Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс Мордкович Ключникова Комиссарова

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс Мордкович Ключникова Комиссарова - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
ФТОсМ Е.М, Ключникова, И.В, Комиссарова Рабочая тетрадь по алгебре К учебнику А,Г. Мордковича «Алгебра, 9 класс» уцени класса школы класс Учебно-методический комплект_ Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова Рабочая тетрадь по АЛГЕБРЕ К учебнику А.г. Мордковича «Алгебра. 9 класс» 9 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2013 УДК 373:512 ББК 22.14я72 К52 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебника «Алгебра. 9 класс: учеб, для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. — М.: Мнемозина» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Ключникова, Е.М. К52 Рабочая тетрадь по алгебре: 9 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 9 класс» / Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова. — М.: Издательство «Экзамен», 2013. — 143, [1] с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-05359-0 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Рабочая тетрадь является необходимым дополнением к школьному учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 9 класс» (издательство «Мнемозина»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Авторами предложены разнообразные упражнения по всем темам, изложенным в учебнике, в том числе: задания для закрепления изученного материала, задачи повышенной сложности, занимательные и развивающие задачи. Выполнение теоретических и практических заданий рабочей тетради позволит каждому ученику лучше освоить .материал учебника и применить полученные знания на практике. В тетради имеются образцы для выполнения заданий. Нумерация и название пунктов рабочей тетради соответствуют нумерации и названию пунктов учебника. Тетрадь предназначена для работы с учащимися общеобразовательных учреждений. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:512 ББК 22.14я72 Формат 70x100/16. Гарнитура «Шко.тьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 4,5. Уел. печ. л. 11,7. Тираж 10 000 экз. Заказ № 5539/12. ISBN 978-5-377-05359-0 Ключникова Е.М., Комиссарова И.В., 2013 Издательство «ЭКЗАМЕН», 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Неравенства и системы неравенств...............4 § 1. Линейные и квадратные неравенства (повторение).....4 § 2. Рациональные неравенства..........................14 § 3. Множества и операции над ними.....................28 § 4. Системы неравенств................................32 Глава 2. Системы уравнений.............................45 § 5. Системы уравнений. Основные понятия...............45 § 6. Основные методы решения систем уравнений..........54 § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций...........................65 Глава 3. Числовые функции..............................73 § 8. Определение числовой функции. Область значений, область определения функции........................73 § 9. Способы задания функции...........................78 § 10. Свойства функций.................................84 §11. Четные и нечетные функции.........................88 § 12. Функции у = (п Е N)y их свойства и графики.......94 § 13. Функции у = х~'Чп G 7V), их свойства и графики. 100 § 14. Функция у = ее свойства и график............... 106 Глава 4. Прогрессии.................................. 112 §15. Числовые последовательности..................... 112 § 16. Арифметическая прогрессия...................... 117 § 17. Геометрическая прогрессия...................... 122 Глава 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.................................129 § 18. Комбинаторные задачи........................... 129 § 19. Дизайн информации.............................. 133 § 20. Простейшие вероятностные задачи................ 137 § 21. Экспериментальные данные и вероятности событий. 141 > го гп I S m Глава 1. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ ^ § 1. Линейные и квадратные неравенства(повторение) Дополните предложения: 1) Линейным неравенством с одной переменной называются неравенства вида ______________________ » где аиЬ — ___________ 2) Квадратным неравенством с одной переменной называется неравенство вида _____, где а,Ь, с — ______ (причем а ф ). 3) Значения переменной х, которое обращает неравенство в , называют частным решением неравенства. ^ 4) Множество всех ____________________неравенства называет- ся общим решением (или просто решением) неравенства. 5) Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с_____ __________________,_________________________ при этом знака неравенства. 6) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же ______число, не меняя при этом знака неравенства. 7) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, изменив при этом знак неравенства на противоположный ( < на >, < на > ). Вынесем все значения х > 1 на координатную прямую: ;/////////////////////////////// Найдите решение линейного неравенства а) Зх -ь 8 > 11 Решение: Зх-Ь8>11, Зх-ь8-11>0 3х-3>0, 3(х-1)>01:3 х-1>0, х>1 Ответ: [1; -foo] н CM ю ю см л со I ю со + со ф S и ф g ф Он о — VI Л1 »—( о Л1 см 1 Л1 /-“S 1-Н л + о н .. н ю н VI со 1 со ф S с^ 1 о гН н W см ю н - к ф а 1 ь- 2 1 Н 1 со а ф см <м 1 н о. л н со I VO со + Ч I со со VI ь- + н ч I со L § 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ю Е-1 О П fr> О О) S М Ф В Ф Рч о п Е- Ф X Ф « а ф X Ф Е- X g Ф Рн 9 хО I СО л ю гН + н см I ю 'х ф S X ф g ф Рн ь ф « Е- о б) 7(1 -z) + 15z<- 2(2 - 5) - 1 Решение: Ответ: в)---—3< — —1 ’ 4 8 Решение: Ответ: г) 1 - f > - + 1 2 Решение: Ответ: I I При каких значениях х имеет смысл выражение: а) 2д: -6 Решение: По определению квадратного корня подкоренное выражение должно ^ 2л: - 6 ^ быть неотрицательно, значит, выражение имеет смысл, если —-— > 0. Решим полученное неравенство: 2х -6 >01-3 2л: - 6 > о 2(д: - 3) > о л:- 3>0 л:>3 б) yjSx-10 Решение: ///////////////////////////////, Ответ: [3; + оо) Ответ: 2 в) yjl-x Решение: и/) Ь S X гп X X m S ? J3 ? X X m X m ? ш m X о н Ответ: _ г) >1^ Решение: Ответ: Найдите решение неравенства, принадлежащие указанному промежутку: 0,75л:-1 1-5л: а) > 8 -1,[-2;-3] I ш н о X ш ш 2 X 2 S ш Н" о S о X Решение: 0,75jc-1 ^ 1-5л: ^ 7 ' 8 8(0,75jc-1) 7(1-5л:) , 56 ^ ^ 8-7 7-8 56 6л:-8-7 +35л:+56 > 01•56 56 Hi на JIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIL -1 лйдем решение неравенс! длежащее промежутку | JIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIl X гва, при--2; 3]: IIIIIIIIIIL < ш ь- о X ш со 2 ш X т» < ш 41х + 41 > 0 41(л:+1)>0|:41 л: + 1 > 0, л: > -1 л: + 2 1 - 2л: ^ Зл: 1 20 5 20 10 Решение: 1,1 2’2 -] -2 -1 Ответ: (-1; 3]. 3 "х < с: п с • —1 — 1 % ^ 1 1 1 1 • ;*> ■' ’ L_ Ответ: Зл: -2 1 4jc + 1 1 г - - . Решение: ; — — — ■ 1 +-J— ! 1 —1— i i i 1 1 1 -_4 ! 1 1 J Ответ: о Решите неравенство с модулем: а) |л: - 4| < 6 Решение: Вспомним, что \х - а\ = р(х; а) — расстояние на координатной прямой между точками х и а. Неравенство |л: - 4| < 6 означает, что расстояние от точки х до 4 должно быть не больше 6. Изобразим геометрическую модель этого условия: 6 6 -2 Ответ: [-2; 10] б) |х - 2| > 5 Решение: 10 Ответ: (-оо; -3), (7; -foo) в) |2,5х-7,5|<12,5 Решение: ! ! M : i • 1 1 : -1 i 1 ; • j I ^ ! i П h i ; ^^ ^ f ; ; 1 ^ 1 ^— 1 i ' —1— : J J 1 ■ : : ! , • i ' 1 Ответ: г) 1X -Ь 3,2| > 4,8 Решение: изп S X m г m X т; 0} § X tr m X m 5 03 m X о Решите квадратное неравенство: а) лс^ + 4jc - 21 < О Решение: + 4л: - 21 < О (х + 7)(х - 3) < О + jRUMiim + о- * Расчетная часть: Найдем корни квадратного трехчлена л:^ + 4л: - 21 = О D = 42 - 4 • 1 • (-21) = 16 + 84 = 100 -7 Ответ: б) -2л:2 + 10х - 8 < о Решение: -► X X = -4 ± л/ГоО -4 ± 10 21 Ответ: в) л:2 > — 4 Решение: Ответ: х=-1 л: =3 Расчетная часть: С I J_____________I_______1_ 10 г) 4 - < о Решение: Ответ: О Найдите решение неравенства: а) 2jc (л: + 3) > О Решение: ; I 1 1 1 I i ' - . -J i i i ' i I ^ t ' - - 1 L. J- I I i I ! i ‘ i I i Ответ: б) Sx (1 - л:) < -6 Решение: Расчетная часть: 1 1 , 1 • 1 ' ! 1 1 1 i ^ 1 . 1... Ответ: Найдите допустимые значения переменной в выражении: «л S X т X г m X ?s X sc m X m 5 Ш m X о •Ч Ч JC X ^ a) J— + --1 11 Решение: I 5 ! I I —j I I. ■ i ' ; i. !_. J I L' I ■ i , j I I I ^ j L I ^ M [ Расчетная часть: I I 1 ! Ответ: б) л/4 + л: - 0,5jc^ Решение: в) yj7x^ + 6л: - 1 Решение: : Расчетная часть: ■ чч Ч;' 12 r)JS-^x^ Решение: Расчетная часть: i i [J i ^ I I ; I I ^^ I lJ ^ I I щ ! I : , ! ! ' t I i м 1 i ! ’ ^ м ! м ^ I , . : : М и ' ^ I J Ответ: 4^ Найдите все значения параметра Ь, при котором уравнение + Ьх + 4 = О имеет два корня. Решение: Квадратное уравнение имеет два корня, когда D > 0. Найдем дискриминант для данного уравнения: D = b^-4-l-4 = b^- 16. D > о, если Ь^ - 16 > 0. Решим полученное неравенство: i I ' , Т ’ I J________I________L Ответ: О Найдите все целые значения параметра т, при которых уравнение 4тх^ + 5х + т = о имеет два корня. Решение: I Расчетная часть: I" S X m X гп X т , > J3 ? -4 X Z m V. 5 ГО m X 2 ^ g • "■ > ■ Ответ: 13 § 2. Рациональные неравенства Дополните предложение: 1) Рациональное неравенство с одной переменной — это неравенство вида h{x) > q{x)y где h{x) и q{x) — выражения. 2) Рациональные выражения — это алгебраические выражения, составленные из чисел и переменных с помощью операций______________. Решите неравенство: |(jc+12)>0 а) jcl X ' 2 У Решение: f 1^ Рациональное выражение f(x) = х х — (jc -I- 12) обращается в нуль в 1 V ^ точках л: = О, л: =-12. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из кото- рых выражение f(x) = х д: -- |(л: + 12) сохраняет постоянный знак: 2 -Ь -f -12 О Выделим штриховкой те числовые промежутки, которые удовлетворяют условию f(x) > 0: - -Ь - + -12 о 1 2 X Это геометрическая модель решения данного неравенства методом интервалов. "1 Ответ: [-12; 0], -;-нэо У 14 б) (2х^ + 3)(х + 4)(х - 7) < О Решение: ! I i I I j i I I I I П I I 1 ! I : , ; i ! ■! Ответ: b) (x - l)(jc + 2)(x - 5) > 0 Решение: I I ! I ‘ I I i - ■ ! I I = L гт~ I i со? N 2 С S О X сг X m X m 2 ш гп X о н 5 Ответ: г) х^ Решение: д: + i I (л: - 8) < О i ■ i ' I -4 I -1-4- I I ■ i ; “ 1 .4 ! ; ! —^^ I ! ! " t ! 1 L I - ■ -Д Ответ: 15 Найдите решение неравенства: а) [х - 5)(jc +1) Решение: В точках х = ^уХ = -2, х = 5у х = -1 числитель и знаменатель рациональ- (х - 8)(л: + 2) ного выражения f(x) ^-----f обращаются в нуль. Отметим эти [X - 5)(л: +1) точки на числовой прямой, учитывая, что точки, в которых знаменатель обращается в нуль, должны быть «выколоты», и отметим промежутки, на которых выполняется неравенство f{x) > 0. /////, ' //////////////////' у//////// -2 -1 Ответ: (-оо;-2], (-1; 5), [8; +сю) (6 -х)(дс + 3) б) ^i <0 X - 4 Решение: (6 - д:)(л: + 3) X - 4 X <0|(-1) -(6-^)(^+3) (^-б)(ж + 3) X-4 ’ X-4 Ответ: 4л; +5 Решение: Ответ: 16 ^ (Зл: -l)(2-jc) , <0 a:(7jc -1) Решение: Ответ: |fc^ Решите неравенство: (*‘' + 1б)(д:-б)(д;+3) Решение: 1 1_ 1 Ответ: б) Ре д;^+5д: (д:^+5)(л:-7)' шение: i 1 1 L Ответ: NJ > SZ \ V S о X с § 1Г I £ m I m 5 ш m т о н g ,С) 17 (2х - 8)(jc^ + Зх) х[2х^ +2) Решение: Ответ: (х - 4)х^ г) ^ T-i..<0 X + ох Решение: Ответ: L I____L - J_ J___L Решите неравенство: а) > 16 Решение: У^>16 1/2 - 16 > о (у-4)(у + 4)>0 /////////- ///////////////, Ответ: (-оо; -4], [4; +оо) 18 б) ^2 < 64 Решение: Ответ: Решение: Ответ: г) —х^> О 9 Ответ: Решите неравенство: а) ^^>2 2х+\ м i'uf со» ю ? i о X § (Г X Z m X гп 5 ш m X q ? 19 Решение: 5x -4 2х+1 5х -4 >2 -2>0 X 2х +1 5х -4 -2(2х +1) 2х +1 X - 6 >0 Л >0 2\ X + Ответ: . . б) ^ < 1 2-х Решение: Ответ 4х в) X Реше >3 -5 ние: Ответ: 20 . 5jc + 2 г)----- <4 3-х Решение: 1 ~1 — Ответ: Решите неравенство: а) (х - 3)2 > 9 - х2 Решение: (х-3)2>9-х2 (х - 3)2 - (9 - х2) > О (X - 3)2 + (х2 - 9) > О (х- 3)(х- 3 + х + 3)>0 (х - 3) • 2х > О Ответ: б) 4 - х2 > (2 + х)2 Решение: -► X Ш) г i о :х о* X O’ m X m ? to m X о н Ответ: 21 . 6jc - 2 в) — <-------- 2 9 Решение: I I J______L _;Л Ответ: . 12х - 9 х^ г)-----— < — 8 2 Решение: ; i i I i Ответ: При каких значениях переменной имеет смысл выражение: X + —X 3 Решение: Данное выражение будет иметь смысл, если подкоренное выражение в знаменателе будет не отрицательно и отлично от нуля. Решим неравен- 1 X 3^ JC ^ ствол: Н-х^ > О: X-> О, ---------- > О, л:(3 + :с)>0- 3 3 3 + //////////, Ответ: (-оо; -3), (0; -Ьоо) -3 //////////. 22 б) 2х Решение: Ответ: в) Jx-^x^ Решение: r)j3x+^x^ Решение: — ' 1 ' ! 1 ; ' 1 - - Г--.. 1 i ' ! ; 1 1 ' j 1 ^ i i • j • ! 1 1 • . 1 1 ! t ! ! j 1 • I 1 ' г j ‘ . i ^ . _ 1 . J . ’ i i j * ' “p ' f ! ' 1 i 1 Li.. L ‘ LJ ; L ^ -i— ит> к> ? jr о X § сг X 2! m X m ? ш m X q g 23 о Найдите область определения выражения: а) +9х - 36 л:"-16 Решение: х^ +9х - 36 -16 [х - 3)(д: + 12) (дг - 4)(д: + 4) >0 Расчетная часть: Найдем корни квадратного трехчлена -1- 9л: - 36 = о 2) = 92 _ 4.1. (-36) = 81 + 144 = 225 >0 -I- /////_______У//У//// -12 -4 3 4 ^ Ответ: (- со; -12], (-4; 3], (4; -Ьоо) -9±V^ -9 ±15 X = 21 д: = -12 д: = 3 б) -х^ + 5д: + 6 д:-2 Решение: ■Ш Ответ: 24 725-jc' Решение: Расчетная часть: I I ! i Ответ: Решите неравенство: - л: + 7 1-х а)------ <------ 3 - 4д: 4л: - 3 Решение: л: + 7 ^ 1-х X + 7 1-х 3-4х 4х -3 3-4х 4х -3 <0, л: + 7 1-JC 4jc - 3 4л: - 3 <0 Ответ: 2л: + 4 3 - 2л: б)------- >------- 7 - 5л: 5л: - 7 Решение: 1 1 1 1 г 1 t i 1 — - — —* ^ 1 1 го ? Л О X о* I х m X m ? ш m X n н 5 25 2х Решение: i i Ответ: /2-4 г) < 2t 2t Решение: i 1 i ! 1 1 — 1 1 ! i 1 i 1 : ^^ i Ответ: 1^^ Решите неравенство: (х - sf (х - 7) аИ ^ ^ > П Решение: _(*-3f (*-7) Пусть fix) = (х^4) Данное рациональное выражение не определено в точке -4 и обращается в нуль в точках 3; 7, но в точке 3 не происходит смена знака выражения fix). Отметим эти точки на числовой прямой и выпишем промежутки, удовлетворяющие условию fix) > 0: у////// r\ w \J -4 Ответ: (7; +оо) 26 (х+Ъ) ix-2){x +3) б) А---Ll-—--------i N 5 i g § О* -I сг гп X m ? 0D m X о ч ? 27 § 3. Множества и операции •г над ними Дополните предложение; 1) Числовыми множествами называются множества, элементами которых являются __ ___________________________________. 2) Естественный порядок перечисления элементов числовых множеств от _ ____ _______ к_______ ___________________. , мно- множество 3) Пустое множество обозначается _______________ 4) Множество натуральных чисел обозначают_______ жество рациональных чисел обозначают____________ действительных чисел обозначают______ ___. 5) Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества________________является элементом множества ______. Это обозначают ____________. Знак____________ называется знаком включения. 9 Опишите числовой промежуток в виде множества: а) [-7; 3) Ответ: {х\-7 <х <3} б) (-«); 5] Ответ: ______ Ответ: г) (0,75; 1,34) Ответ: Выпишите 1) -7,1 gZ 2) к ^ N Ответ: номера верных утверждении: 3) 8 г Q 4) -- 4 28 Дано множество |б; ->/3; -4}. Перечислите все его подмно- жества, состоящие из двух элементов: а) одного знака ____________ б) целых чисел _____ в) среди которых есть натуральные числа ___________________ ^1^ Даны множества А = {5; 10; 15; 20; ...} и Б = {1; 2; 3; 4; ...; 36}. Найдите Ап В Ответ: На числовой прямой изобразите пересечение множеств, если: а)А = [3; 7],Б = (4;8] Решение: б) А = (-4,1;2,7],Б = (-5;1,6] Решение: ---------------------------------► X Ответ:__________ ________ в) А = (-1,001; 1,001), В = [-0,99; 0,99], С = [-1; 1] Решение: *4Р Ы S X i 3 X о Ответ: г) А = [3,8; 4,5), В = (-0,5; 4], С = (0; 1] Решение: X X S X Ответ: 29 ф Изобразите на числовой прямой объединение множеств, если: а) А = (-7; 4), Б = [-8; 3] Решение: ! (//////////л -8 -7 Ответ: Akj В = [-8; 4) б) А = [5; 12],Б = (-3;6] Решение: { 1 Г , Б = -1;4- 1 2 J L 4j -> X Ответ: в) А = Решение: ---------------------------------► X Ответ: _ ________________ г) А = [-0,75; 1),Б = (-1;0,75] Решение: ---------------------------------► X Ответ: Запишите в виде числового промежутка заданное множество: а) {л: I - 9 < 0} Решение: Найдем такие значения х, для которых выполняется неравенство - 9 < 0: х^ - 9 <0 (х - з)(х + 3) < о ____; Ответ: [-3; 3] ///////////////, -3 30 б) {х I х(х^ - 2л: + 1) < 0} Решение: Ответ: в) {д; I + 1 > 0,75} Решение: j : I 1 1 .... _ . 1 j I ! ^ 1 ! — , i 1 1 1 i 1 1 1 i ^^ С Ответ: г) \х X-S X + 2 Решение: <0 ■ : — — 1 i 1 -■ ; [.-i -L, i 1 1 [ 1 ! 1 i j i i 1 ! 1 1 9* S X о m о о Z! гп ? SZ Zi ZL X > 13 X S 3 X Ответ: Даны числовые множестваА=(7,1; 13),B = [4,9;V170]hC=(V^; 13,1] Найдите указанные множества и изобразите их на числовой прямой. а)Ап\Вг\С в)(ЛпВ)иС Решение: Решение: X Ответ: Ответ: 31 б) (А u С) n в Решение: Ответ: -► X г)АиВиС Решение: Ответ: § 4. Системы нераменств Дополните определения: 1) Несколько неравенств с одной переменной образуют_______ , если ставится задача найти все обилие решения заданных неравенств. 2) Множество всех решений системы неравенств представляет собой _____________системы неравенств. 3) Решением системы неравенств с одной переменной является ' решений неравенств системы. 4) Если в системе неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то система _ 5) Если в системе неравенств с одной переменной одно неравенство вы- полняется при любых значениях переменной, то решением системы служит системы. Решите систему неравенств: X а) >5 д:-1<20 Решение: ^>5 3 л:-1<20 15 Ответ: [15; 21) 21 32 б) Зд: < о Зл: - 4 < д: - 3 Решение: \— * , i I : 1 ; ‘ 1 1 I 1 L_ -—1 i Ответ: ______ Гд: > 4д: -1 |2д: + 5 > 5д: - 6 Решение: Ответ: г) 2-д: > О X - 2 <3х +4 Решение: Ответ: а) Решите систему неравенств: х^ < 25 -х^>1 14 иап О S о н гп 3 9! X m 5 ш m X о н ш 33 ; Решение: jc" <25 д:"-25<0 ^ 1 -д:" >1 ijc"-l>0 U U 1 (д: - 5)(л: + 5) < О ^(д:'-4)>0 |-4 (jc - 5) (jc + 5) < О (jc - 2)(jc + 2) > О -5; 1 ! ;£ i I -21 12 Ответ: (-5; -2], [2; 5) < 1 > О Решение: б) Ответ: [225-д:" >0 |(д: + if > О Решение: Ответ: 34 Решите двойное неравенство: а) -3 < 2х^ - х<1 Решение: -3 < 2х^ - х<1 о \2х^ - д: + 3 > О [2д:"-д:-1<0 любое число 2х^ - X >-S 2х^ -X <1 %-1)| ^+2J \ <0 /////////т -0,5 1 Ответ: [-0,5; 1] б) о < 1 - 2д: - Зд:2 < 2 Решение: Расчетная часть: 2д:^ - д: - 1 = о 2) = (-1)2 + 4-2-1 = 9 X = (-1)±V9 1±3 2-2 д: = 1 1 X = — 2 2д:2 - д: + 3 = О D = (-1)2 - 4*2'3=1-24 = -23<0 Нет решений Расчетная часть: С? О s: о н m S Е X m > ш m X о “Н из Ответ: 35 в) 1 — <4х- < А 4 Решение: Расчетная часть: Ответ:______________ г)-—<л:2 + 3л:-1<3 4 Решение: Расчетная часть: 1 г Ответ: Найдите область определения функции: ^ л/б - 5х -х^ --- U\, yj X + S Решение: Областью определения данной функции будет множество решений си-Iv стемы неравенств 36 [б - 5л: > о | • (-1) [л: + 3 > О л:^+5д:-6<0 л: + 3 > О (х + 6)(л: - 1) < О л: > -3 Расчетная часть: л:^ + 5л: - б = О £) = 52 _ 4.1. (_б) = 49 -5 ± V49 -5 ± 7 X = 21 л: = 1 л: = -б б) у=- yJx + A \jx^ -10л: + 25 Решение: Ответ: J—i- в) г/ = у!-х^ -4л: -4 ^х -1 Решение: о S о н гп S Е X гп ? ш m X о н 00 Ответ: 37 г) у = yfx у1-х^ -2х -1 Решение: Расчетная часть: Т Ответ: Решите систему неравенств: а) 1 7 — < — X 4 х^ <3х +4 Решение: Расчетная часть: Ответ: б) X 4 2х+3<х^ Решение: Расчетная часть: Ответ: 38 в) 1 5 — < — X 4 ^ >2х-1 X Решение: Расчетная часть: Ответ: а) Решите систему неравенств: -(х +1)^ < О 1 - л: >0 Решение: -(x+lf < О I • (-1) |(д: + 1)S О 1 - л: > О I • (-1) -1 < О Ux+lf >0 [л: <1 Неравенство (jc + 1)^ > О выполняется при всех значениях л:, кроме д: = -1. Ответ: (-оо; -1), (-1; 1] 6д:^-54<0 х + 3 > 3 Решение: -1 б) X ta> О S о н гп S сг X m ? ш гп о —) 03 Ответ: 39 i I b) + 5 > 0 + 5л: > 0 Решение: Ответ: _______ ^ [д:^ -1 < О [jc^ - Зл: >0 Решение: Ответ: ^1^^ При а) X Решение: i ; j 1 1 1 i —^^— —1— 1 ! 1 i 1 —!— i i 1 .J.J ; [ L_ 1 1 1 i I 1 ] — i .... 1 1 i 1 ! j ] 1 1 i i .i 1 каких значениях переменной выражение имеет смысл: -3 J(jc-3)(x + 3)<0 [хфО Ответ: [-3; 0), (0; 3] 40 x^-l Решение: г I i ... ! j . ■ • L 1 ' : ! 1 : t - I I i I I I ! I i i ! ^ г I j ! i -i.- ^ i г I f ' ! [ ; 111 ; : I — 1 i ] \ i ' ' I ! i ( ! I ! ' i ! Ответ: в) yJSx{x + 2) х-2 Решение: ■, i T' 1 ! 1 > 1 1 i : 1 i ’ ■ ; i i 1 ' ■ i 1 1 i i i 1 i " [ 1 1 ^1 ' ! ^ p 1 ! ; ' i i i 1 1 ' 1 i i ! 1 ! : ! i i 1 j , ; 1 : 1 ; ^ 1 1 1 — ' i i i Ответ: __ yjx^ -1 Решение: 1 - 1 ! i 1 г ■ —■“ i—^ 1 . 1 1 , 1 1 ' i i . __i i 1 ' ; I : : , I ] 1 i 1 ^ ! 1 \ 1 ' ' M i : M j J i U ^ i i ^ 1 ^ i (4Г> О S о *н m г г т m 2 03 гп X о —Ч ш Ответ: О Найдите решение системы неравенств: (Зд: + 2)" > (Зх -1) (Зх +1) - 31 (2л: - 3) (8л: + 5) < (4х - З)' -14 а) 41 ND hd fD В ф щ ts Ф я о » ф н со со 1 Н н л о л 1-1 о ГЛАВА 1. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ "d Ф Е ф к ф О» о : Н : W ■■ со ф н сл н Н 1 н 1 со + со + + со 4^ 05 О V 1Л сл 4^ н Н W н н 1 + со -а 4^ hd Ф Е Ф а S Ф Ответ: Найдите целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: О, 4jc > -1 а) -*>1 2 Решение: 0,4х > -1 1: 0,4 -->1 (-2) 2 ' щшшт -2,5 -2 Ответ: -2. ио> О S о —4 m S г X m г т m X о -4 Ш б) X -1 X ----< — 2 3 X +1 ^ X 2 43 Решение: ■ J_I___1___j__f.___ I ^i T—r Ответ: 1х^ + 2х -15 < 0 [х^ +6х + S<0 Решение: Рас 1 i 1 ! 1 1 ! 1 1 1 1 — г ■ - 1 — i 1 I : ■ Расчетная часть: Ответ: ■ г) -2х - 3<0 х^ + л: - 6 < О Решение: Расчетная часть: Ответ: “!-------Г J i 44 Глава 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ -‘'’с: § 5. Системы уравнен •V Основные понятия I. Рациональные уравнения. О Дополните предложение: 1) Рациональным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида р{х\ у) = О, гдер(х; у) — _________ _ • 2) Решением уравнения р(х; у) = О называется_________ , которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает равенство с переменными р(х; у) = 0в _________________ О Установите соответствие между уравнением с двумя переменными и парой чисел, которая является решением этого уравнения: 1) Зл:-41/- 12 = 0 2) 2у - X - 4 = 0 3) х + у- 2 = 0 4) х^ - Зху = о Ответ: I 1)" A) (1;2,5) Б)(0;1) B) (2;-1,5) Г)(1;1) II. Формула расстояния между точками координатной плоскости. График уравнения (л: — а)^ + (у — ЬУ = г. О Заполните пропуски: 1) Расстояние р(А; Б) между точками А (л:^; у^) и В (х./, у.^) вычисляется по формуле____________________________________________________ . 2) Графиком уравнения (х- аУ + (у -Ь)'^=является___________ на координатной плоскости с центром в точке _____________ и радиусом__________________ ■н-* «я о» о о ■' н. m 1 2) 3) 1 4) ■ i i m -v"' д: s О о X о CD X 21 m Z3 о X X ч s; 45 Ш:_ ? Найдите расстояние между точками А и В координатной плоскости: а) А(3; 2),В(-1;4) Решение: Подставим координаты точек в формулу расстояния между точками Р(А; В) = +{ys-y^f: р(А; В) = ^(-l-3)4(4-2f = + 2' = Vl6 + 4 = = 2^5 б) А(-1;4), В(3;-1) Решение: ___________ в)А(1; 1),В(2;3) Решение: г)А(2;-1),В(-1;-2) Решение: Постройте график уравнения: а) (X - 3)2 + (I/ - 2)2 = 1 в) (X - 2)2 + (I/ + 2)2 = 4 Решение: Решение: Графиком уравнения является Графиком уравнения является окружность с центром в точке окружность с центром в точке О (3; 2) и радиусом г = 1 ■4—1- ' i 5 ^ i 1 — \ 4 о j U " л ч ■ \ £ ' 1- 0 < у 1 1 X Э-2-1 ; : 5 1 - О - 1 1 -3- _ _4 . _5, . - — 1 ^ ^ 1 1 1 ' 0( ) и радиусом г = 46 б) (jc + 2)2 + (z/-l)2 = 9 Решение: Графиком уравнения является окружность с центром в точке О (______) и радиусом г =___ 1 V 'У \ 1 i 1 . ..а 3- А ' \ 1_ 1 I л 1 1 1« \ i L ' 0 X - б- 4-Ь-й-] 1 LJ } \ ММ" -1 ■ О . ; 1 ^ ! 1 i о ! М 'О ^ А. . 1 1 1 '4 ' ЕГ ill! i г) (х + ЗУ + (у + 1)^ = 16 Решение: Графиком уравнения является окружность с центром в точке О (_____) и радиусом г = ___ 1 I ; > 5 . 'y\ 1 i ^ - 1 1 Л ' 1 i I 4 ' A 1 1 1 1 tSr* ^ ! ! 1 j i Z " Ч. ! i . i - TT' 0 1 ! r » j ) —5 - 4- 3-2-3 5 h-f- ; о iTi ! i о ! 1 A 1 1 I 1 ! i ; 1 ■4 ■ tr ! » 1 ; t 1- - ■ f f 1 i ЩИ' Напишите уравнение окружности с центром в точке О и радиусом г: а) 0(5;-6),г = 4 Решение: Подставим координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности (х - аУ + {у - ЬУ = г^, принимая а = Ъ,Ъ = -6, г = 4: (X - 5)2 + {у- (-6))2 = 42, (X - 5)2 -Ь (г/ -Ь 6)2 = 16. б) 0(-1;3), г=2 Решение: в)0(4; 7),г=1 Решение: со» О S о н m 3^ 21 •< ? ш I, m X S S' о 0 1 о ш X Е m X О X X -ч S X 47 г)0(-2;-8),г=7 Решение: III. Система уравнений с двумя переменными. Дополните предложение: 1) Уравнения р(х; у) = 0и q(x; у) = 0 составляют систему уравнений, если надо найти такие пары значений, которые удовлетворяют и уравнению р(х; у) = 0,и уравнению q(x; у) = 0. 2) Решить систему уравнений — это значит найти или установить, что Сколько решений имеет система уравнений: ху =1 Построим графики уравнений в одной системе координат и найдем количество точек пересечения. Ответ: 2. 5 -4 ■ 3 ■ 2 • 1 ■ 1 1 1 1 1 ® \У х -5 -4-3-2-!^. .1 2 3 4 5 -2 • -3 ■ -4 ■ -5 • 48 ху =1 {х - sf + {у -2f =4 1 i ^, Л . О 1 . i 0 JC "И 4- Pi 2-] J 1 J ! ^ : d г 1 .9 < i ! Я ' 1 — О >1 I ч * R • о i 5 . — A • 1 Э 0 i i ■ 0 X 5- 4- J-] 1 ! 'i 4 S - h2 ■ 0 , e * Л 1 1“ R j 0 1 уравнении 1) (4;0) 2) (2; 2) Выпишите номер пары чисел, которая является решением системы ху =4 у^ -4х = -4 3) (-2;-2) 4) (0;4) Ответ: Решите графически систему уравнений: а) ху =2 у^ ={х -1)^ +2 Решение: Построим графики уравнений в одной системе координат и найдем координаты точек пересечения. О s: 0 н m г г 5 ш m 1 2: О о X о т X сг m Z3 о X •Ч X 49 ху = 2=>у = -X гипербола у = (х - ly + 2 — парабола у = х^ с вершиной в точке (1; 2) Ответ: (1; 2). б) х^ +у^ =А X +у = -2 Решение: у-х^ =0 -I—I—I—I—f -5 -4-3-2-!^ 5 .. 4 ■■ 3 ■■ 2 1 •• О X У Ответ: -2 -3 ■■ -4 -5 -- У X Ч--1--1--1--!-► 1 2 3 4 5 50 Ответ: IV. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. Дополните предложение: 1) Решением неравенства р{х\ у)>0 называется которая удовлетворяет этому неравенству, то есть обращает неравенство с переменными р(х; у) > О в верное____________________• 2) Если требуется найти такие пары чисел, которые удовлетворяют неравенствам р (х; у) > О и q (х; у) > О, то эти неравенства образуют________________________________________________________. Решите графически систему неравенств: Решение: х-у>-5^у<х + 5 Построим графики уравнений 1/ = х + 5иг/ = х^ в одной системе координат и выделим те части плоскости, которые удовлетворяют неравенствам системы. Ответ: iOo (Л о ; S 0 н m S Е < 2 CD 1 m s О о X о ш X д: m 3 О X ia н S 3 51 б) у > X У <х Решение: Ответ: в) \у >Х^ +2 [х^ <9 Решение: Ответ: г) (л: -3)% г/^ > 4 у - 4х < О Решение: п i 5 . ^, St , О л • j 1 , ■ ■■1 ! 1 0 i S - 4-3-1 2-i,. 2 I J ! А 5| тг 12 • а О 4 • ft • 1 5 . 1 А , 1 Ч О , 1 о fl > ! 1 в 1 , I ТГ, А 0 , ' X -5-4- 3-; ^-1 .1 2 3 4 5 ^ - 1 ‘2 • м м ■Ч . i ; ■ ' ! i ! О 4 - ■ ; ! R ■ 1 1 1 ГО ! i 5 . \У 1 : л > Я , о 9 - 1 ^ а 1 - 1 Г_ i ^ 0 j 5- 4- , ] i 3 4 5 i 1 J : ! ; 1 >я ■ 1 о 4 - ! R - о Ответ: 52 'М. о Решите неравенство: а.)ху> 4 Решение: Графиком уравнения ху = 4 4 служит гипербола у = —. Отметим X ту часть плоскости, точки которой обращают неравенство ху > 4в верное числовое неравенство: 4 4 при л: > О ^ < — при л: < О у < — X X б)3х + 4у <0 Решение: в)у - х^ + 1>0 Решение: L " j i 5 . \yl : Л I 1 4 1 { 3 * Л £ ' L 1 Q X 1 ! * 2zl 1 2 : \ 4 1 C : ^ -1* О ■ ! 1 I 1 L . ■ 1 1 i 1 - A . 1 i - "4 ' 1 _J1 1 1 i 5 ; 1 : j Л 1 1 Г л i 1 1 i 1 3 ■ п i 1 1 Z ' 1 к 1 /о \ X 1 -'5- 4-!з-^-] —: i й h ^ \ ' • ^ ► 1 1 1 -1 ' О ' 1 1 [ i i J 25 ' ! 1 i : ! 1 ^ 1 -*± -а 1 ' T> i 1 ^ ~Э " 1 1 J - Cl о S О н гп S Z < 5 0D X m X X 8 X о ш X г m э О X X н X X 53 г) + 1/2 > 4 Решение: § 6. Основные методы решения систем уравнений Дополните предложение: 1) Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они___ ________ или если ___________________. 2) Основными методами решения систем уравнений являются: • а) Решите систему уравнений методом подстановки: X +3у =8 2х - у = -5 Решение: х+3у=8 Гл:=8-31/ ix=8-3y jx=S-3y 2х-у^-Ь \2(8-Зг/)-1/ =-5 [l6 - бу - I/ =-5 \-Чу=-21 \х =8-Зу Ь = 3 Ответ: (-1; 3) 54 ГЗг - у = S ®>W-2.=6 Решение: Ответ: х+у в) 2 X - у =3 Решение: [X - у =9 Решение: Ответ: а) Найдите решение системы уравнений методом подстановки: \х^-3у^ =Ь2 [у -X = Ы ООП о> О О X о ш X г гп 3 m н ё т тз гп Е гп X X X 55 Решение: I ! \u^ =16 Решение: Ответ: 56 Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: а)|3..,=3 [х -у =5 Решение: {^х -¥ у =3 [х - у =5 ГЗдс + у =3 [х - у =5 Sx + x + y- y = S + 5 4jc = 8 jcr = 2 Ответ: (2; +3) \х=2 jx=2 Jjc = 2 jx=2 [x-y =5 [2-y =5 [-У = S b =-3 6) -2y^ =14 x^ +2y^ = IS Решение: T—Г I ! Ответ: 2x + у =1 X -у =2 Решение: в) 4- ! 1 + J... :~r Ф b ч о ^ X о ш X ■ X т S m -ч ■ ё i и ^ m Е . m X ^ S ; 20 ^ Ответ: 57 г) ху +х = 56 ху + у = 54 Решение: Ответ: I Используя метод введения новой переменной, решите систему уравнений: 'Ъ[х +у) = X -у [х +у){х -у) = Ъ Решение: а) \и = X + у Введем новые переменные < и решим данную систему относи- \и = X - у тельно переменных п и и: \Ъи = V {Ъи = v \Ъи = v \uv = 5 \u-5u = 5 \и^ =1 \5и = v (и - 1)(и + 1) = О Ъи = и и -1 и = -\ Вернемся к исходным переменным: [х +у =1 или \х+у =-1 \х-у =5 \х - у = -5 \х ^у =1 \х +у = -1 { ^ + [х-у =5 [л:-у =-5 2л: =6 2л: =-6 л: =3 л: = -3 58 \х+у = l fi/ =-2 [л: = 3 jjt: = 3 Ответ: (3; -2), (-3; 2) {х +у)(х -у) = 12 \х+у =-1 iy =2 \х = -3 I л: = -3 б) Ijc +у = 3(л: -у) Решение: Введем новые переменные \t =х+у и =х-у I I I ! Ответ: в) \х -у = б(:с +у) [х^-у^=6 Введем новые переменные \t =х+у и =Х - у t r ~ "1 1 1 r —— i 1 1 1— 1 1 I 1 1 1 ■ j ■■ (■ I j ■ i i 1 1 1 ^ j i i I I I i ■ ^ ' 1 1 1 i i > - -i - I 1 ____ 1 1 1 i f - ! i M i j ! i ■ 1 ^ 1 Mi ! 1 1 i -L-J- ип о> о 0 1 о ш ЦТ гп S m н О за Е m Е m X X Ответ: 59 г) \x^-y^=S [2х -2у = -4 Введем новые переменные Решение: \и =х +у 1 у =х-у Ответ: Решите систему уравнений: а) методом алгебраического сложения Решение: 1) 9 2 , ----+-------= 3 -2 X +у X-у 18 5 X +у X-у = -3 18 4 ^ ----+------= 6 X +у X -у 18 5 X +У X -у = -3 X +у X -у 18 5 х+у х-у = -3 2) ^.^ = 3 1.5 Х+У х-у 18 5 [х+у х-у 45 10 = -3 -2 = 15 х+у х-у 36 10 = -6 х+у х-у ^— = 9 X -у х-у = \ Решим полученную систему уравнений 81 = 9 л: +у х+у = 9 [х-у =1 \х + у =9 Ответ: 60 б) методом алгебраического сложения Решение: 4 12 ---+ _!±_ = 3 Х-у X +у 8 18 = -1 х-у X +у Ответ: в) методом подстановки Решение: 1.1=1 X у Зл: - у =2 Ответ: \ i I М i —]— i 1 j 1 J ^ I 1 i _ ' !—1“ - ; i ' i S i !—'1 i I I ; ^ 1 ^ ^ ^—1 I ! Г : ! ^ : I I ^ I I ^^ i ' ; : i 1 I I I [ i I 1 I I ! ' i i i ! ^ i i ! 1 I . ' 1 _l ' i .LJ 1 j —! I .XI 1 L i ; 1 ! 1 1 i г) методом алгебраического сложения Решение: 2у = х^ - 4х 4у = Зх -9 i i 1 ! ! ! 1 1 1 i ! 1 ; _ .X 1 1 i ^ I 1 ‘ ) ? ■ 1 1 • 1 1 ^ 1 ' ^ ' ,'j <)СП о 8 X о ш X г гп гл н о 0[ тэ m Е m X S X 61 Ответ: 62 1 I 1 I 05 I О СЧ1 Si H о S X Ф 3 Ф Рч Ф n {-> О § 6. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ со ю о т н О ст> о н W О) н ф в ф я S ф н н ^ «с о н ш ф н + 00 н ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ф ох Е ф п № S 1 to Ф «с: □ II 1 ох «с II о о н ш ф -3 I 4= 00 00 г) + 3jc -4i/ =20 -2х +у = -5 Решение: J Ответ: ^ ^ § 7. Системы уравнений ^ как математические модели реальных ситуаций Решите задачи, выделяя три этапа математического моделирова- ния: 1. Площадь садового участка имеет прямоугольную форму. Площадь участка равна 700 м^, а одна его сторона на 15 м длиннее другой. Найдите длины сторон участка. Решение: I этап. Составление математической модели. Пусть X (м) — одна сторона участка, тогда у (м) — вторая сторона участка. Так как одна сторона на 15 м длиннее другой, то у = х + 15. Так как площадь участка равна 700 м^, то ху =700. Составим математическую модель у = X + 16 ' ]ху = 700 ‘ 5 гп 3 5 S X m о ГК гп 3 О ь гп х тз m (Г X д- X о s: j: 65 II этап. Работа с математической моделью. I ! III этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: ________________ 2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а длина его диагонали равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника. Решение: I этап. Составление математической модели. Пусть X (см) — одна сторона прямоугольника, тогда I/ (см) — вторая сторона прямоугольника. Так как периметр прямоугольника равен 14 см, то 2(х + г/) = 14. Так как диагональ прямоугольника равна 5 см, то по теореме Пифагора 5^ = + у^. Составим математическую модель: 12(х + у) = Ы \х^ + у^ = 25 II этап. Работа с математической моделью. JJJ Mi' J 1 1 i 1 ! ; 1 М М i ' ! ‘ ММ i J 1 I J i ■ ■ : i I ' 1 мм “1 j -| __i , ‘ ! I т~ _ 1 i 1 ! 1 ! i 1 . . - ^ 1 j 1 i i , 66 Ill этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: 3. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180. Решение: I этап. Составление математической модели. Пусть X — первое число, г/ — второе число. Так как их сумма в 5 раз больше их разности, то ______________. Так как разность их квадратов равна 180, то_________________. Составим математическую модель: 1-------г- С09 -N| 3 5 m 3 > н X m о m 3 ё m S и т > X Е X о 5 JZ III этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ; 4. Теплоход прошел 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 часов. В другой раз за это же время он прошел 80 км против течения реки и вернулся обратно. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения реки. 67 Решение: I этап. Составление математической модели. Пусть X (км/ч) — скорость теплохода в стоячей воде, а i/ (км/ч) — скорость течения реки, тогда скорость теплохода по течению__(км/ч), а скорость теплохода против течения реки____(км/ч). ! По течению реки Против течения реки ‘ V, км/ч S, км ty ч V, км/ч Sy км ty ч I х + у 100 100 х-у 64 64 х-\-у х-у i II х + у 80 80 х-у 80 80 х+у х-у 1 По условию задачи в I и во II случае теплоход находился в движении 9 ч. Составим математическую модель: II этап. Работа с математической моделью. I л . ^ III этап. Ответ на вопрос задачи. ■, г ■ . -г Ответ: 5. Мастер и ученик изготовили за день 100 деталей. Во второй день мастер изготовил на 20% больше, а ученик на 10% больше деталей, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил каждый из них в первый день? 68 Решение: I этап. Составление математической модели. Пусть мастер изготовил в первый день х деталей, а ученик у деталей. Тогда по условию задачи в первый день они изготовили_________деталей. Получим уравнение______________________. Так как во второй день мастер изготовил на 20% больше деталей, то есть_________деталей, а ученик на 10% больше деталей, то есть__ составило 116 деталей, то составим уравнение______ , что вместе Составим математическую модель: II этап. Работа с математической моделью. — ! 1 1 i 5 m S 2; S X m О т; S m 3 g S тз (Г X сг X о X г X х< III этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: 6. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа. Решение: I этап. Составление математической модели. Составим математическую модель: 69 II этап. Работа с математической моделью. III этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: 7. Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 1,5 ч. Найти скорость катера относительно воды и скорость течения воды. Решение: ■ I этап. Составление математической модели. Пусть км/ч, = у км/ч. V, км/ч По течению Против течения ty ч S, км Составим математическую модель: II этап. Работа с математической моделью. 70 Ill этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: 8. У Ани были пятирублевые и двухрублевые монеты, всего на сумму 155 рублей. Сколько монет каждого достоинства было у Ани, если пятирублевых монет было на 4 меньше, чем двухрублевых? Решение: I этап. Составление математической модели. Составим математическую модель: II этап. Работа с математической моделью. ■ 5 гп s; 5 5: ■X гп о ГП г о за m ia s *0 m > tr ■ X r X о s "Xr s: 3k' III этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: 9. Для компьютерного класса купили 100 дискет в упаковках по 5 и 10 штук. Сколько купили упаковок каждого вида, если упаковок по 5 дискет оказалось на 8 больше? 7.1 Решение: I этап. Составление математической модели. 1 Составим математическую модель: II этап. Работа с математической моделью. I 1 III этап. Ответ на вопрос задачи. "V ± Ответ: % "■ 72 Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ^ § 8. Определение числовой функции. Область значений, область определения функции Дополните определение: 1) Если даны числовое множество X и правило Д позволяющее поставить каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что ______ _ , пишут у = f(x)j X е X. Переменную х называют или_____ , переменную I/называют 2) Множество X называют обозначают функции у = f{x), X е Х,к Множество всех значений функции у = f{x), х е X, называют и обозначают О Выпишите функцию, область определения которой D(f) = (-оо; 0) и (0; -t-oo): 2 + х а) f(x) = 2 + X б) f(x) = 2 + — в) f(x) = 2-1------ X X + 2 Ответ: О Найдите область определения функции: г) f(x) = а) fix) = 8л: \j2x + 4 Решение: Так как подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть 8л: больше нуля, то областью определения функции f(x) = будет yj2x + 4 множество решений неравенства 2л: -t- 4 > 0. се» оо О § > О н о* U X £ m X X s< о ш :з S н о* о п •V е S m X S 5Q § X Ж JZ X X 73 Ответ: D(f) = 15 ь)т = X -1 Решение: Ответ: D{f) = в) f{x) = \х - 1 Решение: .'X Ответ: D(f) = ___ г)Дд:)=15(л:-1) Решение: Ответ: D(f) = __ Поставьте в соответствие функцию и ее область определения: а) (-ос; -1] U [3; +оо) б) [3; +«)) f(x) = Зл: - 14 16х + 5 f(x) = 2х-5 f{x) = yjx^ -2х -3 f{x) = ^Sx - 9 в) (-оо; +оо) г) х^ 2,5 1) 2) 3) 4) О Зная,что: а) fix) = Зл:‘ д:'' +1 , найдите Д-2) + ДЗ) 74 Решение: _ 3-(-2/ Я-2) Я3) = (-2)41 Я-2) + /(3)=___ 2х^-5х б) f(x) = Решение: 10 найдите /(-3) - /(2) Найдите значения х, при котором функция: а) у = х^ - 2х - 8 равна 3 Решение: По условию I/ = 3, значит, 3 = х^ - 2х - 8. Решим полученное уравнение: х^-2х-8 = 3 X 2 _ 2л:-11 = о Z) = (-2)2-4-l-(-ll) = 48 X = X = Ответ: б) у = х^ - 4iX - 5 равна 3 Решение: Ответ: «о> 00 О S й н сг (*> X £ m X X х> § ■о г т X X X I X ж IZ X X 75 в) у = - Ьх + Ъ равна -1 Решение: '-Ч- 1 I i ! :и Ответ: г) у = л:^ - 8л: + 13 равна 2 Решение: I________._________i- .. - -4...—:....- ■■ t 1 1 1 — + ;■ п пл: " Ответ: О Дана функция у - f(x), где f(x) а) Укажите !)(/): б) Вычислите Д-4), ДО), Д2), Д5) Д-4) = Д0) = Д2)= ... _________ _________ Д5)= .......... {|л:|, если л: <2 2, если л: > 2 в) Постройте график функции 76 Каждой функции поставьте в соответствие график: 1)у = 3х 4 2)У=- X 3)У=-3+- X 4) У=—+3 X Ответ: Г) 1) 1 2) 3) 1 4) 1 i i Найдите область определения и область значений функций, заданных в № 8, используя их графики. l)D{f)= _ ____________ _________ _______________ E(f)= ______________________________________ ____________ (jcn аз О ш Гз > О 4 О" Сл; X > X m X 5 S о СП ■ :э > о •Н сг о =] тз m EJ m ia m . X X X в < X с 77 2) D{f)=, E{f) = 3) X>(/)=. E{f)= _ 4) D(n = E{f)= _ § 9. Способы задания функции Заполните пропуски: 1) Способы задания функции: 2) Способ задания функции, при котором правило, которое позволяет по значению аргумента х g D{f) вычислить соответствующее значение у, задается формулой, называется Выпишите номера рисунков, на которых дано графическое задание какой-либо функции: 78 4) ^ 1 1 1 ' ' л i 1 ! 1 . i 1 ■Ill'' . 1 ' i I (L ' ' ^ i t чтг 0 ' ! ' X ' м О , >4_2_ a_4 Li I I ' ■ Гк . ■ i i у а ■ J ■ i i j 1 / 1 4 * If 1 Ч1 N ’! _J 1 L 0 ' Ответ: Функция у = f{x) задана графически. Дайте ее аналитическое описание: Решение: Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, значит, коэффициент а = -1 квадратичной функции у = ах^ + + Ьх + с. Так как парабола пересекает ось Оу в точке (0; 0), то коэффициент с = 0. Зная координаты точек пересечения графика с осью Ох, найдем коэффициент Ь: 0 = -1-42-ЬЬ*4 4Ь-16 = 0 4Ь=16 6 = 4 Получили аналитическое описание данной квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с при а = -1; 6 = 4; с = о Ответ: у = -х^ + 4х uyi- уЭ о ■D О О О т т (а> > £3 > X S X в '< X X ц: S 79 Решение: Решение: Ответ: Ответ: Функция у = f{x) задгша графически и аналитически. Выпишите номер графика функции, которая не задана формулой, и функцию, график которой не построен. а) fix) =---- X в)Ял:) = (л: + 1)2+1 Ответ: О Дана функция fit) ^)fix)=-----1 X г)/(л:) = (д:+ 1)2- 1 2it + 20, если 0 < i < 40 100, если 40 < ^ < 60 -i + 140. если 60<^<150 3 Вычислите ЯЮ), ЯЗО), Я55), Я60), ЯЮО): ЯЮ) =______________________ Я60)= . Я30) =_____________________ Я100) = Я55) =_____________________ О Функция задана формулой з(?) = ^2 + 2t, где з — путь (в м), t — время (в секунду). а) Найдите путь, которое тело пролетело за 1 с, 3 с, 10 с. Решение: i£n О :э о о о СП Е > ч X X е X г: 81 б) Найдите если s = 35 м, s = 120 м Решение: Функция у = f(x) задана формулой у = ^ . При каких значе- 1У ниях аргумента х выполняется условие: а) fix) > о Решение: 8 — 4jc fix) > о при ----> О. Решим полученное неравенство: 10 1 ! i 1 1 1 ] 1 1 Г|Т| 1 1 ! i ! i 1 1 ! 1 1 1 1 ; ' 1 i ! 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 i i i б) fix) < о Решение: 1 ; 1 i 1 1 i 1 1 [ 1 ! 1 i H 1 i ^ i ^^ ! IJ Функции заданы формулами. Установите соответствие между формулой задания функции и ее названием: S)y = Ответ: - —л: -b 3 4 A) квадратичная функция - -x^ + Sx-S 4 Б) прямая пропорциональность 4 X В) линейная функция 4x Г) обратная пропорциональность 1) 2) 3) 4) 82 о Установите соответствие между графиком функции и утвержде- нием: A) нули функции равны -3 и 1 Б) f{x) > О на (-оо; 0), (4; -foo) B) /(л:) < о на (-1; 3) Г) f{x) > о на (-4; 0) Ответ: 1) 2) 3) 4) Р О Z] о о о Z (л) > 33 > X X X в ч: X с X X 83 §10. Свойства функций Дополните предложение: 1) Если для любых двух значений и Xg множества X с D{f)y таких, что < х^у выполняется неравенство f(Xj) < fix^), то функция у = /(х)называ- ется на множестве X а D{f). 2) Функцию у = f{x) называют убывающей на множестве X а D{f), если для любых двух значений х^ и х^ из множества X, таких, что х^ < х^, выполняется неравенство _ _. 3) Возрастающие и убывающие функции называются общим названием 4) Если функция ограничена снизу и сверху, то ее называют Укажите промежутки убывания функций, изображенных на рисунках: б) г) У‘ \ !—1 -1 / \ ^ ! \ ' i ^ -2 \ 0 / \ 1Й V : 1 1 ' i ^ 84 Докажите, что функция а) ^ = -Зх^ + 1 является возрастающей на (-оо; 0] Доказательство: Функция является возрастающей, если для < х^ выполняется неравенство у(х^) < у(х^). Пусть х^<х^, по условию ATj < 0; < 0. Значит х^^ > х^^, получим < ~3х^^, -Зд:/ -Н 1 < + 1, следовательно, у{х^) < yix^) — функция является воз- растающей на (-оо; 0]. б) у = 2х^ - 4 является убывающей на (-оо; 0] Доказательство: ш л в) у = — является убывающей на д: > 0 X Доказательство: г) у = Jx-2 является возрастающей на [2; -Ьос) Доказательство: р ь О § и ж i= 2: sc Даны функции: fix) = Зх^ - 4х+ Ь; fix) = -72д:+1; Дд;) =-+ Зд: - 1; fix) = 2х - 3; -3<х<12 ^ 85 Заполните таблицу: Функции, ограниченные сверху Функции, ограниченные снизу i i 1 О Поставьте в соответствие функцию и ее наибольшее и (или) наименьшее значения на заданном числовом промежутке: 1) I/ = 5л: - 1, -3 < х < 2 2) у = х^^-2 < х<1 3) I/ = + 1, -1 < л: < 3 4) I/ = -х^ -f 4, -2 < л: < 1 Ответ: A) О Б)0;3 B) -16;9 Г)1 1) 2) 3) 4) Постройте график функции у = х + \х\тл Решение: Для построения графика преобразуем функцию. , , [ X, если л:>0 , , f Таккак|л:| = -^ ,тоу = х + \х\=' [-л:, если х<0 ____ прочитайте его. если л: > О если л: < О 86 Свойства функции: 1) D(f) = 2) Промежутки возрастания (убывания) 3) Функция ограничена не ограничена ^наим ’ ^наиб 5) Функция непрерывна Q)E{f) = Постройте и прочитайте график функции Решение: 8 > X если x<-z 2х, если -2<х<2 8 > X если х>2 5 .. 4 ■■ 3 2 ■■ 1 О н 1 1 h 1 2 3 4 5 —I—I—I—I—^ -5 -4-3-2-!^ -2 -3 •• -4 .. -5 •• Найдите нули функции: У X Свойства функции: 1) 2) 3) 4) 5) 6) а) у = —X - 15 /у 3 Решение: ^ ^ Чтобы найти нули функции у = —х - 15, решим уравнение —х~ 15 = 0: 3 3 и» тЛ, Р О ш о s< о "Н в X j= X Ответ: 87 б)у = 7х^ + 28х Решение: 1— 1 ! 1 1 j 1 —-г-т ( i —■1 1 » I j 1 Ответ: в)у = yjx -3 Решение: г) у = х^ - 2х - 3 Решение: , 1 > 1 j ! j ! [ ^ _J j _L_. 1 _i_J Ответ: §11. Четные и нечетные функции Дополните определения: 1) Функцию у = fix), X е X, называют четной, если для любого значения X из множества X выполняется равенство_______________________. 2) Если для любого значения х е X для функции у = fix) выполняется равенство fi~x) = -fix), то функция называется_______________. 3) Множество X называется ________ множеством, если вместе с каждым элементом х ^Х множество содержит и противоположный элемент -х. 88 4) Если функция четная или нечетная, то ее область определения D{f) — ________________________________________________ множество. 5) График четной функции симметричен относительно___________; график нечетной функции симметричен относительно ___________. О Соедините отрезками верные утверждения: [-5; 3] • • симметричное множество (-ос; +оо) • • несимметричное множество [-10; 10] • • несимметричное множество (-4; 4] • • симметричное множество Выпишите номера четных и нечетных функций: «л л гп н I г m s: I m X m H X T. m e < X ж n s s 89 Ответ; Четные функции Нечетные функции Даны функции у = 5х^; у = |5jc|; 1/ = —; 1/ = 5jc. Заполните таблицу: X Четные функции Нечетные функции -5 -4-3-2-!^ н—h ..1 2 3 4 5 90 о Постройте график нечетной функции, если на рисунке указана одна часть графика: а) i , ^ 1 ■■■ ‘ 1^ ^ я1 ! Ой - ■ 0 X -5 - 4- 2-1 N 1 1 : ( < : S * 1 3-| -1 ■12 • Г В э о А 1 К U - б) i 5 ■ г — А ш О О ' 0 /\ ^ - I” . 0 ! : л: — 5 - 4- з-2-i . : . i К j 1 S 1 1 Li. ! т1 ^ л. О R > _ 1 Р Исследуйте функцию на четность: di)y = x\x & (-8; 8] Решение: Так как D{y) не является симметричным множеством, значит, функция не является ни четной, ни нечетной, б) у = jc^, лг G (-оо; +ос] Решение: «л X ГП н I Е m S X ГП X m н X Е ГП S X SZ X X 91 в) I/ = -Зх^у X G [-4; 4] Решение: г)у = \х\,х е [-5; 5) Решение: Определите, четной или нечетной является функция: а) I/ = Зх^ -2х* + 7х-1 Решение: Найдем у (~х) и сравним с у (л:): у(-х) = 3 • - 2 • (-л:)^ + 7 • (-д:) - 1 = -Зд:^ - 2д:^ - 7д: - 1. Так как у(-х) ф у{х) и у{-х) ^ -у{,х), то функция у = Зх^ - 2х^ является ни четной, ни нечетной. б) I/ = д:® + 2д:‘‘ - 1х^ + 8 Решение: 7д: - 1 не b)i/ = д:"* +1 Решение: П r)t/ = д: + 4 2д: +5 Решение: 92 о Постройте график функции и укажите, четной или нечетной она 1 является: а) f{x)= < Ответ: 4, если д:<-2 > X д:^ если -2 < д: < 2 B)f{x)= < X, 4, если х>2 1 ; . J 1 1 5 л 4 ' п ! • U " Ск ■ Z ' •i ■ 1 ; 1 0 1 X -5 -к- 3-2-] ■ i \ I ; i -1 ■ О . 1 11 ! о ■ ! 1 ; : 1 i ■а' А 1 Л ' 1 • I '0 ' 6)/(jc) = Ответ: если л: > О если л: < О i i 5 ‘y ! i 4 a ■ A 1 £ ' I i i 1 ■ X -5-4- 3-2-i } ' : S * 1 rr о 1 i fk Ш I ! о ■ A . 1 4 ■ 1 I «' зли х<-\ X, если -1 < д: < 1 —, если д:>1 X Ответ: 1 5 . A 4 A 8 ■ A £ ' 1 ' 0 д: J- 4- 3- M i 1 1 4 * 1 ■ n 23 ' о ■a ’ A '4 ■ 'Э ■ г)/(д:)= < Ответ: -X - 2, если JC < -2 -х^ + 4, если -2 < д: < 2 д:-2, если д:>2 i 5 . ^y A 4 " A 3 ■ A Z ' 0 X _ 5^ 4- г-1 1 J : 5 Ч о £ " о ■j > A , 4 ■ er 'Э ■ и/> 93 ^ + § '^2. функции у = X" (n 6 л/), ■V их свойства и графики Дополните предложение: 1) Функцию у = х'Чп е N) называют ____________________________ с___________________показателем. 2) Графики функций у = х^’'у /г = 1,2,3,... симметричны относительно и являются 3) Графики функций у = /1 = 1,2, 3,... симметричны относительно и являются ___ Установите соответствие между формулой, задающей функцию, и ^ графиком функции: 1) у = х^ 2) у = (х-2Г 3) у = -х^ + 2 4) y = (x-2f-2 А) В) .... t 5 А - О ' л . i '' i Г X 5 - 4- 5- 2- 1 ! : 1 { ■1 -Я - ■'О * - •4 . то ' i/i 5 ' 1, 4 ' о J ' о , Z ' ^ . J <0 X _ 5- 4- р- 2-3 4 \ ; i -1 о i3 ' о 'О ' • О 94 Ответ: 1) 2) 3) 4) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке: &)у = х\ (-1; 1] Решение: Функция у = X* будет принимать наименьшее значение в вершине параболы (0; 0). Наибольшее значение будет достигнуто в точке х=1. Ответ: у = 0; w , = 1 Ь)у = х\ [-2; 2] Решение: Ответ: в) l/ = лr^ [-1; 1] Решение: Ответ: ио» mjL N в *< X 75: J= S X ч: и 4 5 m 5 X X о ш о о •н s —J е S X х 95 г) г/ = [-2; 2) Решение: Ответ: Решите графически уравнение: а.)-х + 2 = в) -х^ = -X 5^ — |3- I А 1 ^ ■ 1 ■ 1 ^ X -ъ - 4-3- 2-1 1 1 : ► 1 ; ; 1о - > 1 1 i ' 1 О' 4 lJ 1 .... ^ ■ Б , 0 ■ Ответ: _ г) -х^ = -X 1 1 1 ' i ! -5 - 1 Г ! о 1 1 -о— • Й 1 1 : ^ ' 1 i -й-к- 3-2-1 1 1 : Г i 1 ■ 1 -1 1 1 1 ^ о 1 -JJ-' А . В о ■ I Ответ: Определите количество решений системы уравнений: \у =Sx^ [у =2х +S в) Ответ: б) \У =2д:^ [у =х - S в . j 5 л 4 ' л 3 ' л Z ' 1 ■ 0 i i 1 X 5-1 ! 4-3-2-] ' ! Т 1 1 2 8 4 £ о ! ' I : 1 Л о ! 1 1 о ' Ответ: 5 ' 'У i 1 ' А 1 4 о 1 И ■ л 2 i ^ ' 1 ■ 1 0 X — i- А- , ; 1 ; : S ■ г г ■ г ' ! ; <2 ' 1 ia. ! ТО ■ ' 1 i i Ответ: 1 5 ^y ! 1 A 1 4 о j —^— i J ' Л i : Z ' ■ ; , 1 ’ 1 X -5 44- 3- p-1 . ; i i 4 { ' 1 ' i Ч j : a ' 1 i i 1 j ■ A 1 i i I Ответ: О Постройте график функции и опишите ее свойства: если х<0 а) f{x) = X, если х<1 если л: > 1 в) f{x) \ 1 —, если jc>0 IX Свойства функции: 1) 2) Свойства функции: 1)_________________ 2)_________________ е ^ *< X Ж 'S' И S S' II 3 m 3 § а ш О s< 0 н ш > S 1 в S ж S 97 3) 4) 5) 6) -I—I i ♦ 5 .. 4 3 2 -■ 1 --, 0 -5 -4-3-2-!^ -2 ■ -3 -4 .. У H—I—I—I—I- 1 2 3 4 5 3) 4) 5) 6) i 5 . 4 ■ 3 ■ 2 • 1 ■ , , , , , 0 \y X -5 -4-3-2-1 1 2 3 4 5 -1 ■ -2 ■ -3 ■ -4 ■ 6)f(x) = \-x + 2y если jc < 1 r)f(x) = \ 4 [ X , если х>1 Свойства функции: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 5 .. 4 ■■ 3 -• 2 ■■ 1 -- -I—I—I—I—I- 0 -5 -4-3-2-!^ -2 -3 ■■ -4 -■ У H—I—I—I—► 1 2 3 4 5 X -► ■4------h H--^ -5 -4-3-2-!^ 5 .. 4 3 ■ 2 -■ 1 0 -2 -3 -4 ■■ У ■+—4---1--f-l- 1 2 3 4 5 X 98 Докажите (графически), что уравнение а) X® + 2 = не имеет корней в) -х^ = -X + 2 имеет один корень 1 —J 5 ‘1/ ^ п Л - Я . ■ 41 ' п Б " 1 1 ■ 0 X _ 'ь -4-3- 2-1 L . 4 1 ; t 1 t i -1 о re Я ' А 1 1 ^ ■ 1 \ ! б) = -X® имеет один корень г) х”* = 4 имеет два корня Графически решите неравенство: а) Vx > х^ в) X® > - |х| + 2 i & . i ^ - Q _ i О -О - A * *1 _ X b - 4- 3- 2-1 . , , : 1 } 4 5 t ^ -IT ■ Э О ' г ! ^ ' 1 , I. -1_1 / 5 /i - ! 4t о о " 0 в ' 1 ' 1 0 X 5- 4- b- 2-] 1 1 ; ( 4 : 5 ■i ■ Я . в О i ! о ' А 1 i : 1 » • 1 u/i шЛ ы Q '< X i= X X 4 I! 5 m S X о го о п го > е X 7s X Ответ: 99 б) > 3 - 2х г)х*>- yjx -1 + §13. Функции у - х~" {п е Ы), их свойства и графики Дополните предложение: 1) Функции вида у = дг"", где /г е ЛГ, называются 2) Горизонтальной асимптотой графика функции у = — (у = явля- X ется 3) Ось Оу является 1 функции J/= — асимптотой графика ___________{y = x-'^). Найдите и впишите пропупденную координату точки, зная, что точка принадлежит графику указанной функции: ) а)у = х-^уА(2\ Решение: Так как у = х~^у то г/ = . Поставим в эту функцию известную координа- ^ 1 1 ту л: = 2 и найдем соответствующее значение координаты у: у = "tj “ 2 4 100 Ь)у = х-\В\^~ Решение: 1——i в)у = х~^, с Решение: т)у = л:-\ D( Решение: ;1б) о Постройте графики функций, если известен график функции у = х Ujfi М е < I ■ т; i= S' s 4 II а m 3 5 X о т О s< о -I S .-1 5 в S. X S 101 а)у = {х+1) -2 в)у = (х- 1)'^ + 1 i 5. 3- 2- -1- 1 t 1 1 i 0 ]У , . . . . —I. i X -5 -4-3-2-1 1 2 3 4 5 -1 ■ -2 • -3 • -4 ■ -5 • ■ б) у = х~^ + 1 Н---------1-------1--------1-------1- 1 + 0 -5 -4-3-2-!^ -2 ■■ -3 _4 .. +—I—I—I—f- .. 1 2 3 4 5 X -► 1 - 4—4- 4—4- -5 -4-3-2-!^ -2 -3 -4 -5 г)г/ = (л:+ 1) -2 _ i 5 .. 4 3 2 " 4—I—I—I—h 1 + О -5 -4-3-2-!^ -2 -■ -3 -■ -4 ■■ -5 У Н---h X 4-^ ..1 2 3 4 5 X 4---1-1 1-- 1 2 3 4 5 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х ^ на указанных промежутках: Решение: (1 функция у = X ^ является убывающей. Так как в На промежутке —; 1 1 - точке — функция не определена, то наибольшее значение функции не су- 102 ществует, а наименьшее значение функция достигает в точке 1: у = 1"® = 1® Ответ: —не существует, у^^^^ = 1. б)[1;2) Решение: Ответ: '4 в) Решение: Ответ: г)[1;2] Решение: ■4----4- 1 1 ■ : ‘ ^ i t . 1 ) I 1 1 : 1 1 ■ ’ : i ; 1 i 1 r-p . . 1 1 ! ! 1 1 1. i ! . ■ ! i г ■ i 5 i ; 1 i , 1 1 ■ ■ 1 ! ' ! i - I 1 1 1 i ; 1 1 i ^ i , ^ ! 1 I 1 ! — —i— 1 i ' ! 1 1 i ! i i ^ i 1 1 1 1 ■} ‘ ^— ' ! 1 1 ■ ^—-- j _j Ответ: шЛк (» е X с S S ч: II >с s' m 3 X X о го о о н ? S “I 5 е X X X 103 Постройте график функции (ЗС + lf+1, если х<-1 f(x)== < если -1<д:<0, 0<х<1 если х>1 а) Найдите/ il,/(l), / - . ч v2; V 2; /(1) = (1 . 2 f /(-1) = /(2) = б) По графику определите четность функции в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции t ^ г) Запишите уравнение асимптоты функции О Сколько точек пересечения имеют графики функций: &) у =-X и у = х~^ . Л'»'. 104 Ответ: г i 5 . ■ 4 - 4 Я . 1 О ' О 2S ' 1 i X 0 JC -5- 4- 3- < 5 ; t £ я . л . "О ' Л 4 ' Б О в)у = у[х иу = х-^ Ответ: / 5 ■ А ' 4 о О ' О 2S ' ■i . 1 , 0 X 5- 4- 3- i ! : 1 Г ■ -1 а. В О * 4 ' Б О ' 6) у = и у = х~^ г)у = х'^иу = х 5 . у Л ■ О i О о 1 - 1 0 X — 5 - 4- 3- 2-] 2 3^ ! ' i lo - I ' 1. [ . . ^ i I 4-Я - i i i 1 i J о >: ' “Г о 9 - 1 £ i . i : — 1 • 1 1 0 1 1 X 6-4-is- 1 ■ 1 ‘ l 4 t ! +1 4-9 ■ i T ^ ' i • 4-Й - 1 ! 1 1 . —Л - , f : i j ^ -Ir - i 1 “TO I i Ответ: Ответ: Решите графически уравнение: а) х = х~^ 6)-х= ^ j i J 5 . 1 I ; A ■ 1 i ^ _Q_. 1 1 I i 'a ■' ; i ’ ' 1 1 - ; I 1 ^ i i 1 i 1 1 0 X ' ^-^4-|3- 2-1 , X 5 : J ^ l s I M . ^ 1 1 ' ■ Г —a - j ! 1 j в) х^ = х~^ ■ i LR. \y 1 О . i 1 . i ^ 1 * 1 X - 5- 4-is- 2-1 . p ; { 4 i t1 . -Lo . a О 1 1 Ответ: г) -х = х~^ __! 5 ! ' i A • о о о a i - i "o X 5- 4- S- 2-i,. .12 5 1 ^ ► -1 ^9 ■ T ' ■ 1 1 !q_. ! ! j j 1 1 ^ 1 j Ответ: Ответ: ы в С S '■ S ^ . S'. m ж о 00 0 О ■Н S S 1 X S 105 о Установите соответствие между функцией и графиком этой функции: l)y = x-^ А) 2)у = х^ 1 5 - : ' i ^ ■ -4 - 1 ; - ' 1 ’ i 4^ i ^ 1 ' 1 1 г 1 1*0 X -5 -4-3-2-i 1 2 3 4 5 -2- _ 1 3 . Ответ: ._„1) ___________t 3) S)y = x-^ 4)у= yjx Г) § 14. Функция у = ее свойства и график Дополните предложение: 1) Число Ь называется ______________ числа а, если выполняется равенство = а. Обозначают где а — подкоренное выражение, 3 — показатель степени корня. из 106 2) Соотношения tfa =Ь, и эквивалентны, то есть выражают одну и ту же зависимость между числами а и Ь. 3) Корень третьей степени из положительного числа —______число, а корень третьей степени из отрицательного числа 4) Справедливо тождество = число. Подчеркните свойства функции: 1) Функция у = Vjc — четная, нечетная функция 2) Функция у = ^ — возрастающая, убывающая функция 3) Функция у = ^ — ограниченная, неограниченная функция Выпишите номер выражения, которое получится после упрощения выражения vl25o®&^c^ 1) 2) -5abV Ответ: 3) 5a2feV 4) Выпишите точку, которая не принадлежит графику функции у , В(-1; 1) Ответ: С(1; 1) i)(8; 2) Установите соответствие между уравнением и его корнем: 1) д;= ^1000 А)х = 27 2) x=^Fei Б)1 = -125 г)^ =-Ъ В) ж-10 4) ^ =3 Г)д: = -4 Ответ: 1) 2) 3) 4) «о> е X SZ S ч; н m m о ш О 3 S -I ? е S X 107 Выберите из предложенных формул функцию, график которой изображен на рисунке, и подпишите ее под графиком: у = ^ + 3 у = + 3 А) у = ^ - 3 у = ^ - 3 В) Б) Г) 108 По графику функции у = ^ определите наибольшее и наименьшее значения на указанном промежутке: а)[-1;8] в)(-1;1) У плкЬ ---- У = ^ яаим ---- б) (-8; 1] ^наиб ----- У = ^наим ----- ^наиб ----- Ув&иб ----- г) [-8; 8) У кшб ----- Решите графически уравнение: а) ^ = X в) -^х = X i 5 4 - 4 О ■ о . 25 ' 1 0 X 5- 4- 'г-. 2-1 i 1 i \ < t -1 о J9 * Я . и ' А . tL , D ' 5 4 - 4 U ' ri 2S ' —IT- X И 4- 3- 2-] 4 ! ; \ 4 ■ ^ -1 a Q о ■ 4 Ч * К О ' Ответ: Ответ: 109 б) ^ = -л: + 2 г) ^ = \х\ ■4------1-----1------Н -5 t 5- 4- t \У ■ 1 , 1 1 1 0 X ■li- —9 - 1 к ; t ^ ' , 4 —^ • -5’ j i т 1 i ! — ■ 5 4 3-о . 1 0 X 4- 3- 2-] i \ : { 4 5 Г -1 n a ■ Q и ' 4 Ч ' .tr . 0 i ! Ответ: Ответ: 40 Отметьте на координатной оси промежутки, на которых функция й)у= ^ + 1 в) I/ = +2 + 1 неотрицательна положительна — г— 1 / . I I A ■ — ' Q - 0 1 Л ' ...j I i"® X - 5 - 4- 3-2-1 1 ! : 5 "PIT L _0 . }l о ' Л — Ч " О ■ J 5 ^y 1 4 ^ 4 rt . U ' Cl Z ' I . 1 1 0 i л: 5- 4- 3- p-1 4 ! ; i 4 Г +1 L _0 . о •iy- 4 Ч " e D ' Ответ: Ответ: 110 Ответ: Ответ: Решите уравнение, используя метод замены переменной (^ = О: ^-3^ -4=0 Решение: Ответ: Даны функции у=^ + х; у = + х^; у = tfx + х^; у = x^tfx + х'^. Заполните таблицу: Четные функции Нечетные функции в •< I X jr s: 4 II гп m о ш О S' 0 н § 5 1 г в S 3s 111 ■ ^^заг-<.5Й£$5йвЕЬ£а«;' " Глава 4. ПРОГРЕССИИ ^ + 21 § 15. Числовые последовательности Дополните предложение: 1) Функцию вида у = f(x), где х е N, называют функцией натурального аргумента или_______ ___________________, обозначают у = f(n) или 2) Значения у^; у^; у^; ... называют первым, вторым, третьим ,... членами 3) Последовательность задана__ зана формула ее л-го члена у^ = f (п). 4) Последовательность задана ., если ука- способом. ^ если указывается правило, позволяющее вычислить ее л-и член, если известен ее предыдущий член. о) Если i/j < i/g < г/з < ... < i/^_j < i/^ < ..., то последовательность называется 6) Если у^> У2> Уз> У„-1 > i/„ > •••» то последовательность называется 7) Если у^ = у^ = у^= ... = i/^_j = г/^ = ..., то последовательность называется Выпишите последующий и предыдущий члены последовательности (aj: а) _____________— ... в)-------------- б) -----------’ — ------’ ^л+з’---------- Найдите правило, по которому задается последовательность (а^), и запишите следующие два числа в этой последовательности: а)1;4;9; ___; 112 Решение: Так как а, = V; а„ = 2^; а, = 3^, то можно задать последовательность (а„) 1 Z о ” формулой = п^. Найдем следующие члены этой последовательности: = 4^ = 16; = 5^ = 25 6)3; 5; 7; ; Решение: *2’4’9’ Решение: г) 2 3 4 12 3 Решение: Последовательность задана формулой л-го члена = 4 - Зл. Установите соответствие между членом последовательности и числом, ему соответствующим: 1)0^ А) 1 - 3/г 2)«,„ Б) 13-ЗА; В) -8 Г) -26 Ответ: 1) 2) 3) 4) 1 «л Я* X S о i3 О ш ni о о ё ш S сг X о о н X 113 Последовательность задана формулой п-го члена = - п. Выпи- шите число, которое не является членом этой последовательности: а) 20 6)42 в) 96 г) 132 i i ! 1 ' т ; i \ f j ; I ! I i I ! i ^ ' i I ! in г 1 1 ! ! ! '■ 1 ! i ^ Ml 1 Ответ: О айдите первые 4 члена последовательности, если она задана рекуррентным способом: а) aj = 1, = -а^ - 3 Решение: Найдем члены последовательности, зная предыдущие члены: Oj = 1, Og = -Oj - 3 = -1 - 3 = -4; Og = -а^ - 3 = -(-4) - 3 = 4 - 3 = 1; a, = -ag - 3 = -1 - 3 = -4. ^ Ответ: 1; -4; 1; -4 б)а, = -5,а„^, = а„ + 6 Решение: : ' i 1 1 1 [ i . : p ' \ \ i . i Ti 1 1 i ' ■ 1 _n U._:J i ' ” ^ 1 1 --1 : 1 1 i 1 Tl ' ^ i 1 1 i .J i i Ответ: в) а = 2, а , = а ^ '1 ’ Л-1-1 п Решение: 1 Г— ^ T i 1 ^ 1 _ . ; ; 1 1 1 1 _L I ' ■ ' h- f i i ■ ” ' } ^ J L_ i 1 1 I ^ ^ i _j i _-L ■ ■ ■ 1 ! ' Ответ: 114 г)а, = 18, а .=--^ ' 1 ’ ге+1 9 Решение: Ответ: I I Определите первые 5 членов последовательности, если: а) первый член последовательности равен 7, а каждый последующий на 3 меньше предыдущего; Решение: По условию задачи = 7, - 3. Найдем члены последователь- ности, зная предыдущие члены: = 1; Og = - 3 = 7- 3 = 4; = 02- 3 = 4- 3 = 1;а^ = Од- 3 = 1- 3 = -2. а, = а. - 3 = -2 - 3 = -5. 5 4 Ответ: 1; 4; 1; -2; -5. б) первый член последовательности равен 8, а каждый последующий равен половине предыдущего; Решение: i i Ответ: в) первый член последовательности равен -5, а каждый последующий равен предыдущему, увеличенному на 0,25. Решение: ; ^ I ^ I ^ Г II I ; ter* 01 X S о о 09 СГ m =1 О о S 0 1 m 0“ X о о “Н Ответ: 115 г) первый член последовательности равен 0,8, а каждый последующий в 2 раза больше предыдущего. Решение: Ответ: О Определите член последовательности, заданной формулой п-го члена X = а) 6 Ответ: 6)12 в) 14 г) 16 О Определите соответствие между номером и членом последователь- п + 1 ности, заданной формулой = 1) 3 2) 5 3) 4 4)2 Решение: А) т о Б) -| ^>1 —] — I 1 i ; ! ■ ^ ^ т——г ■ 1 [ ■' ■ ! 1 ! 1 i ' ' L п г ^ ; i 1 -н- п 1 ! i Г'■ 1 : 1 1 1 ! Ответ: Г' 1) 2) 3) 4) I 116 § 16. Арифметическая прогрессия Дополните предложение: 1) Числовую последовательность, каждый член которой начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют _____ , число d называют 2) Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (а^), заданная рекуррентно соотношением = а; =_________________________ (л = 2; 3; 4; ...). 3) Формула п-го члена арифметической прогрессии =________________. 4) Формула суммы п членов арифметической прогрессии =____ или S = - • П . ....—------- 5) Характеристическое свойство арифметической прогрессии а = . Каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего)равен Подчеркните числовые последовательности, которые являются арифметическими прогрессиями: а) 1;2;3;4;... в) 4; 9; 15; 22;... б) 15; 12; 9; 6;... г) -13; -10; -7; -4;... Дана арифметическая прогрессия (aj. Запишите формулу ее п-го члена и найдите при заданном п: а) -14; -9; -4;...; п = 1 Решение: I X m о э tj о S о о S 3) Ответ: 117 б) 5; 8; 11;...; п = 9 Решение: [ ' I ' i _| i ! ! i '—1 . 1 i i i 1 i 1 i 1 ! 1 1 1 I 1 1 ' i 1 ■ 1 i Ответ: в) -1; 2; 5;...; п = 6 Решение: Ответ: г) 2; -1; -4;...; п = 10 Решение: .. i_. _ • 1 1 i ■j Ответ: Установите соответствие между арифметической прогрессией и ее разностью: 1)-20;-18;-16;... A)3 2)16; 19; 22;... Б) -4 3)-7;-ll;-15;... B)2 4)6;l;-4;... Г)-5 Ответ: 1 1) ! 2) 3) I 118 о в арифметической прогрессии известны а^ = -12ис? = 3. Найдите номер члена прогрессии, равного: а) -6 Решение: ! i Ответ: 6)0 Решение: ^—h Ответ: _ в) 9 Решение: г т ^ '-IJ 1 I I ' : ! I _L ■. _J_j j I Ответ: О Заполните таблицу, используя формулу п-го члена арифметической прогрессии а^ = а^ + (п- 1) d: ^1 d i n a 1 3 5 4 n 2 5 7 -2 7 -20 4 -2 -14 1 г Н С01 тЛ. а> > •V •S, в г m н :s X гп о 5 :£] =1 “О о ■~J тэ m о о 119 Последовательность является арифметической прогрессией. Найдите сумму п первых ее членов, если: а) а^: 4; 6;п = 10 Решение: 2cl +d(n -1) = —---------- ' п; d = Og - Oj = 6 - 4 = 2; = 4; я =10. 2-4 + 2(10-1) 8 + 2-9 26 S= -------^ • 10 =-------------10 = — • 10 = 13 • 10 =130. 2 2 2 Ответ: 130. б)а^: -8;-4;...; n = 7 Решение: 1 i 1 1 i j ! i 1 1 : 1 1 1 .1 \ 1 1 i j М П ! 1 i i j 1 1 L_J_ -1_ ' 1 _J L_ 1 i Ответ: a^: 18; 5; 16;...; я = 6 ‘шение: I i i ! i 1 1 ■■ 1 1 1 ! ! ! 1. 1 1 1 1 Ответ: t ¥ f . • V Найдите S^, если арифметическая прогрессия задана формулой: f : а) = Зя + 5, Я = 6 ^ Решение: 1 S =-^^-^^-я,а =3-1 + 5 = 8,а =3-6 + 5=23;я = 6. м пр1 ^6 г 1 ■: 1 1 —^^ 1 ! 1 1 j — 1 I ; 1 1 \ От if - (к П^ \ ^ вет: 120 б) = 10 - АПу л = 12 Решение: Ответ: в) = 2л - 3, л = 31 Решение: ГГ Ответ: г) = -14л + 1, л = 16 Решение: СП > “О в к 4 £. m О 5 э тз О “1 "О m п о S Ответ: О Между числами 5,5 и 0,5 вставьте девять таких чисел, чтобы они вместе с данными образовали арифметическую прогрессию. Решение: Пусть Cj = 5,5; aj_j = 0,5. Числа а^; ...; — неизвестны. Найдем раз- ность данной прогрессии: а. a^ + lOd, 0,5 = 5,5-bl0d, -5 = lOd, d = -0,6 Найдем пропущенные члены прогрессии: Og = - -- > ^6 ~ ; Og = «0 = Ответ: 121 Между числами 2,5 и 4 вставьте четыре таких числа, чтобы они вместе с данными образовали арифметическую прогрессию. Решение: 1 1 ■ , i : ! j i I I 1 1 1 1 1 1 j ■i—!—;—I Ч i ! i i i : j ; 1 I 1 i ! i ‘ ' : * • i i i i : > ! ' , 1 j i Mil ’ • i i [ 1 •ill ! ! 1 i. i MM i 1 1 1 : < ; Ответ: Ф Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, определите, является ли последовательность, заданная формулой а^ = 6п- 7, арифметической прогрессией. Решение: M M ! _.| !.M L : 'Mi M M ! 1 : ' ' i ' ' ' 1 i : ^ 1 I ; ’ ; 1 i j ! ! ! : 1 ■ ' . ' ■ i ’ ; ^ ! 1 ; ; * i j i I ! Ответ: ' ^ § 17. Геометрическая прогрессия Дополните предложение: 1) Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q ^ О, называется ______________ _ , число q называется __________ 2) Геометрическая прогрессия {bj задается рекуррентным соотношением: = __;{п = 2,Sf 4,...);b^0;q^0. 3) Если Ь > О, g > 1, то геометрическая прогрессия является 4) Если 6>0, 0<^<1,то геометрическая прогрессия является 122 5) Формула члена геометрической прогрессии: = _________ 6) Формула суммы п членов геометрической прогрессии: = 7) Характеристическое свойство геометрической прогрессии: = Зная первые два члена геометрической прогрессии, запишите следующие за ними три члена: а) 1,5; 3;________________________ Решение: По условию задачи = 1,5; bg = 3. Зная первые два члена геометрической Ь. 3 прогрессии, найдем знаменатель q = — : q = --- = 2. Значит, Ь^ = Ь^ - q = 1,5 = 3 • 2 = 6; • g = 6 • 2 = 12; • ^ = 12 • 2 = 24. б) 3,2; 1,6; Решение: i I I I ! 1 I ! в) 4; -2;_ Решение: г) 9; -27; Решение: ьо» ы m о г m н ■о X m о > 3 о _| тз гп о о s; 3 123 Установите соответствие между номером члена геометрической прогрессии и его величиной: 1) b^ = 2;q = 2; = 32 2) 6, = 28;^=i;b„ = 3,5 3) ft, = -36;g = -i;6„ = l,125 4) b^ = l;q = -3;b^ = 9 A) /г = б Б)н = 5 B) л = 3 Г)га = 4 ,_1 Ответ: 1) 2) 3) 4) i 1 1 ■ 1 1 ! 1 ) 1 1 1 ; [ ' i ' i 1 1 __ 1 i 1 1 ■IS j I ■ ! i L 1 1 J.,.:..,.;. s Найдите Ь^, если в геометрической прогрессии известны: Решение: . Ь, 1 Ь. = Ь- q\ значит, Ь = — = — ^ ^ ^ 64 Ответ: Ь = —. 4 б) = 243; q = -S Решение: Ответ: _L 64 1 м__ 124 B)&e = ^;? = Решение: Ответ: г) = 256; q Решение: = -2 Ответ: О Найдите Ь ; п; д, если о геометрической прогрессии известно. что: B)*e=^:9 = 3;n = T.ft„-? tan т* m О S m н и S X гп о р Z3 тз о —t *0 ‘ m о о S X Ответ: б) Ь = ; q = -2; 6 = — . п — ? 128 ^ " 8 Решение: 125 в) feg = 96; g = 2. bj — ? Решение: Ответ: г)Ьз=7; b^=2S.q-? Решение: Ответ: О Определите числовую последовательность, которая не является геометрической прогрессией: а) 2; 4; 8; 16; 32;... в) 50; 40; 30; 20; 10;... J-. 1. 1. 1. ^’^81’ 27’ 9’ 3’ 6)1000; -100; 10;-1; 0,1;... О Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: а)3; 6;... Решение: =------—; п = 6; b, = S; b„ = 6. Найдем знаменатель q и сумму S'. п ^ 1а о Ь. 6 3-(2®-1) 3-(64-1) g=-^ = -=2;S = —^ ^ = 3 • 63 = 189 ^ Ь^ S ’ ® 2-1 1 Ответ: Sg= 189 б) л/2; 2;... Решение: ; : ; т ' f Ответ: 126 в)3;32;... Решение: . ^—I— _ : ! i 1 ' 1 1 ; i \ j i i _j ! ! 1 ■ i 1 1 ' 1 i : I i i I I I 1 ' 1 I : 1 . ..J ^ j i i Ответ: Найдите первый член геометрической прогрессии, если известно, что: а) g = 2;S5 =93 Решение: Выразим из формулы суммы п первых членов геометрической прогрес- bAq""-I) -85 (^-1) сии первый член Ь : S, = —^\ S,{q- 1) = {q^ - 1); Ь = т-. q-I q -1 Найдем =________________________________________________ Ответ: ____________ б) q=-;S=65 Решение: _____L___________ . -7------1 • J_______L Ответ: О Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии, выясните, является ли данная числовая последовательность геометрической прогрессией: а)х =2-3" Решение: и» •db Ы о г m н 'О г т а ж > 33 Z3 о •п *0 т о о S 30 Ответ: 127 Q)x =2" Решение; i i I -1— "T" 1 —j— j 1 [ ! Ответ: в) л: = 3" - 3 Решение: i , T 1 1 1 ^ r— 1 j j 1 1 ( 1 J Ответ: Клиент взял в банке кредит в размере а рублей на 4 года под 25% I годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока? Решение: --Т-------г Ответ: 128 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ §18. Комбинаторные задачи О Дополните предложение: 1) Изобразить организованный перебор вариантов это значит соста- вить дерево 2) Правило умножения: чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует ________ _ число всех исходов испытания А и 3) Произведение подряд идущих первых натуральных чисел обозначается _________________________и называется___________________ 4) Если п различных элементов можно расставить по одному на п различных мест_____ _____ _____________ способами, то это называется числом всех перестановок множества из__________________ элементов и обозначают На завтрак школьники получают творожок, кашу или сосиску. Из напитков бывает какао, чай или сок. Хлеб может быть ржаным, пшеничным или зерновым. а) нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака для школьников. Решение: со о 3 ш s X 5 о ■О X (Г т U) X X 129 б) в скольких случаях в завтраке будет творожок? в) как изменится дерево вариантов, если известно, что ржаной хлеб не дают с кашей, а творожок не совмещают с соком. Нарисуйте соответствующее дерево возможных вариантов завтрака. В классе 30 учеников, в кабинете — 15 парт. Сколько вариантов рассадки учеников класса в кабинете, если считать левую и правую часть парты разными местами? Решение: Ответ: 130 о в команде лыжников 5 человек с номерами с 1 по 5. Сколько можно составить вариантов очередности стартов этих спортсменов? Решение: ! i I ! ! ' i ! I I I , . ! i J г- ' * I I I — — I ! I I 1 } Ответ: а) Вычислите: 7! б!-7 4!-6! 4!-6! 1-2-3-4 24 б) 5!-10! 111-4! в) 61!- 38! 59!- 40! г) (3/е +1)! _ (3k -1)! “ ! I . i I i I : I i i I i I О Заполните таблицу по условию задачи и посчитайте число вариантов: «В выходные в первой половине дня Анастасия может пойти в парк, на каток, в музей или в библиотеку. В эти же дни во второй половине дня можно дома почитать книгу, заняться вышивкой, поиграть с младшим братом или посмотреть телевизор. Сколько вариантов проведения выходных есть у Анастасии? » (jCn 00 ?? О 3 ш s: > О X X m W > 13 > X S 131 каток парк музей библиотека Из цифр 2; 4; 6 и 9 составляют двузначное число (повторение цифр не допускается). а) найдите количество чисел, которые можно составить __ проведем разумно организованный перебор двузначных чисел, удовлетворяющих условию задачи: _____ б) найдите наибольшее нечетное число_ в) найдите количество четных чисел___ ________ г) перечислите все числа, кратные 3__ _ ____ д) найдите наименьшее четное число Группы в классе во время игры могут выбрать своей эмблемой звезду, круг или треугольник. Эмблема раскрашивается в зеленый, красный, желтый или синий цвет. а) сколько существует способов создания эмблемы? б) сколько среди них тех, в которых звезда красная? в) сколько среди них тех, в которых круг не зеленый? 132 Решение: Составим дерево возможных вариантов: Ответ: а) б) в) §19. Дизайн информации о Дополните предложение: Для обработки информации: 1) Данные упорядочивают и _ 2) Составляют таблицы_____ ; ! . 1 1 i . ' i 1 i ■ M ! 1 ^ : 1 T ! ' ' 1 г ^ ^ 1 ■■ i ' 1 I j 1 ^ I 1 ■■ 1 ! 1 т i I л.. i 1 : j : 1 i L_ J ' i к --1 'Г : 1 ^ ^— ! 1 1 i 1 1 i ! i г 1 j i Г-- .. ^ I t 1 Г i * 1 i Г 1 1 1 L i 1 1 i i ! j i ■ ' 1 1 1 1 1 I i 1 1 • 1 i ‘ 1 r ] i ^ i 1 “ ! ! 1 г I 1 ' I i 1 1 1 . . 1 1 — : 1 1 1 i i i 1 1 ; ! i - -4 _1 i i 1 иг> mJk <о 13 S (а) > s< X S X в о и 3 > .п X X данных. 133 3) Строят распределения данных. 4) Вычисляют основные числовые характеристики данных: Заполните пропуски в определениях: 1) Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась k раз, то число k называется 2) Частота варианты равна частота варианты = 3) График распределения выборки называется ^ распределения данных. 4) Среднее значение равно среднее значение = 5) Размах измерения — это 6) Наиболее часто встречающаяся варианта называется измерения. На кирпичном заводе для проверки качества продукции из каждой из 20 партий кирпича отобрали по одному кирпичу и измерили его длину. Получили следующие значения (в см): 20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,1; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3. а) составьте таблицу распределения данных; б) найдите среднюю длину кирпича; в) найдите моду измерения; ч г) составьте многоугольник распределения кратностей измерения. 134 Решение: а) Таблица распределения данных: Варианта 05 (N rf СО t- 05 05 05 05 Кратность б) средняя длина кирпича: 00 05 05 05 О (М о C4J 00 o' о (М сч> ю со Сумма гЧ в) мода измерения г) многоугольник распределения кратностей измерения: I кратность варианта Котлета в школьной столовой должна весить 50 г. Контроль при взвешивании дал результаты, которые внесли в таблицу. Сумма Вес, г 48 51 50 52 53 Число котлет 99 61 234 68 56 Частота Частота, % а) заполните таблицу; б) постройте гистограмму распределения частот; в) найдите моду измерений; г) найдите среднее значение измерений. fJCn Ь ы > X X X е о ■D > JZ X X 135 'S ш ь- о о X 1“ х о а. ш со X X о. о ш h- X х X о. Решение: б) гистограм]у i га распределения частот: к частота ► О 5 X S ш S о ье 2 h- X варианта в) мода измерений г) среднее значение измерений: ш S ш о 2 < г* _ ^'1 П I" Г ( О Установите соответствие между характером распределения данных и многоугольником кратностей распределения: 1) Бимодальное распределение 2) Мода равна 10 3) Унимодальное распределение 4) Размах равен 40 А) 16-| 14- 12- 10- 8- 6- 4- 2- 0 Кратность -|—I—I—г—\—I—I—I—I Варианта В) 60- 50- 40- 30- 20- 10- 0 Кратность 1---1---1---1--1---1--1---г Варианта 136 Б) Г) 1) 2) 3) 4) + ^ § 20. Простейшие вероятностные ^ задачи Дополните предложение: 1) Событие, которое произойдет при любых условиях, называется 2) Событие, которое не произойдет ни при каких условиях, называется 3) События, которые могут как произойти, так и не произойти, называются 4) Вероятностью случайного события А называется отношение______ Р(А) =____________________= 5) Если событие В происходит тогда, когда не происходит событие А, то событие В называется__________________________________________. 6) События А и В называются несовместными, если они не могут _ 7) Если А и В несовместны, то Р(А + В) =____ 8) Вероятность противоположного события Р(А) = и/> ю р =3 тг о о н m Е m ш m тз О :а н X о о н X 2; гп ы X X 137 Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что это число: а) оканчивается 1 Решение: Общее число исходов данного события — количество двузначных чисел N = , количество благоприятных исходов — числа, оканчивающиеся 1: 11; 21; . . .; 91 N (А) =_, значит вероятность наступле- ния такого события Р (А) = Ответ: N(A) N б) больше 36 и меньше 82 Решение: 1—г t Ответ: в) оканчивается на 2; 3 или 7 Решение: ' i и ■ i I ! ! ' I i ! j ; I 1 * j. Л—.. { ■ i ‘ L_J i I_ I ! ' ! ! i ^ I i J_j 1 i i [.ill! >. Ответ: На доске размером 8x8 клеток 16 клеток покрашены в белый цвет, 32 клетки — в черный цвет, а остальные — в красный цвет. Какова вероятность того, что случайно выбранная клетка: а)белая Решение: Общее число клеток на доске 8 х 8 = 64, значит, общее число исходов N = 64. ■ ■ ~i ' -1 1 1 1 1 1 I : . : ; i ■ i i 1 1 ( —rr—1 1 1 M M M i ! 1 t 1 • ^ ^ i ! i i ^ i i 1 ! , i i ! i i Ответ: 138 б) не красная Решение: Ответ: в) черная или красная Решение: —^^ — — — ' I I . L ' I I I ' . I Ответ: г) зеленая Решение: Ответ: Установите соответствие между событием «Бросание игрального кубика» и его вероятностью: 1) Выпало 4 очка 2) Выпало нечетное число очков 3) Выпало число очков меньшее 6 4) Выпало число очков больше 4 Ответ: A) Б) B) Г) 5 6 1 3 1 2 1 6 1) 2) 3) 4) to р п *0 о о н m S' Е m ш m Т) О ::а 4 х о о —Ц X о* m со > 5 s: 139 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства д: + 3| < 6. Какова вероятность, что она окажется решением неравенства: а) |д:| < 2 Решение: Найдем решение каждого неравенства: |л£г + 3|<6 1^1 ^2 -6 < X + 3 < 6 ------------------------------ ////////////^ -9 3 ^ -2 2 X Длина отрезка, являющегося решением первого неравенства, равна 12 — это число общих исходов данного события, = 12. Число благоприятных исходов — длина отрезка, являющегося пересечением двух неравенств: N(A) = 4 -9 -2 ^ Вероятность данного события Р(А) = ^ Ответ:___ б) |х| > 1 Решение: Ответ: в) 3 < |х| < 4 Решение: N T"i' i i ! ! [ 1 1 1 ; j 1 1 1 , . i : : 1 1 1 1 _I J J Ответ: 140 г) \х\ > 13 Решение: Ответ: §21. Экспериментальные данные и вероятности событий Дополните предложение: 1) Частота появления фиксированного случайного события практически совпадает с некоторым постоянным числом. Это явление называется 2) Указанное постоянное число называется __ события. В контрольную работу включены 5 задач в форме тестов с выбором ответа. К каждой задаче предложены 4 ответа, среди которых один верный. За 3 верно решенные задачи ученик может получить «Зачет». Какова вероятность получить «Зачет», если случайным образом отметить верные ответы? Решение: Обш;ее число возможных вариантов ответов равно 4^ = Благоприятными исходами являются 3 верно проставленных ответа. Таких исходов возможно 5: верно решена 1-я задача или 2-я, или 3-я, или 4-я, или 5-я задача. Все эти исходы равновозможны, значит, вероят- 4^ ность наступления указанного события будет равна — Ответ: «9» Ю Q X 0 3 го •о з: S m X г «г X m 5 X 1 Z m X Ш m T3 о ид 4 X о q X 141 ш н о о X н* 04 о Q. Ш Ш 5 X а Сколькими способами можно расположить геометрические фигуры под номерами 1, 2, 3, 4, если рассматривать треугольник, квадрат, трапецию и ромб? Решение: о ш X X X 0. и н < j 1 X X 1 ш S 1 о 1 3 Н- X ш г ш с: о ю < ш < с L. Ответ: Игрок бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков, меньшее 5? Решение: Число возможных исходов данного события N = . Нечет- ные числа, меньше 5 — это числа 1 и 3, значит благоприятных исходов iV(A) =_________. Таким образом, вероятность выпадения 1 или 3 при N{A) _________ одном бросании кубика Р{А) = Ответ: N Ф Пользователь узнал, что из 8 файлов на его компьютере 3 файла заражены вирусом. Какова вероятность того, что зараженные файлы будут удалены при случайно удаленных 4 файлах? Решение: Число возможных вариантов удалить 4 файла из 8 имеющихся, можно найти по формуле N = _____________________. Из них, число ва- риантов, при которых удаляются 3 зараженных вирусом файла — это ЩА) - С“ ■ с; ________________ . Значит, вероятность искомого события Р(А) = Ответ: N(A) С» С 4 _ N С 142 в коробке лежат 8 синих, 2 красных и 10 зеленых игральных кубиков. Наугад вытаскивают кубик и бросают. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков на зеленом кубике? Решение: Вероятность вынуть из коробки зеленый кубик _______________• вероятность выбросить нечетное число = ____________________. По правилу умножения вероятность выпадения нечетного числа очков на зеленом кубике Р = Р^' Р^= _______________ Ответ: В коробке 12 синих карандашей и 9 красных. Какова вероятность того, что наудачу вынутые два карандаша будут одного цвета? Решение: Вероятность два раза подряд вынуть синие карандаши из коробки ^ 21 20 _____ . Вероятность два раза подряд вынуть 9 8 из коробки красные карандаши Р^ = =___________________• Значит, искомая вероятность вынуть карандаши одного цвета будет равна сумме вероятностей вынуть только синие или только красные карандаши: _ ___________ Ответ: Ученик наугад называет натуральное число, не превышаюп^ее 100. Какова вероятность того, что это число делится на 5, но не делится на 2? Решение: Общее число исходов такого события N числа, удовлетворяющие данному условию (делятся на 5, но не делятся на 2): 5; 15; . . . ; 95. Всего таких чисел N(A) = ________ • Таким образом, Р(А) =________________ Ответ: iff} о зч п гз гл тз S S гп X Ц‘ X г m ts > X X г m s CD m ■D О X H X о о 143 Учебное издание Ключникова Елена Михайловна Комиссарова Ирина Владимировна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО АЛГЕБРЕ К учебнику А.г. Мордковича «Алгебра. 9 класс» 9 класс Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16054 от 28.02.2012 г. Главный редактор Л.Д. Лаппо Редактор И.М. Бокова Корректор В.В. Кожуткина Дизайн обложки Л. В. Демьянова Компьютерная верстка ДЛ. Ярош 107045, Москва, Луков пер., д. 8 www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брощюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru По вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).