Математика 7 класс Учебник Петерсон часть 2

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Математика 7 класс Учебник Петерсон часть 2 - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
lumui^DO» » ot^«y Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, E. В. Чуткова Учебник для средней школы УДК 373:51 ББК 22.1я721 П29 Ассоциация «Школа 2000~.» Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и ППРО РФ Институт системно-деятельностной педагогики X г 5с ujnuiuOOO. Программа математического развития для дошкольников, начальной и средней школы «УЧУСЬ УЧИТЬСЯ» Научный руководитель доктор педагогических наук Л. Г. Петерсон ЮВЕНТА Петерсон Л. Г., Абраров Д. Л., Чуткова Е. В. П29 Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7 класса. Часть 2 / Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова. — М.: Издательство «Ювента», 2011. — 152 с.: ил. ISBN 978-5-85429-512-3 Учебник ориентирован на развитие мышления, интереса к математике и творческих способностей учащихся, формирование ключевых деятельностных компетенций и готовности к саморазвитию. Содержит большое количество разноуровневых заданий, позволяющих сформировать прочную систему математических знаний, соответствующих современным требованиям ГИА, ЕГЭ и дающих возможность качественной подготовки учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам (на уроках и во внеурочной деятельности). Реализует дидактическую систему деятельностного метода обучения Л. Г. Петерсон («Школа 2000...»). Является непосредственным продолжением непрерывного курса математики для дошкольников, начальной школы и 5—6 классов средней школы прюграммы «Учусь учиться» (Премия Президента РФ в области образования за 2002 год). Апробация учебника проведена в 2009/2010 учебном году. Учебник рекомендован Ученым советом Академии повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования для использования во всех типах школ и для индивидуальной работы с учащимися. УДК 373:51 ББК 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляют Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и ППРО РФ, Институт системно-деятельностной педагогики 125212 Москва, Головинское шоссе, д. 8, корп. 2 Тел./факс: (495) 797-89-77, 452-22-33 E-mail: info(®sch2000.ru Интернет: www.sch2000.ru ISBN 978-5-85429-512-3 Издательство «Ювента», 2011 Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова, 2011 г л. г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА. ФУНКЦИИ. АНАЛИЗ ДАННЫХ Учебник для 7 класса Часть 2 К ЮВЕНТА 2011 J Чтобы учебником было удобно пользоваться, в нем введены следующие обозначения: о о - задачи по новой теме для работы в классе, - задачи для домашней работы, V повторение ранее пройденного. задачи на смекалку. О е □ - задания базового уровня, □ - более сложные задания по новым темам и темам повторения. □ - задания, требующие умения находить нестандартные способы решения; завершение доказательства теоремы. ©О© - материал для тех, кому интересно. Глава 4 Введение в теорию многочленов § 1. Степень с натуральным показателем 1. Понятие степени с натуральным показателем Истинная и законная цель всех наук состоит в том, чтобы наделять жизнь человеческую новыми изобретениями и богатствами. Фрэнсис Бэкон (1561-1626), английский философ и политический деятель Последовательность чисел: 3, 9, 27, 81, 243, 729 устроена таким образом, что в ней каждое следующее число в три раза больше предыдущего. Мы уже знаем, что эту же последовательность можно записать иначе: 3, 32, 3\ 3^ 3^ 3«. Вторая запись последовательности более наглядно показывает ее структуру. Составляя эту запись, мы использовали уже известное нам понятие степени натуральных чисел, что позволяет короче записывать выражения, содержащие одинаковые множители. А как короче записать, например, выражение 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75? Чтобы распространить наши знания о степени на множество рациональных чисел, уточним соответствующие определения. Под натуральной степенью п числа о е ЛГ мы понимали произведение п множителей, каждый из которых равен а. Аналогичным образом мы будем понимать и натуральную степень рационального числа. Определение 1. Пусть п - натуральное число, большее 1. Тогда л-й степенью рационального числа а называется произведение п множителей, каждый из которых равен а. При этом повторяющийся множитель а называют основанием степени, а число повторяющихся множителей п - показателем степени. Вычисление произведения, состоящего из п множителей, каждый из которых равен а, называют возведением числа а в л-ю степень. Для л-й степени числа а, как и раньше, будем использовать обозначение: а". Эта запись читается как «а в степени л» . Тогда определение степени на математическом языке можно записать следующим образом: V а е Q, л G А, л > 1: а"' = а • а • а • • а . п множителей Теперь, пользуясь введенным понятием степени рационального числа, мы можем записать: 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75 = 0,75». 1* Глава 4, §1, п.1 Как и раньше, квадратом числа будем называть вторую степень этого числа (а^ = а • а), а кубом числа - его третью степень (а^ = а • а • а). В нашем определении мы говорили о натуральном показателе степени, большем 1, поскольку произведение чисел не может содержать менее двух множителей. Теперь «доопределим» понятие натуральной степени рационального числа для случая показателя, равного 1. Исходя из фундаментального принципа развития математической теории (принципа «неразрушения»), дадим определение первой степени рационального числа, согласованное с определением первой степени натурального числа, которое мы использовали раньше. Определение 2. Степенью рационального числа а с натуральным показателем 1 называется само это число. То есть а е Q: a^ = а. Запись больших чисел с помощью степени очень удобна, поэтому ее часто используют в разных науках, например в астрономии, где расстояния выражаются огромными числами. А для того чтобы проводить вычисления с этими числами, необходимо уметь выполнять арифметические действия со степенями. Установим сначала несколько свойств и правил, которые помогут нам правильно выполнять такие вычисления. Для начала ответим на вопрос, можем ли мы сразу определить знак любой степени числа, пусть даже с очень большим показателем? Например, можем ли ,д.7562 МЫ, не вычисляя значения самой степени, определить знак числа |g| или числа (-56,799)^^®? Для того чтобы ответить на этот вопрос, докажем несколько теорем. Теорема 1. Любая натуральная степень положительного рационального числа -это число положительное. Доказательство: Натуральная степень положительного рационального числа представляет собой произведение положительных чисел (или само число). Поскольку при умножении любого числа положительных чисел получается положительное число, то значение степени будет положительным, что и требовалось доказать. Т Значит, мы сразу можем сказать, что > 0. Теорема 2. Отрицательное число, возведенное в четную степень, есть число положительное, а отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное. Доказательство: Четная степень отрицательного числа содержит четное число отрицательных множителей. Из них можно составить целое число пар, в каждой из которых при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Значит, четная степень отрицательного числа является числом положительным. А нечетная степень отрицательного числа содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель. Поэтому нечетная степень отрицательного числа является числом отрицательным, что и требовалось доказать. ▼ Значит, поскольку число 329 - нечетное, то (-56,799)®^®= -56,799®‘*®< 0. Глава 4, §1, п.1 Теорема 3. Нуль в любой натуральной степени равен нулю. Доказательство: Любая натуральная степень нуля представляет собой произведение нулей (или само число 0). Это произведение всегда равно нулю, что и требовалось доказать. ▼ Например, 0®®“' = 0. Итак, мы ввели новое для нас арифметическое действие для рациональных чисел - возведение в натуральную степень, и установили некоторые правила, упрощающие определение знака степени. Теперь нам важно разобраться с тем, какой принят порядок действий в выражениях, содержащих степени. Поскольку степень фактически представляет собой произведение нескольких множителей, то запись степени можно рассматривать как запись произведения, заключенного в скобки. Это позволяет нам сформулировать следующее правило, устанавливающее порядок действий в выражениях, содержащих степени. Порядок действий в выражениях, содержащих степени В выражениях со степенями без скобок сначала производят возведение в степень, затем умножение и деление, а уже потом - сложение и вычитание. Если в выражениях есть скобки, то сначала в указанном порядке выполняют действия в скобках, а потом в том же порядке - остальные действия. Пример. Вычислите значение выражения 1 + 2" • ((-3)2 • 5 - 8 : 2 ) + 42. Решение: Сначала вычислим значение выражения в скобках: (-3)2 -5-8:2. Согласно порядку действий в выражениях со степенями, сначала возведем (-3) в степень, затем выполним умножение и деление и после этого - выполним вычитание: (-3)2 - 5- 8:2 = 9- 5- 8:2 = 45-4 = 41. Теперь подставим в исходное выражение вместо скобок вычисленное значение. Затем выполним возведение в степень, после этого умножение и, наконец, - сложение: 1 -Ь 22 - ((-3)2 - 5 - 8 : 2 ) + 42 = 1 + 22 - 41 -I- 42 = 1 -f 8 - 41 + 16 = 1 + 328 + 16 = 345. Ответ: 345. ш а) Запишите произведение натуральных чисел в виде степени: 4 . 4 . 4 . 4 - 4 . 4 . 4; 25 - 25 - 25; а • а • а • а • а, где а е N. б) Дайте определение степени натурального числа а с натуральным показателем п, если: 1) п > 1; 2) « = 1. в) Предложите собственную версию определения степени рационального числа а с натуральным показателем п, исходя из фундаментального принципа развития математической теории («принципа неразрушения»). ш Запишите числовое выражение короче, используя понятие степени: в) (-3) - (-3) - (-1) • (-1) - (-1) - (-1) - (-1) - (-1); 5 5 5 5 5 5 а) (-i) - (-i) - (-i); б) -9,4 - 9,4 - 9,4 - 9,4 - 9,4; г) 2,(8) - 2,(8) - 2,(8) - 2,(8) 6 6 5 6 6 6 5 6 ■ 6- Глава 4, §1, п.1_________________________________________________________________ ш При рациональных значениях переменных запишите буквенное выражение короче, используя понятие степени: а) (-у) ■ (-у) • (-у) • (-у); д) (-5т) • (-5т) • 2п • 2п ■ 2п\ б) - у ‘ у • у ’ у; е) -5т ■ т • 2п • п • п; в) (аЬ) • (аЬ) • (аЬ) ■ (аЬ) • (аЬ) • (аЬ); ж) (р - д) • (р - д) • (р - д) • (р - q) • (р - д); ____ г) а • Ь - Ь • Ь • Ь ■ Ь • Ь; з) р - д • д • д • д • д. Назовите основание и показатель степени, вычислите значение выражения: а)5«; б) (-4)2; в) (-0,1)^; г) (-|f; д) ; е) (-3,6)4 ш Замените в выражениях степени произведениями: а) (-х)2; в) (2с)2; д) (-тп)*; ж) (а + Зб)^; и) (2х - yf\ б) -х^\ г) 2с®; е) -тп*; з) а + ЗЬ'^; к) 2х - у^. Проанализируйте полученные выражения и определите, какие возможны ошибки при записи степеней. ш Найдите значение выражения: а) 24 г) 34 ж) 0,24 к) 0,052; д) ^4 р) 0,1®; б) (-2)4 Д) (-3)4 3) (-0,2)4 л) (-0,05)2; (_ю)4 с) (-0,1)2; в) -24 е) -34 и) -0,24 м) -0,052; _ю4 т) -О,!®. Какие из этих выражений являются «степенью числа», а какие - «числом, противоположным степени числа»? ш Заполните таблицы: п 1 2 3 4 5 6 2" 3" п 1 2 3 4 4" 5" а Представьте, если возможно, данные числа в виде степеней: а) 128; в) 243; д) 0,0016; ж) 0,0009; и) 15^; л) 12,25; б) -128; г) -243; е) -0,0016; з) -0,0009; к) -15|; м) -12,25. а Определите, каким числом - положительным или отрицательным - является выражение: а) (-8)"; б)(-|) ; в) (-2,8)‘“ ' (-0,15)'“; г) (-|) : (-в0,4)“и. а Сравните значения выражений: а) 31® и 4>®; в) 92“ и 72®; д) (|)' и (|)"; ж) 1,8® и 1,8®; б) (-3)1® и (-4)1®; г) (-9)2“ и (-7)22; е) (-§)' и (-§)*; з) (-1,8)® и (-1,8)®. 6 Глава 4, §1, п.1 Прочитайте выражение и найдите его значение. Что вы замечаете? а) ((-3) + 4)2; б) (-3)2 + 42; Вычислите: а) ((-2)^+ (-1)2- 7) : (-3)2; в) ((-8) - (-3))2; г) (-8)2 - (-3)2; д) (3 + (-2))2; е) 32 + (-2)2; ж) ((-9) + (-1))2; з) (-9)2 + (-1)2. ОН б) -0,52 _ 1 . (0,05 : (-0,1)2 _ 21); в) -2 • (-5)2 : + (-3 : (|)f - (-2)^; г) -3^ • (-1)2 - (I)' • (-б| - 22) + (-7)2 ОН Используя степень числа 10, запишите, что: а) в одном метре 100 см; г) в одном центнере 100 000 г; б) в одном километре 10 000 дм; д) в одном кубическом дециметре 1000 см2; в) в одном гектаре 1 000 000 дм2; е) в одном кубическом метре 1 000 000 000 мм2. Найдите значение выражения: 1) а2, -а2и (-а)2, если а = 5, а = -3; 2) , -b^vi (~bf, если Ь = 4, Ь = -2. а) Найдите значение выражения jc’ + л:2 + л;2 + лг"* + х^, если л: = -1,л: = 0, л:=10. б) Найдите значение выражения у* - 2г/2 + Зу* - 4i/> + 5^®, если г/ = 1,у = -1,у = 2. ою Запишите высказывания на математическом языке с помощью кванторов общности (V) и существования (3). Докажите истинные высказывания, а для ложных - постройте их отрицания. а) Любое целое число, отличное от нуля, делится само на себя. б) Существуют целые числа, делящиеся на нуль. в) Четные натуральные числа не могут быть простыми. г) Можно найти целое число, которое при делении на 3 дает остаток 4. д) Есть целые числа, которые не делятся на единицу. е) Четные числа всегда делятся на 3. ж) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1. з) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2, то оно кратно 5. Докажите прямым и косвенным методом: а) Равенство т(т + 1)(т + 2) = 71 536 неверно при любом натуральном т. б) Равенство 9k(k + 1) = 54 621 неверно при любом натуральном k. Сравните значения величин: а) 43 м 6 дм 53 см и 436 дм 532 мм; б) 3 км 315 м 2 дм и 3300 м 104 дм; в) 7 сут. 5 ч 63 мин 5 с и 174 ч 63 мин 3 с; г) 27 т 468 кг и 274 ц 68 кг 500 г; д) 5 ц 900 кг 300 г и 1 т 5 ц 300 г; е) 27 а 64 м2 и 0,25 га 2 а 65 м2. Найдите множество целых решений неравенства: а) а + 5 > 9; в) -5 < д: < -1; б) 5 - 11 < 3; г) -2 < г/ < 4; Д) I Р I > 3; е) I g - 2 I < 1. Глава 4, §1, п.1 Ш Постройте математическую модель и решите задачу: а) Сумма двух натуральных чисел равна 27. Первое число при делении на 7 дает остаток 4, а второе число при делении на 7 дает остаток 2. Нгшдите эти числа. б) Первый угол треугольника на 30“ больше второго и в три раза меньше третьего. Найдите больший угол этого треугольника. в) Длина ломаной AKLN равна 15,6 см. Известно, что АК равно четверти расстояния между ее началом и концом, KL на 0,6 см меньше АК, а LN в 2 раза больше KL. Чему равно звено АК этой ломаной? г) Сумма цифр загаданного четырехзначного числа равна 30. Вторая цифра этого числа на 1 меньше первой, третья - в 3 раза больше второй, а четвертая - на 4 больше первой. Какое число загадали? Может ли: а) остаток при делении четного числа на 6 быть равным 3? б) число, кратное 5, при делении на 15 давать остаток 7? в) число, делящееся на 3, при делении на 12 давать остаток 8? г) число, делящееся на 9, при делении на 36 давать остаток 28? Запишите произведения рациональных чисел короче, используя понятие степени: а) (-7) • (-7) • (-7) • (-7); б) (-1,(4)) • (-1,(4)) • (-1,(4)); в) 5,0 * 5,0 ' g * g * g * g ' g> г) i-kl) • i-kl) • i-kl) • i-kl) • i-kl) • i-kl); Д) -ikl) ■ (kl) • (kl) • (kl) ■ (kl) ■ (kiy, e) (-г) • (-2) • (-2) • (26 + c) • (26 + c). Замените в выражениях степени произведениями: а) (-а)^; в) (Зга)®; д) (-xyf; ж) (5 - d)*; б) -а®’ г) Зга®; е) -хуУ з) 5 - d^; и) (а + 6)2; к) ц2 + 25 Найдите значение выражения: а) 52, -52 и (-5)2; б) 0,1^; -0,1^ и (-0,1)^; в) (l|)', - (l|)' и (-l|)'. Определите, каким числом - положительным или отрицательным -выражение: / Д. \237 a)(-16)^«2; б) (-2^) ; в) (-0,9)2® : (-1,2)«23; г) (-7,5) Сравните значения выражений: а) 5® и 3®; в) 6^® и 6^2; является 123 I б) (-5)» и (-3)“; г) (-6)'» и (-6)"- е)НГи(-|)^ ж) 0,9^ и 0,9®; з) (-0,9)'' и (-0,9)2. 8 Глава 4, §1, п.1 Г29| [Ж1 НО Вычислите: а) (-7+ 3)2; г) (-2)^-52; б) -7 + 32; д) ((-3)2 - 7)2 - ((-2)2)2; в) (-7)2 + 32; е) (-0,62 + . (2! _ (-4)2)) . (_од)2. Найдите значение выражения: 1) ^2, -х^ и {-xY, если X = Z, X = -4; 2) г/2, -г/2 и (-г/)2, если г/ = -1, у = 2. а) Найдите значение выражения а* - а2 + а2 - + а®, если а = 2, а = 0, а = -1, б) Найдите значение выражения + 2^2 + З&з + 4^,4 ^ 5^,5^ если у = -2, г/ = 0,1,1/ = 10. Постройте математическую модель и решите задачу: а) Сумма полных лет Антона и Ксюши равна 30. Число полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1, а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4. Сколько лет Ксюше, если Антону больше 12 и меньше 20 лет? б) Количество рецептов пончиков в пончиковой компании Антона и Ксюши выражается трехзначным числом, сумма цифр которого равна 20. Вторая цифра этого числа на 5 больше первой, а третья - в 2 раза меньше первой. Сколько рецептов пончиков в пончиковой компании Антона и Ксюши? Семь футболистов забили в турнире 20 голов. Докажите, что хотя бы два футболиста забили одинаковое количество голов. а) Найдите значения числовых выражений А и В: А = ________________________ 47 оА _ з2 + gX _ 10А ' 15’ ^51 "^9 ^18 1^^34 В = к - А ^ 10 7 + 1 : I б) Найдите три числа, сравнимых с А по модулю В. 33 ■21 3 • Учитель дал ученикам задание написать, используя три раза цифру 2, числовое выражение, значение которого будет как можно более большим. Среди составленных учащимися выражений были следующие: 1) 222; 2) 22 • 2; 3) 222; 4) 322; 5) 2^. Расположите эти выражения в порядке возрастания их значений. Даны 6 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум числам прибавлять по 1. Можно ли сделать все числа равными? Трем братьям раздали 24 бублика таким образом, что каждый получил на три бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат, подумав, предложил поменяться частью бубликов. «Я, - сказал он, - оставляю себе половину бубликов, а вторую половину разделю между вами поровну». Глядя на такое благородство, средний и старший братья также решили оставить себе половину своих бубликов, а вторую половину разделить поровну между другими братьями. После этих операций каждый из братьев получил одинаковое количество бубликов. Сколько лет братьям? Глава 4, §1, п.2 2. Свойства степени с натуральным показателем Чтобы добиться какого-нибудь прогресса в науках, безусловно, необходимо заниматься отдельными проблемами. Карл Вейерштрасс (1815-1897), немецкий математик В предыдущем пункте мы узнали, что понимается в математике под натуральной степенью любого рационального числа, научились определять знак степени и узнали, в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью. Но мы пока не знаем, как рационально проводить эти вычисления. Например, как можно быстро решить следующий пример: (212 . 228 . 235 (Г 10"" • \ (2 • • (5^2 . 516) / Для ответа на этот вопрос докажем несколько свойств степеней. Произведение и частное степеней Теорема 1. Для любого рационального числа а и любых натуральных тип. а"' ' а" = а”'* ". Доказательство: Пусть а - произвольное рациональное число, а m и п - произвольные натуральные числа, тогда а" = а • а • ... • а • а • а • а = а • а = а™*". m множителей п множителей т ~ п множителей ЧТО И требовалось доказать. Т Данное свойство можно распространить на произведение трех и более степеней. Значит, в нашем примере мы можем сразу упростить числитель: 212 . 228 . 235 = 2’3 -28 - 35 _ 2^5 Теорема 2. Для любого рационального числа о, отличного от 0, и любых натуральных тип таких, что т > п. а”' ; а" = а'" - ". Доказательство: Пусть а - произвольное рациональное число, отличное от 0, а m и п - произвольные натуральные числа такие, что т > п. Представим частное а"" : а" в виде дроби и сократим п раз ее числитель и знаменатель на обший множитель а: п множителей т - п множителей .---------ч .----*-----, -.т — п а” : а" = — = а" а • а а • а • а а" — п а ■ а а а п множителей ЧТО И требовалось доказать. Т Теперь в исходном примере мы можем выполнить следующие преобразования: д42 . gie _ 542 - 16 = 52а 10 Глава 4, §1, п.2 Возведение степени в степень Теорема 3. Для любого рационального числа а и любых натуральных тип (дш)п _ дт п Доказательство: Пусть а - произвольное рациональное число, а m и п - произвольные натуральные числа, тогда п множителей /■------Ч (дт)л _ Qtn . дЛ1 . . дт _ дЛ1 + m + „. + m = дИ • '------------' п множителей ЧТО и требовалось доказать. Т Продолжим упрощение исходного примера: (33)8 = 33 8 = 324 Степень произведения и частного (дроби) Теорема 4. Для любых рациональных чисел а и 6 и любого натурального числа п (abr = а" • Ь''. Доказательство: Пусть а и Ь - произвольные рациональные числа, ап- произвольное натуральное число, тогда (аЬ)" = (аЬ) • (аЬ) • ... • (аЬ) = а • а " • а • Ь • Ь • • Ь = а’' • Ь", V--------^^ V---„------- V--------- л множителей л множителей л множителей ЧТО И требовалось доказать. Т Следовательно, в числителе и знаменателе рассматриваемой нами дроби мы можем выполнить следующие преобразования: (2 • 3)2“ = 22“- 32“ 1025 = (2 • 5)25 = 225- 525 Теорема 5. Для любых рациональных чисел а и Ь, где Ь 0, и любого натурального числа п (а : ЬУ = а" : Ь", или Доказательство: Поскольку обе записи описывают одно и то же арифметическое действие, то достаточно провести доказательство для одной из них. Рассмотрим запись частного в виде дроби. Пусть а и Ь - произвольные рациональные числа, где Ь 0, и п - произвольное натуральное число, тогда п множителей = (Д\ (Д\ /£\ = а ' а • • а ^ \Ь1 \Ь1' \Ь1 ' \Ь1 Ъ-Ъ-...-Ъ Ь"' п множителей п множителей ЧТО И требовалось доказать. ▼ Значит, в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение: 2Т5 . 1 2^5 /Ту74 174 2"- (I) 274 274 = 2’’5-74 = 21 = 2. 11 Глава 4, §1,. п.2 Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его, «собрав» все выполненные преобразования вместе, а затем сократим полученную дробь и возведем ее в квадрат: 212 . 228 . 235 . . 1025 . (33)8 (2 • 3)2“ • (5“2 : 516) 2 . (225 . 525) . 324^2 ^2 ' ^ ^ ^ /4\^ 16 526 ) = ) = У = 1 1 5 ^ ___ (22“ • 32“) • 526 Мы видим, что полученные нами свойства степеней существенно упрощают вычисления. Таким образом, у нас теперь есть определение натуральной степени рационального числа, и мы знаем свойства степеней с натуральными показателями. А можно ли расширить это определение на случай нулевого показателя? Как мы уже знаем, для этого мы должны руководствоваться фундаментальным принципом развития математической теории, а значит, вновь введенное понятие не должно нарушать все доказанные ранее свойства. Например, для любого не равного нулю рационального а должно быть верно следующее равенство: а° = а'‘~ = а" : а" = 1. Поэтому логично ввести определение, по которому а® = 1 для любого не равного нулю рационального числа а. Действительно, можно показать, что если принять а® = 1 при а о, то все остальные доказанные нами свойства будут также выполняться. Таким образом, расширим определение понятия степени на случай показателя, равного 0. Определение. Нулевой степенью рационального числа а, отличного от нуля, называется число 1. То есть V а е Q, а 0: а® = 1. Так, например, 12“ = 1, =1, (-6)“ = 1. В завершение выпишем все правила вычислений со степенями, которые следуют из доказанных нами теорем. Правила вычислений со степенями 1. Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, можно основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. 2. Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием, не равным нулю, можно основание оставить без изменений, а из показателя делимого вычесть показатель делителя. 3. Для того чтобы возвести степень в степень, можно основание оставить без изменений, а показатели перемножить. 4. Для того чтобы возвести в степень произведение, можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить. 5. а) Для того чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй. б) Для того чтобы возвести в степень дробь, можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби. 12 Глава 4, §1, п.2 О 36 Произведение и частное степеней а) Представьте произведение в виде степени: 0,2» • 0,22; (_з)4 . (_з)б. Д.2000 . ^зооо, где д: е Q. б) Установите общую формулу для вычисления произведения степеней рациональных чисел с общим основанием и натуральными показателями: а" • o'" = ? (л, m е iV; а е Q). Запишите произведение в виде степени: а) 2^ • 2*; г) а® • а ж) п}* • п - п б) (-5)®® • (-5); д)с*с‘2^; з) д:® • • дс® • х®; в) 0,4® • 0,42®; е) г/^2o . и) Ь • • If • Ь'* • t’’", Упростите выражение: а) оа'" (-а)2; г) 2х^у^ • (-4хг/2); б) с*с (-с2)с*" *с®; д) 0,5о(-&)® • 10a2&2; в) dd" (-d" * ^)d''d^; е) ^(-c)®d* • (-6cdfe®); к) (pqf • (pq) ■ (pqf * (pqY^; y<)(2x + yr-(2x + y)-(2x + y)i'. Ж) 2'» + 2*-, з) 2'^+ 2'"; и) 2-" • 2"; к) 32 + 3 2 + 3 2; л) 3* -t- 3* -I- 3*; m) 3* • 3* • 3*. [4Г| Запишите выражение a^® в виде произведения: а) двух степеней; б) трех степеней; в) четырех степеней с основанием а. Имеются ли другие варианты решения этой задачи? Запишите в виде степени выражение, равное данному: а) 4 • 8; б) 3 • 27 • 9; в) 16 • 2 • 32; г) 25 • 52* • 125; д) 2” • 2” • 2"-• 2'". Возможны ли другие варианты записи? Сколькими различными способами можно представить х ®, где х е Q, х > 0: а) в виде произведения двух степеней с основанием х и показателем п е N^; б) в виде произведения трех степеней с основанием х и показателем п е N^7 (Np = {0, 1, 2, 3, ...}, варианты, различающиеся лишь порядком множителей, считать одинаковыми.) Запишите выражение в виде степени при допустимых значениях переменных: а) 3® : 3^; г) х® : х®; ж)Ъ^^ :Ь : Ь ^®; к) (/пп)®: {тп) • {mnf : (шл)‘‘; б) (-2)^“» : (-2)®®; д) i/®® ^ j^2. 3) ; с® : с • с»; л) (^) : (^) • в) 0,8'^ : 0,812; ^юз . дтэ. d^:d^-d^ :d*- d; м) (Зх - 4f: (Зх - 4)®: (Зх - Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) 6*^®: (-6)®; б) -с": c"“2j в) (-х)2" : X'" " 1 • X®; г) Д) е) а” • а® . 68x*u^z^ к) 28р®<7® - 32ц®(72 а • а"" ~ ^ • а^' 17 x^y^z*' 12p^q X® • X® • X®* . 15а®®51®с®® л) 35х®1/® -f 55х®у® X* • х^ • X® ’ 10а®®61^®’ 15г/®х® уЛ + 1 . -фп . ф . 80m^®n22ft®« м) 1ба6® + 26а5® ф • у»- у2 ’ 16А^®т«д21’ 32а®& - 15а®5- 13 Глава 4, §1, п.2 Докажите, что если k, т, п е N, то значение указанного выражения не зависит от значения переменной. Найдите значение этого выражения. 10 раз 99 раз ,---------, 4" а) + 4" + 4'" + 4" б) 10" + 10" + ... + 10" 4-п : 42 1 10" : 10 ’ 99” ^ : 99 Замените букву jc выражением так, чтобы полученное равенство стало тождеством: а) • л: = а®; б) л: • 6^ = в) • х = с™; г) д; • Возведение степени в степень Представьте выражение в виде степени с основанием а: а) (а^)®; в) (а®)**; д) (o'")®; ж) (а*)"; и) (а"*)® • а®; л) (o'")® : o'"; 99* + 99* + ... -Ь 99* и б) а® г) а® • а*; е) а" а 3. з) а* • а"; к) а*® • (а®) ,347. м)а^’+®: (а*у. а. 4^ Запишите выражение в виде степени с основанием t: а) при t = -х; в) Ц-рдУУ при t = рд; б) ((2nm)®)® при t = 2пт; г) ((-а + 36)®)® при t = ЗЬ Представьте а®"* в виде степени с основанием а) а®; б) а®; в) o'*; г) а®; д) а®; е) а'®. При каком значении п верно равенство: а) X" • X® = х’®; б) (х")® = x^®; в) (i/'®)" = i/"*®; г) г/*® • у" = у'*®? 50 I Представьте в виде степени с показателем, отличным от 1, выражение: а) т*® двумя различными способами; б) п‘® четырьмя различными способами; в) k‘*° шестью различными способами. Упростите выражение при допустимых значениях переменных: HD а) 5® • а® (6^)® • с® б) 9® ■ Сх®)® • у® • Z* (25)® • а® • (6®)® • (с®)' ’ 3® • X® • X® • (у®)® • (г®)® ’ в) fe* - fe® - 6®’ г) т* - пУ + /п® т 6 _ тг + т 10- Запишите выражение в виде степени с основанием 2, 3 или 5: а) 2 • 4® : 32 ; б) 2V ■ 81®: 9®; в) 8® • 16® : 128; г) 125®: 25® • 625. Вычислите: а) по mi. (3®)® • 3 б) (5®)® • (5^ : 5П в) (-3)® • 9® • 81® 32" • (-2)® : 64® -128® : (-8)" • а (-125)® ’ ^ -27‘® : 3® Степень произведения и частного (дроби) Возведите произведение в степень: а) (-2а6)®; в) (-х®у)®; д) (6а®6®с)®; ж) (-4р®у")‘®; и) (5r®s®f")^; к) (-и®у®ц)®)®. Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1: а) -m®n®; в) 0,49а®6®с®; д) -27у®г®; ж) -а®6®а6"; и) 125p®y^®г^®y®; б) 25c®d®; г) -|х®у®2®; е) 9а"б®с®; з) 16c®d®d®c; к) -32ml®n®Г®n^ б) i^cdkY; г) (-0,1ру®7-)®; е) (-^Лт®п")®; з) (7c®x®d)®; 14 Глава 4, §1, n.2 Г5б]| in Ш Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1; а) б) xzT^y^z^*x^y^r^^z^^^; в) г) а) Докажите, что если сторону квадрата увеличить в п раз, то его площадь увеличится в раз. б) Во сколько раз увеличится объем куба, если его сторону увеличить в т раз? Вычислите рациональным способом: а) 0,5*« • б) 4^^ • (-0,25Г; в) (-0,125)» • г) (|)' • (y)^ Запишите выражение в виде частного степеней: а) (5 : 3)>»; б) (Д)"; в) (-а : Ы; г) д) ((-4р) : 7)«; е) (^)\ \2yzl 601 Представьте выражение в виде степени дроби с показателем, отличным от 1: а) 121 : 9; б) 27 : 64; в) г) д) (49)»: г^. 61 II Представьте выражение в виде степени дроби с показателем, отличным от 1: а) (-27а»^) : (&ззсзэ); б) 81л:^«^/ >уЪ2 48 в) а»»»: (-&»»»); р1083 . дП97 бП Вычислите рациональным способом: а) 505 : 28®; в) 0,18» : (-0,9)»; .. (-750)» , /12\^ 75» ’ (ю) • (l9/ • Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) . (Saa*V в) • {~хуГ • (45с») • (-ас»)» • (2а»Ь»с)». ®Ма»/ (д.2)з. (_3у)2 . Д1 (-2&»с»)» • (((-а)»)»)» ’ б) f-25»)» • f• г) • (-25ОТ)». . (х^угГ • (7?/»)» • (2д;»г)» (26»/’ i-5m^ пУ • {mnf ’ (-((-д:)»)»)» • (14j/»2»)» ‘ Вычислите: 5» • б-* • 5» • (2»)^ • (3» : 3») И а) ш 10» • 25» • (|)* • 15^ • 2» б) 77^ • 11» • (2 : 7)» • 28» (46 . 24) . 76 . 160. (Ц2)5. Найдите значение выражения . &17 . fe24 ■ ■ (25)13 ^ (26»)*» • (6»* • 6*») • 6"*» • 6*» ^ при 6 7, б) 349 ■ (р96 . р75) ■ ^36 . ^45 . (cd\ |39 1 С» • d»» • (d*» : d*») • (d»)» • d»* • (Зс)*» • с» ^ ~ 6’ ^ ~ Найдите все натуральные значения х, удовлетворяющие равенствам: а) 6" = 216; б) 5^*^ = 125; в) 2^» = 256; г) 3*’»= 243. 15 в) 3^ = 81, lOi' = 100, А = х^; д) 32, 27, А = (р'У. Глава 4, §1, п,2____________________ т ;вычислите А, если: а) 4* = 64, S'" = 64; А = + т^; б) 5^ = 625, 7^ = 49, А = (с + df; 6^ Математическое исследование. Исходя из фундаментального принципа развития математической теории (принципа неразрушения) подумайте, как можно было бы дать определение степени рационального числа с целым показателем. Как в этом случае будут связаны между собой степени одного и того же отличного от нуля числа с противоположными показателями? т Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Если высказывание ложно, постройте его отрицание и докажите истинность отрицания. а) V а, 6 е Q: (а -Ь ЬУ = + Ь^; в) V х € Q, п е I I = б) 3 а, Ь е Q: (а -I- ЬУ = + Ь^; г) 3 ж е Q, га е | 1 = -ж^". Изобразите на координатной прямой множество значений ж, для которых: а) ж > 4; в) -5 < ж < 1; д) | ж | < 3; ж) ] ж - 2 | > 4; и) 3 < | ж | < 5; б) ж < -2; г) -5 < ж < 1; е) | ж | > 3; з) | ж + 2 | < 1; к) -3 < | ж | < 5. [zD а) Две пловчихи, Катя и Даша, поплыли по реке из одного места. Катя поплыла по течению, а Даша - против течения. Через четверть часа девушки развернулись и поплыли навстречу друг другу. Через сколько времени после старта они встретятся, если они плывут с одинаковой собственной скоростью? б) От пристани Киевского вокзала вниз по течению отправился прогулочный теплоход, затем он развернулся и вернулся на пристань Киевского вокзала через 7 часов. Сколько километров проплыл теплоход за время этой прогулки, если теплоход плыл с собственной скоростью, равной 21 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч. в) Поднимаясь вверх по движущемуся эскалатору, Ваня насчитал 20 ступенек, при этом весь путь занял у него 60 с. Маша же, поднимаясь вверх по тому же эскалатору, насчитала 16 ступенек, а весь путь у нее занял 72 с. Сколько ступенек насчитает Ваня, поднимаясь вверх по неподвижному эскалатору, если эскалатор движется с постоянной скоростью? Упростите выражение при допустимых значениях величин: а) ж -f (2ж - 4у) - (Зж + 2у - {х + (6у - 5ж)) - 2ж); б) а - (а - (а - ((а - 2Ь) - а))) - (а - (а - Ь + 2(а - Ь))); в) (-1,5рд^) : (-р) ■ (0,259г) : (-Зрг) • (4p^q) : (0,5pq); 2 „ 1 г) Зху • ^Х2 - 2х • хуг - дЖ^г/з + х-(5+ 2х-7)+ х- 2 13 2ху - 2уг • Z - ху + 2уг • у + -^г^У ~ + 2гу • у - ху Разложите числа на простые множители и найдите их НОД и НОК; а) 24 и 256; б) 42 и 108; в) 512 и 100 000; г) 216 и 243. 16 __________________________________________ Глава 4j §1, п.2 74 J С помощью алгоритма Евклида найдите НОД данных чисел, а затем найдите их НОК: а) 476 и 901; б) 207 и 989; 75 [ Решите уравнение: Л г) 534 и 1157. 2 в) 779 и 1435; а) 5у - 9 = 2|; в) 4,3(а - 2) + 3,7(а - 2) =2| - 16; б) (7х + 4,2) - (1,2 + 5л) = з|; г) 76 I Докажите, что для любых целых а б) (7л + 4,2) - (1,2 + 5л) = з|; г) 5^ - 3,2(с - 3) + 1,5(с - 2) = 0,7с - а) если а + 1 делится на 3, то 4 + 7а делится на 3; б) если а + 2 делится на 5, то 1 + За делится на 5; в) если 2а + 1 делится на 7, то 12а - 1 делится на 7; г) если За + 2 делится на 11, то 21а +3 делится на 11. @[Zll 77 I Запишите выражение в виде степени при допустимых значениях переменных: а) лл^лл^; г) 5 • 125 • 25; ж) Ь* : Ь®; к) (а")**; б) (-2а)^(-2а) (-2а)®; д) 8 • 32 • 16; з) п® : п® • п; л) (d®)®* d®; в) с'"сс®с'" ‘с; е) 3" • 27 • 3" • 9; и) i/^* : у* • у’’: j/*; м) : (а®)' 78 I Упростите выражение при допустимых значениях переменной: а) За5® : (-0,2а®5); б) ^^-xfyz ■ 6 : (-xyz^); n'l 6® • Ь" • 6® ж) 2^ • л® • (-Л®)® • л^ г) б" - ®• 6® ’ 64 • (- -л®)® • л® • л®’ д) 36а®с®у® з) 49® • (т®)® • га® • й® 18с®у®а®’ 7^ • /г • й® • (га^)® е) 18М® - 6ftd® и) а" -f а" + 2 5A®d + 7k4 ’ а" -1- а" - 2* 1¥\ Запишите выражение в виде степени с основгшием 2, 3 или 5: а) (3^)®; б) 25-54 125®; в) 9® : 81 • 3®: 27; г) Д) ((5^)')^)^ 80 I Представьте л‘® в виде степени с основанием: а) л^; б) л®; в) л®; г) л®. 81 I Возведите в степень: а) (46с)®; б) (-|/7шй)®; в) (-а®6)®; г) (0,2л®уг®)^; д) (|) ; е) . 8^ Возведите выражения 4а®; -0,Зл1/^2®; а) в квадрат; б) в куб. ш Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1: a)m®n®; б)-0,125л®1/®г®; в) 16а®6а^6; г) 1^^4j| Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1: 32a®®6^® а) 49л®1/®'‘2®®; б) ^75 в) л^^®£/^®^; г) с®^^: d'*®®. 17 Глава 4, §1, Вычислите рациональным способом: 5\‘'‘ а) 26* • 0,04»; б) (-|) • 0.8”; в) (-24)» : 2,4»; г) ш Упростите выражение при допустимых значениях переменных: j±l2 а-ь^У) (6х‘^уГ ’ Ы-тГГ 87 I При каком значении т верно равенство: а) X* • х"' = x'^‘^; б) (х**)"' = х'^''; Вычислите: (9^ : 3^) . (0,5aW • (-2aW (а6)ч • а) • 22« • (2^)^ • (1П« : И») • 28“ 8 в) = уЛО. 158 . (73)2 г) У” ■ = у 40 б) ■(f) V 21>« • 25« • 45^ + 2,315°. 14* • (^) • 44* • 77® ш Постройте математическую модель и решите задачу: Прогулка сотрудников пончиковой компании Антона и Ксюши по Москве-реке началась в 10 ч утра, когда теплоход отчалил от пристани в Коломенском. Поплыв вниз по течению реки, он через некоторое время остановился на зеленой стоянке, где был устроен пикник, занявший 3 часа. После этого все опять разместились на теплоходе и вернулись на пристань в Коломенском в 9 ч вечера. Чему равно расстояние до места пикника, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость теплохода не менялась и была равна 15 км/ч? [90] Докажите, что числа А и В имеют одинаковые остатки при делении на 7. Л = [(42,4 • I - 21,2) • 50 + 100 • (бО • - 1з|||) : || -Н 3,75 • ^)]; в - 26 • [l7i ■ I - (з| - 2^)] ■ (li : 4^ н- 9,94). I---1* ф[п Сравните значения выражений: а) 2*° и 10*; б) 10'°° и 100'°; в) 2*°° и 3*°°; г) 31'° и 17*°; д) 4°* и 15«. В гимназии 85 школьников. На занятия английским языком ходят 42 человека, немецким - 28, французским - 30. При этом 10 человек ходят как на занятия английским языком, так и немецким, 5 человек - на занятия английским и французским языками, а 8 человек - на занятия немецким и французским языками. Все эти три языка изучают 3 школьника. Сколько школьников не учат эти иностранные языки? Король решил устроить испытание жениху своей дочери. В одну их трех комнат он посадил принцессу, в другую - дракона, а третью комнату оставил пустой. Если жених угадает, в какой комнате принцесса, то сможет на ней жениться. Табличка на той комнате, где находится принцесса, истинна, на той комнате, где сидит дракон, - ложна, а табличка на пустой комнате может быть как истинной, так и ложной. На комнате 1 висит табличка «Комната 3 пуста», на комнате 2 - «Дракон в комнате 1», на комнате 3 - «Эта комната пуста». В какой комнате находится принцесса? 93 18 Глава 4, §2, п.1 § 2. Многочлены и действия с hmivsh [ 2. Одночлены Математика имеет целью найти общие методы для получения эффективных результатов в различных сферах человеческой деятельности. Граве Дмитрий Александрович (1863-1939), русский математик При решении задач мы часто сталкиваемся с произведениями различного вида. Так, например, объем прямоугольного параллелепипеда есть произведение трех его измерений; выполненная работа - произведение производительности и затраченного времени и т.д. Поэтому выражения, в которых используется только действие умножения, имеют в математике отдельное название и специально изучаются. Определение 1. Произведение, состоящее из числовых множителей и множителей-переменных, называется одночленом. Напомним, что возведение в степень также является умножением. Поэтому одночленами являются, например, следующие произведения: (-ц2 . 2 • Ь)\ т - • 2® 8 ^ {-2ку. ухххсу • (-0,5), Отдельные числа и переменные также являются одночленами, так как их всегда можно представить в виде произведения, например, d = d • 1, 14 = 14 • а°. А вот выражения х-1- 1, у^ - 3 к одночленами не являются, поскольку содержат оу действия соответственно сложения, вычитания, деления. Если среди множителей одночлена имеется нуль, то такой одночлен называется нулевым. Например, одночлен о • а^ • (~7с^) - нулевой. Определение 2. Произведение всех числовых множителей одночлена называется коэффициентом одночлена. Так, например, коэффициентом одночлена ухххсу ■ (-0,5) является число (-0,5), а одночлена т ■ ± . ,5 . {-2k) 3_ g ^ V число g Если коэффициент одночлена равен 1 или -1, то числовой множитель в его записи обычно не указывают. И наоборот, если в записи одночлена имеются только буквенные множители, то его коэффициент, соответственно стоящему перед ним знаку, считают равным либо 1, либо -1. Таким образом, каждый одночлен может быть представлен в виде произведения своего коэффициента и степеней входящих в него переменных. Например: (-0,5) • у^х^с^, 16 • п^Ь*, -1 • m^z^k^, 1 • d\ 14 • а®. Каждый из одночленов можно записать несколькими различными способами. При этом два одночлена считаются равными, если один из них может быть получен из другого с помощью равносильных преобразований. - • (-2)-^ = -1. 19 Глава 4, §2, п.1 Так, например, ухххсу • (-0,5) = (~0,5)у^х^с = -0,5сх^у^. Поэтому для того, чтобы легче было производить действия с одночленами, вычислять их значение при известных значениях входящих в них букв, договорились записывать одночлены в так называемом стандартном виде. Определение 3. Стандартным видом ненулевого одночлена называется его запись, при которой: 1) коэффициент стоит на первом месте; 2) каждая переменная участвует в записи одночлена лишь один раз в виде соответствующей степени; 3) буквы в записи одночлена (если они есть) следуют в алфавитном порядке. Например, приведенные выше одночлены в стандартном виде записываются так: -0,Ьсх^у^, 16Ь*п^, -k^mz^, d, 14. Определение 4. Стандартным видом нулевого одночлена называется число 0. Проанализируем, как в рассмотренных примерах мы записывали одночлены в стандартном виде, и построим соответствующий алгоритм. Алгоритм записи одночлена в стандартном виде 1. Вычислить произведение всех числовых множителей (коэффициент) одночлена и записать его на первом месте. 2. Определить, какие переменные входят в одночлен, и записать их в алфавитном порядке. 3. Найти и записать степени переменных. После того как мы научились записывать одночлены в стандартном виде, нам становится проще определять некоторые их характеристики и производить с ними арифметические действия. Одной из важных характеристик одночлена является его степень. Например, для одночленов одинаковой степени мы можем установить общие методы решения уравнений, в которые эти одночлены входят. Выбор метода решения задач всегда играет ключевую роль и во многом определяет успех. Поэтому нам важно уточнить это понятие и научиться его применять. Определение 5. Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в одночлен переменных. Так, степени рассмотренных нами выше одночленов равны соответственно 6, 12, 8, 1 и 0. Степень нулевого одночлена не определяется. Выполнять арифметические действия с одночленами достаточно легко. Ведь мы всегда можем записать сумму, разность, произведение и частное нескольких одночленов (кроме деления на нулевой одночлен). При умножении и возведении в степень одночленов в результате всегда будут получаться одночлены, поскольку никаких других действий, кроме умножения, мы при этом не производим. А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная: одночлен в итоге может получиться лишь тогда, когда слагаемые состгшленной алгебраической суммы, записанные в стандартном виде, имеют одинаковую буквенную часть. 20 Глава 4, §2, п.1 Определение 6. Одночлены, имеющие в стандартном виде одинаковую буквенную часть, называются подобными. Подобными являются, например, одночлены -За^Ь и а^Ь. При их сложении или вычитании, применив распределительный закон умножения, мы вновь получим одночлен, например: -За^Ь + а^Ь = (-3 + 1)а^Ь = -2а^Ь -За^Ь - а^Ь = (-3 - 1)а% = -4а^Ь. Равносильное преобразование, в результате которого все подобные между собой одночлены записываются как один одночлен, называется приведением подобных слагаемых. Приведение одночленов к стандартному виду и приведение подобных слагаемых позволяет упрощать решение различных задач и примеров. Пример. Определите, можно ли записать данное выражение, как одночлен и найдите его значение при т = -48, п = -0,32, к = 5,6: 3 ткп(0,5к)^ тп* - 2пппк^пт^п + knkn • 1^ • mkn^mn. Решение: Мы видим, что сразу ответить на поставленный вопрос очень непросто. Приведем каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное выражение: 0,25Wm2 - 2Wm2 + l| • = (0,25 - 2 + 1,75) Wm" = 0 • №/п^= 0. Таким образом, фактически устно мы получили, что при всех значениях т, п и к (в том числе и при указанных в условии) значение данного выражения будет равно 0. А значит, данное выражение является нулевым одночленом. О [^94j 1) Запишите следующие выражения: а) Удвоенный куб числа а. б) Разность квадрата числа х и частного чисел у и г. в) Сумма кубов чисел т, п и к. г) Утроенное произведение квадрата числа Ь и куба пятой степени числа с. 2) Исходя из смысла слов русского языка, выскажите предположение, какие из записанных вами выражений можно назвать «одночленами». Проверьте свое предположение, используя определение понятия одночлена, приведенное на стр. 19. Прочитайте выражение и определите, является ли оно одночленом. Обоснуйте свой ответ. а) 2аЬ^; б) J2 • в) 3(а^ + с^); г) -к-. Д) д', е) ж) 0; з) -2(х - yf; и) - • 5у, к) (Устно.) Найдите коэффициент одночлена: а) 4х^ • Зу^; в) 0,2а • • (-76); д) {-af; б) -l,2r^s • 0,3t; г) -36с® • (-у*) ■ |x6; е) -рЧ~дУ', ж) “^о6® * (бас)®; з) (-0,5/п®)® • (-8n®m). 21 Глава 4, §2, n.\ 92j Приведите одночлен к стандартному виду, определите его коэффициент и степень: а) Smmddm • Smd^‘, т) (-0,lky*)^ • 40y^k^; ж)-l,8bac^ • ; б) Ыух^ух • (-|зсу); д) (5abf • (-0,2а^6)^; з) • (-2kcn^f • (-О.бп^с); в) • (-0,4)6V; е) 12,5(-n)'*d • (0,2с?л^)^; и) ’ 4,5n^ay^ • {-yrif. Wj Представьте данный одночлен как степень некоторого одночлена: а) ОДба^Ь^; б) 6^n‘^d в) г) 0,0081х®у‘2^^; д) -32a^°c^y^d /15 99 I Среди указанных одночленов найдите подобные: а) 2ху; -4х^у; Зху^; ^х^у^; -Ьу^х; б) 7а®&; 0,4а®с; -9,8а6®; аЬа^; 6 3 в) -^т^пк", 1,3п^тк; -^к^пт; птпк; 2,5тп^к. 1001 Составьте из букв а, & и с восемь подобных между собой одночленов шестой степени с буквенными частями, записанными разными способами. [101| Выполните указанные действия над одночленами (при допустимых значениях переменных) и докажите, что в результате их получится одночлен. Запишите его в стандартном виде. а) (За^Ь - 4Ьа^) + 5аЬа; б) 7х*у^ - (2х^у^х^ -I- бу^х''); в) -0,5р^ • (2pgf + 12р‘*д^р; д) 15c»d" : (c^d) - 9сЧ^ : (3cd"); е) (-а&з : 5)^ • (5а : 6) : фа : 5) - баф’’ : (За6«); ж) (3xyf- ibxyf: (15x^yY - (5ху) • у^ -I- у^х; г) {3mrif • - 5п^т^‘, з) к’’т* - ((Зк^тУ : 27к + кф^т^У). Запишите данное выражение как одночлен стандартного вида. Запишите подоб ный ему одночлен с коэффициентом а. а) (х^ - (бху^ - 3jc^)) - 5ху^ + 5х^ - (7х^ - (~2х^ + (\\ху^ - ху^ - Зху^))), если а = -1 б) 2рд^ + 4{3рд^~ д) - Ърд^- 8рд^ -Ь (5д - 2(бд - 4рд^ - рд^) -Ь 11? -ь рд'^), если а = 1 в) сФ - (4с + 2с(4 - (б - ЗсЬ))) -I- 0,5(12с -I- 4с^&) - Зс -I- 3(бс^Ь - с), если а = 1,5 г) 5x^z^ - ((5x2 - 3x^2^) - 2хФ^) + 2x2 - 3{2x^z^ - хФ^) + 3x2 -Ь 0,5(-4х^2®), если а = 103 Докажите, что данное выражение может быть записано в виде одночлена. Запишите его в стандартном виде и найдите его значение при данных значениях букв. а) 5т^п - 4(3п - 2тФ) ч- 0,5(2т^га - 4(т^п - Зп)) - 3(m^n - 2га) при rai = 1, га = -1; б) 0,8а^& • 2,ЪаЬ -ь 9аЬ^ • ^а^ - 7аФ^ при а = 2, Ь = -3; в) 2рд^г -1- рд{7дг - 2г^) - бр^ - 3(4рд^г - 2рф + 2рдт^ при р = 2, g = -1, г = 1; г) (5ас)^ - 2ас(8ас - 7аЬ) - 5а^( + ЗЬс) + аФс при а = Ь, Ь = -12, с = -3. 22 Оава 4, §2, п.1 Ю5| О щ Какие одночлены надо поставить вместо А, В, С и D, чтобы выражения превратились в истинные равенства? а) 1х^у^ + А = в) 11а^6^ • С = 5&*‘а'^(а, Ь ^ 0); б) 21pV - В = 4р^; г) : D = (m, п Ф 0). Какие одночлены надо подставить вместо А п В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) А^В^ = в) = 27a*b‘W^ ■ 8а^'сЧ; б) А^Б"* = 81p^'^q*r^^^s'^4rt^q*; г) А^'Б*^ = т*п^кНЧ^п}'^к^'т^. [1^ Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний постройте отрицания и докажите истинность отрицаний. а) V X G Q: • X’ = х^®; в) V х, г/ е Q: (хг/'*)^ = х^у®; б) 3 X G Q: х“ • X® = х^®; г) 3 х, у g Q: (ху"*)^ = ху. Постройте математическую модель и решите задачу: а) Число мужчин, женщин и детей, занимающихся в секции тенниса, относится как 3:5:9. Сколько детей в этой секции, если всего в ней занимаются 34 человека? б) Число однокомнатных, двухкомнатных, трехкомнатных и четырехкомнатных квартир в доме относится как 5,7 : 5,6 : 2,2 : 1,5. Сколько трехкомнатных квартир в этом доме, если в нем всего 150 квартир? в) Для изготовления блинов берут муку, молоко, яичный порошок и прочие компоненты (сахар, сода, соль) в отношении 2:4: 0,75 : 0,25. Сколько нужно муки, чтобы приготовить 3,5 кг блинов? Выполните указанное действие по модулю т: а) 13 ч- 11, лг = 7; г) 27 - 3, m = 8; б) 9 Ч- 17, m = 9; д) 35 - 12, m = 4; в) 11 Ч- 11 Ч- 11, т = 14; е) 48 - 17, m = 3; Докажите, что для любых целых а: а) + 2а^ Ч- За либо делится на 4, либо при делении на 4 дает остаток 2; б) 2а® Ч- а® Ч- 5а либо делится на 3, либо при делении на 3 дает остаток 2. "П ж) 6 • 3, лг = 5; з) 19 • 2, m = 6; и) 7®, лг = 11. 110| Приведите одночлен к стандартному виду, определите его коэффициент и степень: б) 24х® • i-^yzxf • (-0,2х®2). а) 15аЬ®а6 • (-^а^Ь); Выполните указанные действия (при допустимых значениях переменных) и докажите, что в результате их получится одночлен. Запишите его в стандартном виде. а) 11а®Ь'‘ - (5а6'‘а® Ч- 4Ь*а^); б) -0,2cd® • (5dc)® Ч- 7сЧ^с; в) (9х : у®) • (х®у : 3)® • ^ - 8х'‘у® : (2ух®); г) (7ру®)®- (2у®р): (-14у®р®) - (Зур)®: (-9ур®). 23 Глава 4, §2, n.1 1Тз| И Запишите данное выражение как одночлен стандартного вида. Запишите подобный ему одночлен с коэффициентом а. а) 2х - (Зхг/^ - Ах) + Ьху^ - 1х - (9х - (Юл: - (Аху^ - Зху^ - 2ху^))), если а = -2; б) АсЬ^ - {1сЪ^~ 2с) - 2с&^ - сЪ^ + (Ас - (6с - 2сЬ^ - сЬ^) + сЬ'^), если а = 3. Докажите, что данное выражение может быть записано в виде одночлена. Запишите его в стандартном виде и найдите его значение при данных значениях букв. а) 7х^у - А(2ху - х^у) - (Зх^у - (Зх^у + Аху)) - А(2х^у - ху) при х = 2, у = -2; б) (3ml)^ - 6(тп)^ - 2т\А1^ - Зп^) - 20тЧ^ при m = 1, га = -1, I = -2. Какие одночлены надо поставить вместо А, В, С и D, чтобы выражения превратились в истинные равенства? а) 9а^Ь’’ -f А = 28а®&^; в) \9х*у^ • В = 4л:®у*(х, у ^ 0); б) 48тга®га“ - С = 14/га®га”; г) : D = llp^q’’ (р, q ^ 0). Какие одночлены надо подставить вместо А и В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) А®В® = б) А®В'^ = 27x^y^zH^ • 9у^хН^. Количество сотрудников пяти филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши - московского, питерского, воронежского, казанского, сочинского - относится как 7,25 : 3 : 2 : 1,25 : 2,5. Определите, сколько сотрудников работает в каждом филиале, если всего в этих пяти филиалах работает 320 человек. Докажите, что а® -I- 4а для любых целых а либо делится на 5, либо при делении ;ia 5 дает остаток 1, либо при делении на 5 дает остаток 4. С ' /^1 1181 Докажите, что разность А и В делится на 17: А = /35+ 4--65 9 0.1-(3i + 4^-li-5|):4l В = ^9 5^ - 2^ - i ^8 4 2 j2 150. На острове Невезения с населением 96 человек правительство решило провести 5 реформ. Каждой реформой недовольна половина всех граждан. Гражданин выходит на митинг, если он недоволен более чем половиной всех реформ. Какое максимальное число людей правительство может ожидать на митинге? ----1* 120 Несколько друзей нашли клад и начали его делить. Первый взял 100 золотых монет и десятую часть остатка. Второй взял 200 золотых монет и десятую часть остатка, третий - 300 золотых монет и десятую часть остатка, и так до последнего. Сколько золотых монет было в найденном кладе и сколько было друзей, если в процессе указанного дележа все получили поровну? 24 Глава 4, §2, п.2 2. Многочлены Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают. Жан Лерон Д’Аламбер (1717-1783), французский математик, механик и философ Как мы уже знаем, алгебраическая сумма нескольких одночленов является одночленом, только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов. В общем случае мы получаем новое выражение, называемое многочленом. Определение 1. Выражение, записанное как алгебраическая сумма одночленов, называется многочленом. Например, многочленами являются выражения: 2х + Зу 5 - а^ + 6а - аЫ Зп^- 8 -I- 4л® Изучение свойств многочленов крайне важно, так как часто они являются математическими моделями практических задач. Так, например, стоимость покупки из 2 книг по цене дс р. и 3 журналов по цене у р. или длину пути автомобиля, ехавшего 2 ч со скоростью X км/ч и 3 ч со скоростью у км/ч, можно записать с помощью многочлена 2х -1- Зу. Поэтому для того, чтобы решать самые разнообразные задачи, нам надо научиться выполнять действия с многочленами и преобразовывать их. Определение 2. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена. При этом многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом, из трех - трехчленом и т.д. Например, 2х + Зу - это двучлен, 5 - а^ + 6а - аЬ^- четырехчлен, Зл^- 8 + 4л®-трехчлен. Сам одночлен также является многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены, как и одночлены, можно записать различными способами. При этом два многочлена считаются равными, если один из них может быть получен из другого с помощью равносильных преобразований. Так, 5 - а^ + 6а - аЬ^ = -аЬ^ - а^ + 6а + 5, поскольку при перестановке слагаемых их сумма не изменяется. Однако вторая запись упорядочивает члены многочлена по степеням. Как мы уже убедились на примере одночленов, упорядочивание записи математических объектов значительно упрощает различные операции с ними. Определение 3. Стандартным видом многочлена называется запись, при которой все его члены: 1) являются одночленами стандартного вида; 2) не являются подобными одночленами; 3) записаны в порядке убывания степеней одночленов (одночлены, имеющие одинаковую степень, записываются в произвольном порядке). 25 Глава 4, §2, п.2 Определение 4. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов при записи многочлена в стандартном виде. При этом член многочлена, имеющий наибольшую степень, называют старшим членом, а имеющий нулевую степень - свободным членом многочлена. Запишем в стандартном виде рассмотренные нами многочлены и определим их степени, а также их старшие и свободные члены. Многочлен Степень Старший Свободный В ставщартном виде многочлена член член 2х + 3(/ 1 2х и Зу 0 -аЬ^ - а- + 6а + 5 3 -аЬ^ 5 4л® + Зл"- 8 6 4 л® -8 Пользуясь определением стандартного вида многочлена, мы можем записать следующий алгоритм. Алгоритм записи многочлена в стандартном виде 1. Записать все члены многочлена в стандартном виде. 2. Привести подобные слагаемые. 3. Определить степень каждого одночлена и записать их алгебраическую сумму в порядке убывания степеней. При решении разнообразных задач нам часто приходится вычислять значение многочлена при известных значениях входящих в него переменных. Рассмотрим пример, который поможет нам выявить некоторые общие закономерности, упрощающие вычисления. Пример. Найти значение многочлена 4п^+ Зп^ - 8, если: 1) п = -2; 2) п = 1; 3) « = 0. Решение: Поскольку многочлен уже записан в стандартном виде, подставим в него данные значения переменной п. (~2f + 3 • (-2)2 -8 = 4- (-32) -f 3 • 4 - 8 = 8 = 4 1) Если п = -2, то 4л®-Ь Зд2 = -128 4- 12 - 8 = -124. 2) Если л = 1, то 4л® ч- Зл®- 8 = 4 3) Если л = о, то 4л®-I- Зл®- 8 = 4 1® -Ь 3 о® + 3 Р - 8 = 4 + 3- 8 = - 1. о* - 8 = 0 + 0- 8 = -8. Анализируя полученные результаты, мы видим, что если переменная равна 1, то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов, а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену. Полученный вывод имеет общий характер. Теорема 1. Если значения всех переменных, входящих в запись многочлена, равны 1, то значение многочлена равно алгебраической сумме всех его коэффициентов. Доказательство: Любая натуральная степень единицы равна 1, а при умножении на 1 число не изменяется. Значит, значения всех членов многочлена при единичных значениях переменных будут равны их коэффициентам. А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов, то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов, что и требовалось доказать. Т 26 Глава 4, §2, п.2 Теорема 2. Если значения всех переменных, входящих в запись многочлена, равны О, то значение многочлена равно его свободному члену. Доказательство: Любая натуральная степень нуля равна О, а при умножении числа на О получается 0. Значит, при подстановке в многочлен вместо переменных нуля значения всех его членов (кроме свободного) будут равны 0. Следовательно, значение многочлена будет равно алгебраической сумме, состоящей из нулей и свободного члена, и поэтому равно свободному члену, что и требовалось доказать. ▼ 1211 Запишите данные выражения в виде суммы одночленов. Как одним словом можно было бы назвать все эти выражения? а) т^п - тп^; б) - 2х + 3; в) а* - 4а^Ь -f 2а^Ь^ - аЬ^ - ЗЬ*. 122| Исходя из определения многочлена, приведенного на стр. 25, определите, можно ли указанное выражение записать как многочлен: а) 4(а -I- Ь); б) 7ху'^; в) - д2. л 2. д) 3» ж) 2х - 5 16 >•2 _ з) а^ -I- 9-3 г) -т(т -(- 1); е) 0; Щ Дан многочлен: 2а^а - а^а^ -9-1- 4аа. Проанализируйте его запись и предложите свою версию стандартного (удобного для работы) способа записи многочлена. Что естественно было бы считать степенью многочлена? Какой из его членов можно было бы назвать «свободным членом»? Сравните свои определения с теми, которые приведены на стр. 25-26. 124) Докажите, что данные многочлены записаны в стандартном виде. Назовите их степени, свободные члены и коэффициенты членов, имеющих буквенные множители. а) -2х + Зу; в) — у2 — 4х + 9; б) - 1; д) у^ + 2у^~ у + 5; г) т* -ь т^п - т^п^; е) -c^d^ - Зс* + cd^ - 6d. Как одним термином можно назвать многочлены каждого столбика? 125| Запишите многочлен в стандартном виде и определите его степень: а) 5а - ЗаЬ - 4а; д) Тх^у + х^ - Ъх^у + х‘^ - Зх^ + х^у; б) Зхух^ + у^ - 4х^ух; е) 4а^&*а - Зо®&‘* - ЪЪ^а^Ь + 2а^Ь^аЬ + 2а®6®; в) -4р • 2д^ ” 9“' + ж) 5тп® - 2т^ * Зп® - бог® + Ъг^т^ -Ь 2/п® - 4т^; г) c^d^ - (2cdY + 3cd^c; з) -Ь (3u)^ - 4и® - - lOa^ + 5v^. 1261 Составьте свой многочлен, содержащий: а) переменную х; б) переменные а и Ь. Запишите составленный многочлен в стандартном виде и определите его степень. 27 Глава 4, §2, п.2 Найдите ошибки в записи многочлена в стандартном виде или докажите, что запись сделана верно: а) - а + - Ь'^ - Ь; в) тп^ - 4т^п^ + — 2тп + 7; б) Zx^y - ух^ + 4ху + Зд:; г) 2p^q’^ + - 5p^q + q^p + 2p - 2q - 1. Щ Найдите одно значение переменной, при котором значение многочлена равно А: а) 2дг^ - Зд: - 5, если А = 0; в) 4п^ - 8п^ + 7га - 2, если А = -2; б) -5//® - Зу^ + 18, если А = 10; г) -а* + 2а® - За® + 4а - 5, если А = -15. Приведите пример трехчлена с одной переменной х, значение которого: а) при X = 1 равно (-4); б) при х = -1 равно 12; в) при х = 0 равно (-3). Запишите ваш трехчлен в стандартном виде. Ш| Известны формулы суммы квадратов га первых натуральных чисел, а также суммы их кубов: 1® + 2® + 3® + ... + га® = |га® + |га® + |га; 1® + 2® + 3® + ... + га® = + |га® + Jra®. Найдите сумму квадратов и сумму кубов га первых натуральных чисел для: а) га= 10; б) га = 20; в) га = 30; г) га = 50. Щ Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) 4ху® - 9х®1/ - (буху - х • Зху • 4); 132 б) -{lababa - За • ЗаЬ • а) + (-11а®&+ (Заб)® • а); в) 5рв - (2р2)® + 7р® - р® • (2р®)® + Зр< - (2р)® • 2р; г) 8(гагга)® + llrai®ra® - Зтп • 2пт • 2га - тп • пт • тп - 2тп • 4/гага + 2(/гага)®. Докажите, что данные выражения можно преобразовать в двучлены. Запишите их в стандартном виде и определите их степень: а) 2аЬа - ^аЬ • 7а + 2Ь • (^аЬ); б) р® • (-0,2р®?) + 2pqq* + 2,2рр®?р; в) Зх®р® - Зх®у • (-2х®р®)х + 4х®р® + (-Зхр) ■ ху + 2х®р®; 2 . 4- 93 i 2 2 2 1 г) -«^^2 а®с® • уас® • (-2lac) + 2® • ас • ;|а''с® - 2с®а® • (-2а®сс). 133 Каким общим свойством обладают все полученные двучлены? Запишите выражение как многочлен стандартного вида. Какой из многочленов мог бы быть «лишним»? а) 2х - (ху + 2®) - X - 4хр - 4г® + (5г® - (12x1/ - х - 1)); б) X + (2хр - 2®) + 2х - 7ху + 52® - (42® + (оху + Зх + 1)); в) X + (ху - 2®) - 2х - Ъху + 42® - (32® - (11хр + X + 1)); г) -Зх - (2хр + 22®) + 6х + 14x1/ - 32® + (52® + (~Ьху -Зх + 1)). 28 rj.^Ba 4, §Л, п.2 Ф Дан многочлен а‘*6 - 2а^Ь^ + - ЗаЬ - 5. Подставьте вместо а и Ь указгшные выражения и запишите получившийся многочлен в стандартном виде: 1) а = X, Ь = у; 3) а = X, Ь = -у; 5) а = 2с^, Ь = -1; 2) а = -X, Ь = у; 4) а = -х, Ь = -у, 6) а = -т®, Ь = Какими многочленами можно заменить Л, В, С и D, чтобы указанные выражения стали многочленами степени ге? а) 15с^ - 17с - 14с - 13с® + 23с® + 7с® + А, если п = 2; б) 4aft® - 8Ь^а - ЬЬ^а^ + 4аЬ + 2а®6® - В, если п = 3; в) 25д:®1/® - 5л:®1/® + 4у^х* - 2р®л:® - 4ху'^ - С, если п = Ь; г) ЗОтй® - ISm^k - 5k*- 7mk + 9/n®fe® + D, если n = Ш Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний постройте отрицания и докажите истинность отрицаний: а) V 2 € Z: г® > 2; в) У п е N: 2п + I /! 2; б) Зл:е^:л;®-1-1<0; т) 3 а, Ь е Z: а + Ь = 11 и аЬ = 11. Сравните значения числовых выражений: ч ^ М. 51 “ 120’ ,.69 ^ 68 ^ 699’ ч 15 14 16 ^ 15’ 355 “ 356’ ч А 9 _5 36 ^ 8 ' 36’ ч тА 8 е) 7j;j^ и 7^,^ д, ж) 5,6 и 5,6 • 0,999; з) 0,75 • 1,01 и 0,75. Т381 Решите уравнение: а) 2(х - 3) ^ 5(х^~ 3) ^ б) 27 5(7х - 2) _ 9(2а: + 8) ^ 5л: + 1; в) 2| • (2л: + 9) + ^ • (5л: - 10) = | • (6л: - 5); г) J ■ (Зх - 1) - ^ • (6х -t- 5) = ^ ■ (4х + 1). Т39| Постройте математическую модель и решите задачу: а) Грибы при сушке теряют ^ своего веса. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить 4 кг сушеных? б) На конференции по экологическим проблемам развития общества основные доклады заняли ^ часть от общего времени конференпии. На обсуждение докладов потратили общего времени, на обсуждение новых направлений развития экологии - g общего времени. Оставшееся время было отведено на кофе-паузы. Сколько времени проходила конференция, если общая продолжительность кофе-пауз составила 2 часа? 29 Глава 4, §2, п.2 1401 На кофейную фабрику поставщики доставили груз зеленого кофе и сложили его во дворе фабрики. Так как на следующий день обещали дождь, то мешки с зеленым кофе нужно было перенести в складское помещение. Все грузчики были заняты, но трое из них - Алексей, Михаил и Владимир - согласились в свободное от остальных дел время выполнить эту работу. Первым пришел грузчик Алексей, он перенес g от общего количества поступившего кофе и ушел заниматься другими делами. Вторым пришел грузчик Михаил. Думая, что он пришел первым, он перенес ^ от оставшегося количества мешков и тоже ушел. Последним пришел Владимир, он перенес 8 мешков - третью часть оставшихся мешков и также ушел. Сколько мешков с зеленым кофе поступило от поставщиков в данной партии? ш Докажите, что: а) 8® + 2“ делится на 17; б) 9^ - делится на 20; а в) 25® - 5“ делится на 4; г) 16® + 2®^ делится на 33. 1421 Найдите ошибку в следующем рекламном объявлении: «Наша машина может теперь ездить, не заправляясь бензином. Научно-исследовательский отдел нашего завода получил три патента на изобретения. Первое изобретение дает 40% экономии топлива, второе - еще 35%, а третье - дополнительно к первым двум еще 25% экономии. И это подтверждено самыми серьезными экспертами. Итоговую экономию может посчитать любой школьник: 40% + 35% + 25% = 100%. О Покупайте наши машины - и вы забудете, что такое заправки. Вам больше не нужно будет тратить деньги на бензин». Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его степень: а) 2{х - Зу) - 3(г - 2у) -I- 2(4г - Злг); б) (бт^птп - 2т^ • 2тп • т) - (-5т*п -I- {2тпУ • т). ш Запишите выражение как двучлен стандартного вида и определите его степень. Каким общим свойством обладают полученные двучлены? 1) 4с - (2а®с - 5с^а) - с - За^с + 1с^а - (11с®а - (ба^с - Зс)); 2) -X + (4х®г/ - 2ifx) - Ъх - бх^у + 4у^х - (у^х + (-Зх^у - бд:))). Щ Сумма л первых натуральных чисел вычисляется по формуле: 1 + 2 + 3 + ... + п= + ^п. Найдите сумму п первых натуральных чисел для: а) п= 100; б) л= 200; в) л = 500. 146 Найдите одно значение переменной, при котором значение многочлена равно А: а) -р‘ -(- р® - 8р® + 12, если А = 2; б) Зт^ - 7лг® - 9т* -I- 5т® -I- 5, если А = 5. 30 .. Гг^ава 4, §2, п.2 0 Какими многочленами можно заменить соответственно А к В, чтобы указанные выражения стали многочленами степени п? а) 6а^ - 8а - 9а - 21а* + 14а® - 8а* + А, если л = 3; б) Ibxy"^ - 1х*у - 9х*у^ - 11ху + бх^у^ - В, если л = 5. Сравните значения числовых выражений: а) OU U I СлО ХО О ХО ТО Т1 О 01Л оол ко к з) 3,6 и 3,6 • 0,989. 17 18 , 25 26 3 7 33 ^ 37’ в) 24 и 25’ V, д) и 2 18’ 72 713 , 319 320 2 71 " 714’ 320 “ 321’ 4^2 ■ 3 Решите уравнение: . 5(х + 2) _ 6(х + 2) ^ а) ^ б) 2| • (2х - 1) 7 9 (4л: + 3) = • (Зх - 7). Постройте математическую модель и решите задачу: Рабочий день Антона и Ксюши, владельцев пончиковой компании, расписан следующим образом: решение производственных проблем на пончиковой фабрике занимает § всего рабочего дня, 4 рабочего дня отведена под переговоры с контр-у 12 ” агентами компании, ^ рабочего дня Антон и Ксюша решают текущие вопросы с сотрудниками офиса компании, а оставшееся время отведено на встречи с партнерами компании. Сколько времени длится рабочий день Антона и Ксюши, если встречи с партнерами компании длятся 1,5 часа? Докажите, что: а) 16^ - 2®® делится на 7; б) 81® - 3®* делится на 13. Выполните вычисления рациональным способом и расшифруйте фамилию автора высказывания «Для парусника, который не знает, куда плыть, ни один ветер не будет попутным». В каком веке и в какой стране он жил? [н] 6345 • 5 - 2269 • 25 484 • 11 - 1111 • 4 |Т| 1973 • 125 - 4865 • 25 Щ 203 • 197 - 201 • 199 Е 1002 • 998 - 1003 • 997 Ф 880 5 -25 000 5 -8 125 000 |153| в банановой республике прошли выборы в парламент. Все голосовавшие за партию «Мандарин» любят мандарины. Среди голосовавших за другие партии 90% не любят мандарины. Сколько процентов голосов набрала партия «Мандарин» на выборах, если ровно 46% голосовавших любят мандарины? 154| У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого барона-вассала ровно 9 баронов соседей, подданных короля? 31 Глава 4, §2, п.З 3. Сложение и вычитание многочленов Сущность математики не в формулах, а в тех процессах мышления, при помощи каких получаются формулы. Ермаков Василий Петрович (1845-1922), российский математик Многочлены часто являются математическими моделями практических задач, поэтому нам надо уметь выполнять арифметические действия с многочленами и приводить такие выражения к максимально простому виду. В данном пункте мы выясним, как складывать и вычитать многочлены. Фактически, мы это делать уже умеем. Например, составим сумму многочленов а^ - АаЬ + 6^ и -а^ + ЗаЬ и в полученной алгебраической сумме раскроем скобки: (а^ - 4аЬ + Ь^) + (-а^ + ЗаЬ) = а^ - 4аЬ + - а^ + ЗаЬ. Мы видим, что данная алгебраическая сумма также является многочленом. Аналогичным образом можно найти сумму любого количества многочленов. Таким образом, мы можем дать следующее определение суммы многочленов. Определение 1. Суммой многочленов называется многочлен, членами которого являются все члены многочленов слагаемых, взятых с их знаками. Мы умеем также упрощать алгебраические суммы, пользуясь законами арифметических действий. Так, в нашем примере, используя сначала переместительный закон сложения, а затем распределительный закон, получаем: ^ - 4а(? + Ь'^ - ^ Л- ЗаЬ = -аЬ + Ь^. Но количество многочленов-слагаемых и их членов может быть достаточно большим, и тогда поиск и приведение подобных членов может оказаться весьма затруднительным. Чтобы упростить вычисления, мы можем использовать идею «записи в столбик», аналогичную той, которую мы использовали при сложении и вычитании многозначных чисел. При сложении многозначных чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр, стоящих в одинаковых разрядах, а при сложении многочленов - близкого расположения подобных членов. Пример 1. Найдите сумму многочленов: -X* - 5х^ + 2х^ - X + 7, 4х^ - Зх - 8 и - 2х^ -I- 5х -г 3 Решение: Запишем многочлены «в столбик» так, чтобы подобные члены стояли один под другим. Затем сложим подобные члены и запишем результаты под чертой: - X + 7 + 4х^ - Зх -8 - 2/!с^ 4- 5д; + 3 -х^ + X + 2 Таким образом, результатом сложения исходных многочленов является многочлен -х^ + х + 2. 32 Глава 4, §2, п.З Мы видим, что для сложения многочленов таким способом является важным их представление в стандартном виде. В итоге мы приходим к следующему алгоритму сложения многочленов «в столбик». Алгоритм сложения многочленов «в столбик» 1. Записать многочлены в стандартном виде. 2. Записать многочлены «в столбик» так, чтобы подобные члены стояли под подобными (если они есть). 3. Сложить по «столбцам» подобные слагаемые и записать полученные результаты. 4. Записать итоговый многочлен. Обсудим теперь операцию вычитания многочленов. Мы знаем, что вычитание рационального числа можно заменить прибавлением противоположного числа. Аналогично мы можем поступить и при работе с многочленами. Определение 2. Многочлен называется противоположным исходному, если его сумма с исходным многочленом равна нулю. Другими словами, противоположный многочлен - это исходный многочлен, умноженный на -1. Значит, все знаки исходного многочлена меняются в нем на противоположные. Например, противоположным к многочлену -а^ + ЗаЬ будет многочлен -(-а^ + Sab) = - ЗаЬ. Теперь вычитание многочлена (-а^ -f- ЗаЬ) из многочлена (а^ - 4а6 + Ь^) мы можем свести к действию сложения, поменяв в многочлене-вычитаемом все знаки на противоположные: (а^ - 4аЬ + Ь'^) - (-а^ -ь ЗаЬ) = (а^ - 4а6 + Ь^) -I- [- (-а^ + ЗаЬ)). ,2 _ ЗаЬ Как и при сложении многочленов, мы вновь получим многочлен: (а^ - 4аЬ + Ь^) + (а^ - За&) = - 4^ + Ь^ + cfi - ЗаЬ = 2а^ - 7аЬ + Ь^ . Определение 3. Разностью многочленов называется многочлен, равный сумме уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому. Вычитание многочленов «в столбик» также сводится к сложению, предварительно лишь надо заменить многочлен-вычитаемое противоположным ему. Пример 2. Найдите, используя запись в столбик, разность многочленов: 2у* + - 4у^ - 5у + 3 VI -у' + у^ - Ъу^ + 3. Решение: Заменим многочлен-вычитаемое противоположным ему: у“^ - у^ + 5у^ - 3. Затем прибавим полученный многочлен к многочлену-уменьшаемому. 2у4 _ 4у2_ -I- У 4 _ У+5г/^ -X Зу* +у^ -5у Следовательно, результатом вычитания данных многочленов является многочлен Зу“* + у^~ Ъу. 2—Пйтепсон. 7 кл.. ч. 2 Глава 4, §2, п.З Итак, алгоритм вычитания многочленов «в столбик» отличается от соответствующего алгоритма сложения многочленов лишь тем, что в нем появляется один дополнительный шаг - замена многочлена-вычитаемого противоположным ему. Алгоритм вычитания многочленов «в столбик» 1. Записать многочлены в стандартном виде. 2. Заменить многочлен-вычитаемое противоположным ему. 3. Записать многочлены «в столбик» так, чтобы подобные члены стояли под подобными (если они есть). 4. Сложить по «столбцам» подобные слагаемые и записать полученные результаты. 5. Записать итоговый многочлен. О ш 1) Даны многочлены А = а^+а-ЗиВ = -а^ + 6. Составьте сумму А + В данных многочленов и запишите ее как многочлен стандартного вида. 2) Всегда ли сумма многочленов будет многочленом? Почему? 3) Предложите свой вариант определения суммы многочленов и сравните его с определением 1 на стр. 32. 1) Даны многочлены Р = 2х^ - 4х + 1 и Q = х'^ - вх. Составьте сумму Р + (-Q) и разность Р - Q данных многочленов. Как можно назвать многочлен (-Q)? 2) Запишите выражения Р -I- (-Q) и Р - Q как многочлены стандартного вида и сравните полученные результаты. Сделайте вывод. Можно ли распространить этот вывод на произвольные многочлены? Почему? 3) Основываясь на выполненных преобразованиях, предложите свой вариант определения разности многочленов и сравните его с определением 3 на стр. 33. Найдите сумму и разность многочленов А и В. Запишите результат как многочлен стандартного вида. Объясните, на основании каких правил равносильных преобразований вы действовгши? а) А = 5о -I- 3, б) А = 7х^ + Зл:, в) А = 8Ь'^ + 2Ь - 4, г) А = 11у - 12 - у\ д) А = 6 -ь тп + 2т^ -Ь 4га^, е) А = 32® - 4г® + 5г - 6, В = -За - 4; В = -2х - 1; В = 5 - ЗЬ - 96®; В = 14 - 12у -Ь I/®; В = 4 - тп - /п® - 4га®; В = 3 - 42 + 52® - б2®. ш 1) Даны многочлены А = х® - 2х* -I- х® - 4х® - 7х -f 2 и В = -х® + Зх* - х® -I- 5х® + 7х- 2. Используя идею сложения многозначных чисел «в столбик», предложите аналогичный способ сложения многочленов и найдите этим способом сумму А -1- В. 2) Сравните предложенный вами способ с тем, который рассмотрен при решении примера 1 на стр. 32. В каких случаях этот способ целесообразно применять? 3) Постройте алгоритм сложения многочленов «в столбик» и сравните его с вариантом алгоритма, приведенным на стр. 33. 34 .. Глава 4, §2, п.З 159| щ Тбз1 16^ Найдите сумму многочленов А + В, располагая слагаемые «в столбик», если: а) А = 2х^ + Зх - 4, В = Зх^ - Зд: - 1; б) А = 5 - lab + ЗЪ^ + 2а^, В = lab - 2 + а^; в) А = 6р2 + брд - (7 + 4д^), 5 = 8 + 3g2 - (Ър^ + бр?); г) А = Зт^ + 1т^п - 9п^т - (Ьт^п - 2т^), В = бп^т - (5т^ - п^т). 1) Дайте определение многочлена, противоположного данному. Сравните свой ответ с определением 2 на стр. 33. 2) Какие из приведенных многочленов являются противоположными? 2а - 5Ь + 3, 5Ь + 3 - 2а, -3 - 2а - ЪЬ, - 2а - 3 + ЪЬ. 3) Как найти многочлен, противоположный данному? Запишите произвольный трехчлен. Как записать противоположный ему многочлен? 1) Как свести вычитание многочленов к сложению? Какой шаг следует добавить в алгоритм сложения многочленов «в столбик», чтобы получить соответствующий алгоритм вычитания? Сравните свои ответы с приемами, использованными при решении примера 2 на стр. 33, и алгоритмом, приведенным на стр. 34. 2) Найдите разность многочленов Р - Q, располагая слагаемые «в столбик», если: а) Р = 5д:* + 2ху'^ + Зх, Q = 2х^ + Зху^ + 5х; б) Р = 9р^ - 1рд - 6д^ - 4р^, Q = 1р^ - Ърд - 4д^ - 2р^; в) Р = - (2п^ + 4) + 6/п^ - Зтп, Q = 5т^ - Зтп - 3 - п^; г) Р = 2а^ + ба^б - За^Ь^ - (аЬ^ + Ь% Q = 4а^Ь - {2а^Ь^ - 2а'‘) - Ь^а + Ь% Выполните действия, записывая «в столбик» многочлены-слагаемые (записанные в скобках) данной алгебраической суммы: а) {х + 2у + z) - (х - 2у - z) - (2у + z - х) + (х - 2у + z) - (х + 2у - z); б) (2а -I- ЗЬ - 4с -1- 5) - (2а - 3& + 4с + 5) -Н (2а - 3& + 4с - 5) - (36 - 4с - 2а - 5). Даны многочлены: М = 2х‘ -I- х^у - Зх^у^ + 4ху^ - у*, Вычислите: N = -Зх‘‘ + 2х^у + Ьх^у^ + &) М + N + К\ в) М - N - К; К = х^ - х^у - 2xV + 4x1/3 - 2у\ б) М - N + К; т) -М + N + К. Представьте данный трехчлен в виде суммы и разности двух двучленов: а) 6x3 _ ^ 2; б) -3i/3 - 5у + 2 в) -1а^ + 10а -f 3; г) -Ос^ -Н 2с - 1. Даны многочлены: Р, Q и R. Запишите в стандартном виде многочлен ЗР - 2Q + 4R, если: а) Р = 8а - (3 + 5а), б) Р = 15х - 2у - (14х + Зу), в) Р = jp - {2рд - д^), Q = 4а 4- 2 ч- (-а - 1), Q = 4х - Зу + (-х + 2у), Q = р^ ~ (~3рд - д^), Я = 0,6а - (1,1а - 2); R = х + 4у - 5 - (х - Зу + 2); R ^ - (jp - 2рд + д'^). 2* 35 Глава 4, §2, п.З Не меняя знаков, расставьте скобки так, чтобы ргшенство стало тождеством: а) 5а® - За® + 4 - 5а® - За® - 2 = 6; в) 5а® - За® + 4 - 5а® - За® - 2 = 2; б) 5а® - За® + 4 - 5а® - За® - 2 = -2; г) 5а® - За® + 4 - 5а® - За® - 2 = -6. Какие многочлены можно подставить вместо Л и Б, чтобы получилось тождество? а) А- (ЗаЬ + 4) = 2а® + 5аЬ + 7; б) (4х® + 6у®) - В = -х® + Зху - 2у\ 16^ Какие многочлены можно подставить вместо А, В, С и D, чтобы равенства стали тождествами? а) Зт* - 8пг® + 5т® - 4т - А = -2т® - 5т® - Зт‘* + 8т; б) -156® + 126" - 76® + 86 + В = 106® - 146® + 86" - 66; в) 1,2а® + 0,01а® - 1,24а - 0,35 + С = -2,34а + 1,03а® - 0,35 + 1,01а®; г) 8х* - 12х^у + 8xY + 57xj/® - 9у" - В = -«/" - 23х®у + 12x®i/® + 42хг/® + 2х\ Сформулируйте утверждение, равносильное данному, и запишите оба ут-верждения на математическом языке: а) Число а меньше или равно числу 9. д) Модуль числа х равен 7. б) Число 48 делится на с, е) Числа тип относятся как 2:3. 5 в) Число а на 12 больше числа 6. ж) Число с составляет ^ от числа d. г) Число л: в 3 раза меньше числа у. з) Число k составляет 35 % от числа t. И Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а а) _ . 7(а + 6) . 7. (а - 6)(а + 6) ■ (а - 6) а’ V (4m/i + 4п) . Ъп(8т + 8) 5(7т - 7л) ® (Зт - 2га) ■ (6т - 4гаХ^г - га) 14га ’ сч (с + d) , 3(2с + d) . 3(2с + d) . (р - 2д) _ 14р(Юр + 5q) . 7(6q - 12р) ^ {с - df {с + d) ■ (с + d)ic - d)' (2р + q) (14g - 7р)(2р^ ~ РЯ) ' 3 171| а) На складе лежит 112 ящиков с яблоками. Их средний вес нетто равен 12,5 кг. После того как на склад поступило еще 10 ящиков с яблоками, средний вес нетто ящика с яблоками стал равен 13 кг. Сколько кг яблок поступило на склад? б) Дистанция марафона 7,6 км идет на подъем; 22,3 км идет по ровной дороге, а остальные 12,295 км идет на спуск. Участник соревнований по марафону пробежал эту дистанцию за 2,5 часа. С какой средней скоростью он бежал? Ответ округлите с точностью до десятых. в) Расстояние от Москвы до Ярославля равно 266 км, от Ярославля до Перми -1177 км, от Перми до Омска равно 1268 км, от Омска до Красноярска - 1456 км, а от Красноярска до Владивостока - 4983 км. Поезд проехал по этому маршруту от Владивостока до Москвы за 7 суток и 15 часов. С какой средней скоростью ехал поезд? г) Средний возраст врачей и больных в больнице равен 40 лет. При этом средний возраст врачей равен 35 лет, а средний возраст больных - 50 лет. Кого больше, врачей или больных, и во сколько раз? 36 Глава п.З о Выполните действия: а) 3 км 256 м 9 см + 5 км 4215 м 97 см; г) 15 кг 7158 г - 1356 г + 7 ц 368 г; б) 21 м 583 дм 19 см - 18 м 14 дм 49 см; д) 6 га 19 а 78 м^ - 439 а 256 м^; в) 11 т 79 кг - 9 ц 5 кг + 8 т 11 ц 8953 кг; е) 7 дм^ 127 см^ + 4 а 329 дм^ 91 см^. Существует ли такое целое число, которое: а) при делении на 12 дает остаток 11, а при делении на 18 остаток 1; б) при делении на 9 дает остаток 7, а при делении на 27 остаток 13? |Т^ Запишите А + В, А-ВиВ-А как многочлены в стандартном виде, если: а) А = 4 - 2ху + 5х'^ - Зу^, В - 4х‘^ - Зху + 2у^ - 2; Даны многочлены: Р = Зр^ - p^q + 4pq^ - 5q^ + 1, Q = -2p^ + 6p^q - 3pq^ + 2q^ + 3, R = -p® + 2p^q + pq^ - 4q^ - 5. 6) A = 3a2 - 5a5 - (b^ - 2), В = 5a^ + 7a6 + 1 - 3b'\ Вычислите: а) P + Q + R; б) P-Q- R. Даны многочлены: К, М и N. Запишите в стандартном виде многочлен К - М + 2N, если: К = 6а - Зс - (2а + Зс), М = За - 4с + (2о - с), АГ = За + 4с - 3 - (2а + Зс - 3). Какими многочленами можно заменить А и В, чтобы равенства стали тождествами? а) 5с^ - 9с* + Зс* - 5с* + 4с + 12 - А = -Зс® - 7с'* + 9с* + 4с* + 7с; б) 3/п* - 7т*я - 5m*n* - 4mn* - 6n“ + В = -9л‘* + 117п*а - 6m*n* - 14mn* + 3m*. Упростите выражение при допустимых значениях переменных: 2х . 4(4х + Зу) , 2(4х + За)*. а) б) (5х - 2у)(3у + 4х) ' (5х - 2у) (2а - Зс) 2с(14с + 21а) 2(6с - 5а) (За + 2с) ■ (6с - 4а)(6с* - 5ас) ‘ 7 ш а) Антон и Ксюша, владельцы пончиковой компании, решили посетить все свои филиалы. Расстояние от первого филиала до второго равно 585 км, от второго до третьего - 916 км, от третьего до четвертого - 1154 км, от четвертого до пятого - 517 км, а от пятого до шестого - 2516 км. Антон с Ксюшей решили посетить все филиалы по очереди с первого по пятый. Они рассчитали, что на дорогу им потребуется 72 часа. С какой средней скоростью они предполагали передвигаться? б) Средний возраст сотрудников пончиковой компании Антона и Ксюши равен 30 годам. При этом средний возраст офисных работников - 26 лет, а средний возраст сотрудников на производстве - 35 лет. Чему равно отношение числа офисных работников пончиковой компании к числу работников на производстве? 37 Глава 4, §2, п.4 Ш Выполните действия: а) 15 км 373 м 12 дм 26 см - 12 368 м 17 дм 476 см; б) 16 га 128 а 15 м^ 14 дм^ 27 см^ + 271 а 8480 дм^ 573 см^; в) 14 т 5 ц 798 кг + 99 ц 765 кг - 23 т 25 ц 438 кг. Существует ли такое целое число, которое: а) при делении на 15 дает остаток 12, а при делении на 30 остаток 2; б) при делении на 21 дает остаток 18, а при делении на 42 остаток 32? 1183 Четыре мотоциклиста одновременно стартовали в одном направлении в гонке по кольцевой дороге. В некоторый момент времени все мотоциклисты поравнялись друг с другом. Известно, что до этого момента первый обогнал второго 1 раз, второй обогнал третьего 3 раза, а третий обогнал четвертого 2 раза. Сколько раз до этого момента первый обогнал четвертого? В ряд стоят 100 фишек. Разрешается менять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли таким способом переставить все фишки в обратном порядке? 4. Умножение одночлена на многочлен Для математика вычислять -это значит рассуждать. Анри Леон Лебег (1875-1941), французский математик Научившись складывать и вычитать многочлены, мы можем теперь перейти к изучению умножения многочленов. Сначала научимся умножать одночлен на многочлен (или многочлен на одночлен, что ввиду переместительного закона умножения то же самое). Умножим, например, одночлен 4с на многочлен а -ь 2Ь. Запишем их произведение и, воспользовавшись распределительным законом умножения, раскроем скобки: 4с • (а -Ь 26) = 4с • а -I- 4с • 26 = 4ас + 8Ьс Мы видим, что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом, так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен, а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен. Определение. Произведением одноч^лена и многочлена называется многочлен, равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. Из данного определения непосредственно следует правило: Чтобы умножить одночлен на многочлен, можно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. 38 Глава 4, §2, п,4 Иногда запись умножения одночлена на многочлен удобно вести «в столбик»: -4х^ X Следовательно, 2х^ + X - 3 -4х\2х^ + ж - 3) = -8х® - 4х^ + 12х^. - 4х^ + 12х^ Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач, то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей, при нахождении значений выражений, решении уравнений и неравенств. Задача. На плане садового товарищества заштрихован дачный участок семьи Васильевых. Найдите площадь этого дачного участка, если известно, что изображение выполнено в масштабе 1 : 200 и 0 см < с < 10 см, 6 = 5 см, с = 3 см. а н- 26 Решение: Из условия задачи следует, что для существования данной фигуры необходимо, чтобы а, 6, с были положительными числами и выполнялось неравенство 2а < а -I- 26. Если эти условия выполняются, то площадь заштрихованной фигуры равна: S = 4с • (а -f 26) - 2с • 2а. Таким образом, математическая модель к данной задаче может быть записана следующим образом: S = 4с • (а -Ь 26) - 2с • 2а -а>0, 6>0, с>0 ----------► S = ? ,2а < а -ь 26 Пользуясь правилом умножения одночлена на многочлен, упростим выражение для нахождения площади фигуры: S = 4с • (а -Ь 26) - 2с • 2а = 4ас + 86с - 4ас = 86с. Теперь вычислим значение площади при 0 < а < 10, 6 = 5, с = 3 (см). Но прежде убедимся, что при данных значениях переменных указанная фигура существует. Мы видим, что заданные значения а, 6 и с удовлетворяют условию а > 0, 6 > 0, с > 0. Чтобы проверить выполнение неравенства 2а < а -Ь 26, упростим его, вычитая из правой и левой его части одно и то же число а: 2а < а + 26 о а < 26. И поскольку нам дано, что а < 10, а 26 = 10, то требование а < 26 также выполнено. Значит, при указанных значениях переменных фигура существует. 39 Глава 4, §2, п.4 Вычислим ее площадь на плане: S = 8 • 5 • 3 = 120 (см2). Так как изображение выполнено в масштабе 1 : 200, то реальная площадь дачного участка равна S = 120 • 200 • 200 см2 = 480 м2 = 4 а 80 м2. Ответ: 4 а 80 м2. Заметим, что проведенные преобразования выражения для площади позволили не только упростить вычисления, но и в принципе решить эту задачу, поскольку значение переменной а в условии не дано. А значит, мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с • (а -Ь 2Ь) - 2с • 2а прямой подстановкой в него значений переменных. При построении математических моделей практических задач, конечно же, могут получаться и более сложные выражения, уравнения и неравенства, где применение установленных нами правил упрощает преобразования. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Найдите значение выражения 2х(х - 3) - х%5 - х) - (л:^ - Sx^ + 6л:) при X = -2д. j I Решение: I Вначале упростим данное выр£1жение, проведя равносильные преобразования. I Для этого раскроем скобки, используя правило умножения одночлена на многочлен, I а затем в полученной алгебраической сумме приведем подобные слагаемые: : 2х{х - 3) - л;2(5 - X) - (х» - 3x2 + бх) = ^2 _ ^ _ ^2 + 3^2 - 6х = 1 = (^- 5 +^х2 + (-6 - 6)х = -12х. I о ^^^12^ ! Мы видим, что исходное выражение сильно упростилось. Теперь подставим в I него указанное значение переменной х: если X = -2д, то -12х = -12 • (-2^) = 12 Пример 2. Решите уравнение: = 19.1= \ 7 ^ 28. х(5х - 4) _ 2x2 ц. 5 ^ X + 4 15 6 2 * Решение: Умножим обе части данного уравнения на число 30 - наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей: 30 х(5х -4)-^ _ (2x2 + 5) • 3^ ^ (х -Ь 4) • 3^ VS Ж Z 1 1 1 2х(5х - 4) - 5(2x2 + 5) = -15(х + 4) 40 Глава 4, §2, п.4 Теперь раскроем скобки, выполняя умножение одночлена на многочлен, затем приведем подобные слагаемые и найдем корень уравнения: - 25 = -15х -8х + 15х = 25-60 7х = -35 X = -5 Ответ: {-5}. О Найдите произведение одночленов и запишите его как одночлен стандартного вида: а) (-2л:)2; 8х^- ^х^; б) (-0,5р«)^; (-Sp^f; (|р)'; в) (-Заб^); {-ЪЬаУх 1) Запишите произведение одночлена (-2а5) и многочлена (о^ - 4). Выполните умножение и запишите полученный многочлен-произведение в стандартном виде. Какими законами арифметических действий вы пользовались, проводя преобразования? 2) Всегда ли при умножении одночлена на многочлен будет получаться многочлен? Почему? 3) Основываясь на выполненных преобразованиях, предложите свой вариант определения произведения одночлена и многочлена и соответствуюш;его правила. Сравните построенное вами определение и правило с определением и правилом на стр. 38. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (6т^ - Зт + 2n)|-^/ra^j; js) т • {т + п) - 2т • (т - п); б) -0,Ъх\2х^ + &х- 4); е) Зх ■ (Зс - d) - 2с • (5х - d); в) 2а(а - Ь) - а(а - 2Ь)\ ж) Зр • (р + 4q) - 4q • (Зр - q); г) - х(х^ - 5) + х^{х - 1); 3) -2а • (55 - а) + 55 • (6 + 2а). Упростите выражение: а) (2х - 6у + 6) ■ (-х) -t- 2у - (-Зх + 4у - 8) - 8у(у - 2); б) За • (2аЗ -f 5а^ - а) - 7а^ • (а^ - (1 - 2а)) - а^(а -f 4); в) (Зр2 - (5р -Ь 3)) • (-Р) + (-р2 + (р+1))- (-2р) + р2(р - 3); г) (-4а^ - 6а - 8) • ’ (-8а^ - 16а - 32) -I- а(а + I Докажите тождество: а) 2 -Ь (т - n)k + (п - k)m + (k - т)п -f- 2 = 4; б) х{х + у + г) - х{х - у + z) + у(у - X - z) - у{у + X - г) = 0; в) р(р -f 2(q - г)) -h q{q - 2(р - г)) -t- r(r -Ь 2(р - q)) == р^ + q^ + г) 2а(5с -I- dip - с)) - 25(са - d{c - а)) - 2с(а5 - d(a - 5)) = -2аЬс. 41 Глава 4, §2, п.4 1891 Составьте выражение для вычисления указанных величин и запишите его как многочлен стандартного вида: а) площадь прямоугольника, ширина которого равна {т + п) м, а длина равна 2k м; б) объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 5а дм, ширина ~ 36 дм, а высота — (а -ь Ь) дм; 2 в) путь, пройденный за (т ч- п) часов со скоростью дР км/ч; г) работа, выполненная с производительностью Зле деталей в минуту за время {х -t- у) минут. [1^ Решите уравнение: а) 5х(3х - 2) + 2(х - 3) - Зх{4х + 4) = Зх^ + 14; б) 4а(1 - За + а^) - 2а(5 - Аа + 2а^) + 2а(2а - 5) = - 8; в) Зу(2у - 1) - 5у(3 -у)- 6у(3у - 4) = - 4у(у + 2) - Зу(у -1) + 22; г) 86(7 - 46) - 76(1 - 46) + 56(86 - 1) = -45 -t- 36(26 + 1) + 56(66 + 7). т Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: а) За(4 - 2а + За^) - 5а(5 - 2а -1- За^) + 2а(3а^ - 2а + 3) при а = -5; Указание: сделайте замену t = 4 - 2а + За^ и преобразуйте выражение. б) 4х(6х^ -t- 9х - 27) - 24х(6х^ -t- 9х - 29) -f 20х(9х - 25 + 6х^) при х = 2; в) (76» - 962+ 17)9^, + 5^(7^,з _ 9^2 + 22) - 146(76* - 96*+ 12) при 6 = -3; г) 2i/(16 - 7р* + 5t/) + (26 - 7у* + Ъу)Ъу - 7у(6 - 7г/* + Ъу) при у = 4. Решите уравнение: 5х - 4 16х + 1 а) г) 4f + 33 П + t б) в) 1 - 9у ^ 19 + Зи 5-2 8 18 - 52 Д) 1 21 2х - 5 14 ’ 3-х , Зу + 12 _ g _ 5у - 29 е) 4 6 g . 8 12 ’ ш а) На первом складе была 21 тонна сахара, а на втором - 18 тонн. В течение нескольких дней на первый склад ежедневно привозили 9 тонн сахара, а на второй - 12 тонн. После этого сахар стали отгружать клиентам: ежедневно по 5 тонн с первого склада и по 10 тонн со второго склада. Сколько дней завозили сахар на эти склады, если весь сахар с первого склада отгрузили за срок, на 6 дней превышающий отгрузки всего сахара со второго склада? б) Остаток денежных средств в кассе первого магазина в 3 раза больше, чем во втором магазине. После того как из кассы первого магазина взяли 20 тыс. р., а в кассу второго магазина, наоборот, доложили 20 тыс. р., оказалось, что ко- 5 личество денег в кассе второго магазина стало равно ^ от суммы денег в кассе первого магазина. Сколько денег стало в кассе второго магазина? 42 Глава 4, §2, п.4 Ш1 Даны многочлены Р w. Q. Запишите в стандартном виде многочлен 2хР - 3yQ, используя способ умножения и вычитания «в столбик»: а) Р = Зх^ - Зху + б) Р = х^ + Зх^у - 9ху‘‘‘ , в) Р = у^~ Зу^ + 6у^ + Зу + 2, г) Р = бху^ - 12х^у + Зх^у^ + 9у^, Q = -2х^ + 4ху + 2у^; Q = 2х^ - бх^у + J/3; Q = 4х + 4ху - 2ху^ + ху^ Q = 4х^у - бху + 2х‘*у - 8х^. Какими многочленами нужно заменить А и В, чтобы равенства были верными? а) (Sc-* - 8с^Ь + 2Ь‘^с^ - 4сЬ^ - Ь*) • А = ЗсЬ* - 15с® - бЬ^с^ + 24с^Ь + 12с^ЬН б) В - 2аЬ = 2а®Ь + ба^Ь^ - 10а*б® - 12а2&" - 2а6®. E22I 196 Запишите высказывание на математическом языке и постройте обратное к нему высказывание. Определите истинность высказываний. Для ложных высказываний постройте их отрицания: а) Если рациональные числа равны, то равны и квадраты этих чисел. б) Если рациональные числа равны, то равны и кубы этих чисел. в) Если модули двух рациональных чисел равны, то равны и сами числа. г) Все натуральные числа положительные. д) Два рациональных числа противоположные, если их сумма равна нулю. е) Если произведение двух рациональных чисел равно 1, то эти числа взаимно обратные. ж) Сумма двух отрицательных рациональных чисел отрицательна. з) Если произведение двух рациональных чисел равно О, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю. а) Инвестор вложил свои сбережения на три года в инвестиционные фонды А и В. В инвестиционный фонд А он поместил 12 000 р. под 10% годовых, а в инвестиционный фонд В - 10 000 под 12% годовых. В каком из фондов инвестор заработает больше денег и на сколько? б) Какую сумму денежных средств нужно инвестировать в развитие производства, чтобы получить через 3 года доход в размере 227,5 тыс. р., если рентабельность инвестиций (то есть ежегодный доход) по данной инвестиции составляет 20% ? в) Выручка компании за последние 4 года ежегодно увеличивалась на 10%. Определите, на сколько процентов увеличилась годовая выручка компании за эти 4 года? г) По одному из видов вкладов коммерческий банк выплачивает доход, исходя из следующих годовых процентных ставок, зависящих от срока размещения денежных средств: 3 месяца - 12%, 6 месяцев - 13%, 9 месяцев - 14%, 12 месяцев - 15%. Какую сумму получит вкладчик, разместивший на депозите 10 000 р., через: 1) 3 месяца; 2) 6 месяцев; 3) 9 месяцев; 4) 12 месяцев? 43 Глава 4, §2, n.4 1981 Множества А, В п С заданы перечислением их элементов: А = {-3; -2; -1; 1}; В = {-9; -3; 1; 4}; С = {-9; -2; 1; 3}. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А П В; в) В и С; д) (А U В) П С; ж) В П С П А; б) А и В; г) А П С; е) В U (А П С); з) А U В U С. Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и объединение: а) А = {а: а = 3 (mod 4); -5 < а < 8}; б) А = {а: о = 2 (mod 7); -5 < а < 11}; ___ В = {ft: 6 = 2 (mod 5); -4 < ft < 9}; В = (ft: ft = 1 (mod 8); -9 < ft < 12). 200! Какой цифрой оканчивается число: а) ЗЗЗЗ^^'*^; б) 7777^^^; в) 123^^^+ 456в5‘‘; г) 125®»» + 521ввв? О Упростите выражение: а) 2х(3у - х) - у(у + 6х) -I- Зх^; б) p(3q - р) - q(p + 2q) - 2(р^ - q^ + qp). [20^ Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) -2т • {т* 6т^ - Зт^) - (-4т^) • (2т® -Ь Зт® - 4т); б) (-4ft® + 2ft - 3) • (-2ft®) + (- 2ft® -I- 3ft® 2ft) • (-3ft). Составьте выражение для вычисления: а) стоимости покупки 2о + Зс книг по цене 5ft р. за штуку; б) количества жильцов в доме, в котором 2х + у квартир, а количество жильцов в каждой квартире равно Зг. Запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида. Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: а) ЗаЬ • (4а® - 7аЬ + 2ft®) - 4aft • (За® - 4aft -i- 2ft®) при a = 1, ft = -1; б) 2cd • (3dc® - 2c® -t- 4dc - 3cd®) - 3c®d • (2cd - c + 3d - 2d®) при c = -1, d = 1. Ш Решите уравнение: а) Злг(4х +6дг®) - 2x(3 + 5x + 9jc®) - 2x(x - 4) = - 8; б) 22(32 - 2) - 42(5 - 2z) + 32(22 - 7) = 7z(2z - 3) + 2z(3z - 2) + 10; b) X + \7 3x - 7 = -2; r) J - 2 2x + 1 10 - 7. 2061 Даны многочлены P и Q. Запишите в стандартном виде многочлен 2хР - yQ, используя способ умножения и вычитания «в столбик»: а) Р = -X® - 4:ху -I- 2у®, Q = -8х® 4- Аху - 2t/®; б) Р = 2х^у - 2x1/® + Ау^ - 8у, Q = 4х® - 4х®у® + 8ху - 10х. 207] Какими многочленами нужно заменить А и В, чтобы равенства были верными? а) (З2® - 5zH + 32®i® - 52^® - t*) • А = 2t^ - 8zH -f 102®^® - 62®i® + 102f®; б) В • (-3m®) = 12m®ra® -I- 15m®n® - 21m^n -i- 30m®n® - 15m®n®. 44 _______________________________________________________Глава 4, §2, п.4 Владельцы пончиковой компании Антон и Ксюша решили взять кредит в банке для инвестиционного проекта, связанного со строительством новой пончиковой фабрики в Подмосковье. Коммерческий банк готов предоставить им кредит в размере 15 млн. р. на срок 5 лет, с годовой процентной ставкой, равной 12%, начисляемой ежегодно на первоначальную сумму кредита. Известно, что рентабельность инвестиций по этому проекту (то есть ежегодный доход) без учета выплат процентов по кредиту составляет 10% годовых. Получат ли Антон с Ксюшей по истечении 5 лет прибыль по этому проекту, если вложат в проект только кредитные деньги, и если да, то в каком размере? Результат округлите до десятых миллионов рублей. В баке первого автомобиля было в 2 раза больше бензина, чем в баке второго. Перед тем как отправиться в дорогу, владелец первого автомобиля вынужден был израсходовать 10 л бензина, а владелец второго автомобиля, наоборот, долил в бак 15 л бензина. Расход бензина в первом автомобиле 12 литров на 100 км, а во втором - 8 л на 100 км. Сколько литров бензина было первоначально в баке первого автомобиля, если после того, как автовладельцы отправились в дорогу, первый проехал на этом запасе бензина на 150 км меньше, чем второй? Множества А, Б и С заданы перечислением их элементов: А = {-9; -8; -6; 6}; В = {-9; -6; 4; 5}; С = {-9; -7; 4; 6}. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А П Б; б) Б и С; в) (А и Б) П С; г) Б П С П А. Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и Б. Найдите их пересечение и объединение. А = {а: а = 4 (mod 5); -6 < а < 10}; В = {Ь: Ь = Ъ (mod 6); -3 < Ь < 9}. Какой цифрой оканчивается число: а) 727^^^; б) 321*^®+ 654'*®®? 213| Расположите ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и вы узнаете название быстроходной гребной шлюпки, которое происходит от английского словосочетания «китобойное судно». е (3,7 - I) + 6,3 - 2,4 + (I - 3,б) [Т| (l| - 6,03) - (-4,14 - 2^ - 6,03) - 4,8 0 13,5 - (4| • 2,6 - з| • 2,б) : 3^ 2,7 ■ 0,625 ■ 7i ■ (-^) • li Л в о 1,6 + (-2| + 3,4) - I 5| - 6,3 - (5,7 -Ь з|) 42,5 : 1,7 - 3,4 : ^ [2Ы| Властелин колец ждет, когда каждый из 30 его вассалов, как и в предшествующие годы, преподнесет ему по 30 золотых монет. Но властелин колец знает, что один из них постоянно пытается хитрить и вместо монет по 10 г вручает ему монеты по 9 г. Как с помощью всего лишь одного взвешивания можно обнаружить вассала-хитреца, если тот опять осмелится обмануть своего повелителя? 45 Глава 4, §2, п.5 215У Профессор Спейс пообещал Драко открыть великую тайну, если тот составит чудесный квадрат размером 3 на 3 из чисел 1, О, -1 так, чтобы все суммы по строкам, столбцам и большим диагоналям были различны. Сможет ли Драко выполнить задание профессора? 5. Умножение многочлена на многочлен Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, -что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646-1716), немецкий математик и философ Правило умножения одночлена на многочлен, установленное в предыдущем пункте, позволяет перейти к выводу правила умножения многочленов. Для этого рассмотрим простейший случай умножения многочленов: (а + Ь)(с + d). Обозначим двучлен а + Ь какой-либо буквой, например буквой х, и в полученном произведении х(с + d) раскроем скобки: (а 4- Ь)(с + d) = х(с + d) = хс + xd. Затем в выражении х{с + d) = хс + xd сделаем обратную замену д: на а -f- 6 и вновь раскроем скобки: хс + xd = {а + Ь)с -ь (а -I- b)d = ас + be + ad + bd = ас + ad + be + bd. Итак: (a + b){c + d) = ac + ad + be + bd. Мы видим, что в результате умножения наших двучленов мы получили многочлен. Данное утверждение можно доказать и в общем случае. Действительно, умножая многочлены, мы умножаем все члены одного многочлена на все члены другого, а затем их складываем. При умножении одночленов мы вновь получаем одночлены, а их сумма, по определению, является многочленом. Итак, мы приходим к следующему определению произведения двух многочленов. Определение. Произведением двух многочленов называется многочлен, равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена. На практике при вычислениях удобно пользоваться правилом, которое непосредственно следует из данного определения: Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. 46 Глава 4, §2, л.5 Данное правило для разобранного нами случая можно проиллюстрировать с помощью прямоугольника на рис. 1. Площадь данного прямоугольника, с одной стороны, равна произведению длин его сторон (а -Ь Ь)(с + d), а с другой - сумме площадей составляющих его прямоугольников, то есть ас + ad + Ьс + bd. а ас be ad bd d Рис. 1 Умножение многочлена на многочлен также можно записывать «в столбик»: -I- 2л: -I- 1 - 2л: -Ь 1 -f- 2х^ + 2х^ - 4х^ -Ь 2л’ - 2л: -Ь 1 - умножили х^ на л:^ - 2х -I- 1 - умножили 2л: на л:^ - 2л: -t- 1 - умножили 1 на л:^ - 2х -Ь 1 - 2х^ + 1 Следовательно, (х^ + 2х + 1)(х^ - 2х -I- 1) = х‘ - 2х^ + 1. Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений, при нахождении значений выражений, решении уравнений и неравенств, доказательстве тождеств. А все это в конечном итоге помогает решать многие практические задачи. Построим, например, математическую модель для следующей задачи. Задача. Путь из пункта А в пункт В велосипедист проехал со скоростью v км/ч за i ч. А из пункта В в пункт С он ехал на 2 ч дольше, при этом его скорость была на 5 км/ч больше, чем по дороге из А в В. На сколько километров путь от А до В короче, чем от В до С? Решение: Путь от А до В равен vt км, при этом u>0Hf>0. А путь от В до С равен (у 4- b){t + 2) км. Разница D между этими путями равна (у 4- 5)(f + 2) - vt км. Значит, математическая модель нашей задачи имеет вид: -► В = ? В = (у 4- 5){t + 2) - vt .у > 0; # > О Упростим полученное для В выражение, используя правило умножения многочленов: В = (у 4- 5)(^ + 2) - vt = vt + 2v + 5t + 10 - vt = 2v + bt 10. Таким образом, математическая модель нашей задачи построена. Итак, теперь мы знаем, как найти произведение двух многочленов. А как найти произведение трех или более многочленов? В этом случае следует сначала умножить первый многочлен на второй, затем полученное произведение умножить на третий многочлен и т.д. до тех пор, пока не будет выполнено умножение на последний многочлен. Чтобы проще было проводить вычисления, многочлен, получающийся на каждом шаге вычислений, лучше приводить к стандартному виду. 47 Глава 4, §2, п.5 Пример. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: (а - Ь)(а + Ь)(а^ + Ь^)(а* + Ь^). Решение: Будем последовательно выполнять умножение многочленов слева направо. Полученные промежуточные многочлены будем приводить к стандартному виду: (с - Ь){а + Ь)(а^ + Ь^)(а'‘ + Ь*) = (а^ + 0 - - Ь^)(а^ + Ь^)(а* -I- Ь*) = '-----у------' = (с2 - Ь2)(о2 + ^,2)(д4 + ^,4) = (д4 + ^2 _ ^2 _ ^,4)(д4 + ^4) = О = (а* - b'^)(a* + 6'*) = Итак, (а - Ь)(а + Ь){а^ -I- -Ь Ь'*) = а» - Ь». Щ Раскройте скобки и запишите результат как многочлен стандартного вида: а) 7i/(i/ - 3); б) -8а^Ь(а2 + 2аЬ - 36^); в) -2т%-4т^ + - 9т -I- 3). 1) Сравните выражения: (а -I- &)(с + d) и х{с + d) Что в них обш;его? Чем они отличаются? Как можно записать в виде многочлена первое произведение, используя результат раскрытия скобок во втором? 2) На основе выполненных преобразований предложите свое определение для произведения многочленов и соответствующее правило. Сравните полученное вами определение и правило с определением и правилом на стр. 46. Вычислите произведение многочленов: а) (а + 3)(а + 2); д) (2т - Зп){т - п); б) (х - 2)(х - 5); е) (5р - 2q)(p -Н д); в) {2у -i- 3)(4г/ - 5); ж) (7а -I- 86)(3а - 4Ь); г) (2 - 56)(4& -Ь 3); 3) (9х - 2у)(3у - 2х); Как короче можно записать последнее выражение? и) (дс^ - 2х)(х -ь 3); к) (02 -Н 62)(3а2 - &2). л) (5р2 - pq){5p^ + pq); м) (2а& - ЗЬ‘^)(2аЬ - ЗЬ^). Запишите выражение как многочлен стандартного вида, используя умножение «в столбик»: а) (т - п)(т^ + тп + п^); б) (т -f- n)(m^ - тп + п^); в) (а - Ь)(а^ + аЬ^ -Ь а^Ь + Ь^); г) (а - b)(a‘^ аЬ^ + а^Ь^ + а^Ь + b‘^); Вычислите произведение многочленов: д) (р2 + р + 1)(3р2 - 2р - 1); е) i5q^ -I- 8g -Ь l)(q^ - 2q 3); ж) (а^ -ь 2аЬ + 2Ь^){а^ - 2аЬ + Ь^); з) (х^ - 2ху + Ъу^){х^ -Ь 2ху - у^). а) (х + 3f; б) (4 - уГ; в) (2 - 5а)2; г) (36 - 4)2; д) р2(р _ 3)(р + 2); е) 4q\l - q)(q -t- 6); ж) 2cd(2c - d){d + 2c); з) -5m*n\m^ - l)(n -f 1); И) (c - 2)(c - 3)(c - 4); к) (2d +l)(2d - l)(4d2 + 1); л) (a + 6)2; M) (X - yf. 48 Глава 4, §2, п,5 2Щ Постройте математическую модель задачи: а) На парусной регате одна из яхт стартовала со скоростью а км/ч и плыла с этой скоростью t часов. Оставшееся время она плыла со скоростью на 7 км/ч большей. Сколько км проплыла эта яхта, если на прохождение дистанции она затратила 2^ + 3 часа? б) В течение рабочей смены маленькие жарочные печи кофейной фабрики работают по X часов, а каждая из больших - на 2 часа больше. Сколько килограммов кофе обжаривает за рабочую смену эта кофейная фабрика, если производительность маленькой печи у кг в час, производительность большой печи на 300 кг в час больше и на фабрике 5 маленьких печей и 3 большие? Запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида. Решите уравнение: а) {q + 1)2 = у2 + 9; в) (4р - 2)(3р - 1) - 3(3 - р) - 12р^ = 21; б) (у - 2)2 = у2 - 3(у + 2); г) (5г - 1)(3г + 2)- 2г(5г - 4) = 43 -I- 5z\ Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: 17 а) (х - 3)(х -f- 4) - (х -ь 6)(х - 5) при х = 5^; 19 б) (у + 6)(2 - у) - (9 -I- у)(5 - у) при у = -3^; в) (о2 -Ь 4а -I- 4)(а - 2) - (о^ - 4а -Н 4)(а + 2) при а = 5^; г) 2(&2 - 2)(&2 + 2) - (&2 + 2)2 - (ft2 - 2)2 при Ь = -7Ц. Решите уравнение: а) (х - 1)2 - (X -I- 1)2 = {х + 3)(х - 3) - х2 - 3; б) (У - 6)2 + (у - 4)2 -Ь 9 = (6у - 2)(11у - 1) - (8у - 3)2. Докажите тождество: а) (х2 + у2)(г2 + <2) = (х2 - yty + {yz + xf)2; б) (а + Ь)(а^ - аЬ + Ь^) - (а - Ь)(а^ + аЬ + Ь^) = 2Ь\ Решите уравнение: а) (а2 -I- За 4)(а2 + За -Ь 5) - (а2 + За + 6)(а2 + За + 7) = -22; Указание: сначала сделайте замену < = а2 -f За -I- 4 и преобразуйте выражение. б) (х2 + 5х - 3)(х2 -Ь 5х + 3) - (х2 -t- 5х + 4)(х2 + 5х - 4) = 7; в) (5 - Зу + 2у2)(4 -Зу+ 2у2) - (3 - Зу -f- 2у2)(2 - Зу + 2у2) = 14; г) (2 - 36 - 5&2)(2 + 36 + 562) _ (5 _ з;, _ 5^,2)(5 + + 5^,2) = _21. Даны многочлены Р, Q и R. Запишите многочлен PQR в стандартном виде: а) Р = 4x2 + Sx + 2, Q = 4x2 - 3^ + 2, R = х^ - 1; б) Р = а* + а^ + 1, Q = а"* -I- 1, R = а* - а^. 49 Глава 4, §2, n.5 230 а 233) 22^ Определите правильность логического вывода, используя диаграммы Эйлера-Венна: а) Если некоторые отрицательные числа рациональные, то некоторые рациональные числа - отрицательные. б) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный, то ни одно отрицательное число - не квадрат. в) Если все решения уравнения = 1 являются элементгши множества {-1; 0; 1} и некоторые элементы множества {-1; 0; 1} - нечетные числа, значит, некоторые решения уравнения x^ = 1 - нечетные числа. г) Если все элементы множества {-4; 0; 4} - четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5, значит, все четные числа не кратны 5. Изобразите на координатной прямой Ох множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) X > 3; в) -6 < X < 4; д) 5 < х < 9; ж) | х | > 2; б) X > -5; г) -3 < X < 5; е) 1 х | < 6; з) | х - 7 | < 3. Изобразите на координатной плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) X > 2; в) -5 < X < 7; д) 4 < х < 7; ж) | у | > 4; б) у < -4; г) -2 < у < 5; е) | х | < 3; з) | х - 5 1 < 2. а) Из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 80 км/ч выехал автомобилист, а через 1 час вслед за ним со скоростью 90 км/ч выехал второй автомобилист, который догнал первого по прибытии в Москву. Чему равно расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом? б) Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вместе с ним из В навстречу ему выехал мотоциклист. Через час оказалось, что велосипедист находится точно посередине между А и мотоциклистом. А еще через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста? Докажите, что какими бы ни были целые числа а и с, одно из чисел: о, с, а -f с, а - с, 2а + с, 2а - с делится на 5. |23^ Вычислите произведение многочленов: а) (2а -I- 5&)(5а - 2Ь); в) (у -I- 2х)(у - Зх); д) (х + 4У; б) (2 - у)(у + 2); г) {Зр + 5q)(2p - 7q); е) (4m - 5n)(2n - 3m). Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (а + Ь + с)(а + Ь - с); в) (х -Ь у - с)(х - у -t- с); б) {р + 2q - Зг)(р - 2q - Зг); г) {т + 4п + 2k)(m - 4п - 2k). Постройте математическую модель задачи. Полученное выражение запишите как многочлен стандартного вида. Перед тем как идти в кассу, Миша посчитал количество дисков, которые он хотел купить. Оказалось, что он выбрал а дисков с компьютерными играми, а дисков с музыкой - на 5 больше. Сколько денег Миша должен заплатить в кассу магазина, если диски с компьютерными играми стоили Ь р. за штуку, а диски с музыкой были на 50 р. дешевле? 50 .. Глава 4, §2, п.5 Ш Решите уравнение: а) (7х + 1)(1 + д:) - 8 - Зд:^ = (2д: + 5)(2д: - 5) + 4д: - 3; б) 3(1/ + 1)(у - 2) + 6 = Зу(1 +у) + 3(2 - у). 2371 Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: а) (д: - 5)(д: + 7) - (д: - 3)(д: + 5) при д: = 9^^; .15 >238 б) (2у + 1)(2у - 5) + (3 + 2у){7 - 2у) при у = -6^. Решите уравнение: а) (2д: + 1)2 + (Зх + 1)2 + (8д: - 3)2 = (7д: - 2)(11х - 1); б) (6 - Зх)2 + (5 - 4jc)2 - 6 = (9 - 5д:)2 + 20д: - 32. в) (2д;2 + 7д: + 3)( 2д:2 + 7д: + 5) - (2д:2 + 7д: + 7)(2х“ + 7х + 9) = -48; Указание: сначала сделайте замену t = 2д;2 + 7д: + 3 и преобразуйте выражение. г) (д:2 + 9х- 5)(д:2 + 9д: + 5) - (х^ + 9х + 7)(д;2 + 9д: - 7) = 24. '239| Даны многочлены Р, Q и R. Запишите многочлен PQR в стандартном виде: а) Р = 5ху - 2л:, Q = х^ + у‘^ , R = Х^ - J/2; б) Р = 22 - 32 - 2, Q = 22 + 32 + 2, R — 4. 243 Изобразите на координатной прямой Ох множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) jc > 4; б) X < -2; в) -3 < х < 5; г) | х | < 7; д) | х | > 3. Изобразите на координатной плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) X > -1; б) у < 3\ в) -2 < X < 4; г) -3 < г/ < 6; д) I X I < 5; е) I (/ I > 2; ж) | х - 2 | < 3; з) | у - 1 | < 5. Владельцы пончиковой компании Антон и Ксюша решили участвовать в международной велогонке, в целях привлечения внимания к своей компании. Для начала они решили потренироваться на небольших дистанциях. Стартовали они оба со скоростью 35 км/ч, но Антон решил обогнать Ксюшу и увеличил скорость на 10 км/ч. Проехав с этой скоростью 10 км, он повернул назад и с той же скоростью поехал навстречу Ксюше. Сколько времени прошло с момента увеличения скорости Антоном до момента его встречи с Ксюшей? Докажите, что какими бы ни были целые числа а и с, одно из чисел: а, с, а - с, 2а - с делится на 3. 1245 24^ в мешке 70 шаров: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, а остальные черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из этого мешка, чтобы среди них гарантированно было не менее 10 шаров одного цвета? На чудо-дереве растут бананы и ананасы. За один раз с него можно сорвать два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет один ананас, а если сорвать один ананас и один банан, то вырастет один банан. В итоге на дереве остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и сколько ананасов росло на чудо-дереве в начале? 51 Глава 4, §3, п.1 § 3. Формулы сокращенного умножения 1. Квадрат суммы и разности Математик - это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Стефан Банах (1892-1945), польский математик Выполняя вычисления и преобразовывая различные выражения, мы всегда стремимся получить результат более коротким и удобным способом. Например, чтобы выполнить умножение 9 • 200, мы не станем записывать сумму 9 слагаемых, равных 200, а сразу запишем результат 1800. В данном случае упростить вычисления нам помогла таблица умножения и установленное нами правило умножения чисел, оканчивающихся нулями. При умножении многочленов также существуют правила и формулы, позволяющие упростить преобразования. Выясним, например, есть ли какие-то закономерности при умножении двух одинаковых двучленов или, что то же самое, при возведении их в квадрат. Для этого возведем в квадрат несколько различных двучленов: (6 + bf = (& + 5)(ft + 5) = &" + + 5Ь + 5^ = Ь" -Ь 10& + 25: (Зл: -Ь уУ = (Здг + у)(3х + у) = 9л:^ + Зхи + Зхи + у^ = 9х^ + бхи + у^. Мы замечаем, что в каждом из этих случаев итоговый многочлен состоит из трех слагаемых, два из которых - квадраты членов исходного двучлена, а третье равно удвоенному произведению этих членов. Исходя из этого наблюдения, сформулируем гипотезу, что для любых одночленов а и 6: (а + ЬУ = а^ + 2аЪ + Ъ^. Для доказательства этой гипотезы возведем в квадрат двучлен, пользуясь правилом умножения многочленов: (а -I- ЪУ = (а -I- Ь)(а + Ь) = а^ + аЬ + Ьа + = а^ + 2аЬ + Ъ'^. Наша гипотеза доказана. При этом результат возведения двучлена а + Ь в квадрат не изменится, если вместо а и Ь мы подставим любые числа или вообще любые выражения. Значит, указанная формула всегда верна и является, по сути, тождеством. Итак, мы приходим к следующей формуле: Формула квадрата суммы Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. (а + ЬУ = а^ + 2аЪ + 52 Глава 4, §3, п.1 Аналогичным образом при вычислении квадрата разности двух выражений получаем: (а - bY = (а - Ь)(а - Ь) = - аЬ - Ъа + - 2аЬ + Ь^. Этот же результат мы получим, если в формуле квадрата суммы заменим Ь на (- Ь): (а - bf = (а + (-fe))2 = + 2а (-Ь) + (-&)2 = - 2аЬ + Формула квадрата разности Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. (а - bf = а" - 2аЬ + Ы Полученные нами формулы квадрата суммы и квадрата разности для положительных значений а и Ь (а > Ь) можно проиллюстрировать геометрически: Площадь первого квадрата, с одной стороны, равна (а + bf, а с другой стороны, равна + Ь^ + аЬ + аЬ. Но ведь это одна и та же площадь, поэтому (а + bf = + 2аЬ Ь\ Аналогично площадь второго квадрата, с одной стороны, равна а^, а с другой -сумме (а - bf + {аЬ - Ь^) + {аЬ - Ь'^) -I- Ь^. Упростим данное выражение и проведем равносильные преобразования. Мы получим, что = (о - bf -I- 2аЬ - Ь^ о (а - bf = - 2аЬ + Ь^. Формулы квадрата суммы и разности хороши, в частности, тем, что позволяют сразу записать результат возведения в квадрат любого двучлена. Пример 1. Возведите двучлены в квадрат: (а^ -f- 5ab‘^f, (а^ - 5аЬ'^)'^. Решение: (аЗ 4- ЬаЬУ = (a^f + 2{а:^){5аЬ^) + (5ab^f = а® + Юа^Ь^ + 25а^Ь\ (а® - bab'^f = (а®)^ - 2{а^){ЪаЬ-) -н (5а6^)^ = а® - Юа^Ь'^ + 25а^Ь*. Таким образом, используя установленные формулы, нам не надо представлять квадраты двучленов в виде произведения двух множителей, затем выполнять умножение и приведение подобных слагаемых. Мы просто сразу записываем результат. В связи с этим формулы квадрата суммы и разности называют также формулами сокраш,енного умножения. 53 Глава 4, §3, п.1 Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены, но и устно возводить в квадрат числа, причем не только целые, но и дробные. Пример 2. Вычислите: 1001^; 49,9^; 64^. Решение: 10012 = (1000 + 1)2 = 1 000 000 + 2 • 1000 • 1 + 1 = 1 000 000 + 2000 + 1 = 1 002 001; 49,92 = (50 _ 0,1)2 = 2500 - 2 • 50 • 0,1 4- 0,01 = 2490,01; 642 = (00 + 4)2 = 3600 + 2 • 60 • 4 + 16 = 3600 + 480 + 16 = 4096. С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило, которое без труда позволит возвести в квадрат любое натуральное число, оканчивающееся на 5. Действительно, любое такое число можно записать в виде 10х + 5, где х - число, полученное из первоначального после отбрасывания единиц. Возведем число Юл: + 5 в квадрат, используя формулу суммы квадратов: (IOjc + 5)2 = (10л:)2 + 2 • Юл: • 5 + 52 = Ю0л;2 + ЮОл: + 25 = Ю0л:(л: + 1) + 25. Итак, мы получили следующее правило. Правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося на 5 Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число, оканчивающееся на 5, можно умножить число, полученное после отбрасывания единиц, на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25. Используя данное правило, решим следующий пример. Пример 3. Вычислите: 352, Ю52. Решение: 352 = 3 • 4 • 100 + 25 = 1200 + 25 = 1225, 1052= 10 • 11 • 100 + 25 = 11 000 + 25 = 11 025. Таким образом, мы видим, что полученные нами формулы сокращенного умножения помогают существенно упростить как возведение двучленов в квадрат, так и самые различные вычисления. ©©© Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а -I- 5 -I- с: (а + 6 -)- с)2 = ((а -ь 6) -Н с)2 = (а Ч- 6)2 -1- 2(а + 6)с -Ь с2 = а2 -I- 62 -I- с2 -Ь 2а6 -I- 26с + 2ас. Значит, Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов. (а -I- 6 -ь с)2 = а2 -ь 62 4- с2 -ь 2аЪ + 26с 4- 2ас 54 „ Глава 4, §3, п.1 Полученная формула позволяет упростить возведение в квадрат любых трехчленов. Так, возвести в квадрат следующие трехчлены можно фактически устно (не забывая учитывать в формуле знаки членов трехчлена): (За + 2Ь + 4cf = (За)2 + (2bf + (4cf + 2(3a)(2b) + 2(Зо)(4с) + 2(2b)(4c) = = 9а^ -I- 46^ -ь 16с^ + 12аЬ -I- 24ас + 16Ьс; (-За + 2Ь- 4сУ = (-За)" + (26)" + (-4с)" + 2(-За)(26) + 2(-За)(-4с) + 2(2&)(-4с) = = 9а" + 4&" + 16с" - 12аЬ -t- 24ас - 166с. ите выражение: а) квадрат суммы а и 6; г) разность квадратов end; б) сумма квадратов а и Ь; д) квадрат суммы х, у и г; в) квадрат разности end; е) сумма квадратов х, у и г. 247| 1) Докажите, что (-nif = m". Используя данное свойство противоположных чисел, докажите, что (-х - у)" = (х + у)", (х - у)" = (у - х)". 2) Среди данных выражений укажите пары равных и пары противоположных выражений. а) (д: -Ь у)"; (-дг - у)"; -(-х - у)"; б) (х - у)"; (у - х)"; -(х - у)"; (х -Ь у)"; (-Х - у)"; -(-х - у)"; (х - у)"; (у - х)"; -(х - у)". 248| 1) Используя определение степени, запишите выражение как произведение двучленов и выполните умножение. Результат запишите как многочлен стандартного вида: а) (а + 6)"; б) (2т -Ь 4)"; в) (5х + у)"; г) (2а + Зс)". 2) Какие закономерности вы заметили? 249| 1) Запишите квадрат суммы а и 6 как многочлен стандартного вида. Нарисуйте квадрат с длиной стороны а + Ь и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и Ь. 2) Используя полученную формулу квадрата суммы, выведите формулу квадрата разности а и 6 и объясните ее геометрический смысл при а > Ь > 0. 3) Сформулируйте правила возведения в квадрат суммы и разности двух выражений и сравните свои формулировки с правилами на стр. 52 - 53 учебника. 2501 Возведите двучлены в квадрат: а) (с -Ь d)"; б) (-т - п)"; в) (р - qf; г) (-Х -Н у)"; Д) (-Ь -Ь 5)"; е) (3 + kf; ж) (-а - 8)"; з) (г - 4)"; и) (2х - 5)"; к) (3 - 7г)"; л) (2 -Ь Зу)"; м) (~4t - 1)"; н) (-36 - |с)"; о) (^х - 5у)"; п) (-2а + Р) (Зс + 2^J в формулы (а -Ь 6)" = а" -ь 2а6 -Ь 6" и (а - 6)" = а" - 2а6 + 6" подставьте 6 6 = 2а, 6 = За и убедитесь в истинности полученных равенств. а. 55 Глава 4, §3, п.1 2521 Запишите выражение как трехчлен стандартного вида: а) (п^ - 4)2; д) {2а* + cf; Н) (-баб - |&2)2. Д е) (А + Bf = + ^22. и) (-7x2 + 2^2)2. б) {-т* + 3)2; е) (&2 - 4d)2; к) (-За2 - 5б'‘)2; о) (^х2у + 2ху^У\ в) (3 + р2)2. JK) (-5т - п®)2; л) (4т® - 6«2)2; п) (-ОДрд® _ I0qf‘)2; г) (-д® - 1)2; з) (-76 + г2)2; м) (8р® + Zq*f\ р) (0,2тга‘‘ + l,5m«2)2. Вычислите, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности: а) 892; в) 2902; д) 8,02; ж) 322; Ю32; б) 912; р) 5012. е) 11,12; 3) gg2. 1972 Вычислите устно: а) 452; б) 952; g) 1952. р) 3052. д) ЮО52. 2551 Какие одночлены можно подставить вместо А, В и С, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (4х + А)2 = В -I- С -I- J/2; г) (2s - Af = В - 20st -t- С; б) (А -I- 2т)2 = 4га2 -ь В -I- С; д) (А - 5гх)2 = 16x2 - В + С; в) (А + В)2 = 9р2 + С + 25^2; 2^ Запишите трехчлен как квадрат двучлена: а) а2 2а -I- 1; д) 25р2 + 20рд + 4q^; б) 62-26-fl; е) 9s2 - 12s< + 4f2; в) x2 + 4x -Н 4; ж) 16a2 - 40аб -I- 25&2; г) 1/2 - бг/ + 9; з) 81x2 _ Y2xy + 16р2; Проверьте результат, возводя полученный двучлен в квадрат. 257| Подберите А таким образом, чтобы трехчлен можно было записать как квадрат двучлена: а) х2 - 2ху + А; б) 25а2 -А + 49&2; в) А 4- 4р2 + 12р^; г) -А + 16г^ + 9t\ 25^ Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (а + 4)(-а - 4); г) (2х + Зу)^ ~ 5хг/; ж) (а - 1)2 - 4(а -I- 1)2; б) (26 - 7)(7 - 26); д) бОаб - (4а 76)2; з) -(3 + х)2 - 3(1 - х)2; в) (-2р2 - Зд)(2р2 + з<7); е) -(5s2 - 2t^ - 20sH^-, и) 5(1 - с)2 - 8(с - 2)2. Докажите, что при любом целом х указанное выражение делится на а: а) (Зх -Ь 1)2 - (Зх - 1)2, а = 12; в) (5х -I- 1)2 4- (х - 5)2, а = 26; б) (7х 4- 3)2 - (3 - х)2, а = 48; г) (9х 4- 5)2 - (5х 4- 9)2, а = 56. 260| Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) 3(х -Н 5)2; д) у{7 - 2у) - (3 - yf-, и) (5 - 7а)2 - (5а - 3)(4 - За); б) 4(а - 6)2; е) 3(2 4- 2)2 - 2(2 - 3); к) 2(3 - 2х)(4х - 5) - 3(х - 8)2; в) 2(-Зр - д)2; ж) 2t{3t - 5) - (3t - 2)2; л) (р 4- q)^ ~ iq + г)2 4- (г 4- р)2; г) -5(4т 4- 2п)2; з) 6(56 4- 4)2 - 362(6 + 7); м) 2m(3m 4- 4л)2 - 5л(3л + 4т)2. и) -8а6 4- 4а2 4- 462; к) бтп 4- «2 -f 9;^2; л) 1бх^ - 8х* 4- х2; м) 4а2б2 4- 12а2б 4- 9а*. 56 Глава 4, §3, п.1 1^ Какое выражение надо прибавить к (а - bf, чтобы получить (а + ЬУ1 ш Решите уравнение: а) а2 - (а - 2f = 16; в) (Зт + 5)(3т - 5) - (Зт - 1)^ = 10; б) (у + 4)2 ~(у + 8)(у - 8) = 96; г) 3(2 + 2)2 + (2г - 1)2 - 7(2 + 3)(2 - 3) = 28. Найдите значение выражения при данных значениях переменных; а) - (За + 2)(3а + 6) + (За + 4)2 при а = б) {Ъ + 4)(256 - 10) - (9 + 56)2 при ^ = -79,415. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: т + п 7с - Id , . 4x2 ц. ^Qxy + 81у^ . 15pq - 9д ’ 2Х + 9у ’ -ЯПпл + - 2бЦ а) + 2тп + д2’ ^2 _ 2cd + d^ - 9g2 30pq + 25p2 + 9g2* 2651 Докажите тождество: а) (x + i/)2 + (x - г/)2 = 2(x2 + j/2); в) {ks + ktf = k\s + tf', б) (m + n)2 - (m - nf = 4/nn; r) (6 - a)2 - (6 - a)(6 + a) = 2a(a - 6). 26^ Представьте выражение в виде + с, где А - двучлен, а с - число. а) х2 + 8х + 10; г) + 10а6 + 7; б) 422 _ i2z + 11; д) p^q* - 4tpq'^ - 5; в) 9m2 - \2т - 7; е) 25s®i'‘ + 3QsH^ - 6. Образец: х2 - 4х + 1 = х2 - 4х + 4 - 3 = (х - 2)2 - 3 = (х - 2)2 + (-3). 270] 27 ij Ответ: А = х - 2, с = -3. Представьте выражение в виде А^ - где А и В - некоторые выражения: а) р2 + Юр; г) 25x2 - 1/2+ 20х + 2у + 3; б) 4^2 - 28q + 48; д) 4z^ - 9у^ - 12z - 18у; в) 25^2 - 9т^ + 40п + 16; е) 4s2f‘‘ - 9^® - 32s^t^ + 12^‘‘ + 64s2 - В многочлен х2 - 4х - 7 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите результат как многочлен стандартного вида: а) а + 2; б) 2а - 1; в) За + 4. Найдите значение выражения + Ь^, если известно, что: а) а + 6 = 12 и а6 = 6,9; б) а - 6 = 25 и аЬ = 4,8. Найдите значение выражения х2 + если известно, что: а) X + i = 10,5; б) х - ^ = 12,5. Какие выражения можно поставить вместо А и В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) (6d® + А)2 = В + 25с2; в) (62 + 3)2 + (82 - 1)2 - (А - В)2 = 9; б) (2х - 4)2 + (Зх + 5)2 - А = В2; г) {Зу - 4)2 + (4у - - (А - Bf = 1. 57 Гл.'ша 4, §3, п.1 27^ Возведите трехчлен в квадрат: а) (а + Ь - сУ; б) (а - Ь + сУ; в) (а - Ь - сУ; г) (-а - Ь - сУ. 27^ Выведите формулу для квадрата четырехчлена и, пользуясь ею, запишите данное выражение как многочлен стандартного вида: а) (а + Ь - с + dy-, б) (а - й + с - йУ\ в) (-а + Ь - с - йу. Докажите тождество: а) ^ xf + {X? - xf + {3^ - If = + V, B){pq-Vf + {p + qf = {if + Ifsy + 1); б) {a + bf - 2(а + bfa - b) + {a - bf = 4&^; r) {ac - bdf + (be + adf = (a^ + Iffcf + df). Найдите все значения x, при которых: а) квадрат двучлена 2л: + 5 на 120 больше квадрата двучлена 2лг - 7; б) квадрат двучлена 5л: - 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5л: + 6; в) квадрат двучлена л: - 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена Зл: + 4; г) квадрат двучлена 8л: - 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4л: - 5. Докажите истинность высказываний: а) Если к произведению двух целых чисел, одно из которых на 2 больше другого, прибавить 1, то получится точный квадрат. б) Если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа. [27^ Докажите, что данный многочлен при любых значениях входяш;их в него букв принимает только неотрицательные значения: ____ а)а^+1-, б) + 6с + 9; в) - 8d + 19; г) 4л2 + 9*^ - 28n - 48fe + 113. 2781 Найдите наименьшее значение выражения: а) (2а - 1)(2а + 1) + 3с(3с - 4а); б) 2х^ - 2ху + - 2х + 2. |27^ Найдите наибольшее значение выражения: а) 4(10лг - 9) - 16(т - 1)(т + 1); б) - 4р^ - 4рд - 2q^ -4^-7. |2801 Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его степень: а) (л: + 1У + 3{х - ly - 5(л: + 1)(л: - 1); в) 5п^[(2д -Ь п^У + (2п^ - пУ\, б) 4(г/ + ЗгУ + 3(4у - гУ - 2(у + г){у - z); г) .s(s + ty - t(s - ty + 2t(s^ -Ь 2811 Найдите значение выражения + b’^ + с^, если известно, что: а + Ь- с = 5иаЬ-Ьс-ас = 3. 2821 Найдите значение выражения хг - ху - yz, если известно, что: x^ + y^ + z^ = 45nx-y + z = 7. ЁИ Докажите, что из равенства: 1) р'^ + q'^ + = pq + рг + qr следует, что р = q = г, 2) (а - Ьу + (Ь - сУ + (с ~ аУ = (а + Ь - 2сУ + (Ь + с - 2аУ + (с + а - 25)^ следует. что а Ь = с. 58 Глава 4, §3, п.1 284 Пользуясь формулами квадрата двучлена и трехчлена, возведите в степень: а) (а + Ь)'‘; б) (а - Ьу. Что общего в формулах четвертой степени суммы и разности? 2^ 28j Запишите высказывание на математическом языке, определите его истинность. Для ложных высказываний постройте их отрицания. а) Модули взаимно обратных чисел равны между собой. б) Число, противоположное числу (-а), может быть меньше а. в) Квадрат числа всегда больше квадрата противоположного ему числа. Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1: а) в) 0,25x^y^z^; д) ж) а^Ь*а^Ь*; и) -27/n®g®r®g^; б) 49т^л^; г) е) з) 32m*d^d^m; к) . Упростите выражения при допустимых значениях переменных: а) 344 (49)^ • б) 43 . 15 в) Г® J.1 _ ^12 ^ ^1 2^ • а>2 • а® - (Ь^У ■ (с^)^’ а) На швейной фабрике все мастера работают с одинаковой производительностью. Пять стажеров и два мастера выполняют за 8 часов тот же объем работы, что семь стажеров и пять мастеров за 4 часа. Во сколько раз производительность мастера больше производительности стажера, если производительность всех стажеров одинаковая? б) Ванна наполняется из двух кранов. Один из них с горячей, а второй с холодной водой. Из горячего крана ванна наполняется за 48 минут, а из холодного - за 30 минут. Сначала открыли кран с горячей водой. Через сколько времени надо открыть кран с холодной водой, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды в ней было в 1,5 раза больше, чем холодной? в) Для наполнения бассейна сначала включили первый насос, который каждую минуту закачивает в бассейн 40 л 0,1%-го раствора хлорированной воды, а через 45 минут заработал второй насос, закачивающий в минуту 60 л 0,2%-го раствора хлорированной воды. Через сколько времени после открытия второго насоса концентрация хлора в бассейне достигнет 0,15%? (Считать, что объем бассейна позволяет достичь нужной концентрации хлора.) По данным таблиц постройте столбчатые диаграммы: а) Введено в эксплуатацию общей площади жилых домов и общежитий, в млн. м^ (по состоянию на конец года): Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Общая площадь, млн. 30,3 31,7 33,8 36,4 41,0 43,6 50,6 61,2 64,1 б) Оборот розничной торговли продовольственными товарами, в млрд. р. (по состоянию на конец года): Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Оборот, млрд. р. 79,5 99,4 129,3 152,8 185,8 222,7 275,0 328,3 432,6 59 Гляяа 4, §3, п.1 Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом а по модулю т: а) а = 789, т = 13; в) а = -915, т = 7; б) а = 1357, m = 11; г) а = -2517, т = 9. Миша посмотрел на циферблат своих часов и определил, который сейчас час. Какое время покажут эти часы через 123 456 789 101 112 часов? 292| Возведите двучлен в квадрат: а) (-а - ЬУ; б) (7 + тУ; в) (5 - 4xf; г) (jy - 2z)2. м Запишите выражение как трехчлен стандартного вида: а) + 2)^; б) iy‘^ + Зг)‘‘; в) {-4т* - 7п^У; г) {0,3p^q - 2,2pq^Y. Вычислите, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности: а) 692; б) 4012. g) 14 92. j.) 532. д) 297^. 1^ Какие одночлены можно подставить вместо А, В и С, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (7x + А)2 = В -f- С + 4i/2; в) (Зг - Af = В - 42zt + С; б) (А -I- В)2 = 81/п2 + С + 49«2; г) (А + В)2 = 0,64р2 - С + 2,25q\ ш Представьте трехчлен как квадрат двучлена: а) 9д;2- 18х -f- 9; в) 4т^ - 24тп + 36п‘^; д) -Ютп -Н 25п2 -f т^; б) 16J/2 + 32у + 16; г) 49ц2 - 42а& + 9Ь^; е) 81л:'’ - Збл:'* + 4х^. Подберите А таким образом, чтобы трехчлен можно было записать в виде квадрата двучлена: а) - 4а + А; б) 64х^ - А -t- 16у^; в) А 4- 9c^ + 18cd; г) -А + 45^ + 2Ы^. 29^ Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) {ЗЬ - 8)(8 - 36); б) 34ху - {2х -Ь 9уУ\ в) -(7 4- 2zf - 4(1 - 3zf. Докажите, что при любом целом р указанное выражение делится на а: а) (бх -f 5)2 - (бх - 5)2, а = 120; б) (7х 4- 2)2 + (2х - 7)2, а = 53. 3001 Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) 4(а - 6)2; б) 3(г 4- 2)2 - 2(2 - 3); в) 2(3 - 2х)(4х - 5) - 7(х - 8)2. ЁВ Решите уравнение: а) (х 4- 1)2 - (х - 3)2 = 8; в) 2(2п 4- 1)2 - 8(л 4- 1)(п - 1) = 42; б) 3(6 - 1)2 - 36(6 - 5) = 30; г) 5(t 4- 3)2 - 5(t - 4)(t 4- 8) + 12 = 87. 3021 Найдите значение выражения при данных значениях переменных: а) (х 4- 3)2 - (х - 2)(х 4- 8), если х = -91 97 129’ б) (у - 8)2 - (у - 20)(у 4- 4), если у = 9,378. Докажите тождество: а) (2а 4- 26)2 + (2о - 26)2 = 8(ц2 -Ь 62); б) (Зс 4- 3d)2 - (Зс - 3df 36cd. 60 Глава 4, §3, п.1 |306| ^1 :зо8 Представьте выражение в виде + с, где А - двучлен, а с - число: а) 92^ - 242 + 18; б) 2Ъх^ - 20xY ~ 7. Найдите все значения х, при которых: а) квадрат двучлена Зх + 2 на 21 больше квадрата двучлена Зл: - 5; б) квадрат двучлена 2д:: - 6 в 4 раза меньше квадрата двучлена 4л: - 8. Найдите значение выражения 4л:^ + если известно, что: а) 2л: + ^ = 6,5; б) 2л: - ^ = 8,5. Докажите, что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения: а) (Ь - 3)^ + 1; б) 50 - 14дп + т^. Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его степень: а) - (2а + 5й)(2а - 56) - 6(2а - 56)^ + 3(5а + 26)^; б) 2pq[(3p + qf - {р + 3q)^. Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1: а) 16а*6^^; б) 0,125р®д®г^®; в) 64m^^n^®; г) д) -32/n‘“n®ft‘®n'‘. Упростите выражения при допустимых значениях переменных: а) 18 45 ■ р7 . ^^5)6 . J. {3pf • р^ • {qy ■ (7^)^ ’ б) 81л:^ - 27л:® 21л:® - 1х* • ш а) В пончиковой компании Антона и Ксюши все пекари работают с одинаковой производительностью. Три пекаря и пять учеников выполняют за б дней тот же объем работы, что семь пекарей и четыре ученика за 3 дня. Во сколько раз производительность пекаря больше производительности ученика, если производительность всех учеников также одинаковая? б) Резервуар для изготовления пончиковой глазури наполняется из двух кранов. Один из них с водой, а второй - с сахарным сиропом. Из крана с водой резервуар наполняется за 40 минут, а из крана с сиропом - за 56 минут. Сначала открыли кран с водой. Через сколько времени надо открыть кран с сирюпом, чтобы к моменту наполнения резервуара воды налилось в 2,5 раза больше, чем сахарного сиропа? Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом а по модулю т: а) а = 597, m = 11; б) а = -1029, т = 15. Докажите, что А и В имеют одинаковые остатки от деления на 17: А = I -1,014 : 1,3 -ЬО, 6 • (-3,5 - 7,5) - 0,62 |; В = 2,2 • (-5,4) : (-0,6) + (-2,25 • 0,7 • (-7) - 0,25 : (-0,01)) + | -5 • 0,635 |. В классе 30 учеников. Контрольную работу хуже всех написал Петя, сделав 13 ошибок. Больше никто такого количества ошибок не сделал. Докажите, что найдутся хотя бы три ученика, сделавшие одинаковое количество ошибок. 10" + 11^ + 12^ + 13^ + 14=^ 365 315 Вычислите устно: 61 Глава 4, §3, п.2 2. Разность квадратов Алгебра - мое основное блюдо, геометрия - десерт. Франсуа Виет (1540-1603), французский математик Среди формул сокращенного умножения есть еще одна замечательная формула, которая получается при умножении разности двух выражений на их сумму. Умножим друг на друга следующие многочлены: (а - Ь){а + Ь) = + аЬ - Ьа - - Ь^. Мы получили, что произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. При этом данное равенство будет верно при подстановке в него вместо а и Ь любых чисел и выражений, то есть оно является тождеством. Итак, мы приходим к следующей формуле: Формула произведения разности и суммы двух выражений Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. (о - Ь){а + Ь) = а^- Ь\ Меняя местами левую и правую части полученного равенства, мы приходим к новой формуле сокращенного умножения, называемой формулой разности квадратов. Формула разности квадратов Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы. а^- Ы = {а - Ь)(а + Ь). Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов, рассмотрим квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а + Ь и а - Ь, где а и Ь - произвольные положительные рациональные числа (а > Ь). Из квадрата со стороной а вырежем квадрат со стороной 6.Тогда площадь получившейся фигуры будет равна разности площадей большого и маленького квадратов, то есть а^ - Ь^. Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а + Ь и а - Ь. Значит, с одной стороны, площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон, то есть (а - Ь)(а + Ь). А с а другой стороны, она равна а^ - Ь^, и, следовательно, а^- = {а - Ь)(а -I- Ь). b а - Ь а - Ъ 62 _ Глава 4, §3, п.2 Итак, у нас теперь есть две похожие по названию формулы: Формула разности квадратов: Формула квадрата разности: а^- = {а - Ь){а + &) (а - Ь)^ = а^ - 2аЪ+ Но, как видим, смысл этих формул совершенно разный, поэтому не следует их путать. Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы (а + ЪУ и суммы квадратов а^ + ведь, в отличие от квадрата суммы (о + ЬУ, для суммы квадратов у нас нет формулы. Формула разности квадратов, как и все другие формулы сокращенного умножения, сильно упрощает преобразование выражений, решение уравнений, проведение вычислений. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Запишите произведение как многочлен стандартного вида: (5т - 4n)(5m -+- 4га). Решение: {5т - 4га)(5т + 4га) = {5тУ - {4пУ = 25т^ - 16га^. Пример 2. Решите уравнение: 0,21х^ - 0,81у2 - (1Дх - 0,9i/)(l,lx + 0,9с/) = 0. Решение: Упростим левую часть уравнения: 0,21х^ - 0,81с/2 - (i,ix - 0,9у){1,1х + 0,9у) = 0,21х" - 0,81i/^ - {1,21х^ - 0,811/") = = 0,21л:" - - 1,21л:" -Ь = - л:". Получаем уравнение, равносильное данному: у.2 о « л: = о Ответ: {0}. ,1 Пример 3. Вычислите: а) 899 • 901; б) 5д • 4^; в) 91" - 9". Решение: а) 899 • 901 = (900 - 1)(900 + 1) = 900" - 1" = 810 000 - 1 = 809 999. б) 5| • 4§ = (5 -f |)(5 - |) = 5" - (|)" = 25 - I = 24§. в) 91" - 9" = (91 - 9)(91 + 9) = 82 • 100 = 8200. ф ^ Представьте, если это возможно, выражение в виде степени с показателем 2: а) 4т'*га®; б) 25xV2^^; в) 16а"6о®6; ^) ^; д) е) ^ • Прочитайте выражения: (А + ВУ; {А - ВУ; А" + В"; А" - В". Соотнесите приведенные ниже записи с одним из этих четырех выражений, ука- зав возможные А и В: а) (5л: -Ь 3)"; г) (81р" - 4у")"; б) 64с^ + 25d®; д) т»" -I- 25га""; в) 4у" - 16г‘'; е) (7k + 4)"; ж) 49a^® - о®; з) (36л:" + у*У; и) + 9Р; к) -36s® -t- л) {-2z - 8)"; м) (9а - 75)". 63 Глава 4, §3, п.2 Ш 1) Запишите произведение суммы и разности а и Ь как многочлен стандартного вида. 2) Используя полученное равенство, сформулируйте сначгша, как можно найти произведение суммы и разности двух выражений, а затем - как найти разность квадратов двух выражений. Сравните свои формулировки с правилами на стр. 62 учебника. 3) По рисунку, приведенному на стр. 62 учебника, выясните геометрический смысл полученной вами формулы. ш Пользуясь формулой разности квадратов, докажите, что для любых а и Ь верно равенство: а) (-а - Ь)(а - Ь) = If - а^; б) (а + - а) = Ь'^ - а^; в) (-а - ЬХЬ - а) = а^- If. Вычислите произведение многочленов: а) {х + 2){х - 2); б) (у - s)(y + s); в) (5 - z){b + z); г) it + 7)(7 - t); а) (а2 + 9)(а2 - 9); б) (z^ + 25)(25 - 2^); в) (0,3 + х'^){х^ - 0,3); г) (-9р2 - 4q^)(4q'^ - 9р^); д) (Зху + 1)(3ху - 1); е) (5а2 - 3&)(5а2 + ЗЬ); д) (2а + Ъ)(2а - b)\ и) ы (з^ + у, 1; е) (х - Зу)(х + Зу); к) (1- (1“ -1») ж) (72 + 3t)(lz - 3^); л) (0,2а + 0 ,3)(0,2а - - 0,3); з) (9/п + Зл)(-9пг + Зп); м) (1,52 + 3 ,5)(3,5 - 1,52). как многочлен стандартного вида: ж) (-4т^ - 6п)(6л - 4т^У, з) (7р2 + Зу^КЗуЗ - 7р2); и) (0,2^3 - 0,5s^)(0,5s" + 0,2f); к) (l,lmn + 2,lfe^)(l,lmn - 2,\k‘‘y, л) i\,3a^b - 0,9б2а)(-0,9&2д- l.Sa^fr); м) (-0,8d® - 0,7rfV)(-0,8d5 + 0,7rfV). 322 Вычислите, используя формулу разности квадратов: шяттаЛ а) 31 • 29; в) 72 • 68; д) 5,01 • 4,99; ж) 5^ * 4^; и) 86=^ - 14^; б) 199 • 201; г) 4,1 • 3,9; е) 15,2 • 14,8; з) 10^ • 9||; к) 328^ - 172^ 323| Какой одночлен можно подставить вместо А, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (4л: + А)(4дг - А) = 16х^ - 81у^; г) (-5т -f 2А)(5т + 2А) = 0,36п^ - 25т^; б) (А - ЗЬ)(А + ЗЬ) = 0,25а2 - 95=^; д) (-ЗА - 4q)(3A - 4q) = 16q^ - 36г«; в) (-А - 7с)(А - 7с) = 49с^ - 64с/в; е) (1,5д: + 5А)(-5А + 1,5л:) = 2,25х^ - ЮОу^ Запишите выражение как многочлен стандартного вида, используя формулы сокращенного умножения: а) (а + Ь)(Ь - а); в) (-с + d)(c - d); д) (-т - п)(п - т)\ б) (-Х - у)(х + у); г) (2 - 0(^ - 2); е) (-k - r)(-k - г). 64 Глава 4, §3, п.2 Выполните умножение многочленов: а) 7(а + 4)(а - 4); д) 8с%с - 5)(с + 5); б) х(л: - 1){х + 7); в) ЩЬ + 3)(3 - Ь); г) ЗуЧ-у - 2)(2 - у); и) (~10е + IKlOt^ + 1)(100/^ + 1); е) -5d\-d - 6)(d - 6); к) 2(s^ + IXs" - l)(s' + 1); ж) (2 + 2)(z - 2)(z^ + 4); л) p^(p^ + l)(p - l)(p + 1); з) (-t + 3)(-t - 3)(t^ + 9); m) 3q4g^ + 4)(q^ - 4)(q^ + 16). 3261 Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух выражений: а) - 81; б) 16 - в) a^ - d^; г) д) 4а2 - 0,01; е) ^ - 257=^; ж) 16 - 64&2; з) 0,36z2 - 1,21; и) 9т^ - 4п^’, к) lOOk^ - 0,04г2; 9^^ “ 25^^’ м) -1,44р2 + 1,219^; н) - &■*; о) 81x^2* - Зб2^; п) - 256d^; р) -625 + г*®. уП\ Решите уравнение: а) (а + 7)(а - 7) = 0; б) - 9 = 0; в) 25 - г/2 = 0; г) 4Ь^ - 100 = 0; д) -9с2 + 144 = 0; е) 256 - 16d" = 0; ж) х^ = 0,25; з) 4z^ = 9; и) ЮОт^ = 1. 3281 Представьте выражение как произведение двух многочленов: г) (46 - 3)2 - 9; д) {Чу + 9)2 - 81; е) 2,25 - (га + 0,4)2; ,2. Ж) 25(с + 7)2 - с\ З) 2\Z - 11)2 - ^^4. и) 49р‘ - (р - 11)2 . а) (а + 5)2 - 1; б) (х - 6)2 - 16; в) 49 - (гаг - 3)2; Докажите, что: а) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел; б) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное; в) разность квадратов двух последовательных целых чисел равна сумме этих чисел; г) разность квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих чисел. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (га + 2)(га - 2)2; д) (х - 3f(x + 3)2; и) (а - 2)2(а + 2)2(а2 + 4)2; б) (4 + 2гаг)(2гаг - 4)2; е) (2 - yf(y + 2f\ к) (1 - 6)2(6 + 1)2(-б2 - 1)2; в) {X + у){х - yf\ ж) (а - 6)2(а + 6)2; л) (р - qf{p + qf{p^ + q^f\ г) (-С - d){d - с)2; Упростите выражение: а) 4а2 + (а - 2)(га + 2); б) 18-{у + Ъ){у - 5); в) (Зс - 26)(3с + 26) - 10с2; г) 5fe2 - 4s^ - {2k - 4s2)(4s2 + 26); з) (-Г - s)2(s - г)2; м) (-гаг + га)2(-гаг - га)2(гаг2 + n^f. д) (р + 3)(р - 3) - (р - 5)(р + 5); е) {-2q - l){2q - 1) - {3q + 2){2 - 3q); ж) 2т{т + 5)(гаг - 5) - Зт{т - 4){т + 4); з) га2(-2га - 3)(3 - 2га) - 2га2(га - 2)(2 + га). 7 кл.. ч. 2 65 Глава 4, §3, п.2 Щ Найдите значение выражения при данных значениях переменных: а) (а - 1)(а^ + 1)(а + 1) - (а^ - 1)^, если а = 7,5; б) (&2 - 3)2 + (& - 2)(4 + b^)i-b - 2), если Ь = -9,5; в) (с2 + 2)2 - (с - 1)(1 + с2)(с + 1), если с = -6,5; г) 2m(m + n)(m - л) + п{т - nf - 2тп{2т - Зп) - п\п - т)- 2т?, если т = 5,3; п = 0,3. 33^ Сократите дробь при допустимых значениях переменных: 4а2 - 2562 а) Зт -Ь Зп - п?' ^ 4л:2 - 9у2 2х + 3у' б) 8с - М . Ърд - 20д\ ^ р2 - 16р2 ’ с^- d? ' Д) е) Докажите тождество: а) (1 + а)(1 + а2)(1 - а) = 1 - o'*; б) 462 _ (26 + 1)(26 - 1) = 1; 4а2 + 20а6 + 2 562. 9/п2 - 24mn + 16^2 9m2 - 16д2 в) 2(2л2 - 1) - 4(л + 3)(п - 3) = 34; г) 3(4т2 - 50) - 12{т - 4)(т + 4) = 42. Докажите, что при любом целом р значение выражения делится на а: г) 49 - (8;? + 1)2, а = 16; д) (7р + 9)2 - 81, а = 7; е) - р, а = 6. а) (р + 9)2 - р\ а = 9; б) 4р2 - (2р - 5)2, а = 5; в) (Зр - 1)2 - 16, с = 3; Решите уравнение: а) x(jc + 2) - {х + 3)(л: - 3) = 15; б) 4р(г/ - 1) - (2р + 5)(2р - 5) = 1; в) 3z - 5(2 + 1)(2 - 1) + 5(2 + 2)(2 - 2) = 6; г) 3(2г + 1)(2г - 1) - 4(3г - 2)(3г + 2) + 6г(4г + 1) = 25; 3371 Вычислите рациональным способом: а) 1004 • 996 - 1005 • 995; б) 303 • 297 - 301 • 299; в) 3022 _ 682 + 370 . 66; г) '4152 _ 852 _ 500.30; Д) е) 1242 _ 122 2392 - 1 ’ 1062 - 121 1222 - 64 ’ ж) з) д) (6 + 6)2 - 1 = 0; е) 64 - (6 - 7)2 = 0; ж) 4(2с + 3)2 - 36 = 0; з) 81 - 9(2rf - 8)2 = 0. 8 72 _ 152 972 - 562 + 153 . 31; 592 - 382 832 - 172 + 3100- 3381 Найдите (устно) значение выражения - Ы, если известно, что: а)а + 6=12иа = 6 + 5; б)а = 15-6и6 = а- 10. а) Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 11. Найдите эти числа. б) Разность квадратов двух последовательных четных чисел равна 28. Найдите эти числа. в) Сумма длин сторон двух квадратов равна 20 см, а разность их площадей равна 40 см2. Чему равны длины сторон этих квадратов? г) Каждую сторону квадрата увеличили на 3 см. При этом его площадь увеличилась на 51 см2. Найдите длину стороны исходного квадрата. 66 Глава 4, §3, п.2 3^ йП 13441 О Вычислите произведение, используя формулу разности квадратов; а) (а + 6 + с)(а - Ь - с); б) (а - Ь + с){а - Ь - с); в) (а + Ь + с)(а + Ь - с). Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (а + Ь + с + d) (а + Ь - с - d); 6) (а - Ь + с - d) (а - Ь - с + d). Найдите значение выражения: а) (2 + 1X2^ + 1X2'* + 1X2» + 1) - 2‘«; в) 4(5 + 1X5» + 1X5^ + 1X5» + 1Х5‘® + 1) - 5»»; б) 3» - (3 + 2X3» + 4X3" + 16); г) 11(10» + 1ХЮ' + 1X10» + 1X10'» + 1). Сравните значения выражений: а) 45» - 31» и 44» - 30»; в) 23" и 18 • 21 • 25 • 28; б) 297 • 299 и 298»; г) 19" и 16 • 18 • 20 • 22. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 35» - 11» и 48» - 4; в) 63» - 27» и 78» - 30»; б) 49» - 15» и 54» - 37»; г) 54» - 44» и 31» - 18». Найдите наибольшее значение выражения: а) (1 - 2д:)(1 + 2л:); б) (1 - 22)(1 + 2z) + (-5 - 3у)(3у - 5) - 3. Найдите наименьшее значение выражения: а) (За - 2)(3а + 2); б) 11 + (45 - 7)(45 + 7) - (-9с - 8)(9с - 8). Может ли, и если да, то в каких случаях: а) разность квадратов двух натуральных чисел быть простым числом? б) разность квадратов двух рациональных чисел быть больше суммы квадратов этих чисел? |348| Сформулируйте высказывания, обратные данным, и определите истинность прямых и обратных высказываний. Для ложных высказываний постройте их отрицания и установите истинность отрицаний: а) Если целые числа делятся на некоторое, отличное от нуля, число с, то и сумма этих чисел делится на е. б) Если целое число а делится на некоторое, отличное от нуля, число с, то произведение а и любого другого целого числа делится на с. в) Если целое число делится на 4, то оно делится на 8. г) Если целое число делится на 25, то оно делится и на 5. д) Если целое число кратно 21, то оно кратно 3 и 7. е) Если целое число кратно 54, то оно кратно 6 и 9. Упростите выражение: а) 13 4- ((3(а - 2) -Ь 4о) - 7а) - (7а - (За - 5)) -I- 6а - 7; б) Зл: - (Зг/ - (-5 + Az)) - (х - 2(х -I- Зу) - 5z) + (~4х + у - 9z); в) -((Зт - 2п) - 4т - 3) - (5 - (6т - 8п) - (Зт + 4п)) - 7 - 5т -I- 2п; г) 2р - (2д - (2г - 4s)) - (4р - (3q - (2г - 4s))) + (р - Зд - (Зр - 2д)). 67 Глава 4, §3, п.2 3501 Сравните числа: 33 37 “ 165 184’ . 1999 2000 2000 “ 2001’ д) 107 360 162 ^ 415’ , 39 ж)^ 14 21 ” 83 126’ . 2008 2009 2009 ” 2010’ е) 215 512 357 “ 654’ , 23 и 391 ‘ 731’ 232 472' 351| Изобразите на координатной прямой Ох множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) X > -6; в) X + 2 > 3; д) -2 < х + 5 < 4; ж) ) х + 4 | > 2; б) X < 7; г) X - 3 < -5; е) -3 < х - 3 < 3; з) | х - 2 | < 3. |352| а) в соревнованиях по легкой атлетике -к часть всех участников заняли первое место. Второе место заняли | часть всех участников, а третье - ^ часть. Сколько человек участвовало в этих соревнованиях, если без призов остались 34 участника? б) Стоимость производственного оборудования после 10 лет работы равна 5 200 тыс. р., что составляет ^ его первоначальной стоимости. Чему была равна первоначальная стоимость данного оборудования? в) Получив зарплату за февраль, Иван ^ ее часть внес в качестве взноса в профсоюзную организацию, ^ зарплаты пошло на погашение кредита за автомобиль, 2 а j-g он потратил на покупку продуктов и подарков своей жене и детям. В результате у него осталось 18 800 р. Какую зарплату получил Иван за февраль? Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 72, в записи которого по одному разу участвуют все 10 цифр. 1^ 3541 Запишите выражение капе многочлен стандартного вида: а) (5а + 3)(5а - 3); в) (0,8 -Ь i/W “ 0,8); д) (2рЗ + 9у^){9у^ - 2р=*); ____ б) (32 - 2гХЗг + 2г); г) {-2т^ - 7п)(7п - 2т*); е) (0,3*^ - 0,7s*)(0,7s® + 0,3i^). 35^ Вычислите, используя формулу разности квадратов: а) 21 • 19; б) 52 • 48; в) 11,1 • 10,9; г) 115^ - 85^; д) 9|^ • 8j|. Какой одночлен можно подставить вместо А, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (2а + Л)(2а - А) = 4а^ - 49Ь^; б) (А - 5с)(Л + 5с) = 0,64d2 - 25с^; в) (-Зр + 4А)(Зр + 4А) = 64д2 - 9р2; г) (-6А - 9s)(6A - 9s) = 81s^ - 144r^. Выполните умножение многочленов: а) 3(х + 2)(х - 2); в) г%г - 7)(г + 7); б) 2у{у - 4){у + 4); г) -5а^(-а - 3)(а - 3); д) (-3<2 + 2)(3f2 + 2){9t* + 4); е) 4(2г2 + 1)(2г2 - 1)(4г< + 1). 68 Глава 4, §3, п.2 358| 3^ ЗбО) Щ Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух выражений: а) - 25; в) 25х^ - 0,04; д) 16d^ - 81г^; ж) - 9д‘*; б) + с2; г) 0,49у2 - 1.44; е) -2,25т^ + l.GOn^; з) -400 + Решите уравнение: а) - 16 = 0; в) -42^ + 64 = 0; д) 49г^ = 1; б) 100 - = 0; г) 625 - 25а^ = 0; е) Slm^ = 9. Представьте выражение в виде произведения двух многочленов: а) (х - ЗУ - 4; б) (2у - - 16; в) 9(2 + И)^ - 22. Упростите выражение: а) 5а2 - (2а - 3)(2а + 3); в) (d + 5)(d - 5) - (d - 7)(d + 7); б) 10&2 - 5св - (3b + 2c^)(3b - 2c2); г) 2p(-3p - 4)(4 - 3p) - 4p(2p - 4)(4 + 2p). Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) 5а + 5Ь б) 25с2 - 16^2 Щ _ д2» ; 5с + 4d ’ ^ 9^2 + 48x1/ + 64i/2 • в) 9x2 _ Q4y2 5б5| 366| Ш Докажите тождество: а) 81г2 - (92 + 2)(9г - 2) = 4; б) 5(12р^ - 15) - 15(2р - 3)(2р + 3) = 60. Докажите, что при любом целом р значение выражения делится на а: а) 25^2 - (Зд - 4)2, а = 8; б) (6г + 11)2 - 54^ ^ = 3. Сравните значения выражений: а) 782 _ 262 и 932 - 412; g) iq4 и 10 • 13 • 19 • 22. Найдите наибольшее значение выражения: а) (5 - 7г)(5 + 7г); б) (2 - Зр)(2 + Зр) - (-7 - 4д)(-4д + 7) + 9. Найдите наименьшее значение выражения: а) (6т - 10)(6т + 10); б) 7 + (2k - 9)(2k + 9) - (-4n - 0,5)(4п - 0,5). а) Проведенная оценочной компанией переоценка старого оборудования пончиковой компании Антона и Ксюши показала, что текущая стоимость оборудования 7 равна 511 тыс. р., что составляет j-j его первоначальной стоимости. Сколько денег Антон с Ксюшей потратили на покупку этого оборудования? б) Совет директоров пончиковой компании Антона и Ксюши принял решение о распределении прибыли в 2010 году. На развитие компании было решено потра-9 3 тить jg всей прибыли, ^ решили потратить на выплаты премий сотрудникам компании, в ^ - перечислить в качестве благотворительного взноса в детскую больницу. Оставшиеся 72 тыс. р. решили выплатить учредителям компании Антону и Ксюше в качестве дивидендов за 2010 год. Какую прибыль получила пончиковая компания в 2010 году? 69 Глава 4, §3, п.З ш Упростите выражение: а) (5л: - 8,5у) - (2х - 6у )- (6х + 2,5у)\ б) 12у - (4л: + (16j^ - 7л:)) - (-11ж - 28 - 4у). Изобразите на координатной прямой Ох множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) X > -3; б) X - 4 < 5; в) -3 < х + б < 7; г) I X - 2 I < 8. Докажите, что разность квадратов А и Б равна 84: (1*3 - '4 - I) ■ 230^ + 4в| А = 10 В = 3 + 4I 7 ^3 IO3 9^ 37^ Два альпиниста поднимаются на две одинаковые горы, а затем, не отдыхая, спускаются с них. Первый поднимается вверх со скоростью в два раза меньшей, чем второй. При этом второй спускается вниз со скоростью в три раза меньшей, чем первый. На восхождение и последующий спуск оба альпиниста затратили одинаковое время. Во сколько раз меньше времени требуется второму альпинисту, чтобы подняться вверх, чем спустится вниз? [373| Пять различных чисел таковы, что сумма трех наименьших равна 10, трех наибольших - 23, а сумма наименьшего, наибольшего и среднего равна 18. Чему равна сумма трех средних по величине чисел? 3. Куб суммы и разности Существует достаточно света для тех, кто хочет видеть, и достаточно мрака для тех, кто не хочет. Блез Паскаль (1623-1662), французский математик, физик, философ Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности, у нас естественно возникает вопрос, а можно ли проще, чем прямым умножением, возвести двучлен в куб, четвертую и более высокие степени. Оказывается, такие формулы есть, и они позволяют возводить двучлен в произвольную натуральную степень, не проводя прямых вычислений. Для начала разберемся с кубом суммы и разности. Обозначим буквами а и Ь соответственно первый и второй члены двучлена. Тогда (а -f bY = (а + ЬУ(а + Ь) - (а^ 2аЬ + Ь^)(а + Ь) = а^ + а^Ь + 2а^Ь -4- 2аЬ'^ -Ь Ь^а + = = а^ + За^Ь + ЗаЬ^ + Ь^. 70 Глава 4, §3, п.З Таким образом, мы приходим к следующей формуле сокращенного умножения: Формула куба суммы Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения. (а + bf = а® -I- За®6 + Зоб® + 6® Заменяя в полученной формуле Ь на (-6), приходим к новой формуле сокращенного умножения, которую называют формулой куба разности двух выражений: (а - bf = (а + (-6))® = а® Зо® (-6) + Za(-bf + {-bf = а® - За®6 -I- 3afe® - Ь\ Формула куба разности Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения. (а - bf = а® - За®6 + 3afe® - &® Так как полученные равенства верны при подстановке вместо а и Ь любых чисел и выражений, то они являются тождествами. Заметим, что в формулах куба суммы и разности члены итогового многочлена принято записывать в специальном порядке. Сначала записывают одночлен а®, который также может быть записан как а®&°. В следующем одночлене степень а уменьшается на 1, а степень Ь увеличивается на 1. Остальные члены одночлена записываются в том же порядке, и так до одночлена а°6® = &®. Можно заметить также, что в формуле куба разности при указанной записи итогового многочлена знаки его членов чередуются: сначала «плюс», затем «минус» и так далее. Это происходит потому, что степень одночлена Ь сначала равна нулю -четная, затем на 1 больше, то есть нечетная, и так далее. Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений, не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых. Рассмотрим примеры. Пример 1. Возведите в куб двучлены: 1) (х® -Ь 2yf; 2) (х® - 2yf. Решение: 1) (JC® -f 2yf = (jc®)® + 3(x®)® 2) (д:® - 2yf = (x®)® - 3(jc®)® • Пример 2. {2y) + 3x® • {2yf + {2yf = X® -t- Qx*y + 12x®//® -t- 8i/®; (2y) -I- 3x® • {2yf - (2yf = X® - 6x^1/ + 12x®i/® - 8г/®. Выч„сли.е: П»; « 3.9»; в, ч- 3 • (4^)' • (§ 4 3 • {4^) ■ {Щ)‘ 4 («f 19/ • Решение: а) 11® = (10 + 1)® = 10® + 3 • 10® • 1 + 3 • 10 • 1® 1® = 1000 -f 300 + 30 + 1 = 1331; б) 3,9® = (4 - 0,1)® = 4® - 3 • 4® • 0,1 3 • 4 • 0,1®- 0,1® = 64 - 4,8 -Ь 0,12 - 0,001 = 59,319; в) (4^)’ + 3 ■ (4^f • (il) + 5 ■ (^в) • (Й)' + (ЙГ - (4 + Ш - 5* - 125. 71 Глава 4, §3, п.З ©©© А как возводить двучлен в четвертую, пятую, шестую и более высокие степени? Оказывается, существует достаточно простое правило, которое позволяет делать это почти моментально. Это правило обобщает те закономерности, которые мы наблюдали при возведении двзд1лена в квадрат и в куб. Так, мы видели, что при возведении двучлена а + Ь в квадрат получаются слагаемые с буквенной частью: a^b^ а°Ь^, при возведении в куб - слагаемые с буквенной частью: а^Ь^, Продолжая эту закономерность, можно доказать, что при возведении двучлена а + Ь в любую натуральную степень п итоговый многочлен будет состоять только из одночленов, подобных следующим: а"Ь°, а"" ^b^, а"' ... , а^Ь" ~ а^Ь" ~ *, Мы видим, что одночлены записаны в таком порядке, что у каждого следующего одночлена показатель степени с основанием а последовательно уменьшается от п до О, а показатель степени с основанием Ь, наоборот, увеличивается от О до п. Именно в таком порядке и договорились записывать члены многочлена, являющегося результатом возведения двучлена в некоторую натуральную степень. Например, при возведении двзгчлена а + Ь в шестую степень получится выражение вида: (а + &)® = ...а® -I- ...а®Ь -1- + ...а^Ь^ -I- ...а^Ь* -t- ...а&® ...&®, где вместо пропусков стоят некоторые числа. Таким образом, проблема возведения двучлена в шестую степень (как и в любую другую п-ю степень, п е N^) сводится к проблеме нахождения коэффициентов всех членов итогового многочлена. Эта проблема была решена еще в 17 веке. Французский математик Блез Паскаль в своем «Трактате об арифметическом треугольнике» (1655 г.) установил способ, который позволяет достаточно легко найти требуемые коэффициенты при возведении двучлена в любую п-ю степень (п е N^). Для того чтобы определить эти коэффициенты, поставим в вершине и вдоль боковых сторон некоторого равнобедренного треугольника число 1. В каждой строке этого треугольника, начиная с третьей, между единицами находятся числа, равные сумме двух расположенных над ним чисел. При этом строк у этого треугольника может быть сколь угодно много. Л А 12 1 13 3 1 А А А А А 1 5 10 10 5 1 Ж ч ж^ Ч м ч 1 6 15 20 15 6 1 (а + ьг (а -1- ьу (а -1- ьу (а ы (а -1- ьу (а + ьу (а + ьу Построенный таким образом треугольник называется треугольником Паскаля. В нем в каждой (п + 1)-й строке стоят коэффициенты многочлена, полученного при возве- 72 Глава 4, §3, п.З дении двучлена в степень п, п g N^. При этом коэффициенты членов многочлена идут в том порядке, в котором договорились записывать члены итогового многочлена. Значит, (а + 6)® = а® + 6а®& + 15а*Ь'^ + 20а®6® + 1Ъа^Ь* + баб® + б®. А при возведении в п-ю степень разности двух выражений знаки «+» и «-» будут чередоваться, начиная с «+», как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени. Так, (а - б)® = а® - 6а®б + 15а<б" - 20а»б® + + б®. У нас пока недостаточно знаний, чтобы строго доказать истинность данного способа нахождения коэффициентов, но мы можем проанализировать, как получаются коэффициенты, например, при возведении двучлена в четвертую степень. А это, в свою очередь, поможет нам понять логику получения коэффициентов в треугольнике Паскаля: (а + ЬУ = (а + б)(а + bf = {а + б)(а® + За^б -f Заб^ + б®) = = а* + За^б + За^б2 + аб® + а®б + За^б" + Заб^ + Ь* = = а* + 4а®б + ба^б^ + 4аб® 4- b‘^ Итак, мы можем записать следующий алгоритм возведения двучлена в любую натуральную степень. Алгоритм возведения двучлена в п-ю степень, п е 1. Выписать в установленном порядке все одночлены, которым подобны члены итогового многочлена. 2. Записать треугольник Паскаля до (п -н 1)-й строки. 3. Записать последовательно в качестве коэффициентов выписанных одночленов числа из (л + 1)-й строки треугольника Паскаля. 4. При возведении в степень суммы (а + б)" поставить перед всеми одночленами знак «плюс». 5. При возведении в степень разности (а - б)" поставить перед первым одночленом знак «плюс», перед вторым - знак «минус» и далее чередовать знаки «плюс», «минус» до последнего одночлена. 3^ 37^ 3741 Запишите выражение: а) куб суммы X и у; в) разность кубов гиг; б) сумма кубов X и у; г) куб разности 2 и г. Докажите, что {-тУ = -пУ. Используя данное свойство, докажите, что {-X - уУ = - (х ■¥ уУ, [х - уУ = - (у - хУ. 1) Запишите произведение двучленов как многочлен стандартного вида: а) (а - 1У(а - 1); в) (1 -I- 2аУ{1 + 2а); б) (56 - 2)2(56 - 2); г) (б 3)^(6 + 3). 2) Как можно иначе назвать эти произведения? Какую закономерность в итоговых многочленах вы замечаете? 1) Запишите куб суммы а и б как многочлен стандартного вида. Используя полученную формулу куба суммы, выведите формулу куба разности а и б. 2) Сформулируйте правила возведения в куб суммы и разности двух выражений и сравните свои формулировки с правилами на стр. 71 учебника. 73 Глава 4, §3, п.З 3781 Возведите двучлены в куб: УТ^ а) (т + пУ; д) (-а - 3)®; и) (2т - 1)®; н) (-Зр - дх)®; б) (-р - qy; е) (1 -Ь s)®; к) (5 - 2п)®; 0) (с - 3d)®; в) (с - d)®; ж) (4 - ft)®; л) (-Зр - 1)®; п) (4т |)®; г) (-Г -ь 0^; з) (х - 2)®; м) (2 + 4д)®; р) (-3ft +2а)®. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (х® - 1)®; д) (р® + 2qy; и) (т® - п®)®; н) (-2yz - 5р®)®; б) (-У® 4)®; е) (г® - 5s)®; к) (-2х® - Зр®)®; о) (^a®ft - 8aft®)®; в) (2 - щ®)®; ж) (За - ft®)®; л) (-6т® -ь Юга®)®; п) (m«® -Н 4л®)®; г) (-п^ - 3)®; 3) (-4с - d®)®; м) (|й® -1- |f®)®; р) (-3cd® -Ь 5cd®)® е) 1,1». 380| в формулы (а + ЬУ = + За'^Ь + ЗаЬ^ + ft® и (а - ЬУ = а® - 3a®ft + 3aft® - ft® под- ставьте b = а, b = 2а, ft = За и убедитесь в истинности полученных равенств. Щ Вычислите, используя формулу куба суммы или куба разности: ____ а) 19®; б) 31®; в) 99®; г) 101®; д) 4,9®; 38^ Вычислите устно: а* (4)* - 3 ■ (2ЙГ ■ (4) - 3 • Ш ■ Ш - 4)’ (4Г - 3 ■ (4f • (А) - 3 • Ш ■ (йГ - 351 • 3831 Представьте многочлен как куб двучлена: а) а® + За® -Ь За -f- 1; в) 125р® + 75p'^q + 15pq^ + g®; б) ft® - 3ft® + 3ft - 1; г) 24aft® -f 8a® - 8ft® - 24fta®. 384| Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (а + 3)(-а - 3)®; г) (л: + 4у)® - 12х^у - 48д:1/®; б) (2ft - 7)®(7 - 2ft); д) -(2 + рУ - 2(1 - р)®; в) (-2р® - 3?)(2р® + 3(7)®; е) 8(1 - с)® + (с - 5)®. 38^ Какие одночлены можно подставить вместо А, В, С и D, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (2о1 + А)® = Б + С + П + 8«®; г) (4р - А)® = В + С + 108рд® + П; б) (А + ЗуУ = 125л:® + В + С + D\ д) (А - rs)® = Б -I- 21r®s®i® + С + D\ в) (А -ь ВУ = 27г® + С + D + 8а®; е) (А + Б)® = 125л:® - 150х®у -¥ С + D. 3^^ Докажите, что при любом целом х указанное выражение делится на а: а) (2л: -ь 1)® -I- (2х - 1)®, с = 4; в) (Зх + 5)® + (х - 1)®, а = 4; б) (5х 1)® - (7 - X)®, а = 6; г) (х + 4)® - (Зх -Ь 2)®, а = 2. 74 _ Глава 4. §3, п.З 3871 Какое выражение надо прибавить к (а - 6)®, чтобы получить (а + 6)^? 3881 Запишите выражение как многочлен стандартного вида: д) 2^(9 - г) - (3 - zf\ е) 4(х + 4)^ - 4хЦх + 12); ж) (а + ЬУ - (Ь + сУ + (с - аУ', з) 2р(р + 2qy - 2q{2p + qy. а) 2(а + З)"*; б) 4(с - Ьу-, в) 3(-2р - qy-, г) -5(/п + 2пу-, Решите уравнение: а) а» - (а - 3)" = 54 + 9а^-, в) 21с\с - 1) - (Зс - 1У = 19; б) (Ь + 2У - Ь{Ь + 3)(Ь - 3) - 6Ь^ = 113; г) 3(d + 2)^ + (2d - 1)» - d^(lld + 6) = 2. Найдите значение выражения при данных значениях переменных: а) 8а^ - 24а^ + 24а - 8, если а = 11; б) 2763 + 13562а + 2256а2 + 125аЗ, если 6 = -1,5; а = 2,5. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: ______X + д_______ . , 8аЗ + 12а2 + 6а + 1. а) б) х^ + Зх^р + Зхр^ + 1/3 ’ 5z - 5t в) г) 4аЗ + 4а + 1 ’ _____9р2 - 12рд2 4- 4^4__ -54pY + 27рЗ + Збр9‘ - 8дв • ш z3 - 3zH + 3zt^ - ’ Докажите тождество: а) аЗ + 63 + За6(а + 6) = (а + 6)3; в) (kx + куУ = к\х + уУ\ б) р^ - q^ - 3pq(p - g) = (р - qy-, г) (с - 3d)3 - (2с - 3d)(3cd + (с - 3dY) = - с^. В многочлен хЗ - Зх^ + 2х - 5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида: а) р + 5; б) 2у - 1; в) Зу + 4. а) Найдите значение выражения а* + Ь^, если известно, что а + 6 = -6 и а6 = 3,5. б) Найдите значение выражения а® - 6®, если известно, что а-6 = 5иа6 = -4,6. Докажите тождество: а) (х + р + 2)3 - X® - рз - 2® = 3(х + р)(х + 2)(р + 2); б) (а + 6)3 = а(а - 36)® + 6(6 - За)®; в) (т® + «®)з - Зт^п%т + а)® + 8т®пЗ = (т® + п®)®. Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его степень: а) (2 + 1)3 + 4(2 - 1)3 - 7(2 + 1)®(2 - 1); б) 5(х + Зр)з + 3(2х - р)з - 3(х + уУх - уУ; в) Зр[(2р + г®)® + (2г® - р)3]; г) а(а + ьу - Ь(а - 6)® - а(а® + 6®) + 6(а® - 6®). Глава 4, §3, п.З ЁЗ Какие многочлены можно поставить вместо А-а В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) (За* + А)* = В + 86*; б) (6 - 3)* + (6 + 3)* - А = В*; в) (2с + 3)* + (Зс - 1)* - А = В*; г) (Зг/ - 4)* + (у - 5)* + А = В*. а) Целое число при делении на 8 дает в остатке 7. Докажите, что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7. б) Целое число при делении на 5 дает в остатке 4. Докажите, что сумма куба и квадрата этого числа делится на 5. в) Целое число при делении на 5 дает в остатке 2. Докажите, что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3; г) Целое число при делении на 4 дает в остатке 3. Докажите, что сумма куба и квадрата этого числа делится на 4. Пользуясь треугольником Паскаля, запишите формулу для возведения в седьмую степень: а) (а + ЬУ, б) (а - Ь). О 1) Сложите числа, расположенные в каждой из первых шести строк треугольника Паскаля. Какую закономерность вы замечаете? 2) В формулы для (а + 6)*; (а + 6)*; (а + ЪУ\ (а + 6)* подставьте Ь = а. Какую связь этого задания с заданием 1) вы замечаете? ЁЗ Используя диаграммы Эйлера-Венна, определите правильность логического вывода: а) Если некоторые натуральные числа четные, то некоторые четные числа - натуральные. б) Если все решения неравенства Зх > О положительные числа и некоторые положительные числа - натуральные, то некоторые натуральные числа - решения неравенства Зх > 0. в) Если ни одно решение неравенства 5х - 1 > 0 не является отрицательным числом, а некоторые отрицательные числа делятся на 3, значит, некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х - 1 > 0. г) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный, то ни одно отрицательное число не является квадратом рационального числа. д) Если ни одно решение уравнения 2х = 1 не является целым числом, то ни одно целое число не является решением уравнения 2х = 1. 4^ Вычислите рациональным способом: а) (93 + 45) - (-7 -ь 155); б) - (5,2 -f 7,9) - (4,8 + 2,1); в) 39 - (13 + 4) - (17 + 6); г) 5,8 -I- 7,3 - (24,7 - 4,2) - (-2,7 -f 6,3); д) (28 : 9) • (36 : 7); е) (-4 : 9) : (20 : 18); ж) - (72 : 17) • (51 : 9) : (8 : 5); з) (-9 : 11) • (35 : 24) : (7 : 4) : (5 : 11) • 3. 76 Глава 4, §3, п.З щ 404| Решите ургшнение: а) 2с - gC = gC - (2 + gcj + 2; б) 6+ф + 9-|ь + 4 + |б-(|(.-|); в) 2|d - {ahd ky - zUl r) l|o - (2ia + 2) - - (2|о + 5 + g). Найдите значение выражения: (553 . 528) . (дс75 . Д.67) ■ Д.23 . (у2)11 ■ у46 ^ (5хуУ^ • • (i/®® : г/'*®) • ((5л:)^)® • к У) ^ если X — 5, у = S; б) р37 ■ |д,71 . д39) ■ уЛ9 ■ ^р5^9 ■ q 26 (pqr)47 . дЗб (р9 . ^,5) . (р10)3 .^21.^ 3(Р9)®- 0(qr)°, если р = 4, g = 3, г = 6, а) Из города А в город В выехал велосипедист. Через 1,5 часа из города А вслед за велосипедистом отправился мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в город В на 1 час раньше него. При этом на весь путь от А до В мотоциклисту потребовался 1 час 40 мин. Чему равна скорость мотоциклиста, если она была на 18 км/ч больше скорости велосипедиста? б) Из пункта А в пункт В выехал автобус, а через 2 часа вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого была на 80 км/ч больше скорости автобуса. Чему была равна скорость автомобиля, если он прибыл в пункт В на 40 мин раньше автобуса, а вся дорога от А до В заняла у него 1 час 20 мин? в) Чтобы прийти в назначенный срок к месту туристической стоянки, турист должен от станции электропоезда идти по установленному маршруту со скоростью 4 км/ч. Пройдя половину пути с этой скоростью, турист встретил попутную машину и оставшуюся часть пути проехал на ней со скоростью 20 км/ч. В результате к месту туристической стоянки турист прибыл на 2 часа раньше назначенного срока. Чему равно расстояние от станции электропоезда до места туристической стоянки? 406] Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1 407' а) 2566®V®d^2; б) t 345о391. в) а'*®'*’: г) : г/®®®. а) Целое число а при делении на 12 дает в остатке 5, а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7. Какой остаток дает ас при делении на 12? б) Какой остаток при делении на 8 дает квадрат нечетного числа? 4081 Возведите двучлен в куб: а) (-Х - yf\ б) (3 + zf; в) (4 - 2а)®; Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (-а® + 1)®; б) (&® + 2с)®; в) (-3d* - 2^®)®; г) (т*п г) (gU - 2с)®. 2тп*У 77 ij.asa 4, §3, п.З 4Щ Вычислите, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности: а) 49*; б) 201*; в) 2,9*; г) 2,1*. ЕЮ Вычислите устно: (4Г + 3 • (4Г ■ (®й) + 3 ■ (4) ■ +(3ftf- ЕЮ Ш ЕЮ ЕЮ ЕЮ ЕЮ Какие одночлены можно подставить вместо А, В, С и D, чтобы получившееся равенство стало тождеством: а) (2л + А)* = В + С + К + 27от*; в) (Sr - Af = В - 54r*s + С + D; б) (А + В)* = 8р* + С + В + 1257*; г) (А + В)* = С + 48х*г/ + 96ху^ + D. Представьте многочлен как куб двучлена: а) л:* — Зд:* + Зд: - 1; в) 27z* + 54z*r* + S6zr* + 8r®; б) t/*- бу*д: + 12yx^ - 8x*; г) -15a^5 + a« - 125b* + 75b*a*. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (л: + 2)(-д: - 2)*; в) (г + 2s)* - 6zs(2 + 2s); б) (Sy - 1)*(1 - Sy); г) - 6/n(3 + 2/n)* - 3(3 - 2m)*. Докажите, что при любом целом х указанное выражение делится на а: а) (X + 5)* - (X - 5)*, а = 10; б) (2д: + 6)* - (2 + 6л:)*, а = 16. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) 3(s - 0'^; в) 2(2 + 2)* - 22*(2 + 6); б) 2д:(-3д: - у)*; г) (р - у)* + (q - г)* + (г - р)*. Решите уравнение: а) 8Ь* - (2Ь - 1)* = 13 + 12Ь*; б) (с + 3)* - с(с + 5)(с - 5) - 9с* = 1. Найдите значение выражения при данных значениях переменных: а) 125л:* - 75л:* + 15л: - 1 при х= 2,2; б) 8у* + 60у*2 + 150у2* + 1252* при у = 2,5; 2 = -4,6. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) Зх + Sy б) 8а* - 12а* + 6о* - 1 4а^ - 4а* + 1 421) X* + Зх*у + Зху* + у* ’ В многочлен 2у* - у* + 5у - 9 вместо переменной у подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида: а) а + 2; б) За - 1; в) 2а + 5. а) Найдите значение выражения а* + Ь*, если известно, что а + Ь = -7 и аЬ = 6,5. б) Найдите значение выражения а* - Ь*, если известно, что а-Ь = 4иаЬ = -2,5. а) Целое число при делении на 6 дает в остатке 5. Докажите, что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5. б) Целое число при делении на 9 дает в остатке 7. Докажите, что куб этого числа при делении на 9 дает в остатке 1. 78 Глава 4, §3, п.З Какие многочлены можно поставить вместо Aw В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) (а® +Af = B + 125&«; б) (s + + (2s - I)» - А = В\ Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его степень: а) б(2а + 3bf + 4(3а - bf - 2(3а + 26)(3а - 2bf; б) л:(д: + 2yf - у(у - 2xf - 14ху(х^ + у^). Решите уравнение: а) 3 + 2jr + г| - 2г + 8,6 + |г; 4261 Найдите значение выражения: . лг15 д;12) • д;'** • (у^)^ ,25 (7хуУ* ■ • (у^^ : б) |s - (2s + 13,5) = |s - |s. 7{xy)°, если X = &, у = -9; д21 . /„13 . „26\ . ^37 . /„344 . „15 б) дГ4 . ^18 ; р13) . ^3)9 . ^17 . % + 11 : (pgf, если р = S, д = -5, г = 5. а) Со склада пончиковой компании Антона и Ксюши к клиенту выехал грузовик с товаром. Через 2 часа по тому же маршруту вслед за грузовиком выехала «газель», скорость которой была на 28 км/ч больше скорости грузовика. Чему была равна скорость «газели», если она прибыла к клиенту на 1 час раньше грузовика, а вся дорога от склада до клиента заняла у «газели» 4 часа 30 мин? б) Скорость движения лифта в здании, в котором находится офис пончиковой компании Антона и Ксюши, на 1,5 м/с больше, чем скорость движения лифта в доме Антона. Для того чтобы подняться на лифте с первого этажа в офис или квартиру Антона, надо проехать на лифте одинаковое расстояние. Подъем на лифте с первого этажа в офис пончиковой компании занимает на 20 секунд меньше времени, чем подъем с первого этажа в квартиру Антона. Считая, что скорость лифтов постоянная, найдите скорость лифта в здании, в котором находится офис пончиковой компании, если для того, чтобы подняться в квартиру Антона, требуется 40 с. а) Целое число а при делении на 14 дает в остатке 7, а целое число Ь при делении на 14 дает в остатке 9. Какой остаток при делении на 14 дает аЬ7 б) Целое число при делении на 3 дает остаток 2. Какой остаток при делении на 3 дает его квадрат? Докажите, что А и В дают одинаковые остатки при делении на 13: А = (57,8 + 17,2)(0,823 + 0,117) - 171,1 : (4,418 + 1,382); В = 503,2 - (5 • (20 + 9,744 : 2,4) - 16,3) : 0,25 + 0,752 : 0,04 . 30| Найдите сотую цифру после запятой в десятичной записи числа Ф [•311 На какую цифру оканчивается число 22222^2“ ? 79 Глава 4, §3, п.4__ 4. Сумма и разность кубов Благоприятная возможность скрывается среди трудностей и проблем. Альберт Эйнштейн (1879-1955), один из основателей современной теоретической физики, создатель теории относительности В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и куба суммы, квадрата и куба разности, а также формула разности квадратов. Для суммы квадратов мы получить формулу не смогли. А можно ли получить формулу для суммы и разности кубов? Вспомним, как мы получили формулу разности квадратов. Мы перемножили сумму и разность двух выражений, и здесь нас ждала удача. Оказалось, что (а + Ь)(а - 5) = - 5^, где а и & могут быть как любыми числами, так и любыми выражениями. Попробуем аналогичным способом действовать и для получения формулы разности кубов. Умножим, например, сумму двух выражений на квадрат их разности: (а + Ь){а - ЬУ = (а -Ь 5)(а^ - 2аЬ -I- Ь^) = а^ - 2а^Ъ + -f дУЬ - 2аЬ^ + = = а^ - а^Ь - аЬ'^ + Ь'К К сожалению, ни сумма, ни разность кубов у нас пока не получилась. Однако можно заметить, что если в множителе (а^ - 2аЬ + Ь'^) коэффициент 2 заменить на 1, то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а® + Ь^. Тем самым по.тучим формулу для суммы кубов. Проверим нашу гипотезу: (а + Ь)(а^ - аЬ + Ь^) = o'* - рУб -f Ь'^ = Выражение а^ - ah + Ь'^ получило название неполного квадрата разности о и Ь, так как в отличие от квадрата разности у произведения аЬ нет множителя 2. Таким образом, в результате нашего исследования нам удалось получить формулу суммы кубов двух выражений. Формула суммы кубов Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. аР 4- = (а -ь Ь)(а^ - аЬ + Ь^). Теперь, чтобы получить формулу разности кубов, заметим, что дЗ _ j,3 = дз ц. (-5)3 = (а 4- (~5))(а^ - а{-Ь) + (~ЬУ) = (а - Ь)(а^ + аЬ + h^). Выражение а^ + аЬ + получило название неполного квадрата суммы а и 6, так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения аЬ. 80 Глава 4, §3, п.4 Итак, мы приходим к следующей формуле разности кубов двух выражений: Формула разности кубов Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. дЗ _ ^3 = (д _ ^)(q2 + _|_ jj2^ Полученные нами формулы суммы и разности кубов, как и все другие формулы сокращенного умножения, рассмотренные ранее, верны для любых а и 6, а значит, являются тождествами. Их использование значительно упрощает различные преобразования выражений и вычисления. Рассмотрим следующие примеры. Пример 1. Запишите произведение как многочлен стандартного вида (2х -f Zy){Ax^ - Qxy -ь 9у^). Решение: {2х -Ь 2у)(Ах^ - бху + 9t/2) = (2xF -f- (3t/f = 8x'-^ + 27yK Пример 2. Упростите выражение 0,027a® -I- 0,0756® - (0,3a - 0,56)(0,09a® + 0,15a6 + 0,256®). Решение: 0,027a® + 0,0756® - (0,3a - 0,56)(0,09a® + 0,15a6 + 0,256®) = = 0,027a® + 0,0756® - ((0,3a)® - (0,56)®) = + 0,0756® - + 0,1256® = = 0,26®. Пример 3. Вычислите: 40^^----21^). Решение: 19® -I- 21® (19® -b 21®) = 19.-2I±-2.1D _ (192 + 21®) = 40 ^ 40^, = >9^ - 19 • 21 + ^- >9^ - >r^= -19 • 21 = -(20 - 1)(20 -f- 1) = -(400 - 1) = -399. G 4321 Представьте выражение в виде степени с показателем 3, если это возможно: 27/п®®а*® 6® ’ е) 8^® • 1 а) 27а®6'®; б) в) 64а'^6®а®6; г) Д) 433| Прочитайте выражения: (А + В)®; (А - Bf-, А® -I- В®; А® - В®. Соотнесите приведенные ниже записи с одним из этих четырех выражений, указав возможные А и В: а) {2х -I- 1)®; б) 64с® -t- d®; в) (-х® ч- г/'*)®; 3*/^■“Петорсон. 7 кл., ч. 2 г) 8i/® - 272®; ж) (5а - 36)®; д) (12р® - 15д®)®; з) г'®-1- 8s®; е) т'® -t- 27л®®; и) (9/г -I- 8)®; к) -125с® -I- d»®; л) (б2 + 11)®; м) 125а®‘ - а®. 81 tfia&a ч, л.4 1) Запишите произведение суммы а и 6 и неполного квадрата разности а и Ь как многочлен стандартного вида. Что вы замечаете? 2) В полученную формулу подставьте (-Ь) вместо Ь. Какая формула получилась? 3) Используя полученные равенства, сформулируйте соответствующие правила и сравните свои формулировки с формулировками на стр. 80-81 учебника. Докажите, что: а) -а® - Ь’* = -(а® 4- Ь^у, б) = -(а® - Ь^). Пользуясь формулами суммы и разности кубов, докажите, что для любых а и Ь верно равенство: г) (а -f- Ь){-а^ + аЬ - Ь^) = -а* - ft'*; д) (-а -I- Ь)(а^ + аЬ + Ь^) = - а®; е) (-а -I- Ь)(-а^ - аЬ - Ь'^) = а® - Ь*. а) (-а - Ь){а^ - аЬ + Ь^) - -а® - 6*; б) (-а - Ь){-а^ + аЬ - Ь'^) = -Ь в) (а - Ь)(-а^ ~ аЬ - Ь'^) = - а^; Выполните умножение: а) (а + 1Хо^ - а + 1); д) (2р + ЗХ4р^ - 6р + 9); и) (2л + rti^){An? - 2пт? + пУ)\ б) {Ь - 1)(Ь^ + ft 4- 1); е) (Sq - 4X9q'^ 4- 12<7 4- 16); к) (-у - 4ia)(y^ - 4уш 4- 16ш^); в) (-С - 2)(с2 - 2с + 4); ж) (-5г 4- 2Х25д^ 4- Юг + 4); л) (5t - 3r)(25t^ + 15tr + 9r^); г) (3 - dXcP + 3d + 9); з) (-1 - 4sXl - 4s 4- les^); m) {-4z + 2s)(16z^ + 8zs + 4s^). Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (лс^ 4- l)(x‘‘ - + 1); б) (1 - 2*)(2® 4- 2® 4- 1); в) (-У® - - 25)(5 - у^У, г) (а® - 2)(а^“ 4- 2а® 4- 4); д) (-4 - ft®)(-ft® + 4ft® - 16); е) (-С® 4- 3)(-с^ - Зс® - 9); ж) (3d® + 2c)(9d® - 6d®c 4- 4с®); з) (4р® - 59®)(16р® 4- 20р®д® 4- 25д'*); и) (-2г® - s®)(4^ - 2r®s® 4- s'®); к) (-25m® 4- 10m®rt® - 4n®)(-5m® - 2n®); Л) (-9/г® - 12/eV - 16s'®)(3/e^ - 4s®); M) (0,1/^ 4- 0,2s^)(-0,01r'2 4- 0,02r®s^ - 0,04s®). Ш Вычислите, используя формулы сокращенного умножения: 39® 4-41® + 31 б) 12 127® + 67® 194 19; - 127 • 67; в) г) 80 48® - 52® -4 - (39® + 41®); - (48® 4- 52®). Какой одночлен можно подставить вместо А, чтобы получившееся равенство стало тождеством? a) (2х -I- А)(4х® - 2д:А 4- А®) = 8д:® + 27у®; б) (А - 4ft)(A® + 4ftA f 16ft®) = a® - 64ft®; b) (-A - 3c)(A® - 3cA + 9c®) = -27c® - 8d®; r) i-4t + А)(Ш^ 4- 4tA + A®) = 125s® - 64f®. 82 Глава 4, §3, n.4 44Л Запишите выражение как многочлен стандартного вида, используя нужную формулу сокращенного умножения: a) (а -I- Ь){Ъ^ - 2аЬ -I- а^); г) (г - s)(2^ -I- 22s + s^); б) (-С - d){d^ - cd + c'^); д) (p - q){p'^ ~ 2p? -I- q‘^); b) (-л: -t- y)ix'^ + xy + y^); e) (-m - n){m^ - mn n^). Выполните умножение многочленов: а) 5(a^ -I- 2)(a‘* - 2a^ -I- 4); д) (x + 3)Цх'^ - 3x -l- 9); б) b(b - 3)(b2 + 36 + 9); e) (-y^ + 5)Чу^ + Ъу^ + 25); в) 3c(-c - l)(c^ - c -f 1); ж) (2^ - 1)(2^ - z + l)(z^ -1-2+1); r) od^(-d + 5)(rf2 + 5d + 25); 3) + 2s + 4)(s - 2)(s + 2). Представьте многочлен в виде произведения двух многочленов: а) - 27; д) 8р^ - 0,001; и) 64т» - 27л»; н) -а»6» - 6«; б) 64 + у»; е) 125 + 27^»; к) - 0,008^; о) -27л:»2« + 2»; л) 27Л; 3 _ 64 125 3. м) 64р® + 216д»; п) р»9»г»- 125р®; р) 343 + г‘». в) -а» - 6»; ж) -0,027 - 64г»; г) -6» + с»; з) -0,125s» + 8; Решите уравнение: а) (л: + 2)(х» - 2л: + 4) - л:(л: - 3)(х + 3) = 26; б) 6(у + 1)» + 2{у - !)(//» + у+1)-2{у+ 1)» = 32; в) (S + 2)» - s(3s + 1)» + (2s + l)(4s» - 2s + 1) = 53; г) 52(2 - 3)» - 5(2 - 3)(2» + 32 + 9) + 30(2 + 2)(z - 2) = 42. Представьте выражение в виде произведения многочленов: а) (д: - 7)» - 1; г) (5а - 4)» - 8; ж) 64(т + 5)» - т б) {у + 9)» + 27; д) (76 + 3)» + 125; з) л»(л - 8)» + 8л«; в) 64 - (2 - 5)»; е) 0,216 + (с + 0,2)»; и) 343г» - (г - 11)» Докажите, что значение выражения: а) 72»- 44» делится на 7; в) 97»+ 93» делится на 19; б) 215»+ 94» делится на 3; г) 396»- 114» делится на 141. Упростите выражение: а) (д: + у)(х^ - ху + р») - (х - р)(дг» + дгр + р»); б) 2(2 - 3)(2 + 3) - (2 - 2)(2» + 22 + 4); в) 2(2 - t)(4t + 3) + t{t + 5)» - (f + 4)(f» - 4t + 16); г) (р» - 3)» - (р» - 3)(р^ + Зр» + 9); д) (р» - 1)(р* + р» + 1) - (р» - 1)». 3. З'Л Глава 4, §3, п.4 448) Найдите значение выражения при данных значениях переменных: а) 2а® + 9 - 2(а + 1)(а® - а + 1) при а = 11,7; б) Ь(Ь + 2)(6 - 2) - (6 - 3)(fe® + ЗЬ + 9) при Ь = 2,5; в) 3(с - 1У + (с + 2)(с® - 2с + 4) - (с + 1)® при с = -3; г) (d - 1)® - 4:d(d + l)(d - 1) + 3(d - l)(d® + d + 1) при d = -2. 44^ Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) б) Ах + Ац X® + у ® ’ Зз® - 3f® 2з - 2f ’ в) г) 4т® - 9п® 8т® - 27п®’ 25р® - 16q® 125р® + 64у 27а® - 1255® 9а® - ЗОаб + 255®’ 16с® + 12cd + 9d® ,3 » е) 64с® - 27d® При допустимых значениях переменных докажите тождество: ч , X® - и® - , , , . а® - 5® а® + 5® а) ху + ^ = (х + у)®; б) 3® + S® 3S = (з - s)®; в) г) а® - а5 + 5® а® + а5 + 5® а® + 6®; d® cd = с® + d®. 3 + s с - d Докажите, что при любом целом q значение выражения делится на а: а) (у + 11)® - у®, а = 11; г) 343 - (6у + 1)®, а = 6; б) 8у® + (17 - 2у)®, а = 17; д) (7у + 11)® - 64, а = 7; в) (4у - 2)® + 8, а = 4; е) Зу® - 3(у - 4)®, а = 12. 452| Сравните значения числовых выражений: а) 36® - 12® и (36 - 12)®; в) 53® + 46® и 29® + 31® 53® - 46® б) 48® + 24® и (48 + 24)®; г) 60 и 904. Найдите значение выражения а® - 5®, если известно, что: а) а-Ь = АиаЬ = -1,75; б) а - 5 = -5 и а6 = -6. Найдите значение выражения а® + 5®, если известно, что: а)а + 6 = 6иа5 = 8,75; б) а + 5 = -2 и а6 = -8. 4551 Представьте выражение в виде произведения многочленов: а) а®5® - 8; г) ху® - з®х; ж) (с - d)® + (-с - d)®; б) х®у®з® + <®; д) с^ - с; з) (а + 5)® - (а - 5)®; в) 1 - р®у®г»; е) m®n® + 27m®n®; и) (х - 5)® + (х + 5)®. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (а + 1)(а® - а + 5); д) (2р - 3)(4р® + 6р + 10); б) (6 - 1)(5® + 5-3); е) (Зу + 5)(9у® - 15у + 17); в) (-С - 2)(с® - 2с - 7); ж) (т + л)(т® - Зтп + л®); г) (3 - d)(d® + 3d + 6); з) (г - s)(r® + 5rs + s®). 84 Глава 4, §3, n.4 457| Какими многочленами можно заменить А, В, С и D, чтобы равенство стало тождеством? а) (2х + А)(В + 9у2) = - £)3; в) (Зт -I- А)(В + С) = п® + D^; б) {А - 4р)(25д2 - В) = сз + В»; г) (5г- А)(В - С) = - 8s*2. а) Два целых числа при делении на 4 дают в остатке соответственно 1 и 3. Доказать, что сумма кубов этих чисел делится на 4. б) Два целых числа при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3. Доказать, что сумма кубов этих чисел делится на 7. Докажите тождество: а) (х - у)(х -f у)(х* + х^у^ + у*) = X® - J/®; б) (а - Ь){а + Ь)(а^ -f- 6^)(а® -I- а*Ь* ■+• б®) = а*® - в) (с - dfic + dY(c^ + + d*y = с»® - 2c®d® -t- d^^; г) (p® - - pq + + pq + q^) = p^ - q^. 460| Докажите, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 3. Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Для лож-ных высказываний постройте отрицания и докажите истинность отрицаний: a) 3 р, g е Z: р® = д; г) 3 р, g е Z: р® = -q-, b) 3 т, п, I ^ N, т ^ h = ml; д) V х, р е Q: (л: - р)® = х® - р®; в) 3 а, 6 е Q: = 4Ь®; е) V с, 4 е Q: cd® - c®d = 0. На прилавке магазина было две коробки с помидорами по 450 штук в каждой. Помидоры в различных коробках отличались ценой продажи. Так, помидоры из первой коробки должны были продавать по цене 50 р. за 10 штук, а из второй -по цене 40 р. за 5 штук. Таким образом, все помидоры из первой коробки стоили 50 • (450 : 10) = 2250 р., а из второй - 40 • (450 : 5) = 3600 р. Значит, за все помидоры из этих двух коробок планировалось получить выручку в сумме 5850 р. Продавец рассудил, что, взяв из первой коробки 10 помидоров, а из второй 5, он должен продать эти 15 помидоров за 90 р. Поэтому он смешгил помидоры из обеих коробок вместе и продавал все 900 помидоров по цене 90 р. за 15 штук. В результате им была получена выручка в размере (900 : 15) • 90 = 5400 р., то есть на 450 р. меньше того, что он должен был получить от продажи всех помидоров. Почему так произошло? Сравните значения числовых выражений: а) 5,3 • (-4) -1-31 и 5,3 • (-4) б) (-7,8) • (-3,6) -(-1-7 1) и 7,8 • 3,6 • в) 10,2 • (-5) • ( -4) и I 10,2 • 5 ■ г) (-9,7)® • (-4,5)® -1-2 1" и I 9,7® • (-4,5)® | • ( -2)®. Найдите множество целых решений неравенства: а) -2 < X < 4; в) -6 < х < -2; д) 1 < х - 3 < 5; б) 3<х<7; г)|х|<2; е)2<х-ь4<9; • ( -3); 1-7 i; ( -4) I; ж) -2 < X - 7 < 3; з) I X + 5 I < 2. 4~Пет€рсов» 7 кл., ч. 2 85 Глава 4, §3, п.4 463| а) В произведении трех чисел первый множитель увеличили на 50%, а второй увеличили на 33^%. Как надо изменить третий множитель, чтобы произведение не изменилось? б) Разность двух чисел равна 58. Найдите эти числа, если известно, что 7% одного из них равно 35% другого. в) В начале января число женщин, работавших в магазине, составляло 80% от числа всех сотрудников этого магазина. После того как в феврале уволились 8 женщин, а 10 мужчин были приняты на работу, число мужчин и женщин, работающих в этом магазине, стало одинаковым. Сколько сотрудников было в этом магазине в начале января? г) Два завода должны были вместе выпустить в январе 360 автомобилей. Однако первый завод перевыполнил план на 10%, а второй - на 20%. Поэтому они выпустили вместе в январе на 40 автомобилей больше запланированного. Сколько автомобилей сверх плана выпустил в январе каждый из этих заводов? Известно, что | а | = 5, а | 6 | = 7. Какие значения может принимать: а) I а -Ь 5 |; б) | а - Ь |? [46^ Найдите остаток от деления числа б***® на 7. ^|4бЩ Выполните умножение: а) (-Х - 3)(x^ - Зх 4- 9); в) (р - Zq)(p^ + Zpq + 9q^)\ д) (-6z + 5)(36г^ + ЗОг + 25); б) (4 - у){у^ + 4г/ + 16); г) (-2 - 3^X4 - 4- 9^^); е) (-7т + ri^A9m^ 4- 7тп 4- л^). Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (-л:® - 4х® - 1б)(4 - х®); г) (-Зр® - 9'‘)(9р® - 4- q^); б) (р® - 3)(р^® 4- Зр® 4- 9); д) (~6т^ - л^)(-36т^ 4- бт^п^ - л*'*); в) (-2 - 2®)(-г® 4- 2г® - 4); е) (5г® - 3s®)(-25r‘® - 15r^s'’ - 9s®). 4^ Вычислите, используя формулы сокращенного умножения: а) + 93 • 57; 7Q3 4- Q13 б) - (79^ + 812). 36 ■ IgO Какой одночлен можно подставить вместо А, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (4р 4- А)(16р2 - 4рА 4- A^) = 64р'* 4- 125р®; б) (А - 6л)(А2 4- блА -Н 36л2) = 27лг® - 216л®. 472| Выполните умножение многочленов: а) х(х - 2)(х^ 4- 2х 4- 4); в) (-2® 4- 2)®(2'‘ 4- 22® 4- 4)®; б) 4р(-р - 3)(р2 - Зр 4- 9); г) (^2 - 4)(«2 - 2t + 4)(t^ + 2t + 4). ш Представьте многочлен в виде произведения двух многочленов: а) а® - 64; в) 27с® - 1000; д) 27р® - 64Н; ж) -2®t® - s»®; б) 8 + 5®; г) 216 4- 0,001р®; е) — — 8р®; з) -125d®e® 4- a^®. 86 Глава 4, §3, п.4 Решите уравнение: а) {х + 3)(х^ - 3jc + 9) - х(л: - 4)(х + 4) = 59; б) 9(Ь + 2)2 + 3(Ь - 4)(Ь2 + 46 + 16) - 3(6 + 1)2 = 3. 47^ Представьте выражение в виде произведения многочленов: а) (а + 7)2 + 64; б) (96 + 5)2 - 27; в) с«(с - 6)2 + 125с®. 4^ Докажите, что значение выражения: а) 682- 243 делится на 11; в) 792+ 953 делится на 58; ____ б) 3262+ 542 делится на 38; г) 4242- 3^33 делится на 53. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: 5а + 56. . 25р2 - I6q2 1000дс2 - 27у2 а) б) а2 + 62 ’ 9с2 - 942 г) 125р2 - 64^2’ 49т2 - 16^2 е) 100x2 + ЗОху + 9t/2’ 2^ + 12z^t + 36^2 ____5с-5d' ‘' 343m2 + 64п2 ’ + 2Ш^ 478| Представьте выражение в виде произведения многочленов: а) х«у® - 1; в) a2j/9 - t^a^; д) (2х + yf - (2х - yf; б) 52® - 40s>2; г) 6‘о - 6; е) (4х + 5уУ + 4х + 5у. Ё2) Найдите множество целых решений неравенства: а) -3 < у < 1; в) -4 < у < -1; д) 2 < у - 4 < 3; ж) -1 < у - 1 < 1; б) 6 < у < 8; г) I у I < 3; е) 5 < у + 2 < 7; з) | у + 3 | < 4. а) В начале 2008 года число мужчин, работавших в одном из филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши, составляло 60% от числа всех сотрудников этого филиала. В течение года уволилось 10 мужчин, а 6 женщин были приняты на работу. После этого оказалось, что мужчин - работников этого филиала стало столько же, сколько женщин. Сколько сотрудников работало в этом филиале пончиковой компании в начале 2008 года? б) Два филиала пончиковой компании должны были вместе выпустить в декабре 40 т пончиков. В конце декабря выяснилось, что первый филиал перевыполнил план на 20%, а второй - на 30%. А их совместный выпуск в декабре составил 50 т. Сколько тонн пончиков сверх плана выпустил каждый из этих филиалов в декабре? 4811 Найдите остаток от деления числа 382®° 482| Докажите, что сумма кубов А и В делится на 36: А = ^.4 д11,.,„3 „2 ^^5 ■ ®I2 + ^34 ■ ’^15 О -I- 2— • 3—• В = Зб| : 15 + 8| • ' 16 4 + 2^ ^ ^ 24 • — 4 + 9 7| - 157| : 24 483| X грибников спросили, сколько они собрали грибов. Первый из них сказал, что он собрал грибов в два раза меньше, чем второй, плюс еще 30 грибов. А второй грибник сказал, что он собрал столько же грибов, сколько первый, плюс еще 50 грибов. Сколько грибов собрали оба грибника? 48^ Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7? 4* 87 Глава 4, §4, п.1 § 4. Разложение многочленов на множители 1. Вынесение общего множителя за скобки Видеть и делать новое -очень большое удовольствие. Вольтер (1694-1778), французский философ Для того чтобы разобраться в том, что значит разложить многочлены на множители и зачем это нужно, вычислим произведение двучленов {х + 1)(л: - 2). Получаем (х + 1)(х - 2) = + X - 2х - 2 = х'^ - X - 2. А теперь решим уравнение: х^ - х - 2 = 0. Мы только что получили, что 1^2 — X - 2 = (х + 1)(х - 2), поэтому х2-х-2 = 0о(х-Ь 1)(х - 2) = 0. Произведение нескольких множителей тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, (х -f 1)(х -2) = 0<:>x-fl = 0 или X - 2 = о Но мы уже умеем решать такие уравнения: ’Д x-fl = 0-»x = -1, х-2 = 0с5>х = 2. Таким образом, корни исходного уравнения х = -1 и х = 2. Если бы мы не узнали, что многочлен х^ - х - 2 можно представить в виде произведения (х -f 1)(х - 2), то не смогли бы решить данное уравнение, так как пока не знаем общего способа решения уравнений такого вида. Умение раскладывать многочлены на множители, то есть представлять их в виде произведения двух или более многочленов, оказывается очень полезным при решении различных задач. А значит, нам надо этому научиться. Следует отметить, что любой многочлен мы всегда можем представить в виде произведения некоторого числа и многочлена, причем бесконечным числом способов. Для этого достаточно вынести за скобки любой числовой множитель, например: х2 - X - 2 = 2(0,5х2 0,5х - 1) = |(3х2 - Зх 6) = 0,2(5х^ - 5х - 10) и т. д. Но такое разложение на множители не поможет нам в решении многих задач (например, в решении уравнения, которое мы только что рассмотрели). Поэтому, когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители, мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители (то есть такие разложения, в которых каждый многочлен-множитель имеет степень, большую нуля). Например, операцию представления многочлена 2а -ь 26 в виде 2(а -I- 6) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители, а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку. 88 Глава 4, §4, п.1 Итак, Определение. Разложить многочлен на множители (на буквенные множители) -это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов, степень которых больше нуля. Разложить многочлен на множители не всегда легко, а порой и невозможно. Поиск соответствующего способа разложения - процесс творческий, требующий большой изобретательности. Тем не менее существуют приемы, позволяющие упростить этот поиск. Одним из наиболее простых способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки. Этот способ основан на распределительном законе умножения: а, Ь, с & Q: а(Ь + с) = аЬ + ас аЬ + ас = а{Ь -ь с) (п.п. 3.1.1 - 3.1.2). Например, каждый член многочлена - 10х^ + 25х имеет множитель 5л:. Значит, этот многочлен мы можем рассматривать как произведение одночлена 5х и многочлена л:^ - 2л: -I- 5. Ведь - Юл:^ + 25х = 5х • л:^ - 5х • 2л: -Ь 5х • 5 = 5л:(л:^ - 2л: -Ь 5). Таким образом, мы разложили многочлен 5х^ - 10х^ + 25х на множители 5л: и л:=^ - 2л: + 5. Проверить правильность разложения многочлена на множители можно умножением. Так, умножив Ъх на многочлен х^ - 2х 5, записанный в скобках, мы получим исходный многочлен 5х'^ - \0х^ + 25л:. Вынеся общий множитель 5х за скобки, в скобках мы записали многочлен, каждый член которого мы разделили на 5х. Проведенное рассуждение верно и в общем случае. Действительно, пусть все члены некоторого многочлена са^ -h са^ + ... -t- са^, п € N, имеют общий множитель с. Тогда если с 5^ О, то вынесем за скобки общий множитель с, выполнив следующие равносильные преобразования: 1са, сао , са, + са., + ... -1- са — с|— -Ь — -t- ... -I- —) = с(а, -Ь а, -Ь ... -1- а ). 1 2 «\сс с I ^ ^ " Если же с = О, то равенство са^ -f са^ -Ь ... + = с {а^ а^^ ... -t- aj также бу- дет верно. Поэтому вынесение за скобки общего множителя, в отличие от действия деления, возможно для множителей как равных, так и не равных нулю. Итак, чтобы вынести за скобки общий множитель с, мы можем в скобках записать многочлен, каждый член которого получен в результате его деления на с. Заметим, что члены исходного многочлена 5л:^ - Юл:^ -I- 25л: имеют и другие общие буквенные множители: л:, -л:, -5л:, 2л: и т.д. Но за скобки удобнее всего выносить 5х или -5л:. В этом случае в скобках остается многочлен, все члены которого не имеют общих буквенных множителей. При этом коэффициенты всех членов получившегося в скобках многочлена - целые числа, которые не имеют общих делителей, отличных от 1. Именно к такому разложению многочленов на множители мы и будем стремиться, вынося общий множитель за скобки. Рассмотрим несколько примеров использования разложения многочленов на множители при решении задач. 89 Глава 4, §4, п.1 Пример 1. Упростите при а ф О выражение: Решение’. 9ас - Заб - 6а^ За Заметим, что все члены многочлена, стоящего в числителе, имеют общий множитель За. Вынесем его за скобки, разделив каждый из членов многочлена, стоящего в числителе, на За. Получаем: д^/9ас _ Заб _ 6а^\ 9ас - ЗаЬ - 6а^ _ За За За / ^ За(3с - Ь - 2а) За За За Теперь, поскольку За О, мы можем сократить дробь на За. В итоге получаем: 9ас - Заб - 6а^ За = Зс - Ь - 2а. Отметим, что выносить за скобки можно не только одночлены, но и более сложные выражения, если они являются общими множителями всех слагаемых некоторой суммы. Пример 2. Решите уравнение: 3(2х - If - д(2х - If - 9(2л: - 1) = 0. Решение: Выражение в левой части уравнения состоит из трех слг1гаемых, имеющих общий множитель 3(2х - 1): 3(2х - If = 3(2х - 1) ■ (2х - If 6(2х - If = 3(2х - 1) • 2{2х - 1) 9(2д: - 1) = 3(2х - 1) • 3 Вынесем его за скобки и преобразуем выражение, полученное в скобках: 3(2jc - If - 6(2jc - If - 9(2x - 1) = = 3(2x - 1) ■ (2x - If - 3(2x - 1) ■ 2{2x - 1) - 3(2x - 1) • 3 = = ЗГ2х - 1) ■ [(2x - If - 2(2x - 1) - 3] = = 3(2x - 1) • [4x2 _ ^ + j/- ^ = 3(2x - l)(4x2 - 8x) Выражение 4x^ - 8x, стоящее во второй скобке, мы также можем разложить на множители, вынося за скобки общий множитель 4х. Получим: 3(2х - 1)(4х2 - 8х) = 3(2х - 1) • 4х(х - 2) = 12х(2х - 1)(х - 2). Значит, исходное уравнение равносильно уравнению 12х(2х - 1)(х - 2) = 0. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, 12х(2х - 1)(х - 2) = о о 12х = 0 или 2х - 1 = 0 или х - 2 = 0 <=> о X = о или X = 0,5 или X = 2. Ответ: {0; 0,5; 2}. Заметим, что при решении примера 2 нам пришлось выносить общий множитель за скобки несколько раз. Ведь если бы мы вынесли за скобки только один из общих множителей, х или 2х - 1, это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение. 90 Глава 4, §4, п. I О т Сократите дробь: 2а + 2Ь -24 а) б) Зх - Зу' в) 4 . 25р + 45q ^ 27г + 18s 12с - 166’ -10 ’ &t - 21v ■ Какой одночлен надо поставить вместо А, чтобы равенство превратилось в тождество? а) Збх^у = А • 4ху; б) 54гЧ^ = 27А • 2®; в) 18р'° = • А; г) 15q^r^ = 5А • rq; д) 12а6с = А • Зс; е) 9dV = ЗА • Зd^. Вычислите рациональным способом. Какой закон умножения вы при этом использовали? а) 6 • 19 -1- 6; в) 34 • 3 + 17 • 4; д) 58 + 29 • 3; б) 27 • 5 + 13 • 5; г) 40 • 4 32 • 15; е) 72 + 36 • 8. 1) Пользуясь распределительным законом умножения, вынесите за скобки общий числовой множитель тремя различными способами: - X - 2. Сколько различных способов вынесения за скобки общего числового множителя существует? 2) Найдите произведение двучленов (х + 1)(х - 2). Что вы замечаете? 3) Используя один из способов разложения многочлена х^ - х - 2 на множители, решите уравнение: х2 - X - 2 = 0. 4) Сравните способы представления трехчлена х^ - х - 2 в виде произведения нескольких множителей, полученных в заданиях 488 (1) и 488 (2). Чем они похожи? Чем отличаются? 5) Предложите свой вариант определения операции «разложение многочлена на множители». Сравните свое определение с определением, приведенным на стр. 89 учебника. Вынесите общий множитель за скобку и проверьте правильность своего результата, выполнив умножение: а) 3 - За; г) 4т - 8п; ж) pq + 8р; к) 2kt - t^; 6) 56 - 20; д) 15х + 45у; з) аЬ - Ьс; л) тп® + Зт; в) 2 + 6с; е) 18с - 72d®; и) х® - ху; м) 7д® - 2®. В каких случаях мы говорим, что выполнено разложение многочлена на множители? Разложите многочлен на множители тремя различными способами: бу® - 12у^ + Збу. Какое действие над членами данного многочлена надо выполнить, чтобы найти выражение в скобках? Какой общий буквенный множитель удобнее всего выносить за скобки? Почему? Сравните свои выводы с выводами на стр. 89 учебника. 91 Глава 4, §4, п.1 Разложите двучлен на множители: а) За^ - 6а*; д) 9х^ - бх^у; и) \6т^п + Ът^п*; б) 16b'' - 8b''; е) Ir^s + 21r*; к) -bu^v* - lOuu^; в) бс* - 12с®; ж) 18рд® - 9q*; л) -27а®Ь + 18а^Ь^; г) lOd" + 30d®; з)2а®+4а<Ь; м) Slc^d® - 34с®^2; 49^ Разложите трехчлен на множители: а) аЬ - Ьс + db; д) Зтп - 9т^п^ + 12/п®п^; б) -ху - zy + yt; е) -8а*Ь + 16а^Ь^ - 20а®Ь®; в) -2а + аЬ - ас; ж) 2p^q^ + 4p^q^ - 6pq; г) Зр - 2pq + 4pr; з) 9х^у^ - бх^у^ + 15х^у^; н) -p^qr - bpqr; о) 2s^t*v^ - s’t^v^; п) Smn^t + 24mnt'^; р) -15л:®уг + 10x*yz^. и) 8c^d® - 6c^d^ + 16c®d^ к) -20m‘*n® - 12m^a‘' + 16m®n^; л) 15a^b^ + 5a®b® - 10a®b®; m) 24r®s® - 16r®s’^ - 40r'®s®. 493| Из блоков, приведенных ниже, постройте алгоритм разложения многочлена на множители путем вынесения общего буквенного множителя за скобки: Найти общий буквенный множитель С всех членов многочлена Записать исходный многочлен в виде произведения СА Найти этот общий множитель и обозначить его С, Положить новое значение С равным произведению C^ и найденного ранее С Записать разложение в виде произведения СА 4941 Найдите значение выражения рациональным способом: а) б,98о - а^ при а = 1,98; л у 15z - 21 , бх - би , к П P~y-iy^ ^ у = “2; б) Ь®с - Ьс® при Ь = 7; с = -3; е) 252® - 702 + 49 при 2 = 2,6; 4- Ah в) 32p^q - 25pq при р = 0,5; q = 30; ж) _ ^^2 при а = -0,3; Ь — 0,04; г) 8т® - 18mn® при т = 4,5; п = -|; з) i +^4cd^-f ^4^® ^ d = 5. 92 Глава 4, §4, п.1 4^ Сократите дробь при допустимых значениях переменных: jc^ + 2хц + Ъх + Ъу ’ 7а - 1Ъ - 2аЬ + • а) Зхи - 6х 7ху - 14х’ в) 72® - 21гё 42d® - 12d®’ д) б) 5аЬ + 2Ьс г) Зр® - 8ра е) 25а + Юс’ 2Ард - 9р®’ 496 Докажите, что значение выражения кратно а: а) 21 • 37 + 62 • 37 при а = 83; б) 46,6 • 8 - 17,6 • 8 при а = 29; в) 92 • 75 + 23 • 48 при а = 87; г) 63 • 55 + 105 • 84 при а = 39; Разложите многочлен на множители: д) 7® + 49^ при а = 8; е) 81® - 9® при а = 13; ж) 36^ - 6® + 36 при а = 31; з) 25" + 5" - 25® при о = 29. а) аф + с) + ёф + с); б) 5х{у + 2) - 3t(y + г); в) 6т(р - д) + 7п(д - р); г) 9r(s - t) - 2k(t - s); и) s(t - 1)® - r(l - ty, к) 2m(4n - 3) - 3ft(3 - 4n)®; л) x\2 - y^f + 2®(y® - 2); M) 4a®(&® + 3)® - 9c®(-&2 - 3). Д) (x - yf -(x- y); е) (З2 + ty + (Зг + ty, ж) 4(ot - n) - 3(m - n)®; з) 2p(p - g)-{p- дУ\ Решите уравнение, используя разложение многочлена на множители: а) х® + Зд: = 0; е) с(3с - 1) - 2(3с - 1) = 0; л) 5а® + 4а® = 0; ж) 2d(5d + 3) + 3(5d + 3) = 0; з) 5т{т - 4) - 4(4 - m) = 0; и) 7(га - 8) + 6а(8 - п) = 0; к) -8р{6р - 5) - 4(6р - 5) = 0; б) 6у‘^ - у = 0; в) 82 - 122® = 0; г) -7<® - l,4t = 0; д) -Зг + 1,8г® = 0; м) Ь* - = 0; н) S® - 3s" = 0; о) г" - бг® = 0; п) 9d^ + 2d® = 0. 4991 Представьте выражение в виде произведения многочленов: г) x®(y® - 2®) + i/®(i/® - 2®); д) /п®(п - г)® + /п®(п + г)®; е) аЬ(с® + cd + d®) + а6(с® - cd + d®). а) (4р - 5д){3т - 2п) + (4д - Ър){3т - 2п); б) (5с - 2d)(2r + 3s) - (2с - 7d)(2r + 3s); в) (7а + 36)(9с + 8d) - (6а + 2fe)(8d + 9с); Разложите многочлен на множители: a) За(6 - 1) - 2с(6 - 1) + ёф - 1); е) а(2 - х®) + &(х® - 2) - 2 + д:®; б) 7с(г - s) + bk{r - s) + 3n(r - s); ж) x(a + b) + ay + by; b) p(g® + r®) + m(9® + r®) + n(g® + r®); 3) ?(&" + 6® - ft) + 6" + ft® - b; r) s(a + ft + c) - t(a + b + c) + k(a + ft + c); и) 3b(m + n) + m + n; д) 42(m + n - k) + 5y(m + n - k) - 7x{m + n - k); к) k{p + g) - rp - rg. Представьте выражение как произведение (n, k, т & N): а) 3""® + 3"; в) 4"*"^® - 4'"; д) 2®*+® + 2®*'®; б) 7*+i - 7*; г) 5-.+1 - 5"-i. е) 6®-”^* - б®"-!. Глава 4, §4, п.1 _______________________________________________________________ Найдите значение выражения рациональным способом: а) x{z + 3) - y{z + 3) при X = 0,75; у = 0,5; z = -7; б) 5а(5 - 2) - 4а(6 - 2) при а = 0,8; Ь = 14,5; в) 4р'^(д + 7) - Зр^ (q + 7) при р = -0,2; q = 8; г) (4т - Зга)(5г + 2s) - (6m - 4л)(5г + 2s) при m = -0,5; п = 2; г = 0,2; s = -3. 50^ Докажите, что: а) сумма целого числа и его квадрата есть число четное; б) разность куба целого числа и самого числа делится на 6; в) сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3 делится на 12; г) разность двух последовательных натуральных степеней числа 5 делится на 20. Какие из приведенных ниже высказываний являются общими, а какие - высказываниями о существовании? Определите истинность высказываний. Для ложных высказываний постройте отрицания и докажите истинность отрицаний: а) V а е Q: = а"^; г) V га € iV: 28" = 7" + 4"; б) 3 а S Q, а ^ 0: ‘ = 2а^^; д) V га е 7V: 28" = 7" • 4"; в) V а 6 Q: + а*'®; е) 3 а, Ь е Q: (а - &)® = - 6*. Множества А, В и С заданы перечислением их элементов: А = {-11; -8; 3; 5}; В = {-11; 2; 3; 7}; С = {3; 5; 7; 9}. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, Б и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А П Б; в) Б U С; д) (А U Б) П С; ж) Б П С П А; б) А и Б; г) Б П С; е) С U (А П Б); з) А U Б U С. Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и Б. Найдите их пересечение и объединение: а) А = {а: а = 5га -Ь 3; га G N; о < га < 5}; б) А = {о: а = -4га -Ь 3; га е ЛГ; -2 < га < 2}; В = {Ь: Ь = Зт + 2; т е N; -1 < т < 3}; В = {Ь: Ь = Зт + 1; т е N; 0 < т < 3). [50Т| Переведите в указанные единицы измерения и вычислите: а) в килограммы: в) в часы: 0,78 т - 595 кг + 615 г + 3,2 ц; 45 мин + 2 суток - 12,25 ч - 3600 с; б) в сантиметры: г) в рубли: 15,9 м - 215 мм - 15,9 см - 21,4 дм; 6,7 тыс.р. - 1200 коп. -f- 245,3 р. - 90 коп. 94 Глава 4, §4, п.1 508| Сократите дробь при допустимых значениях переменных: ч 9р^ + 24pq + 16q^ ч - 28хи + 49р^ ч 8т^ - Збт^п + 54дш^ - 27п^ Зр + 4д ’ 4х^ - 49J/2 ’ 4т? - 12тп - 9п^ ’ б) 1т - Ъп г) 25с2 - 9(Р е) 64р^ - ш о 49т2 - 70/пп + 25п2’ 25с^ + 30cd + 9d2’ 16р^ + 4pq + q^‘ Найдите неполное частное и остаток при делении на (-11) следующих чисел: а) 0; в) 12; д) 15; ж) 27; и) -45; л) 98; б) 5; г) -12; е) -15; з) -27; к) 45; м) -98. Докажите: а) Если целое число делится на (-7), то оно не может при делении на (-14) давать остаток 5. б) Если целое число при делении на (-12) дает остаток 5, то оно не делится на (-4). в) Если целое число делится на (-5), то при делении на (-15) оно не может давать остаток 11. г) Если целое число при делении на (-36) дает остаток 35, то оно не делится на (-9). а) Средний возраст 12 игроков баскетбольной команды равен 24 года, а средний возраст этих игроков вместе с тренером равен 25 годам. Сколько лет тренеру этой баскетбольной команды? б) В городе N был проведен анализ стоимости картофеля. Для этого были собраны данные о стоимости 1 кг картофеля в 10 магазинах и на 5 рынках города. После вычислений получилось, что в городе N средняя стоимость 1 кг картофеля в магазинах составляет 19,5 р., а средняя стоимость картофеля на рынках -18,3 р. Чему равна средняя стоимость 1 кг картофеля в этих 15 торговых точках города N? в) Выехав из Москвы в Санкт-Петербург, автомобилист проехал сначала 120 км со скоростью 60 км/ч, затем 240 км - со скоростью 80 км/ч, а последние 350 км -со скоростью 70 км/ч. С какой средней скоростью передвигался автомобилист по дороге из Москвы в Санкт-Петербург? Может ли среднее арифметическое 27 целых чисел равняться 19,8? [Mj Вынесите общий множитель за скобку и, выполнив умножение, проверьте правильность своего результата: а) Их + Ъ\у\ б) Л- 1а; в) 4Ь^ - 165®; г) у® - хуг. Разложите многочлен на множители: а) 16а® - 7а'*; в) 5c®d + 15cd®; д) 8zt^ - 14г®<®; б) 75® - 115®; г) 9xV - 27д:®у®; е) 12ру® - 16у®. Запишите выражение в виде произведения многочленов: а) аЬ - ас - ad; в) 9m®n - 18m®n® - 12m®ra®; д) \4х^у* - 21х'^у^ + 28х’’у^; б) -5х - ху + xz; г) 8r®^® - 24r®i® + 20rt®; е) 12р®у® + 6p’’q^ - 48р®у®. 95 Глава 4, ^4, п.1 Найдите значение выражения: а) а*Ь'^ - при а = 3; Ь = -2; б) 16c^d - 12cd при с = 0,5; d = 40; в) 92 - 12 92^ - 242 + 16 при 2 = 3; , 7х'^ + 21v -~9^ " при д: = 4; {/ = 2. 51^ Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) б) баб -ЗаЬ - 12а. - 6а ’ в) х^ - 2хи + 9х - 9у ’ д) 7с^ - 4cd г) 32 - 4t е) 2\cd - 12d2’ 9z^ - 24zt + ' 9р^ + 48р<7 + 64q^ 9р'^ - 64q^ ’ 27т^ + 8п« 9т^ - бтп + 4п^' Разложите многочлен на множители: д) (с - dr + id- с); е) {5х + уГ + {5х + у); ж) а\3 - Ь^Г + b'W - 3); з) 2р2(д2 + 9)2 - 12g2(-g2 _ 9), а) х(у - 2) + у(у - 2); б) ЗЬ(а + с) - 7с{а + с); в) Ът\т + 2) - га(-2 - т); г) 8(р - 7) + 3^2(7 - р); 519| Решите уравнение: а) + 7дг = 0; г) а(4а - 1) - 5(4а - 1) = 0; ж) 7р^ + Зр^ = 0; б) 9у^ - у = 0; д) 36(76 + 5) + 9(76 + 5) = 0; з) = 0; в) -42 + 24z^ = 0; е) 4с(8с - 12) - 5(8с - 12) = 0; и) 11р® + 6р* = 0. ш Представьте выражение в виде произведения двух многочленов: а) (7а - 36)(4а - Зс) - (8а - 46)(4а - Зс); б) (2jc + 5у)(82 + 9^) + (2л: + 5y)(llz + 5t); в) р'^(р‘^ - д^) + д^(р^ - д^); г) тп(т^ + 2тп + п^) + тп(т^ - 2тп + 2п^). Найдите значение выражения: а) а(Ь - 3) - 6(6 - 3) при а = 3,8; 6 = 2,3; б) (Зс - 2б?)(бг + 3s) - (Зс - 2d)(4r + 5s) при с = 7; d = 0,5; г = 0,3; s = 0,4. Разложите многочлен на множители: а) 4д:(д: - 1) - Зу(х - 1) + 52(д: - 1); г) д:(3 - у'^) + у(у^ - 3) - 3 + у‘^; б) т(т - п - р) - п(т - п - р) + р(т - п - р); д) 7а(с + d) + с + d; в) 5а(а + 6 - с) + 46(а + 6 - с) - 6с(а + 6 - с); е) 3m{z + г) - nz - nr. 52^ Представьте выражение как произведение (п, т е N): а) 5"^2 + 5п. б) 2'"-з - З-"; в) 7'^*'^ - 7"*'; г) 8®"*^* - 8^'"-‘. 96 Глава 4, $4, п.1 Множества А, В и С заданы перечислением их элементов: А = {-5; -3; 4; 7}; В = {-3; 2; 4; 9}; С = {3; 4; 7; 9}. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, Б и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А и В; б) А П С; в) С U (А П Б); г) А П Б П С. 525 Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и Б. Найдите их пересечение и объединение: А = {а: а = 7п + о; п е N; 1 < п < 5}\ В = {Ь: Ь = Ат -Ь 1; m е iV; 5 < m < 8}. Найдите неполное частное и остаток при делении на (-9) следующих чисел: а) 0; в) 11; д) 14; ж) 25; и) -37; л) 56; б) 6; г) -11; е) -14; з) -25; к) 37; м) -56. Докажите: а) Если целое число делится на (-3), то оно не может при делении на (-12) давать остаток 7. б) Если целое число при делении на (-12) дает остаток 5, то оно не делится на (-18). 528| а) В пончиковой компании Антона и Ксюши провели анализ цен на пончики у конкурентов в разных городах. Средняя цена одного пончика в пяти городах Центрального региона России равна 15,6 р., в восьми городах Северо-Западного региона - 16,8 р., а в семи городах Южного региона - 18,6 р. Чему равна средняя цена одного пончика в этих 20 городах? б) По дороге из дома в офис Антон проехал на автомобиле сначала 12,8 км со скоростью 16 м/с, затем 11 км - со скоростью 22 м/с, а последние 20 км - со скоростью 10 м/с. С какой средней скоростью Антон ехал из дома в офис? (Ответ округлите с точностью до десятых метра в секунду.) 529 Может ли среднее арифметическое 56 целых чисел равняться 13,2? 530| Докажите, что разность кубов А и Б делится на 29: А = (ЗЗ^ - 2б|| + l||) • 6д -f 15 • 20,15 : 2,5 - 100,9; Б = 17,5 - 7| • (0,85 + ^) + 75,11 : 3,7 • Ф 532 1| в строку выписали одно за другим натуральные числа от 1 до 60: 1234567891011... 585960 Вычеркните 100 цифр, чтобы оставшееся число было как можно а) большим; б) меньшим. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый -с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета в таком мяче? 97 Глава 4, §4, п.2 2. Способ группировки «Как показывает опыт, ничто с такой силой не побуждает высокие умы к работе над обогащением знания, как постановка трудной и в то же время полезной задачи». Иоганн Бернулли (1667-1748), швейцарский математик В некоторых случаях удается разложить на множители и такие многочлены, члены которых не имеют общего буквенного множителя. Рассмотрим, например, многочлен Зое + Sbe - 8ad - 8bd. Его члены не имеют общего буквенного множителя. Но мы можем сгруппировать их так, что после некоторых преобразований общий множитель будут иметь образованные нами группы. Например, в первую группу объединим первый и второй члены многочлена, а во вторую - третий и четвертый (при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак «минус», то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные). После этого из каждой группы вынесем за скобки общий множитель: Зое -ь ЗЬс - 8ad - 8bd = (Зас -f 36с) - (8ad ■+■ 8bd) = Зс(а -I- 6) - 8d{a 6). Мы получили сумму двух выражений, каждое из которых имеет множитель а -I- 6. Вынесем его за скобки: Зс(а + Ь) - 8d(a -Ь 6) = (а + 6)(3с - 8d). В результате нам удалось разложить исходный многочлен на множители: Зас -Ь 36с - 8ad - 8bd = (а -f 6)(3с - 8d). Способ, которым мы здесь воспользовались, называется способом группировки. Он состоит в том, что мы объединяем члены многочлена в группы таким образом, чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у слагаемых нового выражения появились общие множители. Заметим, что вовсе не обязательно группировать члены многочлена, стоящие рядом. Например, в рассмотренном нами многочлене можно было сгруппировать первый член с третьим, а второй - с четвертым: Зас -ь 36с - 8ad - 8bd = (Зас - 8ad) -Ь (36с - 8bd) = а(3с - 8d) -f- 6(3с - 8d) — = (Зс - 8d)ia + 6). Однако далеко не каждая группировка приводит к разложению многочлена на множители. Так, если в рассмотренном нами примере сгруппировать первый член с четвертым, а второй - с третьим, то желаемого результата мы не получим. Выбор подходящей группировки требует порой большой изобретательности. Но существуют некоторые стандартные приемы. Именно их мы сейчас и рассмотрим. 98 Глава 4, §4, п.2 Перестановка слагаемых Если слагаемые, которые мы хотим объединить в группы, идут не подряд, то часто бывает удобно поменять их местами. Мы можем это сделать на основании переместительного закона сложения. Перестановка слагаемых позволяет избежать ошибок при составлении групп, особенно тогда, когда слагаемых достаточно много. Пример 1. Разложите на множители многочлен Здг^ -I- Тху -1- -I- Тух'^ -t- Зх 4- 1у. Решение: Сгруппируем в нашем многочлене слагаемые с коэффициентом 3 и слагаемые с коэффициентом 7 и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель. Тогда Зх^ + 1ху + Зх^ + 1ух^ -Ь Зх + 7г/ = (Зх^ + Зх^ -1- Зх) -I- (7x1/ + 1ух'^ -ь 7у) = = Зх(х^ -f X + 1) + 7у{х + х^ 4- 1) = Зх(х^ 4- X 4- 1) 4- 7у(х^ 4- х 4- 1). Значит, исходный многочлен можно записать в виде суммы двух выражений, каждое из которых имеет множителем трехчлен х^ 4- х 4- 1. Вынося его за скобки, получаем Зх(х^ 4- X 4- 1) 4- 7«/(х^ 4- X 4- 1) = (х^ 4- X 4- 1)(3х 4- 7у). Таким образом, исходный многочлен разложен на множители: Зх'* 4- 7ху 4- Зх'* 4- 7ух'* 4- Зх 4- 7j/ = (х^ 4- X 4- 1)(3х 4- 7у). Представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов Нередко члены многочлена, который требуется разложить на множители, нельзя сразу разбить на нужные группы. В этом случае можно попробовать представить какой-нибудь из его членов в виде суммы или разности нескольких подобных ему одночленов. Проиллюстрируем сказанное следующими примерами. Пример 2. Разложите на множители многочлен х® 4- 5х'* 4- 4. Решение: Коэффициенты членов исходного многочлена равны 1, 5, 4. Так как 5 = 14-4, представим 5х'* в виде суммы подобных ему одночленов с коэффициентами 1 и 4. Тогда X® 4- 5х* 4- 4 = X® 4- (х® 4- 4х®) 4- 4 = X® 4- X® 4- 4х® 4- 4. Теперь в первую группу объединим первые два слагаемых, а во вторую - третье и четвертое, после чего вынесем в каждой из групп общие множители. Получим X® 4- X® 4- 4х® 4- 4 = (х® 4- X®) 4- (4х® 4- 4) = х®(х® 4- 1) 4- 4(х® 4-1). Каждое из слагаемых полученной суммы имеет множитель х® 4- 1. Вынесем его за скобки: х®(х® 4- 1) 4- 4(х® 4- 1) = (х® 4- 1)(х® 4- 4). Таким образом, исходный многочлен разложен на множители: X® 4- 5х® 4- 4 = (х® 4- 1)(х® 4- 4). Пример 3. Разложите на множители многочлен 3t/® + 7у - 10. Решение: Коэффициенты членов исходного многочлена равны 3, 7, -10. Представим 7у в виде разности одночленов Юг/ - Зг/, тогда Зг/® + 7г/ - 10= Зг/® -ь (Юг/ - Зг/) - 10 = Зг/® 4- Юг/ - Зу - 10 = Зу® - Зу + Юу - 10 = = Зу(у - 1) + Ю(у - 1). 99 Глава 4, §4, п.2 Мы записали исходный многочлен в виде суммы двух выражений, каждое из которых имеет множитель у ~ 1. Вынесем его за скобки: Зу(у - 1) + 10(1/ - 1) = (у - 1)(3г/ + 10). Таким образом, исходный многочлен разложен на множители: 31/2 + 7г/ - 10 = (I/ - 1)(3г/ + 10). Прибавление и вычитание одного и того же слагаемого Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том, что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же выражение, то многочлен от этого не изменится. Пример 4. Разложите на множители многочлен л:® - 1. Решение: В данном многочлене всего два члена. Чтобы разложить его на множители с помощью группировки, добавим и вычтем из него одночлены х*, х^, х^ и х, а затем сгруппируем их попарно и вынесем из каждой группы за скобки общий множитель. Получим Д.5 _ J = Д.5 _ Д.4 ц. _ JJ.3 + Д.З _ Д.2 ^ Д.2 _ д, ^ J _ = (х® - X"*) + (х^ - X®) + (Х^ - х2) -I- (х2 - х) -1- (х - 1) = = Х'*(х - 1) -ь х^(х - 1) -1- х2(х - 1) -f X (х - 1) 4- (х - 1). Мы записали исходный многочлен в виде суммы выражений, каждое из которых имеет множитель х - 1. Вынесем его за скобки: х'*(х - 1) + х\х - 1) -Ь х2(х - 1) -I- X (х - 1) -I- (х - 1) = (х - 1)(х‘‘ + х^+ х^+ х + 1). Таким образом, исходный многочлен разложен на множители: х^ - 1 = (х - 1)(х'‘ + х^ + х^ + х + 1). Конечно, чтобы догадаться о том, какие слагаемые надо добавить и вычесть из многочлена, зачастую нужно попробовать много разных вариантов. И, наблюдая за тем, как изменяется при этом исходный многочлен, какие возможности его разложения появляются, можно в итоге получить искомое разложение. 5331 Вычислите рациональным способом: а) 7 • 43 -f 12 • 5 - 23 • 7 -Ь 5 • 68; б) 9,6 • 46 - 14,3 • 59 -I- 54 • 9,6 - 141 • 14,3; в) 136 : 5 -f 213 : 8 -f 114 : 5 - 13 : 8; г) 7, 8 : 14 - 73,4 : 9 + 20, 2 : 14 - 16,6 : 9. 534| Среди представленных одночленов найдите пять пар одночленов, имеющих общие буквенные множители: а) 7х®1/2, За&2, 40т^п^, Нах^, 2Ь*у^, 17а*Ь^, 19х^у; б) ЗаЬ, 16т®л, 15ху, 11x2, 4c^d, 9х^у*, 14тп*, ISa^p^. 100 Глава 4, §4, п.2 53^ Среди представленных выражений найдите те, которые имеют общие буквенные множители: а) х{х - 4), р{р - 4), 1/(4 - х), 2а{х - у), -Щх - 4), Ат{х - 1); б) 2k{p - q), Зт{а + Ь), q{a^ + Ь^), п(а^ - Ь^), -7Ь(а + Ь)^, с(-а - Ь); в) 4а{т^ + 1), 5Ь(т - 1), -Зп(т + 1), с(т - 1)^, 7k(l - т), 11р(т® - 1); г) 11с(с + 3), 7rf(c2 + 9), -4л:(с - 3), 9г/(с» + 27), 5k(c^ + 81), 17(с + 3)\ 1) Убедитесь в том, что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя: 2х'^ + 2ху -Ь 9х 9у. Разложите данный многочлен на множители, группируя члены, имеющие общие множители. 2) Проанализируйте решение предыдущего примера и сформулируйте идею способа группировки при разложении многочлена на множители. Сравните свой вывод с формулировкой, приведенной на стр. 98 учебника. 3) Предложите другой вариант группировки, позволяющий разложить данный многочлен на множители. Докажите, что для любых а, &, с е Q: а) а{Ь - с) = -а(с - Ь); б) а{-Ь - с) = -а{Ь -I- с). Разложите многочлен на множители способом группировки а) Зх(а + Ь) + а + Ь; д) 2а(х + у) - Зу - Зх; б) 4z(p - q) + р - q; е) 5b(z - t) + 5t - bz\ в) Qa(x + у) - X - у, ж) 8с(2у - w) - 4w + 8v; г) lld{m - n) - m + n; з) 6d(3p + 2q) - 9p - 6q; Разложите многочлен на множители: a) 5х + 5у + 3xz -t- 3yz; и) ху + yz + пх + nz; б) ll2 - 11s - 8zr + 8sr; к) ab - ас + db - dc; b) РЯ + Pf + 12q + 12r; л) p^ + pq + pr + qr; m) - mn + kn - km; h) x^ -f 7x'^ -t- 7л: 49; о) p^ + pq-7p- 7q; и) {x + yf - X - y; к) 3a- 4b- {4b - 3af; л) (p - q)^ - 9p + 9q; m) (m - n)^ - mk -I- kn. n) z^ - zx - 4z + 4x; p) a^ - Qa - ab + 6b; r) 9m - 9n + kn - km; д) ab + ас - 2b - 2c; е) 5 - 4bx - 5x + 4b; ж) mn + nk - m - k; з) cd - cr - d + r; Найдите значение выражения: а) л:^ - 7л: -I- л:р - 7у при х = 9,6; у = 0,4; б) р^ + 4q - pq - 4р при р = 4,5; q = -5,5; в) 5т^ + 8п - Ътп - 8т при т = 2,4; п = -2,6; сЬ при а = 5,7; Ь = ^; с = с) а® + а^Ь + а + Ь; т) х^ + ху - X - у; у) Ь^ - Ь^ - Ь + 1; ф) 12у^ + Зау - 4у - а; х) 6х® - Зх - 1 -(- 2х^; ц) 7х‘‘г - 2у + 7yz - Зх"*; ч) Зт^ - 12nk - 3nmk -1- 12т^; ш) 5г®а + 8у - lOz^ - 4ayz. г) 9аЬ - 2cd -f- 2ad Глава 4, §4, п.2 541[ Разложите многочлен на множители двумя разными способами: а) 15аЬ - ЪЬс + Zad - cd; б) Szy - 20zx - 6ry + 15rx; в) 36" - 36c - 86 + 8c; r) 6p" + 6pq - Ip - 7qi д) 4rm - 9sm - 9sn + 4rn; е) 24a" - 18a6 + 456c - 60ac; ж) lid" + 8c" - 8cd - lldc; з) r" + r"s - r"^ - rst; vi) + m + 1; 5441 k) - Представьте выражение в виде произведения многочленов степени большей нуля: а) 2аЬс + 4ас + 10а6 + 20а; в) 4с'' - 6с"г - 6crd + 4c"d; б) 21х + 35х" + Зх" + 5х^; г) 2г^ + Зг" - 9z - 62". Каким одночленом можно заменить А, чтобы полученный в результате замены многочлен можно было разложить на множители? а) Заб + с6 + 3ad + А\ в) 4рг + 12р - Zqr + А; б) х'* - 5х" + 7х + А; г) Sy^z - 24у - 12z + А. Разложите многочлен на множители способом группировки: а) Зх" - X + Зху - у - 3x2 + 2; б) ас" - 6с" - 6с + ас - а Ч- 6; в) ху" + zy^ - zy - ху + X + Z-, г) mr" + nr" + mr - s/’" + nr - sr; д) pt^ + qt^ - qt - pt + wt^ - wt; е) a"6 + a + a6" + 6 + 2a6 + 2; ж) 2"x - xy - tz^ - zy + ty 4- 2"; з) x"a + 6x + yb^ + abxy + a"6x 4- a6"; и) c'd - c® - c"d" + c"d" - cd^ + d-'; к) ax" + 6p" + ap" + 6x" + cx" + cp". Разложите трехчлен на множители, представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов: ш е) х" + 5ху + 4i/"; ж) 2" + 6zt + 5f"; з) а" - 4uw + Зш"; и) т" - 9тп + 20п"; к) 2р" - pq - 9"; д) г" - 6г - 7 = 0; е) s" + 3s - 4 = 0; ж) а" - 14а + 48 = 0; з) 6" - 56 + 6 = 0; м) q* а) а" + 5а + 6; б) 6" - 66 + 8; в) с" + 8с + 7; г) d" + 4d + 3; д) 6" + 9/г - 10; Решите уравнение: а) (х" - 5х) + 5 - X = 0; б) (у^ + Зр) - 4р - 12 = 0; в) 2" - 22 - 15 = 0; г) + 5t - 14 = 0; Докажите тождество: а) (а - 36)(а" + 2а6 + 6") + (36 - а)(а" - 2а6 + 6") = 4а"6 - 12а6"; б) х"(х" - 5хр + 7р") - р"х" + 5хр" - 7у‘* - р(х" - р")(7р - 5х) = х* л) р" - 8р" + 45; ^2 _ 6; н) - 7г" + 12; о) s^ + 7s" + 12; п) 2Г - i" - 3. и) с" - Зс + 2 = 0; к) d" + d - 20 = 0; л) р" - 4р - 21 = 0; м) р" - р - 30 = 0. х"р". 102 Глава 4, §4, п.2 5481 Сократите дробь при допустимых значениях переменных: „ч Зд: + Зу - - Ьи ' 5х^ + 5x1/ ’ б) в) ах - v2 а 2 _ ал- + 7дс - 7а ’ аЬ + 7а - 7Ь - 49 а 2 _ 14а + 49 г) Д) е) 25 2pq - 10<7 + 4р - 20’ 4т^ - тп + 6п - 24т, 4тп - + 24т - 6п ' 9rs - - 9s + г. 9s^ - rs + 9s - г ’ ж) 15а + 5Ь бас + 2Ьс - 3ad - bd' „ч 2pg + 2pb + pa + Qb. ^ 2pa + qa - 2bp - bq ’ и) 49 - л:^ 35xy - 5x^y + 6л: - 42’ Упростите выражение при допустимых значениях переменных: ad + bd + 4а + 4Ь lOd - 30 а) б) 5d + 20 ad + bd - За - 3b’ ху - 7хс + 4у - 28с _______с^у + 7с* 4с^у - 28с® 2ху + 8у + 14сх + 56с’ |550| Разложите многочлен на множители: а) Зх^ + Юх - 8; в) 4г® + 25г - 21; ; б) 2у^~ у - 15; г) 6а® + а - 12; е) 9с® - 6с - 35; ж) а® + 6® + с® + 2аЬ + 2Ьс + 2ас; з) р®(д + г) + д®(р + г) + г®(р + q) + 3pqr. Найдите значение выражения: а) а® - 5® - а®Ь® + аЬ при а = 0,5; Ь = 1,5; б) 5р® - 8?® - 40р®д® + pq при р = 0,2; q = 0,25; Какие одночлены можно подставить вместо А, В и С, чтобы равенство превратилось в тождество? а) 8л:® - 12л:®у - 18лу + А = (2л: - Зу)(В + С); б) 12а® + 15а®& - А- 406® = (Б - С)(3а® - 86®); в) бЗр* - А- 9р7® + 4д® = (Б - С)(7р® - 9®); г) 44/п® - А + Збт - бЗп = (11пг^ + 9)(Б - С). Разложите многочлен на множители: а) {тх + П1/)® + {ту - лх)® + й®х® + /г®1/®; б) (РЯ + + ips + ?г)® - (р® + г®)(о'® + S®); в) f® + а<® + abt + bt'^ + bet + act + ct^ + abc; r) s® - rs® + prs - ps'^ - qrs - pqs + gs® + pqr. Решите уравнение: а) у® - 7i/® + у - 7 = О; в) 2г® + 6г® + 9г + 27 = 0; б) х"* - 5х® + 7х® - 35х = 0; г) 3f® - 18f® + 8i - 48 = 0. Разложите многочлен на множители, добавляя и вычитая слагаемые: а) X® - 32; в) г* - 1; д) у’’ - 1; б) Z® + г + 1; г) S® - 1; е) а® - 1. 103 Глава 4, §4, п.2 5^ Ш 55б| Прочитайте высказывания и запишите их на математическом языке. Определите истинность высказываний. Для ложных высказываний постройте их отрицания: а) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого и второго чисел, плюс квадрат второго числа. б) Квадрат разности некоторых рациональных чисел равен разности их квадратов. в) Существуют рациональные числа, квадрат суммы которых равен квадрату их разности. г) Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел, плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел, минус куб второго числа. Используя диаграммы Эйлера-Венна, определите правильность логического вывода: а) Если некоторые решения уравнения - 1 = О - отрицательные числа, то некоторые отрицательные числа - решения этого уравнения. б) Если все решения уравнения - 9 = О кратны 3 и некоторые числа, кратные 3, кратны 9, то некоторые числа, кратные 9, - решения уравнения - 9 = 0. в) Если ни одно решение уравнения {х - 1){х - 2) = 0 не кратно 5, а некоторые числа, кратные 5, делятся на 3, значит, некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения (jc - l)(x - 2) = 0. г) Если все решения уравнения (л: - 7)(х - 21) = 0 кратны 7 и ни одно решение этого зфавнения не кратно 9, то некоторые кратные 7 числа не кратны 9. Сравните значения числовых выражений: а) 5'^ + 5*5 и 5*^ • 5*5; г) (178 + 595)^ и 178** + 595^; б) 75^ - 72’ и 724 . 727. д) (1314 _ 93)2 „ 13142 + 932. в) (11*5)2(112)15 и (11*5)2 + (Ц2)15. g) (904 + 79)^ И 904» + 795. Представьте выражение в виде произведения степеней простых чисел и букв: а) (7д:)25; в) (-11г)28; д) (-5б&)2®; ж)(63с)*^; б) (45а)*2; г) е) (-5r5s^)«; з) (За^6»с**)». Найдите значение выражения: + lex**, если X = 3; а) Х*5 • Х2" • Х55 • (Х‘*)5 • (ЗХ)25 19 б) 32* • X** • (х®* : х®"*) • X®® • X д43 . (^69 . ^47) ■ ^85 . (д6)8 ■ 1^39 (аЬсУ^ • &23 . (д34 . д17) . (д12)3 . Д ,47 - 7(аЬ)°, если а = 4, 5 = 3, с = 6. 1^ Приведите дроби к общему знаменателю: ч Л. Л. 259 ^ 407’ 335 " 1273’ в) 1391 ^ 2033* а) В бюджете розничной сети запланировано к концу второго года добиться снижения расходов по сравнению с текущими годовыми расходами на 36%. Каждый год расходы должны снижаться на одно и то же число процентов. На сколько процентов нужно в течение этих двух лет снижать ежегодные расходы? 104 ________________________________________________________Глава 4, §4, п.2 б) В городе N в настоящее время живет 69 212 жителей. Известно, что население этого города последние три года ежегодно увеличивалось на 10%. Сколько человек жило в этом городе 3 года назад? в) Вложив в инвестиционный фонд 20 000 р., вкладчик получил через 2 года доход в размере 8 800 р. Известно, что годовая рентабельность вложений (отношение дохода к сумме вложенных денег) в этом инвестиционном фонде в эти годы была одинаковой. Чему была равна годовая рентабельность вложений в этом инвестиционном фонде? Зная, что 1 января 2011 года суббота, определите, каким днем недели будет: а) 1 мая 2011 г.; б) 1 сентября 2011 г.; в) 31 декабря 2011 г. Какой остаток при делении на 8 дает число 999^^^'^ • 7777999^ 5651 Разложите многочлен на множители способом группировки: ж) (2т + пУ - 2т - п; з) Ъх - Zy - (Zy - и) lp + 2q + (2q + Ipf. и) г* - + г - s; к) 6x*z - 9у + 6yz - 9х^; л) 7т^ - IZnk - 7nmk -t- 13m^; м) бг^а + 6у - 12z^ - Zayz. а) 7т(т - п) + т - п\ г) 4с(г - s) - s -I- г; б) 6р(р - q) + q - р-, д) Zx(by - z) - 15у + Zz; в) 11а(а + Ь) - а - Ь; е) 8r(6s + 7t) - 28t - 24s; Разложите многочлен на множители: а) 4х'^ + Аху -I- 9ж -Ь 9у; д) аЬ - Ьс + da - dc; б) 8 - Zbx - 8х -t- 36; е) + тп - 5т - 5п; в) аЬ + Ьс - а - с; ж) Zy^ - Zyx - 7у + 7х; г) rs - rt - S + t; 3) 4а^ - 15а - 4а6 + 156; Найдите значение выражения: а) - 8а + аЬ - 86 при о = 0,8; 6 = 1,2; б) 4с^ -t- 5dc - Acd - 5d^ при с = 0,6; d = -0,4, Представьте выражение в виде произведения многочленов степени большей нуля: а) Zxyz 7xz -f 9xy 21лг; в) 12a^ - 18a^6 - 18a6c + 12a®c; б) ab^ -t- cb^ + ab - db^ + cb - db; r) m*n - - m^n^ + m^n^ - mn* + n®. Разложите трехчлен на множители, представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов: а) -I- бд: -ь 8; г) а'^ + аЬ - 66^; б) у‘^ - 10(/ -Ь 21; д) + 7cd -f 12d^; в) -t- 122 -I- 32; е) а} - 2ау - Z5y'^; Решите уравнение: а) (а^ - За) -Ь 3 - а = 0; в) - 11с + 28 = 0; б) 6" -Ь 26 - 15 = 0; г) - 4д: - 12 = 0; ж) т^ + 5т - 14; з) а^ - а - 6; и) + 2п - 48. Д) + г/ - 12 = 0; е) 2^ -ь 82 -ь 15 = 0. Сократите дроби при допустимых значениях переменных: ах - хЬ , 5рд - 6р^ + <7^ . а) б) а 2 _ а6 + 96 - 9а’ а6 -Ь 4а - 46 - 16 а^-8а+ 16 ’ в) г) 7q - pq - 7р - р^’ ______28а + 76_______ 12ас + Zbc - Aad - bd’ Глава 4, §4, п.2 572 Разложите многочлен на множители: а) Зх^ + 22х - 16; б) 4х^ - ЗЗх - 27; в) 8х^ - 19х - 15; г) Qx^ - Пх - 28. Какие одночлены можно подставить вместо А, В и С, чтобы равенство преврати- лось в тождество? а) 35jc® - 20х^у - 42ху + А = (7х - 4у){В - С); б) 32т^ - А + 32т - 56п = (8т^ + 8)(В - С). 574 Решите уравнение: а) 2у^ - 181/2 + у - 9 = 0; б) х^ - 4х^ + 8х^ - 32л: = 0. 57^ Сравните значения числовых выражений: а) 8^-> + 8‘2 и 8'^ • 8»2; в) (215 + 647)2 „ 2152 -f 6472; б) И''* - Ц22 и 11« : Ц22; г) (536 - 197)2 и 5362 + 1972. Найдите значение выражения; •у>25 • д\ ----±------± 733 . ^19 17 г16 . (^^4 . Jily Д.0З + Зх^> при л: = 3; ,34 . . ^47^ . ^5 . (р6^8 . q39 ,34 б) (р^)37 . у49 ; ^46 . р38) . ^12)3. ^7 “ 9(рдг)« ПрИ р = 4, ^ = 3, Г = 6. 57^ а) В бюджете пончиковой компании Антона и Ксюши запланировано к концу второго года добиться снижения расходов по сравнению с текущими годовыми расходами на 19%. Каждый год расходы должны снижаться на одно и то же число процентов. На сколько процентов нужно в течение этих двух лет снижать ежегодные расходы? б) В пончиковой компании Антона и Ксюши в настоящее время работают 432 сотрудника. Известно, что в последние два года число сотрудников пончиковой компании ежегодно увеличивалось на 20%. Сколько человек работало в пончиковой компании 2 года назад? ЁИ Зная, что 1 января 2012 года воскресенье, определите, каким днем недели будет: а) 23 февраля 2012 г.; б) 1 июня 2012 г.; в) 4 ноября 2012 г. 579 Какой остаток при делении на 7 дает число 333^'*'' • 4442®®? 580| Докажите, что А и Б являются решениями уравнения (л: - 29)(л: + 28) = 0: 8 А = 2^ • 5 4| • 3 - 21^ : 7 + 2б| : 5; В = 7 14 7 - 9:;| • 9 + 2 • 287 : 23. 18 4 5821 Миша, Гоша и Антон решали задачи. Миша решил на 25% больше задач, чем Антон, и на 50% меньше, чем Гоша. На сколько процентов Гоша решил задач больше, чем Антон? 5821 Когда пассажир проехал треть всего пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать треть того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир проехал, смотря в окно? 106 Глава 4, §4, п.З 3. Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители «Математика - один из видов искусства». Норберт Винер (1894-1964), американский математик и философ, основоположник кибернетики Иногда разложить многочлен на множители помогают полученные нами в § 3 этой главы формулы сокращенного умножения. И действительно, если нам надо будет, например, разложить на множители многочлен а® + За^б + 3afe^ + 6®, то, вспомнив формулу куба суммы, мы сразу напишем требуемое разложение: а^ + За^б + Заб^ + = (а + Ь)® = (а + б)(а + Ь){а + Ь). А если на множители надо разложить многочлен а^ + 6^, то, зная формулу суммы кубов, мы запишем а® + = (а + 6)(а® - аЬ + 6®), Конечно, когда для разложения на множители требуется непосредственно применить одну из формул, то ответ мы можем записать сразу. Однако чаще всего раскладывать на множители приходится многочлены, которые не являются явными формулами сокращенного умножения, и, прежде чем применить ту или иную формулу, нужно выполнить некоторые преобразования исходного многочлена. Умение увидеть нужное преобразование приходит с опытом. И каждый, кто хорошо знает формулы сокращенного умножения, может этому научиться. Рассмотрим несколько примеров, в которых использование формул сокращенного умножения упрощает разложение многочленов на множители. Пример 1. Разложите на множители многочлен х® - 2х® + 1. Решение: Заметим, что х® = (х®)®, 1 = 1®, а 2х® является удвоенным произведением х® и 1. Значит, для разложения данного многочлена на множители можно воспользоваться формулой квадрата разности. Получаем: X® - 2х® + 1= (х®)®- 2 • X® • 1 - 1® = (х® - 1)®. Пример 2. Разложите на множители многочлен х"* - 1. Решение: Каждый член данного многочлена можно представить в виде квадрата: х* = (х®)®, а 1 = 1®. Следовательно, для разложения многочлена на множители можно воспользоваться формулой разности квадратов. Получаем: х< - 1 = (X®)®- 1® = (х® - 1)(х® + 1) = (X - 1)(х + 1)(х® + 1). Часто бывает так, что в многочлене, который надо разложить на множители, слагаемые идут не в том порядке, к которому мы привыкли в формуле. Но так как согласно переместительному закону сложения мы можем менять слагаемые местами, то это не должно помешать нам увидеть формулу. 107 Глава 4, §4, п.З 1 - Зс2 + с» Пример 3. Разложите на множители многочлен Зс Решение: Переставив слагаемые в данной алгебраической сумме, мы получим куб разности чисел с и 1: Зс - 1 - Зс2 + с® = - Зс=^ + Зс - 1 = (с - 1)^ Иногда для использования формул сокращенного умножения при разложении многочлена на множители вначале приходится некоторым образом сгруппировать его члены. Так, для решения следующего примера сначала нужно выбрать правильную группировку. Пример 4. Разложите на множители многочлен - х^- х®. Решение: Заметим, что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и X, а второй и третий члены - разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит, в обеих группах можно выделить общий множитель у - х, а затем вынести его за скобки: у^ + у^ - х‘^~ х^ = {у^ - х^) -I- {у^ - х^) = (у - х)(у^ + ху+ х^) + (у - х) (у + х) = = (у - х)(у2 + ху -t- х^ -I- у -Ь х). в некоторых примерах формулы сокращенного умножения становятся видны лишь после вынесения за скобки общего множителя. Пример 5. Разложите на множители многочлен Та? + 28аЬ -Ь 28&^. Решение: Ангшизируя заданное выражение, замечаем, что каждое его слагаемое имеет общий множитель 7. После вынесения за скобки числа 7 в скобках остается квадрат суммы двух выражений, о и 2Ъ: Та? + 2ЪаЪ -Ь 286^ = Т{а? + АаЬ + 4Ь'^) = 7(а + 2bf. Одним из способов разложения многочленов на множители с использованием формул сокращенного умножения является способ выделения полного квадрата. Чтобы проиллюстрировать идею этого способа, рассмотрим следующий пример. Пример 6. Разложите на множители многочлен х^ -I- 4х 4- 3. Решение: Заметим, что исходному многочлену не хватает до полного квадрата единицы. Если мы прибавим к нему, а затем вычтем число 1, то выражение не изменится, но в нем можно будет выделить полный квадрат: х^ + 4х -I- 3 = х^ -Ь 4х -t- 3 -Ь 1 - 1 = х^ -I- 4х -Ь 4 - 1 = (х + 2)^ - 1. Полученное выражение представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители: (х + 2)2 - 1 = (X 4- 2 - 1)(х 4- 2 + 1) = (х + 1)(х + 3). В данном случае можно было бы разложить многочлен на множители и без использования формул сокращенного умножения: разбив слагаемое 4х на два слагаемых X и Зх, а затем проведя группировку: х2 4- 4х 4- 3 = х2 4- X 4- Зх 4- 3 = (х2 4- х) 4- (Зх 4- 3) = X (х 4-1) 4- 3(х 4-1) = (х 4- 1)(х 4- 3). 108 Глава 4, §4, п.З Таким образом, действуя независимо двумя разными способами, мы получили одно и то же разложение исходного многочлена на множители: + 4л: + 3 = (л: + 1)(л: + 3). Конечно, выбор способа, которым производится разложение многочлена на множители, - это выбор человека, решающего конкретную задачу. Но для того чтобы иметь возможность выбирать, надо знать, какие способы существуют. Ведь, зная различные способы разложения многочленов на множители, вы сможете выбрать тот, который вам покажется наиболее эффективным, или придумать новый свой способ, отличающийся от тех, которые уже известны. Ф |583| Среди представленных выражений найдите те, которые являются: а) разностью квадратов; б) суммой кубов; в) разностью кубов. а2 + 27; 1 - 22; рд2 - 4; г'2 ч- 216; pV - 1; аЬ - 81; 41/2 _ 9; m2 Ч- 25; 27а2 - 1; 125р2 + 64; 64 - л;2; п« - 8; Зс2 - 9; 8^2 - х2р2; 4х^° - 49; 4р2 + 16; Ь2 + 8; 5д:2 + 27; m2 - 27; aW - 81. 584| Запишите неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности выражений а и 6: а) а = 2л:, Ь = Зу; б) а = 4р, Ь = -7с; Вычислите (устно): IV - 122 в) а = -Зт, Ь = 8п; г) а = -5г, Ь = -2г. а) б) 23 22« - 182 222 + 22 • 18 + 182’ в) г) 322 152 -Ь 2 • 5 • 17 + 172. ________________(-74)2 382 + 3 . 382 • 36 + 3 • 38 • 362 Ч- зег- 586| 1) Можно ли разложить данный многочлен на множители, вынося за скобки общий буквенный множитель? Разложите многочлен на множители, используя способ группировки: -Ь4х^у Ч- 9х* ч- 811/2, 2) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться, чтобы разложить этот многочлен на множители? Разложите многочлен на множители, используя эту формулу. Сократите дроби при допустимых значениях переменных: а) б) в) а2 - &2 а + Ь ’ г) у2 - 49 У- 7 ’ . 1-4x2 ж) 2^2 _ 1 . к) с2 - с?2 с - d' д) 25 - m2 m - 5 ’ ^ 16 - 1/2^2 !,z + 4 • л) х2 - 16 л: Ч- 4 ’ е) 16 - д2 п + 4’ . 49а2 - 81&2 95 Ч- 7а ’ м) 121с2 - 169^2 13d - 11с ’ 36 - р2д< рд2 - 6 ’ 1 - 9c^d« 3c2rf2 ч- 1- 109 Глава 4, §4, п.З 588 а) - у^; б) 22 - 36; в) 25 - а2; г) 4&2 - 9; д) 81с2 - 49; Представьте выражение в виде произведения двух многочленов, используя формулу разности квадратов: е) 16т2 - 256; л) (х + ЗуУ - р) (а + 2bf - (Зс + 4d)2; ж) 1 - 144^2; м) (За 4- 45)2 _ 9^2, _ 2nf - (2р - 3qf\ з) r2s2 - 64; н) (5р2 - 7д2)2 - \2\f\ т) (5а - 4с)2 - (35 -Ь 8d)2; и) р2 - о) 16а2 - (л - уУ\ у) (11 4- 9x2)2 _ 4. 7^)2; к) х^у2 _ 26; п) а''52 - (с2 - d)2; ф) (4ia® 4- 3u)2 - (8х* - 9d)2, 589[ Разложите многочлен на множители, используя формулы квадрата суммы и разности: ж) а* 4- 2а^Ь 4- 52; з) X* - 452x2 4- 45‘‘; и) 25/п'* - 10т2/г 4- к) 9р' 4- Qp'^q 4- 72; л) 49Х^ - 14x2^2 + J/'; м) З&р* 4- 12р2^2 4_ ^4. Представьте выражение в виде произведения двух многочленов, используя формулы суммы и разности кубов: а) m2 4- «2; д) 8дЗ _ J. и) а® 4- 5®; н) (75 4- 3)® - 64; б) с® - d®; е) 27 4- 8.у®; к) т® - а®; о) (4с 4- 5)® 4- 125; в) X® - 8; ж) 64с® - 5®; л) а®5® 4- c®d®; п) 8 4- (9 - а®)®; а) X® + 2ху 4- 1/2; б) а® 4- 6а 4- 9; в) -2тп 4- т® 4- л®; г) 4а® + Аа + 1; д) 9т® - бт 4- 1; е) -6а - а® - 9; н) т® - 6m^ft® 4- 9fe®; о) 4р‘® 4- 20j?®2® 4- 252'®; п) 9л® 4- 48л®г® 4- 64г'; р) Збх® - 84xV 4- 49г/<; с) 4р® - 4р®д^ 4- 7®; т) 64a^° - 112а®л® 4- 49л'®. г) л® 4- 27; з) 27т® 4- 125л®; м) х®г/® - 2®s'®‘ р) (5т 4- 4л)® - 21бг/®. 591 Разложите многочлен на множители, используя формулы куба суммы и разности: I I fi-f а) Зх®1/ 4- i/® 4- 3x1/2 JJ.3. б) Зр(/2 - д® - Zp^q 4- р®; в) 6т®л 4- 8л® 4- 12л1л® 4- лг®; г) 64 - 962 4- 482® - 82®; д) 27а®5® 4- 54а®5'с2 4- Зба5®с‘' 4- 8с®; е) d® 4- 27p®c®d -f 9pc®d® 4- 27p®c®; ж) 8х®г/® - 1252® 4- 150хг/2® - 60x2j/®2; з) X^l/^2 4- 3x®J/‘2^ - Зх®1/®22 - 2®. 592| Найдите значение выражения: а) 5х® - 5г/2 при х = 0,8; у = 1,2; б) 282* - 63s® при 2 = 0,5; « = в) -2аЬ 4- а® 4- 5® при а = 7,6; 5 = -0,4; г) 1бс® 4- 36d® - 48cd при с = 0,5; d = д) 8m® - 36m® 4- 54m - 27 при m = 3,5; е) 5® 4- 155®c® 4- 7obc* 4- 125c® при 5 = -3; c 0,8. 110 Глава 4, §4, п.З 5^ Докажите, что если - z для любого целого числа z делится на 5, то: а) г® + 142 делится на 5; в) Зг® -182 делится на 15; б) 22® + 82 делится на 10; г) 42® + 1б2 делится на 20, Докажите, что: а) разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4; б) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8; в) (ба + 1)2-1 делится на 12 для любого целого о; г) (86 + 5)2-9 делится на 16 для любого целого Ь. Решите уравнение: а) х® - 64 = 0; д) (Зх - 4)® - 81 = 0; б) 100 - у® = 0; е) 25 - (4у + 11)® = 0; в) 92® - 4 = 0; ж) (52 - 6)® - 1б2® = 0; г) 81г® - 36 = 0; з) (7г + 42)® - 4г® = 0; Разложите на множители: а) а + 6 + а® - 6®; д) тл® + 2т - лг® - 2л; и) (лг + 2)2 - (Зл1 + 3)2 = 0; к) (6л - 5)® - (7л + 4)2 = 0; л) (4р - 11)2 - (9р + 14)2 = 0; м) (5у + 9)2 - (4<7 - 3)2 = 0. е) р® - у® - 8р + 8у; ж) 9 - с® - 3d + dc; з) 4d^ - 25 - 2d®r® - 5r®; и) X® + у® + 2х®у + 2ху2; к) 2® - S® - 52(2® + 2S + S®); л) р® + у® + 2р® - 2ру + 2у2; м) т* + лгл® - лг®л + л®. б) с - d + d® - с®; в) X + у - X® + у®; г) 9^® - 2® - 2 - 3^; Докажите тождество: а) (лг® + 4)2 - 16лг® = (лг® - 4)®; б) (л® + л)2 + (л® - л)® + (л® - 1)2 = Зл" + 1; в) (р + 7)2 - 2(р + 7)(р - 3) + (р - 3)2 = 100; г) (у - 6)2 - 2(у - 6)(у - 10) + (у - 10)2 = 16. Каким одночленом можно заменить А, чтобы полученный в результате замены многочлен можно было разложить на множители? а) А® + 24026“* + 96®; в) 81Х2У* + А + 16у®; б) 49с® - 70c®d“* + А®; г) 36лг‘*л® - А + 49лг®л®. Разложите многочлен на множители: в) а® - а®; д) с® - d®; ж) лг® - 6лг‘*л“* + л®; г) 6*® - 1; е) р*2 - 1; з) 4ру® - 2р®у + 8у® - р®. Какой знак неравенства надо поставить вместо П, чтобы в результате получилось неравенство, верное при всех значениях переменной? а) 2х® + 6 □ 0; д) (р - 3)® + 9 □ 0; и) а® + 16а + 70 □ 0; б) -5у® - 9 □ 0; е) - (у + 5)2 - 1 □ 0; к) -6® + 86 - 20 □ 0; в) а® - 10а + 25 □ 0; ж) - (г - 7)® - 4 □ 0; л) -4с® - 12с - 10 □ 0; 3) (S + 9)2 + 1 □ 0; м) 9d® - 30d + 30 □ 0. а) х‘* - у* б) 1 - Z®; г) -6® + 146 - 49 □ 0; 111 Глава 4, §4, п.З Разложите многочлен на множители: а) + 14л: + 48; б) у'^ - IQy + 60; 6021 Решите уравнение: в) -,2 _ 202 - 64; г) 4а^ - 12а + 5; д) -16&2 - 40Ь - 16; е) 49с^ - 42с + 8. а) (х + 2)(х^ + 4) - л:» - 8 = 0; в) 2^ - 39 + 102 = 0; б) (у - 3)(у2 - 6) - г/З + 27 = 0; г) 4г^ + Збг + 32 = 0. Какие многочлены можно поставить вместо А и В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) (4л: - 7)2 - (А + ВУ = (х - 12)(7х - 2); б) (А + В)2 - (5л: - 3)2 = (7 - 2л:)(8х + 1); в) (4л: - 1)2 + (Зх + 2)2 - АВ = (л: - 3)2; г) (6х + 7)2 + (7х + 3)2 + АВ = (4 - л:)2. ш Сократите дроби при допустимых значениях переменных: а) б) д2 - 14а + 49 (а - 6)2 - 1 ’ (Ь + 4) 2 _ О &2 + 66 + 9 ’ (4с + 3d)2 - 9с2 л. О. OW2 > г) у2 — б2 - 16 с2 + 6cd + 9rf2 49q2 - 14дгд + л;2, 22 - 42 - 12 ’ 4г2 - 20г - 39 е) 4г2 - 28г + 13 • (5л: + 7г/)2 - 36л:2’ [б0^ Постройте высказывание, обратное данному. Определите истинность исходного и обратного к нему высказываний. Для ложных высказываний постройте отрицания: а) Если целое число а делится на 3, то число 10а также делится на 3. б) Если целое число 15а делится на 5, то число а также делится на 5. в) Если л:2 = 4, то л: = 2 или х = -2. г) Если I/ = 3, то 1/2 = 9. д) Если 2 > 2, то I 2 I > 2. е) Если I г I > 5, то г > 5. 606| Найдите значение выражения: 727 . 22« • 7"» • (2*f ■ (11»« : И®») а) IV у55 . 2^0 (9^^ : 320) . 551 . 743 . б)--------------------------------------- 150. 5-51 . (739 . 737)5 . 1512 . 2157 6071 а) Разделите число 2478 на три части пропорционально числам 2, 5, 7. 1 б) Разделите число 2420 на четыре части пропорционально числам 2, 3, 8, 11^. 60^ На координатной плоскости Оху постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) л: > 5; в) t/ < -2; д) -3 < л: < 8; ж) -1 < у < 5; б) -3 < у < 6; г) I л: I < 4; е) | у | > 2; з) | л: - 2 | < 3. 112 ___________________________________________________________Глава 4, §4, п.З б09| На координатной плоскости Оху постройте множество точек, заданных таблицей: а) X -3 -1 0 1 3 у -4 2 0 2 -4 б) X -5 -4 -3 -2 -1 у 3 -5 1 -2 0 в) г) X 0 1 2 3 4 5 У -5 5 -3 3 -2 2 X -6 -4 -2 2 4 6 у -3 -1 0 0 1 3 а) Михаил и Василий, работая вместе, вырыли на дачном участке колодец за 24 рабочих дня. Если бы Михаил и Василий рыли такой колодец в одиночку, то Михаил выполнил бы эту работу в 1,5 раза быстрее, чем Василий. За сколько рабочих дней вырыл бы этот колодец Василий, работая самостоятельно? б) Для наполнения резервуара водой используют три насоса. Первый насос может наполнить этот резервуар за 12 часов, второй - за 15 часов, а третий - за 20 часов. Сначала резервуар наполняли следующим образом: в течение первых трех часов работали только первый и третий насосы, а затем был включен и второй насос. В другой раз резервуар наполняли иначе: в течение первых 2 часов работали все три насоса, а затем третий насос выключили. В каком случае резервуар был наполнен быстрее? в) Автомобильный завод получил большой заказ. Для выполнения заказа в срок он должен ежедневно выпускать 100 автомобилей. Выпуская в день на 20 автомобилей больше, завод на 5 дней раньше срока успел выпустить на 10% автомобилей больше. Заказ на производство какого количества автомобилей получил этот завод? Найдите все натуральные значения х, удовлетворяющие равенствам: а) 2* = 128; 6)32^= 729; в)6" + 2 = 216; г) 5"*=*= 625. Выполните указанное действие по модулю т: а) б -ь 21, т = 8; г) 28 - 12, m = 6; б) 12 -f 36, т = 7; д) 34 - 42, m = 4; в) 58 + 11, т = 12; е) 46 - 63, m = 2; ж) 16 • 3, m = 5; з) 17 • 5, m = 3; и) 4^ т = 11. 6131 Сократите дроби при допустимых значениях переменных: а) 49 X + 7 ’ б) 64 -y-S ’ в) 25а^ - 95" 35 -Ь 5а ’ г) 1 - 16c«d« 4c'>d" - 1 • Представьте выражение в виде произведения многочленов, используя формулу разности квадратов: д) Збт^ - (т - rif\ ж) (12 + 52'*)^ - (Зг^ + 7г)^; е) х^у* - (дс^ - у^У', з) (Зи^ -Ь оиУ - (8и* - 7иУ. 113 а) 9о^ - 25; б) 64 - 4952; в) c'^ - cFs^', г) - г®; Глава 4, §4, п.З 61^ Разложите многочлен на множители, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: а) -2ху + + у^\ в) 36а'' - 12а^Ь + 6^; д) 25р® 4- AOp^q^ + 169^; б) 92^ + 62 + 1; г) 49с' + 14c^d + е) 81m® - + 4n®. 6j^ Представьте выражение в виде произведения двух многочленов, используя формулы суммы и разности кубов: а) т® - 64; в) - 9®; д) х®г/® + ж) 343 -Ь (11 - г')®; б) ге® + 125; г) 27г® + 216s®; е) а®&‘® - c®d®; з)(7а + 3^)® - 216f®. ЕЁ1 Разложите многочлен на множители, используя формулы куба суммы и разности: а) 27а®6 -I- 27а® + 9аЬ'^ + 5®; в) л:®1/® - 642® + 48x^yz^ - 12x'‘y‘^z; б) 64с® - 96c®d + 48cd® - 8d®; г) - 3m'®«®fe® + Зт^п'к^ - /г®. бП! Найдите значение выражения: а) 7а^ - 76® при а = 1,3; 6= 1,7; б) 25с® -I- 49d® - 70cd при с = 0,4; d = в) 64л:® - 96дг® -t- 48x - 8 при х = 0,75. Докажите, что: а) 2® 4- (2 -Ь 1)® при делении на 4 дает остаток 1 для любого целого 2; б) (9? - 4)® - 16 делится на 9 для любого целого t. 62^ Решите уравнение: а) 36а® - 25 = 0; в) (Зс - 7)® - 4с® = 0; б) 96® - 64 = 0; г) (8d + 11)® - 16d® = 0; ЁЗ Разложите на множители: а) 2а 4- 26 - а® 4- 6®; в) 16 - р® - 28д 4- Ipq; б) 4с® - d® - d - 2с; г) 9г* - 49 - 3r®f® - 7^®; Разложите на множители: а) X* - 16; б) г/® - у*; в) 2® - 64; г) 4а® 4- За'6' 4- 6®. Какой знак неравенства надо поставить вместо Q, чтобы в результате получилось неравенство, верное при всех значениях переменной? а) а® - 14а 4- 49 □ 0; в) - (с - 3)® - 5 □ 0; б) -6® + 166 - 64 □ 0; г) (d + 11)® -f 1 □ 0; Разложите многочлен на множители: а) д:® - 6jc - 7; в) 42® 4- 12г + 5; б) г/® - 10у - 24; г) -9<® 4- 42t - 33. д) (Вх - 9)® - (7д: + 4)® = 0; е) (6у + 5)® - Ц2у - 8)® = 0. д) + Зт®4- Втп + Вп^; е) р* 4- pq^ - p^q - q*. 622 623 д) -дс® 4- Юд: - 28 □ 0; е) 4d® - 36d 4- 84 □ 0. 114 6251 Решите уравнение: а) (X - 3)(х2 + 9) - X® + 27 = 0; 6261 Найдите значение выражения: 336 . 1039.015 . (23)5 . (512 . 57) а) 514.022 , 1529.231 б) б) 2^ - 5 + 42 (426 . 220) . 915 . 1034 . (28)7 . 1319 . 1013 . (028 . 013) . 286 Глава 4, §4, п.З 0. - 260. 1 ш а) Разделите число 1298 на три части пропорционально числам 5, б, 11. б) Разделите число 2438 на четыре части пропорционально числам 3, 4, 9, 10^ 6281 На координатной плоскости Оху постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) -2 < X < 3; б) | х | < 4; в) | 1/ | > 3; г) | 1/ - 3 | < 2, 6291 а) Два филиала пончиковой компании Антона и Ксюши, работая вместе, выполнили крупный заказ за 6 рабочих дней. При этом первый филиал, работая самостоятельно, мог бы выполнить этот заказ в 1,2 раза быстрее, чем если бы этот заказ выполнял самостоятельно второй филиал. За сколько рабочих дней выполнил бы этот заказ один первый филиал? б) Пончиковая компания Антона и Ксюши получила большой заказ на производство пончиков. Для выполнения заказа в срок необходимо ежедневно выпускать 500 кг пончиков. Выпуская в день на 150 кг пончиков больше, компания на 2 дня раньше срока успела выпустить на 20% пончиков больше. Сколько тонн пончиков необходимо было изготовить, чтобы выполнить этот заказ? 30| Найдите все натуральные значения х, удовлетворяющие равенствам: а) 3* = 243; б) 2^" = 256; в) 7^ + ‘ = 343; г) 6^= 216. 1| Выполните указанное действие по модулю т: а) 7 -f 5, m = 3; в) 36 - 18, m - 5; б) 23 + 14, /п = 9; г) 27 - 42, m = 4; д) 12 • 7, ттг = 8; е) 3^ т = 13. 632| Докажите, что делится на 5: А = (-4,2 + 3,7) - (2,3 + 5,7 - 4,3 - 2,7) - (-7,9 + 2,4); В = -4(2 + 0,4(9 - (2 + 7) 2 - 4)) - (2,2 - 3,4 - 1,6). |бЗ^ в Грузии, в горах, живет почтенный долгожитель Гиви. У него есть дети, внуки, правнуки и праправнуки. Всего их вместе с Гиви 2801 человек. У него, его детей, внуков и правнуков одинаковое количество детей. А у праправнуков детей еще нет. Определите, сколько у Гиви детей. ^34| Отец и сын бегали по замкнутой беговой дорожке. Отец время от времени обгонял сына. После того как сын побежал в противоположном направлении, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз скорость отца больше скорости сына, если оба они бегают с постоянной скоростью? 115 Глава 4, §4, п.4 4. Разложение многочленов на множители с применением нескольких способов «Все ценное достается дорогой ценой - ценнейший из металлов самый тугоплавкий и самый тяжелый». Грасиан-и-Моралес Бальтасар (1601-1658), испанский философ В предыдущих пунктах этого параграфа мы с вами рассмотрели несколько способов разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, использование формул сокращенного умножения. Но чаще всего для разложения многочлена на множители требуется использование всевозможных комбинаций разных способов. Рассмотрим более сложные примеры, в которых для разложения многочлена на множители нужно применить несколько разных способов. Пример 1. Разложите на множители многочлен а"* + ах^ - а^х - х*. Решение: Выработка стратегии рещения. Так как o'* = (а^У, а х^' = {х^У, то, сгруппировав первое и четвертое слагаемое, мы сможем применить формулу разности квадратов: _ д.1 = ^ д.2)^ Замечая далее, что а^ - х'^ (а - х)(а + х), мы получим, что (а^ - х^){а^ н- = (а - х)(а -I- х){а^ ч- х'^). Значит, в итоге а’ = (о - х)(а + х)(а^ -I- х^). Теперь сгруппируем второе и третье слагаемое, они имеют общий множитель ах. После вынесения его за скобки в скобках останется многочлен х - а, равный -(а - х). ах ^ - а^х = -ах (а - х). Таким образом, в результате проведенных преобразований обе группы слагаемых будут иметь общий множитель а - х. Реализация стратегии. Проведем указанную группировку. Как и планировали, в первой группе применим формулу разности квадратов, а во второй - вынесем за скобки общий множитель ах: а * -Ь ах^ = (а* - х"*) -ь (ах^ - а^х) = (а - х)(а + х)(а^ -I- х^) - ах(а - х) = = (а - х) [(а + х)(а^ + х^) - ах]. Запишем выражение в квадратных скобках как многочлен стандартного вида: (а -f х)(а^ + х^) - ах = а® 4- ах^ ч- а^х Ч- х® - ах. 116 Глава 4, §4, п.4 В итоге получаем следующее разложение исходного многочлена на множители: а* + ах^ - а^х - x'^ = (а - х) [а^ + ах^ + а^х + - ал:]. Пример 2. Разложите на множители многочлен л:"* + х^у + ху^ + 2ху^ + у^. Решение: Выработка стратегии решения. Замечаем, что среди членов нашего многочлена есть одночлен 2ху^. Это слагаемое является удвоенным произведением л: и у^. Если бы у нас имелись также слагаемые х^ и у*, то, сгруппировав их, мы смогли бы применить формулу квадрата суммы. Но таких слагаемых у нас нет. Однако, анализируя исходный многочлен, можно заметить, что в группе х'^у + 2ху^ + у^, состоящей из второго, четвертого и пятого слагаемых, мы можем вынести за скобки общий множитель у. А в скобках как раз окажется квадрат суммы хну. Таким образом, х^у + 2ху^ + у^ = у(х‘‘^ + 2ху + у‘^) = у{х + yf. Оставшиеся первое и третье слагаемые имеют общий множитель х. Если мы вынесем его за скобки, то в скобках останется сумма кубов хну. Применяя соответствующую формулу, получим X* -I- ху^ = х(х^ + у^) = х{х + у){х^ - ху + у^). Таким образом, каждая из групп будет иметь общий множитель х + у, который можно вынести за скобки. Реализация стратегии. Объединим первый и третий члены исходного многочлена в одну группу, а второй, четвертый и пятый - в другую и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель: х^ + х^у + ху^ + 2ху^ + у^ = {х^ + ху^) + {х^у + 2ху^ + У^) = х(х^ + У^) + у(х^ + ^ху + у^). Теперь в первом слагаемом применим формулу суммы кубов, а во втором - формулу квадрата суммы. Тогда в каждой группе образуется общий множитель х у, который можно вынести за скобки: л:(л: -I- у)(х2 - ху + у^) + у{х + yf = (х + у)[х(х^ ~ ху + у^) + у(х + у)]. Преобразуя затем выражение в квадратных скобках, получаем: х(х^ - ху + у^) -1- у(х + у) = х^ - х^у + ху^ + ху + у^. Таким образом, мы приходим к следующему разложению исходного многочлена на множители: х' + х^у + ху® -I- 2ху® у® = (х + у)[х® - х®у + ху® + ху + у®]. Пример 3. Разложите на множители многочлен х'* + 4. Решение: Выработка стратегии решения. Замечаем, что данное выражение мы можем записать в виде (х®)® + 2®. Таким образом, исходное выражение является суммой квадратов. Но формулы для суммы квадратов у нас нет, поэтому сразу разложить многочлен на множители нам не удастся. 4* Прт<»псон. 7 кл.. ч. 2 117 Глава 4, §4, п.4 Можно заметить также, что х* + + 4 = (х^ + 2)^. А значит, если мы добавим и вычтем из исходного многочлена одночлен 4х^, то получим: дс'* + 4 = + 4 + 4х‘^ - 4х^ = + 4х^ + 4 - 4д:^ = (х^ + 2)^ - 4jc^. А полученное нами выражение мы уже сможем разложить на множители, используя формулу разности квадратов. Реализапия стратегии. Как и планировали, добавим к исходному многочлену и вычтем из него 4х^, затем воспользуемся формулой квадрата суммы, а после этого применим формулу разности квадратов. Получаем: х^ + 4 = X'* + 4 + 4х^ - 4х^ = дс"* -I- 4х^ + 4 - 4х‘‘ = (х^ Ч- 2)^ - 4х^ — (х^ -I- 2)^ - (2х)^ = = (х^ + 2 - 2х)(х^ + 2 + 2х) = (х2 - 2х + 2)(х^ + 2х + 2). В итоге мы приходим к следующему разложению исходного многочлена на множители: х" + 4 = - 2х -I- 2)(х2 ч- 2х -I- 2). Пример 4. Разложите на множители многочлен: х® Ч- 6х^ Ч- Их Ч- 6. Решение: Выработка стратегии решения. Заметим, что в последних трех слагаемых, если добавить к ним х и вынести за скобки 6, «спрятана* формула квадрата суммы (х Ч- 1)^. Чтобы выражение при этих преобразованиях не изменилось, из него надо вычесть X. Тогда неиспользованные слагаемые образуют группу дс^ - х, в которой есть общий множитель X. После вынесения его за скобки в скобках получим разность квадратов 1г2 — 1, которую можно разложить на множители (х Ч- 1)(х - 1). Таким образом, в каждой из образованных двух групп имеется множитель х Ч- 1, который можно вынести за скобки. Реализация стратегии. Проведя указанные преобразования, получим: х^ Ч- 6х^ Ч- Их Ч- 6 = X® Ч- 6х^ Ч- 12х + 6 = (д:^ - х) Ч- (6х^ Ч- 12х Ч- 6) = = х(х^ - 1) + 6(х ч- 1)2 = х(х + 1)(х - 1) ч- 6(х ч- 1)2 = (х Ч- 1)[х(х - 1) ч- 6(х ч- 1)]. Преобразуем выражение в квадратных скобках. Для этого сначала упростим его. а затем слагаемое 5х разобьем на два слагаемых - 2х и Зх: х(х - 1) Ч- 6(х ч- 1) = х2 - X ч- 6х Ч- 6 х2 ч- 5х Ч- 6 х2 Ч- 2х Ч- Зх Ч- 6 = = (х2 ч- 2х) ч- (Зх Ч- 6) = X (х ч- 2) -Ь 3(х ч- 2) = (X -ь 2)(х ч- 3). В результате мы получаем следующее разложение исходного многочлена на множители: х2 Ч- 6x2 Ч- Их Ч- 6 = (х Ч- 1)(х Ч- 2)(х Ч- 3). Пример 5. Разложите на множители многочлен х2 ч- 0,5х - 3. Решение: Выработка стратегии решения. Разложим этот многочлен на множители способом выделения полного квадрата (см. стр. 108), который часто используется при разложении на множители многих трехчленов. 118 Глава 4, §4, п.4 Для этого заметим, что слагаемое 0,5л: можно записать как удвоенное произведение X и числа Теперь, добавляя и вычитая из исходного многочлена ^ (квадрат числа ^), выделяем полный квадрат. После этого для разложения многочлена на множители используем формулу разности квадратов. Реализация стратегии. Выполняя вышесказанное, получаем + 0,5л: - 3 = л:^-1- 2-x--^ + Jq-Jq-3 = ^x^ + 2x--^ + |1б ■ + if - (If ■ (* + 4 + Э ■ (^ + 4 ' 4) ■ <* + - 1.6). Итак, разложение на множители данного трехчлена имеет вид: х'^ + 0,5л: - 3 = (л; 2)(л: - 1,5). Как мы уже говорили, разложение многочленов на множители непростая, а порой - и невыполнимая задача. Так, например, не для всех а и Ь можно разложить на множители двучлен -Ь (хотя, как мы убедились в примере 3, для некоторых конкретных а VI Ь это разложение может быть найдено). Задача разложения на множители требует не только четкого знания формул сокращенного умножения, но и смекалки, умения видеть общие множители и удачно группировать члены многочленов. Вместе с опытом выполнения подобных преобразований появляется «особое зрение», способность разглядеть «спрятанные» в многочленах формулы и общие множители различных групп слагаемых. Сейчас же, когда вы только начинаете раскладывать многочлены на множители, в выборе стратегии решения вам могут пригодиться следующие советы: 1. Если все члены многочлена имеют общий множитель, вынесите его за скобки. 2. Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного умножения -удвоенные и утроенные произведения, сумму и разность кубов, разность квадратов. 3. Ищите общие множители групп слагаемых, пробуйте их сгруппировать и вынести общий множитель за скобки. 4. Там, где не помогла одна группировка, может помочь другая. Поэтому попрю-буйте сгруппировать члены многочлена иначе. 5. Если для применения формулы или группировки не хватает какого-либо слагаемого, добавьте и вычтите его или разбейте на несколько слагаемых один из членов многочлена. 6. Если требуется разложить на множители трехчлен вида ах^ Ьх + с, где а, 6, с е Q, и вы не видите удобного способа разложения, попробуйте выделить полный квадрат. 7. И самое главное: если не удалось получить разложение одним способом -пробуйте другим. Если опять не удалось - пробуйте еще. Ведь решение задачи, над которой пришлось много трудиться, принесет вам ни с чем не сравнимое удовольствие и радость. 47/ 119 Глава 4, §4, п.4 О 6351 Разложите многочлен на множители: а) 2а'* + а®; б) ху - yz + zt - tx; в) 4с'^ - 9d‘^; г) 49т^ - 5&тп + 16л^. Какие изученные ранее способы разложения на множители вы использовали? |636| 1) Разложите на множители многочлен: а* + ах^ - а^х - х"*. 2) Сравните свое решение с решением примера 1, стр. 116-117. Чем эта задача отличается от задач в № 635? 3) Рассмотрите приемы решения примеров 2-5 на стр. 117-119 и прочитайте советы, приведенные на стр. 119. Какие из них вам кажутся наиболее важными? Какие еще советы вы могли бы сформулировать сами? а) 7а^Ь - 76®; б) 4c®d - 9cd®; в) 5х®1/® - 45x®z®; г) Зр''^® - 12р^д*; д) 144m^n® - 81m®n®; л) 2а^с - 326^с; м) Злш® - 192тп; н) 7р^д - 7д’-, о) t - 125r®s®f; п) - z^H^y^. 637| Представьте многочлен в виде произведения нескольких многочленов степени большей нуля и назовите приемы разложения многочленов на множители, которые вы использовали: е) 2а6® - 2ас®; ж) -64т®л - 27л; з) 4х*у + 32ху*; и) 2r®s - 16s; к) - 64г®; 6381 Разложите многочлен на множители. Какие приемы разложения вы здесь использовали? а) Зх®«/ -I- 6x1/® + Зр®; ж) а® - 2аЬ + - с^; н) а® - 6® - а -f- 6; б) 5а® - 10а®6 + 5а6®; з) х® -Ь 2ху + у^ - z^; о) с + d + - d^; в) 7x1/® -I- 28ху + 28х; и) 9 - т® -Ь 4тп - 4л®; п) х® - х®р - хр® -Ь р®; г) 2z - 4zt + 2zt^\ к) 4р® - 20рд + 25д® - 36; р) /п® + /п®л - тл® - л®; д) 12л1®л + 24т*п + 12л1®л; л) 16г® - 8rs -I- s® - 49; с) pr - gr - [^ + 2рд - g®; е) 9pY - 18р®9® + 9р®<т"; м) 25с® - 4d® -Ь 12dk - 96®; т) s® -I- 4s^ -I- 4i® - 6® - 6kt - 9i®. 6391 Решите уравнение, используя разложение многочлена на множители: а) а® -Ь 6а + 8 = 0; б) 6® - 76 + 10 = 0; в) с® - Зс - 10 = 0; г) 2d® -I- lOd + 12 = 0; д) 2х® - 6х -ь 4 = 0; 6401 Разложите многочлен на множители: а) X® - X® -1- X® - 1; ж) л®Р* + - r^sn^ - з^л®; е) X® -ь 2х - 15 = 0; ж) 2р® + 14р -Ь 24 = 0; з) Зг® -I- 272 -Ь 54 = 0; и) лг® + 5т* -6 = 0; к) Зл^ - 6л® + 3 = 0; л) 9®- IS^'* - 16 = 0; м) 2/^+ 14г® - 16 = 0; н) S® - 9s« + 4s® - 36 = 0; о) 5f® - 9f® - 2f = 0; п) 36® - 76® - 66 = 0. б) p® + 8 + 6y® + 12p; в) 2'* + 2® + 2 + 1; г) a® - a^ + За® + За®; д) pq" -(f-p + 7; H)(x® + 7xp + 3p®)®-(x® + 3i/®)®; з) a®6V - a®6®C* + a'*6®c® - a*c*; o) (52 - Згг’ + 22®)® - (22® - З2®)®; и) d® - 3d® - 15d + 125; K) p® - 7p® - 21p + 27; л) 6® + 27c® + 6® - 36c + 9c®; n) (a - 6Xa® - c®) - (a - cXa® - 6®); р) (p" - q'Xp + q) + (p + qf; с) (c - 3)® - 6(c - 3) + 9; e) m® + m®Л - 9л - 9m; m) 8лг® - л® - 12m® - 6mn - Зл®; т) (x + yf- 10(x® - p®) + 25(x - yf. 120 Глава 4, §4, п.4 ED 6431 Найдите корни уравнения: а) - 4х = 0; д) 6^'* - 54^^ = 0; б) + 5у = 0; е) 20s^ - 5s^ = 0; в) 2^ + 7z'^ = 0; ж) а® - 2а^ + о = 0; г) Н - Зг^ = 0; з) - 18ft2 + 81 = 0; Найдите значение выражения: а) + Ь^, если аЬ = 5, а + Ь = 2; б) cd^ - c^d, если cd -- -3, с - d - 7\ в) + 2тп + п^, если тп + л = 4; г) pq^ + p'^q, если pq = -4, р + q = -6; д) + r^s^, если rs = 2, г + s = -3; е) jc^ - у^, если х - у = 2, ху = 4. Сократите дроби при допустимых значениях переменных: и) /л'* - - лг* + Л1 = 0; к) р^ - Ър^ - 9р + 45 = 0; л) л® - 12 + Зл^ - 4л = 0; м) 8д5 - ^2 _ 200^» + 25 = 0. а) б) 8 - 12р + 6р^ - р\ 2q - pq + 2r 1 - rp rw 2m^ + mn - 2m + n - 2’ b) r) - 9a + 9ft> x^ + 4p^ - + 4xy_ _ 4y2 + 2^ + 2zx' Д) e) - 2c - + 1 - 2cd + - 1’ - rs - St - s^ + - 2sr - ' Рациональным способом найдите значение выражения: а) 7а^Ь + 5аЬ^ при а = ^; Ь = б) X* - 12х^ + 10х‘^ + 10х +11 при л: = 11; 2 3 в) (5/л - Зл)^ - (4л1 - 2л)^ при m = ^; л = ^; г) (Зс - 4d)'^ - {2d - Зс)2 при с = 0,75; d = -1,25; д) у^ - 2у^г - 4yz + 8z'^ при у = 5,5; z = 0,25; е) р^ + p^q - pq^ - q^ при р = 1,3; 7 = 0,8. Вычислите: а) 15,4^ - 7,6" + 23 • 2,2; б) 46,8" - 12 • 51,6 - 34,8"; в) 43 • 8,4 + 27,3" - 15,7"; г) 18 • 62,4 - 35,2" + 17,2"; Докажите тождество: а) х" + 4х - у" + 4у = (х + у)(х - у + 4); б) 2" - 3^ + г - 9f" = (2 - 30(2 + 3t + 1); в) (т + л)(т + ft) = лг" + т{п + ft) + nk; г) (р - у)(р - г) = р^ - p{q + г) + qr. д) е) 9» + 9^ 3‘" + 3*-* + 3^®’ 216 _ 218 + 21» 16^ - 16« ’ ж) з) 51" _ 513 _ 514 _ 5 25» - 25» 36" + 36" 6* - 6» + 6» - 6^ • 15 5“Петерсок. 7 кл., ч. 2 Глава 4, §4, п.4 Докажите, что: а) если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего из этих чисел; б) разность кубов двух последовательных целых чисел не делится на 3; в) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное, то их произведение делится на 24; г) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1. 648 Разложите трехчлен на множители, выделяя полный квадрат: |б^ ш а) + 4а - 5; в) Зс^ + 6с - 9; б) - 106 - 11; г) 2d^ + 16d - 40; Разложите многочлен на множители: а) х^(х - 5) + 4х(х - 5) + 4х - 20; б) уЧу + 3) + 4у(у + 3) + Зу + 9; в) 2z4z^ + 1) - 52(22 + 1) _ Зг2 _ 3; г) 3t4t - 7) - t(t - 7) + 14 - 2t; д) х^ + 1,5х - 1; е) у2 - 2,5у - 6; ж) 32^ - 3,52 - 1,5; з) 2л2 - 5,5п - 10. д) - 2тп - 2pq; е) 4x2 у2 _ ^2 _ 9^2 + ^ 02^j ж) 25а2 - 4с2 + 1662 _ ^2 _ 40аь _ 4cd; з) р2^2 - _ q2g2 f£g2 ^ 4pqrS. Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных: а) (х - 3)(х + 3) - (х - 6)(х + 6); б) 4(3у - 7){3у + 7) - 9{2у - 6)(2у + 6); в) (2 + 2)(22 - 22 + 4) - (2 - 2)(22 + 2z + 4); г) (2г - 3)(4г2 + 6г + 9) - (2г + 3)(4г2 - 6г + 9). д) 119х - 51у + 42x2 - 18yz; е) 95р + 114д + 65рг + 78qr; ж) 105т - 135mk + 21п - 27kn; з) 132ас - 996с + 156а - 1176. Разложите на множители: а) а6(а - 6) - ас(а - с) + 6с(6 - с); б) тп{т + п) + mk(m - k) - nk{n + k)\ в) p\q - г) + q'4r - p) + г2(р - q)-, г) x\y - 2) + y\z - x) + z\x - y)‘. Докажите тождество: а) (2x2 3)2 _ 4д.2(^ _ 2)2 = (4д. + з)(4д-2 - 4x 4- 3); б) 9уЧ2у - 3)2 - 4(3i/2 + 1)2 = (9у + 2){9у - 2 - 12у2); в) (а - 6)2(а + 6) - 4а6(а + 6) - 8а6(-а - 6) = (а + 6)^; г) (с + d)2(c - d) + 6cd(c - d) + 19cd{d - c) = (c - d)®. Решите уравнение: a) a® - 5a2 + 4a = 0; 6) 262 + 862 + = 0; e) n® - + 3^2 - 3«2 = Q; b) c2 + 3c2 - 9c - 27 = 0; ж) 2^?2 - *2 + 9 _ jg/j = q. r) 3d2 - 5d2 + 6d-10 = 0; з)г2 + г^ + г2 + г2ч-г+1 = 0. д) m® - m2 - 49m + 49 = 0; 122 ---------------------------------------------------------------Глава 4, §4, п.4 Докажите, что многочлен принимает только неотрицательные значения при любых числовых значениях переменных: а) 9л:^ - 6х + 2; д) - 6pq -I- 9q^ -I- 5г^; б) у'^ - \2у -I- 40; е) 9т^ + - 6т -I- 1; в) + 2с^ - 2ас - 2Ъс + 3; ж) Иг^ - 2г -Ь 1; г) - 8тп + 1бл^ + 9р^ + q^ - &pq 2; з) - 8zt 20^^ - 4^ + 1. Найдите значение выражения: а) л:® -Ь 6х^ -I- Их + 6, если х -\- \ = 10; в) 2® -I- 12г^ + 44г -I- 48, если 2 -Ь 4 = 2,2; б) у^ -ь Зу'^ - 4у - 12, если у + 3 = -10; г) + 4t^ - 9t - 36, если t - 3 = -0,5. 6^ Докажите тождество при х ^ у: _ ,,8 б) в) г) X ■ - у х'в - X - У х^“ о5 - У^ . X - У х^" об - / . у = (х + у){х^ + у'^){х* + у*)(х^ + у^У, (х^“ + у'^"){х^' -I- 1/2')(х2" 4- y^^'){x^■^ -Ь г/2')(х^' -f у^у, = (х^” -Ь г/^°)(х^‘ -f г/^‘)(х^^ -Н у^Ух^^ + у^Ух^* 4- у^*){х^^ 4- у^^) 6571 а) При каких значениях х произведение двучленов х 4- 3 и х - 3 меньше суммы их квадратов на 28? б) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у 4- 5 и у - 5 меньше суммы их квадратов на 9у? 6581 Запишите следующие выражения на математическом языке: а) квадрат произведения чисел 5, квадрата числа а, куба числа Ь; б) произведение кубов чисел 3, х, у, 2, z; в) сумма произведения чисел 5 и х и произведения чисел 4 и с; г) разность частного чисел 9 и у и разности между числом 7 и а; д) квадрат суммы чисел 6, г, s, t; е) сумма квадратов чисел 8, т, п, к, I; ж) четвертая степень суммы чисел а, Ь и с; з) сумма пятых степеней чисел 2, 5 и у. ш Множества А, В и С заданы следующим образом: А - множество натуральных чисел, меньших 5; В - множество целых чисел, модуль которых меньше или равен 3; С - множество четных положительных чисел, меньших 8. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А П С; в) В и С; д) (А U С) П В; ж) С П А П В\ б) А и В; г) А П В; е) А U (В П С); з) А U В U С. 123 Глава 4, §4, п.4 6601 Составьте список элементов множеств, заданных характеристическим свойством: а) А = {а: а € Z; -3 < а < 5^}; ED Ш в) с = {с: с е N^; -1 < с < 3}; б) В = {Ь: Ь S N; -5 < Ь < 6,9}; г) D = {d: -6 < d < 12 и d = Зп + 1; п е N). Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и объединение: а) А = {а: а = 2 (mod 3); -2 < о < 10}; б) А = { а: а = 1 (mod 4); -4 < а < 11}; В = {&:& = 3 (mod 5); -3 < а < 9}; В = { Ь: Ь = 5 (mod 6); -2 < а < 7}. Проверьте справедливость высказываний. Для ложных высказываний постройте их отрицания: а) Если число делится на 5 и на 7, то оно всегда делится на 35. б) Если число делится на 3 и на 15, то оно всегда делится на 45. в) Если число а не делится на 4, то число 5а не делится на 4. г) Если число Ь четное, то число 75 всегда делится на 14. д) Если число 8с делится на 7, то число с всегда делится на 7. е) Если число 18d делится на 15, то число d всегда делится на 15. Докажите: а) Если натуральное число делится на 5, то оно не может при делении на 20 давать остаток 16. б) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 7, то оно не делится на 9. в) Если натуральное число делится на 8, то при делении на 16 оно не может давать остаток 7. г) Если натуральное число при делении на 30 дает остаток 21, то оно не делится на 10. Запишите многочлен в стандартном виде и определите его степень: а) (14а5^ - 7Ьа^ - 66а) - (-баб -Ь 14а6^) + 66а^; б) - (9т - 7п) + (-6п - (4т -I- 11)) - (2т - (17 + 5п)) + (т - 4л); в) 14а + 7Ь- (9а - 256) - ((46 + 6а) + (-За + 186)); г) 2р + (Зр - 2д) - 6р2 - 9q^ + (9 - 3(4 - 2р^ - 3q^)) - 6р + I2q; д) -2(2а + 0,5(9с - (2d + 6а) -I- 2d - 5с)) - (-2а -Ь 3d - с); е) X - (у - (г - X - у)) - (у + (х - (Z - X - у))). а) Катер прошел расстояние между двумя пристанями по течению реки за 6 часов, а против течения реки - за 8 часов. Чему равно расстояние между этими пристанями, если скорость течения реки равна 2 км/ч? б) Чтобы покататься по реке, Миша и Маша взяли напрокат моторную лодку. На какое максимальное расстояние они могут отплыть по реке от пункта проката, чтобы успеть вернуться через 4 часа, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч? в) Расстояние между двумя пристанями равно 35 км. Сколько времени потребуется Коле и Оле, чтобы проплыть на лодке от одной пристани до другой и сразу вернуться обратно, если собственная скорость лодки равна 6 км/ч, а скорость течения реки составляет 1 км/ч? 124 о Глава 4, §4, п.4 666 Представьте многочлен в виде произведения нескольких многочленов: а) 16а®6 - 4аЬ*; в) -125х^ - 27; б) Sc^d^ - 27сН^; г) + 40уг‘‘; Разложите многочлен на множители: а) 6а^ - 12а& + 6&^; б) 3cd^ + 12crf + 12с; в) 4р - 2Apq + S6pq^; Решите уравнение: а) + 2а - 15 = 0; б) 2Ь^ + 26 - 12 = 0; Разложите многочлен на множители: а) + 27 + 7x2 + 21х; б) у*-у^-у + 1; в) 2® - 0“* + 5г2 - 5; г) г«2 + S г) Г2 + 2rS + S2 - д) 25 - m2 + бтп - 9п^; е) 9fe2 - 246р + 1бр2 - 49; в) Зс2 + 16с - 35 = 0; г) X® - 7х® - 8 = 0; д) 7т® - 448; е) Зп® + 36®. ж) а - 6 - а2 + &2; з) 2с® + c^d - cd^; и) X® - Х^у - XI/2 + у®. д) у®+ 15у^- 16 = 0; е) 82®+ 72® - 1 = 0. 3 _ s; д) а® - 6а® - 4а + 24; е) 27с® - d® - 45с2 - 15cd - 5d®; ж) m® - 9m® - 4m + 36; З) (p2 + 9pq + 5g2)2 - (p2 + 5^2^2 6^ Найдите корни уравнения: а) a® + 11a = 0; в) c* + c® - c® - c = 0; б) 6® - 86® = 0; r) d® + 6d® - 9d - 54 = 0. Найдите значение выражения: a) xy® + x®y, если xy = 5, x + у = 8; 6) 92® - 12zt + 4f®, если 2t - 3z = 9; b) 6® - a®, если a-b = 3, a + b = -5; r) c® - d®, если c - d = 2, cd = 5. Сократите дроби при допустимых значениях переменных: а) б) р® + 9у® - 4г® - бру. ’ р® - 9у® + 4г® + ipr’ X® - у® х2 - у2 - Зх - Зу’ г) т® + 2тп + 4пк - 46® 4га® + т® + 4тга - 46®' Разложите трехчлен на множители, выделяя полный квадрат: а) X® + 8х - 20; в) а® - 2,5а - 6; д) 2с® - 5с - 3; б) у® - 9у + 20; г) 6® - 4,56 - 9; е) 3d® - 5d - 2. Разложите многочлен на множители: а) х®(х - 3) - 4х(х — 3) - 21х + 63; в) а® - с® - 4d® + 46® - 4а6 - 4cd; б) уЧу + 7) + 9у(у + 7) + 20у + 140; г) 9т® + 4га® - 25р® - Збу® + 12тга + бОру. Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных: а) (х - 5)(х + 5) - (х - 3)(х + 3); в) (2 + 5){2® - 5г + 25) - (2 - 5)(2® + 52 + 25); б) 9(2у - 8)(2у + 8) - 4(3у - 7)(3у + 7); г) (3t - 1X9^® + 3^ + 1) - (3^ + lX9i® -3t + 1). 125 Глава 4, §4, n.4 Ш\ в) 70л: - 126г/ + 35x2 - 6З1/2; г) 68т+ 119« + 36km + 63kn. 677 680 Разложите на множители: а) аЬ(а + Ь) + ас{а - с) - Ьс{Ь + с); б) х\у + 2) + у\х - 2) - 2\у + х); Решите уравнение: а) а® - 7а - 6 = 0; в) с® + - 9с - 9 = 0; б) + 86^ + 26 + 8 = 0; т) + (Р - + d - I = 0. Множества А, В и С заданы следующим образом: А - множество натуральных чисел, больших 4 и меньших 9; В - множество натуральных чисел, меньших 10, дающих при делении на 3 остаток 2; С - множество нечетных положительных чисел, меньших или равных 11. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А П С; б) А U В; в) (А U С) П В; г) С П А П В. Составьте список элементов множеств, заданных характеристическим свойством: а) А = {а: а е Z; -7 < а < -2^}; б) В = {6: 6 е -4 < 6 < 3,8}. а) При каких значениях х произведение двучленов х + 4 и х - 4 меньше суммы их квадратов на 52? б) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у + 7 и 7 - у меньше суммы их квадратов на 14у? 68Т] Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и объединение: А = {а: а = 5 (mod 6); -3 < а < 12}; В = {6: 6 = 7 (mod 8); -1 < а < 8}. Докажите: а) Если натуральное число делится на 11, то оно не может при делении на 33 давать остаток 17. б) Если натуральное число при делении на 12 дает остаток 8, то оно не делится на 27. Запишите многочлен в стандартном виде и определите его степень: а) (4ху‘^ - Зх^у - Ъху) - (-4x1/ + 9ху^) + 7ух^; б) -{Зр - 4д) + i-4q - (5р + 12)) - {Зр - (13 + 69)) - (-11р + 7q). 684| а) В пончиковой компании Антона и Ксюши склад готовой продукции и цех, в котором производятся пончики, соединены движущейся дорожкой. По этой дорожке Антон доехал на велосипеде из цеха на склад за 5 минут, а в обратном направлении - за 10 минут. Чему равно расстояние от склада готовой продукции до цеха, если скорость движущейся дорожки равна 1 м/с, а скорость Антона на велосипеде была постоянной? б) Антону и Ксюше, владельцам пончиковой компании, необходимо доставить пончики из Москвы в Кострому. Они решили для этого арендовать теплоход. Известно, что средняя скорость теплохода 17 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Какое расстояние между Москвой и Костромой, если на дорогу туда и обратно теплоход затратил 34 часа? 126 682 Глава 4, §4, п.5 6851 Докажите, что А делится на В: . _ 57,24 • 3,55 + 430,728 127,18 • 4,35 + 14,067 2,7 • 1,88 - 1,336 18 + 214,92 : 358,2 ’ д ^ Г _ 30 • (3,6 - 2,8) (0,2 - 0,15) : 0,0001] . g gg Lo,25 • (0,94 + 1,06) 4,7 - 3,9 J ’ ’ |686| Как разлить молоко из двенадцатилитрового бидона на две равные части, имея только два пустых бидона - восьмилитровый и пятилитровый? * [6871 На занятиях в спортивной секции число отсутствующих спортсменов составляет ^ часть присутствующих. Если с занятия уйдет один спортсмен, то число ” 1 отсутствующих станет равно g числа присутствующих. Сколько спортсменов в этой спортивной секции? 5. Решение задач с помош,ыо разложения многочленов на множители «Отрицать за математическими формулами объективную реальность - это значит не видеть за деревьями леса». Людвиг Больцман (1844-1906), австрийский физик-теоретик В предыдущих пунктах мы изучали разные способы разложения многочленов на множители. Делали мы это в том числе и для того, чтобы научиться решать те задачи, которые были недоступны нам ранее. В данном пункте мы убедимся в том, что умение раскладывать многочлены на множители открывает новые возможности для решения самых разных задач. Задача 1. Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата, а его длина - на 3 см больше стороны этого же квадрата. Найдите длину данного прямоугольника, если его площадь равна 9 см^. Решение: Построение математической модели. Пусть сторона квадрата равна х см, где х > 0. Тогда ширина прямоугольника равна (х - 5) см, а его длина - (х -I- 3) см, где х-5>0, х + 3>0. Нам известно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. С другой стороны, по условию задачи она равна 9 см^. Составим математическую модель задачи: (X - 5)(х + 3) = 9 ________^ X + 3 - ? _х>0, х-5>0, хЧ-3>0 127 Глава 4, §4, п.5 Стратегия решения уравнения. Для ответа на вопрос задачи нам надо решить уравнение (л: - 5)(л: + 3) = 9. Общий способ решения таких уравнений нам пока не известен. Но нам встречались уравнения вида (ах -I- ft)(cx -I- d) = О, где а, Ь, с, d е Q, а х - неизвестная величина. Мы знаем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, если мы сможем представить исходное уравнение в указанном виде, то для полного решения задачи нам достаточно будет воспользоваться данным правилом, то есть: (ах ч- Ь)(сх -i-d) = 0oax + 6 = 0 или сх + d = 0. А находить корни таких уравнений мы уже умеем. Тем самым решение уравнения неизвестного вида будет нами сведено к решению уже известных уравнений. Таким образом, для решения задачи нам надо выполнить следующую последовательность действий. Шаг 1. Представим уравнение (д: - 5)(х -f 3) = 9 в виде (х - 5)(д: -Ь 3) - 9 = О и запишем левую часть как многочлен стандартного вида. Шаг 2. Разложим полученный многочлен на множители. Шаг 3. Каждый из множителей приравняем к нулю и найдем корни получившихся уравнений. Шаг 4. Выберем из всех корней те, которые удовлетворяют неравенствам л: > О, л:-5>0, д:-1-3>0. Шаг 5. Для выбранных корней вычислим д; -*- 3 и запишем получившийся ответ. Реализапия стратегии. Шаг 1 (х - Ь)(х -I- 3) = 9 <:> (х - 5)(х 4-3)-9 = 0ох^-1-Зх-5х-15-9 = 0о о - 2х - 24 = 0. Шаг 2 Для того чтобы разложить многочлен х^ - 2х - 24 на множители, выделим полный квадрат. Для этого добавим и вычтем 1, а затем воспользуемся формулой разности квадратов. х2 - 2х - 24 = х2 - 2х + 1 - 1 - 24 = х^ - 2х -I- 1 - 25 = (X - 1)2 - 25 = (X - 1)2 - 5^ = = (X - 1 - 5)(х - 1 -I- 5) = (х - 6)(х + 4). Шаг 3 Чтобы решить уравнение (х - 6)(х Ч- 4) = 0, приравняем к нулю каждый из множителей: (х - 6)(х 4-4) = 0<=>х-6 = 0 или хЧ-4 = 0<»х = б или х = -4. Корни X = 6 и X = -4 данного уравнения являются также корнями исходного уравнения, поскольку они получены в результате равносильных преобразований исходного уравнения. Шаг 4 Корень X = б удовлетворяет всем трем данным неравенствам, так как 6 > 0, 6-5>0и6ч-3>0 - истинно. Корень X = -4 не удовлетворяет неравенству х > 0, так как -4 > 0 - ложно. 128 Глава 4, §4, п.5 Шаг 5 Вычислим искомое значение длины прямоугольника: х + 3 = б + 3 = 9 (см). Ответ: длина прямоугольника равна 9 см. Задача 2. Загадали три рациональных числа. Произведение первого и третьего из них равно (-6). Известно, что второе збсгаданное число на 6 больше первого, а третье - на 11 больше произведения первого и второго чисел. Найдите эти числа. Решение: Построение математической модели. Пусть первое рациональное число равно х. Тогда второе рациональное число равно л: + б, а третье равно х{х + 6) + 11. Известно, что х [х(л: + 6) + 11] = -6. Составим математическую модель задачи: X [х{х + 6) + 11] = -6 _____ X, д: + 6, х(х + 6) + 11 е Q -► X, X + 6, x(jc + 6) + 11 - ? Стратегия решения уравнения. Для того чтобы решить данное уравнение, запишем его в виде X [х{х + 6)+ 11]+ 6 = 0 и разложим многочлен в левой его части на множители. Затем приравняем каждый из множителей к нулю и найдем корни получившихся уравнений. Тем самым мы найдем корни исходного уравнения, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Итак, для решения задачи выполним следующие действия в такой последовательности: Шаг 1. Представим уравнение д:: [х{х -Ь 6) 11] = -6 в виде х [x(x + 6)-1-11]-1-6 = 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида. Шаг 2. Разложим полученный многочлен на множители. Шаг 3. Каждый из множителей приравняем к нулю и найдем корни получившихся уравнений. Шаг 4. Проверим, что корни уравнений являются рациональными числами. Шаг 5. Вычислим дг 6, х(х -Ь 6) -f- 11 и запишем получившийся ответ. Реализация стратегии. Шаг 1 X [х(х -f 6) -f 11] = -6 <=> д: [дс(д: -l-6)-bll]-f6 = 0«> д:[д:^ -1-6x-l-ll]-t-6 = 0o о JC® -I- 6х^ -ь 11дг -I- б = о Шаг 2 Подробно разложение многочлена дс* + 6х'^ -t- Ид: -Ь 6 на множители мы рассмотрели в пункте 4.4.4 (см. Пример 4). Поэтому здесь мы лишь кратко запишем проводимые преобразования: X® -(- бх^ -Н Их -ь 6 = X® -I- 6х^ -ь 12х -ь 6 - X = х(х^ - 1) -t- 6(х -I- 1)^ = = (х + 1)[х(х - 1) -I- 6(х + 1)] = (X + 1)[х" -ь 5х -г 6] = (X + 1)(х + 2)(х -f 3). 129 Глава 4, §4, п.5_______________________________________________________ Шаг 3 Уравнение (л: + l)(x + 2){х + 3) = О равносильно исходному. Чтобы его решить, приравняем к нулю каждый из множителей: (х + 1)(х + 2){х + 3) = О X + 1 = О или X + 2 = О или X + 3 = О X = -1, X = -2, X = -3. Таким образом, мы получили, что корнями исходного уравнения являются числа (-1), (-2) и (-3). Шаг 4 Все полученные корни являются рациональными числами. Шаг 5 Если X = -1, то X + 6 = -1 + 6 = 5, а х(х + 6) + 11 = -1 • 5 + 11 = 6. Если X = -2, то X + 6 = -2 + б = 4, а х(х + 6)+ 11=-2- 4 + 11 = 3. Если X = -3, то X + 6 = -3 + б = 3, а х(х + б)+ 11 =-3-3 + 11 = 2. Ответ: могли загадать следующие тройки рациональных чисел: (-1; 5; б), (-2; 4; 3), (-3; 3; 2). Таким образом, мы в очередной раз убеждаемся, что умение раскладывать многочлены на множители позволяет существенно расширить наши возможности при решении самых разнообразных задач. О 688 а) Загадали два натуральных числа. Известно, что одно из них на 2 больше другого, а их произведение равно 15. Найдите эти числа. б) Сумма двух натуральных чисел равна 10, а их произведение равно 24. Найдите эти числа. в) Одно из натуральных чисел в два раза больше другого, а их произведение равно 32. Найдите эти числа. Решите уравнения: а) За(а - 7) = 0; в) (2с + 1)(3с - 2) = 0; д) 5х^(х - 3)(2х + 4) = 0; б) ЩЬ + 9) = 0; г) (8d + 6)(4d - 5) = 0; е) + 14)(2г/ - 5) = 0. 6901 в контрольной работе по математике нужно было решить уравнение х^ + х = 2х^. Коля решал это уравнение следующим образом: «Заметив, что многочлен в правой части уравнения имеет общий множитель х, он вынес его за скобки. Затем он разделил правую и левую части на одно и то же число X и получил уравнение х^ + 1 = 2х. После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число (-2х) и, воспользовавшись формулой суммы квадратов, нашел корни уравнения. В итоге он записал свое решение так: X® + X = 2х^ <=> х^ + 1 = 2х о х^ + 1 - 2х = о о (х - 1)^ = о о (х - 1)(х - 1) = 0 с:? (х - 1) = О <=> X = 1». 130 Глава 4, §4, п.5 ш |6^ ш Саша же решал это уравнение иначе: «Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число (~2х^), а затем разложил получившийся многочлен на множители и нашел корни уравнения. В итоге он записал свое решение так: -I- д: = 2х^ о -Ь д: - 2х^ = О о х(х^ 4- 1 - 2х) = О о х(х - 1)^ = О о о х(х - 1)(х - 1) = О о (х - 1) = О или X = О о X = 1 или X = О». Почему мальчики получили разные ответы? В каком месте и кем из них была допущена ошибка? Какое правило было нарушено и как правильно решить данное уравнение? 1) Постройте математическую модель и решите задачу: «Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата, а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата. Найдите длину данного прямоугольника, если его площадь равна 9 см^». 2) Сравните свое решение этой задачи с решением, приведенным на стр. 127-129 учебника. Уточните шаги ее решения. 3) Какой прием решения уравнений был использован при решении этой задачи? Решите уравнение: а) 7х(х + 1) = 21 - 7х; в) 4г(2 -I- 2) = 32г + 13; д) г^(г - 7) = -3г(3г - 5); б) у(у- 1)^ у + 15; г) ^2(l4 -t) = 6t(2t - 4); е) рЧ^р - 7) = 2р(2 - 9р). а) Велосипедисты на первом этапе соревнований ехгши в течение 9 часов со средней скоростью X км/ч, а на втором этапе они ехали на х часов больше со средней скоростью на 9 км/ч большей. С какой средней скоростью ехали велосипедисты на первом этапе, если на втором этапе они проехали 900 км? б) Длина ребра второго куба на 3 см больше длины ребра первого. Найдите длину ребра первого куба, если объем второго куба равен 343 см®. в) Вчера в магазин привезли а книг по цене а р. за штуку, а сегодня привезли на 3 книги меньше, по цене за штуку на 5 р. большей. Сколько книг привезли вчера в магазин, если сегодня книг привезли на суму 39 984 р.? а) На прямоугольном участке земли, длина которого на 10 м больше его ширины, построили дом, занимающий площадь 100 м®. Найдите длину этого участка, если известно, что площадь участка, не занятая домом, равна 164 м®. б) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины. Если бы его длину уменьшили на 5 м, а ширину увеличили на 5 м, то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше, чем площадь исходного, увеличенная на 78 м®. Чему равна длина этого участка земли? в) Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 6 см больше ширины, а площадь равна 72 см®. Найдите загаданные рациональные числа, если известно, что: а) их сумма равна 3,5, а их произведение равно 3; б) их разность равна 2,2, а их произведение равно 8,4; в) одно число больше другого на 1,6, а их произведение равно 13,8; г) одно число меньше другого на 4, а их произведение равно -1,75. 131 Глава 4, §4, п.5 Ш §221 а) Первый рабочий, работая самостоятельно, может выполнить заказ на 3 часа быстрее, чем второй. За сколько часов выполнит этот заказ один второй рабочий, если вместе они его выполнили за 2 часа? б) Мастер и его ученик могут выполнить, работая вместе, некоторую работу за 3 часа. Сколько времени необходимо ученику, чтобы выполнить эту работу самостоятельно, если известно, что мастер, работая один, сможет выполнить ее на 8 часов быстрее? в) Два насоса, работая одновременно, могут наполнить пустой бассейн за б часов. При этом один первый насос наполнит этот бассейн на 9 часов быстрее, чем один второй. Сколько часов понадобится второму насосу, чтобы наполнить этот бассейн? а) Моторная лодка проплыла по течению реки 18 км, а затем против течения - 30 км. При этом на весь путь она затратила 8 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. б) Теплоход проехал 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час. Чему равна собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3 км/ч? в) Два автобуса вышли одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 48 км. Скорость первого автобуса была на 4 км/ч больше, и поэтому он прибыл в пункт В на 10 минут раньше. Найдите скорость второго автобуса. а) В сплав меди и цинка, содержащий 60 кг меди, добавили 160 кг цинка. В результате процентное содержание меди в сплаве уменьшилось на 10. Чему была равна первоначальная масса сплава? б) В сплав меди и олова, содержащий 5 кг олова, добавили 15 кг меди. В результате процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 30. Сколько килограммов меди было в первоначальном сплаве? а) Автомобилист выехал из города на дачу по дороге, длина которой 24 км, а возвратился домой по другой дороге, длиной 30 км. Увеличив на обратном пути скорость на 2 км/ч, он тем не менее затратил на обратный путь на б мин больше, чем на путь на дачу. С какой скоростью автомобилист ехал на дачу, если известно, что его скорость была больше 20 км/ч? б) Сначала траншею рыла первая бригада рабочих. Через 4 часа к ней присоединилась вторая бригада, и, проработав вместе еще 8 часов, они вырыли траншею полностью. За сколько часов вырыла бы эту траншею вторая бригада, работая самостоятельно, если первой бригаде потребовалось бы на это на 8 часов больше? Найдите загаданные рациональные числа, если известно, что: а) произведение первого и третьего из них равно (-8), второе число на 5 меньше первого, а третье - на 2 больше произведения первого и второго из загаданных чисел; б) произведение первого и третьего из них равно 2, второе число на 2 больше первого, а третье — на 1 меньше произведения первого и второго из загаданных чисел. 132 о Глава 4, §4, п.5 705| 70^ E01J Среди приведенных высказываний найдите общие высказывания, высказывания о существовании и высказывания, не являющиеся ни теми, ни другими. Определите истинность высказываний. Для ложных высказываний постройте их отрицания. а) Число 6 является делителем числа 128. б) Число 9 является делителем всех натуральных чисел. в) Существуют натуральные числа, делителем которых является число 5. г) Все корни уравнения (л: -I- 1)(х - 2) = О - целые числа. д) Уравнение (Зг/ + 5)(2у - 3) = О имеет целый корень. е) Число 0,5 является корнем уравнения (2г - 1)(г 4- 3) = 0. ж) Все простые числа нечетные. з) Некоторые простые числа нечетные. и) Простое число 5 является нечетным. Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: а) -2т^п + 2т^п - (-Зп - Зт^п) - (т^п + 2п) при т = 2, п = -2; б) Зо2 - аЬ- + {-За^ + 2аЬ - - 2аЬ + 2Ь^ при а = 3, & = 2; (1^ “ |l/) “ ^ - 2 -Ь 2г/ + (|лг - - (х + у) при л: = 5, I/ = 11; г) + 2рд + 7 - - (-р^ ~ рд + д^) ~ Зp^ - (Зрд + 2р^) -Н д^ при р = -1, qr = 2. Сравните значения числовых выражений: а) 5,5® + 6,7® и 12,2®; б) 12,4® - 11,6® и 12,4® -Ь 12,4 • 11,6 + 11,6®; в) 7,9® - 6,3® и 6,3® + 6,3 • 7,9 -1- 7,9®; г) 14,8® - 15,6® и 0,8®; д) 21,7® + 13,4® и 21,7® - 21,7 • 13,4 + 13,4®. На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенствам: а) X > 5, у < 4; в) х < 6, у < 2; д) 1 < д: 4- 2 < 4; -2 < i/ - 3 < 4; б) X > 3, у > -1; г) X > -5, у < в; е) -6 < дс - 5 < -1; 5 < i/ 4- 4 < 9. Изобразите на числовой прямой Од; множество решений неравенства: а) д;4-3>0; в)3<д;4-7<б; д)|х-2|>1; ж)1<|х-6|<2; б) х-5<0; г)2<д;-4<5; е)|д;4-3|<4; з)6<|д;4-3|<8. Какие остатки дают натуральные степени числа а при делении на Ь? а) а = 3, 6 = 7; б) а = 4, 6 = 11; в) о = 2, 6 = 17. Зная, что а, Ь е N, вычислите А, если: а) А = За - 6, 3“ = 243, 4'’ = 256; в) А = 2а + 36, 5“ = 125, 9*’ = 729; б) А = 5а : 6, 6» = 216, 2^’ = 32; г) А = Заб, 7“ = 343, 8» = 64. 133 Глава 4, §4, п.5 О 712 ilill [70^ Решите уравнение: а) 1х{х - 3) = 0; в) (Зг + 2)(г - 4) = 0; б) Ъу(у + 2) = 0; г) {At + 8)(2t - 9) = 0; д) 4а^(а - 2)(3а + 12) = 0; е) 96^(66 + 5)(46 - 7) = 0. тЩ 7П) ш а) На прямоугольном участке земли, длина которого на 6 м больше его ширины, построили дом, занимающий площадь 120 м^. Найдите длину этого участка, если известно, что площадь участка, не згшятая домом, равна 232 м^. б) Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 8 см больше ширины, а площадь равна 128 см^. При каких значениях переменной равны значения выражений? а) 3x(x + 1) = 9 - Зх; в) а^(12 - о) = 7а(2а - 5); б) 2у{у - 5) = 6у + 18; г) 2Ь\Ь - 5) = -2&(18 - 46). Найдите загаданные рациональные числа, если известно, что: а) их сумма равна 2,5, а их произведение равно 1,5; б) их разность равна 1,5, а их произведение равно 10. а) Первая бригада пекарей пончиковой компании Антона и Ксюши, работая самостоятельно, может выполнить полученный заказ на 9 часов быстрее, чем вторая. Работая вместе, они выполнили этот заказ за 20 часов. За сколько часов выполнила бы этот заказ вторая бригада, работая самостоятельно? б) Для приготовления пончиков заготовили смесь из изюма и пончикового теста, содержащую 4 кг изюма. Затем в нее добавили 10 кг теста, и в результате этого процентное содержание изюма в смеси уменьшилось на 2. Чему была равна первоначальная масса смеси? а) Яхта проплыла 8 км по течению реки и 16 км против течения реки за 1 час 20 мин. Чему равна собственная скорость яхты, если скорость течения реки равна 4 км/ч? б) Автобус выехал из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км. Возвращаясь обратно из В в А, он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей. Поэтому на обратный путь он затратил на 20 мин больше, чем на путь от А до В. С какой скоростью ехал автобус из В в А? в) Автобус выехал из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 40 км от него. Через 10 мин после этого вслед за ним выехал автомобиль. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости автобуса. Чему равна скорость автомобиля, если в пункт В автобус и автомобиль прибыли одновременно? Найдите загаданные рациональные числа, если известно, что произведение первого и третьего из них равно 20. Второе загаданное число на 5 больше первого, а третье - на 4 меньше произведения первого и второго чисел. Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: а) 9xyz - {-12xyz^)~ (9xyz^ + 6xyz - 7zyx^+ IQx^yz) при x = 2; у = 3; z = -1; б) (Aab - 5bc^)~ {-ab - Abc^) - bc^- bab при a — -1,4; b = -2,5; c = -0,3. 134 Глава 4, §4, п.5 7161 Сравните значения числовых выражений: а) 7,23 + 4 33 и 11 53. б) 19,33 - 18,43 и 19 32 + 19^3 . ig 4 + 18^42. в) 21,53 - 15,03 и 21,53 + 21,5 . 15,6 + 15,03; г) 13,03 _ 14^93 и 1,33; д) 10,93 + 19,73 и 16,93 _ 10 9 . 19 7 + 19Д2 Изобразите на числовой прямой Ох множество решений неравенства: а) ас - 2 > 0; б) -2 < ас + 4 < 7; в) | ас - 3 | > 5; г) 2 < [ ас - 5 | < 5. 718| На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенствам: а) сс > 2, у < -3; б) а: < -7, 1/ < 4; в) -2 < ас + 3 < 8; г) -3 < у - 4 < 3. Какие остатки дают натуральные степени числа а при делении на Ы а) а = 3, Ь = 8; б) а = 2, 6 = 9; в) а = 4, 6 = 5. ш Зная, что а, Ь е N, вычислите А, если: а) А = 5а + 26, 2“ = 250, 3" = 729; б) А = 2а - 36, 6“ = 36, 7» = 49. ЁЗ Докажите, что квадрат разности А и Б делится на 9: А = 48 - 2(5(7 - 2) - 3) - 7 - 3(8 - (4 + 9)) - 3 - (8 - 11); В = -(3(7 - 4) - 5 - 9) - 2(0,5(4 - 2(3 - 7) - (3 + 7)) - 9) - 9 - 3(5 - 0). 9 |722| Для нумерации страниц книги потребовалось 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге, если первая страница имеет номер 1? |723| Отец завещал своим пятерым сыновьям три равноценных дома и велел им разделить наследство поровну. Братья договорились, что каждый из трех старших братьев возьмет себе по дому и заплатит за это младшим братьям некоторую сумму денег, которую они разделят между собой. В результате братьям удалось выполнить завещание отца, и все они получили поровну. Сколько стоили три завещанных отцом дома, если каждый из старших братьев заплатил по 800 золотых монет? 12^ Турист отправился в путь, предполагая проходить каждый день третью часть всего пути, запланировав через 3 дня прибыть в пункт назначения. В первый день он действительно прошел то расстояние, которое запланировал, но во второй день он прошел лишь третью часть оставшегося пути. В третий день он опять прошел третью часть уже нового остатка пути. В результате ему осталось пройти еще 24 км. Сколько километров прошел турист в первый день? 135 Задачи для самоконтроля к Главе 4 Задачи для самоконтроля к Главе 4 Ш Запишите буквенные выражения, используя понятие степени: а) (“л:) • (-л:) • (-х) • (-х); в) (тл) • (тп) • {тп) • {тп) • (лш); б) -Zy * З1/ • 42 • 4z • 42; г) (с - d) • (с - d) • (с - d). Определите, каким числом - положительным или отрицательным - является выражение: а) (-11Г'; Вычислите: а) ((-3)2+(-1)^-8) : (-2)3; б) (-|f; в) (-3,7)“з • (-0,21)з>в; г) (-39,7) б) - 0,1= 0,1 • (0,5 - 21); в) -2 • (-4)2 : 3| + (-52 : (fff; г) -42- (-1)^ - (I)' • (-з| - 32) + (-2)3. Найдите значение выражения: 216 . . 535 . (2»)з . (7З6 ; 71З) а) - б) (915 . 328) . 2« . 1734 . (173)10 . (|_J 3435 . (1763 . 1734) . 239 . 334 - 293«. 102'‘ • (I) • 3528 • 228 Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1: a) 35 • 38 • 3; д) (-kf ■ i-k) 12 : {-kf • {-kf : (-ft)^; 6) (-&c)2 • {-be) • (-5c)i2- {-ЪсУ- (-6c); e) {-abc)^° : (-абс)*® • (-abc) : (-abc)^; b) xi® : X®; ж) ((-у)2)“ ; г) (Зр - 29)2“ : (Зр - 29)18: (Зр - 29)2; з) (-(-л)2)8. Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) X + (Зх - 2у) - (5х - 4у - 2(х + (4у - 8х)) - Зх); б) (-9а6®) : 6 • (-4Ьс) : (-2ас) • (а8б) : (За62); в) 4р9 • -^дг - Зр • рдг - 2р^дг + 2ргд^ - (7 + Зр - 4г) + Зр + 7 - 4г 25р9(р - 9) ш ТУ^ Определите степень, старший и свободный члены многочлена и найдите его значение при указанных значениях переменных: а) -Зх® + 2х2р - 5у + 9х®р - 2х2р + 16 при х = 1, у = -1; б) 5а1 - 4а6 - 6® + (-За^ + 4а6 - 26®) - 7 - 2а^ - 2а6 + 46® при а = 2, 6 = -1. Найдите сумму и разность многочленов Р и Q: а) Р = 14x2 4. 9 + (1 _ 7д.2)^ б) Р = 4а2 + 962 _ (7^2 _ 3^2)^ Q = Зх + 4x2 - (9д. _ 3j^.2). Q = _а2 + 7^,2 + (4^2 _ ^,2) 136 Задачи для самоконтроля к Главе 4 |тзЗ Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (5х - 7у + 42) • (-у) + у • (5л: - 4у + 4г); б) 2а • (5а® + 4а® - 2а) - 2а®(5а® + 4а - 7); в) (2у® + лгу - у®)(л:® - Зл:у); д) (4р® + Зр + 4)(4р® - Зр - 2); г) (Зт® + 2тп + Зп®)(2ог - Зп); е) (у® + Зу + 2)(у® - Зу + 1). Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: а) ,42 (о®У 2Ч6 (а®’’ : а®®) 549 ■ (fj79 . ^34) ■ g23 (За)»® , п дзз . дЗб + а при а = 3; ,36 • (Ьс) 29 4(6с)^ при Ь = 6, с = 2. б) 54 . ^43 . (^29 . . (^2)11 . ^10. (5^)48 . ^,21 в) Зху • (4х® - блгу - 2у®) - 2хр • (5л:® - 7x1/ - 2у®) при л: = 1, у = -2; г) р®у® • (Зр® - 2р® - 2ру - 3) - Зр®у • (2р®у - 5р®у - 4ру® - 7у) при р = -1, у = 1; д) (5 + 3fe)(56 - 7) - (4 - 3&)(46 - 3) при Ь = -1; е) (9а - 4с)(3а - 7с) - (4а + Зс)(2а + 9с) при а = 0, с = 1. Решите уравнение: 5(лс - .3) ^ 4(л:^- 3) ^ ^ ^ 2(3л: - 7) = 4(3л: - 2) + 3; в) За(2 - 4а + а®) - За(7 - 2а + а®) + а(6а - 7) = - 33; г) 66(35 - 2) - 76(5 - 26) - 46(26 - 3) = 106(6 + 4) + 146(6 - 1) + 61; д) (б2 - 2)(2г + 3) - 32(22 - 7) = 29 + 62®; е) (Зр - 5)(5р - 3) - 7(2 - 4р) + 11 - 15р® = 6. Докажите прямым и косвенным методом: а) Равенство 2л:(л: + 1)(х + 2) = 57 916 неверно при любом натуральном х. б) Равенство 18у(у + 1) = 97 506 неверно при любом натуральном у. Решите задачу: а) Две яхты одновременно стартовали от одной речной пристани с одинаковой собственной скоростью в противоположных направлениях. Через 3 часа яхты развернулись и поплыли навстречу друг другу. Через сколько времени после старта они встретятся? б) Из пункта А вниз по течению поплыла лодка, через некоторое время она развернулась и через 2 часа после старта приплыла обратно в пункт А. Сколько километров проплыла эта лодка, если ее собственная скорость равна 5 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч? Задачи для самоконтроля к Главе 4 7381 Постройте математическую модель и решите задачу: а) Число футболистов, теннисистов и волейболистов, занимаюш;ихся в спортивном обществе «Юниор», относится как 5:2:7. Сколько футболистов в этом спортивном обществе, если футболистов, волейболистов и теннисистов в нем 154 человека? б) В питомнике живут зебры, тигры и слоны. При этом число тигрой, зебр и слонов в питомнике относится как 4,2 : 6,4 : 1,4. Сколько зебр в этом питомнике, если в нем всего 60 животных? в) Лекарственные растения при сушке теряют своего веса. Сколько надо собрать свежих растений, чтобы получить 8 кг сушеных? г) На праздновании Нового года в школе выступления Деда Мороза и Снегурочки заняли всего праздника. Праздничная дискотека заняла ^ праздника, а на посиделки за праздничным столом пришлась ^ часть праздника. Оставшееся время было посвящено поздравлению учителей. Сколько времени проходило празднование Нового года в школе, если учителей поздравляли 1 час? г) 39 т 519 кг и 425 ц 35 кг; д) 16 ц 850 кг 700 г и 2 т 4 ц 700 г; е) 65 а 98 м^ и 0,5 га 15 а 78 м^. 739 Сравните значения величин: а) 36 м 15 дм 64 см и 375 дм 976 мм; б) 6 км 512 м 11 дм и 5 км 1576 м 5 дм; в) 5 сут. 3 ч 78 мин и 124 ч 13 мин 7 с; ш Постройте математическую модель и решите задачу: а) Сумма двух натуральных чисел равна 26. Первое число при делении на 9 дает остаток 5, а второе число при делении на 9 дает остаток 3. Найдите эти числа. б) Первый угол треугольника на 30“ меньше второго и в четыре раза меньше третьего. Найдите больший угол этого треугольника. в) Длина ломаной ABCD равна 17,8 см. Известно, что АВ равно половине расстояния между началом ломаной ABCD и ее концом, ВС на 6,7 см меньше АВ, а CD в 2 раза меньше ВС. Чему равно звено ВС этой ломаной? г) Сумма цифр загаданного четырехзначного числа равна 25. Вторая цифра этого числа в 2 раза больше первой, третья - в 4 раза больше первой, а четвертая -на 3 больше третьей. Какое число загадали? 7411 Сравните значения выражений: а) 7^2 и 822; в) Ц27 и 926. б) (-7)’^' и (-8Г; г) (-11)2’ и (-9)26; 138 ж) 2,3® и 2,3’; з) (-2,3)^ и (-2,3)6. тЩ Ш г) (2m» + 9nf. в) -16Ы + 4с^ + 16d^. 7^ И 7491 ____________________________________ Задачи для самоконтроля к Главе 4 Докажите тождество: а) 3(а + ЬУ - 3(а - ЬУ = 12аЬ\ б) 2{ху - 1)^ + 2(х + уУ = 2{х^ + 1)(у^ + 1). Возведите двучлены в квадрат: а) (За + 46)2; б) (-5с - Idf', в) (-6л: + 8)2; Представьте трехчлен как квадрат двучлена: а) 9л;2 - 48лг1/ + 64у2; б) 25а2 + 70а6 + 49&2; Какие одночлены можно подставить вместо А, В и С, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (4л: + А)2 = В + С + 25у2; б) (Зг - АУ = В - iSzt + С. Подберите А таким образом, чтобы трехчлен можно было записать как квадрат двучлена. а) л:2 - 4л:у + А; б) 81г2 - А -Ь 16^2; в) А -I- 9а^ + 24аЬ; г) -А + 64с^ 36d‘^. Используя формулу разности квадратов, запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (л: + уХу - Д?); б) (с - 6аХ-6а - с); в) {-т - 9) {-т -I- 9); г) (62 - 46^2X62 -f- 4kn^). Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (а -ь 4)(-а - 4); д) (г + 3)(г - 3)(г2 ч- 9); б) (Зл: - 1)(1 - Зх) е) (2с - d)(2c + d)(4c^ - d^); в) 66(6 -I- 5)(5 - 6); ж) 8t(-t Ч- l)(-f - l)(f2 - 1); г) уЧ-у - 7)(7 Ч- у); 3) х2(х2 Ч- 4)(х - 2)(2 Ч- х). Возведите двучлены в куб: а) (2х Ч- 1)2; б) (Зо - 26)2; в) {-т Ч- 4)2; Представьте многочлен как куб двучлена: а) 125а2 ч- + 15а Ч- 1; б) 36c2d - 8с2 - 54crf2 ч- 27d4 Используя формулы сокращенного умножения, запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (а Ч- 5Ха2 - 5а Ч- 25); д) (а Ч- 4)(-а - 4)2; и) 4{-у^ - 3)(г/® - Зг/2 ч- 9); б) (36 - 7)(962 + 216 ч- 49); е) (26 - 5)2(5 - 26); к) х2(х2 ч- 4)(х^ - 4x2 + i0). в) (-6 - 5)(25 - 56 Ч- 62); ж) (-Зс - d)(d Ч- Зс)2; л) (^ + 1)(? - 1Х<^ + + 1); г) (-у + 4)(4у ч- 16 ч- г/2); з) (_рЗ ^ 2д)2(р2 - 2д); м) {г ч- 3)(г - 3)(г‘‘ Ч- 81 Ч- 9д2), Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (-П - 1)(л - 1)2; в) (-р - ЗдУ(р - ЗдУ; д) (-г Ч- s)2(-r - s)4r^ + з^У; б) (2х - уУЧу + 2х); г) (-а Ч- 6)2(а Ч- 6)2; е) (т - n)2(m Ч- га)2(т2 Ч- п2)2. г) (-Зп - 2уУ 139 Задачи для самоконтроля к Главе 4 Вычислите: а) 69"*; б) 712; в) 8,92; ч о 1 оИ. ^12 ^12’ д) 1122 _ 382. 7541 Найдите значения выражений рациональным способом: а) 692+ 69 • 62 + 312; g) б) 5032 _ 972 + 94 . 600; г) 2162 _ 302 2512 _ I > 782 _ 26^ 832 _ 212 + 33 . 104’ ,2 Д) е) 422 _ 283 14 512 + 493 100 + 42 • 28; - (512 + 492). з)(4Г-з(4Г-(2Й)-з-(4)-(2йГ^(2Й)’ д) 64с2(с - 1) - (4с - 1)2 = 25 - 16с2; е) Зг - 5(2 + 1)(2 - 1) + 5(2 + 2)(2 - 2) = 6; ж) 4(у + 3)2 + (Зу - 2)2 - 13(у + 2)(у - 2) = -4; з) ц2 - (а - 4)2 = 88 + 12а2. 7551 Решите уравнение: а) (х + 5)2 - (jc + ЗХ.Х - 3) = 4; б) 64 - (fe - 7)2 = 0; в) 4(2с + 3)2 - 36 = 0; г) 4у(у - 1) - (2у + 5){2у - 5) = 1; 7^ Найдите значение выражения при данных значениях переменных: а) -(2а + 5)(2а + 7) + (2а + 6)2, если а = -56,217; б) (&2 - 4)2 + (6 - 3)(9 + б2)(-б - 3), если Ь = -9,5; в) (с2 + 5)2 - (с - 2)(4 + с2)(с + 2), если с = -6,5; г) 27а2 - 54а2 + 36а - 8, если а = 2; д) Ь(Ь + 3)(Ь - 3) - (5 - 4)(&2 + 4Ь + 16), если Ь =|; е) 4(с - 2)2 + (с + 3)(с2 - Зс + 9) - (с + 2)2, если с = -3. 7^ Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) б) в) 49д2 - 36fe2 7а + 6Ь ’ 9^2 + Збху - 36t/2 Зх + 6у ’ \4zt - 4^2 г) Д) е) 9р2 - 64(;2 9/?2 + 43pq + 64^2 ’ 36р2 - 9q2 216р2 + 27^2’ 8д2 - 64&2 4д2 + ЪаЬ + 16&2’ -23zt + 4922 + 4^2> Разложите многочлен на множители: а) 7х + Ту + 6x2 + 6i/2; б) pq + qr + rs + ps; в) z^ - zx - 5z + 5x; r) 3x^2 - 6y + 3yz - 6x'*; д) 4x^y + 1/2 + 4X1/2 ^ ^3. ж) з) и) 2+ + У 8x2 + i2x^y + 6ху2 + 1/3’ 27g2 - 27g2 + 9a - 1 9g2 - 6a + 1 c2 + 12c2rf + 48cc(2 + 64c(2 c2 - 16^2 e) 5pg2 - g3 _ ^p2g p3. ж) x2(x - 6) + 6x(x - 6) + 9x - 54; з) уЧу + 7) + 4yiy + 7)+ 4y + 28; и) 64a2&« + 48a2&‘‘c2 + 12ab2c‘‘ + c®; к) c(2 4- I2p^d + Qpc^d^ + 8p2c®; л) - p^ + 4n2 - 9?2 - 4mn - 6pq; m) 9x2 ^ y2 _ ^2 _ 25f2 + 6xy + IQzt. 140 Задачи для самоконтроля к Главе 4 Разложите трехчлен на множители: а) - За - 70; в) + lOxi/ + 24г/^; д) р® + 12р® + 27; б) Ь^ - Ь - 72; г) 2^ - 16zt + 63t^; е) - 12q^ + 32. Представьте выражение в виде произведения многочленов: а) (а + 6)2 - 4; б) {Ь - 7)2 - 25; в) 16 - (Зс - 5)2; г) 64 - (8d + 5)2; Решите уравнения: а) с2 - 6с - 27 = 0; Д) 27 + у2; е) -/г® - 125г*; ж) (у + 2)2 - 27; з) 8 - (г - 4)2; б) 22 + 32 - 28 = 0; и) 36(х + 3)2 - jc2; к) у\у - 14)2 _ 9^4. л) (26 + 3)2 + 125; м) 0,343 - (с + 0,5)2. в) rf2 + d - 42 = 0. Найдите значение выражений: а) 5q + - pq - 5р, если р = 1,5, q = -0,5; б) 4щ2 + Зп - 4тп - Зт, если т - 2,5, п = 3,5. Сократите дроби: а6 + 6а - 26 - 12 16а + 46 а) б) 62 + 126 + 36 ’ 8ас + 26с - Aad - bd’ а) На прямоугольном участке земли, длина которого на 16 м больше его ширины, построили дом, занимаюш;ий площадь 140 м2. Найдите длину этого участка, если известно, что площадь участка, не занятая домом, равна 120 м2. б) Длина прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины. Если бы его длину уменьшили на 7 м, а ширину увеличили на 7 м, то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше, чем площадь исходного, увеличенная на 2 м2. Чему равна длина этого участка земли? в) Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 12 см больше ширины, а площадь равна 133 см2. Сравните числа: ч 47 2^ 53 ^ 324’ р.. 2Ш^ 2ЩЛ 2011 ^ 2012’ . 2^ ^ 419 “ 516’ . 68 6^ 79 ^ 792- а) В автосервисе все мастера работают с одинаковой производительностью. Шесть стажеров и два мастера выполняют за 9 часов тот же объем работы, что девять стажеров и семь мастеров за 3 часа. Во сколько раз производительность мастера больше производительности стажера, если производительность всех стажеров также одинаковая? б) Бассейн наполняется из двух кранов. Один из них с морской, а второй с родниковой водой. Из крана с морской водой бассейн наполняется за 5 часов, а из крана с родниковой водой - за 4 часа. Сначала открыли кран с морской водой. Через сколько времени надо открыть кран с родниковой водой, чтобы к моменту наполнения бассейна морской воды налилось в 2 раза больше, чем родниковой? в) Стоимость автомобиля после 5 лет эксплуатации равна 150 тыс. р., что составляет ^ его первоначальной стоимости. Чему была равна первоначальная стоимость этого автомобиля? 141 Задачи для самоконтроля к Главе 4 768 769 Tldi г) Из города А в город В выехал велосипедист. Через 1 час из города А вслед за велосипедистом отправился мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в город В на 3 часа раньше него. При этом на весь путь от А до В мотоциклисту потребовалось 2 часа. Чему была равна скорость мотоциклиста, если она была на 40 км/ч больше скорости велосипедиста? д) Из пункта А в пункт В выехал автобус, а через 8 часов вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого была на 90 км/ч больше скорости автобуса. Чему была равна скорость автомобиля, если он прибыл в пункт В одновременно с автобусом, а вся дорога от А до В заняла у него 2 часа 40 мин? 767| На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенствам: а) X > 4, у < -6; б) X < -2, г/ > 4; в) -1 < х + 4 < 5; г) -3 < у - 2 < 7. Найдите множество целых решений неравенства: а) X 7 > 5; в) -3 < г < -1; д) | & 1 > 5; б) у - 9 < 6; г) -6 < а < 3; е) | с - 4 | < 6. Может ли: а) число, кратное 7, при делении на 49 давать остаток 27? б) число, кратное 11, при делении на 33 давать остаток 4? Найдите все натуральные значения х, удовлетворяющие равенствам: а) 2" =128; б) 3^" = 81; в) 4^^1 = 256; г) 5*‘2= 125. Замените х степенью так, чтобы выполнялось равенство: а) 3*2 • 3*1 = х; б) б*'* • X = 5**; в) (2*)» : х = 4*; г) X : 7*“' = 7»; д) х • (4*)* = 2**; е) х : (11*)'* = 11*. Докажите, что для любых целых а: а) если а + 1 делится на 3, то 2 -f 5а делится на 3; б) если 0-1-2 делится на 7, то 5 + 6а делится на 7. 773 Какие одночлены можно поставить вместо А, В, С и D, чтобы каждое из равенств стало тождеством? а) 6x'^y^ + А = 18x'‘i/*; б) 7а*6* • С = 215i*o*“(a, Ъ Ф 0); в) 14р®д” - В = 5р*0'Ч; г) 48т^^п^* : D = (т, п ф 0). Каким многочленом можно заменить К, чтобы указанное выражение стало многочленом степени п? а) 6с* - 12с - 9с* - 4с* И- 12с* -t- 9с* -t- К, если п = 2; б) 8аЬ* - 46*0 - 96*0* + lab + Аа^Ь^ - К, если л = 3. Докажите, что: а) 51* + 51* делится на 13; б) 16* - 4* делится на 3. 771 772 тЦ 775 142 Задачи для самоконтроля к Главе 4 Ш Ш1 Какой цифрой оканчивается число? а) 1212212'; б) ЗЦЧ2+ 1132“; в) 565«2е + 65б®«®. rri\ Найдите значение выражения если известно, что: а) X + - = 3,5; б) х - ^ = 14,5. X X Какие многочлены можно поставить вместо А и В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) (7а2 + А)2 = В + 81&2; б) (Зс + 8)2 + (4с - 7)2 - (А - В)2 = 12с + 109. Докажите, что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения: а) х2 - 12х + 40; б) 25у^ + 49z^ - 20у - 42г + 15. Найдите наименьшее значение выражения: а) (Зо - 1)(3а + 1) + 26(25 - 6а); в) 2с2 - 4cd + 4d^ - 6с + 10; б) (4а - 5) (4а + 5); г) 9 + (66 - 8)(66 + 8) - (-Зс - 4)(3с - 4). Найдите наибольшее значение выражения: а) 4(5л: - 7) - 25(х - l)(x + 1); в) -9у^ - 12yz - 5z^ - 6z - 10; б) (1 - 4у)(1 + 4уУ, г) (1 - 5г)(1 + 5г) + (7 + 2у)(-2у + 7) - 2. Найдите значение выражения: а) 2(3 + 1)(32 + 1)(3^ + 1)(3« + 1) - 31в; б) 7« - 6(7 + 1)(72 + 1)(7^ + 1). Сравните (устно) значения числовых выражений: а) 562 _ 412 и 552 _ 4Q2. g) 324 и 26 • 30 • 34 • 38; б) 137 • 139 и 1382; ■ г) 43^ и 36 • 39 • 47 • 50. Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (6 - сУ; б) (а + d)®; в) (л: + yf; г) (р - дУ; д) (2 + tf. Изобразите на координатной прямой Ох множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) X > -5; в) л: + 5 > 1; д) -1 < х + 6 < 7; ж) | х + 1 [ > 8; б) X < 3; г) X - 4 < -4; е) -6 < х - 2 < 1; з) | х - 6 | < 2. Найдите загаданные рациональные числа, если известно, что: а) произведение первого и третьего из них равно 63, второе загаданное число на 7 больше первого, а третье - на 9 меньше произведения первого и второго чисел; б) произведение первого и третьего из них равно 32, второе загаданное число на 2 больше первого, а третье - на 16 меньше произведения первого и второго чисел. 143 Ответы 4. а) 125; б) 16; в) 0,0001; г) д) 6^; е) -3,6. 6. а) 32; д) 81; и) -0,000064; л) 0,0025; о) -10 000 000 с) -0,001. 12. а) 1; б) -1; в) 76; г) 0. 15. а) -1; 0; 111 110; б) 3; -15; 114. 19. е) {1; 2; 3}. 20. а) 4 и 23 11 и 16; 18 и 9; 25 и 2; б) 126°. 27. а) 16; б) 2; в) 58; г) -9; д) -56; е) 14. 29. а) 22; 0; -5; б) -114 0,12345; 543 210. 30. а) 14 лет. 32. а) А = 15; В = 7. 35. 16 лет, 10 лет, 7 лет. 38. г) —8х^у^; д) 5а®6® е) ж) 32; з) 2'"**; и) 2^"‘; к) 27; л) 3**‘; м) 3®*. 41. а) 12; б) 36. 42. б) (-2)'; д) г/«; и) d^; к) (mnf м) (Зд: - 4)®. 43. а) -5*^^; б) -с^; в) ’; г) а; д) х‘‘; е) ж) —; з) и) Ък^т^п; к) л) 6 yZ ZtCL О м) 44. а) 64; б) 100; в) 1. 45. в) с^. 47. в) {pqf. 49. а) 12; б) 3; в) 4; г) 30. 51. а) б) —; в) г) Л а ООО у п т 53. а) 9; б) -1; в) 1; г) -2. 56. г) 58. а) 1; б) 4; в) -8; г) 32. 61. г) (-^)". 62. а) 32; б) 1 000 000 в) -0,008; г) 81.63. а) -|; б) 45; в) г) -5п; д) -1; е) -7.64. а) 2; б) 1.65. а) 15; б) -1.66. а) 3; б) 1; в) 2; г) 7 67. а) 13; б) 36; в) 16; г) 1. 71. а) 30 мин; б) 145^ км; в ) 40 ступ. 72. а) -2д:; б) За - 5; в) -7®; г) ^ 73. а) НОД = 8; НОК = 768; б) НОД = 6; НОК = 756; в) НОД = 32; НОК = 2» • 5®; г) НОД = 27; НОК = 1944 74. а) НОД = 17; НОК = 17 -28 53; б) НОД = 23; НОК = 9-23-43; в) НОД = 41; НОК =19-35-41 г) НОД = 89; НОК = 6 -13 - 89. 75. а) 2,25; б) в) |; г) 5. 78. а) -^; б) в) ; г)5; д) е) ^ ж) 3) т-, и) аК 84. в) г) (^) . 85. а) 1; б) 0,8; в) -24 10®; г) 1024. 86. а) 1; б) -1; в) -2а® 87. а) 16; б) 3; в) 8; г) 35. 88. а) 7; б) 1,2. 89. 57,6 км. 92. 5 шк. 101. д) 12c^d ; е) -а®^'*; ж) -хр®; з) -Зк’’т* 102. а) -4x1/®; -хр® ; б) 12pq-®; р^®; в) 155с®; 1,55с®; г) 5х®2®; -^. 103. а) 9т®ге; -9; б) -2а®5®; -144 в) -3pg®r, -6; г) 4а®с®; 900.104 а) 6х®р®; б) ITp'^®; в) 5of5’ 11 ; г) 9m»n®. 105. а) А=х*2®; В = 2р®; б) А =р^г,В = 3(f^t в) А = 65®d; В = ос; г) А = А®; Б = mnt. 107. а) 18 детей; б) 22 кв.; в) 1 кг. 108. а) 3; б) 8; в) 5; г) 0; д) 3 е) 1; ж) 3; з) 2; и) 5. 111. в) -2х®р; г) -4рд®. 112. а) Зхр®; -2хр®; б) -25®с; 35®с. 113. а) -2х®р; 32 б) -тЧ^; 8. 114. а) 19а®5®; б) 34т®га"; в) г) 5р'®9". 115. а) А = 2р®г^; В = q^s; б) А = Зуг; В = xt 116. м. - 145 чел., п. - 60 чел., вор. - 40 чел., каз. - 25 чел., соч. - 50 чел. 119.80 чел. 120. 8100 монет 9 друзей. 130. а) 385; 3025; б) 2870; 44 100; в) 9455; 216 225; г) 42 925; 1 625 625. 138. а) 57; б) 3 в) -13; г) -2. 139. а) 15 кг; б) 42 ч. 140. 54 мешка. 145. а) 5050; б) 20 100; в) 125 250. 149. а) 2; б) 5 150. 9 часов. 153. 40%. 162. а) х - 2р + З2; б) 4а. 165. а) а - 3; б) -Зх + \Ъу - 28; в) -Зр® - 2pq - З9® 170. а) б) в) 171. а) 186 кг; б) «16,9 км/ч; в) 50 км/ч г) врачей больше в 2 р. 172. а) 12 км 472 м 6 см; б) 59 м 6 дм; в) 28 т 2 ц 27 кг; г) 7 ц 21 кг 170 г д) 1 га 78 а 22 м®; е) 4 а 3 м® 38 дм® 18 см®. 176. а + с. 179. а) 79 км/ч; б) 5 : 4. 180. а) 3 км б) 20 га; в) 25 кг. 182. 8 раз. 187. а) -2х® - 6х; б) -а*-, в) р; г) а. 190. а) -1; б) 0,5; в) 2; г) -7,5 191. а) 35; б) 176; в) -285; г) 480. 192. а) 10; б) -1; в) 3; г) -3; д) 13; е) 4. 193. а) 6 дней; б) 50 тыс. р 194. а) 6х® - 6р®; б) 2х® - Зу^\ в) -ху* - бху +4х; г) Збхр®. 195. а) -Зс; б) а* + За®Ь - 5а®5® - баЬ® - Ь* 197. а) в фонде В на 77 р. 28 коп.; б) 312,5 тыс. р.; в) 46,41%; г) 1) 10 300 р.; 2) 10 650 р.; 3) 11 050 р. 4) 11 500 р. 200. а) 1; б) 3; в) 9; г) 6. 201. а) х® - р®; б) -Зр®. 202. а) 6т» - Ют®; б) -6" + 25® 204. а) -3; б) 0. 205. а) -4; б) -0,5; в) 13; г) 34. 206. а) 2р® - 2х®; б) -бху. 207. а) -2t б) Ът^п^ - Ютл^ - 5тл® + 7т®л - 4л®. 208. получат » 0,2 млн.р. 209. 58 л. 212. а) 1; б) 7 218. и) X® + X® — 6х; к) За^ + 2а®5® — 5^; л) 2Ьр* — р®?®; м) 4а®5® - 12аб® + 9Ь*. 219. а) т® - л®; б) т® -+- л® в) а* - Ь*; г) а» - 5»; д) Зр^ + р® - Зр - 1; е) 5q* - 2g® + 22g + 3; ж) а* - а®5® - 2а5® + 2Ь* з) х‘ + 12хр® - 5у\ 222. а) 4; б) 10; в) -4; г) 3. 223. а) 18; б) -33; в) 105; г) -16. 224. а) 3; б) 1,7 226. а) {-3; 0}; б) Q; в) {0; 1,5}; г) Q. 231. а) 720 км; б) в 4 раза. 236. а) -5,25; б) -2. 237. а) -20; б) 16 144 __________________________________________________________________________________________Ответы 238. а) 1; б) 1; в) {-3,5; 0}; г) Q. 239. а) 5х^у - 5ху^ - 2х^ + 2ху^; б) 2» - 13г^ - 12г^ + 32г^ + 48г +16. 242. 15 мин. 244. 38 ш. 250. н) 9Ь^ + 2Ьс + о) - 5ху + 25у^; п) 4а^ - 2 + р) 9с^ + 2 + 252. н) + 4а1^ + ^; о) ^ + хУ + 4хУ; п) 0,0 W + W + lOO^»; р) 0,04т^п» + 0,6m^n« + 2,2Ьт^п\ 253. а) 7921; б) 8281; в) 89 401; г) 251 001; д) 79,21; е) 123,21; ж) 1024; з) 9604; и) 10 609; к) 38 809. 254. д) 1 010 025.258. г) 4х"+ 7ху + 9у^; д) 4о5 - 16а^- 495"; е) -25s" - 4t"; ж) -За" - 10а - 3; з) -4л:" - 12; и) -Зс" + 22с -27. 260. д) -Зг/" + 13у - 9; е) 2г" + 15г + 12; ж) -3i" + 2^-4; з) 22А» + 19А" + 16й; и) 64а" - 99а + 37; к) -19л:" + 92л: - 222; л) 2р" + 2pq + 2рг - 2qr; м) 18аг" - 32т^п - 88аш" - 45л". 262. а) 5; б) 2; в) 6; г) -6. 263. а) 4; б) -121. 264. б) в) 2л: + 9у, г) g^4^- 269. а) 130,2; б) 634,6. 270. а) 108,25; б) 158,25. 275. а) 3; б) 0,5; в) -|; г) 1. 278. а) -1; б) 1. 279. а) 5; б) -3. 280. в) 25л« + 25л"; степень 6; г) s" + 3s"f + 3st" + i"; степень 3. 281. 19. 282. 2. 286. и) (-3m"9"r")"; к) (-лг"л®Л®)®. 287. а) 7ху^; б) 4с; в) 288. а) в 3 раза; б) 16 мйн 48 сек; в) 1ч 30 мин. 290. а) 9; б) 4; в) 2; г) 3. 292. в) 16л:" - 40л: + 25; г) ^ - г/г + 4г". 293. в) 16лг* + 56лг"п" + 49л"; г) 0,09р®9" - 1,32р"д" + 4,34рУ. 294. а) 4761; б) 160 801; в) 222,01; г) 2809; д) 88 209. 296. е) (9л:" - 2л:)". 298. а) -95" + 485 - 64; б)-4л:" - 2ху - 81i/"; в) -40г" - 4г -53. 300. а) 4а" - 8а5 + 45"; б) 2г" + 15г + 12; в) -23л:" + 156л: - 478. 301. а) 2; б) 3; в) 4; г) -13. 302. а) 25; б) 144. 305. а) 1; б) 2,5. 306. а) 40,25; б) 74,25. 308. а) 47а" + 180а5 - 1135"; степень 2; б) 16р*9 - 16pqr"; степень 4. 309. д) (-2А"т"л")®. 310. а) 2^; б) 311. а) в 6 раз; б) 12| мин. 312. а) 3; б) 6. 315. 2. 316. е) (^f- 321. ж) 16/л" - 36л"; 3) 9г/« - 49р"; и) -0,25s" + 0,04^«; к) 1,21/л"л" - 4,41fe"; л) 0,81а"5" - 1,69а"5"; м) 0,64d>® - 0,49c®d". 322. а) 899; б) 39 999; в) 4896; г) 15,99; д) 24,9999; е) 224,96; ж) 24||; з) 99Щ; и) 7200; к) 78 000. 325. д) 8с® - 200с"; е) 5d® - 180d"; ж) г" - 16; з) <" - 81; и) 1 - 10 000<"; к) 2s" - 2; л)р« -р"; м) 3?“ - 768?". 326. н) (а5 - 5")(а5 + 5"); о) (9л:2" - 6г)(9д:2" + 6z); п) (аЬс - \3d)(abc + 16d); р)(г" - 25)(г" +25). 327. а) {-7; 7}; б) {-3; 3}; г) {-5; 5}; е) {-4; 4}; ж) (-0,5; 0,5}; з) {-1,5; 1,5}; и) {-0,1; 0,1}. 328. а) (а + 6)(а + 4); б) (л: - 10)(л: - 2); в) (гл + 4) (10 - лг); г) 45(45 - 6); д) 7у(7у + 18); еК1Д - л)(1,9 + л); ж) (4с +35) (6с + 35); з) (Иг - 32"КИ2 + г"); и) (7р" - р + 11Х7р" + р - 11). 330. б) 8лг« - 16лг" - 32гл + 64; г) c"d - с" - d" + cd"; д) лг* - 18л:" + 81; е) у' - 8р" + 16; з/ s" - 2s"r^ + г"; и) а» - 32а" +256; м) лг» - 2лг"л" + л». 331. в) -с" - 45"; г) А" + 12s"; д) 16; е) 5(/" - 3; ж) -лг" - 2лг; з) 2л" - л". 332. а) 110,5; б) -516,5; в) 174; г) -23,85. 333. в) 2л: - Зу; г) д) е) 336. а) 3; б) 6; в) 7; г) 2; д) {-7; -5}; е) {-1; 15}; ж) {-3; 0}; з) {2,5; 5,5}. 337. а) 9; б) -8; в) 111 000; г) 150 000; д) е) 0,75; ж) |; з) 0,21. 338. а) 60; б) 150. 339. а) 5 и 6; б) 6 и 8 или -8 и -6; в) 9см и 11 см; г) 7 см. 340. в) а" + 2аЬ + 5" - с". 342. а) -1; б) 256; в) -1; г) ^ 344. а) НОД = 92; НОК = 27 600; б) НОД = 17; НОК = 2' • 7 • 13 • 17; в) НОД = 648; НОК = 2» • 3" • 5; г) НОД = 49; НОК = 2" ■ 5 • 7" • 13.345. а) 1; б) 23. 346. а) -4; б) -102. 349. а) 2а - 5; б) 4у - 5; в) 5лг - 9; г) -4р. 352. а) 72 чел.; ,б) 840 тыс. р.; в) 27 000 р. 354. д) 81р" - 4р®; е) 0,09i® - 0,49s"“. 355. а) 399; б) 2496; в) 120,99; г) 6000; д) 8о|||. 357. в) г" - 49г"; г) 5а® - 45а"; д) 16 - 81i"; е) 64г" - 4. 358. ж) (2рд- - 3q^)(2pq + 3?"); з) (г® - 20)(г® + 20). 359. б) {-10; 10}; в) {-4; 4}; г) {-5; 5}; д) {-^; ^}; е) {-|; |}. 360. а) (л: - 5)(л: - 1); б) (2у - 9)(2р - 1); в) (2г + 33)(4г + 33). 361. а) а" + 9; б) 5" - с®; в) 24; г) 2р" + 32р. 362. а) г-^; б) 5с - 4d; в) 366. а) 25; б) 62. V d ох ”7* 367. а) -100; б) -74,25. 368. а) 803 т.р.; б) 640 т.р. 369. а) -Зл: - 5у; б) 14л: + 28. 372. в 1,5 раза. 373. 15. 378. н) -27р" - 18хр" - 4л:"г/ - о) с" - 9c"d + 27cd" - 27d"; п) 64лг" + 16лг"л + |лгл" + р) 8а" - 36а"й + 54а&" - 275". 379. н) -8г/"г" - бОг/'г" - 150г/®2 - 125г/«; о) - 1,5а®А" + 48а"(>® - 512а"5«; п) лг"л* + 12лг"л'» + 48лгл“ + 64л'"; р) -27c"d® + 135c"d" - 225c"d’ + 125c"d®. 381. a) 6859; 6) 29 791; 145 Ответы в) 970 299; г) 1 030 301; д) 117,649; е) 1,331. 382. а) 343; б) 216. 384. г) + 64г/^ д) 2р» -7р^ + 2р-6 е) -7с» + 9с^ + 51с - 117. 388. д) 27д - 27; е) 192х +256; ж) За^Ь + ЗаЬ^ - ЗЬ^с - ЗЬс^ + За^с - Зас^ з) 2р^ -\2fq- 12{fq^ - 2/xf - Здг*. 389. а) -1; б) 5; в) -2; г) -0,5.390. а) 8000; б) 512.391. б) : в) 2а +1 г) Зр j 2q2- в) “153; б) 56. 396. а) -2г® - 16г^ + 22г +4, степень 3; б); 26л:® + 12х^у + 156л:1/® - 129г/® степень 3; в) 27рг® - ISpqi^ + 54pq^r^ + 21pq^, степень 7; г) -Заб® + За®5 + 6о®5®, степень 5. 402. а) -10 б) -20; в) -1; г) -11; д) 16; е) -0,4; ж) -15; з) -4,5. 403. а) 5; б) -2; в) 30; г) 1. 404. а) 207; б) 63 405. а) 30 км/ч; б) 120 км/ч; в) 20 км. 406. б) в) (■^) ; г) (-^] . 407. а) 11; б) 1 408. г) - ^ + 4с®у - 8с®. 409. в) -27d'® - 54Л® - 36d®^® - 8i®; г) m‘®n® - 6m»n« + 12m«ra* - 8т®л‘® 410. a) 117 649; 6) 8 120 601; в) 24,389; г) 9,261. 411. 729. 414. в) г® + 8s®; г) - 180лг® + 108т - 81 416. в) 242 + 16; г) Зр9® - 3p^q + 3(/г® - 3q^r + Зр^г - Зрг®. 417. а) -2; б) -0,5. 418. а) 1000; б) -5832 3 . йг\0.,2 419. а) б) л: б)2а® - 1. 421. а) -206,5; б) 34. 424. а) 102а® + 144а®5 + 384аЬ® + 1426®, степень 3 (л: + yf у*, степень 4. 425. а) -20; б) -10. 426. а) 6,5; б) -64. 427. а) 70 км/ч; б) 3 м/с. 428. а) 7; б) 1 430. 6.431.6.432. е) (^)'\ 437. и) 8л® + т«; к) - у® - 64т®; л) 125<® - 27г®; м) 8s® - 64г®. 438. и) -s‘® - 8;®* к) 125т® + 8л®; л) 64s'® - 276'®; м) - 0,001г'« -0,008s'®. 439. а) 2500; б) 3600; в) -1599; г) 2496 442. д) дг* + Зх® + 27л: + 81; е) i/® - 5у® - 125г/® + 625; ж) 2® -1; з) s® + 2s* - 8s® - 16s®. 444. a) 2; 6) 5; в) 4; г) 0,6 445. ж) (3m + 20K21m® + 180m+400); з) л®(3л - 8КЗл® + 64); и) (7г® - г + 11К49г' + 7Н - 76г® -22г +121) 447. а) 2i/®; б ) 8 - 9г; в) 2^® +35< - 52; г) 27р® - 9р®; д) 3q^ - 3q\ 448. а) 7; б) 17; в) 37; г) -30 ^ Д) е) ^j-^. 453. а) 43; б) -35. 454. а) 58,5; б) -56.455. г) х((/® -2)(г/^ +г/®2 + 2®) е) т®л®(тл + ЗХт®л® - Зтп + 9); ж) -2d(3c® + d®); з) 26(3а® + 6®); и) 2д:(д:® + 75). 456. а) а® + 4а + 5 б) 6® - 46 + 3; в) -с® + 11с + 14; г) -сР + 3d + 18; д) 8р® + 2р - 30; е) 27^® - 24^ + 85; ж) т® + л® - 2т®л - 2тл® з) г® - S® + 4r®s - 4rs®. 465. а) ум. на 50®/о; б) 14,5 и 72,5 или -14,5 и -72,5; в) 30 чел. г) I - 32 авт., II - 8 авт. 466. а) 12 или 2. 467. 1. 468. г) -27Р - 8; д) 125 - 2162®. 469. д) л®' + 216т« е) -125г'® + 27s®. 470. а) 22 500; б) -6399. 472. в) 2'® - 16г® + 64; г) ^в - 64 474. а) 2: б) 6. 475. .) 18с«(с - 1)(7с> + 6с + 12). 477. г) 49^,16„,; Д) Юд - 3j, е) ^4 - eJ + ^®- 2(/(12лг® + г/®); е) (4л: + 5у)(4л: + 5у + 1)(16л:® + АОху + 25р® - 4л: - 5р + 1) 480. а) 80 чел.; б) I - 4 т, II - 6 т. 481. 4. 483. 270 грибов. 484. 22. 485. д) • 487. а) 120; б) 200 в) 170; г) 640; д) 145; е) 360. 491. п) 8тл<(л® + 3t); р) -5х*уг(3х^ - 2г). 492. и) 2c®d®(4cd - Зс + 8d®) к) -4т®л®(5т®л + Зл® - 4т®); л) 5а*6®(3а®6 + а - 26®); м) 8r*s*(3s - 2r's® - 5r’). 494. а) 9,9; б) -840 в) -135; г) 720; д) -2; е) 0,5; ж) 200; з) -18,2.495. в) г) -|; д) е) 497. и) (1 - 0(s -st-r) к) (4л - 3) (2т - 126л + 96); л) (р® - 2)(x®i/® - 2л:® + 2®); м) (6® + 3)(4а®6® + 12а® + 9с®) 498. а) {-3; 0}; б) <0; |}; в) {0; |}; г) (-0,2; 0}; д) {0; l|}; е) {^; 2}; ж) (-1,5; -0,6}; з) (-0,8; 4); и) (1^; 8} к) (-0,5; |}; л) (-0,8; 0}; м) (0; 1}; н) (0; 3); о) (0; 6}; п) (-4,5; 0}. 499. г) (р® - 2®)(дг® + р®); д)2т®(л® + г^) е) 2а6(с® + d®). 500. е) (2 - л^Х^ “6-1); ж) (х + у)(а + 6); з) 6(6® + 6 - IX? 1); и) (т + лХЗб + 1); к) (р + ^Х* “ f) 501. д) 17 • 2*'®; е) 35 ■ б®-" '. 502. а) -1; б) 10; в) 0,6; г)-15. 507. а) 505,615 кг; б) 1338,6 см; в) 35,5 ч г) 6932,4 р. 508. д) 2т - Зл; е) 4р - q. 511. а) 37 лет; б) 19,1 р.; в) 71 км/ч. 514. д) 22<®(4 - 72#®) е) 47*(3р - 4qf). 515 д) 7х®1/®(2х®г/ - Зр + 4х*); е) 6р*р®(2рр® + р® - 8р®). 516. а) 180; б) -80; в) 0,6; г) 0,7 517. в) г) Д) е) Зт + 2л. 518. д) (с - d)(c - d - 1); е) (5х + у)(5х + р + 1) ж) (6® - 3) (о®6® - За® + 6®); з) 2(р® + 9Хр®р® + 9р® + 6р®). 519. а) (-7; 0}; б) (0; |}; в) (0; |}; г) (0,25; 5} д) (-3; -|}; е) (1,25; 1,5}; ж) (-|; 0}; з) (0; 1}; и) (-^; 0}. 520. в) (р® - р®)(р® + р®); г) тл(2т® + Зл®) 521. а) -1,05; б ) -4. 522. г) (3 - р®)(х - р - 1); д) (7а + 1)(с + d); е) (Зт - л)(2 + г). 523. в) 48 7"-' 146 Ответы г)63 -8^-4 528. а) 17,13 р.; б)« 13,3 м/с. 532.20.533. а)540; б)-1900; в) 75; г)-8.538. и)(х + у){х + у- 1) к) (За - 4ЬХ1 - За 4- Щ; л){р- q){p -д-9); м) (т - п){т - п- к). 539. с) (а^ + 1)(а + ЬУ, т) (л: - 1Кл: + у) у) (Ь - lf{b + 1); ф) (Зу - 1)(4|/ + а); х) (Sx + 1){2х^ - 1); ц) (7г - 2){х* + у); ч) 3(т + 4)(/п" - пк) ш) (52^ - iy)(az - 2). 540. а) 26; б) 5; в) 20; г) -30. 544. д) t{t - 1)(р + д + w); е) (а + Ь + 2)(аЬ + 1) ж) (2^ - у)(х - t + г); з) (by + аЬ + х)(ах + 5); к) (х^ + у^)(а + 5 + с). 545. л) (р - 3)(р^- Ьр - 15) м) (д^ + 2)(д^ - 3); н) (г - 2)(г + 2)(г^ - 3); о) (s^ + 4)(s=* + 3); п) (2t^ - 3)(t^ + 1). 546. а) (1; 5}; б) {-3; 4} в) {-3; 5}; г) {-7; 2}; д) {-1; 7}; е) {-4; 1}; ж) {6; 8}; з) {2; 3}; и) {1; 2}; к) {-5; 4}; л) {-3; 7}; м) {-5; 6} 548. ж) к-Цт; 3) ^-^4; и) 549. а) 2; б) §. 550. д) 2(5 - 2)(25 - 3); е) (Зс - 7)(3с + 5) оху - о о 2с - d' ’ а - Ь ж) (а + 5 + с)^; г) (р + д + г)(рд + рг + гд). 551. а) -3,0625; б) -0,135. 553. в) (t + a)(t + b)(t + с) г) (s - r)(s + g)(s - p). 554. a) {7}; 6) {0; 5}; в) {-3}; г) {6}. 555. д) (у - IXj/® + У^ У* + У^ + У'^ + У + 'i-) е) (а - 1)(а® + а’ + а« + а* + а^ + а» + а^ + а + 1). 559. ж) 3^' • 7‘^ • с*"; з) 3» ■ а« • 6**' • с^. 560. а) 43 б) 65. 562. а) 20%; б) 52 тыс. чел.; в) 20%. 564. 7. 565. ж) (2т + п)(2т + п - 1); з) (ох - ЗуХ1 ~5х + Зу) и) (7р + 2д)(1 + 2д + 7р). 566. и) (Н + 1)(г - s); к) 3(22 - 3)(x^ + г/); л) (7т + 13)(т^ - пк) м) 3(22^ - y)(za - 2). 567. а) -14,4; б) 0,4. 569. г) (а + ЗЬ)(а - 25); д) (с + Ad)(c + 3d); е) (а + 5уХа - 7у) ж) (т - 2)(т + 7); з) (а + 2)(а - 3); и) (п + 8)(п - 6). 570. а) {1; 3}; б) {-5; 3}; в) {4; 7}; г) {-2; 6} д) {-4; 3}; е) {-5; -3}. 571. а) б) в) г) 572. а) (х + 8)(3дг - 2) б) (X - 9Х4х + 3); в) (8д: + 5Хх - 3); г) (6:с + 7Хх - 4). 574. а) (9); б) {0; 4}. 576. а) 24; б) 63. 577. а) 10% б) 300 чел. 579. 6. 581. на 150%. 582. | часть. 585. а) -1; б) 4; в) 1; г) -1. 587. к) -11с - 13d; л) -6 - рд^ м) 1 - 3c^d®. 588. д) (9с - 7)(9с + 7); к) (х^у - z^)(x^y + 2®); п) (а^5 - с^ + d^)(a^b + - d^) ф) (4ic" + За - 8х^ + 9d)(4ic* + Зи + 8х^ - 9d). 589. н) (m" -3k^f; о) (2р= + bz^f; п) (Зи® + 8r^f р) (6л:< -71/2)2; с) (2рЗ _ qiy. т) (8а» - 7п^У. 590. г) (п + ЗХга^ - Зп + 9); з) (Зт + 5n)(9m2 - 15лш + 25л2) м) (х^у^ - s*z^)(x*y* + х^ s^z^ + s*2®); р) (5m + 4n - 6у)(2от^ + 40тп + \8п^ + ЗОту + 24пу + Збг/^) 591. д) (За52 + 2сУ; е) (d + 3pc^f; ж) (2ху - bzf; з) (xV “ 592. а) -4; б) -5,25; в) 64; г) 2,25 д) 64; е) 0,008. 595. б) {-10; 10}; в) {-|; |}; д) {-l|; 4|}; е) {-4; -1,5}; ж) (|; 6}; з) {-8,4; -4|} и) {-1,25; -0,5}; к) {-9; j^}; л) {-5; -^}; м) {-12; -|}. 596. г) (3^ + 2)(3/ - z - \); е)(р - д)(р + д - 8) з) (2сР + 5X2d2 - Н - 5); к) -(s + 4zX^ + S2 + s^); л) (р +