - f (Uo) = Af. Дальнейшее доказательство проведем только для таких функций и (х), в которых Дц ^ о в некоторой окрестности точки Хц. При Аи Ф 0 представим — следующим образом: ^ = ^ = — Учитывая, что при Дх Дх Дх Ди Дх Дх —) о —^и'(х„) = и', а при Ди-Дх ■ 0 —f (Uf.) - f', получаем, что при Ди Дх что о (и соответственно Аи -^0) — = — • — f'-и'. Из этого следует, Дх Ди Дх 50 Раздел 1, ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ то есть Следовательно, производная сложной функции у = f (и (х)) равна произведению производной данной функции у = f (и) по промежуточному аргументу и (обозначается f') на производную промежуточного аргумента и = и(х) по независимому аргументу х (обозначается ц'). О Примеры решения задач Задача 1 Найдите производную функции; 1) у = + х^\ 2) у = х\2х + х^); 3) у = Решение <1 1) ► у' = (х^ + х^)' = (хО' + (д:®)' = = 7х® + Зх^ 2) ► у' = (х«(2х + х"))' = = (х®)' • (2х + X*) + (2х + х^У • X®. Учитывая, что (х®)' = 8х’, (2х + х^У = (2хУ + (х'У = 2 • х' + 4х® = = 2 + 4х®, имеем у = 8х^(2х + х^) + + (2 + 4х®)х« = 16х® + 8х" + 2х® 4-+ 4х" = 18х® 4- 12х". <1 3) ► У = х-^2 5-1 _ (х^2)'-(5-х)-(5-;сУ(д: + 2) (5-х)® Учитывая, что (х 4- 2)' = х' 4- 2' = = 1 4- о = 1, (5 - X)'= 5' - х' = = о - 1 = -1, имеем 1.(5-х)-(-1)-(х + 2) 5-Х + Х + 2 У = (5-х)' (5-х)' 7 (5-х)' Х4 2 5-х Комментарий Напомним, что алгебраическое выражение (формулу, задающую функцию) называют по результату последнего действия, которое необходимо выполнить при нахождении значения заданного выражения. Следовательно, в задании 1 сначала необходимо найти производную суммы: (и 4- II) ц 4- V, в задании 2 — производную произведения: (ып)' - а'о 4- U V, в задании 3 — производную частного: / и \ U *t> - ц U ' ,.2 ■ Также в заданиях 1 и 2 следует использовать формулу (х"У = лх'‘*‘, а в задании 2 учесть, что при вычислении производной 2х постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной. Можно заметно упростить решение задания 2, если сначала раскрыть скобки, а затем взять производную суммы. Задача 2 Вычислите значение производной функции У(х) = х®-5Тх в указанных точках: х = 4, х = 0,01. § 4. Правила вычисления производных. Производная сложной функции 51 Решение ^ f'(x) = {x^-5у/х) =(дг*) -5(л/х) = = 2х-5 1 5 5 Г(4) = 2-4- = 8-- = 6-. 2>/1 4 4 Г(0,01) = 2 0,01-- = 0,02- 2 0,1 = 0,02 - — = 0,02 - 25 = -24,98. 0,2 Ответ: 6-; -24,98. /l-2cosx; 8*) у = arcsin (logo , х). 54 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 11. Найдите производную функции f{x): 1) f (Jc) = - xf; 2) f (jc) = {2x - 1) ®; 3) = 4) f(x) = Jbx-x^; 5‘) fix) = л/зТЖ + — (2x -1)'* 12. Запишите уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой дго, если: 1) (МАИ) f (д:) = х^ + Зх, х^ = 2; 2) / {х) = х^-х,х^ = -3; 3) f(x) = yj2x-x^, Хд= 1; § 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Таблица 5 4){ВГУ) Пх) = 2х^-К Хо = -1. X с = 0 (с — постоянная) (хУ = 1 (дг")' = пх"-‘ 1^1 -7 (х^О) (л/д:) ^ 2 л/д (Х> 0) (sin х)‘ = cos X (cos х) = —sin д: agx)‘ = —^ cos X (ctgx)'= ^ sin X (е') = (а”)' = а* In а (о > 0, а — постоянная) (1пд:)' = - X (х>0) (х > 0, а > 0, а ^ 1, а — постоянная) (^)'=—■ л/ п I п yjx (на ОДЗ правой части формулы) Объяснение и обоснование Формулы с'= о (с — постоянная), (х)'=1, {х’')' = пх"~^, =—т* > 0) были обоснованы в § 3 и 4. 2 Vjc • Для обоснования формулы (sin х)' = cos х используем то, что при малых значениях а значения sin а = а (например, sin 0,01 == 0,010, sin 0,001 = 0,001). Тогда при а —> 0 отношение ^^^—>1, то есть а lira—= 1. (1)* а-.0 а Если у = f (х) = sin X, то, применяя формулу преобразования разности синусов в произведение и схему нахождения производной по определению (с. 36), имеем: * Справедливость этой формулы обоснована в п. 7.5. § 5. Производные элементарных функций 55 1) Ду = / (Хо + Ах) - f (Хо) = sin (Хо + Ах) - sin Хо = „ . д:„ + Лх-д:о зСо + Дзс + а:» „ . Дх / Дд:\ = 2 sin-2-------2-COS-2--------2- = 2 sin—cos х„ + — . 2 2 2 \ “ 2 / 28in^cos(x +^) sin — 2) ^ =2/._2_.cos &х Ах Ах 3) При Дх —> О ^-эО. Тогда cos -cos(Xo), учитывая (1) . Ах 8Ш — >1. Ах 2 Следовательно, при Дх -> О — —э 1 • cos х„ = cos х„, то есть f (х„) = cos Хп- Дх Тогда производная функции у = sin х в произвольной точке х равна cos х. Таким образом, (sin х)' = cos X. О Учитывая, что по формулам приведения cosx = sin|^-xj, cos|^-x| = sinx, и используя правило нахождения производной сложной функции, получаем: (cosx)' = |sin|^-xjj =cos|^-x||-|-xj =sinx-(0-l) = -sinx. Следовательно, (cos х) = —sin X. • Для нахождения производных tg х и ctg х используем формулы tgx = - О ctgx = ~:— и правило нахождения производной частного. Например, (tgx) _ I slnx \ _ (sinх) созX - (cosх)^ sinх _ cosхcosх -(-Binх)sinх _ С08Х/ 2 С08 X СОЗ^Х 2 . 2 COS x + sin X 2 COS X 2 COS X . Следовательно, (tg*) 2 • сое A* О Чтобы обосновать формулы производных показательных и логарифмических функций, используем без доказательства свойство функции е^, которое обосновывается в курсе высшей математики*: прои.зводная функции е-* равна самой функции е^, то есть (еЧ' = е’. * Напомним, что е — иррациональное число, первые знаки которого следующие: 6 = 2,71828182... . 56 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ • При а > О а" = функции: по основному логарифмическому тождеству имеем _gine* _gxino Тогда по правилу нахождения производной сложной (а^У = In а)' = In а, то есть (я'^У = п'In Г4. По полученной формуле мы можем найти значение производной показательной функции для любого значения х. Следовательно, показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, а значит, и непрерывна в каждой точке своей области определения (то есть при всех действительных значениях х). • Для логарифмической функции сначала найдем производную функции In X (принимая без доказательства существование ее производной). Область определения этой функции — х > О, то есть (0; -Ьоо). При х > 0 по основному логарифмическому тождеству имеем е'"* = х. Это равенство означает, что при х > 0 функции и х совпадают (это одна и та же функция, заданная на множестве (0; +оо)), а значит, совпадают и их производные. Используя для левой части равенства правило нахождения производной сложной функции, получаем: (ginxy _ (д^у. ginx jc)' = 1, то есть X (In х)' = 1. Отсюда 1пд: |1пх)' 1 (где X > 0). Поскольку log x = ^^ = -i—Inx, то Ino Ino (log x)' = (• In XI = • (In x)' = • - = —^. Следовательно, Una / ma Ina x xlna (log,, x)‘ =—^- (где X > 0, a > 0, a 1, a — постоянная), xln a ■j Отметим, что приведенные выше рассуждения, связанные с нахождением производной функции In X, можно обобщить и получить формулу для нахождения производной обратной функции. Пусть требуется найти производную функции у = f {х) при условии, что обратная ей функция х = g (у) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке. Дифференцируя равенство х = g (у) по х, имеем: 1 = g" iy)^y'. Учитывая, что по условию g' (у) Ф о, получаем у' = ——, то есть f'(x)=—— . gXy) 8 (у) Также в курсе математического анализа доказывается следующее утверждение, которое мы примем без доказательства. Если функция X = g (у) возрастает (или убывает) на интервале (а; Ъ) и имеет не равную нулю производную g' {у) в произвольной точке у этого интервала, то обратная ей функция у — f {х) также имеет производ- § 5. Производные элементарных функций 57 ную f (х) в соответствующей точке (х = g (у)), определяемую равенством f'(x) = -^ (то есть у'^=\). g\y) X, Замечание. Формула (х^) = пх" была обоснована в § 4 только для целых значений п. Докажем, что она выполняется и при любых действительных значениях п. • Если п — любое нецелое число, то функция х" определена только при X > 0. Тогда по основному логарифмическому тождеству х" = е'”*" = По правилу вычисления производной сложной функции получаем: (х")' = (е'""*)' = е"‘"*(л 1пхУ = х" • л (1пх)' = х" ■ п ~ = лх"'’. О X Следовательно, далее формулой (х")' = лх" ‘ * можно пользоваться при любых действительных значениях л (напомним, что в этом случае ее можно использовать только при тех значениях х, при которых определена ее правая часть). Опираясь на полученный результат, обоснуем также формулу nf п -П \Х (2) которую можно использовать при тех значениях х, при которых определена ее правая часть. • Если л — четное число, то ОДЗ правой части формулы (2): х > 0. Но при этом условии 1 , 1 • ,1-я , I--- , I/, , (3) п п п ПУ\х/ _ г/,.я-1 Если л — нечетное число, то ОДЗ правой части формулы (2) задается условием: х Ф 0. При х > 0 остается справедливым равенство (3). При х < 0 учтем, что Vx =-yf^ и -х > 0, а также то, что при нечетном л число 1 - л будет четным (поэтому (-1)‘‘"= 1). Тогда )' = i-4^)' = (-(-д:)«) = -i(-x)"’’(-x)' = -{-х)~^ = 1 = п п п Следовательно, и для нечетного л при всех х Ф Q формула (2) также выполняется. О Обратим внимание, что в последнем случае такие громоздкие преобразо- 1 вания пришлось выполнить вследствие того, что при х < 0 выражение х“ 1 не определено, а выражение (-х)" существует, поскольку -х > 0 при х < 0. 58 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Примеры решения задач Задача 1 Найдите производную функции: 1) /(x) = sin^x + «2; 2) f(x) = Решение 1пдг 1) ^ rW = (sin^x + e2) = = (sin^x) +(е*) = = 2sinA:(sinx)' + e2|^| = 1 - 1 - = 2sinxcosx + -e2 =sin2x + -e2,^ 2 2 <1 _ (1пд:)'- совЗх-(созЗх)'- Injr _ (созЗдг)^ — • cos 3jc - (- sin ЗхКЗх)' • In x _ X__________________________ 2 ■ cos 3x _ cos3x + 3x • sln3x' Inx “ 2 xcos 3x cos3x Комментарий Последовательно определим, от какого выражения берется производная (ориентируясь на результат последнего действия). В задании 1 сначала берется производная суммы: (и г) = и + п . Затем для каждого из слагаемых используется правило вычисления производной сложной функции: берется производная от и е“ и умножается на и'. Полученный результат желательно упростить по формуле: 2 sin X cos X = sin 2х, В задании 2 сначала берется про- f i и \ и V 1' U. изводная частного: - =-------s—, ■ •' ' L'" а для производной знаменателя используется правило вычисления производной сложной функции (производная cos и умножается на и'). Задача 2 Найдите значения х, при которых значение производной функции f(x) = x~ln2x: 1) равно нулю, 2) положительно, 3) отрицательно. Решение ► Область определения данной функции: X > О, то есть (0; -1-оо). f'(x) = х' -(In2х)' = 1 -. (2х)' = 1 -i. 2х X Область определения функции f' (х): X 0. То есть производная f (х) существует на всей области определения данной функции: х > 0. Г(х) = 0, l-i = 0, х = 1 Комментарий Производная данной функции может существовать только в точках, входящих в область определения функции. Поэтому сначала целесообразно найти область определения данной функции. Производная функции сама является функцией от X, и поэтому для решения неравенств f' (х) ^ 0 можно использовать метод интервалов. § 5. Производные элементарных функций 59 (удовлетворяет условию х > 0). При дг > о неравенства f (х) > 0, то есть 1-->0, и f {х) < О, то есть X 1 - - < О, решим методом интервалов X (рис. 26): Ответ: I) f {х) = О при х = 1; 2) f' (дс) > О при X 6 (1; +оо); 3) f (х) < О при X € (0; 1). ^ После нахождения ОДЗ соответствующего неравенства необходимо сопоставить ее с областью определения функции /(х) и продолжать решение неравенства на их общей части. Следовательно, неравенства f (х) ^ о всегда решаются на общей части областей определения функций f (х) и /' (х). Для решения соответствующих неравенств достаточно на общей области определения функций f (х) и f (х) отметить нули f' (х) и найти знак f (х) в каждом из промежутков, на которые разбивается общая область определения. Задача 3 Найдите уравнение касательной к графику функции у = хе* в точке Xq = 1. Решение ► Если / (х) = хе', то fix,,) =/(1) = е. /' (х) = х' • + (е^У • X = е* + хе*. Тог- да f' (Хд) = /' (1) = 2е. Подставляя эти значения в уравнение касательной y = f (JCq) + f' - ДСо). получаем: I/ = е + 2е (х - 1). То есть у = 2ех - е — искомое уравнение касательной. О, если: 1°) f (X) = е*^ - х; 2°) f (х) = 2х - In х; 3)/(х) = х1пх; 4)/(х) = (1 - х)е **. 13. Найдите значения х, при которых значение производной функции f (х): а) равно нулю, б) положительно, в) отрицательно. 1)/(х) = х*1пх; 2)/(х) = х*-3 1пх; 4) Пх) = у1^1пх. 14 (МАИ). Запишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х,, если: 3) /(х) = ^; X § 5. Производные элементарных функций 61 1) f (х) = cos X, Хд = 7; 4 2)f(x) = tg 2х, Хо=- 3) f(x) = e^ +е Xq = 0; 4) /(х) = In х - х, х^ = 1. Найдите абсциссы х^ точек графика функции у = f (х), в которых касательная к нему образует угол ф с положительным направлением оси Ох: 1) f (х) = sin 2х, ф = 0°; 2) f (х) = In 2х, ф = 45°; 3) f (х) = ф = 135°. (МГУГиК). Найдите уравнение касательной к графику функции /(х) = которая параллельна прямой у = 5х - 8. 17* (МГУГиК). Найдите уравнение касательной к графику функции 15 16* Пх) которая параллельна прямой г/ = Зх -f 17. 62 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ § 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ 6.1. Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции и экстремумов функции Таблица 6 Достаточное условие возрастания функции Достаточное условие убывания функции У‘ уЧур(^ У‘ 1 0° < а < 90° ^ 1 i Г (^о) = tg а > 0 90° < а < 180° I 1 f (Xq) = tg а < 0 > 1 1 ф -1. .ф > ! 1 1 ^\г\« 0 О Xq Ъ X 0 а Xq ь ^ X 1. Монотонность и постоянство функции Если в каждой точке интервала (о; Ь) f (д:) > О. то функция / (дг) возрастает на этом интервале. Если в каждой точке интервала (а; Ь) f (х) < О, то функция / (.V) убывает на этом интервале. Необходимое и достаточное условие постоянства функции y-f(x) ь X Функция f (д:) постоянна на интервале (а; Ь) тогда и только тогда, ког.ца /' (дг) О во всех точках этого интервала. 2. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции Точки максимума Точки минимума Точка Xq из области ощжделения функции f (х) называется точкой максиму ма этой функции, если найдется такая 5-окрестность (Хо - 5; Хо + 5) точки Xq, что для всех х^ХдИЗ этой окрестности выполняется неравенство 5 I 5 Хо Точка Х(, из области определения функции f (х) называется точкой минимума этой функции, если найдется такая 5-окрестность (Хо - 5; Xq + 5) точки Xq, что для всех X* XqH3 этой окрестности выполняется неравенство § б. Применение производной к исследованию функций 63 Продолж. табл. 6 f (х)< f (х„) точка максимума f (х)> f (.v„) точка минимума Точки максимума и минимума на.зываются точками экстремума Значения функции в точках максимума и минимума называются экстремумами {максимумом и минимумом) функции = f (-^max) = f (^о) — максимум ymin = f (^mln) = f (^o) — минимум 3. Критические точки Определение Пример Критическими точками функции называются внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю* или не существует. f(x) = x^-12x (£>(Л = Д). f (х) = - 12 — существует на всей области определения. f (х) = О при Здс^ - 12 = О, д:^= 4, д: = +2 — критические точки. 4. Необходимое и достаточное условия экстремума Необходимое условие экстремума Доааточное условие экстремума В точках экстремума производная функции f (х) равна нулю или не существует д;„ — точка экстремума функции f(x) Если функция f (д:) непрерывна в точке Хд и производная f (д:) меняет знак при переходе" через точку Хд, то Хд — точка экстремума функции f (х) Г {Хд) = О или /■'(.г,,) — не существует В точке д:„ знак f (х) меняется с «-)->> на <<—♦ (но не в каждой точке Хд, где f {Хд) = О или /' (Xfl) не существует, будет экстремум) В точке Х(, знак f (х) меняется с «—♦ на «+» максимума Хц — точка минимума * Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, также называют стационарными точками. ** Имеется в виду переход через точку Хд при движении слева направо. 64 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 6 5. Пример графика функции у = f (х), имеющей экаремумы {х^, х^, х^, х^, х^ ■ ___________ критические точки) /' = 0 не существует Поведение f(х) min тш' 6. Исследование функции у = f (х) на монотонность и экстремум Схема Пример; у = f{x) = Зх®- 5х® + 1 I. Найти область определения функции. Область определения: D(f ) = R. 2. Найти производную f (х). f'(x) = 15Х" - 15x2= 15x2 (х2 _ 1) ^ = 15х2(х- 1)(х + 1). 3. Найти критические точки, то есть внутренние точки области определения, в которых f (х) равна нулю или не существует. f (х) существует на всей области определения. f (х) = о при х = 0, х = 1,х = —1. * Знаком «/"» обозначено возрастание функции, а знаком — ее убывание на соответствующем промежутке. § 6. Применение производной к исследованию функций 65 Продолж. табл. 6 •1. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область опрелелевия. 5. Определить относительно каждой критической точки, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума. Знак f (x)~f --- lllOA V V ГМ/ хч , ч 6. Записать результат исследования {промежутки монотонности и экстремумы). f (х) возрастает на каждом из промежутков: (-оо; -1] и [1; + оо)*; f{x) убывает на [-1; 1]. Точки экстремума: J^n«x= -1; ^mi„= 1- Экстремумы: Объяснение и обоснование 1. Монотонность и постоянство функции. Критические точки функции. Производная является важным инструментом исследования функции. В частности, с помощью производной удобно исследовать функцию на монотонность (то есть на возрастание и убывание). Напомним, что функция f (л:) называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых х, и из этого множества из условия х^ > дг, следует, что f {х^) > f {xj. Функция f {х) называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции, то есть для любых x^ и Х2 из этого множества из условия Х2 > X^ следует, что f {х^) < f (Xj). Как видно из рисунка 27, а, в каждой точке графика возрастающей функции касательная образует с положительным направлением оси Ох или острый угол а (тогда f (х^) = tg а > 0), или угол, равный нулю (тогда f (х,) = = tg о = 0)). А в каждой точке графика убывающей функции (рис. 27, б) касательная образует с положительным направлением оси Ох или тупой угол а (тогда f' (Хд) = tg а < 0), или угол, равный нулю (тогда f (х,) = tg 0 = 0)). Как отмечается на с. 70, поскольку функция /(х) непрерывна (например, вследствие того, что она дифференцируема на всей области оцределения), то точки -1 и 1 можно включить в промежутки возрастания и убывания функции. 66 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Следовательно, если на каком-нибудь интервале функция f (лг) дифференцируема и возрастает, то f (лс) > О на этом интервале: если на каком-нибудь интервале функция f (лг) дифференцируема и убывает, то f (х) < О на этом интервале. Но для решения задач на исследование свойств функций важными являются обратные утверждения, которые позволяют по знаку производной выяснить характер монотонности функции. Для обоснования соответствующих утверждений воспользуемся так называемой формулой Лагранжа, строгое доказательство которой приводится в курсе математического анализа. Здесь мы ограничимся только ее геометрической иллюстрацией и формулировкой. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; б] и дифференцируема во всех точках интервала (а; Ь). Тогда на этом интервале найдется такая точка с, в которой касательная I к графику функции f (х) в точке с абсциссой с будет параллельна секущей АВ, проходящей через точки А (а; / (о)), В (Ь; f (Ь)) (рис. 28). Действительно, рассмотрим все возможные прямые, которые параллельны секущей АВ и имеют с графиком функции / (х) на интервале (о; Ь) хотя бы одну общую точку. Та из этих прямых, которая находится на наибольшем расстоянии от секущей АВ, и будет касательной к графику функции f (х) (это как раз и будет предельное положение секущей, параллельной АВ). Если обозначить абсциссу точки касания через с, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем f' (с) = tg а, где а — угол между прямой I и положительным направлением оси Ох. Но I II АВ, поэтому угол а ра- § 6. Применение производной к исследованию функций 67 вен углу наклона секущей АВ к оси Ох (который, в свою очередь, равен углу А прямоугольного треугольника ABD с катетами: AD = Ь - а, BD = f(b) - f (а)). Тогда Пс) = = ^ = AD b-a Таким образом, можно сделать вывод: если функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема во всех точках интервала (а; Ь), то на интервале (о; Ь) найдется такая точка се (а; Ь), в которой Эта формула называется формулой Лагранжа. Теперь применим эту формулу для обоснования достаточных условий возрастания и убывания функции. ■ 1. Если f(x) > О в каждой точке интервала (о; Ь). то функция f (jc) возрастает на этом интервале. ■ 2. Если f (х) < О в каждой точке интервала (а; Ь), то функция f (х) убывает на этом интервале. • Возьмем две произвольные точки х, и х^ из заданного интервала. По формуле Лагранжа существует число се (х,; х^) такое, что /(*2)-f(*i = Г(с). Число с принадлежит заданному интервалу, поскольку ему принадлежат числа X, и Хг. Пусть х^ > х,, тогда Х2~ х, > 0. Если f' (х) > о в каждой точке заданного интервала, то f (с) > 0 и из равенства (1) получаем, что f (Xj) - f (х,) > 0, то есть f (Хг) > f (х,). Из этого следует, что функция f (х) возрастает на заданном интервале. Если f (х) < о в каждой точке заданного интервала, то f (с) < 0 и из равенства (1) получаем, что / (х^) - / (х,) < 0, то есть f (Xg) < f (х,). Из этого следует, что функция f (х) убывает на заданном интервале. О Задача 1 Функция / (х) = х® + х определена на всем множестве действи- тельных чисел (х е R) и имеет производную f (х) = Зх^ + 1 > 0 при всех значениях х. Следовательно, эта функция возрастает на всей области определения. Задача 2 Функция g (х) = sin х - Зх определена на всем множестве действительных чисел (х е й) и имеет производную g' (х) = cos X — 3. Поскольку -1 < cos X < 1, то cos X - 3 < о при всех значениях х. Следовательно, эта функция убывает на всей области определения. Заметим, что в курсе 10 класса (§ 27) мы без доказательства приняли, что при X > о функция у = х“, где а — дробное число, возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Обоснуем это. Действительно, у' = (х“)' = ах“*’. Тогда при X > о и а > о значение у > 0, следовательно, функция у = х^ возрастает, а при X > о и а < о значение у' < 0, следовательно, функция у = х'‘ убывает. 68 Раздел! ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Достаточные условия возрастания и убывания функции имеют наглядную физическую иллюстрацию. Пусть по оси ординат движется точка, которая в момент времени t имеет ординату y = f{t). Учитывая физический смысл производной, получаем, что скорость этой точки в момент времени t равна f' (t). Если f {t) > О, то точка движется в положительном направлении оси ординат и с увеличением времени ордината точки увеличивается, то есть функция возрастает. Если же f (t) < О, то точка движется в отрицательном направлении оси ординат и с увеличением времени ордината точки уменьшается, то есть функция убывает. Отметим, что в случае, когда f' (t) = О, скорость точки равна нулю, то есть точка не движется, и поэтому ее ордината остается постоянной. Получаем условие постоянства функции. Функцнм Цх) является шктоянной па интервале (а; Ь) кзгда и только тогда, когда f'(x) = О во всех точках этого интервала. • Действительно, если f (х) = k (где k — постоянная), то f (jc) = 0. Наоборот, если f' (дс) = 0 во всех точках интервала (а; Ь), то зафиксируем некоторое число Хд из этого интервала и найдем значение функции в точке Хд (пусть f (х^) = k). Для любого числа х из заданного интервала по формуле Лагранжа можно найти такое число с, которое содержится между X и Хд, что ДГ-Хо Тогда f(x)-f (Хд) = f (с) (х - Хд). Поскольку с 6 (а; Ь), то по условию /' (с) = 0. Следовательно, f(x) - f (х„) = 0. Таким образом, для всех х из заданного интервала f (х) = f (х^) = к, то есть функция f(x) является постоянной. Замечание. В случае, когда функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] U f (х) = о во всех точках интервала (а; Ь), при приближении значения х к точке а справа значение f {х) ^ f (а). Но f (х) = к, тогда и f(a) = k (аналогично обосновывается и то, что при приближении значения х к точке Ь слева f (Ь) = к). Следовательно, в этом случае функция f (х) является постоянной на отрезке [а; 6]. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо решить неравенства /' (х) > 0 и f (х) < 0 на области определения функции / (х). Поскольку f (х) также является функцией переменной х, то для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, которое основывается на утверждении, называемом в курсе математического анализа теоремой Дарбу*; точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции fix) на промежутки, в каждом из которых f' (х) сохраняет постоянный знак. * Дарбу Жан Гастон (1842-1917) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие дифференциальной геометрии, интегрального исчисления и механики. § 6. Применение производной к исследованию функций 69 Отметим, что внутренние* точки области определения функции, в которых ее проитвод-пая равна нулю или не существует, называются критическими точками зтон функции. Исходя из плана решения неравенств методом интервалов (с. 21), получаем, что промежутки возрастания и убывания функции f (зс) можно находить по схеме: 1. Найти область определения функции f (д:). 2. Найти производную f'(x). 3. Выяснить, в каких внутренних точках области определения функции производная f' (х) равна нулю или не существует (то есть найти критические точки этой функции). 4. Отметить найденные точки на области определения функции f {х) и найти знак f (д:) в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения функции (знак можно определить, вычислив значение f (д:) в любой точке промежутка). Задача 3 Исследуем функцию f {х)~ х? - Zx на возрастание и убывание. ► 1. Решение Область определения данной функции — все действительные числа: D(f) = R. 2. Производная f (д:) = - 3. 3. Производная существует на всей области определения функции; f (х) = О, если Зх^- 3 = О, то есть при х = 1 или х = -1. 4. Решаем неравенства f (х) > О и f' (х) < О на области определения функции f (х) методом интервалов. Для этого отмечаем точки 1 и (-1) на области определения функции /(х) и находим знак f' (х) в каждом из полученных промежутков (рис. 29). Учитывая достаточные условия возрастания и убывания функции, получаем, что в тех интервалах, где производная положительна, функция /(х) возрастает, а в тех интервалах, где производная отрицательна, функция f (х) убывает. Следовательно, функция f (х) возрастает на каждом из интервалов (-оо; -1) и (1; -Ьоо) и убывает на интервале (-1; 1). <3 График функции у = х’ - Зх изображен на рисунке 30. При построении графика учтено, что f (-1) = 2 и / (1) = -2. Из графика видно, что функция / (х) = X®- Зх возрастает не только на интервалах (-схэ; -1) и (1; +схз), но и на промежутках (-оо; -1] и [1; +оо), и убывает не только на интервале (-1; 1), но и на отрезке [-1; 1]. Внутренней точкой множества называется точка, которая принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. 70 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ У‘ If -2 -1 0 •Г ' \т ‘ / V Рис. 30 Отметим, что когда функция f (х) непрерывна в любом из концов промежутка возрастания (убывания), то его всегда можно присоединить к этому промежутку (как точки -1 и 1 в предыдущей задаче). Примем это утверждение без доказательства. 2. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции. На рисунке 30 изображен график функции у = - Ъх. Рассмотрим окрестность точки х = -1, то есть произвольный интервал, содержащий точку -1 (например, 5-окрестность этой точки). Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки х = -1, что наибольшее значение для точек из этой окрестности функция 7 (Jc) = л:® ~ Зд; принимает в точке X = -1. Например, на интервале (-2; 0) наибольшее значение, равное 2, функция принимает в точке х = -1. Точку х = -1 называют точкой максимума этой функции и обозначают а значение фyнкщ^и в этой точке /(-1) = 2 называют максимумом функции. Аналогично точку д: = 1 называют точкой минимума функции f (дс) = х^ — Зд;, поскольку значение функции в этой точке меньше, чем ее значение в любой точке некоторой окрестности точки 1, например окрестности (0,5; 1,5). Обозначают точку минимума а значение функции в этой точке / (1) = -2 называют минимумом функции. (Латинское слово maximum — максимум — означает «наибольшее», а minimum — минимум — «наименьшее».) Точки максимума и минимума функции еще называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называют экстремумами функции (от латинского слова extremum — экстремум, что означает «крайний»). Приведем определения точек максимума и минимума. Точка .Тд из области опреде.тенмя функции f (дг) называется точкой максимума этой функции, если найдется б-окрестность (х„ — 5; -I- 5) точки дг„, такая, что для всех х * х^ из .этой окрестности выполняется неравенство f (х)< f (дс„). Точка дг„ из области опре.деления функции f (х) называется точкой минимума этой функции, если найдется 5-окрестность (х„— 5; х„ •+• 5) точки х„. такая, что для всех х# х^,из этой окрестности выполняется неравенство f {х)> f (х„). По определению значение функции f (х) в точке максимума х,, является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции f (х) в окрестности точки х^ чаще всего имеет вид гладкого «холма» (рис. 31, а), но может иметь и вид заостренного «пика* (рис. 31, б). В точке максимума также может быть изолированная точка графика (понятно, что в этом случае функция не будет непрерывной в точке Хд), в которой достигается наибольшее значение функции для некоторой окрестности точки х„ (рис. 31, в). § 6. Применение производной к исследованию функций 71 Рис. 31 Аналогично значение функции f (д:) в точке минимума является наименьшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции f (х) в окрестности точки обычно имеет вид «впадины», гладкой (рис. 32, а) или заостренной (рис. 32, б). В точке минимума также может быть изолированная точка графика, в которой достигается наименьшее значение функции для некоторой окрестности точки (рис. 32, в). Замечание. По определению точки экстремума — это такие точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение по сравнению со значениями этой функции в точках некоторой окрестности экстремальной точки. Такой экстремум обычно называют локальным экстремумом (от латинского lokalis, что означает «местный»). Например, на рисунке 30 изображен график функции у = х^ - Зх, которая имеет локальный максимум в точке х^„ = -1 (j/^, = 2) и локальный минимум в точ-1 (f/min ~ ~2), но, как ВИДНО ИЗ графика, на всей области определения эта функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 3. Необходимое и достаточное условия экстремума. При исследовании функции и построении ее графика важное значение имеет нахождение точек экстремумов функции. Покажем, что точками экстремума могут быть только критические точки функции, то есть внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. 72 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ■ Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если является точкой экстремума функции f (дс) и в этой точке существует производная f то она равна нулю: f (дСц) = 0. • Докажем это утверждение методом от противного. Пусть дг, является точкой экстремума функции / (х) и в этой точке существует производная f (Xq). Допустим, что f (Xq) 0. Рассмотрим случай, когда f (Xq) > 0. По определению производной при Хд (то есть при Дх—> 0 ) отношение —Hfo) стремится к hX X- Хп поло- жительному числу f (Хо), следовательно, и само будет положительным при всех X, достаточно близких к Хд. Для таких х Тогда при X > Хо получаем, что f (х) > f (х^), и, значит, точка х, не может быть точкой максимума. При X < Хд получаем, что f (х) < f (х„), следовательно, точка х^ не может быть точкой минимума. То есть точка х^ не может быть точкой экстремума, что противоречит условию. Аналогично рассматривается и случай, когда f (х^) <0,0 Отметим, что теорема Ферма дает только необходимое условие экстремума: из того, что f' (Xj) = О, не обязательно следует, что в точке х^ функция имеет экстремум. Например, если f (х) = х^, то f (х) = Зх^ и f (0) = 0. Но точка X = О не является точкой экстремума, поскольку функция х® возрастает на всей числовой прямой (рис. 33). Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции у = / (х) в точке с абсциссой х„ (где х^ — точка экстремума функции) параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней), и поэтому ее угловой коэффициент f (Хд) равен нулю (рис. 34). Обратим внимание, что в точке с абсциссой х^ = О к графику функции у = х^ также можно провести касательную: поскольку f (0) = О, то этой касательной является ось Ох. Но графики функций, приведенные на рисунках 33 и 34, по-разному расположены относительно касательных. На рисунке 34, где Xq и X, — точки экстремума, можно указать окрестности этих точек, для которых соответствующие точки графика располагаются по одну сторону от касательной, а на рисунке 33 график функции у = х® при переходе аргумента через точку х^, = О (в которой производная равна нулю, но которая не является точкой экстремума) переходит с одной стороны касательной на другую, В этом случае точку х, называют точкой перегиба' функции. Функция может иметь экстремум и в той критической точке, в которой не существует производная данной функции. Например, как было показано * Более детально о точках перегиба см. на с. 154. Отметим, что в точке перегиба производная не обязательно должна быть равна нулю. § б. Применение производной к исследованию функций 73 на с. 39, функция у = \х \ не имеет производной в точке х = О, но, как следует из ее определения (и как видно из графика — рис. 35), именно в этой точке функция имеет минимум. Рис. 35 Отметим, что не каждая критическая точка, в которой не существует производная данной функции, будет точкой экстремума этой функции. Например, функция / (д:) = Зд: -Н IX I не имеет производной в точке д: = 0: график имеет излом при д: = 0 (рис. 36). Действительно, если допустить, что функция 7 (^) = Зх 1 д: 1 имеет производную в точке 0, то функция / (х) - Зх также должна иметь производную в точке 0. Так как /(х) - Зх = | х |, а функция | х | не имеет производной в точке 0, значит, функция f (х) - Зх не имеет производной в точке 0, то есть мы пришли к противоречию. Следовательно, функция f (х) в точке о производной не имеет. Но, как видно из рисунка 36, функция f (х) возрастает на всей числовой прямой и экстремума не имеет. Приведенные соображения и примеры показывают, что для нахождения точек экстремума функции необходимо прежде всего найти ее критические точки. Для выяснения того, является ли соответствующая критическая точка точкой экстремума, необходимо провести дополнительное исследование. Этому часто помогают достаточные условия существования экстремума в точке. I Теорема 1 (признак максимума функции). Если функция f (х) непрерывна в точке Xq и при переходе через точку х^ ее производная меняет знак с плюса на минус (то есть в некоторой 5-окрестности точки Хд при X < Хд значение f'{x) > 0, а при х > Хд значение f' (х) < 0), то точка Хд является точкой максимума функции f (х). • Рассмотрим заданную 5-окрестность точки Хд, то есть интервал (х^ — 5; Xq + 5). По условию производная f (х) > 0 на интервале (Хд - 5; х,,) (при х < х,,). 74 Раздел]. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Таким образом, функция / (х) возрастает на этом интервале, а учитывая непрерывность f (х) в точке х^, функция f (х) возрастает и на промежутке (Хо~ 5; х„]. Тогда для всех х из интервала (Хц- 5; х„) имеем х < х^, следовательно, f (Х) < f (Хц). Аналогично по условию производная f (х) < О на интервале (x„; х^ + 5) (при X > Хд). Следовательно, функция f (х) убывает на этом интервале, а учитывая непрерывность f (х) в точке Хд, функция f (х) убывает и на промежутке [х^; х„ + 5). Тогда для всех х из интервала (х^; Хд + 5) имеем X > Хд, следовательно, / (х) < / (Хд) . Таким образом, f (х) < f (Хд) для всех X * ХдИЗ некоторой б-окрестности точки Хд, а это и означает, что точка Хд является точкой максимума функции f{x). IТеорема 2 (признак минимума функции). Если функция f (х) непрерывна в точке Хд и при переходе через точку Хд ее производная меняет знак с минуса на плюс (то есть в некоторой 6-окрестности точки Хд при X < Хд значение f (х) < О, о при х > Хд значение f' (х) > О), то точка Хд является точкой минимума функции f (х). Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 1 (предлагаем провести его самостоятельно). Теоремы 1 и 2 дают возможность сделать такой вывод: если функция f (х) непрерывна в точке Хд и производная f' (х) меняет знак при переходе через точку Хд, то Хд — точка экстремума функции f (х). Если же функция f (х) непрерывна в точке Хд и ее производная f (х) не меняет знак при переходе через точку Хд, то точка Хд не может быть точкой экстремума функции. • Действительно, если, например, f (х) > О на интервале (Хд- б; Хд) и на интервале (Хд; Хд б), то функция возрастает на каждом из этих интервалов. Учитывая ее непрерывность в точке Хд (см. доказательство теоремы 1), получаем, что для всех х 6 (Хд - б; Хд) выполняется неравенство f (х) < < f (Хд) и для всех X € (Хд; Хд б) выполняется неравенство f (Хд) < f (х). Это означает, что на всем промежутке (Хд - б; Хд -f б) функция f (х) возрастает и точка Хд не является точкой экстремума. Аналогично рассматривается и случай, когда f (х) < О на рассмотренных интервалах. О Замечание. Приведенное обоснование позволяет уточнить условия возрастания и убывания функции. Если f (х) > О в каждой точке интервала (а; Ь), причем уравнение f (х) = О имеет только конечное {или счетное’) множество корней, то фyнкцuяf (х) возрастает на этом интервале. Если f' (х) < О в каждой точке интервала (о; Ь), причем уравнение f' (х) = О имеет только конечное {или счетное) множество корней, то функция f (х) убывает на этом интервале. * Счетность множества означает, что мы можем установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, то есть можем указать, как занумеровать все элементы множества. § 6. Применение производной к исследованию функций 75 Для практического исследования функции на экстремумы можно использовать уточненный вариант схемы, приведенный на с. 69, а именно: 1. Найти область определения функции. 2. Найти производную f' (х). 3. Найти критические точки ("то есть внутренние точки области определения, в которых f' (х) равна нулю или не существует). 4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения. 5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума. Пример применения этой схемы к исследованию функции на экстремум приведен в таблице 6 (с. 64) и в задаче 2, рассмотренной далее. Задача 1 Примеры решения задач Функция у = f (х) определена на промежутке (-7; 8). На рисунке 37 изображен график ее производной. 1) Укажите промежутки возрастания и убывания функции f (х). 2) Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума, а какие не являются точками экстремума. Рис. 37 Решение 1) ► Из графика имеем, что /' (х) > О на промежутках (-4; 2) и (6; 8), следовательно, /(х) возрастает на этих промежутках. Аналогично Г{х) < О на промежутках (~7; —4) и (2; 6), следовательно, / (х) убывает на этих промежутках. Комментарий 1) Как известно, на тех промежутках, где производная функции положительна, функция возрастает, а на тех промежутках, где производная отрицательна, — убывает. 76 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Поскольку в точках -4, 2 и 6 существует производная f (х), то функция f (х) непрерывна в этих точках и поэтому эти точки можно включить в промежутки возрастания и убывания функции. Ответ: f (х) возрастает на промежутках [-4; 2] и [6; 8) и убывает на промежутках (-7; -4] и [2; 6]. <\ 2) ► Производная f'{x) существует на всей области определения функции / (х) и равна нулю в точках -4, 2 и 6. Это внутренние точки области определения, следовательно, критическими точками будут только точки -4, 2 и 6. Поскольку производная существует на всей области определения функции, то функция непрерывна в каждой точке области определения. В точках -4 и 6 производная меняет знак с ♦-» на *+*, следовательно, это точки минимума. В точке 2 производная меняет знак с ♦+» на ♦-», следовательно, это точка максимума. Ответ: = -4, х^^^^ = 6, Поэтому по графику выясняем промежутки, в которых производная положительна и в которых — отрицательна. Это и будут промежутки возрастания и убывания функции. 2) Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Из графика видно, что производная f (д:) существует на всей заданной области определения. Следовательно, критическими точками будут только те значения X, при которых производная равна нулю. Для определения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума: если в критической точке функция непрерывна и ее производная меняет знак с плюса на минус, то эта критическая точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс — точкой минимума. X =2. max • 25 Задача 2 Для функции f(x) = x-t-— найдите промежутки монотонности, X точки экстремума и значения функции в точках экстремума. Решение Комментарий ► 1. Область определения, D (f): \ Исследовать функцию на моно-х*0,то есть (-оо; 0) U (0; -Нсхз). i тонность и экстремум можно по схе- 2. Г(х) = х'-\-25\^] =1-Щ. ме: 1. Найти область определения функции. 3. Производная существует на всей 2. Найти производную f' (х). области определения функции j з_ Найти критические точки (то f (^)- есть внутренние точки области f'(x) = 0. Тогда 1—2“®’ следо- определения, в которых f (х) рав- 2 ос на нулю или не существует). вательно, х^=25, то есть х= 5 " " ' и х = -5 — критические точки. § 6. применение производной к исследованию функций 77 4. Отмечаем критические точки иа области определения функции f (х) и находим знак f (х) в каждом из полученных промежутков (рис. 38). Знак f (х) Поведение Пх) ^ Рис. 38 Получаем, что функция f(x) возрастает на промежутках (-оо; -5] и [5; -1-оо) и убывает на промежутках [-5; 0) и (0; 5]. В точке -5 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума; в точке 5 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. То есть х„„ = -5, х„,„ = 5. Тогда = 7(-5) = -10, Уып = / (5) = 10. <] 4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения. 5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума. Функция непрерывна в каждой точке области определения (она дифференцируема в каждой точке области определения), и поэтому, записывая промежутки возрастания и убывания функции, критические точки можно включить в эти промежутки. Для выяснения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума. Замечание. Результаты исследования функции на монотонность и экстремумы удобно фиксировать не только в виде схемы, изображенной на рисунке в решении задачи 2, но и в виде специальной таблицы такого вида: X (-оо; -5) -5 (-5; 0) (0; 5) 5 (5; -(-оо) Г{Х) -1- 0 - - 0 + f(x) -10 10 шах min Задача 3* Для заданной функции найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции: 1) f (л) = X® - 12 I X 11; 2) ф (х) = 4 cos х - cos 2х. Комментарий Для исследования заданных функций снова используем схему, приведенную на с. 75. В задании 1 используем определение модуля и отдельно найдем производную при X < -1 и при X > -1. А чтобы выяснить, существует ли производная /'(х) при X = -1, попытаемся найти значения /'(-1) по формулам (1) и (2), 78 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ приведенным далее в решении, и сравнить их*. Чтобы найти точки, в которых f (х) = О, приравняем к нулю значения производной f (х) при х < -1 и при д: > -1 и учтем соответствующие ограничения для д:. В задании 2 учтем, что уравнение ф' (х) = О — это тригонометрическое уравнение, имеющее бесконечное множество корней, то есть функция ф (х) имеет бесконечное количество критических точек. Поэтому отметить все критические точки на области определения функции (как это предлагается в схеме исследования функции) мы не в состоянии. В таком случае можно попытаться непосредственно использовать достаточные признаки возрастания и убывания функции (то есть решить неравенства ф' (х) > О и ф' (х) < 0) или в случае, когда функция ф' (х) является периодической, провести исследование поведения ф' (х) на одном периоде, а затем результат повторить через период. Обратим внимание, что в случае, когда ф' (х) определена на всем периоде и мы знаем промежутки, где выполняется неравенство ф' (х) > 0, и точки, где выполняется равенство ф' (х) = 0, для всех остальных точек периода обязательно будет выполняться неравенство ф' (х) < 0. Решение 1) ► Область определения: D(f ) = R. Запишем заданную функцию так: f(x) = х®-12х-12прих>-1, X® + 12х + 12при х<-1. Тогда Пх) = Зх^ -12 при х>-1. (1) Зх^+12прих<-1. (2) Производная f (х) не существует в точке х =-1, поскольку значения /'(-1), вычисленные по формулам (1) и (2), разные (-9 ^ 15), следовательно, X = -1 — критическая точка функции f (х). Значение f (х), вычисленное по формуле (2), не может равняться нулю (Зх^+ 12 * 0). Для формулы (1) имеем Зх“- 12 = о, то есть х= 2 и х= -2, но, учитывая условие х> -1, получаем, что только х = 2 является критической точкой. Следовательно, функция /(х) имеет две критические точки: 2 и (-1). Отмечаем критические точки на области определения функции f (х) и находим знак /'(х) на каждом из промежутков (рис. 39). Получаем, что функция f (х) возрастает на промежутках (-оо; -1] и [2; -f-oo) и убывает на промежутке [-1; 2]. В точке (-1) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. В точке 2 производная Рис. 39 меняет знак с минуса на плюс, следо- Знак f (х) -1 Поведение щах \ тш * Фактически мы будем сравнивать значения так называемых односторонних производных функции fix) в точке (-1). Эти производные определяются аналогично односторонним пределам функции (см. с. 121). § 6. Применение производной к исследованию функций 79 вательно, это точка минимума. Тогда =-1, y^.x = f = =2, Уп.п = П2) = -28. <] 2) ► Область определения: D (<р) = R. Производная ф' (д:) = (4 cos д: — cos 2х)' = = -4 sin X + 2 sin 2д: = -4 sin д: + 4 sin д: cos дс = 4 sin д: (cos х - 1). Критические точки: производная ф' (х) существует на всей области определения функции ф (х), следовательно, критическими точками будут все значения х, для которых ф' (х) = 0. 4 sin X (cos X - 1) = 0. Тогда sin х = 0 или cos х = 1. Следовательно, х = пп, п е Z, или X = 2nk, k в Z. (Значение 2nk дает также и формула пп (при п = 2k), поэтому все критические точки можно задать формулой пп, п е Z.) Функция ф (х) возрастает в тех точках ее области определения, где Ф' (X) > 0. fsinx>0, [sinx<0. Имеем: 4 sin х (cos х - 1) > 0, тогда ( . или IX |cosx>l [cosx 0 выполняется на промежутке (л; 2л), а равенство ф' (х) = 0 в точках пп, то есть в точках 0, л и 2л. Тогда неравенство ф' (х) < 0 выполняется на промежутке (0; л), а учитывая период, и на всех промежутках 2nk < х < л -ь 2nk, k е Z. Принимая во внимание условия возрастания и убывания функции и то, что функция ф (х) непрерывна на всей числовой прямой (она дифференцируема во всех точках), получаем, что функция ф (х) возрастает на каждом из промежутков [л + 2nk; 2л + 2лА], А е Z, и убывает на каждом из промежутков [2лА; л 2лА], k е Z. Поскольку производная ф' (х) является периодической функцией с периодом 2л, то через промежуток длиной 2л знаки производной ф' (х) повторяются (рис. 41). В точке 0 производная ф' (х) меняет знак с плюса на минус, следовательно, х = 0 — точка максимума, а учитывая, что поведение ф' (х) повторяется через 2л, имеем X__= 2лА, к е Z. Тогда = ф (2лА) = 4 cos (2лА) - cos (4лА) = 3. В точке л производная ф' (х) меняет знак с минуса на плюс, следовательно, х = л — точка минимума, а учитывая, что поведение Ц>' (х) повторяется через 2п, имеем ^rain = ^ + 2лА, к е Z. Тогда = ф (л + 2лА) = 4 cos (л + 2лА) - cos (2л + 4лА) = -5. О Рис. 41 80 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Вопросы для контроля 1. Дайте определение возрастающей и убывающей на множестве функции. Приведите примеры таких функций и их графиков. 2. а) Сформулируйте достаточные условия возрастания и убывания функции. Приведите примеры их применения. б*) Обоснуйте достаточные условия возрастания и убывания функции. 3*. Сформулируйте и обоснуйте условие постоянства функции на интервале. 4. Изобразите график функции, имеющей экстремумы. Дайте определение точек экстремума функции и ее экстремумов. 5. Какие точки называются критическими точками? 6. а) Сформулируйте необходимое условие экстремума функции, б*) Обоснуйте необходимое условие экстремума функции. 7. а) Сформулируйте достаточное условие существования экстремума в точке, б*) Обоснуйте достаточное условие существования экстремума в точке. 8. По какой схеме можно исследовать функцию на монотонность и экстремум? Приведите пример такого исследования. Упражнения 1°. На рисунке 42 изображен график функции у = f {х) (на рисунке 42, а функция задана на промежутке [-6; 6], а на рисунке 42, б — на промежутке [-7; 7]). Укажите промежутки возрастания и убывания функции f (х). 1 1 У\ 1 V / / \ i \ 1 f ч у о: i / \ j 1 1 1 1 1 rfix 1 / \ ! J r 1 У \ i Of 1 X 1 1 1 1 Знак /' (х) Рис. 42 2°. Известно, что производная некоторой функции у = f (х), заданной на множестве всех действительных чисел, имеет такие знаки, как на рисунке 43. Укажите промежутки возрастания и убывания функции f(x). 3. Функция у = f (х) определена на промежутке (-6; 3). На рисунке 44 изображен график ее производной. Укажите промежутки возрастания и убывания функции / (д:). § 6. Применение производной к исследованию функций 81 4. Докажите, что заданная функция возрастает на всей области определения: 1°) f {X) = х^ + 5х; 2) f(x) = e^ + X - 7; 3) f (х) = 2х + cos дс; 4) f (х) = sin X + Зх + 2. 5. Докажите, что заданная функция убывает на всей области определения: 1°) у = -х^~ Зх; 2) f (л:) = -х’’ - + 2; 3) f (д:) = cos X - бх; 4) f (х) = sin j: - 2х -I- 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции (6-7). 6. 1°) f (х) = - 2х; 2) f (х) = X® - 24х -Ь 2; 3) f (X) = - 2х"; 4) fix) = х + ^\ 5) f{x) = ^; 6) fix) = lj^. 7. 1) у = ~ х; 2) р = х - In х; 3*) у = х + 2 cos х; 4*) у = х - sin 2х. 8*(МИСиС). Найдите все значения параметра а, при которых функция возрастает на всей числовой прямой: 1) f (х) = X® - Зах; 2) / (х) = ах + cos х; 3) / (х) = х® + ах® -Ь Зах - 5. 9*. Докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень: 1) 2х® -Ь Зх - 5 = 0; 2) е'' + 2х - 1 = 0; 3) 5х - cos Зх - 5л = 1; 4) --1пх = 1. X 10°. По графику функции у = f (х), изображенному на рисунке 42, найдите точки максимума и минимума функции f (х). Существует ли производная в каждой из этих точек? Если существует, то чему равно ее значение? 11°. Известно, что производная некоторой функции у = f (х), заданной на множестве всех действительных чисел, имеет такие знаки, как на рисунке 43, и f (-5) = f' (5) = о. Укажите критические точки функции, точку максимума и точку минимума этой функции. 12°. Пользуясь данными о производной f' (х), приведенными в таблице X (-оо; -2) -2 (-2; 1) 1 (1, 5) 5 (5; +оо) Пх) + 0 - 0 + 0 + (если D if) = R), укажите: 1) промежутки возрастания и убывания функции f (х); 2) точки максимума и точки минимума функции f (х). 82 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 13. Функция у = f (х) определена на промежутке (-6; 3). На рисунке 44 изображен график ее производной. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума, а какие не являются точками экстремума. Исследуйте заданную функцию на экстремумы (14-15). 14°. 1) / (лг) = 1 + 12д: - X»; 2) f (х) = - 2х^ - 5; 3) f{x) = x*-8 х^; 4)/(x) = 5x-x^ 15 (ГФА). 1)1/ = Vl-x=*; 2) г/ = X - 31п х; 3) у = хе'*: 4) у = х^ - 21п х; 5*) у = ^; 6*) у = ^. Определите промежутки монотонности, точки экстремума функции и значения функции в точках экстремума (16—17). 16. 1°) / (х) = х=* - 6х -ь 5; 2°) / (X) = х< - 2х^; 4 3) /(х) = х + ^; X 17*(МПГУ). 3) t/ = 6х® - 2| X - 1 I; 1) У = т^; 1пх 4) /(х) = Vx-1 + V3-X. 2) I/= х=* - I X I - 1; 4) i/ = sinx4-^sin2x. 6.2. Общая схема исследования функции для построения ее графика Таблица 7 Схема исследования функции Пример 1. Найти область определения функции. Постройте график функции f(x) = x + -^. ► 1. Область определения: х 0 (то есть D{f) = (-оо; 0) U (0; +оо)). 2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической*). 2. Функция f (х) ни четная, ни нечетная, поскольку f (-х) * f (х) и f{-x)*-f{x). 3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти). 3. График не пересекает ось Оу (х/0). На оси Ох у = Q: х-ь-^ = 0, X X® = -4, х = -^ (= -1,6) — абсцисса точки пересечения графика с осью Ох, * Периодичность чаще всего устанавливают для тригонометрических функций. § 6. Применение производной к исследованию функций 83 Продол ж. табл. 7 4. Производная и критические точки функции. 4. = =1--^. Производ- ная существует на всей области определения функции f (х) (следовательно, функция f {х) непрерывна в каждой точке своей области определения). (х) = 0; 1 - = 0. При X о имеем: X X® = 8, X = 2 — критическая точка. 5. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной и характер поведения функции на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения (см. рисунок). Знак f (х) 5. Промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума (и значение функции в этих точках). Поведение fix) mm Итак, функция возрастает на каждом из промежутков (-сю; 0) и [2; -1-сю) и убывает на промежутке (0; 2]. Поскольку в критической точке 2 производная меняет знак с «-» на «-f», тох = 2 — точка минимума: Хт,п = 2. Тогда = У (2) = 3. + 00 6. Поведение функции на концах промежутков области определения (этот этап не входит в минимальную схему исследования функции). о 6. При X —> о справа (и при X —) о слева) > -1-00. * в этом случае говорят, что прямая х = О — вертикальная асимптота графика функции f (х) (см. с. 136). 84 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 7 При X -оо (и при X +оо) значение -^->0, тогда* f (х) X (то X есть при X -> -оо f (х) —> -оо и при X —> -Ьоо f (X) ^ +с»). X 1_ 2 _1 2 4 -4 у 16- 2 15i 2 4i 4 -3- 4 7. Если необходимо, найти координаты дополнительных точек, чтобы уточнить поведение графика функции. 8. На основании проведенного исследования построить график функции. <1 Объяснение и обоснование Для построения графика функции (особенно в тех случаях, когда речь идет о построении графиков незнакомых функций) целесообразно исследовать свойства функции, которые помогают составить определенное представление о виде ее графика. Когда такое представление уже составлено, можно построить график функции по найденным характерным точкам. Фактически при исследовании функции мы будем придерживаться схемы, приведенной в учебнике для 10 класса (с. 166), только для исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы используем прюизводную. Таким образом, для построения графика функции ее можно исследовать по схеме; 1) найти область определения функции', 2) исследовать функцию на четность (или нечетность) и периодичность', 3) найти точки пересечения * В этом случае говорят, что прямая у = х — наклонная асимптота графика функции f (х). § 6. применение производной к исследованию функций 85 графика с осями координат', 4) найти производную и критические точки функции; 5) найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (и значения функции в этих точках); 6) исследовать поведение функции на концах промежутков области определения; 7) если необходимо, найти координаты дополнительных точек; 8) на основании проведенного исследования построить график функции. Отметим, что эта схема является ориентировочной и не всегда необходимо выполнять все этапы исследования. Например, далеко не всегда можно точно найти точки пересечения графика с осью Ох, даже если мы знаем, что такие точки существуют. Также часто достаточно сложно исследовать поведение функции на концах промежутков области определения. В таком случае уточнить поведение графика функции можно за счет нахождения координат точек графика функции, абсциссы которых выбирают так, чтобы они приближались к концам промежутков области определения. Охарактеризуем особенности выполнения каждого из указанных этапов исследования функции и особенности учета полученных результатов при построении графика функции. 1) При построении графика функции с самого начала необходимо выяснить и записать ее область определения. Если нет специальных ограничений, то функция считается заданной при всех значениях аргумента, при которых существуют все выражения, входящие в запись функции. Ограничения, которые необходимо учесть в этом случае при нахождении области определения функции, приведены в таблице 8. Таблица 8 Вид функции Ограничения, которые учитываются при нахождении облааи определения функции’ 1 g(x) g(Jt) * 0 Знаменатель дроби не равен нулю 2 y = inx) (ft е N) f(x)>0 Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение 3 У Ig (/ (д:)) f(x)>0 Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение 4 У пх) а (а > 0) j/’(Jc)>0, \f(x)*l В основании логарифма может стоять только положительное выражение, не равное единице * При записи этих ограничений предполагаем, что функции f {х) и g (х) определены на рассматриваемом множестве. 86 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 8 5 у = tg(f (X)) f(x)*^+7lk, (к 6 Z) Под знаком тангенса может стоять только выражение, не равное —+ лА (А — любое целое число) 6 У = ctg (/ (дг)) f (х) nk, ke Z Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное nk (А — любое целое число) 7 у = arcsin (f (дг)) IM^)K 1. го есть -l«;f(x)^ 1 Под знаками арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице 8 у = arccos (/ (дг)) У = X" а) а — натуральное X — любое число 9 б) а — целое отрицательное или нуль X 0 в) а —нецелое положительное число X > 0 г) а — нецелое отрицательное число X > 0 После нахождения области определения функции часто полезно отметить ее на оси абсцисс. Если область определения — вся числовая прямая, то никаких отметок можно не выполнять. Если эта область — прюмежуток числовой прямой, то через его концы полезно провести вертикальные прямые, между которыми будет находиться график функции. Если отдельные точки числовой прямой не входят в область определения функции, то целесообразно отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые (которые не будут пересекать график функции). 2) Если выяснится, что заданная функция является четной (или нечетной), то можно исследовать свойства и построить ее график только при х> О, а затем отобразить его симметрично относительно оси Оу (для нечетной функции — симметрично относительно начала координат). Если же функция периодическая, то достаточно построить ее график на одном отрезке длиной Г, а затем повторить его на каждом из промежутков длиной Т (то есть параллельно перенести график вдоль оси Ох на Tk, где k — произвольное целое число). Напомним, что для обоснования четности функции достаточно проверить, что для всех х из ее области определения f {-х) = / (х); для нечетности — достаточно проверить выполнение равенства f (-д:) = -f (х), а для периодичности — равенства f (х + Т) = f (дг) при условии, что если х входит в область определения функции f (х), то xi-Тих-Т (где Г 5* 0) также входят в нее. § 6. Применение производной к исследованию функций 87 3) Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, учитываем, что на оси Оу значение х равно 0. Тогда у = f (0) (если это значение существует). На оси Ох значение у равно 0, и поэтому, чтобы найти соответствующие значения х, приравниваем заданную функцию к нулю и находим корни полученного уравнения (если это уравнение удается решить). 4) Для дальнейшего исследования функции полезно найти производную и критические точки функции. Известно, что критические точки функции — это внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Напомним, что на всех промежутках, где существует производная данной функции, эта функция является непрерывной и ее графиком на каждом из промежутков будет неразрывная линия. 5) Используя производную и критические точки функции, находим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции (и значения функции в этих точках). Напомним, что для этого целесообразно отметить критические точки функции на ее области определения и найти знаки производной в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения. Заметим, что вывод о возрастании или убывании функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной). Знак и значение f'(x) Поведение и значение f (х) Как отмечалось на с. 77, результаты этого этапа исследования можно оформлять в виде специальной таблицы, содержащей следующие строки: После нахождения значения функции в каждой критической точке х^, строим соответствующие точки на координатной плоскости, учитывая поведение графика функции в окрестности точки х„ (табл. 9). Таблица 9 Значение х Критическая точка Хд Поведение f' (х) Ориентировочный вид графика функции f (х) в окрестноаи точки х^ — точка максимума f (*о) = f (^) меняет знак в точке Хо с плюса на минус f (дсо) не существует, f (х) меняет знак в точке Хд с плюса на минус Л .Гр — точка минимума /' (Хц) = 0, f (х) меняет знак в точке Хд с минуса на плюс V У 88 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 9 /' (Xq) не существует, f (х) меняет знак в точке Хд с минуса на плюс V Г (Хд) = 0, f' (х) слева и справа от точки Хд положительна Г (Хд) = 0, f (х) слева и справа от точки Хд отрицательна дг„ — точка миниму.ма — критическая точка, в которой производная равна нулю, но которая не является точкой зкстремума При изображении графика функции в окрестности точки учитывается геометрический смысл производной, а именно: если /' (Xq) = О, то в точке с абсциссой Хд к графику функции у = / (д:) можно провести касательную, параллельную оси Ох. Если же значение f (Xq) не существует, то в точке с абсциссой Хд график будет иметь излом (или касательную к графику функции в этой точке нельзя провести, или касательная перпендикулярна к оси Ох). 6) Для того чтобы составить более полное представление о виде графика функции, целесообразно исследовать поведение функции на концах области определения. При этом возможны несколько случаев. а) Около точки х = а, которая ограничивает промежуток области определения, значение функции стремится к бесконечности. Например, у функции у = - область определения — х О, то есть D (у) = = (-сю; 0) и (0; +сю), и если значение х стремится к нулю, то значение у стремится к бесконечности (рис. 45). Как отмечалось на этапе 1, через точку х = а уже проведена вертикальная прямая. Около точки х = а график функции будет стремиться вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Эту прямую называют вертикальной асимптотой' графика функции. Чтобы выяснить, вверх или * Прямую, к которой неограниченно приближается кривая при удалении ее в бесконечность, называют асимптотой этой кривой (подробнее см. на с. 136). § 6. Применение производной к исследованию функций 89 вниз стремится график функции, достаточно определить знаки функции слева и справа от точки а. Характерные случаи изображены на рисунках 46, 47. б) Если предельная точка х = а входит в область определения функции, то необходимо определить значение функции в точке а и построить полученную точку. Типичный пример — точка х = О для функции у = -Jx (рис. 48). в) В область определения функции входит бесконечный промежуток (или вся числовая прямая, или промежутки (-оо; а) или (а; +оо)). В этом случае полезно представить себе поведение графика функции при х —» -оо или при X —> +00. Например, для функции у = — имеем: при х —> +оо значение у X О, оставаясь положительным (это можно записать так: у —> -(-0), А при х -оо значение г/ —> 0, оставаясь отрицательным (это можно записать так: у —> -0). В этом случае говорят, что прямая у = 0 — горизонтальная асимптота графика функции (см. рис. 45). Иногда при X —^ 4-00 или при х —оо можно выделить наклонную пря- мую, к которой неограниченно приближается график функции, — так называемую наклонную асимптоту, позволяющую лучше представить поведение графика функции (см. пример в таблице 7). 7) Если необходимо уточнить поведение графика функции (например, в том случае, когда на каком-нибудь бесконечном промежутке области определения функция возрастает от -оо до -foo), то полезно найти координаты дополнительных точек графика, взяв произвольные значения аргумента из необходимого промежутка. Задача 1 Примеры решения задач Постройте график функции / (л:) = х® - Зд: - 3. Комментарий Решение ► 1. Область определения: D(f) = R, 2. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку f (-д:) = = -JC® + Зд: - 3 ^ Дх) (и / (-д:) ^ -f (;с)). Используем общую схему исследования функции (с. 82). При нахождении области определения учитываем, что никаких 90 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 3. Точка пересечения графика с осью Оу: X = о, у = f (0) = -3. 4. Производная и критические точки. Г (X) = Зх^ - 3. Производная существует на всей области определения функции f(x). f (jc) = 0. Тогда 3jc^ -3 = 0, следовательно, х^= 1, то есть дг= 1 и х = -\ — критические точки. 5. Отмечаем критические точки на области определения функции f (х) и находим знак f'{x) на каждом из полученных промежутков (рис. 49). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции: X (-оо; -1) -1 (-1: 1) 1 (1; +оо) г (X) + 0 - 0 -(- Их) -1 -5 шах min 6. Найдем значения функции в нескольких точках: X -2 2 3 fix) -5 -1 15 7. Используя результаты исследования, строим график функции I/ = д:® - Зх - 3 (рис, 50). ограничений, зафиксированных в таблице 8, функция не имеет, следовательно, областью определения является множество всех действительных чисел (можно также использовать известное утверждение, что областью определения многочлена являются все действительные числа). Чтобы найти точку пересечения графика с осью Ох, необходимо приравнять функцию к нулю и решить уравнение X® - Зх - 3 = 0. Однако мы не можем найти корни этого уравнения, поэтому в решение включено только нахождение точки пересечения графика с осью Оу. После нахождения производной данной функции, ее критических точек и знаков производной в каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции, нахождение промежутков возрастания и убывания и экстремумов функции удобно выполнять, заполняя специальную таблицу. Обратим внимание, что функция непрерывна на всей числовой прямой, поскольку она дифференцируема в каждой точке области определения, следовательно, ее график — неразрывная линия. Чтобы уточнить вид графика, целесообразно найти координаты нескольких дополнительных контрольных точек. После построения графика функции можно сделать вывод, что график имеет единственную точку пересечения с осью Ох. Эта точка находится между точками х = 2 их= 3, § 6. применение производной к исследованию функций 91 Рис. 50 поскольку функция f (jf) непрерывна, на промежутке [1; 4-сю) возрастает и в точке х = 2 принимает отрицательное значение, а в точке л: = 3 — положительное. Других точек пересечения с осью Ох быть не может, потому что на промежутке (-оо; - 1] функция f (дг) возрастает от -оо до -1, а на промежутке [-1; 1] — убывает от -1 до -5, то есть значения функции на этих промежутках отрицательны. Замечание. Мы построили график функции, не исследуя поведение функции на концах промежутков ее области определения. Покажем, как это можно было сделать. Область определения данной функции — промежуток (-схз; -1-оо). Чтобы исследовать поведение функции на концах промежутков области определения, необходимо выяснить, к какому значению будет стремиться функция при д: —> оо. Для этого в многочлене достаточно вынести за скобки наивысшую степень переменной (это всегда можно сделать, так как дг ^ 0, когда значение х велико по модулю). Тогда при х Ф Q имеем /(д:) = д:®-3д-3 = д:^ 1 _ J_____3^\ 2 3 Г X X I Поскольку при X —> оо значения --^0 х** 3 л -т—>0, то 3 3 > 1—Следовательно, f (дс) будет стремиться к тому же X X X значению, что и х^. Но при х —> -оо значение дс* —з —оо, тогда и f (х) —> -оо, а при X —3 -1-00 значение х® —> +оо, тогда и / (х) -f-oo. Учитывая непрерывность функции fix'), получаем, что она принимает все значения из промежутка (-оо; -t-oo). Отметим, что приведенные соображения можно повторить для любой функции — многочлена нечетной степени. Тогда, строя графики таких функций, полезно помнить следующее: многочлен нечетной степени принимает все значения из промежутка (-оо; -t-oo) и при больших по модулю значениях аргумента поведение многочлена будет аналогично поведению его старшего члена {который является степенной функцией). 92 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Задача 2 1) Постройте график функции f (х) = х* - 8х‘‘ - 9. 2*) Сколько корней имеет уравнение х^ - 8х^ - 9 - а = О в зависимости от значения параметра а? Комментарий Для выполнения задания 1 исследуем функцию f (х) по общей схеме и по результатам исследования построим ее график. Для нахождения точки пересечения графика с осью Ох приравниваем функцию к нулю и решаем полученное биквадратное уравнение. При построении графика также учитываем, что при X —> сх значение /■ (л:) = х'-8х" - 9 = л:-* jl --4---т) Как видим, и для многочлена четной степени при больших по модулю значениях аргумента поведение многочлена будет аналогично поведению степенной функции — его старшего члена. При выполнении задания 2 можно пользоваться таким ориентиром: если в задании с параметром идет речь о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа данной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения. Особенно простым является соответствующее исследование в том случае, когда заданное уравнение можно представить в виде f (х) = а, поскольку график функции у = а — это прямая, параллельная оси Ох (которая пересекает ось Оу в точке а), а график функции у = f (х) легко построить, исследовав функцию f (х) с помощью производной. (Отметим, что, заменяя заданное уравнение на уравнение f (х) = о, необходимо следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, а следовательно, и количество корней у них будет одинаковым.) Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение f (х) = а, достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции у = f (х) с прямой у = а при разных значениях параметра а. (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.) Решение 1) Исследуем функцию f (х) = х'* - 8х^ - 9. 1. Область определения: D (f) = R. 2. Функция четная, поскольку для всех значений х из ее области определения f (-Х) = (-Х)" - 8 (-xf -9 = х* -8x^-9 =f (X). Следовательно, график функции симметричен относительно оси Оу. 3. Точка пересечения графика с осью Оу: х = О, у = f (0) = -9, Точки пересечения графика с осью Ох: х* - 8х^- 9 = 0. Замена х^ = t дает: - 8t - 9 = О; <, = —1, t2= 9. Тогда x^ = -1 (корней нет) или х* = 9. Отсюда X = 3 и .г = -3 — абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. 4. Производная и критические точки, f (х) = 4х"’ — 16х. Производная существует на всей области определения функции f (х) (следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой). f (х) = 0. Тогда 4.V® - 16х = 0, 4х (х“ - 4)= 0, 4х (х - 2)(х 2)= 0, следовательно, х= 0, х=2их=-2 — критические точки. § 6. Применение производной к исследованию функций 93 5. Отмечаем критические точки на области определения функции f(x) и находим знак f'{x) на каждом из полученных промежутков (рис. 51). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции: X (-оо; -2) -2 (-2; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +CXD) г (X) - 0 + 0 - 0 -1- fix) N.. -25 -9 N.. -25 У' min max min 6. Используя результаты исследования, строим график* функции у = X* - 8х^ - 9 (рис. 52). <] Рис. 52 ► 2) Отметим, что заданное уравнение х* - 8х^ - 9 - а = О равносильно уравнению х* - 8х'^ - 9 = а. Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции у = х* - - 9 (см. задание 1) и график функции у = а (рис. 53). * Масштаб по осям Ох и Оу разный. 94 Раздел 1, ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Как видим, при о < -25 уравнение не имеет корней (нет точек пересечения графиков); при а = -25 и при а > -9 уравнение имеет два корня (графики имеют только две общие точки); при о = -9 уравнение имеет три корня (графики имеют три общие точки) и при -25 < а < -9 уравнение имеет четыре корня (графики имеют четыре общие точки). <3 Задача 3 1) Постройте график функции 2*) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение 1п д; = ал: имеет единственный корень. Комментарий 1п X Для выполнения задания 1 исследуем функцию i/ = — по общей схеме X и по результатам исследования строим ее график. При исследовании функции на четность и нечетность можно воспользоваться тем, что «/ четной или нечетной функции в область определения входят точки х и (-дс). Следовательно, для таких функций область определения должна быть симметричной относительно точки 0. Если же это условие не выполняется, то функция не может быть ни четной, ни нечетной. Для лучшего представления о виде графика целесообразно уточнить поведение функции на концах области определения (£) {у) = (0; +оо)). При л: —) о справа (то есть при х —> -I- 0) значение 1п х —> -оо. Тогда г/= - оо (рис. 54). Но при такую оценку (получаем неопределенность вида В таком случае ведение функции при х —» -(-оо можно уточнить с помощью дополнительных контрольных точек. При выполнении задания 2 целесообразно использовать графическую иллюстрацию решения. Это можно сделать двумя способами: I.C помощью равносильных преобразований привести заданное уравнение к виду f (х) = а |где/(х) = ^^| и, используя график, построенный в задании 1, выяснить, сколько корней имеет уравнение f (х) = а при разных значениях параметра а. II. Применить графическое решение непосредственно к уравнению In х = ах (графики функций (/ = In х и у = ах нам известны), а для исследования единственности корня использовать геометрический смысл производной. X —> -(-оо мы не можем выполнить по- Решение In X ► 1) Исследуем функцию у = —. X 1. Область определения: х > 0, то есть D{y) = (0; -f-oo). § 6. Применение производной к исследованию функций 95 /14' '1 •Ж-1-lnjr , , (1пх) -Х-Х .Ых _х_____________ 1-1пу 2. функция ни четная, ни нечетная, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0. 3. Точки пересечения графика с осями координат. График не пересекает ось Оу (х * 0). На оси Ох у = о, то есть = Тогда при х > 0 получаем: In х = 0; X X = 1 — абсцисса точки пересечения графика с осью Ох. 4. Производная и критические точки. / V ’ \ X I X X X Производная существует на всей области определения функции / (х) (то есть при X > 0), следовательно, функция непрерывна на всей области определения. у =0. Тогда —2—Отсюда при х > 0 получаем In х = 1, следовательно, х = е — критическая точка. 5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак у (х) в каждом из полученных промежутков (рис. 54). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции. X (0; е) е (е; -Ьоо) г (X) -t- 0 - Пх) 1 € шах 6. Найдем координаты еще нескольких точек графика функции: X i = 0,4 е = 7,4 = 20,1 У (х) -е=-2,7 4 = 0,3 4 = 0,1 Заметим, что при х -^0 справа (то есть при X ^ -1-0) значение In х - оо. Дей- 1пх ( -00 ствительно, у =------— ->-<». X I. -i-O J 7. Используя результаты исследования, строим график функции t/ = ^^ (рис. 55). <3 Рис. 55 96 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 2) I способ решения задания 2 ► Область допустимых значений данного уравнения In х = ах задается неравенством X > 0. Но тогда X ^0 и заданное уравнение на его ОДЗ равно- сильно уравнению 1пх ■ = а. Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции у = (см. задание 1) и график функции J/ = а (рис. 56). 1пдг Как видим, уравнение — = а имеет един- X ственный корень только при а < 0 и при уравнение имеет два а = - (при 0<а<-е е корня, а при Рис. 56 а>- е уравнение не имеет корней). Следовательно, наибольшее значение параметра а, при котором уравнение In X = ах имеет единственный корень, — это а = i. <] е II способ решения задания 2 Решение ► Рассмотрим графическую иллюстрацию (рис. 57) решения заданного уравнения In X = ох. (1) Функция у = \п X возрастающая и принимает все значения от -со до -Ьоо. Графиком функции у = ах является прямая, проходящая через начало координат. При а < о прямая у = ах пересекает график функции у = \п х только в одной точке (прямая 1 на рисунке 57). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень (действительно, функция J/ = In X возрастающая, а функция у = ах убывающая, поэтому уравнение (1) может иметь только один корень). При а = о уравнение (1) имеет вид In X = О и также имеет единственный корень (х = 1). При а > о прямая у = ах может касаться графика функции у = \п х (прямая 2 на рисунке 57). Тогда уравнение (1) будет иметь единственный корень. Также прямая у = ах может проходить в первой § 6. Применение производной к исследованию функций 97 четверти ниже касательной (прямая 3 на рисунке 57). Тогда уравнение (1) будет иметь два корня. Если же прямая у = ах будет проходить в первой четверти выше касательной (прямая 4 на рисунке 57), то уравнение (1) не будет иметь корней. Выясним, когда прямая у = ах будет касательной к графику функции I/ = 7 (л:) = In X. Пусть точка касания М имеет абсциссу х^. Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что f (д:,,) = а (значение производной в точке х^ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной через точку М). Поскольку f (х) = ~, то /'(jc„) = —. Тогда из равенства ж JCq /'(jCfl) = а имеем —~а. Отсюда а:о=“' Тогда j/o=ln-. С другой стороны, по-Хд а а скольку точка касания М лежит и на касательной у = ах, то ее координаты удовлетворяют и уравнению касательной. Получаем In—= а*—, то есть а а 1п- = 1. Тогда - = е, следовательно, а = -. а а е Таким образом, заданное уравнение будет иметь единственный корень только при а < О и при а = -. Тогда наибольшее значение параметра а, при е котором уравнение In ж = аде имеет единственный корень, — это а = ^. <1 е Задача 4* Постройте график функции у = ^{х-1)^. Решение ► 1. Область определения: D (у) = R. 2. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку У {-X) = ^(-х -1)^ = ^^(х + If ^ у (ж) (и у (-ж) * -у (ж)). 3. Точка пересечения графика с осью Оу: X = О, у = у {0) = 1. Точка пересечения графика с осью Ох: у = О, тогда ^(х — 1)* = 1, то есть ж = 1. 4. Производная и критические точ- ки. y' = (^(x~lf)'= ((^-1)7 = 2(j-l) _ 2(т-1) Комментарий Используем общую схему исследования функции (с. 82). При нахождении области определения учитываем, что никаких ограничений, зафиксированных в таблице 8, функция не имеет, следовательно, областью определения будут все действительные числа. Для нахождения производной данной функции применим формулу и формулу нахожде-ния производной сложной функции. (Отметим, что yf{x-^ *(х-1)^, поскольку при ж < 1 выражение 2 (ж-1)® не определено. В этом случае 3^{х-П* 3(х-1^/7^ 3^/7Л‘ 98 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Производная не существует во внутренней точке х = 1 области определения функции у (х), следовательно, X = 1 — критическая точка. Других критических точек нет, поскольку у' ^ О. 5. Отмечаем критическую точку на области определения функции у (х) и находим знак у' (х) в каждом из полученных промежутков (рис. 58). Знак у' (х) Рис. 58 6. Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции: X (-оо; 1) 1 (1: +СХ.) у' (X) - не существует -1- У(х) 0 min 7. Находим значения функции в нескольких точках: X -7 2 9 У 4 1 4 8. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 59). можно записать, что 3, ^(х-1)=*=|дг-1|5, или учесть, что (х — 1)^ > О, и запи- сать: y/(x--iy =((х-1)^)^, а затем найти производную степени соответствующей сложной функции). Обратим внимание, что функция непрерывна на всей числовой прямой (область определения — все действительные числа и заданная функция является композицией, то есть результатом последовательного применения двух непрерывных функций: у = ^ и и = (х - 1)®), следовательно, ее график — неразрывная линия. После исследования поведения производной функции при переходе через критическую точку, пользуясь результатами, приведенными в таблице 9, делаем вывод, что в окрестности точки лг = 1 график имеет следующий вид: 'v • Поскольку производная не существует в точке х= 1, то график имеет излом в окрестности этой точки, а в самой точке д: = 1 — вертикальную касательную. Чтобы уточнить вид графика, целесообразно найти координаты нескольких дополнительных контрольных точек. Для устного вычисления ординат этих точек удобно выбирать такие значения х, при которых значения X — 1 будут кубом целого или рационального чисел. § б. Применение производной к исследованию функций 99 Вопросы для контроля 1, По какой схеме можно исследовать свойства функции для построения ее графика? 2*. Охарактеризуйте особенности выполнения основных этапов исследования функции и отображения результатов исследования на графике функции. Приведите примеры. Упражнения 1°. Постройте схематический график функции, определенной и непрерывной на множестве всех действительных чисел, пользуясь ее свойствами, указанными в таблице: 1) 2) X (-оо; -2) -2 (-2; 0) 0 (0; -l-oo) у' (X) 0 - 0 -1- У(х) У' 5 2 У' max min X (-оо; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; -l-oo) у' (X) - 0 -1- 0 - 0 -1- У (х) -3 1 -3 min max min Исследуйте функцию и постройте ее график (2—3). 2°. 1) f (х) = X» - 3x2; 2) / (х) = Зх - х“ -I- 1; 3) f (х) = х^ - 2х^: 4) f (х) = 5х^ - 4х\ 3. 1) / (х) = (х== - 2)^ 2) /(х) = х-н^; 3) /(х) = ^-х; 4) /(х) = 2ч/Г-х. X X 4. а) Исследуйте функцию f (х) и постройте ее график, б) Найдите область значений функции f (х). в') Сколько корней имеет уравнение f (х) = а в зависимости от значения параметра а? 1) /(х) = х-1--; 2) f(x) = (x-3)\fx; 3) f(x) = Vxlnx; 4) f{x) = —. X X 5. Сколько корней имеет уравнение: 1) - 4x3 -I- 1 = О; 2) 8x3 - Зд:^ + 2 = 0; 3) x^-ix®-3 = 0; 3 4) хз - Зх" - 9х - 7 = о? 6*. Исследуйте функцию и постройте ее график: 1) У = —^—; 2) у = 2х~5у[^; 3) у = 2 sin х — cos 2х; 4) у = cos^x - cos х. X -1 7*(ГУУ). Найдите все значения параметра о, при которых уравнение ах® = имеет единственный положительный корень. 100 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции Таблица 10 1. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке Свойства Если функция f (.г) непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принн.мает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка._____________________________ Примеры maxf(x) = f(x^J [а; Ь] minfix) = f(x^J [aib] У‘ У\ (*»„) "7Т\ f(a) Па) ■{ i\ fib) f{b} -f-i-A ' « 1 ' 1 * fix^J 0 а b X 0 maxnx) = f(x^J [a-,b] minfix) = f{b) [a; 6] max fix) = f (a) (o; l>] [a: 6] max f(x) = f(a) [a;b] min fix) = fib) la-.b] 2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке Схема Пример Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = = х^ - \2х + 12 на отрезке [1; 3]. 1. Убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции f (дг). Область определения заданной функции — все действительные числа iD if) = R). Следовательно, заданный отрезок входит в область определения функции / (х). 2. Найти производную f (х). f'ix) = Зх^ - 12. 3. Найти критические точки: f (х) = О или не существует. Производная /' (х) существует на всей области определения функции f (х) (следовательно, функция f (х) непрерывна на заданном отрезке). f (х) = 0; Зх^ —12 = 0 при X = 2 или X = -2. 4. Выбрать критические точки, при надлежащие заданному отрезку. Заданному отрезку [1; 3] принадлежит только критическая точка х = 2. 5, Вычислить значения функции в критических точках и на кон-цах отрезка.____________________ /(!)= 1; /(2) = -4; /(3) = 3. § б. Применение производной к исследованию функций 101 Продолж. табл. 10 6. Сравнить полученные значения функции и выбрать на них наибольшее и наименьшее значения. шах/ (х) = / (3) = 3, [1:31 min/(x) = f (2) = -4. [1:3] 3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на интервале____________________________ Свойство Иллюстрация Если непрерывная функция f{x) имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке х„. Если непрерывная функция f{x) имеет на заданном интервале только одну точку экстремума Xq и это точка максимума, то на заданном интервале функция принимает свое наибольшее значение в точке х„. y = fM 4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции Схема Пример Имеется кусок проволоки длиной 100 м. Необходимо огородить им прямоугольный участок наибольшей площади. Найдите размеры участка. Одну нз искомых величин (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи) обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на х). D Пусть участок имеет форму прямоугольника ABCD (см. рисунок) со стороной АВ = X (м). Учитывая, что проволока будет натянута по периметру прямоугольника, получаем: 2АВ + 2ВС = 100, то есть 2х + 2ВС = 100. Отсюда ВС = 50 — X (м). Поскольку длина каждой из сторон прямоугольника выражается положительным числом, то о < X < 50. 2. Величину, о которой говорится, что она наибольшая или наи-.меньшая, выразить как функцию от X. Площадь прямоугольника: S (х) =АВ • БС = X (50 - X) = 50х - х^, 102 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 10 3. Исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значение (чаще всего с помощью производной). Исследуем функцию S (л) с помощью производной. Производная S' (х) = 50 - 2х существует при всех действительных значениях х (следовательно, S (х) — непрерывная функция на заданном промежутке). S' (х) = о, 50 - 2х = о, X = 25 — критическая точка. Знак S' (х) В точке X = 25 производная S' (х) = = 50 — 2х меняет знак с плюса на минус (см. рисунок), следовательно, X = 25 — точка максимума. Учитывая, что непрерывная функция S (х) имеет на заданном интервале (0; 50) только одну точку экстремума х = 25 и это точка максимума, делаем вывод, что на заданном интервале функция принимает свое наибольшее значение в точке х = 25*. 4. Убедиться, что по.тученный результат имеет смысл для исходной задачи. Следовательно, площадь огороженного участка будет наибольшей, если стороны прямоугольника равны: АВ = X = 25 (м), ВС = 50 - X = 25 (м), то есть если участок будет иметь форму квадрата со стороной 25 м. Объяснение и обоснование Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке. Человеку в жизни часто приходится искать лучшее, или, как говорят, оптимальное решение поставленной задачи. Часть таких задач удается решить с помощью методов математического анализа — это задачи, которые можно * В рассматриваемой задаче можно было исследовать функцию S (х) и без применения производной. Функция S (х) = 50 X - х* является квадратичной функцией. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда наибольшее значение эта функция принимает в вершине параболы, то есть при х. = - = -^ = 25. Это зна- 2а -2 чение находится в заданном интервале (0; 50), следовательно, на этом интервале функция также принимает наибольшее значение при х = 25. § 6. Применение производной к исследованию функций 103 свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. В курсах математического анализа доказывается теорема Вейер-штрасса: непрерывная на отрезке [а; б] функция f (х) имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка [а; Ь], в которых f (х) принимает наибольшее и наименьшее на [а; б] значения. Рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке [а; 6] функция f (х) имеет на этом отрезке только конечное число критических точек. Тогда имеет место свойство: если функция f (х) непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отре.зке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка. Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена в пункте 1 таблицы 10. • 1) Сначала рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке [а; Ь] функция f (х) не имеет на этом отрезке критических точек. Тогда на отрезке [а; Ь] производная f (х) сохраняет постоянный знак (см. с. 68), следовательно, функция / (х) на отрезке [а; б] возрастает (рис. 60, а) или убывает (рис. 60, б). Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f {х) на отрезке [а; б] — это значения на концах отрезка в точках а и Ь. 2) Пусть теперь функция f (х) имеет на отрезке [а; б] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; б] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Тогда, согласно изложенному в пункте 1, наибольшее и наименьшее значения функция f (х) принимает на концах таких отрезков, то есть в критических точках функции, или в точках а тзЬ. О Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, имеющей на этом отрезке конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Обратим внимание, что для использования этого ориентира необходимо убедиться, что заданный отрезок входит в область определения данной функции и что функция непрерывна на этом отрезке (последнее следует, например, из того, что функция дифференцируема на заданном отрезке). Для нахождения критических точек функции необ- 104 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ходимо наити ее производную и выяснить, где производная равна нулю или не существует. Уточненная схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведена в таблице 10 (п. 2, с. 100). Там же приведен и пример использования этой схемы. Другие примеры нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведены далее в примерах на с. 105-109. Утверждение о том, что наибольшее значение функции f (х) на отрезке [а; 5] достигается в точке х^, можно обозначать так: max/ (х) = / (Хц); анало- [«: Ь] гичное утверждение о том, что наименьшее значение функции / (х) на отрезке [а; 5] достигается в точке х«, можно обозначать так: min/(x) = /(Xn). [а: ft) При решении некоторых задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции не на отрезке, а на интервале. Чаще всего в таких задачах функция имеет на заданном интервале только одну критическую точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция / (х) принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 61), а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 62) (см. полное формулирование соответствующих свойств в пункте 3 таблицы 10 на с. 101). Рис. 62 • Действительно, если, например, непрерывная функция / (х) имеет на заданном интервале (а; Ь) только одну точку экстремума Хд и это точка минимума, то в этой точке производная /' (х) меняет знак с минуса на плюс. Таким образом, если х< Хд, то /' (х) < 0. Поскольку функция /(х) непрерывна в точке Хд, то она убывает при х< х„, и тогда при х< Хд имеем /(х) > /(Хд). Также если х > Хд, то /' (х) > 0. Поскольку функция / (х) непрерывна в точке Хд, то она возрастает при х > Хд, и тогда при х > Хд имеем / М > f (Хц). Это и означает, что значение / (Хд) — наименьшее значение функции на интервале (а; Ь). Аналогично обосновывается и случай, когда Хд — точка максимума (проведите обоснование самостоятельно). § 6. Применение производной к исследованию функций 105 Рассмотренные способы нахождения наибольших и наименьших значений функции используются для решения разнообразных прикладных задач. Решение практических задач математическими методами, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализация, то есть создание математической модели задачи (перевод условия задачи на язык математики); 2) решение составленной математической задачи; 3) интерпретация найденного решения (анализ полученного результата, то есть перевод его с языка математики в термины исходной задачи)*. Для задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений реализацию этих этапов можно проводить по схеме: 1) одну из величин, которую необходимо найти {или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи), обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на х)\ 2) ту величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию х\ 3) исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значения', 4) убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи. Примеры использования этой схемы приведены в пункте 4 таблицы 10 (с. 101) и в примерах на с. 106-107. При решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции целесообразно использовать следующее утверждение: если значения функции / (х) неотрицательны на нек01нром промежутке, то эта функция и функцнп (/ (х))". гле п натуральное число, принимают нанбо.чынее (наименьшее) значение в одной м тон же точке. • Действительно, при и > 0 функция у = и'' , где п — натуральное число, является возрастающей функцией {у' = пи’'~^> 0 при и > 0 к у =0 только при и = О**). Тогда сложная функция у = {f (х))" (то есть функция у = и", где и = f (х)) будет возрастать там, где возрастает функция f (х), и убывать там, где убывает функция f (х), а следовательно, и принимать наибольшее (или наименьшее) значение в той же точке, что и функция f{x). Примеры решения задач Задача 1 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = 2 sin X + cos 2х на отрезке [0; я]. Решение Комментарий ► l)D{f) = R, следовательно, отре- Используем схему нахождения зок [0; я] входит в область опреде- наибольшего и наименьшего значе-ления функции f (х). ний непрерывной на отрезке функ- 2) f (х) = 2 cos X - 2 sin 2х. f W’ * С этим общим методом решения практических задач методами математики (его называют методом математического моделирования) вы уже фактически ознакомились. По описанной схеме вы решали текстовые задачи в курсе алгебры. ** Конечно, при л > 2, а при л = 1 значение у' = (л)' = 1 > 0. 106 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 3) f (д:) существует на всей области определения функции f (лг) (следовательно, функция / (х) является непрерывной на заданном отрезке); /' (х) = о, 2 cos X - 2 sin 2х = 0, cos X - 2 sin X cos x = 0, cos X (1 - 2 sin x) = 0, cos x = 0 или sinx = -; x = - + nk,keZ, 2 2 или х = (-1)"- + лл, neZ,— 6 критические точки. 4) В заданный отрезок попадают только критические точки: 5) /(—) = 2sin—-Hcos — = 2 \б/ 6 3 2 2 2 ^ (f) ~ 2 2 ^ п = 1» , / 5я \ о • . 5я о 1 . 1 3 Л — =2 Sin — + cos — = 2-- + - = -, \ 6 / 6 3 2 2 2 П0)= 1, /-(л)= 1. 6) min/(x) = /(0) = /(n) = /(f) = l, [О: *1 \ 2 / тах^(х) = /(-) = ^(—) = - = li. <1 (ftnj \6/ ' \ 6 / 2 2 1) убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции', 2) найти производную; 3) найти критические точки (f'(x)= 0 или не существует); 4) выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку; 5) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка; 6) сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее. Чтобы убедиться в непрерывности данной функции, достаточно после нахождения ее производной показать, что производная сзчцествует в каждой точке области определения функции (или отметить, что заданная функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций sin х и cos 2 х). Выяснить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку, можно на соответствующем рисунке, отмечая критические точки на числовой прямой (рис, 63): -t--l------н 0 i 6 2 -t—(-5я П в Зп 2 Рис. 63 Задача 2 Из круглого бревна вырезают брус прямоугольного сечения наибольшей площади. Найдите размеры сечения бруса, если радиус сечения бревна равен 25 см. Решение ► 1) Пусть из круга вырезают прямоугольник ABCD (рис. 64) со стороной АВ = X (см). Учитывая, что АС — диаметр круга, имеем АС = 50 (см). Поскольку X — длина отрезка, то х > 0. Кроме того, АВ < АС (катет прямоугольного треугольни- Комментарий Используем общую схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения: 1) одну из величин, которую необходимо найти (или с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи) обозначить через X (и по смыслу задачи наложить ограничения на х); 2) ту величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от х; § 6. Применение производной к исследованию функций 107 ка АВС меньше его гипотенузы), следовательно, о < д: < 50. 2) Из прямоуххзльного А АВС ВС = у]аС^-АВ^= V2500 - (см). Тогда площадь сечения прямоугольника ABCD равна: S(x) = AB ВС = xV2500^. Поскольку при о < ас < 50 значение S (ас) > О, то рассмотрим функцию f(x) = (S (х))2 = x^(2500 - х^) = - 2500х^ - X*, принимающую наибольшее значение на промежутке 0 < ас < 50 в той же точке, что и S (х). 3) Производная f (х) = 5000а: - 4а:® существует во всех точках заданного промежутка (следовательно, функция f (х) непрерывна на заданном промежутке). Г(а:) = 0, 5000а: - 4х®= о, 4а: (1250 - а:®) = о, а: = 0 или ас = ±25 >/2. В промежуток (0; 50) попадает только одна критическая точка а: = 25-^2, которая является точкой максимума: в этой точке производная меняет знак с плюса на минус (рис. 65). Знак f'(x) Поведение fix) Рис. 65 Поскольку функция f (ас) непрерывна на заданном интервале и имеет там только одну точку экстремума и это точка максимума, то на этом интервале функция принимает наибольшее значение в точке ас = 25 72. 4) Тогда АВ = х = 2Ьу/2, 3) исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значение; 4) убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи. Полученную функцию S (ас) = а: 72500на промежутке о < ас < 50 можно исследовать непосредственно. Но лучше учесть, что на этом промежутке S (ас) > 0, и исследовать функцию f (ас) = (S (а:))®, запись которой не содержит знака корня и которая принимает наибольшее значение в той же точке, что и S (х). Вывод о том, что в найденной точке функция f (х) принимает наибольшее значение, можно обосновать одним из трех способов: 1) использовать свойство непраерыв-ной на интервале функции, имеющей на этом интервале только одну точку экстремума (см. например, п. 3 табл. 10); 2) опираясь на поведение непрерывной функции f (х), исследованной с помощью производной (см. рис. 65), обосновать, что на промежутках (0; х^) и (Хр; 50) (где Хр=25 72) /(х)/2500-х® =25 72. Следовательно, наибольшая площадь сечения бруса будет в том случае, когда искомый прямоугольник будет квадратом со стороной 25 72 (= 35 см). < Следовательно, наибольшее значение на отрезке [0; 50] функция f{x) принимает в точке (которая лежит внутри этого отрезка). Тогда и на интервале (0; 50) эта функция принимает наибольшее значение в точке Хд. Задача 3' Найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, если точка О — начало координат, точка А лежит на графике функции у = f {х) (где f (х) = 77 + 3 sinx -(Зх +1) cosх и ^ < X < ^), точка В — на оси Ох, и ее абсцисса в четыре раза больше ординаты точки А. Комментарий Для функции f(x) непросто найти область определения, но можно убедиться, что заданный промежуток полностью входит в область определения этой функции, оценив значения подкоренного выражения на заданном промежутке. Для этого учитываем, что на единичной окружности заданный промежуток находится во второй и третьей четвертях (рис. 66), где cos X < о и 7 + 3 sin X > о при всех значениях х. Также следует учесть, что, согласно определению графика функции, точка А имеет координаты (х; у) = = (х; f (х)). Чтобы утверждать, что высота треугольника ОАВ равна ординате точки А (рис. 67), необходимо обосновать, что на заданном промежутке график функции у = f (х) лежит в первой четверти. После записи площади треугольника ОАВ как функции S (х) для нахождения ее наибольшего значения обращаем внимание на то, что достаточно сложно най- ти S (f)- Поэтому удобно выполнить ис- следование этой функции с помощью производной и обосновать, что в точке экстремума из заданного промежутка функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке (а не пользоваться схемой нахождения наибольшего значения непрерывной функции на отрезке). Решение > При —Зх+1>0и cos X < 0. Тогда -(Зх + 1) cos х > 0 на за-4 8 данном промежутке. При всех значениях х имеем -1 < sin х < 1. Тогда § 6. Применение производной к исследованию функций 109 -3 < 3 sin X <: 3, значит, 7 + 3 sin д: > 0. Таким образом, на заданном промежутке 7 + 3 sin X - {Зх + 1) cos JC > о, следовательно, заданный промежуток полностью входит в область определения функции f (дс). Отметим также, что в этом случае значения функции f (д:) будут положительными, то есть на заданном промежутке график функции y = f{x) лежит в первой четверти. Поскольку заданная точка А лежит на графике функции у = f {х), то в случае, когда абсцисса точки А равна х, ордината точки А равна f (дс) (рис. 67). По условию дсд = 4/(д:). Точка А лежит в первой четверти, следовательно, у^> 0, а значит, и де^, > 0. Тогда ОВ = Хд = 4f (х), а высота треугольника ОАВ равна ординате точки А: h уf (л). Поэтому площадь треугольника ОАВ равна: ^АОЛВ ~ 2 2 4/ (дс) • f (x) = 2f^(x) = 2’ (7 + 3sinx-(3x + l) созд:). Следовательно, нам необходимо найти наибольшее значение функции S (д:) = 14 + 6 sin дс - (бдс + 2) cos х Зя , ^ 9я при — ч дг ^ —, 4 8 Тогда S' (дг) = 6 соз х - (6cos х - (бд: + 2) sin д:) = (бд: + 2) sin х. Производная S' (х) существует во всех точках заданного отрезка. Следовательно, функция S (дд) непрерывна на этом отрезке. Найдем, где S' (дс) = 0: (бд: + 2) sin дс = 0; дс = -- или дс = nk, k е Z. 3 Из найденных точек в заданный отрезок входит только критическая точка дс = я. Обозначим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (рис. 68). Учитывая непрерывность функции S (дс) на заданном промежутке, полу- Знак S' (дс) Зя Поведение 4 S(x) Рис. 68 Зя. . &п (тогда при ^ < д: < я (тогда при л<х< — 8 чаем, что функция возрастает на промежутке значение S (х) < S (я)) и убывает на промежутке значение S (дс) < S (я)). Следовательно, на отрезке —; — функция S (дс) L 4 8 J принимает наибольшее значение при дс = я. Тогда S (я) = 14 + 6 sin я -- (6я + 2) cos я = 16 + 6я (квадратных единиц). Ответ. Наибольшее значение искомой площади треугольника равно 16 + 6я (кв. ед.). <1 110 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Вопросы для контроля 1. а) Объясните, в каких точках непрерывная на отрезке функция может принимать наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке. Проиллюстрируйте соответствующее свойство на графиках функций. б*) Обоснуйте соответствующее свойство для случая, когда непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке только конечное число критических точек. 2. Опишите схему нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке. Приведите пример. 3. а) Сформулируйте свойства непрерывной на интервале функции, которая имеет на этом интервале только одну точку экстремума. б*) Обоснуйте соответствующие свойства. 4. Опишите схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения с помощью исследования соответствующих функций. Приведите пример. Упражнения Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке (1-4). 1°. 1) f (х) = -х^ -h Зх^ + 5, [0; 3]; 2) f(x) = 3x‘- 2х\ [-1; 2]; 3) f (х) ^х*-4x^+1, [-1; 1]; 4) / (х) = х« - бх^ 1, [-2; 1]. 2 (ГФА). 1) / (х) = 3 cos X + cos Зх, [0; л]; 2) f (х) = 5 sin х + cos 2х, [0; я]; 3) / (х) = tg X - 2х, м 3. 4*. 1) Пх) = ^+~, [1; 6]; О X 3) f{x) = x + е~', [-1; 2]; 1)/(х) = -х«-ЬЗх|х-3|, [0; 4]; 4) f (х) = ctg X -f- X, 1^^;^ • 2) f (х) = 2у[х-х, [0; 9]; 4) f (X) = In (2x) - 6x^ -I- llx, 2 . 2) f (X) = [-1; 1]; 3)/(x) = |x^-x-2| + Inx, [1; 3]; 4) f (x) = \x^~ x - b\-x^, [-4; 4]. 5°. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей. 6°. Число 4 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого с квадратом второго была наименьшей. 7 (МЭИ). Разность двух чисел равна 8. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение куба большего числа на второе число было наименьшим? 8. Из всех прямоугольников, площадь которых равна 25 см^, найдите прямоугольник с наименьшим периметром. 9. Из квадратного листа картона со стороной а необходимо изготовить открытую сверху коробку, вырезав в углах квадратики (рис. 69) и загнув полученные края. Какой должна быть высота коробки, чтобы ее объем был наибольшим? § 6. Применение производной к исследованию функций 111 Рис. 69 10. Докажите, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в окружность радиуса R, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. 11 (КГУ). На странице текст занимает 384 см*. Верхнее и нижнее поля должны быть по 2 см, правое и левое — по 3 см. Какими должны быть размеры страницы с точки зрения экономии бумаги? 12* (РЭА). В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 60° вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах. Определите ббльшую из сторон прямоугольника. 13*. Из треугольников, которые имеют данный угол а, находящийся между сторонами, сумма длин которых постоянна и равна а, найдите такой, который имеет наименьший периметр. 14* (РЭА). В шар радиуса R вписан цилиндр, который имеет наибольшую боковую поверхность. Найдите объем этого цилиндра. 15* (ЕГЭ С). Найдите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, если точка О — начало координат, точка А лежит на графике функции у = f (х) (где f (х) = 74x-2sin2j:-9cos3:-i-12 и — < д: < i^), точка В — 3 5 на оси Ох, и ее абсцисса равна ординате точки А. 16* (ЕГЭ С). Найдите наибольшее значение площади прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и диагональю ОР, где точка О — начало координат, а точка Р лежит на графике функции //= 49хе*'^^-t-— и 0,2 < X < 1. X 17* (ЕГЭ С). Найдите наибольшее значение площади треугольника ОРК, где О — начало координат, Р — точка на графике функции i/ = ^ + 64х®е®"'*^, 0,7 < д: < 2, а К — точка на оси Ох, абсцисса которой равна абсциссе точки Р. 112 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 18* (ЕГЭ С). Найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, если точка О — начало координат, точка А лежит на графике функции У = f (.х) (где f (х) = и — < х < —), точка В — на 3 5 оси Ох, и ее абсцисса в два раза больше ординаты точки А. 19. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки хочет добраться до села В, которое расположено на берегу на расстоянии 5 км от точки А (участок АВ берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч; пассажир, выйдя из лодки, может пройти за час 5 км. К какому пункту на берегу должна пристать лодка, чтобы пассажир прибыл в село В за кратчайшее время? CHD ПОНЯТИЯ и ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 7.1. ) Доказательство основных теорем о пределах Таблица 11 1. Определение предела функции в точке Число В называется пределом функции f (х) в точке а (при X, стремящемся к я), если для лн)бого положитель-ного числа е найдется такое положительное число' 5, что при всех X * а. удовлетворяюи(их неравенству | .г — а | < й, выполняется неравенство | f (х) — В | < е. 2. Основные теоремы о пределах функции lime - с f — п Предел постоянной функции равен самой постоянной. lim (/(x)±^(.r)) = Iim/(x)± lim^(.r) u ‘ — 1» X • а Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют. Иш (/■(x) g'(.r)) = Iim/'(x) liing(x) к - V . J • • ■; Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют. lim (c'f(x)) = c limf(x) X * а Х-» и Постоянный множитель можно выносить за знак предела. 1ш1— — t-ug(x) lim ?(.г| (где lim^(x);tO) Х-* а Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. ' Заметим, что б, вообще говоря, зависит от е и поэтому его часто обозначают б (е). § 7. Понятия и основные свойава предела функции и предела последовательности 113 Продолж. табл. 11 3. Понятие бесконечно малой функции при х —> а Функция f (х), которая определена в некоторой окрестности точки а, называется бесконечно малой функцией при х, стремящемся к а, если Ит/(д:) = 0. 4. Свойства бесконечно малых функций 1. Если функции а (х) U Р (,х) являются бесконечно малыми при х ^ а, то их сумма а (х) + Р (д:), произведение а (х) • Р (х) и с- а(х) (где с = const) также являются бесконечно малыми функциями при х —> а. 2. Если функция Р(х) — бесконечно малая при х а и для всех х, удовлетворяющих условию I X - а I < 8 (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство | а (х) | < | Р (х) [, то функция а (х) также бесконечно малая при х —> а. 5. Связь определения предела функции в точке с бесконечно малыми функциями Иш/(х) = А « f(x) = A +it(x), где а(х) — бесконечно малая функция при х—> а Объяснение и обоснование 1. Определение предела функции в точке. Сформулируем определение предела функции в точке (которое уже рассматривалось на с. 19), используя понятие 5-окрестности точки. Обычно 5-окрестностью точки а называют промежуток (а - 5; а -ь 5), то есть все значения х, удовлетворяющие неравенству I X - а I < 5. Пусть задана функция ^(х) = 2х + 3, х е (-с»; +оо), значения которой найдены при некоторых х из так называемой 5-окрестности точки х =2 (то есть из интервала (2 - 5, 2 + 8), где 5 > 0). X 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 f(x) 6,8 6,98 6,998 7,002 7,02 7,2 Из приведенной таблицы видно, что чем ближе значение х к 2, тем ближе к числу 7 соответствующее значение f(x). Причем, выбирая все меньшую 5-окрестность точки 2, можно неограниченно приближать значение f (х) к числу 7 (то есть можно выбрать такую 5-окрестность точки 2, чтобы расстояние от точек f (х) до точки 7 на числовой прямой (то есть | f (х) — 7|) было меньше любого положительного числа е). Как уже отмечалось, в этом случае говорят, что число 7 является пределом функции / (х) в точке х = 2 (или при X, стремящемся к 2), и записывают: lim (2х-1-3) = 7. дг-»2 114 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Определение. Пусть функция f {х) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, возможно, самой точки а. Число В называется пределом функции f {х) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любого числа е > О найдется такое число 6 > О, что для всех х ^ а из 5-окрестности точки а (то есть при X ^ а и|дс — а|<5) выполняется неравенство | f{x) — В | < е. Проиллюстрируем применение определения к обоснованию того, что предел функции f (дс) при X, стремящемся к а, равен В. В простейших случаях такое обоснование проводится по схеме: 1) для любого положительного числа е рассматривают неравенство \f(x)-B\ 0). Рассмотрим неравенство 1/(х)-7|<е (1) и найдем такое число 5 > 0, чтобы при | х - 2 | < 5 выполнялось неравенство (1). Учитывая, что \f(x)~ 71 = | (2х -Ь 3) - 71 = | 2х - 4 | = | 2 (х - 2) | = 2| х - 2 |, неравенство | /' (х) - 7 | < е равносильно неравенству 21 х - 2 | < е, которое, в свою очередь, равносильно неравенству |х-2|<^. Поэтому, если выбрать 6 = р то при IX - 2 I < 5 будет выполняться неравенство | (2х -t- 3) - 7 | < е, а это и значит, что lim (2х -(- 3) = 7. <] Замечание, Как видим, выбор 5 зависит от заданного значения е. Чтобы подчеркнуть этот факт, иногда записывают 5 = 5 (е). Напомним, что точка а, в которой рассматривается предел, может принадлежать области определения функции /(х) (как в рассмотренной задаче 1), а может и не принадлежать ей. § 7. Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательноаи 115 I------------^гг — 9 Задача 2 Докажите, что lim-----------= 6. i ' x-*Z JC - 3 дг-»3 X - 3 Решение ► Пусть f(x) = х^-9 и е > 0. Тогда на области определения функции f (х) х-3 (то есть при дс 3) имеем |/(д:)-б| = д:*-9 -6 = 1(д: + 3)-б| = 1л:-3| Если выбрать 5 = е, то получим, что | f (х) — б| = |д:-3| < е, как только х^-9 IJC - 3 I < 6. Поэтому согласно определению предела lim X—*3 X ~ 3 = 6.<] Задача 3 Докажите, что предел постоянной функции равен самой постоянной. Решение ► Пусть f (х) = с для всех х из некоторой окрестности точки а. Тогда для любого е>0 |/(х)-с| = |с-с| = 0<е при всех х из выбранной окрестности точки а. Поэтому Ит/(д;)= lime = с. <] Задача 4 Докажите, что 1йп х = а. Решение ► Пусть f (х) = X и выбрано некоторое положительное число е. Если взять б = е > о, то получим, что | f (х) - а| = |х — а|<е, как только | х — а | < б. Поэтому согласно определению предела lim х = а. < Задача 5 Докажите, что limx* = 0. х-»0 Решение ► Пусть f (х) = х^ и выбрано некоторое положительное число е. Если взять б = Те > о, получим, что | / (х) - 01 = | х^ | < е, как только | х - 01 = | х | < б. Поэтому согласно определению предела lim х^ = 0. <\ х-»0 2. Основные теоремы о пределах функции. Понятие бесконечно малой функции при X а. с помощью определения предела функции можно доказать также теорему о пределе суммы двух функций. Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если пределы слагаемых существуют: lim (f(x) + g{x)) = Umf(x) + \img (х). Х-* а а х-~* о • Зададим е > 0. Если lim /(х) = А, то найдется такое число б, > 0, что при Х-+0 I X — а I < б, (кроме, возможно, х = а) выполняется неравенство |/(х)-А|<|. (1) 116 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Аналогично, если lim g{x) = В, то найдется такое число 5, > О, что при х-*а I д: - а 1 < бг (кроме, возможно, х = а) выполняется неравенство |^(дг)-В|<|. (2) Если выбрать как число 5 наименьшее из чисел б, и 6j (это можно обозначить так: б = min {б,; б^}), то мы выберем общую часть двух окрестностей точки о, и при I д: - а I < б (кроме, возможно, х = а) будут выполняться оба неравенства (1) и (2). Тогда |(/(х) + ^(д:))-(А + В)1 = |(/(х)-А)-К^(х)-В)|<|/(д;)-А| + |^(дг)-В|<|-ь| = е. Из этого следует, что lim(/(x) + g(x)) = А + В, то есть х-*а lim(/(a:)-bg(x)) = lim/(x)-i-limg(x). О х-*а х—*а х-*а Для доказательства свойств пределов произведения и частного функций удобно ввести понятие бесконечно малой функции. «1>>-нкция fix), которая определена п некотором окрестности точки а, иа-•тывается бесконечно малой функцией при х. стремящемсп к «. «ч-лн lim fix)-О. t -tm Учитывая определение предела функции в точке, это определение можно сформулировать так. Функция fix), которая определена в некоторой окрестности точки а, называется бесконечно малой функцией при х, стремящемся к а ix а), если для любого е > О найдется такое число б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию I X - а I < б (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство | / (х) (< е. Например, 1) limx = 0 (см. задачу 4), следовательно, /’(х) = х — бесконечно малая х-*0 функцияпр и X ,2 . 0; 2) limx^ = 0 (см. задачу 5), следовательно, fix) = x^ — бесконечно малая х-<0 функция при X —» 0. Замечание. Если lim fix) = А, то это эквивалентно тому, что х-*а f (х) = А -t- а (х), где а (х) — бесконечно малая функция при х —> а. Действительно, если рассмотреть функцию aix) = fix)-A, (3) то lim a(x) = lim (/(х)-А) = lim/(x)-lim А = А-А = 0. Это означает, что х-*а х-^а X-MI х-*о функция а (х) является бесконечно малой при х —> а. Но тогда равенство (3) эквивалентно равенству / (х) = А -ь а (х), где а (х) — бесконечно малая функция при х —> а. О § 7. Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательности 117 Свойства бесконечно малых функций . Если функции а (д:) и 3 (д:) — бесконечно малые при х —> а, то их сумма а(д:) + Р (д:) и произведения а (дг) • 3 (дс) и с • сх(дс) {где с = const — постоянная) также являются бесконечно малыми функциями при х а. . Если функция 3 (х) — бесконечно малая при х а и для всех х. удовлетворяющих условию I д: - а I < 5 {кроме, возможно, х = о), выполняется неравенство I а (д:) I < I 3 (х) |, то функция а {х) также бесконечно малом при X —> а. Док£1жем эти свойства, ► 1. По условию функции а (х) и 3 (х) — бесконечно малые при х —> а. Это означает, что lima(x) = 0 и lim3(x) = 0. Тогда, используя формулу пре- X—»а х-»а дела суммы, имеем lim (а (х) + 3 (х)) = lim а (х)-ь lira 3 (х) = О-t- О = 0. х-*а x-fa x-»tt Из этого следует, что сумма а (х) -I- 3 (х) является бесконечно малой функцией. С другой стороны, если функция а (х) — бесконечно малая при х —> а, то это означает, что для любого е > 0 можно указать такое 5, > 0, что для всех X, удовлетворяющих условию | х — а | <5, (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство |а(х)|<е, (4) Аналогично если функция 3 (х) — бесконечно малая при х —> а, то это означает, что, например, для е = 1 можно указать такое 82 > 0, что для всех X, удовлетворяющих условию | х - о j < 83 (кроме, возможно, х = о), выполняется неравенство I3W|<1- (5) Если выбирать как число 8 наименьшее из чисел 8j и 8g (8 = rain {8,; 82}), то мы выберем общую часть двух окрестностей точки а, и при [ х — а | < 8 (кроме, возможно, х = а) будут выполняться оба неравенства (4) и (5). Тогда I а (х) • 3 (х) I = I а (х) I • I 3 (х) I < е • 1 = е. Из этого следует, что а (х) • 3 (х) является бесконечно малой функцией при х —> а. Для обоснования того, что функция с • а (х) (где с = const) является бесконечно малой, достаточно заметить, что при с = 0 это утверждение выполняется (lira о-а (х) = lira 0 = 0), а при с ^ 0 для любого 8 > 0 можно указать такое 8 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию | х - а | < 8 (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство |а(х)|<г^. Тогда с-а (х) I = I с I -| а (х) | < | с | = е. Из этого следует, что функция с • а (х) (где с = const) является бесконечно малой при х—^ а. 2, По условию функция 3 (х) — бесконечно малая при х ^ а, тогда для любого Е > о можно указать такое 5^ > 0, что для всех х, удовлетворяющих 118 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ условию I д: - а I < 5, (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство lP(Jf)| о. О Докажем теорему о пределе произведения. • Если lim/(x) = A, то это эквивалентно тому, что f{x)=A + a(x), где х-*а а (х) — бесконечно малая функция при х —> о. Аналогично, если Ит g(x) = В, то это эквивалентно тому, что g (х) = х~*а = в + Р (х), где Р (х) — бесконечно малая функция при х ^ а. Тогда f (x)-g (х) = (А + а (х)) • (В + Р (х)) = АВ + лр (х) + Ва (х) + а (х) Р (х). Учитывая свойства бесконечно малых функций, получаем, что функция (р (х) = АР (х) + Ва. (х) + а (х) Р (х) — бесконечно малая. Следовательно, fix)'g(x) = АВ + ф(х), где Ф(х) — бесконечно малая функция. Из этого следует, что lim(/(x)-^(x)) = АВ, то есть х-*а liin (/(x)^(x)) = lim Дх) lim^(x). Q (I X a 0 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют. Отметим, что, используя метод математической индукции, правила вычисления пределов суммы и произведения можно обобщить на случай любого количества слагаемых или множителей. Используя правило вычисления предела произведения, получаем: Ит (сДх)) = lim с ■ Ит f{x) = c- lim Дх). Следовательно, х-*о х-*а х-*а х~*о Ит(с Дх)) = с Ит Дх) — *-« а JC-* а постоянный множитель можно выносить за знак предела. тт Пх) Для доказательства теоремы о пределе частного ----------- сначала рас- 8{х) смотрим случай, когда / (х) = 1, то есть докажем утверждение: если limg(x) = B (где В ^ О ), то Ит—^ = — х-*а х-*а g(x) В По условию limg(x) = B (где В Ф 0). Это эквивалентно тому, что х—*а g(x) = B + Р (х), где Р (х) — бесконечно малая функция при х а. Тогда I I л V. С Л ДЛЯ Е = МОЖНО наити такое о > 0, что для всех х, удовлетворяющих § 7. Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательности 119 условию I х — о I < 5 (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство (8) Используя неравенство | а + Ь | > | а | -1 6 | (с. 14) и неравенство (8), получаем: |^(х)| = |В + р (д:)| > |В|-|р (jc)|>|B|-f-^ = L^. Следовательно, для выбранных значений х (9) Рассмотрим для выбранных значений х выражение _1____}_ gix) в и учтем не- равенство (9): ___J_ g(x) в |B-gW| _ U(a:)-B| _ |P(x)| ■|P(x)| = |^(x)Mb| |g(x)|.|B| |g(x)|-lB| |B|2 Поскольку функция p (x) — бесконечно малая (при x —> a), то функция ^•P(jc) также бесконечно малая |^ = const|. Тогда по свойству 2 бесконечно малых функций (с. 117) получаем, что функция = g(x) в является бесконечно малой при х —> а, из этого следует, что lim = -^. *-♦0 g(x) в Отсюда, если ИтДх) = А и lim^(x) = B (где В * 0), то, используя фор- х-ю х~*а мулу предела произведения и полученную формулу, имеем: lim = Ит I f(x) • -^1 = lim f(x) • lim = A - — = —. Следовательно, x->a g(x) i-ie ( g(x) J x-ta x-ta g(x) В В lim f(x) limf(x) x-^a g(x) Umg(x) (где lim ^(x)?iO). О Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Задача 6 Найдите lim (Зх^ - 5х + 6). Решение ► Используя теоремы о пределах суммы, разности и произведения, получаем: lim (Зх^ - 5х + 6) = lim (Зх^) - lim (5х) + lim 6 = 3 lim - 5 lim д: + 6 = *—►1 *—>l X—»1 x-»l x-*l x-»l = 3(lim x)'(lim x)-5-l-(-6 = 3-l-l-5-t-6 = 4. r-*l x-»l Ответ: 4. <3 120 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Пример 7 Найдите lim х-*3 X -5jc + 6 х-3 Решение Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Разложим числитель на множители: — 5х + 6 = {х- 3)(х - 2). Поскольку при нахождении предела в точке 3 рассматриваются только значения х 3, то дробь можно сократить на х - 3 0, и поэтому lim • х-*3 ^-5xj^^lim = lim(х-2) = 3-2 = 1. Jf-3 X —3 Ответ: 1. < : ■ Теорема о единственности предела. Если функция f (х) в точке а имеет предел, то этот предел единственный. • Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Пусть в точке х = о функция f (х) имеет два разных предела А п В. По определению предела для любого е > 0 существуют бДе) > 0 и 62(e) > 0 такие, что для всех х, удовлетворяющих условию | х - а | < 5, (х а), выполняется неравенство |/(х)-А|<е, (10) а для всех х, удовлетворяющих условию | х - а | < 62 (х а), выполняется неравенство \f(x)-B\ В. Выбер>ем две Е-окрюстности точек А и В, а именно: (А - е; А -I- е) и (В - е; В -t- е), которые не пересекаются, то есть А - Е > В -I- Е. (12) Поскольку Ит f{x) = А, то найдется 5,-окрестность точки а, в которой х^а I f (х) - А| < Е, то есть А - е < f (х) < А + г. (13) Также существует Зг-окрестность точки а, в которой | ф (х) - В | < Е, то есть В - Е < ф (х) < В -t- Е. (14) Из чисел 5, и 83 выберем наименьшее и обозначим его через 5. Тогда, учитывая неравенства (12)—(14), в 5-окрестности точки а имеем: Ф(х)<В-Ье<А-е< / (х), и значит, /(х) > ф(х), но это противоречит условию. Следовательно, А < В. Следствие (предел промежуточной функции). Если 1ш1ф(х) = В, Ж->в iim g (х) = В, а в некоторой окрестности точки а (кроме, возможно, са- х-*а мой точки а) справедливо неравенство Ф(х) 0), запись упрощают и записывают для левостороннего предела lim/(x) или / (-0), а для правостороннего предела 1йпДх) *-»-0 *-*+0 или /(+0). Сформулируем теперь определение односторонних пределов. 122 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Определение. Число называется правосторонним, пределом функции f (д;) в точке а, если для любого числа е > О найдется такое число б > О, что для всех х из области определения функции, удовлетворяющих условию а < X < а Ь, выполняется неравенство |/(x)-Bj а, то неравенство |/(х)-В1<Е (3) справедливо для всех значений х из б-окрестности точки а {х * а). Тогда это неравенство справедливо для всех значений х из левой половины указанной 5-окрестности и для всех х из ее правой половины, то есть существуют левосторонний и правосторонний пределы в точке а, и эти пределы равны В. Поэтому, если Ит/(х) = В, то lim f(x)= lim f(x) = limf(x), то есть В, = = В. х—*а х-*а-0 х^а+0 х-^а Имеет место и обратное утверждение: если выполняется равенство В. = В, = В, то lim f(x) = В. х-^а Действительно, если В. = В, = В, то неравенство (1), определяющее существование правостороннего предела функции, выполняется и слева от точки а (согласно неравенству (2)), но тогда неравенство (1) фактически обращается в неравенство (3), и поэтому lim f(x) = B. х~*а в связи с этим можно сформулировать такой критерий. Критерий существования предела. Для того чтобы в точке х = а существовал предел В функции / (аг), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали левосторонний предел функции f(x), то есть B, = f (а - 0), и правосторонний предел функции f (х), то есть B^ = f(a+ 0), и чтобы они равнялись друг другу: В^ = В^ = В, при этом lim/(ж) = В. О Задача 1 Выясните существование предела функции / (ж) = | ж | в точке 0. Решение ► Функция / (ж) = I ж I определена на всей числовой прямой. Поскольку /(ж) = |ж| = ( (см. рис. 21 на с. 40), то при ж < 0 / (ж) = -ж, поэтому |-жприж<0 /(-0)= Ит/(ж) = Дт(-ж) = 0. Аналогично /(+0) = lim/(ж) = lim ж = 0. х-»-0 х-»-0 х-*40 Х-++Ю § 7, Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательности 123 f(x) = Таким образом, /(-0) =/(+0) = 0. Поскольку односторонние пределы в точке о совпадают, то предел функции / (х) существует и равен их общему значению, то есть lim/(x) = lim I дг I = 0. <3 х-»0 х-*0 Задача 2 Выясните существование предела в точке 2 для функции [ 2дг + 3 при х<2, 14прид:>2. Решение ► Заданная функция определена на всей числовой прямой. Найдем односторонние пределы этой функции в точке х = 2. /(2-0)= lim (2д:-ь 3) = 7 (см. задачу 1 из пунк- х-»2-0 та 7.1, с. 114); /(2 + 0)= lim 4 = 4 (см. задачу 3 из пункта 7.1, Х-+2+0 с. 115). То есть /(2 - 0) / /(2 + 0), и поэтому заданная функция не имеет предела в точке х = 2 и не является непрерывной в этой точке. (График этой функции изображен на рисунке 70.) <] Непрерывные функции Напомним, что функция / (х) называется непрерывной в точке а, если lim f{x) = fia). X-t О Доказанные свойства предела функции позволяют обосновать свойства непрерывных функций, приведенные в таблице 2 (с. 20): если функции f(x) и g (х) непрерывны в точке а, то сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частное в случае, когда делитель g (а) * 0). • Действительно, если функции / (х) и g (х) непрерывны в точке а, то lim/(x) = /(a) и \img{x) = g{a). Х-» а х-уа Тогда lim (/ (х) + g (х)) = lim / (х) + lim g{x) = f (а) + g (а). Но это и означает, Х“* а х-¥ а Х-* а что функция /(х) + ^(х) непрерывна в точке а. Аналогично обосновывается непрерывность произведения и частного двух непрерывных функций. О Согласно определению, непрерывность функции f (х) в точке х^ означает выполнение следующих условий: 1) функция /(х) должна быть определена в точке х^\ 2) у функции f (х) должен существовать предел в точке x,,; 3) предел функции в тючке Хд совпадает со значением функции в этой точке. Например, функция / (х) = х^ определена на всей числовой прямой и lim х^ = 1. Поскольку /(1) = 1, то значение /(х) = х*в точке 1 совпадает Х~»1 124 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ с пределом этой функции при д: —> 1, поэтому по определению функция / (х) = х^ непрерывна в точке х = 1. Если использовать определения левостороннего и правостороннего пределов, то можно дать определения левосторонней и правосторонней непрерывности функции, а именно: функция называется непрерывной слева в точке а, если lim /(х) = /(а), и непрерывной справа в точке о, если д-ю-0 lim fix) = /(а). лг-*а+0 Например, функция fix) = {х}, где {х} — дробная часть числа х, непрерывна в любой точке, кроме целочисленных значений аргумента х, в которых она непрерывна справа (рис. 71). Функция называется непрерывной на интервале (а; Ь), если она непрерывна в каждой его точке. Функция называется непрерывной на отрезке [а; Ь], если она непрерывна на интервале (а; Ь), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь. Если равенство lim/(x) = Да) в точке а не выполняется, функция fix) на- ДГ-fO зывается разрывной в точке а (а сама точка называется точкой разрыва функции f (х)). Например, функция из задачи 2 является разрывной в точке 2. Если рассмотреть функцию у = [х] ([х] — целая часть х, то есть наибольшее целое число, которое не превышает х), то эта функция является разрывной в каждой целочисленной точке (рис. 72). Аналогично для функции у = {х} ({х} — дробная часть х, то есть разность X - [х]) точками разрыва являются все целочисленные значения аргумента X (см. рис. 71). Понятие непрерывности функции можно связать с понятиями приращения функции и аргумента. Пусть задана функция f (х) с областью определения Dif) = (а; Ь) и пусть Xq — некоторое значение аргумента из интервала (о; Ь). Если X е (а; fc) — другое фиксированное значение аргумента, то разность х - х„ называется приращением аргумента и обозначается Дх, то есть Дх = х - Хд. Отсюда X = Хд -I- Дх. Разность fix) - f(Хд) = f(Хд + Дх) - f(Хд) называется приращением функции f в точке Хд и обозначается Д/. Очевидно, что в случае, когда х стремится к Хд, приращение аргумента стремится к нулю: Дх —> 0. Если функция fix) непрерывна в точке Хд, то по определению lim/(х) =/(Хд), и поэтому lim (Дх) —/(Хд)) = 0, а это означает, Х-*Хо что ИтД/ = 0. Дх-»0 Из последнего соотношения получаем, что в случае, когда функция fix) непрерывна в точке Хд, малому приращению аргумента соответствует малое приращение функвд1и. Учитывая это свойство, мы строим график непрерывной функции в виде сплошной линии (не отрывая карандаш от бумаги). § 7. Понятия и основные свойава предела функции и предела последовательноаи 125 Рис. 71 Представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, хорошо подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в курсах математического анализа. Приведем примеры таких свойств (табл. 12). Таблица 12 Свойства непрерывных функций Иллюстрация 1. Если непрерывная на отрезке [а; б] функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. 2. Функция f{x), непрерывная на отрезке [а; б], принимает все промежуточные значения между ее значениями f{a) и f (б) на концах отрезка. 3. Если на интервале (а; б) функция /(х) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале функция сохраняет постоянный знак. О б X Отметим, что известные вам элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются сплошными кривыми на любом интервале, который полностью входит в об- 126 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ласть определения (именно на этом свойстве и основывается способ построения графика функции «по точкам»). Например, функция f(x) = — не- X прерывна на любом интервале, который не содержит точку О (см. рис. 45). Свойства непрерывных функций позволяют корректно обосновать метод интервалов решения неравенств, приведенный в учебнике для 10 класса. Поэтому метод интервалов можно использовать при решении любых неравенств вида f (jc) i о, где f (х) — непрерывная в любой точке своей области определения функция (см. также с. 21-24). CID Предел функции на бесконечности. Бесконечный предел функции. Предел последовательности Часто при изучении функций возникает необходимость найти предел функции на бесконечности, то есть найти такое число В (если оно существует), к которому стремится функция f (х) при неограниченном возрастании аргумента х, или когда х, увеличиваясь по абсолютной величине, остается отрицательным. Рассмотрим функцию f{x) = 2 + 1 + l' Очевидно, что при увеличении х знаменатель дроби увеличивается, и поэтому значение дроби становится как угодно малым по абсолютной величине. Таким образом, значение функции f (д:) при очень больших значениях аргумента х мало отличается от числа 2. В этом случае говорят, что функция f (х) имеет своим пределом число 2 при х —> оо, и пишут: Ит/(д:) = 2. Определение. Пусть функция f (х) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом f{x) при х —»сж. если для любого числа е > 0 найдется такое число' М > О, что для всех х, удовлетворяющих условию I X I > М, выполняется неравенство | f (х) — В| < е. Это записывается так: lim f(x) = B. В некоторых случаях поведение функции f (х) разное при х —> -оо и при X —»-Ьоо. Поэтому при исследовании свойств функции иногда отдельно рассматривают lim f{x) и lim f(x). Эти пределы определяются аналогично X—X— определению предела lim/(x), только условие |х1 > М заменяется соответ-ственно на X < -М и х > М. Кроме рассмотренных случаев конечных пределов функции f (х) при X а (или при X оо), иногда используется также понятие бесконечного предела. Например, функция /(х) = -^, которая определена для всех х ^ 0 ‘ Заметим, что число М, вообще говоря, зависит от s и поэтому его часто обозначают Л4(е). § 7. Понятия и основные свойава предела функции и предела последовательноаи 127 (рис. 73), принимает сколь угодно большие значения при х —> 0. В этом случае говорят, что функция в точке х = 0 имеет бесконечный предел, и пишут: lim -V = oo. Х-.0 Определение. Будем считать, что Iimf(x) = oo, если для любого х-*а числа М > о существует такое число б > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию IX — а| < 5 (х * а), выполняется неравенство \Пх)\>М. Аналогично определяют и обозначения lim/(x) = -wo и lim/(x) = -oo (только в первом х-¥о х-*а случае условие | /(х) | > М заменяют на f (х) > М, а во втором — на условие f (х) < ~М). В математике также используется понятие бесконечного предела при х —> схз, то есть предела типа lim/(x) = oo, который определяется так: если для любого числа М > 0 существует такое число Мд > 0, что для всех X, удовлетворяющих условию | х | > Мд, выполняется условие | / (х) | > М, то говорят, что функция f{x) имеет бесконечный предел на бесконечности. Например, lim х* = +оо. Этот факт выражает известное свойство функции I f (х) = х^, которая неограниченно возрастает при увеличении значений | х |. Задача 1 Найдите предел lim 2х - Зх +1 к 2 3 5 + X - X Решение ^ Вынесем в числителе и знаменателе наивысшую степень переменной за скобки и сократим числитель и знаменатель на х®. Тогда 2х®-Зх + 1 * lim----3—г = lim .г 2 3 5 + х -X 5 1 , —З +---1 X® X = - = -2. -1 Ответ: -2. <] Задача 2 Найдите предел lim (Vx® + 5 -х). • r-^-4-cO Решение ^ Умножим и разделим разность, которая стоит под знаком предела, на сумму vx® + 5 + X. Получим 128 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ( / 2 . с 1 I- (л/х* + 5 -x){yjx^ + 5 + х) lim Чх^ + 5-х)= lim-----, -------= hm , Vx^+5 + д: *-«=Vx45 + = lim , yJxKb+x = 0. Ответ: 0. <] Напомним, что в случае, когда lim/(x) = 0, функция называется беско- х-*а нечно малой при х а. Если же Ит/(д:) = оо, то функция называется бес- Г-*0 конечно большой при х ^ а. Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х оо, х -оо, х -* +оо. Отметим, что в случае, когда функция f(x) является бесконечно малой при X ^ а н f{x) ^ о для х * а из некоторой окрестности точки а, функция будет бесконечно большой при х а. И наоборот, если функция f (х) — fix) бесконечно большая при х —> а, то функция — бесконечно малая при X —* а (это свойство было использовано на последнем этапе вычисления предела в задаче 2). Например, функция / (х) = х является бесконечно малой при х —з 0 и бесконечно большой при X —3 оо (а также при х —) -оо и при х —> -1-оо). Тогда функция f(x) = — является бесконечно малой при х оо (при х —> -оо и при X —> -t-oo) и бесконечно большой при х —> 0 (аналогично при х —> -0 и при X -» +0). Предел последовательности В математике достаточно распространенными являются бесконечные последовательности, то есть функции у = f(n), заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой функции принимает только значения из множества натуральных чисел, его обозначают не X, ал. Для последовательности f(n) достаточно часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента п (при п -Ьсх>). Определение этого предела в основном аналогично определению предела функции на бесконечности. Определение. Число В называется пределом последовательности /(л), если для любого числа € > 0 существует такое число Л/ > 0, что для всех п > М выполняется неравенство | f {п) — В | < t. Обоснование того, что предел последовательности f (л) равен В, то есть limf(n) = В (точнее lim /(л) = В), с использованием определения можно про- водить аналогично тому, как это делалось для предела функции на с. 117. § 7. Понятия и основные свойава предела функции и предела последовательноаи 129 Задача 3 Докажите, что если |^|<1 (и п е N), то limg" = 0. Решение ► Если g = О, то утверждение очевидно (покажите самостоятельно). Пусть f(n) = q" (1?|<1 ид?^0)ие — некоторое положительное число (е > 0). Учитывая, что в нашем случае В = 0, рассмотрим неравенство I Дл)-В|<Е, то есть I д" |<е (*). Поскольку |g"| = |g|" (см. с. 7), получаем, что неравенство (*) равносильно неравенству Igj" <е( **)• Прологарифмируем неравенство (**) по основанию |д| и учтем, что при 0<|д|<1 функция i/ = log|^< является убывающей. Тогда неравенство (**) равносильно неравенству n>log|^|E. Поэтому, если выбрать* M = |^log|^|ej+l, то при п> М будет выполняться неравенство п > log|^| е, а значит, и неравенство |д"|<Е, то есть |д"-0|<е. Но это и значит, что limg" =0. <1 Аналогично, решению задачи 3, опираясь на определение предела последовательности, можно показать, что для пределов последовательностей выполняются все известные вам теоремы о пределах (только в их формулировках слово «функция» заменяется на слово «последовательность»). + Задача 4 Найдите предел последовательности f(n) = Зл — 2 Решение ► Как и в задаче 1, вынесем в числителе и знаменателе за скобки наивысшую степень переменной, сократим числитель и знаменатель на п, а затем используем теоремы о пределах. Тогда Ответ'. 1. Зл — 2 t 3-2 п = 1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Рассмотрим одну из последовательностей, известных вам из курса алгебры, — геометрическую прогрессию (с первым членом а и знаменателем д): а, aq, aq^, ..., aq''~^, ... (а * 0, q * 0). Если g 1, то сумма первых ее п членов находится так: о 2 л-1 a-aq" ail-g") S„=a + aq + aq^ + .., + aq’' * = —;—— = ~\— " 41 4 i_q (1) * Напомним, что [х] — целая часть числа х. 130 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Если |9|<1, то прогрессию (1) называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Учитывая результат задачи 3 и теоремы о пределах последовательностей, получаем, что для бесконечно убывающей геометрической прогрессии при п —»-Н» существует предел последовательности (так называемых частичных сумм); limS —^ = limf = (l-qr") = -^(liml-limg") = я-»« " 1-qr —j l—qn-*=o l-^Vn-w п-*л / = “ (1_0)= “ 1-g' ' 1-q Этот предел называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (1), обозначают через S и пишут: S = a + 09 + aqf^+ ... + ад"'*+... = при |9|<1. (2) Используя формулу (2), можно записывать значение бесконечной пери одической дроби в виде обыкновенной дроби. Например, дробь 0,(18) = 0,181818 + 41^ +. 100 100^ 100® можно рассматривать как сумму 18 бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом а = и знаменателем q = . Тогда по формуле (2): Л ^8 а 100 100 18 2 GD Предел отношения sinx 100 100 при X -4 о Этот предел обычно называют замечательным пределом (точнее первым замечательным пределом), поскольку его часто приходится использовать при нахождении пределов тригонометрических функций. Теорема. lim^^^ = l. 1-*0 X • Доказательство. Можно считать, что х принимает только положительные значения. Это следует из того, что функция /(х) = ^^ является X четной функцией, так как f{-x) = 3in(-jc) -sin яг sinor = f(x). -X -X X Поскольку X —3 о, то, начиная с некоторого значения, х попадает в первую четверть. Поэтому можно считать, что 0<х<^. На рисунке 74 изображена единичная окружность, на которой отложен угол в х радиан § 7. Понятия и основные свойава предела функции и предела последовательности 131 и проведена линия тангенсов CD. Учитывая определения синуса и тангенса через единичную окружность, получаем АВ = sin х, а CD = tg х. Сравним площади треугольников ОВС, 01Ю и сектора ОВС. Они удовлетворяют неравенству ^ЛОВС ^ ^акг.ОВС ^ Поскольку S^0Bc=|0C-AB = i.l.sin;c = ^; Sл0i>c=i0C.iX: = i■l.tgx = ^, а площадь кругового сектора ОВС равна: оде = р подставив эти значения в неравенство (1), получим: sin X < X < tg X. (2) Поскольку 0<х<^, имеем sinx > О (и cos х > 0). Поэтому, разделив не- X 1 равенство (2) на sinx, получим: К- 8ШХ С08Х Отсюда COSX < < 1 X (учитывая четность функций cos х и -, по- лучаем, что это неравенство выполняется и при -|<х<0). Так как lim 1 = 1, lim cos х = cos 0 = 1, то по тео- х-»0 х->0 реме о пределе промежуточной функции имеем sin X lim х->0 X - = 1. О Кроме предела lim------= 1, часто используют х-»0 X некоторые его вариации. Задача 5 Докажите, что lim^^ = l. х-»0 X ► Доказательство, lim= lim 8in X ___ ___ =i = l. <1 х-»0 X х-*0 (С08 ДГ) • X х-»0 С08 X 1 = lim Задача 6 Докажите, что lim ^ = 1. х-»0 X ► Доказательство. Очевидно, что lim “ =1. Действительно, а-*о sin а lim = lim - ^ а->о sin а о-»о аша а lim----- а-»о а = 1. 132 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Поскольку а о, то начиная с некоторого значения а попадает в интервал 2 ’ 2] о. = X, тогда а = arcsin х. Если а ^ О, то X = sin а —> 0. В этих обозначениях предел lim —^ = 1 обращается в предел о-*о sin а lim arcsii^^l x-tO X Задача 7 Докажите, что lim ^ = 1. *-»0 X ► Доказательство. Сначала рассмотрим предел _ lim cos а , lim^ = lim-^ = lim-^^^^^- = ^-i^---= i = l. а->о tga а-*о sina а-*о sina .. sina 1 ---- ---- lun------- COSO о a-iO a Поскольку a 0, to, начиная c некоторого значения, a попадает в интервал (о * 0). Обозначим tga = х, тогда а = arctgx. Если а ^ 0, то X = tg а —» 0. В этих обозначениях из предела lim = 1 получаем: а-*0 tg о а:-»0 X = 1. < 7.6.^ Практическое вычисление предела функции При вычислении предела функции обычно применяют не определение предела, а теоремы о пределах и приемы, которые мы использовали при нахождении пределов в приведенных выше задачах. Обобщим эти приемы, оформив результат в виде таблицы. Таблица 13 Вычисление предела функции lim f{x) x-ta Основные этапы Пример 1. Пользуясь непрерывностью функции f (х), пытаемся подставить значение х = а в f (х). lim®"*^ = ®"^^=5 х-*2 X -1 2-1 2. Если вычисляется предел при X —> оо, то пытаемся в числителе и знаменателе вынести за скобки наивысшую степень переменной. lim ' -у®'" ^ ^ 11т "" t ■ VL *-*“ X -Зх + 1 -t-*” x^ll ^1^1 V X x^l -lim ^ ^ _0-V9+0_ 3 X-»» 3 1 1 — 0 + 0 1 + ~2 X x^ § 7. Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательноаи 133 Продолж. табл. 13 3. Если в результате подстановки х = а получили выражение вида 1-1, то: (?)■ а) пытаемся разложить на множители числитель и знаменатель Х-*3 - 5л: + б \0/ х-.3 (х-3)(г-2) = limi^ = —= 6 х-*3 х-2 3-2 б) если в числитель и знаменатель входят выражения с квадратным или кубическим корнями, то умножаем числитель и знаменатель на соответствующие выражения, чтобы избавиться от корней (иногда вводят замену: выражение с корнем обозначают новой переменной) 1- й способ Х-.4 у/х~2 'О/ Х-.4 (Vx-2j(Va:+2] (х-4)(л: + 4)(7г+2) = lim------------^------ = х-*4 Х-4 = lim ix + 4){yfx -t- 2) = (4 + 4)Ш + 2) = 32 2- й способ. Обозначим ^/jc = t. Отсюда X = При X —> 4 значение t 2. Тогда ,. д:^-16 ,. и-16 ,. «^-4)(<Ч4) lim —j=— = lim----— = lim------------= x~^4 ^^ 2 t “■ 2 £—+2 t 2 lim (^-2)(t + 2)(t44)_ (-.2 t-2 = lim (t -12)(f 2 + 4) = (2 + 2)(2" + 4) = 32 l-*2 b) если под знаком предела стоят тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то такие пределы приводят к первому замечательному пределу или к его вариациям: lim д-*0 sin 5х «сое 2х *arctg Зх tg 7х •arcsin4x • 5х • С08 2х I sin 5х \ = lim х-*0 -(f)- , / arctg Зх \ \ Зх / Зх (1г) 7х (arcsin 4х 4х )■ 4х sinx , lim------= 1; i-»0 lim X arcsin Jr lim^^ = l; = 1; = X x-tO X Сокращаем числитель и знаменатель на переменные, стоящие за скобками. Учитывая, что limcos2x = l, и вос- х-»0 пользовавшись первым замечательным пределом и его вариациями, получаем, что искомый предел равен: 1- 5 -1- !• 3 _ 15 1 • 7 ■ 1 ■ 4 28 ■ 134 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Вопросы для контроля 1. Дайте определение предела функции в точке. Сформулируйте и докажите основные теоремы о пределе. 2. Дайте определение бесконечно малой функции при х а. Сформулируйте и докажите свойства бесконечно малых функций. 3. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела функции. 4. Сформулируйте и докажите свойство предела промежуточной функции. 5. Дайте определения правостороннего и левостороннего пределов функции f (х) в точке а. 6. Сформулируйте и обоснуйте критерий существования предела. 7. Сформулируйте определение непрерывной функции. Сформулируйте и обоснуйте свойства суммы, произведения и частного непрерывных в точке а функций. 8. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примерах другие свойства непрерывных функций. 9. В каком случае точка а называется точкой разрыва функции f (х)? Проиллюстрируйте это понятие на графиках функций. 10. Дайте определение предела функции на бесконечности и бесконечного предела функции. Приведите примеры. 11. Дайте определение предела последовательности. Приведите примеры. = 1. 12. Докажите, что lim ^— х-*0 X 13. Пользуясь таблицей 13, предложите план вычисления следующих пределов: sinSx 2х® + 1 а) lim , Jt-*- Х- + 2 Вычислите эти пределы. б) lim --; в) lim ^ Х-*1 х^-\ г) lim ——; д) lim ** л/х - 1 х-»0 tg Ьх Упражнения 1. Пользуясь определением предела функции, докажите справедливость ра- венства: 1) lim(4x-l) = 3; Х-»1 3) lim 4х“ - 36 х-*3 4х -12 = 6; 2) lim (8 - 2х) = 0; х~*4 .... - 5х + 6 , 4) am-------------= -1. х-»2 X - 2 2. Пользуясь определением предела последовательности, докажите справедливость равенства: 1V ,. 8л + 7 . I) lim-------= 4; л-*- 2л 2) lim^^ = 3. п-*»> Зл § 7. Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательности 135 3. Пользуясь теоремами о пределах, докажите, что: 1) многочлен Р (х) является непрерывной функцией при всех значениях х; 2) рациональная функция непрерывна при всех значениях х, для которых ее знаменатель не равен нулю. 4. В каких точках имеет разрыв функция (ответ обоснуйте): 1 1) Пх) = - х + З' 5. Вычислите предел: 1) lim - 5х + 3); х->3 2) g{x) = ^; 3) Ф(х) = ^ 4) ф(х)= ? х^-4 х-2 2) lim 4) lim х-*-2 2х^-7д^ + 5х-2. 4х*+6х-8 ’ 2-Vx . 5) lim X +2х + 1_ х-3 ' -х-6. х'^ + гх-з о\ I- Зх^+7х-1 3) hm -3----2------; *-*-1 х® + 4х^-2х + 1 7) (ВолГУ) lim 10) lim х~>4 4-х ■Jb-x - 2 8) lim x-f3 X — 3 х-2 -Ix-^H' yjl + x^-1. 6) lim 9) lim X -x-2. -i X +1 ’ 2 Г X - vx 71-1 ’ 72-x-i’ 1 o\ 1- smax 13) lim----; x-»o sinbx 16) iunMl£iHE2E2£_ x->o sin3x- einSx 11) lim х-чО sin — • sin4x 14) lim —-----------• 12) lim X-»l 17) lim 2x‘ 5x^ - 3x^ + 4x - 6 *-»-! 7x* -3x®-5x + l' 15) lim X -3x + 2 2Tx-7x + 7’ sinSx- cosx x-»o arctg 4x 6. Решите неравенство методом интервалов: 1) -—^^<0; ■' (2-х)х 3) (МГУ, ИСАА) х^-х-6 7i2 + x-x* 5) 7х* -Зх-4 >х-2; 7) (ВолГУ) 7х + 2-7х^>1; >0; 2) £-!-?£!лЗ£ ^ 0; (x-lKx-2) 4) 15-rJj. < 0; 7х*+Х-6 6) 7х*-5х + 4 >х-3; 8) 7х + 2-73-х<3. 136 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ § 8. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Таблица 14 1. Понятие асимптоты Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность. 2. Вертикальные асимптоты {х = а) графика функции y = f{x) X = а — вертикальная асимптота, если при дг —> а f {х) —> оо Вертикальная асимптота х = а может быть в точке а, если точка о ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки а значения функции стремятся к бесконечности. Примеры вертикальных асимптот графиков функций 1 y = z у = \пх У = D(y) = (-оо; 0) и (0; +оо). При X —» -1-0 у —* +оо; при X -0 у —> -оо. л: = о — вертикальная асимптота {также у = 0 — горизонтальная асимптота) D{y) = (0; -Ьоо). При X —> -1-0 У -оо. X = о — вертикальная асимптота D{уУ. х*- + пк, keZ. При X—>"0 I/—>-Ноо; при х->^ + 0 у —>-оо. л х = - — вертикальная асимптота |x = -|-t-n*,feGzj J/f 2 о I 2 § 8. Асимптоты графика функции 137 Продолж. табл. 14 3. Наклонные и горизонтальные асимптоты (у = kx + Ъ) I. Если f(x) — дробно-рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты Примеры t, \ + 3х , о 2 ' ’ л: + 1 х + 1 Следовательно, у = х -¥ 2 — наклонная асимптота (также х = -1 — вертикальная асимптота) /(х) = ^^ = 2 + -. X X Следовательно, у = 2 — горизонтальная асимптота (также х = О — вертикальная асимптота) II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптот J/ = fex -t- Ь можно noajTiiiTb с использование.м фор.мул: Пх) к = Ит X-*”* X b = lim {f(x)-kx) Объяснение и обоснование 1. Понятие асимптоты. Если кривая у = f (х) имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность (то есть расстояние от точки (х, / (х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при движении ее вдоль ветви к бесконечности). 138 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными. Например, для графика функции у = — (рис. 75) асимптотами будут оси X координат, поскольку при х -оо и при х +сх5 график функции приближается к прямой у = 0; ось Ох — горизонтальная асимптота. А когда функция стремится к -Рс» (или к -сх>), то кривая приближается к прямой X = 0: ось Оу — вертикальная асимптота. Если рассмотреть функцию у = х+—, то при х оо выражение ——>0. X X Вследствие этого график функции у = х + — при jc —> оо приближается к пря- X мой у = X. Поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функции у = х + ^ (рис. 76) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту X = 0). Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика. 2. Вертикальные асимптоты. Если прямая X = а — вертикальная асимптота, то по определению около точки а кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при X а (слева или справа) должен равняться бесконечности (оо). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции. Например, у функции f(x) =----- дг-1 область определения (х 1) имеет разрыв в точке X = 1 (область определения: (-оо; 1) и (1; -1-оо) и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Поэтому можно предположить, что прямая х = 1 будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стре- § 8. Асимптоты графика функции 139 миться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим lim f{x)= lim -^ = ( —| = -ноо. Аналогично Ига /(л:) = (^) = -оо. х-»1+0 х-»1+0 Х-1 \+01 х-*1-0 \ -О / Таким образом, прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой д: = 1 (рис. 77, а). Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция f(^) = — имеет область определения х * 0. Поэтому прямая х = О 4подозрительна* на вер- 2 тикальную асимптоту. Но Ига/'(дг)= lira — = lirax = 0. Аналогично ж-»-0 х-»-0 X х-»-0 lira f{x) = 0. Следовательно, около прямой х = 0 функция f (х) не стремится х-»+0 к бесконечности, и поэтому прямая х = 0 не является асимптотой графика данной функции (рис. 77, (У). 3. Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определениеа симптоты. ^ Например, еще раз рассмотрим функцию f(x) =------. х-1 Выделим целую часть: fM- (х*-1) + 1 х-1 = х + 1 + - х-1 140 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ При X оо выражение *-1 ->0, то есть график нашей функции будет неограниченно приближаться к прямой у = х + 1 при х —> оо. Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая у = х+1 (рис. 77). Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае. • Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции y = f(x) является прямая у = кх + Ь. По определению асимптоты при X —> оо график функции f (х) неограниченно приближается к прямой у = кх + Ь. Другими словами, при х —> оо с любой точностью будет выполняться равенство /(x)-Ax + fe. (1) Это равенство не нарушится, если обе его части разделить на х 0. По- лучим: При X -То есть X X оо отношение------>0, поэтому отношение —--^к при х X X . /I*) к = liin---. ... Л' (2) Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при х —> схз Ь « / (х) - кх, то есть 6 = lini (Дх)-Лх). (3) Полученные формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции у = f (х) (при условии, что они существуют). Отметим, что если у графика функции f{x) есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет у = Ь {в этом случае к = 0). Но при А = 0 из формулы (3) получаем Ь = Ит/(х). Следовательно, если существует число b = lim/(x), то график функции y = f{x) имеет горизонтальную асимп- X-*» тоту у = Ь. Замечание. Можно рассмотреть более общее определение наклонной и горизонтальной асимптоты. Пусть функция у = f (х) непрерывна на интервале (М; +оо), где М — некоторое число. Прямую I — у = кх + Ь называют асимптотой графика функции у = f (х), если выполняется условие lim(/(x)-(Ax + b)) = 0. Последнее равенство означает, что расстояние от точки А (х; f (х)) кривой до точки В (х; кх + Ь) прямой стремится к нулю (тогда и расстояние от точки А до прямой I стремится к нулю), но при таком определении кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке. * Построение графиков таких функций рассмотрено в § 6. § 8. Асимптоты графика функции 141 Например, для функции = получаем, что lim{/(x)-0) = lim^^^^ = 0. ^ Х->» ' ' Следовательно, прямая у = О является горизонтальной асимптотой графика sinj: функции f(x) = - (рис*. 78). Задача 1 Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимп- .2 тоту графика функции f(x) = х-\ Решение ► Будем искать наклонную асимптоту в виде у = kx + Ь, где ки Ь находятся по формулам (2) и (3): k = lim= lim = lim , ^ ^ = lira = —Ц- = 1; ДГ-*« X Х-»«» (Х — 1)Х 44) i_i 1-0 X 1 6 = lim (/(x)-fejc) = lim 1-^^-----jc) = lim —^ = lim ——^ = lim — x-*«»\x —1 / 1 x-»~ l\ x-^« , 1 1 — 0 44) = 1. 1- Асимптотой графика данной функции будет прямая у = kx + Ь, то есть прямая у = X + 1. <1 Задача 2 Найдите асимптоты графика функции f{x) = -Jx* + 9-х^. Решение ► Область определения функции: х — любое действительное число. То есть D{f) = (-оо; +с») (или D(f) = R). На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде у = kx + Ь. Тогда 9 <с{^х^ + 9 + x^'j х\у1х* + 9 + = 0; ’ На рисунке 78 масштаб по осям Ох и Оу различный. 142 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ / f—--- Ч Ux* +9 + хЛ Ь = lim (f(x) - kx) = lim [у1х* + 9-x^) = lim ^^ = ^x*+9 + x^ = 0. = lim f — _Jijjj *“*“ 'Jx* +9 + *■*” yjx* *9 + X* Поэтому заданная функция имеет только горизонтальную асимпто-Tyi/ = 0(j/ = 0'j:-t-0) (рис. 79). <1 Отметим, что иногда график функции y = f (х) может иметь разные асимптоты при х —> -оо и при X +00. Поэтому при использовании формул (2) и (3) иногда приходится отдельно находить значения hub при X —) -сж и при X —»-)-оо. Вопросы для контроля 1. Объясните смысл понятия «асимптота кривой». 2. Приведите примеры графиков функций, имеющих вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Объясните, почему соответствующие прямые являются асимптотами. 3. Обоснуйте формулы для нахождения коэффициентов горизонтальных и наклонных асимптот (у = kx + Ь) графика функции у = f (х): = b = lim(/(x)-Ax). X х-»~ Упражнения Найдите асимптоты графиков функций (если они существуют) (1—4). 1. 1) у = ~; X 2. 1) f(x) = 2x^ + 1 3. 1) Ax) = -V; X 4. 1) у = х + 1 2) 1/ = 4--^; х-3 3) у = 5—Zl. х-3 ’ 2) Пх) = 2) /(х) = х-3 1 х^ + 1 3) f(x) = 3) Пх) = х^-1. х + 2 ’ 3x^+5. Vl + X^ о\ /2.0 Го 04 X Vx ---—; 2) у = ых‘ + Зх + 2; 3) у = ~2—; х*+1 4) 1/ = х + 1 х-Г 4) /(х) = х® + 1 х* + 2’ х=*-4 4) /(х)= , X +4 4) |/ = Vx* + х § 9, Производные обратных тригонометрических функций 143 ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ Таблица 15 1. Формулы производных обратных тригонометрических функций (arcsinxT= . -1 < X < 1 VI - X (arccosx)' = - •п -1 < X < 1 (arctg х)' = (arcctg дс)' = - 1 +х 2. Доказательство тождеств с помощью производной Условие постоянства функции Функция / (х) является постоянной {f (.v) = С) на интервале (а; Ь) тогда и только тогда, когда f (х) = О во всех точках этого интервала (а если функция f (х) непрерывна на отрезке fa; Ь], то f (х) = С на fa; Ь]). Схема доказательства тождеств вида ф (х) = g (х) с помощью производной Пример Доказать, что агссоз ^ = arcsin х при -1 < X < 1. 1. Рассмотреть вспомогательную функцию (X) = ф (X) - g (X) (на ее области определения или заданном интервале). 2. Проверить, что /' (х) = О на этом интервале. 3. Исходя из условия постоянства функции, сделать вывод, что функция ^(х) = С на рассматриваемом интервале. 4. Чтобы найти постоянную С, нужно подставить вместо X любое значение Хр из рассматриваемого интервала и доказать, что С = / (Хр) = О. 5. Сделать следующий вывод; поскольку /■ (х) = ф (х) - g{x) = О, то ф (х) = g (х). ► Рассмотрим функцию f (х) = arccos ^ ^ + arcsin х. Ее область определения D(f) = [-1; 1]. На интервале (-1; 1) Г(х) = - Vl^ -0-1- = 0. Тогда по условию постоянства функции получаем, что f (х) = С при всех значениях х из интервала (-1; 1), а с учетом того, что функция f (х) непрерывна на своей области определения, и при всех значениях х из отрезка [-1; 1]. Чтобы найти значение С, подставим в равенство / (х) = С вместо х, например, значение х = 0. Получаем: С = / (0) = arccos о - - ч- arcsin 0 = -- - + 0 = 0. Значит, при всех значениях х из отрезка [-1; 1] / (х) = arccos X - ^ н-arcsin X = 0. Отсюда arccos х = ^~arcsin х при -1 < X < 1. <С 144 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Объяснение и обоснование 1. Формулы производных обратных тригонометрических функций докажем, используя определение этих функций (существование их производных примем без доказательства). • Назщимер, если у = arcsin х, то согласно определению арксинуса 1/е л п 2' 2J и sin у = X. Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную sin у как производную сложной функции. Получаем (sin у)' = х', то есть cos у у’ = 1. Отсюда cosy Но cos I/= ±-y/l - sin* £/ =±>/l-x^. Учитывая, что cosy > О, получаем cos г/= Vl-x*. Тогда при -1 < х < 1 (в этом случае 1 - О и 1 - > 0) имеем у' = 4l- -. Поэтому при -1 < X < 1 (л resin дг)' = • Аналогично, если у = arccos х, то согласно определению арккосинуса у € [0; 7t] и cos у = X. Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную cos у как производную сложной функции. 1 Получаем (cos у)'= х', то есть (-sin j/) • i/'= 1. Отсюда у' = — smy Но sin у = ±л/Г^cos‘ у лучаем sin у - лЯ- *"=±ч/Г^ и 1 - > 0) имеем у' = - Учитывая, что у е [0; п], где sin у > 0, по-*. Тогда при -1 < X < 1 (в этом случае 1 - х^ Ф 0 1 =. Поэтому при -1 < X < 1 (arccos х)' = - 4^: О • Найдем производную функции у = arctg х. По определению арктангенса и tg I/= X. После дифференцирования последнего равенства получаем (tg у)' = х', то есть 2 COS у у' = 1. Отсюда y' = cos^y. Но 1 + tg*«/ = - 1 COS у Тогда cos^y- l + tg*y 1 + х*' Следовательно, при любых значениях х (arctg .г)' = 1 ♦ х" Аналогично, если у = arcctg х, то согласно определению арккотангенса у е (0; л) и ctg у = х. После дифференцирювания последнего равенства § 9. Производные обратных тригонометрических функций 145 получаем (ctg у)' = х', то есть--------j— sin у 1 + ctg^ у= к . Тогда sin*i/ = •у' = 1. Отсюда у'= 1 . 2 Sin у 1 + ctg^ у 1 + х^ Следовательно, при любых значениях х (arcctg хУ = — -sin^ у. Но 2. Доказательства тождеств с помовдью производной. В пункте 6.1 рассмотрено условие постоянства функции: если на некотором интервале (а; Ь) f' (х) = О во всех точках этого интервала, то функция f (х) постоянна на этом интервале. Если функция f (х) также непрерывна на отрезке [а; б], то она постоянна и на отрезке [а; Ь]. Это условие можно использовать для доказательства некоторых тождеств. Задача 1 Докажите тождество 2 arccos х = arccos (2х^ - 1), где О < х < 1. Решение ► Рассмотрим вспомогательную функцию f(x) = 2arccos х - arccos (2х^ - 1) и найдем ее производную при О < х < 1: 2 . 4лг 2 , 4х 2,2 Г(Х) = - Vl-(2x^-1)^ Vl-X^ 2xVl-x^ л/l-x^ л/Г = 0. По условию постоянства функции получаем, что f (х) = С при всех значениях X из интервала (0; 1), а учитывая, что функция f (х) непрерывна на своей области определения, — и при всех х из отрезка [0; 1]. Чтобы найти С, отметим, что равенство f (х) = С выполняется тождественно, то есть при любом значении х. Подставляя в это равенство х = 0, получаем: С = /(0) = 2 arccos 0-arccos (-1) = 2-^-71 = 0. Поэтому С = 0 и, значит, f(x) = 0, то есть 2 arccos х - arccos (2х^ - 1) = 0 или 2 arccos х = arccos (2х^ - 1). <3 Приведенное решение позволяет предложить следующую схему доказательства тождеств вида (р (х) = g (х) с помощью производной. 1. Рассмотреть вспомогательную функцию / (х) = <р (х) - g (х) (на ее области определения или на заданном интервале). 2. Проверить, что f (х) = 0 на этом интервале. 3. Пользуясь признаком постоянства функции, сделать вывод, что f(x)= С на рассмотренном интервале (если функция f (х) также непрерывна на отрезке, содержащем концы рассмотренного интервала, то f (х) = С на этом отрезке). 4. Чтобы найти С, подставляем вместо х любое значение Xq из рассмотренного промежутка и доказываем, что С = fiXg) = 0. 5. Сделать вывод: поскольку / (х) = ф (х) - g (х) = 0, то ф (х) = g (х). Пример использования этой схемы приведен в пункте 2 таблицы 15 на с. 143. 146 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Вопросы для контроля 1. Запишите формулы нахождения производных обратных тригонометрических функций: arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х. 2. Обоснуйте формулы нахождения производных обратных тригонометрических функций. 3. Объясните на примере схему использования производной для доказательства тождеств. Упражнения 1. Найдите производную функции: 1) / (^) = arcsin X • arctg х; 2) f (х) = arcctg^ х; 3) f (х) = X* arcsin 2х; 4) f (х) = arcsin Зх + arccos 4х; 5) Дд:) =arcsin(sinx); 6) f (х) = yfarctg х^. 2. Запишите уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хд, если: 1) f (х) = arctg X, х„ = 1; 3. Докажите тождество, используя производную: 2) f (х) = arcsin 2х, х^ = -. 1) arctgx + arcctgx = ^; 2) arccosx = n + arctg Vi при -1 < X < 0; 3) arccos X = arctg 4) arcsin X = arctg X X , 0 < X < 1; , -1< X < 1; 5) 2 arctg X = arctg 6) 2 arctg X + arcsin 2x l-x* 2x , -1< X < 1; = Я, x> 1; 7) (x -I- a)^ = X* -f 4x^a + 6x*a* + 4xa’ + a*. § 10. Вторая производная. Производные высших порядков 147 ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ПОНЯТИЕ ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ Таблица 16 1. Понятие ВТО рой производной Понятие Запись Пример Пусть функция у = f (х) имеет производную f (х) во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией аргумента х. Если функция f (х) дифференцируема, то ее производную называют второй производной функции f (х) и обозначают f (х) (или у") y = f (лс), у' = Г (X), у" = (Г (X))' = (уУ. У = х\ у' = 5х\ у" = (5х^)' = 20х*. 2. Понятие выпуклости и точек перегиба дифференцируемой на интервале (а; Ъ) функции У‘ f(x^) к \ \ функция f {х) называется выпуклой вниз на интервале (а; Ь), если для любой точки Хд из этого интервала при всех X 6 (а; Ь) я X * Хд график функции лежит выше касательной к этому графику в точке f (^о))- 0 Х(, X У‘ /(^о) функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (а; Ь), если для любой точки Хд из этого интервала при всех X 6 (а; Ь) и X Ф Хд график функции лежит ниже касательной к .этому графику в точке /| 1 0 Хо X У* f{x^) м/' Точка М графика непрерывной функции /(х), в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба графика функции. В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Абсциссу Хд точки М перегиба графика функции /(х) называют точкой перегиба функции f (х). Точка Хд разделяет интервалы выпуклости функции. уГ I 0 Хо X 148 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 16 3. Свойство графиков выпуклых функций М, М. а x^ Xj ь X Если функция f (х) выпукла вниз на интервале (а; Ь) и точки М, и являются точками ее графика на этом интервале, то на интервале (х,; Х2) график функции у = f (х) лежит ниже отрезка М,Мз, то есть график лежит ниже хорды. Если функция f (д:) выпукла вверх на интервале (а; Ь) и точки М, и являются точками ее графика на этом интервале, то на интервале (Xj; х^ график функции у = f (х) лежит выше отрезка MjM2, то есть график лежит выше хорды. 4. Достаточные условия выпуклости функции, имеющей вторую производную на заданном интервале (а; Ь) Условие выпуклоаи вниз Условие выпуклоаи вверх Если на интервале (а; Ь) дважды дифференцируемая функция f (х) имеет положительную вторую производную (то есть f" (х) > О при всех X е (а; Ь)), то ее график на интервале (а; Ь) направлен выпуклостью вниз. Если на интервале (а; Ь) дважды дифференцируемая функция f (дс) имеет отрицательную вторую производную (то есть f (дг) < О при всех X € (а; 0), а на интервале (-1; 3) — выпуклостью вверх (/" (х) < 0). Точки перегиба: х = -1 их = 3(в этих точках f" (х) меняет знак). <1 7. Расширенная схема исследования функции для поароения ее графика Схема Пример 1. Найти область определения функции. Д.2 _ gjp Постройте график функции f (х) = ► 1. Область определения: х / -4. (то есть D(f) = (-оо; -4) U (-4; -Ноо)). 150 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 16 2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической'). 2. Функция / (х) ни четная, ни нечетная, поскольку f (-х) Ф f (х) и f (-х) Ф -f (х), и не периодическая. 3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти). 3. На оси Oj/ значение х = 0, тогда I/ = 0. — 5х На оси Ох значение w = 0:----= 0, х^ - 5х = 0, х+ 4 X (х - 5) = 0. Тогда х = 0, х = 5 — абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. 4. Г(х) = (2х-5)(х + 4)-(х“ -5х) X* + 8х - 20 Произ- 4. Производная и критические точки функции. (х + 4)‘ (х+4)‘ водная существует на всей области определения функции /(х). Поэтому функция f(x) непрерывна в каждой точке своей области определения. /' (х) = 0. При х Ф -4 имеем х^ + 8х - 20 = о, X, = 2, Xj= -10 — критические точки. 5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстре.мума (и значения функции в этих точках). 5. Отметим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (см. рисунок). Знак f (х) „ -10 -4 Х1ОВ0|Ц0НИ0 ITldX f(x) у* min Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков (-оо; -10] и [2; -)-оо) и убывает на промежутках [-10; -4) и (-4; 2]. Так как в критической точке (-10) производная меняет знак с ♦+» на «-», то х= -10 — точка максимума. В критической точке 2 производная меняет знак с ♦-» на «-)-», поэтому X = 2 — точка минимума. Итак, ^nu„ = -10, тогда = / (-10) = -25; ^min = 2, тогда = /(2) = -1. * Чаще всего периодичность устанавливают для тригонометрических функций. В рассмотренном примере функция не может быть периодической, так как ограничения области определения не повторяются. § 10. Вторая производная. Производные высших порядков 151 Продолж. табл. 16 6. Повеление функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные). —со -Ноо ^-оо. + СО При X ^ -А слева f (х) j а при X -А справа f (д:) (то есть lim f{x) = -oo, lim /(jc) = +cx5). дг->-4-0 дс-»-4+0 / Следовательно, прямая х = -А — вертикаль-нала симптота. Так как f(x) = -5х JC (х + 4) - 9 (д: + 4) + 36 х + 4 то при X —> оо = х-9 + 36 36 х + 4 х+4 х+4 -> о, тогда / (х) —> X - 9, то есть прямая у = X - 9 — наклонная асимптота. f" = (2х + 8)(х + 4)^ - 2(х + 4)(х^ + 8х - 20) ^ (х + 4)'* 72 (х + 4)-’ 7. Вторая производная и исследование функции па выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках). Поскольку f (х) о, то знак второй производной может меняться только в точке х = -4. Получаем такие знаки второй производной и соответ-ствуюпц1Й характер выпуклости (см. рисунок). Знак Г(х) + Поведение /(х) выпуклость < \ / вверх выпуклость вниз 8. Найти координаты дополнительных точек графи1;а функции (если нужно уточнить его поведение). X -7 -2 у -28 7 152 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 16 Объяснение и обоснование 1. Вторая производная и производные выспшх порядков. Если функция y = f (х) имеет производную /' (х) во всех точках некоторого промежутка, то эту производную можно рассматривать как функцию от аргумента х. Если функция f (х) является дифференцируемой, то ее производную называют второй производной от f (х) и обозначают f (х) (или у"). Например, если f (х) = 2х - sin х, то f (х) = (2х - sin х)' = 2 - cos х, тогда f (х) = (2 - cos х)' = sin х. По аналогии со второй производной определяют и производные высших порядков. Производную от второй производной функции f (х) называют третьей производной, или производной третьего порядка этой функции, и т. д. Таким образом, производной п-го порядка функции f (х) называют производную от производной (п - 1)-го порядка этой функции. Производную п-го порядка функции f (х) обозначают (х). Например, если f (х) = х^, то* f' (х) = (х^)' = 5х^; f (х) = (5х*)' = 20х®; Г' (X) = (20х®)' = 60х=; f«(x) = (бОх^)' = 120х; Р^{х) = (120х)' = 120; /'«>(х) = (120)' = 0. 2. Выпуклость функции. Пусть функция f (х) определена на интервале (а; Ь), а в точке Хд б (а; Ь) имеет конечную производную. Тогда к графику этой * Четвертую, пятую и шестую производные функции f (х) часто обозначают соответственно так: f (х), f'' (х), f (х). § 10. Вторая производная. Производные высших порядков 153 функции в точке М (Хд; f (Xq)) можно провести касательную. В зависимости от расположения графика функции относительно касательной функцию называют выпуклой вниз, если график расположен выше касательной (рис. 80), или выпуклой вверх, если график расположен ниже касательной (рис. 81). Соответственно и сам график в первом случае называют выпуклым вниз, а во втором — выпуклым вверх. Приведем соответствующие определения и свойства для функции f {х), определенной и дифференцируемой дважды на интервале (о; Ь). Функция / (х) называется выпуклой вниз на интервале (а; Ь), если для любой точки х„ из этого интервала при всех х е (а; Ь) и х * х„ график функции лежит выше касательной к этому графику в точке (х^; f (х,,)). Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (о; Ь), если для любой точки х„ из этого интервала при всех х е (а; Ь) и х х„ график ф^дшпии лежит ниже касательной к этому графику в точке (х„; f (х„)). Отметим, что на интервале, где функция f (х) является выпуклой вниз, ее производная /'(х) возрастает. Действительно, как видно из рисунка 80, при возрастании аргумента х величина угла ср, который касательная к графику функции f (х) образует с положительным направлением оси Ох, возрастает, я принимая значения между -- -. Тогда tg ф = /' (х) также возрастает. На интервале, где функция f (х) является выпуклой вверх, ее производная /'(х) убывает. Действительно, как видно из рисунка 81, при возрастании аргумента х величина угла ф, который касательная к графику функции f (х) образует с положительным направлением оси Ох, убывает, принимая значения между ^ Тогда tg ср = ^' (х) также убывает. Можно доказать, что имеют место и обратные утверждения. 1. Если производная fix) функции f (х) возрастает на интервале (а; Ь), то функция f (х) являет- Рис. 81 ся выпуклой вниз на этом интервале. 2. Если производная f (х) функции f (х) убывает на интервале (а; Ь), то функция f (х) является выпуклой вверх на этом интервале. Эти свойства позволяют сформулировать достаточные условия выпуклости функции (и графика функции). 1. Ес.1и на интервале (а; Ь) дважды дифференцируемая функция f (х) имеет положительную вторую производную (то есть f (х) > 0 при всех х е (а; Ь)), то ее график па интервале (а; Ь) направлен выпук.тостью вниз. 154 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 2. Если на ннтерва.1е (а: Ь) дважды дифференцируемая фунш^ия / (дс) имеет отрицательную вгорую производную (то есть f’ (д:) < О при всех х € (а; Ь)), то ее график на интервале (а; Ь) направлен выпуклостью вверх. Действительно, пусть, например, f" (д:) > О при всех х е (а; Ь). Если рассматривать f (дс) как функцию от дс, то f'(x) является производной этой функции (Г(х) = (/'(^с)У)- Тогда, имея положительную производную, функция f{x) возрастает на интервале (а; Ь). Следовательно, по свойству 1 функция f (дс) является выпуклой вниз на этом интервале, а значит, и ее график будет выпуклым вниз на интервале (а; Ь). Аналогично обосновывается и второе достаточное условие. Отметим, что эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми. Например, функция у = х* выпуклая вниз на всей числовой прямой (рис. 82), хотя в точке д: = О ее вторая производная у" = 12х^ равна нулю. Обратим внимание, что в случае, когда функция f (дс) выпуклая вниз на интервале (о; Ь), и точки М, и являются точками ее графика на этом интервале (рис. 83), то на интервале (дс,; х^, где а < х^ < х^ < Ь, график функции у = /(х) лежит ниже отрезка М^М^. Этот отрезок по аналогии с отрезком, соединяющим две точки дуги окружности, часто называют хордой кривой. Следовательно, в этом случае на интервале (х,; Хз) график лежит ниже хорды. Если функция f (х) выпуклая вверх на интервале (а; Ь) и точки М, и являются точками ее графика на этом интервале (рис. 84), то на интервале (х,; Xg), где а < х, < Xg < Ь, график функции у = f(x) лежит выше отрезка М,Мг, то есть график лежит выше хорды. 3. Точки перегиба Точка М графика непрерывной функции / (х). в которой существует ка-сательнан и при пере.ходе через которую кривая изменяет направление выпуклости, называется точкой перегиба графика функции. Учитывая определения выпуклости функции вверх и выпуклости функции вниз (с. 153), получаем, что касательная к графику функции по одну сторону от точки касания расположена выше графика, а по другую сторону — ниже графика, то есть в точке перегиба касательная пересекает § 10. Вторая производная. Производные высших порядков 155 Рис. 85 кривую (рис. 85), а сам график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Отметим, что абсциссу точки перегиба графика функции f (х) называют точкой перегиба функции. Тогда Хд является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз функции f (х). Точки перегиба дважды дифференцируемой функции можно находить с помощью ее второй производной. Приведем достаточное условие существования точки перегиба. Пусть функция f (х) имеет на интервале (а; Ь) вторую производную. Тогда, если Г(х) меняет знак при переходе через х„, где Хд е (а; h), то х„ — точка перегиба функции f (х). • Действительно, если функция f (х) имеет на интервале (а; Ь) вторую производную, то она имеет на этом интервале и первую производную. Следовательно, функция f (х) непрерывна на заданном интервале и существует касательная к графику функции в точке с абсциссой х^. Пусть f (х) < о при х< Xq и Г (х) > о при X > Хц (на заданном интервале). Тогда, используя достаточные условия выпуклости функции, получаем, что при х<Хц график функции f (х) направлен выпуклостью вверх, а при х> х^ график направлен выпуклостью вниз. Таким образом, точка Хр является точкой перегиба функции f (х). Аналогично рассматривается и случай, когда Г (-зс) > о при X < Хр и /" (х) < о при х > Хр. И в этом случае Хр является точкой перегиба функции f (х). О Для нахождения промежутков выпуклости функции и точек ее перегиба следует учесть следующее. • Пусть функция f (х) задана на интервале (о; б) и в каждой точке этого интервала имеет вторую производную f (х), которая является непрерывной функцией на заданном интервале. Если для точки Хр из этого интервала Г ^ то» учитывая непрерывность функции Г (.х), получаем, что в некоторой 5-окрестности этой точки вторая производная также будет положительной. То есть для всех х е (Хр - 5; Хр 5) значения Г (х) > 0. Но тогда в интервале (Хр - 5; Хр -f- 5) функция f (х) направлена выпуклостью вниз и точка Хр не может быть точкой перегиба функции f (х). Аналогично, если /" (Хц) < о, то в некоторой окрестности точки Хр функция / (х) направлена выпуклостью вверх и точка Хр не может быть точкой перегиба функции f (х). Следовательно, в рассмотренном случае точкой перегиба может быть только та точка Хр, в которой вторая производная равна нулю. Получаем необходимое условие существования точек перегиба (для дважды дифференцируемой функции): если функция f (х) задана на интервале (а; Ь), в каждой точке этого интервала имеет вторую производную f (х), которая является непрерывной функцией на заданном интервале, и имеет точку перегиба х„, то Г (JCo) = О. 156 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Например, функция у = (рис. 86) имеет точку перегиба дг = О, в которой ее вторая производная равна нулю. Действительно, у' = Здг*, у" = Ьх, у" (0) = 0. При дг > о значение у" (д:) > 0: график направлен выпуклостью вниз; при дс < о значение у" (дс) < 0: график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, О — точка перегиба функции. Отметим, что точка перегиба функции f (х) может быть и в той точке Хд, в которой f (Хд) не существует (но f (Хд) существует). Например, функция у = х^[^ (рис. 87) определена на всей числовой прямой, имеет перегиб в точке 0, в которой существует ее первая производная у' = {у[х^) =-\/х^ (j/ (0) = 0), но не существует вторая 3 производная (у" (0) не существует). 2х 3^ 10 9^ При X > о значения у" (х) > 0 и график направлен выпуклостью вниз, а при х < 0 значения у" (х) < 0 и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, о — точка перегиба функции. Для нахождения промежутков выпуклости функции f (х) необходимо решить неравенства Г(х) > 0 и f (х) < о на области определения функции f (х). Поскольку f (х) также можно рассматривать как функцию переменной х, то в случае, когда функция f (х) является непрерывной в каждой точке своей области определения, для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, основанное на следующем свойстве: точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции f (х) на промежутки, в каждом из которых f (х) сохраняет постоянный знак. Учитывая это свойство и рассмотренные условия выпуклости функции и существования ее точек перегиба, можно выделить такую схему исследования функции f (х) на выпуклость и точки перегиба. 1. Найти область определения функции. 2. Найти вторую производную. § 10. Вторая производная. Производные высших порядков 157 3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует*. 4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения. 5. Записать необходимый результат исследования (интервалы и характер выпуклости и точки перегиба). Применение этой схемы показано в таблице 16. Обратим внимание, что использование второй производной позволяет более детально исследовать свойства функции для построения ее графика. В таблице 16 (с. 149) приведена расширенная схема (по сравнению со схемой на с. 82) исследования функции для построения ее графика и пример ее использования. В эту схему дополнительно включено нахождение интервалов выпуклости функции, точек перегиба и асимптот графика функции (см. также § 8). Вопросы для контроля 1. Используя график функции, объясните, какая функция называется выпуклой вверх, а какая — выпуклой вниз. 2. Используя график функции, объясните, какая точка называется точкой перегиба графика функции. Что называют точкой перегиба функции? 3. Объясните, как располагаются на соответствующем интервале графики выпуклых вверх и выпуклых вниз функций относительно хорды, соединяющей две точки этого графика. 4. Сформулируйте достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции, имеющей вторую производную на заданном интервале. Приведите примеры. 5. Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования точек перегиба функции, которая имеет вторую производную на заданном интервале. Приведите примеры. 6. Охарактеризуйте схему исследования функции на выпуклость и точки перегиба. 7. Охарактеризуйте расширенную схему исследования функции для построения ее графика. Упражнения 1. Найдите вторую производную данной функции: 1) / (х) = X® - Зх=* -t- 5; 2)f (х) = г* In х; 3) / (х) = X cos х; 4) f (х) = x^sin х. ’ По аналогии с критическими точками (см. с. 63) те внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует, часто называют критическими точками второго рода, или критическими точками по второй производной. 158 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 2. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба для функции: f (х) = X* - +1; 2) f {х) = cos 2х при -п < х < л; 3) f(x) = - 4) f(x) = Inx 1-х‘ X 3. Исследуйте функцию по расширенной схеме и постройте ее график: 1) /w = - 1 Х-х"- 2) /(х) = 1 х^ + х' 3) f(x) = 9 ’ X -4 4) f(x) = 9 * x^-l 5) f(x) = 1 x^ - 4x + 3 6) /(x) = ^; X -1 7) f(x) = e-^. С§п) ПРИМЕНЕНИЕ производной К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Применение производной к решению уравнений и неравенств В учебнике для 10 класса (см. § 3, 28, 37) было рассмотрено использование свойств функций для решения некоторых уравнений. Иногда для выяснения необходимых свойств функций целесообразно использовать производную. Это прежде всего нахождение промежутков возрастания и убывания функции и оценка области значений функции (соответствующие приемы такого исследования приведены в таблице 17). Таблица 17 1. Оценка значений левой и правой частей уравнения Ориентир f{x)=g(x) f(x)> а g (х) ' а I = ]g(x) =а Если нужно решить уравнение вида f(x)= g (х) и выяснилось, что f(x) ^ а, g (х)' я, то равенство между левой и правой част51ми возможно тогда и только тогда, когда одновременно f (х) н g (х) равны а. Пример Решите уравнение л/х-1 + \13-х = х^-4х + 6. ► Оценим значения левой и правой частей уравнения. ^ (х) = X* - 4х -I- 6 = (х - 2)* -I- 2 > 2, f (х) = л/х-1 +л/3-х. Исследуем функцию f (х) на наибольшее и наименьшее значения с помощью производ- , X -1 > о, „, . 1 1 ной. D (/): ( то есть 1 < х < 3. f (х) = —j=-------j= '3-х>0, 2л/хЛ 2л/^ Производная не существует в точках 1 и 3 из области определения функции f (х), но эти точки не являются внутренними для D (/), следовательно, они не являются критическими. § 11. Применение производной к решению уравнений и неравенств 159 Продол ж. табл. 17 /' (X) = 0. 1 1 = 0, 2у[7^ 2^-х л/з-JC =yjx-l, 3 - X = X - I, X = 2 — критическая точка (f' (2) = 0). Непрерывная функция* f (х) задана на отрезке [1; 3], поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах этого отрезка, или в критической точке этого отрезка. Поскольку / (1) = / (3) = >/2, а / (2) = 2, то тах/(х) = /(2) = 2, то есть** f (х) < 2. Кроме того, g (х) > 2. 1>:3| Следовательно, заданное уравнение равносильно системе |>/х^ + >/3-х=2, |(х-2)Ч2 = 2 Ответ: 2. <] <=>х = 2. 2. Использование возрастания и убывания функций Схема решения уравнения 1. Подбираем один или несколько корней уравнения. 2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения, или оценку значений левой и правой частей уравнения, или следующее свойство функций: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения). Теоремы о корнях уравнения Пример I. Если в уравнении f (х) = а функция f (х) возрастает (убывает) па некоторо.м промежутке, то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке. 1. Уравнение имеет корень” 2х -Ь cos X = я л X = — 2 2 • - + cos - = 71, то есть л = я 1. 2 2 / * В точке X = 1 функция f (х) непрерывна справа, а в точке х = 3 — слева (см. с. 124). ** Мы могли бы точнее оценить область значений непрерывной функции / (х): поскольку min f (x) = f (1) = f(3) = л/з, то у/з < f (х)< 2, но для приведенного решения П:>1 достаточно оценки f (х) < 2. *** Корни в примерах 1 и 2 получены подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: х = 0, ±1, +2 ..., которые подставляют в заданное уравнение, а для тригонометрических уравнений проверяют также «табличные» значения: 0 1 Я _1_ ^ 1 7t , ±-, ±-, ±-, 6 4 3 160 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 17 Других корней это уравнение не имеет, поскольку функция / (л) = = 2х + cos X возрастающая (ее производная f (х) = 2 - sin X > О при всех значениях х из области определения: D(f) = R). п 2' Ответ: Если в уравнении f (х) - g (д:) функция / (х) возрастает на некотором промежутке, а функция g (х) убывает на этом промежутке (или наоборот), то это уравнение .может иметь не больше чем один корень на этом промежутке. 2. Уравнение е’"-х = •Jx +1 1 имеет корень* X = о е -0 = -р—, то есть V V0 + 1 1 = 1). Других корней это уравнение не имеет, поскольку его ОДЗ: х > 0 и на этой ОДЗ функция / (х) = е* - х является возрастающей (ее производная /' (х) = е' - 1 равна нулю при X = о и /' (х) > о при X > о, а учитывая непрерывность функции f (х), получаем, что / (х) возрастает при X > 0). Функция ^(x) = -T=i— убыва- 1 ет при X > о _1 2^ ig'(x) = <0 при X > 0). Сле- довательно, уравнение f(x) = g (х) имеет единственный корень х = 0. Ответ: 0. Объяснение и обоснование Как отмечалось в § 3 учебника 10 класса, для решения уравнений в курсе математики используются методы точного и приближенного решения. При * Корни в примерах 1 и 2 получены подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: х = 0, ±1, ±2 ..., которые подставляют в заданное уравнение, а для тригонометрических уравнений проверяют также «табличные» значения: 0,7Г _1_^ I It , ±-, ±-, ±-, ±-. ... . 6 4 3 2 § 11. Применение производной к решению уравнений и неравенств 161 этом методы точного решения уравнений не могут полностью удовлетворить потребности практики, поскольку с их помощью в основном решаются только некоторые уравнения отдельных видов. В курсах высшей математики обосновано, что даже для уравнения вида f {х) = О, где f {х) — многочлен, точное решение можно записать для любого уравнения только в том случае, когда оно не выше четвертой степени. Если же f (х) — тригонометрическая, показательная или логарифмическая функция, то для произвольного уравнения вида f (х) = О нет общих методов точного решения. С помощью элементарных функций корни таких уравнений можно выразить через их коэффициенты лишь в отдельных, достаточно ограниченных частных случаях. Потому важное значение для удовлетворения потребностей практики имеют различные методы приближенного решения уравнений. В курсах математики используются так называемые численные методы, с помощью которых можно определять корни уравнений различных видов с заданной точностью. При этом, как правило, численное решение состоит из двух этапов. Сначала отделяем корни, то есть находим достаточно узкие промежутки области определения уравнения, на каждом из которых находится лишь один корень данного уравнения. Для отделения корней уравнения f (х) = О можно воспользоваться свойством непрерывной функции, приведенным в § 7: если непрерывная на отрезке [о; Ь] функция f (х) принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. Если также известно, что на рассматриваемом отрезке функция возрастает (или убывает), то на этом отрезке уравнение f (х) = О будет иметь единственный корень и такая точка будет единственной. Например, в уравнении 5х* - Юх" -Ь 10х - 76 = О (1) для непрерывной функции f (х) = 5х® - 10х^ ■+■ 10х - 76 значение / (1) = - 71 < О и / (2) = 24 > 0. Следовательно, на отрезке [1; 2] заданное уравнение имеет корень. Также на этом интервале (и на всей числовой прямой) функция возрастает, поскольку /'(х) = 25х^-ЗОх^-|-10 = (5х*-З) +1 > 0, поэтому на отрезке [1; 2] уравнение 5х® — 10х® + 10х - 76 = 0 имеет единственный корень. Концы промежутка [а; б], в котором находится корень, можно рассматривать как первое приближение искомого корня. Левый конец промежутка является приближением корня с недостатком, правый — с избытком. На втором этапе происходит сужение границ промежутка, который содержит корень уравнения. Такое сужение проводят несколько раз до тех пор, пока не будет найдено приближенное значение корня с нужной точностью. Для этого применяется соответствующий сходящийся циклический процесс, с помощью которого по известному приближению корня определяется его более точное приближение. Одним из таких процессов, с которым вы знакомились в курсе информатики, является метод половинного деления. Напомним его. 162 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Пусть на отрезке [а; Ь] задана непрерывная функция у = f (х). Если значения функции на концах от1)езка имеют разные знаки, то по свойству непрерывной функции это означает, что внутри данного отрезка находится хотя бы один корень уравнения f (х) = 0. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждом шаге вдвое длины от- резка. Находим середину отрезка [о; 6]; с = а + Ь Вычисляем значение функ- ции / (с). Если f (с) = о, то корень найден, а если f (с) 0, то выбираем тот отрезок, на котором функция f (х) меняет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью е вычисления корня (или станет меньше г). Например, пусть требуется найти корень уравнения (1) с точностью до е = 0,07. Сначала отделяем корень на отрезке [1; 2] (напомним, что / (1) < 0 и f (2) > 0) и выполняем несколько однотипных шагов вычислений. Находим середину отрезка [1; 21: с = ^-^ = - и находим /[ -] = -41—<0. 2 2 UJ 32 Поскольку на отрезке ^•2 2’ функция / (х) меняет свой знак, то искомый корень находится на этом отрезке. Теперь находим середину отрезка f 1].-30 29 1024 <0 и берем отрезок 2^^ 7 с = —— = —, находим 2 4 , где функция меняет свой знак. 7 Дальше находим середину отрезка + 2 4 15 С = —— = —, находим 2 8 151 „ 9717 „ ^ 15 „ f — =-7-------<0 и выбираем отрезок —;2 8 ) 32768 8 , где функция меняет свой знак. Поскольку длина полученного отрезка равна 0,125 > 0,07, то снова на- 15 ходим середину отрезка и выбираем отрезок Н-2 8 ’ с = 8 31 ,(31'I _ 165147 - ^----=—, находим Л— =7-------------->0 2 16 V16j 1048576 , где функция меняет свой знак. Длина послед- ^31 . 8 ’ 16_ него отрезка равна 0,0625 < 0,07. Поскольку искомый корень х находится в последнем отрезке, то 1,875 < х < 1,9375 и в качестве приближенного значения можно выбрать, например, среднюю точку последнего отрезка, то есть с точностью до е = 0,07 значение корня уравнения (1) равно х » 1,90. Естественно, в практических задачах приведенные вычисления проводятся § 11. Применение производной к решению уравнений и неравенав 163 с использованием специальных компьютерных программ. Например, более точное значение корня уравнения (1), вычисленное с помощью такой программы: X » 1,90777... Отметим, что численные методы решения уравнений не только не уступают методам их точного решения, но и имеют значительно более широкую область применения при решении задач практики. Однако в курсе алгебры и начал анализа из приближенных методов обычно рассматривается только графический метод решения уравнений, который не дает высокой точности нахождения корней уравнения, с его помощью чаще всего можно получить лишь грубые приближения корней. Поэтому, как уже отмечалось в учебнике 10 класса, в школьном курсе алгебры и начал математического анализа под требованием «решить уравнение* обычно понимается следующее: «используя методы точного решения, найти корни данного уравнения», а приближенные методы решения уравнений можно использовать только тогда, когда об этом идет речь в условии задачи. В силу указанных причин поиск плана решения приведенных ниже уравнений (многие из которых предлагались на вступительных экзаменах в различные вузы страны) ведется исходя из предпосылки, что у каждого из этих уравнений имеются «достаточно хорошие* корни (которые иногда даже удается подобрать). Если же для заданного уравнения эта предпосылка окажется неверной, то для его решения придется использовать методы приближенного решения. В таблице 17 показано применение производной для реализации способов решения уравнений, которые связаны с использованием свойств функций и были рассмотрены и обоснованы в учебнике для 10 класса. Напомним, что эти способы чаще используются в тех случаях, когда мы не можем решить заданное уравнение с помощью равносильных преобразований или уравнений-следствий (или тогда, когда такое решение является очень громоздким). Отметим, что использование производной также позволяет при решении некоторых уравнений реализовать следующую схему рассуждений. Допустим, мы смогли подобрать два корня заданного уравнения вида f (х) = а. Чтобы доказать, что уравнение не имеет других корней, достаточно убедиться, что функция f{x) имеет только два промежутка возрастания или убывания (на каждом из которых уравнение f{x) = а может иметь только один корень). Если функция f(x) дифференцируема на каком-либо промежутке, то характер возрастания или убывания функции f (х) на этом промежутке может измениться только в ее критических точках. Например, если в точке jCq возрастание дифференцируемой (а следовательно, и непрерывной) функции изменилось на убывание, то это означает, что в точке Хд функция имеет максимум, но тогда х^ — критическая точка. Таким образом, для того чтобы дифференцируемая на интервале функция имела на этом интервале не больше двух промежутков' возрастания или убывания, достаточно, чтобы на этом интервале она имела только одну критическую точку. * Имеется в виду, что рассматриваются промежутки наибольшей длины. 164 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ единственная критическая точка Пример Решим с помощью указанной выше схемы уравнение 3*^2 - 26х = 29. Решение ► Заданное уравнение имеет корни х = -1 (3"’ * * - 26 • (-1) = 29, 29 = 29) и дг = 2 (3* ^ * -26'2 = 29, 29 = 29). Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого достаточно доказать, что функция f (д:) = 3*^® — 26дс имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Действительно, D{f) = R, f (д:) = 3^^““ In 3 - 26 существует на всей области определения функции f (дс). Если f' (jc) = О, то 3*^^ In 3 - 26 = О, 3^** In 3 = 26 , Тогда функции f {х). Если отметить эту критическую точку на области определения функции f {х) (на множестве К), то область определения разобьется на два промежутка, в каждом из которых функция будет или возрастать, или убывать (на промежутке (-оо; функция f {х) убывает, а на промежутке [дСд; +оо) — возрастает). Тогда в каждом из этих промежутков уравнение f (jc) = 29 может иметь не больше чем один корень, то есть всего заданное уравнение может иметь не больше двух корней. Два корня этого уравнения мы уже подобрали. Следовательно, заданное уравнение имеет только эти два корня: X = -1 и дс = 2. Ответ: - 1, 2. < Аналогичные рассуждения для случая, когда для уравнения вида f (х) = а удается подобрать три корня, приведены далее в задаче 2 на с. 166. Отметим также, что при решении неравенств вида / (х) ^ О методом интервалов описанные выше приемы решения уравнений с использованием производной часто приходится применять для нахождения нулей функции f (х) (см. задачу 5, с. 169). Примеры решения задач Задача 1 Решите уравнение 3* + З^"-' =3(1+ cos 2лх). (1) Комментарий Поскольку у нас нет формул, которые позволяли бы преобразовывать одновременно и показательные, и тригонометрические выражения, то попробуем решить заданное уравнение, используя свойства соответствующих функций. В частности, оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Для функции, стоящей в правой части уравнения, это легко сделать и без производной, а для исследования функции, стоящей в левой части уравнения, можно использовать производную (см. решение) или неравенство между средним арифметическим и средним геометри ческим: ^^> у[аЬ , где а > О, Ь > О (тогда ^ — 2 2 3" + 3"-* > 2. V3*"*-' = 2 • л/з^ = 6). >2-* следовательно. § 11. Применение производной к решению уравнений и неравенав 165 Знак f (д:) _ Поведение Пх) пип Решение ► ОДЗ заданного уравнения — все действительные числа R. Оценим значения левой и правой частей уравнения. Поскольку cos 2пх принимает все значения от (-1) до 1, то 1 -I- cos 2пх принимает все значения от О до 2. Тогда функция ^ (д:) = 3 (1 -t- cos 2лд:) принимает все значения от О до 6. Следовательно, О < ^ (д:) < 6. Функцию f (х) = 3"^ -1- 3^“* исследуем с помощью производной. D {f ) = R. f' (х) = 3"" In 3 - З‘'“^1п 3 = 3*“^1п 3 (3^""'^ - 1) существует на всей области определения функции f (х). f (х) = 0, 32-'1пЗ(32--2_ 1) = о. Поскольку 3“ Чп 3 О, то 3*'^-’’- 1= О, 321-2_ 2х - 2 = О, X = 1 — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции / (х) и находим знаки производной в каждом из полученных промежутков (рис. 88). Непрерывная функция f (х) имеет на интервале (-оо; -1-оо) только одну критическую точку, и это точка минимума (в ней производная меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, в этой точке функция принимает свое наименьшее значение: /(1) = 6. Таким образом, f (х) > 6. Учитывая, что g (х) < 6, получаем, что заданное уравнение f (х) = g (х) |fW = 6, U(X) = 6. Но значение 6 функция f (х) принимает только при х= 1, что удовлетворяет и второму уравнению системы: ^(1) = 3(1-1-соs 2л) = 6. Следовательно, полученная система (а значит, и заданное уравнение) имеет единственный корень х = 1. Ответ: 1. <] Отметим, что уравнение (1) можно решить еще одним способом, описанным в учебнике для 10 класса (см. § 37) под названием «Ищи квадратный трехчлен*, в котором предлагается попробовать рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной (или относительно какой-либо функции). ► В частности, заданное уравнение можно записать так; Рис. 88 равносильно системе 3'-1-^-3 (1-1-cos 2лх) = 0. Замена 3* = t, где t > 0, дает уравнение <-1-у-3(1-1-со8 2лх) = 0, которое при t > 0 равносильно уравнению <^-3(1-1- cos 2лх) /-1-9 = 0. (2) Если уравнение (2) рассмотреть как квадратное относительно переменной /, то для существования корней его дискриминант должен быть неотрицательным. Следовательно, П = 9(1 -1- cos 2лх)^ - 36 > 0, Тогда (1 -1--н cos 27Lc)^ > 4, а учитывая, что l-fcos2Tix>0 всегда, получаем 1 -f cos27ix5>2. 166 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ то есть cos 2ядг > 1. Но в последнем неравенстве знак «больше* не может выполняться (значения косинуса не бывают больше 1), следовательно, cos 2пх = 1, (3) Тогда уравнение (2) преобразуется в уравнение - 6< + 9 = О, то есть (^ - 3)2 = О, i = 3. Обратная замена дает: З"'= 3, следовательно, д: = 1, что удовлетворяет и уравнению (3). Ответ.'. 1. 1п | + (21п 4)*||| -1п^ существует при всех значениях х. Следовательно, критическими точками могут быть только те значения х, при которых ф' (х) = 0. Получаем однородное уравнение (81„2).(|)'.ln|441n2).(i)‘. 1п- = 0. Поскольку (41п2)-^-| 5*0, то после деления обеих частей уравнения на это выражение получаем равносильное уравнение 2 In ^ + 2^ - In ^ = 0. Отсюда 3 3 I 2 4 2‘=-----Учитывая, что 1п-<0, а 1п->0. получаем: ,4 3 3 In — -21п • 1п- 3 ->0. Следова- тельно, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция ф (х) имеет единственную критическую точку, и поэтому уравнение (2) имеет не больше двух корней. Это означает, что функция f (х) имеет не больше двух критических точек. Тогда уравнение (1) (а значит, и заданное уравнение) имеет не больше трех корней. Но три корня заданного уравнения мы уже знаем: 0, 1, 3. Следовательно, других корней заданное уравнение не имеет. Ответ: 0, 1, 3. <] Зх - Зр = sin X - sin I/, Задача 3 Решите систему уравнений \ [2х^-у^=1. Решение ► Заданнгш система равносильна Зх - sinx = 3у- sin у, 2х®-1/® = 1. системе (1) Комментарий Решить заданную систему с помощью равносильных преобразований не удается. Поэтому попробуем использовать свойства функций. 168 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Рассмотрим функцию f (О = 3t - sin t. Поскольку f' {t) = 3 - cos f > 0 всегда, TO на своей области определения (t е R) функция f (П является возрастающей. Тогда первое уравнение системы (1), которое имеет вид f(x)~ = f(y)y равносильно уравнению х = у. Следовательно, система (1) равно-\х = у, сильна системе < „ „ Под- ставляя х = у во второе уравнение системы, имеем 2у^-у^=1, у^=1,у = 1. Тогда X = у = 1. Ответ: (1; l). а= р. Задача 4 Решите неравенство ж" - л:® -t- 2jc < -4. Решение ► Заданное неравенство равносильно неравенству ж" - ж® 2ж + 4 < 0. Функция f (ж) = ж" - ж® -ь 2ж -t- 4 непрерывна в каждой точке своей области определения, поэтому для решения неравенства можно использовать метод интервалов. 1. ОДЗ: X е R. 2. Нули функции: f (ж) = 0. Найдем производную функции f (ж): f (ж) = 11ж'® - 6ж® + 2. Если обозначить ж® = /, то /' = llt^ - -ь 2. Но квадратный трехчлен - б< + 2 имеет отрицательный дискриминант, тогда для всех t: 11<^ - 6# + 2 > 0. Следовательно, для всех ж значение f (ж) > 0. Тогда функция f (ж) возрастает на всей числовой прямой и уравнение f (ж) = о может иметь только | Комментарий Заданное неравенство не удается решить с помощью равносильных преобразований, поэтому используем метод интервалов. Для этого неравенство необходимо привести к виду f (ж) S о, где f (ж) — непрерывная в каждой точке своей области определения функция, поскольку она является многочленом. Напомним схему решения неравенств методом интервалов. 1. Найти ОДЗ неравенства. 2. Найти нули функции: f (ж) = 0. 3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции f (ж) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства. § n. Применение производной к решению уравнений и неравенств 169 3. один корень. Поскольку /■(-!) = О, то л: = -1 — единственный нуль функции f (х). Отмечаем нули на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 89). Для нахождения нулей функции надо решить уравнение f (х) = О, которое не удается решить с помощью равносильных преобразований. Поэтому для его решения целесообразно использовать свойства функции f (х), в частности ее монотонность, которую можно обосновать с помощью производной. Ответ: (-оо; -1), <] ■И) I I * Задача 5 (ВШЭ) Решите неравенство у1х-3 + у/5-х >3 — Комментарий Попробуем решить заданное неравенство методом интервалов (см. схему решения в задаче 4). Для этого его необходимо привести к виду f {х)> О (где функция f (х) непрерывна в каждой точке своей области определения). При нахождении нулей функции для решения уравнения f{x) = О целесообразно использовать свойства соответствующих функций, в частности оценку значений левой и правой частей уравнения вида ^ (х) = ф (х). Значе- •И) ние функции ф (д:) = 3 - - легко оценить и без применения производ- ной, а для исследования функции g{x) = ^x-3 + \lb-x используем производную. Отметим, что в данном случае внутри ОДЗ мы не найдем ни одного нуля функции f {х) (см. далее решение: нулем является только крайняя точка ОДЗ). Но метод интервалов применим и в этом случае — мы получаем единственный интервал, в котором функция сохраняет свой знак. Решение ► Заданное неравенство равносильно неравенству •И) ■Jx-3 + ^3-x-3 + - I /- — * Функция f{x) = y/x-3 + \l5-x-3 + >0. (1) '(-i) непрерывна в каждой точке* П своей области определения, поэтому для решения неравенства (1) можно использовать метод интервалов. ’ Конечно, если учесть, что в точке 3 функция f (х) непрерывна справа, а в точке 4 — слева (см. ее ОДЗ). 170 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 1. ОДЗ: х-3>0, 5-х > о. 4 х>3, х<5, 3<х<4. -4<х<4, •И) -1^ = 0. 2. Нули:/(а:) = 0. \/х-3 + V5-x -3 + - Л Это уравнение равносильно уравнению / х\ arccos I — I -^ = 0. г-- I ' ых-3 + \J5-X = 3-- (2) Оценим значения функций g (а:) и ф (ас), стоящих соответственно в левой и правой частях уравнения (2). (\ arccos 1-^1 < л, то 0<----^-^<1. 4 / л ■И) Тогда 2<3 — <3. Исследуем функцию g(x) = \Jx-3 + yj5-x на ОДЗ неравенства (1), то есть при X е [3; 4]. Функция g (ас) непрерывна на отрезке [3; 4], поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах, или в критических точках этого отрезка. g' (ас) = —}----не существует в точке 3 отрезка [3; 4], но эта точка 2VX-3 2V5-X не является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, она не является критической. Выясним, когда ^ (ас) = 0. —г—-----г— —г— ~—} ' VS-x = л/ас-3, 5-х = х-3, х = 4. 2VX-3 2\1Ь-х 2VX-3 2V5-X Сравнивая значения g{3) = y/2 и ^ (4) = 2, получаем: ming (х) = g {3) = -j2, 13: <1 maxg(x) = ^(4) = 2. Следовательно, V2 (дг). После выполнения оценки значений функ- ций g (дг) и (р (дг) имеем: V2 < ^ (дг) < 2 , 2 < ф (х) < 3 и без метода интервалов можно сделать вывод, что неравенство g{x) > ф (х) не может выполняться. Следовательно, заданное неравенство равносильно уравнению g (х) = ф ( х), |ф(х) = 2, которое равносильно системе ( имеющей единственное решение 1^(х) = 2, X = 4. Но такие рассуждения можно провести только для этого конкретного неравенства, в то время как метод интервалов можно использовать для решения любого неравенства вида 7(x)i О (где функция f (х) непрерывна в каждой точке своей области определения). Поэтому основным способом решения таких неравенств мы выбрали метод интервалов. Вопросы для контроля 1. Объясните, в каких случаях удается решить уравнение с помощью оценки значений его левой и правой частей. Приведите пример. 2. Объясните, как можно использовать возрастание и убывание функций для решения уравнений. Приведите примеры. Упражнения Решите уравнение (1—7). 1. 1) Vx-2 + V4-x=x*-6x + ll; 2. 1) х + —= 2sin—; X 2 3) 4"" -I- 4‘** = 1 + 3 sin лх. 3. 1) X»- X» -I- 2х - 28 = 0; 3) 2x®-3x"-h 7x^ = 5. 4. 1) sin 5х - 2 cos х - 8х = х® - 2; 3) 4'-1 = 3"^-'. 5. 1) 2’*^ - 4х = 0; 3) 5'"2- 12х = 25. 6. 1) 3-2**“ -1- 5^ = 8-3^ + 5; 3)3-2'*^ + 6-7^"‘ = 3-5*"*4- 15. 2) 7^ + 7Э-х = х''-10х-(-29. 2) 2" + 2'’' = 2cosi; 3 2) 5х -ь 3 cos X = 3; 2) 4 cos Зх + 5 sin ^ -ь 15х = 4 - х®; 2) 3^-‘ - 4х = -3; 2) 3-2" - 3*+‘ -f 4" = 1; 172 Раздел!, ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 7. Решите систему уравнений: 14лг - sin дс = 4у - sin у, |зх^-1/ = 2; Решите неравенство (8—9). 8. 1) х’’ - X* + 3 X > -5; 3) log2 (2 - х) > 4х + 1. 9 (ВШЭ). 1) yJx + l+yj7-x>^-‘- 2) 2х-2у = sin д: - sin у, х + 2у = 9. 2) 2х® - X* + X > 2; (I). 2) >/х-2 + л/20-х >7- Я arccos (-п) Применение производной к доказательству неравенств Производную иногда удается использовать при доказательстве неравенств с одной переменной. Рассмотрим схему такого доказательства. Пример Докажите неравенство In (1 + х) < х при х > 0. Решение ► Для доказательства данного неравенства достаточно доказать неравенство 1п(1+х)-х < о при X > 0. Рассмотрим функцию 7 (^) = In (1 + х) - х при X ^ 0. Ее производная 1+х 1+х <0 при X > 0. Следовательно, функция f (х) убывает на интервале (0; +оо), а учитывая непрерывность функции f (х) в точке 0 (она непрерывна на всей области определения), получаем, что функция f{x) убывает и на промежутке [0; -t-oo). Но f (0) = 0. Тогда при X > о значение f (х) < f(0) = 0. Следовательно, In (1 -f- х) - х < 0, то есть In (1 -Ь х) < X при х > 0, что и требовалось доказать. (Отметим, что при X > о значение f (х) < f (0) = 0, а при х = 0 заданное неравенство обращается в равенство.) Это решение позволяет предложить следующую схему доказательства неравенств вида ф (х) > g(x) (или ф (х) < g(x)) с помощью производной. 1. Рассмотреть вспомогательную функцию f (х) = ф (х) - g(x) (на ее области определения или на заданном промежутке). 2. Исследовать с помощью производной поведение функции f (х) (возрас-тешие или убывание, ее наибольшее или нбшменьшее значение) на рассматриваемом промежутке. 3. Обосновать (опираясь на поведение функции f (х)), что / (х) > 0 (или f(x) < 0) на рассматриваемом промежутке, и сделать вывод, что Ф(х)> g (д:) (или (р (х) < g (х)) на этом промежутке. Обратим внимание, что при доказательстве некоторых неравенств эту схему приходится использовать несколько раз (см. решение задачи 1). § 11. Применение производной к решению уравнений и неравенств 173 Примеры решения задач Задача 1 Докажите неравенство sinx>x-^ при Комментарий Попробуем применить производную к доказательству данного неравенства. Для этого исследуем функцию, которая является разностью левой и правой частей неравенства: 2х^ f (д:) = sinx-JCH-. п Учитывая, что эта функция непрерывна на всей числовой прямой и / (0) = о, достаточно доказать, что функция возрастает на заданном промежутке. (Тогда из непрерывности функции следует, что она будет возрастать и на прюмежутке 0; ив этом промежутке из неравенства х> 0 будет вытекать неравенство f (х) > f (0) = 0, равносильное заданному.) Для доказательства того, что функция возрастает на заданном промежутке, достаточно доказать, что ее производная /' (д:) > 0. Если обозначить производную f (д:) как новую функцию g {х) = f' (д:), то нам надо доказать неравенство g (дг) > о, а для этого снова можно использовать приведенные выше рассуждения. Решение 2х^ ► Заданное неравенство равносильно неравенству з1пдс-д: + — >0. Рассмо- 71 Ог2 трим функцию /(д;) = зтд:-х +—. Эта функция непрерывна на всей число- Я вой прямой и имеет производную f {х) = совх-1 + —. Теперь рассмотрим Я функцию g (jc) = c03jc-l + — и докажем, что g (х) > 0 на промежутке Функция g (х) непрерывна на всей числовой прямой и имеет производную ^'(дс) = -зшд:-»-—. Учитывая, что —>1>з1пдг, получаем (дс) = —з1пд: + —>0. 71 я Я Следовательно, функция g (х) возрастает на всей числовой прямой и, в частности, на прюмежутке 0; -^j. Тогда согласно опртеделению возрастающей 4 • о функции при д; > о получаем, что g (д:) > ^(0), Но ^(0) = соз0-1+-= 0, то я есть при X G |о; f (х) = g {х)> 0. Это означает, что функция f (х) возрастает на интервале |о, , а так как она непрерывна, то возрастает и на про- межутке О, Тогда из неравенства х > 0 вытекает неравенство f (х)> f (0). 174 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 2*0 Но f (0) = sin О - О +-= О, следовательно, / (jc) > О при всех х G h)- Таким 2х^ образом, на этом интервале выполняется неравенство sin х-х + — >0, а зна- чит, и неравенство sin х>х----. <1 я 'Задача 2 Докажите, что при всех действительных значениях х выполняется неравенство Р 1 + х. Решение ► Рассмотрим функцию f (х) = - 1 - X. Область определения: D (f) = R. Производная /' (х) = - 1 сущест- вует на всей области определения. Следовательно, функция f (х) непрерывна на всей числовой прямой; Г(х)=0, е^-1=0,е^=1, х = о — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции f(x), определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 91). ЗнакГ(л^) - Поведение f (х) min Рис. 91 Как видим, непрерывная функция / (х) имеет на интервале (-оо; -(-оо) только одну критическую точку, и это точка минимума, то есть в этой точке функция принимает наименьшее значение на этом интервале. Тогда при всех действительных значениях х значения f{x)>f (0) = о, то есть - 1 - X > о. Следовательно, > 1 + х при всех действительных значениях х. 0 Комментарий Используем производную для доказательства данного неравенства. Для этого исследуем функцию f (х), которая является разностью левой и правой частей неравенства. При всех действительных значениях х эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей, и поэтому рассуждения, приведенные при решении предыдущих задач, нельзя использовать. Тогда попробуем в результате исследования найти наибольшее или наименьшее значение функции f (х) на всей числовой прямой. Для этого можно использовать свойство: если непрерывная функция f (х) имеет на заданном интервале только одну точку экстремума Хо и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке Хд. Далее воспользуемся тем, что когда в точке Хд функция принимает наименьшее значение на заданном интервале, то для всех значений х из этого интервала f (х) > f (Хд) (если необходимо, то можно также уточнить, что знак равенства достигается только в точке Хд). При доказательстве числовых неравенств или для сравнения двух чисел часто бывает удобно перейти к более общему функциональному неравенству. § 11, Применение производной к решению уравнений и неравенав 175 Задача 3 Сравните числа ti' и е". Комментарий Чтобы составить план решения, можно рассуждать следующим образом. Мы не знаем, какое из заданных чисел больше: тг' или е*, поэтому в ходе анализа поставим между ними знак «V», Этот знак неравенства, направленный вниз острым концом, свидетельствует о том, что мы не знаем, в какую сторону его следует направить. Будем выполнять преобразование неравенства до тех пор, пока не выясним, какое число больше. Затем заменим знак ♦V» соответствующим знаком неравенства: ♦>* или ♦<», которое и запишем в решении. (В ходе анализа, если необходимо поменять знак неравенства, знак «V» меняем на знак «л*, а в записи решения в соответствующем месте меняем знак неравенства.) При анализе запись вида Tt've* также будем называть неравенством (но, конечно, не в решении). Рассмотрим неравенство Tt' v е". Это неравенство с положительными членами (я > О и е > 0), следовательно, обе его части можно прологарифмировать. Поскольку функция In t является возрастающей, то после логарифмирования обеих частей по основанию е знак неравенства не изменится и мы получим неравенство In (Tt') v In (e*), то есть неравенство е In я v я1п е. Так как ея > о, то после деления обеих частей последнего неравенства на еп знак неравенства не изменится и мы получим неравенство Замечаем, п е что в левой и правой частях этого неравенства стоят значения одной и той In X же функции f (х) =—. Исследуем эту функцию с помощью производной на X возрастание и убывание. Далее, учитывая, что п > е, сравним полученные выражения, а затем и заданные выражения (выполняя все те преобразования, что и в ходе анализа, только в обратном порядке). Решение ► Рассмотрим функцию /(д:) = ^^. Ее область определения: х > 0. Произ- X водная Г (Ji^) = существует на всей области определения. Выясним, когда f (х) = 0: 1 - Injc = 0. Тогда на Знак/'(х) Поведение Пх) области определения получаем равносильное уравнение In х = 1, то есть X = е — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции f (х) и определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 92). Функция f(x) убывает на интервале (е; +оо), а так как она непрерывна на всей области определения, то она убывает и на промежутке [е; -Ьсх>), Рис. 92 176 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Поскольку п > е, то f (п) < f (е), то есть Умножив обе п е части этого неравенства на положительное число пе (знак неравенства не меняется), получаем неравенство е In л < nine. Тогда In (nf) < In (е"). Поскольку функция In t является возрастающей (е > 1), то тг' < е". Ответ: Tt' < е". <3 При доказательстве некоторых неравенств иногда можно использовать вторую производную и выпуклость соответствующих функций. Задача 4 Докажите, что при всех 0<х<— выполняется неравенство 2 31пх>-д:. я Решение ► Если f (х) = sin X, то f' (х) = cos х, f (д:) = -sin X. При О < X < - f {.х)< О, 2 следовательно, на интервале ^0;^ функция f (х) = sin X выпукла вверх. Тогда на этом интервале ее график лежит выше хорды ОА (рис. 93). Комментарий На тех интервалах, где функция f (х) = sin X выпукла вверх, график функции f (х) лежит выше соответ-I ствующей хорды (рис. 94, а), а на I тех интервалах, где эта функция ! выпукла вниз, график лежит ниже ' хорды (рис. 94, б). Прямая ОА имеет уравнение у= kx и проходит через точку А l|. Следовательно, 1 = Л—, то есть Л = -. От-2 я 2 сюда уравнение прямой ОА: у = -х. и Таким образом, при всех 0<х<^ выполняется неравенство Используем это при доказательстве данного неравенства: с помощью второй производной исследуем функцию f (х) = sin X на выпуклость, рассмотрим уравнение соответствующей хорды АВ и сравним уравнение хорды с уравнением прямой у=—х (где —X — функция, стоя- Я Я щая в правой части неравенства). sinx>-x. я § 12. Применение производной к решению задач с параметрами 177 Вопросы для контроля 1. Объясните, как можно применить производную к доказательству неравенства с одной переменной. Приведите примеры. Упражнения Докажите неравенство (1—4). 1. 1) х^- -t- 2л: > 20 при х > 2; 3) 2дг + -^>5 при 0<х<-. 2 2. 1) е'* > 1 - д: при х < 0; 3) е* > 1 + X + ^ при X > 0. 3. 1) tg X > X при хе|о,^|; 4. 1)1п(1 + х)>—^ при X >-1; зс + 1 5. Сравните числа: 1) 1000'“* и 1001>«>«; 3) (Ig 5)3 и З'*з. 2) а® -Ь 4 > дз -I- За при а > 0; 2) е' > ех при х > 1; 2) С08Х>1--^ при хб^0;^|; 2) 2х In X < X® - 1 при X > 1. 2) (s/2f и ПРИМЕНЕНИЕ производной К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ При решении задач с параметрами производная может использоваться для исследования функции на монотонность и экстремумы, для исследования функции и построения ее графика, для записи уравнений касательных к графикам функций, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Задача 1 Найдите все значения параметра а, при которых функция у = (а + 2) X® — Зax^ -I- 9ах - 2 убывает для всех х е R. Решение ► Область определения функции: D(y) = R. Функция дифференцируема на всей числовой прямой: у' = 3 (а + 2)х® -- бах + 9а. Заданная функция будет убывать при всех х е Я, если у' < о на всей числовой прямой, причем уравнение у' = 0 имеет только конечное (или счетное) множество корней. Комментарий Используем уточненный вариант условия убывания функции (с. 74). Если f (х) < О в каждой точке интервала (а; Ь), причем уравнение /' (х) = о имеет только конечное (или счетное) множество корней, то функция f (х) убывает на этом интервале. Отметим, что это условие является не только достаточным, но и необходимым для диффepeнщ^pyeмoй 178 Раздел! ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ няются условия (1) Если а = -2, то i/' = 12x - 18 и неравенство у' < О не выполняется на всей числовой прямой (12jc-18<0 только при X < 1,5). Если а * -2, то производная является квадратичной функцией относительно переменной х, она принимает значения у' < О на всей числовой прямой тогда и только тогда (см. таблицу в комментарии), когда выпол-I а + 2 < О, iz)< О (при этом уравнение у' = О может иметь разве что один корень). Из неравенства а + 2 < О получаем а < -2. Из неравенства D < О имеем: Зба^ - 4-3(0 -I- 2)-9а < О, Збо (о - За - б) < О, Збо (-2о - б) < О, -72о(а + 3)<0. (2) Учитывая полученное условие о < -2, получаем, что (-72о) > О, тогда из неравенства (2) имеем о + 3 < О, то есть а < -3. Следовательно, система (1) о <-2, о<-3. на интервале функции {если на каком-либо интервале функция f (л) дифференцируема и убывает, то f'{x) < О на этом интервале — см. с. бб). Следовательно, условию задачи могут удовлетворять те и только те значения параметра, которые мы найдем по этому условию. Анализируя производную данной функции, учитываем, что она является квадратичной функцией только в случае, когда о -f- 2 / О (то есть о *■ -2). Поэтому случай о 2 = О (то есть о = -2) следует рассмотреть отдельно. Для квадратичной функции вспоминаем все возможные варианты расположения параболы относительно оси абсцисс (см. таблицу ниже) и выясняем, когда неравенство I/' < О выполняется для всех х е R. равносильна системе Отсю- да получаем о < -3. Ответ: (-сю; -3]. <1 Обратим внимание, что неравенство О < О (при а ^ -2), которое свелось к неравенству (2), можно было решать отдельно или методом интервалов, или с помощью графика квадратичной функции (исключая точку с абсциссой а = -2), а уже затем находить общее решение системы (1). Задача 2 Найдите наименьшее значение к, при котором график функции у = X*- Ак^х + ЗА^ касается оси абсцисс. Решение ► По условию ось абсцисс (имеющая уравнение (/ = О и угловой коэффициент 0) должна быть касательной к графику функции y = f{x) = x*~ Ак^х -Ь ЗА^. Комментарий Для того чтобы график функции касался оси абсцисс, необходимо, чтобы ось абсцисс была касательной к этому графику. Зная уравнение оси абсцисс: у = О (то есть § 12. Применение производной к решению задач с параметрами 179 Если Хд — абсцисса точки касания, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем /' (х„) = 0. Чтобы касательной была именно ось абсцисс (а не параллельная ей прямая, имеющая такой же угловой коэффициент), достаточно проверить, что f (Хо) = 0. Поскольку f (х) = 4х® — то f (х) = о, если 4x3 _ = 0. Следовательно, х® = и, учитывая возрастание функции у = получаем единственный корень х = ft. Тогда f (х„) = ft< - 4ft^ -ь 3ft2 = 3ft2 - Ш Выясним, при каких значениях ft /(JCo) = 0. Получаем 3ft^ - 3ft^ = о, 3ft2(l - ft") = о, 3ft"(l - ft)(l ft) = 0, ft = 0, ft = 1, ft = - 1. Следовательно, при этих значениях ft график функции f (х) касается оси абсцисс. Наименьшее из этих значений ft = - 1. Ответ: -1.0 у = Ох -I- 0), заданную ситуацию можно исследовать двумя способами. 1. Если касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хд имеет уравнение «/ = 0, то угловой коэффициент касательной равен 0. Тогда по геометрическому смыслу производной f' (Хд) = 0. Но угловой коэффициент о имеет не только ось абсцисс, но и все прямые, параллельные оси Ох (рис. 95, а, б). Чтобы касательной была именно ось абсцисс, необходимо, чтобы точка касания М находилась на оси Ох (рис. 95, а), то есть чтобы ордината этой точки равнялась о, следовательно, f (х„) = 0. 2. Можно записать также уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хр: y = f (л:о) + f (лсо) - ^о) и сравнить полученное уравнение с уравнением оси абсцисс: I/ = Ох -I- 0 (снова получим те же условия Г (Хо) = Ои /-(Хо) = 0). Задача 3 Найдите все значения а, при которых уравнение cos 2х ч- = -7 имеет хотя бы один корень. sinx Решение ► ОДЗ: sin X 0. На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно Комментарий Сначала начнем решать заданное уравнение по схеме решения тригоно- 180 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ уравнениям l-2sin^x + - = -7, sin X а = 2 sin* X - 8 sin х. Замена sin х = t (где t е [-1; 1] и f о на ОДЗ) дает равносильное уравнение 2f* - 8< = с. (1) Для заданного уравнения требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один ненулевой корень в промежутке [-1; 1]. Для этого достаточно обеспечить, чтобы число а входило в область значений функции f (t) = 2i* - 8t при t 6 [-1; 1] и i ^ 0. Найдем эту область значений. Производная f (0 = - 8 существует на всей числовой прямой, и f (t) = о при 2 -8 = 0, t = ±—f= (то есть крити-V3 ческие точки не входят в отрезок [-1; 1], поскольку Следовательно, на всем заданном отрезке f (0 сохраняет свой знак. Поскольку f (0) = -8 < 0, то f (f) < о при t 6 [-1; 1], то есть функция f (t) убывает на отрезке [-1; 1]. Тогда ее наибольшее значение на этом отрезке равно f (-1) = 6, а наименьшее — /(1)= -6. Учитывая, что /(0) = 0, получаем, что при t е [-1; 1] и f 5* 0 непрерывная функция f (t) принимает все значения из промежутков [-6; 0) и (0; 6]. Именно при этих значениях а и будет выполняться требование задачи. Ответ: [-6; 0) U (0; 6]. метрических уравнений (см. учебник для 10 класса, § 20), а именно: попробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу; если удалось привести к одному аргументу, то попробуем привести все тригонометрические выражения к одной функции... Указанные два этапа можно выполнить одновременно, используя формулу cos 2х = 1 - 2 sin* X. После замены sin х = t для исследования существования корней у полученного кубического уравнения удобно использовать графическую иллюстрацию решений (приведя уравнение к виду f (t) = а). Также можно найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f (<), заданной на отрезке, или воспользоваться свойствами функции f (<) на отрезке [-1; 1], исследованными с помощью производной (см. решение). § 12. Применение производной к решению задач с параметрами 181 Напомним, что после замены переменной требование задачи в задачах с параметрами чаще всего изменяется, поэтому необходимо выяснить новое требование для уравнения (1). Отметим, что достаточно наглядной является графическая иллюстрация решения (рис. 96), но исследование функции f {t) для построения графика более громоздко, чем в приведенном решении. Задача 4 При каких отрицательных значениях о уравнение sin® х х X cos X = а имеет единственный корень на интервале (0; я)? Комментарий Поскольку в условии задачи идет речь о количестве корней уравнения, то для его исследования удобно использовать графическую иллюстрацию решения. Для этого исследуем функцию у = sin® х cos х с помощью производной и построим на интервале (0; я) график этой функции, а также график функции у - а. Количество точек пересечения этих графиков и будет равняться количеству корней заданного уравнения. При построении графика функции у = sin® X cos X удобно воспользоваться непрерывностью функции на всей числовой прямой и построить график на отрезке [0; я], а затем исключить крайние точки. Для определения критических точек функции у приходится решать уравнение sin® х (3 cos® х - sin® х) = 0, из которого получаем sin® х = 0 или 3 cos® X - sin® X = 0. Последнее уравнение — однородное, решается делением на наивысшую степень одной из переменных. Учитывая, что случай sin® X = о уже рассмотрен, удобно обе части полученного однородного уравнения разделить на sin® х Ф 0 (напомним, что при делении на cos®x случай COSX = о необходимо рассмотреть отдельно). Решение ► Исследуем функцию у = sin® х cos х на интервале (0; я). Область определения функции у = sin® х cos х — множество всех действительных чисел, следовательно, заданный интервал полностью входит в область определения функции. Найдем точки пересечения с осями координат. На оси Оу х = 0, тогда у = о (но значение х = 0 не принадлежит заданному промежутку). На оси Ох I/ = 0: sin® X cos х = 0, отсюда sin х = 0 или cos х = 0, то есть х = nk, к е Z, или X = - -к ЯП, neZ. В интервал (0; я) входит только значение ^ ~ (а в от-2 ^ резок [0; я] входят точки х = 0 и х = я, которые также являются нулями функции). Производная у' = 3 sin® х cos® х - sin‘‘ х = sin® х (3 cos® х - sin® х) сущест- 182 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ вует на всей области определения функции. Следовательно, в критических точках у' = О, то есть sin^ X (3 cos^ X — sin* д:) = 0. Тогда sin* X = о (1) или 3 cos* X - sin* X = 0. (2) Уравнение (1) имеет корни х = nk, k е Z, которые не принадлежат интервалу (0; я). Если sin х ^ 0, то, разделив обе части однородного уравнения (2) на sin* X / о, получим равносильное ему уравнение 3 ctg* х — 1 = 0. Отсюда ctgx = -p или ctgx = —Тогда х = - + лш, meZ, или х = — + лт, meZ. V3 V3 3 . 3 Интервалу (0; я) из множества корней, заданных первой формулой, принадлежит только х = —, а из множества корней, заданных второй формулой, — 3 2л только X =-. 3 Отмечаем эти критические точки на интервале (0; я) и выясняем поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 97). Находим значения функции в критических точках и строим график функции на интервале (0; я) (рис. 98). На этом же рисунке строим и график функции у = а при а < 0. Как видим, при а < 0 уравнение sin* X cos X = о имеет единственный корень на интервале (0; я) только при а = — 16 Ответ: <3 16 Упражнения 1. Найдите все значения параметра а, при которых функция а*-1 у =----х^-{а-1)х^ + 2х + 1 возрастает при всех X е R. § 12. Применение производной к решению задач с параметрами 183 2 (РЭА). При каком значении а прямая 16 + у - 13 = 0 является каса- тельной к графику функции у = а + х 3 (МИСиС). Найдите наибольшее значение к, при котором график функции у - х^ + 2{к +1) X -f 2к'^ + к — 1 касается оси абсцисс. 4. Зная, что уравнение + 2 = ах при х > 0 имеет только один корень, найдите этот корень и соответствующее значение а. 5 (ГАНГ). График функции у = -х® + ах^ + Ьх + с пересекает ось Ох в точ- ке с абсциссой X = -2 и касается оси Ох в точке с абсциссой х = 7. Найдите точки локального минимума этой функции. 6 (ВолГТУ). Найдите значения а и Ь, при которых прямая у = 7х - 2 каса- ется графика функции у = ах^ -Ь Ьх 1 в точке А (1; 5). 7 (РЭА). Найдите значение а, при котором касательная к параболе у = 2х^ -I- Зх + 5 в точке Xq = -2 является касательной к параболе у = -X* + 4х + а. 8 (МАИ). Найдите все значения параметра а, при которых функция Пх) = - 3-х^ а-2-Зх -X не является убывающей ни на каком отрезке, кото- рый принадлежит ее области определения. 3 48 9 (ЕГЭ С). При каких значениях параметра а уравнение х — = а имеет X хотя бы один корень? 10 (ЕГЭ С). Найдите все значения а, при которых уравнение 4 sin® X = а + 7 cos 2х не имеет корней. 11 (ЕГЭС). Найдите все значения а, при которых уравнение 3 cos 2х -I- 2а = -17 имеет хотя бы один корень. 12 (ЕГЭ С). Найдите все значения а, при которых уравнение 7 — 2 cos X = а (1 4- tg® х) имеет хотя бы один корень. 13 (ГУУ). Стороны треугольника лежат на осях координат и касательной к графику функции г/ = х® 4- 4х + 4 в точке, абсцисса а которой удовлетворяет условию -1 < а < 0. Найдите значение а, при котором площадь треугольника будет наибольшей. 184 Раздел! ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ § 13Л ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Пусть функция f (х) в точке х„ имеет производную f (Xq). Дифференциалом функции f (ж) в точке ж„ называется произведение производной f (ж„) на приращение аргумента Ддг в точке дг„. Дифференциал функции обозначается символом df (Хо). Поэтому df{Xo) = f'(Xn)-i^x. (1) Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. На рисунке 99 МВ — касательная в точке М к графику функции у = f (х), длина отрезка МА = Дх. Учитывая, что согласно геометрическому смыслу производной tg ф = /' (Хд), из прямоугольного треугольника AM В получаем АВ = AM tg ф, то есть АВ = f' (х^) Дх. Поэтому длина отрезка АВ равна величине дифференциала функции f (х) в точке Xq: АВ = df{Xg). Исходя из того, что АВ = ВК - АК, можно сформулировать геометрический смысл дифференциала: df (Хц) = ВК - АК. С геометрической точки зрения df(x^ является приращением ординаты касательной, проведенной к графику функции у = f (х) в точке х^, которому соответствует приращение аргумента Дх. При нахождении дифференциала функции f (х) в любой точке х е D{f) на основании формулы (1) получим: df{x) = Г(х)Лх. (2) Это равенство справедливо для любой функции. В частности, для функции / (х) = X равенство (2) обращается в следующее равенство: df (х) = 1 • Дх. Отсюда получаем, что дифференциал аргумента dx равен приращению аргумента Дх: dx = Дх. Подставляя dx вместо Дх в формулу (2), получаем: df (X) ^ Г (x)dx. (3) Найденное равенство является основанием для нахождения дифференциала функции. Задача 1 Найдите df (х) для функции f (х) = sin х. Решение ► Поскольку f (х) = cos X, то d (sin х) = cos х • dx. <] Равенство (3) также показывает, что между понятием производной и понятием дифференциала существует тесная связь. Поэтому и правила § 13. Дифференциал функции 185 нахождения дифференциалов аналогичны правилам дифференцирования функций, а именно: 1. dC = О. 2. rf(C«) = С-da. 3. d (и •: и) = du ± dv. 4. d (иг) = (du) • а + (dv) • и. 5 I ^ I'-tdli)- u Обоснуем, например, правило 2: d (Си) = (Си)' dx = Cu'dx = Cdu. Другие правила обосновьшаются аналогично (обоснуйте их самостоятельно). Вспомним, что согласно определению производной /'(Хо)= lim—. Ис- Дг-^О Дг пользуя понятие бесконечно малой функции (таблица 11), это равенство можно записать так: — = f'(x„) + a(x), где а (х) О при Ах —» 0. Тогда при- Дд: ращение Д/ дифференцируемой в точке х^ функции f (х) равно: Af = f' (jc„) • Ajc + а (дг) • Ах, где а (х) -4 0 при Ах —> 0. В этом равенстве первое слагаемое правой части является дифференциалом функции, следовательно, Af (Хо) = df (Хо) + а (х) ■ Ах. (4) Учитывая, что а (х) —» О при Дх О, получаем, что второе слагаемое при Дх —> О стремится к нулю быстрее, чем Дх. В этом случае говорят, что а (х) • Дх является величиной более высокого порядка малости, чем Дх, то есть второе слагаемое значительно меньше первого слагаемого. Это позволяет сделать следующий вывод: дифференциал функции d/(X(,) является главной частью приращения функции. С геометрической точки зрения (см. рис. 99) при Дх —> 0 расстояние ВС становится значительно меньше, чем расстояние АВ = df (Xq), поэтому AS = df (Хр) — глгшная (т. е. большая) часть отрезка АС = Af. Если в равенстве (4) пренебречь вторым слагаемым (которое при малых значениях Дх значительно меньше первого слагаемого), то получим приближенное равенство Af (Хр) = df (Хр), то есть f (Хр -I- Дх) - f (Хр) = /' (Хр) • Дх. Тогда f (Хр + Дх) = f (Хр) -ь Г (Хр) • .Лх. (5) Последнее равенство используется для разных приближенных вычислений функций в тех случаях, когда f (х„) и /' (Хр) нетрудно вычислить. 186 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Задача 2 Пользуясь формулой (5), найдите приближенное значение Решение ► Если рассмотреть функцию f{x) = 4x, то f'{x) = —Возьмем 2у]х Хо = 9. Тогда f(Xo) = y[^ = у/9 = 3 и = W = = По формуле 2у1х^ 2V9 6 (5) имеем: yjxg + Ал: а + —^^Ах. При Ах = 0,06 и Хо = 9 получаем 7^ »3 + --0,06 = 3,01. <] Комментарий При вычислении значения \j9,06 по формуле (5): f (х„ + Ах) = f (хо) + Г (Хо) • Ах естественно рассмотреть функцию m)=7I и взять за Xq число 9, поскольку 9,06 близко к 9. Тогда Дх = 0,06 и значения Дхо) = 7^о “ Г(Хд) = —легко находятся при 2 7*0 х„= 9. Отметим, что значение у/9,06, вычисленное с помощью калькулятора, равно 3,00998... Упражнения 1. Найдите дифференциал функции: 1) Пх) = ~; 2) fix) = tgх; 3) f (х) = arcsin х; 4)/(х) = sin* Зх; 5) /(х) = 7х*-4-ctg х; 6) /(х) = X +1 " 2. Вычислите с помощью формулы (5) приближенное значение: 1) 2) 7^: 3) 71.004; 4) 725,012. 3. Докажите приближенную формулу (1 + Дх)" = 1 + пАх. 4. Вычислите значение: 1) 1,001'“®; 2) 1,03*““; 3) 0,995«; 4) 0,998*“. 5. Вычислите с помощью формулы (5) приближенное значение: 1) 8ш|Д-Ю,0з|; 2) cos|a + 0,04|; 3) sin||-0,02j; 4) tg(j-f0,05). Дополнительные упражнения к разделу 1 187 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1 1. Определите сумму решений уравнения: 2)1 2х - 1 I = 5; 4) i 4л: - 8 I + 1 2 - л: I = 4; 6)5|л: + 4|-2|4-л:| = 4. 2) I 2х - у I + 2 I 2 - л: I = 0. 2) 11/ - 11 + - 2ху + = 0. 1) |л: + 5| = 7; 3) |х + 7| = 2; 5)2|х-3|-|3-х| = 5; 2. Определите х + у, если: 1)|х-у| + |4-х| = 0; 3. Определите ху, если: 1) 1 X - 2 I + 4х^ - 4ху + J/2 = 0; 4. Найдите количество целых решений неравенства: 1)|х-1|<2; 2)|х + 2|<4; 3) | х - 3 1 ^ 6; 4)|х + 4|<5. 5. Найдите количество целых решений неравенства в промежутке [-5; 5]: 1)|х + 2|>3; 2)|x-ll>4; 3) [ х - 2 | > 3; 4) | 2х - 1| ^ 3. 6. Определите наибольшее целое решение неравенства: 1)1 Зх - 11 < 2х + 2; 2) |2 - Зх| - X < 8; 3) | 7 - Зх | - 2х < 2. 7. Определите наименьшее целое решение неравенства: 1)1 1 - 2х|- X < 10; 2) |3х - 21 + 2х < 8; 3) | 4х - 4 | + 4х > 5. 8. Определите наименьшее решение неравенства: 1)1 Зх + 11 < X + 7; 2) |2х + 3| < X + 12; Найдите наибольшее значение параметра а, имеет решение: 1)1 2х - 1 I = 1 - 4а; 2) |3х + 2| = 3 - 4а. Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение имеет решение: 1)1 2х - 11 = 4а + 1; 2) | Зх + 3| = 5о - 7. 11. Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет решение: 1)2|х-3|-а|3-х| = 5;' 2)3|x-2|-f-o|2-x| = -4. 12. Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет решение: 1)8|х-3| + а)3-х| = 5; 2)3|х-2|-а|2-х| = -6. 13. Определите значение параметра т, при котором уравнение имеет точно четыре решения: 1) |х(|х|-5)| = т; 2) |(х + 1)(|х + 1|-3)| = т; 3) |2(5-|х|)х| = /п. 14 (МГСУ). При каком наименьшем целом значении параметра т уравнение 9. 10 3) I 4х -t- 3 I при котором < X + 21. уравнение 1г2 — 16х - 48 I = ог имеет четыре решения? 15 (МГСУ). При каком значении параметра т уравнение х^ - | 14х - 28 | = m имеет единственное решение? 16. К какому числу стремится значение функции, если: 1) fix) = -3) /(х) = ^ - 5л + 6 ' + 5х + 6 -X X 1; 2) f{x) = X —> 1; 4) f(x) = - х‘ +5Х + 6 х^ -5JC + 6 2 X -> 1; X —> 1; 188 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 5) f (х) = cos X + sin X, х^-; 4 17, Найдите предел: + -¥1 6) f(x) = tgx + Ctg X, X -> -? 4 1) lim 4) lim sin X - sin a x-*o tg ДГ - tg a 18. Найдите асимптоты графика функции: 2) lim \/9x^+l-VxSl. 3) lim ^х® +2 X—»e 5) lim jc-tO Vx® +1-1. 6) lim x-»8 t X 8Ш X - sin о х-3 *-*8 Vx + 1-2 1) У = 2х* + X. 2) У = х®-2х + 4’ х-3 3) I/ = 1п (3 - х^); 4) J/ = logj (arctg х). 19. Исследуйте на непрерывность функцию: 1) f(x) = х^ - Зх^ + Зх - 1; 2) f {х) = + Зх^ + Зх + 1; 3) f (х) - sin х; 4) f (х) = cos х; 5) f(x) = 7) f(x) = 8) f(x) = IxsininpHX^O. 6) /(X) = 'j X cos^ при I ас I < 1, |х-1|при|х|>1; [0прих = 0; sin ЛХ, если x — рациональное число, О, если X — иррациональное число; Зх - 2, если X — рациональное число, [X , если X — иррациональное число. 20. Исследуйте на непрерывность функцию на указанном промежутке: г/ \ X -5х + 6 , _ 21. Найдите точки разрыва функции: |х + 2| лч \ X +5х + 6 2) f{x)— 2 , [9; 5]. 1) при X * -2, х+2 1 при X = -2; 2) У = X® - 5х + 6 1 (х-1) 3 при х = 1. при хф1. , X , если X — рациональное число, 3) Пх) = \ 2 [-Х .еслих — иррациональное число; . ч , у ч если X — несократимая дробь, х = —, 4) ;(х) = 1л п [о, если X — иррациональное число. Исследуйте функцию и постройте ее график (22—23). 22. 1) у = Ж + 1 сч Х^-1 5) У = -2—’ X -9 о\ 2д: 2) У = — 6) у = х‘ + 2 х^-4. х^-25’ 3 а о\ X “X -V X 3) = 4) 1 8) У = -г-^----• X* + 5х + 6 Дополнительные упражнения к разделу 1 189 1) у = X® 6х® + 9х; 2) у = |х«-3х"-4х; 3) у = X* - 4х® -1- 4; А) у = X* + 6х® -t- 9; 5) у = Vx^-2х + 1; 6) y = yjx^ + 2х + 1; -74 х®-1 04 х’‘-1 ‘'*|**.Г 24. Решите неравенство: 1) Г(х) < g’ (х), если f(x) = ^^-^, g{x) = 5x + ^i 2) f' (Jc) + ^ (x) < 0, если f(x) = 2x^ + I2x‘^, g(x) = 9x^ + 72x. 25. Решите уравнение: 1) fix) = - -fix) = 0, если f (x) = jc® In x; X 2) 1 + 5 / (x) + 6 /' (x) = 0, если Дх) = 1-х' 26. Найдите область определения функции и ее производную: а) y = arctg sin X + cos X б) у = arcctg sin X - cos X ■ j ^ -Jl-x^ 27. Найдите производную функции у (х) и вычислите ее значение в точке Х(,: 2) i/ = tg*|^ctg^j, Хо = 1; arctg X , 1) 1/ = ^sinjcos^j, Хо= 1; 4) y = log^,4 + log.,2, Xj, = -e; 5) j/= logjj2 + log^j(х^ +1), Xfl = e; 6) j/ = ln®|^arccos^j + e'^ •e"', x„ = л; 7) у = (tg xT^^\ Xo = b 8) у = (ctg X)**-, Xo = ^. 28. Под каким углом* пересекается с осью Оу график функции: 1) ^ = |tg|x-jj; 2) i/ = sin|2x + |j? 29 (МИСиС). 1) На кривой г/ = х® - 7х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = -5х -1- 3. 2) В каких точках касательные к кривой у = — -х^-х + 1 параллельны прямой у = 2х - 1? 30. 1) Найдите точку, в которой касательная к графику функции у = х^ перпендикулярна к прямой 2х - у + 1 = 0. 2) Найдите на графике функции у = -х^-х^-—х + — все точки, в каж- 3 5 5 дой из которых касательная к графику перпендикулярна к прямой 5х - Зу -Ь 2 = 0. ‘ Имеется в виду угол между осью Оу и касательной к графику функции, проведенной в точке пересечения графика и оси. 190 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 31. 1) В какой точке кривой у = ах'^ + Ьх + с необходимо провести касательную к ней для того, чтобы касательная проходила через начало координат? Исследуйте, при каких значениях а, Ь и с задача имеет решение. 2) В какой точке кривой у = х^ - 5х + 6 необходимо провести касательную, чтобы она проходила через точку М (а; Ь)? Исследуйте, при каких значениях а и Ь задача имеет решение. 32. 1) Найдите угол между касательными к графику функции у = х^ — х в точках с абсциссами -1 и 0. 2) Найдите угол между касательными к графику функции у = х^, проходящими через точку с координатами (0; -1). 33. 1) Из точки А(1; 6) проведены касательные к окружности + 2х - 19 = 0. Составьте уравнение этих касательных. 2) Составьте уравнение касательных к кривой у = х^ - ix + 3, проходящих через точку М (2; -5). 34. 1) Составьте уравнения касательных к кривым у = 2х^ — 5 и у = х^ - Зх + Ъ, проходящих через точки пересечения этих кривых. 2) Составьте уравнения касательных к графикам функций 1/ = >/2х и y-~^f проведенных через точку пересечения этих кривых. 35 (РЭА). 1) При каких значеш1ях а функция /(х) = + 3 (а - 7) л:* + 3 (а^ - 9) х + 1 имеет точку максимума? 2) При каких значениях а функция /(х) = -х®+(а + 2)х^-)-(о-1)хч-2 име- 3 ет точку минимума? 36 (МГУ, хим. ф-т). 1) Найдите наименьшее из расстояний от точки М с ко- ординатами (0; -2) до точек (х; у), таких, что у = 16 -2, X > 0. 2) Найдите расстояние от точки М(1; 0) до графика функции у = х^ + + 6х + 10 (то есть наименьшее из всех расстояний от точки М до точек графика). 37. 1) Найдите координаты точки М, лежащей на графике функции у = 1 + cos X при о < X < л и наименее удаленной от прямой х>/з + 2у + ^ = 0, 2) Найдите координаты точки М, которая лежит на графике функции у = 1 - sin X при ^ < X < ^ и которая наименее удалена от прямой x-V2i/-5 = 0. 38. 1) Найдите расстояние между графиками функций у = х^му = х — \ (то есть наименьшее из всех расстояний между точками этих графиков). 2) Найдите расстояние между графиками функций и = -х и и = —. X Дополнительные упражнения к разделу 1 191 39 (ННГУ), 1) Фигура ограничена параболой г/ = + 1 и отрезками прямых у = О, X = 1, X = 2. В какой точке М данной кривой j/ = х^ + 1, х G [1; 2], необходимо провести касательную, чтобы она отсекала от этой фигуры трапецию наибольшей плоп^ади? 2) В фигуру, ограниченную линиями у = Зх а у = х^, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на прямой, а две другие — на параболе. Найдите площадь этого прямоугольника. 40. 1) Найдите все значения о, при которых функция f (х) = а • 8^ - (За - 2) ■ 4' -I- 3 (За - 2) • 2^ не имеет экстремумов. 2) Найдите все значения а, при которых функция f(x) = а • S'' + (За + 1) * 4' -н (9а 4- 1)’ 2“ — 1 не имеет экстремумов. 41 (МТУСИ). 1) Найдите число, которое в сумме со значениями своего ква- драта дает наименьшее значение этой суммы. 2) Найдите такое положительное число, чтобы разность между ним и его кубом была наибольшей. 42 (ГАУ). 1) Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найдите тот, который имеет наибольший объем. 2) Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найдите тот, который имеет наибольшую боковую поверхность. 43 (МПГУ). Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет посто- янную заданную длину и образует с плоскостью основания угол а. При каком значении а объем пирамиды будет наибольшим? 192 Раздел!. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ 1. Из истории дифференциального исчисления. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения аргумента и функции вида Дх и ДЛ представляющие собой разности, играют заметную роль в работе с производными. Поэтому естественно появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это назвгптие появилось уже в конце XVII в., то есть во время возникновения нового метода. Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736-1813); он же ввел современное обозначение у', Такое название отражает смысл понятия: функция f' (х) происходит от / (х), является производной от / (х). Дифференциальное исчисление создано сравнительно недавно, в конце XVII в. Тем удивительнее, что задолго до этого Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.) не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль (используя при этом предельные переходы), но и смог найти максимум функции f (х) = х^ {а - х). Развитию начал дифференциального исчисления способствовали работы математика и юриста П. Ферма (1601-1665), который в 1629 г. предложил способы нахождения экстремумов многочленов. Следует подчеркнуть, что фактически в своих работах Ферма активно применял предельные переходы, имея простейшее дифференциальное условие максимума и минимума. Развитию нового исчисления способствовали также работы Р. Декарта (1596-1650), разработавшего метод координат и положившего начало аналитической геометрии. Систематическое учение о производных было развито И. Ньютоном (1643-1727) и Г. Лейбницем (1646-1716), которые независимо друг от друга создали дифференциальное исчисление. Ньютон исходил в основном из задач механики (ньютонов анализ создавался одновременно с ньютоновой классической механикой), а Лейбниц преимущественно исходил из геометрических задач. В частности, к определению производной Ньютон пришел, решая задачу о мгновенной скорости, а Лейбниц — рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. В дальнейшем благодаря работам Л. Эйлера (1707-1783), О. Коши (1789-1857), К. Гаусса (1777-1855) и других математиков дифференциальное исчисление было превращено в целостную теорию для исследования функциональных зависимостей. 2. О понятии действительного числа. Хотя математический анализ возник в конце XVII в., однако полное его обоснование было дано только в конце XIX в., когда вслед за теорией пределов, созданной О. Коши, сразу была построена немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831-1916), К. Вей-ерштрассом (1815-1897) и Г. Кантором (1845-1918) в нескольких формах теория действительного числа. Первые представления о числах формировались под влиянием практики. С давних времен числа применялись в ходе счета и измерения величин. Сведения из истории 193 Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?* всегда выражается или натуральным числом, или числом нуль. Следовательно, множество {0; 1; 2; ...} всех неотрицательных чисел удовлетворяет всем потребностям счета. Иначе с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 км, площадь комнаты — 16,45 кв. м и т. п. Исторически положительные действительные числа появились как отношение длин отрезков. С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало понятным, что отношение длин отрезков не всегда можно выразить не только натуральным, но и рациональным числом. Чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, необходимо было ввести новые числа — иррациональные. Все практические измерения величин имеют только приближенный характер. Их результат с необходимой точностью можно выразить с помощью рациональных дробей или конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до 1 см, мы выясним, что ее длина приближенно равна 1,41 м. Измеряя с точностью до 1 мм, получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м. Однако в математике часто уклоняются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такими дробями являются числа - = 0,66б..., >/2 = 1,41421356..., л = 3,14159265... .) Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда можно выразить числом, представленным в виде бесконечной десятичной дроби. Полная теория действительных чисел достаточно сложна и не входит в программу средней школы. Она обычно рассматривается в курсах математического анализа. Однако с одним из способов ее построения мы ознакомимся в общих чертах. 1. Пусть: а) каждому действительному числу соответствует (как его запись) бесконечная десятичная дробь; X — OgtOjClo .. а„ б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа. Но при этом естественно считать десятичную дробь, оканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, только другой записью числа, представленного десятичной дробью, оканчивающейся бесконечной последовательностью нулей (см. также с. 9): 0,9999... = 1,0000...; 12,765999... = 12,766000... . 194 Раздел 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей. Число а<) — целая часть положительного числа х, X — а^ = 0,0,02 ••• ••• — дробная часть числа х. Число = 0о,о,02 ••• а„ называют десятичным приближением х с точностью до 10 " с недостатком, а число л:'=х„-н10'" — десятичным приближением с точностью до 10'" с избытком для числа X = ап,а,а, ... о. ... . Если число X отрицательно, то есть X = —0п,0,0., ... о. ., ■*0’ х'. = -о, 0> .... то считают, что о„ и х„ = х'-10 ". п п п 2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число X меньше числа у, когда по меньшей мере для одного п выполняется неравенство д:„ < у^, где и i/„ — десятичные приближения с точностью до 10 " с недостатком для чисел х 1л у. (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.) 3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей). Суммой двух действительных чисел хну (обозначается х -V у) называют такое действительное число г, что для любого п выполняются неравенства В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и оно единственное. Аналогично произведением двух неотрицательных чисел хну называют такое число г (обозначают ху), что при любом п выполняются неравенства х„У„<ху<х'Х. Такое число существует, и оно единственное. Напомним, что примеры выполнения таким образом определенных действий сложения и умножения действительных чисел было рассмотрены в курсе алгебры 8 класса (см. также с. 10). Воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел | х | и I у I уже определено, полагают, что для действительных чисел разных знаков ху = -| XI • I у I, а для чисел одинаковых знаков — ху = | х | • | у |. Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью X — у чисел хну называется такое число г, что у -\- г = х. Деление определяется как действие, обратное умножению: частным х : у называется такое число г, что yz = х. 4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные выше, сохраняют основные свойства, присущие им во множестве рациональных чисел (соответствующие свойства для операций сложения и умножения приведены в § 20). Раздел ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ § 14. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА Таблица 18 1. Первообразная Определение Пример Функция F (х) называется первообразной для функции f{x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка F' (х) = f (х). Для функции f (х) = X® на интервале (-оо; Ч-оо) первообразной явля- ется функция F(x) = —, поскольку 4 "W=(t) 4 4х® =х®. 2. Основное свойство первообразной Свойство Геометрический смысл Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на данном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) -Г С также является первообразной для функции /(х), при этом любая первообразная для функции /(х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Пример ^ Поскольку функция F(x) = — явля- 4 ется первообразной для функции / (х) = X® на интервале (-оо; Ч-оо) (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции / (х) = X® можно за- X* писать следующим образом: —Ч-С, 4 где С — произвольная постоянная. Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу. 196 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 18 3. Неопределенный интеграл Определение Пример Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом J f(x) dx, mo есть jf{x) dx = F{x) + C, где F (x) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная. Jx® dx = Y + С, поскольку для функции f (х) = х^ на интервале (-оо; -Ноо) все первообразные можно записать следующим об- разом; — + С 4 (см. пункт 2 табл. 18). 4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования) 1. Если F — первообразная для /, а G — первообразная для g, то F G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых. I. 1 if{x) -у g(x)) dx = j/(x) dx +1 gix) dx Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. 2. Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции cf. 2. jc /(x)dx = c J^x)dx, где с — постоянная. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 3. Если F — первообразная для /, а к и Ь — постоянные (причем к 0), то i F(kx^h) — первообразная для к функции f (кх Ь). 3. J/(fex + b)dx = ^ Е(Лх + Ь) + С. 5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция fix) Общий вид первообразных F (х) -1- С, где С - произвольная постоянная Запись с помощью неопределенного интеграла 0 С f0dx = C 1 х + С J dx = X + С х“ (а * -1) а *-1 а f 1 fx'‘dx = —+ С (а 5^-1) J а +1 1 X 1п|х| -1- с j^ = ln|x| + C § 14. Первообразная и ее свойава 197 Продолж. табл. 18 вшх —совд; + С Jsin X dx~ -cos х + С cosx sin д: + С jcos X dx = sin X + C 2 cos X tgJ: + C I = tg X + C J l*ns Jr . 2 Sin ДГ -ctgx + C J -:^=-ctgx + C + C je^dx^e^ + C o"' (a > 0,a* 1) Ina f«'Jx = ;^ + C J III a Объяснение и обоснование 1. Понятие первообразной. Основное свойство первообразной. В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: и (О = х' (t), а (t) = v' (t) = х" (t). Например, если в начальный момент времени t = О скорость тела равна нулю, то есть о (0) = 0, то при свободном падении тело за промежуток времени t пройдет путь Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования: о(Г) = s'(0 = =j-2i = gt, а (О = V' (t) = (gty = g. Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной f (х). Например, в механике часто приходится определять координату X (0, зная закон изменения скорости v (t), а также определять скорость и (t), зная закон изменения ускорения а (t). Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f (х) называют операцией интегрирования. Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f (х) найти (восстановить) функцию f (х) (латинское слово integratio означает «восстановление»). Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования. Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) па данном промежутке, если для любого х из .этого промежутка F' (х) = f (х). 198 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Например, для функции f (jc) = на интервале (-оо; +оо) первообразной является функция F (х) = х^, поскольку F' {х) = (х^)' = Зх^. Отметим, что функция х® + 5 имеет ту же производную (х® + 5)' = Зх^. Следовательно, функция х® + 5 также является первообразной для функции Зх^ на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной. Если функция F (х) является первообразной для функции f {х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (.х) С также является первообразной для функции /(х), при этом любая первообразная для функции /<х) па данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Выражение F (х) + С назывгиот общим видом первообразных для функции / (х). • 1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F' (х) = / (х) для любого х из этого промежутка I. Тогда (F (X) + О' = Е' (д:) + С' = / (X) + О = / (х), то есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х). 2) Пусть функция F, (х) — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке 1, то есть F[ (х) = f (х) для всех х е I. Тогда (Е, (X) - F (X))' = F'{x)- F/ (X) = f(x)-f (X) = 0. Согласно условию постоянства функции (с. 62), если производная функции F, (х) - F (х) равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех X € / функция F^ (х) - F (х) = С. Отсюда F, (х) = F (х) + С. Таким образом, любая первообразная для функции / (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. О Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале (-оо; -1-со) одной из первообразных является функция F (х) = х“ (действительно, F' (х) = (х*)' = 2х), то общий вид всех первообразных функции f (х) = 2х можно записать так: х^ -н С, где С — произвольная постоянная. Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции /(х) промежуток, на котором задана функция /(х), чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины. Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график про- § 14. Первообразная и ее свойава 199 извольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц. 2. Неопределенный интеграл. Пусть функция / (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда согласно основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается си.мволом |/(x)dx. то есть |/(х) dx = ^’(x)^-C, где F (х) — одна нз первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная. В приведенном равенстве знак J называют знаком интеграла, функцию f(x)— подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования. Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции f (х) = 2х записывается так: х^ -t- С, следовательно, |2х dx = x^ + C. 3. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования). Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования. Правило 1. Если F — первообразная для f. а G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g- Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых. • Действительно, если F — первообразная для f (в этой краткой формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции / (х)), то F = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G' = g. Тогда согласно правилу вычисления производной суммы имеем (F + GY = F' + G' = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. О С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так: j(/(X) + g(x))dx = J f(x) dx + J^(x) dx, TO есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количество слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых). Правило 2. Если F — первообразная для / и с — постоянная, то cF — первообразная для функции cf. • Действительно, если F — первообразная для f, то F' = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем {cF)' = cF' = cf, следовательно, cF — первообразная для cf. О 200 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так: Jc-/(x)dx = c-J/U) dx, где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Правило 3. Если F — первообразная для f, я k н Ь — постоянные (причем fe * О), то ^ F{kx + b) — первообразная для функции f {кх + Ь). • Действительно, если F — первообразная для f, то F' = /. Учитывая правило вычисления производной сложной функхщи, имеем ^F(kx + b)^ = jF'(kx + b)k = f{kx + b), а это и означает, что - F(kx + Ь) — первообразная для функции f {kx + b). О к с помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так: J fi,kx + b)dx = j F(kx + Ь)+ С. 4. Таблица первообразных (неопределенных интегралов). Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций, приведенные в пункте 5 таблицы 18. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех перво-обреюных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций и —, а для других X функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно. . а+1 Для всех X е R при а / -1 производная Следовательно, функция .0+1 а + 1 1 а + 1/ а + 1 (а + 1)- x“ = x“. при а ^ -1 является первообразной для функции х“. Тогда согласно основному свойству первообразных общий вил всех первообразных для функции дг" при и *■ —1 будет 0 + 1 + С. О 1Г + 1 с помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так: fx 'rfx = ^—- + С (а -1). • У функции f(x) = — область определения дс ^ О. Рассмотрим функцию дг F (д:) = In I XI отдельно при х > О и при х < 0. § 14. Первообразная и ее свойава 201 При JC > о F (л) = In JC, тогда F'(^) = (In хУ = -. X При ж < о F(jc) = In (-х), тогда F'(jc) = (1п (-зс))' = ^ • (-дг)'= ^ • (-1) = ^. Следовательно, на каждом из промежутков (-оо; 0) и (0; +оо) функция F (х) = In I XI является первообразной для функции /(х) = ^. Тогда общий вид всех первообразных для функции f(x)=- будет In |х| + С\ С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так: (•^ Д: Примеры решения задач J^ = ln|x| + C.O Задача 1 Проверьте, что функция F(x) = 2yfx является первообразной для функции = на промежутке (0; +оо). Vx Решение ► F'ix) = (гТх) = 2 • —^ а это 2 Vx Vx и означает, что F (х) является первообразной для функции /(х) = 4=.<1 VX Комментарий По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если F (х) = f (х). Задача 2 1) Найдите одну из первообразных для функции f{x) = x* на R. 2) Найдите все первообразные для функции / (х) = х^. 3*) Найдите J х^ dx. Решение ► 1) Одной из первообразных для функции f (х) = х* на множестве® ве R будет функция F(x) = —, по- 5 скольку Комментарий 1) Первообразную для функции f (х) = X* можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить X*, необходимо брать производную от х®. Но (х®)'= Ьх*. Чтобы производная равнялась х^, достаточно поставить перед функцией X® коэффициент 202 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ►2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции f (д:) = можно запи- сать в виде — -f- С, где С — произ- вольная постоянная. <] г ►3*) \x*dx = — + С, где С — произ- ^ 5 Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для функции х^ является функция а+ 1 2) Если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то согласно основному свойству первообразных любую первообразную для функции f {х) можно записать в виде F (х) ■+■ С, где С — произвольная постоянная. вольная постоянная Задача 3 3) Согласно определению jf(x)dx = F(x)-bC. ТО есть неопределенный интеграл jf(x) dx — это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для , данной функции f {х) (которые мы I уже нашли в пункте 2 решения). Для функции f{x) = y[x найдите первообразную, график которой проходит через точку М(9; 10). Решение ►£) if) = [0; +оо). Тогда f{x) = x^. Общий вид всех первообразных для функции f (х) следующий; — ■i-C = -xKc = -4^ + С = -х^-\-С. 1^1 3 3 3 2 По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получим: - • 9S + C = 10. 3 Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная: |х>/л-8. <] О Комментарий Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит черюз точку М (9; 10). Следовательно, при X = 9 значение функции F (дг) -t- С равно 10. Чтобы найти первообразную для функции f(x) = 4x, учтем, что область определения этой функции X > 0. Тогда эту функцию можно записать так: 1 /(х) = дг* и использовать формулу нахождения первообразной для функ- ции х“, а именно: а + 1 + С. § 14. Первообразная и ее свойства 203 Задача 4' Найдите общий вид первообразных для функции 1 1 f{x) = ■ 2 о Sin 2х г - 2 сов Зд:. Решение ► Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого. 1 Для функции sin^ 2х первообразной 1 является функция ~~ctg 2х. слагаемое 1 = (2-х)'*. Тогда = -2(2-лг)2=-2 V2-X. J_ (2-х) ^ -i.l 2 Первообразной для функции 2 cos Зх будет функция Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет следующим: -- ctg 2х-2у12-X -- sin Зх + С. < 2 ® 3 запишем так: первообраз- Второе 1 у/2-х ной для этой функции будет функция: 1 2 2 • - sin Зх = - sin Зх. 3 3 Комментарий Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов вида kx + Ь. Следовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргумента hx + Ь), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель к Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С). Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2). Для первого слагаемого учитываем (см. таблицу первообразных, с. 196), что первообразной для —^ sin X является (-ctg х), для второго — первообразной для х“ является ---, а +1 для третьего — первообразной для cos X является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняется на области определения этой функции, то есть при 2 — х > 0). 204 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Вопросы для контроля 1. Объясните, в каком случае функция F (д:) называется первообразной для функции f (х) на заданном промежутке. Приведите примеры. 2. Сформулируйте основное свойство первообразных и проиллюстрируйте его на примерах. 3*. Сформулируйте определение неопределенного интеграла. Приведите примеры его вычисления. 4. Сформулируйте правила нахождения первообразных. Объясните их на примерах. 5*. Докажите правила нахождения первообразных. 6*. Запишите и сформулируйте правила нахождения первообразных с помощью неопределенных интегралов. 7*. Запишите и докажите общий вид первообразных для функций: 1 ’ ’ {а* -1), sin X, cos х. —2~’ a'^ia > о, а Ф 1). X cos"x sin X Запишите соответствующие формулы с помощью неопределенного интеграла. Упражнения Докажите, что функция F (х) — первообразная для функции f (х) на указанном промежутке (1—2). 1*. 1) F{x) = х^, f(x) = 5х*, X е (-оо; -1-оо); 2) F (х) = X'®, f(x) = -Зх ■*, X Е (0; +оо); 3) ^’(x) = ix^ f(x) = х«, X 6 (-оо; -1-оо); 4) F(x) = |x®, f(x) = х-\ X е (0; Ч-оо). 2. 1) F (х) = sin® X, f(x) = sin 2х, х е R; 2) F(x) = icos2x, /(х) =-sin 2х, X 6 R; 3) F (х) = sin Зх, f (х) = 3 cos Зх, х е Д; 4) F(x) = 3 + tgi, Дх) = - 2cos® — -, X Ё (-л; л). Проверьте, что функция F (х) является первообразной для функции / (х). Найдите общий вид первообразных для /, если: X 1) F (х) = sin X - X cos X,/(х) = X sin х; 2) F(x)=Vx® + l,/(х) = 4. х‘ + 1 3) F (х) = cos X + X sin X, f{x) = x cos x; 4) F(x) = x--, /(x) = l + x" X До- определите, является ли функция F (х) первообразной для функции f (х) на указанном промежутке (4—5). 4°. 1) F (х) = 3 - sin X, f (х) = cos х, х е (-оо; Ч-оо); § 14. Первообразная и ее свойства 205 2) f(a:) = 5 - дг*, f{x) = -4д:^ х € (-схз; +с»); 3) F (д:) = cos X - А, f (х) = -sin дг, д: е (-оо; +оо); 4) F (X) = х-^ + 2, f{x) = -^, X е (0; +с»). 2х 5. 1) f’(x) = 2x + cos^;/(х) = 2-^ sin^, х е R; 2) FW = V4^, Пх) = --1^=^, X G (-2; 2); V4-x^ 3) F(X) = ^, f(x) = U—^, X€ (0; +oo); X X 4) F(x) = 4^xyfx, f(x) = 6^/x, xe (0; +oo). 6°. Найдите общий вид первообразных для функции (6—8). 1) / (^) = 2 - X*; 2) f{x) = X + cos х; 3) f (х) = 4дс; 1 1 5)f{x) = x^; 6) f{x) = -^-2; 7) f(x) = l-—; X X 7*. 1) f(x) = 2-x^ + -^; 2) f(x) = x-^ + cosx; 3) /(x) = ^- sin дг, XX X 4) fix) = 5x2 _ 1- 5) Дд.) = ^2x - 8)®; 6) f (x) =3 sin 2x; 7) /(X) = (4 - 5x)^ 8) /(x) = -|cos(x-^); 9) = 4) /(x) = -8; 8) ^(x) = x^ 10) /(x) =---^----r; 11) f{x)= ^ in (3x-ir 12) f(x) = —^ + —Y^---------. X® cos^(3x-l) 8*. 1) f(x) = l-cos3x + 2sin(--x); 2) f{x) = —\—+ , ^ -3x^ \3 / sin 4x V2-X 3) fM = ~~2;! • ~ ~3sin(4-X) + 2x; 4) f(x) = —^ cos (3x +1) ------3^^ , -2cos -~x|. (3-2x)® л/5х-2 \4 9. Для функции / (x) найдите первообразную F (x), принимающую заданное значение в указанной точке: 1) fix) = \, 2?(i) = -12; 2) f{x) = -\-, f(^) = 0; 3) f (x) = x^, F (-1) = 2; 4) / (x) = sin x, F (-я) = -1. Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку М (10—12). 10. 1) / (х) = 2х -I- 1, М (0; 0); 2) f (х) = Зх^ - 2х, М (1; 4); 3) /(X) = х + 2, М(1; 3); 4) f(x) = -x^ + Зх, М(2; -1). llM)/(x) = 2cosx, m(-|;i); 2)/(х) = 1 - х*, М(-3; 9); 3) /(X) = sin (х + f). М (^; -1); 4) fix) = ^, М (|; з). 206 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ 12. 1) Дх) = 4д: + -^,М(-1; 4); X 3)/(х) = 1-2х, М(3; 2); 2) /(х) = х^ + 2, М(2; 15); 4) /(х) = ^-10хЧЗ, М(1; 5). 13*. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана формулой V (t) = + 2t - Запишите формулу зависимости ее координаты х от времени t, если известно, что в начальный момент времени = 0) точка находилась в начале координат. 14*. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана формулой и (^) = 2 cos^. Запишите формулу зависимости координаты точки от времени, если известно, что в момент t = — с точка находилась на рас- 3 стоянии 4 м от начала координат (в положительном направлении). 15*. Точка движется прямолинейно с ускорением а (^) = 12^^ + 4. Найдите закон движения точки, если в момент ^ = 1 с ее скорость равна 10 м/с, а координата равна 12 (единица измерения о равна 1 м/с*). 16*. Материальная точка массой т движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t сила равна F (t). Найдите формулу зависимости х (t) от времени t, если известно, что при < = t„ скорость точки равна Ор, а координата равна х^ (F (t) измеряется в ньютонах, t — в секундах, и — в метрах в секунду, т — в килограммах): 1) F(0 = 6 - 9i, ^0 = 1, Wo = 4, Хо = -5, пг = 3; 2) F{t) = 14 sin t, tg = n, Vg = 2, Xg = 3, m = 7; 3) F {t) = 25 cos t, tg = ^, Vg = 2, Xg = 4, m = 5; 4) F (0 = -t- 8, fg = 2, Vg = 9, Xg = 7, m = 4. § 15. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ 15.1. Геометрический смысл и определение определенного интеграла Таблица 19 1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница) Формула Пример Е]сли функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; 6], а F(х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F (x) = f (х)), то ,, >' (х) dx - Fib) F(a) " I* Так как для функции / (х) = х* одной из первообразных является F{x) = ^, то о fx^dx = — = = I = J 3 J .3 3 3 3 3 3 § 15. Определенный интеграл и его применение 207 Продолж. табл. 19 2. Криволинейная трапеция Определение Иллюарация Пусть на отрезке [а; ft] оси Ох задана непрерывная функция f (л:), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у - f (jc), отрезком (а; Ь] оси Одг и прямыми X = а н X = Ь, называют криволинейной трапецией. y = f(x) b X 3. Площадь криволинейной трапеции Формула Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin X, у = 0, я л х = -, х = ~. 3 2 п S = J/(x) dx ^Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда S = J sin xdx = -cos X к 3 Я . JT 1 ^ : -COS - + COS - = -.<] 2 3 2 ^ 4. Свойава определенных интегралов a J Дх) dx = 0 «1 h a |Дх) dx = -j/(x) dx a b b b h I if(x) + g{x))dx=jf(x)dx +1 g(x)dx a a a |fe -Дд:) dx = k jf{x) dx Если функция f (x) непрерывна на [a; b] и c € [a; b], TO h f h I f(x) dx = j f{x) dx + I f(x) dx 208 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 19 5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы f(c.) y-f(x) = 6 X Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; fc]. Выполним следующие операции. 1. Разобьем отрезок [о; б] на п отрезков точками X,, Хз, x„.j (полагаем, что а = х^, Ь = х„). 2. Обозначим длину первого отрез- ка через ДХр второго — через АХз и т. д. (то есть Ах, = Jc, - х^, 1^2=х^-х^.....Ах„=х„-х„.,). ''а • • • Дх, ДХг ^x, 3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку с, G [х,.,; X,], где i = 1, 2, .... п. 4. Составим сумму /(с,) Ах, + f (с,) Ахз ч- ... Ч- / (с„) Ах„. Эту сумму называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке (а; 61. Если п —» оо и длины отрезков ра.збиення стремятся к нулю, то интегральная сум.ма стремится к некоторому числу, которое называют определен- ь ным интегралом функции f (х) на отрезке [а; 6] и обозначают jf{x)dx. Объяснение и обоснование 1. Геометрический смысл и определение определенного интеграла. Как отмечалось в § 14, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади. Например, в механике часто приходится определять координату х (0 точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости v (t) (напомним, что и (t) = х' (i))- Рассмотрим сначала случай, когда точка движется с постоянной скоростью V = Oj. Графиком скорости в системе координат (t; у) является прямая v = v^, параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле S = v^t. Величина v^t равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости. Рис. 101 § 15. Определенный интеграл и его применение 209 Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени At. Если скорость V изменяется по закону и = о (t), то путь, пройденный за отрезок времени [t; t + Д^], приближенно выражается произведением и (t) At. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами At и и (t) (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени [<; t + At] равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени [0; t] может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103). Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими. Пусть на отрезке (а; Ь\ оси Ох задана непрерывная функция f {х), которая принимает на .этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезком |а; Ь) оси Ох и прямыми X =: а и х = Ь, называют криволинейной трапецией (рис. 104). Отрезок [а; 6] называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х). Обозначим чехюз S (д:) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка [а; Ь]. При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0; при х = Ь имеем S (Ь) = S, где S — площадь криволинейной трапеции с основанием [о; 5] (см. рис. 104). • Покажем, что S (д:) является первообразной для функции f (х), то есть что S' (х) = f (х). Согласно определению производной нам необходимо доказать, что при Ах 0. Для упрощения рассуждений рассмотрим случай Дд Дх > о (случай Дх < о рассматривается аналогично). Поскольку Д5 = S (х -f- Дх) - S (х), то геометрически AS — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б. Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезок [х; х + Дх] (рис. 105, в). Поскольку 210 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с е [х; х + Дх] (иначе говоря, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади AS). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем AS = / (с) Ах. Тогда — = ^^^^ = f{c). (Эта формула будет верной и при Ах < 0.) Дд: Дх Поскольку точка с лежит между х и х -I- Ах, то с стремится к х, если Ах —> 0. Учитывая непрерывность функции f (х), также получаем: ^ (с) —) / (х) при Ах —) 0. Д8 Следовательно,-----> /(х) при Ах Дх 0. А это и означает, что S' (х) = f (х), то есть S (х) является первообразной для функции f (х). О Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех X е [а; &] отличается от S (х) на постоянную С, то есть F(x) = S (х) -t- С. (1) Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) -t- С. Поскольку S (а) = о, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так: S(x) = F(x)~ F(a). (2) Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (Ь), подставляем в формулу (2) X = б и получаем: S = S (Ь) = F (Ь) - F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле S F(b) -F (а). (3) где F (х) — произвольная первообразная для функции f (х). Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (х), то есть к интегрированию функции f (х). § 15. Определенный интеграл и его применение 211 Разность F (h) — F (а) на.зывают определенным интегралом функции f (х) h на отрезке [а; Ь] и обозначают так: \f(x)dx. ь » Запись ^f(x)dx читается: «Интеграл от а до Ь эф от икс де икс». Числа а а л Ь называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, Ь — верхним. Следовательно, по приведенному определению ]t(x)dx = F{b)-F(a). (4) Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница. Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (Ь)~ F(a) обозначать следующим образом: F{x)^^, то есть = F(b)-F(a). Пользуясь этим обо- значением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде: I» j^(x)dx-F(A:) = f’(b)-F(a). Например, поскольку для функции f (х) = е^ одной из первообразных является F {х) = е^, то 1 je"‘ dx = ( = e^ -е® = е-1. Отметим, что в случае, когда для функции f (х) на отрезке [а; Ь] суще- /} ствует определенный интеграл J f(x) dx, функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке [а; Ь]. Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; Ь] функции у = f (х). отрезком [а; /?] оси Ох и прямыми х = а и х = Ь (рис. 104), можно вычислить по формуле ь S = |/'(х) dx. а Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции н оси Ох и прямы- у = cos X, отрезком мих = 0и х = - (рис. 106), можно вычис-6 лить по формуле Я б S = cos X dx = sin X = sin - - sin 0 = - - 0 = -. 6 2 2 212 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ (При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции / (х) = cos X одной из первообразных является функция F (х) = sin х,) Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: S = - (кв. ед.), то есть квадратных единиц. Отметим, что так записывают только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что S = 2а^, то никаких обозначений квадратных единиц не записывают, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражение уже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае. 2. Свойства определенных интегралов. При формулировании определения определенного интеграла непрерывной на отрезке [а; б] функции мы полагали, что а < Ь, Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > Ь принять по определению, что 9 Jfix) dx = -Jfix) dx. a h Для случая a = b также по определению будем считать, что н |/(х) dx = 0. (5) (6) Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции а / (х), то \fix)dx = Fix) = Fia)-Fia) = 0. Также J/(X) dx = Fib) -Fia) = -iFia) - Fib)) = -j fix) dx. a b C помощью формулы Ньютона-Лейбница для непрерывных функций легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18. Ф Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции kf (х) первообразной будет функция kF (х). Тогда ь ‘‘ ь jkfix) dx = kFix) =kFib)-kFia) = k (F(b)-F(a)) = fej/(x) dx. Следовательно, О о jk- fix)dx = k‘ j fix) dx. О (7) § 15. Определенный интеграл и его применение 213 • Если F (д:) является первообразной для функции f (х), а G {х) — первообразной для функции g (;с), то для функции f {х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + G (х). Тогда J(Г(Х) + g(x)) dx = {Fix) + С(дс))1^ = (Fib) + G{b)) - (E(a) + G{a)) = a b b = {Fib) - F{a)) + (G(b) - G(a)) = jf{x)dx + j g{x) dx. a a Следовательно, = + О (8) e <1 Л • Если F (x) является первообразной для функции / (х) и с e [а; ft], то С Ь jf{x)dx + jfix) dx = F(x)|' -h F(x)|‘ = FiO- F{a) + F{b)- F{c) = = Fib)-F{a) = jfix)dx. a Следовательно, если функция fix) непрерывна на отрезке [о; Ь] и с 6 [а; Ь], то h с Ь jfix)dx = jfix)dx + jf{x)dx. О а а е 3. Определение определенного интеграла через интегральные суммы. Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности в связи с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь]). На этом рисунке основание трапеции— отрезок [а; Ь] — разбито на п отрезков (не обязательно равных) точками Xj, Х2, ..., х„., (для удобства будем считать, что а = х^, Ь = xj. Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка с„ и на этом отрезке как на у‘ основании построен прямоугольник с высотой fic^). Аналогично на втором отрюзке выбрана произвольная точка Cj, и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой f (С2) и т. д. Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через S„, длину первого отрезка — Рис ро7 /(с.) — 214 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ через Д:с,, второго — через zixj и т. д. (то есть Ах, = х, - х^,, Ax^ = Х2 - х,, .... - л:,-.)- Тогда / (Cl) + f (Cj) Дд:^ + ... + / (с„) Ддг,. (9) Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть S = S„. Сумму (9) называют интегральной, суммой функции f (д:) на отрезке [о; б]. При этом считают, что функция f (д:) непрерывна на отрезке [а; б] и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если л оо и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на ь отрезке [а; б] и обозначают | f(x) dx. Можно доказать, что при этом также а выполняется формула Ньютона-Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла. Замечание. Изменяя способ разбиения отрезка [а; б] на п частей (то есть фиксируя другие точки х,, Xj, ..., и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точки с, (где с, е [х,_xj, i = 1, 2, ..., п), мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке [а; б] функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек с,, если л -> оо и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу. Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f (х) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее). Примеры решения .задач Задача 1 Вычислите Решение ► |-^ = tgx ' COS X Ответ'. 1. <1 • ОЛО у = tg^-tg о = 1-0 = 1. 4 Комментарий Поскольку для функции f{x) = 2 cos X мы знаем первообраз- ную — это Е(х) = tg X (см. табл. 18), § 15. Определенный интеграл и его применение 215 Задача 2 Вычислите /(““■ Решение I способ x\dx. ► Для функции f{x) = --x одной X из первообразных является 2 Р(х) = 41п|х|-—. Тогда J(l-l)dx = (41„|x|-i) = (4[п|3|-Й)-(41п|1|-^) = 41лЗ-4. II способ ^j{±-x)dx = ]^-]xdx = 111 3 3 ® = iij--jxdx = 4ln \х\ 1*1 1 = 4(ln|3|-ln|l|)-(^-^) = 4 1пЗ-4. X ’ 2 „2 ^ , 2 2 Ответ: 4 In 3 — 4. <3 то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница || jVu)riAf = F(x)|‘=f'(b)-F(a). Комментарий Возможны два способа вычисления заданного интеграла. 1) Сначала найти первообразную для функции f(x) = --x, используя X правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. 2) Использовать формулу (8) h h Ь \ (f (Х) + g(x)) (lx = j f(x)dx + J g(x)dx tt a a И записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7), и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла). Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где X > 0. Но при X > о одной из первообразных для функции /(х) = — является X функция F(x) = lnx. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, за- Г dir , ® писать: : f^ = ln; J Т . Хотя, конечно, приведенная выше запись первообраз- ной также является верной (поскольку при х > 0 In | х | = In х). 216 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Задача 3 Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми д: = 1, X = 8, осью Ох и графиком функции у = Решение ^Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108). S = j^dx = jx^dx = ^ 1+1 + 1 3 I = -х^ Ответ-. 11-кв. ед. <3 4 1. Вычислите интеграл: Комментарий Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по фор- муле 8 = |/(д:)с(д:, где а = 1, Ь = 8, f(x)-^. Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения д: > о, и при этом условии можно записать ^ = JC®. Упражнения 2 2 3 V) ^X*dx-, 2°) Jcosxdx; 3°)Jjc®dx; -1 о I 2 я 10 7)J5; ^(2д + 1) 2. Докажите, что верно равенство: К 1) = • r>ne V " 4-) Jsin X 4 п J 8) J sin 2x dx. n 4 n 1 2) I sin X dx = j 0 1 § 15. Определенный интеграл и его применение 217 I Ш 3) J cos xdx= j dx-. X « 4) j(2x + l)dx = j{x^-i)dx. 0 0 3. Вычислите интеграл: 2л 1) J sin — dx; 2) J dx -Jzx + b on 3)J dx 0 cos 2X о 4) J dx iVjf+3 2я 5) ||sin^ + cos^j da:; 6) ^(l + 2x)^dx; 7) J(1 + cos 2jc) do:; 8) J^oc + ^jdx. Вычислите (предварительно выполнив рисунок) площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (4—8). 4. I) у = X*, у = 0, х = -1, д: = 1; 2) у = х*, у = 3) I/ = jc^ - 4дг + 5, у = О, д: = О, X = 4; 4) у = - 4х 5, у = 5. 5. 1) у = 1 - JC®, у = О, X = 0; 2) у = 2 - X*, у = 1, X = -1, X = 1; 3) у = -X* - 4х, у = о, X = -3, X = -1; 4) у = -х^ - 4х, у = 1, х = -3, х = -1. 6. 1) у = X®, у = 8, X = 1; 3) у = х^ - 2х -1- 4, у = 3, X = -1; 7. 1) у = 4х - x^ у = 4 - х; 3) у = х^, у = 2х; 8. 1) у = X* - 4х -I- 4, у = 4 - X*; 3) у = x^ у = 2х - X*; 2) y = 2cosx, у = 1, х = --,х = -; .. 1 я 5л 4)y = sinx, у = -, х = -, х = -у. 16 2) у = -^, у = 2х, X = 4; 4) у = 6 - 2х, у = 6 -I- X - х^ 2) у = X* - 2х 2, у = 2 -I- 6х - х^; 4) у = х^, у = X®. 15.2. Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов Таблица 20 1. Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции, ограниченной у, графиком непрерывной неотрицательной на отрезке y = f(x) [а; Ь] функции f (х), осью Ох и прямыми х = с и х = Ь, /Л А равна 5=|/(x)dx - а J U а Ъ X 218 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Продолж. табл. 20 2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми X = а и х = Ь Формула Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^ + 2, у = X + 4. Если на заданном отрезке [а; 6] непрерывные функции у = /, (х) и у = f2 (^) имеют такое свойство, что /2 (х) > /, (х) для всех X е [а; Ь], то h •S = J(/2(x)-/;(x))dx. (1) ^Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения: х^ + 2 = X -г 4, х^ - X - 2 = о, X, = -1, Xj = 2. Тогда по формуле (1) 2 S = |((х + 4)-(хЧ2)) dx = -1 2 /Ь = J (x + 2-x^)dx = -1 2 = 1—+ 2х- — = 4i 2 § 15. Определенный интеграл и его применение 219 Продолж. табл. 20 3. Объемы тел Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через ь точки X = а и X = Ь, то V -js(x)dx. о где S (х) — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку X в [а; 6] и перпендикулярна к оси Ох. Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; ft] функции у = f{x) и прямыми X = а и X = ft, то ь V^njfix) dx Объяснение и обоснование 1. Вычисление площадей фигур. Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены в пункте 15.1. • Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции у = (л:). снизу графиком функции у = fi (х), о также вертикальными прямыми X = а и X = ft (а < ft); функции Д (х) и (дг) непрерывны и неотрицательны на отрезке [а; ft] и (Д^) ^ Л (Д^) Для всех х € [а; ft]. Площадь S этой фигуры равна разности площадей Sg и S, криволинейных трапеций (S2 — площадь криволинейной трапеции АА^В^В, а Sj — площадь криволинейной трапеции АА,В,В). Но Ь h S^=jf^{x)dx, S2=jf2(x)dx. а а Ь Ь Ь Следовательно, S = S2-S^ = (х) dx - J (х) dx = 1(^2 (дг) - (х)) dx. Таким а а а образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле и ■S = J(/3(x)-/,(x))dx. О (1) 220 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Эта формула будет верной и в том случае, когда задгшные функции не являются неотрицательными на отрезке [а; б]: для этого достаточно выполнения условий, что функции (д:) и (х) непрерывны на отрезке [а; б] и (х) > /, (дс) для всех X G [а; б] (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на т единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции г/ = /, (дс) и I/ = fg М мы заменили соответственно на функции у = (дс) -I- m и J/ = /j (дс) -Ь т. Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми X = а и X = Ь, равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь ь ь S = J (if2 (х) + т)~ (/j (дс) -I- т)) dx = f (f^ (х) - /j (д:)) dx. а а Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна п * S = |(sin X-COS x)dx = (-cos д:-sin х) =1 + 1 = 2. sin X § 15. Определенный интеграл и его применение 221 2. Вычисление объемов тел. Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождения площади криволинейной трапеции. Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох. пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка [а; б] (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке [а; Ь] задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке [а; Ь], то справедлива формула п K=Js(x) dx. (2) Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического бшализа, а мы остановимся на неп’лядных соображениях, которые приводят к этой формуле. » • Разделим отрезок [а; Ь] на п отрезков одинаковой длины точками Хц = а < X, < ^2 < ... < х„ _1 < = б и допустим, что Ах = = X,, -k = 1, 2, .... п. Через каждую точку х* проведем плоскость а*, перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостями а*., и а* (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади S (х*.,) сечения, умноженной на ♦толщину слоя» Дх, и поэтому V ~S(Xg) Ax + S(x^)Лx + ... + S(x„)Ax = V„. 222 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше п. Поэтому —> V, если п оо. По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что Следовательно, I/ ► Js(x) dx. если п оо. V^ = |s(x)dx. О Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения. • Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [а; Ь] оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; Ь]. Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114), объем которого можно найти по формуле О о ^ = J (х) dx = nj(х) dx. (3) Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок [а; Ь] этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса /(х) и площадью S (х) = nf^(x) (рис. 115). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3). О § 15. Определенный интеграл и его применение 223 Задача 1 Примеры решения задач Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = и У = уРх. Решение ► Изобразим заданные линии (рис. 116) и найдем абциссы точек их пересечения: Х^=уРх, (1) тогда X* = -X, X* + X = О, X (х^ + 1) = О, JT = О или д: = — 1 (оба корня удовлетворяют уравнению (1)). Площадь заданной фигуры равна о о I S = J {уРх -x^)dx = l (-дг)2 dx - -I ? 9 -jx^x = -^(-x) X 3 з' Комментарий Изображая заданные линии (рис. 116), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции f2(x) = \P^, а снизу — графиком функции (х) = х“. Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле s=J(/2(^c)-AW)‘^^- Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнение (х) = /2 (^)- Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при х < 0). Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение (-х)>0. Тогда ч/^ = (-х)2. Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями j/ = 4-x^hi/ = 0. Решение ► Найдем абциссы точек пересечения заданных линий. 4 - х^ = о, X = ±2. Комментарий Изобразим заданную фигуру (рис. 117) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом 224 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен 2 2 F = J n(4-x^f dx = nj (l6-8x + x^)dx: = -2 -2 = n|16x-8- —+ — = 76-п.<1 5 случае объем тела вращения можно вычислить по формуле ь ь F = J nf^ (j:) dx = 7cJ (д;) dx. a a Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий. Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: ских единиц). 76-л 5 куб. ед. (кубиче- Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно оси Оу и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2]. Вопросы для контроля 1. Объясните, как можно найти площадь криволинейной трапеции. Приведите пример. 2. 1) Запишите формулу для нахождения площади фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками непрерывных функций, а также прямыми X = а и X = Ь {а < Ь). Приведите пример. 2*) Докажите эту формулу. 3. Запишите формулу для нахождения объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Приведите пример ее использования. Упражнения Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями (1-6). 3) у = ~, (/ = 4, X = 4; 5-х; 2) у = х^ - Зх -ь 4, 1/ = 4 - х; 4) i/ = ^, у = 3, X = 3. 5-х; 2) у = х^ -1- 2х -1- 1, у = X + 3; 4) у = 4 - х^ у = 2 - X. § 16. Проаейшие дифференциальные уравнения 225 3. 1) I/ = у = X + 2; 2) у = х^, у = 2 - X. 4. 1) у = + 2х + 1, у = - 4jc + 5; 2) у = + 2х + 2, у = 6 - 2) у = -, X + у = 6; 4) у = р у = 2х + 1, X = 3. 2) у = 6 - x^ у = 5; 4) у = х^, у = 2х - х^. 5. 1) у = -, X + у = 8; д; 3) У = ^, у = 4х + 1, X = 2; 6. 1) у = 8 - x^ у = 4; 3) у = xS у = 4х - х^; 7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 8х - 2х®, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой х = 0. 8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции / (х) = 8 - 0,5х^, касательной к нему в точке с абсциссой х = -2 и прямой X = 1. 9. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 1) у = х^ -I- 1, X = о, X = 1, у = 0; 2) y = ^/x, х = 1, х = 4, у = 0; 3) у = >/х, X = 1, у = 0; 4) у = 1 - X*, у = 0. 10. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 1) у = х^, у = х; 2) у = 2х, у = X + 3, X = о, X = 1; 3) у = X -ь 2, у = 1, X = о, X = 2; 4) у = >/х, у = х. 11*. 1) Выведите формулу объема шарового сегмента радиуса R и высоты Н. 2) Выведите формулу объема усеченного конуса высоты Н с радиусами оснований R и г. §16^ простейшие дифференциальные уравнения 1. Понятия дифференциального уравнения и его решения. До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости и (t) сводится к решению уравнения s' (f) = о (i), где V {t) — заданная функция, а s (0 — искомая функция. Например, если о (t) = 3 - 4t, то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s'(t) = 3 — it. Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество). 226 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Задача 1 Решите дифференциальное уравнение i/' = л: + 3. Решение ► Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первооб- 2 разных получаем: i/ = ^ + 3x + C, где С — произвольная постоянная. <1 При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения. Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнения. t Задача 2 Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у' = sin X, удовлетворяющего условию у (0) = 2. Решение ► Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х -t- С. Из условия £/ (0) = 2 находим -cos 0 -t- С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3. <1 Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводятся к решению дифференциального уравнения у' = ky, (1) где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции У = Се*% (2) где С — постоянная, определяемая условиями конкретной задачи. Например, в опытах установлено, что скорость т' (t) размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массой т (0 бактерий в момент времени t уравнением т' (t) = km (t). где k — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнения являются функции т (t) = Се'". Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса т^ бактерий известна. Тогда т (0) = т^ = Се* ® = С, следовательно, т (t) = т„е’". Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если т' (t) — скорость радиоактивного распада в момент времени 1,тот' (t) = -km (t), где k — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции т {t) = Се *'. § 16. Проаейшие дифференциальные уравнения 227 Если в момент времени t масса вещества равна т^, то С = т„, и тогда т (t) = (3) Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества. Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем ^ = Отсюда = 2, = Тогда формула (3) записывается так: In 2 т (1) = т^е~ ' = ''' =т^2 то есть m(t) = nig2 2. Гармонические колебания. На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения у" = -ш^у, ^ ^ (4) где (О — заданное положительное число, у = у (х), у" = (у' (х))'. Решением уравнения (4) является функция у (х) = С, sin (шл: -t- Cj), (5) где Cj и Cj — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то у (t) = А sin + (р), где А — амплитуда колебания, ш — угловая частота, (р — начальная фаза колебания. Графиком гармонического колебания является синусоида. 3. Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач. Задача 3 I Цилиндрический бак, высота которого 4,5 м, а радиус основа- ния 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, радиус которого 0,05 м? Решение ► Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстия г (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 118). Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли 0 = 0 ^J2gx, (6) где g = 9,8 м/с'', о — коэффициент, зависящий от свойства жидкости; для воды о = 0,6. 228 Раздел!. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Рис. 118 Найдем приближенно отношение nr^vAt, Следовательно, nR^Ax = nr^vAt. Учитывая формулу (6), получаем: Поэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной). Пусть t (х) — время, за которое из бака высотой X с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса г (рис. 118). м Ах’ считая, что за время At = t (х + Ах) - t (х) скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6). За время At объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высотой Ах с основанием радиуса R (см. рис. 118), то есть равен nR^Ax. С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания V на время At, то есть объем равен At Ах R‘ Тогда при Ах г^а \j2gx г^а О получаем равенство t'(x) = Jx Отсюда t(x) = ^ .— • 2 n/x + C. Га yj2g Если X = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое время ^(Я) = -^ . >/2Я. г а yjg Используя данные задачи, получаем: «(4,5) = - (0, ,Obfo,6yf^ ■>/9й639 = (с). Ответ: 639 с. 1 § 16. Простейшие дифференциальные уравнения 229 Задача 4 Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н. Решение ► Согласно закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть F = kx, где х — величина растяжения или сжатия (в метрах), k — постоянная. По условию задачи находим k. Поскольку при X - 0,01 м сила Г = 5 Н, то А = — = 500. X Следовательно, F (х) = kx = 500х. Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое движется под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки X = а в точку х = Ь. Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращение Дх. Тогда ДА = А{х + Дх) - А (х) — работа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точку X + Дх. Если Дх —> 0, то силу F (х) на отрезке [х; х Дх] будем счи- ДА тать постоянной и равной Г (х). Поэтому ДА = Г(х)-Дх. Отсюда — = F(x). Ах Тогда при Дх —> о получаем А' (х) = Г (х). Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х). Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем: V jF(x)dx = А(х) = А(д)-А(а) = А(б) = А Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела ил тонки а « точку Ь равна h А = Jf (х) dx. 1 Используя данные задачи, получаем: 0.06 А= f 500xdx = 500— J 2 0,06 = 0,9(Дж). о Вопросы для контроля Объясните, какое уравнение называется дифференциальным уравнением. Приведите примеры. 2. Объясните, какгш функция называется решением дифференциального уравнения. Приведите примеры. Упражнения 1. Тело движется прямолинейно со скоростью v (t) (м/сек). Вычислите путь, который пройдет тело за промежуток времени от t = до i 1) V (t) = 31^ + 1, t, = 0, <2 = 4; 2) V (0 = 2t^ + t,t^ = 1, = 3. 230 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ 2. Решите дифференциальное уравнение: !)«/' = 3-4лг; 2) г/' = 6л'2-8л:+1; 3) у'= Зе^; 4) «/' = 4 cos 2х-, 5) г/' = 3 sin х; 6) у' = cos х - sin х. 3. Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию: 1) J/' = sin X, г/ (0) = 0; 2) i/' = 2 cos х, у (п) = 1; 3) у' = Зх^ + 4х-1,у (1) = -2; 4) «/' = 2 + 2х - Зх^ у (-1) = 2; 5) ^/' = e^ г/(1)= 1; 6) у’ у (0) = 2. 4. Какую работу необходимо затратить на сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила 2 Н сжимает эту пружину на 1 см? б. Сила 4 Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу необходимо выполнить, чтобы растянуть пружину на 8 см? 6. Вода, которая подается с плоскости основания в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите затраченную при этом работу. Высота бака равна h, радиус основания г. 7. Найдите работу против сил выталкивания при погружении шара в воду. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 2 1. Найдите первообразную для функции f(x) = - cos х, график которой проходит через начало координат. 2. Найдите первообразную для функции f (х) = sin х - е®"', график которой проходит через начало координат. Найдите первообразную для функции у = /(х), график которой проходит через данную точку (3-7). 3. 1) Ax) = -sin--(-4cos4x, А(л; 3); 2) /(х) = -cos--5 sin 5х, В (я; 0); 3 3 2 2 3)/(х) = 5х<-f 3x2 - 4, В(-1; i2); 4) f{x) = -^-2x, N(9;-8). 2-Jx 4. 1)/(х) = 3x2 - 4х-Ь 5, А(2; 6); 2)/(х) = Зх^ - 6х + 4, А(1; 4); 3) f{x) = 12 •Jzx- А (9; 30). 5. 1)/(х) = 4х=>-2х + 3,А(1;8); 2) /(х) = 12 А(3; 18); 3) f{x) = 6. 1) f(x) = yjZx + 3 \l4x + A (4; 5); Af(5; 7); 3)/(x) = 6x=-t-e^^ 1 e‘ •Iax-Z 4) fix) = 4e2-', A(l; 3e). 2) fix) = 6e^^-\AiU5ey, 4) f (x) = 3x" -4x + 5, M (2; 7). Дополнительные упражнения к разделу 2 231 7. 1) /(д:) = 16х=' + Л B[v,2 4~e}, 3) f(x) = -^ + x, М(4; -3); 2у1х Вычислите интеграл (8—9). 2) f{x) = , а(^,з4 cos бдг л п . 1) j{x^-4x + 5)dx; 2) ||2 cos 2х + ^ sin |-|с(л:; 3) |^3 sin Зх - ^ cos dx; 4) -xjdx; 5) j|—+ x|dx; 6) J(x^-2x)dx. 9. 1) J{x^4x)dx; 2) J(4x=‘-4x + l)dx; 3) dx cos^ 3x 2n / dx 4) ^ . гх ' я sin — 4 Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями (10—14). 10. 1) у = х^ - 2х + 3, у = 3 - х; 2) у = х^ - 5х + 2, у = 2 - х; 3) у = ~, // = 1, X = 4; X 4) у = -, у = 2, X = 3. X 11. 1) у = х^ - 4х + 4, у = 2 - х; 2)у = х*-Ь2х + 1,у = х+1; 3) у = 5 - х^, у = X + 3; 4) у = 4 - х^, у = X -1- 4. 12. 1) у = х\ у = х; 2) у = X*, у = 4х; 3)у = -X® -t-2x-l-l, 1/ = х^-2х+1; 4) у = х2 -(- 2х + 2, у = 2 - х^, 13. 1) у = ~, X + у = 3; 2) у = -, X + у = 5; X X 3) у = ~, (/ = 4х - 1, X = 2; X 4) у = —, у = 2х 3, X = 3. X 14. 1) у = 9 - xS 1/ = 1; 2) у = 5 - X*, у = 4; 3) у = х\ у = 8х - х^; 4) у = X*, у = Зх - 2х^. 15. При каком значении о прямая х = а делит площадь фигуры, ограничен-ной графиком функции у = — и прямыми I/ = 0, х = 2, х = 8, пополам? 16. При каком значении а прямая х = о делит площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = — и прямыми у = 0, х = 4, х = 9, пополам? х 17. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х - х^, касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой х„ = 2, и осью ординат. 18. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у - Зх - х^, касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой х^ = 3, и осью ординат. 19. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = >/х +1 и у = yff^ И осью абсцисс. 232 Раздел 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355г. до н. э.) и усовершенствованный Архимедом. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывают ступенчатую фигуру и в нее вписывают ступенчатую фигуру. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины. Символ J ввел Лейбниц (1675). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690). Другие известные вам термины, касающиеся интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, является русским переводом более ргшнего иностргшного термина «примитивная функция*, введенного Лагранжем (1797). Латинское слово primitivus переводится как «начальный*: функция F = {х) dx — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ь ввел Лейбниц, а обозначение определенного интеграла J/(х)dx ввел К. Фу-рье (1768-1830). Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления в то время еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное И интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л. Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики М. В. Остроградский (1801-1862), В. Я. Буняковский (1804-1889). Раздел ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, 3 ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ § 17. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И БИНОМ НЬЮТОНА 17.1. Элементы комбинаторики Таблица 21 Комбинаторика Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются способы выбора и размещения элементов некоторого конечного множества на основании определенных условий. Выбранные (или выбранные и размещенные) группы элементов называются соединениями. Если все элементы полученного множества разные — получаем соединения без повторений, а если в полученном множестве элементы повторяются, то получаем соединения с повторениями*. Перестановки Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество из п заданных элементов. Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой — на втором, .... какой — на п-м. Формула числа перестановок (Р„) Пример (Р„) = п\, где л! = 1 • 2 ■ 3 •... • (читается: «Эн факториал») Количество различных шестизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, не повторяя эти цифры в одном числе, равно Р„ = 6! = 1- 2- 3- 4- 5- 6 = 720. Размещения Размещением из п элементов по к называется любое упорядоченное множество из к элементов, состоящее из элементов заданного ге-элементного множества. ' Формулы для нахождения количества соединений с повторениями являются обязательными только для классов физико-математического профиля. 234 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Продолж. табл. 21 Формула числа размещений (Д^) Пример Л* = (л -fe)! Количество различных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры не могут повторяться, равно д3 _ 61 _ Щ _ 1-2-3-4-5-6 ^ ^ (6-3)! 3! 1-2-3 = 4-5-6 = 120. Сочетания Сочетанием без повторений из п элементов по к называется любое fe-элементное подмножество заданного п-элементного множества. Формула числа сочетаний (С*) Пример kUn-h)'. (по определению считают, что С® = l) Из класса, состоящего из 25 учащихся, можно выделить 5 учащихся для дежурства по школе способами, то есть С® =■ 251 251 21-22-23-24-25 51(25-5)1 51-20! 1-2-3-4-5 = 53130 способами. Некоторые свойава числа сочетаний без повторений С„*=С" * (в частности, С„" =С;‘" = С® = l) Схема поиска плана решения простейших комбинаторных задач Выбор правила Правило суммы Правило произведения Если элемент А можно выбрать т способами, а элемент В — п способами (при этом выбор элемента А исключает одновременный выбор и элемента В), то А или В можно выбрать т + п способами. Если элемент А можно выбрать т способами, а после этого элемент В — п способами, то А и В можно выбрать т • п способами. § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 235 Продолж. табл. 21 17.1.1. Правила суммы и произведения. Упорядоченные множества. Размещения Объяснение и обоснование 1. Понятие соединения. Правила суммы и произведения. При решении многих практических задач приходится выбирать из определенной совокупности объектов элементы, имеющие те или иные свойства, размещать эти элементы в определенном порядке и т. д. Поскольку в этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, то такие задачи называют комбинаторными. Раздел математики, в котором рассматриваются методы решения комбинаторных задач, называется комбинаторикой. В комбинаторике рассматривается выбор и размещение элементов некоторого конечного множества на основании определенных условий. Выбранные (или выбранные и размещенные) группы элементов называют соединениями. Если все элементы полученного множества разные — получаем соединения без повторений, а если в полученном множестве элементы могут повторяться, то получаем соединения с повторениями. В этом параграфе рассматриваются соединения без повторений, а соединения с повторениями — в § 21. Решение многих комбинаторных задач базируется на двух основных правилах — правиле суммы и правиле произведения. Правило суммы. Если на тарелке лежат 5 груш и 4 яблока, то выбрать один фрукт (то есть грушу или яблоко) можно 9 способами (5 + 4 = 9). В общем виде имеет место такое утверждение: если элемент А можно выбрать т способами, а элемент В — п способами (при этом выбор элемента А исключает одновременный выбор и .элемента В), то А или В можно выбрать т + н способами. 236 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОаЕЙ И аДТИСТИКИ Уточним содержание этого правила, используя понятие множеств и операций над ними. Пусть множество А состоит из т элементов, а множество В — из л элементов. Если множества А и В не пересекаются (то есть А П В = 0), то множество А и В состоит из т + п элементов. Правило произведения. Если в киоске продают ручки 5 видов и тетради 4 видов, то выбрать набор из ручки и тетради (то есть пару — ручка и тетрадь) можно 5*4 = 20 способами (поскольку с каждой из 5 ручек можно взять любую из 4 тетрадей). В общем виде имеет место такое утверждение: если элемент А можно выбрать т способами, а после этого элемент В - п способами, то А и В можно выбрать т • п способами. Это утверждение означает, что если для каждого из т элементов А можно взять в пару любой из п элементов В, то количество пар равно произведению т.' п. В терминах множеств полученный результат можно сформулировать так. Если множество А состоит из т элементов, а множество В — из л элементов, то множество всех упорядоченных пар* (л; Ь), где первый элемент принадлежит множеству А (то есть а е А), а второй — множеству В (то есть Ь е В), состоит из лг • л элементов. Повторяя приведенные рассуждения несколько раз (или, более строго, используя метод математической индукции), получаем, что правила суммы и произведения можно применять при выборе произвольного конечного количества элементов. 2. Упорядоченные множества. При решении комбинаторных задач приходится рассматривать не только множества, в которых элементы можно записывать в любом порядке, но и так называемые упорядоченные множества. Для упорядоченных множеств существенным является порядок следования их элементов, то есть то, какой элемент записан на первом месте, какой на втором и т. д. В частности, если одни и те же элементы записать в разном порядке, то мы получим различные упорядоченные множества. Чтобы различить записи упорядоченного и неупорядоченного множеств, элементы упорядоченного множества часто записывают в круглых скобках, например (1; 2; 3) * (1; 3; 2). Рассматривая упорядоченные множества, следует учитывать, что одно и то же множество можно упорядочить по-разному. Например, множество из трех чисел {-5; 1; 3} можно упорядочить по возрастанию: (—5; 1; 3), по убыванию: (3; 1; -5), по возрастанию абсолютной величины числа: (1; 3; -5) и т. д. * Множество всех упорядоченных пар (а; Ь), где первый элемент принадлежит множеству А (то есть а s А), а второй — множеству В (то есть Ь 6 В), называют декартовым произведением множеств А и В и обозначают А 'х В. (Отметим, что декартово произведение В х А также состоит из т - п элементов). § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 237 Для того чтобы задать конечное упорядоченное множество из п элементов, достаточно указать, какой элемент находится на первом месте, какой на втором, .... какой на п-м. 3. Размещения Размещением из п элементов по к называется любое упорялочеипое .множество из к э-зементов, состоящее нз .элементов заданного л-элементного множества. Например, из множества, содержащего три цифры (1; 5; 7}, можно составить следующие размещения из двух элементов без повторений: (1; 5), (1; 7), (5; 7), (5; 1), (7; 1), (7; 5). Количество размещений из п элементов по к обозначается А* (читается: ♦Л из п по /г», А — первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение, приведение в порядок»). Как видим, .А| = 6. • Выясним, сколько всего можно составить размещений из п элементов по к без повторений. Составление размещения представим себе как последовательное заполнение к мест, которые будем изображать в виде клеточек (рис. 119). На первое место мы можем выбрать один из п элементов заданного множества (то есть элемент для первой клеточки можно выбрать п способами). Если элементы нельзя повторять, то на второе место можно выбрать только один элемент из оставшихся, то есть из п - 1 элементов. Теперь уже два элемента использованы и на третье место можно выбрать только один из л - 2 элементов и т. д. На к-е место можно выбрать только один из л - (А -1) = л - А -1-1 элементов (см. рис. 119). Поскольку требуется выбрать элементы и на первое место, и на второе, ..., и на к-е, то, используя правило произведения, получим следующую формулу числа размещении нз п элементов по А. Л* = л(л - 1)(л-2)...(л-А ^ 1). Q к мио.жмп’лгй Например, А| = 3- 2 = 6 (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше). Аналогично можно обосновать формулу для нахождения числа размещений с повторениями (см. § 19). При решении простейших комбинаторных задач важно правильно выбрать формулу, по которой будут проводиться вычисления. Для этого можно выяснить следующее: — Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? Без повторений (Н) (л^-^ к tTinrt t k мест Рис. 119 238 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ — Все ли заданные элементы входят в полученное соединение! Бели, например, порядок следования элементов учитывается и из п заданных элементов в соединении используется только k элементов, то по определению — это размещение из п элементов по к. Заметим, что после определения вида соединения следует также выяснить, могут ли элементы в соединении повторяться, то есть выяснить, какую формулу необходимо использовать — для количества соединений без повторений или с повторениями (см. также § 19). Примеры решения задач Задача 1 На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 х 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах? Решение Количество способов выбрать из 12 спортсменок четырех для участия в эстафете равно количеству размещений из 12 элементов по 4 (без повторений), то есть у1,'2 = 12-11-10-9 = 11880. < Комментарий Для выбора формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку для спортсменок важно, в каком порядке они будут бежать, то порядок при выборе элементов учитывается. В полученное соединение входят не все 12 заданных элементов. Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 12 элементов по 4 (без повторений, поскольку каждая спортсменка может бежать только на одном этапе эстафеты). Задача 2 Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе не повторяются. Решение Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть А? = 7-6-5 = 210. <3 Комментарий Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок следования цифр учитывается и не все элементы выбираются (только 3 из заданных семи). Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 7 элементов по 3 (без повторений). § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 239 Задача 3* Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, О, если цифры в числе не повторяются. Комментарий Выбор формулы проводится таким же образом, как и в задаче 2. Следует учесть, что если число, составленное из трех цифр, начинается цифрой О, то оно не считается трехзначным. Следовательно, для ответа на вопрос задачи можно сначала из заданных 7 цифр записать все числа, состоящие из 3 цифр (см. пример 2), а затем из количества полученных чисел вычесть количество чисел, составленных из трех цифр, но начинающихся цифрой 0. В последнем случае мы фактически будем из всех цифр без нуля (их 6) составлять двузначные числа. Тогда их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2 (см. решение). Также можно выполнить непосредственное вычисление, последовательно заполняя три места в трехзначном числе и используя правило произведения. В этом случае удобно сделать рассуждения наглядными, изображая соответствующие разряды в трехзначном числе в виде клеточек, например так: 6 возможностей 6 возможностей 5 возможностей Решение ► Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр (среди которых нет цифры 0), если цифры в числе не повторяются, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть А^. Но среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 необходимо исключить те размещения, в которых первым элементом является цифра 0. Их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2, то есть А|. Следовательно, искомое количество трехзначных чисел равно А^®-Ав^ = 7-6-5-6-5 = 180. <] .4 Задача 4 Решите уравнение —f = 6. А. Решение ► ОДЗ: хе N, х > 4. Тогда получаем: х(л:-1)(х-2)(д:-3) g х(х -1) На ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям: (X- 2)(х-3) = 6, х^-5х = о, дг (X - 5) = 0. Комментарий Уравнения, в запись которых входят выражения, обозначающие количество соответствующих соединений из X элементов, считаются определенными только при натуральных значениях переменной х. В данном случае, чтобы выражение А* имело смысл, необходимо 240 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОаЕЙ И СТАТИСТИКИ Тогда д: = о или х = 5. В ОДЗ входит только х = 5. Ответ'. 5. <] выбирать натуральные значения д: > 4 (в этом случае также существует и, конечно, / О). Для преобразования уравнения используем соответствующие формулы: = д:(дг - 1)(д: - 2)(jc - 3), = х(х-1). Вопросы для контроля 1. Сформулируйте и объясните на примерах правило суммы и правило произведения для решения комбинаторных задач. 2. Объясните, какое конечное множество считается упорядоченным. Приведите примеры упорядоченных конечных множеств. 3. Объясните, что называется размещением из п элементов по k без повторений. Приведите примеры. 4. Запишите формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k без повторений. Приведите примеры ее использования. 5’ Обоснуйте формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k без повторений. Упражнения 1*. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма? 2*. В коробке находятся 10 белых и 6 черных шаров. 1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета? 2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два шара разного цвета? 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора? 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов (если в один день он может сдавать только один экзамен)? 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м (предполагаем, что все они покажут разное время)? § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 241 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если есть материал 7 разных цветов? 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим? 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв? 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если цифры в числе не повторяются? 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, если цифры в числе не повторяются? 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля? 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5? .5 15*. Решите уравнение: 1) А^ = 20; 2) —1- = 6. 4, 17.1.2. Перестановки Объяснение и обоснование Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество из л за.тавных элементов. Напомним, что упорядоченное множество — это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой на втором, ..., какой на п-м. Например, переставляя цифры в числе 236 (там множество цифр {2; 3; 6} уже упорядоченное), можно составить такие перестановки без повторений'. (2; 3; 6), (2; 6; 3), (3; 2; 6), (3; 6; 2), (6; 2; 3), (6; 3; 2) — всего 6 перестановок*. Количество перестановок без повторений из п элементов обозначается Р„ (Р — первая буква французского слова permutation — перестановка). Как видим, Pj= 6. • Фактически перестановки без повторений из п элементов являются размещениями из п элементов по п без повторений, поэтому Р^ = А" = П’(п-1)‘(п-2)...-2Л. Произведение l'2-З-...-п обозначает- п множителей ся п1. Поэтому полученная формула числа перестановок без повторений из п элементов может быть записана так: Р = л! = 1 • 2 • 3 •... • п. О * Отметим, что каждая такая перестановка определяет трехзначное число, составленное из цифр 2, 3, 6 тг1К, что цифры в числе не повторяются. 242 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Например, Рд=3! = 1'2‘3 = 6 (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше). С помощью факториалов формулу для числа размещений без повторений A* = n(n-l)(n-2)...(n-fe-bl) к миожнтглей можно записать в другом виде. Для этого умножим и разделим выражение в формуле (1) на произведение (л - k)-(n - k - 1) •... • 2 • 1 = (л - ft)!. Получаем А* = л(л-1)(л-2)... (n-ft +1) = _ п • (л -1) • (п - 2) •... • (л - л + 1) • (л - ft) • (л - л -1) •... • 3 • 2 • 1 _ л! (п-*)-(л-Л-1)....-3-2-1 ~(n-ft)l‘ Следовательно, формула числа размещений без повторений из п элементов по ft может быть записана так: (л-ftM (2) Для того чтобы этой формулой можно было пользоваться при всех значениях ft, в частности при ft = л - 1 и при ft = л, договорились считать, что 1! = 1 и О! = 1. Например, по формуле (2) А| = - 61 = ^ = 6! = 1-2- 3-4-5-6 = 720. (6-5)1 1! Обратим внимание, что в тех случаях, когда значение л! оказывается очень большим, ответы оставляют записанными с помощью факториалов. тт л2Ь 30! 30! Например, АХп---------= —• е *30 (30-25)! 5! Примеры решения задач Напомним, что для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно выяснить следующее: — Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? — Все ли заданные элементы входят в полученное соединение! Бели, например, порядок следования элементов учитывается и все л заданных элементов используются в соединении, то по определению это перестановки из л элементов. Задача 1 Найдите, сколькими способами можно восемь учащихся построить в колонну по одному. Решение ► Количество способов равно числу перестановок из 8 элементов, то есть Pg=8! = l-2-3-4-5*6-7-8 = = 40 320. < Комментарий Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов учитывается и все 8 заданных элементов § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 243 Задача 2 выбираются, то соответствующие соединения — это перестановки из 8 элементов без повторений. Их количество можно вычислить по формуле Р = п! = Найдите количество разных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр О, 3, 7, 9 (цифры в числе не повторяются). Решение ► Из четырех цифр О, 3, 7, 9, не повторяя заданные цифры, можно получить P^ перестановок. Перестановки, начинающиеся с цифры О, не являются записью четырехзначного числа — их количество Рд. Тогда искомое количество четырехзначных чисел равно Р^-Рз=4!-3! = 1- 2- 3- 4-1*2-3 = = 18. <] Задача 3* Комментарий Поскольку порядок следования элементов учитывается и для получения четырехзначного числа надо использовать все элементы, то искомые соединения — это перестановки из 4 элементов. Их количество — Р^. При этом необходимо учесть, что в четырехзначном числе на первом месте не может стоять цифра 0. Таких чисел будет столько, сколько раз мы сможем выполнить перестановки из 3 оставшихся цифр, то есть Pj. Есть десять книг, из которых четыре — учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом? Решение ► Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 10, а 7 книг. Это можно сделать Pj способами. В каждом из полученных наборов книг можно выполнить еще Р^ перестановок учебников. По правилу умножения искомое количество способов равно Pj • Р, = 71 • 41 = 5040 • 254 = = 120 960. <1 Комментарий Задачу можно решать в два этапа. На первом этапе условно будем считать все учебники за 1 книгу. Тогда получим 7 книг (6 не учебников + 1 условная книга — учебник). Порядок следования элементов учитывается, и используются все элементы (поставить на полку необходимо все книги). Следовательно, соответствующие соединения — это перестановки из 7 элементов. Их количество - Pj. На втором этапе решения будем переставлять между собой только 244 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИаИКИ учебники. Это можно сделать способами. Поскольку нам надо переставить и учебники, и другие книги, то используем правило произведения. Вопросы для контроля 1. Объясните, что называется перестановкой из п элементов без повторений. Приведите примеры. 2. Запишите формулу для вычисления числа перестановок из п элементов без повторений. Приведите примеры ее использования. 3*. Обоснуйте формулу для вычисления числа перестановок из п элементов без повторений. Упражнения 1. Сколькими способами 4 мужчин могут расположиться на четырехместной скамейке? 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abode, которые получаются из него перестановкой множителей? 4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге (если она помнит все остальные цифры номера). 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: 1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) О, 2, 5, 6, 7, 8? 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть таких, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5? 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе). 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд? 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке? 10, Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных? § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 245 17.1.3. Сочетания Объяснение и обоснование 1. Сочетания без повторений. Сочетанием Oej повторении и.} п элементов по k называется любое /(• элементное подмножество заданного п .элементного множества. Например, из множества {а, Ь, с, d) можно составить следующие сочетания без повторений из трех элементов: {а, Ь, с), {а, Ь, d), {а, с, d), {6, с, d). Количество сочетаний без повторений из п элементов по k элементов обозначается символом С* (читается: «Число сочетаний из п по k* или «це из п по k*, С — первая буква французского слова combinaison — сочетание). Как видим, = 4. • Выясним, сколько всего можно составить сочетаний без повторений из п элементов по А. Для этого используем известные нам формулы числа размещений и перестановок. Составление размещения без повторений из п элементов по k проведем в два этапа. Сначала выберем к разных элементов из заданного п-элементного множества, не учитывая порядок выбора этих элементов (то есть выберем А-элементное подмножество из п-элементного множества — сочетание без повторений из п-элементов по А). По нашему обозначению это можно сделать С* способами. После этого полученное множество из А разных элементов упорядочим. Его можно упорядочить = AI способами. Получим размещения без повторений из п элементов по А. Следовательно, количество размещений без повторений из п элементов по А в А! раз больше числа сочетаний без повторений из л элементов А* по А. То есть А* = С* А1. Отсюда С* = —^-. Учитывая, что по формуле (2) kl AN- (n-fe)l получаем: CN Например, С® = 41 кНч 1-2-3-4 1-2-3-1 к>! (3) = 4, что совпадает со значением, полу- 31(4-3)! ченным выше. Используя формулу (3), можно легко обосновать свойство 1 числа сочетаний без повторений, приведенное в таблице 21 (с. 234). п1________ п\ _ • 1) Поскольку С'‘‘*=- (л -k)\ k\ о = С то (л - А)!-(л -(л - A))l с;=с;‘. о (4) Для того чтобы формулу (4) можно было использовать и при А = п, договорились считать, что С‘* = 1. Тогда по формуле (4) CII = С" = 1. 246 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Зшетим, что формулу (4) можно получить без вычислений с помощью достаточно прюстых комбинаторных рассуждений. Когда мы выбираем k предметов из л, то п - А предметов мы оставляем. Если же, напротив, выбранные предметы оставим, а другие п - к — выберем, то получим способ выбора п — к предметов из п. Заметим, что мы получили взаимно однозначное соответствие способов выбора к и п - к предметов из п. Значит, количество одних и других способов одинаково. Но количество одних С*, а других — С"'* , поэтому С* =С"'". Если в формуле (3) сократить числитель и знаменатель на (л — А)1, то получим формулу, по которой удобно вычислять С* при малых значениях к: к моожшелеи к милг>кпге.1чй V.».. — к! 2 множителя 12 ... к 4 миожикмей 3 множителя (5) Например, =25-12 = 300, = ^'1'^ =8-7 = 56. 2. Вычисление числа сочетаний без повторений с помощью треугольника Паскаля. Для вычисления числа сочетаний без повторений можно применять формулу (3): С*=- л1 , а можно последовательно вычислять соот- Л1(л-*)1 ветствующие значения, пользуясь таким свойством: (6) • Для обоснования равенства (6) можно записать сумму С* + С**’, используя формулу (3), и после приведения полученных дробей к общему знаменателю получить формулу для правой части равенства (6) (проделайте это самостоятельно). Также формулу (6) можно получить без вычислений с помощью комбинаторных рассуждений. С**} — это количество способов выбрать ft +1 предмет из п + 1. Посчитаем это количество, зафиксировав один предмет (назовем его «фиксированным»), Если мы не берем фиксированный предмет, то нам нужно выбрать ft +1 предмет из п тех, что остались, а если мы его берем, то нужно выбрать из п тех, что остались, еще ft предметов. Первое можно сделать способами, второе— С* способами. Всего как раз С* +С**‘ способов, следовательно, р* + С*”'= 0*” О ‘'Л ^ '-'(1 Это равенство позволяет последовательно вычислять значения С* с помощью специальной таблицы, которая называется треугольником Паскаля. Если считать, что С® = 1, то таблица будет иметь следующий вид (табл. 22). § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 247 Таблица 22 Значение С‘ X / / t t } 1 t i / 0 ! 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / — 0 II t t t t t ! ! II II II t 1^1 • / ! t f t /1/ ! ! / / • / 1^1 ! 1 1 I 1 1 ! II II II ! ! II II II ! 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 I I 1 1 1 1 f -t 1 -t f f * • f • /|/|/ ! / ! / • ! ^ ! / / ! 1 1 t II II II ! ! II II II ! 2 ! II II II ! ! II II II ! ! Л t C% ! •% ! / / • ! ! 1. ! • V ! / ! ! ! ! I I ! ! / • ! ! t t t t II ! 3 ! II II II ! ! II t ! t ! ! t 1 / 3 / 3 / 1 / II t II II ! II II t II ! 4 ! i ! II II ! / 1 / 4 / 6 / 4 ! 1 / ! ! t II t ! II ! ! II II II ! 5 / 1 / 5 / 10 / 10 / 5 / 1 / / //////// 6 / 1 / 6 / 15 / 20 /15 / 6 / 1 / ! II II II ! ! II II II ! ... ! II t ! II ! ! II II II ! II II t II ! / / ^ ' ! II II II ! t II II II ! ! II II II ! п II II t II ! t II II II ! ! /-|0 ' / fyb ! лв / / r / ! II II II ! \ 1 i t £ £ £ 1 Каждая строка этой таблицы начинается с единицы и заканчивается единицей (с“ = СЦ = 1). Если какая-либо строка уже заполнена, например третья, то в четвертой строке надо записать на первом месте единицу. На втором месте запишем число, равное сумме двух чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее (поскольку по формуле (6) = С“+ С3 = 1 + 3 = 4). На третьем месте запишем число, равное сумме двух следующих чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее (С^ = Cj+С| =3 + 3 = б), и т. д. (а на последнем месте снова запишем единицу). Примеры решения задач Обратим внимание, что, как и раньше, для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно ответить на вопросы: 248 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОаЕЙ И СТАТИаикИ 1) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? 2) Все ли заданные элементы входят в полученное соединение! Для выяснения того, что заданное соединение является сочетанием, достаточно ответить только на первый вопрос (см. схему в таблице 21 на с. 235). Если порядок следования элементов не учитывается, то по определению это сочетание из п элементов по k элементов. Задача 1 Из 12 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор? Решение ► Количество способов выбрать из 12 туристов трех дежурных равно количеству сочетаний из 12 элементов по 3 (без повторений), то есть 12! 12! 12-11-Ю с» 3!-а2-3)! 3!-91 1-2-3 = 220. <1 Комментарий Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов не учитывается (для дежурных неважно, в каком порядке их выберут), то соответствующее соединение является сочетанием из 12 элементов по 3 (без повторений). Для вычисления можно использовать формулы (3) или (5), в данном случае применяем формулу (3): С* — " кЦп-к)1' Задача 2 Из вазы с фруктами, в которой лежат 10 разных яблок и 5 разных груш, требуется выбрать 2 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор? Решение ^Выбрать 2 яблока из 10 можно С,о способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать С® способами. Тогда по правилу произведения выбор требуемых фруктов можно выполнить ми. Получаем 10-9 5-4-3 С, способа- Чо '-'5 1-2 1-2-3 = 450. <] Комментарий Сначала отдельно выберем 2 яблока из 10 и 3 груши из 5. Поскольку при выборе яблок или груш порядок следования элементов не учитывается, то соответствующие соединения — сочетания без повторений. Учитывая, что требуется выбрать 2 яблока и 3 груши, используем правило произведения и перемножим полученные возможности выбора яблок (Cfo) и груш (с®). § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 249 1. 2. 3*. 4*. 5*. 6. 1', 3‘. 5°. 6. 7. 8”. 9°, 10. Вопросы для контроля Объясните, что называется сочетаниями из п элементов по k без повторений. Приведите примеры. Запишите формулу для вычисления числа сочетаний из п элементов по k без повторений. Приведите примеры ее использования. Обоснуйте формулу для вычисления числа сочетаний из п элементов по k без повторений. Обоснуйте свойство С*-ь С*^‘= Объясните, как можно последовательно вычислять значение С* с помощью специальной таблицы — треугольника Паскаля. Объясните на примерах, как можно выбрать соответствующую формулу при решении простейших комбинаторных задач. Упражнения В классе 7 учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? В магазине «Филателия* продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора? Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомедуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг? На полке стоят 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен? В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать? Решите упражнения 6—25, используя известные вам формулы и правила комбинаторики. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий? Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями. Сколько всего фотографий необходимо для этого? Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Уренгой»? Из 12 рабочих-бурильщиков нужно командировать 5 для работы в соседней области. Сколькими способами можно сформировать такую бригаду для командировки? Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря? 250 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой (так, чтобы каждая прямая проходила через две заданные точки)? 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения? 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника. 14°. Сколько разных трехцветных флагов, состоящих из трех горизонтальных полос, можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета? 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек (так, чтобы каждая плоскость проходила через три заданные точки), если никакие четыре точки не лежат в одной плоскости? 16*. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр о, 2, 4, 6, 8 без их повторения? 17. Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрой 5? числом 12? числом 123? 18. Среди сочетаний из 10 букв а, 6, с, ... по 4 сколько таких, которые не содержат букву а? буквы а и Ь7 19. Среди размещений из 12 букв а, Ь, с, ... по 5 сколько таких, которые не содержат букву а? буквы а и Ь? 20. Сколько необходимо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2? Решите уравнение (21—24). 21. 1) А* = 42; 2) А1 = 56х; 3) А1,=30; 4) 5C« = C,V 15А? 22. 1)С,% = 21; 2)С® = ^^^^; 3) С®+ С^ = 15(;е-1); 4)С,^=^ .5 .3 23. 1) £l^ = 43; Р 24. 1) -^-5^ = 42; 2) а!-А® ^ = 89; 3) 12С>С,^, = 162; Р. лП*\ р 2) ^9Q. 3) *^х-»2 _ 25. Решите систему уравнений: А-АГ'= 10, 1сГ=2,5х, 1) . 5 2) ' ^ С^СГ‘=|; 1С^ = 10; 3) Д Р ^х-п = 132; 4) C,":Cf"=l, С," = 153; 4) 4) С* ^^Х + 1 Q .п*г р А':АГ'=8, [c;J:Cf‘=l,6. 17.2. Бином Ньютона Таблица 23 Бином Ньютона (о ^х)" =а" '.г ♦ С^а" ^х'~ ^ +. § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 251 Продолж. табл. 23 Поскольку 1 = С“ = С" и JC® = 1, а® = 1 (при д: О и а / 0), то формулу бинома Ньютона можно записать еще и так: (а + jc)" =C>">:®+C>"-'xfC„^a" V+C>"-V+... + C„*a" + Общий член разложения степени бинома имеет вид ^*.1 =С*а" *дг* (где А = 0, 1, 2, .... л). Коэффициенты С* называют биномиальными коэффициентами. Свойства биномиальных коэффициентов 1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых) в разложении л-й степени бинома равно п + 1. 2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой (поскольку С* =С""*). 3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2": Сп + С' + с„^ + с® +... ^ с: = 2". п п п п п 4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах. 5. Для вычисления биномиальных коэффициентов можно воспользоваться треугольником Паскаля, в котором вычисления коэффициентов основываются на формуле C*^J =С*Н-С**’, Треугольник Паскаля Степень (о + хУ (а -ь хУ (а -1- хУ (а + хУ (а -ь хУ (а + хУ (а -1- хУ Коэффициенты разложения Ориентир 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 15 20 15 6 В каждом ряду по краям стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, находящихся над ним справа и слева Например, (о -г ЬУ = а' + 4а®Ь -ь -I- 4аЬ^ -f Ь*. 252 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Объяснение и обоснование 1. Бином Ньютона. Двучлен вида а + х также называют биномом. Из курса алгебры известно, что: (а + х)’ = о + л: = 1 • а + 1 • х; (а + хУ = + 2ах + = 1 • + 2 • ох 4- 1 • ; (о + х)® = + Зо^х + Зох^ + X® = 1 ■ о® + 3 • а^х + 3 • ах^ + 1-х®. Можно заметить, что коэффициенты разложения степени бинома (о + х)" при о = 1, 2, 3 совпадают с числами в соответствующей строке треугольника Паскаля. Оказывается, что это свойство выполняется для любого натурального п, то есть справедлива формула (« .^х)" V + ... + C>" *х' (7) Формулу (7) называют биномом Ньютона. Правая часть этого равенства называется разложением степени бинома (а + х)", а числа С* (при А = 0, 1, 2, ..., п) называют биномиальными коэффициентами. Общий член разложения степени бинома имеет вид Т*., =С‘а - ‘х* (где fe = О, 1, 2, ..., п). • Обосновать формулу (7) можно, например, с помощью метода математической индукции (содержание и алгоритм использования метода см. в учебнике 10 класса). (Проведите такое обоснование самостоятельно.) Приведем также комбинаторные рассуждения для обоснования формулы бинома Ньютона. По определению степени с натуральным показателем (а + х)" = (а -I- х) х X (а -I- х)... (а + х) (всего п скобок). Раскрывая скобки, получаем в каждом слагаемом произведение п букв, каждая из которых — а или х. Если, например, в каком-то слагаемом количество букв х равно к, то количество букв а в нем равно п - к, то есть каждое слагаемое имеет вид а""" х* при каком-то /г от о до п. Покажем, что для каждого такого к число слагаемых а""* X* равно С*, откуда после приведения подобных членов и получаем формулу бинома. Но это действительно так. Произведение а""* х* получаем, взяв букву х из А скобок и букву а из п - к тех скобок, которые остались. Разные такие слагаемые получим путем разного выбора первых к скобок, а к скобок из п можно выбрать именно С* способами. Следовательно, общий член разложения бинома (а + х)" действительно имеет вид С^а" ''х^ , где А = 0, 1, 2, ..., п. Именно из-за бинома Ньютона числа С* часто называют биномиальными коэффициентами. О Записывая степень двучлена по формуле бинома Ньютона для небольших значений п, биномиальные коэффициенты можно вычислять по треугольнику Паскаля (см. табл. 23). § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 253 Например, (а + ft)® = о® + Ьа^Ь + 10a®fc^ + lOo^b® + 5ab* + &®. Так как С® = С" = 1, формулу бинома Ньютона можно записать в виде: {a + x:)"=o"+C>''-** + C„"a" V+C>" V+...-^C*a" ‘jc^ + .-. + C^'W" ' +ж", (12) a учитывая, что jc® = 1 и а® = 1 (при дг 5* О и а 0), еще и так: (а+д:)" =С®а'’*"+С‘а’"*л: + С*в" V + C*a" •'’х*+... + С,*а"-*д:*+... + С„"а®дг“. (13) Если в формуле бинома Ньютона (12) заменить х на (-х), то получим формулу возведения в степень разности а - х: (а -хГ = а" - -'д + С^" V - С^а"-^х^ +... f (-!)">:“. Например, (а - Ь)® = а® - ба^Ь + 10а®Ь^ - 10а^&® + 5аЬ‘* - ft® (знаки членов разложения чередуются!). 2. Свойства биномиальных коэффициентов 1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых) в разложении п-й степени бинома равно п -I- 1, поскольку разложение содержит все степени д: от 0 до л (и других слагаемых не содержит). 2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой, поскольку С* = С"'*. 3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2". • Для обоснования полагаем в равенстве (13) (или в равенстве (7)) значения а = дс = 1 и получаем: С" + С>С" + С“ + ...-(-С"=2". О /I П П /I п Например, С® -I- С5Ч С® -I- С® = 1 + 5 -t-10-НО + 5-н 1 = 32 = 2^ 4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящи.х на нечетных местах. • Для обоснования возьмем в равенстве (13) значения а=1, д: = -1. Получаем: о=С„® - С‘+С„^-С„Ч - С„Ч...-К-1)"С„". Тогда С® + Cjj + С„^ +... = С> С® + +... . О Задача 1 Примеры решения задач По формуле бинома Ньютона найдите разложение степени 1 Комментарий Для нахождения коэффициентов разложения можно использовать треугольник Паскаля (с. 251) или вычислять их по общей формуле. По треугольнику Паскаля коэффициенты равны: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Учитывая, что при возведении в степень разности знаки членов разложения чередуются, получаем: (а - &)« = о« - 6а®6 -н 15а*Ь^ - 20а®5® -(- 15а^Ь* - 6afc® Ь«. 254 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Для упрощения записи ответа можно избавиться от иррациональности в знаменателях полученных выражений (см. решение) или сначала учесть, 1 что ОДЗ заданного выражения: л > О, и тогда —i= = x То есть заданное выражение можно записать так: последнее выражение. Гх x-^j =\х-х и возвести в степень Решение +[ -р] =х®-^ + 15х®--^^^ + 15----^ + -^ = х®-бх''>Ух + 15х®- \ух) yjx xyjx хЫх X -20х7х+15-^ + Л.<1 Задача ^ В разложении степени найдите член, содержащий 6®. Комментарий Решение ►ОДЗ: Ь > О. Тогда ( Гь) Обший член разложения: I 16-» к \Ь~Ч =С,> 2 -3. По условию член разложения должен содержать 6®, следовательно, -- = 3. Отсюда k = 6. 2 3 Тогда член разложения, содержащий б®, равен Тк., =Т, = Cfe = О® = -^б® = 16-15-14-13-12-11 1-2-3-4-5-6 61(16-6)! = 80086®. На ОДЗ (б > 0) каждое слагаемое в заданном двучлене можно записать как степень с дробным показателем. Это позволит проще записать общий член разложения степени (а + х)": (где А = о, 1, 2, ..., п), выяснить, какой из членов разложения содержит б®, и записать его. Чтобы упростить запись общего члена разложения, удобно отметить, что а = у/ь = ьК х = ^ = Ь'К п = 16. Вопросы для контроля 1. а) Запишите формулу бинома Ньютона. Приведите примеры ее использования. б*) Докажите формулу бинома Ньютона. 2*. Сформулируйте и докажите свойства биномиальных коэффициентов. § 17. Элементы комбинаторики и бином Ньютона 255 Упражнения Найдите разложение степени бинома (1-3). 1. 1) (X + аУ; 2) (X + сУ; 3) (X + 2У; о (1 + о)'>. 2. 1)(х-а)’; 2) (X® - аУ; 3) (а® + 1)«; Г) {а* Л)" 3. 1) (у/т-п) ; 2) (X - 2уУ; J V А 3) (Зх + 2уУ; 4) (2а® - Зо)®; 5) (.'-!) . 4. Найдите: 1) четвертый член разложения (а + 3)^; 2) девятый член разложения (а + \fbf^; 3) шестой член разложения (а* + 4) средний член разложения {у/а - Jb) . 5. Найдите член разложения бинома: 1) (х + уУ, содержащий х’’; 2) (л/а+ь) , содержащий а®; 3) (у/а+у/а) , содержащий а^; 4) , содержащий х®; 5) член разложения 6) член разложения , не содержащий а; не содержащий а. 6*. Найдите показатель степени бинома, если: 1) третий член разложения {yfa^+ содержите®; 2) биномиальные коэффициенты четвертого и шестого членов разложения (1 -I- равны между собой; 3) биномиальные коэффициенты четвертого и шестого членов разложения соответственно равны 120 и 252. 7*. Найдите показатель степени бинома, если: 1) шестой член разложения {а ®® -н Va) не содержит а; 2) отношение седьмого члена разложения | у/2 + ^ j к седьмому члену 1 разложения от конца равно -; б 3) шестой член разложения [ —не зависит от а. ) 8*. В разложении степени бинома | у[х + ] коэффициент пятого члена от- I Vx*) носится к коэффициенту третьего члена как 7:2. Найдите член разложения, содержащий букву х в первой степени. 256 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОаЕЙ И алТИСТИКИ члена 9*. В разложении степени бинома |i + V2| коэффициент четвертого относится к коэффициенту шестого члена как 5 : 18. Найдите член разложения, не зависящий от г. 10*. Коэффициент третьего от конца члена разложения {>1г^ -f- yf^) равен 45. Найдите член разложения, содержащий букву г в первой степени. § 18. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 18.1. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности Таблица 24 1. Случайные события Понятия Примеры Под экспериментами со случайными результатами (или, коротко говоря, случайными экспериментами) понимают различные эксперименты, опыты, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз в одинаковых условиях. Эксперименты с рулеткой, бросанием игрального кубика, подбрасыванием монеты, серия выстрелов одного и того же стрелка по одной и той же мишени, участие в лотерее и др. Любой результат случайного эксперимента называют случайным событием. Вследствие такого эксперимента это событие может или произойти, или не произойти. Случайные события обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита А, В, С, D, ... Выпадение «герба», выпадение «числа» при подбрасывании монеты; выигрыш в лотерею, выпадение определенного количества очков при бросании игрального кубика и т. д. 2. Понятия, связанные со случайными событиями в некотором эксперименте События В2, ..., В„ называют равновозможными, если в данном эксперименте нет никаких оснований предполагать, что одно из них может произойти предпочтительнее, чем любое другое. в эксперименте с однократным подбрасыванием однородной монеты правильной формы равновозможными являются события; А — выпал «герб» и В — выпало «число». События А и В называют несовместными, если они не могут прю-изойти одновременно в данном эксперименте. В эксперименте с подбрасыванием монеты события А — выпал «герб» и В — выпало «число» —несовместные. § 18. Основные понятия теории вероятностей 257 Продолж. табл. 24 События C^, С2, С„ называют несовместными, если каждая пара из них несовместна в данном эксперименте. Для эксперимента с подбрасыванием игрального кубика события Cj — выпадение 1 очка, С2 — выпадение 3 очков, Cj — выпадение 5 очков, — выпадение четного числа очков — несовместные. Событие и называют достоверным, если в результате данного эксперимента оно обязательно произойдет. Выпадение меньше 7 очков при бросании игрального кубика (на гранях обозначено от 1 до 6 очков). Событие 0 называют невозможным, если оно не может произойти в данном эксперименте. Выпадение 7 очков при бросании игрального кубика. 3. Пространство элементарных событий Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть только одно из несовместных событий н,, U2, ..., и„. Назовем их элементарными событиями, а множество всех этих событий и {ц„ ц^, ..., uj — пространством элементарных событий. Случайным событием А на.зовем любое по.дмножество пространства элементарных событий U, 1. Для эксперимента с подбрасыванием монеты элементарными будут события Uj — выпал «герб*, Uj— выпало «число*. Тогда пространство элементарных событий будет состоять из двух событий: и = {ц,, Uj}' (Эти события несовместные, и в результате эксперимента обязательно происходит одно из этих событий.) 2. Для эксперимента с бросанием игрального кубика элементарными могут быть события U,, щ, Ug, u^, Uj, Ug, где u*— выпадение k очков, А = 1, 2, 3, 4, 5, 6. В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из шести событий: и = {U^, и^, Ug, и^, Ug, Ug}. 4. Классическое определение вероятности (для равновозможных элементарных событий) Пусть задано пространство эле.мен-тарных событий, все элементарные события которого — равновозмож-вые. Пример. Найдите вероятность выпадения больше четырех очков при бросании игрального кубика. ► Рассмотрим как элементарные события шесть равновозможных результатов бросания кубика — 258 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Продолж. табл. 24 Вероятность события А — это отношение количества элементарных событий (ш), благопрнятствучощих этому событию, к количеству всех равновозможных .элементарных событий в данном эксперименте (п); Я(Д) = - п выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков (следовательно, п = 6). Событие А — выпало больше 4 очков. Благоприятствуют событию А только два элементарных события — выпало 5 или 6 очков (то есть m = 2) . Тогда P(A) = ^ = i = i <] п Ь 6 Вероятность достоверного (U) и невозможного (0) событий P(V )=1 Я ( 0) = 0 Объяснение и обоснование 1. Случайные эксперименты и случайные события. Нам часто приходится проводить различные наблюдения, опыты, принимать участие в экспериментах или испытаниях. Часто такие эксперименты завершаются результатом, который заранее предусмотреть невозможно. Например, мы покупаем лотерейный билет и не знаем, выиграет ли он; подбрасываем монету и не знаем, что выпадет — число или герб. Можно ли каким-то образом оценить шансы появления результата, который нас интересует? Ответ на эти вопросы дает раздел математики, который называется теорией вероятностей. Мы ознакомимся только с основами этой теории. Одним из основных понятий, которые рассматриваются в теории вероятностей, является понятие эксперимента со случайными результатами. Примером такого эксперимента может служить подбрасывание монеты судьей футбольного матча перед его началом, чтобы определить, какая из команд начнет матч с центра поля. Под экспериментами со случайными результатами (или, коротко говоря, случайными экспериментами) понимают различные эксперименты, опыты, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз в одинаковых условиях. Например, это серия выстрелов одного и того же стрелка по одной и той же мишени, участие в лотерее, вынимание пронумерованных шаров из коробки, эксперименты с рулеткой, бросанием игрального кубика, подбрасыванием монеты. Любой результат случайного эксперимента называется случайным событием. Вследствие рассматриваемого эксперимента это событие моясет или произойти, или не произойти. Заметим, что для каждого случайного эксперимента обычно заранее уславливаются, какие его результаты рассматриваются как элементарные события, а затем случайное событие рассматривается как подмножество получившегося множества (см. с. 261). Далее, как правило, будем обозначать случайные события прописными буквами латинского алфавита А, В, С, D... § 18. Основные понятия теории вероятностей 259 Говоря о случайных событиях, будем иметь в виду, что эти события связаны с одним вполне определенным случайным экспериментом. Заметим, что много важных и нужных фактов теории вероятностей сначала были получены с помощью очень простых экспериментов. Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыграли обычные монеты и игральные кубики. Но те монеты и кубики, которые рассматривают в теории вероятностей, являются математическими образами настоящих монет и кубиков (потому о них иногда говорят, что это математическая монета и математический игральный кубик). Например, математическая монета, которую используют в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и стоимости. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «герб*», а другая — «число». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никаких других свойств у математической монеты нет. Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть *гер-бом* или <1 числом*. При этом имеется в виду, что никакой другой результат бросания монеты невозможен — она не может потеряться, закатившись в угол, и, тем более, не может «встать на ребро». Настоящая металлическая монета (рис. 120) служит лишь иллюстрацией для математической монеты. Настоящая монета может быть немного вогнутой, может иметь другие дефекты, которые влияют на результаты бросания. Однако, чтобы проверить на практике опыты с бросанием математической монеты, мы бросаем обычную монету (без явных дефектов). Игральный кубик также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игральный кубик имеет удивительную историю. Игра с кубиками — одна из древнейших. Она была известна в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме. Игральные кубики находили в Египте (XX в. до н. э.) и в Китае (VI в. до н. э.) при раскопках древних захоронений. Правильные (симметричные) кубики обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь Рис. 120 * Часто в российских учебниках по теории вероятностей вместо термина «герб* для обозначения оборотной стороны (так называемого реверса) монеты употребляют термин «орел», а вместо термина «число» — термин «решка». Это связано с тем, что на реверсе монет Российской империи был изображен двуглавый орел, а на лицевой стороне монеты (аверсе) ее номинал (официально объявленная стоимость) был написан на фоне рисунка, который напоминал решетку. 260 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ одинаковую площадь, быть плоскими и одинаково гладкими. Кубик должен иметь кубическую форму, и его центр тяжести должен совпадать с геометрическим центром. Вершины и ребра кубиков должны иметь правильную форму. Если они округлены, то все округления должны быть одинаковыми. Отверстия, которые маркируют количество очков на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину (рис. 121). Математический игральный кубик. который обсуждается в теории вероятностей, — это математический образ правильного кубика. Выпадение всех граней равновозможно. Подобно математической монете, математический кубик не имеет ни цвета, ни размера, ни веса, ни других материальных качеств. Рис. 121 • • • • 2. Некоторые понятия, связанные со случайными событиями. Пусть проведен какой-то случайный эксперимент. Как отмечалось выше, его результатами являются некоторые случайные события. Вследствие такого эксперимента каждое из событий может или произойти, или не произойти. Говоря о случайных событиях, будем иметь в виду, что эти события связаны с одним вполне определенным экспериментом. События называют равновозможными, если в данном эксперименте нет никаких оснований предполагать, что одно из них может произойти предпочтительнее, чем любое другое. Например, в эксперименте с однократным подбрасыванием однородной монеты правильной формы равновозможными являются события: А — выпал ♦герб» и В — выпало ♦число*. События А я В называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в данном эксперименте. Так, в эксперименте с однократным подбрасыванием монеты события А — выпал ♦герб» и В — выпало ♦число» — несовместные. События С,, Cj,..., С„ называют несовместными, если каждая пара из них несовместна в данном эксперименте. Для эксперимента с однократным подбрасыванием игрального кубика события: С, — выпадение 1 очка, Cj — выпадение 2 очков, Cg — выпадение 3 очков, — выпадение 4 очков, — выпадение 5 очков, Сд — выпадение 6 очков — несовместные (и равновозможные). Событие и называют достоверным, если в результате данного эксперимента оно обязательно произойдет. Например, выпадение меньше 7 очков при бросании игрального кубика (на гранях обозначено от 1 до 6 очков) является достоверным событием. Событие 0 называют невозможным, если оно не может произойти в данном эксперименте. Например, выпадение 7 очков при бросании игрального кубика — невозможное событие. § 18. Основные понятия теории вероятноаей 261 3. Пространство элементарных событий. Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть только одно из несовместных событий и,, и^, .... ц„. Назовем их элементарными событиями, а множество всех этих событий и = {и,, Uj, u„} — пространством элементарных событий. Например, для эксперимента с подбрасыванием монеты элементарными будут события Uj — выпадение «герба», и^ — выпадение «числа». Тогда пространство элементарных событий будет состоять из двух событий: и = {up и^. (Эти события несовместные, и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий.) Для эксперимента с подбрасыванием игрального кубика элементарными событиями могут быть события: и^ — выпадение 1 очка, ^2 — выпадение 2 очков, Uj — выпадение 3 очков, и^ — выпадение 4 очков, и^ — выпадение 5 очков, Ug — выпадение 6 очков. В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из шести событий: U = (и,, Uj* “«• “з» ^^б}- Случайным событием А назовем любое подмножество пространства элементарных событий и. Например, для эксперимента с подбрасыванием игрального кубика случайным является событие А — выпадение четного числа очков, поскольку А = {Uj, и^, Ug} — подмножество U. 4. Классическое определение вероятности. Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть одно и только одно из п попарно несовместных и равновозможных элементарных событий и,, щ, ..., и„ (то есть пространство U элементарных событий данного случайного эксперимента состоит из элементарных событий u^, и^, ..., и^). И пусть в рассматриваемом эксперименте событие А состоит в том, что происходит одно из т заранее выделенных элементарных событий u^,u^,...,u, , то есть A = |u^,u^,...,u, I (в этом случае говорят, что элементарные события ,..., U, благоприятствуют событию А). Вероятность события А определим как отношение числа т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу п элементарных событий в данном эксперименте, то есть как отношение — . п Вероятность события А принято обозначать Р (А) (буква Р — первая буква французского слова ргоЬаЫШё или латинского слова probabilitas, что в переводе означает «вероятность»). Тогда Р(А)=-. (1) Этим равенством выражается классическое определение вероятности, которое можно сформулировать следующим образом. Если рассматривается пространство равновозможных элементарпых событий, то вероятность события А — это отношение числа благопри* 11ТС1'вуюиц1Х ему элементарных событий к числу всех равиовозможиых элементарных событий в данном .жсперименте. 262 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Например, в эксперименте с подбрасыванием монеты равновозможыыми элементарными событиями являются два (п = 2) события: А — выпал «герб* и В — выпало «число*. Событию А благоприятствует только один случай {т = 1), поэтому Очевидно, что вероятность события В такя«е равна — : Р{В) = — . Следо- 2 2 вательно, в эксперименте с однократным подбрасыванием монеты вероятность выпадения «герба* (или «числа») равна — . 2 Аналогично обосновывается, что в эксперименте с подбрасыванием игрального кубика вероятность события А, — выпало / очков (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) равна — (обоснуйте это самостоятельно). 6 Заметим, что если в любом эксперименте рассмотреть невозможное событие 0, то нет элементарных событий, благоприятствующих данному событию, то есть число элементарных событий, ему благоприятствующих, равно нулю (т = 0), и тогда В(0) = —= 0. Следовательно, п вероятность невозможного события равна 0. Например, в эксперименте с подбрасыванием игрального кубика вероятность невозможного события А — выпало 7 очков — равна 0. Если в любом эксперименте рассмотреть достоверное событие U, то ему благоприятствуют все элементарные события в этом эксперименте (т = п), и тогда Р([/) = — = !. Следовательно, п вероятность достоверного события равна 1. Например, в эксперименте с подбрасыванием игрального кубика событие А — выпало 1 очко, или 2 очка, или 3 очка, или 4 очка, или 5 очков, или 6 очков, достоверное и его вероятность равна 1. Задача 1 Пользуясь приведенным определением, найдем вероятность события А — выпало число очков, кратное 3, при бросании игрального кубика. ► Как отмечалось выше, в эксперименте с подбрасыванием кубика существует шесть попарно несовместных равновозможных элементарных событий — выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков (также можно сказать, что пространство элементарных событий состоит из шести указанных попарно несовместных равновозможных событий). Благоприятствуют событию А только два элементарных события: выпало 3 очка и выпало 6 очков. Следовательно, веро- 2 1 ятность события А равна: Р(А) = - = -. § 18. Основные понятия теории вероятностей 263 Задача 2 Петя и Паша бросают белый и черный игральные кубики ~ (рис. 122) и каждый раз подсчитывают сумму выпавших оч- ков. Они договорились, что в случае, когда в очередной попытке в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Петя, а когда в сумме выпадет 7 очков — выигрывает Паша. Является ли эта игра справедливой? ^ При бросании кубиков на каждом из них может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому числу очков, выпавших на белом кубике (1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), отвечает шесть вариантов числа очков, выпавших на черном кубике. Следовательно, всего получаем 36 попарно несовместных равновозможных элементарных событий. Результаты этого эксперимента приведены в таблице: Рис. 122 (1; 1) (2; 1) (3; 1) (4; 1) (5; 1) (6; 1) (1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2) (5; 2) (6; 2) (1; 3) (2: 3) (3; 3) (4; 3) (5; 3) (6; 3) (1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4) (1; 5) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (6; 5) (1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6) (В каждой паре чисел на первом месте записано число очков, выпавшее на белом кубике, а на втором месте — число очков, выпавшее на черном кубике.) Пусть событие А состоит в том, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие В — при бросании кубиков в сумме выпало 7 очков. Событию А благоприятствуют следующие 5 результатов (элементарных событий): (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Событию В благоприятствуют следующие 6 результатов (элементарных событий): (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1). Тогда Р(Л) = А p^в) = ± Следовательно, шансов выиграть у Паши больше, чем у Пети, значит, такая игра не будет справедливой. <1 Отметим, что результаты эксперимента с подбрасыванием двух игральных кубиков, приведенные в задаче 2, позволяют вычислить вероятности появления той или иной суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных кубиков. 264 Раздел 3 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Сумма очков 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Вероятность 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36 Задача 3 Из 15 изготовленных велосипедов 3 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов? ► Пусть событие А состоит в том, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов. Из 15 велосипедов выбрать 2 можно способами (число соединений из 15 по 2). Все эти выборы являются равновозможными и попарно несовместными. Следовательно, общее количество равновозможных результатов (то есть общее количество элементарных событий) равно С,\. Событием, благоприятствующим событию А, является выбор 2 бездефектных велосипедов из 12 бездефектных (15 — 3 = 12). Следовательно, число результатов (событий), благоприятствующих событию А, равно Cjg. Отсюда получаем 121 п. 21(12-2)1 _ 12-11 22 0,1 15-14 35 Задача 4 __ш____ 21(15-2)1 Группа туристов, в которой б юношей и 4 девушки, выбирает по жребию четырех дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки? ► Число результатов (элементарных событий) при выборе четырех дежурных из 10 туристов равно С,ц. Все эти события — равновозможные и попарно несовместные. Пусть событие А состоит в том, что среди 4 дежурных есть 2 юноши и 2 девушки. Выбрать двоих юношей из 6 можно Сд способами, а выбрать двух девушек из 4 можно способами. По правилу произведения выбор и двоих юношей, и двух девушек можно выполнить Cg • С* способами — это и есть количество событий, благоприятствующих событию А. Тогда __61^ 4! ^ 4-3 Г(А)-^" ^ 2!(6-2)1 2!(4-2)! Ь2 ' 1.2 ^ 3 '10 101 4!(10-4)! 10-9-8-7 1-2-3-4 Обратим внимание, что в зависимости от рассматриваемой задачи для одного и того же эксперимента пространство элементарных событий можно вводить по-разному. Для этого независимые элементарные события подбираем так, чтобы событие, вероятность которого необходимо найти, само было элементарным или выражалось через сумму элементарных событий. Но для того чтобы использовать классическое определение вероятности, необходи- § 18. Основные понятия теории вероятноаей 265 МО быть уверенным, что все выделенные элементарные события — равновозможные. Например, как уже отмечалось в задаче о бросании игрального кубика, пространство элементарных событий может состоять из 6 независимых равновозможных событий — выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Но если в задаче требуется найти вероятность выпадения четного числа очков, то пространством элементарных событий для этого эксперимента может быть множество только двух событий: u^ — выпало четное число очков и Uj— выпало нечетное число очков (поскольку эти события попарно несовместны и результатом эксперимента обязательно будет одно из этих событий). Эти события равновозможны (поскольку среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 ровно половина четных и половина нечетных). Следовательно, по классическому определению вероятность каждого из них равна i. Конечно, если бы мы рассмотрели первое из указанных пространств элементарных событий, то также смогли бы решить эту задачу: всего событий — 6, а благоприятствующих — 3 (выпадение четного числа очков: 2, 4, 6). Тогда вероятность вы- О 1 падения четного числа очков равна —, то есть 6 2 Попробуем ввести для решения этой задачи следующее пространство элементарных событий: Uj — выпало четное число очков, — выпало 1 очко, Цд — выпало 3 очка, — выпало 5 очков. Эти события действительно образуют пространство элементарных событий эксперимента с бросанием игрального кубика, поскольку они попарно несовместны и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий. Но, пользуясь таким пространством элементарных событий, мы не сможем применить классическое определение вероятности, потому что, как мы уже видели, указанные элементарные события не являются равновозможными: Р (п,) = Р(п,) = 1,Р(Пз) = ^, P(u,) = i. Вопросы для контроля 1. Объясните, что такое случайный эксперимент и случайное событие. Приведите примеры. 2. Объясните, какие события считаются равновозможными. Приведите примеры равновозможных и неравновозможных событий. Какие события считаются несовместными? Приведите примеры. 3. Объясните смысл классического определения вероятности. Приведите примеры. Как обозначается вероятность события Л? 4. Какое событие считается достоверным, а какое невозможным? Приведите примеры. Чему равны вероятности достоверного и невозможного событий? 266 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Упражнения 1*. Укажите, какие из событий в приведенных экспериментах (табл. 25) являются достоверными, невозможными и просто случайными. Таблица 25 № Эксперимент Событие 1) Выполнение выстрела Попадание в цель 2) Нагревание воды (при обычных условиях) Превращение воды в лед 3) Участие в лотерее Вы выиграете, если примете участие в лотерее 4) Участие в беспроигрышной лотерее Вы не выиграете, если примете участие в беспроигрышной лотерее 5) Бросание игрального кубика Выпало 5 очков 6) Бросание игрального кубика Выпало 8 очков 7) Проверка работы звонка Вы нажали на кнопку звонка, а он не зазвонил 8) Вынимание шара из коробки с белыми шарами Вынули черный шар 9) Вынимание шара из коробки с белыми шарами Вынули белый шар 10) Вынимание двух шаров из коробки с 10 белыми и 5 черными шарами Вынули белый и черный шары 11) Вынимание карты Вынули туза 2. Придумайте по три примера достоверных, невозможных и просто случайных событий. Примеры запишите в виде таблицы, как это сделано в упражнении 1. 3°. Известно, что на 100 батареек встречаются 3 бракованных. Какова вероятность купить бракованную батарейку? 4*. В магазине подсчитали, что обычно из тысячи телевизоров оказывается 2 бракованных. Какова вероятность того, что телевизор, выбранный наугад в этом магазине, будет бракованным? 5‘. По статистике в городе N в среднем за год из 1000 автомобилистов 2 попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий? 6'. Какова вероятность того, что в Москве солнце зайдет на востоке? 7". Какова вероятность того, что после 31 декабря наступит 1 января? 8". В пакете лежат 20 зеленых и 10 желтых груш. Какова вероятность вынуть из пакета грушу? Какова верюятность вынуть из пакета яблоко? § 18. Основные понятия теории вероятностей 267 9°. На экзамене — 24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Андрею достанется «несчастливый* билет? 10’. На вопросы викторины было получено 1250 открыток с правильными ответами, в том числе и ваша. Для определения призера ведущий должен наугад вытянуть одну открытку. Какова вероятность того, что приз достанется вам? 11. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет? 12. Задача Даламбера. Какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты хотя бы один раз выпадет «герб»? 13. За победу в телеигре Яна получит главный приз — путешествие, если с первой попытки угадает, в каком из 12 секторов табло (рис. 123) спрятан приз. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Рис. 123 Какова вероятность того, что Яна отправится в путешествие? 14. В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша? 15. В кармане жителя некой страны лежат 6 монет (рис. 124). Какова вероятность вынуть наугад монету: 1) с четным числом копеек; 2) с нечетным числом копеек; 3) меньше 20 копеек? 16. На карточке спортлото (6 из 49) Даниил отметил номера: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наташа на своей карточке отметила номера: 5, 12, 17, 23, 35, 49. Как вы думаете, выигрыш какого набора чисел более вероятен? Объясните свой ответ. 17. Илья отметил в карточке спортлото (6 из 49) номера: 7, 11, 15, 29, 38, 40 — и выиграл. Тогда он решил, что эта комбинация чисел счастливая и он будет отмечать ее во всех тиражах. Действительно ли он увеличит свои шансы на выигрыш? Объясните свой ответ. 18. В сумке лежат 12 красных, 10 зеленых и 3 желтых яблока. 1) Яблоко какого цвета вероятнее всего вынуть наугад из сумки? 2) Какова вероятность вынуть наугад: а) яблоко; б) грушу; в) зеленое яблоко; г) не красное яблоко? 268 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 19. Вы выиграете, если шар, вынутый наугад из коробки, белый. Какую из коробок выгоднее выбрать для игры, чтобы вероятность выигрыша была большей: 1) в коробке 15 белых шаров из 45; 2) в коробке 40 белых шаров из 120; 3) в коробке 22 белых шара и 44 красных; 4) в коробке поровну белых, красных и черных шаров? 20. Грани обычного игрального кубика окрашены в красный и желтый цвета. Верюятность того, что выпадет красная грань, равна 1/6, вероятность того, что выпадет желтая грань, — 5/6. Сколько красных и желтых граней у кубика? 21. В коробке половина конфет в красных обертках, треть — в синих обертках, остальные — в зеленых обертках. Наугад вынули одну конфету. Какого цвета обертка наименее вероятна у этой конфеты? Найдите эту вероятность. 22. В ящике лежат 8 красных, 2 синих и 20 зеленых карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что это: 1) красный карандаш? 2) желтый карандаш? 3) не зеленый карандаш? 4) Какое наименьшее количество карандашей необходимо вынуть, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был зеленый карандаш? 23. Бросают одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12? 24. На скамейку случайным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом? 25. Из 5 карточек с буквами М, Р, О, А, Е наугад выбираем 4 карточки. Найдите вероятность того, что, положив их в ряд в том порядке, в котором их выбирали, получим слово «море». 18.2. Операции над событиями. Свойства вероятностей событий Таблица 26 Определение Пример Теорети ко - м ножест-венная иллюстрация 1. Противоположное событие Событие А называется противоположным событию Л, если оно состоит в том. что в рассматриваемом случайном эксперименте не происходит событие А. Событие А — выпал «герб» при подбрасывании монеты, тогда событие А — не выпал «герб* при подбрасывании монеты (то есть выпало «число»). Вероятность противоположного события: /*(Л) = 1-Р(А) Если вероятность купить исправный прибор равна 0,95, то вероятность купить неисправный прибор равна: 1- 0,95 = 0,05. § 18. Основные понятия теории вероятноаей 269 Продолж. табл. 26 2. Сумма событий Суммой, (или объединением) событий А и В называется событие Л + В (другое обозна ченне Л и В ). которое состоит в том, что происходит событие Л или событие В (или Л, или В, или оба события). Из колоды карт наугад вынимают 1 карту. Рассмотрим события; А — вынули бубновую карту, В — вынули червовую карту. Тогда событие А В — вынули или бубновую, или червовую карту (то есть карту красной масти). А + В 3. Произведение событий Произведением (или пересечением) событий Л и В называется событие Л • В (другое обозначение Л П В), которое состоит в том, что происходят оба события Л и В. При бросании игрального кубика рассматривают события: А — выпало четное число очков, В — выпало число очков, кратное 3. Тогда событие Л • В — выпало число очков, одновременно четное и кратное 3 (то есть выпало 6 очков). Л-В 4. Несовместные события Два случайных события Л и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием. то есть Л В= 0 (в других обозначениях Л о В - 0). При бросании игрального кубика рассматривают события: Л — выпало четное число очков, В — выпало 1 очко, С — выпало число очков, кратное 3. События Л и В, а также события В и С — несовместные {не могут происходить одновремен но). (События Л и С — совместные {могут происходить одновременно, если выпадет 6 очков, то есть А’С Ф 0). А-В =0 5. Вероятность суммы двух несовместных событий Если события Л и В песовместпые, то В (Л + В) = Р {А) Р(В), то есть вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. 270 Раздел 3 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Объяснение и обоснование Иногда приходится, зная вероятности одних случайных событий, вычислять вероятности других событий, которые получаются из заданных с помощью определенных операций. Рассмотрим простейшие операции над случайными событиями, которые далее будем называть просто событиями. 1. Нахождение противоположного события. Пусть задано случайное событие А. Событие А называется противоположным событию Л, если оно состоит в том, что в рассматриваемом случайном эксперименте не происходит событие А. Например, если событие А состоит в том, что выпал «герб» при подбрасывании монеты, то событие А (читается: «Не А») означает, что «герб* не выпал, а следовательно, выпало «число* при подбрасывании монеты. Если событие В состоит в том, что выпало 1 очко при бросании игрального кубика, то событие В означает, что 1 очко не выпало, а следовательно, выпало или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков при бросании игрального кубика. • Учитывая, что в каждом эксперименте происходит одно и только одно из событий А или А, получаем, что в пространстве равновозможных элементарных событий сумма количества т элементарных событий, благоприятствующих событию А, и количества k элементарных событий, благоприятствующих событию А, равна количеству п всех элементар- . „ ,1. гг. т k m + k п , ных событии: т + к = п. Тогда — + —=----------= —= 1. п п п п Следовательно, Р(А) + /’(А) = 1. Отсюда Р(А) = 1-Р(А). (2) Например, рассмотрим событие А — выпало 1 очко при бросании игрального кубика. Тогда, как отмечалось выше, событие А — 1 очко не выпало (то есть выпало или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков). Как было показано на с. 262, вероятность события А равна ^ , то есть Р(А) = ^, тог- — — 15 да вероятность события А равна: Р(А) = 1-Р(А) = 1 — = -. 6 6 При определении операций суммы и произведения событий будем рассматривать события, относящиеся к одному случайному эксперименту. 2. Нахождение суммы событий. Пусть заданы два случайных события А и В. Суммой (или объединением) событий А и В называется событие А -• В (другое обозначение А и В ), которое состоит в том, что происходит событие А или событие В (и.ли А, или В, или оба события). Например, пусть при бросании игрального кубика события А и В означают: А — выпало четное число очков, В — выпало число очков, кратное 3. § 18. Основные понятия теории вероятноаей 271 Тогда событие А + В означает, что выпало или четное число очков, или число очков, кратное 3, то есть выпало 2, 3, 4 или 6 очков. Аналогично вводится понятие суммы нескольких событий. Суммой (или объединением) событий А,, А^, ..., А„ называется событие А, + Ag + ... + А„ (другое обозначение А, U Ag U ... U А„), которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. 3. Нахождение произведения событий. Пусть заданы два случайных события А и В. Произведением (или пересечением) событий А и В назынается событие А ‘В (другое обозначение А f' В), которое состоит в том, что происходят оба события А и В. В приведенном выше примере событие А • В означает, что выпало и четное число очков, и число очков, кратное 3, то есть выпало 6 очков. Аналогично вводится понятие произведения нескольких событий. Произведением (или пересечением) событий А,, А2, ...» А„ называется событие А, ■ А^' ... *А, (другое обозначение А, П А2 П ... П А„), которое состоит в том, что происходят все заданные события: и А,, и А2, ..., и А„. Замечание. Определения операций над событиями аналогичны соответствующим определениям операций над множествами (поэтому и обозначения операций над событиями совпадают с обозначениями операций над множествами). Операции над событиями (как и операции над множествами) удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйлера-Веина (см. рис. 125-127). Например, учитывая, что всегда выполняется или событие А, или событие А, получаем, чтоА +А = (/ (достоверное событие). Учитывая, что одновременно события А и А не могут выполняться, имеем А-А = 0 (невозможное событие). Тогда событие А можно проиллюстрировать дополнением множества А (до множества U) (рис. 125). Аналогично сумму двух событий А и В (напомним, что событие А -f В заключается в том, что происходит событие А или событие В, или оба одновременно) можно проиллюстрировать в виде об'ьединения множеств А и В (рис. 126), а произведение событий А и В (событие А*В заключается в том, что происходят оба события А и В) — в виде пересечения множеств А и В (рис. 127). и Рис. 126 Рис. 127 272 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 4. Свойства вероятностей событий. Вероятности событий обладают следующими свойствами. 1) Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству: О < Р (А) < 1. 2) Вероятность достоверного события U равна 1: Р (U) = 1. 3) Вероятность суммы несовместных событий Аи В равна сумме вероятностей этих событий: Р (А -ь В) = Р (А) + Р (В). Действительно, из определения, приведенного в п. 18.1, следует, что вероятность Р (А ), то есть дробь — , неотрицательна и не больше 1. Она равна п нулю для невозможного события и единице для достоверного события. Чтобы обосновать свойство 3), уточним понятие несовместных событий, опираясь на введенные операции над событиями. Из определения несовместных событий получаем: два случайных события А и В будут несовместными тогда и только тогда, когда их произведение является невозможным событием, то есть А • В = 0 (другое обозначение А П В = 0). Например, при бросании игрального кубика могут произойти события: А — выпадет четное число очков, В — выпадет 5 очков. Эти события несовместны, поскольку 5 — нечетное число; поэтому событие А • В, состоящее в том, что выпадет четное число очков и это будет 5 очков, — невозможное событие. Рассмотрим несовместные события А и В в пространстве из п равновозможных элементарных событий. Пусть т — количество элементарных событий, благоприятствующих событию А, и А — количество элементарных событий, благоприятствующих событию В. Поскольку события А и В несовместные, то элементарные события, благоприятствующие событию А, отличны от элементарных событий, благоприятствующих событию В и, следовательно, событию А + В благоприятствуют т + k элементарных событий. Но тогда В(А + В) = -'”' - k ПТ k ----= — + — = Р (А) + Р (В). Таким образом, п п п ;1ля несовместных событий А и В выполняется равенство Р(А + В) Р(А) ^ Р(В). (3) То есть вероят11см;ть сум.мы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. О Свойство (3) можно обобщить. Назовем события А,, Aj, ..., А„ несовместными, если любые два из этих событий А, и Aj (при i Ф у) несовместны, то есть их произведение — невоз- можное событие: A,-Aj = 0 . § 18. Основные понятия теории вероятностей 273 Если события Aj, Aj, А„ несовместны, то из равенства (3) следует, что Р (А, + А, + ... + А„) = Р (А,) + Р (Аз) + ... + Р (А„), (4) то есть вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. (Для обоснования этого свойства достаточно применить метод математической индукции.) Отметим, что для несовместных событий А я В вероятность Р (А • В) = О (так как А’ В = 0). Опираясь на рассмотренные основные свойства, можно доказать другие свойства вероятностей событий. Покажем, что справедливо равенство Р(А+В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). (5) • Обозначим через А \ В событие, заключающееся в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. Так как события А и В \ А • В несовместны и А + В= А-1-(В\А - В), то Р(А-^-В) = Р{А)-\-Р(В\А'В). (6) Аналогично, так как события В \ А*В и А*В несовместны и очевидно, что В = (В \ А • В) -ь А ■ В, то Р (В ) = Р (В \А-В ) -h Р (А-В). (7) Выражая из равенства (7) значение Р (В \ А*В ) и подставляя его в равенство (6), получаем равенство (5). О Задача Имеется 36 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута козырная карта или дама? Решение. Пусть событие А заключается в том, что вынута козырная карта, событие В — «вынута дама*. Тогда событие А -I- В — «вынута козырная карта или дама*, а событие А • В — «вынута козырная дама*. Ясно,™ Р,А).АЛ, Я(Я,.±Л. P(A.B) = i, поэтому по формуле (5) P(A + B) = P(A) + P(B)-P(A-B) = i-bl-^ = i. 4 9 Зо 3 Вопросы для контроля 1. Объясните, какое событие называется противоположным событию А. Приведите примеры. 2. Как найти вероятность противоположного события, зная вероятность события А? Чему равна вероятность события А, если Р (А) = 0,6? 3. Какое событие называется суммой (или объединением) событий А и В? Приведите примеры. 274 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 4. Какое событие называется произведением (или пересечением) событий А и В? Приведите примеры. 5. Какие два события называются несовместными? Приведите примеры. 6. а) Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий? б’) Обоснуйте соответствующую формулу. 7. Какие три (или больше) события считаются несовместными? Как вычисляется вероятность суммы нескольких несовместных событий? Упражнения 1. Проводится эксперимент с подбрасыванием двух монет. Рассматриваются такие события: А — выпал «герб» на первой монете, В — выпало «число* на первой монете, С — выпал «герб* на второй монете, D — выпало «число* на второй монете. Что означают события: 1)А-ьС; 2) А-С; 3) В + С; 4)В-П: 5) А; 6)В-П? 2. Проводится эксперимент с бросанием кубика. Рассматриваются такие события: А — выпало четное число очков, В — выпало нечетное число очков, С — выпало 3 очка, D — выпало число очков меньше 4. Что означают события: 1) А; 2)А + С; 3)A-D; 4) В С; 5)B-D; 6) В-D? Найдите вероятность каждого из этих событий. 3*. Пользуясь определениями операций над событиями, обоснуйте справедливость равенства: l)A + U = U; 2)А ♦■А=А; 3)A + A = U; 4) А-А = 0; 5)А + 0=А; 6)А-0 = 0. 4. Мяч трижды бросают в баскетбольную корзину. События А,,Аг, Ад означают: А, — при первом броске мяч попал в корзину. Ад — при втором броске мяч попал в корзину. Ад — при третьем броске мяч попал в корзину. Запишите через события А,,А2,Аз следующие события: 1) В — мяч попал в корзину все три раза; 2) С — мяч ни одного раза не попал в корзину; 3) D — мяч хотя бы один раз попал в корзину; 4) К — мяч попал в корзину только при первом броске; 5) М — мяч попал в корзину только при втором и третьем бросках. 5. Для эксперимента с бросанием кубика укажите, какие из приведенных событий являются попарно несовместными: А — выпало четное число очков, В — выпало нечетное число очков, С — выпало 3 очка, D — выпало меньше 3 очков, К — выпало число очков, кратное 3, М — выпало 6 очков, Т — выпало больше 4 очков, F — выпало число очков меньше 7. 6. Для эксперимента по вытягиванию карт из колоды укажите, какие из приведенных событий являются попарно несовместными: А — вытянули карту червовой масти, В — вытянули карту бубновой масти, С — вытя- § 18. Основные понятия теории вероятностей 275 нули короля, D — вытянули даму, К — вытянули карту старше валета, М — вытянули карту с числовыми обозначениями. 7. Имеется 16 игральных карт: 4 валета, 4 дамы, 4 короля, 4 туза. Из этих 16 карт наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута козырная карта или туз? 8. Имеется колода из 52 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута козырная карта или король? 18.3. Относительная частота случайного события. Статистическое определение вероятности Таблица 27 1. Частота и относительная чааота случайного события Если случайный эксперимент проведен п раз и в л (А) случаях произошло событие А, то число п{А) называется частотой события А. Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов, то есть отношение л<А) Событие А — выпадение «герба» при подбрасывании монеты. Эксперимен- таторы Бюффон' Пирсон Пирсов Количество экспериментов, п 4 040 12 000 24 000 Частота, л (Л) 2 048 6 019 12 012 Относительная частота 0,5069 0,5016 0,5005 2. Статистическое определение вероятности Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может прои.зойтн или не произойти событие А, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу (которое зависит только от вида события А и не зависит от серии экспериментов), то .это число называется вероятностью случайного события А и обозначается Р (А). О < Р (А) < 1 Событие А — выпал «герб» при подбрасывании монеты. Р(А) = 0,5 * Жорж Луи де Бюффон (1707-1782) — французский математик и естествоиспытатель; Карл Пирсон (1857-1936) — английский математик и биолог. Их труды способствовали развитию теории вероятностей и математической статистики. 276 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Объяснение и обоснование Частота и относительная частота случайного события. Статистическое определение вероятности. Пусть в результате случайного эксперимента может произойти событие А, имеющее вероятность р — Р (А), где О < р < 1. Повторим эксперимент п раз, и пусть при этом событие А произойдет т раз. Число т называют частотой события А (ее часто обозначают п (А)), а число и (А) т ^ ^ . гг. -----= — называют относительной частотой события А. То есть относи- п п тельной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к обш,ему числу проведенных экспериментов. Рассмотрим результаты экспериментов с бросанием монеты, которые были проведены математиками Ж. Бюффоном и К. Пирсоном (пункт 1 таблицы 27). Как видно из таблицы, относительная частота выпадения герба, полученная в экспериментах Бюффона и Пирсона, мало отличается от вероятности выпадения герба в указанном эксперименте, равной 0,5. Тот факт, что вероятность появления герба равна 0,5, конечно, не означает, что в любой серии экспериментов герб появится в точности в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что герб выпадет приблизительно в половине случаев. Таким образом, зная вероятность события, мы можем прогнозировать частоту его появления в будущем при большом количестве соответствующих экспериментов. Полученный результат отражает замечательный факт: при большом количестве экспериментов относительная частота события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Эту закономерность называют статистической устойчивостью относительных частот. Не всегда удается определить вероятность р события априори (от лат. а priori — независимо от опыта), как это имеет место с бросанием монеты или игральной кости. Но если возможно эксперимент повторить п раз, то при большом п относительная частота события — может рассматриваться п этого события. Получим как приближенное значение вероятности «р так называемое статистическое определение вероятности. Более точно его можно сформулировать следующим образом. Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу (которое зависит только от вида события А и не зависит от серии экспериментов), то это число называется вероятностью случайного события А. Статистические оценки вероятностей событий с использованием относительной частоты события широко используются в физике, биологии, социологии, в экономике и политике, в спорте и повседневной жизни каждо- § 18. Основные понятия теории вероятноаей 277 го человека. Приведем пример использования такой оценки. С 2004 года в России действует закон об обязательном страховании автогражданской ответственности, согласно которому каждый владелец автомобиля должен заключить договор с какой-либо уполномоченной страховой компанией. Согласно этому договору владелец машины платит компании определенную сумму, а компания взамен этого обязывается компенсировать (до определенного предела) убыток, который может быть нанесен этим автовладельцем другому автовладельцу, городской собственности или пешеходам. Чтобы по справедливости решить, кто и сколько должен платить, нужно учесть два обстоятельства; 1) с какой вероятностью автомобиль (на протяжении срока страхования) может попасть в аварию; 2) какой в среднем ущерб окружающим наносит одна авария с участием автомобиля этого типа. Зная это, можно вычислить страховые взносы. В частности, вероятность случайного события ♦на протяжении года автомобиль может попасть в аварию» была вычислена по статистическим данным, которые имели в своем распоряжении страховые компании, государственная инспекция безопасности дорожного движения и другие организации. Эта вероятность оказалась примерно равной 0,015. Напомним, что приведенное в п. 18.1 определение вероятности событий называют классическим определением вероятности. Существует еще и аксиоматическое определение вероятности, в котором определение вероятности задается перечислением ее свойств. При аксиоматическом определении вероятность задается как функция Р (А), определенная на множестве М всех событий, являющихся результатами данного эксперимента, которая (для экспериментов с конечным числом исходов) удовлетворяет следующим аксиомам: 1) 0 < Р (А) < 1 для любого события А из М; 2) Р (А) = 1, если А — достоверное событие; 3) Р (А + В) = Р (А) + Р (В), если события А и В несовместны. Теорию, изучающую вероятность событий лишь для экспериментов с конечным числом исходов, называют элементарной теорией вероятностей. Конечно, существуют и эксперименты с бесконечным числом возможных событий. Теорию, изучающую вероятность таких событий, называют общей теорией вероятностей. В общей теории вероятностей свойство 3 понимается в расширенном смысле: Р (Ai + Aj + ...) = Р (А,) -и Р (Aj) + ... . Свойства 1-3 называют аксиомами Колмогорова теории вероятностей. Именно А. Н. Колмогоров впервые в 1933 г. дал аксиоматическое построение теории вероятностей. Вопросы для контроля 1. Объясните, что такое частота и относительная частота случайного собы- тия. 2. Объясните смысл статистического определения вероятности. 278 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОаЕЙ И СТАТИаИКИ Упражнения 1. Проведите эксперимент с бросанием монеты 50 раз. Вычислите относительную частоту выпадения герба. Сравните свой результат с результатами других учащихся вашего K.riacca. 2. Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, учащиеся провели следующие эксперименты. Каждый учащийся выбрал свою тропинку и, идя по ней, записывал породу каждого десятого дерева. Результаты были занесены в таблицу: Порода дерева Сосна Дуб Береза Ель Осина Всего Число деревьев 315 217 123 68 34 757 Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет: 1) сосной; 2) хвойным; 3) лиственным. (Ответ запишите приближенно в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.) Чтобы определить, какой цвет волос у жителей города встречается чаще, а какой реже, учащиеся за полчаса провели такой эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в таблицу; Цвет волос Брюнеты Шатены Рыжие Блондины Всего Число людей 198 372 83 212 865 Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: а) шатеном; б) рыжим; в) не рыжим. 4*. Выберите наугад одну страницу из книги любого писателя и подсчитайте, сколько раз на этой странице встречаются буквы «о» и «б», а также сколько всего на ней букв. Оцените вероятность появления букв «о» и «б» в этом тексте. Объясните, почему на клавиатурах печатных машинок и компьютеров буква «о» расположена ближе к центру, а буква «б* — ближе к краю клавиатуры (рис. 128). Как вы объясните расположение других букв? ТГТ2|з|4|5|б|7|8|9|0|Ти|\|- т>ь2г|й|ц|у|к|б|н|г|ш|щ|з|х|ъ| 1я1ч1с1м1и1т[ь1б1ю1:I в 1 1 Рис. 128 § 18. Основные понятия теории вероятностей 279 5. Изготовили «неправильный* игральный кубик со смещенным центром тяжести. После проведения 1000 экспериментов с бросанием кубика получили следующие результаты. Число очков 1 2 3 4 5 6 Число выпадений соответствующего количества очков 71 145 169 91 21 503 6. Используя эти данные, оцените вероятности указанных ниже событий (записав соответствующие вероятности в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой) и дайте ответы на вопросы: 1) Справедливо ли такое пари: «Я выиграю, если выпадет четное число очков, а вы — если нечетное*? 2) Справедливо ли такое пари: «Я выиграю, если выпадет число очков от 4 до 6, а вы — если от 1 до 3*? 3) Справедливо ли такое пари: «Я выиграю, если выпадет не 6 очков, а вы — если 6 очков»? В результате значительного количества наблюдений учащиеся определили вероятность, с которой в лесопарке встречаются деревья разных пород, и записали результаты в таблицу: Порода дерева Сосна Дуб Береза Ель Осина Вероятность 0,42 0,29 0,16 0,09 0,04 7. Найдите вероятность того, что выбранное наугад в этом лесопарке дерево будет: 1) сосной или дубом; 2) не дубом; 3) хвойным; 4) лиственным; 5) не осиной; 6) хвойным или лиственным (объясните, что означает последний результат). В результате значительного количества наблюдений учащиеся определили вероятности того, какой цвет волос встречается у жителей города чаще, а какой реже, и составили таблицу: Цвет волос Брюнеты Шатены Рыжие Блондины Вероятность 0,23 0,43 0,1 0,24 Найдите вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: 1) шатеном или рыжим; 2) не рыжим; 3) брюнетом или блондином; 4) не блондином. 280 Раздел 3, ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И аДТИСТИКИ ^18^4^ Определение геометрической вероятности Таблица 28 1. Основные понятия и — некоторая фигура на плоскости, 5 (U) — площадь фигуры U. Эксперимент — это случайный выбор кгисой-то точки и из фигуры и (можно также представить, что эту точку и случайно бросили на фигуру U). Элементарные события и — точки фигуры U. А — часть фигуры U {А S: U). S (Л) — площадь фнг>'ры Л. Событие А — попадание точек и в фигуру А. Тогда элементарными событиями, благоприятствующими событию А, будут все точки фигуры А. 1. Определение геометрической вероятности Р(А). S (4) Геометрической вероятностью события А пазыва* S (L') ется отношение площади фигуры, благоприятствующей событию л, к площади всей заданной фигуры. (Предполагаем, что вероятность попадания точки в часть фигуры U пропорциональна площади этой части и не зависит от ее конфигурации и расположения в фигуре и.) 3. Общее определение Р(А) = мера 4 мера и Если и — пространственная фигура (тело), то записи S (U) и S (Л) следует понимать как объемы тела U и тела А — части тела U. Если и — отрезок, то записи S (Z7) и S (Л) следует понимать как длины отрезка U и его части — отрезка А. (Объем тела U в пространстве, площадь плоской фигуры и на плоскости, длину отрезка U на прямой назовем мерой фигуры и.) Геометрической вероятностью события А называется отношение меры фигуры, благоприятствующей событию Л, к мере всей заданной фигуры. Объяснение и обоснование Приведенное классическое определение вероятности нельзя применить к случайным экспериментам с бесконечным количеством результатов (то есть в случае, когда множество U бесконечно). § 18. Основные понятия теории вероятностей 281 Рассмотрим случай задания вероятностей Р (А) с помощью так называемых геометрических вероятностей. Пусть U — некоторая фигура на плоскости, S (U) — ее площадь, А — часть фигуры U с площадью S (А), В — часть фигуры и с площадью S (В) (рис. 129). Элементарным событием и будем считать некоторую точку фигуры U, случайным образом выбранную на фигуре U или брошенную на фигуру и. Событием А будем считать попадание точек и в фигуру А. Также будем считать такой случайный выбор точек равномерным (или, как говорят, распределение вероятностей равномерно). Иными словами, вероятности попадания точки и в фигуры А и В, имеющие одинаковые площади, одинаковы и не зависят от положения этих фигур (если Аяи, В^и nS{A) = S (S), то Р (А) = Р (В)). То есть мы полагаем, что вероятность попадания точки в часть фигуры U пропорциональна только площади этой части и не зависит от ее расположения в фигуре и. Тогда вероятность попадания точки и в фигуру А определяется как отношение площадей Р(А) = .S(yl) san" (8) Поскольку благоприятствующим элементарным событием для рассмотренного события является попадание выбранной точки в фигуру А, то фигуру А можно назвать благоприятствующей этому событию, и тогда определение геометрической вероятности можно сформулировать следующим образом: геометрической вероятностью события А называется отношение площади фигуры, б.тагопрнятствуюгцен событию А, к площади всей заданной фигуры. Задача 1 Пусть круглая мишень радиуса 20 см разделена концентрическими окружностями с радиусами Д*= 2 (10 - ft), где ft = 1, 2, ..., 9 на 10 колец. Внутренний круг радиуса Яд = 2 также назовем кольцом и будем считать, что Я,д = о, а Яд = 20 (рис. 130). Стрелок попал в мишень. Будем считать, что стрелок выбил ft очков, если он попал в ft-e кольцо, то есть в кольцо между окружностями радиусов Я* _ j и Я* (или попал в окружность радиуса Я*.,). Обозначим событие А* — стрелок выбил ft очков и определим вероятность каждого из таких событий при ft = 1, 2, ..., 9, 10. ► Если считать, что у стрелка точки попадания пуль равномерно распределены на круге мишени, то можно использовать определение 282 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И адТИСТИКИ геометрической вероятности. Получаем Р(Л^) = КОЛЬЦА Учитывая, что ГО кольца = ^lRl^-nRl = 4n (n-kf-4n(10-kf = 4n (21-2А) и = 400л, имеем Р(А,) = ^^, где А = 1,2, .. ., 9, 10. <1 Замечание 1. Назовем события А и В несовместными (событие А — точка попала в фигуру А, событие В — точка попала в фигуру В), если фигуры А и В не имеют общих точек (то есть множества точек фигур А и В не имеют общих элементов). Сумму событий А + В и произведение А’В определим как объединение А U В и пересечение А П В множеств точек фигур А и В. Событие А, противоположное событию А, определим как дополнение А множества точек фигуры А до множества U (то есть как множество всех точек фигуры и, не входящих в фигуру А). Тогда приведенное определение геометрической вероятности удовлетворяет аксиомам 1-3, приведенным на с. 277. • Действительно, Р(1/) = ^|^ = 1, значит, аксиома 2 выполняется. По свойству площади S (А) > 0, S (С/) > 0, таким образом, Р (А) > 0. Учитывая, что А ^ и (рис. 129), получаем, что S (А) < S (П), следовательно, о < Р (А) < 1 (то есть аксиома 1 выполняется). Если события А и В несовместны, то фигуры А и В не имеют общих точек. Тогда S (А и В) = S (А) + S (В). Следовательно, Р(А > В) = S(AUB) S(A) + S(B) ^ + ^=Р(А)+Р(В), S{U) S(U) S(U) S(U) TO есть выполняется и аксиома 3). О Поскольку разные опреде.чения вероятности удовлетворяют одним и тем же основным свойствам (аксиомам), то следствия, которые могут быть получены с использованием этих аксиом, не зависят от способа определения вероятности. Поэтому далее обоснования общих свойств вероятностей мы будем проводить для одного определения — или, как говорят в математике, для одной вероятностной модели, — и иметь в виду, что аналогичное обоснование можно провести и для других моделей. Хотя, конечно, для каждой модели можно указать и свои специфические свойства, которых нет у других моделей. Замечание 2. Определение геометрической вероятности (8) можно использовать не только в том случае, когда U — плоская фигура. Если, например, U — пространственная фигура (тело), то в случае равномерного распределения вероятностей (в том понимании, что вероятности попадания точки и в части данного тела, имеющие одинаковые объемы, одинаковы и не зависят от положения этих частей в заданном теле) в формуле (8) под записями S (t/) и S (А) следует понимать объемы тела U и его части — тела А. § 18. Основные понятия теории вероятностей 283 Аналогично, если U — отрезок, то в случае равномерного распределения вероятностей (в том понимании, что вероятности попадания точки и в части данного отрезка, которые имеют одинаковые длины, одинаковы и не зависят от положения этих частей на заданном отрезке), в формуле (8) под записями S (U) и S (А) следует понимать длины отрезка U и его части — отрезка А. Отметим, что объем тела U в пространстве, площадь плоской фигуры U на плоскости, длину отрезка U на прямой можно назвать мерой фигуры U. Тогда в общем виде формулу (8) можно записать так: мери и ТО есть в общем случае геометрической вероятностью события А называется отношение .меры фигуры, благоприятствующей событию А, к мере всей заданной фигуры. Задача 2 Оля пообещала подруге Кате позвонить в промежутке от 9 ч до 10 ч. Найдите вероятность того, что их разговор начнется в промежутке от 9 ч 20 мин до 9 ч 25 мин. ► В этой задаче эксперимент — это фиксирование времени телефонного звонка. Изобразим все результаты эксперимента в виде отрезка АВ (рис. 131). Элементарные события — это точки отрезка АВ (Оля может позвонить Кате в любое время с 9.00 до 10.00). Если событие А — вызов произошел в промежутке 9.20-9.25, то элементарные события, благоприятствующие событию А, можно изобразить точками отрезка CD. Если считать, что время вызова в оговоренном промежутке распределяется равномерно, то ^ мераС£ ^ ^ _ 0,08. мераАВ 60 12 (При вычислении учтено, что в минутах мера CD равна 5, а мера АВ равна 60 (1 ч = 60 мин).) <] Задача 3* К сигнализатору поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т мин. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 мин. Найдите вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу. ► Выберем промежуток времени длительностью Т, например [0; Г]. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соот- 9.00 »— 9.20 9.25 D Рис. 131 10.00 —• В 284 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ ветственно через хиу.Из условия задачи следует, что должны выполняться двойные неравенства: 0<х<Т, 0<у<Т. Введем прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТСТ. Следовательно, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой задают все возможные значения моментов поступления сигналов. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 мин, то есть если |i/ - д;] < 1, что равносильно системе неравенств у < X + I при у > X, (9) у > X - 1 при у < X. (10) Неравенства (9) вьшолняются для координат точек фигуры G, лежащих выше прямой у = X и ниже прямой у = х + 1; неравенства (10) имеют место для координат точек, расположенных ниже прямой у = х к выше прямой у = х - 1. Как видно из рисунка 132, все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (9) и (10), принадлежат заштрихованному шестиугольнику OABCDF. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятными моментами времени х и у для срабатывания сигнализатора. Учитывая, что площадь g = = 2 • (S^qj.^ ~ = = 25^0^ - 2S^^„ = -Г - (Т - 1)2 = 2Г - 1, получаем, что искомая вероятность равна Р _ площадь g _ 2Г-1 ^ площадь G Вопросы для контроля 1. Объясните, в чем состоит эксперимент при геометрическом определении вероятности. 2. Дайте определение геометрической вероятности. В каких случаях его можно использовать? Приведите примеры. Упражнения 1". Егор и Даниил договорились: если стрелка вертушки (рис. 133) остановится на белом поле, то изгородь будет красить Егор, а если на синем поле — Даниил. У кого из мальчиков больше шансов красить изгородь? 2°. Два приятеля с помощью вертушки (рис. 134) решают, как им провести § 18. Основные понятия теории вероятноаей 285 выходной: если стрелка остановится на белом, они пойдут в кино, если на синем — на стадион. Какое из событий вероятнее: приятели пойдут на стадион или в кино? 3". Вы выиграете, если стрелка вертушки остановится на белом. Какая из вертушек, изображенных на рисунках 135-137, дает вам больше шансов на выигрыш? Рис. 135 Рис. 137 4. В окружность радиуса R вписан квадрат. В круг, ограниченный заданной окружностью, наугад поставили точку. Найдите верюятность того, что эта точка будет находиться внутри квадрата, считая, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения в круге. 5. В сферу радиуса R вписан куб. В шар, ограниченный заданной сферой, наугад бросили точку. Найдите вероятность того, что эта точка будет находиться внутри куба, считая, что вероятность попадания точки в часть шара пропорциональна объему этой части и не зависит от ее расположения в шаре. 6. На отрезке L длиной 20 см расположили меньший отрезок I длиной 10 см. Найдите вероятность того, что точка, наугад поставленная на большом отрезке, попадет на меньший отрюзок. Преполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 7*. Задача о встрече. Два друга договорились встретиться в определенном месте между 12 ч и 13 ч. Тот, кто придет первым, будет ждать второго i ч, после чего покинет место встречи. Найдите вероятность того, что 4 встреча произойдет, если каждый из друзей выбирает наугад момент своего прибытия (в промежутке от 12 ч до 13 ч). Указание. Для упрощения графической иллюстрации будем считать, что встреча может произойти между 0 ч и 1 ч. Удобно обозначить время прибытия первого друга на место встречи через х, а второго — через у и ввести прямоугольную систему координат хОу. 286 Раздел 3 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Условные вероятности Таблица 29 1. Понятие условной вероятноаи Содержательное определение Формула Число, выражающее вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии события В н обозначается Рд (А ) или Р (А 1 В). « Р (В) 2. Вероятность произведения двух событий (теорема умножения вероятностей) Р(АВ) = Р(А) Р^ (В). Вероятность произведения (то есть совместного появления) двух событий равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого события, которая вычисляется при условии, что первое событие уже произошло. 3. Вероятность произведения нескольких событий Р(А,А2...А„) = = Р (А, )Рд, (А,)Р,^(Аз) ...Р,,^^„,^ , (А^) Вероятность произведения (то есть совместного появления) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них и условных вероятностей остальных, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие события уже произошли. Объяснение и обоснование Понятие условной вероятности. Вероятность произведения двух событий. Оценивая вероятность случайного события, иногда приходится учитывать какие-то дополнительные условия, влияющие на оценку вероятности этого события. Пусть А W В — два события, рассматриваемые в данном эксперименте. Появление одного события (скажем. В) может влиять на возможность появления другого (А). Например, пусть проводится эксперимент по извлечению шаров из коробки, в которой находятся 8 шаров, из которых 2 белых и 6 черных. Наугад последовательно вынимают два шара, причем взятый шар в коробку не возвращают. Какова вероятность того, что второй шар окажется белым при условии, что первый шар был черным? § 18. Основные понятия теории вероятностей 287 Обозначим события: А — второй вынутый шар белый, В — первый вынутый шар черный. Извлечение (наугад) из коробки любого из шаров — равновозможные события. Так как событие В произошло, то в коробке находятся уже не 8, а 7 шаров, из которых 2 белых. Тогда вероятность события А, при условии что произошло событие В, равна — . Число, выражающее вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии события В и обо.значается (А) или Р(А | В). Условная вероятность события А при условии события В вычисляется по формуле Рв(Л) = Р(ЛВ) Р{В) (где Р (В) > О). (11) Докажем эту формулу для классического определения вероятности. Пусть в результате случайного эксперимента мы можем получить п равновозможных элементарных событий (пространство U). Из этих событий т событий благоприятствуют событию А, k — событию В, I — событию АВ (рис. 138). Тогда Р(А) = ^,Р{В) = ^, п п Р(АВ) =—. Найдем вероятность события А п при условии события в. Для вычисления условной вероятности вместо всего пространства элементарных событий U возьмем только ту его часть, элементарные события которой благоприятствуют событию В. В этом случае общее количество результатов эксперимента равной. Из них событию А благоприятствуют только I элементарных событий, составляющих событие АВ. Тогда I п ■ Р(АВ) р 1А) = - = ^ = ' к к Р(В) Отметим, что равенство (11) часто принимается за определение условной вероятности события А при условии, что произошло событие В. Из равенства (11) получаем: Р(АВ) = Р(В)Р„{А). (12) Поскольку событие ВА совпадает с событием АВ, то в правой части формулы (12) можно поменять местами А и В. Тогда ЖАВ) Р(А) Р. (В). (13) 288 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Вероятность произведения (то есть совместного появления) двух событий равна произведению вероятности одного из лих и условной вероятности второго события, вычисленной при условии, что первое событие уже произошло. Равенство (13) (или (12)) обычно называют теоремой умножения вероятностей. Если мы можем вычислить вероятность события А и условную вероятность (В), то по формуле (13) легко найти вероятность Р (АВ) произведения событий А и В. Задача 1 В коробке находятся 10 шаров, из них 4 белых. Наугад берут друг за другом два шара, причем взятый шар в коробку не возвращают. Вычислите вероятность того, что оба вынутых шара будут белыми. ► Обозначим события: А — первый вынутый шар белый, В — второй вынутый шар белый. Тогда событие АВ — оба вынутых шара белые. Вынимание (наугад) из коробки любого из 10 шаров — равновозможные события. Событию А благоприятствуют 4 события (в коробке всего 4 белых шара). Тогда Р(А) = -^ = -. После того как вынули один белый шар (произо-10 5 шло событие А), в коробке осталось 9 шаров, из них только 3 белых, следова-3 1 тельно, В^(В) = - = -.Тогда по формуле умножения вероятностей (13) полу-9 3 чаем: Р(АВ) = Р(А)-Вд(В) = |-^ = ^. <1 Задача 2 Среди однотипных деталей, выпускаемых в цехе, 1 % бракованных. Среди качественных деталей 40% деталей высшего сорта. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь высшего сорта? ► Обозначим события: А — деталь небракованная, В — деталь высшего сорта. Тогда событие АВ — выбрали качественную деталь высшего сорта. Выбор одной детали из множества однотипных деталей — равновозможные события. Учитывая, что среди выпущенных деталей 99% качественных, получаем Р (А) = 0,99, а учитывая, что среди качественных деталей 40% деталей высшего сорта, получаем, что (В) = 0,4. Тогда Р (АВ) = Р (А) • Р^ (В) = 0,99 • 0,4 = 0,396. < Формула умножения вероятностей (13) обобщается на случай нескольких событий А], Aj, ..., А„: P(A.A,...A„)=P(A,)P^,(A,)P,_^JA,)...P^,^^ ,^.(А„). (14) где Р^|^ д .(.^п) означает условную вероятность события А„ , вычисленную при условии, что все события A^, Аз, ..., А„., уже произошли. Следовательно, § 18. Основные понятия теории вероятностей 289 вероятность произведения (то есть совместного пояилення) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них и условных вероятностей других, причем вероятность каждого следующего события вычисляет 0) для случая классиче- Р (В) ского определения вероятности. 3. Сформулируйте теорему умножения вероятностей. Приведите пример ее использования. 4. Объясните, как можно вычислить вероятность произведения (то есть совместного появления) нескольких событий. Приведите пример вычисления такой вероятности. 290 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Упражнения 1. В ящике находятся десять деталей, из которых четыре окрашены. Рабочий наугад по одной вынимает две детали. Найдите вероятность того, что: 1°) вторая деталь окрашена, если первая окрашена; 2”) вторая деталь окрашена, если первая не окрашена; 3) обе детали окрашены; 4) обе детали не окрашены. 2. В коробке находятся 5 белых и 4 черных шара. Из коробки наугад вынимают один за другим два шара (шары в коробку не возвращают). Найдите вероятность того, что второй шар белый, если первый: 1) белый; 2) черный. 3. На некотором предприятии 95% продукции считается качественной. Из качественных изделий 75% составляют изделия первого сорта, остальные — второго. Найдите вероятность того, что изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется изделием второго сорта. 4. В читальном зале есть шесть учебников по математике, из которых три в твердой обложке. Библиотекарь наугад взял два учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника будут в твердой обложке. 5. В коробке лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наугад один за другим берут три шара, причем взятый шар в коробку не возвращают. Найдите вероятность того, что первый шар будет красным, второй — зеленым, а третий — синим. 18.6. Независимые события Таблица 30 1. Понятие независимости двух событий Содержание Определение Событие В называется независимым от события Л, если событие А не изменяет вероятности события В. События А и В называются независимыми. если выполняется равенство Р (АВ) -- Р {А)-Р (В) {вероятность их произведения — то есть совместного появления — равна произведению вероятностей этих событий). 2. Независимость нескольких событий Несколько событий называются независимыми, если для любого подмножества этих событий (содержащего два или больше событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей. В частности, если события А,, А^, А„ независимы, то Р {А, • Л, •... • Л„) = Р (Л.) • Р (А,) •... • Р (Л„) § 18. Основные понятия теории вероятностей 291 Продолж. табл. 30 3. Свойство независимых событий Если мы имеем совокупность независимых событий, то, заменив некоторые из этих событий на противоположные им события, снова получим совокупность независимых событий. Например, если события А и В независимы, то независимыми будут также события А я В, А и В, А н В. 4. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий -^2’ Р (А, 4- Аз + ... + AJ = 1 - (1 - Р (А,)) • (1- Р (Аз)) •... • (1 - Р (А„)) Объяснение и обоснование Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В. В этом случае Р^ (В) = Р (В). Тогда по формуле умножения вероятностей Р (АВ) = Р (А) • Р^ (В) = Р (А) • Р (В). Полученное равенство чаще всего принимают за общее определение независимости событий. События А и В пазываютси независимыми, если иыиолиястгя р,<р> ство PiAB) Р(А)Р(В), (15) то есть два события называются независимыми, если вероятность их произведения (то есть совместного появления) равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (15) обязательно будет выполняться, если одно из событий невозможное или достоверное. Например, если событие В — невозможное, то есть В = 0, то АВ = 0. Следовательно, Р (АВ) = 0 и Р (В) = 0, то есть равенство (15) выполняется. Если событие В — достоверное, то есть В = U, то АВ = AU = А. Тогда Р (АВ) = Р (А) и Р (В) = 1, следовательно, равенство (15) выполняется и в этом случае. Таким образом, если хотя бы одно из двух событий невозможное или достоверное, то такие два события независимы. Отметим, что в случае, когда события А и В не являются невозможными или достоверными и выполняется равенство Рд (В) = Р (В) (событие В является независимым от события А), то Р^ (А) = Р (А) (то есть событие А является независимым от события В). Действительно, по формуле умножения вероятностей Р (АВ) = Р (А) • Рд (В) = Р (В) • Pg (А). Тогда Р(А)-Рд(В) = Р(В)-Рд(А). (16) Подставляя в последнее равенство вместо Рд (В) равное ему число Р (В) и сокращая обе части на Р (В) 0, получаем, что Рд (А) = Р (А). Это под- тверждает интуитивно понятный факт, что в случае, когда событие В не за- 292 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ висит от события А, то и событие А не зависит от события В, Обратим внимание, что в случае, когда события А и В независимы, также независимыми будут события А и В, А и В, А и В. • Докажем, например, что будут независимыми события А и В. Если события А и В независимы, то по определению Р (АВ) = Р (А) • Р (В). Когда происходит событие А, то событие В может происходить или не происходить. Следовательно, можно утверждать, что событие А происходит тогда и только тогда, когда происходят или события А к В, или события А и Б, то есть А = АВ -(- АВ. Учитывая, что события АВ и АВ несовместны (поскольку события В и В — несовместны) и что Р(в) = 1-Б(Б), получаем: Р (А) = Р (АВ) + Р (АВ) . Тогда Б (АВ) = Р(А) - Р(АВ) = Р( А) - Р(А) • Р(В) = Р(А) • (1 - Р(В)) = Р(А) • Р (в). А это и означает, что события А и В независимы. О Аналогично обосновывается независимость событий А и В, А и В. Понятие независимости событий может быть распространено на любое конечное количество событий. Несколько событий называются независимыми (еще говорят — «независимыми в совокупности»), если для любого подмножества этих событий (содержащего два или более событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей. Например, три события А, В, С будут независимыми, если выполняются условия: Р (АВ) = Р (А) • Р (В), Р (АС) = Р (А) • Р (С). Р (ВС) = Р (В) • Р (С), Р (АВС) = Р (А) • Р (В) • Р (С). Из определения следует, что в случае, когда события А,. Aj. А, независимы, то Р(А, А, .. А„» Р(А,; Р(А,) ... Р(А„) (17) (но выполнение этого равенства при п > 2 еще не означает, что события Aj, Ag, ..., А„ независимы). Как и в случае двух событий, можно доказать, что если в некоторой совокупности независимых событий заменить некоторые из них противоположными им событиями, то получится также совокупность независимых событий. Отметим, что приведенные определения независимости событий в теоретико-вероятностном понимании соответствуют обычному пониманию независимости событий как отсутствию влияния одних событий на другие. Поэтому при решении задач можно пользоваться следующим принципом: причинно независимые события являются независимыми и в теоретиковероятностном понимании. Задача 1 Прибор состоит из трех узлов, каждый из которых на протяжении суток может выйти из строя независимо от других. Прибор не работает, если не работает хотя бы один из узлов. § 18. Основные понятия теории вероятностей 293 Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,95, второго — 0,9, третьего — 0,85. Найдите вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно. ► Пусть событие A^ — первый узел исправен, событие Ag — второй узел исправен, событие Аз — третий узел исправен, событие А — в течение суток прибор работает безотказно. Поскольку прибор работает безотказно тогда и только тогда, когда исправны все три узла, то А = AjA^Aj. По условию события А,,Аз, Аз — независимые, следовательно, Р(А) = Р(АДгАз) = Р(А,)Р(Аз)Р(Аз) = 0,95-0,9-0.85 = 0,72675 - 0,73. ^Задача 2 Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попасть в мишень для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена. ► Рассмотрим такие события: А — первый стрелок попал в мишень, В — второй стрелок попал в мишень, С — мишень поражена. События А и Б независимые, но непосредственно использовать в данном случае умножение вероятностей нельзя, поскольку событие С наступает не только тогда, когда оба стрелка попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них. Будем рассуждать иначе. Рассмотрим события А, В, С, противоположные соответственно событиям А, Б, С. Поскольку события А и В независимые, то события А, Б — также независимые. Если Р (А) = 0,9, то Р(а) = 1-Р(А) = 1-0,9 = 0,1. Если Р(Б) = 0,8, то Р(б) = 1-Р(Б) = 1-0,8 = 0,2. Учитывая, что мишень не будет поражена тогда и только тогда, когда в нее не попадет ни первый стрелок, ни второй, получаем, что С = АВ. Тогда Р (с) = Р (а)р (б) = 0,1 • 0,2 = 0,02. Поскольку события с и с противоположные, то Р(С) = 1-Р(с) = 1-0,02 = 0,98. < Замечание. Рассуждения, приведенные при решении задачи 2, можно обобщить. Если события Aj, Ag, ..., А„ независимые, то события Aj, А^,..., А„ также независимые (и P(Aj) = l-P(Aj), где i = 1, 2, п). Для нахождения вероят- ности появления хотя бы одного из независимых событий A^, А^, ..., А„, то есть события С =А, + А^ + ... -(-А„, можно найти вероятность противоположного события С. Событие С произойдет тогда и только тогда, когда не произойдет ни событие А,, ни событие Aj, ..., ни событие А„, то есть С = А| • Ag •... • А,|. Тогда 294 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ = (1-Р(Л))-(1-Р(А2))-...-(1-Р(А„)). Учитывая, что Р(С) = 1-Р(с), получаем, что вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А,, Аз, ..., А„ можно вычислить по формуле Р (А, + А, + ... + А,) = 1 - (1 - Р (А,)) • (1- Р (А,)) •... ■ (1 - Р (А J). Разумеется, приведенную формулу необязательно запоминать, достаточно при решении задач на нахождение вероятности появления хотя бы одного из независимых событий провести вышеизложенные рассуждения. Вопросы для контроля 1. Объясните, в каком случае событие В называется независимым от события А. 2. Дайте определение независимости двух событий. Пользуясь этим определением, докажите, что в эксперименте по вытягиванию карт из колоды (36 карт) независимыми являются события: А — вытянули даму, В — вытянули бубновую карту. 3*. Известно, что события А и В независимые. Обоснуйте независимость событий А и В, А и В, А я В. 4. Объясните, как понимают независимость (то есть независимость в совокупности) трех событий К, М, N. 5. Запишите формулу для нахождения вероятности произведения нескольких независимых событий. Приведите пример ее использования. Упражнения 1’. Вероятность того, что стрюлок при одном выстреле попадет в цель, равна 0,8. Стрелок сделал два выстрела. Найдите вероятность того, что при обоих выстрелах стрелок попал в цель. 2°. Одновременно подбросили монету и игральный кубик. Найдите вероятность одновременного выпадения «герба» на монете и 1 очка на кубике. 3*. В одной партии электролампочек 3% бракованных, а во второй — 4% бракованных. Наугад берут по одной лампочке из каждой партии. Найдите вероятность того, что обе лампочки окажутся бракованными. 4. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что на одном кубике выпадет 1 очко, а на втором — больше трех очков. 5. Три стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны 0,8, 0,75, 0,7, делают по одному выстрелу по одной мишени. Нгшдите вероятность того, что: 1") все три стрелка попадут в мишень; 2) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; 3) только один из стрелков попадет в мишень; 4) только двое из стрелков попадут в мишень. § 18. Основные понятия теории вероятностей 295 6. Вероятность остановки за смену одного из станков, работающих в цехе, равна 0,15, а второго — 0,16. Найдите вероятность того, что оба станка за смену не остановятся. 7. Прибор содержит два независимых элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найдите вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 8*. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найдите вероятность попадания при одном выстреле. 9*. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,5. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не меньше 0,9 попасть в цель хотя бы один раз? Таблица 31 18.7. у Схема Бернулли. Закон больших чисел 1. Понятие независимых экспериментов Пусть производится несколько экспериментов. Эксперименты называют независимыми, если вероятность появления какого-либо события А в каждом опыте никак не зависит от появления или непоявления этого события в других опытах. Пример. Пусть событие А — выпал «герб». Тогда эксперименты по подбрасыванию одной и той же монеты в одинаковых условиях являются независимыми. 2. Схема Бернулли (совокупноаь условий) Пусть выполняется п независимых экспериментов, в каждом из которых событие А может произойти, а может и не произойти. Вероятность того, что произойдет событие А, в каждом из экспериментов одинакова и равна р, а вероятность пхого, что событие А не произойдет (то есть произойдет событие А), равна q = I - р. 3. Формула Бернулли Вероятность „ того, что в п независимых экспериментах событие А произойдет точно т раз, равна Пример. Найдите вероятность того, что при 6 подбрасываниях монеты ♦ герб» выпадет точно 4 раза. ►Для этой задачи условия схемы Бернулли таковы: с .1 1 1 1 п = 6,т = 4, р = ~, д = 1-р = -. Тогда 6-5[1 1-2 \2 = ^.0.23. <1 296 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И аЛТИСТИКИ Продолж. табл. 31 3. Неравенство Чебышева Пусть вероятность того, что в эксперименте произойдет событие А, равна р {тогда вероятность того, что событие А не произойдет, равна q = \ - р) и пусть проводятся п независимых повторений этого эксперимента. Через т обозначим число экспериментов, в которых произошло событие А. Тогда для любого положительного числа а выполняется неравенство т 4. Закон больших чисел (простейшая форма) Содержание Математическая запись При большом количестве экспериментов относительная частота события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. При условиях, сформулированных в неравенстве Чебышёва, lim Р П—»вв т п~Р > а = 0. Объяснение и обоснование 1. Схема Бернулли. Пусть проводятся несколько экспериментов. Если вероятность появления какого-либо события А в каждом эксперименте никак не зависит от появления или непоявления этого события в других экспериментах, то такие эксперименты называют независимыми. Рассмотрим независимые эксперименты, в каждом из которых вероятность появления события А не изменяется от эксперимента к эксперименту. Обратим внимание, что вследствие независимых экспериментов всегда происходят независимые события. Например, независимыми являются несколько экспериментов с бросанием одного и того же игрального кубика в одинаковых условиях. Пусть событие А — выпало 1 очко. Если кубик однородный и имеет правильную геометрическую форму, то в каждом из этих экспериментов вероятность р появления события А одинакова и равна ^ = Отметим, что тогда роятность q непоявления события А в каждом из этих экспериментов также — 5 одинакова (это вероятность появления события А, поэтому q = l-р = -~ О Некоторые практические задачи сводятся к построению математической модели проведения независимых экспериментов с двумя результатами, вероятности которых р и g не изменяются от эксперимента к эксперименту. и ве- § 18. Основные понятия теории вероятноаей 297 Совокупность условий для построения такой модели называется схемой Бернулли. Пусть проводится п независимых экспериментов, в каждом из которых событие А может произойти, а может и не произойти. Вероятность того, что произойдет событие А, в каждом из экспериментов одинакова и равна р, а вероятность того, что событие А не произойдет (то есть произойдет событие А), равна q = \ - р. Найдем вероятность „ того, что в п независимых экспериментах событие А произойдет точно т раз. Искомую вероятность при указанных условиях можно вычислить по фор лху.чс Бернулли: i Сначала рассмотрим один набор из п экспериментов, в котором событие А произойдет точно т раз в первых т экспериментах (и соответственно событие А произойдет п ~ т раз в последних п - т экспериментах): АА...ААА...А. т рва п-т раз (16) Поскольку результаты п рассмотренных независимых экспериментов являются независимыми событиями, то вероятность появления такого набора событий равна произведению вероятностей соответствующих независимых событий, то есть Р(А)' Р(А)- ...• Р(А) • Р{а)- Р(а) • ...• Р{а) = р- р-...’ р- q- q-... - q = p"'q"'"'. m pea n>m раз m раз раз Если событие A произойдет точно т раз в других т экспериментах из п рассмотренных, то такой набор событий отличается от набора (16) только тем, что события Л и А стоят на других местах. Количество событий останется неизменным (п событий Аип — т событий А), а значит, неизменной будет и вероятность появления каждого набора p"'q’’'"‘. Количество полученных различных наборов равно количеству возможных выборов т экспериментов, в которых происходит событие А, из п рассмотренных экспериментов. Другими словами. С" фактически равно количеству выборов т мест для буквы А из п мест в записи набора (16). Полученные наборы событий несовместны, следовательно, вероятность всех благоприятных результатов (того, что событие А произойдет точно т раз в рассмотренных п экспериментах) равна сумме С” чисел, каждое из которых равно p"q"' Тогда получаем; * т,п п г 'I Учитывая, что С" = т!(л-т)1 Р. , формулу Ксрнулли можно записать так: р-д* О »п!(п mil 298 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Задача 1 Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика 1 очко выпадет точно 2 раза. ► Все условия схемы Бернулли выполнены. Событие А — выпало 1 очко при бросании игрального кубика. При всех бросаниях кубика вероятность выпадения 1 очка (события А) одинакова и равна р——, тогда вероятность 6 — 5 события А равна qr = l-p = -. Кроме того, по условию п - 10, т = 2. Следо- 6 вательно, по формуле Бернулли 2,10 ЮГ '0\б/ \б/ 21-8! 6*® б'” Задача 2 Вероятность того, что расход электроэнергии в течение суток не превысит установленную норму, равна 0,75. Найдите вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии за какие-то 4 суток не превысит норму, а за остальные двое суток — превысит. ► Событие А — расход электроэнергии в течение суток не превышает установленную норму. Каждые сутки вероятность события А одинакова: р = 0,75, тогда вероятность события А (перерасход электроэнергии в течение суток) 9 = 1-р = 0,25. Следовательно, все условия схемы Бернулли выполнены. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна 61 0,75" • 0,25" = — • 0,75" • 0,25" = 0,30. 41-2! 1-2 Вычисления по формуле Бернулли при больших значениях тип затруднены. В математике предложены формулы, позволяющие находить приближенные значения для „ и, что даже более важно для практики, находить суммы значений „ таких, что значение дроби — (относительная • п частота события А) лежит в заданных границах. По формуле Бернулли вероятность того, что в серии из 100 бросаний мо- / \100 неты все 100 раз выпадет «герб*, равна |ij , то есть приблизительно 10 Очень мала и вероятность того, что при 100 подбрасываниях «число* выпадет точно 10 раз (соответственно «герб» выпадет 90 раз). Наиболее вероятно, что количество выпадений «герба* будет мало отличаться от 50. Вообще, как отмечалось в пункте 18.3, при большом количестве экспериментов относительная частота появления события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного утверждения дает открытый Я. Бернулли закон больших чисел. Одно из возможных обоснований этого закона опирается на § 18. Основные понятия теории вероятноаей 299 неравенство, установленное П. Л. Чебышёвым, которое мы без доказательства сформулируем в виде теоремы. Теорема. Пусть вероятность появления события А в некотором эксперименте равна р (а вероятность непоявления события А, то есть появления события А, равна q = 1— р) и пусть проводятся п \ независимых повторений этого эксперимента. Через т обозначим число экспериментов, в которых происходило событие А. Тогда I для любого положительного числа а выполняется неравенство p(|£l_,J>a <Ж, " 'I I / о*п (17) Поясним смысл этого неравенства. Выражение — равно относительной частоте события А в серии экспериментов, а т — р п — отклонению этой от- т 7-^ >а носительной частоты от теоретического значения р. Неравенство означает, что отклонение оказалось больше, чем а. Но при постоянном значении а с ростом п правая часть неравенства (17) стремится к нулю. Иными словами, серии, в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую часть всех возможных серий экспериментов. Из неравенства Чебышёва следует утверждение, полученное Я. Бернулли, которое является простейшей формой закона больших чисел: по условию теоремы при любом значении а > О имеем (18) Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что lim-5- = 0. а п Отметим, что по условию теоремы при любом значении е > О равенство (18) эквивалентно следующему равенству: lira Р которое и означает, что при увеличении числа экспериментов п вероятность того, что частота — появления события А близка к вероятности п появления события А, приближается к 1, Замечание. Под законом больших чисел обычно понимают не только приведенную формулировку, но и ряд других теорем, обосновывающих отмеченную закономерность для применения математики в естествознании. Эта закономерность состоит в том, что совместное действие многих независимых случайных факторов часто приводит к результатам, почти не зависящим от каждого из этих факторов по отдельности. 300 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Задача 3' Какое количество экспериментов достаточно провести, чтобы равенство р~— (где п — искомое число экспериментов, п am — число выпадений события Л) с точностью до 0,1 получить с вероятностью 0,9? ► Для решения достаточно найти такое п (см. неравенство (17)), чтобы было -^^<0,1. Учитывая, что q = 1 - р, можно записать выполнено неравенство 0,1^п pg = p(l-p) = p-p*=i-|p-i| <0,1. И поэтому достаточно указать л, удовлетворяющее неравенству --=— 4 • о, 1 п Отсюда л > 250. Как видим, если мы оцениваем требуемое число экспериментов с помощью неравенства Чебышева, получаем очень большие числа. Правда, более глубокие теоремы показывают, что можно ограничиться меньшим числом экспериментов. <1 Вопросы для контроля 1. Объясните, какие эксперименты называются независимыми. Приведите примеры таких экспериментов. 2. Запишите формулу Бернулли. Объясните, в каких условиях ее можно применять. 3. Объясните смысл простейшей формы закона больших чисел. 4*. а) Запишите неравенство Чебышева. Объясните его смысл. б) Пользуясь неравенством Чебышева, обоснуйте простейшую форму закона больших чисел. Упражнения 1‘. Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика пять очков выпадут ровно: 1) три раза; 2) один раз. 2. Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика одно очко выпадет не более трех раз. 3. Найдите вероятность того, что при 6 бросаниях игрального кубика число очков, кратное 3, выпадет ровно: 1) два раза; 2) пять раз. 4. Что вероятнее выиграть у равного противника (ничейный результат не учитывается): 1) три партии из четырех или пять из восьми; 2') не меньше трех партий из четырех или не меньше пяти партий из восьми? 5°. В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева до обеденного перерыва равна 0,8. Найдите вероятность того, что до обеденного перерыва: 1) перегреются ровно 4 мотора; 2) перегреются все моторы; 3) ни один мотор не перегреется. § 18. Основные понятия теории вероятностей 301 6. Вероятность появления события А в эксперименте равна 0,3. Эксперимент повторили независимым образом 5 раз. Найдите вероятность того, что событие А появится не меньше двух раз. 7*. Используя неравенство Чебышёва, определите, сколько достаточно провести экспериментов, чтобы равенство р~— (где п — искомое число экс- п периментов, am — число выпадений события Л) с точностью до 0,01 получить с вероятностью 0,95? 8*. Используя неравенство Чебышёва, определите, какова вероятность того, что равенство р = — выполняется с точностью до 0,1 при проведении 100 п экспериментов? ^^8.8^ Понятия случайной величины и ее распределения. Математическое ожидание случайной величины 1. Понятие случайной величины. Под случайной величиной в теории вероятностей понимают переменную величину, которая в данном случайном эксперименте может принимать те или иные числовые значения с определенной вероятностью. Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита: X, У, Z, ..., а их значения — соответствующими строчными буквами: х, у, г, ... . Тот факт, что случайная величина X приняла значение х, записывают так: X = х. Например, в пункте 18.1 (с. 264) были найдены вероятности появления той или иной суммы очков при бросании двух игральных кубиков. Появляющаяся сумма очков — случайная величина. Обозначим ее через X. Тогда x^ = 2, х.^ = 3, ..., 11. д:п = 12 — значения случайной величины X. Зна- чения случайной величины X и соответствующая вероятность ее появления (j>i. Pi, .... Pio, Ри) приведены в таблице: X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36 С помощью этой таблицы легко увидеть, какие значения величина X принимает с одинаковыми вероятностями, какое значение величины X появляется с большей вероятностью и т. д. Такую таблицу называют таблицей распределения значений случайной величины по их вероятностям и говорят, что эта таблица задает закон распределения рассмотренной случайной величины. Приведем определения рассмотренных понятий. Отметим, что случайную величину можно задать в любом случайном эксперименте. Для этого * Таким образом, через р, обозначена верюятность события — случайная величина X приняла значение х,. Это можно записать так: Р(Х = х,) = р, (где i = 1, 2, ..., 11). 302 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИаИКИ достаточно каждому элементарному событию из пространства элементарных событий эксперимента поставить в соответствие некоторое число (в этом случае говорят, что задана числовая функция, областью определения которой является пространство элементарных событий). Случайной величиной называется числовая функция, областью определения которой является пространство элементарных событий. Например, в эксперименте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух событий: u^—выпал «герб», ^2 — выпало «число». Эти события несовместны, и в результате эксперимента обязательно произойдет только одно из этих событий. Поставим в соответствие событию U, число 1, а событию Uj— число 0 (то есть будем считать, что в случае появления «герба» выпадает число 1, а в случае появления «числа» выпадает 0). Тогда получим случайную величину X, которая принимает только два значения: х, = 1, Хг = 0 (то есть X (u^) = х, = 1, X (и^) = = 0). Рассмотренную функцию — случайную величину X — можно задать также с помощью следующей таблицы: Результат эксперимента U, — выпал «герб» U2 — выпало «число» Значение X 1 0 Закон распределения этой случайной величины задается таблицей: X 1 0 1 1 Р 2 2 Отметим, что закон распределения каждой случайной величины устанавливает соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями, то есть является функцией, область определения которой — все значения случайной величины. Поэтому законом распределения случайной величины X называется функция, которая каждому значению х случайной величины Л' ставит в соответствие число Р (Х = х) (вероятность события, состоящего в том. что случайная величина X приняла значение х). В общем случае закон распределения случайной величины, принимающей только п значений, можно записать в виде таблицы: X ^1 ^2 • •• р El Рг ... Рп Здесь Xj, Х2, ..., х„ — разные значения случайной величины X, а р, = = Р {Х= X,) (где i = 1, 2, п) — вероятности, с которыми X принимает эти значения. § 18. Основные понятия теории вероятноаей 303 У 1 0 р 0,45 0,55 (проверка: 0,45 + 0,55 = 1) События (X = x^), (X = д:^), ..., (X = х„) попарно несовместны, и их сумма является достоверным событием. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1, следовательно, р, + + ... + р„ = 1. Это равенство часто используют для проверки правильности задания закона распределения случайной величины, особенно в тех случаях, когда он задается не в результате теоретического расчета вероятностей событий с использованием классического определения вероятности, а в результате использования статистического определения вероятности. Например, в экспериментах с подбрасыванием пуговицы с ушком для пришивания падение пуговицы на ушко или на лицевую сторону может быть рассмотрено как случайная величина У с условными значениями р, = 1 (падение на ушко) и у^ = 0 (падение на лицевую сторону). Результаты серии экспериментов с некоторой пуговицей представлены в таблице, задающей закон распределения случайной величины. Замечание. В том случае, когда приходится находить сумму всех значений некоторой величины, можно использовать знак S (сигма, читается: ♦Сумма»), введенный Л, Эйлером (1707-1783). Например, если вероятность Р принимает значения P^, Р^, ..., Р*, то введем обозначение*: Pj -1- Pj + ... -ь Pj^ = Хр* Используя это обозначение, проверку правильности составления последней таблицы можно записать следующим образом: ХР = 0,45 + 0,55 = 1. Рассмотренные в этом пункте случайные величины принимали изолированные друг от друга значения. Такие величины называют дискретными (от латинского discretus — раздельный, прерывистый), а распределение вероятностей такой величины называется дискретным распределением вероятностей. Ек;ли случайная величина может принимать любое значение на некотором промежутке, то такая величина называется непрерывной. Например, время Т ожидания автобуса на остановке является непрерывной случайной величиной. 2. Математическое ожидание случайной величины. Дадим определение этого понятия для дискретной случгкйной величины. Пусть случайная величина X принимает значения х,, Хг, ..., х^ соответственно с вероятностями pj, р^, ..., р*, то есть имеет закон распределения: X Хг Р Pi ?2 ... Р* ’ Точнее указанная сумма записывается так: Р, + Pj +...+ ^Р^. 304 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Сумма произведений всех значений случайной величины на соответствующие вероятности называется мппиматическим ожиданием вели чины X iu обозначается MX {или М (X)): MX дг,/), + x.jt, + ... -Р xj).. (1) Если значения случайной величины X имеют одну и ту же вероятность р, то, учитывая, что р, + Рг + ••• + р* = 1, получаем Ар = 1 и р = — . Тогда k . + х. X X + . MX = XiP + X2P + ... + x^p = р{х^ +Хп +... + хЛ = — —^-=-, k то есть в этом случае математическое ожидание случайной величины X равно среднему арифметическому всех ее значений. Говорят, что математическое ожидание случайной величины есть среднее взвешенное (вероятностями) ее значений. Математическое ожидание называют еще средним значением случайной величины. Иногда также говорят, что математическое ожидание случайной величины есть ее значение в среднем. Математическое ожидание показывает, на какое среднее значение случайной величины X можно надеяться в результате длительной серии экспериментов. С помощью математического ожидания можно сравнивать случайные величины, заданные законами распределения. Например, пусть количества очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух ловких стрелков, имеют следующие законы распределения: X 8 9 10 р 0.4 0,1 0,5 У 8 9 10 Р 0,1 0,6 0,3 Чтобы выяснить, какой из стрелков стреляет более метко, находят математическое ожидание для каждой случайной величины: MX = 8 • 0,4 4- 9 • 0,1 + 10 • 0,5 = 9,1; МУ = 8 • 0,1 -f 9 • 0.6 + 10 • 0,3 = 9,2. Следовательно, среднее количество очков, выбиваемое при одном выстреле, у второго стрелка несколько больще, чем у первого. Это дает основание сделать вывод о том, что второй стрелок стреляет немного лучще, чем первый. Понятие математического ожидания возникло в связи с изучением азартных игр. Приведем примеры. Пример 1 ' ‘ Игрок вносит в банк игорного дома 1000 р. Бросают играль- ную кость. По правилам игры игрок может получить 1800 р., если случится событие А, — выпадет 6 очков; 1200 р., если случится событие — выпадет или 4, или 5 очков; 0 рублей, если случится событие Aj — выпадет или 1, или 2, или 3 очка. Будем считать, что игрок получает X рублей, т. е. X — случайная величина, которая может принимать значения х, = 1800, х^ = 1200, Xj = 0 соответственно с вероятностями § 18. Основные понятия теории вероятноаей 305 1 2 1 3 1 р, =р(А,) = -, Рг=р(уЦ) = - = -, Рз=р(Аз) = Г=о-+/^2 + Рз= 1- О о 3 о 2 Математическое ожидгшие случайной величины X равно MX = 1800-i + 1200-i + 0*- = 700. 6 3 2 Математическое ожидание — очень важный показатель игры. Многочисленные опыты показывают, что число MX = 700 в нашем случае — это есть та сумма, которую в среднем игорный дом выплачивает каждому игроку. Но это означает, что каждый игрок в среднем теряет 300 р, из внесенных в банк игорного дома 1000 р. Пример 2 Игрок вынимает из колоды (в 36 карт) одну карту. Он получает (то есть выигрывает) Юр., если вынет бубнового туза, 5 р,, если вынет бубнового короля, и кладет на стол 1 р. (то есть проигрывает, но можно сказать, что выигрывает -1 р.) в остальных случаях. Будем считать, что игрок получает X рублей, где X — случайная величина, которая может принимать значения x^ = 10, = 5, х^ = -1 соответ- ственно с вероятностями 1 1 34 , , Pi Рг Р^ P^ Рг Рз !• Математическое ожидание случайной величины X равно пл 1 = 1 / 14 34 19 MX =10* — + 5* 1-(-1)‘ — =-----. 36 36 36 36 о Это означает, что каждый игрок в среднем теряет — р. Пример 3 Задача Паскаля. Два игрока А и В согласились, что в их игре вся ставка достанется тому, кто первый выиграет 5 партий. Но игра оказалась прерванной, когда игрок А имел 4 выигрыша, а игрок В — 3 выигрыша. В каком отношении игроки должны разделить ставку в этой прерванной игре (в каждой партии выигрывает один из игроков — ничьих нет; вероятность выигрыша каждого игрока в одной партии считается равной 0,5)? Рассмотрим, какие случаи могли бы произойти, если бы игроки сыграли еще две партии (независимо от их первоначальной договоренности): 1) игрок В выиграет обе партии; 2) игрок В выиграет первую партию, но проиграет вторую; 3) игрок В проиграет первую партию, но выиграет вторую; 4) игрок В проиграет обе партии. По первоначальному соглашению всю игру выиграет первый игрок в трех из этих четырех случаев, второй — лишь в одном. Следовательно, вероят- 306 Раздел 3 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 3 ность события А (игрок А выиграл всю игру) равна —, а вероятность собы- 4 тия В (игрок В выиграл всю игру) равна 4 Если ставка равна т р., то игрок А получил бы р., где — случайная 3 величина, которая принимает значение т с вероятностью — и значение 0 4 с вероятностью а игрок В получил бы Хд р., где Хд — случайная вели-4 чина, которая принимает значение т с вероятностью — — и значение 0 с 4 3 вероятностью —. 4 Найдем математическое ожидание величин Хд и Хд, то есть найдем, сколько в среднем получил бы каждый игрок: М(Хд) = т-- + 0 — = -т, М(Хд) = т‘- + 0‘- = -т. 4 4 4 4 4 4 Следовательно, в среднем игроки разделили бы ставку в отношении 3:1, поэтому ставку надо разделить в отношении М(Хд) : М(Хд), то есть в отношении 3:1. Вопросы для контроля 1. а) Объясните, что такое случайная величина для данного случайного эксперимента. Приведите примеры, б*) Дайте определение случайной величины. Пользуясь определением, задайте какую-то случайную величину для эксперимента с подбрасыванием двух монет. 2. Объясните, что такое закон распределения случайной величины. Приведите примеры. 3. Закон распределения случайной величины, принимающей только п значений, задан в виде таблицы. Как можно проверить правильность заполнения строки со значениями вероятностей в этой таблице? 4. Объясните, в чем состоит отличие между дискретной и непрерывной случайными величинами. Приведите примеры таких величин. 5. Дайте определение математического ожидания случайной величины X. Упражнения 1*. Составьте таблицу распределения по вероятностям Р случайной величины X — числа очков, выпадающих при бросании игрального кубика. 2. Есть 3 игральных кубика, на гранях которых отмечены только одно или два очка: у кубика А одно очко встречается на гранях один раз, у кубика § 18. Основные понятия теории вероятноаей 307 В — 2 раза, а у кубика С — 3 раза (рис. 139). Случайные величины X, Y и Z — число очков, выпавших соответственно на каждом из кубиков А, В и С. Задайте законы распределения случайных величин X, Y и Z с помощью соответствующих таблиц. кубикА кубик В кубик С Рис. 139 3. Подбрасывают две монеты. Результату «герб» припишем условное числовое значение 0, а результату «число» — 1. Составьте таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины X — суммы чисел, выпавших на монетах. 4*. Трижды подбрасывгиот монету. Случайная величина X — число выпадений «герба». Задайте закон распределения случайной величины X с помощью таблицы. (Указание. Для вычисления соответствующих вероятностей используйте формулу Бернулли.) 5. Пусть закон распределения случайной величины X задан таблицей: 1) X 2 5 6 7 р 0,3 0,1 0,2 0,4 2) X 4 5 8 10 12 Р 0,4 0,1 0,05 0,05 0,4 Найдите математическое ожидание этой величины. 6. Подбрасывают игральный кубик. Найдите математическое ожидание величины X — числа выпавших очков. 7. Выигрыши (в условных единицах), которые приходятся на один билет в каждой из двух лотерей, имеют следующие законы распределения: X 0 1 5 10 Р 0,9 0,06 0,03 0,01 У 0 1 5 10 Р 0,85 0,12 0,02 0,01 Какой из этих лотерей вы отдали бы предпочтение? 308 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И аЛТИСТИКИ Будем называть игру справедливой, если в среднем будет одинаковым число очков или денег, получаемых каждым игроком. Определите, является ли справедливой игра, описанная в следующих задачах (8-10). 8. Подбрасывают две монеты. Игрок А получает 3 очка, если выпадают два герба, о очков в других случаях. Игрок В получает 2 очка, если выпадают герб и число, о очков в других случаях. 9. Подбрасывают две монеты. Игрок А получает 2 очка, если выпадают два числа, о очков в других случаях. Игрок В получает 1 очко, если выпадают герб и число, о очков в других случаях. 10. Подбрасывают два игральных кубика. Игрок А получает 6 очков, если сумма выпавших очков не больше 7, и 0 очков в других случаях. Игрок В получает 7 очков, если сумма выпавших очков больше 7, и 0 очков в других случаях. 11*. Подбрасывают две монеты. Игрок А получает а очков, если выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает Ь очков, если выпадают герб и число, 0 очков в других случаях. Найдите отношение а : Ь, при котором эта игра будет справедливой. 12. Задача Луки Пачоли (1494 г.). Двое игроков играют до трех выигрышей. После того как первый игрок выиграл две партии, а второй — одну, игра прервалась. Как справедливо разделить ставку 210 ливров (ливр — серебряная монета)? 13*. Задача Пьера Ферма (1654 г.). Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В — трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана? 18.9. Понятие о статистике. Генеральная совокупность и выборка 1. Понятие о статистике. «Статистика знает все*, — утверждали И. Ильф и Е. Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев* и продолжали: «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики... Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, собак всех пород, велосипедов, памятников, девушек, маяков и швейных машинок... Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас из статистических таблиц!* Это ироничное описание дает достаточно точное представление о статистике (от латинского status — состояние) — науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о разнообразнейших массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения товаров, прогнозирует рост и падение производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность разных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторых заболеваний в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его § 18. Основные понятия теории вероятностей 309 состав (возрастной, национальный, профессиональный). А есть еще статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая... Статистика имеет многовековую историю. Уже в Древнем мире вели статистический учет населения. Однако случайное толкование статистических данных, отсутствие строгой научной базы статистических прогнозов даже в середине XIX в. еще не позволяли говорить о статистике как науке. Только в XX в. появилась математическая статистика — наука, опирающаяся на законы теории вероятностей. Выяснилось, что статистические методы обработки данных из самых разных областей жизни имеют много общего. Это позволило создать универсальные научно обоснованные методы статистических исследований и проверки статистических гипотез. Таким образом, математическая статистика — зто ра.|дел математики, изучающий ма грматичеч’кие методы обработки и использоиания статистнчоскнх данных для научных и практических выводок. В математической статистике рассматриваются методы, которые дают возможность по результатам экспериментов (статистическим данным) делать определенные выводы вероятностного характера. Математическая статистика подразделяется на две обширные области: 1) описательная статистика, которая рассматривает методы описания статистических данных, их табличное и графическое представление и пр.; 2) аналитическая статистика (теория статистических выводов), которая рассматривает обработку данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировку выводов, имеющих прикладное значение для конкретной области человеческой деятельности. Теория статистических выводов тесно связана с теорией вероятностей и базируется на ее математическом аппарате. Среди основных задач математической статистики можно отметить следующие. 1. Оценка вероятности. Пусть некоторое случайное событие имеет вероятность р > о, но ее значение нам неизвестно. Требуется оценить эту вероятность по результатам экспериментов, то есть решить задачу об оценке вероятности через частоту. 2. Оценка закона распределения. Исследуется некоторая случайная величина, точное выражение для закона распределения которой нам неизвестно. Необходимо по результатам экспериментов найти приближенное выражение для функции, задающей закон распределения. 3. Оценка числовых характеристик случайной величины (например, математического ожидания — см. п. 18.8). 4. Проверка статистических гипотез (предположений). Исследуется некоторая случайная величина. Исходя из определенных рассуждений, выдвигается, например, гипотеза о распределении этой случайной величины. Необходимо по результатам экспериментов принять или отклонить эту гипотезу. Результаты исследований, проводимых методами математической статистики, применяются для принятия решений. В частности, при планирова- 310 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ НИИ и организации производства, при контроле качества продукции, при выборе оптимального времени наладки или замены действующей аппаратуры (например, при определении времени замены двигателя самолета, отдельных частей станков и т. д.). Как и в каждой науке, в статистике используются свои специфические термины и понятия. Некоторые из них приведены в таблице 32. Запоминать их определения необязательно, достаточно понимать их смысл. Таблица 32 Часто употребляемый термин Смысл термина Научный термин Определение Общий ряд данных То, откуда выбирают Генеральная совокуп- ность Множество всех возможных результатов наблюдения ( измерения ) Выборка То, что выбирают Статистическая выборка, статистический ряд Множество результатов, реально полученных в данном наблюдении (измерении ) Варианта Значение одного из результатов наблюдения (измерения) Варианта Одно из значений элементов выборки Ряд данных Значения всех результатов наблюдения (измерения) Вариационный ряд Упорядоченное множество всех вариант 2. Генеральная совокупность и выборка. Для изучения различных массовых явлений проводятся специальные статистические исследования. Любое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называют этапом статистических наблюдений. Для получения статистических данных в результате наблюдений похожие элементы некоторой совокупности сравнивают по разным признакам. Например, учащихся 11 классов можно сравнивать по росту, размеру одежды, успеваемости и т. д. Болты можно сравнивать по длине, диаметру, массе, материалу и т. д. Практически любой признак или непосредственно измеряется, или может получить условную числовую характеристику (см. пример с выпадением «герба* или «числа* при подбрасывании монеты на с. 302). Таким образом, некоторый признак элементов совокупности можно рассматривать как величину, принимающую те или иные числовые значения. Пр11 изучении реальных явлений часто бывает невозможно обследовать все элементы совокупности. Например, практически невозможно выяс- § 18. Основные понятия теории вероятностей 311 нить размеры обуви у всех людей планеты. А проверить, например, наличие листов некачественной фотобумаги в большой партии хотя и реально, но бессмысленно, потому что полная проверка приведет к уничтожению всей партии бумаги. В подобных случаях вместо изучения всех элементов совокупности, называемой генеральной совокупностью, обследуют ее значительную часть, выбранную случайным образом. Эту часть называют выборкой, а число элементов в выборке называется объемом выборки. Если в выборке все основные признаки генеральной совокупности представлены в той же пропорции и с той же относительной частотой, с которой данный признак выступает в заданной генеральной совокупности, то эту выборку называют репрезентативной (от французского representatif — показательный). Иными словами, репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру, но точную модель той генеральной совокупности, которую она должна отражать. В той степени, в какой выборка является репрезентативной, выводы, основанные на изучении этой выборки, можно с большой долей уверенности считать применимыми ко всей генеральной совокупности. Понятие репрезентативности отобранной выборки не означает ее полного представительства по всем признакам генеральной совокупности, поскольку это практически обеспечить невозможно. Отобранная из всей совокупности часть должна быть репрезентативной относительно тех признаков, которые изучаются. Чтобы выборка была репрезентативной, она должна быть выделена из генеральной совокупности случайным образом. Этого можно достичь различными способами. Чаще всего используют следующие виды выборок: 1) собственно-случайную; 2) механическую; 2) типическую; 3) серийную. Кратко охарактеризуем каждую из них. 1) Члены генеральной совокупности можно предварительно занумеровать и каждый номер записать на отдельной карточке. После тщательного перемешивания будем отбирать наугад из пачки таких карточек по одной карточке и получим выборочную совокупность любого нужного объема, которая называется собственно-случайной выборкой. Номера на отобранных карточках укажут, какие члены генеральной совокупности попали в выборку. (Заметим, что при этом возможны два принципиально различных способа отбора карточек в зависимости от того, возвращается или не возвращается обратно вынутая карточка после записи ее номера.) Собственно-случайную выборку заданного объема п можно образовать и с помощью так называемых таблиц случайных чисел или генератора случайных чисел на компьютере. При образовании собственно-случайной выборки каждый член генеральной совокупности с одинаковой вероятностью может попасть в выборку. 2) Выборка, в которую члены из генеральной совокупности отбираются через определенный интервал, называется механической. Например, если объем выборки должен составлять 5 % объема генеральной совокупности 312 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ (5%-ная выборка), то отбирается ее каждый 20-й член, при 10%-ной выборке — каждый 10-й член генеральной совокупности и т, д. Механическую выборку можно образовать, если имеется определенный порядок следования членов генеральной совокупности, например, если они следуют друг за другом в определенной последовательности во времени. Именно так появляются изготовленные на станке детали, приборы, сошедшие с конвейера, и т. п. При этом необходимо убедиться, что в следующих один за другим членах генеральной совокупности значения признака не изменяются с той же (или кратной ей) периодичностью, что и периодичность отбора элементов в выборку. Например, пусть из продукции металлообрабатывающего станка в выборку попадает каждая пятая деталь, а после каждой десятой детали рабочий производит смену (или заточку) режущего инструмента и наладку станка. Эти операции рабочего направлены на улучшение качества деталей (износ режущего инструмента происходит более или менее равномерно). Следовательно, в выборочную совокупность попадут детали, на качество которых работа станка влияет в одну и ту же сторону, и значения признака выборочной совокупности могут неправильно отразить соответствующие значения признака генеральной совокупности. 3) Если из предварительно разбитой на непересекающиеся группы генеральной совокупности образовать собственно-случайные выборки из каждой группы (с повторным или бесповторным отбором членов), то отобранные элементы составят выборочную совокупность, которая называется типической. 4) Если генеральную совокупность предварительно разбить на непересекающиеся серии (группы), а затем, рассматривая серии как элементы, образовать собственно-случайную выборку (с повторным или бесповторным отбором серий), то все члены отобранных серий составят выборочную совокупность, которая называется серийной. Например, пусть на заводе 150 станков (10 цехов по 15 станков) производят одинаковые изделия. Если в выборку отбирать изделия из тщательно перемешанной продукции всех 150 станков, то образуется собственнослучайная выборка. Но можно отбирать изделия отдельно из продукции первого, второго и т. д. станков. Тогда будет образована типическая выборка. Если же членами генеральной совокупности считать цеха и сначала образовать собственно-случайную выборку цехов, а потом в каждом из отобранных цехов взять все произведенные изделия, то все отобранные изделия (из всех отобранных цехов) составят серийную выборку. Как уже отмечалось, практически любой признак X, который изучается, или непосредственно измеряется, или может получить числовую характеристику. Поэтому первичные экспериментальные данные, характеризующие выделенную выборку, обычно представлены в виде набора чисел, записанных исследователем в порядке их поступления. Количество (п) чисел в этом наборе — объем выборки, а численность (т) варианты (одного из значений § 18. Основные понятия теории вероятностей 313 т элементов выборки) называют частотой варианты. Отношение — назы- п вают относительной частотой (W) варианты. Используя эти понятия, запишем соотношение между ними в репрезентативной выборке. в Пусть S — объем генеральной совокупности, п — объем репрезентативной выборки, в которой k значений исследуемых признаков распределены по частотам М,, М^, ..., М*, где М = п. Тогда в генеральной совокупности частотам Mj, Mj, ..., М* будут соответствовать частоты Sj, $2,.... S* тех же значений признака, что и в выборке (Y s = S). По определению репрезентативной выборки получаем: п ‘s’ где i — порядковый номер значения признака (1 < i < А). Из этого соотношения находим: в. = SIV, |или Sj = S —где 1 < I < А. О (1) Пример Обувной цех должен выпустить 1000 пар кроссовок молодежного фасона. Для того чтобы определить, сколько кроссовок и какого размера необходимо выпустить, были выявлены размеры обуви у 50 случайным образом выбранных подростков. Распределение размеров обуви по частотам представлено ВТ аблице: Размер (X) 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Частота (М) 2 5 6 12 11 7 4 2 1 YM = n = 50 Сколько кроссовок разного размера будет изготавливать фабрика? Решение ► Будем считать рассмотренную выборку объемом л = 50 подростков репрезентативной. Тогда в генеральной совокупности (объемом S = 1000) количество кроссовок каждого размера пропорционально количеству кроссовок соответствующего размера в выборке (и для каждого размера находится по формуле (1)). Результаты расчетов будем записывать в таблицу: Размер (X) 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Частота (М) 2 5 6 12 11 7 4 2 1 Относительная 1 1 3 6 11 7 2 1 1 частота (W) 25 10 25 25 50 50 25 25 50 Количество кроссовок (SH0 40 100 120 240 220 140 80 40 20 ХМ = л = 50 Yw=i S(SW) = S = 1000 314 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Ответ. Размер 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Количество кроссовок 40 100 120 240 220 140 80 40 20 В сельском хозяйстве для определения количественного соотношения изделий разного сорта пользуются так называемым выборочным методом. Суть этого метода будет ясна из описания следующего опыта, теоретическую основу которого составляет закон больших чисел. В коробке тщательно перемешан горох двух сортов: зеленый и желтый. Небольшой емкостью, например ложкой, вынимают из разных мест коробки порции гороха. В каждой порции подсчитывают число желтых горошин М и число всех горошин п. Для каждой порции находят относительную м частоту появления желтой горошины W = —. Так делают А раз (на прак- п тике обычно берут 5 < /г < 10) и каждый раз вычисляют относительную частоту. За статистическую вероятность извлечения желтой горошины из коробки принимают среднее арифметическое полученных относительных частот W,, W^, .... ь Вопросы для контроля 1. Объясните, какие задачи решают статистика и математическая статистика. 2. Объясните, как вы понимаете термины: генеральная совокупность, выборка, репрезентативная выборка. Приведите примеры. Упражнения 1. Определите, какую из предложенных выборок в последнем столбце таблицы 33 можно считать репрезентативной. Таблица 33 № Генеральная совокупность Цель обследования Выборка 1 2 3 4 1° Партия одинаковых деталей объемом 10 000 штук Определение числа бракованных деталей в партии 1) 100 деталей, лежащих рядом; 2) 100 деталей, выбранных случг1Йным образом из разных частей партии § 18. Основные понятия теории вероятностей 315 Продолж. табл. 33 1 2 3 4 2“ Все бродячие собаки областного центра Определение числа собак, больных чумкой 1) Одна собачья стая; 2) по нескольку случайным образом отловленных собак из каждого района города 3“ Все работы государственной итоговой аттестации по математике учащихся 9 классов школ города Определение соотношения между числом учащихся, находящихся на низком, среднем и высоком уровнях учебных достижений по математике 1) 10 работ, взятых случайным образом из числа всех работ; 2) 100 работ, взятых случайнымо бразом из числа всех работ; 3) 100 работ учащихся одной школы 4* Партия штампованных деталей объемом 100 000 штук Определение средней массы детали в партии 1) 2 детали; 2) 100 деталей, изготовленных последними; 3) 50 деталей, случайным образом выбранных из партии 5 Бидон молока Определение жирности молока (в процентах) 1) Ложка молока, взятая с поверхности через 2 ч после доения; 2) стакан молока, налитый из бидона после охлаждения его в погребе в течение 2 ч; 3) ложка молока, взятая после тщательного перемешивания молока 6 Урожай зерна с площади 1000 га Определение урожайности зерна на этом поле 1) Урожай зерна с северного склона холма площадью 1 га; 2) среднее арифметическое урюжайностн зерна с двух соседних участков площадью 1 га: северного и восточного склонов холма; 3) среднее арифметическое урожайностей зерна с 10 участков, площадью 10 соток, выбранных на поле случайным образом 316 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 2. В отрывке из художественного произведения некоего автора объемом 600 слов деепричастия встречаются 72 раза. Определите ориентировочное количество деепричастий в отрывке объемом 2000 слов этого же автора. 3. Среди случайным образом выбранных 100 молодых людей, которые летом носят кепки, провели опрос о цветовых предпочтениях для этого вида головных уборов. Результаты опроса отображены в таблице: Цвет Черный Красный Синий Серый Белый Желтый Зеленый Частота 32 20 16 14 11 5 2 Считая рассмотренную выборку репрезентативной, предложите рекомендации швейной фабрике по количеству выпуска кепок каждого цвета, если фабрика должна выпустить 30 000 кепок. Молокозавод выпускает молоко разной жирности. В продуктовых мага-зинг1х города, для которых завод производит молоко, был проведен опрос 50 наугад выбранных покупателей о том, какой жирности молоко они потребляют. Результаты опроса представлены в таблице: Жирность молока(в %) 0 0,5 1 1.5 2,5 3,5 5 Частота 10 6 4 5 12 7 6 Считая рассмотренную выборку репрезентативной, дайте рекомендации молокозаводу по объему выпуска молока каждого вида, если молокозавод должен выпускать 2000 л молока ежедневно. 18.10. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Таблица 34 Определение Пример Ранжирование ряда данных Под ранжированием ряда данных понимают расположение элементов этого ряда в порядке возрастания (имеется в виду, что каждое следующее число или больше, или не меньше предыдущего). Если ряд данных выборки имеет вид 5, 3, 7, 4, 6, 4, 6, 9, 4, то после ранжирования он превращается в ряд 3, 4, 4. 4, 5, 6, 6, 7, 9. (*) Размах выборки ( R) Ралмах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим :1нлченнямн веднч1Н1Ы в выборке. Для ряда (*) размах выборки: Д = 9 - 3 = 6. § 18. Основные понятия теории вероятноаей 317 Продолж. табл. 34 Мода (Мо) Мода — .это значение элемента вы- В ряду (*) значение 4 встречается борки, встречающееся чаще остальных. чаще всего, итак, Мо = 4. Медиана (Me) Медиана — это так называемое серединное значение упорядоченного р51да значении: — если количество чисел в ряду нечетное. то медиана — это число, записанное посередине: — если количество чисел в ряду четное, то медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. Для ряда (*), в котором 9 членов, медиана — это среднее (то есть пятое) число 5: Me = 5. Если рассмотреть ряд 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 9, в котором 10 членов, то медиана — это среднее арифметическое пятого и шестого членов: Ме = —= 4,5. 2 Среднее значение (х) выборки Средним значением выборки называется среднее ариф.метнческое всех чисел ряда данных выборки. Если в ряду данных записаны значения X,, ^2, .... х„ (среди которых могут быть и одинаковые), то X 2 4 5 7 М 3 1 2 2 --2-. Если известно, что в ряду данных различные значения д:,, Xj, ..., х* встречаются соответственно с частотами m^, m2, ..., т» (тогда = п), то среднее арифметическое можно вычислить по формуле ~ ••• ^ ^k^^k л — “ —. Пусть ряд данных задан таблицей распределения его различных значений по частотам М: Хм = л = 8. Тогда по формуле (**) д. 2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 5 + Т + 7 34 . пс X =---------------= — = 4,^0 8 8 ИЛИ ПО другой формуле ^__2*3 + 4*1 + 5*2 + 7*2_25 “ 8 ~Т“’ 1. Табличное и графическое представление данных. Полигоны частот. Как уже отмечалось, практически любой признак X, который изучается, или непосредственно измеряется, или может получить числовую характеристику. Поэтому первичные экспериментальные данные, характеризующие выделенную выборку, обычно представлены в виде набора чисел, записанных исследователем в порядке их поступления. Если данных много, то получен- 318 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ ный набор чисел трудно обозрим и сделать по нему какие-то выводы очень сложно. Поэтому первичные данные нуждаются в обработке, которая обычно начинается с их группировки. Группировка выполняется различными методами в зависимости от целей исследования, вида изучаемого признака и количества экспериментальных данных (объема выборки), но наиболее часто группировка сводится к представлению данных в виде таблиц, в которых различные значения элементов выборки упорядочены по возрастанию и указаны их частоты (то есть количество каждого элемента в выборке). При необходимости в этой таблице указывают также относительные частоты для каждого элемента, записанного в первой строке. Такую таблицу часто называют рядом распределения (или вариационным рядом). Например, пусть в результате изучения размера обуви 30 мальчиков 11 класса был получен набор чисел (результаты записаны в порядке опроса): 39; 44; 41; 39; 40; 41; 45; 42; 44; 41; 41; 43; 42; 43; 41; 44; 42; 38; 40; 38; 41; 40; 42; 43; 42; 41; 43; 40; 40; 42. Чтобы удобнее было анализировать информацию, в подобных ситуациях числовые данные сначала ранжируют, располагая их в порядке возрастания (когда каждое следующее число или больше, или не меньше предыдущего). В результате ранжирования получаем следующий ряд: 38; 38; 39; 39; 40; 40; 40; 40; 40; 41; 41; 41; 41; 41; 41; 41; 42; 42; 42; 42; 42; 42; 43; 43; 43; 43; 44; 44; 44; 45. Затем составляем таблицу, в первой строке которой указаны все различные значения полученного ряда данных (X — размер обуви выбранных 30 мальчиков 11 класса), а во второй строке — их частоты М: X 38 39 40 41 42 43 44 45 м 2 2 5 7 6 4 3 1 п = 2м = 30 Получаем ряд распределения рассматриваемого признака X по частотам. Иногда удобно проводить анализ ряда распределения на основе его графического изображения. Отметим на координатной плоскости точки с координатгши (х,; Л1,), (Xj; т^), ..., (Xg; т^) и соединим их последовательно отрезками (рис. 140). Полученную ломаную линию называют полигоном частот. То есть полигоном частот называют ломан^чо, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами (х,; т,). (х.; т.)... (х* ; т,), где X, — значения различных элементов ряда данных, а — соответствующие нм частоты. Аналогично определяется и строится полигон относительных частот для рассматриваемого признака X (строятся точки с координатами (х,; ш,), (х^; ш^), .... (х*; w,,), где х^ — значения различных элементов ряда данных, &w^ — соответствующие им относительные частоты. § 18. Основные понятия теории вероятностей 319 Рис. 140 Если вычислить относительные частоты для каждого из различных значений ряда данных, рассмотренного в начале этого пункта, то распределение значений рассматриваемого признака X по относительным частотам можно задать таблицей: X 38 39 40 41 42 43 44 45 W -^ = 0,07 15 -^ = 0,07 15 i-0,17 6 -^ = 0,23 30 - = 0,2 5 -^ = 0,13 15 — = 0,1 10 — = 0,03 30 Также распределение значений рассматриваемого признака X по относительным частотам можно представить в виде полигона относительных частот (рис. 141), в виде линейной диаграммы (рис. 142) или в виде круговой диаграммы, предварительно записав значения относительной частоты в процентах (рис. 143). 320 Раздел 3 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И аДТИСТИКИ Рис. 142 Напомним, что для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, вычисленным для каждого из различных значений ряда данных. Обратим внимание, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом количестве полученных секторов. В противном случае ее применение малоэффективно. Если рассматриваемый признак принимает много разных значений, то его распределение можно лучше себе представить после разбиения всех значений ряда данных на классы. Количество классов может быть любым, удобным для исследования (обычно их выбирают в количестве от 4 до 12). При этом величины (объемы) классов должны быть одинаковыми. Например, в следующей таблице представлены сведения о заработной плате 100 рабочих одного предприятия (в некоторых условных единицах). При этом значения зарплаты (округлены до целого числа условных единиц) сгруппированы в 7 классов, каждый объемом в 100 условных единиц. Классы От 400 до 500 От 500 до 600 От 600 до 700 От 700 до 800 От 800 до 900 От 900 до 1000 От 1000 до 1100 Номер класса X 1 2 3 4 5 6 7 Частота (количество рабочих) М 4 6 18 36 22 10 4 (проверка: '£,М = 100) § 18. Основные понятия теории вероятноаей 321 Наглядно частотное распределение зарплат по классам можно представить с помощью полигона частот (рис. 144) или столбчатой диаграммы (рис. 145). 2. Числовые характеристики рядов данных. Размах, мода и медиана ряда данных. Иногда выборку случайных величин или всю генеральную совокупность этих величин приходится характеризовать одним числом. На практике это необходимо, например, для быстрого сравнения двух или больше совокупностей по общему признаку. Рассмотрим конкретный пример. Пусть после летних каникул провели опрос 10 девочек и 9 мальчиков одного класса о количестве книг, прочитанных ими за каникулы. Результаты были записаны в порядке опроса. Получили следующие ряды чисел: для девочек: 4, 3, 5, 3, 8, 3, 12, 4, 5, 5; для мальчиков: 5, 3, 3, 4, 6, 4, 4, 7, 4. Как уже отмечалось, чтобы удобнее было анализировать информацию, в подобных случаях числовые данные ранжируют, располагая их в порядке возрастания (когда каждое следующее число или больше, или не меньше предыдущего). В результате ранжирования получили следующие ряды. Для девочек: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 8, 12; (1) для мальчиков: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7. (2) Тогда распределение по частотам М величин: X — число книг, прочитанных за каникулы девочками, и У — число книг, прочитанных за каникулы мальчиками, можно задать таблицами: X 3 4 5 8 12 м 3 2 3 1 1 У 3 4 5 6 7 М 2 4 1 1 1 ЕМ = п = 10 Zm = л = 9 322 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Эти распределения можно также проиллюстрировать графически с помощью полигона частот (рис. 146, 147). Для сравнения рядов (1) и (2) используют различные характеристики. Приведем некоторые из них. Размахом ряда чисел (обозначается R) называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Поскольку мы анализируем выборку некоторых величин, то размах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим значениями величины в выборке. Для ряда (1) размах Д = 12 - 3 = 9, а для ряда (2) размах Д = 7 - 3 = 4. На графике размах — это длина области определения полигона частот (рис. 146, 147). Одной из статистических характеристик ряда данных является его мода (обозначается Мо, от латинского слова modus — мера, правило). Мода — это значение элемента выборки, встречающееся чаще остальных. Так, в ряду (1) две моды — числа 3 и 5: Mo^ = 3, Moj = 5, а в ряду (2) одна мода — число 4: Мо = 4. На графике мода — это значение абциссы точки, в которой достигается максимум полигона частот (см. рис. 146, 147). Отметим, что моды может и не быть, если все значения рассматриваемого признака встречаются одинаково часто. Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выяснить некоторый типовой показатель. Например, когда изучают данные о моделях мужских рубашек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно использовать такой показатель, как мода, который характеризует модель. § 18. Основные понятия теории вероятностей 323 пользующуюся наибольшим спросом (собственно, этим и объясняется название «мода»). Еще одной статистической характеристикой ряда данных является его медиана. Медиана — это так называемое серединное значение упорядоченного ряда значений (обозначается Me). Медиана делит упорядоченный ряд данных на две равные по количеству элементов части. Если количество чисел в ряду нечетное, то медиана — это число, записанноеп осередине. Например, в ряду (2) нечетное количество элементов (п = 9). Тогда его медианой является число, стоящее посередине, то есть на пятом месте: Me = 4. 3, 3, 4, 4, ®, 4, 5, 6, 7 медиана Следовательно, о мальчиках можно сказать, что одна половина из них прочитала не больше 4 книг, а вторая — не меньше 4 книг. (Отметим, что л +1 в случае нечетного п номер среднего члена ряда равен — Если количество чисел в ряду четное, то медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. Например, в ряду (1) четное количество элементов (п = 10). Тогда его медианой является число, равное среднему арифметическому чисел, стоящих посередине, то есть на пятом и шестом местах: Me = ^-^ = 4,5. 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 8, 12 медиана Следовательно, о девочках можно сказать, что одна половина из них прочитала меньше 4,5 книги, а вторая — больше 4,5 книги. (Отметим, что в случае четного п номера средних членов ряда равны ^ и 2. Среднее значение выборки Средним значением выборки (обозначается Х) называется среднее арифметическое все.\ чисел ряда данных выборки. Если в ряду данных записаны значения х,, х^, ..., х„ (среди которых могут быть и одинаковые), то (3) Если известно, что в ряду данных различные значения х,, х^, ..., х* встречаются соответственно с частотами т,, т^, ...» (тогда Хм = п ), то, заме- 324 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ няя одинаковые слагаемые в числителе на соответствующие произведения, получаем, что среднее арифметическое можно вычислять по формуле А У, то можно сказать, что за один и тот же промежуток времени девочки в классе читают книг больше, чем мальчики. Обратим внимание, что в пособиях по статистике моду, медиану и среднее значение выборки объединяют одним термином — меры центральной тенденции, подчеркивая тем самым возможность охарактеризовать ряд выборки одним числом. Не для каждого ряда данных имеет смысл формально находить центральные тенденции. Например, если исследуется ряд 5, 5, 8, 110 (5) годовых доходов четырюх людей (в тыс. у. е.), то очевидно, что ни мода (5), ни медиана (6,5), ни среднее значение (32) не могут выступать в роли единой характеристики всех значений ряда данных. Это объясняется тем, что размах ряда (105) является соизмеримым с наибольшим из его значений. В данном случае можно искать центральные тенденции, например, для части ряда (5): 5, 5, 8, условно назвав его выборкой годового дохода низкооплачиваемой части населения. Если в выборке среднее значение существенно отличается от моды, то его нецелесообразно выбирать в качестве типичной характеристики рассматриваемой совокупности данных (чем больше значение моды отличается от среднего значения, тем «более несимметричным» является полигон частот совокупности). § 18. Основные понятия теории вероятноаей 325 Вопросы для контроля 1. Объясните, что называется полигоном частот рассматриваемого признака X. Приведите примеры построения полигона частот и полигона относительных частот. 2. На примере ряда данных 2, 2, 3, 5, 5, 5, 13 объясните, что такое размах, мода, медиана и среднее значение ряда и дайте соответствующие определения. Упражнения 1'. На основании данных таблицы представьте в виде столбчатой и круговой диаграмм распределение некоторого признака X. 1) 2) X 1 2 3 4 W 0,1 0,3 0,4 0,2 X 1 2 3 4 5 W 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1 2. Постройте полигон частот и полигон относительных частот некоторого признака X, распределение которого предстгшлено в таблице: 1) X 1 3 5 7 9 м 3 0 5 7 5 2) X 11 12 13 14 15 16 М 6 5 2 3 1 3 3°. На рисунке 148 построены полигоны, иллюстрирующие распределение частоты продажи магазином в течение недели компьютеров (черная линия) и телевизоров (синяя линия). Укажите два дня, непосредственно следующие друг за другом, когда: Рис. 148 1) число проданных телевизоров выросло больше, чем число проданных компьютеров; 326 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 2) число проданных телевизоров увеличилось, а число проданных компьютеров уменьшилось; 3) число проданных компьютеров выросло, а число проданных телевизоров осталось тем же. 4. Измерили рост 50 старшеклассников и результаты записали в таблицу: 149 150 150 151 151 152 152 153 154 154 155 155 155 156 156 157 157 157 158 158 159 159 159 159 161 161 161 162 162 162 162 162 165 166 166 166 167 167 169 170 171 171 173 173 173 175 176 178 180 182 Сгруппировав эти данные по классам 145-149, 150-154, 155-159, 160-164, 165-169, 170-174, 175-179, 180-184, представьте частотное распределение роста учащихся по этим классам с помощью: 1) таблицы; 2) полигона частот; 3) столбчатой диаграммы. 5. Найдите размах, моду, медиану и среднее значение заданного ряда данных: 1) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5; 2) -3, -2, -2, -1, 0, 2, 2, 2, 3, 5. Постройте полигон частот значений величины X. Укажите на рисунке размах, моду и медиану заданного ряда данных. 6. Найдите размах, моду, медиану и среднее значение выборки, заданной таблицей распределения значений величины X по частотам: 1) X 2 3 4 5 М 3 4 1 3 2) X -1 3 4 5 7 М 2 3 4 4 1 Постройте полигон частот значений величины X. Укажите на рисунке размах, моду и медиану заданной совокупности данных. 7. Девочки 11 класса на уроке физкультуры при прыжках в высоту показали следующие результаты (в см): 90, 125, 125, 130, 130, 135, 135, 135, 140, 140, 140. Найдите моду, медиану и среднее значение этой совокупности данных. Какое из этих значений лучше всего характеризует спортивную подготовку девочек класса? § 19. Соединения с повторениями. Решение более сложных комбинаторных задач 327 СОЕДИНЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ. РЕШЕНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ (таГ) Соединения с повторениями Таблица 35 Размещения с повторениями Размещением с повторениями из п элементов по k называется конечная последовательность, состоящая из k элементов (а,, ...» некото- рого п-элементного множества М Формула числа размещений с повторениями Пример Количество различных трехзначиых чисел, которые можно составить из цифр 1» 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться, равно -гз Лб = 6-*=216 Переаановки с повторениями Перестановкой с повторениями состава п = + k., + ... + из элемен- тов а,, «2» •••’ некоторого множества М называется любая конечная последовательность, состоящая из п элементов, в которую элемент а, входит fe, раз, элемент Пз входит раз, ..., элемент входит раз Формула числа перестановок с повторениями Пример где к, -(- *2 -I- ... Ч- = п Количество различных шестизначных чисел, которые можно составить из трех двоек, двух семерок и одной пятерки, равно 6! 720 Рв=- 3I-2I-1I 6-2-1 (учтено, что 3 + 2 + 1 = 6). = 60 Сочетания с повторениями Если задано ц-элементное множество, то сочетаниями с повторениями из п элементов по к называются наборы, в каждый из которых входят к заданных элементов (один и тот же элемент может входить в набор не-ско.тько раз) 328 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Продолж. табл. 35 Формула числа сочетаний с повторениями Пример г - г* I n - Ь. Если в продаже есть цветы четырех сортов, то количество разных букетов, составленных из 7 цветов, равно с*=си,=с1 = 101 10! 8 • 9 • 10 7!(10-7)1 7!-31 1-2-3 = 120 Схема поиска решения простейших комбинаторных задач Выбор правила Правило суммы Правило произведения Если элемент А можно выбрать т способами, а элемент В — п способами, то А или В можно выбрать т + п способами. Если элемент А можно выбрать т способами, а после этого элемент В — п способами, то i4 и В можно выбрать m • п способами. Выбор формулы 19.1.1. Размещения с повторениями Объяснение и обоснование Для введения понятия размещения с повторениями напомним понятие последовательности, которым вы пользовались в курсе алгебры 9 класса. Например, рассмотрим последовательность (а„) двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5: 15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95. У этой последовательности а, = 15, Og = 25, Сз - 35, = 45, = 55, = 65, а., = 75, Og = 85, Ug = 95. § 19. Соединения с повторениями. Решение более сложных комбинаторных задач 329 Можно сказать, что каждому натуральному числу от 1 до 9 ставится в соответствие единственное двузначное натуральное число, оканчивающееся цифрой 5. Тем самым задается функция, областью определения которой служит множество {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, а областью значений — множество {15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95}. Тогда можно дать следующее определение последовательности. ■ Функция, областью определения которой является множество натуральных чисел или множество первых п натуральных чисел, называется последовательностью. Если последовательность определена на множестве всех натуральных чисел, то ее называют бесконечной последовательностью, а если последовательность определена на множестве первых п натуральных чисел, то ее называют конечной. Размещением с повторениями из п элементов по к называется конечная последовательность, состоящая из к элементов (а,, а.,, .... и») некоторого л-элементного множества М. Например, из трех цифр множества {1; 5; 7} можно составить такие размещения из двух элементов с повторениями: (1; 1), (1; 5), (1; 7), (5; 5), (5; 7), (7; 7), (5; 1), (7; 1), (7; 5). Количество размещений из п элементов по к элементов с повторениями обозначается А* (волнистая линия указывает на возможность повторения элементов). Как видим, А^ = 9. • Выясним, сколько всего можно составить размещений с повторениями из п элементов по к. Составление размещения представим себе как последовательное заполнение к мест, которые будем изображать в виде клеточек (рис. 149). На первое место мы можем выбрать один из п элементов заданного множества (то есть элемент для первой клеточки можно выбрать п способами). Далее, если элементы можно повторять, то на каждое следующее место мы снова можем выбрать один из п элементов заданного множества. Поскольку нам необходимо выбрать элементы и на первое место, и на второе, ..., и на к-е, то используем пргшило произведения и получим формулу для вычисления числа размещений из п элементов по к с повторениями: .4* = п п ... п = fi ‘ О А; к|«ожитт>Л(><1 Например, А| = 3^ = 9 (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше). Напомним, что при решении простейших комбинаторных задач важно правильно выбрать формулу, по которой будут проводиться вычисления. © © © mn © г к мест Рис. 149 330 Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ Для этого можно выяснить; — Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? — Все ли заданные элементы входят в полученное соединение"! Бели, например, порядок следования элементов учитывается и из п заданных элементов в соединении используется только k элементов, то по определению — это размещение из п элементов по k. После определения вида соединения следует также выяснить, могут ли элементы в соединении повторяться, то есть выяснить, какую формулу необходимо использовать — для количества соединений без повторений или с повторениями. Примеры решения задач Задача 1 Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если: 1) цифры в числе не повторяются; 2) цифры в числе могут повторяться. Решение ► Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, равно числу размещений из 7 элементов по 3. Тогда получаем количество трехзначных чисел для задания 1: Af = 7-6-5 = 210, для задания 2*: = 7* = 343. О Комментарий При выборе формулы принимаем во внимание, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок след