Алгебра 10-11 класс Задачник базовый уровень Мордкович часть 2

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Алгебра 10-11 класс Задачник базовый уровень Мордкович часть 2 - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
:iw. ■?’ V ji^ ‘V^ ^4/' ^ c® V s > \ -V C’ ,0*^ sit^ ^3C COS^JC = 1 + cos 2x ted i cos(jc ±y) = cos X cos у q: sin x sin у sin(jc +1/) = sin X cos у ± cos x sin у sin x = m x = (—1)" arcsin m-^nn cos x = m x = ± arccos m + 2nn igx = m x = arctg m + nn sin л: = 0 sinA: = l sinjc = ~l х = кп л: =-^+27171 д: = —-^ + 2яп cos х = 1 cos х = —1 X к юг X = 2ят1 х = к + 2пп За разработку и внедрение новой концепции изучения курсов алгебры в общеобразовательных учреждениях авторам учебно-методических комплектов для 7 — 11 классов (руководитель — А. Г. Мордкович) присуждена премия Президента Российской Федерации в области образования за 2001 год и начала математического анализа классы В двух частях Часть 2 ЗАДАЧНИК ДЛЯ учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) Под редакцией А. Г. Мордковича Рекомендовано . к Г’ Министерством образования и науки Российской Федерации 14-е издание, стереотипное Москва 2013 УДК 373.167.1:[512f517] ББК 22Л41я721+22.161я721 А45 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106—5215/9 от 31.10.2007) и Российской академии образования (№ 01—666/5/7д от 29.10.2007) Авторы: А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Г. Мишустина, П. В. Семенов, Е. Е. Тульчинская Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. — 14-е изд., стер. — М. : Мнемо-зина, 2013. — 271 с. : ил. ISBN 978-5-346-02411-8 Предлагаемый задачник по курсу «Алгебра и начала математического анализа» в 10—11-м классах соответствует одноименному учебнику. В каждом параграфе задачника представлена разнообразная система упражнений, включающая четыре уровня — по степени нарастания трудности. УДК 373.167.1:[б12-1-517] ББК 22.141я721-+-22.161я721 ISBN 978-5-346-02411-8(4. 2) ISBN 978-5-346-02409-5(общ.) © «Мнемозина», 2000 © «Мнемозина», 2013 ©Оформление. «Мнемозина», 2013 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ Издательство «Мнемозина» подготовило учебно-методический комплект для изучения в 10—11 классах общеобразовательной школы курса алгебры и начал математического анализа на предусмотренном государственным стандартом базовом уровне: Программы. Математика. 5—6 классы. Алгебра. 7—9 классы. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы / авт.-сост. И. И. Зубарева. А. Г. Мордкович; А. Г. Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник; А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник; A. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. Методическое пособие для учителя; B. И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы (базовый уровень). Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича; Л. А Александрова. Алгебра и начала математического анализа. 10,11 классы. Самостоятельные работы / Под ред. А. Г, Мордковича. У вас в руках вторая книга комплекта — задачник. Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить в нем полноценную как по объему, так и по содержанию систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий, для повторения (без привлечения других источников). В каждом параграфе представлены упражнения трех уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого упражнения помещен знак «О») и повышенной сложности (слева от номера такого упражнения помещен знак «•»). Нумерация упражнений своя в каждом параграфе. К большинству задач второго и третьего уровней в конце книги приведены ответы. В каждом номере одно, два (а) и б)) или четыре (а)—г)) задания. Все они в пределах конкретного номера однотипны, поэтому советуем вам разбирать в классе пункт а) (или пункты а) и б)), а на дом задавать пункт б) (или соответственно пункты в) и г)). Этот задачник естественным образом соотносится с известным задачником «Алгебра и начала анализа, 10—11» (издательство «Мнемозина», авторы — А. Г. Мордкович и др.), который с 2000 г. используется в общеобразовательных школах России. Но есть и отличия. Во-первых, появились две новые главы («Числовые функции» и «Элементы комбинаторики. Теории вероятностей и математической статистики»), во-вторых, из-за сокращения количества часов на изучение курса алгебры и начал анализа на базовом уровне по сравнению с тем, что было в 2000—2006 гг., пришлось несколько сократить содержание практически всех параграфов. Тём не менее число упражнений остается явно избыточным по сравнению с тем, что реально можно успеть сделать со школьниками при предусмотренных учебным планом четырех часах в неделю на изучение всего курса математики (включая геометрию). Мы сознательно пошли на это, чтобы у учителя отсутствовала необходимость обращаться к другим источникам, а учащиеся, решившие все-таки поступать в вузы негуманитарного профиля, были бы для этого достаточно подготовлены. Имеющаяся преемственность с нашим старым задачником даст учителю, работавшему ранее по задачнику для общеобразовательной школы, возможность более комфортно перейти на работу по настоящему задачнику, ориентированному на базовый уровень изложения материала. Авторы I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Числовые функции I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 1. Определение числовой функции u способы ее задания 1.1. Из заданного соотношения выразите переменную у через переменную х: а) Зх + 4у = 12; г) — - 4 = Зл:. ху в) 6у - 5х + 1 = 0; б) 2ху + у = -7; ху Будет ли полученное соотношение задавать функцию? 1.2. Для функции у = f(x)y где f(x) = х^ - 5х^ + 7, найдите: а) /(1); б) /(3); в) Д-2); г) /(1,5). 2х^ + Зл: — 4 01.3. Для функции у = f(x)y где f(x) =----------, найдите: Зх "Ь 3 а) f(x - 2); б) /(-*"); в) г) f(2x‘ + Зх + 5). Найдите область определения функции: 5 + 6л: 1.4. а)у = Зх - 2^ 5л: + З’ 1.5. а) у = у1х^ - Зх + 2; 1 в) У = г) I/ = 2л: - 4' 7 25 - л:^ в) у = у1х^ + 4л: - 12; б)у = yjx^ - 4 г) г/ = 49 - л: 2 ' ГГ 7 2л: + 3 01.6. а) у = б) у = Ых-3x^-3 + в) у = Ьх^-5х + 2 + г) I/ = yjx^ - 36 + 5л: + 3 /л: л/Ил: - л:^ - 10 - 2401 Постройте график заданной функции, найдите область определения и область значений функции: 1.7. 1.8. 1.9. 01.10. 01.11. а) i/ = 2л: - 3; б) у = 6 - Зх; аУ'у = + 2; б) у = 3 - 2х^; а) у = 4х \ б) у = yjx -3 ; а) у = х^ + Зх - 28; а) ^ = - + 3; X б) У = —^ ; л: + 3 в) г/ = - +4; ч 2л: г) г/ = -у -3. в) !/ = - 4; г) У = -1,5л:^ - 2. в) у = -4х ; т) у = -у/х + 2. б) у = -х^ - 2х + 24. в) у = — - 1; X ч 4 г) I/ = ----• 1 - л: 01.12. а) у = |х|; б)у = \х - 2|; в) у = -|л:|; т) у = 3 - |л:|. •1.13. Найдите область определения и область значений функции: 1 1 а) г/ = в) I/ = 16л:^ - 49 ’ ^ 9 _ 25л:^ ’ б) ^ = у1х^ -I- 4л: + 3 ; г) I/ = л/Зл: - л:^ + 18 . 01.14. Используя график функции у = Дх), изображенный на рис. 1, постройте график функции: а) I/ = f{-x)\ в) I/ = -/(-х); б) Z/ = -Дх); _г) £/ = Дх - 1) + 2. Рыс. 1 •1.15. Используя график функции у = f(x), где f(x) = х^ - 4х + 3, постройте график функции: а) I/ = /(|л:|); б) у = |/(jc)|; в) у = |/(|x|)l; г) у = -|Я|л:|)|- 01.16. Решите графически уравнение: а) = 3 - 2х; в) \х - 2\ = б) Jx = 2х - 6; г) х~^ = 5х - 4. 01.17. Функция у = fix) задана следуюш;им правилом: каждому неотрицательному числу ставится в соответствие вторая цифра после запятой в записи числа в виде бесконечной десятичной дроби. Найдите: 6)ГШ); г)г{Ш‘). а) f 01.18. Дана функция у = fix), где fix) = а) Найдите /(6,25); /(0,01); /(-3); б) постройте график функции; в) найдите D(/); г) найдите Eif). 01.19. Дана функция у = fix), где х^ + 4х + 5, если -4 < л: < О, 5 - 2х, если О < л: < 2, —, если О < л: < 1, X yjx, если X > 1. fix) = —, если X > 2. X а) Найдите /(-5); /(-3); /(0); /(4); б) постройте график функции; в) найдите J5(/); г) найдите Eif). § 2. Свойства функции 2.1. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность: а) у = 8х + 3; б) у = 5 - 2х; а) */ = 3 +1; - 1 2л: ^ ^ 3 5 Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность: 2.2. а) I/ = 2х^ - 3; 02.3. 02.4. 02.5. б)»=7-у; а) ^ = + 2х + 1, X > -1; б) у= ^ < -2; а) у = х^ + 2х; б) у = 5 - х^ - 6л:^; а) у = Vjt:® -t-1 ; б) у = 5 - х^ - у12х^ ; в) I/ = - - л: ; г) у = 4 + х^. в) у = -х^ + бх - 12, X > 3; г) ^ = —- , х> -5. X + 5 в) у = 4 - х\ г) у = х^ + х^ - 3. в) у = 2 - у[х ; г) у = V? -Ь л: - 1. Исследуйте функцию на ограниченность: 02.6. а) у = х^ - 8х + 1; 2х-4 У = —— у х> 0; 02.7. а) у = yj-x^ + 4л: - 5 ; в) у = -2х^ - 6л: -t- 15; ч 5 - 2л: т)у = ------, д: < 1. 1-я: б) г/ = я:^ - 4д: + 1 в) у = \1-2х^ + 8л: -Ь 9 ; г) = 2я:^ - 4л: + 2 2.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = 3 - 2х, X 6 [-1; 3]; б) у = -2х^ -I- 2л:, X Е [-3; 2]; в) у = 3 - 4х, X Е (-00; 3]; г) ^ = д:^ Ч- 4л: -I- 5, л: £ (0; 1]. а) у = yfx , X Е [2; +оо);“ б) у = -4х , X Е [1; 9]; 02.10. а)у = 2\х\ - 1, д: £ [-3; 2]; б) у = 3 - \2х\, X Е (-5; 4]; 2.9. в) у = у/х , X £ [1,44; 6,25]; г) у = -yjx , я: £ (0; 1,69]. в)1/=1,5-|5д:|, д:£ [-8; 2]; т) у = б\х\ - 2, д: £ [-10; 4). 2.11. Исследуйте функцию на четность: а) у = х^ + 2х^ -Ь 1; йч X У = ——7; я:'' + 1 в) I/ = -Зд:^ + 1 , ч 4 ’ 1-я: 3 т) у - б - Зх Постройте и прочитайте график функции: 02.12. у = ■ 02.13. у = 02.14. у = 02.15. у = ' —, если л: < О, X зТх, если X > Q. 4 - 2х^, если -1 < л: < 1, л: + 1, если 1 < jc < 3. 2, если -3 < л: < 1, + 1, если 1 < л: < 4, {х - 5)^ + 2, если 4 < л: < 6. х^, если JC < О, -лг^ + 2л: + 2, если О < л: < 2, л:, если 2 < л: < 4. § 3. Обратная функция Для заданной функции найдите обратную функцию: Зл: - 1; в) I/ = 5л: + 2; 2 -1- 4л:; г) i/ = 3 - л:. л: + 1 в) 1/ = 3 - 2л: 2л: - 3 ’ 5л: + 1 ’ 4 - Зл: г) У = 2:с - 5 1 + л: ’ 1 + 2л: ‘ 03.2. я) у = б)у = Для заданной функции найдите обратную; постройте график заданной функции и обратной функции: 03.3. я) у = х^f X > 0; в) у = {х - 1)^, л: < 1; б) у = у/х; г) г/ = 03.4. я) у = х^; в) у = 1 - х^; б) У = (х - т) у = (х + 3)^ - 1. •3.5. Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функций: я) у == х^ + 4х - S, X Е [-3; 0]; б) у = Х^ + 4х - 8, X Е (-00; -2); в) у = -х^ -Ь 2л: + 6, л: 6 [0; 3]; г) у = -х^ + 2х + 6, X Е [3; -hoo). § 4. Числовая окружность Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвертая (рис. 2). Опираясь на эту геометрическую модель, решите следующие задачи. Рис. 2 4.1. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: AM, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС? 4.2. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая — на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: AM, BD, СК, МР, DM, МК, СР, PC? 4.3. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2:3, считая от точки А. Чему равна длина дуги: AM, МВ, DM, МС? 4.4. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1:5, считая от точки С. Чему равна длина дуги: СР, PD, АР? 10 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: а) ^ 2’ б) я; в) Зя У’ г) 2я. 7я; б) 4я; в) 10я; г) Зя. п я я я 3’ 4 = в) 6’ 8- 2я Зя в) 5я , 5я У’ б) Т’ У’ т- 4я 5я 7я 11я У’ в) 6 ’ -г- я "2’ 2я б) -у; в) -2я; . Зя __ 25я 26я в) 25я 16я Т’ 3 ’ 6 ’ -у- 4.13. а) а) а) а) а) Что вы можете сказать о взаимном расположении точек, соответствующих заданным числам, на координатной прямой и на числовой окружности? а) ^ и -t\ в) ^ и i -I- я; б) t и t + 2nk, k е Z; г) t + п VL t - п? Запишите все числа, которым соответствует на числовой окружности точка: а)М,|^1; б)Мг(5); в) г) М4(-3). 4.14. 4.15. Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (рис. 2): а) А; б) С; в) А и С. Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (рис. 2): а) В; б) D; в) В и D. 04.16. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует числу: а) 1; б) -5; в) 4,5; г) -3. 11 Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу: ^ 04.17. а) 6; 04.18. а) 5; б) 2; б) -5; в) 3; в) 8; г) 4. г) -8. Найдите все числа которым на числовой окружности (рнс. 2) соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге (т. е. дуге без ее концов): 04.19. а) ЛМ; б) СМ; в) МА; г) МС. (М — середина первой четверти.) 04.20. а) DM; б) BD; в) MD; г) DB. (М — середина второй четверти.) § 5. Числовая окружность на координатной плоскости Центр числовой окружности совпадает с началом координат на координатной плоскости xOi/. Найдите декартовы координаты заданной точки: 5.1. а) М| ^ I; 5.2. а) М(2д); 5.3. а) М 15л ^ 4 / б) М Л/гГ б) м ------- V 3 в) MI-J; в) М| в) М 31л\ 4 / г) М| - |. г) М(15л). . 26л г) М------ Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами: 5.4. а) М б) М 5.5. а) М б) М 1 2 ’ 2^ 1 v" 2 ’ 2, (l [2’ 2J 1. 2’ 2 в) М г) М в) М г) М (А ^ :/2. _1 2 ’ 2 ^1 2 2 2 12 Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой и запишите, каким числам t они соответствуют: 5.6. а) у = 2 ’ в)у = 0; , Vi 5.7. а)у = У б)у = 1; в) г/ = ; г)у = -1. 5.8. Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой и запишите, каким числам t они соответствуют: 7з 1 V2 а) л: = —; б) х =-; в)х = 1; г) х = —. 2 2 2 5.9. а)д: = 0; 05.10. 1 л/з б) X = —; в) X =--------; r)jc =-1. 2 2 Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности: а)^(2); 6)Ji:(-4); в)Р{-1); r)L(6). Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяюш;ей заданному неравенству, и запишите (с помош;ью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют: 05.11. а)л: > 0; б) X < -; 1 в) X > -; 2 г)л: < 0. 05.12. . Vi а) X < —; 2 S б) X > ; 2 ч Vs г) X > 2 ' 05.13. а)у > 0; в)У>^-, г)у < 0. С 05.14. . Vi Vi б) у > в) у < т)у > А 2 ' § 6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс Найдите sint, , cost и tgt. если: 6.1. a)t = 0; я 6)* = -; Зя в)* = -; r)t = п. 6.2. a)t = -2л. Я б) t Зя в) t r)t = -п. 6.3. ^ 5я a)t = —; 6 5л б) t = —; 4 . 7я г)* = -. 13 7я^ 4 ’ б) ^ = 4я в) t = 5я^ 6 ’ г) t = 5я ~Y' 13я^ 6 ’ б)^ = 8я^ 3 ’ в) t = 23я_ ”б~’ г) t = 11я Найдите sin^, cos^ и tg^, если: 6.4. а) t = 6.5. а) t = Вычислите: 'V. 06.6. а) sin 1 I + cos — + cos ( ]; I 4j 3 V TC n n n 6) cos — • cos — • cos — • cos —; 6 4 3 2 B)sin|^--^ - cos (-я) + sin |; 71 , TC , U , n r) sin — • sin — • sin — • sin —. 6 4 3 2 (Я] .71 7t Л-Я 06.7. a) sin----+ cos — + sin — • cos — + cos 0 • sin —; I 4; V4; 4 2 2 5n 4я . Зя . 5я Зя б) cos — + cos — + sin-sin-cos —. 3 3 2 8 2 6.8. a) tg ^ + ctg 4 4 6) ctg - • tg 3 6 B) tg^-ctg^; 6 » 6 . , 9я .71 г) tg - + ctg-. 4 4 06.9. a) tg — • sin — ■ ctg —; 4 3 6 6) 2 sin я + 3 cos я + ctg —Г B)2sin-.cos- - - tg r) 2 tg 0 + 8 cos — - 6 sin^ ^ . 2 о 6.10. a) tg ^ • ctg 5 5 \ Л, ^ J. ^ b) tg - • ctg 7 7 6) 3tg 2,3-ctg 2,3; Г) 7 tg ^ • ctg 14 6.11. Докажите тождество: а) sin t • ctg t = cos t; sin t 6) tg t = cos t; b) ctg t • ig t ~ sin t\ cos t r) ctg t = sin t. 06.12. Упростите выражение: а) sin t ■ cos t ' tg t; б) sin t ' cos t • ctg t - 1; b) sin^ t - tg t • ctg t; r) 1 - cos^t 1 - sin^ t Найдите значение выражения: 06.13. a) cos 2i, если t = —; 2 t n 6) sin если t = —; 2 3 b) sin 2ty если t = — r) cos если t 2 06.14. a) sin^ t - cos^ t, если t = 3 ,22 ^ o) sin t + cos t, если t = —; 4 V . 2 2 ^ b) sin t - cos t, если t = 4 Ч « 2 2 ^ r) sin t + cos t, если t = —. 6 06.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения: а) 2 sin t; б) 3 + 4 cos t; в) -3 cos t; Решите уравнение: V2 6.16. а) cos t = —; 2 , 1 в) cos t = —; 2 . 1 б) sin t = r) sin t = —. 2 6.17. а) sin t = ; 2 b) cos t = 2 б) sin t = у[3; r) cos t = —. 3 15 6.18. Решите уравнение: а) sin i + 1 = 0; б) cos i - 1 = 0; в) 1 - 2 sin t = 0; г) 2 cos f - 1 = 0. 6.19. Укажите все значения t, при которых не имеет смысла выражение: sin f - 1 ___ _ cos t + Ъ cos t cois f ’ ^^2 sin t - yjb ^^3-3 sin t' Определите знак числа: г) sin t 10 - 20 cos t 4я 06.20. a) sin —; 7 6) cos V 7 j . . 9я ; в) sin —; 8 . . f Зя г) sin V 8 6я 06.21. a) tg —; 7 , 10я 6) ctg —; 8я в) tg . , 11я г) ctg . 5 06.22. a) sin (-2); 6) cos 3; в)sin 5; г) cos (-6). 06.23. a) sin 10; 6) cos (-12); в) sin (-15); г) cos 8. 06.24. a)sin 1 • cos 2; b) cos 2 • sin (-3); 06.25. б) sin — • cos 1 гт) 1 I ^ г) cos — 5я а) cos tg 9 25я 18 ’ . . 7я в) sin 10 б) tg 1 - cos 1 2; г) sin 2 - 14я^ . f 4n sin Зя 06.26. a) sin 1 • cos 2 • tg 3 • ctg 4; 6) sin (-5) • cos (-6) • tg (-7) • ctg (-8). 06.27. Вычислите: a) cos 1 + cos (1 + я) + sin ( --^.1 + cos I |; 6) sin 2 + sin (2 + я) + cos^ I + sin^ —, ' 12J 12 16 Вычислите: 06.28. а) sin^(l,5 + 2nk) + cos^ 1,5 + cos я — I + sin 6) cos^ [ ^ + 4я j + sin^ [ ^ - 44я |. 06.29. a) tg 2,5 • ctg 2,5 + cos^ n - sin^ — - cos^ —; 8 8 *2 rt j -« 14 2 ( 6) Sin — - 2 tg 1 • ctg 1 + cos , о 5я + sin —. 7 ) 2 Решите уравнение: 06.30. a) 10 sin t = n/75; b) 8 COS t - = 0; 6) sin ^ + 2 = 0; r) 8 cos t = —yj4S. 06.31. a) sin^ — + cos^ — - V2 sin t = 0; 8 8 6) J- cos t = cos^ 1 + sin^ 1. V3 •6.32. a) |sin ^| = 1; 6) Jl - sin^ t = -7; b) |cos t\ = 1; r) л/iT cos t = 2 2 06.33. Имеет ли смысл выражение: а) V sin 10,2я; в) yjsin (-3,4я); б) л/cos 1,3я; г) д/cos (-6,9я)? •6.34. Сравните числа а и если: , . 7я , . 5я а) а = sin —, о = sin —; 10 6 б) а = cos 2, Ъ = sin 2; •6.35. Определите знак разности: . . 2я . 10я а) sin----sin----; 9 9 б) sin 1 - sin 1,1; в) а = cos b = cos —; 8 3 г) a = sin 1, b = cos 1. ^ . 15я я в) sin------cos —; 8 4 г) cos 1 - cos 0,9. 17 6.18. Решите уравнение: а) sin t + 1 = 0; б) cos f - 1 = 0; в) 1 - 2 sin ^ = 0; г) 2 cos f - 1 = 0. 6.19. Укажите все значения при которых не имеет смысла выражение: sin t - \ ___ _ cos f + 5 cos t cos f ’ ^^2 sin t - у/з ^^3-3 sin t' Определите знак числа: г) sin t 10 - 20 cos t 06.20. a) sin —; 7 6) cos V 7 J . . 9я ; в) sin —; 8 , . Г Зя г) sin 1 8 6я 06.21. a) tg —; 7 6) ctg —; 8я в) tg . . 11я г) ctg —. 5 06.22. a) sin (-2); 6)cos 3; в)sin 5; г) cos (-6). 06.23. a) sin 10; 6) cos (-12); в) sin (-15); г) cos 8. 06.24. а) sin 1 • cos 2; в) cos 2 • sin (-3); .-ч . ^ ( 7я"1 ч f 14я^ . б) sin — • cos "Т- ’ г) cos sin 7 1 9 j ч 5я , 25я ^ . 7я , Зя а) cos tg в) sin ctg —; 9 18 10 5 б) tg 1 - cos 2; г) sin 2 - ctg 5,5. 4я 9 06.25. 06.26. a) sin 1 • cos 2 • tg 3 • ctg 4; 6) sin (-5) • cos (-6) • tg (-7) • ctg (-8). 06.27. Вычислите: 1 Я + cos - - ; 0 1 6j ^ ^ -2 я — + Sin — I2J 12 16 Вычислите: 06.28. а) sin^(l,5 + 2nk) + cos^ 1,5 + cos я . I я — + sin — 4j I 6 6) cos'^ — + 4я I + sin^ 8 - - 44я I. 8 06.29. a) tg 2,5 • ctg 2,5 + cos^ n - sin^ — - cos^ —; 8 8 Зтг 6) sin^--------2 tg 1 • ctg 1 + cos^ I - Зя 7 j , о 5я + sin —. Решите уравнение: 06.30. a) 10 sin t = yjlb'y в) 8 cos t - = 0; 6) "v/s sin ^ + 2 = 0; r) 8 cos t = —\/48. 06.31. a) sin^ — + cos^ — - V2 sin t = 0; 8 8 6) J- cos t = cos^ 1 + sin^ 1. V3 •6.32. a) |sin = 1; b) |cos t| = 1; 6) Vl - sin^t = r) Vl - cos^ t = 2 2 06.33. Имеет ли смысл выражение: а) yfshiTo^; в) ^sin (-3,4я); б) ^Jcos 1,3я; г) у]cos (-6,9п)? •6.34. Сравните числа а и &, если: , . 7л , . 5л а) а = sin —, о = sin —; 10 6 б) а = cos 2, Ъ = sin 2; •6.35. Определите знак разности: , . 2я . 10я а) sin---sin-----; 9 9 б) sin 1 - sin 1,1; в) а = cos Ъ = cos —; 8 3 г) а = sin 1, Ь = cos 1. , . 15я я в) sin------cos —; 8 4 г) cos 1 - cos 0,9. 17 Расположите в порядке возрастания числа: rsa оа \ .Л . 2Я . 7п . 4л 06.36. а) sin —, sin —, sin —, sin —, sin —; 7 5 3 6 3 я Л 5л 5я 7я о) cos —, cos —, cos —, cos —, cos —. 8 3 6 4 4 •6.37. ,^a) sin2, sin3, cos4, cos5; в) sin3, sin4, sin6, sin7; 6) cos3, cos4, cos6, cos7; r) cos2, cos3, sin4, sin5. •6.38. a) 1, sinl, cosl, tgl; 6) 2, sin 2, cos 2, ctg2. Решите неравенство: 06.39. a) sin t > 0; в) sin ^ < 0; o) sin t < —; 2 r) sin t > —. 2 06.40. a) cos f > 0; л/2 6) cos t < —; 2 л/2 06.41. a) sin t >-------; 2 л/з 6) cos t >-----; 2 b) cos ^ < 0; r) cos t > —. 2 b) sin t <-----; 2 r) cos t <-----. 2 § 7. Тригонометрические функции числового аргумента Упростите выражение: 7.1. а) 1 - sin^ t; б) cos^ ^ - 1; в) 1 - cos t; г) sin^ ^ - 1. 7.2. а) (1 - sin 0(1 + sin t); б) cos^ # + 1 - sin^ t; B) (1 - cos 0(1 + cos 0; r) sin^ t + 2 cos^ t - 1. 18 7.3. а) б) 7.4. а) Упростите выражение: 1 cos^ ^ -1; 1 - sin^ t cos^ t (sin t + cos ty 1 + 2 sin t cos t 7.5. Докажите тождество: a) 2 ^ COS t 1 - sin t sin t = 1; b) 1 . 2 ‘ sin t r) 6) 6) 1 - cos t 1 - sin^ t 1-2 sin t cos t (cos t - sin t)^ sin^ t 1 + cos t + cos t = 1, 07.6. Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение: а) sin^ t - cos^ t + 2 cos^ t; 2 - sin^ t - cos^ t 6) 3 sin^ f + 3 cos^ t b) sin t + cos t + 2sin t cos f; Ч sin^ t - cos^ t sin t - cos t По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: 4 я 07.7. а) sin t = —, — < t < п; 5 2 б) sin t = —, О < t < —; 13 2 в) sin t = -0,6, — < ^ < 0; 2 Зтг г) sin t = -0,28, n /2 см, ZA = 45°, ZC = 30°. Найдите ВС, АС и площадь ДАВС. 08.16. Высота треугольника составляет 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника. § 9. Формулы приведения Упростите выражение: 9.1. а) sin 1^— - tj, б) cos (2д - t); в) cos г) sin (тг + t). - + t\; 9.2. a)sin (71 - t); 6) cos — + ^ 2 b) cos (2ti + t); Ч . I Зя г) sin------1 2 9.3. a) cos (90° - a); 6) sin (360° - a); b) sin (270° - a); r) cos (180° - a). 9.4. a) tg I - - f I; B) tg I у -b f |; 6)ctg (180° - a); r) ctg (360° - a). 9.5. Вычислите c помощью формул приведения: а) sin 240°; в) cos 330°; б) tg 300°; r) ctg 315°. 23 Вычислите с помощью формул приведения: 9.6. а) cos —; 3 . . 7я в) sin —; 6 б) sin 11я г) cos 7я 09.7. а) cos 630° - sin 1470° - ctg 1125°. V, . ^ „ ч « 31я , 7я б) ^ sin (-7я) + 2 cos —— в) tg 1800° - sin 495° + cos 945°; \ / П \ г, ( 49я^ ( 21я г) cos (-9я) + 2 sin I —— I - ctg I —— Упростите выражение: 09.8. а) sin (90° - а) + cos (180° + а) + tg (270° + а) + ctg (360° + а); 5я ----t б) sin I — + f - cos (я - О + tg (я - f) + ctg 2 09.9. а) б) 09.10. а) cos (180° + а) cos (-а) sin (-а) sin (90° + а) sin (я - t) cos (2я - 0. tg (я - t) cos (я - t) в) г) sin (-а) ctg (-а) cos (360°-а) tg (180° +а)’ sin (я + t) sin (2я + t) tg (я + f) cos Зя + t cos (я - t) + cos I ^ ^ Зтг sin (2я - f) “ sin I — - t 6) sin^ (я - t) + sin^ '~2~ ^ sin (я - t) 09.11. Докажите тождество: Зя a) sin I — + t tg (Я - 0 I 2 cos (я + f) . f Зя tg I у + f tg (я -1). = t; 6) ctg I - - t sin (n - t) V 2 tg (я + t) . f 7t tg|- + * cos (2я - t) sin (-t) = sin t. 24 Решите уравнение: 09.12. а) 2 cos (2п + t) + sin ^ п ^ ----h f v2 ; = 3; б) sin (71 + 0 + 2 cos \ — + t 2 = 3; b) 2 sin (ti + 0 + cos I — - M = 2/2 r) 3 sin I — + ^ 2 J 09.13. a) 5 sin - cos (2n + i) = 1. - 8 cos (2n - t) = 1; \ , f Sn ^ — + f - sin------1 2 I 2 6) sin (2n + t) - cos — t \ + sin {n- t) = 1. ^ч2 09.14. a) sin^ (я + f) + cos^ (2я - 0 = 0; 6) sin^ (я - 0 + cos^ (2я + 0=1. §10. Функция у = sinx, ее свойства u график Для функции I/ = f(x), где f(x) = sin л:, найдите: 10.1. а)/(71); б) /I -|1; в) И ^ г) /I 10.2. a)f(-x); 6)f(2x); в) f(x + l); г) f(x)-5. 010.3. Найдите значение функции: п • Г 4я а) I/ = 2 sin I л: - — I + 1 при х = —; . , 71 Я б) I/ = -Sin I л: + — I при X = 0-1 ^ I 7я в) V = 2 sin \ X-+1 при X = —; ' 6 j 6 15я г) У = -sin I ^ + ^ I ^ ~ —~- 25 10.4. Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли графику функции y = sinx точка: в) (п; 1); а) I -11; б) я. 1 2’ 2 f Зп 010.5. Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли гра- фику функции у = -sin I JC -ь — I -t- 2 точка: а)10; -I; в) 2я 3 б) Гз + 2 3 2^ г) (4я; 2,5). 010.6. Найдите наименьпгее и наибольшее значения функции y=sinx: я 2я 4’ 3 я -, +00 I; а) на отрезке б) на луче Постройте график функции 010.7. si) у = sin fx - j; . I Зя Зя в) на интервале-, — '24; г) на, полуинтервале | -я, — 3 б) у = sin 010.8. а) у = sin X - 2; б) у = sin X + 1; в) у = sin (х - я); г) и = sin л: -f- — I 3, в) у = sin X + 2; г) у = sin JC - 3. +1; *6) 1/ = sin я' л: + — -1 3j б) у = -sin л: -Ь 3. 26 Решите графически уравнение: 010.11. а) sin л: = л: + 7г; б) sin X = 2х; в) sin X + X = 0; г) sin X = 2х - 2п. •10.12. •10.13. 010.14. а) sin X = —х; п б) sin X = —X + 3. а) sin X - у/х-п = 0; б) -sin х = yfx. Докажите, что функция у = f(x) является нечетной, если: д: -smx •10.15. 010.16. а) fix) = X + sin х; б) fix) = х^ ■ sin х^; г) fix) = х^ - sin х. Дано: fix) = 2х^ - х + 1. Докажите, что /(sin х) = 8 - 2 cos^ X - sin х. Постройте график функции у = fix), где: \х^, если д: < О, а) fix) = sin X, если X > 0; б) fix) =12 sin X, если д: < О, х^, если X > 0. 010.17. Дана функция у = fix), где fix) = fsin^:, если -тс < д: < О, 1у/х, если д: > 0. а) Вычислите: / J» ЯО), /(1), fin ); б) постройте график функции у = fix); в) прочитайте график функции у = fix). 010.18. Дана функция у = f(x), где f(x) = —, если X < О, X sin X, если О < X < тс. а) Вычислите: Д-2), /(0), /(1); б) постройте график функции у = fix); в) прочитайте график функции у = fix). 27 11. функция у = COSX, ее свойства и график Для функции у = fix), где f(x) = cos л:, найдите: 5я г) Л- 2п 11.1. а) б) fi-n); в) f 11.2. &) fi~x); б) f(3x); в) f(x + 2); г) f(x)-6. Найдите значение функции: у = 2 sin X + cos X, если: п п &) х = б)х = 11.3. 011.4. у = 2 cos I ^ ~ ~ -1, если: а) X = б) X = —. ^ 2 4 Постройте график функции: 011.5. а) I/ = cos д: + 2. ; в) у = cos r-ij 2я j; г) 5л 3 у = cos X + — 1 6 011.6. а) у = cos X + 1; б) у = cos д; - 2; в) у = cos X —; 2 г) г/ = cos X + 1,5. 011.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = cosx: . п 2л а) на отрезке б) на интервале | -л; — 4J з’ ' в) на луче г) на полуинтервале л Зл З’ 2 28 011.8. Постройте и прочитайте график функции у = /(дс), где: [л: + 1, если дс < О, а) f{x) = б) т = в) f{x) = г) f{x) = , „ 2 cos X, если д: > 0; созд:, если дс < —, 2 sin X, если дс > —; 2 —, если дс < О, X -cos X, если д: > 0; -cos дс, если д: < О, 2д:^ -1, если д: > 0. Решите графически уравнение: 011.9. а) cos д: = д: + —; 2 6)-cos д: = Зд: - 1; •11.10. а) cos д: = 7^ + 1; б) cos X = ^jx - —; в) cos д: = 2д: + 1; г) cos д: = -д: + —. 2 в) cos X = -(х - nf - 1; г) cos д: = |д:| + 1. 011.11. Докажите, что функция у = f (х) является четной, если: cos 5д: +1 а)/(^) = X • cos х; в) f(x) = б) f(x) = 4-х^ г) f(x) = (4 + cos д:)(зш® х - 1). 011,12. Докажите, что функция у = f{x) является нечетной, если: а) Дд:) = sin х • cos х', в) /(д:) = б) /(дс) = х^ • cos Зд:; д:(25-д:^) г) f{x) = д:” • cos X + sin х. 29 >11.13. а)Дано: f{x) = 2х^ - Зл: - 2. Докажите, что -/(cos х) = 2 sin^ л: + 3 cos х. б)Дано: f{x) = Ъх^‘ + л: + 4. Докажите, что .w. /(cos л:) = 9 + cos х - Ъ sin^ х. § 12. Периодичность функций у = sin х, у = cos х 12.1. На рисунке 11 изображена часть графика периодической функции I/ = f(x) на отрезке [-1; 1], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции: а) на отрезке [1; 3]; б) на отрезке [-3; -1]; в) на отрезке [3; 7]; г) на всей числовой прямой. 12.2. На рисунке 12 изображена часть графика периодической функции у = f(x) на отрезке [0; 3], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции: а) на отрезке [3; 6]; б) на отрезке [-3; 0]; в) на отрезке [6; 12]; г) на всей числовой прямой. I -1 - N N 0 л, 5 3 X Рис. 11 Рис. 12 012.3. Постройте график периодической функции у = f{x) х'^ с периодом Т = 4, если известно, что f{x) = — на отрезке [-2; 2]. 30 012.4. Постройте график периодической функции у = f(x) с периодом Т = 2, если известно, что f{x) = х"^ на отрезке [-1; 1]. 12.5. Является ли число 32п периодом функции у = sin х, у = cos х1 А основным периодом? Вычислите, преобразовав заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin to или cos to так, чтобы выполнялось соотношение О < to < или О < to < 360°. 012.6. а) sin 50,5ti; б) sin 51,75тс; 012.7. а) sin 390°; б) cos 750°; в) sin 25,2571; г) sin 29,5т1. в) sin 540°; г) cos 930°. 012.8. Докажите тождество: а) sin^ (х - 8я) = 1 - cos^ (16я - х)\ б) cos^ (4я + jc) = 1 - sin^ (22я - х). 012.9. Решите уравнение: а) sin (х -I- 2п) + sin (х - 4п) = 1; б) 3 cos (2я + х) + cos (х - 2п) -н 2 = 0; в) sin (д: -I- 4п) + sin {х - 6я) = л/З; г) cos (х -I- 2п) + cos {х - 8я) = V2. § 13. Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график функции: 13.1. а) у = 2 sin х; в) i/ = -sin х; б) у = -cos х; г) у = 3 cos х. 13.2. а) у = -2 sin х; б) у = -3 cos х; в) у = 1,5 sin х; г) у = -1,5 cos X. 31 013.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2 cos х: ^ п п 2 2 V f I: а) на отрезке б) на интервале 1в) на полуинтервале г) на отрезке Зя Т’ я_ Зя з’ 2 я 4 013.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = -3 sin х: а) на луче [0; +оо); б) на открытом луче | -оо; |; в) на луче ■; +00 ; г) на открытом луче (-00; О). 013.5. Известно, что f(x) = 3 sin х. Найдите: а) f(-x); в) 2fix) + 1; б) 2f(x); г) fi-x) + fix). 013.6. Известно, что fix) = -- cos х. Найдите: 2 а) Д-л:); б) 2fix); в) fix + 2п); г) fi~x) - fix). Постройте график функции: 013.7. а) у = 2 sin л: - 1; 3 в) у = — sin л: + 3; I 2 1 б) У = — cos х + 2; 2 013.8. а) у = 2 sin | л:- 3 б) у = -3 cos X + 6 г) ^ = 3 cos X - 2. в) у = -sin I л: + у |; . „ ] 2я г) У = 1,5 cos I д: - у 32 >13.9. Составьте возможное аналитическое задание функции по ее графику, изображенному: а) на рис. 13; б) на рис. 14. Рыс. 14 013.10. Постройте и прочитайте график функции у = /(х): а) f{x) = 3 sin X, если л: < —, 2 71 2 cos л: + 3, если х > 2 -2 cos X, если л: < О, 6)/(x) = 013.11. Постройте график функции: -х'^, если X > 0. 2 а) г/ = sin в)у = cos -; 2 б) 1/ = cos 2х; т) у = sin Зл:. 013.12. а) «/ = 3 sin Ct в) у = -3 cos 2л:; б) у = 2,5 cos 2л:; X г) у = 2 sin —. 3 013.13. а) у = 3 sin (-л:); в) у = 2 sin (-2л:); б) у = -2 cos (-Зл:); г) у = -3 cos (-л:). 33 013.14. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = sin 2х: а) на отрезке яч , я я , б) на интервале | ; — |; в) на отрезке я^ я 4’ 4, г) на полуинтервале (0; п]. 013.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции X у = cos — : 3 а) на луче [0; +°о); б) на открытом луче я); в) на луче я —со; — 2 г) на открытом луче я —; +СО 013.16. Известно, что f(x) = cos—. Найдите: 3 а) fi~x); в) f(-Sx); б) Sf(x); г) f(-x) - fix). 013.17. Известно, что f(x) = sin 2х. Найдите: а) f(-x); в) fi~3x); б) 2f(x); г) f(-x) +f(x). 013.18. Постройте график функции: &) у = sin 2л: - 1; " в) ^ = cos 2л: + 3; б) у = cos — + 1; 2 г) у = sin----2. ^ 3 013.19. Постройте и прочитайте график функции у = fix): cos 2л:, если л: < л. а) fix) = б) fix) = —, если X > П; 2 -sin Зл:, если < О, у[х, если X > 0. 34 ^13.20. Составьте возможное аналитическое задание функции (предполагается, что £)(/) = R) по ее графику, изображенному: а) на рис. 15; б) на рис. 16; в) на рис. 17; г) на рис. 18. Рис. 18 35 § 14. Функции у = tgx, у = ctgx, их свойства и графики 14.1. Найдите значение функции у = tg х при заданном значении аргумента х: п 2п Зк а) X = —; б) X = —; в) л: = —; г) д: = я. 4 3 4 014.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = tg X на заданном промежутке: 1'п^ Зл а) на интервале ( 3^. б) на полуинтервале 1 ^ в) на отрезке к 4’ 6 г) на полуинтервале Зя 2 014.3. Решите графически уравнение: а) tg X = -л/З; б) tg д: = 1; в) tg д: = -1; г) tg д: = 0. 14.4. Найдите значение функции у = ctg х при заданном значении аргумента х\ а) X = -; 4 б)Х = в) д: = 2я; г) д: = 014.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = ctgд: на заданном промежутке: я^ я 4’ 2 а) на отрезке б) на полуинтервале 014.6. Решите графически уравнение: в) на интервале (-я; 0); я ^ я^ Зя [2’ г) на отрезке т_ а) ctg д: = 1; б) ctg X = —; 3 в) ctg X = Vi г) ctg д: = 0. 36 014.7. Исследуйте функцию y = f{x) на четность, если: а) fix) = tg л: - cos х\ в) fix) = ctg^ х - б) fix) = tg jc + х; г) fix) = х^ - ctg X. 3 014.8. Известно, что tg (9л - х) = —. Найдите tg х, ctg X. 4 5 014.9. Известно, что ctg (7л - х) = -. Найдите tg х, ctg х. 7 014.10. Определите знак разности: а) tg 200° - tg 201°; в) tg 2,2 - tg 2,1; б) tg 1 - tg 1,01; .,3л ^ 6л г) tg —-tg—. 5 5 014.11. Дана функция i/ = /(x), где /(x) = tgx. Докажите, что /(2х + 2л) + Д7л - 2х) = 0. 014.12. Дана функция y = fix), где /(х) = х^ + 1. Докажите, что /(tg х) = cos X Постройте график функции: •14.13. а) г/ = 2 tg X • ctg х; б) г/ = tg X • ctg X + л/х. •14.14. а.) у = sin^ (tg х) + cos^ (tg х); б) у = 2 cos^ (ctg х) + 2 sin^ (ctg х). •14.15. а) у = tg (cos х) • ctg (cos х); б) у = -2 tg (sin х) • ctg (sin х). I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I тригонометрические уравнения I I I I i I I I I I I I I I I I 11 I I I I § 15. Арккосинус. Решение уравнения cost = a Вычислите: 15.1. a) arccos 0; b) arccos •Л 6) arccos 1; 15.2. a) arccos 6) arccos { 2 J :!l 2 у 6) arccos — arccos —; 2 2 015.4. a) sin sin ( ( lYl arccos — 1 1 2J^ 7з' 6) tg I arccos — 2 Решите уравнение: 15.5. a) cos t = -; 2 r) arccos-. 2 b) arccos (-1); ^ 1 r) arccos 015.3. a) arccos (-1) + arccos 0; в) arccos + arccos ^ 2; 2 \ I M r) arccos — 2j - arccos -. 2 b) ctg (arccos 0); Vi' r) sin arccos b) cos t = 1; 2 o) cos t = —; 2 r) cos t = —. 2 a) cos ^ = -1; 1 b) cos t = —; 2 o) cos t = ; 2 r) cos t = 2 38 15.7. Решите уравнение: а) cos t = -; 3 б) cos t = -1,1; 015.8. Вычислите: f в) cos t - г) cos t = 2,04. a) cos 2 arccos — 3 arccos 0 - arccos -- 2 I 2 1 ( 1 '--Т — arccos - + arccos 3 1 3 ч г), 015.9. Найдите область допустимых значений выражения: а) arccos х\ в) arccos {х - 1); б) arccos 2х\ г) arccos (3 - 2х), 015.10. Имеет ли смысл выражение: а) arccos >/б; б) arccos,/-; 3 в) arccos—; 5 г) arccos (-л/з)? 015.11. Докажите тождество tg (arccos 0,1 + arccos (-0,1) + д:) = tg х. Решите уравнение: 015.12. а) = 1; 3 cos ^ + 2 3 cos < + 1 5 cos t - \ ^ б) +---------------= 1,75. 2 3 а) 6 cos^ f + 5 cos ^ + 1 = 0; б) 3 + 9 cos t = Ъ sin^ t. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке: а) cos X = —, X G [0; 2л]; 2 б) cosjc = X Е [2п; 4л]; в) cos X = —, X Е [-л; Зл]; 2 ч , г Зл „ г) cos X = -1, X Е-----; 2л _ 2 015.13. 015.14. 39 015.15. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке: а) cos X = -, л: Е (1; 6); 2 б) cos X = —, X Е (2; 10); 2 \ ^ f ^ 10 в) cos X = —, X Е —; 12 2 I 4 ч >/2 Г . 5я , г) cos X = —X Е I -4; — |. Н5.16. Постройте график функции: а) у = arccos х -f- arccos (~х); б) у = cos (arccos х). Решите неравенство: 015.17. а) cos t >—у 2 «ч б) cos t ч----; 2 в) cos t > - Г2 г) cos t < —. 2 >15.18. а) cos t < -\ 3 в) cos t > -\ 3 б) cos t > —; 7 г) cos t < —. 7 •15.19. a) 3 cos^ t - 4 cos t > 4; в) 3 cos^ t - 4 cos t < 4; 6) 6 cos^ i + 1 > 5 cos t; r) 6 cos^ i -b 1 < 5 cos t. •15.20. a) 4 cos^ t < 1; 6) 3 cos^ t < cos t; b) 9 cos^ i > 1; r) 3 cos^ t > cos t. Вычислите: >15.21. a) sin arccos ^ |; >15.22. a) tg arccos - 13 6) sin (arccos (-0,8)). 6) ctg I arccos - |. 40 §16. Арксинус. Решение уравнения sint = а Вычислите: . Vi б) arcsin 1; f 16.2. а) arcsin b) r) ; B) 2 j 2/ r) г) arcsin 0. г) arcsin 2^ 016.3. а) arcsin О + arccos 0; б) arcsin — + arccos —; ’ 2 2 в) arcsin f2 К 2; + arccos 2 Ч /14 ^ г) arcsin (-1) + arccos —. 2 016.4. а) arccos I j arcsin f ~ |; Vi^ 6) arccos b) arccos V 2 ; Vi - arcsin (-1); " Vi' + arcsin , Vi . r Vil r) arccos----arcsin------ 2 I 2 J 16.5. Решите уравнение: Vi a) sin t = —; b) sin t = 1; Vi 6) Sin t = —; 2 r) sin t = -. 2 41 Решите уравнение: 16.6. а) sin ^ = -1; в) sin t = • , ^ б) sin t = ; ' 2 r) sin t = 16.7. а) sin t = —; 4 b) sin t = б) sin t = 1,02; r) sin t = 1 2* А 2 ' 1 7’ 016.8. Докажите тождество: а) sin (arccos х + arccos (-Jc)) = 0; б) cos (arcsin x + arcsin (-л:)) = 1. 016.9. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) sin л: = ^ , л: 6 [0; 2п]; б) cos X = , X е [-п; к]; 42 в) sin X = , X €. [-7г; 2ti:]; г) cos X = ~ , X Е [-2л; л]. 16.10. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке: 1 Г1. 11л 2 ’ ^ ^ U’ ~4~ 1 ( 5л • 2 1 6 42 в) sin X = — , X Е (-4; 3); 2 г) sin ^ = 2 ’ ^ ^ 42 016.11. Найдите область допустимых значений выражения: а) arcsin х; б) arcsin (5 - 2л:); 016.12. Имеет ли смысл выражение: 2 ^ а) arcsin | — 3 б) arcsin 1,5; в) arcsin —; 2 г) arcsin (х^ - 3). в) arcsin (з - л/^); г) arcsin (4 - V^)? Решите уравнение: 016.13. а) (2 cos X + 1)(2 sin л: - л/З) = 0; б) 2 cos л: - 3 sin х cos л: = 0; в) 4 sin^ л: - 3 sin л: = 0; г) 2 sin^ д: - 1 = 0. 016.14. а) 6 sin^ X + sin л: = 2; б) 3 cos^ X = 7 (sin X + 1). Решите неравенство: 016.15. а) sin t > —; 2 б) sin t > —; 2 в) sin t < —; г) sin t < —. 2 •16.16. a) sin ^ < -; 3 6) sin t > -0,6; •16.17. a) 5 sin^ t > 11 sin t + 12; •16.18. a) 6 cos^ t + sin i > 4; •16.19. Вычислите: а) cos б) tg (arcsin 0,6); arcsin ----- 13 yy b) sin t > 3 r) sin t < -0,6. 6) 5 sin^ i ^ 11 sin t + 12. 6) 6 cos^ t + sin f < 4. _8_ 17 b) cos arcsin r) ctg (arcsin (-0,8)). 43 § 17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = а Вычислите: л/i 17.1. а) arctg—; 3 б) arctg 1; 17.2. а) arctg (-1); б) arctg (-л/з); Я 17.3. а) arcctg —; 3 б) arcctg 1; в) arctg л/З; г) arctg 0. в) arctg г) arctg 3 Ч Vi в) arcctg Vi г) arcctg 0. 017.4. а) arcctg (-1) + arctg (-1); б) arcsin в) arcctg Vi Vi + arcctg (-л/з). - arctg О г) arccos 1^“'^ j “ arcctg (-л/з). Решите уравнение: 17.5. a) tg л: = 1; в) tg л: = -1; б) tg JC = - 17.6. a) tg л: = 0; 6) tg д: = -2; r) tg д: = —. 3 в) tg д: = -3; г) tg д: = -. 2 44 17.7. а) ctg X = 1; б) ctg X = -ТЗ; 017.8. а) tg^ л: - 6 tg д; + 5 = 0; б) tg^ д: - 2 tg д: - 3 = 0. в) ctg д: = 0; г) ctg X = - Vi 017.9. а) tg (тс + д:) = >/3; б) 2 ctg (2тг + д:) - tg ■ в) -7з tg (п-х) = 1; ^ п ^ — + X 2 = >/3; Зя I г) ctg (2п - д:) + tg I — + д: I = 2. >17.10. Постройте график функции: а) у = arccos 2д: + arccos (-2д:); б) ^ = arccos — + arccos в) г/ = arcctg х + arcctg (-д:); г) у = arcctg у/х + arcctg {-у/х). §18. Тригонометрические уравнения Решите уравнение: S 018.1. а) sin 2д: = —; 2 б) cos — = 3 2 018.2. а) sin ^ дг^ V Зу б) COS (-2дг) = -X я 2 ’ S 2 ’ 018.3. а) 2 cos “ "J = 6)V5t.(f.f) = 3; . X 1 в) sin - = 4 2 г) cos 4д: = 0. в) tg(-4x) = -j=\ V3 = 1. г) ctg I -- в) 2 sin I Зд: - I = ->/2; r) sin 2 6 45 Решите уравнение: 018.4. а) cos I — - 2л: I = -1; б) = в) 2 sin 1 - - -.3 AJ = 73; г) 2 cos --Sx\ = yf2. 4 018.5. а) sin — + t \ - cos (K + t) = 1; 2 6) sin (tc + ^) + sin (2n - t) - cos | — + f | + 1,5 = 0; Зтг в) cos - -1 2 - sin (л + t) = y[2; r) sin (n + t) + cos ^ j “ 018.6. a) 3 sin^ л: - 5 sin д: - 2 = 0; б) 3 sin^ 2л: + 10 sin 2л: + 3 = 0; в) 4 sin^ д: + 11 sin д: - 3 = 0; г) 2 sin^ — - 3 sin — + 1 = 0. 2 2 018.7. a) 6 cos^ X + cos д: - 1 = 0; б) 2 cos^ 3x - 5 cos Зд: - 3 = 0; в) 2 cos^ ДГ - cos д: - 3 = 0; г) 2 cos^ — + 3 cos --2 = 0. 018.8. a) 2 sin^ д: + 3 cos д: = 0; б) 8 sin^ 2д: + cos 2д: + 1 = 0; в) 5 cos^ д: + 6 sin д: - 6 = 0; г) 4 sin Зд: + cos^ Зд: = 4. 46 018.9. а) 3 tg^ X + 2 ig X - 1 = 0; б) ctg^ 2x - 6 ctg 2x + 5 = 0; b) 2 tg^ X + 3 tg X - 2 = 0; r) 7 ctg^ — + 2 ctg — = 5. 2 2 18.10. a) sin X + ^Js cos д: = 0; в) sin я: - 3 cos д: = 0; б) sin X + cos jc = 0; r) ^/з sin x + cos jc = 0. 018.11. a) sin^ X + sin x cos д: = 0; б) л/з sin X cos X + cos^ д: = 0; в) sin^ X = 3 sin X cos д:; г) л/З cos X = sin X cos д:. 018.12. a) sin^ д: + 2 sin x cos д: - 3 cos^ д: = 0; б) sin^ X - 4: sin X cos д: + 3 cos^ д: = 0; в) sin^ X + sin X cos д: - 2 cos^ д: = 0; г) 3 sin^ X + sin X cos д: - 2 cos^ д: = 0. 6 018.13. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2л]: а) I sin ^ ~ ~ |(sin я: + 1) = 0; б) I cos ^ + 2 |(cos д: - 1) = 0; в) cos X - V5Y . sin д: + 4~2 2 А 2 ) г) (1 + cos sin д: - l) = О = 0; 47 018.14. а)Найдите корни уравнения зтл: = -, принадлежащие 2 отрезку [0; 4ti:]. б) Найдите корни уравнения cos л: = - —, принадлежащие 2 отрезку [-271; Зтг]. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: л/2 018.15. а) sin Зл: = [0; 2п]; 7з б) cos Sx = —у [-я; я]; в) tg ^ [-Зя; Зя]; А о г) ctg 4jc = -1, [0; я]. Н8.16. а) sin лг = [-4; 4]; Н8.17. а) sin 1^ = 0, [-12; 18]; б) cos X = 1, [-6; 16]. б) созЗх = [1; 7]. 2 018.18. Решите уравнение sin |^2л: - — J = -1 и найдите: а) наименьший положительный корень; я Зя б) корни, принадлежащие отрезку 2 2 в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу | -я; — 018.19. Решите уравнение cos I ^ ~ I ~ 2 ^ найдите: а) наименьший положительный корень; я^ Зя 2’ 2 в) наибольший отрицательный корень; б) корни, принадлежащие отрезку г) корни, принадлежащие интервалу | -я; — 48 Решите уравнение: 018.20. а) sin' ^-:^l = smx-cos' — + 1; 4 2 4 л/з б) cos' 2л: - 1 - cos х =-sin' 2л:. 2 018.21. а) tg л: - 2 ctg л: + 1 = 0; tg л: + 5 1 б) 2 ■ COS X в) 2 ctg л:-Зtgл: + 5 = 0; 7 - ctg X 1 г) . 2 ' Sin X 018.22. а) 2 cos' — + л/З cos — = 0; 2 2 б) 4 cos' X — -3 = 0; б в) л/з tg' Зл: - 3 tg Зл: = 0; г) 4 sin' 2л: + — - 1 = 0. ^18.23. а) sin' х - ——— sin х - 3>/2 = 0; б) cos' X - -—— cos X - 2л/з = 0. 018.24. а) sin 2л: = cos 2л:; б) л/з sin Зл: = cos Зх; X Г~ X в) sin — = л/з cos —; 2 2 г) л/2 sin 17х = л/б cos 17х. 018.25. а) 2 sin' 2х - 5 sin 2х cos 2х + 2 cos' 2х = 0; б) 3 sin' Зх + 10 sin Зх cos Зх + 3 cos' Зх = 0. 018.26. а) sin' — = 3 cos' —; 2 2 б) sin' 4х = cos' 4х. 018.27. а) 5 sin' х - 14 sin х cos х - 3 cos' х = 2; б) 3 sin' X - sin X cos х = 2; в) 2 cos' X - sin X cos x + 5 sin' x = 3; r) 4 sin' X - 2 sin x cos x = 3. 018.28. a) 5 sin' x + л/З sin x cos x + 6 cos' x = 5; 6) 2 sin' X - 3 sin X cos x + 4 cos' x = 4. 49 Решите уравнение: 018.29. а) 3 sin^ 2д: - 2 = sin 2х cos 2х; б) 2 sin^ 4х - 4 = 3 sin 4х cos 4х - 4 cos^ 4х. 018.30. а) 4 sin^ --3 = 2 sin — cos —; 2 2 2 б) 3 sin^ — + 4 cos^ — = 3 + у/з sin — cos —. 3 3 3 3 018.31. a) sin I — + 2л: I + cos 2 = 0; 6) 2 sin (n - 3x) + cos {2k - Зд:) = 0. 018.32. a) cos ^ ^1 о -----I - 3 cos 2 2 6) л/з sin I^Tt ---1 + 3 sin 3 ^-^1 = 0. 2 3 >18.33. a) Vl6 - x^ • sin д: = 0; 6) yjlx - x^ (2 cos д: - 1) = 0. >18.34. a) {y/2 cos X - i)yl4x^ -7x + 3 = 0; 6) (2 sin X - у/з)у13х^ -7x + 4 = 0. >18.35. Найдите область значений функции: 8l) у = cos Зд: + Vcos^ Зд: - 1; б) у = sin 2д: + Vsin^ 4д: - 1. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Преобразование ГЛАВА °4 »иригонометрмческмх выражений I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 19. Синус и косинус суммы и разности аргументов 19.1. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите: а) sin 105°; б) cos 105°. Упростите выражение: 19.2. а) sin (а + Р) - sin а cos |3; б) sin — + а — sin а; U J 2 в) sin ос sin Р + cos (а + Р); г) cos ^ л/2 , а + — + — sin ос. 4 J 2 5я 1 1 019.3. а) sin I---а — cos а; 6 у 2 б) ^/з cos а - 2 cos а - — I 6, , л/з . f 5п в) — sin а + cos а----- '2 I 3 г) л/2 sin I ^ ^ 1 “ 19.4. а) cos (а - Р) - cos а cos Р; б) sin (а + р) + sin (а - р); в) sin а cos Р - sin (а - Р); г) cos (а - Р) - cos (а + Р). 51 Докажите тождество: 19.5. а) sin (а + Р) + sin (-а) cos (~Р) = sin Р cos а; б) cos (а + Р) + sin (-а) sin (~Р) = cos а cos р. л/з 1 . . Г я ^ 19.6. а) — cos X — sin X = sin — х /2 2 1,3 1 л/з . ^ б) - cos X + — sin X = cos 2 2 71 ----X 3 019.7. а) sin (30° - а) - cos (60° - а) = -л/з sin а; б) sin (30° - а) + sin (30° + а) = cos ос. 19.8. а) sin 5х cos Зх + cos 5х sin Зх = sin 8л:; б) cos 5л: cos Зл: - sin 5л: sin Зл: = cos 8л:. 19.9. а) sin 7л: cos 4х - cos 7х sin 4л: = sin Зл:; б) cos 2л: cos 12л: + sin 2л: sin 12л: = cos 10х. Найдите значение выражения: 019.10. а) cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17°; б) cos 36° cos 24° - sin 36° sin 24°; b) sin 63° cos 27° + cos 63° sin 27°; r) sin 51° cos 21° - cos 51° sin 21°. Л Ч -i Ч 37t .571.371 019.11. a) cos — cos — + sin — sin—; 8 8 8 8 . 2я я 2я . я б) sin — cos — + cos — sin —; 15 5 15 5 . я я . я . я* в) cos — cos----sin — sin —; 12 4 12 4 . . я я я . я г) sin — cos-----cos — sin —. 12 4 12 4 52 Решите уравнение: 019.12. а) sin 2х cos х + cos 2х sin х = 1; б) cos Зл; cos 5л: = sin Зл: sin 5л:. 019.13. а) sin 6л: cos х + cos 6л: sin х = -; 2 б) cos 5л: cos 7х - sin 5л: sin 7х =-. 2 019.14. а) cos 6л: cos 5л: + sin 6л: sin 5л: = -1; б) sin Зл: cos 5л: - sin 5л: cos Зл: = 0,5. 019.15. Найдите наименьший положительный корень (в градусах) уравнения: а) sin X cos 45° + cos х sin 45° = = cos 17°cos 13° - sin 17° sin 13°; б) cos X cos 60° - sin X sin 60° = = sin 200° cos 25° + cos 200° sin 25°. 019.16. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) sin 0,2л: cos 0,8л: + cos 0,2л: sin 0,8л: = cos Зл: cos 2л: + + sin Зл: sin 2л:, х е [0; Зя]; б) cos 0,7л: cos 1,3л: - sin 0,7л: sin l^Sx = sin 7х cos 9х -- sin 9л: cos 7л:, х е [-я; я]. 019.17. г, . 3 _ я Зная, что sin t = -, О < t < —, вычислите: 5 2 я а) sin I - + ^ |; в) sin I — + ^ б) cos I — + i |; г) cos \ — + t 3 019.18. Зная, что cos t = —— < t < п, вычислите: 13 2 в) cos U ~ а) sin I ^ б) cos I ^ - Y |; г) sin 2 53 15 4 71 я •19.19. Зная, что cos а = —, cos 3 = —, 0<а<—, 0<Р<—, най- 17 5 2 2 дите значение выражения: а) sin (а - 3); б) cos (ос - р). _ . _ __ _ .4„15я •19.20. 'Зная, что sin а = -, cos р =-, — <а<я, — <р<я, наи- - 5 17 2 2 дите значение выражения: а) sin (а - Р); б) cos (а - Р). Вычислите: 019.21. а) sin 77° cos 17° - sin 13° cos 73°; б) cos 125° cos 5° + sin 55° cos 85°. cos 105° cos 5° + sin 105° cos 85° 019.22. a) ----------------------------; sin 95° cos 5° + sin 95° sin 185° sin 75° cos 5° - cos 75° cos 85° 6) cos 375° cos 5° - sin 15° sin 365° Решите уравнение: 019.23. a) V2 cos - X \ - cos X = 0,5; 6) V2sin(^-^ 4 2J ^ . X + sin — = —. r\f(\ OA \ ^ ^ 1 Ч ^ • 1 019.24. a) — sin X-----cos X = 1; в) — cos x + — sin л: = 1; 2 2 2 2 6) sin X - cos л: = 1; г) >/з cos X + sin X = 1. 019.25. a) — sin x + — cos x = 1; 2 2 6) sin X + cos X = 1; , л/з 1 . в) — cos X — sin X = 1; 2 2 r) yfs cos X - sin X = 1. 54 >19.26. Решите неравенство: а) sin X cos Зх + cos х sin Зл: > —; 2 б) cos 2х cos 5х - sin 2х sin 5л: < 3 . л: X X . X 1 в) sin — cos — cos — sin — < 4 2 4 2 3 г) sin 2л: sin 5л: + cos 2x cos 5л: > - Vi § 20. Тангенс суммы и разности аргументов Вычислите: 020.1. а) tg — ; ' ^ 12 020.2. а) б) б) tg 105°; tg 25° + tg 20° ч I B)tg-; г) tg 165°. tg 9° + tg 51° 1 - tg 25° tg 20° 1 - tg 70° tg 65°. tg 70° + tg 65° ’ 1 - tg 9° tg 51' 1 + tg 54° tg 9° tg 54° - tg 9° 020.3. a) tg----a , если tg a = -; 6) tg a + — , если tg a = —; b) tg — + a , если ctg a = —; r) tg I a - —J, если ctg a = 1,6. 020.4. Известно, что tg a = tg 3 = -. Найдите: 2 3 a) tg (a + P); 6) tg (a - p) 020.5. Известно, что tg a = |, tg + p | = -3. Вычислите: a) tg (a + P); 6) tg (a - P). 55 20.6. Упростите выражение: tg 2,22 + tg 0,92 а) 1 - tg 2,22 tg 0,92 б) tg 1,47 - tg 0,69 1 + tg 1,47 tg 0,69' 020.7. a) tg|^ + aj + tg^-a 6) tg (45° + a) - tg a 1 + tg (45° + a) tg a 020.8. Докажите тождество: 1 - tg 2a a) 1 + tg 2a = tg (45° - 2a); tg g + tgp tg g - tg p ^ 2 ^ tg(a + P) tg(a-p) 020.9. Решите уравнение: tg л: + tg 3x a) 1 - tg X tg 3x = 1; 6) tg 5x - tg 3x 1 + tg 3x tg 5x = л 020.10. Найдите корни уравнения, принадлежаш;ие отрезку [-д; 2д]: а) = 1; 1 + v3 tg X tg - - tg 2х б) --------------= 7з. tg 7 tg 2х + 1 5 020.11. а) Найдите tg а, если tg | а - — | = 3, б) Найдите ctg а, если tg | а + — | = 0,2. 020.12. а) Зная, что tg а = 3 и tg (а + р) =, 1, найдите tg р. б) Зная, что tg а = - и tg (а - р) = 2, найдите tg р. 4 020.13. Известно, что sin а = , я < а < —. Найдите: 13 2 а) tg а + б) tg п а - - I. 56 020.14. •20.15. •20.16. 3 л Известно, что cos а = -, 0<а<—. Найдите: 5 2 а) tg I а + I |; б) tg I а - I Докажите, что прямые y = Zx+lviy = ^-2x пересекаются под углом 45°. Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему равен угол между диагональю АС и отрезком ВК7 § 21. Формулы двойного аргумента 21.1. а) -----г ~ sia t; 21.2. а) б) Упростите выражение: sin 2^ cos t sin 6t cos^ 3t' sin 40° sin 20° cos 80° cos 40° + sin 40° ’ Вычислите: 21.3. a) 2 sin 15° cos 15°; 6) (cos 75° - sin 75°)'; 021.4. a) 2sin —cos—; 8 8 • TC 7T 1 6) Sin — cos — -I- —; 8 8 4 b) cos' t - cos 2t; cos 2t r) -------------- sin t. ' cos t - sin t b) r) sin 100° ^ 2 cos 50°’ cos 36° + sin^ 18° cos 18° b) cos' 15° - sin' 15°; r) (cos 15° + sin 15°)'. \ о 71 • о 7t в) cos^-----------sill‘d —; 8 8 , ............... r) — I cos — + sin — Ч 021.5. a) 21.6. Докажите тождество: 1-tg - . . X X 1 . а) sin — cos — = - sin x; '222 ^ X • 2 X X б) cos^-sin*^ — = cos —; '4 4 2 6) tg75= 2 r/Ko’ 1 - tg" 75 b) sin 2x cos 2x = - sin 4л:; 2 г) cos^ — - sin^ — = cos X. 2 2 57 Докажите тождество: 21.7. а) cos (2а + 23) = cos^ (а + Р) - sin^ (а + р); б) sin (2а + 2Р) = 2 sin (а + Р) cos (а + р). 21.8. а) tg (2а + 2Р) = 2 tg (а + р) . 1 - tg^ (а + р) ’ б) tg (а + р) = 1 - ,21 а ^ Р 5 7Т 021.9. Известно, что sin t = —, — < t < п. Найдите: 13 2 а) sin 2t; б) cos 2t; в) tg 2t; г) ctg 2t. 021.10. Известно, что cos л: = 0,8, О < л: < —. Найдите: 2 а) sin 2х; б) cos 2х; в) tg2^;; г) ctg2jc. 3 ^ п ' 021.11. а) Дано: cos ^ = -, О < f < —. 4 2 X. ' t . t ^ t ^ t Вычислите: cos sin tg ctg 2 2 2 2 ^ 3 Зя 6) Дано: ctg ^ n < t < —. ТЧ t . t t ^ t Вычислите: cos-; sin-; tg-; ctg-. 2 2 2 2 . „ 3 я Зя •21.12. a) Дано: sin 2x = —, - < д: < —. 5 2 4 Вычислите: cos x; sin x; tg’x; ctgj:. TT . о 3 5я б) Дано: tg 2jc = -, я < д: < —. 4 4 Вычислите: cos х; sin х; tgx; ctgj;. 58 Упростите выражение: 021.13. а) б) sin t 2 cos^ — 2 cos t t . t cos — + sm — 2 2 b) r) sin 4^ cos 2t cos 2i - sin 2t cos 4f sin 2t - 2 sin t 021.14. a) -----i ^ cos ^ - 1 6) cos 2t - cos^ t ^ 1 - cos^ t b) sin 2t ctg ^ - 1; r) (tg t + ctg f)sin 2t. 021.15. a) tg i + ctg t 021.16. a) (1 - tg^ t) cos^ t; 6) tg t -ctg t _ о я + t , •} 6) 2 cos------2 sin Докажите тождество: 021.17. a) (sin t - cos tf=l- sin 2t; 6) 2 cos^ t = 1 + cos 2t; b) (sin t + cos f)^ = 1 + sin 2t; r) 2 sin^ f = 1 - cos 2t. 021.18. a) cos^ t - sin'^ t = cos 2t; 6) cos^ t + sin^ t = 1-- sin^ 2t. 2 021.19. a) ctg t - sin 2t = ctg t cos 2t; 6) sin 2t - tg t = cos 2t tg t. 021.20. a) sin^2f = 1 - cos 4^ 6) 2 sin^ —I- cos ^ = 1; Зя в) 2 sin^ 2^ = 1 + sin r) 2 cos^ t - cos 2t = 1. 59 Докажите тождество: 021.21. а) cos^St = 1 + sin I---6t 2 1 - cos t . 9 t 6) --------= tg'-; 1 + cos t 2 \ 2 r, 1 “ cos (6i - 3ti) b) cos^3t =--------- . 1 - cos t , t r) —^-------= tg -. sin t 2 021.22. a) 1 + sin a = 2cos' 45° - - ; 6) 2 sin^ (45° - a) + sin 2a = 1; b) 1 - sin a = 2 sin" 45° - - I 2, r) 2 cos" (45° + a) + sin 2a = 1. 021.23. Вычислите (c помощью формул понижения степени): а) sin 22,5°; б) cos 22,5°; Решите уравнение: 021.24. а) sin 2д; - 2 cos л: = 0; б) sin 2х - sin X = 0; ч . Зя в) sin —; 8 ч Зя г) cos—. 8 в) 2 sin X = sin 2х; г) sin 2х + cos JC = 0. 021.25. а) sin х cos х = —; 4 б) sin 4х cos 4х - - о X . 2 X 1 в) cos------sin — = -; 3 3 2 г) sin" 'х - cos" X = —. 021.26. а) 1 - cos X = 2 sin —; 2 б) 1 + cos X = 2 cos —. 2 021.27. a) 1 - cos x = sin x sin —; 6) sin X = tg" ^(1 + cos л:). 60 021.28. Решите уравнение: а) sin^ 2л: = 1; б) со8^4л: = 2 в) Sin — = —; 2 4 ч 2^1 г) cos — = —. 4 4 021.29. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2д]: а) cos 2л: + 3 sin л: = 1; в) cos 2л: = cos^ х\ б) sin^ X = -cos 2л:; г) cos 2л: = 2 sin^ х. Вычислите: 021.30. а) sin 1Г15' cos 11°15' cos 22°30' cos 45°; п п TL и б) Sin — cos — cos — cos —. 48 48 24 12 021.31. . 1 + cos 40° + cos 80° ^ ^ a) ——.:-o - • tg 40 ; 6) sin 80 + sin 40 1 - cos 25° + cos 50° sin 50° - sin 25° -tg65°. 021.32. Представив Зл: в виде л: + 2л:, докажите тождество: а) sin Зл: = 3 sin л: - 4 sin^ х\ б) cos Зл: = 4 cos^ л: - 3 cos л:. 021.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f{x), если: а) f{x) = 2 cos 2л: + sin х; б) f{x) = 2 8Ш^Зл: - cos 6л:. 021.34. Найдите наибольший отрицательный корень (в градусах) уравнения: , sin22,5°cos22,5° а) cos х = —5;--------=-----; cos^ 67,5 - sin^ 67,5 б) sin х = sin^ 75° - cos^ 75^ 4 sin 15° cos 15° 021.35. Решите уравнение: a) 3 sin 2л: + cos 2л: = 1; б) cos 4л: + 2 sin 4л: = 1. 61 •21.36. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) 4 sin X + sin 2х = О, х е [0; 2п]; б) cos^ I Зл: + - sin^ f Зх + ^ = 0, дс б Зп Т’’' •21.37. Сколько корней имеет уравнение 2cos^-------cos—= 1 \ 2 9 на отрезке [~2п; 2я]? Найдите эти корни. •21.38. Сколько корней имеет уравнение: а) (cos X - sin л:)^ = 1 - 2 sin 2х, 20п^ 28п 9 ’ 9 на отрезке б) 2 cos^ \ 2х — 2sin^ на отрезке 4; Зп 2’ 2 — 2л: I + 1 = о, 4 § 22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения Представьте в виде произведения: sin 40° + sinl6°; b) sinl0° + sin 50°; sin 20° - sin 40°; r) sin 52° - sin 36°. cos 15° + cos 45°; b) cos 20° + cos 40°: cos 46° - cos 74°; r) cos 75° - cos 15°. n n b) я . я sin — sin —; sin - + sin —; 5 10 6 7 n . n r) я я sin - + sin —; sin — sin —. 3 4 3 11 7t n b) , я я cos — - cos —; cos — cos —; 10 20 5 11 11Я Зя r) Зя 5я cos — + cos —; cos — - h COS . 12 4 8 4 62 Представьте в виде произведения: 022.5. а) sin St - sin t; б) cos (a - 23) - cos (a + 2P); b) cos 6^ + cos 4^; r) sin (a - 2P) - sin (a + 2P). 022.6. a) tg 25° + tg 35°; 6)tg--tg-; 022.7. Вычислите: cos 68° - cos 22° b) tg 20° + tg 40; r) tg--tg-. 3 4 a) sin 68° - sin 22° 6) sin 130° +sin 110° cos 130° + cos 110° 022.8. Проверьте равенство: a) sin 35° + sin 25° = cos 5°; 6) sin 40° + cos 70° = cos 10°; b) cos 12° - cos 48° = sin 18°; r) cos 20° - sin 50° = sin 10°. 022.9. Докажите тождество: . sin 2a + sin 6a , , а) ------------— = tg4a; cos 2a + cos 6a cos 2a - cos 4a . „ . б) --------------= tg 3a tg a. cos 2a + cos 4a Решите уравнение: 022.10. a) cos x + cos Sx = 0; в) cos x = cos 5x; 6) sin 12x + sin 4x = 0; r) sin Sx = sin 17л:. 022.11. a) sin x + sin 2x - sin Sx = 0; 6) cos Sx - cos 5x = sin 4x. 022.12. Представьте в виде произведения: а) — cos t; 2 б) — + sin t; 2 в) 1 + 2 cos t; г) cos t + sin t. 63 Представьте в виде произведения: 022.13. а) sin 5х + 2 sin 6л: + sin 7х; б) 2 cos X + cos 2л: + cos 4л:. 022.14. а) sin t + sin 2t + sin 3^ + sin 4t; 6) cos 2t - cos 4^ - cos 6t + cos St. 022.15. Докажите, что верно равенство: a) sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0; б) cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0. Решите уравнение: 022.16. a) sin Зл: = cos 2л:; 6) sin (5n - x) = cos (2л: + 7n) ; b) cos 5л: = sin 15л:; г) sin (7n + x) = cos (9ti + 2л:). 022.17. a) 1 + cos 6л: = 2sin^ 5л:; 6) cos^ 2л: = cos^ 4л:; Ч . 2 X o7x b) sin — = cos —; 2 2 r) sin^ X + sin^ Зл: = 1. 022.18. 022.19. а) 2 sin^ X + cos 5л: = 1; б) 2 sin^ Зл: - 1 = cos^ 4л: - sin^ 4л:. а) tg л: + tg 5л: = 0; б) tg Зл: = ctg x; b) tg 2л: = tg 4л:; ^ ^ X , 3x - r) ctg - + ctg — = 0. 2 2 022.20. •22.21. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке а) sin X + sin Зл: + cos х + cos Зл: = 0; б) sin 5л: + sin л: + 2 sin^ л: = 1. а) sin 2л: + sin 6л: = cos 2л:; б) 2 cos^ л: - 1 = sin Зл:? •22.22. Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу (0; 2,5): а) cos 6л: + cos 8л: = cos Юл: + cos 12л:; б) sin 2л: + 5 sin 4л: + sin 6л: = 0. 64 § 23. Преобразование произведении тригонометрических функций в суммы Преобразуйте произведение в сумму: 023.1. а) sin 23° sin 32°; б) cos — cos —; 12 8 в) sin 14° cos 16°; 4 0-^ ^ г) 2 sin — cos —. 8 5 023.2. а) sin (а + р) sin (а - Р); б) cos (а + Р) cos (а - Р); в) cos р - + -v2 2у а р cos I----- 2 2 2 2, г) 2 sin (а + Р) cos (а - Р). 023.3. а) cos а sin (а + Р); б) sin (60° + а) sin (60° - а); в) sin Р cos (а + Р); Г Г г) cos I “ I cos I а - — I. Решите уравнение: 023.4. а) cos л: + -^ I cos [ ^ I “ ~ б) sin I л: + — cos \х- — ' ^ 3j [ 6J 1. 023.5. а) 2 sin х cos Зх + sin 4х = 0; . X . Зх 1 б) sin — sin — = -. 2 2 2 023.6. Докажите тождество: а) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos б) sin a - 2 sin - 15° j cos f ^ + 15° I = •23.7. Преобразуйте произведение в сумму: а) sin 10° cos 8° cos 6°; б) 4 sin 25° cos 15° sin 5°. •23.8. Вычислите: а) cos^ 3° + cos^ 1° - cos 4° cos 2°; б) sin^ 10° + cos 50°cos 70°. 65 •23.9. Вычислите: а) 2 sin 10' - 2 sin 70°; ' * A Л О Sin 40 023.10. Решите уравнение: 4 0 . 5x Зх а) sin 3jc cos X = sin — cos —; б) 2 sin + л: j sin ^ j л: = 0; в) sin 2x cos X = sin x cos 2x\ r) cos 2jc cos X - cos 2,5x cos 0,5л:. 023.11. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения: а) sin X sin Зл: = 0,5; б) cos х cos Зл: -I- 0,5 = 0. 023.12. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = /(л:), если: а) fix) = sin л: -f- — cos л: - — ; I si i 24 j 6) fix) = sin I ^ 1 ^ ^ •23.13. Докажите тождество cos^ (45° - a) - cos^ (60° -f- a) - cos 75° sin (75° - 2a) = sin 2a. § 24. Предел последовательности По заданной формуле п-го члена вычислите первые пять членов последовательности: в) уг, = - 1; 24.1. а) 1/„ = 3 - 2п; б) у„ = 2п^ - п; г) Уп = - Зп-1 2п 24.2. а)1/, = (-1Г; (-2)" б) Уп=^ п" +1' в) в) Уп (-1)" +2 Зп - 2 024.3. а) у^ = S cos 2п б) Уп (-1) \п 71 в) !/„ = 1 - cos^ г) Уп = sin пп - cos пп. 024.4. Найдите сумму первых восьми членов возрастающей последовательности квадратов простых чисел. Указание: число 1 не является ни простым, ни составным. Составьте одну из возможных формул л-го члена последовательности по первым пяти ее членам: 24.5. а) О, 1, 2, 3, 4, ...; б) -1, -2, -3, -4, -5, 24.6. а) 5, 10, 15, 20, 25, ,. б) 6, 12, 18, 24, 30, .. 024.7. а) 3, 9, 27, 81, 243, .. б) 9, 16, 25, 36, 49, .. в) 5, 6, 7, 8, 9, ...; г) 10, 9, 8, 7, 6, .... в) 4, 8, 12, 16, 20, . г) 3, 6, 9, 12, 15, ... в) 1, 8, 27, 64, 125, г) 2, 9, 28, 65, 126, 67 024.8. Составьте одну из возможных формул п-го члена последовательности по первым пяти ее членам: , 1 1 1 1 1 ’ 2’ 4’ 8’ 16’-’ 3 5 7 9 11 4’ б’ 8’ 10’ 12’"’’ в) 1 — — — ^ ’ 8’ 27’ 64’ 125’ , 1111 1 I’) 3-5 5-7 7-9 9 11 11-13 24.9. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа V2 : а) по недостатку; б) по избытку. 024.10. Укажите номер члена последовательности -равного: 3 1 43 а) 0; б)-----; в) —; г)------. 26 6 226 024.11. Последовательность задана формулой а„ = (2п - 1)(3л + 2). Является ли членом последовательности число: а) 0; б) 24; в) 153; г) -2? 2 - п 5п + 1 024.12. Какие из заданных последовательностей ограничены снизу? .Ill а) 1, .... б) -1, 2, -3, 4, -5, ,12 3 4 2’ З’ 4’ 5’-’ г) 5, 4, 3, 2, 1, О, -1, 024.13. Какие из заданных последовательностей ограничены сверху? а) -3, -2, -1, О, 1, ... ; б) 1, -1, 1, -2, 1, -3, ... ; 11111 ^ 2’ З’ 4’ 5’ б’ 12 3 4 ? з’ 4’ 5. 68 024.14. Какие из заданных последовательностей являются ограниченными? a) i i i -J- • ^ 2’ 3’ 4’ n + l’ ’ 1 3 5 2n - 1 2’ 4’ б’ 2n ’ b) 5, -5, 5, -5, ... , (-1Г'- 5, ... ; Г) -2, 3, -4, 5, ... , (-1Г {n + 1), ... . Выясните, какие из приведенных последовательностей являются монотонными. Укажите характер монотонности: 2 024.15. а) уп = 2п - 1; б) Уп = -5‘"; 024.16. а) у, = (-2Г; б) Уп = cos я п + 5 в) Уп = п +8; = stVi- в) Уп = - 5; г) у„ = yJn + 8. 23.17. Приведите примеры последовательностей: а) возрастающих и ограниченных сверху; б) возрастающих и не ограниченных сверху; в) убывающих и ограниченных снизу; г) убывающих и не ограниченных снизу. Вычислите lim х„, если: 24.18. а) п б) п ч -16 в) ; п г) л:„ = ч/л 7 8 9 024.19. а) х^ = - + -=+ 3 п б) Xn=Q- -2 п 3 X’ _ 3 7 5 13 “Т 'Т п п п п 1 3 , 7 + — 4 + —о. п 'In л" 69 024.20. а) д:„ = б) = Вычислите lim х„, если: П —► оо 5п + 3 п + 1 7я - 5_ п + 2 ’ в) = г) = Зя + 1 я + 2 2я +1 024.21. а) б) X, = 024.22. а) л:„ = 2я^ -1 в) л;„ = 7 • 3'"; г) х„ =-------- ' п З” ^ ^ , 3- я^ в) = —-у-; я 1 + 2я + я б) =---------т- - - я г) л:„ = Зя - 4 - 2я я § 25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 25.1. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ь„), если: в) bi = -1, д = 0,2; а) =3, д = О т)\=2,д = О б) Ъх = -6, д = -0,1; 25.2. Найдите сумму геометрической прогрессии: а) 32, 16, 8, 4, 2, б) 24, -8, -5 Вычислите: 025.3. а) 2 + 1+ - + ! + ...; 2 4 б) 49 + 7 + 1 + ^ + Л + 7 7'“ 025.4. а) -6 + ---^ + ^- - ... 3 27 243 б) 3 + -ч/з + 1 н—]= + ... ; V3 в) 27, 9, 3, 1, -,... ; О г) 18, -6, 2, --...... 3 ,3,24 в) — -1 + —- — + ...; 2 3 9 г) 125 + 25 + 5 + 1 +... . в) 49-14 + 4------h ... ; 7 г) 4 + 2"ч/2 + 2 + у/з + ... . 70 25.5. Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии (Ьп), если: а) bi = -2, bz = 1; в) bi = 7, bz = -1; б) b^ = 3, о г) bi = -20, bz = 4. 25.6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ь„), если: а) S = 2,bi = 3; б) S = -10, Ьг = -5; в) S = --, Ь, = -3; 4 г) S = 1,5, = 2. 25.7. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ь„), если: а) S = 10, g = 0,1; в) S = 6, g = -0,5; 6)S = -3, q = --; О г) S = -21, q = ~. 7 025.8. Найдите п-й член геометрической прогрессии (6„), если: а) S = 15, q = --, п = 3; 3 б) S = -20, = -16, /г = 4; в) S = 20, bi = 22, л = 4; г) S = 21, q = -, п = 3. 3 о 025.9. Найдите сумму геометрической прогрессии (6„), если: а) К = 13 б) ь„=(-1Г^; 45 в) К 6 025.10. Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и четвертого 11,6. 025.11. Найдите геометрическую прогрессию, если ее сумма равна 24, а сумма первых трех членов равна 21. 71 025.12. Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162. %п 025.13. Упростите выражение (при условии, что х Ф —): 2 а) sin X + sin^ х -f- sin^ х ... + sin" х + ... ; б) cos X - cos^ X + cos^ X - cos^ X + ... ; в) cos^ X + cos^ X -I- cos® X + cos® X + ... ; r) 1 - sin® X + sin® X - sin® x ... . 025.14. Решите уравнение, если известно, что |л:|<1. а) X л- х"^ + х^ + х^ + ... + х’' + ... = _ 3 ~ 8* б) 2х - 4л:® + 8л:® - 16л:^ + 025.15. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) 0,(15); б) 0,1(2); в) 0,(18); г) 0,2(34). § 26. Предел функции 26.1. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 19—22, имеет предел при л: —> -1-оо? При х —> -оо? При X —> оо? Рис. 19 72 26.2. Имеет ли функция у = f{x) предел при х -> +о°, при х -оо или при дг: ^ оо и чему он равен, если: а) прямая у = S является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (- оо; 4]; б) прямая у = -2 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [-6; +оо); 73 в) прямая у = -Ъ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (-°о; 3]; г) прямая г/ = 5 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [4; +о°)? 26.3. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции y=f(x), обладающей указанным свойством: Ит f(x) = 5; в) Ит f{x) = -5; б) Ит f(x) = -2; г) Ит f{x) = 0. 026.4. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции y = f(x), обладающей указанными свойствами: а) Ит f(x) = 5 и f(x) > О на (-°о, -foo); X +00 б) Ит fix) = О и fix) < О на (-о°, -f-oo). X -00 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции y=hix), обладающей указанными свойствами: 026.5. а) Ит Цх) = 4 и функция возрастает; X -> +00 б) Ит Л(х) = 1 и функция ограничена снизу; X +00 в) Ит hix) = 5 и функция убыцает; X -+ -оо г) Ит hix) = 1 и функция ограничена. аг -•> 00 26.6. Известно, что Ит fix) = -3. Вычислите: .Г -> 00 а) Ит 6/(х); в) Ит Sfix); б) Ит fix) X -■* СС 3 г) Ит (0,4/(х)). 26.7. Известно, что Ит fix) = 2, Ит й’(х) = -3 и Ит hix) = 9. X оо Д1-+СО X—>оо Вычислите: fix)gix) а) Ит ifix) + gix)); в) Ит X оо б) Ит igix)-fix)); г) Ит hix) 2hjx) Sgix) 74 Вычислите: 026.8. а) lim I 4 + 4- Is ^ “I д: X б) lim —+ 1 т-2|: в) lim X оо г) lim 2 3 VJf X [7 \х J V --IF-3 026.9. а) lim X О б) lim д: + 1 ^ -> 0° д: - 2 ’ Зх-4 X ~ 4^ ^ °°х + з’ 7х + 9 X °°2х + 7 4х^ + 9 в) lim ДГ -> О г) lim 026.10. а) Ит * “ д; + 2 ^ бд: - 1 -2д: - 1 в) Ит ^ Зд: - 4д: + 1 б) Ит Зд: — 1 X ^ °°х + 7х + 5' г) Ит Юд: + 4д: - 3 * “ 5д: + 2д: + 1 26.11. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 23—30, имеет предел при х—>3? Чему равен этот предел? Рис. 28 26.12. Изобразите эскиз графика какой-нибудь функции y=g(x), обладающей заданным свойством: а) lim g(x) = 2; в) lim g(x) = -4; X -1 X -7 б) lim g(x) = -3; г) lim g(x) = 3,5. X 2 д : -> 5 26.13. Ha рисунке 31 изображен график функции y = f(x). Найдите: а) lim f(x); в) lim f(x); X —> -oo д: —> 3 Рыс. 31 76 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции y = f{x), обладающей заданными свойствами: 026.14. а) lim f{x) = 4, lim f{x) = 0; X +00 X *“> —OO 6) lim f(x) = 10, lim f(x) = -2; X —> +00 X -» -OO b) lim f(x) = -2, lim f(x) = 1; X -> +00 X -OO r) lim f(x) = 3, lim f{x) = -4. 026.15. a) lim f(x) = 3 и /(2) = 3; X 2 6) lim f(x) = 4 и lim f(x) = 0; X -> -6 X -» -OO b) lim f(x) = 4 и /(-1) не существует; X -+ -1 г) lim f(x) = -1 и lim f{x) = -5. X -> 3 X -> +00 026.16. Вычислите: a) lim {x^ - 3x -(- 5); X -> 1 b) lim (x 4- бл: - 8); X -1 6) lim 2л: + 3 1 4;c + 2 2 r) lim 7л:-14 _i 21л: + 2' 3 026.17. a) lim yjx + 4; X -> 5 3 + 4iX b) lim ylx + 3; X ^ 6 6) lim 1 2л:^ + 6л: - 3 2 г) lim 5 - 2x ^ ^ -1 Зл: - 2л: + 4 026.18. a) lim 6) lim X - X x^ - A b) lim л:*^ -25 5 л: - 5 3 + л: 026.19. a) lim 26.20. x-*-2 2 + X sin Зл: + sin x 1 cos Зл: + cos X 2 r) lim X -3 л:^ - 9 ,, cos 5л: - cos Зл: 6) lim -----------------, ' X -->0 sin 5л: + sin Зл: Найдите приращение функции у = 2х - 3 при переходе от точки JCo = 3 к точке л:1, если: а) Xi = 3,2; б) х^ = 2,9; в) Xi = 3,5; г) Xi = 2,5. 26.21. Найдите приращение функции у = х^ л- 2х при переходе от точки Xq = -2 к точке Xi, если: а) Xi = -1,9; б) Xi = -2,1; в) Xi = -1,5; г) Xi = -2,5. 77 026.22. Найдите приращение функции у = у!х при переходе от точки д:о=1 к точке Xi = Xq +Ах, если: а) Ал: = 0,44; в) Ал:=0,21; б) Ал: = -0,19; г) Ал:=0,1025. ^ 26.23. По графикам функций, представленных на рисунках 32 и 33, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки Хо к точке х^: 026.24. Найдите приращение функции y = f(x) при переходе от точки X к точке лг+Адг, если: а) f(x) = Зл: + 5; в) f(x) = 4 - 2х; б) fix) = -х^; г) fix) = 2х^. 026.25. Для функции y = fix) найдите А/ при переходе от точки х к точке л: + Ал:, если: б) fix) = - . X а) fix) = ах^; § 27. Определение производной 27.1. Закон движения точки по прямой задается формулой s(0 = 2f + l, где t— время (в секундах), sit)— отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднютб скорость движения точки с момента = 2 с до момента: а) ^2 = 3 с; в) tz = 2,1с; б) tz = 2,5 с; г) tz = 2,05 с. 78 27.2. Закон движения точки по прямой задается формулой s{t) = t^, где t— время (в секундах), s{t)— отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента ti=0 с до момента: а) tz = 0,1 с; в) ^2 = 0,2 с; б) ^2 = 0,01 с; г) <2 = 0,02 с. 27.3. Закон движения точки по прямой задается формулой 8= s{t), где t— время (в секундах), s(i)— отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если: а) s(t) = 4t 1; в) s(t) = St -f 2; б) s(t) = 6t - 2; г) s(t) = 5t - 1. 27.4. Функция y = f(x) задана своим графиком. Определите значения f'(xi) и Г(Х2), если график функции изображен: а) на рис. 34; б) на рис. 35; в) на рис. 36; г) на рис. 37. 79 27.5. Найдите скорость изменения функции в произвольной точке х: а.) у = 9,6х - 3; в) «/ = 6,7л: - 13; б) у = -16х + 3; г) ^ = -9л: + 4. Найдите скорость изменения функции y=f(x) в указаь^ ной точке л:о: д:о = 2; в) f(x) = х^, Хо = -2; лго = -1; г) f(x) = х^, Хо = 2. -, Хо = 2; в) fix) = 1, л:о = 5; X X , Xq 1 , X г) fix) = - , Хо = -0,5. X 027.8. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = где t — время (в секундах), s{t)— отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если: а) ^ = 1с; в) t = 2 с; б) t = 2,1 с; г) ^ = 3,5 с. Указание: ускорение— это скорость изменения скорости. 027.9. На рисунке 38 изображен график движения туриста от базы и обратно. С какой скоростью он шел первые 2 часа? Последующие 2 часа? На какое максимальное расстояние удалился турист от базы? С какой скоростью он шел назад? Через сколько времени вернулся на базу? Сколько времени отдыхал в пути? 80 027.10. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = 2t^ + t, где t — время (в секундах), s(t)— отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента = Ос до момента tz, если: а) ^2 = 0,6 с; в) t2 = 0,5 с; б) ^2 = 0,2 с; г) t2 = 0,1 с. 027.11. Закон движения точки по прямой задается формулой S = s(t), где t — время, s(f) — отклонение точки в момент времени t от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если: а) s(^) = + 3; в) s(t) = + 4; б) s(t) = - t; г) s(t) = - 2t. 27.12. Функция у = f(x) задана своим графиком (см. рис. 39). Укажите любые два значения аргумента Xi и Х2, при которых: а) f\xi) > 0; f(x2) > 0; в) f'(xi) < 0; f'(x2) < 0; б) f(xi) < 0; fix2) >0; г) f(xi) > 0; fix2) < 0. 027.13. Функция у = fix) задана своим графиком (см. рис. 39). Сравните значения производной в указанных точках: а) П-7) и fi-2); в) /'(~9) и f(0); б) А-4) и f(2); г) А-1) и f(5). Рис. 39 81 27.14. Функция у=ф(л:) задана своим графиком (см. рис. 40). Укажите несколько значений аргумента, для которых: а) (р\х) > 0; в) ф'(л:) < 0; б) ф'(л:) < о и л: > 0; г) (р\х) > О и л: < 0. § 28. Вычисление производных Найдите производную функции: 28.1. а) I/ = 7х + 4; в) i/ = -6х + 1; б) г/ = х^; г) у = -. X 28.2. а) у = sin х; б) У = в) у = cos х; т) у = 10 10 Найдите значение производной функции у = g(x) в точке Хо, если: 28.3. а) = \1х , Хо = 4; б) g(x) = лго = -7; 28.4. а) g(x) = sin х, Xq = ~ — б) g{x) = cos X, Хо = 6 ’ в) g(x) = -Зл: - 11, Хо = -3; г) g(x) = ~>^о = 0,5. в) g(x) = cos X, Хо = -Зл; г) g(x) = sin X, Хо = 0. 28.5. Найдите скорость изменения функции у = h(x) в точке Хо, если: а) h(x) = 7х - 19, Хо = -2; • б) h(x) = \[х, Хо = 16; в) h{x) = -6х + 4, Хо = 0,5; г) Л(х) = Vx, Хо = 9. 82 28.6. Найдите скорость изменения функции у = h{x) в точке Xq, если: а) Н{^х) — , Xq — 2; X в) h{x) = х^у Xq = -0,1; б) h{x) = sin х^ Xq = — ; г) h{x) = cos дг, лго = п. 2 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой Xq\ 1 1 в) f{x) = - , Xq = -\ г) f{x) = дсо = 2. в) fix) = cos X, Xq = 28.7. а) fix) = x^. Xq = -4; б) fix) = 1 X ’ Xq 1 ^ ~ ~3 ’ fix) = я 28.8. а) sin X, 3 б) fix) = cos X9 ДСо = - ■ г) fix) = sin дс, дго = - g . 28.9. Укажите, какой формулой можно задать функцию У = fix), если: а) fix) = 2х; б) fix) = cos х; в) fix) = 3; г) fix) = -sin х. Найдите производную функции: 28.10. a) у = x^ - 7x; b) у = 7x^ + 3x; 6) у = Jx - 9x^; r) у = yfx - бдс^. 28.11. 1 . a) У = - + ^x; X 1 в) I/ = - - бдс; 6) у =-2 ; X т) у = 8yfx + -. X 28.12. a) у = sin д: + 3; в) у = cos д: - 6; 6) у = 4 cos x; г) у = -2 sin X. 28.13. a) у = cos X + 2x; в) у = sin X - Здс; 6) у = S sin X + cos x; г) у = 2 cos X + sin X. 28.14. a) д: = x^; 6) у = x^°; в) дс = дс^®; г) у = х^°^. 83 Найдите производную функции: 28.15. &) у = + 2х^; 6) у = х^ - х^‘, 28.16. а) i/ = {х^ - 1)(х" + 2); 6) у = {х^ + I) 4х в) у = х^ + г) у = х"^ - 7х^. в) у = (х^ + 3)(х^ - 1); г) у = yfx + 2). 28.17. а) г/ = - + 1 \(2х - 3); в) z/ = - + 8 (5л: - 2); б) у = у/х COS х; 028.18. а)у = б) У = 2л: + 4’ -1’ г) у = у[х sin X. в) У = г) г/ = X г - 4х X 28.19. а) у = 3 sin х + ctg х; б) <;/ = tg X - cos х; 28.20. а) у = X ig х; б) у = sin X tg х; х" + 1 в) у = cos X + tg х; г) г/ = 6 tg X - sin X. в) у = X ctg х; г) ^ = cos X ctg X. Найдите значение производной функции в точке Xq: 28.21. а) ^ = х^ + 2х - 1, Хо = 0; б) I/ = х^ - Зх + 2, Хо = -1; в) I/ = х^ + Зх - 4, Хо = 1; г) у = х^ - 9х^ + 7, Хо = 2. 28.22. а) у = - =4; 8 в) у = - ~6,Xq = 1; б) у = yfx + 4,Xq = 9; г) у = yfx + 5, Xq = 4. 028.23. Вычислите скорость изменения функции y=g(x) в точке Хо: а) g(x) = х^ + 2х, Хо = 2; б) ^(х) = (7^ + i)Vx, Хо = 1; в) g(x) = х^ + 4 ^/x - 4х, Хо = 4; 1(4 г) g(x) = ----2 1, Хо = -0,5, X V X 84 028.24. Вычислите скорость изменения данной функции в данной точке Хо‘, 8.) у = 2 sin X - 4х, Хд = tgx п б) I/= —.*„=-j; Я в) у = -2 cos X ■¥ X, Хд = —; б ctg X я V) у = лго = -. э о 028.25. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h{x) в точке с абсциссой Xq и осью х: а) h{x) - х^ - 4x, Xq = 1; б) h{x) = у[х - 3, лго = т; 4 в) h{x) = - 2д:^ + 2, дсо = -1; 25 5 г) Мх) = -- + 2, Xq = -. X 4 028.26. а) f(x) = JC sin х, ? г- х^ я Гя^ б) f{x) = VSsin д: + — + Д!:sin - , g I = ? в) f{x) = х{1 cos х), fin) = ? г) f{x) = 7з cos X - Д!:cos + —>/'1^1 = ? о я \о J 028.27. а) При каких значениях х выполняется равенство f{x) = 2, если известно, что f{x) = 2у[х - 5д: + 3? б) При каких значениях х выполняется равенство f(x) = 1, если известно, что f(x) = Здс - ylx + 13? 28.28. Найдите производную функции: а) г/ = (4л: - 9)^; в) ^ = (5д: + 1)®; б) i/ = |- + 2 г) у = \--В 85 Найдите производную функции: 28.29. а) у = sin (Зл: - 9); в) i/ = cos (9л: - 10); г) ^ = sin (5 - Зд:). в) У = V4 + 9х; г) у = yj50 - 0,2х. б) I/ = cos I - - 4л: |; 28.30. а) у = >/l5 - 7х; б) у = -у/42 + 0,5л:; 028.31. Найдите значение производной функции в точке XqI а) у = (Зд: - 2)^ Xq = 3; б) t/ = sin I ^ - 2лс 1, д:о = ^ ; я ^0=7;: в) у = tg I Зд: - - т) у = л/25 - 9д:, х^ = 1; 12 ’ Вычислите скорость изменения функции в точке дсо: 028.32. а) г/ = (2д: + l)^ д:о = -1; б) ^ = у/7х - 3, Xq = 1; в) г/ = 12л:-5 f Xq 2, г) у = Vll -5дс, д:^ = -1. 028.33. а) I/ = sin Зд: — , д:^ = -; в) г/ = cos — 2дс , д:^ = -; б) у = tg 6х, дсо = —; г) у = ctg ДСо = я. О 028.34. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h{x) в точке с абсциссой Xq и осью хх а) h{x) = (0,5д: + 3)^, Xq = -4; б) Цх) = yjlQx + 21 , ДСо = т; 4> в) h{x) - 18 4д: + 1 , Xq 0,6; г) h{x) = л/б - 2д: , д:о = 1. 86 028.35. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f{x) равен k, если; a) f{x) = yfx - X, k = 1; б) f{x) = sin X cos X, k = - ^; b) f(x) = \[x + Зд:, k = 4; r) fix) = cos^jc, ^ ^ • Решите неравенство f(x) < 0, если: 028.36. 028.37. 028.38. 028.39. 028.40. б) fix) = -x^- - л;® + 6jc. 0 u a) fix) = x^ - x‘‘; a) fix) = sin 2x; 6) fix) = -4 cos x + 2x Решите неравенство g'ix) > 0, если: a) gix) = x^ + x^; 6) gix) = * a) gix) = сое^д: - sin^x; 6) g'(x) = еш^д:. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = hix) образует острый угол с положительным направлением оси х, если: а) hix) = х^ - Зх^ + 1; в) hix) = х^ - х'^ - 19; б) hix) = 4\[х - х; г) hix) = tg х - 4х. 028.41. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции y = (pix) образует тупой угол с положительным направлением оси х, если: а) ф(д:) = sin д: -Ь 3; б) ф(д:) = 0,2х® - З^д:^ -f 9д:. 028.42. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у-fix) равна скорости изменения функции У = gix)\ а) fix) = ^ д:^ - х^, gix) = 1 ,Ъх^ - 1бд:; б) fix) = -Jx , gix) = ^ ? 87 028.43. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x): а) g(x) = х^ - Зх^, h(x) = 1,5х^ - 9; б) g(x) = sin |^3д: “ “ j ’ = 6л: - 12; Ц) ^■(л:) = tg л:, h(x) = 4х - 81; г) g{x) = cos 7 - 2х I, h{x) = 3 - л/2 л:? 4 У 028.44. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f'(x) = g'(x), если: а) f(x) = sin (2х - 3), ^(л:) = cos (2л: - 3); в) fix) = 73л: - 10 , g(x) = Vl4 + 6х ; г) fix) = ctg X, gix) = 2л: + 15. 028.45. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции у = Л(л:) образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а: а) hix) = х^ - Зх + 19, а = 45°; б) Цх) = , а= 135°; л: + 2 в) hix) = 2yj2x - 4 , а - 60°; г) hix) = sin I 4л: - — I, а = 0°. •28.46. а) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = 4х^ -\а\х, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 60°? б) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = х^ -\-\a\x, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 45°? 88 § 29. Уравнение касательной к графику функции 29.1. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции у = f{x), изображенному на заданном рисунке, в точках с абсциссами а, Ь, с: а) рис. 41; б) рис. 42. Рис. 42 29.2. Укажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует, если график функции изображен на заданном рисунке: а) рис, 43; б) рис. 44; в) рис. 45; г) рис. 46. 1 'Г \ 1 S О 1 \ 5 Z1 2 3,£ 1 1 1 > X г г Рис. 43 Рис. 45 Рис. 46 89 29.3. Тупой или острый угол образует с положительным направлением оси X касательная к графику функции у = f{x), проведенная в точке с абсциссой х=а, если: а) f{x) = 4 + а = 2; в) f{x) = (1 - xf, а = -3; б) /(X) = 1 - - , а = 3; г) Дл:) = 2х - х^, а = 1? 29.4. Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе ,2 У = \ - X в точке: а) А(0; 1); б) В(2; -3); , 1 3 в) 51-; -у г) Z)(-l; 0)? Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой х = а, если: 29.5. а) f{x) = х^ - 2х^ + 3, а = -1; б) fix) = V4 - 6х , а = 0; в) fix) = д:" - 7х^ + 12л: - 45, а = 0; г) fix) = VlO -f- X , а = -5. 29.6. а) fix) = sin х, а = 0; в) fix) = cos Зх, а = б) fix) = tg2x,a= - ; г) fix) = sin X, а = — . О Определите, какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = fix) в точке с абсциссой X = а, если: 29.7. а) fix) = х^, а = 0,5; в) fix) = 0,2х^, а = -1; б) fix) = -3д:^ а = 3 ; г) fix) = -0,25д:‘‘, а = 0. 029.8. а) fix) = х^ - Зх^ +2х - 7, у = 1; б) fix) = -7д:^ + 10x^‘ X - 12, а = 0. 029.9. а) f(x) = , а = i б) f(x) = , а = 1. 90 Определите, какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой X = а, если: 029.10. а) f(x) = у/бх + 7 , а = 3 ^ ; б) f(x) = VS - 2х , а = 2. О 029.11. а) fix) = л/з cos ^ , а = Y ; б) f(x) = ^ sin 2д:, « = ^ • Составьте уравнение касательной к графику функции у = fix) в точке с абсциссой х = а, если: 029.12. а) fix) = х^, а = 3; б) fix) = 2 - X - х^, а = 0; в) fix) = х^, а = 1; г) fix) = х^ - Зх + 5, а = -1. Зх — 2 029.13. а) fix) = —----, а = 2; о ~ X 2х — 5 б) fix) = g _ ^ , а = 4. 029.14. а) fix) = 2 43х-Ъ , а = 2; б) fix) = 7? - 2х , а = 3. 029.15. а) fix) = cos — , а = 0; б) fix) = sin 2х, а = — . 4 029.16. а) fix) = ctg 2х, а = — ; 4 б) fix) = 2 tg - , а = 0. 024.17. Напишите уравнения касательных к графику функции у = 9 - х^ в точках его пересечения с осью абсцисс. 029.18. Напишите уравнения касательных к параболе у = х^ - Зх в точках с ординатой 4. 029.19. На графике функции у = х^ - Зх^ -I- л: -t- 1 найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнение каждой из этих касательных. 91 029.20. В какой точке касательная к графику функции у = параллельна заданной прямой: 3 а) у = 2х + 1; в) у = -х - 2; б) I/ = + 5; г) у = -X + 5? 029.21. В каких точках касательная к графику заданной функции >у = f(x) параллельна заданной прямой у = kx + т: „3 а) f(x) =---Зх^ + Юл: - 4; у = 3 + х; 3 б) пх) = ^-х‘ +S, у = 0; 4 уЗ в) fix) = — - х^ + 2х - 7, у = X - 3; г) Ял:) = -л:^ - л:^ + 6, у = 27 029.22. а) f(x) = sin х, у = -х; б) fix) = cos Зл:, у = 0; в) fix) = tg X, у = х; г) fix) = sin У = -1? 029.23. Напишите уравнения тех касательных к графику функ-л;® ции у =----2 , которые параллельны заданной прямой: 3 а) у = X - 3; б) у = 9х - 5. 029.24. С помощью формулы fix) « /(а) + fia)ix - а) вычислите приближенно: а) 0,998®; б) 7^05; в) 1,03"; г) •29.25. Через точку В проведите касательную к графику функции у = fix)^ если: а) f(x) = ^/з^, В(-2;'3); б) f{x) = 7з^, В(4; 0). •29.26. Составьте уравнение касательной к графику функции У = л: < О, отсекающей от осей координат треугольник, д: 9 площадь которого равна —. 8, •29.27. Составьте уравнения тех касательных к графику функции \/з у = — (1 - л:^), которые пересекаются под углом 120° в 6 точке, лежащей на оси у. 92 § 30. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы 30.1. Определите, какой знак имеет производная функции y = f(x) в точках с абсциссами а, Ь, с, d, если график функции изображен на рисунках: а) рис. 47; б) рис. 48. РЫС. 47 Рис. 48 93 30.2. Определите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунках: а) рис. 47; б) рис. 48. 30.3. По графику производной, изображенному на рисунках, определите, на каких промежутках функция у = f(x) возрастает, а на каких — убывает: а) рис. 49; в) рис. 51; б) рис. 50; ■ г) рис. 52. i/i Г‘ -- — — - -- - — — п X). -3 -4 О < i- -а X Рис. 49 Рис. 50 30.4. На каком из указанных промежутков функция у = f{x) убывает, если график ее производной представлен на рисунке 53: а) (-2; 1); б) (-оо; 4); в) (4; +оо); г) (-оо; -2)? РЫС. 53 30.5. Определите, для какой из функций у = f{x), у = g{x), у = h{x) отрезок [-1; 1] является промежутком возрастания, если на рисунках 54—56 изображены графики производных этих функций. к — - (х Ч| ^ I 1, О V X --- — -- -- - - -/ - - — - — — Ч - — L_1J Рис. 56 95 30.6. На рисунках 57—59 изображены графики производных функций у = f{x), у = у = h{x). Определите, какая из функций у = f{x), у = g{x), у = h{xy. а) возрастает на Д; б) убывает на Д. 30.7. Изобразите эскиз графика производной функции у = f{x), если известно, что функция у = f{x) возрастает на луче (-00; 1] и убывает на луче [1; +оо). 30.8. Изобразите эскиз графика функции у = f{x), если промежутки постоянства знака производной f{x) представлены на заданной схеме: а) рис. 60; б) рис. 61; б) рис. 62; г) рис. 63. -4 Рис. 60 + Н------1- 0 2 Рис. 61 -2 4 Рис. 62 + Ч--------h 0 1 Рис. 63 -1 96 030.9. Докажите, что заданная функция возрастает: а.) у = cos X + 2х; б) у = х^ + Зл:^ + 7л: + 4; в) у = sin X + х^ + х; т) у = х^ + 4х^ + 8л: - 8. 030.10. Докажите, что заданная функция убывает: а) у = sin 2л: - Зл:; б) у = cos Зл: - 4х. 030.11. Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой; укажите характер монотонности: а) у = х^ + бх^ - 7; в) у = х - cos л: + 8; б) у = sin X - 2л: - 15; г) ^ = 11 - 5х - х^. Определите промежутки монотонности функции: 030.12. а) I/ = х^ - 5х + 4; в) г/ = -х^ + 8х - 7; б) у = 5х^ + 15х - 1; т) у = х^ - X. 030.13. а) ^ = х^ + 2х; б) I/ = 60 + 45х - Зх^ - х^; в) у = 2х® - Зх^ - Збх + 40; г) ^ = -X® + 5х. Исследуйте функцию на монотонность: 030.14. а) I/ = х'^ - 2х^ - 3; б) у = -х^ - х; в) у = -Зх"* + 4х^ - 15; г) у = 5х® - 1. 1 030.15. а) У = б) У = X + 3 Зх-1 Зх + l’ в) у = - + 1; X г) У = 1-2х 3 + 2х 030.16. а) у = yJSx - 1; б) у = Jl- X + 2х; в) у = \ll - 2х; г) у = л/Зх - 1 - X. 97 30.17. По графику функции у = f(x), изображенному на заданном рисунке, определите точки, в которых ее производная обращается в 0: а) рис. 64; в) рис. 66; б) рис. 65; г) рис. 67. Рис. 66 98 30.18. По графику функции у = f(x), изображенному на рисунке, определите точки, в которых f'(x) не существует: а) рис. 64; в) рис. 66; б) рис. 65; г) рис. 67. 30.19. Сколько точек минимума имеет функция у = f(x), график которой изображен на рисунке: а) рис. 64; в) рис. 66; б) рис. 65; г) рис. 67. 30.20. Сколько точек максимума имеет функция у = f{x), график которой изобралсен на рисунке: а) рис. 64; в) рис. 66; б) рис. 65; г) рис. 67. 30.21. Используя данные о производной f{x), приведенные в таблице, укажите: а) промежутки возрастания функции у = f{x); б) промежутки убывания функции у = Дх); в) точки максимума функции у = f(x); г) точки минимума функции у - f(x). X i-OO; 5) -5 (-5; -2) -2 (-2; 8) 8 (8; +00) fix) + 0 - 0 + 0 + 99 30.22. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а; Ь), имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения. б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а; Ь), имеющей на нем две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений. 30.23. Может ли иметь только одну точку экстремума: а) четная функция; б) нечетная функция; в) периодическая функция; г) монотонная функция? 030.24. При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку: sl) у = - Зах^ + 27х - 5; 6) у = х^ - Зах^ + 75х - 10? 30.25. По графику производной, изображенному на рисунке (см. с. 94), определите, имеет ли функция у = f(x) точки экстремума: а) рис. 49; в) рис. 51; б) рис. 50; г) рис. 52. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: 030.26. а) у = 7 + 12х - х^; б) у = S + 2х^ - л:^; в) у = Зх^ + 2х^ - 7; г) у = х'^ - 8х^. 030.27. а) у = 2х + ~; X б) У = yj2x - 1; . X 5 г)у = х-3\ 030.28. а) у = -- - ^х^ + бх - 1; х“ ¥ 2 ,3 б) у = X - 27х + 26; в) у = х^ - 7х^ - 5л: -I- 11; г) £/ = -2л:^ -I- 21л:^ + 19. 100 030.29. а) i/ = -5л:" + Зл:"; 6) у = - 4л:" - 8л:" + 13; ъ) у = - 50х"; v) у = 2л:" + бл:"* - Юл:" + 3. ^ 4“ 9 030.30. а) W = л: + —; б) у =-------. X X 030.31. а) У = Х- 2л]х - 2; 6) У = 4>/2л: - 1 - л:. 030.32. а) у = X - 2 cos л:, л: € [-ти; я]; б) у = 2 sin X - Xf X Е [я; Зя]. § 31. Построение графиков функции Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами: 31.1. а) Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной; б) функция возрастает при л: < 1 и при л: > 5 и убывает на промежутке [1; 5]; точка л: = 1 является критической, а точка л: = 5— стационарной. 31.2. а) Функция имеет разрыв в точке х = -2, максимум в точке л: = -1 и минимум в точке л: = 1; * б) функция имеет горизонтальную асимптоту у = S при л: —> оо, одну точку максимума и одну точку минимума. Исследуйте функцию и постройте ее график: 031.3. а) у = Зл:" - 4л: -I- 5; б) у = 3 + 2х - х^; 031.4. а) у = Зл:" - л:"; б) у = -9х + л:"; 031.5. а) I/ = л:" - Зл:" + 2; б) у = -л:" + Зл: - 2; в) у = 7 - X - 2л:"; г) у = 5л:" - 15л: - 4. в) у = х^ + Зл:"; г) у = Зх - л:". в) у = -л:" + 6л:" - 5; г) у = л:" - Зл: -I- 2. 101 031.6. Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = 2х^ + - Ъх - 1'., ъ) у = х^ х^ - X - б) ^ = -у + + Зл: - у; Постройте график функции: 031.7. а) г/ = -х^ + Ъх^" - 4; 6) у = х^ - 5л:; 031.8. а) г/ = (л: - 1)^ (х + 2); г) у = — + х^ -Зх + -. ^ 3 3 в) у = 2х^ - 9х^ + 7; г) ^ = 5л:® - Зл:®. в) у = (х + 2f (х - 3); 031.9. а) У = б) у = 031.10. а) У = •31.11. а) у = а) У = •31.12. •31.13. —х{х-\У\ 9 г) У = х\2 - : X + 2_ X - З’ в) У X - 3 X + 1 ’ Зх - 4 г) у 2х + 1 X - 2 ’ X + 2 1 б) У -2 X® + 1’ “ X® + 4‘ 2х + 1. X® + 2’ б) у _ X - 2 X® + 5 X® + 4, б) у X® + 1 X® - 4’ X® -1* а) Постройте график функции у = х'^ - 2л:® + 3. б) При каких значениях параметра а уравнение л’^ — 2х^ + 3 = а имеет три корня? •31.14. а) Постройте график функции у = -л:^ + 2л:® + 8. б) При каких значениях параметра а уравнение -л:'* + 2л:® + 8 = а не имеет корней? •31.15. При каких значениях параметра а: а) уравнение х^ - Зх = а имеет один корень; б) уравнение Зх - х^ = а имеет два корня? 102 § 32. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: 32.1. а) г/= Зх - 6, [-1; 4]; 8 б) !/ = —, в) 1/= -0,5х + 4, [-2; 6]; г) У = [0,3; 2]. X 32.2. а) у = 2 sin х, б) У = -2 cos л:, п —; я 2 -2п; в) г/ = 6 cos X, ; г) У =-0,5sin л ^ п 2’ 2 32.3. а) у = tg X, б) у = -3 tg д:, л ^ л З’ ~6 в) у =-2 tg X, 0; - 6 4л Зл ; г) у = -tgx, l'"’ ■ tJ 32.4. а) у = 4х, [0; 9]; б) у = урх, [~4; 0]; в) у = -у[ху [4; 16]; т) у = -yFx, [-9; - 4]. 32.5. а) у= 12х\ [-1; 2]; б)у = -6х\ [0,1; 2]; 032.6. а)у = х^-8х+ 19, [-1; 5]; б) у = х^ + 4х - 3, [0; 2]; в) у = 2х^ - 8л: + 6, [-1; 4]; т) у = -Зх^ + бд: - 10, [-2; 9]. в) у = -Зх\ [0; 1]; г) у = [-1; 3]. 103 32.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = sin X на отрезке: а) б) 0; 2п 2п; 8п в) г) -2п; - 4л 6л; 26я 032.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = - 9х^ 4- 24д: - 1 на отрезке: а) [-1; 3]; б) [3; 6]; в) [-2; 3]; г) [3; 5]. 032.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х^ + Зх^ - 46х - 2 на отрезке: а) [-6; 0]; б) [1; 2]; в) [-6; -1]; г) [0; 2]. 032.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х^ - 9х^ + 15л: - 3 на отрезке: а) [0; 2]; б) [3; 6]; в) [-1; 3]; г) [2; 7]. 032.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х'^ - 8л:^ + Юл:^ + 1 на отрезке: а) [-1; 2]; б) [1; 6]; в) [-2; 3]; г) [-1; 7]. 032.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х + на отрезке: л:-1 а) [2; 4]; б) [-2; 0]. л Зл 4’ Т 032.13. Найдите область значений функции: а.) у = ctg л: + л:, х е б) у = 2 sin X - X, X е [0; л]; в) у = 2 cos л: + л:, х е л л 2’ 2 г) у = tg X - X, X е 0; -3 104 Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: 032.14. &)у = х^~ 2х^ + 1, [0,5; +оо); б) у = X- 2yfx, [0; +оо); в) у — —X — X , (—оо; 1]; г) у = —---, (-оо; + оо). х^+1 032.15. а) у = Х + -, (-оо; 0); X б) У = Зх хЧз , [0; +оо); в) у = -2х - —, (0; +оо); т) у = yj2x + 6 - X, [-3; + оо). •32.16. а) [/ = - 4л: + 5 + |1 - л:|, [0; 4]; б) г/ = |л:^ - 1| - Зл:, [-1; 3]. Найдите область значений функции: 1. II .4’ 4 . б) У = 2у]х - 1 - 0,5л:, X G [1; 10]. •32.17. а) У = ^х- \/16л:-4, х G •32.18. а) у = xyjx + 2; б) У = Wl-2x. у = х^ - Зх^ -9х + Vl6 - х"* + |Vl6 - х"* - 5|. •32.19. 032.20. 032.21. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение. Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение. 105 032.22. Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. 032.23. Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. 032.24. ^Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим. 032.25. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? 032.26. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 032.27. Площадь прямоугольника составляет 16 см^. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? 032.28. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 м^. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»? •32.29. Сторона квадрата АБСП равна 8 см. На сторонах АВ и ВС взяты соответственно точки Р тл Е так, что BP=BE = S см. На сторонах AD и CD берутся точки соответственно К и М так, что четырехугольник КРЕМ— трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции? •32.30. На графике функции у = найдите точку М, ближайшую к точке А (0; 1,5). •32.31. На графике функции у = 4х найдите точку М, ближайшую к точке А (4,5; 0). 032.32. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала? 032.33. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м^. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала? 106 032.34. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2:3, а объем составлял 576 м^. Каковы должны быть измерения параллелепипеда, чтобы его полная поверхность была наименьшей? 032.35. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим? •32.36. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей? •32.37. Из прямоугольной трапеции с основаниями а и 5 и высотой h вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если: а) а = 80, Ь - 60, h = 100; б) а = 24, Ь = 8, Л = 12? •32.38. У пятиугольника АВСПЕ углы А, В и Е— прямые, АВ=а, ВС = Ь, АЕ = с, DE = m. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади и вычислите эту площадь, если: а) а = 7, Ь = 9, с = 3, m = 5; б) а = 7, Ь = 18, с = 3, m = 1. •32.39. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на & м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом? •32.40. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу— 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции? I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I I I I I 6vr Степени u корны. Степенные функции I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 33. понятие корня n-u степени из действительного числа 33.1. Назовите подкоренное число и показатель корня: а) ^3; б) VS; в) л/ГТ; г) 33.2. Докажите, что верно равенство: а) = 19; в) = 7; й = 1= г) 32 ^ 2 243 “ 3' 33.3. Объясните, почему неверно равенство: в) = -2; г) ^6^ = -25. а) = -5; б) = -2; 033.4. Верно ли равенство: а) V7-4V3 = 2 - л/З; б) V14-6V5 = л/б - 3; Вычислите: 33.5. а) Vl6; б) в) V7-4V3 = л/З - 2; г) Vl5-6>/6 = 3-л/б? в) г) 33.6. а) ^0,125; б) ^0,0625; в) t/0,0081; г) ^0,027. 33.7. а) б) 33.8. а) V-128; б) з/-1; V о в) ’ \121 в) ^-64; г) W7 г) ?/- 32 Г 108 33.9. Вычислите: а) ^ б) - ^-125; в) 3^-4^; г) 12 - 6^0,125. 033.10. Найдите отрезок [м; п + 1], где ugN, которому принадлежит заданное число: а) >/5; б) в) г) ^ Решите уравнение: 33.11. а) 125; в) л:® = 32; б) = 1 128’ г) л:®= 1. 33.12. а) 17; в) л:® = 11; б) -16; г) л:® = -3. 33.13. а) 0,02л:® - 1,28 = 0; в) 0,3л:® - 2,4 = 0; б) 3 4^ ® -ь 18- = 0; 4 г) ^л:' - 2 = 0. 8 33.14. а) 5 = -3; в) ^/2x78 = -1; б) V4- 5л: = -2; г) ^7-4л: = 4. 033.15. а) - 9л: - 19 = -3; в) Il2x^ + 6л: - 57 = б) ijx‘- - Юл: -ь 25 = 2; г) ^л:® -f 7л:-ь 13 = 1, 033.16. Расположите числа в порядке возрастания: а) 2, в) 3, Vio. б) 4, ^/ЮО; г) 2, ^60, 033.17. Расположите числа в порядке убывания: а) -1, ^ОД: в) -2, б) 0, V- -0,25, г) 1, V2, 109 033.18. Определите знак разности: а) ^ в) ViO-^; б) 3 - lITbO; г) - 5. 033.19. Расположите числа в порядке возрастания: 'а) iPl2, 2, в) -J^, 2,5; О б) 1, я г) 2я, 0, § 34. Функции у их свойства и графики Постройте график функции: 34.1. а) у = б) У = в) У = г) г/ = 34.2. а) у = 2^; в) г/ = б) у = г) у = 3V^. 34.3. а) ^ + 1; в) у = IjX + 3', б) у = ^х-2; г) г/ = - 4. 34.4. а) у = у[х + 2; в) t/ = ^ + 1; б) у = ^ - 4; г) г/ = Vx-i. 034.5. а) у = у1х + 2-3; / в) 1/ = - 1 + 3; б) у = ^х -1 + 2; г) 1/ = + 4 - 4. 34.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции г/ = : а) на отрезке [0; 1]; в) на отрезке [5; 16]; б) на полуинтервале [1; 3); г) на луче [16; +со). 110 34.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = ^: а) на отрезке [-1; 1]; б) на луче (-оо; 1]; в) на отрезке [-32; 32]; г) на луче [2; +°о). 034.8. Найдите точки пересечения графиков функций: а) у = ^ и у = х^; в) у = ^ и у = х; б) у = ^ и у = |х|; г) у = ^ и у = -X - 2. 034.9. Решите графически уравнение: а) у/х = -х; в) \[х = 2 - х; б) ^ = 7 -6х; г) ^ 034.10. Определите число решений системы уравнений: \у = [б - 2л: - 3^ = 0; а) \у = i[x. в) у2х -Зу = 6; б) \у = г) [Sy - 4л: = 0; у = 0. 034.12. У = если л: < О, если X > 0. 034.13. У Найдите область определения функции: если л: < О, у[х, если X > 0. 34.14. 34.15. = ^2х - 4; в) У = ^Зх - 9; = ^2 - Зх; г) г/ = - 5л:. = + 5; в) у = ^6х - 7; г) у = ^2х + 1. 111 Найдите область определения функции: 034.16. а) у = ^Ьх + 8 + ^2х - 4; б) у = V2x + 1 - ^5 - Юл:; в) у = ^УЗл: - 12 - ^2х - 1; г) I/ = л/8 - 16л: + + 20. 034.17. а) Z/ = Их^ +4х- 12; в) у = Их^ - 8д: + 12; б) у = - х^ + 2х; г) у = И4- х^ - Зх. ^ ^^ 1х-8 Il2-5x 034.18. = ^ ~ у 7-2х’ J1 + 9jc j3-7x ^ ~ \2х + 9' 034.19. а) у = ^х + 1; Найдите область значений функции: в) у = Их + 3; т) у = Их - 4. в) у ^ Их -3; г) 1/ = 2 + Их. б) У = Их - 2; 034.20. а) i/ = 2 + ^; б) у = Их -3; 034.21. Найдите наименьшее значение функции: а) у = Их^ - 6л: + 8; б) у = Их^ +6х + 10. •34.22. Постройте график функции: а) У X - 5х + 4 ^ X - 4 б) У = Х^ - X - 6 х-3 § 35. Свойства корня п-й степени 35.1. Найдите значение числового выражения: а) Из-27; в) ^625 • 16; б) Vl6 • 0,0001; г) ^0,00032 • 243. 112 Найдите значение числового выражения: 35.2. а) f 243 32’ б) 125’ в) ? 64 729’ 35.3. а) ^24 • 9; б) ^48 • 162; в) ^75 • 45; г) ^54 -24. 35.4. а) ; б) 4 16 0,0625’ в) 27 г) 16 0,125 \0,25 35.5. а) ^5®^; б) ^0,2'° -10^®; в) ^0,2" -5®; г) ^36" -2®. 35.6. a)d^ б) |з^’ в) о8 г) 13 ,10 * Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения: г) 35.7. а) V7; б) в) 35.8. а) #■; б) л/?; в) 35.9. а) yja^^; б) &■, в) 35.10. а) 149а'‘ б) Jl6aV в) J27a® Vl69b^’ V с^^ ’ а Г'"'* V64&® г) .15 243с Вычислите: 35.11. а) ^ в) ч/^ л/5; б) ^/1^ . г) ^ . ^/4^. 35.12. 35.13. 35.14. Ж’ , , V1024 1/г' ^ а) V32 -3 • Vs • 27; б) ^2® • 7" • V^. Приведите радикалы к одинаковому показателю корня: а) V2 и V3; в) V7 и ^VS; б) Vs и V9; г) V3 и V2. 113 35.15. Приведите радикалы к одинаковому показателю корня: а) 73, Й и V7; в) л/б, Vl7 и б) V2, ^ и Vi; г) Vs, V2 и 'VIOO. 035.16. Сравните числа: а) V^ и V5; в) V7 и Vi?; б) V5 и л/З; г) -Vi и -V3. Преобразуйте заданное выражение к виду Va : 35.17. а) V2-V2; в) V2 • V3; б) VS-VS; г) V2 • V3. 035.18. а) Vi?-V^; в) Va • Vo^; б) V^-Vio^; г) 035.19. а) Voi • Viai; в) ^ЬаЬ^ • VSa^i б) г) Veii • Vi?. 035.20. а) V? : Va; в) V? : Va; б) г) Va^b" : Voi. Возведите в степень: 35.21. a)(V3f; б) (Vi)”’ 35.22. а) (sVs)^ б) f Ъ ■ ? - V в) (Vf)^; г) (Vi)^. в) 3- Г) 1^1 . 2р 35.23. а) (V^)^; б) (ба • в) (-5 • Vo^)"; г) Ы-Za^ )'• 35.24. Преобразуйте заданное выражение к виду VA: а) VV?; б) 114 в) >/Va^; г) VVii. 035.25. Решите уравнение: iV^ + 13 + ^ = 2fe ^ 5 б) + V162jc = 6. 035.26. Вычислите: а) ^/б + 2л/5 • ^6-2л/5; б) ^6-2л/Г7 • ^6 + 2VI7; 035.27. Решите уравнение: а) ^ - 2^ = 0; б) yjx - Ъ\[х + 6 = 0; в) • ^8 + ч/37; г) VVl7+3 • ^>/17-3. в) ^ + 2^ -1 = 0; г) if^ + 2^-S = 0. 035.28. Докажите, что 2/(л:) =/(128л:), если f[x) = y[x. 035.29. Докажите, что 2/(л:) = /(32л:), если /(л:) = 2^х. 035.30. Постройте график функции: а) г/ = - 2)"; в) i/ = ^(л: + 1)^; б) I/ = ^(2 - д:) ; г) У = да-л:) . § 36. Преобразование выражений, содержащих радикалы Вынесите множитель из-под знака корня: 36.1. а) >/^; б) лЯ47; в) >/Ш; г) 36.2. а) б) t/l60; в) Щ2; г) ^4^. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения: 36.3. а) б) в) г) 36.4. а) V25a^ б) ^405о^; в)^24л:'; г) ^160Йг^. 115 36.5. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения: а) V75#V®; в) ^250jc:^z/^; J72a^b^ „ / 80л:® Ъ \ 343х^ ’ г) Зтпя ^ V 243тЫ' 036.6. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения: а) у/а^Ь; б) в) у[а^; г) yja^b. Внесите множитель под знак корня: 36.7. а) 2л/5; 5) в) 5л/3; г) V 27 36.8. а) |л/3; О б) \Hl2-, в) if Я' г) 0,2^. 36.9. Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения: а) 7а^\[аЬ; б) 5аЬ^ ^а^Ь; в) г) 2т . 036.10. Упростите выражение: а) б) 2^3 -ь в) 2^ -h г) V^-V2. 036.11. Расположите числа в порядке возрастания: в) ^ и а) 73; Й и б) Й; ^ и 'ViO; 36.12. Выполните действия: а) {у/т - 2^){у/т + 2^); б) - 7з)(>/3 -ь ^); г) ^4; ^ и в) (а - л/ь)(а + у/ь); г) + 2у12)(2у12 - ^). 116 Выполните действия: 36.13. а) [yfx + yfy)(x - + у); б) (З + V^)(9 -3^ + Л); в) (2yfp + y[q){4p - 2^ + 9); г) {у[а + ^[аЬ + 36.14. а) (л/m - 2^) ; в) (а^ - Va) ; б) г) (^ + 2у/2)\ 036.15. а) (а-Ь): (л/а - у/ь); в) (т - п) : - ^); б) (k + l) : + ^); г) (л: - 4у): [у/х + 2у[у). Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения. 036.16. а) б) 036.17. а) б) 71о&-л/15. в) Vl4 + Vm. Vl56 - л/5 ’ V^-Vl4 ’ г) y[a^ - yfad Vx’ V^ - yja^ л/а - 2 • Va • Vfc + V^, в) Va + y/b Va - Vb Va + 2 V a&^ + b у/т + 2^ 4л/л^ + 4^тп + л/т^ г) б) yfb + 2а^а^Ь + а® aVa + Vb yjb - х" - 1 aji + Vb ’ Va - byjb г) Va - л/б ■ 036.19. Преобразуйте заданное выражение к виду VA: a) ^2^2т'‘п®; в) 6) >/г/^9х'‘1/^; г) yjq^2p^q. 117 036.20. Преобразуйте заданное выражение к виду а) ^2^/272; 3 2 б) 4 1з1 1 3 V4 V3 V3V2V3 г) 036.21. Упростите выражение: а) - 73 - б>/2 + 7^ + VS; б) + у[ху - у]9ху - 77^ + —\Jx^y 036.22. Сравните числа: а) -ViTlO и - 7799; в) 7з и 7б^; б) -у/зТз и Тб; г) -^зТб и - 7бл/2. 036.23. Расположите числа в порядке возрастания: а) 7^, 7^ и ТШ; б) Ti, 7^ и '7^; в) 7^, 72 и 72-72; г) ^Тб4, "7^ и 727U5- 036.24. Найдите значение выражения: 4-з72 Ш-ilsf 4ч/3 + 3,/б’ 5) № + ^/з)^ . 7з + 27з + i’ 1-275 + 75 (>/з-^«Г 036.25. Выполните действия: а) (l + 7a)(l + 7a)(l - Та); б) (7^ + у/п){у[т - 7я)(7^ + 7й). 118 036.26. Выполните действия: а) (^/эЛ - 2ilZabx + л/^); (л/^ - ^); б) (Vli? - - фу)- Разложите на множители: 036.27. а) л/^ - 7% + 7^ - Тз^с; б) 74? + 72 • 7^^ - 74 • 7? - Tv; в) 7? + 7аЬ^ - 7?& - 7?; г) б7а - аЬ + 7? - аЬТь. 036.28. а) 7w - 7т - 6; б) 7т + бТт + 6; 036.29. Сократите дробь: 6^? + ^ -1 2^ + ?/; ’ в) То + 7^То +12; г) 27^ - 7^^ - 1. б) г4х - sTjc - 2 97^ - 1 036.30. Упростите выражение: 4аЬ • у[а а) б) (а + Ь) • I -Ъ^ т + ^п) + wm 7й)‘ 2{т - п) •36.31. Решите уравнение: -1 7? -1 а) ix^ - 1 7х +1 - Syjmn. = 4; б) - 7? л:+ 8 7?-25 + 2 Tic + 5 = 5. § 37. Обобщение понятия о показателе степени Представьте степень с дробным показателем в виде корня: 4. 3 в) х'^; 37.1. а) с4; б) Р 37.2. а) 0,2°’®; б) f°’®; в) Ь'-®; г) У г) 8,5 0,6 119 Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем: 37.3. а) # г) V43. 37.4. а) б) в) 'V?: г) Вычислите: 1 1 1 1 37.5. а) 492; б) 10002; в) 272; г) 251 037.6. а) 9 2; 6)0,16 2; в)13 37.7. 3\г 8 г) 0,0012. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной: Г^ 1 ч а® • а"® „ а) —при а = 6; 37.8. 37.9. 037.10. 37.11. 37.12. а Вычислите: а) (27 • З-У; в) -2 при р = р р I а) а) г) (r®f ври ^ = 0,1. б) 16 • (2 Т. гт-7 гг-8 g-iz ^ 5^ • 49-2 252 б) б) у-13 81^2 ■ 1Q-7 10'® ■ 27^^ Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем: а) б) в) ^ Вычислите: 1 1 а) 4'2; б) 8~2; г) г) 1б”'‘. в) 32 37.13. Имеет ли смысл выражение: 1 2 3 _1 а) 5'2; б) (-16)3; g) 23‘2; г) (-25) 2? 120 37.14. Сравните: 1 1 а) 22 и 32; б) 0,32 и 0,52; в) 52 и 52; г) 72 и 7®. Упростите выражение: 11 11 37.15. а) с2-с2; б)Ь~^-Ь^; 2 _1 в) п2 . Д 6. 1 г) -dK 13 5 1 37.16. а) л;2 : л:2; б) : у^; 1 1 в) 2® : 2 2; aJ:.-. 37.17. а) б) (с'Ф; в) (02)'; 1 7 37.18. a)Jc2 - VI; б) у^ -Цу^-, 3 в) 2'* • Vz; г) 037.19. а) в) к - 17 K(V^F; б) • (с"'’^)“; г) (fc°>2 3 / 2 \ -1.5 ri (ft'f) . Найдите значение выражения: 037.20. а) 105 102 10°'; б) 2'’^ • 2“°’'^ • 4°’’'; 037.21. а) 4°’° • 2°’^ : 2"°’°; б) 3 • 9°’" : 2 J_ 3 в) 49”2 .712 г) 25°’^ • 5'’" • 625°’^^ i i2 _1 в) 42 - 2 2 : 4 2; 1 1 г) 8"2 .162 : 037.22. а) (27 64)2; б) I — . 8Г' 16 J в) I — . 0,04 36 j г) |5-^.—^ ' 64 037.23. Упростите выражение: 1 а) (т ^)2; б) 18л: 2/ ; в) г) (81л:-'‘)"'‘, 121 037.24. Упростите выражение: а) 2 5 X ^ , {jr ») т—г Я) ■ (г'■ г) (к 2^ ^2 1,5 а • 0 20 1 2 .а'* • Ь\ Представьте выражение в виде суммы: 1 - - 11/2 2\ 37.25. а) ^2 -у^1-х^у^; в) \Ь^ + / 2 2/1 1 \ - -1 - 3 б) + b^l; г) х^у^\х^ -у^ /1 1\2 ( 37.26. а) W +пЧ ; в) 1 М' 1 1\2 б) \l-c2/ ; г) [а^ -2ЪЧ . 37.27. Раскройте скобки: а) (л:3 + з)(д:^ - з); б) (а^ +Ь^){а- в) [d^ +l); + Ь ); г) \р^ -q^l[p^ +{pqy +Я^}> Сократите дробь: 4 • 32 37.28. а) -----; 32-3 б) 1 1 а2 - &2 а - Ь 037.29. а) С2 - rf2 в) X + 2х г) - Ъ ^ р - 25’ б) т + п 2 11 1 т} - т^п} + «2 122 Упростите выражение: 037.30. а) (l + c^) -2с2; III? L б) U" -тЧ +2/П12; 037.31. а) (аз+г^з) _(д^з_^,з) . б) (аЗ н-баз) -10a^ 037.32. а) (л:4 + хКл:" - l)(^:2 + l); б) (k'^ +/^)(а:8 +/в)(/г8 -^з). 3 3 037.33. а) ~ - 1 1 г 11 в) -y2j +2х^у^; г) у/ь + у[с -{ь^ + с^) . а - Ъ б) -I \[х fy 11 1 • Х2 + у2 § 38. Степенные функции, их свойства и графики Постройте график функции: 38.1. &) у = б) у = х'^; в) у = х®; г) у = х '^. - - Л 1 38.2. а) у = х^; 6) У = x'^; в) у = х т) у = х^. 38.3. Постройте и сравните графики функций: .-3. а) у = ^х и у = х^; б) у = ^х и у = х^. 38.4. Известно, что f{x) = . Вычислите: а) /(4); б) Л-1; в) ДО); г) /(0,01). 38.5. Известно, что f{x) - х ^. Вычислите: а) «1); б) /(8); в) /’Щ; г) КО). 123 38.6. 38.7. 38.8. 38.9. Исследуйте степенную функцию на четность: i i - й-v „ - -V 3. в) у = х~^^; в)у = л:'"; б) у = X г) у = х^. Исследуйте степенную функцию на ограниченность: ^ 3 2 — v~4. II - V-S. пЧ II v5 в) у = х^; б) у = X в) у = х~°; г) у = хК Исследуйте степенную функцию на монотонность: а)у = х^^; б)у = х^; в) у = г) у = х\ Найдите наименьшее и наибольшее значения функции I у = X* : а) на отрезке [0; 1]; б) на луче [1; +о°); в) на интервале (2; 3); г) на полуинтервале (5; 16]. 38.10. Найдите наименьшее и 1% наибольшее значения функции у = х^: а) на луче [0; +°о); б) на полуинтервале [1; 3); в) на отрезке [1; 2]; г) на полуинтервале (6; 8]. 38.11. Найдите наименьшее и 2 наибольшее значения функции У = х~~^: а) на отрезке [1; 8]; б) на интервале (3; 5); в) на луче [1; +°о); г) на полуинтервале (0; 1]. Постройте график функции: 1 о 38.12. а) у = (л:+ 2)2; в) у = (х-1) 3; 1 г) у = X ^ + 4. 7 б) у = х^ -S; 1 038.13. а) у = (х + 3)« - 1; 7 в) у = (х + 6)^ + 2; 1 б) у = (х-2) ^ +5; 1 г) у = (x-3)2 -1. 1 038.14. а) г/ = 2х^; 1 - в) у = 2^^’ 3 б) у = -X 1 г) у = -2хК 124 038.15. Решите графически уравнение: 1 1 а) х^ = 6- х; в) л:'* = л:^; ^ 1 б) ; X 2 г) = X - 4. 038.16. Решите графически систему уравнений: а) б) = х^. 1. = 1; У = X в) у = х^. у = |л:|; = уГх; г) » = * ^ [2л: -^-1 = 0. Постройте и прочитайте график функции: (х, если л: < О, 038.17. У = \ 5 л:®, если л: > 0. 038.18. у = 038.19. У = |л:|, если л: < 1, х^, если л: > 1. —, если X < О, X 1 X если л: > 0. 038.20. Известно, что f(x) = х^. Найдите: а) /(16л:); б) /(81д:'‘); в) —ж г) f(x‘) в) 038.21. Известно, что f(x) = х Найдите а) /(8ж®); б) f(x-‘); Найдите производную заданной функции: 38.22. а) у = л:®; б) 3 38.23. а) у = х^\ б) г) f(x'\ л:"'‘; в) у = х^°; г) У -- 1 7 в) У = х^; г) У = = 125 Найдите производную заданной функции: 38.24. а) I/ = \[х’ б) г/ = Г, в) I/ = -р; г) г/ = —. х1 \х ^3 2 зУ 38.25. а) у = ху/х; б) г/ = 4-=; в) г/ = г) г/ = х^^. ых X 38.26. а) у = 2л:^ + х^/х; б) у = -^ + Зх“-Ь, в) у — —7“> yjx г) у = х^ - 7х^. 038.27. Найдите значение производной функции y=g(x) в заданной точке XqI а) g(x) = х^ - Зл/х, д^о = 1; б) g(x) = ^Зх-1, Xq = в) g(x) = х~^ + д:о = 1; г) g(x) = i(5 - 2х)~\ Xq = 2. О 038.28. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой 3 а) fix) = 4-х Xq =1; б) fix) = 12д: ^ - X, дгц = 9; в) fix) = 2х^ - 1, Xq = 8; г) fix) = х~^ -I- вл/х, Xq = 1. 038.29. Найдите угол, образованный касательной к графику функции y = gix) с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой Xq: а) gix) —у/4 Здс, Xq б) gix) = -3(л/2 + д:)'", XQ=l-y[2. 126 038.30. Напишите уравнение касательной к графику функции у-fix) в точке с абсциссой х = а: &) у = х^ - Зл:^ а = 2; б) г/ = ^Зл; - 1, а = 3; в) у = Zx^ - 5х^ - 4, а = 2; г) у = (2х + 5) 2, а = 2. 038.31. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: 2 I— а) у = -ху1х - 2х\ 3 3 I б) Z/ = -х^ - X. 038.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) I/ = -ху[х - 2х, [1; 9]; 3 3 2 б) у = -х^ - X, (0; 8); в) = ^^х4х - 2л:, (1; 9); 3 г) ^ = -х^ - X, [0; 8]. >38.33. Постройте график функции: а) I/ = 2(д: - 1) 3 - 2; в) у = -(х + 2)2 +1; г) г/ = 1,5(л:-3) ^-4. >38.34. Решите графически неравенство: 1 _1 а) л;2 < 6 - л:; в) х ^ < л:®; б) х2 > х~^; г) X® > X - 4. 127 138.35. Решите уравнение ^'(х) = О, если: а) = 2у/х - х; 2 - 12 - б) g(x) = -х^ - ^ + 2х; о о 3 ~ в) = -х^ - 2х; и * о 4 7 г) g(x) = -х^ - уд:® - 2д:. 38.36. Проведите касательную к графику функции i/ = f(x), параллельную заданной прямой у = kx-\- т: а) fi^x) = 4^^, у = х-2; б) f(x) = \, у = 5 - Зх. X 138.37. Исследуйте функцию на монотонность и экстремум и постройте ее график: а)у= у/х -х; б) у = xyjx + 2. 138.38. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение: а) 2д:" + -h 5д: - 80 = ^14 - Зд:; б) ^10 + Зд: = 74 - д:" - Зд:^ - 8д:. ‘ >38.39. Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки М: 3 а)у = у/х, М(0;1); б) г/= + 4, М(0; 0). I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Показательная u логарифмическая функции I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 39. Показательная функция, ее свойства и график 39.1. 39.2. 39.3. Найдите значение выражения 2"" при указанных значениях переменной х: 39.4. 39.5. а) д: = 3; б) х = -2; в) д: = 5; г) д: 3 1 а) дс = -; б) дс = 4 в) дс = -; г) д: Определите, какое из чисел, 5*' или 5^'^ 2 4 а) Xi = -, Х2= g; . 3 в) Xi=-,X2 = 7 6 б) Xi дса = -g; , 3 г) Xi Х2 = Найдите значение выражения: а) 2"’^ • 2"°’"; в) 3®’® • 3"®’®; 1 б) 7'2 . 7^’"; 4Г-(Г а) 4®'' : 4^ 2- „ в) 8 2 : 8^; 11 9 ’ ^-6.3 ^ ,-2,3 б)||' 39.6. а) 39.7 Ш; б) VV' У ; а) (2“Т-2"; б) в) (32) ; г) в) (3"'Y : 3®’'; г) 3 V / у y.24-3V 129 Решите уравнение: 39.8. а) 3' = 9; в) 3" = 27; б) 3^ = г) 3^ = 81 * 39.9. а) 5" = S; б) М =81; в) 8" = Щ; ' 5 J 25 039.10. а) 2^^ = 128; б) 6"* = 216; в) 3^* = 27’ \5х г) 1 343 39.11. Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: a)j/ = 3^; б) у = х^; в) у = х^; г) г/= (>/з) . 039.12. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = 2^ принимает заданное значение: а) 16; б) 8^^2; в) > 32V2 ' 039.13. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = \ — \ принимает заданное значение: а) 25’ б) 125; в) г) 625 л/5. 39.14. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу: а) у = 4х - 1; У = ~3х^ + 8; б) у = 18"; 39.15. Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху: а) у = -Зх^ + 1; в) у = (7,2)"; б) у = (0,6)"; г) г/ = cos х. 130 39.16. Схематично изобразите график показательной функции: а)у = (л/зГ; ^ ^ " ^ 1 Ч\/бу 39.17. Сравните числа: а) 1,3^^ и 1,3^®; в) 12,1^ и иЛ'^; 1 г) (0,65)-'^ и (0,65)2 39.18. Сравните с единицей заданное число: а) 17‘i: б) ОД)-'’; в) DIjI. 039.19. Расположите числа в порядке возрастания: 1 а) 2^ 2'^^ 2^’^ 1; 1 I б) 0,3^, 1, 0,3"'^^ 0,32, 0,3 ^ 0,33. Исследуйте функцию на монотонность: 39.20. а) у = ШУ; в) у = 21'; б) у = 0,3*; г) I/ = 39.21. а)у = 2-^; б) у в)у= 17"^; т)у = Решите неравенство: 39.22. а) 4* < 64; б) > g ; в) 5" > 25; 039.23. а) -I >81; в) if <2^; б) 15* < 225 г) 2* > 256 131 Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: 39.24. а) J/ = 2^ [1; 4]; в)у=\^ \ , [0; 4]; б)у=\-\ , [-4; -2]; г) ^ = 2^ [-4; 2]. 39.25. а) ^ = ШТ , (-оо; 4]; в) ^ = Ш" , [0; +оо); б)у = V V3 у , (-оо; 2]; г)у = vV7y , [-2; +00). 039.26. Найдите, на каком отрезке функция у = 2^ принимает наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное ^ . fiY 039.27. Найдите, на каком отрезке функция ~ I ^ I принимает наибольшее значение, равное 81, и наименьшее, равное ^. 39.28. Найдите область определения функции: в) У б) у = 7^ ; г) у = Постройте график функции: 39.29. а) Z/ = 2^ + 1; б) I/ = 1 3 I - 2; в) у = 4^-1; г) у = (0ЛГ + 2. 39.30. а) I/ = 5"^^; б)у = B)y = 3^~h г) !/ = I I Ж+ 0,6 039.31. Решите графически уравнение: а) З'^ = 4 - jc; в) 5"" = 6 - л:; б) I - I = X -н 3; г) I - I = X -h 8. 132 039.32. Решите графически уравнение: а) 2^ = -2х + 8; в) З"" = -л: + 1; г) 0,2* = л: + 6. б) 1-| =х+11; При каких значениях х график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функ- ции: а) г/ = 3*, 1/ = -д: + 1; в) г/ = 5*, у = 6)1/= 0,5*, 1/ = 2х+1; г) О, Зд: + 1, если д: < 0. а) Вычислите Д-3); Д-2,5); ДО); Д2); Д3,5); б) постройте график функции у = Дд:); в) прочитайте график функции. 039.37. Дана функция у = Дд:), где Дд:) = 4*, если д: < 1, -х^ +1, если X > 1. а) Вычислите Д-3); Д-2,5); ДО); Д1); Д2); б) постройте график функции у = Дд:); в) прочитайте график функции. 133 039.38. Дана функция у = Кх), где f{x) = - , если л: < О, 2) у[х +1, если X > 0. а) Вычислите Д-5); Д-2,5); ДО); Д4); Д1,69); б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции. 039.39. Дана функция у = Дл:), где f(x) = - , если л: < О, 4] cos X, если л: > 0. а) Вычислите Д-3); Д-2); Д-1,5); ДО); f[^ б) постройте график функции у = f{x)\ в) прочитайте график функции. Найдите область значений функции: 039.40. а) I/ = 3 • 2^; 6) у =14 в) ^ = 2 -7*; 039.41. а) I/ = 3^ + 1; б) J/ = -1 .6; ь)у=1Г-2; 2V г) У - 8. 039.42. Докажите, что для функции у = f(_x), где Дл:) = 2"*, выполняется равенство: а) /(JCi) • f{x2) = Кхх + х^У, в) Д-2д:) = ; б) f{x + 1)-Д2л:) = 2f{x)', г) Дсоз^л:) = д/2Дсоз 2х) . § 40. Показательные уравнения и неравенства 40.1 Решите уравнение: а) 3* = 9; б) 2* = 16; в) = 1; г) 0,5* = 0,125. 134 Решите уравнение: 40.2. а) 4* = — ; 16 б) 7^ = —; ^ 343 40.3. а) 10^ = ^1000 ; б) 5* = ^ 40.4. а) 0,3^ = б) 1000 27 ’ f-T .5, 16 40.5. а) 2^'^ = 4; б) 5®^-' = 0,2; в) = 36; г) 0,2^ = 0,00032. в) 0,3^ = ф,0081 ; г) (i)=25V5. в) 0,7" = 1000 г) if 343 ’ 16 81 в) о,4'-®" = о,1бТм; г) (iT ' = 8V2. 040.6. а) 3' \ 2j: + 3 б) 6^"'® = 216"; ■s=--, 27 040.7. а) 3"-“’" б) 0,5"'""’" = 32; в) г) 6 У = 6^ \8лг+1 = 1,5 2х - 3 г) 0,1"'-“’® • Тод =0,001. 040.8. а) 2" f =i; б) 3" = 27 125’ в) 5" • 2" = 0,1'"; г) 0,3" • 3" = . 040.9. а) {у/12У • {SY = h б) ШУ" • = 243. о 135 Решите уравнение: 040.10. 040.11. 040.12. а) (fr = 0,8Г'^; б) V2 7з чхЧ4 = 20,25 х + 1 а) ^|6^ • = Vl25-5®^ б) ^/О^ • >/о,2^"'з = 040.13. ^/9^; в)3'- [з] = 243; ч/2-ч/32; г) (0.1^)'^ = ^. =-78; в,2.(Г-Г*“=-= '"■" = 4,8; riY''‘ fiY' 4 Hi] ^i- 040.14. а) 2^* - 6 • 2^ + 8 = 0; в) б) 3^^ - 6 • 3^ - 27 = 0; 040.15. а) 2 • 4* - 5 • 2^ +2 = 0; б) 3 • 9^ - 10 • 3^ + 3 = 0; И г) (0,25)" + 1,5 • (0,5)"^ 1 = 0. 040.16. а) 4 • - 17 • +4 = 0; б) 0,01" + 9,9 • (0,1)" -1 = 0; 2х 2х -5-1-1 -6 = 0; DI-J .5. 1-1 -6 = 0. ( 4 1 (2 в) 3 • - + 7 • - l9j 1з л* -6 = 0; 136 Решите уравнение: 040.17. а) 2'^"' -5 • 2" - 88 = 0; \;с-2 б) ■2х+1 - 32 = 0; в) 5"""^ - 26 • 5" + 5 = 0; г) 1 V3y •40.18. а) 3 *-1 1 V3y - 162 = 0. + 207; б) + 188 = 8 • 2^ - 0,5^' 040.19. а) 2^ = 3*; б) 25^ = 7"^; •40.20. 040.21. 040.22. 040.23. а)3*-7^^' = 49-4*; а) 24^ + 2. б-зд^-1 = 6,25-2^"'; б) tj2x“2 _ дЗл:+1 а) 3^ = “з; б) I - I = 4л: + 6; 040.24. а) I ^ I = 0,5л: + 5; б) 3^ = -л: + 4; >40.25. а) 18* - 8 • 6^ - 9 • 2^ = 0; б) 12*-6*^Ч8- 3* = 0. в) 2х = 8*; DI-I = /1Л- 6)2*+1.5*+з ^ 250 -9* 6)35^*^^ = 5^*^^- 7®*. в) 2л: ■+ 1,8 = -5*; г) I - I = Зл: + 1. в) I - I = 2л: + 9; г) 3^ = -0,5л: + 4. 137 Решите уравнение: •40.26. а) дх ^ 2 “ 3^ ’ б) 12^ + 143 12" 1 _ 1 . ®)5'+4 5"=^^’ г) 8 8 1Г+120 11" >40.27. а) 3 • 2^"^ + 6^ - 2 • 3^^ = 0; б) 2 • 2^"^ - 3 • 10" - 5 • 5^" = 0; в) 3""^' - 4 • 21" - 7 • 7^" = 0; г) 5 • 3"" + 7 • 15" - 6 • 25" = 0. 040.28. а) б) 040.29. а) Решите систему уравнений: = 16, З"' = 27"; 0,5^" ■0,5*' = 0,5, 2^" • 2"*' = 32; б) |(7зГ^^^ = >/з.7^, 10,1" • 10®*' = 10; 27** • 3" = 1, -I .4- =2; в) г) в) = 125, [4"-*' =4; [0,6""** 0,6" =0,6, >0" •10*' =(0,01)"'. г) 1 - -5" = 125; 5J 5*' • 25" = 625, -] •9*' = ^ 3 J 27 Решите неравенство: 40.30. а) 2" > 4; б) 2' < i ; 40.31. а) 3* < 81; б) i > -L: 3 J 27' в) 2" < 8; г) 2">^. в) 5" > 125; г) (0,2)" < 0,04. 138 Решите неравенство: 40.32. а) 3'^-" < 27; б) 4 "i’ ^3^ 2л: - 9 ^ rrSx - 6. 40.33. а) 7"^-" > 7^ б) 0,5^""' > 0,5®"-'; 040.34. а) 4®"-' > 16®"^"; б) 040.35. а) 2®"^® < ' ^ . уЗл.1 г 1 ^ > UJ .49, б) 7 12 040.36. а) 2V2 -2"-® > б) >/l^ • л/б < 5 • I - 2*-l 040.37. а) 7' б) 0,6"-" ; 040.38. а) ^/^ . ^|2^ > 2 '^; б) 0,9"'-'^’’ ' 040.39. а) 2" + 2" ^ 2 < 20; б) 3'"-'- 3'"-®< ^; О 8 в) 5"""' > 125; г) (0,1)®"-® < 0,001. в) 9"-' < 9-'"^®; г) ^ 7 Y®-®’® f 7 Ji) ^ [и. в) + i < 12Г^"-'®; г) (0,09)®"-' < 0,3" в) 25 г) в) 5>|2*-8 25 ^ ^ >^3лг + 4 7J •7V7 4V64. в) + ^ J21; г) 0,3"-'°" >|3^ >2-^; в) 14"'"" чЗ (1 Y"" г) в) V Vs у Зл:^- 13лг > 9. , Зд: + 4 I' ^ Y^ + 5 5) "^(5) >6; г) 0,3®"-' - 0,3'*" >0,7 6л: 139 Решите неравенство: 040.40. а) 3^^ - 4 • 3* + 3 < 0; в) 0,2'^- 1,2 0,2^ +0,2 >0; б) 5"^ + 4 • 5^ - 5 > 0; г) 040.41. а) 2^*"' - 5 • 2^ + 2 > 0; б) 3^^"'- 10 ■ 3^ + 3 < 0; B)UJ +15-[-]-4<0; г) (0,5f'"‘ + 3-(0,5)‘- 2 > 0. ( f л + 6 -I -7 < 0. 040.42. 040.43. а) 5^ < -д: + 6; ^12 Y а) 3* < 5^; б) 6^ > 2*; в) — < 12^; г) 0,6^>3^ 1.13^ б) ^lY > Зд: + 1; 2х-3 X + 2 040.44. а) 19*^" > 1; 7х + 1 б) 0,36^-" < 1; в) 3"‘ > -X + 4. г) Y < 0,5* + 5; 5х- 9 в) 37^*^® < 1; 9х-18 г) ^?г-* >1. 30 j 040.45. а) 3 3 1 ^ 27’ ^-2 1 в) 8 ^ > —; 64 5л:+ 1 |8 М ^81 б) - > —; MgJ 64 6 121 36 ' 040.46. б) 9*- (:)■ < 2,25; в) 5^- ' 2 Д5 J_^ X Л8, > 0,25; г) 3^- .12 < 0,0625. 040.47. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства: ,)±<8--<512; б) ^ 7-х < I - I < 243? 27 140 040.48. Найдите наибольшее целочисленное решение неравен- ства: a) 2,5*'*’< 6,25; b) 1,1^*’®< 1,21; ®> 6 >Ti5= r) 0,7®^"'‘>0,49. 040.49. Сколько целочисленных решений имеет неравенство: а) < 125; в) > 128; б) Лх^-Zx 49’ г) (0,3)^ > 0,09? •40.50. Решите неравенство: е)2х + 2- б) 2 x^-ix + Z > Ах -2- § 41. Понятие логарифма Докажите, что: 41.1. а) log2 2 = 1; 6)logil = 0; в) logo.i 0,1 = 1; r)log5l = 0. 41.2. a)log4 64 = 3; ® в) logo,2 125 =-3; 6) log2 4 л/2 = 2,5; г) Ig 100 ^ = 2,2. Вычислите: 41.3 a) log2 2^ 6) logj 1^ - I ; b) logs 8'®; r) logo.i (0,1)^ «> 41.4. a)log3 27; 6) logo.i 0,0001; 041.5. a) log^ 49; 6) log^ (2V8); b) Ig 0,0001; r) log-81. B) log 1 (225^); r) logg 64 ^ 7^' 2 041.6. a) log^ 1; 6) loS^^^l-s/S; r) Ig —j=. 141 Вычислите: 41.7. 6)4’°*^^^ в) 2 + log| 20 г) п 041.8. а) б) в) | - 041.9. 6)6'^'“®*^; в)3'“°*»^; г) (V7) г) log, 7 4 + logjj 0,5 Решите уравнение: 41.10. a)lgar=l; 6)lgj: = -2; B)lgj[; = 3; r)lgA: = -4. 41.11. a)log9JC = i; £t b) loge ^ ^; 6) lOg0,027 ^ “ 3 ’ r) logo.25 ^ = f • 41.12. a)log4* = -i; 4 b) log32Ji: = --; 2 6) 10go.l25:^ = -3 ; 3 r) logo.oi л: = -- . 41.13. a) log;, 4 = 2; в) log^: 49 = 2; 6) log^; 27 = 3; г) log^^ 125 = 3. 041.14. a)log,i=-3; в) log;, ^ = -4; 6)log.4 = -i; r) log;, 8 = -|. 41.15. a) 2* = 9; 6) 12'= 7; ViY B) i =4; r)(0,2) Uj 041.16. a)3^^' = 14; 6) 4"^“" = 10; Г) Ш^-^^ = 6. 041.17. a)4*-5 - 2^ = -6; в) 9^-7 - 3* = -12; 6) 16* = 6-4*-5; г)-9- 7^+14 = -49^. 142 Решите неравенство: 041.18. а) 2* > 9; б) 12" < 7; в) | j | < 4; г) (0,2)" > 5. •41.19. а) 4" - 5 ' 2" > -6; б) 16" < 6 • 4" - 5; в) 9" - 7 • 3" < -12; г) 9 • 7" + 14 > -49", § 42. Функция у = fogaX, ее свойства и график 42.1. Найдите значение логарифмической функции I/ = log2 ^ в указанных точках; 1 1 1 3.) Xi 4, Х2 8, Х3 16, в) Xi ц , Х2 , Хз 128 * лч 2 4 8 ’ 32 г) ЛГ1 = , ЛГ2 = 16 y/l^ 42.2. Постройте (схематично) график функции: а) t/ = ^ 5 6)i/= log^x; в) i/ = lg х; г) }/ = logo.2 л:. 42.3. Сравните числа: а) log4 7 и log4 23; б) log 2 0,8 и loggl 3 3 в) logg лЯб и logg 13; г) log_^| и logj^|. 12 ' 12 42.4. Сравните с единицей число: а) loga 41; б) loga.a 0,1; в) logi2,6 ; г) log^0,4 042.5. Расположите числа в порядке возрастания: а) log2 0,7; log2 2,6; loga 0,1; loga i ; loga 3,7; 1 2 6) logo.3 17; logo,3 2,7; logo.a- ; logg.a 3; logg.a 3 . 042.6. Сравните числа: а) logg 4 и б) logo,5 3 и sin 3; b) logg 5 и W; r) Ig 0,2 и cos 0,2. 143 42.7. 42.8. Исследуйте функцию на монотонность: а) г/ = loga.e х; в) ^ = log^ л:; б) I/ = logg л:; г) I/ = logo.9 л:. 4 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [а, Ь]: 1 а) у = logs л:, б) г/ = logi X, 9 .3 в) у = \g X, [1; 1000]; т) у = log 2 X, 3 А. М 27’ 16 042.9. а) Найдите, на каком промежутке функция у = logs л: принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2. б) Найдите, на каком промежутке функция у = logo.s^: принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, равное -3. 042.10. Найдите наибольшее значение функции: а) г/ = logj (х^ + 4); 2 б) у = logo.3 - 4х + 3). 042.11. Решите уравнение: а) logs х = 4 - х; в) logs X = б - X', б) log, X = X + i 2 г) log^ л: = х+\. 3 Решите неравенство: 42.12. а) logs X > 2; 1 в) logg Х^ - \ б) logo.i X > 3; г) log4 л: < 3. 5 42.13. а) logg X < -1; в) logs Х> -2', б) logi X < -4; 3 г) logo,2 х> -3. Постройте график функции: 42.14. а) у = 2 + logs х; в) у = -3 log4 б) у = -1 + logi X ; •г) 1/ = 0,5 -ь logo.i л:. 42.15. а) у = 3 log4 х; в) у = Slogs х; б) у= 2\og^x; г) у = 1 logo.s 3 2 144 42.16. а) у = -2 1о§7 х; б) у = -4 logj X ; б 42.17. а) у = log2 (х + 4); б)у= logi(x-3); 5 в) ^ = -0,51og2 х; т)у= -\0g2X. 3 в) у = logs (х - 1); г) у = logo.3 (Х + 5). 42.18. Найдите область определения функции: а) у = logs (4л: - 1); в) у = logs (8л: + 9); б) у = logi(7 - 2л:); г) у = logo.s (2 - Зл:). 9 042.19. Решите графически неравенство: а) log2 л: > -л: + 1; в) logg л: < -X + 1; б) logg X > 4х - 4; 7 г) logj X < 2х - 2. 3 042.20. Решите неравенство: а) logs л: < 4 - л:; в) logs X > 6 - х; б) logi л: < л: + 1; 9 2 г) logj X > X + - . я 3 [-Зл: + 3, если л: < 1, 042.21. Дана функция у = f(x), где f(x) = jjog^ если л: > 1. I 3 а) Вычислите Д-8), Д-6), ДО), ДЗ), Д9); б) постройте график функции; в) прочитайте график функции. 042.22. Постройте и прочитайте график функции: [-4л: + 4, если л: < 1, [log2л:, если х > 1; а) I/ = б) у = в) i/ = г) I/ = -(л: - если х < 5, logo 2 л:, вели X > 5; log2л:, если О < л: < 2, - I , если X > 2; —, если л: < О, X log^ X, если л: > 0. 145 042.23. Найдите область определения функции: а) I/ = logs - 5л: + 6); б) I/ = logg (~х^ - 5х + 14); в) у = logs (х^ - ISx + 12); г) у = logo.2 (~х^ + 8л: + 9). 042.24. Найдите область значений функции: а) у = log^ х ; в) I/ = -log^ х ; 10 б) у = -22 log7 х; т) у = 12 log^ х. 3 042.25. Дано: f(x) = log2л:. Докажите, что выполняется следующее соотношение: а) Д2*) = л:; б) /(4") + Д8") = 5л:. § 43. Свойства логарифмов Вычислите: 43.1. а) logs 12 + logs 3; б) Ig 25 + Ig 4; в) log26 2 + log26 13; г) logi2 4 + logi2 36. 43.2. a) logi44 3 + logi44 4; 6) logj4 + logi2; 8 8 43.3. a) logs 7 — logs ^ > 6) logs 15 - logs 30; b) logsis 2 + logsis 3; Г) l0g,2- + l0g,2—, b) logj 28 - logj 7; 2 2 r) logo,2 40 - logo.2 8. 043.4. a) log^ 6 - log^ 2^/3; 6) log^j 7V2-log^l4; b) logg 32 - log2 243; 3 3 r) logo.i 0,003 - logo.i 0,03. 043.5. a) (31g2 - lg24) : (lg3 + lg27); 6) (logs 2 + 3 logs 0,25) : (logs 28 - logs 7). 043.6. a) Известно, что logs 2 = c. Найдите logs 8. 6) Известно, что logo.s 3 = a. Найдите logo.s 81. 146 043.7. а) Известно, что logs 2 = а. Найдите logs Ю. б) Известно, что logs 4 = m. Найдите logs 24. 043.8. а) Известно, что logs 42 = Ъ. Найдите logs 7. б) Известно, что logy 35 = п. Найдите logy 5. Найдите число х по его логарифму: 043.9. а) log2 X = log2 72 - log2 9; б) log4 X = log4 2V2 + log4 sVS; b) logy X = logy 14 - logy 98; r)lg* = lg| +lg,|g. 043.10. a) logj X = logj 19 - logj 38 + logj 3; 2222 6) logo.2 X = logo,2 93 + logo,2 4 - logo,2 31; b) log^ X = 2 log^ 4 - log^ 2 + log^ 5; 7 r) logi л: = logj - + logj 21 - 2 log^ 7. 3 3^3 3 043.11. a) Ig д: = 2 Ig 7 - 3 Ig 3 + Ig 8; 6) Ig д: = 2 Ig 3 + Ig 6 - I Ig 9; b) Ig д: = I Ig 3 + I Ig 5 - I Ig 4; r) lgд: = -|lg5 + lgV5 +ilg 25. Вычислите: 43.12. a) log2 4 • logs 27; в) logo.s 0,25 • logo.3 0,09; 6) logs 125 : log4 16; r) Ig 1000 : Ig 100. 043.13. a) logj 4 • logs 9 : log4^; 2 6) log^ Зл/З : logi л/49 • logg ^/5; 7 b) logs 81 : logo.5 2 • logs 125; r) log^ 5л/5 • logo,3 VO^ : Ig Юл/ОД. 147 043.14. 043.15. Вычислите: а) 2^ ® > а) 043.16. а) 8"*=’; 043.17. б) 61"в116 -1. / N21ogj7 б) ш б) 9 ^ >) 5 ,2 logs 3. Г) (0,3) 8 logo,3 6 16 logj^S — log. 18 а) 362 . -ч —logo 25 б) 644 . 043.18. а) V' 6)251-0.5 log, 11 / \1 + 0,5 log14 1 2 4. 043.19. 043.20. а) 043.21. а) б) у logy 9 , logy 25 logj logy 5 ’ 6) ^ logi 2 1 logo 64 - 2 logo 2 logo 2 logo 12 4 ■21og62 , flog, 27 > + 4 logo 2 в) 100'^ г) -log,, 35 в) 1212 . - logs 9 г) 254 . .1 у. 1103118 UJ г) 494-0.5 log, 14^ б) ^36'°®* ® ^ . Iog4 36 bgp 3 32 log^ 6 ’ logo,3 64 • 2 logo.5 2 + logo 5 ^ в) г) logo.5 16 - logo,5^/^0 + logo,5 4 ’ logo.3l6 я 1 logo,3l5 - logo,3 30 13я , In к an nn \ 1 . H i- , .4 J-ОЛ , . <31 143.22. a) log. sin— + - log. sin -+ log. sin —; 12 3 6 ^ 12 1 f n .nY f n . я^”^ 6) -loggi cos- - sin-I - loggi cos- + sin- 43.23. Известно, что положительные числа х, а, b и с связаны соотношением х = . Выразите log„ х через логарифмы по основанию п чисел а, Ь,* с. 43.24. Прологарифмируйте по основанию 2: а) 16а' Ь'; б) ^а(у/ьУ; в) 48а^а-Ь^; г) о 4а 148 43.25. Прологарифмируйте по основанию 5: a) 125а" : 625{yfab) О) I ; С2 Решите уравнение: 43.26. а) log4 X = log4 2+ log4 7; б) logi jc - logi 7 = logi 4; 3 3 3 43.27. a) loge 12 + loge x = logs 24; 6) logo.5 3 + logo,5 X = logo,5 12; b) logs 13 + logs = logs 39; r) logj 8 + logi X = logi 4. 3 3 3 43.28. a) log2 Sx = loga 4 + log2 6; r- b) r) 25^/5 ^ a« b) logs X = logo 5 + logo 6; r) logi X - logi 9 = logi 5. 4 4 4 6) b) log4 5x = log4 35 - log4 7; 72 043.29. a) logд: 8 - logд^2 = 2; 6) log;, 2 + log;, 8 = 4; b) log;, 3 + log;,9 = 3; r) log* Vs + log* (25 Vs ) = 3. 43.30. Положительное число b записано в стандартном виде b = bo ■ 10" , где 1 4; б) log2 л: < -3; \ 45.2. а) logj л: < 2; 3 б) logi X > -3; в) log2 л: < - ; г) log2 ^ > - 2 в) logo,2 л: < 3; г) logo.i л: > - -. 045.3. а) logs (Зле + 1) < 2; X б) logo,S3 >-2; 045.4. а) logs х > logs (2х - 4); б) logo,6 (2л; - 1) < logo,6 х; в) log,j > 1; - 5 4 г) log^ (2х - 3) < 4. в) logj (5л: - 9) > logj 4л:; 3 3 г) logs (8 - бд;) < logs 2х. 045.5. а) log2 (5л: - 9) < log2 (Зл: + 1); б) logo,4 (12л: + 2) > logo,4 (Юл: + 16); в) logj (-л:) > logj (4 - 2х); 3 3 г) log2,5 (6 - л:) < log2,s (4 - Зх). 045.6. а) logs (л:^ + 6) < logs 5л:; б) logo,6 (бл: - л:^) > logo,s (-8 - л:); в) Ig (х^ - 8) < Ig (2 - 9л:); г) log^ (jc^ + Юл:) > log /^(^c - 14). V2 045.7. а) logj (6 - х) > log^ х^; 2 2 б) logo,s (Х^ + 22) < logo,s 13л:; в) logj (-Х - 6) < logj (6 - х^); 4 4 г) logo,5 (Х^ - 27) > logo,5 бд:. 154 Решите неравенство: 045.8. а) logs (х^ - 7х) > 1; б) logi (х^ + 0,5л:) < 1; 045.9. а) loga л: > 4 loga л: - 3; б) logj X + 31ogj^ л: < -2; 2 2 045.10. а) logs X > logs 72 - logs 8; б) 3logi X < logj 9 + log, 3; в) loga (x^ - 6л: + 24) < 4; г) log, (-л:^ + 2, 3 в) log4 X + log4 X < 2; r) logo 2 л: > 6 - logo,a b) logs - logs 35 < logs - ; r) 4 logo.6 л: > logo.6 8 + logo.e 2. 045.11. a) log, X + log, (4 - л:) > -1; 3 3 6) loga (7- x) + loga x > 1 + loga 3; b) Ig (7 - л:) + lgл: > 1; г) log, X + log, (10 - л:) > -1 + log, 4,5. 2 2 2 045.12. a) 2 logg л: + 5 logs x + 2 > 0; б) 2 logo_3 X - 7logo,3 л: - 4 < 0; в) 3 logj л: - 7 log4 л: + 2 < 0; г) 3 log^ л: + 5 log, л: - 2 > 0. 045.13. a) logg л:^ - 15 loga л: - 4 ^ 0; б) log^ x^ -7 log, л: + 3 < 0; 3 3 в) logg л:^ + 13 logзл: + 3 < 0; г) log^ x^‘ - 31 log, л: - 8 < 0. б 5 155 045.14. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства: а) log7 (6л: - 9) < log7 (2х + 3); б) logi (2 - х)> logj {2х + 4); б 5 в) Ig (8л: - 16) < Ig (Зл: + 1); ^г) logo.4 (7 - х) > logo,4 (2х + 6). 045.15. Сколько целочисленных решений имеет неравенство: а) logi2 (л:^ - л:) < 1; в) logg (х^ - 8х) < 1; б) logj (л:^ - Юл: + 9) > 0; г) logo.a + 7х - 5) < О? 045.16. а) б) 045.17. а) б) 045.18. а) Решите систему неравенств: log2(2л: -I- 3) > log2(л: - 2), log6(Зл:-l) < loge(9x-н 4); logз(6л:-l) < logз(9л:11), log6(3-л:) > logg(4л:-l). log3 х^ > log3l25 - log3 5, logo 2 (л: - 1) < 0; log^x^ > logi28 - logj?, 2 2 2 logз(4л: - 1) > 0. logo,i(x^ -12) < logo,1 (-л:), "8^ 6) 3. -5X-4 ^9^ logi(A:^ + 3) > lgl4л:. 5 5 § 46. Переход к новому основанию логарифма 046.1. Вычислите: 1 а) logs 3 -к log4 9; б) log^ 3V2 +log3|; в) log25 9 - logs 3; г) logie 4 - log4 8. 156 046.2. Известно, что loga 3 = а. Найдите: а) logs 2; б) logs ^ ; в) logs 4; г) logs -. 046.3. Известно, что logs 2 = 6. Найдите: а) logs 25; б) logs — ; в) logs 125; г) logs ^ 046.4. Известно, что logs 3 = а. Найдите: а) log4 9; б) logs 18; в) log4 81; г) logs 54. Сравните числа: 046.5. а) logs 7 и log7 4; б) logs 9 и logs 8; 046.6. а) logs 6 и log4 5; б) log^ 3 и logi 1,5; в) logs 5 и logs 4; г) logii 14 и logi4 13. в) logs 6 и logs 7; г) logi 4 и logi 7. Решите уравнение: 046.7. а) log4 X + logis х + logs х = 7; б) logs л: + log^ л: + log^ х = 6. 046.8. а) 3 log? л: = + 2; log^3 б) 2 log? л: = + 3 log^2 Вычислите: 046.9. а) 9*°^^^ +log^3 • log3 36; б) loggS • log2 27 -3‘°*'«'"; в) +log5V2 -log4 25; г) +141og3>/2 • log4 81. •46.10. •46.11. a) logz 56 _ logg? 10&28 ^ ^ 6) log3l35 log3 5 log4s3 log,2,53 Известно, что Ig 2 = a, Ig 3 = 6. Вычислите: a) log4 12; 6) logs 18; в) logo.s 3; r) log^ 24. 157 •46.12. Известно, что log2 5 = а, loga 3 = Ь. Вычислите: а) loga 15; б) logs 75; в) logie 45; г) logis 12. Решите уравнение: 046.13. а) logs X + 1 = 21ogj: 3; б) 2 log,: 5 - 3 = -logs в) log7 д: - 1 = 61og, 7; г) log2 X + 9 log,: 2 = 10. •46.14. д) log4 (jc + 12) • log, 2 = 1; 6) 1 + log, 5 • log7 X = logs 35 • log, 5. •46.15. a) log2,+i(5 + 8jc - 4x^) + logs_2,(l + 4д: + 4д:^) = 4; б) log3,+7(9 + 12д: + 4д:^) = 4 - log2,+3(6a:^ + 23л; + 21). •46.16. Решите неравенство: а) logs х^ + logi (-д:) < 2; б) log4 + logI (-дс) > 6. § 47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 47.1. Найдите производную функции г/ = f(x). а) f(x) = 4 - в*; в) f(x) = -8е*; 6) f(x) = А”; г) f(x)= -3 • Найдите значение производной заданной функции в указанной точке Xq: 47.2. а) I/ = в* + х^, Xq = 0; в) у = е"" - X, Xq = 1; б) у = е"" (х + 1), Xq = -1; 47.3. а) У = е^=^~\ Xq=^; . в) у = дГо = б) у = Xq = -5; г)у = е^’^^-\ Xq = 4. 047.4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции I/ = f(x) в точке с абсциссой Xq: а) f(x) = ^ • е*, Xq = 1; б) f(x) = Ц-, х„= 1. в) Кх) = 4е'' + 3, дго = -2; г) f{x) = 0,1в* - 10х, Хо = 0. 158 047.5. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции у = Л(х) в точке с абсциссой XqI а) h(x) = = 0; в) h(x) = —+ x^ Xq = -1; б) = Хо=2; г) h(x) = X + е , дго = 1»5. 047.6. Найдите угол, образованный касательной к графику функции у = h{x) с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой лго^ а) h{x) = Xq = 0,2; в) Л(х) = ^ Хп = —; о з> /3 б) h(x) = х^ = -73; г) h(x) = е ^ = л/З. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х = а: 047.7. а.) у = а = 1; 6)у = е\а = 2; 1 “ " 3’ 047.8. а) у = е^^-\ б) у = хе'^"" ^ \ а = 0,5; в) у = е\ а = 0; г) у = е\ а = -1. 2 в) У = —у а = 0; е г) у = , а = 0. л: + 1 Постройте график функции: 047.9. 047.10. б)у = е~^ + 1; а) у = \п{х- 4); б) у = \п ех; в) у = е^-^; г) у = е^-^-г. в) у = \п{х + 3); г) у = In-. е а)у = JcV; б) у = хе^"" ^ в) у = х^е'‘; г) у =—. 047.11. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: е’ X 047.12. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х^е" на заданном отрезке: а) [-1; 1]; б) [-3; 1]; в) [-3; -1]; г) [1; 3]. 47.13. Найдите производную функции: а) у = х^ In х\ б) у = 2\п X + sin 2х\ в) У = ; ’ шл: X г) у = 2 cos — - 5 In д:. 159 47.14. Найдите значение производной заданной функции в указанной точке: а) у = \пх-\- X, Xq= б) у = х^ In X, Хо = е\ в) у = х^ - \п X, Xq = 0,5; >Г) ~ ’ ^0 ~ 47.15. а) у = \п (2х + 2), б) ^ = In (5 - 2х), X = 2. Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х = а: 047.16. 047.17. б) У = = X® - In X, а = 1; ; в) /(х) = -2х In X, а Inx ^ 1 = ^, a = l; г) f(x) = ^ In X, а хе^^'\а = i; в) у = х^ \п X, а = е; ^'-1 0. з-х ’ ^ - 2, г) у = (2х + а = Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: 047.18. а) у = X + In-; 047.19. а) I/ = - Зе^ + х + 4; 047.20. 047.21. а) у = 21пх^ - 5х + —; б) ^ - 4 In дс. б) у = 1 - Зх + 5е^ - б) I/ = In ^3 -I- -I- л: -I- 3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = X - In X яа заданном отрезке: а) 7; е ; б) [е; в^]. 047.22. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) у = х + \п (-х), [-4, -0,5]; б) у = х + е~^, [-In 4, In 2]. 160 047.23. Напишите уравнение той касательной к графику функции y = f(x), которая параллельна данной прямой у = kx + т: а) fix) = у = 2ех - 5; б) fix) = In (3jc + 2), у = X + 7. 047.24. Решите уравнение Г(х) = а, если: а) f{x) = 3e‘^\ а = 5; б) /(л:) = 2 + а =-2; О в) fix) = 2е~^"‘''^, а = -14; г) fix) = 42 - а = ОД. 047.25. Решите неравенство g^(x) < а, если: а = 1 ’ 2 = х + е^'‘~^, а = 5; \ 1 + 5 1, ) = -е , а = ' 3 е г) g(x) = е® - X, а = S. •47.26. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат: а.) У = б) у = 1пх; в) У = е^; г) у = 1пх^. •47.27. При каком значении параметра а: а) прямая у = Зх - 4 + а является касательной к графику функции у = 1п(3х - 4); б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к графику функции у = 1п(2х + 3)? •47.28. При каких значениях параметра а функция у = х^е~"^ на интервале (а; а + 7): а) имеет одну точку экстремума; в) убывает; б) имеет две точки экстремума; г) возрастает? 161 § 48. Первообразная Докажите, что функция г/ = F(x) является первообразной для функции i/ = f(x), если: 48.1. а) F(x) = + х^, f(x) = 2х -\- б) F(a:) = - л:“, f{x) = Ах^ - в) F{x) = f{x) = 7х® + 9х®; г) F(x) = - х^®, /(х) = 13х^^ - 19х^®. 48.2. а) i^(x) = 3 sin х, /(х) = 3 cos х; б) F{x) - “4 cos X, /(х) = 4 sin х; в) F(x) = -9 sin X, Дх) = -9 cos х; г) F{x) = 5 cos X, /(х) = -5 sin х. Для функции ^ = /(х) найдите хотя бы одну первообраз- ную: 48.3. а) Дх) = б) Дх) = X х' 48.4. а) /(X) = -4=-; 2л/х б) т = ^ . 48.5. а) Дх) = х^ + х^^; в) Дх) = х^^ -f- х^*^; 48.6. а) Дх) = 4х^ - 6х^; б) Дх) = -3 sin X -f- 2 cos х; в) Дх) = бх"* - Зх'"; 1") Дх) = -13sinx + cos X 162 48.7. а) fix) = е" + X ft \ ^ 4 5 б) fix) = - + -т------о—-; X X sm X 048.8. а) у = sin^ х + cos^ х; б) У = 2 sin I cos ^; 048.9. а) fix) = sin I Зх + — 2 1 в) fix) = х^ - X •’; г) fix) = tfx-2e\ в) .1/ = 1 + tg^ х\ г) г/ = 1 + ctg^ X. в) fix) = cos (4х - 3); б) fix) = cos 1 — - 2х 048.10. а) fix) = б) Пх) = (6х +1)^ 1 \jlx - 9 ’ 048.11. а) fix) = sin 2х; б) fix) = - cos Зх; г) fix) = sin I 2 - в) fix) = г) fix) = (7х - 3)' 1 в) fix) = — 2 X cos — 2 г) fix) = ^Зх-1 + , 2-7х 048.12. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку М: а) I/ = sin X, М[ ^ 3’ 4;’ в) I/ = cos X, м| g; 11; * б) у = -^ cos X ^ = “Ь- Ч?’“ sin — ^ 3 048.13. Точка движется по координатной прямой, ее скорость задана формулой и = 1 + 2^, ^ — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 5. 048.14. Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой и = -4 sin 3f, t — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = О координата точки равнялась числу 2. 163 048.15. Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой V = ■ . ^ - , t — время движения. Найдите yj2i +1 закон движения, если s(0) = 3. 048.16. Ускорение движения точки по координатной прямой задано формулой a{t) = 2(^ -i- 1)^, t — время движения. Найдите закон изменения скорости v = v{t) и закон дви-^кения S = s(t), если о(0) = 1, s(0) = 1. 048.17. Для функции у = найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку М: а) = 8sin|^cos|, М^-^; sj; б) 5-(л:) = 2со8^|-1, 1б]; в) ^(л:) = со8^|-8Ш^^, М(0; 7); .2 л: г) ^(д;) = l-2sin^|, 15). 048.18. Найдите ту первообразную для заданной функции y=f{x), график которой касается оси х: а) f{x) = 2д: -ь 3; б) f{x) = 12(3х - 1)\ 048.19. Некоторая первообразная функции t/ = 3cos3jc + 6sin6x я принимает в точке ^ = 2 значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке х = ^ ? о •48.20. Найдите ту первообразную для заданной функции y=f(x), график которой касается заданной прямой y = kx + т: а) f(x) = 2х, у = X + 2; б) f(x) = Зх^, у = Зх + 4,75. •48.21. Известно, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = fix). Найдите точки экстремума функции у = F(x), если: а) fix) X - 5х + 6 б) fix) = (25х - х^) In х; в) fix) = г) fix) = Зх - б ^2х + 4 х^ - 9х ^2-х ‘ 164 •48.22. Известно, что функция у = F{x) — первообразная для функции у = f{x). Что больше — F{d) или F{b), если: а) f{x) = {2х - 10)у1х - 3, а = 3,3, Ь = 4,1; б) f(x) = (Зх + 60)^2д: - 4, а = 15, Ь = 17? § 49. Определенный интеграл 049. Вычислите: 1 а) J x^dx; 2 3 049.2. а) |81пл:йл:; б) J fdx б) К: 1 2 Г 4 г dx в) 1 X dx; -1 г) Я Я Я г dx б) 3 ; •'„COS X 2 /* г dx в) cos л: ал:; г) J • 2 • J Я „ sin X 4 2 4 1 1 б) 1 Se^dx; -1 в) ]-e^dx; -1 г) j-2e^dx. -2 049.4. а) 0 в) -4 1 б) -1 г) J e-^^^^dx. -0,5 0 11 049.5. а) J ^1 - 2л: dx; в) j 5^3л: - 1 dx; Г 1 г ~ б) г) |(5л: - 7)“з dx. г dx 049.6. а) J—; б) ](«“ dx. 165 049.7. Вычислите: а) \б) f в) \ - dx\ г) l2x-l J -5х + 6 J 4х + 1 3-10 5 049.8. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой и = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0)? а) v(t) = 3t^ - 4t + 1; б) v(t) = в) = 4t^ - 6t^; r) v(t) = -T-i-j. ■\j71 + 4 049.9. Дан прямолинейный стержень длиной Z. Он неоднороден, и его плотность в точке, удаленной от левого конца на д:, О < X < Z, определяется по формуле р = р(х). Найдите массу стерл^ня, если: а) р(х) = - X + 1, Z = 6; б) Р(^) ” Z 1 = 3; ^ (х + З) в) р(х) = -х^ -I- 6х, I = 2; 1 г) Р(^) (2х +1) 3 I = 1. 049.10. Вычислите | f(x)dx, если график функции у = /(х) изоб- -2 ражен на: а) рис. 68; б) рис. 69. Рис. 69 166 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 049.11. 8i) у = х\ у - О, X = 4:', б) I/ = f/ = О, X = -3, л: = 1; в) I/ = x^ I/ = О, X = -3; г) = x^ г/ = О, X = -1, X = 2. 049.12. а) г/ = х'^+ 2, г/ = О, X = О, X = 2; б) г/ = -х^ + 4х, г/ = 0. 049.13. а) I/ = Л> ^/ = О, л; = 1, X = 2; б) У у—» У ^ X — 9. V X л. 2’ тс я = — — , X = — 6 6 п я — — • 4 ’ 4 п — * X = л. 2 я , X “ ~2’ X : 6) у = 1 - sin 2х, ^ = О, X = О, X = я. 049.16. а) г/ = О, X = 4, г/ = >/х. б) г/ = О, X = 1, X = 3, у = -у; в) I/ = 1, X = 0; I/ = г) г/ = 2, X = О, I/ = Vx. 049.17. а) £/ = \/х, jy = -2л/х, X = 4; б) i/ = 2\/х, ^ = -л/х, X = 9. 167 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 049.18. а) ^ = О, д: = О, л: = 3, I/ = О) у = 0,х = 0,х = А,у = еГ^', в) ^ = О, л: = -1, X = 1, г/ = е""; г) ^ = О, X = -2, X = О, ^ = еГ\ 049.19. а)х=1, у = е'', у = е~"‘; б) У = Л’ ^ е в) у = е'', х = 2, х + 2у = 2; г) у = е\ у = -е\ х = 2,х = 0. 049.20. а) у = О, х = 1, х = е, у = —; X б) г/ = О, X = 3, X = -1, у = 2х + 3’ в) г/ = О, X = е, X = ^ г) ^ = О, X = 2, X = 5, у = Зх - 5 049.21. а) J/ = 2; 1 б) J/’(x)dx, где /*(х) = ^, если О < X < 1, VX х^, если X > 1. 049.28. Используя геометрические соображения, вычислите интеграл: 4 ______ О а) Jvi6-x"dx; б) J V25 - x^dx. 169 Используя геометрические соображения, вычислите интеграл: 4 _______ О____________________ >49.29. а) J V4jc - x‘^dx\ б) J - 2xdx. о sf2 >49.30. >49.31. а) J \/4 - x^dx; б) J >/б4 - x^dx. о -1 Найдите площадь параболического сегмента, изображенного на: Рыс. 74 >49.32. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: ч . л ч а) £/ = sin2;c, у = в) г/ = созл:, г/ = -I- > п \ п J 2 ях 2 пх б) у = X - 1, у = cos —; г) у = X - 2х, у = sin •49.33. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = касательной к нему в точке х = 1 и осью у, б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^ ж касательными к нему в точках х = О и X = 1. •49.34. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^ - 6х^ + 9х -Ь 1 и касательной к нему в точке X = 3. б) Найдите площадь фихуры, ограниченной графиком функции у ~ х^ - Зх и касательной к нему в точке х = -1. 170 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I г Элементы ллателлатической ; p статистики, коллбинаторики Г U теории вероятностей Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 50. Статистическая обработка данных 050.1. Ученик выписал из дневника свои отметки за март: 4, 4, 3, 2, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 2, 4, 4, 5, 3, 3. а) Составьте сгруппированный ряд этих данных. б) Чему равна мода этого измерения и какова ее кратность? в) Выпишите таблицу распределения данных. г) Найдите среднее значение отметок за март. 050.2. В очередном туре футбольного чемпионата состоялись 10 матчей. Вот их результаты: 3 : 1, О : 2, 1 : 1, О : О, О : 4, О : 1, 2 : 2, О : 3, 1 : О, 1 : 1. Футбольный статистик подсчитал результативность матчей (количество голов). а) Выпишите (несгруппированный) ряд полученных данных. б) Сгруппируйте его и составьте таблицу распределения данных и распределения их частот (в процентах). в) Постройте гистограмму распределения данных. г) Найдите среднюю результативность матчей в этом туре. 050.3. Лидеру партии принесли следуюш;ую сводку данных о проголосовавших за его партию по пяти избирательным участкам одного округа: Избирательным участок № 1 №2 №3 №4 №5 Процент проголосовавших за партию 7 8 10 2 9 Число голосовавших, тыс. чел. 14 12 10 20 11 а) Найдите среднее значение процента проголосовавших за партию. б) Подсчитайте общее количество голосовавших на этих пяти участках. 171 в) Подсчитайте количество проголосовавших за партию на каждом участке. г) Пройдет ли партия 7% -ный барьер в этом округе? 050.4. По приведенной гистограмме распределения данных (рис. 7^) найдите: а) количество вариант и объем измерения; б.) размах и моду измерения; в) таблицу распределения данных; г) среднее результатов измерения. #50.5 а) Найдите частоту каждой из букв в строке «Октябрь уж наступил...» из стихотворения «Осень» А. С. Пушкина. б) Найдите частоту (в процентах) букв слова «гром» среди всех букв двустишия «...Как бы резвяся и играя / Грохочет в небе голубом...» из стихотворения Ф. И. Тютчева. в) Найдите моду и ее кратность среди всех букв двустишия «Это дерево сосна, / И судьба сосны ясна...» из стихотворения Ю. Минералова. г) Измеряется длина слов в отрывке из поэмы А. С. Пушкина «Медный всадник». Составьте ряд данных и постройте гистограмму распределения этих данных. «...Ужасен он в окрестной мгле! Какая дума на челе! Какая сила в нем сокрыта! А в сем коне какой огонь! 172 Куда ты скачешь, гордый конь, И где опустишь ты копыта?...» 050.6. Каждый из трех мальчиков, Миша, Коля и Петя, 200 раз бросил игральный кубик и записал, сколько раз выпали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получились такие данные: Число очков 1 2 3 4 5 6 Сумма Результаты Миши 45 29 35 31 28 32 200 Результаты Коли 31 32 41 34 36 26 200 Результаты Пети 27 40 23 39 30 41 200 Составьте гистограммы распределения результатов: а) Миши; б) Коли; в) Миши и Коли; г) Миши, Коли и Пети. 050.7. По приведенным данным из сводной таблицы распределения результатов некоторого измерения: Варианта № 1 №2 №3 № 4 Сумма Кратность X У х + у 50 Частота Частота, % 23x- 105 у"-у-70 а) найдите х; б) найдите у; в) восстановите всю таблицу; г) найдите моду этого распределения. 173 Ниже, в задачах 50.8—50.11, рассматриваются результаты, которые получили выпускники одной из школ на сочинении. Выставлялись две отметки: первая — по литературе, вторая — по русскому языку. Отметки эти таковы: 5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2 4/4 4/2 2/1 3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2 2/3 4/3 5/4 2/3 3/3 050.8. Для отметок по литературе: а) выпишите сгруппированный ряд данных; б) составьте таблицу распределения кратностей; в) постройте многоугольник распределения процентных частот; г) найдите среднее. 050.9. Для отметок по русскому языку: а) выпишите сгруппированный ряд данных; б) составьте таблицу распределения кратностей; в) постройте многоугольник распределения процентных частот; г) найдите среднее. 050.10. Итоговая отметка за сочинение была выставлена по инструкции: «2», если сумма отметок меньше 5; «3», если сумма отметок равна 5 или 6; «4», если сумма отметок равна 7 или 8, и «5» — в остальных случаях. а) Определите число итоговых двоек. б) Определите число итоговых пятерок. в) Составьте таблицу распределения итоговых отметок. г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых отметок. •50.11. а) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по литературе. б) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по русскому языку. в) По какому предмету отметки в среднем выше? г) По какому предмету отметки имеют более устойчивый характер? 174 § 51. Простейшие вероятностные задачи 051.1. Перед новогодним праздником Деду Морозу выдали набор подарков. Все подарки сделаны в виде одинаковых по размеру пластмассовых шаров. Всего в мешок Деда Мороза положили 12 красных, 14 белых, 13 синих и 11 оранжевых шаров. Какова вероятность того, что первый вытащенный подарок будет: а) белого цвета; б) красный или оранжевый; в) одного из цветов российского флага; г) не оранжевого цвета? 051.2. На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: -4, -1, 1, 4, 8 (повторения допускаются). Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что она лежит: а) правее оси ординат; б) ниже оси абсцисс; в) в четвертой координатной четверти; г) ниже прямой у = х. 051.3. В круге радиусом л/З с центром в начале координат отмечены все точки, абсциссы и ординаты являются целыми числами. Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что: а) она лежит на оси ординат; ® б) она лежит не на координатных осях; в) она лежит в круге радиус 1 с центром в начале координат; г) ее абсцисса и ордината отличаются более чем на 2. •51.4. Составили множество всех чисел вида х = 2“5*, где а, Ь Е {О, 1, 2, 3, 4} (совпадения допускаются). Из этого множества случайным образом выбрали одно число. Какова вероятность того, что оно будет: а) больше 1; б) меньше 20; в) нечетным; г) не оканчиваться нулем? 175 51.5. Для заданного события назовите противоположное: а) мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня; б) явка на выборы была от 40% до 47% включительно; в) из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два; г) на контрольной я не решил одну или две задачи из пяти. 51.6. Назовите событие, для которого противоположным является следующее событие: а) на контрольной работе больше половины учащихся класса получили пятерки; б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели; в) в нашем классе — все и умные, и красивые; г) в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной купюрой. 051.7. Ученик случайным образом выбрал произвольное трехзначное натуральное число, начинающееся с единицы. Найдите вероятность того, что: а) это число нечетное; б) среди цифр этого числа есть 3; в) это число не является кубом целого числа; г) сумма его цифр больше 3. 051.8. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что: а) среди выпавших чисел нет ни одной пятерки; б) среди выпавших чисел есть или пятерка, или шестерка; в) сумма выпавших чисел меньше 11; г) произведение выпавших чисел меньше 25. 051.9. Из костей домино выбрали одну. Какова вероятность того, что: а) она является дублем; б) на ней выпала «шестерка»; в) произведение очков на ней меньше 26; г) модуль разности очков больше 1? 151.10. В русском языке 33 буквы: 10 гласных, 21 согласная и две специальные буквы (ъ и ь). Два ученика независимо друг от друга выбрали по одной букве русского алфавита. Какова вероятность того, чдо: а) были выбраны различные буквы; б) обе выбранные буквы — гласные; в) среди выбранных букв есть согласные; г) это две соседние буквы алфавита. 176 051.11. Из пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5 поочередно выбирают два. Найдите вероятность того, что: а) первое из чисел меньше второго; б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой; в) произведение этих чисел оканчивается нулем; г) первое из чисел делится на второе. 051.12. Случайно и поочередно нажимают три клавиши одной октавы. Найдите вероятность того, что: а) не была нажата «фа»; б) не были нажаты ни «до», ни «си»; в) была нажата «ля»; г) получилась последовательность «до-ми-соль» (до-мажорное трезвучие). § 52. Сочетания и размещения 052.1. Двузначное число составляют из цифр О, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы). а) Сколько всего можно составить чисел? б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50? в) Сколько всего можно составить нечетных чисел? г) Сколько всего можно составить нечетных чисел, меньших 55? 052.2. В шахматном зале — 5 столов. Для проведения игры за каждый стол садится по одному шахматисту из двух встречающихся команд. В каждой команде 5 шахматистов. а) Найдите число всех возможных составов матча (Ийа-нов — Петров, Сидоров — Каспаров и т. д.). б) То же, но для двух независимо проводимых матчей. в) То же, но если во втором матче за тремя выбранными столами играют по три лучших шахматиста из каждой команды. г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой. 052.3. Вычислите: а) 7! -ь8! 5! -нб! 1 10 630 б) — 4----+----- 4! 5! 6! , 1 1 49 в) — +---------; 6! 51 71 , 7 (101)"-(9!)" ^11 (81)" -(7!)" 177 052.4. Найдите наименьшее натуральное число п, для которого: а) верно неравенство {п + 1)! > (0,99/г + 5) • п! б) верно неравенство (л + 1)! > (п + 333) • {п - 1)1 2" в) число — меньше единицы; “ п\ г) число п\ составляет более 1000% от числа (/г - 1)! #52.5. Сколькими нулями оканчивается число: а) 101; б) 151; в) 261; г) 1001? 052.6. В правильном 17-угольнике провели все стороны и все диагонали. а) Сколько всего провели отрезков? б) Сколько провели сторон? в) Сколько провели диагоналей? г) Сколько диагоналей, которые отсекают треугольник от 17-угольника? 52.7. Важен или нет порядок в следующих выборах; а) капитан волейбольной команды и его заместитель; б) три ноты в аккорде; в) «шесть человек останутся убирать класс!»? г) Придумайте 4 различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух — нет. Вычислите: 52.8. а) С\-! и ли б) Cioo и Afoo; в) с1 и А1; г) С» и 052.9. а) С^7 - Сг'б; б) ^ ; в) ^; г) С?, - С?, •^10 Решите уравнение: - 052.10. а) С1=2С!; в) Cf-Ь Cf + 1 = 49; б)СГ"= 15; г) С| = 70. 052.11. a)A5=18Aj-2; 6)Af.j-C;=79; #52.12. Решите неравенство: а) 120 < А^_з < 140; б) С| <а1< с1; 178 в) Cl=Aj; г) a=Al + Cl в) С?о < А* < 60; г) C'i, 1 и любого положительного числа х справедливо неравенство (1 -f д:)” > 1 ч- пх. § 54. Случайные события и их вероятности 054.1. На стойке для CD-дисков в беспорядке расположены 20 (с торца неразличимых) дисков с компьютерными играми. Из них 12 — «квесты», а остальные — «рокады». 181 Десятиклассник случайным образом выбирает два диска. Какова вероятность того, что: а) оба они окажутся с «квестами»; б) оба они — с «рокадами»; в) эти диски — с играми разных типов? г) Чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)? 054.2. Из колоды в 36 карт одновременно выбирают две карты. Найдите вероятность того, что: а) обе карты черной масти; б) обе карты пиковой масти; в) обе карты крестовой масти; г) одна из карт пиковой масти, а другая — крестовой. 054.3. В темном ящике — 9 билетов, разложенных по одному в одинаковые конверты. Из них 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы наудачу вытаскиваете 3 конверта. Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные; б) есть ровно один проигрышный билет; в) есть ровно один выигрышный билет; г) есть хотя бы один выигрышный билет. •54.4. Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано ровно: а) О чисел; б) 1 число; в) 2 числа; г) 3 числа? 054.5. В классе 22 красивых ученика, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них умный или красивый. Какова вероятность того, что случайно вызванный по списку класса ученик: а) и умный, и красивый; б) умный, но не красивый; в) красивый, но не умный. Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми. 054.6. При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. Какова вероятность того, что случайным образом выбранную из списка задачу: 182 а) решили оба ученика; б) решил первый, но не решил второй ученик; в) решил второй, но не решил первый ученик? Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми. 054.7. Опишите произведение следующих событий А и Б: а) А — у случайным образом составленного квадратного уравнения есть корни; В — дискриминант уравнения отрицателен; б) А — у случайным образом составленного квадратного уравнения нет корней; В — дискриминант уравнения неположителен; в) А — случайным образом выбранная функция у = f{x), X е R возрастает; В — верно неравенство /(99) < /(100); г) А — случайным образом выбранная числовая последовательность является геометрической прогрессией; В — первые два ее члена положительны, а следующие два — отрицательны. 054.8. Найдите вероятность Р(А + В) суммы двух независимых событий А и Б, если известно, что: а) Р(А) = 0,5, Р(Б) = 0,5; в) Р(А) = 0,9, Р(Б) = 0,9; б) Р(А) = 0,9, Р(Б) = 0,1; г) Р(А) = 0,99, Р(Б) = 0,01. 054.9. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности равны соответственно 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды; е б) не будет поражена ни разу; в) будет поражена хотя бы один раз; г) будет поражена ровно один раз. 054.10. Пусть вероятность «успеха» в одном испытании Бернулли равна 0,7. Пользуясь теоремой Бернулли, составьте формулы для следующих событий: а) при трех независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха»; б) при четырех независимых повторениях испытания будет ровно 2 «неудачи»; в) при пяти независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха». Вычислите вероятности в а) — в). 183 •54.11. Каждый из четырех приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что: а) каждому достался тот вопрос, который он выучил; б) никому не достался вопрос, который он выучил; в) только одному из них достался тот вопрос, который он >це выучил; г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил. 054.12. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства < 9. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) < 10; б) 2х - 3 < 17; в) > 10; г) х^ + 2х > 0. 054.13. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства 1 < |х - 3| < 5 . Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) |х| < 2; б) |х - б1 < 2; в) |х| <1; г) 1 < |х - б| < 2. 054.14. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 2, ВС = 5 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD', б) ближе к вершине А, чем к вершине С; в) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС', г) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналей. •54.15. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она: а) лежит внутри треугольника; б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник; в) лежит вне треугольника; г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности. •54.16. (Продолжение задачи 54.4.) Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В итога тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано: а) хотя бы одно число; в) не менее трех чисел; б) не более одного числа; г) 4, 5 или 6 чисел? 184 054.17. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три. Найдите вероятность того, что: а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами; б) существует треугольник с такими сторонами; в) их произведение оканчивается на ноль; г) их сумма меньше 10. •54.18. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверями, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что: а) вы не сможете выйти из зала; б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете; в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал; г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала. •54.19. У каждого из туристов есть или тугрики, или евро. У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только евро, а у 31% туристов есть обе валюты. а) Сколько туристов имеют только одну валюту? б) Сколько всего туристов? в) Сколько туристов имеют тугрики? г) Сколько туристов имеют евро? 054.20. Вероятность Р(А + В) суммы двух независимых событий А и В равна 0,9. Найдите, чему равна вероятность Р(В) события В, если известно, что вероятность Р(А) события А равна: а) 0,1; б) 0,5; в) 0,8; г) 0,89. •54.21. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень одного из них равна 0,5. Найти вероятность попадания в мишень другого стрелка, если известно, что: а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4; б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45; в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8; г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999. 185 >54.22. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит 5 выстрелов. а) Заполните таблицу распределения вероятностей Р5 {k) того, что из 5 выстрелов будет ровно k попаданий: " Число попаданий, k Pbik) = Ct ■ 0,4* • 0,6®-* б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет. в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз. г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень? •54.23. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства 4х ^ 10. Найдите вероятность того, что оно: а) является решением неравенства yfx <1; б) принадлежит области определения функции у = ln(40x - 39 - х^); в) является решением неравенства \/х - 10 < 5; г) принадлежит области значений функции у = 0,5 sin |^2л:-I-'yj + 1- 054.24. Произвольно выбирают числа л: и г/ так, что |л:| < 1 и |i/| < 1. Точку (х, у) отмечают на координатной плоскости. Какова вероятность того, что: а) эта точка лел^ит в первой координатной четверти; б) X + у <0; в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой координатной четверти; г) X + у > О, а ху < О? ' 054.25. Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной параболой у = л:^, осью абсцисс и прямой л: = 3. Найдите вероятность того, что она лежит: а) левее прямой л: = 1; в) выше прямой у ~ 4; б) правее прямой х = 2; г) ниже прямой у = 1. 186 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I г Уравнения u неравенства. ГЛАВА Системы уравнений U неравенств I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 55. Равносильность уравнении 55.1. Равносильно ли уравнение 2^ = 256 уравнению: а) log2 X = S; в) Зх^ - 24х = 0; б) - 9jc + 8 = 0; г) = 2? X 55.2. Равносильно ли уравнение sin л: = О уравнению: а) cos л: = 1; в) cos 2л: = 1; б) tg л: = 0; г) yjx -1 ■ sinл: = О? 55.3. Придумайте три уравнения, равносильные уравнению: а) у/2х - 1 = 3; в) Ig х^ = 4; 3 б) cos л: = 3; г) л:^ = -1. Равносильны ли уравнения: 55.4. а) л/2л:^ + 2 = у[х^~+3 и 2д:^ + 2 = л:'* + 3; б) Vsin^x + 1 = 1 и е!п^л: = О? 55.5. а) 3'^"" =1 и ^ + 4-х = 0; б) >/^-2^'V2 = 4 и лг^-| + ^ = 2? л:^ + Зл: - 1 +т 55.6. а) — = 3 и л:^ + Зл: - 1 = + 3; б) sin X + 1 _ 0 5 ^ sinx + 1 = 0,5sinx + 1? sin X + 2 187 Докажите, что уравнение не имеет корней: 055.7. а) л/Злг-5 = V9 - 7л:; б) \1х^ - 4 + Vl - = 4. 055.8. а) Ig (л:^ - 9) + Ig (4 - = 1; ё) Ig (л:^ - Зх) - Ig (2x - х^) = 0,5. Решите уравнение: 055.9. а) yjlx -6 = х; в) у/бх - 11 = X -1‘, б) X + 3 = \j2x + 9; г) -JC - 5 = ^7х + 23. 055.10. а) у1х'^ - Зх-1 = х^ -1; в) V^:^ + JC - 9 = 1 - б) yjx'^ - Зл: - 1 =1- х^; г) yjx^ + x- 9 = x^-l. •55.11. а) (л:" - 9)Ш - 2х - х) = 0: > б) {х^ - 1б)(л/4 - Зх - х) = 0. ^55.12. а) sin 2х • V4 - х^ = 0; б) (cos 2х-1)- V9 - х"^ = 0; в) (cos^ X - sin^ х) • Vl - = 0; г) tg л: • Vl6 - х^ = 0. § 56. Общие методы решения уравнений 56.1. Будет ли уравнение вида h{f{x)) = h{g{x)) равносильно уравнению f{x) = g(x): 2-х ох -4х. а) 3""* = 3 б) (Зл:^ - 2)" = (х- ЗУ; в) ^7 - X = ^5х + 1; г) lg- = lg(2^:-7)? X 188 Решите уравнение: 056.2. а) 2^ = б) 0,00001 = 056.3. а) 0,5 Sin X - COS X = 1; б) (\/з) siir* - 1 3n/3 = V^. 056.4. а) logs (д:^ - Юл: + 40) = logs (4л: - 8); , л - 2 , л + 1 ®> ^ = '°«75 17^- 056.5. а) (х' - бх)' = (2х - 7)"; б) (V6x - 1 + if = (л/бх + зГ. 056.6. а) (2"^ + 16)"” = (10 • 2х)"”; б) (logo.i X - 2)" = (2 logo.i л: + 1)". 056.7. а) 2^'^" - 8^^^ = 0; б) 27®"^' - З^'"’ = 0. 056.8. а) (7з) = Зл/з . б) Ш) 2 cos X 2 • 2' 056.9. а) logg (7х + 9) - logg (8 - х) = 1; 3 3 б) logi,2 (Зх - 1) + logi.2 (Зх + 1) = l0gi,2 8. Решите уравнение методом разложения на множители: 056.10. а) х" - 9х" + 20х = 0; б) х" + х" - 9х - 9 = 0. 056.11. а) Vx^ - Зл/х^ - 18Vx = 0; б) Vx” -2Vx^-15Vx = 0. 189 Решите уравнение методом разложения на множители: 056.12. а) 2" ■ X - 4х - 4 f 2" = 0; б) 3^ ■ jc - 3^^^ + 27 = 9х. 056.13. а) 2х'^ sin х - 8 sin х + 4 = х^; б) 2х^ cos л: + 9 = 18 cos х + х^. 056.14. а) sin 2х = sin х; б) cos^ (я - д:) + sin 2л: = 0; в) \[з cos дх = sin 6х; г) sin^ п + — 1 . - sin д: = 0. 2 Решите уравнение методом введения новой переменной: 056.15. а) 8х^ + 7х^ -1 = 0; б) х^ + Зх'^-4 = 0. 056.16. а) yjx^ +1- 2х - 6у]х-1 = 7; б) \Jx^ - 4д: + 4 - 6 = - х. 056.17. а) + 4 j = 4; \2x-l ]j2x + 3 056.18. а) 2^ + 2^-* = 3; в) 5^ + 4 = б) 25 ^ - 50 = г) 3^^' - 29 = -18 • 056.19. а) 7^^^ ^ - 50 • 7^ = -7; в) 4 sin^ X + 4 = 17 sin х; б) log2^ + 12 = 7 log2 г) ^х-^х-2 = 0. 056.20. а) Ig^ х^ + Ig Юд: -6 = 0; б) 3* + 3~*^'= 4; в) 2 cos^ X - 7 cos д: - 4 = 0; г) 5^'^^ +125 = 6 •5'^-""'. 190 Решите уравнение, используя функционально-графические методы: 056.21. а.) х = ^; 056.22. а) 2^ = 6 - д:; 056.23. а) (х - 1)" = log2 л:; 056.24. а) 1 - у[х = \пх; Решите уравнение: б) 1д^| = ^х. б) 1-1 =^ + 4. б) logi х = \х + - I V 2; б) - 2 = -. 056.25. а) (х - 1)^ -f 36 = 13(jc" -2х+ 1); б) (2х + 3)" - 9 = 8(4x" -к 12д: + 9). 056.26. а) yj6x^ - 3 = 2; б) - 5х = Vx^ •+■ 2х - 5. щ 056.27. а) \l2x’^ - Их -h 6 = 2х - 9; б) V?" + 2х - 8 = 2х - 4. 056.28. а) 16х - 15у/х - 1 = 0; в) Зх - ■ 8л/х -1- 5 = 0; б) 2 - X -f Зл/2 - X = 4; г) 5у[х + 3-ьх + 3 = 6. 056.29. а) ^ -2 = 0; в) ^ - - 6^ -ь 8 = 0; б) ^ -ь 2^ -3 = 0; г) 3^ -^-2 = 0. 056.30. а) yjx + 1 + s/x -1 = л/2; б) yj2x ■ f 1 - Vx-i = Vs. 056.31. а) ■sJSx — 1 + л/бх 4* 2 = V9x 1; б) л/бх - 14 -f- V5 - X = V5x - 9. 056.32. а) х^ - 4х - 6 = у12х ^ -8x-hl2; б) Vx^ - Зх + 5 -1- х^ = Зх + 7. 191 Решите уравнение: 056.33. а) sin^ х + cos^ 2х = 1; б) cos^ Зл: - sin^ Зх - cos 4л: = 0. 056.34. а) cos 5л: + cos 7л: - cos 6л: = 0; б) sin 9л: - sin 5л: + sin 4х = 0. 056.35. ^а) cos 6л: - cos 2х + cos 8л: - cos 4л: = 0; б) sin Зл: - sin х + cos Зл: - cos л: = 0. 056.36. а) 3 tg^ л: - 8 = 4 cos^ х; б) 4 sin^ л: = 4 - 9 tg^ л:. •56.37. а) sin х cos л: - 6 sin л: + 6 cos л: + 6 = 0; б) 5 sin 2л: - 11 sin л: = 11 cos х - 7. 1 + х >56.38. а) 2^ • 5 ^ = 50; 3 б) 3^ • 2* = 24; в) 3 х-2 X -1 апк.х~1 625^ = 225; 2-х г) 5^ • 2 ^ = 40. >56.39. а) 2' sin X - 2; logo,5(^ + 4) = 0; б) (sin 2х + cos 2л:)(х - Syj2x - 15) = 0. •56.40. •56.41. \ • 2 J у а) sin —X = л: - 4л: + 5; 4 б) -cos 7ял: = л:^ - 6л: + 10. а) yJx^ - 2л: + 2 + logg yjx^ - 2л: + 10 = 2; б) (л: - 7)® + logg ^1х^ - 14х + 74 = 1. >56.42. а) log2(л:^ - 4л: + 8) = sin----------cos —; б) logз(л:^ + 4л: + 13) = cos пх - sin 2 пх § 57. Решение неравенств с одной переменной 57.1. Придумайте три неравенства, равносильные неравенству: а) л:^ - 9 < 0; 1 1 3- 192 57.2. Являются ли равносильными неравенства: а) sin л: + 2 logg л: > 20 и sin д: > 20 - 2 logs х; б) > 1 и sinx > + 1; у]х^+ I в) 13 - 13"'-" > 10" и 13 > 10" + 13"'-"; г) 10""-^ • Ig (х" - 4) < о и Ig (д:" - 4) < о? 57.3. Данное неравенство замените равносильным рациональным неравенством: а) Ig (х^ + 9) > Ig (2д:^ -ь 4); б) 1,4^"< 1,4 Х-6. в) ^4д: - 9 > у1Тх~+9; г) logo,2 (16д:^ -ь 8) < logs (х^ + !)• Решите систему неравенств: 057.4. а) Зд: - 11 > 2д: + 13, 17д: + 9 < 9д: -н 99; б) бд: и- 2 < 4д: -I- 24, 2д: - 1 > д: -н 7. [(д: + 1)^ -(д:-1)" > 12, 057.5. а) 1 I (д: + 4)(д: - 4) - (д: -f- 2)^ < 9; б) (д: - 2)(д:^ -I- 2д: + 4) - д:® < 8д:, Зд: - 16 < X. 057.6. а) 057.7. а) I д: < X, 13д:^ - д: > 5 - 15д:; X 24 X -I- 2 (д: + 2)^ -Зд: < 9; <0, б) б) д: -I- 5 х-7 Зд: + 4 < 1, > -1. 4д:-2 х^ - 1,5х - 7 (X - 4f х^ < 25. >0, 057.8. Решите совокупность неравенств: а) д:^ - 4 > О, д: - 6 < 0; б) д:(д: + 1) < О, Зд: - 9 > 0. 193 057.9. Решите совокупность неравенств; а) (х + 3f > 27, 4х-1 < 12х; б) (X + 3)(х^ - Зл: + 9) < 54, д:" - 9 > 0. Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности: 057.10. а) logi4 (д: - 1) < logi4 (2д: + 3); б) logo,3 (2д: + 1) < logo,3 (х - 3). 057.11. а) ^og^(2x^ -6х) > \og^i2x-S); П П б) Ig (5д:' - 15д:) < Ig (2д: - 6). 057.12. а) 2'^ > -y/l28; 2 б) 0,5 2 < 057.13. а) (х^ - 6xf > (2х - 7f\ б) {х^ - 2xf < (2д: - д:" - 2)^. •57.14. а) (2^^Ч 1)® > (2* + 17)®; б) (2 • 0,1^ + 3)'° > (0,1^ + 103)^°. •57.15. а) (3 - 3 logo,2 < (logo.2 ^ + 7)^®; б) (3 logy д: - 24)® > (2 log7 х - 22)®. Решите неравенство методом введения новой переменной: 057.16. а) 3"^ - 2 • 3* - 3 > 0; б) 2 • 5"^ - 5^ - 1 < 0. 057.17. а)3'^* - 2'-^-нЗ*- 2"^< 10,5; б) 2^ • 5'-* -ь 2^"^ • 5“^ > 2,8. 057.18. а) ^ ^ - 2 > 0; б) - 6'^ -ь 8 < 0. 057.19. а) 3^ -ь 3'^^ ' < 4; б) 25"^ - 50 > 5'^" \ 057.20. а) log^A; - 7 log2A: -i- 12 < 0; б) 3 logj д: - 10 logj д: -h 3 > 0. 3 3 •57.21. а) log2 (д: - 1) -ь 3 logz (д: - 1) + 2 > 0; б) 9'ово,.^ _ 4 . з'око..^ + 0,1'°^"''® < 0. •57.22. а) 2 sin^ д: - 3 sin д: + 1 < 0; б) cos^ д: - 5 cos д: + 4 < 0. 194 Решите неравенство, применяя функционально-графические методы: в) 3^ < 12 - 1,5л:; г) 2’' < 4х. 057.23. а) 3^ > 12 - 1,5л:; б) 2* > 4х\ 057.24. а) log2 л: < 6 - л:; б) logs л: > л:®; •57.25. а) л:^ -f- 1 > cos х\ в) loga л: > 6 - л:; г) logs X < х^. в) л:^ -I- 1 < cos х'у б) 8шл: ^ ~ Решите неравенство: г) зшл: X + -\ - 1. 57.26. а) 9^ + 4.32^ + 2 ^ ^1 3 б) 8*- ^ + 3 • 23*-2 < 24-. 2 57.27. а) 4Л ^ - 9 ■ 2'^ -ь 8 < 0; б) Qsfi -10 • З'^ + 9 < 0. •57.28. а) (х - 2)log4 (л: -н 2) > 0; б) (3- л:)^logз(л: -1- 5) < 0. •57.29. а) (2^ - 3)(3л: - 4) < 0; б) (3 logs X - 1)(3л: - 4) > 0. •57.30. а) (X + 3)logi л: < 0; в) е^.-г - 1 > 0; 7 л: + » б) (X - 5)у1х -1-1 < 0; г) Xyjx + 7 < 0. •57.31. а) (Х^ - 2л:)(tg^л: + 2^^') < : 0; б) (Х^ + 4л:)(ctg^ л: + 3"" ■ ^) < 0. •57.32. а) yjsin X -1 < 4 - л:^; б) yjcos X -1 > у? - 49. •57.33. а) 6 logs |л: - 1| < 14 -h 2л: - б) logs (л:^ -1- л: - 10) > 25 - - 2л: - ■ 2х^ . § 58. Уравнения и неравенства с двумя переменными 58.1. Постройте график уравнения: а) л:^ = 1; в) л:^ - 2л: -Ь 1 = 0; б) г/^ = 9; г) - б1/ + 8 = 0. 195 Постройте график уравнения: 58.2. а) X = у\ в) X + у = 2\ б) Zx - Ау = 12; 058.3. а) х^ - Зху = 0; б) (X - 1)(у + 5) = 0; 058.4. ^а) х^ - у^ = 0; б) х^ + 7ху - 18^^ = 0; 058.5. а) - = 1; У 2х + Зу - 5 б) ---------- = 0; X + у •58.6. а) |л:| + \у\ = х + у; б) к! + \у\ = у - х; т) 2у - X - 4 = 0. в) ху - 2у^ = 0; г) ху - 5х + у = 5. в) х^ + 2ху + у^ = 0; г) х^ - Зху + 2у^ = 0. X - у х + у -2 “ 2х^ - 4х - 2ху + Зу - 5 X - у = 2х. в) к| + \у\ = X- у; г) |л:| + \у\ = -х- у. 058.7. а.) у = yj4-x^ ; б) \у\ = V4 - ; 058.8. а) у = yll-x^ ; б) \y\=-^ll-(x-lf; •58.9. а) (х - If + (у - 2f = 16; б) (X - If + [\у\ - 2f = 16; в) (\х\ - If + (у- 2f = 16; г) (\х\ - If + (\у\ - 2f = 16. в) ^ = -V4 - ; г) л: = . в) I/ + 2 = -Vl - х^ ; г) \у\ - -Vl - х^ + 3. >58.10. 058.11. 058.12. •58.13. 196 Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком: а) 2\х\ + 3\у\ = 6; б) 0,5|д;| + ^\у\ = 2. Реп1ите уравнение в целых числах: а) д: + 2^ = 7; ’ б) 5х + у = 17. а) 7л: + 2^ = 1; б) 7х - 12у = 1. а) - бху + 6у^ = 2; б) х^ + 2ху - 8у^ = 7. 58.14. 58.15. Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству: а) < 5; б) х > -4; в) у > -3; г) у < 2. а) X + 2у < 3; б) X - у > -4; в) Зх + 2у > -5; г) X - 3^ < 4. 058.16. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: а) х + у > 3, в) [х -2у>3, 2х - Зу <1; 1- + 3у <-2 х-у > 1, X -у >2х, б) х + у < 1, г) X + У <2у. X < 2у; 5х < 2у -1 •58.17. •58.18. •58.19. Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству: а) 2\х - 3| + 2х - Зу < 0; б) х - 3 + \у + 2\ > 2х + 5. + у\ б) --;--X + |х + 1/| + < 4. а)\х + у\ + 2х - у > 3; а) у]3х - у - I < + У - ^ ; б) < Vl - 2х^ ; в) yJx + y-1 > - у ; г) yjy^ -1 > V2x - 1. х + у 058.20. а) ху < 2; б) ^ •58.21. а) |х| + |i/| < 4; •58-22. а) 058.23. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств: в) \х\ - у < 2; г) |х| < - б) 2|х| 4- 3|i/| < 6. + г/^ - 4 |х| + |у| - 2 < 0. а) X < 9, £/ < О, 2х + бу > 10; б) X + I/ < 12, у - X < 12, у > 0. 197 темы неравенств ^58.24. а) Случайным образом выбирают одно из решений сис- - г/| < 2, |л: + у\ < 2. Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена: а) ниже прямой у = 1; в) правее прямой х = 1; выше прямой у = 0,5; г) выше параболы у = х^. § 59. Системы уравнений Решите систему уравнений методом подстановки: 059.1. а) х +у = 3, х^ -I- 2у^ - ху + 2х - Зу = 3; X + у = 5, Ф -6х-у^ = у+ 5, у = х-1; в) х + 2у = 1, ^ ' 2х^ + Зху - Зу^ = 6. 059.2. а) б) Зх = у + 1, rjy - 2х + 2 _ уу - 4.Г + 1 ^0. л: = 21/, logj (2у + х) + logj (х-у + 1) = logg . i i У + ^ Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: 059.3. а) б) Зх + 2у = 1, х-у = -3; \2yfx - Зу[у = 1, 1- 2у[у = 4; в) г) х + у^ =2, 2у^ + х^ =3; + ^ = 3, [з^-5^ = 1. 198 059.4. а) б) logg X - logg У = -5, 2 logg л: + 3 logg у = 0; cos X + cos 2y = -0,5, 3 cos 2y - cos X = 2,5; b) r) [2""'" -V2^T7 = 6, \z^2x + y - 2=^^^'' =-2; |2 sin 2x + tg Зг/ = 2, |б sin 2л: - 2 tg 3i^ = 1. Решите систему уравнений методом введения новых переменных: 059.5. а) ^ = -2, Зх - у X - Зу 15 2 -I- Зх - у X - Зу = 1; 2л: + ду = 12 059.6. а.) 2 . п1 [log^xy + l = 2log^xy б) б) 3 6 + X + у X - у = -1, ^ .-^- = -2. •59.7. 059.8. а) б) X + у X - у \у/х -yfy =10 -3^1^, [2х -5у = в. [З^-"' -7|2у-л:| = 2, [З-^х -I- у = loggiex^, [loggX^ -I- 2^х + у = 6; ' [\2у - х\- =-2. а) 1у = X , в) [i/ = cosx; fx^+y^ =4, б) г) [у = 2- х^; Применяя графический метод, определите, сколько решений имеет система уравнений: у = sinx, у = 0,1х; \у + 2 = л/х -I- 4, [у -I- X® = 0. Решите графически систему уравнений: \у = х(х-4), у + 8 = 2х. У = 2^-\ 1х - 31 = у + 1. 059.9. а) (у + х = 3, [xz/ = 2; б) •59.10. а) |г/-2^"^ =1, |^х + 2 = у; б) 059.11. Решите систему уравнений: f I/ -f 2х = 3, У+у^=2; б) 1=1 9 1,3 у = logg X. 199 Решите систему уравнений: 059.12. а) |2 =“(* + !/)-3 cos = 5, [7 cos (х - у) + 5 sin {х + у) = -2; g)p-.‘=15, +у^ = 17. 059.13. а) yjZJi _ 2х \1х + у 2 ’ 16.1-^ - 7.11^ =1; х + у 2х б) -3--У =1, 059.14. а) ^у/х + 1 - у = 2, log7(4-x) = у; б) у+ х = 1, 2Х-У аТ' 83 059.15. а) (2х + у)(х + Зу) = 48, 2л: + у _ 3^ л: + Зу 4’ б) л: - 3 = 4, у + 2 (;с - 3)" + (у + 2f = 17. 059.16. а) ^ ^ б) ______ [2л: - у = 4; [^l2x + у + л]бх - Зу = 2. 059.17. а) + ^ = 5, [лсу = 216; б) = 1, [4^ = 4. 059.18. а) б) ,/5^ + 2 = з/^^, Vy + 5 V^ + Зу л:у + 2л: = 13 - 4у; л:^ + 4л: - у^ - Зу = О, х + у + 3 X-у \Х + у Х-У _ = 4. 200 059.19. а) 12^ • 0,25-*' =512, [л/х + 2^^ = 5; б) '9^ •3*'-" = 729, 4х -у[у = 1, 059.20. а) б) |1о&,з(л:2 +у^) = 0,51og„^", [lOgg^C-l = lOgg 2 - lOgg t/; [log7(j£: + y) = 4 log^ix - y), I log^Cx + y) = 5 log7 3 - log7(jf - y). 059.21. a) sin X + cos у = 0, • 2,2 1 Sin X + cos у = 6) 2’ cos X + cos у = 0,5, sin^д; + sin^y = 1,75. Решите систему трех уравнений с тремя переменными: >59.22. а) л: + 2^^ - 32 = -3, 2л: - Зу + 2 = 8, -X + у - Ъг = -8; б) Зх - 5у + 2 = -13, X + 3у -2г = Ь, 2х -2у + Ъг = -6. >59.23. а) х-^у = -1, X - 2 = 2, Ху + Х2 + у2 = -1; б) X + у + 22 = о, X + 2у + 2 = 1, Х^ +у^ +2^ = 5. •59.24. Составьте уравнение параболы у = ах^ + Ьх + с, если известно, что она проходит через точки М, Р, Q: а) М(1; -2), Р(-1; 8), Q(2; -1); б) М(-1; 6), Р(2; 9), Q(l; 2). •59.25. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 26. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число. •59.26. Три числа в заданном порядке образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 48, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа. 201 ►59.27. Три бригады, работая вместе, выполняют норму по изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе вьшолняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Эо сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья? § 60. Задачи с параметрами 060.1. При каких значениях параметра т уравнение тх - х + + 1 = т^: а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней; в) имеет более одного корня? 060.2. При каких значениях параметра Ь уравнение Ь^х - х + 2 = = Ь^ + Ь: а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней; в) имеет более одного корня? 060.3. Решите уравнение (относительно х): X а а) а^х - 4х + 2 = а; б) — + х - 1 = а. 060.4. 060.5. Решите неравенство (относительно л:): Решите неравенство (относительно jc): а) тх - X + 1 > т^; б) Ь^х - х + 1 > Ь. а) Ь^х - Ьх > + Ь - 2; б)- + л:<а-ь1. а 060.6. При каких значениях а уравнение ах^ + 4х - а + 5 = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет ровно один корень; в) не имеет действительных корней? 060.7. При каком значении а: а) прямая у = 6х + а касается графика функции у = х^\ б) прямая у = 4х имеет только одну общую точку с графиком функции у = х^ + а! 202 060.8. При каких значениях Ъ графики функций имеют общие точки: а) у = х^-4х + 2 и у = -2х + Ь; б) I/ = + бд: + 7 и у = 2х + Ь? 060.9. При каких значениях а система уравнений имеет решения: .2 ^ . Г-. 0..2 а) у = 2х -5х + 1, у = Зх + а; б) у = Зх - 4х -2, у = -10х -I- а? 060.10. При каких значениях а неравенство ах^ + 4ьх - 3 + а > 0: а) выполняется при любых х; б) не имеет решений? 060.11. При каких значениях а: а) ось симметрии параболы у = 2х^ - Зах + 2 пересекает ось абсцисс левее точки (-3; 0); б) ось симметрии параболы у = 5х^ - 2ах + 2 пересекает ось абсцисс правее точки (4; 0)? #60.12. Решите неравенство (относительно jc): а) у/х - 2{х -а)> 0; б) (6 - x)yjx - а > 0. #60.13. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра Ь, при котором уравнение имеет два корня: а) х^ - 2Ьх + - 4Ь + 3 = 0; *, б) -Ь 2(Ь - 2)х + Ь^ - Ш + 12 = 0. #60.14. При каких значениях а: а) вершина параболы у = (За + 1)х^ + 2х - 5 лежит внутри четвертой координатной четверти; б) вершина параболы у = Зх^ + (4а - 1)л: + 3 лежит внутри первой координатной четверти? #60.15. При каких значениях а > 0: а) уравнение (logs а)х^ - (2 logs а. - 1)д: -Ь logs а - 2 = О имеет единственный корень; б) уравнение (log4 а)х^ + (2 log4 а + l)x + log4 а -I- 2 = О не имеет корней? 203 •60.16. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение: а) 48 • 4^ + 27 = а + а • 4*^'; б) 9^ + 2а • 3*^^ + 9 = 0? •60.17. При каких значениях а: а) уравнение 5^"" - 3 • б"' + а - 1 = 0 имеет единственный корень; б) уравнение 0,01^ - 2(а + 1) • 0,1* + 4 = 0 не имеет действительных корней? •60.18. При каких значениях а имеет ровно три корня ургшнение: а) х(х + 3)^ + а = 0; б) х^ - 12х + 1 = а? •60.19. При каких значениях а: а) уравнение х'^ - Sx^ + 4 = а не имеет корней; б) уравнение Зл:'* + 4х^ - 12х^ = а имеет не менее трех корней? Дополнительные задачи Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству: 4.21. а) J ^ ^ + 2nk; О о б) 271А: < # < ^ + 2nk; 4 в) ^ + 2nk 0; 6) !/ = |, л: < 0; г) у = л: > 0. 5.17. a) x = ^, у >0; в) X = ^, у <0; 6) Jc = -|, у < 0; г) X = ~, у > 0. 6.42. Упростите выражение: а) (sin t - cos tf' + 2 sin t cos б) (sin t 4- cos tf' - 2 sin t cos t. 6.43. Вычислите: a) sin^ (1,5 + 2nk) + cos^ 1,5 + cos [ + sin ^ 6) cos^ f+ 4я1 + sin^ - 44я |. 205 Решите неравенство (относительно переменной х): 6.44. а) cos 2 • (2х - 1) < 0; б) cos 3 cos 5 • (л:^ - 4) < 0. 6.45. а) (cos t - 5) ' (Зл: - 1) > 0; б) (2 + sin i) ‘ (9 - х^) > 0. к 6.46. Решите неравенство: а) ctg 5 • (л: - 1) > 0; >б) ^ • (2х^ - 72) < 0; sin 1 в) (tg 2 sin 5) • (7 - 5л:) < 0; г) tg 1 ctg 2 tg 3 ctg 4 • (л:^ + 2) > 0. 6.47. Сравните числа а и Ь: а) а = sin 1, Ь = cos 6; в) а = cos 2, Ь = sin 4; б) а = sin S, Ь = cos 4; г) а = sin 3, & = cos 5. 6.48. Расположите в порядке возрастания числа: a) sin 2, sin 3, cos 4, cos 5; б) cos 3, cos 4, cos 6, cos 7; b) sin 3, sin 4, sin 6, sin 7; r) cos 2, cos 3, sin 4, sin 5. Вычислите: 6.49. a) yjsin^ 1 + sin^ 2-2 sin 1 sin 2 + - sin 1 + sin^ 1 + + yjl + sin^ 2-2 sin 2; 6) ^Jcos^ 6 + cos^ 7-2 cos 6 cos 7 + - cos 7 + cos^ 7 + + + cos^ 6-2 cos 6. 6.50. a) Jsin^ 5-2 sin 5 sin + sin^ ^ - ^/sin^ - 2 sin 5 + sin^ 5; ' 6) ^cos^ 4-2 cos 4 cos ^ + cos^ ^ + + Jcos^ 4-2 cos 4 cos ^ + cos^ V о о 7.21. Известно, что tg ^ + ctg t = 2,3. Вычислите tg^ t + ctg^ t. 206 7.22. Вычислите: sin'* t + cos'* t, если sin t cos t = -0,5. 10.19. Решите графически уравнение: а) sin “ f J = ^ “ Зл:; в) sin ^ | + 1; б) sin X - yjx - n = 0; r) -sin x = yfx. 10.20. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = sin I л: - — I + 0,5 на промежутке: а) я. Ы 4’ 4 ^ ' 4 ’ 4 j’ в) [0; я); г) 7’ 4 10.21. Докажите, что функция у = f{x) является четной, если: б) fix) = х^ • sin 2sin ь) fix) - ^3^5 sin^ д:, д:2 - V г) Дд:) = sin^ X - 10.22. Дана функция у = f(x), где f(x) = 2х + 2я, если х < -я, sin X, если -я < jc < О, -2х, если д: > 0. а) Вычислите: Д-я - 2), Д2); б) постройте график функции у = fix)', в) прочитайте график функции у = fix). 10.23. Дана функция у = fix), где fix) = -х^, еслид: < О, sin X, если О < д: < я, -(д: - я)^, если х > к. а) Вычислите: Д-3), f\^j, Д2я - 3); б) постройте график функции у = Дд:); в) прочитайте график функции у = Дд:). 207 10.24. Дана функция у = f(x), где Зп f(x) = sin j, если —— < X < О, л: + 1, если 0 < л: < 2, -yjx - 2 + 3, если X > 2. а) Вычислите: ДО), Д6), f(-n - 2); \б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции у = f(x). 11.14. Постройте график функции: а) I/ = cos 1 д: + - I + 1; в) у = cos X - б) ^ = cos I д: - - I + 2; 2’ г) I/ = cos I д: + - 1 - 3. а) 1 у = cos X, [у = -х^ + 2х - 3; в) \у = cos X, б) и г) 11.15. Сколько решений имеет система уравнений: [ у = cos X, у = х^ -3; у = cos X, |х| -у = о? 11.16. Постройте и прочитайте график функции у = f(x), где fix) = sin X, если д: < о, х^, если О < д: < ^, cosjc, если X > П1.17. Решите неравенство: а) cos X > 1 + |д:|; б) 2 cos д; < 2 + X*. 12.10. Докажите, что данное число Т является периодом заданной функции: ' в) Z/ = sin Т= 4я; а) I/ = sin 2д:, Т = к; б) у = cos Зх, Т = г) у = cos Т = 208 12.11. Преобразуйте заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin to или cos to так, чтобы выполнялось соотношение О < ^o < 2п: а) sin 8; б) cos (-10); в) sin (-25); г) cos 35. 12.12. Вычислите: а) cos (^ + 4я), если cos (2п - t ) = --; б) sin (32т1 - ^), если sin (2п - t) = 13’ Постройте график функции: •13.21. а) I/ = 3 sin \ х + — \; б) у = cos|fo: + I •13.22. а) у =-2 cos 2| л: + ^ |; б) у = -2 sin 3| X + - •13.23. а) = 2 sin Здс - Зл б) г/ = -3 cos \2х + — •13.24. а) = + 6)J/ = -|cos f-f Исследуйте на чётность функцию у = f(x), если: 14.16. а) f(x) = tg X • sin^ х; в) f(x) = х^ tg х; б) fix) = ? г) f(x) = х^ + sin X + tg X. X — 1 14.17. а) fix) = sin х + ctg х; б) fix) = X* ctg X х'^ - 4 ' 14.18. Докажите, что данное число Т является периодом заданной функции: а) у = tg 2х, Т = -; б) I/ = tg г = Зя; в) y = tg бх, Т = г) !/ = tg г = 14.19. Докажите, что число п является периодом функции: а) у = tg X + sin 2х - tg Зд: - cos 4х\ б) у = sin Зх + cos 5д: + ctg д: - 2 tg 2х. 209 Постройте график функции: 14.20. а) i/ = tg[x + |]; в) 1/= tg [х - б) У = tg л: + 1; 14.21. а) ^ = tg I л: + ^ I + 1; г) г/ = tg X - 2. в) г/ = tg 1 л: - - ) + 1; б) I/= tg| X - yJ + г) I/= tg[x + ^|-2. 14.22. а) у = -tg х; б) г/ = -tg X + 1; 14.23. в) г/ = -tg I X - - г) У = -tgfx + f ] - 2. а) г/ = ctg + - б) = ctg X + 1; в) У = Ctg [л: - - ]; г) г/ = ctg X - 2. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: П6.20. а) sin X = 0,6, х € П6.21. Зл а) cos X = ^, X € (1; 6); О б) sin X = -|, X € (2; 7)? б) cos X = -0,4, X € (3; 11)? Вычислите: 17.11. а) 2 arcsin + arctg (-1) + arccos 6) 3 arcsin ^ + 4 arccos_|^-^ j - arctg [ b) arctg (-^/з) + arccos [-^ ] + arcsin 1; r) arcsin (-1) - ^ arccos ^ + 3 arcctg [ ]. 17.12. a) sin (arctg (-\/з)|; в) cos (arctg 0); 6) tg arctg r) ctg (arctg (-1)). 210 17.13. Вычислите: а) tg (arcctg 1); в) cos (arcctg (-1)); б) sin (arcctg >/з); г) ctg 2 arcctg h] 17.14. Решите уравнение: a) tg^ д: - 3 = 0; в) 4 tg^ л: - 9 = 0; б) 2 tg д: + 3 tg д: = 0; г) 3 tg д: - 2 tg д: = 0. >17.15. Вычислите: а) sin|arctg-|; 12 б) cos arcctg 5 Г в) sin I arcctg I - - 11; 12 г) cos arctg >17.16. Постройте график функции: а) у = sin (arcsin jc); б) у = arctg X + arctg (-дг); в) г/ = tg (arctg д:); т) у = arcsin д: + arcsin (-х). Решите уравнение: >18.36. а) |sin х| = |cos х|; в) |sin 2х| = | V3 cos2х|; б) yjS ctg X = 2| cos XI; г) >/2 tg х + 2| sin х I = 0. 18.37. а) sin |^2х “ j + cos - 2х j = 0; 6) sinrf + f) = 73cos[fi-f). 18.38. а) sin^ х - 5 cos х = sin х cos х - 5 sin х; б) cos^ X - 7 sin X -Ь sin х cos х = 7 cos х. 18.39. а) sin^ х + cos( ^ ~ 1 f ~ ^ 1^ х = 0; б) sin^ Зх + 3 cos^ Зх - 4 sin|^^ + Зх j cos | ^ + Зх j = 0; в) sin^ X + 2 sin (л - х) cos х - 3 cos^ (2л - х) = 0; г) sin^ (л - Зх) -f- 5 sin (л - Зх) cos Зх + 4 sin^ - Зх ) = 0. 211 Решите уравнение: 18.40. а) 3 + sin ^ ~ ~ б) 2соз2|-3 8ш(^я-|]со8(^2я-|^ + 7 8ш2| = 3; в) 4 со8^ + X j + ^/3 sin - X j sin (я + x) + Ц- 3 cos^ (я + x) = 3; г) 3 sin^ l^x - j - 2 cos^^ + xj cos (я + x) + + 2 sin2(x - я) = 2. 18.41. a) 2 sin^ (я + x) - 5 cos|^-^ + x j + 2 = 0; 6) 2 cos^ X + 5 cos|^^ - Xj - 4 = 0; b) 2 cos^ X + sin|^^ - X j - 1 = 0; r) 5 - 5 sin 3(я - x) = cos^ (я - 3x). 18.42. a) 2 tg^‘ 2x + 3 tg (я + 2x) = 0; 6) tg^ 3x - 6 ctgf^ - 3x1 = 0. 18.43. a) 3tg2|-2ctg(^|^ + |J-l = 0; 6) 3 tg^ 4x - 2 ctg - 4x1 = 1; b) tg (я + x) + 2 tg| - + X I + 1 = 0; r) 2 ctg X - 3 ctg I — - X I + 5 = 0. >18.44. a) I cos x | = 2 cos x - л/З sin x; 6) sin X = 73 cos X + 21 sin x |. 18.45. a) sin^ x + cos^ 2x + cos^ + 2x j + 2 cos x tg x = 1; 6) 2 cos^ X - sin|^x - + tg X tg l^x + = 0. 212 19.27. Вычислите: а) sin ^j cos [f “ Ч + sin ^ ^ 6) cos I ^ ^ j cos ^ j “ ~ ^ If- Докажите тождество: yj2 cos a - 2 cos | т “ cc 19.28. a) ------^ = ->/2 tg a; 6) 2 sin + a j - 7з sin a cos a - 2 cos -^ + a -----------y-^-------= -^/3 tg a. 2 sin f a - j - ^/з sin a 21.39. a) sin 2t cos t 1 + cos 2t 1 + cos t = tgh g. sin 2t cos t 2 = tg - 1 + cos 2t 1 + cos t 1 , t ^ 4 ’ 1 + cos — Li c%-i At\ \ 1 “ COS 2t + sin 2^ , , 21.40. a) , — . - = tg t\ 6) 1 + sin 2t + cos 2t 1 + cos 2t - sin - to- ( '*■ — f I 1 + sin 2t + cos 2t [4 = i sin -2t .4 ) ' V2 ' 7 u 7-O 1 ■ ( = sin n 4 J ^/2 ^ Ч 4. 21.42. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = f{x), если: а) f{x) = 2 cos 2х + sin^ х\ б) f{x) = 2 sin^ Зл: - cos бд:. #21.43. Упростите выражение >/1 - cos 2t + ^1 + cos 2t, если: а) t € б) f 6 r; f; 2Я b) ^ 6 t) t e 0=1 213 21.44. Известно, что cos 2х = —. Вычислите: J О а) sin^ X + cos* х; б) sin® х - cos® х. 21.45. Проверьте числовое равенство: а) sin 18®cos 18°cos 36° = ^ sin 72°; 4 1б) sin 18° cos 36° = 4 21.46. Вычислите: . л 2я 4тг 8л 16л -V л 4л 5л б) cos - cos — cos —. ^777 21.47. Решите уравнение: а) sin^ (гх - г] = б) cos^ I jc + — I = 1; в) + = г) cos43^:-|) = |. ^21.48. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |л:| < 4: а) 4 sin^ X + sin^ 2х = 3; б) 4 cos^ 2л: + 8 cos^ х = 7. 21.49. Докажите тождество: о А X 2tg-^ а) sin X =----- 1 + tg' б) cos X 21.50. Используя замену u = tg — и тождества из упражнения 21.49, решите уравнение: а) sin л: -Ь 7 cos л: = 5; б) 5 sin,л: + 10 cos л: + 2 = 0. Решите уравнение: •21.51. а) cos х“ - п sin 2л: = 8 sin х cos х; б) 16 sin X cos X + sin 2л: sin — = 0. X 21.52. а) sin 2л: -f- 2 sin л: = 2 - 2 cos x; 6) 4 sin 2л: -f- 8(sin x - cos л") = 7. 214 22.23. Представьте в виде произведения: а) sin 87° - sin 59° - sin 93° ч sin 61° = sin 1°; б) cos 115° - cos 35° -f cos 65° + cos 25° = sin 5' Докажите тождество: 22.24. a) («-ь PH sin (^1 ^ COS (a + P) + cos (a - P) 61 cos (« - P) - cos (g + p) ^ X sin (a + P) - sin (a - P) 22.25. a) sin x + sin у + sin (л: - i/) = 4 sin ^ cos ^ cos sin X + sin 2x + sin 3x . „ 6) -----------t;------= tg 2x. cos X + cos 2x + cos Зд: X - у. 2 ’ 22.26. a) sin^(a + P) - sin^(a - p) = sin 2a sin 2p; 6) cos^(a - P) - cos^(a + P) = sin 2a sin 2p. 22.27. Вычислите 22.28. sin g + sin 3a + sin 5a + sin 7a cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a , если ctg 4a = 0,2. Вычислите: а) sin^ 10° + sin^ 130° + sin^ 110°; б) cos^ 35° + cos^ 25° - cos^ 5°. 22.29. При каких значениях x числа a, b, с образуют арифметическую прогрессию, если: а) а = cos 7х, Ь = cos 2д:, с = cos Ид:; б) а = sin Зд:, Ь = cos х, с = sin 5х? *• Преобразуйте данное выражение к виду С sin (х -Н t) или С cos (д: + t): 22.30. а) л/З sin X + cos д:; в) sin X - cos x; б) sin х + у[з cos х; г) 2 sin х - yjl2 cos x. 22.31. а) 3 sin д: -Ь 4 cos х; в) 7 sin X - 24 cos д:; б) 5 cos д: - 12 sin х; г) 8 cos X -f 15 sin X. 22.32. Решите уравнение: а) -у/З sin X + cos д: = 1; в) sin X - л/з cos x = б) sin X -ь cos X = л/2; г) sin X - cos д: = 1. 215 22.33. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = у[з sin X + cos х; в) у = sin х - cos х; б) у = sin л: - л/з cos х; т) у = sin х - л/2 cos х. ч.. 22.34. Найдите область значений функции: а) у = 3 sin 2л: - 4 cos 2л:; в) у = 7 sin ^ + 24 cos б) у = б cos Зл: + 12 sin Зл:; г) г/ = 8 cos ^ “ 15 sin 22.35. Суш;ествуют ли значения л:, при которых выполняется равенство: а) sin 5л: + cos 5л: = 1,5; б) 3 sin 2л: - 4 cos 2л: = \/^; в) sin 7л: - л/З cos 7л: = /и г) 5 sin л: + 12 cos х = yJllO? 22.36. Постройте график функции: а) у = л/2 (sin X + cos л:); в) у = sin х - у/З cos х; б) г/ = л/з sin X + cos х; в) у = sin х - cos х. Решите уравнение: 22.37. а) cos 2х + \[3 sin 2л: = >/2; б) sin 5л: - cos 5л: = в) cos ^ - л/З sin ^ + 1 = 0; г) sinf + cosf = 1. О U 22.38. а) 4 sin л: - 3 cos л: = 5; б) 3 sin 2л: + 4 cos 2л: = 2,5; в) 12 sin X + 5 cos л: + 13 = 0; г) 5 cos - 12 sin ^ = 6,5. 22.39. Докажите тождество: а) sin X + cos X + у/2 = 2у[2 cos^ j; б) cos 2л: - sin 2л: - 72 = -272 sin^ [л: + ^ 216 Решите уравнение: 22.40. а) 2 sin 17л: + л/з cos 5л: 4- sin 5л: = 0; б) 5 sin X - 12 cos л: -Ь 13 sin Зл: = 0. 22.41. а) (sin л: + л/З cos л:) - 5 = cos(5-a;); б) (л/З sin X ч2 - COS Xj -hi = 4 cos ^ 22.42. а) 73 sin X + cos л: + 2 = 12 It б) V2(cos X ■ - sin л:) = 2л: n 2’ Запишите первые пять членов последовательности: 24.23. a) Уп = sin ля 2 ctgf (2л -h 1); 6) Уп = cos ля 2 tg j (2л -h 1); 4 b) ля ЛЯ Уп = п sin — -h п“ cos —; r) ля ЛЯ Уп = sin 4 n cos 4 ■ 24.24. a) Уп _ 1 • 2 ! • 3 •, л® -h ... • Л 1 ’ 6) y, 1 • 3 ■ 5 •• (2п - 1) 2-4-б ... 2л ' Выпишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно: «. 24.25. а) Xi = 2, Хп = 5 - Хп- й б) Xi = 2, Хп = Хп-1 + 10; в) Xi = -1, х„ = 2 + х„ -1; г) х^ = 4:, Хп = Хп-г - 3. 24.26. а) Xi = 2, Хп = пХп-й в) Xi 2, Xf) Хц -1, б) Х\ 5, Хц 0,5 Xfi-\f г) Х\ 1, Хц Хп-1 0,1 24.27. Составьте одну из возможных формул л-го члена последовательности: а) 1 3 5 7 9 в) 3 9 27 81 243 2’ 4’ 6’ 8’ 10’ ■■■’ 4’ 16’ 64’ 256’ 1024 2 4 6 8 10 г) 1 3 5 7 9 V3’ 3’ ЗТЗ’ 9’ 9V3’ ’ 2’ 272’ 4’ 472’ 217 24.28. Постройте график последовательности: а) уп = 10 - л®; в) у„ = - 8; б) Уп = (-irV^; г) i/n = 4 - л/4л. 24.29. Сколько членов последовательности а) V б) 1 1 3125’ 625’ 125’ 6 11 16 в) г) 729’ 243’ 81’ ■■■’ 2 9 16 377’ 379’ 381’ ■■■’ "" 219’ 222’ 225’ ■■■ не превосходит единицы? 24.30. Какие из заданных последовательностей являются ограниченными? а) cos 1, , cos 2, , cos 3, .. cos n. > ••• > sin 1 sin 2 sin 3 i-iy ■' sin n 1 ’ 2 ’ 3 ’ • • • ♦ у ... n в) tgf. t«f’ •• ,,tg|(2n-l), г) Ctgf ,ctgf, , Ctg n 71 + 1’ ■■■■ 24.31. Найдите минимальный отрезок [а; ft] с целочисленными концами, которому принадлежат все члены последовательности: л’ ■ 2л-1’ 2"’ ’ 2п + 1’ а) а„ = 7 б) ft„ - 2 + , 24.32. Верно ли утверждение: а) если последовательность имеет предел, то она монотонна; ' б) если последовательность монотонна, то она имеет предел; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел; г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела? Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это утверждение. 218 Вычислите предел последовательности (у„): 24.33. а) у, = (М^-_3). 3, = №-2)g._t3). TV л ЙЛ Z/ = (Зл+ 1)(4п-1). - ^ (1 - 2л)(1 + л) (л -1)2 ’ ^ ^ (п + 2)2 24.34. а) у. = (2!^±1)(3^-4)-6л2.12л. п + 5 л2(2л + 5) - 2л2 + 5л2 - 13 б) Уп = —-------------------■ в) Уп г) Уп = л(л + 1)(л - 7) + (1 - л) ’ _ (1 - л)(л2 + 1) + л2. л2 + 2л л(7 - л2) + л® - Зл - 1 (л + 1)(л + 2) + (2л2 + 1) ‘ 26.26. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = f{x), обладающей указанными свойствами: а) lim f{x) = 5 и f{x) > О на (-оо; -f°o); X -4 +« б) Иш f{x) = -3 и fix) > О на [-7; 3]; в) lim fix) = О и fix) > О на [0; -t-oo); X +« г) lim fix) = О и fix) < О на (-оо; +оо). X -DO Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = Л(х), X е R, обладающей указанными свойствами: 26.27. а) lim hix) = 4 и функция возрастает; ^ X +<» б) lim hix) = 5 и функция убывает; в) lim hix) = -2 и функция возрастает; г) lim hix) = —3 и функция убывает. ж -» +00 26.28. а) lim hix) = 1 и функция ограничена сверху; б) lim hix) = 1 и функция ограничена снизу; X +0О в) lim hix) = -2 и функция ограничена; X оо г) lim hix) = 1 и функция ограничена. X -> «> 219 26.29. Изобразите график непрерывной на (-о°; +оо) функции У = fi.x), обладающей следующими свойствами: lim fix) = 0; f{x) > 0 на (-оо; 0); E{f) = [-5; 5]; функция X -> ео убывает на [2; 7]. ^ Вычислите: 26.30. а) lim ■ д;->1 б) lim + 2х - Z л: - 1 X Л- 2 х-^-2 2jc^ + X - 6’ ч Т X + 1 в) .i™, ;ГГ27Гз= г) lim х->9 X - 9 26.31. а) Ит^ X + 2 х^-2 + 8’ б) lim в) lim ’ х^З д;3 - 27 16 - Х2 г) lim x-^i 64 — X® 26.32. а) lim sin X ^ о tg X ’ sin Зх + sin X б) lim 3. cos Зх + cos X ’ 2 ч 1 . cos X в) lim——; ctgx ч 1. cos 5х - cos Зх г) lini ^, -> о sin ох + sin Зх 26.33. а) lim Х-)3 х^ - Зх 26.34. а) lim х^О х^ б) lim (V2x + 3 - >/2х - 7). sin 7х - sin Зх б) lim — ------:——, ' X -> о sin 8х - sin 2х 28.47. а) Найдите корни уравнения f\x) = О, принадлежащие отрезку [0; 2], если известно, что /(х) = cos^ х + 1 + sin х. б) Найдите корни уравнения f'{x) = 0, принадлежащие от- резку я. ^ 2’ 2 , если известно, что /(х) = sin^ х - cos х - 1. 28.48. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию fix) < g'ix), если: a) fix) = sin X cos х, gix) + 61; б) fix) = sin X cos 2x + sin 2x cos x, gix) = 35 - 3x; b) fix) = sin^ X - cos^ X, gix) = -2x -f 9; r) fix) = X cos X, gix) = sin X. 220 28.49. а) При каких значениях а касательные к графикам функций у = и у = в точке л: = а не имеют общих точек? б) При каких значениях а касательные к графикам функций у = л/jc тя. у = 2^1 X + 8 в точке л: = а не имеют общих точек? Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x), если: б) f(x) = -20(4 - 5х)\ 28.50. а) fix) = 6(2х - if; 2 28.51. а) Пх) = - (2х + 3)2 ’ 28.52. а) f'(x) = sin | Зл: - ^ |; б) Пх) = б) Пх) = 2yl5x - 7 ‘ 4 cos2 (5л: - 1) 29.28. Составьте уравнение той касательной к графику функции у = fix), которая образует с осью х заданный угол а, если: а) fix) = - Зл/Зл:, а = 60°; уЗ * б) fix) = - ^х^, а = 30°. V3 3 29.29. а) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции у = ——которые об-разуют угол 45° с осью х. б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции у = которые об- разуют угол 135° с осью X. 29.30. Составьте уравнение параболы у = х^ + Ьх + с, касающейся прямой у = X - 1 в точке (2; 1). 29.31. Проведите касательную к графику функции у = х^ + 1, проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если: а) А(-1; 2); в) А(0; -3); б) А(0; 0); г)А(-1; 1). 221 29.32. Через точку В проведите касательную к графику функции у = fix), если; а) fix) - -х^ - 7х + 8, Bil; 1); б) fix) = -х‘^ -7х + 8, BiO; 9). 29.33. а) Найдите все значения а, при каждом из которых касательная к графику функции у = cos 7х + 7 cos х в точках с абсциссой а параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой 6’ б) Найдите все значения а, при каждом из которых касательные к графикам функций у = 2- 14 sin Sxviy = 6 sin 7 х в точках с абсциссой а параллельны. 29.34. а) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х^, X > О, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна О б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х^, X < О, отсекающей от осей координат треугольник, 27 площадь которого равна 8 ' 29.35. а) На оси у взята точка В, из нее проведены касательные к графику функции у = 3 - ^х^. Известно, что эти касательные образуют между собой угол 90°. Найдите координаты точки Б. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = 0,Ъх^ - 2,5, которые пересекаются под углом 90° в точке, лежащей на оси у. /з к графику функции у = ^х^ + Известно, что эти 29.36. а) Па оси у взята точка В, из нее проведены касательные S 2 " 2 касательные образуют между собой угол 60°. Найдите координаты точки Б. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функ- л/З - которые пересекаются под углом 120° ции у 6 в точке, лежащей на оси у. 222 29.37. а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции г/ = - |2х - б|, проведенных через точки с абсциссами х = 5, х = -5. б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х^ + \х - 11, проведенных через точки с абсциссами X - 2, X = -2. 29.38. а) При каком значении параметра р касательная к графику функции у = х^ - рх в точке х = 1 проходит через точку (2; 3)? б) При каком значении параметра р касательная к графику функции у = х^ + рх^ в точке л: = 1 проходит через точку (3; 2)? 30.33. При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку: в) у = х^ - Ъах^ -f- 27л: - 5; б) у = х^ Зад;' -f 75л: - 10? 30.34. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами: а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной; б) функция возрастает при л: < 1 и при л: > 5 и убывает на промежутке [1; 5]; точка л: = 1 является критической, а точка л: = 5 — стационарной; в) функция имеет разрыв в точке х = -2, максимум в точке л: = -1 и минимум в точке л: = 1; г) функция имеет горизонтальную асимптоту у = S при л: —> со, одну точку максимума и одну точку минимума. 30.35. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:" а) г/ = |дс - 3| - 2; в) ^ = \(х - 2)(л: + 3)|; б) г/ = 1-1 г) I/ = (\х\ - 2)\х\. 30.36. а) {/ = |л:' — Зл:|; б) у \Х - X 30.37. Докажите, что функция: а) у = х^ + Sx - 6 возрастает на (-°о; +оо); 2 б) у = 15- возрастает на (-°о; 0); в) у = х^ + 1у? Н- 2л: - 42 возрастает на (-о®; +со); г) у = 21х- возрастает на (0; Ч-оо). 223 Докажите, что функция: 30.38. а) Z/ = 7л: - cos 2л: возрастает на (-оо; +оо); б) у = ^ ig X возрастает на в) г/ = -ctg X возрастает на (0; тг); т) у = Юл: + sin Зл: возрастает на (-°о; +оо). 30.39. а) I/ = 2х^ + 2х^ + 11л: - 35 возрастает на +оо); б) у = Зл:® - 6л:® + 41л: - 137 возрастает на (-°о; +о°). 4л Г 1 ^ 30.40. а) у = ^ ^ возрастает на I +°о I; г-v ,, 2л -13 . ^ б) у = ^ ^ возрастает на (-оо; 5). 30.41. а) у = -л® - 5л + 3 убывает на (-°о; +°о); б) у = -2л® - 7л® - л + 8 убывает на (-о°; +°°); в) у = -л® + Зл® - 6л + 1 убывает на (-со; +оо); г) у = -4л® + 4л® - 2л + 9 убывает на (-о°; +°о). Чг 4- 7 30.42. а) у = ^ 2 убывает на (-2; +оо); -4л +1 - ( , 1 ^ " '2х + 1 убывает на |^-оо; -- 30.43. а) у = 7 cos л - 5 sin Зл - 22л убывает на (-°о; +оо); б) у = S cos 7л — 8 sin — 25л + 1 убывает на (—+°о). При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой: 30.44. а) ^ = л® + ал; б) У ~ ^ ~ + 5л - 3? 30.45. а) ах - cos л; б) у = 2 sin 2л - ал? 30.46. При каких значениях параметра Ь функция убывает на всей области определения: в) ^ = 7 + 5л - л® - л®; в) ^ = л® + 5л® + Зл + 21; б) у = -2yjx + 3 + 5л; т) у = -25л + vl - л? 224 30.47. а) При каких значениях параметра а функция у = 2х^ -— + 7 возрастает в интервале (а — 1; а + 1)? б) При каких значениях параметра а функция у = -х^ + + Зл: + 5 убывает в интервале |^а; а + -J? Решите уравнение с помош;ью исследования функций на монотонность: .3 31.16. а) л:" + 5 = 15 - л:; в) 2х^ + Зл:^ = 17 - 12д:; б) X + Зд: + 7л: - 11 = 0; г) д: + 4дг + Здс - 13 = 0. 31.17. а) sin 5х - 2 cos х - 8х = х - 2; б) 4 cos Зя: + 5 sin ^ + 15л: = 4 - х^. 31.18. а) 3 cos ^ + 5 sin ^ + 18д: = 43 - я:^ - 22х^; б) 2 sin ^х - 2 cos пх - 8х = х^ - 50. Решите графически уравнение: 31.19. а) 3n/xTi = -я:^ + Зя:^ + 6; б) я:^ - Зя: = (я; + 1)® + 2. 34.23. а) = —Ц- + 1; я: - 1 в) ^ = 3 - 2я:^; б) ^ + 2я: + 3 = 0; г) ^/^ - 2 = ^. д; - 1 Определите число решений системы уравнений: 34.24. а) 34.25. а) у = ^ -1, б) 1у = 2^, у = х^ - 2х - 8; = Юя: - 16 - я:^ У = ^, б) \у = ifx, у = 2х‘^ - 5; Ь = (* + 3)“ - 1. 34.26. Найдите область определения функции: > J2x - 5 , -jx‘ + 2X-S. ,, ijx^ - Ъх а) У = tlzrrS + ;.-3 ’ б) 2я: + 3 X - 4 ‘ 225 34.27. Постройте график функции: а) У = Ь - 1 + 1; б) У = X - 1 37.34. Упростите выражение: Зх^ - 8д: - 3 X - 3 -2х. б) [Р~^д б “1/74 / _2 (р 7 ) . Вычислите: г) ^ • 25^ - 81^ •125'y 1 / \-2 49'“ [1] +2-> • (-2Г; 1 / \-2 216~"-f|J -5" '■Ы (i)' • 1®' - 2" ■ 37.36. а) [лт 7-1 _ Г 1 I ^ 9-3 UJ 49 б) 8-25-2' 64" • 2' Найдите значение выражения: 37.37. а) - при л: = 1,44; б) при m = 8. л;® - х^ т® + 1,5 37.38. а) - -pi— при ^ = 9; ■ f - 4 - 2 б) --- при 1/ = 100. 1/4+3 г/4 _ 3 226 Упростите выражение: 3 3 37.39. а) б) а - Ь 11 11 а + + Ь + 2а^Ь'^; г 1 — п2г,2 1 1 — п2л2 p-p^q^ q-p^q^J pq^ + рЧ p-q 37.40. а) 1 1 + Ы б) - 2а^ i i 11’ а - 2 а + 1 15 2 а® - За® а® - а® а - 4а + 3 38.40. а) Известно, что fix) = x'^, g(x) = х Докажите, что f(16x^) = 2(g(x)-^). б) Известно, что f(x) = х^, g(x) = х~^. Докажите, что f(27x^) = 9(g(x))-^. я 38.41. Решите неравенство f(x) > О, если: а) fix) = х^ - |л;2; в) fix) = |хЗ + ^х^; б) fix) = -f - у; г) fi^) = ^Лх^ - 39.43. Расположите числа в порядке возрастания: а) 2\ 2'’®, 2'^, 2-'^, 2^'\ 1; 1 б) 0,3^, 1, 0,3"'^, 0,3^ 0,3"^, 0,з1 39.44. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке: 3'-' + 8, [-3; 1); В) У = 7^-^- 5-(|] +4. [-1; 2]; г) 1/ = 4 ■ [1 39.45. Решите уравнение: а) 2"^ - 1 = у[х; в) 3"^ - 1 = -у[х; б) fi] = + 1; г) [|1 = + 1. 227 39.46. Решите уравнение: а) 2^ = в) 5^ = X .4 Г1Y 4 . f 1Y 8 Решите неравенство: 39.47. к)3^ > 4- х; в) 5^^ < 6 - х; 1 б) I i I <х + 3; г) I у I > X+ 8. 39.48. а) 2* > л: б) fjT I 4 J X в) 5" < X ^ fl)\ 8 '■) 8 > -!■ в) I - I + 1 < sin х; 39.49. а) З"" + 1 > cos х; б) 2^*' + 1 > 2 cos х; г) З'"** < cos 2х. 39.50. Постройте график функции: &)у = 2'*'; в)у = 4'*'; г) у = 0,2'^^"'. б) . = I J Решите уравнение: 40.51. а) 4(75 - 2)' б) 9(3 - Те) 2х + 1 75 + 2 3 + 7» 40.52. а) 3^-' -[| + 207; б) t/l6^ + 188 = 8 • 2^ - 0,5^-\ 40.53. а) 24 • - 2 • = 9; gj g _ 2^^ t- бх + 7 _|_ + 5х + 9 2*^ + 5х + 10 2 40.54. а) 18^ - 8 • 6^ - 9 • 2^ = 0; б) 12^ - 6* ^ ^ + 8 ■ 3^ = 0. 228 40.55. 40.56. а) 2^ - 2' = 3,5; б) 3^ = 26 + 3® а) 5®^^"^ - 3 • 5(* + 1К^ + 2) ^ 2. б) 3®^^”' — 3^^ ~ = 2 • 40.57. а) Решите систему уравнений: -4^ = 21, 22^ + г/ : 2^ = 64; |2®^ + 2^ • I/ = 10, W + у 2^ = 15; 40.58. 40.59. а) б) б) ^/6^ • \2x-y ох-2у _ ^ SJ 3 [7®^ - 7^ • I/ = 28, \у^ - у -Г = -12. Найдите, при каких значениях параметра а показательное уравнение имеет корни: а) 2"^ = а; в) л/з^ = -а; б) 8*‘*‘ = а + 3; г) Ш = аК 40.60. Найдите, при каких значениях параметра а уравнение не имеет корней: а) 48 • 4* + 27 = а + а • 4^^®; б) 9^ + 2а • 3^^^ + 9 = 0. 40.61. 40.62. Решите неравенство: а) 2®"^ > 2д: - 3; б) 3®'< 2д: + 1. „ч + 4jc + 4 л у-27 > 0,2 — 0,008 л. ^ д:^ - Юд: + 25 ’ в) < 0; 4х^ - 4д: + 1 г) + 6^ + 9 > 0. 40.63. а) б) > 12*+143 12*"'’ 16* + 42 в) 2* - 4 8 8 11*+120 11* 16* < 22; г) < 4. 40.64. а) 2®^ ■ - 9 • 2®* ■ ® + 8 < 0; б) 5®^^ ^ - 5^^® < 5* - 5; в) з8* + 6 _ 10 . з4х + ® + 9 ^ 0; г) 3^ - 3 X + А <3^-9. 229 40.65. Решите систему неравенств: а) б) к 2^^^ > 4, в) |0д-х + з < 0,16, 7ЗХ-1О ^ |о,Р^^' > 0,01; / N 4 л-+ 2,5 г) jVs • > 1, 10^'"^ > 1000; [o,2®~^’' < 125. 40.66. 40.67. 41.20. Решите неравенство: а) (X - 6)(5^"® - 25) < 0; а) (2^ - 8)(3^ - 81) <0; б) | 3*^^ Решите уравнение: а) log^c ^ = -3; в) log;, ^ = -4; б) (2х + 1)(3^~^ - 9) > 0. 1 27 (5®-^* - 0,2) > 0. б) log;, 3 = 2’ г) log;, 4 = 41.21. Решите уравнение с параметром а: а) 4^ - 2^ + а = а • 2^; б) 9^ - (2а +1) • 3* + + а - 2 = 0. 41.22. Постройте график функции: а) г/ = log;, л: ; в) У б) У = 2‘“^2*; г) у = log;, К Решите графически уравнение: 42.26. а) \og2X = -X + 1; в) logger = -х + 1; б) logi л: = 2л: - 2; *г) logg л: = 4л: - 4. 42.27. а) л: + 2 = logs л:; б) logi X = -2х - 5; в) Зл: + 7 = log7 х; г) log2 X = -5х - 6. 42.28. При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной функции: а) у = log2 X, у = -X + 1; в) у = logi х, у = 7л:; 3 б) I/ = logo.6 у = X - и г) у = loga X, у = -3x7 230 42.29. При каких значениях х график заданной логарифмической функции лежит ниже графика заданной линейной функции: а) I/ = log4(л: - 1), у = -х + 2; б) у = logi (дг + 4), у = 3х- 2? Вычислите: 43.38. а) log^fsin jl + log^[2cos|]; б) logi l^cos ^ + sin ^ J + logi j^cos ^ - sin ^ |; B) log, [2 sin +log, [cos ^ I; r) log^ I 12 “ 12 J it it '• 43.39. a) log3l 2 tg Ij - loggl 1 - tg^ 11; 6) log^altg^J + log^/gjctg^); 19 b) log, 2tg- + log, 1 - tg r) log.[tgf] + log.[tgA„|, 43.40. Известно, что logs 3 = m и logs 2 = «. Выразите через тип: а) logs 6; в) logs 24; б) logs 18; r) logs 72. 43.41. Известно, что log, 7 = c и log, 3 = a. Выразите через с и a: 2 2 а) log, 21; в) log, 147; 2 2 б) log, i; г) log, 231 Решите уравнение: 44.23. а) \og2ix - 3)(х + 5) + = 2; X "Г О б) log3(A: + 3)(х + 5) + log3^^ = 4. X т О 44.24. >а) logg(3"' + 2х - 20) = х - х logg 3; б) 44.25. а) * = 12; б) + 9д:'«^ = 1000. __________________ ОТВЕТЫ_________________ ГЛАВА 1 §1 . о , 2л:^ - 5л: - 2 2л:® - Зл:® - 4 . 2 + Зл: - 4х^ 1-3. а) -^^----; б) ----—----; в) Зх - 3 3 - Зх-^ Зх + Зх г) ex'* + 24х® + 64х^ + 69х + 61 6х^ + 9х + 18 . 1.6. а) 2 < X < 4; б) 2 < X < 2,5, 2,5 < х < 3; 1 в) X < 2 < X < 5; г) 6 < X < 7, 7 < X < 10. 1.13. а) /)(/) = (-оо; -1,75) и U (-1,75; 1,75) и (1,75; +оо), E(f) = [-оо; I 49 U (0; +00); б) DU) = = (-оо; -3) U (-1; +00), E{f) = [0; +оо); в) D{f) = (-оО; -0,6) U U (-0,6; 0,6) U (0,6; +оо), E{f) = (-оо; 0) и +00 |; г) D{f) = [-3; 6], E{f) = [0; 4,5]. 1.16. а) 1; б) 4; в) 3; г) 1. 1.17. а) 5; б) 1; в) 6 г) 0. 1.18. а) /(6,25) = 2,5; /(0,01) = 100; /(-3) не существует в) D(/) = (0; +00); г) E{f) = [1; +оо), 1.19. а) /(-5) не существует; /(-3) = 2 /(0) = 5; /(4) = 0,5; в) D{f) = [-4; +оо); г) E{f) = (0; 5]. §2 2.3. а), г) Возрастает; б), в) убывает. 2.4. а), г) Возрастает; б), в) убывает. 2.5. а), г) Возрастает; б), в) убывает. 2.6. а), г) Ограничена снизу; б), в) ограничена сверху. 2.7. а), в) Ограничена снизу и сверху; б), г) ограничена снизу. 2.10. а) -1; 5; б) = 3; в) -38,5; 1,5; г) -2; 58. §3 Зх + 1., 4-х , 3-х ^ + 5 /- 3.2. а) г/ = ---; 6)у=----; ъ) у = ---; v)y = -——. 3.3. &) у = Vx; 2х-1 х + 3 5х + 2 2-2х *“ б) I/ = х^, X > 0; в) ^ = 1 - л/х; г) г/ = -х^, х > 0. 3.4. а) ^ Ь) у = 2 + в) ^ = ^1 - х; г) ^ = ^х + 1 - 3. 3.5. а), в) Не существует; б) у = -2 - Vx + 12; г) у = V7 - X + 1. ГЛАВА 2 §4 4.17. а) IV; б) II; в) II; г) III. 4.18. а) IV; б) I; в) II; г) III. 4.19. а) 2nk < t < — + 2nk; б) -п + 2nk < t < — + 2nk; 4 4 71 71 в) — + 2nk < t < 2n + 2nk; r) — + 2nk < I < n + 2nk. 4 4 4.20. a) ~ + 2nk < t < ^ + 2nk; 6) - + 2nk < t < — + 2nk; '2 4 '2 2 ЗЛо,.л в) — + 2nk < t < — + 2nk; г) -— + 2nk < t < — + 2nk. ^ 4 2 2 2 233 §5 5.10. а) +; б) +; в) +, г) +, -. 5.11. а) + 2nk < ^ < -^ + 2я/г; 7Г 5тГ 7Г б) — + 2nk < t < — + 2nk: в) — + 2пк < t < — + 2nk; " ^3 3^3 3 г) — + 2nk < t < — + 2nk. 2 ^ 2 л. Т 71 л , _ , Зл ^ , 5.12. а) — + 2nk < t < — + 2л/^; б)-----------+ 2nk < t < — + 2nk; 4 4 4 4 7 тг тг тг в) — + 2я/г < # < — + 2nk; v) -- + 2т1к < t < - + 2пк. ^6 6^6 б 5.13. а) 2т1к < t < п + 2пк; б) + 2пк < t < ^ + 2пк; 6 6 71 5тт в) — + 2пк < t < — + 2пк; г) -п + 2кк < t < 2пк. 6 6 rf ■* л \ л » ^ л . ^ . Ът1 5.14. а)-+ 2кк < t < — + 2пк; б) — + 2iik < t < — + 2пк; 4 4 4 4 Атг ^тг тг 2тг в) — + 2пк < ^ < — + 2л/г; г) — + 2т1к < f < — + 2пк. ^3 3 3 3 §6 6.6. а) б) 0; в) 1; г) ^ . 6.7. а) 1; б) 0. 6.9. а) б) -3; в) 0; г) -4,5. 6.12. а) sin^ б) -sin^ t; в) -cos^ t; г) tg^ ^. 6.13. а) -1; б) - i ; в) ; г) 6.14. а) 0,5; б) 1; в) 0; г) 1. 6.15. а) -2; 2; б) -1; 7; в) -3; 3; г) -2; 8. 6.20. а) +; б) в) г) -. 6.21. а) б) +; в) г) +. 6.22. а) б) в) г) +. 6.23. а) б) +; в) г) -. 6.24. а) б) в) +; г) -. 6.25. а) б) +; в) +; г) +. 6.26. а) +; б) -. 6.27. а) 0; б) 1. 6.28. а) б) 1. 6.29. а) 1; б) 0. 6.30. а) ^ + 2пк; ^ + 2пк; б) — + 2пк; — + 2пк; в) ±— + 2пк\ г) ±— + 2пк. 6.31. а) — + 2пк\ — + 2л/г; б) + 2пк. Ah AAR 234 6.32. а) — + Tik\ б) ±— + nk; в) nk; г) — + —. 6.33. а) Да; б) нет; в) да; 2 3 4 2 г) нет. 6.34. а.) а > Ь; б) а < Ь; в) а > Ь; т) а > Ь. 6.35. а) +; б) -; в) -; г) -. „ . 4я . 7л . я . л . 2т1 5я 5я п 6.36. а) зш—, sin—, sin—, sin—, sin—; б) cos—, cos—, cos—, 36753 64З 7я Tt cos—, 6.37. a) cos4, sin3, cos5, sin2; 6) cos3, cos4, cos7, cos6; b) sin4, sin6, sin3, sin7; r) cos3, sin5, sin4, cos2. 6.38. a) cosl, sinl, 1, tgl; 6) ctg2, cos2, sin2, 2. 4^ n 7 ^07 6.39. a)2nk —. 2 2 13.14. а) -1; 0; б) t/„,„6 = 1; в) -1; 1; г) -1, 1. 13.15. а) -1, 1; б) -1, 1; ; в) cos х; г) 0. 13 f-x, если X < О, в) -1, 1; г) -1,1. 13.16. а) cos —; б) 3 cos —; в) cos х; г) 0. 13.17. а) -sin 2х; 3 3 б) 2 sin 2х; в) -sin 6х; г) 0. 13.20. а) у = |sin2x, если х > 0; 6) У = cos3x, если X < —, 3 -1, если X > —; 3 f-2sinx, если х < 0, г) = 1 X ^ cos—, если X > О. I 2 jsin2x, если х < 0, ^ l2cosx, если х > 0; 237 § 14 14.2. а) Нет; б) ^„^„6 = 0; в) -1; г) = 0. 14.3. а) + nk] 7Г ТС I— б) — + я/г; в) — + лк; г) я/г. 14.5. а) 0; 1; б) i/„„„G = 0; в) нет; г) -1; V3. 4 4 71 Я 2я я 14.6. а) — + лк; б) — + лк; в) — + лк; г) — + лк. 14.7. а) Ни четная, ни 4 3 3 2 3 4 7 5 нечетная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная. 14.8. —; —. 14.9. —; —. 4 3 5 7 14.10. а) -; б) -; в) +; г) -. ГЛАВА 3 § 15 \[з -. "n/3 ол л л \/;s Vo v^ 15.3. а) у; б) в) я; г) -. 15.4. а) б) ^5 в) 0; г) у 15.8. а) 0; б) 15.9. а) -1 < л: < 1; б) < д; < в) 0 < х < 2; г) 1 < д: < 2. 15.10. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 15.12. а) 2лк; б) ±— + 2лк. 3 15.13. а) ±— + 2лк; ±(л- arccos - 1 + 2я^; б) iarccos + 2лк. 15.14. а) 3 V 3 / о о 11я 8я 10я я 7я 9я я 5я 2я 4я -б“’ Т’ *1’ Т’ Т’ Т’ 6) т- т- 8я я 7я 9я 15я . 5я,3я._._ .я я 3 4 4 4 4 4 4 3 3 б) — + 2лк < i < — + 2я^; в) + 2я/г < f < — + 2лк; 4 4 ’ ' 4 4 ’ ^ г. . 5я ^ , г) — + 2лк < t < — + 2лк. ’ 3 3 2 2 15.18. а) arccos — + 2лк < t < 2л - arccos — + 2лк; 3 3 б) -arccos + 2лк < t < arccos j + 2лк; 2 2 .* в) -arccos — + 2лк < t < arccos — + 2лк; 3 3 г) arccos f-у I + 2лк < t < 2л - arccos f-у j + 2лк. 238 15.19. а) arccos + 2я^ < f < 2я - arccos + 2nk; 71 71 1 X 6) — + 2nk < t < — + 2nk; arccos - + 2nk < t < 2n - arccos - + 2nk; 3 3 3 3 b) -arccos < t < arccos 1 я 71 1 г) -arccos — + 2nk < ^ < — + 2nk: — + 2nk < t < arccos — + 2nk. 3 3 3 3 71 2ТГ 71 1 15.20. a) — + nk < t < — + nk: 6) — + 2nk < t < -arccos — + 2nk; 3 3 2 3 arccos — + 2nk < t <— + 2nk; в) -arccos — + nk < t < arccos — + nk; 3 2 3 3 7C ЗтГ 1 1 г) — + 2nk < t < — + 2nk; -arccos — + 2nk < t < arccos — + 2nk. ’ 2 2 3 3 4 12 4 15.21. a) 6) 0,6. 15.22. a) ; 6) -. 5 5 3 § 16 я я я _ я 16.4. а) я 5я я 7я 16.3. a) -; 6) в) 12’ г) ~3* 2’ б) Т’ 2’ г) 12' я 5я^ 2я 2я^ Зя я 5я 7я 11я я я 16.9. a) 6’ "б”’ б)- Т’ У’ в) ~т ’ ~Т’ 4 4 Т’ г) ■У’ ' У’ б‘ я 5я 13я я 7я 11я 5я я Зя я 16.10. в’ Т’ 6 б) 6’ У’ "б"’ в) 4 ’’ 4’ Т’ г) 6’ —. 16.11. a) -1 < a: < 1; 6) 2 < x < 3; в) -2 < a- < 2; 6 r) -2 < X < - V2, V2 < X < 2. 16.12. a) Да; 6) нет; в) нет; г) да. 16.13. а) (-1)"— + nk, ± — + 2nk; б) — + nk, (-l)*arcsin — + nk; ^ ’ 3 3 2 ’ 3 ,/-,\А .3 , , П nk в) (-1) arcsin — + nk, nk; г) — + —. ' ' 4 4 2 16.14. а) (-1)*— + nk, (-l)*"^' arcsin - + nk; 6) + 2nk. 6 3 2 239 16.15. а) — + 2nk < ^ < — + 2nk‘, б) + 2nk < ^ < — + 2nk; 3 3 6 6 в) ^ + 2ti^; r) Z!^ -f- 2тг/г < i + 2nk. 3 6 16.16. a) -n - arcsin Z + 2nk < t < arcsin — + 2nk; 3 3 6) -arcsirf' 0,6 + 2nk < t < n + arcsin 0,6 + 2nk\ b) arcsin — + 2nk < i < 7t - arcsin — + 2nk: 3 3 r) я + arcsin 0,6 + 2nk < t < 2л - arcsin 0,6 + 2nk. 16.17. a) я + arcsin 0,8 + 2nk < t < 2n - arcsin 0,8 + 2nk; 6) -arcsin 0,8 + 2nk < ^ < я + arcsin 0,8 + 2nk. я 2 2 7я 16.18. a) — + 2nk /3; б) -2 - л/З; в) ^ ^ г) 2 - 7з. 20.2. а) 1; б) -1; 3 - V3 в) л/З; г) 1. 20.3. а) р б) в) г) 20.4. а) 1; б) 20.5. а) б) 20.7. а) 1; б) 1. 20.9. а) ^ + у; б) ^ + у. 11я я 13я 17я я 13я 14я 43я 29я 20.10. а) , —, —; б)——, , —. 20.11. а)-2; 12 12 12 30 15 30 15 30 15 3 1 Л .,3 7 25V3 + 48 б) 20.12. а) -р б) -1-. 20.13. а) -2-; б) —. 20.14. а)-------------------; б) 2 ' 2 25^/з - 48 39 . 20.16. arctg3. § 21 А \ ‘'/з f-ч -\/2 +1 Ч Уз Ч 1 01 к 'к ^ . ДЧ Уз 01 о Ч ^20. .4. а) —; 6) в) —; г) -1. 21.5. а) р б) 21.9. а) : 21.4. 2 . “/ 4 ' 2 119 120 . 119 , 24 7 24 7 ®> 16Э' 'iw' '■* “120- й’ «> М- Т' '■> 24 243 у/ы yf2 y/l r= 12 ^1 21.11.a)—V7; 6)-^. ~ “5’ ';|o’ “Vio’ 3’ 2' t . t 1 6) COS-sin-; b) 2sin2^; r) ---;—— 2 2 cos 2t + sin 2t . 21.14. a) 2sini; 6) -1; b) cos 2f; %) 2. 21.15. a) sin 2t; 6) -tg 2t. 21.16. a) cos 2t; 6) -2 sin —. 21.23. a), r) ~ ^ ; 6), в) —4~~ • 21-24. a) J + nk; 6) nk; + 2nk; A Z /i О n , / .ч* + ]Я , , n nk я nk B)nk; г)- + я/г;(-1) - + nk. 21.25. a) (-1) — + y; 6) — + y; b) ±— + Snk; r) ±— + я/г. 21.26. a) 2л^; я + 4nk; 6) я + 2nk; Ank. 2 0 я „ n nk n nk , 2я - , 21.27. a) 2nk; 6) 2nk; - + 2nk. 21.28. a) ~ + y; У ’ - у + ^я/е; , 4я , , я Зя я 5я 7я 11я г) ±у + 4яА;. 21.29. а) 0; я; 2я; б) ; в) 0; я; 2я; г) ; —- 1 1 21.30. а) б) —- 21.31. а) 1; б) 0. 21.33. а) 2, -1; б) 3, -1. О 10 Ilk 1 Tlk 21.34. а) -120°; б) -240°. 21.35. a)nk; arctg3 + nk; б) —; - arctg 2 + —. 21.36. а) 0; я; 2я; б) 21.37. ±^; ±^. 21.38. а) 2; б) 4. У у у § 22 оо о ч о • я Зя г, . 7я я о • 13я я 22.3. а) 2 sin — cos —; б) 2 sin — cos —; в) 2 sin — cos —; г) 2 sin ^ cos 22.4. a) -2 sin ^ sin 6) —у/з cos In Зя 33 33 40 40 12 в) -2sin sin r) 2cos cos 22.5. a) 2sintcos2f; 6) 2sinasin2(3; 55 55 lb lb I— _IL b) 2cos5icosf; r) -2sin2Pcos(x. 22.6. a) ^____________6) — b) s 2 cos 20° cos 40° 2 cos 25° cos 35° -; r) 2^/2 sin 22.7. a) -1; 6) -VsT я cos — 5 я n nk n.k nk nk nk n nk 22.10. a)- + nk; - + —; 6) —, в) Y’ у ’ У ’ ^ ^ 10' 244 , 2тг _ Ttk / -t ^ »_ 22.11. a) —; ±— + 2лА:; б) —; -1) т + ^6 4 о 22.12. a) 2 sin (I - I) . sin (l + ^6) 2 sin ^ t Л cos I------- 2 6 b) 4 cos f 2 ~ '^j' [ 2 ^ ^ ^ 22.13.a) 4 sin 6jc cos^ 3x 6) 4 cos л: cos^ —. 22.14. a) 4 cos t cos — sin —; 6) -4 sin t sin 2t cos Ы. я 2nk ; 6) я + — + 10 ~Y~ 2 я + 16 nk я — + 4 nk V T’ 2nk 2nk ; 6) я ~3~ 14 ' t . Ы — sin — 2 2 n nk n nk ~6’ ~5 n nk n nk n 2nk ---5 b)-----1--->-----—> ri ^ 3 ^ 40 10 20 5 ^6 3 _ __. n nk n nk 8 4' 6 3’^^4'^T’8'^T’ — + nk T’ n nk nk n n , n nk 6) — + —; b) —; r) — + nk; n + 2nk. 22.20. a) — + nk; -— + —; 84^2 2 2 82 6) ^ ; (~^)*^ ■^* 22.21. a) 3 корня; 6) 2 корня. oo «л . 71 л 2я п 4п 5п 2п 7п п п Зп ^ 2 9 9 3 9 9 3 9 4 2 4 § 23 23.1. а) |(cos9° - cos55°); б) | + cos |^j; в) | | sin2°; г) sin - sin 23.2. а) ^ (cos 23 - cos 2а); б) ^ (cos2а + cos 23); в) (cos а + cos3); г) sin 2а + sin 23. 23.3. а) ^ (sin (2а + 3) + sin3); б) ^ cos 2а ^ (sin (а + 23) - sin а); г) ^ cos 2а. 23.4. а) nk; б) + nk. 23.5. а) —; ±- arccos — + яп; б) — + яп; + 2яп. 6 2 2 4 2 3 23.7. а) — (sin 24° - sin4° + sin 12° + sin 8°); б) cos 35° - cos45° + 4 1 я + cos5° - cos 15°. 23.8. a) 1; 6) -. 23.9. a) 1; 6) 2. 23.10. a) nk; ±- + 2nk; ^ О 6) I + nk; b) nk; v)2nk; ±y + 2nk. 23.11. a) ±^; 6) ±^. 23.12. a) Унаиб - Ун 1. -1 - Л 4 ’ ^наиб ~ ^ » Унннк ~ ^ ' 245 ГЛАВА 5 § 24 3 3 1 24.3. а) 3; -3; “g’ ^5 3cos0,4ti; б) -1; 1; -1; 1; -1; в) 0; 1; sin'-; г) 1; -1; 1; -1; 1. 24.4. 1027. 24.7. а) 3"; б) {п + 2)'; в) п"; г) п'+1.24.8. а) б) 2п + 1 ________1 2п + 2’ п'’ (2п + 1)(2л + 3) . 24.10. а) 2; б) 5; в) 13; г) 45. 24.11. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 24.12. а), в) Ограничены снизу. 24.13. б), в), г) Ограничены сверху. 24.14. а), б), в) Ограничены. 24.15. а) Возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает. 24.16. а) Не является монотонной; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает. 24.19. а) 0; 2 б) 6; в) 0; г) -4. 24.20. а) 5; б) 7; в) 3; г) “• 24.21. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 24.22. а) 2; б) 1; в) -1; г) -2. § 25 1 3 1 25.3. а) 4; б) 57-; в) 0,9; г) 156,25. 25.4. а) -5,4; б) -7з(7з + l); в) 38^; 6 2 9 г) 4л/2(72 + l). 25.8. а) 2-; б) -0,128; в) -0,022; г) 3^. 25.9. а) 12,5; 9 9 2 2 б) -8-; в) 9; г) -36. 25.10. 41-. 25.11. Ь, = 12; g = 0,5. 25.12. 5, = 12; 1 siiix cosx 1 Q= 25.13. a) —ZTTTT’ TT~ZnTZ‘ 25.14. a) 0,8; 1 - sinx 1 + cosx 5 11 2 116 6) 0,3. 25.15. a) 6) B) r) 1 + sin л: §26 , 1 26.8. a) 0; 6) -2; в) 0; г) 6. 26.9. a) 1; 6) 1,5; в) 1; г) 1-. 26.10. a) 4; о о 4 7 б) 0; в) 0; г) 2. 26.16. а) 3; б) 1; в) -13; г) 3— . 26.17. а) 3; б) 1,4; в) 3; г) - . *■ 1о у 1 26.18. а) 0; б) -4; в) 10; г) --. 26.19. а) 0; б) 0. 26.22. а) 0,2; б) -0,1; о в) 0,1; г) 0,05. 26.24. а) ЗДд:; б) -2хДд: - (Дх)'; в) -2Дх; г) 4хДх + 2(Дх)'. Ах 26.25. а) 2ахАх + a(Axf; б) “ ^(х + Ах) * §27. 27.8. а) 2 м/с, 2 м/с'; б) 4,2 м/с, 2 м/с'; в) 4 м/с, 2 м/с'; г) 7 м/с, 2 м/с'. 27.10. а) 2,2 м/с; б) 1,4 м/с; в) 2 м/с; г) 1,2 м/с. 27.11. а) 2t м/с; б) 2f - 1 м/с; в) 2t м/с; т) 2t - 2 м/с. 27.13. а) f(-7) < f'(-2); б) f(~4) < f'(2); в) Г(-9) < ПО); г) А-1) > f(5). 246 28.18. а) х\х + 3) (X + 2f ; б) §28 2х 2л:(3 - 2х) 2 5 в) 1 - х' (х^ - 1) (3 - 4xf ’ (х'^ + If ' 4 14 28.23. а) 14; б) 1,5; в) 5; г) 72. 28.24. а) -3; б) -; в) ; г) . О 2 1 & ^1 5 + Зл/З 28.25. а) 2; б) 1; в) -1; г) -16. 28.26. а) я; б) 2-; в) 0; г)-т-• о о 11 , л 28.27. а) —; б) —• 28.31. а) 3-7'; б) -2; в) 3; г) -!-• 28.32. а) 10; б) 1,75; 4У 1о о 48 5 /-4 в)-—; г)--. 28.33. а) 0; 6)12; в)-V3; г)--- 28.34. а) 3,5; б) 1,6; 1 Зя 1 п в) -8; г) -0,5. 28.35. а) —; б) ±— + пп, п е Z; в) -; г) (-1)” *— + 1о о 4 12 + ^, п Е Z. 28.36. а) дг > |; б) -Vs < д: < -V2; S < х < ^fs. 7г З^т 5тс 7Z 28.37. а) — + nk < X < — + nk; б)-+ 2я/г < д: < — + 2nk. 4 4 6 6 3 2 2 я 28.38. а) — < д: < 0; д: > 0; б) < 7; Д:^ > 7- 28.39. а) — + пп < х < пп; 4 5 5 2 я ^3 б) пп < X < — + пп. 28.40. а) дс < 0; X > 2; б) о < д: < 4; в) д: < 0; 0 < х < —; 2 4 я 2я я Зя г) — + яп<х< — + пп. 28.41. а) — + 2яп < х < — + 2пп; б) -3 < х < -1; ' S 3 2 2 1 < X < 3. 28.42. а) 1; 16; б) 28.43. а) х < 0; х > 3; б) таких значений нет; я я я 2п п я в) - + яд < X < — + ял; — + ЯП < X < — + я«; г) — + яд < х < — + ял. ^ 3 2 2 3 2 4 __7Г 28.44. а) —-— + —; б) таких значений нет; в) 9; г) таких значений 8 2 ^ 2 ^ л/З нет. 28.45. а) 2; б) 0; -4; в) 2-; г) — + Н. 28.46. а) ±7з, ±—; о 24 4 о б) ±V2 ± 1. § 29 29.8. а) 135°; б) 45°. 29.9. а) 45°; б) 135°. 29.10. а) 30°; б) 135°. 29.11. а) 150°; б) 135°. 29.12. а) г/ = 6х - 9; б) 1/ = 2 - х; в) (/ = Зх - 2; г) I/ = 7. 29.13. а) у = 7х - 10; б) t/ = 5х - 17. 29.14. а) у = Зх - 4; 71 2 б) у = -X + 4. 29.15. а) = 1; б) у = 1. 29.16. а) у =-------2х; б) у = —х. 2 3 247 29.17. у = -6х + 18; у = 6х + 18. 29.18. у = 5х - 16; у = -Ъх - 1. 29.19. JCi = О, у = X + V, Х2 = 2, у = х - 3. 29.20. а) л: = 1; б) х = —; 4 в) л: = ~; г) л: = -0,5. 29.21. а) х = 3; б) Xi = 0; Xg = n/2; x, = -^/2; в) x = f; Л Зя г) Xi = 0; X2 = 0,6. 29.22. a) x = я + 2яп; б) x = —л; в) x = ял; г) х = — + 3nk. о 2 8 4 29.23. а) у = X----; у = х-----; б) у = 9х - 20; у = 9х + 16. 29.24. а) 0,99; 3 3 б) 1,025; в) 1,21; г) 1,9975. 29.25. а) у = -0,1х + 2,8, у = -0,5х + 2; 13 б)у = -0,5х + 2. 29.26. у=-х + ~. 29.27. у = {х - I), у = — {х + 1). §30 30.11. а) Возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает. 30.12. а) Убывает на (-00; 2,5], возрастает на [2,5; б) убывает на (-оо; -1,5], возрастает [-1,5; +°о); в) возрастает на (- ОО; 4], убывает на [4; +°о); » возрастает на г) убывает на | — —; -1-00 |. 30.13. а) Возрастает на R; б) возрастает на [-5; 3]; убывает на (-°о; -5] и на [3; -t-oo); в) возрастает на (-00; -2] и на [3; +°о); убывает на [-2; 3]; г) убывает на (-о°; -1] и на [1; -ь°о); возрастает на [-1; 1]. 30.14. а) Убывает на (-°°; -1] и на [0; 1]; возрастает на [-1; 0] и на [1; -1-00); б) убывает на Я; в) возрастает на (-00; 1]; убывает на [1; -i-oo); г) возрастает на R. 30.15. а) Убывает на (-00; -3) и на (-3; -i-oo); б) возрастает на f-oo; -ij и на [“'^5 +оо|; в) убывает на (-оо;0) и на (0; -i-oo); г) убывает на (~оо; -1,5) и на (-1,5; -1-00). 30.16. а) Возрастает на 1 1 —; -+-00 ; б) возрастает на -оо; — 3 J I 16 убывает на ; 1 ; в) убывает на | -оо; ^ ; г) возрастает на убывает на [1; -i-oo). 30.24. а) При а = ±3; б) при а = ±5. 30.26. а) х = -2 — точка минимума, х = 2 — точка максимума; б)х = -1,х = 1 — точки максимума, х = О — точка минимума; в) х = — точка максимума, X = О — точка минимума; г) х = -2, х = 2 — точки минимума, х = О — точка максимума. 30.27. а) х = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; б) точек экстермума нет, функция возрастает на 248 2^ +°° в) л: = -5 — точка максимума, х = 5 — точки минимума; г) х = 3 — точка минимума. 30.28. а) х = 2 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; в) X = — точка максимума, х = 5 — точка минимума; г) х = 7 — точка максимума, х = 0 — точка минимума. 30.29. а) х = 0,6 — точка максимума, X = -0,6 — точка минимума; б) х = -1, х = 4 — точки минимума, X = о — точка максимума; в) х = -5, х = 5 — точки минимума, х = 0 — точка максимума; г) х = -3 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 30.30. а) X = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; б) X = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума. 30.31. а) х = 3 — я точка минимума; б) х = 8,5 — точка максимума. 30.32. а) х = — — точка 6 Stt 5тт минимума, X =-----— точка максимума; б) х = — — точка минимума, 6 3 X = — я — точка максимума. §31 31.13. б) При а = 3. 31.14. б) При а > 9. 31.15. а) При а < -2 или а > 2; б) а = ±2. §32 32.6. а) 28; 3; б) 9; -3; в) 16; -2; г) -7; -199. 32.8. а) 19; -35; б) 35; 15; в) 19; -93; г) 19; 15. 32.9. а) 173; -2; б) -43; -72; в) 45; 173; г) -2; -72. 32.10. а) 4; -3; б) -12; -28; в) 4; -28; г) 4; -28. 32.11. а) 20; -7; б) 4; -124; в) 121; -44; г) 148; -124. 32.12. а) 6; 5; б) -3; -4. я ^ Зя ^ -ч 3\/3 - я 32.13. а) Унаиб — . Унаим — 1; 6) УиакЬ „ 4 4 о = -я; S) УпакЬ — "'/З + , Уилки — ; Г') Уиакб ~ _ > У паки ~ 32.14. 9.) ^наиб О 2 о 5 существует, £/„„„„ = -—; б) 1/„аиб не существует, у„^„„ = -1; в) у„^„а = 0, Уиаки не существует; г) ^„аиб не существует, у„^„„ = 0. 32.15. а) i/„a„6 = -2, л/З 1/наим не существует; б) г/„а„б = Уиак» = 0; в) г/„а„б = ~2, i/„a„„ не су- 3 ществует; г) г/„а„б = 3,5, 1/„а„м не существует. 32.16. а) 8, 1-; б) 17, -3. 4 32.17. а) 3, 1 2’ 2 ; б) 1 3 2’ 2 32.18. а) 4V6 ■; +00 ; б) -оо; 9 32.19. [-17; 10]. 32.20. 12, 12. 32.21. 22, 22. 32.22. -49, 49. 32.23. 2 + 1. 32.24. 1,25 + 3,75. 32.25. 14 см, 14 см. 32.26. 50 х 50 м. 32.27. 4 х 4 м. 249 32.28. 50 X 50 м. 32.29. 32 cм^ 32.30. (1; 1), (-1; 1). 32.31. (4, 2). 32.32. 4 дм, 4 дм, 2 дм. 32.33. 7 м, 7 м, 7 м. 32.34. 4^ м; 6^ м; 24^ dJs 32.35. —32.36. 30 см. 32.37. а) 6000; б) 108. 32.38. а) 21; б) 32,4. 3 32.39. 7^. 32.40. 3 ч 44 мин. ГЛАВА б § 33 33.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 33.10. а) [2; 3]; б) [2; 3]; в) [2; 3]; г) [3; 4]. 33.15. а) 1; 8; б) 1; 9; в) -7; 4; г) -4; -3. 33.18. а) -; б) +; в) -; г) -. §34 34.8. а) (0; 0), (1; 1); б) (0; 0), (1; 1); в) (0; 0), (1; 1); г) (-1; -1). 34.9. а) 0; б) 1; в) 1; г) -1; 0. 34.10. а); б); в) Одно решение; г) нет решений. 34.16. а) [2; +оо); б) 1 1 2’ 2 ; в) [4; +00); г) 34.17. а) (-оо; -6] U [2; +оо); б) [-3; 5]; в) (-оо; 2] и [6; +оо); г) [-4; 1]. ^ 3' ~4,5, — 34.18. а) f-oo; -1^1 ^ [З; +оо); б) л; 5^ -1^; в) х ф 3,5; г) 34.19. а) [0; +со); б) (-оо; +оо); в) (-оо; +оо); г) [0; +оо). 34.20. а) [2; +оо); б) (-оо; +00); в) [-3; +00); г) (-00; +00). 34.21. а) 0; б) 1. §35 35.16. а) 7^ > 75; б) 75 < ч/З; в) 77 > 747; г) -71 > -7з. 35.18. а) 7276"; б) 732а®; в) 7^; г) ^/зр^. 35.19. а) 7i^; б) ^7a^V; в) 7l25aV“; г) "7216л:V". 35.20. а) 7^; б) ^7^; в) ‘7^; г) 35.25. а) 200; 1 1 б) 35.26. а) 2; б) -2; в) 3; г) 2. 35.27. а) 0; 64; б) 16; 81; в) —; г) 1. § 36 36.6. а) |а|7б; б) аТб; в) |а|7б; г) а"7^. 36.10. а) 73; б) 4ТЗ; в) 772; г) з72. 36.11. а) 7i; Tl8; 73; б) 72; ‘TiO; 74; в) 73; ‘ТЗО; 72; г) 73; 72; 74. 36.15. а) Та + 7б; б) 7^ - 7^ + в) + yfmn + 7n^; . г- о... , 7^-7з 7^-7у. ,72 + 7^. , 7^-7d г) V? - 2^^, Зв.1в. а) 6) в) г) 250 36.17. а) Va - б) ^ ^ в) «Та + у[ь. 36.18. а) Va + ^; б) х^ + ^ + Ь, в) ^-а4а.; г) ^ ^ + Ь. 36.19. а) ^2тп^; б) фх^у'; в) ^^64й¥; г) з^2рУ’- 36-20. а) б) в) islIK; г) ф. У 243 V 243 36.21. а) V2 + ^; б) 5^^ + 36.22. а) ~^1Шо < -фЩ; б) V2W < ^; в) Vs > ^/б72; г) -V^ > -^/^. 36.23. а) ^/б^; VlOO; V^; б) \/з^З; Vi; ‘fe в) VS; ^3^; г) ^\/tV7; V2VC25; ’Vei. 36.24. а) -1; б) 3; в) 1; г) 36.25. а) 1 - а; О б) m - л. 36.26. а) V^ - Vs^; б) Vix + V%-36.27. а) (V2 - V3)(VI + V^); 6) (Vi + V2)(V? - V?'); b) (a + 6)(Va - Vi); r) Vai(l + Vi)(l - Vii). 36.28. a) (Vm - 3)(Vm + 2); 6) {^frn + 2){yfm + 3); b) (‘Vi + 4)(^Vi + З); r) (Vi - l)(2Vi + l). 3yfx — 1 yfx — 2 ^ ( I— I— 36.29. a) \r- ; 6) ^7=----. 36.30. a) 7---5 6) Wm - 4n) . Vi sVi - 1 ’ b-a 36.31. a) 8; 6) 27. §37 81 37.6. a) 243; 6) 0,064; в) —; г) 0,01. 37.10. a) —; 6) ——. 37.19. a) a; lo 25 2700 6) ТГ7’ b) r) 1. 37.20. a) 10; 6) 4; в) r) 125. 37.21. a) 4; 4У Vi^’ 1 4 Г- 6) 9; d) 8; r) 1. 37.22. a) 12; 6) 6; в) 30; г) 20. 37.23. a) —; 6) -J в) -Jx; ^32 1 i i Г) —. 37.24. a) 6) y, в) c"; r) aV. 37.29. a) —-7; 6) + nK c2 - (P 12 11 37.30. a) 1 + c; 6) np + nP\ ъ) x + y; r) -2Vic. 37.31. a) 4аЗ b~^\ 6) + 25a. Voi 37.32. a) л: - 1; 6) yfk - ^Tl. 37.33. a) -7=----6) ------- Vtt + Vi X - X +_^ У 251 § 38 38.15. а) 4; б) 1; в) 0; 1; г) 8. 38.16. а) (1; 1); б) (1; 1); в) (0; 0), (1; 1); ill 1 _2 г) (1; 1). 38.20. а) 2х^; б) Зх; в) -д:'; г) 38.21. а) -д: "; б) д:'*; в) 9х^; О 4 3 2 2 г) д;'®. 38.27. а) 1,5; б) 1; в) -3; г) 2. 38.28. а) б) -1-; в) г) 0. бтг 1 ^ ^ ^ ^ 38.29. а) ; б) -. 38.30. а) у = -4х; б) у = -х +-; в) у = 16д: - 32; 0 4 4 4 11 1 г)!/ = — - 38.31. а) Убывает на [0; 4], возрастает на [4; +°о); д: = 4 — g точка минимума, у^т = —; б) возрастает на [0; 1], убывает на [1; +оо), 3 1 ^ 1 дс = 1 — точка максимума, i/шах = -• 38.32. а) —0; б) г/„а„б = -; i/наим не 2 о 2 8 _ 1 существует; в) = --; г/„а„б не существует; г) 38.34. а) 0 < х < 4; б) д: > 1; в) д: > 1; г) о < д: < 8. 38.35. а) 1; б) 1; 16; в) 8; г) 64. 38.36. а) г/ = д: + 3; б) I/ = 4 - Зд: и ^ = -4 - Зд:. 38.37. а) д: = -^ — 4 4 точка максимума; б) д: = — точка минимума. 38.38. а) 2; б) 2. О 38.39. а) у = — д: + 1; б) г/ = Зд:. 4 ГЛАВА 7 §39 7 3 39.10. а) -; б) 1; в) -1,5; г) -. 39.12. а) 4; б) 3,5; в) -0,5; г) -5,5. 3 5 1 39.13. а) 2; б) -3; в) 2,5; г) -4,5. 39.19. а) 1, 2^, 2‘\ 2'^, 2'® 11 б) 0,3®, 0,32, 0,3«, 1, 0,3-'^, 0,ЗЛ 39.23. а) д: < -4; б) д: < -2; в) д: > -3 г) д: > -8. 39.26. [-1; 5]. 39.27. [-4; 3]. 39.31. а) 1; б) -1; в) 1; г) -1 39.32. а) 2; б) -2; в) 0; г) -1. 39.33. а) д: > 0; б) д: < 0; в) д: > 0; г) д; < 0 39.34. а) дс > 1; б) (-оо; +оо); в) д: > 2; г) (-оо; +оо). 39.35. а) д: < -1 б) нет таких значений; в) д: > 0; г) д: < 1. 39.36. а) /(-3) = -8; /(-2,5) = -6,5 /(0) = 1; /(2) = 4; /(3,5) = 8>/^ 39.37. а) /(-3) = /(-2,5) = /(0) = 1 04 32 /(1) = 0; /(2) = -3. 39.38. а) /(-5) = 32; /(-2,5)= 4л/2; /(0) = 1; /(4) = 3 /(1,69) = 2,3. 39.39. а) /(-3) = 64; /(-2) = 16; “g I = ЯО) = 1 252 39.41. a) (1; +oo); 6) (6; +oo); в) (-2; +oo); r) (-8; +°o). §40 40.6. a) -2; 6) -8; в) 2; г) 0,2. 40.7. a) ±1; 6) 0; в) ±1; г) ±7з. 2 1 40.8. а) -2; б) 1,5; в) 3; г) -. 40.9. а) -1; б) 2,5. 40.10. а) 3; б) -6, -2. О О 1 5 40.11. а) -; б) 1—. 40.12. а) 2; 5; б) ±2; в) 8; г) 3. 40.13. а) 1; б) 1; в) -3; о 18 г) 0,4.40.14. а) 1, 2; б) 2; в) -1; г) 0. 40.15. а) ±1; б) ±1; в) 1; г) 1. 40.16. а) ±1; б) 1; в) 1; г) 1. 40.17. а) 3; б) -3; в) ±1; г) -2. 40.18. а) 6; б) 5. 40.19. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 40.20. а) 0; б) 0. 40.21. а) 4; б) 2. 40.22. а) -1; б) 1. 40.23. а) -1; б) -1; в) -1; г) 0. 40.24. а) -2; б) 1; в) -1; г) 2. 40.25. а) 2; б) 1, 2. 40.26. а)—г) 0. 40.27. а) 1; б) -1; в) -1; г) 1. 40.28. а) (1; 3); б) (1; -2); в) (2; 1); г) (-1; 3). 40.29. а) (2; 1); б) (-0,6; 0,2); в) (-1; 2); г) (2,2; -0,4). 40.34. а) д: < -5; б) х > -1; в) дг > 7; г) д: > 1. 40.35. а) д: < -0,8; ^ 1 б) нет решений; в) х > -5; г) -°о < д: < +о°. 40.36. а) д: > 0,5; б) ^ ^ в) д; > г) д: > 13,5. 40.37. а) 2 < д: < 3; б) -2 < д: < 3; в) -2 д: < г) 4 < д: < 6. 40.38. а) -оо < х < +о°; б) д: < 1; д: > 3; в) -2 < х < 1; 1 2 1 г) - < X < 4. 40.39. а) X < 2; б) X < 1; в) X < -1-; г) х < 40.40. а) О < 3 3 6 < X < 1; б) X > 0; в) X < 0; X > 1; г) X > 0. 40.41. а) х < -1; х > 1 б) -1 < X < 1; в) X > 1; г) X < 1. 40.42. а) х > 0; б) х > 0; в) х > 0; г) х < О 40.43. а) X < 1; б) X < 0; в) X > 1; г) X > -2. 40.44. а) х < -2; х > 1,5 б) -— < X < 2; в) -6 < X < 1,8; г) х < 2; х > 6. 40.45. а) О < х =< 4 б) О < X < —; в) О < X < 2; г) X < - —; х > 0. 40.46. а) х < 2; б) х < 2; в) х < 2; 7 6 г) X > 2. 40.47. а) 2; б) 4. 40.48. а) -1; б) 1; в) 0; г) -1. 40.49. а) 5; б) 3; в) 5; г) 2. 40.50. а) х = 1; б) (-о°; +оо). § 41 41.5. а) 4; б) 5; в) ~2—; г) -6. 41.6. а) 0; б) 2,5; в) 9; г) -—. 41.8. а) 72; О 3 б) 28; в) г) 24,5. 41.9. а) 9; б) в) 16; г) 41.14. а) 3; б) в) 2; 1 ^ log, 10 + 4 8 - log /г 6 г) . 41.16. а) logs 14 - 1; б) —— ------; в) 3 - logg 11; г)-----------. 51^ о у У 253 41.17. а) 1; loga 3; б) 0; log^d; в) 1; logs4; г) 1; log7 2. 41.18. а) х > loggQ; б) л: < logia?; в) x>-logs4; г) х<-1. 41.19. а) л: < 1; л: > logaS; б) о < л: < log^S; в) 1 < д: < logs4; г) < л: < +°о. § 42 42.5. а) loga ОД, logg loga 0,7, loga 2,6, loga 3,7; б) logo,3l7, logo.sS, logo.s 2,7, 6 logo.3 lofeo.3 42.6. a) logg4 < 6) log(,53 < sin3; в) log25 > W; 3 2 ''l ] ; 6) [2; 8]. 42.10. a) -2; 6) не существует. г) Ig 0,2 < cos 0,2. 42.9. a) ; 81 42.11. a) 3; 6) в) 5; г) -. 42.19. a) д: > 1; б) 0 < x < 1; в) 0 < д: < 1; г) д: > 1. 2 3 42.20. а) о < X < 3; б) X > в) х > 5; г) 0 < х < -. 42.21. а) /(-8) = 27; 2 3 Я-б) = 21; /(0) = 3; ДЗ) = -1; /(9) = -2. 42.23. а) (-оо; 2) и (3; оо); б) (-7; 2); в) (-оо; 1) U (12; оо); г) (-1; 9). 42.24. а), б), в), г) (-оо; оо). §43 43.4. а) 1; б) -1; в) 5; г) 1. 43.5. а) -0,25; б) -2,5. 43.6. а) Зс; б) 4а. 43.7. а) а + 1; б) /п + 1. 43.8. а) & - 1; б) а - 1. 43.9. а) х = 8; б) х = 64; в) X = г) X = . . 43.10. а) X = 1,5; б) х = 12; в) х = 40; 1000 1 2 >2 сЗ 1 392 3^ • 5^ г) X = —. 43.11. а) X = 6) X = 18; в) х = -----j—; г) х = v5. 4® 43.13. а) 4; б) -1,5; в) -12; г) 3. 43.14. а) 20; б) 3,2; в) 24; г) —• 43.15. а) 64; 64 б) 49; в) 9; г) 216. 43.16. а) 27; б) 169; в) 25; г) 625. 43.17. а) 18; б) 5; в) 35; 3 2 г) 3. 43.18. а) 3,5; б) 2—; в) 2; г) 3,5. 43.19. а) 3; б) 2. 43.20. а) 2; б) в) 2; 11 U 5 ‘ 1 г) 43.21. а) 1; б) 1; в) 1; г) -4. 43.22. а) -1,5; б) 43.29. а) 2; б) 2; 6 6 в) 3; г) 5. 43.32. а) —1; б) 1; в) 1; г) 1. 43.33. а) аЧ- Ъ\ б) 2а f h\ в) а I 26; г) За + 26. 43.34. а) logg 4 > V2; б) loggB > §44 44.2. а) 2; 3; б) 10; в) 7; г) -10. 44.3. а) -7; 3; б) 1; 9; в) 5; 7; г) 3; 5. 44.4. а) 2,9; б) -4; 3; в) -3; 6; г) -5; 2. 44.5. а) 1; б) 2; в) 2; -4; г) нет 1 11 корней. 44.6. а) 2; 8; б) —; 16; в) 2; 4; г) 0,04; 125. 44.7. а) ; 4 у/5 25 254 б) 16; в) 0,0081; —; г) —; 4. 44.9. а) 5; б) 4; в) 3; г) 2. 44.10. а) 3; 3 2 б) нет решений; в) 4; г) -1. 44.11. а) 1; б) нет решений; в) 2; 4; г) -4. 1 1 44.12. а) 2; б) 3. 44.13. а) 100; б) 81; в) 10; г) 32. 44.14. а) б) —; 100. 44.15. а) о, 1; б) О, 1. 44.16. а) -; 9; б) 4; в) 1; 4; г) 9. 9 4 4 9 44.17. а) i; 3; 6) i; 2; в) i; г) i; 44.18. а) (1; 1); (2; 4); У 8 2 1о о 2< б) (-12; 31); (2; 3). 44.19. а) (2; 3); (3; 2); б) (3; 6). 44.20. а) (4; 1); б) (4; 4). 44.21. а) (1; 3); (3; 1); б) (1; 2). 44.22. а) (2; 1); б) (1; 4). § 45 45.3. а) -^ < д: < 8; б) О < д: < 12; в) О < х < 1,25; г) 1,5 < х < 6. О 45.4. а) 1^ < X < 2; б) X > 1; в) 1,8 < X < 9; г) 1 < X < 1^. О О 45.5. а) 1,8 < X < 5; б) ~ < х < 7; в) х < 0; г) х < -1. 45.6. а) 2 < х < 3; 6 б) нет решений; в) -10 < х < -2\f2; г) х > 14. 45.7. а) х < -3; 2 < х < 6; б) о < X < 2; X > 11; в) нет решений; г) зТз < х < 9. 45.8. а) х < -1; X > 8; б) X < -1; х>^;в)2<х<4; г)0<х<—;1<х< 1—. 2 9 9 45.9. а) О < X < 2; X > 8; б) 2 < X < 4; в) ^ дс < 4; г) 0,04 < х < 125. 16 45.10. а) X > 9; б) X > 3; в) О < X < 5; г) О < X < 2. 45.11. а) О < X < 1; 3 < X < 4; б) 1 < X < 6; в) 2 < X < 5; г) О < X < 1; 1 Тзо 9 < X < 10. 45.12. а) О < X < 0,04, ^ б) 0,0081 < х < —; в) ^ < X < 16; г) О < X < 3^» X > 9. 45.13. а) ^0,5 < х < 16; б) - < X < -щ=; <х<^. 45.14. а) 2; б) 1; в) 3; г) 6. 45.15. а) 6; б) 0; в) 2; г) 4. 45.16. а) х > 2; б) 0,25 < х < 0,8. 45.17. а) х > 5; б) - < X < 2. 45.18. а) Нет решений; б) 1 < х < 3. 2 255 § 46 112 2 2 46.1. а) 0; б) 2; в) 0; г) -1. 46.2. а) б) —; в) г) —. 46.3. а) а а а а о 2 3 4 1 + 2а 1 + За ^ б) “Г’ Г’ “Г- ^6.4. а) а; б) —г—; в) 2а; г) —-—. 46.7. а) 16; ООО о о б) 27. 46.8. а) 9, б) 8, 4^. 46.9. а) 20; б) 4; в) 16,5; г) 18. 46.10. а) 6; т V2 Ь 2Ъ + а Ь За + Ь а + Ь б) 6. 46.11. а) 1 + —; б) --; в) —; г)-—. 46.12. а) ——; 2а а + Ь а Ь Ь 2а+ 611 2 + 6 1„ 1 б) ; в) -6 + -а; г) ---46.13. а) 3; б) 5; 25; в) 343; —; 3 24 а + 6 9 49 1 г) 2; 512. 46.14. а) 4; б) 7. 46.15. а) 0,5, 1; б) -0,25. 46.16. а) -3 < л: < У б) л: < -4; < л: < 0. О §47 47.4. а) —; б) в) 4? г) -9,9. 47.5. а) -1; б) -1; в) 5 - е; г) 3. я 3 3 Я ,9 47.6. а) б) —я; в) ~я; г) 47.7. а) у = ех; 6)у = е х - е ; в) ^ = д: + 1; ОС 2 г) ^ = 7 + g- 47.8. а) у = Зд; 6) у = 0,5; а) у = -2х + 2; г) i/ = 1. 47.11. а) Возрастает на (-о°; -2], [0; +оо), убывает на [-2; 0], д: = 0 — точка минимума, д: = -2 — точка максимума; б) возрастает на [-0,5; +°о), убывает на (-°о; 0,5], х = -0,5 — точка минимума; в) убывает на (-°о; -3], возрастает на [-3; +оо), л = -3 — точка минимума; г) убывает на (-о°; 0) и на (0; 1], возрастает на [1; +о°), д: = 1 — точка минимума. 47.12. а) 0; е\ 1 4 б) 0; е; в) г) е; 9е^. 47.16. а) у = Ах - 3\ 6) у = х - 1’, в) у = -Ах + 2е; 1 7 11 о , г) у = X - 1. 47.17. а) у - 2х - -; б) у = - —; в) у = Ае^х - Зе^', т)у = -2х + 3. 47.18. а) Убывает на (0; 1], возрастает на [1; +°°), х = 1 — точка минимума; б) убывает на (0; 1], возрастает на [1; +°о), д: = 1 — точ- и на [0; +°о); убывает ка минимума. 47.19. а) Возрастает на | -оо; In — In —; о 2 ; X = In — — точка максимума, х = 0 — точка минимума; б) убывает на (-оо; 0] и на [In 1,5; +°о); возрастает на [0; In 1,5]; х = 0 — точка минимума, х = In 1,5 — точка максимума. 47.20. а) Возрастает на (0; 2] и на [3; +оо); убывает на [2; 3]; х = 2 — точка максимума, X = 3 — точка минимума; б) возрастает на [1; +°о); убывает на [0; 1]; х = 1 — точка минимума. 47.21. а) 1; е - 1; б) е - 1; - 2. 47.22. а) -4 + In4, -1; 256 1 13 б) 1,4 - In4. 47.23. а) у = 2ех; б) у = л: - - + 1пЗ. 47.24. а) -5; б) — О О 9 Г 3 в) г) нет решений. 47.25. а) (-°о; +°°); б) —J; в) (-°о; -2); f 1] е 1 е 3 г) |^-оо; -2-1. 47.26. а) у = - х; б) I/= ~ х; в) I/= ~ х; г) у = ~ х. 47.27. а) -1; б) -1. 47.28. а) а G (-7; -1] и [0; 6); б) а б (-1; 0); в) а е (~оо; -7] и и [6; +°о); г) нет таких а. ГЛАВА 8 §48 48.8. а) д;; б) -cos х; в) tg х; г) -ctg х. 48.9. а) cos |^3л: + б) ~ sin - 2xj; в) ^ sin (4дс - 3); г) 2 cos j^2 - | j. 48.10. а) б) -у/7х - 9; в) ^ ; г) -->/42 - Зх. 48.11. а) _i cos2x; б) 7 7(7дг - 3) 3 2 2 - — sin3x; в) 2tg —• г) —d(3x - 1)'‘ - — 1п|2 - 7д:|. 48.12. а) -cosx + —; 3 2 4^ 7 4 б) tg дс - 2; в) sin х + 0,5; г) -3 ctg — + 3. 48.13. s = ^^ + ^ - 1. 3 48.14. S = - cos 3f + -. 48.15. S = 6>/2t + 1 - 3. 48.16. s = i(l + O" + 3 3 6 + -t+ — ; V = —(1 + tf + -. 48.17. a) -4соад: + 3; 6) sin x + 15; 3 6 3 3 b) sin ДС + 7; r) sin x + 14. 48.18. a) x'^ + 3x + 2,25; 6) (Здс - !)■*. 48.19. 8. 9 3 48.20. a) x^ + —; 6) — д:'* + 7. 48.21. a) д: = 2 — точка максимума, д; = 3 — 4 4 с> точка минимума; б) л: = 1 — точка минимума, д; = 5 — точка максимума; в) X = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; г) х = -3 — точка минимума, х = 0 — точка максимума. 48.22. а) F{a) > Fib); б) F(a) < F(b). § 49 9 49.1. a) —; 6) -; в) 6,6; г) 2. 49.2. a) 1; б) 2; в) 2; г) 1. 49.3. а) е - 1; 324 3 Q 3 . е-1 . 2-2е^ б) Зе - -; в) ; г) е 2е —. 49.4. а) -(е^ - 1); б) ------- е е 2е - в) 4{е^ - 1); г) —(е- 1). 49.5. а) --^(l - З^з); б) в) 87,5; г) -(2-^). 2 8 8 5 49.6. а) In 2; б) - е + In 2; в) 0,1 In 2; г) ^ (е" - е^) + 2 In 2. 257 1 1 11 1 49.7. а) — 1п2,2; б) т In в) — 1пЗ; г) 1п4. 49.8. а) 12 см; б) 1,2 см; 2 о о 4 6 1. q1. 1 в) 27 см; г) rj см. 49.9. а) 60; б) в) г) 49.10. а) 9,5; б) 6,5. 49.11. а) 21-; б) 20,5; в) 9; г) 6,6. 49.12. а) 8; б) 10-. 49.13. а) 0,5; б) 4. 3 3 /о 12 49.14. а) 1; б) —; в) V2; г) V2. 49.15. а) я + 1; б) п. 49.16. а) 5-; б) -; "2 3 3 12 е‘^ - 1 - 1 в) г) 2-. 49.17. а) 16; б) 54. 49.18. а) - 1; б) —^5 в) — г) е" - 1. 49.19. а) ; 6) е - 2; в) - 2; г) 2(е^ - 1). 49.20. а) 1; ^ е б) 1пЗ; в) 2; г) - In 10. 49.21. а) + In -; б) 4 - 1п5; в) 4- " 1п4; ^ 3 3 г) е - 2. 49.22. а) 12; б) ^ - 1; в) Ю-; г) 2. 49.23. а) 4,5; б) 1^; в) Ю-; 23. 33 2 12 1 г) 4,5. 49.24. а) 2-; б) 21-. 49.25. а) 2-; б) 9. 49.26. а) 2-; 3 3 3 3 б) 2-. 49.27. а) 19-; б) 4,75. 49.28. а) 4я; б) 6,25я. 49.29. а) 2я; б) j. 3 3 4 6 " я 49.30. а) ^ + 1; б) —(2я + зТз). 49.31. а) 4,5; б) 4,5. 49.32. а) , _ , Z о LZ б) 4(3 + я) 6-я 4(3 + я) Зя ; в) —г) —^—• 49.33. а) б) —. 49.34. а) 6,75; б) 6,75. ГЛАВА 9 § 50 50.1. а) 2,2, 3,3,3,3,3, 4,4,4,4,4,4,4,4,4, 5,5,5,5; б) мода 4, ее кратность 9; в) Варианта Сумма двойка тройка четверка пятерка Кратность 2 5 9 4 20 г) 3,75. 50.2. а) 4, 2, 2, 0, 4, 1, 4, 3,1, 2; б) 0, 1,1, 2,2,2, 3, 4,4,4; в) Варианта Сумма 0 1 2 3 4 Кратность 1 2 3 1 3 10 Частота 0,1 0,2 0,3 0,1 0,3 1 Частота, % 10 20 30 10 30 100 г) 2,3. 258 50.3. а) 7,2; б) 67000; в) № 1—980, № 2—960, № 3—1000, № 4—400, № 5—990; г) нет, не пройдет, так как за нее проголосовало 4330 избирателей — менее 6,5% участников. 50.4. а) 9 вариант; объем равен 50; б) 8 — размах, 7 — мода; в) Варианта Сумма 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Кратность 5 6 3 7 4 11 5 4 5 50 г) 6,04. 2 1 50.5. а) Частота букв «т» и «у» равна 7^’ всех остальных — Т7’ всего 10 ^ 38 букв, из них 10 букв «г, р, о, м»; частота равна —, в процентах — 38 примерно 26%; в) мода буква «с», ее кратность равна 6; г) 6, 2, 1, 9, 4 / 5, 4, 2, 4 / 5, 4, 1, 3, 7 / 1, 1, 3, 4, 5, 5 / 4, 2, 7, 6, 4 / 1, 3, 8, 2, 6. 50.7. в) Варианта Сумма № 1 №2 №3 №4 Кратность 20 д: = 5 у = ю 15 50 Частота 0,4 0,1 0,2 0,3 1 Частота, % 40 10 20 30 100 г) варианта № 1. 50.8. а) 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, ..., 4, 5, 5, 5, 5, 5; 8 б) Оценка по литературе Сумма 1 2 3 4 5 Кратность 1 5 6 8 5 25 ,11 + 2- 5 + 3- 6 + 4- 8 + 5- 5 г)----------------------------- =3,44. 50.9. а) 25 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, .... 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5; 11 6 б) Оценка по русскому языку Сумма 1 2 3 4 5 Кратность 2 3 11 6 3 25 12 + 2- 3-Н311 + 4- 6 + 5- 3 г)-------------------------- =3,2. ^ 25 259 50.10. а) 4; б) 5; в) Итоговая отметка Сумма 2 3 4 5 Кратность 4 7 9 5 25 ^ 50.11. а) Кратность 1 5 6 8 5 Отклонение от среднего -2,44 -1,44 -0,44 0,56 1,56 Квадрат отклонения 5,9536 2,0736 0,1936 0,3136 2,4336 Сумма квадратов равна 1-5,9536 + 5-2,0736 + 6-0,1936 + 8-0,3136 + 32,16 г- = 1,2864, а = VD =1,134; + 5-2,4336 = 32,16;D = б) 25 Кратность 2 3 11 6 3 Отклонение от среднего -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8 Квадрат отклонения 4,84 1,44 0,04 0,64 3,24 Сумма квадратов равна 2-4,84 + 3-1,44 + 11-0,04 + 6-0,64 + 3-3,24 = 28; 28 г~ D = — =1,12, а = vJD = 1,0583; в) по литературе; г) по русскому языку. 25 §51 51.1. а) 0,28; б) 0,46; в) 0,78; г) 0,78. 51.2. а) 0,6; б) 0,4; в) 0,24; г) 0,4. 14 5 51.3. а) б) 9 ’ в) g; г) 0. 51.4. а) 0,96; б) 0,28; в) 0,2; г) 0,36. 51.7. а) 0,5; 25 5 11 8 1 б) 0,19; в) 0,99; г) 0,94. 51.8. а) —; б) в) —; г) -• 51.9. а) s2 1 13 15 32 Поу fl2, 2i- и ’ - lisJ ’ 64 4 2 3 г) ^ = 0,059. 51.11. а) 0,5; б) 0,1,- в) 0,2; г) 0,25. 51.12. а) б) в) ^5 1 210’ § 52 52.1. а) 42; б) 20; в) 24; г) 14. 52.2. а) 5! = 120; б) (5!)" = 14 400; в) 5! - 3! = 720; г) 5! - 4! = 2880. 52.3. а) 54; б) 1; в) 0; г) 5184. 52.4. а) 401; б) 19; в) 4; г) 11. 52.5. а) 2; б) 3; в) 6; г) 24. 52.6. а) Cf^ = 136; б) 17; в) 119; г) 17. 52.9. а) 26; б) 6; в) 224; г) 0. 52.10. а) 8; б) 6; в) 7; г) 4. 52.11. а) д: = 9 или л: = 10; б) X = 11; в) 8; г) 31. 52.12. а) 15; б) 5; в) 8; г) 12. 52.13. а) 7; б) 8; в) 12; г) 3. 52.14. а) 5! = 120; б) С1 = 10; в) С1 ■ 2 = 20; г) 4! = 24. 52.15. а) 210; б) 35; в) 15; г) 10. 52.16. а) С1^ = 376 992; б) CL = 32; в) = 126; г) 4 - С,^ = 504. 260 52.17. а) 10" = 100000; б) 8" = 32 768; в) 2" = 32; г) 2 • 8' = 8192. 52.18. а) 12; б) 13; в) 12; г) 15. 52.19. а) С1о = П40; б) С?з = 220; в) 180; г) 748. 52.20. а) 14112; б) 10976; в) 7056; г) 280. § 53 53.1. в) + Юд:® + 40л;® + 80л:'' + 80х^ + 32; г) 1 - 4х^ + бд:® - 4д:® + д:^^ 53.2. а) C^ 1® • 1' = 7; б) • 1' • 3^ = 12; в) C^ З' • (-2)^ = -810; г) C^ 1' ■ 2' - 4 - Ct • 2^ • 1® = 72. 53.3. а) 108; б) -720; в) 8; г) 53.4. а) 60; б) С1 • 3® = 61236. 53.5. а) Юд:®; б) 120д:‘‘; в) 210jc‘^; г) 252. 53.6. а) Cfo = 252, один член С?о б) Сд = 126, два члена Сд а'‘&" и Сд а"б'*. § 54 33 14 48 17 2 2 9 5 й’ г)1.54.2.а) 6) в) г) 54.3.а) б) —; в) —; г) —. 54.4. а) 43,6; б) 41,3; в) 13,2; г) 1,77. 54.5. а) б) —; 21 14 21 3 15 в) 0,4. Заменить 30 на 29. 54.6. а) 0,4; б) 0,48; в) 0,12. Заменить 50 на 48. 54.7. а) Невозможное событие; б) дискриминант этого уравнения отрицателен; в) само событие А; г) невозможное событие. 54.8. а) 0,75; б) 0,91; в) 0,99; г)0,9901. 54.9. а) 0,48; б) 0,08; в) 0,92; г) 0,44.54.10. а)С| • 0,7^ • 0,3\ Р = 0,441; б) с! • 0,7^ • 0,3^ Р = 0,2646; в) С1 • 0,7® ■ 0,3®, Р = 0,3087. 54.11. а) Ct-p^-q° = 0,25'* = 0,004; б) р® • = 0,75^ = 0,316; в) Cf • р® ■ = = 4 • 0,25® • 0,75 = 0,25® • 0,75 » 0,047; г) 1 - ^4(0) » 0,684. 54.12. а) 1; б) 1; в) 0; г) 0,5. 54.13. а) 0,5; б) 0,5; в) 0,25; г) 0,25. 54.14. а) 0,5; б) 0,5; в) 0,2; г) 0,21. 54.15. а) ^ = 0,306; б) 0,16; в) =0,7; г) « ^071 ^071 = 0,146. 54.16. а) 56,4; б) 84,9; в) 1,9; г) 0,13. 54.17. а) 0,1; б) 0,3; 2 8 1 13 в) 0,5; г) 0,6. 54.18. а) —; б) —; в) -; г) —. 54.19. а) 138; б) 200; 15 15 15 в) 162; г) 100. 54.20. а) б) 0,8; в) 0,5; г) —. 54.21. а) 0,8; б) 0,1; в) 0,6; 9 11 г) 0,998. 54.22. а) Число попаданий, k 0 1 2 3 4 5 Л^(^) = C^0,4*•0,6"■* 0,078 0,259 0,346 0,23 0,077 0,01 б) 0,01; в) 0,346 -1- 0,23 + 0,077 -ь 0,01 = 0,663; г) наибольшая вероятность получается при k = 2. 261 54.23. а) 0,01; б) 0,38; в) 0,25; г) 0,01. 54.24. а) 0,25; б) 0,5; в) 0,5; г) 0,25. 1 19 7 54.25. а) —; б) —; в), г) —. 27 27 27 ГЛАВА 10 к § 55 55.9. а) 1; 6; б) 0; в) 2; 6; г) нет корней. 55.10. а) 2; б) в) нет корней; г) -2,5; 2. 55.11. а) 1; -3; б) 1; -4. 55.12. а) 0; ±-; +2; б) 0; ±3; в) ±1; ±-; 2 4 г) 0; ±я; ±4. § 56 56.2. а) 5,25; б) 11. 56.3. а) - + лп; б) - + лп. 56.4. а) 6, 8; б) 0. 4 2 56.5. а) 1; 7; б) 2-. 56.6. а) 1, 3; б) 10, 0,001. 56.7. а) 3, 0; б) ±2. 6 л о 11 56.8. а) - + лп; б) ±— + 2я/г. 56.9. а) ; б) 1. 56.10. а) 0, 4, 5; б) -3, 4 о со -1, 3. 56.11. а) о, 6; б) 0, 5. 56.12. а) 2, -1; б) 2, 3. 56.13. а) ±2; + б) ±3; ±^ + 2яп. 56.14. а) лп, ±| + 2яп; б) J + ял, О О 2 1 я лп / \п л лп л 1 -arctg — + ял; в) — + —, (-1) — + —; г) 2ял, — + 2ял. 56.15. а) -1; —; 2 6 3 9 3 2 2 , 1 б) ±1. 56.16. а) 50; б) -34. 56.17. а) 1т; б) 1, -3,8. 56.18. а) 1, 0; 6 б) -logslO; в) 0; г) 2, logg2 - 1. 56.19. а) ±1; б) 8, 16; в) (-1)” arcsin ^ + ял; 2тт г) 64. 56.20. а) 10, 10 ^ ; б) 0, 1; в) ±— + 2ял; г) 1, 4. 56.21. а) 0, ±1; О б) о, 1. 56.22. а) 2; б) -1. 56.23. а) 1, 2; б) |. 56.24. а) 1; б) 9. 56.25. а) 3, 4, -1, -2; б) 0, -3. 56.26. а) 1; б) 2,5. 56.27. а) 5; 7,5; б) 2; 4. 25 56.28. а) 1; б) 1; в) 1; у; г) -2. 56.29. а) 1024; б) 1; в) 64; 4096; г) 1. 1 X о1 56.30. а) 1; б) 1; 13. 56.31. а) б) 5, 2-. 56.32. а) 6, -2; б) 4, -1. О о 262 , 7W ЯП Л ЯП , Я - пп п 2яп 56.33. а) 6) -. 56.34. а) + у. ±3 + 2пщ 6) у. - + —, Я 2яп пп Tin я ЯП , я я - + —■ 56.35. а) —, —; б) т^п, - + —• 56.36. а) ±- + лп; б) ±- + лп. Ои и £i U О 56.37. а) -^ + 2яп, я + 2яп; б) + (-l)"arcsin ^ + яп. 56.38. а) 1, log25; б) 1, 31о&з2; в) 3, log30,12; г) 1, logs4. 56.39. а) -3; (-I)" - + яп я ЯП (п е Z, п > 0); б) 8, 120, - ё + {neZ,n> 6). 56.40. а) 2; б) 3. 56.41. а) 1; О С б) 7. 56.42. а) 2; б) -2. §57 57.4. а) Нет решений; б) 8 < х < 11. 57.5. а) х > 3; б) -1 < х < 8. 1 4 2 1^ 57.6. а) X < -5; - < х < 1; б) < 7. 57.7. а) -3 < х < -2 -2 < X < 4; б) -5 < X < -2; 3,5 <х<4;4<х<5. 57.8. а) -оо < х < +оо 1 б) -1 < X < 0; X > 3. 57.9. а) л: > б) х < 3; х > 3. 57.10. а) х > 1 О б) X > 3. 57.11. а) 2,5 < х < 3; б) нет решений. 57.12. а) х > 2,25 я 4я б) -- + 2яп < X < —+ 2яп. 57.13. а) х < 1; х > 7; б) х = 1 57.14. а) X > 4; б) X > -2. 57.15. а) 0 < х < 5; г) х > 49. 57.16. а) х > 1 б) X < 0. 57.17. а) X < 1; б) х < 1. 57.18. а) х > 64; б) 2‘“ < х < 2'° 57.19. а) о < X < 1; б) X < logjO,!. 57.20. а) 8 < х < 16 б) о < X < ^ ^ 57.21. а) 1 < X < 1,25; х > 1,5; б) 0,1< х < 1. 57.22. а) ^ + 2яп < X < Y + 2яп; б) х = 2яп. 57.23. а) х > 2; б) х > 0; в) X < 2; г) нет решений. 57.24. а) 0 < х < 4; б) нет решений; в) х > 4; я г) X > 0. 57.25. а) < х < +°о; б) х = ; в) х = 0; г) -оо < х < +°о. 57.26. а) X > -1,5; б) х < 57.27. а) 0 < х < 9; б) 0 < х < 4. О 4 57.28. а) -2 < X < -1; X > 2; б) х > 3, х = -4. 57.29. а) т ^ ^ ^ О б) о < X < X > 57.30. а) х > 1; б) -1 < х < 5; в) х < -8, л: > 3 « 263 г) -7 < л: < 0. 57.31. а) 0 < л: < —5 — < л: < 2; б) -4 < л: < -я, -я < л: < 0. 2 2 57.32. а) б) 0, ±2я. 57.33. а) -2 < д: < 1, 1 < д: < 4; б) д: < -4, д: > 3. § 58 58.10. a)i^l2; б) 48. 58.11. а) х = 7 - 2k, y = k, где ke Z; б) х = k, у = П - 5k, где k е Z. 58.12. а) х = 1 - 2k, у = 7k - 3, где k е Z; б) х = 12k - 5, у = 7k - 3, где k G Z. 58.13. а) (4; 1), (-4; -1), (-1; -1), (1; 1); б) (5; -1), (3; 1), (-5; 1), (-3; -1). 58.23. а) 3,2; б) 144. 58.24. а) б) в) р г) § 59 59.1. а) (1; 2), (1,5; 1,5); б) (2; 3), (3; 2); в) (-1; -2); г) (3; -1), (9; -4). 59.2. а) (0; -1); б) (^J. 59.3. а) (-1; 2); б) (4; 1); в) (1; 1), (1; -1); г) (8; 1). 59.4. а) | 9I; б) (^я + 2я^; + я^1; в) ^ |5 (/ п nk я nk] 12 Y’ 12 ^ Т J' 2)- 59.7. а) (2; 6), (-2; 10); б) (5; 3), (3; 1). 59.8. а) 2; б) 3; в) 7; г) 1. 59.9. а) (1; 2), (2; 1); б) (2; -4), (4; 0). 59.10. а) (-1; 1); б) (1; 1). 59.11. а) (1; 1), (1,4; 0,2); б) (2; 1). 59.12. а) + п(п + /г); + п(п - fe) j; б) (2; 1), (-2; 1), (2; -1), (1 1] (-2; -1). 59.13. а) (а; За), где а Ф 0; б) I 2’ 2 J' ®); б) (2; -1). 59.15. а) (2; 2), (-2; -2); б) (7; -1), (-1; -3). 59.16. а) (4; 4), (3; 2); б) (1; 2). 59.17. а) (8; 27), (27; 8); б) (16; 1). 59.18. а) (3; 1), (2; 1,5); б) (-4; 0), 40 32^ Г 49 16^ ~; 59.19. а) (1; 4), yj; б) (4; 1). 59.20. а) (2; 3), (3; 2); б)(42; 39). 59.21. а) + 2ял|, |^(-1)*" + я/г; + 2ял^; б) 11 + nk; ±1 + 2ял , ±1 + 2nk; | + ял |. 59.22. а) (2; -1; 1); б) (-1; 2; 0). 59.23. а) (1; -2; -1), (-3; 2; -5); б) (2; 0; -1), | у; у 264 59.24. а) г/ = - 5х + 1; б) у = Зх^ - 2х + 1. 59.25. 143. 59.26. 3, 9, 27. 59.27. 4. § 60 60.1. а) т yt 1; б) таких значений т нет; в) m = 1. 60.2. а) Ь ±1; б) Ь = -1; если а Ф ±2; х — любое действительное число, в) Ь = 1. 60.3. а) X = - я + 2 если а = 2; нет корней, если а = -2; б) д: = а, если а Ф -1, 0; х — любое действительное число, если а = -1; нет корней, если а = 0. 60.4. а) х > m + 1, 1 если m > 1; X < m + 1, если m < 1; -°о < д: < +оо, если m = 1; б) х > Ь + 1 если Ь < -1, Ь > 1; х < ---, если -1 < & < 1; -оо < д: < +оо если Ь = -1; Ь + 1 нет решений, если 6=1. 60.5. а) х > ^ если 6 > 1, 6 < 0; х < ^ ^ Ь Ь если о < 6 < 1; -оо < х < +оо, если 6 = 0, 6 = 1; б) х < а, если а > 0, а < -1; х> а, если -1 < а < 0; -оо < д: < +сю, если а = -1; нет решений, если а = 0. 60.6. а) а < 0; о < а < 1; а > 4; б) а = о, 1, 4; в) 1 < я < 4. 60.7. а) -9; б) 4. 60.8. а) 6 > 1; б) 6> 3. 60.9. а) а > -7; б) а > -5. 60.10. а) я > 4; б) я < -1. 60.11. а) я < -4; б) я > 20. 60.12. а) х > 2, если я < 2; х > я или X = 2, если я > 2; б) я < х < 6, если я < 6; нет решений, если я > 6. 60.13. а) 1; б) 2. 60.14. а) я < ; б) < я < —. 60.15. а) я = 1; я = 5 4 4 Vs б) я > V2. 60.16. а) я < 3, я > 27; б) я > -1. 60.17. а) я = —, я < 1; 4 б) Ж 1. 60.18. а) О < я< 4; б) -15 < я< 17. 60.19. а) я< -12; б) -5 < я < 0. Дополнительные задачи 5.15. а) +, -; б) -, +; в) +, -; г) +, -. 5.16. а) 4? + 2пп; б) ^ + 2лп; в) ^ + 2пп; Зоб г) + 2пп. 5.17. а) + 2лп; б) 4г + 2яя; в) + 2пп; г) + 2пп. 3 6 3 6 3 6.42. а) 1; б) 1. 6.43. а) б) 1. 6.44. а) х > ^; б) х < -2; х > 2. 6.45. а) X < i; б) -3 < х < 3. 6.46. а) х < 1; б) -6 < х < 6; в) х > 1,4; О г) -оо < X < +0О. 6.47. а) я < fo; б) я > 6; в) я > 6; г) я< Ь. 6.48. а) cos 4, sin 3, cos 5, sin 2; б) cos 3, cos 4, cos 7, cos 6; в) sin 4, sin 6, sin 3, sin 7; r) cos 3, sin 5, sin 4, cos 2. 6.49. a) 0,5; 6) 0,5. 6.50. a) -1; 6) 1. 7.21. 3,29. 7.22. 0,5. 10.19. a) |; 6) 7i; в) |; r) 0. 10.20. a) |; |; 6) = -|; в) |; 265 2n г) 10.22. а) -4, -0,5, -4. 10.23. а) -9, 1, -(л - 3)'. 10.24. а) 1, 1, не существует. 11.15. а) 0; б) бесконечное множество; в) 2; г) 2. 11.17. а) л: = 0; б) -оо < X < +00. 12.11. а) sin (8 - 2л); б) cos (-10 + 4л); в) sin (-25 + 8л); г) cos (35 - Юл). 12.12. а) -■§; б) 14.16. а) Нечетная; б) четная; в) чет- 5 13 ная; г) ни четная, ни нечетная. 14.17. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) нечетная. 16.20. а) 3; б) 3.16.21. а) 2; б) 3.17.11. а) б) в) л; г) л. О о 17.12. а) б) в) 1; г) -1. 17.13. а) 1; 6) в) г) _ 3 3 17.14. а) ±—+ nk; б) nk; -arctg — + лЛ; в) ±arctg — + л/г; г) nk; О и ^ arctgl + л/г. 17.15. а) |; б) в) |; г) Щ. 18.36. а) + nk; о 5 13 5 13 4 б) ^ + л/г; ^ + 2nk; ^ + 2nk; в) г) nk; ^ + 2nk; ^ + 2nk. 2 3 3 о 2 4 4 18.37. а) б) 2л/г. 18.38. а) -? + nk; б) + лА:. 18.39. а) ? + л^г; 24 2 4 4 4 -arctg 2 + л/г; б) arctg 3 + в) ^ -arctg 3 4- л/г; О 3 3 4 г) arctg 4 + ^; + ^- 18.40. а) ^ + 2л/г; -2 arctg 2 + 2л/г; О О о ^ ТС 1 71 тс 1 б) — + 2л^; -2 arctg — + 2л^е; ъ) nk, + nk; г) — + nk; -arctg - + nk. di ^ О Ш Ш 18.41. a) (-1)''"^5 + nk; 6) (-1)* J + я/е; в) л +"2лй; + 2nk; г) 5 + о о 3 6 3 18.42. а) -| arctg | + ^’ Т’ I ® ^ Т‘ "I 2 arctg + 2nk; б) -^ + arctg в) ^ + nk; -arctg 2 + nk; 3 16 4 4 3 4 4 г) arctg 2 + nk; -arctg + nk. 18.44. a) -^ + 2nk; 4r + 2л/г; 6) + 2л^; 3 6 3 3 ^ + 2лА:. 18.45. a) nk; 6) л + 2nk; ±-| + 2nk. 19.27. a) 1; 6) 21.42. a) 2; О о Z -1; 6) 3; -1. 21.43. a) 2sin[^t - |j; 6) 2sin[^J - ^ j; в) 2sin r) -2sin(,.f). 21.44. a) 6) 21.46. a) ±; 6) i. О “i 4 ГУ \ 7C/p 7C TC TC/? Ч 7C » \ ^ . TC^ ч / i чА ^ 21.47. a) 6) --^nk; в) j +-; r) <-1)‘зб + -в-- 21.48. a) ±j, ±^; ±^; 6) ±2 ±^, ±^. 21.50. a) 2 arctg i + 2rt; 4 4 4 6 6 6 2 -2 arctg + 2лА; 6) 2 arctg 2 + 2лА; -2 arctg j + 2лА. 21.51. a) — (А?ь±2); 3 4 2 Л . nk n . лА 266 б) ^ (ft 0). 21.52. а) 2nk; ^ + 2nk; б) + (-l)*arcsin ^ + кк. 22.27. 5. 2 2 4 4 22.28. а) 1,5; б) 0,5. 22.29. а) | + f f Y' 22.31. а) 5 sin + arccos б) 13 cos + arccos j; в) 25 sin - arccos г) 17 cos - arccos ^ j. 22.32.a) 2nk’, ^ + 2nk; 6) у + 2nk; b) -^ + 2nk; n + 2nk; r) ^ + 2nk; n + 2nk. 22.33. a) 2; -2; б) 2;-2; в) ^/2; ->/2; г) 2л/2; -2>/2. 22.34. а) [-5; 5]; б) [-13; 13]; в) [-25; 25]; г) [-17; 17]. 22.35. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 22.37. а) (-1)*5 - з^г; О \2t б) (-1)*з^ + а) ^ + 4я/г; -2я + 4я^; г) 6я/г; ^ + бпк. 15 2U о 3 2 22.38. а) 5 + arccos ^ + 2пк; б) (-1)*:;^ ~ 4 arccos | 2 5 ^ о ^ в) я + arccos + 2я/г; г) - 2 arccos + 4яЛ. 1о 3 13 оо ^гк \ ^ лч 1 5 я/г я 1 5 . 22.40. а) б) - arccos - + - - - arccos - + nk. 22.41. а) ^ + 2ltfe; б) 2nk; ~ + 2иА. 22.42. а) б) 2. 24.23. а) 2; -1; 0; 6 3 3 4 -1; 2; б) -1; 0; -1; 2; -1; в) 1; -4; -3; 16; 5; г) 0; 1; 2>/2; 4; 2л/2. ■ ^^2’ 9’ 14’ 65’ 21’°^ 2’ 8’ 16’ 128’ 256*^ ’ * ^ ’ ’ ’ ’ ’ б) 2; 12; 22; 32; 42; в) -1; 1; 3; 5; 7; г) 4; 1; -2; -5; -8. 24.26. а) 2; 4; 12; 48; 240; б) -5; 2,5; в) -2; 2; -2; 2; -2; г) 1; 10; 100; 1000; 10 000. 4 8 16 24.27. а) (-1)" 2п 6) в) ff) ; г) ^5^. 24.29. а) в; б) 124; в) 6; Ш) Ш) г) 55. 24.30. а), б), в). 24.31. а) [в; 7]; б) [2; 3]; в) [1; 2]; г) [0; 1]. 24.32. а) — г) Нет. 24.33. а) 2; б) 12; в) 6; г) -2. 24.34. а) 7; б) 0; в) 1; г) 0. 26.30. а) 4; б) -^; в) г) 7. 26.31. а) б) 1,5; в) г) |. 26.32. а) 1 б) 0; в) 1; г) 0. 26.33. а) б) 0. 26.34. а) |; б) |. 28.47. а) |, | б) л, —. 28.48. а) - + лк < х < — + пк; б) - + ; в) -- + лп 3 3 о о 3 3 4 г) 2лп < X < я + 2ял, пе Z, п>0;-л+ 2лк < х < 2лк, ке Z, к<0. 28.49. а) ^ 9 1 ^ б) 2|. 28.50. а) (2х - l)'^ + С; б) (4 - бх)" + С. 28.51. а) — - + С; 3 2х + 3 267 б) + С, где С — любое число. 28.52. Ю cos ~ ;g (5х - 1) + С. 29.28. а) у = х^1 б) I tg (5х - 1) + С. 29.28. а) у = хл[3- I/ = хТз + б) ^ = Т ^ = 3 29.29. а)у = х+1,у = х + 21; б) г/ = -л:^+ 12, у = -х. 29.30. у = х^ - Зх + 3. 29.31. а.) у = -6х - 8, у = 2х; б)у = 2х, у = -2х; в)у = 4х-3,у = -4х -3;г) у=1,у = -4х - 3.29.32. а) г/ = 8 - 7х, у = -Ид: + 12; 6) у = -9х + 9, у = -5х + 9. 29.33. а) а = а = 5 + 4 о о “ “ Ш Т’ “ " I Т- 29.34.a)i/ = 3:c-2;6) у = ~х + ^. Jo 29.35.а)В(0;3,5);б)г/ = х-3,1/ = -д:-3.29,36.а)Б(0;0);б) У = ~ 1)> у = ^(х + 1). 29.37. а) j^-|; -25 j; б) (17; 204). 29.38. а)р = 0,5; б)р = -1. 30.33. а) При а = ±3; б) при а = ±5. 30.35. а) Убывает на (-°о; 3], возрастает на [3; -ьоо), д: = 3 — точка минимума; б) возрастает на (-оо; 0) и на [1; +00), убывает на (0; 1], х = 1 — точка минимума; в) убывает на (-°о; -3] и на • 2 2’ ^ возрастает на -3- -i 2 и на [2; -ь°о), д: = -3их = 2 — точки минимума, X = —точкамаксимума;г)возрастаетна[-1;0]ина[1;-1-00), ш убывает на (-°о; -1] и на [0; 1], х = -1 и х = 1 — точки минимума, х = О — точка максимума. 30.36. а) Убывает на (-оо; ->/з), на[-1;0]ина [l; >/з], возрастает на [->/3; -l], на[0; 1]ина [>/3; +°о), х = ->/з, х = 0, х = л/З — точки минимума, х = -1, х = 1 — точки максимума; б) возрастает на -1; на на 1 3 ’ ^ /з1 г /з ' 0; ^ и на [1; -ьоо), убывает на (-оо; -1], на 0 О _ - о л/з л/з , X = -1, X = о, X = 1 — точки минимума, х = —х = —— О S точки максимума. 30.44. а) а > 0; б) —n/s < а < Vs. 30.45. а) а > 1; б) а <-4. 30.46. а) Ь ^ —; б)^ 0; в) ни при каких значениях fo; г) ^ 0.30.47. а) д ^ 1, 3 а > 2; б) а < -1,5, а>1. 31.16. а) 2; б) 1; в) 1; г) 1. 31.17. а) 0; б) 0. 31.18. а) 1; б) 2. 31.19. а) 3; б) -1. 34.23. а) 0; 2; б) -1; в) 1; г) 0; 3. 34.24. а) 1; б) 2. 34.25. а) 2; б) 0.34.26. а) (-оо; -3] U [2,5; 3) U (3; +оо); б)(-оо; -1,5] U [5; +оо). 37.34. а) J ■ у; б) ■ д'К 37.35. а) 8^; б) в) 5; г) . 37.36. а) 3^; 5 8 4 4 268 б) -i. 37.37. а) 11; б) 0,5. 37.38. а) 0,2; б)-12. 37.39. а) а+ 6; б) ^ ^ V7 - 37.40. а) 0; б) 0. 38.41. а) л: > —; б) л: < 0; 0 < л: < 2; в) л: > 0; г) лг > 16. 4 39.43.а) 2 '^, 1, 2^ 2' ", 2'^, 2^’^ 6)0,3®, 0,3% 0,3% 1, 0,3''^, 0,3 ®.39.44.а)9, 8^; б) 12%, 58; в) 10, 9^; г) 29,13,5.39.45. а) 0,1; б) 0; в) 0; г)0.39.46. а) 1; б) -1; в) 1; г) -1. 39.47. а) х > 1; б) х > -1; в) л: < 1; г) лс < -1. 39.48. а) л: < 0, лс > 1; б)-1 < л: < 0; в) о < л: < 1; г) X < -1; х > 0.39.49. а) -оо < д: < +оо; б)х < О, X > 0; в) нет решений; г) х = 0. 40.51. а) 14; б) 40.52. а) 6; б) 5. 40.53. а) -0,5, 2; б) -3, -2. 40.54. а) 2; б) 1, 2. 40.55. а) -4, 2; б) -1,5, 1. 40.56. а) 4, -1; б) 1, 3. 40.57. а) (5; 1); б) (0; 1). 40.58. а) (1; 3); б) (1; 3). 40.59. а) а > 0; б) а > -3; в) а < 0; г) а 0. 40.60. а) а < 3, а > 27; б) а > -1. 40.61. а) X < 2; б) X > 1. 40.62. а) х = -2, х > 3; б) 3 < х < 5, х > 5; в) х < -2; г) X > 2. 40.63. а) X > 0; б) X > j; в) X < 0; г) X > 1. 40.64. а) l| < х < 2§; 4 о U б) -1 < X < 1; в) X < X > —7; г) -2 < X < 2. 40.65. а) 1 < х < 4; б) х < -2; 4 4 в) -1 0; б) при а < -2 решений нет; х = logs (а + 2) при -2 < а < 1; = logs (а + 2), Хг = logs (а “ 1) при а > 1. 42.26. а) 1; б) 1; в) 1; г) 1. 42.27. а) — г) Нет решений. 42.28. а)х>1;б)0<х<1;в) 0<х<у; г) X > |. 42.29. а) К X < 2; б) X > 0. 43.38. а) -1; б) 1; в) 1; г) 1. 43.39. а) 0; О б) 0; в) г) 0.43.40. а)т + п; б) 2т + п;в)т + Зп; г) 2т + Зп, 43.41. а) с + а; б) 1 - с - а; в) с + а; г) 2с - ^а. 44.23. а) 5; б) 6, -12. 44.24. а) 10; б) 10®. 44.25. а) % 6; б) Ю'^. 6 Ю'12 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя .................................... 3 ГЛАВА 1. Числовые функции § 1. Определение числовой функции и способы ее задания .... 5 § 2. Свойства функций ...................................... 7 § 3. Обратная функция....................................... 9 ГЛАВА 2. Тригонометрические функции § 4. Числовая окружность ................................... 10 § 5. Числовая окружность на координатной плоскости ........ 12 § 6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс ................. 13 § 7. Тригонометрические функции числового аргумента........ 18 § 8. Тригонометрические функции углового аргумента ........ 21 § 9. Формулы приведения.................................... 23 § 10. Функция у = з1пд::, ее свойства и график.............. 25 § 11. Функция у = cos л:, ее свойства и график.............. 28 § 12. Периодичность функций у = sin л:, у = cosx............ 30 § 13. Преобразование графиков тригонометрических функций.... 31 § 14. Функции у = tgx, у = ctgx, их свойства и графики...... 36 ГЛАВА 3. Тригонометрические уравнения § 15. Арккосинус. Решение уравнения cos^ = а................ 38 § 16. Арксинус. Решение уравнения sint = а.................. 41 § 17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgл: = а, ctgx = а ................. 44 § 18. Тригонометрические уравнения . . . .»................. 45 ГЛАВА 4. Преобразование тригонометрических выражений § 19. Синус и косинус суммы и разности аргументов........... 51 § 20. Тангенс суммы и разности аргументов .................. 55 §21. Формулы двойного аргумента............................. 57 § 22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения........................................ 62 § 23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы....................................... 65 ГЛАВА 5. Производная § 24. Предел последовательности............................. 67 § 25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии........... 70 § 26. Предел функции....................................... 72 § 27. Определение производной .............................. 78 § 28. Вычисление производных ............................... 82 § 29. Уравнение касательной к графику функции............... 89 § 30. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы ......................... 93 270 § 31. Построение графиков функций..........................101 § 32. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин.............ЮЗ 33. 34. 35. 36. 37. 38. §39. § 40. § 41. § 42. § 43. § 44. § 45. § 46. § 47. § 48. § 49. ГЛАВА 6. Степени и корни. Степенные функции Понятие корня п-й степени из действительного числа 108 Функции у = Vx, их свойства и графики.................110 Свойства корня п-й степени ...........................112 Преобразование выражений, содержащих радикалы ........115 Обобщение понятия о показателе степени................119 Степенные функции, их свойства и графики .............123 ГЛАВА 7. Показательная и логарифмическая функции Показательная функция, ее свойства и график ..........129 Показательные уравнения и неравенства ................134 Понятие логарифма ....................................141 Функция у = logo л:, ее свойства и график.............143 Свойства логарифмов...................................146 Логарифмические уравнения ............................150 Логарифмические неравенства ..........................154 Переход к новому основанию логарифма .................156 Дифференцирование показательной и логарифмической функций ............................158 ГЛАВА 8. первообразная и интеграл Первообразная ....................................... 162 Определенный интеграл.................................165 § 50. § 51. § 52. § 53. § 54. § 55. § 56. § 57. § 58. § 59. § 60. ГЛАВА 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей Статистическая обработка данных......................171 Простейшие вероятностные задачи .....................175 Сочетания и размещения...............................177 Формула бинома Ньютона...............................181 Случайные события и их вероятности...................181 ГЛАВА 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств Равносильность уравнений ............................187 Общие методы решения уравнений ......................188 Решение неравенств с одной переменной ...............192 Уравнения и неравенства с двумя переменными..........195 Системы уравнений ...................................198 Задачи с параметрами ................................202 Дополнительные задачи ...............................205 Ответы ..............................................233 271 Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Татьяна Александровна и др. ^ АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10—11 классы В двух частях Часть 2 ЗАДАЧНИК для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский Редактор С. В. Бахтина Оформление и художественное редактирование: Т. С. Богданова Технический редактор В. Ю. Фотиева Корректоры Т. В. Пекичева, И. Н. Баханова Компьютерная верстка: А. Л. Вабабекова, А. А. Горкин Формат 60x90Vie. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 17,0. Тираж 100 000 экз. Заказ № 2100 Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел.: 8(499)3675418, 3675627,3676781; факс: 8(499)1659218. E-mail: ioc@mnemozina.ru www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ», ИНТЕРНЕТ-магазин). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел./факс: 8(495)7838284; тел.: 8(495)7838285. E-mail: magazin@mnemozina.ru www.shop.mnemozina.ru Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8(495)6^56031 (многоканальный). E-mail: td@mnemozina.ru Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «Ульяновский Дом Печати». 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14. ГЧ1 ж 0 к: Формулы дифференцирования С' = 0 х'=1 (е^У = (а^У = a^'lna (kx + т)' = k (In х)‘ X (х^'У = гх г-1 (log. л;) / _ jclna (sin хУ = cos X (igxY = cos^ X 1 ■щ (cos хУ = —sin X (ctg x)' sin'^ X Правила дифференцирования (иvy = и'v‘ (kuy = ku' (uv)'u^v + uv‘ ILRZ uv (f{kx-^ m))‘ = kf\kx + m)