Алгебра 9 класс Учебник Алимов

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Алгебра 9 класс Учебник Алимов - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
. Алге бра 9 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Рекомендовано М инистерством образования и науки Российской Федерации 17-е издание Москва •Просвещение- 2012 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин Учебник подготовлен под научным руководством академика А. Н. Тихонова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/489 от 03.10.2008) и Российской академии образования (№ 01-196/5/7д от 11.10.07) D Условные обозначения выделение основного материала текст, который важно знать и полезно помнить ► < решение задачи • О обоснование утверждения или вывод формулы обязательные задачи дополнительные задачи трудные задачи занимательные задачи Алгебра. 9 класс : учеб, для общеобразоват. учреж-А45 дений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.]. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2012. — 287 с. : ил. — ISBN 978-5-09-028981-8. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 ISBN 978-5-09-028981-8 Издательство «Просвещение», 1992 Издательство «Просвещение», 2009, с изменениями Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 1991 Все права защищены глава Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений Деление многочленов • I............................I.............................I • Рассмотрим многочлены 5x2 _ бх - 2, -4x2 + 2д;2 _ X* + 4. Эти многочлены содержат только одну букву х, записаны в стандартном виде, и показатели степеней буквы X расположены в порядке убывания. В таких случаях первый член многочлена называют его старшим членом, показатель степени буквы х в старшем члене называют степенью многочлена. В рассматриваемых примерах 5х^ — старший член первого многочлена, -4х® — второго, х* — третьего; первый многочлен — многочлен второй степени, второй — многочлен третьей степени, третий — многочлен четвёртой степени. Последние члены первого и третьего многочленов не содержат X, их называют свободными членами. В общем случае многочлен га-й степени записывают так: Р„ (х) = ацХ" + а^х а п - 1 + а„ ,х + а„ l-^ ' “п> где Oq, Oj, ..., a„_i, а„ — заданные числа, а^ ^ О, п — натуральное число. Здесь UqX" — старший член многочлена (х), п — его степень, а„ — свободный член. Многочлен Pq (х) = а^, где ад — заданное число, ад ^ О, называют многочленом нулевой степени, а число О — нулевым многочленом. 1. Деление многочленов нацело Вы знаете, что при сложении, вычитании и умножении многочленов также получается многочлен. При делении многочленов иногда также может получиться многочлен. Задача 1 Разделить многочлен 8х^ + Юх-З на многочлен 2х + 3. ► Деление можно выполнить уголком, как и деление натуральных чисел. Вычисления проведём по следующей схеме: 8д:2-|-10л:-3 2х + 3 8х^ + 12х 4х-1 делимое > первый остаток ^ -2л:-3 -2л:-3 делитель О Ответ Остаток равен нулю, поэтому многочлен 8х^ + Юх-З делится на многочлен 2л: + 3, т. е. в результате деления многочленов также получился многочлен: о-.2,-1Лу__о (8х^ + 10х - 3): (2л: + 3) = = 4л: - 1. 2х + 3 4х - 1. <3 На примере этой задачи поясним схему (алгоритм) деления многочленов уголком (когда степень делимого больше степени делителя). Алгоритм, деления многочленов уголком 1) Первое слагаемое частного получается делением старшего члена делимого на старший член делителя (в задаче 1 получилось 8л:^ : 2л: = 4х). 2) Найденное первое слагаемое частного умножается на делитель (в задаче 1 получилось (4л:)(2х-1-3) = = 8л:^ + 12л:), произведение записывается под делимым и вычитается столбиком из делимого, в результате получается первый остаток (в задаче 1 первый остаток равен -2л: - 3). 3) Первый остаток делится на делитель так же, как и в пп. 1), 2); второе слагаемое частного получается делением старшего члена первого остатка на старший член делителя (в задаче 1 получилось (-2л:): (2х) = -1), найденное второе слагаемое умножается на делитель (в задаче 1 получилось (-1) (2л: + 3) = -2л: - 3), произведение записывается под первым остатком и вычитается из него столбиком, в результате получается второй остаток. Затем второй остаток делится на делитель и т. д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока степень очередного остатка не окажется меньше степени делителя (см. далее задачи 5, 6). Задача 2 Ответ Найти частное от деления многочлена л:'* -I- 2 на многочлен + 2х + 2. ► Выполним деление уголком (проверьте устно): О л:^-2л:-1-2. <1 х‘* + 4 X* -I- 2х^ + 2х^ _-2х^-2х^+4 -2х^ - 4х^ - 4х _2х^ + 4х + 4 2х^ + 4х + 4 х^ + 2х + 2 х^-2х + 2 Как и при делении чисел, результат деления многочленов можно проверить умножением. Проверьте результат деления многочленов в задачах 1, 2, т. е. покажите, что верны равенства 8х^ -I- Юл: - 3 = (4л: - 1) (2л: + 3), л:-» + 4 = (л;2 - 2л: + 2) (х^ + 2х + 2). Вообще, если многочлен (л:) степени л > 1 делится на ненулевой многочлен Q* (л:) и в результате деления получается многочлен (л:), то справедливо равенство РАх) = М„ (X) Q,ix). (1) Это равенство называют формулой деления многочлена Р„ (л:) на многочлен (л:), а многочлен Задача 3 Ответ Задача 4 (д:) — частным от деления (д:) на Q* (х). Отметим, что в формуле (1) обязательно выполняется равенство п = т + k, (2) так как при умножении двух многочленов степеней т VI k получается многочлен степени т + к. Выяснить, при каком значении а многочлен Р4 (дг) = 2х* -1- Зх^ - 5х^ - 6х + а делится нацело на многочлен Q2 (х) = 2д:^ + Зд: - 1. Выполним деление уголком: 2д:‘‘-1-Зд:®-5д:^-6д;-1-а 2д:‘‘ -I- Зд:®- д:® -4х’‘ — 6х +а ~-4х^-6х + 2 2х^ + Зх-1 х^-2 а-2 Остаток должен равняться нулю, поэтому а = 2. <1 Найти такой многочлен Q2 (д:), чтобы многочлен Р5 (д:) = д:® -t- 2д:® - д:® - 2 делился нацело на Q2 (д^) и частное от деления равнялось М3 (д:) = дг® - 1. По формуле деления должно выполняться равенство Р5 (х) = М3 (д:) Q2 (д:). Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому и частному. Поэтому Q2 (^) = -^5 (^) • ^3 Выполним деление уголком: Ответ дг®-|-2д:®-д:®-2 ~ X®- д:® _2х®-2 2х®-2 О Q2(x) = x^ + 2. < 1 с^ + 2 Задача 5 2. Деление многочленов с остатком Теперь покажем, как выполняется деление многочленов в случаях, когда многочлены не делятся нацело. Разделить многочлен Р3 (х) = х® - х® - 2х и- 4 на многочлен Q2 (х) = х® - Зх -I- 1. ► Выполним деление уголком: Ответ Задача 6 - 2х + 4 д:®-3л:^+ X _ 2лг^-3л: + 4 2л:2-6д: + 2 x’^-Sx + l х + 2 3 л: + 2 Дальнейшее деление невозможно, так как степень последнего остатка 1 меньше степени делителя 2. Частное х + 2, остаток Зд: + 2. <] В этой задаче в результате деления получилось Зх + 2 х‘‘-3х +1 = д: + 2 + - x^-3x + l' (3) В равенстве (3) обозначим Mj (дс) = д: + 2 — неполное частное (кратко: частное), (д:) = Здс + 2 — остаток и используем обозначения условия задачи. Тогда равенство (3) примет вид: вг(«) в,(») откуда (х) = Ml (х) Qz (х) + Ri (х). в общем случае формула деления многочлена (х) степени л > 1 на многочлен (д;) степени k > 1, k < п такова: Р„ (д:) = М„ (х) Q* (д:) + R, (д:), (4) где степень частного т = п — k, степень остатка I < к. Разделить многочлен (д:) = д;'* - д:^ -t- Зд:^ - 2д: на многочлен Q2 (д:) = д:^ - д: + 1 и результат проверить умножением. ► Разделить многочлен на многочлен — это значит, выполнив деление, найти частное и остаток. Выполним деление: X*-х^ + 3х^-2х д:'* - дс® -(- X® _2х^-2х 2х^-2х + 2 х^-х + 1 х^ + 2 Ответ Задача 7 Ответ Частное равно Mg (х) = + 2, остаток равен Но(X)= -2. Проверить результат деления умножением — это значит показать, что справедлива формула деления (4). Проверяем: Mg (л:) Qg (х) + Но (л:) = (х^ + 2)(х^-х+1)-2 = х*-- х^ + х^ + 2х^ - 2х + 2 - 2 = X* - х^ + Зх^ - 2х = = Р,(х). < Найти такой многочлен Qg (х), чтобы при делении многочлена (х) = Зд:® + х^ - 3 на Qg (л:) частное было равно Mj (дс) = Зх -и 1 и остаток был равен 7?! (д:) = 9дг. ► По формуле деления (4) должно выполняться равенство Рз(д:) = М1(дс) Qg {х) + Н, (X). Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому, частному и остатку. Поэтому Здс® + х^ - 3 = (Зд: -I- 1) Qg (д:) + 9х, откуда (Зд: + 1) Qg (д:) = Зд:® -I- д:^ - 9д: - 3, Яг W = (3^^ -1- jc^ - 9дг - 3): (Зд: + 1). Выполним деление: 3x^-1- д:^-9д: -3 ’Зд:®-(- х^ -9x - 3 ~-9д:-3 Зд: + 1 д:2-3 О Qg(x) = x2-3. <1 Проверьте результат решения этой задачи, выполнив деление заданного многочлена Рз (х) = Зх^ + х^ - 3 на найденный многочлен Qg (х) = х^ - 3. Упражнения Найти частное (результат проверить умножением): 1) (х^ - 2х - 35) : (X - 7); 2) (-4х^ - X -н 5) : (4х + 5); 3) (6x2 + 7д; _ 3) ; (2х + 3); 4) (бх* и- 7x2 _ бх -н 1) : (Зх - 1); 5) (бх® -и 11x2 - 1) : (2;с2 + Зх - 1); 6) (15х® - х2 -I- 8х - 4) : (3x2 + д; + 2). 8 Выполнить деление: 1) (ex'* + - 6х^ + 1) : (2х^ + д: - 1); 2) (9х^ - 7х^ + 6л: - 2) : (Зл:^ - 2л: + 1); 3) (15л:5 + 6л:“ - ЗОл:^ - 8л:) : (Зл:» - 4); 4) (12л:5 - Эл:"* + Вл:^ - 6л:) : (4х^ - Зл:). Написать формулу деления многочлена Р(х) на многочлен Q(x): 1) Р (л:) = + Зх + 4, Q(x) = х - 2; 2) Р(х) = 4х^ - X - 1, Q(x) = X + 3; 3) Р (х) = 6x3 + 3^2 -4х + з, Q(x) = 2х + 1; 4) Р(х) = 2хЗ-ЗхЗ + 2х-2, Q(x) = x3 + 2. Найти частное М (х) и остаток R (х) от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х): 1) Р (х) = ЗхЗ + 4x3, Q(x) = 3x + 2; 2) Р (х) = хЗ - Зхз, Q (X) = 2x3 + 5. 3) Р (х) = Зх-» + 6x3 _2х^~х + 7, 4) Р (х) = 2х'* + ЗхЗ - X, Q (х) = хЗ + X + 1. Q (х) = хЗ + 2x3 _ 4^. Выполнить деление: 1) (хЗ + 1) : (X + 1); 2) (хб - 1) : (X - 1); 3) (ЗхЗ - 10x3 _ 7) . (3^2 + 2); 4) (6х® + х'* + X) : (2х'‘ - ЗхЗ). Выяснить, делится ли нацело многочлен Р (х) на многочлен Qix): 1) Р (х) = 8x3 2х* - 10x3 - 15x3, Q (х) = 4хЗ - 5; 2) Р (х) = ЗхЗ + x'^ - 6x3 + 7х, Q (х) = ЗхЗ + х; 3) Р (х) = X® - 4х'* + 6х, Q (х) = хЗ - 2х; 4) Р (х) = X® - Зх'‘ - хЗ + 2x3 ^ Q + 2x3 + х. Выяснить, при каком значении а многочлен Р (х) делится нацело на многочлен Q (х): 1) Р (х) = 5x3 _ дд^2 ц. ^Зд. ^ Q = 5д; + 1; 2) Р (х) = 7x3 _ 22^2 + ад^ _ q (д;) = л;3 - Зх + 1; 3) Р (х) = Зх"* + 8x3 _ 5д.2 _ 4дд» ц. Q (д.) = + 4х - 1; 4) Р (х) = 3x3 _ Зд.4 ^ дд,2 _ дд,^ Q ^д^^ _ Зд.3 ^ 2. Найти такой многочлен Q (х), чтобы многочлен Р (х) делился нацело на Q (х) и частное от деления равнялось М (х): 1) Р (х) = 4x3 _ 5д^2 + 6х + 9, М (х) = х'^ - 2х + 3; 2) Р (х) = 12х'‘ -I- 9x3 _ 8д^2 _ 0д^^ ^ (д^) ^ Зд^2 _ 2; 3) Р (х) = 2x3 + зд^з _ 2х, М (X) = хЗ -t- 2; 4) Р (х) = Зх® -и бх'» - хЗ - 2, М (х) = Зх-* - 1. 9 Найти такой многочлен Q (дг), чтобы при делении многочлена Р (х) на Q (д:) частное было равно М (х) и остаток был равен R (д;); 1) Р(х) = х^-5х + 6, М{х) = х-9, R(x) = 42; 2) Р(д:) = 2д;3 - Зд: + 5, М(д:) = 2д:-4, Л (д:) = 5д:-(-5; 3) Р (х) = 2х® + 4х'‘ - 5х® - 9x2 + 3^ = 2х^ - 5, R (х) = х2 и- 3; 4) Р(х)= 15х®-5х'‘-1-6х2-1, М(х) = 5х® + 2, Л(х) = 2х-1. Решение алгебраических уравнений Задача 1 Рассмотрим пример алгебраического уравнения, которое можно решить с помощью деления многочленов. Решить уравнение X® - 7х + 6 = 0. (1) Можно догадаться, что число Xj = 1 является корнем этого уравнения, так как 1 — 7 -и 6 = 0. Покажем, как можно найти остальные корни. Левую часть уравнения (1) обозначим Р3 (х) и запишем формулу деления многочлена Р3 (х) на (х - Xj), т. е. на (х - 1): Рз (х) = Мз (х) (х - 1) -ь Rq, где МзСх) — многочлен второй степени, Лц — число. Так как Р3 (1) = 0, то из этой формулы получается, что Лд = 0, т. е. многочлен Р3 (х) делится нацело на (х - 1). Для нахождения Мз (х) разделим Р3 (х) на (х - 1): X® - 7х + 6 х-1 X® — х2 X2-I-X-6 х2- 7х -ьб “ х2-х — 6х + 6 ~-6х -1-6 10 Ответ Задача 2 Следовательно, левую часть уравнения (1) можно разложить на множители: (х^ + х- 6) (д: - 1) = 0. Решая уравнение + д: - 6 = 0, находим Х2 = 2, Xg = —3. ДГ1 = 1, Xg = 2, Xg = -3. <] Уравнение (1) называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим уравнением. Алгебраическим уравнением степени п называется уравнение Р. (Д^) = о, (2) где P„(jc) — многочлен степени п > 1. Каждый корень уравнения (2) называют также нулём (или корнем) многочлена Р„ (х). Так же как и в задаче 1, доказывается, что если Xj — корень уравнения (2), то многочлен Р„ (х) делится на (х - Xj), т. е. уравнение (2) можно записать так: Л^п-1 W (д:-д;1) = 0, где многочлен М„ _ j (х) степени л - 1 является частным от деления многочлена Р„ (х) на (х - Xj). Таким образом, решение уравнения (2) степени п сводится к решению уравнения М„ _ j (х) = 0 степени л - 1. Этот процесс можно продолжить: если л ^ 2 и известен корень Xg уравнения М„ _ j (х) = 0, то М„ _ J (х) = М„ _ 2 (х) (х - Xg), и уравнение (2) можно записать так: М„ _ 2 (х) (х - Xi) (х - Х2> = о, где М„ _ 2 (х) — многочлен степени л - 2, т. е. решение уравнения (2) степени л сводится к решению уравнения М„ _ g (х) = 0 степени л - 2 и т. д. Решить уравнение X* + Зх^ - 13x2 - 9х -I- 30 = о. (3) 1) Можно убедиться в том, что Xj = 2 — корень уравнения (3), а как он обнаружен, будет рассказано чуть позже. 2) Разделив многочлен (х), стоящий в левой части уравнения (3), на (х - 2), получаем Р^ (х) = = Мд (х) (X - 2), где Mg (х) = X® -и 5x2 _sx~ 15. 11 Ответ Поэтому уравнение (3) запишется так; (дг® + 5x^ -Зх- 15) (х-2) = О. Задача о решении уравнения (3) четвёртой степени свелась к решению уравнения третьей степени: + 5х^ - Зд: - 15 = 0. (4) 3) Подставляя JCg = -5 в уравнение (4), убеждаемся, что это число — корень уравнения (4). 4) Разделив многочлен М3 (д:) на (д: -I- 5), получим Мз (д:) = (х^ -3)(х + 5). В результате исходное уравнение (3) запишется так: (х^ -3)(х + 5) (д: - 2) = 0. Решая уравнение д:^ - 3 = 0, находим д^з 4 = ±-/з. Xi = 2, Х2 = -5, 4 = ±-/3. <1 В задачах 1, 2 показано, как важно уметь находить хотя бы один корень алгебраического уравнения. Теорема 1. Если уравнение OqX" + UiX"~^ + ... + а„_ iX + а„ = о (5) с целыми коэффициентами а^, а^, ..., a„_i, а„, где а„ о, имеет целый корень, то этот корень является делителем числа а„ (свободного члена уравнения (5)). • Пусть X = т — целый корень уравнения (5), т. е. .т + а„ = 0. ОдЩ" + aim" ^ + ... + a„_ii Из этого равенства следует, что тФ 0, так как а„ Ф 0. Разделив это уравнение на m ^ 0, получаем ас,т"~^ + а,т"~^ -t- а_ -f- — = 0, откуда т ^ П т =-UqM" ~ ^ - Uim" ^ - а п- 1- Правая часть этого равенства — целое число, так как по условию т, Од, Oj, ..., а„_ j — целые числа. Следовательно, —----целое число, т. е. число а„ т нацело делится на т. О Итак, целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (если такие есть) нужно искать только среди делителей свободного чле- 12 Задача 3 на этого уравнения. Именно так в задаче 2 были обнаружены корень уравнения (3) (лг1 = 2 — делитель числа 30) и корень уравнения (4) (Х2 = -5 — делитель числа -15). Решить уравнение 4х^ + 4х'‘ - 13л;® - 6л:® -н 9л: -I- 2 = 0. (6) ► Обозначим Pj (л:) — многочлен, стоящий в левой части уравнения (6). Найдём все целые корни уравнения (6). Делителями числа 2 являются числа 1, -1, 2, -2. Проверяем: Р5(1) = 0, Р5(-1) = 0, Pg (2) = 84 о, Pg (-2) = 0. Поэтому Pg (X) = (х-1)(х+ 1) (X + 2) Мг (X). Делением многочлена Pg (х) на многочлен (л: - 1) (л: + 1) (х + 2) = х^ + 2л:® - л: - 2 находим Мз (л:) = 4л:® - 4л: - 1. Корнями этого многочлена являются числа i(l±>/2). Итак, исходное уравнение (6) имеет пять действительных корней. Ответ Задача 4 Ч, 2 = ±1, Xg = -2, л: 4, 5 = |(1±V2). <] Разложить на множители многочлен Р4 (л:) = х* + Зл® - 5л:® - 13л; 6. (7) 1) Найдём целый корень многочлена (7), если такой есть. Выпишем все делители числа 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. Проверяем по порядку: Р4 (1) = -8, л; = 1 не является корнем; Р^ (-1) = 12, л = -1 не является корнем; Р4 (2) = о, л: = 2 — корень многочлена (7). Можно было продолжить проверку остальных делителей свободного члена многочлена (7). Однако проще, найдя первый корень Xj = 2, понизить степень этого многочлена и остальные целые корни находить по свободному члену многочлена — частного. Разделив Р4 (л:) на (л; - 2) уголком, получим Р4 (л:) = (л-2)Мз(л:), где Mg (л:) = л® + 5л:® + 5л; - 3. (8) 2) Найдём теперь целый корень многочлена Mg (л:), если такой есть. Делителями числа -3 являются числа 1, -1, 3, -3. Числа 1 и -1 не являются корнями многочлена Mg (л:), так как уже 13 Ответ Задача 5 установлено, что они не являются корнями многочлена (л:). Проверяем числа 3 и -3: Мз (3) = 84, д: = 3 не является корнем; Мд (-3) = О, х = -3 — корень многочлена М3 (лг). Разделив Мд (д:) на (д: + 3), получаем Мд (д:) = (дм- 3) (х^ -I- 2х - 1), поэтому Р4 (дг) = (д: - 2) (д: и- 3) (х^ + 2х - 1). 3) Квадратный трёхчлен вы умеете раскладывать на множители. Решая уравнение х^ + 2х - 1 = О, находим его корни д: = -1 ± -Уз. Поэтому х^ + 2х- 1 = (х + 1--Д)(х + 1 + ^[2). Р4(д:) = (д: - 2)(х -I- 3)(х -I-1 --Д)(х + 1 + 42). < Сократить дробь X® -I- 2х^ -и Зх + 2 Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Перебирая делители числа -4, находим целый корень числителя X = 2. Разделив числитель на (х - 2), получим X» - х2 - 4 = (X - 2) (х2 + X + 2). Перебирая делители числа 2, находим целый корень знаменателя х = -1. Разделив знаменатель на (х -I- 1), получим хЗ Ц. 2д;2 -I- Зх -(- 2 = (х -(- 1) (х^ -I- X -н 2). Следовательно, х^-х^-4 _ (х-2)(х^-1-X + 2) _ X-2 ^ х^-I-2х^-ь Зх-ь 2 (х+ 1)(х^ + X + 2) х-I-1 Из истории решения алгебраических уравнений Итак, вы познакомились с простым способом решения алгебраических уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти некоторые корни уравнения. Остаётся два главных вопроса: 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень и 2) как его находить? Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики — «Высшая алгебра». 14 Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема: Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Однако практически найти хотя бы один корень алгебраического уравнения удаётся чрезвычайно редко. Более того, в общем случае нет способа нахождения хотя бы одного корня алгебраического уравнения, несмотря на то что по теореме 2 такой корень существует. На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей алгебры сформулировал в 1629 г. голландский математик А. Жирар (1595—1632), но первое строгое доказательство дал лишь в 1799 г. немецкий математик К. Гаусс (1777—1855). Долгое время оставался открытым вопрос о практическом способе нахождения корней алгебраических уравнений. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге греческого математика Диофанта «Арифметика» в III в. По формуле корней квадратного уравнения их можно найти, выполнив действия сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня над коэффициентами уравнения. В таких случаях говорят, что уравнение разрешимо в радикалах (знак называют радикалом). Только в XVI в. было доказано, что алгебраические уравнения 3-й и 4-й степеней также разрешимы в радикалах. Формулы корней уравнения 3-й степени (кубического) впервые опубликованы в 1545 г. итальянским математиком Дж. Кардано (1501—1576). В том же 1545 г. другим итальянским математиком Л. Феррари (1522—1565) был найден способ сведения решения уравнения 4-й степени к последовательному решению одного кубического и двух квадратных уравнений. После этого в течение почти 300 лет делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнения более высоких степеней. Только в 1826 г. норвежский математик Н. Абель (1802—1829) доказал, что в общем случае алгебраические уравнения 5-й и всех более высоких степеней в радикалах неразрешимы. 15 10 11 12 14 Упражнения Решить уравнение: 1) л:®-л:^-8л: + 6 = 0; 3) 6л;3+11д:2-Зд:-2 = 0; 2) х‘' + х^-4х^-2х + 4 = 0; 4) 4л:''-8хЗ + Здг2 + 2х-1 = 0. Найти действительные корни уравнения: 1) JC® - 5x2 + 8х - 6 = 0; 2) 9x2 + 12x2 _ Юх + 4 = 0; 3) х'* + X® - 5x2 + X - 6 = 0; 4) 2х* - 2x2 _ 11^2 _ ;с - 6 = 0. Разложить на множители многочлен: 1) 6х2-25х2 + Зх + 4; 2) 4x2+12x2-Зх-9; 3) 4х'* + 4x2 - 25x2 - X + 6; 4^ х'*-2х2-14х2-6х + 5. 13 Сократить дробь: 1) 3) х2 + 2x2 ^ g ,3 о~2. с'*-2х2+ Х-2 2х‘‘-3х2-х-б’ 2) 4) х2 + 2x2 + 2х + 1 2x2 ^ 1 2х'*-3x2-7x2- 5х-3 2х2-5х2-2х-3 Решить уравнение: 1) х^ - X*- 7x2 7^.2 + 12х -12 = 0; 2) 2x2 _ 3^4 _ 7^3 + 8x2 + 6х - 4 = 0; 3) X® + X® - 7х* - 5x2 + 10^2 + бх - 12 = 0; 4) 9х« + бх® - ITx'» - 12x2 + 7x2 + 6х + 1 = о 2 - 2x2 - 5х + 6 = о 15 Уравнение ах® имеет корни Xj = 1, Х2 = -2. Найти а, Ь и третий корень этого уравнения. 16 16 Доказать теорему Виета для кубического уравнения; если Xj, Xj, Х3 — корни уравнения х® + ах^ + fcx + с = О, то Xj + Хг + Хз = -а, XjX2 + Х2Х3 + XjX3 = b, Х1Х2Х3 = -с. 17 Доказать, что если Xj, Х2, Xg — корни уравнения + ах + Ь = О, то xf + х| + х| = SxjXgXg. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Рассмотрим несколько примеров уравнений, которые можно свести к алгебраическим уравнениям. Задача 1 Найти действительные корни уравнения (X -I- 1)(х® н- 1) = 2х(1 - х2) -(- 4. ► Перенесём все члены правой части уравнения в левую с противоположным знаком и упростим полученное уравнение: (х -I- 1) (х^ + 1) - 2х (1 - х^) - 4 = О, X* + х^ + X + 1 - 2х + 2х® -4 = 0, х‘* -t- Зх® - X - 3 = 0. Это алгебраическое уравнение можно решить таким же способом, как решены задачи 1—3 (§ 2). Однако в данном случае это уравнение можно решить проще, разложив его левую часть на множители способом группировки: х"* -I- ЗхЗ - X - 3 = (х^* -I- ЗхЗ) - (X + 3) = = хЧд: + 3) - (X -н 3) = (х -I- 3) (хЗ - 1) = = (х + 3) (X - 1) (х^ + х+ 1). Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению уравнения (X -I- 3) (X - 1) (х2 -(- X и- 1) = о, откуда Xj = -3, Xg = 1, а уравнение х^ -I- х + 1 = 0 не имеет действительных корней. Ответ Xj = -3, Xg = 1. <3 17 Задача 2 Задача 3 Решить уравнение X* - 2х^ - 22х^ - 2д: + 1 = 0. ► Это уравнение является алгебраическим, но не имеет целых корней, так как делители свободного члена (числа ±1) не являются корнями уравнения. Однако данное уравнение можно решить, заметив, что оно обладает своеобразной «симметрией»: коэффициент при X* равен свободному члену, а коэффициент при х^ равен коэффициенту при х. На этом примере покажем, как можно решать такие уравнения. Заметим, что д; = 0 не является корнем данного уравнения. Поэтому можно разделить уравнение на х^ без потери корней: л;2-2д:-22---(-4г = 0, т. е. Х^ + -Кг -2|^a: + ij-22=0. 1 Сделаем замену неизвестного, обозначив л:-I— = t. X Тогда x^ + 2 + -^ = t^, откуда x^ + -\- = t^-2, и уравнение сводится к уравнению - 2 - 2t - 22 = = о, т. е. - 2t - 2А = о, откуда = 6, Возвращаясь к неизвестному х, нужно рассмотреть следующие два случая: 1) д: и- — = 6, откуда д:^ - бд: и- 1 = 0, X Xi 2 = 3±2у[2. 2) X + — = -4, откуда -I- 4д + 1 = 0, X ^3,4 = -2± >/з. Ответ Xj 2 = 3 ±2л/2, Дз 4 = -2 ± V^. <1 С помощью замены д -I- — = t можно решать возвратные уравнения * ах* -н 6д® -t- сх^ + Ьд а = о, ад® -I- Ьд® -ь сх* -I- dx^ -i- сд^ йд -i- а = 0 и т. д. Решить уравнение 2д^_Р5д^^ д -1 д -I- 3 = 2. (1) 18 Ответ Пусть д: — корень данного уравнения, т. е. х — такое число, что верно равенство (1). Тогда знаменатели дробей, входящих в равенство (1), не равны нулю, т. е. X ^ 1 и д: -3. Умножая равенство (1) (т. е. обе его части) на общий знаменатель дробей (х - 1) (х -1- 3) 5^ О, получаем верное равенство (2x2 _ 1)(д. + 3) _ - 7)(х - 1) = = 2(х-1)(х + 3). (2) Найдём значения х, при которых верно равенство (2), т. е. решим уравнение (2). Преобразуем это уравнение: 2x2 -I- 6x2 - X - 3 - 16Д.2 + 1бх -(- 7х - 7 = = 2x2 + бх - 2х - 6, 2x2 - 12x2 + 18д; - 4 = 0, х2 - 6x2 -I- 9х - 2 = 0. (3) Решим кубическое уравнение (3) таким же способом, каким решались задачи в § 2. Среди делителей свободного члена находим целый корень Xj = 2 уравнения (3). Разделив левую часть уравнения (3) на (х - 2), получаем, что уравнение (3) таково: (X - 2) (х2 - 4х -I- 1) = 0. Решая квадратное уравнение - 4х + 1 = 0, на- ходим его корни Х2 3 = 2±S 2.3 ■ Итак, равенство (3) является верным при найденных трёх значениях х. Так как эти значения не равны 1 и -3, то из верного равенства (3) обратными преобразованиями можно получить верное равенство (1). Однако эти сложные обратные преобразования можно не делать. Достаточно проверить, что найденные значения х в самом деле являются корнями уравнения (1). При проверке можно не выполнять все громоздкие вычисления, если есть уверенность, что при решении не допущены ошибки при преобразованиях и вычислениях, а достаточно заметить, что при найденных значениях х знаменатели дробей, входящих в уравнение (1), не равны нулю. Xj = 2, Х2_з = 2 ± л/з. <] Уравнение (1) — это пример рационального уравнения, так как его членами являются рациональные алгебраические дроби, у которых числителями и знаменателями являются многочлены. 19 Задача 4 Найти действительные уравнения корни рационального 2х + 3 Ответ л: +1 х + 2 (д: + 1)(х + 2) Умножая это уравнение на (х + 1) (х + 2), получа-ем л: + 2 + д:® (д: + 1) = 2л: + 3, откуда я:'' + л:® - д; - 1 = 0. Решим это уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки; (д:-* - 1) + (я:® - я:) = о, (х® - 1) (х® + 1) + я: (я:® - 1) = о, (X®- 1)(х® + х+ 1) = 0, откуда Xi2 = ±l. а уравнение х® + х + 1 = 0 не имеет действительных корней. При х = 1 знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение, не равны нулю, поэтому х = 1 — корень этого уравнения. При X = —1 знаменатели двух дробей исходного уравнения равны нулю, поэтому X = -1 — посторонний корень. X = 1. <1 для решения рационального уравнения Итак, нужно: 1) умножить уравнение на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение; 2) свести полученное уравнение к алгебраическому и решить его; 3) проверить, при каких найденных значениях неизвестного знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны нулю. При этом необязательно проводить такие подробные рассуждения, как в задаче 3, выполняя их устно (в уме), как и при решении задачи 4. Задача 5* Решить уравнение 4х®-7х 2х® + 5х 9Х + 18 2х + 3 X + 3 2х® + 9х + 9 = 0. (4) ► Разложим квадратный трёхчлен 2х® -н 9х -I- 9 на множители. Решая квадратное уравнение 2х® -I- О -ь 9х 9 = о, находим его корни х = -3 и Поэтому 2х® -I- 9х -I- 9 = 2 (X -I- 3) хн-| I = (х и-3) (2х + 3). 20 Умножим уравнение (4) на общий знаменатель дробей (х + 3) {2х + 3): (4л:3 - 7л:) (х + 3) - (2х^ + 5х) (2х + 3) + 9л: + 18 = О, откуда 4л:^ + 12х^ - 7х^ - 21х - 4л:^ - бл:^ -- 10л:2 - 15л: + 9л: + 18 = О, 4л:'‘ + 8х^ - 23х^ - 27х + 18 = 0. (5) Решим это уравнение. Перебирая делители его свободного члена — числа 18, получаем, что х = 2 и д: = -3 являются его корнями. Поэтому многочлен (л:), стоящий в левой части уравнения (5), делится нацело на многочлен (л: - 2) (х + 3) = = х^ + X - 6, т. е. Р, (X) = (х2 + X - 6) Мг (X). Разделив (л:) на (х^ + х - 6) уголком, получим (■^) = 4л:^ -и 4л: - 3. Следовательно, уравнение (5) таково: (л -2)(х + 3) (4л2 и- 4л - 3) = 0. Решая квадратное уравнение 4л^ -и 4л - 3 = 0, находим его корни ^ = ^ и Итак, корнями уравнения (5) являются числа 2, 1 3 -3, -, Из них второй и четвёртый являются посторонними для уравнения (4), так как при О л = -3 и при л = — — хотя бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение (4), равен нулю. Ответ Л1 = 2, Л2 = 1. <] Упражнения 18 Найти действительные корни уравнения: 1) (2л -t- 1) (л® -I- 1) -I- л2 = 2л (л® 3) - 5; 2) (2л2 - 1)2 и- л: (2л - 1)2 = (л -(- 1)2 н- 16л2 - 6; 3) л2 (л - 2) (6л -I- 1) -(- л (5л + 3) = 1; 4) л2 (Зл -I- 1) - (л2 -I- 1)2 = 3. 19 Решить возвратное уравнение: 1) бл'» - 35л® -н 62л2 - 35л + 6 = 0; 2) л"* -I- 2л2 - 22л2 -t- 2л -(- 1 = 0. 21 20 Решить рациональное уравнение: 21 22 23 1) 11 3) 4) 5) 6) х + 1 х-2 (x + l)(2-x) г + 2х; 7 5x^ + 9 2) 1®£±®-1 = 2 + 2х; X + 4 X 3xf_______ X -1 X + 1 2х^ Зх х-1 х + 2 х^+х-2 Зх ^ X + 1 3 х2-1 2(4х-1) 2х-1 х + 2 2-Зх-2х^ ’ 1-х 2х 4 х-3 Зх + 2 6+7х-3х^ Доказать, что уравнение ах* + Ьх^ + сх^ - Ьх + а = О, где а ^ О, заменой х ~ — = t сводится к уравнению at^ + bt + + с + 2а — 0. Решить уравнение: 1) X* - 4х® - 2х^ + 4х + 1 = 0; 2) 2х'* - 15x3 + 14Д.2 + 15д; + 2 = 0. Найти действительные корни уравнения: 1) £l->4-L_,27-. ■ Х-1 х-2 х^-Зх + 2 2) 3) х-2 хЗ х + 2 .3 3x^-1 х + 1 6x3 хЗ-х-2 2хЗ(х-2) Зх3 + 19х + 6 2х“ X 4) ----- + х-3 хЗ-х-6 3 8хЗ-7х + 2 х+2 х-1 хЗ + X - 2 Выяснить, при каких действительных значениях а уравнение хЗ+2(а-1)х + а* - а х-2 = 0 24 имеет два действительных различных корня. Выяснить, при каких действительных значениях а уравнение X® - 2ахЗ - аЗх + 2а® • = 0 X + 3 имеет три различных действительных корня. 22 Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными В 8 классе рассматривались простейшие системы уравнений, содержащие уравнения второй степени. Продолжим рассмотрение таких систем. Задача 1 Решить систему уравнений [х^ + у^ = М, \х-у = 2. Ответ Задача 2 Ответ Задача 3 ► Решим эту систему способом подстановки, выразив у через X из второго уравнения системы: у = X — 2. Подставляя это значение у в первое уравнение, получаем х^ + (х - 2'f = 34, откуда х^ - 2х - 15 = О, = 5, Х2 = -3. По формуле у = X - 2 находим у^ = Ъ, у^ = —5. (5; 3), (-3; -5). <3 „ „ (2х -у = 3. Решить систему уравнении , [Зх^-4ху+у^ = 5. ► Эту систему также решим способом подстановки: у = 2х - 3, Зх^ - 4х (2х -3) + (2х - 3f = 5, 3x2 _ 8^2 12х + 4х^ - 12дг -I- 9 = 5, х^ = 4, Xi = 2, Х2 = -2. По формуле у = 2х - 3 находим у^ = 1, У2 = —1. (2; 1), (-2; -7). < Решить систему уравнений х+у^12, ху = 35. ► Эту систему также можно решить способом подстановки. Однако если числа х, у таковы, что их сумма равна 12, а произведение равно 35, то по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями уравнения - 12г + 35 = О, откуда — 7, Z2 “ 5. 23 Ответ Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел: JCi = 7, i/i = 5 и ^2 = 5, 1/2 = 7. (7; 5), (5; 7). < Задача 4 „ |Зл:-4г/ = 2, Решить систему уравнении - 1о|/‘‘ = 20. ► Запишем второе уравнение системы так: (Зд: - 4у) (Зх + 4i/) = 20. Подставляя в это уравнение значение Зх - 4у = 2, получаем 2 (Зх -I- 4у) = 20, т. е. Зх + 4у = 10. Данная система свелась к системе \3х-4у = 2. Ответ [Зх + 4у = 10, которую решим способом сложения: 6х = 12, X = 2; 8у = 8, у = 1. (2; 1). < Задача 5 Ответ Решить систему уравнений X +у + 2ху = 10, X + у - 2ху = -2. ► Складывая почленно уравнения системы, получаем 2х -I- 2у = 8, откуда у = 4 - х. Подставляя это значение у в любое из уравнений системы, например во второе, получаем X -ь 4 - X - 2х (4 - х) = -2, откуда 4-8х + 2х^ = -2, 2x2 - 8х -I- 6 = о, х2 - 4х и- 3 = о, Xj = 1, Х2 = 3. По формуле у = 4 - X находим у^ = 3, У2 = 1. (1; 3), (3; 1). < Задача 6 Решить систему уравнений |х2-ну2 = |ху = 6. = 13, ► Прибавим к первому уравнению системы второе, умноженное на 2: х2 + 2ху + у2 = 25, 24 откуда (д: + у)^ = 25, X + у = ±5, т. е. или у = 5 - X, или у = -5 - х. Решение исходной системы свелось к решению двух систем уравнений: \х+у = Ъ, \х+у = -Ъ, lxj/ = 6; [jci/ = 6. Ответ Решая каждую из этих систем (используя теорему, обратную теореме Виета), находим четыре решения: Xj = 2, i/i = 3; Х2 = 3, У2 = 2; х^ = -2. Уз — ~3; х^ = —3, 1/4 = —2. (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2). <] Задача 7 Ответ „ „ \х^ - ху+ 2у^=\&. Решить систему уравнении Z ^ [у^-2ху -3x^ = 0. ► Выразим из второго уравнения у через х, решая его как квадратное относительно у: У12- X ± -Jx^ + 3х^ = X ±2х, откуда у = Зх или у = -х. 1) Подставляя у = Зх в первое уравнение данной системы, получаем - Зх^ + 18x2 = 16, 16x2 _ ^2 — — откуда i/i = 3, У2 = -3- 2) Подставляя у = ~х в первое уравнение системы, получаем 4x2 _ jg^ ^.2 _ 4^ _ 2^ - -2, от- куда Уз = -2, У4 = 2. (1; 3), (-1; -3), (2; -2), (-2; 2). <1 Задача 8* При каких значениях а система \х+у = а, |ху = -2а2 имеет решения (х; у) такие, что -2 < х < 2, -2 < у < 2? ► Найдём решения системы, используя теорему, обратную теореме Виета: — аг - 2д2 = О, откуда Zi_2 = ± -\о} + 8а2 ), 2j = 2а, Z2 = -а. Поэтому решениями системы являются пары чисел: (2а; -а) и (-а; 2а). 25 Ответ По условию должны выполняться неравенства -2 < 2а < 2, -2 < -а < 2, откуда -1 < а < 1, -2 < а < 2. -1 < а < 1. <3 Упражнения Решить систему уравнений (25—30). 25 1) |лг2 + г/2 = 74. |д: + 1/ = 12; 3) \х^ + у^=10, \х+у = А\ 26 1) \2х^-2ху + х = -9, \2y-Zx = l\ 3) [д: + 1/ = 5; -1) = 2, 27 1) 1х + г/ = 3, |х1/ = -40; 3) |х + г/ = 8, 1x1/ = 15; 2) |х2-г/2 = з2, [х-г/ = 4; 4) 1х2-г/2=16, \х-у = 1. 2) 4) 2) Jx2 + 6xi/ + 8j/2 = 91, |х+ 31/-10 = 0; |(х-2)(у + 1)=1, \х-у = 3. \х-у = 7, |х1/ = 18; 4) \х-у = -2, [х1/ = 15. 28 1) l2x + 3y = 3, [4x2-91/2 = 27; 3) |х2 + 1/2 = 34, [х1/ = 15; 29 1) |2x-3i/ = l, [2x2-xi/-3i/2 = 3; 3) |xi/-x + i/ = 7, 1x1/+ х-у = 13; 2) |х-1/ = 5, \у[х -у[у = 1; 4) |х2 + !/2 = 25, 1хр = 12. 2) |х2 + 1/2 = 133, \х+у = 7; 4) |х1/-2(х + 1/) = 2, 1x1/ + X + J/ = 29. 30 1) |х2 + |/2=10, V«/=3; 3) |х2+4х1/ + 1/2 = 94, 1x1/= 15; 2) jx2-xi/ + i/2 = 19, [х1/ = 15; 4) |х2-6хг/ + 1/2 = 8, 1х1/ = 7. 26 I Различные способы решения систем уравнений Рассмотрим ещё примеры нахождения действительных решений систем уравнений. Задача 1 Решить систему уравнений \х+у = 12, -+-=!• X у 8 Ответ ► Если (х; у) — решение этой системы, то х ФО и у ^ 0. Запишем второе уравнение системы так: х + у _3 ху 8‘ Подставляя значение х + у = 12 в полученное 12 3 уравнение, находим — = -, откуда ху = 32. ху 8 Решение данной системы свелось к решению системы \х+у = 12, \ху = 32. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, получаем Xi = 4,1/1 = 8; Х2 = 8, У2 = 4. (4; 8), (8; 4). <1 Задача 2 Ответ „ „ ]х - = 3, Решить систему уравнении < __ [ху^ = 28. ► Выразим у^ из первого уравнения системы и подставим это выражение во второе уравнение: у^ = X - 3, х(х - 3) = 28, — Зх — 28 = О, откуда X, = 7, Х2 = -4. Пользуясь формулой у^ = X - 3, находим значения у: если х = 7, то г/^ = 7 - 3, = 4, откуда у = 2 или у = -2; если х = -4, то i/^ = -4 - 3 = -7 < О, поэтому действительных корней нет. (7; 2), (7; -2). < 27 Эту систему уравнений можно было решить иначе. ► Записав систему в виде ) — 3, было [х{-у^) = -28, составить по теореме, обратной теореме Виета, уравнение - 3z - 28 = 0; решив это уравнение, получим Zi = X = 7, 22 = -у^ = -4, или Zj = -у^ = 7, 22 = X = —4, откуда, естественно, получим тот же ответ. <] Заметим, что замена х через у из первого уравнения и подстановка найденного выражения во второе уравнение привели бы к решению биквадратного уравнения. Задача 3 Решить систему уравнений х^-у^ = 7. ух^у - ху^ = 2. ► По условию X фО, у фО, х - у ф 0. Разделив первое уравнение системы на второе, получим к^у-хф 1 (х - уЦх’^ + ху+ у^) _7 2* ху(х-у) 2’ 2 (х^ + ху + у^) = 7ху, 2х^ - Ъху + 2у^ = 0. Рассматривая полученное уравнение как квадратное относительно х, найдём его корни: ^1,2 - Ьу± .^25i/^-16j/^ _5у±3у ^1.2 = - Ответ откуда X = 2у или х = ^. Подставив найденные выражения х через у во второе уравнение системы, получаем: 1) 4у^ - 2у® = 2, откуда у® = 1 и у, = 1; 2) ^ ~ ^ откуда у^ = -8 и У2 = -2. Теперь найдём соответствующие значения х по формулам X = 2у У1 х = ^. Получаем = 2, = -1. (2; 1), (-1; -2). < Задача 4 Решить систему уравнений „ I-2ху + 4у^ = 7, х^ + 8у^ = 35 28 ► Применяя формулу суммы кубов, запишем второе уравнение системы в виде (л: + 2у) (х^ - 2ху + 4у^) = 35. Используя первое уравнение системы, находим X + 2у = 5. Выразим из этого уравнения 2у через х и подставим найденное выражение во второе уравнение системы: 2у = 5 - X, х^ + (Ъ - х)^ = 35, откуда и- 125 - 75х + 15x2 - X® = 35, 15x2 - 75х -t- 90 = О, х2 - 5х -н 6 = 0; Xj = 3, Х2 = 2. Теперь находим соответствующие значения у: 2j/ = 5 - 3, откуда j/j = 1, 2у = 5-2, откуда 1/2 = -• Ответ (3; 1), (2; I). Задача 5 Решить систему уравнений х-у = 5. [Е- [1=Ё. у у \Х б‘ Обозначим 1— = t, тогда Второе уравнение V г/ V X г системы теперь запишется так i /2_5 6’ 6 = <2_Ь_1 = о, откуда t 25^1_5,13 .3 2 144^ 12^12’ ‘ 2’ 2 3' Так как t > X 9 9 или — = —, откуда X = - у. у 4 4 Подставляя это выражение х в первое уравнение о 5 системы, получаем -у-у = Ъ, -у = 5, у = 4. По-4 4 этому X = 9. Так как мы возводили в квадрат заведомо поло- Ответ жительные числа (9; 4). <1 iy 2’ проверка не нужна. 29 Задача 6* Решить систему уравнений ху = 2, Х2 = 3, х^ + у^ = 5. ► Найдём сначала значения х и у, пользуясь первым и третьим уравнениями данной системы. Сложив третье уравнение с удвоенным первым, получим (х + у)^ = 9, откуда х + у = 3 или х + у = -3. Подставляя значения х = 3- уих = -3-ув первое уравнение системы, получаем: 1) (3 - I/) I/ = 2, 1/2 - Зу + 2 = 0; 1/1 = 1, 1/2 = 2; 2) (-3-у) у = 2, у^ + Зу + 2 = 0; у^ = -2, у^ = -\. Тогда соответствующие значения х таковы: х^ = 2, х^ = 1, дСз = -1, х^ = -2. Из второго уравнения системы находим 2 = —, откуда ^ 2j= - , 22 = 3, 2з = -3, ^4 ~ Ответ 2; 1; I I, (1; 2; 3), (-1; -2; -3), -2; -1; 1. < Задача 7* При каких значениях а система уравнений \х^ + аху +у^ = 2Ъ, ах + у = 3 имеет решение (х-, у), где х = П ► Если X = I входит в решение системы, то получаем следующую систему двух уравнений относительно у и а: h + ay+y^ = 25, \а + у = 8. Решая эту систему уравнений способом подстановки, получаем а = 8-у, 1 + (8 - у) I/+ 1/2 = 25, откуда 1 + 80 - 1/2 + у2 ^ 25, 8у = 24, у = 3. Поэтому а = 8 - у, т. е. а = 5. Ответ а = 5. <1 30 Упражнения Решить систему уравнений (31—35). 31 "1 i + i = l, ^ У х+у = 4-. 2) , X + у _3 х-у 2’ ху=80; *1 х-у = 3, 1-1 =-0,3; л: У "1 х+у = 9, 1 + 1 = 0,5. [jc У 32 х^-у = 7, х^у = 18; а,| 2х^ + у = 3, х^у-1 = 0; a,j х^-у^ = 12, х^ + у^ = 20; х^-у^ = 21, х^ + у^ = 29-. х^ + у^ = 28, ху^ + х^у = 12; 6) ху^ + ху^ = 19, X + ху = 10. 33 N х^ + 27у^ = 54, х^-Зху + 9у^ = 9; 2) х^-ху+у^=19, х^ + ху + у^ = 49; з,| х^-у^ = 72, х-у = 6; 4) х^ + 5ху+у^ = 25, 5х +у = 8. 34 1) х+у = 41. 2) х+у = 10. • yfx+-Jy=4; 3) х + у = 5, 4) х-у = 13, + л/у = 3; /х- Ту = 1- 1) уг = 15, 2) xz + yz = 16, XZ = = 10, • xy + yz = 15, 1/2 + 22 = 34; XZ + ху = 7. 36 Решить систему уравнений относительно хну: 1) X + у = 2а, ху = -3а^; 2) X-у = Ь, ху = 2fc2. 31 Решение задач с помощью систем уравнений Задача 1 Если к произведению двух чисел прибавить меньшее из них, то получится 54. Если к тому же произведению прибавить большее число, то получится 56. Найти эти числа. Условие этой задачи таково, что составить нужную систему уравнений просто. Обозначив искомые числа через х vl у {х < у), получаем по условию два уравнения, составляющие систему \ху+х=ЪА, \ху+ у= 56. Вычитая из второго уравнения первое, получаем: у - X = 2, откуда у = х + 2. Подставляя это значение у в первое уравнение системы, имеем л: (д: -t- 2) -н д: = 54, + Зд: - 54 = О, ‘■1,2 = -i(3±V9 + 216) = -i(3±15), д:, = 6, дго = -9. Ответ Пользуясь формулой у = X + 2, получаем i/i = 8, Уг~ • Искомые числа 6 и 8 или -9 и -7. <] Задача 2 Произведение цифр искомого двузначного натурального числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. ► Обозначив через х число десятков искомого числа, а через у число его единиц, запишем искомое число в виде Юдс + у. Используя условия задачи, составляем систему уравнений \3ху = 10х +у, I Юд: и-1/ + 18 = lOj/ -t- X. 32 Преобразуем эту систему: Ответ Юл: + у -3ху = 0, 9х - 9у + 18 = 0, Юл: + у -3ху = 0, X -у + 2 = 0. Решим эту систему способом подстановки: х = у -2, 10у - 20 + у - Зг/2 + 6(/ = о, Зу^ - Пу + 20 = 0, У\,2 _ 17 ±>/289-240 _17±7 1/1 = 4, 1/2 = 1- Помня, что хну — цифры искомого числа, берём только значение г/ = 4, откуда л: = 2. Итак, искомое число — это число 24. Действительно, произведение его цифр 2 • 4 = 8 в три раза меньше самого числа. Прибавляя к 24 число 18, получаем число 42, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. 24. <1 Задача 3 Два грузовика, работая вместе, должны были перевезти груз за 6 ч. Так как второй опоздал к началу работы, то к его приезду первый перевёз уже 3 — всего груза. Остальную часть груза перевез толь-5 ко второй грузовик, и потому перевозка груза заняла 12 ч. За какое время этот груз мог перевезти каждый грузовик, работая отдельно? ► Примем за единицу тот груз, который должны были перевезти грузовики. Обозначим время, которое затратил бы на перевозку всего груза первый грузовик, через л: ч, а время, которое на это затратил бы второй грузовик, если бы они работали раздельно, через у ч. Тогда за один час первый грузовик перевёз бы — часть груза, а второй — его — X у часть. Работая вместе, за один час они перевозили бы i + i д: У часть груза и по условию задачи перевез- ли бы груз за 6 ч. Поэтому Но в действительности первый грузовик, перевезя О 3 — всего груза, затратил на это — своего времени, 5 о 2 Алгебра, 9 кл. 33 Ответ а остальную часть груза перевез второй грузовик, затратив на это - своего времени. 5 Так как в этом случае всего было затрачено на перевозку груза 12 ч, то получаем второе уравнение: -х + -у = 12. 5 5^ Решение этой задачи свелось к решению системы уравнений 14-11.6=1, л: У) Сначала упростим эту систему, а затем решим её способом подстановки. Имеем [Qx + Qy = ху, [Зл: -I- 2у = 60, Зд: = 60- 2(/, 120 - 41/4-б1/= |^20-|i/ji/, G0 + y=10y-ly^, откуда у“^ - 27у + 180 = 0, 27 , Гт29 27 , 3 = «/2= 12. 2 Пользуясь формулой X = 20--у, получаем О Xi = 10, Х2 = 12. 10 ч и 15 ч — при разной грузоподъёмности; 12ч и 12ч — при одной и той же грузоподъёмности. Упражнения 37 Произведение двух чисел равно 135, а их разность 6. Найти эти числа. 38 Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа. 39 Периметр прямоугольника равен 14 см, площадь его равна 12 см^. Каковы стороны прямоугольника? 40 Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см^. Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна 369 см^. Каковы катеты этого треугольника? 34 41 Два девятых класса одной школы приобрели билеты в театр. Первый класс израсходовал на билеты 4900 р. Второй класс купил на 15 билетов меньше, но заплатил за каждый билет на 35 р. дороже и истратил на билеты 3500 р. Сколько билетов и по какой цене куплено каждым классом? 42 Двое рабочих закончили порученную им работу за 12 ч. Если бы сначала один выполнил половину этой работы, а другой — остальную, то на выполнение всей работы понадобилось бы 25 ч. За какое время каждый из них закончил бы эту работу, работая один? 43 Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна только через один второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна через один первый кран. После этого оказгиюсь, что на- 13 полнены — бассейна. Оба крана наполняют бассейн за 3 ч 18 36 мин. Сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности? 44 Три коневодческие фермы сделали равные запасы овса, необходимого для подкормки лошадей, число которых на этих фермах было разным. Первой ферме этого запаса овса хватает на 105 дней. Второй ферме, имеющей на 10 лошадей больше первой, запаса овса хватит на 100 дней, если дневную норму овса для каждой лошади уменьшить на 1 кг. На столько же дней хватит овса третьей ферме, где лошадей на 10 меньше, чем на первой, но дневная норма овса на 3 кг больше, чем на первой. Сколько лошадей на каждой ферме и какова суточная норма овса на каждой из них? ^ Упражнения к главе I 45 Выполнить деление многочленов: 1) (х-* + 2х® -6х^+11х- 10) : (х^ + 3х- 5); 2) (х* + х^ + х^ - X - 2) •. {х^ л- X - 2); 3) ^2x‘^ + 2х® - 5х^ -2) : (х^ + X - 2); 4) (6х“ - х^ - X + 1) : (2х + 1). 35 46 47 Найти действительные корни уравнения: 1) - 5х^ - 17л: + 6 = 0; 2) л:3-Зл:2-6х + 8 = 0; 3) 2х“ + Зх^ - 10х^ -5х-6 = 0; 4) Зх-» + Зх» - 8л:2 - 2л: + 4 = 0. Решить уравнение: 1) 2) х-2 ^2 4х X + 3 X 9х + 2 . х^ + X - 6 ’ Их-12 х + 3 х-2 Решить систему уравнений (48—49). 48 "1 2x3- х-у У = 2, = 1; хЗ- XI/ Х-У = 49 1) 4 _ 7 2) • ^ 1 х-1 3 У-1 ’ _ 2. X -1- 5 4 х + 3 9 У х-2 .2 — = 2, у-3 1 у-б‘ 50 Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см^, а сумма его катетов равна 11 см. Найти катеты. 51 Сумма диагоналей ромба равна 49 см. Площадь этого ромба равна 294 см^. Найти диагонали ромба. 52 Разность двух натуральных чисел относится к их произведению как 1 : 24, а сумма этих чисел относится к их разности как 5:1. Найти эти числа. 53 Сумма двух взаимно обратных дробей равна 2^, а их раз- ность равна Найти эти дроби. 6 6 Проверь себя! 1 Выполнить деление многочленов: (2x3 + х^-4х + 3): (2х -I- 1). 2 Решить уравнение: хЗ ^ 2x3 - 5х - 6 = 0. 3 Решить систему уравнений: 1) \х+у = 7, 2) {Зу-х = 7, 1x1/= 10; \у^ + 3х = \. 4 Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25. Сумма этой дроби и обратной ей дроби равна 25 —. Найти дробь. 36 54 55 56 57 Найти действительные корни уравнения: 1) + Зх^ + 2х^ + 6х^ + 2х + 6 = 0; 2) - 2лг'‘ - Зх^ + бд:^ - 4л: + 8 = 0; 3) 4л:® - 4х® - 5х* - Зх® - Тд:^ + д: + 2 = 0; 4) д:® - 2х® - 2д:‘' + бд:® - Тд:® + 8д: - 4 = 0. Решить уравнение: 2л;®+ 1 ^ Зх® 15д:® 2х + 1 Зд:-1 6х^-^х-1 04 бд:® , 5х®-17л; + 2 ------- + • 18х х + 1 х-2 2 + X- Выяснить, при каких действительных значениях а уравнение д:^-10а®д:® + 9а“ 2д:®-Зд:-2 = 0 имеет четыре различных корня. Решить систему уравнений: 1) 3) ху = 2, хг = 3, х‘ + у^ = 5; 2) д:® + г/® + 2® = 30, у-х=3, у-г= 4; \у^-3ху-\у-х = 2; + х^-X +у + 9 = 0, 58 59 60 61 4) {х^ + 2ху+у^-х-у = 6, \х-2у = 3. Водонапорный бак заполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может его наполнить на 2 ч скорее, чем вторая. За какое время каждая труба, работая отдельно, заполнит этот бак? После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена товара снизилась с 300 до 192 р. На сколько процентов снижалась цена этого товара каждый раз? Теплоход прошёл по течению реки 48 км и столько же — против течения, затратив на весь путь 5 ч. Какова собственная скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч? В зрительном зале клуба было 320 мест. После ремонта число мест в каждом ряду увеличилось на 4 и, кроме того, в зале добавился ещё один ряд. Сколько стало рядов в этом зале, если после ремонта стало 420 мест? 37 п Степень с рациональным показателем Степень с целым показателем 'h • I....................I.....................I • При рассмотрении свойств степени с натуральным показателем отмечалось, что свойство деления степеней а" : а”' = а"~(1) справедливо при п > т и а ^ 0. Если п < т, то в правой части равенства (1) показатель степени п - т отрицателен или равен нулю. Степень с отрицательным и с нулевым показателями определяют так, чтобы равенство (1) было верно не только при л > т, но и при п < т. Например, если п = 2, Л1 = 5, то по формуле (1) получаем: а} : а^ = а^~^ = о'®. С другой стороны, а® а® Поэтому считают, что а~^ = . а® Определение 1. Если а*0 и п — натуральное число, то a-’^ = —. 38 Примеры: 1) 2-3 = J- = i; 23 8’ 2) (-3)-^ = (-3)4 81’ 3) (-0,5)-з =--1—-------= -8. (-0,5)3 0,125 Если п = т, то по формуле (1) получаем: д П С другой стороны, а" •. а" =-= 1. Поэтому счита- п 1 а" ют, что а” = 1. Определение 2. Если а 0, то а«=1. Например, 3°=1, =!• Степени с отрицательными показателями уже использовались при записи чисел в стандартном виде. Например: 0,00027 = 2,7 •— = 2,7 • 10-^. Ю"* Все свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем. Для любых а* о, i) ^ о и любых целых пит справедливы равенства: 1. = 4. (aЬ)’^ = a'^b’^ 2. а" : = 3. = a’^"^ 5. ^ \ а чЬ, а" Докажем, например, справедливость равенства (аЬ)" = а"Ь" при п < 0. Пусть п — целое отрицательное число. Тогда -п = к, где к — натуральное число. Используя определение степени с отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем, получаем: (аЬУ = (аЬ)'* = —^ = —i— --- ------ - ^ ^ (а6)* а* 5* = = a"fc". О Аналогично доказываются и другие свойства степени с целым показателем. 39 Задача Приведём примеры применения свойств степени с целым показателем: 1) 4-3.4I1.4-6 з; 4-3 + 11.4-6 _ 4-3 +11 - 6 ^ 42 ^ 16; 2) -3-(-2) 'eiLY VO.y2 J 3-2.(/2-(-2) 2 „6 З^р = 9p^q*. М ) q Упростить выражение а® (а"^ - аг*) (а^ + а®)"^ ► а® (а~^ - аг*) (а^ + а®)“^ = а® f -^ а* ) + а® а®-1 а* а® (1 + а) = а- 1. <] Упражнения 62 Вычислить: 1) 2® + (-3)® - (-2)® + (-1)®; 3) 13 • 2® - 9 • 2® + 2®; 2) (-7)® - (-4)® - З-*; 4) 6 (-2)® - 5 (-2)® - (-2)®. 63 Представить выражение в виде степени с натуральным показателем: 1) 7® -7 15 ;10 713 2) S'* -51® 3) а®а»Ь® а®6® 4) 64 (Устно.) Вычислить: / n-i 1)1-®; 2)4-®; 3) (-10)®; 4) (-5)-®; 5) Uj ; 6) f | 65 Записать в виде степени с отрицательным показателем: -h' 4- 4® 21'’ Вычислить (66—67). -3 66 1) 10 4) (0,5)-®; 67 1) 3-1-1- (-2)-®; 3) (0.2)-® + (0,5)-®; 5) -(-17)-1; 3) (0,2)-^; 6) -(-13)-®. 2) I I I - 4-®; 4) (-0,1)-® - (-0,2)-®. 68 (Устно.) Сравнить с единицей: 1) 12-®; 2) 21®; 3) (0,6)-®; 4) 19 69 Записать без степеней с отрицательным показателем: 1) (х-уГН 2) (х-ну)-®; 3) 36-®с®; 4) 9а^Ъ~*-, 5) а-1&®с-®; 6) a®&-ic~*. 40 70 71 72 73 74 75 Вычислить (70—71). -3 1) ' ’ ' 3) 0,3^ • О.З ^О; 1) 9^ : 9>0; 3) А . ' 13 J из (4)(4)^ 4) 17-5 . 173 . 17 2) (0,2)2 . (0,2)-2; «(|Г(Г“ Возвести степень в степень: 1) (а2)-5; 2) (Ь-2)-4. 3) (^-3)7. 4) (^,7)-4 Возвести в степень произведение: 1) (afe-2)2; 2) (a2fc-i)<; 3) (2а^У^-, 4) (3aV- Выполнить действия: Вычислить значение выражения: -2 2дг® -4 3j/ 1) (х^у ^ - 4у 2) . _ при х = Ъ, у = 6,7; 4) -Ах-^у 76 77 78 79 80 81 82 4 _ . 4 2) : -—-— при а = 2, Ь = -3. &2 Записать в стандартном виде (76—77). 1) 200 000'; 2) 0,0003®; 3) 4000-2; 4) 0,002-®. 1) 0,0000087; 2) 0,00000005086; 3) 4) 125 Ь25 Процесс шлифовки стекла заканчивается, когда глубина выемок на его поверхности не превышает 3 • 10-® мм. Записать число 3 • 10"® в виде десятичной дроби. Атом сверхтяжёлого водорода существует лишь 0,00000000001 с. Записать число 0,00000000001 в виде степени с отрицательным показателем. Размеры вируса гриппа составляют около Ю"' мм. Записать число 10-' в виде десятичной дроби. Дробь представить в виде степени и найти её значение при данном значении а: 1)^-V’« = 03; 2)^-^,а = 4. а ^ а Вычислить: 1) ((-20)^)-^ : ((-20)-®)» 4- 2-2; 13 2) ((-17)-')-» ; ((-17)-'®)-2 - I ^ 41 83 Применить свойства степени и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) (1,3)-“« • (1,3)12^; 2) (0,87)-^^ : (0,87)-8°; > 56 / ч -52 3) |Ц| :|^| ; 4) (йР( 19 ч 56 / ч -52 23 I I М I 2lj ‘Ulj 84 Вычислить на микрокалькуляторе и записать результат в стандартном виде: 1) (786-Y : (786*)-®; 2) (923®)-® • (923®)-*; 3) (1,76)2.352. 4) 473 . (2,5)®. 85 С помощью микрокалькулятора вычислить объём куба, длина ребра которого равна: 1) 1,54 • 10-^ мм; 2) 3,18 • 10* км. 86 Упростить: 1) (а"® -I- г>-®) • (а-2 - Ь-2)-1 • (а-2 - 2) {а~^Ь - аЬ~^) • (а-® + + б"®)"*. 42 I Арифметический корень натуральной степени - I...............I.................I................I................I.................I................I..............I...................I • Задача 1 Решить уравнение х* = 81. Запишем уравнение в виде х-» - 81 = О или - 9) (х^ + 9) = 0. Так как + 9 0, то - 9 = 0, откуда Xj = 3, Х2 = -3. <3 Итак, уравнение х'^ = 81 имеет два действительных корня Xi = 3, Х2 = -3. Их называют корнями четвёртой степени из числа 81, а положительный корень (число 3) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81 и обозначают V^. Таким образом, V^ = 3. Можно доказать, что уравнение х" = а, где п — натуральное число, а — неотрицательное число, имеет единственный неотрицательный корень. Этот корень называют арифметическим корнем п-й степени из числа а. Определение. Арифметическим корнем натуральной степени ге > 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п-я степень которого равна а. Арифметический корень п-тл степени из числа а обозначается так: Va. Число а называется подкоренным выражением. Если л = 2, то вместо >/а пишут у[а. Арифметический корень второй степени называют также квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем. В тех случаях, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне л-й степени, кратко говорят: «Корень л-й степени». 43 Чтобы, используя определение, доказать, что Va равен Ъ, нужно показать, что: 1) Ь > 0; 2) Ь" = а. Например, = 4, так как 4 > 0 и 4^ = 64. Из определения арифметического корня следует, что если а > о, то а— о. а" = а. Например, (^)® = 7, ^1^ = 13. Действие, посредством которого отыскивается корень п-й степени, называется извлечением корня п-й степени. Это действие является обратным к возведению в п-ю степень. Задача 2 Решить уравнение = -8. !> Это уравнение можно записать так: -х^ = 8 или (-х)^ = 8. Обозначим -X = у, тогда = 8. Это уравнение имеет один положительный корень у = у[8 =2. Отрицательных корней уравнение у^ = 8 не имеет, так как у^ < 0 при у < 0. Число у = 0 также не является корнем этого уравнения. Итак, уравнение у® = 8 имеет только один корень у = 2, а значит, уравнение х^= -8 имеет только один корень X = —у = -2. Ответ X = -2. <] Коротко решение уравнения х^ = -8 можно записать так: х = -^ = -2. Вообще, для любого нечётного натургшьного числа 2k + \ уравнение ^ = а при а < 0 имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический ко- 2* + 1Г~ „ рень, символом ыа. Его называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Например, V-27 = -3, V-32 = -2. 44 Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а = |а| следующим равенством: Например, V-243 = -^243 = -3. Упражнения 87 (Устно.) 1) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; 2) Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; 0,027; 0,064. 3) Найти арифметический корень четвёртой степени из числа: 0; 1; 16; 0,0016. 81 625 Вычислить (88—90). 88 1) ^36^; 2) ‘V64==: ; S, ^225< If xl2 89 1) VlO®; 2) «ilu ] . 4, '(i) • 90 1) ^Гб4; 2) *V=I; 3) з| 1 . ’27’ 4) ^-1024; 5) 6) -8^ 91 Решить уравнение: 1) л:^ = 81; 2) л:® 1 . 32’ 3) 5л:® = -160; 92 При каких значениях х имеет смысл выражение: 1) ^2л;-3; 2) ^д:-(-3; 3) Ц2х^-х-1\ 4) V 2л: -4 Вычислить (93—94). 93 1) ^-125 -t-iVoi; 2) ^-0,5^-216; О 3) --i/8i + i/6^; 4) V-1000 3 4 5) i/0,0001-2^f0j5+^P^; 6) 501-1-^-0,001 -V0,0016. \243 ^ ^ 45 94 95 96 1) -у/9 +Л7 •V9-Vl7 ; 2) (-/зТТб 3) + 4) V3 - V2 V3 + V2 Упростить: 1) V(^-2)® при: а) д: > 2; б) д: < 2; 2) ^(3 - х)® при: а) д: < 3; б) д: > 3. Сколько имеется натуральных чисел п, таких, что 1987 < Vn < 1988? Свойства арифметического корня Арифметический корень п-й степени обладает следующими свойствами: Если а>0, Ь>0и71, т — натуральные числа, причём п > 2, то > 2, то 1. V^ = VaVb 3. (Va)'^ = '\fa^ 2. 4. 'V^="'V^ В свойстве 1 число Ь может также быть равным О, в свойстве 3 число то может быть любым целым, если а > 0. Докажем, например, что УаЬ = Va Vb. • Воспользуемся определением арифметического корня: 1) "Va"Vb>0 , так как а > 0 и Ь > 0. 2) =аЬ, так как ('\/а "у/Ь)" = = C'fa)’'C'Ib)"=ab. О 46 Задача Аналогично доказываются и остальные свойства. Приведём примеры применения свойств арифметического корня. 1) V27 V3=V27-3=V^=V3^ = 3; 94,/^.,[4 J256.4 _ ^ _4. V62H- 3) ^(5^)3 =(^>/5^)3=53 = 125; 4) VV4096 =‘^4096=^^2^^ = 2; 5) (V9)-3 = V^ = 4^ = |. Упростить выражение , где a > О, ft > 0. ► Используя свойства арифметического корня, получаем; " аЗ^з аЗ^з = afe. < Упражнения^ Вычислить (97—100). 97 1) ^343-0,125; 2) V512-216; 3) V256-0,0081; 4) ^32-100000. 98 1) ^53-73; 2) Vll'* -З-» ; 3) V(0,2)3 -83 ; 4) 99 1) 2) 3) 100 1) ^31°-213; 2) ^2® .56 101 Извлечь корень: 1) ^64х^г^; 2) 3) V32xl°l/30; ‘ Здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет дополнительных условий. 47 102 Упростить выражение: 1) V2ab^ -V4a^b; 2) ■if27a4-, 3, 4, .jf Вычислить (103—104). 103 1) з/Ж; 2) 4/Ц; 3) 4) з^тЦ. 1125 181' 104 2)^128:^2000; 3) Ч2 4) 5) (V^->/45):V5; 6) (^/б^-^):^5. 105 Упростить выражение: 1) 2) ^81х*у : 3) з[^ : 4) 4/1^ : 4/Ii '^у2 -уэ^г’ •' УдЗ ^86' 86^ Вычислить (106—107). 106 1) (^)2; 2) (^9)-3; 3) 4) (^)"‘. 107 1) V^/t29; 2) VVl024; 3) 4) V^/ls-V^. 108 Упростить выражение: 1) (®л/^)®; 2) (VT")'; 3) (V^-^)6; 4) (3>/^.V^)12; 5) |VV^ j ; 6) ^VV27a3 Вычислить (109- -110). 109 2) 3) : ill-. 5) (V7i^]“; 6) (Vvif]'. no 1) n, VM-Vm. ’ V5 ■ 4) 3j^+Vi8-^-VVlIe; 5) ^nWs^-Vll+Ts?; 6) V17-V33-Vl7 + V33. 48 Упростить выражение (111—113). Ill 1) 3 a^b. Л ’ 3) Va^b^c • \la^b^c^ ^yj2a*b • \l4ab 5) (^)® -(V^)3; 112 1) V2^-V4o^-V27b; ’ ^ 4) 2bVo4^ 6) (ifo4^)* : 2) Mabc -ija^b^c ■ijb^c’^; 113 1) VV^ + |V^j : 2) |VVP^j +2(^VV^j ; 3) 2VV^-[^V^]'; 4) 5) 6) ||^VaVa j -Va : 114 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) л/7-Л4:>/3; 2) • л/0,37. 115 Вычислить: 1, 4#^; 2) 3) (V4-Vl0+V25)(V2+fe V3 ^V7 4) (^9+^+^)(^3-^). 116 Доказать, что 4+2-JS - -^4-2^3 = 2. 117 Упростить выражение: — -Уь Уа^ + Va<» . 1) 3) 4) 2) а — Ь а + Ь V^-ifb М^ + Ть’ '4^-V~b %^V~b l(V^-Vfc); yfa - ^fb -fa + -Jb ^0^^-Ы]:(.Га-Гь)К 49 Степень с рациональным показателем Задача 1 Вычислить ^5*^ . ► Так как = (5®)‘‘, то = ^(5®)'* = 5® = 125. <] I--- — Таким образом, = 5* . Точно так же можно показать, что 15 V?"*® = 7 5 . Вообще, если п — натуральное число, п > 2, т — целое число и частное — является целым числом, п то при а > О справедливо равенство = ап. (1) # По условию------целое число, т. е. при делении т п на л в результате получается целое число k. Тогда из равенства — = k следует, что т = кп. Применяя п свойства степени и арифметического корня, получаем: Ч[а^ = = а'’= ап . О Если же частное — не является целым числом, то степень а " , где а > О, определяют так, чтобы осталась верной формула (1), т. е. и в этом случае считают, что ап = Va"*. (2) Таким образом, формула (2) справедлива для любого целого числа т, любого натурального числа га > 2 и а > 0. 50 Например, 16< = Vl6^= V^= 2^ = 8; 5 ___ _______ 74 = = Ф* .7 = 7i/l; 27 3 =^27-2 =з/1С = V272 VI 1 Vi^ 32 9 Напомним, что рациональное число г — это число вида —, т. е. г = —, где m — целое, п — нату-п п ральное число. Тогда по формуле (2) получаем — I-- — Ч пП а'^= а п = va" Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного основания. Если г = — >0, то выражение Va"* имеет смысл п не только при а > О, но и при а = О, причём Vo^ = 0. Поэтому считают, что при г > 0 выполняется равенство 0'^ = 0. Пользуясь формулами (1) и (2), степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот. 51 Отметим, что из формулы (2) и свойств корня следует равенство m mk а п = а , где а > О, т — целое и га, ft — натуральные числа. 3 6^ Например, 7* = 7® = 712. Можно показать, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием. А именно для любых рациональных чисел р и q и любых а > О и Ь > О верны равенства: 1. аРаЧ = аР*ч 4. 2. аР-.аЧ = аР-ч 5. 3. {аР)ч = аРЧ (аЬ)Р = аРЬР р а Ь дР ЬР Эти свойства вытекают из свойств корней. Докажем, например, свойство а’^аР = а>’*'>. /Л k • Пусть p = —,q = — , где птл1 — натуральные числа, п I тик — целые числа. Нужно доказать, что а"a^ = а " I (3) Приведя дроби — и — к общему знаменателю, за-п I пишем левую часть равенства (3) в виде т * ^ а ^ = а а . Используя определение степени с рациональным показателем, свойства корня и степени с целым показателем, получаем: m А т£ biL I— а" •а‘ =■a^^^ - а"' =Ыа''“ ■ yia"" = = _ д ml . ml-^kn щ п1 = а л I. о Аналогично доказываются остальные свойства степени с рациональным показателем. Приведём примеры применения свойств степени. 1 3 1^3 1) 74 . 74 = 7“ 4 = 7; 52 2 i 2 1 1 2) 93 : 96 = 93"б = 92 = V9 = 3; 19 IE 3 3 ^3 3) (163)4 =1бз'4 =164 =(2“)4 =2 4 =23=8; 2 2 2 2 _____________ 4) 243 = (23.3)3 = 2®'з . 33 = 4^3^ = 4^9; 5) 1 ( 8 83 I27J „1 (23)3 273 (З3)3 1 3 Задача 2 1 1 Вычислить 256 • 1255. ^ 255 ■ 1255 = (25- 125)5 = (5®)5 = 5. <] Задача 3 Упростить выражение 4 4 11 а^Ь+ аЬ^ аЬ(а^ + fe3 ) 1 1 а 3 + 63 4 4 а^Ь + аЬ^ = аЬ. <] Задача 4 Упростить выражение 1 I 1 4 оЗ - аЗ 1 5 а 3 - дЗ 2 _1 аЗ + а 3 1 I а 3 — а 3 ~Т Г а 3 — а 3 _1 5 а 3 _ а 3 ~2 7Г аЗ + а 3 аЗ (1 _ дЗ) аЗ (1 - а) = 1+ а-(1-а) = 2а. <] а 3 (1_ а 3 (1 + а) Покажем, как можно ввести степень с иррациональным показателем, на примере 3'^. Найдём приближённое значение ^J2 с помощью микрокалькулятора: лГ 1.414213562. Выпишем последовательно приближённые значения л/2 с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Получим последовательность: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... . 53 Запишем последовательность степеней числа 3 с этими рациональными показателями: 31,4 31.41. 31,414. 31,414г. Можно показать, что эти степени являются последовательными приближёнными значениями некоторого действительного числа, которое обозначают 3''^. Вычислим на микрокалькуляторе: 31-^ = 4,655536722, = 4.706965002. = 4.727695035. = 4.72873393. 3^ = 4.728804388. Аналогично определяется степень а* с положительным основанием а и любым иррациональным показателем. Таким образом, теперь степень с положительным основанием определена для любого действительного показателя, причём свойства степени с действительным показателем такие же, как и свойства степени с рациональным показателем. Упражнения 118 (Устно.) Представить в виде степени с рациональным показателем: 1) л/^; 2) 3) V^; 4) 5) 6) l[^. 119 (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем: 1) X*-, 1 4) 5’3; 2 2) 1/5; 5) (2л:)2; 5 3) а‘б; 2 6) (35)"з. Вычислить (120—123). 120 1) 642; 4) 81?; 4 U 121 1) 25 -25 ; 1 5 4) 43 : 46; 2) 273; 5) 16-о-^5. 2 5 2) 57 -57; 5) (7-3)'?; 2 3) 83; 6) 9-1®. 2 i 3) 93 : 96; 6) (812 )-4. 54 22 22 33 33 122 1) 95.275; 2) 73-493; 3) 1444 : 94; 4) 1502:62. / n-0,75 f x-4 2 123 1) U + i ^ M 16 J I 8 j 2) (0,04)-i-5 -(0,125) 3; 9 2 6 4 3) 87 : 87 -35 -35; 4) ( 2 5'5 + (0,2)4 124 Найти значение выражения: 1) Ча • Ча при а = 0,09; 2) Чь : Чь при Ь = 27; 3) при Ь = 1,3; Чь 4) Ча ■ Ча • ^Ча^ при а = 2,7. 125 Представить в виде степени с рациональным показателем: 1 11 1 l)a3.Va; 2) -Ь^-ЧЬ; 3)ЧЬ:Ь&; 4) аЗ : Ча; 5) :Чх^', 6) i/"®-® : у"®-® • -Jy^. 126 Вычислить: 1) 22-3/5 .8V5; 2) 31*2''^ : 9'^®; 3) 61 + 2/3 . (4V3 .9/З). 4) (51 + /2)1-/2 Упростить выражение (127—128). 127 1) (а-*) 4 . 3 ( ® 1 -6 fra® Vl 4 . Ь 3 \ ; 2) N) 3) •у''2)1'>; 4) X -2/2 128 1) 3) 2 ^ а 3 + дЗ 3 _1 ц4 +а 4 5 _1 дЗ 6"1 - д6 3 129 Вычислить: 1) 2) 4) Ь5(Ч^-Ч^), ЬЗ(Чь-Ч^) 1 1 дЗ Чь + ЬЗ Ча Ч^+ 41 /2 + 1 '5 1 5 1' 23 . 3 3 -33 . 2'з ■Чб; 2) ' 1 3 1 3 ' 54 ; 24 -24 : 54 V / ^ / VlOOO; 3) (2^)'^ + (3'^ + 1)^-1; 4) (0,5)5 -(4-0.3) 3 55 130 Упростить выражение: 1 ____ f _____________ I \ 1) аэ^а^: 2) Vafe-2 + (а6)"б ^fa^; \ / --- Г 2 2 3) bi2^feVfc; 4) (^ + ^) аЗ +Ьз \ ■/а - Vb 131 Сократить дробь: 1) 3) х-у . 1 i ’ х2 + у2 1 I m2 + п2 _ m + 2-Jmn + п 2) 4) 1 1 ’ а*-Ь* 1^ с-2с2 +1 л/с -1 Упростить выражение (132—134). ■Ja - а 2Ь ^ ^д2 - а 3^ 1-^ь ■у/о^ + Vb л/ь - у[а Zxy-y^ _ Уу[у______________ ^~У л[х-у[у ^fx + ^ 3) 134 1) 2) 3) 31— ЗГТ 2 2 a?-V^+b3 4) а" а - Ь 2 2 дЗ + + ьз а - Ь а + Ь I i дЗ + ЬЗ а + Ь а - Ь 2 11^ 2 2 2’ q3 — а2 Ь2 + Ь2 g3+a3ft3+i>3 2 2 11 дЗ + ьз 1 4) £1л^ + 1 а-Ь 1 I ' а + Ь аЗ - уз 135 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 2 i i 2 g 3 — g 3 ьз + ьз 1) V3+V4; 2) фТЩо; 3) 5'''^; 4) (^2)'^; 5) 56 £ Возведение в степень '.I числового неравенства Задача 1 В курсе алгебры VIII класса было доказано, что при умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака. Отсюда следует, что если а > Ь > О и п — натуральное число, то а" > Ь". Ф По условию а > о, Ь > 0. Перемножая п одинаковых неравенств а > Ь, получаем а" > b'^. „ \5 Сравнить числа (0,43)® “(f) О ► Так как -«0,428 с точностью до 0,001, то ^ - л5 0,43 > ^. Поэтому (0,43)® > f] Неравенство, у которого левая и правая части положительны, можно возводить в отличную от нуля рациональную степень: если а > Ь > о, г > о, то o'" > Ь'"; (1) если а > Ь > о, г < о, то а*" < Ь'". (2) Докажем свойство (1). Докажем сначала, что свойство (1) верно при 1 т г = —, а затем в общем случае при г = —. п п 1) Пусть г = —, где п — натуральное число, боль-п шее 1, а > о, Ь > о. По условию а > Ь. Нужно до-_1^ _1 казать, что а" >Ь". Предположим, что это невер- j_ \ но, т. е. а" Но тогда, возводя это неравенство в натуральную степень п, получим а < Ь, что противоречит условию а > Ь. Итак, из а > Ь > о следует, что а " >Ь". 57 2) Пусть r = —, где тип — натургшьные числа. п Тогда по доказанному из условия а > Ь > О следу-ет, что а" >Ь". Возведя это неравенство в нату- ( 1 Y ( 1_\ m, получаем ап > Ьп 1 ) \ ) т. е. а " >Ь . О Например, 5^ > 3^, так как 5 > 3 и - > 0. Теперь докажем свойство (2). # Если г < о, то -г > 0. По свойству (1) из условия а > Ь > о следует, что а”'' > Умножая обе части этого неравенства на положительное число а''Ь'', получаем fc'" > o'", т. е. o'” < О Например, (0,7)"® < (0,6)"*, так как 0,7 > 0,6, а -8 < 0. В курсе высшей математики доказывается, что свойство (1) справедливо для любого положительного действительного числа г, а свойство (2) — для любого отрицательного действительного числа г. ,■/2 / ч%/2 Например, j^lj > j , так как - > -, а л/2 > 0, 9 8 -Л -Л , так как ^ f, а -^fз < 0. О I I) <11 Отметим, что рассмотренные свойства возведения в степень строгих неравенств (со знаком > или <) справедливы и для нестрогих неравенств (со знаком > или <). Итак, если обе части неравенства положительны, то при возведении его в положительную степень знак неравенства сохраняется, а при возведении в отрицательную степень знак неравенства меняется на противоположный. Напомним, что для строгих неравенств противоположными считаются знаки > и <, а для нестрогих — знаки > и <. Задача 2 Сравнить числа: 1 «(я)”'" '' (!]'" - 58 1) Так как Ц < 1, а ^ > 1, то ^ Возведя это 18 17 18 17 неравенство в отрицательную степень лучаем з)’ по- 2) Сравним основания степени. Так как ^=0,857..., то ^ < 0,86. Возведя это нера- венство в положительную степень V2, получаем V2 ® ' < (0,86)'^. <] Задача 3 Решить уравнение 10^ = 1. ► Число X = о является корнем этого уравнения, так как 10® = 1. Покажем, что других корней нет. Запишем данное уравнение в виде 10^ = 1*. Если л: > о, то Ю"' > 1*, и, следовательно, уравнение не имеет положительных корней. Если X < о, то 10^ < I*, и, следовательно, уравнение не имеет отрицательных корней. Таким образом, л: = о — единственный корень уравнения 10^ = 1. <] Аналогично доказывается, что уравнение а* = 1, где а > о, а 5* 1, имеет единственный корень х = 0. Равенство а* = а«, (3) где а > о, а ^ 1, верно только при х = у. • Умножая равенство (3) на а"*', получаем = 1, откуда X = у. О Задача 4 Решить уравнение З^-'" * = 9. ^ 32^-1 = 32, откуда 2х - 1 = 2, X = 1,5. Ответ х = 1,5. <] Рассмотрим уравнение = Ь, где а>0, a?tl,6>0. Можно доказать, что это уравнение имеет единственный корень Xq. Число Xq называют логарифмом числа Ь по основанию а и обозначают log^ Ь. Например, корнем уравнения З-' = 9 является число 2, 59 Задача 5 т. е. logg 9 = 2. Точно так же log2 16 = 4, так как 2'* = 16; logs i = -l, так как 5"* = i; log,27=-3, 5 5 - / \-3 3 так как I i 1 =27. Логарифм числа Ь по основанию 10 называют десятичным логарифмом и обозначают Ig Ь. Например, Ig 100 = 2, так как 10^ = 100; Ig 0,001 = -3, так как 10”® = 0,001. С помощью микрокалькулятора решить уравнение 10^* = 5 (с точностью до 0,1). ► Зд: + 1 = Ig 5, откуда х = i(lg5 - 1). О Вычисления проведём по программе: Ответ sQgll --0,1. < Q 3 -0.1003433. Упражнения 136 (Устно.) Сравнить числа: 11 11 1) 23 и 33; 2) 5~5 и 3~5; 3) 5'^ и 7 r^/3. 4) 21 -Уз и 31 137 Сравнить числа: 1) (0,88)6 и [а'®- 2) I А] %(0,41) 4; / ( N-Vs / Ч-./5 3)(4,09)»„(4i] ; 4)(li) „ [f|] . 138 Решить уравнение: 1) 62^ = 65; 2) 3* = 27; 4) 22*+1 = 32; 5) 42 + *= 1; 139 Сравнить числа: 3) 71 - 2* = 71°; \x-Z 6)l|l =5. 60 Решить уравнение (140—142). 140 1) 32-*' = 27; 3) 92*'‘-3 = 0; 2) 3^-2* = 1; З-ij/ 4) 27 з‘'_81 = 0. 141 1) / \2x-5 (I) = 2) 2^"-9 = (| 3) 8*4 Х.1Х + 13 _ 16’ 4) 25 х-2 х-7,5 2) (V2) 4) / \2х х-1 — фу = 43*-2 V2. / ч2х + 1 142 1) 1;^1 =(3>/3)*; » _ „ 1 3) 93* + -* л/з = 143 Вычислить: 1) logy 49; 2) log2 64; 3) log, 4; 4) logg 2 144 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) lg23; 2) lgl31; 3) 401g2; 4) 571g3. 145 С помощью микрокалькулятора найти с точностью до 0,01 корень уравнения: 1) 102*^ 7; 2) 10‘-з* = 6. 61 146 Вычислить; 1) (0,175)“+ (0,36Г2-13; 1 1 3) || 27 + 4-379“; 147 Вычислить: 1) 9,3 • 10-“ : (3,1 • 10-“); 3) 8,1 • 10‘“ • 2 • 10-1^; ■ИЧ|Г- 2) 1-“ -‘“-(0,008)'з + (15,1)“; 4) (0,125)"3 + [^|j -(1,85)“. 2) 1,7 • 10-« • 3 • 10^; 4) 6,4 • 10“ : (1,6 • 10^); 6) 3-10-1-|8“-|1 148 Найти значение выражения: 1) л-2 хЗ -лгб 1^ хб при л: = д; 2) 1 Л [3 .дЭ а 9 при а = 0,1. 149 Упростить выражение: 1) (^125а: -^/8х)-(^27д: -^64х); 2) (Vx+Vl6x) + (V8lx - V625X); 3 3) 4) 3 ijl+ а ) -J1+ a -X). 150 Решить уравнение: 1) 7“*-* = 49; V Зх + 3 3) I i 1 =72*- 2) (0,2)1-* = 0,04; (^) 4) 3 5x - 7 _ I 1 2x 62 Проверь себя! 1 Вычислить: 1) 3-® : 3-^ - 2-2 • 2“ + 2 3 §г Ч ' / 3 2 2 2 3) 252 .25-1 + (53)3 : 5® - 48з : 6з. Записать числа 8600 и 0,0078 в стандартном виде и найти их произведение и частное. Упростить выражение: 3^-9 . 2х^ 1) 2) (X 5 аЗ Упростить выражение 01 у[а^ • а* ние при а = 81. Сравнить числа: 2 2 11 (0,78)3 и (0,67)3; (3,09)'з и (3,08) з. и наити его числовое значе- 151 Вычислить: Ч-0.75 1) (й + 10 000023 15 32 1 2 2) (0,001)‘з - 2-2.643 - 8' 3; 1 3) 273 _ (-2)-2 + (^§Г^ 4) (-0,5)-^-625- 2i .-1-112 4) ijx^-5x + 6; 5) ^х^-х; V 152 При каких значениях х имеет смысл выражение: 1) ijx^-4; 2) V^^-5x + 6; 3)6 х-2 х + 3 6) ^х^-5х^ + 6х7 153 Упростить выражение: 1 7 4 1) 1 3 ’ а* - а * 2) дЗ - а 3 _ 1 2 ’ аЗ - а 3 63 3) 5) 5 I Л Ь4 + 2b^ + b ^ 3 b^ + Vab~' - -Ja~^b 4) 6) -i _i a 3 b~^ — a~^b 3 _5 31 a 3 b“2 _ j, 3 Д-2 i -i _i i o4b 4 - g 4^4 i _i _i i ’ a4ft"4 + a"^b* 7) 8) 1 + ^ \la^b - У ab^ \-2 Vb - -/a a + b _____ V^-V^ V^-V^"V^-2V^ + V^ ега-ть). 154 Сравнить ребро куба объёмом 100 см® с радиусом шара такого же объёма. (Объём шара радиуса Д вычисляется по формуле К = - лД®.) 3 155 С помощью микрокалькулятора вычислить период колеба- Т ний маятника длиной 18,5 см по формуле Т = 2п /-, где У 8 I — длина маятника (в метрах), g ~ 9,8 м/с®, Т — период колебаний маятника (в секундах). Ill Степенная функция Область определения функции • I....................I.....................I • Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у (л:). При этом X называют независимой переменной или аргументом, & у — зависимой переменной или функцией. Вы знакомы с линейной функцией у = kx + Ь и квадратичной функцией у = ах^ -k- Ьх с. Для этих функций значение аргумента может быть любым действительным числом. Рассмотрим теперь функцию, которая каждому неотрицательному числу х сопоставляет число -Ух, т. е. функцию у = -ix. Для этой функции аргумент может принимать только неотрицательные значения: X > 0. В этом случае говорят, что функция определена на множестве всех неотрицательных чисел, и это множество называют областью определения функции у = Sx. Вообще областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать её аргумент. Например, функция, заданная формулой у = — , X определена при х ^0, т. е. область определения этой функции — множество всех действительных чисел, отличных от нуля. 3 Алгебра, 9 кл. 65 Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т. е. выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы. Найти область определения функции, заданной формулой, — это значит найти все значения аргумента, при которых формула имеет смысл. Задача 1 Найти область определения функции:^________ 1) у{х) = 2х^ + + Ъ\ 2) y(x) = -Jx - 1; 1 Ответ Ответ Ответ -2 Рис. 1 3) у(х) = - 4) у(х) ч X + 2 X + 2' ..... \j X - 2 1) Так как выражение 2х^ + Зд: + 5 имеет смысл при любом X, то функция определена при всех х. X — любое число. 2) Выражение -\Jх-1 имеет смысл при х - 1 > О, т. е. функция определена при х > 1. х> 1. 1 3) Выражение имеет смысл при х + 2 ^0, X + 2 т. е. функция определена при х * -2 X Ф -2. тш 4) Выражение 4 X + 2 4^ V Х-; имеет смысл при Ответ > 0. Решая это неравенство, полу- X - 2 чаем (рис. 1): х < -2 и х > 2, т. е. функция определена при х < -2 и при X > 2. X < -2, X > 2. а Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты — соответствующим значениям функции. Задача 2 Построить график функции I/ = | х |. ^ Известно, что IX1= I X, если х>0, если х<0. 66 Задача 3* Таким образом, выражение |д:| имеет смысл при любом действительном значении х, т. е. областью определения функции у = \х \ является множество всех действительных чисел. Если X > О, то |л:|= дг, и поэтому при х > О графиком является биссектриса первого координатного угла (рис. 2, а). Если л: < О, то \х\ = —х, и графиком функции у = \х \ является биссектриса второго координатного угла (рис. 2, б). График функции изображён на рисунке 2, в. < Заметим, что |-дс|= |д:| для любого х, поэтому график функции у = \х\ симметричен относительно оси ординат. Построить график функции у = \х - 2\ -График функции у = \х - 2 \ получается из графика функции у -=\х \ сдвигом вдоль оси Ох на 2 единицы вправо (рис. 3, а). Для получения графика функции у = \х - 2\ — 1 достаточно сдвинуть график функции у = \х - 2\ на единицу вниз (рис. 3, б). <] Рис. 3 67 Упражнения 156 Функция задана формулой i/(x) = - 4х + 5. 1) Найти 1/(-3), г/(0), г/(2). 2) Найти значение х, если i/(x) = l, у(х) = 5, у(х)=10, У(х)=17. 157 Функция задана формулой у(х) = ^ ^ ^ 1) Найти у (-2), у (0), г/ ( I ]• 1/ (3). х-1 2) Найти значение х, если 1/(л:) = -3, у(х) = -2, у(х)= 13, J/W=19. Найти область определения функции (158—159). 158 (Устно.) 1) I/ = 4х^ -5x+l; 2) у = 2 - х - Зх^; 3) у = JC -3 5) у = \1б-х; 4) «/ = 5 - д: 2 ’ 6) у = 1^-\ х + 7 159 1) у = - 2х х^-2х-3 3) у = ^Зх^-2х + 5; 2) у = Ух^-7х + 10; al2x + 4 160 функция задана формулой у {х) = \2 - х\- 2. 1) Найти 1/(-3), 1/(-1), г/(1), у(3). 2) Найти значение х, если у{х) = -2, у(х) = 0, у{х) = 2, У (л:) = 4. 161 Найти область определения функции: -4. JC + 3 ’ 3) у = ^^ 1-л:. 1+ X ’ 5) У = ^ х^ + 4х-5 х-2 2) у = *^(х-Щх-2)(х-3); 4) у = ^(х + 1)(х - 1)(х - 4); 6) у=Чх +^\ + X. 162 Принадлежит ли точка (-2; 1) графику функции: 1) I/ = 3^2 + 2;с + 29; 2) у = 14 - Зх | - 9; 3) у = х^ + 3 х-\ ’ 4) у=\у12-х-Ъ\-27 163 Построить график функции: 1) у = I л: + 3 I + 2; 2) у = -\х\-, 3) у = 2\х\+и 4) у=1-\1-2х\; 5)г/ = 1х| + |л:-2|; 6)г/ = |д:+1|-1дс|. 68 Возрастание и убывание функции Вы знакомы с функциями у = х и у = х^. Эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции У = х\ (1) где г — заданное число. Степенная функция определена для тех значений X, при которых формула (1) имеет смысл. Например, областью определения функций у = х и у = х^ (г = 1 и г = 2) является множество всех действительных чисел; областью определения функции у = — (г=-1) является множество всех X действительных чисел, не равных стью определения функции нулю; обла-являет- ся множество всех неотрицательных чисел. Функция у (л:) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых JCj, Х2, принадлежащих данному промежутку, таких, что Х2 > ATi, выполняется неравенство у{х2) > y(Xi). Функция у(х) называется убывающей на промежутке, если для любых JCj, Х2 из этого промежутка, таких, что дг. У(Х2) < у(х^). > Хи выполняется неравенство Например, функция у = х возрастает на всей числовой оси. Функция у = х^ возрастает на промежутке д: > О, убывает на промежутке д: < 0. Поведение степенной функции у = х'' зависит от знака показателя степени г. Если г > о, то степенная функция у = х'' возрастает на промежутке д > 0. • Пусть Х2> Xi > 0. Возводя неравенство Да > Д1 в положительную степень г, получаем д^ > х^, т. е. У (Х2) > у (Д1). О 69 Рис. 5 Например, функции у = ку = х^ возрастают на промежутке х > Q. Графики этих функций изображены на рисунке 4, из которого видно, что график функции у = -/х на промежутке О < л; < 1 лежит выше графика функции у = х, а на промежутке д: > 1 — ниже этого графика. Таким же свойством обладает график функции у = л;'", 3 если О < г < 1. График функции у = х^ на промежутке О < д; < 1 лежит ниже графика функции у = X, а на промежутке х > \ — выше графика функции у = X. Таким же свойством обладает график функции у = х'', если г > 1. Рассмотрим теперь случай, когда г < 0. Если г < О, то степенная функция у = х"" убывает на промежутке дс > 0. # Пусть х^> х^> 0. Возводя неравенство х^> в отрицательную степень г, по свойству неравенств, у которых левая и правая части положительны, получаем х^ < х[, т. е. «/(xg) < О Например, функция у = -^, т. е. у = х 2, убывает yjx на промежутке д: > 0. График этой функции изображён на рисунке 5. 3 Задача 1 Решить уравнение х* = 27. 3 ► Функция у = х* определена при х>0. Поэтому данное уравнение может иметь только неотрица- 4 тельные корни. Один такой корень: дс = 27з =3'* = 70 Рис. 6 = 81. Других корней нет, так как функция у = х* возрастает при х > О, тл поэтому если х > 81, то 3 3 X* >27, а если х < 81, то х* < 27 (рис. 6). <1 Аналогично доказывается, что уравнение лг'" = Ь, где г Ф О, Ь > О, всегда имеет положительный ко- рень х = Ь’’, причём только один. Следовательно, функция у = х’’, где г > О, при х > О принимает все положительные значения. Например, несмотря на медленное возрастание 3 функции у = х* (см. рис. 6), её график как угодно далеко удалится от оси Ох и пересечёт прямую у = Ь, каким бы ни было положительное число Ь. Заметим, что промежутки х^ а, х > а, х ^ а, х < а можно записывать как [а; +оо), (а; +оо), (-оо; а], (-оо; а) соответственно. Например, промежуток [3; +схз) содержит все значения х ^ 3, а промежуток (-оо; 5) значения х < 5. Задача 2 Доказать, что функция у = х + — возрастает на X промежутке (1; н-оо). йс Пусть Xg > Xj > 1. Покажем, что yixz) > у{х^). Рассмотрим разность у (Xg) - у (Xj) = Х2 + — — V J ^1^2 Так как Xj > Xj, Xj >1, Хз > 1, то Хз - Xj > 0; так как Х1Х2 > 1, то Х1Х3 - 1 > 0; Х1Х3 > 0. Поэтому y(.X2)-y(Xi) > о, т. е. г/(Хз) > J/(Xi). <] 71 Упражнения 164 Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции: \) у -2х + Z-, 2) у =1 - Зх; 3) у = + 2\ А) у = Z-xh 5) у = (1 - xf-, 6) у = (2 + xf. 165 (Устно.) Возрастает или убывает на промежутке (0; -1-оо) функция: 3 3 1)у = д:7; 2)У = Х~*-, 3)у = х-'^; А)у = х'^7 166 Нарисовать эскиз графика функции при д: > 0: 3 2 _з _2 1) y = x2; 2) У = дг3; 3) у = Х 2; 4) у = Х 3. 167 Найти положительный корень уравнения: 1 1 _1 4 1) д:2=3; 2) х*=2; 3) л: *=2\ 4) х 5=81. 168 Построить на миллиметровой бумаге график функции y=ifx. Найти по графику приближённо: 1) значения х, при которых у = 0,5; 1; 4; 2,5; 2) значения ^1,5; V2; ^2,5; л/з. 169 Найти абсциссу точки пересечения графиков функций: 1 ^ 1) у = хз и у = 625; 2) у = х^ иу = 64; 3 I 3) у = дс2 и у = 216; 4) у = х^ и у = 128. 170 Доказать, что функция: 1) у = х + — убывает на интервале (0; 1); X 2) у = —— убывает на промежутке [0; +оо) и возрастает на + 1 промежутке (-оо; 0]; 3) у = х^ - Зх возрастает на промежутках (-с»; -1] и [1; -t-oo), убывает на отрезке [-1; 1]; 4) у = X - 2^[х возрастает на промежутке [1; -ноо) и убывает на отрезке [0; 1]. 171 Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции: _ jx + 2, если д: < - 1, _ f х^, если д: < 1, ^ 1 х^, если д:>-1; ^ |2-х^, если д: > 1. 72 Чётность и нечётность функции ............• ■ Функция у(х) называется чётной, если область её определения симметрична относительно начала координат и у{-х) = у(х) для любого X из области определения этой функции. Например, чётными являются функции у = х^ и у = \х\. Графики этих функций симметричны относительно оси ординат (рис. 7 и 8). Задача 1 Построить график функции у = л:®. ► 1) Область определения функции у = х^ — множество всех действительных чисел. 2) Значения функции у = х^ положительны при > 0; отрицательны при д: < 0; г/ = 0 при д: = О. 3) Докажем, что график функции у = х^ симметричен относительно начала координат. • Пусть точка (дго; у^) принадлежит графику функции у = х^, т. е. j/q = дгц. Точка, симметричная точке (дсц; г/о) относительно начала координат, имеет Рис. 7 73 Рис. 9 координаты -Уо)- Эта точка также принадлежит графику функции у = л:®, так как, умножая обе части верного равенства у^ = на -1, получаем -у^ = = -xg, или -уо = i-Xof. О Это свойство позволяет для построения графика функции у = построить сначала график для X > О, а затем отразить его симметрично относительно начала координат. 4) Функция у = х^ возрастает на всей области определения. Это следует из свойства возрастания степенной функции с положительным показателем при х > О и симметрии графика относительно начала координат. 5) Составив таблицу значений функции у = х^ для некоторых значений х > О (например, для я: = О, 1, 2, 3), построим часть графика при х > О и затем с помощью симметрии — ту его часть, которая соответствует отрицательным значениям X (рис. 9). <3 Функция у(х) называется нечётной, если область её определения симметрична относительно начала координат и У (-л:) = -у (х) для любого X из области определения этой функции. Например, функции у = я:®, у = х°, у = — нечёт- я® ные. Графики этих функций симметричны относительно начала координат. Существуют функции, которые не обладают свойствами чётности или нечётности. Например, покажем, что функция г/ = 2я: + 1 не является чётной и не является нечётной. Если бы эта функция была чётной, то равенство 2 (-яг) -ь 1 = = 2я: + 1 выполнялось бы для всех х\ но, например, при я: = 1 это равенство неверно: -1 Ф 3. Если бы эта функция была нечётной, то тогда при всех 74 д: выполнялось бы равенство 2 (-д:) + 1 = ~(2х + 1); но, например, при х = 2 это равенство неверно: -3 -5. Задача 2 Построить график функции у = 1[х. ► 1) Область определения — все действительные числа. 3/ 2) Функция является нечётной, так как ^J-x = - -Ух для любого X. 3) При д: > О функция возрастает по свойству возрастания степенной функции с положительным 1 показателем, так как Ух = д;з при х> 0. 4) При д: > О значения j/ > 0; у(0) = 0. 5) Найдя несколько точек, принадлежащих графику, построим часть графика для значений д: > 0 и затем с помощью симметрии для значений д: < 0 (рис. 10). < Отметим, что функция у =Ух определена при всех 1 д:, а функция у = х^ — только при д: > 0. Упражнения Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или ни чётной, ни нечётной (172—173). 172 1)1/ = 2х*\ 2) у = Зд:®; Ъ) у = х^ + Z-, А) у = х^ - 2. 173 1) у = х-*-, 2) у = х-^ 4) у = д:® + д:®; Ъ) у = х'^ - х + 6) i/ = - 3) у = х* + д;2; 1 д +1 75 174 175 176 Построить эскиз графика функции: \) у = х*\ 2) у = х^\ 3)i/ = -x^ + 3; А) у = Чх. Показать, что функция не является чётной и не является нечётной: х-\ 1) У = X + 2 , х-З’ 2) у = - X + 4 177 178 179 180 181 182 183 Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или ни чётной, ни нечётной: 1) у = X* + 2х^ + 3; 2) I/ = X® + 2х + 1; 3) y = -^ + V^; 4)у = х* + \х\. Используя симметрию, построить график чётной функции: 1) j/ = x2-2|x| + 1; 2) у = х^-2\х\. Используя симметрию, построить график нечётной функции: 1)у = х\х\-2х; 2)у = х\х\ + 2х. Выяснить свойства функции и построить её график: 1) г/ = л/х-5; 2) I/=-/х-ь3; 3) у = х* + 2-, А) у = \ - х*\ 5) у = (х + 1)®; 6) у = х^-2. Построить график функции: _ |х^, если х>0, 2\ _ jjc®. если х>0, ^ |х®, если х<0; ^ |х^, если х<0. Определить, при каких значениях аргумента значения функции положительны. Указать промежутки возрастания и убывания. Построить график функции у при х > О, если: 1) у = х\ 2) у = х^-, 3) у = х^ + Х-, А) у = х^ - X. Достроить график каждой из функций для х < О так, чтобы построенная линия была графиком: а) чётной функции; 6) нечётной функции. Задать формулой каждую из полученных функций. Записать уравнение оси симметрии графика функции: 1) г/ = (X + 1)8; 2) J/ = X® + 1. Указать координаты центра симметрии графика функции: 1) г/ = X® + 1; 2) у = {х+ If. 76 Т функция у = Задача 1 Построить график функции у = — . ► 1) Область определения — все действительные числа, кроме нуля. 2) Функция является нечётной, так как = —— — X X при X фО. 3) Функция убывает на промежутке (0; +сх>) по свойству степенной функции с отрицательным показателем, так как — = X 4) При X > о функция принимает положительные значения. 5) Найдя несколько точек, принадле- жащих графику, например точки 2^, (1; 1), 1^2; | j, построим (!-)• часть гра- Задача 2 фика для значений х > 0 и затем с помощью симметрии — его часть для значений л: < о (рис. 11). <3 График функции У = ^ называют гиперболой. Она состоит из двух частей, называемых ветвями гиперболы. Одна ветвь расположена в первом квадранте, а другая — в третьем. __ h Построить график функции у = — при k = 2 и X k=-2. Заметим, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у = — получаются умно- X жением на 2 значений функции у = — . Это значит, X что график функции У = ^ получается растяжени- 77 Рис. 12 ем графика функции у = — от оси абсцисс вдоль оси ординат в 2 раза (рис. 12, а). 2 Значения функции у =----отличаются от значе- 2 ^ ний функции у = — при одних и тех же значениях X аргумента только знаком. Следовательно, график 2 функции у =----симметричен графику функции у = — относительно оси абсцисс (рис. 12, б). <1 X . График функции у = — при любом k ^ О также называют гиперболой. Гипербола имеет две ветви, которые расположены в первом и третьем квадрантах, если А > О, и во втором и четвёртом квадрантах, если А < 0. и Функция у = —, где А > 0, обладает такими же X свойствами, что и функция у = ^, а именно эта функция: 1) определена при д: 0; 2) принимает все действительные значения, кроме нуля; 3) нечётная; 4) принимает положительные значения при х > 0 и отрицательные — при дг < 0; 5) убывает на промежутках (-оо; 0) и (0; -(-оо). и Если А < о, то функция у = — обладает свойствами 1—3, а свойства 4—5 формулируются так: 4) принимает положительные значения при д; < 0 и отрицательные — при д: >0; 5) возрастает на промежутках (-оо; 0) и (0; -юо). 78 Задача 3 Говорят, что функция у = — при k> о выражает обратную пропорциональную зависимость между д: и у. Такая зависимость между величинами часто встречается в физике, технике и т. д. Например, при равномерном движении по окружности с постоянной скоростью V тело движется с центрюстремительным ускорением а, равным —, г где г — радиус окружности, т. е. в этом случае ускорение обратно пропорционально радиусу окружности. Вычислить центростремительное ускорение Луны, которая движется вокруг Земли на расстоянии 3,84 • 10® м, совершая один оборот за 27,3 сут. J.2 ► Вычислим ускорение а по формуле а — —, где v = ^,C = 2лг, t = 27,3 • 24 • 3600 с, г = 3,84 • 10®. Используя микрокалькулятор, получим: 4-п^ •3.84-10® Ответ Задача 4 2,72 (1 = - (27,3-24-3600)2 10"® м/с®. <] «2,72-10-®. Построить график функции у = х-1 -2. Упражнения 2 184 Построить график функции у = — . Выяснить, при каких значениях лг: 1) у{х) = 4; 3) у(х) > 1: 2) J/(x) = -i; 4) 1. 185 На одной координатной плоскости построить графики функций у = — и у = X. Выяснить, при каких значениях х: 1) графики этих функций пересекаются; 2) график первой функции лежит выше (ниже) графика второй. 186 Не строя графики функций, найти координаты точек их пе- ресечения: 1) У = ^. У = 3х; 3) y = у = х-1-. 2) у = -~, у = -2х; 4) у = 6 х + 1 , у = х + 2. 187 Построив графики функций, найти приближённые значения координат точек их пересечения: 1) z/ = ^, у = х+1; X 3) у = ~, у = х^ + 2; X 2) У = --’ у=1 - х; 4) У = ^> У = х^ + 4х. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ = 3. 80 188 В цилиндре под поршнем при постоянной температуре находится газ. Объём V (в литрах) газа при давлении р (в ат- 12 мосферах) вычисляется по формуле V = —. Р 1) Найти объём, занимаемый газом при 4 атм; 5 атм; 10 атм. 2) Вычислить, при каком давлении газ имеет объём 3 л, 5 л, 15 л. 3) Построить график зависимости объёма газа от его давления. 189 Сила тока в реостате I (в амперах) вычисляется по формуле I = — , где и — напряжение (в вольтах), R — сопротивле-R ние (в омах). 1) Построить график зависимости I (R) при 17 = 6. 2) По графику приближённо найти: а) силу тока при сопротивлении, равном 6; 12; 20 Ом; б) сопротивление реостата при силе тока, равной 10; 5; 1,2 А. 190 Построить график функции; 1) У = --2; X 3) у- х + 2 -1; 2) (/ = ^ + 1; X 4) у = ^ + 1. \ - X 191 Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 150 м со скоростью 60 км/ч. Найти центростремительное ускорение автомобиля. Увеличится или уменьшится центростремительное ускорение, если скорость автомобиля останется прежней, а радиус закругления дороги увеличится? 81 Неравенства и уравнения, содержащие степень Задача 1 Ответ Задача 2 Ответ Свойства степенной функции используются при решении различных уравнений и неравенств. Решить неравенство > 32. Функция у = определена и возрастает при всех действительных значениях х. Так как у (2) = 32, то у{х) > 32 при д: > 2 и у(х) < 32 при д: < 2. д: > 2. <1 Решить неравенство х* < 81. Функция у = X* убывает при дг < О и возрастает при X > 0. Уравнение дг'* = 81 имеет два действительных корня = -3, ДГ2 = 3. Поэтому неравенство X* < 81 при дс < О имеет решения -3 < дс < О и при X > о — решения О < д: < 3 (рис. 14). -3 < д: < 3. <] 82 Задача 3 С помощью графиков решить уравнение ^ = д:2+1. X ► На одной координатной плоскости построим гра- о фики функций У = — У1у = Х^+ \ (рис. 15). о При л: < о уравнение — = л:^+1 корней не имеет, X о так как — < О, а + 1 > 0. При дг > 0 это уравне- X ние имеет один корень, равный абсциссе точки пересечения графиков этих функций. Из рисунка 15 видно, что ~ 1,2. Других положительных корней уравнение не имеет, так как при х > х^ функ- Q ция у = — убывает, а функция у = х^ + 1 возрастает, и, следовательно, графики функций при х > х^ не пересекаются. По той же причине они не пересекаются при о < X < Ху. Ответ X ~ 1,2. <] Задача 4 Решить уравнение V2-= д:. (1) Ответ Пусть X — корень данного уравнения, т. е. х — такое число, при котором уравнение (1) обращается в верное равенство. Возведём обе части уравнения в квадрат: 2-х^ = х^. (2) Отсюда = 1, Ху 2 — il- Проверим, являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения (1). При лс = 1 уравнение (1) обращается в верное равенство V2 - 1^ = 1, поэтому лс = 1 — корень уравнения (1). При л; = —1 левая часть уравнения (1) равна ^2 -(-1)^ =./1=1, а правая равна -1, т. е. л: = -1 не является корнем уравнения (1). л: = 1. < В рассмотренной задаче уравнение (1) было решено с помощью возведения обеих частей этого уравнения в квадрат. При этом получилось уравнение (2). Уравнение (1) имеет только один корень х = 1, а уравнение (2) — два корня ЛС| 2 = ±1> т. е. при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) 83 появляется так называемый посторонний корень. Это произошло потому, что при л: = -1 уравнение (1) обращается в неверное равенство 1=-1, а при возведении обеих частей этого неверного равенства в квадрат получается верное равенство 12 = (-1)2. Таким образом, при возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. При решении уравнения возведением в квадрат обеих его частей необходимо делать проверку. Уравнение (1) — пример иррационального уравнения. Приведём ещё примеры иррациональных уравнений: V3 - 2х = 1- х; ■>! X X -Z. Рассмотрим решение нескольких иррациональных уравнений. Задача 5 Решить уравнение -Jb-2x = \- х. ► Возведя обе части уравнения в квадрат, получим: 5 - 2л: = ^2 - 2д: -I- 1, или х^ = 4, откуда Xj = 2, Х2 = —2. Проверим, являются ли найденные числа корнями исходного уравнения. При X = 2 левая часть исходного уравнения равна .^5 - 2 - 2 = 1, правая часть равна 1-2=-1. Так как 1 -1, то X = 2 не является корнем исходного уравнения. При X = -2 левая часть уравнения равна у/5 - 2(-2) = 3, правая часть равна 1 - (-2) = 3. Следовательно, х = -2 — корень исходного уравнения. Ответ X = —2. <] Задача 6 Решить уравнение -Jх — 2 -1-3 = 0. ► Запишем это уравнение в виде -J х - 2 = -3. Так как арифметический корень не может быть числом отрицательным, то это уравнение корней не имеет. Ответ Корней нет. О 84 Задача 7 Решить уравнение •Jx - I + — х = 4. ► Возведя обе части уравнения в квадрат, получим: x-l + 2^Jx-l^^Jll-x + ll-x = 16. Приведём подобные члены и запишем уравнение в виде 2^J X — 1‘ylll- X = 6, или л] X - — X = 3. Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, получим: (х- 1)(11 - л:) = 9, или л:2- 12х + 20 = 0, откуда Xi = 2, Х2= Ю. Проверка показывает, что каждое из чисел 2 и 10 является корнем исходного уравнения. Ответ Xj = 2, Х2 = 10. <] Упражнения 192 Решить неравенство: 1) х’’ > 1; 2) х^ < 27; 3) > 64; 4) уЗ < 125; 5) X* < 16; 6) > 625. 193 1) Какой может быть сторона квадрата, если его площадь больше 361 см^? 2) Каким может быть ребро куба, если его объём больше 343 дм3? 194 (Устно.) Показать, что число 7 является корнем уравнения: 1) л/л:-3 = 2; 2) д/хЗ-13-л/2х-5 = 3. 195 (Устно.) Решить уравнение: 1) V^=3; 2) л/^=7; 3) у/2х-1 = 0; 4) V3x-1-2 = 0. Решить уравнение (196—199). 196 1) ^Jx + l = 2■, 2) л/л:-1 = 3; 3) Vl-2x = 4; 4) >/2x-l = 3. 197 1) ^Jx + l = ^|2x-3; 2) Ух - 2 = л/Зх - 6; 3) х^ + 24 = ^Jllx; 4) -yjx^ + 4х х. 85 198 1) ■sj X + 2 = х; 2) л/Зх -1- 4 = х; 3) V20-x2 = 2х; 4) ■^0,4- х^ = Зх 199 1) х-8 = X -2; 2) + X -6 = X 200 Решить неравенство: 1) (X - 1)3 > 1; 2) (X -1- 5)3 > 8; 3) (2х - 3)^ > 1; 4) (Зх - 5)^ < 1; 5) (3 - х)“ > 256; 6) (4 - х)< > 81. 201 Объяснить, почему не имеет корней уравнение: 1) Vx=-8; 2) >Ax+Vx^^ = -3; 3) у1-2-х^ =12; 4) = 5. Решить уравнение (202—204). 202 I) ,[х^^^4хТ9 =2х-5; 3) 2х = 1 + ^х^ + 5; 203 1) -Jx + 12 =2 + -Лс-, 204 1) V2x + 1+V3x + 4 = 3; 3) л/л:-7 ->/л: + 17 = -4; 205 2) д/лг^ + Зх + б = Зд: + 8; 4) j: + л/13 - 4л: = 4. 2) >}А+х + = 4. 2) -J4x -3 + Лх + 4 = 4; 4) - 1 = 1. При каких значениях х принимают одинаковые значения функции: 1) у = >/4+Vx, I/ = yjl9-2^c; 2) у = ^7 + л/х , I/ = -Jll-yfx ? 206 Решить неравенство: 1) Л-2>3; 2) л/лг-2 <1; 3) V2 - X > х; 4) V2 — X < х; 5) V5x + ll>x + 3; 6) л/л: + 3 <х + 1. 207 Стрельба из спортивного пистолета по круглой мишени диаметром 1 м ведётся из точки прямой, перпендикулярной плоскости мишени и проходящей через её центр. На каком расстоянии от мишени должна быть точка выстрела, чтобы разность расстояний от неё до края мишени и до центра была не больше 2 см? Упражнения к главе III 208 Найти область определения функции: 1 . 04___/о о„\-2. I) У = 2) I/ = (3 - 2д:)-2; 2х + \ 3) I/ = V-5-Зд:; 4) у = V7-3x. 209 (Устно.) Используя свойство возрастания функций y = V~x и у = х^, сравнить числа: 1) и 2) и 3) (-2)5 и (-3)5; 4) (^2|j и (^2|j . 210 Выяснить свойства функции и построить эскиз её графика: 2) !/ = 2^®’ 1) у=-2х\ 3)у = 2У^; 4)у = зУ^ 211 (Устно.) В каких квадрантах расположены ветви гиперболы у = —, если k = -4; ft = 3? 212 Построить в одной системе координат графики функций у = X и у = х^. Найти координаты точек их пересечения. 213 Найти координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = х^, у = х^; 2) У = ^. У = 2х; 3) у = -Jx, у = |х|; 4) 3[— 1 у = Vx, У = -. X 214 Решить неравенство: 1) X* < 81; 2) х5 > 32; 3) лг® > 64; 4) 215 Решить уравнение: 1) л/З-л; = 2; 2) л13х + 1 = 7; 3) V3-11X = 2х-, 4) ^J5x-l + Зx^ =3х; 5) -J2x -1 = X - 2; 6) ■j2-2x = л: + 3. 4) л:5 < -32. 87 Проверь себя! Найти 1) У = Найти область определения функции: ® - 2) у = у19-х^ . 3 4 216 х-1 Построить график функции: = 2)1/ = -^; 3) у = -^1 4) у = х\ X X Для каждой функции по графику найти: а) у (2); б) значение X, если у (х) = 3; в) промежутки, на которых у (х) > О, У(х) < 0; г) промежутки возрастания, убывания. Установить, чётной или нечётной является функция: I) у = Зх® -t- х^; 2) у = 8х® - х. Решить уравнение: 1) л/х-3 = 5; 3) л/3-х-х2 = х. Найти область определения функции: 1) у = ^х^ + 2х -15; 2) у = Vl3x - 22 - х^ ; 3) у = + 6х + 5 х+ 7 ’ 4) у = х-'-Э х^ + 8х + 7 217 Выяснить, возрастает или убывает функция: 1 1) У = 2) у = (аг-3)2 1 на промежутке (3; -юо); на промежутке (-оо; 2); (X -2)® 3) у = ^х + 1 на промежутке [0; -f-oo); 1 4) у = на промежутке (-оо; -1). 218 219 220 221 222 Выяснить, является ли функция чётной или нечётной: 1) J/ = X® - Зх^ -I- х^ - 2; 2) I/ = X® - X® + X. Выяснить свойства функции и построить её график: 1) f/ = -V> 2) г/ = 4-: 3) У = 3--^~; 4) у = х‘ (х-1)® Решить неравенство (220—221). 1) (Зх -ь 1)'‘ > 625; 2) (Зх® + 5х)® < 32. 1) ^х®-3х <2; 2) л/2хП^х-1. Решить уравнение: 1) д/2х® + 5х-3 = X -I-1; 2) ^Зх^-4х + 2 = х + 4; 3) -/хТз н-= 6; 4) у/7-X +yj3x-5 = 4. -2. 88 IV глава Прогрессии ; Числовая I последовательность : • -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках. В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте 1 лежит вклад рублей, на счёте № 2 лежит вклад 02 рублей и т. д. Получается числовая последовательность Oj, Оз, О3, ..., a^^, где N — число всех счетов. Здесь каждому нату-рашьному числу п от 1 до iV поставлено в соответствие число о„. В математике изучаются бесконечные числовые последовательности: 0-IJ О2, О3, ..., Од, ... . Число Oj называют первым членом последовательности, число О2 — вторым членом последовательности, число 03 — третьим членом последовательности и т. д. Число Од называют п-м (энным) членом последовательности, а натуральное число п — его номером. 89 Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., п^, (п + 1)^, ... Oj = 1 — первый член последовательности; а„ = является л-м членом последовательности; а„ +1 = = (л н- 1)^ является (л -I- 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её л-го члена. Например, формулой а. = — (л = 1, 2, 3, ...) задана п последовательность 1, 4, i, ..., —, .... 2 3 4 п Задача 1 Числовая последовательность задана формулой а„ = п(п - 2). Вычислить сотый член этой последовательности . ► aioo= 100(100-2) = 9800. <1 Задача 2 Числовая последовательность задана формулой х„ = 2п + 3. 1) Найти номер члена последовательности, равного 43. 2) Выяснить, является ли число 50 членом данной последовательности. ► 1) По условию 2л -I- 3 = 43, откуда л = 20. 2) Если 50 — член последовательности с номером л, то 2л -(- 3 = 50, откуда л = 23,5. Так как полученное значение л не является натуральным, то оно не может быть номером члена последовательности, т. е. число 50 не является членом последовательности. <] Иногда последовательность задают формулой, позволяющей вычислить любой член последовательности, начиная с некоторого, если известны один или несколько предыдущих её членов. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от лат. слова recurro — возвращаться). Задача 3 Ответ Числовая последовательность задана рекуррентной формулой &„ + 2 = ^п + 1 + ^ условиями fej = 1, ^2 = 3. Вычислить пятый член этой последовательности. bg ~ Ь2 + = 3 + \ = ‘i, 5^ = 63 “Ь ^2 “ ^ 3 = 7, 55 = 64 + 53 = 7-1-4 = 11. 55=11. <1 90 223 224 Упражнения Дана последовательность квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., п^, {п + 1)2, ... . 1) Назвать третий, шестой, л-й члены последовательности. 2) Указать номер члена последовательности, равного 4, 25, п^, (л + 1)2. Вычислить первые три члена последовательности, которая задана формулой л-го члена: 1) а„ = 2л + 3; 2) а„ = 1 + Зл; 3) а„ = 100 - 10л2; 4) а„ = Л - 2 5) = 6) а„ = -п^. 225 226 227 228 229 230 (Устно.) Последовательность задана формулой х„ = п^. Какой номер имеет член этой последовательности, равный 100; 144; 225? Является ли членом последовательности число 48; 49; 169? Последовательность задана формулой а„ = - 2п - 6. Яв- ляется ли членом этой последовательности число: 1) -3; 2) 2; 3) 3; 4) 9? Найти первые четыре члена последовательности, заданной условием Cj = 2 и рекуррентной формулой: 1) а„^1 = За„ -н 1; 2) а„ + , = 5 - 2а„. Числовая последовательность задана формулой л-го члена а„ = (п - 1) (л + 4). Найти л, если: 1) а„ = 150; 2) а„ = 104. Вычислить первые четыре члена последовательности, заданной рекуррентной формулой л„ +1 = -Ja^ и условием = 256. Записать первые шесть членов последовательности, заданной условием aj = 1 и рекуррентной формулой: 2) а„ + 1 = 1) + i = +3; 231 Числовая последовательность задана рекуррентной формулой a„^.2 =а„ ~ “п + 1 ^ условиями Oj = 2, Ог = 3. Вычислить пятый член последовательности. 232 Последовательность задана формулой л-го члена. Записать (л + 1)-й, (л -f- 2)-й и (л + 5)-й члены этой последовательности: 1) а„ = -5л + 4; 3) а„ = 2 • 3"*>; 2) а„ = 2 (л - 10); / \л +2 4) «. = 7.(1) . 91 Арифметическая прогрессия Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно 365- су- 4 ток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам. Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным. Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016... В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями. Определение. Числовая последовательность fli, Пз, Пз, .... о„, ... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство an*i = an + d, где d — некоторое число. Из этой формулы следует, что a„ + i - а„ = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Примеры 1) Натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, ..., п, ... является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии d = 1. 2) Последовательность целых отрицательных чисел -1, -2, -3, ..., -п, ... — арифметическая прогрессия с разностью d = -1. 3) Последовательность 3, 3, 3, ..., 3, ... — арифметическая прогрессия с разностью d = 0. 92 Задача 1 Доказать, что последовательность, заданная формулой а„ = 1,5 + Зл, является арифметической прогрессией. ► Требуется доказать, что разность а„ + j - а„ одна и та же для всех п (не зависит от л). Запишем (л + 1)-й член данной последовательности: а„^, = 1,5 + 3(л + 1). Поэтому 1 - а„ = 1,5 -I- 3 (л -t- 1) - (1,5 + Зл) = 3. Следовательно, разность а„ +1 - а„ не зависит от л. <1 По определению арифметической прогрессии “п + 1 = “п -1 ~ ~ откуда о„ = 'п-1 + «п + 1 , где л > 1. Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия. Отметим, что если и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле + j = а„ -ь d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для Oioo уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула л-го члена. По определению арифметической прогрессии ^2 Л| ^ df аз = 0-2 + d = + 2d, + d = + 3d и т. д. Вообще, а„ = а1 + (л-1)й. (1) так как л-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (л — 1) раз числа d. Формулу (1) называют формулой п-го члена арифметической прогрессии. 93 Задача 2 Найти сотый член арифметической прогрессии, если Oj = -6 и d = 4. ► По формуле (1) имеем ajoo = -6 + (ЮО-1) • 4 = = 390. Задача 3 Число 99 является членом арифметической прогрессии 3, 5, 7, 9, ... . Найти номер этого члена. ► Пусть п — искомый номер. Так как Cj = 3 и d = 2, то по формуле о„ = Oj и-(га - 1) d имеем 99 = 3-1--I- (га - 1) • 2. Поэтому 99 = 3 -f 2га - 2; 98 = 2га, га = 49. <3 Задача 4 В арифметической прогрессии Og = 130 и а^2 = 166. Найти формулу га-го члена. ► Используя формулу (1), находим: flg = Oj -t- Id, a,2 = Oj -(- lid. Подставив в эти вырг1жения данные значения ag и Qjg, получим систему уравнений относитель- 7d = 130, \а^+1Ы = 166. Вычитая из второго уравнения первое, получаем: 4d = 36, d = 9. Следовательно, = 130 - Id = 130 - 63 = 67. Найдём формулу га-го члена прогрессии: а„ = 67 -н 9 (га - 1) = 67 -и 9га - 9 = 58 9га. Ответ а„ = 9п + 58. <] Задача 5 На стороне угла откладываются от его вершины равные отрезки. Через их концы проводятся параллельные прямые. Доказать, что длины а,, Аз» ^3, ... отрезков этих прямых, заключённых между сторонами угла (рис. 16), образуют арифметическую прогрессию. ► В образовавшейся трапеции с осно-a„^j средняя ли-(га > 1). Поэтому ваниями а„_ 1 и ния равна а„ а. Рис. 16 а„ = •f а П + 1 94 Отсюда 2a„ = a„_i+а„^.„ или a„^i~a„ = a„- - а л - 1* Так как разность между каждым членом последовательности и предшествующим ему членом одна и та же, то эта последовательность — арифметическая прогрессия. <] Упражнения 233 (Устно.) Назвать первый член и разность арифметической прогрессии: 1) 6, 8, 10, ...; 2) 7, 9, 11, ...; 3) 25, 21, 17, ...; 4) -12, -9, -6, ... . 234 Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если: 1) Oj = 2, d = 5; 2) aj = -3, d = 2. 235 Доказать, что последовательность, заданная формулой п-го члена, является арифметической прогрессией: 1) а„ = 3 - 4л; 2) а„ =-5-(-2л; 3)а„ = 3(л + 1); 4) а„ = 2(3-л). 236 В арифметической прогрессии найти: 1) aj5, если С| = 2, d = 3; 2) Ogo, если Oj = 3, d = 4; 3) Hjg, если Oj = -3, d = -2; 4) flji, если aj = -2, d = -4. 237 Записать формулу л-го члена арифметической прогрессии: 1) 1, 6, 11, 16, ...; 2) 25, 21, 17, 13, ...; 3) -4, -6, -8, -10, ...; 4) 1, -4, -9, -14, ... . 238 Число -22 является членом арифметической прогрессии 44, 38, 32.....Найти номер этого члена. 239 Является ли число 12 членом арифметической прогрессии -18, -15, -12, ...? 240 Число -59 является членом арифметической прогрессии 1, -5, .... Найти его номер. Является ли число -46 членом этой прогрессии? 241 Найти разность арифметической прогрессии, если: 1) а, = 7, ajg = 67; 2) = -4, Ug = 0. 242 Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти Cj, если: 1) ад - 12; 2) = -4. 95 243 Найти первый член арифметической прогрессии, если: 1) d = -3, ац = 20; 2) Ogi =-10, 032 =-5,5. 244 Найти формулу п-го члена арифметической прогрессии, если: 1) Oj = 13, Og = 22; 2) 03 = -7, Лу = 18. 245 При каких п члены арифметической прогрессии 15, 13, 11, ... отрицательны? 246 В арифметической прогрессии a^ = -10, d = 0,5. При каких п выполняется неравенство а„ < 2? 247 Найти девятый член и разность арифметической прогрессии, если: 1) Og = 126, а,о = 146; 2) Og = -64, Ojo = -50; 3) ^8 — ^10 — ^8 — ^10 — -2,5. 248 Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние будет пройдено падающим телом за пятую секунду? 249 Курс воздушных ванн начинают с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 мин? 96 250 Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство + = + + „ п>1. Найти Ojo + ^5, если Пу + Og = 30. 251 Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство а =■ •■л + А + а л - А , п> k. Найти 020, если а,о + а^о = 120. I Сумма п первых членов арифметической прогрессии Ш •..........I...........I...........I............I...........I • • I....................I.....................I.....................I • Задача 1 Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. ► Запишем эту сумму двумя способами: S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100, S= 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1. Сложим почленно эти равенства: 2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101. 100 слагаемых Следовательно, 2S = 101 • 100, откуда S = 101 • 50 = 5050. < Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию ^2» •••» ^л’ ••• * Пусть S„ — сумма п первых членов этой прогрессии: = Hi + 02 -I- ... -I- а„_ 1 -ь а„. Теорема. Сумма л первых членов арифметической прогрессии равна а, + а„ (1) 4 Алгебра, 9 кл. 97 Ф Запишем S„ двумя способами: S„ = ai + П2 + ... + а„_1 + а„, Sn = «n + an-i + "-+a2 + ai-По определению арифметической прогрессии эти равенства можно записать так: = flj + (flj + d) + (cij + 2d) + ... + + (Qj + (n — 1) d), (2) S„ = a„ + (a„ - d) + (a„ - 2d) + ... + + (a„-(n-l)d). (3) Сложим почленно равенства (2) и (3): 2S„ = (fli + a„) + (Oj + a„) + ... + (aj + a„). n слагаемых Следовательно, 2S„ = (Oj + a„) n, откуда S = a,+ a. ■n. О Задача 2 Найти сумму шестидесяти первых чётных натуральных чисел. ► Последовательность чётных натуральных чисел 2, 4, 6, 8, .... 2п, ... является арифметической прогрессией с разностью d = 2. Так как а„ = 2л, то = 2, Одд= 120. По формуле (1) находим: 60 = 3660. <] Задача 3 Найти сумму 38 35 + 32 + ... + (-7), если извест- но, что её слагаемые являются последовательными членами арифметической прогрессии. ► По условию ttj = 38, d = -3, а„ = -7. Применяя формулу а„ = aj + (л - 1) d, получаем -7 = 38 + (л - 1) (-3), откуда л = 16. По формуле S„ = 38-7 •л находим: '^16 — • 16= 248. <] Задача 4* Сколько нужно взять последовательных натуральных чисел, начиная с 1, чтобы их сумма была равна 153? ► Натуральный ряд чисел — арифметическая прогрессия с разностью d = 1. По условию а, = 1, 98 S„ = 153. Формулу суммы п первых членов преобразуем так: а,+ а„ а,+ai+(n-l)d 2aj + (n-l)d о. =-------- п =-----------п =------------га. 2 2 2 Используя данные, получаем уравнение с неизвестным га: 153^2-1.(га-1)-1 га, 2 откуда 306 = 2га -н (га - 1) га, га^ -I- га - 306 = 0. Решая это уравнение, найдём: -1± Vi + 1224 -1±35 га. 2 =----------=------, raj = -18, п.2 = 17. Число слагаемых не может быть отрицательным, поэтому га = 17. <3 Упражнения 252 Найти сумму га первых членов арифметической прогрессии, если: 1) Oj = 1, а„ = 20, га = 50; 2) а, = 1, а„ = 200, га = 100; 3) Oi = -1, а„ = -40, га = 20; 4) а, = 2, а„ = 100, га = 50. 253 Найти сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно. 254 Найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 133 включительно. 255 Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: 1) Oj = -5, d = 0,5; 2) = d— ~3. 256 Найти сумму га первых членов арифметической прогрессии: 1) 9; 13; 17; ..., если га = 11; 2) -16; -10; -4; ..., если га = 12. 257 Найти сумму, если её слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии: 1) 3 + 6 + 9 + ... + 273; 2) 90 -I- 80 -I- 70 -(- ... + (-60). 258 Найти сумму всех двузначных чисел; сумму всех трёхзначных чисел. 99 259 Арифметическая прогрессия задана формулой п-то члена. Найти S50, если: 1) а„ = Зга + 5; 2) а„ = 7 + 2га. 260 Последовательность задана рекуррентной формулой а„ +1 = = а„ - 3 и условием Cj = 7. Найти сумму девяти первых членов этой последовательности. 261 Сколько нужно взять последовательных натуральных чисел, начиная с 3, чтобы их сумма была равна 75? 262 Найти а„ и d арифметической прогрессии, у которой: 1) а, = 10, га= 14, 5,4=1050; 2) a, = 2i,ra= 10, 5,о = 9о|. о о 263 Найти а, и d арифметической прогрессии, если: 1) 07 = 21, S7 = 205; 2) о,, = 92, 5,, = 22. 264 При хранении брёвен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке 17. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в её основании положено 12 брёвен? 265 В арифметической прогрессии а^ + Од = 8. Найти 5,,. 266 Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если S5 = 65 и 5,0 = 230. 267 Доказать, что для арифметической прогрессии выполняется равенство >Si2 = 3 (5g — 54). 100 г еометрическая прогрессия Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника (рис. 18). По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами 1, i, i см и т. д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: 4, 2, 1, 1 1 4’ 8.... В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число Определение. Числовая последовательность bj, (?2, &з, ..., ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство +1 ~ где О, 9 — некоторое число, не равное нулю. Из этой формулы следует, что + 1 = q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Примеры 1) 2, 8, 32, 128, ... — геометрическая прогрессия со знаменателем g = 4; 101 Задача 1 2 4 8 2) 1, —, —, ... — геометрическая прогрессия со 3 9 2Т знаменателем 9 = |: 3) 1, -12, 144, ... — геометрическая прогрессия со знаменателем q = -12; 4) 7, 7, 7, 7, ... — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1. Доказать, что последовательность, заданная формулой Ь„ = 7^", является геометрической прогрессией. ► Отметим, что Ь„ = 7^" * О при всех п. Требуется до- казать, что частное ■'п + Х — ОДНО и то же число для всех п (не зависит от п). Получаем ■'п +1 j2{n +1) j2n + 2 = 49, т. е. частное -'п + 1 у2п f^2n ^ сит от га. <] По определению геометрической прогрессии не зави- откуда +X~^n4i -1 —~ > га > 1. Если все члены геометрической прогрессии положительны, то = ^Ь„ _ +1, т. е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия. Отметим, что если bi и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле +1 = b„q. Однако для больших га это трудоёмко. Обычно пользуются формулой га-го члена. По определению геометрической прогрессии г>2 = biq, Ьз = b^q = b^q^, Ьа = b^q = b^q^ и т. д. Вообще, K = b,q-\ (1) 102 Задача 2 Задача 3 так как п-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (л — 1) раз на число q. Формулу (1) называют формулой п-го члена геометрической прогрессии. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если Ь, = 81 и о = i. ' ^ 3 ► По формуле (1) имеем: ft =81- fil = М = i. < ^ 1,3 J 36 9 Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, ... . Найти номер этого члена. ► Пусть л — искомый номер. Так как ftj = 2, q = 3, то по формуле ft„ = b^q" * имеем: уЛ - 1 486 = 2-З"-', 243 = 3"-*, откуда л-1 = 5, л = 6. О 35 = зп-1^ Задача 4* Ответ В геометрической прогрессии feg = 96 и Ь^ = 384. Найти формулу л-го члена. ► По формуле Ь„ = b^q" ~ * имеем ftg = b^q^, feg = ftj^'*. Подставив данные в условии значения ftg и ftg, получим 96 = b^q^, 384 = b^q’’. Разделив второе из этих равенств на первое, получим: 384 _ big’’ 96 ft,g5 ’ откуда 4 = q^, или q^ = 4. Из последнего равенства находим q = 2 или q =-2. Чтобы найти первый член прогрессии, воспользуемся равенством 96 = bi?®. 1) При q = 2 находим: 96 = ft,-26, 96 = ft,-32, bi = 3. Если b, = 3 и g = 2, то формула л-го члена имеет вид: ft„ = 3 • 2"-*. 2) При q = -2 находим: 96 = ft, (-2)6, 96 = ft, (-32), ft, = -3. Если ft, = -3 и g = -2, то формула л-го члена имеет вид Ь„ = -3 ■ (-2)"-*. ft„ = 3 • 2"-1 или = -3 • (-2)"- *. О 103 Задача 5* В окружность вписан квадрат, а в него вписана вторая окружность. Во вторую окружность вписан второй квадрат, а в него — третья окружность и т. д. (рис. 19). Доказать, что радиусы окружностей образуют геометрическую прогрессию. Пусть г„ — радиус п-й окружности. Тогда по теореме Пи-2 _ -2 фагора +1 + +1 = . откуда '■п + 1 = |^п> так как г„ > О, то XI = Значит, последовательность радиусов окружностей образует геометрическую прогрессию Рис. 19 со знаменателем <] Л Задача 6 Вкладчик поместил в банк а рублей под ежегодные р%. Какую сумму он будет иметь на счету через 3 года? ► Через год на вкладе будет а+а-= а ^ 1 -I- j рублей. Через 2 года сумма вклада увеличится ещё на р%, но уже от суммы, которая оказалась на счету через год, и станет (в рублях) равной а 1-t-- 100 а 1-н- 100 Р 100 = а И- 100 1 + 100 = а 1 + 100 Найдём сумму (в рублях), которая будет на счету через 3 года: ! + ■ 100 ! + ■ 100 Р 100 = а 100 ) 100 100 Ответ 1-1- 100 104 Формулу общего члена геометрической прогрессии, записанную в видеЬ = б1 1 н---I , называют 100 ‘ формулой сложных процентов. Задача 7 Банк начисляет по вкладам 4% годовых. Сколько денег будет на счету у вкладчика через 5 лет, если он положил на счёт 10000 р.? ► Искомую сумму денег Ь найдём по формуле сложных процентов при ftj = 10000, р = 4, га = 5: Ь = 10000(1-1- 0,04)5 ^ 10000 • 1,04® = 12166,529, т. е. 12166 р. 53 к. Ответ 12166 р. 53 к. <\ Упражнения 268 (Устно.) Назвать первый член и знаменатель геометрической прогрессии: 1) 4, 2, 1, ...; 2) -10, 20, -40, ...; 3) -50, 10, -2, ... . 269 Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если: 1) by = 12,q = 2; 2) bi = -3, q = -4. 270 Доказать, что последовательность, заданная формулой га-го члена, является геометрической прогрессией: 1)5„ = 3-2'’; 2)fc„ = 5"-3. 3)b„ = f|j ; 4)6„ = ^. 271 Для геометрической прогрессии вычислить: 1) г>4, если fej = 3 и g = 10; 3) если bi = 1 и q = -2; 2) fty, если i?i = 4 и g = -; 4) fcg, если bi = -3 и q = -- 272 Записать формулу га-го члена геометрической прогрессии: 1) 4, 12, 36, ...; 3) 4, -1, i, ...; 4 2) 3, 1, |, ...; 4) 3, -4, И, ... . 273 Найти номер подчёркнутого члена геометрической прогрессии: 1) 6, 12, 24, ..., 1^, ...; 2) 4, 12, 36, ..., ...; 3) 625, 125, 25, ..., ± ...; 4) -1, 2, -4, ..., 1^, ... . 274 Найти знаменатель геометрической прогрессии, если: 1) = 2, 5g= 162; 2) ftj = -128, = -2; 3) г>1 = 3, = 81; 4) fti = 250, 64 =-2. 275 Дана геометрическая прогрессия 2, 6, 18, .... 1) Вычислить восьмой член этой прогрессии. 2) Найти номер члена последовательности, равного 162. 105 276 Найти седьмой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если: 1) «’8 = 1-Ьб = 81; 2)6б = 9, Й8 = 3. 277 Найти пятый и первый члены геометрической прогрессии, если: 1) = 5, Ьб = 20; 2) &4 = 9, &б = 4. 278 Вкладчик 1 января 2004 г. внёс в сберегательный банк 30 000 р. Какой была сумма его вклада на 1 января 2006 г., если Сбербанк начислял ежегодно 6% от суммы вклада? 279 Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Доказать, что последовательность площадей этих квадратов является геометрической прогрессией. Найти площадь седьмого квадрата. 280 Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320? 281 Доказать, что если хФО, то числа ^JЗx, х4з, х^Зх являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Сумма п первых членов геометрической прогрессии Задача 1 Найти сумму S = 1 -I- 3 н- 32 -I- 3^ -I- З'» ч- 3®. (1) ► Умножим обе части равенства на 3: 3S = 3 -I- 32 + 32 -I- З'* + 3* -I- 3®. (2) Перепишем равенства (1) и (2) так: S = 1 -(- (3 + 32 -I- 32 + 3^ -I- 3®), 3S = (3 -I- 32 + 3® + 3“ -t- 3®) -f- 3®. Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем: 106 3S - S = 36 - 1, 2S = 36 - 1, 3®-l 729-1 S = = 364. <3 2 2 Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию bj, b^q, Ь^д", знаменатель которой g 1. Пусть S„ — сумма п первых членов этой прогрессии: S„ = b^+ biQ + biQ^ -)- ... -I- (3) Теорема. Сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q * 1 равна (4) Умножим обе части равенства (3) на q: = b^q + b^q^ + b^q^ + ... -t- Ь^д". (5) Перепишем равенства (3) и (5), выделив в них одинаковые слагаемые: S„ = bi -(- ib^q + b^q^ + ... + b^q"-^), 4S„ = (bi9 -I- b^q^ + bjg* + ... + big"-')-(- bjg". Выражения, стоящие в скобках, равны. Поэтому, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем: Sn - яЗп = *1 - l>iq". Отсюда S„(l-g) = bi(l-g"), s„ = -^l^i-^. о 1-9 Заметим, что если 9 = 1, то S„ = bi + bi + ... + bi = b^n, T. e. S„ = b^n. n слагаемых Задача 2 Наити сумму первых пяти членов геометрической 2 прогрессии 6, 2, -, ... . ► В этой прогрессии bj = 6, 9 = i. По формуле (4) находим: «5 = - l-|i 243 ‘-I 6 • 242 • 3 ^ 2^ ^ 2-243 27 107 Задача 3 В геометрической прогрессии со знаменателем дг = i сумма первых шести членов равна 252. Найти первый член этой прогрессии. ► Воспользуемся формулой (4): 6il 1- 252 = 1-1 2 Отсюда 252 252 = • 63 32 ’ = 128. < Задача 4 Сумма п первых членов геометрической прогрессии равна -93. Первый член этой прогрессии равен -3, а знаменатель q равен 2. Найти п. ► Используя формулу (4), получаем: -3(1-2") -93 = 1-2 Задача 5 Отсюда -31 = 1 - 2", 2" = 32, 2" = 2», га = 5. <1 Последовательность 5, 15, 45, ..., 1215, ... является геометрической прогрессией. Найти сумму 5 15 -I- 45 -t- ... -I- 1215. ► В этой прогрессии bj = 5, q = 3, 1215. Форму- лу суммы га первых членов преобразуем так: ^ Ь,(1- д") ^ bj- bi?" _ bi~b„q _ b„q-b^ 1-q q-1 S = 1-q 1-q Используя условия задачи, находим: S„ = 1215-3-5 _ 3645-5 З^Л 2 =1820. < Упражнения 282 Найти сумму га первых членов геометрической прогрессии. если: I, га = 6; 2) bi =-2, д = |, га = 5; ■К П = 4; 3 4) 2 bi = —5, Q = ”“0’ ^ 1, га = 200; 6) bj = -4, g = 1, га = 100. 108 283 Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии: 1) 5, 10, 20, 2) 2, 6, 18, ... . 284 В геометрической прогрессии найти: 1) и b’j, если g = 2, S7 = 635; 2) и 6g, если q = -2, Sg = 85. 285 В геометрической прогрессии найти число п членов, если: 1) S„ = 189, 61 = 3, g = 2; 2) S„ = 635, bi = 5, g=2; 3) S„ = 170, = 256, q = 4) S„ = -99, =-9,q = -2. 286 В геометрической прогрессии найти: 1) n и 6„, если bi = 7, q = 3, S„ = 847; 2) га и если fej = 8, g = 2, S„ = 4088; 3) п и q, если fej = 2, b„ = 1458, S„ = 2186; 4) n и q, если = 1, b„ = 2401, S„ = 2801. 287 Найти сумму чисел, если её слагаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии: 1) 1 + 2 -I- 4 -I- ... -I- 128; 2) 1 -I- 3 -I- 9 -I- ... -I- 243; 3) -1 + 2 - 4 + ... + 128; 4) 5 - 15 -I- 45 - ... -н 405. 288 В геометрической прогрессии найти Ь^ и S^, если: 1) &2=15, &з = 25; 2) 52=14, &4 = 686, q> 0. 289 Геометрическая прогрессия задана формулой га-го члена: 1) 5„ = 3 • 2" ■ Ч найти S5; 2)0.--2(1)", найти Sk 290 291 292 Доказать тождество (х - 1)(х"~^ + х"~^ + + 1) = х'‘-1. где га — натуральное число, большее 1. В геометрической прогрессии найти: 1) 5j и q, если ftj = 135, S3 = 195; 2) q тл &з, если fcj = 12, S3 = 372. В геометрической прогрессии найти: 1) q, если bi = 1 и Ь^ + Ь^ = 90; 2) q, если &2 = 6 и Ь^ + Ь^ = 60; 3) Sjo, если bj - 5з= 15 и &2 “ ^4 = 30; 4) S5, если Ьз - = 24 и Ь^- Ь^ = 624. 109 i Упражнения к главе IV ~ Т~ ^ * — *' 293 294 Вычислить три первых члена последовательности, заданной формулой п-го члена: 1) а„ = п{п + 3); 2) а„ = 4"; 3) а„ = 5 • 2"; 4) а„ = у1п^ + 1. Вычислить десятый и тридцатый члены последовательности, заданной формулой п-го члена: 1) = л-1 2) а„ л + 9 295 296 л + 1 2л-1 3) а„ = I л - 151 - 5; 4) а„ = 10 - | л - 201. Числовая последовательность задана рекуррентной формулой J = 1 - 0,5а„ и условием Oj = 2. Вычислить седьмой член этой последовательности. Найти разность арифметической прогрессии и записать её четвёртый и пятый члены: 1) 4, 4|, 4|, 3) 1, 1-н7з, 1 + 2у[з, 2) 3|, 3, 2|, 4) 42, 42-3, 42-6, .... 297 Доказать, что последовательность, заданная формулой л-го члена а„ = -2(1-л), является арифметической прогрессией. 298 В арифметической прогрессии вычислить: 1) aj, если Oj = 6, с? = |; 2) Лу, если а, = -3^, d = -i. О О 299 Найти сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии, если: 1) CEj — —1, 0-2 — I5 2) — 3, (Х2 — 3. 300 Найти сумму л первых членов арифметической прогрессии, если: 1) aj = -2, а„ = -60, л = 10; 2) ai = |, a„=25i, л=11; 3) ai = -|, а„ = 13|, л = 8; 4) Cj = 48, о„ = 3, л = 11. 110 301 Найти сумму, если её слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии: 1) -38 + (-33) -I- (-28) + ... + 12; 2) -17 -ь (-14) -I- (-11) -1- ... -I- 13. 302 Найти знаменатель геометрической прогрессии и записать четвёртый и пятый её члены: 1) 3, 1, i, ...; 2) i -i ^ ' 4’ 8’16 3) 3, >/з, 1, ...; 4) 5, -5л/2, 10.... 303 Записать формулу п-го члена геометрической прогрессии: 1) -2, 4, -8, 2) -i, 1, -2, .. 304 В геометрической прогрессии найти Ь„, если: 1) bi = 2, q = 2, п = 6; 3) bi = 5, q = -2, га = 5; 2) = |, 9 = 5, га = 4; 4) &1 = -4, 9 = -3, га = 6. О 305 Найти сумму га первых членов геометрической прогрессии, если: 1) ^=2’ 9 = “4, га = 5; 2) Ь^ = 2, q = -~, га = 10; 3) = 10, q = 1, п = 6; 4) = 5, ? = -1, га = 9. 306 Найти сумму га первых членов геометрической прогрессии: 1) 128, 64, 32, ..., га = 6; о\ 2 13 __ р., 3’ 2’ 8’ •••’ ^ 5) -|, -i, -2, ..., га = 4; 2) 162, 54, 18, ..., га = 5; 4) ...,га = 4; 6) -4, 8, -16, ..., га = 5. Проверь себя! 1 Вычислить первые три члена последовательности, которая - -п задана формулой га-го члена а„ = —-—. 2 В арифметической прогрессии Oj = 2, d = -3. Найти и сумму первых десяти её членов. 3 В геометрической прогрессии ftj = 4, g = i. Найти bg и сумму первых шести её членов. 4 Доказать, что последовательность 1, i, ... является геометрической прогрессией, и найти сумму первых пяти её членов. 111 307 Числовая последовательность задана рекуррентной форму- а„ + а лои а„+2 = Л + 1 и условиями aj=-l, 02 = 3. Вычис- 308 309 310 311 312 313 314 315 316 лить пятый член последовательности. Найти разность арифметической прогрессии, если а^ = 2^ 1 2 и Оо = 23 ® 2 Записать первые 5 членов арифметической прогрессии, если: 1) Oj — 5, Од — 15: 2) Од — 8, СЕд — 2. Между числами -10 и 5 вставить число так, чтобы получились 3 последовательных члена арифметической прогрессии. Найти девятнадцатый и первый члены арифметической прогрессии, если: 1) ®13 ~ 28, Одо “ ^18 ~ ®20 ~ При каком значении х являются последовательными членами арифметической прогрессии числа: 2) Зх^, 2, Их? 1) Зх, 2х - 1; Сколько нужно взять последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с 5, чтобы их сумма была равна 252? Найти а„ и d арифметической прогрессии, у которой: 1) Oj = 40, п = 20, Sgo = -40; 2) ai = |, п=16, Si6=-10|. Для геометрической прогрессии вычислить: 1) Ьд, если fei = 4 и g = -1; 2) Ьд, если fej = 1 и q = -Js. Найти пятый член геометрической прогрессии, если: 2) Ьд = —3, feg = —81; 1) &2 = |.г»7 = 16; 3) г>2 = 4, = 1; 4) Ь. = -~, Ь. = - — . ’ * 5 ® 125 317 318 Между числами 4 и 9 вставить положительное число так, чтобы получилось 3 последовательных члена геометрической прогрессии. Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5 мин, а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин, если он начал загорать в среду? 112 320 321 322 323 324 325 319 Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что кукушка кукует 1 раз, когда часы показывают половину очередного часа, и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько раз прокукует кукушка за сутки? Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если aj -I- 02 -н Пз = 15 и Oj • П2 • Сз = 80. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если Oj + 02 -I- Оз = О и Oj -I- о| -I- о| = 50. Доказать, что для геометрической прогрессии справедливо равенство + где п> k. Вычислить &7, если Ь^Ьц = 225. Доказать, что для геометрической прогрессии справедливо равенство где fe > L Вычислить bibi, если Ьз&5 = 72. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток? Из пункта А в пункт В одновременно с постоянными скоростями отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист, прибыв в пункт В, повернул назад и встретил пешехода через 1 ч после начала движения из пункта А. После встречи с пешеходом велосипедист снова поехал в пункт В, а по прибытии туда повернул обратно и встретился с пешеходом через ^ ч после первой встречи. После второй встречи велосипедист опять поехал в пункт В, а доехав, повернул обратно и т. д. Найти время, за которое пешеход пройдёт путь АВ. 326 Музыкальная октава делится на 12 равных интервалов-полутонов. Частота каждого последующего звука приблизительно в 1,059 раза больше частоты предыдущего. Во сколько раз нота соль выше ноты до той же октавы (вычисления провести на микрокалькуляторе)? V глава Случайные события События • I....................I.....................I.....................I.....................I.....................I.....................I.....................I.....................I.....................I • 1. Невозможные, достоверные и случайные события В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений, производимых людьми. Все события можно подразделить на невозможные, достоверные и случайные. Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может. Приведём примеры невозможных событий: 1) вода в реке замёрзла при температуре -t-25 °С; 2) при бросании игральной кости (т. е. кубика, на гранях которого отмечены очки от 1 до 6) появилось 7 очков. Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт. Например, достоверными являются события: 1) после четверга наступила пятница; 2) при бросании игральной кости выпало число очков, меньшее семи. Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти. 114 Случайными являются, например, следующие события: 1) при телефонном звонке абонент оказался занят; 2) при бросании игральной кости выпало 2 очка. 2. Совместные и несовместные события Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, — несовместными. Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро* являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» — несовместными. Рассмотрим события, связанные с одним бросанием игральной кости: 1) выпало 2 очка; 2) выпало 5 очков; 3) выпало более 2 очков; 4) выпало число очков, кратное двум. Среди них совместными будут три пары: 1-е и 4-е (число 2 чётное); 2-е и 3-е (5 очков больше, чем 2); 3-е и 4-е (например, 4 очка). Несовместными будут события: 1-е и 2-е (одновременно не могут выпасть 2 разных числа); 1-е и 3-е (более 2 очков, т. е, 3, 4, 5 или 6 одновременно с 2 очкгпии появиться не могут); 2-е и 4-е (число 5 не кратно 2). Орёл 3. Равновозможные события Рассмотрим группы событий: 1) «появление орла» и «появление решки» при одном бросании монеты (рис. 20); 2) «появление 1 очка», «появление 2 очков», ..., «появление 6 очков» при одном бросании игральной кости; 3) «падение бутерброда маслом вверх» и «падение бутерброда маслом вниз»; 4) «изъятие из полного набора домино дубля» и «изъятие из полного набора домино костяшки с разными очками». В примерах 1 и 2 нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество (если монета и кубик правильные). Такие события называются равновозможными. Часто равновозможность событий удаётся установить из соображений симметрии. 115 Примеры 3 и 4 демонстрируют образцы неравновозможных событий. Действительно, бутерброд чаще падает маслом вниз (из-за того, что после намазывания хлеба маслом центр тяжести бутерброда смещается из центра его симметрии в сторону слоя масла). При изъятии одной костяшки из полного набора домино, скорее всего, появится костяшка с разными очками (так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21). Упражнения В упражнениях 327—331 описаны условия и происходящие в них события. Для каждого из этих событий (устно) определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным. 327 Из 25 учащихся класса: 1) двое справляют день рождения 30 января; 2) все справляют день рождения 30 января. 328 Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы К; 2) с буквы Ь. 329 Из списка журнала IX класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 15 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет. 330 Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) у жительницы Сочи вода в кастрюле закипела при t = 80 °С; 2) когда температура воздуха упала до -5 °С, вода в луже замёрзла. 331 Бросают две игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на второй — 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков равна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15. В упражнениях 332—334 среди данных пар событий указать, какие являются совместными, а какие — несовместными. 332 В сыгранной Катей и Славой партии в шахматы: 1) Катя выиграла; Слава проиграл; 2) Катя проиграла; Слава проиграл. 333 Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось: 1) 6 очков; 5 очков; 2) 6 очков; чётное число очков. 334 Из набора домино (рис. 21) вынута одна костяшка, на ней: 1) одно число очков больше 3, другое число 5; 2) одно чис- 116 Рис. 21 ло не меньше 6, другое число не больше 6; 3) одно число 2, сумма обоих чисел равна 9; 4) оба числа больше 3, сумма чисел равна 7. 335 Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облачка»; 3) «наступило лето» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий. 336 Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня первое января»; 4) «температура воздуха в Салехарде -н20 °С» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий. 337 Имеется правильная треугольная пирамида — тетраэдр (рис. 22). Одна из её граней серая, а 3 другие белые. Тетраэдр бросают на стол и наблюдают за гранью, которой он соприкасается со столом. Являются ли равновозможными события «тетраэдр упал на серую грань» и «тетраэдр упал на белую грань»? Тетраэдр Развёртка тетраэдра 338 Бросается игральный кубик, у которого: 1) 2 грани; 2) 3 грани — окрашены в красный цвет, а остальные — в жёлтый. Являются ли равновозможными события «выпала жёлтая грань» и «выпала красная грань»? 117 ♦ 6 ♦ 7 ♦ 9 ♦ 10 ♦ В ♦ д к ♦ т «к* 6 V- 8 В Д су» к ф 6 ф 7 Ф 8 Ф 9 Ф 10 Ф В ф Д Ф к ф т ф 6 ф 7 Ф 8 Ф 9 Ф 10 Ф В ф Д Ф к ф т Рис. 23 339 340 Из полной колоды в 36 карт (рис. 23) наугад вынимается одна карта. Являются ли равновозможными события: 1) «вынута карта красной масти» и «вынута карта чёрной масти»; 2) «вынут король» и «вынута дама»; 3) «вынута карта бубновой масти» и «вынута карта червовой масти»; 4) «вынута карта пиковой масти» и «вынута карта красной масти»; 5) «вынута шестёрка треф» и «вынута дама пик»? Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события: 1) «вынута карта красной масти» и «вынут валет»; 2) «вынут король» и «вынут туз». Вероятность события • • • I.I.I.I..I..I...I • Встречаясь в жизни с различными событиями, мы часто даём оценку степени их достоверности. При этом произносим, например, такие слова: 118 «Это невероятно!* — говорим о невозможном событии, например, о том, что вода в холодильнике закипела. «Маловероятно, что сегодня будет дождь», — говорим, глядя на безоблачное небо летним утром. «Наверняка это случится!», «Я уверен, что это произойдёт!» — говорим, например, о предполагаемой двойке за контрольную работу, если изучаемая тема не была усвоена. «Шансы равны», «Один к одному» или «Шансы пятьдесят на пятьдесят» — говорим, например, о возможности победы в соревнованиях двух одинаково подготовленных спортсменов или когда делаем ставку на орла или решку при подбрасывании монеты. Вопрос о возможности измерения степени достоверности наступления какого-либо события задавали себе ещё в XVII в. французские учёные Блез Паскаль (1623—1662) и Пьер Ферма (1601 —1665). Наблюдая за игрой в кости, Паскаль высказал идею измерения степени уверенности в выигрыше (шансы выигрыша) некоторым числом. Действительно, рассуждал Паскаль, когда игрок бросает игральную кость, он не знает, какое число очков выпадет. Но он знает, что каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6 имеет одинаковую долю успеха (равные шансы) в своём появлении. Игрок также знает, что появление одного из этих чисел в каждом испытании (броске) — событие достоверное. Если принять возможность насту пления достоверного события за 1, то возможность появления, например, шестёрки (равно как и любого другого числа очков) в 6 раз меньше, 1 т. е. равна -. 6 Долю успеха того или иного события математики стали называть вероятностью этого события и обозначать буквой Р (по первой букве латинского слова probabilitas — вероятность). Если буквой А обозначить событие «выпало 6 очков» при одном бросании игральной кости, то вероятность события А обозначают Р (А) и записывают P(A) = i (читается: «Пэ от А равно одной 6 шестой» или «Вероятность события А равна одной шестой»). 119 Задача 1 Ответ Поверхность рулетки (её вид сверху изображён на рисунке 24) разделена диаметрами на 4 равные части. Найти вероятность того, что раскрученная стрелка рулетки остановится на секторе 3. ► Так как площади секторов поверхности рулетки одинаковы, то в одном испытании с раскручиванием стрелки существуют 4 равновозможных события {исхода испытания); стрелка остановится: 1) на секторе 1; 2) на секторе 2; 3) на секторе 3; 4) на секторе 4. Достоверное событие — «стрелка остановится на каком-либо из секторов». Вероятность наступления достоверного события равна 1, а вероятность события А — «стрелка остановится на секторе 3», в 4 раза меньше, т. е. P(A) = i. 4 1. <] Помимо рассмотренных выше элементарных событий, можно изучать и более сложные события. Например, такие: «выпадение чётного числа очков (2, 4 или 6) при одном бросании игральной кости»; «остановка стрелки рулетки не на секторе 2» и т. д. Рассмотрим событие А — «выпало чётное число очков» в результате одного бросания игральной кости. Это событие наступает в 3 случаях (исходах) — когда выпадает или 2, или 4, или 6 очков. Говорят, что это благоприятствующие событию А исходы. Три благоприятствующих исхода составляют половину от всех возможных исходов испытания (их 6), поэтому вероятность события А равна: P(A) = - = i. 6 2 Если в некотором испытании существует п равновозможных попарно несовместных исхода и т из них благоприятствуют событию А, то вероятностью наступления события А называют отношение — и записывают п Р(А) = — . п (1) Задача 2 Найти вероятность появления при одном бросании игральной кости числа очков, большего 4. 120 Ответ Задача 3 Рис. 25 Ответ Событию А — «появлению числа очков, большего 4», благоприятствуют 2 исхода (появление 5 и появление 6 очков), т. е. т = 2. Число всех равновозможных исходов п = 6, поэтому I--’ Поверхность рулетки разделена на 8 равных секторов. Найти вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится на закрашенной части рулетки (рис. 25). ► Существует 8 равновозможных исходов испытания: стрелка остановится на секторе 1, на секторе 2, ..., на секторе 8, т. е. п = 8. В закрашенную часть рулетки попадают 3 сектора (4, 5 и 6-й), т. е. число благоприятствующих исходов т = 3. Тогда Р(А) = ^ = |. П о 3. <] 8 О вероятностях наступления достоверных, невозможных и случайных событий на основании формулы (1) можно рассуждать следующим образом. Если событие А достоверное, то ему благоприятствуют все возможные исходы испытания, т. е. т = п. Тогда Р(А) = — = 1. п Если событие А невозможное, то не существует исходов, благоприятствующих его появлению, т. е. m = 0. Тогда Р(А) = —= 0. п Если событие А случайное, то число т благоприятствующих его появлению исходов удовлетворяет условию о < /п < л. Тогда 0 < Р (А) = — < 1. п Таким образом, для вероятности Р (А) любого события А справедливы неравенства 0 ^ Р (А) < 1. Упражнения 341 Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате: 1) подбрасывания монеты; 2) подбрасывания игрального кубика; 3) под- 121 брасывания тетраэдра с гранями, занумерованными числами 1, 2, 3, 4; 4) раскручивания стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых секторов, обозначенных буквами А, В, С, D и Е. 342 Заполнить таблицу. W S X CQ п а а S о Испытание S S S 'с « П ’W' 1 S 1 ” 1 я 1 X й н 2 S аз § " х>§ в § Э " я ,5 Об 3 о 5^ н я et Изучаемое событие А , о я о «о g и Э 1 « S о 1 9 5 |g S Б м м О Я 7* U \о л ^^ § SI е g g I § 3 ^ PQ O'-. ' 1 Подбрасывание игрального кубика Выпавшее число очков нечётно 2 Подбрасывание игрального кубика Выпавшее число очков кратно трём 3 Изъятие из полного набора домино одной костяшки Изъята костяшка с очками 2 и 6 4 Изъятие из полного набора домино одной костяшки Изъят дубль 5 Раскручивание стрелки рулетки, разделённой на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8 Остановка стрелки на секторе с номером, кратным 4 6 Раскручивание стрелки рулетки, разделённой на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8 Остановка стрелки на секторе, номер которого не больше 6 343 В ящике находятся 2 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) зелёный; 4) белый или чёрный? 122 344 В ящике находятся 2 белых, 3 чёрных, 4 красных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) красный; 4) не белый; 5) не чёрный; 6) не красный? 345 На одинаковых карточках написаны числа от 1 до 10 (на каждой карточке — одно число). Карточки положили на стол, перевернули числами вниз и перемешали. Какова вероятность того, что на вынутой карточке окажется число: 1) 7; 2) чётное; 3) кратное 3; 4) кратное 4; 5) делящееся на 5; 6) простое? 346 Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой? 347 В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет: 1) выигрышный; 2) невыигрышный? 348 Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет? 349 Допустим, что 5 раз подбрасывалась монета и каждый раз выпадал орёл. Какова вероятность того, что при новом броске выпадет орёл? 350 Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) шестёрка треф; 2) семёрка; 3) король красной масти; 4) карта бубновой масти с числом; 5) карта червовой масти с чётным числом? 351 Деревянный окрашенный кубик 3x3x3 распилили на 27 одинаковых кубиков 1x1x1 (рис. 26). Кубики перемешали и выбрали наугад один из них. Найти вероятность события: 1) А — окрашены ровно 3 грани кубика; 2) В — окрашены ровно 2 грани; 3) С — окрашена только одна грань; 4) D — нет ни одной окрашенной грани. =71 Рис. 26 123 Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики Задача 1 Брошены две монеты. Какова вероятность того, что появятся: 1) два орла; 2) орёл и решка? ► Составим таблицу вариантов, позволяющую определить все возможные исходы в результате бросания двух монет. Появление орла в таблице обозначено буквой О, а появление решки — буквой Р. 1-я монета 2-я монета 0 Р 0 ОО ОР Р РО РР Ответ Из таблицы видно, что число возможных исходов в испытании п = 2 • 2 = 4. 1) Событию А — появлению двух орлов благоприятствует один исход (00), т. е. т = 1, поэтому P(A) = ^ = i. п 4 2) Событию В — появлению орла и решки благоприятствуют 2 исхода (ОР и РО), т. е. т = 2. Тогда Р(В) = - = - = -. п 4 2 2) Напомним правило произведения, сформулированное при изучении элементов комбинаторики в VII классе. Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то существует п ■ т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. 124 Задача 2 Ответ Задача 3 Брошены две игральные кости: одна белого, другая красного цвета. Какова вероятность того, что: 1) на белой кости выпадет 6 очков, а на красной — нечётное число очков; 2) на одной кости выпадет 6 очков, а на другой — нечётное число очков? Согласно правилу произведения число возможных исходов п = 6 • 6 = 36. Составим таблицу возможных исходов бросания двух игральных костей. Белая КОСТЬ Красная кость 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 1) Исходы, благоприятствующие событию А — появлению на белой кости 6 очков, на красной — нечётного числа очков, выделены в последней строке таблицы. Их 3, т. е. т = 3. Таким об- разом,Р(А) = ^ = ± = ^. 2) Исходы, благоприятствующие событию В — появлению на одной кости 6 очков, а на другой — нечётного числа очков, выделены в таблице исходов (к трём исходам, рассмотренным в предыдущем задании, добавляются ещё три за счёт появления 6 очков на второй кости и нечётного числа очков на первой). Таким образом, m = 6, и, следовательно, Р (В) = — = = п 36 6 1) 2) 1. *• » 4^ i ! 1 t i ♦ *: 1 : 'ir f ■t f ? 1 ! i i 1 j 1 i 1 j i i I i ; : ! 1 1 ! I ! 1 : 1 1 1 I ; i 11 1 : i i I 1 i i i i i i ! 1 1 j i тт i 1 i i 10 20 30 40 50 N том — подсчёт с помощью микрокалькулятора для каждого значения N (числа испытаний) относительной частоты — (с точностью до одной десяти-N тысячной). После этой работы мальчики на рисунке 38 отметили точками результаты математической обработки проведённых испытаний. Один из друзей, глядя на рисунок, сказал, что он похож на график затухающих колебаний. Придя в класс, друзья предложили всем 20 одноклассникам проделать аналогичные опыты с подбрасыванием монеты: каждый ученик бросал монету 50 раз и считал появление орла. После этого друзья составили сводную таблицу результатов испытаний (с. 135), суммируя в первом столбце число N проводимых учащимися испытаний, во втором — количество появлений орла М и находя в третьем столбце для каждой серии испытаний относительные частоты события W. Друзья заметили, что после значительного числа испытаний относительная частота появления орла всё меньше отличается от 0,5, т. е. от величины вероятности этого события в классическом понимании. Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний. 134 N М N N М N 50 25 0,5 550 21 & 0,5018 100 48 0,48 600 302 0,5033 150 74 0,4933 650 328 0,5046 200 101 0,505 700 347 0,4957 250 126 0,504 750 372 0,496 300 145 0,4833 800 398 0,4975 350 169 0,4829 850 427 0,5024 400 196 0,49 900 448 0,4978 450 222 0,4933 950 477 0,5021 500 253 0,506 1000 502 0,502 Описанный в исследовании факт подтверждают и дошедшие до нас исторические сведения. Известно, что в XVIII в. французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк де Бюффон (1707—1788) провёл 4040 испытаний с подбрасыванием монеты. В результате чего наблюдал появление орла 2048 раз. Таким образом, Бюффон получил относительную частоту появления орла, 2048 равную 0,5069. В начале XX в. английский 4040 учёный Карл Пирсон (1857—1936) провёл с помощью своих учеников 24 000 аналогичных испытаний и наблюдал 12 012 появлений орла. Относительная частота события у Пирсона оказалась „ 12012 равной = 0,5005. 24000 Аналогичные исследования с большим числом испытаний проводились различными людьми в разные годы. В связи с этим и ему подобными явлениями швейцарский математик Якоб Бернулли (1654—1705) обосновал так называемый закон больших чисел: Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W (А) практически не отличается от его вероятности Р (А), т. е. Р (А) ~ W (А) при большом числе испытаний. 135 Задача 2 Родильный дом некоторого города вёл по годам подсчёт рождения мальчиков и девочек. Результаты заносились в таблицу. Год Число родившихся детей Девочки Мальчики 1998 802 823 1999 629 665 2000 714 769 2001 756 798 2002 783 811 Найти относительную частоту рождения мальчиков в рассматриваемые годы. Число родившихся мальчиков: М = 823 + 665 + -I-769-t-798-и 811 = 3866. Число родившихся девочек: 802 + 629 + 714 -I- 756 + 783 = 3684. Общее число родившихся детей N = 3866 + 3684 = 7550. Относительная частота появления в рассматриваемом родильном доме мальчиков равна 0,5121. М 3866 Ответ W ~ 0,5121. <1 Отметим, что всемирные наблюдения за рождением детей показывают, что мальчиков на Земле рождается всегда чуть больше, чем девочек. 368 Упражнения Заполнить последний столбец таблицы: □ С Испытание « S X со О Н ^ 3 S « гг Событие А 'С СО ^ Н S О ь в 3 - « о 5! у 8 3 Относительная частота события Л 1 Бросается монета 100 Выпала решка 52 2 Спортсмен стреляет по мишени 100 Попадание по мишени 90 3 Бросается игральная кость 500 Выпало 5 очков 84 136 369 Новый препарат давался 1000 пациентам, больным одной и той же болезнью. По истечении курса лечения 952 пациента исцелились. Какова относительная частота исцеления в рассмотренном исследовании? 370 В изготовленной партии из 10 000 болтов обнаружено 250 бракованных болтов. Найти относительную частоту появления в данной партии бракованного болта. Выразить результат в процентах. 371 Проводилась серия испытаний с подбрасыванием гайки (рис. 39). Результаты заносились в таблицу: Число испытаний (N) 10 50 100 250 500 1000 Частота падения гайки плашмя (М) 7 33 67 155 316 627 Относительная частота падения гайки плашмя (W) 372 Заполнить последнюю строку таблицы. Высказать предположение о значении вероятности Р — падения гайки плашмя (с точностью до одной десятой). Результаты испытаний с подбрасыванием напёрстка (рис. 40) заносились в таблицу: Число испытаний (N) 100 200 500 1000 Частота падения на бок (Mj) 83 169 421 839 Частота падения на большой круг 15 28 72 141 Относительная частота падения на бок (Wj) Относительная частота падения на большой круг (Wg) Заполнить две последние строки таблицы. Высказать предположение о значении вероятности падения напёрстка на бок (Pj) и на большой круг (Pj) с точностью до одной сотой. Упала плашмя Упала на грань Упал на большой круг Упал на бок Упал на малый круг Рис. 39 Рис. 40 137 373 (Исследование.) Результаты подбрасывания 100 раз (N = 100) игрального кубика занести в таблицу. Исходы испытания 1 ОЧКО 2 очка 3 очка 4 очка 5 очков 6 очков Подсчёт случаев Частота (М) Относительная частота fw=—l 1 100 j Подсчёт случаев удобно проводить следующим образом: после каждого броска кубика в соответствующую выпавшему числу очков клетку таблицы ставится знак «|». После накопления четырёх вертикальных знаков пятый проводится горизонтально: «||». После этого подсчёт частот существенно упрощается. Например, если в клетке подсчёта случаев стоят знаки «11 § ||», то, очевидно, под ней, в клетке частоты, следует записать число 17 (получаемое как 5 ■ 3 + 2). Объединив результаты исследований нескольких (fe) учеников, составить сводную таблицу частот и относительных частот (для N = 100ft испытаний). Убедиться в том, что с увеличением числа испытаний относительная частота появления 1 очка, 2 очков, ..., 6 очков всё меньше отличается от вероятности каждого из этих событий Р = ^. 6 Упражнения к главе V 374 В коробке находятся 3 чёрных, 4 красных и 5 синих карандашей. Наугад вынимается один карандаш. Найти вероятность того, что вынутый карандаш: 1) чёрный; 2) красный; 3) синий; 4) не чёрный; 5) не красный; 6) не синий; 7) зелёный; 8) или чёрный, или красный, или синий. 375 Наугад называется натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность того, что это число: 1) 6; 2) не 6; 3) кратно 6; 4) кратно 5; 5) простое число; 6) не меньше 27? 138 376 Витя забыл две последние цифры номера телефона приятеля и набрал их наугад. С какой вероятностью этот звонок попадёт к приятелю? 377 На стол бросают монету и игральный кубик. Какова вероятность того, что: 1) на монете появится орёл, а на кубике — 2 очка; 2) на монете появится решка, а на кубике — нечётное число очков? 378 Брошены две игральные кости — белая и чёрная. Какова вероятность того, что: 1) на белой кости выпало чётное число очков, а на чёрной — нечётное; 2) появятся 2 и 3 очка; 3) появятся два чётных числа очков; 4) появится чётное и нечётное число очков? Проверь себя! 1 В коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 5 красных шаров. Наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) не красный; 4) или чёрный, или красный. 2 На стол бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпало 3 очка, а на втором — число очков, большее чем 4? 379 Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) валет; 2) король чёрной масти; 3) с чётным числом красной масти; 4) не с числом? 380 Брошены 3 монеты: копейка, пятак и гривенник. Какова вероятность того, что: 1) на копейке появится орёл, а на пятаке и гривеннике — решки; 2) на всех монетах выпадут решки? 381 В ящике находятся 3 белых и 2 чёрных шара. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 белых шара; 2) 2 чёрных шара; 3) чёрный и белый шары; 4) шары одного цвета? 382 Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что: 1) хотя бы на одной кости появятся 3 очка; 2) хотя бы на одной кости появится чётное число очков? VI ZJiaea, Случайные величины Таблицы распределения .. VI.I..{..I...I..I..I...I..I..<...«• Задача 1 Брошены две игральные кости. Игроки делают ставки на выпавшую сумму очков на двух костях. Есть ли сумма, на которую выгодно делать ставку? ► Подсчитаем вероятность появления каждой суммы. Общее число исходов п — появление всевозможных сумм на двух костях, согласно правилу произведения равно 6 • 6 = 36. Составим таблицу сумм очков: 1-я кость 2-я кость 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 С помощью таблицы для каждой конкретной суммы определим число благоприятствующих исходов т; — 01^2 ~ 1, ^^3 ” JJ — 2, т^ = Шд = 4, = Шд = 5, т-; = 6. Вероятность появления той или иной суммы в результате бросания двух костей можно представить в виде следующей таблицы: 140 Сумма очков 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Вероятность Г ^ р fTl 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 [ п J 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 6 1 Наибольшую вероятность появления — = - имеет 36 6 сумма очков, равная 7. Ответ Такая сумма есть, она равна 7 очкам. <3 В задаче появляющаяся при бросании костей сумма очков — случайная величина. Обозначим её X. Тогда Xj = 2, Х2 = 3, ..., Xjo = 11, Хц = 12 — значения случайной величины X. Соответствующие каждому значению X вероятности их появления Pj, Р2, .... Pjo, Рц указаны в таблице: X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36 С помощью этой таблицы легко увидеть, например, какие значения величина X принимает с одинаковыми вероятностями; какое значение величины X появляется с большей вероятностью и т. д. Существуют случайные величины, принимающие одинаковые значения, но с разными вероятностями. Рассмотрим, например, 3 игральных кубика, на гранях которых отмечены только одно или два очка: у кубика А одно очко встречается на гранях один раз, у кубика В — 2 раза, а у кубика С — 3 раза (рис. 41). — р’ — ■7’ А Ф В Г С f. • У Рис. 41 141 Случайные величины X, Y тл Z — числа очков, выпавшие после бросания на кубиках А, В и С соответственно, принимают одинаковые значения: Xj = Yj = Zj = 1, Х2 = Уг = 2^2 = 2. Вероятности же появления этих чисел на каждом из рассмотренных кубиков различны (см. таблицы). X 1 2 р 1 6 5 6 кубик А 1 кубик в кубик с Эти таблицы называют таблицами распределения значений случайной величины по их вероятностям. Очевидно, что они составлены после теоретического расчёта вероятностей событий. Рассмотрим примеры случайных величин, для которых невозможно записать распределение их значений по вероятностям, исходя только из теоретических соображений. Пример 1 Падение некоторой кнопки «на острие» или «на плоскость» может быть рассмотрено как случайная величина R с условными значениями = О (падение «на острие») и R2= 1 (падение «на плоскость»). В отличие от примеров с бросанием игральных кубиков, распределение значений величины R не может быть найдено теоретически. Поэтому записать его можно лишь после проведения серии опытов (см. § 26) с помощью относительной частоты. Для некоторой конкретной кнопки распределение значений случайной величины R по относительным частотам представлено с помощью таблицы: R 0 1 W 0,55 0,45 Пример 2 Случайная величина X — оценка за контрольную работу учащихся IX класса — может принимать значения Xj = 1, Xg = 2, Х3 - 3, Х4 • 4, Xj = 5. Распределение величины X по частотам (или относительным частотам) можно записать после подсчёта числа случаев появления каждого её значения. 142 Задача 2 После проверки контрольной работы в IX классе учитель сделал подсчёт числа случаев получения каждой из оценок и составил таблицу распределения значений величины X (оценка учащегося) по частотам М. X 1 2 3 4 5 Подсчёт случаев 1 III 1 1 1 1 1 1 1 1 III мм +н^ +Н+ ММ ми м 1 3 15 9 3 Ответ Составить таблицу распределения значений величины X по относительным частотам. ► Число учащихся IX класса N, писавших контрольную работу, равно сумме частот (М) всех выставленных оценок, т. е. ЛГ=1-нЗ-1-15-1-9-1-3 = 31. Зная, что относительная частота находится по формуле W = — , вычислим относительную часто-N ту для каждого значения величины X: —, W„ = -^, W, = i^, W. = —,W. = -^. * 31 ^ 31 ® 31 * 31 ® 31 X 1 2 3 4 5 W 1 31 3 31 15 31 9 31 3 31 Когда нужно находить сумму всех значений некоторой величины, используют знак введённый Л. Эйлером. Например, если частота М принимает значения Mj, М2, ..., М*, то будем использовать обозначение: Mi + М2 + ... н-М* = Зная, что сумма всех частот случайной величины равна числу испытаний N, можно записать '£M = N. Для любой случайной величины сумма относительных частот всех её значений равна 1. • У VT = y [ —1 = —-к —-1-...-I- —= ^\N ) N N N _Mi+ М2 + ...+ Mk Q N N N ' 143 Задача 3 Например, в задаче 1: yvr = J- + A + i5 + ^^.A = i. ^ 31 31 31 31 31 Рост каждой из 50 гимнасток одного спортивного клуба занесён в таблицу: 148 148 148 149 149 149 149 149 149 149 149 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 151 151 151 151 151 151 151 151 152 152 152 152 152 152 152 152 152 153 153 153 153 153 153 153 154 154 154 154 154 По имеющимся данным составить таблицу распределения значений случайной величины X — роста гимнасток клуба: 1) по частотам (М); 2) по относительным частотам (W). Величина X принимает значения Xj = 148, Xg = = 149, ..., Ху = 154. Подсчитывая число (М) гимнасток каждого роста, заносим данные в частотную таблицу, а затем для каждого значения X находим значение относительной частоты W, зная, что N = 50. X 148 149 150 151 152 153 154 М 3 8 10 8 9 7 5 3 4 1 4 9 7 1 N 50 25 5 25 50 50 10 Проверка: уМ = 3-1-8-1-10+ 84-9+7-1-5 = 50 = Л^; '^W=l. < Упражнения 383 Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины X — числа очков, появившихся при бросании: 1) обыкновенного игрального кубика; 2) кубика, на двух гранях которого отмечено 1 очко, на двух гранях — 2 очка, на двух гранях — 3 очка; 3) кубика, на трёх гранях которого отмечено 1 очко, на двух — 2 очка, на одной грани — 3 очка; 4) кубика, на двух гранях которого отмечено 1 очко, на трёх — 2 очка, на одной — 3 очка. 144 384 На стол бросают две монеты. Исходу «орёл» припишем условное числовое значение О, а исходу «решка» — 1. Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины X — суммы выпавших на монетах чисел. 385 На стол одновременно бросают два игральных тетраэдра, грани каждого из которых пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины X — суммы очков на гранях тетраэдров, касающихся поверхности стола. 386 На стол одновременно бросают игральный кубик и игральный тетраэдр (грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4). Составить таблицу распределения по вероятностям значений случгшной величины X — суммы очков, выпавших на кубике и на грани тетраэдра, касающейся поверхности стола. 387 Составить таблицу распределения по частотам М значений случайной величины X — цифр, встречающихся на ценниках товаров некоторого киоска: 73, 102, 225, 30, 44, 68, 76, 5, 90, 119, 86, 24, 37, 207, 8, 45, 51, 13, 201, 69. 388 В таблице записаны размеры обуви 20 девочек IX класса: 34 35 35 35 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 40 389 На основании этих данных составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W) значений случайной величины X — размеров обуви девочек IX класса. В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся IX класса: 50 40 44 44 46 46 44 48 46 44 38 44 48 50 40 42 50 46 54 44 42 42 52 44 46 38 46 42 44 48 46 48 44 40 52 44 48 50 46 46 48 40 46 42 44 50 46 44 46 48 На основании этих данных составить таблицы распределения по частотам и относительным частотам значений случайной величины X — размеров одежды учащихся IX класса. 390 Рассматривая произвольную страницу текста на русском языке из произведения русского писателя, составить таблицы распределения по частотам и по относительным частотам всех букв русского алфавита. 145 391 Используя результаты, полученные в упражнении 390, и «шифр простой замены» (каждой букве русского алфавита соответствует своё двузначное число), расшифровать строки, принадлежащие А. С. Пушкину: ... 11 39 22 24 33 39, 35 11 21 38 31 30 28 11 30 29 38 33 17 36 22 37 23, 38 11 35 33 37 27 17 39 15 21 38 22 24 15 25 39 22 32 31, 24 35 22, 28 11 26 22 36 21 31 36 23, 38 11 35 33 37 33 27 23 32 31 33 37 33 21 37 33 27 36 15 37 33, 28 11 30 34 33 36 15 36 22 37 23 ... Полигоны частот Распределение случайных величин можно задавать и демонстрировать графически. Пусть случайная величина X — размер обуви мальчиков IX классов одной школы имеет распределение по частотам, представленное в таблице: X 38 39 40 41 42 43 44 45 м 2 2 5 7 6 4 3 1 Отметим на координатной плоскости точки с координатами (X,; Ml), (Xg; Mj), ..., (Xg; Mg) и соединим их последовательно отрезками (рис. 42). Полученную ломаную линию называют полигоном частот. Возможно графическое представление распределения случайной величины и по относительным частотам. Допустим, в фонде некоторой библиотеки имеются книги следующих направлений: 1. Художественная и детская литература. 2. Учебная и педагогическая литература. 3. Общественно-политическая литература. 4. Научно-техническая литература. 5. Энциклопедии и словари. Распределение величины X — числа книг того или иного направления по относительным частотам 146 Рис. 42 представлено в таблице, где 1, 2, 3, 4 и 5 — условные значения случайной величины X (соответствующие её порядковому номеру в списке наименований направлений). X 1 2 3 4 5 W 0,55 0,21 0.1 0,08 0,06 1 Распределение величины X можно наглядно представить в виде полигона относительных частот (рис. 43), в виде линейной диаграммы (рис. 44) или 147 wf 1 0,8-- 0,6-:. 0,4-- 0,2 ^ ▼ 1 2 3 X Рис. 44 в виде круговой диаграммы, предварительно перюведя значения относительной частоты в проценты (рис. 45). Если случайная величина принимает много различных значений, то их распределение можно представить после разбиения на классы всех её значений. Количество классов может быть любым, удобным для рассмотрения (обычно их выбирают в количестве от 4 до 12). При этом величины (объёмы) классов должны быть одинаковыми. Рассмотрим пример. В таблице представлены сведения о заработной плате 100 рабочих одного предприятия. При этом заработные платы (округлённые до целого числа рублей) сгруппированы в 7 классов, каждый объёмом в 1000 р. Классы Д* о О et О о ® S ® о о еС О о о ^ т-Н Jr о о п S о о о гН CSJ ^ гН Н о о ^ О 2 <=> о о CVJ со Jr О о Й О 2 ® О О со ^ ^ »-н о КС й о 2 ® о О ^ y-t Ь о о КС Номер класса X 1 2 3 4 5 6 7 Частота (количество рабочих) М 4 6 18 36 22 10 4 Проверка: ZM = 100. 148 Mb 40- 36 зо- 20--' 10-1- 4 о 1 234 5 6 7 X Рис. 46 392 Наглядно частотное распределение зарплат по классам можно представить с помощью полигона частот (рис. 46) или столбчатой диаграммы (рис. 47). Упражнения На основании данных таблицы представить в виде столбчатой и круговой диаграмм распределение значений случайной величины X: 1) 2) X 1 2 3 4 W 0,1 0,3 0,4 0,2 X 1 2 3 4 5 W 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1 393 На основании данных частотной таблицы построить таблицу распределения значений величины X по относительным частотам: 1) 2) X 1 2 3 4 5 м 2 3 5 8 12 X 1 2 3 4 5 6 W 2 5 15 20 5 3 394 Построить столбчатую и круговую диаграммы относительных частот распределения значений величины X. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины X, распределение которой представлено в таблице: 149 1) 2) X 11 12 13 14 15 м 3 1 5 6 5 X 23 24 25 26 27 28 М 6 5 2 3 1 3 395 Измерив рост 50 девятиклассников в сантиметрах, результаты записали в таблицу: 149 150 150 151 151 152 152 153 154 154 155 155 155 156 156 157 157 157 158 158 159 159 159 159 161 161 161 162 162 162 162 162 165 166 166 166 167 167 169 170 171 171 173 173 173 175 176 178 180 182 396 Сгруппировав данные по классам 145—149, 150—154, ..., 180—184, представить частотное распределение роста учащихся по этим классам с помощью: 1) таблицы; 2) полигона частот; 3) столбчатой диаграммы. При переписи населения данные о возрасте (полном количестве прожитых лет) жильцов некоторого дома оказались следующими: 34, 31, 2, 8, 48, 40, 20, 15, 12, 21, 20, 0, 68, 39, 35, 16; 13, 9, 4, 72, 74, 75, 45, 44, 23, 18, 88, 60, 54, 30, 32, 11, 10, 5, 57, 53, 56, 24, 2, 1, 60, 59, 34, 30, 9, 7, 43, 42, 19, 1, 36, 37, 14, 13, 9, 62, 58, 19, 39, 35, 12, 8, 40, 25, 3, 33, 34, 8, 7, 4, 28, 0, 41, 29, 21, 1, 31, 27, 6, 3, 70, 56, 67, 25, 24, 2. Разбить приведённые выше данные по классам. Представить распределение данных по классам в виде полигона частот. i Генеральная совокупность и выборка в реальной жизни схожие элементы некоторой совокупности сравнивают по различным признакам. Как мы уже видели в задачах предыдущих 150 параграфов, учащихся IX классов можно сравнивать, например, по росту, размеру одежды, успеваемости и т. д. Болты можно сравнивать по длине, диаметру, весу, материалу и т. д. Практически любой признак либо поддаётся непосредственному измерению, либо может получить условную числовую характеристику (см. пример с книгами в § 28). Таким образом, некоторый признак элементов совокупности можно рассматривать как случайную величину, принимающую те или иные числовые значения. При изучении реальных явлений часто бывает невозможно обследовать все элементы совокупности. Например, практически невозможно выявить размеры обуви у всех людей планеты. А проверить, например, наличие листов некачественной фотобумаги в большой партии хотя и реально, но бессмысленно, так как полная проверка приведёт к уничтожению всей партии бумаги. В подобных случаях вместо изучения всех элементов совокупности, которую называют генеральной совокупностью, обследуют её значительную часть, выбранную случайным образом. Эту часть называют выборкой. Если в выборке присутствуют все значения случайной величины примерно в тех же пропорциях, что и в генеральной совокупности, то эту выборку называют репрезентативной (от фр. representa-tif — представительный). Например, если менеджер швейной фабрики большого города хочет выяснить, в каком количестве нужно шить одежду тех или иных размеров, он должен составить репрезентативную выборку людей этого горюда. Объём её может быть и не очень большим, но в качестве такой выборки нельзя, например, брать только детей детского сада или только рабочих одного завода. Очевидно, микромоделью города могут послужить жильцы многоквартирного дома (или нескольких домов), в котором примерно в тех же прюпорциях, что и в самом горюде, проживают люди разных возрастов и разных комплекций. Пусть S — объём генеральной совокупности, N — объём репрезентативной выборки, в которой значения исследуемого признака распределены по частотам Mj, ...» М*, где = N. Требуется 151 Задача 1 в генеральной совокупности найти частоты Sj, Sg, .... S/, тех же значений признака, что и в выборке X Для идеально составленной репрезентативной выборки (1) iv '5’ где I — порядковый номер значения признака (1 < г < А). Из соотношений (1) находим S, = S = м, N или Si = , где 1 ^ i ^ А. (2) Фабрика резиновых изделий выиграла тендер на изготовление S = 10 000 армейских противогазов. Для определения того, сколько противогазов каждого из пяти существующих размеров следует изготовить, были сделаны замеры у ЛГ = 100 случайным образом выбранных солдат ближайшей воинской части. Распределение размеров противогазов X по частотам М оказалось следующим: X 0 1 2 3 4 м 5 21 47 22 5 Сколько противогазов каждого размера будет изготавливать фабрика? ► Будем считать исследуемую выборку объёмом N = = 100 солдат репрезентативной. _Тогда в генеральной совокупности (объёмом S = 10 000 солдат) количество противогазов каждого размера пропорционально количеству противогазов соответствующего размера в выборке и для каждого размера находится по формуле (2). Результаты расчётов будем записывать в таблицу: Размер(X) 0 1 2 3 4 Частота в выборке (М) 5 21 47 22 5 Относительная частота 0,05 0,21 0,47 0,22 0,05 Количество противогазов (S • W) 500 2100 4700 2200 500 Ем = N = 100 ЕТУ= 1 I.(S W)=S = = 10 000 Ответ Размер 0 1 2 3 4 Количество противогазов 500 2100 4700 2200 500 152 fV' **y*T*Sy *i> f.**# Puc. 48 В промышленности и сельском хозяйстве для определения количественного соотношения изделий разного сорта пользуются так называемым выборочным методом. Суть этого метода будет ясна из описания следующего опыта. В коробке тщательно перемешан горох двух сортов: зелёный и жёлтый. Небольшой ёмкостью, например ложкой (рис. 48), извлекают из разных мест коробки небольшие порции гороха. В каждой порции подсчитывают число жёлтых (М) и число всех {N) горошин. Для каждой порции находят относительную частоту появления жёлтой горошины W = —. Так поступают k раз (на практике обычно N берут 5 ^ А ^ 10) и каждый раз вычисляют относительную частоту. За статистическую вероятность изъятия жёлтой горошины из коробки принимают среднее арифметическое полученных относительных частот W^, Wg, ..., Wf^: W = cp Wi + W2 + - + Упражнения 397 Определить, какую из предложенных выборок в последнем столбце таблицы можно считать репрезентативной. Но- мер зада- ния Генеральная совокупность Цель обследо- вания Выборка 1 Партия одинаковых деталей объёмом 10 000 штук Определение числа бракованных деталей в партии 1) 5 рядом лежащих деталей; 2) 5 деталей, выбранных случайным образом из разных частей партии; 3) 100 деталей, выбранных случайным образом из разных частей партии 2 Партия штампованных деталей объёмом 100 000 штук Определение среднего веса детали в партии 1) 2 детали; 2) 100 деталей, отштампованных последними; 3) 50 случайным образом выбранных деталей из партии 153 Продолжение Но- мер зада- ния Генеральная совокупность Цель обследо- вания Выборка 3 Урожай зерна с поля площадью 1000 га Определение урожайности зерна на этом поле 1) Урожай зерна с северного склона холма площадью 1 га; 2) среднее арифметическое урожайности с двух соседних участков площадью 1 га: северного и восточного склонов холма; 3) среднее арифметическое урожайностей с 10 участков, каждый из которых площадью 10 соток выбран на поле случайным образом 398 Рассмотреть в качестве генеральной совокупности всё население большого города. В таблице указана цель статистического обследования населения и то, каким образом составлялась выборка из генеральной совокупности. Попытаться объяснить, почему составленную выборку нельзя считать репрезентативной. Но- мер зада- ния Цель обследования Выборка 1 Выявление читательских интересов 1) Дети старшей группы детского сада; 2) студенты исторического факультета университета 2 Выявление любимых мелодий (песен) 1) 100 учащихся музыкальной школы; 2) 100 человек, случайным образом остановленных и опрошенных поздно вечером на улице города 3 Определение числа больных гриппом в городе во время пика эпидемии 1) 100 случайным образом выбранных пациентов терапевтических кабинетов поликлиник города; 2) жильцы одного подъезда двухэтажного дома 4 Определение среднего уровня доходов населения 1) 300 случайным образом выбранных жильцов студенческого общежития; 2) все жители коттеджного района города 5 Определение наиболее ходовых размеров джинсов 1) Все студенты хореографического училища; 2) члены секции сумо 154 Продолжение Но- мер зада- ния Цель обследования Выборка 6 Определение количества домашних кошек и собак, приходящегося на душу населения в городе 1) Жильцы пяти частных домов; 2) жильцы многоквартирного дома 399 Относительная частота появления имён существительных в тексте некоторого автора близка к 0,4. Сколько (приблизительно) имён существительных встретится в случайным образом выбранном отрывке из текста этого же автора, если всего в этом отрывке 500 слов? 4(Ю В отрывке из художественного произведения объёмом 600 слов некоторого автора глаголы встречаются 72 раза. Определить примерное количество глаголов в отрывке объёмом 2000 слов из текста того же автора. 401 Обувной цех должен выпустить 1000 пар кроссовок молодёжного фасона. С этой целью были выявлены размеры обуви у 50 случайным образом выбранных подростков. Распределение выявленных размеров по частотам представлено в таблице: Размер (X) 35 36 37 38 39 40 41 42 Частота (М) 3 5 6 12 11 7 4 2 Считая рассмотренную выборку репрезентативной, определить, сколько пар кроссовок каждого размера выпустит обувной цех. 402 Среди случайным образом выбранных 100 молодых людей, носящих летом кепки, провели опрос о цветовых предпочтениях этого вида головных уборов. Результаты опроса отражены в таблице: Цвет Чёр- ный Крас- ный Синий Серый Белый Жёл- тый Зелё- ный Частота 32 20 16 14 11 5 2 Считая рассмотренную выборку репрезентативной, высказать рекомендации швейной фабрике по количеству выпускаемых кепок каждого цвета, если фабрика должна подготовить к продаже 30 000 кепок. 155 Размах и центральные тенденции 1. Размах, мода и медиана Генеральные совокупности и выборки случайных величин иногда приходится характеризовать одним числом. На практике это бывает необходимо, например, для быстрого сравнения двух или нескольких совокупностей по общему признаку. Рассмотрим конкретный пример. Имеются: 1) распределение случайной величины X — числа прочитанных за каникулы книг десятью девочками по частотам М (таблица слева); 2) распределение по частотам случайной величины У — числа прочитанных за каникулы книг девятью мальчиками того же класса (таблица справа). X 3 4 5 8 12 м 3 2 3 1 1 У 3 4 5 6 7 М 2 4 1 1 1 N = 1м = 10 N = ЪМ = 9 Нужно сравнить интерес к чтению девочек и мальчиков этого класса. Когда в совокупности число элементов N небольшое, все значения, которые они принимают, можно для наглядности выписать в виде упорядоченного ряда чисел — последовательности значений случайной величины в порядке их возрастания. При этом каждое значение выписывается столько раз, какова его частота в совокупности. Например, заданные таблицами распределения величин X и У могут быть записаны соответственно в виде следующих рядов: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 8, 12; (1) 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7. (2) Для сравнения предложенных совокупностей могут быть использованы различные характеристики. Перечислим некоторые из них. 156 Размах (обозначается R) — разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины. Так, для совокупности (1) Я = 12 - 3 = 9, а для совокупности (2) Я = 7 - 3 = 4. Можно сказать, что разброс в количестве прочитанных книг у девочек больше, чем у мальчиков. Кроме того, вторая совокупность более однородная (равномерная), чем первая. Мода (обозначим Мо) — наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Так, в совокупности (1) две моды: Moj = 3 и Mog = 5 (значения 3 и 5 имеют одинаковые частоты М = 3). В совокупности (2) Мо = 4, так как значение 4 в совокупности (2) встречается чаще других (рис. 49). Медиана (обозначим Me) — это так называемое серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины. В ряду (1) число членов десять (N = 10) — чётное число. Для него медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений: пятого равно 4, и шестого ^.y-t-l = 6 оно равно 5, т. е. Me = i-^ = 4,5. 157 Задача 1 В ряду (2) нечётное число элементов (N = 9). Его медиана равна значению центрального пятого 'N + 1 9+1 —-— = —-— = 5 члена ряда: ^ у Me = 4. Можно сказать, что медиана делит упорядоченный ряд чисел на две равные по количеству элементов части: 3 3 3 4 4 5 5 8 12 Ответ I 5 медиана 1 334404567 О совокупности девочек (1) можно сказать, что одна половина из них прочитала меньше 4,5 книг, а другая половина — больше 4,5 книг. В совокупности (2) одна половина мальчиков прочитала не больше 4 книг, а другая половина — не меньше 4 книг. Найти размах, моду и медиану следующей совокупности значений случайной величины: -2, 3, 4, -3, О, 1, 3, -2, -1, 2, -2, 1. Запишем предложенные значения в виде упорядоченного ряда чисел: -3, -2, -2, -2, -1, О, 1, 1, 2, 3, 3, 4. Размах Д = 4 - (-3) = 7, мода Мо = -2. Так как число элементов N=12 — число чётное, то медиана равна среднему арифметическому значений шестого и седьмого членов упорядоченного ряда чисел: Me = ^^ = 0,5. 2 R= 7, Mo = -2, Me = 0,5. 2. Среднее значение Средним значением случайной величины X (обозначается X) называют среднее арифметическое всех её значений. Если все значения случайной величины Х2, ..., Хдг различны, то Х,+ Х,+ ...+ Х„ X =■ N (3) 158 Если значения случайной величины Xj, Xg, .... X* имеют в совокупности соответственно частоты Mj, М2, М*, то ^ _XiMi+ Х2М2+ •■.+ М,+ Мг+ ...+М* ■ ^ ^ Зная, что Им = N, формулу (4) можно переписать в виде XjM J + Х2М2 + ... + Xj, Mh X ='■ N (4') Задача 2 Возвращаясь к примеру с изучением интереса к чтению у девочек и мальчиков класса, найдём по формуле (4) среднее значение предложенных совокупностей: — _ 3-3 + 4-2+5-3-I-81 + 121 _ 52 _ . „ '' 3 + 2 + 3 + 1+1 10 — _3-2 + 4-4+5-1 + 6-1+7-1_40^ . . 2 + 4 + 1 + 1 + 1 “ 9 ~ ■ Так как Хд > Х„, можно говорить, что за один и тот же промежуток времени девочки класса в среднем читают больше книг, чем мальчики. На соревнованиях по фигурному катанию 2 фигуристки получили (по шестибалльной шкале) оценки судей, представленные в таблице: Номер фигуристки Номер судьи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4,8 5,6 4.9 5,2 4,7 4,9 4,9 4,8 4,7 2 5,1 4,2 5,0 4,9 5,0 5,1 5,0 5,1 5,0 Которая из фигуристок выступила лучше? ► Запишем в таблицы распределение по частотам оценок X и У, выставленных соответственно первой и второй фигуристкам: X 4,7 4,8 4,9 5,2 5,6 М 2 2 3 1 1 У 4,2 4,9 5,0 5,1 М 1 1 4 3 Zm = N = 9 Им = N = 9 Найдём среднее значение оценок каждой из фигуристок: ^ 4,7-2 + 4,8-2 + 4,9-3 + 5,21+5,61 44,5 . _ . X =-----------------------------= —— ~ 4,94, ^_4,2-1 + 4,91+5,0-4 + 5,1-3_44,4 . __ У-------------^-------------^-4,93. 159 Получаем X > У, хотя очевидно, что у второй фигуристки почти все оценки больше 5,0, а у первой — меньше 5,0. При этом сравнение в пользу второй фигуристки выглядит несправедливым. Такой результат получен, скорее всего, из-за необъективности 2-го судьи, завысившего по сравнению с остальными судьями оценку первой фигуристке и занизившего оценку второй фигуристке. Для большей объективности сравнения результатов на соревнованиях из совокупности баллов каждого фигуриста отбрасывают наибольшее и наименьшее значения. После отбрасывания наибольшего и наименьшего значений из совокупности баллов каждой фигуристки имеем: 4,7-1+ 4,8-2 + 4,9-3+ 5,2-1_ 34,2 Л. — ' ■ ■■ — .. ■ 7 7 4,9-1 + 5,0-4+ 5,1-2 _ 35,1 _ g 4,89, Так как X '< У', считаем, что вторая фигуристка выступила лучше первой. <] В книгах по статистике моду, медиану и среднее объединяют одним термином — меры центральной тенденции (или, короче, центральные тенденции), подчёркивая тем самым возможность измерить, охарактеризовать совокупность одним числом, к которому стремятся все её значения. Не для каждой совокупности имеет смысл формально находить центральные тенденции. Например, если исследуется совокупность 120, 120, 180, 11 500 (5) годовых доходов четырёх семей (в тыс. р.), то очевидно, что ни мода (120), ни медиана (150), ни среднее (2980) не могут выступать в роли объективной характеристики всех значений. Это объясняется тем, что размах совокупности (11 380) соизмерим с наибольшим её значением. В данном случае можно было искать центральные тенденции, например, части совокупности (5): 120, 120, 180, условно назвав её выборкой годовых доходов малообеспеченной части населения. 160 Если в выборке среднее значение существенно отличается от моды, то его неразумно выбирать в качестве типичного представителя совокупности данных. 403 404 Упражнения Найти размах, моду и медиану совокупности значений случайной величины X: 1) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 9; 2) -4, -2, -2, -1, о, 2, 2, 2, 2, 5, 7. Построить полигон частот значений величины X. Указать размах и моду совокупности. Найти размах, моду и медиану совокупности значений величины X: 1) X 2 3 4 5 м 3 4 1 3 2) X -1 2 3 5 6 М 2 3 4 4 1 405 406 407 408 409 Построить полигон частот значений величины X. Указать на нём размах, моду и медиану совокупности. Найти размах, моду и медиану выборки: 1) 1, 3, -2, 4, -2, о, 2, 3, 1, -2, 4; 2) 0,2; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6. Найти среднее значение выборки: 1) 3, 4, 1, 2, 5; 2) 2, -5, 4, -3, -2, 1; 3) -2, -2, 3, 3, 3, 5, 5; 4) 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6. Найти среднее значение случайной величины X; 1) X -1 2 3 5 М 3 4 5 2 2) X 0 1 3 5 6 М 4 5 6 3 2 410 Построить полигон частот значений случайной величины X из упражнения 407 и указать на нём среднее значение совокупности. При определении различными способами плотности материала, из которого изготовлена деталь, были получены следующие данные: 6,98 г/см®, 7,04 г/см®, 7,01 г/см®, 6,97 г/см®, 7,00 г/см®. Найти среднее арифметическое этой совокупности. Высказать предположение о материале, из которого изготовлена деталь. Педагогический стаж восьми учителей школы, работающих в старших классах одной школы, следующий: 5 лет, 8 лет, 15 лет, 12 лет, 17 лет, 14 лет, 18 лет, 9 лет. Найти среднее и медиану этой выборки. 6 Алгебра. 9 кл. 161 411 Девочки IX класса на уроке физкультуры при прыжках взяли высоты, величины которых (в см) учитель записал в журнал: 90, 125, 125, 130, 130, 135, 135, 135, 140, 140, 140. Какая высота прыжка наилучшим образом характеризует спортивную подготовку девушек класса? 412 В таблице приведены данные о рабочем стаже (в годах) сотрудников лаборатории. Найти среднее, моду и медиану рассматриваемой совокупности. Стаж работы 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25 Число сотрудников 2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2 Упражнения к главе VI 413 На стол бросают два игральных октаэдра (рис. 50), грани каждого из которых занумерованы числами от 1 до 8. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины X — суммы очков на верхних гранях октаэдров. Рис. 50 414 Для определения соотношений размеров рабочих халатов для женщин, работающих на различных предприятиях города, определили размеры у 49 случайным образом выбранных женц;ин крупнейшего комбината и составили таблицу (с. 163). 162 48 48 50 54 48 48 54 50 46 50 50 50 48 52 52 48 48 52 54 46 58 46 52 56 50 52 50 50 52 50 48 50 50 44 52 48 42 54 46 56 56 48 44 48 46 48 54 54 46 1) Сколько халатов каждого размера следует сшить, если планируется шить по одному халату для каждой из работающих в производстве города 73 500 женщин? 2) На основании данных таблицы построить полигон частот размеров женской одежды. 3) Найти моду, медиану, среднее и размах выборки. Проверь себя! Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (НО значений случайной величины X — оценок за контрольную работу учащихся одного класса: 2, 5, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 3, 4, 5, 3, 2, 4. Построить полигон частот значений величины X. Найти размах, среднее, моду и медиану выборки значений случайной величины У: -1, 3, о, 5, 8, 6, 3, 7, -2, 1. 415 Для каждой из трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, найти среднее, моду, медиану и размах. X 1 2 4 6 М 2 1 3 2 У -2 0 1 2 3 М 2 3 2 2 1 Z -5 -4 -2 3 М 1 3 3 1 416 На основании данных таблиц распределения (упражнение 415) построить полигоны относительных частот значений случайных величин X, Y, Z. vn глава Множества. Логика Множества 1. Множество и его элементы. Подмножества Понятие множества в математике относится к неопределяемым понятиям (подобно, например, понятиям числа и точки). Приведём примеры множеств: 1) множество жителей города; 2) множество точек плоскости; 3) множество натуральных чисел и т. д. Предметы или понятия, из которых состоит множество, называют его элементами. Например, число 6 — элемент множества натуральных чисел. Элементы множества часто обозначают строчными (малыми) буквами, а сами множества — прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Тот факт, что элемент х является элементом множества А записывают так: х s А (читается «х принадлежит А», или «элемент х принадлежит множеству А», или *х содержится в А»). Запись х t А означает, что элемент х не принадлежит множеству А. 2 Например: 42 е N, -е N, где N — множество на- О туральных чисел. Считается, что множество задано, если перечислены все его элементы или названо характеристическое свойство, по которому можно судить, принадлежит или не принадлежит данный элемент рассматриваемому множеству. 164 Задача 1 Ответ Перечисляемые элементы множества принято записывать в фигурных скобках. Например, {1; 2; 3; 4; 5} — множество, состоящее из первых пяти натуральных чисел. Это же множество (обозначим его М) можно записать, сформулировав его характеристическое свойство, например, следующим образом: М = {х\ x^N, 1 « 5}. (1) В этой записи зафиксировано, что множество М состоит из элементов х, обладающих перечисленными после двоеточия свойствами (двоеточие заменяет слова «таких, что»). Запись (1) читается так: «Множество состоит из элементов х, таких, что каждый из них является натуральным числом и удовлетворяет неравенствам 1 ^ х ^ 5*. Перечислить элементы множества А = {х-. X & N, 2х^ - 1х + г = 0}. Решение сводится к перечислению натуральных корней уравнения 2х^ - 7х + 3 = 0. Корни этого уравнения ^2 = 3, из которых толь- ко Хп е N. {3}. < Если бы в задаче 1 было задано уравнение, не имеющее натуральных корней, то в ответе следовало бы указать, что А — пустое множество (не содержит ни одного элемента). Пустое множество обозначается знаком 0. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными. Если множества А и Б равны, то записывают А = В. Например, если А = {2; 0; 3}, В = {3; 2; 0}, то А = В. Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называют подмножеством (частью) множества А и записывают В (Z А или А В. Такая запись читается как «(множество) В содержится в (множестве) А» или«А содержит В». Например, подмножествами множества {а, Ь, с) являются следующие восемь множеств: {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с) {а, Ь, с}, 0. Отметим, что любое множество является своим подмножеством, а пустое множество считают подмножеством любого множества. 165 2. Разность множеств. Дополнение до множества Пусть имеются два множества А и В. Эти множества на рисунке 51 условно изображены частями плоскости, находящимися внутри замкнутых линий и называемыми кругами Эйлера. Множество С, элементами которого являются все элементы множества А, не принадлежащие множеству В, называют разностью множеств А и В ч записывают С = А\В (на рисунке 51 множество С закрашено). Например: 1) если А = {а, Ь, с}, В = {а, Ь), то А\В = {с}; 2) если А = {а, Ь, с}, В = {с, d], то А\В = {а, Ь}; 3) если А = {а, Ь}, В = {с}, то А\В = {а, Ь}; 4) если А = {а, Ь}, В = {а, Ь, с}, то А\В = 0. Если В а А, то разность А\В называют дополнением множества В до множества А (на рисунке 52 такое дополнение закрашено). 3. Числовые множества Школьный курс математики начинается с изучения множества натуральных чисел N, т. е. чисел счёта 1, 2, 3, 4, 5, ... . Дополняя множество натуральных чисел N нулём и числами, противоположными натуральным, получаем множество целых чисел Z, т. е. числа О, ±1, ±2, ±3, ... . Дополняя множество целых чисел обыкновенными дробями, получаем множество рациональных чисел Q, т. е. чисел вида —, где т — целое число, п п — натуральное число. При этом любое целое число т является рациональным, так как может быть представлено в виде Напомним, что любое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Дополняя множество рациональных чисел иррациональными числами (бесконечными непериодическими десятичными дробями), получаем множество всех действительных чисел, которое обозначается R. 166 Описанный выше процесс расширения понятия числа с помощью кругов Эйлера изображён на рисунке 53. Используя символику теории множеств, можно сказать, что множество С = Z\N есть дополнение множества натуральных чисел до множества целых чисел, т. е. является множеством чисел О, -1, -2, -3, .... Рис. 55 Задача 2 4. Пересечение и объединение множеств Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В, называют пересечением множеств А и В и обозначают А П В. Знак П называют знаком пересечения. На рисунке 54 закрашено пересечение множеств А и В. Если А П В = 0, то множества А и В называют непересекающимися. Например; 1) {1; 2; 3}П{1; 3; 4} = {1; 3}; 2) {а; Ь} П {с} = 0; 3) пересечением лучей СА и BD на рисунке 55 является отрезок ВС. Отметим, что знак фигурной скобки при записи систем уравнений и неравенств означает, что при решении систем нужно найти пересечение множеств решений уравнений и неравенств, входящих в систему. Решить систему уравнений ^+х-2 = 0. х^ + 2х-3 = 0. (1) Ответ ► {1; -2} — множество корней уравнения х^ + х --2 = 0, {1; -3} — множество корней уравнения х^ + 2х - 3 = 0. Множество решений системы (1) есть пересечение множеств корней входящих в неё уравнений, т. е. {1; -2} П {1; -3} = {1}. х=1. <] Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов множеств А и В, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств, называют объединением множеств А и В и обозначают А U В. 167 C=AUS Рис. 56 Задача 3 Ответ Знак и называется знаком объединения. На рисунке 56 с помощью кругов Эйлера изображены элементы множеств А к В, а закрашено объединение этих множеств. Например: 1) {а; Ь; с} U {d; е} = {а\ Ь\ с; d\ е}; 2) {1; 2}и{1; 3; 4} = {1; 2; 3; 4}; 3) объединением лучей СА и BD является прямая AD (см. рис. 55); 4) множество решений неравенства — 5х + + 6 > О можно записать в виде (-оо; 2) U (3; +оо). Решить уравнение (х^ + х- 2) (х2 - 4) = 0. (2) Уравнение х'^ + х - 2 = 0 имеет корни -1 и 2, а уравнение - 4 = 0 — корни -2 и 2. Множество С корней уравнения (2) — объединение множеств {-1; 2} и {-2; 2}, т. е. С = {-1; 2} U {-2; 2} = = {-2; -1; 2}. д:1 = -2, Х2 = -1, Хз = 2. < Замечание. Решение уравнения (2) сводится к отысканию всех значений х, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений х^ + X - 2 = о, х^ - 4 = 0. (3) В этом случае говорят, что уравнение (2) можно заменить совокупностью уравнений (3), которую записывают с помощью квадратной скобки: -f- д: - 2 = о, х^-4 = 0. Совокупности уравнений часто записывают перечислением этих уравнений, как это сделано, например, для уравнений (3). Упражнения 417 Определить, верно ли высказывание: 5 е М; 6 е М; i е М; -3 е М, 4 если М = {2; 4; 6; 8}. 418 Пусть А — множество всех натуральных делителей числа 18. Верно ли, что 1 е А? 2 е А? 6 е А7 8 е А? 419 Пусть В — множество всех натуральных делителей числа 12. Верно ли, что 12 е В? 3 € В? 4 г В? 10 е В? 168 2) М = {а: а € Z, -21 < а ^ 3}; 420 Записать все подмножества множества: 1)М = {7;8}; 2)Л^ = {1;5}; 3) А = {1; 2; 3}; 4) В = {4; 5; 6}. 421 Найти все элементы множества: 1) А = {х: хв N, 2х < 7}; 3) С = {с: - 6с + 9 = 0}; 4) X = {х: х^ + 5х + 6 = 0}. 422 На плоскости отмечены точки А и В. Охарактеризовать множество точек М на плоскости, таких, что: 1) {М: AM = 3}; 2) {М: AM = МВ}. 423 Найти дополнение множества А до множества В, если: 1) Л = {-6; -4; -2}, В = {-6; -4; -3; -2}; 2) А = {-2; 0}, В = {-2; -1; 0; 1; 2}. 424 Найти А\В и В\А, если: 1) А = {-4; 5; 6}, В = {-5; -4; -3; -2}; 2) А = {1; 2; 3}, В = {-1; 0; 1}; 3) А = {-1; 0; 1; 2; 3}, В = {1; 2; 3}; 4) А = {5; 6; 7}, В = {-5; 5; -6; 6}. 425 Пусть N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество действительных чисел. Найти: 1) R\Q; 2) Z\N. 426 Найти А Л В и А и В, если: 1) А = {а; Ь; с}, В = {а; Ь}-, 2) А = {а; Ь; с), В = {с; d}; 3) А = {а; Ь), В = 0; 4) А = {а}, В = {с; d; е). 427 Найти А П В и А U В для множеств, указанных в упражнении 424. 428 Найти пересечение и объединение числовых отрезков [2; 7] и [4; 9]. 429 Найти пересечение и объединение числовых отрезков [6; 8] и [5; 7]. 430 Записать пересечение и объединение множества корней уравнения x^-4x-12 = 0c множеством корней уравнения х^ -Ъх-Ы = 0. 431 Записать множество А натуральных делителей числа 18 и множество В натуральных делителей числа 45. Найти А П В. Как называется наибольшее из чисел, принадлежащих множеству А П В? 432 Пусть С — множество натуральных чисел, кратных числу 18, а D — множество натуральных чисел, кратных числу 45. Охарактеризовать множество С П В. Как называется наименьшее из чисел, принадлежащее множеству С П В? 433 Найти А и В, если А = {х: I д: I < 1, дг 6 Z} и В = {дг: I д: - 1 I < 2, JC е 7V}. 169 434 Найти А и В, если А = {х: - 6х + 9 < 0} и В = {д;: I д: I ^ 1, д: е Z). 435 Найти АиВиСиАПВПС, если: 1) А = {-2; -1; 0; 1; 2; 3}, В = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, С = {0; 1; 2; 3; 4;-1;-2;-3}; 2) А = {д:: X < 1}, В = {д:: -1 < д: ^ 1, д: б Z), С = {д:: -2 ^ д: < 0}. 436 Пусть Aj — множество всех квадратов, А2 — множество всех прямоугольников. Ад — множество всех ромбов, A^ — множество всех параллелограммов. Найти множества: 1) Ai П Ад; 2) А, U Ад; 3) Ад П Ад; 4) Ад П А^; 5) Ад U А^; 6) Aj и Ад и Ад и А^; 7) А, П Ад П А. П Ai- Высказывания. Теоремы 1. Высказывания Любое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно (верно) или ложно (неверно), называется высказыванием. Например, высказываниями являются следующие утверждения; 1) «число -30 является целым числом» (это утверждение истинно); 2) «Волга впадает в Каспийское море» (истинное утверждение); 3) «5 > 7» (ложное утверждение). Из каждого высказывания v можно получить новое высказывание, отрицая его, т. е. утверждая, что высказывание v не выполняется. Такое высказывание будет либо истинным, либо ложным. Его называют отрицанием высказывания о и обозначают и (читается «не о» или «и с чертой»). Например, для высказывания у: «число 7 чётное», высказывание и можно сформулировать следующим образом: «число 7 нечётное» или «число 7 не является чётным*. Заметим, что здесь высказывание и — ложно, а высказывание и — истинно. И в других случаях, если одно из высказываний V или V истинно, то другое — ложно. 170 в таблице приведены примеры высказываний v и их отрицаний V, запись которых использует математическую символику. V V 4 + 6 = 10 (истинно) 4 -1- 6 ^ 10 (ложно) 2 > 3 (ложно) 2^3 (истинно) -10 6 Z (истинно) -10 е Z (ложно) Z 0; 2) X е N. Очевидно, что для одних значений х в этих примерах сформулированные утверждения истинны, а для других ложны. Утверждения подобного рода называют предложениями с переменной х и обозначают р (л:), а в случае зависимости от двух переменных х и у предложения обычно обозначают р (х; у). Для каждого предложения принято указывать, на каком множестве X оно задано. Если же понятно, о каком множестве идёт речь, то его обычно не указывают. Например, предложение р (л:): Зх^ -)- 5х - 2 = О является уравнением, корень которого предполагается искать на множестве действительных чисел (его корнями являются = ^, Х2 = -2). Если бы требовалось, например, найти только целочисленные корни этого уравнения, то задача была бы сформулирована следующим образом: Зх^ -i-5x-2 = 0, xeZ (рещением этого уравнения является X = —2). Множество X, на котором задано предложение р (л:), можно разбить на два подмножества: одно содержит те элементы X, для которых предложение р (х) истинно (его называют множеством истинности), другое — для которых р (х) ложно. Если первое из подмнож^тв обозначить А, то второе будет мно;^ством А. Ясно, что каждое из множеств А и А, является дополнением другого до множества X. 171 Рис. 57 Например, множеством истинности А неравенства - 1 < О является интервал (-1; 1), а множеством А является дополнение этого интервала до множества всех действительных чисел: (-оо; -1] и [1; -1-00). Два предложения р (х) к q (х), заданные на одном и том же множестве и имеющие равные множества истинности, называют равносильными. Например, предложения < 4 и | дг | < 2, являющиеся неравенствами, равносильны, так как у них множества истинности равны — это отрезок [-2; 2]. _______ Предложение р (д:) (определённое на множестве X) называют отрицанием предложения р (дг) (определённого на том же множестве X), если оно обращается в истинное (ложное) высказывание для тех и только тех значений X, для которых р (д:) ложно (истинно). Если А — множество истинности предложения р (х), то А будет множеством истинности предложения р (д:). На рисунке 57 с помощью кругов Эйлера показано соотношение между элементами множеств X, А и А. 3. Символы общности и существования Если в математике хотят сказать, что некоторое предложение р (дг) верно для всех д: е X, то записывают так: (Vx) р (х). Знак общности V — перевёрнутая первая заглавная буква английского слова All (все) заменяет слова «для любого», «для всех», «для каждого». Если хотят сказать, что предложение р (х) истинно хотя бы для одного значения х € X, то записывают (Зх) р (х). Знак существования 3 — зеркально отражённая первая заглавная буква английского слова Exists (существует) — заменяет слова «существует», «найдётся», «хотя бы один». Каждое из высказываний (Vx) р (х) и (Зх) р (х) может быть либо истинным, либо ложным. Например: 1) если предложением р (х) является неравенство I X I ^ О, то истинными будут как высказывание 172 (Vx) p (x), так и высказывание (Зл:) р (х); 2) если предложением р (х) является неравенство > 1, то (Зх) р (х) — истинное высказывание, так как, например, при д: = 2 предложение р (д:) истинно: 2^ > 1; высказывание же (Vx) р (х) ложно, так как, например, при х = 0,5 предложение р (х) ложно. Отметим, что для опровержения высказывания вида (Vx) р (х) достаточно привести контрпример, т. е. пример невыполнения высказывания р (х) хотя бы для одного X £ X. 4. Прямая и обратная теоремы Многие теоремы в математике формулируются по следующей схеме: «Для любого элемента х е X из предложения р (х) следует предложение q (х)» или коротко: (Vx) р (х) => 9 (х), X € X, (1) где знак следования => заменяет слова «откуда следует*, «тогда*, «если..., то...*. Часто запись (1) заменяют более короткой: р (х) => g (х). (2) Предложение р (х) в утверждении (1) называется условием теоремы, а предложение q (х) — заключением теоремы. Рассмотрим несколько примеров. 1) В теореме Пифагора условие р (х) можно сформулировать так: «X — прямоугольный треугольник*; заключение q (х): «В треугольнике х сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны*. Используя терминологию логики, теорему Пифагора можно сформулировать, например, так: «Если некоторый треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны*. 2) Теорема «Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке* является краткой (удобной для заучивания) формулировкой теоремы «Если фигура X — треугольник, то биссектрисы его углов пересекаются в одной точке*. Здесь условием теоремы является предложение: «Фигура х — треугольник (любой треугольник)», а заключени- 173 ем является предложение: «Биссектрисы углов фигуры X пересекаются в одной точке». 3) В теореме Виета «Если Xi я Х2 — корни уравнения х^ + рх + q = О, то справедливы формулы х^ + Х2 = -р, х^ • Х2 = д» условием является предложение «Xi и Х2 — корни квадратного уравнения х^ + рх + д = Оо. Заключение теоремы есть предложение «Xj + ЛГ2 = -р, л:1 • Х2 = д»-Теоремы р (х) => д (х) и д (х) р (х) называются взаимно обратными теоремами. Иногда одну из этих теорем называют прямой, а другую — обратной. Ясно, что любую из двух взаимно обратных теорем можно принять за прямую. Из определения взаимно обратных теорем следует, что если в формулировке прямой теоремы поменять местами условие и заключение, то получится формулировка обратной теоремы. Например: 1) теорему, обратную теореме Пифагора, можно сформулировать так: «Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник прямоугольный»; 2) в теореме Виета, поменяв местами условие и заключение, имеем условие «Xi + X2 = -p, х-^Х2 = = д* и заключение «^i и дгз корни квадратного уравнения х^ + рх + д = О*. Традиционно теорема, обратная теореме Виета, формулируется так: «Если числа х^, Х2, р я д таковы, что Xi + Х2 = -р я лг,Х2 = д, то числа х^ я Xg являются корнями уравнения х^ + рх + д = О*. Важно знать, что среди пар взаимно обратных теорем обе могут быть верными (как, например, для теорем Виета и Пифагора); обе могут быть неверными; одна из них может быть верной, а другая — неверной. Например: 1) теоремы прямая «Если натуральное число оканчивается цифрой О, то оно делится на 10» и ей обратная «Если натуральное число делится на 10, то оно оканчивается цифрой 0» верны (истинны) обе; 2) неверными являются и прямая теорема «Если многоугольник X — треугольник, то сумма его углов равна 360°» и ей обратная «Если сумма углов многоугольника х равна 360°, то этот многоугольник — треугольник»; 174 3) теорема «Диагонали любого ромба взаимно перпендикулярны* верна; обратная же ей теорема «Если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырёхугольник является ромбом» неверна, так как можно привести пример четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями, не являющегося ромбом (рис. 58). 5*. Необходимые и достаточные условия Если теорема р (лг) => q (д:) верна, то её условие р (х) называют достаточным условием для заключения q (х), а заключение q (д:) называют необходимым условием для р (дг). Например, теорема «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» верна, значит, её условие р (д:) «Четырёхугольник х — ромб* является достаточным условием для заключения q (д:) «Диагонали четырёхугольника д: взаимно перпендикулярны». Таким образом, для того чтобы диагонали четырёхугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы этот четырёхугольник был ромбом. Заключение этой теоремы q (дг) является необходимым для условия этой теоремы р (д:). Можно сказать, что, для того чтобы четырёхугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были перпендикулярны. Если верна не только теорема р (дг) => q (д:), но и ей обратная q (д:) р (дс), то р (дг) является необходимым и достаточным условием для q (д:), а q (д:) является необходимым и достаточным условием для р (д:). Например, верными являются как теорема Пифагора, так и ей обратная, поэтому сформулировать её можно так: «Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух его сторон была равна квадрату третьей». Заметим, что слова «необходимо и достаточно» в формулировках теорем часто заменяют словами «тогда и только тогда», «в том и только в том случае», «те и только те». 175 6*. Противоположные теоремы Теоремы р (д:) q (д:) называются g (дс) и р (д:) взаимно противоположными. Например, для теоремы «Сумма (внутренних) углов треугольника равна 180°» противоположной будет теорема, в которой вместо условия и заключения будут сформулированы их отрицания: «У многоугольника, не являющегося треугольником, сумма (внутренних) углов отлична от 180°». Обе эти теоремы верны. Бывают случаи, когда одна из взаимно противоположных теорем верна, а другая нет. Например, для теоремы о перпендикулярности диагоналей ромба противоположная ей теорема не верна. Если теорема g (дс) => р (дс) обратная для теоремы р (дд) => g (д:), то теорема g (дс) => р (дг) называется противоположной обратной. Можно показать, что пары теорем: 1) р (д:) => g (х) и g (д;) р (д:) (прямая и противоположная обратной); 2) g (д:) => р (х) и р (д:) => g (х) (обратная и противоположная) — всегда одновременно истинны или ложны. Например: — прямая теорема «Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке» истинна; — обратная ей теорема «Если биссектрисы внутренних углов многоугольника пересекаются в одной точке, то этот многоугольник является треугольником» ложна (например, у ромба, являющегося четырёхугольником, биссектрисы внутренних углов пересекаются в одной точке); — противоположная теорема «Если многоугольник не является треугольником, то биссектрисы его внутренних углов не пересекаются в одной точке» ложна (контрпример — ромб); — теорема, противоположная обратной «Если биссектрисы внутренних углов многоугольника не пересекаются в одной точке, то этот многоугольник не является треугольником», истинна. Нерюдко доказательство прямой теоремы бывает затруднительно (в этом учащиеся убедились в курсе планиметрии). Тогда прибегают к доказательству методом от противного, которое заключается в доказательстве вместо прямой теоремы р (х) => g (х) теоремы, противоположной обратной д {х) ^ р (х). 176 Упражнения 437 438 Сформулировать высказывание V, если известно высказывание v: 1) 7 = 7; 2) 45 >3; 3) любое натуральное число является целым числом; 4) у Земли только один естественный спутник. Найти множество истинности предложения: 1) га — натуральный делитель числа 42; 2) k — натуральное число, кратное числу 5, но меньшее, чем 30; 3) -5 < X < 1, X е Z\ 4) - 2д: -I-1 < о, д: > 0. 439 440 441 442 443 Найти множество истинности для предложения р (х), если дано предложение р (х): 1) -4 < д: < 2; 2) д: € (-оо; 2) U (3; -t-oo); 3) -x^-3x + i = 0; 4) -t- 9 < 0. Для каждого из предложений р (дг): 1) ^fx=6; 2)|д:|>-3; 3) д:^-н 8 = 0; 4) д:^ - 7 > 0 определить, истинным или ложным является высказывание (Уд:) р (дс); (Здс) р (х). Определить, истинным или ложным является высказывание (Уд:) р (дс); (Здс) р (д:) для каждого из предложений р (х): 1) треугольник х — равнобедренный; 2) параллелограмм х является квадратом; 3) вписанный угол х равен половине дуги, на которую он опирается; 4) сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Выделить условие и заключение теоремы; сформулировать теорему, обратную данной: 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3; 2) каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов. Сформулировать теорему, обратную теореме: 1) сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180°; 2) если две параллельные прямые пересечены секущей, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны; 3) около любого прямоугольника можно описать окружность; 177 4) диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Установить, истинной или ложной является каждая из этих теорем. 444 Привести контрпример, опровергающий утверждение: 1) в любой четырёхугольник можно вписать окружность; 2) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны; 3) сумма чисел с разными знаками есть число отрицательное; 4) в равнобедренном треугольнике один угол тупой. 445 Доказать или опровергнуть высказывание: 1) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число чётное; 2) сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. 446 Заменить многоточие словами «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» таким образом, чтобы полученное утверждение было истинным: 1) для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, ..., чтобы числа были чётными; 2) для того чтобы число делилось на 9, ..., чтобы сумма его цифр делилась на 9; 3) для того чтобы числа Xj и лгз были корнями уравнения + рх + q = О, ..., чтобы ХуХ2 = q. Уравнение окружности 1. Расстояние между двумя точками Пусть на координатной плоскости заданы две точки А (дгр i/i) и В {Х2, Уг) тл Х2, г/i ^ Уг- Найдем расстояние между точками А и В (т. е. найдём длину отрезка АВ). Проведём через точки А и В прямые, перпендикулярные осям абсцисс и ординат. Точки пере- 178 1 A(xi:yi) Аз(0; Ух) “1 \ В(Х2\ У2) В2(0; У2) с л 0 Ai(xi: 0) Вх(х2\ 0) Рис. 59 Задача 1 Ответ Задача 2 сечения этих прямых с осями обозначим Aj (Хр 0), Bj (Хг; 0) и Аг (0; В2{0\ i/j) соответст- венно (рис. 59). Точка С при данном расположении точек А и В — точка пересечения прямых AAj и ВВ2. Тогда ВС = BjAj = | Х2 - Xj |, а АС = А2В2 = I 1/2 “ ™ = I У2 “ У1 !• Этот же результат даёт и формула (1'): АВ = д/0^ +{У2 -yxf =\У2 -уА- Найти расстояние между точками А (-2; 3) и В (-5; -1). По условию Xj=-2, 1/1 = 3, Х2 =-5, У2 = “1' гласно формуле (1') имеем Ответ АВ = д/(Х2 -Х,)2 -1-(У2 -У1>^ = = л/(-5 - (-2))^ + (-1 - 3)2 =>/9 + 16=5. АВ = 5. <3 На оси ординат найти точку М, равноудалённую от точек (4; -3) и К (-1; 0). Абсцисса точки М равна нулю. Обозначим её ординату через i/q. Зная, что расстояния от точки М (0; Уо) ДО точек N и К равны, на основании формулы (1) запишем уравнение (0 - 4)2 + (уо -I- 3)2 = (0 + 1)2 -I- (1/0 - 0)2, 16 -и Уо2 и- буо + 9 = 1 -ь Уо^, буо = -24, Уо = -4. М (0; -4). <1 179 2. Уравнение окружности Уравнение фигуры на координатной плоскости — это уравнение с двумя неизвестными х и у. Говорят, что фигура Ф задана в прямоугольной системе координат данным уравнением, если фигуре Ф принадлежат те и только те точки плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Иными словами, фигура Ф задана конкретным уравнением, когда выполняются два условия: 1) если точка А (х; у) принадлежит фигуре Ф, то её координаты удовлетворяют данному уравнению; 2) если числа х и у удовлетворяют данному уравнению, то точка А {х; у) принадлежит фигуре Ф. Второе предложение можно выразить иначе: координаты любой точки А (л:; у), не принадлежащей фигуре Ф, не удовлетворяют данному уравнению. Замечание. Сформулированные предложения 1) и 2) выражают необходимое и достаточное условие того, что некоторая фигура Ф задаётся определённым уравнением. Теорема. Уравнение (л: - т)^ + (у - п)^ = является уравнением окружности точке М (т; п) радиуса г. (2) с центром в 1) Если точка А (л:; у) принадлежит рассматриваемой окружности (рис. 60), то расстояние от неё до центра окружности М (т; п) равно г, т. е. AM = г. Согласно формуле (1) можно записать {х - тУ + + (у - п)^ = г^, что совпадает с уравнением (2). 2) Если координаты точки А (х; у) удовлетворяют уравнению (2), то эта точка принадлежит окружности, так как расстояние от неё до центра окружности М равно г. Заметим, что если точка А (х; у) не принадлежит окружности, то AM ^ г и её координаты не удовлетворяют уравнению (2). Таким образом, уравнение (2) является уравнением окружности. О ЕЗсли центром окружности является начало координат, то её уравнение имеет вид *2 + у2 _ 180 Задача 3 Записать уравнение окружности с центром в точке М (-2; 5) и радиусом г = 3. ► Абсцисса точки М равна т = -2, а её ордината п = 5. Применяя формулу (2), запишем уравнение окружности (х — (-2))^ + {у — 5)^ = 3^. Ответ (д- + 2)^ + (у - 5)^ = 9. <] Задача 4 Записать уравнение окружности с центром в точке М (6; 1), проходящей через точку А (3; -4). ► По формуле (1) расстояния между двумя точками имеем = АМ^ = (3 - 6)2 -и (-4 - 1)2 = 9 -и 25 = 34. Согласно формуле (2) уравнение окружности имеет вид (х - 3)2 + (у + 4)2 = 34. Ответ (дс - 3)2 + (у + 4)2 = 34. <3 Задача 5 Определить вид фигуры, заданной уравнением лг2 + 1/2 - 6х -t- 4у -и 5 = 0. ► Преобразуем заданное уравнение к виду (2): (^2 - бдс -I- 9) - 9 + (г/2 + 4у + 4) - 4 + 5 = о, откуда (х - 3)2 + {у + 2)2 = 8. Ответ Окружность с центром в точке М (3; -2) и радиу- сом г = Vs = 2>/2. <3 447 448 449 450 Упражнения Найти расстояние между точками А и В, если: 1) А (0; -2), В (4; 0); 2) А (-4; 0), В (0; 2); 3) А (-1; -3), В (1; 2); 4) А (3; 1), В (-2; -1); 5) А (4; -5), В (-3; 2); 6) А (-3; 6), В (3; -2). Записать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом г, если: 1) г= 6; 2) г= 7. Выяснить, какие из точек А (-3; 4), В (5; -1), С (-2; -3), D (7; 6), Е (0; -5), F (11; -2) принадлежат окружности, заданной уравнением: 1) д;2 + 1/2 = 25; 2) (х - If + (у + 2f = 100. Записать уравнение окружности с центром в точке М и радиусом г, если: 2) М (-3; 0), г = 2; 4) М (-2; 4), г =0,5; 1) М(0;-2), г = 3; 3) М(-1; 3), г= 1,5; 5) М(-2; -1), r = l|; О 6) М(-3; -2), r = lf. 4 451 На окружности, заданной уравнением (д: -I- 4)2 + {у - 5f = = 36, найти точки: 1) с абсциссой, равной -4; 2) с ординатой, равной 5. 181 452 Даны точки А //,) и В (Xj; 1/2), и пусть С (х; у) — сере- дина отрезка АВ. Доказать, что х = Х1 + Х2 У = У1+У2 453 454 455 456 457 458 2 2 Найти координаты точки С — середины отрезка АВ, если: 1) А (2; -5), В (2; -3); 2) А (0; 4), В (-3; 1); 3) А (2,5; 6), В (-1,5; 5); 4) А (-8,5; 2), В (0,5; -7). На оси ординат найти точку К, равноудалённую от точек М и N, если: 1) М (2; 3), N (-3; 1); 2) М (1;-2), (3; 2). На оси абсцисс найти точку Р, равноудалённую от точек М и N, если: 1) М (-4; -1), N (-2; 3); 2) М (2; -1), N (-3; -5). Записать уравнение окружности с центром в точке С, проходящей через точку D, если: 1) С (-5; 2), D (1; -1); 2) С (2; -3), D (-1; 1); 3) С (3; 0), D (-3; -3); 4) С (-4; -4), D (0; 2). Записать уравнение окружности с диаметром АВ, если: 1) А (-4; 0), В (2; -6); 2) А (-6; 1), В (0; 3). Определить вид фигуры, заданной уравнением: 1) х^ + у^+ Юл: - 6у -(- 18 = 0; 2) х^ + у^-8х- 12у -12 = 0; 3) X {х - 2) + у {у - А) = 0; 4) л; (х - 6) и- !/ (у + 2) = 0. • Уравнение прямой В VII классе при решении систем линейных уравнений на основе наглядных представлений мы полагали, что графиком уравнения ах + by = с (где х и у — неизвестные, а, Ь и с — заданные числа, причём а и Ь одновременно не равны нулю) является прямая. Однако строго этот факт не доказывался. Теперь у нас есть возможность доказать это утверждение. 182 Рис. 6J Задача 1 Теорема. Уравнение ах + by = с, (1) где а, Ь и с — заданные числа, причём Ф О, является уравнением прямой. Пусть т — произвольная прямая координатной плоскости. Отметим на плоскости такие точки Aj у^) и Аг (^2, J/a), что прямая т является серединным перпендикуляром к отрезку AjAg (рис. 61). 1) Если точка М (д:; у) лежит на прямой т, то AjM = А-^М, = = АзМ^, а значит, координаты точки М удовлетворяют уравнению (д: - Xif + (у- yif = = (х- ХгУ + (у- y^f. (2) После возведения в квадрат выражений в скобках и приведения подобных членов уравнение (2) можно записать в виде ах + by = с, где а = 2 (д^! - Xg), Ь = 2(у^- у^), с = х\ + у\ - х\ - у\. Итак, уравнение любой прямой можно записать в виде (1), где по крайней мере одно из чисел а, Ь не равно нулю. 2) Если координаты точки М удовлетворяют уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1), Это значит, что точка М лежит на т. е. лежит на прямой т. Таким образом, можно утверждать, что уравнение (1) является уравнением прямой. О Записать уравнение прямой, проходящей через точки С (1; -2) и D (-1; 1). Уравнение прямой CD запишем в виде ах + by = с. Подставляя координаты точек С и П в это уравнение, получаем а ■ 1 + Ь • (-2) = с, а • (-1) -и Ь • 1 = = с, откуда а - 2Ь = с, -а + Ь = с. Из этих уравнений выразим а я Ь через с, получим а = -Зс, Ь = -2с. Подставив эти выражения вместо а я Ь в уравнение прямой, получим -Зсд: - 2су = с. (3) то AjM = AgM серединном перпендикуляре к отрезку AjA2, 183 Ответ Заметим, что с О, так как в противном случае (т. е. при с = 0) и а = О, и ft = О, т. е. не будет выполнено условие теоремы + ft^ 0. Поэтому, разделив обе части уравнения (3) на с Ф 0, получим искомое уравнение прямой -Зх - 2у = 1. -Зл: - 2у = 1. < Если в уравнении прямой ах + by = с коэффициент Ь * о, то уравнение можно записать в виде у = -^ X + ^ или в виде о Ь у = kx + I, (4) где Ь Ь Возьмём на прямой (не совпадающей с осью ординат) две точки Aj (Xj; у{) и Аз (дгг; у^, такие, что Х2> х^. Координаты этих точек удовлетворяют уравнению (4), т. е. у^ = kx^ + I w. у^ = кх^ + I. Вычитая почленно из второго равенства первое, получим У2~ У1 = к {Х2 - х^), откуда к = —- Если У2 = У1, то прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней и к = 0. Если У2 > yj (рис. 62, а), то к = Если У2 < Ух (рис. 62, б),то к = У2 -У\ Х2-Ху У2-У1 _ = tga > 0. -(г/1 -Уг) = -tga <0. Очевидно, что от угла между прямой и осью абсцисс зависит значение коэффициента к, называемого угловым коэффициентом прямой, уравнение которой записано в виде (4). 184 Задача 2 Ответ Пусть даны уравнения двух прямых у = k^x + /р у = *2^ + Несложно убедиться в том, что: 1) при ftj = feg и Zj = I2 прямые совпадают; 2) при Л, *2 прямые пересекаются (имеют одну общую точку); 3) при ki = VI I2 прямые параллельны (не имеют общих точек). Установить взаимное расположение прямых X + Зу = 2 и 2х - у = -3. Первое из данных уравнений запишем в виде 1 2 у = — д: -I- -, второе — в виде у = 2х + 3. Угловые 3 3 коэффициенты первой и второй прямых соответственно равны и ^2 = 2. Так как Aj Ф ^2* прямые пересекаются. Прямые пересекаются. <] Упражнения 459 Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М, если: 1) М (2; 3); 2) М (4; 2); 3) М (-6; 1); 4) М (2; -5). 460 Записать уравнение прямой, проходящей через точки А и В, если: 1) А (0; 2), В (1; -1); 2) А (2; 0), В (-1; -1); 3) А (-5; 6), В (4; -5); 4) А (8; 1), В (-2; -7). 461 Записать уравнения прямых, параллельных осям координат и проходящих через точку: 1) М (-5; 6); 2) N (4; -7). 462 Найти угловой коэффициент k прямой, заданной уравнением: 1) 7х - у = 3; 2) 4х - у = 5; 3) Зх + 2у = 1; 4) 5х + 2у = 2. 463 (Устно.) Установить взаимное расположение прямых, заданных уравнениями: 1) у = 3х-7иу-7х-3', 2) у = 5х + 4 и у = 2х - 6; 3) у = -2х + 3 и у = -2х -1-5; 4) у =-х + 6 и у = 6 - х; 5) у = -5х -(- 1 и I/ = 1 - 5х; 6) у = бх - 1 и I/ = бх -(- 3. 464 Установить взаимное расположение прямых, заданных уравнениями: 1) 4х - Зу = 2 и 8х - бу = 5; 2) Зх - 2у = 7 и бх - 4у = 9; 3) -2х -н 5у = 10 и Зх - 4у = 8; 4) -4х + Зу = 6 и 5х - бу = 12; 5) бх - 4у = 10 и Зх - 2у = 5; 6) Зх - 2у = -7 и -бх + 4у = 14. 185 465 Найти координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями: 1) 2х + у = 1, X + 2у = Ъ; 2) X - 2у = 2х + 2у = 9. 466 Известны координаты вершин треугольника: А (2; 5), В (3; -1), С (-2; 1). Написать уравнение прямой, содержащей медиану треугольника АВС, проходящей через вершину: 1) А; 2) В; 3) С. 467 Известны координаты вершин треугольника: А (6; О), В (0; -4), С (-4; 4). Написать уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника. 468 Найти координаты точек пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением: 1) 2х - Зу = 5; 2) Зх + 4у = 2. 469 Найти коэффициенты а и Ь в уравнении прямой ах + by = 3, если известно, что она проходит через точки: 1) А (0; -1), В (2; 3); 2) А (-4; 2), В (3; 0). 470 Даны координаты вершин трапеции: А (0; 2), В (4; 0), С (0; -4), D (-2; 0). Записать: 1) уравнения прямых, содержащих диагонали трапеции; 2) уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции. Множества точек на координатной плоскости В предыдущих параграфах рассматривались уравнения двух фигур: окружности и прямой. Приведём ещё несколько примеров уравнений фигур, знакомых из курса алгебры: у = х‘ У = ' = ^[х,у = -. Фигуру на плоскости можно также задавать системой или совокупностью уравнений (неравенств) с двумя неизвестными. Например, точку О (0; 0) координатной плоскости можно рассматривать 186 как пересечение фигур, заданных уравнениями д;-1/ = 0ид: + 1/ = 0, т. е. системой уравнений \х-у = 0, \х+у = 0. Задача 1 Ответ Задача 2 1. Фигура, заданная уравнением или системой уравнений с двумя неизвестными Определить фигуру, заданную уравнением {у - If + (X + Zyf = 0. (1) Имеем (j/ - 1)^ ^ о и (х + Zyf > О, а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, фигура, заданная уравнением (1), может быть задана и системой уравнений |i/-l = 0, [х +3у = 0. (2) Системе (2), а значит, и уравнению (1) удовлетворяет единственная пара чисел х = -3, у = 1, определяющая точку (-3; 1) на координатной плоскости. Точка с координатами х = -3, у = 1. < Изображение на координатной плоскости всех точек фигуры, заданной с помощью уравнений, в ряде случаев помогает найти рещения этих уравнений (систем; совокупностей уравнений) или по крайней мере сделать предположение о количестве их решений. Определить фигуру, заданную системой уравнений 'у = -х + 1. (X + 2f +у^ =9. (3) Рис. 63 Ответ Фигуры, заданные уравнениями системы (прямая и окружность), изображены на рисунке 63, они пересекаются в точках А к В. Подстановкой в систему (3) значений х = -2 и у = 3 можно убедиться в том, что точка А имеет координаты (-2; 3). Аналогично убеждаемся в том, что точка В имеет координаты (1; 0). Фигура состоит из двух точек А (-2; 3) и В (1; 0). <1 187 Задача 3 Рис. 64 На координатной плоскости изобразить фигуру Ф, заданную уравнением - у'^ = 0. ► Запишем данное уравнение в виде (х -у){х + у) = 0. (4) Фигура, заданная уравнением (4), определяется совокупностью уравнений X — у = 0 и X + у = 0. На рисунке 64 изображена искомая фигура Ф. Ответ Ф состоит из двух прямых у = X и у = —X. <\ 2. Фигура, заданная неравенством или системой неравенств с двумя неизвестными Говорят, что фигура Ф задана в прямоугольной системе координат данным неравенством, если фигуре Ф принадлежат те и только те точки плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Например, неравенством д: ^ 1 задаётся правая полуплоскость, ограниченная прямой д: = 1 (рис. 65, а); неравенством х^ + у^ << 4 задан круг с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2 (рис. 65, б); неравенством х^ + у^ > А задана часть плоскости, являющаяся дополнением круга с центром в начале координат и радиусом 2 до всей координатной плоскости (рис. 65, в). Если фигура задана уравнением F (х; у) = 0 1л является линией, разбивающей плоскость на две части, то в одной из частей будет выполняться неравенство F (д:; у)> о, а в другой — неравенство F (дг; у) < 0. Чтобы определить, какое из этих двух неравенств выполняется в конкретной части плоскости, нужно взять произвольную точку с Рис. 65 188 Рис. 66 Рис. 67 координатами (д:,,; у^) и выяснить знак F (jcq; j/q)-Например, для окружности, заданной уравнением (дс •+• 1)^ + 1/^ = 9, выясним знак F (д:; у) = = (д: -I- 1)^ + у^ — 9. Для точки О (0; 0), принадлежащей (по отношению к окружности) внутренней части плоскости, имеем F (0; 0) = = (0 -I- 1)^ -I- 0^ - 9 = -8 < 0. Значит, неравенству (х + 1)^ + у^ - 9 < о (следовательно, и неравенству {х + + у^- < 9) удовлетворяют точки круга с цен- тром в точке (-1; 0) радиуса 3 (рис. 66). Прямая у = kx + I также разбивает плоскость на две части — полуплоскости. Ту из них, которая содержит, например, точку (0; / -(- 1), назовём верхней. Возьмём в верхней полуплоскости произвольную точку А (ДС1; Ух) и через эту точку проведём прямую, перпендикулярную оси абсцисс (рис. 67) и пересекающую прямую у = kx + I в точке В (Хх; у2). Координаты точки В удовлетворяют уравнению этой прямой. Так как Ух > У2 (см. рис. 67), то для любой точки А верхней полуплоскости выполняется неравенство у > kx + I, а для любой точки (дс; у), лежащей ниже прямой у = = kx + I, — неравенство у < kx + I. Задача 4 Изобразить множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству: 1) у <2 — х-, 2) у > 2х - 4.. I; 1) Неравенству у ^ 2 - х удовлетворяют координаты всех точек полуплоскости, лежащих ниже прямой у = 2 — X (на рисунке 68, а эта полуплоскость отмечена штриховкой), и точек самой этой прямой. 2) Неравенству у > 2д: - 4 удовлетворяют координаты точек полуплоскости, лежащих выше пря- 189 Рис. 68 Ответ мой г/ = 2лг - 4 (эта полуплоскость отмечена штриховкой на рисунке 68, б). (Сама прямая в это множество не входит.) 1) Рис. 68, а; 2) рис. 68, б. < Задача 5 На координатной плоскости изобразить множество точек, удовлетворяющих системе неравенств 2. \2x-y <4l. ► Преобразуем данную систему к виду у^2 — X, у>2х-4. На координатной плоскости (рис. 69) отметим штриховкой множества точек плоскости, удовлетворяющих каждому из неравенств системы (см. решение задачи 4). Точки координатной плоскости, удовлетворяющие как первому, так и второму неравенствам системы (точки той части плоскости, где штриховки пересекаются, и точки прямой у = 2 - х), удовлетворяют заданной системе. Рис. 69 Ответ Рисунок 69. <] 190 Упражнения На координатной плоскости изобразить фигуру, заданную уравнением (471—472). 471 l)y = xh 2)у = уПс-, 3)i/ = i; 4.) у = х\ X 472 1) {у + 2f + (л: - yf = 0; 2) (jc + yf + (х - 3f = 0. С помощью графической иллюстрации определить фигуру, заданную системой уравнений (473—474). \х^+у^=16, [х+у = 2; \х^+ (г/-2)2 =4, \у=\х\. 473 1) 1х^+у^=36, [х-1/ = 3; 2) 3) Ь=к1, [(л:-1)2+г/2 =9; 4) 474 1) |у = л:®, \у = ^- 475 На координатной плоскости уравнением: 1) 4д;2 -1/2-0; 3) 25^:2-41/2 = 0; 2) д;2 - 9i/2 = 0; 4) 16л:2 - 361/2 = 0. На координатной плоскости штриховкой показать множество точек, удовлетворяющих данному неравенству (476—478). 476 1) У^О; 2) у ^0; 3) У < -1; 4) у > -2; 5) л: < 0; 6) X >0; 7) X : >-2; 8) х< 1. 477 1) «/ > + 1; 2) У < X - 2; 3) : 2х ■ - у^и 4) 2х + у> \ 478 1) х2 + г/2 ^ 9; 2) Х2 + !/"< 16; 3) х^ + у^> 25; 4) X2 + у2 > 36; 5) (X + 3)2 + (у -3)2 < 36; 6) {X - 2)2 + {у + 4)2 > 25; 7) {X - 1)2 + (у -1- 2)2 8) (X + 1)" + {у - 3)2 < ll. ' 9 На координатной плоскости изобразить множество точек, удовлетворяющих данной системе неравенств (479—480). 479 1) 3) 5) \3х-у^1, \2х+у^3; (~х+2у> 4, \3х+у < 1; -1-1. [2л: +у>2; 2) 4) 6) )3д: +у^2, \4х-у^3; j4x + у > 5, \-Зх + 2у < 4; \2x-y <-1, 191 480 1) 3) +у^ < 9, 2х-у< 1; (л:-1)2 +(y + 2f >25, Зх +у <2; 24 |л:2 +г/2 ^ 16, \3х-у>2; Ux + 2f +(у-1)^>36, [2x + i/^ 4. 4) Упражнения к главе VII 481 Записать все подмножества множества: 1) А = {8; 9}; 2) В = {1; 2}; 3) С = {а; Ф, с}; 4) В = {т; п; р}. 482 Найти дополнение множества М до множества N, если: 1) М = {1; 2; 3; 4}, У = {2; 3}; 2) М = {-3; -1; 1; 3}, N= {-1; 3}; 3) М — {а; Ь\ с; d; е), N = {а; d; е}; 4) М = {к; I; т; п; р}, N = {га}. 483 Найти А\В и В\А, если: 1) А = {а; Ь; с; d), В = {с; d; е}; 2) А = {Ь; с; f), В = {а; Ь\ с; d}; 3) А={3; 4; 5; 6; 7}, В = (3; 5; 7; 9}; 4) А = {1; 3; 5; 7}, В = {1; 2; 4; 5}. 484 Найти М U К и М П К, если: 1) М = {а; Ь; с; d), К = {Ь; с; d; е}; 2) М = (а; Ь\ с; d; е), К = {а; с; е; Л}; 3) М = {-1;0}, i$: = {-3;-2;-l;0; 1}; 4) М = {-5;-3;-1}, iiT = {1; 2; 3}. 485 Найти объединение и пересечение отрезков: 1) [-1; 3] и [0; 4]; 2) [-6; -2] и [-4; 2]; 3) [-6; -3] и [-3; 0]; 4) [-5; -2] и [-2; 2]. 486 Сформулировать высказывание v, если известно высказывание и: 1) 5:?!: 5; 2) 17 = 17; 3) 23^10; 4) 15 < 7. Найти множество истинности предложения (487—488). 487 1) га — натуральное число, кратное 3, но меньшее, чем 20; 2) га — натуральный делитель числа 45; 3) -2 ^ у < 1, у е Z; 4) -4 < г < 2, г G Z. 192 488 1) 3) д2 н-бд -ь9 = 0. 2) |д2 - 5д -I- 4 = 0, д2 д -6 = 0; [д2 -8д-1-16 = 0; д2 - 4д -1- 4< 0, 4) |д2 -2д-1-1^0, д > 0; 1(д-1-3)2=0; 489 Для каждого из предложений р (х): 1) = 10; 2) х^ +2 = 0; 3) - 8 = 0; 4) | д: | = 3 490 491 492 493 494 495 496 497 498 определить, истинным или ложным является высказывание (Уд) р (д); (Эд) р (д). Привести контрпример, опровергающий утверждение: 1) любое чётное число делится на 4; 2) любое нечётное число делится на 3; 3) около любого четырёхугольника можно описать окружность; 4) сумма внутренних углов любого многоугольника равна 360°. Найти расстояние между точками М я N, если: 1) М (-2; 3), N (3; -2); 2) М (-5; 1), N (1; -5); 3) М (-5; -4), N (0; 2); 4) М (3; 0), N (-6; -3). Записать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом г, если: 1) г= 2,5; 2) г= 1,5. Записать уравнение окружности с центром в точке С и радиусом г, если: 1) С(-4; 5), г=3; 2) С (2;-6), г = 4; 3) С (0,5; -1), г = 6; 4) С (-1,5; -3), г = 5. Выяснить, какие из точек А (1; 3), В (1; 2), С (0; 1), Z) (-1; 1) принадлежат окружности, заданной уравнением: 1) д2 + (г/ - 2)2 = 2; 2) (д + 1)^ + (р - = 5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М и N, если: 1) М (7; 0), N (0; -6); 2) М (0; -4), JV (5; 0); 3) М (-8; 10), N (7; -2); 4) М (6; -9), N (-7; 5). Найти угловой коэффициент прямой, заданной уравнением: 1) Зх — 2у = 5; 2) -4д -I- Зу = 1; 3) |д-| = -1; 3 2 4)|.|р = 1. Среди прямых, заданных уравнениями X + у = 1, 2х - 4у = 3, 2х + 2у = 5, -х + 2у = 4, указать пары параллельных прямых. Среди прямых, заданных уравнениями Зх + у = 2, -2х + у = 3, ^ + у = 2, 4х-2у=1, указать те, которые пересекают прямую 2х - у = 1. 7 Алгебра. 9 кл. 193 499 500 На координатной плоскости изобразить фигуру, заданную уравнением: 1) -Зх + у = 2; 2) Ах - у =1-, 3) 5х - 2у = 4; 4) Зх + 2у = 6; 5) х^ + у^ = 2,25; 6) х^ + у^ = 6,25; 7) (д: + 3)2 + (г/- 2)2 = 36; 8) (д: - 4)2 + (у + 3)2 = 25. На координатной плоскости штриховкой показать множество точек, удовлетворяющих неравенству: 1) х>-3; 2) х^-2; 3) у <2; 4) у > 4; 5) у<-2х + 3; 6) у>-Зд:-1; 7) 9) д;2 -t- у2 < 9; 11) (дг + 0,5)2-и (у - 3)2 > 25; 8) г/<|+ 2; 10) д:2 + у2 > 16; 12) (д: - 4)2 + (у+ 1,5)2 < 4 4 5 Проверь себя! Найти объединение и пересечение: 1) множеств А = {2; 1; 0; 3} и В = {-2; 0; -1; 1}; 2) отрезков [-7; 2] и [-3; 1]. Сформулировать высказывание о, если известно высказывание v: 1) 100 > 32; 2) число 3 является чётным числом. Записать уравнение окружности с центром в точке С (-2; 5) радиуса г = 7. Найти расстояние между точками А (-8; 1) и В (-6; -2). На координатной плоскости штриховкой показать множество точек, удовлетворяющих неравенству: 1) Зх-у<5; 2) (д: - 4)2 + (у + 3)2 > 4. 501 Найти объединение и пересечение множеств А и В, если: 1) А = {дг: 1 д: I < 2, д: € Z} и В = {х: д:2 + дс - 6 = о, X 6 Z}; 2) А = {х: 1 X I < 3, X е Z} и В = {х: х2 - 2х - 3 = о, X е Z}; 3) А = {х: х2 - 5х + 6 < 0} и В = {х: I X I < 2}; 4) А = {х: I X - 2 I < 5} и В = {х: I X - 1 1 < 3}. 502 Определить, истинным или ложным является высказывание (Vx) р (х); (Зх) р (х), если предложение р (х) следующее: 1) треугольник х — прямоугольный; 2) в треугольнике х все биссектрисы являются и медианами; 3) хорда X некоторой окружности является ее диаметром; 4) сумма внутренних углов треугольника х равна 180°; 5) сумма внутренних углов четырёхугольника х равна 270°; 6) чётное число х делится на 4; 194 7) чётное число х делится на 3; 8) квадратный трёхчлен х не имеет действительных корней. 503 Сформулировать теорему, обратную данной теореме: 1) если числа х и у чётные, то число х + у чётно; 2) если а > о и Ь > о, то аЬ > 0; 3) если треугольник х прямоугольный, то сумма его острых углов равна 90°; 4) если отрезок х является средней линией треугольника, то он параллелен одной из сторон этого треугольника. Установить, истинной или ложной является полученная теорема. 504 Найти середины сторон треугольника АВС, если: 1) А (0; 2), В (-6; 0), С (-2; -4); 2) А (-4; 0), В (0; 6), С (2; -2). 505 Точка М — середина отрезка АВ. Найти координаты точки В, если: 1) М (5; -7), А (-3; 1); 2) М (-5; 3), А (9; -7). 506 На прямой х = 2 найти точку, равноудалённую от точек А (3; 1) и В (-2; 2). 507 На прямой у = -3 найти точку, равноудалённую от точек М (4; -3) и N (1; 3). 508 Написать уравнение окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой АВ, если: 1) А (0; 6), В (-2; -4); 2) А (-6; 2), В (4; 0). 509 Найти координаты центра окружности радиуса 3, лежащего на оси ординат, при условии, что окружность проходит через точку А (-2; 3). 510 Найти координаты центра окружности радиуса 4, лежащего на оси абсцисс, при условии, что окружность проходит через точку В (4; -3). 511 Найти координаты точек пересечения окружностей, заданных уравнениями: 1) х^ + у^ = 1 и х’^ + у^ + X + у - 2 = 0; 2) х’^ + у^ = 4 и х^ + у^ + X + у - 6 = 0. 512 Составить уравнения прямых, содержащих медианы треугольника АВС, если: 1) А (0; 2), В (-4; 0), С (1; -1); 2) А (5; 0), В (0; -3), С (-1; 1). 513 Найти координаты точек пересечения прямых, заданных уравнениями: 1) -Зл: - у = 1 и 5л: + Зу = 5; 2) 4х + у = -2 к Зх - 2у = 15. 195 514 515 Определить фигуру, заданную уравнением: 1) (X - 5)2 + (2{/ + 1)2 = 0; 2) (Зх + 1)2 + (г/- 4f = 0; 3) (X + 7) (г/ - 6) = 0; 4) (X - 8) (р + 9) = 0; 5) 3x2-41/2 = 0; 6) 9x2-51/2 = 0. Изобразить множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств: 1) 3) 5) 7) 4х + J/ < 2, 2х-у <3; x-2i/> -1, Зх + 2i/ ^ -2; (х + 0,5)2+(1/-1,5)2>9, х-у <2; х2 + 1/2 > 4, х2 +1/2 ^ 25; 2) 4) 6) 8) Зх-у>1, 2х+у> 4; -4х + Зу < -3, Зх - 2у ^ -2; (х-2,5)2+(у-0,5)2 >16, х-у > -1; х2 +у2 <16, х2 +у2 > 9. 516 Определить фигуру, заданную системой уравнений: 1) |у=1х|-1. 2) 1x2+(у-1)2 =9, [х2+(у + 2)2=4; |у=|х| + 2; 3) Jy = (x + 1)2 +1, 4) |у = (Х +1)2-1, [(х +1)2+(у+ 1)2 =9; |(х + 1)2+(у + 2)2=4; 5) |(Х-1)2+у2=4, \у = ^х-2; 6) |(х + 2)2+у2=9, [y = V7Tl. Упражнения для повторения курса алгебры IX класса • 1....................1...............1...............1..............1 • 517 Выполнить деление: 1) (л:3 - Юх^ + 26х - 15) : (х - 3); 2) - 5х^ + х + 14) : (х + 2); 3) (X* + Зх^ - 5х^ -5х-4) : (х + 4); 4) (2лг“ - х^ + х^ - X - 5) : (X + 1). 518 Решить уравнение: 1) 2х^ - 9x2 + 7х + 6 = 0; £) -6х^ - х^ + 5х + 2 = 0. 519 Решить систему уравнений: 1) |х + у = -1, [xj/ = -72; 520 Извлечь корень 31 8Ьб 2) х2 + 1/2 = 50, ху=-25. 2) J5i; 3) ( 343а® , где а 0; 4) 4/1^ isiy* где у > 0. 521 Упростить: 1) (3V20 + 7Vl5-V5):V5; 3) 2J + V6-3J; 522 Сравнить значения выражений: Уз Уз 2) (^7 - Vl4 + V^):^; 4) 7^|l|-/7+0,5л/^. 2) (0,3)'/2 и (0,37)'^. 197 523 Вынести множитель из-под знака корня: 1) yfOoFb, где а < О, fc > 0; 2) V25a^, где а > О, fe > 0; 3) , где а < О, д < 0; 4) Vl21a®b®, где а < О, Ь < 0. 524 Внести множитель под знак корня: 1) х4ь, где X > 0\ 2) х4^, где д: < 0; 3) -аТз, где а > 0; 4) -а4ь, где а < 0. 525 Решить уравнение: 11 5 1) х2 = 2; 2) д:'2 = 3; 3) х'^ = 8; 4) д:2 = 0. 25 526 Выяснить, принадлежит ли графику функции I/ =--- точка: ^ 1) A(^/5; -5л/5); 2) В(-5>/2; 5^/2). 527 Выяснить, принадлежит ли графику функции у = >/l - 2д: точка: / 1) С ^ 11^ 528 Найти область определения функции: 2) у 1) у =-/-x^-Sx + lO; 4) у -J . \3-2x' 4 2х + 15. 5) у = 529 (0,5х + 1 Построить график функции: 6) у = х2-4‘ 1) у = -(- 6х + 10; 2) у = - 7л: - 6; „3 5) !/ = ^; 3)y = J; 6)!, = i«‘. 530 531 4) у = --; X По графику выяснить, на каких промежутках функция возрастает, убывает; является ли функция чётной или нечётной. Является ли число 107 членом последовательности а„= Зп^? Последовательность задана рекуррентно. Задать её формулой га-го члена: 1) ai = 1, а„^1 = а„+ 1; 2) а, = 3, = За„. 198 532 533 Последовательность задана рекуррентной формулой а„ +1 = = (Зп + 1) • а„. Вычислить первые 4 члена последовательности, если Oj = 1. Вычислить п-й член арифметической прогрессии и сумму п первых членов, если: 1) Oj = 10, d = 6, п = 23; 3) = о, d = -2, п = 7; 2) Oj = 42, d = ~, п = 12; 4) = d = |, n=18. 534 Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если aj = 2, а„ = 120 и л = 20. 535 Доказать, что последовательность, заданная формулой 1-2п , а„ =-----, является арифметической прогрессией. 3 536 Для геометрической прогрессии найти: 1) &4, если i>i = 5 и 9 =-10; 2) fej, если = -5000 и д = -10. 537 Вычислить п-й член геометрической прогрессии и сумму п первых членов, если: 1) bj = 3, 5 = 2, л = 5; 2) bj = 1, g = 5, л = 4; 3) Ь. = 8, qr = i, л = 4; 4) bi = 1, 9 = -3, п = 5. 4 538 Найти сумму л первых членов геометрической прогрессии, если bj = i,^ = 2, л = 6. 539 Используя микрокалькулятор, вычислить первую космическую скорость у поверхности Луны по формуле v = л[аК, где ускорение силы тяжести на Луне а ~ 1,623 м/с^ и радиус Луны R ~ 1737 км. 540 С помощью микрокалькулятора найти длину катета прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 2,45 м, а другой катет 1,78 м. 541 Делится ли нацело многочлен М (х) на многочлен Р (л:), если: 1) М(х) = Зх^ - 6x'^ -t + 3, Р(х) = х^ - X - 1; 2) М(х) = 2л:® -н 4х* + Зх^ 2х^ + 4, Р (х) = + х + 1. 542 Решить уравнение: 1) д:® - 9х* + 25х^ - 15х^ - 26л: -I- 24 = 0; 2) X® -I- Зх“ - 5x3 _ + 4л: -I- 12 = 0. 543 Решить систему уравнений: 1) Зх + 2у — ху = 7, 2х + 3у + ху = 3; 2) х^ + 2у^ + 3ху = 28, 2х^ + у^ + 3ху = 20. 199 544 Упростить выражение: л1(а - bf 1) 3) а - Ь где а > Ь; V(a - bf 2) ^—, где Ь > а\ а - Ь + ДГ + 1 , где д: > 0; 4) 1 1 1 1 + — + — + JC + 1 , где д: < 0. 545 546 547 Какое из равенств верно: V7 -4>/з = 2-л/з ИЛИ V7-4V3 = V3-2? Выяснить, возрастает или убывает функция у = на про-межутке (0; +оо). Найти область определения функции: 1) 1/= 7(д-2)(д-3): 2) у = ^ ^ д2-2л/2д + 2’ 4) 1/ = V д + 5 Q) У = 2у1зх-х^+з' д2_9 548 --2х Построить график функции и по графику установить её основные свойства: 1) У = 4) 1/ = х + 1 3-х 2) у = 3) у = д + 2. 2-д 5) у=^х-3; 6) (/ = ^2-д. 549 550 551 552 553 554 Решить уравнение: 1) л/л:-2 = 4; 2) л/дТз = 8; 3) л/2д-И= л/лг-1; 4) *Jx^+12 = x; 5) Убх - х^ = д; 6) л/з - д = Vl + Зд. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты 5700 м? В арифметической прогрессии aj-i-ag = - , . Найти 3 72 сумму семнадцати первых членов прогрессии. Найти первые 4 члена геометрической прогрессии, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560. В геометрической прогрессии q = 3, S^= 1820. Найти fej и &j. Сумма трёх чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 39. Если из первого 200 555 числа вычесть 4, из второго 5, а из третьего 2, то полученные числа будут тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа. С помощью микрокалькулятора по формуле — = — -I--I- найти сопротивление R участка цепи, состоящего ^^2 R3 ИЗ трёх параллельно соединённых сопротивлений i?i =24 Ом, i?2 = 12 Ом, i?3 = 32 Ом. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01 значения функции у (д:) при х = 0,5; 1,5; 2,5; 3,5, если: 1) г/(дс) = X® - бл:^-I-Идс - 4; 2) у (дс) = дс^ - 9дс® -I- 26дс^ - 24дс; о\ I \ Дс^-4д:-1-13 3) у{х)=--------- X -I-1 556 ■; 4) I/ (дс) = -\J9 + 4х - х^ . 557 Упростить выражение (557—558). 1) Vs + V^; 2) V4+V7. 558 1) У5 4(а +1) + (»V^ - 1)= - ( + № где о < а < 1; а~^Ь~^ - а~^Ь~^ 2) _5 5 а 3 ^ 3 а -з 1 1 — а^Ь^. 559 Построить график функции: 1) У = 2) 1/ = Л-1; 3) г/ = ^М; 4) у = х^-г\х\-А. |дс-1| |дс I 560 Найти четыре числа, обладающие следующими тремя свойствами: а) сумма первого и четвёртого чисел равна 11, а сумма второго и третьего равна 2; б) первое, второе и третье числа являются последовательными членами арифметической прогрессии; в) второе, третье и четвёртое числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. 561 Три числа, сумма которых равна 78, составляют геометрическую прогрессию и являются также первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Найти эти числа. 201 Упражнения для повторения курса алгебры VII—IX классов • I....................I.....................I.....................• • • I.......I........I........«• 1. Числа и алгебраические преобразования Вычислить (562—563). 562 1) (5,4 ■ 1,2 - 3,7 : 0,8) (3,14 + 0,86) : 0,25; 2) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95); 3) I 5--3— • i^-7- : 15-; ^ ' 9 12 ) 71 6 3 4) -L.9 + 8.il + -^-A, ’ 36 32 10 18 ,24j-2,15 + (^5,1625-2^j-|; 563 1) 1 3^ + 20 2) 0,364 : —+ — : 0,125 + 2,5 • 0,8; 25 16 3,25-- -6,25 5,5-3- : 5 3) ^-----—-----+ ------——; (2-0,75):- {-2-0,8)-1- 5 4 4) 2—+ 1— |:27,7 20 16 l,75---l,75-li : — 3 8 ) 12 564 Найти неизвестный член пропорции: 1) л: : 7 = 9 : 3; 2) 125 : 25 = 35 : л:; 3) 144 : л; = 36 : 3; 4) gi : 14i = x :0,75; 5) Л = б5 4,1 6 6) 0,3:х = |:3|. 202 565 566 567 568 Найти р процентов от числа а, если: 1) а = 400, р = 27; 2) а = 2,5, р = 120; 3) а = 2500, р = 0,2; 4) а = 4,5, р = 2,5. Найти число, если р процентов от него равны Ь: 1) р = 23, Ь = 690; 2) р = 3,2, Ь = 9,6; 3) р = 125, Ь = 3,75; 4) р = 0,6, fc = 21,6. Какой процент составляет число а от числа Ь: 1) а = 24, & = 120; 2) а = 4,5, Ъ = 90; 3) а = 650, г» = 13; 4) о = 0,08, Ь = 0,48? Выполнить действия: 1) i-Za%) (~2аЬ^) (~5aV); 2) 35а*5^с : (7аЬ^с); 3) (-5ab*cf-(-^a^bc^ 4) — ^a^bc^ 3 569 Записать выражение в виде многочлена стандартного вида: 1) (х - 6) (5 + х) - х^ (х^ - 5х + 1); 2) (х + 7) (5-х)- х^ (х^ + 2х- 1); 3) (5-3a)2 + 8[^a-|bj[^a + i6j; 4) (3a + 6)2 + 4|^5-laj[^fe + ia 570 Найти числовое значение выражения: 1) а® - Ьа^ при а = -0,6, Ь = 9,4; 2) аЬ^ + 6® при а = 10,7, Ь = -0,7; 3) (т - 5) (2т - 3) - 2т (т 4) при т = -; 5 4) (За - 2) (а - 4) За (а — 2) при а = -. 4 571 572 573 574 575 Выполнить действия: 1) (~15х^ + 10х* - 25х^) : (~5х^) -З(х-З) (х^ + Зх + 9); 2) (9а2&з _ 12а‘‘Ь'‘) : За^Ь - Ь^ ■ (2 + ЗаЧ). Разложить на множители (572—576). 3) а^-Ь*; 2)^-1; 4) Ь“-9. 1) 1-^; 4 1) 1-а + ^; 4 3) 49а2 - 14а + 1; 1) - ху - у + х; 3) За^ + ЗаЬ + а + Ь; 4) 5а^ - Бах -7а л- 7х. 1) 6m'*n + 12т^п + Зт^п; 2) 2аЧ - Аа*Ь + 2аЧ\ 3) а^ - 2аЬ + Ь^ - у^; 4) а* + 2аЧ^ + b‘^ — АаЧ^. 2) 0,25&2 + Ь+1; 4) 1 + 186 + 816^. 2) а^ - ах - X + а; 203 576 577 578 1) х^ + Зх-28; 3) 2х^ -5х + 3; Сократить дробь: 2) 2х^ - 12х + 18; 4) х’^ + X - 2. 1) 4) 7) 4-Ь‘‘ 4Ь+2Ь^ ’ Зху-21у^ _ 4дг^ - 28x1/’ Зх^-2х-8 2х2-Зх -2 ’ 2) 5) 8) Ь^-9 ЗЬ^-9Ь' -12 х2-16 2х^ X - 3 2х^ 7х -I- 6 3) 6) 5а^ -ЮаЬ аЬ-2Ь^ х^-х-20 х2-25 ’ Упростить выражение (578—582). 579 580 581 582 583 1) 3) 5) 7) 1) 3) 1) 3) 1) а" . а^ 6с» 4с» ’ / \2 4а Ъ* tft»J 8а 5а •8аЬ- 286» 1Ь 5а» ’ 4x(x-l)-f 1 1-2х , 4-х» х-2 а-3 а»-1-27 <2+3 а + 1 а дг + 1 8а а - Ь a + fc (х-нЗ)» х»-9 2 х-9 . х»-9’ 3) а + Ь- 1.2 1) 3) а -1 а^-2аЬ 2ху 2аЬ а»-46» У -9у^ х-Зу) х^ + Зху а + 2Ь 2) 4) 6) 8) 2) 4) 2) 4) 2) 4) 2) 4) 9а^ т» / 6а" l£ ft» ^з 9с ft» 25а* 14с» »-4(х -1) -21с 10а»5» 2-х X -1 ’l-х» а»-н12 а 3. а» - 4 а - 2 ’ 3-а 3-6 аЬ-42 Ь^-а^ + 4а^ — 9 2а + 3 3-2а ’ (L^l-±]ab а 6 аЬ) • а -1- 6 1 (а -и 2)» . а»-4 а»-4 > а a-fl. а +1 ( ху у 1. Зу (^х»-!/» 2х-2у) x»-t/» (2а+1 2a-l' 10а-5 2а -1 2а -t-1 4а Упростить выражение и найти его числовое значение: 6 а -I- 3 1) а»-1 2) а -1 Ь+5 3 Ь + 2 Ь»-4 204 а 1 ft-fl 6-2 при а = -9; при 6 = —8; 3) 4) g -2 a -3 C „2 a - 6a + 10 ^ 2 V g^ - 9 g + 3 при a = ft + 1.1 b + 9 b-4 1б2_1б ft + 4 при b= 4i. 3 584 Вычислить: 1) l^i] - 3-2 : 3-®; 2) (-6)° • 81-2.27З. 585 Сократить дробь: 1) g + Vi, g2-3 2) X-Vi, x2-2 ’ 3) 586 Вычислить: 1) (6-Зл/5)(6 + з75); 3) (Зл/5-2V20)V5; 587 Упростить выражение: 1) 4V3-V3(Vl6-л/З); 3) V^-V27-|Vl2; 5) (V2+3)2-3V^; 588 Вычислить: 1) (-/4+V7 +V4-V7)2; 3) ---- 5-V5 5+V5 589 Упростить: 1) у-9у2 1 1/^ + 3 4) X + x-1 2) (V5-1)(V5 + 1); 4) (1-V3)2 + (1 + V3)2. 2) 6V2-V2(V2 + V36); 4) V5O-V32-|Vl8; О 6) (2-V3)2 + 2Vl2. 2) (V3-V5-V3 + VS)2; 1 1 4) 1 +. 1 3) 3-V2 3 + Vi’ 3-V2 3 + V2. 3 + V2 3-V2’ 2) 4) 7 + 4V3 7-4V3' 1 5-Vi 5 + Vi’ 3 3 Vi-Vi Vi+Vi’ 590 Представить число в стандартном виде: 1) 0,00051; 591 Вычислить: 500’ 3) 250 000; 4) 2500 1) (0,25)® • 8® ^ 16 •4-2+ 4 2) Л-2 2 чЗу ч2, 592 Вычислить: 1) ^8,752 + 8,752 -7,25; 2) 0,625-6,752 -3.252 -0,625 73,52 +7.2,75+2,752 205 593 Упростить при х > О, у > 0: 1) 2) 4 3) ; 4) 4 594 Упростить выражение: 1) 2) 4) 11 i 1 д2 -Ь2 2д2»2 1 1 а-Ь \ 1_____g2 1 i g2+g g2+l m + 2m^ + 1 1 2m2 1^ 1 g-2g2 62 + b_ g + 6 j. g2 1 ’ g2 -1 1 1 2m2 4m2 1 m2 -1 m -1 3) 1 л:2 1+ 1^ x2 1^ 1 l-x2 x2-x 595 596 597 598 Лекарственное растение ромашка при сушке теряет 84% массы. Сколько ромашки должны собрать школьники, если они обязались высушить и сдать 16 кг этого растения? Завод дважды в течение года увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод выпускал 1200 изделий, а в конце года стал выпускать 1452 изделия. Два сплава состоят из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих сплавах одинаково. Из 300 кг первого сплава и 500 кг второго получен новый сплав, содержащий 30% цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве. Автомобиль «Москвич 2140* в соответствии с паспортными данными расходовал 8,8 л бензина АИ-93 на 100 км пути при скорости 80 км/ч; 1 л бензина стоил 4 р. При движении со скоростями выше рекомендованных расход топлива в среднем повышался на 25%. На сколько дороже обходилась поездка на расстояние 500 км по автостраде при езде с повышенными скоростями? 599 Записать выражение в виде многочлена стандартного вида: ^ ч2 1) (5д2-н За - 1) (2а2 - 4а-(-2); 3) (Зт^ - 6т + 7) (-2т^ + 5т - 1); 2) {-т^--п 1,3 4 4) (а2б-3&2)2. 206 600 601 602 603 1) 4x«-8V; 3) {x + yf-z'^-, 5) 25x‘‘j/® - —a®b®; 16 7) {X + yf - 16 (X - y)^; 1) + 4a^b* + 1; 3) 16a‘‘c® - 8a V + 1; 1) 8a®& + Za^by + Za^bxy + Sa^bx; 2) 25л:® - 15x^y - 20xy^ + 12i/®; 3) 5a®c + 10a® - 6bc - 3a6c®; 4) 8xy^ - 24j/® - 7axy + 21a. Упростить выражение: 2) 16a®-256®; 4) - (n - A)®; 8) (a + 6)® + 4 (a + 6) + 4. 2) 4a® - 12a6® + 96"; 4) 256" + 40a6® + 16a®. 1) 2) 3) 4) 1- m - a + b 2 1 + - 1 a + b [a. m + n 4ab m + ■ ■6 + a — 26 — a - b a^-b^ m + n I (m + n)^ 4ab a +6 - ■ a + b a + b 2a — 6 + ■ a - b 604 Упростить выражение и найти его числовое значение: а + 2 ^ + а + 19 '' 2) а - 5 а -3 2 + а а'=-25 а®-За + 3 4-а® а + 5 3 2 + а при а = -1-; 2 при = 2 ■ 207 605 Вычислить: 1) (5 • 10-2 - 3 • 5-1) : 10-2; 2) 3-2-1-2-3 5 -1 4) ^ / > о 1 ( , 2 3- + 4- 1 7; 1 5j ц- 8) 76,8^-3,22. 606 Сократить дробь: 1) 3) а2-б2 a-i+6-i ’ 2) 4) 1/-1- х"1 (д:2-уЗ)(д:г/)-1 3 m2 -m m -1 607 Вычислить: 1) V(V3-2)2 _7(i_7^)2 +7^. 2) 7(V3-75)2 +7(1-7з)2 -VS; 3) Vi2(73-2)2 -473; 4) 608 Упростить при л: > О, г/ < 0: 1) |V2,25xiV; 2) 609 Упростить выражение и найти его значение: 11 1 m 2 п 5 X ТУ 3 1) ------— при т = 0,04, л = 243; 2) 1 ^ т + 1 _з т^п~^ - п 2 ^—J- при m = 81, п = 0,1; т'* -т*п^ 208 3) ' 1 1 ' 1 1+ • 1- 1 \а+х) 1 Мач-х] при а = 5, X = 4; 4) а + а - -Ja^ - а + -^Ja^ - Упростить (610—611). 610 1) 6и 3) 4) 611 1) при 2) а = 3, д: = Vs. а -1 а2 + o'* i 1 i q2 + 1 а-»; т + п т + 2^|mn + п 4 ^ 2-а2 4 - а i 2а2 + а aVa -1 , /~ + Va л/m + л/п _ 2^|mn /i^-yfn т-п , 16 + 8а + ' 3 а2 л/а^ -1 а -1 3) 1-0 1 - ^[a + а -(1-л/а); 2) 4) 1+ь/ь _ Ььл/б . ^ 1 + л/б 1-6 т + ——^ I • (1 + •Jm). 1+ л/m , 2. Уравнения Решить уравнение (612—617). 612 1) 8 (Зд: - 7) - 3 (8 - д:) = 5 {2х + 1); 2) 10 (2д: - 1) - 9 (д: - 2) + 4 (5д: + 8) = 71; 3) 3 + д: (5 - д:) = (2 - д:) (д: + 3); 4) 7 - д:(3 + д:) = (д: + 2) (5 - х). 613 1) 5х -7 X + 2 _с. 6 7 2) 4х -8 3 3 + 2д: о. 5 3) 14-^ + 3^ + 1 = 3; 4 5 4) 2х-5 4 8 614 1) 4 _ 9 . 2) 1 3 3(х + 2)~8х + п’ 3(x-l) 2(х + 6)’ 3) ^ + inil = -2; 5-х 5 + JC 615 1) д:(д:- 1) = 0; 3) д;| 2x-i |(4 + Зд;) = 0; 4) £±1 + ^ = 2. х-3 х+3 2) (д: + 2) (д: - 3) = 0; 4) (х-5)(х + 1)_^ д:'= + 1 616 1) х^ + 3х = 0; 4) -бд:^ - д: = 0; 7) 2) 5дг-дг2 = 0; 5) 2х^ - 32 = 0; 8) д:2-8 = 0. 3) 4д: + 5д:2 = 0; 6) 2-^ = 0; 209 617 618 619 620 621 622 623 624 625 1) 2х^ + х-10 = 0; 2) 2х^ -х-3 = 0; 3) 7х^ - 13х - 2 = 0; 4) 4х^ - Пх - 15 = 0. Решить уравнение (г — комплексное число): 1) + 72 + 13 = 0; 2) 2^ - 82 + 18 = 0; 3) 3z^-2z + 2 = 0; 4) 52^ - 42 + 1 = 0. Решить уравнение (619—624). 1) (Зл: + 4)2 + 3 (д: - 2) = 46; 2) 2(1 - 1,5дг) + 2 (л: - 2)2= 1; 3) (5дг - 3) (д: + 2) - (д: + 4)2 = 0; 4) дг(11 - бд;) - 20 + (2д: - 5)2 = 0. Dl-hi; 3) |3-д:| = 2; 5) |2,5-д:| + 3 = 5; 7 1) 3) - 6 = 5х; , х-1 2х + 9 X х2-16 х + 4 2) 1х - 1| = 4; 4) |3д:|-3д: = 6; 6) 13,7 + д:| - 2 = 6. 2) = = 1; д-2 д-2 12 д д + 6 = 1. 1) X* - 17д2 + 16 = 0; 3) 2д'* - 5д2 -12 = 0; 1) л/дТТ-5 = 0; 3) л/5 - д - 1 = д; 5) 7 д - л/2д + 2 = 5д; 2 (Д + 6)2 2) X* - 37д2 + 36 = 0; 4) д‘‘ - Зд2 - 4 = 0. 2) 6-V7+3=0; 4) 3 + ^х-Ъ = X — 4\ 6) 12д-л/5д-4 = 11д. 1) X* - 5д2 + 8д2 - 5д + 1 = 0; 2) х* + х^ - 18д2 + д + 1 = 0. Решить графически уравнение: 2) д2 = -д - 2; 1) д2 = Зд + 2; 4) д~* = 2д - 1; 5) 7д = д + 3 3) ^ = Q-x\ X 6) у[х =6 - д. Решить систему уравнений (626—628). 2) |д + 1/ = 10, \у-х = 4-, 5) |Зд + 5г/ = 4, \2х-у = 1-. 626 1) \х+у = 12, [д-г/ = 2; 4) |3д + 5у = 21, |бд + Ъу = 21\ 627 1) 3) 2д_3{/_ 3 4 |д: + ^^/ = 5; ^х-^у = 2, 7 5^ -х + -у = 12-\ 4 б'' 6 3) |2д + 31/ = 11, \2х-у = 7-, 6) |4д-Зг/ = 1, |3д + г/ = -9. 2) 1(д + 11) = |(1/ + 13) + 2, 15д = 3{/ + 8; 4) |^(д+ 3у) = |(д+ 21/), 1 д + 5i/ = 12. 210 628 1) |x-i/ = 7, |xj/ = 18; 4) \х+у = -Ъ, \xy=-36; 2) \x-y = 2, [лгу = 15; 5) \х^ + у^=\г, Ixy = 6; 3) |д:+у = 2, |д;у = -15; 6) \х^ + у^=А\, by = 20. Решить уравнение (629—636). 629 1) 11Ы£) + з(4х + 1) = 12£±11; 2) 2(5х-24)- дг + 16 7х-2. 3) + | Тх- 4) 6£jL5_|2x + 11 Z - X 2 2х + 1 4 7л: + 11 2 { 2 630 1) 2х = 1-ху13; 3) х-/5+3 = х^ + 5; 631 1) Vjc^ = l; 3 10д: + 3 +1; 632 1) 3) ,j(x-lf =х-1; х + 2 х(х-4) х-2 4(3+дг) 2) х^[5-12 = х; 4) 2х>/б-7з=27б+д:л/3. 2) V(x-1)2 =1; 4) ^(x-lf =l-x. 2) 1 + 3) 4) х-2 х^-4 х + 2 2 6 _ 3 . х-1 х^-1 x + l’ 4-х‘“ 4x^-1 2х + 1 2х-1 X + 1 X + 1 4 + 1; _______________________х-1 х-2 х-1 (х-1)(х-2) х-2' 633 1) 4х X +1 х + 2 = 1-- 2) + 2 7х + 6 . х^ + Зх + 2 ’ 3 2 2х х^-х х^-1 х®-х Л--1 х^-1 634 1) ^IЗx + 4-^Jx + 9 = l; 3) л/5х + 3 = -р^^; V5X-3 2) л/21 + л: - л/28-Зх =1; 4) л/2х-3=-р^=; V5X + 12 5) v9-5x + у[з~+~х — 2‘\j3 + X; 6) •УЗх + 1 + л/Зх + 1 = л/5х + 9. 211 635 636 Решить уравнение относительно х: 1) - 5ах - 6а^ = 0; 2) х^ - 7ах + 10а^ = 0; 3) х^ - бах + 9а^ - = 0; 4) х^ - 4ах - + 4а^ = 0. Решить уравнение {аФ 0, Ь Ф 0): 1) х'^ - ах = 0; 2) ах^ - д: = 0; 3) ах^ + Ьх = 0; 4) ^ + £ = 0; 5) ^ + д:=0; 6) о -- = 0. Решить систему уравнений (637—638). 637 1) 2у-3х = 1, 3л + 5у = 34; 2) |Юл -Зу = 38, |бл + 5у = 50; 6л-15г/=12, 4л-9г/ = 10; 4) \l4y-9x = 5, [12х + 21у = 33. 638 х^-5у^ = -1, Зху + 7у^ = 1; "1 Зу2_2л1/ = 160, у^-Зху-2x^ = 3-, 3) 1 + 1 = 3 X у 2’ J- + ± = l- Д.2 yZ 4’ 4) • 1 + 1 = 1, X у 3 J L-4 у2 3 5) \2х^ + + Ъху = 62, \у^- ху-2х^ = 0\ 7) \2Чх^-у^ = 2б, [9х^ + 3ху + у^=13; 6) \х^-2у^ + 4ху =-45, у^ - ху-6x^ = 0; 8) (х^ + 8у^ = 12ху, \х + 2у = 6. 639 Показать, что система не имеет решений: 1) Jx-y = 3, 2) (Зх-2у = 7, -2х+2у = -10; \-9х + 6у = 21. 640 641 3. Неравенства Решить неравенство (640—641). 1) Зх - 7 < 4 (X + 2); 2) 7-6x>|(9x-l); 3) 1,5 (X - 4) + 2,5х < х + 6; 4) 1,4 (л: + 5) + 1,6л: > 9 + х. л + 4 1) 3 2 3) ^^ + ^^>7; 2 3 5) л: + ^^>3; 6 212 2) х-1 >1; 2л- 5 3-2Л/1 ------ 4 5 с, , л + 2 ^ о 6) л Ч----< 3. 642 643 Решить систему неравенств: 1) (х + 5>5х-3, 2) (х + 5>5х-3, 2) \2х + 3>0, |2д:-5<0; |x-7<4x-l; |Зл:-2> 10-д:, |-0,5д:< 1. 3) 15ДГ-К7 + Д:, 1-0,2x>l; Найти все решения неравенства, являющиеся натуральными числами: 1, X - 2 1)----------X : х-8 2) 644 645 Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: 1) \2(х + 1)<8-х, 2) |-5х - 9 < 6; 3) |3(х-1)>х-7, 4) 1-4X-I-7 >-5; 3i/ + 2y_13 >2 ^ 11 ^_3^<_2(у_7); 6 9 3^ у-1 У-3^ У-2 -у> Найти все решения системы неравенств, являющиеся целыми отрицательными числами: 'Зх-2 ^ р1 ^2х-1 Зх + 2 2х - 5 _ Зх -1 ^ X - 3 6 2х-1 646 Решить квадратное неравенство: 1) х2 - Зх + 2 > 0; 2) х^ - 2х - 3 < 0; 3) х^-7х+12> 0; 4) -х^ -н Зх - 1 > 0; 5) 3 -I- 4х 8x2 < 0; 6) х - х^ - 1 > 0; 7) 2x2 - X - 1 < 0; 8) 3x2 -н X - 4 > 0. 647 Решить неравенство: 1)\х\>^; 2) |х-1|<2|; 648 3) |х - 11 > 3; 4) |х - 11 < 2. Решить методом интервалов неравенство: 1) (X - 1)(X -i 3) > 0; 2) (X -(- 4)(х - 2) < 0; 3) (X + 1,5) (X - 2) X > 0; 4) х (х - 8) (х - 7) > 0; 6) (х + 3)| 5)(x-l)[^x2-ij>0; 213 649 Сравнить числа: 1) 5^^2 и 7; 2) 9 и 4>/5; 3) loVTl и Ил/ТО; 4) 5у[б и 6^5; 5) 3^3 и 2^10; 6)2^3и>/2-У5. 650 Найти наибольшее целое отрицательное число, являющееся решением системы неравенств: £_£ + £>v + «s |(;c+2)<-i(:c-2). 651 Найти наибольшее натуральное число, являющееся решением системы неравенств: 2 2 3 4 Решить неравенство (652—655). 652 1) 4-1-3 653 654 3) I 5д: - 3 I < 7; 1) уП^<1; 3) yjix-lf -32; 4) X® < 64; 7) х-8 > 1; >2,5; 2) |3х - 2| > 10; 4) |2 5х| < 0. 2) 4) ^(x-lf>l. 2) х^ < 128; 3) X* > 81; 5) Х-® > 27; 6) Х-® < -1; 8) х-10 < 1. 655 1) 3) (х + 3)(х-7) 2-х х^-х-12 >0; 2) <^11><±14)<0; 5) X -*• 5 (х-1)(х + 2)(х-3) (Х-4ИХ-1-5) <0; 4) 6) х + 5 х^-7х-ь12 „ ------^ X -1 (х + 7)(х-3) (8-х)(х + 6)(х-1) -<0. 656 Доказать неравенство: 1) - аЬ + > аЬ; 3) + а~^ > 2, если а Ф 0; 2) 1 + ^> 4^, если й > 0; 4) а® -н а"® > 2, если а > 0. 214 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 4. Задачи на составление уравнений Сумма двух чисел равна 120, а их разность равна 5. Найти эти числа. На путь по течению реки катер затратил 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч? Моторная лодка пропзла путь от А до В по течению реки за 2,4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки, если известно, что скорость лодки относительно воды 16 км/ч. Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 1,5 ч. Найти скорость катера относительно воды и скорость течения реки. Периметр равнобедренного треугольника равен 5,4 дм. Боковая сторона в 13 раз длиннее основания. Найти длины сторон треугольника. Скорость рейсового трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше, чем скорость прежнего трамвая, поэтому он проходит маршрут в 20 км на 12 мин быстрее, чем трамвай старой конструкции. За какое время новый трамвай проходит этот маршрут? Некоторую часть дня автобус работает в режиме экспресса. При этом его рейсовая скорость увеличивается на 8 км/ч, а время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин. За какое время проходит этот маршрут автобус в режиме экспресса? Одно звено собрало со своего участка 875 ц пшеницы, а другое звено с участка, меньшего на 2 га, — 920 ц пшеницы. Сколько центнеров пшеницы собрало каждое звено с 1 га, если известно, что с 1 га во втором звене собрали на 5 ц пшеницы больше, чем в первом? При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 2 ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на 2 ч быстрее другого? Отец старше дочери в 4 раза. Пять лет назад он был старше её в 9 раз. Сколько лет сейчас отцу и дочери? Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость движения и за 25 мин достигает скорости 60 км/ч. Найти ускорение поезда. 215 668 Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость и за 10 мин достигает 30 км/ч. Какое расстояние пройдёт поезд за это время? 669 Тело брошено с начальной скоростью Oq ~ ^ м/с вертикально вниз и движется равноускоренно с ускорением g = = 9,8 м/с^. Найти время, за которое тело пройдёт расстояние S = 137,5 м. 670 Пешеход и велосипедист отправились одновременно навстречу друг другу из разных городов, расстояние между которыми 40 км. Велосипедист проехал мимо пешехода через 2 ч после отправления и на весь путь затратил на 7,5 ч меньше, чем пешеход. Найти скорость движения каждого, считая, что пешеход и велосипедист двигались всё время с постоянными скоростями. 671 Водитель междугородного автобуса вынужден был по дороге заправить автобус горючим, затратив на это 12 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, он увеличил скорость автобуса на 15 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне в 60 км. С какой скоростью двигался автобус на этом перегоне? 672 Поезд прошёл мимо неподвижно стоящего на платформе человека за 6 с, а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Найти скорость движения поезда и его длину. 5. Функции и графики 673 Выяснить, принадлежит ли точка А графику данной функции; найти координаты точек пересечения графика этой функции с осями координат и значение функции при X = -2: 1) у = г-0,Ъх, А (4; 1); 2) у = 1х-4, А(6;-1); 3) у = 2,5х-5, А (1,5;-1,25); 4) у = -1,5х + 6, А (4,5;-0,5). 674 Построить графики функций (в одной координатной плоскости): 1) у = 3х,у = -Зх; 2) У = \х^ 3) у = X - 2, у = X + 2-, 4) у = -х - 2, у = 2 - X. 216 675 Построить график функции: 676 1) у = х^ + 2^, 3) у = (х + 2,5)2 _ 1. 4 5) у = х^ + 2х - Ъ\ 2) У=\^-^ 4) у = д:2 - 4л: + 5; 6) у = -х^ - Зд: + 4. Найти координаты вершины параболы: 1) у = х^ - 8х + 16; 2) у = л-2 _ Юд: + 15; 3) у = х^ + 4х - 3; 4) у = 2х^ - 5л: + 3. Найти наибольшее или наименьшее значение функции: 1) у = х^-7х- 10; 2) у = -д:2 + 8л: + 7; 3) у = х^ - X - 6; 4) у = 4 - Зл: - л:2. Построить в одной координатной плоскости графики двух данных функций и определить, при каких значениях аргумента равны значения этих функций: 1) у = л:2 - 4 и у = Зл:; 2) у = (л: + 3)2 -I- 1 и у = -х; 3) у = (х+1)(х + 3) и у = -л - 3; 4) у = л2 + 1 и у = л: + 1. 679 Построить эскиз графика и перечислить свойства функции: 677 678 1) У = х\ 2) у = л®; 3) у = -^; 4) у = - 680 681 Сравнить значения выражений: 1) и fl; 2) и fl. 682 683 Построить график функции и найти значения х, при которых у = о, у > О, у < 0: 1) у = 2д2 - 3; 2) y = -2x^ + l; 3) у = 2(л:-1)2; 4) у = 2 (л: + 2)2; 5) у = 2 (X - 3)2 -Hi; 6) у = -3 (х - 1)2 -ь 5; 7) у = х^ + 2х - 8; 8) у = х^ - 4х + 3. Найти значения коэффициентов а и Ь квадратичной функции у = ах^ + Ьх — 5, если у (-1) = о и у (1) = 6. Найти значения коэффициентов а, Ь и с, если известно, что график функции у = ах^ + Ьх + с проходит через точки (-1; 1), (1; 0) и (4; 3). 217 Построить график функции (684—687). 684 685 686 687 688 У = --2', X 2) у=3 + 4-: , = 1-1; 4) у = - — + 2. y = ^Jx-4; 2) у = -^[х +1,5; y=Vx + 3; 4) y = -Vx + 1. У = U - 11; 2) у = \-1 + 2х[, У = 1 4 - 1; 4) у = х'^ - 3\х\. если х> 1, 1) У=\х бл:, если х < 1; (2, если х> . если X < - 1. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной: I) у = 2х^-\х\-, 2) у = х^ + xh 3/---т х^+х 3) у = у/х-1; 4) у = —-—. 6. Прогрессии 689 Числовая последовательность задана формулой п-го члена а„ = п (п + 1). Является ли членом этой последовательности число: 1) 20; 2) 30; 3) 40? 690 Последовательность задана условием Oj = -1 и рекуррент- 691 692 693 694 695 НОИ формулой а„ + 1 = tg 1^ —*а„ J. Вычислить следующие члены последовательности: 1) 02', 2) а^', 3) а^; 4) 5) а„. Найти разность арифметической прогрессии, если aj = 7, CL’j “ —5. Найти первый член арифметической прогрессии, если Сю = 4, d = 0,5. Вычислить первый член и сумму п первых членов арифметической прогрессии, если: 1) а„ = 459, d=10,n = 45; 2) а„ = 121, d = -5,n = 17. Найти номер п, если в арифметической прогрессии = -2, 05 =-6, а„=-40. Найти сумму десяти первых членов последовательности, заданной рекуррентной формулой b„ + i = -^ и условием fc, = 1024. 218 696 В геометрической прогрессии найти: 1) п, если = 5, q = -10 и = -5000; 2) q, если ftg = 16 и ftg = 2; 3) bj, если &з= 16 и bg = 2; 4) by, если Ьз = 16 и bg = 1. 697 Найти сумму чисел 3 + 6 + 12 + ... + 96, если её слагаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии. 698 Вычислить первый член и разность арифметической прогрессии, если: 1) Пз = 25, Пю = -3; 2) = 10, Су = 19; 3) Пз + Су = 4, 02 + = -8; 4) 02 + а^= 16, = 28; 5) 520=110, ai5-Og = |; 6) aj + 02 + Оз = 15, 0,0303 = 80. 699 Найти десятый член арифметической прогрессии, если: 1) Од = -5 и о,, = 7; 2) Од + о,, = -10; 3) Од + Ою о,, = 12. 700 Найти первый член и разность арифметической прогрессии, у которой 5у = -35 и S42 = -1680. 701 Является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой п-го члена; 1)Ь„ = -32«; 2) Ь„ = 23": 4) Ь„ = (-I)" 2" 702 Вычислить знаменатель геометрической прогрессии, если: 1) Ь, = 12, S3 = 372; 2) Ь, = 1, 5з= 157; 3) Ьз = 300, S3 = 372; 4) Ь, = 144, 5з= 157. 703 Найти первый член, знаменатель и формулу л-го члена геометрической прогрессии, если Ь2 = —^ и — 704 Найти четвёртый член и знаменатель геометрической прогрессии, если Ьз = -6 и bg = -24. 705 Между числами i и 27 найти такие три числа, чтобы по- 3 лучилось пять последовательных членов геометрической прогрессии. 219 706 В геометрической прогрессии найти: 1) bj и fej, если q = 3, S^ = 484; 2) bj и q, если = 0,024, S3 = 0,504. 707 Вычислить первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если: 1) bj + ^2 = 20, Ьз + Ьз = 60; 2) bj + Ьз = 60, bj + Ьз = 51. 708 В геометрической прогрессии найти: 1) S5, если Ь^ = 88, q = 2; 2) S5, если Ь, = 11, Ь^ = 88; 3) bj, если S5 = 341, 9 = 2; 4) S5, если Ьз = 44, bj= 176. 709 Сумма чисел х, у, г равна 25. Числа х, 2у, z являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа X, J/ + 1, Z — последовательными членами геометрической прогрессии. Найти х, у, z. 710 При каком значении х числа х, V4 —Зх, 3 - 2л: являются последовательными членами геометрической прогрессии? 711 На международном шахматном турнире в Будапеште в 1896 г. первое место занял знаменитый русский шахматист М. И. Чигорин. Участники турнира играли друг с другом один раз. Всего было сыграно 78 партий. Сколько шахматистов участвовало в этом турнире? ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ Вариант 1 712 Выполнить действия: 1 - а 1-а + а^ 1+а 713 Решить уравнение 2 ^-3-7а + 2а^ а-* + 1 714 Вычислить ■Jx + 3 +5 = 7 X. 715 График функции у = -Здс + т проходит через точку (-1; 2). Определить значение т. Построить график и указать, при каких значениях х функция принимает отрицательные значения. „ „ (2л: + 6у = 18, 716 Решить систему уравнении < к _ оо \о X оу — —• Вариант 2 717 Вычислить 0,5:1,25 + — 5 7 11 -5. 718 Решить уравнение _3___Ах-1_х^+Ь х-\ х + 1 х^-1 719 Решить неравенство Зл:^ - 7л: + 4 < 0. 720 Построить график функции у = ^-/х и найти приближённо по графику 1/(7). 721 Решить неравенство | Зл: - 71 > 10. 221 Вариант 3 722 Вычислить 3,75 + 2- 2,75-1- 2 2 2^-1,875 si+ 1,5 3 8 •12 ' ll‘ 723 Сократить дробь л:'‘+ 2ЛГ-15 х^-9 724 Решить систему уравнений 1+х 2х-у 5 2 Ьу-2 4х-5 = Зу-1, = 8-2х. 725 Построить график функции у = — и указать промежутки, X на которых эта функция возрастает. 726 Найти сумму первых 15 членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен -20, а разность равна 12. Вариант 4 727 Решить уравнение л/Зл: - 4• -Jx -2 = 4. 728 Решить неравенство IiLll + 5x •••> если Ь2~ Ьу = 18, Ь^- bi = 42. 731 Решить уравнение лг"* = 6 - х^. 222 Вариант 5 732 Вычислить 733 Решить уравнение Зх-2 X + 4 2х + 5 лг-10 734 Из двух городов, находящихся на расстоянии 700 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость движения одного из них на 20 км/ч больше скорости другого. Найти скорость движения каждого поезда, если известно, что они двигались без остановок и встретились через 5 ч после начала движения. 735 Решить уравнение yj3x^-2 = x. 736 Указать, в каком квадранте расположена вершина параболы у = х^ + 7х + 10. Вариант 6 737 Решить систему неравенств ^+2> ^^-1, 10 х-3> 738 Упростить выражение X - 4 / ах -Ь \ Ьх + а Г а + Ь Ь-а \ [ х2-1 х-1 ) 739 Вычислить (V20 - л/45-I-2л/^ + Зл/т) • л/5. 740 Построить график функции у = -х^ - 8х + 12 и определить, на каком промежутке эта функция возрастает. 741 Решить уравнение (x-2)2 + 5(16-3x) = 0. 223 Вариант 7 742 Разложить многочлен 5у^ - Юг/ — yz + 2z на множители. 743 Выполнить действия: 744 Решить уравнение \ ь) X + 1 . X-1 5 X - 1 X +1 2 (а + Ь). 745 Найти наибольшее значение функции у = -2х^ + 5х - 3. 746 Вычислить 5/ ^(0,00032)-2 . Вариант 8 747 Найти значение выражения 1 + х + • 1-х 1 + - l-x-^ при х =---. 5 748 Найти область определения функции . _ / х-3 ^ \2x-l' 749 Решить систему уравнений 1х + 3у = 4, [0,5л: + г/ = 1,5. 750 Найти р и д, если известно, что вершина параболы у = х^+рх + д имеет координаты (-1; 2). Построить график этой функции. 751 Вычислить (1 + >/?) (4 - л/7) • 3 V? + 9л/7. 224 Вариант 9 752 Решить систему уравнений х + у х-у _7 2 3 б’ = l 4 3 4 ■ 753 Сократить дробь 2а^ + 5а - 3 + а - 6 754 Найти р и q, если парабола у = + рх + q пересекает ось абсцисс в точке д: = 2, а ось ординат в точке у = -2. Определить координаты вершины параболы и выяснить, при каких значениях х парабола расположена ниже оси абсцисс. 755 В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 6, а разность между первым и третьим членами равна 3. Найти сумму первых шести членов прогрессии. Вариант 10 756 Найти целые решения системы неравенств 2х-3 , Зд:-2 ^ 1 ~ I ^ « 4 3 12 5д: + 1 8х-1 <5. 757 Выяснить, проходит ли прямая у = Зх - 2 через точку пересечения прямых у = 2х-1иу = 4- Зх. 758 Сократить дробь 2а^-3а-2 а^+ За -10 759 Из города А выехал автомобиль, и одновременно навстречу ему из города В выехал автобус. Двигаясь без остановки и с постоянными скоростями, они встретились через 1 ч 12 мин после начала движения. Найти скорости автомобиля и автобуса, если автомобиль прибыл в город В на 1 ч раньше, чем автобус в город А, а расстояние между городами Л и В равно 120 км. 760 В арифметической прогрессии сумма первого и шестого членов равна 11, а сумма второго и четвёртого членов равна 10. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии. 8 Алгебра, 9 кл. 225 Задачи для внеклассной работы • I..........................I...................I.................I • 761 Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1. 762 Доказать, что при любом натуральном п число Зга + 2 не является квадратом целого числа. 763 Доказать, что: 1) число 10^° - 361 делится на 27; 2) число 10**° - 298 делится на 99; 3) число 91®° - 19^® делится на 18; 4) число (75 • 94)^° + (39 • 56)^® делится на 19. 764 Доказать, что если сумма цифр натурального числа не меняется при умножении его на 5, то это число делится на 9. 765 Пусть т, п — натуральные числа, и пусть число гаг - 1 делится на 3". Доказать, что число гаг® - 1 делится на 3"^*. 766 Доказать, что не существует целых чисел х, у, для которых справедливо равенство = 1982. 767 Пусть тип — взаимно простые натуральные числа. Доказать, что не существует натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению тх + пу = тп. 768 Доказать, что число 7га® -I- 1 не делится на 3 ни при каком натуральном га. 769 Доказать, что не существует целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 15х® = 9 + 7i/®. 770 Доказать, что если т, п, k — натуральные числа и число т + п + k делится на 6, то число гаг® -I- га® + А® также делится на 6. 226 771 Доказать, что если натуральные числа т и п не делятся на 5, то число m‘^ - п* делится на 5. 772 Доказать, что для любых целых чисел тип число делится на 30. 773 Доказать, что дробь (л + 1)‘‘ +л^-1 где п — натуральное число, можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум. 774 Доказать, что ни при каких натуральных числах т и п не может быть верным равенство: 1) т(т + 1) = п(п + 2); 2) т^ + (т + 1)^ = п* + (п + !)■*. 775 Доказать, что ни при каком натуральном числе п сумма л® и- 6л^ + 15л -I- 15 не делится на л + 2. 776 Найти все натуральные числа л, при которых число + \ является простым. 777 Найти все пары целых чисел х, у, удовлетворяющих уравнению + 2у + 13. 778 Найти четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 5040. 779 Пусть т, п, р, д — натуральные числа, и пусть значение многочлена тх^ + пх^ + рх + q при любом целом х есть число, делящееся на 5. Доказать, что каждое из чисел т, л, р, д делится на 5. 780 Доказать, что если а, Ь, с — натуральные числа, то дискриминант D = - 4ас квадратного трёхчлена ах^ + Ьх + с не может принимать значение, равное 63. 781 Доказать равенство: 1 1) —-— -1—-—I—-— -f-... -I- 1-2 2-3 3-4 л(л+1) = 1- 2) л +1 1 1-2-3 2-3-4 111 1 3-4-5 л (л + 1)(п + 2) 212 (л-к1)(л + 2) 782 Доказать, что если а, Ь, с — попарно различные числа, то при любых значениях х выполняется равенство: ^ {X - Ь)(х - с) ^ (х - с)(х - а) ^ (х-а)(х-Ь) ’ (а-Ь)(а-с) (Ь-с)(Ь-а) (с-а)(с-Ь)~ ' 2) д2 I (х-О(х-а) ^ (х-а)(х-Ь) {а-Ь){а — с) (,Ь- с)(Ь- а) (с-а)(с-Ь) 227 783 Упростить выражение: 2 + V2 + "Уз 2) 2-л/з 2 + л/з л/i + л/з + л/б + Vs + 4 V2-л/з-^З V2 + V2TV3 ^jx-2^Jx-l + ^x + 2^x-l „ 3) ------ * —------------, если 1 < я: < 2; yjx^-A(x-l) 4) а + {» ^ -^а^Ь 784 Решить уравнение: 48 2) 6x“ - З5я:3 + 62я:2 - 35х + 6 = 0; 3) V^-2 ++ V^: + 2 + 3V2a:-5 =7>/2; 4) 2у1х^-2х + 4-^х^-2х+9=1. 785 Найти действительные корни уравнения: 1) л: (X + 1) (X + 2) (X + 3) = 24; 2) х^ + (х + 1)^ + (х + 2)® = (х + 3)^. 786 Найти действительные решения системы уравнений: 1) Ux^ + y^)(x-y)=13, 2) |4(х® + г/3) = 9х2у2. ху{х-у) = 6; 4(х^ + у^) = 9х^у^-Зху. 787 Решить систему уравнений: 1) jx2-i/2 = 61(x-i/), 1(х + 1)(1/ + 1)=12; 3) \2х^у^-Зу'^ + Ъху -& = 0, уЗх^у^ - 4у^ + 3ху -2 = 0-, 5) Х®у+ Х1/2=:^(Х + 1/)2, x*y + xy'^ = ^(x + yf\ 2) 4) 6) £i + ^ = 12, г/ l + i = i- х^у 3’ ^ + ^ЩУ = 2, х + 2у ху ху^ ^ х-2у _ х-2у ху х(у^ + 1) 3 х2+у2 5’ у(х2-1) 4 5’ х2+ у2 228 \х+у + z = 0, 788 Доказать, что система уравнений j 1 ^ 1 ^ 1 _ ^ [х у г не имеет действительных решений. 789 Решить систему уравнений: 1) j|x-l|+|i/-5| = l, 2) у5у-х +х = 3, [i/ = 5+|a:-1|; |^2i/ — х + х + у-3; 3) Uy + 7x +yjy + 2x=5, \у1у + 2х -у + х = 1; 4) |л/25-л:2 -д/25-1/2 = Vs, \л125-х^ + д/25-1/2 = ^16 + ix+yf . 790 791 792 793 794 795 796 Найти все действительные значения г, при которых уравнение -и (4 + 2г) д: -и 5 -I- 4г = О имеет: 1) действительные и равные корни; 2) действительные корни, равные по модулю, но противоположные по знаку. Найти все действительные значения а, при которых корни уравнения ах^ -ь2(а-1-3)дг-1-а-1-2 = 0 неотрицательны. Найти все значения а, при которых уравнение д:^ -1- ад: -н + а = О имеет действительные корни и Х2, удовлетворяющие условиям Х^ < Х2, Х^Х2 = О.^ ■ Найти все значения а, при которых квадратичная функция у = х^ + ах + + Qa принимает отрицательные значения при всех д:, таких, что 1 < д: < 2. Доказать, что если действительные числа о, Ъ, с удовлетворяют условию с (а + Ь -1- с) < О, то уравнение ах^ + с = О имеет действительные корни. Пусть д:^ и д:2 — корни уравнения х^ + рх + q = 0. Найти р и q, если известно, что числа Xj -I- 1 и д:2 н- 1 являются корнями уравнения х^ - р^х + pq = 0. Найти все значения г, при которых неравенство + гх-2 -3< <2 797 д: + 1 выполняется при всех значениях х. Найти все значения а, для которых при всех действительных значениях х выполняется неравенство ах^ + 2 (а + 2) X + 2а + 4 < 0. 229 798 Доказать, что для любых чисел х а у справедливо неравенство: 1) + 4у2 -2х- 16у +17 >0; 2) 5х^ - 4ху + г/2 - 16л: + 6у + 13 > 0. 799 Доказать, что для любых чисел а, Ь, с справедливо неравенство: 1) + Ь^ + -2а +4Ь-6с+14> 0; 2) {а + Ъ + cY > 3 (аЬ + Ьс + са); 3) (а и- Ь - с)^ + (fc + с - а)^ -I- (а + с - Ь)^ > аЬ + Ьс + са. 800 Доказать, что при любом натуральном числе п > 2 справедливо неравенство: 1) —+ ^—+ + 2) Л + 1 л + 2 2л 2 (‘4) <11-1-— 2л 2п 801 Доказать, что для любых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо неравенство: 1) CL^ + + с^ > ЗаЬс; 2) (а -н Ь -ь с) (аЬ + Ьс + са) > 9аЬс, 3) (а + Ь)(Ь + с) (с + а) > 8аЬс; 4) (а и- 6 - с) (Ь -(- с - а) (с -(- а - Ь) < аЬс. 802 Доказать, что для любых положительных чисел а, Ь, с справедливо неравенство: 1) — + - + -^ -f= + -p= + -j=, а о с са л! аЬ 2) ^- + —5-------------------. Ь + с с + а а + Ь а + Ь + с 803 804 805 806 Доказать, что для любых положительных чисел а, Ъ, с, d справедливо неравенство ^(а + с)(Ь + d) > 4^ + 4^• Пусть а, Ь, с — положительные числа, такие, что аЬс = 1. Доказать, что (1 -(• а) (1 + Ь) (1 + с) > 8. Доказать, что при всех действительных значениях х справедливо неравенство — л:® -н дг"* - л: -t- 1 > 0. Представить многочлен х^ + х* + 1 в виде произведения трёх многочленов с целыми коэффициентами. 807 Сократить дробь: ^ а® - 2а^ и-5а-I-26 ’ а^-5а^ + Па-1з' 230 2) 2а* -I- а® + 4а^ -i- а -I- 2 2а® - а® -ь а - 2 808 811 812 Построить график функции: 1) у = \х - 2\ + \х + А\\ 2) i/ = |x-3|-|x-l|; 3) у = + 4х+ 4 + -^х^-6х + 9; 4) у = fjx^ + 10х + 25 - yjx^ -2х + 1; 2\х\-1 6) г/ = - х\-4 7) у = х^ - X - 2 5) у = 8) У = Зх-2, 1 Решить неравенство (809—810). 809 1) 3) 17-42д: 5х^-7х + 2 х*-Зх^-4 >6; >0; 810 x‘^ + 8x^-9 5) 1^2 - 4х| < Зх - 6; 1) yll-x^ +l<^13-x^ ; 3) .^х^-бх <8 + 2л:; 2х + 3 2) 4) <4; 15-4ДГ х^-х-12 х^ - 5х^ - X + 5 <0; лг®+ 2х^-9х -18 6) I - 2д: - 3 I < I д: + 11. 2) х + 4>2-/4^Гд^; 4) 2-Зд:< л/4 + 9х-9дг2 ; 5) ^6х^+7х-3 <2; 6) ^-^>-1. X -1 3 813 814 Три числа, сумма которых равна 24, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 2 и 7, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа. Три числа, сумма которых равна 28, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии. Если из этих чисел вычесть соответственно 1, 3 и 9, то полученные числа будут последовательными членами арифметической прогрессии. Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии. Найти четыре числа, первые три из которых являются последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних чисел равна 18. Доказать, что если положительные числа а, Ь, с являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа 1 1 1 •fb + ^ \fc + -Га у[а + -Jb также являются последовательными членами арифметической прогрессии. 231 815 816 Доказать, что если положительные числа Oj, Oj, а„ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то ____I____+______I____+ ... + _____I_____= -. 7^ + ./^ + д/а„ Пусть числа Oj, Og, .... о„, ... являются последовательными членами арифметической прогрессии, S„ — сумма п первых членов этой прогрессии. Доказать, что; 1) если = S„, то = 0; 2) если—^ = ——, то Дщ _ 2т -1. а„ 2л-1’ 3) S„,3 = 3S„,2-3S„,i + S„; 4) S3„ = 3 (8з„ - SJ. 817 818 819 820 821 822 823 824 825 Пусть S„ — сумма п первых членов геометрической прогрессии. Доказать, что: 1) S„ , , - S„ = 2) S„ = (5з„ - S„)2. Найти сумму S„ = 1 -(- 2л: -I- Зл:^ + 4x^ + ... -н (л -I- 1) x". Найти сумму 6 -I- 66 -t- 666 -I- ... -f- 666...6, где последнее слагаемое есть л-значное число. Последовательность определяется рекуррентной формулой jc„ = ал:„_1 + Ь, где а, Ь, х, — заданные числа. Найти формулу л-го члена х„ и формулу суммы л первых членов S„. Последовательность лгр лгз» ..., х„, ... удовлетворяет при всяком л > 1 условию +1 - 2л:„ -I- д:„ _ j = 1. Выразить х„ через л:,, Х2 и л. Пусть а, = Лз = Лз = 1, Л4 = -1 и а„ = _ 4 • а„ _з при л > 4. Найти Лзооо- Последовательность определяется при л > 2 рекуррентной формулой = (а и- Р) д:„ _ 1 - аРд:„ _ 3. где а, Р, х^, Х2 — заданные числа, такие, что аР 0, а р. Найти формулу л-го члена л„. Катер затрачивает на путь от Л до В по течению реки л часов, а на обратный путь Ь часов. Сколько часов будет плыть плот от А до В? Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а ещё через 30 мин — мотоциклист. В некоторое время все трое оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста. На сколько минут раньше пешехода прибыл в В велосипедист? 232 826 Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили j содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Сколько весил сплав первоначально? 827 Из пункта А вышел пешеход, а из пункта В навстречу ему одновременно выехал велосипедист. После их встречи пешеход продолжал идти в В, а велосипедист повернул назад и поехал в В. Известно, что пешеход пришёл в В на 2 ч позже велосипедиста, а скорость его в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Сколько времени прошло от начала движения до встречи пешехода и велосипедиста? 828 Пловец плывёт против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения ещё t минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. 829 Дорога из пункта А в пункт В длиной 11,5 км идёт сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход на путь от А до В и обратно от В до А затратил 6 ч. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, на равнине — 4 км/ч, а под гору — 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть дороги, которая идёт по равнине? 830 Два пешехода вышли одновременно из пункта А. Первый из них встретился с туристом, идущим в пункт А, через 20 мин после выхода из А, а второй встретил туриста на 5 мин позже, чем первый. Через 10 мин после второй встречи турист пришёл в А. Скорости пешеходов и туриста были постоянными. Найти отношение скоростей пешеходов. 233 831 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу: первый — из пункта А, второй — из пункта В. До встречи первый пешеход прошёл на 1 км больше, чем второй. Через 45 мин после встречи первый пешеход пришёл в пункт В. Второй пешеход прибыл в пункт А через 1 ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В. 832 Дорога из пункта А до пункта В идёт на подъём, а от пункта В до пункта С имеет спуск. Пешеход затрачивает t часов на путь от А до С и ^ часа на обратный путь. Найти скорость пешехода на подъёме, если его скорость на спуске на а километров в час больше, чем на подъёме, а расстояние от А до С равно S километрам. 833 Из пункта А выехали три велосипедиста, первый — на 1 ч раньше двух других, стартовавших одновременно. Скорость каждого велосипедиста постоянна. Через некоторое время третий велосипедист догнал первого, а второй догнал первого на 2 ч позже, чем третий. Определить отношение скоростей первого и третьего велосипедистов, если 2 отношение скорости второго к скорости третьего равно -. О 834 В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают i часть раствора и выпаривают до тех 5 пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3%. Определить исходное процентное содержание соли. 835 Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней 216 м^ древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготавливала 8 м® сверх плана. Поэтому за день до срока было заготовлено 232 м^ древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была бригада заготавливать по плану? 836 По расписанию поезд должен пройти перегон в 120 км с одной и той же скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд вынужден был остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Определить скорость поезда по расписанию. 837 Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль берега реки, отправляются одновременно из пункта А в пункт В 234 и совершают безостановочное движение между А а В. Первая встреча их произошла, когда автобус прошёл - всего расстояния от А до В, а вторая встреча — когда автобус после первого захода в В проехал i всего расстояния от В до А. Первый раз в пункт В автобус прибыл на 16 мин позже катера. Через сколько часов после начала движения автобус и катер первый раз окажутся одновременно в пункте А? 838 Из пункта А по шоссе в одном направлении одновременно выехали два автомобиля, а спустя некоторое время из того же пункта вслед за ними выехал третий автомобиль. Через час после своего старта третий автомобиль был в 3 раза ближе к первому автомобилю, чем ко второму, а ещё через треть часа — на равном расстоянии от них. Определить, через какое время вслед за первыми двумя автомобилями вы- 7 ехал третий, если он догнал первый автомобиль через - ч 4 после старта первых двух автомобилей. 839 Дорога проходит через пункты А и В. Велосипедист выехал из А по направлению к В. Одновременно с ним из пункта В вышли с равными скоростями два пешехода: первый — в пункт А, второй — в противоположном направлении. Велосипедист проехал путь от А до В за 0,5 ч и, продолжая движение, догнал второго пешехода. Это произошло через 1,2 ч после встречи велосипедиста с первым пешеходом. Определить время движения велосипедиста от начала движения до встречи с первым пешеходом. 840 Дорога проходит через пункты А и В. Одновременно и в одном направлении выехали: из А — мотоциклист (в направлении к В), из В — велосипедист. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии а километров от В. Если бы мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из А в В, то в момент прибытия мотоциклиста в В велосипедист отставал бы от него на Ь километров. Определить расстояние между пунктами А и В. 841 Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между А и В. Первая встреча их произошла через 42 мин после начала движения, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль первый раз окажутся одновременно в пункте А? 235 842 Вдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А и С). Буксир прошёл путь от А до С за 4 ч. На каждом из участков АВ и ВС собственная скорость буксира (скорость отно- 2 сительно воды) была постоянна, причём на участке ВС в 1- О раза больше, чем на участке АВ. Обратный путь от С до А буксир прошёл также за 4 ч, и на всём пути его собственная скорость была в 2 раза больше, чем при движении из А в В. Если бы на обратном пути собственная скорость буксира была такой же, как и при движении из В в С, то участок от С до В он прошёл бы за 3 ч. Сколько времени буксир шёл от А до В? 843 Катер и пароход, отправляясь одновременно из пункта А в пункт В по направлению течения реки, осуществляют безостановочное движение между А и В. За один рабочий день катер делает 5 рейсов, а пароход — 9 рейсов (рейс — движение от А до В и обратно). Через 20 мин после начала движения, когда катер прошёл ^ всего расстояния от А до 6 В, происходит их первая встреча. Определить продолжительность рабочего дня. Краткие теоретические сведения по курсу алгебры VII—IX классов I..................I.....................I.....................I • ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 1. Число. Множество натуральных чисел: 1; 2; 3; ... . Множество целых чисел: 0; ±1; ±2; ±3; ... . Множество рациональных чисел — числа вида —, где т — це- п лые, п — натуральные числа. Например, рациональными явля- 3 2 о 2 ются числа - = 2; 5 1 7 Рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, f = 0,4; -i = -0,333... = -0,(3). 5 3 Множество иррациональных чисел — бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, 0,1001000100001... — иррациональное число. Иррациональными числами являются числа V2, >/з, л и др. Множество действительных чисел — рациональные и иррациональные числа. Множество комплексных чисел — числа вида а + Ы, где а и Ь — действительные числа, = -1. 2. Числовые промежутки — отрезки, интервалы и полуинтервалы. Отрезок [а; 6] — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < X < Ь, где а < Ь. Например, отрезок [2; 5] — это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам 2 < х < 5. 237 Интервал {а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < X < Ь, где а < Ь. Например, интервал (-2; 3) — это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам -2 < х < 3. Полуинтервал [а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь; полуинтервал (а; Ь] — множество чисел X, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, где а < Ь. Например, [3; 8) — множество чисел х, таких, что 3 < х < 8; (-4; 2] — множество чисел х, таких, что -4 < х < 2. Множества чисел, удовлетворяющих неравенствам х > а, X < а, X > а, X < а, можно записывать как (а; -i-oo), (-оо; а); [а; -1-оо), (-оо; а] соответственно. 3. Модуль числа а (обозначается | а |) определяется формулой если а > О, если а < О. \а\= \ I’ [-а. Геометрически | а | — расстояние от точки О до точки, изображающей число а; | а - 61 — расстояние между точками а и Ь. Для любого числа а выполняется неравенство | а ( > О, причём I а I = О только при а = 0. Неравенству | х | < а, где а > О, удовлетворяют числа х из отрезка [-а; а], т. е. такие числа х, что -а < х < а. Неравенству | х | < а, где а > О, удовлетворяют все числа х из интервала (-а; а), т. е. такие числа х, что -а < х < а. Неравенству | х | > а, где а > О, удовлетворяют все числа X < -а и числа х > а. Неравенству |х|>а, где а > О, удовлетворяют все числа X < -а и числа х > а. 4. Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков действий и скобок. Например, 1,2 • (-3) - 9 : (0,5 + 1,5) — числовое выражение. Значение числового выражения — число, полученное в результате выполнения действий, указанных в этом выражении. Например, число -21,6 — значение выражения 1,2 • (-3) - 9 : 0,5. 5. Порядок выполнения действий. Действия первой ступени — сложение и вычитание. Действия второй ступени — умножение и деление. Действие третьей ступени — возведение в степень. 1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступени выполняются в том порядке, в котором они записаны. 2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия над числами, заключёнными в скобках, а затем все остальные действия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1. 238 3) Если вычисляется значение дробного выражения, то выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе и первый результат делится на второй. 4) Если выражение содержит скобки, заключённые внутри других скобок, то сначала выполняют действия во внутренних скобках. 6. Стандартный вид числа — запись числа в виде а • 10", где 1 < I а I < 10, п — целое, которое называют порядком числа. Например, 345,4 = 3,454 • 10^, 0,003 = 3 • 10 ^ -0,12 = -1,2 • 10 ». 7. Погрешность приближения. Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением. Если а — приближённое значение, ал: — точное, то абсолютная погрешность равна | л: - а |. Запись X = а ± h означает, что абсолютная погрешность приближения не превосходит Л, т. е. | л: - а | < Л, или a-h<,x •••’ ..., удовлетворяющая условию + i = b^q, где га — любое натуральное число, ад — заданное число, называемое знаменателем этой прогрессии, причём 6,^0, q ^ 0. 3 3 3 Например, последовательность 3, -, —, ...,--- 5 52 5П-1 геометрической прогрессией со знаменателем д = \- 5 является 243 Формула п-го члена геометрической прогрессии: Ь„ = Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии: \-q q^l. СТЕПЕНИ И КОРНИ 18. Степень числа а с натуральным показателем п, большим 1, — произведение п множителей, равных а, т. е. а" = а-а - ...-а. п раз Например, 2^ = 2 • 2 • 2, т^ = т ■ т ■ т ■ т ■ т. 5 раз В записи степени а" число а — основание степени, п — показатель степени. Например, в записи степени 2^ число 2 — основание степени, число 3 — показатель степени. Первая степень числа — само число: а* = а. Например, 13) 13 Действие возведения в степень — нахождение степени числа. Основные свойства степени: 1) При умножении степеней с равными основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются: 2) При делении степеней с равными основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются: дЛ . дШ _ дЛ - т_ 3) При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются: (дЛ)П1 _ дЛП1_ 4) При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель: (а • Ь)" = а" • Ь". 5) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель: I г> J Ь" ‘ 244 19. Квадратный корень из числа а — такое число, квадрат которого равен а. Например, 6 — квадратный корень из числа 36; число -6 также квадратный корень из числа 36. Извлечение квадратного корня — действие нахождения квадратного корня. Извлечь квадратный корень можно только из неотрицательного числа. Арифметический квадратный корень из числа а — неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это число обозначается так: 4а. Например, лЛГб = 4, Vl44 = 12. Выражение 4а имеет смысл только для а > О, при этом 4а>0, (4а)^ = а. Свойства квадратных корней: 1) 4аЬ = 4а • 4ъ, если а > О, Ь > 0. Например, ^144-196 = Vl44• >/196 = 12 • 14 = 168. 2) если а > О, Ь > 0. V Ь у/ь Лб9 15 ■ Например, /^= —_ V225 = а", если а > О, п — натуральное число. Например, 4^ = 3® = 27. Эти свойства используются при преобразовании выражений, содержащих квадратные корни. Основные из этих преобразований — вынесение множителя из-под знака корня: •Ja^b = а4ь, если а > О, Ь > О, и внесение множителя под знак корня: а4ь = если а > О, Ь > 0. 20. Степень с рациональным показателем. Степень с целым отрицательным показателем определяется равенством а“"= где афО, п — натуральное число, а" Например, -у = i. 3^ у Степень с нулевым показателем определяется равенством = 1, где а ^ о. Например, 4° = 1, (-0,2)® = 1. Корень натуральной степени из числа а — число, п-я степень которого равна а. Например, числа 2 и (-2) — корни четвёртой степени из 16, число (-3) — корень третьей степени (корень кубический) из числа -27. Арифметический корень п-й степени из числа а (обозначается '4а, п > 2) — неотрицательное число, п-я степень которого равна а. Например, Vl6 = 2, 4^ = 3. 245 УРАВНЕНИЯ 21. Уравнение с одним неизвестным — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Пример уравнения: 2д: -I- 3 = Зд: -и 2, где д; — неизвестное число, которое нужно найти. Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 3 является корнем уравнения х + 1 = 7 - х, так как 3 1 = 7 - 3. Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет. Основные свойства уравнений: 1) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. 2) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. 22. Квадратное уравнение — уравнение вида ах^ + Ьх + с = О, где а, Ь и с — заданные числа, а ^ О, х — неизвестное число. Коэффициенты квадратного уравнения называют так: а — первый или старший коэффициент, Ь — второй коэффициент, с — свободный член. Примеры квадратных уравнений: 2д:2 - д: - 1 = О, Зд:^ -|- 7д: = 0. Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение ах^ + бдг + с = о, у которого хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю. Примеры неполных квадратных уравнений: дг2 = 0, 5д:2 + 4 = о, Ъх^ + х = 0. Формула корней квадратного уравнения: -Ь ± -^Ь^-4ас •^1, 2 2 а ■, где D = b^ — 4ас — дискриминант. Например, уравнение Зд:^ + 5д: — 2 = 0 имеет два корня: -5 ± л/25 + 24 -5 ± 7 1 „ дг1,2 =----------= —^,т. е. Xj = -,X2 = -2; уравнение х^ — 6х +13 = 0 имеет два корня: _6±л/36-52 _6±4t 2 2 Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида х"^ + рх + q = 0. 246 ^1,2 ~ ■ = 3±2t. Формула корней приведённого квадратного уравнения'. X --Р+ Ie^-o 1-2" 2 V 4 Например, корни уравнения - 6х 7 = О таковы: ^1,2 = 3 ± л/9 + 7 = 3 ± 4, т. е. = 7, Хг = -1. Теорема Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, и их произведение равно свободному члену. Таким образом, если Xj и Хз — корни уравнения х^ + рх + q = = О, то Xj + Хз = -р, Xj • Хз = q. Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, х^, Х3 таковы, что Xi + Хз = -р, Х1Х3 = q, то Xj и Хз — корни уравнения х^ + рх + q = 0. 23. Система двух уравнений с двумя неизвестными — два уравнения с двумя неизвестными х и у, рассматриваемые совместно. Примеры систем уравнений с двумя неизвестными: -2у = 1, 4у2 = -35. |Зх-г/ = 5, |х-2 \2х+у = 7', |х2-' Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство. Решить систему — это значит найти все её решения или установить, что их нет. При решении систем линейных уравнений с двумя неизвестными применяются следующие способы: 1) Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают через другое и подставляют в другое уравнение системы. 2) Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных системы a^x+b^y = Ci, U2X +Ь2У=С2, почленным сложением или вычитанием уравнений системы исключают это неизвестное. 3) Графический способ. В одной системе координат строят графики уравнений системы; по взаимному расположению графиков определяют число решений системы; находят координаты общих точек графиков (если они есть). 247 НЕРАВЕНСТВА 24. Числовые неравенства. Неравенство а > Ь означает, что разность а - Ь положительна. Неравенство а < Ь означает, что разность а - Ь отрицательна. Если а > Ь, то Ь < а. Неравенство — два числовых или алгебраических выражения, соединённые знаком > или <. Примеры неравенств: 4 > 7 - 5; 2а -t- Ь < -t- Для любых двух чисел а и Ь только одно из следующих трёх соотношений является верным: а > Ь, а = Ь, а < Ь. Основные свойства числовых неравенств: 1) Если а > Ь н Ь > с, то а > с. 2) Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из них одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если а>Ь, то а + с>Ь + сиа — с>Ь-с для любого числа с. Любое число можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак переносимого числа на противоположный. 3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, тогда, если это число положительно, знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный: если а > 6, то ас > Ьс и -> - при с > О, ас < Ьс и -< - при с < 0. с с с с Сложение неравенств. Неравенства одинакового знака можно складывать, при этом получается неравенство того же знака: если а>Ькс> d, то a + c>b + d. Например: 4 > 3,5 -2 >-5 2 >-1,5 2,3 <3,5 -4 < -3 -1,7 < 0,5 Умножение неравенств. Неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, можно перемножать, при этом получается неравенство того же знака: если а > Ь, с > d и а, Ь, с, d — положительные числа, то ас > bd. Например: 2,4 > 2,1 4 > 3 X 1,7 < 2,3 2 < 3 9,6 >6,3 3,4 <6,9 Если а > Ь и а, Ь — положительные числа, то а^ > Ь'^, а^ > Ь^ и вообще при любом натуральном п выполняется неравенство а" > Ь". Например, 6^ > 5^, 6® > 5®, 6*^ > 5*^. Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и < (меньше). Например, 5 > 3, л: < 1. 248 Нестрогие неравенства — неравенства со знаками > (больше или равно) и < (меньше или равно). Например, а^ + > 2аЬ, д: < 3. Нестрогое неравенство а > Ь означает, что а > Ь или а = Ь. Свойства нестрогих неравенств такие же, как и свойства строгих неравенств. При этом в свойствах строгих неравенств противоположными считаются знаки > и <, а в свойствах нестрогих неравенств — знаки > и <. Среднее арифметическое двух чисел а м Ь — число . Среднее геометрическое двух положительных чисел а и Ь — число у/аЬ. Если а > О, Ь > О, то 25. Неравенство с одним неизвестным — это неравенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Примеры неравенств первой степени с одним неизвестным: Зх-1-4<5д:-2; 3 4 Решение неравенства с одним неизвестным — значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство. Например, число 3 является решением неравенства д: и- 1 > > 2 — X, так как 3 -(- 1 >2-3. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет. Основные свойства неравенств с одним неизвестным: 1) Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется. 2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный. Система неравенств с одним неизвестным — это несколько неравенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассматриваемых совместно. Примеры систем неравенств с одним неизвестным: X + 2 < 5х, 2(х-1)>3, Зх 4> 1- х; 3(х-1)>4, х-4<7. Решение системы неравенств — то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. 249 Например, число 2 является решением системы |3л: - 4< 2х, \х+2>3, так как 3-2-4<2-2и2 + 2>3. Вообще, решениями этой системы являются все числа х, такие, что 1 < л: < 4; других решений нет. Решить систему неравенств — это значит найти все её решения или установить, что их нет. 26. Квадратное неравенство — неравенство, в левой части которого стоит квадратный трёхчлен, а в правой — нуль. Примеры квадратных неравенств: х^-х + 2>0, 2х^ - Зх - А < О, 4 > 0. Для решения квадратного неравенства нужно: 1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции; 2) найти корни соответствующего квадратного уравнения (если они есть); 3) построить эскиз графика и по нему определить промежутки, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. Например, решая неравенство 2х^ -I- Зх - 2 < 0, имеем: 1) ветви параболы направлены вверх, так как 2 > 0; 2) корни уравнения 2х^ -I- Зх - 2 = 0 таковы: Xj = 0,5, Х2 = -2; 3) по эскизу графика функции у = 2х^ -I- Зх - 2 устанавливаем, что у < о при -2 < X < 0,5. 27. Метод интервалов используется для решения неравенств. Рассмотрим, например, неравенство (х- 1) (х - 2) (х - 3) < 0. Числа 1, 2 и 3 разбивают числовую ось на 4 интервала: х < 1, 1<х<2, 2<х<3, х>3. На каждом из интервалов левая часть неравенства сохраняет знак, и при переходе к соседнему интервалу знак левой части меняется на противоположный. Так как при X > 3 левая часть неравенства положительна, то его решениями являются значения х из интервалов х<1и2<х<3. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 28. Функция. Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у (х). При этом х называют независимой переменной (или аргументом), а у — зависимой переменной (или функцией). Область определения функции — множество всех значений, которые может принимать её аргумент. Если функция задана формулой, то считают, что её область определения — множество значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл. 250 Например, функция у = ~Jx - 2 определена при х>2. Функция у (;с) называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любых ЛГ), Х2, принадлежащих этому промежутку, из неравенства Х2 > следует неравенство у(х2) > y(Xi). Например, функция у = х^ возрастает на всей числовой прямой; функция у = х^ возрастает на промежутке [0; -1-00). Функция у (х) называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. для любых Xj, Х2, принадлежащих этому промежутку, из неравенства Х2 > х, следует неравенство «/(лгг) Например, функция у = —2х убывает на всей числовой прямой; функция у = х^ убывает на промежутке (-оо; 0], функция у = — убывает на промежутках (-оо; 0) и (0; -1-оо). График функции у (д:) — множество всех точек координатной плоскости с координатами {х\ у (jc)). Пусть область определения функции у (хг) симметрична относительно начала координат. Тогда функция у (дс) называется чётной, если выполняется равенство у{-х) = у(х), и нечётной, если у(-х) = -у{х). Например, у = х* — чётная функция, а у = х^ — нечётная функция. График чётной функции симметричен относительно оси ординат. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. 29. Линейная функция — функция вида у = kx Ь, где к и Ь — заданные числа. График линейной функции у = кх + Ь — прямая. При ft = О функция принимает вид у = кх, её график проходит через начало координат. 30. Прямая пропорциональная зависимость — зависимость, выражаемая формулой у = кх, где к > О, х > 0. Обратная пропорциональная зависимость — зависимость, и выражаемая формулой у = —, где А > О, д: > 0. 31. Функция У = ^ {к^О) определена при дс О, принимает все действительные значения, кроме нуля. Если fe > О, то функция у = —\ например, у = — , у = — : д: X 2х) а) принимает положительные значения при дг > О и отрицательные при д: < 0; б) убывает на промежутках (-оо; 0) и (0; -1-оо). 251 Если k < О, то функция У у = - (например, у = --у «/ = --. X XX а) принимает положительные значения при х < О и отрицательные при д: > 0; б) возрастает на промежутках (-оо; 0) и (0; н-оо). График функции у = — называется гиперболой. Она имеет две X ветви, расположенные симметрично относительно начала координат. При к > о график расположен в первом и третьем квадрантах, а при к < о — во втором и четвёртом квадрантах. 32. Квадратичная функция — функция вида у = ах^ + Ьх + с, где а, Ь, с — заданные действительные числа, а^О, х — действительная переменная. Графиком квадратичной функции является парабола. В частности, графиком функции у = х^ является парабола с вершиной в точке (0; 0); ось симметрии этой параболы — ось ординат. В общем случае вершиной параболы у = ах^ + Ьх + с = а {х - Хд)^ + уд является точка (Хц; Уо), где Хо = ^, Уо = J/ (^о)- Ось симметрии параболы — прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 — вниз. Параболу у = ах^ + Ьх + с = а (х - Xq)^ + у^ можно получить сдвигом параболы у = ах^ вдоль координатных осей. Например, параболу у = 3 (х 4- 2)^ -(- 4 можно получить сдвигом параболы у = Зх^ вдоль оси Ох на две единицы влево и вдоль оси Оу на четыре единицы вверх. Схема построения графика квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с. 1. Построить вершину параболы (Xq; Уо), вычислив Xq, Уо по формулам Xq = - Уо = у (л:о) или методом выделения полного квадрата. 2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, — ось симметрии параболы. 3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. 4. Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно её оси, например точки с абсциссами х = 0 и X = 2xq = - — и ординатой у = с. 252 5. Провести через построенные точки параболу. Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции. Квадратичная функция у = ах^ + Ьх + с = а(х - Х(,)^ + у^'. а) принимает наименьшее значение, равное у^ при х = Xq, если а > 0; б) принимает наибольшее значение, равное у^ при х = если а < 0. Например, квадратичная функция у = 2(х - 1)^ + 3 принимает при л: = 1 наименьшее значение, равное 3; квадратичная функция у - -4(х + 2)^ - 5 принимает при X = -2 наибольшее значение, равное -5. КОМБИНАТОРИКА Правило произведения. Если сушествует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует п ■ т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. Например, с помощью трёх букв а, Ь тл с можно составить 3-3 = 9 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы могут быть одинаковыми, и 3 • 2 = 6 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы должны быть разными. случайные события Вероятность наступления события 1 (обозначают Р (А)) — отношение —, где п — число равновозможных попарно п несовместных исходов испытания, в котором наблюдается событие А, т — число благоприятствующих наступлению события А исходов, т. е. Р(А) = —. п Например, при одном бросании игральной кости п = 6 (выпало 1 очко, выпало 2 очка, ..., выпало 6 очков); событию А — выпало чётное число очков, благоприятствуют т = 3 исходов (выпало 2, 1П 3 1 или 4, или 6 очков), поэтому Р(А) = - = - = -. л 6 2 Относительная частота события А (обозначается W (А)) в данной серии испытаний — отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N. Например, если в серии из 30 выстрелов (N = 30) только 24 поразили мишень (М = 24), то относительная частота попадания по мишени в этой серии выстрелов равна W = - = — = - = 0,3. У 30 5 253 Статистическая вероятность события — число, около которого колеблется относительная частота этого события при большом числе испытаний. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Таблица распределения, полигон частот, диаграммы и др. — способы наглядного представления выборки значений случайной величины. Размах (Д) выборки значений случайной величины — разница между наибольшим и наименьшим значениями данной выборки. Например, для выборки 2, 1, 1, 3, 5 размах Д = 5 - 1 = 4. Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение случайной величины выборки. Например, для выборки 2, 7, 2, 8, 9 мода Мо = 2; у выборки 7, 3, 2, 3, 2, 5, 4 две моды Moj = 3 и М02 = 2. Медиана {Me) — серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины выборки. Например, для выборки 6, 7, 7, 8, 9 медиана Me = 7; для вы- б "1* т борки 5, 6, 6, 7, 8, 9 медиана Ме= ^ =6,5. Ответы 1. 1) л:+ 5; 2) 1-х; 3) Зх-1; 4) 2х^ + Зх - 1; 5) Зх + 1; 6) 5лг - 2. 2. 1) Зх'^-х-1; 2) Зх^ + 2х-2; 3) 5х^ + 2х; 4) Зл:^ + 2. 3. 1) Р(х) = = (x + 5)Q(x)+14; 2)P(x) = (4x-13)Q(x) + 38; 3) Р (х) = (Зх^ - 2) х xQ(x) + 5; 4) P{x) = (2x-3)Q{x)-2x + 4. 4.1) М(х)= х^ + - х, 3 9 Д(х) = 5; 2)М(х) = -х-^, R(x) = --x+^; 3)М(х) = Зх; R(x) = 9 2 2 2 2 = 10л;2 - X + 7; 4) М (х) = 2х^ + х - 3, Л(х) = х + 3. 5. 1) х"» - х® + х^ --х+1; 2) х*^ + х"* + X® + х^ + X + 1; 3) частное х^ - 4х, остаток 8х - 7; 4) частное 3x^ + 5, остаток 15х^ + х. 6. 1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) да. 7. 1) а = 3; 2) а = 10; 3) а = 3; 4) а = 2. 8. 1) 4х + 3; 2) 4x2 + Зд.. 3) Зх^ - х; 4) х^ + 2. 9. 1) х + 4; _2) х^ + 2х; 3) х2 + 2x2; 4) зд.3 _ д,_ 4о_ _ 3^ '2. 3 = -1± л/З; 2) Xj = 1, Х2 =-2, Хз_4 = ±\/2; 3) Х]=—2, Хз = ^, ^з~~Г' 4) Xj = 1, Х2_з = ±^. 2 О 2 11. 1) X = 3; 2) х = -2; 3) Xj = 2, Х2 =-3; 4) Х]=-2, Хз = 3. 12. 1) (X - 4) (2х - 1) (Зх + 1); 2) (х + 3)(2х + Уз)(2х - л/З); 3) (х - 2) х х(х + 3)(2х+ 1)(2х- 1); 4) (х + 1) (х - 5)(х + 1 + ,/2 )(х + 1 - V2). 13. 1) X + 3 2) х2 + X + 1 2 1 3) 4) х+1. 14. 1) Xi = 1, X2jc2-x + 1 2х^-х-¥^ •^2, 3 “ ^4,5“^ — ~1> ДГ2 = 2, "^3 ~ 2» ^4,5“^ Xj = 1, Х2 = -2, Хз,4 = ±У2, Xj 6 = ±VS; 4) х,_2 = ±1. л;з = -|. 15. а = 1, 6 = 6, О Хз = 3. 18. 1) х = -3; 2) Xj = 2, хз =-3, X3_4 = ±i; 3) Xj = 1, Хз = ^, 2 3 X3 = -i; 4) X = 2. 19. 1) Xj = 2, -*^2 = ^з = 3, ^4=^! 2) Xi 2 = 2±t/3, 255 Лз.4 = -3± 2^2. 20. l)xi = l, Х2 = -2, Хз = 3; 2) Xj = 1, Х2.з = 1±л/3; 3) xi = 2, X2 = -i; 4) x = i. 21. 1) xj_2 = ±l, X3,4 = 2±V5; 2) Xj = 2, 3 2 X2 = -i, Хз 4 = 3±-у/1о. 22. 1) X = 4; 2) действительных корней нет; 3) X, =-1, X2 = -i; 4) x = i. 23. а < -3, -3 < о < 0, 0 < а < 1. 24. а 0, 2 2 ±3, 25. 1) (5; 7). (7; 5); 2) (6; 2); 3) (3; 1), (1; 3); 4) (8,5; 7,5). 26. 1) (3; 5), (-3; -4); 2) (1; 3), (19; -3); 3) (3; 2), (2; 3); 4) (3; 0), (1; -2). 27. 1) (8; -5), (-5; 8); 2) (9; 2), (-2; -9); 3) (3; 5), (5; 3); 4) (3; 5), (-5; -3). 28. 1) (3; -1); 2) (9; 4); 4) (4; 3), (-4; -3), (3; 4), (-3; -4). 29. 1) (2; 1); 2) (2; 5), (5; 2); 3) (5; 2), (-2; -5); 4) (4; 5), (5; 4). 30. 1) (3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3); 2) (3; 5), (5; 3), (-3; -5), (-5; -3); 4) (7; 1), (-7;’-1), (1; 7), (-1; -7). 31. 2) (20; 4), (-20; -4); 3) (5; 2), (-2; -5); 4) (6; 3), (3; 6). 32. 1) (3; 2), (-3; -2); 4) (5; 2), (-5; -2), (5; -2); (-5; 2); 6) (5; 1). 33. 1) (3; 1); 2) (5; 3), (-5; -3), (3; 5), (-3; -5); 4) (1; 3), (39; -187). 34. 1) (25; 16), (16; 25); 2) (9; 1), (1; 9); 3) (1; 4), (4; 1); 4) (49; 36). 35. 1) (2; 3; 5), (-2;-3;-5), 5; з|, |^-^;-5;-з|; 2) (1; 3; 4), (-1; -3; -4). 36. 1) (За; -а), (-а; За); 2) (-5; -26), (26; 6). 37. 15 и 9, -9 и -15.38. 24 и 6,19i и li. 39. 4 см и 3 см. 40. 12 см и 15 см. 41. 35 биле-2 2 тов по 140 р. и 20 билетов по 175 р. 42. 30 дней и 20 дней. 43. 9 ч и 6 ч. 44. 80 лошадей, норма овса 15 кг; 25 лошадей, норма 4 кг. 45. 1) х^ - X + 2; 2) х + 1; 3) частное 2х^ - 1, остаток х - 4; 4) частное Зх^ - 2х^ + X - 1, остаток 2. 46. 1) Xj = 2, Хг = -, Х3 = --; 2) Xj = 4, Х2 = 1, 3 2 ^3 = -2; 3) xi = 2, Х2 = -3; 4) х, = 1, Х2 =-2, Хз_4 = ±^. 47. 1) Xj =-2, Х2 3 = ±i; 2) корней нет. 48. 1) (1; 0), f-i; 2) (17; 10), (4;-3). 2 I, 2 2) 49. 1) (-9; -4), 1^2; yj; 2) (-2; 5), з||. 50. 5 см и 6 см. 51. 21 см и 28 см. 52. 12 и 8. 53. - и -. 54. 1) х = -3; 2) Xi, 2 = ±2; 3) Xi=-1, 3 2 Х2 = 2, Хз 4 = ±1; 4) xi = l, Х2,з = ±2. 55. 1) х=1; 2) JCi = |, ^2 = -|- 56. а о, ±2, ± 57. 1) (1; 2; 3), (-1; -2; -3), |^2; 1; |j, -2; -1: -|]; 2) (2; 5; 1), -1; -^J; 3) (3; 5), (-5;-3); 4) (3; 0), |-i; - —1. 58. 5 ч и 7 ч. 59. 20%. 60. 20 км/ч. 61. 21 ряд, 5 рядов. I 3 3j 62. 2) 32; 4) 0. 63. 2)(1| ; 4) (.£| . 65. 2) 21‘3; 4) а“9. 66. 2) l,5j {dj 81 4) 32; 6) -—. 67. 2) 55; 4) -875. 69. 2) --------^----; 4) 5£i; 6) —. 169 16 (x+i/)9 b* be* 256 70. 2) -125; 4) 1 71. 2) 0,0016; 4) 72. 2) ft»; 4) <>-28. 17 625 73. 2) 4) 74. 2) 4) -64x-^^y^z-^. 75. 2) у. 76. 2) 2,7 ■ Ю-Ч; 4) 1,25 • Ю». 77. 2) 5,086 • 10-®; 4) 1,6 ■ Ю’®. 78. 0,003. 79. Ю-ч. 80. 0,0001 мм. 81. 2) а^, —. 82. 2) 0. 83. 2) 0,43; 32 4) 1,44. 84. 2) 8,51929 • 10^ 4) 6,644672 • Ю^. 85. 2) 3,25 • км». 86. 2) 6-а. 88. 4) 15. 89. 2) 81; 4) J-. 90. 2) -1; 4) -4; 6) -8. 81 91. 2) x = -i; 4) jCj=-2, Х2 = 2. 92. 2) дг — любое число; 4) — < дс < 2. 2 3 93. 2) 5; 4) -11; 6) J-. 94. 2) 2; 4) 4>/б. 95. 1) д: - 2; 2) (3 - д:)® 30 при д: < 3, (д: - 3)8 при д: > 3. 96. 3974. 97. 2) 48; 4) 20. 98. 2) 33; 4) 7. 99. 2) 0,2; 4) 2. 100. 2) 50; 4) 16. 101. 2) а®<>3; 4) a^b^. 102. 2) Заб; 4) 103. 2) 4) 5. 104. 2) -; 4) 2; 6) 4. 105. 2) Зд:; 4) 106. 2) i; 5 3 2 5 а 3 4) 1. 107. 2) 4; 4) 5. 108. 2) >/2; 4) 6) За. 109. 2) 4) 5; 6) 4. 4 2 2 110. 2) 6; 4) i; 6) 4. 111. 2) 4) £; 6) а^б. 112. 2) аб^с; 4) 2ху. 2 Ь Ь 113. 2) Зд:; 4) О. 114. 2) 7,55. 115. 2) 7; 4) 1. 117. 3) 2ifb; 4) 1. 120. 2) 3; 4) 27; 6) —. 121. 2) 5; 4) i; 6) i. 122. 2) 49; 4) 125. 27 2 2 123. 2) 121; 4) 150. 124. 2) 3; 4) 2,7. 125. 2) fei; 4) а^; 6) i/». 126. 2) 3; 1 - - i 4)i. 127. 2)а8б; 4) д;*. 128.2)1; 4)а353. 129.2)3; 4)6. 130. 3) 52; 5 i i “ ~ 4) a+ 5. 131. 2) a4 + 54;4) >/c-L 132. 2) 4) 2,/5. 133. 2) 2y; аЗ + <)3 Г.ЗЛТ ,0.. o, 0З/Т. 2^a 4) 2^5. 134. 2) 2^; 4) a + 5 135. 2) 2,05; 4) 1,49; 5) 36,46. 1 1 137. 2) I A] ‘‘<(0,41)’'»; 4) fill '' >fL2l 133 2) x = 3; 4) д: = 2; ll2j I12J I13J 139. . 140. 2,,.I 4),.5. 141. 2) д: = 2,6; 4) x = 4. 142. 2) x = -i; 4) x=l. 143. 2) 6; 4) -3. 3 144. 2) 2,1; 4) 27,2. 145. 2) 0,074. 146. 2) -3; 4) 147. 2) 51; 16 4) 0,04; 6) -0,1. 148. 2) 1000. 149. 2) ifx; 4) —. 150. 2) x = -l; 4) x=l. 151. 2) 4) -609-^. 152. 2) x — любое число; 4) x < 2, 16 27 11 11 x>3; 6)0<д:<2, д: > 3. 153. 2) a + 1; 4)a3+63; 6)а2_г,2; 9 Алгебра, 9 кл. 257 1 1 8) аб+6б. 154. R 5; 2 3 4) -2 < X < 3. 160. 1) у(-3) = 3, у(-1)= 1, у(1) = -1. 1/(3) = -1; 2) у = -2 при X = 2, у = о при х = 0их = 4, у = 2 при х = -2их = 6, i/ = 4 при х = —4 и X = 8. 161. 3) х^-1; 4) -1 < X < 1, X > 4; 6) х > 0. 162. 2) Да; 4) да. 167. 2) х=16; 3) x = J-; 4) х = ^. 169. 2) х = 32; 4) х = 8. 16 243 172. 2) Нечётная; 4) не является ни чётной, ни нечётной. 173. 2) Нечётная; 4) нечётная; 6) не является чётной и не является нечётной. 182. 2) X = 0. 183. 2) (-1; 0). 184. 2) У~~^ х =-4; 4) I/< 1 при X < о и при X > 2. 186. 2) (-2; 4) и (2; -4); 4) (-4; -2) и (1; 3). 192. 2) X < 3; 4) у < 5; 6) х < -5, х > 5. 193. 2) Ребро куба больше 7 дм. 196. 2) X = 10; 4) х = 5. 197. 2) х = 2; 4) х = 2, х = -7. 198. 2) х = 4; 4) х = 0,2. 199. 2) х = ~. 200. 2) х >-3; 4) х < 2; 3 6) X < 1, X > 7. 202. 2) х = -2; 4) Xj = 1, Хг = 3. 203. 2) х=2,25. 204. 2) X = 1; 4) X = 5. 205. 2) х = 4. 206. 2) 2 < х < 3; 4) 1 < х < 2; 6) X > 1. 207. Не меньше 6,24 м. 208. 2) х 4) х — любое число. 213. 2) —L; -V2 л/2 ±-,Г2 V2 4) (-1; -1), (1; 1). 214. 2) х > 2; 4) X < -2. 215. 2) X = 16; 4) х^ = i, X, = i; 6) х = -1. 216. 1) X — любое 2 3 число; 2) 2 < X < 11; 4) х < -7, -3 < х < -1, х > 3. 217. 2) Убывает; 4) убывает. 218. 2) Нечётная; 4) не является чётной и не является нечётной. 220. 2) -2 < X < i. 221. 1) -1 < х < 0; 3 С х < 4. 2) х > 4. 222. 2) х, = -1, 3 Х2=7; 4) Xi = 3, Х2 = 7. 224. 2) Oj = 4, Пг = 7, Дз = 10; 4) Oj = -i, О2 = 0, 3 аз = 1;6) ai=-l, 02 = -8, Пз = -27. 226. 2) Да; 4) да. 227. 2) 2, 1, 3,-1. 3 = ~7. 228. 2) 9. 229. 256, 16, 4, 2. 230. 2) 1, 7^, 231. а. 3 3 9 9 27 / \л+3 / \л+4 / \л+7 232. 2) 2(л-9), 2(п-8), 2(л-5); 4) 7-U l 2 234. 2) -3, -1, 1, 3, 5. 236. 2) 79; 4) -42. 237. 2) а„ = 29 - 4л; 4) а„ = 6-5л. 238. 12. 239. Да. 240. л =11, нет. 241. 2) 0,5. 242. 2) -13. 243. 2) -100. 244. 2) а„ = 5л - 17. 245. л > 9. 246. л < 25. 247. 2) Од = -57, d=7; 4) ag = -l, d = -l,5. 248. 44,1 м. 249. 10 дней. 250. 30. 251. 60. 252. 2) 10 050; 4) 2550. 253. 4850. 254. 4489. 255. 2) -192. 256. 2) 204. 257. 2) 240. 258. 4905, 494 550. 259. 2) 2900. 260. -45. 261. 10. 262. 2) a,o = 15^, d = 5. 263. 2) а, =-88, d = 18. 6 2 258 264. 78 бревен. 265. 44.266. aj = 5, d = 4. 269. 2) -3.12.-48.192,-768. /\Л-1 / \Л-1 271. 2) 4) i-. 272. 2) 6„=3- 1 ; 4) {>„=3- -1 . 273. 2) 5; 16 81 1^3 J \ 3j 4) 8. 274. 2) 1; 4) -1. 275. 1) bg = 4374; 2) л = 5. 276. Ь7 = 3л/3, g = —. 2 5 73 277. bs = 6, bi = 30- или b5 = -6, bi=-3ol 278.33708 р. 279. 0,25 см2. 8 8 280. 5. 282. 2) -51; 4) -Ий; 6) -400. 283. 2) 2186. 284. 2) 6i=-l, 8 81 58= 128. 285. 2) л = 7; 4) л = 5. 286. 2) л = 9, 5д = 2048; 4) л = 5, д= 7. 287. 2) 364; 4) 305. 288. 2) bj = 4802, 84 = 800. 289. -l5i. 32 291. 2) g = 5, bg = 300 или g = -6, bg — 432. 292. 2) g = 2 или g - -2; 4) 85 = 78! или 85 = 521. 293. 2) 4, 16, 64; 4) V2, ^/5, VlO. 294. 2) aio=l, ago = —; 4) Лю = 0, Ogg = 0. 295. —. 296. 2) d = -l, 59 16 2 04 = 2, 05 = 1!; 4) d = -3, 04 = 72-9, 05 = 72-12. 298.-51. 299. 2)-1080. 2 3 300. 2) 143; 4) 280,5. 301. 2) -22. 302. 2) g = -i, b4 = -—, b5 = —; 2 32 64 4) g = -T2, b4 = -1072, b5 = 20. 303. 2) b„ =-0,5 (-2)" “ 304. 2) 54 = 155. 8 305. 2) 810 = 1 — ; 4) 8g = 5. 306. 2) 242; 4) 307. 2. 308. d = 3 65 256 36 309. 2) 14,11,8,5,2.310. -5.311. 2) O19 = 0, Oj =-108. 312. 2) Xi = i, 2 3 Xg=-4. 313. 14. 314. 2) Oie = -l5, d = -—. 315. 2) 27. 316. 2) -27; 3 15 4) ± -i-. 317. 6. 318. В среду. 319. 180 раз. 320. Oi = 8, d = -3 или Oi = 2, 25 d = 3. 321. Oi = 5, d = -5 или Oj = -5, d = 5. 323. 72. 324. 1024o. 325. 3 4. 327. 1) Случайное; 2) случайное. 328. 1) Случайное; 2) невозможное. 329. 1) Случайное; 2) случайное; 3) невозможное; 4) достоверное. 330. 1) Невозможное; 2) достоверное. 331. 1) Случайное; 2) невозможное; 3) невозможное; 4) случайное; 5) достоверное. 332. 1) Совместные; 2) несовместные. 333. 1) Несовместные; 2) совместные. 334. 1) Совместные; 2) совместные; 3) несовместные; 4) несовместные. 337. Не являются. 338. 1) Не являются; 2) являются. 339. 1) Являются; 2) являются; 3) являются; 4) не являются; 5) являются. 340. 1) Являются; 2) не являются. 343. 1) 5; 2) 5; 3) 0; 4) 1. 344. 1) 5; 2) 1; 3) 1; 4) I; 5) 5; 6) 5. 345. 1) 2) 1; 3) 9 12 50' 10 5 5 1. 2’ — ; 4) 1; 5) 1; 6) 5. 346. J-. 347. 1) -1-; 10 5 5 5 10 50 . 24 349 25 1 2’ 350. 1) -1-36 ; 2) 1; 3) 2-; 4) А; 9 18 36 27 _ 4 9 ; Р(С) = |; Р(£)) = А. 352. 1) 1; 27 4 2)| 2) 1. 354. 4 1) —; 2) 5-; 36 18 3) 4) i; 5) 1; 6) |; 6 2 4 6 ^>1 259 8) J-; 9) 10) 11) 12) 1. 355. 1) i-; 2) 3) 4) i. 18 12 18 12 6 18 12 18 9 356. 1) i; 2) 1. 357. 1) —; 2) —. 358. 1) —; 2) i. 359. 1) i; 6 6 24 24 216 72 3 2) i. 360. i. 361. 1) i; 2) i. 362. 1) i; 2) -. 363. 1) 2) 3 6 22 63 55 364. 1) ^;2) J-.365. 1) i;2) i;3) i;4) i;5) A. 366. 1) i;2) i; 630 105 4 6 2 3 12 6 2 3) 1; 4) 5) 1. 367. 369. 370. 2,5%. 371. P ^ 0,6. 36 49 250 372. Pi « 0,84; Pa = 0.14. 374. 1) i;2) i;3) A; 4) 5) ?;6) -^;7) 0; 4 3 12 4 3 12 8) 1. 375. 1) 2) 3) 1; 4) 1; 5) 1; 6) —. 376. 0,01. 6 5 3 15 30 30 377. 1) 2) i. 378. 1) i; 2) 3) i; 4) i. 379. 1) i; 2) 3) i; 4) 1 380. l)i : 2) 1. 381. 1) 2) 3) 1 : 4) -. 382. 1) 11. 2) L 9 8 8 10 10 5 5 36 4 384. X 0 1 2 385. X 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 Р 4 2 4 Р 16 8 16 4 16 8 16 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Р 24 12 8 6 6 6 8 12 24 386. 390. В таблице приведён результат анализа страницы текста из «Севастопольских рассказов* Л. Н. Толстого. А Б В Г д Е •ИГЛ yiv 3 0,090 0,027 0,056 0,012 0,025 0,087 0,007 0,013 И Й К Л м Н О П 0,057 0,007 0,036 0,045 0,029 0,066 0,137 0,025 260 р С т У Ф X Ц Ч 0,047 0,061 0,054 0,017 0,001 0,014 0,007 0,014 Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 0,012 0,006 0,001 0,008 0,015 0,002 0,010 0,012 391. Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы, / Где, может быть, родились вы / Или блистали, мой читатель. 395. 1) X 145— 149 150— 154 155— 159 160— 164 165— 169 170— 174 175— 179 180— 184 м 1 9 14 8 7 6 3 2 397. 1. 3); 2. 3); 3. 3). 399. 200. 400. 240. 401. 60; 100; 120; 240; 220; 140; 80; 40. 402. 9600; 6000; 4800; 4200; 3300; 1500; 600. 403. 1) 8; 2 и 6; 4; 2) 11; 2; 2. 404. 1) 3; 3; 3; 2) 7; 3 и 5; 3. 405. 1) i? = 6; Мо =-2; Me = 1; 2) R = 0,5; Moj = 0,1, М02 = 0,2, М03 = 0,4, М04 = 0,5; Me = 0,35. 406. 1) 3; 2) -0,5; 3) 2i; 4) 5. 407. 1) 2i; 2) 2,5. 409. 7,00 r/CM^; же-7 7 лезо. 410. 12,25 года; 13 лет. 411. 135 см — высота, являющаяся медианой и модой совокупности, а также приближённым средним значением совокупности, из которой удалён «случайный» результат 90 см. 412. X « 12 лет; Мо = 19 лет; Me =11 лет. 413. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 3 1 5 3 7 1 7 3 5 1 3 1 1 64 32 64 16 64 32 64 8 64 32 64 16 64 32 64 414. 2) Размер (X) 42 44 46 48 50 52 54 56 58 Кол-во халатов (М) 1500 3000 9000 18 000 16 500 10 500 9000 4500 1500 3) Мо = 48, Me = 50, X ~ 50, R — 16. 417. Верны высказывания 6 е М, -3 е М. 418. Верны высказывания 1 б А, 8 г А. 419. Верны высказывания 12 е В, 3 6 В. 420. 2) {1; 5}, {!}, {5}, 0; 4) {4; 5; 6}, {4; 5}, {5; 6}, {4; 6}, {4}, {5}, {6}, 0. 421. 2) -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4) -2; -3. 422. 1) Окружность с центром в точке А и радиусом 3; 2) серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 423. 1) {-3}; 2) {-1; 1; 2}. 424. 2) А\В = {2; 3}, В\А = = {—1; О}; 4) А\В = {7}, В\А = {—5; —6}. 425. 1) Иррациональные; 2) целые отрицательные числа и число 0. 426. 2) А П В = {с}, А U В = {а; Ь; с; d); 4) АПВ = 0, А и В = {а; 5; с; d; е}. 427. 2) А П В = {!}, AUB = = {-1; 0; 1; 2; 3}; 4) А П В = {5; 6}, А U В = {-6; -5; 5; 6; 7}. 428. [4; 7], [2; 9]. 429. [6; 7], [5; 8]. 430. {-2}, {-2; 6; 7}. 431. А Л В = {1; 3; 9}; НОД (18, 45). 432. С П D = {х: х = 90k, к б N}-, НОК (18, 45). 433. {0; 1; 2}. 434. (-1; 0; 1; 3}. 435. 2) (-оо; 1]; {-1; 0}. 436. 1) Aj; 2) Аа;3) Aj;4) A3; 5) А4; 6) А4; 7) Ар 437. 1) 1^7,2) 45 < 3; 3) любое натуральное число не является целым числом; 4) у Земли не только один естественный спутник. 438. 2) {5; 10; 15; 20; 25}; 4) 1. 261 439. 2) [2; 3]; 4) R. 440. 2) Истинно, истинно; 4) ложно, истинно. 441. 2) Ложно, истинно; 4) истинно, истинно. 442. 2) «Если каждый член последовательности, начиная со второго, равен полусумме соседних с ним членов, то эта последовательность — арифметическая прогрессия». 443. 2) «Если при пересечении двух прямых секущей образовавшиеся накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны»; истинна; 4) «Если диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм»; ложна. 444. 2) Равносторонний треугольник; 4) равносторонний треугольник. 445. 2) л + (л -t- 1) -ь (п + 2) = Зл + 3 = 3 (л -н 1), т. е. сумма трёх после- довательных натуральных чисел делится на 3. 446. 1) Достаточно; 2) необходимо и достаточно; 3) необходимо. 447. 2) 2-/Е; 4) 6) 10. 448. 2) х^ + у^ = 49. 449. 1) А, Е; 2) D, F. 450. 2) (х -I- 3)2 + = 4; 4) (X-1-2)2(у - 4)2 = 0,25; 6) (х-(-3)2-I-(у + 2)2 = 3-^. 451. 2) (2; 5), 16 (-10; 5). 453. 2) (-1,5; 2,5); 4) (-4; -2,5). 454. 2) К (0; 1). 455. 2) Р (-2,9; 0). 456. 2) (X - 2)2 + (у + 3)2 = 25; 4) (х 4)2 -н (у -I- 4)2 = 52. 457. 2) (х -н 3)2 -н + (у - 2)2 = 10. 458. 2) Окружность с центром в точке С (4; 6) и радиусом г = 8; 4) окружность с центром в точке С (3;-1) и радиусом r = Vl0. 459. 2) X - 2у = 0; 4) 5х -ь 2у = 0. 460. 2) х - Зу = 2; 4) 4х - 5у = 27. 461. 2) X - 4 = о, у -I- 7 = 0. 462. 2) А = 4; 4) А = -2,5. 463. 2) Пересека- ются; 4) совпадают; 6) параллельны. 464. 2) Параллельны; 4) пересекаются; 6) совпадают. 465. 2) (6;-1). 466. 2) 4х-(-Зу = 3. 467. 2х-I-5у = = -4, 2х - Зу =-4, 2х-I-у = 4. 468. 2)(0;0,5), ||;0 469. 2) а = 1, 5 = 3,5. 470. 2) х-у= 1. 473. 2) Две точки с координатами Xj « 3,6, У1 = -1,6; Х2 ~ -1,6, у2 ~ 3,6; 4) две точки с координатами (2; 2) и (-2; 2). 474. 2) Две точки с координатами (0; 0) и (1; 1). 481. 2) {1; 2}, {!}, {2}, 0; 4) {т; л; р), {т; л}, {т; р}, {л; р}, {т}, {л}, {р}, 0. 482. 2) {-3; 1}; 4) {А; (; т; р}. 483. 2) А\В = {/}, В\А = {а; d); 4) А\В = {3; 7}, В\А = = {2;4}. 484. 2) К = {а; Ь; с; d; е; k}, М П К = (а; с; е); 4) М U АТ = = {-5; -3; -1; 1; 2; 3}, МПК = 0. 485. 2) [-6; 2]; [-4; -2]; 4) [-5; 2] {-2}. 486. 2) 17 17; 4) 15 » 7. 487. 2) {1; 3; 5; 9; 15; 45} 4) {-3; -2; -1; 0; 1; 2}. 488. 2) {4}; 4) {-3}. 489. 2) Истинно, истинно 4) ложно, истинно. 490. 2) Нечётное число 5 не делится на 3; 4) сумма углов треугольника не равна 360°. 491. 2) 6V2; 4) Зл/1о. 492. 2) х2 + у2 = 2,25. 493. 2) (х - 2)2(у-i-6)2 = 16; 4) (x-l-1,5)2 + (у + 3)2 = 25. 494. 1) А, D; 2) В, С. 495. 2) 4х - 5у = 20; 4) 14х -I- 13у = = -33. 496. 2) -; 4) --. 497. х-I-у = 1 и 2х + 2у = 5; 2х - 4у = 3 и 3 3 -х + 2у = 4. 498. Зх + у = 2, £-ьу = 2. 501. 2) (-3; 3]; {-!); 4) (-3;-7); [2; 4]. 502. 2) Ложно, истинно; 4) истинно, истинно; 6) ложно, истинно; 8) ложно, истинно. 503. 2) «Если аЬ>0, то а>0 и 5>0»; ложно; 4) «Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника, то этот отрезок является средней линией треугольника»; ложно. 504. 2) (-2; 3), (-1; -1), (1; 2). 505. 2) (-19; 13). 506. (2; 9). 507. (-3,5; -3). 508. 2) (X -I- 1)2 + (у- 1)2 = 26. 509. (0; 3 + VS), (0; 3 - -Уб). 510. (4 -н ^7; 0), (4-^^^■,0). 511. 2) (2; 0), (0; 2). 512. 2х-11у=10, 7х - 4у = 12, 5х + 7у = 2. 513. 2) (1; -6). 514. 2) Точка с координатами (-i;4 ; 4) две 262 прямые: д: = 8 и у =-9; 6) две прямые: Ъх-4Ьу-0 и Ъх + 4Ьу = 0. 516. 2) Две точки с координатами Xj « 1,6, уу « 3,6 и дСз ~ -1,6, У2 ~ 3,6; 4) две точки с координатами jCj »-0,2, i/j =»-0,3 и дг2~-1,8, У2==-0,3; 6) точка с координатами х«0,7, i/«l,3. Упражнения для повторения курса алгебры VII—IX классов 517. 2) 7-Зх-х^; 4) 2д:3 - Зд:^ + 4дг - 5. 518. 2) д:, = 1, ^2 = -|- хз = --. 519. 2) (5;-5), (-5; 5). 520. 2)2 i; 4)^. 521.2)3-^; 4)6yfl. 3 3 Зу 522. 2) (0,3)''2 < (0,37)^2 523. 2) bab^Jb; 4)ПаЬ^[аЬ. 524. 2) -л/Зд:^ ; 4) ^|5a^. 525. 2) x = i; 4) х = 0. 526. 2) Нет. 527. 2) Нет. 528. 2) 1,5 < х < 7; 4) X > -7,5; 6) О < X < 2, X > 2. 530. Нет. 531. 2) а„ = 3". 532. 1, 4, 28, 280. 533.2) 0,2 = 47,5, 8,2 = 537; 4)а,8 = 11-, S,g = 108. 534. 1220. 536. 2) 6, = 5. 3 537.2) 64 = 125, 84=156; 4) 65 = 81, 85 = 61. 538.15^. 539. 1679 м/с. 4 540. 1,68 м. 541. 2) Нет. 542. 2) х,,2=±1. Хз,4=±2, Xs=-3. 543. 2) (1; 3), (-1;-3). 544. 2) -1; 4) -1. 545. Первое. 546. Убывает. 547. 2) х < О, X X > 6; 4) X ^/з ± л/б; 6) х < -3, О < х < 2, х > 3. 549. 2) х = 61; 4) х = 2; 5) X, =0, Х2 = -3, Хз = 2. 550. 8 ч. 551. 391. 552. 7, -28, 112, -448 или -11-,-46-,-186-,-746^. 553. 61 = 5,65 = 405.554. 8, 13, 18 или 20, 13, 3 3 3 3 1 • 5 ^ 6. 555. 6,40 Ом. 557. 1) 2) 558. 1) 1-V^; 2) а3 + 63. Л 560. 10, 4, -2, 1 или -^, 1, I, М. 561. 6, 18, 54 или 26, 26, 26. 562. 2) 4 4 4 4 4 4) 4.^. 563. 2) 5,8; 4) -J-. 564. 2) х = 7; 4) х = 0,5; 6) х = 2,25. 565. 2) 3 4 11 4) 0,1125. 566. 2) 300; 4) 3600. 567. 2) 5%; 4)16-%. 668. 2) 5а*Ь 3 4)-|а®6^. 569. 2) 35 - 2х - 2х® - х5; 4) 8а® + 46^ + 36а + 36. 570.2) 4,9 4) 2. 571. 2) Ь^-7аЧ^. 572. 2) |^|-lj^| + lj; 4) (6--/3)(6+л/3)(б2 + 3). 573. 2) 1^1 + ij : 4) (1 + 96)2. 574 2) (а + 1) (а - х); 4) (а - х) (5а - 7) 575. 2) 2а®6 (а - 1)2; 4) (а - 6)2 (а + 6)2. 576. 2) 2 (х - 3)2; 4) (х - 1) (х + 2) 577. 2) 6+ 3. 36 ’ 4) 6) 8) (х+1)(х- 2). 579. 2) 4е а2-4 ii'; 6) 8) 578. 2) lm2. 4) 3£f^ 4x x+5 x+2 2 *3 4) . 580. 2) ^ 4) 6 + 0-1.581. 2) 9 а(б2 -o2) 10 -------; 4) . 582. 3) -; 4) o(a + 2) a + 1 у 2a + l 2o + 3 . 583. 2) -0,25 ^ ; 4) ^ . 586. 2) 4; 4) 8. 587. 2) -2 4) 1^. 584. 2) 3. 585. 2) - ^ 16 X+V2 Vx-1 4) 0; 6) 7. 588. 2) 2; 4) 14. 589. 2) 4) 6V2. 590. 2) 2 • lO ® 263 4) 1,2 • 10-3. 591. 2) 1,25. 592. 2) 3,5. 593. 2) xV: 4) xj/З. 594. 2)-1; 4)1+Vm. 595.100 кг. 596.10%. 597.340 кг. 598.44 р. 599. 3) -6m< + + 27m3 - 47m2 + 41m - 7; 4) a*b^ - 6a^b^ + 9b*. 600. 21 (4a® - 56^) x х(4а* + 55‘'); 4) (m - n + k){m + n - k); 6)\ — a^b--c* ,5 7 8)(a + 5 + 2)3. 601. 2) (2a - 3i)3)2; 4)(5b2 + 4a)2. 602. 2) (5x-3i/) x i 0*5 + - c^ 1; 5 7 J x(x4b + 2y)(x4b-2y)\ 4) (XI/- 3) (8i/2 - 7a). 603. 2) m^; 3)- 3a 604. 2)-0,6. 605. 2) 1; 4) 6; 6) 8) 6. 606. 2) 32 X^ + xy+ 1/3 : 4) ■Jtn +1 607. 2) -1; 4) -0,5. 608. 2) -0,02x6j/. 609. 2) 33 i; 4) 4,8. 610. 2) ^/a-l; 3 “ 611. 2) 1-Vb; 4) 1+mVm. 612. 2) x=l; 4) x = -0,5 4) 16-a3 613. 2) х = 12^-; 4) x = -13,5. 614. 2) x = 3; 4) x =-9. 615. 2) Xi=-2 14 X2 = 3; 4) Xj = 5, X2 = -l. 616. 2) Xj = 0, X2 = 5; 4) Xj = 0, X2 = -- 6 6) Xj 2 = ±2; 8) Xi2 = ±2V2. 617. 2) Xj=-1, X2=l,5; 4) Xj = 5, X2 = - — ’ ’ 4 618. 2) 2,_2 = 4±iV2; 4) 2, 2 = ^^- 619. 2) x, = 1, X2 = 4,5; 4) x, =-5 5 X2 = 0,5. 620. 2) Xj =-3, X2 = 5; 4) x = -l; 6) Xj = 4,3, X2 = -ll,7 621. 2) X = 3; 4) X = -4.622. 2) Xj_ 2 = ±1. л;з_ 4 = ±6; 4) x, 2 = ±2, Хз_ 4 = ±i 623. 2) x = 33; 4) x = 9; 6) Xj = 1, X2 = 4. 624. 2) Xi,2 = 2±-/3 X3 4 = ri^^. 625. 2) x = -l; 4) x, = 1, Хз = -0,5: 6) x = 4. 626. 2) (3; 7) 4) (2; 3); 6) (-2; -3). 627. 2) (1; -1); 4) (2; 2). 628. 2) (5; 3), (-3; -5) 4) (4; -9), (-9; 4); 6) (4; 5), (-4; -5), (5; 4), (-5; -4). 629. 2) x = 6 4) x = 0,5. 630. 2) 3(1+л/5); 4) x = 631. 2) x, = 0, X2 = 2; 4) x < 1 632. 2) x = 2; 4) x = -l. 633. 2) = X2 =-3. 634. 2) x = 4; 4) x = 3 6) X = 0. 635. 1) Xj =-a, Хз = 6a; 2) x, = 2a, Хз = 5a; 3) x, з = За±Ь 4) Xi 3 = 2a±b. 636. 1) Xi = 0, X3 = o; 2) x, =0, X3 = —; 3) x, = 0, Хз = - — ’ a a 4) Xi = 0, X2 = -~; 5) Xi = 0, хз = --; 6) x, = 0, X2 = —. 637. 2) (5; 4) b a 4) (1; 1). 638. 1) (2; -1), (-2; 1), (0,5; -0,5), (-0,5; 0,5); 2) (2; 8), (-2; -8) (8,5;-5), (-8,5; 5); 3) (1; 2), (2; 1); 4) 6) (3; 9), (-3;-9) (73; -2л/3), (-/З; 2,/3); 8) 3; 640. 2) х < ^; 4) х > 1. 641. 2) х < 1 V 2 j 27 4) х< 3i; 6) X < 2. 642. 2) х > -1,5; 4) х > 3. 643. 2) 1; 2; 3; 4. 644. 2) 2; 3 6 4; 4)-1; 0; 1; 2; 3. 645.-4; -3; -2. 646. 2) -1 < х < 3; 4) ^-^1^ < < X < ^ ^ 6) решений нет; 8) x<-li, х>1. 647. 2) -li 8; 6) х < -3, 264 -0,5<д:< 0,5. 649. 2) 9>4л/5; 4) 5л/б<6л/б; 6) 650. -9. 651. х= 10. 652. 2) х<-2~, х>4; 4) л: =-0,4. 653. 2) х <-1, х > 1; 3 4) X < о, X > 2. 654. 2) X < 2; 4) -2 < х < 2; 6) -1 < х < 0; 8) х < -1, X > 1. 655. 2) -5 < X < -1, X > 4; 4) х < 1, 3 < х < 4; 6) -7 < х < -6, 1 < X < 3, X > 8. 657. 62,5 и 57,5. 658. 5 км/ч. 659. 4 км/ч. 660. 12,5 км/ч, 2,5 км/ч. 661. 26 см, 2 см. 662. 48 мин. 663. 20 мин. 664. 35 ц, 40 ц. 665. 5 ч, 7 ч. 666. 32 года и 8 лет. 667. 40 м/мин^. 668. 2,5 км. 669. =5 с. 670. 4 км/ч, 16 км/ч. 671. 75 км/ч. 672. 16- м/с, 100 м. 673. 2) Да; (0; -4), (8; 0), г/(-2) = -5; 4) нет; (0; 6), 3 (4; 0), 1/(-2) = 3. 676. 2) (5;-10); 4) 677. 2) 23; 4) 6-. 4 678. 2) Xi=-2, Х2 = -5; 4) Xj = 0, Хг, з = ±1. 680. 2) 682. а = 8, 5 = 3. 683. а = 0,3, Ь = -0,5, с = 0,2. 688. 2) Не является чёт- ной и не является нечётной; 4) нечётная. 689. 2) Да. 690. 2) -1; 4) -1. 691. -2. 692. -0,5. 693. 2) ai = 201, 5,7 = 2737. 694. л = 39. 695. 682. 696. 2) 0,5; 4) —. 697.189. 698. 2) а, = 1, d = 3; 4) а, = 2, d = 3 или 16 а, = 14, d = -3; 6) а, = 2, d = 3 или а, = 8, d = -3. 699. 2) -5. 700. а, = 1, d = -2. 701. 2) Да; 4) да. 702. 2) 12 или -13; 4) 12 .13 12' 703. 5„=3|-| или Ь ■-<5) Л - 1 . 704. 54=12, q =-2 или 54 = -12, q = 2. 705. i; 1; 3; 9; 27 или i; -1; 3; -9; 27. 706. 2) 5, = 0,384, q = 0,25 3 3 или 5, = 0,6, q = -0,2. 707. 2) 6, = 37,5, 9 = 0,6 или 5, = 48, g = 0,25. 708. 2) 341; 4) 341 или 121. 709. 18; 5; 2 или 2; 5; 18. 710. х=1. 711. 13 шахматистов. 712. а + 4 - -1 . 713. х=1. 714. 4. 715. т=-1. I/ < о при X > -1. 716. (-3; 4). 717. 32. 718. Корней нет. 719. 1 < х < li. 3 3 721. х<-1, х>5?. 722. 14^. 723. £±А. 724. [l3-^; X -I- 3 16 3,7 . 726. 960. 727. х = 4. 728. х <-1. 729. 2. 730. 170-. 731. х,,2 = ±л/з, Х3.4 = ±1л/з. 3 732. 0. 733. X, = о, Х2 = 45. 734. 60 км/ч, 80 км/ч. 735. х=1. 736. В третьем. 737. х > 2,5. 738. 1. 739. 110. 741. х, = 7, Х2 = 12. 742. (д - 2) (5д - 2). 743. 744. х, = 3, Х2 = -3. 745. 746. 25. 265 747. 0,2. 748. л: < 0,5, х > 3. 749. (1; 1). 750. р = 2, ? = 3. 751. 63. 752. (2; 1). 753. 754. р = -1, а = -2, fi; -^), -1 < л: < 2. 755. —. а-2 ^ 42 4/ 8 756. л: = 2, X = 3, х = 4. 757. Да. 758. 759. 60 км/ч, 40 км/ч. а + 5 760. 33. Задачи для внеклассной работы 776. л = 1. 777. (4; 1), (4; -3), (-4; 1), (-4; -3). 778. 7, 8, 9, 10. 783. 1) V2-l;2) VI; 3) -А_; 4) %.784. 1) Xj =-2, Xg = 6, Х3 = 3 - V21, 2-х X4 = 3 + V^; 2) Xi = 2, X2 = i, х:з = 3, X4 = i; 3) x=15; 4) Xx = 0, 2 3 X2 = 2. 785. 1)Xj=-4, X2=1; 2) x = 3. 786. 1) (3; 2), (-2;-3); 2) (0;0), (1;2), (2; 1). 787. 1) (-4;-5), (-5;-4), (-1 + 2л/3; -1 + 2л/3), (-I-2V3; -1-2л/3), (4+^/ГЗ; 4-л/Гз), (4 - л/ГЗ; 4 + Vl3): 2) (6; 6), V67 3V5-3. 3у[5 + 3\ ( 3^5 + 3. Зл/5-3 ; 3) (1; 2), (-1; -2), . 4) V67 2 + 2л/3;1+.^, 2-2л/3; 1-4=1; ^/зj I V3 5)(0;0), (2; 1), (-2;-1), (1; 2), (-1;-2); 6) (3; 1), “ij- 789. 1) (0,5; 5,5), (1,5; 5,5); 2) (1; 1); 3) (1; 2); 4) (-2л/2 + 73; -2^/2-л/З), (2V2 - V3; 2V2 + 73), _5_. __7_ .72’ 72, --р=; -^|. 790. 1) г=1, 72 72 г = -1;2)г = -2. 791. -2,25 < а <-2. 792. a=-i. 793. 2 2 <а <27з-4. 795. р = -2, g = -1 или р = 1, 9 — любое. 796. -1 < г < 2. а + 2. а -l’ 797. а < -2. 806. (х^ + х + 1) (х^ - х + 1) (х* - х^ + 1). 807. 1) 2) + 1 а -1 2 1 ЗТ7 . ЗТ7 809. 1) —^ < х<-, ^<х<1;2) х< - -3 < х < х > 4; 7б 5 V6 2 2 3) X < -2, -1 < X < 1, X > 2; 4) -3 < X < -2, -1 < х < 1, 3 < х < 5; 5)3<х<6; 6) 2 < X < 4. 810. 1) -К х < - 2 2 2) -2<х<-5, 0<х<2; 3)-2 < х < О, х > 6; 4) О < х < 1; 5) х < - 4 5 3 2 X > —; 6) -2 < X < 1, X > 1. 811. 3, 8, 13 или 18, 8, -2. 812. 4092 или 10 2 813. 3, 6, 12, 18 или 15, 55, 27 9 gjg g l-(n-2)x"^^+(n + l)x"-*^^ 4 4 4 4 (1-х)2 ^ „ (л + 1)(л + 2) , 2 если X 1; S„ = --------—-----если х=1. 819.— 10"+1-10 9 а " “ ^ — 1 820. 1) х„ = а" “ ixj + Ь---- при а ф 1, х„ = Xj + (л - 1) Ь при а= 1; а -1 266 94 С (n-1)& . аЬ(а""1-1) 1-а” i о Г 2) 5л=-^--^ + ^-----i+i—=— при а:^1, S„= ЛГ1+ — 1-а (1-а)2 1-а * -l)ft л при а = 1. 821. х„ = (п - 1) Х2~ (п - 2) Xj + (Л-2ИЛ-1) 2 822. 1. 823. х„ = ' ‘-Р' а-р 826. 1040 г. 827. -Х2 -ap^i ‘"-2-р"-2 оо. 2аЬ а-Р -. 824. Ь - а ч. 825. 48 мин. 1 ч. 828. 2< м/мин. 829. 4 км. 830. 831. 7 км. 832. — (4s-3a< + Vso^TzTli^). 833. 15 8 ■ 834. 27%. 4 6f ' ' 3' 835. 24 м3. 836. 80 км/ч. 837. 4 ч. 838. 1 ч, ч. 839. 0,3 ч. 840. Ь + у]ь^ + 4аЬ км. 841. 4 ч 42 мин. 842. 2 ч. 843. 6 ч. Ответы к заданиям «Проверь себя!» Глава I. 1. Частное х^ - 2, остаток 5. 2. Xj=-1, Х2 = 2, л;з = -3. 3. 1) (2; 5), (5; 2); 2) (-1; 2), (-40;-11). 4. 2; о -I 4 3 Глава II. 1. 1) 8Н; 2) 16; 3) li. 2. 8,6 ■ Ю®; 7,8 • 10"3; 6,708 • 10'; 1,1 • 10б. 8 3 5 2 2 1 1 3. 1) 6; 2) (!/ + х)х!/.4. а*;27.5. (0,78)3 > (0,67)3 ;(3,09)"з <(3,08 )’з. Глава III. 1. 1) x?tl; 2) -3 < х < 3. 2. а) 1) у = 1,4; 2) у - 3; 3) {/ = -2,5; 4) !/ = 8; б) 1) х = 9; 2) х = 2; 3)х = --; 4)х«1,4; 3 в) у (х) > о при: 1) X > 0; 2) х > 0; 3) х < 0; 4) х > 0; у(х) < 0 при: 1) нет таких промежутков; 2) х < 0; 3) х > 0; 4) х < 0; г) функция возрастает при: 1) X > 0; 2) нет таких промежутков; 3) х > 0, х < 0; 4) X е R; функция убывает при; 1) нет таких промежутков; 2) х > 0, X < 0; 3) нет промежутков; 4) нет промежутков. 3. 1) Чётная; 2) нечётная. 4. 1) X = 28; 2) х = 1. Глава IV. 1. 0,1,3. 2. аю =-25, 8ю = -115. 3. &б = |. Se = ?L л „ 1 с -121 ^3 * 81 Глава V. 1. 1) 2) -1; 3) 1; 4) 5 10 2 5 8 8 2. 18 Глава VI. 1. X 2 3 4 5 м 3 7 8 2 W 3 7 2 1 20 20 5 10 2. Д=10, Y =Мо = Ме = 3. Глава VII. 1. 1) {-2; -1; 0; 1; 2; 3}, {0: 1}; 2) [-7; 2], [-3; 1]. 2. 1) 100^32; число 3 не является чётным. 3. (х-ь 2)3-ь (у-5)3 = 49. 4. Vl3. 267 Указания к решениям и решения задач раздела «Задачи для внеклассной работы» 761. Так как данное число а не делится на 3, то а = Зл + 1 или а = Зл - 1, откуда = Зт + 1, где т — натуральное число. 762. Воспользоваться решением задачи 761. 763. 1) 10’^*’ - 361 = 10™ - 1 - 9 • 40 = 99.. .9 - 9 • 40; 70 цифр 2) 1080 - 298 = 99...99 - 11-27; 3) число 915° - 19™ = (18 • 5 -i- 1)™ - 40 пар - (18 -I- 1)'^® делится на 18, так как при делении на 18 произведения (18т + 1) (18л -ь 1), где тип — натуральные числа, получается остаток, равный 1; 4) данное число равно (4-19-1)^0-(5-19-1)™-(- -ь (2 • 19 -I- 1)^0 . (3 • 19 - 1)25^ дри делении на 19 остаток от деления первого слагаемого равен 1, а второго равен -1. 764. Остаток от деления на 9 натурального числа равен остатку от деления на 9 суммы цифр этого числа. Так как суммы цифр данного числа а и числа 5а одинаковы, то при делении на 9 чисел 5а и а получается один и тот же остаток, а их разность 4а делится на 9, откуда следует, что а делится на 9 (4 не делится на 9). 765. По условию т = 1 + р ■ 3", где р — натуральное число. Поэтому число т® - 1 = (т - 1) (т^ -I- m -I- 1) = р • 3" (т^ + т + 1) делится на З"'*' *, так как + т + 1 делится на 3. 766. При любых целых х и у числа х + у и X - у либо оба делятся на 2, либо оба не делятся на 2. В первом случае их произведение делится на 4, а число 1982 не делится на 4; во втором случае (х + у)(х - у) не делится на 2, а 1982 делится на 2. 767. Если существуют натуральные числа хну, такие, что верно равенство тх + пу = тп, где тип — взаимно простые числа, то пу = т(п - х) и число у должно делиться на т, т. е. у = mk, где k — натуральное число. Тогда тх + пу = тх + mkn = тп, откуда х + кп = п, что невозможно (х > 1, к > 1). 768. Если п делится на 3, то остаток от деления на 3 числа а — 7п^ + 1 равен 1, а если число п не делится на 3, то остаток от деления числа а на 3 равен 2 (см. задачу 761). 769. Если равенство 15х^ = 9-1- 7у^ является верным при некоторых целых х и у, то 15х^ - 9 = 7у^, откуда следует, что у делится на 3, т. е. у = Зт, где т — целое число. Тогда 15х^ = 9 -н бЗт^ или 5х^ = 3 и- 21т^, и поэтому х делится на 3, т. е. д: = Зр. Следовательно, 45р^ = 3-1- 21т^ или 15р^ = 1 -ь 7т^, что невозможно (см. задачу 761). 770. Так как число т^ - т = (т - 1) т (т + 1) делится на 6, то остатки от деления на 6 чисел т^ и т равны, и поэтому остатки от деления на 6 чисел т^ + п^ + к^ и т + п + к также равны. 771. Если число т не делится на 5, т. е. т = 5к + г, где к — неотрицательное целое число, г — одно из чисел 1, 2, 3, 4, то т‘‘ = 5р -i- = 5^ -I- 1 (р и g — целые числа). 772. 1) Число т®л^ - л®т^ = т^п^ (т* - п*) = т^п^ (т^ - п^) (т^ + п^) делится на 2 (если тип — нечётные числа, то т^ - п^ — чётное число). 2) Если оба числа т, п не делятся на 3, то число делится на 3 (см. задачу 761). 3) Если оба числа т, п не делятся на 5, то число т 4 _ л' делится на 5 (см. задачу 771). 773. (л -I-1)“* -ь л'* -1 = п* + 2л® -I- Зл^ -I- 2л = п^ (п + \) + п^ (л 4- 1) -ь 2л (л -I- 1) = п(п + 1) (л^ -ь -I- л -t- 2) = л (л -f- 1) (л (л 4- 1) 4- 2). 774. 1) Если т < п, то левая часть меньше или равна л (л 4- 1). При m > л 4- 1 левая часть больше или 268 равна (п+1)(п + 2). 2) Равенство записать в виде m(m + l) = = л'‘ + 2л® + 3л^ + 2л= и(л + 1) (л(л + 1) + 2), используя результат задачи 773. Далее воспользоваться задачей 774 (1). 775. л® + 6л^ + 15л + 15 = = л® + 6л^+12л + 8 + 3 (л + 2)+1 ={л + 2)® + 3 (л + 2) + 1. 776. а = п* + + л^ + 1 = {л^ + 1)2 - л2 = (л2 + п + 1) (л2 - л + 1). Если U — простое число, то л2 - л + 1 = 1, откуда л = 1. 777. Записать уравнение в виде (х + у + 1)(х - у - 1) = 12 и воспользоваться тем, что множители х + у + 1 и X - у - 1 — чётные числа (их разность — чётное число, правая часть уравнения — чётное число). Задача сводится к решению следующих систем: |лг+ у+1 = 2, |лг - г/-1 = 6; л: + (/+1 = 6, л: - (/-1 = 2; х+(/+1 = -2, |х+(/+1 = х-(/-1 = -6; |jc-(/-l = = -6, 2. 778. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел записать так: (л2 + Зл) (л^ + Зл + 2). Задача сводится к решению квадратного уравнения t (i + 2) = 5040, где t = + Зл. 779. Если Р (х) = тх^ + пх^ + + рх + q, то P(0) = q, Р (I) = т + п + р + q, Р(-1) =-т + п - р + q, Р (2) = = 8т + 4п + 2р + q — числа, кратные 5. Тогда число Р(1) + Р(-1) = = 2п + 2q делится на 5, и поэтому л делится на 5. Далее на 5 делятся числа Р (2) - 2Р (-1) = 10л1 + 2л + 4р - д, Юлг, лид, откуда следует, что 4р (а значит, и р) делится на 5. Наконец, т делится на 5, так как числа Р(1) = л1 + л + р + д, л, р и q делятся на 5. 780. Если D = - 4ас = 63, то Ь — нечётное число, т. е. b = 2k-l. Тогда (2А - 1)2 - 4ас = 63 или 2 (fe2 -/г _ ас) = 31, что невозможно. 781. 1) Использовать равенства ---i-------------—, k = l, 2, ..., л. 2) Использовать равенства Л(А + 1) к к + \ -------------= -{----------------i-----\ к=1, 2, ..., л. 782. 1) Бу- ft(ft + l)(fe + 2) 2U(fe + l) (fe + l)(fe + 2)J дем рассматривать равенство как уравнение вида Ах^ + Вх + С = 0. Так как это уравнение имеет три различных корня (х = а, х = Ь, х = с), то А = В = С = о и равенство является верным при всех значениях х. 2) Левая часть равенства совпадает с правой при х = а, х = Ь, х = с. Два многочлена не выше второй степени тождественно равны, если они принимают равные значения в трёх различных точках. 783. 1) Записать знаменатель в виде V2 + “Уз + 2 + У2 (У2 4- Уз + 2) и использовать равенство h— = V2 -1. 2) Записать данное выражение в виде ^ ■J2 + I ^ V2(2 + л/З) 2-V4-2V3 _______и воспользоваться равенствами 4 — 27з=(л/3-1)2, 4+ 27з = 2+ V4 + 2V3 = (г/3 + 1)2. Далее привести дроби к общему знаменателю. 3) Воспользоваться равенствами х - 2л/ х—l=(Vjc-l-l)2,A: + 2Va:-l=(Vx-l + l)2, yjx^-4x + 4 = 2- X при 1 < X < 2. 4) Воспользоваться формулами для разности квадратов, суммы и разности кубов двух чисел. 784. 1) Свести уравнение к квадратному относительно < = — 2) Записать уравнение в 3 X виде 6 35 1 t = x+~. 3) X о и свести к квадратному относительно Полагая л/2х - 5 = 2t, x + i^| + 62 = X, записать уравнение виде 269 ■J(2t + l)^ +V(2f+3)2 =14, t > 0. 4) Полагая — 2x + 4 = t, записать уравнение в виде 2-Jt - -jt + Ь =1. 785. 1) Свести уравнение к квадратному относительно t = х^ + Зх. 2) Полагая х - 3 = t, получить уравнение t(f^ + 6t + 21) = 0. 786. 1) Разделить первое уравнение на второе. После преобразований получится квадратное уравнение относительно t = —. У 2) Второе уравнение, записанное в виде 4 (х + у)^ = 9х^у^, распадается на два уравнения: 2 (х + у) = Зху и 2 (х + у) = -Зху. Далее ввести новые неизвестные: и = X + у, V = ху. 787. 1) Система распадается на две системы: |х-у = 0, |х^ + ху-I-у2 = 61, t(x-i-l)(y+l) = 12; jxy-i-X ч-у = 11. Сложив уравнения второй системы, получим квадратное уравнение относительно t = х + у. 2) х + у = и, ху = v. 3) Умножить первое уравнение на —4, а второе на 3 и сложить. Получится квадратное уравнение относительно ху. 4) —^— = и, —^— = о. 5) х + у = и, ху = v. X + 2у X — 2у 6) Возвести оба уравнения в квадрат и сложить. В результате получится уравнение (х^ - 1) (у^ - 1) = 0, откуда у^ = 1, так как х^ ^ I в силу второго уравнения исходной системы. 788. Если система имеет действительное решение, то при возведении в квадрат первого уравнения получаем х^ -I- у^ -I- -ь 2 (ху + уг + гх) = 0, а второе уравнение можно записать в виде ху + уг + ZX = 0. Следовательно, х^ + у^ + г^ = 0, откуда х = у = 2 = 0, что невозможно. 789. 1) Из системы следует, что |y-5|-t-y — 5=1. Это уравнение не имеет решений при у < 5, а при у > 5 получаем у = 5,5, и тогда |x-l|=i. 2) Вычитая из второго уравнения системы первое, находим у + -^2у- х = л1Ьу- х. Возводя обе части полученного уравнения в квадрат, находим у(у-3 + 2^2у-х) = 0. 3) Полагая у - х = и, запишем систему в виде ■Ju + Зх =1 -I- ц. Возводя в квадрат обе части каждого из ^Ju + 8x =4 -U. уравнений системы и исключая затем х из полученной системы, придём к уравнению + 7и - 8 = 0. 4) Возводя в квадрат обе части каждого из уравнений и складывая полученные уравнения, находим 76-2 (х2 у2) = (л: у)2. _____________Ц) Перемножив почленно уравнения, получим у^ - х2 = ^8(16 + (х -I- у)^), откуда (х - у)2(х-I-у)2 = 8(16-I-(х-I-у)2). (2) Полагая в (1) и (2) (х + у)^ = и, (х-у)2 = р, придём к системе 2и + v = 76, uv = 8(u + 16). 790. 1) D = (4 + 2г)2 - 4 (5 -ь 4r) = 4 (г2 - 1) = 0; 2) х, -ь 270 + Х2 = -(4 + 2r) = 0, D > 0. 791. Корни уравнения + рх + ^ = 0 неотрицательны тогда и только тогда, когда выполняются условия р < 0, q о, — Aq > 0. Задача сводится к решению системы неравенств <0, а £±2>о, а (а+ 3)2 При а = о уравнение имеет один отрицательный ко- а + 2 >0. а“‘ а рень. 792. D = о2 - 4а > о, jc2 ^2 = ад:, = а2; а ^ 0 (если а = 0, то х, = лгг = 0). 793. Ветви параболы у = х^ + ах + + 6а направлены вверх; у < 0 при всех X е (1; 2) тогда и только тогда, когда р (1) = ц2 + 7а + 1 < 0 и р (2) = а2 + 8а + 4 < 0. 794. Если а = 0, то уравнение имеет действительный корень, так как tic + с2 < 0. Если а 0, то парабола р = ах2 + Ьх + с пересекает ось Ох, так как с (а + б + с) = р (0) р (1) < 0. 795. х, + Хз = -р. Х1Х2 = q, (ДС1 + 1) + (Х2 + 1) = р2 (X, + 1) (Х2 + 1) = Р9; -р + 2 =р2. равенство сводится к системе неравенств Далее вос- 798. 1) х2 + 4р2 - 2х - 16р + 17 = (х - 1)2 + q - р + 1 = pq. 796. Так как х2 - х + 1 >0 при всех х 6 Д, то исходное не- [х2-(г+2)+4>0, [4х2 + (г-3)х + 1>0.’ пользоваться тем, что квадратичная функция р = ах2 + Ьх + с принимает положительные значения при всех х е R тогда и только тогда, когда выполняются неравенства а > 0, D = - 4ас < 0. Задача f(r+ 2)2-16<0, сводится к решению системы неравенств (' которую можно 1(г-3)2-16<0, записать так: Задача сводится к решению системы нера- fa <0, венств t ’ [(а + 2)2-2а2-4а <0. + 4 (р - 2)2; 2) 5x2 _ 4^.^ + у2 _ igx + 6р + 13 = (р - 2х + 3)2 + (х - 2)2. 799. 1) ц2 + 62 + с2 _ 2а + 46 - 6с + 14 = (а - 1)2 + (6 + 2)2 + (с - 3)2. 2) Исходное неравенство, записанное в виде а^ + - аЬ - Ьс - ас > 0, явля- ется верным, так как его левая часть равна i ((а - 6)2 + (6 - с)2 + (с - а)2). 3) Исходное неравенство можно записать в виде ц2 + б2 + с2 > а6 + 6с + ас. 800. 1) Левая часть неравенства содержит л слагаемых, каждое из которых (кроме последнего) больше последнего. 2) Воспользоваться неравенст- , .2 вом 1 + i < 1 + i + —i— = fl+ —I . 801. 1) Воспользоваться равенством n n An^ V 2n j a® + 6® + c® - 3a6c = i (a + 6 + c) ((a - 6)2 + (6 - c)2 + (c - a)2). 2) Исполь- зуя неравенство У ^ > -\Jxyz, справедливое при любых неотрицатель-3 ных X, у, Z (задача 801, 1), получить неравенства а + 6 + с > 3^аЬс, а6 + 6с + са > 3^а^. 271 неравенствами i + i > ^ b -fab 3) Перемножить неравенства a + b>2j^, Ь+с>2^Ы, c+a>2yfac. b + с — a c + a — b a + b — c 4) Полагая x = -—^у = -—^г = ——^запишем неравенство в виде 8xyz < abc. (1) Пусть хотя бы одно из чисел х, у, г (например, х) отрицательно, тогда а > Ь + с, откуда а > Ь, а > с (по условию Ь > О, с > 0), у > О, z > О, xyz < О и неравенство (1) является верным. Если дг > О, г/ > О, г > О, то, используя неравенство (х + у) (х + Z) (у + Z) > 8xyz, (2) доказанное в задаче 801, 3), и учитывая, что х + у = с, y + z = a, x + z = b, установим, что из (2) следует неравенство (1). 802. 1) Воспользоваться Ui> 2 ^ Ui> 2 ® ^ аЬ ^ ^ Vbc ^ ® Vac 2) Полагая х = а + Ь, у = Ь + с, z = а + с, записать неравенство в виде (х + у + Z) (ху + XZ + уг) > 9xyz и воспользоваться результатом задачи 801, 2). 803. Возводя обе части исходного неравенства в квадрат, получаем неравенство ^ > V abed, которое является верным, так как для любых положительных чисел х, у справедливо неравенство ^ 804. Воспользоваться неравенствами l+a>2-Va, 1+ b>2^^b, 1+ с>2у[с. 805. Если д: < О, то Р (х) = х‘^ -х^ + х^-х+1>1. Если О < дс < 1, то Р (д:) = 1 - дс + д:'* (1 - дс®) + х^^ > 0. Если дс > 1, то Р(х) = х^ (дс® - 1) + + х(х^ - 1) + 1 > 1. 806. дс® + дс'* + 1 = (*■* + 1)® - х‘‘ = (х* + х^ + 1) X X (д:'* - х^ + 1), х‘* + х^ + 1 = (х^ + 1)® - х^ = (х^ + X + 1)(дс® - дг + 1). 807. 1) а® - 2а® + 5а + 26 = а® + 2а® - 4 (а® + 2а) + 13 (а + 2) = (а + 2) х X (а® - 4а + 13), а® - 5а® + 17а - 13 = а® - а® - (4а® - 4а) + 13 (а - 1) = = (а - 1) (а® - 4а + 13). 2) 2а^ + а® + 4а® + а + 2 = а® (2а® + а + 2) + 2а® + а + + 2 = (2а® + а + 2) (а® + 1), 2а® - а® + а - 2 = 2а® (а - 1) + а® + а - 2 = = (а- 1)(2а® + а + 2). |-2х-2, еслидс<-4, 6, если -4 < д: < 2, 2х + 2, если д; > 2. График изображён на рисунке 70. 12, если X < 1, 4-2х, если К X < 3, -2, если х>3. График изображён на рисунке 71. 272 у \ 5 -2 О Рис. 72 II - 2х, если X < -2, 5, если -2<х<3, 2х -1, если д: >3. 1-6, если X < -5, 2х + 4, если -5 < д: < 1, 6, если X > 1. График изображён на рисунке 73. 5) у=-3+ —— при х < 1 и у = 3+ —— при 1-х X -1 X > 1. График изображён на рисунке 74. 6) Функция чёт- при X > 0. График изображён на рисунке 75. . График симметричен относительно ная, у = 2 + 7) г/ = - х-4 Q (х + 1)(х-2) ~4 (-i) прямой ~ изображён на рисунке 76. 8) Функция чётная. 273 Рис. 76 Рис. 77 X{x-1) при X > 0. График изображён на рисунке 77. 809. 1) Записать неравенство в следующем виде: («-!),.-I, <0. 1 2 При решении этого неравенства методом интервалов учесть, что —— > —, V6 5 так как i>A. 6 25 L-^Л 2 2 исходное неравенство к виду в виде -----> 0. 3) Исходное неравенство можно записать (х + ЗИх-4) (х^-4)(х^ + 1), • > о, откуда (х + 2)(х-2) > 0. 4) X® - 5х^ - X + 5 = (х2+9)(х2-1) '■ (х + 1)(х-1) = х2 (X - 5) - (X - 5) = (X - 5) (х2 - 1), хЗ + 2x2 - 9х - 18 = х2 (X + 2) - 9 (X + 2) = = (х + 2) (х2 - 9). Поэтому исходное неравенство можно записать в виде (х + 1)(х-1)(х - 5) , „ ----—-----—------ < 0. о) Если X < 2, то неравенство является невер- (х +3)(х+2)(х-3) ным. Если 2 < X < 4, то неравенство можно записать в виде х^ - х - 6 > 0. Если X > 4, то неравенство преобразуется к виду (х - 1) (х - 6) < 0. 6) Число X = -1 не является решением неравенства, а при х ^ -1 исходное неравенство можно записать так: |х-3|< 1. 810. 1) Неравенство имеет смысл, если |х|< 1, и его можно последовательно преобразовать так: Vl - х^ < 1, х^>^, |х1>-^. 2) Неравенство имеет смысл I X I < 2, и его можно преобразовать к виду бх^ -ь 8х > 0. 3) Значе- 274 дым из ния X, такие, что х < —4, не являются решениями неравенства. Если X > -4 и - бд: > О, то неравенство можно последовательно преобразовать так: - 6х < (8 -I- 2х)^, (Зх -t- 32) (х + 2) > О. 4) Если х>—, то 3 исходное неравенство является верным для х, таких, что 9х^ — 9х — 4 < 0. Если X < - и 9х^ - 9х - 4 < о, т. е. при х б | - i; - ], то исходное неравен-3 I 3 3j ство можно заменить каждым из неравенств (2 - Зх)^ < 4 + 9х - 9х^, 3 1 х(6х-7) < 0. 5) Неравенство имеет смысл при х < — — и при х > —. При 2 3 3 1 X < - ^ неравенство является верным, а при ^ g можно заменить каж- неравенств J ^ < 2, ^ <4,fx--^]fx-il>0. 6) Неравен- V3X-1 Зх-1 V lOjt З) ство имеет смысл при всех х, таких, что х > -3, х ^ 1. Если х е [-3; 1), то исходное неравенство можно заменить каждым из неравенств Зл/х + 3 > X + 5, 9 (х + 3) > (х 4- 5)2, (х -ь 2) (х - 1) < 0. Если х > 1, то исходное неравенство преобразуется к виду (х 2) (х - 1) > 0. 811. По свойствам прогрессий искомые числа х, у, г удовлетворяют системе уравнений IX + г = 2у, (х + 2){г+7) = (у+2)2, X + у+ 2 = 24. Исключив из этой системы хну, получим уравнение 2^ - 11г - 26 = 0. 812. Искомые числа х, у, г удовлетворяют системе уравнений X + у+ г = 28, • хг = у^, (х-1) + (2-9) = 2(у-3), откуда следует, что х^ - 20х + 64 = 0. 813. Искомые числа х, у, г, t удовлетворяют системе уравнений Х2 = у2, у + t = 2z, x + t = 21, I/4- 2 = 18, откуда следует, что 4(/2 _ Qgy + 270 = 0, i/j = 6, У2 = 45 814. Нужно доказать, что •/с + -1а yfb + у[с -fa + -Jb (1) если Ь - а = с - Ь = d, т. е. с - а = 2d (d — разность исходной арифметической прогрессии). Если d = 0, тоа = 5 = си равенство (1) является верным. Если d*0, то правая часть (1) равна ^ 4- ^ ~ — — ~ = А. с-Ь Ь-а d 2____ 2(Ус -у[д) _ -fc - Уо Левая часть (1) также равна А, так как Ус 4- -1а с - а 275 815. Если d — разность арифметической прогрессии, S — левая часть равенства и d фО, то C_V“2 ~л/®1 , ~ V^n” ~ О-----------+ -------- Т . » « + ------ = --------, 02-ai 03-03 e„-o„_i d так как о* - o*_ j = d при k = 2, 3, n. Правую часть равенства можно n-1 _(n-l)(,fa^-yfa^) _,Ja^ преобразовать так: Ы - “1 816. Пусть d — разность арифметической прогрессии. 1) Тогда из равенства S„ = следует, что d Oj-I- — (п + m -I-1) = 0, (1) так как п ^ т (при п = т задача не имеет смысла). С другой стороны, ■Sm + n = ^«1+ dj(m -I- га) и из (1) следует, что S„, + „ = 0. 2) Из ра- венства _ rai^ 2о,-I- d(rai -1) т следует, что —i--------------------= — или 2oj-i- d(ra -1) га 2oj {п - т) = d(n - /га). (2) Если п = т, то равенство i о. 2га-1 является верным. Если п ^ т, /04 о J Oi+d(m-l) 2т-1 то из (2) следует, что 2oi = d и тогда —2- = —!-i----i = fdli—±. а„ ai+d(n—l) 2га-1 + 3 ~ + 1 + + 2 + 3> + 2 “ + 1 ~ + 2» + I + 3 ~ 2о„ ^ з- (3) ®2А +л 4) ------------= О п +к * Полагая в (3) Л = 1, 2, ..., га и складывая соответствующие равенства, получаем + ^3^" - ^2" =S2„-S„. 817. 1) S„^* = S„ + <7"(<>i+M + - + + *) = -Sn + 9"S*, где — первый член, q — знаменатель геометрической прогрессии. 2) 5з„ - S„ = 9"S„, 5з„ - 5з„ = q^"S„. 818. S„ (1 - лс) = = 1 X -ь ... + X" - (га + 1) + 1 =lnj£lJlli-(ra-i- 1)х" + 1. 819. S. = 6 -ь 66 -I- 1-х -I-... -ь 666...6 = - (9 -I- 99 -I- ... + 999.. .9) = ? (10 -ь -i- ... -НО" - га). л цифр ^ л цифр ^ 820. 1) X* - X* _ 1 = а (X* _ 1 - X* _ з) = аЗ (х* _ 3 - X* _ з) = ... = а* - 3 (ЛГ2 - - JCi), т. е. 3^A-^A-i = a*"^(JC2-^i)- (1) Полагая в (1) fe = 2, 3, ..., га и складывая соответствующие равенства, по- лучаем х„ - Xj = (Х3 - Xi) (1 -I- а + аЗ -I- ... -t- а" ■ 3) = ((д _ i) + (,) ‘-1 а -1 276 если а 1. 2) S„ = Xj + а (xj + Хг + ... + x„ _ j) + (л - 1) b = Xj + a (S„ - x„) + + (n-l)b. 821. Если z„ = x„-x„_i, to - x„ = x„ - x„ _ i + 1, t. e. 2n+i=2„+l. откуда z„ = Z2 + n-2. (1) Используя (1) и равенство x„ = (x„ - x„ _ j) + (x„ _ j - x„ _ 2) + ... + + (X2 - Xi) + Xj, получаем x„ = г„ + г„ _ i + ... + 23 + Xj = (л - 1) 23 + (л - 2) + + (л - 3) + ... + 2 + 1 + Xj = (л - 1) (X2 - xj) + Xj + условий задачи следует, что | а„ | = 1 при любом л. Кроме того, = 0102 = 1, Og = О2О3 = 1, 07 = О3О4 = -1, Og = О4О5 = -1. Докажем, что fln = “n-i5. л > 20. (1) Используя формулу о* = о* _ 40^ _ 3 (Л е N), получаем а„ = а„_ зО„ _ 4 = = - б“л - 1^п - 7<^П - 8 = “п - б“п - 8 = - Э^л - 10®л - 11“л - 12 = “л - 12“л - 13 ^ ^ “л - 10“л - П“л - 12 = - 10“л - И'^л - 13 = ®л - 13“л - 14^л - 11®л - 13 = “л - 11 ^ ^ «л - 14 = «л - 14“л - 15вл - 14 = «л - 15> так как О 2 = 1 (А 6 ЛГ). Полагая в (1) л = 2000 и учитывая, что 2000= 15-133 + 5, получим О2ооо = а5=1-823. Исходное равенство запишем в виде ^л-ои:„_, = Р(х„.1-ах„_2) (1) |/ = х*-ах*_1. Тогда получим Уп = ^Уп-1< откуда и обозначим !/л = Р" ■ ^г/2. Если г„ = ■ х„ = ах„_1 + ^"-^У2. (2) то равенство (2) примет вид 2„ = ^ 2„ _ i + Используя рл-1 результат задачи 820, получаем z ■=(| 2, + £2. р (I)" -1 -. Остаётся - = а, —-— = Ь, откуда —+H = i, Искомое время равно —. и-V S S а S S Ь V выразить 2„ через х„, 2i и У2 через Xi и Х2- 824. Если s — расстояние от А до В, и — собственная скорость катера, v — скорость течения реки, то __S и + V и —V S S а S S 825. Введём обозначения s км — расстояние от А до В; и, и, w км/ч — скорости пешехода, велосипедиста, мотоциклиста соответственно; t ч — время от начала движения мотоциклиста, через которое все трое оказеклись на одинаковом расстоянии от пункта А. По первому условию задачи должно выполняться равенство wt = v(t + 0,5) = м (t + 2,5), (1) 277 а по второму условию — равенство 1-± = 3,5. (2) В задаче требуется найти время Т = — - - - 2. Из равенств (1) следует, что wt u(t +0,5) u(t +2,5) (3) Введём обозначения: — = х, — = у, — = г. Тогда система уравнений (2), (3) и V W примет вид (4) t t + 0,5 t + 2,5 2 X 7 Из уравнений х - г = 3,5, — = —-— получаем х = —(t + 2,5). Из уравнения t t+2,5 5 - =—— получаем y=-{t +0,5), поэтому х-у=—, Т = — -2, t + 0,5 t + 2,5 Т = — ч, т. е. Г = 48 мин. 826. Если х и у — масса меди и масса цинка в 5 fx - у=640, сплаве, то ^ 6 3 ___ Отсюда найдём массу сплава х + у. \ X + у-- X - -у = 200. I 7 5 827. Если V — скорость пешехода, s — путь АВ, х — время от начала движения до встречи велосипедиста и пешехода, то xv + x3v = s, т. е. — =4х, - - = 2. Отсюда найдём искомое время х. 828. 1-й способ. V V 3v При движении пловца как по течению реки, так и против течения его собственная скорость равна скорости пловца в стоячей воде. Поэтому время, необходимое пловцу для того, чтобы после поворота догнать лодку, равно времени, в течение которого пловец с момента встречи плыл против течения, т. е. равно 2т мин. За это время лодка прошла путь s м. Поэтому скорость течения реки, равная скорости пустой лодки, есть м/мин. 2т 2-й способ. Если х — скорость течения реки (скорость лодки), о — ско- рость пловца в стоячей воде, то S -тх _ S -I- т(о - х) . Относительно воды X V + X пловец проплыл после встречи с лодкой такое же расстояние, как и после поворота до момента, когда он догнал лодку. Поэтому от момента встречи с лодкой до момента, когда пловец догнал лодку, прошло 2t мин. За это время лодка прошла s м, поэтому скорость течения реки равна — м/мин. 2t 829. Пусть X км — расстояние, которое прошёл пешеход по равнине, у км — расстояние, которое прошёл пешеход в гору, г км — расстояние, которое прошёл под гору пешеход на пути от А до В. Тогда у-|-г=11,5-х. На путь от А до В и обратно пешеход затратил 2х , у+г , у+г с с х . 11,5-х 11,5-х „ — -н ---+ ----= 6, т. е. 6 ч, поэтому — -ь — --i- —:----= 6, откуда 278 X = 4 км. 830. Если х, у н z — скорости первого пешехода, второго пеше- о с 1 1 2,5j/ хода и туриста соответственно, то г = 2,оу, х ■ — = z • — = откуда най- дём —. 831. Пусть S — путь АВ, х и у — скорости первого и второго пеше-У ходов соответственно, С — место встречи пешеходов. Тогда откуда (1) 1+1 = вс- S -1 S + 1 _ S -1 2 2 2 2 2х 2у S + 1 _ X S -1 у S-1 3 S + 1 4 :е того, = -, откуда 2х 4 2г/ 3 16 S-1, (2) 9 S 1 у Из (1) и (2) найдём s. 832. Если v — скорость пешехода на подъёме. X — путь АВ, то V V + а Сложив уравнения этой системы, по- V V + а 2 лучим уравнение, которое можно записать в следующем виде: 3tv^ + (За< -- 4s) V - 2sa = 0. 833. Если и, v, w — скорости первого, второго и третьего велосипедистов соответственно, х — время от начала движения первого велосипедиста до того момента, когда его догнал третий велосипедист, то 2 3 w = -v, их =ш(х-1) =-1>(т-1), U (х-I-2) = U (х - 1), откуда следует, что 3 2 —X— _ 3j(jc—X = 2. Искомая величина — = -—^ = i. 834. Если V — объ-т + 2 2(х + 1) W X 2 ём раствора в колбе, х — процент соли, содержащейся в растворе, то ---120=£_t-§, откуда х = 27%. 835. Если х — количество кубических y_V_ 100 10 метров древесины, которые должна была заготавливать бригада по плану. t — число рабочих дней по плану fxX = 216, , то 13х-1-(х + 8)(Х-4) = 232, откуда най- ЛЛ 1 дём X. 836. Если V — скорость поезда по расписанию, то — + + V 12 + откуда найдём v. 837. Пусть s — расстояние от А до В, tg и о -I-10 V — время (в часах) прохождения пути АВ соответственно автобусом и катером, <2 — время, за которое катер проходит путь от В до А. Тогда О 7 2 2 1 — to = ^2 “^1* ЭТОЙ системы найдём = t2 = -4, 88 5 15 5 to = tj + -1. ° ^ 15 279 А В с D III I II а) А В С D Рис. 78 III б) II В В III II Рис. 79 Автобус прибывает в пункт А, выполнив чётное число рейсов (т от А до В и т рейсов от В до Л) и затрачивает при этом время 2mtQ. Возвращаясь в пункт А, катер также делает чётное число 2л рейсов и затрачивает время л1 J + nt2- Автобус и катер одновременно могут оказаться в пункте А только в том случае, когда найдутся натуральные числа тип, такие, что 2mtQ = л (2 (^ + 1) - «^3 = 3 (vg - Vj(x + 1)). Из рисунка 79 следует, что (о,-Ь1>2)^^ + || = |уз- Кроме того, по условиям задачи 3"'‘(г'Ь' (2) (3) (4) Задача сводится к решению систем (1), (3), (4) и (2), (3), (4). Рассмотрим первую из этих систем, записав её в виде f2i)3=(x + l)(3o,-t>2). (5) |8оз = (Здс-ь 4)(0j-b 02)' [(7-4х)оз = 7о1. Разделив почленно уравнение (6) на уравнение (5), получаем 4 (jc -ь 1) (Зо, - l>2) = (Зх + 4) (oj + U2) или 1>1 (9дг -t- 8) = (7х + 8) Vg. (8) 280 l,2v A D Puc. 81 Ангшогично, разделив (5) на (7), преобразуем полученное уравнение к виду (12л:2 - 9л: - 7)Oj = (4x2 - Зл: - 7)02- (9) Наконец, разделив (9) на (8), получим уравнение, которое можно записать так: 24x2 + 14х - 17 = О, откуда х - Аналогично из системы (2), (3), (4) найдём х = 1. 839. Пусть С — место встречи велосипедиста с первым пешеходом (рис. 80), АС = х, АВ = з, D — место, где велосипедист догнал второго пешехода, v — скорость велосипедиста, w — скорость каждого из пешеходов. Тогда ВС = 8 - х, CD = 1,2о, ^=0,5, (1) а искомое время t-—. Из условий задачи следует, что V X _ S - X — - ■ ' , V W (2) X ^ ^ о _ 1,2о + X-S Из уравнений (2) и (1) получаем t _ у 0,5 -t W а из уравнений (3) и (1) находим (3) (4) (5) Наконец, из (4) и (5) следует, что ^ ^—, откуда t = 0,3. t + 0,1 0,5-t 840. Пусть С — место, где мотоциклист догнал велосипедиста (рис. 81), v ■aw — скорости мотоциклиста и велосипедиста соответственно, D — место, где оказался бы велосипедист в случае, когда мотоциклист выезжает из А и прибывает в В. Тогда DB = Ь, ВС = а и из условий задачи следует, что = 5., £ = ^ ~ откуда получаем = —L_. 841. Если и а v — ско- V W V W а 3 - Ь рости автобуса и автомобиля соответственно, АВ = s, то 42(u-m)=s, (1) [154(ц -и) = 3. (2) 281 Пусть tux — время, которое затрачивают на путь s автобус и автомобиль соответственно. Тогда t = —, х = — и из системы (1), (2) следует, что 1 + 1 = ±. t X 42 1 _1_ 1 X t 154’ 231 откуда находим т = 66, t = мин. В пункт А автобус и автомобиль при- 2 бывают, сделав 2т и 2л + 1 рейсов соответственно (рейс — поездка из одного пункта в другой). Участники движения окажутся одновременно в пункте А, если 2mt=(2n+\)x, где meN, neN, Следовательно, т = - ^ Так как 2 и 7 взаимно простые числа, то число 2п + 1 долж- но делиться на 7. При этом наименьшее л равно 3, и тогда т = 2. Искомое время 2mt = 462 мин. 842. Пусть АВ = Sj, ВС = S2, х — собственная скорость буксира на участке АВ, v — скорость течения реки. По условиям задачи составляем систему уравнений V + X V+ -X 3 £lliL=4, 2х -V *2^ = 3. 3 Обозначим — = 1/1, -^ = 2i, — = i/2> — = ^2- S «2 82 Тогда система (1) — (3) примет вид 1 1 а из (11) следует, что г/i + 2i = i, и поэто-^12 2 му t = 2 ч. 843. Пусть Vi — скорость парохода в стоячей воде, 02 — скорость катера, v — скорость течения реки, s — расстояние от А до В, t — продолжительность рабочего дня. Обозначим ■ = х. S <^1 - V S + V S ^>2 - V S ^’2 + V = 0, то 4 = 6. Предметный указатель • I...............I.................I................I................I................I.................I................I................I • Алгоритм деления многочленов 4 Арифметический корень натуральной степени 43 Вероятность события 120 Выборка 151 График функции 66 Гипербола 78 Генеральная совокупность 151 Деление многочлена нацело 4 — — с остатком 6 Медиана 157 Мода 157 Область определения функции 65 Относительная частота события 132 Полигон частот 146 Последовательность числовая 89 Прогрессия арифметическая 92 — геометрическая 101 Размах 157 Свойства степени с целым показателем 38 — арифметического корня л-й степени 46 — возведения в степень неравенств 57 — функции 78 Среднее значение выборки 158 Степень с отрицательным показателем 38 — с нулевым показателем 38 Таблица распределения значений случайной величины 142 Теорема о сумме п членов арифметической прогрессии 97 — о сумме л членов геометрической прогрессии 107 Уравнение алгебраическое степени л 11 — возвратное 18 — рациональное 19 — иррациональное 84 Формула л-го члена арифметической прогрессии 93 — л-го члена геометрической прогрессии 103 — рекуррентная 93 Функция степенная 69 — возрастаюидая на промежутке 69 — убывающая на промежутке 69 — чётная 73 — нечётная 73 У = - 77 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений § 1. Деление многочленов................................ 3 § 2. Решение алгебраических уравнений................... 10 § 3. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим............. 17 §4. Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными. . . 23 § 5. Различные способы решения систем уравнений......... 27 § 6. Решение задач с помощью систем уравнений........... 32 Упражнения к главе 1.............................. 35 Глава II. Степень с рациональным показателем § 7. Степень с целым показателем........................ 38 § 8. Арифметический корень натургшьной степени.......... 43 § 9. Свойства арифметического корня..................... 46 § 10. Степень с рациональным показателем ............... 50 §11. Возведение в степень числового неравенства......... 57 Упражнения к главе II............................. 62 Глава III Степенная функция § 12. Область определения функции........................ 65 § 13. Возрастание и убывание функции..................... 69 § 14. Чётность и нечётность функции...................... 73 k §15. Функция !/=—....................................... 77 X § 16. Неравенства и уравнения, содержащие степень........ 82 Упражнения к главе III............................. 87 Глава IV 11рогре<С'ИИ §17. Числовая последовательность........................ 89 § 18. Арифметическая прогрессия.......................... 92 §19. Сумма л первых членов арифметической прогрессии.... 97 § 20. Геометрическая прогрессия..........................101 §21. Сумма л первых членов геометрической прогрессии....106 Упражнения к главе IV..............................110 286 Глава V. Случайные события § 22. События............................................114 §23. Вероятность события................................118 § 24. Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики......................................124 § 25. Геометрическая вероятность.........................129 § 26. Относительная частота и закон больших чисел........131 Упражнения к главе V...............................138 Глава VI. Случайные величины § 27. Таблицы распределения..............................140 § 28. Полигоны частот....................................146 § 29. Генеральная совокупность и выборка.................150 § 30. Размах и центральные тенденции.....................156 Упражнения к главе VI..............................162 Глава VII. Множества. Логика § 31. Множества..........................................164 § 32. Высказывания. Теоремы..............................170 §33. Уравнение окружности...............................178 § 34. Уравнение прямой...................................182 § 35. Множества точек на координатной плоскости..........186 Упражнения к главе VII.............................192 Упражнения для повторения курса алгебры IX класса . . . 197 Упражнения для повторения курса алгебры VII—IX классов.....................................202 Задачи для внеклассной работы .....................226 Краткие теоретические сведения по курсу а.чгебры VII—IX классов.....................................237 Ответы.............................................255 Предметный указатель...............................285 Учебное издание Алимов Шавкат Арифджанович Колягиы Юрий Михайлович Сидоров Юрий Викторович Ткачёва Мария Владимировна Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА 9 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. Н. Белоновская, Н. Н. Сорокина Младший редактор Е. А. Андреенкова Художники В. А. Андрианов, И. В. Гущин, В. В. Костин Художественный редактор О. П. Богомолова Технический редактор и верстальщик Н. В. Лукина Корректоры И.П. Ткаченко, Л. С. Александрова, С. В. Николаева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 18.04.12. Формат 60 X 90Vi6- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 14,41 -ь 0,47 форз. Тираж 25 000 экз. Заказ № 32825. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru •I ■ I"’. * - 111 Графики функций y=^[x у -1 0 -1 y=x^ y=m ItVx I 1г Модуль числа а а, если а ^ О \а = - а, если а < О Формулы сокращенного умножения I (а + Ъ)^ = + 2аЪ + (а - Ь)^ = - 2аЬ + (а - bf = а^~ За^Ь + ЗаЬ^ - Ъ 2 uZ а^ + Ъ^={а + Ъ) ia^-ab + b^) -Ь^ = (а - Ь) (а^ + а& + Ь‘^) -Ь^ = (а + Ь) (а - Ь) (а +Ь)®-в^ + За^й + За6^+6® | I