Алгебра 7 класс Учебник Мордкович часть 1

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Алгебра 7 класс Учебник Мордкович часть 1 - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
А. Г.МОРДКОВИЧ В двух частях Часть 1 УЧЕБНИК ДЛЯ учащихся общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 17-е издание, дополненное Москва 2013 УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 М79 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/616 от 14.10.2011 г.) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-714 от 24.10.2011 г.) Мордкович А. Г. М79 Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп.— М. : Мнемозина, 2013. — 175 с. : ил. ISBN 978-5-346-02432-3 Главная особенность учебника состоит в том, что он основав на принципах проблемного, развивающего и опережающего обучения. Книга имеет повествовательный стиль, лёгкий и доступный для всех учащихся. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 ISBN 978-5-346-02432-3 (ч. 1) ISBN 978-5-346-02431-6 (общ.) «Мнемозина», 1997 «Мнемозина», 2012 «Мнемозина», 2013, с изменениями Оформление. «Мнемозина», 2013 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ Учебно-методический комплект* для изучения курса алгебры в 7-м классе общеобразовательной школы, выпускаемый издательством «Мне-мозина», соответствует требованиям ФГОС ООО (2010 г.). Комплект состоит из следующих элементов: Программы. Математика. 5—6 классы. Алгебра. 7—9 классы. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы / авт.-сост. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович; А. Г. Мордкович. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник; А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Туль-чинская. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник; A. Г. Мордкович. Алгебра. 7 класс. Методическое пособие для учителя; И. И. Зубарева, М. С. Мильштейн. Алгебра. 7 класс. Рабочая тетрадь №1,2/ под ред. А. Г. Мордковича; Л. А. Александрова. Алгебра. 7 класс. Контрольные работы / под ред. А. Г. Мордковича; Л. А. Александрова. Алгебра. 7 класс. Самостоятельные работы / под ред. А. Г. Мордковича; Л. А. Александрова. Алгебра. 7 класс. Тематические проверочные работы / под ред. А. Г. Мордковича; Е. Е. Тульчинская. Алгебра. 7 класс. Блицопрос; B. В. Шеломовский. Электронное сопровождение курса «Алгебра-7» / под ред. А. Г. Мордковича. Для изучения курса алгебры в 7-м классе ученики должны иметь две книги: учебник и задачник. У вас в руках учебник. Автор надеется, что его будут читать и учителя, и ученики, и родители, поскольку стиль изложения доступный, во многом расцвеченный непривычными для математической рутинной лексики оборотами. В то же время выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания читателя на них. Например, решение практически всех текстовых задач оформлено в виде трёх этапов: составление математической модели; работа с составленной моделью; ответ на вопрос задачи. * Более подробную информацию об УМК можно получить на сайтах www.mnemozina.ru и www.ziimag.narod.ru На уроках математики учитель всегда сочетает обыденный язык (язык общения, язык литературного повествования) с предметным языком — строгим, сухим, лаконичным, строящимся по принятым в математике законам. Так написан и этот учебник, представляющий собой книгу не для заучивания, а для изучения, т.е. для чтения и понимания. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что предложить им запомнить, а что просто прочитать дома (и, возможно, обсудить в классе на следующем уроке в жанре беседы). Всюду, где возможно, автор старался следовать идеям проблемного обучения. Проблема (по большому счёту) — это то, что мы сегодня решить не можем и завтра не решим; это то, что мучает нас продолжительное время, это то, к решению чего мы постепенно приближаемся, ощущая это приближение; это то, наконец, что, будучи решено, даёт эмоциональный заряд, приносит радость. Именно такое (не локальное, а глобальное) понимание проблемного обучения руководило автором в работе над учебником. Примеров можно привести очень много, внимательный читатель (прежде всего, конечно, учитель математики) всё увидит и поймёт. Лишь простейшие понятия даются сразу в готовом виде, остальные же вводятся постепенно, с уточнениями и корректировкой, а некоторые вообще остаются на интуитивном уровне восприятия до тех пор, пока не наступит благоприятный момент для их точного определения. К числу таких понятий относится, например, понятие функции, которое, по глубокому убеждению автора, не нужно вводить с самого начала, оно должно «созреть». Во всяком случае, в этом учебнике строгого определения функции нет, оно будет введено лишь в курсе алгебры 9-го класса. Работая над учебником, автор понимал, что его главная задача заключается не в сухом сообщении математических фактов, а в развитии учащихся посредством продвижения в предмете. Иными словами, приоритетным является не информационное, а развивающее поле курса. В учебнике практически реализованы принципы развивающего обучения, сформулированные Л. В. Занковым: обучение на высоком уровне трудности; прохождение тем программы достаточно быстрым темпом; ведущая роль теоретических знаний; осмысление процесса обучения (ученик должен видеть, как он умнеет в процессе изучения материала — это достигается проблемным обучением); развитие всех учащихся (естественно, учитывая, что у каждого из них свой предел возможностей). Каждая глава (кроме главы 1) заканчивается разделом «Основные результаты». Это своеобразный смотр достижений, «сухой остаток», подведение итогов, что для успешности процесса обучения очень важно. Кроме того, в конце каждого параграфа приведены вопросы для самопроверки, а в конце каждой главы — темы исследовательских работ. Обращаем внимание читателя, что специально к учебнику и задачнику было разработано электронное сопровождение (авт. В. В. Шеломов-ский), которое позволит семиклассникам самостоятельно разобраться в учебном материале дома, а учителю — организовать учебный процесс на уроке. Пособие содержит несколько сотен интерактивных рисунков, дающих представление о построении графиков, решении уравнений и задач. Автор Учитесь работать с книгой В учебнике используются на полях знаки-символы. Цель введения символов состоит в том, чтобы помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал; побудить учителей к воспитанию у школьников навыков быстрой ориентации в изучаемом материале; помочь родителям правильно проконтролировать знания детей. От редакции вопрос ) (И — окончание решения примера (при отсутствии слова ♦ ответ») ГЛАВА 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ § 1. Числовые и алгебраические выражения § 2. Что такое математический язык § 3. Что такое математическая модель § 4. Линейное уравнение с одной переменной § 5. Координатная прямая § 1 . ЧИСЛОВЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ В младших классах вы учились оперировать с целыми и дробными числами, решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной прямой и координатной плоскостью. Всё это составляло содержание одного школьного предмета «Математика*. В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т. д. У каждой дисциплины — свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности. Алгебра, к изучению которой мы приступаем, даёт человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, чётче принимает решения, лучше мыслит. Наша зещача — помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача — не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая возникающие трудности. На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения. 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ числовое аырвмение алгебраическое выражение Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 Ч- 5 • 7 — числовое выражение, тогда как 3 Ч- : — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимуш;ественно из латинского алфавита), тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, формулы. Пример 1. Найти значение числового выражения [2 14 (2,73 4-4,81-^3,27 - 2,81) 25-37 0,4 Решение. Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для удобства введём следующие обозначения. Числитель данного дробного выражения обозначим буквой А, а знаменатель — буквой В: А = (2,73 -н 4,81 -ь 3,27 - 2,81) U 15/ В = 25-37-0,4. В выражении А обозначим делимое буквой С, а делитель — буквой D. Тогда план наших действий будет выглядеть так: 1) найдём значение с выражения С; 2) найдём значение d выражения D; 3) разделив с на d, найдём значение а выражения А; 4) найдём значение Ь выражения В; 5) разделив а на Ь, найдём значение заданного числового выражения. Итак, план вычислений есть (а наличие плана — половина успеха!), приступим к его реализации. 8 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |к 1) С = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно к считать подряд или, как иногда говорят, «в лоб*: V 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить 3,27, F затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так: (2,73 -ь 3,27) -t- (4,81 - 2,81) = 64-2 = 8. Итак, с = 8. ... г. 2 14 „ 2) D = - - —• Здесь нам придется вспомнить, как действовать 5 15 с обыкновенными дробями. Сначала надо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным 5 и 15 является 2 число 15, оно и будет общим знаменателем. Для дроби - полу- 22*36 ^ чаем - =---= —. Далее находим 5 5*3 15 И 15 15 И 15 6-14 15 15’ Итак, d = • 15 3) Разделим с на d: -'-й) = -15. Итак, а = -15. 4) В = 25 *37* 0,4. Опять-таки можно проводить вычисления «в лоб*, т. е. вычислить 25*37, затем то, что получится, умножить на 0,4. Но думающий человек (а таким всегда является культурный человек) воспользуется переместительным и сочетательным законами умножения и будет вычислять так: 25*37* 0,4 = (25 * 0,4) *37 = 10*37 = 370. Итак, Ь = 370. 5) Осталось разделить числитель а на знаменатель Ь. Получим —^ ^ (разделили числитель и знаменатель дроби на 5, т. е. 370 74 At. , сократили дробь). 3 Ответ: . МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ А теперь вместе проанализируем, какие сведения из математики нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причём не просто вспомнить, но и использовать). 1. Порядок арифметических действий. 2. Переместительный закон сложения: а + Ь = Ь + а. 3. Переместительный закон умножения: аЬ = Ьа. 4. Сочетательный закон сложения: а + Ь + с = (а + Ь) + с = а + (Ь + с). 5. Сочетательный закон умножения: аЬс = (аЬ)с = а(Ьс). 6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа. 7. Арифметические операции с десятичными дробями. 8. Арифметические операции с обыкновенными дробями. 9. Основное свойство обыкновенной дроби: £ = (значение Ь Ъс дроби не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно умножить на одно и то же число или разделить на одно и то же число, отличное от нуля). Это свойство позволило нам 2 0 преобразовать дробь - к виду — (числитель и знаменатель дро-5 15 2 би - одновременно умножили на одно и то же число 3). Оно же 5 позволило нам сократить дробь (числитель и знаменатель 370 дроби одновременно разделили на одно и то же число 5). 10. Правила действий с положительными и отрицательными числами. Всё это вы знаете, но ведь всё это — алгебраические факты. Таким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1, заключается в том, что таких фактов довольно много, причём их надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нужное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться. 10 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И последнее, чтобы закончить обсуждение примера 1. То число, которое получается в результате упрощений числового выражения (в данном примере это было число —^), называют значением числового выражения. Если дано алгебраическое выражение, то можно говорить о значении алгебраического выражения, но только при конкретных значениях входящих в него букв. Например, алгебраическое выражение а + Ь при а = 5, Ь = 7 имеет значение 12 (поскольку аЧ-б=5ч-7= 12); при а = -16, Ъ = -14 оно имеет значение -30 (так как а -Ь Ь = -16 + (-14) = = -16 - 14 = -30). Алгебраическое выражение - ЗЬ (что такое а^, помните? — это а а) при а = -2, Ь = 0,4 принимает вид числового выражения (-2)^ - 3 0,4; упрощая, получаем 4 - 1,2 = = 2,8 — это и есть значение алгебраического выражения — ЗЬ при а = -2, Ь = 0,4. Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т. е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными. Пример 2. Найти значение алгебраического выражения значение числового выражения переменная значение алгебраического выражения а + 2аЬ + Ь (а + Ь)(а - Ь)' 3 3 если: а) а = 1, Ь = 2; б) а = 3,7, Ь = -1,7; в) а = -. Ь = -• Решение. а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим: 1) -h 2аЬ + = 1^ + 2 ■ 1-2 -ь 2^ = 1 -ь 4 -Ь 4 = 9; 2) а-ЬЬ = 1-1-2 = 3; 3) о - Ь = 1 - 2 = -1; 4) (а -h Ь)(а -Ь) = 3 (-1) = -3; + 2аЬ + Ь‘ _ 9 _ g ^ (а + Ь)(а - Ь) ~ ~ ' 11 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно находим: 1) + 2аЬ + = 3,72 + 2 • 3,7 • (-1,7) + (-1,7)^ = = 13,69 - 12,58 + 2,89 = 4; 2) а + Ь = 3,7 + (-1,7) = 2; 3) а - Ь = 3,7 - (-1,7) = 5,4; 4) (а + Ь)(а - й) = 2 ■ 5,4 = 10,8; + 2аЬ + й* 4 5) ___________ ^ ^ 410 (а + Ь)(а-Ь) 10,8 10,8-10 40 108 1° 27 40 (разделили числитель и знаменатель дроби на 4, т. е. сокра- 10о тили дробь). в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно находим; 1) а-' -ь 2ай + й" = - +2 3.3+ 3'| = 5 5 U; 25 25 25 25’ 0\ и 3^3 6 2) а + й = —Ч- — = —; 5 5 5 3) а - й = = 0; 4) (а + й)(а - й) = - • о = 0. 5 А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в других аналогичных случаях)? Это 3 3 значит, что при а = -, й = — задгшное алгебраиче-5 5 ское выражение не имеет смысла. ® Используется такая терминология: если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми; если же при конкретных значениях букв (перемен- 12 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми. Так, в примере 2 значения а = 1 и Ь = 2, а = 3,7 и Ь = -1,7 — допустимые, тогда как допустимые значения переменной 3,3 значения а = — и о = — 5 5 недопустимые (более недопустимые ТОЧНО: первые две пары значении — допустимые, значения а третья пара значений — недопустимая). переменной Вообще в примере 2 недопустимыми будут такие значения переменных а, Ь, при которых либо а -I- Ь = О, либо а - Ь = О. Например, а = — 7, Ь = -7 или а = 28,3, Ь = 28,3 — недопустимые пары значений; в первом случае а + Ь = О, а во втором случае а - Ь = 0. В обоих случаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается в нуль, а на нуль, повторим ещё раз, делить нельзя. Теперь, наверное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений для переменных а, Ь, так и недопустимые пары значений этих переменных в примере 2. Попробуйте! Замечание 1. Пример 2в) на самом деле мы решали плохо (некультурно), поскольку сделали ряд лишних, ненужных вычислений. 3 3 Надо было сразу заметить, что при а = — и Ь = — знаменатель об- 5 5 ращается в нуль, и объявить: выражение не имеет смысла! Но, как говорится, сразу замечает тот, кто знает, что надо замечать. Этому и учит алгебра. Замечание 2, Если бы мы с вами решали пример 2 позднее, то сделали бы это лучше. Мы бы смогли преобразовать выражение к бо- а + Ь ^ лее простому виду -----, а тогда, согласитесь, гораздо проще было а - Ь , , + 2аЬ + а + Ь бы и вычислять. А вот почему верно равенство ---г—----г7 =-----, (а + Ь)(а - Ь) а - Ь пока мы сказать не можем. На этот вопрос ответим позднее (см. с. 152, § 35). 13 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение числового выражения. 2. Приведите три примера числового выражения. 3. Что называют алгебраическим выражением? 4. Используя переменные тип, составьте два алгебраических выражения. 5. Что такое значение числового выражения? 6. Что такое значение алгебраического выражения? 7. Найдите значение выражения Зх при X = 1, X = 2,5. 5 - 2л: 8. Сформулируйте переместительный закон сложения. 9. Сформулируйте переместительный закон умножения. 10. Сформулируйте сочетательный закон сложения. 11. Сформулируйте сочетательный закон умножения. 12. Сформулируйте основное свойство дроби. 13. В чём состоит правило сложения отрицательных чисел? 14. В чём состоит правило сложения чисел с разными знаками? 15. Как вы понимаете фразу: «Заданное алгебраическое выражение не имеет смысла»? Приведите пример такого выражения. 16. Какие значения переменных называют допустимыми? 17. Какие значения переменных называют недопустимыми? § 2 . что ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК На математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется*. Слыша это, математик пишет (или говорит) а + Ь — Ь + а. Он переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий, иные символы. Запись а + Ь = Ь + а экономна и удобна для применения. Возьмём другой пример. На обычном языке говорят: «Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, 14 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения». Математик осуществляет «синхронный перевод» на свой язык: а с _ а + с А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон: а{Ь + с) = аЬ + ас. Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел бис, надо число а умножить поочерёдно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить». Во всяком языке есть письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математическом языке. А устная речь — это употребление специальных терминов («слагаемое», ♦уравнение», «неравенство», «график», «координата» и т. п.), а также различные математические утверждения, выраженные словами. Чтобы овладеть новым языком, необходимо ► изучить его буквы, слоги, слова, предложения, правила, грамматику. Это не самое весёлое занятие, интереснее сразу читать и говорить. Но так не бывает, придётся набраться терпения и сначала изучить основы. В результате такого изучения ваши представления о математическом языке будут постепенно расширяться. Вопросы для самопроверки 1. Вспомните из курса математики 5—6-го классов правила действий с обыкновенными дробями. Сформулируйте их на обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих правил на математический язык. 2. Вспомните из курса математики 5—6-го классов правила действий с положительными и отрицательными числами. Сформулируйте их на обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих правил на математический язык. 3. Запишите на математическом языке: из суммы чисел 3 и 8 вычесть произведение чисел 7 и 12. 15 J МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 4. Запишите на математическом языке: чтобы умножить число т на сумму чисел пик, надо число т умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. О каком законе идёт речь? 5. Запишите на математическом языке: чтобы умножить число р на разность чисел q и t, надо число р умножить сначала на уменьшаемое, затем на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе. О каком законе идёт речь? § 3 . что ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7Б — 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В — 9 девочек и 18 мальчиков, в 7Г — 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придётся осуществлять одну и ту же операцию сложения: в 7А 15 -f- 13 = 28 учеников: в 7Б 12 -1- 12 = 24 ученика; в 7В 9 -Ь 18 = 27 учеников; в 7Г 20 -1- 10 = 30 учеников. Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и Ь мальчиков, значит, всего учеников а + Ь. Такова математическая модель данной реальной ситуации. Алгебра, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные математические правила, свойства, законы. В следующей таблице приведены различные реальные ситуации и их математические модели; при этом а — число девочек в классе, Ь — число мальчиков в том же классе. матемдтическвя модель К МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ № Реальная ситуация Математическая модель 1 В классе девочек и мальчиков поровну (как в 7Б) а = Ь 2 Девочек на 2 больше, чем мальчиков (как в 7А) а - Ь = 2 или а = Ь + 2 или а - 2 = Ь 3 Девочек на 9 меньше, чем мальчиков (как в 7В) Ь - а -- 9 или Ь = а + 9 или а = Ь - 9 4 Девочек в 2 раза больше, чем мальчиков (как в 7Г) а ^ 2Ь или ь= “ 2 5 Девочек в 2 раза меньше, чем мальчиков (как в 7В) ь а = — 2 или Ь = 2а 6 Если в данный класс придут ещё одна девочка и три мальчика, то девочек и мальчиков станет поровну (как в 7А) а + 1 = 6 + 3 7 Если из класса уйдут три девочки, то м£1льчиков станет в 3 раза больше (как в 7В) Ь = 3{а- 3) Составляя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к её математической модели. Но надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях, что и в нашей таблице) такая математическая модель: а - 5 = Ь + 5? Она означает, что если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе 17 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ станет поровну (эта ситуация имеет место в 7Г из рассмотренного примера). Наверное, у вас возник вопрос; а зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она нам даёт, кроме краткой выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу. Пример 1. В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе? Решение. Пусть х — число мальчиков в классе, тогда 2х — число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (2л: - 3) девочек. Если придут три мальчика, то станет (х + 3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так: (2х - 3) - (дс -I- 3) = 4. Это уравнение — математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем: 2х-3-д:-3 = 4 (раскрыли скобки); X - 6 = 4 (привели подобные слагаемые); X = 6 -I- 4; X = 10. Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше). Ответ: всего в классе 30 учеников. Интересно, заметили ли вы, что в ходе решения было чёткое разделение рассуждений на три этапа? Давайте посмотрим вместе. На первом этапе, введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, мы составили математическую модель в виде уравнения (2х - 3) - (х -Ь 3) = 4. На ВТОРОМ этапе, используя наши знания из курса математики 5—6-го классов, мы это уравнение решили: х = 10. На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью. 18 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу. Подведём итоги. В процессе решения задачи были чётко выделены три этапа. Первый этап. Составление математической модели. Второй этап. Работа с математической моделью. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Вот так обычно применяется математика к реальной действительности. После рассмотренного примера повторим вопрос; нужны ли математические модели и надо ли уметь работать с ними? Нужны! Разумеется, чем сложнее модель, тем больше фактов, правил, свойств приходится применять для работы с ней. Эти факты, правила, свойства надо изучить, что мы и будем с вами делать на протяжении всех лет изучения алгебры в школе. Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в таблице на с. 17, или в виде уравнения, как было в примере 1). Для знакомства ещё с одним видом математической модели возьмём задачу из учебника математики для 6-го класса (специально берём задачу, с которой вы, может быть, встречались). Пример 2. Построить график температуры воздуха, если известно, что температуру измеряли в течение суток и по результатам измерения составили следующую таблицу: Время суток, ч 0 2 4 6 8 10 11 14 16 18 22 24 Температура, °С 5 0 0 -3 -4 -2 0 6 8 5 3 3 Решение. Построим прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) будем откладывать значения времени, а по вертикальной оси (оси ординат) — значения температуры. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы. Всего получается 12 точек (рис. 1). Соединив их плавной линией, получим один из возможных графиков температуры (рис. 2). (Н Построенный график есть математическая модель, описывающая зависимость температуры от времени. Анализируя этот 19 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ график, можно описать словами, что происходило с температурой воздуха в течение суток. Ночью с О ч до 8 ч утра становилось всё холоднее (от 5° в О ч до -4° в 8 ч утра). Потом, видимо, выглянуло солнышко и стало теплеть, так что в 11 ч температура была уже 20 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ не отрицательной, а нулевой (0°). До 16 ч теплело, причём в 16 ч было теплее всего (8®). А затем стало темнеть, температура начала постепенно снижаться и понизилась до 3° в 22 ч. Глядя на график температуры, можно приближённо определить, какая была наименьшая температура (-4° в 8 ч утра), какая была наибольшая температура (8° в 16 ч), где температура менялась быстрее, где медленнее, а где вообще не менялась (от 2 до 4 ч ночью и от 22 до 24 ч вечером). Рассмотренная математическая модель является примером графической модели. Итак, нам нужно учиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая модель), графически (графическая модель). Бывают ещё геометрические модели реальных ситуаций — они изучаются в курсе геометрии. Впрочем, графические модели также иногда называют геометрическими, а вместо термина «алгебраическая модель» употребляют термин «аналитическая модель». Всё это — виды математических моделей. Чтобы свободно оперировать любыми видами математических моделей, нужно научиться переходить от одного из них к другому. Так, выше, в примере 1, нам удалось перейти от словесных моделей к аналитическим (см. таблицу на с. 17). В примере 2 удалось перейти от словесной (точнее, табличной) модели к графической, что позволило вновь вернуться к словесному описанию рассматриваемой ситуации, но уже на более содержательном уровне. Будем учиться этим переходам. Вопросы для самопроверки 1. Что такое математическая модель? 2. Какие виды математических моделей вы знаете? Приведите пример каждого вида математической модели. 3. Назовите три этапа математического моделирования. 4. На каком из этапов математического моделирования при решении текстовой задачи нам не нужно знать объекты условия задачи? словесная модель алгебраическая модель графическая модель 21 МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ корень уравнения линейное уравнение с одной переменной коэффициент Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделей реальных ситуаций являются известные вам из курса математики 5—6-го классов линейные уравнения с одной переменной. Приведём примеры линейных уравнений: Зд: = 12, 5г/ - 10 = О, 2а Ч- 7 = О и т. д. Решить линейное уравнение — это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения. Так, уравнение Здс = 12 имеет корень д: = 4, поскольку 3 • 4 = 12 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 5i/ - 10 = О имеет корень у = 2, поскольку 5 • 2 -10 = О — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 2а Ч- 7 = О имеет корень а = -3,5, поскольку 2 • (-3,5) 4-7 = 0 — верное равенство, причём других корней нет. Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах Ь = О, где а и Ь — любые числа (коэффициенты). Если а = о и 6 = о, т. е. уравнение имеет вид О-дгЧ-Ч- О = О, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней). Если а = О и 5 О, т. е. уравнение имеет вид О • X Ч- 5 = О, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет; говорят, что уравнение не имеет корней. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда а ^0. Рассуждаем так: 1) ах Ч- 6 = О, значит, ах = -Ь (поскольку (-5) 4-5 = 0); фактически слагаемое Ъ перенесли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком; 2) ах = -Ь, т. е. произведение чисел а и х равно -5; но тогда множитель X равен частному от деления произведения -Ъ на второй множитель. Значит, х = (-5) : а. Вместо знака деления можно использовать черту дроби: х = -—. а Фактически мы выработали определённую программу действий, определённый порядок ходов — в математике в таких слу- 22 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ чаях используется термин алгоритм уравнения. для решения линейного Алгоритм решения линейного уравнения ал: + Ь = О в случае, когда 1. Преобразовать уравнение к виду ах = -Ь. 2. Записать корень уравнения в виде х = (-Ь) : а, или, что то Ь же самое, х А как быть, если уравнение записано в более сложном виде, например 2л: - 2 = 10 - X? Рассуждаем так. Два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю: (2х - 2) - (10 - х) = 0. Воспользуемся известными из курса математики 5—6-го классов правилами раскрытия скобок и приведения подобных членов: 2х - 2 - 10 Ч- X = 0; Зх - 12 = 0; Зх = 12; X = 4. Такие уравнения вы уже решали в курсе математики 5—6-го классов. Обобщим проведённые рассуждения, оформив их в виде ещё одного полезного алгоритма. Алгоритм решения уравнения ах + Ь = сх + d (а ^ с) Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками. Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида кх + т = О, где к^О. Преобразовать уравнение к виду кх = -т и записать его 2. 3. корень: т X =---. к Именно так было решено уравнение, которое получилось в предыдущем параграфе в примере 1. 23 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ тт 1 т> 2^751 Пример 1. Решить уравнение -у + - = -у —. 3 8 6 4 Решение. Первый способ. Воспользуемся алгоритмом: 2,7 5 , 1 _ 6^ 4 3 6Г U 4j —У + — = 0; 1 9 -6^ = -8 = 1 9 6^ = 8’ 9 1 ^ 8 ■ б’ 27 „3 а (под х понимают любую точку луча). Обратите внимание: точка а открытому лучу не принадлежит. Если же эту точку надо присоединить к открытому лучу, то пишут X > а или [а; -foo) (перед а ставят не круглую, а квадратную скобку), а на чертеже такую точку обозначают не светлым, как на рисунке 6, а закрашенным кружком (рис. 7). Если про множество точек (а; +°о) говорят, что это — открытый луч, то для множества точек [а; 4-°°) употребляют термин луч (без прилагательного «открытый»). 2. Пусть на координатной прямой отмечена точка Ь. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой левее точки Ь, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 8). Это множество точек (чисел) также называют открытым лучом и обозначают (-°о; Ь), где знак —о° читается: «минус бесконечность». Оно характеризуется нергшенством х < Ь. Снова обращаем ваше внимание на то, что точка Ь открытому лучу не принадлежит. Если же мы эту точку хотим присоединить к открытому лучу, то будем писать х < Ь или (-о°; д] и на чертеже точку Ь закрашивать (рис. 9); для (-ОО; 6] также будем употреблять термин луч. а X -ijUtliUllUlUUll ^ Рис. 6 а X ^iiiininntnini ^ Рис. 7 Ь Рис. 8 Ь Рис. 9 29 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ а Ь X Рис. 10 а Ь X Рис. 11 а Ь Рис. 12 Рис. 13 а Ъ Рис. 14 а Ъ Рис. 15 луч открытый луч интервал отрезок полуинтервал числовой промежуток 3. Пусть на координатной прямой отмечены точки а и 6, причём а < Ь (т.е. точка а расположена на прямой левее точки Ь). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки Ь‘, отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 10). Это множество точек (чисел) называют интервалом и обозначают (а; Ь). Оно характеризуется строгим двойным неравенством а < х < Ь (под х понимается любая точка интервала). Обратите внимание: интервал (о; Ь) есть пересечение (общая часть) двух открытых лучей Ь) и (а; +00) — это хорошо видно на рисунке 11. Если к интервалу (а; Ь) добавить его концы, т. е. точки а и Ь, то получится отрезок [а; Ь] (рис. 12), который характеризуется нестрогим двойным неравенством а < х < Ь. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные: на чертеже точки а и Ь отмечены тёмными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала. Отрезок [а; Ь] есть пересечение (общая часть) двух лучей (-°о; Ь] и [а; -1-оо) — это хорошо видно на рисунке 13. А что получится, если к интервалу (а; Ь) добавить только один конец — только точку а (рис. 14) или только точку Ь (рис. 15)? Получится полуинтервал, который в первом случае обозначают [а; Ь), а во втором — (а; 5] и который характеризуется с помощью двойных неравенств: а К х < Ь — в первом случае, а < х <: Ь — во втором случае. Итак, мы ввели пять новых терминов математического языка: луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал. Есть и общий термин: числовой промежуток. Сама координатная прямая также считается числовым промежутком; для неё используют обозначение (-00; +СХЗ). 30 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Сводная таблица числовых промежутков Геометрическая модель Обозначение Название числового промежутка Аналитическая модель а X а X ^llllinufunn,,111111 ^ ъ \\\\\\\\\\\\^ а Ь -биш^ а Ь а Ъ —*ШШ6- а Ь X -► (а; +О0) [а; +00) (-ОО; Ь) (-ОО; Ь] (а; Ь) [а; Ь] [а; Ь) (а; Ь] открытый луч луч открытый луч луч интервал отрезок полуинтервал полуинтервал X > а х> а X <Ь X < Ь а < X < Ь а < X < Ь а < X < Ь а < X < Ь Вопросы для самопроверки 1. Что такое координатная прямая? Чем она отличается от обычной прямой? 2. Как найти координату точки на координатной прямой? 3. Дано число а. Как на координатной прямой найти точку с координатой а? 4. Чему на координатной прямой равно расстояние между точками: а) А(2) и В(5); б) С(-3) и Д(-7); в) £(-2) и В(8); г) М(а) и ЩЬ)7 31 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 5. Какие виды числовых промежутков на координатной прямой вы знаете? Приведите примеры луча, открытого луча, отрезка, интервала, полуинтервала. Изобразите указанный вами числовой промежуток на координатной прямой и приведите соответствующую запись в виде неравенства. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Математический язык в современном мире. 2. Линейные уравнения с одной переменной. 3. Данные. Ряды данных. ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 6. Координатная плоскость § 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график § 8. Линейная функция и её график § 9. Линейная функция у = кх §10. Взаимное расположение графиков линейных функций § 6. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ На координатной прямой ♦прописаны» точки-жильцы, у каждой точки есть свой номер дома — её координата. Если же точка берётся в плоскости, то для её ♦прописки» нужно указывать не только номер дома, но и номер квартиры. Напомним, как это делается. Проведём две взаимно перпендикулярные координатные прямые и будем считать началом отсчёта на обеих прямых точку их пересечения — точку О. Тем самым на плоскости задана прямоугольная система координат (рис. 16), которая превращает обычную плоскость в координатную. Точку О называют началом координат, координатные прямые (ось X и ось у) называют осями координат, а прямые углы, образованные осями координат, называют координатньпии углами. Координатные углы нумеруют так, как показано на рисунке 16. А теперь обратимся к рисунку 17, где изображена прямоугольная система координат и отмечена точка М. Проведём через точку М прямую, параллельную оси у. Прямая пересекает ось х в некоторой точке, у этой точки есть координата на оси х (для точки, изображённой на рисунке 17, эта координата равна -1,5), её называют абсциссой прямоугольная система координат координатная плоскость начало координат координатные углы 33 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ абсцнссд ордината Используют, записи: х = - точки М. Далее проведём через точку М прямую, параллельную оси х. Прямая пересекает ось у в некоторой точке, у этой точки есть координата на оси у (для точки М, изображённой на рисунке 17, эта координата равна 2), её называют ординатой точки М. Коротко пишут так: М(х; у) (для точки на рисунке 17 имеем М(-1,5; 2)). Абсциссу записывают на первом месте, ординату — на втором, если в этом есть необходимость, и другую форму 1,5; у = 2. Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18 Замечание 1. На практике для отыскания координат точки М обычно вместо прямых, параллельных осям координат и проходящих через точку М, строят отрезки этих прямых от точки М до осей координат (рис. 18). Замечание 2. В предыдущем параграфе мы ввели разные обозначения для числовых промежутков. В частности, как мы условились, запись (3; 5) означает, что на координатной прямой рассматривается интервал с концами в точках 3 и 5. В настоящем же параграфе пару чисел мы рассматриваем как координаты точки; например, (3; 5) — это точка на координатной плоскости с абсциссой 3 и ординатой 5. Как же правильно по символической записи определить, о чём идёт речь: об интервале или о координатах точки? Обычно это бывает ясно из контекста. Учитывая введённые термины и обозначения, горизонтальную координатную прямую называют осью абсцисс или осью х, а вер- 34 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ось абсцисс ось ординат тикальную координатную прямую — осью ординат или осью у. Обозначения х, у используют обычно при задании на плоскости прямоугольной системы координат (см. рис. 16) и часто говорят так: дана система координат хОу. Впрочем, встречаются и другие обозначения, например, на рисунке 19 (на с. 36) задана система координат tOs. Алгоритм отыскания координат точки М, заданной в системе координат хОу 1. Провести через точку М прямую, параллельную оси у, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью х — это будет абсцисса точки М. 2. Провести через точку М прямую, параллельную оси х, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью у — это будет ордината точки М. Именно так мы и действовали, находя координаты точки М на рисунке 17. Если точка М^(х\ у) принадлежит первому координатному углу, то X > О, у > 0; если точка М^Чх-, у) принадлежит второму координатному углу, то л: < О, у > 0; если точка М^(х; у) принадлежит третьему координатному углу, то л: < 0, у < 0; если точка М^(х; у) принадлежит четвёртому координатному углу, то х > 0, у < о (рис. 20). А что будет, если точка, координаты которой надо найти, лежит на одной из осей координат? Пусть точка А лежит на оси х, а точка В — на оси у (рис. 21). Проводить через точку А прямую, параллельную оси у, и находить точку пересечения этой прямой с осью X не имеет смысла, поскольку такая точка пересечения уже есть — это точка А, её координата (абсцисса) равна 3. Точно так же не нужно проводить через точку А прямую, параллельную оси х: сама ось х пересекает ось у в точке О с координатой (ординатой) 0. В итоге для точки А получаем А(3; 0). Аналогично для точки В получаем В(0; -1,5). А для точки О имеем 0(0; 0). Вообще любая точка на оси х имеет координаты (х; 0), а любая точка на оси у — координаты (0; у). 35 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Итак, как находить координаты точки в координатной плоскости, мы обсудили. А как решать обратную задачу, т. е. как, задав координаты, построить соответствующую точку? Чтобы выработать алгоритм, проведём два вспомогательных, но в то же время важных рассуждения. Первое рассуждение. Пусть в системе координат хОу проведена прямая I, параллельная оси у и пересекающая ось х в точке с координатой (абсциссой) 4 (рис. 22). Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет абсциссу 4. Так, для точек Mj, Mg, М3 имеем Mj(4; 3), Mg(4; 6), Мз(4; -2). Иными словами, абсцисса любой точки М прямой I удовлетворяет условию дг = 4. Если же взять точку, не лежащую на этой прямой, то её абсцисса будет отлична от 4. Говорят, что X = 4 — уравнение прямой I или что прямая I Рис. 22 (и только она) удовлетворяет уравнению х = 4. На рисунке 23 изображены прямые, удовлетворяющие уравнениям X = -4 (прямая Zj), X = -1 (прямая 1^, х = 3,5 (прямая Z3). А какая прямая удовлетворяет уравнению х = О? Догадались? Ось у. Второе рассуждение. Пусть в системе координат хОу проведена прямая I, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке с координатой (ординатой) 3 (рис. 24). Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет ординату 3. Так, для точек Mj, Mg, М3 имеем: Mj(0; 3), Mg(4; 3), Мз(-2; 3). Иными словами, ордината любой 1 гб Jt hi 1— -3 t -1 Ла о i^L , Мз пг Г 36 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ точки М прямой I удовлетворяет условию у = 3. Если же взять точку, не лежащую на этой прямой, то её ордината будет отлична от 3. Говорят, что г/ = 3 — уравнение прямой I или что прямая I (и только она) удовлетворяет уравнению у — 3. На рисунке 25 изображены прямые, удовлетворяющие уравнениям у = -4 (прямая (j), у = -1 (прямая у» У ~ 3,5 (прямая Zj). А какая прямая удовлетворяет уравнению у = О? Догадались? Ось X. Заметим, что математики, стремясь к краткости речи, говорят «прямая jc = 4», а не «прямая, удовлетворяющая уравнению д: = 4». Аналогично они говорят «прямая {/ = 3», а не «прямая, удовлетворяющая уравнению 1/ = 3». Мы будем поступать точно так же. Вернёмся теперь к рисунку 17. Обратите внимание, что точка М(-1,5; 2), которая там изображена, есть точка пересечения прямой X = -1,5 и прямой у — 2. Теперь, видимо, будет понятен алгоритм построения точки по заданным её координатам. Алгоритм построения точки М(а; Ь) в прямоугольной системе координат хОу 1. Построить прямую X = а. 2. Построить прямую у = Ь. 3. Найти точку пересечения построенных прямых — это и будет точка М(а; Ь). 37 линейная функция Пример. В системе координат хОу построить точки: А(1; 3), В(-2; 1), С(4; 0), D(0; -3). Решение. Точка А есть точка пересечения прямых д: = 1 и у = 3 (рис. 26). Точка В есть точка пересечения прямых х = -2 и у = 1 (рис. 26). Точка С принадлежит оси х, а точка D — оси у (см. рис. 26). (S Рис. 26 Впервые прямоугольную систему координат на плоскости стал активно использовать французский философ Рене Декарт (1596—1650) для решения геометрических задач алгебраическими методами и, обратно, для замены алгебраических моделей геометрическими. Поэтому иногда говорят: «декартова система координат», «декартовы координаты*. Вопросы для самопроверки 1. Что такое прямоугольная система координат на плоскости? 2. Как на координатной плоскости хОу построить прямую: а) X = а; б) у = Ь? 3. Сформулируйте алгоритм отыскания координат точки М, заданной в системе координат хОу. 4. Сформулируйте алгоритм построения точки М(а; Ь) в прямоугольной системе координат хОу. 5. В какой четверти координатной плоскости хОу находится точка М(х; у) если: а) д: < 0, г/ > 0; б) д; > 0, у < 0; в) х < 0, г/ < 0; г) X > о, I/ > о? 6. Какая прямая в координатной плоскости хОу задаётся уравнением: а) X = 0; б) I/ = о? 38 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 7. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК В главе 1 мы видели, что математической моделью реальной ситуации может служить линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию. Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов? Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошёл путь 6х км. Второй поезд был в пути 3 ч, т. е. прошёл путь Зу км. Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 27 представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке её можно описать так: 5х + Зу = 500 или 5х + 3у- 500 = 0. Такую математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у. Вообще ах + by + с = о, где а, Ь, с — числа (коэффициенты), — это линейное уравнение с двумя переменными х и у. Вернёмся к уравнению 5х + Зу — 500. Замечаем, что если X = 40, у = 100, то 5 • 40 -t- 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел о X = 40, у = 100 называют решением уравнения урзвнвнив с двумя 5х Зу = 500. Говорят также, что пара значений переменными (40; 100) удовлетворяет уравнению Ъх + Зу = 500. 500 км Рис. 27 3» ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ решение уравнения ая + Ьу + с = О Найденное решение не единственное. В самом деле, возможен и такой вариант: х = 64, у = 60; действительно, 5 ■ 64 + 3 • 60 = = 500 — верное равенство. И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство). А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается: 5’80-1-+ 3 • 60 500. Вообще решением уравнения ах + Ьу + с = 0 называют всякую пару чисел (дг; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Замечание. Вернёмся ещё раз к уравнению 5х -Ь Зу = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие: х = 100, у = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • о = 500 — верное числовое равенство); х = 118, у = -30 (так как 5 ■ 118 -Ь 3 • (-30) = 500 — верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной. Пример 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у - 3 = 0 точками в координатной плоскости хОу. Решение. Подберём несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). Построим в координатной плоскости хОу точки А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), £)(0; 3), Е(- 2; 5) (рис. 28). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой I, проведём её. Говорят, что прямая I является графиком уравнения х + у-3 = 0, или что прямая I — геометрическая модель уравнения х + у - 3 = 0 (или X + у = 3). Итак, если пара чисел (дс; у) удовлетворяет уравнению х + у -- 3 = о, то точка М(х; у) принадлежит прямой I; если точка М(х; у) принадлежит прямой I, то пара (х; у) — решение уравнения 40 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ X + у - 3 = 0. Например, точка Р(6; -3) принадлежит прямой I (см. рис. 28) и пара (6; -3) — решение уравнения х + у — 3 = 0. Подведём итоги: Словесная модель Алгебраическая модель Геометрическая модель Сумма двух чисел равна 3 X + у = 3 (линейное уравнение с двумя переменными) Прямая 1 на рисунке 28 (график линейного уравнения с двумя переменными) d А как вообще выглядит график линейного уравнения ах + Ьу + + с = О? Рассмотрим конкретные случаи. 1) Пусть а = О, i> = О, с = 0. Тогда уравнение принимает вид 0-л: + 0-1/ + 0 = 0, т. е. 0 = 0 при любых значениях х, у. Это значит, что любая пара чисел (х; у) является решением уравнения, а график уравнения — вся координатная плоскость. 2) Пусть а = о, Ь = о, с А О. Тогда уравнение принимает вид о • л: + о ■ I/ -ь с = о, т. е. с = 0. Это не выполняется ни при каких значениях х, у, т. е. уравнение не имеет решений. 3) Пусть а = о, Ь ^ 0. Тогда уравнение принимает вид 0 • -I- + Ьу + с = о, т. е. у = —. Графиком служит прямая, параллельная Ь оси X, об этом мы говорили в § 6. 41 линейная функция 4) Пусть а^О, Ь = 0. Тогда уравнение принимает вид ох + О • г/ + + с = О, т. е. X = —. Графиком служит прямая, параллельная а оси г/, об этом мы также говорили в § 6. 5) Пусть о О, б ть 0. В этом случае графиком является прямая, не параллельная ни одной из осей координат (как это было в примере 1). Вообще справедлива следующая теорема. 1Если хотя бы один из коэффициентов а, Ь линейного уравнения ах by с = 0 отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая линия. Пример 2. Построить график уравнения Зх - 2i/ + 6 = 0. Решение. Подберём несколько решений заданного уравнения: 1) (0; 3); в самом деле, если х = 0, у = 3, то3'0-2'3-н6 = 0 — верное равенство (в уравнение Зх - 2у -Ь 6 = 0 мы подставили значения х = 0, г/ = 3); 2) (-2; 0); действительно, если х = -2, у = о, то 3 • (-2) - 2'0-1-6 = 0 — верное равенство; 3) (2; 6); ес ли X=2, у=6, то 3 • 2 - 2 • 6-1-6 = = 0 — верное равенство; 4) (4; 9); если х = 4,у = 9, тоЗ-4-2-9-1--1-6 = 0 — верное равенство. Построим точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6), (4; 9) на координатной плоскости хОу. Они лежат на одной прямой, проведём её (рис. 29). Эта прямая и есть график уравнения Зх-2у + 6 = 0. (И Пример 2 решён верно, но, признаемся, очень нерационально. Почему? Давайте рассуждать. 1. Мы знаем, что графиком линейного уравнения Зх-2у + 6 = 0 является прямая (это утверждается в теореме 1). Чтобы провести прямую, достаточно указать две её точки. Через две точки можно провести прямую и притом только одну — этому нас 42 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ учит геометрия. Поэтому построенные выше четыре точки— это явный перебор. Достаточно было построить точки (0; 3) и (-2; 0) и с помощью линейки провести через них прямую. 2. Решения данного уравнения мы подбирали, т. е. угадывали. Угадать что-либо всегда труднее, чем действовать по определённому правилу. Нельзя ли было и здесь не угадывать, а действовать по какому-то правилу? Можно. Например, так. Дадим переменной х конкретное значение, например д: = 0 (обычно пишут Xj = 0). Подставив это значение в уравнение Зх - 2i/ -f -(-6 = 0, получим 3-0 - 2у -(- 6 = о, т.е. -2у -f 6 = 0. Из этого уравнения находим у = 3 (обычно пишут = 3). Значит, если X = о, то у = 3; пара (0; 3) — решение данного уравнения. Дадим переменной х ещё одно конкретное значение, например д: = -2 (обычно пишут Х2 = -2). Подставив это значение в уравнение Зх - 2у + 6 = о, получим 3-(-2) - 2у + 6 = 0, т. е. -2у = 0. Из этого уравнения находим г/ = 0 (обычно пишут у2 = 0). Значит, если д: = -2, то I/ = 0; пара (-2; 0) — решение данного уравнения. Вот теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм построения графика линейного уравнения ах + Ьу Ч- с = о (где, напомним, а, Ь, с — любые числа, ко а Ф 0, Ь Ф 0). Алгоритм построения графика уравнения ах + Ьу + с = 0, где а ть 0, Ь / 0 1. Придать переменной х конкретное значение х = х^; найти из уравнения ах^ + by + с = 0 соответствующее значение У = У1- 2. Придать переменной х другое значение х = Х2', найти из уравнения ах2 + by + с = 0 соответствующее значение У = J/2- 3. Построить на координатной плоскости хОу точки (д:^; i/j) и (^25 Уг)- 4. Провести через эти две точки прямую — она и будет графиком уравнения ах + by с - 0. Замечание. Чаще всего на первом шаге алгоритма берут значение X = 0. Второй шаг иногда немного изменяют: полагают у = О и находят соответствующее значение х. 43 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Пример 3. Построить график уравнения 4л: + Зу - 12 = 0. Решение. Будем действовать по алгоритму (с учётом замечания). 1) Положим л: = О, подставим это значение в уравнение 4л: -f--I- 3{/ - 12 = О, получим 4 • О -Ь Зу - 12 = О, Зг/ - 12 = О, г/ = 4. 2) Положим у = О, подставим это значение в уравнение Ax-^Zy--12 = 0, получим 4 • х -Ь 3 • О - 12 = О, 4л: - 12 = О, л: = 3. 3) Построим на координатной плоскости хОу две точки: (0; 4) — она найдена на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге. 4) Проведём через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график (рис. 30). (И Пр и м е р 4. Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причём Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причём у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, А у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5л:. Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде 5х - 2у = 0. (1) На второй год Иванов увеличил число саженцев на своём участке в 3 раза и, значит, у него стало Зле яблонь. Петров увеличил число саженцев на своём участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх + 2у = = 16. Перепишем это уравнение в виде Зл: -Ь 2{/ - 16 = 0. (2) 44 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными хау — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку — и специальный термин — система уравнений: \Ъх-2у = О, 1 Зд: + 2г/ - 16 = 0. Второй этап. Работа с составленной моделью. Рис. 31 Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка {х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Что делать? Ответ очевиден; надо построить прямую (1), затем прямую (2) и, наконец, найти точку пересечения этих прямых. 1) Строим график уравнения Ъх - 2у = 0. Если д: = о, то J/ = 0; если jc = 2, то I/ = 5. Проведём через точки (0; 0) и (2; 5) прямую 1^ (рис. 31). 2) Строим график уравнения Зх + 2i/ - 16 = 0. Если д; = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведём через точки (0; 8) и (2; 5) прямую ^2 (рис. 31). 3) Прямые и I2 пересекаются в точке (2; 5), т.е. х = 2, у = 5. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны х и у. Ответ на этот вопрос уже получен: X = 2, у = 5. О т в е т: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь. Как видите, не зря мы с вами учились строить графики линейных уравнений с двумя переменными. Это позволило нам от одной математической модели (алгебраической модели (3)) перейти к другой математической модели — геометрической (две прямые на координатной плоскости на рисунке 31), что и дало возможность довести решение до конца. 45 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ А можно ли работать непосредственно с моделью (3), не переходя к геометрической модели? Можно, но об этом речь впереди, в главе 3. Там, используя новые знания, мы снова вернёмся к модели (3). Вопросы для самопроверки 1. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными X, у. 2. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными и, V. 3. Что называют решением уравнения ах + by + с = О, где X, у — переменные, & а, Ь, с — коэффициенты? 4. Может ли линейное уравнение с двумя переменными не иметь решений? Если да, то приведите пример. 5. Может ли линейное уравнение с двумя переменными иметь конечное множество решений; бесконечное множество решений? Если да, то приведите пример. 6. Придумайте текстовую задачу, математическая модель которой представляет собой линейное уравнение с двумя переменными. 7. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, у которого хотя бы один коэффициент при переменной отличен от нуля? оба коэффициента при переменных равны нулю? 8. Как построить график линейного уравнения с двумя переменными, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля? Сколько точек для этого достаточно взять? 9. Что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными, у которого один коэффициент при переменной отличен от нуля, а другой равен нулю? Рассмотрите два случая. 10. В каком случае из линейного уравнения ах by + с = 0 можно выразить переменную у через переменную х, а в каком — нельзя? Что получится, если переменную у можно выразить через переменную х1 46 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 8. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ и ЕЁ ГРАФИК Алгоритм построения графика уравнения ах + by + + с = О, который мы сформулировали в § 7, при всей его чёткости и определённости математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум птагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала a.Ti + by + с = О, затем ах2 + by + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = О, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение Зл: - 2i/ -Н 6 = О (см. пример 2 из § 7), т. е. 2у = Зх + 6. 1 1 1 Умножив обе части уравнения на -, получим • 2у = ~(3х -t- 3 -f 6), т.е. у = -X + 3. Впрочем, тот же результат мы получили 2 бы, если бы обе части исходного уравнения почленно разделили на 2. Обычно предпочитают в подобных случаях говорить не об умножении, а о почленном делении обеих частей уравнения на одно и то же число. Итак, у = -X + 3. Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при д: = О получаем у = 3; при X = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем у = 9. Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 7. Точно так же уравнение 5х - 2у = 0 (см. пример 4 из § 7) можно было преобразовать к виду 2у = Ъх и, далее, у = 2,Ъх\ нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. Наконец, уравнение Зд: -Ь 2г/ - 16 = 0 из того же примера можно 3 было преобразовать к виду 2у = - Зх и, далее, у = 8 ~ -х. Из 2 этого уравнения можно найти точки (0; 8) и (2; 5), которые ему удовлетворяют. Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде. 47 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Случаи, когда в уравнении ах by + с = О коэффициенты а и Ь равны нулю, мы рассмотрели в § 7. Там же мы отметили, что в случае, когда а Ф Q, Ь = О, графиком уравнения является прямая, параллельная оси у. Рассмотрим случай, когда Ь 0. Имеем ал: + Ьг/ + с = 0; (1) by = -ах - с; а с и = —X —. h h Введя обозначения = к, Ь Ь т, получаем у = кх + т. Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у в случае, когда ЬфО, можно преобразовать к виду у = кх + т, (2) где к, т — числа (коэффициенты). Это частный вид линейного уравнения. Зная, чему равен х, по правилу у = кх т всегда можно найти, чему равен у. Будем называть уравнение (2) линейной функцией. С помощью уравнения (2) легко, указав конкретное значение X, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например, у = 2х 3. Тогда если д: = о, то р = 3; если л; = 1, то р = 5; если л: = -1, то р = 1; если л: = 3, то I/ = 9 и т. д. Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы: X 0 1 -1 3 у 3 5 1 9 Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х-\-3 соответственно в точках х = 0, д: = 1, X = -1, д: = 3. 48 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ независимая переменная (аргумент) зависимая переменная линейная функция В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаём одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что X — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная. Частным случаем теоремы 1 из § 7 является следующая теорема. Графиком линейной функции у = kx + т является прямая. Теорема 2. график линейной функции Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3. Решение. Составим таблицу: X 0 1 у 3 5 Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 3) и (1; 5) и проведём через них прямую. Это и есть график линейной функции у = 2х + 3 (рис. 32). О Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции. Приведём примеры. Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней? Если пройдёт X дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой у = 500 + 30л:. Таким образом, линейная функция у ■= ЗОх + 500 есть математическая модель ситуации. Теперь нетрудно установить, что: при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОх + -I- 500 подставили х = 2 и получили у = 560); при X = 4 имеем у = 620; при X = 10 имеем у — 800. 49 линейная функция Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней? Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 - ЗОдс. С помощью этой модели нетрудно ответить на вопрос задачи: если X = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 - ЗОд: подставили JC = 2 и получили у = 440); если д: = 4, то у = 380; если X = 10, то у = 200. Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до пункта В, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от пункта А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы? Математической моделью ситуации является линейная функция у = \Ъ + Ах, где X — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи: если д: = 2, то у = 23 (в уравнение у = \Ъ + Ах подставили дс = 2 и получили у = 23); если X = А, то у = 31; если X = 6, то у = 39. Итак, в каждой из рассмотренных ситуаций математической моделью служит линейная функция. Но (внимание!), строго говоря, все три составленные модели не совсем точны, они не учитывают тех ограничений на переменную, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х может принимать только значения 1, 2, 3, ..., поскольку X — число дней. Следовательно, уточнённая математическая модель первой ситуации выглядит так: у = 500 + ЗОх, где х — натуральное число. Вторую ситуацию необходимо уточнить условием у > 0. Это значит, что независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3,..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 -- ЗОх находим у = 500 - 30 • 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к 50 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ о 6 Рис. 33 этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придётся прекратить. Следовательно, уточнённая математическая модель второй ситуации выглядит так: у = 500 - ЗОх, у > о или у = 500 - ЗОх, где х = 1, 2, 3, ..., 16. В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (х = 0, х = 2, X = 3,5 и Т.Д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было принять разумные ограничения для х, скажем, о < д; < 6 (т. е. турист идёт не более 6 ч). Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < дс < 6 служит отрезок [0; 6] координатной прямой (рис. 33). Значит, уточнённая модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0; 6]. Условимся вместо фразы «дг принадлежит множеству X* писать хе X (читают: «элемент х принадлежит множеству X*, е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается. Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N. Значит, вместо фразы «д: — натуральное число» мы можем использовать соотношение xeN. Если линейную функцию у = kx + т надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений д: из некоторого числового множества X, то пишут у = kx + т, X еХ. А теперь запишем более точные математические модели для рассмотренных выше трёх ситуаций. Первая ситуация: у = 500 + ЗОдс, х е N. Вторая ситуация: у = 500 - ЗОд:, х е {1, 2, 3, ..., 16}. Третья ситуация: р = 15 -I- 4х, х G [0; 6]. Пример 2. Построить график линейной функции: а) р = -2дс + 1, д: е [-3; 2]; б) р = -2д: + 1, х ^ (-3; 2). Решение, а) Составим таблицу для линейной функции р = -2д: + 1: X -3 2 у 7 -3 51 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведём через них прямую линию. Это график уравнения у = -2х + 1. Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 34). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х -I- 1, где X е [-3; 2]. Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = -2х -f 1 на отрезке [-3; 2]. б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (г/ = -2х -ь 1), значит, и её графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3; 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (-3; 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками 1^””" О / / 2 ^ (рис. 37), об этом мы говорили в § 5. Точно так Рис 37 ^ точки (-3; 7) и (2; -3) придётся отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = -2х -f 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 35). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 36). Это непринципиально: главное — понимать, о чём идёт речь. (g Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции у = ^х -Ь 4 на отрезке [0; 6]. 52 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Решение. Составим таблицу для линейной функции у = + 4: X 0 6 у 4 7 Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведём через них прямую — график линейной функции J/ = ix -1-4 (рис. 38). наибольшее значение линейной функции наименьшее значение линейной функции Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0; 6], т. е. для х е [0; 6]. Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции у = ^х + 4 на отрезке [0; 6]. Обычно используют такую запись: = 7. Замечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 38 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции у = -х -I- 4 на отрезке [0; 6]. Обычно используют такую запись: Ответ: у„^^ = 7, 4. = 4. Пример 4. Найти и г/„ у - -1,5д: + 3,5: а) на отрезке [1; 5]; б) на интервале (1; 5); в) на полуинтервале [1; 5); г) на луче [0; д) на луче (-оо; З]. для линейной функции 53 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -1,5х + 3,5: Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; -4) и проведём через них прямую (рис. 39—43). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1; 5] (рис. 39), из интервала (1; 5) (рис. 40), из полуинтервала [1; 5) (рис. 41), из луча [0; 4-оо) (рис. 42), из луча (-°°; 3] (рис. 43). 54 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ а) С помощью рисунка 39 нетрудно сделать вывод, что = 2 (этого значения линейная функция достигает при л: = 1), а = -4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5). б) В отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены (рис. 40). Среди остальных точек графика нет ни точки с наименьшей ординатой, ни точки с наибольшей ординатой. Значит, ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. в) С помощью рисунка 41 заключаем, что = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае). г) = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при л: = 0), а 1/наим не существует (рис. 42). д) Унаиы ~ “1 (этого значения линейная функция достигает при X = 3), а не существует (рис. 43). (Ц П р и м е р 5. Построить график линейной функции у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы: а) при каком значении х будет у = 0; б) при каких значениях х будет у > 0; в) при каких значениях х будет у < 07 Решение. Составим таблицу для линейной функции у = 2х - 6: X 0 3 у -6 0 55 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Через точки (О; -6) и (3; О) проведём прямую — график линейной функции у = 2х - 6 (рис. 44). а) у = О при = 3. График пересекает ось х в точке х = Z, это и есть точка с ординатой у = 0. б) у > О при л: > 3. В самом деле, если л: > 3, то соответствующая часть прямой расположена выше оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны. в) у < О при X < 3. В самом деле, если х < 3, то соответству- ющая часть прямой расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. ® Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили: а) уравнение 2х - 6 = О (получили х = 3); б) неравенство 2х - 6 > О (получили х > 3); в) неравенство 2х - 6 < О (получили х < 3). Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + т, где к, т — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное — понимать, что во всех случаях речь идёт о математической модели у = кх + т. Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисунке 45, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика всё время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют ВОЗрдСТдНИб термин возрастание и говорят так: если k > О, то убывание линейная функция у = кх + т возрастает. Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисунке 45, б. Если двигаться по этому графику слева направо. 56 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Рис. 45 то ординаты точек графика всё время уменьшаются, мы как бы ♦спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так; если к < О, то линейная функция у = кх + т убывает. Вопросы для самопроверки 1. Что такое линейная функция? 2. Что является графиком линейной функции? 3. Сколько точек достаточно взять для построения графика линейной функции? 4. Опишите процесс построения графика линейной функции I/ = 2х + 3, где X е [0; 2]. Что изменится, если х е (0; 2)? 5. Дана линейная функция у = кх + т, х е X, где X — некоторый числовой промежуток. Что такое г/на„м» 6. Дано: у = 2х + S, X е [0-, 2]. Найдите у^аив- Что изменится, если X е (0; 2)? если х б (0; 2]? 7. Дано: у = 2х 3, х е [0; -t-oo). Найдите, если возможно, 1/ааим» J/яаиб' ЧтО ИЗМеНИТСЯ, еСЛИ X £ (0; -4-00)? если X G (-оо; 0]? если X е (-оо; 0)? 8. Как с помощью графика линейной функции у = кх + т, где А # О, решить: а) уравнение fex -4- m = 0; б) неравенство кх -i- т > 0; в) неравенство кх + т ^ 07 9. В каком случае линейная функция возрастает, а в каком — убывает? Как об этом можно судить по графику линейной функции? 57 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 9. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ у =кх При рассмотрении линейных функций у = kx + т особо выделяют случай, когда пг = 0; тогда линейная функция принимает вид у = kx. Графиком линейной функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат. Теорема 3. Доказательство. Осуществим его в два этапа. 1. у = kx — частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая (по теореме 2, см. с. 49); обозначим её через I. 2. Пара X = О, у = О удовлетворяет уравнению у = kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I. Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана. Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической, но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображённую на рисунке 46. Она является графиком линейной функции у = kx, нужно лишь найти значение коэффи- у циента k. Так как ^ ~ ™ достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к её абсциссе. 6 „ Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем — = 2. О Значит, /г = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком линейной функции у = 2х. График линейной функции у = kx обычно строят так: берут точку (1; k) (если х = 1, то из равенства у = kx находим, что у — k) и проводят прямую через эту точку и начало координат. Впрочем, в случае необходимости точку (1; А) можно заменить другой точкой, более удобной. На рисунке 47 изображены графики линейных функций у — X (прямая 1{), у = 2х (прямая I2), у — -х (прямая здесь не очень удобно брать точку взяли точку (3; 1)), у = -2х (прямая /4). 58 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Обратите внимание: от коэффициента k зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением оси X', заметим, что этот угол отсчитывают от оси х в направлении против часовой стрелки. Если ft > О, то этот угол острый (так обстоит дело на рис. 47 с прямыми (j, I2, I3); если ft < О, то этот угол тупой (так обстоит дело на рис. 47 с прямой (4). Далее, если ft > О, то чем больше ft, тем больше угол. Так, на рисунке 47 для прямой (3 имеем k = для прямой (j имеем ft = 1, 3 для прямой I2 имеем ft = 2; при увеличении коэффициента ft увеличивается и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент ft в записи у = kx называют угловым коэффициентом. На рисунке 48 изображены графики линейных функций у = 2х — 4, у = 2х + 6. Оба они параллельны графику линейной функции у = 2х, только первая прямая (у = 2х - 4) получается из прямой у = 2х сдвигом вниз на 4 единицы масштаба, а вторая прямая {у = 2х + 6) получается из прямой у = 2х сдвигом вверх на 6 единиц масштаба. Справедлив следующий общий результат, который мы оформим в виде теоремы. угловой коэффициент 59 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Теорема 4. Прямая, служащая графиком линейной функции у = kx + т, параллельна прямой, служащей графиком линейной функции у = kx. Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + т также называют угловым коэффициентом. Если k > О, то прямая у = kx + т образует с положительным направлением оси X острый угол (см. рис. 45, а), а если k < О, — тупой угол (см. рис. 45, б). Вопросы для самопроверки 1. Что представляет собой график линейной функции у = kxl 2. Почему в уравнении у = kx коэффициент k называют угловым? 3. Что вы можете сказать о взаимном расположении графиков функций y = kx-^mviy = kx? 4. Какой угол образует прямая у = kx -h т с положительным направлением оси Ох при k > О и при ft < О? §10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ Вернёмся ещё раз к графикам линейных функций у = 2х-- 4тл у = 2х + &, представленным на рисунке 48. Мы уже отмечали (в § 9), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, параллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство угловых коэффициентов (ft = 2 для всех трёх прямых: и для у = 2х, и для у = 2х - 4, н для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у = 2х ш у = Zx -\г 1, то прямые, служащие их графиками, не параллельны, и тем более не совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще справедлива следующая теорема. Пусть даны две линейные функции у = k^x Ч- mj и у = k^x Ч- т^. Прямые, служащие графиками заданных линейных функций: Теорема 5. параллельны, если ftj = ftg, т^ * mg; 2) совпадают, если ftj = ftg, т^ = mg; 3) пересекаются, если fej ^ ftg. 60 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Пример 1. Найти точку пересечения прямых; &)у = 2х-Ъу1у = 2- б) у = -Зх + 1 и I/ = -Зх + 5. Решение, а) Для линейной функции у = 2х - 3 имеем X 0 2 у -3 1 Прямая служащая графиком линейной функции у = 2х - 3, проведена на рисунке 49 через точки (0; -3) и (2; 1). Для линейной функции у ■■ о 1 2 — —X имеем 2 X 0 2 у 2 1 Прямая I2, служащая графиком линейной функции у = 2 - ^х, проведена на рисунке 49 через точки (0; 2) и (2; 1). Прямые и I2 пересекаются в точке (2; 1). б) Линейные функции у = -Зх + 1 и у = -Зх -t- 5 имеют один и тот же угловой коэффициент (А = -3), значит, прямые у = —Зх -Ь 1 и у = -Зх -1- 5 параллельны, т. е. точки пересечения у них нет. (Д Пример 2. Найти точку пересечения прямых у = 4х + 7 и у = -2х -I- 7. Решение. Здесь можно обойтись без чертежа. Будем рассуждать так. Во-первых, угловые коэффициенты прямых различны (ftj = 4, ^2 = ~2), значит, прямые пересекаются в одной точке. Во-вторых, как одна, так и другая прямая проходят через точку (0; 7) (вы обратили внимание, что /tIj = /^2 = 7?). Следовательно, (0; 7) и есть искомая точка пересечения. (В Вообще прямые у = k^x + т и у = k2X + та, где * А2, пересекаются в точке (0; та). 61 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Завершая главу 2, обратим внимание на характерную особенность математического языка: во многих фразах, как вы, наверное, заметили, одновременно встречаются элементы алгебраического и геометрического языков — составных частей единого математического языка. Так, мы говорим: точка 3, прямая х = 2, прямая у = -5, прямая у = 2х + 3, отрезок [3; 7], луч [-2; -1-оо) и т. п. А в § 10 мы получили, пожалуй, наиболее яркие образцы свободного оперирования алгебраическим и геометрическим языками в одном суждении — они представлены в приведённой таблице. Линейные Алгебраическое Геометрический функции условие ВЫВОД 1) л, = /ej, mj А mj 1) Прямые у = AjX -Ь mj и у = AjX m2 параллельны у = к^х + 2) Aj = Aj» ~ ^2 2) Прямые у = kiX OTj и у = к^х -1- m2 у = Агл: -I- совпадают 3) 3) Прямые у = AjX -t- и у = AjX + m2 пересекаются Вопросы для самопроверки 1. Приведите пример линейных функций, графики которых параллельны. 2. Приведите пример линейных функций, графики которых совпадают. 3. Приведите пример линейных функций, графики которых пересекаются. 4. Что вы можете сказать о взаимном расположении на координатной плоскости хОу графиков линейных функций: а)1/ = 2х-(-Зи1/ = Зх-2;б)г/ = 2д;-1-Зи1/ = 2х? 5. Как будет расположен график функции у = 4х + а относительно графика функции у = 4х, если а > 0? если о < 0? 6. Сформулируйте теорему о взаимном расположении графиков линейных функций. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Мы пополнили наш словарный запас математического языка следующими терминами: 62 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ прямоугольная система координат на плоскости (декартова система координат); координатная плоскость, координатные углы, начало координат; абсцисса, ордината, ось абсцисс, ось ординат; линейное уравнение с двумя переменными {ах + by + с = 0); решение линейного уравнения с двумя переменными; независимая переменная (аргумент); зависимая переменная; линейная функция {y = kx + т); угловой коэффициент (для линейной функции у = кх + т). Мы ввели следующие обозначения: хОу (для прямоугольной системы координат на плоскости); М{х; у) (для обозначения координат точки М на координатной плоскости); Унаиб» Унаим (Для наибольшего и наименьшего значений линейной функции на заданном числовом промежутке). Вы познакомились с тремя новыми математическими моделями: y = kx; у = kx + т; ах + by + с = 0. Вы узнали, что: графиком уравнения х = а является прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку а на оси абсцисс; в частности, х = 0 — уравнение оси ординат; графиком уравнения у = Ь является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку Ь на оси ординат; в частности, у = 0 — уравнение оси абсцисс; графиком линейной функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат; 63 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ графиком линейной функции у = кх + т является прямая; графиком линейного уравнения ах + Ьу + с = Ов случае, когда хотя бы один из коэффициентов а, Ь отличен от нуля, является прямая. Мы изучили следующие алгоритмы: алгоритм отыскания координат точки М, заданной в прямоугольной системе координат хОу; алгоритм построения точки М(а; Ь) в прямоугольной системе координат хОу; алгоритм построения графика линейного уравнения ах + by + с = 0. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Задачи на координатной плоскости. 2. Линейная функция. 3. Упорядоченные ряды данных. ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 11. Основные понятия § 12. Метод подстеновки § 13. Метод алгебраического сложения § 14. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций §11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ в § 7 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ах + by + с = О, где а, Ь, с — конкретные числа, & х, у — переменные. Примеры линейных уравнений с двумя переменными: 2л: - Зу + 1 = 0; л: + I/ - 3 = 0; S - + 4 = о (здесь переменные обозначены по-другому: s, t, но это роли не играет). В том же § 7 мы ввели понятие решения линейного уравнения с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (л:; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + Ъу с = о в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной х, на втором — значение переменной у. Приведём примеры. 1. (2; 3) — решение уравнения 5л: -н 3i/ - 19 = 0. В самом деле, 5'2-1-3‘3 — 19 = 0 — верное числовое равенство. 2. (-4; 2) — решение уравнения Зл: - у Ч- 14 = 0. Действительно, 3 • (-4) - 2-1-14 = 0 — верное числовое равенство. 65 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 3. 1^0; -^j — решение уравнения -0,4х + 3j/ + 7 = 0. Имеем -0,4 • о + 3 • j +7 = 0 — верное числовое равенство. 4. (1; 2) не является решением уравнения 2х - Зу + 1 = 0. В самом деле, 2-1-3-2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство (получается, что -3 = 0). В § 8 мы отмечали, что математическую модель ах by + + с = о при Ь * о можно заменить более простой у = kx + т. Например, уравнение Зд: - 4г/ + 12 = 0 можно преобразовать к виду у=-х+3. Графиком линейного уравнения ах + by + с ^ Q, если хотя бы один из коэффициентов а, Ь отличен от нуля (случай а = 0, Ь = 0 мы в этой главе рассматривать не будем), является прямая (см. § 7). Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению ах + by + с = о, т. е. являются решением уравнения. Сколько же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько же, сколько точек расположено на прямой, служащей графиком уравнения ах + by + с = о, т. е. бесконечно много. Многие реальные ситуации при переводе на математический язык оформляются в виде математической модели, состоящей из двух линейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы встретились в § 7 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова. Математическая модель состояла из двух уравнений: 5х - 2у = 0 иЗх-1-21/-16 = 0, причём нас интересовала такая пара значений (х; у), которая одновременно удовлетворяла и тому и другому уравнению. В таких случаях обычно не говорят, что математическая модель состоит из двух уравнений, а говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений. Вообще если даны два линейных уравнения с двумя переменными X и у: а^х + Ь^у -ь Cj = 0 и Ogjc + 62I/ + ^2 = 0 — и поставлена задача найти такие пары значений (л:; у), которые одновременно удовлетворяют и тому и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения 66 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой: OjX + Ъ^у + с, = О, а^х + Ъ^у + Сг = 0. (1) система уравнений Пару значений (дг; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы. Решить систему — это значит найти все её решения или установить, что их нет. Теперь мы можем сказать, что встречались с системой линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой задачи про садоводов из § 7 выглядела так: решение системы уравнений 5х - 2у — о, Зх + 2у -16 = о (где X е N, у е N). Её решением была пара (2; 5), т. е. х = 2, у = 5. Рассмотрим новые примеры. Пример 1. Решить систему уравнений X + 2у - 5 = о, 2х + 4у + 3 = 0. (2) (3) Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является прямая. Найдём две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если I/ = о, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим X = 5. Если дс = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим у = 2,5. Итак, нашли две точки: (5; 0) и (0; 2,5). Построим на координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая li на рисунке 50. Графиком уравнения 2х + Ау + 3 = = о также является прямая. Найдём две пары значений переменных х, у. Рис. 50 67 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ удовлетворяющих этому уравнению. Если у = О, то из уравнения 2х + 4у + 3 = О находим х = -1,5. Если х = 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = О находим 5 -f 4i/ -Ь 3 = О, и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки: (-1,5; 0) и (2,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая I2 на рисунке 50. Прямые li и I2 параллельны. Что означает этот геометрический факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет решений (поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому и другому уравнению, т. е. принадлежащих одновременно и той и другой из построенных прямых Zj и 1^. Ответ: система не имеет решений. Здмечвние. Если бы мы с самого начала догадались переписать \х + 2у = 5, , , заданную систему в виде \ то сразу было бы очевидно, [х + 2у = -1,5, что решений нет (и соответствующие прямые на самом деле параллельны). Пример 2. Найти два числа, если известно, что их сумма равна 39, а разность равна 11. Решение. Если х, у — искомые числа, то х+у = 39 и х - у = = 11, причём эти равенства должны выполняться одновременно: [ л: + у = 39, [х-у = 11. Получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Можно угадать, чему равны х а у: х = 25, у = 14. Но, во-первых, «метод угадывания» далеко не всегда применим на практике. А во-вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы просто до него не додумались? Можно построить графики уравнений х + у = 39 и х - у = 11, это прямые, причём непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1), они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: (25; 14); значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, единственное решение системы. Ответ: 25 и 14. В примерах 1 и 2 мы применили графический метод решения системы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались (4) 68 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ графический метод решения системы уравнений в § 7 при решении задачи о числе яблонь у двух садоводов (система (2) решена в § 7 графическим методом). К сожалению, графический метод, как и «метод угадывания*, не самый надёжный: например, прямые могут пересечься в точке, координаты которой по чертежу не очень легко определить. (5) П р и м е р 3. Решить систему уравнений: Зх - у - 5 = О, 2х + у - 7 = 0. Решение. Построим графики уравнений системы. Здесь есть смысл преобразовать оба уравнения к виду линейной функции. Из первого уравнения получаем у = Зх - 5, а из второго у = 7 - 2х. Построим в одной системе координат графики линейных функций у = Зх - Ъ (прямая (j на рис. 51) и г/ = 7 - 2х (прямая (2 на рис. 51). Они пересекаются в точке А, координаты которой — единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки А, мы по рисунку 51 точно определить не сможем (точка А как бы «висит* внутри определённой клеточки). Придётся нам позднее вернуться к этому примеру (см. с. 72—73). ®1 Но всё-таки графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы: графиками обоих уравнений системы (1) являются прямые; эти прямые могут пересекаться, причём только в одной точке, — это значит, что система (1) имеет единственное решение (так было в рассмотренных в этом параграфе системах (2), (4), (5)); эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна — такой была система (3)); 69 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ несовместная система неопределённая система ЭТИ прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределённа). Итак, мы познакомились с новой математической моделью — системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Наша задача — научиться её решать. «Метод угадывания» ненадёжен, графический метод также выручает не всегда. Значит, нам нужно располагать надёжными алгебраическими методами решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и пойдёт речь в следующих параграфах. Вопросы для самопроверки 1. Подберите три решения уравнения х -Р 2г/ - 9 = 0. 2. Что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными? 3. Что называют решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными? 4. Придумайте систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая имеет своим решением пару: а) (0; -1); б) (3; 0); в) (1; 2). 5. Придумайте систему двух линейных уравнений, которая не имеет решений. 6. Расскажите, как графически решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая составлена вами в задании 4 в). 7. Что такое неопределённая система уравнений? 8. Что такое несовместная система уравнений? §12. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ Вернёмся ещё раз к системе (2) из § 11: \5х - 2у = о, [Зх -Ь 2у - 16 = 0. Мы её решили графическим методом в § 7 и знаем, что х = 2,у = Ъ — единственное решение этой системы. А теперь решим ту же систему другим способом. 70 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Первое уравнение преобразуем к виду 2у = 5х, т.е. у = 2,5х. Второе уравнение преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и, далее, у = = 8 - 1,5х (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зх разделили на 2). Теперь систему можно переписать так: \у = 2,5х, [у = 8 - 1,5х. Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5х = 8 - 1,5х. Из этого уравнения находим: 2,5х + 1,5х = 8; 4х = 8; х = 2. Если X = 2, то из уравнения у = 2,5х получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно). Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 7? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на алгебраическом языке. Как же мы рассуждали? Мы выразили у через х из первого уравнения и получили у = 2,5х. Затем подставили выражение 2,5х вместо у во второе уравнение и получили 2,5х = 8 - 1,5х. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5х нашли соответствующее значение у. И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5х вместо у в заданное уравнение Зх + 2у - 16 = О, Смотрите: Зх -f- 2 • 2,5х -16 = 0; Зх -I- 5х = 16; 8х = 16; X = 2. Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определённую последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм. метод подстановки 71 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки 1. Выразить у через х из первого уравнения системы. 2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы. 3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно X. 4. Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через X, полученное на первом шаге. 5. Записать ответ в виде пары значений {х\ у), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах. Замечание. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и не подставить в первое? И вообще, почему выражали у через X, а не X через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте, что хотите, но ищите наиболее простые варианты. Пример 1. Решить систему уравнений: Зх - у - 5 = О, 2х + у - 7 = 0. Решение. 1)Из первого уравнения системы получаем у = Зх - 5. 2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы: 2х: -t- (Зх - 5) - 7 = 0. 3) Решим полученное уравнение: 2х -Ь Зх - 5 - 7 = 0; 5х - 12 = 0; 5х = 12; X = 12 72 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зх - 5: „ 12 _ 36 с 36- 25 11 у = 3---5 =-----5 =------= —. ^ 5 5 5 5 12 11 5) Пара X = —, у = —, т. е. х = 2,4, у = 2,2, — единственное 5 5 решение заданной системы. Ответ: (2,4; 2,2). Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить её графическим методом, и у нас ничего не получилось. Зато метод подстановки нас выручил. Он активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных; о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть может, не всегда эффективен (т. е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надёжен. Пример 2. Решить систему уравнений: \5х - Зу + 8 = О, [х + 12у = 11. Решение. 1) Выразим х через у из второго уравнения: X = 11 - 12у. 2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы: 5(11 - 12у) -Зу + 8 = 0. 3) Решим полученное уравнение: 55 - бОу - Зу + 8 = 0; 63 - бЗу = 0; 63i/ = 63; У = 1- 4) Подставим найденное значение у в формулу х = 11 - 12у: X = 11 - 12 • 1 = -1. 5) Пара x = -l,j/ = l — единственное решение заданной системы. Ответ: (-1; 1). 73 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ решения системы Вопросы для самопроверки 1. Расскажите, в чём суть метода подстановки при решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 2. Опишите алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки на примере j2x + З1/ = 7, U - г/ = 1. §13. МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ Мы довольно часто возвращаемся к тому, что уже обсудили ранее, например для того, чтобы рассмотреть ситуацию под другим углом зрения. Вот и теперь давайте вернёмся к примеру 1 из § 12, где речь шла о решении системы уравнений f3x-z/-5 = О, 2х + !/ - 7 = 0. Как мы решали эту систему? Мы выразили I/ из первого уравнения и подставили результат во второе, что привело к уравнению с одной переменной х, т. е. фактически к временному исключению из рассмотрения переменной у. Но исключить у из рассмотрения можно было значительно проще — достаточно сложить оба уравнения системы (сложить уравнения — это значит по отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять): [Зх ~ у - 5 = О, 2х + у - 7 = 0; (Зх - у - 5) + (2х + у - 7) = О + 0; 5х- 12 = 0; 12 X = —. 5 Затем можно было найденное значение х подставить в любое уравнение системы, например в первое, и найти у: 3-^-у-5 = 0; О 74 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 36 с ----5 = ц; 5 " 11 ^ 5 ■ Попробуем применить аналогичные рассуждения ещё для нескольких систем линейных уравнений с двумя переменными. П р и м е р 1. Решить систему уравнений: 2х + Зу = 1, 5х -I- Зу = 7. Решение. 1) Вычтем второе уравнение из первого: [ 2х -ь Зу = 1, [5х + Зу = 7; (2х + Зу) - (5х + Зу) = 1 - 7; 2х + Зу - 5х - Зу = -6; -Зх = -6; X = 2. 2) Подставим найденное значение х = 2 в первое уравнение заданной системы, т. е. в уравнение 2х -Ь Зу = 1: 2 • 2 Зу = 1; Зу = 1 - 4; Зу = —3; У = -1. 3) Пара х = 2,у = -1 — решение заданной системы. Ответ: (2; -1). Пример 2. Решить систему уравнений [ Зх - 4у = 5, [2х + Зу = 7. Решение. Здесь сразу исключить переменную х или переменную у из обоих уравнений с помощью сложения или вычитания уравнений не удастся. Нужен подготовительный этап. Сначала умножим все члены первого уравнения системы на 3, а все члены второго уравнения — на 4. Получим [ 9х - 12у = 15, [8х -h 12у = 28. 75 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Теперь можно сложить уравнения, что приведёт к исключе- 43 нию переменной у. Имеем Пх = 43, т. е. х = —. Подставим найденное значение х во второе уравнение исходной системы, т. е. в уравнение 2х + Зу = 7: о „ „ -7 86 » 119-86 „ 33 11 17 ^ W 17^ 17 ^ 17 ^ 17 Ответ: Краткая запись приведённого решения: -I- Зх - 4у = 5 2х + Зу = 7 ■ 3 ■ 4 3(3х - 4у) -Ь 4(2х -Ь Зу) = 5 • 3 -Ь 7 ■ 4; 17х = 43, X = — и т. д. 17 Здесь справа от вертикальной черты записаны дополнительные множители, с помощью которых удалось уравнять абсолютные величины коэффициентов при переменной у в обоих уравнениях системы. Метод, который мы обсудили в этом парагра- алгебраического фе^ называют методом алгебраического сложе-сложения _ ния. метод Вопросы для самопроверки 1. Расскажите, в чём суть метода алгебраического сложения при решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 2. Прокомментируйте метод алгебраического сложения на при- „ \2х + 3у = 7, \2х + 3у = 7, мере решения системы уравнении: а) ^ б) ^ [4х - Зу = 5; [Зх - у = 5. 76 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ „ ^ „ fx + I/ = 12, 3. Решите систему уравнении дважды применив [х - I/ = 8, метод алгебраического сложения. 4. Как вы считаете, в каких случаях при решении системы линейных уравнений с двумя переменными удобнее использовать метод алгебраического сложения, чем метод подстановки? §14. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ Собственно говоря, ничего особенно нового вы в этом параграфе не узнаете. Ведь вам уже известно, что реальная ситуация может быть описана на математическом языке в виде математической модели, представляющей собой систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Так было в § 7 в ситуации с садоводами Ивановым и Петровым. Так было и в примере 2 из § 11. Поэтому теоретический разговор, соответствующий названию параграфа, можно считать законченным. А вот с практической точки зрения обсуждение новых ситуаций полезно. Этим и займёмся. Пример. В седьмом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на ухюки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X — число девочек, у — число мальчиков в седьмом классе. В понедельник было (х - 1) девочек, {у - 5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т. е. X - 1 = 2(у - 5). 77 J. I СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Во вторник было {х - 9) девочек, (у - 1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т. е. у-1 = 1,5(д:-9). Математическая модель ситуации составлена: [х - 1 = 2(у - 5), [у-1 = 1,5(х-9). Второй этап. Работа с составленной моделью. Сначала упростим каждое уравнение системы. Для первого уравнения имеем: х-1 = 2(у-5); д: - 1 = 2у - 10; л: - 2у + 9 = 0. Для второго уравнения имеем: У - 1 = 1,5(дг - 9); 2(у- l) = 3(x-9) (обе части уравнения умножили на 2); далее 2у - 2 = Зд: - 27; Зд: - 2у - 25 = 0. Итак, получили следующую систему двух линейных уравнений с двумя переменными: [ д: - 2у -Ь 9 = о, [Зх - 2у - 25 = о (скорректированная математическая модель рассматриваемой ситуации). В чисто учебных целях решим эту систему двумя способами. Первый способ. Применим метод подстановки. Из первого уравнения системы находим х = 2у - 9. Подставим этот результат вместо X во второе уравнение системы. Получим 3(2у - 9) - 2у - 25 = О; 4у = 52; У = 13. Так как д: = 2у - 9, то д: = 2 • 13 - 9 = 17. Итак, X = 17, у = 13 — решение системы. 78 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Второй способ. Применим метод алгебраического сложения: х-2у + 9 = О, Ъх — 2у — 2Ь = 0; {х-2у + 9)~ (Зл: - 2у - 25) = о - 0; д: - 2t/ + 9 - Зд: + 2i/ + 25 = 0; -2д: + 34 = 0; X = 17. Подставим найденное значение х в первое уравнение системы, т. е. в уравнение х - 2i/ + 9 = 0: 17 - 2i/ + 9 = 0; г/= 13. Итак, X = 17, г/ = 13 — решение системы. Второй этап мы завершили (решили полученную систему, причём даже двумя способами). Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Спрашивается, сколько школьников было в седьмом классе на уроках в среду, когда пришли все ученики. Поскольку х = 17, у = 13, т. е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: всего в классе 17 + 13 = 30 учеников. Ответ: 30 школьников. Замечание. Вы, конечно, понимаете, что для решения конкретной системы уравнений надо выбирать тот способ, который представляется для данного случая наиболее уместным, или тот, который вам больше нравится (т.е. вы можете использовать графический метод, метод подстановки или метод алгебраического сложения — это ваше дело). Составленную в рассмотренной задаче систему мы решили двумя способами, чтобы повторить методы подстановки и алгебраического сложения и сопоставить эти методы друг с другом. Вопросы для самопроверки 1. Придумайте задачу, математической моделью которой является система двух линейных уравнений с двумя переменными. Составьте соответствующую математическую модель. 79 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 2. Решите систему уравнений, полученную вами в п. 1, методом подстановки и методом алгебраического сложения. Сравните получившиеся у вас ответы при решении системы уравнений. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В этой главе вы познакомились с новыми математическими понятиями: система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение системы уравнений; несовместная система, неопределённая система уравнений. Вы познакомились с новой математической моделью — системой двух линейных уравнений с двумя переменными: [ OjX + Ъ^у -I- Cj =0, [а^х -f Ь^у + = 0. Мы с вами обсудили три метода решения систем линейных уравнений: графический метод, метод подстановки, метод алгебраического сложения. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. 2. Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения. ГЛАВА 4 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА § 15. Что такое степень с натуральным показателем § 14. Таблица основных степеней § 17. Свойства степеней с натуральными показателями § 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями § 19. Степень с нулевым показателем §15. что ТАКОЕ СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Одна из особенностей математического языка, которым мы с вами должны научиться пользоваться, состоит в стремлении применять как можно более короткие записи. Математик не будет писать а + а + а + а + а, он напишет 5а; не будет писать а + а + а + + а + а + а + а + а + а + а (здесь 10 слагаемых), а напишет 10а; не будет писать а + а + ... + а, а напишет па. п слагаемых Точно так же математик не будет писать 2 • 2 • 2 • 2 • 2, а воспользуется специально придуманной короткой записью 2®. Аналогично вместо произведения семи одинаковых множителей З'З-З-З'З-З-Зон запишет 3^. Конечно, в случае необходимости он будет двигаться в обратном направлении, например, заменит короткую запись 2® более длинной 2-2-2-2-2-2. Если появляется новое обозначение, то возникают и новые термины. И всё это (и обозначения, и термины) охватывается новым определением. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина, нового слова, нового обозначения. Просто так определения не придумываются, они появляются только тогда, когда в этом возникает необходимость. 81 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА основание степени показатель степени Определение 1. Под а", где п = 2, 3, 4, 5, понимают произведение п одинаковых множителей, каждым из которых является число а. Выражение а" называют степенью, число а — основанием степени, число п — показателем степени. Подчеркнём ещё раз, что показатель степени — натуральное число (в старших классах мы снимем это ограничение); обычно говорят короче: натуральный показатель. Отсюда и происходит название как всей главы, так и этого параграфа. Итак, а ■ а • а а = а п множителей а — степень с натуральным показателем; а — основание степени; п — показатель степени. Запись а" читают так: *а в п-й степени*. Исключение составляет запись о^, которую читают: *а в квадрате* (хотя можно читать и «а во второй степени*), и запись о^, которую читают: «а в кубе* (хотя можно читать и «а в третьей степени*), Пр и м е р 1. Записать в виде степени произведение 5- 5- 5- 5- 5- 5 и использовать соответствующие термины. Решение. Поскольку дано произведение шести одинаковых множителей, каждый из которых равен 5, имеем: 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5®; 5® — степень; 5 — основание степени; 6 — показатель степени. ® 82 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Пример 2. Вычислить (-2)'*. Решение. (-2)^ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = 16. Ответ: 16. Пример 3. Вычислить | — „ (2Г 222 2-2-2 8 Решение. - Ответ: 27‘ вопрос ) Как вы думаете, полностью ли соответствует названию параграфа определение 1? Параграф называется «Что такое степень с натуральным показателем», т.е. имеется в виду, что в качестве показателя может фигурировать любое натуральное число. А любое ли натуральное число фигурирует в качестве показателя в определении 1? Как вы ответите на этот вопрос? Ответим на этот вопрос вместе: мы говорили о степени а", где п = 2, 3, 4, ..., а вот случай, когда га = 1, пока упустили из виду («потеряли» одно натуральное число). Это упущение исправим с помощью нового определения. Определение 2. Степенью числа а с показателем 1 называют само это число: С Пример 4. Найти значение степени а" при заданных значениях о и га: а) о = 2,5, га = 2; д) а = -1, га = 5; б) а. 1. га = 4; е) а = 0, га = 1; в) а = -5, га = 1; ж) а = 0, га = 12; г) а = -1, га = 4; з) а = 1, га = 17. Решение, а) а" = 2,5^ = 2,5 • 2,5 = 6,25; 83 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА б) а" = fiV = i . 1. i i = = J_. UJ 3 ’ 3 ' 3 ’ 3 3-3-3-3 81’ b) a" = (-5)* = -5; Г) a" = (-1)' = (-1) • (-1) • (-1) • (-1) = 1; Д) a" = (-1)® = (-1) ■ (-1) • (-1) • (-1) • (-1) e) a" = O' = 0; = -l; Ж) a" = О'-" = 0 • 0 0 = 0; 12 множителей з) a" = = 1.1 1 = 1. 17 множителей d возведение в степень Операцию отыскания степени а" называют возведением в степень. В примере 4 мы рассмотрели восемь случаев возведения в степень. Пример 5. Вычислить 7' • 3^ • (-2)®. Решение. 1) 7' = 7; 2) 3^ = 3 • 3 = 9; 3) (-2)® = (-2) • (-2) • (-2) = -8; 4) 7 • 9 ■ (- 8) = -504. Ответ: -504. В рассмотренных примерах мы несколько раз возводили в степень отрицательные числа. Заметили ли вы закономерность: если отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число, если же отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число? Попробуйте объяснить, почему это так. Вопросы для самопроверки 1. Что означает символ а", где га = 2, 3, 4, ...? 2. Что означает символ а'? 3. В записи 7® назовите, что является степенью, что основанием степени, что показателем степени. 4. Запишите число 2'® в виде степени с другим основанием. 84 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА §16. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ СТЕПЕНЕЙ Вы знаете таблицу умножения, в неё включены произведения любых двух однозначных чисел (3 • 5, 4 • 7 и т, д.), этой таблицей вы постоянно пользуетесь при вычислениях. На практике полезна и таблица степеней простых однозначных чисел (в пределах тысячи). Составим её. 2‘ = 2 31 = 3 5* = 5 71 = 7 2^ = 4 3® = 9 5® = 25 7® = 49 2® = 8 3® = 27 5® = 125 7® = 343 2* = 16 3“ = 81 5^ = 625 2® = 32 3® = 243 2® = 64 3® = 729 2’’ = 128 2® = 256 2® = 512 = 1024 С помощью этой таблицы можно находить и степени составных чисел (поэтому такие степени в таблицу обычно не включают). Например: дз = 9.9.9 = (3 . з)(з . з)(з .3) = 3- 3- 3- 3- 3- 3 = 3® = 729. Пример 1. Известно, что 2" = 128, 3* = 243. Что больше: п или А? Решение. По таблице находим, что 128 = 2^, значит, п = 7. По таблице также находим, что 243 = 3®, значит, k = 5. Так как 7 > 5, то л > А. Ответ: п > к. Имеются ещё три числа, для которых легко составить таблицу степеней, особенно учитывая, что ничего вычислять не нужно и результат фактически известен заранее. Это числа 1, 0, -1, а таблица степеней для этих оснований выглядит следующим образом: 1" = 1 для любого п; 0" = о для любого п; если п — чётное число (га = 2, 4, 6, 8, ...), то (-1)" = 1; если га — нечётное число (га = 1, 3, 5, 7, ...), то (-1)" = -1. 85 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Кстати, используя формулу чётного числа п = 2k и формулу нечётного числа п = 2Л - 1, можем записать, что 1)^* = 1; (-1)^ А теперь выберем в качестве основания степени число 10: 10^ = 10, 10^ = 100, 10® = 1000. Обратите внимание: каков показатель, столько нулей надо записать после цифры 1. Вообще 10" = 1000...о. п нулей Например, 10® = 1000000, 100000 = 10®. Пример 2. Найти значение выражения а'’’ + + с*° ^ (Юс)' к37 , ^1 - О + с при о = -1, ё = о, с = 1. Решение. ,17 ь18 1) a^' + _ (-1)” + + Г а’® - 6®' + с' (-1)»® - О®' + 1‘ (а + З/ -1 + 0 + 1 ^ о ^ 1-0+1 2 JlOcjl^ (10 ■ ^ 10^ ^ 625; (а + 3)" (-1 + З/ 2* 16 3) о + 625 = 625. Ответ: 625. В заключение данного параграфа ещё раз отметим, что математики всегда стремятся к краткости записей, чёткости рас-суждений. Поэтому, введя новое понятие, они начинают изучать его свойства, а затем применяют эти свойства на практике. О разных свойствах степени с натуральным показателем поговорим в следующем параграфе, а пока, забегая вперёд, заметим, что если бы одно из таких свойств мы уже знали, то не вычисляли 86 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА бы так долго 9®, как это было сделано выше. Мы бы записали так: 9З = (з2)3 = 36 = 729. Видите, запись в два раза короче. А почему это так, узнаете в § 17. Вопросы для самопроверки 1. Чему равно значение выражения (-1)^“^^? (-1)^°*®? 2. Сколько нулей содержится в записи числа 10®°*®? 3. Что больше: 0*°°° или 1*°? § 1 7. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Большая часть математических утверждений проходит в своём становлении три этапа. На первом этапе человек в ряде конкретных случаев подмечает некоторую закономерность. На втором этапе он пытается сформулировать подмеченную закономерность в общем виде, т.е. предполагает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех других аналогичных случаях. На третьем этапе он пытается доказать, что закономерность, сформулированная (гипотетически) в общем виде, на самом деле верна. Доказать какое-либо утверждение — это значит объяснить, почему оно верно (объяснить убедительно, а не так: «это верно потому, что это верно»). При доказательстве можно ссылаться только на уже известные факты. Давайте попытаемся вместе пройти все три этапа, попробуем самостоятельно открыть, сформулировать и доказать свойства степеней, хорошо известные в математике. Открытие первое Пример 1. Вычислить: а) 2® • 2®; б) 3* • 3'*. Решение, а) Имеем 2® • 2® = (2 ■ 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2 • 2) = = 2 2-2 •2 2-2-2-2 = 2 2-2-2-2-2-2-2. 3 множителя 5 множителей 8 множителей 87 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Всего имеется 8 одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, т. е. 2®, что по таблице (см. § 16) даёт 256. б) Имеем 3^ • 3^ = 3 • (3 • 3 • 3 • 3) = 3 3 • 3 • 3 • 3 = 3® = 243. 1 множитель 4 множителя Ответ; а) 256; 6) 243. В процессе решения примера мы заметили, что 2® • 2® = 2®, т.е. 2® • 2® = 2®"^®; 31 • 3“ = 3®, т.е. 3‘ • 3^ = 3^^^ Наблюдается закономерность; основания перемножаемых степеней одинаковы, при этом показатели складываются. Первый этап завершён. На ВТОРОМ этапе осмелимся предположить, что мы открыли (для себя) общую закономерность’, а" • а'‘ = а" ^ *. Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных чисел пик справедливо равенство а" ■ а* = а" ^ *. Обычно теорему формулируют так; если ... (условие), то ... (заключение). Например, теорему 1 можно (и, честно говоря, так было бы аккуратнее) сформулировать следующим образом; Если а — любое число и п, к — натуральные числа, то справедливо равенство а" ■ а'’= а"* *. На третьем этапе надо доказать, что наше предположение верно, т. е. доказать теорему 1. Сделаем это и мы — доказательство приведено ниже. Прочитайте его. Если чувствуете в себе силы, то попытайтесь разобраться в нём (оно состоит в том, что мы трижды используем определение степени с натуральным показателем); если же нет — ограничьтесь прочтением. Доказательство. 1) а" = а ■ а ■ ■ а; п множителей 2) а* = а ■ а а; к мпожителей 88 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА 3) а" • а'‘ = {а ■ а •• а) • (а • а а) = = а ■ а п множителей к множителей а ■ а ■ а •... ■ а = а ■ а ■ ... а • а ■ а ■... ■ а = п множителей к множителей п-¥ к множителей Теорема доказана. Итак, первое открытие у нас состоялось. Идём дальше. Открытие второе Пример 2. Вычислить: а) 2® : 2'*; б) 3® : 3®. Решение, а) Запишем частное в виде дроби и сократим её: _ 2® _ (2 ■ 2 ■ 2 ■ 2) 2 ■ 2 2“ = = 2-2 = 2 = 92 = б) 3® : 3® = = 3 • 3 • 3 = 3® = 27 2* (2 2 • 2 • 2) (3 3 ■ 3 3 ■ 3) ■ 3 3 ■ 3 (3 • 3 • 3 3 3) Ответ: а) 4; б) 27. В процессе решения примера мы заметили, что 2® : 2^ = 2^ т.е. 2® : 2'* = 2®'“: 3® : 3® = 3®, т.е. 3® : 3® = 3®'®. Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершён. На ВТОРОМ этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: а" : а* = а""*, если п> к. Для любого числа а ^ О и любых натуральных чисел пик таких, что п > к, справедливо равенство а" : о* = а" " *. Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...*? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведён после доказательства теоремы). Теорема 2. Доказательство. Рассмотрим произведение а" Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели п - к тл к, получим (п - А) -t- ft = п. 89 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Итак, а : а* = а"- Л - А а* = а' а это как раз и означает, что Теорема доказана. А теперь иначе сформулируем теорему 2: Если а Ф О и п, k — натуральные числа такие, что п > к, то справедливо равенство \ а*‘ = а" ~ *. Условие теоремы: а Ф 0; п, к — натуральные числа, п > к. Заключение теоремы: а" : а'’ = а" ~ Второе открытие у нас состоялось. Идём дальше. Открытие третье Пример 3. Вычислить: а) (2®)^; б) (3^)®. Решение, а) Имеем (2®)2 = 2® ■ 2® = 2® ^ ® = 2‘® = 1024 (см. § 16). б) Имеем (З^)® = 3® ■ 3® • 3® = 3® ® ^ ® = 3® = 729 (см. § 16). Ответ: а) 1024; б) 729. В процессе решения примера мы заметили, что (25)2 = 210, т. е. (2®)® = 2® (3®)® = 3®, т. е. (3®)® = 3® • ®. Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножаются. Первый этап завершён. На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: (а")* = а"*. 1Для любого числа а и любых натуральных чисел пик справедливо равенство (а")* = а"*. Доказательство теоремы Гтретийэтап^ мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2). Если есть желание, попытайтесь доказать её самостоятельно (или с помощью учителя). Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трём серьёзным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трёх правил, которые полезно запомнить. 90 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Правило 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Правило 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя. Правило 3. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах всё чётко, всё оговорено, всё предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, лёгкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка; наряду с серьёзными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила. П р и м е р 4. Вычислить (2" • (2 • 2®) Решение. 1) 2^ • 2^ = 2®^= 2^ (правило 1); 2) (2^)® = 2^ ■ ® = 2®® (правило 3); 3) 2 • 2® = 2* ^« = 2® (правило 1); 4) (2®)® = 2® ® = 2®^ (правило 3); 5) 2®® ; 2®’ = 2®® - ®^ = 2® (правило 2); 6) 2® = 256. Ответ: 256. Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада ещё раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряжённая работа, давайте же и мы выделим самое главное. Самое главное — три формулы: а* = а а = а - к п + к. , где п > k, а Ф 0\ (а")* = а"*. 91 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Их можно применять как справа налево, так и слева направо. Например, 2® • 2® = 2»; 2® = 2“ “ = 2“ • 2'*; 2^ + « = 2^ • 2" = = 4-2"; 3^ : 3‘ = 3®; 3® = о10 glO-4 _ ^ . 3' ' оп 3* 3" IT’ 3\4 (5“) 512 = (5в)з = (52)6 ^ (54)3 = (5«)4 :3ч4 Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего не известно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму 2* + 2^ на 2^; в самом деле, посчитайте: 2* = 16; 2^ = 8; 16 + 8 = 24, но зто не есть 2^, поскольку 2^ = 128. Нельзя заменять разность 3* — 3^ на З’; действительно, посчитайте: 3^ = 243; 3^ = 81; 243 - 81 = 162, но это не есть З’, так как З’ = 3. Будьте внимательны! В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. Имеем -Л \к = (а ■ а (а" Г = ^ а) ■ (а ■ а •. а = к множителей . • а) ■■ (а ■ а а) = к групп ПО п множителей в каждой = а • а ‘- а • а ' а а • а • а а — а пк пк множителей Вопросы для самопроверки 1. Закончите предложение; «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...». 2. Закончите предложение: «При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...». 3. Закончите предложение: «При возведении степени в степень показатели ...». 4. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1—3 правил на математическом языке. 5. Что получится, если 2*^ умножить на 2**? 6. Что получится, если 2*^ разделить на 2*®? 7. Какое из двух равенств верно: (2^)® = 2^ ® или (2'*)® = 2'* ® ? 92 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА §18. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ В предыдущем параграфе мы рассматривали умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. Оказывается, можно умножать и делить степени и с разными основаниями, если только показатели у этих степеней одинаковые. Пример 1. Вычислить 2* • 5*. Решение. Конечно, можно по таблице из § 16 установить, что 2* = 16, S'* = 625, а затем умножить 16 на 625. Однако эффективнее следующее рассуждение: 2* • 5^ = (2 • 2 • 2 • 2) • (5 • 5 • 5 ■ 5) = = (2 • 5) • (2 • 5) ■ (2 • 5) • (2 • 5) = (2 • 5)^ = 10* = 10 000. <Ш В процессе решения мы получили числовое равенство 2'* • 5“* = (2 • 5)*. Точно так же можно доказать, что = (аЬ)^. В самом деле, = (а • а • а) • {Ь • Ь • Ь) = аЬ ■ аЪ ■ аЬ = (оЬ)®. Вообще имеет место равенство = (аЬ)". Для тех, кому интересно, приведём «молчаливое» доказательство этого утверждения. Попробуйте его «озвучить» и прокомментировать: а" • Ь" = а • а ■■ а ■ Ь • Ь ■• Ь = а • а • ■ а • Ь • Ь • ■ Ь = п мвожителей п мвожителей = (аЬ) • (аЬ) ■ ... • (аЬ) = {аЬ)". п мвожителей 12® Пример 2. Вычислить —. 4« Решение. Конечно, можно производить вычисления «в лоб», т. е. найти 12®, затем 4®, затем первое число разделить на второе. Но лучше рассуждать так: 12® _ 12 12 • 12 • 12 ■ 12 ■ 12 _ 12 12 12 12 12 12 _ .<6 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 (т] = 4 4 4 3® - 729. <1 93 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА В процессе решения мы получили числовое равенство Точно так же можно доказать, что £_ = (“] и—=—I. Вообще UJ U, имеет место равенство 12° _ (12 4° I 4 7 — = I — I , если Ь Ф Q. Ь" U ' Итак, Обе эти формулы применяют как слева направо, так и справа налево. Их также можно оформить в виде правил действий над степенями, тогда к трём правилам из § 17 добавятся ещё два: Правило 4. Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным. Правило 5. Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным. Пример 3. Упростить выражение Решение. Имеем ^2°aV далее Но 5!^ J . (правило 5); {2^аЧу = (правило 4). (2^) 2\5 _ о10 _ 1024; (а®)“ = а^°; (b y = Ъ (правило 3). Значит, {2^a^b*f = 1024а'®&^‘’. Так как 3* = 243, то окончатель- но получаем 94 1024а'°Ь^ 243 <■ СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА В заключение — одно предостережение. Мы знаем, что: если основания одинаковы, то если показатели одинаковы, то а" • а* = а" ^ *, а" : а* = а" ■ * (л > к)-. a"-b'' = (аЬУ, а" \ Ь" = {аЬ)" (Ь * 0). Если же умножение и деление выполняется над степенями с различными основаниями и разными показателями, то будьте внимательны. Так, 3® • 2'* можно вычислить «в лоб»: сначала вычислить 3®, затем 2* и, наконец, выполнить умножение. А можно так: 3 • З"* • 2^* = 3 • (3 • 2)^ = 3 • 6^. Вопросы для самопроверки 1. Закончите предложение: «Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями ...». 2. Закончите предложение: «Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями ...». 3. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1 и 2 правил на математическом языке. 4. Верно ли, что 3® ■ 4® = 12®? Если да, то сошлитесь на соответствующее свойство степеней. 3& 3 5. Верно ли, что -г = - ? Если да, то сошлитесь на соот- ветствующее свойство степеней. 6. Верно ли, что 28® = 2® • 2® • 7®? Если да, то сошлитесь на соответствующее свойство степеней. 7. Запишите число 3®° в виде степени с основанием 27. §19. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ В предыдущих параграфах мы с вами научились вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например: 0,2^ = 0,2; 3^ = 3 • 3 = 9; 4® = 4 • 4 • 4 = 64; 14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1; (_2)5 = (_2). (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32; 0® = 0‘0'0'0-0-0 = 0ит. д. 95 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА В дальнейшем вы узнаете, что показателем степени может быть не только натуральное число. Но это произойдёт позднее, в старших классах, а пока мы сделаем лишь один скромный шаг в этом направлении: введём понятие степени с нулевым показателем, т. е. выясним, какой смысл придаётся в математике символу а°. А ведь этот символ «напрашивается». Смотрите: 2® : 2^ = 2®"® = 2^, 3® : 3 = = 3®’ * = 3^. Почему бы не написать 5'*: S'* = 5*'* = 5”? До сих пор всё было хорошо: о® — это значит число а умножить само на себя 3 раза, а*® — это значит число а умножить само на себя 10 раз, а* — это просто а. А что такое а°? Ведь нельзя же, в самом деле, умножить число а само на себя о раз! Хотелось бы, чтобы для а° выполнялись привычные правила, например, чтобы при вычислении а® • а® показатели складыва-®. Но 3 + о = 3. Что же получается? Получается, степень с нулевым показателем лись: а® • а® = а® что а® • а® = а®. Значит, а® = а® : а — 1 (при этом нужно ввести естественное ограничение: а Ф 0). Проведённое рассуждение как-то мотивирует следующее определение. Определение. Если а Ф 0, то а° = 1. Например, (5,7)® = 1; (-3)® = 1; (2")® = 1 и т. д. Однако учтите, что символ о® считается в математике не имеющим смысла. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение степени с нулевым показателем. 2. Сравните: (987 654 321)® и 0»®^®®*®®*. 3. Как вы думаете, можно ли отрицательное число возвести в нулевую степень? 4. Как вы думаете, почему запись 0® считается в математике лишённой смысла? 96 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Здесь собраны основные определения, свойства, теоремы, формулы, правила, которые мы с вами изучали в § 15—19. Всё это записано на сухом математическом языке без всяких комментариев, поскольку комментарии, обоснования были приведены в указанных параграфах. a^ = а; а" = а ■ а • а; п иножителей а° = 1, где а ^ 0; 1« = 1; О" = 0; (-1)2" = 1; (-1)2"-* = -1; 10" = 100^; Л нулей а" - а'’ = а"* *: а" ^ ^ = а" • а* • o'"; а"5" = (аЬ)"; а'^ : а'‘ = а" ~ *, где п > к; (а")* = а"*; (afcc)" = а"Ь"с"; ^ (f I ’ ^ Знание этих формул — ключ к успеху в работе с любыми алгебраическими выражениями. К этой работе мы приступаем постепенно, начиная со следующей главы. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Свойства степеней с натуральным и нулевым показателем. 2. Таблицы распределения данных. ГЛАВА 5 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ § 20. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена § 21. Сложение и вычитание одночленов § 22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень § 23. Деление одночлена на одночлен §20. ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА Определение. Одночленом называют алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведённых в степень с натуральными показателями. Примеры одночленов: 2аЬ; ^а^ху^; (~2)ху^ • х^аЬ*; 1,7а"б" (п 6 N). Одночленами являются, в частности, также все числа, любые переменные, степени переменных. Например, одночленами являются: 0; 2; -0,6; х; а; Ь; х^; а®; Ь" (п е N). Теперь приведём примеры алгебраических выражений, не являющихся одночленами: а + Ь; 2х^ - Sy^ + 5; —. 2аЬ А как вы считаете: выражение — одночлен или нет? Ведь оно по форме похоже на выражение —, ь которое фигурирует у нас в числе выражений, не являющихся одночленами, и содержит в своей записи черту дро- . п, 2а6 2аЬ 2 . би. Тем не менее — одночлен: = ~ао. О 3 98 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ и 3 Вот ещё два примера, построенных на контрасте: — и —. Как О CL вы считаете, какое из этих выражений одночлен, а какое нет? <х А теперь проверьте себя: — — одночлен, его можно записать в О 1 3 ™ виде -а; выражение — не является одночленом. Термины в ма- 3 а тематике надо употреблять правильно. 2 Рассмотрим одночлен За • -а^Ьс. Глядя на это выражение, 3 математик обычно рассуждает так: «От перемены мест множителей произведение не изменится, запишу-ка я это выражение в более удобном виде: 1^3 • II • (а •а")Ьс. Тогда, — думает математик, — я получу 2а^Ьс, а эта запись приятнее той, что была, хотя бы потому, что короче. Кроме того, в ней нет того сумбура, какой был сначала: первый множитель — число, второй — переменная а, затем снова число, потом опять переменная а, но уже в квадрате и т. д.». Стремящийся к чёткости, краткости и порядку математик на самом деле привёл одночлен к стандартному виду. Вообще, чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно: 1) перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место; 2) перемножить все имеющиеся степени с одним буквенным основанием; 3) перемножить все имеющиеся степени с другим буквенным основанием и т. д. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Пример. Привести одночлен к стандартному виду и назвать коэффициент одночлена: а) Zx^yz ■ (-2)ху^г'^; б) 4аЬ^с • 7 с; одночлен стандартный вид одночлена коэффициент одночлена 99 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ в) -2ax^y^z’' ■ - ax^t/z; ЗаЬ iJ-' Решение, а) 3x^yz • (-2)xi/^z^ = 3 • (~2)x'^xyy^zz^ = -6x^2®. Коэффициент одночлена равен -6. б) 4аЬ^с • 7 с = 4 • 7 аЬ^(с • с) = 1 • аЬ^с^ = аЬ^с^. 4 4 Коэффициент одночлена равен 1, такой коэффициент обычно не пишут, но подразумевают. в) -2ах^у^г" ■ ^ax^yz = (-2) • ^aax^x^y^yz"z = -a^x’’y*z'' ^ ^ Коэффициент одночлена равен -1. г) А это, как говорят, «маленькая провокация»; одночлен не надо приводить к стандартному виду, он и так записан в стандарт- ном виде: Коэффициент одночлена равен 0,3. т Вопросы для самопроверки 1. Что такое одночлен? 2. Можно ли назвать одночленом выражение 2а®Ьс^? 2а® + Ьс^7 3. Расскажите, как привести одночлен к стандартному виду, и проиллюстрируйте свой рассказ на примере одночлена ЗаЬс^а^Ьс^. 4. Приведите свой пример одночлена, записанного в стандартном виде, и одночлена, не записанного в стандартном виде. Во втором случае приведите одночлен к стандартному виду. 5. Составьте одночлен с переменными х, у и с коэффициентом 1. 6. Составьте одночлен с переменными а, ft и с коэффициентом -1. §21. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ В этой главе мы изучаем новые для вас математические объекты — одночлены. Образно говоря, если для математического языка числа, переменные и степени переменных являются буквами, 100 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ подобные одночлены ТО одночлены — слогами. Когда в детстве вы учились читать, то сначала изучали буквы, затем читали слоги и только потом целиком произносили написанное слово; буквы, слоги, слова, предложения — этапы изучения языка. И тут уже не важно, нравятся нам одночлены как самостоятельный объект изучения или нет, ничего не поделаешь — без уверенного оперирования ими нам не обойтись, если мы хотим свободно владеть математическим языком. В § 20 мы ввели понятия одночлена, стандартного вида одночлена. Значит, надо научиться работать с одночленами, например выполнять над ними арифметические операции. При этом сразу договоримся, что будем рассматривать только одночлены, записанные в стандартном виде. Опрелеление. Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях (т. е. с равными показателями степеней), называют подобными одночленами. Примеры подобных одночленов: 2 2а и 5а, ЗаЬ^с и --аЬ^с, х" и 5х". Как видите, подобные одночлены отличаются друг от друга только коэффициентами (впрочем, и коэффициенты могут быть равны, например, 7аЬ и lab — подобные одночлены). А вот примеры неподобных одночленов: 5а и За^, 2х и 1у, За^Ь^ и ба^Ь. Слово «подобные» имеет примерно тот же смысл, что в обыденной речи слово «похожие». Согласитесь, что одночлены 5а^Ь и 23а% похожи друг на друга (подобные одночлены), тогда как одночлены Ъа^Ь и 23аЬ^с^ непохожи друг на друга (неподобные одночлены). Рассмотрим сумму двух подобных одночленов: Ъа^Ь + 23а^Ь. Воспользуемся методом введения новой переменной: положим а^й = с. Тогда сумму Ъа^Ь + 23а^Ь можно переписать в виде 5с + 23с. Эта сумма равна 28с. Итак, Ъа^Ь -(- 23а^й = 28а^Ь. В чём смысл этого преобразования? Смысл в том, что равенство 5а®й + 23а% = 28а*й является верным при подстановке любых значений переменных. метод введения новой переменной 101 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Нам удалось сложить подобные одночлены; оказалось, что это очень просто: достаточно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить неизменной. Так же обстоит дело и с вычитанием подобных одночленов. Например: labc^ - 9аЬс^ = (7 - 9)аЬс^ = -2аЪс^. А как быть, если одночлены неподобны: можно ли их складывать, вычитать? Увы, пока нельзя! Мы вернёмся к этому вопросу позднее, в главе 6. Сейчас мы сформулируем алгоритм сложения и вычитания одночленов (впрочем, обычно оставляют только термин «сложение*, а знак минус относят к коэффициенту). -------------------------------------------------------Ч Алгоритм сложения одночленов 1. Привести все одночлены к стандартному виду. 2. Убедиться, что все одночлены подобны; если же они неподобны, то алгоритм далее не применяется. 3. Найти сумму коэффициентов подобных одночленов. 4. Записать ответ; одночлен, подобный данным, с коэффициентом, полученным на третьем шаге. Пример 1. Упростить выражение 2аЧ - 1а ■ 0,56а + ЗЬ ■ 2а ■ (-0,5а). Решение. Речь идёт о сложении одночленов, значит, будем действовать в соответствии с алгоритмом. 1) Первый одночлен уже имеет стандартный вид. Для второго одночлена имеем -7а • 0,56а = -(7 • 0,5) • (а • а)6 = -3,5а^6 — это стандартный вид. Приведём к стандартному виду третий одночлен; ЗЬ ■ 2а- (-0,5а) = 3 • 2 • (-0,5) • (а • а)6 = -За^б. 2) Получили три одночлена: 2а^6, -3,5а^6, -За%. Они подобны, поэтому с ними можно производить дгшьнейшие действия, т. е. переходить к третьему шагу алгоритма. 3) Найдём сумму коэффициентов трёх полученных одночленов: 2 - 3,5 - 3 = -4,5. 4) Запишем ответ: -4,5а^6. ® 102 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Пример 2. Представить одночлен 27аЬ^ в виде суммы одночленов. Решение. Здесь в отличие от рассмотренных ранее примеров решение не единственное (а разве в жизни во всех случаях вы можете найти единственное решение? Иногда решений несколько, а иногда решения и вовсе нет). Можно написать 27аЬ^ = 20аЬ^ -Р 7аЬ^, и это будет верно. Можно написать 27аЬ^ = 15аЬ^ -н 12ob^ что также будет верно. Можно написать так: 27аЬ^ = аЪ^ + 26аЬ^ и даже так: 27аЬ'^ = ЮОаЬ^ - 73аЬ^. Можно указать ещё ряд решений. Главное, чтобы сумма коэффициентов складываемых подобных одночленов была равна 27. Кстати, не обязательно составлять сумму двух одночленов (в условии ведь это не оговорено). Значит, можно предложить, например, такое решение: 27аЬ^ = 20аЬ^ + 4аЬ^ + ЗаЬ^. Или такое: 27аЬ^ = 2аЬ^ ч- 8аЬ^ + 22аЬ^ - 5аЬ^. ® Попробуйте сами придумать ещё несколько решений примера 2. Мы заканчиваем изучение темы «Сложение и вычитание одночленов». Но вы, наверное, ощущаете какую-то недоговорённость. Мало ли с какими одночленами нам придётся иметь дело в дальней-щем, а вдруг среди них будут неподобные? Что делать, если, составляя математическую модель реальной ситуации, мы прищли к выражению, представляющему собой сумму неподобных одночленов, например 2аЬ + За - ЪЪ7 Математики нащли выход из положения: такую сумму назвали многочленом, т. е. ввели новое понятие, и научились производить операции над многочленами. Но об этом речь впереди, в главе 6. В заключение настоящего параграфа рассмотрим конкретную задачу, в процессе решения которой приходится складывать одночлены. Это лишний раз убедит вас в том, что в математике просто так ничего не изучается: всё, что в ней наработано, применяется в жизни. 103 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Пр и м е р 3. Турист шёл 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста-пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нём 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе, если известно, что весь его путь от А до Z> составил 120 км? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X км/ч — скорость пешехода. За 2 ч он пройдёт 2х км. Из условия следует, что скорость катера 4х км/ч. За 1,5 ч катер пройдёт путь 4х ■ 1,5 км, т. е. 6л: км. Из условия следует, что скорость автобуса равна 2 • 4х км/ч, т. е. 8д: км/ч. За 2 ч автобус проедет 8л: • 2 км, т. е. 16л: км. Весь путь от А до В равен 2л: + 6л: -I- 16х, что составляет по условию 120 км. Таким образом, 2л: + 6л: -ь 16лг = 120. Это — математическая модель задачи. Второй этап. Работа с составленной моделью. Сложив одночлены 2л:, 6л:, 16л:, получим 24л:. Значит, 24л: = 120, откуда находим х = 5. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. За л: мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т. е. 20 км/ч, а скорость автобуса ещё в 2 раза больше, т. е. 40 км/ч. Ответ: скорость автобуса 40 км/ч. Вопросы для самопроверки 1. Какие одночлены называют подобными? Приведите пример двух подобных одночленов и пример двух неподобных одночленов. 2. Будет ли сумма или разность двух подобных одночленов одночленом? Приведите два соответствующих примера. 3. Будет ли сумма или разность двух неподобных одночленов одночленом? 4. Используя переменные тип, составьте одночлен с коэффициентом 36 и представьте его в виде суммы одночленов несколькими способами. 5. В каком случае сумма двух подобных одночленов является числом? Что это за число? 104 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ §22. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ В § 21 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов. Оказалось, что эти операции применимы только к подобным одночленам. А как обстоит дело с умножением одночленов? Очень просто: если между двумя одночленами поставить знак умножения, то снова получится одночлен; остаётся лишь привести его к стандартному виду (фактически это мы уже делали в примере из § 20). Не вызывает затруднений и возведение одночлена в степень. При этом используются правила действий со степенями (фактически в примере 3 из § 18 мы уже возводили одночлен в степень, см. с. 94). Все правила действий над буквенными выражениями определяются таким образом, чтобы не менялись значения этих выражений при любой подстановке допустимых значений переменных. Пример 1. Найти произведение трёх одночленов: 2а^Ьс^, -а^сх^ и а^Ь. 4 Решение. {2а^Ьс^)-1 -(а^Ь) = f2 • ^j(aVa2) (b-b) {с^с)х^ = l,5aVcV. <Ш Пример 2. Упростить выражение (-2а^Ьс*)^ (т. е. представить его в виде одночлена). Решение. (-2a^bc^f = -2®(a^)V(c®)® = -32а'Vc*®. Мы использовали, во-первых, то, что при возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множитель. Поэтому у нас появилась запись 2*(а^)^6®(с^)^. Во-вторых, мы воспользовались тем, что (-2)® = -2®. В-третьих, мы использовали то, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а^)® мы написали а*°, а вместо (с®)® мы написали с'®. ® 105 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Пример 3. Представить одночлен в виде произве- дения одночленов. Решение. Здесь, как и в примере 2 из § 21, решение не единственное. Вот несколько вариантов решения: 36aVc® = (18a^)-(2bV); 36aVc® = (-3b'‘)-(-12aV); 36a^bV = (36abc)-(ab^c*y, = (2a^)-(3fcc)-(6bV). ®] Попробуйте сами придумать ещё несколько решений примера 3. Пример 4. Представить данный одночлен А в виде В", где В — одночлен, если: а) А = 32а®. л = 5; г) А = -27aV, л = 3; б) А = а®&®, л = 3; д) А = 16а®6®, л = 4. в) А = 49а^Ь''с®, л = 2; Решение. а) 32о® = 2®а® = (2а)®. Значит, А = В“, где В = 2а. б) а®&® = а®(&^)® = (аЬ^)^. Следовательно, А = В®, где В = а6®. в) Так как 49а^Ь*с^ = 7®a®(fc®)®(c®)® = (7а(>®с®)®, то А = В®, где В = 7afe®c®. г) Поскольку -27а®Ь® = (-3)®а®(Ь®)® = (-ЗаЬ®)®, заключаем, что А = В®, где В = -Зай®. д) С одночленом 16а®6® у нас ничего не получится. Почему? Давайте рассуждать. Если бы не было множителя Ь®, то задача решалась бы без труда: 16а® = 2'*(а®)‘‘ = (2а®)‘‘; если бы вместо (?® был множитель, например, то мы решили бы задачу так: 16а®Ь'® = 2\аУ(Ь^)^ = (2a®fc®)“'. Однако множитель Ь® нельзя представить в виде (ft*)'*, где k — натуральное число; этот множитель, как говорится, «портит всё дело». Значит, одночлен 16а®й® нельзя представить в виде В'*, где В — некоторый одночлен. (Ш Пример показывает, что в математике далеко не всё получается, не любая задача имеет решение (как и в реальной жизни). Кстати, если математику предлагают решить задачу, которая явно не имеет решения, то он говорит: ^Задача поставлена некорректное или «Это — некорректная задача». Тот, кто предложил некорректную задачу, должен извиниться. Вот и автор 106 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ извиняется за пример 4д). Хотя согласитесь, что он был дан не без пользы. Раз уж мы заговорили о корректных и некорректных задачах, приведём ещё несколько примеров и тех и других, а вы попытайтесь объяснить, почему задача корректна или некорректна. Корректные задачи 1. Упростить 2аЬ^ • (ЗаЬ)®. 2. Упростить lab + Sab + ab. 2,7 + 3,8 3. Вычислить 2-6 4. Представить одночлен 13а'*Ь^в виде суммы одночленов. 5. Представить одночлен 48х^у^г в виде произведения одночленов. 6. Представить одночлен А — 25а* в виде квадрата некоторого одночлена В. Некорректные задачи 1. Сложить одночлены ЗаЬ^, 5аЬ^ и la^b. „ ^ 2,7 + 3,8 2. Вычислить ——-—. 6 — 6 3. Представить одночлен А в виде квадрата некоторого одночлена В, если А = -25а‘*. 4. Найти точку пересечения прямых у = -Зд: ч- 1 и I/ = -Зх -Ь 5 (см. пример 16) в §10 на с. 61). Вопросы для самопроверки 1. Как перемножить два одночлена? Приведите пример. 2. Используя переменные р, д и г, составьте одночлен с коэффициентом 144 и представьте его в виде произведения одночленов несколькими способами. 3. Как возвести одночлен в натуральную степень? Приведите пример. 4. Представьте одночлен 16а*Ь^ в виде произведения двух одночленов; в виде степени одночлена. 107 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ §23. ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены складывать, вычитать, перемножать и даже возводить в степень — обсудили. Но ведь имеется ещё одна арифметическая операция — деление, операция, обратная умножению. Можно ли быть уверенным в том, что операция деления одночлена на одночлен всегда выполнима — в том смысле, что в частном получится одночлен? Вот об этом и поговорим. Пример 1. Опираясь на свойства арифметических действий, попытаемся выполнить деление одночленов: а) 10а : 2; в) Зба^й® : (4аЬ^); д) 4дг® : (2ху); б) 18аЬ : (За); г) ~х^у^г : (~2x^y^z); е) : а®. Решение, а) Воспользуемся тем, что если произведение двух чисел делят на третье число, то можно разделить на это число один из множителей и полученное частное умножить на другой множитель. (Вспомнили? Например, (12 ■ 4) = 4 • 4 = 16.) Имеем 10а : 2 = (10 : 2) • а = 5а. б) Рассуждая как в примере а), получаем 18afc : (За) = (18 : 3) • (а : а)5 = 6 • 1 Ч2\ = 3 = (12 : 3) • 4 = Ь = 65. (4а5") = (36 : 4) • (а'" : а) ■ (5® : Ь‘^) = 9а 3 -1 ч5-2 _ в) 36а®5® = 9а^Ь®. Иногда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дроби. Вот как тогда будет выглядеть решение примера в): 36а®5® ^ ^ 4 4аЬ^ 3 l5 _ . * = 9aV. I b г) Здесь мы используем комбинированную запись решения, т. е. и знак деления, и черту дроби: yxVs : {-2х^у^г) = : (-2) 7 • 2 • = — - l- l X У г ^ 3 2 X У г 108 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Здесь всё верно, но, как говорят математики, нерационально, поскольку сразу было ясно, что x^y^z : x^y^z = 1 (фактически выражение делится само на себя). 1 2х" 4х^ 1 д) 4х^ : (2ху) = ^ ~ ~ ^ •--- 2ху 2 X у У У Это не одночлен, значит, разделить 4х^ на 2ху нельзя (в том смысле, чтобы в частном получился одночлен). е) И эта задача невыполнима, так как мы пока не умеем делить при одном и том же основании степень с меньшим показателем на степень с большим показателем. (Ц Мы рассмотрели шесть примеров, из них четыре оказались корректными, а два (последние) — некорректными (эти термины мы ввели в § 22). Проанализируем теперь решённые примеры и попробуем с помощью этого анализа выяснить, когда можно разделить одночлен на одночлен так, чтобы в частном снова получился одночлен. Естественно, удобнее, чтобы оба одночлена (и делимое, и делитель) были записаны в стандартном виде (впрочем, об этом мы условились ещё в § 21) с отличными от нуля коэффициентами. Первое наблюдение. В делителе не должно быть переменных, которых нет в делимом (по этой причине мы «споткнулись» в примере 1д)). Второе наблюдение. Если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причём в делимом она возводится в степень л, а в делителе — в степень к, то число к не должно быть больше числа л (поэтому мы «споткнулись» в примере 1е)). Третье наблюдение. Коэффициенты делимого и делителя могут быть любыми (поскольку мы умеем делить друг на друга любые числа, кроме, разумеется, деления на нуль). Значит, если вам предложат разделить одночлен на одночлен, то сначала убедитесь, что задача корректна, т. е. проведите указанные наблюдения и убедитесь, что всё в порядке. В случае, когда задача корректна, решайте её по образцу примера 1. 109 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Пример 2. Упростить : (Збаб^с®). Решение. 1) Оба одночлена (и делимое, и делитель) записаны в стандартном виде. 2) В делимом фигурируют переменные о, Ь, с, d, в делителе а, Ь, с. Лишних переменных в делителе нет. 3) В делителе нет степеней, больших чем у одноимённых переменных в делимом. Вывод: задача корректна, будем её решать. Имеем 48a^bVd Збаб^с® 36 а а ■ d = -3 -1 ■ d = -a%^d. 3 <Ш Вы чувствуете, что в § 23, как и в § 21, есть недоговорённость? А что же всё-таки делать, если одночлен на одночлен не разделился? Разве мы застрахованы от такой ситуации? Поэтому математики ввели новый объект — алгебраическую дробь. Вспомните, ведь и обыкновенные дроби появились из-за того, что в множестве натуральных чисел деление выполнимо не всегда; например, 14 делится на 7, а 13 не делится на 7. Как записывается ответ во втором случае, когда надо всё-таки разделить 13 на 7? Он записывается в виде обыкновенной 13 дроби —■ Алгебраическая дробь встретилась нам ранее, в при- 2х'^ мере 1д) — это было выражение -----. И конечно, математики У научились оперировать с этими новыми объектами — алгебраическими дробями. Мы будем изучать их в курсе алгебры 8-го класса, а встретимся ещё раз в § 35. Вопросы для самопроверки 1. Проверьте, можно ли одночлен 8а*5с^ разделить на одночлен 2а^Ьс. Если да, то выполните деление; если нет, то объясните почему. 2. Проверьте, можно ли одночлен 8а^Ьс^ разделить на одночлен 2аЬс^. Если да, то выполните деление; если нет, то объясните почему. Как обстоит дело с делением на одночлен a^bc^dl 110 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ 3. Всегда ли задание разделить одночлен на одночлен является корректным? 4. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на одночлен является корректным. 5. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на одночлен является некорректным. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Перечислим главное из того, что обсуждалось в этой главе, а вы проверьте, знаете ли вы то, что написано ниже, и сможете ли объяснить это постороннему человеку. Итак, основное из того, что вы должны были изучить в главе 5: понятие одночлена; запись одночлена в стандартном виде; понятие коэффициента одночлена; понятие подобных одночленов; какие одночлены можно складывать (вычитать), какие нельзя; как складывать (вычитать) подобные одночлены; как представить одночлен в виде суммы подобных одночленов; как перемножать одночлены; как возвести одночлен в натуральную степень; в каком случае один одночлен можно разделить на другой и как это сделать. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Деление одночлена на одночлен. 2. Частота результата. Таблица распределения частот. ГЛАВА 6 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ § 24. Основные понятия § 25. Сложение и вычитание многочленов § 26. Умножение многочлена на одночлен § 27. Умножение многочлена на многочлен § 28. Формулы сокращённого умножения § 29. Деление многочлена на одночлен §24. ОСНОВНЫЕ понятия в главе 5 мы уже отмечали, что не любые одночлены можно складывать и вычитать, а только подобные; также отмечали и то, что реальная задача может привести к такой математической модели, в которой будет содержаться сумма неподобных одночленов. Для изучения таких сумм в математике введено понятие многочлена. Определение. Многочленом называют сумму одночленов. Примеры многочленов: 2а + Ь; Ъа^Ь - ЗаЬ^ - ЗаЬ^ + 7с; + х* + ~ 2. Разумеется, существуют алгебраические выражения, не явля- X о 2 ющиеся многочленами. Например, —, 2х + Ъу----• У У Слагаемые (одночлены), из которых состоит многочлен, называют членами многочлена: если их два, то говорят, что дан двучлен (например, 2а + Ь — двучлен), если их три, то говорят, что дан трёхчлен (например, 5о^ - 2с6^ + 7с — трёхчлен). С этой точки зрения становится понятнее термин «одночлен» и то, что одночлен обычно считают частным случаем многочлена. многочлен члены многочлене двучлен трёхчлен 112 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Замечание. Говорят, в Африке есть племя, считающее так: «один», «два», «три», «много». Наша терминология применительно к многочленам напоминает африканскую: одночлен, двучлен, трёхчлен, многочлен (обычно ни «четырёхчлен», ни «пятичлен» не говорят). Теперь подготовимся к восприятию серьёзного понятия. Рассмотрим многочлен 2аЬ^ ■ За^Ь - 5а - 7а + ЗЬ^ - ^ аЧ^ • 6а - 2Ь^. О То, что это — многочлен, сомнению не подлежит (поскольку записана сумма одночленов), но нравится ли вам такая запись? Наверное, нет. Почему? 1 Во-первых, одночлен 2аЬ^ • За^Ь не записан в стандартном виде, а мы знаем, что стандартный вид — наиболее удобная запись одночлена. Приведя его к стандартному виду, получим ба^Ь^. Аналогично надо привести к стандартному виду ещё один член многочлена, а именно - ^ • 6а. Получим -2а®Ь®. О Теперь запись данного многочлена принимает более приятный вид: 6а®Ь® - 5а — 7а -f 36® - 2а®Ь® - 26®. Во-вторых, поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, подобные одночлены можно расположить рядом, а затем сложить. ' Получим (6а®6® - 2а®6®) -Ь (-5а - 7а) -Ь (36® - 26®) = 4а®6® - 12а -1- 6®. Правда, обычно подобные одночлены в многочлене не переставляют, их одинаково подчёркивают, а потом складывают: 6а®6® - 5а - 7а -Н 36® - 2а®6® - 26® = 4а®6® - 12а -I- 6®. Эту процедуру называют приведением подобных членов. Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведён к стандартному виду (или1 записан в стандартном виде). Теперь вы понимаете, почему зайись 4а®6® - 12а + 6® предпочтительнее первоначальной записи: 2а6® • За®6 - 5а - 7а + 36® - i а®6® • 6а - 26®? 113 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ приведение подобных членов стдндвртный вид многочлена Дело в том, что первоначальная запись — не стандартный вид многочлена, а - 12а + — стан- дартный вид. Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Условимся в дальнейшем всегда с этого начинать — так удобнее производить действия с многочленами. Обычно многочлен обозначают буквой р или Р — с этой буквы начинается греческое слово polys («многий», «многочисленный»; многочлены в математике называют также полиномами). В обозначение включают и переменные, из которых состоят члены многочлена. Например, многочлен 2х^ - 5дс + 3 обозначают р1х) — читают: «пэ от икс»; многочлен 2х^ 2ху — у* обозначают р(х; у) — читают: «пэ от икс, игрек» и т. д. Пример. Дан многочлен р(х‘, у) = 2лг • 2ху^ - 7х* • 2х - Зх* Ч- 2у‘^ + 5х^у^ - 2ху • 4у^. а) Записать его в стандартном виде; б) вычислить: р(1; 2); р(-1; 1); р(0; 1). Решение. а) 2х • Зху^ - 7х® • 2х - Зх^ -f- 2у* + Ъх^у^ - 2ху • 4у^ = = бх^у^ - 14х* - Зх'* -f- 2у* + 5х^у^ - 8ху^ - llxY -Пх* + 2у* - Ъху^ — это стандартный вид многочлена. б) Запись р(1; 2) означает, что нужно найти значение многочлена р(х; у) при X = 1, р = 2. Вычисления будем производить для многочлена, записанного в стандартном виде: р(х; у) = Их^р^ - 17х^ + 2у* - 8хр®. Имеем р(1; 2) = 11 • 1^ • 2^ - 17 • 1“ -Ь 2 • 2“ - 8 • 1 = 44 - 17 -I- 32 - 64 = -5. Итак, р(1; 2) = -5. Аналогично р(-1; 1) = 11 • (-1)2 • 12 - 17 • (-1)^ -н 2 • - 8 = 11 - 17 + 2 -Ь 8 = 4, т. е. р(-1; 1) = 4. 22 = (-1) • 1® = 114 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Наконец, р(0; 1) = 11 Итак, р{0; 1) = 2. q2 . 12 _ 17 . о< + 2 • 1^ - 8 = 0- 04-2-0 = 2. о • 1® = €1 Вопросы для самопроверки 1. Что такое многочлен? 2. Опишите процесс приведения многочлена к стандартному виду. Прокомментируйте это на примере приведения к стандартному виду многочлена 2аЬаЬс - ЗаЬсЬ^ + АЬсЬаЬ -I- Ъа^ЬсЬ. 3. Если р(х; у) = Зх^у - 2ху^ + 2х - Зу, то чему равно р(1; -1)? 4. Приведите пример многочлена, у которого есть взаимно уничтожающиеся члены. §25. СЛОЖЕНИЕ и ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ В предыдущем параграфе мы ввели понятия многочлена и стандартного вида многочлена. Вы уже, наверное, начинаете привыкать к тому, что, введя новое понятие, надо учиться работать с ним. В частности, будем учиться выполнять арифметические операции над многочленами. Начинаем со сложения и вычитания. Это очень простые операции; чтобы сложить несколько многочленов, их записывают в скобках со знаком *+* между скобками, раскрывают скобки и приводят подобные члены. При вычитании одного многочлена из другого их записывают в скобках со знаком «-» перед вычитаемым, раскрывают скобки и приводят подобные члены. Пример 1. Сложить многочлены: а) Pi(.x) = 2х^ -Ь Зх - 8, Р2{х) = 5х + 2; б) р,(а; Ь) = + 2аЬ - Ъ^, pjia', Ь) = 2а^ - + ЗаЬ - + 5, Рз(а; Ь) = - аЬ - - 4. Решение, а) Обозначим сумму многочленов через р(х). Тогда Р(.х) = Pi(x)+P2(x) = = (2х^ + Зх-3) + (Ъх + 2) = 2х^ + ЗХ-3 +Ъх +2 = = 2х^ + (Зх + 5х) -1- (-8 + 2) = 2х^ + 8х - 6. 115 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ б) Обозначим сумму многочленов через р(а; Ь). Тогда р (а; Ь) = pi(a; Ь) + Рг(а; Ь) + Рз(а; Ь) = = (а^ + 2аЬ - Ь^) + (2а® - а® + ЗаЬ - Ь® + 5) + (а® - аЬ - Ь® - 4) = = а® + 2аЬ - Ь® + 2а® - а® + Safe -^ + 5 + а® - ~ 4 = = а® + 4afe ~ 3fe® + 2а® + 1. (Щ Пример 2. Найти разность многочленов Pi(x; р) = л:® + р® + 2х + Зр + 5 И P2(x; р) = X® - р® - 5х + Зр - 7. Решение. Обозначим разность многочленов через р(х; у). Тогда р (х; р) = Pi(х; р) - Р2 (х; р) = = (х® + р® + 2х + Зр + 5) - (х® - р® - 5х + Зр - 7) = = X® + р® + 2х + Зр + 5 - X® + р® + 5х - Зр + 7 = 2р® + 7х + 12. (д Обратите внимание: х® - х® = О и Зр - Зр = 0. Поэтому «исчезли* одночлен х® и одночлен Зр из состава обоих многочленов. В таких случаях говорят: X® и -X®, Зр и -Зр взаимно уничтожились (правда, школьники в таких случаях любят говорить «сократились*, но так говорить не следует: термин «сокращение* в математике принято употреблять только по отношению к дробям; ,15 3, например, можно сократить дробь —, и тогда получится -). Заметим, что сложение и вычитание многочленов выполняются по одному и тому же правилу, т. е. необходимости в различении операций сложения и вычитания нет, значит, нет и особой необходимости в использовании двух терминов: «сложение многочленов*, «вычитание многочленов*. Вместо них можно употребить термин алгебраическая сумма многочленов. Вот несколько примеров алгебраических сумм трёх многочленов Pi(x), Р2(х), Рз(х): Pi(x) + Pz(x) -t- Рз(х); Piix) - Piix) -1- Рз(х); Pi(x) - Pzix) - Рз(х); , Рг(х) - Рз(х) + Pi(a^). 116 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Теперь мы можем подвести итог всему сказанному в этом параграфе в виде следующего правила составления алгебраической суммы многочленов. Правило 1. Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. При этом если перед скобкой стоит знак «Ч-», то при раскрытии скобок надо знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменения. Если же перед скобкой стоит знак *-», то при раскрытии скобок нужно знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, заменить на противоположные («-1-» на *-*, *-* на «Ч-»). А теперь обязательно вернитесь к примерам 1 и 2 и прокомментируйте (хотя бы для себя) их решение с помощью этого правила. Сделали? Тогда рассмотрим заключительный пример. Пример 3. Даны три многочлена: Pi(x) = 2х^ + X - 3; Р2(х) = х^ - Зх + 1; Рз (х) = 5х^ - 2д: - 8. Найти алгебраическую сумму р (х) = pi(x) Ч- р^(х) - Рз(х). Решение. р (х) = (2х^ + X - 3) + (х^ - Зх + 1) - (5х^ - 2х - 8) = = 2x2 ч- л: - 3 -Г - Зл: Ч- 1 - 5^2 Ч- 2х Ч- 8 = ^ g_ (Щ) Вопросы для самопроверки 1. Может ли сумма двух многочленов быть одночленом? Если да, то приведите пример. 2. Может ли разность двух многочленов быть одночленом? Если да, то приведите пример. 3. Всегда ли задание найти сумму или разность многочленов является корректным? 4. Может ли сумма или разность двух многочленов равняться числу? Если да, то приведите пример. 117 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ §26. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 6 строилась по тому же плану, что и глава 5. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 5 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 6 — многочлен, стандартный вид многочлена. Затем в главе 5 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично в главе 6 — сложение и вычитание многочленов. Что было в главе 5 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чём нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придётся действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это всё равно), а потом (в следующем параграфе) — умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное. Приступим к делу. При умножении многочлена на одночлен используется распределительный закон умножения: (а + Ь)с = ас + Ьс. Пример 1. Выполнить умножение: (2а^ - ЪаЬ) • (-5а). Решение. Введём новые переменные: X = 2а^, у = -Zab, z = -5а. Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)г, что по распределительному закону равно xz -I- yz. Теперь вернёмся к старым переменным: XZ + yz = 2а^ ■ (-5а) -f (-ЗаЬ) ■ (-5а). Нам остаётся лишь найти произведения одночленов. Получим -10а^ -I- 15а^Ь. Приведём краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных): (2а^ - ЗаЬ) • (-5а) = 2а^ • (-5а) + {-ЗаЬ) ■ (-5а) = = -10а® -н 15а®&. <1 118 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен. ’ Правило 2. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. У Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен: -5а(2а^ - ЗаЬ) = (-5а) • 2а^ + (-5а) • (-ЗаЬ) = -10а® + 15а®Ь (мы взяли пример 1, но поменяли местами множители). Напомним ещё раз, что все правила действий над буквенными выражениями определяются таким образом, чтобы не менялись значения этих выражений при любой подстановке допустимых значений переменных. Пример 2. Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена: а) 2х^у + 4х; б) х® + Зу®. Решение, а) Заметим, что 2х^у = 2х • ху, &4х = 2х • 2. Значит, 2х^у + 4х = ху ■ 2х + 2 • 2х = (ху + 2) • 2х. б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена многочле- на 2х^у + 4х выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен х® + Зу® нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена, содержащего переменные. (Й Кстати, требование представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена встречается в математике довольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общего множителя за скобки. Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а)), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26)). В следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос. В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, что при работе с математическими моделями реальных ситуаций 11» МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на од^очлев. Так что эти операции мы изучаем не зря. Пр и м е р 3. Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 52. Расстояние между А в В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С? С В 16 км А Рис. 52 Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X км/ч — скорость пешехода, тогда (х -f- 6) км/ч — скорость велосипедиста. Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выра:|<ается формулой 4(х 6) км. Итак, АС = 4(х -I- 6). Расстояние oi. В до С пешеход прошёл за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6х км. Итак, ВС = 6х. А теперь обратите внимание на рисунок 52: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это — основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4(х -г 6), ВС = 6х; следовательно, 4{х -1- 6) — 6х = 16. Второй этап. Работа с составленной моделью. Для реше1|ия уравнения придётся, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х + 6, получим 4х + 24. Во-вторых, придётся из двучлена 4х + 24 вычесть одночлен 6х: 4х -t- 24 - 6х = 24 - 2х. После этих преобразований уравнение примет более простой вид: 24 - 2х = 16. Далее имеем -2х = 16 - 24; -2х = -8; X = 4. 120 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Мы получили, что л: = 4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но нам нужно найти не это, в задаче требуется найти расстояние от В до С. Мы установили, что ВС = 6х; значит, ВС = 6 • 4 = 24. Ответ: расстояние от В до С равно 24 км. Пример 4. Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки (т. е. скорость в стоячей воде), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км. Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X км/ч — собственная скорость лодки, тогда по течению она плывёт со скоростью (х -I- 2) км/ч (течение помогает), а против течения — со скоростью (х - 2) км/ч (течение препятствует). По течению реки лодка плыла 3 ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в километрах в час, это время надо записать в часах. Име-12 1 ем 12 мин = — ч = - ч = 0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин= 3,2 ч. За это 60 5 врюмя со скоростью (х + 2) км/ч лодкой пройден путь 3,2(д: 2) км. Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью (х - 2) км/ч лодкой пройден путь 1,5(х - 2) км. По условию весь её путь равен 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем 3,2(х + 2) + 1,5(х - 2) = 41. Это уравнение — математическая модель задачи. Второй этап. Работа с математической моделью. Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель — уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен х + 2, одночлена 1,5 на двучлен х - 2, а затем полученные многочлены (двучлены) сложим: 3,2х + 6,4 -1- 1,5х - 3 = 41; 4,7х + 3,4 = 41; 4,7х = 41 - 3,4; 4,7х = 37,6; 37,6 X = 4,7 , т. е. X = 8. 121 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему равен х. Но ответ на этот вопрос уже получен; х = 8. Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения трёхчлена на одночлен. 2. Всегда ли задание представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена является корректным? §27. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН Овладев правилом умножения многочлена на одночлен, нетрудно сделать следующий шаг: получить правило умножения любых двух многочленов. Рассмотрим сначала произведение самых простых (после одночленов) многочленов, а именно двучленов а + Ь и с + d. Итак, пусть нужно раскрыть скобки в произведении (а + Ь) (с + d). Введём новую переменную т = с + d, тогда получим (а + Ь) (с + d) = (а + Ь)т = am + Ьт. Вернёмся к исходным переменным: am -Ь Ьт = а(с + d) + 6(с + d) = ас + ad + Ьс + bd. Таким образом, (а + Ь){с + d) = ас + ad + Ьс + bd. Аналогично можно проверить, что (а + Ь + с)(д: + у) = ах + ау + Ьх + by + сх + су (сделайте это!), т. е., как и в случае умножения двучлена на двучлен, приходится каждый член первого многочлена поочерёдно умножать на каждый член второго многочлена и полученные произведения складывать. Правило 3. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена поочерёдно на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. 122 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ В результате умножения многочленов всегда получается многочлен, надо лишь привести его к стандартному виду. Пример. Выполнить умножение многочленов Pi(x) = 2х^ - 5л: -I- 1 и р^{х) = Зх - 4. Решение. Pi(x) ■ Pzix) = (2х^ - 5х + 1)(3д: - 4) = = 2лг^ • Зл: -Ь 2лг^ • (-4) -Ь (-5л:) • Зл: + Ч- (-5л:) • (-4) 1 • Зл: Ч- 1 • (-4) = = бл:^ - 8л:^ - 15х^ -Ь 20л: ч- Зх - 4 = 6х^ - 23х^ -Ь 23х - 4. ® Особенно внимательно нужно следить за знаками коэффициентов тех одночленов, которые получаются при раскрытии скобок. И ещё один совет: если у одного многочлена т членов, а у другого п членов, то в произведении должно быть (до приведения подобных членов) тп членов; если же их не тп, то вы что-то потеряли, проверьте. Так, в рассмотренном примере мы умножали трёхчлен на двучлен, получилась сумма шести слагаемых (а после приведения подобных членов осталось четыре слагаемых). Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения двучлена на двучлен. 2. Всегда ли задание найти произведение двух многочленов является корректным? §28. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. 123 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ 1. Квадрат суммы и квадрат разности Умножим двучлен а + ft на себя, т. е. раскроем скобки в произведении (а + ft) (а + ft), или, что то же самое, в выражении (а + bf: (а + ft)^ = (а + ft)(a 4-ft) = a- o + a’ft + ft'a + ft*ft = = + ab + ab + + 2ab + b^. Аналогично получаем (a - ft)^ = {a - b) (a - b) = - ab — ba + b^ = - 2ab + ft^. Итак, (a + bf = + 2ob + (a - b)^ = - 2ab + b^. (1) (2) нвддрат суммы квадрат разности На обычном языке формулу (1) читают так: квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение. Формулу (2) читают так: квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности. П р и м е р 1. Раскрыть скобки в выражении: а) (Зх + 2f; б) (5а^ - 4ft®)^. Решение, а) Воспользуемся формулой (1), учитывая, что в роли а выступает 3;с, а в роли ft — число 2. Получим (Злг -Н 2f = (3xf -г 2 • Зл: • 2 -I- 2^ = Ч- 12л: Ч- 4. б) Воспользуемся формулой (2), учитывая, что в роли а выступает 5а^, а в роли ft выступает 4ft®. Получим (5а® - 4ft®)® = (5о®)® - 2 • 5а® • 4ft® Ч- (4ft®)® - 25а'‘ - 40a®ft® Ч- 16ft«. Ь. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + Ь и а - Ь (рис. 54). Его площадь равна (а + Ь) (а - Ь). Отрежем прямоугольник со сторонами Ь и а — 5 и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 55. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а -Ь 5) (а - Ь). Но эту фигуру можно построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной Ь (это хорошо видно на рис. 55). Значит, площадь новой фигуры равна - Ъ^. Итак, (а + Ь) {а - Ъ) = - Ь^, т. е. получили формулу (3). а— Ь а- Ь а - Ь а Ь Рис. 54 а-Ъ а-Ь а Рис. 55 3. Разность кубов и сумма кубов Умножим двучлен а - Ь на трёхчлен + аЬ + Ь^: {a-b){a^ + ab + b^)=‘a-a^ + a-ab + a-b^-b-a’‘-b-ab-- Ь • + а^Ь + аЬ^ - а^Ь - аЬ^ - Ь^ = - Ь^. 127 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Аналогично (а + Ь) (а^ - аЬ + Ь^) = а® + Ь® (проверьте это сами). Итак, (о — Ь) (а^ + аЬ + Ь‘‘) = а® — Ь®; (а + Ь) (о® — аЬ + Ь®) = а® + Ь®. (4) (5) разность кубов сумма кубов полный квадрат суммы (разности) неполный квадрат суммы (разности) Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу (5) — суммой кубов (по виду правой части). Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение + аЬ + 6® похоже на выражение а® + 2аЬ + Ь®, которое фигурировало в формуле (1) и давало (а -I- ft)®; выражение а® - аЬ -Г Ь® похоже на выражение а® - 2аЪ Ч- &®, которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - Ь)®. Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а® + 2аЪ + Ь® и а® - 2аЬ + Ь® называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений a®-i-afc-l-Ч- fc® и а® - afc -г ft® называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных справа налево) на обычный язык: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. I Пр и м е р 4. Выполнить умножение: (2х - 1) (4:с® Ч- 2х Ч- 1). Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2д: и 1, а второй множитель — неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим (2х - 1) (4дг® Ч- 2л: Ч- 1) = (2xf - 1® = 8л:® - 1. Щ) 128 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Пример 5. Представить двучлен 27а® + 86® в виде произведения многочленов. Решение. Имеем 27а® = (За®)®, 86® = (26)®. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу (5), прочитанную справа налево. Тогда получим 27а® -Ь 86® = (За®)® + (26)® = (За® -Р 26) ((За®)® - За® • 26 -Р (26)®) = = (За® -Р 26) (9а® - 6а®6 -Р 46®). d В заключение ещё раз подчеркнём, что полученные в этом параграфе формулы (1)—(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)—(5) — формулы сокращённого умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)—(5) — формулы разложения на множители. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте, чему равен квадрат суммы двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке. 2. Сформулируйте, чему равен квадрат разности двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке. 3. Можно ли данный многочлен представить в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений? Если можно, то сделайте это, если нет, то объясните почему: а) а® Ч- 4а6 + 46®; в) д:® -г 2Qxy -Ь 25j/®; б) X* - 2х^у + I/®; г) X* - 2х^у + 2j/®. 4. Сформулируйте, чему равна разность квадратов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке. 5. Вычислите устно: а) 21 • 19; б) 58 • 62. 6. Сформулируйте, чему равна сумма кубов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке. 7. Сформулируйте, чему равна разность кубов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке. 8. Какой из данных многочленов является полным квадратом, а какой — неполным квадратом: х® Ч- 5ху Ч- 25i/®, х® - Юху Ч-ч- 25{/®? МЭ МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ §29. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Снова, как и в начале § 26, сравним планы построения глав 5 и 6. Вы, наверное, заметили, что эти планы почти одинаковы, хотя полное совпадение нарушил предыдущий параграф (посвящённый специфическим формулам сокращённого умножения), да и в главе 5 мы рассмотрели возведение одночлена в степень, а в главе 6 соответствующего разговора о возведении в степень многочлена не было, за исключением случая, когда двучлен возводится в квадрат. После умножения одночленов в главе 5 шла речь о делении одночлена на одночлен. Вот и в главе 6 мы сейчас поговорим об аналогичной операции — делении многочлена на одночлен. В её основе лежит следующее свойство деления суммы на число: {а + Ь + с) : т = (а : т) + (Ь : т) + (с : т). Это позволяет сразу сформулировать правило деления многочлена на одночлен. Правило 4. Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить. В § 23 мы отмечали, что не всегда можно разделить одночлен на одночлен; чтобы деление было выполнимо, необходимо соблюдение целого ряда условий — вспомните их (или посмотрите в § 23), прежде чем рассматривать пример, который приведён ниже. Если задача деления одночлена (простейшего многочлена) на одночлен не всегда была корректной, то что же говорить о делении многочлена на одночлен. Такое деление выполнимо достаточно редко. Пример 1. Разделить многочлен 2а^Ь -f- 4аЬ^ на одночлен 2а. Решение. (2а^Ь + 4аЬ^) 2а = {2а^Ь : 2о) -Ь (4аЬ^ : 2а) = 2а Ь , 4аЬ + 2 1. 1 4 а = — — ■ о + — ■ — 2 а 2 а =1 2а 2а а - Ь + 2 - 1- = аЬ + 2Ь^. d 130 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Здесь мы использовали тот способ записи, который обговорили в § 23. А вот другой способ (можно применять и тот и другой, смотря по тому, какой из них вам больше понравится): выделим в каждом члене многочлена 2а^Ь АаЬ^ множитель, в точности равный делителю 2а. Получим 2а^Ъ + 4аЬ^ = 2а- аЬ + 2а- 2Ь^. Эту сумму можно записать в виде произведения 2а(аЬ + 2Ь^). Теперь ясно, что если это произведение разделить на 2а (на один множитель), то в частном получится аЬ -I- 2Ь^ (другой множитель). Пример 2. Разделить многочлен - 24х^ на 6х^. Решение. Первый способ. (6л:® - 24л:®) : 6л:® = (6л:® : 6л:®) - (24л:® : 6л:®) = 24л' 6л' 6л' 6 л' 24 л' - . , . = --г-—--------^ =1-л-4-1=л-4. Второй способ. 6л® - 24л® = 6л® • л - 6л® • 4 = 6л®(л - 4). Значит, частное от деления 6л® - 24л® на 6л® равно л - 4. (И Пр и м е р 3. Разделить многочлен 8а® -f- 6а®Ь - 6 на 2а®. Решение. 8а® + 6а®Ь - Ь = 2а® • 4а + 2а® - ЗЬ - Ь. Поскольку в третьем члене заданного многочлена (речь идёт о члене -Ь) множитель 2а® не выделяется, деление невозможно. Эта задача некорректна. Фактически мы снова, как и в конце § 23, пришли к алгебраической дроби — на этот раз к алгебраической дроби 8а® + ба'Ь - Ь 2а' <1 131 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Итак, деление многочлена на одночлен выполняется не всегда, а если и выполняется, то требует определённых усилий. Деление же многочлена на многочлен — ещё более трудная (и ещё более редко выполнимая) операция, это нам пока не по силам. Вопросы для самопроверки 1. Приведите пример корректного задания на деление многочлена на одночлен. Выполните это деление. 2. Приведите пример, когда задание разделить многочлен на одночлен является некорректным. Объясните почему. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В этой главе мы изучили следующие понятия: многочлен, в частности двучлен, трёхчлен; приведение подобных членов многочлена, взаимное уничтожение членов многочлена; стандартный вид многочлена; алгебраическая сумма многочленов. Мы изучили следующие правила: правило составления алгебраической суммы многочленов; правило умножения многочлена на одночлен; правило умножения многочлена на многочлен; правило деления многочлена на одночлен. Мы изучили следующие Формулы: (а + bf = -f 2аЬ + Ь^ (квадрат суммы); (а - bf = af- 2ab Ч- b^ (квадрат разности); (а + Ь){а- Ь) = - Ь^ (разность квадратов); (а - Ь) (of + аЬ + Ь^) = -Ь^ (разность кубов); (а + Ь) {of - аЬ + Ь^) = + Ь^ (сумма кубов). ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Формулы сокращённого умножения. 2. Метод выделения полного квадрата. 3. Процентные частоты. ГЛАВА 7 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ § 30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно § 31. Вынесение общего множителя за скобки § 32. Способ группировки § 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения § 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов § 35. Сокращение алгебраических дробей § 36. Тождества §30. что ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО Для начала выполним знакомую операцию: умножим многочлен 2х - 3 на многочлен х + 2. (2д: - 3) (л: + 2) = 2х • л: + 2х • 2 - 3 • X - 3 ■ 2 = = 2х^ + 4х - Зх - 6 = 2х^ + X - 6. Итак, (2х - 3) (х + 2) = 2х^ + х - 6. Это равенство можно записать по-другому, поменяв его части местами: 2х^ -Ь X - 6 = (2х - 3) (х + 2). Такая запись означает, что многочлен 2х^ -Ь х — 6 представлен в виде произведения более простых многочленов 2х - 3 и х -ь 2. Обычно в таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на множители. На самом деле формулировка «разложение многочлена на множители* вам уже знакома, мы не- разложение многочлена на множители 133 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ СКОЛЬКО раз использовали её в главе 6, но там же мы говорили, что позднее более подробно обсудим эту проблему (проблему разложения многочлена на множители). Это время пришло. Однако сначала убедимся в том, что разложение многочлена на множители — вещь полезная (иначе зачем нам этим заниматься?). Представьте себе, что вам предложили решить уравнение 2д: - 3 = 0. Вы справитесь с этим без труда: 2х = 3, х = 1,5. Затем вам предложили решить уравнение х -f 2 = 0. И с ним вы справитесь легко: х = -2. А теперь вам предлагают решить уравнение 2х^ Ч- X - 6 = о, т. е. дать ответ на вопрос, при каких значениях х трёхчлен 2х^ -I- х - 6 обращается в нуль, — эти значения х называют корнями уравнения. Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока не знаете. Как быть? Воспользуемся полученным выше разложением многочлена 2х^ Ч- X - 6 на множители: 2х^ Ч- х - 6 = (2х - 3)(х Ч- 2). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде (2х - 3)(х Ч- 2) = 0. Теперь остаётся воспользоваться следующим известным фактом: если произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей равен нулю. Значит, либо 2х - 3 = 0, либо х Ч- 2 = 0. Задача свелась к решению двух более простых уравнений. Из уравнения 2х - 3 = о получаем х = 1,5. Из уравнения х Ч- 2 = 0 получаем X = -2. Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и -2. Итак, разложение многочлена на множители может пригодиться нам для решения уравнений. Рассмотрим другую ситуацию. Пусть нужно найти значение 53' - 47' числового выражения g^2 _ gg?• Можно, конечно, проводить вычисления «в лоб», но более эффективно дважды воспользоваться формулой разности квадратов: 53' - 47' ^ (53 - 47)(53 + 47) ^ 6 • 100 ^ ^ 61'-39' (61 - 39)(61 + 39) 22 100 22 И' Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями. 134 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем, довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители. Пример. Доказать, что для любого натурального числа п выражение га® + Зга® + 2га делится без остатка на 6. Решение. Пусть р{п) = га® -Н Зга® + 2га. Если га = 1, то р(1) =1 + 34-2 = 6. Значит, р(1) делится на 6 без остатка. Если га = 2, то р(2) = 2® + 3 • 2® + 2 • 2 = 8 + 12 + 4 = 24. Следовательно, и р(2) делится на 6 без остатка. Если га = 3, то р(3) = 3® + 3 • 3® + 2 • 3 = 27 + 27 + 6 = 60. Поэтому и р(3) делится на 6 без остатка. Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы. Имеем га® + Зга® + 2га = га(га + 1) (га + 2). В самом деле га(га + 1) = га® + га. (га® + га) (га + 2) = га® + 2га® + га® + 2га = га® + Зга® + 2га. Итак, р(п) = га(га + 1) (га + 2), т. е. р(п) есть произведение трёх идущих подряд натуральных чисел га, га + 1, га + 2. Но из трёх таких чисел одно обязательно делится на 3, значит, и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел — чётное, т. е. делится на 2, значит, и произведение делится на 2. Итак, р(п) делится и наД, и на 3, т. е. делится и на 6. ® Всё прекрасно, скажете вы, но как догадаться, что га® + Зга® + 2га = га(га + 1)(га + 2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители. К этому и перейдём: в каждом из следующих параграфов этой главы мы будем изучать тот или иной приём разложения многочлена на множители. вопрос к т\ ___ответ If 135 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Вопросы для самопроверки 1. Используя материал данного параграфа, расскажите, для каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен на множители. Попробуйте привести примеры таких заданий. 2. Решите уравнение х+\-ху-у = 0. 52^ — 34^ 3. Вычислите без калькулятора: —^^. 63 — 23 §31. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 26. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Если такое произведение удалось составить, то обычно говорят, что многочлен разложен на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров. вынесение общего /иножигеля за скобки Пример 1. Разложить на множители многочлен; а) 2х + Ьу; в) 4а^ + 6а^; д) 5а‘‘ - 10а® + 15а®. б) а® -ь а 2. г) 12аЬ" - 18a®fc®c; Решение, а) 2х + 6{/ = 2(x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена. б) а® -ь а® = а® (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то её можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей). в) Здесь используем те же приёмы, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а®). Получаем 4а® + 6а® = 2а® • 2а -Г 2а® • 3 = 2а® (2а Ч- 3). г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что перемен- 136 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ ная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показатель равен 1. Переменная Ь также входит в оба члена многочлена, причём наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге получаем 12аЬ* - 18аVc = баЬ^ • 2Ь - баЬ^ ■ Zac = 6ab^(2b - Zac). д) 5а* - 10а^ -t- 15а® = 5а® (а - 2 + За®). ® В этом примере мы фактически использовали следующий алгоритм. Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов 1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов). 2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. 3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки. Зэмечэние /. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Например: 2,4х + 7,2у = 2,Цх -I- Zy); -а - -Ь + -с = -(а - 2Ь + Зс). 7 7 7 7 Звмечание 2. Следует понимать, что шаги 1 и 2 алгоритма имеют совершенно разный статус. В реальных задачах коэффициенты почти никогда не бывают целыми числами (а оказываются целыми благодаря усилиям составителей задачников, подбирающих условия так, чтобы ответ был покрасивее). Поэтому шаг 1 посвящён лишь получению наиболее приятной для глаза записи, тогда как шаг 2 есть нечто содержательное. 137 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Пример 2. Разложить на множители многочлен -х*у^ - 2х^у^ + 5х^. Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом. 1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1. 2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х^. Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, её нельзя вынести за скобки. 3) В ы в о д: за скобки можно вынести х^. Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -х^. Получим -xY - 2xY + = -x\xY + ^ху^ - 5). ® П р и м е р 3. Можно ли разделить многочлен Ъа* - 10а® -f 15а® на одночлен: а) 5а®; б) 25а®? Если да, то выполнить деление. Решение, а) В примере 1д) мы получили, что 5а^ - 10а® Ч- 15а® = 5а®(а - 2 -Е За®). Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а®, при этом в частном получится а - 2 -Е За®. б) 5а'‘ - 10а® -Е 15а® = 25a®fia® - -а -Е -а®1 U 5 5 j Значит, заданный многочлен можно разделить на 25а®, при d 12 3 этом в частном получится -а® —а + -а®. 5 5 5 Подобные примеры мы рассматривали в § 29; просмотрите их, пожалуйста, ещё раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки. Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 26 и 29, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен. А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задаётся в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов. 138 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Пример 4. Разложить на множители 2х(х - 2) + 5(х - 2)\ Решение. Введём новую переменную у = х - 2. Тогда получим 2х (х - 2) + 5(х - 2)^ = 2ху + Ъу^. Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки: 2ху + 5i/ = у(2х Ч- 5у). А теперь вернёмся к старым обозначениям: у(2х -1- 5у) = (х - 2)(2х + 5(х - 2)) = = (х- 2)(2х + 5х - 10) = (х - 2)(7х - 10). В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую запись: 2х (X - 2) -Ь 5(х - 2f = (X - 2)(2х + 5(х - 2)) = = (х - 2)(2х + 5х- 10) = (х - 2)(7х - 10). Вопросы для самопроверки d 1. Как вы понимаете, что означает процесс вынесения множителя за скобки? 2. Сформулируйте алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов. 3. Приведите пример трёхчлена, у которого можно вынести за скобки общий множитель Зх^. §32. СПОСОБ ГРУППИРОВКИ Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример. П р и м е р 1. Разложить на множители многочлен 2а^ + 6а + аЬ + ЗЬ. Решение. Объединим в одну группу первые два члена, а в другую — последние два члена многочлена: (20^ -I- 6а) (аЬ + ЗЬ). Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а, а во второй группе — Ь, получим 2а (а ч- 3) -1- Ь(а + 3). Теперь мы видим, что «проявился» общий множитель (а ч- 3), который можно вынести за скобки. В результате получим (а ч- 3) (2а Ч- Ь). 139 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Поскольку процесс преобразований в примере 1 перемежался комментариями, приведём ещё раз решение, но уже без комментариев: 2а^ -Р 6а + аЬ + ЗЬ = (2а^ + 6а) + (аЬ + ЗЬ) = = 2а (а + 3) -I- Ь(а 3) = (а + 3) (2а -ь Ь). <1 Объединение членов многочлена 2а^ + 6а + аЬ + ЗЬ в группы можно осуществить различными способами. Однако нужно учитывать, что иногда такая группировка оказывается удачной для последующего разложения на множители, а иногда нет. Проведём эксперимент. Объединим в одну группу первый и третий члены рассматриваемого многочлена, а в другую группу — второй и четвёртый: 2а^ + 6а + аЬ + 3& = (2а^ аЬ) + (6а + ЗЬ) = = а (2а + Ь) + 3(2а + Ь) = (2а + Ь) (а + 3). Разложение на множители получилось, группировка оказалась удачной. Теперь объединим в одну группу первый и четвёртый члены, а в другую — второй и третий: 2а^ + 6а + аЬ + ЗЬ = (2а^ + 3fc) + (6а + аЬ) = (2а} + 36) Ч- а (6 -I- Ь). Эта группировка явно неудачна. Подведём итоги. Члены многочлена можно группировать так, как нам хочется. Иногда удаётся такая группировка, что после вынесения общего множителя в каждой группе в скобках остаётся один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки. Пример 2. Разложить на множители многочлен ху - 6 + Зх - 2у. Решение. Первый способ группировки: ху - 6 + Зх - 2у = (ху - 6) + (Зл: - 2у). Группировка неудачна. Второй способ группировки: ху - 6 + Зх - 2у = (ху -I- Зх) + (-6 - 2у) = = х(у + 3) - 2(у + 3) = (у + 3)(х- 2). способ группировки 140 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Третий способ группировки: - 6 + Зл: - 2и = (хи - 2у) + (-6 + Зх) = = у(х - 2) + 3(х - 2) = (:с - 2) (у + 3). О т в е т: ху - 6 + Зх - 2у = (х - 2) (у + 3). Как видите, не всегда с первого раза группи- ► ровна бывает удачной. Если группировка оказалась неудачной, то откажитесь от неё, ищите иной способ. По мере приобретения опыта вы будете быстро находить удачную группировку, как это сделано в следующем примере. Пример 3. Разложить на множители многочлен аЬ^ - 2аЬ -f За ч- 2Ь^ - 4Ь -н 6. Решение. Составим три группы; в первую включим первый и четвёртый члены, во вторую — второй и пятый, в третью — третий и шестой: аЬ^ - 2аЬ + Za + 2Ь^ - АЬ + & = (аЬ^ + 2Ь^) + (~2аЬ - АЬ) + Ч- (За ч- 6) = Ь^(а Ч- 2) ~ 2Ь{а ч- 2) ч- 3(а ч- 2). Во всех группах оказался общий множитель (а ч- 2), который можно вынести за скобки. Получим (а ч- 2) - 2Ь + 3). Ответ: аЬ^ - 2аЬ ч- За ч- 2Ь^ - АЬ + 6 = (а + 2) (Ь^ - 2Ь + 3). Иногда полезно проверить себя, т.е. в полученном разложении на множители выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получится тот многочлен, который был задан. А если нет? Тогда надо искать ошибку в разложении на множители. Пример 4. Разложить на множители многочлен х^ - 7х ч- 12. Решение. Наверное, вы думаете: какое отношение имеет этот пример к способу группировки, ведь здесь и группировать-то нечего? Это верно, но можно сделать небольшой фокус: если представить слагаемое -7х в виде суммы —Зх — 4х, то получится сумма уже не трёх (как в заданном многочлене), а четырёх слагаемых. Эти четыре слагаемых можно распределить по двум группам: х^ - 7х ч- 12 = х^ - Зх - 4х ч- 12 = (х^ - Зх) Ч- (-4х ч- 12) = = X (X - 3) - 4(х - 3) = (X - 3) (X - 4). d 141 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Пример 5. Решить уравнение: а) - 7х + 12 = 0; б) х^ - 2х^ + Зх - 6 = 0. Решение, а) Разложим трёхчлен - 7х + 12 на множители так, как это сделано в примере 4: - 7х + 12 = (X - 3) (X - 4). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде (х - 3) (х - 4) = 0. Теперь ясно, что исходное уравнение имеет два корня: х = 3, х = 4. б) Разложим многочлен х® - 2х® + Зх - 6 на множители: X® - 2х® + Зх - 6 = (х® - 2х®) + (Зх - 6) = х®(х - 2) + 3 (х - 2) = = (х - 2) (х® + 3). Перепишем теперь заданное уравнение в виде (х - 2) (X® + 3) = 0. Так как произведение равно нулю, то равен нулю один из множителей. Но X® -Г 3 при любых значениях х является положительным числом, т. е. в нуль обратиться не может. Значит, может выполняться только равенство х — 2 = 0, откуда получаем х = 2. Ответ: а) 3, 4; б) 2. Вопрос для самопроверки Дан многочлен 2х® + х®а - 2ах — а®. Применяя для его разложения на множители способ группировки, можно поступить так: а) сгруппировать попарно 1-й и 2-й, 3-й и 4-й члены; б) сгруппировать попарно 1-й и 3-й, 2-й и 4-й члены; в) сгруппировать попарно 1-й и 4-й, 2-й и 3-й члены. В каких случаях группировка окажется удачной и приведёт к разложению многочлена на множители, а в каких — нет? §33. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМ01ЦЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ В § 28 мы получили пять формул сокращённого умножения. Там же мы отметили, что любой из этих формул можно пользоваться как для сокращённого умножения многочлена на многочлен (если применять формулы в том виде, в котором они 142 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ были записаны в § 28), так и для разложения многочлена на множители, если их переписать следующим образом: (1) (2) (3) (4) (5) Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего — чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью — к выражению, представляющему собой разность (сумму) кубов; последние две формулы применяются к трёхчлену, представляющему собой полный квадрат, т. е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений. Пример 1. Разложить на множители: а) 64х'^ - 9; в) (2х - 1)^ - 25; б) ж® - 4а^ г) (а -f 3)^ - (Ь - 2)^. Решение. Во всех четырёх примерах воспользуемся формулой (1) (разность квадратов): а) 64х^ - 9 = (8ж)2 - 3* = (8ж - 3) (8ж 4- 3); б) ж® - 4а‘* = (ж®)^ - (2а®)® = (ж® - 2а®) (ж® + 2а®); в) (2ж - 1)® - 25 = (2ж - 1)® - 5® = ((2ж - 1) - 5) ((2ж - 1) -Ь 5) = = (2ж - 6) (2ж -Е 4) = 2 (ж - 3) • 2(ж -f 2) = 4(ж - 3) (ж -Н 2). Здесь, кроме формулы разности квадратов, мы использовали приём вынесения общего множителя за скобки — для двучленов 2ж - 6 и 2ж Ч- 4. г) (а -Ь 3)® - (Ь - 2)® = ((а -Ь 3) - (5 - 2)) ((а -Ь 3) + (Ь - 2)) = = (а + 3~5Ч-2)(а-ГЗ-1-Ь — 2) = (а~5-Г5)(а-ГЬ-1- 1). (Я Пример 2. Разложить на множители: а) 125а® - 85®; б) а® -Ь 275®; в) ж® - а®. Решение. Здесь воспользуемся формулами (2) и (3) (разность и сумма кубов). а) 125а® - 85® = (5а)® - (25)® = (5а - 25) ((5а)® + 5а ■ 2Ь + (25)®) = = (5а - 25) (25а® -I- 10а5 -f 45®). 143 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ ооратите вничаиие ► б) а® + 276® = + (ЗЬ)® = (а^ + ЗЬ) ((а^)^ - ■ ЗЬ + (3bf) = = (а^ + ЗЬ) (а* - За^Ь + 9Ь^). в) Первый способ: X® - а® = (хУ - (d^f = (х^ - d) ((х^)^ + х^-а^ + (a^f) = = (х - а) (х + а) ex'* + х^а^ + а*). Второй способ: X® - а® = (х®)^ - (а®)® = (х® - а®) (х® + а®) = = (х - а) (х® + ха + а®) (х + а) (х® - ха + а®). ® Замечание, В примере 2в) при одном способе решения получилось разложение (л - а) (х + а) (х^ + х®а® + а®), а при другом способе — разложение (х - а) (х + а) (х® + ха + а®) (х® - ха + а®). Разумеется, это одно и то же: в следующем параграфе мы покажем, как от многочлена х‘‘ + х®а® + а^ перейти к произведению (х® Ч- ха -f- а®) (х® — ха -I- а®). Впрочем, и сейчас вы можете убедиться, что х^ -1- х®а® + а^ = (х® + ха + а®) (х® — ха + а®). Для этого достаточно раскрыть скобки в правой части равенства (сделайте это). Пример 3. Разложить на множители: а) а® - 4а6 + 4Ь®; в) 4х'‘ - 12х®1/ + 9i/®; б) х"* + 2х® + 1; г) 25о® + ЮаЬ + 4Ь®, Решение. В этих примерах даны трёхчлены, для их разложения на множители будем пользоваться формулами (4) и (5), если, конечно, убедимся в том, что трёхчлен является полным квадратом. а) а® - 4а6 + 4Ь® = а® -I- (2Ь)® - 2 • а • 2Ь = (а - 2Ь)®. Мы убедились, что трёхчлен содержит сумму квадратов одночленов а и 2Ь, а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причём квадрат разности. б) X'* -I- 2х® -Е 1 = (X®)® -Е 1® -(- 2 • X® • 1 = (X® -Е 1)®; в) 4х‘‘ - 12х®1/ -Е 9у® = (2х®)® -Е (Зг/)® - 2 • 2х® • Зу = (2х® - Зу)®; г) 25а® + ЮаЬ -Е 4Ь® = (5а)® -Е (2Ь)® -Е 5а • 2Ь. Так как ЮаЬ — это не удвоенное произведение одночленов 5а и 2Ь, то данный трёхчлен не является полным квадратом. Разложить его на множители с помощью формул (4) или (5) мы не можем. (Н 144 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Подчеркнём ещё раз: если хотите воспользоваться формулами (4) или (5), то сначала убедитесь, что заданный трёхчлен есть полный квадрат. В противном случае формулы (4) и (5) применять нельзя — именно так обстояло дело в примере Зг). Вопросы для самопроверки 1. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов. 2. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле разности кубов. 3. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле суммы кубов. 4. Приведите пример трёхчлена, который является полным квадратом суммы двух выражений, и разложите его на множители. 5. Приведите пример трёхчлена, который является полным квадратом разности двух выражений, и разложите его на множители. §34. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЁМОВ В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один приём, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один приём, затем другой и т. д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало ► знать сами приёмы, надо ещё уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим в данном параграфе. Пример 1. Разложить на множители многочлен 36aV - 96a^b‘^ + 64а^Ь^. Решение. 1) Сначала займёмся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причём это — наибольший общий делитель, выне- 145 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ сем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная а (в первый а®, во второй a‘^, в третий а^), поэтому за скобки можно вынести а^. Точно так же во все члены многочлена входит переменная Ь (в первый б®, во второй 6'*, в третий 6®) — за скобки можно вынести Ь^. Итак, за скобки вынесем 4а^Ь^. Тогда получим 36aV - 96а*Ь* + 64а®б® = 4а®Ь®(9а^ - 24а®Ь 16Ь% 2) Рассмотрим трёхчлен 9а* - -f- 16b®. Выясним, не яв- ляется ли он полным квадратом. Имеем 9а^ - 24а®Ь -Г 16Ь® = (За®)® -1- (4Ь)® - 2 • За® • 4Ь. Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно, 9а^ - 24а®Ь -Ь 16Ь® = (За® - 4Ь)®. 3) Комбинируя два приёма (вынесение общего множителя за скобки и использование формулы сокращённого умножения), получаем окончательный результат: 36а®Ь® - 96а^Ь^ -Р 64а®Ь® = 4а®Ь®(За® - 4Ь)®. ® П р и м е р 2. Разложить на множители многочлен а® - с® Ч- Ь® -(-4- 2аЬ. Решение. 1) Сначала попробуем воспользоваться способом группировки. До сих пор четыре слагаемых мы разбивали на группы по парам (см. § 32). Попытаемся и здесь сделать так же: а® - с® -Р Ь® -Р 2аЬ = (а® - с®) -Р (Ь® + 2аЬ) = = (а - с) (а -Р с) -Р Ь(Ь -Р 2а). Эта группировка неудачна, нет общего множителя. Попробуем по-другому: а® - с® -Р Ь® -Р 2аЬ = (а® + Ь®) -Р (-с® -Р 2аЬ), здесь также ничего хорошего нет. Третья попытка: а® - с® -Р Ь® -Р 2аЬ = (а® -Р 2аЬ) -Р (-с® -Р Ь®) = = а (а -Р 2Ь) -Р (Ь - с) (Ь -Р с), и здесь нет общего множителя. Однако всё-таки способ группировки в этом примере сработает. Ведь ниоткуда не следует, что группировать слагаемые можно только по парам, это можно сделать и так: а® - с® -Р Ь® -Р 2аЬ = (а® -Р 2аЬ + Ь®) - с® = (а -Р Ь)® - с®. 146 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОе НА МНОЖИТЕЛИ Теперь вы отчётливо видите структуру данного многочлена: разность квадратов. 2) К полученному выражению применим формулу разности квадратов: (а + Ь)^ - = ((а + Ь) - с) ((а + Ь) + с) = (а + Ь - с) (а + Ь + с). Итак, комбинируя два приёма (группировку и использование формул сокращённого умножения — квадрат суммы и разность квадратов), мы получили окончательный результат: а - с + Ь + 2аЬ = (а + Ь - с) (а + Ь + с). d Пример 3. Разложить на множители двучлен + 4у*. Решение. Проанализируем структуру данного двучлена. Что такое X*? Это (x^f. Что такое 4у*? Это (2у^)^. Значит, имеем сумму квадратов (х^)^ -I- Обычно, увидев сумму квадратов двух выражений (чисел, одночленов, многочленов), математик ищет удвоенное произведение этих выражений для того, чтобы получить полный квадрат. В данном случае таким удвоенным произведением будет 2- х^ • 2у^, т.е. 4х^у^. Но его в примере нет. Что же делать? Прибавим к заданному многочлену то, что нам нужно, но, чтобы ничего не изменилось, тут же и вычтем: (x^f (2{/^)^ -I- 4xV “ Это даёт возможность сгруппировать первые три члена так, что выделится полный квадрат. Дальнейшее решение идёт по плану примера 2. Приведём полное решение примера уже без комментариев: X* -I- 4у* = (х^)^ + (2у^)^ = ((.х^)^ + (2у^У -h 4х^у^) - 4х^у^ = = (х^ -f 2y‘‘f - (2xyf = (х^ + 2у^ - 2ху) (х^ + 2у^ + 2ху). ® В этом примере мы впервые применили метод выделения полного квадрата. Он будет полезен нам и в дальнейшем, в частности при решении следующего примера. П р и м е р 4. Разложить на множители трюхчлен X* + х^а^ + а\ Решение. Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим х^а^ в виде 2х^а^ -— х^а^. Получим X* + х^а^ + а* = X* + 2х^а^ - х^а^ + а* = (х* + 2х^а^ -I- а*) - х^а^ = = (х^ -I- - (ха)^ = {х^ + - ха) (х^ + + ха). ® 147 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ А теперь вернитесь, пожалуйста, к замечанию, которое было сделано в § 33 (после примера 2). Как видите, мы выполнили данное там обещание. Пример 5. Разложить на множители трёхчлен п® + Зп® + 2л. Решение. Сначала воспользуемся тем, что л можно вынести за скобки: л (л® -г Зл -I- 2). Теперь к трёхчлену л® -I- Зл -н 2 применим способ группировки, предварительно представив Зл в виде 2л -Г л: л® 4- Зл -I- 2 = л® + 2л -Ь л -Ь 2 = (л® + 2л) (л •+■ 2) = = л (л + 2) -Ь (л -г 2) = (л -Г 2) (л + 1). Итак, л® + Зл® ч- 2л = л(л Ч- 1) (л -Ь 2). (8 Этим разложением мы уже воспользовались в § 30. Правда, там это было сделано без обоснований, зато теперь всё встало на свои места. Пример 6. Вычислить 38,8® Ч- 83 • 15,4 - 44,2®. Решение. Последовательно применим группировку, формулы сокращённого умножения, вынесение общего множителя за скобки. Эта совокупность алгебраических приёмов позволит провести арифметические вычисления легко и изящно: 38,8® -ь 83 • 15,4 - 44,2® = 83 ■ 15,4 - (44,2® - 38,8®) = = 83 • 15,4 - (44,2 - 38,8) (44,2 -Ь 38,8) = 83 • 15,4 - 5,4 • 83 = = 83 • (15,4 - 5,4) = 83 • 10 = 830. <1 Заканчивая этот параграф, вернёмся к тому, с чего мы начинали главу 7. В § 30 мы говорили о том, что разложение на множители — один из методов решения уравнений. В следующем примере мы и воспользуемся этим методом. Предварительно отметим следующее. В математике и смежных науках часто встречаются уравнения вида ajc® Ч- fejc Ч- с = 0, где а, Ь, с — числа (коэффициенты), причём а ^ 0. Например, 2л:® -Зл:Ч-Ч- 2 = о, X® Ч- 4л: - 8,5 = о и т. д. Такие уравнения называют квадратными, мы специально займёмся их изучением в 8-м классе. Но некоторые квадратные уравнения мы можем решить уже теперь. Одно квадратное уравнение мы решили выше, в § 32 (см. пример 5а), сейчас решим ещё одно, причём даже двумя способами (правда, обычно делают не так, а пользуются готовыми формулами для решения квадратных уравнений, но вы их пока не знаете). 148 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Пример?. Решить уравнение - 6;с + 5 = 0. Решение. Первый способ. Представим -6х в виде суммы -х - 5х, а затем применим способ группировки: х^ - Ьх + 5 = х^ - X - 5х + 5 = {х’^ - х) + (~5х + 5) = = х{х - 1) - 5(х - 1) = (х - 1)(х - 5). Тогда заданное уравнение примет вид (х - 1)(х - 5) = о, откуда находим, что либо х = 1, либо х = 5. Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим х^ - 6х + 5 = х^ - 6х + 9 - 4 = (х^ - 6х + 9) - 4 = = (х - 3)^ - 2^ = (X - 3 - 2)(х - 3 + 2) = (х - 5)(х - 1). Снова пришли к уравнению (х - 1)(х - 5) = 0, имеющему корни 1 и 5. Ответ: 1, 5. Вопросы для самопроверки 1. Почему прочитанный вами параграф носит такое название? 2. В чём заключается метод выделения полного квадрата? 3. Расскажите, о комбинации каких приёмов шла речь в данном параграфе. §35. СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нём ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные дроби. Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернёмся к § 23. Обсуждая там деление одночлена на одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим два из них. 149 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 1. Разделить одночлен Зба^Ь^ на одночлен 4аЬ^ (см. пример 1в) из § 23). Решали мы его так. Вместо записи Зба^Ь^ : 4аЬ^ использовали одно и то же). Это позво- д 36а^&’ , л D -А черту дроби: --^ (ведь А : В и — 4а6 В лило вместо записей 36 : 4, а® : а, Ь® : также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным: ЗбаУ _ 36 а" 6’ _ Q 2^,3 4аЬ^ 4 ' а ' “ 2. Разделить одночлен 4х^ на одночлен 2ху (см. пример 1д) из §23). Действуя по тому же образцу, мы получили л 3 п 4х^ 4 х^ 1 о 2 1 2ху 2 X у У У В § 23 мы отметили, что одночлен 4х^ не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен. Но ведь математические модели могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Поэтому математики ввели новое понятие — понятие алгебраи- ческой дроби. В частности, — — алгебраическая дробь. У Теперь вернёмся к § 29. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 29 речь шла о делении двучлена - 24x^ на одночлен бх^. Эта операция оказалась выполнимой, и в результате мы получили двучлен х - 4. Значит, - 24л:' = X - 4. Иными словами, алгебраическое выражение —________уда- бх' лось заменить более простым выражением — многочленом х — 4. В то же время в примере 3 из § 29 не удалось разделить 8а* ба'Ь - Ь многочлен 8а'’ + ба‘Ь — Ь на 2а^, т. е. выражение 2а' не удалось заменить более простым выражением, пришлось так и оставить его в виде алгебраической дроби. 150 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множителей в разложении первого многочлена на множители. Например, - 1 = {х - 1) + х + 1). Значит, х^ - 1 можно разделить яа. х^ + х + 1, получится х - 1; х^ - 1 можно разделить на л: - 1, получится х’^ + х + 1. Алгебраической дробью называют отношение двух многочленов Р и Q. При этом используют Р запись —, где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраичеекдя дробь алгебраической дроби. Примеры алгебраических дробей: 2х^ 8а^ + ба^Ь - Ь х + у у ' 2а* ’ х-у' Иногда алгебраическую дробь удаётся заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее, 6х* - 24х* = X - 4 (многочлен бд:® - 24х^ удалось разделить на 6л:*, при этом в частном получается х — 4); мы также отмечали, что л* - 1 х^ + X + 1 = л: - 1. Но так бывает сравнительно редко. Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам — при изучении обыкновенных дробей. Например, дробь — можно за- 6 менить целым числом 4, а дробь — — целым числом 5. Однако 8 дробь — целым числом заменить не удаётся, хотя эту дробь мож-но сократить, разделив числитель и знаменатель на число 8 — 151 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ общий множитель числителя и знаменателя: — = Точно так 24 3 же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобится всё то, что мы так долго обсуждали в этой главе. Пример. Сократить алгебраическую дробь: а) ту. б) а" + 2аЬ + в) X - ху X* - ху^' 8х^у^ ’ (а + Ь)(а - Ь) ‘ Решение, а) Найдём общий множитель для одночленов 12х^у* и Sx^y^i это 4хУ. Тогда 12xV = 4xV • Зх; 8x^1/® = 4xV • 2у. Значит, 12хУ ^ 4х^у* ■ Зх ^ ^ 8хУ 4хУ-2(/ 2у' Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби сократили на общий множитель 4хУ. Решение этого примера можно записать по-другому: 12х^^ _ 12 SxY 8 = 1 i = ^ у^ 2 у 2у‘ б) Чтобы сократить дробь, разложим её числитель и знаменатель на множители. Получим -I- 2аЬ Ь‘ _ (а + Ь)‘ _ (а + Ь)(а + Ь) _ а -у Ь (а + Ь)(а - Ь) (а + Ь)(а ~ Ь) (а + Ь)(а - Ь) а - Ь (дробь сократили на общий множитель а -Р Ь). А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Видите, данное там обещание мы нгпсонец-то смогли выполнить. в) ~ - у) ^________х(х - у)____^ 1 X* - ху® х(х® - у®) х(х - у)(х® + ху + у®) X® + ху + у®’ (сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, т. е. на х(х - у)). ® 152 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Итак, для того чтобы сократить алгебраическую дробь, следует сначала разложить на множители её числитель и знаменатель (если они не совпадают). Так что ваш успех в этом новом деле (сокращении алгебраических дробей) в основном зависит от того, как вы усвоили материал предыдущих параграфов этой главы. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение алгебраической дроби. 2. Используя переменные а и Ь, запишите алгебраическую дробь, у которой числитель представляет собой трёхчлен, а знаменатель — одночлен. 3. Что означает задание «Сократите алгебраическую дробь»? Что надо сделать, чтобы выполнить это задание? 4. Может ли в результате сокращения алгебраической дроби в ответе получиться одночлен? число? 5. Приведите пример алгебраической дроби, в результате сокращения которой получается двучлен. §36. ТОЖДЕСТВА В этом параграфе мы познакомимся ещё с одним алгебраическим термином. Мы знаем, например, что = (а - Ь) (а + Ь), - 4х + 4 = (х - 2f, (а + Ъ)с = ас + Ьс. Написанные равенства верны при любых значениях входящих в их состав переменных. Такие равенства в алгебре называют тождествами. Левую и правую части тождества называют выражениями, тождественно равными друг другу (или просто тождественными). Например, и (а - Ь) (а б) — тождественно равные выражения. Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения. тождественно равные выражения тождественное преобразование 153 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Всё, чем мы занимались в главах 4—7: действия со степенями, с одночленами, с многочленами, — всё это было изучением тождественных преобразований. В математике часто бывает так, что, используя некоторый термин, вдруг обнаруживают, что к новой ситуации он оказывается не очень приспособленным, требует уточнения. Это относится и к термину «тождество». Для работы с многочленами данное выше определение абсолютно точное. Однако уже для работы с алгебраическими дробями в понимании этого термина понадобится корректировка, придётся сделать некоторые уточнения. х(х - 1) Рассмотрим алгебраическую дробь Её можно (X - 2)(х - 1) сократить на X - 1 — на общий множитель числителя и знаменателя. Таким образом, имеет место равенство (1) (X - 2)(х - 1) X - 2 ’ Является ли это равенство тождеством? Введя выше этот термин, мы отметили, что тождество — это равенство с переменными, верное при любых значениях переменных. Но про равенство (1) этого сказать нельзя, оно не имеет смысла при х = 1, при х = 2, т. е. оно верно уже не при любых значениях переменной х. Указанные значения не являются допустимыми для выражений, входящих в состав равенства (1). Если же ограничиться только допустимыми значениями переменной х, то при любых таких значениях равенство (1) окажется верным. Учитывая подобные ситуации, математики уточнили понятие тождества. Опрелеление. Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных. В этом смысле равенство (1) — тождество. Вот та корректировка понятия «тождество», о которой мы упоминали выше. Вопросы для самопроверки 1. Что такое тождество? 2. Приведите пример тождества, верного при любых значениях переменных. тождество 154 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 3. Приведите пример тождества, верного не при всех, а лишь при допустимых значениях переменных. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В этой главе мы ввели новые (для вас) понятия математического языка; разложение многочлена на множители; алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дроби; тождество, тождественно равные выражения, тождественное преобразование выражения. Вы познакомились со следующими приёмами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки; группировка; использование формул сокращённого умножения; выделение полного квадрата. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Разложение многочлена на множители способом группировки. 2. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов. 3. Группировка данных. ГЛАВА 8 ФУНКЦИЯ у = § 37. Функция у = и её график § 38. Графическое решение уравнений § 39. Что означает в математике запись у = f(x) § 3 7. ФУНКЦИЯ у = и ЕЁ ГРАФИК В главе 2 мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим линейное уравнение вида у = kx + т с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели), считались неравноправными: X — независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у — зависимая переменная, поскольку её значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли математические модели такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + т, & каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, X — сторона квадрата, а у — его площадь, то у = х^. Если X — сторона куба, а у — его объём, то у = х^. Если X — одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см^, а у — другая его сторона, 100 ^ то у =---. Поэтому, естественно, приходится изучать и модель X 2 3 100 у = X ,и модель у = X , и модель у = -—, и многие другие модели, X имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой — какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная». Замечание. Выше мы уже не раз говорили о том, как обстоит дело в математике с новыми понятиями, новыми терминами. Часто вопрос к 156 8 ФУНКЦИЯ у = бывает так: ввели новое понятие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего изучения математики, начинают осознавать, что введённое понятие требует уточнения, развития. Именно так обстояло дело с понятием «тождество». Точно так же обстоит дело и с понятием «функция». Мы ещё довольно долго будем привыкать к нему, набираться опыта, работать с этим понятием, пока не придём к строгому определению (это будет в 9-м классе). В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = и построим её график. Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = х^): если :с = О, то г/ = 0^ = 0; если X — то у = \^ = \\ если jc = 2, то г/ = 2* = 4; если д: = 3, то I/ = 3^ = 9; если X = -1, то у = (-1)^ = 1; если X = -2, то у = (~2f = 4; если X = -3, то у = (-3)^ = 9. Короче говоря, мы составили следующую таблицу: X 0 1 2 3 -1 -2 -3 у 0 1 4 9 1 4 9 Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (-1; 1), (-2; 4), (-3; 9) на координатной плоскости хОу (рис. 56, а). Эти точки расположены на некоторой линии, начертим её (рис. 56, б). Эту линию называют параболой. Конечно, в идеале надо было дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (дс; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на координатной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчётливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 7, см. с. 40), то эту линию проводят. 157 8 ФУНКЦИЯ у = Рис. 56 Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо всё глубже и глубже изучать математику, чтобы были возможности избегать ошибок. Попробуем, глядя на рисунок 56,6, описать геометрические свойства параболы. Во-первых, отмечаем, что парабола обладает симметрией. В самом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную оси X, то эта прямая пересечёт параболу в двух точках, расположенных на равных расстояниях от оси у, но по разные стороны от неё (рис. 57). Кстати, то же можно сказать и о точках, отмеченных на рисунке 56, а: (1; 1) и (-1; 1); (2; 4) и (-2; 4); (3; 9) и (-3; 9). Говорят, что ось у является осью симметрии параболы у = х^ или что парабола симметрична относительно оси у. Во-вторых, замечаем, что ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы. В-третьих, отмечаем, что у параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы — точка (0; 0). Учитывая её особенность, ей присвоили специальное название — вершина параболы. В-четвёртых, когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола парабола ось симметрии параболы ветви параболы вершина параболы 158 8 ФУНКЦИЯ у = как бы «прижимается» к оси абсцисс. Обычно говорят: парабола касается оси абсцисс. Теперь попробуем, глядя на рисунок 56,6, описать некоторые свойства функции у = х^. Во-первых, замечаем, что г/ = О при х = О, у > О при х > О и при X < 0. Во-вторых, отмечаем, что 1/„аим = 0. а у^^^ не существует. В-третьих, замечаем, что функция у = х^ убывает на луче (-00; 0] — при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки». Функция у = х^ возрастает на луче [0; -1-оо) — при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «поднимаемся в горку». П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х^\ а) на отрезке [1; 3]; б) на отрезке [-3; -1,5]; в) на отрезке [-3; 2]. Решение, а) Построим параболу у = х^ и выделим ту её часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [1; 3] (рис. 58). Для выделенной части графика находим Унаим ~ 1 (при л: = 1), 1/ааи6 = 9 (прИ X = 3). б) Построим параболу y = x^vi выделим ту её часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3; -1,5] (рис. 59). Для выделенной части графика находим Уааим ^ 2,25 (при х = -1,5), Унаиб = 9 (при л; = -3). 159 8 ФУНКЦИЯ у = в) Построим параболу у = и выделим ту её часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3; 2] (рис. 60). Для выделенной части графика находим = 0 (при х = 0), i/наиб = 9 (при х = -3). <1 Совет. Чтобы каждый раз не строить график функции у = по точкам, вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы будете очень быстро чертить параболу. Замечание. Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы уравниваем в правах функцию у = и линейную функцию у = кх + т. Ведь графиком линейной функции является прямая, а для изображения прямой используется обычная линейка — это и есть шаблон графика функции у= кх + т.Так пусть у вас будет и шаблон графика функции у = х^. П р и м е р 2. Найти точки пересечения параболы у — х^ тл. прямой у = X Л- 2. Решение. Построим в одной системе координат параболу у = х^ VI прямую у = X + 2 (рис. 61). Они пересекаются в точках А и В, причём по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для точки А имеем х = -1, I/ = 1, а для точки В имеем X = 2, у = А. Ответ: парабола у = х^ и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А(-1; 1) и В(2; 4). Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком 160 8 ФУНКЦИЯ у = доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 61 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, математик обычно проверяет себя; на самом ли деле точка (—1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе? Для этого нужно подставить координаты точек Л и В в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто проводят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа. Пример 3. Построить график функции у = -х^. Решение. Сравним функции у = и у = -х^. При одном и том же значении аргумента, например при х = а, первая функция принимает значение а^, а вторая — значение -а^. Значит, на графике первой функции есть точка (а; а^), а на графике второй функции — точка (а; -а^). Эти точки расположены на координатной плоскости хОу симметрично относительно оси абсцисс (рис. 63). Значит, график функции у = -х^ симметричен графику функции у = х^ относительно оси абсцисс (рис. 64). Это та же парабола с той же вершиной и с той же осью симметрии, но только ветви параболы направлены не вверх, а вниз. (И 161 8. ФУНКЦИЯ у = В заключение отметим одно любопытное свойство параболы. Если рассматривать параболу у — как экран, отражающий поверхность, а в точке j^O; — J поместить источник света, то лучи, отражаясь от параболы-экрана, образуют параллельный пучок света (см. рис. 62). Точку —j называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фокусе — тогда свет от фары распространяется достаточно далеко. Вопросы для самопроверки 1. Как называют график функции у = график функции У = -x^’i 2. Что является осью симметрии графика функции у = х^7 графика функции у = ~х^7 3. Что является вершиной графика функции у = х^7 графика функции у - -х^7 4. Даны функции у = х^ к у = -х^. Какая из них возрастает при X < О и убывает при х > 07 Какая из них убывает при х < О и возрастает при х > 07 5. Что можно сказать о взаимном расположении графиков функций у = х^и у = -х^7 6. Дана функция у = х^. Придумайте линейную функцию у = кх + т такую, что графики обеих функций: а) не пересекаются; б) пересекаются в двух точках; в) имеют одну общую точку. 7. Дана функция у = -х^. Придумайте линейную функцию у = кх + т такую, что графики обеих функций: а) не пересекаются; б) пересекаются в двух точках; в) имеют одну общую точку. §38. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Подытожим наши знания о графиках функций. Мы с вами научились строить графики следующих функций: у = Ь (прямую, параллельную оси х); у = кх (прямую, проходящую через начало координат); 162 8 ФУНКЦИЯ у = у = kx + т (прямую); у = х^, у = -х^ (параболу). Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости заменить аналитическую модель геометрической (графической), например вместо модели у = х^ (которая представляет собой равенство с двумя переменными х vi у) рассматривать параболу в координатной плоскости. В частности, это иногда полезно для решения уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах. Пример 1. Решить уравнение х^ = х + 2. Решение. Рассмотрим функции j/ = x^Hi/ = x-t-2; построим их графики и найдём точки пересечения графиков. Эту задачу мы с вами уже решали (см. пример 2 из § 37 и соответственно рис. 61). Парабола у — х^ к прямая у = х + 2 пересекаются в точках А(-1; 1) и В(2; 4). Как же найти корни уравнения х’^ = х + 2, т. е. те значения х, при которых выражения х^ и х + 2 принимают одинаковые числовые значения? Очень просто, эти значения уже найдены: х^ = -1, Х2 = 2. Это абсциссы точек А и В, в которых пересекаются построенные графики. Ответ: JCj = -1, Xj = 2. Фактически мы использовали следующий алгоритм. 1. Ввели в рассмотрение функции у = х^,у = х + 2 (для другого уравнения будут, разумеется, иные функции). 2. Построили в одной системе координат графики функций у = х^, у = X + 2. 3. Нашли точки пересечения графиков. 4. Нашли абсциссы точек пересечения — это и есть корни уравнения. Пример 2. Решить уравнение х^ - х + 4 = 0. Решение. Здесь придётся дополнить выработанный алгоритм ещё одним шагом (подготовительным шагом): надо переписать уравнение в виде, для которого имеется алгоритм. Этот 163 8. ФУНКЦИЯ у = ВИД таков: = х - 4. Теперь всё в порядке, действуем в со- ответствии с алгоритмом. 1) Введём две функции: у = х^, у = X - 4. 2) Построим в одной системе координат графики функций у = х^ и у = — X - 4 (рис. 65). 3) Точек пересечения у построенных параболы и прямой нет. Как вы думаете, что означает этот геометрический факт для данной алгебраической задачи (для данного уравнения)? Догадались? А теперь сопоставьте свою догадку с тем, что ниже записано в ответе. Ответ: уравнение не имеет корней. Замечание. В § 34 мы уже говорили о том, что существуют так называемые квадратные уравнения — уравнения вида ах^ + Ьх + с = О, где а, Ь, с — числа, а Ф 0. Они решаются по специальным формулам для отыскания корней, но этих формул вы пока не знаете. Тем не менее некоторые квадратные уравнения мы уже решили. Так, в § 34 мы решили уравнение — 6х -(- 5 = О методом разложения на множители. А в настоящем параграфе мы решили ещё два квадратных уравнения — графическим методом. Это уравнение х^ — х — 2 = О (см. пример 1; правда, там уравнение было записано по-другому: х^ = х -I- 2 — но вы же понимаете, что это то же самое) и уравнение х^ - х -(- 4 = О (см. пример 2). Вопросы для самопроверки 1. Перечислите все функции, которые вы изучили в курсе алгебры 7-го класса. 2. Сформулируйте алгоритм решения уравнения вида f(x) = = g(x). 164 8 ФУНКЦИЯ у = 3. Что нужно сделать, чтобы графически решить уравнение вида = kx + ml Прокомментируйте свой ответ на примере решения уравнения = 2д: -I- 3. 4. Установите, используя графический метод, сколько корней имеет уравнение: а) -Ь д: - 4 = 0; б) д: + 4 = 0. §3». ЧТО ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ ЗАПИСЬ у = f(x) Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и Т.Д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама собой, независимо ни от чего (такую переменную чаще всего обозначают буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную чаще всего обозначают буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Ещё раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = Ъ, у = kx, у = kx + т, у = х^, у = -х^. Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: У = fix). вопрос f ме ) Эту запись («игрек равен эф от икс*) следует понимать так: имеется выражение fix) с переменной х, с помощью которого мы находим значения переменной у. Математики предпочитают запись у = fix) не случайно. Пусть, например, fix) = х^, т. е. речь идёт о функции у = х^. Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так: если X = 1, то I/ = 1^ = 1; если X = -3, то у = (-3)^ = 9 и т. д. 165 8 ФУНКЦИЯ у = Если же использовать обозначение f(x) = х^, то запись становится более экономной: /(1) = 1== = 1; Л-3) = (-3)^ = 9. Итак, мы познакомились ещё с одним фрагментом математического языка: фраза «значение функции у = х^ в точке х = 2 равно 4» записывается короче: «если f{x) = х^, то f(2) = 4*. А вот образец обратного перевода. Если f(x) = х^, то /(-3) = 9. По-другому — значение функции у = х^ в точке л: = -3 равно 9. Пример 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х®. Вычислить: а) /(1); д) /(а - 1); б) Л-4); е) тхУ, в) Ла); ж) f(-x). г) Л2а); Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении /(х) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. а) Л1) = 1® = 1; б) Л-4) = (-4)3 = -64; в) Ла) = «3; г) f(2a) = (2а)3 = ЗцЗ; д) Ла - 1) = (а - 1)3; е) f{Zx) = (Зх)3 = 27x3; ж) К-х) = (-х)З = -хЗ. d Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном из латинского алфавита): д(х), h{x), s(x) и т. д. Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f{x) = х^, и у = g(x), где ^х) = хЗ. Доказать, что: а) f(-x) = f(x); б) g(-x) = -g(x). Решение, а) Так как f(x) = х^, то f(-x) = (-х)З = х^. Итак, f(x) = хЗ, f(-x) = хЗ, значит, f(-x) = f(x). 166 8 ФУНКЦИЯ у = б) Так кг1к g{x) = х^, то ^-х) = (-х)® = -х^. Итак, g(x) = х®, ^(-х) = -X®, т. е. g(-x) = -g(x). <1 Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной. Пример 3. Дана функция у = /(х), где = 2х, если X < 0; х^, если X > 0. а) Вычислить: /(-5), /(-2), /(1,5), /(4), /(0). б) Построить график функции у = /(х). Решение, а) Что такое /(-5)? Это значение заданной функции в точке X = -5. Но функция задана не одним выражением, а двумя: 2х и х^. Каким из них воспользоваться? Это зависит от выбранного значения аргумента. Мы выбрали х = -5, а число -5 удовлетворяет неравенству х < 0; в этом случае функция задаётся выражением, стоящим в первой строке, т. е. /(х) = 2х. Тогда /(-5) = 2 • (-5) = -10. Алалогично вычисляем /(-2): если х = -2, то х < 0 и, значит, /(х) = 2х, т. е. /(-2) = 2 • (-2) = -4. Вычислим /(1,5), т. е. значение функции у = /(х) в точке X = 1,5. Это значение х удовлетворяет условию х > 0, и, следовательно, функция задаётся выражением, стоящим во второй строке, т. е. /(х) = х^. Поэтому /(1,5) = 1,5^ = 2,25. Аналогично находим /(4): если х = 4, то х > 0 и, значит, /(х) = = х^, т. е. /(4) = 4^ = 16. Осталось вычислить /(0). Значение х = 0 удовлетворяет условию X > о, следовательно, /(х) = х^, т. е. /(0) = 0^ = 0. б) Мы умеем строить графики функций у = 2х (рис. 66) и у = х^ (рис. 67). Заданная функция у = /(х) совпадает с функцией у = 2х при X < о — эта часть графика выделена на рисунке 66. Заданная функция у = /(х) совпадает с функцией у = х^ при X > о — эта часть графика выделена на рисунке 67. Если мы теперь изобразим обе выделенные части в одной системе координат, то получим требуемый график функции у = /(х) (рис. 68). (И 167 8. ФУНКЦИЯ у = х' Конечно, математики не строят подобные графики так долго. Обычно всё делается сразу в одной системе координат. Только, естественно, прямая у = 2х берётся не целиком, а лишь при условии д: < О, т. е. на промежутке (-°о; 0), и парабола у = берётся не целиком, а лишь при условии X > о, т. е. на промежутке [0; +оо). Вот так «по кусочкам» и воспроизводится весь график. Поэтому функции такого типа, как в примере 3, называют кусочными функциями. кусочная функция Пр и м е р 4. Дана функция у = f(x), где X + 2, если -4 < X < -1; f(x) = - х^, если -1 < X < 0; 4, если о < X < 4. а) Вычислить: f(-4), f(-2), Д-0,5), /(0), /(1), Я5); б) построить график функции у = f(x). Решение, а) Значение х = -4 удовлетворяет условию -4 < X < -1, а в этом случае /(х) = х Ч- 2. Поэтому /(-4) = -4 -I- 2 = -2. Значение х = -2 удовлетворяет условию -4<х<-1,ав этом случае f(x) = х + 2. Значит, /(-2) = -2 Ч- 2 = 0. Значение х = -0,5 удовлетворяет условию -1 < х < 0, а в этом случае Дх) = х^. Следовательно, Д-0,5) = (-0,5)^ = 0,25. Значение х = 0 удовлетворяет условию -1 <х<0, ав этом случае Дх) = х^. Тогда ДО) = 0^ = 0. 168 8 ФУНКЦИЯ Y = Рис. 69 Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72 Значение л: = 1 удовлетворяет условию О < л: < 4, а в этом случае f(x) = 4; в частности, и /(1) = 4. Значение х = 5 не удовлетворяет ни одному из имеющихся условий: ни первому -4 < X < -1, ни второму -1 < х < О, ни третьему О < X < 4. Поэтому вычислить /(5) мы не можем, это задание некорректно. б) График функции у = /(х) построим «по кусочкам». На рисунке 69 изображён график функции у = х -I- 2, где хе [-4; -1]. На рисунке 70 представлен график функции у = х^, где х€ (-1; 0]. На рисунке 71 изображён график функции i/ = 4, где хе (0; 4]. Наконец, на рисунке 72 все «кусочки» воссоединены в одно целое — в график функции у = /(х). (И Вот так с помощью известных графиков «по кусочкам» можно строить графики на координатной плоскости. Опишем с помощью построенного на рисунке 72 графика некоторые свойства функции у = f{x) — такое описание свойств обычно называют чтением графика. Чтение графика — это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А построение графика — это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели. Итак, приступаем к чтению графика функции у = f{x) (см. рис. 72). чтение графика область определения функции 169 8 ФУНКЦИЯ У = )^ 1. Независимая переменная х ♦пробегает» все значения от -4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [-4; 4] можно вычислить значение функции f{x). Говорят так: [-4; 4] — область определения функции. Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти Д5) нельзя? Да потому, что значение jc = 5 не принадлежит области определения функции. 2. у^^^ = -2 (этого значения функция достигает при х = -4); Унаиб ~ 4 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0; 4]). 3. у = о, если X = -2 и если х = 0; эти точки графика функции !/ = f(x) принадлежат оси х. 4. у > о, если X е (-2; 0) или если х £ (0; 4]; на этих промежутках график функции у = /(х) расположен выше оси х. 5. у < о, если X 6 [-4; -2); на этом промежутке график функции у = f{x) расположен ниже оси х. 6. Функция возрастает на отрезке [-4; -1], убывает на отрезке [-1; 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0; 4]. По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным. Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трёх ветвей (из трёх ♦кусочков»). Первая и вторая ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) ♦ состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в точке (-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке. А вот вторая и третья ветви менее удачно ♦состыкованы»: третья ветвь (♦кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: ♦функция у = f(x) претерпевает разрыв при д: = 0 (или в точке X = 0)». Если функция не имеет точек разрыва, то её называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = Ь, у = kx, у = kx + т, у = х^, у = -х^), — непрерывные. непрерывная функция точка разрыва 170 8 ФУНКЦИЯ у = 2х^ х-2 Построить и прочи- Пример 5. Дана функция у = тать её график. Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика — единая и цельная наука, её разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 7, и сократим алгебраическую дробь х-2 Имеем f(x) = х^ - 2х^ _ х‘(х - 2) х-2 х-2 Итак, на самом деле f(x) = х^. Правда, = X надо учесть, что тождество х^ - 2х^ х-2 справедливо лишь при ограничении х^2. Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции У = будем рассматривать функ- л: - 2 цию у = х^, где X * 2. Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х^. Прямая х = 2 пересекает её в точке (2; 4). Но по условию X * 2, значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком. Таким образом, график функции построен — это парабола у = х^ с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 73). Перейдём к описанию свойств функции у = f(x), т. е. к чтению её графика. 1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме X = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (-о°; 2) и (2; -t-oo). 2" Унаим = о (достигается при х = 0), у^^^ не существует. 3. Функция претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2); на (-о°; 2) и на (2; +о°) она непрерывна. 171 8 ФУНКЦИЯ у = 4. I/ = О, если X = 0. 5. у > О, если X е (-°о; 0), если х е (0; 2) и если х е (2; +о°). 6. Функция убывает на луче 0], возрастает на полуинтервале [0; 2) и на открытом луче (2; -t-oo). щ) Вопросы для самопроверки 1. Известно, что f{x) = 2дс -Ь 3. Найдите: а) f{2x); б) f(2x + 3). 2. Известно, что f{x) = Найдите: а) f{2xy, б) f{2x + 3); в) Д-х); г) f(x% 3. Известно, что f(x) = -х^. Найдите: а) /(0,5л:); б) f(x - 3); в) /(-2л:); г) f{-x% 4. Как вы понимаете, что такое кусочная функция? 5. Приведите пример кусочной функции у = /(л:), в котором задание вычислить /(17) является некорректным. 6. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и луча графика линейной функции. Задайте её аналитически (с помощью формул). 7. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и двух отрезков графиков разных линейных функций. Задайте её аналитически. 8. Приведите пример функции, которая претерпевает разрыв при л: = 1. 9. Сколько свойств функции мы уже можем записать, когда выполняем чтение графика? Перечислите эти свойства. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Мы пополнили наш словарный запас математического языка следующими терминами: парабола, ось (ось симметрии) параболы, ветви параболы, вершина параболы; непрерывная функция, разрыв функции; кусочная функция; область определения функции; чтение графика. 172 8 ФУНКЦИЯ у = Мы познакомились с двумя математическими моделями: У = fix). Мы получили следующий результат: графиком функции у = х^(и функции у = -х^) является парабола. Мы разработали алгоритм графического решения уравнения вида fix) = gix). Наконец, вы познакомились с тем, как строить графики кусочных функций. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Графическое решение уравнений. 2. Кусочная функция. 3. Группировка данных. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя ............................... 3 Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ § 1. Числовые и алгебраические выражения................. 7 § 2. Что такое математический язык...................... 14 § 3. Что такое математическая модель.................... 16 § 4. Линейное уравнение с одной переменной.............. 22 § 5. Координатная прямая................................ 27 Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 6. Координатная плоскость ............................ 33 § 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график 39 § 8. Линейная функция и её график....................... 47 § 9. Линейная функция у = kx............................ 58 § 10. Взаимное расположение графиков линейных функций.. 60 Основные результаты............................... 62 Глава 3. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 11. Основные понятия.................................. 65 § 12. Метод подстановки................................. 70 § 13. Метод алгебраического сложения.................... 74 § 14. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций....... 77 Основные результаты............................... 80 Глава 4. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА § 15. Что такое степень с натуральным показателем....... 81 § 16. Таблица основных степеней......................... 85 § 17. Свойства степеней с натуральными показателями..... 87 § 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями........................ 93 § 19. Степень с нулевым показателем..................... 95 Основные результаты............................... 97 Глава 5. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ § 20. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена ..... 98 § 21. Сложение и вычитание одночленов ................. 100 174 § 22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень ............................ 105 § 23. Деление одночлена на одночлен .................... 108 Основные результаты............................... 111 Глава 6. МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ § 24. Основные понятия ................................. 112 § 25. Сложение и вычитание многочленов ................. 115 § 26. Умножение многочлена на одночлен ................. 118 § 27. Умножение многочлена на многочлен ................ 122 § 28. Формулы сокращённого умножения ................... 123 § 29. Деление многочлена на одночлен.................... 130 Основные результаты............................... 132 Глава 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ § 30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно ................................ 133 § 31. Вынесение общего множителя за скобки ............. 136 § 32. Способ группировки ............................... 139 § 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения........... 142 § 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов............ 145 § 35. Сокращение алгебраических дробей ................. 149 § 36. Тождества ........................................ 153 Основные результаты............................... 155 Глава 8. ФУНКЦИЯ у = § 37. Функция у = и её график .......................... 156 § 38. Графическое решение уравнений .................... 162 § 39. Что означает в математике запись у = f(x) ........ 165 Основные результаты............................... 172 Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич АЛГЕБРА 7 класс В двух частях Часть 1 УЧЕБНИК для учащихся общеобразовательных учреждений Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский Редактор С. В. Бахтина. Младший редактор С. О. Никулаев Оформление и художественное редактирование: Т. С. Богданова Технический редактор О. Б. Нестерова Корректор Л. В. Дьячкова Компьютерная вёрстка: Е. Н. Подчепаева, А. А. Горкин Формат60x90 Vie- БумагаофсетнаяМё 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 11,0. Тираж 100 000 экз. Заказ № 3001 Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел.: 8(499)3675418, 3675627, 3676781; факс: 8(499)1659218. E-mail: ioc@mnemozina.ru WTWW .mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ», ИНТЕРНЕТ-магазин). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел./факс: 8(495)7838284; тел.: 8(495)7838285. E-mail: magazin@mnemozina.ru www.shop.mnemozina.ru Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8(495)6656031 (многоканальный). E-mail: td@mnemozina.ru Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «Ульяновский Дом Печати». 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14.