Рабочая тетрадь по алгебре 8 класс Макарычев Ерина

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Рабочая тетрадь по алгебре 8 класс Макарычев Ерина - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
■J IJ orocd T.M. Ерина Рабочая тетрадь по алгебре К учебнику Ю,Н, Макарычева и др. «Алгебра, 8 класс» учени_класса_ школы I класс длгебм ^ ^ttarC Учебно-методический комплект_ Т.М. Ерина Рабочая тетрадь по АЛГЕБРЕ К учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра. 8 класс» 8 класс Рекомендовано Российской Академией Образования Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2013 УДК 373:512 ББК 22Л4я72 Е71 Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Изображение учебника «Алгебра. 8 класс: учеб, для общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычева и др, — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. I части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Ерина, Т,М. Е71 Рабочая тетрадь по алгебре: 8 класс: к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра. 8 класс» / Т.М. Ерина. — М.: Издательство «Экзамен», 2013. — 160 с. (Серия «Учебно-методический комплект») ISBN 978-5-377-05176-3 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Рабочая тетрадь яачяется необходимым дополнением к школьному учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра. 8 класс» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Автором предложены разнообразные упражнения по всем темам, изложенным в учебнике, в том числе: задания для закрепления изученного материала, задачи повышенной сложности, занимательные и развивающие задачи. Выполнение теоретических и практических заданий рабочей тетради позволит каждому ученику лучше освоить материал учебника и применить полученные знания на практике. В тетради имеются образцы для выполнения заданий. Нумерация и название пунктов рабочей тетради соответствуют нумерации и названию пунктов учебника. Тетрадь предназначена для работы с учащимися общеобразовательных учреждений. Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях. УДК 373:512 ББК22.14я72 Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 3,30. Уел. печ. л. 13. Тираж 150 000 (!-й завод—10 000) экз. Заказ №2751/12. ISBN 978-5-377-05176-3 © Ерина Т.М., 2013 © Издательство <сЭКЗАМЕН», 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Рациональные дроби ...............................5 1. Рациональные выражения.................................5 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.............9 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.14 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.....19 5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень............28 6. Деление дробей........................................33 7. Преобразование рациональных выражений ................35 k 8. Функция г/ = — и ее график .............................41 X Глава П. Квадратные корни................................45 10. Рациональные числа ..................................45 11. Иррациональные числа ................................48 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень.....50 13. Уравнение — а .......................................53 14. Нахождение приближенных значений квадратного корня.....56 15. Функция у = у[х и ее график............................59 16. Квадратный корень из произведения и дроби..............61 17. Квадратный корень из степени ........................64 18. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня ...................67 19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни ....69 Глава III. Квадратные уравнения..........................74 21. Неполные квадратные уравнения........................74 22. Формула корней квадратного уравнения.................78 23. Решение задач с помощью квадратных уравнений ........84 24. Теорюма Виета........................................87 25. Решение дробных рациональных уравнений ..............91 26. Решение задач с помощью рациональных уравнений .....101 Глава IV. Неравенства...................................106 28. Числовые неравенства .............................. 106 29. Свойства числовых неравенств........................109 > ш m X X m 30. Сложение и умножение числовых неравенств ..............112 31. Погрешность и точность приближения ....................119 32. Пересечение и объединение множеств.....................121 33. Числовые промежутки....................................123 34. Решение неравенств с одной переменной..................127 35. Решение систем неравенств с одной переменной...........133 Глава V. Степень с целым показателем. Элементы статистики .141 37. Определение степени с целым отрицательным показателем..141 38. Свойства степени с целым показателем...................145 39. Стандартный вид числа..................................149 40. Сбор и группировка статистических данных ..............152 41. Наглядное представление статистической информации......158 Глава I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ -Ч,- 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Цели ученика: • освоить понятия: дробное выражение, рациональное выражение, рациональная дробь, допустимые значения переменных; • овладеть умением вычислять значение рациональной дроби, находить область допустимых значений переменной в выражении. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено и того, что неизвестно; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков; • личностные: самооценка. Упростите выражения: а) (56 - 8) + (4 - 6) =_ б) (7а-h 14)-(2-5а) = о Представьте а) Зс^(5с - 8) =_ в виде многочлена: б)(а-3)(а2-4а- 1) = О Выполните 42^-(0,42)=^ действия: 5 j= 0 1 т X г m т гг I m X X а) 42,42 б) (4472-4532): 900- о Закончите предложения: а) Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля, называют ___________ ____________ б) Выражения, составленные из чисел и переменных, в которых помимо действий сложения, вычитания и умножения содержится деление на выражение с переменной называют ____ ____________ в) Целые и дробные выражения называются ___________________ г) Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют _________________________________________________. д) Дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены, называют_ тт - 2^^ 8а^-За + 7 а* Из рациональных выражении: —-----------• — 6 6" 3t^-4t + 8 ^ 5ab + 2aV ^ 5k—г;------------6а; ---------выпишите: ^ 6" 3 8а-11& 4 _ 7t/ + 4^ 5п-8’ 6 ’ Целые выражения Дробные выражения Рациональные дроби О Заполните таблицу: 1 CL -5 -4 -3 0 0,5 1 2,5 4 5 7 2а-9 1 1 + а Найдите значение дроби —__— при З/пл + 2 а) /п — —2, л — -1 б) m = —3, л == О_____ в) лг = 6, л = 4 _____ о Установите, при каких значениях переменной не имеет смысла рациональное выражение: а) при а = д) 0-2 б) при X = е) JC + 3 в) при Ь = ж) 6"-4 к ЗА + 1 „„„ ь г) + при к ~ 3) к-8 к+1 х + 2 16 а"-25 1 + 4Ь Ь + 7 5 7х-3 при X = при а = при Ь = при X X х + 4 о Найдите допустимые значения переменной в выражениях: а) а + 7 Sx-4 б) в) г) д) 6 сЧ1 с*-3с У^-4 оу(у + 1) ь + 7 Ь^+4 . у 6 е)-^ + ж) з) у-7 у+8 5х-1 Зх(5-х) 16 49+с" При каких значениях переменной значение дроби равно нулю? х + 11 а) б) X 7 а-8 6 + 0 Д) е) х-5 5х-3 х + 7 5 J= S О X > 13 (Г X Е m т Ш. 31 гп X 7- в) г) У^-4 у + 8 Зу у(у-7) О При каком условии: 1)->0 ь 2) “<0 Ь 3) — — целое число Ь ж) 7ж(х + 8) х-2 gj 5аг(10-лс) JC + 3 О Бассейн наполняется одной первой трубой за а часов, а одной второй трубой за Ь часов. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 час? Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 час? Проверьте себя: 1)Заполните таблицу: X -4 -3 1 10 х-1 X у -10 -3 2 15 у+ 5 У 2) Укажите допустимые значения переменной в выражениях: а-1 а) 0^-4 б) 7с(с + 3) в) jc + 3 х^-1 г) 4fe ЗЛ(5-А) 3) При каких значениях переменной значение дроби равно нулю: а-7 а) б) в) г) д+З У(4-у) ^/ + 8 а а-1 х{7 + х) X* +4 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО -г ДРОБИ. СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ Цели ученика: • освоить понятия «тождество»; • овладеть умением выполнять сокращение алгебраических дробей. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: смысловое чтение текста, извлечение информации в соответствии с целью чтения; • личностные: самооценка. о Прочитайте п. 2 учебника и закончите предложения: а) Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится ___ ; б) Тождеством называется равенство, верное при всех_______ входящих в него переменных. ГЪ S 5 в т и s: m ха и О Ш m Сократите дробь, указав (устно) общий множитель числителя и знаменателя: а) б) 15 25 36 в) 36^ 81 г) 11 = 34 10 е)11 = 60 Найдите значение выражения: 2^ а) i^ = 2* б) ^ = 3’ в) ^ = г) Д) ___; е) 2® ' 27* 81® 16® 8® О Сократите дробь на общий множитель числителя и знаменателя: а)^=_______ 65 5)—= ____ Д) Зс 9с® в) 8с 145 е) ж)_ 8 16а 18о® г)^ = 55 з) 27а" 48p"g® 32/g® а) б) в) г) Сократите дробь: 5(а-2) ^ 7(а-2)"------------- 4(х + 8) а(х + 8) ху(а-1) Зу(а-1) -------- 18а(а-1-5) _ 275(а + 5)“ д) е) ж) з) лс®у(у + 8) xy(y + S) ~ 16а®(5-х) _ 4а(5-лг) 48a(3m-n)® 605(3m-n)® 26jc(a:-b5)® 13(х + 5) " ■ 10 Разложите числитель и знаменатель дроби на множители и сократите её: 5х + 15у а) б) в) г) Д) е) Юху Зх-6 5(х-2)~ Здг + у Зах -I- ау 12а-Ш 8а 4а^ -20аЬ а-ЬЬ За + 6Ь 5л: & Сократите дробь. разложив числитель и знаменатель на множи- тели: а^-25 а) б) в) г) Д) е) За-1-15 10а-30» а* -9&* -|-2х-1-1 _ 5x4-5 а* -10а-1-25 а^-25 (a+Sf 6а^ -f 18а 9-x“* го О Ж 5 в m X X П1 за ■о О ш m х< 9-6х + х" ф Представьте частное в виде дроби и сократите ее: а) 16а^Ь^: (4а'‘Ь®) =___________________________ 11 б) -78жбу : (39xY) = в) (16с2 -/е'): (4с +/г) = г) (а2 + За + 9):(а»-27) = а) Закончите сокращение дробей: 7х + ах-7у-ау {Чх-1у)+[ах-ау') 7х-7у Чх-у) б) ох-10у 5С .) ах-2ау+Ьх-2Ьу (ах-2ау)+(Ьх-2Ьу) в) Ъ-Ъ^ +аЪ-а „2 1.2 а —о г) ас+ ах-Ьс-Ъх ах-Ьх Найдите значение дроби при х = -4; у = -0,1: 13х^-39ху_ а) б) Зху-Ъу^ х^ + \0ху+2Ъу^ Зх+1Ъу 4^1-^ 12х^у-1Ъху^ х^ + у^ + 2ху г) 2 2 х-у 12 о Постройте график функции: а) 1/ = л + З б)у = 4-д;^ 2 + х О Зная в) 1/ = (2-х)^ л:-2 г) У = -2х + 1 У , что — = 2 найдите значение выражения: Ъ а)-£. 6)i = в) г) а а + & а & + а “з^ ГО О X S m £з S СП m Сформулируйте правило сокращения дроби и составьте алгоритм: 13 Проверьте себя. а) Сократите дроби: 5jc _ 15х 7х 25х Sa^b 18х"у" 12аЬ" 16ху" б) Сократите дроби: Ь{а-7) 9(0 + 4) 8(а-7) ’ А(о+4) 1ба(а-с) 8д:(а + с) 246(а-с) ’ 121/(0 +с) в) Сократите дроби: 4х-12у 70 + 216 ах Say со+Зсб 3a"+18afc_ 5xy-15i/" a + 6fc г) Сократите дроби: 9-1/=“ --------- 4,5а=“ +0,5afe x-Sy 40,5а=“ -0,5fe* 4 + 2x + JC* _ 4-х" 24,5x"-0,5t/" 3,5х"-0,5ху 3. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Цели ученика: научиться складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. Универсальные учебные действия: регулятивные: составление плана и последовательности действий; коммуникативные: построение рючевых высказываний; познавательные: самостоятельное выделение и формулирование учебной цели; личностные: самооценка. 14 о Прочитайте п. 3 з^ебника и закончите предложения: а) Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо________ ______________________ б) Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо ________________ ________ Выполните действия: .а Ъ а+Ь a) - + - =--; 3 3 3 ff!\ Cl b Cl ~b 12 12 12 ’ b) —+— = 70 70 r)-L_A= 47 47 Представьте в виде дроби: „ч n-k п а)-------= 15 15 б) в) г) Д) а-гЬ Ъ _ ~7 7~ х + 45 х + 29 ~6 6~" 4а + 7Ь Ь-4а б 6 12а-5 За-17 а о Упростите выражения: а) „ч 5 т п п е)А_£ = ж) з) X X 5а^ 9а^ X X 165^ 285^ У ^ 6х-\-2у 6jc-3u е)----------------- ж) У У х+у 2х-у За За „ч а-Зс а + с з)----+ - 4Ь 46 2а 2а „V u—llv u + 16u к)-------+ - 24 и 24 и х-3 х-3 е) _ 14 с-11^с-11 ГО g S X > О ш сг 3 X Ь) X > 3 m X ?; § 3 15 б) в) I а а+8 а+8 5 6 Ь-12 Ь-12 г,ч 3 X г)-----+. Д) 3+х 3+х с 2 2-с 2-с Упростите выражения: 9 а(а-З) а(а - 3) 25 Ь(Ь + 5) Ь(Ь + 5) с^ 16 с(с + 4) с(с+4) 100 x(jc + 10) лг(д; + 10) --- О Упростите выражения: „ч оа + 2 2а-1 а)-----+----- За-Ь Ъ-За 4-7о 4а + 1 б) 2а-Ъ Ь-2а ^ 2-Зх 5-2х в) -----+------= Х-6{/ бу-х ч Зс-^2 с + 16 г) ----- + . а) Зс-18 18-Зс Упростите выражения: ‘ Юх-25 б) х-5 х-5 у" ^8t/ + 16 J/ + 4 у + А , у б ж) -^ + з) и) к) у+б у+б а 5 _ а-5 а-5 X б б-х б-л 4 а а-4 а-4 16 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ 1с ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ О) I со \ •с со О) -ь + с« + I О + о? S А У V >А ф tt Ф н А Ш К О Ц S PQ Ф <3 00 «3 + м X о iO I чрН M СЧ 1 A (m CO 1 eg II tl s 1 1 CO 1 CM o> < eg pO + < eg i ' - v§ + CJ CO + + X гН eg eg X t \ eg pC < 1 CO 1 eg •§ 1 eg iO 1 - - «41 + eg < 1 Cm *c> CO eg Cj ОЭ 1 eg CJ •O b eg o> A ю I CQ <3 I А I С5 А А Ш Ф а 2 А Ф А А Ф А А А « Ф Н А fcC >А А д ф II н А а А о I <о I А А а А 00 I Н О + А Н I eg + Н ^1^ н А а А н со I eg eg I н со II «3 А а А eg I СЗ со СО I eg + А \о о А Ь О ф о Ен Ф А А О П Ф eg I + сч A со eg + eg + eg + Доказательство. д. 4x^+5 8(х^+2) х^+7 3x^+4 Зх^+4^3х^+4~ Доказательство. •'i '' i i . . г f ; '>i' О Проверьте себя. Выполните действия: „ч Зс-Ь Ь а)----+-== б) в) г) Д) е) ж) з) а а 16-13Х 9~х X X Па-1 1-За За^ За* 4 х-2 х-2 7х-у Ь 4-^ = Ь 11-8а 6-2х + а а . 12Ь- 1 2-5Ь 2Ь^ 26* 9 / _ у-3 у-3 г:у: ' > г- 18 + г 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ # # ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Цели ученика: • освоить понятия ♦ наименьший общий знаменатель», «дополнительные множители» для рациональных дробей; • овладеть умением складывать и вычитать рациональные дроби с разными знаменателями. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: составление плана и последовательности действий сложения и вычитания дробей и разными знаменателями; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: самостоятельное выделение и формулирование учебной цели; • личностные: самооценка. т Прочитайте текст п. 4 учебника и составьте алгоритм нахождения наименьшего общего знаменателя дробей в случае, когда знаменатели дробей представляют собой одночлены: а) Если знаменатели дробей — одночлены, то наименьший общий знаменатель является ____________________________________________ б) Коэффициент этого одночлена равен _____________________ _ ____________коэффициентов знаменателей дробей. в) Каждую переменную для наименьшего общего знаменателя нужно взять с_____показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. & Заполните таблицу: Знаменатель первой Знаменатель второй Наименьший общий дроби дроби знаменатель дробей 2 3 4 12 15 20 г X Z S X ы X > S m X Z X 19 Знаменатель первой дроби Знаменатель второй дроби Наименьший общий знаменатель дробей а 6 2а За 24с 36с 35JC 21л: бу 41/ 406 ЗОу 4х^ бл:3 Зху бху^ 10а® 5а® ху^ х^у ы аЬ \Ьх^у^ 20ху® 9а^1/^ 4а®у Юта 4nfe Щ Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: 7с сх Зх^ 4а^х бах^ Решение: б) 5х 13 ах 4-а 6 + За 10-5а Решение: в) х-у 2 2 X -у 20 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ кГ CNJ 0> ф а о 0^ со C 1 CO + 1 Ч- u\<^ Tn 1 ^ iO 1 «1 ,0^ od Ю n II I lO СЧ1 CO II II « I ^ >C I iC I + <3|00 <3|’^ Eh Ф Ф fct Ф &H |S1 » о a 3 CQ 0 eg I H i> 00 I H + CO + H CO C4J 1 + + H CO CM CM + Hi CM eg eg CO N iO Oi •f \a 1 H CO 4. CM - <3 eg 1 + 00 1 kO CO aj CO CO + H XD д) е) ж) з) и) 2х-6 4х-7 15 10 —3(2 +1 Зл +1 6 9 1-Ь ЗЬ-4 12 8 3t-a t + 2a ~Ы 2d + 5 3d-9 15 10 ч-6а+ 1 -2а-3 к)------+-------= ______ 6 10 \Ф Выполните действия: . 2а-3^^ 5d-l^“ а)--------------=_______ а 7а-13 5Ь-11 б)-----+- в) а Ь 4-56 7-2а ч 8-Зх 5 + 6^ г)----+---- Выполните действия: а) А_А=. Зл: 2х X Зх б) —+— = 5у 4у 55 23Ь 24с 36с 5а 2а в) г) _____________ 125 155 О Выполните действия: , За 55 а) -^ + - д)±-А= 7а 5а Ь 5Ь 6а 7а ж) Зу 7у 3) 28х 20х 25 55 9а 12а 5х^у 4ху" 22 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ £ РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ СО СМ Н кЛ CSI + eg N н о eg II Н рС ю eg CSJ д) м Н О eg Н О eg Н 00 N Н Tf< Н кО II .. ф U0 S X ф 3 в ф СО а. н =5> см н Ю н eg со а> со I н eg VD I н I <о н I кО + н 2Г) I м н I н ее X п ь* о 5S ф ч: Ф 6н S X О Р Я о рС I в рС I р 1 1 р со ||' н 1 м Vi со 1 .с Р + н см кр рО + + см fH кЛ + Pi Pi 4- *С 1 см CM н Р eg 1 см р Я со Н ■4 н II Ei м е eg I + н Н в 00 I рС со рС> ю CS со S кГО I с со й со + g <0 g о> ю ф X S m ь Ф ф 4 ф ь 5 X ч о р я Ф кО II I Н + со I н I о I CJ ю 1 «3 В)^- d c + d ч 1 2 г) ----н----= у + 3 Зу д) 5- Ь Ь-3 ^ X X е)----------- У х + у Заполните таблицу, разложив, если нужно, знаменатели первой и второй дробей на множители: Знаменатель первой дроби Знаменатель второй дроби Наименьший общий знаменатель дробей Зх-\ Зх + 1 4(а + Ь) 5(а + Ъ) х{х + 3) у(3 + х) Ь{т - п) с{т - п) Зл:-12 = 3(х-4) 2х - 8 = 2(jc - 4) 6а + 6 7а+ 7 х^-ху ху-у^ аЪ + Ы аЬ + а^ 4- аЬ + аЬ т-3 Ьт - 15 Ь-\- С (5 - с)(Ь + с) Зх(у + х) Зх{у - х) х(Ьх - Зу) у(3у + 5х) X- 4 х2-16 а(а + Ь) с(с - 2) - 4 т^-п^ Зтп^ - Зпт (Зр+1)^ Зр + 1 {т - пУ п-т (х - y)^ у-х 24 о Выполните * действия: б) 4-x* 2 + х 4 + а^ а а"-36 6 + с „ч 7а 2 в) —- + - С -9 с+3 х-у“ x(JC + y) Д) 2а*-2а6 а*-6* е) ж) х^-у^ Sx^-Зху За 4а^-2 а-4 16-а^ „чЗт^+2т + 11 т 4т* -25 , 1 Зх и)---г+ 5-2т к) л) х + 2 (x + 2f Юу_____8_ ix-yf у-х Зп 2 (т-п) п-т Сформулируйте и запишите алгоритмы сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями. Го 5 CJ X т X S W X > г гп X 5 S S 25 Выполните действия: . 2 2^^ х^+2 а) д: + —= + — =---; X 1 X X б) 4а--= __________ в) ----d = 7 г.\ ^ г) --с=_ д) у-- = у О Выполните действия: е) 8Ь + - = Ъ ж)i^^-3л: = 5 У з)^ + у=. 7 а) х + у- х-у 1 х-у (х + у)(х-у)-(х^ + у^) _х^-у^-х^-у^ 2у^ ^ х-у х-у х-у' f-s е* + б)-------+ c-d = c+d в)-----Ь+о = г) т-п- т т + п Д) -аЬ+Ь^ - лЗ l3 а —о а+Ь а) Выполните действия: 2с^+Зс + 5 1-Зс 2 с^-1 с +С+1 с-1 26 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ CN4 СМ I н н ю I н 00 Tt* + н см + •с I <3 см см + g см й S см Si I м ё Si I ё см со со I н со + о> I см со н н см + I S3) I ч см ю W XD 0> о ф ъ* JH р< ф п 0 01 G § со I ^ + ^ |СО « ts п н ф ф fcC ф ь X к о а а PQ 'оГ 5^ I) С^|« 4^h со |1-н со см I ь- й I ч Ф \о см со I ч см + ч со 0> со > + N ^ ^ ю со ю + I ч см ч со I ч I со гН I ч + см ч I 00 + ч I о> I .•'“s 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ. ^ ВОЗВЕДЕНИЕ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ Цели ученика: • овладеть умением умножать рациональные дроби; • возводить рациональные дроби в степень. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще предстоит усвоить, осознание качества и уровня усвоения; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: выделение существенного, формирование обобщенных знаний; • личностные: самооценка. Вычислите: 4x247 а) ^489 X 358 б) ^637 в) 87535 287 Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их и перемножить их________________и первое произведение записать ______________, а второе _________ о Выполните действия: а)М.Н = 39 33 г) 28---- 28 28 б) 30^ 7 60 в) 72 — = 72 д)5г.*1= е) 34 22 ^ -L 9 40 Выполните действия: a)Ifl.£ = 18 4 12 13 в) = г) 4ft 7 ^ А 7 ’бу 11 7 е) 11 13 ж) А.^ = 7с 5 3m 13 ^ То а) Выполните действия: 12у 5^ 25 у -------------- в) а 27 ь' 8 r)?£.i= У Зл: Д) 16а 9 27 а е)1.^ = Ь 21 а; 12 з) Юд у У 5а Выполните действия: а) а** 106® 86® а® б) ау _ 2, д»/ в) 12с“ 7 49 бс*” г) 16л: ‘ 3 33 4х^ а“ 105^= 8Ь®-а® 5а 46’ 29 со о о\ р о & + о ^ I со со X + со н сс + со н н сс <С! + н II со ГЛАВА I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ О а о ь X X н р За о Sc о 4 » 5 S I со но е о* ^ & со н сд н OV I—‘ О 3 <с 00 о сл 3 Сс II W Oi о О О) о о 0^ о о 9 Е D О S S Ч Р Р Sc О 4 U 5 S о\ ►с 1^ м С5 о о W Е а о и а S ч Ф ф SC о 4 U 5 S со U ф to со су Н со >« Г> <3 1 V «1 ^ н to ^ i «1 II II ю А. II со h-t I со СО сд wH'C ^ I м •ч о ISO о о- 00 сд н 4^ сд н О) чг сд Чз о со »Q а 00 3 Г> в) г) Д) е) ж) з) . Зх-бу 2х + 14 х + 7 2 А 2 ^ х-^У 3-а 7а^ а а? -9 (а + 3)^ -16 2а-8 5а + 15“ 2 2 л: -г/ Ъх^ 5х + 5у Qy~3x Ъа^-ЪЪ^ За^+ЗЬ^ а^+Ь^ х^-1 7Ь-7а а-3 а -6а + 9 X +2х + 1 Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень ___________________и и первый результат записать в_____________, а второй в________дроби. о Выполните действия: д)1з I - б) в) \ 12 X yd) ^ т , 2х Dlfl = ж) з) / 2т 5п 23 Выполните действия: а)| Зс" г) \ с аЬ О ш ГТ| m X s; т ‘Й •V о ш о н т ZI т X сг 31 /'к-8.,2 N* б) в) 2г' 2m®n^ Зс“ О Докажите тождества: 2а^ 4а^ 4а^-&^ 2 9 а) 6a^+3afc 2а-Ь 12а® Доказательство. д) е) 9х^ 2г Зг* б) -16 2 2 X +JC JC +Х Злг^бхЧЗх* 2х-н8 2х-8 12 Доказательство. в) JT®+4x®z/ + 16xj/® -2ху + у^ х-у ху^^у I Доказательство. х^-у^ X*-64ху^ х + у О Проверьте себя: , 5х 10 4г/ 5х •ко ^ II.4J ч Vs " »Ж ’ ‘ ‘ б) в) г) 48а* 7Ь^ 49Ь* 16а® . л® 2у 2а vpV д) 4х 8 е) 7у 4х® -56с" 16а" 48а® 7с® ж) / \3 ' а ' з) \Sbj ^Зх®' уг 32 'V* 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ О Цели ученика: овладеть умением деления рациональных дробей. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже усвоено и того, что еще неизвестно; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: построение логической цепи рассуждений; личностные: самооценка. Вычислите: а) 577 *999+ 577=__ б) 456*79-79-556 = в) (4472-4532): 900 = г) 10^1*10"":10®2=_ & Вставьте пропущенные слова так, чтобы полз^илось верное высказывание: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь на дробь, о Выполните 13 65 деление: а) б) 64 128 25 ■ 35 ” b)A.J_- 18■24 “ ~ Выполните деление: 3 7 а) —: — = 4а 5Ь второй. г) д) 13 65 64 ’ 128 28 ‘ 42 “ е)—:24 = . 18 . 8р 2п г)——: J3 m m X X m Ь тз О СП m s* 33 б) в) 5х 6 20у 18л бл -^7 е) d Л 2d ^ 10 V За 3 ^ 5а) Выполните деление: а)35а-:^^“‘ 4Ь б) 27ху:^ = аЬ в) т Т1 г) 12л*1/®: з..5.4лУ 3„4 Д) 32л®у": . 8x^1/ Выполните действия: d4d ‘l + d^ 7дг^ ^ 7х х^-25 х + 5 с^-100 2с + 20 Д) е) ж) з) lOcd 1 3 3 х^-у 5d 1 2 2 Л -у -6а + 9 ^ 2а-6 1-&" (а-1)' а* 1 5 +5а* (5а + 5Г г*-25. 2 + 5 z*-3z'9-z* 34 о Проверьте ч а а) — 8 4 6)q:^ = себя: в) 3 2 т т п cd cd г) ^ X 10* s’ д) х: — = аЬ е) aV , + =: 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Цели ученика: • овладеть умением преобразовывать рациональные выражения. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: мобилизация сил и энергии к преодолению препятствий. • коммуникативные: лидерство; • познавательные: структурирование знаний; • личностные: самооценка. Вычислите: а) 14,32-79-14,32 *179 = б) 0,76 • 53 -Ь 7,6 • 4,7 =_ в)| 5^-3,5|:—= ' 3 J 12 Укажите порядок выполнения действий: а) (3,4-1,9)-33,8 + 3-:(11 + 9,75); 5 б) ^:0,78 + 1,352:—-3,6-i. 7 11 3 “0 m О т 3? S m (Г X ш з> X X 35 Упростите выражения: ^ 1 1 а) (х^-4). лс-2 х + 2 Ответ: _____ ^1 6 б) а VO а Ответ: . I Зс 1 I \ (1 1 ^ * J Зс^ Ответ: За г) •+2 9а-6 За-2 j 9а -4а Ответ: а^-6^ лг+5 Ь Д) X -25 а-Ь 5-х Ответ: Ответ: _____ ^ Л X ^ 2х^ +2х ж) 4+------------^ V х-1) 10х-8 Ответ: 36 з) х^-25х-5 5 9-у^ ’З + у у-З Ответ: о Выполните действия: а)------ а-Ь а+Ь б) а \/ а а + — 1 = Ь в) \а-Ь а + Ь) За-ЗЬ г) 1 \^х-у х + у) =3 -о т §, 5 д) а+Ь а а-Ь а + Ь а ) f 4/п ^ т + 2 е) ------+2/71 I/ ■ т + 2 О Упростите выражение: х-Ь х^-2Ь 1 а) X х-Ь 1 m 5 л: s: О .X сг X сг X ш т 13 т X X х< 37 со оо с + СО + <о со I + I со to о\ to + со ы со N I to сл со N to N + f to J ГЛАВА I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ Н + 4 Ч + Н ы Oi СО I I а> + н I со о W Е н о и № Н Ф J=i Ф о нз а !S Н I н + н I сл I сл Н ш -----N Н 1 Н-I СС I н* Н tV3 I к 0 1 3 0 о I I-- н 1 о to о г) 3- 9 f 3 + 2у J [2v 3-2v Закончите решение задачи: Вычислите среднюю скорость движения велосипедиста на всём пути, если первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть — со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть со скоростью 24 км/ч. Решение. Обозначим длину всей трассы через 3S. Тогда первую треть , S трассы велосипедист проехал за время =—, вторую треть за время 12 ^2 = , последнюю треть — за время , . Зна- чит, время, потраченное им на весь путь, равно + т.е. Поэтому искомая средняя скорость находится по формуле: v = Ответ: 16 км/ч. о Решите задачу. а) Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 80 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Решение: гз "О m 0 01 со о CD > X s: m 5 s о X Ответ: 80 км/ч. б) Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 240 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 200 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. от X о; X ш т 5 гп X х 39 40 Решение: Ответ: 67,5 км/ч. в) Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч, скорость течения реки равна 4 км/ч. Теплоход проплыл от одной пристани до другой и вернулся обратно. Найдите среднюю скорость теплохода на протяжении всего пути. Решение: Ответ: 19,2 км/ч, г) Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующий час — со скоростью 70 км/ч, а последние три часа — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Решение: Ответ: 75 км/ч. д) Автомобиль проехал треть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшееся расстояние — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Решение: ____________________ Ответ: 72 км/ч. /с - 8. ФУНКЦИЯ У = ^ и ЕЕ ГРАФИК Цели ученика: ^ • овладеть умением строить график функции г/ =—; X • определять по формуле особенности расположения графика на координатной плоскости. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: планирование (составление плана и последовательности действий); • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: смысловое чтение текста, извлечение информации в соответствии с целью чтения; • личностные: самооценка. Выполните действия: X 698 а) "" 354 б) 757134 126 в) 132-9-16 Вставьте пропущенные слова так, чтобы получить верное высказы- ft вание: а) Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой ____________, где х _____________________ и *------------------• Н\Щ б) Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, на- ж m _______________• т : зывают Гипербола состоит из о функция задана формулой У~~- Заполните пропуски: 1/(1) = ( 1 У(5) =. 1/(0,3) = у(-7) = у(49) = ^ 41 т. 10 Выясните, принадлежит ли графику функции у = — указанная точка (ответ записать словом «да» или «нет»): I 2 З) а)А(-0Д; 100); б) В(-0,2;-50); в) С| Ответ: а)___ ;б) ; в) 12 ; r)D(100;0,l). ;г) Для функции у-— заполните таблицу: X X -6 -4 -2 -1 2 3 4 6 у -4 -24 24 12 Заполните таблицу: Уравнение гиперболы 13 у = — X 3 у=— X Эскиз графика У‘ к У‘ f !■ < t' ! 0 —(—t ( (' ► X (1111 0; 1111^ X ■ Уравнение гиперболы 0,07 1/ = X 1 7х Эскиз графика У‘ i У^ (fill 0 ' . X 0 X 42 функция задана формулой у-—* Заполните пропуски в следующих предложениях: а) Функция принимает положительные значения при б) Функция принимает отрицательные значения при в) Функция убывает при _ ______________ г) Большему значению аргумента соответствует ние функции. значе- о функция задана формулой «/ = -—• Заполните пропуски в следующих предложениях: а) Функция принимает положительные значения при б) Функция принимает отрицательные значения при в) Функция возрастает при _____________________ г) Меньшему значению аргумента соответствует функции. значение о Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку: а) А(4;0,75); б) В \ в) С(-12,5;-0,4) Решение: В < X SZ X ч: и 4i ^ m m i Ответ: а) б) ; в). 43 Постройте график функции у - . Укажите область определения и область значений функции. fy Решение: X у Область определения: Область значений: о Постройте график функции у = 36 (д: + 1Г-(л:-1Г 44 Глава II. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА # *• Цель ученика: • овладеть понятием «рациональное число». Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: осознание качества и уровня усвоения; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: формирование обобщенных знаний; • личностные: самооценка. Вычислите: а) б)10153074 2537 в) 25^-14^ 49 10® Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде __________, где тп __________________, а п ставить в таком виде . Одно и то же рациональное число можно пред-способами. б) Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной___________________дроби. в) Каждая бесконечная десятичная_дробь представляет некоторое __________________число. $ i о X сг X tr iri X X о 3 2 Из чисел-203; 48; 0; 11; 1; 7-; 0,3;-6,11; 17; 0,(35); 5,72(6) вы- / о писать: '.v*y 45 а) натуральные б) целые _____ в) дробные (нецелые). г) рациональные о Запишите два рациональных числа, заключенных между двумя данными рациональными числами: а) б и 7;. б) -8 и-7;. в) О и 0,3;. . 2 4 д) -0,3 иО; _ е) -0,2 и 0,2; Запишите в виде конечной или бесконечной периодической дроби рациональное число: а.| = ”*35= 45 , 2 б) -4— = ^ 13 2 13 г) -5 19 4 19 О Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: а) 4,(7); б) 1,(45); в) 0,2(7); г) 0,3(14). 46 Решение: а) л: = 4,777. 10х= ______ 9л: = _____ X = б) х= ______ 100д:= ____ 10х =______ 90л: = X = в)х = 100л: = 99х = _ X = г)х = 1000л: =. 10х = 990л: = . X =_____ О Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа: а) 48=________________г)-0,7= __________________ б) -78 = _____ в) 3,7= ______________ Д)18-: 3 о Сравните рациональные числа: а) 0,017 _0,1005; б) - 0,564; 5 е)0 = ч 7 8 г) — —; 11 13 д) -35 0,001; е) -5,47____ -5,74. О Проверьте себя: I в)-3,127 -3,13; сг X Z т а) Из данных чисел -6; 3,2; 8; 0,1010010001...; ; 5,(8); 0,201; 2—; -1 ^ 3 7 14 выпишите: > натуральные числа _______________________ целые отрицательные числа _____________________________ целые числа _____________________________________ рациональные числа__________ __________________________________ 47 б) Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число: 1^ 7 в) Сравните числа: 0,132_____0,044; 0,2 _-72; 1- = 3 26 -3,72. 4,27_. _-3,27; _4,(27). 11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Цель ученика: • освоить понятие «иррациональное число», «действительное число». Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено и того, что неизвестно; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: информационный поиск; • личностные: самооценка. Вычислите; а) 5,01 • 4,99 = ______________________________________ 39*“ -31* б) 72*-68* в)(-0,2)* + (-3)* = г) -(0,4)*: 1.4-1- Закончите предложения: а) Иррациональными числами называются бесконечные, десятичные дроби. 48 б)_Рациональные числа и иррациональные числа составляют множество ___ чисел. о Закончите предложения: а) Рациональное число — это число, которое может быть записано в виде а т» где _________________________________________ о б) Числа, представленные бесконечными непериодическими десятичными дробями, называются___________________________________ о Укажите верные утверждения: а) каждое целое число является натуральным; б) каждое действительное число является рациональным; в) каждое натуральное число является рациональным; г) каждое иррациональное число является целым; д) каждое действительное число является целым; е) каждое рациональное число является натуральным; ж) каждое целое число является иррациональным; з) каждое иррациональное число является действительным. Ответ: ___ о Укажите верные утверждения: а) -3«Q; б) -eN; 7 Ответ: в) 2,7 i Z; г) я е Q; д) 2,(9) е Q; е) -2,7eZ; ж) -lOeJV; з) niR. О Из чисел 4,7; -3,9; 0,(16); 0,515115111...; —; 2—; 100; 5,2(7)’ 2,101100111000... выпишите: а) рациональные __ __________________________________ б) иррациональные _____________________________________________ в) действительные______________________________________________ S тз 5 с о X и X X m X S о > 49 9 5 Из чисел 6; 41; -8; —; -4—; 5,21; -6,(2); выпишите; 17 13 а) натуральные _ _ б) целые__________________________________________ в) рациональные г) иррациональные______ д) действительные о Проверьте себя: чгт 1 2 а) Приведите пример двух рациональных чисел, стоящих между “ и —• о 7 Ответ:__________________ б) Приведите пример двух иррациональных чисел, стоящих между чис- 1 3 лами т: и т* 2 б Ответ: ____________ ____ в) Всякая ли бесконечная десятичная дробь является иррациональным числом? Ответ: •Г 12. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ Цели ученика: получить представление об арифметическом квадратном корне. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: вносить необходимые коррективы в действие после его завершения; коммуникативные: строить речевое высказывание в устной и письменной форме; познавательные: ориентироваться на разнообразие способов решения; личностные: самооценка 50 Вычислите; «)Х459 б)25337950 6325 в) 12® 2’°-81 Закончите предложения: а) Квадратным корнем из числа а называют число, б) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется число,________________________________которого равен а. о Найдите арифметический квадратный корень из числа: а) 64; 6)0,16; в) 2,89; г) 1,69; д) 16; е) —; ж) 0,81; з)0,09 9 Ответ: а) б) в) . г) Д). е). ж) з) _ О Вычислите: а) 4"^-в•^/Й= _ б) 5--2 >/169 в) V8415' = __ г) Vl2*-5-4* = __ О Найдите значение выражения: а) 3'Vl4 + 2a при а = 65 Решение:_____________ Ответ: б) Зл/За-50 при а = 38 Решение:_____________ Ответ: е 3 т н X X гп о ж X X 21 х^ S тз m X т 51 Вычислите: а) V(l,2f = в) ^/Г^ = г) ^/^ = д) V(8,16)^ = е) V(0,417)' = К 2? 1-3 з) I 9; О При каких значениях а верно равенство? Приведите конкретные примеры: а) = а___________________________________________ __________________ б) V? = -a_____________________________________________________________ в) = -а______________________ ___________________ _______________ г)7^ = а ' д) V-a^ = а J Вычислите: •ш ж а)(лЯб9)‘ = б) 6->/^ = в) 5*л/064 = г) (лД^)' = :|.д)(-^зг=. е) (7^)' =_____ ж) 5 + 3->/49 =_ з) 8; 72,25 = и) (-'/Г) = ___ о При каких значениях х имеет смысл выражение: а) >/х—5-гл/5х-3; б) Vx + 7-V4^8x; 52 Решение: fx-5^0, l5x-3^0; Ответ: Ответ: Проверьте себя: а) Выражение л!а имеет смысл при б) Вычислите: ____________________ _________ ______ Vioo=_____________________ л/400 5 ОДл/9 = 4=- ' . - 13. УРАВНЕНИЕ х2 = а Цель ученика: овладеть умением решать уравнения данного типа. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: оценивать правильность выполнения на уровне адекватной ретроспективной оценки; коммуникативные: контролировать действия партнера; познавательные: овладеть общим приемом решения уравнения; личностные: самооценка Вычислите: а) Jl—-^0,09 + >/зЧ4" = V 25 в) (5-Зл/2) + (5-3^2) = < 5 Ш X m X X ш н ш 53 0 Решите уравнение: а) д;2 = 169; б) х^ = 81; Решение: 1 а) = 169; - 13^ = 0; (д: - 13)(х + 13) = 0, -----------’ ^2 ~____________ в)=144; 2 25 г) д:^ = — 49 ^1 = б) (х - 9)(х + ^1 = в) J = 0, г) О Решите уравнение: а) д:^ = 8; б) д:2 = 15; 1 Решение: а)д:2 = 8; д:2-8 = 0; ^’*-(2n/2)" =0; (x-2V2)(^ + 2n^) = 0, в) д:2 = 27; г) = 0,64. X, 9 Х^ б)х^ = 1о; x^-i^>JlEj =0; (x-^/^5)(x +________) = 0, л: = в)_ г) Ответ: а) J6), J в) _;г) о Решите уравнения: а) 84 + х2 = 85; б) 95 - у" = -5; Решение: а)___________ в) -х^=7: 9 г) -6у^ = 5 54 б) _______ в) _______ г) _______ Ответ: а) _;б)_____________ ;в). .;г)_ о Решите уравнения: а) (л: + 5)2 = 81; б) (X-8)2 = 4; Решение: а) ___________ __________ б) _________________ в) ________________ г) ______________________ в) (х-2)2 = 5; г) (X + 8)2 = 7 Ответ: а) .;б). J в) ;г). О При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) 5\х; в) б) -Зл/а; г) л/4-д:? Решение: а) ___________________________________________________________ б) __________________________________ ________________________ в) __________________________________________________________ г) __ ________________________ ______________________________ Ответ: а)________ ^б)____ ;в) ;г). При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) л/а + З + л/а-5; б) + Решение: я.) + _____ [а-5^0; _______ Ответ: в) yl6-y-^Jy-5; г) \[х — \[2х^4? в)_____________ 4 5 Ш X m X X m и ш Ответ: 55 б) г). Ответ: Ответ: о Найдите значение выражения: а) (з-^/7)"4.6^/7= ________ б) (6-^/з)'-12^/з = г) (l3->/7)'-(13 + 77)'=___________ О Проверьте себя: Решите уравнение: а) = 16 Ответ:___ б) = 2 в) = -9 Ответ: Ответ: г) = О Ответ: 14. НАХОЖДЕНИЕ ^ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КВАДРАТНОГО КОРНЯ Цель ученика: • извлекать квадратный корень из неотрицательного числа, используя алгоритм; • округлять найденные значения. 56 Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: учитывать правило в планировании и способе решения; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: ориентироваться на разнообразие способов решения задачи; личностные: самооценка Вычислите: а) V742-4' = ______________________________________________ б) Vs*-3.4' = _____________________________________________ в) V4^-V^+Vh7+Vh? г) -0.03 Vl0000-Vl6 = Извлечь квадратный корень из чисел: а) V76176; б) 61009; в) 346921; г) 222784; д) 717409. Решение: а) V76176 1) Делим число на грани справа налево, оставляя по две цифры в каждой грани (первая грань при этом может оказаться неполной): V7'61'76*' 2) В результате записываем число, квадрат которого близок к числу 7, но не превышает его, таким числом является число 2: V7'61'76^ =2 3) Вычитаем из числа, записанного в первой грани квадрат числа двух. К полученной разности приписываем (сносим) число, находяш;ееся во второй грани: V7'61'76=2 -4 rw 361 4) Слева от вертикальной черты записываем удвоенный результат и вместо звездочки — такую цифру, чтобы произведение получившихся двузначного и однозначного чисел было близко к 361. Такой цифрой является цифра 7: 57 V7'61'76=2 -4 >/7'61'76=27 -4 4* * 361 47 7 361 329 He забываем записать цифру 7 в результат. 5) К разности чисел 361 и 329 сносим число, находящееся в следующей грани (76): ч/7'61'76=27 -4 47 !_361 7 I 329 |3276 6) Слева от вертикальной черты записываем удвоенный результат (в результате — число 27) и вместо звездочки — такую цифру, чтобы произведение получившихся трехзначного и однозначного чисел было близко к числу 3276: Такой цифрой будет цифра 6. л/7'61'76=27 -4 47 361 7 329 54 3276 •к 7Г61'76=276 -4 47 7 361 '329 3276 О 3276 О Не забываем записать цифру 6 в результат. Таким образом, v76176 = 276. 247 в) б) v/6'10'09 -4 44 210 4 176 48’/ ' 3409 7 ' 3409 О г) Д) 58 о Приближенное значение квадратных корней из целых чисел умели находить в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет назад. Метод вавилонских ученых состоял в следующем: число а» из которого нужно было извлечь квадратный корень, представляли в виде Ъ'^ -Н с, где с мало по сравнению с и полагали 4а Найдите с помощью вавилонского способа приближенное значение корня: а) VI700; б) V2613; в) V1117; г) V5015. Решение: а) VI700 = VI600 г 100 = л/40=* +100 « 40+= 40+1^ = 41,25 2-40 4 б) _______________________________________________ в) г) О Проверьте себя. Вычислите, не используя таблицу квадратов и микрокалькулятор: а) V2116; б) V4225; в) V9801; г) V5329. 15. ФУНКЦИЯ у =Vx И ЕЕ ГРАФИК «Г Цель ученика: • строить и читать график функции у = 4х Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: составление плана и последовательности действий; • коммуникативные: планирование учебного сотрудничества; • познавательные: произвольное и осознанное построение речевого высказывания; • личностные: самооценка В < X SZ X ч: н н X m m е X ж 59 т Вычислите: а) ""9754 б)61062870 8742 в) 1,2^-0,8^ 1,41,8-1,8 Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у=л/х точка: а) а(3;л/з); б) В(7;5); Ответ: а) ;б) в) С(1,44; 1,2); г) 2)(-9;3). ; в) ;г) Пересекает ли график функции у~4х прямая: а) £/ = 4; в) у = 25; б)1/= 6; г) у = -3? Если пересекает, ТО В какой точке? Ответ: а) ;б) ; в) ; г) Сравните числа: а)л/^ 728 в) 6 7^ д) -7i,69 1,8 ж) >Я8 б) 7б 4 г) -\/3„ _1,7 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у-^! а) на отрезке [1; 4]; в) на луче [3; + оо); б) на отрезке [0; 9]; г) на полуинтервале [4; 9). Ответ: а) в) б) г). 60 ■'"s: 16. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ -г ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ Цель ученика: • изучить свойства квадратных корней. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: информационный поиск; • личностные: самооценка. Вычислите: а) 749-Лб + ч/36-%/б4-Зл/4= _____________________________ б) ^Я + ^/27•3-в•^/^= __________________________ в) 0,6282-0,3722= •_________________________________ О Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Корень из произведения ____множителей равен корней из этих множителей; б) Корень из дроби, числитель которой , а знаменатель _____________________, равен корню из , деленному на корень из____________________________________. & Вычислите с помощью теоремы о корне корень из произведения: а) л/25 64= ______________________________________________________ б) >/36 49-25 = __________________________________________________ , /25 16 ------------------------------------------------------ г) V0,25-144=_____________________________________________________ д) л/0,09-81-225= ____________________________________________ е) гз о S ф т 13 m X X X X 13 "О о ш X /100 Vl2l‘81 61 Разложив подкоренное выражение на множители, вычислите: 10125= _________________ г) V608400 =___________________ б) Vl 15600 = 115600 100 1156 4 289 17 17 17 1 в) 7577600 = д) 7902500 = е) 71944 = . Вычислите: а) y/2-4S2 = б) 7^-7б-78 = в) 745-75= ___ г) л/ОД-71о= _ д) V^•^/5•^/^0 = е) ^/0Д •7ГT•^/440 = О с помощью теоремы о корне из дроби вычислите, записав результат в виде десятичной дроби: ^ЧГб- •fii ■ е) I 64 625 62 КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ СО СО II 1 1 о о 1 1 и It CSI 1 О) C4J 1 Tf 00 eg со тН м гЧ о> d т-Н § _со^ _сд О S (М со со со ^ I со |С0 II СО со гН eg кО eg гЧ СО C7i eg О О 1-Н кЛ о Проверьте n/25 16-81= _ V0,64-0,36-9 = себя: 81-25 16 17. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ^ ^ ИЗ СТЕПЕНИ Цель ученика: овладеть умением извлекать квадратный корень из степени. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные; составление плана и последовательности действий; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: осуществлять анализ способов действия; личностные; самооценка. Вычислите: , ,698 а) ^524 б)280320 768 в) 0,2-1,8 + 0>8-1,8 1,3^-0,5* Закончите высказывание: При любом значении х верно равенство = Вычислите: а) л/4* = _____ б) >/3,17* = в) л/(-8,1)* = г) ^/P^= _ д) 5-V(-5,6)* = е) 3-7(2,4)* = ж) 6-7(“0,8)* з) л/2^= _____ 64 о Найдите значение выражения: а) V? при X = -32; 46; “2^; 18; 0. Решение: Ответ: б) 0,3^^ при у = Решение: -2; ОД; -7; -3-; 15; 0 о Ответ: о Замените выражение тождественно равным: а) ^/4^, а < о__________; б) & > о__________; в) Vl6?, с < о__________; г) VlOOa', а > о е).1±.‘.п,0 О Упростите выражение: yjx^+ d + +4лг + 4 при условии: а)л:<-2; б)-2<ас<3; в)л:>3. Решение: ■\/лс* -6дс + 9 +\/д:* +4де + 4 = |_ а) Если д; < -2, то______________ .1 + 1 б) Если -2 < X < 3, то в) Если X > 3, то О Упростите выражение: yjieSy^y^ -^Jy^ ^10у + 25 при: a)i/<-5; б)-5<у<4; в) у >4. О? § X сг О -о m X сг S W о н m Z3 m X X 65 Решение: Ответ: а) .;б). .;в). Считая а > О, Ь > О, X > О,!/ > 0^ упростите выражения: а) Vl6^ = 4V^)‘’= .......................... б) ^ЮОЬ* =10ylib^f = ________________________ в) л/^^= ____________________________________ г) л/эх® =___________________________________ д) V25x*V =_____________________________ e>Jfv---------------------------------------- ж) 121а 16 25Ь 28 18 ^ 49х Сравните числа: ,: ■ а) 5,3 и л/^; б) лЩз и 7,6. :v' Решение: j а) 5,3 = ^/(5,ЗУ = л/5,3-5,3 = ^/28,09. Так как 28,09 > 26, то ^28,09 > >/^, ^ т.е. 5,3 > 26. ^ г б)___________________________________________ ________________________ Проверьте себя: 7б^=______________ >/Гё)== __________ ' Сравните числа 3,6 и ^/lЗ: 66 18. ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ Л* ИЗ-ПОД ЗНАКА КОРНЯ. ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ Цель ученика: научиться выносить множитель из-под знака корня и вносить его под знак корня. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: волевая саморегуляция; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: логические мыслительные операции; личностные: самооценка. Вычислите: а) X 246 б)1309092 354 в) 4,5^-1,5^ 0,70,3-0,3 О Вынесите множитель из-под знака корня: а) л/^ =_____ б) >l72 = в) у1Е6 = Г)у/И = О Внесите а) 3>/2 = б) 2n/5 = _ д) лЯ80 = е) Vri2 = . ж) у1Т5= _ з) л/б75 = множитель под знак корня: д) -бТз = е) : 3 Гго з: m о т X X гп 3 X о X н Z3 g 0> X > ж 7ч О “0 X 33 67 b)1iV5 = ж)11Vs = г) -yf^^ з> -Зл/7 = 2 Вынесите множитель из-под знака корня: а) yJlQx = д).Г^= ^ \ 16/ б) yj36y = е) у1ю0х^ = в) л/49а = ж) V32a* = г) у[з^ = |81х® "Чу’ Внесите множитель под знак корня, считая х > О, у > О, а > О, 6 > О, I а) хл/з = _______ д) -byjli =____________________________________ б) У>/б = _______ е) с^>/б = _ __________________ в) ал/г = ____________________ ж) х^лУГо =_______________________ г) д:^>У2=_________________ з)“У>^ = I о Сравните значения выражений: а) Зу/Ъо и 2^98; в) ЮлЯз и 15^; б) ЗуЦз и у/М; г) 9у1^ и 4>/48. Решение: Ответ: а) ;б). .;в) ;г)_ в каждом слагаемом вынесите из-под знака корня числовой множитель и упростить выражение: a)y/S-y/lS + yM + yl50-yI^=______________________________________ 68 Ответ: б) л/48-лЯ2->/108 + >/75 + >/^ = Ответ: в) л/180 + л^->/45 + 780-Л^ = Ответ: о Проверь себя. Вынесите множитель из-под знака корня: у/Т5= _ ______________ >/^= ____________________ _____ h Внесите множитель под знак корня: 2n/3=_________________________ 6л/2 = .. ...... ............. ----------------------- -2^/7=________________________ 19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ Цель ученика: приобрести навык преобразования выражений с квадратными кор- нями. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: учитывать правила в планировании и контроле способа решения; Го О за m •D В ж ш > за § X гш О "D X X 69 * коммуникативные: учитывать разные мнения; * познавательные: знаково-символьные действия; о личностные: самооценка. Вычислите: а) X 307 б)7581530 785 в) 1,2^-1,8^ 0,21,2-1,20,8 О Упростите выражение: а) 8л/2-4лЯ8-л/50=______ б) ll^/3-7^/48-^/75=____ " в)-У48^ + х/36 + -727р = % г) >/^ + ЗлУ^-2л/40а ^ д)^/5(2^/5 + 5^/8)= _ Щ- e)^/з(5^/3-7^/6)= Ь ж)(з^/7-l)(з^/7 + l) = з)(1-4л/з)' = H)[2yf7 + lf =______ к) ^/з(ч/б + 7з)-|ч^=___ л) ^/2(^Я0 + ^/2)-|^/^= . _ м) (^/7-^/з)' = 70 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ А Ю О Qi fct Ф % ё а о О ф ко CSI ко ф К ф н а » Ф % cd № О а а ь о о » л » о сг cd а Ок ES н о А о ф ь S fcC о ю о « ф о 1ю + со ЦО 100 + + LCO I со ф о '1'^ со oq \о ж) з) 8 JioS 4 л/7-л/з Разложите на множители: а) - 2 = б) 5 - д;2 = B)8-j/2 = г) 11-2&2=_________ д) 3-6г/2= ________ е) X - У при X > О, у > О Преобразуйте выражение, воспользовавшись тождеством \1а = а : а) V9 + 4V2 = б) л/28+6^ = в) V6-2V5 = _ г) л/и-4лУ7 = д) V8+2V7 = _ е) 724+6^ = ж) Vs^^-Vi+Vls = з) 7б + 4>/2+7б-4л/2 = _ и) 79+ч/32 =______ к) 7и-6>/2 =______ а) б) Упростите выражение: Ъ-а у[и + л/& а — Ь yfu + ■\/б ■л/& = в) >/3 + 2+ 2^-^/з 72 л/З+1 л/З-1 Д) 1 1 г + - 4+2V3 4-2л/3 е) ^In-sf^-^lll + yfn = ж) 3 3 з) и) 6-2^/6 6 + 2>/б у/^ + 3^^-у/б^\л/3 = 127 О Выполните действия: а) (a-^/7j(a-l-^/7'j= ____ б) (\/х--у/у](л/х + 7у) =_ в) (7^-4)^= ______________ г) (5 + 2у1х)^ = _________ О Проверьте себя. Упростите выражение: Q |^/8^-^/з(^/^2-76) =______ ____________ Сократите дробь: 2 + л/л 4-лг Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 20 л/5"-— 5 7п-7б •Ц; £ •St Ш' >. ■Ь’ т 'О '2: -3^ 73 Глава III. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 5= 21. Ь^-ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ •5: УРАВ1!ГНИЯ Цель ученика: *• овладеть умением решать неполные квадратные уравнения. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: учитывать правило в планировании способа действия; '• коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению; познавательные: ориентироваться на разнообразие способов решения; * личностные: самооценка. Вычислите: б) 33182028 5247 в) fs--2-V 6 SJ '' 7 +8.5 12 О Заполните таблицу: №п/п Уравнение - 5д;2 + 7д: - 1 = о 2 2,8х*-—х + 4 = 0 Первый Второй коэффициент коэффициент 15 х*-0,2х-л/б=0 -х" + 4 = о -х^-х = 0 8 Свободный член 1 -0,2 6 -5 -7 74 Приведите данное уравнение к виду ах^ + Ьх + с — О а) (х - 3)(д: + 1) + 2х - 4 = 0; б) (3jc - 1)2 = х(х + 4) - 5; в) (х - 5Хл: + 5) = Зл:2 - 2; г) {2х + 3)2 - (Зх - 1)2 = о Решение: а) _ _____________________________________ б) в) . г) О Заполните таблицу: № п/п Уравнение Уравнение, записанное в виде ах^ + + с = 0 1 Коэффициенты ^ а Ь с 1 7+—-^/ЗJC = 0 5 -x^Sx + 7 = 0 5 1 5 2 4х-6х^ +—= 0 7 3 ~—0,7 = 3д: 4 1 4 4 = -2х -Ь j 5 6 = л:2 6 7д: = — 5 1 7 7х - л;2 = 0 в 1 X гп =3 о :з X 2; гп X or m § ш X m X s 75 Запишите в один из столбцов таблицы каждое из уравнений: д) «2 + 18 = 0. а) -3x2+15 = 0; б) 4x2 + 3 = 0; в) 4x2 + 9дг = 0; г) 6x2 = Q. Уравнение имеет два корня Уравнение имеет корень Уравнение не имеет корней о Решите неполное квадратное уравнение: а) х^-9 = 0; б) - 64 = 0; в) 4д:2 - 100 = 0; ^ Решение: а) _______________________ г) б) в) Ответ: а), б) в) . г)_ Д) е) г) -5д:2 + 9 = 0; д) -7x2+ 13 = 0; е) 4х2 + 13 = 0. Д) е) о Решите неполное квадратное уравнение, разложив его левую часть на множители: а) х2 + Зх = 0; б) -х2 + 8х = 0; в) Зх - х2 = 0; г) -7х + х2 = 0; д) 19х - х2 = 0; е) х2 - 10х = 0. 76 Решение: а) + Здс = О, х(х + 3) = О, ■^1 ~ ^2~ б) г). д). в) е) Ответ: а) б) в) г) д) . е) . О Решите уравнение: а) 6х^ - 5х + 10 = Зх^ - X + 10; б) -7i/2 + 9y + 4 = 9y + l; в) х^ - 8 = (X - 8)(2х + 1); г) (2х - 1)2 - 1 = х(х + 2); Решение: а) 6x2 _ J0 _ 3j(.2 + д: - 10 = о 3x2 - 4д; = о х(3х - 4) = О = О, х^ =_____________________ б) _____________________________ 2 1 ^ д) х‘' + х+- = 0; 4 е) 4x2 42х + 9 = 0; ж) (Зх - IKx + 2) = 5(3 + X); з) х2 - 6х + 9 = 0. д) х*+2—х + 2 (_ X = е) 1 ч2у )2 =0 = 0 X m X § X £ m в) ж) s: ГГ! S X 77 Ответ: а) —. д) б) е). в) ж) г) _ з) Проверьте себя: з) а) Составьте квадратное уравнение с коэффициентами а = 7;Ь = -8;с = б. Ответ: _ б) Решите неполное квадратное уравнение: 5x2 + бх = о 8x2 - 32 = О Ответ: Ответ: ■'■5; 22. ФОРМУЛА КОРНЕЙ тг КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Цель ученика: • овладеть умением решать квадратные уравнения. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: составление плана и последовательности действий; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: структурирование знаний; • личностные; самооценка. 78 ф Вычислите: x^OTl ^ 989 б)23125056 258 в) 0,60,8 + 0,61.2 0,2‘‘-0,4^ О Заполните пропуски: а) Выражение - 4ас называют ______ ния ах^ + bx-h с —о и обозначают буквой -ь±у!Ъ квадратного уравне- б)Формулу Х-- 2а , где D = b^ - 4ас называют формулой в) При решении квадратного уравнения целесообразно поступа'*гь следующим образом: 1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем; 2) если дискриминант__________ или равен ___________________, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант _____ , то записать, что корней нет. о Заполните таблицу: № п/п Уравнение ах^ + ЪхЛ~ с = 0 а ь с Z) = ” 4ас = л1ь^ -4ас 1 - &х + Ь = Q 1 -6 5 (-6)2 - 4 • 1 • 5 = 16 4 2 - бд: -Ь 8 = 0 3 2д:2 - Зл: - 2 = 0 4 -х^ -Ь 4х -Ь 3 = 0 5 16х=' - 8х + 1 = 0 6 2х^-5х + 2 = 0 7 + 8л: - 15 = 0 8 6х^-х = 0 9 -х^ -2 = 0 3 10 - 6л: + 9 = 0 79 о Заполните таблицу; № п/п Уравнение ах^ + Ьх h с = 0 D = - 4ас Количество корней 1 - 10х “ 24 = 0 (-10)2-4 - 1 - (-24) = 196 >0 2 корня 2 + 8л: - 1 = 0 3 х'^ - 2х + 5 = 0 4 -х^-2х-В=^0 2 5 4л;2 + 4д: + 1 = 0 6 —Зх^ + X - 2 = 0 Закончите решение уравнения: а) - 4х - 12 = О б) 4х^ - 5х - 4 = О а = 1, Ь = -4, с = -12, ^ D — b^- 4ас = ^1.2 = ^1 = ^2 = а = D = _t^ = •^1.2 ^2 Решите квадратное уравнение: а) -2х^ + ох+ 3 = 0; д) 4х^ - 7д: - 7,5 - 0; б) х^-5х + 3 = 0; е) 25х^ + Юд: + 1 = 0; в) д:^ + 7х + 2 0; ж) Зд:^ - Зд: + 4 = 0; г) д:^ - бд* + 6 == 0; з) -5д^ + д + 1 = 0. Решение: а) д) 80 б) _ е). в) ж) г) з) Ответ: а), б) в) г) д) _ е) _ ж) _ з) _ Уравнение ах^ Н- 2hx + с = О называется уравнением с четным вторым коэффициентом. По формуле корней квадратного уравнения с чет- ным вторым коэффициентом уравнение: а)л:2-2д:-15 = 0 а = 1, А = -1, с = -15, Dj = (-1)2-1 *(-15)-16 где - ас решите в) 2x2 -h 4х - 1 = О ^1,2 ^2 - е о •о S *< > 0 тз X гп 1э 1 X о “I о ш X гп X S ьо 81 оо го J о\ <т> ГЛАВА III. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 50 СД ISD н I н КЗ I ^ Cd 50 Н СО Н ^\Н + I СО II о е I + н I н + II ' + 3 ^ <* • /-V + о> н н + ^э ■*" со ф ЬО Ж IN0 ' Т ^ ^ В W S I 00 р ю » О) X S р сд н н со о сд н to + 00 н + со II о Ответ: а) б) в) _ г) . д) . е) о Если в квадратном уравнении ах^ + Ьх + с О коэффициенты свя- заны соотношением о -t- Ь с = О, то х, = 1, х, =—. а Используя это, решите уравнения: а) 2001x2 _ 2000х -1 = 0 Т.к. 2001 -I- (-2000) -(- (-1) = о, 3 TOXj = -1; Xg =- 2012 г)623х2-800х-Ы77 = 0 ^1=. .. ^2 = . б)17х2-19х + 2 = 0 ___________» - ^1 = в) 201x2 - ЗООх + 99 = о ^1 = . Проверьте себя. Решите уравнение: а) 2x2 + Зх - 2 = о б) х2-10х-24 = 0 д) -61x2 + 65х -4 = 0 ^1 = . -» ^2 e)-101x2-f 199х-98 = 0 ^1 = . _» ^9. в) 59x2 + Зх - 62 = о г)-74х2 + 89х- 15 = 0 е о *0 S > 0 -D X m 5 та 1 о 3 5 Ф ,х гп X S >а 83 •^5: 23. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ •г С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Цель ученика: уметь применять знания при решении задач. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: составление плана и последовательности действий; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: смысловое чтение текста, извлечение информации в соответствии с целью чтения; личностные: самооценка. Вычислите: а) ^ 3 56 б) 99795448 2356 в) 0,5'-1,5' 0,61,2+0,60,8 Решите задачу. Одно число больше другого на б, а их произведение равно 160. Найдите эти числа. Заполнив пропуски, составьте уравнение по условию задачи и решите его. Решение. Пусть X — первое искомое число, тогда второе искомое число. Так как произведение этих чисел равно 160, можно составить уравнение: ________________________ Решим это уравнение: 84 ^1,2 » ^1,2 Ответ; 1) -16 и -10; 2) 10 и 16. о Решите задачу. Ширина прямоугольника на 5 см меньше длины, а его площадь равна б см^. Найдите длины сторон. Заполнив пропуски, составьте уравнение по условию задачи и решите его. Решение. Пусть ширина прямоугольника равна х см: тогда длина прямоугольника равна см. Зная, что площадь прямоугольника 6 см^, можно записать уравнение: _ Решим полученное уравнение: Ответ: 6 см и 1 см. о Решите задачу. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Найдите катеты, если один из них на 1 см меньше другого. Решение. Пусть длина меньшего катета х см, тогда длина большего катета см. Используя теорему Пифагора составим уравнение: Решим это уравнение: ^1.2 ^2 ^ ^1,2 Так X — длина катета, то х = Ответ: & Решите задачу. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см меньше другой, а диагональ прямоугольника 34 см. 85 Решение: Ответ: Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 770. Решение. Пусть X — первое искомое целое число, тогда_________второе искомое целое число, ___________________________________третье искомое целое число. Так как сумма квадратов этих чисел равна 770, можно составить уравнение: г|' ’•^1.2 •^12------------- ^2 ^----------------- Ответ: 1) “17,-16,-15; 2)15,16,17. о Стороны прямоугольника относятся как 2 : 5. Найдите их, если площадь прямоугольника равна 5760 см^. Решение. Пусть д: см — длина одной части. Так как на одну сторону прямоугольника приходится 2 части, то ее длина ___см. Так как на другую сторону прямоугольника приходится ___________частей, то ее длина __ _ см. Составим уравнение на основании того, что площадь прямоугольника равна 5760 см^ _____________________________________ Решим это уравнение: ^1,2 Ответ: ^1.2 .86 Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а другая — на 4 см больше стороны того же квадрата. Найдите сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 55 см^. Решение: ___ Ответ: о Проверьте себя. Решите задачи: а) Представьте число 140 в виде произведения двух чисел, одно из которых на 4 меньше другого. Решение: _________________________________________ Ответ: б) Произведение двух последовательных натуральных чисел на 29 больше их суммы. Найдите эти числа. Решение: Ответ: Т*" 24. ТЕОРЕМА ВИЕТА m О m S > ш S m Цель ученика: овладеть умениями применять теорему Виета. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: прогнозирование временных характеристик; 87 • коммуникативные: построение речевых высказывании; • познавательные: самостоятельное создание способов решения проблемы; • личностные: самооценка. Запишите результат деления обеих частей уравнения на первый коэффициент: а) Зх^ — 5х + 6 = О____________________________________________ б) 7x2 ~Ых + 1 = 0_____________________________________________ в) -ЗХ“4 = 0 2------------------------------------------------------------ г) -^л:®+2дг-3 = 0 3 --------------------------------------------- Заполните таблицу: Уравнение Корни Xj и Xg Х1 + Х2 Х,-Х2 х^-4х +3 = 0 х^ + 6х-7 = 0 х^-х-12 = 0 7х+ 12 = 0 л:2 + 8х+ 15 = 0 о Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна______ коэффициенту, взятому с__________знаком, а произведение корней равно________________________. б) Пусть х2 + рх + g = О приведенное квадратное уравнение, х^их^ — его корни. Тогда Xj -Ь Xg =______, ■ Xg =________. 88 Не решая приведенное квадратное уравнение, корни которого и заполните таблицу: № п/п Уравнение -Ь рл: + 9 « 0 Х, + ЛГз 1 7л: - 10 = 0 -7 -10 2 л;2 - Зл: + 1 = 0 3 д:^- 18л:-91 =0 4 л:Чб8^л:-41,7 = 0 3 Не решая приведенное квадратное уравнение, определите знаки его корней, заполнив таблицу: № п/п Уравнение + рд: + g = 0 -Р = = д, + Хз 9 = = Х^' х^ Знак корня, имеюш;его большую абсолютную величину Знак корня, имеющего меньшую абсолютную величину 1 л:^-16л:+11 = 0 16 11 + + 2 х^+ 16л:+ 11 = 0 3 л:^ + д: - 56 = 0 -1 -56 - + 4 л;2 - л: - 56 = 0 5 - 2х - 15 = 0 6 л:2-8х- 15 = 0 7 8л:+ 15 = 0 HI m О т > ш :s: m 89 Заполните таблицу, используя формулы Виета: № п/п Уравнение х^ + рх + g = 0 ^2 1 2 х2 + 9х + 8 = 0 -1 -8 х^ + 9х + 20 = 0 -5 3 х2 + 5х - 14 = 0 -7 4 х2 + Зх + 2 = 0 -1 5 х2 - 7х - 30 = 0 -3 6 х^- 15х + 36 = 0 12 7 х^ + 2х - 15 = 0 -5 Не используя формулу корней, заполните таблицу: № п/п Уравнение рхq = 0 Р Я ^2 1 х^+рх+ 8 = 0 9 8 -1 -8 2 х^ +рх + 6 = 0 6 -3 3 х^ + рх - 8 = 0 -8 -2 4 х^ + Зх + g = 0 3 -1 5 х^ + Зх + g = 0 3 -4 6 х^ + Зх + g = 0 3 -2 7 х^ - Зх + g = 0 -3 2 8 х2 - Зх + g = 0 -3 1 9 х2 + рх + 8 = 0 8 -8 Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого x^ и а) Xj = 2; Хз = 5; р = -(2 + 5) = -7; 5 = 2 • 5 = 10; х^ - 7х + 10 = 0; б) Xj = 3;x2 = 7; ____________ в) Xj =-4; Хз = 3; ___ _ 90 г) x^ = -8; = -6; a)Xj = 5;x2= 11; _ е) =-3; ^2 = 8; _ ч 1 2 ж) *1=-; х^ = -~; з) х^ = 0,25; х^ = 5; Проверьте себя. а) У какого из данных квадратных уравнений сумма корней равна -7, а произведение равно -15: 1) л;2-7д: +15 = 0; 3) - 15д; - 7 = 0; 2) х2 + 7л:-15 = 0; 4) + 15л: - 7 = 0? Ответ: _ б) Найдите корни уравнения по формулам Виета: l)x^-6x + 8 = 0; 2) 1/2_ lOi/-39 = о Ответ:__________________ Ответ:_________________________ 25. РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ V РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Цель ученика: овладеть умением решать дробные рациональные уравнения. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: составление плана и последовательности действий; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: структурирование знаний; личностные: самооценка. Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: . 1 1 а)----- и — а-3 а б) 12 и 17 х-4 лг + 4 Л1 Е m X х m за *0 0 01 X (Г 5 i о X сг X сг X *< 5 со X m X S 91 . 3 5-2х в) - и X X +4х , 10х 2 г) —--- И Х®-1 Х^+Х + 1 Г Чу Выполните действия: а) --4 = X б) --5а = а в) X^-hX •х = г)~(Х^-1): хч-1 о Выполните . Здс X а)---г + - действия: х-2 2-х 1-5* 3*-1 б)----+----- 36-2 2-36 в)------- 1 а а-2 г) —^--------- лг^-Зд: х-2 а) б) При каких значениях х имеет смысл выражение: Здг + 2 л:-4 5 х-1 ~ 4х-1 в) , х^ +5д: + 6 г) 1 1 л"-16 лг(5д:-7) О Решите уравнение: •6; лг-1 2х Ъх 6(а:-1) 6-2а: %-Ъх ------L +-----=-------; 2 3 6 3(д: - 1) + 2 • 2х = 5jc; 92 Ответ: 5х + 1 16-д: д + 10 „ б)---------=----+3 ^3 6 7 425 42(5д +1) 42(16-х) _ 42{х -10) ^ ^ 3 6 7’ Ответ: , 8г-1 Зг + 3 50-2г , в)-----------=-------+1; 5 4 9 Ответ: . 5х-4 Зх-2 2х-1 „ „ г)-----+------+------= Зд:-2; Ответ: О Заполните пропуски в алгоритме решения дробных рациональных уравнений: При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом: 1) найти наименьший_________________________ дробей, входящих в уравнение; 2) __________________________обе части уравнения на________ “0 т Е гп X X гп 13 S от X г X х: X о X от X от > го X m X X х< 93 3) решить получившееся целое уравнение; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль о Решите уравнения: дс + 5 X-S х-5 X х(х-5) Решение: ■х(х - 5) х^0,х^ 5 х(х-5Хх-3)^х(х-5) _ х(х-5Хх + 5) х-5 X х(х - 3) + X - 5 = X + 5; х(х-5) ^1=. Ответ: -2. 1 1 б) лг-З х + 7 28 ; *2 = 5 — не является корнем. •28(а:-ЗХд:+7) х^З,х^-7 Ответ: 14 в) 21 5 х’^-2х х^ + 2х X Решение: 14 21 5 ■ + — х(х-2) х(х + 2) X ■х(х-2}{х + 2) х^О, ХФ-2, хф2 94 Ответ: г) ^ -x+3=0 х-3 Решение: 4 (х-3) х-3 1 = 0 ix-3) xjtS Ответ: 2у-1 8 2у + 1 Ыу^+7у '12у^-3 6у^-3у Решение; Ответ: Решите уравнения: а) 18 х-3 х^-9 лг+3 Решение: m Е m X X m й тз о СП X сг iZ о X tr X ?г 5< I X m X X 2& 95 Ответ: б) 16-х^ 8x^+1 Решение: 2 _ 2х+1 2х + 1 4х^ -2х + 1 Ответ в) — 10 1 *"-10jc + 25 Решение: 25-х" х + 5 Ответ: г) 12 х"+12х+36 Решение: 36-х х-6 96 I н со со н eg Е- О) m h О со + н + н со + н о> 0> » ф 3 ф Дн н ф PQ РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ^ X Ф X X X а >» ф н X Э Ф 0^ § + н eg I eg I Н Ю eg + н ф X ф g Ф Он eg Ен Ф Л Е- О ь- I н I Oi + н ю ф !S| X Ф 3 Ф Дн н ф « о ,2х^^х-15 ^ в)------: = 0 X + 3 Решение: ^ 2jc" + x-15 = 0(1) ^х + 3^0 (1): 2x2 + x-15 = 0;D = . -^1.2 --------------’ л*2 = -3 — посторонний корень. Ответ: __________________ , Зд:Ч13д:-10 ^ г)------------~0 х + 5 Решение: Ответ: Решите уравнения: а) Зх \Х + 2 -8 За: а: + 2 -9 = 0 Решение: За: х + 2 = t Ответ: -1. б) аг^-6 аг-6 Решение + 2 = 0 ^ X Л f + 1 + ------+ 1 а:"-6 х-6 = 0 98 Ответ: -4; -3; 2; 3. х^+Здг+2 X = 1 X -лг+2 X -2х + 2 Решение. х== О — корень уравнения (проверьте). Пусть далее Х¥^0, Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х=^0. 2 1 X + 3 + “ 1 2 ^2 Х-1+— Х-2 + — X X = 1 т Е m X S т ь тз о т X и; X 5 j= X о X сг X г X 5 ш X гп X X Ответ: 0. 1 г) (х"+Зх)"+1 (х+3)=* + 1 (х"+2х-3)"+1 = 9 Решение: первая дробь меньше или равна 1 (подумайте почему), вторая дробь___________3, третья дробь 5. Следовательно, левая часть уравнения__________9 и равенство будет выполнено если одно- временно выполняются условия ___________= 0 ___________= 0 ___________-о Ответ: -3. 99 о Проверьте себя. Решите уравнения: х^+2 X Решение: Ответ: 2х + 5 2 Зх б) х(х + 1) X Решение: х + 1 = 0 Ответ: ____ в) -3^ 1 х‘+ 2 X Решение: 12 Ответ: X Зх-х‘‘ Решение: 3£-5 3-х Ответ: 100 - ■'" г 26. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ •г С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Цель ученика: иметь представление о составление математической модели. Универсальные учебные действия (УУД); регулятивные: составление плана и последовательности действий; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: формулировка проблемы и создание способов ее решения; личностные: самооценка. о Вычислить: а) Vl 1^+60' = _ 5 [25 б) n/4225 "VieQ в) -8^0,49+ 2,6 = О Из города А в город В, расстояние между которыми 150 км, одновременно отправляются два автомобиля. Первый проезжает в час на 10 км больше второго и приезжает в В на полчаса раньше него. Найти скорость первого автомобиля. Решение: Для решения задачи внесите недостаюш;ие данные в таблицу. { V (км/ч) S (км) i(4) i ' I автомобиль 150 П 1 J ' 1 (больше, меньше) ; 1 1 II автомобиль 1 X 150 Составим и решим уравнение: 101 Ответ: 60 км/ч. о Из города А в город В, расстояние между которыми 20 км, была отправлена грузовая машина. Через 8 мин. вслед за ней выехал автобус, который прибыл в город В одновременно с машиной. Скорость автобуса на 5 км/ч больше скорости грузовой машины. Найти скорость автобуса. V (км/ч) S(km) Цч) грузовая машина X 20 автобус 20 на 8 мин. =—часа 15 (больше, меньше) Составим и решим уравнение: Ответ: 30 км/ч. о Скорость течения реки равна 2 км/ч. Теплоход затратил на 50 км пути по течению и 8 км против течения 3 часа. Какова собственная скорость теплохода? Решение: V (км/ч) S(km) t(4) по течению х + 2 50 против течения 8 ^3 ч. 102 Пусть X км/ч — собственная скорость теплохода. Ответ: Два насоса, работая одновременно, могут выкачать воду из котлована за 3 ч 36 мин. Один первый насос затратит на эту работу на 3 ч больше, чем один второй. За какое время может выкачать воду каждый насос? Решение: N производительность (работа в единицу времени) время ^(ч) работал I насос 1 х+З X -ь 3 1 II насос 1 X X 1 3 ч 36 мин. = о— ч. = о— ч. 60 5 A = N-t 1 ^ t{4) А I насос 1 3- л: + 3 5 II насос 1 „3 3- X 5 к О X § (Г X сг < 5 ш X m X X Составим уравнение и решим его: 103 Ответ: 9 ч. и 6 ч. Работая вместе, двое рабочих за час изготавливают 30 деталей. Первый рабочий изготавливает 60 деталей на 3 часа быстрее второго. Сколько деталей в час изготавливает каждый рабочий? Решение: Пусть I рабочий изготавливает в час х деталей. Тогда II рабочий за час изготавливает (_______ ) деталей. На изготовление 60 деталей I рабочий тратит_______часов, а II рабочий часов. Так как на изготовление 60 деталей I тратит на 3 ч меньше, чем II, то можно записать уравнение: Ответ: 20 и 10 деталей в час. Бассейн наполняется двумя трубами за 4 часа. Одна первая труба наполняет его на 6 часов быстрее, чем одна вторая. За какое время бассейн может наполниться каждой трубой в отдельности? Решение: Ответ: 104 о Две машинистки, работая совместно, могут перепечатать рукопись за 8 часов. Сколько времени потребовалось бы каждой машинистке для выполнения этой работы, если одной для этого потребуется на 12 часов меньше, чем другой? Решение: Ответ: о Проверьте себя. Скорость первого пешехода на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длиной 5 км ему потребовалось на 15 мин. меньше, чем второму. Чему равны скорости пешеходов? Решение: V (км/ч) S(km) t(4) I пешеход II пешеход Ответ: 105 $ ??>• % Глава IV. НЕРАВЕНСТВА •V^ 28. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА Цель ученика: приобрести умения работы с числовыми неравенствами. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: осознание качества и уровня усвоения; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные; знаково*символьные действия; личностные: самооценка. Вычислите: б) 0,09 0,01 = r)yjlX-l,2^ = Вставьте пропущенные буквы так, чтобы высказывание было верным. Число а больше числа Ь, если разность а-Ь а меньше числа 6, если разность а-Ь______ число, число число. Ос помощью определения числового неравенства сравните числа: 4 2 ,)-и- 4 28 2 10 „ _ _j ij 1U ^ 4 2г-|- Решение: j = -: - = Так как ---JO, «, -U-. 4|-i2 б) - и 0,41 5 Решение: 106 в) -1,8 и -1— Решение: 7 9 ''>ТТ“й Решение: Заполните таблицу: Значение х-у -8 5 0 -Ь^-8 а^ + 9 Сравнение хиу х<у Х = у х>у х<у о Докажите утверждения: а) если а > Ь и О d, то (а - 6)(с - d) > 0. Доказательство. Если а > 6, то а - & □ о, если О d, то с - d □ о. Поэтому произведение ______________ __________________>0. б) если а < Ь и О d, то (а - Ь)(с - d) < 0. Доказательство: ___________________ положительно, т.е. в) если а < Ь и с < d, то (а - 6)(с - d) > 0. Доказательство: ____________________ о Докажите, что при любом а значение выражения (За -Ь 3)(а + 7) меньше значения выражения (За + 9)(а Н- 5). Доказательство: _______________________________________________ X S § X m § m X Q Докажите, что про любом значении переменной верно неравенство: а) 3(а + 2) + а + 1 < 4(3 4- а); 107 Доказательство: б)(7у +6)(7у +8)<49(г/+1)2 Доказательство: ____________ в) (с + 3)(с + 7) < (с + 4)(с + 6) До казательство: г) 8{х + 1)(3jc - 7) < (5х - 3)2 Доказательство: & Сравните числа: а) ^/37+^^ и 12 б) 4+2^12 и + ^ в) 3+2v'5 и л/й + лЯб г) л/Гб + \fl7 и 8 д) л® + лЯ02 и ^/^ + ^/i04 Проверьте себя. а) Сравните числа — и — 11 13 б) Докажите, что - ба + 9 > О при любом значении переменной а. 108 - 29. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ ♦ Цель ученика: • знать свойства числовых неравенств и уметь их применять. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: знаково-символические действия; • личностные: самооценка. о Вычислите: а) |-7| + |-19|-|4|-|5|-|-9|= ____________________________ б) |(-15)-(-4) + (-2)-(1)| =__ _______________________________ 0,3(88) + - в) 9 _ 0,13(8) + 36 Прибавьте к обеим частям неравенства данное число. Исходное неравенство Данное число Полученное неравенство 15> 7 6 21 > 13 -4 <16 3 -10 <-2 12 18 >5 -20 а 4- 5 > а 6 &-4 <6 -8 X X m 3 m X 109 \ф Прибавьте к обеим частям исходного неравенства данное выражение: Исходное неравенство Данное число Полученное неравенство 5 + 2а > 7 4а 13-7о< 1 7а За “ 1 > 5 —За 23 - 5а < 2 -4а 9а - 3 > 6 -2а Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание: а) Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится____________________________________________ б) Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится_______________________ в) Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и _________ знак неравенства на _________, то получится верное неравенство. Умножьте обе части исходного неравенства на данное число: Исходное неравенство Данное число Полученное неравенство 5<8 2 10< 16 3>-5 6 б>-1 -7 -7>3 -2 -14 <-2 -3 -100 <3 -4 6>-7 5 10 <20 1 2 110 о Разделите обе части исходного неравенства на данное число: Исходное неравенство Данное число Полученное неравенство 6< 12 2 9>3 -1 -2К-18 -3 -6<-1 1 2 15 <21 -3 100 > 12 4 -6 >-100 -2 -8>-4 1 3 Известно, что т > п. Используя свойства числовых неравенств сравните- а) -6т Ц -бп; в) 2 - m Ц 2- п; г)3/п+юЦЗл + 10. 5 4 о Известно, что а> Ь. Какое из следующих неравенств неверно? а) а + 6 > Ь + 6; б) “7а < -7&; д) -а < -Ъ; в) а-7<&-7; е) 3 З" Ответ: _______________ г) 4 4 О а. Расположите в порядке убывания числа i. i i a’ b* c’ d Решение: __________________ a X X s о Известно, что a, byCjd — положительные числа, причем а> b,d< b, ^ m X о "И DD Ответ: 111 о Какими числами (положительными, отрицательными) являются а и Ь, если известно, что верны неравенства: а)а-7>Ь-7иЬ>2................................. б) а-4>Ь-4иЬ< “10 в) За > и Ь > 6 _ г) -8а > -8Ь иЬ < -0,4 д) 5а < За __________ е) -ЗЬ<-ЗЬ ж) 6а > 2а з) -70ft >-26 о Проверьте себя. Известно, что а > ft. Сравните: а) “За и -3ft ________________ б) 4а и 4ft __________________ ^ в)а + 4и6 + 4 г) а-5и6-5_ д) 9-аи9“6 •'"с 30. СЛОЖЕНИЕ и УМНОЖЕНИЕ < ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Цель ученика: • научиться складывать и умножать числовые неравенства. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные; учитывать правило в планировании и контроле способа действия; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: знаково-символические действия; • личностные: самооценка. 112 о Вычислить: ч v478 а) ><395 б)17951964 257 в) (^/7-^/5)%(^/7 + ^/5)" = О Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится неравенство. б) Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых________числа, то получится верное неравенство. Сложите почленно неравенства: а) 16 > 3 и 7 > 5 б)-7<-Зи-4<5 в) -8 < 2 и 5 < 9 г)0>-10и5>-3 д) -1,6 < -0,3 и 3,7 < 21 е) -0,1 < о и -2,6 < 4 о Сложите почленно неравенства: а) 5 > 3 и -2 < 1 б) 8,3 <12,6 и-4,5 >-3,8 m X s fTI X ч: S X О X m X X m X X о О ш (Г X X m m X m 113 в)0,7<4и2,5> 1,3 г) -4 > -7 и 6,5 < 18 о Выполните умножение неравенств: а) 3 < 5 и 7 < 10 б) 15 > 10 и 5 > 2 в)1б>8и i>i 2 4 г)6< 15и i 1,5и5>3 Пусть 13 < а < 15 и 8 < & < 9. Оцените: а) а + 5; б)а-Ь; в) аЬ; г)®, Ъ Решение: а) 13<а<15 ^ 8/7 <2,7. Оцените значение выражения: а) Зу/7; б) 4+Зу/7; в) ->/?; г) 4-у/т. Решение: а)__________________________ в)__________________________ X m X S m < S X i m X s m X s о ia О Ш IT >< X m 5 171 X о H Ш 115 б) Верно ли, что: а) если а > 6, й > 4, то aft > 24 б) если а < 3, ft < 2, то aft < б в) если а > 5, то а^ > 25 _ г) если а < 3, то а^ < 9 __ I С помощью знаков неравенств запишите следующие утверждения: а) ft — положительное число____________________________________ б) X — отрицательное число______________________________ в) ft^ — неотрицательное число_________________________________ _v4_ неположительное число г) -X д) 1/^ + 6 — положительное число е) -7 - — отрицательное число Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству: а) а < 26, а = 25 б) п< 8, п = в) г/<-10, у = г) а < -3, а = д) к<-, k=___ О е) /п<-—, т = 3 ж) X < -100, X = з) у<0, £/= _ Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству: а) а > 16, а = б) а > 16, а = 17 в) X > —10, X = г) ^>-10, г/= _ д) й>-7|, к=_ О 3 е) у>-2-,у = 116 о Запишите условие задачи с помощью неравенств. а) Рост Миши (Л см) не превышает роста Коли, равного 172 см, но больше роста 169 см. 169 □ л □ 172. б) Число дней в году (а) не меньше 365 и не больше 366. __________________________ Докажите, что при любых значениях переменных справедливо неравенство: а) 3(х + 2) + х-\-1< 4(3 -Ь х). Доказательство: Найдем разность между левой и правой частями неравенства: 3(х + 2) -Ь- JC -I- 1 — 4(3 4- д:) =______________= = -5 < 0. Следовательно: 3(д: + 2) Н- д: + 1 < 4(3 Н- д:). б) т(т -f Зп) > Зтп. Доказательство:__________________________________________ в) Зд:^ - 9д 4- 5 > Зх(х - 3) Доказательство: _______ г) (<-3)(^ + 4)<(f-l)(f + 2) Доказательство: ___________ д) (х-4)(д:+б)<(х-3)(х-1) Доказательство: ________ ^0^ Сравните числа: а) л/То и 3,2. Решение: ^л/Toj =10; (3,2)^= 10,24. Следовательно, (>Яо| <(3,2)^ и >/l0<3,2. гп s; < X X о т X х S S д: X X гп ? ш m 117 б) л/б+ч/з и yj7^yj2. Решение: 9+2x/l8 □ 9+2V14 2л/18 □2>/l4 718 ПлЯ4 Следовательно, в) л/б-2 и л/б-7з Решение: __________ г) л/з + 2 и л/б + 1 Решение: _____ О Проверьте себя. а) Сложите почленно неравенства: 16 > —7 и 8 > 3. б) Перемножьте почленно неравенства: 8 < 12 и —. 4 2 118 -■'‘s 31. ПОГРЕШНОСТЬ и точность ПРИБЛИЖЕНИЯ Цель ученика: научиться оценивать точность прилибжения. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: внесение необходимых корректив в способ действия; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: владеть общим приемом решения задачи; личностные: самооценка. Вычислить: 96 = а)|-22Д^ ' 3 4 б) л/360' -21в" = в) 10 + ^ О Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Абсолютной погрешностью приближенного значения называют точного и приближенного значений- б) Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение _____________погрешности к_____________ приближенного значения. о Округлите число 8,6925: а) до единиц______________; б) до десятых_____________; до сотых до тысячных о Найдите приближенные значения заданного числа по недостатку и избытку с точностью 0,1: а) 2,845_______________________________________________________ б) 1,3(7)______________________________________________________ 43 в) 3 О п тэ т Е ж о о I? ж 3 X X 8 ? 3 s: § X зи 3 48 119 Округлите число до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений: а) 28,37 « 28,4; j28,37 - 28,4| = |-0,03] = 0,03; б) 14,027_ ,| __ _ 1=______________________; в) 9,8576 «....................................................... ; г) 128,5703^:= __ ____________ Найдите абсолютную погрешность приближенного значения, полученного в результате округления: а) числа 6,84 до единиц____________________________________ б) числа 341 до десятков______________________________________ в) числа 0,8516 до десятых_______________________________ г) числа 0,2971 до сотых___________________________________ Найти абсолютную погрешность приближения, если: а) длина комнаты 6,4 м, а при измерении получено 6,6 м б) расстояние между пунктами А и В равно 10,4 км, а при измерении получено 10,2 км. о с точностью до о, 1 найдите относительную погрешность приближения: а) числа — числом ^ 3 7 б) числа ~ числом — о Сточностьюдо0,1% найдите относительную погрешность приближения: а) числа — числом 0,4 9 б) числа— числом 0,6 11 120 ф Какое измерение точнее: а) JC = (700 ± 1) км или г/ = (6 ± 0,1) см? Решение: для величины х относительная погрешность не превосходит 1 700 •100%, т.е. 0,14%. Для величины г/ относительная погрешность не превосходит ®li.i00%, т.е. 1,67%. Качество первого измерения намного 6 выше, чем второго. б)х = (0,7 ± 0,1) см; у - (150 ± 0,1) см. Решение: О Проверьте себя. Найти абсолютную и относительную погрешности приближения: а) числа 0,27 числом i- 4 б) числа — числом i 5 3 + 5 32. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ Цель ученика: научиться находить пересечение и объединение множеств. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: составление плана и последовательности действий; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: анализ объекта с выделением суш;ественных и несущественных признаков; личностные: самооценка. 3 m тэ m о m X m X X m s о ? e X X m X m S X О m о H Ш 121 Вычислите: а) 1-+3- 140 = 4 7 4j б) л/578' -322' =________ в) 1(-17)-(-8) + {-3)-(6)| = . Ф Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех ____________элементов этих множеств; б) Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих _____________из этих множеств. Множество А — множество натуральных делителей числа 12, множество В — множество натуральных делителей числа 18. Задайте множества А и В перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение. Решение: А = {____________},В = { __________} АпВ = {___________________________} AuS = {______________________} Задайте путем перечисления элементов множество X — натуральных делителей числа 72, множество У — натуральных делителей числа 54. Найдите пересечение и объединение этих множеств. Решение: Ф Найдите пересечение множества корней уравнения - 4л: Ч- 3 = 0 с множеством корней уравнения - Зх + 2 = 0. Решение: __________ ____________________________________________ 122 Найдите пересечение и объединение: а) множеств цифр, используемых в записи чисел 2386558 и 6753910. Решение: б) множеств букв, используемых в записи слов «параллелограмм» и «параллелепипед ». Решение: _ ____________________ Ответ: _________________ Проверьте себя. А — множество простых чисел, не превосходящих 30, В — множество простых двузначных чисел, не превосходящих 30. Задайте множества А и В перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение. Решение:___________________________________________ Ответ: 33. ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ Цель ученика: * научиться правильно интерпретировать числовые промежутки. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: сличение способа действия и его результата; * коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: самостоятельное создание способов решения проблемы; ♦ личностные: самооценка. Вычислите: а)(ч/Т8-л/50 + ч/Т2)-лУ2 = X % о о ш 2 т гз •о о S т % 123 Заполните таблицу: Неравенство Числовой промежуток Геометрическая интерпретация -3<х<2 (-3; 2) -3 2 X -3<х<2 [-3; 2] X -Зйх<2 -3 2 X -3<х<2 (-3; 2] X х> 6 (6; +<х>) 6 X х^б 6 X х<10 (-оо; 10) 10 X . х< 10 (-ос; 10] ^ t X 1 Изобразите на числовой оси множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству: а) -8 < X < -2 г) л: < 3 б) 0< д: < 6,5 Д)х>4 124 в) -3-<д:<1,5 2 е)х<-2 О Изобразите на числовой оси числовые промежутки: а) (-5; 2) г)(о;з1 X X б) [6; 9] д) (5; +00) X X в) [-10;-4] е) (-оо; 3] Укажите наибольше целое число, принадлежащее промежутку: а) [-16;-10]________________ г)(-оо;84)_______________________ б) [-1;18)__________________ д)(-3;0)_________________________ в) (-оо;44]_________________ е)(0;7) О Укажите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку: а) 3 3 б) (-11,7; 1,06) в) 4 ^ 3-; +00 7 г) (-6,24; 3,7] д) (-3,2; +00) _ е) (0; 7] _____ Какие целые числа принадлежат промежутку: а)[0; 7] б) (-6; 1] в) [-8,7; 4,5] г) [-5; 4) ___ д) (-7,8; 3,9) е) [-3,7; 0) 125 y-jj7p Покажите штриховкой на координатной прямой объединение числовых промежутков; а)[-5;1]и[-3;4] б) (-7; 2) и (5; 8) в) (-оо; 3) и (9; -Н») г) [7; -кю] и (11; -Ню) I Покажите штриховкой на координатной прямой пересечение чи- 1 еловых промежутков: ! а)(2;6)и(4;11) j б) (-5;-3) и (0; 7) в) [-5; 5] и [-8; 8] I г) (2; +оо) и (8; -Ноо) д) (-<»; 6) и (-оо; 0) Пусть 3 < а < 9. Оцените а) За; б) —-^l; в)-а. 3 Решение: а) ............................ ........... б) _____________________________ .. _______ в) _______________________________ Проверьте себя. Заполните таблицу: Неравенство Числовой промежуток Геометрическая интерпретация -6 < дг < 2 X 3<ж< 7 X 126 Неравенство Числовой промежуток Геометрическая интерпретация х>5 х>2 х<3 х<-3 - s 34. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Цель ученика: научиться решать неравенства с одной переменной. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения; коммуникативные: контролировать действие партнера; познавательные; владеть общим приемом решения задачи; личностные: самооценка. о Вычислите: а) (VI0 + n/40-n/90):>/I0=. б) 7V5-4. ч/б S ~ в) 552 - 25 = О Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание: а) Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в____________числовое неравенство. б) Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются “О m В т X X m X ? со m X о ш о о 1а X О X m по m 3 m X X о 127 в) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получится _____неравенство. г) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится____________неравенство. д) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же от- рицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится____________неравенство. Решите неравенства устно и запишите ответ: а) x + 4<7 д)х-3<-5 Ответ: Ответ: _____________________ б) jc-5>9 e)x+7 15 Ответ: ж)-4х <16 Ответ: з) ~3х > -27 Ответ: i О Решите неравенства и изобразите множество его решений на числовой оси: а) Зл -I- 8 < 17 г)6х-7> 11 S'#- • щ. г' •• - б) 2 - Зж < 20 X д) Зх + 8 > 1 X "i: * X X 'Ч в) 13-4x> 21 е) 7 - 5л: < -10 i 128 Решите неравенства: а) 4jc - 3 < 2х Н- 7; г) х +24 <9^ + 26; Ответ: б)5-3х<17-5х; Ответ: д) 13х -f 6 > 14х + 4; Ответ: в) 31 + 8х > 5х - 6; Ответ: е) X + 13 < 7x4- 5; Ответ: о Решите неравенства: а) б(х - 6) > 2(х - 4); Ответ: б)^ <2; Ответ: Зх-7 5-6х в)—^^-7-5 Ответ: г) 7(у + 3) < 9{у - 1); Ответ: 2х-5 3-х Д) о" Ответ: 4х-ь5 ^ 1-Зх е) —I— 8 10 тэ m Е m X X m X m 5 ш m X о н ш о о ь X о X m -о m 3 m X X о 129 Ответ: Ответ: о Решите неравенства: а) 4(а + 2) + 3(а -Ь 1) > 7(а + 1) -f 2; Ответ: б) 7(6-1)-3>76; ^ Ответ: в) -(8t-2)-2(t~3)>0; Ответ: г) (4х + 1)2 + (5 " 2х){8х - 7) > 7; Ответ: д) (х + 5)2 - (х - 2)(х + 4) < 8(х + 1); 130 Ответ: _______ ^ JC-4 х-1 ^-е) —Г"+~:Г“-2; Ответ: о Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства: а) 5 - 6(х - 1) > 2(5 - х); в) 2а - 11 < а + 13; Ответ: б) 6(2 - х) > X - 2; Ответ: о Решите неравенства: а) Ответ: 6) ^>2= Ответ: Ответ: г) 2(х+1)-1>7-1-8х; Ответ: 5а _ г) у <8; Ответ: д)у<0: Ответ: TJ m Е m X S m S ? CD m X о н ш о о J3 X о 3 m "О m S m X X о 131 2х-1 в) --^1; 23-Ьх , е)------>1. ^ 11 Ответ: Ответ: Найдите те значения аргумента х, при которых значения функции у = -5х + 15. а) больше О, ___________________ б) меньше О,_____________________________________________ в) не меньше-15, г) не больше 25, О Проверьте себя: а) 2а - 11 > а + 13; г) 13л: < -65; 132 Ответ: б) бд: - 2 < 7л: + 8; Ответ: Д) ^>2; Ответ: Ответ: в) -6х > -18; е) л:<3 7 Ответ: Ответ: 35. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ переменной ф Цель ученика: овладеть навыками решения систем неравенств с одной переменной. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: прогнозирование временных характеристик; коммуникативные: строить речевые высказывания; познавательные: владеть общим приемом решения задачи; личностные: самооценка. Вычислите: а) ^ 268 б)495723648 5789 в) 3--2--5-7: ^ 5 7 О Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное выска- зывание: Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно __________________ из неравенств ГО о 33 X о □ m по гп S m X X о ф Из чисел, записанных рядом с системой неравенств, выберите те, которые являются решениями системы и заполните таблицу: а) -2; -1; 0; 2 [3-дс^4; б) { ^ ’ -3; 2; 1; 4 1д:-4>-3; ^ 4дг-3^1, _ « , „ в) < -3;0;1;3 ;^jc + 8>4; ^ fjc-9<-4, ^ ^ „ [2л:-1<8; 133 Система а) б) в) г) данные числа -2;-1;0;2 -3;2; 1;4 -3; 0; 1; 3 -4; 0; -1; 2 Решения 1-го неравенства -2;-1;0;2 Решения 2-го неравенства -1;0;2 Решения системы -1;0;2 о Изобразите решения данной системы неравенств на координатной прямой и запишите ответ: ^ [х>-2 > —21 I X Д) |х<5 \х<7 щ Ответ: Ответ: \х^2 2* * X \х< ■ i" . |х < 7 I 17 X 1 1 * Ответ; Ответ: в) \хй-Ь ■ и>-10. ж) \х<10 Ответ: Ответ: г) |х>4 х>2 з) [х^-1 !х:^4 Ответ: Ответ: 134 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ UO СО I Ж- 1 т V т Ф п CQ а Ф >» Ф н о ф ф Ей S в ф Рн О со Ф п Ен О О VI о> + н со 6" V <о н VD ф « Ен о О Ф о л СО 1 S Л н eg V g «к н • • Ф Ри о 1 00 1 Ен 1 гН Ф н П Н О ф X Ф X се а ф ш Ф Ф 51 Ф Ф CSJ тН V н со I gH ф п О сГ V с? ^ ^ л о о CSI Н гН V VI 1 ^ 1 ч ю Ч л л н у * sL ^ 1-Н 1> Ф со Ч Ф о М со Ф > м ' ^' CQ ' V ' « ю 5 п о о а) Решите систему неравенств: 0,7дг + 4,2 >0, 10,4>5,2jc; Ответ: ____ б) "I,3x + 3,9S0, -х^1; 18 Ответ: в) 0,2х>3, 1 16 Ответ: х<6; г) Зх-6,5<0; U Ответ: Укажите допустимые значения переменной: а) >/5-2х +л/1 + х; в) Vx-l +j2x+6; б) \fx-\l4-x; г) V4x + 8-V5-2x. Решение: |5-2х^0, Г-2х^-5, |х^2,5, 1^1 + х^О; |х>-1; [х>-1. Ответ: [-1; 2,5]. б)_________________________________ Ответ: _______ • ' X 136 в). Ответ: г) Ответ: о Решите систему неравенств: f3x + 5 10-Зл: 2х+7 a)i -8, 7х 11(л:-3) Зх-1 13-х ,-----ii >-------------; .3 б 5 2 Решение: а)________________________ 2х + 1 4х-1 --—>—:—. б)^ ^ >—+3х; I 2 3 Ответ: б)____ Ответ: Найдите ^л:+3<4 + 2х, ^5х-3< 4х-1, Решение: натуральные удовлетворяющие системе неравенств: ГО о X О =3 m tJ m S m X X О x< Ответ: 137 ф Решите двойное неравенство: а) 1 < 2х - 1 < 5; б) -11<1-Зл:<-2; Решение: I '2х-1<5. f2x< а) < S ^2х-1>1; ;^2д:>_______ в) -7 < 5х + 3 < 11, г) 1 < 7 - 4л: < 6. и> Ответ: б)____ Ответ: в) Ответ: V • ^ ’V УШ г) ___ Ответ:__________ Решите систему неравенств: 0х<12, х<4, х<4, .г, а) - х>-2, б)< X < 7, в) < X < 8, г) ' х>3; X >0; х<~6; >. Решение: ч у у 0х<12, 0<12, 1 X а) ' X > -2, л: >-2, о 1 у* х>3; х>3; 3| X 0-х>-2, хй7, X >-1. Ответ: [3; +<я). 138 б) Ответ; в) Ответ: г) Ответ: Решите задачу: Если бы велсюипедист проезжал в день на 8 км больше, чем на самом деле, то за 7 дней он проехал бы меньше 420 км. Если бы он проезжал в день на б км меньше, чем на самом деле, то за 14 дней он проехал бы больше 420 км. Сколько километров мог проезжать за один день этот велосипедист? Решение: Пусть за один день велосипедист проезжал х км. Если бы он проезжал в день на 8 км больше, т.е.___________км, то за 7 дней он проехал бы ____________км. По условию_____________< 420. Если бы велосипедист проезжал в день на 6 км меньше, т.е.____км, то за 14 дней он проехал бы >420. Получим систему: км. По условию Ответ: Велосипедист мог проезжать за день больше меньше ____________км. км, но Го о 13 X о Z3 т тз т г m X X О 139 о Проверьте себя. Решите систему неравенств: \4-2х>1. а) 3л:+4<13; б) [12-4х^З, 6х-2^20. Ответ: Ответ: 140 Глава V. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ .5: 37. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ -г С ЦЕЛЫМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Цель ученика: • иметь представление о степени с целым отрицательным показателем. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: составление плана и последовательности действий; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: знаково-символьные действия; • личностиые: самооценка. Вычислите: б) J1 в) 120 V^169 42 Н н 5 сг з; SC 3 О Закончите определение: Если а о и л — целое отрицательное число, то а" = а) 2-3 = б) 15-2 = е) с-"* = ж) (а - Ь) - hVS = 5 m & Воспользовавшись определением степени с отрицательным показателем, запишите в виде степени с положительным показателем, следующие выражения: 141 Вычислите: з) {X + у)-^ ■■ и) (t - п)~‘^ = к) {2аУ^ = г) 3*9'2 = д) 4-2-^ = е) 6 * З'З = Используя определение степени с отрицательным показателем, представьте дробь в виде произведения: Д) (x + yf (x-yf кЗ "7= 3) (а + ЬУ (b-af е)(о-^^ _ c + d {т-пУ о Заполните таблицу: Число 16 32 64 128 1 2 1. 4 1^ 8 32 128 Данное число в виде степени числа 2 Данное число в виде степени 1 числа — 2 142 Заполните таблицу: Число 3 9 27 81 243 1 3 1 9 1 27 1 81 1 243 Данное число в виде степени числа 3 Данное число в виде степени 1 числа — 3 о Заполните таблицу: Число од 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 1 Данное число в виде степени числа 10 о Вычислите: а) 5-2 =_______ б) (-зг=_______ B)|2i г)(2Д25)-1 = д) (_1)-100 = е) (-1Г® = _ ж) (-0,8)-! = Найдите значение выражения: а) 2®+3- f-T .2, -2"-4 + (-2)‘:i]:8 = б) /IV* \<>У Гл\^ -I :2 = 143 о ((0.1)’)’ ffl' n' ) J ((2’)’:2>)= 49 г) (2-' +3‘^)(2-'-3 ^) + {2-* '2“)’" :2" = Д) / ivi I 10-^ +(4)® -(-2)^ _(-5)-2 .(-5)^ = V ч -(-0,5)Ч|2£ (2,5)' О Представьте в виде дроби, не содержащей отрицательных показа-1 телей степеней выражение: а) а® 4- а'2 =___________________________________________________ б) д:-з-{/-* = ( в) 1 1 +—!-(г/-д:) = U «у г) {t-ру^ 'Ч -р~^)= . д) аЬ~^ + а~^Ь — е) (д:-^-1/'^):(л: + 1/)= . О Проверьте себя. а) Вычислите: 13 2 = ______________ -17« + (2,8)« = 144 2-® + 5-2 = (0,5)-’ = f 2^■^ I 5J 6) Замените выражение равным, не содержащим степени с отрицательным показателем. = = (аЬ)-2= _ (а + 6)-2 = + ^ 38. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Цель ученика; овладеть умениями умножать, делить и возводить в степень степени числа. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: прогнозирование временных характеристик; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: овладеть общим приемом решения задачи; личностные: самооценка. Вычислите: а) 4-Зб-11*272 + 7'93 = б) 3 • 2« - 8 • + 5 • 82 - в) ^4' f .5, '1 4, о Допишите свойства степени с целым показателем: а) Для каждого а=^0и любых целых тип: QTn . QlX ^ а"*: а" = О Ф О о н S q 'ГЛ =3 m X s: о JC m ф ' сг 3 о S 5 m m 3 145 б) Для каждых а 5^ О, 6 5^^ О и любого целого п: (а6)" = __________________________ Найдите значение выражения: а) 5-“-5®= __________________ д)6-‘:б-в=, б) 3-* • 3-2 = ______________ е) 2-5: 2 = _ в) 10® • 10-е = ____________ ж) З -*: 3-^ = г) 5-‘® • =_________________ з) 7"2:7 * = Найдите значение выражения; а) ((-З)--*)'* = ^. б) (2-2)-2 =_____________________ B)(5-V= ________ о Вычислите: а) 5-1^ • 5'® : 5“ = _ б) 4-10; 4-12; 42= _ в) UJ fi') г) UJ :3 ' = д) (17-2)2; 17-5= _ е) 12-е - 125; 12® = ж) (15-2)2; 15-е = _ з) 13® : (13-2)-1 = _ г) Д) е) 2. Г/1Л-«У 2^ 146 о Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение: а) 81*3-® = •8Г = б) (35)-2-812: в) 9-3; 3-8 = Д)| — •3" = е) у :3-" = Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение: а) -i-2» -32 б) 64-(2-2)4 = в) 8-2 • 4® = г)| — .64 :2'“-2° = д) 16 • 64 : (2-2)-5 = е) 64-1.43 . (2-з)-2 = О Вычислите: а) 5® • 7®: 35® = 5® • 7®: (5 • 7)® = = 7® = 49; 5^-Т б) 5*2 • 48 : 20® = _ в) 58 • 4®: 20® = _ г) 418.310 : 12» = д) 98 • 28 : 188 = _ е) 58-3®: 154= _ ж) 28 - 258 : 508=. О Найдите все натуральные числа л, удовлетворяющие условию: а) 32 < 2" <128. б) 216>2">4. в)9'27<3"<243 О ш о s< ц 5 m п т X X п т п s: э о S m S 147 Представьте в виде степени числа Ь выражение: а) (Ь-Ь2)"= ___________ б) Ь®: : Ь) =_________ в) 1: 6® = ___________ г) :Ь* =__________ д) (62 • Ь* ■ 6«)(6-з : Ь) = е) (6-‘ • 6-2)-‘ =_____ ж) (62: 6)2; (&2 ; ^3)3 = а) {№ ‘Г“)'’:(6:6-')’ = т Запишите выражение в виде Ах'^у'^ у где А — действительное число, тип — целые числа: а) б) /. (2у^У^у у^-у-^ в) (8х"у-‘):((2хУ)д:‘>) = г) 3- X у] ху у X. Х^у^ Найдите все целые числа л, удовлетворяющие равенству: а) 3-2-3^-3" = 3V б) 2-® • 2® • 2" = (2®)2 в) (3®)-2 • 27 : 3 " : 3 " = 81 Упростите выражение: 1-Ь-Чб-* 1-6+6^ 148 б) -2 -2 X -у ^ ^ iZ + л: аЬ~^ -Ьа'^ а’-Ь’ г) а‘ЧЬ“' о Проверьте себя. Упростите выражение: а) (х"'*)® * x^^ =___ б) l,5a2b»-4a-V=. в) 6'® : 6'® = ___ г) (2®)® • 2" = 39. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА Цель ученика: уметь приводить числа к стандартному виду. Универсальные учебные действия (УУД): регулятивные: вносить необходимые коррективы в действие после его завершения; коммуникативные: построение речевых высказываний; познавательные: проводить сравнение, классификацию по заданным критериям; личностные: самооценка. Вычислите: х6879 ^5234 б) л/б646084 в) :0,9 5 > X § 15 Ч X. 91 х< ш X 13 X X о > 149 о Закончите высказывание: Стандартным видом числа а называют его запись в виде Число п называется числа а. Заполните таблицу. Число Стандартный вид числа Порядок числа 100 100000000 0,001 0,000001 86000 3700 14 730000 0,0078 0,00009 0,00058 0,82 420 • 102 1 0,81 • 10« ’ 0,78-10^ \ 621•10® 71•10^ 0,011 102 1900•102 о Выполните действия и запишите ответ в стандартном виде: а) (0,3-10®)-(1,5 •10 '') = б) (5,6 • 10-2). (8.108) = _ 150 в) (9,2 • 10") • (0,5 • 10-") = г) (4,5 • 10^®) • (8 • 10-'") = _ д) 0,3-10®+1,7-10в=__ е) 7,8 • 10-® + 5 • 10 " = Численность населения государства Тринидад и Тобаго составляет 13,2 • 10® человек, а его площадь 51,3 • 10^ км^. Вычислите плотность населения в этом государстве (в чел./км^), ответ округлите до целых. Решение: Ответ: О Сравните числа: а) а = (0,2 • 10-2). (35 . ^ i) и Ь = 0,006; Решение:___________________________ Ответ:__________________ 4 210 * б) а = ^ \ и6 = 0,006 610® Решение:___________________________ Ответ: в) а = (3,6 • 10®) • (2 • 102) л & = 700000000 Решение:_______________________________________ Ответ: _______________ о Проверьте себя. Представьте число в стандартном виде: а) 98000=___________________ г) 0,0000005= _ б) 0,00236 -________________д) 360 =___________ в) 258000 =_________________е) 0,00002003 = О X сг S W X X X о !3 > 151 40. СБОР И ГРУППИРОВКА тг СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Цель ученика: • научиться обрабатывать статистические данные. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: составление плана и последовательности действий; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: проводить сравнение и классификацию; • личностные: самооценка. о Вычислите: а) (т~^У^ • при m - — б) 4-8.4*2 ^ в)(-0,125)2*82-103 = Закончите предложения: а) Модой ряда называется число, которое ______________в данном ряду; б) Медианой упорядоченного ряда с нечетным числом членов называется число,________________; в) Медианой упорядоченного ряда с четным числом членов называется _______________, записанных ; г) Размахом ряда чисел называется______________________________ этих чисел. о Найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел: а) 17, 21, 27, 29, 51, 53, 59, 63 Решение: _______ _______________________________________________ Ответ: 152 б) 28,43,56,57, 72; Решение: Ответ: в) 30,5.23,5.28,30; Решение: Ответ: г) 11, 9, 7, 6, 2, о, 1,7, 7, 2; Решение: Ответ: д) -4, -6, о, 4, О, 6, 8, -12; Решение: Ответ: е)1,2,2, 3, О, 2, 3,1, 1,2; Решение: Ответ: о Закинул старик невод в реку. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания): Щ, О, П, П, О, К, Щ, 3, Л, Щ, Л, О, О, К, Щ, К, К, О, П, П, Л, П, Л, Щ, 3, п, п, о, п, о, л, п, о, 3, к, п, о, о, п. л, 3, п, к, щ, к, о, о, о, щ, л, л, щ. к, к, о, о, л, П, 3, к, к, щ, щ, п, п, о, к, о, к, п, п, п, о, п, п, п, щ,о,п,к. Буквами обозначены: 3 — золотая рыбка; К — карась, Л — лещ; О — окунь; П — пескарь; Щ — щука. а) Проведите ранжирование ряда в алфавитном порядке. 3; 3; 3; 3; 3; К; К; К; К; К; К; К; К; К; К; К; К; К; К;______ О от О *0 :s V < п гз s “О о ш о 3 S X гп о § X X Е ж 153 б) Составьте таблицу абсолютных и относительных частот: Вид рыб 3 К Л О П Щ Всего Абсолютная частота 4 14 80 Относительная частота — 100» 5% 80 — 100» 18% 80 100 I в) Какой процент пойманной рыбы составляют окуни? I г) Используя полученную стариком выборку, оцените, какие виды рыб i наиболее и наименее распространены в реке, где старик закинул невод. i Наиболее распространены — _________________________________ : наименее — _ __ ___________ 1^ Учащимся восьмых классов школ города N была предложена конт-^ рольная работа по геометрии, содержащая 5 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т.д. заданий. Число выполненных заданий Число учащихся 0 — 1 25 2 51 3 85 4 221 144 Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот с точностью до 1%. Решение: Находим общее число учащихся (сумма чисел в правом столбце); п = 526. Относительные частоты вычисляем делением абсолютной частоты на 526 и умножением на 100% (с окружением). 154 Число выполненных заданий 0 1 2 3 4 5 Всего Абсолютная частота 0 25 526 Относительная частота (%) 0 5 Ответ: таблица частот. о В детском обувном магазине Котофей за декаду было куплено 850 пар обуви. Кладовщик Сапожков проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных: 22, 23, 15, 20, 19, 16, 19, 22, 17,15, 18, 17, 21, 18, 20, 16, 23, 15, 22, 18, 15, 21, 17, 23, 18, 16, 21, 18, 15, 22, 20, 22, 18, 22, 16, 21, 15, 18, 21, 17, 19.16, 20, 22, 18.17, 22, 21,19,16,18, 22, 20, 23, 21, 22,19, 21, 20,17, 15, 18, 21, 22, 19, 23, 20, 18, 23, 15, 19, 22, 23, 19, 22, 17, 15, 21, 24, 21, 24, 20, 17, 23, 18, 21, 23, 16, 24, 19, 23, 22, 16, 22, 14, 25, 20, 19, 18, 18, 17, 20, 23, 20, 17, 22, 23, 19, 18, 23, 20, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 20, 23, 16, 16.17, 20, 22, 21, 24, 23, 19, 23, 23,14, 20,19,15,15,18, 18, 23, 22,17, 16, 16, 22, 19,17, 15, 17, 15, 15, 20, 15, 18, 23, 19, 17, 23, 17, 15, 16, 16, 17, 16, 23,17, 23, 24, 20, 21, 21, 19 а) Составьте таблицу частот (до 1%). Размер обуви 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Всего Абсолютная частота 15 15 170 Относительная частота (%) 9 ’IT 01 о ш -л «мЭ s; •о § о п s: q s: X m о б) Определите моду ряда:___________ в) Найдите средний размер в этой выборке: 1545+1615 + ----------------------» 170 --------- X § X X tr >с 155 о Выберите 7 строк произвольного текста. Проводя подсчет букв, найдите относительную частоту появления буквы: а) о; б) е; в) а; г) ю. Решение: Ответ: а) б). в) г) о в таблице показано распределение призывников района по росту: Рост, см 1 Частота 155-160 > 6 160-165 i 1 10 1 165-170 1 i 28 170-175 36 175-180 г 1 1 ■ 48 ■ 180-185 I 1 26 185-190 i 16 190-195 1 8 По данным этой таблицы составьте новую таблицу с интервалом в 10 см. Решение: Рост, см 155-165 Частота 16 165-175 Ответ: таблица распределения. о Ниже показана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц.) заводами сахарной промышленности некоторого региона: 12,0; 13,6; 14,7; 18,9; 17,3; 16,1; 20,1; 16,9; 19,1; 18,4; 17,8; 15,6; 20,8; 19,7; 19,7; 18,9; 19,0; 16,1; 15,8 156 а) Представьте эти данные в виде интервального ряда с интервалом длиной в 3 единицы. б) Найдите сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки завод: 1) заменив каждый интервал его серединой; 2) используя заданный ряд. В каком случае средняя выработка найдена точнее? Решение: а) Найдем размах А = = 20,8 - 12 = 8,8. Так как задана ширина частичного интервала в три единицы, то все значения войдут в ___________________интервала. Таблица распределения: Среднесуточная переработка сахара (тыс. ц.) Частота 12-15 3 18-21 б) Найдем среднее значение суточной переработки сахара: 1) По интервальному ряду: 13,5-3 + 16,5-__+_________ 18 тыс. ц. 2) По исходным данным: сумму всех значений (_________ делим на количество наблюдений п =________, получаем: Ответ: _)раз- Проверьте себя: Имеются данные о годовых удоях молока на молочной ферме. Годовой удой молока, л Число коров до 1000 2 1000-2000 8 2000-3000 23 3000-4000 13 4000-5000 2 Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний годовой удой молока от одной коровы на этой ферме. 01 о "О “1 "0 < 3 3 S и ш о s о н S X m о ж S: X § X X 0“ X 157 Решение: Ответ: »2б04 л. 41. НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ < СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ Цель ученика: • научиться наглядно представлять статистическую информацию. Универсальные учебные действия (УУД): • регулятивные: составление плана и последовательности дейст- I ВИЙ; • коммуникативные: построение речевых высказываний; • познавательные: проводить сравнение и классификацию; • личностные: самооценка. 60 девятиклассников проверили на скорость чтения (количество слов за минуту чтения). Полученные данные занесли в таблицу: Количество учащихся Скорость чтения (слов в минуту) 5 91-100 15 101-110 10 111-120 25 121-130 5 131-140 а) Постройте гистограмму. б) Приблизительно оцените размах, моду. 158 Решение: Кратность Количество слов Измерив рост 50 старшеклассников в сантиметрах, записали результаты в таблицу: 149 150 150 151 151 152 152 153 154 154 155 155 155 156 156 157 157 157 158 158 159 159 159 159 161 161 161 162 162 162 162 162 165 166 166 166 167 167 169 170 171 171 173 173 173 175 176 178 180 182 Сгруппировав данные по классам 145-149, 150-154, ..., 180-184: а) составьте таблицу распределения частот; б) постройте полигон частот; в) постройте столбчатую диаграмму. Решение: а) Номер класса 1 , 2 3 s 4 5 6 7 8 Рост (см) 145-149 « Частота _ 1 1 1 J б) в) Частота Номера классов Частота § о н s X m о ж 0 S X 1 1 > J= s s Классы 159 Учебное издание Ерина Татьяна Михайловна РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО АЛГЕБРЕ К учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра. 8 класс» 8 класс Издательство «ЭКЗАМЕН» Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. Н 16054 от 28.02.2012 г. Главный редактор Л’.Д Лаппо Редактор И.М. Бокова Корректор Я. С Садовникова Дизайн обложки А.М. Позднякова Компьютерная верстка Д/1. Ярош 105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1. www.examen.biz ^ E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ЗАО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru По вопросам реализации обращаться по тел.; 641-00-30 (многоканальный).