Учебник Алгебра 10 класс Колягин

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Алгебра 10 класс Колягин - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
АЛ It БРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1ГГ*ПГИГ Г1ИИИТ ю л п I Jll ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ (в±Ь)*= a’±2oft+6* й*-Ь'“= (й.-Ь)(а+6) (o + i>)'= о’±Зо’Ъ+3<1Ь’‘±Ь‘ о>± Ь'= (о + Ь)(о*+оЬ+Ь“) СВОЙСТВА СТЕПЕНИ I КВАДРАТНЫЕ КОРНИ _т_р|__ -1Я+Ч а а — а m а а — - т- л (а"*)"= а жп (VT f= а при а^О \[7' = |а| = а приа^О -•а n/?ita<0 (аЬ)"* = Vab =VaVb a/)u (fI’T* ^ »Р“ “^0, ь>о ФОРМУЛЫ ВИЕТА *1+ *г=-Р *Г*2= 9 КОРНИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ х*+рж+5 = 0 ож*+Ьх + с = 0 -Ь±'/ь’-4лс лс = **1,2 2а РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ах^+ fejc + с = а(ж- jCi)(x- Jtg), гдех^ и корниквадратяоготрехчлена АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ = «.+ зовый и профшЕ. уровни / [Ю. М. Кодягнн, М. В. Ткачева, Н, Е. Федорова, М, И, Шабунин]; под рея-А. Б. Жяжченко, ■— 4-е изд. — М. : Просвещение, 2011.“ 36S с. ; ил.— ISBN 978-5-06-025401-4. УДК 573Лв7.14е12 + И71 ' ЦБК 2£.14ата+£2.1в]яТ2 rSBN В7в-9-Ю-0аД401-4 D И^анл1>^№) 200В О Художесгр^шн офорнлвлне. Ивяфкльстм 4 Пресня [цавж1>, 2008 Bt^E ИрирД EfaaTT^brrtl^ftTJ aJ Глава Алгебра 7-9 классов (повторение) ‘■N § 1. Алге6рзИ|Ческ1не выражения 1. АлгЁбратеспеяв сумма Лл/ебраачйская. сумма ^ ото aamicL, do-стоящая из вескольких влг1!брв]гч№К1ПС в-ыри-жавий, соедивеввьгх званом *+* или *-*. Задача 1, В выражени1г a + (t-(c + rf-&)J раскрыть скобки^ I А+(ti-(c + лИ-Ч, jm Л ____ j-J-TH — n г й" - Д-=й — o'"'"; т а'* й" ■ 5 ' АлгеСраичвстге выражений Л ■ а'* -а (I) Й.яр„ер.(|)-:(|Г.(|)—»=(|r- = (|) СЗ*)-» 1-1 1 2\* И а 1Я f-3| . ] 72S ' Задаче 2. Найти аиячвнж^ вырязкепия а при а*«- (л®)* а .4 i е я"'” я” а если u = -0,‘l, то ч*-(-0,4)^ tfl 0.0в4, ^ Зацись числа D ви^е П'Ю", где и л — целое чис- лОг вазиваетси етаядартным видам числа. Задача 3. Записать в стандартном виде каждое из чисел: 320; 0^006! 320= З.Й. 100-3.2 ■ 10*; 0.006 = 1000 10» = 6' 10 *. ^ 3. Одиочлёны и Многочлены Оддочл4*л — проиаведсыне чысловыз^ и буквенных множИ' телей. авляющнхсв стеленный С иатуралышлен иокйдателяын. 3 примеры йдночлеыов: 2Ье, -За^‘2аЬ, а. —, D Одноклон стандартного вида — ито одпочлен, который содержит только одкн ч полово Л мвояситель, стоящий не нервом месте, и аатуралЫ1Ые стеоенн буквенных множателей с рввлвчиыыи DOненвиинми. (порядок раеположЁнал этих множителей не имеет аначепня). Козффициенпг одночлена — числовой множитель одвочле-НА, приведенного к стандартному виду. Задача 4. Пейта коэффициент одночлене Тх-Вх“р. 1 Запашем данный одночлен в стандартном виде: 7x-8j*j/= = iSro кооффи11иеят равен 56. 4 ИОВ, Многочлен — алгебраическвн сумма песколъких одвочле' Примеры многочленон: За — одночлен* ^ двучлев* лг* 4ху т 4у* — трехчлов. Члены мнотчлена — одночлены, иа которых он состоит. Подобные члгкы многочлена — это одночлены, .тапмеан-иые в стандартном виде и отличающиеся то-тько коэффициентами, либо олвнадовые одночлены. Приведение нодобнык членов — упрощепнв мцогочлена. IIрн riOTopoM адгебраичеекйя сумма подобных одночленов элме нлетел одним одночленом. 4 I || Алгебра 7^9 алвесоа (пов1орение| Стандартный вид млоточлепа — запись миогоплана, в ко-Topof^ все члвны запнсаыы в станлиртнон вида и средн них наг подобны X, Задача 5. Записать а вида всысгочлена стоидарткога вида црОизвЕДвайе '{2а^-ia + 3). ■ (** “ т) ■ - 4в + 3)-- а ‘ 2я* + а ■ (- 4я) + а - 3 + ^- i J - 2а^ + + {- ^) ■ f-4n'li + f- у 3 н-^-+ 2д- у =2в* - 5а* + + 5о- 1 у, -4 4. Формулы coKpaiuenuoro уквожоинм + +Йа6 + 6^ [каадрат (гуллы); {о-Л)” = о*-2яЬ + <»* (treodpatn раэностиУ, a"-fr’* = (fl-fr)(a + /i) {pajHocmt, кводратоеу, (a + <»)*-a* + 3o*t+3ad^+(i^ (K!f6 еуллы); {o-ft)^ = e*-3a'ft +iftpH разности); a*-6^ = (e-frKe* + aA+ (разность к^доаУ, а^ + й* = (о+ ^}(a*-И&+&*) (cj/лла ку^в}^ Ыапрнмср, с помощью формул сокращеппотчэ умиржсннн степень днучленв можно кратчийщны способом за писать а дяде многочлена стандартного видя: 2) (- 2х - f 2х + ))” " (2х + J,)* - 4т* + 4ху + Задача С. Используя формулы сокращейвого умпожвввл, представить 4u*~b^c* □ виде вроизаедения многочлвпов. 4а*-Ь®с*-(2яЯ)?-(bc^f = (2й*-(м:*)(2а'ЧЬс*). >4 ГГрц разлолсевии многочлевв па множители полезно соблю" дать следуй щнй ворядок: ]) вынести зв сиобки общий множитель —одпочлон {если он BCTbJ: 2) папробоаать разложить мвогочдвв ва множители во формулам созфащепыого уквожепия: 3) попытаться применить споЕ^пб гругтпиров1си (если преды^ дут не способы ке привели к целв]< [1римЁры рдзложевий многочлена на мвожителн: 1) е понащью вывесЕыия общего м но жителя за свобкв'; - Зду2 + x»j/*^хр^{2ху-г + 1^У, ____________________________________________________^ 5 Алгвйранчаскио выражения 2> е ritijaojtbdObaubAM выымёК1)а за скйбкн общего мпожи-теля в ш>слвдуж>щжы прниевевнем формулы рйзвснпги квадрЯ' тол; 4q^-p ва{4а^ -1)вй(2а — 1)(2а-т I); 3} о приноноякон опособд группиронсд; Sac-Э^) + Зд - 1ЯЬс» = (&и: + £а) + (- ЗЬ- 1 аЬс)=2о (4е + 1)^ 3ii (1 + 4с>-(1 4- 4г)(ао - 3fr). 5^ Алгебрлмчвскяв дробя Лллебраичееквя &рань -йха+й) ь 2 ь ь-г ^ (a-2}t3+6i 2) 4_(^ fr-a {2-b)iZ+b) i+2b + b i+яь . tb-3}(b+a> “ >_4 ’ » и > 1 Зл _ (Г-V 1-Зг „ (j-rgT(j:+p).af __ л + jf U-x '4хнЭГ|#-^ if ' ] I Упражнения Найти числовое здачсиие выражения, предваритьтьно упростив его: 1) &й-12Ь^Зы)-б при ы = 0,8. Ь = -1,2; 2) (3jif-6i;)-(-Jc + 2p-3> яри j=-|. р. ^ О 14 2. Найтн'| виечоние выражения; 1} при о-.1,в; о--0,11; S> при'4 — 0,3: « = -0.4, : П П 'i -■. 1[ Алгебра 7—3 классов (повторение! I Выполнить дейстБил; 3) (a6mW*):(12pi^fi)i 4) (--^ a’'fr*(?’') :{&a^ft*c)> 4. 3ftHHCftT]> ti етАндортаом бндо мио№члби: 1) 5fl^fr-3fly + 4flfr*-Ttf*&; 2) 2jif^jc"-Засуху+ Sx*^**^-14; 3) 1 4«^<-eo‘&)-Or7o*20t-b*Tfl^ 3 5. Найти щюазиедеаие яшогочлена н одночлена; 1) эл^0,ал-2а‘-^/>]; 2) ^4дг-1 ^ f-1 ^ в. Раэдолнть пшогючлен на одиочлен; О (&х^ -ix- + ex):{~2x)i 2) (6iJfr*-14u^fr“-3o^b);(2afr>, 7, Умножить миогочлеа на мвогочлеш 1) Сад-0.3(|ИЗа+5б-1)! 2> (x-3H-Je*-2x + 3t. в. Возвести в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения: l)(l|+3fl)*: 2) (0,4л*-5*)^; Д) (-Зр +10д>*; 4) {-6А-0.6п)*5 5) (д“ + 4)*| б) (0.2^tft 7) {-з-х>*| *^^(-1:+“)*! 9) ((a-x)(2+x>r. 3. Представить данный многочлен в виде проивведення, при^ меннн формулы сокращеппого улшонсення: 1) х*-4: 2> 25л*- 4'9р*; 3) I—я*-О.О0й^5 IQ 4> 0,0081х"-1 10« Разложить ыиогочлеи ns ниожитеди: 1> 3a*+12a&+12fr=: 2) 6а*6*-36л^Ь^Н-54оМ; Э> d^^2d^?+5fl-10t; 4) a^-3fr^a*(>-3fl: 5) О* + Эа“ - 8а*- 24; в) о*- Эо + + 3* - ЗаЬ. И. Сократить дробь; U laoVe* 27aW ‘ .11 С'я-ЙлУ* ■ lOrt-Birt' 2) 5) a^(o-frj^ a*-4. fl‘ + S ' 12. Выполнять двйетаня; 3jf + S Jl-x 1) x-2 x-2 3) 6) 2) + a-fr t-a a« + 6 . « " * ZT e-4a* 2a a 1 Алгн&раичвсхнв аыражонип 7 5) 7) 9) U 12) _3 4л ба 4> «+т •> . е> За 1 2 . 6-2fl ^ а^-9 а^ + За вв + В .2 Ч-^Зй 6t-b^ 6а^ , S) 0е“ в“-6в + Й За 9-а* iu\ ’ , 10} 10-lSb . 9b^-i . Зд-afr ■ ас - Зйг ■ (а-Ь)® ’ 3t-3n ' < ] ia-2Ja . * \7ц-4 а + Я/ 12-af ■ ----^ \х-2. jf + г -^ + 2 4.:^ IS. Вычкеднть: 1) 3=-й“-2-*+(-2)Ч(^ЯГ*; 14. rtpeflcraBFTb в видо {гггшенв: f ca-z)* ij 2) a“ b® 16- SeUHCfl'n. в стандцртван виде чи-Сло: 1) D.OODSai; г> 0,000074; 3) 4) c 3) 31 5’ 4} 1401^. 16. Доказать, что выражение; 1) 7 + а-(ЗЬ-а2а))+ 6 принимает иолоэдительные зиачЁЫНЯ [фи любых влвчепидк а и б; Й) -(Зт-(5rt-(2ftH-fl)))-4n - 1 + 6щ прннимдет отрицательные эннчеиия dpH любых эначечиях im и п, 17. Найти праыапёдение мийсч^члеиов; L) (8х-j/*)(3j4-^); 2) (2m®rt-5ffin*){3njn^-4m^n)r 3) {5хр= - 2х^у) + Sjtf"): 4) + fr*) (ь^ - | а^); й) + + й^); 6) tOm* + 3)п®п® + п^)(3л^-п^>* 16. Вылолнить действял; 2 4 \./l , fl* + 4fr^y 2h-f* 3)м-и z-Sv\ Глaг^J I Алгебра 7—9 wtecDw {попорвюлв) § 2. Линейны<е уравнения и системы уравнений I. Лмгезбжые урйввеиип Ураапекие г г>дн11Л1 n^u,iвt^cmным — pgaeiifiTflo, содержащее пеизвестпое ч’ксло» о6озва^т№ное (iyiCBOift> KopfiHtr i/poifКения — аынчеыне ывиэвестыого, при ыоторош ypasB^axe оБращайтся в верное равенства. Например, число 2 янлттея корней уроввенвя 5х-Э~г4'5, так Kait □■2-3>->‘2 + 5 — верное paseacTBOj число —1 не являет-сл корпеы уралиеавя 5^-3“гток как &•(-1)-Э =-1-1-5 — псверное рааеястно. решить уравнение — это значит вайтн все его корни или устзиовигь, что их нет. Линейное уравнение — уравнении апда ат=>5, где о и Ь — дяднжя^да числа, X — нвинвеетвоа. При а^О лянеЙЕое ураинепие ах = Ь имеет еднастьениый корень хч —; ори а=0 и Ьт*0 уравнение нс имеет корней; при й. 0 = 0 и Б = 0 корнем нвляетса любое лейетн1Е№льв(н> число. Основные свойства уравнении Любой член уравнЁНиа можвс перенести из одиоп часгн в другую, изиейИв его знак ал противопиложный. Обе части ураввеина можно умножить или рвддаджгь на □дно и то' же число, не раваое пулю. Задача 1. Решить уравпенле; 1) 7х-5 = 4х-г0; 2) 3(х+У)-3 = 14-|-3(х-2); Э) х-1 2 3-х 3 ■Х“- x-f я 6 I) 7х-5 = 4х-а0, 7х-4х = -гО-Ь5, Зх = -15. х = -5. 2) 3(гн-3)-3 = 14-ьЗи-21, Зх-|- 9 —3 = 14-НЭх —6, 3x-f 6 ^ Зхн- В, Зх^Зх-В б, О х-3, корней нет. X-1 3-х = Х- x-t 9 -6. Зх-Э-6 + 2х = 6х-х-Э. 2 3 в 3(х-П-2(3-х) = вх-(х-ь9), 5х - 9 = 5х - 9, 5х- 5х=- Э-^0, 0.‘Х=>0, ото раоеиотво верно при льо&ом ;^пачеиии х. Отпет, 1) Х|1г.-5; 21 уравнелвс ие имеет кораеЛ; 3) х — любое число. ^ Оараделеиие модуля числа и 01= 1-«ь если й^О, если й с О. i 2 Лилейные \^р9йие^1№ и метены ураанеИкгй Э Задача 2. Решить урванечне 13-2jc[—В. По определению модуля числа имеем 3-2i^±a, Твлим обрвао». либо 3 —Й1=й, откудд либо 3^2лс = = -5i откуда х~ 4. Ответ. *^=4. ^ДЗаддчм 3. Решить урнвиепие 2(а:-3)=(Б—ofJC-i-6, где х — неиз№стЖ)е« Й(х-3) = (5“Я}х + 6, Ях-§я 5х-ах + в, 2i-5x+fl*= 6-|-й, откуда (o~3)x=12i 12 1) если d хЗ, ТО х=---2) если анЗ, то ур&ввекве при* U “ iJ мет вид 0^1=12, д это ураэненмэ не имеет корней. 12 Ответ! х=-----если а^З; пет корней, если й = Э. -4 а - 3 Задача 4. Решить ураааенпе /п{х-Й>= д—х* где х — но* известное^ тх-Йл1 —п-х. тх+х=йч-2я1, (т-Ы)х = /^+3fti; IJ если Л1!с—1* то х= -2я1 ; Z) если Л1*—1. то уравнение ffi +1 примет внд 0'Г = я-а, тогда при л-2 кориен урваяевяя будет любое число» при n*Z ураанеине пе имеет 1шроей. п + 2т Ответ. X любое число. Л ^ 3. -41 , если ли1= -1 и п —любое число; х — нет корней, если л|--1 п jn +1 сели 41^ — i и rt = 3 Решение практической (текстовой) аадачн. Содержит три этапа! 1) но условию задачи составляется урнянсвис (матешнтиче' скап модель задачи); 2) решается составленное уравнение; 3) □пйдеиное аиачение венввестного соотносится СО смыслом задачи и записывается ответ. Заддчн а. Лодкй плыла по теченяю реки 2 ч, затем 4 ч против течения. Скорость течения реки 1жяиэ 3 км/ч. Найти скорость лодки в столчей Воде, если против течения реки лод* ко ирошлй ил 2 км больше, чем по течению. 1) Пусть X км/ч ^ скорость лодкн в стоячей коде, тогда (х+ 3) ки/ч — скорость лодки DD течепюо, а (х-3) км/ч — скорость лолкк против течения реки, По точенн» реки лодка прошла 3-(х-1-3> км, в Против тепениа реки — 4 (х-3) км. Тйк как расстошшс, прайдснпос лодкой против течения реки, на 2 км больше, чпм пройденаое по тачепию. то 4(х^3)—2fx-i-3)s2. 3) Г*еа1им составленное ураваечне: 4x-12-2t"6=2. ■1х-2х = 2н-12-нв, 2х = 30, г=10. 10 i jijiiii^H t Алгебра 7^9 кллссов {noina'petiHek ■)) х= Ш км/ч apoTiiuop^HT смислу задачи. OTSFt. 10 нм/ч. 4 Задача 6. Имекпся два слитка, содержащие медь. Масса агорого СЛИТКА на Э кг больше, чем масса перво го. Процептпое содержание меди в первом сллтко 10%, во втором — 40%. В сплаве атих двух слитков еодаржание меди 30%. Найти «аг* су волучерротп спдпрв. t Носледонйррв условия падачн предстйвлеяо в таблице: Ероцентиоэ содерлситс ыоди, выражешие я десАтпчвых лроблх Мпсс« слаткн, кг Мпппв НРДП в слитке, кг ' I слиток 0,1 Jf 0,1 X И слиток 0,4 £43 0.4 (£4-3) Сплав 0,3 л+(х + 3)- 2x4-3 0,3{2£ + 3( По данным таблицы зЛаНшем урааненне: 0,1я + 0.4<л + Э>=0,3<2х + 3). Решим это уравнеыле: 0,ljc + 0,4jf+ l,2 = 0,flr + 0,9, 0,LJCH-0,4t-0,6ar = 0,9-1,2, -0,ljf=—0,3, Д7=3. При JT^3 itr масса сплава paaua 2-3 кг-^3 i^P'^O кг. Отлет, 9 кг, ^ 2. Сметены урйвненнО е двунл неН№естмъпнн Уравк-ение педаой гтепели с ^ау.нл н.еИ1в^стными — это ураанепне айда ол + Йу = с, где г и ff = исиэаестиыо, а, ^ и с — эадлнтгые числа, причем котя Оы одно из чисел а или h не равно нулнз (т, е. Числа а и. Ь аэзыьают коэффициентами при неиаэест-ньсх г и р Сйогветстиенно, а число е — свободным членим. Решенш' ppaeHfHUM с Овумл неизвестными х и у ^ упо^ рядрченная паря чисел (л; у), при подстановке которых в у1>ав-веянс получается верное числовое равенство. Pttuufttb удыалсние с двуми неивеестнымл — это значит найти асе его решепвя нлн установить, что irx пет. Например, пврд чн№л С-6: И} является решением урлвне- пия -^j + £y-7, тпк как + ^— верное числовое равенство. 11 Линейные ураннеИир н системы уфввненнй Заддчя 7. Решить уравнение 2-г-Зу = &. [ 1 сиоеоС, Бирлнсйен у через х: -3i/ = &-2j:. = ^ Ответ, Пары чисел ^ где JP — любое число. ]Г способ, Вырн?КАем X через ц: 2х= &+ Зу, л aji+e 2 Ответ, Плри чнсол ( ^ где у — любое число. Обе способе решении вриводят к оиисйеию одного и того лее кпожостве точен коордиийтнон плоскости, расположеииъхх на прлыоб ■J- •4 Л Задачи 8, Сколькими способами можно полностью истратить L04 р. иа ппкупку сувениров двух видов, цепа которык б р. н 10 р,7 ^ Предположим, что к;шлсыо т сувеппроп во 6 р, Н сувепи-ров по 10 р. За пик заплатили (бх ,| 10^) р. Так как стоимость покупки 104 р., то 6jf+10y=104. Быразив у через х, 104-6х получим р= . Так как х в у — целые веотрнг^ателъаые числа, то число 104 —блг Должно делиться нв 10. воптому число х ксикет принимать лишь значеиил 4; Я; 14, Это означает, что сделать нужную покупку можно лишь тремя способами, -4 dSffX nfpftOii егпепена с дбрмл кеыдне- стными — это система вида и,хч-й,у-с Bjjf -I- - с (1) где л: к р — ыеиэвпстныа; о^, Ь,, с,. Яд, 6j, — заданные числа, прычом + и PfUi€nuf> системы дврх (/раекений с г^еумл неизвестными — пара чисел х н уt которые ори водстановке н эту систему о6-ращакп каждое ее уравНеине в верное равеиство, Решить систему уравнений = зто значит явйти асе ее решения или установить, что щс нат, ■Задача Решить систему уравнений способом нодстйноыки. 13х-2уг-4 " Из парного уравнения системы г=7-5р. Подставим выражение Т —5^ вместо а во вто'рое урааиеиио: 3(7 —5^)—2^Ё4. Решим полученппе ураввеыие; 21-15у-2р = 4, - ^Ьp-2y = Л-г^. -17д=-17, у=1. Подставив у = 1 в равенстно Jf“7-6y, получим -S-lefi. Ответ. x = 2, 1, М 12 Гг:твя I Алгебра 7—Э ипассоВ (псщторвние)' to. Решить систему урплдеиий --------- \.2x+y^i сп^обоы сложения. I |4г+3р = 5, ^ 4j? + 3^=5 I: . - 5. 2j:+i^=3 h(-2) —4х-2у ""6 у~- 1. Подставим второе ураввевие системы: 2jfH-(-L) = 3. 2jf = 4. Jf=a. Ответ, д«Я, ^*" — 1. ^ Задичд 11, Двое рабочий ивгоговнли вместе 350 детнлей. Первый рабочий рнботал 10 дней, в второй — 0 дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за день, если первый рабочий за 4 дня нягатаялнвал па 10 деталей больше, чем вто^ рой зп 3 ДНЯ? Ваедам обоаиачсрия; х — количество деталей, которые изго' тдвлмвад первый рабочий за день, у - ■ количество деталей, которые изготавливал второй рабочий за день. Тогда первый рабочий сделал IDr деталей, второй — 9^ детилеЙ, По условии задачи вместе они сдеЛАЛЫ 850 деталей, г. е. 10х Дш1сс по услонню задачи: за >1 дия первый рабочий изготовил 4х деталей, что нв 10 деталей больше, чем те Зр Деталей, которые изготовил второй рабочий, за 3 дин: 4д -3р - 10. Полу'1енныс уравнения обряэуют систему, которую решим способом сложения: ri0j(+Dif=eSfl, l4ar-3j/=HJ I У , IOjc + 9у = 850 12л-9р= 30 22х = 880 = 40, Подствйим л =40 во вторм ураивенне сн{?гемы: 4 40- Зу- L0. Получим 160-3р=1.0, -Зу=10-1в0, -Эр=-150, ^-50. Ответ. 40 U 50 детвлей. ^ УпрахмЁМИй Решить уравнеивя (10—21). 1Я, 1) 0.гл-7*-0,а(л + 4)1 2) 4л-а(л-1,5}=3.5-3(=|-л): 3) г(л4-а)-л*4Б(л-6); 4J Зл-2л(л-1) = 2(7-л*). И - л !f л 4 1 , 20. 1) ,^^ + 2» 2) r-i^ + 4 3 2j-3 10 1 4 fi? ъ 21. 1) л!4^-.3:17^: 2) 0,37 :2 ^ = л: 8,5, 3 д о 5 г 13 Линейные урзвнееия и Сжггемы уравнений 22, От яристави А до првстави В катер олывот ро реко 15 ЧНН:» а обратно — 20 мин. Найти скорость точокия рбКН, ОСЛН соб€ггвалЕвя скорость itaTopa 14 ки/ч, 2-1. Автобус, ныехнаший на поселка в город в & ч со Скоростью 60 км/ч, яа полпути встретжзсн с вьгвхввшлч в в ч 20 мив И.Э города в поселок ннтоно6кп«м, скорость которого 3U кн/ч. Найти расстояние между поселком и городом. 24. Выяснить, какие из пар ^[иссл (2; 3), (-1; 4J, (2; Т) явли' ются рсщенкями уравнения - Зт + у = t, 25, Решить способом подстаЁНВкн систему ураниепнй: 1) Г2ж + 5^=ге, 2) 1&JC + (^ = 1: l2jc-3y-ll. 2fi, Решить способом сложении систему уравнений; 1) j3x-Si,--fl. 5х+Яу=19; 2) |-4х + ву=1, Зх-8у =—6. 27, В книге, которую Катя прочитала за 5 диен, было па 20 страннп больше, чем в камгс, которую Настя прочитала за 4 для. Сколько страниц в день читала каждая давоч-ка, асди а дяук кии гая вместе 580 страниц? 2$, к половиве первого числа прибавить т;ють второго чнела, то ыопучвтся 1. в если первое число сложить с удаоеаньш вторым, то получится 2в, КаЙти эти числа. 29, Контролер планировал проверить иартию приборов за б ч, Одиако за чае оы смог проверить на 13 приборов меньше, чем запланирокал, поотому после в ч работы ему осталось проверить еще 30 приборов. Сколько приборов было в партин? 30, В первом слоиарнон диктните Антоп вапнеад правильно 90% слов. Во втором диктанте было пд 40 СЛОВ болынь, чем В первом, а пралильпо Дцтон написал 95% слов. Сколько слов было в каждом диктанте, если всего 1% сдои иа этих двух диктантов Антон написал неправильно? 31, Решить ураиноние; 1)3х-2у"1; 2) -4х-|-Эу = -г. 32, Пятьдесят рабочих нужно разделить Иа бригады, в каждой на которых будет либо 6, либо 8 человек. Сколько бригад можегг цолучнться при тиком делении? 33, Репиггь систему уравнений: 14 1} Г х-Эр = & -0.2х-20у. 2J [2x4-5 = 1 -х + 2у. 1 D,5x - у - 2 — Я - X - аОу: [ 14x-5 = 9j-3y-2: 3) |7х-3р=-а, *1) 1-ах-нр = 12: [о,5х-2р = 4; 5) Мх=3у=-3, 6) 10x-h3v “0,1, 1-10х-бу = 3: 7х-2у- 1.3, rnllitio- Алгебра ?—9 хляссоз (повторение) э> 5U! = 1; 34 > Решить урпвпение: 1>U|=1,$: Й)|5х| = В; 4>|г-11"Я1 5)|a-j| = 7; e>|2r-4S=e, 35. При клкок 1знвяе|таи а ураивенне: 1> (5-2d)* = rt: 21 №Д- + 3-Ях^3 имеет TDJLbKo один корень? 36. При 1СДКИХ зпаяеиияз! а урввнение: 1) (2(1-3)ж-а + 1; 2) И ’ = цЁ имеет корней? 37. Устввоаитъ, dpH КАКОМ зннчеини а любое число является кориев! зфавнения: 1) 7r+a-oi-2(j;i 1); 2) (З-а)л+ 4лг = Й-6ж- 35. Решить урявпеяие, н котором а и fr — некоторые 'ШСЛА« Jt — неинаеотное: П я(х-5) = 2х-3; 2) 3(j:-a)i-21 4Элс; 3} 2{дх^3) = 3л:-6: 4) 2ал = й-1: 5) 3-bx = ai G> бЬ-а(лс + 2); 7) 2а^Ьи + 2); В) 3(лг+й) = 2(йл:-0). 36. Найти нее лоачення а. Ори которых снстемд уранпспвй: 1) Й> [Зт-Зау-ба, 1эв:“(5я — (5я-1)у-7а t 1 5jr+ay = 40. . 2х+ Зу = 4(t; он имеет решений. 40. Найти нее ииачеыия а, при которых система ураипеыий: 1) |jf + (u-l)p = o, L5x-|-'l3a + i}j/ = 15; 2) х-(о +11у= 2л, 0Jf-6p~6 41 имеет бескопечио много решений. ilailTit нти решеиия, 1) Врнгндя должна была выполнить аькно он 23 дней. Ежеаненно перевыоодплп иорму ве 7 деталей, бригаде эй 20 диен ее только выполнила эакав, но и иаготонлла дополнительно 35 Деталей. Сколько деталей н день иаготавливв' ля бригада? Й) Закат по производству сейфовых дверей дсх должен был выполнить эа 2Ё дней. Однако уже [ш день до сронв цех не только ныттолинл олал. но it ииготолил сверх ИЛН1^к одну дверь, так как дедЕШ две двери в день сверх плана. Сколько дверей Цех планировал пыггускать ежедпевпо? 42, I] Два велоспнедиста выехали а одном наттрлдлснии, ори-ЧЁМ первый — пя подчаса раньше второго. Первый велосипедист ороеэжает ап чао И км, а второй — за 1,5 ч 1S км. Чореа какое время с момента аыеэда нторога велосипедиста расстояние менщу ними Судет 1.3 им? 2) Из поселка а город выехал велосипедист, в череэ 2 ч 40 мин вс.1ед за апм выехвл нвтоноВиль. На каком расстоянии от поселка антомобнлийт до^тшит велосипед нега, если скорость первого 12 км/ч. а второго 60 км/ч? 15 Линейные урчвненнг и системы урданжеий 43. L) Из дау^ городов, рдсстоднио мозкду которыми 620 н«, ниекнли одповреневво яаргтречу лрут яругу дня поезда. Скорость одиого ийоздк на 10 км/ч меньше скорости другого. Найти скорости поёадов, если налестло, что через 3 ч лосле начала двнвсенля расстояжиа между НИМИ оокряти-лось до 170 км. 2) Из города А в город в, рдсстолвые между которыми 905 км, выехал автомобиль. Через час из города В в город А по той же автостраде анвстречу ему выехяд другой автомобиль со скоростью, па S км/ч большей. Определить скорсзсти автомобилей, если иявестио, что через 4 ч после начала дакжшия второго ватокобиля расстояние между ними сократилось до 121) кк, 44. ||)| Мать старше дочери на 24 года, а через 5 дет будет старше ее в 5 рае. Сколько лет матери а сколько дет дочери? 2) Отец старше сына в 3 раза. Вместе отцу и сыиу 52 года. Сколько лет каждому цз нкк? 45. tl) Земельный участок им№1' прямоугольную форму. Если ого длину увеличить ив Г? м. я птирииу уменьшить ыя 10 м. то площадь его уменьшится на 750 м^ Если же длину участка уменьшить на 5 м, а ошрниу увеличить аа 10 м, то площадь его увеличится на 650 Определять длину и Ширину у^шстка. 2) Если купить 2 кг карамели и 0,5 кг □юколвлвых конфет, то покупка будет стоить 1Й4 р. Если же купить 3 кг карамели и 1,5 нг шоколадчих коифет, то за покупку пуяшо будет заплатить 327 р. Сколько стоит 1 кг карамели н 1 кг щйколвлных конфет? § 3, Числовые неравенства и неравенства первой степени с ОДНИ1И неизвестным I. Числовые перавевствд Число а больше числа Ь (пишут а>Ь), ---* если разность а — Ь положительна (рпс. 1), ^ '*1исло а меньше числа Ь (тшшут если разность а Ь отрицательна (рнс. 2), Оч{!пилн0| что если то 5<а, а если в'-5, то — Рис. Задача 1. Доказит1>, что - ; >-0,9. ■Ц Y Е1ужно ррказ^тъ.^ что - — — 0р9)>0* Вычислим: - =-0,875-1-0,9^0,025. В 0,025 > о, значит. --=-(-0.9) ^0. откуда - S S- PWC-. 2 -0,9, М 1G Г [| Алгебра 7—9 рслассоа [поятораниа) II СвойстЁО I. tt>b 11 b>c, TO -— -------»—^ если г<Ь н bу и у>0, тр (по свойству дг-3>0, Свойствр 2. Если 1Е aecniur чястяч иервввнствр гтрн^АРЧТЬ ОДНО а 40 ж« число, то эилк н^рвеонстрл не нзмеыитоя. Например, если к обяин члетяч верною иврнвлпствл 5>2 прнблвнть -3, то получится верное неравенство 3>0. Сделсгвие, Любое число можно тгеренести на одной части нернвеиствй в другую, изменив выв к переносимого числе ид цротшюьоложиыЁ. Задача 2. Доканатъ, что если + <(т + 2)(зг + З), то л<-3. Бшйолыйа действия в левой и привоя частях неравенства, получим + 6jc-f-9 + &JC4-6, Перенесем члеш,]', содержащие X, на прввоо частн неравенства о левую, в члены, по содеряш^ щнс X, из левой части в правую, помвпав оря атом дядин перенос нмых членов на противоположиьео; + вх-х^ - 5х < б - 9, Посла приееданнн подобями слагаемых в каждой части нерн^ ii^iHcrea иолучин л<-3, что и троСовадооь доказать, М Свойство 3. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то знак ыерН' ненстиа не изменится, Если обе Части нервлеистаа умножить (разделить) на одно Я то же отрнцатслъиое чксло, то ипаи неравенства нзме-I гаитса на противополоншый. Например, если обе части верного числового веранснство -12 <4 разделить па 4, то получим также верное перавенство -3<1. Е1сли обе части ларавепствв -12<4 умножить на -2, то получим норапенство 24>-8 (также мвллющеесл верным). Задачн 3. Пусть г>у и хц<0. Доказать, что — ’-----^—' * У : Разделим обе iiacTH неравенстав х>у ив отряцатсльвои число Ху (згшп иеравепстаа поменяотся па противоположный): X ^ у 1-1 ху ху if X X {I Свойство 4. Нерапепства олнялкоидго апака МОЖНО ПО член-!ю склйлыннть, прн етсм получается неравенстио тою же ЗНАКИ, ■5 а 17 Чиолойые нсреванстаа и неравенотаз первой степени с одним неизвестным Например: -2<5 6<13 д*> 1 4<1Т а=-нЬ;>0. Свойство 5, Вер^'еЁ1(;твй одкНинового йннка. у которых лс'-вые и прввыо части полаиснтольиы. ыожио рер«няпжэтъ, при этом получается ясравепство того же эн«1ка. Например: П,5>0,1 8>3 Ъ<а 1<Ь 4 >0,3 55, Ь-^7. Доссааать, что а® = ЗЬ>4. 1) « >5 а >Ъ 2} fr<7|*(-3) 3) o'* >25 (|*^ЗЬ>4. Задача 5, Шярива прлмоугольинка больше 5 см, длнда — в три раза больтпв ширккы;, ДоквэатЕ>, что пернкотр прямоугольника больше 40 С9Л- Пусть а — ширина прячоугольника, тогда Зп — его длина. Периметр прямоуголышка Р=2(« Ч-Зи) = 8в. По условию и >5. тогда 8fl>5'S, во>40, т. е. Я>40 (см>. Нестрогое иеравеистдо аРЬ оаиачаст, чтго а>Ь или а-^й. ЬТасример, записывают: 3>2^ 2>2, 2. Решение ЯераДевсТв И Их саСТем PeuifHu^M неравенстпва с оОниж неизвестным аааывается то значение ыеиовестиого, при котором это перапспстно о6рв‘ щается в верное числовое неравенство. Например, х-= 2 яадяетсд решением неравенстве дг-1-3>1, так как а + 3>1 — верное чнеловое нерваеиство, Рщни/пь неравенство — зто еначнт найти все его решеимя или установить, что их нет. Для решения неравенства первой степени с одеши неиэвест’ ным нужно: 1) пвреяестн с щзотивоположиымн зпякаии члевьг, содер-ясащис неизвестное, ил правой чдсти в левую, й не содержащие неизнестнив — из левой часч'и в правую; 2) привести подобные члены в ,тевой и правой частях нс' равецс1'ва; 3) если НоэффиииБит при неизвестном отличен от нуля, то разделить пя него обе чаеты иерлвенстпа. Задачи 0. Решить неравенство *-3jr0. h>0, либо д<0, Ь<0. аЬ0^-^ ■^0^, когда либо d>0, й<0, либо o<0i i»>0* Задоча 7. Реитить НЕ^равеястоо 12 <0, 0,41 + 3 Так как числитель дроби отрицателои, то дробь отрнцатель-па при положительпол* липмеиятоле, т. е. 0,4х + 3>&, откуда O.4x> = 3|:0,4, г>^7.Ь, -4 Задача ft. Докааать, что неравенство 3jt-2>3(jc+2)-S не ирааот рещеииЙ. ; Упрости» ирапук! часть иерааенства: Зд-2>3jt +б“5, + откуда Зг-Э*>1+3, 0-х^З. Последнее неравенство не имеет решений, так как 0*jr=0 при любом д, й перавенстно 0>3 ненерно. Ч Рештпис системы н/^рааеисте с оИним пеиэв^^сгпным — ото лцачевне рензвеетного, при котором вса неравенства снете-ми обрдщАютсл п верные числовые неравенства. Патфинер, нВчЯ летел решением системы иеравснств ат-5>0. = г + 4<3д, так Kaie и 2-3~5>0, и —3 + 4'т:3-Э'=' верные чиодовне неравенства. Реишгпь систему пераленств — ато значит найти все решения системы или установить, что ик пет. Задача 9, Решить систему нарааенета |ед^З;-б(д:4-аК I Э(л-3)<4х+ I. [> Реши» первое неравенство снетенш: Bjt^3>6x+1S, Bi-6i>12+3, 2х> 15, х> 7,5-Решим второе неравенство системы; 3r-6<4i+l, 3jc-4r<-L+e, -х<7, 1>-7. Оба неравенства системы вергты при х>Т,5 (рис, 4), -4 Задача ц>. Решить нврдвеиство |Йх-5|^3. ; > Данное явравонство означает то же, что к двойное неравЕи-стно — 3<2х —&<3. Прибавив 5 к няйсдой части этого нераввп-сгва, получим 2<2х<8, откуда двлением ira 2 каждой части неравапствв ивйдсм __________________________________________________^ > 19 Числовые нврввенстеа и нБраненствв первой ствпени с одним *1аизеастным -7 7.5 Рж 4 Задача 111 Решить верагеиство |2х— ' Дйяаие ыеравевство выполаяетм, вогда Sjt—S^-3 или когда Зх-0^—3. т, е. При х^4. в также при ^ Упразднения 46. ВЫ1?сви'гь, полвйштедыгыы ~шш отрвцатольаым JtsjiaercB число с. если: 1) c>^, а ^>1: 2) c(i-,2)*, rq лг^-1, 4вч Локй^мть, что: 1) *>Б. если bx">2b-, 2) jf<3, если -х>-3; 3> если х<-а: 4) — , если г<ун ху>0^ if 49. Иаиестыо, что х>3* g46. 36. Длина прниоугольынкй меньше 12 см, а ширина ^ в два рлда меньше длиньл. Доказать, что площадь приноутольви-кл меньше 100 см^. 61, Решить нерявевстяо: и Зл-3>бх+1; 2) 25(*^1)<6(5х-6), 52. Найти ваившвьшее целое п, удовлетворяюще веранянству: 1) п>-3; 2)n>0i 3) ц>2: 4)п>-5. 53. Найти цаиыеиьшее целое число, ил дающееся решением не-раееистш] 15-2(г+2)<х-10, 54. Решить систему верввевста: 2х-3>0. 2) |0,2+х<0. 5-jf>0j 1 — 5х-|-2<0; 3) Ix+ls-O, 4) Г 1,4х + 7<0. 4 _ 1 10,3-2х>0. 2--r40j 3 55. Доказать, что если; 1) 5о-85> 1,2л-4,25, то л >5; 2) (ш-3)<2-д)<;(5-а)<а+3), то а>^3. 56, Доказать, что если *>3. ^?-4, то: 2) 2xj^>16; l)| + f>2i 3) f<- ‘1: Л if 4 57. Показать, что рещением неравекства Зл-2<3(х + 2)-5 является любое число. 58. ПаЁти наибольшее цел№ число, удовлотаорнющее верлнен^ ству: 1-4я 2-Sr ^ , 20 и ^ + ^^2; Глава \ 2) Алгебра 7—9 классов (повшренио) r4CJf + 5)<3(jr + 2) + l, 1-2ЛГ+1 <1-7*; 50* Решить систему неривевсти: 1) ГЗ*-5>*^7, 3) 3) p.5jc+3<-i,5jf. 4) го*э*+о,1 :>о.а*-о,1, l5(2^jf)<3(l-JC)+3; l6(JC + 2)>7r + 8* 60* Найти все целые решенин системы неравенств I S 6 [бл;-1<3(л;+1Ь 61* Решить веравевство; 1) 21 >0; S) *“-1-1 2) |0*5я + 3|-1; 6) |3i^5|=i; 3> |л-ь21=-2; 6) |1-2лГ!-5. а-вг 62. Решить уравнение; L) |Б*-1|=0; 4) |7^1| = -0Д; 63. Решить-перавенстве: 1НЗх + 1|<7; 2)12-*|<3; 3)|2х^3|>1; 4)'|1-jf|>4, 64. Решить неравепстБо; И |JC-4t>-3; 2)|i-4|c-3. 65. Решить систему деравепств: 1) 'Зл-4<х+1, -5X-I- 1<7-Ь I, й) 0.lJC-2<6,2* - 1, 6x + 3<6-4*. .4 4 66. В треугольннне длины сторон равны а, Ь п с. Медиана, нровБденпня н стороне с, раВбЛ 1Ч* Доказать, что a+bi-e т <■ 2 § 4. Линейная функция 1. Панятие фушщни Бели каждому вынченнк> X ЫН некоторого множосува чисел цоетаалево в соответствие по определенному пре в иду число у, то говорят, что на этом ннозкеетве аадння функнид. При атом X называют недавне ил ой переменной и.тн aptyr ментом., н р ^ JaeucujHOi^ аереленной вли функцией. Злвисвность пере гнойной: у от переменкой х EinabrueiOT функциональной jaeucuлоглтьм. Записывают ^=^(г>. Фуннцип может быть ведана формулой (анялнтичсски)* Например, y|jc}»x’-Jt-H. Для такой функции можно найти ев знйчение для любого эиачения аргумента. К примеру, i^CO> = 0^-0-l-l = l: y(-2} = t^3]^-{-2)-hlH,-8 + 2+l = -6. 4 ai ЛкнейнвА функции Задача 1. Hafirii х, ори которой зндчвшае фувк- 1 UUO ]f^-;r{3x—l) равно -5. -6.^(Зд:-|), | х —Б + i. |х = -|.х=-8.ч Фуокдия у(х) быть задана таблицей. Наирвмер: X 0 1 2 4 5 9 ID 1 3 б й 13 19 21 По твбащцо цожно определить, в частностя, что: 1) ^(4)-9; 2) функция у(хУ 1фНЫН1и№Т значение, ронноо 21, ори График функции y=y{.x'i — мпоншотао веек точек коордн-HHTHOfl плоскости с коордитатами (д; у{л'))р ИаярниЁр, ва рисунке 5 фуикцнц задана трафиком. С аокощью графика функции можно ВЫаСыитн многие свойства функции («ярочитать! график функции). Нвпрпмер. по рисунку б можно; 1) ввйтн зяаченил функции орв конкретныж лялчлниях х: уН'4)-2, i^(t» = -3. р{4) = 0; 2) оцределм'гь, при каких значения к х зиачекие функции f/(x) равно коаКрЕтвому числу, например у{х) = 2 При Х = —4, Г = Ь.б. 1 = 9; 3} определить промежутки зяйкопостолцстаа функции: р>0 при -4<х<-3 и при 4<К11: )/<0 при -3<:хс4 и при 11с1<13, 2. Лнвейнав функция Линейкал функция — зто функция вида р=Лгн-й. где А п Ь — задаипые числа. 22 ГП 1* Ь1 :1 I Алгебре 7—'9 101ЗССОЗ (иояГорЕние) График линейной фулкции g^kx + Ь — прлмап. При Ь —О функтор )трипнмаЕт вн;^ у’=кх, ее график''проходит череп па* чале координат. Прямая пропорциональная janucuMot:r7ib '— это закнсн-мость вида р-=кх, где fr>0, х>0 Ut — коаффицнент пропорцко* падькости). ОПратная пропорциональная мвтамость — это завнои* моетъ вида ы = —. где jc>0 (fc — коэффициент пропорано* . * ыалыностл}. Задача 2. Построить график фуыыцни = 1 Эааолиим таблицу: Ж 0 4 1 -1 На координатаой плоскости (рц«. отметим две точки (О; )) и (4; Через пж£ проведем пряну», которая и Й-удот графи кок яа-ланной функции. 4 Задача 3. Не строя функции y.^2j: + 3, авити ко- ординаты точек пересечения его о осями координат. 1 !■> i^(0) = 2 ■ 0-|-3 = 3; 3) О^З-дг-ьЗ, откуда х-^1,5. Отлет. (О; Э> Н (- 1,Ъ\ О). 4 I Задача 4. Не строя графика функции (;=- -л-|-5. определить, какая иа точек Р(4; 3>, в) принадлежит графику згой функции. С-- 1> Точка Г(4; 3} принвдлемшт --^Х + 5, ТНК Графику функции у как 3 = -i-4 + &— верное рпленстно а й) Точка М(-4; S] не иринлдло жнт графику функции у г = - —г+ 5. тан как равенство вч—^-(-4)+ 5 ^ о неверное. Щ Задача 5. Решите графячеекп ыеравсвство Зх—3>S. t В одной системе координат рост-ропм графини фувнцлй р = 3г-3 и y-fi (рис, 7^. Линейная функция Точки графика фуЕкц,ик ^ —3^ —3 деясат ньгшви прякоЙ у=^ при дс>3, ^ Задача Решить графически иораяенство |лс|>2. В одной системе коорднлат ао-строим функций у = \х\ и у = 2 (рис. 8}. Значения л; = ±_S лвлаются шеннями исходного неравеястра-Грвфнк фушщии V“|Jfl лежит аы-щц прямой яри дг<-2 и йри зс>2, поэтому (Jcj>2 при х<-2 и х>2. ^ 3. Графтеское рейтеипе систем уравнеинн н жердренстя График уравнежия первой степени с двумя ыежовестными ах + Ьу>л = е — ВТО множество нсек точек М(х; у), коордивати которых лир при жодепшовце в ато ураввенне обращвют его в вер вое равенство. Графиком уравнения первой степени с днуми неиввестными является прямая. Задача 7. Построить |рафнк уравнения Зх-р = 4. Быравив пэ донного урааненил р через т, получим фунгецию График функции р = 3*-4 является ■^фиком уравнения 3x—yrt4 (рис. 9). -4 Задаче 8. Решить графически систему уреивений " 1. Зх-2уш О. ■ 1) Й одной системе коердниат строим граф'(НИ уравнений “ 2х + у = - £ И Зх - Эу р* О (рнс, 10), 2) С помощью рисунка яоходик координаты точка пересечения прямых: 3) Проверкой yc^TanaedTUBiieM, что х — 2, у = 3 — точное решение данной системы. Ответ. (3; 3). -4 24 Гласа I Алгебре 7—9 классов (повтороь^ий) Гд:-2и—3, Зпдача Показать, что сиотешн урйлйёкий { ^ ^ --------- L 35-ЗГ — "^ir ** lie ЦМ№Т рСП1&аХ£В. . - . - |2д'—4у“6, Умппнщм НЕ 2 первое уравнецив системы; {_ I а* - 4у - 5. Левые часты уравыецнй этой системы равны при любых зиечсцялх jr и а аравые части не рявны< Слпдрва’тальпо, ист таких апаче н ИЙ я: и j/, которые обращают оба ураанения атой системы в верные равенства. Графики уравысиий системы — □араллельные прямые. 4 Задача 10. Показать, что сис^мв уравнений Г - 2JC + P--4. Ux-Йу-В имеет бескокЕЧЕс много решений. Нейти эти решсыпя. После умнонЕЕЕил первого урввнения на (-2) получается второе уравЕспие системы, Т. е. оба урдлиення иыражиют одну И ту же зависимость между х и (/. Следователь во, координаты любой точки прямой -Й* + р=-4 авляютея решевиямн донной системы (арлмые -Зд:+^*- -4 в 4лг-Яр = 3 совпадают}. На цервого уравнения находим РешенБЯ этой системы можно записать в виде (л; 2i-4), где jf — любое число* Решения нерАВОНСТВ, а также систем неравенств с двумя неизвестными МОЖНО мзображат!, точками на координатной плоскости. Например, решеаияин неравенства у>1-3х явля’ ютса все веры чнсвл (jcj у) — координаты точек полуплоскоС' ти, лежащих выше пряной |/=1-3*. и точек самой этой прямой (на рисунке 11 этн точки покаа1ШМ штриховкой), Решенил неравенства у<2х-4 показаны штриховкой на рисунке 12 (это точки иолуалоскостп, лежащие ииже прямой p = 2jt--l>. i £5 ЛиноЙЕная функция Задача ll. Кзибразить eis ко-ордниеткоЗ шюсности лшояЕество решений -оистемнЕ варшвевстБ 3jc + i;^ I, .ЗлС“У>4. [> Лра^рязуек данную систему и Г у > 1 - Зд, iff В одной сисгеыв коарджват покажем Штриховкой рашевля кдзк-до го ввраввнства долучввной еиете-мы (рис* 13). Точки координатной ПЛОСКОСТИ! нзйбралкеющие решении как uepHoro неравенства, так и второго (той части нлосксксти, где штриховки □ервсйкакшса), гххюст-рнруют рншеяин нсходвоЙ системы* Щ Рас. 13 Упражнения в7. Функция у(лг) задана формулой у(х)=-2х® + х-З. Ннйтн у{0), у(-2), у(2). 68. Найти вначенва х. при котором функции у = -6х-1-7 принимает звичепян* равное -5; 4. 69. Функция у(дг) звднна таблицей: X -5 а 1 4 -8 0 а -0 12 Иайти: J) У^-ЗтЗ>; у(1|; 2) днач«иш1; Xt при который! функции Етрияшспвт аивчанце, ранное 3; — S. 70. Построить треугольник АВС но координатвм его варшня Д[3: 4), В (О; —4), С (в; 2). Найтн координаты точек переев чеиня сторон треуголькика АВС с осын нбецнес. 71. С помощью графика функции = изображенного на рисуине 14: U найти у<-3). у(-й>. у(0), у(2). у(7), y(12); 2) найти эначеиии х, при которых у(х)»—L, у(х} — Г1; i) найти промнжуткп апйкоиостоящггва функции; 4) сравнить у(-5) п у(-2); у(-3) м у(7): у(0) н уС?}. 72. По графику функции у=2х-Й (рис. 1S) найти: 1> прнмезкутки знвКОПОСТОИНСТвв функции у^2х-й; 26 Г Ixiiilii I Алгей^аа 7—9 классов (пмтореиив) 2) дняченин х, при котарых. значения фуик дни ^ ^ 2х ~ 2 больше 2; 3) зваченнн х, при нотарих значения функции у-~2х~2. неиъше 2. 73. IIocTisHTEi график функцдя: 1) (^=3х: 2)у=|х-1; 3) 74. Не строи графика функции, иайтп коордняаяы точек иере-сочения его с ослин койрдИ' Яйт: 1) ;Г>|-5х + 3; 2)р»-уХ-3. 75. Не строя графика функции PvfC. и у = 4г+4, определить, кикия на точек А(-6; 3), S(-3; 3), 3 С(3; 1) црикйдлежит Графику згой функции, Тб. Построить график уравнения: 1> 2x+i^=3; 77. Решить графичеекя сястену уралнепин: 1} fzr+3p=-a, at |3i+y-o. l4x+3y-6. 78. Выяенпть, сколько решений имеет сястема уравнений: 1) |Эх-2^/=1, I -6х+4и=- й) f2x-3p—4, Зх + у-4; 3) Г6х-2у^-8, I —Зх+ о* 4. ^ А S7 Линейная фунищий 79» Поич'ронть грдфяк функция if-kx-2, «слн известно, что он проходит череа точку: 1) Af(-2; 4>; 2) JV{0; 1). во. Построить трафик функции y = —Zx-^-b, если аэяестзо. ЧТО □п проходит через точку: 1) Л(в; 2}; 2) £(~3{ 3]t. St, t) Построить график функции + 3 и по этому Графику найти, при каких заачзкиях х значения функции меньше &; больше -S, 2} Построить график функции р = —Zjc—й и по агаму rjHi-фику найти зивчепия х, при которых авячспви функции больше -4; мвицше 3, S3- Решить графически систему уравнений: 1) 1. -2х + у = 2; 2) 2г + ^у=5. 4x-3i^=-l. С помощью графика решить неравенство (вЗ^вв). 83. 1) 2)-|^г + 2<1. 84. I) Зх-2<х; 2] 4х + 3>х. 0) ^х + 0<х+1. 86. I) 0х-1>х+1; 8в. 1J -2x+ls:-x+4: 2> -Зх + 3?>-2х+1. 87. Выкснить, ирй EtHKkix значениях х значения функции р=!х|: 1) равны 3; 2) больше 2; 3) меньше 1; 4)i меньше —2; 5J больше —1. 88. Нв координатной плоскости изобразить мпожество рсшс' инй неравенства: 1) йх+у<0^ 2) -х + 2^>0; 3x-jr<4. 89. Изобразить ид коордиЕТАТНОЙ плоскости множество реше-иий системы нерннеиств; 1) |Зх-1^<2, 2) |2х+|,^3, 1-х+р<1; l4x-2y>3. § 5. Квадратные корни А^>ифжстич*:скил1 квадратным корчем ия числа а (заш1-cbraae-i^ Уй) ннаыпаотси веотрицательиое число, квАДрат которого равен ц. Например, \'К5=4, так как 4 >0 и 4'^= 1C. Очеаидпо, что VtT^O, 0, то по определению врифметичесцого квадратного корня 6-х-З*, откуда х=-4, Задаче 2. Сократить дробь . -------- о*-6 28 ! й Г- I Алгебра 7—9 ляйссоа (повгоревие) fl+V& a+Vs e+Vb e*-s [ft-#)(q+V5) Й-1/5 Свойства КОР1ТЯ Yo-Vb, ОСЛВ a>0, if>0; ^— j— ' у a >\b, З'ВДВчя 3. Сравнить V24 a G. . A V6 , если a>0, й>0; О 5 = V^; 2*<25, поэтому VaT0. > V'25a*&^=V26flV-ft=&-|a|'‘||M-V& = 5'<^a>'frV^‘--5n(iVfr. 4 Задача $. Исключить нррациоаяльность на зыамеыатоля дроби; 1} 2) \ ^ \2 + f/s' 1) г _ гл'5 _ зУа . ^ v'e Уй ^ * 2J у^-Уз (Уа-УзкУз-У^) _ й-2уб+з Уг + уз (Уз + УзхУз-у'з) 29 Кгадрапчыо корми Toncd^cm^ttM внаывцетея роюнство, cnpaeeAJtHfioe для всех довтстныьгЕ эвачедв^! шсодшцях в него Сукв. HanpRwept тождостеами являются формулы сокрящаввого уиножевня, формулы, выражаницне свойства квядратпих корней. Задачи g. Для нем а>0, Ь>0 н а^Ь доквдв-гь тоисдестао Vo-Vfr ^ a-a^'^4fr Прнподем левую '[йсть исхедваго равенства к виду лреяой: Уд-У^ _ о-ЙУ^+fr y^-hVfr (^^+Vfr>(Vд-Vй) (Уар-о/б)** " Левея часть ысходного равенстве длл всех а^О, b^Ouai>^A равпе правой. Тонд^ество доказано. ^ Среднее арифметическое чисел в к ft — его аиаченне аы-fl + Ь ^ ражеыня „ . Например, среднее дрнфнет1Г>1ескйе чисел - 5 и 13 равно 2 -bt 13 = 4. Среднее ееометрическое ыеотрнцвтелъных чисел а я Ь — зто энвчБЕие выражения Напрниер, среднее геометрическое чисел 3 и 13 равно У3'13-=в. Зддичя 10. Доказать, '1ТО среднее арифметическое двух Нв-отрицательшдх чисел о н А вс меньше среднего геонетрнчеткого этих чисел, т, е, •А Расемотрнм справедливое для люОмк а>0 и ^^О.веравснство ГГреобрвзуеч его: (Va)*—SVaic + CV^j^^-O, откуда a + 6^2Vab. или -^.“>70^1 что и треСовцлось доказать. Упрджненич 90. Решить ураввепне; 1> V2j^1-5: 2) V4-0*6j = 2. 91. Сикрвтнть дробь: I) *=-3 2} 2Ь + ^' X-V3' Срсвннть: I) V55 и Э: 2) 4 и Vm, а 03, Упростить выражение (^7+ 3)*'-(\/в + V3)(V^-Ув). 30 ■! Г1 ii ■■ й * Алгебра 7—9 itnaccoB (гроеторее^с) 94, Вычясдить: I) Vl-^-№ 2) VfV*T= . / 16 1,69 ^ V 90000 4) S) V^: 6) Vc-4J“. 93, Ивал«чъ корень: 1) Hi^Tl2xyZ^\ 2) V(5-V'^|“; 3) VfVis-Sp; 4J если а>Ъ; 5) если 96- Упростить! 1) 7V28-VSo-2V63 4-3V45; а) 3\/]^-VT+^V^+^VI’ (V^-3V2)=‘; 4) U-^'3>*(1+V3>; S) =1 e> ^ :+ ^ V^6-V5 Vb + V6 1 + V3 3-V& 97. CpHfibHTb: 1) 2\^3 H 3V2; 2) 5\'2 и 7; 3> 2 v's И 4 v'S; 4) 3^5 н 2\'Т- 98. Выяснить, дри каких эпвчсеиих л пнеет смысл выражение: 1} V3-2a; 2} V0,6a + 5; 3) у^6-| а; 4> 99. ВыЕюсти ышикитсль иа-йол авакл корил: и \*8а^, если а>0; 3> если 3> \'2'ia^b^, если в<:0, б^О; 4) V0,32a^fr“, если а<0, t>0; ______ гг------------------------ Б) Vl6oV* если fl<0, Ь<0\ Ш y-^aV, вели q>9, й^О. 100. BitecTH миахштель п<хд аивк корня: 1> JfV2, если г>0; Й) г\^, если Jr<0; 3> -а'^, если а<0; 4) -а\^, если о>0; 5) если <1<0, й>0; в) a'*bV-&, еми и<0, Й^О, 101. Исключить иррадиояальиоетъ из зиямевателя дроби: М; 2) 3) 4> Шш. V7 Vfl V7-V5 V3-V11 102. Доказать тождество! 1> (I + tfVtiMaVu-l)=a^-l, где о>0; ^ (Vf 31 Квадратные корни 103. НаА-Ги среднее арифиегаческо» И <;редН№ КоМетричноЕСое чисел: 3)1 н si: 1) I н 0,03. 1) 12 п 3; 2) 0,0 и 0,4; Вылсвнл-ь, в лаком случае среднее прпфметическиа двуя дадпжителыгых чисёл равно их среднему геометрнческому, 104. Доказать, чтр висотй прямоупшьвогс треуrojn>днкд, про-ведс1ТЕТйя из вершины ырлмй(<о ут^ла. не больше полоенны птпотенузы. Докяэагь, что для любых а>0 и ^>0 верно неравсиотно: 1] a&>2v'efr-l; 2) ^>2--^. Ь и 1СЖ. Упростить; 1) VaZaWr 3) \T+2^i 3J Vx + £VB; 4> Vll-zVlD, § 6. Квадратные уравн^н^дя Квадратным ifpoBHenuejt нвзынаетсл урнввоние айда ajf* + (ix + c = (). где й, Ь н с — звдавжые числа, q * О, х — неиэвеотыое число. КоаффиШ1Ешт а нлзывнетсл первым нлн старишм. Ь — вто- рым ноэ^шщентаы, е — свободным членом. Квадратное уравнение ал“ + &х+с=0 нвзываятея цепод-ныы, если хотя бы один нз коаффициентов Ь или с равен нулю. Задача 1. Решить наполное квадрагаш уравнение: 1) 2> £д-^-1-1б = 0; 3) 5*^-4-0; 4} -О.Зд:*+4ж = 0. 1) I х* = 0. 1^ = 0. х-0, О й> 2х*+15 = 0, Й;г^=-1б. jc' = —7,5 — 3JO урнаненое де имеет дсйстннтал1,1шх корней. 3t 5i='-4-0, 5л^-4, я =±\/i =± б V 5 V5 5 4) — 0,Зх* + 4зГ“0, лг(-0,2Л-4) = 0. откудя х —0 или —0,2х + + 4 = 0, т. в. ^j-O, j;jj=20, ^ Формула карОЕЙ ннадратнооо уравнеаня ajc^ + &x+o = Q , где Z) = fc^-4ac. 1|* 2а Зависимость числя корней кдвдратиОго уравнении ах*+ + Ьх -t- с — о от дискрижннента £>: 32 ririUn I Алгебра V—9 классов (гювтароние} D - 0 0 = 0 й<о Дня раолнчжых корпя йа Одни ииреш. Ь ^ 2а Нет лейгтявтедьА-ыл Задачи ‘Z. Решить кнадрл1ТП{>с уравввнне 2я^ + Б*-а=0^ и-А*-^ый = 6®--1 ■2‘{-3)~г5 + а4-4Э>0, -S±V40 -ft±7 1.Й £ Ё -G+7 1 „ J - it* -^я- -fi^T 3. 4 Зллача 3, Решить ураваенне ^ х* - Эх+ -------- и Z? = (-2)3-4-i-0-4-4-0. Л‘ ь 2а -2 = 9. х = Э. ^ Задача 4. Решить уравнение—Зх“*+&Т-Т — 0. £1_5*-4*(-Э)'(-7}=а5-й4<0, Ответ. Уркивнеипе но амеет корвеЁ> М ^^ЧЗддачд 5. 1-1айтн все значения а, при которых уравнение цх^ + Х'3 = 0: 1) илеет две рааличных корил; 2) имеет один ifrkpoHii; 3] не имеет KOpaeti. 1) УрЕвноние dx* + x—З'^О имеет два рйоличиых корпя« когда o^tO н = 4-0 + 12и>0, Т* е* при Ответ. При 1А 2) Данное уравнен не имеет один коремь в двух случаях: если а —О и уравнение ♦вырождяятчэя* в линейное х-3 = 0 (его корень X = 3); если и Л-1 + 12а = 0, т. е. при Ответ, При usO и при а = — 3} Урааиепие не имеет действительных корней, если а^О н Л*1 +1Яд<0, т. е. при А ■ 1 А Ответ. При Квллрвтное урав^нле JC^+px+^/ = 0 явяизаетсй приведен пым квадратным ураанени.1>м, Формулой норной прннидепного квадратного урввноиня .,.=-f±V(iN 4.J а удиСко оольаоввтьсн, когде р — четное число. (1) S 33 Квалретные урввнеиин 1 4 4 Эпдачй вр PerjJHTb квадр^тиое урлввенве 4л:-12^0. р> Тан кок Р--4, то но формуле (1J ниходан ±V4+12-.2±4. откуда Jj 6, - Я. ^ Тар рема Зиото Екгли X, и Xj -= корни арнведснвого квадратного уравнения Х^ + рх + 5-нО, то Xj + Xj = -p, X, Xj = (I. В о^щрм случае; если х^ и х, — коран уравнеция рх* +^х + + С-0 (a^^Oj, то X,+х,°-—, г, Хд=-, Задача 7^ Составить приведенное квадратное уравпенио, сслн пэвестяы его корни Xj^—3 U . По теореме Киота р--(Х|+Хд) = -(-3 + 4) = -1, ^-x^-Xj — _„3 4--13. Искомое уралпенде; х*-х-12=0, ^ Теорема, обратная теореме ВиетДр Вслп деЯствительные числя р, q, X, а ij таковы, что х^-|-х^,^-р, Х^'Х, = у, То *, и — корЕш уравнеши! х'^+рх4-(д-Д) Л-& e-iojT-3j® (^^+4i{a-3j) Е-Зд^' Уравпеяке ах^ + bj:^ + С •-0 (а^О) называют ^цкйадрал^чь^л. Задача 11. Решить бикаадратцое урааяеяие 2jc^-ITx^-O^O. Сдрлаям замену неизвестного: x^ = t. Тогда x*=t^ и данное уравиекне занишетси в лиде 2f*—ITi-B=0l ____________ „ l7±Vl7^-4.2 (-9) Ревднм последнее уравнение; s =---- 1T±V3B1 iTtie к откуда f, = 9, 2-2 А 1 ' ■■■''" ' - Задача свелась к реигеннш уралнениП х‘ = 9 и Уравнение лг^-чЭ имеет дна корня: Х| j“±3; урЕшпепне —^ не имеет действительных корней. Ответ, —±3. 4 ■ +V Задача 12- Ра шить уравнение Т;~' Преобразуем двнвое уралшевне: SX+ 1 гх г-1 гч-г дМг-1 Зх+1=2х(х4 I}-3fr-l) „ — У-1 —гтт--------- (i-ll(X+l) 1-1 X+^ 0х+1-21*-йх-ах-|-з *0, (Х-1К-Р+0 ar®-2x+4 х*-1 а. I Дробь равна нулюг если числитель рлаен нулю, в яке1МСНД-1 Ttyii, отличен ffr нули; -2х‘-2х+'1=0. а лг*-1?^0. Решая ураппоБие —^ 2х + 4 «О, находим его корны; х^» 1, Тйн как лг*-1=0 при х=1, то х^=-1 — постороланй корень. Ответ. г=—2. М Упражнениля 107. Решить уравнение; 1> 0.3x^ = 0; 21 &х*+0,1=0; 31 х® = 24; 4) -х“ + 9 = 0; 5) ^х‘' + б=0: 6J -х*+^ = 0; 7) ^х^-2х-0; 8) 3x4-4x^ = 0i 9> х(х-3)-4<х+n + 3x^-7xi 101 ^ + 3S Квадратные уравнеи-ин 12) д^^-I-3(^=0; 14> i*+3x^I03-0: 16) ijt^-2t + 4 = 0| 18) 3j^-14x + 8 = 0! 20) -2i^ + 3j-3 = 0* 1U8. 109. no. П I. 112. П) x^-7r+12-.0; 18) x^ + 4r + 0 = O: 16) x* + 2v3jf + 3«0: 17) 2x4 JC^ 15=0; 10) -4a^ + llje + 3 = 0; PemHTL уравнеаиь: 1) j*-10-5-r(x+7>; 2) 3x(±-2> + 7i*0. CoOTdBirTb прив^пенно? кмдрвтрм уранпеиир, нслн ииве- ствы &Г0 Корин: 1) Х| = 3, Xj = -7; 2) х,=-4. Яд = 0. Нййтн сумму и иролавБдение корввй уравнения Зх^-Тх-3 = 0. Пользуясь теороыой. обратпой геореме Виета. найти кор-нн уряввенпя: 1) л^ + 5г + 6 = 0: а) JC®-3i-4-0; 3)х* + Зх-4^0. Раалозкить на множители квадратный трехчлен: 1) jf^-12Jt+35; 2) 1^+9х + 20; 113. 114. 3) 5x4Эх-2: 5) -За:^ + 5х-2; Сократить дробь Ят* + 4х+ I Решить уряняение: х^ - 6* + 6 4) 4г*-х-3; е,|, 2x4 х-1 6) ^х*+2х-12. О 1) X® - lix = 0: 4) 3x4^ ^0. 2) 2х+15 х^ + 4х !jx + fl 1)5. Рсцшть урдвнакиа; I) x^-7x4l3 = 0i 3) X*-10x49-0; 3) х4ах®-1б=0; 4) x4x*-(J = 0. 116. Решить систему уравнений: 1) |Зх-^«0, 2) |х—2j/ = 8, lx 3) j*-x-ia = 0| 6} ^ t ^ -4 * ' ж-,') 3> [Зх* —у^ + 4 —0; X* +У* - 10, — 3; 4г/ = 22; 4) Г* Г ж^ + у*“ 13, I хр + 6 = о. ИТ. И8, 11Э. 56 Сумма двух чисел раапа Э-^, * ил иронаввдение равно 12, Найти ати числа. _ Одно иэ двук чисел на 5 вЬдьщв другого, а ни удпсенцоо произнедеиме [>авио 5.6. Найти оба числи. Одно число ни 7 ненына другого, а 20°А\ от их пр^ат^^-ния раовы 12. Найти Оти числа. Глава I Алгебре 7—9 классов {поаюренне) 120, Расстояние от городи до деревни 36 кн. Один из вслоси-ттедистоп преодолел его я а 1 ч быстрее другого. Найти скорости велоонпеднетов, если скорость олиого нз пик пв 6 км/ч больше скорости другого. 121, Моторпяя лодка проплыла по течеиню реки ДО бДиЖ&ЗШЁЙ пригтдии 22 км и после двухчасовой стоянки вернулась обратно. Найти скорость лодки и стоячой воде, если ив весь путь ушло ЬА ч, а скорость течения реки 3 км/ч, 122, Две бригады, работал вместе, выполнили рлботу за 12 дней. Сколечко дней потреЗовалобъ бы ешждой бригаде на выполпвппй этой работы, если одной из них на эго требуется но ТО дней меньше, чем другой? 123, При одновременной работе двук трзгб бассейн наподчяет-сл за 7 ч 18 мни. За какое время нипелияетел бассейн каждой Трубой в отдельности, если через одну трубу сн иаиолняетсл па 6 ч быстрее, чем черва другую? 124, Пусть д>-2 — корень ураявенпя +рзг-2^0. Найти р и рязлоткить левую ЧЯСТ1. уравнения па ипонентели, 1ЙБ. Пусть д: = -Ь — корень уравнения Зх*+10х + у-0, Найти g н разложить левую часть уравнения на множители, 126, Разложить пн множители ми01’0члеи: Лв*-7й^-1&: 2>а^-0о*+2О. 127, Решить систему урврнекий; о. 2) [jH-ajy+j/"=-t, 0; L^i^=3i 4} [ r-y=j»0, I vr+vy=aрых функция припнмв{>т лндчепыс, рлвиос нулш, нйзыййют нулями функции. Кривую, нвлиющуюса графика» функции y = ax^t иазыиа' юг пара0О|Лай. График функции y = x^+px+q — парабола, получеппая сдйнгок паряболы у=х^ йдрль кййрдинятшхх осеё. Ыд рнсун* ке 1в иооОражлыы параболы впде па рисуцке 17 ^ параболы вида у = (х-тя}®, а на рисунке 18 отражниы ;^ТйПЬ{ построения параболы + —3. Задача 1. Построить график функции —Зх—4. ^ Выделим полный квадрат в трехчлона х^-^Эх-4: поатому “®;4' График функции иэображ«Ё1 на рисунке 19. ОтМетин, что: — вершина параболы “ точка А — ось симметрии — оркман, проходящая черъез точку Л параллельно оси Оу\ — нули функции: х^—’’1.. х^—4; — у>0 при х<-1 и х?-4; р<0 при -1<х<4; — функции У (l 1^) =-®^‘ — панноньшее яыачоние 30 Глав D Алгебра 7—9 классов (повторение) PttG. f3 Графикам квндратнчвр^) фу>|кц1ти у “OX* + tjf+ с нзляетсл парабола, палучпнвяя адвнгАКН парн&олы у<=ах‘^ йдоль коордя-Кбтных осей. Координаты вершины параболы можно иайти методой выделения полного коадрата, а можно по формулам ЕЗелн а>0, То оетви параболы направлены вверх; еслв а<0, ТО ветви параболы нвнравлены вниз. Задача 2. Ппстронть графин функции у = -ал^ + Зх+5. : 1) Найдем координаты вершнны параболы: Ь А П 4’ г (-а> +3^1 + 5= -м- ■6+f=6f 2) Построим ВЁршяиу Параболы f ”7 * ^ ” через нее проведем ттрямуя», лараллельную оси Оу,— ось енмнетрии параболы, 3) Найдем нули функдин: -Зх*-1-Зх+5~б, „ -3±Ve--t'(-2)*6 -з±7 ' -А ' Ч.а 2-Г-2} -2 — Построим точки (-1: 0}, oj. fl 7 30 Квадратичная функция 4) Вйаь»е» две точки оси Оде, снмиотричнно дтнос1гтельно 3 - 1 точки нштримЕ-р JR Вычаслиы зиачваия функции: y(0)=y^lyj =5, Пезстроим точки (0; 5), Sj* 5) Проведем через аосггроепные точки пираболу (рис. 20). ^ Ек;ли а>0, то наименьшее ^мач^кые |{ВЕ1дратичыаи фувк-ция 1/<*а(де ^ + принимает при тд;^. Это иаиманьшее 9яач#И1№ равно (рис,^21>. Если о<0, то наибольшее ^наченае квядратичжая функция у=о (г-Лц)^+^ц принимает при Jf = JCj,* Зто кпибольшее лначе-ыие равно {рис. 22), НаирнМерт наименьшее ННННеНИН, раНЫОе -2, КВаДратнчывл функция ^ = 3(i + 5)* —2 принимает При Х=—5. НпиСоДыНее эначеклс, ралпое —3, квадратичная функция —Й(г^4|^—3 ПрТШИМйНТ при Х‘-4. ^дяча 3> Число 12 прелставнтв в виде суммы таких длух чисел, чтобы их нронзведсыиа было инибольшнм- 40 Гл □ в п I Алгебре 7—9 сласссш [пйв:торечне) Пусть X — однй ыа искйиых чисел, тогда (IZ-x') —■ другое члс* до. ilx ороизведепие --и*-10г+де-зв}^ - -((л- - 0)* - ЗОН - - fi)* 4 за. Л ро1гэведение Я (я) ириин-мает ивнСйльшее оыьченне, рвд’ ноБ 36, при дг^б. Ответ. 12-*в+в. ^ Задачи 4, Построить график функции + [> Строим график функции у = л*-5г + '4 (рис. 23 Тяк как |cll = *f а >6 It |аН—fl ори в<0, то ту часть Графике функции = 5л-4. где они ирниившет отрицатель- ные зпачениЕ (т. о. оа Интерполе 1<х<4). нужна отрооить cmg-метрично отттоснтельпо оси (?х (рис, 24), '4 Задача 5. Построить график функции ^ 5|лг|4-а. По определению модуля имеем у*»т’‘-5г + 6 при л>0, у^л'^ + блг + б ори л<0. Это означает, что при х>0 график заданной фуик1щи совпадает с графиком функции у=з:®-&л-6. а прн х<0 — t графиком функции y = + 6 (рис. 25), Для построения графика функции у=х^-5|х|ч-6 можно было построить гр1афик функции ^=х^ - 5х+6 для х^О, а затем отразить его симметрично относительно tfCH Op. Упражнении 13Й. Но выполняя цоетроання графикл функции ^=-2х^+х-Э, определить, принадлежит ли ему точка: U Л(-1; U): 2) Д(1; 4); 3) с(|: -з): 4) ^4), l3fi. Ннйти нули функции: L) й/ = х^-4х + 3г г)^ = х^-ы-6- 3) | jf-3x* + 6*-2; 4) j/-.-3x* +7г ^ Я. 137. Найти координаты точен пярееечения с осями координат параболы; 1) w=2x^ + 5Jt-h3: 2) = +10, 138. Найти коордноаты нершины параболы: 1) 2) y = -(x+2)*-3i 3) у = ^(г-нЗ)"; 4) р = х*-7; 6) (^ = 2л^-4л-^1; 6) у = Эх® + 6х-7; 7) р = -4х'^+16х-Й: 8) ax^-ZOx- 13. ____________________________ ■) ~ 41 КьаДраТИЧН^'Й фуНК14НЙ t39> Псктроптъ график функции: 1) f^ = x^ + 3: aj 3) ir-jc*^0i + 9; 4) if=jc" + x+^; 6) в) у=‘3^-2х\ 7) V = Cx-3)teuuc квадрат и ч soft фу нации: 1) у = д^+&; 2) у=2х*-3: 3) уЧ*+7)*^5; 4) у-{х+7>* + 4. 142. Найтн наибольшее значение квадратичной фукниии; 3) у--(*+1)* + а; 4) у--2(х-3)*Н-в. 143. Постранть график функции: 1) у--х* + 2х: 2) ff—х^-4х; 3) у-2х*-4х+1; 4) у-«2х* + 4х+1; 5) у'»-2лс^ + £х-1; 6) у р»-2^+4jf—1. 144. Определить налмеиыиее (ынибольшее) анвчеиие функции: 1) у = -б(х + ЭИ + 1: 3) у “Х^- 4х + 9; 145. Найти аИаЧенИе X, при КОТорОн функции ЦриинлЛает нан* большее (нанменьшее) значение. Найти ато значеиие фу]гкции: 1)у-х*-4х+1; 3) у-х* + вх-3; а) 4) у»—х^ + 6х—1. 3) у = -эг^+2х + 3; 5) у = -2х^ + 4х+1; 4) у*=-х®-Йх + &; е> у = 2х*+6х-1. 42 Гпааа Алгебра 7—Q классов (повторение} 146. Найти аиачБпнл р к q квлдрвтлявоЙ функции у = х^ + +px + q, вдпальэуи ее грвфии^ 1) на рисунке 2f>, а\ 2) ни рисунке 26, б,, 3) на рисунке 26, а; 4) на рисунке 26, 147, Числе 8 мре^стннить а биде суимы двух таких кисел, про-ИЗВе;Деннй KiVFDpiiJX нвибоиьпиёс. 148. Найти длвньГ сторон пряноутельникв с [{дибельшей площадью, л«ря№тр которего 28 см. 149, Числе 6 представить в^иде суммы таких двух чисел, сумма кубов которых ааибодыпая, 1SQ. С лонощью графикой функций у=х^ — 2 н р=‘-2л-4-1 решить нерпвсиство — 151. С помощью графиков найти апйчепкн х, при которых лначевик функции ^=2л^—1 меньше аначспик фупкции 1б2> Построить график функции: 1) 2>i,^|4-x*J: 3),^-Кх-1Мх-ьЭЦ; 4> y-|x(x-2)|: 5) y-x*-2r|xJ-3; 6> tf = x*+U|-2. § 8. Квадратные нерэвенстеа квадратным инпывается неравенство, в левой части которого стоит квадратный трехчлен, а в правой ■— пуль. Задачи 1. Рещкть ввравенство ^-х-2>й. Найдем точки пересечения параболы 2 с осью Ох, дли че- го решим квадратное уравневие х*-х-2=0. Его корни: х, =-1, Изобразим Схематически график функции у»х*-х-3, учитывая, что а—1>0, т. е. ветви параболы ааправлены вверх (рнс. 27). Искодному неравенству удов-летворлюг те яначения х, при которых точки параболы леищт пв оси Ох или выше втай ОСП. Отавт. х< —1. х>2. Задача 2. Решить иеравеиство -гх'*- Бг-ь3>0. Умножал обе части □ераасистае ни -1, запишем его в виде 2х^ + 5х-а<0, 9 а 43 Квщ^ратныв норвванстш норыи ураваен!^ 2jc* + 5jf-3=0: _-Б±У^ -Б±7, ^ а I ^ ^1,я“ JT2 4 * ^1 *8“ 2* Изобразим схБМатичесии график функции ^ — 2jt^ + б? - 3, учитывая, чтчэ ветви параболы яапрнвлечы веерк (рие. 2В). Игходночу неравенству удовлетворяют те значения z, при которых точки параболы ма рисунке 28 леисат ниже оси Ot. Отвот. ^ 2 Задлчн 3. Решить йеравенствО; 1> Z^-6z + 9>0i 2) z*-6x+9>0: 3> i*-6x+9'^0j 4) J(®-8z+9<;0, 1> Так как ураниекве х^-вх+9 = 0 имоет елпнственвый Корень ж-З, то парабола y=jf®-6z + fl, ветви которой ыанравлевы вверх, имеет одну общую точку с осью абсцисс х = 3. Ответ, 1) z<3i 1>Э* 2} X — любое число; 3) нет решений; 4) х=3, ^ Задача 4. Решить нерввенство: j_ а " 2 1) ^z®-2zH-3i0i 2} ix*-2x+3c0. [> Так Как уравнеиме i-x^-Xx+a-O не имеет действительных корней, то парабола х*-2х + 8 не имеет общих точек с осью Ох (ее ветви ннпранлепы вверх). Т| рЁшеннем иеравенстза -^х*-Е* + 3 ?*0, в также нераввв* I * □тна ^х*-2х + 3>0 является любое аылчение х (рИс, 29). 1 2) Неравеистно ’^х^-2х + ас0, а также неравенство А А “2х-1-3^0 ав имеет решений (рис. 30), так как все точки параболы y-ix^-2x + 3 лежБТ выше осн t*x, 4 « Гг^Ана |1 Алгебре 7—9 классов (повторение) -7 5 л: Рис. -1 1 3 3 j: Рж. 32 Метод интервалов иримснягсл' для рошяния иерявдистя. D левой части имеющих дробь, числитель и знаменатель которой яздлются аранаведениялЕи маижителей вида x-Ot а б припой части ^ нуль (эйляегателъ дрова 1ложат Быть равен 1). н'^адцчй S. Решить методом интервалов нердвенстао U-5}U+T)>D, С> Отдсетши на числовой прямой точки б н -7 неэвкрашенны^ ни кружками, подчеркивая, что х = б и х = -7 Не ЯВЛЯЮТСЯ решениям и веразещя'ва. Определим зовки1 значений выражении (jf-5)(JC+7) Н8 к*1ЖДом 43 интервнлов: ~7 cx^h, ж>5. При л>Б оба множителя оронэпоцонид i^x-й)(х+7) положительны, поэтому (х-5)(х-*-7)>0 ид иптервало л>В* Учитывая смену знаке, иронзведевия нрн переводе к еосед-пому (левому) интервалу, отметим для каждого интервала экл-1{и произведения (х—^)(х-|-7) {рис. 31), Решениями неравенства являются все значении х нз мы-тервалов х-с-7 н х>й, ^ Задача 6. Решить нерп вен ство >0. ЗлЧгд-1 > Разложим зиямематель дроби на множители: Зл* + 2д-1-= 3(г-н 1^<^^однод неравенство после уквожевия обеих его частей пв 3 запишется в виде (*-31* >0. Отметим йа числовой оси точки - l^ — и 3, н которых чис- о I лвтель Или звамеянтель дроби обращается н нудь. Эти точки резбивошт чвсловую ось вв 4 интервала (jiKC. 32). Тен как чнедщтедь дроби (д-З)^ волсикитвлев при всех х* кроме х=3, то зиачапио дроби точки -1 и {знаки в ИЕГтервалЯх ппказаНЫ НП рисунке 32|. ^ 1 Ответ. 1<~1, -<Х<3. Х>3. ^ ■3 cr+ll(.-i) меняет Знак При переходе через § а 45 Квадратные нераясистаа Метод интервалов, который Чйсто исоольаукгг для решения неранснетн нмда П->г)>0"(Ги)<0) или /(л>>0 (П^с)<0>. где и “ много'мены, не именицие общих множителей^ состоит б следующем: 1. Решаются уравнепия /^(т) = 0 И $(х)'=0. 2, Отметаются найденные корни (еоди dHH имеются) еш чпс-лоноЁ оси, утнты&ал, что в тонкая, где Q(x)-0, функция f{x) ко йнределенн. Зт Опредсляеггол эеьвк /'{jcJ itb правом крайнем прсине^кутке ы рвсстаилянтся гзнаня функции (при дияженни вдоль числовой DCH спрдна ядлово) ны ВСЕХ обрввоваяшнхся промежутках. учн1'ыядя следующий факт: если в рвало* женин пл мжокнтели иногочлеиа Р(1) (или Q(#)) содержится множитель Инда д~а или (лг-а)'***'’, ТО |{»уик1Ц1н ^(лг) меняет лпак ррн переходе черея точку в; а если в рааложеипп содсрмснтся множи'гель вида (х-п)^*. к^!Ч, то /{х) не меняет знак при переходе через точку а. 4. Учитывая апяк исходного иерАВеИСтва, ааписъ^ваетсн ответ, Зскдачд 7. Решить методом интервалов веравснстве Пусть /(*)■ x^-3x-i a , л г*-1-Зх"-нх ' где /'(x} = x*^3x + a = U-l)(x-2)i ”. Функция /(х) ре определена при х = 0 и х=—1; меняет внак при переходе через точки O'; 1; 2 П ве меняет ввак при переходе через точку -1. Отметим на пислодой ОСИ-точки -I; О; I; 2, замечая, ^гго при х>0. Остается расети-внть знаки /(х> Ш1 Промежутках, аыделеиных на рисунке 3S. Ответ. х<-1; -1<х<0, 1<Х<2. -I- -1 О 1 Яис. 33 Упражнен1ня1 Ра шить иаравпяство ПЯЗ—155>: 1ЯЗ- I) x*-2x-e«0: 2) х^-2х-8>0; ■1) х^-1-6х-н9>0; 5) х*ч ftx h-O-cO: О: 3) х^ + 6х + Й>0; &} х^-1.3г + 3<0. 3) -дН* + Зх-Н >0: 6) =2х^-5х -|^3< 0. 3) 2x'fax-bl. 156, Методом ИИТеревЛов решить неравенство: П (x + 5Kjc+2)-'0: 2) (х+ 1 Иг-1)^0; 154. 1) х*-12х + 36<0; й> x^ + x+i<0; 4) -х*-&х-7<0: й) 0,&х*-нх-4 155. 1)х^>2б: 2) х*<Э: 4) |jf*>2x; 5) х^ + = >х; 46 -JU ! I Алге&ра 7—9 классов (пйв1:орен1ле) 3) *) 6} и-1)х{х + 3)<0; Jf тЛ JC — lU о + a)(ff“3>>0j 7) ^^Ц^>01 в) X ^ f 4u 15T. ВылсuH.^.p при каких аийченнях x имеет смысл вырвжв-екб: 2) V-3jf4jc+4* Б 1> \6x^ + 9x-2i 1 . 3) 4) Vjf* + fl*+9 15в. М?тйацзп} иц^Ёрйалов решит11 иерАвЁвство: 1) ^^"0^+а <0; а) + J - А >0; 3) (Д’1Кд+в> >0; 5} tSQ^I Решить оераайиство: <х^41У^^р. х+2 x^-\-x+V 4) 1 — 4 *+а u-3)Vr*g 3> (г + 1)(д = 2) V(3 - x)U + 2) > о, § 9. Свойства и графики функций Областью определекия- фуииции пазывают мионшетво всех экачевнй, которые мотет кривятать ее аргумент. Например^ I) областью опродЕлеиня ивадр^^ттлтной фунв-днн у-ад;^ + Зз:-5 является ивожество веек действительных 5l£ чисел; 2) область оиределепыя фуикдии л~2 — ипожест- во всех действятвльЕШ чисел, кроме X —2 (при х^2 дробь 5х д-а ие имеет смысла); Э) фуик^ ПИЯ fi = flx)t заданнвя грвфиче-скн (рис. 34), йиределе&а ори -Л<Х<-2. ^2<Х<1, ЭСх^б, Задача I■ Найти область оараделаиий функции бх '“V*- Свойствв и графики функций Корень квадратный имеет смысл^ когда подкореыаие выражение нвотрида^члЕ-но» поэтоку, решал неравенотво находим п&ласть оггределеиия фупкиии; х>2 и Щ Фун[щц|й валыаают */аурт;п1ающей, если Сильшему в качению ее йргуиентв соответствует большее знамение функции. Функцию называют убываюи4ей., если большему значеынп ее аргумента соответствует мепЕ>шее виачепие функции. Задача 2. Покаввть, что функция I) убыняЕ^ не оромежутке ;г<0; 2) вазраствет на аромежуттсе т>0.. I. 1) Пусть Нуткко наказать, что —у(х^)>0; У'Р (я'а) “ ' *Е " ^*1 тди как н Xj+x^j-^O, Таким образом, у(х,)>у(Хд>, что означает, что функция на промежутке х<0 убывает, S) Пусть 0<х, 0, то т. е, y(^,HyUa>> и, зиачлт, функция ^(х) возрастает яв промезкутие х^О- ^ Функцию j^(x) называют четт)й, если ^(-Tj = y(xj для любого X из области определения зтой функции. Например, функции у=х® н У = -^ — четные, так как (-х>’*=х** для лк?6ого X и для любопй XX-О, Функцию у(х) ваш>шан1Т нечетной, оелн j^(-x) = -p(x> для любога X из области определения атоЙ функции. Например, функции у — х'^ и у —~ — иечетиые, тек как х^ ——X® для любого X н 1 , ■ -—г для XK)ГНМЛ, 2. Мысшиествч .щячсний — нно-жестио всех цаотрицатрльцмх чисел iif >0). Я, Четвая (ее график снммст-pHMDiT отипсительж* оси ординат). 4, у >0 при х^О, у = 0 при х*-0. V 0 X б. Убывает ори х'^б, во:»рястп- (КВадратЦ'гкаи ет 1фн х^О. UtaJjd&CJL'lU^ 40 Глала I Алгвбра 7—9 классов (повторений) Ф^икцнл График Сеойстна !/ = х- (кубГЧМКВИ ГГПРВ&ОЛЕ)| L. область оиртл^леблн — »«-1ГО' JKCCTBO РМЯ ДВЙОТ-ВИТЕЛЬниМ. чистл* 2. Множисгво аиачпшй = muq^ 'же«тло псех действлтельвслх чисел. 3. НВЧВТЯЙВ (ев график линмпт-ричвн (гтбосительво начала кйррдшшт). 4. р>0 при р<0 при ^f<0, ррр х=й^ а. Вп:1рЁетвИ¥ ИИ ксей ибласгги оиродслеиия. -4 (птер&олв) Остредаленй при !!. Мн^^зКесттво аилчсииД—ж» дей-стаительцис чисгля. кроме j^-D. 3. Нвчетвап (ее график (:umup- триг<вп alTHOliUtiCAbUO начдлп ипордныйт}. 4. ^:*0 при jts-0, [/<0 при дг<0. VfibiuuGT при x0. “4 1. Определив^ при х^О. а, ииозкас'йй) аидчспиЗ = все црложительвъге числа- 3. Четнял (ее график сиыыстри-чв-н относительно осн ардннлт). 4. у>0 при JT<0 и при дг>0. 5. Воарпетпят при. л--с0. уОивл* ет при х.>0. ,-v7 1. Опредрлепл при г>0-0* Множестно виечеипй—все ре^грнцатсльные '1псЛа. 3. р>0 при Х>0, ^ = 0 при jr-tf. 4. Воарлствет ирм jrbO. е 9 4Э Свойства и графики функций Про&олжлни* Фуылцнл Г]:и|(1ик Скйстм о 1. ОириД#Л0 при jr>0, ^ симметричны Отноеи-тельыо ост ябсциос). HairpiTvep, на рисунке 35 ь одной йистене координат по* строены графики фулнций: и-1 1 X* и у-х® н у —-X*; График функции ори получается сжатием {pacnumcfHUtM'i графика функции у^/(х) вдоль оси ординат. Напри мер, на расуике 36 в одной систсие координат построены графики функций: у ^ ~ ■■ "-*........-J - 1 j/--Vx н у‘—3Vx, г* и уш^2х*\ у-х* и у--^х“; £ Рме. 35 50 Глава \ Алгебра 7-^9 классов (повгторенно) rpftil>[Trt фушщнн uOiiy4aj0TCJi из грдфнна функции y=fix} cHeUSQM вдоль оси а^щисс, НвдриыЁр, на рисунка» ЗТ в одкой система координат построены графики^ функ^и11; (/■Уд и y^Vit + 2; y = V* м у=. V>-3, )‘^10фик функпзи У”/|(Д)-Ь6 нолучьетоя из грвфикд функции р=/(ж) сдвигом вдоль оси □рдиинт. Например, не рисунке 33 о йджой системе коарДйИат ПО-строоды графики фу в иди й: у = и у=х^ + 2; у“Х* и ы="Х®- Й. в) о) РАС- 36 51 Свойств й графики функций >. Здлачи 3. Построить графин функции 4- 3. С> LJ Пи рисупкЁ 39 строим график фуикЦлп 2] Строим график функции д = 2{х-2\^ сдвигом графика на 2 ЁДидицы Dорано (вдол11 оси Ох]. 3) Строим график функции у = а(л-2)*-ьЗ сдвигом графима на 3 одиннцы вверх (вдоль оси 0(/). ^ Зддпча 4. ТТостронть график функции у = V'jc+2-З. |> 1> На рисунке 40 строим граф РЖ @ фуикцнн = 3d 52 Глава t Алгебра 7—0‘|классов (повторение) 2) Строим график @ фзпжцнн у -- i Vx+2. 3j Строим, ,грнфик функции {/--iVjc + Я-З. -4 Упрэжнонич 160, НаАтп о6;1эсть оггре^^елеиия функции: 1L Я* —1 6-J 3 . + е 4) y^-'J’I~Зx; 5) J/ m 3) y^v^j+T: 13 . 61 у = VST? ’ v'r- S 7) y = Vjt+V3^! 8> y = Vi-7-V^. 161. Найти область оцределенил фуикпич ваданиой графически ив рисунке 1вЗ> Найти облисть оорсдолиннй функцйл аадлниой таблицей: -т -3 1 4 7 е{х) -н -1 0 й 17 163. Докиадть. что на множестм всех леЙствительпых чисел фущщня: 1) + i убывает; 3J y(ji:) = Jt^ коарнстает, 164. В одной системе ксюрднинт йостроить Графики футгкций: 1) P-V* и p = -VJfl 2) У=^ н JT 165. Б одной системе координат построить графики фуккциЛ: S — 2) р= ул н p=-vjc; I) Р"=3т и у -- йл:; 3) у м-х^ и у--3х®; 5) р=х* и у = (х- 1)*; 3^ я,-- 7) p = Vj и у-У^-2: 61 y=Vx н y-Vff + 3; II) у = и у-х® -Й; 4J у = -х^ и = 61 у-х^ н у-(х+1)®: *!- *.--Т а) у-у'х и р=\*+3: 10) y = Vx 11 p=V^-3: 12) у-х'^ и у = х* + 2. 166. Найти область определения функции: 167. Построить 1'рафнк функции: 1) у=-и + 31^ + 3; Й1 у--|(х-3)’'-2; 3) у=2\'х+4 -3; 4) y„-Vx-3+4; &) y--fx^l)" + 2i 6) у-3(х+3]*-Й; 1. + 8)у=-^ (х + 1г i fl 53 Свойства и гдВФики функций tee* Решить графически ^рааасина; t) -2) 1-Х--1; 2) д^ + З*-; 4> Vx+l=*e’-l. зр Я 1в9. Построить граф11к фуаицни: Гх, если х<0, f-*. если у<0, ^ .jr^, если д:>0; ^ lv‘x, если § 10. прогрессии и сложные проценты Если каждому иатурнлъиому числу п лодталлеио а доотдет' стбнс лейсГАительвос число а^, Тй говорят, что эвдада чигдовал пасдгдовательнасть а^, а^, р -I т т I- ч- Задача 1> Послёдоватвльность задала формулой л-го члокв р + шестой член этой посладоватедьвостн. <5 й Задача 2. Найти третий 'ытен последоавтельыости, заданной р«К!;рре»тной формулой а^^|=-йа|^4 3 и усяовиеи л^»-7. о^--2а,+3--2 (~7) + 3=1Т; аз = -2а^ + 3 = -31. ч| АрифМ1‘тич^С11:ая npofpeocuji — это число вял посдедова-тельцоеть 0|, 01^, ..., 0„, .... каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложекаочу с одним н тем же числом d (ввзывавмын радцоетыо арифметической прогрессии). Геометрическая прогрессия — ото числовая пооладоав-тельность .... ....первый член котороА н каж- дый оо член, Евчиная со второго, ранен предыдущему, ум воженному на одно к то же, отличное от вуля число q (навываа-мое эидмецателем геометряческоА прагресн:вн), т. е. Ь^-q, где " " Форнтлй qflmero ЧАиНп. Характарметачг-ски« ciKiAcTuo н„- . Я>1 ^ 2 f*>l Сумчл п пероы?( 3u]4|a-L)^/ 2 и 1-5 c, M-Oi ,, SA П -111!! •! 1 Алгебра 7—9 классов (левтерв^ки^} ■Задача 3- Найти четвертый_ч.'Еен аркфмс1'пч№Кцй прогрес^ сии, если d--^. л Пи формуле общего члаия арнфыетнчвской прогрессии Задачи 4. Найтн довятий и первый члеЕ1ы арпфиетиче' ской прогрессии, если 0^=16, 0^-11^=21^16=5, а, = о, + 7((. откуда =Ojj-7c/= 16-7'5= 1в —35 —- 19. Задача 6. Найти пятый н первый члены геометрической прогрессии с [[олпжитБляаымн члвиамн, если Ь^«54. 6^ = 436. ЬдЬд V‘54 ■ 466 = V54 *54 . В = 54 ■ 3-leS; - 16Я :54 = 3; *^=5,' откуда -Ь^ :д**54 : 3^- Б4 :Й7-2. ^ ^1адача 6. Найта сумму первых деслтн членов арифмсти* ческой прогрессии, если а^=—5, d = 6 S ,10„ Д ■1о,(-ю+54>'5=аго. ^ Задача 7. Найти сумму перпы* секи членая арИфнетичО’ скай прогрвссин, если о^=4, —42, ,7-ЙЗ. 7 = 161. -4 Задача 8. Найти сумму парных шести членов геомегриче-скйй прогрисии, если bj--16, 4l-'-‘'> “Т ю I . J---1------------J----_-_.-31-. 4 i-1 * JJ-Л __ а * 3 2 Задача В, Вкладчик поместил в банк □ рублей под еи(еГоД’ ные р'И), Какую сумму ом получит через 3 года? [- Через год на вкладе будет ^ рублей. Че- 1»ез 2 ту^да сумма вклада увеличится еще ма р%, но уже от суммы, которая оказалась иа счету черм год, и стаыет ранной \ 100/^ \ 100 iJ 100 jooA юо/ \ 100 f § 10 55 прогрессии и слажмыв проиинш _ р_ К1Й Черед Э года на счету будет +'^5 )*} -“(' + -1мП' + Тм)-“(‘+мо)" Формулу общего Члене геометрической прогрессии. мпн-саинуш & виде нйаывают tiiopMt/Jfiti ^лолискыд: прлцрит(ул, Задача 1Q. Банк ядчнслнл по вкладам Ч'Я» годовых от суМ’ мы вклада. Бычирднт{>, сколько денег получит вкладчик черев Б лет, если он положил на счет 10 000 рублен. . Пуркную сумму денег (t найден по формуле сложных проден' ТОЙ при = 10 000 р,, р=Л, л= и! fr = I0(W0n +0,0-1)^= 10 00012166,529, т. е. 12166 р. S3 к. Упракнения --------^-------- 1Т0. 11оследовн.тельтх;ть задана формулой и Найти а , Выяснить, являютсл ли числа 122; 92 члевами этап ооследовательыости. 171, Числовая □оследо'ватшгьнастъ задана рекуррентной формулой =3л^+2 и условием ■*, ="^' Записать периыс четыре члена этой послеловательностн. 172, Найти лервые пять члеиея; 1) арифметической орогрессни, у которой а,^0,1, d^-0,2; 2) геометрической орогрессии, у которой b,—0,l, 5 = -0,2. 173, Дана врифметпческая прогрессин а|. а^, ....Найти: 1) «1^, если а, = -Э, J = 5; 2J если rf=*-0,5. 17-1, Д«нд геометрнчеенан прогрессия (*,, ....Найти; 11 hj, если 5]=*10О, ? = -0,i!i! 21 если hy^-27t 175, Найти раапость арифметической прогрессии, если; 1) а|«16, Од=-6; 0) Я|=-3, П||=Й, 170. Найти эпанеицтелк геоиетрической прогрессии, если: U 21 б5=-0,08, )77, Вллыость арифметической прагрессии раина -2,а, Найти если а 11 14.5. ■ те. ЗиалшЕателъ геометрнческай прагрессли рввеи llail'i'H если i)j. »■ 3,2, 179, Найти диелАдцАтый л первый члены ырифметичсской прогрессии, если: 11 (|,,= 13, 0,11 = 7; 2) о,,—14. 6, 56 Г=ав It Длгебра 7—9 <лвсс№ (псрьтйреине! ISO, плтый и titpubiU члены геометрической прогрессии с положжтедънымы членцни, если: 2) b^=^G, 181. liuJiTH сумму п первых членов врифметичвской шрогреисии: 1) &, 0. 13, «ели «=l4j 31 3. -3, -в. если п*-12. 182. Иийтн сумму I}. первых члеяон гсюметриясской прогрессии: 1} -1S, -4, -I, если FT-5: Т 1 Т «ели лев. ' 1в' 8’ t* 183. На^ти U, и с/ арифметической 01КИ'ре№НН, если: 184. 1} д« = 20, S,= 102: 2> 0^=0, Sj=9S. *а ‘'(1 Найти Ь, геомотричесной прогрессми, если; -/=i. s,= 15 4 ' й,— 185. 186. 187. 188. 189. 180. J9l, 102. ШЗ. 194. НйЙТИ число л члевов геометрической орогрессин, если; J) bj —5, 3) 17^3, S^.3T8. В арнфмепсческой прогрессив а. =-10, d'=0«3. Мри ивки* л ВЫПОЛнвотсв неравенство а^<27 Найти сумму первых шести членов арнфметнческой про' гресепк. если д^«--10, -в. Найти сумму членов арифметической прогрессии е пвт' иалцитато члена по дмдчдтт. питый включительно, если а^ = 3л + 3. Найти сумму первых пяти членов геометрический прогрессии, если 6^'■ Найти первый член и зийменетель nwHeip и ческой про* гросенн, если суммн первого и четвертенч» членов рдпна 37. л сумма второго и третьего членов равна 18> Три рналцчвых числа х, р. г образуют в уквзвиыом норяд-ке гсометрнчсскую прогрессию, а числа х, 2р, Йг образуют а указнпиом порядке арифметшескую проГрЕспгю. Найтп знаменатель геометрической прогрессии. Три числа, сумма которых равна 7Я, образуют возрастающую геометрнческую прогресскю. Эти же три числа являются первым, третьим И девятым членами пекоторой арифметической прогресевн. Найти большее лц отих члеел. Клиент коммерческого банка положил нз 4 гида под %% годовых £б0 000 рублей. Какую сумму он получит по истечении у±£азвныогй срока? Попудящкн некоторого микроба увел H4ifаеетсн ежеднеино НА 26%, Какое количество микробов станет t ыселедуемиЛ колонии через неделю, если цзивчильно их там было 10**? $ 10 57 Прогрессии и сложные проииенгы §11. Начала статистик1я Статистики зцвиыается сбо]шм1, предств:вл?н'11ек (н{)глял-ным предст-авлеыием в виде таблиц, дингр«)Мп4, Графлион) н яввлиаотм ипфармгдции о количмтнснных ХйрнкТЁрнбтнКах со-бЬЕТИ^, яялоиий и Е^ОИОКуЦЕЮСТеИ объсктов.. Однотнгтяые СЕ&ьекгы mohceid сравнивать ао различным. ЛА-рамегграм.. Мааример: российские вюаеты mowro срлаштать ио Кимикалу, вису, диаметру^ юношпй цдпого класса мсокыо срнв-яивнть по возрасту, лесу, росту р т. д, Ка^ыЛ из вяавалнык Епраыетроп (]сажлля из велнчий) пожег приипкат11 пекоторыс числолыс алаченпл, В лтлтистике исследуют солокусгаости чвсловмл значений конкретимх пели'Еии. Пря зтом всю совокутшость даыыыл на-эыЕнлют генеральной соаокрпнастью, я любую ныбраиыую иа нее часть ^ &ыб(>ркай. Выборка яавышыггол ретгре-№ПРи1тиднЫ{ (от англ, roprescnta-tlve ^ □рсдставитедьный), если ИмСЮщиесн в лей даяпые находятся 1трпмерно н тех же нроаорцнлл, что и л гелерЕ1Л1,вйй сп-локупипстн. Совокупность Данных иногда можпо оиврзктернзйвать Одним чнелон — Мерой 1|ентральной тел^ядиы ее элементов. К TitKHM хариктсрнстикам относятся мода, мелнйиа п среднее. Мода — это HaH6oa№ чдстсе астре'чающееся в выборке зыл-чеине. Налрпмер, мода выборки 5, 13, 7, й, 14. 5, 7 ралла 5, а выборка 7, 5, (3, 7, 5, 14 имеет две моды: й и 7, Медиана: 1) энй<1ение серединного члена □оследанателкно-сти данных выборки, расноложеинык б порядке нцзрпстан'ИЯ' {ялн убыввчття) их эиа'ЕБннй, если количество элементой лыбар-КИ — нечетное ЧнсЛо; 2) средпео арифметическое анвчеипй двух соседних середниных членов последователььости данных выборки, расположенных а норядке возрастал на (или убыпа-ния) их значсннйт если колинеспи} алементол аыборки — четное число. Например: I) медиана выборки 1. 1, 3, 7, Я, \Z, 15 ранпа 7; 2} медивнв выборки 1, 1, 3, 7, 1S, 15 рввнв 5, Среднее — это среднее арифметическое 9ЯЯ''[ений всех дан-Н1ДХ выборки. Например, сродним выборки 7. 1Й, в, 11, 3, 13 7+ 12 + 8 i 11+3+ 13 является число 9, PaJMax вариации — Э1'0 мера изменчивости, рал пая разности между Еоибодыинн U ввиненьшим значениями данных в лыборнв, tlanpKMep, размах выборки 36, Й. 57. 13, 24, 38, 105, 57 равен 10&^2 = 103. Относительная частота события А в данной серии однотипных нспытачий (обозначается ^Г(Л)> -= ото отношение числа испытаний М, а которых события А проидошло, к чис- jVf лу всех □ропедендых иснытипий N, т, о- IV|A)=^. 5fl f nl.: ч I g Алгебре 7—Э классов (noBiopehiHel Под статистической йсролтностыо Р(А) поннняют число < {ЖИЛО которого колоблотся относительнал частоти событии Л при большом числе Задача 1. Жилыхы ыемоторого ДОМА (продставлякицне собой репрезевтативиую выборку иа геверадьяой совокупности — жителей acicoraporo района) учдстаоанли ао Е)оероссийской не-peitHCM РА^^ланяя. Обследовав ные люди fitx количостпо N •= 160) распрелслидись по десяти аоэрастпым подгруппам так: Во:|р»СТН0Л ИПДГрупиА О гМ 1 о Е* Щ ч 0 м 1 *-4 0 <о 1 f-M н О 1 ■rt Ё Ч О 1П 1 Ё 4 5 1 ьО- 1 О 1 щ а Ш 1 t- и V Ш \ Й 1- Ф Ч О о т»4 1 А Rouep подгрутты ) 2 3 4 5 е 7 S 9 10 Калнчастйо людей (чН(.-ТЕ]Ти М у подгруппе) 10 L7 20 34 30 19 14 UI 3 1 С помощью таблицы: 1) убедиться я том, что сумма частот ИМ совпадает с объемом выборки 2) вайти относительную частоту W люден яо.^рвета от 31 года до 40 лет в лредставлсняой выборке; 3) построить полигов частот преДСтаВЛеввЫК ДАННЫХ, 1) 1:М-10-н17 + 20 + 34-ьЗО-)-19-Ы4-н10 + 5-И = 160-Л?; 2) «0,22= 22'ffi; 3) водигои частот данных таб-N 160 лиды иаображен ва рисунке 42, ^ (f ri 5Э Начала стй1тиггн((л Отклонение от среднего — рлэвость между аначеииями аленента выборкн и среднего. Центральную тенденцию выборки часто оценивают с ттоио-щью сум-мы кеидротои все?! отклонений элементов выборки от среднего. Задача S, Два стрелка сделали по 3 серии выстрелов ао мншспям (в серии 10 выстрелов). Результаты стрельбы представлены а таблице; Hoidap jCepiiH Р-е^ул^тйт 1 ’ГЧ стрелки Результвт Й-го ЕТрЕЛ!» (очкл). aj 1 960 2 920 №6 3 970 940 Суммарно каждый на них 1габрол очков. Выяснить, кто ио этих стрелкоп более стабилен в своих результатах. Г ' Среднее аяачеыие результатов стрельбы каждого ил претендентов одно н тр же: й-^,950. 3 Найдем сумму квадратов отклонений'от среднего для каждого из стрелков tf внесем их в таблицу: Номер СЁратч Отклйпешш от П Квадрат етадоневия от п rtj “Я «г-" fni-Fi)® 1 ш -Б 100 2Ь 2 -30 1Б 900 22h 3 20 - 10 400 100 Суымл 0 0 1400 ЗБО Тцн ийн 350<1400, То очёнидно, что второй стрелок более стабилен В своих результатах, 4 ^^3 60 Гли90 I Алгебра 7—в илаееой (поетарйниа) Упрдмнения 195. Нлйти шоду ньгборнн 25, 40, Sfi, 40. 31, 40. 19ft. Нвлти медиану выборки, предварительно упарядочиа еи^ 1) 13, 21, 6, 4. 11; 2) Ь 12, в. В, Ю. 2, 197. Найти града ее аиачеште выборки 1, 3, 1, 5, 4, 8, 3. 198, Найти размах выборки 0,8, 0,2, 1,3, 0.0, 1Д, 1,5, 199, L) НйИти (П'иоеитвлытую ча&тоту события А— ноявлеыил орла а серии испытаний, состодщей иэ 500 падбрасываный монеты, а которой opa.'t иоявился 254 рпва. 2) Найти огногительную частоту событна А =— выпадения трех оккав в серии исйытаикй, состоящей ил 1000 бросаний игралапого кубика, в которой, три очка появились 154 ])япа. 200. Найти моду, ыеджону. Среднее и размах выборки, внвчр* яия влемеитов которой DpeACTaBaeobi в частотной таблице: а 4 Б в 7 и 110 Частогй ДГ 1 3 4 7 А 9 й 1 § 12, 1Множества 1. Множество к ei4) элементы. Подмножоства По пятне мноисества а математике относится к неопределяемым (подобно, например, itoHKTJtnM числа и точки). Вместо О пределен и л приподлтел примеры ряалычыык мкож{!СТв; 1) множество жителей городи: 2) множестдо точек плоскости; 3) мвожестгао натуральных чисел н г. д. Пред меть! ilJltr ноннтчя, из [соторых состоит множество, иазылшот ет влементями. Например, число Ь — элемент йно-шеетва натуральных чнсел. Элймспты множества часто сбои качают строчными (малыми) буквами, а сами множества —■ прописными (эагляирыжи) буквами латинского алфавита. Тот факт, что элемент х лнлвв'тся плснеытом ыножестаа j4 записывают Так: ДСА (читаелч;я *х принадлежит А» или *але-мепт X прннпдлеж.ит множеству А*), Экиись xfA означает, что элемент ЛГ ИС прпиадложнт миожесгву А. 2 Например; ^ множество натуральных чисел. Считается, что множество эаддпо, вели □еречисЛЕпы все его элементы или наввапо Хараитернетнчеекм свойство, по ко'-торому можно судить, прииддлежит или не пр1тядлежит данный элемент рассматривоемому ипожмтну. 13 61 Мжзжествв Перечне л немые элементы иножеегтва ссринято авннеыДАТЬ Q фигурных скобках. Ннирнмер, |1; 3; 4; 6} — ННОЖестРО, соетоящое из рераык пяти натуральных чисел. Это же множество (обоэнячкм его М) можно атшеать, сформулировав его ка-ракт^рнстическое паойстло. иаирнмер. следующим образом; M = \x',xi^N> 1Сл<5|. (1) И этой займе и эафкксыровиио. что мвоиееспю М состоит из эленеытоь х, оСлндающнх перс чн елейным и после двоеточия свойствами (двоеточие заменяет слова iraHuXi 4Tpt). Запись (L) читаетсп так: •Множ1(н:тпо .Vf состоит иэ элементов х, таких, что каждый на ынх ярлнетря иятуральным числом и удовлвтиа-ряат веравеястау Задача 1. Перечислить элементы ыножестда Л. заланпо1Ч) характсрнСТиЧЁскнм саойстаом, если Л~ jf? JV, 3j:*-7jr+3=0}. [ ■ Элементы множества А — это натуральные корни уршшепия 2г^ = 7т + 3=0, Среди Кореей уравнения только jCjC /V. Ответ. {3}. Ш Если бы а задаче 1 уравнение ре имело рр одного натурального корпи, то в ответе следовало бы у кидать так навыпа-емое пустое множество (не содержащ#о ни одного элемента}. Пустое мпожество □блзначается знаком 43. Множсотен, срстоящне но одних и тех зкс элементов, называют рояпылш. Если множества А к В равны, то эадисыла-ют Л = В. Например, если Л = {2; О; 3}, Е~>(3: 2: U}, то очепнд-но, что Л=Л, Если каждый элемент мдожестиа В является л элементом множества А, то мпожество В риоывдют ^т^МНОЖеством (частью) множества А п зян1гсыяя№>1' ВсА ИЛИ А-В. ТаКал заиись читается как «(множество) В содержится а (ыыогкестве) А« или «Л содержит В», Например, иодмножестванр множества (а; Ь; с) являются следующие в мыожеста: |в}, {ft), (с), (я, ft), (в, с), (ft, с|, (и, ft. с}, 0. 0чеа»1Д11о, что любое моожество является еионм подмножеством. а лустое множество считают' подмножеством любого дру’ того мноисества. 2. Рааиость мрожеств. Доиолнеияе до пгрожества Пусть кмеются два множества А к В. Их элементы нл ри-еурке 43 условно иэображепы частями ПЛОСКОСТИ, находящимися внутри аамкрутых линий Я наеыьяемынн кру/ами Эйлера. Множество С, BBBMeNTrLMK KOTOpOiX} являются все элементы нпожБстяа А, не при надлежащие множеству £, напывают рал ностью множеств А тл. В я записывают C=A\.iD (на рисунке нно-жясгно С закрашено). 62 ' Q I Алгебра 7—9 классов (повюрение) Прнивры, 1) Если А=]а, Б = if}, ТО Л\5 = |й}. 2) 1 Если Ax^ja, Ь, г}, В<^{с, rf}. тоА\В = (о. &[, 3} Если А^(а, fi), ^ i-fc), та А\Д'-[а, й}. 4} Если А>=(а, й}, ^-{я, Ь, с}, то А\В-0. Если ЙсА, то резкость A\jB низивыот дополнением ыпр-жсства В до иножоотвд Л (на рисунке 44 доподнение закредоеыоЬ 3. Чнелойые множества Школьный курс MATOifdTHKif ндчинеетсд с неунсннн мио-Ж0гтва натуральных теел, т, ё. чисел счёта Х, 2, 3< '!« 5, . Дополшхя множество патуральныд чясед N вулем и отрире-тельными чпеламн. получаем множ^тла 1^елмх чиеед Z, т. е. чцелд О, ± 1, 12, ±3, ,,, . Дополняя ыиожество ц^тыЕ кисел обыкаовенными дробя-МР1, получаем множестоо чисел Q, т. в. чисел вида где т — целоо число, я — иатуральпйе число. Очевид- Л ко, что при этом любое целое число нэляется рпцион!1лытыи, TftK как может быть представлеио п виде =. Напомпны, что любое рациопалыюс число может быть прсдствлЛЁыо в виде бесконечной цериодичеекой десятичной дроби. Дополняя ыиожестно рацноиальпык чисел иррациональными ЧИСЛАМИ (Сеокоиечнынк непериодическими десятичными дробями), [ЮлучйЁМ множество всех дейС1нонтельных чисел ft. (Хпнсаниын Бышё ироцЁсс расширЁнил поннтнл чмелА с тго-мощью кругов Эйлера паображен на рисунке 45. Испольдуя симводш^у теории ниожеств, можно, например, СКАЗАТЬ, что множество С»^?\ЛГ есть допаливные множества не-турЁЛЬВЫК чисел до миожестел целых чисел, т, е. является множеством чисел □, —1, —2, —3, , 4. ПересеченкЁ н объвдипснне мно-жестл Множеспю С, состплщце на нсек ддо ментов, цринАДДОЖАЩИХ КАК мкожеетяу Л, ТАК и множеству В {и только H4I этиле ВЛЁ-ментов), называют пересечением множеств А к В, Этот факт .lamicuwuaT следующим оЁрлэо»: С=АПВ (НА риоунке 4б эдкраше- (3© 1.-’ Л*С 63 Множества iro пср«;ач{!ИИБ ;ииоже[!тв. Л у £). Зинк П нпаыпБптгя лияксм г[^{^сач'еш1 н. Шггрпмер. (.1; 3}n[1: '1)='{1: 3|; шересечЁВйен лучей СА и BD на рисунке 47 Авляетсн отрезок ЗС. Мнансрствв. псросвчспие которых есть пустое множсстпр, Егаэывают кеяе-ресеканпци-мися- Илпример, м^южестен (а, и {0; {1: -й}п[0: = ^1исло 1. и только оно. нвлается как корнем у]1ввнен нн, ток и решением пера лев стра рцссматрнлнемой системи. М-ыонгестао С, состоящее из всех тех и только тех влемеытое, которые п.р наАдлежат котя бы одному из мавясеств Л и 3. нйзм-HOH9T объединением мвозкестл А н В, Этот i^iakt ;шгтсыиА)ПТ следующим образом: с-лия (на рисунке 4S с помощью крутон Эйдерд иообрдженм множества Л п Я и аанрашено лбъедииенис этих множеств), Зивк U называется знаком (>&ьединснпн, Например, {I; 3|'J|]; 3; 1^ = {1: 3; 3; '1>|; объЕдинением лучей СА я HD ил рисунке 4Т ивляется прямал Ai>; решспис неравенства х^—5дг+в--0 можно записать так: (-do; Я)и(3: 4-oq). Задача 3. Решить урдлкенне (J? f ll(j“-4)=t), (U - Произведение многочленон рапио нулю, когда хота бы один на них равен нулю. Рещаем уравненкя (его корень н 1^-4^Й (его корни х, =-й, х. = 2>. Множествй корней исходного уравнеияя {—L —2; 2| лвляетсл обгьедипеыием MHOMteCTb корней уравнений х+ 1 —О и X*—4-0, Решая урзпмевие (1), мы ИСКАЛн значения х. которые удовлетворяют хотя бы одному нз уривиеиий г+ 1-0 и 64 ' ijrjfe- -. II Алгебра 7—9 iIcaaccoa (мо&тснрение) лг*-4~0. В этом -случае говорят, пго petuemie уртэнення (1) СВ0Л11ТСЛ к рсшевню совоку1шо<7пт урввнеыяй, и сишуП х + 1 = 0. jf^-4=D. (2) Замечание. Б школьяых учсбывкйх сйвокуаяость уран-меиий знпгт(!Ы1и1тт перечне л епием. Совок зшнйсть (2) Ложно залясать так; х + 1 — 0, х^-4 = 0, Залачй >1- Решит!, нервэеиство (х-5|(jf + Э}> 0. I ' Проиавадевнл двух мноаситЁлен полозкнтельво, если оцн одного знака, позтому рещапие всходного йеравеоства сводится к ре!П1ЁЕ1Ш1й совокупаоетк снгта» иеревеястл; д-5>0. г-н3>0, ' I- 5 <(», Jc-l-3<0. РешйЯ систеыи дердввветв, входящяб^ б со-вйкутЕностъ. ло^ Гл > 5, л]гчаем совокупность их решелий: I jf<_3 ()трет, (-си; -3)и(5; -1-™). ^ Вопросы к 5 1 г 1. Какими ciTOCOOfiMH :м)дзютсн множества? 2. Что тякоЁ оустой множество? 3. Какие мложествв начинают рвенмии? 4. Какое инож^тяв называют подмножеством ддняого мло- жестад? б. Что называют рдапостью мноясеетв Л н Я? 6. ^(то лазылЯ10Т лоаодкенлац мпо9кества X до мложесггвн У? 7. Что лаллется дополнением множества делык чисел до множества рациональных чиоел? 8. Что пвляется доиолневкедс множества раииояальлнх чисел до ииожестаи де£стаительаых чисел? 9. Что называют перееечежием ивоЖестЬ А и Л? Ю, Что является первсечепнем множестяа целых, чисел с мно-жестаои деОгствительцых чисел? 11. Какие множества называют нспереевлдющимпся? 12, Что называют о^едннением множесты А и Н? 13, Что является объедимениеш множества нлтуряльпых чисел с множеством рациональных чисвл? 14. В калом случае объедиоенне множвдтв А и В равно поре* сечеыию этих .множеств? 15-. Когда рлзност'ъ является дополнением множества 3 до мвоЖЁСТЯЯ А7 I ? G5 Мнйжеетэа УпрсЭЖНеНИЯ З^Лf, -2iM. если 20tp Bc^piT« ли №пи{!|> ЭеМ, Af^Ui U; 3; 4; 5Г? 202. ffyiCTb A — 1Я1Г4Ж№ТНО №^x (штуральаых рцелитвлей ^зисла IS. В«рно лн, С-О: 2^ 3>, 204. ЬСё &ЛЁмЁгты ииожсства: 1> A=U:jc€N, г*^5>; C=|д::дr*-6^^-&=0^t 2) М^{з;ае2:. 4) X* :jc* + 3x-4-0}. Нл плоскости отксчскы to’iku а и в. Охврлктррп.'^овать множество Точек М на ллоскостп, гвких, что; 1) |М;ЛМ=2^5 2> {М'.АМ^<МВ\. 20в> Нлйти лопол1геыие нвожества А до мпожостлв В,, если; 1) 4={-5; -4; -3J< В=(-5; -4; ^3; 2}; Й) А=Ьи О}. S=f-Z: -1; О: 1; 207. Найти А\В н В\А, если: 1) А-(4; 5; в), Я = (-&; -4; -3; -2); 2) A^fl: 3; ак Д = {-1: О; 1); 3) Л-i-l; 0: 1; 3; 3), ^ = <1: 2: 3|; 4> Л-{5; 6; 7}, Й~1-Б.5; -0; 6J. 208. Seiui, что л/ — мрожество Нйтурй.тьыых. Z — мвоиспство целих, ^ — чкожеетво рецнональпых, R ■ мпожсствп дейстонтельных чисел, вайти; 1) 2) H\Q\ 3J 4) S\Z. 209. Нлйти A Я, j4 'J Я, если: 1) A-^д; bi c}. Я = 1а; b)i 2) A = (a; B-{c; d}: 3) A-^o; h], B = 0i 4) A = |u}: Я-{с; tl; g). 210. Найтп АГЯ Н AuB для ивоЖесТв, уквавинкиЕ в упряжяе-ННН 207. 21!.. Нлйти пересечение н о&ьедииеиие отредкрн [1; 71 и [3: S]. 212. Найти пересечеиие н объединение отре.'знов [0; 3] и [6; Т]. 213. Записать DepeccHeiiHo и объединение мгожестнв корней урявненпл J -l-9jr-l0 = 0 с множеством корней урдвиеаия а-^-Зх 4*2-0. 214. Звпнсать решение неравенства r^-7x4-0?0i нспольнул символику теорип нножсетв. 215. Записать нпажсстло А натуральных делителей числа 18 и нпожество Я натурдльнмх делителей числа 45, Найти А П Я. Чек но отиошеник) к числам 18 и 45 является ндиСолъ^ шее из чисел, принадлежащих множеству А П Я7 21в. Пусть С — множество 'тнсел, кратных числу 18 (очовнд* но, оно бесконе1[ноК д D — миожествй чисел, крвтпмх 66 || .| Апгебрв 7—9 илесии (оавтарание) чисЛ}Г 45. ОхириктернэонАТЬ элементу кпояглствя СГ|/>-Как вшхывветсл накмевъш№ и» чигсел. ярляющееея зде-чеитам мпоясества CriZ>7 21Т. Найги ЛпЛ, еслн А-{л'.\х\<Ъ. JttZ} и S = (jf :1х-1|<7, хеЛГ), J2ie, Найти Ли-S, асдд A={x:a^-Gx + 9<0J и xe_Z|. Й1,9, Найти ЛиВи€ и АПВпС^ если: 1) А^{-2-, ^1; О; 1; 2; 3}. B=\-U О; Ц 3; 3; 4j 6(, С-{0; 1; 0: 3; 4: -1: -Й: -3); 2) Л-1х;х<11. В = {х:-Кх< 1. xeZ), С = {х:-а<х<01. £20, Пусть Bj — MHOj^ecTBo &сех калл|^атоь, Dj — мпр?киство яс«х о|мшоуп>льнжкап, — ыножесТ1к> лсех [шмбоь, — множеетво всех DapaJutBAorpaMMon, £1айти ныожества; П J 2J iJ, 3} 4) 5) 6) DjUJ?, UJP^UC^: 7) В^ПБ^ПО^П-О,. £21. Оформить решение уравнения, используя еннволиху тбо' ряи шшжеств: 1) <х’'-1в)(25-х»)=0: 2) (г*-1){х® + х + 3)-.0. £22, Оформить рёшениё нервненствй, нслольэуя символику тео' рпи множеств; П (хН-3)(2х-1}>0; 2) (Зх+2)(х-4)<0. £23, {^сщнть сговокупжость урвлвеаий: 1) Гл^ + 4х + 4=0, 2] [tx-3| = a, L2j"-x-1=0; [г*-7х+10-0, £S4. Решить совокутЕжость иерааеиств: 1) Глг^-49<0, г)| 2х-5>х+1, [х^-Эх+И-еО. § 13. Логика 1. Зыскозынныне Любое утверждение, о котором имеет скисл говорить* что опд pemuHHo (аерио) или ЛОЖНО tневерно), называется еыски-зыв^ныедг. Например, вмскаэыяяяпямп янляютеи слвду»щне утаерж-леиия: 1) число -10 яяляе'гся целым числом {это утверзкдеяке истнпно): й> Волга вввдД|ет н Кесйийсиое норе (истинное утперж' деиие); 3) 3>3 (ложное утверждение). Иа каждого высказывания v можно получить новое высвдэыванне, отрнцвя его, т, е, утяерждпя, что Еысяааыаанне V цв имеет места (не ныполннется). Такое выпказывяяие будет t -I 57 Логика либо истижио, либо лажЕго. Е.ГО называют Qjnputt(i>t.iti?jK РЫСКМ-JtbJHAHHfl V и иболпячают й (чыта«тсл «не vt или «и с Например, ллл !1МЕ(Г№а91<1ВЯНИЯ w: «числи 7 — четное», высказывание и можно сформулировать следующим обраутом: <чис~ по 7 — нечетное» или «число 7 ие являетсл четным», ,^метпи, что здесь аысканывание ложид, и выс1сдзыва1ше о истинно. И В других случаях, если одно из выл казы ван lift и или о истинно, то другое ложно. В таблице ЭНииСнны примеры высказываяиЁ и их дтрицд-Н11Й с исЛОЛьзоНвпием МАтематвчесно!^ символ нкм. Бы сказы ванне и ВЫ.СКЬЗЫ1Ш.ПНС и ■1 + а-^7 (нстттнв> -1 + »f7 (ломшо; (ложно) (кстяпко) ^^)€Z (истюшо) -JO^Z (ложею) (Н(1ТННПО) (ложаи) {нстннно) (ложно) 2, Предложения О перемеяиымк Математика часто использует утворжденил, .’М1ННСЯЩ140 от той или иной персмсняйй. Например; I')i jc > 0; 2} треу|'оль-' ник АВС прямаугольный. Очевидно, что для одаих значений X (и первом примере) и одних треутльынков (во втором примере) сформулированные утнерждеынн истинны, а для других ложны, Утперждеыця йодобного рода ыааыпашт пр^^длажениямц с переменной в обиаввчают р(т) (в случае аависиырсти lvt двух □ еремевных продложеныя обычно пбозначлют ptxi у]]. Для каждого нредложеиня принято указывать, ад кысом иножест-пр X оно задано. Если множество очевидно, то его обычно не указывают, Пдпример, иредложенир р(|х): 3x^ + 5jt-2-0 является уравнением, корни которого предполагается искать и я миазкветве дейетвнтельнык чисел (его корнями являются JCj = -2). Если бы требовалось, яапример, найти тсчеьно цело-ЧИСЛ1ПШЫР корки этого уравнения, то задача была бы сформу-лироввид следующим образом: 3jt“+5x-2^0, xeZ (репшаисм текого уравнении явллвтся Х‘*=й). Множество Xf на котором задано предложепие мож- но разбить па дня подмножеспн): одно содержит те элементы X, для которых предложение /:(х) лстныво |сгт> ттазыкают мкоуе-е-стнпм истинности), другое = для которых д(г) ложно. Е:!сли Б0 '■ й I ' Алге&ра 7—Э ктссоа [повтара*ьие( af'PBDff ti3 тюдмяожйстн обо,1:начи:ть A, то второе будет мпожо' сгйом А, От ев ид ко, 'гто каждое из мыожеогв А и А яалястг,я до-□□лвБвнем. другого до множества А*. Например, мкожествогл ucTHHHWTM Л цераненстйй — 1 <0 является интервал (— 1}, в Множеством А яеоЕяетсл доиолне- аие зтого квтервалл дн множества всех дейстнительнык тисел: (-Ой; - 1]и 11; + ю). Дна предложения р{х) и заданные на одном и том же множестве, имеющие равные множества истинност и, называют рыляОсильнылги. Нннример, предложеиия и |х|С2, ЯВЛА' ющиеся неравенствами, рлвноснльиы, так как у ынк однне1ко-вые множества истинлостн — отрезок (=2; 2J. Предложение р(г) ((треде-ленное на ивожестве X) называют отри-Цачием иредложения pix} (□пределешюго на Том же множестве АГ). если оно обращается в и(гтииное (ложное) выска-зывкане для тех и только тех ене<1ениЛ х, для которых ptx) ложно (истинно). Очевидно, что eiiJin А — множество истинности нредложе- 1ШЛ р(х), то А будет множеством истинности предложения р(х). На рпоупке 49 с помощью Кругов ЭАлерв п-йкаввыо соот ноше-пне между множествами X, Л и А, 3, С*1МН0ЛЬ4 общно(г™ и существовапип EbiJiH в математике хотят сказлть, что некоторое пред дожевав р(х) вврно Для вс:ех xtX, ти Зй1шсы,вают тик: (Vx)p(r)> Знак общности V — перевернутая первая буква английского сдовн Aij (все) заменяет слови «для любогоj», «ДЛЯ всех», • кяжлы!^*, 1!к;ля котят сказать, что предложение истпппо хота бы для одного значения xflA', то загтисывпют Знак срщсс1Лвования !Е — зеркнлько стражянияя порвав букна английского Слова Exists (существует) заменяет слова 4существуот*, чпайдется*, «хотя бы один». Каждое из »1.[скйзы1ПЖИЙ (Vx)p(x) и 13x)jj(x) может быть либо нотиыным, лнбо ложным. Например; 1) если прелложечием р(х) является неравенство |х|>0, то истинным будут ti аыекязывйлие (Vx)p(-T). п яы-сквзывапне (Зх)р(х); 2} если предложепием р(х) пплле1'ся не-рявеиотяй 1. то (Зл?)р(х) = истиппое выекаэыаание (аалри-«ер, нрн 1 = 2 предложение jtj(x) истинно: высказывание же (Vx)p(x) ложно (например, при х = 0,-'> предложеяне р(х) ложно). _________________________________________________ : бЭ Логи1св 0№«'Гвл(, что д,’1я оорооержсинм вида (Удг>р(х) достаточно при пости контрпример^ Т. е. арлиер невылалнаггид в1.[скАлывация р(д) бы для одного хеХ, А. Прямая н обрятвяй теоремы Мпогие теоремы в математике формулируются по следующей схеме: #Для любого элвыепта хеДГ из лредложеиия р(д) следует ареддоясение или коротко: (1> где вндк следования заменяет слова * откуда следует «тог-дп*4 «если..., то...*. Часто запись (Ij замевяют более короткой: pU)=^g Продложеяие p(x) д утаерждении (1) называется теоремы, а предложение (/(х)— аакАюч.епием теоремы^ Рдссмотрим несколько примеров. 1} В теореме Пифагора уоловмо р{х) можно сформулировать так: *х — прямоугольный треугольник*; заключение q(x): *Б треугольнике х сумма кводратоа меньших сторои равна квадрату большей стороны». Используя терминологию логики, теорему Пнфагорв можно сформулировать, например, так: «Ия того, что пеко1'орь1й т]«у]'ОЛЬник " прямоугольный, следует, что сумма квадратов его меньших сторон равид квадрату большей стороны*. 2) Теорема * Биссектрисы треугольника пересекаются в одной Точке* является краткой (удобной для заучнваыил) форму-лиройкой теоремы *Если фигура х — треугольник, го биссектрисы его углов пересекаются а ОДНОЙ точке*. Здесь условном теоремы лнллвтсл предложение о(х}: -Фигура х — треугольник (любой треугольялка азключеыием дпляотся ордддожея ие ^ (х): * Бисс актрисы углов фигуры х пересекаются п одчой точке*, 3) В теореме Впета «Еелн х, н Xj — корни уравнения х^-ьрх-1-7=0, то сйранедлнвы формулы х,-l-Xj=-p. Xj-x^j-fl* удлойием А(х5 является предложение; »х, и — корпи квадратного уравнения х*+рх + 7=0*. Заключение теоремы есть предложеыие m (х); *X|+Xj=-p, Х, Х^ = 5». Теоремы ji(x>=^7(x) п го урпвпония ж^+рх + д=0*. Традиционно теореме« оАрлтняя теореме Виета, формулИ' рустол так; *Еслн действительные 'желв р 'я. q таковы, что x^ + x^ = -p и то и являются корнями урав* ненин jt^ + px + 5=0*. Важно залть, что среди пар лзаныно ийрзтнык теорем p)Ge могут быть верными <как, например, для теорем Виетв н Пифагора); обе Moiyr быть нееерыыми; одна на иия может быть ьерной|. # другая '— неверной. Панркмер: L) црякал теорема «Если натуральное число окалчмввстся цифрой О, то оно делится на lO-i и обратная ей теорема «Если патуральное число делится ия Ю, то оно оканчивается днфрой Dr верны (встипны) обе; 3) неиоришмн лвЛяЮТсЛ Н прямая теорема «Сумма углов треугольника равна 360“*, и обратная ей тепремо «Ео.ти сумма углов многоугол1киика равна 360”, то этот многоугольнин — треугольник*; 3} Теорема «Дизгоняли ромбя ван-HMIIO пероевднкуляряы* верна. Обратная же теорема тЕсли диагоиали четырехугольника вэввмир пернендикудяр-ни, то ятот четырехугольник является ромбом* неверна, тяк как можно ста пример (коитрпрпмср) четырехугольника с аэаикко порпендикулярны-мн диагоналями, не являющегося ромбом (рие. 60). >5, Иеобкоциные н достаточные условия Ксли теорема p(x)^7tx] нериа, то ее условие р(х> называют д<}стат0чным для заключения п эдключе- пие (j<71х) н 9(х)=*р{т) ^прямая и иротнеоположиая обратной); Й) ы {обратная и противополозк- ная) — всегда одповремвппо истинны или ложны. Напрымор: — йрямал теорема «Бигсектрясы виутреяиих углов тро-угольвика пересекаютсл в одной точке* нстизЕна; — обратнал аЙ теорема «Если биссектряды внутронвнх уг.чов нпогоугольника нерееекнютч:л в одной точке, то этот многоугольник яв.'[яется треугольником* ложна {например, у ром-бд, двляющеиш^л четырекугольЕпкон, биссектрисы внутренних углов Пересекаются в одпой точке); — пратиеаположпал теорем» «Если миогоугольиик ко является треугольником, то бнссектрисы его ляутроиццх углов не пересекаются в одной TO'iKe* ложна (контрпример — ромб); — теорема, проти*/опо,'(ожмал оОрагпгтй, *Еслн биссектрисы внутренних углов многоугольника не пересекаются в одной точке, то этот многоугольник не является треугольником* истинна. Нередко докаэлтельстно iipbmdeI теоряны бывает затруднительно (в этом учащиеся убедились в курсе планиметрии). Тогда npHSoi'aMT к докозатсльстиу Mt'modoM от лропшаногп, которое заключается фактически а докээнтельстяе вмосто прямой теоремы р(х) = (/(х) теоремы, противоположи ой обратной. 72 iJi АягеВра 7—9 классов (повторение) Вопросы к § 13 I. Что иазылаетсл яысклзывааием? Zd Привести примсри истинвых и лонсыык ныскаэы8аяи(^| 3. Привести пример отрицания цввоторого высиазывавяй. 4. Привести Пример оредложенви с ввренвциоЯ. 5. Что вызывается множеством нстицвоетн? 6d Какие оредложБпнл нзлываютсн ранноснльЕЫМГН? Какое ррсддожажнс пазьшанзт отрицанием предложения pfx)7 В. Объйсввть з&ггась 9. ОбъЕсннть вапксь (Зл)р(х). 10> Как можыо опровергнуть выскйаьгвавнЁ II, В примере формулировки конкретной теоремы выделить ее условие |Н заключение. 12. Какие теоремы реяыеашотсв взаимно обратными? 13. Что называют достаточвым условием некоторого предло- ЖБННЛ? Ы- Что нвзывпвзт иЁОбкодвигым условием некоторого хгрсдло' л(ониа7 15. В каких случаях при формулировках теорем используют термид ^веобледиио п д^татдчяо»? tC. Какие теоремы шшывают озанмыо протявоарложными? iT! Какую теорему паиынают прттжвоположной обратной? 1в. В чем состоят суть доказательства методом от противного? Упражнонигк 225, СформулирОНАТь В:ЫЕКН3111ва11не о, есЛтн Известно ВЫСКНЗЫ-наыие о: 1) 2 = 2; 2} 3> любое нятурвльное число является целым ‘жслом; 4) у Земли только один естест-□ениый снутаик. Найти мновсвствр истинности предложения; 1) R — пвтурвльный делитель 'жсла 12: Й> А — натуральный делитель числа Ю; 3) - □ <:j< 1, reZ; 4) V-2j4 КО, Ш ff=-2, ei 3x3-x+3 = 0, x = 3; .-3^-1-1 = 0. 227, Найти мпоясество истпнвости для гредложеиня если да по предложен нс р(л1: 3> If (-ос; 4)u(5; +Л'|: 3)-л*-Зя:+4 = 0: 43тЧКО. 228. ДлиJta^кдoIЧЗ из предложений p{xj: 1) V7=&; 2) J|jcl>-2; 3) j:'‘-3 = 0: 4) *^h-3j>R определить. Истинным ил11 ложным является выскдаыВй-пио (VJ)pfJT); (3x)p(jcb 5 73 lЛclfищ 22Э. Для калщого из утверждений p(JC): 1) треугольник х — равнобедреиний'; 2) параллелограмм т явллется квадратам; 3) аписанЕый угол х равеп половине дуги« ил кото-рут он ориряется; 4> у тотырехугольникп jr сумма инут-реннмх углов равна 360° — определить, иотныыын или ложным лвлается высказывание (Vf)p(x); (Bxjp{x). 230. Выделить условие и засипочепие теоремы: 1) если сумма рифр числа делитсн на 3, то и само число делится па 3; 2) каждый член нркфнетичвской прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних с и им членов. Сформулировать теорему, обратную данной. 231. Сформулировать теорему, обратную теореме: 1) сумма □ротивонолйжпьис углов чатырвхугольнпид, впи-сдинорй в акружиость, рпвиа 160"; Й) если дае парад дельные прямые пересечены третьей, то образевавишеся накрест лежащие углы равны; 3) около любого прямоугольника можно описать окружность. Установить, нстишгон или ложной является каждая из сформулированных теорем, 232. Замеиить мпоготочис еловики -«иеобхолимо*, «лостдточ-н□^ или «необходимо и достаточно» таким образом, чтобы полученное утверждеыне было истинным: 1) '1Тобы хорошо ответить кн уроке, ... прийти в школу; 2) для того чтобы, сумма двух натуральных чисел делилась нв 2. ..., чтобы ятн чнелв были четными; 3) для того чтобы число делилось па 9, .... чтобы суммя его цифр делилась на 9; 4) для того чтобы числя Xj и JCj были корням» уравненпя jf^ + pjf + 7 = 0, чтобы Xj -Jj = r/. ЙЗЗ. ТТринеп'И контрпример, опровергающий утверждение: 1) в любой четырехугольник можно вписать окружность; й) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату трепи^й стороны; 3) i:yhtH3 чисел с разными эиаиями есть ЧИСЛО отрицятельное: 4) и равнобе-дреиком треуголкяике один угол гуной, 234. Доказать или опровергнуть выскаэьЕНйяне: 1) сумма двух носледопвтельных натуральных чисел есть число четное; 2) сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3. 235. Зядйпа функция y^hx + b. При каких значениях к истинно иредлижевме; 1) «При любим Ь графиком фупкции являотсп прямая*; 2) «При любом й?^0 график футщции рлрпллелеп ОСИ (Ijf*; 3) «Существует Ь, при котором грдфик функции совпадает с осью абсцисс*; ■1) «Существует б, при котором гра(})ит1 функции прпходг1т через начало координат*? 74 ГлaL:l I Алгебра 7—9 «.аассон (поаторанне) Проверь cofiflt 1. представить в виде степени -г 2. Зависеть число 0,00038 а сталдартвам виде. 3. Решить систему урпвнеЕгиЙ I vX + 4|/ ш* 4. Решнтъ систему ие!р&венстБ , Зх + 4у - а, &Х4<3>0, Э-. Быиести ниожителъ иа^псд зплка корня если г<0 □ ^<0. В. Решити уравнение Ьх + 3-ад*^0. 7, Построить график функции у^я*-&х + в. 8р Выписать первые пять членов посяедовательдости, зодап' ROit рекуррентноД формулой и^^^=-й' + 1 и условием а, = 2, 9. Найти моду, медиану и средиее аначенив аыборки 5, 3, 8, 7. 4, б. Ь'\!Ь Ь’ t. Вьтрлнчть действия; : — VVa-V^E Va + Vl)/ *“ sL Решить урали&нне |2зг-8| = Д. _|_ jr*-. rt t 3r +1 < о, 4. Извлечь корень 4а + 4, если ы<2. А. Построить трафик функции I а. 6. Найти сумму членов армфметическай прогрессии а|, а t ,,г.> с девятого по семнадцатый включительно, если а =2rt^3. Д 7 Найти ЛПВ и A\JB, если 2; 3; 4>, 8, Олровергаутъ утверждение: * Число вида —^—, где neJV, является целым числим», приведя контрпример, 9, Для нредлаисеанл р(х}± «Четьфехугольинк х квДяетсл пря-ноуголышкам», оцрвдвлить, ястнныыи нлн ложным является вмскввывание i(Vx)p(x); {3i}p(x), 10, СфориулыровйТь теорему, обратную теореме «Отрезок, соединяю щпй Середины двух сторон треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны». Верна ли прямая теорема? обратная теорема? Х1сн>1ка 75 Глава ш Ifl. ■ Делимость чисел Тольк'л понимание природы lupauntupyim. пакиЖйНив ШалМ()я/:иоети д^й^ттий над мили [| шглЮдЕгПНХ цд: CflfJCcmfl-Л. Эйлер § 1 - Понятие делимости. Делимость суммы и произведения Говорят, что цел№ ^шслы и айлится на ыц’ туральн№ Чйсло т, «?сли существует целое число р, такое, что а = тр. Число т называют делителем числа а, а число р — частным от долеиня а нд nj. Два натуральных числа назыилются взо ими» пррстими, если ср^дк катурдльвых чисел очи не имеют никаких общих делителей, кроме единицы. Папример, числа 10 и 77 взаимно просты, так квк натуральными делителями числа 10 являются числа 1. 2. 5, Ю, о. натуральными делителями числа 77 являются числа 1, 7, 11, 77. Наибольшее на натуральных чисел, являющихся одновременно делителями ннтуряль-ных чисел д н А, называют наибольшим общим делителем (ПОД) чисел а и Ь. Например, для чисел ы = 80 и их НОД равсп 4. Отметим, что числа а и h ваииыдо просты тогда и только тогда, когда их НОД ранен I. Рассмотрим свойства делимости суммы, разности и произведения чисел (буквами а п Ь далее обоаиачаются целив числа, а буквами Г71-, п, & а I — патуральяыя числа), 1) [!!слн а делится на m и 1> делится un т, то Числа a-f-b и а-Ь также делятся на т. £) Если а я Ь делятся нп т, то при любых 'Л и ^ число ko'i-tb делится ня т. Я) Если а делится на т, а Ь не делится на т., то числа а-нЬ и а-Ь не делятся на иг, 4) Если а ДЕЛИТСЯ ва их, а лг делится на k, то а дели-гея пя it. Гпднй И1 Делимость чисел Ц долнтлд 1ш /п, о b делится на п, то аЬ делятся ид тп. 6) Е^еля число а делится ия кпждпе но чн№-л т, п, причел 771, п ^ взаимно простые числа, то а делится кл. их прои;}-ведение ттш, 7i Ксдг « делится ии т, то а* долитсп на in*, Ог])Бничпмся докллателъсгвом утверм^дения 1. Если целые числа а v h делятся по натуральное число гтт, то существуют такие целые Числа /• и ?, что a = inp. b—mq, откуда получаем и-|-Ь = m -|-^^, a — b=fn[ft — -1-1. где h^-k-p — целое число, т, е. а^='1р+- L, Ч Задача В. Доказать, что число о = ]в‘“-2®* делится нв 31. I Так КПК 10‘® = 2*". то -2**^ 2^‘(Я''-1) = 31-й*'', откуда следует, что а делится на 31. Ч Задача 3. Натуральные числа 'вд + 3 и 5п и-1 делятся на натуральное число Найти гп. ■ Так как числе 8ш-3 и 5л I делятся ня ш, ли и число 5(8н-ьЗ)-8(5я4 1)=7 должно делиться на т. Но едннствеиное натуральное число, яе рншгое 1, на iforopoe долптся 7, равпо 7. Ответ, тп=7, Ч Зц,тачв 4. Пусть хну — такие натуральные числа, что число 5jf-h7^ делится нй 13, Доказать, что число о = 4аяг'('41р делится на 13. Воспользуемся равеыствсм U = 4(iJf -I- = + 7i{] + 13Г2дг4у). Число 4(5х-н7р) делится на 13, так как Ьх + 7у по условию делится па 13. Ч11сло 1Э(2л-[/1 Также делится ыа 13 при ЛХ)(^ЫХ иатуральвыл дг и j/. Следовательно, Число а делится Яе 13.Ч fi 1 77 ПскАт'ие делысиюсти. Далимость суммы и пршзведваия Задача 5. Докапать, что п^и jrioQiEnc ратурш1ЬЕьгк х 1Л у число B=n + l и 7н + Й делится на baryptuibHoe число т>1. Найти at. 4. 1) Пусть X и у — такие нвтуральвые числа, что число 7х + Эу делится «а 11* Докваать, что число 57x + 7Sy делится Eia 11. 2) Сумма ывтууильных чисал т if п делится на 7. Доказать, что числа 3m^ + 5mn 4 Зп^ делится да 7, ^ Доказать, что число дедится ыа 37, ^ Доказать, что число (*п4 Вя 4 7>“(3т+7п 4 2)’' делится на 64 при любык натуральных m и я. 7.] Доказать* что если к лронзиедеято четыре* последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то пплу-ЧНТСЛ число, равное квадрату некоторого натурального _ числа, в.: Доказать, что: 1) число 16^ 4 31* “2 делится на 16; 2} число 10^^42в*-2 делится иа В; 3> число 36^+1&*-16 делится на 17. § 2. Деление с остатком ^^Не всякое Ештуралъное число и делится на данное натуральное число т. Например, число 28 не делитсв на 3, а роаультвт дслспия можно за;1исать с помощью равенства 28^^3-9 41, где 9 — Чй-стное, 1 — остаток. Аналогично делению натурального чксла а на Натуральное число FTT соотватетвует равенство d = ijm+r, П) где у — целое неотрицательное число, г припнкает одно нз значений О, 1, 3...ш -1, Для лгабого целого числа а деление на натуральное число m определяется равазством (1)* в котором q^zZ, г — неотрицп-Тельпое целое число, такое, что OiCrcm:, Например* если а-*-37, я| = &, то -37 = ^—3)5 + 3. 70 Глава И делимсчтть часел :^ftiU4ia I. Найти оотатои от деления числе (K = i0‘5^^ ва 4. I Число 5^® окднчнв)»тея щ{ф;»оА 5, ыо&кпчу две последние цифры числи обрез ужиг число 50. Остаток от деления числа я ва 4 равен остатку от делено л числа 50 пи 4, Т. е. раней 2, Щ Задачи 2. Нпйти сстпток от деления числа 02"^ аа 13. При дБлеиин ил 13 числи Э2 остаток рааси 1, т. е. 92 = J3 - 7 + К При лелеаии числа 02^ остаток также равен 1, так как 92==(13-7+ If =L3®-742 13 7 + 1=13(13-7® + 2-7) + 1=13А + 1; kf.IV. Ляалотичво Эа^'-ЭЗ 92*-(13 7 I* 1)(13А + 1)-13дн+1; p^N. 92^ = 13^+1, qfN. 02'' = n3j) + lK]3<; + l)= 13г+1. где retv. Слсдовател17во, остаток от делеиля числа 92' ма 13 равен 1, ^ Задачи 3, Докаспт1>. что если целое число а не делитса на В, то а* = Зр + 1, где Пусть а R0 делится ИЯ 3. тогдл остяток Г ОТ де^генна о на 3 рваен 1 или 2. Если г=1, то а = Зт + 1, где meTV, откуда (I^ = 9m* + 6m + 1 = 3(3rtt® + 2й1) +1 = 3р + 1. где р = 3рп^+ 2т — на-туралытос число. Если г=2, то «=3т. + 2 = 3(лц-1>-1 = 3fr—1, где A = rtJ + l —натуральное число. Отсюда fl® = {3fc-l)* = 3(3A-^ — 2Jt)+ + 1 = Зр-|-1, где р = ЗА*-2А —Ентуралъвое число. Задача 4. Докидать, что число п* + 5л делится ва 6 при любом ncAf. f Пусть Fj>l, Восиол1»;5уомся ранакством 5я =л^ -л + Нн = (л - l)rt(rt+ l) + 6rt. Так как 6л делнтся ка Gi то достаточно доказать, что Л = {л — 1)л (л + 1) |(т. е. прюнаведеине трех последовательных натуральных чисел) делится на 6. Среди чисел п 1. л, л I- 1 по краАыай мере одно делится на 2, и поэтому А делится на 2. Кроме того, олпо из этик трех чисел делится ни 3. Следовательно, А делится ня 6, ^ Задача 5. Найти последпазю цифру числе а, если; 1> 0-2^*”’; 2) 0-3=“’^ 3) л = Задачу можно сформуднроцмть нначе: найти остаток от де-лсинн числя it ua И). ^ 1) Вьшншем Ийследонательныс степени двойки; 2'=2, 2^=4, 2>' = в, 2^ = 16, 2® =*32, 2® = В4 н т. Д. Последние цифры от их чисел повторяются через 4. Поато-му цоедадяля цифра числя 2*> Т'де определяется только тем. каков ости'гок от деления числя А на 4. Из равенства 307-^384-1-3, где число 334 Делится па 4, следует, что остаток от делания числа 307 на 4 рален 3, Поотому прсладнян цифра числе — восьмерки (2^ = 8). Вообще если ___________________________________________________. T9 Л;апеиие с остатком где йёЛ/, е при деленми <1мслд № ыа 4 получается пптл-ток, рйе1^ый г, где г=1, Й» З. то последнпя цифра числе 2^ совпадает с последвей цифрой числа 2'*, Если число к делдтсл ыа 4 {и этом случае г-О), то псхиюдияя цифра чнслл Я* — mecTepjCA, таи Kaj( Я'* окапчииеотся цифрой 6. 2) Выпишем тк№ДСДС1№тельиыБ степени тройки: З'-З, 3*-В, 3'‘ = aV, 3^ = 31» 3^ = 243, З^-ТЯЙ и т. д. Последние цифры сгепеией тройни повторянтгся через 4, т. е. из ранецстна 273 = 272 + 3, где 272 делится пи 4, следует, что 7 — послвднил цифра а, тпи как 3^ окднчивает'сн цифрой 7, 3) Числа 7* при А ^ 1, Д, 3, 4, & ОкВиЧкваяггся соотвотст-всппо цифрами 7, Й, 3, I, 7, Таким образом, послтедние цифры чисел 7* повторяются черея 4. Тик как 368h3S6+2, где число З&б делнтсн яд 4, то исследила цифра числа такая же, как н у чнсдн 7*,— это цифра 9. -4 Задача В. Найти рое нелыс П, ири которых дроб(ь а» - — целее число. л -I-1 Представим а и виде суммы МНСГШ4ЛСНД н дроби, числитель которой —' нпогочдпц цервой степени. С этой целью запишем в в следующем виде; (п^ + п*)-(ч* + л)+п+Э ы = л*+ I Произведя деление, получаем п + ’ Так HQK д®—а п ч- 3 то d целое число тогдд и целое число, я 1-3 только тогда, когда дробь —----целое число. Этому условию а + 1 удондетяоряют только целые числа -3, -1, 0, t, 2. 4 ШыЯ Упражнение ^ Найти остаток от делепия: 1) числа 33'^® на 5; 2) чис.чв 64®* не 7; 3) числа 103^* Нй 17; 4) ЧМС.Чй 101°+га’-1 на 3; 5) числя 7 ■ н« 9. Ю, Найти последнюю цифру числа 12^*+13'^'. J1. 1'[айти остаток от делеиня числа 36®* + 21‘‘'*+7* па 10. 1И, Пусть [штуральиое число л не делится па 3, ДокАая1ь, что число л^-1 делится на 3. 1^, Докз^ать, Что чйсло 9в"-32'* - 4Д*' делится ма 10. 14,1 Найти ОСТНТСЖ от лелБЕШя па 11 числа п, если: 1) = + aj а-3™*+ liSj Доказать, что 1свтуралькые числа tn п п делятся ПЧ 3, если число 1-а^ дрлнтся на 3. SO Глава nil Делинсспь чпоал 1C, Пусть натурлльиые числа а, Ь и с по делятся па 3, Дониаа1ъ, что 'тсЛ!^ а^+^ + с^ делится ин 3. |17, Найти DCO цсдие л, при |[аторых дробь и ■■ Судет сюлмм числпн. + 1 § 3. Признанм делимости Напомни» прианаки даднмостц на 10, 5 и 4. П Натуральнее числе делится на Ю тогда и только тогда, когда его последняя цифра Q, 31 Натуральное число делится на б тогда н только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5, 3) НатурщЕъиос число п делится на 4 тогда U только ТОГДА, когда даудначное число, подученное из данного отбрасыванием йсех цифр, кроме двух посладннк, делится па 4. Например, число 2Т3 652 делится па 4, так как 52 делится на 4, а число 37Й26 ие делится па 4, так как 26 не делит* ся на 4. Перевода н признакам делимости па 9 и 3, Етардмня», чтч> любое натуральное ЧИСЛО MOMtHO 111>едетавк1Ч. суммой елагрг-ныл айда • 10', где — цифра й-го раарада числа о. Напри-ир[>. в345г^5 к 4-10 + 3-10^-т8 ^елн натуральное число а является п-значным, iv (1> "'*11 - I'*п-г “а ^ 10 и, + 10* -а^+ + 10"1 *а^ .,. Задача 1. Доказать, что питуряльнсе число делится на 0 тогда и только тогда, когда гумна eiT) ЦК4]|]> делится HJi 9, Пусть число а имеет аИД (I). S=(Jn -1-(1, -I-,*. , — сумМА его пп^ф. Тогда 0=5-0.^-и 10 - и,-ьЮ*’ц^ч-.,,-I-Ш" ‘ -{а^, + Р, +£ij + ,,- + (i^ ,}- = 9rt^-90UjH-„.-ИЮ" <й) Так как числа 0. 00, 999, 10'’''' 1 состволены иа од- HU2C деапток. ТО ати числя делятся па 0. Тогда из раненствя (Z) слодуот, что если 4Hcvio я делитси Н(1 9, то (Т И делится иа 0. Зерно п обратное: ira делимости суммы 5' Ни 9 следует делимость числи а нл 9. <4 Здда>[и 2. Доквоять, что хгитуралыюе члело делится на 3 тогда и только 'Гсч'дл, когда сум мд его |;ифр делится па 3. ' Бсспользусмсн обоэилчениями предыдущей задачи. Если S' делится на 3. то а также делится ИА 3, так кдк рдзЕгость и-А’, делящаяся на 9, делится и не 3. Обрятио; иа того, что и делится на 3, следует, что и S также делится на 3, тик как а - S делнтея !ia 3. 41 fl SI Призн£и:и днпимостм Задача 3. чтго число а^123* + аб7^ доянтся на S- Каждов из чисел 123 и 5-ОТ делится вя 3, тале вян сумчя цифр кяледрго делится на 3» Поэтому числя 123“ и 067^ деляТ’ ся НА 3, откуда слядует, что число а делится на 3, Щ Задача 4. Натуральроя число р=айс, где а, Ь. с — цнфри соответствующим ря-йрадев^ делится ев 37. Докипать, что и чис‘ ло q=bca тандее делится на 37. Так как р делится на 37, то р—lOOa i' 10Ь + е=37^, где Л — целое число. Тогда ICKlb + Юс + ц* Юр—Число 999 де- лится ва 37, тан как оно делится нн 111, а число 111 делится на 37, Поэтому число q делится яа 37 какр^ыость двух чисел, как;дое нэ которым делится ыс 37. Задача а. Доказать, что ЧИСЛО fl= 10^®-Ь 182 Делится па 18. Число а делится ыо 2, так как келщое из чисел 10®*, Ю^^, 132 является четоцм. Докажем, что число а делятся иа Э. Запишем это число в следующем виде: д ■= 1-н 10'^ -1 -180. Числа 10®*-1. Ю'’'-l и 180 делятся на 9, откуда следует, что а делится аа 9. 'Таким образом, число а делится па вэаимо простые числа 2 я 9, и поэтому оно делится па 13. Задача 8. Доказать, что число а *-10** i- Ю/** =200 делится на 198. ' Так КВН 19Й = 2'9'11, то достаточно доспэлт!.., что чнелц а делится на 2. 9 н 11. Запишем это число н аиде a = 10*-l-F-+ 10**-1- 198. Числа 10**—1 ы 10'’ = 1 делятся не только ня 9, но и на 11. так кар в записи каждого из рих содержится только цифра 9, и притом четное число рвз (8 и 8). Число 198 также двлитсл ия 9 и 11, Поэтому число о делится на 9 и 11. Кроме того, и делится на 2, Следователь но, а делится на 19S, < *яЯ Упражняй Еля 18. ДокезАТь, что число 207*'-72** делится иа 9, 19. Доказать, что число 6-Т204’*4 334“ дел>1тсн на d. 20. Доказать, что число д = л''+Йо®-я* —2п делится на £4 при любом леЛ^ 21. Доказать, что сумма кубон трех аослодонвтельяых кату-pajJbHbix чисел делптсл на 9. 22. Найти остаток от делсрия числа 19**-б** на 8, 23. 1) Доказать, что число п“ч-3л® + firt + 3 дБЛЕ1!пся на Я пртт лш^ом Й) Доказать, что число 2п*=3п* + я делится Ш1 6 при любом ntJV 32 Гл 'В. II Делимость чим:0л 24. Доказать^ что число п*-п делится не 5 нрл любом rti!V. 25Г Доказлть* что: 1') число в^^ —1 делится на 37; 2) число 2“*' -1 делится пА 65; 3) число делится ня 240; 4) число 10**' +263 делит- ея на 11; 5> >шсло Ю^^^-ЙЭЙ делится иа 99, § 4. Сравнения Бел к целые числа д и Ь при делении но вятурильное число гп дают рдяные остаткн» то говорят, что атн числа сравнимы па мадрдю Hi. И иишут Иначе голоря, запись а = Ь(и1и(1ш) оуидчает, что разность а-Ь делится на тп, В частности, если о ~ Of mod л), то число д делится яа т. Нлпример, 3e=6(mod 10), 29 = 3(mod 13>, 10:t-1 (mexi 11). 67 =-2 (mod 23), Заметим, что в g 2 я качестве остатков при делении натуральных чисел Выбирались неотрнцател1Д)ые целые числа, ГГрп решении ааднч е яамощыи сраянений часто бьтдает удобно н качестве остатка брать Целые отридательные числа. Перечислим основные свойства сраянеянЙ. 1) Если u^^ftnodm) и 5 = г(шс«1т), то a = cfmodm)L 2> Если a^&fraodai) и e^d(ruodnt)i то а+с~Ь+d(mod/n), о —с = 5—dfmodm), ac = Adfmodoi), т, е, ерннцавиа по одному модуля] можно складывать, нм-читать и перемпоисать, как и вервые числовые равенства, В частности, можно обе части сравнення умножать на одно н то же целое число. 13) Если ri№ = AA(niPdт), ot^l, а числа ^ и m вааямжо просты, то ci = f)(mod т:). t. е, обе части сравыенин ыожло сокращать пв общий ыРожнтель. если он и модуль т — взаимно простыв числа. Ограничимся д(жя:1ательстпои свойства 3. II По условию число = делится яа щ. Так как к и m — взаимно простые числа, то на т делится число а —5, т, с. axb(niQdfn), 4 Задачи 1. Докваать, что число а делится на щ, еслн; 1> о -Эв’** + 32**-е 73*^ т = 10; 2) a^fi4®Ч4a*^ Я1-7; 3) д=(3а 53J=*“ +(37.64)'т-13: 4) fJ = 2-6'"+3'*-2'^ 41 = 19. . 4 аэ Срввеенмй I 1) Пальоуясь ТЕМ, что 96 = в (mod 10), и учитывая, что при возведвппи числа 6 в любую степень ПОЛучяется ЧНСЛо, ока[{Ч111М)юще(>ся цифрой G, яме«м пи своПстьам срввивиий 96^® S 6*" = 6 (mud 10). Далее, прнмевля результат задачи 5 (§ 2}, получаем 32i=i = 2^^-a(modl0). 73'* = a'<*s3’ = Hmnd Ю), По свойстплы сравпйннй а = 6 4 2~ 3= 0(mod 10), т, е. число d делится на 10, 2) Так как б1 — 1 (mo(l7}, 48=—Ifiiiori 7), то по свойствам сраьканий (иоавсДЕыпе ь стеовнь н сложеаие) fl = iaA + f_i^iT=l_l = 0(n,o(17j, т. е. число а делится на 7, 3> Польпуясь тем, чтч 38 =- 13), бЗ^Цщой 13). 27=l{mudl3), 1 (mod 13), имеем U = <- 1 )='^ - (- 1= 1 ^ 1 = о (mod 13>, т, е, ^шело о делится иа 13. 4)|( Запишем число а в следующем виде: Л =>= 10-< + O-6^*^ И еаиеггым. что 25=6 (mod 19)* Тогда д = 10 0’'*+9 -е''’= 10 ‘= о (mod 10). т. е. число а делится па 10. Ц Зида*|ц 2. Найти остаток от де.теЕшя числа а ив at, если: 1) a = 22^®*36“ ■17^*, Л1 = 3; 2) a^2^*’ + la*^ т-17; 3) л = й.2^^ + 7.г9^ т=15. ■ 1) Числа Й2, 35 к 47 не делится нв 3, откуда следует, что 22^—36^=47*= l(tnod3). тан как квадрат целого числа, не деля-щет'ОСи на 3, дает при дБ.тениЕ! ив 3 остаток 1 (?ад8ча 3, § 2), Отсюда Получаем 22®^^35'^ = 47^'‘sl (inod3), и пои'гому OS22 35-47= 1 - а-а^1 (mod3), т. е, искомый остаток ракев t. 2) Так КПК 2'*=1K=-1 (mod 17), 13=1 (mod 17), то л =2*.(2V^tI8*'=S (-1>®Ч 1*' = =8+ t = 10(modl7), т, е, искомый остаток ранен 10, 3) Пользуясь тем, что 2'= l(mcid 16), 2*“ = l{niud L5). 29=-l(nicdlS), 29“=- l0, а Г“ одно ии '[иеел 1. 2, 3, 4, так как г* не делится иа 5, Ппльзужгь тем, что rt = r(niod 5), получаем b"* = (що<16), Так как l*=l(niod6), 2^ = l(mDd5), S'* = iCmodо), -1 l(jnod5>, TO r'‘=l(mod5) при r^l, 2, 3, 4 fl fl^=l(nnxl6). 3rfj оэыачает, 4T0 n*-l делится НЙ Й. ^ B4 Гппае II йелимость чисел Докажезл признак делимости па 11. Пусть ывтуральное число а имеет вид Ш о^а а , ...О,d„=an+Юо, + 10*а + „.+10"ti . II А-'] I р U I г л Задача 4. Доказать, что катуральиое число о, оаттнсаапоо к анде OJi делится па 11 тогда н только тогда, когда дс' литси па 11 сумчя +a^'-ag4-...-н(-1)"Ир. I - Так как 10^—I(modi 1), то 10* = 10‘‘ = ... = 10“=1 (mod 11) при любой fceJV, 10* = 10" = ...^ Ю^*"^‘^-1 (акмП U при любом ieiV. По сйоПстаач сравпский о^а„-о,+а^-£|д + ... + (- l^rt^fttiod II), т. е. число и делится яа П тогда и только тогда* когда не 11 делится сумма его lunjipr взятая с чередующим нея знаками * -М Задача .1. Найти остаток пт деления числа л г^{Э8Т654321)® иа 11. || ■ Пусть h —осиоаание данной: стехгени, тогда й—Ь®'. Сумма 1-3 + 3- Л + 5- в-1-7-8 + 9, оостовлеынал из цифр числа (с чередующимися знаками), равна 5. Поэтому ti = &{unjrl 11), откуда следует, что a = fr^ = 6® —d (mod 11), Следовательно, HCKOMbifl ос-THTDU равен 4. ^ Задача В. При кнкня интуряльних л число о«Й4л + Э дв' лится ыа 13? Пользуясь саойстлами сравнений, запишем депочку соотыо-щепий: 24n + fl^0(mod 13), 8л+3-0(mOd 13), 64rt = -Z4 (mod 13), — л = —24^-lt(mpd 13), л S11 (mod 13). Таким обрааом, число а делится ия 13 тогда н ^гол^ько тогда, когда п — 11 = 13А, т, е. при я = 11 + 13^1, tе Л/. ^ ^ Упражнения 30j Доказать, что число; I) делится на 13; Й) 84^^ + 101*’'делится на 17; 3) (75 39)’“ (94 ■ 58)“ делится на 19; 4) 10*®^+56 делится на И; 5) 4*®+ 233 делится ма S. 127-' Найти остаток от ддлепия числа; 1) 25- '’ + 38'"’ на 3: 2> 2^®^+43 на 17; 3) 2”™* + 5 - 10’ ыа 3: 1) й'“ + Э !0’® па 9. ^ Дошзать, что число: 1) 23-26'®-Ю IS’"* делнгся иа 19; 2) 3®-23“+5®-2'* делится на 13; 3) 135*^-1825 делится ВВ еОО; 4} 100®“-SO. 16® делится ил 49; 5) 42®“®+53^^’ делится на S; 6| 71*^* +41'*® делится на 7. § 4 В5 Сраднений § 5. Решение уравнений о целых числах |< динг^йн^лм у^шакбникк с даулая псстэвестнынн, т. е. к уравневням вида ax + bif-=c. (1> Предположин, что в, Ь, с— целые числа, н иостявян аа* дачу — нпйтн целочисленные решеноя урввневяя (1), т, «■ вое ивры целых чисел х, у, при йоторык уравнепви обрпщнртся л верное числовое равенство, или плкаэат1ц ЧТО ТАКИХ чисел нет. Будем считать, что ноэффкцяоиты в, Ь, С уравненЛя (1) не и мент общего додятеал, отлпного от едыйяцы (в противном случае рапделни обе части урадцецан на этот общий делитель). Пусть d — ийиболыипй общий делатель чисел д, Ь, Возможны два слузган: d=l. eJ^i. В первом случае уравнение О) имеет полочнслеикые реше' ния, во вторам нет. Снрваеддивы следующие утверждения: Т с- 'Г р ч_____________________________________ I) Е!слл коэффициенты а н Ь уреагения ах + Ьу-=с явлн-Kvrcfl вэашсЕо простыни числами (их наибольший общий далятель d»l). то это урдькенпе имеет по крпы-ПОН мерп одно целочислсниоо решение. Я) Если то урАБИоние ялг + fr^ =с не имеет целочис- лепных |юшений, 3) Если d= ], то уравнение ах + Ьу<=с имеет бескоисчное кножество целочиБДШшмх решежнй. которые задаются формулами л—ц + й/, (2\ еде (а; р) — нскотарос целочиелвиное решение урввне' нна fljc ! йу-tf, в f = пронзнольное целое число. Огрвничннся доказательством утаержденай 2 и 3. в) Допажск утвврнсденне 3. Пусть ураинепяе {1) имеет i(c-дочнслсниое решение. Тогда существуют целые числа дну, которые йбращшит Уравнение (1) в верное числовое рннекство. Так кая d — ннибодьпгай общий делитель чисел а и Ь, цричем то a^nid, b=^nd, где ш и ч — целые чнелн, ие имеющие общих натуральных делителей, отличных от единицы (Л1 н ч — взаимно простые числа). Тогда равенство (1) иримсут вид dmx + drty = c, или с1{тх+ пу) = с. |3) По предположению Ч1ТСЛЙ О, Ь, С не имеют общего дслите-ЛА. отличного от единицы. Но Из равенства (3) следует, что е делится на d, где т. е. я, h и с ачеют общий делитель Полученное противоречив означает, что уравнение fl) ьри d^l Hf может иметь целочисленных решений. BS Г hi: Д01)ичСсть чисел 6) Дикажен ^тьсрждение Й, опираясь не утворясдоиио 1, Пусть (и; р) — цслочислсыыоа решение уравяевия (1), тогда является верным рввенстБО + (4> Если (JC! — ироиэвольпоо делочисгленнов решение урав-ПВ11НЛ (1), то равенство (L) верно. Вычитая почленно но рннеп' став {1) равенство (4), □□лучаем o(jf—a)-J-i(y-p)=0, откуда следует, что Число и — целое н. кроме того, а л Ь — ваннмыо оростые числа. Поэтому число дг, опредолнемое формулой (5>. будет це' лым тогда н только тогда, когда fl - у делится пя а. Обоаначин (в) ^ = тогда t — целое число И равенство (&У примет дид г^-и + й^, я нз равенства (6J следует* что р=р—а(. Таким образом. доказано, что еслн (а; Р) — какое-либо целочисленное рищепне урвлпепин (1), то все решения атйго уряь-нения эяда10тся формулами (2), где /eZ. Ф Зймечекие. Если у,) = целочисленное решение уралнеынл 4*л:-кйу=1, то (гг,; суявляется целочисленным решением уравыеинл (1), так кяк из верного равепства ajTj+by^-rt-l следует верное равенство о(сХ|)-(-Й(су^|=с. Это утверждение чисто'(жанындетоя полезным при отьггнн-ннп решения урвяпеиия [L). Задача 1. Доказать, что уравнепне 42д-н60у=13 но имваг цело'Еислепных решеиил:, Левая часть урнвнеиия зри любых целы к х п у является четным числом, в правая — нечетным. Поэтому уравненме ке может иметь целочнеленвыи решений, К зтому же аынаду можно нрийгн, применяя утверждение 2. ^if Задача 2. Найти все целочислекиыв ротеиия ураяпения 7т+ 1йу^3. Рассмотрим ураниопие 7jf-l-15y=l, Оно имеет целочисленное решение f-Й; 1). Поэтому (звмечавне к теореме) искодное урйй-нение имеет цедочислечнов рошопие (=6; 3), а все целочисленные решения етого урввыення эадлются формулами (2), т. с. 1= 6 + 1Б/. у-Э~7^, feZ. ^ D заключение рассмотрим две задачи, а которых речь идет г>б отысквнин иелочиглекпых решений иедниейпых уран нений. Задичд 3. Найти все целочислеиыые решения урвяиения у' I 7, Зйгшшем урпянечие п пнде (т-у)(д+ у) = 7, 37 Решение а целых числах Так как дели'№ллын Правой части ураакешЕЯ являются ПП-ры чисел 1, 7 и -1. -7. тч> сакокуаиасть исеас кялочисленных 1№шенин уравквиня соппвдаст е ццожйсткти всех целочислен-nidx рептсвий следующих систем уравнений: х-у = 7, = гх_р = _7, \x+!f = li |дс + у*1; 1* + у=-7: 1л: + р = -1, Решив эти Системы, найдем все цялйчисленяые решении исходного уравнспнл: (4; 3), (4: -3), (-4: -3}, <-4: 3). ^ Замен в и II Иа у[1ввнеинл следует, что если найдено одно его дело1|исле{1НОС решение, то остальные 3 решопия мож-ио получить из зтого решейил, используя равенсггво Задича 4. Донаанть, что уравиение = 1304 не имеет целочясдекных решений. . Запишем урааненке в виде (x-ifHx + y}= 19Э4. а) Боли числа f и ^ лвляготсл одновременно четными пли нечетными. То ‘птСЛА Х — (/ и Л-|-^ четные, и: полтому левая часть уравнения D отоМ случае делится на 4. Но оравал часть не делится па 4. Поатому в рвссматриваеком случае урааиенне не имеет ц1ыючкслЁоаых решений. S) Ясли одно ив чисел X, у четноо, я другое нечетвое, то х-у И х+у — нечетные числа, и поэтому левая часть уранне-нии — число почетное, тогда как правая часть урапмепия — четное число. Следовательно, н в атом случае уравпенке яе имеет целочмСЛенны.Х решений. -4 [Задача 5. Найти все вари целых чисел (х; у), при которых яадяется верпым рапепство 3:гу-4-10дг-*->=0. Vмножим дятюе ураадение на 3 м дрео^раауем левую часть полученного урврноиия: 1бг + 3- 13у + 3 (И =3j/(3x + 13H-16(3j? f 13) + -гЗ 61 - 16 13={3дм-13)(Зу-1-161 Йй. Решим уравнение (Зт I 13){3у+ieiH=2o. (1) Так как делителями числя 21> яьлкттси чис.'ш ±1. ±5, 25, то множество ясех целоииелеыных решеннй уравиеиил (!) Содержите и в множестве пел оч пелен оых решай кЙ следу luiUHX Шести систем: 11 1 За: + 13 = J, 2) Зх 1 13=-1, 3) Эх-13=5, l3ir-H6 = S.'); Зу + 10=-Й5; Зу + 10 &; 4J 13л-13 = -5, 5) Зх+ 13 = 26, 6) Злг т 13 -2й, |Зр-И6 = -5; 3JM-16 = 1: Зу т16=- 1. Первая, четвертая и пятая системы имеют пелочпеленпые решенпд 1--1* 3>, С-Й; -7) М (4; -51 соптнетствеппр. Остальные ciicreHJiJ не имеют рететгий п целых чиелех,- -4 за II Делимость чисел Упражнения 2fl, 1> Дйназйть, что зфаврепно 1Йг + 40^-17 пе инеет цело^ чнсленыых решение, й) Найти нее целочисленные решения уравнения 4i“3y=tJ. Зй- 1) Докааатъл что уравнение х®—ве имеет целочисленных решений. Й> Доказать, что ураанение 21г^~7р®44.9 не имеет целочисленных решений. Ыайтн все целочисленные решения уралневна i|31—32>. 01» 1) х*-/=21; 2>ху = 5-х. 30л 1) Зхр +10х-13р-35 = 0; 2) 3xp-f-19г-1-Jl}p-h5& = 0; 3> + 1-Зу-1-7-0; 4) x^-xt/-‘?x + 2y^23~0, ■33. 1) Найти все иатурельпые числа х, у, при которых является верным равенство -Ьйху---ft, 2) Найти все целые лоложительные числа х, у, при которых является верным ревенотви -у*н-Зх-Н 7р —23, Упражнения к главе U 34. Доквеать» что число 333333^+777777* делится нп 37. 35. Доквеать^ что число а делится на ei, еслв: 1) a-25*“ + 7-5^S m=32; 2) о= 10'®+10^'’-92. m^lS; 3) а-Ёв^-12'‘-ЗВ“. m = LO. 3tt- Нейти последнюю цифр|у числа если: I) 0 = 721^443“'^'; а> а-43^*-17''. 37. Докееать, 'ito число 13п^+ 1 нв делится не 3 ни ttpn иекок n^zN. 38. Доказать, что ЧИСЛО л“ +3п“* + 3л+ЯЙ не делится нй 3 ни при каком п€ЛГ. ^j3lt Дрквдатъ, что члело 11я* + л делится на G при любом aeJV. 4(j|, Докнмть. что при любых ывтуральыых /п и д число (3m + fifl + 7)’(7m +д + 2)'' делится на 8. 41. Доказать, что если целое число m-l делится на 9. то число т”—1 делится не 27. Найти целочисленные решения уран нения; 1>3д- + 4у=1а; 2>9х-7у = 4. Доказать, что ш> имеет решений в це,1ых ^шелан уравнение: 1) 13x4 1=3у*: 2) 9х* = (д474. -14, Докаоать, что число а делится яй т, если; 1) й = 10*’'-199, /ц-9Э; 2) и-2^*+1. Д4=33, 45» Найти остаток от деления числа а нп т, если: 1) о-1О*** + 123456ТВ0, rtt = ll; 2) 0 = 7-3*'^+13 -14". m-5. 4.2, 43 89 Упрахчвния с глеее а 4l^ FI АЙТИ натуральное чкслог если натуральные чнода 8л+ 3 и 7n-j-l деллтсл на пт.. 47-1 Пусть Л1 н л — натуральные чнсла, такие, что число т-ьл + 2 делится па в. До1^эатъ, что число П1^ + л'’ + 8 тал' же делится нд 0, 4в.|| Доказать, что число п^-6л делится на 5 при любач 4Э,Г НаЯти аса целые числа л, также, что число а янлдется целым, еоли; п* + 3 2it“+l 2] п = 1) а. 3) а- П — 1 л* + ЗяЧ 7 4) о = 2п^-\ ' и*+ 3 п* + ^ ‘ 50. Kal^TH все целочислеыыыв решения уравыечня; 1) + + 2} *"-3ji*-j:i,-0a:-£p+27=O; 3) 3xifH-16j+L3^/+ei-0; 4) За:р-10дс+-45^0. Вопросы к главе М L Нйтуральаое число а делится на нятурдльные числа лип. Можно ли утверждать, что а делится на tnrt? 2. Натуральные числа а и А ид делятся на натуральное число тп. Мояснр ли утверждать, что ив irt не делится: 1) ил суыма; 2) их цроизвадение? Натуральные числа а и А не делятся па 3, Можяо ли утиорждать, что число я® = &* делнтсн иа 37 4>; Можно ли утверждать, что при любыд ичтурпльаык т к гг делится на т+п число а, селя; 1) d=m^4-h^f 2) □••рп^ + д'*; 3) 4} u- б> Найти количество ватурильжых чисел, д{(ЛЯ9а£цихся делителями числа а (аключая единицу и спио число д), если; 1) п-г64; 2) О-600. S.J Сформулировать признаки делимости иа в, 8, 12, tS, 1Й5, Проверь себя! ! Нейти остаток от двлениж числа 1234 56731 на в (не про-к;1аодя делении). 2 Найти оегтатак от деления чя1:ла 10-й^’' на 4. :; Найти иослвдшок) цифру числа а - 3*** -I- 3^®, i Не ВЫ1ГПЛНЯЯ операций вычитання я деления, выяснять, делктсл ли число а-8075423-ЙТ2346В на 3. Выяснить, делится лп число 123456780 на 12. о, Доказать, что при любом a€JV число д«ц* + 36ч делится На 6, 90 II Дели'1июсчь чисел I Истор^^чоскал справка Ос войной тоаряи даммости счжтяйггся задача BfJ- яоиеам делимости ОДНИХ целых чисел вн другие, нвюжданна оетаткоя от деления атях 'шсел. В освове теории делимости лежит утверждение, докйшнвое фраяцуаеким ученым Б, Паскалем —1662}; «Пусть ннту^щльнев число д>1 аашу^яо в ^-ичноЙ системе; п=в*?*+«*_ + ^-a^ff+Оц. Обоанячнм череа остаток от деления Q* на (a~li 2, F--, А') и соствннас число ш-а^г,+а^. .J Т... -На|Г-Нa^j. тогда числа fn и д имеют одвнакошью остатки чрн делении ни р*. Рассмотренную р главе теорию срдяноний {которую также называй» арифметикой сраввеяиЙ, арифнстикой остатков нлв арифметикой вычетов) раарайотал немецкий математик К. Ф. Гаусс [LT77—1В5й)^ Отметим. ЧТО для Ферма и ВЙлера [Трпытки оеадажан в свое время такой теории не увенчались ус пахом, ГЕонимо Фарма в Эй/шра, значительный вклад в решение отдельных задач теории даяимостн внес фрвндувскнй ученый Ж, Лаграиж {1736—1819), Различными обобщеуиями золотой теоремы Гаусса (квадратичным законом ваанннйстя) ученые заянмалнсь вплоть до наших дней. Значительный вклад а этом напрлвленян внес □течастинвный математик И, Р. Шнфаревич (род. а .1923 г.}. Глава Многочлены. Алгебраические уравнения Все, что было бел лтало теянл. гйл и пыерно. мИтежат ила сс^далц Af. в. Ломоносов § 1. Многочлены от одного переменного ^^Нлпочиим, что S реэультяте сложении, вычитания и умножевмя tciioro*uiGEiDB снова получаются мвогочлекы. В этом параграфе по-зв акции н Бпс Си ехтособаыи делав ин ивогочло' нов утюлком и расскажем подробнее, как при* меняется атот способ для решепия адгебрдиче-С1СИК уравпопнЁ.. Любой мпагрчлеп (рбрэппчки его Р(ж», содержащий только одно иеременыос х и его идтурядьрие степени, можно зяписагь в етин-дартиом виде Pix)=a^x" +а^х‘' где и„, о,,..., и. ■ t + ,.. + а^ _ ,дг+ а_ (1) •flP “l- --- . “д = 1Р -,J тельные чвсла. Если а. — пекаторыв дейстян-т^О. то няргочлеп ^*{т) называют многочленом стрпани н. (или ч-й С№-nciiu), член вцДг'' — старшим члеиом, — сво Оодпым члоноч. Многочлен Р(1) = Д(^, где — оадпипое число, ыааынают мнаеачленом нулевой степени. Число О налывают нулевым многочленам. Чтобы показать, что дтереиь МЫ01'Очлени ралнв л. лмссто Р(х) иногда пишут Дли оболдачепня мкогочлеиоа используют также и другие буквы; М (je) и т. д. Напрпмвр. e^^(JcJ-JC*+гл + 2, Mj(j:j-J^-3a'+2. Oin,p Б деление Два многочлена от одного переменного j, представ л енцые s стандартном виде,, томс-дественпо равны, если равны их i^TeneHH и равны коэффициевты при одинаковых степенях х, Гпии:. Ill__________________________________ Mh-югйчлвиы. Ал1 йбрВичосЕие уровеенив Задача 1. Иайтн числа а, н с, если многочлен *“ + вж* + + fljf + & равен кубу длучлеал jc + r. По формуле кубА суммы получаем (X + с- д* 4- Зд-* ■ <Г + 3J- с* + С помощью ол^к^гюления тождчетаониого раввветва много-ГЗе-б, члвнои лолучим систему откуда с-2, а*12, и = св_ От&ет, с=Й, в = 12, fr-8* -4 Многочлены имеют много свойств, аналогичных свойствам целых чпсел- Гаму эппись многочлена Р(т) в виде |1) можно считать аналогом эашюн чисел а десятичной системе счнсле-впл. Ствнввь йроиацЁданин двух мыохФчленоч рллна сумме сте* пеней многочленов множителей. Особое мосте □ теории многочленов занимает деление од-яогр миогочлеиа на другой. Рассмотрим [|д дриыорах деление многочленов /годком. Задача 2, Разделить уголком многочлен Р(л)—Юдг^-7д-12 на многочлен С(д1 = 5и-4. делимое 10r®-7x-12 5х-М Cf делитель lOx^-I^Bx ^ частное 16^-12 _________ Q , такой, что дли исех X енрцведдиво ралюиство Pfx>=M(xl‘9f-tb (21 то говорят, что многочлен Р(х) делится ав многочлен Q(x)» а формулу (21 HaoEBBajoT фс/рмулои деления многочленов. Задача 3. Разделить мнотчлев P(x)t-3xV 2х‘'-1 на многочлен Q(x1=x^-i-x, § 1 ЭЭ Многочл№1ы от одного гере'мвмют i BuuojJEiHM деление уголком: _ 3*^+2** - 1 3j^ + 3j^ x^ + x 3x®^3i + 5 -3x®+2x^-1 _Sx*^ 1 5j^4 5t -Sx-1 tla :»TDM делеыне многочлена Зх^ + Зд’* —1 на многочлен X* + г аакннчинаетсв., тнн как степень оотдтнн - 5х — ] меньше етвпеня делитоля -f X* Ответ. Зх^-Зх + 5 — чйpтsм^ -5х-1 — остятон, Ц Обратим выииа£П1п на toj что' степень ЧАСТНОГО в оадачс 3 роив в ралвости степеней деликсч'о и делителя, я степень остатка меньше стегтелн делителя- Вообще если многочлен Р{х) степени л>1 делят жа зипого-член 0(х) степепп 1, Ar разделить стпрший член делимого не старший член делителя; подученный одночлен сделать первым членом частного; 3) первый член частного умножить на делитель, реэудьтвт вычесть нэ делимого; полученная разность является первым остатком: 4) чтобы □олзгчитъ едедущщвй ЧЛАН частного, нужно с первым остатком поступить Гйк, как поступили е делимым и доднтелсм н пунктах 2 и 3. Это следует црододжать до тек пор, пока ае будет получав остаток, рваный нулю, или остаток, степень которого меньше степени делнгелн. Задача 4. Разделить мппгочлен Зх-н4х*1 —1&х^-ь2х^— не ипогочлен 2х“-хЧ 1 ■ Расположим делимое и делитель ас» убынаюпщм степеням х и выполни» деление уголном: 94 1Г."1И| 111^ Многсктены. Алгебраичес1Сне урземенц^| 2х^ 5^* - 9 j'' + ах + г - 4х* х® + 2х® -2х*-8х-1 _&х* - 15х^ - 0х^ н Зх + 1 8J*-J6j^ _х“-Вх*+Зх + 1 “х^-2х^ -7ж“+3* +J Ответ. =^2x“-8i-l — щстийе, -7х^ + Зх + 1 — остаток. -4 Свойства делимости ивОгочденов 1. Если мнагочлёхг Я(Х) делится вв мвогдчлйн Q(x). В bIiId-рочден Q{x) ДОДЦТСЯ на ыиогочдсн ЛГ(х). го многочлен Р(х) д«лнтся на многочлен JVf(x), Например, многочлен 81х^—L делится на многочлен 0x^—1. а миорочлон 0Х*'—1 делнтсв па ынагочлен Зх+1, поэтому многочлен 81х*“1 делится ва многочлен Зг-н1, 2, Е^лн нвогочлевы Р(х) п Q(x) делятся ын многочлен Mix), то нцогочлены Р(х)-|-$(х) и F|[i)-Q(x) долятсн на многочлен М(х), а многочлен F(x>-(5(x) делится на многочлен М^{х>. Например, каждый ил многочленов х^—1 и Эх^-Тх4< 4 делится нд киогонлеп х-1, поэтому многочлон лг^-нЗх’*-7х-|-3. рнаный их сумме, и многочлеи х“-3х*+7х-б, рнанчй их раа-ноств, делится ыв х-1, а многочлен Зх*-7х^+4х*-3х® + 7х-4, рввБый их □роиэнедепшо, делится на многочлен -х^-2х + 1. ^^Зяддча 5. Найти числа а и Ь ил тождественнотчэ равенства 1вх^-2х + 15-=(х+ 1>(дг' + 1ис^- 17Х-НЙ), Выполним умЕгожение многочленов п правой части данного рч&внствя (х + 1){х® +17х+ fr)i^x‘' + ax“ - 17х* +ftx+ х®+ ах’*^ -I7x+6 = x*‘ + (fl + l)jc“-l-(a-t7>x“ + {h-17)x + b, Иа тождественного равеветка многочлевов следует: a-i-li>2, а —17“-16, Ь — П=—2, огнуда а = 1, *=15. Щ I Задача в. Но выполняя деления многочленоп, найти остаток oif деления многочлена Р(х> = х“ + х^*-ь4 на многочлен Обозначим Остаток от деленнн мыйгочлевв Я(х) на многочлен Q(x) черед Fix}- Очевидна, Л(х) —аг + Ь, так как степень остатка меньше степони делителя. По формуле деления с остатком получаем I. 95 Mhiora^MHU от одного пе ременного при jf = 1 1 + 1 +4 = 0-ЛГ(х)+а + Ь, ылв 6»*а + Ь. При Г- - 1 l-l44 = 0-JVf(i)-a + h, или 4 = -а + й* Пйлучеияы!? урпйн(^нил о’глостелыю и и Ь ойршзуют cue- Га4&-6. , рошнв кс№ору», получаем и=1, о=5. I—а + о —4, Ответ. fi(jf)”X + 5. Щ Задача 7* При Какик натуральных аначоркях п аыражеяие адД-11н+13 я-З яаляется целым числом? Рваделн]|| члелятоль дроби на энаненатель; Йл*-Пд + 13 2я® - 6п п-3 2я-5 _ -Srt + 13 -&л^16 -2 Таким образом, исходное выражение рапно Зп-5- а-3 что нвлнется целым числом тогда и только тогда, когда 2 НД' цело делятся яа п-3. Поскольку т^елыни делителями числа 2 НЯДЯЯ9ТСН числа -2, -I, 1, 2. U только оын, полу^1аек. что п моншт быть равным только числам 1, 2, 4. 5. ШШШ УГГр£|ЖИОНИН L tlajiTH частное: 1> (^*+3x-4}itx + 4>: 2) (t^-7x+ (Sjc* + ^ Gx + 1> г (3f -1); 4) (4x®^5j^ + Sjf + 0>:(4x43|. ^ Найти частное; 1) (15jf^^i^+Sx-4):(3x4x+a); 2) (Эх< - -1=^ н- Зд- - 3): (3*^ - + 1), 3. Записать формулу делеш1Н многочлена P(Jt) на многочлен Q{ar): и P(x)-JC^-Bx + 6, QU) = x + 4; 2) Р(х) = 4х®^х-3а, Q(r)-x+3; 3) P(i)-x*-j^ + 4, Q(x).-j+2: 4) (^{x]=23^-l. 4. Нейти чйстное н остаток от делштя. мпогочлацл i'(x) на многочлен Q(x): Ш 1) P(x) = 2x* + 4*^-5j^-9x“ + 13, №P4f№w. Ллгебраичаскяа уравнена 3) 4) + Q(*) = 3jr=-r, Нрйтн iiHOJin a a b КЭ тождес'Гбейвогй равенства: 1) 2j:®-+ 5i-3= (jt-l)(3x* + лх^ + Ьх»-2x + 3); 2) xVje^^2-U-l>{a^-ax^ + axf + 2x + *J, Вывешит^!, при Karcov липчония a многочлен f’(x) делите:! яа Mnoroq;ieu 1) /'(х}=Вх^ + 7х + л. Q(x) = 2r + 3: 2) P|x>=i* + x''-4z‘'-4x^ + ax*‘+4x + £i, 0(x>-x+l; 3) P—-4x* + aj +5, P(x) = x’+x"^_6x4x*-Sx, QU)-^‘^+x-6: 2> Р(х)=л*-2х*+х'’ + ±-2, Q(x)-x*-4. ^ Найти Остаток от деле пня мцргочлешэ Р(х^ на многочлеи О(-г); 1) | р (*) - хЧ 4х* 4 X* + 3, Q (X) = X® 4 6x4 в; 2) Р(х]-х^^4х® + 3х®-х, 0(х)=х='-4. Прн каких натуральных еначвнинк л выражение л №1 летел нятурАльным числом? 2л- 1 н + 1 10.! При КАКИХ делых анвченнах л выражение лнется натуральным числом? 1X3 Прн каких делых эвачоыи^гх; п выражение является целым чирлом? 3rt*-Trt4 17 П44 2п^~1Ял-45 Зч-27 § 2. Схема Горнера Лй1 Задача 1. Раддалнть многочлен Р(х) = Эх®-Зх4 5 на много-члЕв Q^x)<^x 4. Разделим иногочлеп Р{х> па многочлен Q|x} уголком: ЙХ*- 3x4 5 2х* -вх® х-4 2Х= 4 5x4 29 _8х®-Зх4 5 8х^-Э2х 29x45 2ЭХ-116 121 Ответ. М(х) = 2х®4 5x4 29, Л(х>-121, -4 Деление пгпогочлана P{Xj = d„X"4djX= ‘^ + ...4 в^_,Х4и„ в 2 (1> 97 Схема Гориарв не ЧВОГОЯЛБН удобно вмппдидть, используя НЛГО- ритм, с&яуаклчй с инепсч влглигй^зкога математики Горнера, Бели — чйБГНоа от даленнн многочлена P где Л/(х)=-СдХ""^ + CiX"'*+,..+с^_jX+— мно1'очлен степени п- I, Я — число. Иа (1) и (2) следует, что Чтобы ыобти кизффлцменты многочл.ецв М(х) л число Я, раскроем скобки в аровой части раленствл (3) и прираввяем ко-зффкЕщенты нрп одинаковык степсивк слева и справа. Получим *"-1, 2, .... nj Отсюда следует, что + 1 f'P*' ft=li iJi *■** fli = 1^ичнслание юк^ффндиентоь многочлена и остатка прока-аодитоа с помощью iследующей таблицы: “(I “l Да **™=1 “Г1 -Н| -ЬЯСо Cj- = *!д+ДС1 “0„_i+ae„_j Я- -а„-юсл^1 Эта таблица назмааетсл cxejtoA Гарнера. В nepatj^i строке этой тйблидм содергКАТСЯ коэффициенты 0,1 .... многочлена Я(х). Вторая отрока саполияется UO следуюи^ему правилу: *В первую клетку надо аапнеать '1ИСЛ0 иа первой клетки первой строки. Вс вторую клетку надо записать число из второй клетки первой строил и орнбвяить к нему пропзведеаие числа м цд предше-ствуюпщй элемент (число Cj^-Up) второй строки*. Следующая пустая клетка эя1юлнлется тая: к стоящему НОЛ ней числу первой строки надо прибавить произнедекие числе а на предыдущее число второй строки. Востюльаупмся схемой l^opuepa для вычисления козффици* еетов частно1'о и остатка в задаче 1. 2 0 3 G 4 сц=3 C|>=4-2-:S Сл=^а + 4 e-2(t Л-Б + 4 2Э-12] Следовательно, 2х*-Зх+6 = (х-4)(2х*-|-ех + 29) + 121, Задача 2. По схеме Горнера рвэдедить многочлен Р(х) = = + -кх + 1 на двучлен х-ьЯ. 9в I ■: 15.^ |1И Миого4Л№Ы Алгоб|)н1«в«сие урйаоения 1 -2 1 1 1 -3 ] (-г)4(-а>1- •ш-а -Iti i+(-^aiie- 1-К-3)(-47>= =H2 Оти0т, + 16jf-47>H-142, < Еслл пужнс! разделить с остатком леногочляп Р(х) нв мнп-гочдсв а^О. то можно спачдла рвзлелнть его ио CXDMO Гарпер» на многочлал Тогдв егли M(Jt) н Д —^ чиствое н «таток от лслсыип P(jt) на Q(x), а Л, — частное и остаток от деденля Р(х) па (j), то Л= а (* ■* Задача 3. Разделить многочлен I0i+3 на мпогочлвп Q(x) = 3x + 6. : - Радделим многочлен Р(х> на двуплвн (х) = х-'[~ — ) по схеме Горнерн. ' ^' 1 -2 -to 3 & ‘ 2 1 -'“4-IX-lbf 1 в Итак. М,(л) = х*-ухН-|^, Тогда М(xj-уХ4 = Ответ. pfx) = (2x+B)(-^x*-^x+|)--i* ^ei \ cS 4 о / о Улражкйння 1'Й.| Вынтоднч'гь деление мнлгочлепоп по схема Горнера; П (6х=’-11х^-1):Гх-Й>; 2) (2х^-х*-х*43х-21:{х4 2J- 3) C3r43x4i*^x-2):fx+П; 4) (Эх®44х^):(3x42j. При Каком значении а многочлен 4 ах 41 при дыенпн на днучлон т-а дает остаток, разный 3? § 3* Многочлен Я(д) и его корень. Теореме Безу Задача 1. Дан многочлен Р(х)-2х‘‘-ЗЯ +7х^-Юх-16. КнЙтн Р{-1). PU). Р(0). Р(3), . ' Р<-1)=2 (-l><-3(-l>»4 7(-l>*-t0<-l)-ie=£+S4T4l0^16; Т. е. Р(- 1> = 6; апалотчно Р(1)--20, Р(0)=-16. P(2J“ О, fi 99 Многочлен P(^f) н его юрвиь. Теарами Бвау Определение Звачеми# х, арн котором многочлен /’(л) обращается в нуль, йаяывают корнем этоги иногочлана. Например, один нэ корней многочлена Р(л)=2я*-Йлг® + -Н7г^-10я—16 ранен 2. так как Pf2)=Q. Задача 2. Рацделкть многочлен Р(х1-г3дг‘*-3дг* + 7д^-10л^ 16 па двучлен jr=l. Воссольауенся схемой Горнера: 2 -3 7 = 10 - 16 1 2 -1 б -4 ап 1 Ответ. P{iJ = (jt-l>{ax^-jf*+6je-4)^2(}. М Сравнивай результаты решения задач 1 и S, заметим, что остаток от делении данного многочлена Р{г) па т—1 равен зии* чеиию зтого всногочлтеыа при т, е, —30, Этот факт не случаен. Он аъграисяет аллмоидтую теорему Везу {Этьен Базу {1730—17ВЗ) — фрлнцуаекмй математик). Теорема Безу___________________________________________ Остаток ох деления многочлена Р(л) на двучлен я}~о ранен зыачеьию этого мвогочлсна при т. е. Р{а)=Л. - ЗапиЕпем формулу делеыил многочлеиов с остатком: P(x) = (je-d)Qlx>+ Л. Замепш, что остаток R не содерисит х, так кап делитель (д-о) — мно1ГОЧлен t№piiofi степени. При je = a из отого рядеиетаа получаем Я(и)”{а-а)^(л) +Л, /'(«) = О*У{о>+Я, т. е. Й=Р(лЬ • Задача 3. Найти остаток от' ле.тенин мноЕОЧлена Р(д) = -За^ f Зд^-4 на х+2. • Так как х + Й=х-(-2), то а = -2- По теореме Беэу лахиднм /E = i’{-2)=2‘(-2)* + 3‘{-2)^-4=4. ^ Kflllpif дедонин многочдона /'{х) на двучлен ах + Ь получается остаток, равный значЕзнню зтого многочлена ирн х^--т. е. ^=г(-4). “ Нанрн.мер, Остаток от деления многрчлска Р{х) = х* —х^ч-+ 2х-1 нв двучлен 2х-4 равен +4 - 1 = 7. КЯ 1Ш ' ЛЫ : MhotoioidiUii. А|1ге6р|ИичЁСхие ураанечи-л ■ Тецремц Безу приненяетсн и: длл оиределевня чи{;ла кир^ ипогочлена. HjTCTh- «яогочдеи P(jf) не равен тождественно нудю, н ирод* а<>лож1ш. что, кромо корня jc,, мношчдев Р(д) имеет другой корень По теореме Беоу Р(х) делится иа х-х,, т. е. Р(х)-и-х^^М,(х). (1) Подставим а ого таждество зааненые т —Таи как х^ *** корень нвогочлена, то Значит, (х^-(х,)= 0. Так как то JW,(Xg)=0, г. е, — корень многочлева М^(х). Применяя теорему Беау теперь уже н многочлену нолучаем равенство x^>.Af^tX). (3,) Подстаиляя равенство (2) в ряненство (1), получпем Р(х| = (х-х,)(х-х^).Лга{х). (З; Предположим, что многочлен Р(х) имеет h рдзныл корней X “и- .... лс.. Повторял паше рассуждение h pni), Получим, что многочлен Р(т) далжеи делиться на '(Х^ Х^) т, е. (X- х,Мх- Xjj) x^) Af^(x). (4) Пусть степень многочлена Р{х) равна п. Справа в равенст* ее (4) стонт мвогочлек степени не меньше чеч А, а 1!лев4 — степени п, аначкт, п>к. Полученный результат формулируется в виде теоремы^ Теорем я____________________________________________ Чнслй раввичвЕП корней мнагочЛ]Виа, тозадветваняв не рввыого вулю, не щтвоезюдит его степени * Эта теорема, доказанная в ХУП в. философом И математиком Р, Декнртач (1596—1650|, дает воалшжность определить рпвенстао мчогочленов. Раваистно ипогочл-енов +fl,x"’‘+.„^■a^^xfa^и ^(х)-f Ь^х* ‘+... + ^хt можно определлтъ двояко (чожко доказать, что оба hoeikiuihhh термине tравенство многочленов* фактически оовпадатт): 1) Считать их равньшн, если все ык соотдетствую1дие коэффициенты одиииковы, т. е, a|j = b|j. П|=Й^, ..., 2) считать пх равными, если при подстановке вместо □ерекенвоЙ любого числа с нх значения ронпы, т. е. P(c)“Q(c) при любом (Г. Если многочлен Р(х}= (х-Хр)*-JWfxl, где М(х) — много* член, ос имеющий корнем х = х^, то ДЛЯ А^2 называют K/iflwiHhdjK к'орнсм, а ЧИСЛО k •—■ KparifiQCfiibio карнх Хр. Пдпрлмер, многочлен х*-1-х‘*-4х-4, имеющий двукратный корень х^ = 2, можно разложить на нкожителн так; х^ + х* —4т-4 =(х-2)*(х-1). ____________________________________________________■■ ■ 101 Мшгочлан Р(к} и опо корень. Теорема Беэу Упражнения 14. Выясвять, НВЛЯОТСЯ ли ЧИСЛ01 |Л норпс^и МНОГОЧЛЁВЯ №ли: 1) P(x)-ajU5x*-2i“-e, а=-3; 3) rU>-3x*-3i4 3jc"^*^-1xi-2. й. 1 HftfiTH остаток Л АТ долрння кно№ЧЛ€ва Л(х) Ий х-£г, если: 1) Л(х)-** + Зх"^3, в = -2| 2) Р{хН4х”-х*"-Б, (1 = 1. 1-16jj ElaflTn остатак от делБввя миогочдрна ца дву'и1ен Q(i>=Bi + b, не ньиюлпяя дслАПНя: 1) P(r)w#*_3x*+5* + 7. в(х>=2х+1; а) P(x)*jf*^x® + ax + l. 0{х) = 3х + 6. Uj HUiArn корни много'мена третьей стайенц: 1)4х*-х; 2) je^-x®-16x-hie; 3) jr® + 2x^-x-3; 4) 2х®-х*-50х + 35. te. Найти такое число f. чтобы ыцогочлан Р{х)=х'*=-х^+fX® долилсн ЦП двучлен: 1) х + 4: 2) х-а. Найти ВДВ корта многочлена ох® + х“ - вх -12, вдли один из ИН1 рааон 3. ■30,. Нейти все корни Muai-oKJieBa 6jr^-h6x^—5х-2, ослн одним на них является число 21.1 При каких значениях о, б If С квогочлен Ptx)=x*+1. Степовыо алгебраического уравнения наамнаоот етвпень п ивогочленй Каждый Корень ураВиеыиа (1) яоля^зтсн также корнем мво-гочлепа -Pul-icl. Задачи 1. Решить урдвиелие х“-2х“-Бх +6 = 0. Г> Ле(ч*о догадаться, что Х = 1 — корень йТого ураннепнл; 1-г-6 + вт0. , Разделим многочлен х® —2x^-Sr + (i ид х^1 уголком: 102 III !1 ' Я11 Мвого|<лвны. .Алгйбршчаскир уравнении ■ 6 X- 1 х’-Дх^-бх ^_________ _______1х”-х-6 -х^-5х + 6 ■ -X^-hx -6х + 6 " -дх+6 о Итак. х*-2х^-&х + е-(х-1Кзс“-1-в)-Решал уралневле <х—lJif*^~X-ej“Op ,--3. Хд-3. ^ получаем х,='1> При ретаевип этол падачы С помощью долевия мыогочлеаов удалось воананть степень уравиеылл — свести решение кубического уравнения к решению уралненнй верной п второП cteutiiui. Это стало ьозможшлм, так как остаток от деления нвогочлевд Р(х> иа х-1 оказался рапиим пул». Для репкннй алгебранчесиня уравнений полеавы следствия нп теоремы Веау. Следствие 1. Если х™о = корепь уравневнл Р^(х)=0, то Я^О и нвогочлен -Р^(зс) делится на двучлен х-а* Следствие Й* Если многочлен (xj делится ни двучлен х-а, то X —и — корень уравнения Р|^(х)=0. Оба следствия можно выразить одной <]1ормулироакой; Для того чтобы многочлен р^{я) дедилен ни двучлен x-(i. необходимо и достаточно, чтпвы при х-о он обращался Б нуль. Задача 2. Выяснить, делится ди многочлен + на x-l-L. Остаток от деления /*(х) па x-i-1 равен Ответ. Многочлен J*(x) делится не х-н1, ^4 ЗддВ'*(й 3. Разложить па миоэкргтелн многочлен X* + 3х^-- 13x*-9x +30. если навостко, что числа 2 и & = его корни. Применяя следствия нз теоремы Веэу, утидрждаем, что дая-1гыб многочлен Делится яа {х—2} и на (х+б), т. с. делятся на произвсленис {х - 2) (х + 5) " х^ + Зх - 10. х*'-|-Зх^ = 13х“ "Ох + 30 |х^+ах-Ю ^х* + 3х*-10х^_________1*^-3 -Зх^-Ох-1-30 “-Зх^-9х-|-30 о 103 Дпгебравчессое уравневие. Следсгвис нз теоремы Боау Итак, jr^ + 3x*- + 5Их^-3) = = Найти остаток от делания этот мнпрочленп иа (лс-2){х-|-Э). ■ Стапень многодданд мцогочлела: 1) P(l) = r’'-|-5x=*-|-lli +7. а-: 1; 2) РUJ = 3x410x4 4x4-3, (1=-3; 3> Pfx) = x44x*-7x-J0, й=-5; 4> P(x)-x*-2x*-dx+ia. u = 2. 2^ Решить урааналие, если иэаестен один его корежь: 1) x®-h3x='-25x-75=0. X, =-3; 2) 2х4х=-4х-2=0, JT,=-|. Остаток от деления многочлена Р^{х) на х-ь4 равен &, а остаток от дедопии аго на X-S ранен 14. Найти остаток от додолия Р(х) на (ГЧ-4КДС-5). При делеипм многочлена вв х-г-3 остаток равен 1Q, а при долешш eiT> на х-нБ остаток равен 14, Найти остаток при деленН1г этого ывогочлана по x®-l-8xf 16* 27, При делении многочлена нд х+2 остаток рааеа 6. при де-лепии его на х-3 остаток ранен 26, и при делении его на х+4 остаток ])ален 12. Найти остаток при делеятги ЭТОГО мнотч>чдеыа иа (хн-2)fx-3)(x + 4), f2B.I Найти Такие числа Б п с. чтобы мнси'пчлен х^ + Бх* + сх^ делился па х + 2 И X - 3. 29, Доказать, что многочлен х“-+fix'* + сх^ делится на x-l-£i| и на где тогда и только тогда, когда 104 \ |. Многочлены. Алгебраичвекме уравмения ,-га, и § 6- Решение алгебра>№1чес1сих ура1внеиий разложением нэ множители ^ЯОдпиы на сиоссбов решенип влгеЁрвтсскйГо уравценин являетсл рвэложоттч? его левой чцетн ав млюжгтсли. Пусть ^ многочлен степени о>1. 1) Если jf —корень пшогоилеыа т. е. P^(jtj) = 0, то по теореме Безу многочлен делится на т, е. где — честное от деления не (многочлен стенеЕга п—1 можно ин11ти деленном -P„(J) на jc-J(j уголком). Й) Пусть Хд “ норонь многочлена ^ (х>. Тогда M^_,(x)-(x-Xj)M^ j(i), поэтому (х)пи (х=х J) (X- - а Если многочлен имеет о деЁотнн1'ельнмк корней, то его можно представить в виде (X)(X- X,) (X - Хд)(Я -х^). где Дц — когрффициент crapitrero члена многочлена Заметим, что среди чисел х^. х^. .... х^ мо1'ут окаэнться и равные числа. Способ вдхождЕнин целых корней некоторых ураднениЛ дает следуюсцдя TeopeMat Теор о М3___________________________________________ £cJiiiT уравнение а^х" + <|,х'’^‘ + ...+а^_^х + (1^ = й U) с tt;ejfuHH козф(1>ндиеитнми й||. д,. .... а^, где а^!^0. имеет целый корень, то этот корень ивлнется делителей числа (свободпот члена уран ценил 1. Г Пусть x=ffi — цели ft кпрппь ураниения (1). т. е. ■a^m" ^,/ч + ц =0 (£1 Иа атого ранепствв следует, что Так как (’вз- дел ив равенство \2) па m - 0. получаем Правил чисть Этого равенствн — целое число, так как гго условию т, П|^, Ну .... £1^ J — целые числа. Следовательно, ^ — ■целое число, т. е. число делится на .fn. • /V Зндачд L Решить у рая некие 4х^-I-4х“'- 1 Зх^ - fix*-4-ffx-I-а = 0. а 5 10S Р4ШВНИС алгвбраичЁС91ик уралненни разложением ив множишпм а.т ' Мий1'иЧлбЁ1, Б Левой части урвппсоия, обознв'гин Pj,(jp>. Найден Бов целые нории урдвиоуия. Дрлнтчляни числа 2 являются числе 1: =1; 2; -Й» t1pos«pHM, являются ли эти числе корнями многочлена: P.(-i)=0, /**(2)^641*0, Р,{-2) = 0. Поэтому = + + Делением нногочлепа ив ниогочлеи (х-1 Их+1) (jf + а>-г'* + - JC - а аококем, что Qj(x) ~4д^-4х- I. 1^орыяМл ЗТоГО многочлена яв-1 ляются числя “(1±V3). Ответ. X, j = ±l. ^ (1 ±V2), Щ Дадачн 2. Разложить на простые множители многочлен Р, tx) ^ X* 4 Эх^ - 5х!* -1 Зх -h е. ' 11 Найдем целый корен], многочлена если такой есть. Согласно теореме этот корень д<У1жен быть д&лнтелем числа в. Выпишем асе делитслл ЧИСЛЯ в; И -1; 2: -2^ 3: -3; 6; -6. Проверяем по порядку: Р^(1)=—8, х —1 ио является коряем; Р^{—1)=1Й, Х = —1 не является корнем; Р^^Й) —0i Х-=И— КО-реиь Разделив Р^(х1 на х —2, получим Р^ tx) - (х - + Ъх^ 4- &х- 3). 2) Найдем цед|дй корень многочлена М,((х)=х®-1-5x^-4 5x^3. если такой есть. Делителями числа -3 являются числй 1; —1; 3; —3. Числа I и —1 не являются корнями многочлела Mj,{x>. так как уже установлено, что они не яплдютсл корнями мшг тчлена Р^(х1_ Проверяем числа 3 и -3: Mj<3) = 84, Х|=3 не является корнем; Mji(^3j*0, Xg*=-3 — корень М^{л). Разделив Mg(xJ яа Х4 3, подучим Мд{х> = Сх + 3){х* + йх= 1). 3) Для ралдожекия квадратного трехчлена на мважителя решаем уравнение х'* 4 2х -1 = Oj ыакодим его корни - L + V2. 1 v5. Пгаггому Afjj(x] = x®4-2x-1 = (х4 1 -\'^1(х4 1 + V'^). Ответ. РДх) = (х-2)(х^-ЗЦх+ l-*^^)(x-i-l4V^l. < ^3 Задача 3. Найтп все значения о и Ь, при которых урявне- тгпе 4х'*4Ях"+^х“‘-4Х4 2 = 0 имеет корни X^■^Й W Xj = -l. Найти оетальпые корни aTOiTj уравнення. Подстп&ляя е донное ypuBiienne х~= 2 и х®-1, ттолучаем сн- -"-V {Г-:Г-Гл^о^=”' Решая эту систему, находим о=-4, Ь=-Э. Сдедоаптсльно, даццое ураанецкв таиови: 4х*--4х*'-Эх*^4х + £ = 0, Т06 Г-1 jBij III МяогочЛЁны. Апг^рэичес.к1ие уравя№ия По теореме левялз 'iacTE> этого урлппония делится на двучлепъ! (ж+lj н поэтоиу делится не их произведение (х-й)(дг+1)™Jr*-JT-Й. ВыполЁни это деление: 4j7^-4i*-9jc*+jr + 2 _-j^ + -t + S -jt=+x + a x^-jf-2 4x^ = 1 0 Следовательни, дяинае уравнение можно зепнгдть в виде (х-2)(дг+1)(4х^ - 1> = 9, отнудл Дд^ = ±у. 1 Отлет, а——4, 6 =-9, JCji^ = Сформулируем теорему (без доидзательсггва). Т0 О р е Ml д _____________________ Бели радиондльное число является корнем делочне- ленпота впштчлева арГ^ + а,!* '^+„. -l-ejj_^JC + a^, то делится ив т, в ДБЛитсп ни Л. Така» образом. перебрАв лее яонбинацкн пар делителей евободиого и старшего членив делочислеаного многичленй! можно пайти его иорнв. Отметп», что еогласао аосл1Ёлней тео-раме рвдпоналъиыитг корпями нриваДенлого мнОгоЧлеяа мОГут быть лить целые чведв. Кроме того, если свободвыы член кио-|'ОЧлена рввен нулю, то одним цз корней этого многочлена яв-пяетсн нуль. Задача 4. Найти №е ццрин многочлеия 2jt^ -h -h -I- * - 1. ' Сначала найдем все рациональные корни. Поскольку делителями свободного члена явллкктся лишь числа ± 1. а делителями старшего коэффиднеита являются числа ±1. ±2, н голь^ ко они* ряидоннльныни корнями могут быть только числа г 1 и t НапосредстяАнная проверка показывает, что числа — I п — являются нориями нсходноги многочлена* а чнели 1 ji нет. Далее, разделив наш мноточлен на произведение двучленов 2jf—1 я 1 (кая мы знаем, Ври атом дел ей ни остаток должен быть равен нулю), получим л^-|-1. Таным образом, можно разложить нгходный мпогочлеи ни множнтсли: йх*-|-яг* + х^Чх- 1 = {Эх- 1){х + 1Кх^+ П* одиаврсменио выяснив, что других действительным корней, кроме уже пяйдениых, у регр пет. ^ g а 107 Решение елгебраичеокик уравнений разложением на множители taynym 5- Решить уряяиввие Gr* 5*^-1Тг+Я — Bj:* ^ 6ж* Jf + 1 17^ + 2 E 'h r-je* * Iftr T+: ^ Ж-2 x»-x_2' er*(jf-2)+{x + l)(6je=-17j + 2)--lSj. x*2, 6x^ - I2x^ + 5x^ ^ 17jc* + 2x + 5x^ - I7x + Я - ^ 1 Sx; flx'-7x^-12x* + ax + 3-0. (1) ДелитЕли сяабсдыаго члена урядяеиид Ц) роллы ±1, ±2. в(-1)*-7(-1)®^12(-1)^+]-2 = 6+7"12-3 + 2*0. fix‘‘-7r^-lZx*+3x+3U+J_ _ 'бхЧВх^ 'ex^“13x* + i+2 -1Эх^-12х= I* + Зх -х^ + лг 2х + 2 ~_2х + г_ О Итак, ех*^7х^^ 13х*-X- 2-(* +1 Кбх*- 13а^ + х+ 2>. Решнл уравнение 2=>0: При Л - 2 ПОЛЗАЕМ в-в-13'4+Я + Я"0, т, е, 6 х^ - 13х^ + л + 2 делится ин X" 2. G -13 + 1 + 2 2 6 - 1 -1 ; 0 Итак, вх^-13х*+х + а-{х-3)(вх='±-х-1Ь Решай уразаепке 6х^-х-1 —О, получдем ^к“^- В реаультате корни уравнеяна (1) таковы: х,*--1, х^=2, л.=- i ] — JI х^™—, Коркк нХд = 2^ iiocTojwHHHe. Ответ, Jfi=- т* * < ■ад Задача Д. Решить уравнение (л^ + х + lj(x^ + x+ 2) -12»0-?> Решим урввиевне методом замены Еалзнегтншч). Пусть х« + х+1 ^у, ПреиСрпзуем левую часть уралиания тик; (хЧх + 1}{(х^ + х+ 1J+1J - 12-0. (х'* + х+1)Ч(х* + х + и-1Й = 0. Тогда у{у + и-12-0, y*+y-ia = 0. Это уралншше имеет корни У|=-4, у^-З. 109____Глада |И __________________________________________ МЧалочданы. Алгебраические уралненнл Если у = 3, то 1г®+х+1 = Й, r^ + jT-Й—О, я^=—2^ Если ТА ^ + i + 5 = 0. Эта уреевепис не имеет дей- ствительйых КА^неЙ. Ответ. х^ = 1. Xj = —2. ЕН Упражн0НИй 30. Решить ypftвнe^lИO^ если иовестен одив его корепь: 1) a‘' + i=-7x*-JH-0 = Qp 2) 2j*H'121^ + 11х’* + 6л + 5 = 0. Xi-1; 3) Йх*'-г‘-12х® + бл^+1Йх-9-0, х,~^: :i * 4> Зд* + 1''--15х^-5х^+12х + 4 = 0, решить уравнение (31—32). 31. 1) hx + 6 = 0j 2) г^-3х* + ех^4 = 0. 3^ I) Х^-Зх* = 3л^+I2x+lft=0i 2J x*=3x^ + x=* + 3jf-2=0. Найти рвциональжые Корни уравнения (33—34). Ш 1) (3x+U(x"+1) + т^-2х(л^+3)-5; 2) (-1)“ + X (2х - 1 (X +1)^ + - в, ^ 1) i*(x-2) делится ня многочлен х^-(Х| + хДх + х,х^- ■111! Доказать, что уравнение ах^+ Ьх^+с:^+бх 4 о — О заменой х+у=1 еяодится к урнвнвнжй + +с-2я = 0. 42. ] Ввести Ёсломогателъноо иекзвестаси! и решить уравнеш1е: 1> (Зх*-х-1)(2х*-х-б)-Б-0; 2> (Зх“'=х-4)(Зх*-х + 2}-7 = 0. 43. ; Решить уряряепие (х*-3х + 2}(х^-7х > 12)“4. И-1 + Я3Х jf-j + ,...+ = О 109 Решение алгебраиноекм* уравнений [зеэпожвнивм на множитепи § 6. Дел1ИМ0Сть двучленов а™ на х ±з |Щ1 Следствийин 1%ореиш Безу являются признаки деллмостя длу»цтенов: 1) Даучлея х”-а'^ делится па х-а при любом meJV. 3) Если т — ч.етпое числом то дву'слеа г"-а™ делится кия на х+а, -гак н на х-а, Бели т — чипло^ то дяучлвц х"* -o'" не делится ыа х + й. 3J Дьуялвп х“ + а'^ не делится не х-а. 4) Селя т = печетное число, то дну^меи х'" + а” делится па х + о, Если т — четное число, то двучлеа г"’ + п'" не делится ни на х+а. нм на х-а. Напри mefi: (x*-a*li(x-a) = x + o; (х^ + в*):(х+а)=х“’-ах + u*; (X*- а*): (X- а) - X* - л + д*х- а^; (х^- я'): (х' д) - X* + ох® + a*x* + д^х + В самом деле, при двлеанн даучлепа х'"-д"’ Нй двучлен х-а в частпонг получается мяагочлен х* “ ^ + ex'" ' * -|-о^х" Оетатки при делеппп (нлЕтрнмер, угодном) йдут а таком порядке: ax'"’’-а'" — парачН остаток, ы®х'"”*-я'" — BTopofI Чаптноо садарзпйт т членоа, а сумма ппказатолой а н х а каждом члене одна в та же ^ равная при атом |[оказАТ1!Л1] X умёыъпшются па 1 н поиядатеиж и увелнчмллютсл на 1; Нооффнцненты всех членов члстщ)1Ч) рйдны 1. ХГеютону сраау можно напасать результат дедекнн: х'* - д“ = (X- а )(х'‘ + ах* + «*х^ + а V + и*х + д‘). Чтобы получить частное от деления х^^а” па х + д при m четиам или чвстное от делений х™ + д'" на х + д при щ нечетном, достаточно а имогочлене^частном дамеиить д на - а. Задача 1. Найти частное я остаток от деления двучлеиа x^-l2S па: ]) райность х = Й; Й) гумму х+2, i ‘ 1) По следствию 1 нэ теоремы Беау разность х‘—1ЙЙ делится поп огтаткл пн разность х—2. Частпое Л/(х)=х*^-1-2х**-н + 4х* + 8х® ч-1бх^-ь32х-|-64, н остдток Й1х)=г0^ 2) Но следствию 2 но т&арвмы Везу разность х^-128 но делится на сумму х + й, Частаое М(х)=х'’-Йх* + 4г'*-ах® + -н 1вх^ =Згх+Й4, в остаток Л(-2)-(-SJ'- 1Й8--3sfi, -4 Задача 2. Возложить на нножитедн двучлен х^+243. ;> Сумма нечетных степеней двучлоип х'"Нга'^ делится ын х + о. Поэтому x‘-l-a43 = x'^-^3'^^-(x + 31(J^-Зx^ + ax“-г7x-^SJ), 4 В1 110 Ih ^^еагочлеиы. Алгайраячоские урплнениц Упрвмнения 4^ с понощыо следстввл из теоремы 1}езу вмполш^ть д«дсвне двучл«дря x*±tt'' ftH х±д: 1) (243jc^-3£>:(3j:-a>; 2) i?)5 3) : 3 4) + :(l,5ci* + 2t''>. 45. ItaKUM ДОДМСВО Сыт*, целое число rt, чтобы числе вида 10”+ 1 делились нл 117 4в. Кйкяш долисно быть целое число Ч, чтобы числа вида Т"-1 делились on S и 6? 47. Донпэать, что инорочлен (л""'-l)(f" - 1), еде леЛ', делится на проиэдвдопне (x-lKx''^ U* § 7. Симметрические многочлены ШЯ Задача 1, Нс решая ^фовнеита х^—х— 1 =.= 0 {иксюи^сго де!*-стяителькые корИи), СОСтЯпИТЬ НОП№ квлдратяоё ^вкнение, корнями котораго будут; 1) квйдратм корней данного уряд нения; 2) кубы норией далнаго уршшсния. I 1) Овозопчим черея И корни ИСКОМОГО уражвлнил, а черео р и q ого коэффиоиемты. По теореме Виста для ддвного уравнения Xj*Xj( = -l, для искомого уравиенля у^+у^ = -р^ По условию нодачм У|=х*, Тогда р - - (дГ* + Jrj), Чтобы ааЛти значения р и q. вужпо вырйзнть + и через i^ + ij И х] + х^^ U, h - 2 1*-Z(- 1) = Э, X* - (-1)^-1, Т. e. p = -3. q=\. 2) В JTOM случае p*-(jf^ + ^^J, Выраанм сумму нубоа чисел х^ н и проияьндение кубов этил чисел через X|+*j и Xj-x^: х^ + х^ = (xi + Je,)U* - Jf iJPa + ^ +1 > = 4, x*.xj=(x,; 2) х“-4х- 1-0. -4 При peioeABK атоЙ задачи ипн ионвдобидоеь ныразить сумму квадратов х^ + х| н сумму кубон x^ + xj через Xj+Xj и X,Xj. L : 111 Сгиммеиричаскин миогочпаны Все эти Еыратеннл обладают общим зaJviЁчaтeлlIШIiм свой-(ггпом симм^пгриячости ^ нх аиачоаня ив меняются при псря-ставовкЁ перешЕЕВГЫХ х, их,, т. о. прв апыене на х^, « х, ВВ Х|. Каждое ио этих выражений является ивагочляв.ан от двух иераманных х, н х,; их цдяшыиот сихм^трчч-сскима многонле нами, првчеы нногочдены х,+х, и г,х, незъгвают нрос'гейши-MD (нлв элементарнынп) слиметркческимн многоидегамл от ^ух переменных. Таким образом, задачи I свелась и следую-гцей общей задаче — выразить симметрический многочдев от двух перекекиык через простейшие симметрические .многочлены X,-Hj и XjXj. itima4it а. Известно, что х+р-З и хр--4, Найти значение яыраження + у*, 1:- Для решения этой задачи нужно выразить симметрический многочлен через основные симметрические мно1Ч]члены: = X* -Ь p’^ -н 2х^у® - 2х^р" “ (х* + у*)* - 2х^у= я((х4у>=--ахр)*-г(гу>“=(Э^-ь8И^2* 16-17^-32-089-32 = 357. -Щ Опред&леиме Млогочлен р(Хд, Х^) от л перенештых иадыввется симметричкекнм, если он схгтввтся яепзмеяким при ^'иобой нерестаноаке иеремежаых. Таковы, иапример, следующие мпогочлеии: (х^ + Xj}* - Зх,х* - Зх^х,, (х + р)(у-»-г) (3 4-хК Бернвмел к рАзложеиию на множители многочленя имеющего п дейстпитальных корней х,, х, Рд(х1-а(,х^4л^х"^-1...-Н-и^ _ ^ = fl^(x-Xj)(x Х,>(Х-Хд)„.(Х-Л^>. Бели раскрыть скобки в правой части этого равенства и приравнять коэффициенты црн олпннкояых Степенях х многочленов левой и правой его частей, то 1иглучнм Х| -1-х^-|-Хд + л......■‘я’ х-1-й„ = ‘t-=- lij п - H-JC .г - ^ ' п - 1 и (1) (-1)" Такой способ начоя^дсивя коэффиапептоя многочленв нл-эывакл' неопределенных ко^ффици^нтао. иг Глв ва MHoru4nettbd. Алгебраические уравнения д Р^ввства (1) нааываж1т форкуллкв В вега Внет вывел атн фарнулн длл п<Ь}. При п-2 ными вивкоыые форыу- tl, .1Ы Легко усмотреть, что кшогочлеыы левой чести равенств (1) fT ееть влемевтарвые сиыметрическне многочлены. Задача 3. Рналожшь ын мвожитеди многочлен [> Воспользуемся рйшввнем задачи 2 для преоС^раэованнл cyMHMjr*+p‘‘ = (U+p)*-2x^)®-2JtV = (Jr+V>^-4j^V= 3 ((# + tf}*- JTif)* = +j:y ■< Задача 4, Решить систему уравнений j; + tf+a = 6, хр + хг -I- уз = 11, Lxpa-e. [> Левые части уравнвниЛ снетемш — лле«е*ггврнне снюнитри-ЧЁскне многочлены. Волео того, формулы Виете показывают, что X, у и 2 квляются корнями уравнения третьей птеаеЕШ u*-6u*+Ни-б^гО, где н,=х, “д“^‘ РйзломЕИМ яевук> часть отого урввнаиил на множители; U*—вы^+ 11н- в-* бы® + 9H+2u"'6 = o Обозначим корни данмоЕ'о уравнения через Xj., х^, х^. По тифоме Виотл Xj + Xjj+x^-7, + -10, x^XjXj=2. Обозначим корпи искомого уравнепил через У|, и По уелон1тю ^1-“, Tat^fla = + р, + у^) = I Д .р .-f А + + J. ) ^6 \x^ ^ Хд ^ X, J г , . г' 1 I 1 \ т,+х, + х„ 7- »ji \ Х|Хд ^ Т|Х., 7 Наконец, = 1 2' t f ПЗ СиыыотричЕсхие многачлвоы Таким об-раао», вскомоа ураанеиве имеет вид у" + + = 0, или 2у^-ь + 7у-1 = 0. =<1 8Й*Я Упрэжнек^з 46. Не решая данное уравнеане, составить квддратваё уравпе-HBD. корни которого обраттиы корпям урдниопня f^-GjT--7-0. >19.: Составить квалратяоо урааненне, корни которого были бы ^ обратны коршш ураннення ajc^ + fijc + c' = 0. б^.; Выразить через р п L) разность квадратов корней ураннеиия i рлг'h ?О; _ 2) сумму и разность кубов корней урдвпекня jc^+pi + ^ = (J. 51. J Нэвестыо, что л + у = 3 н ху—-а. KattrH оначекие выраже- иня Zx^-Bxe+2!/^, 52. : ИзаестнОа что Х + (/=1 к ху=—2. Найти значение выраже-____^ НИМ 53. J Разложить на мнозкителк мпогочлеп х* + X^y^+J,\ 54.1 Составить кубическое уравнение со старшим кпа^|фндН'ен-том, равным 1, корни которого противоположны корням урлвзвния х^-Зх*-х+3 = 0. [55^! Составить уракнеяме четвертой етеяеыи со старшим равным 1. корни которого противопсыожиы корням уравнения х* +Zac^ - 16д^—2х + L5 =0. 58. Решить уравнение x^-^3VZ 1*-1-5хч-V2 = 0, если известыож что □ро^тнввдеине двук его корней равно 1. § 8. Многочлены от нескольких переменных 1МногОчлеЕ с пврбненпыми х, р, z..w иоткс^т 5игь пред- ставлен в виде 1:уммы одпочлепов вида ['Де и — коэффициент и п, пт, Л:, ,.., 1 " некенторые целые ир' отрицательные числа. (Если как ал‘.i ибо перемепаля не акрдцг в данный оддочлеп, буден считать ее покааатель степени равным нулю,)' Сумма цркалятелеД степени m+л + А-f ,..-1-( одночлвнв (1>, где называется степенью btoj’q одно'1лена. 1:1аибодьшая яз стеоиией одночленов, вкодящих в многочлен^ называется С'пеленьт многочлена, Нццример, Зх“4 Зху--I-7x-y-t-1 — многочлен второй степени с двумя переменными; 5х^ +Зхун-Тр* + Зхг -4if3 f + Х-9 — многочлен второй степени с тремя nepentcJiными; х*-х1/г-|-р* — мЕпгочлев третьей етепенч с тремя переменными. Мпогпчлены с любым числом иеремрнншх можно складывать, вьг(нтатъ н умножать, получал иногочлен. 114 III Многочпаии. АлгебраичеСнив ураамении Если GCG члоиы мыогЕЭпицйвв ОДНУ В ту нсс стввеиь. то мвотсртлер назь™ется (здноро^пым^ Ниирнмвр^ 6jr’*-3jcy4 (/*, 2xy3^ + jr''— однородные ЫВ nrti-If jTJ^HTd. Задача 1, Гааложнть на кяояштсдя однородный кыогочлеа F(i, р) = 1''-‘Тх®у +5x*y* + 3ljffl"-ЗОу*. применив нодстаиовку x — ty. ■ Р(л. у1 = t*t/* ^ 7t"y* + Ы^у* +3иу^~ аоу* = у* и *- 7f*+ + + 31f-30) = y**Q(<). Дедлтвлн саободнйго члеыц —30 многочлеаа таковы: ±1; ±2; ±3i ±Б; ±6; ±10; ±1&; ±30, Найдем Q(l>=l-7 + & + 31-30=0. СледоватЕлъво, Q(f) делится нц Г—1. Найдем реаультат деления на ^ —1, пользуясь сяемой Гориера: 1 -7 5 31 -30 1 “0 -1 30 0 Итак, Найдем корни многочлена! 30. Нетрудяо убе- диться в том, что t=3 — корень зтого многочлена. Польауж^ь схемой Горнера, найдем чаатвое от делении атого многочлена на f-3. t -в ’1 30 1 ■■ я - J0! 0 Итак, Ш). Корнлмн мнотчо1дена 3^-10 ввлаиугсн (^ = -Я, (j~5, т. в. У(И = и-1)((-3)(/-i-2Hf-б). Из равевстаа X'=t{t налоднм ,-i. W (i + 2) (|-5) - -(г-yKjT - Зy){^^-2yИx-5y). ^ Задача 2. Рааложкть вы множители многочлен Р(х. у, + [> Вош10 льду смея формул ой иаадрата трехчлена (а к fr -|- -* а* + Ь® + + 2аЬ 4 2яс + 2Ьс и DbiACHHM а данном моогочлвпо квадрат трехчлена: Р{х, у. л)-(х® Тогда Р[х. 2yz)(*® - г® + йуг) -(х» ^ - (у ±« (Л-* - [у-х}*) + + _____________________________________nS^ Многочлены, от нескольких оарер|Щнньж Задача Разложить нд множнт&ш мявгс^члёя Pf jf. у* г) = j:0/* - г^) + J/ Сг^-дг”)+г (лг^-/>. : При зг-у име(>м P(jf, у, г) = дс(г^-з'}+д:(а^-х^)+г-0-0. Это ознвчаот, что Р(г,у,г) делитсл ьй t*-y>. Авалапгчпо Р{х, y,t) = 0 и при у = г, 11 upu г=х. А это значит, что P(x,y,z} делится II на у-г^ н на 2-х. □оэтолгу Р{х, у.х>-fc(*-yHy-x)(2-*)p где k — ЫЁкОФОрое числа. Найдеи к. Пусть х»1, У”=й, г = 3, тогда 2к = 2г t = l. Ответ. Р(х. у,г)-(х-у)(у-г)(г-лЬ ^ Упражнен1»1А 5Т.; Разложить иа множнтслн; 1) 1у - лНу 4- г>“ + U -х)(г + xi^ + (J - У Ц* + У 2) х^*-y® + (j* + i=y“ + y^j; 3) x* + xV + y** |бв. При 1шкыз( значеидлх й и А мыогочлоа d(x*+ у^+ х^у*) + + Ьху ^x*-y“j + y^ делится на {х+у)(2х-у)7 ет. Пусть Х|, Хд, X, — корни уравнения х®+рх+7 = 0, Дона-□ать, что х* + х| +х^ = ЗЖ|ХдХд. ®б7 Разложить на множители одыородныД многочлен Р(х, у), нриыенпз подстановку у=Л: 1) Р(х. у)-15х*-ех=*у + Э1зе^у*-1вху^ + 2у^ _ 2) Р (х. у> - 1ЙХ» - + 16хV- Зху* - 2у*. 61.J Доказать тождество fx + ^P-x*-у® =5ry(x + yMJc" + xy+ у^>. § 9. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона ^^3Применял правила уиножянвл нвогочленв на иногочлен! легко получить знакомые 4щрмулы оокращениот умиоженил: (X i л)^=х^ ± 2ха + о^; {х±а)“=х^ ± 3x^0 + Зхй*± а*: (X ч- и) (X -а) = х’' - а*: (X -ь и) (х^- хсм- о*) = х^ + а®: (x-fl)(x“ + xd + d*) = x^-fl*; <х -|-у + г)^^гх* +уЯ ф x^ + 2xif + 2xz + 2tfZ, Ий при мер, ПОСЛЕДНЯЯ формула квадрата трехчлена получается так: (х+у + г)“=<и + уТч-г)“=и + у)^ + 2г(х-|-у)-Н2^ч= =х^+2ху-1-(/^ + 2гх + г* = х® + у* + л*+ 2ху + 2хг + 2уг. Поппа ко м амал теперь с формулой щ-й ({^слой яеот'рица-гольнсий) етелейи даучлеиа (бинома) х + я. И6 f ллн;^ IU 'Многочлень). AnreepaitMceiiMa уралнаякн ЗапиШЁт иослеловательтю форнульз степрни бисомл: (JC + о)* = 1 - I +1 - е; f J4 1 Of*'+ гга + 1 ■ U*: и + а)“ = 1*я" + Зх®<‘ + Й1я^ + 1 а“; (j:"t'0>'‘ = (x+o)*(x+a) = 1 ■х* + ^я®в + вх*я* + 4лга^+ 1 ■а'*; 1л- Ю>»-.(лг + о>*(х+а)= 1 х''н-5л^А+10л*и*+ 10xV+ 5x0'*+ 1 - о* и т, д. Спрл№ДЛ11Ба следующая бннашнальввя формула Ныатоаа: {х + аГ^С° ■x*+C^ -л" ia + Ci-x"'*a*+,-+ ^ ' п п м. (1> Формулу CU часто называют проето «бннйм Ньютона», а чнсла (читается: »це из зм ао эи») — бяношшльнв^ми ко-эффиднентвчн, щнтчсы Cj]^ -1 п С™-1. (С числами айда С" лодри6не« озяакомнтрсь и 11 классе.) Можао noKiHiflT)-, что коэффыциеиты раэложааия стЁпеИй бннома (Снномиалыаыа коэффмциачты) легко найти по следующей схеме, которал иааыелется «треугольник Пзскалл», по имени француаскога мв-гематика Влевд Плскдля (162S—1вй2). 1 1 1 I г 1 13 3 1 1 4 6 4 I 1 5 10 1Л ^ 1 16 15 20 15 6 1 1 7 21 3S 35 21 7 1 1 в 2S 56 70 56 26 6 1 Ё КАЖДОЙ строке ОТОЙ схемы коэффидиеиты степеин биаи-Мй, кромр порвого и последпсго, получаются попарным сложе-анем бдижййшнх коэ(|>фицнентон предыдущей строки. Например, при т=Ь имеон строку 1615 20 166 1, которая по.тучпется па предыдущей строки так; е-1-1-6: 15-БН-10; 20=10 + 10; 16=10 + 51 6 = 5+1. Таким образом, (д + а>"= г* + Сх^а + 15г"о= + 20л^дЗ + 15х*а* + бхд* + о“. ЗйМСТЯМ в формуле (1) сдедующес: 1) число членов получаемого многочлена на едншацу больше показателя степени бинома, т> е> рвано т+ 1; 2) поклзатоль степсыи переменного х последонаг&лы10 убывает от /ч до о, показатель степени число н последователь-ио йозрасгаат от 0 до mi 3) биномиальпыс козффпцленты, равноотстоящие от нача- +. а. С* =С“-*. ла и ст конца разложемия, равны. f; i 117 Формулы оократеннюгО умнО)*ония для старших стсоепеа. ShhOu HhJOTOhiB Зал1ча 1. Hafrrn раиложевне бнаама: 1J (2je+ 1)»1 2} (лг-l>^ г 1) f2jt+l)''-(Bif)'' + 5n2j)'‘+lO-(2i)" + lO-(ar)^ + 5 3^ + 1 = = 33х“ + воле-' + ВОх^ + 40г" + 10х -ЬI; й) (л -- X* + вх* * <- 1)4 1 fia:* ■ < - 1)^ + 20x" ■ (- I >4 16х* ^ х(-П*+ех< (-l)4(-tV*-JT*-6x^+ 1&х*-20г4ТБх^-вх^-1. ^ Симаолаы л! (пп факторяод) абоаяачают пронзи^деиаб ьа-туральаых чисел от ] до л., т. в, л1=] 3* Э*.,. ■ (л-1) л, Напрнмор) 4Is)^2' 3' 4»24^ Услоицдис:|- «читать 01=" 1. Биеюмндльвм^ коафф11циеиты олредедяются следу п~ щнч paseucTBOMt: где Л1 > л. (2) С* = п1' Наирикер, С“ = б] ________t г э 4>а а (€-2}Г21 ~ 1 2 э 4. L. 2 -IS, МЛ1До сия пор бивомш1111>[{ые казффицксаты вычислялись с помощью треугольпика Пйскпла. В исиове построенил этого числоиого треутлы1И1сд лежит следующее сдойстдо бнномиадь-ыыя коэффициентов; m + I яф л> ______Г1Л 4- I _ fflJ ^ С " (Fn-n)lnT' + С™ + ^ ^ "I " (л1-йКп] ж!|о ■>■ 1 + ш — п J _________яП___________ ml(rt + 1)+ —п) (т-п- Utfn+ 1)1 “ (m нУ(л+ l)i JnXfft + i)__________(/й ■!-1 )t , I = С" (П-Л)[(П41)1 (m-rtjl(rt + ljl fx + 2>^=^r4cjx*' г+С^^*а'' + С?л'‘-2* + С“х'*‘ г‘* +с*х'*,2* + + с- 2* + 2' = х4 Ых^ + Й4Х* + гв0х45е0г® + в72х* + 448х + 4123.М Общий член рдэлолгенлл (1) Т , имеет вол Т. 1 ■ . а". -■ fi) Полагдл в этой формуле п=0, 1, 2........т, мы полу11ИМ первый, второй и другие члены реэложеяня бниома (1), 118 Гпзвя III h^Norci^fTSHb. Алгйбраи*Ф$[?1^н^ у^рЕщиенк^-п ri ^ Г Тогда ua ралеЬстЁй {4) Зйдвча 4. Найти всв радиокалышс члены рвзло^кепия би- нОнй + • Пусть ИСКОМЫЙ член есть 7*^ имеем (V^) -CJ-3 ^ 2 = . где fl=0. 1. 2, 3. 'ti 5. Из этих чисел нужно выбрать такие, при которых локв^ здтели и будут целыми числами. С)1|епиляо. что п^-а. Ответ. Искомый член рнэложония Г;,=С^‘3‘ Йп^О, "^l ^ —* Признаки делимости {и неделимости) яручлева а"±Ь'‘ ИД а + Ь HOHEHD доказать, используя формулу 6л л ома Ньютона. ГТрипедем пример. Разность одинаковых стеиеией чисел а «. Ь деегда ,делитоя на разность оснований. Запишем выражение а" - Ь'* тик: А--6"=((а-&) + Ь)'’^Й", (6> По формуле бинома Нысттова получаем t(ri - 0) + #)“ = (а - й>" + С‘ (о - й)" -' - й +.. + (а - й)*"-’ + й". (6> Подставляя выгрвзвииие (в) в равенство (5). получаем, что каждое слы'аемое н правой части рплйпства (&) содержит мыо-житель (а-й). ОтсА1ДП следует делимость а'*-й“ ив я-й. • Аналогично докйоывиется н делимость u'’ + й" ив а + Ь при □ечвтБом rt. и неделимость я"+й' од раапость о-й (а этом слу’ чае □олучаетсд остаток 2&"), а также все остальные случаи делимости двучлена Р Упражнённ» 32. Зипшгать разложение бинома: 1) {«-2й)«; 2) a+V^)®: 3) {1 + йт)^ + вЗ_. Найти пятый член ралложепид; Ц {Vi + jr)"*; 2) 3) {2 + V^)'', /я X В4. Найти в разложении бпиомп Jc + — 1 члев, не содержа^ ЩИЙ X. PeuiHM ату сМс1№Му сП'ОСобом подеталюаки. На первого урав' нения находим у = х~~1 и. подставляя во нтпрое уршшение еИ' стемы» получаем 4jc{x —1) ^4х+3(х—1И-6 = 0. откуда jr^-4x® + 3x + 2^0, ПлПдем целые корпи урпвпепия (!}. Делшгвлями числа 2 являются числа ±1. 12. Проверкой устапавлыввеы, что JT, =2 ^ корень уравнекня (IJ. Делепнен уголком левой Чйстн уравнения (1} нл х-2 на* ходим частное х*-2х-1, поэтому урдвпение (1) можно аапи-сать в виде (j-2)(x*-2jr-1 ) = 0. Решая урцвпеипе jt“-2jt- 1=0, ншщдим *,^ 1 + \'й, Jfj = I = V2-Подетаадча Ra^fli^Riiie акаченил л в аырвжсине у —х—1, получаем у, = 1, Уа = \ 2, у^,=^-Уг. Отет'. (2j 1), (1+V2i V2}, =V2). Задача 2, PeuruTb систему уравнений X* бл^у &(f“ = О. 1> Эту систему можыо решить, нодстааио во »*1:орое уравнение системы и получив уравпение je‘‘+ex^-^ 10х® = ^ах + 72 = 0. Одна ко решение этой системы можно упростить, если дс-аую часть второго уравнения системы раэдожить пн множите Ли. Для этого решим второе уравнение как киддратнос относительно г“*. Получим: {х^)*-|-йрС^с^) + йу^-0. откуда 120 Г-яав III Мн-огтлены. А/РГ$11^$ичес;к><с урввно^^ня 3у±1у:|™-3у±у. m СЛЁДойАтельиОк ж*--Йу или поатому второе урлв- в{?пне снстегш шожыо зааисать в виде (х* + 3у)(г^+ 4у)^0. Гх^у = 3, Итак, система такова: 1, д , „ Ил( +4y){jr + 2y>=U. Она распалвется на две систекы: Глс-у«3, |flf-y = 3, lj“ + 4y=.f|i; 1ж‘'+Йу-0. Решая вти системы, палринер, сдособсш падставовки, вв-ходмм я^ = 2, л-^=-6, у,"-9: Jfj»-1+V7t уд = -4 + 4\/7; 3f^--l-V7, у^^-4-Ут. < Задача 3. lid Яти деЙствнтелвдью решения системы урав- *V+24-^. Заметнм. что если, (jc; if) — решение днппой системы, то jr;tO, у 5* О. Перемножая ураввеяня системы, получвоы (ху + 24>(*у-в) = л:®у“. xV +ISjfy-И4-xV» И Подстамнч например, в первое уравиевие сис^гемЫк получаем 32=—i я*=256* в ДвАетвительными корнями ооследиего урвВвеВиЯ ВвДв1йТ-ся чмслл х, = 4, Jfj = -4. g H:j формулы у™ - вяходим у, = Й, у^=-2. Ответ. U: Й), {-4; -2), < Задача 4. Найти дейстянтслъные решепия састеыы урав- нений fjc*(i+v)-ia, I r*(3j-y)=ao. Заметим, что если (i; у) “ реиаенио лтой cbctdhbi, то л^О, x-hy*0. Злг-ys^O. Разделив первое уравневне ва второе, получим St + 5у - 9х - Зу, х*т2у. ох—if S Подставляя х-»2у, мяпрннер, в первое ураввевне системы, ндкодвм \у^ ■ Зу-1Й, Последнее уравнение имеет только один де^стинтельный корень По формуле X=2ff НАХОДИМ 1—2. Ответ, <2; I). -4 (( Ш 121 C^нtлlвмы уравнений Улражя&ния Решить сшгтену урй&иеаий {71—76}, 71. 1) 2). [^-y*-3S, Li+p-lS; Lx-P"i4; Э) 4> Гх^-/ = 1В. lx-y= 1, 15; '2x*-2jrj^ + Jf--9. 2} Гх* + 6ху + ву* = 91. [x + 3y-l0 = 0: 3)1 (л-1){1^-1)=а; 4) f(r“3)(y-H)=l, .x + y»6i Lx-y = 3. 7^ x+y-a. [x-y=7. xp —40: [лу-18. 7± и xp-x+jf“7. xy-2(x+y)=2j ху + х-ну=Й9. 7S. y^x-1. JT^y=2, x®-4xy-)-6p —IT ах*-ц9ху+£йу+44- 3)| 4) I t/-x-2. ejr"y + Xjy-y-0; , 2x^y + 9x^ff " Sxp'- 0. m *'У = 1» 2>| х-ГУ"2. х^--Эрх''-4у*-0т 2x* + 5лг"у - 3y* —0, 77. Прсшеввйецне дв;ух рйыю L35, я вх разжзсть рцана 6. Найти ати числа. 76. Разность дяуя чисел равна 16. Сумма этих чисел, оложоы-аал о ЧАСТНЫМ от долоиия большего на меньшее, рвала 64, Найти этй числа. 79. ПсримАтр орямоутольннка райей 14 см, а его адшцпдь равна 12 см'*. Найти длины сторон прлмоугйльилка. Решить систему уравнений (ВО—83). BQ. 1) 2) 1 ^ г 2j 81. 1) '^-Hxy-10, 2) i if* ^ ^+-ry = ^. 82. 1} f(x-y)(x^ + y^)-fl5. 2) 1 'x^ + 4y=y*-hl6x. L(i + y)fX^^y®)-i5; 1 ,1+у^ = Б{1 + х*). 83. 1)1 ~ *-l2y = 3y^. 2) 1 х’* + х-1-ху”8. Йх-|-р = Зх*т 1 y*+y + xy-4. 122 r-Tia PI) МногОчлвНМ, Алг^раичвект ураавэния S4. БрпгаДА JHiCop/toft должна была по плану заготовить аа несколько дней 218 лрижгняы. Плрлме три ддя бригада аыполпяла е-жсдыевно устнниллеыдую итлааон ыориу, а затем каждый лень заготавливала S м’ сверх плова, поэтому эа день да срокл было эвт'ото-влено 232 древесины. Сколько кубл<1№кил метром дрелаоины в день должна была бригада заготавливать ио илаяу? 8й, В бдесайи проведены две Трубы: через первую вода влпсветел, через вторую выливается. При совыестиом действии труб бассейн иополняотея лл 8 ч. Бели бы первая труба, работая отдельно, ааполняла бассейн но 1 ч дольше, а вторая сливала асю воду также но 1 ч дольп1е, чем первопп-чдльнор то при совместной работе дтял Труб бассейн надод-Р11ЛСЛ бы за 12 ч. За сколько 'юеов первая Труба, работая отдельно, наполнит бассейн, а вторая сольет всю воду? S6. Бригада рабочих построила мост за 14 дней. Если бы в бригаде было на 4 челопека больше и каждый работал бы енседвевио на Один час дольше, то та же работа была бы аыполиспв за Ш' дней. При уяелнч^нин бригады еще на S человек и рабочего Дня еще на один час идя работа была бы аыполнепв [ш Т дней. Сколько человек было в бригаде и сколько часов в день опи работали? В7-- Дли рядьтещения комплекта журкалпв достаточно куанть 13 стандартных подок. Так как в продаже были полки, на каждой из которых [юмещвртся на 7 журиолоп меньше, чем на стандартных, то купили 37 полок, при зтом осталось свободиоЕ место для 7 журналов. Сколько журиолов было в комплекте? Из пунктов Л и S выехали одновременно навстречу друг другу ноторлкдист н велосипедист. Они встретились не расетоииии 1 км от .В, а в момент прибытия мотоциклиста в Б велосккедист находился яд расстоянии 16 км от Л, ___Определить расстояние от А до й. еГ&. Автобус нз пункта Л н автомобиль из пункта В дтпращтя-|ртся одновременно и осуществляют безостановочное дян-жение е иоетпяпиыии скоростпмп между пунктами А к Й. Через 42 мин посла началн движения произошли ах пер-вал встреча, а через 2 ч 34 мни после инчетлд движеепя автомобиль перы,:]! раз обогнал автобус, Через какое время после начала движения автобус и ентомобНЛЬ В1тервыа окд- ___жутся однонреминпо в пункте АЧ ВО. Иайти дейотпительиыо рашеиня системы уравнений |х*-вх^Зу-1-0, li/S-H 2х + 9^+ 14-0. Решить систему уравиеинй (Й1^92). 91/ 2x'*-xp-y“ I0x-Sy=12-0, 2х* -I- Зху -н у- + X - у = в =в О'. 1' 123 Системы уравнений 2) Uli^-i-y») = 9*V* 1) _ Uij(a:"y)-6; U{jr* + j^) = 9jl^/-8Ji^. 93. Дарйга йт пункта Л до пувктв Я цдст па подъем, в от аувк-™ Я до пункта С имеет спуск. Пешеход айтрачнваот f ч на путь от А до С в Y ч па о6рдтпи(^ рутъ> Няйти скорость исинеходц UU подъеме, если его скорость на спуске ва а км/ч болыиЕ, ЧЕМ па нсдъеме, а рпсстояане ОТ Л ДО С рав-по в км. ynpeiKKaHHH К гляве 1М 94, Выполнить деление: 1} C15Jr® + ex*-20r*-&x): (3x^- 4); 2) [ I ЗлН' - Эх' + вх* - 6х): С4х^ - Эх); 3Uj“ + i);U+ih Найти частное М(х) н остаток Я(х) от деления ныогочлеиа Я(х) на многочлен Qfx); 1) PU)-4x*+3x* 1, -ax* + 3x^-x, $U> = *^ + x + l. 9fi. Уйодившлсн h tom, что X| = —2 — корень урвввепвя x'^-“4x^—йх+14 = 0, ааЙ1'к остальные корки этого ypeaHePHni у 97. Проверить, что х.*1 и = — корни уравненнл вх*- Пайти остальные корни этого Проверить, что Xj*! Н - llx*-i3x*+10x+8 = 0. урайыеинв. 98. Проверить, что х,—1 — кореш, уравнвинл х®-{1-V5)i^-(l+ + VS)x+l=0. Найти остальные корпи отого уравиеяял. Число х^ = -3 Является кориом урапиепия х^+лх*ч-6х-3 = = 0, Найти а и жталЕшые корни этого уряннеыин. Чисяй х^ j=l±V3 яалпштся корнями ураввснкя x^+ax^ + ftx--2=0, где а и Ь — рацнсшнльныс числа. НлЁтн а. Ь и третий корень этого уравнеиня, Найти действительные корни уравыекня: 1) 9х^ + 1Йх^-Юх + 4=0; 2) Х* н х*-Бх^+х-6 = 0; 3) х* + 3х* + 2х^ + 6х* + 2х + 6*0; 4) х*-2х*-3х" + 6х* = 4х + а = {). Уравнение ах^-2х*= 5х + й-0 имеет корни х, = 1. Найти а, ^ п третий корень этого уралвеныи. Уравнение х*+ах +Ь = 0 имеет 100, 101. 102. 103. Хд==а. корни х^ = 1, Xj = 5, Кпйти а, Ь 1Л Третий корень этого зфввиення, ИМ, Решить уравнение: Зх^ 7 5*^ + 9, 1=х ах 4 1) 124 X - 1 X ^ 1 Г-|_1| ||! х^-1 2) Х-; ^ + ^ C + 7x-3i^ Многоч1шкы. Aj4e5pae4ecrne уравнении JflS. Решить ypasuetitfe: 1) + 3) (f*-i-3KJf“-r-Z)=l2: 3) (i=f + jr)*+(3r-lljV5x(x-l) = 6i 4) JC^U*-6bax(x“-4) + 4-05 Б) (x“-2x)= -4x(X* + 3> + 4(lOjf-1)- 7r“; 0) (x*-2>’+*(*-lMx+L) = l. lOe. tla^YU дййствительвые «орпи урштевйн: " ■ь- U 2) 3) 4) j* г^Чг- 2) Злг^ + 19х + е х+2 х-3 г+2 г—I ах^-Тд+2 . X* + X - 3 2x^+1 ^ Яг^ ^ 15х^ , Зr^-l Эх-1 ex*+J-l’ ах* 5х*-17х + г 1вх х*1 Х-2 2+Х^^ 107. Решить систему уравденжй: U 3) х-ху-О, ^ * + 3xif - 4; xy + X'3i^ = 3, Jf^ + y* = ]0; 2) 4) х* + у* = 5у; x+y +xy- И, 1^у + ху'‘ - SO. |1^]№Н|1йтЕ1 Тй1;ё6 числй Ь W е. чтобы ынагачлем х^ + Ьх^ + сХ* делился вн: 1) 1 + 2 и х-3; 2) х-4 и х+6. 109Л1ри двлвнжн мвогочлеиа роочередоо на двучлены x-ir2, Х-3, х+4 в ос-гнтке получаются соответственно числа 6, 26, 12, Найти остаток При деленпи атого многочлена нв (x + 2>{x-3)(x + 4j. |П0,;Допадать, что MBOro=х* + 4я^-2йг*-10х + 04; 2) Р (X} = х® - 2х* + Эх® - LOx^ - 40х + 48. 113.С Еюмещью схе^ны Тернера ра^зложнть rto стмпвпяв4 х-^с иыагочлин: 1) Р(х)^х=‘-5х^ + 6х-7. с = 2; 2) Р(х)=х*-8х^-1Тх^-5, с = -2. \25 Упрожнаеня к главе ]Л 114. Решить урпиценне: 1) + =0j 2) 2jf4jf^-10r^-i + 2.-0; 3) U-l)jefJC+l)(i + 2) = 24; 4) (i+lj(x+2>(t + 3)(jf+ 4) = 3. L15. Решить снетему уршшенкй: 1) A У * 3 ^ x* + ay“ = 6; ttf^^3xv+l5 = 0; I * U fl ' 4) r**-3xy+V-3. l2i“-2xv-^* — 6. lieJPcmWrb еыстену уривк1!Т1'ПЙ ГОд^-V + 5jf+ 10-0. [Йх^^З*г® + 5(^ + 10-0. !И7.Иыеются ipm куска голаян серебра с )медый. О^вн на аих С0доржитр% меди, дру|'0й — q% медн. В коком соотвощо-вин 1гужно Срвть сплнеи от оорвого и второго кусков, ято-бы ползпнть новый ешшв. содержащий г% неди, где p1 |итгю6ра^1ческого уравнения, эылн □дин и а его корней? J2.: Какой нггогочлен казыбнется «миметркческим? ТЗ, Каковы алсыеатариые сНйгметрическ(те |иногочлекч от трех переменным? 14. СфориулиронйТ1> теорему Виотв для многочлене третьей степени с йднкм иеременнын. II5. Какой многочлен наоы.цак>т многочленом от нееколъкЕи переменных? Что ввдынялт степенью &того миогочлрня? '10. Какой мкогочлед налынвют однородным? 17. Запасать формулу 4^и;юма Ньютона. Пра верь себя 1. Найтн честное н остаток от делеккя многочлене ** + 2jc*-— 3jt* + 2i^—Зж на многочлен af^ + JC + J. 2. Ие преобразуя миогочдви Р(ж)--5(ж“-7ж + 12)+11{х*-8ж + + 15), УСТАНОВИТЬ, делится ли он на дауЧлёЦ Ж-З, 3. Решить уравыавио ж®+аг*-вж-&=0-^ 4. Заннсйть рааложение биоома . 5. Решить систему урш1Ееш1Й Г jf®-JCp-y’*'= 19, 1jc-^=7. 6. Сумма КВАДРАТОВ числителя к аипшенатедн некоторой про- 26 бн pAHHflii 2б. Сушил этой и обратной ей дроби рявиц 12 Нейти исходную дробь. РаалонЕИтъ ип мнотнтеди многочлен Я* + **-2ж“ - 2ж='- Зх - а. 10 Зх = а 2, Решить уравнанка 3, Ураевенне х*+х®+ ях+й = 0 liKoeT корни х, "1, Найти а, Ь и третий корень атого уравнения. ,10 Найтн член рдэложвпия | . содержащий х^. Решить систему урапнений f 2х^+3хр-2у^ = 0, Йу* + ху + X + Зу Б-(j. Днд бригады, аз которых вторая начинает работать на б дней иоэже первой, аакончили работу за 15 дней, считая от моменте начала работы атйрйй бригады, ^сли бы эта работа была тшручааа квх^дой брнГвдА отдельно, то для се выполнения первой брнгвде совАдобилооь бы ня 10 дней больше, чем второй. Зй СКОЛЬКО дней может выпалинть эту работу каждая бригада, работая от дельна? 1i27 Вопрош к главе III I справка p,Q вручен ваАВЛОИЯН н дреаинх индусов счнтпатся, что одной на основыых целей алгебры является решение урял* пений и Ил систем, В древнем Впвилапс 4IK10 лет ндзнл умели решать yptLBHeETUH лервай, второй и [гвкоторы. Винта (1^40—^1003). Ик был исноль-лОваы метод неопределенных коэффициентов, блеюдари которому оп nepBixM эапнеад квадрнтмое урпаненне в общем виде н выразил его решение формулой (до него удовлетворялись лишь решенном ттрнчеров)! 13му принадлежит применение едпиодб-рвдного приема решання уравнений степени п<^А. Особое airn-чски« имеет устйновленне им зависимости между корнями н коэффициентами уравнений («^юрмулы Виета). Виетом было угтавовлеыо, что между njrreCpau чес ними уравиенивми U многочлеиами нместся тесаая овлзь: найти кор-ИИ ныогочдепа означает решить уравнение Французский математик Э. Безу (1Т30—1783) сформулировал свою известтппо тоороку о даленин многочлена на линейный двучлнп, лоз моля ющую снизить степень алгебранческого уранцриил, эявя один из его корней. Э. Белу зааиыался тлкже нсследонанием састем алгебраических урнононий рысших степеней к 1гсключением иеизвестиых в таких системах. Деление многочленов уголком можно обнаружить в рабо* тая И. Ньютона (1643—1737), В «Универсальной арифметике* (1768) Л. Эйлера (1707-^ 17ВЭ), по которой апосдадгтвии составлялись учебники эле-мецтаряой алгебры, а]жведено много задач, саязанных с тож-дестяеццым Нреобразованпем многочлнЕюв н алгебраически к дробей. г лаег Степень с действительным показателем Как алгрОрааеты itMecmo АА. ААА. пишрт А®. А*, шик А... «места 111 _] _j _j в л* д* И. Ньютон § 1 . Действительные ^исла Как BSBGctua аа курсл алгебры мцовпой школы, рл1шональные и иррациональные числа образуют моожестаи дейст'цц ТЫЛЬНЫХ '(исел. On реда леки е Дейст^и,пшльныл числом разьтваотся бесконечная десятичная дробь* т* е< дробь аидл ^ “о- -"о- «iVs — где d целое ввотрицательиое '(нсло, а ■ Ч J Ш ^ ^ li^ ^ V л JuT ЯХ Й Ъ ^ ■ Й.Г М Ш ЧГ Ъ каждая из букв Oj, — эта одна из д(н;яти цифр: О. 1, 2, 3, 4, 5^ 6. 7, 3, О, Например: 1) р записи действнтельнй 1*0 числя It = 3,14 ) 5*,. число U|j — 3, д первые четыре десятичных ааака таноны: л^*l^ о^=г4, Оц=1. -5; 2) в овписн дейетннтельного числа 37,19 - 37ЛЭ99... число £|„ = 37, а десятичные знаки, иачшшя со второго, равны 9, Зяыети1Ч, что 37.1Й09...-37,2ООО,„-37,Й. Действительное число может быть цоло-лштсльным, отрицатядьным или рлапын нулю. Бооконечння десятшвая дробь равна кулю, если цсо цифры в се зпписв — нули, Положительное дойстыттельяое ЧИСЛО — ото десятачвоя Дробь, НО 1>д|^япя нулю, со знакам ■4-I-J, в атрндятельное — со знаком • », Знак *i-bj» рнред дробью обычно (шусквется, Вям нзвео'гно, как вылилкяются действия над конечными десятичнД11МЦ дробями. Лрнф-мвтпчечгнш апсрвции ЦАД дейсткителькыми ___________; i 129 Действительные числа V чнсламл, т. в. бескопечными десятичными дробями» оОично мгняютпя операциями рдд ТТрнближо^КЯМИ. Эадячд 1. Вычислить цряближениый дпдядпил ныраженил Vi+v'a. ' с цомогдьш лтк[нзнальЕгулятора пвхадиц ^2 = 1Л1421Э5..., Vi =2*^320508-., . Поэтому с точностью до единицы V2+V3~l,4 + 1.7-*3,1 =3, е точностью до одной деслтой V'2 + V3~ 1.41 + 1,73-3,14 ^3,1, с точиостью до одной сотой V2-|-\'3si 1,414+1,733® ЗД46--л3,15 и Т, д. Числа 3; 3,1; 3,13 и т. д, являются последовательными дО' слтычныыя прибллжочняки (первые две — е недостатком, третье — с нэбытком) эпячення суммы V3 + V3. Итак, при яа- хождеаин суммы VS + V3 числа V2 И V3 Эйменялись нх деситич-ними ярнблизкеииями — ряционпльныни числами, и эти часла складывались но известным ирлвилам. Лпалошчпо, лычнеляя пронзиадеиие \2-\f3. наиример, с точностью до 0,1, нолучаам V^'1,4 I' l,V3=3.l3fl3=t 2,4. Вообще, пусть jf|, jf , — QOOJteaoaaTeAbHiiie деся- тичные нриближеция действительного числе х с точностью до 1. до 0,1, до 0,01 и т, д. Тогда погрешность нриблишеиия |л:-jf^| как угодно близко приближается к нулю {стремится и пулю), U атом случае ншиут IjC —J | —о при л —оо, или limljc^jr 1 = 0 ' Л ■ Г» " {читается: стремится н нулю при л, стремящемся к бое- KOFienRocTHi, иди «предел |дс—Jr^jt при п, стремящемся к бесио-иечноста, ранен иулю«). Это оанвчает, что как угодно близко приближается к х, т. е. X, —я при я —со, или lim х =х. " л ^ Lt ™ Огчетнн. что асе основные свойстаа дайствий над рнцио-нальнымн числами сокрвняютсл и для действительных 11иссл (цереместительпый. сочетательный ц распределительный законы, пролила ералнсяия И т. д.). IРассмотрим подробнее, что значит |r-JT^|—>'QI при л—•'Оо. Пусть Xj — десятичное приближение некоторого действнтель-по1\> числа е точиоетью до 1, Xj — с точностью до 0,1, Xj — с точпостЬ№ до 0,01 и Т. Д. ToJ-дв расстоянне от X да меньше 1, идн Рх-х,|*- 1: апалогичво |х-х^|^0,1: ;х-г^|<0,01; li-x КЮ''”^ т. и. какое бы ироиэвольаое положительное чис* ло Е (пусть сколь угодно малое; мы ни ваяли, иайдется такой помер члена последовв.тельиости десятичных приближений, вачмнал с которого асе члены посдедовятелыюстн будут иахо- 130 I. Степень с дййстйнтёльнын лрнвэ?телем X Рис. Sf дигься от J аа рнсстоямни. меььшем е. Ипьтни словами, модуль pasEKiCTiT Судет етреннтьсн к О, что можно заппсоть тап; lim I—О, или Ши* =г. П-4ао Л л--^Н PaccMDfpHx еще одну числовую последовательность, :Ыкдан-ную, например, формулой общего члона ^ -, ОСо- лпнчик ее {* }, Изобразим члени этой последовательности точками числовой Ириной {рис- &1). Заметим, что рнсстолыис от точки * до точки 1, раавие (-U" с ростом л становится все меньше н мекь- Hie (как к в предыдущей примере). Для всех членов иооледо' вательностп, начиная с члена, имеющего номер 1С1, т. «. для всех п > lOl, модуль разности Бели же л>^ИП. то <0,003. " Зададим произвольное положительное число е и ныОерем натуральное ЧИСЛО Л/, такое, чтобы выполнилось ыеракеиетао <е. которое риввосильно нераБснству N> 4-. В качестве N мож- ПГ Е но взять, напрнмер. натуральное число [^ ]+ Ь — пелая часть числа <1, т, е, напОо^гырее целое чпело, нс аревосходящее а. Тогда, веди n>N. то 1*„~ ^ I ^^ ^ Тикиы образом, для любого £>0 Можно укавАть номер ЛГ, такой, что для всех аыпопиястся перанеистао |дг^-1|<б. Заметим, что JV = JV^, т, е, N зависит, вообще roaotja, от с. Б этом случав говорят, чТо 1ШСЛО 1 является пределом аоследовательностн где -1 + (-1) ,П 1 . т. е, lini X =1, ияц Л —™ ■ 4 Ч-шгя \ П / Oпpt:^^дi^illl оггие Число й няэывлетея пределом оосяедовятельностн ес- ли Дли каждого e>0 существует такой аомер Л?, что для всех вынолннетсл неранриство Е^лп а — предел последовательности {х^)* то пишут llm я^ — а, нлн X. — а при л Задача 2, Пользуясь определевием аредела последовательности. доказать, что послБдовательность где Ij/KI, амеот предел, и найти его. 131 Действительные числа 2 1 . 1) Если то X ^0 для всех. weiV ы lim ж =0. " *—» f 2) Пусть ijfisO. Обознаянм — —г. Так как то г баль- 1^1 шч 1 ч 014) чожно эаиксйть кик г^1+а, где а>(1, Отоюдй I " 1} вона Ньютона). СлвдоййТЁДьио. 1л'д|“|о1[?"| < 1^, Для квлкдого £>0 ыерл- н (ш ’ '....... '' ае ■ М I ^ 1 I [“! — 1^'— (1 + ч)" > дд ^зто нерааеистао следует на фориулы йи- венство Et ))ВВй Ос ильное нералеаству вьшолняетсн при где +1 (запись о5оалачаат целую часть «кгела Следовательно, 11|Ш №4Х сйроведлило пвравирство |jr J<£. или Urti jt^O. Так как х тс можно записать Пш (а7'‘)=0, где tf/|; 2) (\/27-2}(2^ 3 V3); 3) (\(^+4V^)V2: 4) [bVS + \fW):\^. ^ 1) 2MV5-1>"-(2V5+1)*, 6. Вычислить: 1> V^-V28: 2) V^-V'B; 3) v'50;V8: 4J vT2:VW, 7, Сравмнть аначоаия выражений; U v'^+Va и vVT-i-vWi 2) vTT-v^ и vto-VsTT, ТЭ2 г II. I Mill 1^' Степень c действягольни-м аоршзатвпем в. Вьгтаслкт]!; 1) \/(V7-3vio + v^)- Vs; й> ViVie-evT+Vri-a; 31 y^(Vs+2VH-\/8“2\'f^1-£+T, ^ Выписать из ^КАааняых нижо чноал то и только те. которые прииидлеЖАТ интервалу (VS; V'^): 1,41; 1,4143: 1,42; 1.41421: 1,7Й: 1,7ЯгО; 1.74; 1.7321. 10. Вычлсллть: 1) lini —; 2) lim (0,2)": Я) Uni ; 4) lim Л —m ц Jk^CO tjfi-l fl. —сю T-ft" lllj Доказать, что если а — рвшювальнОе ЧЧРЛО, я Ь — нрра-циоаальное, то и сунма. и разность чисел а н f) еыяются числами яррадивяяльнымн. 12. ДокйЗВтт>, что 11т «О, если: || i.OQ п * п ч-1 * v« пг л*+\ § 2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Изпестно, что ^олс^льрич рекой прогрессией называется та кая чнслоавя носледователышеть fr,, Ь^, ..., Ь. что дл1 асви натуральных п аыполнлется рзведстао гд1 й|^0, 1^5*0, Среди геомЕтрнческих npoi’iieccHi! особый иптерсс пред етадляют так. называемые бесконечно убыаакощне 1'еометрнчес кие прогроссин. Рдсрмотрич квадраты, нзоБ-режениме на ркеувке 62. Сторона первого киадрата равна I, сторонй второго рання сто* рдпв третьего равна н т. Д. Таким образом, стороны квадратов образу гат геометрнче-скук> прогрессию со знаменате- лем 1 1 ± ± ■ 2‘ зя’ ,й.......... Й.-1 (1) Бесконечно убь>вэ1ощая гдометричесхая прогрессии Площвлй этих квадратов образуют гаок^трич^скуи UpO- грессню со цйаменателем -|-: 4 1 - — — J-* .1 - 1 4^’ 1 4*’ ] (2> Ив рисунка 62 иидноа что стороаы квадратов и их площади с возрастаmient номера л ставовнтсл все меньше, прпближд-дс[> к нулю. Поэтому каждая ид прогрессий (1) и называется Соскопечно убывающей. Рассмотрим теперь геоивтрнческун> прогрессию 1 (-1V' ,я' ■■■’ ,n-t ’ ■■■ ' I _1 Л ’ 3* 3*' 3- 1 Зканенатель этой прогрессии 4=’--^^ Д ео члены *3-i- ^ » 'f* Д' С возрастаннеи номера п члены этой прогрессии прпблп-зкаются КС нулю. Эту прогрессию также называют бесконечно убывающей, Отиетнч, что модуль ее эпамеаатела меньше единицы: [^|< 1, Оп^едепои1ио Геометрическал прогрессия иазывается бесконечна убыва- ннцеи, если модуль ее эиаиеыателл меньше едиинцы. Задача 1, Доказать, что геометрическая прогрессия ~ —2 ” аадддвая формулой л-го члена Ь —— является Сескоаечпо П gif убывающей. Э Э 3 1 По условию = откуда , Так квк *> 5* da EPj □ fqld, то двпвал геонетрическал ирогре(ЖИЯ лвлнется бесконечно убывающей, -4 На рисупкв 53 изображен кал-драт со сторопоЁ 1, Отметим штри-хонной его полоачну, эд-гем половину оставшейся части и Т. Д. Площади заштрнхоинплых прныоутольников обрнауют бесконечно убыввкицую геометрическую прогрессию 1 4 1 Й* 4* В* 1G’ SZ Бели эвл1трихоАать все получающиеся таким Образом прямоугольники, то штриховкой покроется Рнс. S3 1Э4 1 rij- Степень с действительным поквэвтепем весъ квадрат. Естественно Считать, чта сук1ма площадей иссх заштрихованиых пряноугольннкон равна 1. т. а. i + 1 + 2 4 S 16 32 •j-шшш =1ш Левая часть равенстм вредставдяет собой сумму бесконечного числа слагаемых. Рвссмотрнм сумму первых л слагаемых i _ ■' ^"1“ j”T„T-i+i-T f » г 4 8 2" По формуде суммы п членов геомвтржчвс{Ео& прогрессии имеем ' S -1-« 3 1 Ji’ Ч 1 j_ а“’ Если п аейграаичеыпо возрастает, то как угодно близко щш- 1 2 1 блнжается к пул», т. е. — — О при а — ™., или lira ~^0. Z” Ч-* 2" Поэтому 11щ 11---rj“li Т-е. liniS =L. Басконечную сумму Я ■■ М \ Й" / Л — » ^ счятатт равной 1. 2 l+l+I + J,+i 3 4 ^16 32 Сумма бесковечно убывающей геометржческой прогрессня есть предел аоследоштельпоетп ,5^, S^, S^, ... . Например, для прогрессии ~i' i* .......(^з) ..... 27 и S, 3 1-1-1 3 “ а' 3 9 я' имеем ’-И) j3 4 ■ЧУ- - ■ Так как Unif-l]"—О, то litaS — 1. 11.-*вд\ Q/ п--дв'' я. CpjHJVj^ бесконечно убывающей tf0Mfmpu4fCK0U прогрессии можно НАХОДИТЬ по формуле S=-^, (3) 1-V ^ 1^3Выведен .тту формулу с помощью формулы —-—, запнсвн ее так: S =—*--------*—’■о . Обоаначям тогда 15^,-а|«|в17"|. В предыдущем ИН' раграфе доказано, что ИгаСй^”) —0. где следодвтельао. Ц. ^ № Ь, liiHiS =а, или Jim S ** д—*—< Г,-ич ■" Л—I» г 135 Бескоь)бчно убываняцяя геометрическая срегр№Сг<я TaiciTHi обряаои, сумще. S Оескоиечао убыввя>1це& геонсгтриздс^ кой прогрссснн в1Л11сдтяеч'оя по формуле S= 1-f, Ho формулы <3) при А, ПОЛУЧИЕН S-’ 1 Это равеяотво обычно-3BimcbtDiuoT так; 1+i/4-g* + .., + t3f" 1-ц Подчеркнем, что ото равенство сардеедлкш) при в частноств при д-0, Здлачн 2, Найти сумму бег КОНЕЧНО убывающей геометра' 1 чеекоа ujiorpecciiH I 1 1 2* Б’ 18' “ 54....... t Так как ТО <7—^ = *• формуле |i3) по- лучим S — 1 1 ■Н) I Зддйчв 3. Пвйтв Сумму бесконечно убывающей 1'еометри^ ческой прогрессии, млн й,=-1, ({=—. 7 ! ИрНМОНЛЯ фюрмулу Ь орн п —3, получаем откуда Ь^--49, По формуле (8> находим S = -49 ■4 ■57i, ,< Задачи 4. С помощью формулы суммы бееконечио уОываю-Н№й геометрической прогрессии оаписгатъ бег конечную периодическую десятичную дроЁн д-0,(1 б) = б,1б1й1&... а виде Обыкновенной дроби. ' Состннвм слйдую]цую последовательность нриблмнсснпык эпачепий данной бесконечной десятичной дробн: Uj-0.161515 = 15 + 15 + 15 1011 100^= 10О‘ Запись гфвбяжЖеижЖ аокяаывает, что данную периодическую дробь можно ирвдставктъ И виде суммы бесконечна убы- веющей геометрической ардгроссин; о = т^^Н—+ где Ь 15 100 1^00^ 100^ 135 100 ’ 100 По формуле (3) получаем д = I I -11^ А I ^ 15 1D0 15 Б 1 100 99 ЗЭ Степень с деиствитвпьным тюкааатнпем Задача й. Найтц ncpaufr члси II знаменат?ль убывающей геометрической прогрести it если сумма этой npoi'peccHU рааад 4, а сумма кубов ее членов равна 192. > Сумма членов &й1:кщ|ечно убыяашщей геометрической про- гресснн S——, тогда сумма куСсш ее членов S' будет вычи-1='/ „ ^ - слаться по формуле S=-------Возведем S в куб и найдем отиошение 1-V* 4* . I *" 1ВЗ ’ О - ,/f^ Я' 'Чтобы найти q, решим уравпедие 3(1 - Так как то 3(1 Н д + 1-2^+ЧЛЧ 27^ + 5^+2 = 9. Корин ЭТ01'0 уравиевия ^^=-2. ?j —По условию ||g^-:l, значит, первый корень киотороквнй. Следовательно, i?— W4(1 -5), - б, Задача 6. ПайтИ сумму бесконечно убывакицей гелмстрн-ческой прогрессии если ее второй член, удноежное проид- иедеыие первого члени нв четвертый и третий члер являются носледователкнымн членами арифыетичесиой нрогресснр с разностью, равной [> По условию bjj, йд — 1П№ЛОЛОяательные ^ьлепы ариф' меТаЧеской нрагреСоти с разностью Сле доев тел ьно. Складывая уравнения гпстечы, нолучоем f>Aq^-qi= -г, OTKvдa 2 , Подставляя это выряжс1щв а реряпр уравиепке Ь * 3(ДГ/-1) системы, получаем ураннекие М Stjlq-l] З' которое можно преобразовать к виду 39^ = 6(7 —3 ~-0, откуда I 1 8 '/| = ^т = fan как 1, то q — ~-. Находим Н S = Я = .'^L -i ^ i-(j а ^ ^ а 137 Бескоаечмо убывающая геоистрсчвская прогрессия Упражнения 13. ВыясвитЬг яяляятпя лн геоглетрняесьой прогрессией после^ доолтелыЕЮСТь» злдаипал формулой л-го члено: 1) 2)Й„ = 2Ч 14. Найти сумму nepBbtx пяти членоа пюывтричеокон прогрессии, если: 1) Ь^-Ва, f-2; 2) 6, = llf &^ = Вв. 15. Доказать, что геонеггрическая орогрессия является бесконечно убывающей: - 21 1 i ■ ■ ’ ' Э* Э* 2Г...... 3) -27, -а, -3, ... i 4) -Ё4, -32, -J6...... 1G. Выпейить, является лн геометрическая прогрессия беско-вечоо убывающей, если: 1) 5, =40. frj = -0O: 2) : 3) 30. 5, = 16; 4) *, = 9. ^ гт 17. Вычислять: 1 1) lim> iFl+l ' 2) 11ш {0,ТГ. 1—™. IQN IS. Найти сумму бескопечпо убывающей сеоыетрнческоЙ прогрессии, если; 1)«—au-ii.-ij iO. Найти сумму бесклвечно убыв'^щей геометрической лро-греесии: I) В. 1, 2} —25. —5, —1. ,1. , 20. Записать бесконечную периодическую десятичную щшбь в виде абыкновепыой дроби; 1) 0.(51; 2} 0,(8): 3) 0.(32); 4) 0.2(B). 21. Выяснить, является лн последоэятельпсм:ть бесконечно убывающей геометрической орогреосиеД, если он4 задана формулой п-то члена; I) &, = 3-(-2Г; а>Ь^--Б-4"; я, 22. Найти сумму бесконечно убывающей теометрнческоп прогрессии. если: 1» 2) 3“ “5^' "ft' 133 Гп а 3 а fu Отапиыь с действительным показателем Pt№, $4 Рас 55 23. Сумна б^кавечно убывающей rQt>gceipB.4ecKt?S Прогрессии равпд 30. Найти: ’ 20. 1> Ь|, если если Ь| 24, Вычислить: 3-3'*, а" ' 1> Ит 2) lim 3" 3) 11m |1П —йС (Б^ + 1>Д 35. Па куб со стороной а поставили куб со стороной —. ив ие- 26. 27. га — куб со сторовОЙ -у, звтем — куб t!d сТорОвой и Т. Д. j4 В (рис. 54>. Найти высоту иолу пившейся фигуры. В угол, равЕшй 60°, последовательно ввисввы окруншОсти, касающиеся друг друга (рис. 56). Радиус первой ОкрущИО' стч равви Я,. Найти радиусы R^, ... ocToaiLnbix окружиостюй и ллкаэнть, что они пбразугат бесконечно уСываюи^ую тлметричвску» прогрессию. Доказать, что суыиа Д,+2(Hjj +Дд ++Лд +...) равна расстоянию от центра иврвой окружаостн до вершины угла. Найти оервыв член и аноменатсшь бесковечно убывающей геоиптрической прогреснэин, если второй ее член равен б, а сумма этой прогрессия в S раз маньщо суммы кнадратоп ее членов. Найти первый плен и аыаьеянтелъ бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой отношение суммы кубон всех членов к сумме квадратов всех члевов равно 3^ н1етношение суммы всех членов к сумме квадратов всех члеыов равно у. 2Э. Бесконечно убываюи1ая г(?ометрччепкая прогрессия, сумма которой рдакл 4г* содержит член, ранный ^ . Откощение Л W i г 139 Бесконечно убываази^п ГБОметрическая прогрессия сунны всех члеыоь upai'[)ecciiM, с№лщнх До Kfii4>, К суммк влБХ члевов. стояЕцвх оосле него, равно ЭО. Определить ио-^^ рядкавый помер этого члеид прогрессии. |Шк] ffaRTH еум»у бесконечно убыинюп^ей геометрической про-грЁССин, у которой суммй кнйдрАтом первых п члеяоп рвпкп сумме первых 2л членов, а суннв кубов п членов в 3 резв меньше суммы первых Зп членов. § 3. Арифметический корень нэтуральной степени :jaj№4a 1, Решить уравнение дг'' = В1. ■ ■ Запишем урввгеЕгие в виде у'-81^0, нли fx^ —9)(Jr®-h 9)-^0. Так как т* + 9^0, то X*-9 — 0. откуда х^=3, 3. Щ Итак, урпвнепие х* —S1 имеет дни дейстнителъиых корня Х| -^2. Их называют корнинн четвертой степени вэ чис- лп 81, а положительный корень (число 3) паоывпют арифноти* чееккм корнем четвертой етепеаи пэ числе вЗ в оСоенвчают V^, Таким образом. VS1 —3. Можно локезить. что урявцение х^ = а, где п — натурдль* иое чноло, а — неотрицчтсльпое чтгело, имеет (и притом един-ственвый) иейтриццтельныЁ корень. Этот корень нйзыиают арифметнческша корнем д-й степени! ив числа и. ОпределениЁ Арнф/»еттсспим /горчим натурвльной степеян н >2 нэ ве-отридв'гельыого чмелд а нйзыьаетсй ыеотрмдательное чполо, Л'Я Степень которого ранне д. ^^ЗСущесТвовппне арЕ1фметического корлп примем бео докаэа' тельства, а едЕнствеиностъ докажем методом от противного. Т Пусть уравнепне х'* —а. где пеА', □ >0, имеет два положительных корня х^ и Xj, т. е. х^>0. х^ > 0, и если Xj**Xj, то либо X, t х^, либо X, >Хд. Ил орродАлення кория следует', что г^ = д. = Jc"'=Ja* В курсе ал1''ебры основпиЛ школы было доказано, что при умножении неравенств одинакового смысла, левые п правые части котарык положитсльесы, получаетса нернненатнп того же СМЫСЛЯ. Отсюда следует, что если 00! 3) Ь"=д, Например, Vfl4 = 4, THi; KrtK 4 - О н 4'‘' = 64; так тшк О" “ О. Из апроделеиил ерифкетического корил следует, что если о ^0, то (V^)^=a( и также V^=u. Например. (vT) =7, '--Г V13^ = 13. Действие, посредством которого отыскнпается коротгь я-й степени, ыддмваогси даолгчеяысж нпрмл л-й степени. Это дей*' гтвне является об-ротпыпг действию вояведспия в л-к> степень. Задача Й. Репжть урн вне в не л:* —8. Запишем уравнение в дИДй je^-&=0. или (л-2)(д®+Йг |-4)^0, ’-£){(* +1)“ + Я) = 0- Так как (г-»-О, то д=£ —0, откуда Х’*2. Щ Итак, уранкснио д*=В имеет одип дсйетнительЕи.тй корень х~2. Так как 3>0, то число 2 — это арифметический корень иа 8, т. е. УЙ'^ 3, Задача Д. Решить уравнение В. Зясшл1ем урйпыеняе п нидел^+а^О. или (х-|-а)(х^-2х-|-4)-0. (Г+ 2)(fx—1>^ + 3)-^ 0. Так как (х - 1 >^ + 3^0, ТО Х+ 2 = 0. откуда ,т = -й. < Итак, уравнепие х^--8 ичвет один действительный ко* рень Х = -2. Так как =2<0, то число -2 является корнем нд число —8, но оно не является ярифметичвеким корнем. ^Dicjio -Й , 9.-- пянывают корпЕм кубическим иа числа —8м обозначают V—8; V—8*= —Й, или V-8*“Ve=-3. Всюбще. длл Любого нечетного натурального чиелй 2fr-l-l уравнение •=а npji а СО имеет только один действнтешьный корень, причем отрицательный. Этот кореаь обоаначается, как ил F ] и арифметический корень, еимволом V(i, Ё1'й называют кордел нечгтнни стгпгм.и из Ъ/прицат^льноеи числа. 3:--- S.-------- Например, — V—йЯ = -2, Корень нечетной степеeiii и* отриштельыого числа а авя* эан с арифметическим корнем на числа -в = |п| рапеяством 1*н|^ ;!Л I I- 2Л h I,- О,______________ t,_____ Va-- У-а^ - VilaJ. Например. V- 243 = - V243 = - Я. Докажем, что велгг а0 и ff=2fr-i-l. где frtN, то имеется еднистлеиное число х ' 0, такое, что х"=а. 141 АрИфчетический спрвяь оатуралылей степени Обоапачин буквой ^ ЧРСЛО] протвнсшалажное числу а, т, *=“Д, Тогда Ь>0 ы существует единствьнжый врафкетаческнй копенъ с ствБеш! 2Jtr+I ив лолотвтельиого числа Ь. т. е. или Vb=c. Таким образом, УЬ~ \-а- \'ld[=c, где ОО D Но '-(-1)®*^'с^^"=(-1)Ь = Л*+1г- „(_ l}(-a} = a, ^1]йчиТ| - Vla| есть отрнЕщтельаое число -Ci такое, что {—= i --- 7|---- Задеяа 4. Вычислить V~0'-027 —V0,00l6- V‘700-*V—123. Г V- 0,027- Wooie -Vi^-V-128 = V“(0.3>* - ^ У¥- ^V^=-0,3-0,2^3 + 3--l,5. <4 Арифметический корень п'й степени обладает следующи* ми сяойетвамя: если а^О, Ь>0 и л. h, т. — натуральные числа, причем п>2> tn^S, то; 1. Wb-Vam " /я,— тп^ 4, V Vtt = Va. ж ",— " Г~' 3. (УаГ“\^. Ъ. 1>тметнм, что в свойстве 1 Число Ь может ташке быть равньш 0; в саейстш! Э число т может быть любым иелмк, если а>0. Л ш h ■— П I— Докажем, например, что yatt = Va Vb (свойство 1). Воспольауемся опредедвинем арифнетичеекого корил: Л ш-г А р— 1} vaVA^O, так как а^О и 3) тая как (\/fl =(V^) (Vft) “ot- • Е^ЗДоКАжеы, что (свойство Б}* Щ j Ара I-77 Q U Va">(}, так как a>0; Уо“*>0, так как о>0; Й) ( v'fl™}*'* - V= и■"*; Это свойство HBSbniaiTT основным овоЙствоч корил, • ^^5 Аналогично доказываются и оствльпые свойства. Приведем примеры применений свойств врифкетичеекдго корня. т,- ]) V27V3-У27 3 - V'Sl^Va^-a; 2) V5*‘=\(5“)^ = Б* = 12&; .\/Т=\/ЖТ±. 'V 6 V аав ’ S 4) \/V^osfl = 4бэв-’\ а^ = 2: В) (v5)"^=V^=yJ = ^: уа4 W 142 Глава ГУ Степень с деЕЧстяитип&нмм показателен 6) V(-3>“’=-W^=-3*=^27: 71 V(3 ™ V?. V(VT- a)* - |i V7 ^3p. (V^v)^ Задача S. ynpocnstEb аыразкение ' , где e>0, i?>0. ------- L - Используя свойства ариф^аятэтесхаго корвЯ| получаан (У^)* <|“а' АЦ . , СНм№1'чн сща одно снойстьо арвфнетичсскога норнц четной я* I степени: уа**-|а1, где >е — натуральное число. Воспользуемся оаредедышйа арвфметичеснхаго корпя; 1} Joi>0 по определению модули; 2) lo|2*«osi*, тан как |а|я=а*. • Задачи 6. Упростить вьфшкенве V(jr- 5)* +- V(* ^ 3}'', если ' V{*-5)* +VU-3)*=|*-5|-|-1*-3U Tait кик 3-^x |д~5[= — Ст-51-B-jf, fj-3| = J-3, Пойтому V(Jt- &1" + V(Jf- а)^- б - * + + Т-3-Й. ^ ИНа Задача 7, Упростить выряженне ^■=Va+2-2 Ve + 1 + Va + 5 + 4 \''а + 1. -'Очевидно, А имеет смысл тгрд ПодкореНпое выраже- ние д-ьЙ-2Уц + 1 мшкао представить а виде а + 1 - 2Ve+ 1-f^ +1 ={V«-J-1 ^ 1)*- Подкоренное выражан^те о4 & ■4-4 Ve"+T= = fl+i + 4 Vo^4 4 =l. to «>0 и |Ve + l-1 | = Vo+T-1, и тогда A—V'a 4 1 -1 4 V'a H-l43=^2y/a4i4l. Если 0 < V'a 4 1 < I, t. e. -l0, . 3, если -Kfl<0, Щ Задача 8. Доканать, что V304 14 V3 4 V^O-14 ^=4, t - Пусть 204 14 Vs-a, 20-14v'2-b. тогда Vo + Vb-A. ДокАЖем, что A-4. _______________________________________________________:■ : 143 Арифметнчюшй kopOHi. hiatypEMtbHn^ слвпеяи По ф<>;]муле куПь суным ^пшием: . й_ а,- t,— ^г- ^®-(Va+Vb)"-u+6+3VubtVa+V^)“ -40 + 3 V400-19fi -2-A-40 + 3 *2-A = -40+eji. Тпкнм образаи, левая часть Л расстнатрнваеиого paseuftTaa мвллетсл корлам урввипния х*-6дг-40-0, Это уравнекне, имеющее кореиь л: = 4, за1шшек п виде tj-4)*{jc^ +4jc +10} = 0, Так как уракнеыке i^+4jf+10=0 ек> имеет действительных Корней (/?<0)т ТС* JC=4 ^ едицстенкый дайотвитолл^ный корень уравнапня. Левая часть равенства Л — дейотвнталыта число, арнчмт. А—4. -< Явдачп U. Освободиться от нррациональноСти в авамеНа.- ■ " ■-■ ■ 7 1 " теле дроои Л = А з_ l + V2i2V4 в — Л Пусть V2-=a, тотдй и 1 1 1 +а + 2д* р^^+О +4 + 0^*) = 2 К выражение А прииот' вид; . Умножим инслнте-’1(. и З1!йме1мтсль полученной дроби на (о —1}^0. Применяя ^юрмулу разности кубов и учитывал, что в® = 2. запишем А=—-----—-------= —— 3-я=* Умиожив числитель и зиаиенатель на О+За^+а**, получим ta-lHЭ^-Зд‘’+Д^^ в анамеыдтеле рааность кубоя: А = Ча - д^-3 Так как а^ —й. то Ai ynpaKTfeHMfl 23 iT-e** 7 у2-н/Т-а 23 31. (Устно.) I) Найтн арифметический квадратный корень на числа: 1; О: 16; 0.81; 169; 2) Найти арифметический кубический корень из числа; I; 0; 135; ,0,027; 0,034. 3) Панти арифметический корень четвертой стеоеьи из числа: 0: 1; Вычислить (ЗЙ—3.1:). *«• 1Т= Ш= 32. J) W'i 2) 'v'6?i 3) U^)'i 4) ‘ V225^ SS.llvTS^i тЩу‘: 144 IV CteogHj, С деясгвитегтьн*.1и| псисазатвлем 34. 1} 2), V^3024i 3> 35. Рошить ураявеыве: 1) ж^ = 2И; Й> = 3> 5г^ —160! 4) 2х^=126. Вычислить {36—40>. 6,— э,—— 1,---- t ----- 36. 1) V32 -0.5V-216! 2) V-i0O0- ~Va^; 3) \j~^ +.^-0.001-Vooio. 37. 1) ^43-0,125; 2} ^12 21G; 3) V32-100 000. 3». U V6® 7*: 2) Vii^-3^ 3) tolFF; 4) i-- A.------- ».--- -------- 4j— 5,— b,- за. u V5-V600; 2> V0,2 -V0,04; 3} \Щ4-У4; 4) V2*V16, 40. 1) V3'®-0’*; 3) V'2^ ‘ 6®; 3) 41'. Навлечь корень: U “V&4xV; 2^ 2} 4) 42. Упростить Bbipa^etme: 1) \^2^.V4^; 2) V3d^&*i V2Ta“i; & Вычислить {43—44). "Й" “• "УЖ'®'Vif' “'WI- *’V^' 44, 1) V^;V4; 2) \JT2Si*Va(KJ0; 3) : 4) ; va 5) (V25-V5si :va; 6) (V5^-Va): V'5. 45. Упростить выражение: n Й) tef^rv^i « a' Вычислить (46—47). И Б L 44 46. 1) 2) (V9)-=*; 3) ( \ 4) (V16J ''* ' Злесь fl лялее СукВЯМВ u6o[4lin Н9:уриьноЙ степени 47. 1) Vfea: 2) \/VToi4; 3) 4} 48. Уаростять выраждитт<>; 1) 2) 1Ш, 3) (VI.v«)'i «31 (V^)*, G) (V^)‘. 49. При K&KlTiL dBBMDEfifflX x ныеет счысл выражение; 1) ^-3; 2) W+Э; 3) Vai*-jlT; 4] \Д^7 ____________________ V 2x-4 Вшисднтъ (6D—61J. so. и V^+vTf.yg- vUi 2} (V3 + vf-V®-\/6)^: 3) (Vs+v^+Vs-v^)^. 51. ij У1ДД . VsT -vTra vsao ^ ; 3} ^ + Ve y^+Vle-y^y^V^^! 5) V^7-V33-Vl7+^ Упростить пьфажевис C52—S3). 52. 1) 2) 53. !) 2) (Vl^)42(VS)*, 3t Vv**2** -(v^) ! 4) ((VoVa) "W):'Vo*. Д4. Вычислить: 1) 2) (Vn+'v?+'Vi)(’v5-V2). vT SS. Освободиться от ирр^щийввльиосгн в авомепятеле: 1) V^-va * V^Vs+a' VVs-Va ’ yfi-VS --t 3) 5 4) и ytipocTHTb: а 1J (фи: л) л>Э; б) х<2'^ 3) V(3-x)® при: й) i<3i б) г>3; 3) если -1 сх-сЗ; 4) \1{2х+1}*-Уа + х)\ ЕСЛИ ^3<Х<—1. 146 Гпаа* IV Степень о .Ёдайспительнын паевзателен S7. VapocTHTb выражякпе: IJ *vs-W W+Vs ; 2) л^Ь a.-« a СИ-6 Vs-% ' a, /^+|__‘v^lbV:(va^’v6)\ I } 5в. Срйлвить 3na4(v?EQ «ыражеввй: U и \^; Vt+VTS h VTo + V^. 69. Доказать, что: 1) V4 + 3V3-V^'2\^ = af 2) V & + vi5 + V&-VW - 5- [60.^ Упростить выражение; 1) V43+aoVa +V^3-3ovi; 2) V10^+12Va i09-12^V5. 161-1 Освободиться от иррациональности в энаиенателе: 1 . I 1) Э> 1 + Vr+ v/iy+ 3) 4) *\'0 + *\'3-“Vb д v^-Vrp+viF J Ущюстить ныражонне: ^ У(^+эЯ -IJi Vu - v4(o-l} + \/aVV4(e~li Vi»®-4 (a-11 (У у -te. ; 6} 2 \ vx+Ve t xU&+V3* ‘P* tt 3 147 /^1гфметичастп1 к1эр«йь щтурапьнай опепени § 4. Степень е рациональным и деиствител|ьным показателями 1. Стриень с ркцкащльямн гкжилйГЁлем Задача 1. Вычислить V5'*-. Так КАЙ то V5’*= V(5^)'=5®= 125, ^ Тачн|и обрАшж, шзясно оаиисдть V&^*^ = 125 = 5^, или Vs^ = — 5 \ Тйк как 3=™. Авадогтяо V3 ‘^ = 3 4 1Ь £сла neAf, m^Z н чпстное — взлнвтся ц«ль1М чкьдой1, то № при а>0 сагравсдливо равенство " д П) Пи условию где *EZ, отяудд Применял сйий(!таа стехтснн и аркфн<>тдчесеоге корил, цолучпем _____М ft ;— Vci" а*" = У(й*)" Если ЖА частное ^ не яаляется целым 'хнслом, то етедедь д", где д>0. оцредеаяют тик, ‘1ТОбы остались верной itnjpiwy- ля (L). Т,ip, и я :УГОМ СЛучИе Считают, что о* = Таким образом, ^юрмула (1) справедлива для любого целого числа 7п и любого Ийтурильного п >3 И в^О, Например, ^ ---- — и Q ______ с 32 " - W - = 2* =в; 3 ■ - V3* - V'3* - 3 = 3V3; ^ s I 27 vlT" = Vf3-V-3-*i t) Шломпнм, что рациональное число г это число вида —, FI где т — целое, л — идтуральяос число. Тогда до формуле (1) получаем a' = it =Vd'' Таким образом, степопь определеии длн любого рпцниыаль-1ЮГ0 нокавителн г и любого цолоисительиого осионякня о, Если г='^>0, то вьгражавме Vu™ имеет смысл не только я п--- при Q>0, но и при о «О, дрнчг!М VO^-=0. Поэтому считают, что при г>3 Быпалпяетсл равенство 0'"р*0. Польлуясь фсрму^[ой (1), стснввь с радиспплъпым до-кнплтелгм можно предствннть в в иди корня н нлеборрт. 148 Гпаяп IV Степень с дйОсггиитвльным псыеаэателем Так как — • 2^, где п к к — Ийтураль1ше числи, т — це- Р1 FlA Лйе числ-Of то при любом и>0 сараввдд1Г№ равепсгв-о т тк Н а та - t> t (2) Нйиршяер, 2. Можно показать, что все свийствА стедоЕН о натуральньш □оквзат&лем верны для етецваи с любым рационадьпын дакн-:}птслсы U родожнтельнмм осаавижнем. Для любых рацковальвых чисел >7 и (/ н любых а ^0 и 0 серны равенства; 1, 4- {аЬУшаРЬР. 2. а>':а‘^ = а^ -(f)'-S- 3. taT-o^ В осЁШве доказятедьстла свойств лежат еипйстнп корней. ) Докамсем свойство L. Пусть р = ^. лСЛГ, -+- к общему зраменателю, звлошем т -fc mxZ, kiiZ. Нужно j^OKH^ATb, что О а Приведя дроби ~ я m Mil fr/i ri Г Пт левую часть цолученного рнвеиствв н веде ц а ‘-а а . Используя определеиие етеподн с рацпояяльжым показателем, свойства корпя и степенп с целым показателем, нолучАСМ м Ь I,,/ , пО-1-W л1 ^ о" й ‘ =(1^ в ^ = ■ Ч a*"=“v'u"‘' *" - а~^ - а" ^ • Докдже» онойство 3. IJ Пусть р- fl=yi где яе/V, f£^V, mtZ, kcZ. Нужно доки* п (1*1 I — я*' S'V ^ й i ='0 , По осЕовному свойству дроби в оцредилеяню степени с рак к л U") ^ ^U"*) * -(Ч'(1'"0 ^, По одповау тЛ nJ [|,иор олъшл! покаштедем ня свойств арифнетвиеского корня СЙ^)' . • Аналогично докалываются остальные свойства степени с рациональным показателем, ^^9 Приведем примеры прмневенщ? свойств степени; 2 1 11 I И 16^ :!&*- 16' 16= =Vie-4; ■ь 1 149 ;^епйнь с рационилы1ыч я nemciewfecbHbiM поянзятвпями 7 I . 2 ^ t 2) \81 * } 4.01* * -81 * “(З*)** = 1 * 1 _ 3) 24* -(2^*3)* -2 “*3*=4\/з’^ S *-3®-27; Задячя 2. Вычислить Зв * -216*, 36® -216* - (36-216)* = (6*)* ^6. Задача В- Уар€нзтать выхникенне в А а^Ь+вй® ЕСЛИ в>0» 6>0а '^^+а\Ъ « « a*(>+efr* tfb' - Ь- ^ Задачи 4, Уиросппъ ныражениа г i I а^-в 1Т S а^-л где а>0. '-ю в 1Т 1 4 Л 4/ » \ а *—о * чП ^ 1 л 4 1 */ о' -д^ а*(1 -а) а П 1-1-Я^) / 1 ч .1 ^ 1 4 -(я*. -l) = 0 * +** * -я * + ь -а* + 1. 4 Задачи 5. Вкладчик лоыестил л банк 16 006 р. Влин ожс-глдиь вышлачквавт 3% от суммы вклада. Какую сумму денег получжт вкладчик через 3 г&да и 5 месяцев? р> Искомая сумма вычисляется но формуле слансиых про- [1BHTDB^ где а — □ераояйЧйлЫ1ан сумма дене1'г р ^ число процентс|В. начисляемых банном а год, t — число лет, л течепие которых дены’и находились в Байке. В даыной задаче й-]о000, д= 3. ^"3^, По формуле слож^ иых процеытол находим й' = 10000* 1,03 , Вычислеыин можно провести ив ччироколькулаторе. Ответ, П0Й2 р. 76 к, М 150 Геавв ГУ Сгепомь с действитилылым показателем Задача в. За ккккк upewi удшшванптя девы lia 'й|ЩрЫ« №ЛЫ 1Ч1давйЬ аокыдатель нафляцни еостааяяет; 1) й%: 2) 8%'; 3) 10%? I) Н|ш6ход11пи) решись ураиаепне (1,05)* = 2, где л — колЦ' ЧАСТВО ЛОТ- Можно цдйтн зыачеыае х ва мвожелтив яатураль-цых чисел, прнчевии мнкракалькулнтор (умыонсал 1,05 иа 6я п раз до tiex пор, гтояа результат не станет такси мал ъио 6липкий к числу 3), 2), 3) Для ответа на эти вопросы решвютед соотвЕтствешно уровноикя (l,0R)'-2 и Ответ. Приблизительно через; 1) 14. лет: 2) О лет; 3) 6 лет. ■■'I 2. Степень t действнтельп1лм покизателем Покажем, кад можно определить степень с иррациОЫВЛЬ" — последовательность Де- кыы показателем на примере 3 , Пусть Tj, Гд, Гд, г^,_. сятичпых приближений числа V3 (например, с недостатком}: г, = 1,4; г^=1,41; Гд-1,414; ... . Этн_последоввтельнос1'ь стремится к числу V3, т. е, limr^«V2. Числа г^, Гд, ... ЯВЛЯЮТСЯ рйцнональиыын, н дли внх определены степепи 3 3 3 *, т. е. определена носле- довательносТь 3*'^: 3*'^^: 3^'*^*; , Можно поннэать, ЧТО ата последовательность стремится К некоторому действительному числу, которое обозначают 3'*, т. е. З'^^ХипЗ''*. л^“ Вообще, пусть н>0 н х — провзяольное иррациональное число. Рассмотрим последовательность ij, JC^, ..., Х^, десятичных приближений числа *, Эта последовательность име«т предел liiux =я. Можно показать, что последовательность а 1 *' о U *, а ", также имеет предел. Этот предел обозвачя-ют и называют еггепенью числа а с показателем х. (Более подробно об этом будем говорить в П к.чассо,) Таким образои, степень а* определена ДЛЯ любого Д>0 И любого действительного показателя X. При любом ХСЛ и любом а>0 степень а*" является положительным дейстнительным числом; а* > о при л Е Л, rt > о, Если основание степени д = 0, то степень 0' определяют только при зс>0 и считают, что 0* = 0 при т>0. Например, 0^*=0, При JE<0 выражение 0* ие имеет смысла. На- пример, выражения 0“', 0"''* смысла не имеют. При таком определении степени с дейстнит1ельыиА1 показателем сохраняются вое нэ-вестпые свойства степени С рации- ■. ■ 151 Степень с ра^1Монапьным и действитепьяым показатнлнмкп Е1л,1ьмым покоза'гелен. ДакааятЁЛьство зт ик с ни йети длл t;Teiie-ны Ь зййстдитр.тп.тгыи □окаянтелен [фйвод^пся в курсе высшей ивтеыатики. .- ^ Задача 7. Упрост[т> г^ыразкецне —, где д>0, пУГ’Я.дй-^Т Прнмевая свойства степени с A'f^A'^TUHTeJtiriibiH йокодателеи. пелучаец („Vj-ljlUVl ^v7-a,^»-Vr IK'S* il ,h'T-* 1 л-vf - Q^. ^ Лрнведен еще одна свойство степени (свойство 6J. такзве доказываеное в курса вмегпеД математики с помощью теории пределов. Для любого о>1 W люОого Jf>0 число больше 1, т. е. > 1 при я > 1, С Помощью свойств степени с дейстаительпым показателем докозываотся следующая теорема: ____Теор Ём а Пусть и > 1 и JC^ < Тогда в'*’ < а По условию jCj—Поятому по свойству 0 имеем “ ’>1, Умножив обе иастц зтого ралеиетва яа положитель- □олучнм я 'я** L>(* отсюда rto свойству ум1Ео- ‘'>я*'. т. е, мое числи а женил сТЕПБвей а Сл(!дс-тие 1. Пусть 0са<1 и ж, Тогда 7'як как I, ’JO “^1- Поэтому из теоремы следует, что прн Jj < Лд (9'''(тГ- По свойству делвннн степеней (—1 =^< СлеДоавтальяо. ^, откуда я ’ > Я ^ в ' а * Следствие 3. Пусть а>0, ат^1. Тогда x, = jCj. 1 Предполоя^им, что равенства не выполняется. Пусть. ^ня111Щмс!р. X,-iXj- Тогда ори д'1 по теореме должпо быть а '-'и ^ д лрн 0<Я‘:Т по следстаню I дщчжнп быть fi ‘>а что ороттюрочит услоаню я ' = я *, • Задача Н, Срабннть числа 3^'^* и 3**’'^’* [> Сгшвнич показатели 5V3 и 3VS, Тан как 5V3 = V75. 3V5=V45 и 4б<75, то 3V¥-'-6V3, floiTJXJMy по теореме Задача Сриаиить числа и Ж глава fV Стеоань с дейстаигвльаым порсвзателвм Тяк как 10, то а если р<0, то П о условию > 1. ( X ■ ^ — 1 л*" ' >1, По свойству деления степеней —^ > ], ОТКУДА т. и. Й> Ек1лн /КО. то -р>0 И по свойству в иолучвем ^=>1, Jf * X откудй ^1^* а- I ■'I Сделаем вывод. При возведен НК неравенства с положительной левой и по-лозкнтельБоя аравой пастями в положитмьиуЮ Степень ОПАК нернленстна не меняется, а нрк кознеданип в отрицательную степень знак иеравенства меняется на противоположный^ *д- Задача 11. Сравнить числа V& к V3, По Свойствам степени получас м (v?)” j. Л i (з*)”*-3^-243, Так как О<125<243 я то 123'“<243'1* т. Р. WcW. -4 Упражнения 63. (Устно.) Предет&вить в виде степени с рациональным показателей: ^ ^ 1) V^; Й) 3) 4) 5) Vfi; 6) V^. 64. (Устно.) Представить в виде корнл из стененн с целым по-конателем: 1 I с I X _1 1)а\ 2)^^ а>а Л) Ь \ о)(2у)^; в) (6М Ч й 4 1S3 Сшп№ь с рациональным и дейотвигальным поксзагвлнмн Вычислить <вД—ей). I *11 :а. П 16^: 2) 27*; 3) S*; 4) е4“; S) 16 "'^*; в) Г^-*. Д ti 3 5 I 5 _ п & А I IS I rEV А ев. 1) 2®-2®: 2)5® е®; 3>4*;4*;4)Э*:9*; 5) (в‘*) 4) 11 11 11 *1 в7. 1) 9**27*; а) 7*-40“; 3) 144^ ;9*г 4} 150*:6*. wi * (^) (0,04)-''*-№Л26}'*; а) 10' ;10 ^ -6“ а 4} (5"0^%({0.2)*) вЭ. Найти значение выражевня: ^г- “- 1) Va-Vq при Л'^ОЛв; 2) VSiVft нрн й-0.027; Hr- *r- 3} —— при х»1,33; 4} Vq-Va* Уя* ври а>=3,76, V# 70. Представить в виде стеаеин с рац^ирнальным DOKaaBToaeM: - = i в 1 - i 9 1) А*'*\/н; a)fr**6*-vj; 3) VS^:***; 4)d":V^. 71. Вывести об[цнБ ыиазнлтедь т скобки; 11 11 11 t 1 l)jc*+jr*; 2)(аг**+(де)* ; 3)р*-р*; 4} 12гр *-4зг* у. 72. Пользуясь тоасдеством а* —fr* = (a+ &)(й-Ь), радложнть нв множители: I }_ 1) 1 11 3} у* -1: 3) о *-fr*: 11 11 4) j-y; 5) 4fl* ; 6) 0,01m * - л * . 73. Раалйжитъ вв множители, нснолъауя тождестве а“ + 6^=(а4Л)(ч*-о(> + &‘*) или а*-6*-<о-6)(а^+айН-й^): 1111 1 1} н~л; й) я*- у^; 3) й* - fr“; 4) Й7а + е*. Т4. СокрАтнть дробь; Vfl- 1) 3) 1 J. ’ в* * 6^ с- - Йс= + 1 2) 4) «42 Vm'n 4 л * 111 ^-1 ’ 75, Уцростнть уыражанве ж-1/ S 1 ffr^ Ze*-4cA I t 164 I IV Оегквнь c действитальным показателем Вычислить (те—7в). те. 1> 2) 3) 4) (СО.Б)''»)'^^. 77 1^ jjj-s^.eVS. й) 3J ^3i+v5ji-V*, 4) 78. 1) 2^-*>^.8'^; 2) 9*"'^- 79, 1)---Й) fspv¥_4vT-i^,2 aa+VS.^nV* 80. Выяснить, какое я а чисел 6олып«: ,vTT П\'№ 1J 5’^’ или 6''”; 2) или 3) 3 ''^ ИЛЫ 3"’'^; 4) й'"* или 2''^. 81. Сравнить число г oAHBHqeftt 1) 2 *1 2) (0,01ЭГ‘; 3J (|)‘i « 2-*»: 6) (if = Ч (i) 82. Упростить нырвишыыс: 83. Сряяыытъ числа: 1) ^3 и 2) V6 и гч 4) 37^ *; 84. Вычислить; ] .,(i)-«”.8.000,y>.»-(7l|)^, _1 * =ii 1 д .i 21(0,001) ■-^2*-е4*-& 3> 27 * ^(-2Г‘+[з| j -14) <-0,БГ'-625“'**-^aU *. Упростить выражение (85—Йв). -to) 8S. 1} la*) Хъ ") */ -i i*^,ii ^+a*/ Lf* 80. 1} 31 1/3 Ul + al) * I A 9 i « * 21 4) ««(v'm-Vin •) 1 i ^ p?V^+ b^Va ^r- V ' Ya +Vb 87. Вычислить: 1) (й® .fi i-lw { - - “ -Vr____ U®-fi *-5^*2 'J\/T0; 2) U"* :2*-2* :5 V VTOOO. 155 Стйпонь c рациюнальным ч дрйстеитипьнын поквэвтелнни Упростить лырнжеипБ {88—8fl) Й) 3) {у« 88. 1) 81- 1) 2) la- +b"j э> 1 fl i к а_ + V6J ! j Л ^ - (l* Л1 + Ь“ЗГ 1-Vq Vr+if *УЛ Тл}1 тшьищцмые полуироарачные материалы облРЛЛЮТ тем саайством, что обм npoDycifaioT свет, ло уксныпиют его нн-'генсивыость, Некоторый оолуггроэрлчиый пластик толщиной 1 мм уменьшает иотеысипнооть саетй на 10%. Сколько листов этого плвотккл нужно СЛОЖИТЬ, чтобы вЕггененв-шктъ света: I) умсныпнлйсь на 50%: 2) составила 80% от перполачпльяой? Для успешного лсчС'НИН najuicKi'a медикам приходится оценивать ПЛОПр|ДЬ поверхности тела больного. Ни рост, нн вес в отдельности не являются полпоцевной хяряктери-стнкоЯ плоищди пиверхвости кожпогп ггокрова человека. На основе ныср го числе иных экспсричвнтов в 19iG г, два медиян Д. Ф. Дыобос и Е. Ф, Дыобос предложили формулу дли вычисления в ндадрытных метрах нлон^ади поверхности человеческого теле; S = tiH*'W'^^ где Н рост человека (см), 1У — вес чвловекй (кг), коэффицнецты и, Ь н с — числа, которые на 401-м испытуемом были oupQAextcqiii Згчрнымн Е. Гелхиыом н С. Джорджем так; 4^0,02350, (т^^0,Н122<16, с =30,51456, Найти площвдь поверхности S тела человека, имеющего рост 170 см и вес 70 кг. Найти S того же человека, акрутдии эпачвннл кОЭ|Ьфициеитов а. ti и с до адвой дпачдщей цифры; до диух звачнщих цифр. 92. Уоростпть выражение: j 3___ Va»- d *Л 1-Vq J) / \-Д sv% »r "... -fn*; 3) 4) [,j 'fl..:5+1 )' I -V* 93.. Э4. 05. Решить уравнение (03—94>. 1) 3> 4) 32* = 2'". 1) Й) 25»''*=5V5: 3) (V2)^ = av'2; 4) (V3J®^ =3 V'3. Сравпнть числа: 3---- ft--- Л— ■(_ ^ __ 6,_____ 1) VIO H V20; 2) V5 и V7: 3) V17 и V38; 4) V!3 к V^. f :.-»l,.- »v' Стплань c действительным покаэвтелем Уцростцть вырамсенше (96—ЯТ). а н 1 1) Й) 97- 1) 3) а-Ь я 2 дД+Й^ а-Ь N vf \^+Vjf ?r V Vj=-v5 1 Sf— ^ п^+Уий+й* в + й ^ 2) л+a 1 1 ’ i 1 1 i! ] 1 а®-й® , 1 ■’ rtS + V^+fill 1 4) I 1 1 ’ a*t> a i a" №. Найти значение выражевия х*т12т, есля V4V&-4. Упростить вырпженни: |tOO. Найтн значенае выражения + если ^ I й ^ /й‘‘ я*^ * I ift , /й* ы* ■^*"V Z л1>0. V 2тя ! \t02j Найти зиачоЕше выражения 1 I n(ffi+jf>“ + (fM-Jf)^ Йтл i I ■ ^ если K= n'+ ] и m>0, 103. Вкладчик вложил в С1янк 500U р. под 2% годоаызс. Сколь* ко денег получит вкладчик через 3 тдй7 1р4> Вник ныплдчиш1ет сзиогцдио 3% от сумыы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, осди первоначальная сумма вкладп составляла 2000 р^7 ^ 4 157 &телв1Нь с рацишнальньну! и действяталынын гкжавнгелт/м Улрамненип к главе IV 105. Вычислнтъ: 1) (0,б4б:0,3-1 *(4^6,25-1:5 + 1. t.geji Й) (1"0,375^ ;{0.35в-0.ЬОа). 10^. Представить в аид« ибыквовешюй дроби: 11 3,5(1): г» 1.3(2); 3) 0.(248); 4) 0,(35). Вычислить (107—109). 107. J) ев“. 10 ®. (1)^', (о,5г‘. (-1,зг*. 3) V^, v*®!. Vl6^. - * - ---- I 3) e", 27* . 10000^, 32*, 32 (|1^ - lOS. 1) W-й*, v'324 * Vi, : Y|^; 1 i 1 i 2) 05^ 8-s, IS* .32®, 8" *(1^:16- 3) G* e * 9*.9 * f 0.5)"'" 40,5)-^ (0,5) 1 1нЭ 10^, 1) 2)(^*125-^) ^ 3) 2T^ + r-^i «(O.Ol)-MOO ^ 51 (|гГ^ •(!)''■ 5)(2^P-(t)*- n«-i)Vi V^’ 3) (v^}'. 111a Расположить числа в и-орлдке воэрдстайж^; 2 1) 1"’^", 2-\ 2) OS'*, |(|)'\ 32 ^ 3) fe, ( — )■'. 0,7)^; 4) (|)'V vTTg, (0.3)-'. 112. Сравнить числа: \ 1) (0,88)' и Я) ш 3) (4,0в)'^ н 4) 1 15В Гля1в 1'. Степень с дснатшттельныы показателей , 113. Уйрост^ить выршкввне, иредсгавнв «го в виде степени с ос* нованием а: L ''г -0,6 М —; Я) 1 1 вЗ дв 114. VapocTJiTt вмрлженне; \Vf + J 3) 4) V^(il“) . 115, Сражтггъ числа: \4S+I 110. Решить урлйнеиие: 1) 0^=6^! Э) 3'-Й7: 4.) г^ *-32: 5) 4'*"''^!. ИТ. Сократить дробь; I * 4 3) Т^-Т*'*; U l/-Uv' S) е^-' + яо 116. Упростить; i i ^ а I) J. ^ 1 а —в I P* + (i^ 116. При KQKut экачевиях х имеет сыгысл аыражевие; 2) Vx*-x*-T-l; 1) V*'*-2x; 3) (х'-Зх-4)*: 4) (х*-И+х)*? 120. Покаяать, что геометрическаа тфахресснр, :$вданааа фор- мулой Л‘ГО члепя 6 -3*2" бескопечло убымющяя. 121. Найти третий члев л суииу бесконечно убывающей геометрической прогрессия, если Ь,-=106, ?=4, 122. Понязатъ, что геометрнчесняя прогрессия нкляется бесконечно убывающей, еслв: 1) bj--81, Sj-lfl2; 2) 6,-33. Sj-вТ: 3) 6i+6,-130, 6^-6,-120; 4) бд + й^-вВ. Ь,-6,-60, ______________________________________________139 Упражвент к главе tV 1 123. Записать бескоастлую иврнодическую двсятичиую дробь ь вида обыкиоветюп: 1} 1Л0(209); 2\ 0.10S(32). 124. Найтк сумму бесконечно убивающей геометрической uj»' грессин V положцтелмгымтч членами, если сумма Dcpaux трех ее членов равад 39, а сумма обратных ым аолични 13 равна 27 125. Ип&тн сумму, все елдтасмые которой, нячинпя е tiepburo, являются членднн одной и той же геонетрнческой про-грессни; v5+i и 1. va-1 . . ог -■• р — - » «-■«•р 4pJ — V2 +1 V3 ^ 1 1. V3^, А I __ I ь а ■ а V^+1 V2 - 1 I2fi. Найти н ^ беоконечыо убывающей 1Чоп1етр(тч1:ской про-гресеии, если навестны ее сумма (5} и сумма л оервык ее членов (S^): US-f. 2) 5=0.9. iS,= |-. t2T,i Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 14-Т равна 3.5, а сумма квадратов ее членов равна 16 ти сумму иубо» членов этой прогрессии. Най- 128. Упрсктить вырапсБмие У65 + 6^14 + V^^-eVl4, 129. Упростит]. ныранЕвкне 0’={4-3v^)* + S\^34—2'l^^-v'&. Сралиить цшгучвниое ЧИСЛО С нулем. 130. Срявкить числя » и h, если: 1) U-V2+V3, ft»VT0; Й) fi^vTS-Vn, b = V12^vTT. 131. Найти ливчеиин х, 1грн котормк аыражеиис имеет смысл: I) Vvir-1 + 2i 2) J. -I 3) (d + Jf> 4> (x+4(x-l}-»> 132. Освободитьсн от иррнщювнльнасти н динионятеле дроби: " :Я) ^:4) ^ V4 ' ! S) 1> б) Va-vl' 11 в_ г ,— V3 + V2 21 1 7) й+у'Ш I 51 V37 1 V6- I fV2 + l/3 133. Вычислить: jt,_ 1 J,— — а,— I) {V7-V4KV49+m+Vl6); ^ Г~ ^ .7 ^ |л Vi+ V6 + V0 21 {V4-v^+v'asKv'a+Ve). 1G0 li 1 Степень С действительным пркйзвт^бп! t3T, Д|>Кй?]^ть дцраведлж^ость ра№ИОтаа: J) + «У1Ив>0. а^>Л>0; 2) еслна>0. 1М.' Верно Ли рамиство: 1) \/lO + V7-\/8 + г^ = 1 + \/^3-^/в+У7+ 2\'^: 2) У 2=-'\/5 + V3^y27-|.e VT^! l^] HaitTH дшлсние нырнжеиия: и^+0Г“*+(**-ЗГ”’- 2V3 -1? 1) {j:= + !J) \ 2аЬ t 2а Vx* -1 п с - ^ 2) ---■■■ при xsD,a •“V'bVT- X-V*®-1 МО. Доказать, что УТ+Ь^+у[т^ьЩ ~2. 1S1 Упражнения с главе [V 1. г. 4. 5. в, 7. S; Э; 12: IL 13. и! 15.11 Вог1росы к главе IV в каком пндс маясна зяпмспти люОое д^Цотйительыос число? Сокраляются ли эаковы н пралнлй деАстиий над радио-HBJitHMMK чнсдами и для деЁ1гга1гтельшдх чяс?л7 Что ЯДЗЫЬйеТСЯ Др^Ёлам чдсловоА послодователькости? Привести пример пюслвдавцтилыкнттн,' лр«>дел которой равен О. Какая дослсдова'рельлогть называется бескоявчпо убывающей геотиетрнпесйой прогрессией? Привести пример бесковечдо убывающей геомптричЁСКОЙ itpcn^eCcHtf. Чему равна сумма бвсконечво убывающей геометрическая прогрессии? Паинздть ид прнмере| как с помощью «^юрмулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии мождо обратить бескоыечауп пернолическую десятичную дробь м обыкковеин ую. Что называется арифметнчпскин корнем НйтуральноА <Г№-□евн при п ^ 27 Каким методом дакавывается елинстаенн№Л1<ь йрифнетдче-ского корпя из неотрицательного числа? Докапать это утварждедиа. Какое раненство свядывает корень нечетноЗ степввп нд отри ЦйтельН01Ф числа и арифметический корень но протияо^ наложного ему числа? Перечислить свойства арифметического корпя натуральной степекн. Почему равенство O'"-О спряпелднво только для г^О? Доказать одно пз свойств степени с рнииональным показа-телом. Доказать теорему о том, ЧТО а^ка""! при о>1 н Сформулировать следствия ил втов теоремы. Пронерь свбн1 1. Вычмсяить: а Г 133,3а I 4^ 3) V'2. 2е Упростить вырпжеаие при a^'Ui b>0t оО; т а f 162 II I. а* I', Ствовнь о двйстямтепьным показателем .4. CoKjaTHTb дрсзбы t. 5, я-Da 7o'‘+ai Vx+l X-l Сравлгнтъ члсла б. Упростить BupaHusve вь Нейти сум «у бесковачво убывающей геометрической проб 5 б гресснв -, ^ 37' I. Бьгчя слить: _| * SJ *+27 ® 1) 3*Й ‘ 2) (^ ’ } ■Ы. 2- ЭАиисйть в виде оСыкалвошой дроби йссконочную иерно-дическу» десдтнчаую дробь: 3,15(13}. 3. VtipOOTbtb НЫраЖеиие: 1) аЬ*^Ь\/л J+VS i-Vf) , , 1-vsi 2) \и Оранккть с единицей число; 3,1^^. Сумма членов некоторой бесконечно убынающей 1'еометри-четкой лрогреесин равно сумме кввдрвтав ее члеиов и равна S, Моткет ли в зтои случае S ражвлтъен 17 Щ Историческая спранкя В дрешостн операции нввлвчення квадратных а кубичеС' КПХ корней решались как гаометрячедкне задачи: найти сторону Квадрата U0 его площади или сторону куба но cm объелсу. На шубные задачи не имели рошеивя нл киожестве натуральных или радлональных чш:ел. В (пколе Пифагора еще а V о- до и. в, было доказано, что рацновольвых чисел не хватает лдя точного нащрення длипы любого отрезка. Одной На нервых задач, выводящих ид ионл-тис ийСоавмврикостн. отрезков, была задача нахождения стороны квадрата, площадь которого равна 2, Идею доквавтельства (методом от аритавЕОГо) квсояэмериностн даагондлл квадрата 163 Исюрнчоская еяравка в end стороиы моткно найти в зламешнтФЙ кяиг1> Ь^вклидА иНа-'чала^ (IV в. до н. в.). После введБпия oonirTiffl рвдикйлд (карая) появился большой круг эздв'1, свялаиных с поиском способов преобрааоввпля выр8ЖАНи1$ с раднкАЛВМН. а так все спос'обон ияхождония приближенных auu'iesHii корней с рвзли"'шыми ir-OKasaTejiHiriUd В решоине оервай оадв'ти большой вклад внас древнегреческий ф-нлоОоф и матвиятлк Теотвт [-ПО—368 гг. до ы, э.). Он также доказал иррлциоийлт>иость ква^хратыых норией всех нагураль* рых чисел, ае яаллю1]|ихсн квадратами двлых чнсел. Б!слн отвлечься от геометрической фабулы задач, которые решал Тее-тег, и aanucatb их в современной симнолике, то окажется, что ОЫ нашел способы преобразанаттия выгражений вида a±V&, \/ VS . В часшасти, им бы л в аы уедена формула V в ± V р ^ г-ьУа^—fi котаран пааволнет упростить выражение +Vft< если ляВтвя квадратом целого числя. Например; лв- V^-V15 = V 4 + V10-15 -]Р 1& ха Нохозкдеиием прнблиэкониых зкачений корней занимались еще древпие яавилоняэта, Они нашли достаточно простой метод приближенпого вычисления КВалрШ'НЫХ корней па натуральных чисел. GcnDBadEikitt на соотношениях между срвдинм нрпф- ^ и средним гсокетричесиим: (Vab) метичесннм чисел и ерсдпим rHpMnmfqeci;»;*) ( ) Vd-1-i) / втик чксел: U 4-Ь (1) «■If! 2 Любое число X они прсдставлллп я В1ХДе ириИаВедеинн двух других чисел {jr^a-б), а аатоы с нужной точностью исиалн примсиян псоднократно соотношения (1). Вплоть до XJT в. МП тематики ([цдии а Востока нспользовн-ли иррациональные чнсла и астроиомическик и других неу’шых расчетах, однако не нрнэиавлли их as числа. Лишь в начале XtJ В. ае^сидсный ученый и позт Омер Хайян (ок. 1048 ^— 1131) теоретичвскк расширил понятие числа до полсмкнтвльчо-го действительного числа. В XV в. самар.калдсхий ученый аяь-Каши стал применять десятичные дроби: для увелн'1еипл точности иаилечнния корней. В 1594 г. нидерландский матемнтвк 164 I. Степень с действитвльным гнзкамтнлвм + н инжен&р Crvor Ставя?! ^1543—1620) в кяигв *Приближинив к а.'Л’еСре* иокозвл^ что десятичные дроби чожяо и™одт*аоввт1. для б&сконечдо блиакого ирыбляжедия п точному зыачённю ир-рлциояолънога числа. Позже фрвдцуаский математик Репе Дё-карт (1&9в—1в5Л) ооказал, что иррацяоаальпые числа, кДк и рицнанАлыше, можно иаображвть точканя па числовой прямой и что они вместе «ааполцают* еок> дрямую н образуют маож«-ство всех действительных <шсел. Иавестеа путь раавнтия сиижзлнки ори обоапачевии стеве-вей С раилпчяымя покдзлтелямн. Так, рояевстван d**—L (где а^б) полъвовадсл в чцчаде XV в. свмаркаидский учепый оль* Каши, В том же веке фраяцузскнЯ математик К. Шнже ввел поиятие атрвдательного докваателя степени. Идел еведеннн дробных показателей вст1№чветсн~увсе в XJV Ь. в рабОТВД фрАД-цуаекош учвпого Н. Орема, который в словасной форнулдров' КА описал правила действий со степенны в. Современную символику степвоай е иулсвым, отрицательным и дробным покаэателиия иачал вслолълонать а^лийский математик Д, Ввллвс (1616—1703J, а оСгцепричятоЙ эта символика стала после употреблен на ее И, Пьютоаом {1643—1727) в своих работал. Глава I Wp I 'Its li 'i' Степенная функция Холодмыг число, ejfxuf форм-уяы матемлвшЛи полиы инртремн^'й кроео/яы U л/гц/к1 c|Ktm^№Hpup<]#dMhpji it них JHiucJU, А. Д, АлйкелнЭрал ГГ § 1. Степенная функция, ее свейстеа и график Вы ЭЕВНОМЫ с фущи^ЯШИ 1/ = Х, ^'=£^, y = Jf®i = r функции ашсиотся чяет^ вы ми случоннв степенной функцт, т, е, фуик; ции Ут=х^, где р — заяаяцое действительное число. Свойства егепеняой фуикции существеиао зависят от свойств степв&и. с действительны» □окязвТЕЛвк н, в чвствостл, ОТ тога, при ка-кнн зивчепцнн f п р имеет смысл степень х^. Мовяакомннся с некотпрыкн сяойстгнами функций, ксторыкн обллдвют, в честности, и отдельные степенные функции. Оп|редепен1к|е Функция y=f{x), определеинвя на иноте' ствв няаываится ограниченной снизр на жножее!пве X, если существует число С|, тяное, что для любого х-ёХ аьшолЕН* ется нерквевстяо ^(х)>С,. Это означает, что все точки графика огря* гячеаной снизу функции xeJT распо- ложены выше прямой у = С^ или ва этой пряной (рис. 56). Онродолинне Функция ОЕгредоденноя иа|Мяожо- стве Х*, наэывйетсн ограниченной сверху на Множестве X, если существует числа С^. такое, что для любого хёХ выполняется верявевство f(x) функция y-*^-2jc является ограынчепвой сиизу, тан кяк —Йх — tjc - 1 {рнс. 5S); Я) функция у*-д^-2л-3 огряннченл снорху, так как -jt®-2jt + 3-4 = -(т+1)*<4 (рис. 59}. ^^3функция у = /(х) является ограняченаой нд миоже-стие X тогда и только тогдн, когда сутцествует число С>0, такое, кто для люйога Х^Х вьшолыяется нврапенство IMDIOf чтобы нернвенстио |f(x)|0 указанное «ера-венстэо fcte иожот выполилтыся для всей х€Х, Это означдет, что DUO не аыподкяетпся хорлл бы длх сч^коаи аначенил х^еХ, т. е. выполняется противоположное неравенство |/Сх^)|>С* (Запись х^еХ отражает тот факт, что точка х^ из мпожеотвл X, вооб' Степе>1ная функция, ее свойствВ| ч трафик говоря, зявисит <уг С>) Тйкую фупкцпн] пвэывакут нрограни-ченноИ Ын мввжестве X, Итак, функция дгеХ ваяыкаетси неограяичсплой, еслж для любого С>0' нй^^дш'СЯ аыачеыие х ёХ, такол, чтр Если существует тянве эаа^№Ьие из области одраделе-рпя X функции р = ^{дг1, что Для любого I на зтой области сшра-врдливо иерцавыстао то говорят, что функция 1/^fix) npU-titiMaem наимрньшер JHaHftlUP при Вадрвыор, фуокдин дриникнет ори х = 1 наиненьшее аиачавжо, равной —1 (см, рис. -68). Если существу^!' такое зкачениа ял области опролсла-пия X функции ft=-f{x}. что для любого хеХ сдраяеллиАО ае^ равенство то говорят, что функция = лрили- мает наибольшее значение !/ц = ^(Ги) прл i=X|j. Например, функция у»‘-х*-Йх + 3 орннимпет при х=-1 цаиболъшас она-чение, рапное 4 >(см, рнс> 1>&). Перейдем к подробному рассмотрению свойств атаоенной функции в зовиснкосгн от покаэетеля ствпепи р. Свойства степенной функции х^ при раалячтплх значва<дя р 1, Покваателв р = 2я — четное вдтуралыкм; ■гисло, В втом случае степеппая фуикцвл у = х*", где п — ноту-ральыое число, обладает следующимн свойствами: 1) область определвиия — все действительные числа, т, е, множество Д; 2) множество лияченнЙ — все неотрпцвтелъныс числа, т. в. У>0; 3) функция у=х^’' четаан, так кая (-х)“"-х’*"; 4} функция является убывающей на промежутке Х<0 в ровраетающей но пронеисутке х >0; 5) функция ограничена скипу (тдк как х^>0 для любого Х€К}: 6) функция прнпкмает ЕНймень' шее аначгние р = И при х=0, так как /(х) = х®">0 ири х£Л п /(0)=t>, График функции имеет та- кой Же вид, как н график функции У = х* (рис, 60>, и его называют лера болой п-й степени или иросто параболой. 2. Показатель р»2л-1 '— нечетное нчтуральБое число, В атом случае степемыан функция 168 Г r-lh Стопеннал функции у — X*'* ’ ’, где л — ыатурапьвос <шсло, обладает следующими СИОН СТЕШ ми: 1) область оаределеним — кво-:кество Л; 2) мллжество зиоябний -- - множество Я; 3) фувкф1Л так кни =-Х^"‘ 4) фуп1щии является возраста^ тощей Ой всей дсйетаитсльаой OCHt 5} функций не йвляетсв огра-ыиченном ни свер^(у. ви сниэу; 6) функция не принимает ни иенбольшего^ ни нвименьшщ'о ордчопня. 1Докамсеи свойство 4 для фуикцин у = Х^, ~ Если 0<х, <Хд, то х*<Хд; если х^<х^<0, го 0<-Xj<-x^, откуда (-или -х|<=-л^, аначнт, х'-^х". HancmeHf если Xj<0* X^>0t то х^<х®. Таким рбразом, нераБевство справедливо для любых Xj, х^, такт:, чтп Х|<х^, т. и, v = Jf^ — воэрастающяя |[)ункцня, 9 Докажем свойство й. Кяпримар, докюкем, что функция у=х* не Ограничена, т, е, что для любого О О иайдетсн значение х . такое, что |/(х 1|>С, 3 — Пусть X|,-V2f^> где С — любое аоложительыое ЧИСЛО, тогда /'{xJ = (vlc>^=3C>C. • 1^ График функции ннсег такой Же вид, как, например, график фуккиЕии (рнс. 6t), его называют кубичес- KffU пврвбодпй. 3. Покиаатель р = -Эп, где д — натуральное число. В этом случае стеаекнал функция у=х'^'^ обладает слсду-ЮИЦ1МИ свойствами: 1) область определепия = миожество R, кроме х=0; 2) множество значений — мрождество положительных чн* сел у>.0; 3^ функция и = —^ четнин, так нак — jjSJ, х" 4) фупкдпя ааддетол возрастающей иа промежутке х^ П и убывающей на промежутке х>0; 5} функция ограничена снилу: у -• П; в) фуггкп.ия КС припимает ни наибольшего, ни паименьше-№ значений. i I 169 Степеннэя функций. № retjfictM и график Г1>йф11Ы фувкцнв ys -L HgieQT такой же вид^ как, напрв- иер, график функции У“-^ (рнс, 62}. ГГрякую у=-й (ось абсцисс) напывают асимптотой графика функции ijeJV, й прямую 1 = 0 (ось ордиЕйт) ааэывккгг eeipmuкалькой асимптотой графики этой функции, так как при аиачв|ГЕ1ях *, блнакик к нулю, рас-стояннА от точек итого графика до оси Оу (примой к^О) ста-иовится сколь угодно «ядь1»и (лолробиео об 3TDM Судей говорить в 11 классе), 4. Покацатвль рв-(Йл —1), где п натуральное число. В этом случае стонепиая функция р = обладает сле- дующими свойствами; 1) область оцрсдедоння — множество R, кроме jc-0, 2) иасыкрство эыАчаний — множество Л. кроне у = 0; 3) фупкдия рь- -т^ нечетная, так как \—- Д—; д|8д 1 4) функция ябллетса убывающей па промежутках л;<0 н *>0i Б) функция на яадяотоя ОГрапичСвион. График функпнн у= имеет такой яео впд, как, иаири-мер, график функции i/* ~ (рис, ЙЗ), Ось абсцисс является горизоытальцой, а ось ординат — вертикальной асимитотанн графика функции. 170 СтбПйнная функ1^А ^45. Показатель ff — палонштЁЛЬыое деДсти»ит«льЕгое пе-цслс№ число. В ОТОИ случае функции у = х’’ облладлет следующими гво^^стаамн: 1) ОБЛАСТЬ опредеденки — мпожестпо н^ртрЕцаа'гелъБЫ£ чисел X>Oi 2) ныпжесгво значений — нножествч иеотрицвательпых чисел y^Oi 3) функции ннляБтси возрастающей ий [тромоикутке л:>0; 4) функция не ивляется ня чсткоА, ИИ нечетиюй; 5) функция ограпичена снизу: фуикднн принимает наикеньшсе анвчеыше у = 0 при 1=а. График функции y=jc'’, где р — положите л ь^ное нецелое число, имеет такой же нид, как. вяпримйр, граф}ик функции I у^х* i'lpH или как, например, графжк функции у = д* (нри р>1) (рис, в4). 6. Покваатель р — атрицательиае де4ствителы>пое нецелое число. В arvM случай функция у-лг" о&лндвет следукищимн свойствами: 1) oflnacTb оирсдслеиия — множество наложи^тельных чисел г>0; 2) множество аыачекнй — множестио нодожн-гтельнык чисел J/>0: 3) функция нолне'гся убывающей на Uромежуттце г>0; 4) функция не является ни четной, нп нечетшай; 5) функция огрвниченй снизу: S 1 m Степенная функция, ей сеойБТВВ И трзафик Грлфйк функдни ГДР р — сьтркц&тРльиое исцс^пор ч(¥СЛО» ныеег такой и1о ряд, как rpnilitfK _1 фуякдли у = х “ fpHC^ G5). Эамрчйыил. 1) Если показа* гель р = И, TQ по апределоЕню стопе^ Ни й° = 1 для всех дейстмггольных зна-qeHiifl а, кроме О. 2) Функция где реЛ определена лри jf>0. Задача 1. Лайтн паз^Золыпое п наименьшее аынчеыип фуянцнн вя отрезке |^-й; ;' ■ Функция р-лг" пл птроокр [^“^5 убыяает ори О], оонрлответ при те 1^0; , следоватольио, она пртпгимает нцнненыиее значение, раниоо нулю, при лг=(]. Наиболь* шее значение этой фупнции — ваи- бсльшее из чисел pt-2) и Так как p(-2)=(-2J® = 64, а р(^)- большее значение равно Зидачн 3. Построить график фупнцин y = -(Jf-1)^Т 2. ! Облаетшо определения: функции яиляется множество действН' тельных 4Hcej[, Отроим графи)'! функции = —муществлиеы сдвиг вдоль оси абсцисс ва 1 единни.у вираво и вдоль оси ордн* нат ип 2 едпницы вв)фх. 1*рвфик изображен на рвсупко ftft, ^ Задача 3. Решить лорлаекстао; 1) 2) я* >л, ^ 1) Неравенство х* >х имеет смысл при х?0. При х = 0 ве-равёвствй по вынолняется. При яХ), яозаодд неравенство в куВ, нолучаом Д>Л*, т,с* г(1-Х^)>0. Так как я > 0, то ) откуда х®<1; |я1<1. Следовательно, 0<тсЬ л 2} Впаеодя неравенстьо х^:>х при *>0 Я куб, получаем т, е, Тик как х>0, то т. в. 172 i/3 ^ 3 у CtenenHsiq функция i Рсгш«вив этой задачи показывает, что график функции I i/^X^ лажит рыц]1} графика функции при 01 {рис, 07, e)i график фуккдин y-j" лежит выше графика фуик1хии y = i при л>1 и ниже при 0<.к1 <рш:. 07, Д)* Задача 4. Срааннть числа и (3,5)^”'. t> Так как 3<ц<4, то 3-жО. Фуи1;[Хля у = убыааат иа проч(!жутка х>а, Позтоку (3,5)^"'. ^ Задача 5. Найти точки пераедчения графиков функций и [> Ддв иахождания точек нересечеаня этих графиков решим I *Г- Й ураанеаНЁ \Х=Х , Левая ЧШГГЬ зтого уравнения имеет смысл при асах Xt а праапя — только при ;г>0. ^ При функция y««Vx совпадает с функцией уч:х^, поэтому уравнение можно зяттксйть так: х*=х*. Возаоди это уравнение (при г>0) в кув. аолучввм х=х*, откуда x(x®-lJ-0, Xj- 1, Ответ. <0: ОЬ (1; 1>, -4 За^цча 5. Построить график функции y-2-|xj* , t> Функция является четной, так как |-х|*|х|. Поэтому достц-точно построить график для х>0, п затек скмнстрично сира-знть его отгтоситалъио оси Ординат. При х^О имеем у^2- i \ 17Э Степенная фуи1ац4й, ев свойства 1л графин «глвигнеи его на 2 едиакцы влерх н отражаем ирлучднный график отвоентешша оси орднБлт {рис. 6S). -4 Упражнения 1. ИэоАразкть схематнческя график функднп^ указать ее область оиредаланяя и ктмкестео значений: 1) у = х*: 2) 4) Б) 2. Вынсаить, налается лн функция возрастающей нри 1) у—г*: 2) 3) 3. Вынсохтъ. яыляется лп функция о граничен ной саерку (свизу): 3) у = х-*. 4. Найггн наибольшее и наименьшее значцвиц функции ва заданном отрезке: 1) хС1 ): 31: = х^1-3; 31: 3) у = *-', xel-3: -1): 4) у = х~*, хе[1; 41 5. С аовющью евайетл стеленной функции ервиттнть с едннн' цей число: 1) (0,Т>^: 2> <1,02Г: 3> U,03J't 4) (0,75)»: 5) 6) (0,S)-^ &d Сравнить аначеииц выражений: 1) (0,35)в и 5,4Г: 2) [- и (- А j»; 3) (t-V'S)^ и (V3-l)^; 4) (VS + I)'® н 7, В одной системе координат построить графики двух функ-1и(й, аредварнтельцо на ходи на области оцределеиня н множества ццячений.: 1) 1/=х^ и 2) у = х^ н y^Vx. 174 Гвапа V Стелень^вп Функция 8^ 'Построить график функции, указать область опр«»д|>-пе-ния и ишнюествй йИаЧЁИИй; 1аь1НС1Ш'гь, ийЛйотся ЛИ функции возрастающей (убывающей}, инлнетсй лн функция ОПЩны-чеаной, црининаот ли ова ванбольшее (вагменъшее) эначеане: U tf—г) р = (г-ЬЭ}* + Й* 9, Изобразить еханатичосин граф в к функции и указать ее область определения и «яожество значапнй: 1 _i L) 2) p-jc *i 3) у = 4) p = 10. (Устно.) Выяснить, является лн функция возрастаю' щей (убывающей) нрн х>{|, если: 3) р-0.(в). I) р=-: 2) Р--4: Т1 Ц J.I. Изобразить скемвгвгчсски график фуккцим: Л J- п If-X®; й>у-х*; 3) y-j-*: 4) р = 12. Полъяунсь свойстваыи степениоД функции, сралинть с единицей число; 1) 4,1*^^ 2) 3) 0.7* 4 4} (v'S )'*■*. 13. По рисунку нвйти цроиежуткн, не Korojibix график данной ~ функций лежит выше (ниже) графике функцик 1) 2) у~х\ 14. По рисунку вайти цромежутин, на которых график двегвоД функции лежит выше (ниже) графика функции p-xi X 1) 0 = х*; 2) 16. Срвавнть значения иыражеций: I) (ту)*’ ” *> ' э,(^)Ч(м)4 „ UW-"-* „ Uter. 1в. В одной системе коорднидт построить графики двух фуик-~ цйй, выясккв предварительно их области олрсдадевия и ийожестна звачеыкй; - - i 1)у-х*ну-х\ 3} у-х''к у-х *; 3} у-хи у= Vx. 17, По рисунку паДти цромежуткн, на которых график дайной функции лежит выше (ниже) графика фупкции у-*; 1) f^=Jc' 2) р = х^-^4 ft г 175 Степенная функция, ов саойства и график 18. Ишбрййптъ схенатнясскк график функини н ннйти ve об-ллсть опред0лапин и ыаожест№; значений; аыяспить, ппля-ется ли функция козрастающей (убывающей): ялляе^я ли функции огрппичеыийй: 1)у = х"-1; 2) v = (xi-t}-''*; 3) ТТвдтронть г'рафнк функции н найти ее гзблаеть ои1>едале' ИИИ| миожЁСтло :э11нчонкн: промежутки нозрастаыии и убывании; вшяспнть, является лн функции О1'раннченной; иыест ли она иа1г6ольшае или наименьшее аначеике; 1)у-|х1" + 1; a)y=l-|xp; 3)у«|х|Ч1; _1 ]_ 4) y-’-lxl''-Й: Б)у = 1х+1|*; fi) tf-iaxi ='42. 20. Найти KDapyprnaTij точки аареееченни графиков функцнЛ: U п ; Й) if=Vx и . 21. Начальная масса тела (т^) при движении этого тола со Скоростью EF мецяетоя И достигает энвчепня ныччсля- емого но ((юрмуле т = — ** , где с — скорость света, с —3-10'' км/с. Как изменится цачлльиая масса тслд при дннжснни со скоростью, раиной полой н не пел и чипы скорости Слеге? 22, Вес тела нзмевлетеа прнмо орооорцнопадьно его рассто-яижо от иомтра Земли, если тедо пдхолится вн>трн Земли, И обратно прооорцнопольно кдад];>иту расстояния до центра Земли, если оно пвходктсд над поверхностью Земли. 1) Схеиотичиспи и.-юбразнть графин иамнвБния веса теля как фулкции его расстояння От центра Земли, прелпелд-гая, что ид попсрхнлстн Земли вес теля равен КЮ кг, 2) На каком расстониин от центра Земли (но над ее ио-верхнос'1'ыо) тело будет иметь тсат же янс, что и аа риссто' янни 1600 км от центра Земли? (Принять диаметр Земли раННЫм 12 800 км.) 23. Вес тела пд niJcaTc h от поверхности Земли можно найти но формуле '‘Ле —аес iis расстоя- нии h TtM над Поверхностью Земли, Я — радиус Земли (прнаять равным 6400 лм), — аес Tejea на урошге моря, ft —рнсстоппно от поверхности Земли. 1) Иаибрялнть схе-ыатичес|сн график ийменеынн веса геля человеке при [шдъ-смс 1ГЯ рнсетонмие, равнее 0, Н. 2R, 3J?, если его аес яа уронне моря ралнл 50 иг. 2| fta капой высоте над поверхностью Земли нес тела уменьшится адаое? 176 Г П о Э ■'к V &ТйПйН1ШЯ функции § 2^ Взаимно обратные функции, Сложнан функции 1, Взажмжо обрвтвые функкни Если плдапа фузтцля y=f{x), *№ ДЛЯ КЯЖД01Ч 31шч*гаия х ИЗ ибЛАСТН апрядвлегпя функции мазкий войти соотяетстную-щее диачвыне у. Ие1>еЛко приходится решать обратиую эддачу; по двлшону зйачечйю функции у находить соответствующее значение арсумевтв X. Примером моэкет служить формула и=1?ц—которая вы-рожает зднисммость спорости о движения тела, брошспнога вверх с начально/^ скоростью от времени двнженил t. Ил этой формула можно иайти обратную лависвность — времесш i от скорости у, записан f * -И—. М В расокстрспном примере каждому зндченищ функции со-ответстиует одно аначепне ар|’умеита< В атом случае мояело выразить 1.>Сратну» зависимость значений аргумента от зпичспий функции. Такие фуикинн нллывлют обратимыми. Опре-долс-ние Если функция jf = f(x'i принимает каждое свое значение ТОЛЬКО ори сдыом значении X, ТО ату функцию Ешлывают ti6pamuMolt, Няпрпиер, функция р = 3^-3 обратима, таи как каждое зпчченне у пршшнаетсл нри единственном значении аргумента X. Зто значение мозкыо найти, рвшан уранкение y = 3jc^3 относительно Хг. Функция у=х^ ке является обратимой, таи как, натфимер) значсаис 1 она принимлот при jr-1 и при i = -l. Пусть tf-fix) — обратимдя фунниия. Тогда каждому ij иа «ножестаа эначеинн фуиищгн соответствует одно опредолепнсе число X из области се определения такое, что ffx)^(f. Это соответствие определяет функцию X от у, которую оболиачим JC-tftyl- В ОТОЙ ЯнЦИСИ Н роответстпни с ПРНЕЕИТЫМН обпэняче--пнямы поменяем мес-гами х н у. Получим Функцию if^g(x) называют (гСратиой к функции у -Лх). 13адяча 1. Найти функцию, обратную к функции у = 5хн-3. [:^ Решал это уравнение относительно л, получаем Х = —(у-3>. Ц зтой формуле помепяеЕн местями г и у; р = ±(у_а), функция (31 — рВрятняя к функции (1). 4 (2) t77 Взаимно oQpaietiie фун*ции Сложная фуакцин Вообще, или обратикам функция амямй форму- лой, то для ыахожд-ецин оФратной функции нужно решить ураваевин f{.x) = y огносительно х и поменять н№тачн х ж у. Заметим, что рвссшотреипая в лвдачо t функция (1) ля-лястсн обратной к ешйдспвой для нее обрптыой функции (2). Поатому зтн функции няэывязрт взаимно обратными. Из определения обратной функции следует, что область определен и н обратной функции совпадает со множветвон значений исходной функции, в множеетно значений обратной функции соаппдает с областью определения нсхолноД {^нкцин. 3 Задача 2. Найти функцию, обратную к функции у = х-3 2 Решая это уравнение отноонтельно г* получаем х—3-i- И Замеинв Jf нв у и р на х, находим j/=>=3-f—, Щ В этой эвдлче область определения функции у — #-3 множество действительных чисел, не равных 3, а множество ее значений — все действительные числа, не равные О. График этой функции изображен на рисунке 39. 2 Ддя обратной функции tf — 3-l-— область определения — нножсстап дейстяительных чнснл, не рдяных О, а ниожестео зиачвпнй = все дцйствптадьиыа числя, не рдяные 3. Графин этой функции изображен на рисунке 70, Возрастающие л убывающие функции называют монотонными. Теорем П1 1 Монотоинал фушшин явлкется обратимой. Пусть функция y^f{x} возрастает п пусть — ее цпвчспиа в некоторой точке г^, т, е. у^|=/'(лг,^). Тогда если х прииддде- Рис, бЭ 17Я 11 Степенная фунецип а п жиг дбл&сти дпрвделесгая функции, то при JC>JCg выролпявтся перйлец- СТ60 /(ЛГ)>ПГп) = % “ "Р” — перАваистлС Слддоввтелыш, знаяенне функция f{r} пррпимяет только в одной точк» Jtp я :по9ТО»у янляотся обратимой. Для убывающей функции доказательство проводится внй- Л0ГИЧ|10. Ф Например, функция {f=x^ ьоа-рветает и цоОтому является обра-тпыой; обратяой к ней является D ,— фуакция ^ ~ Vx {рис. 71). Бели функция у —fix} яозрагтарт, то с увелитеннеи х йнВ-чения у увеличияйютсл и» ндоборот, с унелжчдпаем j/ увалнчн* ввлтся X. Это озвачАОТ, что обратная функция также нозраста-ст, Лналогичао если функция {f = f{x] убывает, то обратявя к пен фушЕция также убывает. Нипример, функция ^{х)=1— убывает и обрптння к ней функция ^(х)и» I -я также убывает. Функция, не являющаяся монотопаой, пбрашой может не иметь. Нвпррмер| функция рассматрпввемая на всей числовой осн, не инеет обрятпой, Олнвко «?лн функцию !/ = х^ рнеемитривать только при х>0* то ав этом промежутке она возрастает и* слодоннтельпо, имеет обратную y = V? (рис. 7£, а). Функция р = х®, рпосматриааеиая при *<0, убыаасгг и также имеет обратную y = -Vr {рис. 7£, б). I " < Взаимно обратные фуокиин. Слежная фуьшшия Еслл функция имеет дбрдтмую, ТО ,[|)0^)ПК обратной функции симметричБП графику данной |]|уикцпи отно-снтелъно прямой 1 Если точка [1рииаллои<снт графику функции у-/(г), то точке нрннадлежит графику обрдтнов функции (рн(!, 73), & точки (gf^; и снммстрични отно- ептельио прямой у=х (рнс. 73}. ft Рисунок 71 иллюстрирует иту теорему. Отмстим. Ч1'0 стеиеннея функция с облястьк» определения и р;еО обрлтима, так как она мояотоЕша. Обрагной к ней ннляетоя функция у — х'’. !“^2. Сложная фуцкцнн Рассмотрим функцию Подстаянч. нчесто аргунсн' та у НЁниторую функцию Подучим новую функцию а которой аргументом Является х. Функцию г~/(ф(х)) пиаывают cjiojxkoIi функцией, а такясе суперппхи.цц-ей (илн нолщо^ццы^й) функций: внутренней функции у’-1|)(х> II цлгшнгй функции г=}(р). Пусть н{1ункцин и =ч>(дс) определена на множестве A'l а У — множество ее ныаченнй. Если множество У содержится в области DUределенвя функции fiy), то на множестве X определена функция z^7(qi(x)). _ Рассмотрим функцию ?=Vp, где Функция определена при y>G, и t|>(jc)>0, если т, а. Поэтому на отрезке [-1; 1] определеиа сложная функция г= V(p(x) = V^l- jt^. Функция, полученные ця псновнык влементарнык функций (кцторие мы уже чветнчно Нзу^Сили! лкнейншт, квадратичная, Бтепецция! с помощью конечного числа cyneptioenmif), считают также элементарными функц.ц.ями, teo ' JirherH ■.' фуизецнц 'иррбиа 3 _ ____________ Пусть нй мнргкестйе X ощ»дел(П!а сложпая фупкдня j;^/(V(jr)), Тогда; 1} 1№лн фуд^сции и ?=f(y) либо обо Et03pac*rak>- [Щ1е, либо обе убывАшщне, то — иозрасгал- щая фуикция вй маочадстпо 2) если одна ий зтнх функций воэрастпющйл, й другая убывйннцля, то г —/'(*р(х))|— убывающей функция на множество X- смЭ _ 1) Пусть Xj€X и Обозначим ф(х,)='^^4 ф(^г) = Уг> Бслн <рС^) ^ filfi — возрастающие фуакции, то на условии X c/'(ф(*|)). т. ft. Аф{х)) — возрастающая функция. ^Л11 обе эти функции убынаюн^не, то из условна слелурт. что н тогда Следовательно, г = = /^ф^X^) — возрастающая фуаидяя. Й) Пусть одна иа функций, например ^=ф(х),— аозраста-ющал, а — убывающая. Тогда нэ условия следует, что И 'Р-е- Следовательно, г=Пф(^^)} — убывающая функция. * Задача 3. Найти промежутки маиотоННОСТН функции у = ^ТЗх+2, Решая неравемст-но 2 ^Q, пайдем оалвстъ определеиия функции: х^ I, х^2. Выясним аараитер монотоппости впутреи-ыей функции на каждом из ятнх лромажутков: функция Я-х^=Зх+2 квадратичная я убывает при t,6, возрастает при х^1,б {цри функция прпЁИмает -наименьшее атюче- ние^. Слелователъпо. при х<1 внутренняя функций убындет, [ф(1 х>а возрастпат, _ Внешняя функция V(p представляет собой арнфметнче- скЕш квадратный корень »р возрастает всюду пд области определения, Следоватолыю, при х^.1 «^рувкдля ^ = Vx^—5х-ьЭ убывает, а при X ^ Й аозростает. < Задача 4. Построить 1'рафнК функции j 1, Область определения функции тельных чисел, кроме - Й н 4, 3. Множества зцачоннй; у>0. У<=:д. множество всех дейсган- 1 3. График фуакциц симметричен отнопЕГгельни иркмоП так как г/=-----^----, а прямая х = 1 — ось симметрии Ий- 1BI Взаимно пбретные (1зунки|ии. Сложная функция X рвбйли г—qt(x)-(jf-Г^афйк функции ттрохоаит т|«реа скаше' TpM*inb№ сггиосшшьво арягыой f 1 (o:-i), (31 -\у 4. Фуикцпя воараставт при Х< — 2 в ари — 2 < :г < 1 по тщпро-ые 3(1), так как убывает □ри jT4. 5, Пряцсые х = — 2 и х = 4 квляягтси верппсади1Ы14К аоннп-тотачи гря1]1ина функции, а прпмоа ' 1'орнзйнтааьнйй асимптотой. График функции иэображвп на рнсуике 75. Щ РМШ Упряжк^нип 24. (Устно.) Выясинть. яилнетск ли обратимой функции: 1) = 2)у = лс^+7; 3)p-i; 4) p = Vz: В) 6)tf = je\*<0. Найти функцию, обратную к данной: l)jf=-5i + 4; 3) 26. Найти область определения н ынонсоство значений фуни-цин, обратной к даиБой: 1> 2) y = U-l>^ 3)1/- s-4. 27. Функция р^/(я) задаид графиком (рис. 76>. Построить график функции, обро1'кой к даннон. 2Д. Записать пнвлит'ическое иадаиие сложной функ11ии г= -f(y{JT))i и?лн: I. 2] = f{u)- V ■ 1) j/(x>=l-x; 3) y(x)ii-jc‘*-2x-h7i = 4) j/(x) = Vr; f(y) = (y + l)*, 29, Записать внутреянюю Ф(я) и внепшюю,/(tp) фуцццни, задающие сложную функцию у“/(1р(х)), если: и у» V'S^; 2) у = 3)у=^^^ 4) Vx+ 1 39. Выяснить, являются Яи взаимио обратными фуккцнп: L) у^~х^ к4 y = -Vr; 2) у--I'' и £/-^Vjc; 4) y = V?; Vx 3) H 162 Глаьв Ч Ст1епен»«зя фукшцчя I v = Ax) t 1 0 Й) ^1. Яяйти функцию, ибратцую к яниы«й:; 1 А i 1 3) 1Г--Л:* . 32. Ка ддноы рисунке постраи^-ь график данной функции и функция, оврйтыоЙ к данной; найти обдасть овреддления и мвожестко значений каждой на ник: = Й) при х>Х; 3)p-(jr-l)^ 4> Ж| Построить график функций: I) р-\/а;*-^+2: а>,р- ’ г* + 7г-в 3) р = Vr* + 5i - 6; i) v=—r^—■ Зт* + Тг-4 i г 1вЗ Взаимно оСрагткые функции. Сложква Фуияция § 3* ДробнО'ЛИнейная функция I, Пострдвть грАфик . 3-2i фзтакцнн Преобрязу**» пряну» чать рая^п- ства, выдали» целую чвств: з-а(л+п+г 6-2(i+i> V = -2 + * + 1 f+1 x+l . График функции MOHI' по получить гдпнгом 1'рдфика гиперболы S ^ ^ вдоль оси Оле ita 1 влево н вдоль оси Оу на 2 Bima^ т. е. графил згой фунхщин симметричен от-□осительно ТОЧКИ f-1; -2). Прямые ЛЕ = —1 и (f=—2 нвлввзтсл соответственно перти-к АЛЬП ОЙ И горПАОытальвой асниптотнмг графика (рнс. ТТ). 1'^в- фик норесекаат ось Оу в точке (Of 3)^ а ось Ох в To^iie 0^. ^ Опроделение йг-ЬЛ| функции айда у=-дро^пол iiiieiiHfiCt. tx+d где гзеО и ad—be:X:0, калывдстся Покажем, что график дробпо-линаЙпеЙ функции можно получить в результате t Графика функции сдвш'он ВДОЛЬ ыоордкнатныд осей ' 1 В самом деле. ex+i! --С* be—ad I* -I ax-hfr cx-t ft МОЖНО получить вдол ь оси Ох на “ и откуда следует, что график функции Ц ■■■ сдвигом графика гле к= , ^ с® идоль оси Off |{л у. • Зя меча и не. Выделить целую часть можно и деленном ут'иЛКйН ашражеаияп, стонщвго в числителе, пн дшйкеывтель. Покажем npoHeHenHe дробво-лпяеЙНОЙ функции при решении ПрИКЛаДЕГОЙ ДА^^АЧК- Пл меча мне. Бели ijan^AOMy значению цены р денр.жньгх единиц <3а единицу товара поставлено в гоответствис 'ЖСДо с/ —' количество то пара, которое потребители 1Ч>тоаы купить по дан-аий цено за ■шределнидый промежуток времени, то говорят, что задана функция, Нйаываемвн функцией спроса: (i = f{p). 1S4 Г/tnBfi V С^ПБимая фУ'МК1^ИМ функция ояр«деляш1 при я /(р)>0. Значение функции f{p) □ рл фикс1ПИ>влн110М значении р няаываюгг объсмсм «проса. График внзываил' кривой спроса. Задача 2. Функции сароса на некоторый тозор задана форнулоЁ. ч = -1 + ■ L89 Найти; 1) ойлдсп- определапия и мно* 2p4V жест во значений функция сароса; объеш спроса при цене р, = 20 ед,* = 50 ед., р,= 80 ад,; 3) i^ynKEtHHjf обратную функции спросап которая описывает зависимость цени за едианцу продукция от объёма Спроса. : 1) Область онрёделеиия находим ил условий р>0, ^>й, т. е. -14—> о иля 1S3 - Яр р>0, то перавсв- Нр-в7 2р+1 стно иолспо оапясатъ так; 132-2р->0, откула p^Pl, Г. е. область определения отрезок ptfO; Э1]. Тан нан у(р) — убывающая функция па атрепке [0; 91]. то множество ёе Зннченпй — отрезок ?(0)J, т, е. отрезок fO; 26]. 2) Объем спроса при дянньгх цепах соотватстввино равен: 3) Найдем функцию, обратную к дойной, выразив р через q. rf 1нй Получим определенця этой функции q — отрезок [0; 06], а множество значений — отрезок [0i 9tJ. Изобразив схематически график функции, наглядно уан-дич, как изнвпяатся цскв с увеличением или умоньшениек объема спроса. ■< ^0,2, Упражнении Построй!'ь графнк фуикции, указать её область определения, множество значений, промежутки монотонности: 2)р'в— 35. Преобразовать дробно-лнцейпуш функцию, выделив целую 9 3> у=1 S' часть: 1> X-I-S Й) aj у- *} у &Г-27 JT-I-3' ' " г-1 ' ■ " x + i ■ ' " х-6 3^. Пе выполняя построение графика функции, найти его го-ризовтйльцую и пвртннвльиую асимптоты: 2х + 2. п, .. 1-2х 1> у. Я) ff. аг-1 5-х 3,7- Построить график функция: 1-2S 2>]f = ■t—X 3] й- I 4) ЛГ-Й х*2 185 Дробно-линейнан функция § 4, Рд вносил ьны& уроон'Г?ния и неравен с теп I, Ривцосилъпче уравыенпл Задача L, Ин1^ти точки иересачСЕшя графиков функций у=а Vx и 1/ = х + 2, - Длл нахожденпя абсцисс точек пересечения нунсно решить урапнение avjr = j-|-2* Возводи обе чдстн этого урнянсния в квадрат, получаем 9г = я^+4jf+ 4. откуда I® —6jf+4^0. Это уравнение имеет корни ~ 1, Xj 4. Проверка нокаэьгвиет, что оба корца явдя-ротся также и кор памп исходы ото ураваеаия. Теперь находим ординаты точек DcpeceHenHH данных графиков: ^|=3Vxj^3, —3Vx^* = 6. Птнк, данные графики Пересекаются в днзгх точках (1; 3) н (4; б) (рис. 7Sb При решении апдцчи 1 исходное ураансиие 3' V^- х + £ ояченя-лось урааненнями 9х = х®-1-4л-4, х^^бх -1-4=0. Псе эти три уравнения имеют один и те зке корни Xj = 1. х^=4. Такие ураннения называют равносильными. Опродол€ нн и ъ' Уравненнл, имеющие одно и то же иножвстао корцеЯ, Яй- аывоштся равнхильными, Нштрнмер, урайнеыня 0х-5=бх-(-3 и 4xs>8 ралносил1.ны. так КАК КАХ1Дое из них имеет только адип корень х = 2. Урав-ыеыил (х —3)(х-ь Т) = 0 и +4х~ 21 *0 также равносильны, так как они имеют одни и те же корни х, — 3, Xj = =7. Ко уравнении 2х.-4 н Зх* - 12 пе ;>н|1носильнЫн так как нераое имеет корень х>2, а второе — корки х, = 2 н х^=-2. Из опрцдслевия рааЕГисильностн уравыеывй следует, что ддй уравнения равносильны, если каждый корень нерного урао-ыения паляется корнем второго уравнения и, DBofiopoTi если Каждый корень второго уравневня яаляетсл кор кем и ер него уравнения. Ураввення. не икеющие корней, также считают равносильным к, Иа курса 7 класса извеетво, что можио сделать следующие нреобразоанмий урацде1шй: любой член урАаненил можно переносить из одной части а другую, Изменив его эвак на протнвоноложный; обе части уравнения можно умножить или разделить пн одно и то же число, ме ранное нулю. т Степечнля функция при этих прес^разоваввлх ясяолнс» ^гряянсиис залсввяе'Гся на раяаоцнльАое ему ураяяввне. Замвтнмт что если некоторое аыражение в леной или правой части уреннвнжя иненнть тождеетвенно равным ему йЫрА-ЖЁН нем, то получится ураннемс, ранносильное всход ношу. Однакй не при любом лрообрвяованни урАвиоиве зямонастсв ив равносильное. Например, при лозведевнн в Квадрат оСенх частой урванс-ния 'ir^x—2 пплучшгтея урйлнеате ве равное ил ьяое нсходдовгу: пврвоа уравиенне имеет только один корень х>=4, а второе — двв корпя ч Xj«l- В втом случае второе урав- нение нваикают следствием первого уравлвнвя. Если при переходе от одного уравиепни к другому потери корней не происходит, ТО второе ураввенве нл^ывают следстви' см первого уравиввня. Опродйлонио Если все корни иервого урввнення являются корпями второго ураквБнии, то второе уряакеиие нааылается еле&етаи-первого урнвИЁпия. На атого определеайя И определения рйвносильвости урвв-,копий следует: 1) если дтщ урвввсиив равносндьиы, то каждое из инх является следствием другого; 2) если КЛЖДОС из двух ураввений является следствием Другого, то эти ypaBBemifl равносильны. При ркп]авнв уракиежнй главное — не аотерлть корвн, а наличие постороннид 1<орпей можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобрааовании урав ПОВИЛ каждое следующее б'ыло слсдствием предыдущего. Задача 2. Решить уравяение Йх х-Ь 24 X-S л+1 (1) [ Умножая обе части уравнепнн на (збщвй знаменатель всех Трек дробей, т. е, пв (,xi+1)(з:-3}, получаем г*(л-нД)-{х-Б)(1-Э)--24, {2J откуда 10тЧ-9—О, х^--Э, Проиерка, 1J При дг—- I знаменатели двух дробей уравнения равны вулЁО. Поэтому х = -1 не является корпем данного уравпБиия. 2} Прн д»-9 левая часть урааиепия раопа 2 1-Э) ^в-5 1 I тГТ-ТэТТ“-Т* г Ответ. л = -9. ^ Заметим, что для дроверкн корда х-=-Э достаточно удн-двть, что аваменателн дробей уравнения при г —не равны _______________________________________________: Ш Рааносялыный уравнения и недвяенстаа нулю (бсл2, копсчпо, при р«тт1енни уравнения не даггуп;рны □шибки g нрлобр||,70АПНиах н вынислеоиях). При р(!и1)?нин яадлчи 2 из уравпЕвпл (1) полу^№ЫО уравис' ние (2), которое лнляется следствием урарыоыин (1). Короп ь = ураннення (2) не является корием ураянеипа (1>. Кго называют постарапчим KopfteMi Достороня'ке корны могут иолучиться при умножении -обеих честей уразяеиия на выражоние, содержащее неизвестсов. Задача 3- Решить уравнени*“Лг®—4 « 7г-14* Преобразовав данное уроаненне, получим (д: + 2)(*-a) = = 7(Л-Я), сугкуда (jf 4-а-7)(г-2> = 0. т. е, (j: - 5)<л-а) = 0, еле' дователыю, л,*=6, Jfj=2. Щ Если обе части урпвпянял н? оадачн Э разделить иа х^2. то получится уравнение х-ь2 = 7| которое имеет только одна Корень л —5, т, е, ирсишйдет потеря корня x="3i и решение задачи будет нв№риыл1. Потеря корней мозкет произойти Ирн делении обеих чдстеД уравнения пн дыраженне, содержащее неизвестное, ИтоКр при решеини урави-епил можно делать толыш такие егр пр^пбрааоваиинт при когорыд не пронслоднт потери норией. Если при этом получаются урне-иенпя'следствия' дапногОр ТО иесбходима л ровер кв найденных корней. ^ -■ Потеря или приобретение корней произайдет- из-за изменений области опредоленни уравнения в результата Преобразований иезеодпога ураннеыил. Множаетио всех зввчений нвпавестного х, при котором опродедепы (имеют смысл) и леняя и правая части урвапо' ннп /(г>=^(х). называют 1?6ласт1>ю опр^д^л&кия этого gp*>. Слово (равносильно*- часто заменяют знаком (=», В предыдущих OpnuepQK может использоваться также запись: ((х ЗКх + 7) = 0)« (X® + 4х ^ 21 - О). Сформулируем еще нв-ксторые оредложепия* которые ис-ппльзуютсл при pemeuHH различных ураяиеннЙ. Обозначим через X область определения уравнепкя /(x) = g(x). IBS 1 г. Ml I Степенная функция J. Если fi.x)-g(.x) и фувки,ия (ptr) оср^делевн для нсех 2. Если /(JC) = tf(J!) и функция ф(г) определсва для всех xiXf причем ф(*!?*(} для всел х^Х, ти 3. Если (pfr)stO для исох то [ - ff (if) ) > Ч) (*»* 4, Если фувкция fix) определена для В№Х х, при которых а функция ^{jf) оаределенй ДЛЯ всех х, при koto^ рых /(г) —О, то ддя нахлвсдения нножБства. норнеВ урав-иеянА /Сг)■ Я(г)^0 ружно решить урвянерня /(л1 = П и II о&ьедианть их корни. В этом случае говорят, что урввкенве ^(i)^(*)-0 ранпо-енлию совокупности уряяыелиЗ /(jr) = 0 и —О.. 5, Если X — область определении уравнения /(х) = й(г), то (/(х)-=й^(х))“(Л" ■'Ч*) * *(jc>) при любом n^N, т, в. при воанедеинц обеяя частей уравнения в нечвтыую Ннту-рйльмум степень получается урав11еш|в, равносильное исходному. Для доказательства утперкДезия 5 ногкво исЬОЛьаОНДТЬ рйвенстио 2. Рапноеклъыые неравсчстлн Равносильность неравелсто с ноизвестпым определяется ЛП&ЛОГИЧЖОш ОпрИАВЛОНМО Перлвенствя. имеющие одно и то же множество решений, вазынают равносильными^ Неравенства, не имеющие peuieuiiA, считают рввиосиль-нымн. *-Н Д Нвлрнмер. кераненствн <0 и х4б<0 равпоеильны. тан как ныекут одяо и то же множество решений r<-S: неря-веиотяй jc^ —dxх-Й не ривкоенльны, тан как решениями пер- х-2 В010 иьляются числа х<~2 и х>2, а решениями второ™— числа х>-2. ТГрн ь>^шенИИ неравенсть одычпо данное иерявен-CTBD ггреобравуется в ему равносильное. Задача 4, Решить неравемство ^ >1. X* + t Так как Jt^-l-l>0 при всех дейстнительных аначеиннх х, то. умножал пераненстяо ня х® + 1. получаем нврпввнстно теэ Равиосилыные урюенениш и ееряввнства ^-5 ftre: 7В __________ Pug. Bo ралвосшгьвое днянону, Р«шйл &tt> ыершеистло, пол]пш0и г*-Бл + '1<:0, {х-1)1*-'1^<0, Откуда Задачи 5. Р-ошить d-cjuibi; яство 2 > Jf - 1 Jf-i-1 L Норавен1СТ№ рппноснльно КВЛ<(До1ау из нЕравовстя; 3 а Зд+ 3-ДЛГ + 2 ^ д 1+6 >0, д-1 г+1 (Д-1ХЖ+1) и-Щд + 1) Решая дшледяве неравенБтар цетсдрм интервалов |рис. ТЗ), получаем —5<д< —1, ^>1.- ^ Задачи в. Решить ПС ранен стяо I Неря№Е1<пж» рйввоснлино калсдому из серяпевств: JcM^*-U<0, 1®<х-1Кх+l)^J*^-n<0, Решил Do, Все ати неранвястни равносильны, так как пторое а трсттье получены а результате тождестеевмых преобразований. Множество зннчеинй х, ври которых опраделеиы ;ЕевйЯ и припал ЧАСТИ Егеравеыстнд иазывают С1(^Л(1СЛ1Ь№ mipe- деланим неравенства. Если функции ^(х), ^(х) и ф(х) определены на ккожветве X, то да РТОМ множестве Если функции /(xj, я(х) в (pfx) определены на множестве X и 4>(xJ>0 при хел", то (/(*>>4/Сх)ф(х)5>^(х)ф(х)К а если ф(х)<0 при хел:, ТО (/{х)>^(х))«(/(х)ф(х><г(х)<Р(х1). Если fix) и ^(х) определены на множествах и прннлнвкгг па атом множестве только положптельпьЕе значеиия, то 190 1[ м I II Степеанвя функция 3. Раамоснльвосп^ систви Опр'сдр пёи1ИР CHf^iejnhi уравнений ^wpaseBCTB), имеющие одно к то же MHDHceirrBO решений, казыаают ровнасильныжи. KenpifMflp, системы уравнений Системй TBii как jc-tf = 5t Г г-у-б. ^2*ч-у=7 12 равносильны, тан как имеют одно и то зле pemeifue х = 4, 'jc-u = 5. fjf —5 + у, ^ равносильна системе J „ „ „ 2jf+y = 7 [10 + Зу*Т, УХ решепнем валяется та же пррн чисел -1), что у в предыдущем иримехзе. В 9THX примерах испапьаови^1ИСЬ прео(>рв№ван1и], псшучев' вые в реаультпте примеиинпя аиакомьис вам способов рсшепия снщем: нодстйновки п слоясспля. С посол подстановки основан ев следующих утверждввн-ях, которые поаволнют свести рещсние данной системы к ре-пщпил снстемы меньшего числа уравнений с меньшим числом неизвестных: 1. Если в инсгеме 4НМевнТ1> одно ив уравнений на равносильное ему. а остальные оставить без идмеавнин, то полученная система будет рВЕЖОСНЛЬНВ исходной,. 2. Если система содержит урсапевие то система, полученная лодстанонкой во все ураянелдя системы (кроме вместо X выражения <р(^), будет равпосндьпа исходной. Способ сложение обосновывается следующим утверждением: 3. Вели ^(д1-й(*) и м(х)=(^и) — Л»в уравнения одной системы, то, заменяя уравнение Пй уравнение /(f)-i-u (х)>=я'(х) + о(л:1 и езетальные ураввевыя остакляя без изменеПИЯ, получим систему, раниосильную исходной^ ^ „ f^U) = e'(4f}, Отмеггжм еще, что системе урдннсикй равно- L U lij — ^liTi сильна каждой ия систем Г ^(дс) + U (X) J + yU>- Wu) - U (.I) - р{х). f (*)-f-U (л) =■ (л)+у (Д?). УпрПЖН(^>ТИН 38. Решить уравнение; 1) <Ц-9) 3 = 2x417: д-3 _ 1-Зд, 3) 2) х^+^—=^ + ^— х*-4 х^~4 4) х^-4 Ад-1Д 2 U“3)(jTb2> х+3 Рааноскльмые уравеснип и неравенЕггва 11ылоннтЬ| равносильны ли следующие урд-внедил; Г) 6х-И=Эж + 5 и 2jf+lJ = 0; 2) i(2jr-3>-l и Т 14 3) {x^BJ*-3(x-5J Е х-6-3: 4) |х-2| = -3 и 3" 40. Выяснить, равпосильям ди доравонства: 1) 2х- 1 >2 и li 2) (j-l)(x+2)<0 н x* + jif<2; 3) (Jf-3)CJe + 2><3x + 6 и x-3<3| 41 х(л( + 3)>2х н jJfx + 3)i>2x*, 41. Выисвигь. равносильны'лн енстамы уравнеиый: <-1У. 1) 3) |2x+3y*S, ^ 1х-р** 2 Je“-2xp + v*"'Sf х-у = Э 3х + 3у = 5, Й) |х-Эр = 3, x-a + pi (r*-9f^“-72 U-y)*-9. х-p.—3; х-Зу-^8, х+Зр.-Э; 4) fx + 2y = 5* ^ j-2x+2p--lD, [Йг + у = 4 l2x + p«4. 42, VcranoBKTfai какое на двух урввнвнкй является следствием другого ураавевия: 1) х-2 = 0 и х®-5х + 6-0; 2) 43. Решить уравнение: 2х , Зх вх 6J + 4 х-1 ■О и х^ — 5хн-4 = О. х-1 X- 1 х"-1 J ' I 3)| ^х-ЗИх^б> = 3(х-5}; 44. Решить нсрвведстао: х-2 х-2 ^ х-2 ' 4> (х-аИхЧ1).-а(х^+1Ь 1) ^<3; а+х* 2) а-х >1. Виясн(ггЬ| равносильны ли ураввенил (45—4в1. 45, 1) |3х^ 11=5 и Эх-1=5; и йх + 3= Л 2) Я 2 6 ^, 46* 11 xtx-l) = 2x+5 и xJ-3x-S-0; 3J Vx+8= 2 и x + S = 4. 47,- Установить, какое на двух урддэсннЙ является еледстниеи другого уравнения: 1) |xj=v5 н V?«6: 21 и (х-'2){х+2>-(х-3)(х + 3). I а fli fix^ х+3 х+2 -l$j Решить ураянЕнне bi+l 4^* Найтн корни ураввеыил: 3 4х=1 5х-1 1-г5х^ 1) 2) Х‘ 1 х+Д х-а х+ I х(Х=4) X*f5 х^-1 -bt 4(3 + ж> х+2 192 I 11Г11И 1 V ^1^лемная функция н X 50> Рептктъ вврявеяство: 1) jc^-3a^ + 2x-e>2j^^je^ + 4j:-Z; 2) jr“-3i"-4JC+t0>-3j^ + *^+12x-4. 6lT- Доказать, что если фужкд?* /{х), g(x) и ф(х) оорелелеиы оя жнпясестве X н ф(х3;^0 для всех х^Х, то уравнеяжя f(T)-e0, ^(х>>0 ирн всех xtX. то § 5. Иррационалниые уравнения в уранЕБниях \'х+ 1=“Х-1, V5x-4 = 3 + Vx вонэвестнов х нпхояготед НОД аняком корня. Такие урявнекнл назыввют ирра-циона.11>мы^(н. Прявеа1>аы еще примеры аррациональпых урав- иеенй: ^--- VxTl5 = x+l. VX+6-V6-X. Иррациональные ураннения часто гк1лучак91тся при peiuc' ИНН рдаажтаых задач. Решение НрраЦНОНвЛЬНЫХ уравнений ос* нова НО ли елидующем свойстве: при возведении обеих частей урваиония в натуральную степежь подучается уравиенве-сл од стоне дпнного. Пусть Хц — корень урнвженжя ^tx)-^(x)y т. в. f(x^|=ff{x^)) — верное числовое ране ист во. Тогда ро свойствам верных числовых равенств = (х„), где о — ннтурадьнос число, тайнее верное числовое равенство, t, е, x^j — корень уравнения /"{х) — -г'Ы- • При во а веден им обеих частей уравнения в четную натуральную степень может получиться урякнение, но раввосидь-нов даипону. Например, уравнение V'6-x = x имеет один корень х=2, й урйннеиив 6—х^х^ имеет два корня х^=2, —— 3> При аозвеяевки уравиениа. в натуральную степень могут пояиитьси посторонние корпи, поэтому проверка необходима. Например, При лоаведенлв обеих частей уравнеиня Vx^'+x-l-V'x в квадрат получается уракнеиче х^+ж-1 = х. т. в. JE^- L, Это уроаненне имеет два ко]шл Х| = 1, Х^=“-3. Второй корень является посторонним дли всходного урадваиия, так как подкоренные выражения при х—-1 отрицательны. Коли обе части уравнения /(х)= яеотр1ТЦПтельвы на иножеетне Л, то уроиненнв /(х)-(г{х> равносильно уравнению (Г(х)>" = при деЛ/. _____________________________________________ 193 Иррационюльные уравнения Задача 1. Решить ^фаввекке "VV + в - VV + 1 — V2x - Бч 1303ЮДЛ обе чести ураииенля в квадрат^ лолучаен J + 6-2 V(j:+6)(je+ 1)+ х+ 1 -а* - 5, г^тнуде + 1>*=в- Бооледек иоследнее уряхвевне в квлдрдт: д" + 7л + в-^3а, т* + 7х-30-0. Кореи этого уравпешгя х^-З, х^—-10. Пролереа йойвды-вает, что х^»-10 — ростороненй норедь. Отлет, X—3, ^ Задача S. Решить уралнедие Vx^’f'l-S-x, Боанодн чести уравиедил и четвертую степевь, получим уралдеаие-следстлие x^+l2=-x*j откуда х*-х^-1Йм0, Решим это биквадратное уравдепне: 1iVt + « 1±7 , т. е. х*“4 или х^--3. г 2 Урапиепне X* —^ имеет два корил х—±Й, Уравнение х* = -3 □G имеет деЗствитедьБЫХ корнеЯ. Ток как при аоэведеник обеих частой исходного уранюння в четвертую степень могли пй-явиться aocTOjiqaaHc корпи, то нуисна сделйть аровсрку. При х-=3 обе части данного уравнен ни равн|.| Э, т, в. X—2 — норепь урадвеятв. При х«-2 дсвця часть урввиенил равна 2, в правил ровна -2, т. е. -2 не яидяется дордем ураянешш. Ответ. хш2. Ч Задача 3. Решить ураанеянв Vx*- 19-x-l. . Боеподя обе части уравнвЕгня в куб, получаем х^-19«(х-И^ откуда х^-1Й = х®-Эх^+Зх-1, Эх*-Зх-18 = 0, х*-х-в=0. Корни BTOi'O уравнеиия Xj^3, Хд»-Й. Проверка noKoaiiaia-ет, что Х| и Xj являются корнями исходного уравпЕння. Ответ. Xj-a, Xj»-a, Замечание. Так как при ноаяеденни и куб обеих частей уряааеши получаетси рааиосильное урвячснне (с. 1БЭ, предложение 5>, то в задаче 3 кожно не делать проверку. ^"^Если уравнение солерзнит дав илы болей амражаний, стоящих [ПОД знаком корня, то обычно применяют прием, ияоызя-еныК tyejtHHieHHe радвкада» {как в задаче 1), пелволяющи^^ предстахитв (если это поэможно) левую и правую части в виде вираже и пй, принимающих только неотрндвтелыпде значения. Задача 4. Рпшить ураввевке УЗх'-бх-ь! - Vx’-2x 1=2. Т94 I СтепЕмнач функдпя [ Уединив первый радикал, цалучвы уравыеаие V3jf*-6i+l=-к2 +Vjc^—1, равяоовл1>яоо данвому. Обе чвсггн втого урав-яеннл нейтрйдательвы, Возведение а квадрат обеих частей ураанавжя приведет вновь к равиосильиону уравпеннщ, до да-статочно гроиоадкоиу, Залетн-!!, что падкоревжые вырвханжн в обеих частях ураваеиин таковы^ что можно ишюлдять аамеиу венавестаого Уралненяе прннет вид V'3i +1 р-2+Vf-1, При [>1 (область определения ypaBRenuaJ зто ураввение равносильно квждону ив следующих; l = 4 + 4V7TY+/_i, 4V(-1-2(-2, Корни псхледнего урайвеиня Г,^1, «, = 6 удовлЯтворшот услодшо в повтому являются КОРРЙИН урдвнооия V3t +1 --Й+Vrri. Если 1 = 1, то г*-2х = Т^^ткуда Если 5, то х^-Ях —5, откуда Xj^^=l±Ve, Ответ. Xj JJ—1±V2^, Xj _, = t±Vfl. ^ Решим еще одно ураявеянс. ■ катаром введение нового не-иавестиого йначнтелъва упрощает решвике. Задача 5. Решить ураяаеьне ^ ^— 3. л I 2 + х Если ххЗ, хх-2, то, иолатея у - и, преобразуен урааиеине к аиду ц-н^аЯ, так как uj^O, то и"-2у+1-0, (и ——О, Уражвеяже (и-1)^ = 0 имеет ОДИН корень Слс' довательно,!/^-^-^ = 1, откуда — 1, Й + х™3 —х, х— Чиело является пороем исходного урлвяення, так как в прон^ессе решевия бь£ло испольаоннио (варн(ду с анменой иеяаввстного) ТОЛЬКО равносильпос црмбралонияе: (/(Jf) -Я (x))«U/tx»* - (У (х))'). [Задача 6. Решить уралненне Vx-2+ V2X-6 + V* + 2 + 3V3jt-5 - 7\/я. I Положим VSx-S^t, тогда х-ы исходное уравнорне прнмет вид +^L.jl^+3f ш 7V2, 195 S 5 Иррациональные урвайения Этл уравЕ1С1ше ралнскнльво кодадочу ил уравнены И: V^*+at+i+V*“+ef+o-14, v(t+ u^+V(f+3)*-14. Ивпельлун тождество рвпншсч последнее урдвые- ние и виде [f +1(+|1+ 3f— 14* Тан кяк f >0, то Л-1 +1 + 3-= 14. откуда ( = 5, т. е, VSt-6*-5, Задача Т. РеШ№*Ь систему ураввеаэгй 'Vjf + Vy = e, ^JF^y-l2. . Первое уравненнв снстечы имеет ойлаеть онределеиня х>0, ^>0. При таких значежвях х is у инеем х—p = (V'x—VV)(V^-lrV]/). fVx + V^= в, поэтому енетемя примет вид 1 j— % ^ _ откуда „ UVx-Vj^MVx + Vp>=12, {— ^ 1-^вШИЛ ClfC¥6My CttSCOQCEV СЛОЯ5СПИЯ, получим \jr-Vy = 2. Vx^4, х = 10, Vtf = 2, р-=4, Отиат. ПА; 4). ^ (Задача 8* Решить систему уравнений 3 Vix+T - 3 \/3^-уЭ^х, ' Умоожвм первое уравнение на {-3). второе ив 2 и cjtpwhm полученные уравнения: ^-4V'3x+l + 6V3^=0. в V2X + 1 - Й v'3^^=2 V3x_, 2 V2X + 1 -2\/Зх. Решаем последнее уравнение: 4(2x +1)= 12х*, 12x*-ftr-4=0, Зх^-2х-1 = 0, Оба корня удоялетдорнкгг условию х>~^. Подставллл X, — 1 В первое уравнение еистемы, получим; Ш-2\/Н^=0, V^-M. 3-;^=4- 3* 1 4 1* I Подстйнляя Xj = -— в первое уравнение, лолучжм —у — ■3 d у 3 -2V^::^=o. v3-y. 3V3 3V3 Оба корпя удовлетворяют условию ^^3, o™.,.(iii|), {.1;гЦ).„с=1 aV , 2а '^27' 19S i X :: и'| Степенная функция [За^^йчл 9, Рйшить сгстяму уравнений r+VjT*-y“ г- 7Ж7*” L7 4 -]Г jr+Vx“-(/^ +у)+ V#*-Mcy+T- 52. I Освобождаясь в цервам ураввонАя ut яррацновальности а знаненатедях, цолуяяен 4г“ - Йу“ V ■ откуда л=4у и г-~4у, 4 4 4 Во второй уравнеяин положки f=Vjt^ +тогда полу* чим (®-l-f —об»0, от14уда ^,“Т, fj = -8. Отбросна корень 1^<0* получай х^-Ьлгу=45. Решив две систеич уранкекнй й r*+jrp-.45: x^+jrp = 45. найдем, четыре решения, которые., как аокааыаает проверка, удоллстцоркют и исходной csfCTeMe, Ответ- <Б! (-5i ~4>, {1й; -12). (-15; 12). Vi“T; 5) Vi-3x=0j 6) Vx-1: Решить уравнение (5Д—Sfi), 54. 1) Vx+T-3; 31 Vx=3r *C 4} V7^-3: 7) V2-x=0. 2) )/x-2-6; 3) V4-kx-V2jf-l. 197 Иррвциоввльные урввкёвчв 55, 1} Углг + 3 ~1; 5Ь, 1> г+1 =VT^5 3> \/x+3=VS- JC! 2) Vr aj V3i*-3-to, x-2 2) K-l+y^TlT: 4) \fx^-~x-3->3. 57, Решить систему ураввеилД: 1) [V?+V7“5, 3) f\/7+T-VpM = l. 4) Гх + у^2. |r-:^=3r [Vx+2+V3^p-a. 3) [Vx-Vtf=4, Решать уршшение^^ (fl8—64), 58, J) Vx-x^--ia: 2) I+^'x = г^x-l); 3>V±^-x-3: 4> Ve+x-x^ = l-x. 59. t> V3x“34 = l+Vj(5 2) V5jc + Vl4-x-S: 3) V'l5-bx + V3+x = 6; 4> V&^2x-Vl-x-1, eo. 1) Vs' + a +Vx’+x*“Oi 2) Vl+JC*=Vl+Jt*. 81. ij ve^-v^+x-a; 2) V12^-VT^-1: 3) Vjf-a+Vx+6-Oi 4) V^^+VxTE-9, 62. 1) Vr^-Vl3+7-\^^^; Z) VTx+T-Ve^ = Vl6V^. 63. 1) W-2=2; 2) v'2x+7-^3(x-l); 3) \'Я5х^-144-х; 4) x^ = Vl9x^-34. 64. 1) VV-0-X-2; 2) Vj(*-5x416x-5-*-2. 65. быгясшпгъ c □омйщью графиков, сколько корвеЙ имеет уравнение: l)Vx-6=-x^l 2)^x = (x-iy*; 3>Vx4T-x*^7: 4)1-х^=уЗГТ. Решить уравнение {66—87). 6^ 1) ^4х + 2Уз7*+4-* + 2; 2) 3-\ 3) Vx*+3x + 12-Vj(^ + 3x = 2: 4) Vx*^ 5x + 10-Vx“ + 5r + 3 = l. •4; 4 /iT5 2) Wx>-2xb3 *\Г^ V x“+a*+4 V * 9в Ггтр ^ r. V \ ix* + 2r+4 5 1 /з**^+* t / X®- 1 3 *> Vi5rr-V^-2- Степенная функция 68. Р&шнт1> систему ypaBsemifi': а/^НГ+л/ИГ 2 ^4VJ^+5 + \V-5=5, V У + 2 Var-l ■ \х^ + у^ = 13. рЁОШть ураааеане ^69—ТО). 6Э7 X) Vff + V'6x-9 +)1х-'/ЕГ^ = v^: 2) ^je+vTc+Il +VjT“Vt+W-4. 7(^ v1±i+Vg^ , 2. ' V3+j-\/a -X Решйть систему урлну«ни1^ (71—72). fw-w • yx + if + Vj-у + И = 6 Ш 1) х+у+ту = в. 2) , \/T[r-w)-V^+]7-|y^. V7(jr-f/) + VjctS-3y i; L Т а (j:* ^ а:у + у*> - 1&5, (jf* + jry + y^W'x^ + i/*-^ 65, .7.^ Решить отиосительпо т уралпепие: 1} Vr+ 1 Vjt-S-o; 2) Vjf'Vx +2 = 11-1. % 6. Ирраииональные неравенства ^^13|щачй 1, Стрел ьбр из спарпшвогс аисте л era пе круглой мишеын дийнегром 1 м ведется на точки т1рЛ1л:о5. аЁрыеидику-лнрвей плоскисти мншенн и проходящен через ее центр. Нл каком расстоянии от мишени долзкия быть точна ныстреля, чтобы равность расстолыиЛ от нее до края мишени м до центра была ре больше 2 см7 . Пусть А — точка выстрела, О — центр мишени, 8 — точка на окружности Мишеле (рис. В2). По условию ДО»50 см, Обозначим AO=JC, тогда АД» VV*-(-2600. По условию задачи АД-АО<Я, т. е. Vjf®+2500 х<2 или Vi^ + 2&60^j + 2. 1Э9 Ироациональные HepaeetKnae По смыслу ЭйДЛ’-т х>0. Бели jc>0, то левая и правая яв-стм полуденного ыеравенствв пол □псише львы« Вр^аодл О^е части Этого Неравенства в квадрат, получаоч равносильное церАВен-ство л* + 2о00<х®+ 4Х + 4 арн условии г>0. Откуда 4x^2496. х>624, т, е. нс меньше 624 см, Щ В этой эадвче пришлось решать нсравечстнОр содержащее неиэвестное под звяком норнл. Такие нерпаенства ыявылаготсл иррациональными^ Задача Й> Решишь веравенство ^(5 ~ f <4. Найдем область 01][)еделеши11 этого нерввеыствв. Прваал часть неравенства олределевв при всок эпачеыилх х, н лекал — при 5—т. е. дрв х<5. Слсдоватвльво, область определения неравенства —луч При обо части данного неравенства неотрицательны, и поэтому црн воэведеини в Кйвдрлт обеих частей вопучается рдвиосильное (на кножестае x0, -i о 3 4 рнс. аз Решал первое верввенстно системы, получаем Jt^-O, х>Э. Решая втрроо иора^ эеиство системы, получаем —l2. Это перавекство равносильно сиотеме нерПБснств ГЮ 1-г-л^>0, Ьо + х-л":»4, Таи как каждое решение второго ыеравенства системы иклиет-он решением вервого, то эта система ранвооилъпа одному второму Неравенству 10 + *-л*>4. Значит, пераяенотво равиОсыль' НО второму перяпевству, решал которое получаем -Я<х<3. ч} 200 I г Степенная функции Задачи 5. Решить HepaBBUcrBi^: 1) 2) V^2je'-|-5jf-3<0. I t> При допустимых энаисанях Xt т. e. при эылче' О ния V3jr-'l неотрицательны. Поэтому пердпснство решений не имеет. 2) Неравенство + СО аыполчяется только в том случве, когда V3x* + бг-3 =-0, т, е* роли 2х®+Бдг-3-0, отнула г,—3, < Задача в. Решить неравенство \'3х + 1 С jr+ 1, луч г При 3 Ойлвсть опрелеления этого нернвеиствд :ггнх эначвниях х обе 'юстн неравенства неотрицательны. Сдвдовдтельно, веравенстнр рааноонльла системе f Эл+ 1>0. [эл+К(ж+11*. Решая эту систему, полу'шем --^<дС0, лЯ. -sTj, Задача Т, Решить иершшпстпо Vr + 3 >х + 1. I Область йлределеиия этого неравснстьв — луч лй-3. При осек д^-3 леняя часть этого иерпеенсгвя веотрицательид. Прл' лаа часть атого неравОБСТва отрицательна при лс<-1. Поэтому все зывченнл х из промсгнутки = l пвляютоя решеыня- мн неравенства. рассмотрим случай, когда я>-1. Тогда обе части яврааен-ствл нвотрнцатцльяы, и оозтому их можно яоаводнть в квадрат: и-3>(г +1)*, Решением этот неравенства являются анвче-няя JC Из оронежутка — 2J:+J проще решать с помощью графиков. На риг}Ш1{с> 84 построены _г59фики дву* функций (; = Vx-l-3 н ^ = x+L. Из рноун-ад оидЕЮ. что решенилыи данного пордвепства лвлнются эначенил X из промежутка Ирцэциомалькыв Ийр9№нствя Задачи в. Иёшить грифшескв нерашвс^дй vGf С2-Т. [| На одном pMcjTHfte nocfpOHM графини функций и у--=2~х Ipuc. 86} и выисвим, при каких выйчеыияи х точки графика фзгпкдли y“Vjf лезкат ииже точек графика функции -^Xt И? рисунка иидио, что эти графики Вереса каются а одной точкоц абсцисса которой является корнем уравнения 'Jx-'i-x. Это корень л=1. График фуыкцнн дикнт низке графика функции уж2—X при ^ 1^4 ММ Задача И. Решить нерапеиство V3x48i-3>-?-!^. Л ' Так нак урввкенне Зх* + Вх-3-0 нмеот корпи ij=-3, „ 1 8 , то область оиредвленвн вврнвенстве есть совокупность цдлуинтврн&лав f-t»; -з|, -t-oo^ Решить данное исракев-ство — значит найтн вое эначония х на обласгги оврвдепення, при которых график функции ^^-V3j“ + 8i-3 лежит выше пряной д — —(рис, &в]. ■О Звачевил jfCf-oo; -3] являются решелнямп неравенства, так кал \3х^ -1-8х-3 >6 при х<-3, а ^ <0 Ври х<-3. 1 + ах > о п всход- Пусть «)> тогда V3i^+8jf“3sg, ^ вое неравенство равносильно каждому мз нсравспста Зт^-ь8х--3>(^^^)*. 23д^ + 6Их-33^0, Уравпанио 23jc^-i-6ax—28 = 0 Имеет корпи л, и ijf где 34+30V2 п Я0УЗ-34 t, ij—-----<0, Х|,= ——. Поэтому реигеннямн исходного 203 Г л П1'- Степеинйн функция неравенства no множестве Г — i ^ 3P\/S^3* лвляктся все точки г > ■ ■ ■-- 2-0- (рне. ВТ). Рис В7 Отмт, f <-3, jc> зоуг-Э4 33 •Задача Ю, Решятв иервввнстно V2Tr-V#+T>™. --------- V5 . L саособ. Данное неравенство paeuocjiabai} неравеш^ву V'3-j;>V* +1 + область опроделения которого — стрелок VS f=l; 2]* Так как обе части последнего яеравенстла неотридо-гё.льиы, то па отр«;1ке [-1^ 2] оно равносильно нераьокству 2-i>x+f + 3 & V¥' равноснльыо системе ГГолученное неравенство, в сво№ очередь. •V¥- 2 я Если —-х<0,т. е. то второе неравенство не име- ^ 2 “ 3 с-т решений. Если —-J>0 и — Kx<0, т, е. то сн- •G о стена равкоойльна клждому из неравецстл: (1“^) Уровнеине Й5х^-25х—1=0 имеет корни ^ Решенпями веранаветва (х —х^Цх —Х^)>0 янляютсн вначс- 2 2 ПИЙ х<х,. х>х.. Так как х,>—, — 1<х,<— (рнс. 88^. то мко-I И ■*■ 5 о жоство решений неравенства про* межуток It способ, Рдсснотрим функини rU)“V3-X и ^(х)-Vx + t+-=, общая оГ)лвсть определения оттгх1|фу1Екциб — огроаок [-1: 2J, а вскнзы графиков орсдставлеыы на рисунке 89, ____ Решить поровегнетва \2-х>\Х +1 + V5 ниа 3], нрн которых график функции у“/1x1 лежит выше грофН“ кд функтши у=д[х). Функиил p = fftx) -1 Jfjf b ^ pftc sa это ЗЕШчит найти все значс- Иррациоивлыные лерзаенства возрастающей, а фушсцил if—fix)—убывающей ва множестве 1-1; 3i, причем а f{2)0, 2> иеравеасгво ряваоснльно «вокупностн систем Шх}<0, I/(*)>(> flx)^g^lxy Улражнонин 74. Решить систему вераванств; LJ Г3-х<2, 1гх+1 2) Х>2; 31 |9-х*<0, и+б<о. Решить вераиенство (76—вС>.' 7S, I) Vj>2; Ш 11 Vx-a>3; 2) V*<=3; 3> Vi>l; Ay \^<а. 2) Vx-2<1; 3) V3-x<5; 4) 5) ^'Ях-3>4; TL 11 v*^-l >1; 2) V'l-^<1; 3^ v'2B-x“>4; 4J V257?<4. 6) V4x+B<^. J8, L) V2x® + 3x-2>0; 2) V2 + x-x*>-l; 3) Vx*+2x>-3-J*; 4) V4x-Tj*>-2-3r^. 79. L) VaT3>\/4^: 2) УЗ+2х>\^ГГГ: 3) V^~5x-2: 51 V5X+11 >x + 3; 6) V3^xi 2) Vxrt2; 4> Vx0.&r; 3) Решить иераиенство (83—84). 83. 1} Vi^-3j:+2>ji:-I-3; 2) \^2х^-Чх-4>-х-^. 83!. 1) Vi- a^x, если a<0. Упражнения к главе V 86. Изобразить схематически график фуиицин, указать ее ебласть [оиредеЛ^ия и множество эидчвпий: 1> 3) p = Vjt; 4> у=^’. 6> if^x"h в) у-х““. 87. Из одном рисунке построить графики функций {/^=Х^ и Сравнить знвчвннн этик функций При х = 0; 1: |; 2; 3; 4; 3. 88. Решить графически урависБие: 1) ^=x*+i-li 3) х'® = Зх^“Ь 8Э, Кайги область оираделвния функции: 1} y-VT^: 2), 3) у={Зх*+1Г^5 -1) y=Vr“-x-2. ТО. Ывйти фуикцаю. обратну» к функции: Uy=0,5x+3: 2) 3) у-(л + 3>"; 4) Jr — а 91. Иаобравить графин функции, обратной к функции, график которой иво5ражен-иа ригувкс 90. Упражнения к гггаее V 92. Вияснпгь. являются ли равиосвльвышн урвйвекия: 1) и а^ + Зх*Э; 2) V^ + 3je-Va я i“ + 3jf = 2; 3j 3) v*+ t8= V2-X и J+ie=2-i. 93, Решлть ураваеияе: 1) Va^=2; 2) V^r+I=8: 4) VbT-l + 3aJ-3i; 5> Vx'-17-2: 3) V3-4x = 3j: S) V*“+17'=3. 94. Изоврваить схемвппзескЕГ aa одвом рнсувке графини функ-ДНЙ: U y-*Vx; 2) y-V^. 95. Расположить числа н порядке воорестапия: а 1> 0,2*: 0,3"^ 0.3^; 0,3^ '*’*; 2) VF; l.O*; (i)': it*: Я) 6 *. 5*, (Ip: 4) 0,5'^ 1,3'n ^ V2 M, Выясыитъ, являются ли взаимно обратныни фуикцип: Зх-6 B-JT 2) я -4 ' х + 3 ' 3) р-5Ц-хГ' и = 4) Зл:-1 З+х ^ 1+г §7. 11иЁти фужкцкю, oCpATuyto к данной^ область опредсле-пшя и множество эначелинг 1) p = 2 + VxT2; 2) р = 2 - Vx + 4: 3) p-VaTr-l; 4) p-Vl-J + 3. 98. Найт область опрелелоыил фуакпин: П p = Vx*-3jt* + 2t: 2) p = v5J+2j^^; 3) p = _ * 4) V = + 5)p=„ ^----; fi) p= ^ V'aT*+ 14T+B 3v'x-v'j+a Построить график фудкцит 1^У-“гг: 3) j/-vu-2)U + 3): х+з 4) y = V2x* + 5x-3: 0) g (x+lUx+21 Решить урвлысале (IOC —101). lfH>, i} Vx^4 = Vx-3-V2r-1: х^-Тх-Й 2) 2Vj: + 3-V2x4-7 = Vj: 3J Vx-3=V2x-l-l -Vjc + 4; 4) V9-2x =2VT^-Vl-*. 206 Глинв V DiBfieniaut фумций 101. 1) V* + 4-3^1 + 4 + 2=0; 2} V*-3-33+ 4; 3) -T-fiVr^^-e; 4) хД+алгн-Уд^ + Злг-2; 5) \/jc + 6-4Vx+3+Vn +Jf- 6Vj+t=l. Решить неравешзтво (102—103)« 102, 1) \/*TTv1^>jf+1; 3) V3jt- 2 >Jt- 2; 103,1 IJ 4) V2r+ Kl+l, tO; 2) я^-13* + 40 ft, Тлг-4 1 r+4 Й’ 3) V3 + Jf>|j:-3|i I) Vs^<\f7^+\JlO + X, Решить систему уравнений (104 — 1) |r' + tf® + JCif=84. ll + if + Vjftf = 14i 2) |fljf+У-- 2Ktf*f. 105, ! VS5-^^-V'2^-i^-V3, 1, V25-f“ + \'Z5^i/‘ - VlG + Cr+y?. lOe,^ При раздвчвых 9Нй'1енинх п |)ешить веравепстио; 1) vjr~a+Vjr-eo- 1 TBon^gCbli '^tt тэв|п V 1. Канал функция кааынаетея огрцинчеинеЛ сверлу (сниау) □ а множестве? Привести пример, 2. В каком случап функция принимает ннжмсньшее (иаиболь' meej зиачепче па векотером жиожестпе? 3. Перечислить саобствв фувкднн где р-=2п, ПаоСразить слемнтическы график функции, 4. Перечисяжтъ свойства функции д = х^, где р = 2л —1, n^N, Изобразить схематически график функции, Пернгчислнтъ сяойствй функции где; 1) р—-(2п-1>. п£Л/;. 2) p = — 2ttt i4i^ Л/l 3) Р='0р р — нецелое действятель-пое число; 4) р<0. р — нецелое дайстинтвльное число. Изобразить Схематичсскл график каждой из функций, 6. Какую функцию называют обратимой? 7, Как расположены 1'рафикн взаимно обрнтиык функций? Докааять, что моиотошюл функция является обратимой, 9, Какую функцию называют сложной функцией? Пр1твесгн Пример. Ю, Какую функцию оавывают дрдбпо'лннсйцой? Привести нример, 207 Бсоросы к гпава V 11. Какне уралнеквв нааыввшт раадосяяьнимд ? 12. Какое зфавведнв далываетсв ypaBseuMeit-jC^e^ctaifeM? При-вастн прдмвр. 13. ТТрнвостл пример преобрааоиаоия уридвепия. в результате КРТРРАГО получится ураввенде, рн вносильное даииоку. 14. Вррдо ли утввр№дсиие; *Если функдии /(х), g(x) и ф(х) опредедевы иа множестве то для всех хйХ {fix} =tf (ij)« (fU)4Kx} = fi^{jr>ip (X)) i ? 15. Кпкио неравенства вазыва10тся рнвлоеильяынп? Привести иример. 16. Ин каком утверждеаии осиоаан способ полствяовки при решении систен урадиедий? 17. Верно ли утверждение: Проверь себя 1. Найти область определения фуикдни: 1) 2> y=Vjf*^3x-4. 2. ГГостроить график функции: 1) у~\/х+ 1; 2) у«3х**: 3>у-^. Для Каждой функции указать область ооределения и те значения х, при которых у>0. 3. Решить уравнение: 1) 3) V3-x-x*-x. Нейти область опредаленвв фувкцдн: 4 у ^VxVT-h Vx* + 3x-3. Постровть график функции: 1) + г>у-{|х|+и Решить уравийние; 1} Vx + 5-Vx-1 -\^3х+ -t; 2> ^-Vx-l-30. Решить ивралепство V2x”-5i-3J'X-1. Решить систему урадиеджй Vx + 1 — = О, VX+ 1+3V2- у-2,5. 203 [ |Г'1 Степенная функ14ин I , @1 (‘1стогЧЧ1:''”»':'"'!П1 ■'npat"’ -'- Учение о степенных функциях, т. е. функднлх вида у’=х', развивкнось иараллельан с расширецивы понятия степени (нв' '1Иыая со стопспей о натуральными цокйэйтоляцн и аякнпчнвла понятием степени с любым дсйствятельныи показателем), Riaro^apA метаду координат, разрцботанаому Реае Декартом, менсду аллеброй н геоиетркей лняий в матенатике былв уствколлеца тесная свиаь. Ал1'в6рйИчеокре уравнения Декарт рвссыатрнйвл кик аилнсимость г at х, определяющую положе-иие точен не плоскости (гОх). Известно, что при вводепии ие-нзвестнык Декарт [1срвой использовал букву г, затем р или х, поатоыу уравнение Параболы он лапирывал так: = J (г — ййс-цнеоа), С поыощьж] параболы ОН оппсыкол решения определенных уравнений. Так, например, при ]>СЕ]:!епии урадвепия 4'й степени г* -pz^ + fji-r=0 с помощью подстановки г^ = х Декарт оолучал ■{вадрахтюе уравнен я е с двумя пеиавестнымм: -I-г* - (р-ь 1 )x-njz- г~0. НЛЛК>Стрируоыое окружностью, рис положенной в одной плоскости С параболой Фактически, ияедя вторую неизвестную, Декарт ^радОииад» уравнение на два уравнения, оплсыдающпх 1¥икетрнчйСК0С место точек на координйтиой плоскости. Декарт и Ферма часто пользовались В своих научных поисках параболой (н окружностью) для пахождеиил ка плоскости корпсп уравнений высоких степеней, упрощен поиск введением вспомогательных кривых более низкого порядка. График функции р=>х^, как известно, иазываетсн кубической параболой. 1Эту кривую французский математик, родняа-чадьвпк начертательной геометрии I*', Монж {1746^13181 Ис-Пйльзовал для нпхождеынл действительных корней кубических уряБнений. Ньютон называл псе кривые, задвваемм^ уравнениями вида Р =: Я1-I-ЙХ* 4-СХ* 4 ... +рх"'. параболнческимн кривыми, котя траляциашю отиы термином НЯЗЫКАЮТ графики функций р -сх". где с — положительное действительное числом т — положительное [ьациоральпое число. Если ш <0, то трофики функций у=сх” называют еипврболнческинн кривыми. ГГаряболы широко используются я технике. Существуют спвииалытые параболические днтенпы п зеркала. Кубическая парабола при меняется, пап ри мер. ii{hVi ярнгтруированин железных дорог — КПК «BiCTiiBKa», смягчающая крутой попорот рельс от прямого участия К круговому участку пуги. ________________________________________________________ 2(Ю Иг готическая спраакз Глава! it^' и Показ ател ьная функция HeKemof№tf наиболег <*аста ^f€rrtprчяющнrcл ли^ы глрлнгч^||^/(тны.г HDjr4J4m'ji>iiMr, йЛ1иры1Ы1шп Зоащ^/л ко мнолиж истедоллкиАм. Л, Эйлер § 1. Показательная функ14)ия, ее свойства и график Вспамвни освовиыо саойствд ствИЁЬВ с действкпелъмлли показателен. Пугтъ о - О, й > О, j:, и Xj — лю^ые действительные числа. Тогда 1. а ’а 2. ^ГЧ 3. '-(тГ-F- 4. (abr~a-t^, 6. а'>0. 7, я*;»!, если о>1 и х>0, 8, в если а>1 и х, 9. если 0<а<1 н XjC*^, В практика чаато используются фуинцни айда у-а*, где а — аадаивоа цоложктельное число, не рваное 1, х — параканяая. Аргументом такой функции является покаав-ьель сте* пени. ОпродЁЛ aHNiD /То/шлитсльмой фуккцисй называется фуин-ц'нп виде У“в^, где а — аадапиос ччело, такое, что а>0. а^1. Понйзвтедькад функция обладает следующими снойетваннг П CMSflaetb оирвделеияя покааетсльппй фуокцнн — мнажостно R веек лейстап-телъпых чисел. г Ui По1(аааШ1№Эц Фунщии V а J о _ Это сяоПстяо сл&луот иа TorOi что степень а"*! где а>0, определена длн всех # II2) Мкопсестео значений аокАЗЯтельной функции'—мnoil 1нсеспи> всех положительных чисел. Чтобы убедиться в »то«, нужно DoitaaaTb, что уравнение ff'r-it, где а:>Э, не имееп' корней, веян Ь<0, и имеет ко* рень при лк>6о» Ь>0. По свойству б степенн ото уравнение не имеет корнеЙ1 если fr<0- Утверждение, что уражпвнне имеет корень лри любон &>0, доказывается S курсе высшей ийтенатики. Это озыачиет, что лпзбвя прямая y^bt где ^>0, ne* ресекветса с графиком йокаэвтельной функции. • 13) Покйзатвльявя функция у =а^ является возраствющеЁ на мвотнестее всех действительных '<1нсед, селя а>1> и убывающей i есл И 0 < в 1, Это следует иа свойств В и 9 стеиени, • (I 4) Поквзательнвя функция нвляется ограниченной сниву, Q Это следуют ИД свойства б степепи. • Построим графики функций у = 2"' и У”(^) * использовав расоиотренные свойства ноказатольной функции и построив несколько точек, принадлежащих графику (рис. 9L). Отметим, что график функции у^2^ проходит через точку (О; 1} у расмоложеп выше оси Ох. Если г<0 и |д| унвлмчи' вастся. то график приближается к оси Ох (но но пересекает ее). Пылдтппнияя ф’^ииии*). ее свойства, и график Таким образом, ось Ох да Л летел гО' рнлолтцльной аснмптотйЛ 1'рнфпка фушщии у —£', Если JC>0 я увели-лиаается, то грйфик бь1стро подин-мает-ся вверх. Такой зке вид иноет график любой функции у-и*, если и> 1 {рис. 92, d). График функций так- же проходит через точку (6; 1J и располсикек выше оси Ох. Если jf>0 и уаеличиваетоя, то графин быстро ириближается к осп Or (ве пересекая ее). Толин образом, ось Or является горизонтилъцпА аснма- тотой графика функции - Если £<0 и |г] увелнчнвявтч;я, то График оодпинается ндерх. Такой же вид имеет график любой функции у**а*, если 0<а<1 (рис. 92, 0). Задача t. Решить ураввепие 3' = 27, |[ По свойству 2 ноказительной функции давное урявиевас имеет кореиь. ток как 27>О. Одним иа корней является число х = 3. так как 3^“£7. Других корней нет, так как функция у=3' возрастает ив нее В Числовой прямой, и поэтому при х>3 и З‘с27 при г<3 (рис. 93). Ответ. х=3. 212 1: Л VI функция □оказательЁ^я фуыкгщя часто используется тфц охшсатшн роялгячЕых фпзлческня ароцмсйц. Так, ралколктивиый' рлсппд ± f I \ f' исщйства задается формулой jrt(0 = fH^^—^ , где /n(t) и — идсса радвопктялнаго вещесткА l^t№tfieтcт№nнo в момент дреме^ яи / 1т в печальный момент времени ^=0; Т — период иолурас-[1адп (промежуток нромови^ за который первоначальное колн-чееггйо вещества уменьшается вдвое), С помощью локдаатадьиой фужкдиы выражается эависи-мооть давления воздуха от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоявиого напряжанжя и т, д. Задача £■ Период полураспада плутовня Г^ИО суткам. Какой станет масса т плутония через 10 лет, если его начальная масса ж^>*8 г7 В данной ацдачо /-10*365 (считаем, что а шду 365 дней), f __ 3^^ Вычнеленмя на микрокалькуляторе (по формуле рпдио-Т Н ЗЩ актювого распада) показылают, что т=>=8< ^ 1,1345-10 ^ , Ответ, Через 10 лет плутония остняетсл прнмерна 1.13- 10"^ Г, М Задача 3, В 1ТТ2 г. немецкий aiiTpOBOM И, Э. Боде (1V4T— 1826) состаивл следующую Таблицу: м а/н ПлаиЕтд 1*'я'сстштие (Л,) до Солица (в аттрокомяческих ад1ишцах)| 1 Меркурий 0,4 Z Scaepa 0,7 3 Оамлл 1 4 Морс 1,6 5 6 Юоатср 5.2 7 Сатурн е,б Заметим, '■itd к тому времсвн были известны только перечеслепные в тоблиде 6 нладет. Воде оставил й таблице под ио-мерой 5 пустое место, так как полагал, что л-я по порядку вди- е- t 213 Показательная функция, ее свойства и график аетй ыаходи'кд на расстонинж Z* to яотровомическнА е^АИИНЦ (я, А.) <уг Солнца н Ч1Ч> б^н плйлета еще пв обуаружоня^ 1) Насколько t04Ha формула Боде для п^речнслеввых а таблице плалет? 2) Существует ЛИ плавета между Марсом н Юпитером? 1) Для Меркурил Li з*а‘-^+4 для Вевсры Л для Земли для Марса L — 10 1D Я И* *+4 _ 10 “ 3 ■ * 4 ■0,б5 (а, е.); -0,7 (а. е,); 1 (и. еЛ: t,ft (8. е.); для иеяэвестпой цдаиоты L-- длл Юшттпра L для Сатурна 3 + 4 10 = 2,В (я. е.у, 3 44 ТВ" 10 {а. е.). Вывод: формула достаточпо тчпнв, ОС^Ужнно для Веперы, Земли и Юпитера. 2) Мезкду Мероок н Юпитером. Kaic илвестяр, планеты не существует» однако на иредаолаглсмом Боде месте вензнстиой цланеты апоследотьии был ибыаружен пояс астероидов. ^ Приведем еще примеры нЕишпнй. протекающих do законам показательной функции (лкслонснщы). 1) Количество бактерий в определенной среде ав время ( вычисляется по формуле S =N(jU*'. где — начальное колн-честно бактерий, а я к — некоторые иостояниые. 2) Нзмеи{щна атмосфер ноJT) давления р в яаансимостн от высотм к под уронмем моря оинсывветсл формулой р—где Рд ^ ягкосферкюс давление ввд уровнем моря, в — HCiunupaa постоянная. Э> При соадаиин вакуума конечное дагщенне р в опреде* Лепной емкоеггн связано с начальным давлением формулой ^ — объем 1'ава, подлеткшций откдчииапню^ V — объем гйзл. отначннвемый за одни шаг насоса; п — колн' честно шагов поршня пасоса за единицу вакуумирования; t — время вакуумироноЕШЛ. Упражнение 1. Построить 1'рофик (]|уикции: 1> 1/^3'; 2J 21'4 г ,Г7 гЧ я Покялательчая функция 2. С DOidontbU графикд функция нлйти прнБлижеянон ЗНДЧ^ШН! л 1) 2) S* г 3) 4) 3-^\ V3 3. Ияобрйэать cK0iiWF№ecKii грцфйк фуыкиии; 1) ff^O.Vi 2) У = фу'г 3) = {VcTHD.) Hct покаянтБльнл 1) 1,7* и 1; 4- {VcTHD.} Исйользуя свойство возрастании {или убыдДЕШЯ) покаантБльной функции, сравнить числа; aj 0,3= н I; 3) 3,2' * н 3,2>-“! 4> 0,2“^ к 0,2^ =; 5) н ^ 6> в" и Э“-Ч 5, Сраввнть с единицей число: \у |0Д)'^: а) (3,ЙГЧ 3) я' *-": 4) ( у 6, Найти абсциссу точки пвреоечеиня графиков функций: 1) р = 2' и i-8: 3)у=3'ир=|; 7, (Устно.) Решить уравнеын'В: 11 6'-|; 2> Т- = 40; 3) (|)*-V5; 4} 3. (Устно.} Вмяснита, нвляетсн ли возрастающаЙ или убывающей функ1и1я; 1) У=0Л"': Я} у-(у)'*; 3) 4> 9. Рстнтъ трафическН нсрввснстао: 1) (“)^>и 2) 3) 5^>5: 4} 5'>^; S) 6} 6'<-2. И), Построить график функции: 1) у = 3^-2; 3) +3; 3) = i) 11. Найти абдвсть оцределенил функции: i ___ —!— 1}|/=5"; 2)у-7'''-’; 3) у=0Л* ^ 4) y-0,8l*'^=, 12. Доказ«Т1н что графики функций р—Й* и j) симметричны отиооительио оси ординат. 13. Найти наибольшее н наименьшее аиачеиня функции у-З» нн отрезке [-1; 2J. 14. Найти на1гбольшде и паимеыьшее аначеоин функции: 1) ид отрезке [-1; 1); (1 V'l — J на отрквке [—2; 1J, ___________________________________________________I 1 ^15 Показательная СВОйехтва и рафик _15_. Построить график функции; Uy = 2i'J; 2}y = (l)'*'i 3) i/ = |3'^2|; 4) у = 2-3^. je, фильтр толщиной L сн пропускает 7^% свота. Какня часть сйс^а арийдет через фильтр, сдаларвый ira то' го жЁ cTBEuia, Имеющего толщину т см7 17. При рвдиоактивпом распаде иолитчсотва веноторого веще* стъа угюиьшнстся вдвое ая сутки. Сколько веищства! оста-пстся от 2&0 г через 1,5 суток? через 3,5 суток? В'ЬТЧНсле' КИЙ провеет на микрокалькуляторе. ■ТЙ, На аекотором лесном >'частке можно заготовить 4 -10'^ м’* древесины. Е^жегодиый црнррот деревьев раит 4%. Сколько можно заготовить древесипы ггл этом участке через 5 лет? Вычиелення провести на кнкр^сщлькулятори. 1^. Население !Эемли в 2000 году состандило в млрд человек. Мажко считать, что оно удвоиваБтеи каждые 35 лет, Запи' сеть формулу для иодсчитв иаселеиия нашеП плвыеты Р (в млрд Человек) в условпом jt-m году. Нычислнть каселевие Земли к 2020 г. 20. Проверить, иасколько точил формула Боде для Урвпа, Пестуна и Плутрпя, находящих Си от Солыци на рдсотовэнлх 19,2; 30,0; 39,5 астроИОМИЧеСКнх едИнтщ соответственно. § 2. Покззатёлымыс уравнрнмр Рвссмотрнм несколько примеров показательных урдиаВ' кий, т, е, урланеинЗ, в которых иевзвестпое содержится в показателе етеиеын. Решение □оказа-гелькых уравиепий часто сводится к реше^ вню урАВненин где а>0, Д5С1, х—нсиавесгное. Это У1>авивкйе рвшаетол с помощью спойСТве степей и, состопщего В том, что степБни с одиняковьш основанием u^1 равны Тогда U только тогда, когда равны их □окаэнтеди (сч. гл. IV}. Задачи 1. Решить уравнение 4 -2’' — 1. ■ Здпишем урлапедке в виде 2***-*2“, откуда ть2=^0, Огаст, т* —Й, ^ Задачи 2, Решить уролиипие 2*' ■ tP — 679, Так как 2®^={2^}*^=г= &*, 576—24*, то уравнещте можно записать в виде 8'*а'~34'', откуда 24*^= 24®, х = 2. Задача 3. Решить уравнение З-”"2 - 3* “^^25, 1 ВыносД в левой члс1'н за скобки общий множитель Э'" *, получаем 3^ -“*(3^-2)= 25, 3'=^*-25 = 25. откуда г-2 = П, JC-2. 4 Задачи 4. Решить ураанение 3'=7'. ^ '1’ак как 7*^0, то уравнение можно записать а виде =—= 1, / 3 откуда tl, jf = 0. Jd 215 f и, Поквзлтельеан функций Задачи S. Репштъ ypassemiie 3*2'^* ^+3'5^ Заишпеы ураанеаде в виде 3* 2'"^ *—-2 ■ 5^“^, откуда • (!)' Й' ^ (3 * 2^-1) - 5 (5® - 2). З'-* - 2 3 = ■ 23 j- = S. ’М Задачи в. Решить уралпеы1^е &^—4‘3^ — 45 О. Зачеаой данное уравнение сводится к квадратному уринноияю f^-4/~45'»0. Решая это уравненве, находим его корни: (,=0, ^з = -5, откуда 3^--5. Уравнение 3' = fl имеет кйреыь х = 2. я ураввеаве 3''--5 не ниеот корней^ так как 3'>0. Ответ. je = 2, ^ Задача 7. Решить ураввевне H-5^-*-2fi = 0, Заменив в данном уравнении 3"' нн f, имеем ураввение 39 (+ —-2S^0. Это уравнение равносилвио ураввению + + 25 = 0, откуда fj = l» fg = 2S. возвращаясь к искодпону обоана-чениш, □олучнем 5^ = 1 И 5^=25,. -откуда дс^ = 0. г^ = 2. Задача 8. Решить ураввение 3?**“’'—з'***^1, I Так как 3 > 0, 3 1, то нсходноа зфавденис равносильно уран- иснию |2jc-1| = (&х + 2|. ОСе части полученного уравнения неот-рих^тельны, поэтому После всввадвыня обеих его чвстей в ква* драт панучвлм ранносилькое ему уравнемне (2х-1)^ = (йх + 2}^, откуда 21я^ +24х+3 = 0, Xj=-1, ^ Задача 9. Решить зграанение V3-V5=2£5. |г ^Тсходное уравнение равносильно системе I (3*5)*-225, li6JV, г>1, L Преобразоцва уравпестие системы к виду 15*—15*. имеем — =2, откуда JT —Нр л:—у по удовлетвораат условию х>], т. е. уравнение ие имеет корней. 41 Задача 10. Решить уравнелнв (х-I Так как неизвестное х содаржнтса и в осптшижн, и в пока' вателе степени, ТО пеоОходпмо рвсснотреть три случил: 1) х-Э = 1. откуда jc = ‘l; 2) Гх-3 — 1, 1.3je*-10i: + 3 = 2fl, Корень первого уравнения х=2 не обращает пыражеиие 3х"-10т + 3 Р четное число, оивчит, система не имеет решеиий, J0r + 3 = 0, х-3*0. J 3) |3х^ 1 Х-: Этой системе удовлетворяет значение Ответ. Я, = —, *■ 3 Xj = 4. ^ 217 Пиказат^льны^ ур^вненип £. Задача 11. Лри каких значениях а уравнрдц^ -(2с1-аыеет даа различных корив? ОтиОЁнтелъыо f-3^> О исходное урлвновне примет виу| (а-1)г^-(ад-1И-1 = 0, (1) Исходное ypaHEfemie нмеет два ра^злкчиых действительных корня тогда н только тогда, когда уралненив (1} имеет дла по дож тельных корн л. При а = 1 уравнение (1) — лниейпов и имеет один корень = При в?^1 квадрвтиое урнвневне (1) имеет два рязлнч' них ПОЛСЯПГГеЛ'ЬВЫ'Х корня, если f J?>Q, (Й) -^>0. в-1 где D — дискриминант урааивния (1), раввый -4(а—1): £) = 4fl^ —4а+1+4д — 4 —4д*-3> D дрн д>“ и '\/з ^ Ж- — . Два □ослед^ич яеравецстаа системы (2) одповрвменна выполняются ври д<‘^. Таким образом, решение сигтекы (2) совпадает с решением системы fl<- V5 Д<Л. Ответ. При д<“-Упражнеинп 2 .< М[ Решить урпвневиЁ (21=41), 21.1)4'’^-!; 2)0,33' 5f=l- 3) 2=^ = 2' гг. I) 27*-ii 2) 400--i; 3) (|)’-2В; 4) 23. L) 3 9'.81; 3) 3 -3'^^=1: S) o,6' o,e*te 0.6®* □,в* 24, 1) 3=*-'+3*^ = 108; 3) 2**'+ 2*-* + 2'»aa; 2) 2 4*^ = 64; 4) 0.5'0,5' -^ 4-2; 6is-.i.e.(ir. 2) 2^'^®-2®'‘ ® = Э0: 4) -1-3'+^-63. 26. 1) 5*-8'; 2) 3> З'-б**; 4) 4'-3^ 28. 1) 9*^4 3'-Ь3 = 0; 2) 16'-17 4' +16-0; 3) 25'-6.6'-1-5=0; 4) 64'-8'-S6 = 0, 21в I :-1 I V\ Покаэв'шпшая функции 27, 1) 3" +3*-'»-l2-0: 3) 2*"S*~'-13, j-i _i_ 2». 1) 3^"^'-’^-!; 2) 3) 4) 0.5'-4'^', 20. 1) 2>(H) T*-t*+S 1; 7+3*»-*-3'**'-* = 31&; 3) 5^ + 3 5^ *-140; 4) 2*^^*+3 ‘ ^5-2^ + 6“0. 1) 2) 2*-*-3* '; £±* Ezl 3) 3 * 4) 4 * 1) (0,6)''-"*'-(e,5)’^*"‘i 3J a'^-3"; ‘>{i)'-(i) VI^TT 35. 1) + = 3) 2'*^^ + 7*-'-7''-^ + 2*-'*ll; 4) а*’^’ + а' ‘-3'»'*-а*-’'-я' *+2.з^^", 30, 1) 8-4'-d 2* + l-0: 2) (7)* 31 13*'^‘-13^-ia-O; 4) 3’'^’-10-3' + 3-0; 5) 2®^ + a;a*~fl 2^-0; ei B*’^+4a4,5^-7-5*-0. 38- Ш JO- 41. 1) 2) 3J Г Э'-ЗО"' : 4> 9-''^=^. ^ i -f 1> 4 9'^-13-0^ + 9*4'-O; 2) 1в-Э'-25-12= + 9* 13' = 0. 1) 3) 1.5^**''-1,6'*"*'; 3) 3*'**'i^3^‘**': 4)1 З'^^'-З'^ 1> v'2-v¥-12; 2) f6-5'-25. 1) 3) U + 3) * ■U + 3) 3i 4) (x+3)' ‘*-{;c + 3>“ 210 Паказатапьныо уравнения 4!5ГПри каких знвч«виях h уравнение (А-4 *2^ +(Л+ 2)-О Е1це«т хотя См ОДИН корень? ^.|Пры кадил анй.айяяях х суммв чнсие^ 2*'^ 2^'* и 2^"* равна сумме бескавечна убывающей reoM«rpir4setU}ft орогрессин 6,5; 3,25; 1,62й; ? ^.{Дакязять. что урянненне: 1} 4'-н25'-29; 2) 7' +J8'-2S имеет только один корень jc» 1. ’ § 3. Показательные неравенства Решение покВзатшгьжих иерямиств часто сводятся к реше-ыию неравенства или Эти пернвенства ротаютсн с помощью спойстпл яоэ.-растнжия или уСыванил 9:1оназйтельной функции: длл возрастающей функции Сальшску аннченинз функции соответстну-ет большее авдчение аргунеята, а длл убылающей функции большему Значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Задача 1. Решить" неравенство Завяшвы неравенстве в виде Так как 3>1, то функция р = 3' явлнЕтсн возрастающей. Поэччэму решекшош неравенства явллютея числа х< 4, -4 Задача 2. Решить неравенство >VS* л X -- Эаоншем аернввнство в виде >2“, или *' Тик как ~ убывающая функция, то ^ Задача 3. Решить керовснство ^< 9. Звцяшен меравааетво в ниде э' '<3^ Так как 3>1, to откуда х*-х-2<0, -1<х<2. ^ Задача 4. Решить ысрввеиство J6'-|-4'^-2>0, Обозначим 4'-(, тогда лодучим квадратное леравеиство ^2>0. Представим сро в виде (1} Так как # = 4^>0, ТО (-|-2>0. Поделив обе части неравен-стна (1) на ?-н2, получим раяносилькое ему неравенство откуда i>l. Возвращаясь к исходному обовначеоию, ttoJiy'iHM. нвравеиство 4'’^> li которое моиско записать я виде 4'>4*’, откуда х>0, 4 (1 \ж 2 'i) Построим графики функций У = (^) н p = jr-|^ (рис. 94). asoi I -I ■ Показательная функция Ил pncyHKii видно, Wd aUil гтересАкаютсч! в точке с абсдис-оой I. Проверка покадывист, что х = 1 — коревь данного 1 А 3 “ э ■ Покажем, I'M' 1 1 урндненнн: I и 1 ней нет вающая что других яор-, Функция у=(М уСы-а функция воордстающал, Следоватеяьло, ори л::>1 эынчееия первой функции ■ивкьше а второй больше I ^ —; ори л<1, наоборот, аывчеыня первой функции болыло — , п второй меньше —, Геометрически (вм- рис, это оэва-Э- 3 чает, что графнки втих фуикцпБ ори х> ] И х<1 «расходятои> II потоку пе когут иметь точек исресБчениЛ при X ^ 1. Ответ, х-1, ^ Зан«тжы, чти ИЗ решения этой аядачи, я честности, следуй ет, что неравенство >х-1-1вытшлвяется при х<1, а неравенство — пр-и JOI* Задача 6. Решить неравенство ^ ' Так как__то Данное неравенство равносильно не____________5 равенству V2"X0. Итак, решения первненства содерзкатся в арокежутке 0<х^2, Екзннодя нвранекстно V2—х<х с обоиии щздонентелькыжи частимж й квадрат, получаем 2-х-с:х*, х^ + X-2>О, откуда х<-3 илих>1 (рйс, 95). Ответ. 1<х<2. М о 1 i Рус. 95 JJI-1 Задача ?, Решить веравенство ^ / I / t Y Перепише» данпое нерввепство в пидп f—J aki-? Trk как Q-f—<1, то подученное пераненство раиаоснлыго не- 5 ^ 22t П01сазетеяы1Мв нвраавнетва рааевстау jjr-21<2 [jrj-2, к«№р«, n свою «чё|№дь, раввйСЕШьио COBOSynSOCVU СЫ(Л«МГ 1) й)| т<й, 2 — 3) Гх>0. \х~2<2х~2. Об'Ьйднвш рвшоиил аолучеваых трех стип'ем веровевств, эанжшом отвит ±'''^—4^ ^ И 4 ам Задача 6. Решить неранекство 3 ■ 2^^^“+4^■^'^, Зялнсиен днввее нершенство в виде 2^*-{i ■ О. ПресИ^зувч левую ‘тлеть нерлв^пствл. рвэложвв ее на мвожи-толн ецреобом грув1прошв> (2'+З'') <0. ВтероЙ множитель в левой члети неравенства положвтелев при всех х>0 (т, е. на области определеагл неравенства). Поэтому последнее неравенство раввосндьво веравевству 2^-2^* ^^0, решая которое получаем 0<аг<4. ^ Упражнения Решить BepABCHimo ^45—4в), 46. 1} 3’^>9j «{?)■ >х, з>( lj|( 40. 1> 5*-4V&: 2) 3* 31 1 3^*- *>t; 4) 47. Решить грвф(1П1еск1! уравнение U U 2} (i)'- 1 . “ 2 ' 3) 4 : 41 8^ = 11- X, Решить иералеВство (48—49), 48, 1) «(1)' Н- 3) (тт)*''’'' 121 . 4) (г^ \ЁЛ^ + 1 ^ п / 1&9' V а / 0 4в. 1) 3' + * + 3»-1 <2в: 2) 2х-1^2'+*>17; 3) 2*^-'4 2*'- х^2^з >448; 4) 5^^-'-6*'-^0; 4) 3- ЙЙ Гг1 1 I!. Пощ@втвльная функция 5t. На&тп область ооределМия функции^ 1) y = Ve': Й) 3) р 1 4) S- : г*-1 й) y-VW^i 10" в) у-Vi* Л, 52. Прн КАКИХ АКйч«ииях х зийчания фукк[1ин больше зыачеииб функции +1Й!^ бЗ. Решить граф|гч1н;1е11 неравешяво; « ИТ >х-н1: (i) <х- 2 ’ 3)Й'С9-|х; 4) 3*>-|-х-|-, 54, Решить графически уривиеане:: 1) 2" = 3-2j-JC*i 2) 3-"=Vx? Решить вераввнстьо (55=58). 55, i> 2i 0,3'^^>0,3*. Й, 1) 0,4^-Й,й**‘> 1,5; Й) гб.0,04^">0,а-ч^ *>; 3) <41 5Ь § 4. Системы показательных уравнений и нерааенсге Рассмотриы яосколько прнкерои peTDeHHH систем ийкван- тельних ураввекгй и вврааедств, ^ ^ ^ , [х+Йу —1, Задача I. Решить систему уравдвии^ ав. Решим эту спетому способом подставовки: х--2у-1, 4-*if-t+i*„4S_ откуда -2у-1+у*-Й, у*-2у-3-0, У, = 3. у,--1. Тогда X =-2*3-1 = -7, х, = -Й-(-1)-1 =1-Ответ. (-7; 3), (1;—1). ^ Задача 3. Решить снстеиу ураввеБнй ^ 2 =5. L4"-6-3i' + 2-0, Обоввачгнн 2* —ц.. 3^^ —о. Тогда свстежа анпишмся так: ГЭи^и = 5, 1ы^-вЕ? + Й = 0. CU - л 223 Снстеь^ьг похаэатешшх уравнений и н^яванотс Решим эгу систему способом оодставовкн: ii-3y-S, (3u-S)^“flu + g-0, 0i^®-36[H-27=0» и^-4и + в = 0, u,-L, Og-3. Тогда U|=-2, Uj = ^, TftK kbk j*-=2*>0, to решвннв» споте* Mbi П) явллется пара чисел Ы'=4, и>=3. Воэьратинся к исход-ныи обозначениям: 2*-4, З^'^З. откуда лг-З, y=i. 4| #—1> а fa^- 0*=1ва, с^Звдача о- Решить снсгону ураввении ■ [,S^'4*' = 48* Парвмножш уроянецьл снсте»ы> ттолучик е'-Зб^'-З* ^ 6-2^ или в"=*^‘' = 6^ откуда JF = S-2y, То1*да второе уравнение системы ирннет вид Э*“^4*-4а, ‘А Ответ. (1; 2). ^ r*j-t ^ ^ Задача 4* Решить систему J'' . „ * ^ < V3, {2\ 1 L Решая неравенство (2|. т. о. неравенство 3^ <3 « оолуча- ем Уравнение f3) равносильно уравнепн» 4 Зл®-2 —2*^—JC + 4. Это ураввение имеет корни X^=2, Х^-= из иоторьтя усдоввк :г<1,б удовлетворяет лишь f —3. ч 3, Звмечапве. При решении системы, в Которую входит как урпанание, так н нсравепство, чаще (в отлячпё от paccuoi^ реввого примера) ODCTirnaDT следующим образом: находят кор* НИ ураянания и отбирают но них те, которые удовлетворяют не-равеастну системы^ Г * <Я Задача О. Решить систему | * . ‘ -------- 12,5^*’'0,4- if^ + j ^ Я \ f 2 t Ураанение системы запишем а виде ( —J “IT/ ' — ] “(g) ■ х® + 3-4х. Корнями атото уравнения являются числа 1 и 3, Подстановка х~1 п х^Э в неравенство ИСХОДНОЙ системы поиаяывоат, что решенном системы является только г = 1. -4 Задача G. Решить систему 3*1'=-3'<*, 2'<21'. Реишм снячнлА оттеку ураеиеинА 224 I Г3'1' = 3'®. (4> ПокзэатЁЛЬиае функция ЭтЁ. сымека ревисзснльт сл^дулпцвв! еистаиам: Гг|/ = 10, fxy-10, [х=7-1/, [x+i^-7. Находим лея решения системы: {2; SJ, <5i 2). Неравенству Й^<Й“ у^ндатворяет только первое рашенве системы <4), т, е. (2г 5). Л га Упражнение Решить систему уравясний (50—63), 50. 1) f2jc-v = l, 2) fx-if~2, 3) |jc + (^=b 4) Гх + Йу-3. l6"+>f=a6i ' 12"-'=8; ГЗ'-*'-81. , ® . 1) Г4^-2‘'-За, 2) [3“"'*''-ei, 60. 1) 81, 1) 24-'2" = e, 3) [З' + Б^-З. 1з^ -Б» —2, eg. 1) 5^-6*'= 100. 2) Г 2' -Э*31'=Т, 5ir-i^3j,-i_3Q. 3} 16«'=^10^=24. 4J j3' + 2^*»f*‘ = &. 16'^*^' = 356: 1з- 63- 1) В*+‘.3' = 75. 2) [3* [31' ■З'-Э.' Решить систему (84 —68). М. 1) ■ga. + i>g25 2) 0 3Hlir*-47r=0_3- lftr_ - Ifip ев, 1) Г2*^*>1, 2> * tl. Ш Г (б")''*8*’. 2) г (0,2I')-^=0,00S, J 5' 6'' = б‘". (0.4)» = 0Л*‘'®-’, 87.( Найти все оначания параметра а, оря которых система '3-a''='+5|je|+4-3(^ + 3jf* + 3fl, имеет едннствеяное решение. ь 4 225 Системы гощзвтельныи уравнений и неравенств Упражнения к главе VI 68. СравБоть чнсля; и 1) J " и 4-'^; Й) 2'^ и ^,14 «(^г-а)= 69. Сранаи^ъ с адиницай число: 70. (Уство.) Установить» является ли функция ьоэрастаютцей или убивающей; 1) у-0Лв'; 2) р-1,09^ 3) У = (;|)*" i) ^-4 ^ 71. Выв-снить, л каком промежутке нвколятся зыйчетгл функ^ цнн при *ё1- 1; 2]: 3)р=6-, решить урАВЬенне (72—74), 72. 1) 2) 73. 1) 3* + 2^ *-lBi 3) 3^+4-3"+^-t3; 3) 3-3*'‘-6-3^-'~Э"-9; 4) S*^ * + З Ь'-^-6-5^ + 10-0. 74. 1) 5®^^б'-600-0; 2) О'-З’^-б-^О; 3J 3‘ + &^-‘-SJ0-0; 4) 4'4г'+^^B0-^). 75. Решить ыерйаевство: 1} 3"-^>Э; 2) 3> 0.7***»'<0,7^; й& \ 3 У 81 те. Решить 1*ряфячвски урввиеыне: 1) 2-^ = 3*+10; 3) = + 77. Вшицштъ, явдщотоя лн рнвносильшдни уравнеаня: 1) 5* = 3^ и 3) 7'=1 и х»-0; 3)4-=2hx*-|; (i)"-*’ « \/Т=^®- 78. Дакаавть, что аоследоватввьность Значений функции у = 2* при натуральных эначеяиия * = 1, Й, 3, ... является геоме-трнческой прогрессией. 226 1 и( Пакязаггалььяя фумЕЦИР 79. Зч верный год раСоты предприятие имело а прибы- ли. В дильпеДшем каждый год прибыль уяелнчпвялась па р%. Какой станет прибыль предприятия зп п-й год работы? 80. Построить график функции: и р = 2) Э> ^^ = 2=‘--+Я. Решить урявиенио (81—83}. 81. 82, 1} Я) Vols^=2^'"4 t-4 1) 2.3^-’+27*'‘=в'-’ + 2-3*^ ’; 2) 1ЙТ2''* 3} 22*9^-’- —*Э'^*®=41 3 3 4> 5*4'-18^ + 0.25-2“*^ + *+ 7=0. 83. 1) а^-^'* + г'+^ = 6' ' ЧЗ-5'; 2) б^^Г-й*^-17 + 7'-17-0^ 3) 2'* ‘-3'’ = 3*’-'-2'’'**; ■3 * 84. Рсошть в^рАвеиства: J-S о 8,4-4 1: 3} <ат. ------- ^ gi-f ‘ '' З' + б 3'+‘-1 №_. Решить спетсиу урнянваяй: 2) г*'-5'*-4 10 ® (10® 0*1 4) 1 1) p'-J'-lS [иг 128. ч 1 1. а* 2) [3'-6''-10. Вылепить, раиайснлъны ли лердванотвв: И 0'>-2 н 2^'>4; 2) 2*VrTl и 2*'^jf+l. Построить график функции; 1) р=2^+1-|; 2) р-|3'"|-3|. Решить уравножие: 87, 88. и V5 ■5*0,04^1 2) 4-3^-&.2^ = С-3^ -2*; 4) 4.9’' + 12' - 3 ’ 16^ = О. 8.9- 90. 3) гм’^-з-Ю’^-Б-г&'^-.о; Решить нерамнетро: 1) 2) 4''* "=-16: 3) 2i'=-*'>4l'^ 4J 5j*^*'<25i^l Решить уравнепне 3* + 4' = ^{^) ' ZZ7 Упражнения ш. главе VI |Эи Найти нее зпцчення Ь, лрн которых уранв^ние 4'^(6b^3)-2'^ + 4fr*-3fr-0 ццк>т сдвиствевяый корень. Решить урзввеяяе (V2+vl) +(v'2-Va) =4. 9Э1Решнть уранпенне 11= 1+2"'. Волросы к глаае VJ 1. Какого вида функцию называют аокаэатольнай? 2. Является ли цоказательноЙ функции ц = 2^^., у“=л^, у-т\Ч 3. Перечие/гить свойства показательной функции, 4. Прирести пример реального яБЛенэш (□рдцесед), которое можно оиневть покдавтельной функцией, б,. Какие ур1а.внеаия называют показательными? <1, На □сноваикн какого овоАотвв степей и решаетсв уран не' ыие 7'* 7^-*? Т. На аенавлнин какого саойгткд показательной функции ре* шается поравенстро 0,4'>0.4®? 8, На оснонаяни како1'о свойства накваателъной функции можно утверждать, что 0,5”>0? 0. Что поыцмаатсв аод задвЕгием: 1) решить систему уравнений t двумя неиввеспгыии; 2) решить систему неравенств с двумя венавестныыи? 10. Какие системы уравнений (неравенств) налынвются равносильными? 11, Можно ли в системе из двух уравнений одно из них заменить: 1) их аочлеиной суммой; 2} нл почленной разностью; 3) их ийчленным нроцзведеыием? (Получится ли при атнх ОНероциях Система, ранное ил ьяа Я исходной?) 12. Через какую тачку координатной плосикти нроходит график любой показательной функции? 13, Имеет лв функция нанкеньшее аначение? По- чему? Н, Имеет ли функция у-1,2* ааибольшее значение? Почему? 15, Получится лн ураннепдо, ревносильное данному, если обе его части разделить яа 17”? 16. Обосновать, почему урааынние ы”—Б (а>0, а^1> имеет единствняныА корень. ]7, Можно ли а системе двух аеравенств одинаково го смысла одно из неравенств заменить: ]) их почленной суммой; 2) почлаяяым произведением левых г правых частей имеющихся неравенств? 22^ 1 iiat=- '/I По^эательмвя dsy^KHvia Проверь ce&flJ 1, Построить схвнатвчеБнв: графяк фувкцжи: 2}у-6-. 2. СрилЕлтъ Числа: ” (тГ “ (т)''"' » ® 3> Решить ураввение; 1) + Ч 3) 2'+ *-2' + ’= 12: 4н Решить веравепстйо; ' t.d 2) 4) 4 г^'^5-а'=+1-'01. 1) 6'-*>3в; 2) ■>1. Постронть схенатическп графшс фуыкщги у —3'*'+1. 2н НаНти наибольшее и иаинвньшее аначеыня функции не отрезке [-2; 0], 3. Решить ураниение: 1} 5'"''Ч=0,2''^+*1; 2) Э;'**Б*“ = 225'? 31 V 4. Решить верввевстио 0^в'^*'"'*ь-0.8^- и», Решить систему В'.З^'-ЙО, 5^-3'-50. 1[Н-*<2. Г А I Иоторическач спраека Воервые использование цеиовостыог<о числа в показателе птеаеи1г нохсио uaitTH в ciepeiiHCKi аемецкого ф]{яика. заатема-тика и философа Г. Лейбница (1646—1716) и голландского учН' ного X* Гюйгенса (1629—1696)f которая состоялась а 1679 г. В XVII а. европейские математики еще не имели строгой Теории действнтельиых чнсол, поатому могли изучать лишь отдельные свойства покезатальийй функции. Только в XIX в., когда с помощью 'теории оредслон удалось ввести аонйтие сте-ггенн с действительным поназотедем, аоэмокиык стало и строгое обосцоваиие всех свойств показательной функция. Глзвд VII Логарифмическая функция S- — I . I- Jist^petKgMut aataptiiju^f са/гратш paSamjf аетрттма. продлила лгилмь. П. С. Лаплас § 1, Логарифмы Задача 1, Р)ешнть уролнсвве 2'к* 16. L"-Зяп1гш«н данное уравнЕнне так; 2^*•2'*, откуда < CDoooti решЁЯВЯ оаддчи 1 оостоял в Toia^ что дЕвую и правую частп ураваения удалось цррдставить в виде степепи с одвнн и том же основан нем 2. Но узне. пнжршивр. уравнекие Э^>-1Т таким способам решить нс удается. Однако его уралпенве имеет корень. Чтобы уметь решать так ЕГО уравнвннд, вводится покятяе ло-гврнфыа числа. В § 1 предыдущей главы: было екававо, что ураваеыве о^-чй, где а>0, ах1, имеет единственный корень, Зтот корень вазывают логарифмом числе Ь по осно-ваиию а и обовнвчвлтт Например, кор- нем ураипБНлп 2*“*16 явлаетси число 4, т. е. 1ое^16 = 4. Опродслииио Логарифмом положительн-ого число Ь па основании а, где о>0, а^1, иааываится показатель степени, в которую надо возвести н, чтобы цолучить Ь. Ндпрннер, logj8 = 3. тик как 2®=8: logj ^ - -2, так как = i: Jog^ 7- J, так как 7* = 7; log^l-0, так как = Определение логерифмй можно кратко нвписать так; Это равенство «гравсдлнна при й>0, з>0, н^1. Его обычно визывают осноа'ным догараф-мическим mojKtJecinaojH, ‘ - I VII ______________________ Логарифмичаишн ф^икци-Н 1ч J я Напрнмвр. = ^ =3. С поиошь» ocoosHoro логяр1тфл<1П1вскаго тождестве иожво показать, влаример, что d: = logyJ7 яелж!тсл карпсм уравнения 2'^ = 17. В сажой деле, ДеЁстнве нааозядеши логарифма числа называют логарифм мироеан-ием. Задача 2. Вычмсдкть log^jl28'. I Обозначим log^ 128= л. По определениш логарифма ЗЭ^- 128. Так как 32 = 2®, 128= 2^ то откуда 5г-7* г=^. О Задачи 3, Вычислять I Используя свойстве (тгвосни и осповнов логарифмическое тождество, находим 5‘*’*^ ДьЭ Задача 4, Решить ураввение Jog^(l-f)-2. [ По опредалвпню логарифма 3^=1—л, откуда д:=—S. -М Задача 5. Выяснить, оря каких зкачениях х сухдеетеует X- 1 а-х' Так как осиовавие логарифма 5>0 и 5^1, то девиыЯ логарифм существует тогда н только тогда, когда * ^ ото |[срваспства, находим 1сх<3. ■Щ. Упражнения Id Найти логарифмы чисел по DCHOBanBio 3: Д-л >0, Рептад 3. 9. 27. 81, 1, ^ Вычислить {2—It). 3V3 2, U log, 16; 2) log, 64: 3) logj2; 4> 1. 3, U '“'4= 2) 3J ■П log. 1 Vs 4. 1) bg^27: 2) log|,ei; 3) 4} log^ 1, а. 1) Й) 3) log, V'3; 4) log. ¥• 6, 1) 2) log, 4; 1 3) log,. 0.3 125; 5J 61 log 1 V2, а 231 логар1«фмь1 т. 1) log^025; 2) Joff^Sie; 3) 4) тк- 8. 1> leg, 125; 2) logi 27; 3) 4) log 1 36. a 4 ft ,, J'4f 1 e Э. п ^lATjlie. 2) SiPis la. 3) J0'«4r*; 4> (i) * • 10. 1) gAlKVal; 2) (i) 3> 4) 11. и glnKi^. 2) gi4j 1Я. 3} 4) 0,125’°»ft+‘. 12. Рещит!. уравяеппр; IJ loffgX-3; 2) \og^x-4\ 3) los,(6-i>-3; 4J 1ое,(лг+2)-3; 5) Iggi (0,5 +j)~-1; 0) fl ' 13. Вылсвить, при клкнх эвачениях х существует логарифм: 1) )og^ (4 -*): S 2) l^g^^{7-xV. 3> 1 i 4> 5) ]gg 4 0) 2r*), Вычислить (14 — ie>. 14. 1) log^^Zi 2) * 3V^ 3) bg„ , 1 , VB3 ' 4} log^ v'T . 49 ' 6) lo«ijjg64: 6) logj,.,243; 7) Jog„256; 8) logjj 27: Э) 10) logi - 1 3*^ a 4 v'a 15. 1) (i)- 'oil'* 1 1 3), (f ) f 1 ft , l + SI« 1 ! ) 4) 37 ; 5) «>(1 ) ^ ' 16. IJ log^log^ei; 2) log. ,1орд8; * 3) 2loffjj^ logjglOOO; 4) ^logjlegj ,3: 5) 31ogjlog^l6 + losi 2: 0) 2)ogjoeie356 + iog^^8 При каких эиачекиях х имеет смысл выра^вежие (17—18)? 17. 1) Iog4(40^j:®); 2) !og^{j:* + i-6b 3) log (jc42i:+7); E i) y = log.,(7x=2*S-3); 5) в) У-loSi *-e 7) y-log Va:^“l; 8) , V9-J^. 232 'in г n в E a V Логарифмическая фуакцип 3 18* 1) г) ]o£3 log^O,0- ^ 1) 7=^+7^-12=0; 2) 9^-3'-12=0; 3) 8="^'-8*'^-’=30; 4) = 22, li (3* + 2^)(3' + 3'2=‘}*a-6’'; 2) <3 S' + 2,Б ■ 3^)(2 - 3' - a ■ 6") - S -15^ 23. При каких эндчариях х hwmt снцсл жыряжашв: 1) log,<3x^1 J; 2) iog^ j(x+l)7 j24j Решить относи те л ьро х урнервнне 0^ + 9д(1**а)-3'”^-а“-0. >-3. § 2. Свойства логарифмов При рытЕолнеиии иреобразоааннй емражений, солержащнх логарифмы, при вычнслввилх И при решеини урйвИЁыый чпсто используются раэли^гные свойства логарифмов. Рассмотрим ос-новяыа из Ешх. Пусть и>0, и?*1, Ь>0* оО, г — любое действительное число* Тогда справедливы формулы log^фи)-log^Ь + log^ с. (1) (2) Joa b''srloE b. С ^ и (3) афнцческону тождеству (4) (5) 1} Перемножая поиленно равенства (4) И (6)* аолучлем i + 1чмп й ^ ду;(уд1, дц онрсд 0 Л е НИ К1 логарифма + + log^ с — log^(Sc)* Формула (1) доказана. 2) Рнадалив почленно рнванство (4) на равенство (5)* полу- Ч1ГЧ п ■“***■ откудв ПО опредалснию логарифма следует _ (г формула <2>, 3; [1ОЗВ0ДЛ основное логарифмическое тождеетно в степень Г* получаем = откуда по оп1)оделени)о логдрнф- иа следует формула (3). • ^ а 233 Свойства логврифмрв Приведем примеры прииемеимл формул (1}—(3): 1> b«jjia-blop^a-lo^fl36-2j 21 Jo|Tj^48-iDe„4-|og^^l2H,l; 3> 1 lofi^3 - 1 Звдвчв 1. Вычислить loggV^-^ 12+ I Применяй формулы (1)—{3), находим 1о«а \/3 -1 log^ 12 + \og^ 50 - log^ - log^ 25 - 2. Задача 2- Прологарифмировать по осиовдпию 2 выражение t где о>0 н fr>0. о Иепольаун формулы (1)—(3), я яходнти log. \/iep* -Icjgj V16+ logjO^ -loEjb*— ~+4 logj о - 5 loEj Ь* -М Е^ЯЗадача 3. Доказать, что если а^О, а^1, ^>0 и та [> Пусть —ж, тогда по сшределепню логарифма Ь= а log^ 5 “ 1ойд а*'^-. По евойстну (3) логарифмов инеем log^a*'^ = “Arlcfi^a — Ax, следовательно, log^b = # откуда log^^ft = ■=» Улрэжне1шп Вычислить (23—2в). 25. 1) logj|^5 + loe^^2; 3) 1ой,з2 + !с1ец72; 23. 1) log,15-Iog^-^; 2) Jogj^3 + lQgj^l23; 4) !og^e+logg|. 2) Jogj,75-log.3: 4) log^~*logg32. 27. 1) logj^l'TeO; 2Moejj\^T2Ti 3) Jog^^43; 4) log, .;-!_. 3) lopj^ 54-log^2; J a Яг V12S 28. 1>. loggl2-loff^l5 + Joe^2D; 2) log|,13+log^ 1B--Iog^l0; 3) |log^36-log^l4-3Jog,/V2r: 4) aiogi 6-^ logi 400+3log j vTs, 8^3 i 234 ЛОгйрифчи^ссвЯ функи><х S 20- Г1роло1'арифмиро11ать но огпооанию 3 пыражсние, в котором й>0 И Ь>0: 1) a7vK:2) Ц:3) Ц^-,4) 30. Вычислить lotf яг. если lojf ft = 3, lo^ с= —2 и: 1) x^a*fl®V^; 3) Х‘ д*' Вычислить 431“ЗЙ>. lop. 8 io^b37 ^ Ьйд36-[дед1Д ^ lopjie' IgPjO ■ 1о8||0 ' loff-8 1ор^15-Ьр^ 30' 32. 1) 1оя,^ + 1оя„УТ0 lQfi^20 + 31ogj3 ■ 2} 4) log^ Н-—lop^Sfl logp30--|lop, 130 3log, и--1ор^ ei 4log^2 + Alogj^27 33- Найти X no данному его логарифму (a>0. /з>0): 1) lagj,x^4Iogjje-|-7lo0jft; 3J logjflf=3logjfl-3logjb: 3) log , jc = loff, a - J log I t; Й ^ a ^ s 4) luga J= Y lo^a a+ b, a ^ 3 ^ a 3^ Вычислить: 2) {ei^‘^'““*V 2&*°<|м")-4Й‘“^т“; 3) 16^ ■1) 72 36. Вырлзить донаый логарифм череа логарифм по оонолаиию 2; I) log^S; 2) iog^T; 3) loe^,ji3; 4) log_^3. jt ya Вычислить (iW—37J. ingj_16 lost 7 -31о^:я ^-S: S5‘ Tii^= 5 2 23^ Спойствв погарифмов 41. ЭЮ 37. 11 log^2-ijo£j^3; 2) 2log^j 30 + bff^ ,6. 6 38. Докдзитъ. 4TQ при a>&, a^l, jf>0 и ti«0 сдраведлпва формуле logp j* - jf. 39. Вырпзчть №EBbfft логнрпфн через Io^,a (a>9^: 1) [оерД^*: 2} 3 M Решить урдвяевие: 1) los,,& + loiivi* = 2: 2) \oe^ 16-log^7=2: 3) 2 log, 7 - i log,, le + i log^64 = 2; 4^1*5g,7-loe 1 3-log,j2ft=l. Доказать, что при й > О, а 1 и любызс л?^ ^ О и я?^ О спра-педливы формулы: ^osJ^ = loe„l*il“bg_l*aU I -*1 Выразить через а и tr: 1) log^y50. если logjl5 = a, logj,10 = b^ 2} log^l350, если log, Б = о. § 3„ Десйтичные и натуральные логарифмы. Формула перехода Для лагар1#фмо]а различимх чисел составлены специальные таблицы (таблицы лотарифчов). Логарифмы вычисляиггеи н с помощью мнкрокАЛЬкулиторй. В тон и в другом случлс наха-дитси ТОЛЬЮ] десятичные нлн натуральные логарифмы:. Опредвлнния Десятичным лсигарифмож числя нааылашт логарифм этого числа но основелин) 10 и пишут Igb вместо На гну рольным логарифмам числя маэыаают логарифм этого числя ГТ4 освованию С| Где е — иррацнональаое число, приближенно рЯвиОе 2,7. При атом пишут Ltib вместо log, Ь. Приближение ииачеаия числа е иожно прочесть ид тлбло ннженериогр микрокалькулятора после кслальзо8анн4} клааи^ шн [^; 3,718381838, Вычрслевия вя микрокалькуляторе чисел Igft и 1пЬ проводятся с помощью клавиш | Ig| и |1п| соответствеппо. Например, Ig 13^1,1138'133; In 13^3.5649493. 238 г^йеа VII ЛогЕрифмичаысйч Фущеция ОказыйвЁТСя, <1то достаточнл знать эва1№пя только деся^ тнчвы^ нлл только Батуральвых логарифмов •шсел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию. Дла атого используется формула nepifxada от логарифма по одному основа-ник> к логарифму но другому основанию: (1) где б>0, а>0, оО, е^1. Докажем сораведлнаость формулы (1), Запишем основное логарифмическое тождество Про- .тагарнфмируем обе его части по основан и to с: Используя свойство логарифма стеиеаи, получаем loit л lrpj^6-log^fl>»log^b, откуда * Из формулы! (1) следует формула log Ь= —^—, С (2) Из формулы (1) при с=10 и с=е получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам: Т Ь I I. (3) " In а Задача С помощью микрокалькулятора нычислить log^SO е точностью до сотых. ' ' 11 По формулам (3) о иомопщю десятичных догарнфмов пахо' ДИМ ]og^ 3^3,93SB1127. 2j С помощью натуральных Ig3 логарифмов находим log.^ 80 < ЬЗО 1лЗ ^ 3,9886928^ М Формул» перехода от одного осаовання логарифма к другому иногда используется при решении ураниачий. Задача 2. Решить уравнение logjX-|-lcg^ 1= —- С> По формуле перехода - Уравнение при- 1 Я иниает вид Iogjjjc+— , Откуда logjX=l, Х=2. -4 Задача 3. выразить logg^jSOO через а а Ь, где а-1ое^^2, 6 = logj3, iUo формуле перехода и свойстоди логорифмов подучаем а^* S’*! a]og^a+2jQ(f,34g 2и+а^+а 1ое,(а''-з 5=1 ^ alog^S 4-logi^3-f 2 Эа*Ь + 2 6 3 £37 Десетичвые и ■'HnyponbthbitB логарифмы. Формула перелоцд, Задача 4. Как ааввстпо, дБудароцеитный вклад в сОер-Савк, равний а рублям, чераз п лет становнтся равным a(i,02)"t а трех процентный чидяд ствновнтчя равным а(1,03)\ ^1ереэ сколько лет каждый из вкладов удвонтоп? 1) Для аерного вклада 2а = й откуда (1,02)''=>2, л—Jo^ 2. Проведи вычислевня на мнкрокалькулятире, получим lopjjjj 2 = 35,002788. 2) рДля второго вклада п-1о^|^^2. Вычисления на микрокалькуляторе покваырают, что logj^, 2 =^23,440772. Ответ. По первому вкладу при «ер во через 36 лет. я по второму — через 83,5 гада. -Ц Й™1 ^^^Задвча Д. Доказать, что если о>0, 5>0, с>0, I, I, то снраведлнйо равенство Испольдуя формулу перехода и свойетаа логарифм он, полу- IcFg с [од аЬ чим J '* • = -■ -*— 1ш H+log ^ lo'H b . ^ = 1 -I- —= 1 -f log Ь. ■« lak^ ti 1оД^ Q “ _ Упражнении Вычислить с помощью микрокалькулятора {43—44). 43. 1) lg:23^ 2> Ifi'T; 3) l‘eO.37; 4) Igf 44. 1) In 81; 2J In2; 3) ln0,lV: 4) In®. 4Й. Выразить ДАННЫЙ дощрифм через десятичный н вычислить на микрокалькулято[>е с точноетыо до О.Ш: U log^25; 2) iognS; 3) 4} log^^O,23. 46. Выразить данный логарифм через натуральный ц вычислить аа микрокалькуляторе с точностью до 0.0J: 1) log^5: 2)log^l5; 3) 4} log^ ^О.гз. 47. Вырази1'Ь данный логарифм через логарифм с основанием 7: I) logjjSj 2) lg6: 3) logjT; 4) log^l^; 5] lg7; 6) loff^ 7, 48. Известно, что lg2 = 0,301, ig&=O,0O9, lg3=0,477. Найти Ггр>15дп?ке1шое Э11№11шнс: 1) iog,a^ &) logaVS; 4fl. Вычислить: 2) Ing^o; (1) ]Qg^0,3a; 3) bg^3; 7) bg^O.S; 4J Й) loggO.a, 2) iDgi aos^4 1og^3), 4 238 I' П № a ^ Догарифмицвская фуиидив н'Ю. Решить урцвпепие: U = 3logg3 + ^IofTjijB; 3) 1о^з^:-0!де„8-31огз4; 5) lo^jjT-|-loe^j;-0; 2) log, J-2 log 1 Jt = 9; i -t> Joe^j3f*+lop^jf-3; 8} lijg^*-lD(JjgX-i. 51. Найти Jogjj39, log,, 39» Jog^llT, если log^lS-jrt, 52. Найти log^2B» если log^2=m. 53. Найти logj^Sd, если ]g3 = m, lg5-rt. 54. Найти logjj 73. если \»g^2=m. 55. Найти logj^y. если lugj^jE = ni. 56. Bbipa.'jjTTb' 1о(ГдщЙ череа a v b, если a=>lgS, &-Lg3, 57. Выразять log^^j 120 через a ir 5, если a^log^E, fr~]gg^5. 5Й. Бырааить 140 через m н n, если n—log^5, 59 2) Бырааить log^H, Бычв{иштъ; Ingj 2ia _ 1о^д g4 ■ lnfi|j 3 ^ 60. Решить уравневие: 1) Icig^j-9log^x—4; 3) lug^x+blcgjjX—1,5 —0; 61. Бычислнтгь (нс использун микрикллькуллтор): Itjg.fi logj 192 1оДд гч 1оя,д2 “ 1овр,й ' 2) leiogfflX+SlogjX-1=0; 4) bg“ff-l5]og„x + 6 = 0. 1, 2tog^3 logj6 ' ItJg^fi' ' legjjT^ **' ' "' Jog^S 62. '(игле жителей города-новостроЙ1си уволичнааегел ежегодно Bfi &%. Через сколько лет число жителей удвоится? 6:j. Бзкуумиый насос снонетружродлн таким обрязой, что за один ход он удаляет 3% итчвютцегоел в камере газа. За сколько ходов касос удалит из камеры 99% газа? 64. При одном качании пюршмезого насоса иа сосуда удаляется 1,2% НМек>ЩС1>>СЯ Д нем воздуха. Через сколько КйЧп- пий пвеоса в сосуде осгинегся ' млееы иоалухз? 05. К 2fHH) году йэвестлые запасы угля в мире составляли 5'Ю’'* т. М!ера потребления угля В мире равна 2.2 ■ 10® тоын в гсщ, 1) На сколько лет хватит имеющихся запасов угля при длшюм его потреблении? 2) На ско.твкд лет хнл-тит зйиясйв, если его потребление будет ежегодно увеличиваться на 5% 7 на 4% 7 66. Води в глубоком озере содержит взвесь, котория уменьшает проходимость Свети з воде. Эксперлментм шжяэели, что при Ирохождекни каждых £6 ем води кнтенснвиостъ сне- 1В чисть пер110н.йчнльт1о11 23S Дося^ачвыи и ьнатуральныв погврифмы. Формула перехода та ухояьшается на 10%. Дяам нанерптельлый прибор опустили на дно оэара н начали постеиевяо подписать. На нй-коА глубина Л анеряыо аокожет наличие светв прибор, оно* собный обвируишаать 0,1 Т% дневпй!^ с№та? 67. Расстонпня d планет от Содпцн (а аетроионических единицах) U их периоды обращения вокруг Солнца Т (в годах} цриведены ь таблице: Nil п/ц Ниаыстя d Г 1 Меркурий 0.3S7 0.241 2 Вепера 0.723 0.616 3 Зе-МЛЯ 1.000 1.000 4 Млре t.eai б Юпнтер 6.203 11.861 б Сатура 9.641 29,467 7 Урал 10Л90 84, DOS в Нептун 30.086 1644.784 9 Плутоя ЗЭ.60Т 248*350 Найти формулу зависимости Т он d. 68. Вычислить ыа шисроиалькулагоре прибдижсппоа вначваие числа е ао формуле ^.^Z+4- г 2-э ' а-з-4 ' ' г-3 1) 2) Л“в; 3) л^Э; 4) л р-10- ирн: § 4. Логэрнфмическая функция, ее свойства и график 240 Глава VII Логорнфмичвпкап функции В математике и ее приложениях чиста встрочаот(т логарифмическая фупиция где д — длдвтгное число* я>0, я?*1. Логарифмическая функциа обладает свойствами: 1) Область определенил логарифмичесиоЛ функции — мно- ' жество всех ноложительных чисел. I Это сл^ует Hi!} опреде'Левкя логарвфта, так как выршпехш? имеет снмел только при jjs-O, • I 2) Множество зкачепкй логарифмической функции — нно* I жество R всех действительпых чисел, Это следует нз того, что для любого действвтельвого числя Ь существует таков положительное число jt, что т. е. уравнение 1о^^г-Ь имеет корень. Его корень раэеи так как 1ой^й^=Ь. • II 3) Логврвфничееиая функция ые явдяетсл оттиниченной. |[. I Это следует но свойства 2 логарифмической функции. Ф 41 Логарнфмнческай функция ff^log х является возрастающей на промежутке jc>0, если в>1г и убывающей, если 0<а<1. О Пусть о>1. Докажем, что если то p(i,)1 следует, что 1ов„ 1ог^х,. Запитом услови» в виде сд^***, откуда Joe^3f,>lo£,x,. • Отмстим, чтц справедливы и слсдунщие дна утаержденкп: еедн о э-L и log^rj10, TOiXj 0. г^>0, toXj>Xj, 5) Если о>1, то функция y^log^x принимает положительные значении ирн х>1, отрицательные при 0<х<^1, Если '0<в-с1, то функция p=|og^x принимает положительные пнйчспия при О < X < 1, отрицательные при х > L. а) if) Рис. эй g 4 24Т Логарнфм№несгая Фуихньлц. ее свойства и график Эго следует не того, что функция пряняамет еидне- ине, раяное нулю, при Хв-1 н явля0ох:я возрастаю[цей на промежутке х>0, если а>1, и убыаакпцрй| еолн 0 и на рисунке Йв, Й, если На рисунке Й7 нэоСражен график фуикцип а ин рнсувке 9в — графин функции p-logj ж. а Отмстим, что график люйоП логарифмической функции проходит через ТОЧКУ (1; 0>. Теорема ^5сди bE„i, = log^rj, где я>0, ы-^1, х,>0, х^>0. то П])едположим, что например х,<Хд. 1!сли а>1. То из неравенства следует, что ДГ| ^ log^ если 1. то иа неравенства ж^ <х^ следуот, что JS 0<к>ИХ случник получилось DpOTHHOpCMHe с уСДййИСМ = = log^Xjj. Следовательно, х^—х^, • ЗадА1|В I, Решить уравнемив log^(3x- £)■ log^ 7. i Нснодьзул сформулнрововную теорему, иопучаем Зх-Й-7, откуда Зх=9, х=3. ^ Задача 2, Решить иеравенстБо Пользуясь тем, что Я =lugg3^ = logj3. запишем даипое пвра-венство е виде: logj,x0 и возрвстввт, то ыеранещ;1'во loggхlogj,3 выполняется при х'-О я х<8, т< е. гтри 0^:х^ 8. ЗадвчА 3. Решять неравенство log) х^-2. л Запишем данное нвравенстно так: log] х0 и убывает, иоэтону церазеветва а иыполнявтся пра х>0 и л:>9. Отв1!т. т^9, ‘^Е Логарифм ическп я функция = н оркаяктельная фуцкцве у —It’’, где а>0, а ^ 1, вовижно обратии. Решпя уравяенлс ^ — д^тнсютеАЬЫО X, Получаем x=a‘'i меняя местами j и 1/, лмссм ф Графики атак фуикциб при сг>=3 И иоказаны на ри- сунке SQ. ^^Тан кик функдии f^=lo£, X и взаннно обратны, то caoitr.TBa одной ив пик мозкно уитвниаить, эная свойства другой < Например, квоиебствОн ЗяаЧёвнй фуЁкпнМ у=о’’ ЯВЛЛется множество р>0, позтану областью определеинн функииы |/=i]og^x является миозкест'ис х:>0; ось Ох является горнаои-талькой асямятотой графика функции а ось Оу являет- ся вертнхвльЁОй асимггготоЙ г(№фика функции p-tog^x; функция j/^д-' воарастает при *1^1, (говтому функция y=log^* также soapaCTBjeT при о > 1, Уп1ражнекия 69. 'Сравнить числа: U log, V н logj 11 2\ iogt 9 и log J 17: 3) loKiC н logIt: 4) lofij ^ H log^^. i i To. Был CHUT bt является лоложательным или отрицательным число: 1|| l!ojtj4,5: 21 logj0,45: 3} [og^25,3; -1) 1ойщЭ,в. 5 it 243 Логэрифмическлп фун1.иий. ее севйстпв Hi график я 71. Сравнить с аднницеП '1НСЛй Jf, если: 1) — 0.3: 2) log, je-1,7; 3) logoi'-1.3. ) 72. BuJiCHUTb. явлле^гся возрастающей пли убывающей фувк-[щя: 1J 3>y-loei^JCi 3) y-=lgje; 4)f/»1nx. ' о 73. Построить грпфи^ функции: 1) У“1ойзЗг: 2) i^ = logj^x, 3 74. По гр!1фику функцин i/^log^x найти ирнближеино 10Ё,3; loffj,0,3; loffj5; logjD.7. 75. Кзобраяить скеыатнчоски 1ТЦФИК фуизгцив: l)p=lffx; 2) у-Ьх; 3) y = Jog„,^i: Решить пераиепство -(76—77). 76. I) loffjX>Iog|j3; 4) а 2) log, x1п0,&. 2) log^^x>a: 4) log^^x<2, 3} isr IG) 1 7в. PfiUfUTb ураВаеннЕ: 1)1|ойд(5г-1} = 2: 2) iogg(3x + l)=2: 3) W,(2*-3)-l; 4) lpg^=2; Б) le|3x^l) = 0; Й) lg(2-5x)-J. 79. Найти рЁлаеть оп]№делец{1я функции; 3) p^Jog,(x43x); 4> y=loe;j (4-x*). ao. Доказать, что функция уiogjlx'*—1) возрастает на промежутке х> 1. 81. Срнеимть SHaHaiTHH выражений: 1) ^+1йЗ и lgl9-lga; 21 в г "г 4} IglglgSO и 6. 82. Найти область определении фуикдии; а)' р = I og^jj (- X*-Н 5х + 6): 3> 30s7^lg5) н lg9-|lgBf 1) P = log^(x"-3x-4); 4) y-Jogi ^-4 . ^ * ' а х*-|-4 &) У“1ов.(3'~2); 6) y = togj(3'-'-e). 83. Построить график функции, ыайтн ее облиеть определення и множество значений: 244 Гпа»п VII Логцрифуическая функции L) v=logJx^l): a) lagi(x+ 1); i Б) v=l+bffsU-n- 3> y-l+log. 4> y —logji i- 1; T B4. рртить ттшфяческн уравнонге: 1) 1огдЭГ = -л+1: 2) log2^-2j-5; I 3} lgjf=Vjc; lgjf = 2"'. a&. Постровтъ график фуккиии, пайти се область определелин и иаожество значений, указать промежутки мрндт-оилостн: 1) 3) 3} jf=los,l3-a|i Jl) y=|l^iugjX[. &&■ tlaflrn область опрсдаленлл футгкцил: 1) у = loggia-jfl^lojj|#*-8h И = logo 3 + logo.4 (^ " S'^>- § 5, Логарифмич0ские уравнения Зал№ча 1. Рашнть уравнение lGgj{x + l) + logj(x+3) = 3. (1) ■ Предаололхлн, что х — такое число, при котором равепдтво (1) ялляется верным, т. е. х — КорОЫЪ ураныеыня (1). Тогда DO свойетву логарифма верно равенстцо Ьгд((х + 1Кх+й))=з. Из птога равенства по определению логарифма получаон U+1MX + 3J-3, (2) х*+4х + 3 = в, т. е. x” + 4j-5-0, откуда x^--S, Так как урнвнеиие (Й) является сл1>детвиём исходного урванежпя, то необходина проверка. Проверим, явлнютса лн числа 1 и корнями уравионяя (U. Подставляя в HfiByio часть исходного урав-нення х=‘1, получаем logj(l + 1 ) + logjtl+Э>—IOgj2 + Jog^4 •« 1+ 3“3, т. е. х=3— корень уравнанмя (1). При х—-5 числа х+1 в х + 3 огрнцатель' ны, и понтону лоная часть уравнения (1) не имеет смысли, т, е. х^-5 нс является корнем этого урнвнення. OriiWT. X- 1. Замечание, Решение уравнения (1) можно заменить решением равносильной ему спстсмы х +1 >0. х + 3>0. ^log„«x+l)(x + 3)) = 3. 4 S 245 Логврнфмичаские урванеь1№) ЗцдАча 2. Решить урйвненн« -r)“3-logjj(3-at). ГГорвнвсеи логяриф» нп npanoft яасти в леву»: logja-ff) + lojrji(3-jf)-3, Iog,((J-J)f3-Jf)) = 3. (1-гИЗ-х) = 8. Решая это уравиеиие, подучаем г,=В, д^ = -К Число 5 не является корнем нсдодниго ураавемня, так как при Jt=& левая и правел масти у ранне нл л теряют смысл. Проверка показывает, что Число — 1 является корнем исходного уравцацня-Ответ, х—— 1. ^ Задача 3. Решить уравнеЕТне lE(ax*-4r + lS>-lgj + ]g(j:+3). По свойству логарифмов ~ 4т + Н-Зл:Ь РТКУДЙ 2т^-4х+L2^T* + 3x, х^-7х+12-0, Xj-3, х,= 4. Проверка пакааивпет, что обд оначення х являются коралмн исходного уравпеинд. Задача 4. Решить урланеаие log^(3x + 4} = W^{bx+8). I Приравнивая выражеивл, стоящие под лив К ОМ логарифм й, получвен Эх + 4-5х+В, откуда х —-2. Выполняя пронерку, убеждаемся, что нри х=-2 левая и правая части нсходяого уравяеыия не имеют смысла. Отн(гт. Корней нет. 4< Задача 5. Решить ураввенпе 1од^ (2х - 1 > ■ iog^ X = 2 log^ (2х - IJ. || ' Преобразуем даипое урдввенне: log^(2x-1) ■ log^x-21og^ (2х- 1) - О, Jog^ (2x^1). fJog^ а) = 0- Прирйиипвая каждый из мнохситолей леаой частя урдннеиия к Нулю, получаем: 1) log (2х-1)»0, отнудд 2х-1=1, х^ = 1; 2) log^x-2-Q, ОТКУДА fog^x^a, x^=t6. Пралеркл рокадывадт, что числя 1 и 1G — корни исходиого уравнения. 4 Задаче 6. Решить уравнение log^х и-log^ 3 <- —. Г' Урнляшгие имеет смысл, если х>0. хтЧ.. (3) Пусть f-logjX, тогда 1&е^.3=у и уравнение примет вид f-l--|- = -^, или 2^*-Зf + 2 = '0, откуда ^^ = 2, i. Если t=2, то Га и logj,x—2, X"^^, (^сли f=^i то 1ойдХ = -|, x=V3. Найдевные значения х,^Й, Xj^v’S удовлетворянот условиям (Э) и являются корнями лпнного уравнения. ^ 246 Гг эвн VII Логдриф|Угичес<аа функция 1г^^3ад»чв 7, Решил, уравнение 1—lofi^{jc+и*®-— г+Б г + Э Переходя И логвриф|лам по основанию 3^ хюлучлем ровне JC ^ 5 скдыюе псходаому уравнение ] —I0K3IIX+1 [=■ leg. г+3 ’ Следсч-виен последнего уряннечия является ypnaireirae 3 т + 5 |лг+1| 1м-а ‘ При х>-1 уриннениБ (5) ирнкет вид Н> (5> 3 * + Ь , - о . След-jt+1 * + ft ствие этого уравнения Зх + 9“-*“ + Й*4-5 имеет корпи т, =1 и jfj=-4 (не удовлетворяющий условию х>-Д>, При лс=1 уравнение (5) равыосильпо уревиению Jf®-H9i+М =0i ойа корня которого л^ —-7 н Xj“ —2 удовлетворяют условию х<—1, Проверь кй покезюеает, что числа I, -Т и -2 являются корнями урёвяэния (4), н ЗНАЧИТ, и искодвого урапвеивя. ^ Задача В. Решить уравнение log,_^(3-д) = 1о^з_^{1-дО. I Область определения уравненкн ндходнтся из условий 1 - г:;- О, t - X?* 1, 3-jf >0, 3-л^ I, откуда гшлучяем *< 1, I Применял формулу logoi'= ^ и полагая logj^^{3-x) ^ получаем уравнение откуда ^J=-l. На облпстп определений исходное уравнен не paenooH^tno ссхнокушюстк уравнений lo|f|_^C3-х) =1* logj_^(3—х}=—1* Tlep-uoe пз жих не имеет корней. Так как 1 —х^З-х. « второе имеет корпи Xj - 2+V^ л Xj = 2-V3, Из чисел х^ и Xj^ только второе тгрвладложит области определения у[»айНеНИЯ, Ответ. Xs=2'V^ . Задача 9. Peuinn. уравпаиие Легарифмптруя обе части уравнения по основаншо Ю, получаем рАЭНООильное уравпенна (Jgx= 1)ierx-3. Пусть lgx=(. тогда f®^-/-2=0t откуда — Решая уранветгия Jg'x=-l и JgX'=2. находим Xj = 0il« Хд=Ш(). “S! loiIsJr-logsV= Задача (0. Решить систему уравнеипй V + Jf-i2 = 0. Из ие[)вого урнэиення системы выразим х через у. получше lojfj — = logj Й, откуда * 3. хс2у. Подставив x = 2f^ НО пторм уравяение системы, получим 4^+2^—12 = 0. откуда = Тогда х^=3. Х^=-4. Проверкой убезкдаеМсЯ Н 3 1 решек нем. том, 'гто (З; х) = решение СНетемЫ, а (-4; —2( Mf является ев 247 Логарифмичесгне урзвнвчия УпрЭ1Жнення в7. УставовитЬк KAtiCie из данных двух урааненнА являетсл следсггЁыем друтго уралненнц; 1) г^8 = 0 и x*~5jf + 6-0; 3) |x|-*5 и 3) лг^-Злт+Й *-1 'О 11 г®-Зх+г-0; 4) logj j + log^ = 3: 3) lojjgU-3}+lGgj(x + e)-3; 3)ii'e{i+v'a)+iff(x-V3)-0i 4} ie(x-ij+i^(x+i)-o, BB. 1) 1й{х-1Ь1е<Йх-И)-1й2; 2) le(3x-1Ый(х + &)-JgS. 00. 1) |lffCx^+x-&}-lg{6x) + lg^; £ VX 2) ^lgU®-4x~l)-lg(Sjf)-lgC'tx>. 01. 1> ]oej,(6x + 3)=log,l7x + 5); 2) log, <3*-IJ-logi (Bjr+ 8). t J 92. U Jog,(je-l)log^x = 1og^j(; 3) loej^x)offj^(3x-2>=log , (3x-3); I » ii 3) !ogj(3x + l)logjX-2logj(3*+l>; 4) loff^5(x-a)logj^x = 2log,{x-2). 93. Решить снегам у у равнений: I) \\^x-{gy = 2, 2) JlogjX+logjtf-a. 1лс-1( I Of/--900; |t^p-3p + P=0, Решить урнвиепне (94'—06)» 94. 1) log^r^-aO; 2) log^x^-3; 3) log,j*-<0! i] loff^Jf^ = 6; 5) ]gx‘''flg(4r>"=a4lgx*: 6) lgx + lg**-lg(9xV 95. L) log^((x + 2)(x + 3»4log^^^ = 2; *-1 3) ln?i;^ + bg*«x-lKx+4)W2; 3) log, jc^-log x+e 96. i> a^*^•^.Б’*'^гGoo: 1 2 3; 4) ]pgj *±A+log,i^ = 5. 3) 4 + lgx 3-1ДХ ** *■' 2) -5’°*-i'= 400? 4J ^ + ^=1. a-igx I'l'iex 97. He рещвя урйВкеынА, аынснитъ, раннодильны дн ожт: 1) н Зх+1=-3; 2) н х-1=0; 3) lgx“-1 и 21gxJ; 243 Глава VII 4) lgVx = 2 и ^lgr-2. Логарифмическап фунсция 98w Решить систему уравнений: 1) iKJf+ie^f-5. й) ч xif = 3. Решить уранвенле —Ю&)ч 1ог^1+-1ое^^-4, ^1) logjf-aiog^2 = -lT 2) lo^j, J + lciff,2-a.5; 3) lqgjX+21oe^3 = 3; 4) ioSjJ-eioe^3-l. 10ол) iDg^e+Jog^;j4=2j iog^io-iog^j7-a. 101.1) lg(&-6^-26<20^)-1e26 = a:: Й) lgt2^ + Jf + 4)-x^jfltf5, 102.1) Ig^Jf + IJ = IS(JC +1) le(J -1)+ 3 tJc - lb 2) 21og5(4-JC)-Ioffj,(4-i)-3Iog^H-i) юаЛ) Vl0ff,36+3*^^; ,|2x-l). 2) V2 logJi + Slogji-B —logj, C2jf). lOa-U log,jT+log,2=|; 2} loir^.,(2jr-3j-log^ ToeJ logs + 1) iogj(2'*‘ + 2> - 2. 107.1 Va + log^ Б\/б . 1оя^л = - V6. ДЖ| и i’*“ + 9'#'-6; 2) *14‘"»г’'=1. ,100. Нбйтн нее оинчеыия иврамвтра о, при KOTopbLit уравневие 5lag^JC + log^ Jf-4 IPgjjX — d ВЫБИТ корив. IIOlI Найти нее аначепия d. при которых урнвиекие . *^3 ifff* +1} ИМ№Г ро&цо один корень. 111.^При каких аначеЕШЯХ а ураввенпе Iffx »2 имеет Iff(x-e-a^) Хотя бы один корень? Найти нее корни этого ураввевпя. § 6. Логэрнфмически1е неравенстве При ивучевия логарифмической функции рассынтриналнсь неравенства вида log^x'^b п Jog^x,>tr. Нривелск примеры ре-твенил болев сложных логарифкетеских ыеравеыств. Обычный Способ решения таких нервненетв аакдючаятся в переходе от пих к болве простому нерааевству или системе черавевств, иже-юшей тс же самсе множество решений, т. е. к раввоснльвоиу неравенству или к риркосильной Системе неравенств. 6 249 Логарифмические нврвввнства Звлачв 1. Решить иеравеиство 1}^ Правая чисть двнвога неравепствв имеет смысл ГфИ iicex ЗНв-чсиивх X, в левая часть — при г+1>0, откуда г>—1,т. &. г>-1 — обляЕть определения исходного церадеветнй. которое ^яггншем так: + 10D. Т&к кале 10> Ь то К 100, откуда Учитывал область ооределепин исходного иерАвен- ства, ДолуЧДем — 1<х09. Щ log,((x-3Mx-a»0 и х-3->0. Следовательно, областью определеайя этого неравенства лдляется промежуток х>2. По свойствам логарифм он перолеи-гтлр (3) ори л>3 равносильво неравенству 12) Логорнфмическня функция с аснаванием 2 врарветающад. П оптом у [ipvi х>5 неравенства (2) вынолияется, если <х-3)(х-2)С2. Тпкпм образом, исходное неравенство (1) рааио<;илы10 системе неравенств (х-3)(х-2)<2, Х>3. ~Q РйН1йя ттерзое неравенство ОТОЙ системы, получаем х®-Вх + 4 4<0, откуда 1<х<4. Совмещая этот отрезок о промежутком х>3, лолучаем 3<х<4 (рис. 100), ^ 1 3 4 Рус. too Задача 3. Решить неравеигтво 1оЙ1^(х*+гх-8)>-4, 1 Область опредйленил верапеяства находится на условия х* + йх-й>0, Исходное неравевстю можно записать так: log 1 (j^ + 2r-8>> log [ 16. 9 а Так как логарнфмнчесная фуикциа с осноалнивм явля- £ ется убывающейн ТО ДЛЯ всех х Н9 области определения нерв-венетнп получаем x“ + 2x-8W16. Таким образом, исходное не-равеаство раввйсильпо системе веравевств х*ч 2x^S>0, х*+2х-8<1в. I x^+2x-S>0, 1x4 2х-24С О. 250 Лйгэрифмическав Фут^хцич й) в) Решая первое БжАД[ЩТ&ое аерявевстро, noiij^KBii *<^-4* д?>2 (рнс. 101, а), Решая втарое авралепство, подучлян -в<х<4 (ряс, 101, 0). Поэтому ивожеет-SO рвшеянА кврйаенетйй: '— совокупность промежутков [-6; -4) я (2; 4} (рнс. 101, Ответ. 2<дг<4. -4 Задачй'4. Решить авравеметво log . -t4jr->-7l>0- Р»с- fOJ I Лояыае наравевство ршшнялио совокулвоств систем иера-венств Г0<1=^3-4j Г0<1=^3<1, Идч-ТМ! lo<4JC-b72. i—I- Откуда иа- V3’t|arl<2. Вторая сяствмв роаяосндьиа енствме откуда 7 J— L 4 2 следует, что - “ r<-V3. 4 Ответ. -- V3, х>2. 4 4 Упрвжнднкв 112. Найти область опхмделвняя функции: 1) p-Jg(3i-3); 2) y-]Dg^(7-5x); 3)| If - lo^ i (х* - 21: 4) i/ • log^ (4 -X*), i Решить нервванстао (113—IIS), 113. 1) loegtx+2)<3; 2> 1oK„{4-ax)>3; 3) 10^3(1 +1)<-2: 4) JoK^|(i-l)>-a; 1 5) iGgj, (4-3x)>-li 6) logi (2-5r>^^2, й Л 114. 1) logx>lg&+l: 2) Iex>2-lg4; 3) 1ogj,(x-41log I (x-lU. Z5T Логариф*шчес»« неравенства О 2 о 4 в I 113, l)j loffjJJf-3) + log,^(jf-5)-2, > ) lie. Найти об/шсть определения функины! 3) p = Vlgi+UfJ: + 2); Решить верапенство (117^125), 117. 1) log >0; jr“ + l 3) lg<3^-4)>log I (a?+l), a I 2} loej>ls 4) log,ti“^2,5x)<-I. a 2) logj (jf*-5* + 7)<0; 4) Wi (x=^-6J!-6)>-a. ! 120. 1> log, 1ой^л*>0; 2) IdgjlQgi a J Ш' Ч logjj.a3f-lognCJ=-£)log„ ^0.6, m, 1) log® дЛ^й1ое^д*<^’6: 2> log^ jX + 3Iog(^ ,I>4. ^ ^ a> Jog,(2-8‘")<* + l-log,4: lie, 1) log,tJ*-4jc+3)
  • Jg(x^^8x+13)>0; 3} logj(je^ + axJ-^3; 123. 1) ■b' 5-lgr l+lgjr ci; 3J Ictg^^ j^(l-25af^>>0i —- 3"^-! B*-a' 4) log 41й0,001 i- !g \looo- f Igv'Toora. 3 5- вычислить c помощью никрокалькулнто]ра; 1) log,7: 2) loggia: 3) Iog^д0.l7^ 4) log,t,8U> Построить график функции; l> 2) v = loBj^jc. 1 Какая па данных фуакцпЭ является тзарастающей {убы-аающ«й)7 При каких экаченяях х каквдвя функция при-гимвот полозкителькыв (отргицательные) значения, ревнив яулю7 133. выяснить, является возрастающей нлп убывающей фуяк-цвя: U ^ = logp jX; 2) tf=\og.,^xi 3) (^ = logj х; 4) if_=log^x. ’ ' 1 Решить грефичоскч уракнеш1е; 1> iQgjjc—З-х; 3) ]cjg-i^x^3x. 134, 130. Найти область определеикя функции: I) p*Jog^t5-aj); 3) yb](Jgjj(x*-2T). Решить уравнение (13в—138), 138. 1) log, (7-8л) = -3| 2) Jg(i^^2J-lgr. 1 137, 1) lg{i*-2x)i»ig30-li 2) log3(2jt^ + i) = log3 6^1ogj2 138 3) lg®x-3lgx = 4; 4) lQgJjf-5lDg^x + e=0. 130. 140. 141. 1) logj(i-2) + logj,{j;-3>=lt 2) log,{B-x) + loK,C-l-*> = 3; 3) lg{j;-2)+lgx-lg3; 4) lo^^(x-lJ + log^(x-H4) = log^^6. Решить иервееиство <130—141}, n logj(x-S)<2i 2) logjt7-x)>li 3) log, <2x+ l)>-2; 4) log, <3-&x)<-3. *1 1 1) bg^(5^4je} l□gд J^2x+5}>loй^,tx+l). 1) Jg{x* + ax+Z)l. 142. Вычислить: ! 2) 2a VA . 3J 4) 5} 2log.\/54 3l iGffftX+log^X+log^^X-rii; 3) logjX + Iog^jr + log 1 х=6; Ъ 3)'l(ig3Jr-loeaJe = 4logj2; 4) logjX-log^x-OlogjS, 150. 1) lQgg{3-x^)-logj(-x) = 0: 0) lQe,(i='-l2)-logJ-x) = 0; 3) logj Vx - 3 + logj V3x -7 = 2; 4) lefx+6)-ieV2x-3-ig4, 1Д1. 1) logyjX-l-4 log^x+log^x-13; 2) log„^{x+2) - log^ (X _ 3} - i log <-4x - 8). 1^. 1> log. x-1 ■log,x; 3) lg^=lgx! Г- 1 153t Решить перавеиство; U bg,„(X~ 4) + log^^ fX + 1)4 2: 2} loga^^(x-5}+|pg^^5(x+ia)^2; 3) Iogjjl8x* + x)>2 + log3x*+log,x; 4) logjX+Iogj(x-3)>1og3 4: 254 Л . L'lii. 2) lugi_=~ -logj^x; ^ s i) ie^~isx. Логврнфмическяя функшл-я 5) + i 4 в) Ioej^(jr4l0)4-loffj_ (JC + 4>>-2. ^ \Г Ретмгь уравнение (154—155). 1Д4, IJ log] 5+lcigj^ l2+^log^3 = l; Й) I 3^1ой^в2а = 1, 155. 1^ 3+alog^^, 3 = 21ogj(t+1)J 2> 1+21ug^. j5-logj(jf + 2); ’ 3) lt«j_,(3-x)=Ioe3,^(l-*); 4) 1яе^^^(5х43)*Я-к^^,,{3*+7). PemiiTi. явравенстио (J64J—tS8), 15fl. 1) 41ofi^Jf-33log^4, что осди послоловательноетк положительных чисел xBjjflercx гео метрической прогрессией, то их логй' рифмы по олпому и тому же освов&аню образуют арифме-тнчесную прогрессию. 160,] Найти три иоследавятельных члена геоанггричсосай про* грссснй, если их сумма равна 62, а сумма их десяти чиых логарифмов равна Э. :!l®i Построить трафила функции: 1) у» , J ; 2) р™ ==. |ViJr Решить урйвненно (162—163). 162,] 1) 5jfi'«i* + 3’“»a'^24; 2) х*'*"' " 100 VtO. ТВЗ: loBj (2^- 5)- log,(2^ -2) = 2 - X. 164. PfiuiHTi, EiepnnencTito: 1) logi a> tog (6'^36')?-a, ) 'i'i 166. Решить уравнение logjX*logj(x-3) +1 =-logj(x*-Зх). 1в6. Решить неравенство ори различных значенннх и: - + <-1. Z log^x*+l Id?. Решить неравенство:; 1) log^(x-l)+Iog„x>£; 2) |og*x^>l. 255 УпрОхИОний К f/щи Vtt Вопросы к главе VII I. Что №?ыва«тся догарифмои числе 5 по оспованшо 2? а, Сформулги1»вет[. мвовное логлрифмическое тождестио. 3. Сформуляровать осяоьиыа caofiCTea логарифмов. 4. Дать олределеяие деслтпчЕога логарифма. Используя специальное обоавачиине деиптргного логарифма, ^ациелть 5. Дать опродвлицне цвтурвлъиого логарифма. Записать обозначение ватзфалъвого логарифма <шсла х. б. Чему равно пряблнженин» эиачеыне числа а: 1) до десятых; 2) дс сотых? 7. Записать формулу перехода. i От логарифма числа k цо оспо-валпя q к логарифмам по освавввию р. При каких значениях Н, q я р имеет смысл эта формула? 8. Какова область определения логарифмической^ фу вис дни? 9. Каково множество аиаченмй логарифмической фувкцни? 10. При каких зпвчеыиях а лпгарнфмкческая функция является: 1) возрастающей; 2) убыяаницей? 11. Перечнслнть пронезкуткн знакоцостояпстве логарифмической функции а зовнсиностн от значений числа а. 12. Яадлстся лп Функция 1) огравичеыяой сверху; 3) ограяичениой снизу? 13. Через какую точку коордяватной плоскости проходят графики всех логарнфмичегкнх функций? Почему? 14. При Каких значениях х и ^ спрааедлиао раааиство 1ое,(тр)^1ой^х-е1пй^р7 Проверь СйЬя 1. вычислить; 1> 1о£,64; 2> 1я0,01; 3) 4} 5) log,ее-log,L7. 2. Построить схематически график фуннцнн: 1) y-logp„X! 2) p = log^x. 3. Срапнить числа: U logo ,8 ” logj ^Y.&i 21 log^a.8 н logjl,3. 4. Решить урйвчеяче: 1) log,(3j + l) = 2; 2) log,(j + 2)+logjr=l; 3) lg(r^-6x+9) = 1gS + lg{x-H3). in л—Iny—Id 5. S. Решить систему урааненнй 4, G. Решить неравевстао: n loga(x-l)<3; 2) log , 1. 26Б ll 'lilL! I *-| Догарнфмичаскаа функ1Д4п 9i. Бияспятъ, при каких лпачеиинх т имеет <;мысл выреже-нне: 1) logjCm-lU £)loe„.j3i 3> 2. PeiUMTii Графически урклненне j. 3 Вычислить i- Решить уравнение; 1) bg,,^,{2jr“-ajr + e) = 2; 2) . Решить систему уравнений [3^ 20^516. [log^.j(p-J) = l. Решить неравенство; 1) lg(Jr*-2j-3)<0; 2) logjj(lce]^ (log|^xW>0- 1 IBH I и старице скан спрпыкэ Еще в XVI—XVII вв, Практика постаенда рсред мятематиками задачу упрощения вычислений, csaeaBBUX с расчетами сложных процентов а финавсавых, страховых н кредитных делах .г Тогда же ученые воспальаовались идеей, в основе которой лежат свойства степеней. Эти свойства были пзлествы еще Лр-xnnie^iy в Ш 8, до тс, о,, который в своем сочинении ■□саммит* (■Исчисление песчинок*) рнссмятривая послсдоватвльапстн степеней одного И ТОГО же числе а'’', и', а*, а", o'*, и высказывал утэерждепне, что o'*-а”— I'io чт1^бы вес пользоваться этой идеей, иу;кны были таблицы, в которых СОПОСТАВЛЯЛИСЬ бы послвдовцтолъностн степеней чисел е последовательностями их покааателеЙ, Автором изобретения логарифмов U составителем первых та&лид логарифмов считают авгличвдина Дж. Непера (1550—161Т), опублкковав-шега 8 1614 г, рпботу под ннаваннем «Описание удивительной Таблицы логарифмов*. Непер также ввел и сак термив «лога-рнфы», который воавкк ив сочетания греческих слов ^луоа — □тиошсЕ1ие и apiGpcu; — число. Самым удобным основанием для таблиц логарифмов является ЧИСЛО 10, Тйк как мы полъцуеысл п расчетах дссятичиой системой счисления. Действительно, любое положительное число IV можно представить В Стандартном енае ^•=U'10*> где Ка<10. Поскольку порядок числа к легко определяет^ ся, ТО для нахождения логарифма числа (IgAf -l-lgalf Доста- Z57 э исторйческвй' справка TD4RD иметь лмшь тпблицу мвитнсс — тпблнцу IHCeJI Iga. где Кд<10. Тлблицы досятлгчпых догдрнфиоу, которыми иплоть до ой-йнлеикй мнкрокалькуллторов пользовались л России, разработал ыв основе иеперовских таблиц отечествакный педагог-»атв-матнк В. М. Брадыс (1390—1975], На осаове той ж* идеи замепч тфоиэ№деыпл степеней суммой, а частного степеней рвэпостъю показателей отых стеиеией б1.|ла солданв логарифмическая лмиейиа, которой оольаовались Солее 300 лет инженеры н. нгатематики всего ынра. Изобретателем логарифмической линейки (в 1624 г,) считается английский уЧеНый Э. Гунтер, Дссатичжыа логарифмы в силу традиций и удобства ие-польэовониа до сих пор широко иримевАЮТСя в практика. Однако для катекатической науки и ее и]шложе1Ы1Й более значимы ни АБЛЯПТСЯ натуральные логарифмы. Звачиыость функции иб1>яснлетел тем, что в математике часто нснользуюФся покавательвые функции е основанием е п ооответетвеппо обратные им функции. Законченный вид теории логирифмичеокоЙ функции нрн-дол выдающийся матоквтнк XVUI в. Л, Эйлер (1707—1733), Отметим, что эначнтельаую часть своей ясилни Эйлер, сын небогатого паоторп из Бааеля, ггровел в России, ириняв в 1727 г, прнглвшеыие работать в только что оргвннаонанпой р Петербурге Академии паук. Ему принадлежат общие опроделеппя показательной и логврифинчвской функций как вааннно обратны к, а также введение числа е. Развитие теории догарифмиче-сник функций после Эйлера происходило в основном в рамках ывтаиатического виадиза. Ж Тригонометрические формулы М»яыия1Ш№ есть такам 1Ш!/ка, KQmftpaM как uj ли^смыл тиичгглтя находить Opyiiie, ком еще HcaJHcemHaie. Д, С, Ацичкол § 1. Рздианмая мера угла Пусть вертикадьнян щшжвя касается в точке Р окруяшости с иеятрои О радиуса 1 (рис, 102). Буделс СЧИТАТЬ ату пряную число-soli осью с иачллом в точке Р, а положительным щщшиишиен Ий прямой вппр&влояна вверх. Зе сдиияцу длины Нн числовой оси йоаьмвм радиус ояружиостж. Отметим ип прямой ввекряъко ТОЧЕК ±1, ±3, ±Пг где SS- л'=3,14 — иррациоывльвоо число, Вообраанв эту оряную в виде аерастяжичрй нити, аа-креилениой па окруждостн В ТОЧКе Р, будем кысдеиЕо ивмаятянть ее нп окружность. При атом точки числовой прямой с координатани^ пащжыер. 1' t- -1. -2 иеройдут соотивт- ственио в точки окружности JVf^, М,, М^, М,, такие, что длина дуги [Н1ВИП t, длина дуги PMj рвввд ^ и т. д, " с Таким обрнзомг каждой точке ирлмой ста-ъятся в соответствие некоторая точка ок-руаикктн. Так как точка пряной с координатой 1 ставится в соответствие точка М,, то ествст-канио считать угол РОМ^ едииячиын и нарой этого угла ндиарлть другие углы. Нвлрямер. угол РОМд следует считать равным Такой способ нимореяил углов широко истосьаьзуется в нктенвтике н физике. В этой случае гово- 1 £50 Радианм1И1 мера угле рят, что углы ireuepsiOTCA н радиан' iTQft Mflpo, а yrwi POMj ыаэыйшот уг-ЛГ}Н а *}ЛНК рйДНйН (1 рйД|- Длина дуги окружности РЛГJ равна радиусу, РаС’ смотрим окруисаостъ радиуса и от^ метим на веЗ дугу РМ ДЛИНЫ R и угол РОМ (рис, 103J. Опрвдсл ен1НБ Цавтральиый угол, ооярцющкй-ся на дугу, длина которой равна радиусу окруяшоотн, назывветсл углом й один радиан, Пайдем градусную меру угла й L радлая (ааписывл1ат 1 рад). Ив куров геокетрии иввестно, что дуге длиной nR {полуопруяЕиооть) соотиетствурт цеатральный угол в 180*, тогда дуги длиной R ооотэетст' вует угол, в л раз иопъошй:, т, в, , м ВО ИМ1 = [ ) - Тан как то 1 рад-57,3°. Если угол содержит а радиан, то его градусная мера [равна /180 а рац| U) Задача 1. Найти градусную меру угла, рааного ^ рад. По формуле (Х> находим; ая т ' 11 4 ' Так как угол 180* равен я рад, то 1‘- 180 рвд- Если угод содержият и градусов, то сто радиаинак мера равна *1°-™ « рад. (3) Задача 3. Найти радканвую меру угла, равного; 16*. I ГТо формуле (2} находим; '*5°”—^-45 рад= — рцд; 15°=* 2 aU 4 -7^-15 рнд= ^ РИД- -< гео VIII Тлигонбыет(Н№скне формулы ГГрнведем таблицу ваибсцЕвв чисто встречшощцхси углов в грвдуснцЛ н ряднонвай мс?рлх. Грэдус1н П яа ih 60 00 180 D tc тг л X в 4 я 2 Обычно при обозиачвинн меры угла а раднаиад нанмено-дапив «ридр оцуснавт, Р1адианнад мера угла удобна для вычнс-л^нцд длияи дуги окруэкнпстй. Так как утл в 1 рвд «втн№ етвует дуге, длнда которой равна радиусу й, то угод в а рад 1;аотаетствуег дуге, ддиый которой находится а о 4»рнуле ^ = (3) Задачи 3. Конец мжвутной стрелки Кревидюких курантов дашкется цо окружийсти радиуса Л^3,06 м, КлкоЙ путь проходит 1ГОНЕЦ стрелки за 15 мин? За 15 кнн стрелка повора'ШВИеч^Д де угол, равный рад, |И й По формуле (3) при <^=~2 Дй Л^-3,0в м=^4,8 м. -4 Особенно простой вид формула (3) имеет в случае, когда радиус окружности Я-1, Тогда длина дуги paaun величине центрального угла, соатветствующвго ттой дуге, п радианах, т. е. t^a. Этим об<ьясыяетея удобство црнмеления раднанпой меры в натеийтике, флзикс, механике н др. .Задача 4. Доказать, что площадь 5 кругового сектора ря* диуса Л, дуга которот содержит а рад, ыйходнтся по формуле а, где 0<и<™. Площадь кругового сектора а л рад (полукруга] равна яЛ* И ' Поэтому площадь секторе в I рад в п раз меньше, т. е, равна Щ~хп. Значит, площадь сектора в а рад равна ^и, 4 Упражнения 1, Найти рндианную меру угла, выражепнога в градусах: 1) 40'"; aj 120*5 3) 150“; 4] 75*; 5) 32*; б) И0“. 2. Найти градусную меру угла, выражепзого в ралжаннх: 1) 2) 3) f я; 4) 2; 5) 3; б) 0,36, 0 0 4 1 261 Радианнне мера угла 3f (Ут№|>) Оаредёлнть градусауп и радиаввую меры углов; а) ранаосторонйего треугольвикв; б) рпэпободрениого оря* моурольноп) 'Греугюлышкв: а) кв{!|Драта. 4» Вычи«лигь радиус окруятноств, веля дуге ДЛПБО]^ 0,36 н СсВИ?11е7ЧгтЕ)у1ет деотрал1.жый угол Р 0,9 рад. 5. Найти рвдиаяиую чору угля, который соотнететаует дуге он-ружнсмтгя дпиярЙ 3 см, если радиус йкрузйвости ралея 1,6 сч, Эл 6. Дуге кругмого сектора сосггввтствует угол в рад. Найти площадь сектора, если радиус круга равен t см, 7< Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора равна 6,26 см". Найти угол, который соответствует дуге етого Кругового сектора. Заполнять таблицу, Градусы О.й 36 15S 10В Радклвы Sit в Зтг 10 2,5 1,а 9; Зйполяить таблицу. Угчл. " 30 Угол, рад Л ъ 22 Радиус, см 2 to 5 Длывв Дуги, см 2 5 10 Площадь сектора, ей* SO 25 50 10, Вырадить S радиаиня доиолнсвис угла, равного 132°, до полного, 11, Залисатъ градусные и радивлпые чары утлое: 1) араймльно-го шестиугольника: 2) правильного лвека/щлтиуга|ц,Еика. 12, В равнобедренном треугольника угол при вершине в 2.5 раза меньше угла при основашт. Выразить углы треуголь* инка в градусной н радианной мерах. Углы треугольника относятси меяеду собой как 1;3:5. Выразить углы атого треуголытикц: 1) в долях прямого угла ({/); 2) в градусах; Э> в радианах. 262 Главй Vtlf ТрИгонОматрнчвекив формулы. § 2. Поворот точки вокруг начала координат в предыдущем параграфе использовал с и авглндныА епособ устаа-ОВЛРНИЛ соответетння между точками числа всё примоЁ и точиаш! окружЕюетя. Покпжам течврь, как можно уствиовить соответствие между действительвыив числами и точкдмл окружности с помощью поворота точки окружности. Раосвготрим иа координатной илрекоетц окружность радиуса 1 с цевтрон а начиде координат. Ес называют сдимыЧнаА акружностыо^ Введен аовлтие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угод а род, где а — дю-Соо действнтелднсж число. 1. Пусть а>0. Прещтоложнм, чти точка^ двигаясь по еди^ иичной окружности От точки PfL; 0} против часовой стрел-кНр прощда путь длиной п (рис. 104). Конечную точку пути обозначим М. В втом случае будем говорить, что точка М нолучена на точки Р поворотом вокруг наняли координат па угол а рад. 2. Пусть а<0. В этом случае поворот на угол о рад ониа-чат?, что движенне совершалось по часовой стрелке и точка пропита путь длиеоё ||п| {рис. 105). Поворот на О рад означает, что точка остается на месте. Рдсокотрин несколько примеров. 1) При повороте точки /’{1, О) на угол Y получается точка JU(0; 1) (рис, 106). 2) При повороте точки /•(I: 0) на угол - ^ рад получв- Л ртся точка Л/(0; -1) (рис, 10в). е г аез Поворог точки аокрут начала коорлрнат 3) При повороте Toqitn Pfl; 0) Зл На угол — рад получается точ* кл Я{0; -1) (рнс. 107>, При повороте точнн Р(1^ 0) на угол —я рад получается точкп L(-l; О) (рис. L07). Угол попорота ножно задавать как в градусвк. тдк и S радиолах, Например, поворот точки f (I; 0^ HR угол означает то же А самое, что и поворот на 270’’; по- j^opOT На — — это поворот па -90“. ^ Проиллюстрируем поноротм точки /*11: 0) па некоторие углы, выражепнио в родпанной и граду CUdli мерах (рнс, LOti). Отметим, что при повороте точки Р(1; О) ИЯ 2я, т. е. на 3fl0“, точка возвращается в пврвонв-чальпов положение (см. рис, ]0&). При повороте STOfi точки на — Йя, т. е. на — 3G0". она также возвращается в первопачадвипр положа иив. Теперь рассмотрим примеры больший 2л, и на угол, меньший угол точка совершает два полных оборота Против Рмс. \са поворотоп точки па угол, ■ 2х. Так, при повороте ыл 264 Гпваги will Тригпьшивгрич№кпе формулы ЧАСОВОЙ стрелки и еще проходит пзггь = (рис. 109). При nOJKJ’ роте на угод --^=-3-211-^ точка совершает два полвых <Ло- рота по часовой стрелке н есце проходит путь ^ в том же пн^ нралленин (рис. 110). Заиотнм, что при повороте точки Я(1; 0) па угол получается та же саман точка, что и при повороте аа угол £ (гм. рнс. 109). Вообще если u=H^-f-2jt*, где к— целое число, то при по-пороте точки /’(t; 0) на угол о иолу'1аетея та же самая to'iko, что и ори Повороте ва угол Каждому дейстаительиому числу а соответствует единствен пая точна едипнчвоД окружности, получаемая iiO№?pir том точки /’(1; 0) на угол d рад. Одной и той йЕЕ точке М едипичной окружвости соответствует бескопочяое ипон^сство дсйствятольпых чисел CL+ Йдй, гдв к — целое число, задающих поворот точки P(ll 0) S точку М (рнс. III). я) Рис, 1JI i я Э65 rioQQpOT тйчл^и йр1фуГ )Шншш координат Зядвча 1. Найти ноордмнаты точки, получешюй поноро-TDU Точки О) цв угол: U 7it; 2> 1) Тая кая Тцвп + гп-З, то при иоаороте яя 7я пплучаетеч: та же саиля точкЙ1 что и при повороте яа я. т. в. получаЕтсл ТОЧКА с координатами (-1; D). 3) Так как --у =-^ -2а. то ири повороте на — ™ шо- 1 М Ш1;0) V ^ А V ^ f'm- лг лу^1Д£тся та же самая точка, что и при повороте ва —т. е. £ получается точка с координатами (О; —1). Ответ. 1} (-11 0>; 2) (О: -Ц. Ч Задача 2. Записать все утдьт. на KDTopjJiT нужно повернуть точку {1; 0), чтобы в реоультвте получить точку ■jJ'- > Из прямоугольного треугольны' (са АОМ (рис. 112) следует, что угол АОМ равен т. е. один иа углов поворота равен Следовл- 0 тельио, асе углы, на которые нужно повернуть точку (I; 0), чтобы полушггъ точку ■!]< вьгражактгся так: ^ -1-Йя*, где k^Z. Ч нэмереянн углон ла практике Понятно об вэмерепнк углов известно на геометрии. За сднннду намерения углов принимают иекоторын определенный угол н е его помощью измеряют другие утлы. За едныицу иэмеревня углов можно принять любой угол. На нрактЕне уже более трех тысяч лет за единицу иаме- 1 которую нв- зывают градусом. 13 пчхнике ов единнду нэмерепия углов прн~ ыинают Полный угол, в мореплавании зн единнду пдмерення углов принимают румб, равный части полного угла. 3 Du ч ортилларии ЭЯ едияицу измерения углов принята — часть поя- 60 кого угла, которую называют большим делением угломера {0,(?1 часть большого деления угломере называют надым. делением угломера). В связи с раввытпвм техники появилась потребность из* учать круговые двнженмл, т. а. полороты на сколь угодно боль- рання углов арнынта чпсть прямого угла 266 Глава VIII Трюеномеирмчаскне фopJУIvлы mire угды, a также различные колеСателькые процессы, свнааа-уые с Крутовым двжэцеивам^ Возникла потребность в новой упиверсадьво'й единице иныарекна дуг и углов. Такой едишт-цей ох&аален радиан, 1Г^ Упражнения 14, Нлйти координаты ТОЧКИ единичной окружности, асдучен-ной TDOBopomir точки О) Ei-B угол; 1) 4к; 2> -|к1 3J -б,5к: 4> б) 6) -46^ Ни еднвнчной окружиоетн ооетронть точку, полученную □оворотом точки (1: О) на заданный угол {15—17), 15. Ц 2) 3' 4) т ■ 5 LB, Ц |i3a: а> - з> 4) - 17. 1> Ц-+2пк, freZ; 6) -Й2Б\ ~±Sn. 3) - ^ к-кЗттА. *е2. 18, Найти координаты td'ikk, аолученной покороток точки Р(1; 0) на авдвЕтиый угол: 1) Зп; 2) -Ха; 3,) 4) 5л; 5) 540*: 6) 810*, 19. Найти Координаты точки, яолучышой поБоротоы точки Р(1; О) на заданный угол 1> -^+2д*; 3) -“+3я*: 3> i^ + 2rcfr; 4) ~^ + 2т1к. Зи. Найти коордизшты точки, aaltyieuHOfl tioaoporuu to'ikh Р{1; 0) на шдаппый угол (k€Z): 1) |±ДТ j±it: 3) + 4) -it+7tfc. 21. НаЗтн нее угды, Ий которые нужно повернуть точку Р{1; 0>, чтобы'нсшучить точку е коордннйт&ми: 1М1: Oh 2) (-1; О); 3J (О; 1); 4) (О; - П, 22, Опродвдкть четверть, а которой расположена точки, полученная яозоротоы точки F(i; 0) на угол: 1) 1: 3) 2,75: 3) 3,10; 41 4,95. 23, Нойти число X, где 0^x<2it, н нитурдлъное число к, такие, чтобы выполнялось рапевстно u.!=jr-|-37th, если; 1) о =9,вл; 3) л = 2) а*7 ^ л; 4,0--^ л. S 2 367 Пойорат точки вокруг начала шюрдинат Нв вдныичвой окрудсыости рострожть полученную noHPpoTioH точки ^>(1; 0) не у™л: 1) 4,Бя; 5,Ьп; Я) -вл; 1) -7л. Й5* Н*Дти поррдинйты точки* полученно!^ aosopotoiri точки /*{1; 0} нв заланный угол {k^Z): 1) -^ + 3i;fc; 3) ^ + Яя*: 3) ~ + Zizki £ 4) - i- + 2як. 2 2Й, Знмнсать все углы* нв которые нужЕто aoBepnyTt точку Р(1; О), чтобы получить точку с координате ни: 37. Из наожества углов* выра^ксппык форнулой Qt=>(6/f — 1), ™ -У где ±1, ±2....икЁти: 1) канменъшк# роложитель- аый угол; 2) адимешъший по модулю угол* 3S. Каждый из следующих углов пролотАДЧТН н внде суммы ЗвО'А + а, где k^Z на — ЕтвотрнцАтельный угол, неаьшнй 360“: 1) 450*: 2) 1100>; 3>-Т00“; 4)-90“: 5)1440'*; 6) -1760". ЗР- Дне точки Л п В, пакодящнеся ну нротиаоиоложыых код-цак дканетра, начинают двигаться гю окружности в одном напредленкн* Точка А ь каждую нянуту DUKCbiaaeT дугу А 60®1 точка В — дугу а 4В*. 'lepea сколько минут после Ийчала диижения прОвзойдет первое, второе, к^е совпадение точек? iML Две точки Л и накодящпеся ИД конпдх вздииво tiepJiea-днку.тяриых диаметров окружности (рис. ИЗ), начинают одвовремонна дднгатьсл по окружыостн! точки А — по чдсоро!^ стрелке* oxincidKaA каждую минуту дугу в 30", точКА Д — протна часовой стрелки* описывая каждую ыя1гу-ту дугу в 35". Через сколько минут проняойддт первое, второе, А-е совпндвпис точек? 2S3 rn:;aai VIII трц|г01К№№тричес1сие формулы jt. Выразить руыб: 1) в гридусвх И нииутй^!; 2) а рдкнонах. ti2; Для пэшвревпя гсогра4|1гчсекой долготы MBtra упьтртбляют особую единицу, назыввоную часом^ Час додлчугы равев части оолыотч} угла ый иофорый ийнюрачиияется Зем- ля ЗД сутив. Один чвс. содержит ВО инн, п каждая нннутв содержит бЛ С- Выразить 1 ч^ 1 мип и 1 с долготы в градусах, минутах и секундах дуги. § 3. Оп|реАеление синуся, коси1нуса и тангенса угла в курсе геометрии были аледеиы понятия синуса, коспнуса и таЛЕгенса угла, выраженного в градусах. 9тот угол рассмит* ривалсн и промежутке от О' до 180°. Синус н косинус (троиа-содънрго угла определаютсН следующим обрваом (рис. IH}: 0П1РНАНЛНННН Симргсин угла а называется Ордината точки, лолученний полоротом точки О; вокруг начала коордпнат на угол а (обознаяаатся slo«>. Косин-усом угла о кязывается абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала коорднаит на угол « {обоаыачаетсн сова.), В зтня епрсделенннх угод а может нырожаться как а градусах, так и е радианах. Например, при повороте точки (1; 0) ял угол ^,Т, е, на угод 90°, подучается точка (0; 1). Ордина- ш ц та точки (0; 1) равна L, поэтому б1н = > точки равна 0, поэтому сов — “=СовЭ0“ sLd 90° = 1; абсцисса этой = 0. Заметим, что ири веденные инределсыня ей пуск и косинуса в случае, когда угол заключен в промежутке от 0“ до 1в0°* сов-ЯОдадот с опредаленжямм, и;зввстнымп ив курса геометрии. Задача 1. Найти aili(-Tr) К сов(^л). I Точка (1; 0} ори повороте на угол — я перейдет в точку f—li 0) (рис. 11&U Следовательно, ain(-;r) = 0, соз{-д)^ --1. < Задача 2. Найти sin 270° И С06 270-'', I Течка (1; 0) при понороте на угол 270* перейдет в точку (0: -1| (рис, 116). Следоааталвяо, соаЗТО*-= 0. в1лЙ70°=-1. Л □предепвние синуса, косинуса и тангенса утла НнпоиЁШМ. что 1не[}у углй q {в рв-диаввх) можно рвссматрив&ть как ле}(ствитальное число. Поэтому eixia к COSU мочено раосматрннлть как числовые выражеиия. НАоример. в уран-неннн где ы — аадоншю чис- ло, считается, что х — кензиестоое число. Задачи 3. Решить ураэненно einx—О. II Решить уравнение slnx^O —' это зннчит пяйтп оса углы, синус которык рапап нулю. Ординату, равную нулю, имеют две точки адниичной окружности Oi и (-LJ 0> (см, рис. 115J. Эти точки тголучйютса нд точки <1^ 0) аоворотом на утлы О, ч, 2к, Зл н т. д. Следовательно, sitir^O йрл х^кА, где k^Z, Зелача 4. Решить урвинёиие: ainx>=l; 2) coex^l, f;- ],) Ординату, рапную едивнпе, имеет точка (О; 1> единичной окружщнзтн. Этй точке получяетсй мл точки (1; 0> панаротом □ е углы ^+3пк, keZ, 2) ЛСсЕЩссу, ройную едипицв, имеет точка, нолучепноя НЭ точки (1; 0> иоиоротом на углы 2ик. k^Z. Ответ. 1} х=^-нЗлА, 2) x«2nfa, k^Z. ^ 0<1родел#нии Тангенсом угла а называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается t^a), Тцкны образом. tga* rnaoi flltl- Нянрямер: tg0' = ^^ = | = 0, tg^ =-----------J- ==«1- coeO’ I 4 гав - 2 В прсобразоввиилк иногда иопользуется иотвигенс угла и (обозначается ctg«), который оиределяетси формулой СПЙ0 CtgOtt alu а 270 Гйв1^а VIII Тригоеонетрнческие формулы Ыалрниер: ctg270'“ MS 270" iia 2TO" IT Vs ‘^“*4 a , ----":s“ * I* «in - 2 Отиетын, что н1п« и ооза (шрщ(«дсны для любого угла. а nil аыпчения яаключены от -1 до 1; 41д п см о йпр^ДЁдеы лишь длд тех утлой, для ирторыв co9d?^0, т. е, для любых углов, кроне а- J + xft, etga—ппредьлеы ЛИШЬ ДЛЯ тех £ ftiUCi углов, для которых т. в. для любых углов, кроне а = л*, fceZ* Задача G. Вычислить 4ain ^+\^сов ~-tg, 4Bin + VScoe ~ Т + ' “2,5* М В п А л А Упражнения 33. Отметить во единичной окружности точки, соответствую-щно числу а, если: 1) sinaxt; 2) sbia—O; 3) oosa^ —1^ 4) сояа —0; 5> sina--O,0; 6) aL]iii=U,5; 7] сое а-4-* а 34. Вычислить: 1) 2) в1п0-сс1в2д; 3) в1лп-1-в1н 1,5п; 4> в1пО + сов2п. 35. Найти значения сипуся и коеннусл числа |1. если; 1) р = 3яс 2) Р-4я: 3t р-Э,Бя: 4) Р = -^я: 5} Р-7Г*. *eZ; 6) р = (2*+1)д, *eZ* 4в Вычислить (Зв—37), Зв. 1) Sln3it-C0e^; Я) cDs0-cos3x-f сонЗ.Бд; С 3) яи1яЛ+соя 2п*, freZ! 4) - Bln , Л eZ* 37. 1) l^fl-l-cosx; 3) tgO^-LgieO"; 3) t^re+aiflrt; 4) соая-1*гЯя. 38. Найти авачсиие выражения: 1) ЗвШ|+2со8 J-ts J; 2) б Bin 4 ^ Т " ^ Т “ л ч 4 4 4 я * 3) (2tg|^lg|^) :еов^; 4) ain i э 271 Опредспечиа синуед, яосинуся и тинпеяса угла 39. Решить урляпоЕще: 1) 2ajnjT>=0; 2) — cosx=0: 3} созх—L«0; 4) 1-ainx —0. 40. ^ыловитЬ) ко^кет .пн sin а быть ривгым: 1) 0.040: 2> -0,8751 3) -V2; 4) 3 + V^. 41. На£ти апвченги1* выражения; 1) 0.5c й1п ^ Сов ^-ein ~ соя ~ 1 а) 3 tg:* ^-clg-^-aln i СОЙ 4 ч -Л D о D и < 43. Решить уравяаггне; 1)й1пдг^-1; 2> совх™=-1; 3) ппЗх-О; 4) сав0,5х»0; Б) sin + BjtJ - 1; 6J coa(5x + 4ir>-= 1. 44. Нсиользуя минроиальнулитор. про верить {ышепство: 1> 8111вС1”^'й.вбе? 2) СОЙ 45° = 0,707; Э> CCS— 1^0,906; □ 4) 8111-^=5 0,225, Lo 45. вычислить с ТОЧИОСТЬЮ- до 0.01, нспольяуд ЫИКрОКЙЛЬКУ' лятор; 1) сое 4.81; 2) сое45°12'; 31 сояп; 4) sinя. ^^6.j Выясаить. ЧТО больше; 1) ain20* НЛП ain20''-tg40°; 2) соз42° или oos42“-48®, Докапать, что всякая хордо единичной окружностп равпа удпооииону синусу ППЛОРИМЫ ЦОЫТраЛЬЕОГО угля, саотпет-ствующего ОТОЙ хорде. Сравнить с нулем разиосты 1> сов^Зtg*-ct^ 1; 2) tg 1-eiai^2coe-j]. § 4., Знаки синуса^ косинуса и тангенса L. Знаян снпуся н каеннуса, Пусть ТОЧКИ (I; 0} движется со вдиннчыон окружности оротнн чв1'.оной стрелки. Дли точек, надодящихсл н пераоЙ чет-яергн (квадранте), ординаты н абоцкесы положительны. Поэтому Й1П(1>3 п cOsa U. сеДв 00, сйва<0, есля ^<а<я, Лналопгчяо я третьей чет* верти sin о <0, совок о, а четвертой четверти вш а<0, сова>0 <рис. 11 118>, При дальнейшем движении тотки но окружло' оти дянии синуса н косныуса оиределяютг-н тем, я кокой ■гетверти окажстсп точка. Если точил {1: Q) движется но часовой стрелке, то анакн синуса и косииуса также оиределлютсн теК| в какой четверти окажется точка. Задача 1. Выяснять знаии синуса И косинуса у|'лв: 1) 21 T4S*; 3) 4 7 1) Углу ^ соответствует точка единичной окружнасти, 4 3it Э-jt респолозкеннпн во второй четверти. Поэтому sin — >0, сое — <0. 4 п 2) Так как 745°= 2* 360'-Ь 25°, ТО повороту точки (1; 0) на угол 745° соотнетствует Точка, расиоложекняя в перкой четвер-ТИч Поэтому gin74B“>0, сон 745“^ 0. С л м 3) Так как то При иоворото точки (1; 0) ил угол получается точки третьей четверти. Поэтому 7 ^ ...7 / 2, Знаки тлвгспса. По определению tgo.^ На II 1?0н а. . Поэтому Vgd>0, если я1п<х п C06U имеют одинаковые Знаки, и 1^о.<0, если к1ла и соя а )шс‘ ют прртипололожние анаки. Зивни тангенса в рналичлых чет-аертих тюка^ивы не ригуцке ПУ, 3ajta4fl 2, Пылснчть экдк таигенеп угла: И 260"; 2) 3. '1) Так ийк 180" < ЙйО" < 270*. то tg260“>0, И) Таи как 3 л, то 3 < 0, ^ S 4 йтз Экаин сикуса. косинуса и тангенса Упражнения 4,9. Быясялть. в какой четверге гяходктся точка, аолучекжвя поворотом точки Я(1; О) но угол а. если: 1) д- Зя 4 ' а) (i— 4 4) ц = 4,в. 50. Пусть 0<а<у. Выделять, в какой чатввртв находится точка, аалучеавая ооворотом точки 0} иа угол: 2) Я-Ч1 3) В1. Определять эввк числа в1пя, веля: = 3) Q —0.1я; 3) a-5.!i 52. 0[тределнть знак числа сова, если: 4) к- а. 4> а = -470“. t) И--л; Р 2) а = 4.в; 3} о = -&,Э; 4) 0 = ^150*. 53. ОвредЕмшть знак числа tga, веди: Ua=-^rt5 2) «=3.7: 31 «--1,3; 4) а-гез' 54. Определять зиакп чисод atna, соя а, tga, если: 1) п<а<^л; 2) ■“<а<^Йя; 4) 2и<а<2,5л. 55. Определить знаки чисел в1ь«. еов«, t|^a, если: 1) а=1; 2) « = Э; 3) а=-3,4; 4) «--1,3, 55. Пусть 0<а<^, Оаредепять знак числа: £ 1} aln^^-ttj: 2)сов^|+«^; 3) сев (а-я); 4) б) tgl[|-n-a^; 6) eintn-ttl. 57. Выдсш1ТЬ| каковы эыаки чисел elna, сова, t|;a, ctga, если: ■4 2 4 55, Пайти ЛБвчежкя углов а, здкдючеявых а промеж утке от О до 2я, эпакн синуса и косипуса ноторых совпадают; рвалич-пы. 5£. Остределить анак числа: 1) ein-^ein-—; 2) cofl^tos^: 3) Ф ч О п- 4 4 60. сравнить числа; 1} вшО,Т п ain4; 3) СОВ 1,3 и соаЗ.З, 61, Решить урааионие: 1) Bin(5n + л)-1; 2) co6="l,4; 3) eJnet-сова* 1,4. Может ли oLiia (сова), где я — угол иевоторого треугеяЬ' ника, быть отрицательвык? Е>1лн может, то н каком случае? 164.1 Может ли ain где а — угол некоторого треуголь- ника, {}ыт1р отрндатедьн1|ии? 66-1 Срнапнть с нулем: 1> ain соа5; 2) в1лЗ> ■сое2. § 5. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла Быясвам завясшаость между сннусоы в косинусам. Пусть точка М{Х1 у) един И ч нов окружности получена йо-аоротом точки (1; 0) па угол а (рис, 120), Тогда по ооредело-нкю синуса и косныуси х*сова, у=з1па. Точка М прниадлежжт едныичнов окружности, поэтому ее коорднваты С*1 У) удоелвтворявэт урвяиенил ж*-ну*-I, Следовательно, siti^a+coa’a* 1. (1} Равенство {1) выполнается прм любых значениях а и нагываетсл основным тригонометрическим тождеством. На равёыства (1) можно я1пи выразить через соьа, а сова выра-знть через aio а: sitia='±Vl —c Воспользуемся формулой (2). Тан как x0, поэтому в формуле* (3) пе- ред корнем нужно иосгтавнть зяпк <4-*: coso = Vl-eLn"a = \/l^4 V н 3 ВынЕожм теперь зрзнснностъ между тангенсом н натант'вв^ сом. По опрРДйяенпн] tfa« SSi, ctg я = ^ Поремножяя чо-- floea eina член по эти равенствд, подучаем tpa-ctg«=l. (4) И:< равепстнв (4) можно ныраэнть tKa через ctga и наоборот; ] tea = (5) (в)1 CtffCt=i -—-tga Ранегепщ {4)—(в> спрАведлнвм при kxZ, ■Задача 3. Вычислять ctga, если [> По формуле Гв) влходим Задача 4. Вычислить tga, если einu--0,3 и |> По формуле {3) находим сова. Тан как -^<а<а. то соаа<0. Поатому тоев*-VT-aln^u = -VI - 0,64 =—0.6. Следоаятельыо, lga= alnu сова 0,8 0.0 3 Используя осноаяое тригонометрическое тождестпо ч опре-ЛБлеине твнреиса. иайлеи мвисимоеть между тянгепсам и косинусом. Рвздеднк обе части ранепства ain''‘n-i-cus^n= 1 ин Эта ({юрмула верна, если сов и ^ О, т. е. iipn п;^^+яА, AeZ, Из нее можно выразить таигенс через косинус И косинус через тангенс. Задача 3. Вычислять tga, если сов = и |<сс^л. -1*^. ■ Из формулы (7) иодучаом tg^a = —-----1 '' и ' й? Тангенс во второй четмерти отрицателен, позтону ^ d 276 Гйае.Э1 V)ll Трнготметрнчеекие формулы A* Задача 6. Вычислить <№яы, если tga«*3 и я<(1< —. Из формулы (7) иалоднм соИа-------Ц:—= Тек кик Злг J +tff^a ID 1г-<:£1<-Т-, «I сййй<0 и позтому сояа--\'ОД. А j£ Упражнения Вилснить> «ожег лн сниус {кос анус} ирииьшвть эиаченир: 0 03- А- J-L- — АЗ.* S’ а ■ 13’ 11 ■ ' G7. Выясвить> могут ли одиолремеияо ашшднатъся радевства: 4 3 2J sLda==--И соеч=— о о ^2 ^ 1} й1п(1 = ^ и есва^-^; 3) й1да = -:^ “О 9 4) В1пй —0,2 и сояа = 0,В, 68. Вычислить; Э Л 1) aina, и ctga, если соба = —-р. и о 2 2) сова, t^B и etgcL, если ftina = —и W й (|9. По одному из даннь£Ж чисел й1па, cosctt Ьща. и cri^a ааити остцьнмв три: 1} cofid = ^ н 13 -За — flit ,3,) ct£B--3 я ^ и |<в<к: Й) sinti —0.8 я — x tff®Ci + ctg*a; Я) t^B-ctga; 3) t(f®a + ct^a. § 6. Тригонометрические тождества Задача 1. Доказать, что ары а:*яА, справедливо ра- немстьо l + etg^tt" л1л^ п. По определеншо ctg а - , н поэтому siJtd. а я1л^аЧ"Соа'а 1 +Ctg*a= 1 + ■ aiti*a aln^a Г>ти прео&рзаоввдня верны, ток как aina'^O при ai^nite, ^ Определенно РевевсТБа, справедливое: для всех допустимые значеыий входящнн Б него букв (т, е, такид, при которых его дендя н правая части имеют сниол), называют тоясОестаом^ а ааддчн па докяэдтеДЕЛТао такнк рпаенств называют задача' «н на докАзательстйо тождеств. Обычно при докаяательспч' тригонометрических тождеств или при упрощении выражений лоиустмые зпачекын углов ые устаиакливают, если ато не требуется в услоанн задл'чи. Задача 2. Донпэать тождество сов*а»(1-я1па)(1+ щп а), t> tt-Bin дК1+gjji ц) = 1-aln^a = co0*a. ^ соаа 1 +я1па Звдвча 3. Доказать тождество 1 -bLdu Покажем, = co9^'ct-Bio‘‘(i, l+lg^a ■ Btn“a оов^а + вш*я * ^ 1 QDfi* Cl eoa^ tt—flla* u.—(coe* a - sin* а){сов^ a -l-aiii^ a) = cos“ot - sin-' a. Тождество доказаво, так как его левая и правая части рав' ны соа^(1-в1п*а. ^ Задачя б. Упростить вырал1евне ^ 1^И + [1(,Да I зшасоэа tjo+pt^rt lina ^ июа я1я^[1+«№*а ссаа Bin в ■•Binact»а. -4 Упражнений "Ув. Доказать тождество; J) (1—сова}(1+cofift)=-sIn®rai 2> (1-alnaHl+aina) = coa‘ct; 4) 5) ^-Ц-+в]П*№^1; 1+1(*Й 79. Упростить выражение: 1) сов п • а 2alria; 31 «м-^а =ctg*o; в) 1 + (1 +сов*а = 1. oin^a 1-1-соза ’ 2] сов а-Bin а-ctf а» ^ ^ оов^ н 4J X J Ь 1-Я1ПЧ 80. Упростить выражение и найти его эввчснис: ,, ain* а -1 я 11 -----J- при а=-; 1 - «и а * Й) cos’* О + с tg* а fain* а ори 3) ■ ^д-^1 При 0 = 4* ойа* о 3 4) coe*tt+tg^actd^a-faiji“a При а-=4' « 6 27Э Тригамомотрнческуе тождества 81- Доказать тождоотво; 1) (1-ein^ccKl 2> ein*ot(l+ctf“tt)-c(M®tt=elii®a, 82. Упростить вирансекие: 1) {1+ tg*u)cjoB*a-1; 2) 1-ain‘'a Тогда ось Ох делвт угол JWj£?Afj пополан, н поэтоиу точки Afj н Mj, симметричны откос нтсль но оси Ох. Абсциссы этих тпчек соппядпк>т, в ординаты отличентсн только анаками. Точка М, И№ё«т координаты (соаа; sin а), точка нысст координаты (соз{~а); sin (—□)). Следовательно■ sin(—а>——siHO, (1) саа(—a)'meDea. (2} Используй определение тангенса, подучаем aja (-а) -sLaet tg (- н) ■ сш<-ц') соао = -1Яа. (3> Формулы (1)’^(2) Справедливы при л1о6ых н, а формула (Э) — при kiZ. Можно показать, что если k€Z, то ctg(-o)=-clge. Формулы (I)—(2) позволяют сводить вычисление эндчени!) синуса, косинуса и тан геисл отрицптельных угдоа к вычислению на аначеный для положительных углов, Нлпрннер, •и .т|—1. «.,{-5). “=7- J Упражнения 92. ИЗычнслитъ; 3> ссм(- а> + ^ J - alnf- у (“ ^) 1 93. Упростить выражение: 1) tg{-n)coea-Hainaf 2} coett-ctff«8in(-dl; 2В1 Синус, косинус и такгаис угле* la и -и 6 3) g'jpt tg<-a)ctff(-aKooe^{-«)+Silica* cQfl* d^bltb^a )}4^ Выч.гсллть: 1> l>™(-|)+siB(-j) a) V3aln(-j)-2ctg(-j) + 4c«(-|ft). 9&. Уоросгигь оыраясеуме: 1> Bln* ( - Ц) + )* 1 -eitt(^a)cM {^a) 96. Дока;м1ть тоясдество: Diicosaein reit-^a) ■(! + ctg^(-a))‘=ctg(-a): 1-я<л*(-а) дш^а-аю ^ C(M(4b-OJ 1-йой^(-ц> Я7. Решжтъ уравяважв: L) aiii(-x)»l; 2) со«(-гх)-0; Э) cdb(-Sz)" 1; 4> вт{—ax>«0; Э) co&^(=x>+flln(-x) = 2"-eiii*x; 6) 1 - sib* (—x) +СОЙ (4re -x) »= coh(x^ 2)г), 98, Может ли синус отрицательного угла быть числом оодожн' тельвым? Привести пример. 99. Сравнить с нулем: 1) sin(^nO*)c{)a(-UO’)tg(- ПО"): Й) sin(~4)coa(-5)tg<-1). § 8. Формулы сложении Формулами СЛОЖеыил aaaliiBBioT формулы, выражашцие еов{а±3) н в1й.{а±Р) через синусы в косинусы углов о. и Тиарвмв Для любых U и р свравещлвво равенство «(«(ац-р^зеовасонр-аЫ asin р. <П ^^1 Пусть точки ЛГ^, М_ц н получены поворотом точки JVfg(li 0} Ий углы а, - ^ и п-нр ооответстаннно (рис. 122). □о оорвдаленяЕэ синуса и косинуса отп точки имеют сле-дун>[цис координаты; M^(coeot; elna>, M_|j(coe(-p): ain{-p>), M^^^{coe{ct + p): В1п(а4р», aaz rrtllllB vui Трилэномятричоскна формулы Таи как та ражво^едрсвпые тре- угддьникк н М^^ОМ^ раваы значат, раввы их осньваваи и М_^М^, Сдгедрнлтелъцр, — Исоользуя формулу расстоввия между двумя тсичками, подучаем (I -coetct+p))® +(- шпСа + Р))® Hcoat- p>-coaoi)^ + (eln (- p)-sinft)*. Праобрдэуем зто равенспю, испвльауя формулы (1) в {£) из § Т: 1 -2 сов («-|-р)+со9*(а+р) + 81л*{с1 + Р)^ = сое® р - 2 сое рсов а + сов® а + sin* р + + 2а1п pain a+eln‘ cu ЙСЕЮЛЬэуя основное тригономет-рнгческое тождество, получаем 2^2со8(а+Р)= » 2- 2сов а сов р + 2ain nein Р, откуда еов<<*-1- р> =совасов р - ain а em р. что н требовалось доказать • Рис. 122 Задача 1. Вычислять сое Тб**, I По формуле (L) вакодим соя 75“='C^^&t45* + ЭO*)-coя45*coнЭO'“- ;^ ^ , 1 _ у^-Уа ^ 3 ■ “ ‘ “ L / \\W, V ^ \ \ 7 X -flinlS-Bin 30”’ газ 4 Заменяв в формуле [1) Р па -р, получим сое fa - р) “ coeacoaf - Р) -ain а в1п (— Р), coefa-p)—сое асов Р + й1п aeln р. (2> Задача И, Вычислить cos 16", По формуле (2) получаем сое 1Б"-мв(45" ^ 30°) =сое45°еав30" + Bin 45* sin 30'^» V2 уэ , \/2 1 VS^+V2 ^ 2 2 2 2 4 Задача 8. Доказать формулы сов (^-а)” etna, ein^-^-aj-сова. (S) При av~ по формуле (2) получаем 4 сов^у-pj-coe^ совр + щп ~einp-eltip. т. е, coe(i-p) = aitip, (4) 4 3 2вЭ Формул)^ сложения Заметив в этой форкулр р Нй а, иолучжм соа^^-(jtj = aiiia. Полагал л фаркулб (4) р=-^-а, иыесч eln^-^-aJ-coea. ^ Используя форп^улы (I)—(3), вшюдеи фариулк СЛижевил для CHRycfl: sin(a +р>“ки^'^-((х+P|^J = cos “сов^^ -aJoQs(l + siii^-^ — a^9inp«Ejnaco8 р + eoausliijj, (5) ftiti <а н- p)~aii] а с 08 ^ + С4М aula р. Заменяя в формуле (Б) р на -Р, получиен ail) Са - Р) = sin а сов (- р>+сое а б1л{- р), лт (а—p) = BinacD!iP~eoj}cieiti р» Задача 4. Вмяислить alA210°. т BioаЮ” = Bin (1вО“ + 30") = sin 130"cos30“ + cos 180“sin 30" ■ Задача 5* Выстелить sin “ cos — — ain — cos —, -------- 7 7 7 7 ain ^COH A_ain ^ (j_ щ Задача 6. Доказать равенство 1-tsatgp (T) вавтр „ I> te(a + P)= - числитель и знаменатель последней дроОн нв праалвеяение сов псов р, получим формулу (7), Формула (7) MOjKer Сыть полезна при аичнсленмвд, Например. tff325"-4r(180’4l5“)=i£^±^^=l.|—1 Упражнение 100. С помощью формул слолевнин вычислвтъ: 1> сое 135»; а> coal 20“: 3} cos 150“; 4) сое 240“. lot. Найти значение выраженид; 1) сое57®30408 2 7"30’ -t-sin 57“30'зш27°Э0 ; 2) соэ 19< 30‘ еов2Б"30’ -sin 19“3(Vam2fi“30'; 3) сов.^15о»^-в111^щд1^: У Ив 4> cos ^соа Y -Hein ~ sin 284 ![ 11 ■ F L “I ^111 Тригонометрические формул!^ 102. Вычислить: 1) cQsf'i+ix], если sina—n ОсаС'^; г a / \.'3 Я 2) если coBft=—^ и ^<а^и, 103. Упростить иыряжеине: 1J сов да соя а-sinа в1п За; 2) сое 5р сои 2]3 + а|п Sp ein S^l 3> сон^у +aj-3lji(a-pi: 3) coB^y-a^ Blnf i-pj-Bin(a-P); 41 sin (« 4- p) + eLn - я J Bin (' PI, ЙЛ . 2 ' 107. Вычислить COB (a 4-PI H coe{a—P), если sitia*—^re “"Та* ’'^Р^Т* lOO. Вычислить tg(aH-p), если eiiJO*4i ■5<н<ч, ц совр--^, а о « 1-Т ■|- 1<рс2л. 110. Упростить ВЫрЛЗАЕ-ЛНС:; 1) спв(а-р1'|-соа{а4-Р); 2) сов^~+aJcoa^~-aj + ”sin*[i; 3) сов За-I-sin u sin 2а; 4} cofl2a-coaacos3a. § a 235 Формулы слйжеКнп 111. Донаддтъ 1Ч)зндмт8ь: ^ я1л(о+Р) ^ tgo+tgP . g ctga etgfi+l. 112. 1> 3) 3) cee^'^ + aj Выч1тсл11ть {112—lid). tggy + teai* “{cos a-Sira): 4| a atnqtinp i-tgas'tgai*' H-tgio*tjfSv £) *) . le" i-tei3*tgi7' tglT" + t^I3* ' lid. 1) t£(a + P), ВСЛН tga--“ н tgft>-2,4; “ Л 2) ct#(a-[)), «ЛЧ etffa = 4 ii ctgp~-l. 114.УПГрастить выражение Blc(j+a)-o«(j+a) 115. УнрМТйТЬ выражение: 1) б1нйс(Ж2а+81а2асава{ S) аДцб|)сдаЗр~41пЭрС0&б().. 116. Решить ураннвЕне: t) соввлгсой&лг + й1нб£аш 1; 2) 8Ш Эл:сйбйх-в1Е5хсойЗ£-~1; 3) l/3cQs(^ 4-дг^^соях-1: 4) +ain|--l. Упростить выражеане {117—118). 117 1) M5±l£P. 3) L-ftgatgP _ 1-lf atg^ ' sLn 2u-ctf a. 4) сйй~-с1^у 8) сое 2a—f' ~ 3) sln6p'CtffSaccos6 Зала'1№ ti Выделять sin 2a, если sina- -0,e и ir сова = - 1,2 сов a. 3lc Таи как 4 2сов2о -■| tg2a. М Задача 4, Вычислить tfi;2o, если tga- Полагал в формуле tg<« + |J)^ tyo+tjp ^ р-а, 1—tSdtgp лучаем 1^2а~ -^5L-. l-tg*e {3) При no формуле (3> ЫйДОДНК tgSCf ^Задачи 5, Вычислить вкпЗа, если eina~—, --------' ч Bin За ■= ain {а-»- 2a)=ein ctcos 2а + сое а aiп 2а ^sina (соа* а- вШ^'а) + сова 2 aln асоаа =ат а сое® а- ein* а 4 2eLn асов^ а т Й 9 267 Синус, косинус и ганпонс двойного угла ч 3 sin асо8^ (I -ain* tt= 3 вш a (1 - ain® rj)—sin* a =3 eln a—4 eiji'a* ~вша<3-4й1п^а). При aiU(jt=— ildJiy4fieH Hin3a«* i fS —^ ^^1 4 T \ 4 / 10 Упражиенив Виразять сияус, коснну-с нля ^ангвис, ивлольв^я формулы двойщзго угла (121—122). 121. 1) а1р4в“; 0) САВ 1^4% 3) 4) sin ^; S) cqa^. Э 3 1ЙЙ, 1) 8in(|+tt)i 2)Bln(^ + p)^ 3) 4) eoa^^ + ftj; 5) в1пя; в) сова. Вчицсллть* не нспольвуя квлЕ^кулятрра (123—1££), 123. 1} 2alnl5».cQ6lS*i 2) сой* 1Б°-в1пП5': 3> i-t^® le*’ 4) (coe7S"-sln75°)*. 124, 1) 2 aln 4 ' cos 4 \ В В 2J cos^ 4 4* 3) Я f-(cos 1 +Bill 1)4 125. 1) 3flin T6"'C0ST5“; 2) cos*75^-sin®7S”; 3> tg® 22*30'’ 1 ' tgas-ao' ' 1 -14® 75^ * 12В. Выстелить я1п2а, если: 1) sintj—н ^<:а<л; 2) сова»—i и и<ц< —. 127. Вьгчислить соа2а, если; 1) сово=—t 2) ипа»-—, о о 1Z8. Вычислить tgZiU «ли Iff и«=0,5. Улростить выражение (129—130). 129, 1) 2cos40'’'Coa50“^ 2) 2 8ln 25“ • eln 65°^ 3) sin 2a + (eina-t;oan)*; 4J coa4n: + elii* 2a. 130. 1) atii2a (sJnu + coda)^-! : 2) 1 + cop 2я 1-cos 2d 131. Доказать тозкдество: IJ sinЙи = (Bina +саза)®-1: 3) coB^a—ain*o*=C(je2(i; 2) (sina-toe(i)““ 1-aln2a; 4) 2сов®а-сйв2а* 1, 2S8 ГгчГ'Ва '.'ll! Тршпнпывггршчвские формулы |ЗЙ. Вичисднть ^2а, ес^п: 1) aina+coaa — ii 2> sina-cofla=— 2 3 laa. Дoкaэatь тй»сд1№ТВо; сов 2d и ^ - ctga-: й1л acosu-biln а 3) +со«2а)"в1п2щ (l-acw®a)tEeLu*a^I) 2) eina-etn я 4) + .cteu-l; 1 +cofl 2a яш2а 5) 4ein^ aw** к a) l-2aiD*(i-|) = elno« 7) - 134. Доказать тояаддагио « аий a Н1па+в1л2а + теея+15ря2ц 2 V20tn я1л2ь ' -tea. я1ии.(1 + tea) 135. Решить уралвенис: 1) ain2;r-2co9J(=0; 2) coeax + ain^i—1; 3) 4coai—я1й2л; 4) вш^х--сов2х: 5) в1л-сов4+ ' 2 2 2 t33> Упроствть ныраясепве: 1) 5) сое* ” —aln* 1 +МПЙЯ , gj lcoB0.76ji-»l40,75р)* (Ain Q +coeu)* l-einl,53 ГЭ7. ДовА9а1п1 тождеотао; L) СОЙ-'сое ^-0.35: 2) 8соа 10° •«>e20“*0(№40''-ctelO“i й & 3) 1всоа20°-соа40°*с*й65''соавО*-1^ 41 t(ra +.2te2a + 4 te4u + 8tg'8« + teteiea+32ete32a = ctett; 51 ^ a 6) атЗиз1д®а + сааЭа.'(?ов^а=сай* 2«. сова £ (1.38- Докалать: 1) aiitia*- v'fi-1 ; 2) tg*3e‘ tg=72*-5. § 10. Синус, косинус и тангенс половинного угла известным авнчЁНЁНМ я)па и ccwct можно найти зиач«^ ния в1п^, flos-^ н если известно, р какой четверти ле^ » А м HtHT угол а. 5 10 гз9 Синус, косинус и тангенс половинного ута Иа фариулы соийт-еов*я-&1п*х иря получаем 4 О- •• 0 А cosa» » - scn^ ^» £ i Запишем освовпоа трцговомеп^ическсн тождество в внде а> 1 ^ соя* ^ + sin^ ^ * 2 2 (Я) Складывая равенства (1) а (2) я в»чнтая ив равааства (2) равевство (1), получаем соответственно I+совя*^Йсое* ^ fa), Л 1 ^совая 2в1п*^ (4). Формулы (3) в (4) моясяо записать так: (5). 2 2 (6). ""f ” "*f Формулы (5> я (6) HnfnjBBBig формулами снвуса я косинуса полавннаого угла. Иногда их паэывйит также форлц/лами понижения степени. Если изяесте1Т сова, то ПЗ формул (5) и (6> можно найтк . Знаки sinи сов-^ могут быть опрадолеяы« j£ й если нзвество, в какоО четверти лежит угол ^двча 1. Вычислить cos^. еолн С09а»-0,0£ я 0<а<я. ||= По формуле (6} qoB* I - 1+^ - -0.49, Л Z Z Так как 0<скх, тоО<^С'~ и поэтому cos^>0, Следо* ввтедъног сое у =*VO.49- 0,7, ^ Радделнв равенство (6) на рааепство (&)> получим формулу твнтепсп полови нвого угла .д1 Д _ l-papo * 2 iH^coea' f7) Задача 2. Вычислить ^в^■, если спаяст0,8 н Jt2со9^ЛЕ, та дойное уреввение црив1ет вид ZnQ»^аткудв CDBxfcoaJt —1)^0, 1) соях—О, X—Y + fteZ; 2) совх=1ф г-Йчл, пб^. Итак, исходное уравнение hmihit дне серин корней: +*й, ft^Z, н x — Zzn, n^Z, В ответе шоисно записывать обе серии с одной буквой (* нли п) так: x=-i+n*, D ^^аданв S. Выразить в1аа, сова и tfa через tg 2’ 1J eina=eln^2' = 2^111 ^сову — 2sln —«н^ 2 2 а 1 ^ ЗИПуМВу 2} соаа“С08^2* yJ|=coe^ у-В1Л* у ——-—^------■ соа*|-вЮ*| 3) = ^ ^ 2 Bid (Х: 2Сй| 1-1й iSi СП9« = .+.^f tga* .-v| По формулам но задачи 5 моясво находить снвус, косинус И тангенс утла а, зная тянгенс yrJia —. 1--1 1 ВД гэ1 Синус, косинус и тннганс пй1ювиннк1го угла Упражнений BidpesHTb квядрат стшуся (косинуса) заданного угла черна косинус двойного угла: 1) а1л*15*; 2) qoc*“: 3) сов®^^—aj; 4) flLn^^^_+aJ. 140< Найти числовое значение ныражожваг: 1) 2 СОЙ® ^ -1: fi 3) ^+2ein^L5“: Л 2} 4) -^+2cos^lb^. 141, Пусть сойц-=0,6 и 0<а«:—. Вычнолить: 1> Bin|; 2) соа|; 3) t«|i 4) ctg|. 142. Пусть b1d 2eJji*f1-иЬ a; 31 3-4сов2а +сав4и 3-г4сса2а+сов4а ' 14(i. 1) lz^,ctga=l: 4) J+amaa+cogga ^ ^ 1+й1д2(1-ии2я 3) sin Йа 1—2в!Л*я i-ign _ 2> 7=ir^_“tg«! 4) t+aiB^o 1 + tga 147. Упростить выражеине: 1) Зв1п*^^-ц^4а1п2а; 2) 2coB®^^-’Cij-ain 2fi. Ы8, Доказать, что если 0<а<-^т то VT+shTa—VI —Bina«2aiu ^, £ 1+4а« За 1 +ain2a flow 2а -te(|+a). 292 ГлпПг! ТрИП}НОМНТрИЧВС)<И0 ttMpjurVnbJ 14S. Упростить вырвжЁииЁ HWp, Решить уруш^ние; 1) 1 -«O0x=2ein £ 1 + caex«i2coB-i; 3) 1+coa^=2sin(4-^l: 1+floe8x-2Me4x; Л V 4 2 / 5) Яаш“|' + |-и1пгг--1; 6) 2eofl*r-ifilJi4x= 1 2 IM. Выяснить, существует ли такой угол а, что: 1) -cos* о - сое* Яй‘* *«соз* (45‘*— и.) - i ain 2а; 2) в1п*^Чй“-у J+ ^ ein о = соа* + ооа 130". 152. Даквзнть тождество: 1 +СаЗП + СПя2д + СиааС (;|дд* dl±t 2а+2з1пс.ем2а ' 2^ t-gU д-свд jg + fllaSct ^ aln 2а + Йсййьслййи * §11. Формулы приведении Тнйлшиы^эывчЁЯИЙ синуса* косинуса* тангенса и котаиген-ея составланэтся длл углоп от 0" да 90"' ^илн от 0 до yj. Эго объясняется тем, что нх значения для остальных углов сводятся к аначаииям для острых углов. Задана 1. Вычислить я1лВ70" И сОВвТО^. > Заметим, что 870°= 2* В60“-е150"'. Следоаательпо* при повороте точнн Р(1* 0) вокруг начала координат ва 870° точна совершит два полных ойрота и еще повернется на угол 150°* т* О. ролучитея та же самая точка М* что и при пивороте ыа 150° (рно. 133), Поэтому вднйТ0*«я1п 150°, сов870° = соз 150°. i I' 203 формулы праведонив Построим точку Л/|f симметрмчиую точке М отвоснте-пьао оси Oif (рве. 1^4). Ордыйаты точек М в одяпаковм, Я яСс- йхютнвооолйжиые ввела. Поэтому sin 1БСГ — ain 30‘ = \/в. ^ а ' ЦИСОЫ — cosiw^ сое 30*^=- Ответ. Bill870* = совв70“—™. ч, При potoe-uiTH аадйчн 1 исполыюввлнсь равеыстаа 3in{2*3e0*4-150*) = ainl5O”, сои(2 3б0"н-150“)-соа 150% (1) Bin(lS0*'-30*>=eln30% сое(180°-Э0“)--сск30% (2) Равенства (1) верны, твк как при оовароте точки Р(1; 0} 11й ук»л 01 + 2нА, k^Z, получвятсл тя же самая точка, что в ори воБореэте на угол «, Следовательно, aephiii формулы sinBsma, eoa(ii+2]|A)^C0Ba, fteZ. f3) Равваотяе (2) йаляются чвстжыня случлями формул 0ln(it—ix)=aina, сов{и—а)—-соаа, (4) Докажем формулу в1п(а-а)=в1оа. I Прнмелле формулу сложення ДлН снкуса, ролучвем BLD(H-a)-ainлсова-создн1я1х=0'сова~{- 1) вдла«ята,# Аналогично донпэыравтся и втирав на формул (4), которые НВВЫВВЛ1Т формулами. npU^tSeHiiH. Формулами нриведелия для евкуаа нязыяяют следующие Епесть-форнул: BID ( J “ (*] *= в1л (я—а)ка1аст, ain (^ - «1 =—costa, Bin (IH + «1 кСОВО. sLq (л+а) = - aln О, Bin(^ + а) :=-«(№«> (&> Пяедукмцнв шесть формул рлаывяют формулами приведения ДЛн косивуса; cos(^-«} с<№(л-а>« I аша, соя сов[ '^ - о.) -“Slna, coe(-j + aj =^8ina, cos (a-I- □)« —coflo., coe^^ + a) (6) Формулы (5) H (6> справедливы при любых зиаченнял а. .Задача Й- Вычислять sin 930“, > Иерольнуд первую нз формул <Э), получаем 81л 930' = alii (3 ■ 360“ -150*) ^ aia(-160'), По формуле в1п(-а>=—яша по.чучим ain(-l&0') = -eLti 150“. По формуле (4) ввлодим ^eio 1б0“=^яш(1в0“-30'*)—б1н30' = -^. 4 294 Г'^апа VI1H Тригсжаматричвс1;иа форму^^ы Задача 3, Вычислить cog COS- 1Ъч ■ ем^4*- ^ J=eoe^ — ^^=cos noKaHtc-nf т€лерь, кап можно свеспг нычислеиие тавгенсв любого утлд к яычиЕ1Еанн]с тантенсл острого угла. Заметим, что на формул (3) н определен па тангенса следует равенство tg(u + 2nAe) = tfа, kiZ. Используя ато рйвевство н формулы (4), получаем te(a+Ti)= tg (ц + я-2я) = 1в —ема Рсч(д-(Х) -tga. Следовательпи, справедливА формула tg(a+nJk)=t^a, k^Z, (7) fS) Аналогично доказывается формула ctg(a-t-ic№)Bctga, AEZ. Следующие Четыре формулы называют формулами стриве' деыия для тангенса и Котангенса: lg:(^-те) =-ctga, tg^|-a^™ctgd. ctg(^ + a] ^-tga. ttg(j-a)-tgo, Формулы (3) справедливы прп всех допустимых значений X Ct. Заднчв 4. Вычислить: L) 2) 1) lef —Vsi Формулы tipHведения для синуса н косинуса допазывапт-ся с помощью формул сложения аналогично точу, пак доказана первая из формул {4). Формулы (D) можно получить из формул (5) н fS), Зная, что = сева Формулы прцаёЗения эипомииать леобязательый. Для того чтобы записать любую из имх:, можно руководствоаагъсл следующими аранидами: 1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часгь цри условии 0<о<-~, •й 2) Если и левой частя формулы угол равен ИЛИ Зи ^ — ±а, то синус заменяется на косинус, косинус — аа СН’ нус, тавгечс “ на котангенс и котангенс — на тангенс. Ес-лй угол рааеи ff±«, то замены не пропегоднт. м 295 Формулы приведения liaitps^p, йокажем, как с ионощыо зтнх [1рйА1тл можно получить формулу пр1гвдден111з для сов^^+«^. По аервону trpa-внлу э правой чвстн формулк чужно поставить эвак <-», так как е<У1и 0<и<^,то --с^ + екл, а косинус ао второй петвор- Д Д 4 ТИ атрщцателва^ По второму правилу косшжус нужно эвменить вд скнус. следовательно. cos^-~+ aj—-ainti. Итак, формулы (-3), (7) н формулы пртшддринд поаводншт св№гн вычисленнв синуса, косинуса, тангенса и котангепса лю-ficro угла И. аычнелению их энавевнйГ для острого угла- Упражнения 153. Найти значение острого угла а, при котором вьшолияатоя равенство: 1) ein 150°ча1пСЭ0*'1-а}; Z) соа310"—соа^270“ + п); 3) = ctg^x=ctfi(Z;t-a). Вычислить с помощью формул прнщдвншв (154—)3б), 154. 1) coBieO^ Е) Bin 135*; 3)ctgl35*; 4) cos 120*; 6) сое а35*! в) sin 210*! 7}clj240*i в} я1п315*. 155. 1) te-^; 2} 3) Сов 4) etg^; 5) eln(-^); fl) сов(-^); Т) 8> 166. 1) 2} 157. 1>. 2) Упростить выражение (156'—157), и] -tgtn + а}+ coetl + n) Hia(n-a) + MH^i+aJ +ctg(*-a) e:(£(2ic—a) aln(n-|-[i) а1л"{я + a) 4 ain^ Doa (f*“) 156. Вычислить: l)einll'40“; 2) coaB40*; 4) cos — i 4 Глада VK( Трипэнйчвтри^ские Ф0|31и|улы 159. Найти анач«вк9 рнраж«ш1я: - U см630°-в1п t470‘-ct«:U25“; 2) t^l800^-fll.n496'’ + cos945^ 3) 3cos3660“+ain(-lC60’^) + C(iB(-450*’}; 4) eoe 4455" - eoe(- 945°) + tff J03S" - ctjg:(~ 1500"). 160. Вычислить: 1, ,26* .„lOn, 9> зш(-7те)-2ссв -Iff 3 -4 4} со8(-9яН-2я1п^-J-ctff J. Доказать тоясдество (161—162). 161. 1} ain^^+ dtJ-co9^^2) cos^-|--a^-aia^J^+ aj = 0: и1п[^^-а] ctgf|^+a) 3) ---------- • -------- ■=-s\Jift, 162. 1) ain^^+ a^ = -aiti +ftji 3) +aj--sin^^-aj: 3) соя^™-^ J=-eofl^^+nJ: A) «M(a-“]-*co®^a+^y 163. Вычислить (+ яшш'* WcMary w' I - ■ ctff^ &SO°) 'iMB^aaO’ eoe 1590" Д sin 640" aia400°/' 164. Доказать, что iсинус суиыы двух выутрацинх углон тре- ___угольвнка ранен свцусу ого третьего угла. 1бй.1 Дано А, .В и С “ углы треугольника. Доказнть, что: А + В ___ С, .^/А , Н\ .„С. 1) 8ln 3) соя [А+ S) — -соя С, 1^.| Косниус одного на углов равен -0,В. Кайтв синус, носи____^ вус п тпншис сысжного с ним угла. 1167.] Реагнть ураапечне; 1) ooB^i-xj » 1: 2) Hin^^ + xJ = l; 3) сов (г - rt)s= 0; 4) siu^x-—1. б) 311Н2г + Зя)нш|зх + J^aiii3xcofl 2д = -* li 6) slrt^5x--^i]ie(M(2x + 4fl)-0in (Sx + re)sin 2*-0. } IT 297 Формупы ариеоде-аил 16в.| Опр^елить cD3;i:, если gin ^^4 2я1п ^ =aiiil^i+^ J, 11вв. Доказать, вичьслбянв значений синуса, косниу-сн н тангенса любого угла можно свести к вьптслению ил значений для угла, лохлюнеяБОГО в промежутке от О до § 12, Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов Задача 1, Уироотнть виражеыие (elo(a4-;^)4Hli.(^--i))flin^. [: Исаолъауя формулы сложения и формулу синуса двойного угла, иалучаем 4coeaaiD “ + 8in нсо«-^ -coeofiln )oin — -12 12 12 / 13 — 2 ain а сое Bin = eiJi а Bin ^ — = ain а. ^ 1А J С в 2 Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу суммы свнусов: Bin a+einpD Esinсон ц) 2 £г с поыощыр этой формулы волучаем Г' Обозначим Д-^Ё. 2 || am 2 ajn etcoa eln — ып и. Док алеем теперь справедливость формулы (1>. ^^-у. Тогда л4у = в, г-^^ = р. н поэтому eina +stn p^0in(*4y) + eln(jf-y)=siTi j:oosy4cosj:alnp4 + в1пжсаву-соал81пу = 2smxcosy=2aln its. сое .2^^ , ^ '22 Наряду c формулой (1) используотсл формула paaHOCTif синусов, a также формулы суммы и рааиости косинусов: sip а-в1п Р = 2нш сойв 4 сов В — 2сов |<4fi а а сояа —сойР = —2sin sin — —^. а+а сое -~г-, (2) (3) 2 2 ' 1^^Форыулы (3) Ц (■!) доказываются аналогично тому, как рвя ее доказывались формула (I); формула <2> получяптся ии формулы fl) заменой ^ л а 2эа I' rtflni “r^llill ТрИ1^НОМ9трИЧвСК11в формулы Задача Вычасттать д1л7б'^ + сов 75^. в1д ТЭ^ + Я!!! 1 V3 V5 Т^-“ _1_ 1 Л* 7^^ 1 Ч" ein Гб’+ сое76*-в1д T5'' + Hinl5'*-r2ain ■4-- соя ■■ ■■■■■ = 2 БШ 45" ccjg 30“ ■ 2 - лил Задача 3. Прес^раэо&ать в сроызгад^пяе 2aina+V3. ав1П<х +V3 = 2^eina4- “ 2^аща + в1ц -- j - Задача 4. Доказать, что ниимеЕьшее ааачевве выраясеанн aina+coBji ровДй -V^, а ЫйвбОЛЬШёЁ' равыо V^. [> Преобразуем даяное выражение в проиэведеиие; elnft+coeft-elnoH-atn-aj^2ain -■ сов^о:- - ~ J. Так как нанжекыиее аыачекие кос-ивуса равно т^1г й ваи-болъшее равно 1, то яамиеныпее аввчедке данного выражения равно 1)"-V2I в наибольшее равно V^«1=‘V2. ^ При решении некоторые аадач, иааример при нсследова-яяи гариаинческжх колебвннЁ, бывает Необходимо ареобраэо-пдть в нроявведенне вырансвние вида oslntL+Acoea. Обоажвчиж г—+ Тогда для любых чисел о н & всегда яайдЕТСя такое ф, что ангсоя'1)} я Ь=~Гй111{(), п данную [гумму можно аанисать так: а sin (1+1 cos я=г (costp ein о + sLn ipcoe о) гв1 п (а + <р)* Ил .раненств (1), зная г, находим Ь С08(р = — = - (f ein^p- — ^ Vc*Tb* Итак, мы оол учили равенство <1) т (3) а Bin я + Ь сов o-Vfl^ + i^ н1о ta + ^р)р где эидченио ч> определяется но формулам (2). Метод, применеипый для преобрааованнл выражен на а Bin я ч-Ь сова к виду +6^ в1п(н'*-ф), называют лсжодолЕ «cnoMotameAbnoto ргла, alna-coe«“V2f -^sinq—^ сое«)—\^ainfa - 4]-\V2 va / ' alino+coea = \^ain ^a + jJ—v'^coe^a- ^ j. Применяя формулы {4) н (5), получаем раленства I +зш0я»(а1па + со0н)*в2я1п^ fo + yJ^2cos"^a-~ J Н) «S] О 12 2ЭЭ Сумма и разность снвуссн Сумма и разность i^miycsa : - Bin2(1- (ainfi-ciDsot)*= 2sLn^^(i- 2cos*^(H- cos2a = —2sin^(i- Juosi^a— ^ ^ = 2аш^а + jcoa^ot+ j. Этн равенства магут оказатмя пользаымн а трмгоаоиетри-1[есг£в:х иреобразоаащтвя и при paiires^ii некоторые тригопоме-трняескнх урааненнй. V'S-cciajf-ainjf Задача 5. □реобрвэоявть В арсрнзв«девле V^-coex-HBT \/2-(мйх+в1пх) V2alii.^x+^J вшх ■ сшх Sill X-сое Ж Й1пХ —KWX V'2eln l/й^!-aln^x+-^J^ 1-сов^~—х^ l-(50H^x-^J Задача S. Вычи(1дять ССШ Llii ^ Зсоа^ + 3 bub Tu-t- №п Sii ----------------------------, ОСЛЕ соаа^'Д. сов Sii Польйуась иввестыьишн фориулачм, пр«образуйЫ чкслйтелгь: гое 11а + сое 5а+ 3 (сое 9а-f'сов 7а) « 2 сов &а сое За + 6 сов Su сова" = 2 созва{соаЭа + 3 сваи) *» 2 саа &а(саз псов 2а- н1п аа1л2а + 4- 3 rod й) =2говва1сов^а —сов aain^a —2а1П^аооаа-1- 3 cod а) " = 2са83а(соа^а-Зспва + Эсов^а4-Зсоен)=ЗсоаЗаоое’'й, Значит, сов П г1+Зсо8 9<1 + ЗсоБ7|14'СОй5и всйв8ясов'®я „ и ^ ч -------- ---------------^----= —-----^----— 8 cos® а = S(J . rofiSu Ответ, Во®'* ^ cos 9а Задача 7. Вычл(1лнть есЛй dina-Bm (1 — 0,5. а ~ ' д д Э(сснш-ГОЗ 3) = 1. '■-■ OdooFTASHM eina—sliip = a, сово—coa(t«Ь, Тогда ро формулпм дреоб-рауиаання ра^йсчгт синусов и когчаусоа в ПрОИзвелЕзине [юлучим 2е1д L4J8 — а. - 2в1д р*" 2 — 2 - ----й 2 Воаведеы эти ряваргтан м каадрйт я сложнч; ■ iJ. 4 ain^ cog' ^ + -1 аШ* й1п* ^ - а* + Ь', Is if £ Ji О;^ _ + г Глйни; У nil Откуда Bin 300 Преобраауан выражвдие Трш-оииметричсскин формулы 2coa 2 2 a . p „ MB— ■tt -hP COS ^ iLn-^ я1да-вДл j3 I —+в1д > Bln 2 1 и 1 ■i(cpsti-CQaa}+Biii*-^^^ ^ 4a \* + Ь>-2ь’ IId у{;лавящ a*»-, b-—, Слелощтедьэо, £ О 4' — 1 + 1^2 4 9 3 11 Упражнения 170. Упростить выряжевле: 1) ein^l^+cijH^sm^^-qJi 3) ain®^y 171. Вычислить: 2) coa( j-p^-cQH^~+ pj: 4) cos*|tj-j-co«^^a+ 1> Cfpsl05'+co&7&*: Й) ein J05'’-eln 75'’; 3) 4) coaJ^ -coB^; 5) яда- eIh-"-; 0) sin 105" +hJh 165^, J-A 4-1! l-if ii 172. Преобрааошгь ь ароиэьел1еви1е: 1) 1+2aina; 2) l-2altitt; 3) l+2eoaa; 4) l+aLtin. t73. Локл.^ать тождество: в1пя+а1п4я CDfl{i + 0a$ 3 OOP За - сор 4а 1+а1аа -сов2а- йпЗа ctgH. Йр1п2д + р1л4ц ' ^ 21Цп^ (I+eina-1 175. Докалить тождество; 1) roe^n-sm^d+sin 2«=V^coe^2a—ij; 2) toeot+cos^^+ qJ + cos^-^ —a^ —Of а1л£а+В1йба-в!пЗа _______ jj * О fliii сСр coa a-h 1 — £ в1л^ 2d 1T&. Записать в виде dpoaaведения; 1) ейе2Й° + с*в24'’4соа26'’ + сонйа'’; 21 cos+ СОЙ ^ -соз- 6 Ь 12 301 CyMKia и оаалость сна^ов. Сумма и Ой^нйСГь коОинусое l77,Дoнaмтt TtwigiecTHD tra-F-t^P^ ^ яычнсдпть: ---- cofiiaixiisp IJ t£26T" + t«93“j 2) tgH+tg||. ^ 176. Разложить ыа мвожлтелв; IJ 1-Сйай + а1п(1[ 2) l-2»sa+'Coa2a; 3) 1+fiLQii-coa(L-tea: 4) 1-i-aLn CL-t-cOfla+t^a. 179. Преобра^ьк!^ в проваведшке: 1) alna + t^u; 2) cDe2a+ctg2a; 3) HLnnu —t£na; 4) fttg(2a+30“}—Сов{2а-|-Э0“). IflO. Ярвобрййовауъ H праваа^дейвс: 1) L-Vasina: 2) Bin*(1^0.75; 3) fiinjf+V3ooejf: 4) v'Seiuar-eoaJt. 161. Докйдв'гь тозидеепо: ifn.c(4'ala3u4'BiD&a + iin 7a 1) = tg4a: ^ain £ £±lain £ с(ма+симЭ«+«»д6а+ Си 7® 2) alna+sbip+Hbiy—fiin(a+p+i^) = 4ain I Преовр&аойать в аронавЁдаиис: 1} сов2(1-{;овЗ|1-сов4а4-сш5а: 2} ain-la+ain 6a+eln3a+eln Юн. 163. Доказать, что при a-hp+у^л справедипгво тождество; 1} 8in^aejn2a+sin^Pain 2Р + нш‘у sin2y-sin2aem2patn2v = 2slnasinpsin у: 2) еоо*цсов2а+сов'рсов2р + сов*усое2у-“ со» 2асоа 2р ео& 0у - - 3 сое а сое р сову. у+л 2 ■ §13. Произведение синусов и косинусов прсобрАоо^аппял трнгоЕометричвскнх вырвасерйй. а также при решеини некоторых уравненяй нспольауютсн формулы преобрааовааил □ронаведсная к сумму или раявость: gin а cos Р “ (pin (с1+ Р>+вЬ («- PJ), 5? sin asin р= ^ {сов(а-Р)—сон(ач-р)), совIIсевр в Д {сов(а+ р)+сс№{а—р». Л (I) (2> Эти формулы можно доказать, нреобрвауя их правые части с помощьИ! формулы слоясевия. Например, формулу (1> можно получить так: ^ ~{ain(a.-|-р)-)-я1п(а1—р))р* (Einacoa|3’)-c:aB(iEinp + в1пасовр --сов а Bin Р) = -|^ •2sLncicoap = elnact)B3- • 302 г SB IJ VIII Тр№0«Н^:ТриЧ№:кие' Формулы Задача 1. Вмчнслить, не пользуясь гйблнцами, шрож^^веле-лие сое 6° сов Б5° сов 6 5". Применяя формулу (3> для первые двух мнаясжтеднй, инеем ^ (сов60* + соя50“)сон65"«-i соеб0“соа 6Б° + -tcoa 50“ совбй'’. 2 2 2 Прпобряэуем второе слагаемое в сумму; 1 СОЙ 60“ сов 65* + 1 ■ “ (сое 115^+соа 16")= ^ сов60"с<м 65“ + + i (-«м65“+соеПб^-ЗО^))- 1 ннва"- - сое65"+ - (сое 45“™ 30* + * 4 Ч 4 +sln 45“ в1л 30") - 1 f^ ^ ^) 4 V 3 Z Z if \’a+vz 16 Задача 2. ГГреобрааонять дронзведевне sbi^'acaa^a п сумму. . Исоолгьнуд формулы й1д2а = 2яшасова, ain*a = ^!^—е*м2а ^ Л 1 н-с^2д ^ подуди ип*асов*а== й1п*2асов“а= Л 4 =“ ys‘t^~™®^)(l+™e3a)= ■^(l+cos2a.—1мв4а-еовЗйС10в4а), Тик Ltl 10 кап 04в2асов4с1= ^(ссе6а+сш2о[), то 9in^etotw*a= —+ ^соаЙп-2 ] 0 32 --^coe4a—совва, ^ L0 32 Задача 3. Прн каком значении х ннразкеыие slii^-^+3jjBin^.^-3jcj принимает ваиболншев аначвнив? [ По формуле (2) инеем Нанболыдее значение выражение примет тогда, когда сой(~ + 6*)-1. т, е, прн ^+6r = 2aft, откуда + где Jt«Z. ЧИ Упражнений Преобразовать s сумму пронанедежие (184^—185). 184.1) Bin 10"9111 г0“: 2) й1п4™я-|: 3) сов35*я(п25"; 4) сое 15"сое 5*1 5) siu{x+a){:aB{f—а); 6) сое (j: + а) сое (jf - ft)* 185.1) 2еов*^о-0) 4coer-aln* 3) aio’ai 4) 4пр9^а* 186, Вычислить; 1) а1лаЯ“30'сов37"30': 2) в1лЗЙ“30 н1п37"30', 187. Упрсктитъ; 1) einft(l + ^ сое 2ft )i 2) 2 cos д сов 2q ^ сов 3д1 а 1 303 Проиэвдцяние синусов н 1Сосинуссе c(w2ci+ 4) G0в^З+cos'*l“C(Js4coв2^ leS. ДокйвЁТЬ тождество: 1() 2втйя1л 20|4'СОвЭа-сйва: 2) 2ain3acofl4a + sinn-6iB7n: 3) 4сов — coeraein“Binci+Blii2«+eifi3a; г 3 4) 4cos2асоа^^ + ^^coa^~-ij=coea + coe3a + совЗа. 18В. Доказать: и fllna0“ein4O'ain6O°Biii&0'' = -^: 2) igS0'‘t^40'' tgeO'’ U80* -3, 190. При каком знвченнв х выражение -2rJ принимает наикевьшае авачваае? 191. Найти ааябольшее и вяямвиыпее значении аыражежня 1&Й. Рещить урааневие: 1) сов4л^сай2х=сов5згсовт; 2) вш 5xBlnx=sin 7TBin3jf; 3) ain(x+j)«e(*-f)-l; 4) 2ain^^+iJeiii^^-xj + Biji^x-0. .IBS. Доказать тождествр: L) BiiHxeln MTi(P-“) + alJip8Lnraiii(T-P)+aiiiTfBLmiaia(a-T>= ^ ain {ft- p)aln (p -T)fiLn (y- ft); 2) sin® Q + ain* 3(H-I- cob 2асоа4л+СОва + савЭа + сон5(1 — I = oiii6a . 2aina sin — 3) +COS ГД + cos 2ft. 2 Bln- VnpairiHdHMH к главе VIIF 1B4. Найти; Tl 1) сова, если sinn^— и —<«-<: HJ le 2) ^iga, если COBU---^ и л<п<^; 31 elna, если tg:ft-2V2 и 0=2 и 304 rr.ijf . У111 Тригоноыетри^вс|«ие формулы г l95. Упростить выражвнисгг 1) Ва1п(ге-я)сча^^ —+ —qJ—3; ■inin + ft)соеа] tg(a-y) а) coe^-|-+aJoM-|^ + tijts{jr+B) I№. 197, 19S. 199, 200. 201. Вычислить (19в—197), 1) 2) 3) ctg4) сов 1) coa^-ain-^: 3) ain-^-tg^; 4 4 3 u 3) 3№з36бО°+в1п(^15вО"Н ^) COB t-046'*)+tg 1035“, Упростить BupoBiosHt (198^199). 1) (i±^_6in(r)lt«a; 2) ctga( nV V ■Lap: t Z \ coaa / Дожшзатъ TDHC^eecTSo: 1) 1+tgatgp=^55li^^; Й) tga-tgfi» ain(Q^p) eoBftct№p owccosp Вычислить (201 — 202), 1) 2sin6nco**^^ + 3ttj-sinfict при 2) cDs3a+2doe(n-3a)Hbi^^-^ - l,5aj при -ЧЧН JB*) IJ ^ ^ . *________ I 1-0ЙП*1Б* 202, 203, Доказать тождество: 2toe^l^l 1 + 8 elti*-^ooB* ^ P P 1) itg*a? 2> 2 ca£0u+ 4iii4a .tg*(|-a). 204. 2л^1| 2u-F-4in4{i Доказать, что: 1) sin35° + sin25“ = совб“; 2) сов 12“-cos46“ = sin 18“ 205. Упростить выражекнс / Е^1Ё. ^ \ ч в1п ц ctiBa / L ^cua4u 306. в1пц ctiBa / №н(к-|Н-а] Доказать тождество (206—Э07). ■Ih (3a-air)+2rts('“ + 00) 1) ----------------—-----^--V^ctg2ix; apoH^^-2aJ 4-i/5K?&(2a“S™) 305 Упрзжнанпй к ГПЗВй VIII Й) -^*1п(Й,йя-йи) Йа) + Si^DA (?**“) Ita 'Д ■ 1 . л а1л№ + к1п^ 2У^ 1г^а+^ов2^ ^ --- 2 ^ jL втга-1ше 1 + с«ш + со*^ ^ 2 208. Вычислять tg^, ослп cosn —и ^<а<и. 2№. Вычислить аиатеяне выралкенин aLn’a ow^-ti , 1 “— ---------, «ели slna-coeot= —, сова Kina 2 SlOt Вычислить аивчБиие выражввия 4 Bin 2«t 4-Б сок 2а ^ 1 = ■ д—г---—, если ctg Q ■* ". 2ein2a-3{iOB2Dt 2 Доказать тождество (211—212). 211^ 1] eia^(a'i-j3)—в1й^а4'aiti*p +Selnctein|)сов(а-1-р); 2) в1па + 2а1пЗа+в1п &а«4в1пЭас!ав'о. 212 в1да + |1лЗа+в1д5й (inu СРВ а+еов За 4^ CDS Ба 218. Найти значение пыражевня ^ """—сели в1п*а + 2(пй*а " Доиааьть този^ество (214—216>. 2Н- яш’п+сов^^ -ajeoa^^ +aj -= ^. 216.. 1) aln®cn-eos®a= ^(5+Зс6я4ц); 2) ain*^a + coB®a«* ~(сов®4(Ч-14 cos4u-i- IT), Й1в. 1) 4ein«'ein^|^-aJein^^+aJ=fi[n3u: Й) (оацд+а1иа)(1-1ящ) ^ 4(йояа-а1т1д) _ ” ■ ■ ....................... Ж1 Bln —-сое— 2 Z в1п а-1-cpfta Bin2n-ain Вопросы к главе Vdl 1, Деть определение угла в 1 радиви; в 1 градус, 2, По каины фориулям переводят радтгапную меру угла а градусную и ывоборот? ЗОБ «iMllli.J 1-'1|| Тригошметримешив фармулы S, Дать опрвдел?^е сиву{;а, коцйяуса, таигявса и кота]ттенса У1тлй. vl, KaiiaA алвнсинослгъ оуществует между с пну сом, косинусом, твкгевсам п мсктвигеосом одного н того же угда? й> 'Эаттлсйтъ знаки сзгауса, косинуса, тангенса и котннгепса но четверти и, в. Каковы авачваия синуса, косинуса, тажгянса и котангенса для углов О, —, , J. к, —7 7. Как вйДтн эвачиашз шжннуса, твнгеаса и котавтенсв угла о, если известно змаченне вгл и н н какой четверти ннкодит-■ся угол а? в| Сформулировать правила ДЛЯ эв[ЮМ1Тнания формул шривс' дення, 9. Сф4])иудируйто теоремы сложевип длл: L) косиауся; 2) си* нуса; S) тангенсе, 10. Как, зная формулы сложения для синуса, косинуса и тян-гсЕса, получить формулы двойного утла? BaniiiCatb эти формулы. П, вписать формулы синуса, косинуса, тангенса нолонинно* го аргумента. 1Й, Записать формулы прсобрнзовадия суммы и разности си" нусов н косвнусов а произведвиие, 13. Записать формулы преобразовання произведенна синусов и косинусов а сумму. Проверь ceCnJ 4 л I. Вычислить aino, tga. согЭа, есля соза = -у и — -ain^-|--«Уain(-^}; 2) еоа^(л-n)-cos^^ ~-aj; 3) Seinaain ^ + сОй(а + р). 4. Доказать тождество; i> Зсоа2а+в1т1^«-сое“я*2с(ЗЕ2а; rt, ainSa-elnSa 2) ------,-suiH. ;!(гов4а ( Бычнслнть значения sliia н сова, если 2,4 и л<н< 307 аопросы ц главе tfUl Вынисллть: 1) ai,nf-4)^сое(^)-2соеп; 2) aln ^^ ctg '• Л f \ Л f 3 4Si Опре^Ёлитъ анпк ааянежия числовогп аиряясевял sin2cDB3tjf4, ■I. Упростить выражоние [й----^----V —^--------l], V й1п*(я + й] / 5п "в” Доказать тождество tala (1-СОЙ а)*-1 ^СОЙ >—Sctp’* а. tgci-Alna-coeo Hi. Решить /раапонне I+ят (ЙлЧ-4л)-гсов*2г= 2sm^2x. Историчаскао спраака Как а многие разделы математики, трнгопометрия волиик* ли из ирвктпнескпк потреСвостей 'человеке в земельный расчетах (дли опредиавиии расеталжкй до исддстуцнм^ £[ред1ЯетРВ« для состивлБнии теографнческнх нарт ц т. П-), а также для ас-троионшческнх расчетов. Eipe дрепиогреческие ученые создали «трвгоиометрию хорд^, которую во Tt s, описал Птолемей п свооН ра<юте йАлмвгест* («Великая книга*>. Птолемей вывел соотношении между хордами в кру№, которые, по сути, аплло-гичны современным формулам cuEiyca полоиннжого н двойиого yi'JiH, сииуоа суммы п рааности двух углов (эти соотношения я «Алмнсесте* выражены слолесоо нз-зл дтеутетъии В те времена математической самиолтси). В VIII в* усилплми мятематрков Влнжнет п Средвего Востока тригонометрии выделилась на астрономической науки в сачостоятедьную мйтематнческунз днециллииу. К атому вре-чени СООТаошеиил между хордами ннднйскими математиками <^млн заменены сниусами. Слово «сиоус» нроисходит от латинского слова Blnus (перегиб!, которое, и свою очередь, [фОИЭО-шло от арабского слова «дякнвд* (xopj^tSi тетива лука). Слово «косииус» япляетси сокращением словосочетании complementi ainuB (сииус лоно дней на), обълсннющего тот факт, что саза ранен синусу yrJEfi, лоиолкиющего (1 до 90^, Датинскоо слово tan-gena □ереводится как «касательная* (касательвия к окружности), 3 IX я. в Багдаде Мухаммад бон Мусе ПЛЬ-Хорезми (ок. 787—850) составил первые таблицы синусов и Кйтдщ^н-сон, Лбу-дь‘Всфа (940—99S) вывел теорему синусов сферической тригонометрии н с ее нокощью построил таблицу снЕгусов с зытервалом а 15', в которой значения синусов ттрнеедены с точностью до В-го десятичного звякп, Абу Рейхвн Мухаммед ибн Ахмед аль-Еирупи (973—1048) упрочил а тригонометрии лажЕюе йодов ведение — для оиределеняя значений синуса и косинуса стал ыспилъоовать окружЕЕосгь адипичиого радиуса, В первой половине XV в, Джсмшид ибн Масуд йЛь-Кашп Эйа ■III Тригонамвтрическ*(о формукь* сошдАЛ трнгоца1и<ггрг(Я1зс кис> тайлици с шагом в 1', катаримн польз^жались ученые разлнчнык ограоляй аиааий на протяжо-впн ?50 лет. Первый Ешучный труд, в котором ТРВГОЦОМЕТРНЛ PUCGMUT-рнвввтся как свмостоятелъвяя иатема.тнчвсквл дисциплина, был создан в 1463—1464 гг. Иоганом Мюллером, човестным п исгорин науки род именем Регномонтян (1436“И7в). Три-гонометриа посвятил два раздела сноего знаменитого труда «00 обращении ивбесиык тел* Н. Коперник (14ТЗ—1543). В СОчН-нениях П. Кеплера, Й. Вюргл, (1>. Виста Ц других и^ттлых мв' темАТИКОВ Ёаропы вы ведая ы ияогие интересные формулы три-говоиетрин. Интересны, например, рекуррентные формулы, подученные Внетом: сое тл 2 соы сс' сов (т - 1) coi^ (/п -^2]а1 сов пщ — - Sainсс ^ sinlin — 1) а + С09 (ш — 2) а; sin fna»£ сова'em(m — 1)а—я1п(л1 —2)d; в1п та - 2 siu ц - РОВ (ш -1) и + вт (ш - 2) а. Например, црн Л1-—2 из формулы Виста получается извс' стиая формула сое 2d—2 cosset - 1 и др. Швей цо рек ИЙ математик Иоганн Бернулли {1вв7—174Й) н своих работах впервые стал использовать г и м ноли ческу ю запись тригонометрических функций, а близкую к принятой нами с>1мвсишку ввел Л. Эйлеру f 1707—17S3} В 1746 Г. й своей работе «Впеденнв в анплна бесконечно малых*, В атоп работе затор paatqciTHJi: аопрое р знаках всех тригоиамвтрнческнх функций любого аргумента. Дальпейщво развитие теории тригонометрических функций было продолжено в XLX н. великим русским математиком Н, П. Лобачевским (17&а^18б6) и другими учеными. Глава! IX Тригонометрические уравнения есть pattHCmbO, кото-рие сщг не нпмметсл нслшкнмл, но которпг стрг-мятся сделать истиннымt нс будучи уееремнтлми. что ятиеа можно 乫ничь. А. Фрше Г § 1. Уравнение cos х^э Из определения косляуса следует, что -KcoSfl^l. По^ФОму если |а|>1, то уравие~ вне coaxed не имеет корней. Например, урав' пение cos '1,5 ие имеет корней. йддачи 1. Решить уривиенне совхн.^. - Нвлоиням, что СОА* — аСецыссе -го^скн едн-зячной окружпостн, полученной поворотом точки Р(1; 0) вокруг вичала координат на угол X. Абсциссу, рваную имеют две точки окруяшости и (рис. 1S5), Так как — —COS'!-, то точка Л/ получается иэ точки P(U 0> ” 1Г поворотом на угол а тдюке пп углы Jf=-j+£nA, где А-=±1, ±2..Точка полу- чветсй из точки Р(1; О) поноротом пн угол 3 ' —+2т1Й, где к^± 1, и ±2....Итак, вое корни уравнения соая= — можно нейти но форнулЕм + j:« -_Л.^2пЛ, Вместо двух формул обыч^ “ *р но оользуются одной; i = ± —+£дА, k^Z. Ц V Задача 2. Решить уравванве сояХ’ 1 Абсциссу, рнввую - —, имеют дне точки It. Тойгокометрические уравнения т\^) Рис. t35 Рис- ГИ 1 Яч oKpyMtHocTH Af, u Mg (рие. 120), Так как , то 1ггол •в Ц Л 1Т Xj ——, fl угол Xj = ——. Следовательно, все корни урввпеиия 1 СОЙ Х= — — Можно найтн но формуле х^± = + ЙяЛ:, №eZ. '4 Z Э- Таким образон, каждое из уравнений совх=-^ н соах=--^ имеет броконечное МЕОнсество ворней. ^ ^ На отрезке ЕСаждое не этик уравнений имеет только одни корень: — — корень уравнения созх== и х - ^ — корень уравнения coax-- —р Чиело ^ назмввют йркксчзинусом числа — и зааисывают агссов — =• ^: число -■— нааынают арк-2 2 3 3 ^ косинусом числа и оаписывевдт'лгсоов^—J = Вообще ураанекие соех=а. где — Ка<1, имеет на отрезке 0<х<а только одни корень. Если а>0, то корень заключен е промежутке 1^0; если а<0. то в промежутке а|. Этот корень называют арккоснвусом числа ы и обозначают агссоаа {рис. 127). агссов а 0^ (К 1 агссов « о< о РЖ?. Г27 f 311 Уровнемне cosjfBa Опрвдйле нме Арккосинусам числа ae[-l;lj Rd3MS№TC^ такое <тисло ае(0; ч], косинус которого ранен а: агсоооа—а, если сова=я н 0<а<п. (L) Например, агссоя VJ' так как ^ V8 йгссов/'---^ W тая как сов’^~—и 0<“<к, V С Г в О Z -р Анадогичво току, как это сделано ггри |^шеаи£Е задач 1 и Z, кo^квo показать, чти асе корни ураввения сов л;—а, где |а|^1, можно НАХОДИТЬ цй формуле ЛЕ ===±вгссова+2itn, ле2. (Z) Задача S. Решить урвлиеаяе (4 соах^ 1)(2сов2д:+1) —Q,. Это урдяпение равносильно соиокуииости двух уравнеанн COSX" ^ и сов2х=-у. Корни атпх уравиеыгй найдем по формуле ^2). Белн coeJC = -j,'Tt> x = ±artooH-j + Zsji, n^Z, a еелв coe2r — 4 i ■, \ 4 “ ~ 2’ arccoa 2*-±Eu-Eccaf-i]+£дл, г = ±^ + яя, rt£Z, так как Ответ, х = ±вгсСов ^ 4 2чд, х = ±^ + пл* rt£Z, Можно доказать, что для любого де[“1г U справедлмеа формула агссов(-а)=н—arccosa. (3j Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккоеннуеов положв- тедьцых чисел* _ _ (^2^ v'2 лЭтс - ^ 1 =л-агссоа ^ =71^ — = Иа формулы (2) следует, что корип уравнения coaxed ори а —О, 0-1, 01--1 можно находить по более простым формулам: ео8Х = 0, х=4 - Л L* По формуле I n€Z. Щ 312 |[ mfl;i »■ :, n^Z. (4> flCZ. (В> л, neZ, (0) 4 = -1. 1. П ez, откудо х = 3x4 бал. Теегоеомшончвение ураанваин Упражнения Вычислить (I—2), i. U 4гссоеО{ 2)arccoi^l; 1. ____/ V5 V2 3) arccoti -!—; A 4) йгссеа^; S) лгсеоа J; 6) агссов^— 2. 1) 2arccoa0 + 3arcco>sl; 2} Здгсссв(-])-2arccoeD; Vs 3) 12arecae ^-ЯагесоА^-^ J: 4) 4flrcr(isf--^J+6ajnceoe^- 2 3. Сравнить числа: 1) ягссов ^ и 1 ^3 агссйн—: 2} агесов^^- — 3) агесм ^ j н атссоз^— j. Решить урИвиииии (Л—Т), ]) Сйвл = ^: 2) сонх= — в Э> : 1) соэх” 4 2> COSX—i; 3) . 1) сав4х * 1; 2) cds2x—— 1; 4} 2сс5в4=\/3: О 5) сов^х + -^] = 0: va v3 3) VaroB j=--u 6) СОВ^Й!"^^—0. 7. 1) cosj:cufi3x = ain3jBin2) соайхсовJC + eLu2jrtiIii£ = 0. Выяснить, имеет лн смысл выражсмис: t> arccos(V5-3): 2) arccoe(V'T-2^; 3> ai4iC(}a(2-V10>: 4> arceos(1 -v'^ll 5) (-g^SarctoHyj; 6) arccds(ccs3). f), Решить ураниспие: г> cofl“3*-l+0ln*2j; 3) 4с<>н^л=3: 3) 2cbe*i=l+2sini‘i: 4) йуйсо&^л = 1 + V2; 5) (1 + cofij:)(3-2co6i) = Ot 6j Ц—сен*)('! +2jt}= G; Z} (1-b Ясов jc)(l — 3co5x) = 0^ 3) (3~ 2соах}(2 + 3|::о9х)вй. Ш. Найти нее керыи уравйения соэ2г = --| иа отрезке [^1. ' L 2' 2 1^2 11. Найти все корни згрввлсныа соа4т-~-", удовлетворлюц^ие неравенству |л|ч; — 1й. Решить урввиенне: 1) агссоа(2х-3}=^; 2) arecus ^ 3 S > 313 ураанение игедг=в ^.Доказать, что ири всех аця'юнияк а. таких, что — 1<л<1, ймаолняется равенство сав(вгссспа)«а. Вычжслнтъ: 1) cos^arficosOtS); 2J сов(нгс1:оз^- Э> CQsin Н-агссов I'); 4) 8Ш ^ ^ 5) що^ягссов^^; 6) tg^arccofl 14. Докатать, что агссоа(соеа>^а при Oi^cKn. Вычислвть: I) fiarcGoe^cos2) 3 втссоа (сов 2}; 3) arcdos ^CDS ~ J; 4) агссов(|;ов4). 1Д. Вычислить; 1) eln^arcccM-i + arcRos J; 2] сов^агесоа ^ - апссов Ifl. Упррспт? пыражевне C0s(2itrccoBa), если -Ка<1, 17. Доказать, что если — то ■V^ 2arcttoai - + и ■агссояа. § 2. Урзвчени0 sinjT-a Из опр1еделеаил синуса следует, что -1<а1л<х<1. Поэтому если |о|> 1. то уравнение sinfwa не имеет корней. Наиример, уравнение агих'^З ве имеет корней. 1 Задача 1. Решить урдинвнии в1лх- а* t Напомним, что eini — ордината точки единичкой окружао' сти, навучеииой поваротаы точки /^{1; 0} вокруг начала коор- дни АТ на угол х. Ординату, равную , имеют две точкм окрунс- Ностн Л#| и Mj (рис. 12Й), Так как то точка по- лучкется ИЯ точки Р(1; 01 повара* в б’ том ич угол X а также на углы х=-^ + 2яЛ. гда А-±Х, ±Й, ... . Точка М| получается на точки P(ll 0) ilDHopoTOM на угод х_ = 4^, а THKHte на углы + Q 6 + 2як, т. е. на утлы х = я-^+ап*, где №-±1, ±2, . 314 ^ 1йиа |)( ТоигомтНтрические уравьанин tiT№« вес- корвв ураянервя einx—— мажни HiiitrH пи фврнулям лс = 4 + 3я*, х*я-^+2я*, fteZ. и О Эти фори1ули оЁгьеджнягатся в одну: fieZ. U) 6 В сямощ деле, если п — четиее число, т. е. п = 2к^ ТО из форигулы (1) получаен ^ +2шА, й если п ~ яе*£ЁТЫое число, т, и, и —2А-1, та на формулы (1) нЕшуЧйек JT^Tt-+ 2яА. Ответ. ~ + гсп, n6Z. ^ 6 Эадаиа 2. Решить у[>лииеипе einx°- || ' Орднхшту, равную — , имеют точки Му и (рис> L29)< где X, =-^, = Следоийтельио, все карри уринеиия sin зс ™ - — 1ИО»11)а плйти по формулам ^+2иЛ. X- 6 + 2чЛ, k^Z. Эти формулы о&ьедиыяютсл в одну: x = t-lV(-^J + nn, tiuZ. (2> В самом деде, если п=-2й, то по формуле (Z) получаем 2д№, S если пн2№—1, то со формуле (2) накадин ч . х--^ + йлА. Откуда х=(-1)" (-neZ. ^ О \ 6 Итак, каждое из уралввннй siiix»-j в яшх—- -j имеет бес’ конечиое множество корнеП. Иа отреаке каждое из 4л £ ЭТИ* уривиений HMWT только одни корень: х, - ^ — корень урав^ * □ 1 X L аенля ainx—— и —' корень уравнения elnx=——, Чис- Jt 1 1 ло — называют арксинусом числа — п эапнсыяаюг arcain —= — число —влаывают арксинусом числа — я пишут 1> D 2 arcsin(-j) = -|. i 3 315 i^paBhBHHO. ala Jt ^ а Вообще у^^аавевие aiiiX'=d, где ва отреане имеет тольво одвы корень. Бели и>0, то корень за- ь н ключей в crpcueBcyTiiD » ; если а<0, то корень заключен а промежутке > Этот корень нвэмвйют tipKCUHj/сом чис- ла а и обозначают arcalna (рис. 130). Определение Арксинусом числа и^[“ 1J иоэмвается такое число —j, сииус Которого равен а: ' " (3) лгса1па = д, если а1па=д н Л £ Нопрннер, aroslit ^ “ т > 7 “ ~ ^ ^ • ji -ч ч Js 4 ч А так как АНЯЛОГИЧВО Тому, как зто сделана при решеыын задач 1 н 2, можно йокйдатъ. чгго корни уравнепыа aimr^a. где |а|<1, выражаются формулой лгк{—1)"агсвша +тт, п ЗадачD 3. Решить уравнение (3einjc-U(2ein Зд-|-1)='0. !> Это Уравнение рал ноги льне еовокушности двук ураанений ншд~— н ainZjc™-—, 3 2 Корин атнх уравнений вайдеи do формуле (4). Боли sifiJC = -^, то д = (-1)'’arcein-^-н ял. neZ; если в1л2л:>* —то и 3 4 315 nteea if, Тригономдтричвекив уравнамня |-^7ЬиП = (-1>'''^’ + lift, опту- да + «eZ. Огвят. 1)"вгсадп-1-1- ян, i=(--^ + niZ. ^ У- 1й Л Моншо ftOKaaatb, чгго дли любого а^[—1^ |J (гдтра^^ДДЯЯа формула агся1п(^а)!=^агс«1п0, (5) Эта формула ^оэваднет пахрлить знлчання арксинусов от^ рнцнтрльпыл чисел через яаачоння арксинусов БОЛОЯШтеньЕШЯ чисел. Например, arcainf--^ J=-arc-ain ^ = -у* Отметим, что из формулы (4) следует, 'пт> корпи уравпе-ния з1шС'=а ири do О, а«г1, а**-1 можно нвкодить по (^олее простым |формулам: нтд=0, х-=ип, ц^2, (6) а) (S) einxol, х<н-^+2пл, R^Z, я1пя=-1, Jf=-^ -1-2яи, rtCZ. А Задача 4, Решите уряявеине fljn3jr=l. По формуле (7) имеем Йл-^^ + Згеп, r^Z, откуда д——+ яд, Rez,^ ' ^ УпражнйН1Н|Н Вычиелмтд. (IS—19). 18. 1) aroeinO; 2} arcein L; 3) arcsin il. 2 ' 4) aroaln^; 5) агент6) arcaio 19. 1} flTCfiinl—агсв1п(-l>; 2) arcain-^-+arceip^— ^ ^ VK ^ 3) aTcaiP |-+ areflin ^; 4) arcain^-~ j+arcein^--^ j. 20. Сраиртггь числа; L) HDcaln i n arcflln^-^j; 3) aresin^--^J и fii:(;»lfi(-1). Решить урдввение (21—24). 21. 1) elnjf=^t 2)'fiLni=^: 3) eitijr = -4=- S 3 22. 1) alnjr=|; 2) 3) T 4 3 23. 1) 2) f5lfi2x^-l: 3) V¥sm^ = -1; s s 317 VpabHQHPe do if=fl i) 5) Bin^x+^)=0; 6) в1п(гх + ^)-0. 24. 1) eJn4xcoe2r^coB4xBin2xi 2) CDa2xsid Зх-^вш 25. Выяснить, ич№т лв смысл выражение: 1} arcsln4V^-2); 2) ягся1л (V^—Э>: 3) arcsin (3^VTt>; Л| emc8in{2 - VlOh Ь) tg^6 4Tt;ain-|-J; в1 Решить ура висл ПС (2А—2В), 2в, 1) I-4alnxcDSi*0; 2) \/3 + 4в1ягсо01= 0: 2) 1+GeJn “Сов V l-Sain 4 4 X X = 0. 27. 1) L + c№&JCsln 4х~сов4хв1п 5х; 2) 1" Bin X Сой 2х=соц fain 2х, 1) (4я1пх-3>(2вк1Г4-1>=0: Z) (4 Bin Зх-1)(2яшх+3)-0. Найти все клраи урвэнелттл 8ln2x—^, принадлежащие от^ 28. 29. 30. 31. реаку [0: 2х]. Найти лее корпи уралненвя удовлетворяющие ыерааеыству log^ (х - 4ц) < 1. Докцуать, тто в1а(агсв1п а).^а прв -КйС!,. Вычислить: 1) яш^агенш yj; 2) aln^ftrcsln^-i^J; 3) atn^it + srcBin J; 4J coe^^—arceiny J; 5) coa^ancsin 6) tg^arcsln 32. Д<жадатЬ| что arcaln п) ~ a прв Вычислить; 2) 4 ягсяш^йп—^: 4> arc3in(ftm5). 33. 1) 7arcfiliij^atfty 3) orcsin^eiE^J; Вычислить (33—35). 1) coa^arcBlnyJ; 3) соя^отсвш^-у 3) caa^flTCBin^-4) CM^arcaUi 34- 1} gill ^пгссоя = J: 2) aln^arccofl^- 1) Bill [arcsin у+arccoe J: Й) coe^arcainy-t-arccoB-|-J. решить урлввенне: 1) arcBinf^-s) 2) arcaln(3“2x) = -4* \ 2 f О 4 Докааать, что если 0<а<1, то 3nrcsin л-arccoafl-2я^). а&. Ш 27i 313 Глввп Ш Тригоионш^цвекие уравнения § 3. Уравнение Иа определения тангенса следует! 'тто tgar может орини-мать любое деДетвнтеды^ое авачевие. Поетоыу уравнение 1^х-^а пыеет корни гтрн любом значении а. Задача I, Решить урдаяение tgJc=Va. Построим углы, тангенсы которых равны V3. Для этого проведен через точку F {рис. 131) прямую, перпендикулярную РО, и отложим огре.юк РМ = \!3\ через точки М и О проведем прямую. Эта прямая Пересе каст единичную сжружБОСТЬ в двух лИ' вметрально протнвоподолс|п>(;к точкпк Wj Н МИэ прямоугодЬ' ного треугодънннн РОМ пакодкм ~ «v^’-tgjr^, откуда X, *=. Таким образом, точка М. получается из точки Р(1; О) ” я поворотом вокруг идчала координат на угол —, а -г^кисе ня углы + где fc-il, ±г, * D Точка получаетсн поворотом точки /*(1; 0} на угол Xj—а также на углы л =-f-я-нЗгс*, где А^±1, i3, ... . Итак, корпи уравнения tgx=\^ 'Н^Л'.к'Н. Пй 1—^-^2тск, X"IfEjJ. Эти формулы ибъеднвлюгсн в одну: х=4-нлд, a^Z, щ О Задичн Я. Решить уравнение Углы, Tanrej^iit которых равны — V^, указаны ра рисунка 13'2, где PJWJ.PO, РМ = Из прям.оугольиого трауголыш- /Vfc- (31 Рис. (32 а 3 319 Ураеиеиив tg ка РОМ ыаходии JLPOM=‘^., т. в. х.Таким образом, О й -№чка М, пол^^ается иоцорспки ммки F(i; О) вокруг начала координат не угол дс.=^^* а также на углы Х“’^ + 2лА. где ^ I* 3 Я А = ±1, ±а..... Точка Д/j НОЛучаетсл Uповоротом точки J*(l; О) на углы x=-A4fff2A+l), AeZ, J- □оотому корни ураавения tgx = -v3 кожми ыаПти ио фор' Myjiex = -^+nrt, d _ Итак, каждое из ураааений tfix=V^ и tgx*=~\/3 имеет бесконечное множество корней. На интервале каждое на Этих ураиненай имеет тодъко один корень; -------корень I- л ® — уравнения lgx = v3 и —корень урапиенин t^x»—^3, ^1нсло ~ нплыаают арктангевоон числа V3 н знпиоывцют ■> число —аааы.Вйют нрктавтепсом числа —\i3 н iJ О пишут arctg(—V3)*- й Вообще уравнение tgx=0. то корень за- ключей в Промежутке j^O; i если нСО. то а прлыЕжутке oj. Этот корепь называют аркташ^нсом числа а и обоаначают arirtga (рнс. 133). nrctgVS = -E-; число Pvtc. 133 330 Глэвя |>{ ТриГ0*юМеТрм-исР1ие ураанення г Qtniiii^ABJieiHiHc Арктангексом числа аеЛ вУЗЫ»«стся такое число taiireHC которого рлвсп а; urctg'fl'• а, если tga—ц и а> Налример. arcvgl=-7i твк кцк ^ - 1 и " 4 4 jf 4. я ^ ш л < так как и Ааало1'НЧНО тому, как иго сделано арн решекки эалй'^ 1 н 2, можно оокаэйть, что вое корни уронпеиия где fltA> выражаются формулой :г = агс1^а+ КП, ft (S) Задача 3. Решить урлвпеыне (tffлг +4)(otgJc^V3)“0, [ Все КОрЫН BTOl'O урлаавоня содержатся срнди корней ураано-нин tga; = -4, ctff*-Vs, Первое из зтнх уравнений пмеет корки jr=arctgf'^4)+яп, fi€.Zt определяемые формулой (2). ^ Второе уравнение, равноеильшм! ураанению tfx=^, име- 1 Tt „ ет корни д-arctjf —+ НИ»—+Hrt, rtCZ, \'з “ Заметим, что йсе аайдепяые значения х являются корнями иекодного уравиЕния (clgx определен, если t^x^O, а tgjf оара-делен, если crtgrtiO), Ответ, x*arctg{—4)ч-ДЛ, х=-^+лд, о Моншо доказать, что для лнзбого а^Л онраледлнаа формула arctgf—а)н>-агс1д д. (3} Эти формуле позволяет на ходить аявчения арктангенсоя отрпцятольЕых чисел через зявчения дрктапгепсои аолижи- тельаык чисел. Например, arctg(—v3)^-arctp V3 ^ . Упражнений Вычислить (ЗД- 30), _ 38, J) arctgU; Й) jiiTtg(=l); 3) arctg^-^^; *1) arctgvS, ЗЯ, 1) вигс1^\3-4 arfflla^— 2) 2arctg I+3arcain[-i 3) 5arctgf-V5)-3an;co0(-^). 5 3 321 Урааневие tgx^a 40. Срайвнть чжсла: 1) ttrctgl-1) tt arcala^-^j; 2) eretgv'5 и arccos-|^j 3) arctg(-3) и arcts2; 41 arctg(-5) n arctgO, Pfiiuuvb ypasasHHC {41—43K 41.11 3J tg*-V3: 3) tgf=-Va- 5) tgi = 4; 6) tgx--5. 42. 1) t^3x-0j 2) l + tgf-O^ 3) v'S+te^^O. fl b- 43. 1} (t(Tx-l)(tg* + V5>=0i 2) (Vl'teJF+lKtex-Vai^O; 3) {tgj-2)(2coex-U = 0; 4) ftgx-4.5>{l + Sain r) = 5; 5) {tgx + 4>(tgi^l)-0; 6> (tg^ + l)(tgx-l)-0, 44. Иай'ГИ найыеньшж! полсзкитад1.шлЙ и наяббДЫШйЁ отрица-тальвый кйрни /ряяввнкя 45. Решить урАнвенне; I) arctff(5x-l>=4; 2) arcte{3-5х)-~ .i, 4 3 4Й. Доиааать. что tg{Brct^a]H<(i при любом а. Вычислить: 1) t^(arct^2,lK Й) tg(arct^(-0,3)>; 4) +argtge^. Докялатъ, что arot^(t£a)-a при Вычислить: 1) 4aiict^(tjs0,&); 3) arclg^tg ^ 31 arctff(tfi;13j. 46. Вычислить: 1) arctgfete 2> 3) rtrctg(2Bin ^ j. [40j| Докааа1'ь. что ори любом л^Аствнтельном значеЕши а 1 сл^УАасдлтю раленлгтио coBfarct^a)’ VI + п* § 4, Тригонометрические уравнения, сводящиеся к влге6раически1м. Однородные и линейные уравнения в оредыдущих параграфах бы.ти выведены формулы кор-Hoii простейших ТрИ№аоиетрическнх урлаиеикй еоях=л, 1,gjf = a. К этим уравиониян енодятея другие трнгоио-метрическне урвлпеиия. Для решения болыпинсттва таких ураа-ве1шй требуется ттркменение различных формул и ц])собразо1аа-ний трнгономстрнчеекпк выражений. 322 1ланг.1 JJC Трнгонометричеогма ураянемив г (1) 1. Уравнепая, сьцдлщиеся к вдгеФр1МГ»оеяжч Рассмотрим ураваеиия виЛ|а aalji“jf+ (*einx + c-0, о*О. Полагай аерепшием ураввеояе О) ^ надо ef“ + (m-c-0, {2) Пусть Д = ft'- 4ас < О, тогда уряииаиие (2) ие имеет двйст-антрльных корнБЁ. и ййэтому уравненise (1) во инвет корпей. Пусть />>0, тогда ураввеш1е (2^ нморт норнн -b + VO , ~b~S^ i. t. 2a ■ " 2a. a ypasaesHO 0) раааослльно совокупвостн ураанеынЙ а1пдг— Урввнаина (1) инаст до&етннтельные корвн тогда и только тогда, когда £>>0 и по крайней мере одно кл чисел fj но аб-СОЛ10ТЕ1ОЙ налячяве ко прейорходит единжды- Зддйча 1. Решите ураеневне ain’x + Binx-2>^0. Это уравнавяе явдвотсв квадратным откоентельао alii Оба-;jBU4iia einx —солучнм уравнение —2 = 0< Его корен ^.^■=1, ^j'= —2. Таким 'О0разои, решепне исходного ураьвевия свелось К решеалк! простейших ураввевжй в1пХ-^1 И н1нх=-2. Уравнение sinx —1 имеет корни х = -^ + 2яя, n^Zi уравнение я1пх=-2 не имеет корней. Ответ. х*'|+2лл. niZ.^ К квадратному уравнению относительно atnx можно свести уранненве acos'x-i-ftBLax-fr = 0, ta^O, если авмеипть сов'х на l-8ln*x. Лналогичио урвнвенвв вида acofl*x-bftco®x + e “0. а^О. aain'х-нйсовх-н: = 0, о^О, □рнБоднтсй к квадратным ураноениям. 3)шача 2, Решить урваненно 2aiio^x-i-coax-1 =■(). ;> Используя формулу я1п*х ■= 1-СОВ®X И полагал соах^/. аолу- чярм 3(1-^*)l +( -1 =0, или 2f^-*-l = 0, Это уравнение имеет корни ^|.= 1, Если (-1. т. е. совх=1, то х = 3ял, mZ, Если совх = = -, то X = ±йгсеоя(-^-) +Йлп- + -= + 2дп, лeZ. 2 V г В Ответ. Х“2лл, х=±-^ + 2яи, л С Z- ^ if Задача 3. Решить уранненне tgx—2ct^x+l=i'0i то уравнение можно алпнеять в вндо 'о- Тан кан etjx^ 1 tex за Тригонометрические ¥равнОни^|. сводвщився И алг»6раичес*им ОднородиныБ и лине^ме урквьгеиии ter--7----h-l-O. Умпажая обе части уравяепия яа tgi, полу- t£ X ' чаем tg*ar+tgJC-2=0. Полагай tgx=t, получаем: уравявилс имоющеа корон 2. Пелл f = 'tgjc=l* то г=--^-|'7гп, niZ, Я если i ^tgjc^*~2, то x^arctg<-2) + Bn^-arcte2 + g(n, л eZ, Тдн как igx^Ot то ураВ' ненке + tgx—2 = 0 равыисмлыю неходкому. Ответ, i^i+пд, x--flrctg2 +дд, nfZ. Задача Решить ураяиеяне Зеов^ бт + 3e1n 3xcoe3x-4 = 0, II |1спсы1ъзуа формулы + сое^бх= 1, eJn6x = £atn ЗхсоаЗх, орёобраауем урввшшке: 3{1-вш’бх) + 4вшвх - 4 - О, Зз1п*бх-'1 eln6x-t-l = 0. Обоаввчжв ain6xof, оолучим уравнеаие -Ь Т. = 0> откуда ^l = l^ ^8=^* Если вш6х-1, то вг-~н-2яп, + 1 1 f-lV* 1 rt€Z. Если alnSx“ —, то fli-f—IJ^orcain — +nn, —s— arteln —-H a 3 Q- Э- + ^..n€Z. Задана Д. Решить уравнвине 4в1п^х + 4сов*х —1+ 3ainx. ; Полагая н1пх=/, преобразуем ураввеине к виду 4f^- 4(*- 31 + -(-3 = 0. Разложив Левую часть йолучеыгого уравиепия на множители, приходим к уравнению {1-Если t’='l, то е1пх>=1, откуда х=^-ь2пл. Если 41^**3, то 4sin*x~=3, л 2(1-сов2х)мЭ, eoti2x=-^, откуда x = ±^-hitrt, H€Z. ■S о Ответ. Jf = ^ -Н 2лд, * = ± ^ -т ял, п eZ. 2. ОдиороднЫе урнвженжй Обратимся к ураввенияк еяда aeiiix + ftcoex = 0, (3) oain*x+ 6ainxcoflx-bccOB^x—о, (4) ирод полагая I что в уравнении (3) хотя бы одно вз чисол д, Ь не равно дулю, в в ураввении (4) хотя бы ОДНО нз чисел а, Ь, е отличио от нуля. 324 Глава Триго^юметрические уравиекип 5 каждом -слагаемом л ев их частей этих зграйкениЯ сумма степеней синуса я косявуса одна и та же (а ураяненин (3) иыа рпанв 1, а в уралаепил (4) равна 2}. Такие ураяпеаяа называют однородными отпоснтельно aibJt л coajE. Пусть н урявяснин (3) ат±0, тогда эначеыил х, при которых созл = 0, не удовлетворяют ураннежжю (3), так как еолн COSJ-0, то вшх?^0 (эш^л-соа^л = 1). Поэтому в случае ог^О, разделив обе части уравненнл {3) на совл» получим равносильное ему уравнепие at^jc+6^0. Аналогично если а^О, то, разделив обе час-гн урдвнетгия (4) на сон^х, получим равносильное ему уравнение atg^x + btgx+ c = 0t Задача 6. Решить урввненне 2aiu х-Зсовх=(]. I Разделив уравнение на cosx^O, получим 2tgx-3 = 0, или 3 lgx = — i. [^'iro ураПНРНИО раВБОСИЛЬКО- исходному и 1ЯМ€^Т корлтс эй 3 J —nrctfi+iErt. ntZ. ■«< Задача 7. Решить уравнение Sem^x—Salnxcosx —2соа®х = 0. Раядслив обе части уравневия на оов®х, получим равыоснль' ное ему уравнение 3tg^x —5 Igx—2 ■=№, откуда * а Исходное уравнение, ряяпоснльнов совокупности ураане- ний. t£X = 2 и tffx= —4:, имеет две серин корней: x = Hrctg2 + да, 3 х = —arctg~+1ГП, ntZ. Э- 3 а м е ч я н и е. К уравневшо вида (4) сводится урааяение а ain* r + b в1п X кОвХ + е tOS® X=d, Для отого достаточно воснильэоваться тождеством d = с/(sln^ X + оой^ J). Задача в- Решить уравнение 4sin^x-einXcoax-cos“x=2. Эго уравнение равное ИЛЬЯО кйН4Д0Му ил следующих уравнений: 4ain*x-sinxcosx-cod*x=2(flln*x + сов^х), 2ein‘* X ^ein xcosx - 3-сон® X = О, 2 tg® х - tg х - Э — О* 3 Отсюда походим tgx=—t tgx = —I. 3 Ж Ответ. x=arctg—+ХЛ, х-- —+лп. a€Z, 4 4 Рассмотрим уранвение вида оншх+йсоах=е, + (5) Буден считать, что ai*0, Ь^О (в ыротпввом случае получаем простейшее трнгонометрическое урпонднио вида ainx = -^ иди coaxi bi 325 Трнгонсметричвские уравнений, eeofljaipccn ii нл-пебраичес|снм. □днородн11й и ленаймые уравнения Еслн с —О, то ураэвение (5> является одгорюдным н ори о^О раввоскльпо урквненню atgr+fr^O. Тяк кдк а*Ч^>0, TOt разделял обе части уралвеняя ■(Б) на \'а^ + Ь'^, псклучим равпосольаое ему уряяненне й ^_____________________ Ь _ с «ПЛ + V^»46» сш л ■ Vo*+b* (ft) Звметяк, что f . ^ 1+1 ■ * ~ Г" откуда CBeflyerj W+t^J W^T^J ( -— -: ■, ^ ^ леясит вв вднвячпой окружвоетн. что точка Поэтому СуЩЙСТВуА'!Г тЁ.кай угод 9т что « _____ ь •СОВф. Blzup. СлаАОвателы10| уровне аве (6) «оясво зависать в виде Bin (д:+ф>- (7> т Va* + ft* Уравнакив (8), й вместе с вам и уравнение (5) имеет реше^ аие в тон и только в том случае, когда а^ + 1>- < 1, или c’ е. fe|>Vn*+A^, нлл c^>a^ + b^-t то уравнение ^5) ве нмсот решеинй. Издозкеыыый метод преобрзэовавил л и ней вот уравнении (5) Н Виду (8J называют jutnnoJoJH i/aaihHtut оспомомЕтельноар у^ла, Задачь 9. Решить уравнваие 4sln Л4 Зсовх=5, J> Раздолнв о&е части донного уравнения нл V4^ + 3^=» G, полу- 4 Э чим равносильное данному ураднеоие — з1плг+— сговд** 1, О & ■ rt Пусть ф ^ угол, такой, что еоаф- в1Пф——. В качестве П 3 4 ф Можно В;1ЯТЪ угол агесов—j Л HCXc4Jtoe ураввенЕге оажлерть я а виде я1п (jc-i-4>> = l, откуда ^+ ч>1-~+3дл, + 2геп^нгсн1п 4 + йдл, пеЙ, так как arcainа + згссс»а = — * 6 2 агссоа — -t- 3- Ответ. 1=агс:аш 4 4 2як, niZ, ^ Э Гпааа 1К Тригопомотричаские -урзвиечьта с :рйжненир Решить урвппеаие (50—'66)1, 50, I) sin* л — 4 3} 2filn*jif + alnje-l 51. 1] ZcDs^JC-ain ДГ4-1 3) 4aln^X"CoBJC—1 62. 1> t^jT=2; 3) <^j--3tgx-4 = 0: O5 0; 05 2) 4) 3coe*n-ooajf"6 —0. 2) Зроз*^—ainx—1 =0; 4) 2sill*X+Зсрвх-0. 2) tgx-ctgx; 4) tg^x-tgx + 1"0. 53. 1> 1+ 7cos“je=3sin 2x: Й) 3 + sinax*4ein^i; 3> cosZx+cde^r+fliiixcoflx^O; 4> Эсоя 2x+BiJi’^x + 5sin icos x-O. 54. 1} cosE^aiax; 2} 2fllnx + cosx= 0; 3} 2а1л®х-Бв1пхсоах-Эсов®х^0; 4} 3aln"x-14fllnx(;oax-&cos^x*»0. 56. 1) ainx+oosi = 1; Z> я1пЗг+<:адЗх«УЙ; 3) lDsiD^x + 5ainxcomx+coe*JC>3; 4) eaiti* 2x + 4 coe*2x-Sflin axwe^Jf = 1. 56. 1) 4сов’х + 4в1п*г= ]+3coei: 2) 8Biii“x-i-4<;oe*x= 1+0sJnx; I 2 3) COB^ Л = 3 + tgx: 4) eUi*2x ‘Ct(f 2x+ 5. 5T. 56. 1 j 4 + 4 T ; it j!- 2) 10cos^x + Bla“x •= —, 4 _ 1) нш*х+ Hin’xcosx = 2coa^x' _ 2) ain“i-sin^xcoflj+ 2coa*x = 0. j59. Кайти ВСИ апачсния tit нрн которых пчеет решения урав-и«вио: 1) автх+(1+ o)coax»V5; 2} (1Соа*+(1-e)slnx— 00. ИлАтч все аначепчв а. ирн которых имеет корчи урввпе-ыие (a^+2)ain^X-4asinxcasx‘-+ 3. § 5. Методы замены неизеестного и разложения на множители. Метод оценки левой и правой частей тригонометрического уравнения ОД.КЧМ чэ нанболвч употребляеиых методов решения трн-гопометричеоких уравнений является метод разложения на множагп^ли. Задача 1. Решить ураэновие ZcoEtZxsin X-1 +асов2х -В1п*“0. 327 Мстонцы замены HeHseecTHOfO и рдхпйм^шп на множители. Метод оценен левой и правой >1аствй тригенйМетрич<ескогс урдЕгнанин I Вынося общя№ мкожвтель 2сов2х iiEpUdro и тркЁтъего слвгц емык, запишем уркавнбЕяе ь &ядё ;!cne2x(elnf + l)-(sinJF-|-1) = 0, (ainХ4- l)(2caa2r- h-D< Исходное уршневне рвяысищаьао совокупности дяух урле-нений ainx х-± — + лп, ■< -Б )| С0я2л«-^« Инешщпх корни хв—н й 3 Задача 2. Решить урнвящ» к±л Tx + sm3x^ Зсов2х. ; Приненля формулу суммы аижусш, аашппем уравнение п ннде 2в1п5хсо»2х= 3eos2x, откуда cos2x^Hin5x- Урнвдепие соэ2х==^0 имеет корпч X I ЛЛ ^ IT ■ - +-^, rttZ, а урав- ненке sin Ьх= — не имеет корпой. Ответ, х^г ^ ^. л Ё Z. ^ Задача 3. Решить у^швшке cofl3i + Bin6x=0. ; - Е1ркзбразуем уравнение, нтатдьэуя (1»рмулу slnr = c0ai^^"fj и формулу суммы косинусов: qoe3x+COB^Y“®J'^) ”^) соя^4х —-j J= 0. Ответ* х = -^+ял, = nez. ^ ч lad ^^Звдаид -4, Решить ураанвнне ainxcoa&x—aui 9хсоеЗх, : ' ПрсоАрвауи произведеинп трнговометрнчесгких функций ь суммы (резкости), заийшем ураиенке в виде i (ain 6x-ain4x)-^ ^ (eln l2j( + sl:i 6х). откуда sin L2x+ein4x=‘0. Применил формулу суммы синусов, раздо»кнм левую часть урпвненил на жнажитедя, нояучан aiu8xcos4x = 0. Так как ain8xs 2в1д4хсоя4х, ТО нсэщдшж ураияелие рнп-носильнй уравнении) вИ)8х=:{) (все корни уреэненжя соа4х = 0 содержатся сред к корней уравненлп ainBx^O), Ответ, х-“, fieZ. Ч Задача 5. Решить урнквекив sin* хч- соэ^ 2х - ЯШ* 3je + соя* 4х, > Используя формулы 0Ln*f=^—cos^/ а 1 4 сои2| разуем дан1гоо уравнение: 1 - cos И J ^ I 4- СОЙ 4т 2 ] --СОявх иреоО’ 1 + соп8х г 2 2 2 откуда сон2х-сок4х = сой6х-сое&х. Применяя формулу радносты косинусов, получаем Э2е ГггйвЗ fX Триганометр14ЧйС1иле уравнения 3sinXain Эх — 2 в1л Txelnx, а1пх(й1п 7x-aiti3x)^[}, Bin xaln 2x COB 6x ■ 0, nin^ xcob X coa Sx~ 0. Так КВН каждый корень ураввавиа совх^О является кпр' пем уряввения сов5х»0, то исходное уравнение ренпссильво совокувыоити урйвнеЕиД sJnx-0. сойБх^О, которые не имеют общих карвеЭ. , ftiZ. ^ Отлет- х^яп» Х = — + ■ 1й Ъ еш*х+со0®х> Задана 6. Решить уряаиеяие aLn°x + eos^x>=coe2x- Вырази» левую часть уравневня через сое^, для того вос' пользуемся формулой o^ + fr® = {e + it)((a + ft)*-3o6). Полагая в ^оД формуле U —ain*X, А-^сов^Х, йолучаем 1 - ЗаШ"XСО0^X = 1 - 8i2х- . ч А Если С'=сов2х, то исходное уриваевне примет вид + 0i откуда ^, = 1. cor2x = 1. ескв2х--|-. Ответ. X^Jrn. X —flretoB:^+ ап, rt С Z- -4 ь О При решевкн ураннепия вида а(ашх + ссгах> + Ёа1п2х + с^0 пелесооСразно ввести новое неизвестное ^-в^Ilx+coax. Тогда ain3x*=l*-l и уравиеиие сводится к кыдрвтиому относитеяьпо t. Задача 7. Решить ураанение 2(sLnX + caax}TSlli2x +1 >=0. Полагая BuixTcciax^f и учитывая, что б1п2х = ^^-1, получаем кладратпоё ураяиение <^-|-2^ = 0, Имеющее корны (, = 0, Сд»ж-й- Ураввокие ainx + cosx=-2 не имеет корней, а уравве- нне einx + coax — 0 пмает Корня х=--^-1-1Ш, nfZ. -< Я Если уравнение имеет вид о(я5т1х-е(1вх) +Ьв1пйх4 с*0, то его можно свести к квадратному, полагал ainx-coax-^. Если левая часть тритвомстрического уравнения f^x)^0 лвдяется рациональной функцией относительно elnx я соех, т, е- предстЕЩлнется н виде отношения многочленов ОТ я1п X н СОЯХ, ТО зто ураааецие сводится к алгебраическому стыоси' тдльно так как при coB^jfO, т. е. г^я + 2ял, m'Z, # 4 am jf- 2i 1 + i^ COBX = l-^ 1 i + f*' Задача в. Решить уравнении Binx4ctg^ = 2. Значения х-(2п4^>^ ие являются коряямя уравнения, и поэтому можно йоснользоватьел аодстааовкой ____________________________________________________________ ^ЛeщДN замеь>Ъ1 наязйестийго н раалож)вянй иа нножтнлн. Мятод оцае^и левоа н правой частей тоигонсмегрическаро ураьяаияя Так как И ♦ можао записать ъ ьидс В1ПХ> 2± 1+ г -^+±-а. 1+^* ' а' то исходнйе уралненис Преобразуем это урвлиамие: Урйввенне 2f^ —/ + О ae им«ет дейотвнтшгьпьгх караой. Поэтому неходкое уравневяе саодитов к уралаепню tg —->1. Ответ. *=-^+21ш, rtSZ. -Щ Звмечавие. Испольаовднне родстдновкн прн ре- шежми трнгоиометрнтескик ураавениЯ вередко приводят к трудаоп задаче аахаждення Кореей мвого'1лена. Поэт'ому такую псдствжааку. как привило, принаилК1т лишь н тон случпа, когда пет друтик путей респения' урввненил. ^ЛЗаыЁТИы, что liptr^eapumfAt-ttaM оценка ле^И и пройой частей уравнения иногда пазволяет аайтн его решеаня иди установить, что уралпепне ое шнеет решений. ^ пекоторшк случаях моясне воспользоваться аеравенствя' МП |ejnx|= 1. ! Урцвыевне может иметь решення только в двух случаях: sliix = l. sill J=—1, Екути ainx- 1, то j- =|- + 2жп, откуда атЭд--ain^i+(2'f 9n)2xj -1. в1п13х=-1. Следовательно, числа х= — nZZ, являются корнями исходного уравнения. Если Я1ПХ--1, то X—- -J -l-2itn, sin9x»ainf-i +<Эп - 2>2aJ •* = -t, sin 1-Зд — - 1, amxaLnSxBui 13до-S и поэтому порви урав’-ыен1(я siriJ = -l не янляютса корнянн исходного уранцения. Отиат. n€Z. Ч Эаднча 10. Решить ураввение (сой2х—Сол4х)* = <1 Ч-СРВ^Х. Так как |сий2х—сов4х|^ 2, То (соа2л-Сйв4х)^ < 4, причем равенство (сое2г —сдв4л)* кД является вврньпв .твшь в следующих двух случаях: 1) соз2х=1 м соя4х-=-1; 2) ооа2х—-I и сов1х = 1. Для правой части исходного уревиенин справедливо нера-вепствп 4-|-сов^1>4, а еслн coax~0, то правая часть равна 4. Таким о^рязок, исходное урввавяие может иметь рвшеинс в двух случаях (при однояременном выполнении трех раяенств): 330 || J I- Триго}+вмет1м*чес*.не урввне»вй 1) сда2г^1г cQs4jr’=-l. cqsjc=Oi 2) cos2jr —— 1, co£4Jr«>l, cgs:t"0. Пусть cob2t = 1, тогда л —пл, сой 4x^1. В этом случяе решений яет. Пусть РОЗ Зя--1, тогда af—i+ип, срв4*=оов(Йя-1-4пп)= =>1, COSX-0. СдедовдтельыОь числа rteZ, являются Л корнягии |1СхйдыАго ураьиеннл. 41 Задача 11. Решить ураалеяио Bin®x+coe*x-l, (1J ' Заметим, что если 0^а<.1, то а*<а для лк>богй А^2, причем радЁВСТВО о*’-о сираведлнао только при о-О н ы = 1. Полагав ii=ein"x, получаем неравонстао ein^x^Hlo^x,,, i2) рцразедпииое при асед причем раяейст&о siii°x=aiti’x 1ЛБ- ллнея аарным только н случаях В1пх«0 и |ainx|=l. Аяалогячдо длл любого xsR справадлизо неравенство сов^х<соа^х, (3J причем рааеистао ооз'’х'>сов’*х является верным только в случаях совх = 0 н |соех| —1, Складывая яерввявства. (2) я (3), получаем неравеистао ain®x-l-eoa“x tl, етгрвведдмвоа при псах хеЛ, причем ройенст-во (1) является верным только тогда, когда либо alnx=0, либо сое г = О, т. е. когда з1д2х™0, откуда HtZ, Упр{1ЖненнА Решить ураиненлв (01—73). 01. 1) сое XCDS Зх:; 2) ain&x»amx; 3) sin 2x=-cos3xi 4) 8inx + coe3r-0. 02. LJ coa3x-coe5r=-a)n4x; 3) я1аТх-й1пх = ссй4х; 3) coa X-heoa 2x^4 сое 2x; 4) ein*x-Mje*x-ctje4x. 03, 1) V3slnxcoex = BLQ*x; 3) Bin 4x + sia*2x—0; 04, 1) 3eln*x-1 + 4 sin4xi V 3) 2cos^ Зх-нЗеов^х-а; 05. L) 2й1л2х-3(е1пх-1-совх)-1-2~0; 2) в1п2х + 3 — 3ainx-l-3coax; 3) ain 2x + 4(ainx+coBx) + 4'=0; 4) Qiii2r-i-5(coflx-heinx +1)-0, 06. 1) 1-coaffl-x)+sln(i +j)-0l 2] 2einxco3X="Coex; 4) alB Zx-H 2co9^x = 0. 2] 2cos*2x-1-8lu4x: 4) (ednx + COBcoax. 331 Методы замены нвизаесгного и рвапожвния на нножитвии. Метод йцвтши лваой и правой частей трпгсканвтрпт|ОСкого уравнения Й) V3cog+ t!Qej:)*; 3> 1+coai=ctg 4) в[пх+Ig ^ =0, ia A B7. t> 4»1пхеояхеояат=«!п*4г: 2) I-heoa^r = ein*x, SB. 1) co8 2xH-4gin^x-8co3®i; Й) coa^ х + вш** x = li 3) 2ain^*+4-соа®Йхв=1; 4) ain*2x+сов^Зх—1+4smx. Ч 1) сод'х + сов*Йх = (!Ов®Зх; 2} сое* x + coa^ 2x + coa“3x= 3) eog*3x + flog*3x-Hiog^4x + (:oe*5x = 2; 4) siu^x+ец1*йх—ain’'3x + ein*4xi 70. 1) cog 7xEDfll3x-coexeoa19x^ 2> aLnx aiii 5x=gin 2xaLti4x; 3) coaxcosSx— 4} ainxsinSxK .1. l71. 1) 4 sin 3x + sin 6x-3einxcoa 3x=0i Й> y(ios2xaiiix + 7eLti2x = 0; 3) sinxein&x= L; 4) а1пхсоэ4лг = -1. 72. 1> 5Hln*x + 3coe^x = S; 2} eiii'x H-2cas''x-ViO; 3) sinxein Sxeln ] 7x= 1; 4} С0йхсоб2хсс;вЗх="1. 73. 1} ainf™ + x)=2ginfi Й) sinx4—^=sin^x + — VS f \ S 3 ' sin j Bln*x 3) ооя^Яхн--^—=cos2x + —. eofl*3x 74. Дакеалть, 'tro уравнение в1п5хб]пТх —1 не ныеет корней, 75,1 Найти аса значении и, лри которых, имеет корпи урание-ыне filn^x 4С0в®х=»=й. § 6> Системы Грис онометрическим VpaeHeti№ ^Задача I. Решить систему уравнений Bin X соа р к ~ coarsin р = Склвдывал уровяеяйя длиной системы н вычитая на второго уравнения первое, иолу чаем равносильную ей систему fain X C03U4 cDsxain и — 0. i : 1 , откуда leosisiny—Я1П jDoay— 1, х4^-яи. aln + ain(V“X)= I, y-*“- + Sn*, neZ, fteZ. решая последнюю систему, находим 332 Три^^омежричеокж уовянееня Ответ. "* OTK^EfH, что в paiWHCTfllLX x +у«пл, y-jf —^ + йгсА буквы л и ft могут оринниать различные целые энвчення неза-аисЕгмо друг от друга. Если в обоих равевстоах надшсать одну Сукну п, то будут псггеряжы рошЕиил. 1-' f- U Задача Й. Решить систему уряняА1тий Зсовд C06J/ + 7 eLmslny = 4, □ сое X со*1/ -3 sin lain у=3. Пусть QoaJrooey^Ut einxain^ —и. Тогда система аринет вид 3tf+7w = 4, ^ а t - ^ ^ Решви эту систему, накоднм tf — y-i У”т- 5о-Зр=-3. 4 4 Псходмвя система равносильна системе (а сонл совр——, sioxslny к* J. Скла- дывая и аычжтин уравнении этой системы, получаем систему СО0(ДГ-у)^1, {X-f/ — 2xn, соя U+ у)и- i, РваяВДИЛыгую исходной, откуда L.+ j, „ + i^_ Ответ, ± ^+itft —irn], k^Z, rt£Z. М V 6 D f Задача 3. Решить Систему уравневий (Bin Б Bin X, 4 соа xi- сов^ =■ 3. Мскдючих 1ГЗ данной системы у, С згой целью запишем второе уравневне а виде cofltf = 3-4соад, (LJ а затем нояаедем каждое урдднепии системы в квадрат и сложим, получим урлвневко 1 =25(1 - (*) + 9-24^ + lGl“, ЗН + е(-П=0, (3) И где ^ = ct>sд. Урввнение (21 инеет корни Отбрдсывдя второй корень, получаем f=l. т, е. совХ=1, 01'кудй д = 2ля, neZ, Тогда нз ураэнеиил (1) слодуот, что соар = -1, jtf = к+ 2тгЛ. k^Z. Если соад= 1, еову = - 1, то в1пд**(}, sinf/«vO. поэтому нвйдештые Значения X п у удойяйтноряют первому уравнен1ио системы. Ответ, (2лд: п-«-ЗлА)* n eZ, fteZ. -4! ^5 _____________________________________________________,1 ЭЗЗ Систвмм трчп(}номеФИч№<и;< уравнений Решись систему ураинеиий (76—78). 7в. 1) Гсови+у>-0, сов(л-^)«1; 2} Э) Г sin JCCOS^ = -^, 4) { 8iniC0ei/=-— CfB i в1л j/^ 4 ’ cosjf slii^ = —; 77- i) (Binx-sinya* 1, [eln^i + coe^if— 1; slnxfilny ■ cosxcoai/ = - V3 CDS (X — у) V 3 CDB ( £ + ^) r г> 4) MSeiCO0^ =■—! COSX-(-CDBj/i>—. JS ■* eln*x4-eln^tf——; ^S.' 1) f+ I coexcoey=ii к V2 a) CDSXCDB j/H—. “ 1. Bill X ccis -f ctg X tff);=1^. § 7. Тригономётричёскмё нерэвеистра ^^Задачд 1- Решить неравенство совх>-^. По определению coax — это вбспнсоя топки единичной окружности, Чтобы решить нериведетио cos*>l, нужно выис- чР □ить, какие точки единичной окруасвости инеют абсциссу, большу» Абсциссу, равную имеют две точки единичной (жружиостн JWj н М, (рис, 134}, Точка получается поворотом точки 0} на угол а Также на углы — ■^ + 2лп, где n-=±l, ±2, ... . Точка получается поворотом на угол я также вя углы где л-±1. ±2..... ^ ® Абсциссу, большую -^1 имеют все точки М дуги единиц- ■й вой окрузкностн, лежащие правее прямой Л/,Мд. Таким оСра- 1 зом, рещекними вораввпствв соаг>— являются все числя х И9 я 7Г * пррмонсутка - -с X , Э 4 Все решения данного неравенства — множество инторва- яов tt4Z. ^ 3 3 ЗЭЙ Г ,.'1; i- Тригоиометр*меввиЁ уравнеьин Абсциссу, не Ролыиу» -i, имеют все точки дуги еднаичноЁ OKpy^cnqcT’ir (рис. 135}. Поэтому рсшеияямп вера-оевствн соах<^ являются числе Jt, Которые арннядлежат прО' межутку Все ропюния данного нерялеиства — мно- 3 3 Htocteo отрезков ^-1-2лп< jf<+ 2дя , < О Э- Эадвчв 3. Решить иеравеы'ство ain х> — ■ Ординату, ие меньшую - —, шиеют все точки дуги М,ММд единичной ежруншости (рнс, 13fi). Поэтому ретиоииимн нора-испствл яinл^>—^ являются числя припвдлсжащие ираме* И. Ts жутку 13ее решения данного иервченствв — ино- и б жество отрезвов ^ —+2ип<х< —+ 2лп, tt€Z. и а Отметим, что все точки ок* ружиосгт, лежащие ншке прямой имеют ординату, меньшую (ем. рис, 136). Поэтому асе jS числа ~^) являются решениями неравенства а1пх<--^. Все решения этого иеравенетвя —" интервалы —-j-h-Zitrtj, n^Z. Тригон№етр||<чес1;ив гЮ1»ве^ствэ 2 Задача Решить иеровенство IX Обвэвачш! —-1-дСь Решая не- ршеаетво cosx<^- [рис. 137}, пиадвик + Йлд<х< “+ 3яп, 4 4 Заменяя х = —-1. делу* чнен ^+2:rrt0. TsK как |--coBx>0, то аолучввяое вера1№нетво равишидь' JG ко нарсшнетву cosx>-^, которое было решена в задаче 1, Ответ. - ^+ 2яА<х< ^ + 2п*, kiZ. ■€ IX -Э I Задача 6. Решить неравенство i/n Scoe.4jr 8 >-Й1ЛЯ. HaitHCM решекжя иерввеиетва на отрезке ддивой' 2п. Все вил-чения X из иятервала (О: n)i — решеввя неравенства, так как вшх>0 при О-сх^гс, я левая часть неравенства определевв н нвотрндвтелъда при всех х. К!сли б1пх<0, то неходкое перквеа-ство рАВНССНЛьео кязидому на аеравеаст В + 8я1м4х S > eia^x, & + 3coe4JC>2(l -2сон2х + сов’‘£х), сов2г(1-|'сов2х)>0, сов2х>0, atn*x< —, 1я1пх1<— 2 V2 Так к&к етх<0, то — <в1пх^0, откуда — — <х<0* V2 4 336 II I 4! |1 ТриГОйСмОТриЧеСкВО уровнент) Итак, на атрсакр 3ir 2' 2 рсшспт^ямя нсяодвого Ейрааев- ства являются все яясля кз мятеряалн Ответ. — ^+airi(<;j<. 5JL4. ^НН 4 4 Упражнэвио Решить веравенстео (79—в6). 79. 1) со9х^ ™; 2} смх< 3) спях>— ■—: 4) спвх<- •п 4 Л ^1) cos J 1: 4) совх<-1, 81. 1) einx> i; 2) aLnx< —; ainx<— 4) smx>— ^— 2 2 2 2 82^ 1) sinx> —V^; 2)sinx>l; Я) 4)sinjf>l, 83. 1) \^coaSx—1. 8A1) «,=( f^-г) =. i 2) »to{^3)<- f. 2) СОЗ-Х—coHX-=0; 85. 1) Bin*x + 2aln*>0; 3) 2flin®x —sin*—3<0; 96. 1> ->0; V a — (jiji £-^ СШ r) 3> 4) ^CDs’^X-ScDBX - S>Q, V 2) COS XI Уг>раж*1рнин N главе IX 87. Вычислять: 1) 2arcBin ~+3prceinf—2) arcein—^“4arcgiaI; 2 V 3 / 3) ereegs^-^^-arcsin 4) йгссоэ(-1)-arcsin(-1). Решить урпвнеаае (88—98). 88, 1) coe(4-2x)=-^t 2) coa(e + 3x) = 3) \/2сой(зх+J)+I-0; 4} 2cob( J - Эх)-V3-0- 89. 1) 2einf3x-^)+l =0; 2] ^ ^ J=0; 3) 3-Ь4в1а{2х + 1^-0: 41 &8Ш(Зх^ i)^ 3-0. 90, 1) + V'2cc*92j(l -^cosx)=0: 2) (I - V^coBxHl 4 2sjti 3xcos2x) = 0. V2, 2 ' 33? Упрвдснвния * главе IX 01. t) 3> V3-t^(i-|)=0i 92, 1) 2ат’*дг + Мплг-0; 3) cos® дс - 2coaJC“0; 03, 1} 6sin^jc-c(iejc+6 = 0t 04, 1} t^i + 3t«JC=0l 3} tgx-J2etgjc +1 = 0; 4) i-tg(x4.:i)-o. 2} 3fiin^x-6ain Jc-2 = 0; 4} бсое^жч-7coex-3 = 0. 2} 8cos®x^ I2einx+T—0. Й) tgj-3-O; tjfx+(itgx-2. 05, ee. 97. 98. m 100. 1} £sin2x — 3oD8 2x; 2) 4eiii5x + 5coe3r = 0; 3) bsincoBjf = 0; 4) 4бшх+3cosx = 0, 1} Ssin^i + sinxdosx—2cOfl*x= 0; 2} 2aln®x + 3flitiX(;OBX-2cee®x=«0. 1) е1лЗх=в1л5х: 2) coax=cPs3x. 1) ciffi®3x-c(ifl3xcoe5jc = 0; 2) ашхвшбх-sin* 5x-0. Вычислить (00—ИЮ). _ 1) 91д^игссоа2) tg^arccoHiji 3) tg ^втхжов ^ J. 1) Bin(4srcain l)r 2) ain^Sarcaia 3) co5(0ftincam 1); 4) tg{ 4 arcsiD vl )■ 102. 103. Решить ураливние (101—107). 101, 1) Bln2x + 2cas2x= 1: 2) c tg^ii + arctgЙ} ctg^i-arctgaj. решить урйвлепве (110—lift), 110. L) *)п2х ^П' 3) в1пЗх 3> сдяЗх „и- Sinx в'тх Сййх 4) С4вЗх _Г|. б) а1ад »П; в) COAX _П coejc Binfijt счеТх Lll. 1) cds^esin2> fllnxtoeSi = -1. L12. L) 2cog3;c —3slnJt + CDBf; 2) coe3jr-cDs2ji;~sin3r> 113. l)ii Bln 2jc+coe2r = 3tgx+1^ 2} в1п2т—coB2i-:tgjr, И4- 1) Bln^ Jt + cos^ if •-lain^Sr; 2) В1п“л + ййн®*= J.; 2 A 3J eln^ jc + flin^3jc=&in“ Здг: 4) «№®х+Аоа^ах=-в1ь*ах+sin*43i, it£5] 1> в1пЗх + |ЫпхНв1п2х: 3) cos3f+.jcoa x| * ei Д 2Xt ctgx-niii 2x EOBfijK-eiaSx atg2x; 2} . =rtg2x; -It V ЕзадХ+ЗедаЙ^ сонЗдгЧ<а1пСх i coflx+BiaSx flljv 1) V2ct)BX-Biiix»c:tgxVsinx; 2> VBbJiixcob2i— V-Tsin2*i 3) V5tgj + 10- ®lflinx+ ^ ; £ coex 4) Vl2-6V^tex = 3einr-J^. CDSJT I Ift. 1) (V3+l)8in8Ti-ain6jf 2) (У^+UcoH^J-coaSu ^\fS< lainxi Icaarl 3) Sx _ I coBfljfii. ?1пдг сад lir 4J Д^лйд: » еовЗх |а!л4г| goax Решить систему уравнений (119—122). 1-) J ' ё)п 2x-i- 2y^Q\. aim Ь 12(1. n i mlnv~3' coax 1 [ dnx 1, ^ совх-совр= V^. coB^ 3' [sinx+cosy-I, 2) I flin rcoay=-|-f 1 f ain* * + Cos* У 1) rctg*2x + 32sln“y=65, I —I-------4 COB у = &; ca&x aui L ^ 2 L4 am f - £ainy ~ 3, . 2casX- coBy ib:Q, 2> I tgx+t«y+(,gxLgy=l, ,sin2y-V^e! hx=l: 339 Упрежиення к глеев К 3) J cgs2jc—2еов*'^+SJ = 0, jctiajf Vtio^ = 0; 4) fVi + [scte VT + einxsmi/—coay, 2ctg^Bln y-f VS-0, Perntti-b керавенетво (123—125). 123. 1) + 8ШХ-1 <0i 3) 2в1л^х-Scqa* + 1 >0. 124. 1) ftln-^ + coQ “ > 0; 2) соз2х + совХ>0. £ -A 125. Ij cofl®x>4: -i) I2e> НйЛти ртшсоин неравенства саах-'а1нХ"Сцв2х>0 на HHifepiiAJia (0; 3it>. Д27. Найти ftte решения керяиенстол ein xsin2± ^isin Зхн1п4х ИЯ нп'гервйлс' ^0; 126. КвАти все авачения а, при которых уравнение 4ain*x+2(o-- 3)cfisx-|-3tr —4 = 0 ныеит корпи, п решите, это уравнение. (129. Ияйти вое анячепия а, при которых уравнение ain* X - В1пх соях - 2сон^ х = ы не имеет корпей. 130.'При клких зрнченнях а уравионНе siD^X+dOa^X=u имеет корки'/ Нпйтм эти корни. 1311.1 Найти все анячення а, прп которых урлипение alii ‘“x+cos’'*x = a имеет корни. 132. Ндйти все зпачеппя а, при Которых уравнение Bin 2х-2а V^(ainx+coBX)+ I -ея* = 0 имеет корни, и решить это ураанение. Вопросы к главе IX 1. Что нваываетси арккосинусом 'теле а? 2. Что называетси арксинусом числя а? 3. Что Етозыввется арктвжгеисом числа а? 4. ЗарнсйТЬ формулы для пахождеиин парней урааненив а1пх = а, tgx = 4. 5. Записать равевства длл иычиеленнк arc8ln(-. Ки1сие уроннеиия ваныяа»т однородными? Привести иример. '•■ Привести пример уривненнл, при рещаиии которого можно использовать метод №:[]емогйтельво1'о угля. Привести пример ураинеыия. при реи1снии которого можно нснйдьаоввть формулы замены синуса и косинуса тан' генсом полонии кого аргументр. 340 friaai* |> Триганометрячвекие уравнения Vs Проверь 1. Jlafiru авя'чеа:ие выражения: 1) агссш 1-|-агСй1п О; 2} пгссоа^- 2. Решить ураьийцна: I) а1лЗхеоад:—slnjreua3i‘= 1: 2) Зсон*т + 5сйдт —3; 3) tgx-3ctgjr»0; 4) BinSjT-ё1пхжО; 5} 2ain jr-i-ein 2х> 0. Выннслнть: IJ сое^я^вгссовО.З); 2) аш(ап;сй9 0,в). Найти эначнЕжя а, ори кдторьг:( имеет -смысл выражеыне агсз1п{] - За}. Найти все решення уравнения Bin^jc-J = 0,Si удойлетво-ряющие неравенству jc'* — 4ic® с О. ' Решить уравнение: 1) ain*T-e&os“i-Sainjccoejf*0; й) flin J + acoeje=jeliix|: 3) а1п2т-эе1пх+5совх + 5'' 4) аш2тсн>а4х=^1П 6хсон8х. I I Историческая справка Еще дре1ше1‘РЁческне математнвн. нспольвуи элементы трнг(Ж014етр11И для решения прямоутальяых треугодышков, фактически составляли и решали прюстеншке тригоиометрнчс- скне уравнении тина atnx=u, где и Ja|1ДКв колебательные дин-жения, законы прохождяння знука, света, электромагшггнмл волн. физикн, например, и;№«стыо, что ураяняния гармонически к колебанигй маятммка, неременжогчэ электрического тока заЕШСыааются в виде y>=Лзiл(cй^ +а|. ]Сак 9Ш уже убеднлмш,, часть тритснонетрвческих урДБНС^ НИН непосредственно решается сведен нем нх к простейшему виду, нпотда с нродаарнтедъным разложен кем: левой части урао-яекия на множители, когда tipaeaa часть равяв D. В некоторых слу^шлх удается □рон.звести замену неиэвестиых таким сбра-аон. что трягоно метрическое уряаненнге преобрязуется я * удобное* для решения влгебраическое уравыаяие. К сожллзишо, нельзя указать общего метода решения три-№ЫОметрическнк уражншнии, почти каждое- из них {кроме про-ьтеышик) требует особого подхода, _______________________________________________________341 Историческая enpaaj^a ё 1ЫЫ»М>>>> gHg^aESo U g; Ц E a n gyH £ 3 e ■D £ s о ■Ч X Z Si *< Я t)l » № Ч Ф r СрвЯ№НИЯ ёЗ Среднее ярнфыетнч«скос 30 — геиыетрятч^^^кое 30 “ анячеше вывари н 5tt {^Foncjiii ялгяОрАИчвскап] урввне' нвл 102 ---' " с Ерр&цийшигьвьш (10- (сяаяфядйм 1d1 ^ •-----с ЦРтуряльвын покяав- т«лем 3 — с pUUfQBULIlLltrf ИОКБЗВ' ТЕДЕЧ -------е целый сонаштелен 3 СкеМА Гярцера 97 Тангенс 270 Торена Бсау 100 — Вметв Эч ^ снОрятияв 70 — о цеялчнБЛЁЕшых решЕтшх VpiiBWBiri 103 — Пр(»КМ11ШЛС>ЖНЙН 7Й ---oflpmriiDft 72 ^ пряман 70 Тшидсртво Й7Й — йсыйьц|№ трвгцнцтметрнлескк 275 Треугольнин Пвскилл 117 VpDBjrfiHUH врредвоннльны» 103 — квйдр&тныс 32 — лннейлые 9 ^ лргчрнфннчеспае 245 — ьдньралпые 3SG ’— первой CTCiueiiH с двумя шпо' нестнъпон И ООНЙЙЯУвЛЬЫЬ» 216 - рахкосвлллыо 186 — г^^Едствия 187 — триг-Ц1г01не7ф1гческве ЗИЙ Фйрыулл дшгееин нвогочленов 03 -------с оопткам 94 — ттерпсща к новому оенаняикв) логарифма 237 Формулы cjmweHHn ЗА2 — 11рин«Я)вШ1в 294 — сокращеннаго умно»1ЁНяя 6 длв старших сшнёые! не Функция Й1 — дробио^лкпйхвй 184 — 1(щ|драт1тцпал 35 — лиЯейяан 2.3 — лог&рифммческля 240 — монотонная 178 — овраттннал 177 j— обрятнАя прпрорцконалъпйя алвисны(№*п> 23 — отркппенная 167 — нокявотЕяьпвя 210 — прямая йропцрцновалънал эа* нис[{М(зсть 23 — (иганснля 181 — сганеияня ) 65 — Ллёмйнтвршя 1BJ Частота 50 — отжкйтелъваи 5В i]jicyidhi>iG иножоства ва Ответы I'.irUllJl I 1. й) 1. 2. aj 0.037; -0.064. 3. 2) 4) - i a®bV, 4, 21 * 3> ^6*^ kSA + SxVfl- 3) a,56-7eft-i„'ifl^. 7, 2) -jr^ + jr3 + 8. a) O.lbfl'*4) 36fc'*-bB*rt-i-0.26n^: 0) 0,00В-0.12b+ -Ю.б^р^-Ь”; 8) d*-e*+iff-^. Э. 2) (6rt-7p*)(6n +Vh 4) (o,09jr*-- 1 ^ if® j (o,09r* + 111;®). JD. 2) 6и^*(г1-6Н“: 4lfn + ftK 13 dl-(l 12) " r 13. 2J 14. a) 3 4)1 лвпрцчср. ■ IS- 18. 8, - .1. 4(a-l>] ' 9d*'-l0’ ' Зи“(3-ЬвГ 13. 3J -S 3 4) 1.40112'10^. 17. Z\ 10. 3) j-1; -1) J = 2,a. 20. 3) x-0,02. 21. 2) j: = 1.11. 32, 2 км/ч. 23. leo KM. 24. (2; 7), Й5. 2) (-2; -5). 30. 2) ^2; 27. 60 u 70 стрвинд в лг:пъ, 28. — 10 и le. 29. 240 ордборон. 30. 80 и L30 ело?. 3J. 21 j, гдь ж — лтбое числи. 32. 7 брнгвд по А человек г 1 6рн1'вдв на 8 чвлгжН; 3 бри^пди по 6 человек и 4 Орнгпды по 8 человек. 33. 2) 4) (-0.6: -2,iabj; 6) fO.I; -0,3). \ I Тт I и / 34. 2) г-±1,6; 4) JCj -—1, J(,-3; А) = 3S. 2| При <х^2. Зв. Й) При д..0,8. 37. 3J Такого авачепря а пе сущмтнует, 38. 2) При ьг =— 7 X — любое Число; ври ы к - 7 корней нет; 41 при л = 0нЛ-1л: — любое число; пр>т и = 0 и й^1 кориеп ггвт, ври а О х-----5~' я-О, 6-0 л — любеч* число; при а=0 и й^О корпей ает; при пд:0 йб"3в, ■ч а 3 2 любое чвс.'ю; при " bic-4 М)р1№й лет; щгк ц А — jc = 26 4-B, 39, 2| При 0=3. 40. 31 а —2; (3jf + 6:p). где и — лтобое ■‘(Ийли. 41. 2) 63 лдерп л дель. 42, 3) 40 км. 43. 2) 85 кш^ч, ВО к.м/ч, 44. 2) 30 лет, 13 лет. 4б. 2) 55 р. в 108 р. 40. 33 с<0. 61. 2) :^>г,2. 52. 2) rt’-l; 4) л--5. 53, тг=8. 54. 2J Решений нет; 4) лг<-6. sa й) JJ--0. S9. 2) л*;О; 1) -2<х<4, ДО. . 3; 2; -X; О; 1. 01. 2) л:<а,5. 03. 2) X, - = 4. = кйрп^^й; в) х, =-2, д:, = 3, 63. 3) "Kx-tfi; -1) Х’1-3; х>5. 04, 2) Мет решолиЛ. В5. 2) '0,й4х^0,3. 67, -S; -13; -0. 08. 2; 09, 2) 0; 1. 71. 2) и х-5.3: 4) lf^ b)1; 2] х>2: 3) х<2. 74. 2) (О; -31; (12; 01. 78. 2) Одни, 7ft* 21 ^=^- 80. 2) h-- 3. 81. 2) при при Я2. 2} [3; 3). 83. 2) х ^3. !М, 2) Х>-1. дя. 2> jr-c-2. 88, 01 х<2<. 8Т. 21 лг^-0; j>0; -1} ТПКИК акьчуимй лет. АО. 2) аг-О. 91. 2> 2b-vT, S2. ^ >У5д, 03, 13+eV7, ftJ. 2) ji; 4] %: 8) 64. 9й. 21 Ь-V^: 4> а-Ь: 51 й-а. 1М1. 21 V'lb; 1) 2 vS -2: 01 1.25+V3 1 0,TS Vo. ат. Z] б vl >7; 41 3 VD->2 V7, &B, 2) При 41 прк ИВ* 21 41 -0,4rt6V^; 8) 100. 3) -VS*: 4) -V^: G1 V- 101. 2) 41 - iflo. 2} 3 3 4 и 1,8; 4) u К«>гди ?тз1 '[Ц[:ла ралнм. lOfl. 3) l+Vl; Ц VlO-1. DvU 10 lOT". 21 HdT KCipHdA; 4> *=±3; G) Jt = ±yj S| jTj=0, = 1(1) 1,-0, Jj-l.e; 12)JC, =-e, Гд-5; 14) ^^ = -12. Jg=0! 10) j = 4! 1в)л:,=|^, j:2=4; 20) itihr корней. 108. 2j Нет Корней, 10ft, 2| ДГ^т4а^=0, И0. — 3 34 -1. in. 2)1^ =^4. U2. 3> (r h4>U + -^): f aUi- 1},; fll ^(r * 12)i(jf- 0). 113. 114. 21 * 3 3 j + 1 -5^ JEjj чЗ: 3) JT=^4! 4) 3 fi) = ns ai 1: - L3: il x, 116. 2) (2; -3), (t* “i)' -la rt S. taO- )3 КН/Ч, 18 ЧЛ/Ч. 121. S KM/1. 122. 00 дж>£, 80 дней. 123. 13 '■ и 18 ч, |2-1, 12й. r;--aa. 126. 21 (ti-2)(4J + 2Ho-V51(ii + vl6). 127, 2) (lia>, (-l;-3). (3:1). (-3:-ll. 128. 11 2117; 3163, 1ЙЙ, XJ^|: 2) 4I, 130. 21 X—~ 1. 131. 21 JC,«0: llpH arO JTj=—; 41 lipito^U жфНен нет, тгрн #-i ft- 132. II ITpH a<4; 21 upH a-4; 3) apif [i^4. 133, ii, =0, = ,134. 2|i ripH Л1' I, 135, 2) He прнннлле;кнт; 41 при н11Алеисит, 136, 3) X, =^-3. x.^=Zi Xj — I : 8j ^1 " ^■ 137. 2) (-3; 0): ^1 oj; (Oi 10) 13B. 2) f - 2l -2): 1) (0; =71: «I ( J: =101: 8) [-2; 71. 141. 21 p- = 3: 1| 1. 142, 2) 17- !: 1) 144. 2J p--4; 4) if = &. 145. 2) Ндпмспъшее лт1лке1Е1ТР (/(—31 = -1Й; 4) иаийольшее лнп' •гелие ,^1-11-6; 0) ииимс41,шеи :ibLDiiL-Hite р(-J,5) --5,6, 146, 21 р=4, Г! 4: I) Р- 2,/1~ I- М7. 1 1 4. 14в. 7 см н 7 сн. N0, 3-3, ISO. -З-г^; I, 151. —2'- Г‘" —. НИ, 2J - 2, Jf ■' 4; 4) ,т^ —Я; 51 и(Т jMnriTifmii, IS t, 2) Х‘= - ; 2 2 41 д — либсК' neci.Ttk; fi) jc—Э; 1Я5. 2] -3 3: ill x2; 4) X- 3. -ItLx-t-l; в)-7<*с-3. xs>2. i59. 1] -64: 2! -3cjf<2. х^-Я: 3Ji -2<*<-1. 2х>-в; Й) x>7, 101. -3\Т, Ч lee. 1} Xj —1, = 2i x^=-l. = 3) x-t: 4) x,--l, л,т=1,в. ITOl чилиш 122 яШигетсл '^бзтпм плСЛ^дамтрЛ^ИО^ГГИ; число 92 нс авлйпся членим иослелоиьтпыыкгги. 171, 4-; 2 —; О; 29, 9 3 17!^. 2) 0,1; -0,02; 0,004; -0,ОООВ; 0,00010. 173. 1)32; 2) -3. 174. 1) -0,001: 2) 27. 17&- (J -3; 2) 0,5- !Тв, U -2; 2) ±0.2, 177. 42, 17В. 125. 179, II a,j = 10, а,=43; 2) 4j3 = -10, a^^-Ы. ISO. i) - i, Ь, - ^ ; 2) Ь.-1в, Ь,-а»Й. 1«1, 1)364: 2) -ЗОЙ, 1SB. 1)=21—; 2) -1 ^ II 18 1в ■ S3. 1) U, ~Ы, d-l,Z; 2) - \9. г7~- 1 1В4. 1) -8: 2) б. 185, 1) Т; 4 2) 6. 1вв. При п -59, 187, -66. tsa. 473, 180, -Т-. tOU, 5,-3, i;-2 4 ' или ft =24, fjiK — . lOJ. 1. •*-*— - ZTii(J97 T9 K-i J94i * 2 3 микробоя, 195. 40. JOG. 1) 11; 2) 5,5. 1B7, 3^. 19S. 1.3. 200. 6 — 13 ” миля, 6— мслнппа, Й— — грсдирс, 7 ^ раамь*. 201. Верными лпля- №(ч:я ddHUCii З^А/, —24Л1. 202. Верни, 'srrt] 1гД щ 74Л, 203, I] 13, {б), (7|. 16; 7): 2) 3, jl}, {2f. f3|. fl; 2\, il; 3|, (2; 3}. fl; 3; 3), 204, 2| 1 = 1; 0; 2; S}; 4) {- 4; I}. 205. 1) Оиружлйсть о цевтрим ы тички А н рн-днугиы 2; Й) серел1тнлыЙ: лерпилдлнуянр н отрсаку AS. Z06. 2) (-2; 1; й}. 207. 2) AV.S’^iZ; Э). S\A^|-1; 0}; 4) Л\В = {Б; 7|. B',A-f-S,5) -б), ЗОВ. 2} Mhoikbctso нррв.1!,11(Ш11лъпых чис«л; 4) все Дййс1гвап-л1,иыс не-пилыр чнслл. ЙОО. 2)ЛПЯ-'|с}, иир-[|а: 5; с; J}; 4)A^ifl-e,Aus~ = 210. 2)AHS=|1}. AU ]; О; i; 2; 3); l)Ans-(6; e), AL s-j„5: 5:-6; в: 7|. 211. [5: 7}, {l;e], 21Й. s: |0, 31U|5:7J, 3JB, (1|; 11; 2; - iOj. 214. i -^\ 1]U[6; +^xs). 216. A^\l: 2; 0; 0; 0; IB); S = {1: 3; 1^1 /4 S = j1; 3; 0); 9 — нанбольший ибщий дслы' «ль чисел 18 н 45, 21Й, Зщсмргггы ивожиттвй t^i'D— обшис нратпыс чисел 18 ы 45. Нвцмсльшис чисдо, [|рпводлп№)щрс нножестпу Cf*U,— 1Т0 нлнисшдлее fOuict крвшос чмс«л 18 н 45, ihibhuc 90, 217, Pi 2: 3; 4), 218. |< 1; 0; 1; Э), 219. 2) AUSd С«(х:-2Сх< 1); AnBiiC-= j-l; 0}, 220. 2> Мнржсетнс леек прянпуг0Л1,лик.ва; 4) ннця^сстдо всех ронбпв; в| иножегтвл нгех лпрлллвдсгрлммсн; 7) мплм;ё1«тя*} лссх квадря-тпи. 221, 2) х-1. 222. 2) =|.<х<4. 223. 1) Ss 2; 5J. 224. Ill - 7<х-^7; 2) Jf>2. 32Й. 1) 2^2; 2) 1&<3: ЗИ' не люСм us- ТурПЛЬПОЁ ■ГМСЛ'О ЯОЛЛОТСЯ 4) у ЯбиЛ11 t\e *?лртп ^3: ij: ац [1; 346 Ответы wyTHWTi^ 22Й. 2) {1; 2i Б; 10); 4) jr^ 1; G) x-. 1. 227. 2) ^^[4; 5J: '0 -)-(»). 228. 1) JTujKiiti. шггмвжо; 2) нспшно, штгнтю; Э) лочс' HU, Н£ТККШ>; 4) ИСТЯВЛО, ЯСПШВВ. 229. 2} JJwKHQ, Л(7ПГПП:п| 4} IlCrttellOt НСТ1ШНО. 2Я0, 21 Условна; р., л„,,, , ,т яеАГ — лввис 3 послело^ »|1тел1нт|11 члевв ярифмЕтцчеекоЙ ^сиииичовые: д Я^ ^ ^ творгиа; <£сли ^ члени пгнук^дона'^льнигтй Р. + о _IL , тй ди.>шлл аш:лс- а , а а . (лК/У) TAHoeEiii чти а ПЛ+1Лт.р fl*l ловате.чы1(ктъ является ярефмппсчяхкпй григриииисй*. 231. 1) «Если сумела цратят1шлйЖ1и£х углоя ■ктырехугольття рАявя 1 SO”, то ^нйда него NOHiHu (iTitr-CHTb □)с|9ужвил-ь». Утверждевис встипла. 2) «Вели лрп □ ерессчАнвн двух пряных третьей прямой оЙрвзомЯ1МЯ*сл Нйлрмт ле-jKEii4he углы pauEibi. ¥1> данные две прямые 1твралледт1|гы*', Утлери^лпнне ветняаи. 3] «Кглн окали четырехутя1>11Н1ш монсие оанеат!. окружассть, то он является Щ>ямоутолы<яяом*, УтлерлсдЕПве лЮжио. 232. 1J «НеоБ-ходнма»-: 2) •доетатично*; 3) iп-еобходино н ди(ттптрч1Ю1'; 4) -«яеоАха-дкмо*> 233- 1J Пряноутйльлилн ие явлшнцийсн квадратом; 2) рнвно' сторовний треугошмик; 3] 3 + (-2)» 4) равноеторонкий треугалшнк. 224. П Утаерждеинг .тожыо (коытрпрнмер: 2 + Э —5-д21г. гле k^ZY. 2) АОкл:з«тадъстни ястЕшнйсте утвсрждйнля: тл-Е (пН'1)-е-(п4-21--> 3r Ч'3 — 3 |л + 1 )>- 235- О При лк}5аи 1(1 2) npi< А»0; 3) при А' —О; 41 при Л1йБйм А. r\rain.;i 11 3. 9- 1) I; 21 1; 3) 1; 4) U Б) 7. 10. 1. 11. 8. 14. 11 2; 2} 2. 17. - ); 0; 1. 22- 4. 27. 1> 2; 2) 1; 31 1; 4) 1. 20. 1Б н 4D — нв ыаимпо простые члгла; 2) i=2-3(, |/="—1 -41. И Z. 31. 1) (G; 2), (G; -21, (-5; -21, 4=5; 2). (И; 10), (11; -JOJ. (-И; -10), {-llj 10): 2) (Б; 0}, (-5: -2ЫИ 4). f-l; -в). ЗЙ. I) (8; -Б>. (4; Б), (-4! -Э); 2) (-6; -8), (-3; 2)у (5; -в); 31 (4; 2Т). 12; -17), (22. 423), (-18; 3071; 4) (3; 20), (1; -1Т), (10; 397>, (-l.-i: 191). 33. 1) (2* О; 2> (3; 2). 42- 1) x=2 + 4J, у-3-31, feZ; 2) х-2-7(, tzZ. 45- I) Gt 2) 1, 48. *a^J3. 40. It -2; 0; 2; 4; 2) - I; 0: I; 3) -2; 0: 2; 4) -3; О; 1, 50. 1) (2; -2}, (-2; -2); 2} (-B; -8), (-3; 21, (5: -в); 3) (-6; -7). (-4: Я|. (4; -5); 4J (-7; 5|. (-5: -Б), (3; 3). I'll Лил 111 1. 1) J-- и 2) Г-2; 3) 2*^ * 3*-1: 4) -2г I 3. 2, 1) 5я-Й: 21 Зд^-Я-Й. а. 2) /*(r1=(4j-13)Q(r)4 1; 4) Р(я)-т(* < 41C?(JflH .г-3. 4. 1) М(л)-2д^-5, K(jr)-x^+13; 2) М(г)=г''-1, Я(я1-9; 3) Af(jf)-3, Л(х1-*^ t 9г^ +*; J) М(г)-5х%3, Я{л) = 2г-1- S. 1) и = 2, Б=2; 2) а—1, А-2. 6. 1) л---3; 2) а-2: 3) в--Т; t) я»-(. 7. 1) /f--6r+5i 2) Л(г>-21л-34. 8. 1) Юг+59; 2) 11т. О. я-2. Ш, л--.3. -I, 27. ВО- 11, л = = Б-ЗА, fr-0, ±1, ±2, ±3....12. 1) l’(jf)-(jf-3)(flT^i-x+2H3:2) 1^U) = = (х + 2И21*-Б1* + &г-1Б) + ге; 3} f |jc) = (x * Л(Л*^+jf*-jf>-2: 4)/’(дг>- (3 Зт + Э)(т*Ч^1-|')+|. la. а=1. 14. 1) Да: 2) да. 15, П »: 2) -2; 1в, 11 —; 2) -27. 17. 1) о, ±^; 2) 1, ±4; 3) i 1, -2; 4) ^ , i5. * ^ 12 18. П -20; 2) -20. 19. Т|-3. ,--2, НК х„=--^- 21, а~-4. Л--1. е-4. 22. 1) Нет: 2) да. 23. 1) (т+(Ил" + ljt + 7J; 2) |х+3)(3л^+тт1): 3) (Ж+Б)1х-|-1|(г-2): 4.)(x-21(je-\'S)(jf M'S). ___________________________________________________________v347 Ответы М, IlXj j™±6! га. во. -2je + 4. 27. л^ + а^ + 8, 38. Ь—]', t*=-6, 8(1. li JT,- - 3, jPg— L *^ = 1: 2) Xj(= “ 1,4 33. ti Ж--3; 21 T,-2, =-5; - - \3. — 1, = 3s -1, * -4 =2. 1 I , ' *a ’ 3 'a c — 3 ‘ 2>д;.й. 35. ^=-32. 37. 1)^*1: 2) = i, ± 1; 3) ^ ~^* ДЯ| Jfg “ “ У Ч JFjj ^2^ ^ 2) дЧт :fj™-2. «. l)r,=-|. ,g-0. Xg~i.x,-2; 2J 1.,^= 5±V5+4V5 ~5 g .-^-----------' ~i,a ^ 14, 1) И1 x ^ + Ь4*''' + 30** + 24* 4- Jdj 2> o'**® i *■ S& + О %*-3*lV+4i>«. 45. П. +fl|j®x h i®; 3) X = 2k+U 40. n-2k. *tZ. 4B. 7x^*6x^W0, 49. c*“+»* + (! =9, SO. 1) ±pVjfi^-4qi; 2J 5j/n^=y?^, ±(p*-ij1 . 5l. 22. S2. 0Й. 53, |je^++JP|^IX ><(**+!(’'-ipli, 54. хЧЗт** x=2 "O. 55. j'*^10r* f2x + 10= 0. ***■ ^i. — '‘2- ST. 1) (p-x)(if-*)fj-x); 2) fx* =*j^+ii*|x 58. tf.r-.i.. 5 = .|-. ([(>. 1) JM*. .|.2p“); a) Ж*, pi-(3jf + j^K2x+ifX*-p>rjf^ «з. ij i^6DoV-Ul5*J='il* + 240u»5^- + 2) ВЭЗП+10*4^ 4-40**+ettx* + 80x* + 32**: 4) *^»+4*^ + 7*‘‘ + 7т^ , + Л_ ^ _2_ + В 4** IB** la*” B3. II trjg*4 И1 c{g**i 3> 4032**. B4. on. i> aa; 1 256*" 21 2(j. 67. 243. ee. C^gj m. C^,^У‘ll■ *. 70. 4Э5-Н^. 71. ]) (3t T). (7: 51: 2) (6; 2)i 3) (3: u> (1: 31: 4| (Г.5: 8.6). (- 7.6i -fi.6j. 72. 1) (3: 5). (-3: - 1): 2) (11 »1, (10; -3}; 3) (3; 2). (2-. 3)1 4) (3{ 0), П: ^ E). 73. J) (fi: -5), (-5;й): Й) (9: 2), ( 9; -2}, 74. 1} (5i 2). (- E; - 5i; 2) (4: S), (5; 4>, 75. 1)(2;3). (i3i 4). l-l:0)i B) (-3; SI, fO.S; -1,5). <-2i -41: 3) ( -g : =J, ( O.S; “ 1.51. (1; 0); 4M-^i -3). (D.S: 2,5). (0; 2}. <-2i 0>. „, (_■ ._i.f). (.i-f .-l-f > « a+ vTt \ ^ j 77. -0 и 15, 3 H 15. 7S. 24 и 0, l,ft il 19.5, 79. 4 tht и 3 t!M, SO. 1) (4: 2), (-4i -2): 21 V3&j. [-^! -V^j. 61. (3; 1>. (-3: 1)1 2) ^V6; -^), VO: =^)- &3. 1) Oj -2). Укиаипие. Цыполыить uoijrDitnuD AEJt^imt!; 2) ^Q; 2|, (0: -2), (li-:i), i l; 31. 83. IJ (Ol Щ, (1: 1). M '■VS . 1-V5 348 0 Ml-Vfi 1 H-V5 1 ,, ,. ^ g—j. У Knaaimc. OiaaTbi X nCJIHUTif tlO'Llieniine 'кна.н.нке. e сложавле; 2) (?г I). пштит!, почленное сложевпв. ft4. £■* м*. М. 2 ч в 3 ч> ввь ВО чы*, G ч Р л«л1.. S7. ав. 20 км. Ш 7 Ч ^2 ннв. 00. (2; -3|. Уклап ■ JEH6. Сложить и Дополнить до НАЛяыи квлдратов. 01. (3: -3>. (2; —4), (Oi-2]. Ун КЛАН ис. Рассмотреть каждое уриннеиие как нвелрптлое ствоснтслыгп X или д. 02. 1J (3; 2), <-2: -3l! S) (Oi 0>f (1; 3), (2; l>. ВЗ. — f+S^3oini^V9ii®t^ + 10sM. »4. 11 &x^ + 2ri 2) Эл® 4-2; 3| + Of ^ ' + i;*-r4-l: Ц *Ч;^Чл'“+л^+д + 1. 95. IJ i. 2J 3) Af(J) = 3r+J. ^(*J-s-12j^i-3x+T £ £ -Д ь --- 4> JW(x) = 2i^+j?-3. Д(*1-т + 3, Hfl- g = 3±V2. 97. 98. j,- 00. 0^6, a = -2±VE. IW. я«- 1. t-- i. -^^=-1 101. 1) JT—2: aj:Xj-3, Xa = -3; 31 J--3: 4) t, = -2. 102. ti~ 1 5-0, Jfj = 3, 103. j-23, 5-- IS, Яд-3. 104, U ±^-2, 2) je^-2 Ж^=-0,6. 105. 1) J,-l. Xp—3! 2> rj--a, r^-3: Xj,- = - Lp jt^^ —2, ^ — 3; 4ji X| ^ — Xj^^^liV2i Ь) X|^^“i2. ±vT0; fll X, ^=±1. Xj ^ = ioe, П X, —1. = 2) x-i; 3) x-1: 4)Xj-i, — О (0; 2), fO;-Sf. (1;1); 21(0:0), (-2: il, (2t 4)j 3) (3: Ц. (3; -1>. «1-3: ^ 1); 1} (3t 21, (2: 3). (Б: 1), (1: 5). ШВ. II & - - 1, f--fl: 21 6 = 1, c^-20. 109. x* + 3x 4-B, 111. 1 Ч ii T.5 ч, Z, X. 112. l)x, —T, x„--2. Xj-2, x^-3; R1 Xj 1, x,-3, 113. n P(xJ'-(x-2)“+(x- 21^-2(X-21-T! 2) P(xl-r(x+21^-lfi(x+2)^+ + 55(#+2J® - Й()(х+ 2)+ 7. 114. 1) X, I,- -3±V5 g ; 2) Xj g——1 dr\2, Xj —2. 3) x,--3, Xj-2: 41 115. 11 (2: U, ( 2; -1). (# “Vl)' (_-l‘ (3 1^3: VT), (-3 V3i -vaii 4|| (l; 2). (-U-2). no. (0: -14|. (-2;-3}. 117. lift. 9 Ч 11 6 Ч. r-p I'.'lnllEl II 2. 5,5 ti 5.0. 3. 2) Втори; ft) nepwip- I. 2) Иррациональной; D рлнло- нштынш. 5. 2) tlp{Hii;ut)iiJLqhiitHb. (t, 2| It): 41 7. 2) vTT-V2,l > VlO V'57f- 3 ft, 21 ft: 3) 2+V5. 9- 1.414ft; 1.42: 1.4M21: 1.7ft; 1.7320. 10. 11 □: 2) 0; 3) O: 4) 0. 11. У иная:: не, Ислодьэсмт. ин-тд дй141щимыт1а ют прстт-пйгн*. 13. 21 Ди. и. 2J 341. 10. 2) JW 41 да. 17. 1) О; 2) 0. 13, 2) l,5t 4) -f. 19. Э)-Э1-|г. 20. Й1^; 4)|=, 21. 2| Нет; 4) да. 23.2) 4,УЗгв. U 4 tf IHJ 349 Ответы -JJj* 5,-12. 23. 2) м, i> -1: 2) 9: 3) I, as. ЙН. ae. л - 1^71 ] 3" - ‘ g--. 38. 7-^-. 28. H'5. 30. 32. Z\ 2: 4) 1Б. 38, Й| 81; 3*. l> -11 Э) -4i 31 -г. за. S) 4} ЗЯ. 1) Sf 2) -11; 3) 37. 2> 48: Э) 20. 38. 3) 33; 4) 7. 39. 2) 0,3; 4) 2. 40. 21 SO; 4J 10. 41. 3) aV; 4) аЧ^. 42- 2> 3o5; 4) -.43. 2) —; Ь 3 41 44. 2) 4) 2; 6} 4. 4Й. 2> 3s; 4У2 -. 4fi. 2) 1; 4) 47. 2) 2; •A 71 d a- 4 41 B. 48. 2) 4) nV; 0^ Зя. 40. 2^ *>-3; 41 BO. BJ 2, 51, 2) 6; 4) .'») 4. 52. 2) u5*i?. ад. 2) 3r; 3) 0; 41 ц-1. 04. 11 7; 2) 1. 55. n fiVa+Vf; a> aVa-vs; з) .j] i/iuT^j. f fi Й 56. 2) 13-Т)" прк jr^S, (J-3)^ при *>3: 4) -3i-&. 57. 1) Vb\ 3) 3*Vo5: 3J 1. 58. 21 VT+VTT 4) a ' " 3 (v7+’v'v-VrffX,! *^1/ - v*!/) 3[\^+\^+^){T+y^Vxy) . r;;p ,r>Or SO, r*+(f* itO; , где i>0, tfSO, jr* + ^*TiO, 63. 11 -уж. 03i 2) ^ , u>2: l^a<2; 3) e. a>0. 5’.,Qi ti — j£ j$ — -C| 4> 0. е^ли Jf-O, -2\/xi млн r>0. V<-*: - 2Vr - I 2\ix вели x^O, I ^ . йчл9 Г0.0, 0(:iH<;l: 51 O: 8} l. ea. 2) 9; 4) 16; 0) — flO. 2) 5j 4| — i 51 —. 67. 2) 40: 4) 135. 68. 2) 121; 4) 750, 69. 2) 0,3! 4J 3,75, 70. 21 ft: 4} a. 71. Й> 4) -u^). 72. 2) + 4] (jf'-i/^)(jr^+p^): rt) 73. 2) 41 (зв^+-<'‘)(9я^-Зя^с^+сТ] 74 jj Я) 41 1 I Jt*—:;■** It a " f = JfS + jIyS+^3 M -|^. 7S. IJ 4: 2> 27. 79. IJ, 32; 2) 0.75. 80. 2) ^ 41 3'»>2'Л 81. 2) (0,013) '=,-1; 4) 27’ ® >1; Si B| 3S0 Отваты 3) 3) ea. 2) v'B &^i io~. ws. ai <яЧ, I* i L 1 ЗД, 1> Ui 2J 1: 3J 'll ST. 2) 3. 88. aj Mi 3) a + b. '^f~b Й». 2) 1----IT; 4> Ev'F. от. U ч7| 2) =2. 01, 1,83 n^; 1.Э1 m*; 1,74 w*. Va + V'i ^ 92. L> н^в‘^^ ifr 2) m3; 4j лЛ W. 2) Jf—94- 2) дг= i_ a_ 4____ ft -— 3i_ 4> от. 21 41 Via^vas. w. 2) 2j,; 3) i—sT W. ai aVS: Ve-Vtf ?Vd 41 от. a. 99. 1) v*-a: 2) 1. 100. □. 1Ш. 102. d + ft n' V 29 33 loa. 5306 p. 4 H, 1D4. 21&3 p. TO к. 105. Й) 2. ЮТ. 21 1 — - i 4) lOT, 11 1; 0.01; |t в; J-^J: |f: 3> 2; 0; ^ *«<■ ' = &: 0; 3J jj^! 4, JOT. 3) l&i 41 JOT 000; 6) UO. 11 |i Я) 3) 4. in. 2> ®S"; 32«; ( *) ': H (-|) *5 (О.Э)"^. 11Й. Z) ( Д )”' (OHl) *; 4>(^) '^>(^r^. 113. ajd b4jJ.lU. 2) в=*. 116. 21 y(ll-li)*> >y|li_llj*. lie. 01 r=3! 4) x~2: 5) z—a. tlT. 2) flS-ft». . 119. 1) Jto, х>2; 2J геД; 3J *ц-1, x?4; 4l Xi-O. 118. 2] I. 1 aie^a ISl. »„.“2.''s.ie2, 123. 2, ^5- 124. Щ-. 12». 1) 2,i^. l«.i|f. 128, 6V7. 139. о-2-V^. lao. 1) acli. 131, 1| xSl; 2 ^ ya-v^ , 3 ' 4^ a) 1itV9-V0+\^J . gj ?'3-V2. Ш. a) T. 134. 21 2v^; 1> i 1 ’ 13S. 1) 0fa*-fcM; 2) 2> xcl-v^: x>l+v'5| ai -l-l. 1S2. 21 . 138. 1) -i! 21 0: aj "3. laa. n вср^ x+ \ HPi- 2J норио. 139. 1) Еслй d>5, то - —: если ’№ ——. 351 Отваты I лшш V J) д:г К, If >0; 2) i/e.R: A\ xrO. jr^O: Б) JC»eO^ jv>0^ 2^ 1| lie я1и;я' йтся; i!> яилн«тси; 3> ле н11Лй[ггсц, Я, Ij, Я) 1>грп1пг№л« ипн#у; £) огралж-■icim сверху. ■!. 1) Нннм?вьшс« Звн^окие jr-0 прк х-0, aauOojcbuicc аил-Ч1?ние jf—1$ при X—!!; 2| нелменыит? шичеишш ^=-128 арп х——ннн-вйльшее ацвч(ШИ1? j/ = 2l8T при ж = 3; -1) иаи^лъшее значений ^f-1 upu х-1. ианмйш.шев аыаиёиле U=“^ Х = 4. Б. Хо 4) (и.7й>* ‘ X; Б) <0,8) '>], О, 1) fO.35)'’■: (-В.Х)'’; й) [-^]’'^ч;{-А j"; 4J fV3+1)'"-^. 1V2 + 2)’*V 7» 21 Овластъ онреднлеинл фушснии v=r^ — г41тпнсеетна всех деАствктедьвык чисел хеЛ, илижестпи зяа'Есыи^т фургн-П.НЛ — пестри ПДТеЛЫ1Мс ДвЙС1гвИ№4ьЫЫе -iHevib jp>0; обл-йСТЬ СП- реяелелн]^ фуикдин — Л1Ч1тр11Щ1тгл1|т.ге действнтелс^ные числи X >0, Tilt же ндй в нцпжестнп згапеянй И. Й) Обласп. аиределс- ниа — чяпжестпо осей дейстаитсл]^11ых чисел; миажество зил-рений — ЛеЙСТНИТСЛЬИие числа ^>Й± фуницнд убывлет при -Ят 1юэрасттпс*г при x5-3i HL нвллЕтса рг|1цр1нчен1Г(>й; rmnweiibiDee аидчеиие р-г2 при JT=-3. и. 2| х^О, ^ 41 JTS0. Х^>0‘ 21 < 1; 4) 1. 4Я. £1 Х4ыше irpn х > L, инже при 0< г^. I. 14. 2} Выше при [)<*■■; 1, нише Дрн г> 1, la. 1) ({|j)* ^: ZJ И,5‘‘‘‘'>2,в '^^^(буй) '*, t(f, 11 р-х'^: облаегь оиреда- ленр^я — псе чкеяя R, миржестно ацачеывй — все чрглв ^>(1; у — х*’, оЛласп! цнределеиин — асе -[ррслл х>0« инонсестви) Знпчспнй = flcc числа p;j0i 2> !j=x^i обллрт. anpeAeBcpip^H = хгЯ. чпсжБстпо ярра-рениД — ytJl; ji=x'^i аИлнеть лпрел^пепня -= хг^О, миожесгва лиачеппД — 17, 2} Въ<ШБ при 0-iX-: I, т[нже ири Г.--1. 48. 2) р>0* убыпает, ис налятн oipipuH-icutioH. 19. 2) х< At р^Х. псарлотаат при x-;fl, убывает при е^-0, пн1тБидт>шее ina-ieime 1; 4) х^Л, ^/^^-2, визра-гтает гррн х<;0, убывает арн х:р(Х, не иплвегсв С1гре11иченлпй, п1Рибплт1Ш№ зкичевие {-21; в| x^Ot р>2, убщает трртр х'-б» пезрлсталт при х-.О ЙЙ. 2] (О; CJ1, (1; i J. 21. =- 1.5Бт^. 23. 2) й^2вБ0 рш или Л-0,414 й. 2S. 1|| 21 й= p-Vx4- 3. 2». Й1 Все 1 4)^(x)^fVl + lV^. дп. а я Дейетнитрльньре чррслн; 31 X ^ С, ^/^4. 28. 2J ^(х| X- t ] Й9, Й) 4>fxl-х^ Е Я, 41 4>(х)=х“'+3. 30. а> Нет: 41 Я1. Й) p=-Vx»: 41 !^=-Л за. И1 х; 1, р;=0, у = У^-1; х?и, д *- pil! 31 p=ix-ll : Dce леистпит«1ЫП11е ^и:Рсла; v-VX4l; л(* др-йстирртглт,-HPije чргсло; -1) y^VX’ 1: х>0. у > 1; is ll“; х:.:1, р.-О. 34- 1] Облвгть» рнределе;|нл = х^О: миожергсва анл-реннт) — р^(1; футркптич MCjpaeTfleT Лрн X' О jr ири X • й; 21 пбллгть ОПрБЛеЛС1Г11Я ^ X s= —2, ЛН&жесТво ;111Д-■рений— л=^(1; функция убывает- ари х- -Й, х: -2: 31 пблдеть енрелс' Ленин — X г О; миижестно .Т1гн1геп:пй — у*1-| функция лпзрвстррет при С 4 р-1- 41 р=-й* —, m Й) х-5; J/-2. X . 0, X J О, ЗЭ, 21 X- 1 ■ X -б ЗН. Й1 Нет K'jpiieil; 41 пе-г корнеБ. 39, 2} Ряшрогнльпы: 4) ралиоснльньл. 40* 2) PaiiifDcii^p^HfEi; Ц piP трпенасклыгн. 41. 2) РаППиеилр.Нь[; 4) лн рига- 352 Ответы ижильны. ■ЛЗ, 2) Итчрое. -О- 2} Iltfr нл>рисй; 4J л =4. 44. 2) 4Д. 2) Рааажнлъаы. 4в. 1) Рпзноснльлы. 47. О^в.. 4Н. т-3, 49, 2) т~6. SO. 2) -3crtl. r>2, М. 2) Jf^27; 31 r=5, 5S. 2) Jf--T; 31 jfj-3. — M 2) r-5; 4) T^--3. *^-4. 57. 2) (25; 1); 41 (^; ^). M. 2) T=4: 4) T--1. 50. 2) Jf-S: 4) rj--3, 00. 2> T, — l* Xji=a, r^=>l. St, 2> Jr=T-3i 4) JT-18. 62. 1) X- 4; 2) jrsS. B3. 2) x^lU; 4) I, j = ±VT7, .Ta*=±V2. 64. aj T,--l, 3. 66. 3J flaui 41 один. W, U Jj-O, *■?- ■t^-2. Xj.ij 3) Xj j,. «a 1) 2} (3; 31, (-2: -31, (-2; 3), <2; - 31. 60. 2] x-5. 70. 7t. il (1; B>, (7; -T), (|^ i )j 2J {4; IJ, 72. 1) (10; 0); 2) (4;-3), (-4; 31. (3;-4), (-3;4|. 73- 1) i--^(l + V'4B*+fl) при aj^O, НИТ пОрннй aim u-^iO; 2) Xi? —1-b. 4'VfJ^-2[i + 2 ирл a> ], НГТ кортл^й при u v 1, 74, ]) Kx< t.iQ; 31 - S, 7Kv 21 (Ki-:0[ 41 T<13,S, 76, 2) 2<*.;3: OJ 4 lu 77. Я) 0:r-l; 41 01 2<т<Э, fay 1) 21-3<лч:А, 3 v3 - аг. 2) 41 J^4, fti. 2> 0cr<4; 4) 0 x< IS-V^OO _ 4 4 86, 11 К JT-- (i“+ J лри ot- P, RW ре)п«!П110 прл u (;6: 2) ^ (2 + V2Kx2. 00. 2) (f^—+3i 4j^_ ) 4) у - V* I- 1 - 02. i) Являютчя; 3) являются- 63, 21 Л-21; 4| 6) 95. 21 (V21\ (1.91\ 41 n К (V2) П ,31 2 Я ”* I h i (6,5) 4. 96. 21 Ядлнютсй; 41 lie яяллкжл, 07. 2| if-x^ -4x, x<2. ^ J - 4; 41 if=e*-x*'-9. x>3. (/^1. 08, 2) xi- 1. OCjr<3: 4) r<=I. x D— "i + "i i я 6} r>2. 109, 2) *- 1: 41 л=0, 1O1,2>t-2-70; 4)x,j= g~ ■ lOSi. 2) th 4| x>-i. lOa. Ill 6 xi8; 21 x Utn'i cliJLU d.'2, TO ОчХ< j ll 2} - |o| iipu rj ^ 0, нет ргшс}пг6 при л-0. 'I'fi 4а^ 353 Оташы I ,t.4Tiit VI !f. 2) BwibiOe L; 4) 0ОЛШ1« 1. В. 3) X- - 1; 4) X-2. В. 3) х>й; 4) х>- 11. 2i Х?1: 4J XTt±Z. 1Я. 4; 14. 3) 1: IB. 0,76’^. 17. 88.4 ri 22Л r. J 4 Д-ЗШВ jp IS. 4,87* 10* 1Э, P = e lo''.2 "li ; 8,9-10® человек. 2l. 2} x-—; a ^ 4} x”-^. 23. 2) X--0.5; 4) x-4. 23. 2) x-2,5{ 4) X=3i flj X=0.4. 34. 2) x-1: 4> x-3. аь. 3) x-Oj 4.) x=0. 36. 31 X^ = Xi=l. Хд--1; B1 x=-1. 37. 1) r—3; 2.1 x-2: 31 x^-O^ Xa“-j; 41 x=3,23. 38. 1) x^=0. Xj-2; 1 “ 21 Xj=(l, Хд = Н. 39, 2) x=aj 41 = 40. 1) Her Kopaeft; 2} нет корней. 41, 1] Xj =- 1, Xj=2. Xjj-4: 2J Xj j-±l. Xj-2; 31 X, --4. Xj“-a. Xj--2, x^-1: 41 x,--2. Хз“-1. Xg = 3. 42. -a.:A<2. 43. X-4. 49. 2) x<2: 4) x<-0,&: 6) x>3. 46, 21 x>4; Ч) ^3i:x<;3, 47, 2} х=1? 4) x=2. 48. 2J :!^txl; 4) x0. S2. При x<-2. &&, 1} -6 1: 'll - = <;j<3. 57, х<-в, x54, 58. 0 {0; -2), (-1: -3): 4} (з-|; -M. 60. 2) (4: =ll. 61. 2) (1? IK 0-Г lO / 62. 2) 13; -21; 4) (0; 1). 63. 2W0; 2). 64. U x = l4i 2) x=3.S. 65. llx-l; Si 21 X--3, Л6. 1) <7;3)i 2) (1,6; 2). 67. a-y, A-y- вЙ- 2> 41 в6. 2) 4) 71. 21 0.04Ct<6. 72. 2) X--2; 4) Xj-3, Xj = -1, 73. 2J x=0; 4) x-2. 74, 2) x-1; 4] x-3. 7,1. 2) x<-l; 41 -2.ex<2, 77, 1| ЯвлЛ1птс11; 2) uajidjmca; 3) не явли- юкк; 4] не япяяютря, 79. 0,01«я<^ + 0,01р)"‘'р, 81. 21 х=24, 82. 21 х—9; 41 х=1. ВЗ. й) х-0; 4) х- = 0,6, 84, 21 -3<х^1; 4) -l^xtiU 85. 2) |1; 11. 86. 11 На рнЁяиеильлы; 21 раиыоеильыи; 3) не равноснл'ь,- НК. ва, 2) X=4i 41 х-1. 8В. 2) х<-3. х> I; 4J х<-1 х>4. 90. х-(1. 3 ^ 91. Ь-1. 92. Х- + 2. 93. х- Я, х>0. 4 Г.1811Я VII 1. I: 2! 3: 4; О; -1; -2; -5; -1^^; 2. 21 8; 41 О. 3, 2) -3; 41 и С 4 4 4, 2) 4; II О, S, 21 -1: 4) 1: Й) -4 7. 31 3: 4) -3. 4 -3 я. 21 -3: 41 -S, U. 21 1в| 4) а. Ш, 21 64; 4) 3. 11. 21 144; 4} I. Э54_____________________________________________________________________ Ответы 12. 2J x~6Z^; i) 6) -22, 1Д. 3) x<7: 6) jf-cO. 14. 2) -1,6; Z 1 ? * t 4) -l^, 16. 31 4) fi) I le. 2) 1; 4) fi) T, 17. 2) x< О 4 7 q ^-3* x>Sfi ej -y1. le. г) f=lo4fj д4: 4) Jf-y (1-1(ЧГтЙ)- so. 2) л-7; 3) ' V6 21, 2J *-logj4: 41 1,^-1. *j~iogi2, 33. IJ x, =0. Xj^logj ^S; s ' 2} X ^log^ ^2. 32. 2) 1 ^x<2f x>3. 34. a?*0, то X'чlclg:^a^; «ли ксО n 1, no Xj =log^[-fll; |>1гл1[ o-O, TO Kopiitfi uut; если e- 1, TO x-0. 3B, 2) 3; 4) 2. MJ. 2) 2; 4) -3. И7. 3) 4l -1^^. 1 1 17 ^ ® 2Й.2) 4S-4, 2ft, у log^a^2-aioiffjfr; 4> 2) U. ач. 1) 3; 31, 31 l.B: 41 -3. 33. 3) 1 i; 4) 0. 33. 2> x=. 4) 3 fr* 21 19; 3) 476; 4) 32(6- 36, 2) -log^T: 4) -31off,3. 38, 2> -4) -|. 37, 2} 1. as. 21 2logj,a: 41 -41ьДдО, 4(1. 2) x-4,5, 43. 1) 2(£i + ft-l>i 21 2o + ^. 43. 2> 0,846: 4) -0.176, 44. 21 0.603; log., 6 1) -0.154, 45. 21 1.29; 41 -0.42, 46. 21 1,3: 41 -15,42. 47, 2J —: 1 log^ 10 4i в) V’”- 21 2,26: 41 1,6в; ft) -1. 4B. 1| 10; 2) -i. log, Б lotf^3 tx», .. 1 60, 21 Х-Э; 4) Л-3: 61 x~2. 61. 1-i^m; ; ^==1 1+^, 62. ^ + m. аз. 54, J±^. Sfi, i-^m, 68, ат, _з±^±^. ni+ft l-i-2rti 3 1+6 2+n+2ii5 Зшд + n +1 58. n,„,2»,r “• » -*= *' -*■ “■ =' ‘1-7- Xj-27. 01. 21 1, 62. O' ЛВТ. 63, 162 ходп. 64. 3052 качания. 66. 11 На 2273 года; 31 па 9Т лет, на 115 лвт, Укнаанпе к откету па ооарос 2. Нужно ндЛтн f, TUH06, что 5'=,(Й,Й ■ Ю®1(1 J-1.05 + ,..+1,05'“*1, т. е. 5-10’^ - 2.2-10® 88. 0,D017=f0,9)^. откуда d=^l2 м. ^ O.D5 67, r=tf*, Укйзлиир- 1'асснотретъ соотиошеиид между лоедрнфиями чисал я цтрокак тяблици. 08. 2) 2,7182766: 4] 2.7162В1В. в0> 2} log i 9> >log| 17; 41 Itigj70. 2) log,0.45<0; 4| lQg„|.fl,6^0, * 1 ' 71. 2) x-^lL 3) x>l. 76. 2) x>i; 4) x>0,5. 77. 2} 0сх-:0.1в; 4] x>0,lfl, ■S 78. 3) X=0; 41 X=48; 81 x--l,6. 70. 2) r>-l; 4> -2 x>4: 0) X -3, 83. 3) *>-l, fieRt 4) x>^0, у,-К; al x>l. ifiR. 84. 21 X—2; 4) t=^2. 85, 1) x>6, (f^Qi убивает лрп aosiJBeTBcT npn x>l: 2) x^O, s/^K, убывает при x^. О, un^tpabTaEr прч x>0; 31 x^3, 355 □тнеты у^к1№ят npin K<-3, iKujjLCTuut при 4) jr:?-0, ^>0, уйиоаег при 0£. B6. 1) xi±3; 2> =] Корней нет. 92. 21 Х-1: и Х^“3, ij=6. 93. г> (I; Й). 94. 2J Xj ^=±9; 4} х=10: 01 х-Э. 9S. 2) г-3; 4) т=&; 4} X^ = 100, х^ = 1000. 07. 2) Дп, ад. Й> [а; j). 09. 2) Xj=4, Xg=V2! 3>x^-3. Xjj-9; 4J x,-2Y, Xj-|. too. 21 x-y. IDU 2) x=-4 19!L 1) x^=Vг, = 2) ^J = f* Xj = 2. lOS. Ux-5^ 2) x-4. 104. x,- = 11. Xjj--1, Jg-3. 1Ш. t| x^=4. ~ I Xg=\f2; 21 X Щ-. lOe. x-0. JW. -с"у‘ lOS- 2) x,»T, x^-14. _i 109. ci;>0, dxl, iix5 *, 110. При a^4 u a- 0. 111. При n-0 н a - -1 урав' licjiuc не MiAibtrr корнйй: лри о<-1 *-шщн корень х —при «>0 — ндин кприш. х=(а+ 1)®: при а —-i — один кореш, х— у; при ^1 <й<0, I _____________________i 1________________ .... Л —.= два корпи х. н x,“(u+l>', ИЙ, 2J х< —; 4| -2<х^2, 113. 21 1<-Я0; 41 IntriilO: 6J x<-0,0fi. 114. 2) x>25; 41 ~<.x<3. 115. 2) 2 zxV2. 117, 21 X>T; u 4) решений пет. ll&, 2) x^-J. x?4; 41 хс-0,Б, x>3. 119. 21 x.<2, x>3i 4J G^x<7. Ja\21 -A^ V10000, 123. 2) log^| , X>log^2j 4)х<^^1; = Щ S d d 124.-Jogg2уСивионшд. 135. 21 x<0, x;>2. 130. 11 x=|; 2| x-2. 137. 2) x,-J. Xj — 4) x^-4. X, - 3. 133. 21 X--4; II x-2. 139. 2) x*f4; I) x-c-t. 140. 2> Рещанцй нет, Mf. 21 x>l. 142. 21-4.G; 41 3fi: 6) 2. 143. 21 2 ^ в \^8. 144. 1.223. 145. 0.611, 146. 0=1 е1«; Т<) Х> ^ ^^ , если О-idс 1, to 0<х^ ^ «<□ Д в— 1 pemennit -н-вт; евди 0<в<1* то je<=-L'. -’v'a сjt-cO, Q<£<''[a^ Vd 'Ja ЕСЛ1Т d>l, TO x<-V«i —4г■CJf<0^ 0 f ■« S= f • *• “•• ‘“'= => (^)°- ® (^)° 0.1 M. 5. 2 ряд, e. T. 2 ряд. 10. 11. 1) 120°™=“ p(U; О 15 О ai 150"--^ рад. 12. 30“ = f род; 75“=^ рад. 13. U Щй 2) 20^ 60"^ too": 3) J, -|, 14. 3) (0: I): 3) tO: -l); В» (|: Ц-)\ ei (^! -“)■ IB. 2) ro; 1): 4) (-1: O); в) ID: Ij. 10. 2) fO: П: 4) (0: ~1)- 30, 5i> f- -^}t 4) (1; 0), (-1; 0>. 21. 2) it+2iiA. рде * — любое целое '1И(л1о; 4J —^ -|-2л,^н гдв ft — любое целое чполо. 22. 2) Вторшн; 4) чм- 4 Б oepTSHi ИЗ. 1} л-1.Эя, й=4; 2} JC=—*=3; 4)х=--л, А=2. 25. 3) fO; i); <1 3 4) (Oi - О. 2«, I) - Ж + йлА-, кчг-. 3| ^Ж + ajrj^, 27, i) Ж; _|.. 2в. 1> ЗБО'+ОО^; 2J 300“'Э + 20": 3) -360°-2 + 20"; 41 -360°+ 270"; 5) 360^ Ч +О"; б> -3№° 5t40°. 20. ft-e еооивд1шн43 иронзпйдет черео О5 + Э0(А —1)) ЫИ11. 30. ft-o сийиадсыди лереа [6-|-B(ft—Ц) чин. 31. 11 ПМБ ! 2) 32. 1S". 1й', 15^ 34. 1) -1; Д) -1; 4) 1. 35. й> О, И 1в ч tj I* 0; Ct) О* H^i, Z) 2: Л) -1. 37. 2) 0; 4} -1. ЗЙ. 2| -7j - —, _ 4. 30. 31 яг--^ + лА. k€Z: 4) х = ^ + 2т:*. k^Z. 40. 2> Ля: 41 нет. 41. 1) ^i 2 -4 3) 42. 1) -^0.25: 2>2,75. 43. Hlr=it+2tA. hiZ\ 41 д;=х+ЗлА, кг Z-, 6) х=-4тг+ 44. 2> Ворпо; 4) peuipa&. 45, 1) 0,09; 2) 0.7; 3) -0.22; о 5 4) 0,34. 46, 1) ?in30''>sln20'4g40": 2J cw42“ СОЙ4.5 с О; 3) ci>a(-5,3) > О; 4) со»( It0"><0. □ 357 Отне™ t2 йЭ. 1> tg^n>0: 2) t^3,7>0; 3) 1й(-1.31<0; -i) Чгг8»"<0. M. a>etna< M <0) co»u>0^ Eg(i<0; 4} eina>0, совц^й, t^qX). 56. £) 9]лЗ>0, нжэ-coi 1^д<0:4>я1п(-1.з)<о,«*ь1.а)>п. itfi-i,3K0. за. ajo№(|^+B)< О; 4) О) einfn-Et)>0. 57. 2) aiELti>D. Сййа<0, lifncO, etffiKO, SB. 3haicii ftfjunajMKiT ЛЛЯ и для irca<”, алнки рда- iS £ янчны для ^<а<*и дяй ^ < cic 2н, й9. 2) с<зи ctw ^0: 3> tg' + 2 2 Э в 4 + UT а/К 2) «и1.3>«н2.3. 6J. 2^г--^+Ад. k^ Zi 42. 2) Da итр|14й. 43. einu ire моисет, едва ыожот» угол ц ту- пой. AS. 1') Вольте ггуля; 2) меньше пуля, Бв. Дь; до; явт: дп; пет; V2T. пет. в". 1) И* tcftryri 0) Могут? 3) яе могут; 4> не мо1-ут. АЙ. 2> — - 5 ’ 6®. г\ COBU—0.6, iga—4- fitga —-: 3J юва-^^, tl £ __ J 4 10- 1 - BinUK- 1^' *5*4“ ■ 12 . ttfw 13------a)Bina^ 70. 2^ 4, Ti. „ He -oryr. 72. caau-: Lga= 73. 3) i; 4) 2. 74. H) =. 75. 1) ииг^щ 2> 11 ''ll 3 1.6 3) errata; 4) -sin*a; 5) = SUIU 0) ptwa 7в. 1) eina~MM4.“ + V2-p^! 2|ein^aH^ coa*u = i77 l)ni®-2; 2)±Viri*-4: 3) •A £ 7S. 2> 0; 4) 1 i- Bln a. IH). 2) 4; 4> 2. B2. 2) 0; 4} ce. SS. 1> cm* a; 2) sin^a. 86, 7 . 87, 2> J=i + nlf, kL Z; 4) 88. 28. BB. 90. , Й ____ £ Jp 125 02. 2) 3> -3; 4) V3. 93. 2) 2сши; 4l 2. 94. 2> U.5. 95. 2) -2ома. ■Э 97. 2) jr=^+ k(^Z: 4} в) х~^+кк. ktZ. 9ft. 1) Боль- ^ £ m £ ШЧ Н^'ля; 2) nmifUTF- пуля, 1(ML 2)-=f 4l|—191, 2> 4) -1. lOa. 31 * , £ 2 £ e 103. 2) ™na{l; 4}_l. |(M. 21 4) 1. 105. 2) km. 2)-«м]1вй1н; £ Ц ■fl slmictwp. 107, —. —. 108. = —. 109. Z=. 110. 2} ieoa^a; 86 85 es 38 2 4J в1лав1аЗа. 112. 2) 1; 4) V^- ПЗ. 2J 114, V'3tj;a. 115. 2} eJnSp. ■ Id. a>^:=- i rot. kfXi 4> л--4я№. 8iEZ. 117, 11 2EiE±li. 2) соя(а-Р1. 4 №1л{[1-5) coe{^a«'(}} a> It 4) —; 5li 1: 6) -1. 118. 1) 1; 2) It 4) 1. « 35Я Отвиты I m. 2} 4) i. 124* 2} 4> -i. 12S. 21 -^: 41 -2, 126* J27, 2) -^. 12Л 4- lB(f. 2) aln60“; 4>Coft*3p. 130* 3lcttf®a. £u u 13B. 2) 135, 3) JT-wfr, kfZi 4) л-^ + пА, AtZ; 0| ;r= j+itA, kiZ. l+««i 1-™|(|+3u) ^ 136. 11 1; 2) 1. 13». ai --4J -----------^140. 2} 4) 1. C A # 141. 21 vO^i 2, 142. 2) VOlT: 1) 14T. I) 2) t. 140. con4ti. 3 150. 21 x=4xh, jf-* + 2nA. 3eZ; 4) A* Zi fi) x- fi 8 4 — ^ + hAh A€Zi 6) AtZ. 161. 1) He eytqpwnyrt; 2) нс dytHC- !a 4 b diTiyrT. 153. 1) fl = a0"! 2) a=40'*: 3) t) a-^. 1Д4. 2) 4J -i; ^ ^ 2 3 6) - J-: , 1И. 4) в) 1. JJjB, 2) ^1. 157, 3) —. 2 2 2 3 2 _ eofla 156. 1) 31 - I; 31 i! 41 150. 21 -vT; « ^-1- 1в0, 3j 4i £ £ ir ь 41 -1. lee, O.fli 0,8; 0Д&. l«7. 21 X-<+2™%, kiZ\ 3) х~п+2як, k^Zi 51 168. 1. (70, 2) Vlsinp: 41 вШЯа. 171. Й) О; 4}-^; fll 173. 21 2\/3i1b 177. 21 0. 179, I) 2) 2ems^(i-aJ-ctg2a; 3) 2tgwisUi=‘[^ ^); 4| £cl«t30" + 3alfllJi^(30“-aj. Ifitl. И a\/aaln(j-|}c^(|+|}! 2) вш(а-|)Цй+J)j 31 2alu(x + |); 41 2н1п^х-^^, LS2. 1) -4з1аасов ^ Е1П 21 iMsaain 7цсОа2ч. 184. IJi .i(coftl0'-i:w3(ri: 21 + 31 i (BlfieO^-BlniO”!; £ ISu ± 11 ^<«ое10^+е:4я20°)^ Б) ^ (atn 2a+atn 2x>; G) (noe2ii+coe2x). 135. 1) It “ * 3 1 * a 1 talri2u; 2J 2coax-coe2x- L; 31 ^alcta- —я1пЭа: 4l ^ + 2™аЗа+—cioe4a. 186. 11 va^^. gj 2} ИЧШ! 3) 4) 1. IIW, *- + AtjZ. IBl. 0.75: -0,25. 192. 1) x- ^ A. k€Zi Z> x-^ A, ACZ; 32 2 Д _ о 3) х-^ + пА. AeZ: ■*> >0** Й1 ct^^o- ^ «I 2. ^ ___ & Э 106. 21 11 4) - 197. 21 - 41 - 1 -^- 11»> Ж Zii^lhii. 190. 2> -tlgti. 201. 21 —.202*21 4 4 ^ 3 ■■ ■ 2 1 V"2^^_ 4air2tt. 206 -2. 209. l4- ZlO, -4^. 21», 6 9 11 35? Ответы Гллнл ТЛ тг 3 1. 2) 01 4) 6) а. 2) 2ж; 4] Bif. Д* 2) ftrCl^i (--) : ДГССЛМ-11: ч ^ 4 * 3J srcwiEtf—^arcmsf- 4. 2) z-±-^ + 2itn, ле2Г: 3) jf-±-^ + 2irn, nfZ. 2) jf=±^n-ircqoa-^j+25tfl, nfZ; 3) r=±-^+2n;F)., niZ, в, Й) jf- = ~ +-ЯЯ, flez;4)jc=±~ + fttrt, rtEZ; 6) t = ~ 4- лeZ* 7. 1] r= ^ . 2 2 fi 2 -3 4 neZi 2> л-^^+иЛн niZ. 8. 0) Дв! 41 нет; 6) дд. В. 21 Jf—± = + 1^. fitZ; 2 a 4> i:=±-^+itrt. flCZi 61 х=3лп. rttZ; fij ±nrn™(--|-)+2ivn, j*-=:±-^+2jm, H ^ 3 3 .«. 1». f, i. T* 3 21 6: 3) 4) ЙЧ-4. IS. t) i 4) 10.3)0; 4) - 5k 3 ;. 13. 21 7л 3 M 29 11. Jf, — 2 1 -; *) -; e> 3 3 Л 16 ■ ** % 1 14. ■ 1 П ^ 3‘ 2 ' -1. 16. 2) я , a' a ai. 21 д: 30. 3) nrcaltL ^ >ai*Calt] |—t), ■11''-^+KFi, heZ. 20, 21 Jt—(-1ВГСЯ1Н11-7+ПЛ. ntZ. 4 4 23. 2} X-----7+rtrt, nEZj 4) jr-(-l)'‘ — ^-2кrt. rttZ; 61 jr=-- + ^, nfZ, О 4 2 34, 2) Х-^щп, nf'Z, 23, 2) Да; 4) нет; 61 нет. 26, 2) 6 2 ™eZ; 41 *-(-1)" ^DTCsinl + ^iirt. ueZ. 37, 2li=^ + —, neZ, 2-4 2 D 3 28, IJ is-l-lJ^fircHin у+Ttn, ntZ, у+ЛП, neZ; Si 4 _ . _ Ч J >^areein — + 4 3 ‘=“- T2- fi 1Я" Пд ,n Ик -I I . ТГ' X' "I* 41 -1; B) i. 32. 3) 2; 4) fi-йк, 33. 3) —: 4) 34. 2) as, a> ж I) X=7: 2) ДГ- ^ - за. 0| - 4i *! ^ ' 3B. 1) 3k; 2) 0; 25 4 4 3 3) - ^K. 40, 01 QnctZV3j-arcco8y : 41 drclgl - 9) -: uri-;^0. 41, 21 i= y+itii, I fj £ 17 ntZ) 41 х=-у+лд. ntZ: 61 x= -an:4i5-1-КЛ* л fZ. 42. 1> X“-^, neZ; 4 3 0) Jf ---^ + Зяп, H tZ; 31 * - - 2я + Вян, niZ. 43. 21 x -г - — + пя, г =■—+ 4 6 3 + ДН. fttZ: 4) Xx anct!fl4,5H-Kn. Ж = (—1— Ч-КД. ячУ; 6)X“*- —^ tBwH, + 44. у ■1 6 0 Эк j ,, 2 _. 43. llx- 2) X- a_ i+H •n 46. J1 2.1; 2| -0.3: 3) -7: 4| -fi. 47, 1| 2; 2) 3) )а-4к, 48. П --i 8 3 ai -^: ai y. so. 21 X 4 3 j h nfZ; 3! Г-- - ■ йяп. x=(-ll" f+Т1Л. 4 2 2 V ntZ; 4Wopiinn H«T. Sl, 2| X = JF-f- 1 J* ftireir — 1-ПЛ, rttZ: b u 360 йТ№ТЫ 4) jr-±-^+aw, лег. Й2. ftEZ: 3) £—^+m. л-дге1е4+ял. 3 4 2 4 niS.2i 4J 53- 2) jr^-^+RH. Twnrct^S 4. ил, ntZ; 4> A»№te3+ * 4 +Т1Л, r^-aifttg - h ЯЛ, ntZ, 54- 1)гч~-|-пл, ntZ; 2) x=-artle-^-brtrt, n^X: 4> j-^arctiffi + Rn, +чп. neZ. 55. 1) х®-^н-гял. x— = 2ял, №£Z: flfZ; 41 JP‘"+^. | йг«=*Й | + " 2 " niZ, 5в. 1) х—2кп, ^ + Л tZ; S) x=(- ■§ +*ft. Jr-'+ ^ +ял, e D -P nr;Z| 3) X = arcl,jf2-i-flfi, X-■^ + nn, n£Z; 4i iT“-^arctir—+-^t лег. 57, 1| I=± 5 + ЛЛ, neZi 2) i-± neZ, 5*. l)x^ 8 2 6 Э = —+ trt, яег; 2) х-^-+пл, neZ. 6t). I) n<-2, a^Ii Z} at-t. «>2, 4 4 60. LffpK 6Л. 2] x-iin, x.=+^* neZ; 4) x-i-hart, x- ■“ + “. rttZ- 62. 21 ;,eZ: 4l х=^-н^, nez, О 4 lo о DO 63, 2} x-^+ffrt. ^+Rn. rtCZ! 4) ^ +Jrn, n.eZ, xi D в 4 64. 31 X+ 11й, П ez; 41 X- 4 + «o- X -1- U'* ^ +ЯЛн л 6Z, 65. 2) x 16 4 2 6 - ~ ЙПП, X.—2iin, n€Z: 4) r>:x-!- Злл, Xw - 4- Z*h, n€Z, 66, 2) + + ЛЛ, х--^-ьйг(л, Х-ЙЯЛ, fleZ; 3> х—ж+ йпп, i= ,^+йпл. ntZ: 4) x—Злл, ■в -U reZ, 67, Z) nez. 68. 11 x-y + ~, 4tz; 2l 3) x-^^ + ^. nrXi 0 л*;г, 69. 1} = T + 4 2 4 a x-± arrfloa + ял, n^Z; 2> ^ ^:=±-^+лл, jitZ: 31 x- 2 4 3 4 3- -IT"?- "-T" f * "-П’ nCZ; 2) x = —, rttZi 3) Xi-±XftTCCflB +1ТЛ, nt Z: 4) x= ^ -i- 5 2 4 4 3 X—:±— Х1ТП, ™4Z. 71. 2) x^xn. X—+ arc(»a -i + Йпп, ncZ; 3) x- i +лл; 6 3 2 -1) х*ж-.^-^-Йлп, rttZ. 72. 1) Нет iccpticfi; 21 fieT корлей; 3) х-^+Зти, 2 -A fltZ; 4) x-ift, fteZ. 73. 1) x=-^4-)iKn, f)£Z: й)х = ^4-2*я. «€Z; 3} ЯП, nfZ. 75, 76. 1> 1 * ^4*). г tiA + T+?+’"4 (t+=*'* + ?= T + 'hi]S 4^' ^4 a4 лег. fetz: 4)(- + ял-^ —: ^-R"f-). g-^^ + x) 3G1 Ответы *ez. 77. i) ((-ir J+чл; J + пег, *ieZ: 2)(±^+^irn: Ji+irA^ ±^+0iinJ, near* k^Z\ 3) |i + Ttn+irfr: ^+цА-лл]. ( i+nfl+itA; -l+T*-itnJ. ntZ. - A дг< ^ + Еял, ftfZ. 62. 3) Решений нет; O' 4 4> х-^+г^п, ш nez. sa. 2) ~ — + ^ jr. !r Id о neZ; 41 x- l + l^i)'‘iEn=9bi|^ + ^, n^Z.«>. 2> i-tA^a^n, 2^ Ti"(-дгса1Л —+ЯЛ, fltZ? 4^ ДГССМ4-2«ri, fteZ, S 3 ЙЗ. 3> j—(- IJ" arcaln —5. + ndZ, Й4. 3} x—- A + цл, x»aiu^l,6+jtft, 4 4 niZ. 4) х»А+т,пег.9Я. 2) ntZ;4}x—пл:^Й-+чл, ■4 О 4 if 4 яег. 0в, 2) r=.nrcttf A+ЯИ. x--fcKtg2+Ti4, лег. '97. 2) ntZ. fta 2i JC- *_A + M, пе2. 99. 1) A; 3) t. £00, 3) 0; 3) -1: 41 Q. □ О O' f 101. 3) X-.7-ЬЯЛ. X=a^xltй-A^.^д^ nfZ. 102. 31 X" "+КЛ. niZ. 103. 2) x-nn. Х^±-+2тш, mZ. 104. 3) x-t-lJ" —+ —^ „^2. 4 12 2 105. 2) Л-ЯЛ, J_± A + *n. tibZ\ 44 X-A +2пл, x- ~ ntZ. 4 S 22 13. 10a 3) ar-nn. ifiZi 4) j,A + itfl, JC = ±^4344. nfZ. 107. 1) X-^A, 2 3 2 От ЯЛТЫ х.-±1^+г#д. йёЯ; 2) + лег- 1(». 2) 109. 1) I? 3 & о 3 1 2) 2. 110. 2) я-± —+ИН, rt£Z: 4) *-±-^+Hn. pEZ; в) кориий нот. 3 V 111. 2) №ipuea нет. Ui 2) *=-^ + nn, х-2хл. х—^ + йял, Ч iS v5 №Л г-А+ИГитит-^^+лл. лег. 113. 2) + rteZ. 114. 1) г«-^ + 4 hd лег: х-±^ + ял. ntZ; 3 D Ч> х_:1+М, + neZ. 116. 1} х-ял, r^i+йял. х-^+яп. 4 л 11/ а\ 3 Э ttGZi 2)х-^-+пл, х-я + Йял. х*--^+ял. rEZ, Ив. 1 Я ял & л М ^iarccoe—-fn + linrt+ dEZ; i^irfttceofl —+5ял. n^Zi 3) X - ^ , n ^Z: 4) X- |Чял. X- i+лл. X- (-1 г * ‘ ^ neZ. ИТ. 1)х-" + 2яп. tt€Zi 2] х«*кл. т--вп«о4^ + 2яп. nCZ: 4 3 3) *—агссм ^ +1т(2л+1), r—±efWMa^ +2ял, n^Z; 4} х-жпзооя 4" ЯЛ+ V6 1 V3' V6 т—п-eW^bfl-.L + 2яп, ti^Z. Ив- 1) х — ^1-2ял, J*-——+ ЙЯП, х* 4 4 .-Л-+-ЙЯЛ, X-- —4 2ял, 2 13 " +2*л, г-^+2nrt, X. Х-- 1Й -^-l-2irrt. fttZ; Й| JT-2sn, X--^+3rtjf. 12 12 ■“ +2ял. «EZ; 3) д»^±-^а1*ссоа ^ ^ + 4 4$ + я™, х-± агсеой ^ -I-ип, лег: 4) х»*^+лл. х- iarecoe Л ^ Q 4 4 ^ ,111 EZ. ИВ. й) \^^+2яп + гкк: ^ + гя*). rttz, Atz. 130. 2) (J + + .*-т,к+^). *eZ, ntZ. lai. и (l-i)" ^+*«: t^+2Tr*), лег. *tZ: a) ^{-ly шта1л|- f im;(-l)^ftnsilii j+it*Jt *eZ, neZ. 122. 1) mtrtjj i + ^; ±BrMPe^ + ait*), flEZ. *eZ: 2) (tb; ■^ + itlr), (-^+Еяя! ч*). neZ. ^eZi 3>(y+*n; ±-5-4Йч*), b€Z, tCZ: 4)(^+2пл: -i+2itlf). i+.24ft). ntz. kez, 123.3) ^ + 2icnу^ сторон треугельивкж. рлвсн полопннг третьей cvepeUbL (•того треутолАннка •. Прймлл теорема пе верЕта, а рйрдтиан — шрз^а. 1'лпна II. 1 1. :!. 2. .1 5. J Делится, i. Делятся. Глава Ш. I. Hojcraoe остаток ftr* + 2jf. 2. Делити!. 3. jj--l, 4. a2p''^HJo^ + 3t2u^-0,32ii*+0.0:ea-0,(W032-S. (IT; 10). (Л: -3). в, 1. 4 ч ^_ J. (r + JKx-VfUx+V^>(*®+J), О. — а. Ь-О, i:jj = £l. . J20^^ л (^10; й). rl+VM ^ 20 ' 10 " V 20 ш / ',11 30 лпей, 40 лп«й. 1 ^ Глава IV. 1. I) 108; 2) 4^^; Э> 4~. 2. 1) —; 2) 3. -3)! А Р 9 7 i 11 I- PI ] ■ il 3 ' 3- ‘ S5- ^Шо 3,I*’ *>1. ,1, HtT. . :>- IJ -fr *; 2) 4. f0,0ni ">l. Глава V. I, 1) 2) x<—1. x>4. 2. 1) *sft. x>-l; 2) xrQ, u^O; 3> XfR, xro. 3. 1) x = fi23: 2) jc-1. I xSl. ;J IJ jf=l< 2j 1-в2б. 4. x:>4, a. (Oi 1,75), Глава VI. 2. 1) 2) в-' Ье ' *', 3. 1) л = 2; 2) 3) x-1; 4) г, =□, Лд-- г. 4. 1) х>4; 2) -4tjC4, 2. 10; L. :). 1) КирпСч нет; 2) л,-О. л -2: Я) т-4; 4> л-1. I. х>Э, Vx-Kp-2. ’ ' 364 OrBffTw I Гявм VII. I, и а; 2} -2i :J> в: 4) 25: 6) S. 3. 1) lotfjj ^ 7.5; 2) bg.O.a^lD^. 1.3. 4. 1) т-3; 2> Т=1: а) *j-0, Тц-Э, Н. 110; 2). в. 1) 1<г<Э; Й -В-сх<2. 1 XI Лрм т>1; Я| щш т>-1 и mstfl; 3) ттрч т>1. Л. 39. J 1) -VlT~4! 2>|,т,=г, Xjf-4; 3) Т=4, n (2: ft), ft, X)-ХнзЕ1аии делиностн ................... § 4. Сравнения .............................. 5 5, Рошепне ураннвннЙ Я целых числах ....... Глава III. iVhjOKi'MC'nLi. пея н я ............. 16 21 28 32 38 43 47 &4 ИЙ 61 67 76 70 01 03 06 Л.и 1 ..................................... g 1. Действительные числа ............. § 2. Беикапечио убиапющая геометрыческал прагресеял g 3. Арифметический корень натуральной стеневи . . . 360 92 97 00 . ша 10& L10 111 114 116 120 120 133 140 Опщаление § 4. СТтепепь с: рациОБОЛЬНЫМ и д&Астввуельнщс пйкпэвта-лями 148 166 Гдава V. IJiffteiTHurt фуикш*я.................... 5 1. Стфлрнная функция, eft свойства н график .... — ^ 2. Вэаи|ин(> обратные функцн!!. Сложинп функдня 17Т S 3. ДробиО'лннейнля фуакднл н ■ 184 § 4. Рниносильные урнвцрпия н неранвпетиц ...... 1S6 ^ Б. Вррядиоыцльныо урлйнецня ......................193 § 6. Иррацновальныв нераноастяя.............. 199 Глава VL Т1инн^1а ге.1Р11ая фуцисцпя ..............210 й 1. Пйкцаятяльявя фувкцня, ее свойства и график — § 2. Покаэательвш уряцнепия .................... 216 § 3. Показательные ыйрааоества . ..................220 Й 4. Систеыы покавательныя уралиений н нЕрашнств 223 Глава VIL ЛurapH<|)ivni40i'Ka» фуакшш .... 230 Й 1. Дагврнфыы — Й 2. Снойсшй AorapHijmoa ..........................233 g 3. Даддтячиыя и нятуралькые логарифмы. Формула □?■ реходв..................................... 236 § 4. ЛогярифНЯЯйекаа функция, ее свойства к график 24U 5 6, Логарифмические урлпнопия .......... 245 ................249 § 6. Логяри4]!МНЧйск1[о жеражиптм . 230 Глава Viil. Трн1'<шд|>1<.пшческпе фор|\г|>.1Ы § 1. Раджаяяжя мира угдл ............... — Й 2. Поворот точки вокруг начала координат ..... 263 § 3. Определенно синуса, косинуса и тангенса угла 269 ^ 4. Знаки сйиуся. косинуса к таягенса ....... 2Т2 ^ 5. Залиеклинзта между синусом, коскиуеон и ттнгеисом одного и того же угля ............. 276 й 6. Трнгокомстри'<1ескне тождества .......... 278 S 7. Снвус, косинус в тиитцис углов а и -а ..... 281 S 8. Формулы сложеипл................... 282 Й 9. Сияуе. косинус н тангенс двойного угла ..... 287 g Ю.Снпус, косииус и тавгеяс половинного угла .... 289 § It,Формулы ириведеция .........................298 g ]2.Суимп и радвостъ синусов. Сумма и. рднЕЮСТЬ косц- EiycoB ..................................... ■ 298 g 13, Прононеденяе синусов и коскиусоа ........ 302 Глава IX. ТригииометрпчеОКНу уравиония й 1. Урааденяе ищ Jf «а .... . . . . й Й. Уравнение sin д=.о ............ 310 314 Э6Т Олива ение 09 « ь- W <ч ■ч* •и С4 со С4 СО СО сс со сч а X X 9 i=[ п т 6 о X *р е г > н © о i ^ о п Ц|^ЁВ|а г'Г !l- ^ l|i| I л .g S ^ 2 Ч о X r« s a я » ПРОСВЕЩЕНИЕ 'ИЗЛл?[ЛкСТ»й Выпускаем ► У’кСяняи ► Ма*||АЛМ««уК> ^ Нлу<1на^аигаи1'слы1)141 игтеригуру ^ Смшярн и спрялочную Л|Г¥Л|ПИурУ ^ НлГЛЛАНЫ|!11ИПе>1б||Л |Н' Ulipiru ^ Учгпичр ну Ч.ТММРЛmniijf- пп#пЯн» Обучаем |1[Шф||ГТ-ШХС1Л1 сПрПОИШСТПНьГиЯ Мпляцул. EnjtiuJSctu, ]4 Ttt (4ЕН^ 155-Ш1Э, 729‘ J523.72?5*3533 К-ПшЬ iffin-^iurrmi-f-M-tiDif.it fi| П редстааляем Ни Ceiirre tUAdlVAlrf^nid ЛАМ. Ilunwit паргнерао, учитслгй к раллтсАсЯ ^ (ijiiLUki uuj[Vi:iuCM(ia i[|Mavkmm ► hliniiv^Li-iEXiHc 11ося1нч, р|рсЖ1тц№т1, npoopUiklH' nrJUblUJkHlul ■1Лялр11[ч кагЕррн, ppi рургрчРЯРЯС p4ipUatPH±||,,JJrAP*fH|iypCM mp3 , ^ J'Lllp|}fipU[iJlJlL'jippPijLp|^4rtujp^f^E^;^nJ) йк1ЛлсВД(к Pinpiitkejinlihclt ► 4lcjp^Dl|4 ■Пр<>ГРС|Р№П1Е>Р^^ГГрЯи|ЛЛ1ГгТг! <>1W4IH!kl|pi ► Сснлкп in ойразоовгге(ил1ысИштрпст-ресурсы ^VApiEtl pie]1IDHIL\Jrll3ia ИМ11(!1ШрГ[1аЫ1 Етругтур ПригАяшасм К сотруднпчёству ► У"Т]иа«лган1 лапо.1шпт.1мтт пелагпппепттгр Е1Й|11ЛС]ЯЕ1ПРЕ [Г riPtfuAnrirSn С ПСЛкН) ирояслспЕт Rinupoon л иешлрсчесхнж crjiCHiPipcii ^ К|ШГОГ^ЮВ1С IZEpyirypPd ДДЛ ЕОф^'АШПППВЛ по прсрАдажсплю .игнурятуры л^длтельсхвв 1|1рА1ТЕласпа 1<Г^ШЁ1Цйнр|ря lJ7Sir.Mai:ru, I'pPfipimii pDuih, Лк 1НЛ Ч4Э51 7вЭ-1Г)Л0 *-mwl' prHvepfQVfPu Wppiw.pmsvja UpnIFt.pu ДрспрЛ mvnin ПВ Awnw, клрялроы па №>cu> 173P7J, iwl«opU. yn. КАЛябрсьсиа. jIA OOCKA^HE Д| 1п1.НР1»)№1‘Ш^'9 «-Dwa: niut4uni|1t pu HPHPWkifnllUu ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ ' "2 |Т I ___sm сх J J J sina + cos/a=l tga= tga ctgot-1 Levi'S U' sin(a ± p) = sin ft' cos p ± sinp cos a cos'(a ± p)' = cos a cos p + sin ft sin P „ tga+tffP tg(a±P)= i^tgatgp sin2a “ 2'sina cosa cos2a = cos^a-sin^a sin3a = 3sina“4sin^a cos3a = 4cds^a-3cosa ft 2tgft 14- cos ft = 2cos* 2 i - cosft = 2 sin® ft 811Ш = Z^iL 1+tg^f cos ft = i+tg^f sinft + sin,p = 2 sin , ft -H P ft- p ----7-^ cos sina - sinp = 2 gin cosft -I- cosp = 2cos . p cos ft + P cos 2 g + P 2 a- P „ ^ . a + P , a- P cosft “ cosp = - 2sin —r-^ sm —^ и ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С08д: = о jf = ± arccos а + 2 7trt arccos (- fl) = я - arccos а cos дс = О cos дс = 1 cos дс = - 1 X = JT КП дс> = 2 ял X = к + 2пп sin дс = а arcsin (-а) = - arcsin а sin дс = О X = кп sin X = 1 X sin дс = - 1 дс дс = ( - 1) arcsin а + пп J + 2кп + 2пп igx = а X = arctg д: + яп arctg (- а) = - arct'g а tg дс = О X =яд iT БАЗО&ЫИ * ПРОФИЛЬНЫЙ ¥ Р О t Н И Учебник сттветствует Федеральным комаанентлм государственного стандарта общего образования 6 ¥че6но-1штоднчвс1сий 1^мплект по алгебре и начал|м матеметического анализе для 10-11 i^accoe под редакцией А. Б. Жижченко входят: